Физика: Конспект лекций для студентов заочного обучения. Часть 2

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра общей и строительной физики

ФИЗИКА Конспект лекций для студентов заочного обучения Часть 2

Под редакцией Т. А. Дацюк

Санкт-Петербург 2007 1

В. И. Белякова, Е. А. Желудкова, Е. А. Кукина, Ю. Н. Леонтьева, И. А. Занадворова.

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1.1. Закон сохранения электрического заряда

УДК 681.7.069.24–032.31(076.5) Рецензенты: канд. техн. наук, доц. СПбИМ (ЛМЗ–ВТУЗ) Е. М. Дедиков; канд. физ.-мат. наук, доц. ГТУ Л. Д. Неуймина Физика: конспект лекций для студентов заочного обучения. Ч.2/ В. И. Белякова [и др.]; под ред. Т. А. Дацюк; СПб. гос. архит.-строит. ун-т. – СПб., 2007. – с. Кратко изложены электростатика, постоянный электрический ток, магнитное поле, электромагнитная индукция, магнитные свойства вещества. Рекомендовано для студентов факультета безотрывных форм обучения всех специальностей. Ил. 40.

В природе существует только два типа электрических зарядов: положительные и отрицательные. Одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноименные – притягиваются. Опытным путем американский физик Р. Милликен показал, что электрический заряд дискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е (e = 1,6 10–19 Кл). Электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. Величина электрического заряда не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится. За единицу электрического заряда принят кулон (Кл). Заряд в 1 Кл проходит через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер за время, равное 1 с. На основе обобщения опытных данных был установлен закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы. 1.2. Закон Кулона

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве конспекта лекций

ã Авторы, 2007 ã СПбГАСУ, 2007

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен Ш. Кулоном. Точечным называется заряженное тело, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми оно взаимодействует. Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату pacстояния r между ними: F =k

Q1Q2 r2

,

(1.1)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ коэффициент пропорциональности k = 1 /( 4 πε0 ) . 2

3

Закон Кулона в системе СИ имеет вид F=

1 Q1Q2 , 4 πε0 r 2

(1.2)

где ε0 – электрическая постоянная; ε0 = 8,85 ×10 -12 Кл2/(Н·м2) или ε0 = 8,85 × 10-12 Ф/м (Ф – фарад – единица электрической емкости). Рис. 1.1 иллюстрирует взаимодействие точечных положительных зарядов. r12

F12 Q1 > 0

F21 Q2 > 0

Рис. 1.1

Сила Кулона F является центральной и направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды. Разноименные заряды притягиваются (F < 0), а одноименные – отталкиваются (F > 0). В векторной форме закон Кулона имеет вид r r Q1Q2 r12 F12 = k 2 , (1.3) r r r r где F12 – сила, действующая на заряд Q1 со стороны заряда Q2 , r12 – радиус-вектор, соединяющий заряд Q2 с зарядом Q1 , r = r12 (рис. 1.1). На заряд Q2 со стороны заряда Q1 действует сила F21 = - F12 , т. е. взаимодействие электрических точечных зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный, положительный, заряд. Если в поле заряда Q, поместить пробный заряд Q0 , то на него будет действоr вать сила E , различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона пропорциональна величине пробного заряда (1.3). Отношение r е, F / Q0 не зависит от Q0 и характеризует электрическое поле в той точке, где находится пробный заряд. Эта величина называется напряженносr тью E и является силовой характеристикой электростатического поля. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный, положительный, заряд, помещенный в эту точку поля: r r (1.4) E = F / Q0 . Как следует из формул (1.2) и (1.4), напряженность поля точечного заряда в вакууме в скалярной форме имеет вид E=

В пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Электрическое поле – поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Электрическое поле, которое создается неподвижными электрическими зарядами, называется электростатическим. 4

(1.5)

r Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности – линий, касательные к r которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E (рис. 1.2). Направление линии напряженности совпадает с направлением вектора напряженности. Линии напряженности никогда не пересекаются. Для r однородного поля ( E = const) линии напряженности параллельны вектору напряженности. 1

1.3. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Поток вектора напряженности

1 Q . 4 πε0 r 2

E1 2

E2

Рис. 1.2 5

Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности – радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 1.3, а), и входящие в него, если заряд отрицателен: (рис. 1.3, б).

а

1.4. Принцип суперпозиции электростатических полей r Результирующая сила F , действующая со стороны электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q1 , Q2 , ..., Qn , r на пробный заряд Q0 , равна векторной сумме сил F , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi : r n r F = å Fi .

