Математический кружок. 6-7 классы

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À®±¥¢Á, 2003 £.

“„Š 51(023) ‘72 Š 22.1 €«¥ª± ­¤° ‚ ±¨«¼¥¢¨· ‘¯¨¢ ª Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ª°³¦®ª. 6{7 ª« ±±». Œ.: ®±¥¢, 2003, | 128 ±. ‚ ª­¨£¥ ¸¨°®ª® ¯°¥¤±² ¢«¥­» § ¤ ·¨ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨ª¥, ¯°¥¤« £ ¢¸¨¥±¿ ¸ª®«¼­¨ª ¬ 6{7 ª« ±±®¢ ­  § ­¿²¨¿µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ª°³¦ª®¢ ¨ ®«¨¬¯¨ ¤ µ. Ž±­®¢­®¥ ¥¥ ±®¤¥°¦ ­¨¥ | ª« ±±¨·¥±ª¨¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨. Š°®¬¥ ­¨µ, ¥±²¼ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨, ²°¥¡³¾¹¨¥ ´ ­² §¨¨ ¨ ¨§®¡°¥² ²¥«¼­®±²¨, ¨ ¯°®±²® ¸³²ª¨. Š­¨£  ¯°¥¤­ §­ ·¥­  ¤«¿ ³· ¹¨µ±¿ 6{7 ª« ±±®¢, ­® ¡³¤¥² ¨­²¥°¥±­  ¨ ¯®«¥§­  ª ª ¡®«¥¥ ±² °¸¨¬, ² ª ¨ ¡®«¥¥ ¬« ¤¸¨¬ ¸ª®«¼­¨ª ¬,   ² ª¦¥ ³·¨²¥«¿¬ ¨ °®¤¨²¥«¿¬.

c €. ‚. ‘¯¨¢ ª, 2003

°¥¤¨±«®¢¨¥

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­¥ ¶¥­¿² ¨ ­¥ ° §¢¨¢ ¾² ¥£® ³¬, ­¥ ¦¥« ¾² ¨«¨ ­¥ ³¬¥¾² § ±² ¢¨²¼ ¥£® ³·¨²¼±¿.

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Š­¨£¨, ²° ª²³¾¹¨¥ ®¡ ¨±ª³±±²¢¥ ° ±±³¦¤ ²¼, ¯®«¥§­» «¨¸¼ ²¥¬, ª²® ¬®¦¥² ®¡®©²¨±¼ ¡¥§ ­¨µ. „'€« ¬¡¥°

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¥¥ ¢»¯°¿¬¨²¼. ®¢»¥ ¯®¨±ª¨ ¤ «¨ ¶¥«³¾ ª®°®¡ª³ ¯°¥ª° ±­»µ ±ª°¥¯®ª. ©­¸²¥©­ ±° §³ ¦¥ ¢§¿« ®¤­³ ¨ ¯°¨­¿«±¿ ¨§£®²®¢«¿²¼ ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¥ ¤«¿ ¯®·¨­ª¨ ±ª°¥¯ª¨-³°®¤¶ .   ¢®§£« ±  ±±¨±²¥­²  À—²® ‚» ¤¥« ¥²¥?Á ©­¸²¥©­. § ¬¥¸ª ¢¸¨±¼, ®²¢¥²¨«: À‚¨¤¨²¥, : : : ª®£¤  ¿ ±² ¢«¾ ¯¥°¥¤ ±®¡®© ¶¥«¼, ®²¢«¥·¼ ¬¥­¿ ®² ­¥¥ ¯®·²¨ ­¥¢®§¬®¦­®.Á  Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ±¢¥¤¥­¨¿ ¬®£³² ¯°¨¬¥­¿²¼±¿ ³¬¥«® ¨ ± ¯®«¼§®© ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ®­¨ ³±¢®¥­» ²¢®°·¥±ª¨, ² ª, ·²® ³· ¹¨©±¿ ¢¨¤¨² ± ¬, ª ª ¬®¦­® ¡»«® ¯°¨©²¨ ª ­¨¬ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®. €. . Š®«¬®£®°®¢   ±±ª §»¢ ¾² ¯°® ª ª®£®-²® ´¨«®±®´ , ·²® ®­, ¨¬¥¿ ¤¢³µ ³·¥­¨ª®¢ | ®¤­®£® ­¥±¯®±®¡­®£®,   ¤°³£®£® ¸ «®¢«¨¢®£®,| ¯°®£­ « ®¡®¨µ, ² ª ª ª ®¤¨­, ¦¥« ¿ ³·¨²¼±¿, ­¥ ¬®£,   ¤°³£®©, ¨¬¥¿ ±¯®±®¡­®±²¨, ­¥ ¦¥« «.  Œ®§£, µ®°®¸® ³±²°®¥­­»©, ±²®¨² ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬®§£, µ®°®¸® ­ ¯®«­¥­­»©. Œ®­²¥­¼ Ž¡®§­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¢¥²» ·¨² ²¥«¾

®¬¥°  § ¤ ·, ª ª®²®°»¬ ¢ ª®­¶¥ ª­¨£¨ ¥±²¼ ®²¢¥², ³ª § ­¨¥ ¨«¨ °¥¸¥­¨¥, ¢»¤¥«¥­» ª³°±¨¢®¬. ¥ª®²®°»¥ § ¤ ·¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ­®¬¥° (­ ¯°¨¬¥°, § ¤ ·¨ 81 ¨ 810 .) ’ ª ±¤¥« ­®, ª®£¤  ¯® ±³²¨ ½²® | ¢ °¨ ­²» ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ § ¤ ·¨. ‡¢¥§¤®·ª®© ¯®¬¥·¥­» § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ª ¦³²±¿ ¬­¥ ¡®«¥¥ ²°³¤­»¬¨. (‚¯°®·¥¬, ³ ª ¦¤®£® ·¥«®¢¥ª  ±¢®¨ ¯®­¿²¨¿ ® ²®¬, ·²® ²°³¤­®,   ·²® «¥£ª®.) ¥ ¢®¸¥¤¸¨¥ ¢ ½²³ ª­¨£³ °¥¸¥­¨¿ ¨ ³ª § ­¨¿,   ² ª¦¥ ¨««¾±²° ¶¨¨, ª®¬¬¥­² °¨¨ ¨ ¬­®£® ¤°³£¨µ ° §­»µ ¨­²¥°¥±­»µ § ¤ · ¬®¦­® ­ ©²¨ ­  ± ©²¥ ŒŒŒ” ¯®  ¤°¥±³ http://mmmf.math.msu.su Œ ²¥°¨ «» ¦³°­ «  ÀŠ¢ ­²Á ¬®¦­® ­ ©²¨ ­  ± ©²¥ http://kvant.mccme.ru 6

‡­ ª®¬±²¢®

’®², ª²® ­¥ §­ ¥² ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ­¥ ¬®¦¥² ³§­ ²¼ ­¨ª ª®© ¤°³£®© ­ ³ª¨ ¨ ¤ ¦¥ ­¥ ¬®¦¥² ®¡­ °³¦¨²¼ ±¢®¥£® ­¥¢¥¦¥±²¢ ,   ¯®²®¬³ ­¥ ¨¹¥² ®² ­¥£® «¥ª °±²¢ . ®¤¦¥° ½ª®­, 1267 £.

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2.

®·¥¬³ ¢®¤®¯°®¢®¤­»¥ ¨ ª ­ «¨§ ¶¨®­­»¥ «¾ª¨ ª°³£«»¥,   ­¥ ª¢ ¤° ²­»¥? 3. Œ®¦­® «¨ ¯°®°¥§ ²¼ ¢ ²¥²° ¤­®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨ ¤»°³, ¢ ª®²®°³¾ ¯°®«¥§¥² ¢§°®±«»© ·¥«®¢¥ª? 4.  ) ®«®¦¨²¥ ­  ±²®« 3 ±¯¨·ª¨, ·²®¡» £®«®¢ª¨ ­¥ ª ± «¨±¼ ±²®« .) ¡)  §°¥¦¼²¥ ²°¥³£®«¼­¨ª ­  4 ²°¥³£®«¼­¨ª , ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ®¡¹¨© ®²°¥§®ª £° ­¨¶» ± ª ¦¤»¬ ¨§ ²°¥µ ¤°³£¨µ. ¢)  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­  5 ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¥© ±²®°®­».y) ) ‘² ¢¨²¼ ±¯¨·ª¨ À¸ « ¸¨ª®¬Á ¨«¨ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ±²¥­ ¬¨, ±²³«¼¿¬¨ ¨ ²®¬³ ¯®¤®¡­»¬ § ¯°¥¹¥­®. ¥«¼§¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ª° © ±²®« , ±¢¥¸¨¢ ¿ ± ­¥£® £®«®¢ª¨ ±¯¨·¥ª. y)‘²®°®­  ®¤­®£® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ¬®¦¥² ¡»²¼ · ±²¼¾ ±²®°®­» ¤°³£®£®; ­¥«¼§¿ «¨¸¼ ¤®¯³±²¨²¼ ²®·­®£® ±®¢¯ ¤¥­¨¿ ±²®°®­.

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13.

®±«¥ 7 ±²¨°®ª ¤«¨­ , ¸¨°¨­  ¨ ¢»±®²  ª³±ª  ¬»«  ³¬¥­¼¸¨«¨±¼ ¢¤¢®¥.   ±ª®«¼ª® ±²¨°®ª µ¢ ²¨² ®±² ¢¸¥£®±¿ ª³±ª ? °¥¤«®¦¨« ·¥°² «®¤»°¾: \‚±¿ª¨© ° §, ª ª ¯¥°¥©¤¥¸¼ ½²®² ¢®«¸¥¡­»© ¬®±², ²¢®¨ ¤¥­¼£¨ ³¤¢®¿²±¿. ‡  ½²® ²», ¯¥°¥©¤¿ ¬®±², ¤®«¦¥­ ¡³¤¥¸¼ ®²¤ ²¼ ¬­¥ 24 ª®¯¥©ª¨." ’°¨¦¤» ¯¥°¥¸¥« «®¤»°¼ ¬®±² | ¨ ®±² «±¿ ±®¢±¥¬ ¡¥§ ¤¥­¥£. (’® ¥±²¼ ®²¤ « ¢ ²°¥²¨© ° § ·¥°²³ ²®·­® ²¥ 24 ª®¯¥©ª¨, ·²® ®ª § «¨±¼ ³ ­¥£® ª ½²®¬³ ¬®¬¥­²³.) ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¡»«® ³ ­¥£® ¯¥°¢®­ · «¼­®?  ¤ ®§¥° ¬¨ «¥²¥«¨ £³±¨.   ª ¦¤®¬ ± ¤¨« ±¼ ¯®«®¢¨­  £³±¥© ¨ ¥¹¥ ¯®«£³±¿, ®±² «¼­»¥ «¥²¥«¨ ¤ «¼¸¥. ‚±¥ ±¥«¨ ­  7 ®§¥° µ. ‘ª®«¼ª® ¡»«® £³±¥©? Œ®¦­® «¨ ®²¬¥°¨²¼ 8 «¨²°®¢ ¢®¤», ­ µ®¤¿±¼ ³ °³·¼¿ ¨ ¨¬¥¿ ¤¢  ¢¥¤°  ¢¬¥±²¨¬®±²¼¾ 15 «¨²°®¢ ¨ 16 «¨²°®¢ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®? Š³¯¥¶ ­  540 °³¡«¥© ª³¯¨« 138  °¸¨­ ±³ª­  (·¥°­®£® ¨ ±¨­¥£®). ‘ª®«¼ª® ª³¯¨« ®­ ·¥°­®£® ±³ª­  ¨ ±ª®«¼ª® ±¨­¥£®, ¥±«¨ ±¨­¥¥ ±²®¨«® 5 °³¡«¥© §   °¸¨­,   ·¥°­®¥ | 3 °³¡«¿ §   °¸¨­? ‡ ¤¥°¦ ­­»© ¯°¨§­ «±¿, ·²® ³ ­¥£® ²°¨ ±»­ , ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨µ ¢®§° ±²®¢ ° ¢­® 36,   ±³¬¬  ° ¢­  ·¨±«³ ®ª®­ ¤®¬ , ®ª®«® ª®²®°®£® ¯°®¨§®¸«® § ¤¥°¦ ­¨¥. Œ¨«¨¶¨®­¥° ±ª § «, ·²® ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢®§° ±²  ¤¥²¥© ½²®£® ­¥¤®±² ²®·­®. Š®£¤  § ¤¥°¦ ­­»© ¤®¡ ¢¨«, ·²® ¥£® ±² °¸¨© ±»­ °»¦¨©, ¬¨«¨¶¨®­¥° ®¯°¥¤¥«¨« ¢®§° ±²» ¤¥²¥©. ‘ª®«¼ª® ¨¬ ¡»«® «¥²? ‚ ª°³¦ª¥, £¤¥ § ­¨¬ ¥²±¿ Œ¨¸ , ¡®«¥¥ 93% ³· ±²­¨ª®¢ | ¤¥¢®·ª¨. —¥¬³ ° ¢­® ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢®§¬®¦­®¥ ·¨±«® ³· ±²­¨ª®¢? “ ˆ¢ ­  ¡»«® 3 «¥¯¥¸ª¨,   ³ ¥²°  | 4. °®µ®¦¨© ¯°¨±®¥¤¨­¨«±¿ ª ¨µ ²° ¯¥§¥, § ¯« ²¨¢ 7 ª®¯¥¥ª. ‚±¥ ¥«¨ ¯®°®¢­³. Š ª ±«¥¤³¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ ¥²°®¬ ¨ ˆ¢ ­®¬? ‚®² ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ ±³¹¥±²¢¨²¥«¼­»µ: nyrfa, korte, alma, almak, kortefa, nyrfak, almafa. € ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±±ª¨© ¿§»ª: ¡¥°¥§ , £°³¸ , ¿¡«®­¿, ¿¡«®ª®, ¡¥°¥§», ¿¡«®ª¨. (‡ ¬¥²¼²¥: ½²¨¬¨ ¸¥±²¼¾ °³±±ª¨¬¨ ±«®¢ ¬¨ ¯¥°¥¢¥¤¥­» ¢±¥ ±¥¬¼ ¢¥­£¥°±ª¨µ!) “±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ¢¥­£¥°±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 8

—¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»?

„ , ·²® §­ ¥¸¼ ¢ ¤¥²±²¢¥ | §­ ¥¸¼ ­  ¢±¾ ¦¨§­¼, ­® ¨: ·¥£® ­¥ §­ ¥¸¼ ¢ ¤¥²±²¢¥ | ­¥ §­ ¥¸¼ ­  ¢±¾ ¦¨§­¼. Œ. –¢¥² ¥¢ 

.   ¤¢³µ ¯®«ª µ 25 ª­¨£.   ®¤­®© ¨§ ­¨µ ­  3 ª­¨£¨ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ­  ¤°³£®©. ‘ª®«¼ª® ª­¨£ ­  ª ¦¤®© ¯®«ª¥? 15. “ Œ ¸¨, ‘ ¸¨ ¨ „ ¸¨ ¢¬¥±²¥ 11 ¢®§¤³¸­»µ ¸ °¨ª®¢. “ Œ ¸¨ ­  2 ¸ °¨ª  ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ³ „ ¸¨,   ³ ‘ ¸¨ ­  1 ¸ °¨ª ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ „ ¸¨. ‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ³ „ ¸¨? 16. ‘¥±² ¥° ³ ‚¨²¨ ­  ¤¢¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¡° ²¼¥¢.   ±ª®«¼ª® ¢ ½²®© ±¥¬¼¥ ¤¥¢®·¥ª ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬ «¼·¨ª®¢? 17. “ ¬ «¼·¨ª  ±²®«¼ª® ¦¥ ±¥±²¥°, ±ª®«¼ª® ¨ ¡° ²¼¥¢,   ³ ¥£® ±¥±²°» ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ ±¥±²¥°, ·¥¬ ¡° ²¼¥¢. ‘ª®«¼ª® ¢ ½²®© ±¥¬¼¥ ¬ «¼·¨ª®¢ ¨ ±ª®«¼ª® ¤¥¢®·¥ª? 18. “ ®¢¥¶ ¨ ª³° ¢¬¥±²¥ 36 £®«®¢ ¨ 100 ­®£. ‘ª®«¼ª® ®¢¥¶? 19. ‚®¢®·ª  ±®¡° « ¢ ª®°®¡ª³ ¦³ª®¢ ¨ ¯ ³ª®¢ | ¢±¥£® 8 ¸²³ª. …±«¨ ¢±¥£® ¢ ª®°®¡ª¥ 54 ­®£¨, ±ª®«¼ª® ² ¬ ¯ ³ª®¢? (“ ¦³ª  6 ­®£, ³ ¯ ³ª  | 8.) 20.   ¯®«¿­¥ °¥¡¿²  ¯ ±³² ¦¥°¥¡¿². …±«¨ ¯¥°¥±·¨² ²¼ ­®£¨ °¥¡¿² ¨ ¦¥°¥¡¿², ²® ¡³¤¥² 74,   ¥±«¨ ±·¨² ²¼ £®«®¢», ²® 22. ‘ª®«¼ª® ­  «³£³ ¦¥°¥¡¿²? 21. Ž¤¨­ ·¥«®¢¥ª ª³¯¨« 112 ¡ ° ­®¢ ±² °»µ ¨ ¬®«®¤»µ, § ¯« ²¨¢ §  ­¨µ 49 °³¡«¥© ¨ 20  «²»­. ‡  ª ¦¤®£® ±² °®£® ¡ ° ­  ®­ ¯« ²¨« 15  «²»­ ¨ 4 ¯®«³¸ª¨,   §  ¬®«®¤®£® | 10  «²»­. Cª®«¼ª® ª ª¨µ ¡ ° ­®¢ ¡»«® ª³¯«¥­®? (‚ ®¤­®¬  «²»­¥ 3 ª®¯¥©ª¨,   ¢ ®¤­®© ª®¯¥©ª¥ | 4 ¯®«³¸ª¨.) 14

22.

 ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ¢ ² ª®¬ ¯®°¿¤ª¥, ·²®¡» ¬¥¦¤³ ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ®ª § « ±¼ ®¤­  ¶¨´° , ¬¥¦¤³ ¤¢®©ª ¬¨ | ¤¢¥, ¬¥¦¤³ ²°®©ª ¬¨ | ²°¨,   ¬¥¦¤³ ·¥²¢¥°ª ¬¨ | ·¥²»°¥ ¶¨´°». 9

¥°¥¯° ¢»

Ž¡»·­»© ¬¥²®¤ ¯°¥®¤®«¥­¨¿ ²°³¤­®±²¨ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®¡» ®¡®©²¨ ¥¥.

23.

„¢®¥ ¬ «¼·¨ª®¢ ª ² «¨±¼ ­  «®¤ª¥. Š ¡¥°¥£³ ¯®¤®¸¥« ®²°¿¤ ±®«¤ ². ‹®¤ª  ² ª ¬ « , ·²® ­  ­¥© ¬®£«¨ ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ¤¢®¥ ¬ «¼·¨ª®¢ ¨«¨ ²®«¼ª® ®¤¨­ ±®«¤ ². ‘¬®£«¨ «¨ ±®«¤ ²» ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ·¥°¥§ °¥ª³? 24. Œ®¦¥² «¨ ª°¥±²¼¿­¨­ ¯¥°¥¢¥§²¨ ·¥°¥§ °¥ª³ ¢®«ª , ª®§³ ¨ ª ¯³±²³, ¥±«¨ ¢ «®¤ª³ ¢¬¥±²¥ ± ­¨¬ ¯®¬¥¹ ¥²±¿ ²®«¼ª® ¨«¨ ¢®«ª, ¨«¨ ª®§ , ¨«¨ ª ¯³±² ? (¥«¼§¿ ®±² ¢¨²¼ ¡¥§ ¯°¨±¬®²°  ­¨ ¢®«ª  ± ª®§®©, ­¨ ª®§³ ± ª ¯³±²®©.) 25. ® ¤«¨­­®¬³ ³§ª®¬³ ª ­ «³ ®¤¨­ §  ¤°³£¨¬ ¨¤³² ²°¨ ¯ °®µ®¤ .  ¢±²°¥·³ ¨¬ | ¥¹¥ ²°¨ ¯ °®µ®¤ . Š ­ « ² ª®© ³§ª¨©, ·²® ¤¢  ¯ °®µ®¤  ¢ ­¥¬ ° §º¥µ ²¼±¿ ­¥ ¬®£³², ­® ¢ ­¥¬ ¥±²¼ § «¨¢, £¤¥ ¬®¦¥² ¯®¬¥±²¨²¼±¿ ®¤¨­ ¯ °®µ®¤. Œ®£³² «¨ ®­¨ ° §º¥µ ²¼±¿?

-

-

- 

26.





‘¥¬¼¿ ­®·¼¾ ¯®¤®¸«  ª ¬®±²³.  ¯  ¬®¦¥² ¯¥°¥©²¨ ¥£® §  1 ¬¨­³²³, ¬ ¬  | §  2, ¬ «»¸ | §  5,   ¡ ¡³¸ª  | §  10 ¬¨­³². “ ­¨µ ¥±²¼ ®¤¨­ ´®­ °¨ª. Œ®±² ¢»¤¥°¦¨¢ ¥² ²®«¼ª® ¤¢®¨µ. Š ª ¨¬ ¯¥°¥©²¨ ¬®±² §  17 ¬¨­³²? (…±«¨ ¯¥°¥µ®¤¿² ¤¢®¥, ²® ®­¨ ¨¤³² ± ¬¥­¼¸¥© ¨§ ¨µ ±ª®°®±²¥©. „¢¨£ ²¼±¿ ¯® ¬®±²³ ¡¥§ ´®­ °¨ª  ­¥«¼§¿. ‘¢¥²¨²¼ ¨§¤ «¨ ­¥«¼§¿. ®±¨²¼ ¤°³£ ¤°³£  ­  °³ª µ ­¥«¼§¿. Š¨¤ ²¼±¿ ´®­ °¨ª®¬ ­¥«¼§¿.) 27.  °®­ Œ¾­µ£ ³§¥­ ¨ ¥£® ±«³£  ’®¬ ± ¯®¤®¸«¨ ª °¥ª¥.   ¡¥°¥£³ ®­¨ ®¡­ °³¦¨«¨ «®¤ª³, ±¯®±®¡­³¾ ¯¥°¥¢¥§²¨ «¨¸¼ ®¤­®£® ·¥«®¢¥ª . ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ®­¨ ¯¥°¥¯° ¢¨«¨±¼ ·¥°¥§ °¥ª³ ¨ ¯°®¤®«¦¨«¨ ¯³²¥¸¥±²¢¨¥. Œ®£«® «¨ ² ª ¡»²¼? 10

28 

. Œ®£³² «¨ ²°¨ °»¶ °¿, ª ¦¤»© ±® ±¢®¨¬ ®°³¦¥­®±¶¥¬, ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ·¥°¥§ °¥ª³ ­  ¤¢³µ¬¥±²­®© «®¤ª¥, ¥±«¨ ®°³¦¥­®±¶» ®²ª §»¢ ¾²±¿ ®±² ¢ ²¼±¿ ± ­¥§­ ª®¬»¬¨ °»¶ °¿¬¨ ¡¥§ ±¢®¨µ µ®§¿¥¢? ABCabc « A ABCa « bc B C ABCab « c a b c ABC « abc “ ª   §   ­ ¨ ¥. —²®¡» ­¥ § ¯³² ²¼-

±¿, ®¡®§­ ·¼²¥ °»¶ °¥© ¡³ª¢ ¬¨ ,

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®°³¦¥­®±¶¥¢

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°®¢¥¤¨²¥ · ¥°²®·-

ª¨, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ®¡®§­ · ²¼ °¥ª³.

¥ «¥­¨²¥±¼ ¿¢­® ¢»¯¨±»¢ ²¼ ¢±¥ ¯¥°¥¤¢¨¦¥­¨¿ «®¤ª¨, ª ¦¤»© ° § ®²¬¥· ¿, ª²® ­  ª ª®¬ ¡¥°¥£³. (  °¨±³­ª¥ | ®¤­® ¨§ °¥¸¥­¨©. — ±²¼ ±²°®ª,

::: ::: :::

·²®¡» ­¥ ¡»«® ±ª³·­®, ¯°®¯³¹¥­ .)

::: ::: ::: « ABCabc

29. ‚ «®¤ª¥, ¢¬¥¹ ¾¹¥© ²®«¼ª® ¤¢³µ ·¥«®¢¥ª, ·¥°¥§ °¥ª³ ¤®«¦­» ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿ ²°¨ ¬¨±±¨®­¥° ) ¨ ²°¨ ª ­­¨¡ « y) . Œ¨±±¨®­¥-

°» ¡®¿²±¿ ®±² ²¼±¿ ­  ª ª®¬-­¨¡³¤¼ ¡¥°¥£³ °¥ª¨ ¢ ¬¥­¼¸¨­±²¢¥. ’®«¼ª® ®¤¨­ ¬¨±±¨®­¥° ¨ ®¤¨­ ª ­­¨¡ « ³¬¥¾² £°¥±²¨. ®¬®£¨²¥ ¨¬ ¯¥°¥¯° ¢¨²¼±¿.

. …±«¨ ¡» ¸ª®«¼­¨ª ª³¯¨« 11 ²¥²° ¤¥©, ²® ³ ­¥£® ®±² «®±¼ ¡» 5 ª®¯¥¥ª. € ­  15 ²¥²° ¤¥© ³ ­¥£® ­¥ µ¢ ²¨«® 7 ª®¯¥¥ª. ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¡»«® ³ ¸ª®«¼­¨ª ? , 31. „¥±¿²¥°»¬ ¦¨¢®²­»¬ | ±®¡ ª ¬ ¨ ª®¸ª ¬ | ±ª®°¬¨«¨ 56 £ «¥². Š ¦¤®© ±®¡ ª¥ ¤®±² «®±¼ 6 £ «¥², ª ¦¤®© ª®¸ª¥ | 5. ‘ª®«¼ª® ¡»«® ±®¡ ª ¨ ±ª®«¼ª® ª®¸¥ª? 32. ‚ ¤¢³µ ¯ ·ª µ ¢±¥£® 30 ²¥²° ¤¥©. Š®£¤  ¨§ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¨ ¯¥°¥«®¦¨«¨ ¢® ¢²®°³¾ 2 ²¥²° ¤¨, ¢ ¯¥°¢®© ±² «® ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ ²¥²° ¤¥©, ·¥¬ ¢® ¢²®°®©. ‘ª®«¼ª® ²¥²° ¤¥© ¡»«® ¢ ª ¦¤®© ¯ ·ª¥? 30

   ¢ ® ¤ ¿ ¹ ¨ © ¢ ® ¯ ° ® ±. ‘ª®«¼ª® ±²®¿² 15

11 = 4 ²¥²° ¤¨?

) ‘«®¢® À¬¨±±¨®­¥°Á ¯°®¨§®¸«® ¨§ ´° ­¶³§±ª®£® missionnaire, ¢®§¬®¦-

­®, ·¥°¥§ ¯®±°¥¤±²¢® ­¥¬¥¶ª®£® Missionar. Ž§­ · ¥² | ¯°®¯®¢¥¤­¨ª, ¯®±« ­¥¶. y)Š ­­¨¡ « | «¾¤®¥¤.

11

¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª

„¥« ¿ ·²®-­¨¡³¤¼ ¡¥±¯®«¥§­®¥, ®£° ­¨·¨¢ ©²¥±¼ «¨¸¼ ± ¬»¬ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬.

r r r r r r r r r r r r r 6 r r r r4 r r r r r r r r r 2 r r r r4 8 r r r r4 r rr rr rr r r r r r r r r r r r 5 r r r r3 2 r r r r 4 3 r r r r3 r r r r r r r r r r r r r .   °¨±³­ª¥ ¨§ ±¯¨·¥ª ±«®¦¥­ ª¢ ¤° ² 3  3. “¡¥°¨²¥ r r r r 4 ±¯¨·ª¨, ·²®¡» ®±² «®±¼ 5 ª¢ ¤° ²®¢; r r r r 8 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ 2 ª¢ ¤° ² ; 6 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ 3 ª¢ ¤° ² . r r r . ¥°¥«®¦¨²¥ ³ª § ­­®¥ ±«¥¢  ­  °¨±³­ª µ ·¨±«® ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ ³ª § ­­®¥ ±¯° ¢  ·¨±«® ª¢ ¤° ²®¢. r r r r r r r r r r 2r r r r 4 4 r r r3 3 r r r3 r r r r r r ˜ ¬´®°

. “¡¥°¨²¥ ³ª § ­­®¥ ±«¥¢  ®² ª ¦¤®£® ¨§ °¨±³­ª®¢ ·¨±«® ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ®±² «®±¼ ³ª § ­­®¥ ±¯° ¢  ·¨±«® ª¢ ¤° ²®¢ ±® ±²®°®­®© ¢ ®¤­³ ±¯¨·ª³.)

33

34

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)

.

36

 ) ®«®¦¨²¥ 12 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ·¥²»°¥ ¬ «¥­¼ª¨µ ª¢ ¤° ²  ¨ ®¤¨­ ¡®«¼¸®©. ¡) ˆ§ 10 ±¯¨·¥ª ±®±² ¢¼²¥ ²°¨ ª¢ ¤° ² .

) ¨ª ª¨µ ¡®«² ¾¹¨µ±¿ ¡¥§ ¤¥«  ±¯¨·¥ª ­¥ ¤®«¦­® ¡»²¼!

12

Ž¡° ²­»© µ®¤

¥ ²® ·³¤® ¨§ ·³¤¥±, ·²® ³¯ « ¬³¦¨ª ± ­¥¡¥±,   ²® ·³¤® ¨§ ·³¤¥±, ª ª ®­ ²³¤  § «¥§!

. Ÿ § ¤³¬ « ·¨±«®, ³¬­®¦¨« ¥£® ­  ¤¢ , ¯°¨¡ ¢¨« ²°¨ ¨ ¯®«³·¨« 17. Š ª®¥ ·¨±«® ¿ § ¤³¬ «? 38. €« ¥¸  § ¤³¬ « ·¨±«®. Ž­ ¯°¨¡ ¢¨« ª ­¥¬³ 5, ¯®²®¬ ° §¤¥«¨« ±³¬¬³ ­  3, ³¬­®¦¨« ­  4, ®²­¿« 6, ° §¤¥«¨« ­  7 ¨ ¯®«³·¨« ·¨±«® 2. Š ª®¥ ·¨±«® § ¤³¬ « €«¥¸ ? 39. †¥­¹¨­  ±®¡° «  ¢ ± ¤³ ¿¡«®ª¨. —²®¡» ¢»©²¨ ¨§ ± ¤ , ¥© ¯°¨¸«®±¼ ¯°®©²¨ ·¥°¥§ 4 ¤¢¥°¨, ª ¦¤³¾ ¨§ ª®²®°»µ ®µ° ­¿« ±¢¨°¥¯»© ±²° ¦­¨ª, ®²¡¨° ¢¸¨© ¯®«®¢¨­³ ¿¡«®ª. „®¬®© ®­  ¯°¨­¥±«  10 ¿¡«®ª. ‘ª®«¼ª® ¿¡«®ª ¤®±² «®±¼ ±²° ¦­¨ª ¬? 40. Œ ¬  ¯®«®¦¨«  ­  ±²®« ±«¨¢» ¨ ±ª § «  ¤¥²¿¬, ·²®¡» ®­¨, ¢¥°­³¢¸¨±¼ ¨§ ¸ª®«», ° §¤¥«¨«¨ ¨µ ¯®°®¢­³. ¥°¢®© ¯°¨¸«  €­¿, ¢§¿«  ²°¥²¼ ±«¨¢ ¨ ³¸« . ®²®¬ ¢¥°­³«±¿ ¨§ ¸ª®«» ®°¿, ¢§¿« ²°¥²¼ ®±² ¢¸¨µ±¿ ±«¨¢ ¨ ³¸¥«. ‡ ²¥¬ ¯°¨¸¥« ‚¨²¿ ¨ ¢§¿« 4 ±«¨¢» | ²°¥²¼ ®² ·¨±«  ±«¨¢, ª®²®°»¥ ®­ ³¢¨¤¥«. ‘ª®«¼ª® ±«¨¢ ®±² ¢¨«  ¬ ¬ ? 41. ˆ§ ·¨±«  ¢»·«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°. ˆ§ ¯®«³·¥­­®£® ·¨±«  ¢­®¢¼ ¢»·«¨ ±³¬¬³ ¥£® (¯®«³·¥­­®£® ·¨±« ) ¶¨´°, ¨ ² ª ¤¥« «¨ ±­®¢  ¨ ±­®¢ . ®±«¥ ®¤¨­­ ¤¶ ²¨ ² ª¨µ ¢»·¨² ­¨© ¢¯¥°¢»¥ ¯®«³·¨«±¿ ­³«¼. ‘ ª ª®£® ·¨±«  ­ · «¨? 37

. Œ¨²¿ ¨ ‚¨²¿ ¢§¢¥±¨«¨ ±¢®¨ ¯®°²´¥«¨. ‚¥±» ¯®ª § «¨ 3 ª£ ¨ 2 ª£. Š®£¤  ®­¨ ¯®«®¦¨«¨ ¯®°²´¥«¨ ­  ¢¥±», ²¥ ¯®ª § «¨ 6 ª£. |  §¢¥ ¤¢  ¯«¾± ²°¨ ° ¢­® ¸¥±²¨?| ¢®±ª«¨ª­³« ‚¨²¿. | “ ¢¥±®¢ ±¤¢¨­³²  ¸ª « ,| ¤®£ ¤ «±¿ Œ¨²¿,| Ž­¨ ¯®ª §»¢ ¾² ¢¥±, ª®²®°»© ®²«¨· ¥²±¿ ­  ­¥ª®²®°³¾ ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ¢¥«¨·¨­³ ®² ¨±²¨­­®£®. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨«¨ ¯®°²´¥«¨ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥?

42

13

 ±±² ­®¢ª¨ ±ª®¡®ª ¨ §­ ª®¢

43.

44. 45. 46. 47.

.

48

.

49

50.

 ¡®² ¿ ­ ¤ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨, ¢±¥£¤  ¯®«¥§­® §­ ²¼ ®²¢¥².

 ±±² ¢¼²¥, £¤¥ ½²® ²°¥¡³¥²±¿, §­ ª¨  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨© ¨ ±ª®¡ª¨, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ¢¥°­»¥ ° ¢¥­±²¢ :  ) 4 4 4 4 = 5; ¡) 4 4 4 4 = 17; ¢) 4 4 4 4 = 20; £) 4 4 4 4 = 32; ¤) 4 4 4 4 = 64; ¥) 4 4 4 4 = 48;  ¥) 5 5 5 5 = 26; ¦) 5 5 5 5 = 30; §) 5 5 5 5 = 50; ¨) 5 5 5 5 = 55; ©) 5 5 5 5 = 120; ª) 5 5 5 5 = 130; «) 5 5 5 5 = 625; ¬) 5 5 5 5 = 111; ­) 5 5 5 5 = 2. ˆ±¯®«¼§®¢ ¢ °®¢­® ¯¿²¼ ° § ¶¨´°³ 3, §­ ª¨ ¤¥©±²¢¨© ¨ ±ª®¡ª¨, ¯°¥¤±² ¢¼²¥ «¾¡®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 0 ¤® 11. ,
, ˆ±¯®«¼§®¢ ¢ °®¢­® ¯¿²¼ ° § ¶¨´°³ 5, ¯°¥¤±² ¢¼²¥ «¾¡®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 0 ¤® 10. ,
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12 + 18 : 6 + 3 ±ª®¡ª¨, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼  ) ·¨±«® 50; ¡) ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¢®§¬®¦­®¥ ·¨±«®. “·¥­¨ª ­ ¯¨± « ¢»° ¦¥­¨¥ 6
8 + 20 : 4 , 2, §­ ·¥­¨¥ ª®²®°®£® ° ¢­® 58, ­® § ¡»« ¯®±² ¢¨²¼ ±ª®¡ª¨. ‘¤¥« ©²¥ ½²® §  ­¥£®. Œ¥¦¤³ ¶¨´° ¬¨ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ¨ 9, ­ ¯¨± ­­»¬¨ ¢ ³ª § ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¯®±² ¢¼²¥ §­ ª¨ ±«®¦¥­¨¿ ¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¨¬¥«® §­ ·¥­¨¥ 100. (ˆ±¯®«¼§®¢ ²¼ ±ª®¡ª¨ ­¥«¼§¿. Œ¥¦¤³ «¾¡»¬¨ ¤¢³¬¿ ±®±¥¤­¨¬¨ ¶¨´° ¬¨ ¤®«¦¥­ ±²®¿²¼ §­ ª À+Á ¨«¨ À
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60.

®«¼¸®©, §¥«¥­»©, ¦¨¢¥² ¯®¤ §¥¬«¥© ¨ ¯¨² ¥²±¿ ª ¬­¿¬¨. Š²® ½²®? 61. Ž±² ¯ ¥­¤¥° °¥¸¨« ¤ ²¼ ±¥ ­± ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¨£°» Š °¯®¢³ ¨ Š ±¯ °®¢³. Ž¤¨­ ¨§ ­¨µ ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ ¡¥«»¬¨,   ¤°³£®© | ·¥°­»¬¨. Ž±² ¯ ³¢¥°¥­, ·²® ®­ ¨«¨ ±¢¥¤¥² ¢­¨·¼¾ ®¡¥ ¯ °²¨¨, ¨«¨ ®¤­³ ¢»¨£° ¥². Š ª ®­ ±®¡¨° ¥²±¿ ¨£° ²¼? 62. “£ ¤ ©²¥ § ª®­®¬¥°­®±²¼ ´®°¬ ´¨£³°®ª °¨±³­ª . Š ª³¾ ´¨£³°ª³ ­ ¤® ¯®±² ¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥©? € ¯®±«¥ ­¥¥?

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63.

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21

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. ‘ª®«¼ª® ° § ª ­ ¨¡®«¼¸¥¬³ ®¤­®§­ ·­®¬³ ·¨±«³ ­ ¤® ¯°¨¡ ¢¨²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, ·²®¡» ¯®«³·¨²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ²°¥µ§­ ·­®¥? 92. “ €ª³«¨­» ¨ €­´¨±» ¤¥­¥£ ¯®°®¢­³. ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¤®«¦­  ¤ ²¼ ®¤­  ¨§ ­¨µ ¤°³£®©, ·²®¡» ³ €­´¨±» ±² «® ­  10 °³¡«¥© ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ €ª³«¨­»? 93. „¢  ¯ ª¥²  ¬®«®ª  ¨ ¯ ·ª  ²¢®°®£  ±²®¿² 94 ª®¯¥©ª¨. € ¤¢¥ ¯ ·ª¨ ²¢®°®£  ¨ ¯ ª¥² ¬®«®ª  ±²®¿² 80 ª®¯¥¥ª. —²® ¤®°®¦¥: ¯ ·ª  ²¢®°®£  ¨«¨ ¯ ª¥² ¬®«®ª ?   ±ª®«¼ª®? 94. ‚ §®®¬ £ §¨­¥ ¯°®¤ ¾² ¡®«¼¸¨µ ¨ ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶. ®«¼¸ ¿ ¯²¨¶  ¢¤¢®¥ ¤®°®¦¥ ¬ «¥­¼ª®©. Š³¯¨«¨ 5 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶ ¨ 3 ¬ «¥­¼ª¨µ. …±«¨ ¡» ¢¬¥±²® ½²®£® ª³¯¨«¨ 3 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶» ¨ 2 ¬ «¥­¼ª¨µ, ²® ¯®²° ²¨«¨ ¡» ­  20 °³¡«¥© ¬¥­¼¸¥. ‘ª®«¼ª® ±²®¨² ¡®«¼¸ ¿ ¯²¨¶ ? 95. ‘ª®«¼ª® ¤¥¤³¸ª¥ «¥², ±²®«¼ª® ¬¥±¿¶¥¢ ¢­³·ª¥. ‚¬¥±²¥ ¨¬ 91 £®¤. ‘ª®«¼ª® «¥² ¤¥¤³¸ª¥ ¨ ±ª®«¼ª® ¢­³·ª¥? 96. „¥¤³, ®²¶³ ¨ ±»­³ ¢¬¥±²¥ 100 «¥². Ž²¶³ ¨ ±»­³ ¢¬¥±²¥ 45 «¥². ‘»­ ­  25 «¥² ¬®«®¦¥ ®²¶ . ‘ª®«¼ª® ª®¬³ «¥²? 97. …±«¨ ª ¬®¨¬ ¤¥­¼£ ¬ ¤®¡ ¢¨²¼ ¯®«®¢¨­³ ¨µ, ¤  ¥¹ ¥ 10 °³¡«¥©, ²® ³ ¬¥­¿ ±² ­¥² 100 °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ³ ¬¥­¿ ¤¥­¥£? 98. „¥¤³ 64 £®¤ ,   ¢­³ª³ 16 «¥². 98.0 ¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥ —¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² ¤¥¤ ±² ­¥² 64 + x = 3(16 + x). ¢²°®¥ ±² °¸¥ ¢­³ª ? 99. ° ² ¢²°®¥ ¡®£ ·¥ ¬¥­¿, ®²¥¶ ¢²°®¥ ¡®£ ·¥ ¡° ² , ¤¥¤ ¢²°®¥ ¡®£ ·¥ ®²¶ ,   ³ ­ ± ¢¬¥±²¥ 1000 °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ³ ¬¥­¿ ¤¥­¥£? 91

22

100.

Š®°®¢  ¢·¥²¢¥°® ¤®°®¦¥ ±®¡ ª¨,   «®¸ ¤¼ ¢·¥²¢¥°® ¤®°®¦¥ ª®°®¢». ‘®¡ ª , ¤¢¥ ª®°®¢» ¨ «®¸ ¤¼ ±²®¿² 200 °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ±²®¨² ª®°®¢ ? 101. ‘»­ ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥ ®²¶ . 101.0 ‘»­ ¢²°®¥ ¬®«®¦¥ ®²®¤¨«±¿ ®­, ª®£¤  ®²¶³ ¡»«® ¶ . Š®£¤  ®²¶³ ¡»«® 40 «¥², 24 £®¤ . ‘ª®«¼ª® «¥² ±»­³? ±»­³ ¡»«® 3 £®¤ . ‘ª®«¼ª® «¥² ®²¶³? | ‘ª®«¼ª® ¡³¤¥² ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­ ¯«¾± ®¤¨­? | ¥ §­ ¾,| ®²¢¥²¨«  €«¨± ,| Ÿ ±¡¨« ±¼ ±® ±·¥² . | Ž­  ­¥ ³¬¥¥² ±ª« ¤»¢ ²¼. ‹¼¾¨± Š½°°®«, À°¨ª«¾·¥­¨¿ €«¨±» ¢ ‘²° ­¥ ·³¤¥±Á

.   ¤¢³µ °³ª µ 10 ¯ «¼¶¥¢. € ­  10 °³ª µ? 103. 3 ª³°¨¶» §  3 ¤­¿ ±­¥±«¨ 3 ¿©¶ . ‘ª®«¼ª® ¿¨¶ ±­¥±³² 12 ª³° §  12 ¤­¥©? 104. ¿²¼ °»¡ ª®¢ ±º¥«¨ ¯¿²¼ ±³¤ ª®¢ §  ¯¿²¼ ¤­¥©. ‡  ±ª®«¼ª® ¤­¥© ¤¥±¿²¼ °»¡ ª®¢ ±º¥¤¿² ¤¥±¿²¼ ±³¤ ª®¢? 105. ’°¨ §¥¬«¥ª®¯  §  2 · ±  ¢»°»«¨ 3 ¿¬». ‘ª®«¼ª® ¿¬ ¢»°®¾² 6 §¥¬«¥ª®¯®¢ §  5 · ±®¢?  106. 6 ª®±¶®¢ ¢»¯¨«¨ ¡®·®­®ª ª¢ ±  §  8 · ±®¢. ‘ª®«¼ª® ª®±¶®¢ §  3 · ±  ¢»¯¼¾² ² ª®© ¦¥ ¡®·®­®ª? 102

107

.  §°¥¦¼²¥ ´¨£³°» ­  ²°¥µª«¥²®·­»¥ ³£®«ª¨.

 )

¡)

23

‚®§° ±²»

¥ª ¿ ¤ ¬  ­  ¢®¯°®±, ±ª®«¼ª® ¥© «¥², ®²¢¥²¨« : \Š®£¤  ¿ ¢»µ®¤¨«  § ¬³¦, ¬³¦³ ¡»«® 40,   ¬­¥ 20. ‘¥©· ± ¥¬³ 60. ‡­ ·¨², ¬­¥ 30."

108. 109. 110.

111

112

.

.

113. 114

115

.

.

‘¥°¥¦¥ 11 «¥², ‚®¢¥ 1 £®¤. ‘ª®«¼ª® «¥² ¡³¤¥² ‘¥°¥¦¥, ª®£¤  ®­ ±² ­¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ ‚®¢»? …±«¨ ª ¯®«®¢¨­¥ ¬®¨µ «¥² ¯°¨¡ ¢¨²¥ 7, ²® ¯®«³·¨²¥ ¬®© ¢®§° ±² 13 «¥² ²®¬³ ­ § ¤. ‘ª®«¼ª® ¬­¥ «¥²?  ) Š®£¤  ®²¶³ ¡»«® 27 «¥², ±»­³ ¡»«® 3 £®¤ . ‘¥©· ± ±»­³ ¢ ²°¨ ° §  ¬¥­¼¸¥ «¥², ·¥¬ ®²¶³. ‘ª®«¼ª® «¥² ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ? ¡) ¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥ 27 + x = 3(x + 3). €¡¤³««  ¢·¥²¢¥°® ±² °¸¥ Œ µ¬³¤ . ‘³¬¬  ¨µ ¢®§° ±²®¢ | 50 «¥². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² €¡¤³««  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ Œ µ¬³¤ ? Ž²¥¶ ±² °¸¥ ±»­  ¢ 4 ° § . —¥°¥§ 20 «¥² ®­ ¡³¤¥² ±² °¸¥ ±»­  ¢ 2 ° § . ‘ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² ®²¶³? ¥ª²® ±ª § «: \Š®£¤  ¿ ¯°®¦¨¢³ ¥¹¥ ¯®«®¢¨­³, ¤  ²°¥²¼, ¤  ·¥²¢¥°²¼ ¬®¨µ «¥², ¬­¥ ±² ­¥² 100 «¥²." ‘ª®«¼ª® ¥¬³ «¥²? Œ®±ª¢  ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£  ­  556 «¥². ‚ 1981 £®¤³ Œ®±ª¢  ¡»«  ¢²°®¥ ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£ .  ) ‚ ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­  Œ®±ª¢  ¨ ¢ ª ª®¬ £®¤³ ®±­®¢ ­ ¥²¥°¡³°£? ¡) Š®£¤  Œ®±ª¢  ±² ­¥² °®¢­® ¢¤¢®¥ ±² °¸¥ ¥²¥°¡³°£ ? Ž²¶³ 32 £®¤ , ±»­³ 5 «¥². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® «¥² ®²¥¶ ¡³¤¥² ¢ 10 ° § ±² °¸¥ ±»­ ? x x x x x x x ,  ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥.

®²¶³ ¡³¤¥² 32 +

Ž¡®§­ ·¨¬ ¨±ª®¬»© ±°®ª ·¥°¥§ «¥²,   ±»­³ | (5 +

¡»²¼ ¢ 10 ° § ±² °¸¥ ±»­ , ²® 32 +

).

= 10(5 +

¥¸ ¿ ½²® ³° ¢­¥­¨¥, ¯®«³· ¥¬ ®²¢¥²:

.

‘¯³±²¿

«¥²

®±ª®«¼ª³ ®²¥¶ ¤®«¦¥­

=

).

2.

À—¥°¥§ ¬¨­³± 2

£®¤ Á ®§­ · ¥² À¤¢  £®¤  ­ § ¤Á. ‘®±² ¢«¿¿ ³° ¢­¥­¨¥, ¬» ­¥ ¤³¬ «¨ ® ²®¬, ·²® ¢®§° ±² ®²¶  ­¨ª®£¤  ¢ ¡³¤³¹¥¬ ­¥ ®ª ¦¥²±¿ ¢ 10 ° § ¡®«¼¸¥ ¢®§° ±²  ±»­ .

“° ¢­¥­¨¥ ®ª § «®±¼ ¢¤³¬·¨¢¥¥ ­ ± ¨ ¯®§ -

¡®²¨«®±¼ ®¡® ¢± ¥¬ ± ¬®.

24

. Ž²¶³ ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® ±»­³ ¨ ¤®·¥°¨ ¢¬¥±²¥; ±»­ ¢¤¢®¥ ±² °¸¥ ±¥±²°» ¨ ­  20 «¥² ¬®«®¦¥ ®²¶ . ‘ª®«¼ª® «¥² ¤®·¥°¨? 117. «¼¤ °³ ·¥°¥§ 2 £®¤  ¡³¤¥² ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¥¬³ ¡»«® 2 £®¤  ­ § ¤,   «¨­  ·¥°¥§ 3 £®¤  ¡³¤¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥, ·¥¬ ¡»«  3 £®¤  ­ § ¤. Š²® ¨§ ­¨µ ±² °¸¥? 118. Œ­¥ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® ‚ ¬ ²®£¤ , ª®£¤  ¬­¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª® ‚ ¬ ±¥©· ±. ‘ª®«¼ª® ¬­¥ «¥², ¥±«¨ ­ ¬ ¢¬¥±²¥ 70 «¥²? 116

) :

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. ‘®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³

Œ®© ¢®§° ±²

x y

‘¥©· ± ’®£¤ 

‚ ¸ ¢®§° ±²

y x=

2

®±·¨² ¢ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ ¢°¥¬¿, ®²¤¥«¿¾¹¥¥ À±¥©· ±Á ®² À²®£¤ Á, ±®±² ¢¨¬ ³° ¢­¥­¨¥:

x , y y , x; x y =

3 2

x

®·¥¢¨¤¥­:

119.

120

.

121

.

122

.

y

2

x y x y Š®£¤  Š®«¿ ¡»« ¬®«®¤, ª ª Ž«¿, £®¤®¬ ¬¥­¼¸¥ ¡»«® ²¥²³¸ª¥ ®«¥, ·¥¬ Š®«¥ ²¥¯¥°¼ ¢¬¥±²¥ ± Ž«¥©. ‘ª®«¼ª® «¥² ¡»«® Š®«¥, ª®£¤  ²¥²³¸ª  ®«¿ ¡»«  ¢ ¢®§° ±²¥ Š®«¨? €«¼´¨°¥ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® «¼¤ °³, ª®£¤  ®­  ¡»«  ¢ ¥£® ­»­¥¸­¥¬ ¢®§° ±²¥. Š®£¤  ®­ ¡³¤¥² ¢ ¥¥ ­»­¥¸­¥¬ ¢®§° ±²¥, ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 28 «¥². ‘ª®«¼ª® ±¥©· ± «¥² €«¼´¨°¥ ¨ ±ª®«¼ª® | «¼¤ °³? ˆ£­ ²³ ±¥©· ± ¢·¥²¢¥°® ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡»«® ¥£® ±¥±²°¥ ¢ ²®² ¬®¬¥­², ª®£¤  ®­  ¡»«  ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥ ¥£®. ‘ª®«¼ª® «¥² ±¥©· ± ˆ£­ ²³, ¥±«¨ ·¥°¥§ 15 «¥² ¥¬³ ¨ ±¥±²°¥ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² 100 «¥²? ž°¥ ¨ ž«¥ ±¥©· ± ¢¬¥±²¥ 26 «¥², ¯°¨·¥¬ ž«¥ ¢ ²°¨ ° §  ¬¥­¼¸¥ «¥², ·¥¬ ¡³¤¥² ž°¥ ²®£¤ , ª®£¤  ¨¬ ¢¬¥±²¥ ¡³¤¥² ¢ ¯¿²¼ ° § ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ž°¥ ±¥©· ±. ‘ª®«¼ª® «¥² ž°¥? ®²ª³¤ 

= 2

.

= 40 ,

‡­ ·¨²,

3

= 4

.

®±ª®«¼ª³

+

= 70 , ®²¢¥²

= 30 . Œ­¥ ±¥©· ± 40 «¥².

) À’®£¤ Á ®²­®±¨²±¿ ª® ¢°¥¬¥­¨, ª®£¤  ¬­¥ ¡»«® ±²®«¼ª® «¥², ±ª®«¼ª®

‚ ¬ ±¥©· ±.

25

‘ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼?

…±«¨ ¨§ ª­¨£¨ ¢»²¥ª ¥² ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯®³·¨²¥«¼­»© ¢»¢®¤, ½²® ¤®«¦­® ¯®«³· ²¼±¿ ¯®¬¨¬® ¢®«¨  ¢²®° , ¢ ±¨«³ ± ¬¨µ ¨§®¡° ¦¥­­»µ ´ ª²®¢. ƒ¨ ¤¥ Œ®¯ ±± ­

. ‚ ª®°®¡ª¥ «¥¦ ² 10 ª° ±­»µ ¨ 10 ±¨­¨µ ¢®§¤³¸­»µ ¸ °¨ª®¢. °®¤ ¢¥¶, ­¥ £«¿¤¿, ¤®±² ¥² ¯® ®¤­®¬³ ¸ °¨ª³. ‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»­³²»µ ¨§ ª®°®¡ª¨ ¸ °¨ª®¢ ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ¸«¨±¼ ¤¢  ¸ °¨ª  ®¤­®£® ¶¢¥² ? 124. ‘ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ­ ¤® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨ ± 7 ª° ±­»¬¨ ¨ 5 ±¨­¨¬¨ ª ° ­¤ ¸ ¬¨, ·²®¡» ¡»«® ¢§¿²® ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ª° ±­»µ ¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ²°¥µ ±¨­¨µ? 125. ‚ ¯ ª¥²¥ ¯¥°¥¬¥¸ «¨ ª®­´¥²» ²° ¥µ ±®°²®¢, ­¥° §«¨·¨¬»µ ­  ®¹³¯¼. Š ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® ª®­´¥² ­ ¤® ¢§¿²¼ ­ ³£ ¤ ¨§ ¯ ª¥² , ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢§¿²»µ ª®­´¥² ®¡¿§ ²¥«¼­® ¡»«¨ µ®²¿ ¡»  ) ¤¢¥; ¡) ²°¨ ®¤­®£® ±®°² ? 126. ‘ª®«¼ª® ª ° ­¤ ¸¥© ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ²¥¬­®²¥ ¨§ ª®°®¡ª¨, ¢ ª®²®°®© 10 ª° ±­»µ, 8 ±¨­¨µ, 8 §¥«¥­»µ ¨ 4 ¦¥«²»µ ª ° ­¤ ¸¥©, ·²®¡» ¢ ª®°®¡ª¥ § ¢¥¤®¬® ®±² «®±¼  ) ­¥ ¬¥­¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©? ¡) µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®¬³ ª ° ­¤ ¸³ ª ¦¤®£® ¶¢¥² ? ¢) ­¥ ¡®«¼¸¥ 6 ±¨­¨µ ª ° ­¤ ¸¥©? 127. ‚ ¿¹¨ª¥ 28 ª° ±­»µ, 20 §¥« ¥­»µ, 12 ¦¥«²»µ, 20 ±¨­¨µ, 10 ¡¥«»µ ¨ 10 ·¥°­»µ ¸ °¨ª®¢. ‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ­ ¤® ¢»² ¹¨²¼, ­¥ § £«¿¤»¢ ¿ ¢ ¿¹¨ª, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»² ¹¥­­»µ ¸ °¨ª®¢ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®ª § «®±¼ ­¥ ¬¥­¥¥ 15 ¸ °¨ª®¢ ®¤­®£® ¶¢¥² ? 123

   ¢ ® ¤ ¿ ¹ ¨ © ¢ ® ¯ ° ® ±.

‘ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢ ¬®¦¥² ¢»¡°®±¨²¼ ¨§

¿¹¨ª  § ¡° ¢¸¨©±¿ ¢ ­¥£® ­¥¤®¡°®¦¥« ²¥«¼, ·²®¡» ±°¥¤¨ ¢»¡°®¸¥­­»µ ­¥ ¡»«® 15 ®¤­®¶¢¥²­»µ ¸ °¨ª®¢?

128.

