Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 44—53
УДК 512.54
О РАЦИОНАЛЬНОСТИ И СТРОГОЙ ВЕЩЕСТВЕННОСТИ СИЛОВСКИХ 2-ПОДГРУПП ГРУПП ВЕЙЛЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП∗) С. Г. КОЛЕСНИКОВ Введение Конечную группу G назовём рациональной, если каждый её неприводимый комплексный характер принимает только рациональные значения, и строго вещественной, если каждый её элемент является строго вещественным, т. е. инвертируется некоторой инволюцией из G. Известно [1], что комплексный характер χ группы G принимает на элементе g ∈ G рациональное значение тогда и только тогда, когда g сопряжён в G с любой своей степенью, взаимно простой с порядком g, в частности, с g −1 . Тем не менее, классы рациональных и строго вещественных групп различны и даже не содержатся один в другом. Например, диэдральная группа порядка 16 строго вещественна, но не рациональна, а группа кватернионов рациональна, но не строго вещественна. В работе доказывается следующая ТЕОРЕМА 1. Силовские 2-подгруппы групп Вейля и знакопеременных групп рациональны и строго вещественны. Рациональность и строгая вещественность групп Вейля известна давно (см., напр., [1, 2]). В [3, вопрос 15.25] поставлен вопрос: рациональны ли силовские 2-подгруппы симметрических групп S2n ? Поскольку группа Вейля типа A2n −1 изоморфна S2n , из теоремы 1 вытекает положитель∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-
ных исследований, проект № 03-01-00905.
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
О рациональности и строгой вещественности
45
ное решение этого вопроса. Отметим, что рациональность силовских 2подгрупп групп S2n независимо и с использованием других методов также установлена Д. О. Ревиным.
§ 1. Доказательство рациональности ЛЕММА 1 (см., напр., [1, § 4, стр. 61]). Пусть G — произвольная конечная группа, g ∈ G. Эквивалентны следующие условия: 1) каждый характер группы G принимает на g рациональное значение; 2) если i ∈ N взаимно просто с порядком элемента g, то элементы gи
gi
сопряжены в G.
ЛЕММА 2. Пусть G — 2-группа, G0 — её подгруппа, σ — инволюция из G, существует гомоморфизм ρ группы G на группу h1, −1i и выполняются условия: 1) G = hG0 , σi; 2) G0 ∩ Gσ0 = 1; 3) abσ = bσ a для любых a, b ∈ G0 ; 4) ρ(σ) = 1; 5) для любых натурального числа k и элемента g ∈ G0 существует элемент c ∈ G0 такой, что cgc−1 = g 2k+1 и ρ(c) = 1. Тогда Р) для любых натурального числа k и элемента g ∈ G существует элемент c ∈ G такой, что cgc−1 = g 2k+1 и ρ(c) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условий 1–3 следует, что любой элемент группы G представим в виде g1 g2 , либо σg1 g2 , где g1 ∈ G0 , g2 ∈ Gσ0 . С л у ч а й 1. Пусть g = g1 g2 и k ∈ N . Поскольку g1 g2 = g2 g1 , то g 2k+1
= g12k+1 g22k+1 . Из условия 5 следует, что существуют элементы a, b ∈
∈ G0 такие, что ag1 a−1 = g12k+1 , bg2σ b−1 = (g2σ )2k+1 , ρ(a) = ρ(b) = 1. Отсюда bσ g2 (bσ )−1 = g22k+1 , (abσ )g(abσ )−1 = (abσ )g1 g2 ((bσ )−1 a−1 ) = (ag1 a−1 )(bσ g2 (bσ )−1 ) = g12k+1 g22k+1 = g 2k+1
46
С. Г. Колесников
и, очевидно, ρ(abσ ) = 1. С л у ч а й 2. Пусть g = σg1 g2 . Докажем индукцией по k, что g 2k+1 = σ(g1 g2σ )k g1 (g2 g1σ )k g2 .