б Рис .1.3

Густота линий напряженности, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, проr порциональна модулю вектора E (см. рис. 1.2). Тогда число линий наr пряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n r которой образует угол a с вектором E , E dS cos a = En dS , где En – проr r екция вектора E на нормаль n к площадке dS (рис. 1.4). Величина r (1.6) dФ E = En dS = E dS называется потоком вектора напряженности через площадку dS. E

dS En

(1.8)

i =1

a n

r r r r r Но F = Q0 E и Fi = Q0 Ei , где E – напряженность результирующегоо r поля, а Ei – напряженность поля, создаваемого зарядом Qi . Подставляя последние выражения в (1.8), получим r n r E = å Ei .

(1.9)

i =1

Формула (1.9) выражает принцип суперпозиции (наложения) элекr тростатических полей, согласно которому напряженность E результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности. Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов, так как любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. 1.5. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Рис. 1.4

r Здесь dS = d Sn – вектор, модуль которого равен d S , а направлеr ние совпадает с направлением нормали n к площадке. r Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E через эту поверхность определяется как r Ф E = ò E n dS = ò E dS , (1.7) S

S

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. 6

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность. В соответствии с формулой (1.7) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 1.5) определяется как F E = ò E n dS = S

Q 4 πε 0 r 7

2

4 πr 2 =

Q ε0

.

(1.10)

Это выражение справедливо для замкнутой поверхности любой формы. Если окружить сферу (см. рис. 1.5) произвольной замкнутой Q поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Поток считается положительным, если Рис. 1.5 линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себе точечный заряд Q, поток вектора напряженности будет r Ф E = ò E dS = ò En dS = Q / ε0. (1.11) S

S

Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружаюr щей n зарядов. Согласно принципу суперпозиции напряженность E поля, r n r создаваемого всеми зарядами, E = å Ei , поэтому i =1

n r r æ n r ö ç ÷ Ф E = ò E dS = ò å Ei dS = å ò Ei dS . ç ÷ ø i =1 i S S è i =1 Используя формулу (1.11), получим

r r 1 n E d S = E d S = å Qi . ò ò n e 0 i =1

S

(1.12)

(1.13)

S

Формула (1.13) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0 .

1.6. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1.6) заряжена с постоянной поверхностной dQ плотностью + σ (σ = – заряд, приходящийся на единицу поверхdS ности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности ( cos a = 0 ), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2 ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (1.13), 2 ES = σS / ε0 , откуда (1.14) E = σ /( 2 ε0 ). Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 1.7). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +s и –s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля компенсируют друг друга, поэтому здесь напряженность поля Е = 0. В r r r области между плоскостями E = E+ + E- ( E+ и E- определяются по формуле (1.14)), поэтому результирующая напряженность (1.15) E = σ / ε0 . s

E E=0

Рис. 1.6 8

–s

+s

E=

s e0

Рис. 1.7 9

E=0

Поле равномерно заряженной сферичеcкой поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равноs r мерно с поверхностной плотностью +s. R r¢ Так как заряд равномерно распределен по поверхности, поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией, поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 1.8). Выберем сферу радиуса r, имеющую обРис. 1.8 щий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий

E r t

R

рассматриваемое поле, и по теореме Гаусса (1.13) 4 π r 2 E = Q / ε0 , откуда E=

1 Q (r ³ R). 4 πε0 r 2

(1.16)

При r >R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как и для точечного заряда. Если r ¢ < R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, так как они располагаются на поверхности, и напряженность поля E = 0. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 1.9) заряжен равномерно dQ – заряд, приходящийся на единицу dl длины). Линии напряженности направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный r с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора E сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность – 2 πrlE . с линейной плотностью τ( τ =

По теореме Гаусса (1.13), при r > R 1 τ E= . 2 πε0 r r

10

Рис. 1.9

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области также E = 0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (1.17), внутри же его поле отсутствует. 1.7. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля в вакууме Пусть в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 1.10) перемещается другой точечный заряд Q0 . Сила, приложенная к заряду, совершает работу.. r Работа силы F на элементарном перемещении dl r 1 QQ0 dA = F d l = F dl cos α = dl cos α. 4 πε0 r 2 Так как dl cos α = dr , тоо dA =

2 πrlE = τl / ε0 , откуда

(r ³ R )

1 QQ0 dr. 4 πε0 r 2

Работа при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2 (1.17)

r2

r2

r

r1

QQ0 A12 = ò dA = 4 πε0 1

dr

1 æ QQ0 QQ0 ö ÷ r1 r2 ÷ø

ò r 2 = 4 πε0 ççè 11

(1.18)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

ловое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Из этого следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Формула (1.20) справедлива только для электростатического поля.