‚ ²¥¬­®© ª« ¤®¢®© ¢ ¡¥±¯®°¿¤ª¥ «¥¦ ² ¡®²¨­ª¨: 10 ¯ ° ·¥°­»µ ¨ 10 ¯ ° ª®°¨·­¥¢»µ. ‘ª®«¼ª® ¡®²¨­®ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» 26

±°¥¤¨ ­¨µ ®ª § « ±¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¯ °  («¥¢»© ¨ ¯° ¢»© ¡®²¨­®ª) ®¤­®£® ¶¢¥² ? (‚ ²¥¬­®²¥ ­¥«¼§¿ ®²«¨·¨²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¶¢¥² ¡®²¨­ª , ­® ¨ «¥¢»© ®² ¯° ¢®£®.) “ ª   §   ­ ¨ ¥. …±«¨ ¢®§¼¬ ¥¬ 20 ¡®²¨­®ª, ²® ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿, ·²® ¢±¥ ®­¨ ­  «¥¢³¾ ­®£³:

10 «¥¢»µ ª®°¨·­¥¢»µ ¨ 10 «¥¢»µ · ¥°­»µ.

‡­ ·¨², ­ ¤® ¢§¿²¼ 21 ¡®²¨­®ª. Ž±² «®±¼ ¯®­¿²¼, ¯®·¥¬³ ¯°¨ «¾¡®¬ ±¯®±®¡¥ ¢»¡®°  21 ¡®²¨­ª  ¨§ 40 ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ­ ©¤ ¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¯ ° . ²® ª ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬. ® ª ª ³¡¥¤¨²¥«¼­® ¨ ­¥¬­®£®±«®¢­® ®¡®±­®¢ ²¼ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥?

. ‚ £®±²¨ ¯°¨¸«® 6 ·¥«®¢¥ª ¢ £ «®¸ µ ° §­®£® ° §¬¥° .  ±µ®¤¨«¨±¼ ¯® ®¤­®¬³, ¨ ­¥ª®²®°»¥ ­ ¤¥¢ «¨ £ «®¸¨ ¡®«¼¸¥£® ° §¬¥° . ‘ª®«¼ª® ¬®£«® ®±² ²¼±¿ £®±²¥©, ­¥ ±³¬¥¢¸¨µ ­ ¤¥²¼ £ «®¸¨? € ¥±«¨ £®±²¥© ­¥ 6,   17? 130. ‚¨­­¨-³µ, ¿² ·®ª, Š°®«¨ª ¨ ®±«¨ª ˆ -ˆ  ±º¥«¨ 70 ¡ ­ ­®¢, ¯°¨·¥¬ ª ¦¤®¬³ ±ª®«¼ª®-²® ¤®±² «®±¼. ‚¨­­¨-³µ ±º¥« ¡®«¼¸¥ ª ¦¤®£® ¨§ ®±² «¼­»µ,   Š°®«¨ª ¨ ¿² ·®ª ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ 45 ¡ ­ ­®¢. ‘ª®«¼ª® ¡ ­ ­®¢ ¤®±² «®±¼ ®±«¨ª³? 129

„ ¦¥ ¥±«¨ ®¡º¿±­¥­¨¥ ­ ±²®«¼ª® ¿±­®, ·²® ¨±ª«¾· ¥² ¢±¿ª®¥ «®¦­®¥ ²®«ª®¢ ­¨¥, ¢±¥ ° ¢­® ­ ©¤¥²±¿ ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ¢±¥ ¯¥°¥¯³² ¥².

131.

‚ ¯®£°¥¡¥ 8 ¡ ­®ª ª«³¡­¨·­®£® ¢ °¥­¼¿, 7 ¬ «¨­®¢®£® ¨ 5 ¢¨¸­¥¢®£®. ‘ª®«¼ª® ¡ ­®ª ¬®¦­® ¢ ²¥¬­®²¥ ¢»­¥±²¨ ¨§ ¯®£°¥¡  ± ³¢¥°¥­­®±²¼¾, ·²® ² ¬ ®±² ­³²±¿ ¥¹¥ µ®²¿ ¡» 4 ¡ ­ª¨ ®¤­®£® ±®°²  ¢ °¥­¼¿ ¨ 3 ¡ ­ª¨ ¤°³£®£®? 132. Š ª®¥ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ´¨¸¥ª ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» ¯°¨ «¾¡®© ¨µ ° ±±² ­®¢ª¥ ­  ª«¥²ª µ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢±²°¥²¨«¨±¼ ¡» 4 ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ¤°³£ §  ¤°³£®¬ ¯® £®°¨§®­² «¨? 133. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¬®¦­® ®²¬¥²¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ·²®¡» ±°¥¤¨ ®²¬¥·¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ¡»«® ±®±¥¤­¨µ (­¨ ¯® ±²®°®­¥, ­¨ ¯® ¢¥°¸¨­¥) ¨ ·²®¡» ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª ½²¨¬ ª«¥²ª ¬ «¾¡®© ¤°³£®© ª«¥²ª¨ ­ °³¸ «® ¡» ½²® ³±«®¢¨¥? 27

ƒ®­ª¨

Š®° ¡«¼ ­  ¬¥«¨ | ¬®°¿ª³ ¬ ¿ª. (ƒ®«« ­¤±ª ¿ ¯®±«®¢¨¶ )

134.

135 136

137

138

139

.

.

.

.

.

140

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141

.

Œ ¸¨­  ¥¤¥² ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·.   ±ª®«¼ª® ±«¥¤³¥² ³¢¥«¨·¨²¼ ±ª®°®±²¼, ·²®¡» ¢»¨£° ²¼ ­  ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ ¯® ®¤­®© ¬¨­³²¥? Œ¥¦¤³ «¨±®© ¨ § ©¶¥¬ 10 ¬. Š®£¤  «¨±  ¯®©¬ ¥² § ©¶ , ¥±«¨ ®­  ¡¥¦¨² ±® ±ª®°®±²¼¾ 8 ¬/±,   ®­ | ±® ±ª®°®±²¼¾ 7 ¬/±? ®±« ­ ·¥«®¢¥ª ¨§ Œ®±ª¢» ¢ ‚®«®£¤³, ¨ ¯°®µ®¤¨² ®­ ª ¦¤»© ¤¥­¼ 40 ¢¥°±².   ±«¥¤³¾¹¨© ¤¥­¼ ¢±«¥¤ ¯®±« ­ ¤°³£®© ·¥«®¢¥ª, ¯°®µ®¤¿¹¨© 45 ¢¥°±² ¢ ¤¥­¼. Š®£¤  ¢²®°®© ¤®£®­¨² ¯¥°¢®£®? ‚ ¤­¥¢­¨ª¥ ³ ‚®¢®·ª¨ ³¦¥ § ¯¨± ­® 200 § ¬¥· ­¨©,   ³ Œ ¸¥­¼ª¨ | 112. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ­¥¤¥«¼ ®­¨ ±° ¢­¿¾²±¿, ¥±«¨ Œ ¸¥­¼ª  ¯®«³· ¥² ­  22 § ¬¥· ­¨¿ ¢ ­¥¤¥«¾ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ‚®¢®·ª ? Ÿ ¨¤³ ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» 30 ¬¨­³²,   ¬®© ¡° ² | 40 ¬¨­³². —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¿ ¤®£®­¾ ¡° ² , ¥±«¨ ®­ ¢»¸¥« ¨§ ¤®¬  ­  5 ¬¨­³² ° ­¼¸¥ ¬¥­¿?  ±± ¦¨°, ¯°®¥§¦ ¿ ¢ ²° ¬¢ ¥, § ¬¥²¨« §­ ª®¬®£®, ª®²®°»© ¸¥« ¢¤®«¼ «¨­¨¨ ²° ¬¢ ¿ ¢ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­³¾ ±²®°®­³. —¥°¥§ 10 ±¥ª³­¤ ¯ ±± ¦¨° ¢»¸¥« ¨§ ²° ¬¢ ¿ ¨ ¯®¸¥« ¤®£®­¿²¼ ±¢®¥£® §­ ª®¬®£®. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ±¥ª³­¤ ®­ ¤®£®­¨² §­ ª®¬®£®, ¤¢¨£ ¿±¼ ¢ ¤¢  ° §  ¡»±²°¥¥ §­ ª®¬®£® ¨ ¢ ¯¿²¼ ° § ¬¥¤«¥­­¥¥ ²° ¬¢ ¿? ƒ°³§®¢¨ª ¯°®¥§¦ ¥² ­¥ª®²®°®¥ ° ±±²®¿­¨¥ §  10 · ±®¢. …±«¨ ¡» ®­ ¯°®¥§¦ « ¢ · ± ­  10 ª¬ ¡®«¼¸¥, ²® ²®² ¦¥ ¯³²¼ § ­¿« ¡» 8 · ±®¢. Š ª®¢  ±ª®°®±²¼ £°³§®¢¨ª ? „¢   ¢²®¬®¡¨«¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¥µ «¨ ¨§ ¯³­ª²®¢ € ¨ ‚ ­ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³. —¥°¥§ 7 · ±®¢ ¥§¤» ®­¨ ­ µ®¤¨«¨±¼ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 136 ª¬ ®¤¨­ ®² ¤°³£®£®.  ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ € ¨ ‚ , ¥±«¨ ¢±¥ ° ±±²®¿­¨¥ ®¤¨­  ¢²®¬®¡¨«¼ ¬®¦¥² ¯°®¥µ ²¼ §  10 · ±®¢,   ¤°³£®© | §  12. 28

. ‡  5 · ±®¢ ¬®²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥§¦ ¥² ­  259 ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² §  4 · ± . ‡  10 · ±®¢ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®¥§¦ ¥² ­  56 ª¬ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬®²®¶¨ª«¨±² §  2 · ± . Ž¯°¥¤¥«¨²¥ ±ª®°®±²¼ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² . 143. ˆ§ £®°®¤®¢ A ¨ B ­ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³ ¢»¥µ «¨ ¤¢   ¢²®¬®¡¨«¿ ¨ ¢±²°¥²¨«¨±¼ ·¥°¥§ 8 · ±®¢. …±«¨ ¡» ±ª®°®±²¼  ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ A , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  14%,   ±ª®°®±²¼  ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ B , ¡»«  ¡®«¼¸¥ ­  15%, ²® ¢±²°¥·  ¯°®¨§®¸«  ¡» ·¥°¥§ 7 · ±®¢. ‘ª®°®±²¼ ª ª®£®  ¢²®¬®¡¨«¿ ¡®«¼¸¥ ¨ ¢® ±ª®«¼ª® ° §? 144. °®©¤¿ 3=8 ¤«¨­» ¬®±² , ®±«¨ª ˆ -ˆ  § ¬¥²¨«  ¢²®¬®¡¨«¼, ¯°¨¡«¨¦ ¾¹¨©±¿ ±® ±ª®°®±²¼¾ 60 ª¬/·. …±«¨ ®±«¨ª ¯®¡¥¦¨² ­ § ¤, ²® ¢±²°¥²¨²±¿ ±  ¢²®¬®¡¨«¥¬ ¢ ­ · «¥ ¬®±² ; ¥±«¨ ¢¯¥°¥¤,  ¢²®¬®¡¨«¼ ­ £®­¨² ¥£® ¢ ª®­¶¥ ¬®±² . ‘ ª ª®© ±ª®°®±²¼¾ ¡¥£ ¥² ˆ -ˆ ? 145. „®°®£  ®² ¤®¬  ¤® ¸ª®«» § ­¨¬ ¥² ³ ‚®¢» 20 ¬¨­³². Ž¤­ ¦¤» ®­ ¯® ¤®°®£¥ ¢ ¸ª®«³ ¢±¯®¬­¨«, ·²® § ¡»« ¤®¬  °³·ª³. ‚®¢  §­ «, ·²® ¥±«¨ ®­ ¯°®¤®«¦¨² ¯³²¼ ¢ ¸ª®«³ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾, ²® ¯°¨¤¥² ²³¤  §  8 ¬¨­³² ¤® §¢®­ª ,   ¥±«¨ ¢¥°­¥²±¿ ¤®¬®© §  °³·ª®©, ²®, ¤¢¨£ ¿±¼ ± ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¼¾, ®¯®§¤ ¥² ª ­ · «³ ³°®ª  ­  10 ¬¨­³². Š ª³¾ · ±²¼ ¯³²¨ ®­ ¯°®¸¥«? 146. ®¥§¤ ¯°®µ®¤¨²) ¬®±² ¤«¨­®© 450 ¬¥²°®¢ §  ¬¨­³²³ ¨ ¯®«¬¨­³²» ¨¤¥² ¬¨¬® ²¥«¥£° ´­®£® ±²®«¡ .  ©¤¨²¥ ¤«¨­³ ¨ ±ª®°®±²¼ ¯®¥§¤ . 147. ¥«ª  §  20 ¬¨­³² ¯°¨­®±¨² ®°¥µ ¢ £­¥§¤®. ‘ª®«¼ ¤ «¥ª® ° ±¯®«®¦¥­ ®°¥¸­¨ª ®² £­¥§¤ , ¥±«¨ ­ «¥£ª¥ ¡¥«ª  ¡¥¦¨² ±® ±ª®°®±²¼¾ 5 ¬/±,   ± ®°¥µ®¬ | 3 ¬/±? 148.   ¤®°®£¥, ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¤¢   ³« , ­¥² °®¢­»µ ³· ±²ª®¢. €¢²®¡³± ¥¤¥² ¢ £®°³ ±® ±ª®°®±²¼¾ 15 ª¬/·,   ¯®¤ £®°³ | 30 ª¬/·. ³²¼ ²³¤  ¨ ®¡° ²­®  ¢²®¡³± ¯°®¥§¦ ¥² §  4 · ±  ¡¥§ ®±² ­®¢®ª.  ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³  ³« ¬¨. 142

) ‘·¨² ¿ ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±², ¤® ¬®¬¥­² ,

ª®£¤  ®­ ¶¥«¨ª®¬ ±º¥µ « ± ­¥£®.

29

— ¥²­®±²¼

Ÿ ¤¥« ¾ ¨§ ¬³µ¨ ±«®­ , ­® ¬³µ  ¤®«¦­  ¡»²¼ ­ ±²®¿¹¥©. ” §¨«¼ ˆ±ª ­¤¥°

. °¥¤±² ¢¼²¥ ª ¦¤®¥ ¨§ ·¨±¥« 1101 ¨ ,1101 ¢ ¢¨¤¥  ) 2n + 1; ¡) 2n , 1; ¢) 2n + 333. 150. °®¨§¢¥¤¥­¨¥ «¾¡»µ ¤¢³µ ­¥· ¥²­»µ ·¨±¥« ­¥·¥²­®,   ±³¬¬  ¤¢³µ ­¥·¥²­»µ ·¨±¥« | ·¥²­ . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 151. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ±³¬¬  ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­¥· ¥²­ , ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ½²¨µ ·¨±¥« ·¥²­®. 152.  §­®±²¼ ¤¢³µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ³¬­®¦¨«¨ ­  ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥. Œ®£«¨ «¨ ¯®«³·¨²¼ ·¨±«® 110 618 110 145 210 181 543? 153. „¢ ¤¶ ²¼ «¥² ²®¬³ ­ § ¤ ¢ µ®¤³ ¡»«¨ ª³¯¾°» ¤®±²®¨­±²¢®¬ 1, 3, 5, 10 ¨ 25 °³¡«¥©. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ 25 °³¡«¥© ° §¬¥­¿«¨ ¤¥±¿²¼¾ ² ª¨¬¨ ª³¯¾° ¬¨, ²® µ®²¿ ¡» ®¤­  ¨§ ½²¨µ ¤¥±¿²¨ ª³¯¾° | ¤¥±¿²ª . 154. — ¥²®¢  ¯¨¸¥² ­  ¤®±ª³ ®¤­® ¶¥«®¥ ·¨±«®,   ¥·¥²®¢ | ¤°³£®¥. …±«¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ·¥²­®, ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¾² —¥²®¢³, ¥±«¨ ­¥·¥²­®, ²® ¥·¥²®¢ . Œ®¦¥² «¨ ª²®-²® ¨§ ­¨µ ¨£° ²¼ ² ª, ·²®¡» ­¥¯°¥¬¥­­® ¢»¨£° ²¼? 155. ® ª°³£³ § ¶¥¯«¥­» 9 ¸¥±²¥° ¥­®ª: ¯¥°¢ ¿ ±® ¢²®°®©, ¢²®° ¿ ± ²°¥²¼¥©, : : : , ¤¥¢¿² ¿ ± ¯¥°¢®©. Œ®£³² «¨ ®­¨ ¢° ¹ ²¼±¿? 156.   °¨±³­ª¥ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¢±¥ ±²®°®­» ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª . Œ®¦¥² «¨ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥±¥ª ²¼ ¢±¥ ±²®°®­» 11-³£®«¼­¨ª , ­¥ ¯°®µ®¤¿ ­¨ ·¥°¥§ ®¤­³ ¥£® ¢¥°¸¨­³? 157. 100 ´¨¸¥ª ¯®±² ¢«¥­» ¢ °¿¤.  §°¥¸¥­® ¬¥­¿²¼ ¬¥±² ¬¨ «¾¡»¥ ¤¢¥ ´¨¸ª¨, ±²®¿¹¨¥ ·¥°¥§ ®¤­³. Œ®¦­® «¨ ¯®±² ¢¨²¼ ´¨¸ª¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥? 149

30

. ‚ °®²¥ 100 ·¥«®¢¥ª. Š ¦¤³¾ ­®·¼ ¤¥¦³°¿² ²°®¥. Œ®¦­® «¨ ² ª ®°£ ­¨§®¢ ²¼ ¤¥¦³°±²¢®, ·²®¡» ·¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ª ¦¤»© ¥¤¨­®¦¤» ¯®¤¥¦³°¨« ± ª ¦¤»¬? 159. ¨ª®« © ± ±»­®¬ ¨ ¥²° ± ±»­®¬ ¡»«¨ ­  °»¡ «ª¥. ¨ª®« © ¯®©¬ « ±²®«¼ª® ¦¥ °»¡, ±ª®«¼ª® ¥£® ±»­,   ¥²° | ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¥£® ±»­. ‚±¥£® ¯®©¬ «¨ 25 °»¡. ‘ª®«¼ª® °»¡ ¯®©¬ « ¨ª®« ©? 160. ‚ °¿¤ ¢»¯¨± ­» ·¨±«  ®² 1 ¤® 10. Œ®¦­® «¨ ° ±±² ¢¨²¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ §­ ª¨ À+Á ¨ À , Á ² ª, ·²®¡» §­ ·¥­¨¥ ¯®«³·¥­­®£® ¢»° ¦¥­¨¿ ¡»«® ° ¢­® ­³«¾? 161. Œ®¦­® «¨ ±²¥°¥²¼ ®¤­® ¨§ ¤ ­­»µ  ) 1992; ¡) 1993 ¶¥«»µ ·¨±¥« ² ª, ·²®¡» ±³¬¬  ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¨±¥« ¡»«  ·¥²­ ? 162. Œ®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  1, 2, : : : , 21 ° §¡¨²¼ ­  ­¥±ª®«¼ª® £°³¯¯, ¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®²®°»µ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ° ¢­® ±³¬¬¥ ¢±¥µ ®±² «¼­»µ ·¨±¥« ½²®© £°³¯¯»? 163. „ ­» ¸¥±²¼ ·¨±¥«: 1, 2, 3, 4, 5, 6.  §°¥¸¥­® ª «¾¡»¬ ¤¢³¬ ·¨±« ¬ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ¯® ¥¤¨­¨¶¥. Œ®¦­® «¨ ±¤¥« ²¼ ¢±¥ ·¨±«  ° ¢­»¬¨? 164.   99 ª °²®·ª µ ¯¨¸³² ·¨±«  1, 2, : : : , 99, ¯¥°¥¬¥¸¨¢ ¾² ¨µ, ° ±ª« ¤»¢ ¾² ·¨±²»¬¨ ±²®°®­ ¬¨ ¢¢¥°µ ¨ ±­®¢  ¯¨¸³² ·¨±«  1, 2, : : : , 99. „«¿ ª ¦¤®© ª °²®·ª¨ ±ª« ¤»¢ ¾² ¤¢  ¥¥ ·¨±«  ¨ 99 ¯®«³·¥­­»µ ±³¬¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¾². „®ª ¦¨²¥, ·²® °¥§³«¼² ² ·¥²¥­. 165.   ª³¡¥ ®²¬¥·¥­» ¢¥°¸¨­» ¨ ¶¥­²°» £° ­¥©,   ² ª¦¥ ¯°®¢¥¤¥­» ¤¨ £®­ «¨ ¢±¥µ £° ­¥©. Œ®¦­® «¨ ¯® ®²°¥§ª ¬ ¤¨ £®­ «¥© ®¡®©²¨ ¢±¥ ®²¬¥·¥­­»¥ ²®·ª¨, ¯®¡»¢ ¢ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ °®¢­® ¯® ®¤­®¬³ ° §³? 166.   ­¥ª®²®°®¬ ¯®«¥ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ±²®¨² ª®°®«¼. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ¥£® ¯® ¤®±ª¥. ‡ ¯°¥¹¥­® ¢®§¢° ¹ ²¼ ª®°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ®­ ²®«¼ª® ·²® ¡»«. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®² ¨£°®ª, ª²® ¯®±² ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥, £¤¥ ª®°®«¼ ª®£¤ -²® ³¦¥ ¯®¡»¢ «. Š²® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ¯®¡¥¤³ ¯°¨ «¾¡®© ¨£°¥ ¯°®²¨¢­¨ª ? 158

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‹®£¨ª 

€ ·²® ³ ¬³µ ¢±¥£¤  ¢¨¤ ¯ ±¬³°­»© ¡»¢ ¥², ˆ · ±²® £®«®¢  ­®£®¾ ¯®¤¯¥°² , ˆ ¡°®¢¼ ­ ±³¯«¥­ , ²®¬³ ¯°¨·¨­  ² , —²® ¬³µ¨ ¬­®£® ° §³¬¥¾² ˆ ¢ £«³¡¨­³ ¢¥¹¥© ±² ° ¾²±¿ ¢µ®¤¨²¼, € ­¥ ®¤­¨ ¢¥°¸ª¨ ³·¥­®±²¨ ±µ¢ ²¨²¼. ˆ¢ ­ •¥¬­¨¶¥°

. ‚±²°¥²¨«¨±¼ ²°¨ ¤°³£ : ¥«®¢, —¥°­®¢ ¨ »¦®¢. \‚®«®±» ®¤­®£® ¨§ ­ ± ¡¥«»¥, ¤°³£®£® | ·¥°­»¥, ²°¥²¼¥£® | °»¦¨¥, ­® ­¨ ³ ª®£® ¶¢¥² ¢®«®± ­¥ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´ ¬¨«¨¨", | § ¬¥²¨« ·¥°­®¢®«®±»©. \’» ¯° ¢", | ¯®¤²¢¥°¤¨« ¥«®¢. Š ª¨¥ ³ ª®£® ¢®«®±»? 168. ‡  ±³²ª¨ ¤® ¤®¦¤¿ ¥²¨­ ª®² ¢±¥£¤  ·¨µ ¥². ‘¥£®¤­¿ ª®² ·¨µ­³«. \‡ ¢²°  ¡³¤¥² ¤®¦¤¼",| ¯®¤³¬ « ¥²¿. ° ¢ «¨ ®­? 169. ¿¤®¬ ±¨¤¿² ¬ «¼·¨ª ¨ ¤¥¢®·ª . | Ÿ ¬ «¼·¨ª,| £®¢®°¨² ·¥°­®¢®«®±»© °¥¡¥­®ª. | Ÿ ¤¥¢®·ª ,| £®¢®°¨² °»¦¨© °¥¡¥­®ª. …±«¨ µ®²¿ ¡» ª²®-²® ¨§ ­¨µ ¢°¥², ª²® ¬ «¼·¨ª,   ª²® ¤¥¢®·ª ? 170. ‚ ²¥²° ¤¨ ­ ¯¨± ­® 100 ³²¢¥°¦¤¥­¨©: ‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ®¤­® «®¦­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ¤¢  «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚ ½²®© ²¥²° ¤¨ °®¢­® ±²® «®¦­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©. Š ª®¥ ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¢¥°­®? 171.  ) ‚ ª®°®¡ª¥ ª ° ­¤ ¸¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®© ¤«¨­» ¨ ­¥ ¢±¥ ®¤­®£® ¶¢¥² . „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±²¼ ¤¢  ª ° ­¤ ¸ , ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ¨ ¯® ¶¢¥²³, ¨ ¯® ¤«¨­¥. ¡) ‚ ¬ £ §¨­ ¯°¨¢¥§«¨ ¯« ²¼¿ ²° ¥µ ¶¢¥²®¢ ¨ ²°¥µ ´ ±®­®¢. Œ®¦­® «¨ ¢»¡° ²¼ ¤«¿ ¢¨²°¨­» 3 ¯« ²¼¿, ·²®¡» ¡»«¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­» ¢±¥ ¶¢¥²  ¨ ´ ±®­»? 167

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172.

173

.

174.

175

176

.

.

| “ ‚®¢» ¡®«¼¸¥ ²»±¿·¨ ª­¨£, | ±ª § « ‚ ­¿. | ¥², ª­¨£ ³ ­¥£® ¬¥­¼¸¥ ²»±¿·¨,| ¢®§° §¨«  €­¿. | Ž¤­ -²® ª­¨£  ³ ­¥£® ­ ¢¥°­¿ª  ¥±²¼,| ±ª § «  Œ ­¿. …±«¨ ¨±²¨­­® ²®«¼ª® ®¤­® ¨§ ½²¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ±ª®«¼ª® ª­¨£ ³ ‚®¢»? Ž¤¨­ ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ A , B , C ¢±¥£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¤°³£®© ¢±¥£¤  ¢°¥²,   ²°¥²¨© µ¨²°¥¶ | ¨­®£¤  £®¢®°¨² ¯° ¢¤³, ¨­®£¤  ¢°¥².   ¢®¯°®± ÀŠ²® B ?Á ®­¨ ®²¢¥²¨«¨: A : | ‹¦¥¶. B : | Ÿ µ¨²°¥¶! C : | €¡±®«¾²­® ·¥±²­»© ¯®¯³£ ©. Š²® ¨§ ¯®¯³£ ¥¢ «¦¥¶,   ª²® µ¨²°¥¶? „® ¶ °¿ ¤®¸«  ¢¥±²¼, ·²® ª²®-²® ¨§ ²°¥µ ¡®£ ²»°¥© ³¡¨« ‡¬¥¿ ƒ®°»­»· . °¨ª § « ¶ °¼ ¨¬ ¿¢¨²¼±¿ ª® ¤¢®°³. Œ®«¢¨«¨ ¡®£ ²»°¨: ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶: | ‡¬¥¿ ³¡¨« „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨·. „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨·: | ‡¬¥¿ ³¡¨« €«¥¸  ®¯®¢¨·. €«¥¸  ®¯®¢¨·: | Ÿ ³¡¨« §¬¥¿. ˆ§¢¥±²­®, ·²® ²®«¼ª® ®¤¨­ ¡®£ ²»°¼ ±ª § « ¯° ¢¤³,   ¤¢®¥ ±«³ª ¢¨«¨. Š²® ³¡¨« §¬¥¿? ‚ ª®­´¥°¥­¶¨¨ ³· ±²¢®¢ «® 100 ·¥«®¢¥ª | µ¨¬¨ª¨ ¨  «µ¨¬¨ª¨. Š ¦¤®¬³ ¡»« § ¤ ­ ¢®¯°®±: À…±«¨ ­¥ ±·¨² ²¼ ‚ ±, ²® ª®£® ¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ®±² «¼­»µ ³· ±²­¨ª®¢ | µ¨¬¨ª®¢ ¨«¨  «µ¨¬¨ª®¢?Á Š®£¤  ®¯°®±¨«¨ 51 ³· ±²­¨ª , ¨ ¢±¥ ®²¢¥²¨«¨, ·²®  «µ¨¬¨ª®¢ ¡®«¼¸¥, ®¯°®± ¯°¥°¢ «±¿. €«µ¨¬¨ª¨ ¢±¥£¤  «£³²,   µ¨¬¨ª¨ ¢±¥£¤  £®¢®°¿² ¯° ¢¤³. ‘ª®«¼ª® µ¨¬¨ª®¢ ±°¥¤¨ ³· ±²­¨ª®¢? €«¥¸ , ®°¿, ‚ ­¿ ¨ ƒ°¨¸  ±®°¥¢­®¢ «¨±¼ ¢ ¡¥£¥.   ¢®¯°®±, ª²® ª ª®¥ ¬¥±²® § ­¿«, ®­¨ ®²¢¥²¨«¨: €«¥¸ : | Ÿ ­¥ ¡»« ­¨ ¯¥°¢»¬, ­¨ ¯®±«¥¤­¨¬. ®°¿: | Ÿ ­¥ ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬. ‚ ­¿: | Ÿ ¡»« ¯¥°¢»¬. ƒ°¨¸ : | Ÿ ¡»« ¯®±«¥¤­¨¬. ˆ§¢¥±²­®, ·²® ²°®¥ ±ª § «¨ ¯° ¢¤³,   ®¤¨­ ±®¢° «. Š²® ¯®¡¥¤¨« ¢ ±®°¥¢­®¢ ­¨¨? Š²® ±ª § « ­¥¯° ¢¤³? 33

®«¯³²¨ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ | ¯®²° ²¨¬ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿

‚® ¢°¥¬¿ ª ª®©-²® ®± ¤» ¯® £®°®¤³ ¸¥« ° §­®±·¨ª ¢®¤» ¨ ª°¨· «: \‚®¤ ! ‚®¤ ! „¢  ¢¥¤°  ¯® ¸¥±²¼ ±³!" °®«¥²¥¢¸ ¿ ¡®¬¡  ° §­¥±«  ­  ª³±ª¨ ®¤­® ¨§ ¢¥¤¥°. \‚®¤ ! ‚®¤ ! „¢¥­ ¤¶ ²¼ ±³ ¢¥¤°®!",| ª ª ­¨ ¢ ·¥¬ ­¨ ¡»¢ «® § ²¿­³« ° §­®±·¨ª. ˜ ¬´®°

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34

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 ¯° ±­® ³¬­»© ®·¨ ¯³·¨² ­  ¦¨§­¼ ¤³° ¶ª³¾ ¬®¾, ¢¥¤¼ ²®, ·²® ³¬­»© ²®«¼ª® ³·¨², ¿ ¬­®£® «¥² ¯°¥¯®¤ ¾. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

181. 182. 183.

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188. 189.

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Œ ²¥¬ ²¨ª ±ª ¦¥², ·²® ¬®¦­® ­ ¯¨± ²¼ «¾¡®¥

„ , ½²® ² ª.

‘²°®£® £®¢®°¿, § ¤ ·  ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ­¥²®·-

® ¯®±² ° ©²¥±¼ ¢± ¥-² ª¨ °¥¸¨²¼ ¥ ¥, ²® ¥±²¼ ­ ©¤¨²¥ ¯°®±²®¥

35

¯° ¢¨«®, ¯® ª®²®°®¬³ ®¡° §®¢ ­  ½²  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼.

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¯®«³·¨²±¿, ­¥ ° ±±²° ¨¢ ©²¥±¼ | ¢®§¬®¦­®, ‚» ±«¨¸ª®¬ ³¬­» ¨ ±¥°¼ ¥§­» ¤«¿ ² ª¨µ ¸³²®·¥ª.

190.

Š®¢¡®© ¢®¸¥« ¢ ¡ ° ¨ ¯®¯°®±¨« ¢®¤». ‚¬¥±²® ®²¢¥²  µ®§¿¨­ ¢»µ¢ ²¨« ª®«¼² ¨ ¢»±²°¥«¨« ¢ ¯®²®«®ª. Š®¢¡®© ¯®¡« £®¤ °¨« ¨ ¢»¸¥«. ‚ ·¥¬ ¤¥«®? 191. ž­®¸  ¸¥« ¯® ¤®°®£¥ ¨ § ¬¥²¨« ¢ «¿¢¸¨©±¿ ­  ®¡®·¨­¥ ¬®²®ª ª®«¾·¥© ¯°®¢®«®ª¨. Ž­ ¯®¡¥¦ « ¤®¬®©, ¢§¿« ª³± ·ª¨, ¢¥°­³«±¿ ª ¯°®¢®«®ª¥ ¨ ®¤­³ §  ¤°³£®© ®²ª³±¨« ¢±¥ ª®«¾·ª¨. ‡ ²¥¬ ®­ ¡°®±¨« ¯°®¢®«®ª³ ¨ ª®«¾·ª¨ ² ¬, £¤¥ ±²®¿«, ¨ ¯°®¤®«¦¨« ±¢®© ¯³²¼, ª ª ­¨ ¢ ·¥¬ ­¨ ¡»¢ «®. ‚ ·¥¬ ¤¥«®? ‘«¥¤³¾¹³¾ § ¤ ·³ ¢°¿¤ «¨ ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ¯¥°¥¡®°  ¢ °¨ ­²®¢. ‘®¬­¨²¥«¼­  ¨ ¥ ¥ ­ ³·­ ¿ ¶¥­­®±²¼. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¿ µ®·³ ° ±±ª § ²¼ ®¡ ½²®¬ ª³°¼ ¥§¥. …±²¼ ¢ ­ ¥¬ ·²®-²® ±¨¬¯ ²¨·­®¥.

192.

 ±±¬®²°¨¬ ·¥²»°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, ­¥ ¢±¥ ¶¨´°» ª®²®°®£® ®¤¨­ ª®¢».  ±±² ¢¨¬ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿ ¨ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¢®§° ±² ­¨¿. (°¨ ½²®¬ ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼±¿ À·¨±«®Á, ¯¥°¢ ¿ ¶¨´°  ª®²®°®£® ° ¢­  ­³«¾. ¥ ¡³¤¥¬ ®¡° ¹ ²¼ ­  ½²® ¢­¨¬ ­¨¿.) ‚»·²¥¬ ¨§ ®¤­®£® ¤°³£®¥. ®«³·¨¬ ­®¢®¥ ·¨±«®, ª ­¥¬³ ¯°¨¬¥­¨¬ ²³ ¦¥ ®¯¥° ¶¨¾, ¨ ² ª ¤ «¥¥.  ¯°¨¬¥°, 8721 7443 9963 ,9971 1799 ! ,1278 ! ,3447 ! ,3699 ! : : :

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8172

7443

3996

6264

7731 6543 8730 ,9972 2799 ! ,1377 ! ,3456 ! ,0378 ! : : : 7173

6354

3087

8352

®¢²®°¨¢ ½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ¸¥±²¼ ° §, ¯®«³·¨¬ ª ª®¥-²® ·¨±«®. Š ª®¥? 193. ‹¿¯³±¨ª¨, ³ ª®²®°»µ ¥±²¼ ¢ °ª « , ­¥ ¢±¥ ¡ °¬ £«®²». “ «¿¯³±¨ª®¢, ª®²®°»¥ ³¬¥¾² µ°¾ª®² ²¼ ¨ ¯°¨ ½²®¬ ­¥ ¡ °¬ £«®²», ¢ °ª « ­¥². ‚¥°­® «¨, ·²® ­¥ ¢±¥ «¿¯³±¨ª¨, ³ ª®²®°»µ ¥±²¼ ¢ °ª « , ³¬¥¾² µ°¾ª®² ²¼? 36

. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿.  ‘°¥¤¨ «¾¤¥©, ¨¬¥¾¹¨µ ²¥«¥¢¨§®°», ¥±²¼ ² ª¨¥, ª®²®°»¥ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¬ «¿° ¬¨.  ‹¾¤¨, ª ¦¤»© ¤¥­¼ ª³¯ ¾¹¨¥±¿ ¢ ¡ ±±¥©­¥, ­® ­¥ ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ¬ «¿° ¬¨, ­¥ ¨¬¥¾² ²¥«¥¢¨§®°®¢. ‚¥°­® «¨, ·²® ­¥ ¢±¥ ¢« ¤¥«¼¶» ²¥«¥¢¨§®°®¢ ª ¦¤»© ¤¥­¼ ª³¯ ¾²±¿ ¢ ¡ ±±¥©­¥? 195. ‚ ²¾°¼¬³ ¯®¬¥±²¨«¨ 100 ³§­¨ª®¢.  ¤§¨° ²¥«¼ ±ª § « ¨¬: ÀŸ ¤ ¬ ¢ ¬ ¢¥·¥° ¯®£®¢®°¨²¼ ¤°³£ ± ¤°³£®¬,   § ²¥¬ ° ±± ¦³ ¯® ®²¤¥«¼­»¬ ª ¬¥° ¬, ¨ ®¡¹ ²¼±¿ ¢» ¡®«¼¸¥ ­¥ ±¬®¦¥²¥. ˆ­®£¤  ¿ ¡³¤³ ª®£®-­¨¡³¤¼ ¨§ ¢ ± ®²¢®¤¨²¼ ¢ ª®¬­ ²³, £¤¥ ¥±²¼ « ¬¯ . “µ®¤¿ ¨§ ª®¬­ ²», ¢» ¬®¦¥²¥ ®±² ¢¨²¼ « ¬¯³ µ®²¨²¥ ¢ª«¾·¥­­®©, µ®²¨²¥ | ¢»ª«¾·¥­­®©. …±«¨ ¢ ª ª®©-²® ¬®¬¥­² ª²®-²® ¨§ ¢ ± ±ª ¦¥² ¬­¥, ·²® ¢» ¢±¥ ³¦¥ ¯®¡»¢ «¨ ¢ ª®¬­ ²¥ ¨ ®ª ¦¥²±¿ ¯° ¢, ²® ¿ ¢±¥µ ¢»¯³¹³ ­  ±¢®¡®¤³. € ¥±«¨ ®­ ®¸¨¡¥²±¿ | ±ª®°¬«¾ ª°®ª®¤¨« ¬. ˆ ­¥ ¢®«­³©²¥±¼, ·²® ª®£®²® § ¡³¤³: ¥±«¨ ¡³¤¥²¥ ¬®«· ²¼, ²® ¢» ¢±¥ ¯®¡»¢ ¥²¥ ¢ ª®¬­ ²¥, ¯°¨·¥¬ ­¨ ¤«¿ ª®£® ­¨ª ª®¥ ¯®±¥¹¥­¨¥ ª®¬­ ²» ­¥ ±² ­¥² ¯®±«¥¤­¨¬.Á °¨¤³¬ ©²¥ ±²° ²¥£¨¾, £ ° ­²¨°³¾¹³¾ ³§­¨ª ¬ ®±¢®¡®¦¤¥­¨¥. (‚ª«¾·¥­  ¨«¨ ¢»ª«¾·¥­  « ¬¯  ¨§­ · «¼­® | ­¥¨§¢¥±²­®.) 194

196

. ¥ ®²°»¢ ¿ ª ° ­¤ ¸ ®² ¡³¬ £¨, ¯°®¢¥¤¨²¥ ·¥°¥§ ¢±¥  ) ¢¥°¸¨­» ª¢ ¤° ²  ²°¨ ®²°¥§ª , ¢¥°­³¢¸¨±¼ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³; ¡) ¤¥¢¿²¼ ²®·¥ª, ° ±¯®«®¦¥­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ² , ·¥²»°¥ ®²°¥§ª  (¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®); ¢) ¸¥±²­ ¤¶ ²¼ ²®·¥ª, ° ±¯®«®¦¥­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ² , ¸¥±²¼ ®²°¥§ª®¢, ¢¥°­³¢¸¨±¼ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³.    

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Ÿ ·³²¼ ­¥ ¯« ª «. ¥ ¡»«® ³¤ ·¨! ‡ ¤ ·  ­¥ °¥¸ « ±¼ | µ®²¼ ³¡¥©. “±«®¢¼¥ ¡»«® ²°³¤­»¬ ³ § ¤ ·¨. „ ­®: À‹¥²¥«  ±² ¿ «¥¡¥¤¥©Á. Ÿ, ¹¥ª³ £°³±²­® ¯®¤¯¥°¥¢ °³ª®¾, „¥«¨«, ±« £ « | ­¥ ¸«¨ ¤¥«  ­  « ¤! ®, «¨¸¼ £« §  ³±² «»¥ § ª°®¾, Ÿ ¢¨¤¥« ¿±­®: ¢®² ®­¨ | «¥²¿² : : : …. ‚¨­®ª³°®¢

. ˆ¬¥¾²±¿ ¤¢  ¢¥¤°  | ®¤­® ¥¬ª®±²¼¾ 4 «, ¤°³£®¥ 9 «. Œ®¦­® «¨ ­ ¡° ²¼ ¨§ °¥ª¨ °®¢­® 6 «¨²°®¢ ¢®¤»? 198. ˆ¬¥¾²±¿ ¤¢®¥ ¯¥±®·­»µ · ±®¢: ­  7 ¬¨­³² ¨ ­  11 ¬¨­³². Š ¸  ¤®«¦­  ¢ °¨²¼±¿ 15 ¬¨­³². Š ª ±¢ °¨²¼ ¥¥, ¯¥°¥¢¥°­³¢ · ±» ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ª®«¨·¥±²¢® ° §? 199. ˆ§ ¯®«­®£® ¢®±¼¬¨«¨²°®¢®£® ¢¥¤°  ®²«¥©²¥ 4 «¨²°  ± ¯®¬®¹¼¾ ¯³±²»µ ²°¥µ«¨²°®¢®© ¡ ­ª¨ ¨ ¯¿²¨«¨²°®¢®£® ¡¨¤®­ . (¨ª ª¨µ ±®±³¤®¢, ª°®¬¥ ¤ ­­»µ ²°¥µ, ­¥².   §¥¬«¾ ­¨·¥£® ¢»¯«¥±ª¨¢ ²¼ ­¥«¼§¿, ² ª ·²® ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ¤®«¦­® ®ª § ²¼±¿ 4 «¨²°  ¢ ¢®±¼¬¨«¨²°®¢®¬ ±®±³¤¥ ¨ 4 | ¢ ¯¿²¨«¨²°®¢®¬.) 200. Ž²«¥©²¥ ¨§ ¶¨±²¥°­» 13 «¨²°®¢ ¬®«®ª , ¯®«¼§³¿±¼ ¡¨¤®­ ¬¨ ¥¬ª®±²¼¾ 17 ¨ 5 «¨²°®¢. 201. „¢¥­ ¤¶ ²¨¢¥¤ ¥°­ ¿ ¡®·ª  ­ ¯®«­¥­  ª¥°®±¨­®¬.  §«¥©²¥ ¥£® ­  ¤¢¥ ° ¢­»¥ · ±²¨, ¯®«¼§³¿±¼ ¯³±²»¬¨ ¯¿²¨¢¥¤¥°­®© ¨ ¢®±¼¬¨¢¥¤¥°­®© ¡®·ª ¬¨. 202. ‚ ¡ ª¥ ­¥ ¬¥­¥¥ 10 «¨²°®¢ ¡¥­§¨­ . Œ®¦­® «¨ ®²«¨²¼ 6 «¨²°®¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ¤¥¢¿²¨«¨²°®¢®£® ¢¥¤°  ¨ ¯¿²¨«¨²°®¢®£® ¡¨¤®­ ? 203. ‚ ¡®·ª¥ ­¥ ¬¥­¥¥ 13 ¢ ¥¤¥° ¡¥­§¨­ . Œ®¦­® «¨ ®²«¨²¼ 8 ¢¥¤¥° ± ¯®¬®¹¼¾ ¤¥¢¿²¨¢¥¤¥°­®© ¨ ¯¿²¨¢¥¤¥°­®© ¡®·¥ª? 204. ˆ¬¥¿ ¤¢  ¯®«­»µ 10-«¨²°®¢»µ ¡¨¤®­  ¬®«®ª  ¨ ¯³±²»¥ 4- ¨ 5-«¨²°®¢»¥ ª ±²°¾«¨, ®²¬¥°¼²¥ ¯® 2 «¨²°  ¬®«®ª  ¢ ª ¦¤³¾ ª ±²°¾«¾. (Š ª ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ § ¤ · µ, ¢»«¨¢ ²¼ ­  §¥¬«¾ ­¨·¥£® ­¥«¼§¿!) 197

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| ’ ª ½²® ¦¥ ¨§¢¥±²­ ¿ § ¤ · ! | € ª ª ®­  °¥¸ ¥²±¿? | „  ­¥²! “±«®¢¨¥ ¨§¢¥±²­®¥,   °¥¸¥­¨¿ ¿ ­¥ §­ ¾.

. “·¥­¨ª ¯°®·¨² « 138 ±²° ­¨¶, ·²® ±®±² ¢«¿¥² 23% ·¨±«  ¢±¥µ ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥. ‘ª®«¼ª® ±²° ­¨¶ ¢ ª­¨£¥? 206.  §«®¦¨²¥ 80 ²¥²° ¤¥© ­  ¤¢¥ ±²®¯ª¨ ² ª, ·²®¡» ·¨±«® ²¥²° ¤¥© ®¤­®© ¨§ ­¨µ ±®±² ¢¨«® 60% ·¨±«  ²¥²° ¤¥© ¤°³£®© ±²®¯ª¨. 207. Š®£¤  ¨§ ¯¥°¢®£® ¡¨¤®­  ¯¥°¥«¨«¨ ¢® ¢²®°®© 12,5% ­ µ®¤¨¢¸¥£®±¿ ¢ ¯¥°¢®¬ ¡¨¤®­¥ ¬®«®ª , ²® ¬®«®ª  ¢ ¡¨¤®­ µ ±² «® ¯®°®¢­³, ¯® 35 «¨²°®¢. ‘ª®«¼ª® ¬®«®ª  ¡»«® ¢® ¢²®°®¬ ¡¨¤®­¥? 208. Œ­®¦¨¬®¥ ³¢¥«¨·¨«¨ ­  50%,   ¬­®¦¨²¥«¼ ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  50%. Š ª ¨§¬¥­¨«®±¼ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥? 209. —²® ¡®«¼¸¥: 15;43% ®² 5 ¨«¨ 5% ®² 15;43? 210. Š ª ¨§¬¥­¨²±¿ ¶¥­  ²®¢ ° , ¥±«¨ ±­ · «  ¥ ¥ ³¢¥«¨·¨²¼ ­  100%,   § ²¥¬ ³¬¥­¼¸¨²¼ ­  50%? 211. –¥­³ ª °²®´¥«¿ ¯®¢»±¨«¨ ­  20%. —¥°¥§ ­¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ¥ ¥ ¯®­¨§¨«¨ ­  20%. Š®£¤  ª °²®´¥«¼ ±²®¨« ¤¥¸¥¢«¥: ¤® ¯®¢»¸¥­¨¿ ¨«¨ ¯®±«¥ ±­¨¦¥­¨¿? 212. A , B ¨ C ±®±²¿§ «¨±¼ ¢ ¡¥£¥ 212.0 ‚ ®¤­®¬ ¬ £ §¨­¥ ¶¥­  100 ¬. Š®£¤  A ´¨­¨¸¨- ­» ³¬¥­¼¸¨«¨ ­  10%,   ¯®°®¢ «, B ®²±² ¢ « ®² ­¥£® ­  ²®¬ ¥¹¥ ­  10% (®² ­®¢®10 ¬. Š®£¤  B ´¨­¨¸¨°®¢ «, £® ³°®¢­¿). € ¢ ¤°³£®¬ ¶¥C ®²±² ¢ « ­  10 ¬.   ±ª®«¼- ­» ¯°®±²® ±° §³ ±­¨§¨«¨ ­  ª® ®²±² ¢ « C ®² A , ª®£¤  A 20%. —²® ¢»£®¤­¥¥ ¤«¿ ¯®§ ª®­·¨« ¡¥£? ª³¯ ²¥«¿? 213. ‡  ¢¥±­³ Ž¡«®¬®¢ ±¡ ¢¨« ¢ ¢¥±¥ 25%, §  «¥²® ¯°¨¡ ¢¨« 20%, §  ®±¥­¼ ¯®µ³¤¥« ­  10%,   §  §¨¬³ ¯°¨¡ ¢¨« 20%. ®µ³¤¥« ®­ ¨«¨ ¯®¯° ¢¨«±¿ §  £®¤? 205

) –¥­² | ®¤­  ±®² ¿ · ±²¼ ³±«®¢­®© ¥¤¨­¨¶».

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–¥­» ±­¨§¨«¨ ­  20%.   ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ¡®«¼¸¥ ²®¢ °  ¬®¦­® ª³¯¨²¼ ­  ²³ ¦¥ § °¯« ²³? ‚®¤  ’¨µ®£® Žª¥ ­  ±®¤¥°¦¨² 3,5% ±®«¨ (¯® ¢¥±³). ‘ª®«¼ª® ¯°¥±­®© ¢®¤» ­ ¤® ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª 40 ª£ ² ª®© ¢®¤», ·²®¡» ±®¤¥°¦ ­¨¥ ±®«¨ ¢ ±¬¥±¨ ±®±² ¢¨«® 0,5%? ˆ§ 22 ª£ ±¢¥¦¨µ £°¨¡®¢ ¯®«³· ¥²±¿ 2,5 ª£ ±³µ¨µ £°¨¡®¢, ±®¤¥°¦ ¹¨µ 12% ¢®¤». Š ª®¢ ¯°®¶¥­² ¢®¤» ¢ ±¢¥¦¨µ £°¨¡ µ? €«¨ª, ®°¿ ¨ ‚ ±¿ ±®¡¨° «¨ £°¨¡». ®°¿ ±®¡° « £°¨¡®¢ ­  20% ¡®«¼¸¥, ·¥¬ €«¨ª, ­® ­  20% ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ‚ ±¿.   ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ €«¨ª, ±®¡° « £°¨¡®¢ ‚ ±¿? °¥¤¯°¨¿²¨¥ ¯®«³·¨«® § ¤ ­¨¥ §  ¤¢  £®¤  ±­¨§¨²¼ ­  51% ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª ¥¬®© ¯°®¤³ª¶¨¨. Š ¦¤»© £®¤ ²°¥¡³¾² ±­¨¦ ²¼ ­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢.   ±ª®«¼ª®? ‚ ±®±³¤¥ ¡»«® 20 «¨²°®¢ ±¯¨°² . — ±²¼ ¥£® ®²«¨«¨ ¨ ¤®«¨«¨ ±²®«¼ª® ¦¥ ¢®¤». ‡ ²¥¬, ¯¥°¥¬¥¸ ¢, ®²«¨«¨ ² ª³¾ ¦¥ · ±²¼ ¨ ±®±³¤ ®¯¿²¼ ¤®«¨«¨ ¢®¤®©. ‚ ±®±³¤¥ ±¯¨°²  ®ª § «®±¼ ¢²°®¥ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¢®¤». Š ª³¾ · ±²¼ ®²«¨¢ «¨? —¨±«® 51,2 ²°¨¦¤» ³¢¥«¨·¨¢ «¨ ­  ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢,   § ²¥¬ ²°¨¦¤» ³¬¥­¼¸ «¨ ­  ²® ¦¥ ± ¬®¥ ·¨±«® ¯°®¶¥­²®¢. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨«®±¼ ·¨±«® 21,6.   ±ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ³¢¥«¨·¨¢ «¨,   § ²¥¬ ³¬¥­¼¸ «¨ ½²® ·¨±«®? Œ. ‚. ‹®¬®­®±®¢ ²° ²¨« ®¤­³ ¤¥­¥¦ª³ ­  µ«¥¡ ¨ ª¢ ±. Š®£¤  ¶¥­» ¢»°®±«¨ ­  20%, ­  ²³ ¦¥ ¤¥­¥¦ª³ ®­ ¯°¨®¡°¥² « ¯®«µ«¥¡  ¨ ª¢ ±. •¢ ²¨² «¨ ²®© ¦¥ ¤¥­¥¦ª¨ µ®²¿ ¡» ­  ª¢ ±, ¥±«¨ ¶¥­» ¥¹¥ ° § ¢»° ±²³² ­  20%? °®©¤¿ ¯®«®¢¨­³ ¯³²¨, ª ²¥° ³¢¥«¨·¨« ±ª®°®±²¼ ­  25% ¨ ¯®½²®¬³ ¯°¨¡»« ­  ¯®«· ±  ° ­¼¸¥. ‘ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ®­ ¤¢¨£ «±¿? ‚ ±¥­²¿¡°¥ ¯°®¥§¤­®© ¡¨«¥² ­  ¬¥²°® ±²®¨« 800 °³¡«¥©. ‚ ®ª²¿¡°¥ ±²®¨¬®±²¼ ¡¨«¥²  ³¢¥«¨·¨«¨, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ·¨±«® ¯°®¤ ­­»µ ¡¨«¥²®¢ ³¬¥­¼¸¨«®±¼ ­  25%,   ¢»°³·ª  ®² ¨µ ¯°®¤ ¦¨ ³¬¥­¼¸¨« ±¼ ­  6,25%. ‘ª®«¼ª® ±² « ±²®¨²¼ ¯°®¥§¤­®© ¡¨«¥² ¢ ®ª²¿¡°¥? 40

Š­¨£  ±²®¨² °³¡«¼ : : :

—²®¡ °¥·¼ °®¤­³¾ ­¥ § ¡»²¼, ­  ­¥© ¯®·²¨ ­¥ £®¢®°¿, ¨­²¥°¥±³¾±¼ ¿ ª³¯¨²¼ ±¥¡¥ ¡®«¼¸®£® ±«®¢ °¿. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

. Š­¨£  ±²®¨² 1 °³¡«¼ ¨ ¥¹¥ ¯®«®¢¨­³ ±¢®¥© ±²®¨¬®±²¨. ‘ª®«¼ª® ®­  ±²®¨²? 225.   ®¤­³ · ¸ª³ ¢¥±®¢ ¯®«®¦¨«¨ ª°³£ ±»° ,   ­  ¤°³£³¾ | 3=4 ² ª®£® ¦¥ ª°³£  ¨ ¥¹¥ ª¨«®£° ¬¬®¢³¾ £¨°¾. “±² ­®¢¨«®±¼ ° ¢­®¢¥±¨¥. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨² ª°³£ ±»° ? 226. ‡  ª­¨£³ § ¯« ²¨«¨ °³¡«¼, ¨ ®±² «®±¼ § ¯« ²¨²¼ ¥¹ ¥ ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ®±² «®±¼ ¡» § ¯« ²¨²¼, ¥±«¨ ¡» §  ­¥¥ § ¯« ²¨«¨ ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ®±² «®±¼ § ¯« ²¨²¼. ‘ª®«¼ª® ±²®¨² ª­¨£ ?  227. …±«¨ £®«®¢®«®¬ª , ° §£ ¤ ­­ ¿ ¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª ° §£ ¤ «¨ ½²³, ¡»«  ²°³¤­¥¥, ·¥¬ £®«®¢®«®¬ª , ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨ ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ° §£ ¤ «¨ £®«®¢®«®¬ª³, ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨ ¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª ° §£ ¤ «¨ ½²³, ²® ¡»«  «¨ £®«®¢®«®¬ª , ª®²®°³¾ ° §£ ¤ «¨ ¯¥°¥¤ ²¥¬, ª ª ° §£ ¤ «¨ ½²³, ²°³¤­¥¥, ·¥¬ ½² ? 228. “·¨²¥«¼ § ¤ « ­  ³°®ª¥ ±«®¦­³¾ § ¤ ·³. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ·¨±«® ¬ «¼·¨ª®¢, °¥¸¨¢¸¨µ ½²³ § ¤ ·³, ®ª § «®±¼ ° ¢­»¬ ·¨±«³ ¤¥¢®·¥ª, ¥¥ ­¥ °¥¸¨¢¸¨µ. Š®£® ¢ ª« ±±¥ ¡®«¼¸¥: ³·¥­¨ª®¢, °¥¸¨¢¸¨µ § ¤ ·³, ¨«¨ ¤¥¢®·¥ª? 224

229

. °¨¤³¬ ©²¥  ) ·¥²»°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, ¤¥±¿²¨·­ ¿ § ¯¨±¼ ª®²®°®£® ±®±²®¨² ¨§ ®¤¨­ ª®¢»µ ¶¨´°, ­® ¢ ¥£® °³±±ª®¬ ­ §¢ ­¨¨ ¢±¥ ±«®¢  ­ ·¨­ ¾²±¿ ± ° §­»µ ¡³ª¢; ¡) ²°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®, § ¯¨±¼) ª®²®°®£® ±®±²®¨² ¨§ ° §«¨·­»µ ¶¨´°, ±«¥¤³¾¹¨µ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¢®§° ±² ­¨¿,   ¢ ¥£® ­ §¢ ­¨¨y) ¢±¥ ²°¨ ±«®¢  ­ ·¨­ ¾²±¿ ± ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ¡³ª¢». ) „«¿ °¨¤¨°». ‚ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿. y)„«¿ ­¥£® ¦¥. Ÿ§»ª, ° §³¬¥¥²±¿, °³±±ª¨©.

41

‚®±±² ­®¢¨²¥ ¯³²¼ ª®­¿ : : :

¨ª ¨±²¨­» ¢»±®ª ­¥¨¬®¢¥°­®; °¨¤¥²±¿ ¯®ª°³¦¨²¼ ¯® ±ª«®­³, ·²®¡ „®±²¨·¼ ¢¥°¸¨­» | ­¥² ¤®°®£¨ ¢ «®¡! ‘¯¥¸¨, ¤®ª®«¥ ¤¥­¼,   ²¼¬  ±£³±²¨²±¿ | ’®£¤  ³¦ ¡³¤¥² ¯®§¤­® ²®°®¯¨²¼±¿. „¦®­ „®­­ (1572{1631)

.   °¨±³­ª¥ 6 ®²°¥§ª®¢ ° ±¯®«®¦¥­» ² ª, ·²® ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥ª ¥² ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª .  ±¯®«®¦¨²¥ 8 ®²°¥§ª®¢, ·²®¡» ª ¦¤»© ¯¥°¥±¥ª « ²°¨ ¤°³£¨µ ®²°¥§ª . 231. ’° ¥¬ µ¨°³°£ ¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¯°®®¯¥°¨°®¢ ²¼ ¢ ¯®«¥¢»µ ³±«®¢¨¿µ ¡®«¼­®£®, ±²° ¤ ¾¹¥£® § ° §­»¬ § ¡®«¥¢ ­¨¥¬. ‘ ¬¨ µ¨°³°£¨ ²®¦¥ ¡®«¼­», ¯°¨·¥¬ ¢±¥ | ° §­»¬¨ ¡®«¥§­¿¬¨. ‚ ° ±¯®°¿¦¥­¨¨ µ¨°³°£®¢ ¥±²¼ «¨¸¼ ¤¢¥ ¯ °» ±²¥°¨«¼­»µ ¯¥°· ²®ª. ®¤±ª ¦¨²¥ ¯« ­ ®¯¥° ¶¨¨, ¯®±«¥ ª®²®°®© ­¨ µ¨°³°£¨, ­¨ ¡®«¼­®© ­¥ § ° §¿²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ . (®¬®£ ²¼ ¤°³£ ¤°³£³ ¢® ¢°¥¬¿ ®¯¥° ¶¨© µ¨°³°£¨ ­¥ ¤®«¦­». Ž¯¥°¨°®¢ ²¼ ®¤­®© °³ª®© ­¥«¼§¿.) 232. ‚®±±² ­®¢¨²¥ ¯® ±®µ° ­¨¢¸¨¬17 11 ±¿ ­®¬¥° ¬ ¯³²¼ ª®­¿, ¯®¡»¢ ¢¸¥£® ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ­  ¢±¥µ 2 25 ª«¥²ª µ ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 6  6. (’® ¥±²¼ ° ±±² ¢¼²¥ ·¨±«  ®² 1 23 16 1 ¤® 36 ² ª, ·²®¡» ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ 30 19 ­  1 ¡»«¨ ±¢¿§ ­» µ®¤®¬ ª®­¿.) 233. ®ª°®©²¥ ±¥¬¼¾ ±¨­¨¬¨ ª¢ ¤15 13 ° ²­»¬¨ ª®¢°¨ª ¬¨ ª° ±­»© 8 35 ª¢ ¤° ²­»© ª®¢°¨ª ² ª®£® ¦¥ ° §¬¥°  ² ª, ·²®¡» ±¨­¨¥ ª®¢°¨ª¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£ , ­® ª ¦¤»© ±¨­¨© ¯®ª°»¢ « ª ª³¾-²® · ±²¼ ª° ±­®£®. 230

42

. „ ¬  ±¤ ¢ «  ¢ ¡ £ ¦ ¤¨¢ ­, ·¥¬®¤ ­, ± ª¢®¿¦, ª °²¨­³, ª®°§¨­³, ª °²®­ª³ ¨ ¬ «¥­¼ª³¾ ±®¡ ·®­ª³. „¨¢ ­ ¢¥±¨« ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ·¥¬®¤ ­ ¨ ± ª¢®¿¦, ¢¬¥±²¥ ¢§¿²»¥, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ª °²¨­ , ª®°§¨­  ¨ ª °²®­ª  ¢¬¥±²¥. Š °²¨­ , ª®°§¨­  ¨ ª °²®­ª  ¢¥±¨«¨ ¯®°®¢­³; ª ¦¤ ¿ ¨§ ­¨µ ¢¥±¨«  ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ±®¡ ·®­ª . Š®£¤  ¢»£°³¦ «¨ ¡ £ ¦, ¤ ¬  § ¿¢¨« , ·²® ±®¡ ª  ­¥ ²®© ¯®°®¤». °¨ ¯°®¢¥°ª¥ ®ª § «®±¼, ·²® ±®¡ ª  ¯¥°¥¢¥¸¨¢ ¥² ¤¨¢ ­, ¥±«¨ ª ­¥© ­  ¢¥±» ¤®¡ ¢¨²¼ ± ª¢®¿¦ ¨«¨ ·¥¬®¤ ­. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¯°¥²¥­§¨¿ ¤ ¬» ¡»«  ±¯° ¢¥¤«¨¢ . 235. ’°¨ ·¥«®¢¥ª  | A , B ¨ C | ¯¥°¥±·¨² «¨ ª³·³ ¸ °¨ª®¢ ·¥²»°¥µ ¶¢¥²®¢. Š ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¯° ¢¨«¼­® ° §«¨· « ¤¢  ¶¢¥² ,   ¤¢  ¤°³£¨µ ­¥ ° §«¨· «: ª²®-²® ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ­¥ ° §«¨· « ª° ±­»© ¨ ®° ­¦¥¢»©, ¤°³£®© ­¥ ° §«¨· « ®° ­¦¥¢»© ¨ ¦¥«²»©,   ¥¹¥ ®¤¨­ ­¥ ° §«¨· « ¦¥«²»© ¨ §¥«¥­»©. ƒ«¿¤¿ ­  ² ¡«¨¶³, ³§­ ©²¥, ±ª®«¼ª® ª ª¨µ ¸ °¨ª®¢ ¡»«®. 234

A B C

ª° ±­»© ®° ­¦¥¢»© ¦¥«²»© §¥«¥­»© 2 5 7 9 2 4 9 8 4 2 8 9

. ¥°¢ ¿ ±«¥¢  ¶¨´°  ¤¥±¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ° ¢­  ·¨±«³ ¥¤¨­¨¶ ¢ § ¯¨±¨ ½²®£® ·¨±« , ¢²®° ¿ | ·¨±«³ ¤¢®¥ª, ²°¥²¼¿ | ·¨±«³ ²°®¥ª, ·¥²¢¥°² ¿ | ·¨±«³ ·¥²¢¥°®ª, : : : , ¤¥¢¿² ¿ | ·¨±«³ ¤¥¢¿²®ª, ¤¥±¿² ¿ | ·¨±«³ ­³«¥©. °¨¤³¬ ©²¥ ² ª®¥ ·¨±«®. 237.   °¨±³­ª µ ¯®ª § ­» ° §­»¥ ±¯®±®¡» ° ±±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ 24 ª®­¿, ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¡¼¥² ¤¢³µ ¤°³£¨µ.  ±±² ¢¼²¥ ­  ¤®±ª¥ 32 ª®­¿, ·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­® ¤¢³µ ¤°³£¨µ. 236

rrrrrrrr rr r r rr r r r rr rr r rr r rr r r rr r r rr r r r r rr r r rr r r r 43

rr r r r r r r rr rr rr rr r r rr rr rr

‘³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥

238.

239

.

240

.

241

.

242.

243

| Š ª ¿ ±¥£®¤­¿ ±°¥¤­¿¿ ²¥¬¯¥° ²³°  ¯® ¡®«¼­¨¶¥? | ±¯°®±¨« °¥¢¨§®° £« ¢¢° · .

„¢  ·¥«®¢¥ª  ®²¯° ¢¨«¨±¼ ­  °»­®ª ¯°®¤ ¢ ²¼ ¿¡«®ª¨. “ ­¨µ ¡»«® ¯® 30 ¿¡«®ª. Ž¤¨­ ±®¡¨° «±¿ ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 2 ¿¡«®ª  §  1 °³¡«¼,   ¤°³£®© | ¯® 3 ¿¡«®ª  §  1 °³¡«¼. ¥°¥¤ ­ · «®¬ ²®°£®¢«¨ ¯¥°¢®£® ¯°®¤ ¢¶  ¢»§¢ «¨ ¤®¬®©, ¨ ®­ ¯®¯°®±¨« ¢²®°®£® ¯°®¤ ¢¶  ¯°®¤ ²¼ ¥£® ¿¡«®ª¨. ’®² ±² « ¯°®¤ ¢ ²¼ ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿. …±«¨ ¡» ®­¨ ²®°£®¢ «¨ ¯®°®§­¼, ²® ¢»°³·¨«¨ ¡» 10 °³¡«¥© ¨ 15 °³¡«¥©,   ¯°®¤ ¢ ¿ ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿, ®­¨ ¯®«³·¨«¨ 24 °³¡«¿. Š³¤  ¨±·¥§ °³¡«¼?  §¡¥©²¥ f1, 2, 9, 25, 49, 64g ­  ¤¢  ¯®¤¬­®¦¥±²¢ , ·²®¡» ±³¬¬  ·¨±¥« ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡»«  ° ¢­  ±³¬¬¥ ·¨±¥« ¤°³£®£®.  §¤¥«¨²¥ ¯®«®±ª³ ­  1 9 16 7 12 5 4 3 4 ®¤¨­ ª®¢»¥ · ±²¨, 8 15 10 2 13 6 11 14 ·²®¡» ¢±¥ · ±²¨ ¨¬¥«¨ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±³¬¬³ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ­¨µ ·¨±¥«. €­¿ ¨ ’ ­¿ ¢¬¥±²¥ ¢¥±¿² 40 ª£, ’ ­¿ ¨ Œ ­¿ | 50 ª£, Œ ­¿ ¨ ‚ ­¿ | 90 ª£, ‚ ­¿ ¨ „ ­¿ | 100 ª£, „ ­¿ ¨ €­¿ | 60 ª£. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨² €­¿? —¥²¢¥°® ª³¯¶®¢ § ¬¥²¨- 242.0 ¥¸¨²¥ ±¨±²¥¬³ ³° ¢­¥­¨©: «¨, ·²® ¥±«¨ ®­¨ ±«®¦ ²±¿ 8 y + z + t = 90; > ¡¥§ ¯¥°¢®£®, ²® ±®¡¥°³² > < 90 °³¡«¥©, ¡¥§ ¢²®°®£® | x + z + t = 85; 85, ¡¥§ ²°¥²¼¥£® | 80, ¡¥§ > x + y + t = 80; > ·¥²¢¥°²®£® | 75 °³¡«¥©. : x + y + z = 75: ‘ª®«¼ª® ³ ª®£® ¤¥­¥£?

. ‘°¥¤­¨© ¢®§° ±² 11 ¨£°®ª®¢ ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤» | 22 £®¤ . ‚® ¢°¥¬¿ ¬ ²·  ®¤¨­ ¨£°®ª ¯®«³·¨« ²° ¢¬³ ¨ ³¸¥« ± ¯®«¿. ‘°¥¤­¨© ¢®§° ±² ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨£°®ª®¢ | 21 £®¤. ‘ª®«¼ª® «¥² ¯®«³·¨¢¸¥¬³ ²° ¢¬³? 44

. Š®£¤  Œ¨¸  ¯®±²³¯ « ¢ Œƒ“, ³·¨²»¢ «±¿ ±°¥¤­¨© ¡ ««  ²²¥±² ²  ® ±°¥¤­¥¬ ®¡° §®¢ ­¨¨ ¯® ¤¢¥­ ¤¶ ²¨ ¯°¥¤¬¥² ¬. “ Œ¨¸¨ ±°¥¤­¨© ¡ «« ¡»« ° ¢¥­ 3,5. ® ±ª®«¼ª¨¬ ¯°¥¤¬¥² ¬ ¥¬³ ­³¦­® ¡»«® ¯®¢»±¨²¼ ®¶¥­ª³ ­  ®¤¨­ ¡ ««, ·²®¡» ±°¥¤­¨© ¡ «« ®ª § «±¿ ° ¢¥­ 4? 245. “·¨²¥«¼ ¯°®¢®¤¨² ³°®ª ¢ ª« ±±¥. ‚®§° ±² ³·¨²¥«¿ ­  24 £®¤  ¡®«¼¸¥ ±°¥¤­¥£® ¢®§° ±²  ³·¥­¨ª®¢ ¨ ­  22 £®¤  ¡®«¼¸¥ ±°¥¤­¥£® ¢®§° ±²  ¢±¥µ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¢ ª« ±±¥. ‘ª®«¼ª® ¢ ª« ±±¥ ³·¥­¨ª®¢? 244

. °¿¬®³£®«¼­¨ª ° §20 ? ¡¨² ¯°¿¬»¬¨ ­  25 ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢. 14 10 «®¹ ¤¨ ­¥ª®²®°»µ 32 28 ¨§ ­¨µ ³ª § ­» ­  °¨±³­ª¥.  ©¤¨35 40 ²¥ ¯«®¹ ¤¼ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª , ®²¬¥·¥­9 21 ­®£® ¢®¯°®±¨²¥«¼­»¬ §­ ª®¬. 247. Š ²¿, ‹¥­ , Œ ¸ , ¨­  ³· ±²¢®¢ «¨ ¢ ª®­¶¥°²¥. Š ¦¤³¾ ¯¥±­¾ ¯¥«¨ 3 ¤¥¢®·ª¨. Š ²¿ ¯¥«  8 ¯¥±¥­ | ¡®«¼¸¥ ¢±¥µ; ¨­  ¬¥­¼¸¥ ¢±¥µ | 5 ¯¥±¥­. ‘ª®«¼ª® ¯¥±¥­ ¡»«® ±¯¥²®? 248. Œ®¦­® «¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 30 § ¯¨± ²¼ ¢ ² ¡«¨¶³ ¨§ 5 ±²°®ª ¨ 6 ±²®«¡¶®¢, ·²®¡» ¢±¥ ¸¥±²¼ ±³¬¬ ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢ ±²®«¡¶ µ, ¡»«¨ ° ¢­»? 249. Œ®¦­® «¨ § ¯®«­¨²¼ ·¨±« ¬¨ 249.0 Œ®¦­® «¨ ° ±² ¡«¨¶³  ) 5  5; ¡) 6  6 ±² ¢¨²¼ ·¨±«  ¢ ² ¡«¨¶¥ ² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢±¥µ 19  66 ² ª, ·²®¡» ¢ ·¨±¥« «¾¡®© ±²°®ª¨ ¡»«® ®²- ª ¦¤®© ±²°®ª¥ ±³¬¬  ·¨°¨¶ ²¥«¼­®,   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ±¥« ¡»«  ¯®«®¦¨²¥«¼­ , ¢±¥µ ·¨±¥« «¾¡®£® ±²®«¡¶  |   ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ | ¯®«®¦¨²¥«¼­®? ®²°¨¶ ²¥«¼­ ? 246

45

‘®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨©

Œ ²¥¬ ²¨ª¨ ¯®µ®¦¨ ­  ´° ­¶³§®¢: ·²® ¡» ¢» ­¨ ±ª § «¨, ®­¨ ¢±¥ ¯¥°¥¢¥¤³² ­  ±¢®© ±®¡±²¢¥­­»© ¿§»ª. ®«³·¨²±¿ ­¥·²® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¥. ˆ. ‚. ƒ ¥²¥

. ƒ®«®¢  °»¡» ¢¥±¨² ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® µ¢®±² ¨ ¯®«®¢¨­  ²³«®¢¨¹ , ²³«®¢¨¹¥ | ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® £®«®¢  ¨ µ¢®±² ¢¬¥±²¥. •¢®±² ¥¥ ¢¥±¨² 1 ª£. ‘ª®«¼ª® ¢¥±¨² °»¡ ? 251. “·¥­¨ª ¤®«¦¥­ ¡»« ° §¤¥«¨²¼ ·¨±«® ­  2 ¨ ª °¥§³«¼² ²³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 3,   ®­, ¯® ®¸¨¡ª¥, ³¬­®¦¨« ·¨±«® ­  2 ¨ ®² ¯®«³·¥­­®£® · ±²­®£® ®²­¿« 3. Ž²¢¥² ¢±¥ ° ¢­® ¯®«³·¨«±¿ ¯° ¢¨«¼­»©. Š ª®©? 252. Ž¤¨­ ± ¯´¨° ¨ ¤¢  ²®¯ §  ¶¥­­¥©, ·¥¬ ¨§³¬°³¤, ¢ ²°¨ ° § . € ±¥¬¼ ± ¯´¨°®¢ ¨ ²®¯ § ¥£® ¶¥­­¥¥ ¢ ¢®±¥¬¼ ° §. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ¯°®¸³ ¿ ¢ ±: ± ¯´¨° ¶¥­­¥¥ ¨«¼ ²®¯ §? 253. —¥²¢¥°® ²®¢ °¨¹¥© ¯®ª³¯ ¾² «®¤ª³. ¥°¢»© ¢­®±¨² ¯®«®¢¨­³ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ¢²®°®© | ²°¥²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ²°¥²¨© | ·¥²¢¥°²¼ ±³¬¬», ¢­®±¨¬®© ®±² «¼­»¬¨; ·¥²¢¥°²»© | 130 °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ±²®¨² «®¤ª ? 254. Ž´¥­¿) ª³¯¨« ­  ®¯²®¢®¬ °»­ª¥ ¯ °²¨¾ °³·¥ª ¨ ¯°¥¤« £ ¥² ¯®ª³¯ ²¥«¿¬ «¨¡® ®¤­³ °³·ª³ §  5 °³¡«¥©, «¨¡® ²°¨ °³·ª¨ §  10 °³¡«¥©. Ž² ª ¦¤®£® ¯®ª³¯ ²¥«¿ ®´¥­¿ ¯®«³· ¥² ®¤¨­ ª®¢³¾ ¯°¨¡»«¼. Š ª®¢  ®¯²®¢ ¿ ¶¥­  °³·ª¨? 255. °¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 45 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ·¥²»° ¥µ ·¨±¥« ² ª, ·²® ¯®±«¥ ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ 2 ª ¯¥°¢®¬³ ·¨±«³, ¢»·¨² ­¨¿ 2 ®² ¢²®°®£® ·¨±« , ³¬­®¦¥­¨¿ ²°¥²¼¥£® ·¨±«  ­  2 ¨ ¤¥«¥­¨¿ ·¥²¢¥°²®£® ·¨±«  ­  2 ½²¨ ·¨±«  ±² ­®¢¿²±¿ ° ¢­»¬¨. 256. ˆ±²° ²¨¢ ¯®«®¢¨­³ ¤¥­¥£, ¿ § ¬¥²¨«, ·²® ®±² «®±¼ ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ °³¡«¥©, ·¥¬ ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® ª®¯¥¥ª, ¨ ±²®«¼ª® ¦¥ ª®¯¥¥ª, ±ª®«¼ª® ¡»«® ¯¥°¢®­ · «¼­® °³¡«¥©. ‘ª®«¼ª® ¤¥­¥£ ¿ ¨±²° ²¨«? (®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ·¨±«® ª®¯¥¥ª ¬¥­¼¸¥ 100.) 250

) °®¤ ¢¥¶ ¢ ° §­®±, ª®°®¡¥©­¨ª.

46

. ˆ§ £®°¿·¥£® ª° ­  ¢ ­­  § ¯®«­¿¥²±¿ §  23 ¬¨­³²», ¨§ µ®«®¤­®£® | §  17 ¬¨­³². ¼¥° ®²ª°»« ±­ · «  £®°¿·¨© ª° ­. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ®­ ¤®«¦¥­ ®²ª°»²¼ µ®«®¤­»©, ·²®¡» ª ¬®¬¥­²³ ­ ¯®«­¥­¨¿ ¢ ­­» £®°¿·¥© ¢®¤» ­ «¨«®±¼ ¢ 1,5 ° §  ¡®«¼¸¥, ·¥¬ µ®«®¤­®©? 258. €°²¥«¨ ª®±¶®¢ ¯°¥¤±²®¿«® ±ª®±¨²¼ ¤¢  «³£ , ¨§ ª®²®°»µ ®¤¨­ ¢¤¢®¥ ¡®«¼¸¥ ¤°³£®£®. ®«¤­¿  °²¥«¼ ª®±¨«  ¡®«¼¸®© «³£,   ­  ¢²®°³¾ ¯®«®¢¨­³ ¤­¿ ° §¤¥«¨« ±¼ ¯®¯®« ¬. Ž¤­  ¯®«®¢¨­  ®±² « ±¼ ¤®ª ¸¨¢ ²¼ ¡®«¼¸®© «³£,   ¤°³£ ¿ ¯°¨­¿« ±¼ §  ¬ «»©. Š ¢¥·¥°³ ¡®«¼¸®© «³£ ±ª®±¨«¨,   ®² ¬ «®£® ®±² «±¿ ³· ±²®ª, ª®²®°»© ¡»« ±ª®¸¥­ §  ¤°³£®© ¤¥­¼ ®¤­¨¬ ª®±¶®¬. ‘ª®«¼ª® ª®±¶®¢ ¢  °²¥«¨? 259.   ¤­¥ ®§¥°  ¡¼¾² ª«¾·¨. ‘² ¤® ¨§ 183 ±«®­®¢ ¬®£«® ¡» ¢»¯¨²¼ ®§¥°® §  ®¤¨­ ¤¥­¼,   ±² ¤® ¨§ 37 ±«®­®¢ | §  5 ¤­¥©. ‡  ±ª®«¼ª® ¤­¥© ¢»¯¼¥² ®§¥°® ®¤¨­ ±«®­? 260. (ˆ. ¼¾²®­ ) 70 ª®°®¢ ±º¥«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ §  24 ¤­¿,   30 ª®°®¢ | §  60 ¤­¥©.) ‘ª®«¼ª® ª®°®¢ ±º¥«¨ ¡» ²° ¢³ §  96 ¤­¥©? 261. ‚ ‚¥«¨ª®¡°¨² ­¨¨ ¨ ‘˜€ ²¥¬¯¥° ²³°³ ° ­¼¸¥ ¨§¬¥°¿«¨ ¯® ¸ª «¥ ” °¥­£¥©² , ¢ ª®²®°®© ²¥¬¯¥° ²³°  ¯« ¢«¥­¨¿ «¼¤  (²® ¥±²¼ 0 –¥«¼±¨¿) ±®±² ¢«¿¥² 32 ,   ²¥¬¯¥° ²³°  ª¨¯¥­¨¿ ¢®¤» (100 –¥«¼±¨¿) | 212 . ”®°¬³«  ¤«¿ ¯¥°¥¢®¤  ²¥¬¯¥° ²³°» ¨§ ®¤­®© ¸ª «» ¢ ¤°³£³¾ ² ª®¢ : T” = kT– + b , £¤¥ T” ¨ T– | ²¥¬¯¥° ²³°» ¯® ” °¥­£¥©²³ ¨ ¯® –¥«¼±¨¾.  )  ©¤¨²¥ ·¨±«  k ¨ b . ¡) ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ²¥¬¯¥° ²³° , ·¨±«®¢»¥ §­ ·¥­¨¿ ª®²®°®© ¯® ¸ª « ¬ –¥«¼±¨¿ ¨ ” °¥­£¥©²  ®¤¨­ ª®¢»? 262. “¯° ¢¤®¬ Ž±² ¯ ¥­¤¥° ±®¡¨° « ± ¦¨«¼¶®¢ ¤¥­¼£¨ ­  ³±² ­®¢ª³ ­®¢»µ ª¢ °²¨°­»µ ­®¬¥°®¢. €¤ ¬ Š®§«¥¢¨· ¨§ 105-© ª¢ °²¨°» ¯®¨­²¥°¥±®¢ «±¿, ¯®·¥¬³ ³ ­¨µ ¢® ¢²®°®¬ ¯®¤º¥§¤¥ ­ ¤® ±®¡° ²¼ ¤¥­¥£ ­  40% ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¢ ¯¥°¢®¬, µ®²¿ ª¢ °²¨° ² ¬ ¨ ²³² ¯®°®¢­³. ¥ ° ±²¥°¿¢¸¨±¼, Ž±² ¯ ®¡º¿±­¨«, ·²® ¤¢³§­ ·­»¥ ­®¬¥°  ±²®¿² ¢¤¢®¥,   ²°¥µ§­ ·­»¥ | ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®¤­®§­ ·­»¥. ‘ª®«¼ª® ª¢ °²¨° ¢ ¯®¤º¥§¤¥? 257

) ¥ ³¤¨¢«¿©²¥±¼: ²° ¢  ° ±²¥².

47

°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥

Œ­®£¨¥ ¢¥¹¨ ­ ¬ ­¥¯®­¿²­» ­¥ ¯®²®¬³, ·²® ­ ¸¨ ¯®­¿²¨¿ ±« ¡»; ­® ¯®²®¬³, ·²® ±¨¨ ¢¥¹¨ ­¥ ¢µ®¤¿² ¢ ª°³£ ­ ¸¨µ ¯®­¿²¨©. Š®§¼¬  °³²ª®¢

)

‚ ­¥±¥°¼ ¥§­®© ´®°¬¥ ¯°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥

£« ±¨²:

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¯®± ¤¨²¼ 7 ª°®«¨ª®¢ ¢ 3 ª«¥²ª¨, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© ¡»«® ­¥ ¡®«¼¸¥ 2 ª°®«¨ª®¢."

\…±«¨ z § ©¶¥¢ ±¨¤¿² ¢ k ª«¥²ª µ, ²® ­ ©¤¥²±¿ ª«¥²ª , ¢ ª®²®°®© ­¥ ¬¥­¥¥ z=k § ©¶¥¢." ®«¥¥ ®¡¹ ¿ ´®°¬³«¨°®¢ª :

¥

­ ¤® ¡®¿²¼±¿ ¤°®¡­®£® ·¨±«® § ©¶¥¢ | ¥±«¨ ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ¢ ¿¹¨ª¥ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 7/3 § ©¶¥¢, §­ ·¨², ¨µ ¡®«¼¸¥ ¤¢³µ. Ž¤¨­ ¬ ²¥¬ ²¨ª ±ª § «, ·²® „¨°¨µ«¥ ¯® · ±²®²¥ ³¯®¬¨­ ­¨© ¸ª®«¼­¨ª ¬¨ ­ ¢±¥£¤  ®¡¥±¯¥·¥­® ®¤­® ¨§ ± ¬»µ ¢»±¸¨µ ¬¥±².

ˆ ¤®¡ ¢¨«:

\®¦ «³©, ¥±²¼ ±¯®±®¡ «¨¸¨²¼ ¥£® «¨¤¥°-

±²¢  | ­ §¢ ²¼ ·¼¨¬-­¨¡³¤¼ ¨¬¥­¥¬ ¯°¨­¶¨¯ À­¨ª ª®¥ · ¥²­®¥ ·¨±«® ­¥ ° ¢­® ­¨ª ª®¬³ ­¥· ¥²­®¬³Á." „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨­¶¨¯  „¨°¨µ«¥ ®·¥­¼ ¯°®±²®¥, ­® § ±«³¦¨¢ ¥² ¢­¨¬ ­¨¿, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®µ®¦¨¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ À®² ¯°®²¨¢­®£®Á · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿. „®¯³±²¨¬, ·²® ¢ ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ·¨±«® § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ·¥¬

k
(z=k) = z

z=k

. ’®£¤  ¢

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ª«¥²ª µ § ©¶¥¢ ¬¥­¼¸¥,

. °®²¨¢®°¥·¨¥!

. ‚ ¸ª®«¥ 400 ³·¥­¨ª®¢. „®ª ¦¨²¥, ·²® µ®²¿ ¡» ¤¢®¥ ¨§ ­¨µ °®¤¨«¨±¼ ¢ ®¤¨­ ¤¥­¼ £®¤ . 264. ‚ ª« ±±¥ 40 ³·¥­¨ª®¢.  ©¤ ¥²±¿ «¨ ² ª®© ¬¥±¿¶ ¢ £®¤³, ¢ ª®²®°®¬ ®²¬¥· ¾² ±¢®© ¤¥­¼ °®¦¤¥­¨¿ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ 4 ³·¥­¨ª  ½²®£® ª« ±± ? 263

) ¥²¥° ƒ³±² ¢ ‹¥¦¥­ „¨°¨µ«¥ (1805{1859), ¢¥«¨ª¨© ­¥¬¥¶ª¨© ¬ ²¥¬ -

²¨ª, ¨§³· «  °¨´¬¥²¨ª³ (²¥®°¥¬  „¨°¨µ«¥ ® ¯°®±²»µ ·¨±« µ ¢  °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ¯°®£°¥±±¨¨), ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ (¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ „¨°¨µ«¥, °¿¤» „¨°¨µ«¥), ¬¥µ ­¨ª³ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ´¨§¨ª³ (¯°¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥ ¢ ²¥®°¨¨ £ °¬®­¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©).

48

. ‚ ª« ±±¥ 30 ³·¥­¨ª®¢. ‚ ¤¨ª² ­²¥ ‚®¢  ±¤¥« « 13 ®¸¨¡®ª, ®±² «¼­»¥ ¬¥­¼¸¥. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ²°¨ ³·¥­¨ª  ±¤¥« «¨ ®¸¨¡®ª ¯®°®¢­³. 266. ˆ§ «¾¡»µ ²° ¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢ , ±³¬¬  ª®²®°»µ ·¥²­ . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 265

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. ‚±¥ ·¨±«  ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ¤¢  ª« ±± : · ¥²­»¥ ¨ ­¥· ¥²­»¥.

¥¢®§¬®¦­® ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ²°¨ ·¨±«  ¯® ¤¢³¬ ª« ±± ¬ ² ª,

·²®¡» ­¨ ¢ ª ª®© ª« ±± ­¥ ¯®¯ «® ¡®«¥¥ ®¤­®£® ·¨±« . ‡­ ·¨², ±°¥¤¨ «¾¡»µ ²° ¥µ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±«  ®¤¨­ ª®¢®© · ¥²­®±²¨. ˆµ ±³¬¬  · ¥²­ .

267. 268

.

269

.

270

.

271.

272

.

273

.

274

.

275

.

‘°¥¤¨ «¾¡»µ ¸¥±²¨ ¶¥«»µ ·¨±¥« ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ª° ²­  5. „®ª ¦¨²¥ ½²®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ «¾¡»µ n +1 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ­ ¶¥«® ¤¥«¨²±¿ ­  n . „ ­» 12 ° §«¨·­»µ ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨§ ­¨µ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ | ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ¤¢³¬¿ ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¶¨´° ¬¨. ˆ§ «¾¡»µ «¨ ±²  ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ±³¬¬  ª®²®°»µ ª° ²­  7? ‘³¹¥±²¢³¾² «¨  ) ¯¿²¼¤¥±¿²; ¡) ¡®«¥¥ ¯¿²¨¤¥±¿²¨ ° §«¨·­»µ ¤¢³§­ ·­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ­¨ª ª¨µ ¤¢³µ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ° ¢­  100? ˆ§ «¾¡»µ «¨  ) 51; ¡) 52 ¶¥«»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¤¢  ·¨±« , ±³¬¬  ¨«¨ ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ª° ²­  100?   ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ±²®¿² 44 ´¥°§¿. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¼¥² ª ª®£®-­¨¡³¤¼ ¤°³£®£® ´¥°§¿. Š ¦¤»© ¨§ 10 ³· ±²­¨ª®¢ ¯¥°¥£®¢®°®¢ ¯®±« « ¯® ¨µ ®ª®­· ­¨¨ ¯®§¤° ¢¨²¥«¼­»¥ ®²ª°»²ª¨ ¯¿²¥°»¬ ¤°³£¨¬ ³· ±²­¨ª ¬. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª ª¨¥-²® ¤¢®¥ ¯®±« «¨ ®²ª°»²ª¨ ¤°³£ ¤°³£³. ‚ £°³¯¯¥ 30 ·¥«®¢¥ª. Š ¦¤®¬³ ­° ¢¿²±¿ °®¢­® k «¾¤¥© ¨§ ½²®© £°³¯¯». °¨ ª ª®¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¬ k ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¥«®¢¥ª  ¨§ ½²®© £°³¯¯», ª®²®°»¥ ­° ¢¿²±¿ ¤°³£ ¤°³£³? 49

.   ¯«®±ª®±²¨ ­ °¨±®¢ «¨ 5 ¯°¿¬»µ. „®ª ¦¨²¥, ·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ª ª¨¬¨-²® ¤¢³¬¿ ¨§ ­¨µ ­¥ ¡®«¼¸¥ 36 . (…±«¨ ª ª¨¥­¨¡³¤¼ ¯°¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­», ±·¨² ©²¥, ·²® ³£®« ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ° ¢¥­ 0 .) 277. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¤®±ª¨ 6  6 ¬®¦­® ¯®ª° ±¨²¼, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¯®ª° ¸¥­­»¥ ª«¥²ª¨ ­¥ ±®¯°¨ª ± «¨±¼ (¤ ¦¥ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥)? 276

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥. Ž²¢¥² ®·¥¢¨¤¥­ ¨§ °¨±³­ª , ­  ª®²®°®¬ ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¨§ ¤¥¢¿²¨ § ª° ¸¥­­»µ ª«¥²®ª ­¥ ±®¯°¨ª ± ¾²±¿,   ¤¥±¿²³¾ ª«¥²ª³ ± ±®¡«¾¤¥­¨¥¬ ³±«®¢¨¿ ­¥ ¯®ª° ±¨¸¼.

® ª ª ¤®ª § ²¼, ·²®

­¨ª ª¨¬ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬ ­¥«¼§¿ ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¤®±ª¥ ¤¥±¿²¼ ­¥±®¯°¨ª ± ¾¹¨µ±¿ ª«¥²®ª?

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·¥¬ ª ¦¥²±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. ¬¥²®¤®¬ ¯¥°¥¡®° , ¥±«¨ ¤®±ª³ 6 ° §¬¥°®¬ 2000



‚ °¨ ­²®¢ £®° §¤® ¡®«¼¸¥,

ˆ ³¦ ±®¢±¥¬ ­¥¢®§¬®¦­® °¥¸¥­¨¥



6 § ¬¥­¨²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ¤®±ª³

2000 . Žª §»¢ ¥²±¿, ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ¤®±ª³ ­  ª¢ ¤-

° ²¨ª¨ ° §¬¥°®¬ 2



2 . ®«¼¸¥ ®¤­®© ®ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¨ ¢ ² ª®¬

ª¢ ¤° ²¨ª¥ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥²!

.   ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ­¥«¼§¿ ° §¬¥±²¨²¼ ¡®«¥¥ 32 ­¥ ¡¼¾¹¨µ ¤°³£ ¤°³£  ª®­¥©. „®ª ¦¨²¥ ½²®. ‚
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50

Ž¡µ®¤»

Š®£¤  ±³¤¼¡ , ¤®©¤¿ ¤® ¯¥°¥ª°¥±²ª , ª®«¥¡«¥²±¿, ª³¤  ¥© ¯®¢¥°­³²¼, ­¥ ¡®©±¿ ­¥­ §®©«¨¢®, ­® ¦¥±²ª® ±«¥£ª  ¥¥ ª®«¥­®¬ ¯®¤²®«ª­³²¼. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

. ‚ ª ¡¨­¥ «¨´²  20-½² ¦­®£® ¤®¬  ¥±²¼ ¤¢¥ ª­®¯ª¨. °¨ ­ ¦ ²¨¨ ­  ®¤­³ ¨§ ­¨µ «¨´² ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ­  13 ½² ¦¥©,   ¯°¨ ­ ¦ ²¨¨ ­  ¤°³£³¾ | ®¯³±ª ¥²±¿ ­  8 ½² ¦¥©. Š ª ¯®¯ ±²¼ ± 13-£® ½² ¦  ­  8-©? 283. Ž¡®©¤¨²¥ ª®­ ¥¬ ¤®±ª³  ) 4  5; ¡) 4  6; ¢) 4  7, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³. (‚®§¢° ¹ ²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®.) 284. ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ®¡®©²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥? 285. Š³§­¥·¨ª ¯°»£ ¥² ­  1 ±¬, ¯®²®¬ ¯°»£ ¥² ­  3 ±¬ ¢ ²®¬ ¦¥ ¨«¨ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, § ²¥¬ ¢ ²®¬ ¦¥ ¨«¨ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ­  5 ±¬, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Œ®¦¥² «¨ ®­ ¯®±«¥ 25-£® ¯°»¦ª  ®ª § ²¼±¿ ¢ ¨±µ®¤­®© ²®·ª¥? 286. ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»°¥§ ­» ª«¥²ª¨ f 3 ¨ c6. Œ®¦­® «¨ ®¡®©²¨ ®±² ¢¸¨¥±¿ ª«¥²ª¨, ­  ª ¦¤®© ¯®¡»¢ ¢ °®¢­® ®¤¨­ ° § ¨ ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ ¯¥°¥µ®¤¿ ­  ª«¥²ª³, ³ ª®²®°®© ®¡¹ ¿ ±²®°®­  ± ¯°¥¤»¤³¹¥©? 287. Œ³° ¢¥© ¯®«§ ¥² ¯® ¯°®¢®«®·­®¬³ ª °ª ±³ ª³¡ , ­¨ª®£¤  ­¥ ¯®¢®° ·¨¢ ¿ ­ § ¤. Œ®¦¥² «¨ ®ª § ²¼±¿, ·²® ¢ ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥ ®­ ³¦¥ ¯®¡»¢ « 25 ° §,   ¢ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼­»µ | ¯® 20 ° §? 288.   °¨±³­ª¥ ¨§®¡° ¦ ¥­ ¬ °¸°³² ª®°®«¿, ®¡®¸¥¤¸¥£® ¤®±ª³ ° §¬¥°®¬ 2  2, ·¥°¥¤³¿ ¤¨ £®­ «¼­»¥ ¨ ­¥¤¨ £®­ «¼­»¥ µ®¤» ¨ ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³.  °¨±³©²¥ ² ª®© ¬ °¸°³² ¤«¿ ¤®±ª¨ 8  8. 282

s s s s

51

‹¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨

…±«¨ ­ ¤® | ¿§»ª ±³ µ¨«¨, ±«®¦­»© §¢³ª®¬ ¨ ±«®¢®¬ ®¡¨«¼­»©, ·¨±²® ¢»³· ² ¢­³ª¨  µ¨«¨ ¨ ´®«¼ª«®° ±®·¨­¿² ±³ µ¨«¼­»©. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

289

. „ ­» ´° ­¶³§±ª¨¥ ±«®¢  tour, face, coucher, attacher, pas-

sage, orange, variete, chance, torche, rager, image, courage, reverence ¨ ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥: ´ ª¥«, ±¬¥«®±²¼, ¯°®µ®¤, «¨¶®, ¯®·²¥­¨¥, ¯°¨¢¿§»¢ ²¼, ¯®¥§¤ª , ®¡° §, ° §­®®¡° §¨¥, «¥¦ ²¼, ³¤®¡­»© ±«³· ©,  ¯¥«¼±¨­, ­¥¨±²®¢±²¢®¢ ²¼. “±² ­®¢¨²¥, ª ª®¥ ´° ­¶³§-

±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 290. ‚®² ®¡®§­ ·¥­¨¿ ­¥ª®²®°»µ ¤ ² ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨: tarehe tatu

Disemba jumamosi; tarehe pili Aprili jumanne; tarehe nne Aprili jumanne; tarehe tano Octoba jumapili; tarehe tano Octoba jumatatu; tarehe tano Octoba jumatano. € ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ­  °³±±ª¨© ¿§»ª (¢ ¯¥°¥¯³² ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥): 5 ®ª²¿¡°¿, ¯®­¥¤¥«¼­¨ª; 2  ¯°¥«¿, ¢²®°­¨ª; 5 ®ª²¿¡°¿, ±°¥¤ ; 5 ®ª²¿¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; 3 ¤¥ª ¡°¿, ±³¡¡®² ; 4  ¯°¥«¿, ¢²®°­¨ª. Š ª ­ ¯¨± ²¼ ­  ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤ ²»:

3  ¯°¥«¿, ±°¥¤ ; ¡) 2 ¤¥ª ¡°¿, ¢®±ª°¥±¥­¼¥; ¢) 1 ­®¿¡°¿, ¯®­¥¤¥«¼­¨ª? 291. ‚®² ­¥±ª®«¼ª®  ©­±ª¨µ ·¨±«¨²¥«¼­»µ (¢ « ²¨­±ª®© ²° ­±ª°¨¯¶¨¨):  )

3 | re; 11 | shine ikashma wan; 22 | tu ikashma hotne; 37 | arwan ikashma wan e tu hotne; 47 | arwan ikashma tu hotne; 93 | re ikashma wan e ashikne hotne; 135 | ashikne ikashma wan e arwan hotne. Ž¯°¥¤¥«¨²¥, ª ª®¥ ·¨±«® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®- ©­±ª¨ ª ª wan e re hotne. ‡ ¯¨¸¨²¥ ¯®- ©­±ª¨ ·¨±« : 1, 5, 12, 53, 100, 200. 52

‚§¢¥¸¨¢ ­¨¿

—²®¡» ¯° ¢¨«¼­® § ¤ ²¼ ¢®¯°®±, ­³¦­® §­ ²¼ ¡ ®«¼¸³¾ · ±²¼ ®²¢¥² . . ˜¥ª«¨ À‚¥°­»© ¢®¯°®±Á

. ˆ§ ²°¥µ ®¤¨­ ª®¢»µ ¯® ¢¨¤³ ª®«¥¶ ®¤­® ­¥±ª®«¼ª® «¥£·¥ ¤°³£¨µ, ¨¬¥¾¹¨µ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¬ ±±». Š ª §  ®¤­® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥ ­ ©²¨ ¡®«¥¥ «¥£ª®¥ ª®«¼¶®? 293. Œ®¦­® «¨ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¥± ²¥« , ¥±«¨ ª®°®¬»±«  · ¸¥·­»µ ¢¥±®¢ À­¥¯° ¢¨«¼­»¥Á,   £¨°¨ À¯° ¢¨«¼­»¥Á? 294. ˆ§ ·¥²»°¥µ ¤¥² «¥© ®¤­  ®²«¨· ¥²±¿ ¯® ¢¥±³ ®² ®±² «¼­»µ, ¨¬¥¾¹¨µ ®¤¨­ ª®¢»© ¢¥±. Œ®¦­® «¨ ¢»¤¥«¨²¼ ¥¥ ¤¢³¬¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  ¢¥± µ ± ¤¢³¬¿ · ¸ª ¬¨ ¡¥§ £¨°¼? 295. ˆ§  ) 75; ¡) 101 ®¤¨­ ª®¢»µ ¯® ¢¨¤³ ª®«¥¶ ®¤­® ª®«¼¶® (¬» ­¥ §­ ¥¬, ª ª®¥ ¨¬¥­­®) ¯® ¢¥±³ ­¥±ª®«¼ª® ®²«¨· ¥²±¿ ®² ®±² «¼­»µ. Œ®¦­® «¨ §  ¤¢  ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ®¯°¥¤¥«¨²¼, «¥£·¥ ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ½²® ª®«¼¶®, ·¥¬ ®±² «¼­»¥?) 296. ˆ«¼¥ Œ³°®¬¶³, „®¡°»­¥ ¨ª¨²¨·³ ¨ €«¥¸¥ ®¯®¢¨·³ §  ¢¥°­³¾ ±«³¦¡³ ¤ «¨ 6 ¬®­¥²: 3 §®«®²»¥ ¨ 3 ±¥°¥¡°¿­»¥. Š ¦¤®¬³ ¤®±² «®±¼ ¯® ¤¢¥ ¬®­¥²». ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶ ­¥ §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¤®±² «¨±¼ „®¡°»­¥,   ª ª¨¥ €«¥¸¥, ­® §­ ¥², ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¤®±² «¨±¼ ¥¬³ ± ¬®¬³. °¨¤³¬ ©²¥ ¢®¯°®±, ­  ª®²®°»© ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶ ®²¢¥²¨² À¤ Á, À­¥²Á ¨«¨ À­¥ §­ ¾Á ¨ ¯® ®²¢¥²³ ­  ª®²®°»© ¢» ±¬®¦¥²¥ ¯®­¿²¼, ª ª¨¥ ¬®­¥²» ¥¬³ ¤®±² «¨±¼. 292

| Ž ³¦ ±! ‚ ¸ ±«³£  ³¡¨²! Ž­ ­ ¤¢®¥ ° §°¥§ ­, ¬¨±²¥° ‘¬¨²! ³, ·²® ¦. ’®£¤  «¾¡¥§­®±²¼ ®ª ¦¨²¥, ’³ ¯®«®¢¨­³, £¤¥ ª«¾·¨, ¯°¨¸«¨²¥. …±«¨ ­ ¤® ³£ ¤ ²¼ § ¤³¬ ­­®¥ ª¥¬-²® ·¨±«® §  ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® ¢®¯°®±®¢,   ®²¢¥· ¾² «¨¸¼ À¤ Á ¨«¨ À­¥²Á, ²® ± ¬®¥

) ‚» ­¥ ®¡¿§ ­» ­ µ®¤¨²¼ ½²® ª®«¼¶®.

53

«³·¸¥¥ | ¢±¿ª¨© ° § ¤¥«¨²¼ ¬­®¦¥±²¢®, ¢ ª®²®°®¬ ­ µ®¤¨²±¿ ·¨±«®, ¯®¯®« ¬.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ § ¤³¬ ­® ·¨±«® ®² 1 ¤® 8, ²® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¥£® ­ ¢¥°­¿ª  ¬®¦­® §  3 ¢®¯°®± ,   ¡»±²°¥¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥«¼§¿.

.  §«®¦¨²¥ ¯® ±¥¬¨ ª®¸¥«¼ª ¬ 127 °³¡«¥¢»µ ¡³¬ ¦¥ª, ·²®¡» «¾¡³¾ ±³¬¬³ ®² 1 ¤® 127 °³¡«¥© ¬®¦­® ¡»«® ¡» ¢»¤ ²¼, ­¥ ®²ª°»¢ ¿ ª®¸¥«¼ª®¢. 298. ‡  ±ª®«¼ª® ¢®¯°®±®¢ ¬®¦­® ­ ¢¥°­¿ª  ®²£ ¤ ²¼ ¶¥«®¥ ·¨±«®, § ª«¾·¥­­®¥ ¬¥¦¤³ 1 ¨ 1000, ¥±«¨ ­  ¢®¯°®±» ®²¢¥· ¾² ²®«¼ª® À¤ Á ¨«¨ À­¥²Á? 299.  ) ˆ§ 9 ¬®­¥² ®¤­  ´ «¼¸¨¢ ¿ | ¡®«¥¥ «¥£ª ¿, ·¥¬ ­ ±²®¿¹¨¥. „¢³¬¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼ ­ ©¤¨²¥ ¥¥. ‘ª®«¼ª® ²°¥¡³¥²±¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ¤«¿ ¡) 27; ¢) 80; £) 2003 ¬®­¥²?  300. ˆ¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ª° ±­»¥, ¤¢¥ ¦¥«²»¥ ¨ ¤¢¥ §¥«¥­»¥ £¨°¨. ‚ ª ¦¤®© ¯ °¥ ®¤­  ¨§ £¨°¼ ­¥¬­®£® «¥£·¥,   ¤°³£ ¿ ²¿¦¥«¥¥. ‚±¥ ²°¨ ²¿¦¥«»¥ £¨°¨ ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢®. ‚±¥ ²°¨ «¥£ª¨¥ £¨°¨ ²®¦¥ ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢®. Ž¯°¥¤¥«¨²¥ §  2 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ, ª ª ¿ ¨§ £¨°¼ ¢ ª ¦¤®© ¯ °¥ ²¿¦¥«¥¥. 301. 68  «¬ §®¢ ° §«¨·­» ¯® ¢¥±³. ‡  100 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼ ­ ©¤¨²¥ ± ¬»© «¥£ª¨© ¨ ± ¬»© ²¿¦¥«»©  «¬ §. 302. ‚ £®±²¨­¨¶³ ¯°¨¥µ « ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª. “ ­¥£® ¡»«  «¨¸¼ ±¥°¥¡°¿­ ¿ ¶¥¯®·ª  ¨§ 7 §¢¥­¼¥¢. ‡  ª ¦¤»© ¤¥­¼ ¯°¥¡»¢ ­¨¿ ¢ £®±²¨­¨¶¥ ®­ ° ±¯« ·¨¢ «±¿ ®¤­¨¬ §¢¥­®¬ ¶¥¯®·ª¨.  ) Š ª®¥ §¢¥­® ¶¥¯®·ª¨ ­ ¤® ° ±¯¨«¨²¼, ·²®¡» ¯°®¦¨²¼ ¢ £®±²¨­¨¶¥ 7 ¤­¥© ¨ ¥¦¥¤­¥¢­® ° ±¯« ·¨¢ ²¼±¿ ± µ®§¿¨­®¬? (•®§¿¨­ ¬®¦¥² ¤ ¢ ²¼ ±¤ ·³ §¢¥­¼¿¬¨, ¯®«³·¥­­»¬¨ ¨¬ ° ­¥¥.) ¡)  ‘ª®«¼ª® §¢¥­¼¥¢ ¯°¨¸«®±¼ ¡» ° ±¯¨«¨²¼, ¥±«¨ ¡» ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¦¨« ¢ £®±²¨­¨¶¥ 100 ¤­¥© ± ¶¥¯®·ª®© ¨§ 100 §¢¥­¼¥¢? 303. ‚ 9 ¬¥¸ª µ ¢±¥ ¬®­¥²» ­ ±²®¿¹¨¥ (¢¥±¿² ¯® 10 £),   ¢ ®¤­®¬ ¢±¥ ´ «¼¸¨¢»¥ (¢¥±¿² ¯® 11 £). Ž¤­¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ­  ²®·­»µ ¢¥± µ ±® ±²°¥«ª®© ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¢ ª ª®¬ ¬¥¸ª¥ ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²». 297

54

304.

ˆ¬¥¾²±¿ 4 ¯ ª¥²  ¨ · ¸¥·­»¥ ¢¥±» ¡¥§ £¨°¼. ‡  5 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ° ±¯®«®¦¨²¥ ¯ ª¥²» ¯® ¢¥±³. 305. ‘°¥¤¨ 12 ¬®­¥² ¨¬¥¥²±¿ ®¤­  ´ «¼¸¨¢ ¿.  ©¤¨²¥ ¥ ¥ §  ²°¨ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  ¢¥± µ ± ¤¢³¬¿ · ¸ª ¬¨ ¡¥§ £¨°¼, ¥±«¨ ­¥¨§¢¥±²­®, «¥£·¥ ®­  ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ®±² «¼­»µ. 306.   ±³¤¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯°¥¤º¿¢«¥­® 14 ¬®­¥². ‘³¤ §­ ¥², ·²® ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²» ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢®, ­ ±²®¿¹¨¥ ¬®­¥²» ¢¥±¿² ®¤¨­ ª®¢® ¨ ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²» «¥£·¥ ­ ±²®¿¹¨µ. ª±¯¥°² ®¡­ °³¦¨«, ·²® ¬®­¥²» ± 1-© ¯® 7¾ ´ «¼¸¨¢»¥,   ± 8-© ¯® 14-¾ | ­ ±²®¿¹¨¥. Š ª ®­ ¬®¦¥² ¤®ª § ²¼ ½²® §  ²°¨ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ £¨°¼? 307. ˆ¬¥¥²±¿ ¸¥±²¼ ®¤¨­ ª®¢»µ ± ¢¨¤³ £¨°¥ª ¬ ±±®© 1, 2, 3, 4, 5 ¨ 6 £ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.   £¨°¼ª µ ±¤¥« «¨ ­ ¤¯¨±¨: À1 £Á, À2 £Á, À3 £Á, À4 £Á, À5 £Á ¨ À6 £Á. Š ª ¤¢³¬¿ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿¬¨ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ ¡¥§ ¤°³£¨µ £¨°¥ª ¯°®¢¥°¨²¼ ¯° ¢¨«¼­®±²¼ ¢±¥µ ¸¥±²¨ ­ ¤¯¨±¥©? 308.  )   ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® · ±²¥© ­ ¤® ° §°¥§ ²¼ ²®°², ·²®¡» ¥£® ¬®¦­® ¡»«® ° §¤ ²¼ ¯®°®¢­³ ª ª ²°®¨¬, ² ª ¨ ·¥²¢¥°»¬? ¡) ‘ª®«¼ª® ª®¬­ ² ¤®«¦­® ¡»²¼ ¢ ª¢ °²¨°¥, ª³¤  ¬®¦­® § ±¥«¨²¼ 1, 2, 3 ¨«¨ 4 ±¥¬¼¨, ° §¤¥«¨¢ ¦¨«¯«®¹ ¤¼ ¯®°®¢­³ ¬¥¦¤³ ¢±¥«¿¥¬»¬¨ ±¥¬¼¿¬¨? ¢)  Š ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® £¨°¼ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®¤¨­ ª®¢»µ) ¬®¦¥² ¡»²¼ ° §«®¦¥­® ¨ ­  3, ¨ ­  4, ¨ ­  5 ª³· ®¤¨­ ª®¢®© ¬ ±±»? £)  Š ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® £¨°¼ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®¤¨­ ª®¢»µ) ¬®¦¥² ¡»²¼ ° §«®¦¥­® ¨ ­  4, ¨ ­  5, ¨ ­  6 ª³· ®¤¨­ ª®¢®© ¬ ±±»? 309.

‚ ª« ±±¥ ·¨±«® ®²±³²±²¢³¾¹¨µ ³·¥­¨ª®¢ ±®±² ¢«¿«® 1=6 · ±²¼ ·¨±«  ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ. Š®£¤  ¨§ ª« ±±  ¢»¸¥« ®¤¨­ ³·¥­¨ª, ·¨±«® ®²±³²±²¢³¾¹¨µ ±² «® ° ¢­® 1=5 ·¨±«  ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ. ‘ª®«¼ª® ³·¥­¨ª®¢ ¢ ª« ±±¥? 55

‘®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®² 

†¨¢¥² ¦¥ ª®² ‚ ±¨«¨© ­  ±¢¥²¥ ¡¥§ ³±¨«¨©. ‹ °¨±  Œ¨««¥°

. ‹®¸ ¤¼ ±º¥¤ ¥² ª®¯­³ ±¥­  §  2 ±³²®ª, ª®°®¢  | §  3, ®¢¶  | §  6 ±³²®ª. ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ±º¥¤¿² ª®¯­³ ±¥­  «®¸ ¤¼, ª®°®¢  ¨ ®¢¶  ¢¬¥±²¥? 311.   ¬¥«¼­¨¶¥ ¥±²¼ ²°¨ ¦¥°­®¢ .   ¯¥°¢®¬ §  ±³²ª¨ ¬®¦­® ±¬®«®²¼ 60 ·¥²¢¥°²¥© §¥°­ , ­  ¢²®°®¬ | 54,   ­  ²°¥²¼¥¬ | 48. ¥ª²® µ®·¥² ±¬®«®²¼ 81 ·¥²¢¥°²¼ §¥°­ . ‡  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¢°¥¬¿ ®­ ±¬®¦¥² ±¬®«®²¼ §¥°­®? 312. ‚ ª®¬­ ²¥ ®ª § «®±¼ 300 ¢ ¥¤¥° ¢®¤». „¢  ­ ±®±  ±² «¨ ¢»ª ·¨¢ ²¼ ¢®¤³. Ž¤¨­ ­ ±®± §  2 · ±  ¢»ª ·¨¢ ¥² 48 ¢¥¤¥°, ¤°³£®© §  6 · ±®¢ | 129 ¢¥¤¥°. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® · ±®¢ ¢»ª · ¾² ¢±¾ ¢®¤³, ¥±«¨ ¥¦¥· ±­® ± ¯®²®«ª  ¯®±²³¯ ¥² 8 ¢¥¤¥° ¢®¤»? 313. ‚ ¡ ª ¢¬¥¹ ¥²±¿ 60 «¨²°®¢ ¢®¤». Š ­¥¬³ ¯°®¢¥¤¥­» ¤¢¥ ²°³¡». —¥°¥§ ¯¥°¢³¾ ²°³¡³ §  10 ¬¨­³² ¬®¦­® ­ ¯®«­¨²¼ ¯³±²®© ¡ ª. —¥°¥§ ¢²®°³¾ ²°³¡³ §  15 ¬¨­³² ¬®¦­® ®¯®°®¦­¨²¼ ¯®«­»© ¡ ª. ‘ª®«¼ª® ¢®¤» ®ª ¦¥²±¿ ¢ ¡ ª¥ ·¥°¥§ 5 ¬¨­³², ¥±«¨ ®²ª°»²¼ ®¡¥ ²°³¡»? 314. —¥°¥§ ª° ­ ¢®¤  § ¯®«­¿¥² ¡ ª §  3 · ± ,   ·¥°¥§ ±«¨¢­®¥ ®²¢¥°±²¨¥ ¢±¿ ¢®¤  ¨§ ¡ ª  ¢»«¨¢ ¥²±¿ §  5 · ±®¢. ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¢®¤  § ¯®«­¨² ¡ ª ¯°¨ ®²ª°»²»µ ª° ­¥ ¨ ®²¢¥°±²¨¨?) 315. ˜¥°«®ª •®«¬± ¨ ¤®ª²®° ‚ ²±®­, ° ¡®² ¿ ¢¬¥±²¥, ¬®£³² ¢»°»²¼ ª ­ ¢³ §  6 · ±®¢. …±«¨ ¡» •®«¬± °»« 4 · ± ,   § ²¥¬ ‚ ²±®­ | 6 · ±®¢, ²® ª ­ ¢  ¡»«  ¡» ¢»°»²  ­  80%. ‡  ±ª®«¼ª® · ±®¢ •®«¬±, ° ¡®² ¿ ¢ ®¤¨­®·ª³, ¢»°»« ¡» ½²³ ª ­ ¢³? 316. Ž¤­  ±­¥£®³¡®°®·­ ¿ ¬ ¸¨­  ¬®£«  ¡» ³¡° ²¼ ¢±¾ ³«¨¶³ §  1 · ±,   ¤°³£ ¿ | §  45 ¬¨­³².  · ¢ ° ¡®²³ ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ¬ ¸¨­» ¯°®° ¡®² «¨ ¢¬¥±²¥ 20 ¬¨­³², ¯®±«¥ ·¥£® ¯¥°¢ ¿ 310

) ‘·¨² ©²¥, ·²® ±ª®°®±²¼ ¢»²¥ª ­¨¿ ¢®¤» ¨§ ¡ ª  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¥£®

­ ¯®«­¥­­®±²¨.