F

1.8. Потенциал электростатического поля в вакууме

2

a dr

1

r1

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией. Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, поэтому работу (1.18) сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий W, которыми обладает точечный заряд Q0 в начальной и конечной точках поля заряда Q

dl

Q0 r

r2

A12 =

Q

Из формулы (1.18) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е. (1.19)

L

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа r сил поля на пути dl равна E dl = El dl , где El = Е cos a – проекция вектора r E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.19) можно записать в виде r (1.20) ò E dl = ò El dl = 0. L

L

r Интеграл ò E dl = ò El dl называется циркуляцией вектора напряL

L

женности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Си12

(1.21)

Следовательно, потенциальная энергия заряда Q0 в поле заряда Q

Рис. 1.10

ò dA = 0 .

1 QQ0 1 QQ0 = W1 - W2 . 4 πε0 r1 4 πε0 r2

1 QQ0 . (1.22) 4 πε0 r Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна. Отношение W / Q0 не зависит от Q0 и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом (1.23) j = W / Q0 . Из формул (1.22) и (1.23) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, W=

1 Q . (1.24) 4 pe0 r Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена как j=

A12 = W1 - W2 = Q0 (j1 - j2 ). 13

(1.25)

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Работа сил поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде 2

r A12 = ò Q0 E dl

(1.26)

1

Приравняв (1.25) и (1.26), получим 2

2 r j1 - j2 = ò E dl = ò El dl , 1

(1.27)

1

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории. Единица потенциала – вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Если поле создается несколькими точечными зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов: n

j = å j1 = i =1

1 n Qi å . 4 πε0 i =1 ri

(1.28)

1.9. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом – энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и ( x2 - x1 ) = dx равна E x dx . Та же работа равна j1 - j2 = -dj . Приравняв оба выражения, можем записать, что 14

dj , (1.29) dx где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей r у и z, можем найти вектор E r æ ¶j r ¶j r ¶j r ö E = -çç i + j + k ÷÷, (1.30) ¶y ¶z ø è ¶x r r v где i , j , k – единичные векторы координатных осей х, у, z. Отсюда следует, что r r (1.31) E = -grad j , иди E = -Ñj, где Ñ – векторный дифференциальный оператор. r Следовательно, напряженность E поля равна градиенту потенциала со знаком минус, r так как вектор напряженности E поля направлен в сторону убывания потенциала. Для графического изображения распределения потенциала электростатичеcкого поля пользуются эквипотенциальными поверхноРис.1.11 стями – поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом, то эквипотенциальные поверхности – концентрические сферы (рис. 1.11). С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда – радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Ex = -

1.10. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля Связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой (1.14) E = σ /( 2 ε0 ) , где σ – поверхностная плотность за15

ряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x1 и x2 от плоскости, j1 - j2 =

x2

x2

σ

ò E dx = ò 2ε0 ( x2 - x1).

x1

(1.32)

x1

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определяется формулой (1.15). Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d, d

d

0

0

j1 - j2 = ò Edx = ò

σ σ dx = d . ε0 ε0

(1.33)

Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r > R) вычисляется по формуле E=

1 Q . 4 πε0 r2

(1.34)

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра сферы ( r1 > R, r2 > R), r2

r2

r1

r1

j1 - j2 = ò Edr =

1

Q

Q æ1

1ö

ò 4 πε0 r2 dr = 4 πε0 ççè r1 - r2 ÷÷ø.

(1.35)

ой Если принять r1 = r и r2 = ¥ , то потенциал поля вне сферической поверхности 1 Q . (1.36) 4πε0 r Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков: j=

1 j= . 4 πε0 R

16

оси заряженного цилиндра (r1 < R, r2 < R) , r2

j1 - j2 = ò E dr = r1

r τ 2 dr τ r = ln 2 . ò 2 πε0 r 2 πε0 r1 r1

(1.38)

1.11. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике Диэлектриками называются вещества, практически не проводящие электрического тока. В диэлектриках нет свободных зарядов. При помещении диэлектрика в электрическое поле он поляризуется. Механизм поляризации связан со строением вещества. Молекулы диэлектрика могут быть полярными и неполярными. У неполярных молекул центры «тяжести» суммарного положительного и отрицательного зарядов совпадают. К таким диэлектрикам относятся, например, N2, Н2, О2, СО2, СН4 и др. В отсутствие внешнего электриr ческого поля дипольный момент молекулы p равен нулю. У полярных молекул (Н2О, NН3, SО2, СО) центры «тяжести» суммарного положительного и отрицательного зарядов не совпадают, поэтому молекулы можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом, определяемым по формуле r r (1.39) p = Ql , r где Q – величина заряда; l – плечо диполя, вектор, направленный по оси диполя (рис. 1.12) от отрицательного заряда к положительному. Q

l

Q

p

(1.37)