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±«®¬ « ±¼. —¥°¥§ ±ª®«¼ª® ¬¨­³² ¢²®° ¿ ¬ ¸¨­  § ª®­·¨«  ° ¡®²³? Ž¤­  ¬¥«¼­¨¶  ¯¥°¥¬ «»¢ ¥² 19 ¶¥­²­¥°®¢ ¯¸¥­¨¶» §  3 · ± , ¤°³£ ¿ | 32 ¶¥­²­¥°  §  5 · ±®¢, ²°¥²¼¿ | 10 ¶¥­²­¥°®¢ §  2 · ± . Š ª ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ 133 ²®­­» ¯¸¥­¨¶», ·²®¡», ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­ · ¢ ° ¡®²³, ®­¨ ®ª®­·¨«¨ ¥¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­®? Ž¤¨­ ·¥«®¢¥ª ¢»¯¼¥² 318.0 ‡  ¤¥±¿²¼ ¤­¥© ¯¨° ² …°¥¬  ª ¤¼ ¯¨²¨¿ §  14 ¤­¥©, ±¯®±®¡¥­ ¢»¯¨²¼ ¡®·ª³ °®¬ ,     ¢¬¥±²¥ ± ¦¥­®¾ | ³ ¯¨° ²³¸ª¨ …¬¥«¨ ³¸«® ¡ ­  §  10 ¤­¥©. ‡  ±ª®«¼ª® ½²® ¤¢¥ ­¥¤¥«¨. ‡  ±ª®«¼ª® ¤­¥© ¤­¥© ¦¥­  ¢»¯¼¥² ²³ ¯°¨ª®­· ² °®¬ ¯¨° ²», ¤¥©±²¢³¿ ¦¥ ª ¤¼?) ¢¤¢®¥¬? Œ «»¸ ¬®¦¥² ±º¥±²¼ ²®°² §  10 ¬¨­³², ¡ ­ª³ ¢ °¥­¼¿ | §  8 ¬¨­³²,   ª ±²°¾«¾ ¯°®±²®ª¢ ¸¨ | §  15 ¬¨­³². Š °«±®­ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ½²® §  2, 3 ¨ 4 ¬¨­³²» ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ®­¨ ¢¬¥±²¥ ¬®£³² ¯®ª®­·¨²¼ ± § ¢²° ª®¬, ±®±²®¿¹¨¬ ¨§ ²®°² , ¡ ­ª¨ ¢ °¥­¼¿ ¨ ª ±²°¾«¨ ¯°®±²®ª¢ ¸¨? ‡  3 12 · ±  ° ¡®²» ¯¥°¢»© ¸² ¬¯®¢®·­»© ¯°¥±± ¬®¦¥² ¨§£®²®¢¨²¼ 42% ¢±¥µ § ª § ­­»µ ¤¥² «¥©. ‚²®°®© ¯°¥±± §  9 · ±®¢ ° ¡®²» ¬®¦¥² ¨§£®²®¢¨²¼ 60% ¢±¥µ ¤¥² «¥©. ‘ª®°®±²¼ ° ¡®²» ²°¥²¼¥£® ¯°¥±±  ­  20% ¡®«¼¸¥ ±ª®°®±²¨ ¢²®°®£® ¯°¥±± . ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¡³¤¥² ¢»¯®«­¥­ ¢¥±¼ § ª § ¯°¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ° ¡®²¥ ¢±¥µ ²°¥µ ¯°¥±±®¢? ’°¨ ²° ª²®°­»¥ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¯®«¥ §  4 ¤­¿. ²® ¦¥ ¯®«¥ ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ¡°¨£ ¤» ¢¬¥±²¥ ¢±¯ µ «¨ ¡» §  6 ¤­¥©,   ¯¥°¢ ¿ ¨ ²°¥²¼¿ ¢¬¥±²¥ | §  8 ¤­¥©. ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡®«¼¸¥ ¯«®¹ ¤¼, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬ ¿ §  ²°¨ ¤­¿ ¢²®°®© ¡°¨£ ¤®©, ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯«®¹ ¤¼¾, ¢±¯ µ¨¢ ¥¬®© §  ¤¢  ¤­¿ ²°¥²¼¥© ¡°¨£ ¤®©? ˆ¢ ­, ¥²° ¨ Š¨°¨«« ª®±¨«¨ ²° ¢³. ¥²° ¨ Š¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ˆ¢ ­. ˆ¢ ­ ¨ Š¨°¨«« ±ª®±¨«¨ ¡» ) ²  § ¤ ·  | ¨§ À€°¨´¬¥²¨ª¨Á ‹. ”. Œ £­¨¶ª®£®.

57

¢±¾ ²° ¢³ ¢²°®¥ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ¥²°. ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥, ·¥¬ Š¨°¨««, ±ª®±¨«¨ ¡» ¢±¾ ²° ¢³ ˆ¢ ­ ¨ ¥²°? 323. —¥²»°¥ · ¥°­¥­¼ª¨µ ·³¬ §¥­¼ª¨µ ·¥°²¥­ª  ·¥°²¨«¨ ·¥°­»¬¨ ·¥°­¨« ¬¨ ·¥°²¥¦ ·¥²»°¥ · ± . …±«¨ ¡» ¯¥°¢»© ·¥°²¥­®ª ·¥°²¨« ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥, ²® ¨¬ ¯®²°¥¡®¢ «®±¼ ¡» ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥­¨; ¥±«¨ ¡», ­ ®¡®°®², ¯¥°¢»© ·¥°²¨« ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥,   ¢²®°®© | ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥, ²® ®­¨ ³¯° ¢¨«¨±¼ ¡» §  ¤¢  · ±  ±®°®ª ¬¨­³². ‡  ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ­ ·¥°²¨«¨ ¡» ·¥°²¥¦ ¯¥°¢»¥ ²°¨ ·¥°²¥­ª  ¡¥§ ¯®¬®¹¨ ·¥²¢¥°²®£®?  324. ’°¨ ª ­ «® °¬¥©¶  ª®¯ «¨ ª ­ ¢³. ‘­ · «  ¯¥°¢»© ª ­ «® °¬¥¥¶ ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³, § ²¥¬ ¢²®°®© ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³, ­ ª®­¥¶, ²°¥²¨© ¯°®° ¡®² « ¯®«®¢¨­³ ¢°¥¬¥­¨, ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ¤¢³¬ ¤°³£¨¬, ·²®¡» ¢»°»²¼ ¢±¾ ª ­ ¢³. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ª ­ ¢  ¡»«  ¢»°»² . ‚® ±ª®«¼ª® ° § ¡»±²°¥¥ ¡»«  ¡» ¢»°»²  ª ­ ¢ , ¥±«¨ ¡» ± ± ¬®£® ­ · «  ° ¡®² «¨ ¢±¥ ²°®¥ ¢¬¥±²¥? 325 

.  ) ’°¨ ¯¨° ²  § µ¢ ²¨«¨ ª®° ¡«¼ ± ° §­®®¡° §­¥©¸¨¬ ¤®¡°®¬. Š ¦¤»© ³¢¥°¥­, ·²® ®­ ¡» ¯®¤¥«¨« ¤®¡»·³ ­  ° ¢­»¥ · ±²¨, ­® ®±² «¼­»¥ ¥¬³ ­¥ ¤®¢¥°¿¾². …±«¨ ¡» ¯¨° ²®¢ ¡»«® ¤¢®¥, ²® ¢»©²¨ ¨§ ¯®«®¦¥­¨¿ ¡»«® ¡» «¥£ª®: ®¤¨­ ° §¤¥«¨« ¡» ¤®¡»·³ ­  ¤¢¥ · ±²¨,   ¤°³£®© ¢§¿« ¡» ²³, ª®²®° ¿ ¥¬³ ª ¦¥²±¿ ¡®«¼¸¥©. Ž°£ ­¨§³©²¥ ° §¤¥« ¤®¡»·¨ ¬¥¦¤³ ²°¥¬¿ ¯¨° ² ¬¨, ·²®¡» ­¨ª²® ­¥ ·³¢±²¢®¢ « ±¥¡¿ ®¡¤¥«¥­­»¬. („®¡»·  ­ ±²®«¼ª® ° §­®°®¤­  ¨ ¢ª³±» ¯¨° ²®¢ ­ ±²®«¼ª® ­¥±µ®¦¨, ·²® ®¡º¥ª²¨¢­®£® ±¯®±®¡  ±° ¢­¥­¨¿ ®²¤¥«¼­»µ · ±²¥© ­¥ ±³¹¥±²¢³¥².) ¡) € ¥±«¨ ¯¨° ²®¢ ­¥ 3,   15? 326. “ ®¤­®£®  ° ¡  ¡»« ª³¢¸¨­ ¬®«®ª , ³ ¤°³£®£® | µ«¥¡,   ³ ²°¥²¼¥£® | 6 ´¨­¨ª®¢. ‡  ®¡¥¤ ²°¥²¨©  ° ¡ § ¯« ²¨« ®±² «¼­»¬ 20 ¬®­¥². Š ª ±«¥¤³¥² ° §¤¥«¨²¼ ½²¨ ¤¥­¼£¨, ¥±«¨ ¥«¨ ¯®°®¢­³, 4 ª³¢¸¨­  ¬®«®ª  ±²®¿² ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® 3 µ«¥¡ ,   ®¤¨­ ª³¢¸¨­ ¬®«®ª  ° ¢­®¶¥­¥­ 36 ´¨­¨ª ¬? 58

„¥«¨¬®±²¼

–¥«®¥ ·¨±«® a ¤¥«¨²±¿ ­  ¶¥«®¥ ·¨±«® b , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® k , ·²® a = kb .

. Š ·¨±«³ 15 ¯°¨¯¨¸¨²¥ ±«¥¢  327.0 Š ·¨±«³ 10 ¯°¨¯¨¸¨²¥ ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´°¥ ² ª, ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¯® ®¤­®© ¶¨´·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥- °¥ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ «¨«®±¼ ­  15. ·¨±«®, ª° ²­®¥ 72. 328. ¥ª®²®°®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  4 ¨ ­  6. Ž¡¿§ ²¥«¼­® «¨ ®­® ¤¥«¨²±¿ ­  24? 329.  ©¤¨²¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ¤¥«¿¹¥¥±¿ ­  36, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°®£® ³· ±²¢³¾² ¢±¥ 10 ¶¨´° ¯® ®¤­®¬³ ° §³. 330.   ¤®±ª¥ ­ ¯¨± ­®: 6457235. ‡ ¬¥­¨²¥ §¢ ¥§¤®·ª³ ¶¨´°®© ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  3. 331. ‡ ¬¥­¨²¥ §¢ ¥§¤®·ª¨ ¢ § ¯¨±¨ ·¨±«  723 ¶¨´° ¬¨ ² ª, ·²®¡» ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ¡¥§ ®±² ²ª  ­  45. 332. ‚ ±²° ­¥ €­·³°¨¨ ¢ ®¡° ¹¥­¨¨ ¨¬¥¾²±¿ ª³¯¾°» ±«¥¤³¾¹¨µ ¤®±²®¨­±²¢: 1  ­·³°, 10  ­·³°®¢, 100  ­·³°®¢, 1000  ­·³°®¢. Œ®¦­® «¨ ®²±·¨² ²¼ ¬¨««¨®­  ­·³°®¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ °®¢­® ¯®«¬¨««¨®­  ª³¯¾°? 333.  ©¤¨²¥ ¤¢³§­ ·­®¥ ·¨±«®, ¯¥°¢ ¿ ¶¨´°  ª®²®°®£® € ° ¢­  ° §­®±²¨ ¬¥¦¤³ ½²¨¬ ·¨±«®¬ ¨ ·¨±«®¬, § ¯¨- ,€ ± ­­»¬ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ­® ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥. € 334. ‚¥°­® «¨, ·²® ¥±«¨ § ¯¨± ²¼ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥ ¶¨´°» «¾¡®£® ¶¥«®£® ·¨±« , ²® ° §­®±²¼ ¨±µ®¤­®£® ¨ ­®¢®£® ·¨±¥« ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  9? 335.  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¤¢³§­ ·­»¥ ·¨±« , ±³¬¬  ¶¨´° ª®²®°»µ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ­¨ ­  2, ­¨ ­  3, : : : , ­¨ ­  8, ­¨ ­  9. 336. ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ¶¥«®¥ ·¨±«®, ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¶¨´° ª®²®°®£® ° ¢­® 528? 327

59

. ‘ª®«¼ª® ¶¨´° ¢ ·¨±«¥ 11 : : : 11, ¥±«¨ ®­® ¤¥«¨²±¿ ¡¥§ ®±² ²ª  ­  999 999 999? 338. ‚ ·¨±«¥ ¯¥°¥±² ¢¨«¨ ¶¨´°» ¨ ¯®«³·¨«¨ ·¨±«®, ¢ 3 ° §  ¬¥­¼¸¥¥ ¨±µ®¤­®£®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¨±µ®¤­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  27. 339. Š ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°. Š ¯®«³·¥­­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Š®£¤  ¢ ±¥¤¼¬®© ° § ª ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨«¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ¯®«³·¨«¨ 1000. ‘ ª ª®£® ·¨±«  ­ · «¨? 340. ¥§­ ©ª  ¯¥°¥¬­®¦¨« ¢±¥ ·¨±«  ®² 1 ¤® 100. ®±·¨² « ±³¬¬³ ¶¨´° ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. “ ¯®«³·¥­­®£® ·¨±«  ®­ ±­®¢  ¯®±·¨² « ±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤ «¥¥. ‚ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ¥§­ ©ª  ¯®«³·¨« ®¤­®§­ ·­®¥ ·¨±«®. Š ª®¥? 337

‡   ¬ ¥ ·   ­ ¨ ¥.   ª®¬¯¼¾²¥°¥ «¥£ª® ¯®±·¨² ²¼, ·²® ·¨±«® 100! | ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯¥°¢»µ 100 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« | ° ¢­® 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 , ¢±¥£® 158 ¶¨´°. «¨²¼, ·²® ±³¬¬  ¶¨´° ·¨±« 

100!

‡­ ¿ ½²®, ­¥²°³¤­® ¢»·¨±-

° ¢­  648, ² ª ·²® ±³¬¬  ¶¨´°

±³¬¬» ¶¨´° ° ¢­  18,   ±³¬¬  ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ±³¬¬» ¶¨´° ·¨±«  100! ° ¢­  9. ® ­¥«¼§¿ «¨ °¥¸¨²¼ § ¤ ·³ ¡¥§ ² ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨©?

. “ ª ¦¤®£® ¨§ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1 000 000 000 ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³ ¥£® ¶¨´°, ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¯®«³·¨¢¸¥£®±¿ ¬¨««¨ °¤  ·¨±¥« ±­®¢  ¯®¤±·¨² «¨ ±³¬¬³ ¶¨´°, ¨ ² ª ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ¯®«³·¨«¨ ¬¨««¨ °¤ ®¤­®§­ ·­»µ ·¨±¥«. Š ª¨µ ·¨±¥« ¯®«³·¨«¨ ¡®«¼¸¥ ¢±¥£®? 342. ¥²¿ § ¬¥­¨« ¢ ¯°¨¬¥°¥ ­  ³¬­®¦¥­¨¥ €
‚ƒ = „„…… ®¤¨­ ª®¢»¥ ¶¨´°» ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¡³ª¢ ¬¨,   ° §­»¥ | ° §­»¬¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ®­ ®¸¨¡±¿. 343.  ) „®ª ¦¨²¥, ·²® ·¨±«  ¢¨¤  aa , abcabc , abcdeabcde ¤¥«¿²±¿ ­  11. ¡) …±«¨ ª ¯°®¨§¢®«¼­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¯¨± ²¼ ·¨±«®, § ¯¨± ­­®¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¡¥§ ®±² ²ª  ° §¤¥«¨²±¿ ­  11: ­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  ¢¨¤  aa , abba , abccba ª° ²­» 11. „®ª ¦¨²¥ ½²®. 341

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ˆ£°»

…±²¼ ¢¥¹¨, ª®²®°»¥ ±¯®ª®©­® ¬®¦­® ®¡º¿±­¨²¼ ¤¢ ¦¤» ¨ ²°¨¦¤», ­¥ ®¯ ± ¿±¼, ·²® ²¥¡¿ ¯®©¬³². °¥¬³¤° ¿ ‘®¢ 

. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ « ¤¼¨ (§  ®¤¨­ µ®¤ | ®¤­³ « ¤¼¾), ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ . (Š²® ª ª³¾ « ¤¼¾ ¯®±² ¢¨«, ­¥ ³·¨²»¢ ¥²±¿. ¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ « ¤¼¾ ¤ ¦¥ ¯®¤ ¡®© ±¢®¥© « ¤¼¨.) Š²® ­¥ ¬®¦¥² ¯®±² ¢¨²¼ « ¤¼¾, ¯°®¨£°»¢ ¥². Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ | ¯¥°¢»© ¨«¨ ¢²®°®©? 345. €­¿ ¨ ’ ­¿ ¢»¯¨±»¢ ¾² 8-§­ ·­®¥ ·¨±«®, ±² ¢¿ ¶¨´°» ¯® ®·¥°¥¤¨, ­ ·¨­ ¿ ±® ±² °¸¥£® ° §°¿¤ .  ·¨­ ¥² €­¿. Œ®¦¥² «¨ ’ ­¿ ¤®¡¨²¼±¿, ·²®¡» ·¨±«® ¤¥«¨«®±¼ ­  9? 346. ‹ ¤¼¿ ±²®¨² ­  ¯®«¥ a1. ‡  µ®¤ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¤¢¨­³²¼ ¥ ¥ ­  «¾¡®¥ ·¨±«® ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª ¢¯° ¢® ¨«¨ ­  «¾¡®¥ ·¨±«® ª«¥²®ª ¢¢¥°µ. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯®±² ¢¨² « ¤¼¾ ­  ¯®«¥ h8. “ ª®£® ¥±²¼ ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿? 347. ˆ¬¥¾²±¿  ) 2; ¡) 3 ®¤¨­ ª®¢»¥ ª³·¨ ª ¬­¥©. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ «¾¡®¥ ·¨±«® ª ¬­¥© ¨§ «¾¡®© ª³·¨, ­® ²®«¼ª® ¨§ ®¤­®©. ‚»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 348. „¢®¥ ¨£° ¾², ¯¥°¥¤¢¨£ ¿ 348.0 ˆ¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ª³·¨ ª®°®«¿ ¯® ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥. ª ¬­¥©. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ „®¯³±ª ¾²±¿ µ®¤» ­  ®¤­® ¯®«¥ ¡¥°³² ¯® ®·¥°¥¤¨ ª ¬­¨. ¢«¥¢®, ¢­¨§ ¨«¨ ¯® ¤¨ £®­ «¨  §°¥¸ ¥²±¿ ¢§¿²¼ ®¤¨­ ¢«¥¢®-¢­¨§. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª ¬¥­¼ ¨§ «¾¡®© ª³·¨ ª²® ±² ¢¨² ª®°®«¿ ­  ¯®«¥ a1. ¨«¨ ¯® ®¤­®¬³ ª ¬­¾ ¨§ °¨ ª ª¨µ ­ · «¼­»µ ¯®«®- ®¡¥¨µ ª³·. ‚»¨£°»¢ ¥² ¦¥­¨¿µ ª®°®«¿ ¢»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. ­ ·¨­ ¾¹¨©,   ¯°¨ ª ª¨µ | ˆ±±«¥¤³©²¥ ½²³ ¨£°³. ¥£® ¯ °²­¥°? 344

61

. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¡¥°³² ¨§ ª³·¨ ª ¬­¥© 1, 2 ¨«¨ 4 ª ¬­¿. ‚»¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¢§¿¢¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. °¨ ª ª®¬ ·¨±«¥ ª ¬­¥© ¢ ª³·¥ ­ ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼, ª ª ¡» ­¨ ¨£° « ¥£® ¯ °²­¥°? 350. ‚ °¿¤ ° ±¯®«®¦¥­» 12 ª«¥²®ª.   ± ¬®© ¯° ¢®© ª«¥²ª¥ ±²®¨² ¡¥« ¿ ´¨¸ª , ­  ± ¬®© «¥¢®© | ·¥°­ ¿. „¢  ¨£°®ª  ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¤¢¨£ ¾² ±¢®¾ ´¨¸ª³ ­  ®¤­® ¯®«¥ | ¢¯¥°¥¤ ¨«¨ ­ § ¤. (°®¯³±²¨²¼ µ®¤ ­¥«¼§¿.) °®¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¾² ²®£®, ³ ª®£® ­¥² µ®¤ . Š²® ¢»¨£°»¢ ¥²: ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­¥°? 351.   ¤®±ª¥ ±­ · «  ­ ¯¨± ­® ·¨±«® 1. Š ¦¤»¬ µ®¤®¬ ª ·¨±«³ ¬®¦­® ¯°¨¡ ¢¨²¼ 3, 5 ¨«¨ 7. —³­¿ ¨ °®­¿ µ®¤¿² ¯® ®·¥°¥¤¨ ² ª, ·²® ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  —³­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ·¥²­»¥ ·¨±« ,   ¯®±«¥ «¾¡®£® µ®¤  °®­¨ | ­¥·¥²­»¥. ’°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ¢±¥ ½²¨ ­¥·¥²­»¥ ·¨±«  ¡»«¨ ¯°®±²»¬¨.) –¥«¼ °®­¨ | ­ §¢ ²¼ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ ±² . –¥«¼ —³­¨ | ¯®¬¥¸ ²¼ °®­¥. (…±«¨ ¯¥°¢»¬ ­ §®¢¥² ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ 100, —³­¿, ¢»¨£° ¢¸¨¬ ¢±¥ ° ¢­® ±·¨² ¥²±¿ °®­¿.) Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 352. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¯¥°¥¢®¤¿² · ±®¢³¾ ±²°¥«ª³ ­  2 ¨«¨ 3 · ±  ¢¯¥°¥¤. …±«¨ ¢ ­ · «¥ · ±®¢ ¿ ±²°¥«ª  ³ª §»¢ ¥² 12,   ¯®¡¥¤¨²¥«¥¬ ®¡º¿¢«¿¥²±¿ ²®², ¯®±«¥ ·¼¥£® µ®¤  ®­  ³ª § «  ­  6, ³§­ ©²¥, ª²® ¯®¡¥¤¨² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥.y) 353. ˆ£° ¾² ¤¢®¥. ¥°¢»© ­ §»¢ ¥² ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9. ‚²®°®© ³¬­®¦ ¥² ½²® ·¨±«® ­  ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9. ‡ ²¥¬ ¯¥°¢»© ³¬­®¦ ¥² °¥§³«¼² ² ­  «¾¡®¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® ®² 2 ¤® 9, ¨ ². ¤. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ¯¥°¢»¬ ¯®«³·¨² ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡®«¼¸¥ 1 000. Š²® ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥ ¢»¨£°»¢ ¥² | ­ ·¨­ ¾¹¨© ¨«¨ ¥£® ¯ °²­¥°? 354. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±² ¢¿² ¯® ®¤­®¬³ ª®­¾ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³. ¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ ´¨£³°³ ¯®¤ ¡®© ° ­¥¥ (­¥ ¢ ¦­®, ± ¬¨¬ 349

) °®±²®¥ ·¨±«® | ½²® ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¨¬¥¥² °®¢­® ¤¢  ° §«¨·­»µ ¤¥«¨²¥«¿: ± ¬®£® ±¥¡¿ ¨ 1. ¥°¢»¥ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¯°®±²»µ ·¨±¥« ² ª®¢»: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. y)‘²°¥«ª  ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ ­¥±ª®«¼ª® ®¡®°®²®¢, ¯°¥¦¤¥ ·¥¬ ®±² ­®¢¨²±¿ ­  ¶¨´°¥ 6.

62

355

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¥¡³±»

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¥¸ ²¼ ¥£® ¬®¦­® ° §­»¬¨ ±¯®±®¡ -

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. ¥¸¨²¥ °¥¡³±»:  ) €X
“• = 2001; ¡) €Ž
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 = 2002. 361. ¥¸¨²¥ °¥¡³±». (Ž¤¨­ ª®¢»¬ ¡³ª¢ ¬ ¤®«¦­» ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¶¨´°», ° §­»¬ | ° §­»¥. ³¦­® ­ ©²¨ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¢ °¨ ­²».)

360

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65

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66

371.

‘³¹¥±²¢³¾² «¨ ¤¢  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±« ) , ±³¬¬  ¶¨´° ª ¦¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­   ) 11; ¡) 13; ¢)  1018? £)  …±«¨ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® n ­¥ ¤¥«¨²±¿ ­  3, ²® ±³¹¥±²¢³¾² ¤¢  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±« , ±³¬¬  ¶¨´° ª ¦¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  n . „®ª ¦¨²¥ ½²®. ²®£® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼, ¯®²®¬³ ·²® ½²®£® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­¨ª®£¤ . €. . —¥µ®¢. ¨±¼¬® ª ³· ¥­®¬³ ±®±¥¤³

372.

®¬¥°   ¢²®¡³±­»µ ¡¨«¥²®¢ ±®±²®¿² ¨§ 6 ¶¨´°, ­ ·¨­ ¿ ± ¡¨«¥²  000 000 ¨ ª®­· ¿ ¡¨«¥²®¬ 999 999. ¨«¥² ±·¨² ¥²±¿ ±· ±²«¨¢»¬, ¥±«¨ ±³¬¬  ¯¥°¢»µ ²°¥µ ¥£® ¶¨´° ° ¢­  ±³¬¬¥ ²°¥µ ¯®±«¥¤­¨µ. „®±² ²®·­® «¨ ª³¯¨²¼ 1000 ¡¨«¥²®¢ ¯®¤°¿¤, ·²®¡» ±°¥¤¨ ­¨µ ­ ¢¥°­¿ª  ­ ¸¥«±¿ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ±· ±²«¨¢»©? 373. °¨¤³¬ ©²¥ 100-§­ ·­®¥ ·¨±«® ¡¥§ ­³«¥¢»µ ¶¨´°, ¤¥«¿¹¥¥±¿ ­  ±³¬¬³ ±¢®¨µ ¶¨´°. 374. Œ®¦­® «¨ ¯¥°¥­³¬¥°®¢ ²¼ ° ¥¡°  374.0 Œ®¦­® «¨ ¯®ª³¡  ·¨±« ¬¨ ®² 1 ¤® 12 (ª ¦¤®¥ ª° ±¨²¼ °¥¡°  ª³¡  °¥¡°® | ±¢®¨¬ ·¨±«®¬), ·²®¡» ²°¥¬¿ ª° ±ª ¬¨, ·²®±³¬¬  ­®¬¥°®¢ «¾¡»µ ²°¥µ °¥¡¥°, ¡» ¢ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥ ±µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥, ±µ®¤¨«¨±¼ °¥¡°  ¢±¥µ ¤¥«¨« ±¼ ­  3? ²°¥µ ¶¢¥²®¢?

375.

‚ ­ · «¥ ¢® ¢±¥µ ª«¥²ª µ ² ¡«¨¶» 3  3 ±²®¿² ­³«¨. Œ®¦­® ¢»¡° ²¼ ª¢ ¤° ² 22 ¨ ³¢¥«¨·¨²¼ ­  1 ¢±¥ ·¥²»°¥ ¥£® ·¨±« . “¤ ±²±¿ «¨ §  ­¥±ª®«¼ª® ² ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¯®«³·¨²¼ ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±³­ª¥ ² ¡«¨¶³? ) ˆ¬¥¾²±¿ ¢ ¢¨¤³ ¤¢  ·¨±« , ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ­  1,

­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  5 ¨ 6, 1297 ¨ 1298.

67

4

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7

.   ¯«®±ª®±²¨ ¯°®¢¥¤¥­® ­¥±ª®«¼ª® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª®¢, ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ‚±¥£¤  «¨ ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ®²°¥§ª®¢, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ª®­¶» ¤ ­­»µ ®²°¥§ª®¢ ² ª, ·²®¡» ¢±¥ ®²°¥§ª¨ ¢¬¥±²¥ ®¡° §®¢ «¨ ®¤­³ ­¥± ¬®¯¥°¥±¥ª ¾¹³¾±¿ «®¬ ­³¾?  377.   ¯«®±ª®±²¨ «¥¦ ² ª°³£¨ ° ¤¨³± , ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¨µ ¢­³²°¥­­¨µ ²®·¥ª. ‚±¥£¤  «¨ ¬®¦­® ° ±ª° ±¨²¼ ª°³£¨ ¢ ²°¨ ¶¢¥² , ·²®¡» «¾¡»¥ ¤¢  ª ± ¾¹¨µ±¿ ª°³£  ¡»«¨ ° §­®£® ¶¢¥² ?  378. Œ®¦­® «¨ ¡¥±ª®­¥·­»© «¨±² ª«¥²· ²®© ¡³¬ £¨ ² ª ° §¡¨²¼ ­  ¤®¬¨­®¸ª¨ 1  2, ·²®¡» ª ¦¤ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨¤³¹ ¿ ¯® «¨­¨¿¬ ±¥²ª¨, ° §°¥§ «  ¯®¯®« ¬ «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ¤®¬¨­®¸¥ª? 379.  ±±² ¢¼²¥ ª°¥±²¨ª¨ ¨ ­®«¨ª¨ ¢ ² ¡«¨¶¥ ° §¬¥°®¬ 5  5 ² ª, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®© ±²°®ª¥, ª°®¬¥, ¡»²¼ ¬®¦¥², ¯¥°¢®©, ª°¥±²¨ª®¢ ¡»«® ¡» ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ­®«¨ª®¢,   ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ ª°®¬¥, ¡»²¼ ¬®¦¥², ¯®±«¥¤­¥£®, ­®«¨ª®¢ ¡»«® ¡» ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ª°¥±²¨ª®¢. 380. ˆ§ 40 ±¯¨·¥ª ®¡° §®¢ ­  ª¢ ¤° ²­ ¿ °¥¸¥²ª . ®ª ¦¨²¥, ª ª ±­¿²¼ 9 ±¯¨·¥ª, ·²®¡» ¯®«­®±²¼¾ ­¥ ±®µ° ­¨«®±¼ ª®­²³°  ­¨ ®¤­®£® ª¢ ¤° ²  (±®±²®¿¹¥£® ¨§ ®¤­®£® ¨«¨ ¡®«¼¸¥£® ª®«¨·¥±²¢  ¬ «¥­¼ª¨µ ª¢ ¤° ²¨ª®¢). „®±² ²®·­® ³ª § ²¼ ®¤¨­ ±¯®±®¡, ª ª ½²® ±¤¥« ²¼.  381. „ ­» ¤¢¥ ®¤¨­ ª®¢»¥ ¸¥±²¥°¥­ª¨ ± 13 §³¡¼¿¬¨ ª ¦¤ ¿. ˆµ ­ «®¦¨«¨ ¤°³£ ­  ¤°³£  ² ª, ·²® §³¡¼¿ ±®¢¯ «¨ (² ª, ·²® ¯°®¥ª¶¨¿ ­  ¯«®±ª®±²¼ ¢»£«¿¤¨² ª ª ®¤­  ¸¥±²¥°¥­ª ). ®±«¥ ½²®£® ·¥²»°¥ ¯ °» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ §³¡¼¥¢ ¢»¯¨«¨«¨. ‚±¥£¤  «¨ ¬®¦­® ¯®¢¥°­³²¼ ½²¨ ¸¥±²¥°¥­ª¨ ¤°³£ ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£  ² ª, ·²®¡» ¯°®¥ª¶¨¿ ­  ¯«®±ª®±²¼ ¢»£«¿¤¥«  ª ª ®¤­  ¶¥« ¿ ¸¥±²¥°¥­ª  (¯°®¹¥ £®¢®°¿, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¤»°ª¨ ­¥ ±®¢¯ «¨)? 376

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68

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382

.  ) Œ®¦­® «¨ ¢ ¶¥­²°» ª«¥²®ª ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢¡¨²¼ 16 £¢®§¤¥© ² ª, ·²®¡» ­¨ª ª¨¥ ²°¨ £¢®§¤¿ ­¥ «¥¦ «¨ ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©? ¡) € 10 £¢®§¤¥© | ¢ ¶¥­²°» ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 5  5?  ° ¥ ¤ ³ ¯ ° ¥ ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥. °¿¬ ¿ | ½²® ­¥ ²®«¼ª® ¢¥°²¨ª «¼, ¤¨ £®­ «¼ ¨«¨ £®°¨§®­² «¼.

383.  )

°¨¤³¬ ©²¥ ² ª³¾ ´¨£³°³, ª®²®°®© ­¥«¼§¿ ­ ª°»²¼ ¯®«³ª°³£, ­® ¤¢³¬¿ ½ª§¥¬¯«¿° ¬¨ ª®²®°®© ¬®¦­® ­ ª°»²¼ ª°³£ ²®£® ¦¥ ° ¤¨³± . ¡) Œ®¦¥² «¨ ² ª ¿ ´¨£³°  ¡»²¼ ¢»¯³ª«®©? 384. °¨¤³¬ ©²¥ ±¨±²¥¬³ ¨§ 4 £¨°¼, ª®²®°»¬¨ ¬®¦­® ¢§¢¥±¨²¼ ­  · ¸¥·­»µ ¢¥± µ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥± ®² 1 ¤® 40 £. (ƒ¨°¨ ¬®¦­® ª« ±²¼ ­  ®¡¥ · ¸ª¨ ¢¥±®¢.)  ® ¤ ± ª   § ª  .

ƒ¨°¨ 1 ¨ 2 ¯®§¢®«¿¾² ¢§¢¥±¨²¼ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥±

®² 1 ¤® 3. € £¨°¨ 1 ¨ 3 | «¾¡®© ¢¥± ®² 1 ¤® 4. °¨¤³¬ ©²¥ ²°¨ £¨°¨, ± ¯®¬®¹¼¾ ª®²®°»µ ¬®¦­® ¢§¢¥±¨²¼ «¾¡®© ¶¥«»© ¢¥± ®² 1 ¤® 13. ˆ ²®«¼ª® ¯®±«¥ ½²®£® °¥¸ ©²¥ § ¤ ·³ ® ·¥²»° ¥µ £¨°¿µ.

. Ž²¬¥²¼²¥ 6 ²®·¥ª ­  ¯«®±ª®±²¨ ² ª, ·²®¡» ®² ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ­ µ®¤¨«¨±¼ °®¢­® 3 ²®·ª¨. 386.  ±¯®«®¦¨²¥ ­  ¯«®±ª®±²¨ 7 ²®·¥ª ² ª, ·²®¡» ±°¥¤¨ «¾¡»µ ²°¥µ ¨§ ­¨µ ­ ¸«¨±¼ ¤¢¥ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1. 387. ’®°² ¨¬¥¥² ´®°¬³ ¯°¿¬®³£®«¼­®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢¥°µ­¿¿ £° ­¼ ª®²®°®£® | ª¢ ¤° ². ‚¥°µ ¨ ¡®ª  ²®°²  ° ¢­®¬¥°­® ¯®ª°»²» £« §³°¼¾.  §¤¥«¨²¥ ²®°² ­  5 · ±²¥©, ·²®¡» ¢±¥ · ±²¨ ±®¤¥°¦ «¨ ¯®°®¢­³ ¨ ²®°² , ¨ £« §³°¨. 388. Œ®¦­® «¨ ¯®¤®¡° ²¼ §­ ª¨ ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ 1  2  3  4  5  6   7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20, ·²®¡» ¥£® §­ ·¥­¨¥ ±² «® ° ¢­® 20? 389. —¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® «¥² ¯®±«¥ ° ±¯ ¤  ¨¬¯¥°¨¨, ±®±²®¿¢¸¥© ¨§ 16 ª­¿¦¥±²¢, ®ª § «®±¼, ·²® ª ¦¤®¥ ª­¿¦¥±²¢® ¤°³¦¨² ± ²°¥¬¿ ¤°³£¨¬¨ ª­¿¦¥±²¢ ¬¨ ¨ ¢° ¦¤³¥² ±® ¢±¥¬¨ ®±² «¼­»¬¨. Œ®¦­® «¨ ° §¡¨²¼ ½²¨ ª­¿¦¥±²¢  ­  8 ¯ ° ¤°³¦¥±²¢¥­­»µ ª­¿¦¥±²¢? 385

69

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: : : ¢»¯°®±¨«±¿ ®±² ²¼±¿ ®¤­³ ­®·ª³; ®² ®¤­®© ­®·ª¨ ¤¢¥ ­®·ª¨, ®² ¤¢³µ ­®·¥ª ¤¢¥ ­¥¤¥«¨, ®² ¤¢³µ ¬¥±¿¶¥¢ ¤¢  £®¤ ,   ®² ¤¢³µ £®¤®¢ ¦¨« ²°¨¤¶ ²¼ «¥².

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. °¨¤³¬ ©²¥ 10 ° §«¨·­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ±³¬¬  ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ. “ ª   §   ­ ¨ ¥. ‘­ · «  ¯°¨¤³¬ ©²¥ ²°¨ ·¨±« , ±³¬¬  ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ.

®²®¬ ¯®¤³¬ ©²¥, ­¥«¼§¿ «¨ ¯®«³·¨²¼ ·¥-

::: 391. „¥«¨²±¿ «¨ ·¨±«® 11 : : : 11 (¢®±¥¬¼¤¥±¿² ®¤­  ¥¤¨­¨¶ ) ­  81? 392.  §°¥¦¼²¥ ª¢ ¤° ² ­   ) 6; ¡) 7 ª¢ ¤° ²®¢. ¢) “ª ¦¨²¥ ¢±¥ §­ ·¥­¨¿ n , ¤«¿ ª®²®°»µ ª¢ ¤° ² ­¥«¼§¿ ° §°¥§ ²¼ ­  n ¬¥­¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢. £) °¨ ª ª¨µ n ° ¢­®±²®°®­­¨© ²°¥³£®«¼­¨ª ­¥«¼§¿ ° §°¥§ ²¼ ­  n ¬¥­¼¸¨µ ° ¢­®±²®°®­­¨µ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢? 393. ‚ ¯®± ¥«ª¥ 100 ¤®¬®¢. ‘ª®«¼ª® § ¡®°®¢, ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ ¤°³£ ¤°³£ , ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼, ·²®¡» ª ¦¤»© § ¡®° ®£®° ¦¨¢ « µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¤®¬ ¨ ­¨ª ª¨¥ ¤¢  § ¡®°  ­¥ ®£®° ¦¨¢ «¨ ¡» ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¤®¬®¢? ²»°¥ ² ª¨µ ·¨±« ,

“ ª   §   ­ ¨ ¥.

¥¸¨²¥ § ¤ ·³ ±­ · «  ­¥ ¤«¿ 100,   ¤«¿ ¬¥­¼¸¨µ

::: 394.  ) «®±ª®±²¼ ° §¡¨²  ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ®ª°³¦­®±²¿¬¨ ­  · ±²¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª ¦¤³¾ · ±²¼ ¬®¦­® ¢»ª° ±¨²¼ ®¤­®© ¨§ ¤¢³µ ª° ±®ª ² ª, ·²® «¾¡»¥ ¤¢¥ £° ­¨· ¹¨¥ ¯® ¤³£¥ · ±²¨ ¡³¤³² ° §­®£® ¶¢¥² . ¡) „®ª ¦¨²¥ ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¥±«¨ ¯«®±ª®±²¼ ° §¡¨²  ­  · ±²¨ ®ª°³¦­®±²¿¬¨ ¨ ¯°¿¬»¬¨. ¢)    ¯«®±ª®±²¨ ° ±¯®«®¦¥­» ­¥±ª®«¼ª® À²°¥­®¦­¨ª®¢Á (²°¥­®¦­¨ª ±®±²®¨² ¨§ ²°¥µ «³·¥© ± ®¡¹¥© ¢¥°¸¨­®©). „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ®£° ­¨·¨¢ ¾¹¨µ ²°¥­®¦­¨ª «³·  ­¥ ·¨±¥«: 1, 2, 3,

70

¯ ° ««¥«¼­», ²® · ±²¨, ­  ª®²®°»¥ ®­¨ ° §¡¨¢ ¾² ¯«®±ª®±²¼, ¬®¦­® ¢»ª° ±¨²¼ ²°¥¬¿ ª° ±ª ¬¨ ² ª, ·²®¡» · ±²¨, £° ­¨· ¹¨¥ ¯® ®²°¥§ª³ ¨«¨ «³·³, ®ª § «¨±¼ ¡» ¢»ª° ¸¥­» ¢ ° §­»© ¶¢¥². 395. ‚ ² ¡«¨¶¥ ¨§ ²° ¥µ ±²°®ª ¨ 1992 ±²®«¡¶®¢ ¯°®¨§¢®«¼­»¬ ®¡° §®¬ ° ±±² ¢«¥­» ´¨¸ª¨: 1992 ¡¥«»µ, 1992 ª° ±­»µ ¨ 1992 ±¨­¨µ. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¬®¦­® ² ª ¯¥°¥±² ¢¨²¼ ´¨¸ª¨ ¢ ª ¦¤®© ±²°®ª¥, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ ®ª § «¨±¼ ´¨¸ª¨ ¢±¥µ ²°¥µ ¶¢¥²®¢. 396.   ª ª®¥ ­ ¨2 ¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® 1 · ±²¥© ¬®£³² 7 3 6 ° §¡¨²¼ ¯«®±5 4 ª®±²¼ n ¯°¿¬»µ? “ ª   §   ­ ¨ ¥. ’°¨ ¯°¿¬»¥ ¤¥«¿² ¯«®±ª®±²¼, ± ¬®¥ ¡®«¼¸¥¥, ­  7 · ±²¥©. —¥²¢ ¥°² ¿ ¯°¿¬ ¿ ° §°¥§ ¥² ­¥ ¢±¥,   ²®«¼ª® 4 · ±²¨ ¨ ° §¡¨¢ ¥² ¯«®±ª®±²¼ ­  11 · ±²¥©.

 ) ®±² ¢¼²¥ 5 ´¨¸¥ª ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³, ·²®¡» «¾¡®© ±®±²®¿¹¨© ¨§ 9 ª«¥²®ª ª¢ ¤° ² ±®¤¥°¦ « ¢ ²®·­®±²¨ ®¤­³ ´¨¸ª³. ¡) ‘ª®«¼ª® ´¨¸¥ª ¬®¦¥² ±²®¿²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ¥±«¨ «¾¡®© ±®±²®¿¹¨© ¨§ 9 ª«¥²®ª ª¢ ¤° ² ±®¤¥°¦¨² ¢ ²®·­®±²¨ ®¤­³ ´¨¸ª³? 398.   ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 4  4 ±²®¨² À«¥²³· ¿ « ¤¼¿Á, ª®²®° ¿ µ®¤¨² ² ª ¦¥, ª ª ®¡»·­ ¿ « ¤¼¿, ­® ­¥ ¬®¦¥² ¢±² ²¼ ­  ¯®«¥, ±®±¥¤­¥¥ ± ¯°¥¤»¤³¹¨¬. Œ®¦¥² «¨ ®­  ®¡®©²¨ ¢±¾ ¤®±ª³, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³¢¸¨±¼ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥? 399. ® ª®«¼¶¥¢®© «¨­¨¨ ¬¥²°® ª³°±¨°³¾² 24 ¯®¥§¤ . Ž­¨ ¨¤³² ¢ ®¤­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ±ª®°®±²¿¬¨ ¨ ° ¢­»¬¨ ¨­²¥°¢ « ¬¨. ‘ª®«¼ª® ¯®¥§¤®¢ ­ ¤® ¤®¡ ¢¨²¼, ·²®¡» ¯°¨ ²®© ¦¥ ±ª®°®±²¨ ³¬¥­¼¸¨²¼ ¨­²¥°¢ «» ­  1/5? 397

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‚¤®«¼ £° ­¨¶ ª«¥²®ª ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¯®«®¦¨«¨ ±¯¨·ª¨. ‘ª®«¼ª® ±¯¨·¥ª ­¥®¡µ®¤¨¬® ³¡° ²¼, ·²®¡» « ¤¼¿ ¬®£«  ¤®¡° ²¼±¿ ± «¾¡®£® ¯®«¿ ­  «¾¡®¥, ­¥ ¯¥°¥¯°»£¨¢ ¿ ·¥°¥§ ±¯¨·ª¨? 406. ‚ §¥¬«¾ ¢¡¨«¨ 19 ª®«»¸ª®¢. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±¢¿§»¢ ¾² ¯ °» ª®«»¸ª®¢ ¡¥·¥¢®©: ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ | ®¤­³ ¯ °³. ‚»¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¨£°®ª, ¯°¨ µ®¤¥ ª®²®°®£® ®¡° §®¢ « ±¼ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿, ±®±² ¢«¥­­ ¿ ¨§ ¡¥·¥¢®ª (¢¥°¸¨­ ¬¨ «®¬ ­®© ¤®«¦­» ¡»²¼ ª®«»¸ª¨). ¥ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¢¿§»¢ ²¼ ¤¢  ³¦¥ ° ­¥¥ ±®¥¤¨­¥­­»µ ª®«»¸ª . Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 407. Š ª®¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¢¥°¥¢®·¥ª, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ±®±¥¤­¨¥ ³§«» ±¥²ª¨ ° §¬¥°  4  6, ¬®¦­® ° §°¥§ ²¼, ·²®¡» ±¥²ª  ­¥ ° ±¯ « ±¼ ­  ®²¤¥«¼­»¥ ª³±ª¨? 408. ‚± ¥ ­ · «®±¼ ± ®¤­®© ª³°¨¶», ª®²®° ¿ ±­¥±«  ¤¢  ¿©¶ . ˆ§ ­¨µ ¢»¢¥«¨±¼ ¶»¯«¿² : ¯¥²³µ ¨ ª³°¨¶ . Š®£¤  ®­¨ ¯®¤°®±«¨, ¯¥²³µ  ±º¥«¨ ±° §³,   ª³°¨¶³ | ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ®­  ±­¥±«  ¤¢  ¿©¶ . ’ ª ¤¥« «¨ ¨ ¤ «¼¸¥: ¨§ ¿¨¶ ¢»¢®¤¨«¨ ¶»¯«¿², ¥«¨ ª³° ¨ ¯¥²³µ®¢, : : : ‚±¥ ¯°¥ª° ²¨«®±¼, ª®£¤  ¨§ ¿¨¶ ¢»«³¯¨«¨±¼ ®¤­¨ ²®«¼ª® ¯¥²³µ¨. ‡­ ¿, ·²® ¡»«¨ ±º¥¤¥­» 1994 ¯¥²³µ , ¢»¿±­¨²¥, ±ª®«¼ª® ±º¥«¨ ª³°. 73

¥°¨®¤¨·­®±²¼

Ÿ ¯®¢²®°¿¾ ¯³²¼ §¥¬­®© ¡»«»µ «¾¤±ª¨µ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨©; ­¨·²® ­¥ ­®¢® ¯®¤ «³­®©, ª°®¬¥ ¬®¨µ ¯¥°¥¦¨¢ ­¨©. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

409.

 ·­¥¬ ±·¨² ²¼ ¯ «¼¶» ­  °³ª¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯³±²¼ 1-¬ ¡³¤¥² ¡®«¼¸®©, 2-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 3-¬ | ±°¥¤­¨©, 4-¬ | ¡¥§»¬¿­­»©, 5-¬ | ¬¨§¨­¥¶, 6-¬ | ±­®¢  ¡¥§»¬¿­­»©, 7-¬ | ±°¥¤­¨©, 8-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, 9-¬ | ¡®«¼¸®©, 10-¬ | ³ª § ²¥«¼­»©, ¨ ² ª ¤ «¥¥. Š ª®© ¯ «¥¶ ¡³¤¥² 2017-¬? 410. “¡¥¤¨²¥±¼, ·²®  ) 1=3 = 0;(3); ¡) 1=6 = 0;1(6); ¢) 7=30 = 0;2(3); £) 7=11 = 0;(63). 411.  ©¤¨²¥ ±®²³¾ ¶¨´°³ ¯®±«¥ § ¯¿²®© ¢ ¤¥±¿²¨·­®© § ¯¨±¨ ·¨±«  1=7. 412.  §¤¥«¨²¥ À³£®«ª®¬Á ·¨±«® 1 ­   ) 9; ¡) 99; ¢) 9 999. £) „®ª ¦¨²¥ ®¡¹¥¥ ¯° ¢¨«®: 1= 99 : : : 9 = 0;(0 : : : 0 1). | {z } | {z } n

. 414.

413

415

.

416

.

n,1

—¨±²® ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ¯° ¢¨«¼­ ¿ ¤°®¡¼ ° ¢­  ² ª®© ®¡»ª­®¢¥­­®© ¤°®¡¨, ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ª®²®°®© | ¯¥°¨®¤,   ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥ | ·¨±«® 10r , 1 = 9| :{z: : 9} , £¤¥ r | ¤«¨­  ¯¥°¨®¤ . „®ª r ¦¨²¥ ½²®. Ž¡° ²¨²¥ ¢ ¤¥±¿²¨·­»¥ ¤°®¡¨ ·¨±« :  ) 23=99; ¡) 1234=999999. ‘ª®«¼ª® ·¨±¥«, ª° ²­»µ 13, ¨¬¥¥²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ ±²  ·¨±¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 1, 11, 111, 1111, : : : ? …±«¨ ·¨±«® ¢¨¤  11 : : : 11 ª° ²­® 7, ²® ®­® ª° ²­® ¨ 11, ¨ 13, ¨ 15873. „®ª ¦¨²¥ ½²®. ¥°¢³¾ ¶¨´°³ k -§­ ·­®£® ·¨±« , ª° ²­®£® 13, ±²¥°«¨ ¨ § ¯¨± «¨ ¯®§ ¤¨ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ½²®£® ·¨±« . °¨ ª ª¨µ k ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ª° ²­® 13? ( ¯°¨¬¥°, ¨§ ª° ²­»µ 13 ·¨±¥« 503906 ¨ 7969 ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯®«³· ¥¬ ·¨±«  39065 ¨ 9697, ¯¥°¢®¥ ¨§ ª®²®°»µ ª° ²­® 13,   ¢²®°®¥ | ­¥².) ¤)

74

¥¸¨²¥ °¥¡³± ‹ŽŒ€
5 = €‹ŽŒ .  ©¤¨²¥ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ³¬¥­¼¸ ¾¹¥¥±¿ ¢ 5 ° § ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¢ ª®­¥¶ ·¨±« . ¢) ¥¸¨²¥ °¥¡³±: ˆŠ…‹œ
6 = …‹œˆŠ . (“ª § ­¨¥. ‚ ±«®¢ µ °¥¡³±  ¨±¯®«¼§®¢ ­» ¤¢  ±«®£ : ˆŠ ¨ …‹œ . Ž¡®§­ ·¼²¥ ˆŠ = = x ¨ …‹œ = y .) £) ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ¸¥±²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ­  2, 3, 4, 5 ¨ 6 ¤ ¥² ·¨±« , § ¯¨± ­­»¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ·²® ¨ ± ¬® ·¨±«®, ­® ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥? ¤)  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¸¥±²¨§­ ·­»¥ ·¨±« , ª®²®°»¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿ ¢ ¶¥«®¥ ·¨±«® ° § ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ¯®±«¥¤­¥© ¶¨´°» ¨§ ª®­¶  ¢ ­ · «®. 418. Š ª®© ¶¨´°®© ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ·¨±«® 3377 + 7733 ? 419.  ©¤¨²¥ ¤¢¥ ¯®±«¥¤­¨¥ ¶¨´°» ·¨±«  22000 . 420. Š ª®¢  ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ·¨±«  9999999 ? 421. ¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ ­  41. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ¥£® ¶¨´°» ¶¨ª«¨·¥±ª¨ ¯¥°¥±² ¢¨²¼, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ²®¦¥ ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  41. ( ¯°¨¬¥°, §­ ¿, ·²® 93 767 ¤¥«¨²±¿ ­  41, ¬®¦­® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® 37 679 ²®¦¥ ¤¥«¨²±¿ ­  41.)  422.  )  ±±¬®²°¨¬ ·¨±« : 1, 11, 111, 1111, : : : „®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤¨ ­¨µ ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ·¨±« , ° §­®±²¼ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ ­  196 673. ¡) „®ª ¦¨²¥, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ®¤­¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ¨ ª° ²­®¥ ·¨±«³ 196 673. ¢) „«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  a , ­¥ ¤¥«¿¹¥£®±¿ ­¨ ­  2, ­¨ ­  5, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® b , ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ab § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ ®¤­¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨­¨¶ ¬¨. „®ª ¦¨²¥ ½²®.  423. …±«¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  a ¨ m ¢§ ¨¬­® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ n , ·²® an , 1 ¤¥«¨²±¿ ­  m . „®ª ¦¨²¥ ½²®. 417

.

 )

¡)

999

424

. Š ª¨¥ ¯°®±²»¥ ·¨±«  ­¥«¼§¿ § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ¤¢³µ ±®±² ¢­»µ ·¨±¥«? 75

Š° ©­®±²¨

‚±¥£¤  ¨§¡¥£ ²¼ ª° ©­®±²¥© | ²®¦¥ ª° ©­®±²¼.

. ‚ ¢¥°¸¨­ µ 100-³£®«¼­¨ª  ° ±±² ¢«¥­» ·¨±«  ² ª, ·²® ª ¦¤®¥ ° ¢­® ±°¥¤­¥¬³  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¬³ ¤¢³µ ±®±¥¤­¨µ. „®ª ¦¨²¥, ·²® ·²® ¢±¥ ®­¨ ° ¢­». 426. “ ª ¦¤®£® ¯ °« ¬¥­² °¨¿ ­¥ ¡®«¥¥ ²°¥µ ¢° £®¢. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¯ °« ¬¥­² ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ¤¢¥ ¯ « ²» ² ª, ·²® ³ ª ¦¤®£® ¢ ®¤­®© ± ­¨¬ ¯ « ²¥ ¡³¤¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢° £ . (ˆ§¢¥±²­®, ·²® ¥±«¨ B | ¢° £ ¯ °« ¬¥­² °¨¿ A , ²® A | ¢° £ ¯ °« ¬¥­² °¨¿ B .)  427. ‡ ¤ ­® ­¥±ª®«¼ª® ª° ±­»µ ¨ ­¥±ª®«¼ª® ±¨­¨µ ²®·¥ª. ¥ª®²®°»¥ ¨§ ­¨µ ±®¥¤¨­¥­» ®²°¥§ª ¬¨.  §®¢¥¬ ²®·ª³ À®±®¡®©Á, ¥±«¨ ¡®«¥¥ ¯®«®¢¨­» ¨§ ±®¥¤¨­¥­­»µ ± ­¥© ²®·¥ª ¨¬¥¾² ¶¢¥², ®²«¨·­»© ®² ¥¥ ¶¢¥² . Ž±®¡»¥ ²®·ª¨ ° §°¥¸ ¥²±¿ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ²¼: ­  ª ¦¤®¬ ¸ £³ ¢»¡¨° ¥²±¿ «¾¡ ¿ ®±®¡ ¿ ²®·ª  ¨ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ¥²±¿ ¢ ¤°³£®© ¶¢¥². „®ª ¦¨²¥, ·²® ·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® ¸ £®¢ ­¥ ®±² ­¥²±¿ ­¨ ®¤­®© ®±®¡®© ²®·ª¨. 428. ‚ ª«¥²ª¨ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ² ¡«¨¶» ¢¯¨± ­» ­¥ª®²®°»¥ ·¨±« .  §°¥¸¥­® ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¬¥­¿²¼ §­ ª ³ ¢±¥µ ·¨±¥« ­¥ª®²®°®£® ±²®«¡¶  ¨«¨ ­¥ª®²®°®© ±²°®ª¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ½²¨¬¨ ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¬®¦­® ¯°¥¢° ²¨²¼ ¤ ­­³¾ ² ¡«¨¶³ ¢ ² ª³¾, ³ ª®²®°®© ±³¬¬» ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢ «¾¡®¬ ±²®«¡¶¥ ¨«¨ ¢ «¾¡®© ±²°®ª¥, ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­».  429.   ¤®±ª¥ ­ ¯¨± ­® ­¥±ª®«¼ª® ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«.  §°¥¸¥­® ±²¨° ²¼ ± ¤®±ª¨ «¾¡»¥ ¤¢  ° §«¨·­»µ ·¨±«  ¨ ¯¨± ²¼ ¢¬¥±²® ­¨µ ¨µ ­ ¨¡®«¼¸¨© ®¡¹¨© ¤¥«¨²¥«¼ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ®¡¹¥¥ ª° ²­®¥. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª®£¤ -­¨¡³¤¼ ·¨±«  ¯¥°¥±² ­³² ¬¥­¿²¼±¿, ²® ¥±²¼ ¨§ «¾¡»µ ¤¢³µ ·¨±¥« ®¤­® ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ­  ¤°³£®¥. 430. ‚ ª°³£¥ ¯°®¢¥«¨ ­¥±ª®«¼ª® (ª®­¥·­®¥ ·¨±«®) ° §«¨·­»µ µ®°¤ ² ª, ·²® ª ¦¤ ¿ ¨§ ­¨µ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ª ª®©-«¨¡® ¤°³£®© ¨§ ¯°®¢¥¤¥­­»µ µ®°¤. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¢±¥ ½²¨ µ®°¤» ¿¢«¿¾²±¿ ¤¨ ¬¥²° ¬¨ ª°³£ . 425

76

Š®¬¡¨­ ²®°¨ª 

Ž²¥¶ ¤ ¥² ¤¢³µ«¥²­¥© ¤®·¥°¨ «®¦ª³ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²: | ‘ª®«¼ª® ³ ²¥¡¿ «®¦¥ª? | Ž¤­ . „ ¥² ¤°³£³¾: | ’¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | „¢¥. „ ¥² ²°¥²¼¾. | ’¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | Œ­®£®. | ¥², ²» ±ª ¦¨. „¥¢®·ª  ± ¯°¥³¢¥«¨·¥­­»¬ ¢»° ¦¥­¨¥¬ ¡°¥§£«¨¢®±²¨ ®²®¤¢¨£ ¥² ®² ±¥¡¿ ²°¥²¼¾ «®¦ª³: | ‚®§¼¬¨, ®­  £°¿§­ ¿! Š. —³ª®¢±ª¨©, ÀŽ² ¤¢³µ ¤® ¯¿²¨Á Š®¬¡¨­ ²®°¨ª  | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¢ ª®²®°®¬ ¨§³· ¾², ±ª®«¼ª® ª®¬¡¨­ ¶¨©, ¯®¤·¨­ ¥­­»µ ²¥¬ ¨«¨ ¨­»¬ ³±«®¢¨¿¬, ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼ ¨§ ¤ ­­»µ ®¡º¥ª²®¢.

°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ª ®¡¹¨¬

¯°¨­¶¨¯ ¬, ° ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.

1) ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²°¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«?

‘ ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ²°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® | ½²® 999. ‘ ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ¤¢³§­ ·­®¥ | 99. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² 999 , 99 = 900 ²°¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«. ’®² ¦¥ ®²¢¥² ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. ‚®®¡° §¨²¥, ·²® ¬» ¯¨¸¥¬, ¶¨´°  §  ¶¨´°®©, ²°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«®. ‘­ · «  ­ ¯¨¸¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¶¨´° 1, 2, : : : , 9 ¢ ° §°¿¤ ±®²¥­. ‡ ²¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥±¿²¨ ¶¨´° | ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢; ­ ª®­¥¶, ª ª³¾-­¨¡³¤¼ («¾¡³¾) ¶¨´°³ | ¢ ° §°¿¤ ¥¤¨­¨¶. Ž²¢¥²: 9
10
10 = 900 .

2) ‘ª®«¼ª® ±¯®±®¡®¢ ¯°®¥µ ²¼ ¨§ A ¢ C , ¥±«¨ ±¨±²¥¬  ¤®°®£ ² ª®¢ , ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥?



A

°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ C , ­ ¤® «¾¡»¬ ¨§ ²°¥µ ¢®§¬®¦­»µ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ B ,   § ²¥¬ | «¾¡»¬ ¨§ ¯¿²¨ ±¯®±®¡®¢ ¨§ B ¢ C . Ž¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ¢­® 3
5 = 15 .



B



C

3) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥ ¡¥«³¾ ¨ ·¥°­³¾ « ¤¼¨, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ®¤­  ¤°³£³¾?

77

‘­ · «  ¯®±² ¢¨¬ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ¡¥«³¾ « ¤¼¾. „«¿ ·¥°­®© « ¤¼¨ ®±² ­¥²±¿ 49 ¯®«¥©. Ž²¢¥²: 64
49 = 3136 . ‡ ¬¥²¼²¥: ¬» ¯¥°¥¬­®¦ ¥¬ ·¨±«  64 ¨ 49,   ­¥ ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¨µ. Ž¤­  ¨§ ±² ­¤ °²­»µ ®¸¨¡®ª, ª®²®°³¾ ¤¥« ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨¥, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®­¨ ¯³² ¾², ª®£¤  ­ ¤® ±ª« ¤»¢ ²¼,   ª®£¤  ³¬­®¦ ²¼. Œ¥¦¤³ ²¥¬ ¢±¥ ¯°®±²®: ±³¬¬  m + n ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ½«¥¬¥­²®¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¤¢³µ ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­®¦¥±²¢, ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¨§ m ,   ¤°³£®¥ ¨§ n ½«¥¬¥­²®¢. € ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ mn | ½²® ª®«¨·¥±²¢® ¯ ° ¢¨¤  (x; y) , £¤¥ x ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ m ½«¥¬¥­²®¢ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  (­ ¯°¨¬¥°, ½²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¬­®¦¥±²¢® 64 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ¡¥«®© « ¤¼¨),   y , ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x , ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ ­¥ª®²®°»µ n ½«¥¬¥­²®¢ (­ ¯°¨¬¥°, y | ®¤­® ¨§ 49 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥© ¤«¿ ·¥°­®© « ¤¼¨). ˆ­®£¤  ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ±³¬¬³, ¨ D C   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥: ­ ¯°¨¬¥°, ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥©, ¢¥¤³¹¨µ ­  °¨±³­ª¥ ¨§ ²®·ª¨ K ¢ ²®·ª³ M , ° ¢­® 2
2 + 3
3 = 13 .

4) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»«®¦¨²¼ ¢ °¿¤ ª° ±­»©, ¦¥«²»© ¨ §¥«¥­»© ¸ °¨ª¨? ‚®² ¢±¥ 6 ±¯®±®¡®¢:

ª¦§ ª§¦

¦ª§ ¦§ª

§ª¦ §¦ª



A



B

5) ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥© ª«¥²ª¨ ¨§®¡° ¦¥­­®£® ­  °¨±³­ª¥ ª¢ ¤° ²  9  9 ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ­¾¾, ­¨ ° §³ ­¥ ¯®¡»¢ ¢ ­¨ ­  ®¤­®© § ª° ¸¥­­®© ª«¥²ª¥ ¨ ¤¢¨£ ¿±¼ ²®«¼ª® ¢¢¥°µ ¨«¨ ¢¯° ¢®? 1 1 1 2 7 1 1 5 17 1 4 12 1 2 4 8 12 17 D 1 1 2 4 4 5 7 A C 1 2 1 2 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¥² ­¨ ±¨«, ­¨ ¦¥« ­¨¿ °¨±®¢ ²¼ ¢±¥ ¢ °¨ ­²»: ½²® ¯°¨¬¥° ­¥ ² ª ¯°®±², ª ª ¯°¥¤»¤³¹¨©! —²® ¦¥ ¤¥« ²¼? „ ¢ ©²¥ ¯®±² ¢¨¬ ¯¥°¥¤ ±®¡®©

78

¡®«¥¥ ±ª°®¬­³¾ ¶¥«¼: ­ ©¤¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥© ¨§ «¥¢®© ­¨¦­¥© ª«¥²ª¨ ­¥ ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ­¾¾,  , ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ A . Ž·¥¢¨¤­®, ² ª¨µ ¯³²¥© ¤¢ . ‘²®«¼ª® ¦¥ ¯³²¥© ¢¥¤³² ¢ ²®·ª³ B . ’¥¯¥°¼ «¥£ª® ¯®­¿²¼, ·²® ¢ ª«¥²ª³ C ¬®¦­® ¯°®©²¨ ·¥²»°¼¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (¤¢  ¨§ ­¨µ ¢¥¤³² ·¥°¥§ A ,   ¤¢  | ·¥°¥§ B ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª«¥²ª³ §  ª«¥²ª®©, ¬» ¬®¦¥¬ § ¯®«­¿²¼ ¤®±ª³, ¨±¯®«¼§³¿ ¯° ¢¨«® ±³¬¬»: ¥±«¨ ¢ ­¥ª®²®°³¾ ª«¥²ª³ Z ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ ±¯° ¢  ¨§ ª«¥²ª¨ X ¨ ±­¨§³ | ¨§ Y , ²® ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ ª«¥²ª³ Z ¥±²¼ ±³¬¬  ª®«¨·¥±²¢ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ X ¨ Y .  ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ D ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ 17 + 7 = 24 ±¯®±®¡ ¬¨. ’ ª ¯®²¨µ®­¥·ª³ ¨ § ¯®«­¨¬ ¢±¾ ¤®±ª³. Ž²¢¥²: 678.

6) ‘ª®«¼ª® ±«®¢ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢  Œ€Œ€? ,

,

,

,

Œ€Œ€ Œ€€Œ ŒŒ€€ €Œ€Œ €ŒŒ€

¨ €€ŒŒ | ¢±¥£® 6 ±¯®±®¡®¢.

7) ‘ª®«¼ª® ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ 1000 ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ² ª¨µ, ª®²®°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5?

Š ª ¨§¢¥±²­®, ·¨±«® ­¥ ª° ²­® ­¨ 2, ­¨ 5, ¥±«¨ ¥£® ¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  | ½²® ®¤­  ¨§ ·¥²»°¥µ ¶¨´° 1, 3, 7, 9. ‡­ ·¨², ¢ ª ¦¤®¬ ¤¥±¿²ª¥ °®¢­® ·¥²»°¥ ¨­²¥°¥±³¾¹¨µ ­ ± ·¨±« ,   ¢±¥£® ² ª¨µ ·¨±¥« 400. …±²¼ ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡.  ±±¬®²°¨¬ ¬­®¦¥±²¢® U = f1; 2; 3; : : : ; 1000g ¨ ¤¢  ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢ : A = f2; 4; 6; : : : ; 1000g ¨ B = f5; 10; 15; : : : ; 1000g .  ± ¨­²¥°¥±³¥² ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  U , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ­¨ A , ­¨ B . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ®²¢¥² jU j , jAj , jB j (£¤¥ jU j , jAj ¨ jB j | ª®«¨·¥±²¢  ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ U , A ¨ B ±®®²¢¥²±²¢¥­­®) ­¥¯° ¢¨«¼­»©. „¥«® ¢ ²®¬, ·²® ½«¥¬¥­²», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ®¡  ¬­®¦¥±²¢  A ¨ B (²® ¥±²¼ ·¨±« , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¶¨´°®© 0), ¡»«¨ ¢»¡°®¸¥­» ¤¢ ¦¤», µ®²¿ ±«¥¤®¢ «® ¨µ ¢»¡°®±¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ ° §. € ¢®² ¯° ¢¨«¼­»© ®²¢¥²: jU j , jAj , jB j + jA \ B j; £¤¥ A \ B | ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢ A ¨ B . „ ¢ ©²¥ ¯°®¢¥°¨¬ ½²³ ´®°¬³«³: 1000 , 500 , 200 + 100 = 400:

8) ‘ª®«¼ª® ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© ¢ ¢»¯³ª«®¬ ¯¿²­ ¤¶ ²¨³£®«¼­¨ª¥?

Œ®¦­®, ª®­¥·­®, ­ °¨±®¢ ²¼ 15-³£®«¼­¨ª ­  ¡®«¼¸®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨, ¯®±·¨² ²¼ ¤¨ £®­ «¨ ¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª ®²¢¥²³ 15 | ·¨±«® ±²®°®­. ® «³·¸¥ ­ ©²¨ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ·¨±«  ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª . Ž·¥¢¨¤­®, ¢ ²°¥³£®«¼­¨ª¥ 3 ±²®°®­» ¨ ­¨ ®¤­®© ¤¨ £®­ «¨; ¢ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª¥ 4 ±²®°®­» ¨ 2 ¤¨ £®­ «¨; ¢ ¯¿²¨³£®«¼­¨ª¥ 5 ±²®°®­ ¨ 5 ¤¨ £®­ «¥©. —³²¼ ±«®¦­¥¥ ³¢¨¤¥²¼, ·²® ³ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª  6 ±²®°®­ ¨ 9 ¤¨ £®­ «¥©.

79

‚®®¡¹¥, ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» n -³£®«¼­¨ª  ¢»µ®¤¿² n , 1 ®²°¥§ª®¢ (¤¢¥ ±²®°®­» ¨ n , 3 ¤¨ £®­ «¨). “¬­®¦¨¢ n ­  (n , 1) ¨ ­¥ § ¡»¢ ° §¤¥«¨²¼ ­  2 (¨¡® ³ ª ¦¤®£® ®²°¥§ª  ¤¢  ª®­¶ ), ¯®«³·¨¬ ®²¢¥²: ·¨±«® ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥© n -³£®«¼­¨ª  ° ¢­® n(n , 1)=2: () ‚ · ±²­®±²¨, ³ 15-³£®«¼­¨ª  ¢±¥£® 15
14=2 = 105 ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©. ‹¾¡¨²¥«¼ ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ¤®ª § ²¼ ´®°¬³«³ () ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. °¨ n = 3 ´®°¬³«  () ¢¥°­ . Ž·¥¢¨¤­®, (n + 1) -³£®«¼­¨ª ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨§ n -³£®«¼­¨ª  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ®¤­®© ­®¢®© ¢¥°¸¨­». ˆ§ ½²®© ¢¥°¸¨­» ¢»µ®¤¿² ®²°¥§ª¨ | ±²®°®­» ¨ ¤¨ £®­ «¨ | ¢® ¢±¥ ®±² «¼­»¥ n ¢¥°¸¨­. ‡­ ·¨², (n + 1) -³£®«¼­¨ª ¨¬¥¥² °®¢­® ­  n ¡®«¼¸¥ ±²®°®­ ¨ ¤¨ £®­ «¥©, ·¥¬ n -³£®«¼­¨ª. ®±ª®«¼ª³ n(n , 1) + n = n2 , n + 2n = (n + 1)n ; 2 2 2 ¬» ¢¨¤¨¬, ª ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ´®°¬³«  ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² n ª n +1 . ’®·­¥¥ £®¢®°¿, ¥±«¨ ´®°¬³«  () ¤ ¢ «  ¢¥°­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¤«¿ n -³£®«¼­¨ª , ²® ¨ ¤«¿ (n + 1) -³£®«¼­¨ª  ¢±¥ ¡³¤¥² ¯° ¢¨«¼­®. Œ» ¯®¬­¨¬, ·²® ¯°¨ n = 3 ´®°¬³«  ¢¥°­ . ‡­ ·¨², ¯® ¨­¤³ª¶¨¨, ®­  ¢¥°­  ¯°¨ «¾¡®¬ n . Œ» ° §®¡° «¨ ³¦¥ ¢®±¥¬¼ ° §­»µ ª®¬¡¨­ ²®°­»µ § ¤ ·.

®° 

¯¥°¥©²¨ ª ¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ¯®­¿²¨¿¬.

¥°¥±² ­®¢ª¨. ” ª²®°¨ «

„¢  ½«¥¬¥­²  a ¨ b ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¯¨± ­» ¢ ±²°®·ª³ ¢±¥£® ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ab ¨ ba . „«¿ ²°¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª ª ¬» §­ ¥¬ ¨§ ·¥²¢¥°²®£® ¯°¨¬¥° , ±³¹¥±²¢³¥² 6 ¢ °¨ ­²®¢. ¥²°³¤­® ¯®±·¨² ²¼ ¨ ·¨±«® ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¬­®¦¥±²¢  ¨§ 4 ½«¥¬¥­²®¢:

1234 1243 1324 1342 1423 1432

3124 3142 3214 3241 3412 3421

2134 2143 2314 2341 2413 2431

4123 4132 4213 4231 4312 4321

‚±¥£® 24 ¯¥°¥±² ­®¢ª¨, ° ±¯®«®¦¥­­»¥ ¢ 4 ±²®«¡¶  ¯® 6 ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¢ ª ¦¤®¬. Ž·¥¢¨¤­®, ¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ­  5 ½«¥¬¥­² µ ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢ 5 ±²®«¡¶®¢, ¯® 24 ¢ ª ¦¤®¬. ‡­ ·¨², ¢±¥£® ±³¹¥±²¢³¥² 5
24 = 120 ² ª¨µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª. „«¿ ·¨±«  ¯¥°¥±² ­®¢®ª n ½«¥¬¥­²®¢ ¥±²¼ ®¡®§­ ·¥­¨¥: n! (·¨² ¥¬: À½­ ´ ª²®°¨ «Á). ” ª²®°¨ « ° ¢¥­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¢±¥µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«

80

®² 1 ¤® n .  ¯°¨¬¥°, 4! = 1
2
3
4 . ”³­ª¶¨¿ n! ¢®§° ±² ¥² ®·¥­¼ ¡»±²°®. ’ ª, 1! = 1 , 2! = 2 , 3! = 6 , : : : , 10! = 3 628 800 . ” ª²®°¨ «» ¢®§­¨ª ¾² ¢ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¥ ®·¥­¼ · ±²®. ®½²®¬³ ¯°¨­¿²® ±·¨² ²¼, ·²® ¥±«¨ ®²¢¥² ¢»° ¦¥­ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «», ²® ¢±¥ ±¤¥« ­®. (²®¬³ ¢ ­¥¬ «®© ±²¥¯¥­¨ ±¯®±®¡±²¢³¥² ®²ª°»² ¿ ¢ 1730 £®¤³  ­£«¨©±ª¨¬ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¬ „¦. ‘²¨°«¨­£®¬ ´®°¬³«  ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿: p n!  2n nn =en : Ž²­®±¨²¥«¼­ ¿ ®¸¨¡ª  ¯°¨ ¯®«¼§®¢ ­¨¨ ½²®© ´®°¬³«®© ®·¥­¼ ­¥¢¥«¨ª  ¨ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ ³¢¥«¨·¥­¨¨ ·¨±«  n . —²® ² ª®¥ e ¨ ¯®·¥¬³ ¢¥°­  ´®°¬³«  ‘²¨°«¨­£ , ±¥¬¨ª« ±±­¨ª³ ®¡º¿±­¨²¼ ±®¢¥°¸¥­­® ­¥¢®§¬®¦­®.) ƒ« ¢­®¥ ±¢®©±²¢® ´ ª²®°¨ «  ®·¥¢¨¤­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿: (n + 1)! = (n + 1)
n!: ®¤±² ¢¨¬ ¢ ½²³ ´®°¬³«³ n = 0 . ®«³·¨¬: 1! = 1
0!; ®²ª³¤  0! = 1 . ˆ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢® ¬­®£¨µ ´®°¬³« µ ¤«¿ ¥¤¨­®®¡° §­®© § ¯¨±¨ ®·¥­¼ ³¤®¡­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¡®§­ ·¥­¨¥¬ 0! = 1 . € ¢®² ®¯°¥¤¥«¨²¼ (,1)! ­¨ª ª ­¥«¼§¿: ° ¢¥­±²¢® 0! = 0
(,1)! ­¥¢®§¬®¦­® ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ §­ ·¥­¨¨ (,1)! .  §¬¥¹¥­¨¿

‘«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦­®¥ ¯®­¿²¨¥ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ | ° §¬¥¹¥­¨¥. „ ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ±¨²³ ¶¨¾: ¢ ª« ±±¥, ¢ ª®²®°®¬ 25 ³·¥­¨ª®¢, ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  § ¬¥±²¨²¥«¿. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼? Ž·¥¢¨¤­®, ±­ · «  25 ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ «¾¡®£® ³·¥­¨ª  ¢ ±² °®±²». ‡ ²¥¬ ¨§ 24 ®±² ¢¸¨µ±¿ | § ¬¥±²¨²¥«¿ ±² °®±²»,   ¯®±«¥ ½²®£® «¾¡®© ¨§ 23 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®¬®¹­¨ª®¬ § ¬¥±²¨²¥«¿. ® ¯° ¢¨«³ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¢±¥£® ¨¬¥¥¬ A325 = 25
24
23 ¢ °¨ ­²®¢. ‚®®¡¹¥, ·¥°¥§ Akn (·¨² ¥¬: À  ¨§ ½­ ¯® ª Á) ®¡®§­ · ¾² ·¨±«® ±¯®±®¡®¢ ¢»¡° ²¼ ¨§ ¤ ­­»µ n ½«¥¬¥­²®¢ ±­ · «  ¯¥°¢»© ½«¥¬¥­², ¯®²®¬ ¢²®°®©, ²°¥²¨©, : : : , k -©. ‚»·¨±«¿¾² ¥£® ¯® ´®°¬³«¥ Akn = n(n , 1)


(n , k + 1): ‡ ¬¥²¼²¥: ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ °®¢­® k ¬­®¦¨²¥«¥©, ¨ ¯®±«¥¤­¨© ¨§ ­¨µ ° ¢¥­ n,k +1 ,   ¢®¢±¥ ­¥ n,k , ª ª ¬®£«® ¯®ª § ²¼±¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. ”®°¬³«³ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¨ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «»: Akn = n!=(n , k)!:

81

—¨±«  ±®·¥² ­¨©

°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ¢ ª« ±±¥ ¨§ 25 ·¥«®¢¥ª ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ­¥ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹­¨ª  ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿,   ²°®©ª³ ­ · «¼­¨ª®¢, ª®²®°»¥, ®¡« ¤ ¿ ° ¢­»¬¨ ¯° ¢ ¬¨, ¡³¤³² ³¯° ¢«¿²¼ ¨ ±³¤¨²¼ ª« ±±, ­¥ ¢»¿±­¿¿, ª²® ¨§ ²°®¨µ £« ¢­»©, ª²® ¬¥­¥¥ £« ¢­»©,   ª²® ² ª ±¥¡¥. ’®£¤  ±¯®±®¡®¢ ¡³¤¥² ­¥ A325 ,   ¢ 6 ° § ¬¥­¼¸¥. (®¤³¬ ©²¥ ®¡ ½²®¬ µ®°®¸¥­¼ª®! ‡¤¥±¼ 6 = 3! | ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ­¦¨°®¢ ²¼ ²°¥µ ­ · «¼­¨ª®¢, ²® ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ¢±¥µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¨§ 3 ½«¥¬¥­²®¢.) ‚®®¡¹¥, ®·¥­¼ ¢ ¦­»¥ ¤«¿ ª®¬¡¨­ ²®°¨ª¨ ¨ ²¥®°¨¨ ¢¥°®¿²­®±²¥© ·¨±«  ±®·¥² ­¨© Cnk (·¨² ¥¬: À·¨±«® ±®·¥² ­¨© ¨§ ½­ ¯® ª Á ¨«¨ À¶¥ ¨§ ½­ ¯® ª Á) ¬®¦­® ¢»·¨±«¨²¼ ¯® ´®°¬³«¥ Cnk = Akn =k! = k!(nn,! k)! : Š ±®¦ «¥­¨¾, ­¨ ¤«¿ ²®·­®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ­¨ ¤«¿ ±¢®©±²¢ ·¨±¥« ±®·¥² ­¨© ¢ ½²®© ¡°®¸¾°¥ ¬¥±²  ­¥ ­ ¸«®±¼. ® ¤«¿ ¯¥°¢®£® §­ ª®¬±²¢  ± ª®¬¡¨­ ²®°¨ª®© ±ª § ­­®£® ¨ ² ª ¯°¥¤®±² ²®·­®.

‚¥°­ ¥¬±¿

«³·¸¥ ª ­ ¸¨¬ ®¡»·­»¬ § ¤ · ¬, ®±² ¢¨¢ ²¥®°¨¾ ­  ¡³¤³¹¥¥.

. ‚ ª¨®±ª¥ ¯°®¤ ¾² 5 ¢¨¤®¢ ª®­¢¥°²®¢ ¨ 4 ¢¨¤  ¬ °®ª. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ª³¯¨²¼ ª®­¢¥°² ¨ ¬ °ª³? 432. ‚ ´³²¡®«¼­®© ª®¬ ­¤¥ (11 ·¥«®¢¥ª) ­³¦­® ¢»¡° ²¼ ª ¯¨² ­  ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼? 431

 ¥ ¸ ¥ ­ ¨ ¥.

Š ¯¨² ­®¬ ¬®¦¥² ±² ²¼ «¾¡®© ¨§ 11 ´³²¡®«¨±²®¢.

®±«¥ ¢»¡®°  ª ¯¨² ­  ­  °®«¼ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¬®£³² ¯°¥²¥­¤®¢ ²¼ 10 ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¥«®¢¥ª.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±²¼ 11




10 = 110 ° §­»µ

¢ °¨ ­²®¢ ¢»¡®° . ²  § ¤ ·  ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥¬, ·²® ¢»¡®° ª ¯¨² ­  ®£° ­¨·¨¢ ¥² ª°³£ ¯°¥²¥­¤¥­²®¢ ­  °®«¼ § ¬¥±²¨²¥«¿:

ª ¯¨² ­ ­¥

¬®¦¥² ¡»²¼ ±¢®¨¬ § ¬¥±²¨²¥«¥¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¡®°» ª ¯¨² ­  ¨ ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬»¬¨ | ² ª¨¬¨, ª ª ¢»¡®°» ª®­¢¥°²  ¨ ¬ °ª¨.

433.

‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ £« ±­³¾ ¨ ±®£« ±­³¾ ¡³ª¢» ¨§ ±«®¢  ª®­¢¥°²?  ® ¿ ± ­ ¥ ­ ¨ ¥. ¨«¨

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ƒ« ±­³¾

¬®¦­®

¢»¡° ²¼

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ª ­, ¢, °

  ±®£« ±­³¾ | ¯¿²¼¾ ±¯®±®¡ ¬¨ ( ,

82

¨«¨

±¯®±®¡ ¬¨

²).

(

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434.

‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ ¡¥«³¾ ¨ ·¥°­³¾ « ¤¼¨ ² ª, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ ? 435. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ ¡¥«®£® ¨ ·¥°­®£® ª®°®«¿, ·²®¡» ¯®«³·¨« ±¼ ¤®¯³±²¨¬ ¿ ¯° ¢¨« ¬¨ ¨£°» ¯®§¨¶¨¿? 436.  ­­¨¬ ³²°®¬ ­  °»¡ «ª³ ³«»¡ ¾¹¨©±¿ ˆ£®°¼ ¬· «±¿ ¡®±¨ª®¬. ‘ª®«¼ª® ®±¬»±«¥­­»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼, ¢»·¥°ª¨¢ ¿ ­¥ª®²®°»¥ ±«®¢  ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿? (‚® ¢±¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¤®«¦­» ¢µ®¤¨²¼ ¯®¤«¥¦ ¹¥¥ ˆ£®°¼ ¨ ±ª §³¥¬®¥ ¬· «±¿.) 437.  · «¼­¨ª ²° ­±¯®°²­®£® ¶¥µ  ¯°¨£« ±¨« ­¥±ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ­  ±®¢¥¹ ­¨¥. Š ¦¤»© ³· ±²­¨ª ±®¢¥¹ ­¨¿, ¢µ®¤¿ ¢ ª ¡¨­¥², ¯®¦¨¬ « °³ª¨ ¢±¥¬ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨¬. ‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ³· ±²¢®¢ «¨ ¢ ±®¢¥¹ ­¨¨, ¥±«¨ ¡»«® ¢±¥£® 78 °³ª®¯®¦ ²¨©? 438. Š°»±  ¡¥¦¨² ¯® « ¡¨°¨­²³, ª®²®°»© ³±²°®¥­ ² ª, ·²® ±­ · «  ®­  ¤®«¦­  ¢»¡° ²¼ ®¤­³ ¨§ ¤¢³µ ¤¢¥°¥©, § ²¥¬ ®¤­³ ¨§ ²°¥µ ¤¢¥°¥©,   §  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¥¥ ®¦¨¤ ¾² ·¥²»°¥ ¤¢¥°¨. °®©¤¿ ¤¢¥°¼, ª°»±  ­¥ ¬®¦¥² ¢¥°­³²¼±¿ ·¥°¥§ ­¥¥ ®¡° ²­®. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ° §«¨·­»¬¨ ¯³²¿¬¨ ª°»±  ¬®¦¥² ¯°®©²¨ « ¡¨°¨­² ®² ­ · «  ¤® ª®­¶ ?

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. ‚ ¯®µ®¤ µ®¤¨«¨ 80% ³·¥­¨ª®¢ ª« ±± ,   ­  ½ª±ª³°±¨¨ ¡»«® 60% ª« ±± , ¯°¨·¥¬ ª ¦¤»© ¡»« ¢ ¯®µ®¤¥ ¨«¨ ­  ½ª±ª³°±¨¨. ‘ª®«¼ª® ¯°®¶¥­²®¢ ª« ±±  ¡»«¨ ¨ ² ¬, ¨ ² ¬? 440. ‚ ª« ±±¥ 35 ³·¥­¨ª®¢. 20 ¨§ ­¨µ § ­¨¬ ¾²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ª°³¦ª¥, 11 | ¢ ¡¨®«®£¨·¥±ª®¬,   10 ­¨·¥¬ ­¥ § ­¨¬ ¾²±¿. ‘ª®«¼ª® °¥¡¿² § ­¨¬ ¾²±¿ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨ª®©, ¨ ¡¨®«®£¨¥©? 441.   ¤¨±ª®²¥ª¥ 80% ¢°¥¬¥­¨ ¡»« ¢»ª«¾·¥­ ±¢¥², 90% ¢°¥¬¥­¨ ¨£° «  ¬³§»ª  ¨ 50% ¢°¥¬¥­¨ ¸¥« ¤®¦¤¼. Š ª³¾ ­ ¨¬¥­¼¸³¾ 439

83

¤®«¾ ¢°¥¬¥­¨ ¢±¥ ½²® ®¡¿§ ­® ¡»«® ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®? 442. ˆ§ 100 ·¥«®¢¥ª 85 §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨© ¿§»ª, 80 | ¨±¯ ­±ª¨©, 75 | ­¥¬¥¶ª¨©. ‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª § ¢¥¤®¬® §­ ¾² ¢±¥ ²°¨ ¿§»ª ?  ¢®¤¿¹¨©

¢ ® ¯ ° ® ±.

‘ª®«¼ª® ·¥«®¢¥ª ­¥ §­ ¾²  ­£«¨©±ª¨©

¿§»ª? ¨±¯ ­±ª¨©? ­¥¬¥¶ª¨©?

443.

Š ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ®² 1 ¤® 1993 ¡®«¼¸¥: ²¥µ, ª®²®°»¥ ª° ²­» 8, ­® ­¥ ª° ²­» 9, ¨«¨ ²¥µ, ª®²®°»¥ ª° ²­» 9, ­® ­¥ ª° ²­» 8? 444. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¬¥­¼¸¨µ 1 000, ª®²®°»¥ ­¥ ª° ²­» ­¨ 2, ­¨ 5? € ­¥ ª° ²­»µ ­¨ 2, ­¨ 3, ­¨ 5? 445. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ·¥²­ ¿ ¶¨´° ?  ® ¤ ± ª   § ª  .

‚¬¥±²® ²®£®,

·²®¡» ¯®¤±·¨²»¢ ²¼ ª®«¨·¥±²¢®

²°¥¡³¥¬»µ ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ®¯°¥¤¥«¨²¥ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ³ ª®²®°»µ ¢±¥ ¶¨´°» ­¥· ¥²­».

. Š ª¨µ ·¨±¥« ¡®«¼¸¥ ±°¥¤¨ ¯¥°¢®£® ¬¨««¨®­ : ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ ¶¨´°  7, ¨«¨ ²¥µ, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥¥ ­¥²? 447. ‘ª®«¼ª® ±¥¬¨§­ ·­»µ ·¨±¥« ­¥ ±®¤¥°¦ ² ¶¨´°» 2? 448. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ 8 ·¥«®¢¥ª ¬®£³² ¢±² ²¼ ¢ ®·¥°¥¤¼ ª ²¥ ²° «¼­®© ª ±±¥? 449. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² 9-§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¶¨´°» ª®²®°»µ ° ±¯®«®¦¥­» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿ (²® ¥±²¼ ª ¦¤ ¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ¬¥­¼¸¥ ¯°¥¤»¤³¹¥©)? 450. ‘ª®«¼ª® ° §­»µ ·¨±¥« ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¶¨´°» ·¨±¥«:  ) 133; ¡) 9 854; ¢) 3 213; £) 98 561; ¤) 32 123? 451. ‘ª®«¼ª® ° §«¨·­»µ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­»µ) ±«®¢ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢:  ) ª°®²; ¡) ¬ ²¥¬ ²¨ª ; ¢) ­ ¯®«¥®­®­¥­ ¢¨±²­¨·¥±²¢®? 452. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²° ¥µ§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¼ ª®²®°»µ ¢µ®¤¨² °®¢­® ®¤­  ¶¨´°  5? 446

84



€€„ŽŠ‘› ¨ ‘Ž”ˆ‡Œ›

)

¥´«¥ª±¨¿

‘®§­ ­¨¥ | ½²® § ¦¦¥­­»¥ ´ °» ¢¯¥°¥¤¨ ¨¤³¹¥£® ¯ °®¢®§ . Ž¡° ²¨²¥ ¨µ ±¢¥²®¬ ¢­³²°¼, ¨ ±«³·¨²±¿ ª ² ±²°®´ . .  ±²¥°­ ª

“ ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª , Ž­ ¥¥ «¾¡¨«, Ž­  ±º¥«  ª³±®ª ¬¿± , Ž­ ¥¥ ³¡¨«. ‚ §¥¬«¾ § ª®¯ «,     ¬®£¨«¥ ­ ¯¨± «: \“ ¯®¯  ¡»«  ±®¡ ª , : : : "

‚±¥ ±«»¸ «¨ ­¥±ª®­· ¥¬³¾ ¨±²®°¨¾ ¨

±®¡ ª¥.

®

²®

±¢¿¹¥­­¨ª¥ ±²¨µ®²¢®°¥-

­¨¥ ¨­²¥°¥±­® ²¥¬, ·²® ®­® ±­®¢  ¨ ±­®¢  ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ ª ± ¬®¬³ ±¥¡¥, ¯®¤®¡­® §¬¥¥, § £« ²»¢ ¾¹¥© ±®¡±²¢¥­­»© µ¢®±².

‘«¥¤³¾¹ ¿ ´° §  | ²¨¯¨·­»© ¯°¨¬¥° ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, £®¢®°¿¹¥£® ® ±¥¡¥ ± ¬®¬.

¥°¥±·¨² ©²¥ ¡³ª¢», ¨ ‚» ³¡¥¤¨²¥±¼,

·²® ½²® | ·¨±² ¿ ¯° ¢¤ :

 ‚ ½²®© ´° §¥ ¤¢ ¤¶ ²¼ ¢®±¥¬¼ ¡³ª¢. ‚®² ¤°³£¨¥ ¯°¨¬¥°»:

 ‚» ²®«¼ª® ·²® ­ · «¨ ·¨² ²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ·²¥­¨¥ ª®²®°®£® ‚» ³¦¥ § ª ­·¨¢ ¥²¥.

) À‘®´¨§¬Á ¨ À¯ ° ¤®ª±Á | ±«®¢  £°¥·¥±ª¨¥. À‘®´¨§¬Á ( o' ) ®§­ -

· ¥² ° ±±³¦¤¥­¨¥, ´®°¬ «¼­® ª ¦³¹¥¥±¿ ±®¢¥°¸¥­­® ¡¥§³¯°¥·­»¬, ­® ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®¸¨¡ª³, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ª®­¥·­»© ¢»¢®¤ ®ª §»¢ ¥²±¿  ¡±³°¤­»¬. Ž¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥±²­»µ ±®´¨§¬®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨©: À’®, ·²® ²» ­¥ ²¥°¿«, ²» ¨¬¥¥¸¼; ²» ­¥ ²¥°¿« °®£®¢, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ²» ¨µ ¨¬¥¥¸¼.Á ‚ ¯ ° ¤®ª±¥ ( oo ), ­ ®¡®°®², ³¬®§ ª«¾·¥­¨¥, ª ¦³¹¥¥±¿ ­¥¢¥°­»¬, ¯°®²¨¢®°¥· ¹¨¬ À§¤° ¢®¬³ ±¬»±«³Á, ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®.

85

 ‚ ½²®© ´° §¥ ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢Á, ¤¢  ° -





   

§  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À½²®©Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À´° §¥Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢±²°¥· ¥²±¿Á, ·¥²»°­ ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±«®¢®Á, ¸¥±²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° §Á, ¤¥¢¿²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° § Á, ±¥¬¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¢ Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À·¥²»°­ ¤¶ ²¼Á, ²°¨ ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À²°¨Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¥¢¿²¼Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±¥¬¼Á, ¤¢  ° §  ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¸¥±²¼Á. Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty- ve n's, twenty-four o's, ve p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens, and, last but not least, a single ! In this sentence, the word and occurs twice, the word eight occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, the word seven occurs twice, the word the occurs fourteen times, the word this occurs twice, the word times occurs seven times, the word twice occurs eight times and the word word occurs fourteen times. ²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ¤¢¥­ ¤¶ ²¼ ±«®¢, ¤¢ ¤¶ ²¼ ¸¥±²¼ ±«®£®¢ ¨ ±¥¬¼¤¥±¿² ²°¨ ¡³ª¢». Š®£¤  §  ½²¨¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ ­¥ ­ ¡«¾¤ ¾², ®­® ­ ¯¨± ­® ¯®-­¥¬¥¶ª¨. .¨ª±¡ ° -®¯ ²¾ ²¨·, ®¢¥« ­  ¢ °¯±, ª ² ®­­¥¬ˆ „¥¢¿²¼ ±«®¢ ­ § ¤ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¥¹¥ ­¥ ­ · «®±¼. 86

 ²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±®±²®¿«® ¡» ¨§ ¤¥±¿²¨ ±«®¢, ¥±«¨ ¡» ®­®

¡»«® ­  ¯¿²¼ ±«®¢ ª®°®·¥.  …±«¨ ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ «®, ª²®-­¨¡³¤¼ ¯°¨¤³¬ « ¡» ¥£®.  …±«¨ ¡» ¿ ¤®¯¨± « ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥,

        

„³¸¥¢­®¡®«¼­»¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¤³¸¥¢­®¡®«¼­®©, ¢±²³¯¨¢¸¨© ¢ ª®­´«¨ª² ± ®¡¹¥±²¢®¬. (ˆ§ ³·¥¡­¨ª  ¯±¨µ¨ ²°¨¨.) Š ª ¢»£«¿¤¥«® ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¥±«¨ ¡»  ° ¢­¿«®±¼ 3?) ƒ¤¥ ¡» ‚» ­¨ ¢±²°¥²¨«¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ³­¨·²®¦¼²¥ ¥£®. ²®² ¯°¨­¶¨¯ ­ ±²®«¼ª® ¢±¥®¡º¥¬«¾¹, ·²® ­¨ª ª®¥ · ±²­®¥ ¥£® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ­¥¢®§¬®¦­®. ’®, ·²® ¿ ‚ ¬ ±¥©· ± ¯°¥¤±ª §»¢ ¾, ±¡³¤¥²±¿. ‚» ¬¥­¿ ¯®¬­¨²¥? Ÿ | ²®² ± ¬»© ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ­¥ ¯°®¨§¢¥« ­  ‚ ± ­¨ª ª®£® ¢¯¥· ²«¥­¨¿. ®·¥¬³ ¢±¥ ­¥¯°¨¿²­®±²¨ ¯°®¨±µ®¤¿² ¢ ± ¬®¥ ­¥¯®¤µ®¤¿¹¥¥ ¢°¥¬¿? ¥ ­ ¯®¬¨­ ¥² «¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ® ³¸ª¨­¥? °¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ­  ¯®±«¥¤­¥©, 500-© ±²° ­¨¶¥ ª­¨£¨ ­ ¯¥· ² ­®: Ž ¯ ° ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥.

) ‡ ¬¥²¼²¥, ¢ ¬¨°¥, £¤¥  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ° ¢­® 3, ‚» ±ª § «¨ ¡» ­¥ À¥±«¨ ¡»  = 3 Á,   À¥±«¨ ¡»  = 2 Á ¨«¨ À¥±«¨ ¡»  6= 3 Á. ‚¯°®·¥¬, ¨§¬¥­¨²¼  | §­ ·¨² £«³¡®· ©¸¨¬ ®¡° §®¬ ¨§¬¥­¨²¼ ¨ ¢±¾ ¬ ²¥¬ ²¨ª³, ¨ ¢¥±¼ ¬¨°. ®¦ «³©, ­¨ ¯®­¿²¨¥ À¯°¥¤«®¦¥­¨¥Á, ­¨ À3Á ­¥ ¢»¤¥°¦ «¨ ¡» ² ª®£® ¯®²°¿±¥­¨¿.

87

Ž¯¥· ²ª¨ ±. 500: ‚¬¥±²® ÀŽ¯¥· ²ª¨Á ±«¥¤³¥² ·¨² ²¼ ÀŽ¯¥· ²ª Á.

 (‘«³· © ­  ½ª§ ¬¥­¥.) ¨«¥² ¢ª«¾· « ¢ ±¥¡¿ ±«¥¤³¾¹¥¥: \ ¯¨¸¨²¥ ¢®¯°®±, ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¤«¿ ¢»¯³±ª­®£® ½ª§ ¬¥­  ¯® ½²®¬³ ª³°±³,   § ²¥¬ ®²¢¥²¼²¥ ­  ­¥£®."

„«¿ ®²¢¥²  ¤®±² ²®·­® ¤¢ ¦¤» ¯¥°¥¯¨± ²¼ ½²®² ¢®¯°®±!  Š ¯¥°¥¢®¤³ ±¢®¥© ±² ²¼¨ ‹¨²«¢³¤ ­ ¯¨± « ¯°¨¬¥· ­¨¿: Ÿ ¢¥±¼¬  ¡« £®¤ °¥­ ¯°®´¥±±®°³ ¨±±³ §  ¯¥°¥¢®¤ ½²®© ±² ²¼¨. Ÿ ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  ¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. Ÿ ² ª¦¥ ¡« £®¤ °¾ ¯°®´¥±±®°  ¨±±  §  ¯¥°¥¢®¤ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. ®·¥¬³ ½²®² °¿¤ ¡« £®¤ °­®±²¥© ­¥ ­³¦­® ¯°®¤®«¦ ²¼? ‘ ¬®®²°¨¶ ­¨¥

«¾° «¨§¬ ­³¦¥­ ­ ¸¥© ±²° ­¥ ª ª ¢®§¤³µ, ¨ ¤¢³µ ¬­¥­¨© ®¡ ½²®¬ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥². Œ. ‘. ƒ®°¡ · ¥¢

)

 ‹®§³­£ Š®°®·¥! ± ¬ ±«¥¤³¥² ²®¬³, ª ·¥¬³ ¯°¨§»¢ ¥². €

¢®² ¯°¨ª § ¥ ±¬¥²¼ ª®¬ ­¤®¢ ²¼! ¯°®²¨¢®°¥·¨² ± ¬ ±¥¡¥.  ‘ ¬®§¢ ­¶¥¢ ­ ¬ ­¥ ­ ¤®: ª®¬ ­¤¨°®¬ ¡³¤³ ¿.

) ƒ¥­¥° «¼­»© ±¥ª°¥² ²¼ –Š Š‘‘, ¯®·²¨ ±³¬¥¢¸¨© ³­¨·²®¦¨²¼ ª®¬¬³­¨§¬.

88

 ‚®®¡° §¨²¥ ¬ ©ª³ ± ­ ¤¯¨±¼¾   ½²®© ¬ ©ª¥ ­¨·¥£® ­¥ ­ ¯¨± ­®.?!

 ¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨ ± ¬® ±¥¡¥ ¯° ¢¨«® ¥² ¯° ¢¨« ¡¥§ ¨±ª«¾·¥­¨¿.?

 ¥ ±«³¸ ©±¿ ¬¥­¿!  ‡¤¥± °°®¢­® ²°¨ ®¸¨¡ª¨.  Š ª ¯¥°¥¢¥±²¨ ­  °³±±ª¨© ¿§»ª ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ \It's dicult )

to translate this English sentence into Russian"y)?  ¢¥°­®, ² ª:\²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ²°³¤­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ± °³±±ª®£® ­   ­£«¨©±ª¨©."  Ÿ ¢»­³¦¤¥­ ¡»« ¯¥°¥¢¥±²¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­  °³±±ª¨© ¿§»ª, ¯®±ª®«¼ª³ ­¥ ±³¬¥« ¯°®·¨² ²¼ ¥£® ¢ ®°¨£¨­ «¥ | ­  ± ­±ª°¨²¥.  ° ¤®ª± «¦¥¶ 

¥ §°¿ «¨ §­ ­¼¥¬ ¡¥±¯®«¥§­»¬ ±¢®© ¤³µ ¤°¥¬®²­»© ¬» ²°¥¢®¦¨¬? ‚ ²¥µ, ª²® § £«¿¤»¢ ¥² ¢ ¡¥§¤­³, ®­  § £«¿¤»¢ ¥² ²®¦¥. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

 …¹¥ ¢ „°¥¢­¥© ƒ°¥¶¨¨ §­ «¨ À¯ ° ¤®ª± «¦¥¶ Á. °¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ­¥ª²® £®¢®°¨²: ÀŸ «£³.Á ˆ«¨ ¯°¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ‚» ·¨² ¥²¥ ¢ ª­¨£¥: ’®, ·²® §¤¥±¼ ­ ¯¨± ­®, | ­¥¯° ¢¤ .z)

) ‘«®¢® À²°¨Á | ®¸¨¡ª  ¨«¨ ­¥²? y)„®±«®¢­»© ¯¥°¥¢®¤: \’°³¤­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ½²®  ­£«¨©±ª®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥

­  °³±±ª¨© ¿§»ª." z)’ ª ·²® ¦¥ ²³² ­ ¯¨± ­®? …±«¨ ¯° ¢¤ , ²® ²®£¤  | ½²® ­¥¯° ¢¤ ;   ¥±«¨ ­¥¯° ¢¤  | ²® ½²® ¯° ¢¤ !

89

 ‚ ®¤­®¬ ¯®«ª³ ¡° ¤®¡°¥¾ ¯°¨ª § «¨ ¡°¨²¼ ¢±¥µ ²¥µ, ª²®

­¥ ¡°¥¥²±¿ ± ¬. „®«¦¥­ «¨ ¡° ¤®¡°¥© ¡°¨²¼ ± ¬ ±¥¡¿?  Œ®¦¥² «¨ ‚±¥¬®£³¹¨© ®£ ±®§¤ ²¼ ª ¬¥­¼, ª®²®°»© ®­ ± ¬ ¯®¤­¿²¼ ­¥ ±¬®¦¥²?  —²® ¯°®¨§®©¤¥², ¥±«¨ ¢±¥±®ª°³¸ ¾¹¥¥ ¯³¸¥·­®¥ ¿¤°® ¯®¯ ¤¥² ¢ ­¥±®ª°³¸¨¬³¾ ¡°®­¾?  Š ¦¤®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¬®¦­® ­ §¢ ²¼, ¯°®¨§­¥±¿ ­¥±ª®«¼ª® ±«®¢.  ¯°¨¬¥°, ·¨±«® 2 § ¤ ¥²±¿ ®¤­¨¬ ±«®¢®¬,   ·¨±«® 22 | ¤¢³¬¿. „ ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ­¥«¼§¿ § ¤ ²¼ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ ¤¥±¿²¼¾ ±«®¢ ¬¨. …£® ®¯¨± ­¨¥ ±®±²®¨² ¢±¥£® ¨§ 9 ±«®¢, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥£® ®±­®¢­®¬³ ±¢®©±²¢³. ‘®´¨§¬»

 …±«¨ ° ¢­» ¯®«®¢¨­», ²® ° ¢­» ¨ ¶¥«»¥. ®«³¯³±²®©

±² ª ­ ° ¢¥­ ¯®«³¯®«­®¬³; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯³±²®© ±² ª ­ ° ¢¥­ ¯®«­®¬³.   ±±¬®²°¨¬ ° ¢¥­±²¢® 1 = 3 ,2 1 . …±«¨ ¥¤¨­¨¶³ ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥ § ¬¥­¨¬ ­  3 ,2 1 , ²® ¯®«³·¨¬: 1=

2

: 3 , 3 ,2 1

®¢²®°¨¢ ½²³ ®¯¥° ¶¨¾ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ­®¢®© ¥¤¨­¨¶¥, ±²®¿¹¥© ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥, ¨ ¯®±²³¯ ¿ ¤ «¥¥ ¯®¤®¡­»¬ ®¡° -

90

§®¬, ¬» ¯®±²°®¨¬ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¶¥¯­³¾ ¤°®¡¼: 2 1= : 2 3, 2 3, 3 , 3 ,2: : : ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», 2 = 3,2 2 , ² ª ·²® 2 2 2 = 3 ,2 2 = = : 2 2 3, 3,2 3, 2 3, 3 , 3 ,2: : : ®±²°®¥­­»¥ ¤°®¡¨ ° ¢­»! ‡­ ·¨², ° ¢­» ¨ ·¨±« , ¨§ ª®²®°»µ ®­¨ ¯®«³·¥­», ²® ¥±²¼ 1 = 2. ‘¨«¼­»© ¨ ®·¥­¼ ¢ ¦­»© °¥§³«¼² ², ª®²®°»© ¬­®£¨¥ ³·¨²¥«¿ ±ª°»¢ ¾² ®² ±¢®¨µ ³·¥­¨ª®¢!  Ž¡®§­ ·¨¬ 1 + 1 + 1 +::: S = 1 + 21 + 13 + 14 + 51 + 16 + 71 + 18 + 19 + 10 11 12 Ž·¥¢¨¤­®,

S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ::: 2 2 4 6 8 10 12

()

‚»·¨² ¿ ½²® ° ¢¥­±²¢® ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®, ¯®«³· ¥¬: 1 + ::: S , S2 = 1 + 13 + 51 + 17 + 91 + 11 () ®±ª®«¼ª³ 12 < 1, 14 < 13 , 16 < 15 , 18 < 17 , ¨ ¢®®¡¹¥, 1 < 2n1,1 , ²® ª ¦¤®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¯° ¢®© · ±²¨ ´®°¬³«» 2n () ¬¥­¼¸¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ±« £ ¥¬®£® ´®°¬³«» (). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ·²® ³¤¨¢¨²¥«¼­®.