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью t, вне цилиндра (r > R) определяется формулой (1.17): E =

потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 отт

1 τ . Следовательно, разность 2 πε0 r

Рис. 1.12

При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлек17

трик поместить в электрическое поле, то силы поля будут стремиться повернуть диполи по направлению поля, что приводит к возникновению отличного от нуля результирующего момента. Таким образом, поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или возникновение ориентированных по полю диполей. Дипольный момент, возникающий во внешнем электростатическом r r r поле, p V = å pi , где pi – дипольный момент одной молекулы. Для i

количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной – поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика: r r r P = pV / V = å pi / V . (1.40) i

Для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлекr триков) поляризованность P линейно зависит от напряженности поля r E . Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то о r r (1.41) P = xε0 E , где x – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика; x – величина безразмерная, притом всегда х > 0. Для установления количественных +Q –Q¢ +Q¢ –Q закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное внешнее электростатическое поле E0 (создается двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее так, как показано на рис. 1.13. Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные – против поля. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряРис. 1.13 18

да с поверхностной плотностью + σ¢ , на левой – отрицательного заряда с поверхностной плотностью - σ¢ . Эти некомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностная плотность σ¢ меньше плотности σ r свободных зарядов плоскостей, то не все поле E0 компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновению r дополнительного электрического поля E ¢ (поля, создаваемого связанными r зарядами), которое направлено против внешнего поля E0 (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика определяется как (1.42) E = E0 = E ¢. Напряженность поля связанных зарядов можно представить согласно формуле (1.15) как поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями E ¢ = s¢ / ε0 . Тогда формула (1.42) примет вид (1.43) E ¢ = E0 - s¢ / ε0 . Определим поверхностную плотность связанных зарядов s¢ По (1.40), полный дипольный момент пластинки диэлектрика p V = PV = PSd, где S – площадь грани пластинки, d – ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани Q¢ = σ¢S на расстояние d между ними, т.. е. p V = s¢Sd . Следовательно, или

PSd = s¢Sd

s¢ = P , (1.44) т. е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности P. 19

Подставив в (1.43) выражения (1.41) и (1.44), получим E = E0 = xE , откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика (1.45) E = E0 /(1 + x) = E0 / ε. Безразмерная величина (1.46) ε = 1+ x называется диэлектрической проницаемостью среды, которая показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, характеризуя количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. 1.12. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

r Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверхность определяется как r F 0 = ò DdS = ò Dn dS . S

S

Тогда теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике можно представить как n r F 0 = ò DdS = ò Dn dS = å Q1 , S

S

i =1

(1.49)

т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: r в однородной изотропной среде напряженность поля E обратно пропорr циональна e. Вектор напряженности E , переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей, поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды следующий: r (1.47) D = ε0εE , r где E – поле в веществе. Используя формулы (1.41) и (1.46), вектор электрического смещения можно выразить как r r r (1.48) D = ε0 E + P Единица электрического смещения – кулон на метр в квадрате (Кл/м2). r r Аналогично, как и поле E , поле D изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как r и для линий напряженности (см. подразд. 1.3). Линии вектора E могут начинаться и заканчиваться на любых заr рядах свободных и связанных, в то время как линии вектора D – только о на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль, т. е. напряженность поля во r всех точках внутри проводника равна нулю: E = 0 . Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен (j = const), т. е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Связь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью s зарядов на его поверхности имеет вид

20

21

1.13. Проводники в электростатическом поле

E = σ / (ε0ε) ,

(1.50)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положительные – по полю, отрицательные – против поля (рис. 1.14, а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом – избыток отрицательного. Эти заряды называются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными к его поверхности (рис. 1.14, б). Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

б

1.14. Электрическая емкость уединенного проводника Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные потенциалы, поэтому для уединенного проводника можно записать, что (1.51)

где С – емкость проводника. Величина емкости проводника определяется по формуле C = Q / j.

(1.52)

Емкость уединенного проводника определяется зарядом, при переносе которого на проводник его потенциал изменяется на единицу. 22

1 Q . 4 πε0 εR

Используя формулу (1.52), получим, что емкость шара C = 4 pε0εR .

(1.53)

1.15. Конденсаторы

Рис. 1.14

Q = Cj,

j=

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R = С/(4 pe0) » 9×106 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С » 0,7 мФ). Следовательно, фарад – очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы: миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ).

E=0

а

Емкость проводника зависит от формы, размеров проводника и диэлектрических свойств окружающей среды. Единица электроемкости – фарад (Ф): 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Потенциал уединенного шара радиусом R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e,

Устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью, получили название конденсаторов. В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические, сферические. Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j1 – j2) между его обкладками: С = Q / (j1 - j2 ). 23

(1.54)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Напряженность поля между пластинами σ . εε0 При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними (1.55) j1 - j2 = σd / (ee0 ), E=

где e – диэлектрическая проницаемость. Тогда, заменяя Q = sS, получим выражение для емкости плоского конденсатора C = εε0 S / d .

(1.56)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r1 и r2 (r2 > r1), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью t = Q / l ( l – длина обкладок). С учетом наличия диэлектрика между обкладками τ r Q r j1 - j2 = ln 2 = ln 2 . 2 πε0ε r1 2 πε0ε l r1

(1.57)

Подставив (1.57) в (1.54), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора (1.58) C = 2 πε0 ε l / ln (r2 / r1 ). Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 (r2 > r1) от центра заряженной сферической поверхности. С учетом наличия диэлектрика между обкладками 24

j1 - j2 =

Q æ1 1ö ç - ÷. 4 πε0ε çè r1 r2 ÷ø

(1.59)

Подставив (1.59) в (1.54), получим C = 4πε0ε

r1r2 . r2 - r1

(1.60)

ак Если d = r2 - r1 0 , т. е. индукционный ток имеет такое же направление, dt как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

то

4.3. Токи при размыкании и замыкании цепи

N 2S , (4.4) l т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости m вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле ин-

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукцин, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э. д. с. e, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток I0 = e / R

56

57

2

IN IN × NS = mm 0 . l l Подставив это выражение в формулу (4.3), получим Y = FN = B × S × N = mm 0

L = mm0

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем). В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению dI э. д. с. самоиндукции e s = - L , препятствующей, coгласно правилу dt Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = e s / R , или IR = - I

dI . dt

(4.6)

dI R = - dt . Разделив в выражении (4.6) переменные, получим I L Интегрируя это уравнение по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), находим

ln

I R = - t . Потенцируя это выражение, получим I0 L R

R

- t - t I = e L Þ I = I 0e L , I0

или I = I 0e -t / t ,

(4.7)

где t = L / R – постоянная, называемая временем релаксации. Из (4.7) следует, что t есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Таким образом, в процессе отключения источника э. д. с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (4.7) и определяется кривой 1 на рис. 4.1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании. При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. e возникает э. д. с. dl , препятствующая, согласно правилу Ленца, dt возрастанию тока. По закону Ома, IR = e = e s , или dL IR = e - L . dt

самоиндукции e s = - L

58

Введя новую переменную u = IR - e , преобразуем это уравнение к виду du dt =- , u t

где t – время релаксации. В момент замыкания (t = 0) сила тока l = 0 и и = –e. Следовательно, интегрируя по и (от – e до IR – e) и t (от 0 до t), находим ln или

(

)

I = I 0 1 - е -t / t ,

IR - e = -t / t , -e

(4.8)

где I 0 = e / R – установившийся ток (при t ® ¥ ). Таким образом, в процессе включения источника э. д. с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (4.8) и определяется кривой 2 на рис. 4.2. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 = e / R . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L / R , чтоо и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление. Оценим значение э. д. с. самоиндукции e s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления I цепи постоянного тока от R0 до R. ПредI0 2 положим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток 1 I 0 = e / R0 . При размыкании цепи ток t изменяется по формуле (4.7). Подставив Рис. 4.2 в нее выражение для I 0 и t, получим I=

e - Rt / L е . R0

Э. д. с. самоиндукции es = -L

dl R = eе - Rt / L, dt R0 59

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R / R0 >> 1), обладающей большой индуктивностью, э. д. с. самоиндукции может во много раз превышать э. д. с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э. д. с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э. д. с. самоиндукции не достигнет больших значений. 4.4. Энергия магнитного поля Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля. Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток l. С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (4.3)) Y = LI , причем при изменении тока на dI потокосцепление изменяется на dy = LdI . Однако для изменения потокосцепления на величину dY необходимо совершить работу dA = IdY = LIdI . Тогда работа по созданию потокосцепления Y будет I

A = ò LI dL = LI 2 / 2. 0

1 N 2I 2 W = m 0m S. 2 l Так как (3.25) I = Bl (m 0mN ) и B = m 0mH , тоо W=

B2 BH V= V, 2 m 0m 2

(4.10)