S < S , S; 2 2 91

®²¥¸­»¥ ¨±²®°¨¨

Ÿ ±¯®°¾ ¨±ª°¥­­¥ ¨ ·¥±²­®, ¿ ·¨±²®© ¨±²¨­» ¯®±°¥¤­¨ª, ¨ ¬­¥ ±®¢±¥¬ ­¥ ¨­²¥°¥±­®, ·²® £®¢®°¨² ¬®© ±®¡¥±¥¤­¨ª. ˆ. ƒ³¡¥°¬ ­

 Š°¥±²¼¿­¨­ ¸¥« ¯® ¤®°®£¥ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬. ‘»­ ° ±±ª §»¢ « ·²®-

²® ®²¶³ ¨ ±ª § « ¥¬³ ­¥¯° ¢¤³. Š°¥±²¼¿­¨­ ¤®£ ¤ «±¿, ·²® ±»­ ®¡¬ ­»¢ ¥² ¥£®. ’®£¤  ®­ ±ª § «: \‘¥©· ±, ±»­®ª, ¬» ¯®¤µ®¤¨¬ ª ¬®±²³. ²®² ¬®±² ­¥ ¯°®±²®©,   ¢®«¸¥¡­»© | ®­ ¯°®¢ «¨¢ ¥²±¿ ¯®¤ ²¥¬¨, ª²® £®¢®°¨² ­¥¯° ¢¤³." Š®£¤  ±»­ ³±«»¸ « ½²®, ®­ ¨±¯³£ «±¿ ¨ ¯°¨§­ «±¿ ®²¶³, ·²® ®¡¬ ­³« ¥£®. •®²¨²¥ ³§­ ²¼, ·²® ¡»«® ¤ «¼¸¥? € ¤ «¼¸¥ ª°¥±²¼¿­¨­ ±® ±¢®¨¬ ±»­®¬ ¢±²³¯¨«¨ ­  ¬®±², ¨ ¬®±² ¯°®¢ «¨«±¿ ¯®¤ ª°¥±²¼¿­¨­®¬ | .  (ž°¨¤¨·¥±ª¨© ª §³±.) ‚±²°¥²¨«¨±¼ ¢ ¯³±²»­¥ ²°¨ ¯³²­¨ª . „¢®¥, ­¥ ±£®¢ °¨¢ ¿±¼, °¥¸¨«¨ ³¡¨²¼ ²°¥²¼¥£®. ®·¼¾ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ®²° ¢¨« ¥£® ¢®¤³,   ¤°³£®© (­¥ §­ ¿ ® ²®¬!), ¯°®ª®«®« ¡³°¤¾ª ± ¢®¤®© ² ª, ·²® ¢®¤  ¢±ª®°®±²¨ ¢»²¥ª«  ¨ ¡¥¤­¿£  ¯®£¨¡ ®² ¦ ¦¤». Š²® ³¡¨©¶ ? ‚ ±³¤¥ ¢²®°®© ³²¢¥°¦¤ «, ·²® ¡« £®¤ °¿ ­¥¬³ ²°¥²¨© ¯°®¦¨« ¤ ¦¥ ¤®«¼¸¥, ·¥¬ ¥±«¨ ¡» ®­ ¢»¯¨« ®²° ¢³. € ®²° ¢¨²¥«¼ ®¯° ¢¤»¢ «±¿ ²¥¬, ·²® ¢¥±¼ ¿¤ ¢»²¥ª ¨ ­¨ª ª ­¥ ¯®¢°¥¤¨« ¦¥°²¢¥.  °¨ ±²°®¨²¥«¼±²¢¥ ¬®±²  ·¥°¥§ ¥¢³ ­¥±ª®«¼ª® ²»±¿· ·¥«®¢¥ª ¡»«¨ § ­¿²» ¡®©ª®¾ ±¢ ©, ·²®, ­¥ £®¢®°¿ ³¦¥ ® ° ±µ®¤ µ, ·°¥§¢»· ©­® § ¬¥¤«¿«® ° ¡®²». ˆ±ª³±­»© ±²°®¨²¥«¼ £¥­¥° « Š®°¡¥¶ ¢»¤³¬ « ¬ ¸¨­³, §­ ·¨²¥«¼­® ®¡«¥£·¨¢¸³¾ ¨ ³±ª®°¨¢¸³¾ ½²®² ²°³¤. ‘¤¥« ¢ ®¯»²», ®¯¨± ­¨¥ ¬ ¸¨­» ®­ ¯°¥¤±² ¢¨« ƒ« ¢­®³¯° ¢«¿¾¹¥¬³ ¯³²¥© ±®®¡¹¥­¨¿ ¨ ¯®«³·¨« ­  ¡³¬ £¥ ®´¨¶¨ «¼­»© ¨ ±²°®¦ ©¸¨© § ·¥¬ ®­ ½²®© ¬ ¸¨­» ¯°¥¦¤¥ ­¥ ¨§®¡°¥« ¨ ²¥¬ ¢¢¥« ª §­³ ¢ ®£°®¬­»¥ ¨ ­ ¯° ±­»¥ ° ±µ®¤».   · «¼­¨ª §»°¿­±ª®£® ³§«  ±¢¿§¨ ‹¿¯³­®¢ ¯®¦ «®¢ «±¿ ¢ ¬¨«¨¶¨¾: \„¦¥¬¨«¥¢ ­ °³¸ ¥² ¯° ¢¨«  ¢¥¤¥­¨¿ ¬¥¦¤³£®°®¤­»µ ° §£®¢®°®¢ : : : Ž­ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¬» ¯®¤±«³¸¨¢ ¥¬ ¥£® ¯¥°¥£®¢®°». °®¸³ ° §º¿±­¨²¼ „¦¥¬¨«¥¢³, ·²® ¥£® ¤¥©±²¢¨¿ ­®±¿² ®±ª®°¡¨²¥«¼­»© µ ° ª²¥°,   ¯®¤®¡­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ ª«¥¢¥²®©." ‚ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ±¢®¥© ¦ «®¡» ‹¿¯³­®¢ ¯°¨« £ ¥² ¤®ª« ¤­³¾ ²¥«¥´®­¨±²ª¨ ¥­¿£¨­®© ± ¨§«®¦¥­¨¥¬ ±®¤¥°¦ ­¨¿ ° §£®¢®°  „¦¥¬¨«¥¢ . (À•°®­¨ª  ²¥ª³¹¨µ ±®¡»²¨©Á, 1980 £.) ¢¥¤¼ ­¨ª ª¨µ ¢®«¸¥¡­»µ

¬®±²®¢ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥ ¡»¢ ¥²

¢»£®¢®°:

92

’¥±² ¯®  °¨´¬¥²¨ª¥

‚ ­ ¸¨ ¤­¨ ¯®°²°¥²» ¯¨¸³² §  ±¥¬¼ ¬¨­³², °¨±®¢ ²¼ ®¡³· ¾² §  ²°¨ ¤­¿,  ­£«¨©±ª¨© ¿§»ª ¢²®«ª®¢»¢ ¾² §  ±®°®ª ³°®ª®¢, ¢®±¥¬¼ ¿§»ª®¢ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¯°¥¯®¤ ¾² ± ¯®¬®¹¼¾ ­¥±ª®«¼ª¨µ £° ¢¾°, £¤¥ ¨§®¡° ¦¥­» ° §«¨·­»¥ ¯°¥¤¬¥²» ¨ ­ §¢ ­¨¿ ¨µ ­  ½²¨µ ¢®±¼¬¨ ¿§»ª µ. ‘«®¢®¬, ¥±«¨ ¡» ¬®¦­® ¡»«® ±®¡° ²¼ ¢®¥¤¨­® ¢±¥ ­ ±« ¦¤¥­¨¿, ·³¢±²¢  ¨ ¬»±«¨, ­  ª®²®°»¥ ¯®ª  ·²® ³µ®¤¨² ¶¥« ¿ ¦¨§­¼, ¨ ¢¬¥±²¨²¼ ¨µ ¢ ®¤­¨ ±³²ª¨, ±¤¥« «¨ ¡», ¢¥°®¿²­®, ¨ ½²®. ‚ ¬ ±³­³«¨ ¡» ¢ °®² ¯¨«¾«¾ ¨ ®¡º¿¢¨«¨: \ƒ«®² ©²¥ ¨ ¯°®¢ «¨¢ ©²¥!" ˜ ¬´®° (1740{1794) ÀŒ»±«¨ ¨ ¬ ª±¨¬»Á

453.

Ž£³°¶» ±®¤¥°¦ «¨ 99% ¢®¤». — ±²¼ ¥¥ ¨±¯ °¨« ±¼, ² ª ·²® ¢ ®£³°¶ µ ±² «® 98% ¢®¤». Š ª³¾ · ±²¼ ¢¥±  ¯®²¥°¿«¨ ®£³°¶»? 454. ‚ ®¤­®© ³°­¥ «¥¦ «¨ ¤¢  ¡¥«»µ ¸ ° , ¢ ¤°³£®© | ¤¢  ·¥°­»µ, ¢ ²°¥²¼¥© | ®¤¨­ ¡¥«»© ¨ ®¤¨­ ·¥°­»©.   ª ¦¤®© ³°­¥ ¢¨±¥«  ² ¡«¨·ª , ³ª §»¢ ¢¸ ¿ ¥¥ ±®¤¥°¦¨¬®¥: 

——

—

˜³²­¨ª ¯¥°¥¢¥±¨« ² ¡«¨·ª¨ ² ª, ·²® ²¥¯¥°¼ ¢±¥ ­ ¤¯¨±¨ ­¥¢¥°­». Œ®¦­® «¨, ¢»­³¢ ®¤¨­ ¸ °, ®¯°¥¤¥«¨²¼, ·²® £¤¥ ­ µ®¤¨²±¿? 455. ‚ ±²° ­¥ ²°¨ £®°®¤ : ° ¢¤¨­, ‹£³­®¢ ¨ ¥°¥¬¥­±ª. †¨²¥«¨ ° ¢¤¨­  ¢±¥£¤  £®¢®°¿² ¯° ¢¤³, ‹£³­®¢  | «£³²,   ¦¨²¥«¨ ¥°¥¬¥­±ª  ±²°®£® ¯®¯¥°¥¬¥­­® «£³² ¨ £®¢®°¿² ¯° ¢¤³. ®¦ °­»¬ ¯®§¢®­¨«¨: | “ ­ ± ¯®¦ °! | ƒ¤¥ £®°¨²? | ‚ ¥°¥¬¥­±ª¥. Š³¤  ¥µ ²¼ ¯®¦ °­»¬? (®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ¯®¦ ° ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ±«³·¨«±¿ ¨ ª³¤ -­¨¡³¤¼ ¥µ ²¼ ¯®¦ °­»¥ ¤®«¦­».) 93

456.

Ž¤¨­ ¬ ±²¥° ±² ¢¨² ­  ¤«¨­­®© «¥­²¥ ¬¥²ª¨ ®² ¥¥ ­ · «  ·¥°¥§ ª ¦¤»¥ 36 ±¬, ¤°³£®© | ·¥°¥§ 25 ±¬. Œ®£³² «¨ ¤¢¥ ¬¥²ª¨ ®ª § ²¼±¿ ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ±¬ ¤°³£ ®² ¤°³£ ?

r  0 457.

.

458 459

.

460.

461

.

36 r r r 

 25 50

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75

72

®¥§¤ ¯°®µ®¤¨²) ¬®±² ¤«¨­®© 450 ¬¥²°®¢ §  ¬¨­³²³ ¨ ¯®«¬¨­³²» ¨¤¥² ¬¨¬® ²¥«¥£° ´­®£® ±²®«¡ .  ©¤¨²¥ ¤«¨­³ ¨ ±ª®°®±²¼ ¯®¥§¤ . Š ª ª®­²¥©­¥° ¬¨ ¢¥±  130 ª£ ¨ 160 ª£ ¯®«­®±²¼¾ § £°³§¨²¼ £°³§®¢¨ª £°³§®¯®¤º¥¬­®±²¼¾ 3 ²®­­»? “·¥­¨ª³ ­  ª®­²°®«¼­®© ¤ «¨ 20 § ¤ ·. ‡  ª ¦¤³¾ ¢¥°­® °¥¸¥­­³¾ § ¤ ·³ ¥¬³ ±² ¢¿² 8 ¡ ««®¢, §  ª ¦¤³¾ ­¥¢¥°­® °¥¸¥­­³¾ | ¬¨­³± 5 ¡ ««®¢, §  § ¤ ·³, ª®²®°³¾ ®­ ­¥ ¡° «±¿ °¥¸ ²¼,| 0 ¡ ««®¢. “·¥­¨ª ¯®«³·¨« ¢ ±³¬¬¥ 13 ¡ ««®¢. ‘ª®«¼ª® § ¤ · ®­ ¯»² «±¿ °¥¸¨²¼? Ž«¨¬¯¨ ¤ , ‘®±¨¯ ²°  ¨ ®«¨ª±¥­  ¯¨«¨ · ©. …±«¨ ¡» Ž«¨¬¯¨ ¤  ¢»¯¨«  ­  5 · ¸¥ª ¡®«¼¸¥, ²® ®­  ¢»¯¨«  ¡» ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ¢¬¥±²¥. …±«¨ ¡» ‘®±¨¯ ²°  ¢»¯¨«  ­  9 · ¸¥ª ¡®«¼¸¥, ²® ®­  ¢»¯¨«  ¡» ±²®«¼ª®, ±ª®«¼ª® ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ¢¬¥±²¥. ‘ª®«¼ª® ª ¦¤ ¿ ¢»¯¨«  · ¸¥ª ¨ ³ ª®£® ª ª®¥ ®²·¥±²¢®, ¥±«¨ Š °¯®¢­  ¢»¯¨«  11 · ¸¥ª, “¢ °®¢­  ¯¨«  ¢¯°¨ª³±ª³,   ª®«¨·¥±²¢® ¢»¯¨²»µ ’¨²®¢­®© · ¸¥ª ª° ²­® ²°¥¬?  ª²¥°¨¨ ° §¬­®¦ ¾²±¿ ¤¥«¥­¨¥¬ ¯®¯®« ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ¤¥«¥­¨¥ ¢ ¬¨­³²³. …±«¨ ¯®± ¤¨²¼ ¢ ±®±³¤ ± ¯¨² ²¥«¼­®© ±¬¥±¼¾ 1 ¡ ª²¥°¨¾, ²® ·¥°¥§ · ± ®­ § ¯®«­¨²±¿ ¡ ª²¥°¨¿¬¨. —¥°¥§ ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¡»«  § ¯®«­¥­  ¯®«®¢¨­  ±®±³¤ ? € ·¥°¥§ ª ª®¥ ¢°¥¬¿ § ¯®«­¨«±¿ ¡» ±®±³¤, ¥±«¨ ¡» ¢ ­ · «¥ ¢ ­¥¬ ¡»«® ¤¢¥ ¡ ª²¥°¨¨? ) ‘·¨² ¿ ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±², ¤® ¬®¬¥­² ,

ª®£¤  ®­ ¶¥«¨ª®¬ ±º¥µ « ± ­¥£®.

94

.  §°¥¦¼²¥ ´¨£³°³ ­  9 ° ¢­»µ (¨ ¯® ´®°¬¥, ¨ ¯® ¯«®¹ ¤¨) · ±²¥©. 463. Š ¦¤»© §°¨²¥«¼, ¯°¨¸¥¤¸¨© ­  ±¯¥ª² ª«¼ ÀŠ®°®«¥¢±ª¨© ¦¨° ´Á, ¯°¨­¥± ± ±®¡®© «¨¡® ®¤­³ ¤®µ«³¾ ª®¸ª³, «¨¡® ¤¢  ª®· ­  £­¨«®© ª ¯³±²», «¨¡® ²°¨ ²³µ«»µ ¿©¶ . ‘²®¿¢¸¨© ³ ¢µ®¤  ƒ¥ª«¼¡¥°°¨ ”¨­­ ¯®¤±·¨² «, ·²® ª®¸¥ª ¡»«® 64 ¸²³ª¨. ®±«¥ ±¯¥ª² ª«¿ ®¡   °²¨±²  | ª®°®«¼ ¨ £¥°¶®£ | ¡»«¨ ± ­®£ ¤® £®«®¢» § ª¨¤ ­» ¯°¨¯ ± ¬¨, ¯°¨·¥¬ ­  ¤®«¾ ª ¦¤®£® ¤®±² «®±¼ ¯®°®¢­³ ¯°¥¤¬¥²®¢ (  ¯°®¬ µ®¢ ¦¨²¥«¨ €°ª ­§ ±  ­¥ ¤¥« ¾²). ° ¢¤ , ª®°®«¼ ¯°¨­¿« ­  ±¥¡¿ «¨¸¼ ¯¿²³¾ · ±²¼ ¢±¥µ ¿¨¶ ¨ ±¥¤¼¬³¾ · ±²¼ ª ¯³±²», ­® ¢±¥ ¤®µ«»¥ ª®¸ª¨ ¯®«¥²¥«¨ ¨¬¥­­® ¢ ­¥£®. ‘ª®«¼ª® §°¨²¥«¥© ¯°¨¸«® ­  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥? 464. Ž² ¯®²®«ª  ª®¬­ ²» ¢¥°²¨ª «¼­® ¢­¨§ ¯® ±²¥­¥ ¯®¯®«§«¨ ¤¢  ¯ ³ª . ‘¯³±²¨¢¸¨±¼ ¤® ¯®« , ®­¨ ¯®¯®«§«¨ ®¡° ²­®. ¥°¢»© ¯ ³ª ¯®«§ ¢±¥ ¢°¥¬¿ ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾,   ¢²®°®© µ®²¿ ¨ ¯®¤­¨¬ «±¿ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ ¯¥°¢®£®, ­® § ²® ±¯³±ª «±¿ ¢¤¢®¥ ¡»±²°¥¥ ¯¥°¢®£®. Š ª®© ¯ ³ª ° ­¼¸¥ ¯°¨¯®«§ ®¡° ²­®?  465.  ±¯®«®¦¨²¥ ­  ¯«®±ª®±²¨ 11 ®¤¨­ ª®¢»µ ª¢ ¤° ²®¢, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£  ¨ ¢»¯®«­¿«®±¼ ³±«®¢¨¥: ª ª ¡» ­¨ ° ±ª° ±¨²¼ ª¢ ¤° ²» ¢ ²°¨ ¶¢¥²  | ®¡¿§ ²¥«¼­® ­ ©¤³²±¿ ¤¢  ª¢ ¤° ²  ®¤­®£® ¶¢¥² , ¨¬¥¾¹¨¥ ®¡¹¨© ®²°¥§®ª £° ­¨¶», ²® ¥±²¼ ¯°¨«¥£ ¾¹¨¥ ¤°³£ ª ¤°³£³ · ±²¼¾ ±²®°®­» (­¥ ²®·ª®©!). 466. ‡ ¬¥­¨²¥ ¡³ª¢» ¢ ±«®¢¥ ’€‘Ž’ˆŽ‚Š€ ¶¨´° ¬¨ (° §­»¥ ¡³ª¢» | ° §­»¬¨ ¶¨´° ¬¨, ®¤¨­ ª®¢»¥ | ®¤¨­ ª®¢»¬¨) ² ª, ·²®¡» ¢»¯®«­¿«¨±¼ ­¥° ¢¥­±²¢  462

’ >  > € >  < ‘ <  < Ž <  < ’ > ˆ >  > Ž < ‚ < Š < €:

95

. ‚ ª ¦¤®© ª«¥²ª¥ ¤®±ª¨ 4  4 «¥¦¨² ±«¨¢ . “¡¥°¨²¥ 6 ±«¨¢ ² ª, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼­®¬ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬ °¿¤³ ®±² «®±¼ ·¥²­®¥ ·¨±«® ±«¨¢. 468.  )   ¤®±ª¥ ° §¬¥°®¬ 6  6 ° ±±² ¢¼²¥ 8 ´¥°§¥© ² ª, ·²®¡» ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ¡¨« °®¢­® ®¤­®£® ´¥°§¿. ¡) Œ®¦­® «¨ ² ª ° ±±² ¢¨²¼ 9 ´¥°§¥©? 469. ‚ ²° ¬¢ ¥ ¥µ «¨ 60 ·¥«®¢¥ª: ª®­²°®« ¥°», ª®­¤³ª²®°», «¦¥ª®­¤³ª²®°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­¤³ª²®°®¢), «¦¥ª®­²°®«¥°» (£° ¦¤ ­¥, ¢»¤ ¢ ¢¸¨¥ ±¥¡¿ §  ª®­²°®«¥°®¢), ¨, ¢®§¬®¦­®, ®¡»·­»¥ ¯ ±± ¦¨°». Ž¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® «¦¥ª®­²°®«¥°®¢ ¨ «¦¥ª®­¤³ª²®°®¢ ¢ 4 ° §  ¬¥­¼¸¥ ·¨±«  ­ ±²®¿¹¨µ ª®­¤³ª²®°®¢ ¨ ª®­²°®«¥°®¢. Ž¡¹¥¥ ·¨±«® ª®­²°®«¥°®¢ ¨ «¦¥ª®­²°®«¥°®¢ ¢ 7 ° § ¡®«¼¸¥ ®¡¹¥£® ·¨±«  ª®­¤³ª²®°®¢ ¨ «¦¥ª®­¤³ª²®°®¢. ‘ª®«¼ª® ¢ ²° ¬¢ ¥ ®¡»·­»µ ¯ ±± ¦¨°®¢? 470.  ±±² ¢¼²¥ ¢ ª°³¦®·ª µ ·¨±«  1, 2, 3, : : : , 8, ·²®¡» ­¨ ¢ ª ª¨µ ¤¢³µ ±®¥¤¨­¥­­»µ ®²°¥§ª®¬ ª°³¦®·ª µ ­¥ ®ª § «¨±¼ ¡» ±®±¥¤­¨¥ (²® ¥±²¼ ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ­  1) ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±« . 471. ”¨£³°  ­  °¨±³­ª¥ ±®±² ¢«¥­  ¨§ ª¢ ¤° ²®¢.  ©¤¨²¥ ±²®°®­³ «¥¢®£® ­¨¦­¥£®, ¥±«¨ ±²®°®­  ± ¬®£® ¬ «¥­¼ª®£® ° ¢­  1. 472.  ) Š®­¼ ¢»¸¥« ± ­¥ª®²®°®£® ¯®«¿ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¨ ·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® µ®¤®¢ ¢¥°­³«±¿ ­  ­¥£®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ®­ ±¤¥« « ·¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢. ¡) ˆ§ ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢»¯¨«¥­® ³£«®¢®¥ ¯®«¥. Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ®¡®©²¨ ¢±¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¯®«¿ ¯® ®¤­®¬³ ° §³ ¨ ¢¥°­³²¼±¿ ­  ¨±µ®¤­®¥ ¯®«¥? 467

96

¢) Œ®¦¥² «¨ ª®­¼ ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®£® ­¨¦­¥£® ³£«  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¨ ¢ ¯° ¢»© ¢¥°µ­¨©, ¯®¡»¢ ¢ ­  ª ¦¤®¬ ¯®«¥ °®¢­® ®¤¨­ ° §? 473. „®±ª³ ° §¬¥°®¬ 8  8 ° §°¥§ «¨ ­  ·¥²»°¥ · ±²¨ ¨ ±«®¦¨«¨ ¨§ ­¨µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ° §¬¥°®¬ 513. Ž²ª³¤  ¯®¿¢¨« ±¼ «¨¸­¿¿ ª«¥²ª ?

. ¿²¼ ¡° ²¼¥¢ ¤¥«¨«¨ ­ ±«¥¤±²¢® ®²¶  ¯®°®¢­³. ‚ ­ ±«¥¤±²¢¥ ¡»«® ²°¨ ¤®¬ . ®±ª®«¼ª³ ¤®¬  ¯¨«¨²¼ ­¥«¼§¿, ¨µ ¢§¿«¨ ²°¨ ±² °¸¨µ ¡° ² ,   ¬¥­¼¸¨¬ ¢»¤¥«¨«¨ ¤¥­¼£¨: ª ¦¤»© ¨§ ²°¥µ ±² °¸¨µ ¡° ²¼¥¢ § ¯« ²¨« ¯® 800 °³¡«¥©,   ¬¥­¼¸¨¥ ¡° ²¼¿ ° §¤¥«¨«¨ ½²¨ ¤¥­¼£¨ ¬¥¦¤³ ±®¡®©. ‘ª®«¼ª® ±²®¨« ®¤¨­ ¤®¬? 475. ˆ§ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ° §¬¥°®¬ 10  7 ¢»°¥§ «¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª 1  6, ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥.  §°¥¦¼²¥ ¯®«³·¥­­³¾ ´¨£³°³ ­  ¤¢¥ ° ¢­»¥ · ±²¨, ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ±«®¦¨²¼ ª¢ ¤° ². 476. ˆ§¢¥±²­®, ·²® a ¨ b | ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±« ,   ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°¥µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© | 1) a + 1 ¤¥«¨²±¿ ­  b , 2) a = 2b + 5, 3) a + b ¤¥«¨²±¿ ­  3, 4) a + 7b | ¯°®±²®¥ ·¨±«® | ²°¨ ¢¥°­»µ,   ®¤­® ­¥¢¥°­®¥.  ©¤¨²¥ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¯ °» ·¨±¥« a , b . 474

97

477

.  °¨±³©²¥ ­  ª«¥²· ²®© ¡³¬ £¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ¸¨°¨­®© 33 ¨ ¢»±®²®© 32 ª«¥²ª¨ ¨ ° §°¥¦¼²¥ ¥£® ­  ª¢ ¤° ²», ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥. (¥§ ²¼ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¢¤®«¼ «¨­¨© ±¥²ª¨!)

 §¡¨¥­¨¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ­  ° §­»¥ ª¢ ¤° ²»

. …±«¨ ®² ­¥ª®²®°®£® ¤¢³§­ ·­®£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 2, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  3,   ¥±«¨ ®²­¿²¼ ­¥ 2,   3, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­¥ ­  3,   ­  2. …±«¨ ª ½²®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 4, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  5,   ¥±«¨ ®² ­¥£® ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  4. ®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨ ®² ½²®£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 5, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­ ¶¥«® ­  6,   ¥±«¨ ¦¥ ®² ­ ¸¥£® ·¨±«  ®²­¿²¼ 6, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  5. ˆ ½²® ¥¹¥ ­¥ ¢±¥: ¥±«¨ ª ½²®¬³ § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ·¨±«³ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 7, ²® °¥§³«¼² ² ° §¤¥«¨²±¿ ­  8,   ¥±«¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ 8, ²® ° §¤¥«¨²±¿ ­  7. —²® ¦¥ ½²® §  ·¨±«®? 479.  ) Š®£¤  ª®¬¨±±¨¿ ¯°¨¥µ «  ¢ ¡®«¼­¨¶³, ² ¬ ­ µ®¤¨«¨±¼ 3 ¢° ·  ¨ 1996 ¯ ¶¨¥­²®¢. Š®¬¨±±¨¿ ¯®¯°®±¨«  ª ¦¤®£® ³ª § ²¼ ¤¢³µ ¢° ·¥©. Š ¦¤»© ¢° · ­ §¢ « ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¢° ·¥©,   ¯ ¶¨478

98

480

.

481

.

482.

483

484

.

.

¥­²» ­ §»¢ «¨ ª®£® ³£®¤­®. „®ª ¦¨²¥, ·²® ª®¬¨±±¨¿ ±¬®£«  ¢»¿¢¨²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­®£® ¯ ¶¨¥­² . ¡) ‚ Š®­²®°¥ ° ¡®² ¾² 200 ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»µ ¨ 1999 ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ ±®²°³¤­¨ª®¢. Ž¤­ ¦¤» ª ¦¤»© ±®²°³¤­¨ª ­ ¯¨± « ¤®ª« ¤­³¾ § ¯¨±ª³, ¢ ª®²®°®© ¯¥°¥·¨±«¨« 1999 ±¢®¨µ ª®««¥£, ¯® ¥£® ¬­¥­¨¾, ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ. Š ¦¤»© ¯±¨µ¨·¥±ª¨ §¤®°®¢»© ±®²°³¤­¨ª ¢¥°­® ³ª § « ¢±¥µ ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ,   ª ¦¤»© ±³¬ ±¸¥¤¸¨© ¬®£ ³ª § ²¼ ­  ª®£® ³£®¤­®, ª°®¬¥ ±¥¡¿. „®ª ¦¨²¥, ·²® ­  ®±­®¢ ­¨¨ ½²¨µ ¤ ­­»µ ¬®¦­® ¢»¿¢¨²¼ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ 199 ±³¬ ±¸¥¤¸¨µ. ‚ ®¤­®© ¨§ ²°¥µ ª®¬­ ² ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¢ ¤°³£®© | ²¨£°,   ¢ ²°¥²¼¥© ­¥² ­¨ª®£®.   ¤¢¥°¨ «¥¢®© ª®¬­ ²» ­ ¯¨± ­®: \’¨£° ¢ ¯° ¢®© ª®¬­ ²¥", ­  ¤¢¥°¨ ±°¥¤­¥©: \‹¥¢ ¿ ª®¬­ ²  ¯³±² ", ­  ¤¢¥°¨ ¯° ¢®©: \°¨­¶¥±±  ¢ ±°¥¤­¥© ª®¬­ ²¥". ˆ§¢¥±²­®, ·²® ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± , ¨±²¨­­ , ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ª®¬­ ²», £¤¥ ±¨¤¨² ²¨£° | «®¦­ ,   ­ ¤¯¨±¼ ­  ¤¢¥°¨ ¯³±²®© ª®¬­ ²» ¬®¦¥² ¡»²¼ ª ª ¨±²¨­­®©, ² ª ¨ «®¦­®©. ƒ¤¥ ±¨¤¨² ¯°¨­¶¥±± ,   £¤¥ | ²¨£°?  §°¥¦¼²¥ ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±³­ª¥ ´¨£³°³ ­   ) ·¥²»°¥; ¡) ¯¿²¼ ®¤¨­ ª®¢»µ · ±²¥©. (Œ®¦­® °¥§ ²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¯® ±²®°®­ ¬ ¨ ¤¨ £®­ «¿¬ ª«¥²®ª.) °¥¤±² ¢¼²¥ ·¨±«® 203 ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ­¥±ª®«¼ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®²®°»µ ²®¦¥ ° ¢­® 203. ®ª° ±¼²¥ ª«¥²ª¨ ¤®±ª¨ 5  5 ¢ ¯¿²¼ ¶¢¥²®¢ ² ª, ·²®¡» ¢ ª ¦¤®¬ £®°¨§®­² «¼­®¬ °¿¤³, ¢ ª ¦¤®¬ ¢¥°²¨ª «¼­®¬ °¿¤³ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¢»¤¥«¥­­®¬ ¡«®ª¥ ¢±¥ ¶¢¥²  ¢±²°¥· «¨±¼ ¡» ¯® ®¤­®¬³ ° §³. Š ª®¥ ·¥²»°¥µ§­ ·­®¥ ·¨±«® ¢ 83 ° §  ¡®«¼¸¥ ±¢®¥© ±³¬¬» ¶¨´°? 99

. —¨±«  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 ° ±±² ¢¼²¥ ¢ ª«¥²ª µ ² ¡«¨¶» 3  3 ² ª, ·²®¡» ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¯® ¢±¥¬ ¢¥°²¨ª «¿¬, £®°¨§®­² «¿¬ ¨ ®¡¥¨¬ £« ¢­»¬ ¤¨ £®­ «¿¬ ¡»«¨ ° ¢­». 486. ‚ ®¤­®© ª³·¥ 18 ª®­´¥², ¢ ¤°³£®© | 23. „¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±º¥¤ ¾² ®¤­³ ¨§ ª³·,   ¤°³£³¾ ¤¥«¿² ­  ¤¢¥ ª³·¨. Š²® ­¥ ¬®¦¥² ¯®¤¥«¨²¼ (¥±«¨ ¢ ª³·¥ ®¤­  ª®­´¥² ), ¯°®¨£°»¢ ¥². …±²¼ «¨ ³ ­ ·¨­ ¾¹¥£® ¢»¨£°»¸­ ¿ ±²° ²¥£¨¿? 487. ®«¿ ª«¥²· ²®© ¤®±ª¨ ° §¬¥°®¬ 8  8 ¡³¤¥¬ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° ¸¨¢ ²¼ ¢ ª° ±­»© ¶¢¥² ² ª, ·²®¡» ¯®±«¥ ®ª° ±ª¨ ª ¦¤®© ®·¥°¥¤­®© ª«¥²ª¨ ´¨£³° , ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ § ª° ¸¥­­»µ ª«¥²®ª, ¨¬¥«  ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨. ®ª ¦¨²¥, ª ª ¬®¦­® § ª° ±¨²¼ 28 ª«¥²®ª, ±®¡«¾¤ ¿ ½²® ³±«®¢¨¥. (‚ ª ·¥±²¢¥ ®²¢¥²  ° ±±² ¢¼²¥ ­  ²¥µ ª«¥²ª µ, ª®²®°»¥ ¤®«¦­» ¡»²¼ § ª° ¸¥­», ·¨±«  ®² 1 ¤® 28 ¢ ²®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¢ ª®²®°®¬ ¯°®¢®¤¨«®±¼ § ª° ¸¨¢ ­¨¥.) 488. ® ª°³£³ ±²®¿² 20 ª®°§¨­. Œ®¦­® «¨ ° §«®¦¨²¼ ¢ ­¨µ 99  °¡³§®¢, ·²®¡» ª®«¨·¥±²¢   °¡³§®¢ ¢ «¾¡»µ ¤¢³µ ±®±¥¤­¨µ ª®°§¨­ µ ®²«¨· «¨±¼ °®¢­® ­  1? 489. ‚ ²³°­¨°¥ ³· ±²¢³¾² 15 ¸ µ¬ ²¨±²®¢. Œ®¦¥² «¨ ¡»²¼, ·²® ª ­¥ª®²®°®¬³ ¬®¬¥­²³ ª ¦¤»© ¨§ ­¨µ ±»£° « °®¢­® 7 ¯ °²¨©? 490. Š³¡ ±²®¨² ­  ®¤­®© ¢¥°¸¨­¥ ¨ ®±¢¥¹ ¥­ ¯°¿¬® ±¢¥°µ³. Š ª®¢  ²¥­¼? 491. ‘ª®«¼ª® ±²®°®­ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ±¥·¥­¨¥ ª³¡  ¯«®±ª®±²¼¾? 485

“ ª   §   ­ ¨ ¥. Œ®¦­® ½ª±¯¥°¨¬¥­²¨°®¢ ²¼ ­  ª °²®¸ª¥, ¢»°¥§ ¿ ¨§ ­¥ ¥ ª³¡¨ª ¨ ° ±±¥ª ¿ ¥£®.

492.

‘°¥¤¨ «¾¡»µ «¨ 10 ®²°¥§ª®¢ ­ ©¤³²±¿ 3, ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼ ²°¥³£®«¼­¨ª? 493. ‚ ±²°®ª¥ 20 ¶¥«»µ ·¨±¥«. ‘³¬¬  «¾¡»µ ²° ¥µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ±²®¿¹¨µ ·¨±¥« ¯®«®¦¨²¥«¼­ . Œ®¦¥² «¨ ±³¬¬  ¢±¥µ 20 ·¨±¥« ¡»²¼ ®²°¨¶ ²¥«¼­ ? 494. ‡¥¬­®© ¸ ° ¯® ½ª¢ ²®°³ ¯«®²­® ®¡²¿­³«¨ ¢¥° ¥¢ª®©. …¥ ¤«¨­³ ³¢¥«¨·¨«¨ ­  1 ¬¥²°. Ž¡° §®¢ ¢¸¨©±¿ § §®° ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¨«¨ ¯® ½ª¢ ²®°³. ‘¬®¦¥² «¨ ¢ ­¥£® ¯°®¸¬»£­³²¼ ¬»¸¼? 100

495.

496.

497

.

498. 499

.

500. 501. 502.

® ®«¨¬¯¨©±ª®© ±¨- 495.0 «¨²ª  ¸®ª®« ¤  ±®±²®¨² ±²¥¬¥ (¯°®¨£° ¢¸¨© ¨§ ®²¤¥«¼­»µ ¤®«¥ª, ®¡° §³¾¹¨µ 4 ¢»¡»¢ ¥²) ±®°¥¢­³- ¢¥°²¨ª «¼­»µ °¿¤  ¨ 6 £®°¨§®­² «¼¾²±¿ 50 ¡®ª±¥°®¢. ­»µ. ‡  ª ª®¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ·¨±«® ‘ª®«¼ª® ¡®¥¢ ­ ¤® ° §«®¬®¢ ¥¥ ¬®¦­® ° §«®¬ ²¼ ­  ¯°®¢¥±²¨ ¤«¿ ¢»¿¢«¥- ®²¤¥«¼­»¥ ¤®«¼ª¨, ¥±«¨ ¢±¿ª¨© ° § «®¬ ²¼ ° §°¥¸ ¥²±¿ «¨¸¼ 1 ª³±®ª? ­¨¿ ¯®¡¥¤¨²¥«¿? ¥°¢»© ° §¡®©­¨ª ¢§¿« 100 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ¢¸¥©±¿ ¤®¡»·¨, ¢²®°®© ¢§¿« 200 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ²°¥²¨© | 300 °³¡«¥© ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ¨ ² ª ¤ «¥¥. Žª § «®±¼, ·²® ¤®¡»·³ ¯®¤¥«¨«¨ ¯®°®¢­³. ‘ª®«¼ª® ° §¡®©­¨ª®¢ ¨ ª ª®¢  ¤®¡»· ? ‘³¬¬  ­¥±ª®«¼ª¨µ ·¨±¥« ° ¢­  1. Œ®¦¥² «¨ ±³¬¬  ¨µ ª¢ ¤° ²®¢ ¡»²¼  ) ¬¥­¼¸¥ 0,1; ¡) ¡®«¼¸¥ 1101? ®¬¥±²¨²¥ ¢ ª¢ ¤° ² 1  1 ­¥±ª®«¼ª® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ª°³£®¢, ±³¬¬  ° ¤¨³±®¢ ª®²®°»µ ¡®«¼¸¥ 1101. ‘ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ° ±±² ¢¨²¼ 8 ­¥ ®²«¨·¨¬»µ ¤°³£ ®² ¤°³£  « ¤¥© ­  ¸ µ¬ ²­®© ¤®±ª¥, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ ? Š ª ¡»±²°¥¥: ¯°®¥µ ²¼ ¯ °®µ®¤®¬ ¯® °¥ª¥ ²³¤  ¨ ®¡° ²­® ¨«¨ ¯® ®§¥°³ ²® ¦¥ ° ±±²®¿­¨¥ ²³¤  ¨ ®¡° ²­®?)  °®µ®¤ ¸¥« ®² ¨¦­¥£® ®¢£®°®¤  ¤® €±²° µ ­¨ 5 ±³²®ª,   ®¡° ²­® | 7 ±³²®ª. ‘ª®«¼ª® ¢°¥¬¥­¨ ¯«»¢³² ¯«®²» ®² ¨¦­¥£® ®¢£®°®¤  ¤® €±²° µ ­¨? ‚ ¯°³¤ ¯³±²¨«¨ 30 ¹³ª, ª®²®°»¥ ª³¸ «¨ ¤°³£ ¤°³£ . ™³ª  ±·¨² ¥²±¿ ±»²®©, ¥±«¨ ®­  ±º¥«  ²°¥µ ¹³ª (±»²»µ ¨«¨ £®«®¤­»µ). Š ª®¢® ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¹³ª, ª®²®°»¥ ¬®£³² ­ ±»²¨²¼±¿? y) ) ®¤±ª §ª . …±«¨ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  ° ¢­  ±ª®°®±²¨ ²¥·¥­¨¿ °¥ª¨, : : : y)‘º¥¤¥­­ ¿ ±»² ¿ ¹³ª  ³·¨²»¢ ¥²±¿ ¯°¨ ¯®¤±·¥²¥ ·¨±«  ±»²»µ ¹³ª!

101

. ‘¯° ¢  ­ ¯¨± ­» ­¥ª®²®°»¥ ·¨±- thabung ke nua lo «¨²¥«¼­»¥ ¿§»ª  ¨ ¨, ­  ª®²®°®¬ £®¢®°¿² ­  ®±²°®¢¥ ‹³ ©®²¥ ¢ Œ¥- thabung ke nua vak « ­¥§¨¨. Š ¦¤®¥ ·¨±«¨²¥«¼­®¥ libenyita ke nua khasa ¡®«¼¸¥ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ­  2 (². ¥. «¨- libenyita ke nua kun ¡® ¢±¥ ·¥²­»¥, «¨¡® ­¥·¥²­»¥, ­ ¯°¨¬¥°: 1, 3, 5, 7 ¨ ². ¤. ¨«¨ 28, 30, libenyita ke nua thabung 32 ¨ ². ¤.). Ž¯°¥¤¥«¨²¥ §­ ·¥­¨¿ libenyita ke nua thabung ½²¨µ ·¨±«¨²¥«¼­»µ ¨ ­ ¯¨¸¨²¥ ¯® ke nua lo ±¢®¥¬³ ³±¬®²°¥­¨¾ ­¥±ª®«¼ª® ·¨±«¨²¥«¼­»µ ¿§»ª  ¨ ¨ ± ¨µ §­ ·¥­¨- libenyita ke nua thabung ke nua vak ¿¬¨. 504.  ©¤¨²¥ ² ª¨¥ ²®·ª¨ ­  §¥¬­®¬ ¸ °¥, ·²® ¥±«¨ ¯°®©²¨ 10 ª¬ ­  ¾£, 10 ª¬ ­  ¢®±²®ª ¨ 10 ª¬ ­  ±¥¢¥°, ²® ¢¥°­¥¬±¿ ¢ ¨±µ®¤­³¾ ²®·ª³. 503

 ° ¥ ¤ ³ ¯ ° ¥ ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥.

Š®­¥·­®, ¥±«¨ ¬» ¢»©¤¥¬ ¨§ ²®·ª¨, ³¤ -

« ¥­­®© ®² ž¦­®£® ¯®«¾±  ­  10 ª¬, ²® ±­ · «  ¯°¨¤ ¥¬ ­  ¯®«¾±, ¯®²®¬ 10 ª¬ ¯°®²®¯·¥¬±¿ ­  ¬¥±²¥,   § ²¥¬ ¯°®©¤ ¥¬ 10 ª¬, ¢®§¢° ¹ ¿±¼ ¢ ­ · «® ¬ °¸°³² . ® ¬®¦­® «¨ ±·¨² ²¼, ·²® ­ ¸¥ ²®¯² ­¨¥ ­  ¬¥±²¥ ¡»«® ­ ¯° ¢«¥­® ­  ¢®±²®ª?

‚¥¤¼, ­ µ®¤¿±¼ ­  ž¦­®¬

¯®«¾±¥, ­  § ¯ ¤ ¬» ¤¢¨£ «¨±¼ ¡» ²®·­® ² ª ¦¥ | ±²®¿ ­  ¬¥±²¥! ®±² ° ©²¥±¼ ­ ©²¨ ¤°³£®¥ °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨, ¤«¿ ·¥£® ±­ · «  ³¯°®±²¨²¥ ¥ ¥ | ¯°¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¯°®¸ ¥« 10 ª¬ ­  ¢®±²®ª ¨ ®ª § «±¿ ² ¬ ¦¥, ®²ª³¤  ¢»¸¥«. Š®£¤  ½²® ¢®§¬®¦­®?

. “ ¶ °¿ ƒ¢¨¤®­  ¡»«® 5 ±»­®¢¥©. ˆ§ ®±² «¼­»µ ¥£® ¯®²®¬ª®¢ 15 ¨¬¥«¨ ¯® ²°¨ ±»­  (¨ ­¨ ®¤­®© ¤®·¥°¨),   ®±² «¼­»¥ ³¬¥°«¨ ¡¥§¤¥²­»¬¨. ‘ª®«¼ª® ¢±¥£® ¡»«® ¯®²®¬ª®¢ ³ ƒ¢¨¤®­ ? 506. Œ®¦­® «¨ ³¢¥§²¨ ¨§ ª ¬¥­®«®¬­¨ 50 ª ¬­¥©, ¬ ±±» ª®²®°»µ 370 ª£, 372 ª£, 374 ª£, : : : , 468 ª£, ­  7 ²°¥µ²®­ª µ? 507. ¥±ª®«¼ª® ¿¹¨ª®¢ ¢¬¥±²¥ ¢¥±¿² 10 ²®­­, ¯°¨· ¥¬ ª ¦¤»© ¢¥±¨² ­¥ ¡®«¼¸¥ 1 ²®­­». ‘ª®«¼ª® ²°¥µ²®­®ª § ¢¥¤®¬® ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ³¢¥§²¨ ¢¥±¼ £°³§? 508.   ¤®±ª¥ ¡»«¨ ­ ¯¨± ­» ·¥²»°¥ ·¨±« . ˆµ ±«®¦¨«¨ ¢±¥¢®§¬®¦­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¯® ¤¢  ¨ ¯®«³·¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ±³¬¬»: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Š ª¨¥ ·¨±«  ¡»«¨ ­  ¤®±ª¥? 505

102

509.

Š« ±± ¯®±²°®¥­ ¢ ¢¨¤¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª . ‚ ª ¦¤®¬ °¿¤³ ¢»¡° ­ ± ¬»© ¢»±®ª¨©, ¢ ª ¦¤®© ¸¥°¥­£¥ | ± ¬»© ­¨§ª¨©. Š²® ¢»¸¥: ± ¬»© ¢»±®ª¨© ¨§ ­¨§ª¨µ ¨«¨ ± ¬»© ­¨§ª¨© ¨§ ¢»±®ª¨µ? 510. „¢®¥ ¨£° ¾² ­  ¸ µ¬ ²­®© 510.0 ˆ¬¥¾²±¿ 2 ª³·¨ ª ¬¤®±ª¥, ¯¥°¥¤¢¨£ ¿ ¯® ®·¥°¥¤¨ ­¥©. „¢®¥ ¨£° ¾¹¨µ ¡¥°³² ¯® ®¤­®£® ª®°®«¿. „®¯³±ª ¾²±¿ ®·¥°¥¤¨ ª ¬­¨.  §°¥¸ ¥²±¿ µ®¤» ­  ®¤­® ¯®«¥ ¢«¥¢®, ¢­¨§ ¢§¿²¼ ®¤¨­ ª ¬¥­¼ ¨§ «¾¡®© ¨«¨ ¢«¥¢®-¢­¨§ ¯® ¤¨ £®­ - ª³·¨ ¨«¨ ¯® ®¤­®¬³ ª ¬­¾ ¨§ «¨. ‚»¨£°»¢ ¥² ²®², ª®¬³ ®¡¥¨µ ª³·. ‚»¨£°»¢ ¥² ¢§¿¢³¤ ±²±¿ ¯®±² ¢¨²¼ ª®°®«¿ ¸¨© ¯®±«¥¤­¨¥ ª ¬­¨. °¨ ­  «¥¢»© ­¨¦­¨© ³£®«. °¨ ª ª®¬ ·¨±«¥ ª ¬­¥© ¢ ª³· µ ª ª¨µ ­ · «¼­»µ ¯®«®¦¥­¨¿µ ¢»¨£°»¢ ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨©? ª®°®«¿ ¢»¨£°»¢ ¥² ­ ·¨­ ¾¹¨©,   ¯°¨ ª ª¨µ ¥£® ¯ °²­¥°? 511.0

.   ¤®±ª¥ 6  6 ¤¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ § ª° ¸¨¢ ¾² ª«¥²ª¨ ² ª, ·²®¡» ­¥ ¯®¿¢«¿«¨±¼ § ª° ¸¥­­»¥ ³£®«ª¨ ¨§ ²°¥µ ª«¥²®ª. °®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤.)

„¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ª« ¤³² ¯¿² ª¨ ­  ª°³£«»© ±²®«, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ­ «¥£ «¨ ¤°³£ ­  ¤°³£ . °®¨£°»¢ ¥² ²®², ª²® ­¥ ¬®¦¥² ±¤¥« ²¼ µ®¤. Š²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼­®© ¨£°¥? 512. „¢®©­»¬¨ ¸ µ¬ ² ¬¨ ­ §®¢ ¥¬ ¨£°³, ®²«¨· ¾¹³¾±¿ ®² ®¡»·­»µ ¸ µ¬ ² ²®«¼ª® ²¥¬, ·²® ª ¦¤»© ¨§ ¯°®²¨¢­¨ª®¢ ¬®¦¥² ¤¥« ²¼ 2 µ®¤  ¯®¤°¿¤. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¡¥«»¥ ¬®£³² ¢»¨£° ²¼ ¨«¨ ¤®¡¨²¼±¿ ­¨·¼¥©. 513. ®±² ¢¼²¥ ­  ¸ µ¬ ²­³¾ ¤®±ª³ 8 ´¥°§¥©, ·²®¡» ®­¨ ­¥ ¡¨«¨ ¤°³£ ¤°³£ . 511

) ‚ ³£®«®ª ¬®£³² ¢µ®¤¨²¼ ª«¥²ª¨, § ª° ¸¥­­»¥ «¾¡»¬ ¨§ ¨£°®ª®¢. ˆ­»-

¬¨ ±«®¢ ¬¨, ­ ¤® ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ ±¥¡¥, ·²® ª ° ­¤ ¸¨ ³ ­¨µ ®¤­®£® ¶¢¥² .

103

514.

¥°¢ ¿ ±«¥¢  ¶¨´°  ¤¥±¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ° ¢­  ·¨±«³ ¥¤¨­¨¶ ¢ § ¯¨±¨ ½²®£® ·¨±« , ¢²®° ¿ | ·¨±«³ ¤¢®¥ª, ²°¥²¼¿ | ·¨±«³ ²°®¥ª, ·¥²¢¥°² ¿ | ·¨±«³ ·¥²¢¥°®ª, : : : , ¤¥¢¿² ¿ | ·¨±«³ ¤¥¢¿²®ª, ¤¥±¿² ¿ | ·¨±«³ ­³«¥©. °¨¤³¬ ©²¥ ² ª®¥ ·¨±«®.y) 515. ®±² ¢¼²¥ ¢¬¥±²® ¬­®£®²®·¨© ·¨±« ) , ·²®¡» ¯®«³·¨«®±¼ ¨±²¨­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥: ‚ ½²®¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨ ¶¨´°  0 ¢±²°¥· ¥²±¿ : : : ° §, ¶¨´°  1 | : : : ° §, 2 | : : : ° §, 3 | : : : ° §, 4 | : : : ° §, 5 | : : : ° §, 6 | : : : ° §, 7 | : : : ° §, 8 | : : : ° §, 9 | : : : ° §.  ® ¤ ± ª   § ª  . ‡ ¯®«­¨²¥ ² ¡«¨¶³: –¨´° 

0

1

2

3

4

5

¢±²°¥· ¥²±¿

6

7

8

9 ° §.

.   ¡ «³ ¡»«® 43 ·¥«®¢¥ª . ¥°¢ ¿ ¤ ¬  ² ­¶¥¢ «  ± 8 ª ¢ «¥° ¬¨, ¢²®° ¿ | ± 9 ª ¢ «¥° ¬¨, ²°¥²¼¿ | ± 10 ª ¢ «¥° ¬¨, : : : ,   ¯®±«¥¤­¿¿ ¤ ¬  ² ­¶¥¢ «  ±® ¢±¥¬¨ ª ¢ «¥° ¬¨. ‘ª®«¼ª® ¡»«® ¤ ¬ ¨ ±ª®«¼ª® ª ¢ «¥°®¢? 517. Œ®¦¥² «¨ ° ¢­¿²¼±¿ ¥¤¨­¨¶¥ ±³¬¬  ±²  ¤°®¡¥©, §­ ¬¥­ ²¥«¨ ª®²®°»µ ­¥·¥²­»? ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±³¹¥±²¢³¾² «¨ ² ª¨¥ ­¥·¥²­»¥ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  a1 , a2 , : : : , a100 , ·²® 1 + 1 + : : : + 1 = 1? 516

a1

a2

a100

518   )

.

‚ ¢¥°¸¨­ µ ¯° ¢¨«¼­®£® 7-³£®«¼­¨ª  ° ±±² ¢«¥­» ·¥°­»¥ ¨ ¡¥«»¥ ´¨¸ª¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ­ ©¤³²±¿ ²°¨ ´¨¸ª¨ ®¤­®£® ¶¢¥² , «¥¦ ¹¨¥ ¢ ¢¥°¸¨­ µ ° ¢­®¡¥¤°¥­­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª . ¡) ‚¥°­® «¨  ­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤«¿ 8-³£®«¼­¨ª ? ¢)  ‚»¿±­¨²¥, ¤«¿ ª ª¨µ ¯° ¢¨«¼­»µ n -³£®«¼­¨ª®¢  ­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®, ¤«¿ ª ª¨µ | ­¥². y)’ ª®¥ ·¨±«® ¥¤¨­±²¢¥­­®. ) „«¿ °¨¤¨°». ‡ ¯¨± ­­»¥ ¢ ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿.

104

À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á, ¨«¨ ¤¨«¥¬¬  § ª«¾· ¥­­®£®

°¥¤±² ¢¼²¥ ±¥¡¥, ·²® ª ª-²® ° § ¯®±«¥ ³°®ª®¢ ¢» ± ¯°¨¿²¥«¥¬ § ¤¥°¦ «¨±¼ ¢ ¸ª®«¥. ¨ª®£® ¢ ª®°¨¤®°¥ ³¦¥ ­¥ ¡»«®, ¨ ¢» ° ¤®¢ «¨±¼ ²¨¸¨­¥. ‚¤°³£ ¨§ ¥¬³ ®¤­®¬³ ¢¥¤®¬®£® ¬¥±²  ¢»¡¥¦ « ‚®¢®·ª  ¨ ­ · « ª ª®©-²® ¤³¡¨­®© ª°³¸¨²¼ ¢±¥, ·²® ¬®¦¥². ‘­ · «  ¢» ° ±²¥°¿«¨±¼ ®² ­¥®¦¨¤ ­­®±²¨, ­® ¯®²®¬, ·²®¡» ¥£® ®±² ­®¢¨²¼, ±µ¢ ²¨«¨ ·²® ¯®¤ °³ª³ ¯®¯ «®±¼,| ¨ ²³² ­¥ª±² ²¨ ¢¨¤¨²¥ ±¯¥¸ ¹¥£® ­  §¢³ª ¡¨²®£® ±²¥ª«  ¤¨°¥ª²®°  ¸ª®«». ‚®¢®·ª³ ³¦¥ ­¥ ¤®£®­¨¸¼, ¤¨°¥ª²®° ¥£® ­¥ ¢¨¤¥«. ® § ²® ¤¨°¥ª²®° ¢¨¤¥« ¢ ±. ˆ ¯®±ª®«¼ª³ ±¢¨¤¥²¥«¥© ­¥ ¡»«®, ®¯° ¢¤ ²¼±¿ ²°³¤­®. ‘ ­¨§ª® ®¯³¹¥­­»¬¨ ®² ­¥§ ±«³¦¥­­»µ ®¡¢¨­¥­¨© £®«®¢ ¬¨ ¢» ±¨¤¨²¥ ¢ ª ¡¨­¥²¥ ¤¨°¥ª²®°  ¨ ±«³¸ ¥²¥: ÀŸ ±¢®¨¬¨ ³¸ ¬¨ ±«»¸ «, ª ª ¡¨«¨ ±²¥ª« . ˆ ­¥ ¢¥°¾, ·²® ®­¨ ° §¡¨«¨±¼ ± ¬¨. ˆ ­¨ª ª®£® ‚®¢®·ª¨ ²³² ­¥ ¡»«®, ¢® ¢±¿ª®¬ ±«³· ¥ ¿ ¥£® ­¥ ¢¨¤¥«. …±«¨ ¢» ®¡  ®²ª ¦¥²¥±¼ ¯°¨§­ ²¼ ±¢®¾ ¢¨­³, ²® ¯®«³·¨²¥ ¯® § ¬¥· ­¨¾ ¢ ¤­¥¢­¨ª §  ²®, ·²® ¡¥£ «¨ ¯® ¸ª®«¥. …±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¢ ± ¯°¨§­ ¥² ¢¨­³,   ¤°³£®© ­¥², ¿ ¯°®¹³ ²®£®, ª²® ¯°¨§­ «±¿ ¨ ¤ ¦¥ ¤ ¬ ¥¬³ ª®­´¥²ª³,   ¤°³£®¬³ ¯°¨¤¥²±¿ § ¯« ²¨²¼ §  ¢¥±¼ °¥¬®­² ¨ ° ±±² ²¼±¿ ± ­ ¸¥© ¸ª®«®©. € ¥±«¨ ¯°¨§­ ¥²¥±¼ ®¡ , ²® ¯®¯®« ¬ § ¯« ²¨²¥ §  °¥¬®­² ¸ª®«» | ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ½²³ ­¥¯°¨¿²­³¾ ¨±²®°¨¾ ¨±·¥°¯ ­­®©.Á À®­¿²­®Á, | ®²¢¥· ¥² ¢» µ®°®¬, ¨ ¤¨°¥ª²®° ° §¢®¤¨² ¢ ± ¯® ° §­»¬ ª« ±± ¬, ·²®¡» ¢» ®¡¤³¬ «¨ ¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥. ®±®¢¥²®¢ ²¼±¿ ¤°³£ ± ¤°³£®¬ ¢» ­¥ ¬®¦¥²¥, ¨ °¥¸¥­¨¥ ª ¦¤®¬³ ¯°¨¤¥²±¿ ¯°¨­¨¬ ²¼ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®. ˆ² ª: ¯°¨§­ ²¼ ¨«¨ ®²°¨¶ ²¼ ¢¨­³? ‚¯°®·¥¬, ¯°¥¤ ¢ ²¼ ²®¢ °¨¹  ­¥ £®¤¨²±¿. ®½²®¬³ ¯®±² ° ¥¬±¿ ®²¢«¥·¼±¿ ®² ¬®° «¼­»µ ±®®¡° ¦¥­¨©, À¢»ª«¾·¨¬Á £®«®± ±®¢¥±²¨ ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢» ®¡  § ¨­²¥°¥±®¢ ­» ²®«¼ª® ¢ ²®¬, ·²®¡» ®²¤¥« ²¼±¿ ª ª ¬®¦­® «¥£·¥. ‚» ¬®¦¥²¥ ° ±105

±³¦¤ ²¼ «®£¨·¥±ª¨: À…±«¨ ¯°¨¿²¥«¼ °¥¸¨² ¯°¨§­ ²¼ ¢¨­³, ²® ¯°¨§­ ¢ ²¼ ­³¦­® ¨ ¬­¥ | ¨­ ·¥ ¢»£®­¿² ¨§ ¸ª®«» ¨ § ±² ¢¿² ®¤­®£® ¬¥­¿ ¯« ²¨²¼ §  ¢±¥. …±«¨ ®­ ­¥ ¯°¨§­ ¥² ¢¨­³, ²® ¬­¥ ²®¦¥ «³·¸¥ ¯°¨§­ ²¼±¿ | ²®£¤  ¬¥­¿ ¢®®¡¹¥ ­¥ ­ ª ¦³² ¨ ¤ ¦¥ ª®­´¥²ª³ ¤ ¤³². ‚ «¾¡®¬ ±«³· ¥ | «³·¸¥ ±®§­ ²¼±¿!Á ˆ ¢» ¨¤¥²¥ ª ¤¨°¥ª²®°³, ¯°¨¤³¬»¢ ¿, ª ª ¢» ° §¡¨«¨ ±²¥ª«®. ® ¢ ¸ ¯°¨¿²¥«¼ ° ±±³¦¤ « ²®·­® ² ª ¦¥ ¨ ²®¦¥ ¯°¨¸¥« ª ¢»¢®¤³, ·²® «³·¸¥ ¯°¨§­ ²¼±¿. ‚ °¥§³«¼² ²¥ | ¯« ²¨²¥ §  °¥¬®­². € ¢¥¤¼ ¥±«¨ ¡» ­¥ ±®§­ «¨±¼, ²® ®²¤¥« «¨±¼ ¡» ¢±¥£®-²® § ¬¥· ­¨¥¬. ®«³· ¥²±¿ ¯ ° ¤®ª± «¼­ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ | ±®¢¥°¸¥­­® ¯° ¢¨«¼­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯°¨¢¥«¨ ª ­¥¦¥« ²¥«¼­®¬³ ¨±µ®¤³. ²® ¨ ¥±²¼ §­ ¬¥­¨²»© ¯ ° ¤®ª±, ¨§¢¥±²­»© ª ª À¤¨«¥¬¬  § ª«¾·¥­­®£®Á (®¡»·­® ° ±±ª §»¢ ¾² ¨±²®°¨¾ ¯°® ¤¢³µ § ª«¾·¥­­»µ, ±¨¤¿¹¨µ ¢ ° §­»µ ª ¬¥° µ,   °®«¼ ¤¨°¥ª²®°  ¨£° ¥² ±«¥¤®¢ ²¥«¼).

…±«¨ ¢ ¬ ª ¦¥²±¿, ·²® ¢®¯°®± ½²®² ­¥ ®·¥­¼ ±¥°¼¥§­»© | ª ª®¥ ¤¥«® ­ ¬, ±¢®¡®¤­»¬ «¾¤¿¬, ¤® ª ª¨µ-²® § ª«¾·¥­­»µ! | ¯®¤³¬ ©²¥ ® ¤°³£®¬ ¢ °¨ ­²¥ ½²®£® ¯ ° ¤®ª± .   ±¥© ° § ¢ ­¥¬ ³· ±²¢³¾² ¤¢¥ ¢° ¦¤³¾¹¨¥ ¤¥°¦ ¢», ª®²®°»¥ ¬®£³² ­ ­¥±²¨ ° ª¥²­®-¿¤¥°­»© ³¤ °. …±«¨ ­ ¯ ¤ ¾² ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ®¡¥ ­¥±³² ®£°®¬­»© ³¹¥°¡. …±«¨ ®¤­  ±²° ­  ­ ¯ ¤ ¥²,   ¤°³£ ¿ ­¥ £®²®¢  ª  ² ª¥, ²® ­ · ¢¸ ¿ ¢®©­³ ¯¥°¢®© ¯®¡¥¦¤ ¥² ¨ (·¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® ²»±¿· «¥², ª®£¤  ±¯ ¤¥² ° ¤¨® ª²¨¢­®±²¼) ±¬®¦¥² ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¡®£ ²±²¢ ¬¨ ¯°®¨£° ¢¸¥© ±²° ­».  ª®­¥¶, ¥±«¨ ®¡¥ ±²° ­» ­¥ ­ ¯ ¤ ¾², ²® ­¥±³² ­¥ ®·¥­¼ §­ ·¨²¥«¼­»© ³¹¥°¡ | ¢±¥£® «¨¸¼ ­ ¤® ¯« ²¨²¼ § °¯« ²³ ¢®¥­­»¬ ¨ ¬®¤¥°­¨§¨°®¢ ²¼ ¢®®°³¦¥­¨¿. ¥³¦¥«¨ ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ «®£¨ª  ®¡¥¨¬ ±²®°®­ ¬ ¯®¤±ª §»¢ ¥² ¢»¡®°  £°¥±±¨¢­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿? Ž¡ ½²®¬ ¤ ¦¥ ¤³¬ ²¼ ±²° ¸­® : : :

 ° ¤®ª± § ª«¾·¥­­®£® ¬®¦­® ˆ£°®ª¨ Ž·ª¨ ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¨ ­  ¿§»ª¥ ²¥®°¨¨ I II I II ¨£°. „¢  ¨£°®ª  ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤¥« Ž Ž 3 3 ¾² ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ µ®¤®¢: Ž  0 5 À¯°¨§­ ²¼Á (ª®°®²ª® À Á) ¨«¨ À®²°¨ Ž 5 0 ¶ ²¼Á (ÀŽ Á). …±«¨ ®¡  ¤¥« ¾² µ®¤ ,   1 1 ²® ¯®«³· ¾² ¬ «®; ¥±«¨ ®¡  ¢»¡¨° ¾² µ®¤ Ž, ²® ¯®«³· ¾² ±³¹¥±²¢¥­­® ¡®«¼¸¥; ¥±«¨ ¦¥ ®¤¨­ ¨£°®ª ¤¥« ¥² µ®¤ ,   ¤°³£®© | Ž, ²® ¯¥°¢»© ¯®«³· ¥² ¥¹¥ ¡®«¼¸¥,   ¢²®°®© ­¥ ¯®«³· ¥² ­¨·¥£® 106

µ®°®¸¥£®. ‚±¥ ½²® ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ² ¡«¨¶». ‚¥«¨·¨­» ¢»¨£°»¸¥© (·¨±«  1, 3, 5) ¢»¡° ­» ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥­¥¥ ¯°®¨§¢®«¼­®. ˆ§ ² ¡«¨¶» ¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ µ®¤¥ ¯°®²¨¢­¨ª  ¨£°®ª ¯®«³·¨² ¡®«¼¸¥, ¥±«¨ ±¤¥« ¥² µ®¤ ,   ­¥ Ž | ½²® ¨ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ¯ ° ¤®ª±. ‚ 1979 £®¤³ ¬¨·¨£ ­¥¶ ®¡¥°² €ª±¥«¼°®¤ °¥¸¨« ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ¤¨«¥¬¬³ § ª«¾·¥­­®£® ± ¯®¬®¹¼¾ ª®¬¯¼¾²¥° . Ž­ ®¡° ²¨«±¿ ± ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ ¯°®¢¥±²¨ ²³°­¨° ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ¯°®£° ¬¬ ¢ ®¯¨± ­­³¾ ¢»¸¥ ¨£°³.   ¥£® ¯°¨§»¢ ®²ª«¨ª­³«¨±¼ 14 ·¥«®¢¥ª. ’³°­¨° ¡»« ®°£ ­¨§®¢ ­ ² ª: ª ¦¤ ¿ ¯°®£° ¬¬  ¨£° «  5 ±¥°¨© ¯® 200 ¨£° ± ¤°³£¨¬¨ ¯°®£° ¬¬ ¬¨, ¢ ²®¬ ·¨±«¥ ± ¬  ± ±®¡®©. ®¡¥¤¨²¥«¥¬ ²³°­¨°  ®¡º¿¢«¿« ±¼ ª®¬ ­¤ , ­ ¡° ¢¸ ¿ ¢ ±³¬¬¥ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ®·ª®¢ (§ ¬¥²¼²¥: ¶¥«¼ ­¥ ¢ ²®¬, ·²®¡» ¯®¡¥¤¨²¼ ª ¦¤³¾ ¨§ ¯°®£° ¬¬-±®¯¥°­¨¶,   ­ ¡° ²¼ ¢ ±³¬¬¥ ¯®¡®«¼¸¥ ®·ª®¢). °¨­¶¨¯» ¨£°» ¯°®£° ¬¬ ¬®£«¨ ¡»²¼ «¾¡»¬¨ (­ ¯°¨¬¥°, ®·¥°¥¤­®© µ®¤  ¨«¨ Ž ¬®¦­® ¢»¡¨° ²¼ ±«³· ©­®), ­® ¡®«¼¸¨­±²¢® ¯°®£° ¬¬ ¯®¬­¨«¨ ¢±¥ ¯°¥¤»¤³¹¨¥ µ®¤» ¯°®²¨¢­¨ª  ¨ ¢»¡¨° «¨ ®·¥°¥¤­®© µ®¤,  ­ «¨§¨°³¿ ½²³ ¨­´®°¬ ¶¨¾. €¢²®°» ±² ° «¨±¼ ±®±² ¢¨²¼ ¯°®£° ¬¬» ² ª, ·²®¡» ¯®®¹°¿²¼ À±®²°³¤­¨·¥±²¢®Á ¯°®²¨¢­¨ª  (²® ¥±²¼ ¢»¡®° ¨¬ µ®¤  Ž ), ¨ ª ²®¬³ ¦¥ § ° ¡ ²»¢ ²¼ ®·ª¨, À¯°¥¤ ¢ ¿Á.

°¥¦¤¥ ·¥¬ ±ª § ²¼, ·¥¬ § ª®­·¨«®±¼ ½²® ±®±²¿§ ­¨¥  «£®°¨²¬®¢, ­ ¯®¬­¾ ° ±±ª § ¤£ °  ® À“ª° ¤¥­­®¥ ¯¨±¼¬®Á: \Ÿ §­ « ®¤­®£® ¢®±¼¬¨«¥²­¥£® ¬ «¼·¨ª , ª®²®°»© ¨§³¬«¿« ¢±¥µ ±¢®¨¬ ¨±ª³±±²¢®¬ ¨£° ²¼ ¢ À·¥² ¨ ­¥·¥²Á. ˆ£°  ½²  ®·¥­¼ ¯°®±² ¿: ®¤¨­ ¨§ ¨£° ¾¹¨µ § ¦¨¬ ¥² ¢ °³ª¥ ­¥±ª®«¼ª® ¸ °¨ª®¢,   ¤°³£®© ¤®«¦¥­ ³£ ¤ ²¼, ·¥²­®¥ ¨µ ·¨±«® ¨«¨ ­¥·¥²­®¥. …±«¨ ³£ ¤ ¥² | ¯®«³·¨² ®¤¨­ ¸ °¨ª. …±«¨ ­¥² | ¤®«¦¥­ ®²¤ ²¼ ¸ °¨ª ¯°®²¨¢­¨ª³. Œ «¼·¨ª, ® ª®²®°®¬ ¿ £®¢®°¾, ®¡»£°»¢ « ¢±¥µ ¢ ¸ª®«¥.  §³¬¥¥²±¿, ³ ­¥£® ¡»« ±¢®© ¬¥²®¤ ®²£ ¤»¢ ­¨¿, ®±­®¢ ­­»© ­  ¯°®±²®© ­ ¡«¾¤ ²¥«¼­®±²¨ ¨ ®¶¥­ª¥ ±®®¡° §¨²¥«¼­®±²¨ ¯ °²­¥°®¢.  ¯°¨¬¥°, ¨£° ¥² ± ­¨¬ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯°®±²®´¨«¿, § ¦ « ¢ °³ª¥ ¸ °¨ª¨ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²: À—¥² ¨«¨ ­¥·¥²?Á  ¸ ¨£°®ª ®²¢¥· ¥²: À¥·¥²Á | ¨ ¯°®¨£°»¢ ¥². ® ¢ ±«¥¤³¾¹¨© ° § ³¦¥ ¢»¨£°»¢ ¥², ¨¡® ®­ ° ±±³¦¤ ¥² ² ª: À°®±²®´¨«¿ ¢§¿« ¢ ¯¥°¢»© ° § ·¥²­®¥ ·¨±«®, µ¨²°®±²¨ ³ ­¥£® µ¢ ²¨² ª ª ° § ­ ±²®«¼ª®, ·²®¡» ¢§¿²¼ ²¥¯¥°¼ ­¥·¥²,| ¯®½²®¬³ ¿ ¤®«¦¥­ ±ª § ²¼ ­¥·¥²". Ž­ £®¢®°¨²: À¥·¥²Á | ¨ ¢»¨£°»¢ ¥². ˆ¬¥¿ ¤¥«® ± ¯ °²­¥°®¬ ­¥¬­®£® ¯®³¬­¥¥, ®­ ° ±±³¦¤ « ² ª: À‚ ¯¥°¢»© ° § ¿ ±ª § « ­¥·¥²; ¯®¬­¿

107

½²®, ®­ ¡³¤¥² ° ±±·¨²»¢ ²¼ (ª ª ¨ ¯¥°¢»©), ·²® ¢ ±«¥¤³¾¹¨© ° § ¿ ±ª ¦³ ·¥², ¨, ±² «® ¡»²¼, ¥¬³ ±«¥¤³¥² ¢§¿²¼ ­¥·¥². ® ®­ ²®²· ± ±®®¡° §¨², ·²® ½²® ±«¨¸ª®¬ ¯°®±² ¿ µ¨²°®±²¼, ¨ °¥¸¨²±¿ ¢§¿²¼ ·¥²Á."

¥§³«¼² ² ²³°­¨°  ®ª § «±¿ ­¥ ¢ ¯®«¼§³ ¢¨§ ­²¨©±ª¨µ µ¨²°¥¶®¢: ¢»¨£° «  ± ¬ ¿ ¯°®±² ¿ ¨§ ¯°®£° ¬¬. …¥ ¯°¨¤³¬ « €­ ²®«¨©  ¯¯®¯®°² ¨§ ’®°®­²®. ˆ£° ¥² ®­  ² ª:  ¯¥°¢»© µ®¤ | Ž ;  ª ¦¤»© ±«¥¤³¾¹¨© µ®¤ | ½²® ¯°¥¤»¤³¹¨© µ®¤ ¯°®²¨¢­¨ª . ‚®² ¨ ¢±¥! ‡ ¬¥²¼²¥, ·²® ¯°®£° ¬¬  À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­¥ ±¯®±®¡­  ¢»¨£° ²¼ ­¨ ®¤­®© ¨£°»; «³·¸¥¥, ­  ·²® ®­  ¬®¦¥² ­ ¤¥¿²¼±¿,| ½²® ­¨·¼¿. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯®ª  ¯°®²¨¢­¨ª ®²¢¥· ¥² ­  ¥¥ µ®¤» Ž ±¢®¨¬¨ Ž, ®¡¥ ¯°®£° ¬¬» ­ ¡¨° ¾² ¯® 3 ®·ª . Š ª ²®«¼ª® ¯°®²¨¢­¨ª À®¡¬ ­»¢ ¥²Á ¯°®£° ¬¬³ À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á, ±¤¥« ¢ µ®¤ , ®­  ¬±²¨² §  ½²® µ®¤®¬ , ¢ «³·¸¥¬ ±«³· ¥ ¢®§¢° ¹ ¿ ±¥¡¥ ¯®²¥°¿­­»¥ ®·ª¨. ® ¯°®£° ¬¬  À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­¥ §«®¯ ¬¿²­ : ª ª ²®«¼ª® ¯°®²¨¢­¨ª À° ±ª ¿«±¿Á, ±¤¥« ¢ µ®¤ Ž, ®­  ®²¢¥· ¥² ²¥¬ ¦¥ À¤®¡°®¦¥« ²¥«¼­»¬Á µ®¤®¬. ®·¥¬³ ¦¥ À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯®¡¥¦¤ ¥² ¢ ²³°­¨°¥?  ±±¬®²°¨¬ ¬¨­¨-±®°¥¢­¨¢ ­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ³· ±²¢³¥² ¥¹¥ ®¤­  ¯°®£° ¬¬  À°¥¤ ²¥«¼Á, ¢±¥£¤  ¤¥« ¾¹ ¿ µ®¤ . ³±²¼ ª ¦¤ ¿ ¨£°  ±®±²®¨² ¨§ 10 µ®¤®¢. ‚±¥£® ¯°®¢¥¤¥¬ ²°¨ ¨£°»: À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯°®²¨¢ À°¥¤ ²¥«¿Á, À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯°®²¨¢ ± ¬®© ±¥¡¿ ¨, ­ ª®­¥¶, À°¥¤ ²¥«¼Á ± ¬ ± ±®¡®©.

‹¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ­ ¡¨° ¥² ¢ ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ¨£° µ, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, 9 ¨ 30 ®·ª®¢. € À°¥¤ ²¥«¼Á ¢ ¯¥°¢®© ¨ ²°¥²¼¥© ¨£° µ ­ ¡¨° ¥² 14 ¨ 10 ®·ª®¢. ˆ²®£®: À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¯®¡¥¦¤ ¥² ± °¥§³«¼² ²®¬ 39 ®·ª®¢ ¯°®²¨¢ 24 ³ À°¥¤ ²¥«¿Á. …±«¨ ¡» ¯°®£° ¬¬  À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ¡»«  ·¥«®¢¥ª®¬, ¥¥ ¬®¦­® ¡»«® ¡» ­ §¢ ²¼ ¤®¡°®¦¥« ²¥«¼­®©, £®²®¢®© ª ±®²°³¤­¨·¥±²¢³, ­¥ ¯°®¹ ¾¹¥© ¯°¥¤ ²¥«¼±²¢  ¨ ­¥ §«®¯ ¬¿²­®©. ‹®ª «¼­® ½²¨ ±¢®©±²¢  ­¥¢»£®¤­». ƒ«®¡ «¼­® | ¨¬¥­­® ®­¨ ¯°¨¢®¤¿² ª ²°¨³¬´³. ®³·¨²¥«¼­® ¨ ¤«¿ ­ ± ± ¢ ¬¨, ­¥ ¯° ¢¤  «¨?

108

Ž²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿

¥ ² ª ³¦ ±«®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ±¥°¨¾ ¢»¢®¤®¢, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤»© ¯®±«¥¤³¾¹¨© ¯°®±²¥©¸¨¬ ®¡° §®¬ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®. …±«¨ ¯®±«¥ ½²®£® ³¤ «¨²¼ ¢±¥ ±°¥¤­¨¥ §¢¥­¼¿ ¨ ±®®¡¹¨²¼ ±«³¸ ²¥«¾ ²®«¼ª® ¯¥°¢®¥ §¢¥­® ¨ ¯®±«¥¤­¥¥, ®­¨ ¯°®¨§¢¥¤³² ®¸¥«®¬«¿¾¹¥¥, µ®²¿ ¨ «®¦­®¥ ¢¯¥· ²«¥­¨¥. ˜¥°«®ª •®«¬±

Š°»¸ª  ª¢ ¤° ²­®£® «¾ª  ¬®£«  ¡» ¯°®¢ «¨²¼±¿ ¢ ­¥£®.   1 ±²¨°ª³. 10. 2, 2 ¨ 9. ‚»¯¨¸¥¬ ° §«®¦¥­¨¿ ·¨±«  36 ­  ²°¨ ¬­®¦¨²¥«¿: 1
1
36 = 1
2
18 = 1
3
12 = 1
4
9 = 1
6
6 = 2
2
9 = 23_
6 = 3
3
4: ‘³¬¬» ±®¬­®¦¨²¥«¥© ½²¨µ ° §«®¦¥­¨© ° ¢­», ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11 ¨ 10. ‡­ ¿ ª®«¨·¥±²¢® ®ª®­, ¬¨«¨¶¨®­¥° ­¥ ¬®£ ³±² ­®¢¨²¼ ¢®§° ±²» «¨¸¼ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ 2
2
9 = 1
6
6 . …±«¨ ¢ ±¥¬¼¥ ¥±²¼ ±² °¸¨© ±»­, ¢ °¨ ­² 1
6
6 ®²¯ ¤ ¥². 11. 15. € ¨¬¥­­®, 14 ¤¥¢®·¥ª ¨ Œ¨¸ . 13. ƒ°³¸  (¯«®¤, ª®²®°»© ¢¨±¨² ­  ¤¥°¥¢¥) ¨ £°³¸  (¤¥°¥¢®, ­  ª®²®°®¬ ° ±²³² ¯®µ®¦¨¥ ­  ½«¥ª²°¨·¥±ª³¾ « ¬¯®·ª³ ¯«®¤», ª®²®°»¥ ¬®¦­® ±ª³¸ ²¼) ®¤¨­ ª®¢® §¢³· ² ¯®-°³±±ª¨, ­® ­¥ ¯®-¢¥­£¥°±ª¨. Žª®­· ­¨¥ k ®§­ · ¥² ¬­®¦¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®,   ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ¡³ª¢ fa ¯°¥¢° ¹ ¥² ¿¡«®ª® ¢ ¿¡«®­¾, ¡¥°¥§®¢³¾ ±¥°¥¦ª³ | ¢ ¡¥°¥§³, ¨ ¢®®¡¹¥, ¯«®¤ | ¢ ¤¥°¥¢®, ­  ª®²®°®¬ ½²®² ¯«®¤ ° ±²¥². 15. „ ¤¨¬ Œ ¸¥ ¥¹ ¥ 2 ¸ °¨ª . ’®£¤  ³ ­¥¥ ±² ­¥² ±²®«¼ª® ¦¥ ¸ °¨ª®¢, ±ª®«¼ª® ³ „ ¸¨. € ³ ‘ ¸¨ 1 ¸ °¨ª § ¡¥°¥¬ | ²®£¤  ³ ­¥£® ±² ­¥² ¸ °¨ª®¢ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ³ ¤°³£¨µ. Ž±² «®±¼ ° §¤¥«¨²¼ ¯®°®¢­³ ­  ²°®¨µ 11 + 2 , 1 = 12 ¸ °¨ª®¢. 17. 3 ±¥±²°» ¨ 4 ¡° ² . 18. 14 ®¢¥¶. …±«¨ ¢±¥ 36 ¦¨¢®²­»µ | ª³°», ²® ­®£ 2
36 = 72 . —¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»? “ ®¢¶» ­  2 ­®£¨ ¡®«¼¸¥! ‡­ ·¨², § ¬¥­¿¿ ª³°¨¶³ ­  ®¢¶³, ¬» ³¢¥«¨·¨¢ ¥¬ ·¨±«® ­®£ ­  ¤¢¥, ¨ ² ª¨µ § ¬¥­ ­ ¤® ¯°®¨§¢¥±²¨ (100 , 72) : 2 = 14 . 19. …±«¨ ¡» ¢ ª®°®¡ª¥ ¡»«¨ ²®«¼ª® ¦³ª¨, ²® ­®£ ¡»«® ¡» 6
8 = 48 , ²® ¥±²¼ ­  6 ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ³ª § ­® ¢ § ¤ ·¥. ˜¥±²¼ À«¨¸­¨µÁ ­®£ ®±² «®±¼ ¨§-§  ²®£®, ·²® ³ ¯ ³ª  ­  2 ­®£¨ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ ¦³ª . ‡­ ·¨², ½²¨ 6 ­®£ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ¯ ³ª ¬, ²® ¥±²¼ ¯ ³ª®¢ 6 : 2 = 3 . †³ª®¢ ²®£¤  8 , 3 = 5 . ˆ² ª, ¢ ª®°®¡ª¥ 5 ¦³ª®¢ ¨ 3 ¯ ³ª . °®¢¥°¨¬: ³ 5 ¦³ª®¢ 30 ­®£, ³ 3 ¯ ³ª®¢ 24 ­®£¨,   ¢±¥£® 30 + 24 = 54 ­®£¨, ª ª ¨ ²°¥¡³¥² ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨. 2. 5.

109

41312432. Œ «¼·¨ª¨ ­  «®¤ª¥ ¯«»¢³² ª ¤°³£®¬³ ¡¥°¥£³. Ž¤¨­ ¨§ ­¨µ ®±² ¥²±¿ ² ¬,   ¤°³£®© ¢®§¢° ¹ ¥²±¿. Ž¤¨­ ±®«¤ ² ¯¥°¥¯° ¢«¿¥²±¿, ¢»«¥§ ¥²,   ¬ «¼·¨ª ¢®§¢° ¹ ¥² «®¤ª³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²®¡» ¯¥°¥¯° ¢¨²¼ ®¤­®£® ±®«¤ ² , «®¤ª  4 ° §  ¯«»¢¥² ®² ¡¥°¥£  ¤® ¡¥°¥£ . ¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯  ¨ ¬ ¬  2 ¬¨­³²» 26.  ¯  ± ´®­ °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 1 ¬¨­³²  ¥°¥µ®¤¿² ¡ ¡³¸ª  ¨ ¬ «»¸ 10 ¬¨­³² Œ ¬  ± ´®­ °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 2 ¬¨­³²» ¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯  ¨ ¬ ¬  2 ¬¨­³²» ˆ²®£® 17 ¬¨­³² 27. Ž­¨ ¯®¤®¸«¨ ± ° §­»µ ±²®°®­. 32. …±«¨ ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ ¢¤¢®¥ ¬¥­¼¸¥ ²¥²° ¤¥©, ·¥¬ ¢® ¢²®°®©, ²® ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ 30 : 3 = 10 ²¥²° ¤¥©,   ¢® ¢²®°®© | 20. ‡­ ·¨², ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ ¡»«® 12 ²¥²° ¤¥©,   ¢® ¢²®°®© | 18. 39. Ž­  ±®¡° «  10
2
2
2
2 = 160 ¿¡«®ª. ‘²° ¦­¨ª¨ ¯®«³·¨«¨ 160 , 10 = 150 ¿¡«®ª. 40. ‚¨²¿ ±º¥« 4 ±«¨¢». ‡­ ·¨², ³¢¨¤¥« ®­ 4
3 = 12 ±«¨¢. ‘®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³: Œ ¬  €­¿ ®°¿ ‚¨²¿ “¢¨¤¥«( ) , 12 ‘º¥«( ) , 4 Ž±² ¢¨«( ) ? 8 ‡ ¯®«­¨¬ ¥¥. ®°¿ ®±² ¢¨« ²¥ ± ¬»¥ 12 ±«¨¢, ª®²®°»¥ ³¢¨¤¥« ‚¨²¿. ®°¿ ±º¥« ²°¥²¼ ³¢¨¤¥­­»µ ¨¬ ±«¨¢. ‡­ ·¨², ®°¿ ±º¥« 6 ±«¨¢,   ³¢¨¤¥« 18 ±«¨¢. ˆ¬¥­­® ±²®«¼ª® ±«¨¢ ®±² ¢¨«  €­¿ (¬¥¦¤³ ¯°®·¨¬, 12 : (2=3) = 18 ). Œ ¬  ®±² ¢¨«  18 : (2=3) = 27 ±«¨¢: Œ ¬  €­¿ ®°¿ ‚¨²¿ “¢¨¤¥«( ) , 27 18 12 ‘º¥«( ) , 9 6 4 Ž±² ¢¨«( ) 27 18 12 8 41.  §­®±²¼ ¬¥¦¤³ ·¨±«®¬ ¨ ±³¬¬®© ¥£® ¶¨´° ¢±¥£¤  ¤¥«¨²±¿ ­  9. ®½²®¬³ ¢±¥ ·¨±« , ª°®¬¥, ¢®§¬®¦­®, ¨±µ®¤­®£®, ¤¥«¿²±¿ ­  9. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 0 ¯®«³·¨«±¿ ¨§ 9, ·¨±«® 9 ¯®«³·¨«®±¼ ¨§ 18, ¨ ¢®®¡¹¥, ¨¬¥¥¬ ¶¥¯®·ª³: 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 ‡¤¥±¼ ­³¦­® ¡»²¼ ¢­¨¬ ²¥«¼­»¬: 81 ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ª ª ¨§ 90, ² ª ¨ ¨§ 99. ® 90 ­¨ ¨§ ª ª®£® ·¨±«  ­¥ ¯®«³·¨¸¼! € ·¨±«® 99 ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ 100, ¨§ 101, : : : , ¨§ 109. 22. 23.

110

43.  ¥) 5
5 + 5 : 5 = 26 ; ¦) (5 : 5 + 5)
5 = 30 ; §) 5
5 + 5
5 = 50 ; 55+5 , 5 = 55 ; ©) 5
5
5 , 5 = 120 ; ª) 5
5
5+5 = 130 ; «) 5
5
5
5 = 625 ; ¬) 555 : 5 = 111 . 44. 3 : 3+(3 , 3)
3 = 1 ; (3+3) : 3+3 , 3 = 2 ; 3+(3 , 3)
33 = 3 ; 3 : 3+ +3 , 3+3 = 4 ; 3 : 3+3 : 3+3 = 5 ; 3+3+(3 , 3)
3 = 6 ; 3
3 , (3+3) : 3 = 7 ; 3 + 3 + (3 + 3) : 3 = 8 ; 3
3 , (3 , 3) : 3 = 9 ; 3 : 3 + 3 + 3 + 3 = 10 . 45. 5 : 5 + (5 , 5)
5 = 1 ; (5 + 5) : 5 + 5 , 5 = 2 ; (5
5 , 5 , 5) : 5 = 3 ; 5 , 5 : 5 + 5 , 5 = 4 ; 5 + (5 , 5)
(5 + 5) = 5 ; 5 + 5 : 5 + 5 , 5 = 6 ; 5 + 5 : 5 + 5 : 5 = 7 ; 5 + (5 + 5 + 5) : 5 = 8 ; (5
5 , 5) : 5 + 5 = 9 . 46. 4+4 , 4 , 4 = 0 ; 4 : 4+4 , 4 = 1 ; 4 : 4+4 : 4 = 2 ; (4+4+4) : 4 = 3 ; (4 , 4)
4 + 4 = 4 ; (4 + 4
4) : 4 = 5 ; 4 + (4 + 4) : 4 = 6 ; 4 + 4 , 4 : 4 = 7 ; 4 + 4 + 4 , 4 = 8 ; 4 + 4 + 4 : 4 = 9 ; (44 , 4) : 4 = 10 . 47. 7 : 7 + 7 , 7 = 1 ; 7 : 7 + 7 : 7 = 2 ; (7 + 7 + 7) : 7 = 3 ; 77 : 7 , 7 = 4 ; 7 , (7 + 7) : 7 = 5 ; (7
7 , 7) : 7 = 6 ; 7 + (7 , 7)
7 = 7 ; (7
7 + 7) : 7 = 8 ; 7 + (7 + 7) : 7 = 9 . 50. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
9 = 100 . 51. Ž¤­® ¿¡«®ª® ®²¤ ©²¥ ¢¬¥±²¥ ± ª®°§¨­®©. 53. ‡ ¢²° ª «¨ ¤¥¤, ¥£® ±»­ ¨ ¢­³ª. 54. Ž¤¨­ ª®¸¥« ¥ª ¢­³²°¨ ¤°³£®£®. 55. ¥². 56. ¥°¥«¥©²¥ ¢®¤³ ¨§ ¢²®°®£® ±² ª ­  ¢ ¯¿²»©. 58. „¢®¥²®·¨¥ ¯®±«¥ ±«®¢  À¤¢ ¤¶ ²¼Á. 59. ‹¥±²­¨¶  ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ¢¬¥±²¥ ± ª®° ¡« ¥¬. 60. ®«¼¸®© §¥« ¥­»© ¯®¤§¥¬­»© ª ¬­¥¥¤. 62.  §¤¥«¨²¥ ¯® ¢¥°²¨ª «¨ ´¨£³°ª¨ ¯®¯®« ¬ ¨ ¢±¯®¬­¨²¥, ª ª ¯¨¸³² ¨­¤¥ª± ­  ¯®·²®¢®¬ ª®­¢¥°²¥. 63. Œ¨­¨±²° ¬®¦¥² ¢»² ¹¨²¼ «¨±²®ª ¡³¬ £¨ ¨, ­¥ £«¿¤¿, ±¦¥·¼ ¥£®. ®±ª®«¼ª³ ­  ®±² ¢¸¥¬±¿ «¨±²ª¥ ­ ¯¨± ­® À“µ®¤¨²¥Á, ª®°®«¾ ¯°¨¤¥²±¿ ¯°¨§­ ²¼, ·²® ­  ³­¨·²®¦¥­­®¬ «¨±²ª¥ ¡»«® ±«®¢® ÀŽ±² ­¼²¥±¼Á. 65. 8 (±¬. °¨±.). 66. Œ®¦¥². Ž²¥¶ ±»­  | ½²® ¬³¦; ¯°®´¥±±®° | ¦¥­¹¨­ . 68. 1 + 1999 = 2000 . 69. °) °®¨§¢¥¤¥­¨¥ 6 ­   ¬®¦¥² ¡»²¼ ¤¢³µ§­ ·­»¬ ·¨±«®¬ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢²®°®© ±®¬­®¦¨²¥«¼ ° ¢¥­ 1. ‡­ ·¨², ¢® ¢²®°®© ±²°®ª¥ °¥¡³±  ±²®¨² ·¨±«® 111. ®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢­  6 ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢ ° §°¿¤¥ ¥¤¨­¨¶ ¯¥°¢®£® ±®¬­®¦¨²¥«¿ ±²®¨² 6. 70. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ¯¿²¨§­ ·­®£® ·¨±«  ­  9 ¯®«³·¥­® ·¨±«® ¯¿²¨§­ ·­®¥, ²® ¢ ¨±µ®¤­®¬ ·¨±«¥ ª° ©­¿¿ ±«¥¢  ¶¨´°  1. —¨±«®, ¯®«³·¥­­®¥ ¯®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ¤ ­­®£® ·¨±«  ­  9, ®ª ­·¨¢ ¥²±¿

¨)

111

¶¨´°®© 1. ‡­ ·¨², ¨±µ®¤­®¥ ·¨±«® ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¶¨´°®© 9 ( 9
9 = 81 ):

1***99 9***1

…±«¨ ¡» ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· ¨±µ®¤­®£® ·¨±«  ±²®¿«  ¶¨´°  2 (¨«¨ «¾¡ ¿ ¡®«¼¸ ¿ ¶¨´° ), ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡»«® ¡» ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸¨¬: 12 001
9 > > 100 000 . ‡­ ·¨², ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· | ¶¨´°  0 ¨«¨ 1.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿: 1)

11**99 .

2)

9**11

®±ª®«¼ª³ 11
9 = 99 , ¢²®° ¿ ¶¨´°  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ (®­  ¦¥ | ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢ ¨±µ®¤­®£® ·¨±« ) ¥±²¼ 9. ˆ¬¥¥¬:

10**99 . 9**01

®±ª®«¼ª³ 9  9 = 81 , ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢ ¨§ ° §°¿¤  ¥¤¨­¨¶ ¯¥°¥­®±¨²±¿ 8. —²®¡» ¢ ° §°¿¤¥ ¤¥±¿²ª®¢ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ®ª § « ±¼ ¶¨´°  0, ¯°¥¤¯®±«¥¤­¿¿ ¶¨´°  ¨±µ®¤­®£® ·¨±«  ¤®«¦­  ¡»²¼ 8:

11*999 99*11

10*899

’ ª ­¥ ¡»¢ ¥², ¯¥°¢»© ±«³· © ­¥ ¯®¤µ®¤¨². (® ­¥ ° §®¡° ²¼ ¥£® ¡»«® ¡» ®¸¨¡ª®©. ¥¸¨²¼ °¥¡³± | §­ ·¨² ­¥ ²®«¼ª® ¯®¤®¡° ²¼ ª ª®©­¨¡³¤¼ ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¢ °¨ ­², ­® ¨ ¤®ª § ²¼, ·²® ­¥² ­¨ª ª¨µ ¤°³£¨µ.)

98*01

®«³· ¥¬ ®²¢¥²:

109899 . 98901

80.

81. 7, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®±«¥¤­¨© ª³±®ª ®²°¥§ ²¼ ­¥ ­ ¤®. 82. ‚ 5 ° §. Œ®¦­® ¶¥«¨ª®¬ ° ±ª®¢ ²¼ ®¤­³ ¶¥¯¼ (3 §¢¥­ ). 85. ¢® ¢²®°­¨ª ±«¥¤³¾¹¥© ­¥¤¥«¨ ¢ 6 · ±®¢ ¢¥·¥° . ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, §  ±³²ª¨ £³±¥­¨¶  ¯®¤­¨¬ ¥²±¿ ¢¢¥°µ ­  1 ¬¥²°. ‡­ ·¨², §  8 ±³²®ª (²® ¥±²¼ ª 6 · ± ¬ ³²°  ¢²®°­¨ª  ±«¥¤³¾¹¥© ­¥¤¥«¨) ®­  ¯®¤­¨¬¥²±¿ ­  ¢»±®²³ 8 ¬. € ª 18 · ± ¬ ¢²®°­¨ª  | ¯®ª®°¨² ¢¥°¸¨­³! 90. “ª § ­¨¥.  °¨±³©²¥ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª. 92. 5 °³¡«¥©.  ±¯°®±²° ­ ¥­­»© ­¥¯° ¢¨«¼­»© ®²¢¥² | 10 °³¡«¥©. „®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²® ³ ­¨µ, ±ª ¦¥¬, ¯® 50 °³¡«¥©. …±«¨ €ª³«¨­  ¤ ±² 84.

Ž²¢¥²:

112

10 °³¡«¥©, ²® ³ €­´¨±» ®ª ¦¥²±¿ 60 °³¡«¥©,   ³ €ª³«¨­» 40. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ° §­¨¶  ±®±² ¢¨² ­¥ 10,   20 °³¡«¥©. 94. 20 °³¡«¥©. Š³¯¨²¼ 5 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶ | ²® ¦¥, ·²® ª³¯¨²¼ 10 ¬ «¥­¼ª¨µ, ² ª ·²® ¯®ª³¯ª  5 ¡®«¼¸¨µ ¨ 3 ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶ ° ¢­®¶¥­­  ¯®ª³¯ª¥ 13 ¬ «¥­¼ª¨µ. €­ «®£¨·­®, ¶¥­  3 ¡®«¼¸¨µ ¨ 5 ¬ «¥­¼ª¨µ ° ¢­  ¶¥­¥ 11 ¬ «¥­¼ª¨µ ¯²¨¶. ‡­ ·¨², 13 , 11 = 2 ¬ «¥­¼ª¨¥ ¯²¨¶» ±²®¿² 20 °³¡«¥©. 95. „¥¤³¸ª¥ 84 £®¤ , ¢­³·ª¥ 7 «¥². 96. „¥¤³ 100 , 45 = 55 «¥², ±»­³ (45 , 25) : 2 = 10 «¥², ®²¶³ 10 + + 25 = 35 «¥². 100. …±«¨ ±®¡ ª  ±²®¨² x °³¡«¥©, ²® ª®°®¢  ±²®¨² 4
x , 2 ª®°®¢» | 8
x ,   «®¸ ¤¼ | 16
x . —²®¡» ­ ©²¨ x , ° §¤¥«¨¬ 200 °³¡«¥© ­  1 + 8 + + 16 = 25 · ±²¥©. ˆ² ª, ±®¡ ª  ±²®¨² 8 °³¡«¥©,   ª®°®¢  | 32. 103. ’°¨ ª³°¨¶» ±­¥±«¨ §  3 ¤­¿ 3 ¿©¶ . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 3 ª³°¨¶» ±­¥±³² §  12 ¤­¥© ¢ 4 ° §  ¡®«¼¸¥ ¿¨¶ ( 3
4 = 12 ),   12 ª³° §  12 ¤­¥© ¥¹¥ ¢ 4 ° §  ¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 12
4 = 48 ¿¨¶. ¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ³¤®¡­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ² ¡«¨¶»: Š³° „­¥© Ÿ¨¶ 3 3 3 3 12 3
4 = 12 12 12 12
4 = 48 1 105. ‡  2 · ±  6 §¥¬«¥ª®¯®¢ ¢»°®¾² 6 ¿¬, §  5 · ±®¢ | ¢ 2 ° §  2 ¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 15 ¿¬. 106. 12 ª®±¶®¢. Š®±¥¶ §  · ± ¢»¯¨¢ ¥² 1=48 ¡®·®­ª . ‡  3 · ±  ®¤¨­ ª®±¥¶ ¢»¯¨¢ ¥² 1=12 ¡®·®­ª . 108. Š®£¤  ‘¥° ¥¦  ±² ­¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ ‚®¢», ° §­®±²¼ ¨µ ¢®§° ±²®¢ ¡³¤¥² ° ¢­  ³¤¢®¥­­®¬³ ¢®§° ±²³ ‚®¢». ®±ª®«¼ª³ ° §­®±²¼ ¢®§° ±²®¢ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ±® ¢°¥¬¥­¥¬, ®­  ¢±¥£¤  ° ¢­  11 , 1 = 10 £®¤ ¬. ‡­ ·¨², ‚®¢¥ ¡³¤¥² 5 «¥²,   ‘¥°¥¦¥ | 15. 109. 13 + 7 = 20 «¥² ­ § ¤ ¿ ¡»« ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥, ·¥¬ ±¥©· ±. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬­¥ 40 «¥². 110.  )  §­¨¶  ¢ ¢®§° ±²¥ ¬¥¦¤³ ®²¶®¬ ¨ ±»­®¬ ° ¢­  27 , 3 = = 24 £®¤ ¬. ‘¥©· ± ®²¶³ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ±»­³. ®½²®¬³ 24 £®¤  | ½²® ³¤¢®¥­­»© ¢®§° ±² ±»­ . 25 1 + 31 + 14 = 12 ¨ 100 : 25 = 48 . 113. 1 + 2 12 117. Ž­¨ °®¢¥±­¨ª¨, ¨¬ ¯® 6 «¥². 119. 1 £®¤. —²®¡» ­¥ § ¯³² ²¼±¿, ®¡®§­ ·¨¬ ¢®§° ±²» Š®«¨, Ž«¨ ¨ ®«¨ ¡³ª¢ ¬¨ Š , Ž ¨  ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®±ª®«¼ª³ Š®«¿ ¡»« ¬®«®¤, ª ª Ž«¿, Š , Ž «¥² ­ § ¤,   ²¥²³¸ª  ®«¿ ¡»«  ¢ ¢®§° ±²¥ Š®«¨  , Š «¥² ­ § ¤, ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨ ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: Š , Ž «¥² ­ § ¤ ®«¥ ¡»«® ­  1 £®¤ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ Š + Ž «¥². ‘ª®«¼ª® «¥² ¡»«® Š®«¥  , Š «¥² ­ § ¤?

113

’¥¯¥°¼ ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ° ¢¥­±²¢   , (Š , Ž) = Š + Ž , 1;   ¨±ª®¬ ¿ ¢¥«¨·¨­  ¥±²¼ Š , ( , Š ) . 128. ‚»±²°®¨¬ ¡®²¨­ª¨ ¯ ° ¬¨. ’®£¤  ¢±¥£® ¡³¤¥² 20 ¯ °. ‚§¿¢ 21 ¡®²¨­®ª, ¬» ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢®§¼¬¥¬ ¤¢  ¡®²¨­ª  ¨§ ª ª®©-²® ¯ °», ²® ¥±²¼ ¢±¾ ¥¥ ¶¥«¨ª®¬! 130. ®±ª®«¼ª³ ‘®¢  ¨ Š°®«¨ª ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ 45 ¡ ­ ­®¢, ª²®-²® ¨§ ­¨µ ±º¥« ­¥ ¬¥­¥¥ 23 ¡ ­ ­®¢. ‡­ ·¨², ‚¨­­¨{³µ ±º¥« ­¥ ¬¥­¥¥ 24 ¡ ­ ­®¢. ‘®¢ , Š°®«¨ª ¨ ³µ ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ ­¥ ¬¥­¥¥ 69 ¡ ­ ­®¢. ®±ª®«¼ª³ ¿² ·ª³ ²®¦¥ ·²®-²® ¤®±² «®±¼, ²® ‘®¢ , Š°®«¨ª ¨ ³µ ¢¬¥±²¥ ±º¥«¨ °®¢­® 69 ¡ ­ ­®¢,   ¿² ·®ª { 1 ¡ ­ ­. 131. 7. “ª § ­¨¥. …±«¨ ¢»² ¹¨¬ 8 ¡ ­®ª, ²® ½²® ¬®£³² ®ª § ²¼±¿ 3 ¡ ­ª¨ ¬ «¨­®¢®£® ¨ 5 ¡ ­®ª ¢¨¸­¥¢®£® ¢ °¥­¼¿. 134. 60 ª¬/· | ½²® 1 ª¨«®¬¥²° ¢ ¬¨­³²³. ¥±ª®­¥·­® ¡»±²°® ¤¢¨£ ²¼±¿ ­¥«¼§¿, ¢»¨£° ²¼ ­  ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ 1 ¬¨­³²³ ­¥ ³¤ ±²±¿. 159. ¨ª®« © ¥²°®¢¨· ¯®©¬ « 5 °»¡. 166.  ·¨­ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼ ¯°¨ «¾¡®¬ ­ · «¼­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ª®°®«¿. ‘³²¼ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ®¤±·¨² ¥¬ ·¨±«® ¢¥°²¨ª «¼­»µ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ± ¨±µ®¤­®£® ¯®«¿ ¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© (¯¥°¢®©) £®°¨§®­² «¨,   ² ª¦¥ ª®«¨·¥±²¢® À¯°¿¬»µÁ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ¤®©²¨ ¤® ¢¥°µ­¥© (¢®±¼¬®©) £®°¨§®­² «¨. ®±ª®«¼ª³ ±³¬¬  ½²¨µ ·¨±¥« ° ¢­  8 , 1 = 7 , ²® ®¤­® ¨§ ­¨µ ­¥·¥²­®. ³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨, ­ ¤® ±¤¥« ²¼ ­¥·¥²­®¥ ·¨±«® µ®¤®¢, ·²®¡» ¤®©²¨ ¤® ­¨¦­¥© £®°¨§®­² «¨. ’®£¤  ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¯°¿¬® ¢­¨§; ­®¬¥° £®°¨§®­² «¨ ³¬¥­¼¸¨²±¿ ­  1 ¨ ¨§ ·¥²­®£® ±² ­¥² ­¥·¥²­»¬. —²® ¤¥« ²¼ ¢²®°®¬³? …±«¨ ®­ ±¤¥« ¥² £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¢¥°­¥²±¿ ¤¨ £®­ «¼­»¬ µ®¤®¬ ­  ¨±µ®¤­³¾ £®°¨§®­² «¼, ²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ±° §³ ±¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼. ®½²®¬³ ¢²®°®© ¨£°®ª ¡³¤¥² ¢»­³¦¤¥­ ±¤¥« ²¼ ¢¥°²¨ª «¼­»© ¨«¨ ¤¨ £®­ «¼­»© µ®¤, ±¯³±²¨¢¸¨±¼ ¥¹¥ ­¨¦¥. ‚ ®²¢¥² ¯¥°¢»© ¨£°®ª ®¯¿²¼ ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¢¥°²¨ª «¼­® ¢­¨§. ‚²®°®¬³, ·²®¡» ­¥ ¯°®¨£° ²¼, ®¯¿²¼ ¯°¨¤¥²±¿ ®¯³±²¨²¼ ª®°®«¿ ¥¹¥ ­¨¦¥, ¨ ² ª ¡³¤¥² ¯°®¤®«¦ ²¼±¿ ¤® ²®£®, ª ª ¯®±«¥ ®·¥°¥¤­®£® µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ª®°®«¼ ¯®¯ ¤¥² ­  ­¨¦­¾¾ £®°¨§®­² «¼. ’®£¤  ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ¯°¨¤¥²±¿ ±¤¥« ²¼ £®°¨§®­² «¼­»© µ®¤ ¨«¨ ¯®¤­¿²¼ ª®°®«¿ ¯® ¤¨ £®­ «¨ ¢¢¥°µ, ¯®±«¥ ·¥£® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¯®¡¥¦¤ ¥², ±² ¢¿ ª®°®«¿ ­  ° ­¥¥ ¯°®©¤¥­­®¥ ¯®«¥. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¡» ° §¬¥°» ¤®±ª¨ ¡»«¨ ¨­»¬¨ (­ ¯°¨¬¥°, 9  9 ), ²® ­¥ ª ¦¤®¥ ¨±µ®¤­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ª®°®«¿ ¯°¨­®±¨«® ¡» ¢»¨£°»¸ ²®¬³, ª²® ¤¥« ¥² ¯¥°¢»© µ®¤: 16 ¯®«¥© (¯®¤³¬ ©²¥, ª ª¨¥ ¨¬¥­­®) ¡»«¨ ¡» ¢»¨£°»¸­»¬¨ ¤«¿ ¢²®°®£® ¨£°®ª . 172. 0 ¨«¨ 1000. 174. „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨· ¨ €« ¥¸  ®¯®¢¨· ±ª § «¨ ®¤­® ¨ ²® ¦¥, ¯®½²®¬³ ¯° ¢¤³ ±ª § « ˆ«¼¿ Œ³°®¬¥¶. ‡¬¥¿ ƒ®°»­»·  ³¡¨« „®¡°»­¿ ¨ª¨²¨·.

114

177. €¢²®¬®¡¨«¨±² ¸ ¥« ¯¥¸ª®¬ ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥­¨, ±ª®«¼ª® ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² § ²° ²¨« ­  ¢¥±¼ ¯³²¼. 180. ®±ª®«¼ª³ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®¥µ « ²°¥²¼ ¯³²¨ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ¬®²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥µ « ¤¢¥ ²°¥²¨, ¥£® ±ª®°®±²¼ ¡®«¼¸¥ ¯®«®¢¨­» ±ª®°®±²¨ ¬®²®¶¨ª«¨±² . 181. „®±² ²®·­® ¯¥°¥¤¢¨­³²¼ ª³¤ -­¨¡³¤¼ ª° ©­¾¾ ±¯¨·ª³ (­ ¯°¨¬¥°, ¯®«®¦¨²¼ ¥¥ °¿¤®¬ ± ¤°³£®© ª° ©­¥©). 182. „ , ¬®¦­® ¡°®±¨²¼ ¬¿· ¢¥°²¨ª «¼­®. 183. …±«¨ ¯®±² ° ²¼±¿, ¨§  °¡³§  ¬®¦­® ¢»°¥§ ²¼ ª³±®ª ¢ ¢¨¤¥ À±²®«¡¨ª Á, ¨¤³¹¥£® ±ª¢®§¼ ¢¥±¼  °¡³§. “ ½²®£® ª³±ª  ¡³¤³² ¤¢¥ ª®°ª¨, ±®¥¤¨­¥­­»¥  °¡³§­®© ¬¿ª®²¼¾. 185.  ) ®«®¦¨²¥ ±¯¨·ª³ ¢ ³£«³ ±²®« , À®²°¥§ ¢Á ¥¾ ²°¥³£®«¼­¨ª. ¡) „¢¥ ±¯¨·ª¨ ¯®«®¦¨²¥ ¢ ³£«³ ±²®« , ·²®¡» ª° ¿ ¥£® ¤ «¨ ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ±²®°®­» ª¢ ¤° ² . 187. ’°¨ ±¥ª³­¤». ‡  ½²® ¢°¥¬¿ ®­¨, ª®­¥·­®, ¯®©¬³², ·²® ¨¬ ­¨ª®£¤  ­¥ ¢»°»²¼ ² ª®© ¿¬», ¤  ¨ °»²¼ ¥¥ ­¥§ ·¥¬. (®¤°®¡­®±²¨ | ¢ ±ª §ª¥  ¬¥«» ’°¥¢¥°± ÀŒ½°¨ ®¯¯¨­±Á.) 7 10 13 22 26 30 188. 4 9 14 189. 31121314. Š ¦¤®¥ ±«¥¤³¾¹¥¥ ·¨±«® ®¯¨±»¢ ¥² ¯°¥¤»¤³¹¥¥: À¢ ·¨±«¥ ¡»«  ®¤­  ¥¤¨­¨¶ Á | 11; À¤¢¥ ¥¤¨­¨¶»Á | 21; À®¤­  ¥¤¨­¨¶ , ®¤­  ¤¢®©ª Á | 1112 ¨ ² ª ¤ «¥¥. 190. “ ª®¢¡®¿ ¢ £®°«¥ § ±²°¿«  ª®±²¼ ¨ ®² ¨±¯³£  ¢»±ª®·¨« ! 191. Ž­ £ ¤ «: À«¾¡¨² | ­¥ «¾¡¨², : : : Á. 192. ‚±¥£¤  ¯®«³·¨²±¿ ·¨±«® 6174, ª®²®°®¥ ¯¥°¥µ®¤¨² ± ¬® ¢ ±¥¡¿. 198. 15 = (11 , 7) + 11 . ‡ ¯³±²¨¬ · ±» ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ·¥°¥§ 7 ¬¨­³² ­ ·­¥¬ ¢ °¨²¼ ª ¸³. 11 11

11 + 11 , 7 = 15

7

„«¿ ‡­ ©ª¨. —²® ¯°¨¸«®±¼ ¡» ¤¥« ²¼, ¥±«¨ ¡» ¡»«¨ · ±» ­  47 ¬¨­³² ¨ ­  31 ¬¨­³²³ (  ª ¸³ ¯®-¯°¥¦­¥¬³ ­ ¤® ¢ °¨²¼ °®¢­® 15 ¬¨­³²)? 214.   25%, ¨¡® 1 : (1 , 0;2) = 1;25 . 225. —¥²¢¥°²¼ ª°³£  ¢¥±¨² 1 ª£, ª°³£ | 4 ª£. 229.  ) 1111; ¡) 147. 237.  §°¥¦¼²¥ ¤®±ª³ ­  4 ¤®±ª¨ 4  4 ¨ ­  ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ¢ ³£«³ ° §¬¥±²¨²¥ 8 ª®­¥© ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ²  3  3 . 238. ‚®®¡° §¨²¥, ·²® ¯°®¤ ¢¥¶ ­¥ ³¸ ¥« ¤®¬®©,   ®±² «±¿ §  ±¢®¨¬ ¯°¨« ¢ª®¬. ³±²¼ ¯®ª³¯ ²¥«¨ ²° ²¿² ¯® 2 °³¡«¿, ¯®ª³¯ ¿ ³ ª ¦¤®£® ¯°®¤ ¢¶  ­  °³¡«¼. ’®£¤  ¯¥°¢»¥ 10 ¯®ª³¯ ²¥«¥© ª³¯¿² 20 ¤®°®£¨µ ¨ 30 ¤¥¸¥¢»µ

115

¿¡«®ª, ² ª ·²® ¤¥¸¥¢»¥ ¿¡«®ª¨ ª®­· ²±¿ ° ­¼¸¥, ·¥¬ ¤®°®£¨¥. ³¡«¼ ¨±·¥§ ¯®²®¬³, ·²® ®±² ¢¸¨¥±¿ 10 ¤®°®£¨µ ¿¡«®ª ¯°®¤ «¨ ­¥ ¯® ¤¢  ¿¡«®ª  §  °³¡«¼,   ª ª ±¬¥±¼, ¯® 5 ¿¡«®ª §  2 °³¡«¿. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯®±ª®«¼ª³ ¡®«¥¥ ¤®°®£®¥ ¿¡«®ª® ±²®¨«® 12 °³¡«¿ § 
¸²³ª³,   ¡®«¥¥ ¤¥¸¥¢®¥ | 31 °³¡«¿, ±«¥¤®¢ «® ¯°®¤ ¢ ²¼ ¨µ ¯® ,1 + 31 : 2 = 125 °³¡«¿. ²  ¶¥­  ¢»¸¥, ·¥¬ ³±² ­®¢«¥­­ ¿ ¯°®¤ ¢¶ ¬¨ 2 ¶¥­  ¢ 52 °³¡«¿ §  ¸²³ª³. (ˆ ¢»¸¥ °®¢­® ­  125 , 25 = 601 .) 242. ‚±¥£® ¤¥­¥£ ³ ª³¯¶®¢ (90+85+80+75) : 3 = 110 °³¡«¥©. ®½²®¬³ ³ ¯¥°¢®£® 110 , 90 = 20 , ³ ¢²®°®£® 110 , 85 = 25 , ³ ²°¥²¼¥£® 110 , 80 = 30 ,   ³ ·¥²¢¥°²®£® 110 , 75 = 35 °³¡«¥©. 0 249 .  ±±¬®²°¨²¥ ±³¬¬³ ¢±¥µ ·¨±¥« ² ¡«¨¶». 261.  ) ®¤±² ¢¨¢ T– = 0 , ¯®«³·¨¬ b = 32 . °¨ T– = 100 ¯®«³· ¥¬ 212 = 100a + b , ®²ª³¤  a = 1;8 . ¡) T = ,40 . 267.  §¡¥©²¥ ¢± ¥ ¬­®¦¥±²¢® ¶¥«»µ ·¨±¥« ­  5 ª« ±±®¢: ¢ ®¤¨­ ª« ±± ¯®¬¥±²¨²¥ ·¨±«  : : : , 14; ,9; ,4; 1; 6; 11; 16; 21; 26; : : : ; ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 1 ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  5, ¢ ¤°³£®© | ·¨±«  : : : , 13; ,8; ,3; 2 7; 12; 17; 22; 27; : : : ; ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 2, ¢ ²°¥²¨© | ·¨±« , ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 3 ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  5, ¢ ·¥²¢¥°²»© | ®±² ²®ª 4, ¢ ¯¿²»© | ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 0. 268. “ª § ­¨¥.  §¡¥©²¥ ¢±¥ ¶¥«»¥ ·¨±«  ­  n ª« ±±®¢ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ²¥¬, ª ª®© ®±² ²®ª ¯®«³· ¥²±¿ ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  n . 271.  ) „ , ­ ¯°¨¬¥°, ·¨±«  ®² 50 ¤® 99. 272. ¡)  ±±¬®²°¨¬ 51 ¿¹¨ª ± ² ¡«¨·ª ¬¨: 0 , 1{99 , 2{98 , 3{97 , : : : , 49{51 , 50 . —¨±«® ¯®¬¥¹ ¥¬ ¢ ¿¹¨ª, ­  ² ¡«¨·ª¥ ª®²®°®£® ¯°¨±³²±²¢³¥² ®±² ²®ª ¤¥«¥­¨¿ ·¨±«  ­  100. …±«¨ ·¨±¥« 52, ª ª¨¥-²® ¤¢  ¯®¯ ¤³² ¢ ®¤¨­ ¿¹¨ª. 281.  §®¡¼ ¥¬ ¤®±ª³ ­  16 ª¢ ¤° ²¨ª®¢ 2  2 ¨ ¯®ª° ±¨¬ ¨µ ¢ ° §­»¥ ¶¢¥² . „®ª ¦¥¬, ·²® ¡®«¼¸¥ 16 ¶¢¥²®¢ ¯®«³·¨²¼ ­¥«¼§¿.  ±±¬®²°¨¬ ª«¥²ª³ «¾¡®£® ¶¢¥² . ¿¤®¬ ± ­¥© ¥±²¼ ¥¹¥ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ²®£® ¦¥ ¶¢¥² . ²¨ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ¨¬¥¾² ²®«¼ª® ®¤­³ ±®±¥¤­¾¾ ª«¥²ª³ ²®£® ¦¥ ¶¢¥²  (±°¥¤¨ ° ±±¬®²°¥­­»µ), ¯®½²®¬³ ¥±²¼ ¥¹¥ ®¤­  ª«¥²ª  ² ª®£® ¦¥ ¶¢¥² . ˆ² ª, ª ¦¤®£® ¶¢¥²  ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥²»°¥µ ª«¥²®ª; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¶¢¥²®¢ ­¥ ¡®«¼¸¥ 16. 293. “° ¢­®¢¥±¨¬ ­  ¢¥± µ £°³§ ¡®«¥¥ ²¿¦ ¥«»©, ·¥¬ ²¥«®, ª®²®°®¥ ­³¦­® ¢§¢¥±¨²¼. ‡ ²¥¬ ­  · ¸ª³ ± £¨°¿¬¨ ¯®«®¦¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬®¥ ²¥«® ¨ ±­¨¬¥¬ ­¥±ª®«¼ª® £¨°¼, ·²®¡» ¢®±±² ­®¢¨²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥. ‚¥± ±­¿²»µ £¨°¼ ° ¢¥­ ¢¥±³ ²¥« . 294. ®«®¦¨¬ ­  · ¸ª¨ ¯® ®¤­®© ¤¥² «¨. …±«¨ ¢¥±» ®±² ­³²±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ²® ­  · ¸ª µ «¥¦ «¨ µ®°®¸¨¥ ¤¥² «¨. (…±«¨ ¢¥±» ­¥ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ²® µ®°®¸¨¥ | ¤¢¥ ®±² ¢¸¨¥±¿; °¥¸¥­¨¥ ¯°¨ ½²®¬  ­ «®£¨·­®.)