где Sl = V – объем соленоида. Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью w=

m mH 2 BH W B2 = = 0 = . V 2 m 0m 2 2

(4.11)

Выражение (4.11) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (1.54) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (4.11) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (4.11) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам. 5. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА 5.1. Магнитные моменты электронов и атомов

(4.9) W = LI 2 / 2. Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай – однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (4.9) выражение (4.4), получим

Рассматривая действие магнитного поля на проводники с током и на движущиеся заряды, мы не интересовались процессами, происходящими в веществе. Свойства среды учитывались формально с помощью магнитной проницаемости m. Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круго-

60

61

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

вым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным r r моментом pм = ISn , модуль которогоо (5.1) pм = IS = еvS , где I = еv – сила тока; v – частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 5.1), то ток направлен против часовой стрелки и вектор pм в соответствии с правилом правого винта направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона. С другой стороны, движущийся по pм орбите электрон обладает механическим r моментом импульса Le , модуль которого, I согласно r e r (5.2) Le = mvr = 2 mvS , v r где v = 2 pvr , pr 2 = S . Вектор Le (его о направление также подчиняется правилу правого винта), называется орбитальLe ным механическим моментом Рис. 5.1 электрона. Из рис. 5.1 следует, что направлеr r ния pм и Le противоположны, поэтому получим r е r r pм = Le = gLe , 2m

(5.3)

где величина е (5.4) 2m называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (общепринято писать со знаком «–», указывающим на то, что направления моментов противоположны). Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (5.4) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменныйток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). Оно оказалось равным e / m . Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекулярные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g. Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов, электрон обладает собственным механическим r моментом импульса Les , называемым спином м. Считалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси, что привело к целому ряду противоречий. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину r электрона Les соответствует собственный (спиновый) магнитный r r момент pмs пропорциональный Les и направленный в противоположную сторону: r r (5.5) pмs = g s Les . Величина называется гиромагнитным отношением спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора может принимать только одно из следующих двух значений:

eh r pмsB = ± = ±m B , 2m

g=-

где h = h / (2p) (h – постоянная Планка); m B – магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона. В общем случае магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Магнитный момент атома, следовательно, складывается из магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов и нейтронов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают.

62

63

r Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) pa равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов: r r pa = å p м + å pмs . (5.6)

5.2. Диа- и парамагнетизм Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны. Ради простоты прдположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите. Если орбита B r электрона ориентирована относительно вектора B произвольным образом, составляя с ним угол a (рис. 5.2), то можно доказать, что она приходит r pм в такое движение называемое прецессией, при котором вектор магнитного момента pv м , сохраняя r постоянным угол a, вращается вокруг B . Прецессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения. Рис. 5.2 Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которое эквивалентно круговому току. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками. В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома (он равен вектор64

ной сумме магнитных моментов, орбитальных и спиновых, составляющих атом электронов), равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Вi, Ag, Au, Cu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д. Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнитными веществами существуют и парамагнитные вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля. У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы Pt, Al и т. д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается незаметным. Если магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является парамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком. 5.3. Намагниченность. Магнитное поле в веществе Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводилась поляризованность, для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину – намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика: 65

r r r J = Pм / V = å pa / V ,

(5.7)

r r где Pм = å pα – магнитный момент магнетика, представляющий собой

векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул. Рассматривая характеристики магнитного поля, мы вводили вектор r магнитной индукции B , характеризующий результирующее магнитноее поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности r H , характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается их двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагниченным веществом. Тогда вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля v B0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля r микротоков B (поля, создаваемого молекулярными токами): r r r (5.8) B = B0 + B¢ , r r где B0 = m 0 H . Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины v 1, внесенного в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B0 . Возникающее в магнетике магнитное поле молекулярных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости v всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору B0 , так как векторы их магr нитных моментов pм антипараллельны векторуу v v B0 (для диамагнетиков) и параллельны B0 (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 5.3). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поРис. 5.3 верхность цилиндра. Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и создает внутри него поле, 66

магнитную индукцию B¢ которого можно вычислить, учитывая формулу для N = 1 (соленоид из одного витка): (5.9) B¢ = m 0 I ¢ / l , где I ¢ – сила молекулярного тока; l – длина рассматриваемого цилиндра, а магнитная проницаемость μ принята равной единице. С другой стороны, I ¢ / l – ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого тока p = J ¢ × S Þ p = I ¢lS / l = I ¢V / l , где V – объем магнетика. Таким образом, P Þ J = I ¢ / l. V Сопоставляя (5.9) и (5.10), получим, что B¢ = m 0 J , или в векторной форме r r B¢ = m 0 J . v v Подставив выражения для B0 и B в (5.8), получим r r r B = m0 H + m0 J , или r r r B = H + J. m0 J=