116

‡ ¬¥­¨¬ ®¤­³ ¨§ ­¨µ ®¤­®© ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿. …±«¨ ¢¥±» ®±² ­³²±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ¤¥² «¼ | ·¥²¢¥°² ¿ (®±² ¢¸ ¿±¿; ²®«¼ª® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ §­ ²¼,) «¥£·¥ ®­  ®±² «¼­»µ ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥). …±«¨ ¦¥ ®¤­  ¨§ · ¸¥ª ®¯³±²¨²±¿, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ | ²  ¤¥² «¼, ª®²®°³¾ ²®«¼ª® ·²® ¯®«®¦¨«¨ ­  · ¸ª³. 296. ‚®¯°®± ¬®¦¥² §¢³· ²¼ ² ª: À‚¥°­® «¨, ·²® ¨ €« ¥¸¥ ®¯®¢¨·³, ¨ „®¡°»­¥ ¨ª¨²¨·³ ¤®±² «®±¼ µ®²¿ ¡» ¯® ®¤­®© ±¥°¥¡°¿­®© ¬®­¥²¥?Á …±«¨ ®²¢¥² ³²¢¥°¤¨²¥«¼­»©, ²® ®¡¥ ¬®­¥²» ˆ«¼¨ Œ³°®¬¶  | §®«®²»¥. …±«¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­»©, ²® ˆ«¼¥ ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²». € ¥±«¨ ˆ«¼¿ ­¥ ±¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ­¨ À¤ Á, ­¨ À­¥²Á, ²® ®­ ¯®«³·¨« §  ±«³¦¡³ §®«®²³¾ ¨ ±¥°¥¡°¿­³¾ ¬®­¥²». Œ®¦­® ¡»«® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ¢®¯°®±», ­ ¯°¨¬¥°: | ‚¥°­® «¨, ·²® µ®²¿ ¡» ®¤­®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¡®£ ²»°¥© ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿­»¥ ¬®­¥²»? | “ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ ¬®­¥², ·¥¬ ³ €«¥¸¨ ®¯®¢¨· ? | …±«¨ ¿ § ¡¥°³ ®¤­³ ¨§ ²¢®¨µ ¬®­¥² ¨ ¤ ¬ ¢¬¥±²® ­¥¥ §®«®²³¾, ²® ±² ­¥² «¨ ³ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ? (‡ ¬¥²¼²¥, ·²® ¢ ½²®¬ ¢®¯°®±¥ ­¥ ³¯®¬¿­³²» ¬®­¥²», ¤®±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢³¬ ¤°³£¨¬ ¡®£ ²»°¿¬!) 298. ²³ § ¤ ·³ ³¤®¡­® °¥¸ ²¼, ¯°¨¬¥­¿¿ ¤¢®¨·­³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥­¨¿. ‚ ¯°¨¢»·­®©, ¤¥±¿²¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ «¾¡®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¯°¥¤±² ¢¨¬® ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¢ ¢¨¤¥ ak
10k + ak,1
10k,1 + : : : + a1
101 + a0
100 ; £¤¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» a0 , a1 , : : : , ak ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼ «¾¡»¥ ¶¥«»¥ §­ ·¥­¨¿ ®² 0 ¤® 9.  ¯°¨¬¥°, 3467 = 3000 + 400 + 60 + 7 = 3
103 + 4
102 + 6
101 + 7
100 : €­ «®£¨·­®, ¢ ¤¢®¨·­®© ±¨±²¥¬¥ «¾¡®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¯°¥¤±² ¢¨¬® (¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬) ¢ ¢¨¤¥ bm
2m + bm,1
2m,1 + : : : + b1
21 + b0
20 ; £¤¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» b0 , b1 , : : : , bm ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼ §­ ·¥­¨¿ 0 ¨«¨ 1. ’ ª, 467 = 256+211 = 256+128+83 = 256+128+64+19 = 256+128+ +64+16+2+1 = 1
28 +1
27 +1
26 +0
25 +1
24 +0
23 +0
22 +1
21 +1
20 , ¨«¨, ±®ª° ¹¥­­®, 467 = 1110100112 , £¤¥ ¤¢®©ª  ®¡®§­ · ¥² ®±­®¢ ­¨¥ ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥­¨¿. ‹¾¡®¥ ·¨±«® ®² 1 ¤® 1023 ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¤¢®¨·­®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥­¨¿ ª ª ¤¥±¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«® (¢®§¬®¦­®, ­ ·¨­ ¾¹¥¥±¿ ­  ­³«¼).  ) „®ª ¦¨²¥, ·²® ¢»¿±­¨²¼ ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ­¥¢®§¬®¦­®.

117

¯°¨¬¥°,

1023 = 1111111111 ; 1000 = 1111101000 ; 513 = 1000000001 ; 32 = 0000100000 „«¿ ¢»¿±­¥­¨¿ «¾¡®© ¶¨´°» (À¡¨² Á) ¤¢®¨·­®© § ¯¨±¨ ¤®±² ²®·­® § ¤ ²¼ ®¤¨­ ¢®¯°®±.  ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ¢»¿±­¥­¨¿ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¤®±² ²®·­® ±¯°®±¨²¼: À—¨±«® ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 512?Á ’ ª §  10 ¢®¯°®±®¢ ¬®¦­® ³§­ ²¼ ¢±¥ ¶¨´°» ¤¢®¨·­®© § ¯¨±¨ ·¨±« , ²® ¥±²¼ ± ¬® ·¨±«®. Œ¥­¼¸¥£® ª®«¨·¥±²¢  ¢®¯°®±®¢ ­¥¤®±² ²®·­®, ¨¡® ¤«¿ ¤¥¢¿²¨ ¢®¯°®±®¢ ª®¬¡¨­ ¶¨© ®²¢¥²®¢ (²¨¯  À¤  { ­¥²Á) ¨¬¥¥²±¿ 29 = 512 , ·²® ­¥ ¯®§¢®«¿¥² ° ±¯®§­ ²¼ 1000 ·¨±¥«. 299. ‡¤¥±¼ ¤¥«¥­¨¥ ­¥ ¯®¯®« ¬,   ­  ²°¨, ¯® ¢®§¬®¦­®±²¨, ° ¢­»¥ · ±²¨. ¢) ¥°¢®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥: ª« ¤ ¥¬ ­  · ¸¨ ¯® 27 ¬®­¥². ‚ ±«³· ¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  | ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ 26. …±«¨ ¦¥ ®¤­  · ¸  «¥£·¥, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ «¥¦ ¹¨µ ­  ­¥©. ‚²®°®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥: ª« ¤¥¬ ­  ®¡¥ · ¸¨ ¯® 9 ¬®­¥² ¨§ ·¨±«  À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ, ¨ ² ª ¤ «¥¥. ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ¤«¿ n ¬®­¥², ¨±ª®¬®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© k ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢ 3k,1 < n 6 3k : Š ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬, ·²® k ¥±²¼ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨©, ²® ¥±²¼ ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ ±¯®±®¡¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¦¥² ±«®¦¨²¼±¿ ² ª, ·²® ¯®±«¥ k , 1 ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ­¥ ¡³¤¥² ¢»¤¥«¥­ . „®ª § ²¥«¼±²¢® ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. °¨ ª ¦¤®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ¬®­¥²» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ­  ²°¨ £°³¯¯»: ¬®­¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ ­  «¥¢³¾ · ¸³, ¬®­¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ ­  ¯° ¢³¾ · ¸³, ¨, ­ ª®­¥¶, ¬®­¥²», ­¥ ¯®¯ ¢¸¨¥ ­¨ ­  ª ª³¾ · ¸³. …±«¨ ­  · ¸¨ ¢¥±®¢ ¡»«® ¯®«®¦¥­® ° §­®¥ ·¨±«® ¬®­¥², ²® ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¯¥°¥²¿­³«  · ¸ª , £¤¥ ¬®­¥² ¡®«¼¸¥, ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¢ «¾¡®© ¨§ ½²¨µ ²°¥µ £°³¯¯ ¨ ² ª®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥ ¢®®¡¹¥ ­¥ ¤ ±² ­ ¬ ­¨ª ª¨µ ±¢¥¤¥­¨©. …±«¨ ¦¥ ­  · ¸ µ ¡»«® ¯®°®¢­³ ¬®­¥², ²® «¨¡® ¢¥±» ³° ¢­®¢¥±¿²±¿ (½²® §­ ·¨², ·²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ­¥ ¯®¯ «  ­  ¢¥±»), «¨¡® ®¤­  ¨§ · ¸ ¯¥°¥²¿­¥² (´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  | ­  ¡®«¥¥ «¥£ª®© · ¸¥). ³±²¼ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿ ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®­¥²  ª ¦¤»© ° § ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢ ²®© £°³¯¯¥, ª®²®° ¿ ±®¤¥°¦¨² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¬®­¥². ’®£¤  ¯°¨ ª ¦¤®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ·¨±«® ¬®­¥² À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®­¥² ³¡»¢ ¥² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¢ ²°¨ ° § , ² ª ·²® ¯®±«¥ (k , 1) ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ®±² ­¥²±¿ ­¥ ¬¥­¥¥ ·¥¬ 3kn,1 > 1 À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®­¥². 300. Ž¡®§­ ·¨¬ ª° ±­»¥ £¨°¨ ·¥°¥§ Š1 ¨ Š2 , ¦ ¥«²»¥ | †1 ¨ †2 ,   §¥«¥­»¥ | ‡1 ¨ ‡2 . ‘­ · «  ¯®«®¦¨¬ ­  «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ £¨°¨ Š1 ¨ †1 ,   ­  ¯° ¢³¾ | Š2 ¨ ‡1 .  ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿:

118



®±ª®«¼ª³ ¨§ £¨°¼ Š1 ¨ Š2 ®¤­  «¥£ª ¿,   ¤°³£ ¿ ²¿¦¥« ¿, ²® ¥±²¼ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨: «¨¡® £¨°¨ Š1 ¨ ‡1 «¥£ª¨¥,   £¨°¨ †1 ¨ Š2 ²¿¦¥«»¥; «¨¡® £¨°¨ Š1 ¨ ‡1 ²¿¦¥«»¥,   £¨°¨ †1 ¨ Š2 «¥£ª¨¥. ‚²®°»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ±° ¢­¨¢ ¥¬ ª° ±­»¥ £¨°¨.  ‚¥±» ­¥ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. ³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨, ¯¥°¥¢¥±¨«  «¥¢ ¿ · ¸ . ’®£¤  ®¡¿§ ²¥«¼­® Š1 ²¿¦¥« ¿,   Š2 «¥£ª ¿. …±«¨ ¡» £¨°¿ †1 ¡»«  «¥£ª ¿,   ‡1 ²¿¦¥« ¿, ²® ¢¥±» ¡»«¨ ¡» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. ‡­ ·¨², ¥±²¼ ²°¨ ¢®§¬®¦­®±²¨: †1 ¨ ‡1 ®¡¥ «¥£ª¨¥; †1 ²¿¦¥« ¿,   ‡1 «¥£ª ¿; ­ ª®­¥¶, ®¡¥ £¨°¨ †1 ¨ ‡1 | ²¿¦¥«»¥.  §«¨·¨²¼ ½²¨ ²°¨ ±«³· ¿ ®·¥­¼ ¯°®±²®: ¤®±² ²®·­® ­  «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ ¯®«®¦¨²¼ Š1 ¨ Š2 ,   ­  ¯° ¢³¾ | †1 ¨ ‡1 . 302.  ) …±«¨ ° ±¯¨«¨²¼ ²°¥²¼¥ §¢¥­®, ²® ¶¥¯®·ª  ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­  ²°¨ · ±²¨: 1, 2 ¨ 4 §¢¥­ . ‘ ¨µ ¯®¬®¹¼¾ ³¤ ±²±¿ ° ±¯« ²¨²¼±¿: 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 2 + 1, 4 = 4, 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2, 7 = 1 + 2 + 4. ¡) ¥¸¨¬ § ¤ ·³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ( n ¤­¥© ¨ n §¢¥­¼¥¢). ‡ ¬¥²¨¬ ±­ · « , ·²® ¥±«¨ ³ ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª  ¨¬¥¥²±¿ ¶¥¯®·ª  ¨§ n = (k +1)2k+1 ,1 §¢¥­¼¥¢, ²® ®­ ¬®¦¥² ° ±¯¨«¨²¼ k §¢¥­¼¥¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ª³±ª¨, ±®±²®¿¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¨§ (k + 1) , 2(k + 1) , 22 (k + 1); : : : ; 2k (k + 1) §¢¥­¼¥¢.  ±¯®« £ ¿ ½²¨¬¨ ª³±ª ¬¨ ¨ k ° ±¯¨«¥­­»¬¨ §¢¥­¼¿¬¨, ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¬®¦¥² ° ±¯« ·¨¢ ²¼±¿ ± µ®§¿¨­®¬ ¢ ²¥·¥­¨¥ n ¤­¥©. …±«¨ ·¨±«® n §¢¥­¼¥¢ ¶¥¯®·ª¨ ­¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ n = (k + 1)2k+1 , 1 , ²® ­ ¤® ° ±±¬®²°¥²¼ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® k ² ª®¥, ·²® n < (k + 1)2k+1 , 1 . ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ n = 100 , ²® ¤®±² ²®·­® ° ±¯¨«¨²¼ k = 4 §¢¥­ . (Š ª¨¥?) 303. ‡ ­³¬¥°³¥¬ ¬¥¸ª¨ ·¨±« ¬¨ ®² 0 ¤® 9. ‚®§¼¬ ¥¬ ¨§ ª ¦¤®£® ¬¥¸ª  ±²®«¼ª® ¬®­¥², ª ª®¢ ¥£® ­®¬¥°. …±«¨ ¡» ¢±¥ ¬®­¥²» ¡»«¨ ­ ±²®¿¹¨¥, ®­¨ ¢¥±¨«¨ ¡» 10+20+ : : : +90 = 450 £. ˆ§¡»²®ª ¢¥±  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­®¬¥°®¬ ¬¥¸ª , £¤¥ «¥¦ ² ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®­¥²». „«¿ ‡­ ©ª¨. Œ®¦­® «¨ ®¡®©²¨±¼ ®¤­¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬, ¥±«¨ ª®«¨·¥±²¢® ¬¥¸ª®¢ ± ´ «¼¸¨¢»¬¨ ¬®­¥² ¬¨ § ° ­¥¥ ­¥¨§¢¥±²­® ¨ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ «¾¡»¬, ®² 0 ¤® 10?) 304. ‘ ¯®¬®¹¼¾ ²° ¥µ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ° ±¯®«®¦¨¬ ¯® ¢¥±³ ²°¨ ¯ ª¥²  (¢§¢¥¸¨¢ ¿ ª ¦¤³¾ ¯ °³), ¯®²®¬ ¯®«®¦¨¬ ­  ®¤­³ · ¸ª³ ¢¥±®¢ ®±² ¢¸¨©±¿ (·¥²¢¥°²»©) ¯ ª¥²,   ­  ¤°³£³¾ ²®² ¨§ ²p¥µ, ª®²®°»© ¨¬¥¥² ±°¥¤­¨© ¢¥±. ¿²»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥¬ ±° ¢­¨¬ ¢¥± ·¥²¢¥°²®£® ¯ ª¥²  «¨¡® ± ± ¬»¬ ²¿¦¥«»¬, «¨¡® ± ± ¬»¬ «¥£ª¨¬ ¨§ ²°¥µ. ‚¥±» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨.

) „«¿ ®²¢¥²  ­  ½²®² ¢®¯°®± ¯®«¥§­® §­ ²¼ ¤¢®¨·­³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥­¨¿ ¨«¨ µ®²¿ ¡» ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ­  ±¢¥²¥ ¥±²¼ ·¨±«  1, 2, 4, 8, : : :  §³¬¥¥²±¿, ·¨±«® ¬®­¥² ¢ ¬¥¸ª¥ ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ² ª¨¬ ¡®«¼¸¨¬, ª ª ²®£® ¯®²°¥¡³¥² °¥¸¥­¨¥.

119

305. ‡ ­³¬¥°³¥¬ ­ ¸¨ ¬®­¥²» ·¨±« ¬¨ ®² 1 ¤® 12. ‘­ · «  ¯®«®¦¨¬ ­  «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ ¬®­¥²» 1, 2, 3, 4,   ­  ¯° ¢³¾ | 5, 6, 7 ¨ 8.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿:  ‚¥±» ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. ‡­ ·¨², ´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ (c 9 ¯® 12) ¬®­¥². ²®² ±«³· © ¤®¢®«¼­® ¯°®±². ‘° ¢­¨¢ ¥¬ ¬®­¥²» 9 ¨ 10 ± 1 ¨ 2. {

{



²® ´ «¼¸¨¢ ¿ 11 ¨«¨ 12. ‡  ®¤­® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¥ ®­  ­ µ®¤¨²±¿. …±«¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ­¥², ²® ¥¹ ¥ ¯°®¹¥. ” «¼¸¨¢ ¿ | 9 ¨«¨ 10, ¯°¨·¥¬ ¨§¢¥±²­® ¤ ¦¥, «¥£·¥ ®­  ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ­ ±²®¿¹¥©. …±«¨ ° ¢­®¢¥±¨¥,

” «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬»µ. ®«®¦¨¬ ­  «¥¢³¾ · ¸³ ¬®­¥²» 9, 10, 11 ¨ 4,   ­  ¯° ¢³¾ | 1, 2, 3 ¨ 8.  §¡¥°¥¬ ¢±¥ ²°¨ ±«³· ¿:

‹¥¢ ¿ · ¸  «¥£·¥.

{

{

{

’®£¤  ´ «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§ ¤¢³µ ¬®­¥²: 4 ¨«¨ 8 (¨µ ¯®«®¦¥­¨¥ ­¥ ¬¥­¿«®±¼). „«¿ ¥¥ ®¡­ °³¦¥­¨¿ ¤®±² ²®·­® ®¤­®£® ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¿. ‚¥±» ³° ¢­®¢¥±¨«¨±¼. ” «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§ ¬®­¥² 5, 6, 7, ¯°¨·¥¬ ®­  ²¿¦¥«¥¥ ­ ±²®¿¹¥©. Ž±² «¼­®¥ ¯®­¿²­®. ‹¥£·¥ ±² «  ¯° ¢ ¿ · ¸ . ” «¼¸¨¢ ¿ ®¤­  ¨§ ¬®­¥² 1, 2, 3, ¨ ®­  «¥£·¥.

‹¥¢ ¿ · ¸  ¯®-¯°¥¦­¥¬³ «¥£·¥.

 ’°¥²¨© ±«³· © (ª®£¤  ¯°¨ ¯¥°¢®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ­¨¨ ¯¥°¥¢¥±¨«  «¥¢ ¿ · -

¸ ) ¯® ±³²¨ ­¨·¥¬ ­¥ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¢²®°®£®. 306. ª±¯¥°² ¬®¦¥² 1) ¯®«®¦¨²¼ ­  «¥¢³¾ · ¸ª³ 1-¾ ¬®­¥²³, ­  ¯° ¢³¾ | 8-¾. ° ¢ ¿ · ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨², ±³¤ ³¢¨¤¨², ·²® 1-¿ ¬®­¥²  ´ «¼¸¨¢ ¿,   8-¿ | ­ ±²®¿¹ ¿. 2) ¯®«®¦¨²¼ ­  ¯° ¢³¾ · ¸ª³ 2-¾, 3-¾ ¨ 8-¾ ¬®­¥²», ­  «¥¢³¾ | 9-¾, 10-¾ ¨ 1-¾. ‹¥¢ ¿ · ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨². ‘³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® 2-¿ ¨ 3-¿ ¬®­¥²» ´ «¼¸¨¢»¥,   9-¿ ¨ 10-¿ | ­ ±²®¿¹¨¥. 3) ¯®«®¦¨²¼ ­  «¥¢³¾ · ¸ª³ 4-¾, 5-¾, 6-¾, 7-¾, 8-¾, 9-¾ ¨ 10-¾ ¬®­¥²»,   ­  ¯° ¢³¾ | ®±² «¼­»¥. ° ¢ ¿ · ¸ª  ¯¥°¥¢¥±¨². ‡­ ·¨², ­  «¥¢®© · ¸ª¥ ´ «¼¸¨¢»µ ¬®­¥² ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ­  ¯° ¢®©, ². ¥. 4-¿, 5-¿, 6-¿ ¨ 7-¿ ¬®­¥²» ´ «¼¸¨¢»¥,   11-¿, 12-¿, 13-¿ ¨ 14-¿ | ­ ±²®¿¹¨¥. 5 ’®·­® ² ª ¦¥ ¯°®¢¥°ª  2k , 1 ´ «¼¸¨¢»µ ¨ 2k , 1 ­ ±²®¿¹¨µ ¬®­¥² ¬®¦¥² ¡»²¼ ®±³¹¥±²¢«¥­  §  k ¢§¢¥¸¨¢ ­¨© ¯°¨ «¾¡®¬ k > 1 .

120

„®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤¢  ±®®²­®¸¥­¨¿ x1 + x2 + x3 = x6 ; x1 + x6 < x3 + x5 ; ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¤«¿ ¯° ¢¨«¼­®±²¨ ­ ¤¯¨±¥©, £¤¥ ·¥°¥§ xk ®¡®§­ ·¥­  ¬ ±±  £¨°¼ª¨ ± ­ ¤¯¨±¼¾ À k £° ¬¬®¢Á. 308.  )  §®¡¼ ¥¬ ®²°¥§®ª ­  12 ° ¢­»µ · ±²¥©. ‘¢¥°µ³ ­ °¨±³¥¬ ¤³£¨, ° §¡¨¢ ¾¹¨¥ ¥£® ­  3 ° ¢­»¥ ¤®«¨,   ±­¨§³ | ­  4. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ®²°¥§®ª ° §¤¥«¨«±¿ ­  ª³±®·ª¨ ¤«¨­» 3, 1, 2, 2, 1 ¨ 3. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯¨°®£ ¤®±² ²®·­® ° §°¥§ ²¼ ­  ¸¥±²¼ · ±²¥©: 14 , 121 , 1 1 , 6 , 121 ¨ 14 . 6 …±«¨ ¦¥ ¯¨°®£ ° §¤¥«¥­ ­  5 · ±²¥©, ²® ¯°¨ ° §¤¥«¥ À­  ²°®¨µÁ ª®¬³²® ¤®±² ­¥²±¿ «¨¸¼ ®¤­  · ±²¼. Ž­  ¡³¤¥² ±®±² ¢«¿²¼ 13 ¯¨°®£ , ·²® ­¥ ¯®§¢®«¨² ° §¤¥«¨²¼ ¥£® ­  ·¥²¢¥°»µ. ¡) ³±²¼ ¯«®¹ ¤¼ ª¢ °²¨°» ° ¢­  12. Ÿ±­®, ·²® ¸¥±²¼ ª®¬­ ², ¯«®¹ ¤¨ ª®²®°»µ ° ¢­» 3, 3, 2, 2, 1 ¨ 1, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¿¬ § ¤ ·¨. ¿²¨ ª®¬­ ² ­¥¤®±² ²®·­®. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯°¨ ° ±±¥«¥­¨¨ ²°¥µ ±¥¬¥© ¢ ¯¿²¨ ª®¬­ ² µ µ®²¿ ¡» ®¤­  ±¥¬¼¿ ¯®«³·¨² ²®«¼ª® ®¤­³ ª®¬­ ²³, ¨ ¯«®¹ ¤¼ ¥¥ ¤®«¦­  ¡»²¼ 4. °¨ ° §¬¥¹¥­¨¨ ·¥²»°¥µ ±¥¬¥© ² , ª®²®°®© ¤®±² ­¥²±¿ ½²  ª®¬­ ² , ¯®«³·¨² ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸³¾ ¯«®¹ ¤¼. 309. ‚­ · «¥ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¡»«® ¢ 6 ° § ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®²±³²±²¢³¾¹¨µ, ². ¥. ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢«¿«¨ 1=7 · ±²¼ ·¨±«  ¢±¥µ ³· ¹¨µ±¿. ®±«¥ ¢»µ®¤  ®¤­®£® ³·¥­¨ª  ¨§ ª« ±±  ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢¨«¨ 1=6 · ±²¼ ®² ®¡¹¥£® ·¨±«  ³· ¹¨µ±¿. 315. ‡  10 · ±®¢. 320. 3 · ±  45 ¬¨­³². 324. ‚ 2,5 ° § . …±«¨ ¡» ¢±¥ ¢°¥¬¿ ª®¯ «¨ ¢±¥ ²°®¥, ²® ®­¨ ¢»ª®¯ «¨ ¡» 1+3
0; 5 = 2; 5 ª ­ ¢». 340. ‚±¯®¬­¨²¥ ¯°¨§­ ª ¤¥«¨¬®±²¨ ­  9 ¨ § ¬¥²¼²¥, ·²® 100! ¤¥«¨²±¿ ­  9. 363. „®¯³±²¨¬, ·¨±«® 1 ­¥ ¯®ª° ¸¥­®. …±«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥­­»µ ·¨±¥« ¤¢³§­ ·­®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ­¥¯®ª° ¸¥­­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨² ¨§ ­¥·¥²­®£® ·¨±«  ¶¨´°,   ¯®±«¥¤­¨© | ¨§ ·¥²­®£® ·¨±«  ¶¨´°. …±«¨ ¦¥ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥­­»µ ·¨±¥« ®¤­®§­ ·­®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ­¥¯®ª° ¸¥­­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¨§ 8 ¶¨´°. ® ½²® ±«¨¸ª®¬ ¬ «®: ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 7 ¯®ª° ¸¥­­»µ ¶¨´° ¢¬¥±²¥ ± ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 8
4 = 32 ­¥¯®ª° ¸¥­­»¬¨ ¤ ¾² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 39 ¶¨´°,   ¤ ¦¥ ± ¬»© ª®°®²ª¨© ¬¥±¿¶ (´¥¢° «¼) ¤ ¥² 47 ¶¨´°. ‚ ®¡®¨µ ±«³· ¿µ ¯®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. ‡­ ·¨², ·¨±«® 1 ¤®«¦­® ¡»²¼ ¯®ª° ¸¥­®. 369. 15317. …±«¨ ®²¡°®±¨²¼ ¤¢¥ ¯®±«¥¤­¨¥ ¶¨´°», ²® ®±² ¢¸¨¥±¿ ¶¨´°» ¢ ±³¬¬¥ ¤ ¾² 9,   ·¨±«®, ¨§ ­¨µ ±®±² ¢«¥­­®¥, ¤¥«¨²±¿ ­  17. ‚»¯¨¸¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ª° ²­»µ 17, ¯®ª  ­¥ ¯®«³·¨¬ ­³¦­³¾ ±³¬¬³ ¶¨´°: 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153. 371.  )  ¯°¨¬¥°, 2 899 999 ¨ 2 900 000. 307.

121

372. ¥².  ¯°¨¬¥°, ±°¥¤¨ ­®¬¥°®¢ ®² 000 001 ¤® 001 000 (¨«¨ ®² 998 999 ¤® 999 998) ­¥² ±· ±²«¨¢»µ. 375. Š ¦¤ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ­  1 ¶¥­²° «¼­®¥ ·¨±«®. ®¢­® ­  1 ¢®§° ±² ¥² ¨ ±³¬¬  ·¨±¥« ³£«®¢»µ ª«¥²®ª.) ® 18 6= 4 + 5 + 7 + 6 . 378. Œ®¦­®. 381. ¥ ¢±¥£¤ . …±«¨ ¢»¯¨«¨²¼ 1, 5, 6 ¨ 8 §³¡¼¿, ²® ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®¢®°®²¥ ª ª¨¥-­¨¡³¤¼ ¤¢¥ ¤»°ª¨ ±®¢¬¥±²¿²±¿. 384. 1, 3, 9 ¨ 27. 388. ‘­ · «  ¢¥§¤¥ ¯®±² ¢¼²¥ §­ ª + . ®«³·¨²¥ ±³¬¬³ 1 + 2 + 3 + + : : : + 19 + 20 = 210 . ‡ ²¥¬ ±®®¡° §¨²¥, ·²® ¯®±² ¢¨²¼ §­ ª À , Á ¯¥°¥¤ ª ª¨¬-«¨¡® ·¨±«®¬ a | ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¢»·¥±²¼ ³¤¢®¥­­®¥ ·¨±«® a . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤®±² ²®·­® °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ 210 , 2x = 20 ¨ § ²¥¬ ¨§ ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ·¨±¥« 2, 3, : : : , 19, 20 ±®±² ¢¨²¼ ·¨±«® x . 393. Ž²¢¥² ¤«¿ n ¤®¬®¢: ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ 2n , 1 § ¡®°®¢. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ¤®¬ ®¤¨­, ²® ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨­ § ¡®°, ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´®°¬³«¥ 2
1 , 1 = 1 . „ «¼¸¥ ¯°¨¬¥­¨¬ ¨­¤³ª¶¨¾. …±«¨ ¤«¿ k = 1 , 2, : : : , n , 1 ¤®¬®¢ ´®°¬³«  2k , 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥­ , ²® ° ±±¬®²°¨¬ n ¤®¬®¢, ¢®ª°³£ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥­® ¬ ª±¨¬ «¼­® ¢®§¬®¦­®¥ ª®«¨·¥±²¢® § ¡®°®¢. Š ª®©-²® ®¤¨­ § ¡®° ®£®° ¦¨¢ ¥² ¢±¥ ¤®¬ . …±«¨ ½²®² ¢­¥¸­¨© § ¡®° ±­¥±²¨, ²® ± ¬»¬¨ ¢­¥¸­¨¬¨ ±² ­³² ­¥ª®²®°»¥ ¤¢  § ¡®° . ³±²¼ ¢­³²°¨ ®¤­®£® ¨§ ­¨µ ¡³¤¥² k ¤®¬®¢,   ¢­³²°¨ ¤°³£®£® | ®±² «¼­»¥ n , , k ¤®¬®¢. ‚ ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨­¤³ª¶¨¨ ¢®ª°³£ k ¤®¬®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®±²°®¥­® ­¥ ¡®«¼¸¥ 2k , 1 § ¡®°®¢,   ¢®ª°³£ ®±² «¼­»µ n , k ¤®¬®¢ | ­¥ ¡®«¼¸¥, 2(n , k) , 1 § ¡®°®¢. ‡­ ·¨², ¢±¥£® § ¡®°®¢ ­¥ ¡®«¥¥ (2k , 1) + + (2(n , k) , 1) + 1 = 2n , 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 396. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ f (n) ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® · ±²¥©, ­  ª®²®°»¥ n ¯°¿¬»µ ¬®£³² ° §¡¨²¼ ¯«®±ª®±²¼. ®°¨±®¢ ¢, ¬®¦­® § ¯®«­¨²¼ ² ¡«¨¶³

n 1 2 3 4 5 6 7 8 f (n) 2 4 7 11 16 22 29 37 ¨ ®¡­ °³¦¨²¼ § ª®­®¬¥°­®±²¼ f (n +1) = f (n)+ n . ‚ ¬ ®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼ ½²³ § ª®­®¬¥°­®±²¼ ¨ ¢»¢¥±²¨ ¨§ ­¥¥ ¿¢­³¾ ´®°¬³«³ f (n) = n(n2+ 1) + 1: 403.  §®¢ ¥¬ ®¤­³ ¨§ ²®·¥ª ª®°­¥¬. ‘®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼­»µ ¢¥°¸¨­ ¯®±«¥¤­¨© ®²°¥§®ª (¥¤¨­±²¢¥­­®£® ¯® ³±«®¢¨¾) ¯³²¨, ¢¥¤³¹¥£® ¢ ½²³ ²®·ª³ ¨§ ª®°­¿. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ N , 1 ¢¥°¸¨­ ¬¨ ) ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±²®¿¹¥¥ ¢ ³£«®¢®© ª«¥²ª¥ ·¨±«® ¯®ª §»¢ ¥², ±ª®«¼ª® ° § ¡»«  ¯°®¨§¢¥¤¥­  ®¯¥° ¶¨¿ ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ª¢ ¤° ²®¬ 2  2 .

122

¨ ®²°¥§ª ¬¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥. —²®¡» ±¤¥« ²¼ ½²® ®·¥¢¨¤­»¬, ³¤®¡­® ° ±±² ¢¨²¼ ­  ®²°¥§ª µ ±²°¥«ª¨, ¢¥¤³¹¨¥ ®² ª®°­¿: ¢ ª ¦¤³¾ ²®·ª³, ª°®¬¥ ¢¥°¸¨­», ¢¥¤¥² ®¤­  ±²°¥«ª . ‡ ¤ ·³ ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ² ª¦¥ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨: ³¤ «¿¿ «¾¡®© «¨±²y) ¤¥°¥¢ z) , ¬» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ³¤ «¿¥¬ ®¤­® °¥¡°®. (‘²°®£® £®¢®°¿, ­ ¤® ¥¹¥ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤¥°¥¢¼¥¢ ¡¥§ «¨±²¼¥¢ ­¥ ¡»¢ ¥². „«¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ¨±µ®¤¨² ­¥ ¬¥­¥¥ 2 °¥¡¥°. ˆ§ ¥£® ¢¥°¸¨­» A1 ¯°®©¤¥¬ ¯® °¥¡°³ ¢ A2 . ˆ§ A2 ¢»µ®¤¨² ¡®«¥¥ ®¤­®£® °¥¡° , ¯®½²®¬³ ¬®¦­® ¯°®©²¨ ¢ ¢¥°¸¨­³ A3 6= A1 , ¨§ ­¥¥ | ¢ A4 , : : : ®±ª®«¼ª³ ·¨±«® ¢¥°¸¨­ £° ´  ª®­¥·­®, ° ­® ¨«¨ ¯®§¤­® ®¡° §³¥²±¿ ¶¨ª«.) 405. 63 ±¯¨·ª¨. 409.  «¼¶» ¡³¤³² ¯®¢²®°¿²¼±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 8, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥­¨¿ 2001 ­  8. ¥°¢»¬ ¨¤¥² ³ª § ²¥«¼­»© ¯ «¥¶. 2 m 423.  ±±¬®²°¨²¥ ·¨±«  1, a , a , : : : , a . ®±ª®«¼ª³ ®±² ²ª®¢ ®² ¤¥«¥­¨¿ ­  m ¢±¥£® «¨¸¼ m , ²® ª ª¨¥-²® ¤¢  ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ·¨±¥« ¤ ¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥­¨¨ ­  m .  §­®±²¼ ½²¨µ ·¨±¥« ¤¥«¨²±¿ ­  m . 426. °®¨§¢¥¤ ¥¬ ±­ · «  ° §¡¨¥­¨¥ ¯°®¨§¢®«¼­»¬ ®¡° §®¬. …±«¨ ¢ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¯ « ²¥ ³ ¯ °« ¬¥­² °¨¿ A ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¢° £®¢, ²® ·¨±«® ¥£® ¢° £®¢ ¢ ¤°³£®© ¯ « ²¥ ­¥ ¡®«¼¸¥ 1. ®½²®¬³ ¯®±«¥ ¯¥°¥¬¥¹¥­¨¿ A ¢ ¤°³£³¾ ¯ « ²³ ±³¬¬ °­®¥ ·¨±«® ¯ ° ¢° £®¢ ¢­³²°¨ ¯ « ² ³¬¥­¼¸¨²±¿. ’ ª¨¥ ¯¥°¥¬¥¹¥­¨¿ ¯°®¤®«¦¨¬ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ²°¥¡³¥¬®¥ ³±«®¢¨¥ ­¥ ¢»¯®«­¨²±¿. 427. °¨ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ­¨¨ «¾¡®© ®±®¡®© ²®·ª¨ ·¨±«® ®²°¥§ª®¢ ± ° §­®¶¢¥²­»¬¨ ª®­¶ ¬¨ ³¬¥­¼¸ ¥²±¿ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  1. 429. °¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ®¯¥° ¶¨© ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢±¥µ ­ ¯¨± ­­»µ ­  ¤®±ª¥ ·¨±¥« ®±² ¥²±¿ ­¥¨§¬¥­­»¬,   ±³¬¬  ¬®¦¥² ²®«¼ª® ³¢¥«¨·¨¢ ²¼±¿. 430. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ± ¬ ¿ ª®°®²ª ¿ ¨§ ½²¨µ µ®°¤ | ­¥ ¤¨ ¬¥²°, ²® ®­  ­¥ ¬®¦¥² ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ­¨ª ª®© ¤°³£®© ¨§ ½²¨µ µ®°¤. 433. 2
5 = 10 . 434. ¥«³¾ « ¤¼¾ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª. ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ±¢®¥£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ®­  ¡¼¥² 15 ¯®«¥© (¢ª«¾· ¿ ¯®«¥, ­  ª®²®°®¬ ®­  ±²®¨²). ®½²®¬³ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°­³¾ « ¤¼¾. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 64
49 = 3136 ° §­»µ ±¯®±®¡®¢. 435. ¥«®£® ª®°®«¿ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ­  «¾¡®¥ ¨§ 64 ¯®«¥©. Ž¤­ ª® ª®«¨·¥±²¢® ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ®­ ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¡¨²¼, § ¢¨±¨² ®² ¥£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿. ®½²®¬³ ° §¡¥°¥¬ ²°¨ ±«³· ¿: y)‹¨±² | ½²® ¢¥°¸¨­ , ¨§ ª®²®°®© ¨±µ®¤¨² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¡°®. z)„¥°¥¢® | ½²® ±¢¿§­»© £° ´ ¡¥§ ¶¨ª«®¢, ²® ¥±²¼ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ®² «¾-

¡®© ¢¥°¸¨­» ¬®¦­® ¤®©²¨, ¤¢¨£ ¿±¼ ¯® °¥¡° ¬, ¤® «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°¸¨­», ¯°¨·¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬, ¥±«¨ ­¨ ° §³ ­¥ ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ­ § ¤.

123

 ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¢ ³£«³ (³£«®¢ ¢±¥£® 4), ²® ®­ ¡¼¥² 4 ¯®«¿

(¢ª«¾· ¿ ²®, ­  ª®²®°®¬ ±²®¨²) ¨ ®±² ¥²±¿ 60 ¯®«¥©, ­  ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°­®£® ª®°®«¿;  ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­  ª° ¾ ¤®±ª¨, ­® ­¥ ¢ ³£«³ (² ª¨µ ¯®«¥© | 24), ²® ®­ ¡¼¥² 6 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 58 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥©;  ¥±«¨ ¦¥ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ­¥ ­  ª° ¾ ¤®±ª¨ (² ª¨µ ¯®«¥© | 36), ²® ®­ ¡¼¥² 9 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°­®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 55 ¢®§¬®¦­»µ ¯®«¥©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 4
60 + 24
58 + 36
55 = 3612 ±¯®±®¡®¢. 441. ¥°¥©¤ ¥¬ ª ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¬ ±®¡»²¨¿¬: ±¢¥² ¡»« ¢ª«¾·¥­ 20% ¢°¥¬¥­¨, ¬³§»ª  ¬®«· «  10%,   ¤®¦¤¼ ­¥ ¸¥« 50% ¢°¥¬¥­¨, ² ª ·²® ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ±®¡»²¨¿ ­¥ ¬®£«¨ § ­¿²¼ ¡®«¥¥ 20 + 10 + 50 = 80 % ¢°¥¬¥­¨. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬³§»ª  ¯®¤ ¤®¦¤¥¬ ¢ ²¥¬­®²¥ §¢³· «  ­¥ ¬¥­¼¸¥ 100 , , 80 = 20 % ¢°¥¬¥­¨. 443. „®¡ ¢¼²¥ ª ²¥¬ ¨ ¤°³£¨¬ ·¨±« , ª° ²­»¥ ¨ 8, ¨ 9. Ž±² ­¥², 
±¿ ±° ¢­¨²¼ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥«,
ª° ²­»µ 8 1993 = 249 , ± ª®«¨·¥±²¢®¬ 8 , 1993  ·¨±¥«, ª° ²­»µ 9 9 = 221 . 445. Š®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿ ²®«¼ª® ­¥·¥²­»¥ ¶¨´°», ° ¢­® 56 = 15 625 . ‚±¥£® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥« 900 000. ®½²®¬³ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§­ ·­»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­  ·¥²­ ¿ ¶¨´° , ° ¢­® 900 000 , 15 625 = 884 375 . 449. 10. ‚»¯¨¸¥¬ ¢±¥ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ­¨¿: 9876543210. —²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¤¥¢¿²¨§­ ·­®¥ ·¨±«®, ­³¦­® ³¡° ²¼ ®¤­³ ¶¨´°³. ²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ 10 ±¯®±®¡ ¬¨. 453. 50%. 454. „®±² ²®·­® ¨§¢«¥·¼ ¸ ° ¨§ ³°­» — . …±«¨ ®­ ¡¥«»©, ²® ¢ ­¥© ¡¥«»¥ ¸ °»,   ·¥°­»¥ ¸ °» | ¢ ³°­¥  . …±«¨ ®­ ·¥°­»©, ²® ¢ ³°­¥ — ·¥°­»¥,   ¢ ³°­¥ —— ¡¥«»¥ ¸ °». 456. Œ®£³².  ¯°¨¬¥°, 9-¿ ¬¥²ª  ®¤­®£® ¨ 13-¿ ¤°³£®£® ­ µ®¤¿²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£  ­  ° ±±²®¿­¨¨ 1 ±¬, ¨¡® 13
25 , 9
36 = 1 . 457. ®«¬¨­³²» ¯®¥§¤ ¤¢¨¦¥²±¿ ¬¨¬® ±²®«¡ , §­ ·¨², ¯®«¬¨­³²» ¯®¥§¤ À±º¥§¦ ¥²Á ± ¬®±² , ². ¥. ± ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¯®¥§¤ ­ · « ¢º¥§¦ ²¼ ­  ¬®±² ¤® ¬®¬¥­² , ª®£¤  ®­ ­ · « ±º¥§¦ ²¼ ± ­¥£®, ¯°®¸«® ¯®«¬¨­³²». ˆ² ª, §  1=2 ¬¨­³²» ¯®¥§¤ ¯°®¸¥« 450 ¬, ®²ª³¤  ±ª®°®±²¼ ° ¢­  450 : (1=2) = 900 ¬/¬¨­ = 54 ª¬/· . “¬­®¦ ¿ ±ª®°®±²¼ ­  1/2 ¬¨­³²», ­ µ®¤¨¬ ¤«¨­³ ¯®¥§¤ . Ž²¢¥²: 54 ª¬/·; 500 ¬. 460. Ž«¨¬¯¨ ¤  Š °¯®¢­  ¢»¯¨«  11 · ¸¥ª, ‘®±¨¯ ²°  ’¨²®¢­  | 9, ®«¨ª±¥­  “¢ °®¢­  | 7. 482. 203 = 7
29
1
: : :
1 (¢±¥£® 203 , 7 , 29 = 167 ¥¤¨­¨¶).

124

®±¬®²°¨²¥ ­  °¨±³­®ª. 1 20 13  ±±¬®²°¨²¥ ®²°¥§ª¨ ¤«¨­ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 (¨«¨ 1, 2 21 12 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ¨ 55). 3 22 11 493.  ±±¬®²°¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼14 15 16 4 17 18 19 27 ­®±²¼ 10 23 5 a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b 9 24 6 ¨ § ¯¨¸¨²¥ ­¥° ¢¥­±²¢  a + b + c > 0 , 8 25 7 7a + 7b + 6c < 0 . °¨¬¥°: a + b = ,7 , c = 8. 26 28 495. 49, ¨¡® ª ¦¤»© ¡®© ³¬¥­¼¸ ¥² ª®«¨·¥±²¢® ³· ±²­¨ª®¢ ­  1. 0 495 . ‚ ­ · «¥ ¡»« ®¤¨­ ª³±®ª, ¢ ª®­¶¥ ±² «® 5
8 = 40 . Š ¦¤»© ° §«®¬ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ª®«¨·¥±²¢® ª³±ª®¢ ­  1. Ž²¢¥²: 40 , 1 = 39 . 496. …±«¨ ° §¡®©­¨ª¨ ¤¥«¨«¨ x °³¡«¥©, ²® ¯¥°¢®¬³ ¤®±² «®±¼ 100 + + x,10100 ,   ¢²®°®¬³ 487. 492.

x , 200 , (100 + x,10100 ) : 10 °¨° ¢­¿¢ ½²¨ ¤®«¨, ­ ©¤¥¬ x = 8100 , ®²ª³¤  100 + (x , 100)=10 = 900 . „ ° ³ £ ® © ± ¯ ® ± ® ¡ ¬¥­¥¥ ±² ­¤ °²¥­, ­® ¡»±²°¥¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ¶¥«¨ ¨ ®·¥­¼ ª° ±¨¢. (¥ §°¿ ½²³ § ¤ ·³ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² ‹¥®­ °¤³ ©«¥°³!)  ·­¥¬ ± ª®­¶ : n -© ° §¡®©­¨ª ¯®«³·¨« 100n °³¡«¥©. °¥¤¯®±«¥¤­¨© ¯®«³·¨« 100(n , 1) ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ² ª ·²® À®±² ²®ªÁ | 1000 °³¡«¥©. ‡­ ·¨², ¯®±«¥¤­¨© ¯®«³·¨« 900 °³¡«¥©, n = 9 . 2 498.  §¡¨¢ ª¢ ¤° ² ­  n ª¢ ¤° ²¨ª®¢, ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ­¥£® ¬®¦­® 2 ¢¯¨± ²¼ n ­¥ ­ «¥£ ¾¹¨µ ¤°³£ ­  ¤°³£  ª°³£®¢ ° ¤¨³±  21n . ¥° ¢¥­±²¢® n2
21n = n2 > 1101 ¢»¯®«­¥­®, ­ ¯°¨¬¥°, ¯°¨ n > 2202 . 500. ® ®§¥°³ ¡»±²°¥¥. ³±²¼ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  ° ¢­  v , ±ª®°®±²¼ ²¥·¥­¨¿ u . …±«¨ v 6 u , ¯ °®µ®¤ ¢®®¡¹¥ ­¥ ¢»¯«»¢¥² ¯°®²¨¢ ²¥·¥­¨¿; ¥±«¨ ¦¥ v > u > 0 , ²® ¢±¥ ¤¥«® ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ s s 2s u+v + v,u > v : 501. 35 ±³²®ª. Ž¡®§­ ·¨¬ ¡³ª¢®© s ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ¨¦­¨¬ ®¢£®°®¤®¬ ¨ €±²° µ ­¼¾,   ¡³ª¢ ¬¨ v ¨ u | ±ª®°®±²¼ ²¥·¥­¨¿ °¥ª¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­³¾ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤  (²® ¥±²¼ ±ª®°®±²¼, ± ª ª®© ¤¢¨£ «±¿ ¡» ®­ ¢ ®§¥°¥). ’®£¤   s = 5(v + u); s = 7(v , u): 200 +

125

“¬­®¦¨¢ ¯¥°¢®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ­  7,   ¢²®°®¥ ­  5 ¨ ¢»·²¿ ¨§ ¯¥°¢®£® ¢²®°®¥, ¯®«³·¨¬ 7s , 5s = 35(v + u) , 35(v , u); ®²ª³¤  2s = 70u , ²® ¥±²¼ s = 35u . 502. …±«¨ 7 ¹³ª ­ ±»²¿²±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯® 3 £®«®¤­»¥ ¹³ª¨), ²® ®±² ­³²±¿ ¥¹¥ 2 £®«®¤­»¥, ª®²®°»¥ ±¬®£³² ­ ±»²¨²¼±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯® 3 ¹³ª¨, ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ­ ±»²¨«¨±¼). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ 7 + 2 = 9 ¹³ª ¬®£³² ­ ±»²¨²¼±¿. …±«¨ ¦¥ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ­ ±»²¨«¨±¼ 10 ¹³ª, ²® ¢±¥£® ®ª ¦¥²±¿ ±º¥¤¥­® ­¥ ¬¥­¥¥ 30 ¹³ª, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. 506. …±«¨ ¡» ª ¬­¨ ³¢¥§«¨, ²® ­  ª ª³¾-²® ²° ¥µ²®­ª³ ¯®«®¦¨«¨ ¡» 8 ª ¬­¥©. ® ¤ ¦¥ 8 ± ¬»µ «¥£ª¨µ ª ¬­¥© ¢¥±¿² ¡®«¼¸¥ 3 ²®­­. 506. 5 ²° ¥µ²®­®ª. ®ª ¦¥¬ ±­ · « , ·²® 4 ²°¥µ²®­®ª ¬®¦¥² ­¥ µ¢ ²¨²¼. ‚®§¼¬¥¬ 13 ®¤¨­ ª®¢»µ ¿¹¨ª®¢ ¢¥±®¬ ¯® 10=13 ²®­­». ’®£¤  ¢ ®¤­³ ²°¥µ²®­ª³ ¬» ­¥ ±¬®¦¥¬ ¯®¬¥±²¨²¼ ¡®«¼¸¥ ²°¥µ ¿¹¨ª®¢,   ¢ ·¥²»°¥ | ¡®«¼¸¥ 12 ¿¹¨ª®¢. „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® 5 ²°¥µ²®­®ª ¢±¥£¤  µ¢ ² ¥². „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ª ¦¤³¾ ²°¥µ²®­ª³ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®£°³§¨²¼ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ²®­­ £°³§  (¥±«¨ ¯®£°³¦¥­® ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ²®­­, ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨²¼ ¥¹¥ ¿¹¨ª). ’®£¤  ¢ 5 ²°¥µ²®­®ª ¬®¦­® ¯®£°³§¨²¼ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 10 ²®­­. 508. „¢¥ ®±² «¼­»¥ ±³¬¬» ° ¢­» 12 ¨ 16,   ± ¬¨ ·¨±«  ° ¢­» «¨¡® (,1) , 2, 6 ¨ 10, «¨¡® (,3=2) , 5=2 , 13=2 ¨ 19=2 . 509.  ±±¬®²°¨²¥ ±²®¿¹¥£® ¢ ®¤­®© ¸¥°¥­£¥ ± ± ¬»¬ ­¨§ª¨¬ ¨§ ¢»±®ª¨µ ¨ ¢ ®¤­®¬ °¿¤³ ± ± ¬»¬ ¢»±®ª¨¬ ¨§ ­¨§ª¨µ. 0 511 . ‚ ½²®© ¨£°¥ ¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼ ¯¥°¢»©, ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ° §¬¥°®¢ ±²®« ! ‚¥¤¼ ®­ ¬®¦¥² ¯¥°¢»¬ µ®¤®¬ ¯®«®¦¨²¼ ¯¿² ª ² ª, ·²®¡» ¶¥­²°» ¯¿² ª  ¨ ±²®«  ±®¢¯ «¨. ®±«¥ ½²®£® ­  ª ¦¤»© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª  ®­ ¬®¦¥² ®²¢¥· ²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­® ®²­®±¨²¥«¼­® ¶¥­²°  ±²®« . °¨ ² ª®© ±²° ²¥£¨¨ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¯®§¨¶¨¿ ±² ­®¢¨²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®©,   ¢²®°®© ¢±¥ ¢°¥¬¿ ­ °³¸ ¥² ½²³ ±¨¬¬¥²°¨¾. ®½²®¬³ ¥±«¨ ¢®§¬®¦¥­ ®·¥°¥¤­®© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª , ²® ¢®§¬®¦¥­ ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­»© ¥¬³ ®²¢¥²­»© µ®¤ ¯¥°¢®£®. 514. 2100010006. 515.

–¨´°  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¢±²°¥· ¥²±¿ 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1 ° §. ¨«¨ –¨´°  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¢±²°¥· ¥²±¿ 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1 ° §.

‘®¤¥°¦ ­¨¥

°¥¤¨±«®¢¨¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 Š ª °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 Ž¡®§­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¢¥²» ·¨² ²¥«¾ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 ‡­ ª®¬±²¢® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 —¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶  ®² ª³°¨¶»? : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 ¥°¥¯° ¢» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 ¥°¥ª« ¤»¢ ­¨¿ ±¯¨·¥ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 Ž¡° ²­»© µ®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13  ±±² ­®¢ª¨ ±ª®¡®ª ¨ §­ ª®¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 ˜³²ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 ‘¡¥¦ «¨ ¶¨´°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17  §°¥§ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 ‚±¿ª ¿ ¯ «ª  ® ¤¢³µ ª®­¶ µ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 „¢¥­ ¤¶ ²¼ ±²³«¼¥¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 “±²­»© ±·¥² : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 ‚®§° ±²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 ‘ª®«¼ª® ­ ¤® ¢§¿²¼? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 ƒ®­ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 —¥²­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 ‹®£¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 ®«¯³²¨ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥­­¥¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 „³° ¶ª¨¥ ¢®¯°®±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 ¥°¥«¨¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 °®¶¥­²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 Š­¨£  ±²®¨² °³¡«¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 ‚®±±² ­®¢¨²¥ ¯³²¼ ª®­¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

127

‘³¬¬  ¨ ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ : : : : : : : : : : : : : : : : 44 ‘®±² ¢«¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 °¨­¶¨¯ „¨°¨µ«¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 Ž¡µ®¤» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 ‹¨­£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 ‚§¢¥¸¨¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 ‘®¢¬¥±²­ ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±²­ ¿ ° ¡®²  : : : : : : : : : 56 „¥«¨¬®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 ˆ£°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 ¥¡³±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 °¨¬¥°» ¨ ª®­±²°³ª¶¨¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 ˆ­¤³ª¶¨¿ :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 „¥°¥¢¼¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 ¥°¨®¤¨·­®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 Š° ©­®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 Š®¬¡¨­ ²®°¨ª  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77  ° ¤®ª±» ¨ ±®´¨§¬» ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 ’¥±² ¯®  °¨´¬¥²¨ª¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 À’» | ¬­¥, ¿ | ²¥¡¥Á ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105 Ž²¢¥²», ³ª § ­¨¿, °¥¸¥­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109

) ²¨ ¤¢¥ £« ¢ª¨ ­ ¯¨± ­» ­  ®±­®¢¥ ±² ²¥© ‘.‹. ’ ¡ ·­¨ª®¢  ¢ ¦³°-

­ «¥ ÀŠ¢ ­²Á (­®¬¥° 6 §  1989 £®¤ ¨ ­®¬¥° 6 §  1990 £®¤).

128