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Как показывает опыт, для большинства веществ в несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т. е. r r (5.13) J = cH , где c – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнетиков c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно внешнему), для парамагнетиков – положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним). Используя формулу (5.1), выражение (5.13) можно записать в виде r r (5.14) B = m 0 (1 + c )H , откуда 67

r H=

r B . m 0 (1 + c )

Безразмерная величина (5.15) m = 1+ c представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив r r (5.15) в (5.14), придем к соотношению B = m 0mH , которое ранее постулировалось. Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диаи парамагнетиков очень мало (порядка 10–4–10–6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c < 0 и m < 1, для парамагнетиков ов c > 0 и m > 1.

менты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение J прекращается и наступает магнитное насыщение. Магнитная индукция B = m 0 (H + J ) (см. (5.11)) в слабых полях растет быстро с ростом Н вследствие увеличения J, а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно ( J = J нас ) , В растет с увеличением Н по линейному закону (рис. 5.5). B

Jнас Ферромагнетик Парамагнетик H

H

Диамагнетик

Рис. 5.4

5.4. Ферромагнетики и их свойства Помимо рассмотренных двух классов веществ – диа- и парамагнетиков, называемых слабомагнитными веществами, существуют еще сильномагнитные вещества – ферромагнетики – вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагнетикам, кроме основного их представителя – железа (от него и идет название «ферромагнетизм»), относятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения. Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существенно отличающими их от диаr и rпарамагнетиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость J от H линейна (см. (5.13) и рис. 5.4), то для ферромагнетиков эта зависимость является довольно сложной. По мере возрастания Н намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение J нас , уже не зависящее отт напряженности поля. Подобный характер зависимости J от Н можно объяснить тем, что по мере увеличения намагничивающего поля увеличивается степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю, однако этот процесс начнет замедляться, когда остается все меньше и меньше неориентированных моментов, и, наконец, когда все мо68

Рис. 5.5

Существенная особенность ферромагнетиков – не только большие значения m (например, для железа – 5000, для сплава супермаллоя – 800000!), но и зависимость m от Н (рис. 5.6). Вначале m растет с увеличением Н, затем, достигая максимума, начинает уменьшаться, стремясь в случае сильных полей к 1 (m = B /(m 0 H ) = 1 + J / H , поэтому при ( J = J нас ) = const с ростом Н отношение J / H ® 0 , а m ® 1). m

1 H

Рис. 5.6

Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что для них зависимость J от Н (а следовательно, и В от Н) определяется предысторией намагничения ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. 69

Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1 – рис. 5.7), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение 1 описывается кривой 1–2, лежащей выше кривой 1–0. При Н = 0 J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение J ос . С наличием остаточного о намагничения связано существование постоянных магнитов. Намагничение обращается в нуль под действием поля H с , имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность H с называется кoэрцитивиой силой. При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3–4), и при Н = –Ннас достигается насыщение (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4–5–6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6–1). J Jнас Jос

Hнас

Hc

0 5 4

5.5. Природа ферромагнетизма

1 2 6

3

Hс

Hнас

H

Jос Jнас

Рис. 5.7

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой l–2–3–4–5–6–1, которая называется петлей гистерезиса (от греческого «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т. е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J. Различные ферромагнетики дают разные гистерезисные петли. Ферромагнетики с малой (в пределах от нескольких тысячных до 1–2 А/см) коэрцитивной силой H с (с узкой петлей гистерезиса) 70

называются мягкими, с большой (от нескольких десятков до нескольких тысяч ампер на сантиметр) коэрцитивной силой (с широкой петлей гистерезиса) – жесткими. Величины H с , J ос и mmax определяют применимость ферромагнетиков для тех или иных практических целей. Так, жесткие ферромагнетики (например, углеродистые и вольфрамовые стали) применяются для изготовления постоянных магнитов, а мягкие (например, мягкое железо, сплав железа с никелем) – для изготовления сердечников трансформаторов. Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий в точке Кюри, не сопровождается поглощением или выделением теплоты, т. е. в точке Кюри происходит фазовый переход II рода.

Рассматривая магнитные свойства ферромагнетиков, мы не вскрывали физическую природу этого явления. Описательная теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П. Вейссом (1865– 1940). Последовательная количественная теория на основе квантовой механики развита советским физиком Я. И. Френкелем и немецким физиком В. Гейзенбергом (1901–1976). Согласно представлениям Вейсса, ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри обладают спонтанной намагниченностью независимо от наличия внешнего намагничивающего поля. Спонтанное намагничение, однако, находится в кажущемся противоречии с тем, что многие ферромагнитные материалы даже при температурах ниже точки Кюри не намагничены. Для устранения этого противоречия Вейсс ввел гипотезу, согласно которой ферромагнетик ниже точки Кюри разбивается на большое число малых макроскопических областей – доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика 71

равен нулю и ферромагнетик не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные моменты не отдельных атомов, как это имеет место в случае парамагнетиков, а целых областей спонтанной намагниченности. Поэтому с ростом Н намагниченность J (см. рис. 5.4) и магнитная индукции В (см. рис. 5.5) уже в довольно слабых полях растут очень быстро. Этим объясняется также увеличение m ферромагнетиков до максимального значения в слабых полях (см. рис. 5.6). Эксперименты показали, что зависимость В от Н не является такой плавной, как показано на рис. 5.5, а имеет ступенчатый вид. Это свидетельствует о том, что внутри ферромагнетика домены поворачиваются по полю скачком. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют остаточное намагничение, так как тепловое движение не в состоянии быстро дезориентировать магнитные моменты столь крупных образований, какими являются домены, поэтому и наблюдается явление магнитного гистерезиса. Для того чтобы ферромагнетик размагнитить, необходимо приложить коэрцитивную силу; размагничиванию способствуют также встряхивание и нагревание ферромагнетика. Точка Кюри оказывается той температурой, выше которой происходит разрушение доменной структуры.

72

Оглавление 1. Электростатика ………………………………………………………..……………3 1.1. Закон сохранения электрического заряда …………………………………3 1.2. Закон Кулона ……………………………………………………….……….3 1.3. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Поток вектора напряженности ………………………………………….………4 1.4. Принцип суперпозиции электростатических полей ……………...………7 1.5. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме …………………7 1.6. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме ……………………………………..……9 1.7. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля в вакууме ……………………………………………………………………….11 1.8. Потенциал электростатического поля в вакууме ………………..………13 1.9. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности ……………………………………………………………………14 1.10. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля ….………15 1.11. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике ………………17 1.12. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике …………………………………….………………………20 1.13. Проводники в электростатическом поле ………………………..………21 1.14. Электрическая емкость уединенного проводника………..……..………22 1.15. Конденсаторы ……………………………………………………..………23 1.16. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля ………………..………..26 2. Постоянный электрический ток.……………………..……………..……………28 2.1. Электрический ток. Сила и плотность тока …..…………..………………28 2.2. Основы классической электронной теории электропроводности металлов ………………………………………………………………………..30 2.3. Сторонние силы. Законы Ома и Джоуля – Ленца……………….……….33 3. Магнитное поле……………………………………………………..……………36 3.1. Магнитное поле и его характеристики ………………………….………36 3.2. Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля………………………………………………………………..39 3.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов ………….…………42 3.4. Действие магнитного поля на движущийся заряд ………………………43 3.5. Эффект Холла ……………………………………………………..………45 r 3.6. Циркуляция вектора B для магнитного поля в вакууме ……….…………..47 3.7. Магнитное поле соленоида и тороида ………………………..……………48 r 3.8. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля B ……….50 3.9. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле ……………………….……………………………………………………52 73

4. Электромагнитная индукция ……………………………………….……………53 4.1. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея и его вывод из закона сохранения энергии ……………………………………….…………53 4.2. Индуктивность контура. Самоиндукция………………………..…………56 4.3. Токи при размыкании и замыкании цепи………………………..………57 4.4. Энергия магнитного поля …………………………………………………60 5. Магнитные свойства вещества ……………………………………..……………61 5.1. Магнитные моменты электронов и атомов …………………….…………61 5.2. Диа- и парамагнетизм ………………………………………………………64 5.3. Намагниченность. Магнитное поле в веществе ……………….…………65 5.4. Ферромагнетики и их свойства …………………………………………..68 5.5. Природа ферромагнетизма ……………………………………………….71

Валентина Ивановна Белякова Елена Александровна Желудкова Елена Александровна Кукина Юлия Николаевна Леонтьева Ирина Александровна Занадворова Учебное издание ФИЗИКА Ч. 2 Редактор А. В. Афанасьева Корректор К. И. Байкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой Подписано к печати 26.06.2007. Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,75. Уч.-изд. л. 4,87. Тираж 1000. Заказ 180. «С» 79. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, д. 4. Отпечатано на ризографе. 190005. Санкт-Петербург, 2-я-Красноармейская, д. 5.

74

75

ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

76