(1)
При k = 0 равенство (1), очевидно, выполняется. Далее g 2k+3 = σ(g1 g2σ )k g1 (g2 g1σ )k g2 (σg1 g2 )(σg1 g2 ) = σ(g1 g2σ )k g1 (g2 g1σ )k g2 g1σ g2σ g1 g2 = σ(g1 g2σ )k g1 g2σ g1 (g2 g1σ )k g2 g1σ g2 = σ(g1 g2σ )k+1 g1 (g2 g1σ )k+1 g2 , и равенство (1) доказано. Элемент g1 g2σ лежит в G0 . По условию 5 в G0 найдётся элемент x такой, что xg1 g2σ x−1 = (g1 g2σ )2k+1 .
(2)
a = (g2σ g1 )k g2σ x(g2σ )−1 ,
(3)
Положим
тогда a−1 = g2σ x−1 (g2σ )−1 (g2σ g1 )−k = g1−1 x−1 xg1 g2σ x−1 (g2σ )−1 (g2σ g1 )−k = g1−1 x−1 (g1 g2σ )2k+1 (g2σ )−1 (g2σ g1 )−k = g1−1 x−1 (g1 g2σ )k g1 . Последний переход осуществляется следующим образом: расписываем (g1 g2σ )2k+1 = g1 g2σ . . . g1 g2σ и (g2σ g1 )−k = g1−1 (g2σ )−1 . . . g1−1 (g2σ )−1 , а затем производим очевидные сокращения. Итак, a−1 = g1−1 x−1 (g1 g2σ )k g1 .
(4)
ag2σ x−1 = (g2σ g1 )k g2σ ,
(5)
xg1 a−1 = (g1 g2σ )k g1 .
(6)
Из (3) и (4) следуют
Сопрягая равенство (5) элементом σ, получаем aσ g2 (x−1 )σ = (g2 g1σ )k g2 .
(7)
О рациональности и строгой вещественности
47
Положим b = xσ . Тогда bσ = x и (6), (7) можно представить как bσ g1 a−1 = (g1 g2σ )k g1 ,
(8)
aσ g2 b−1 = (g2 g1σ )k g2 .
(9)
Отсюда (ab)g(ab)−1 = abga−1 b−1 = abσg1 g2 a−1 b−1 = σaσ bσ g1 g2 a−1 b−1 = σ(bσ g1 a−1 )(aσ g2 b−1 ) = σ(g1 g2σ )k g1 (g2 g1σ )k g2 = g 2k+1 . Кроме того, ρ(ab) = 1, если ρ(g1 )ρ(g2 ) = 1 или k чётно. Если ρ(g1 )ρ(g2 ) = = −1 и k нечётно, то ρ(g) = −1 (т. к. ρ(σ) = 1) и ρ(ab) = −1. Тогда ρ(abg) = 1 и (abg)g(abg)−1 = (ab)g(ab)−1 = g 2k+1 . Лемма доказана. Обратимся к доказательству рациональности. Зафиксируем следующие обозначения для силовских 2-подгрупп. Силовскую 2-подгруппу группы Вейля W (Φ) типа Φ будем обозначать через P Φ, силовские 2подгруппы симметрической Sn и знакопеременной Altn групп — через P Sn и P Altn соответственно. С л у ч а й G = W (An−1 ). Группа Вейля W (An−1 ) изоморфна симметрической группе Sn порядка n (см. [4, табл. I]). В [5, § 5.9] показано, что P Sn раскладывается в прямое произведение силовских 2-подгрупп P Sn = P S2l1 × . . . × P S2lt ,
(10)
где li определяются из разложения n в системе исчисления с основанием 2, а подгруппы P S2li из Sn построены на непересекающихся подмножествах символов по 2li элементов в каждом. Поэтому группы P Sn будут рациональны, если таковыми являются группы P S2m . Группы P S2m , следуя [5, § 5.9], построим индукцией по m. Положим P S1 = h(1)i. Пусть группа P Sr (r = 2m−1 , m > 1) на символах 1, 2, . . . , r уже построена. Вложим её в S2r следующим образом 1 2 ... r 1 2 . . . r r + 1 r + 2 . . . 2r → . i1 i2 . . . ir i1 i2 . . . ir r + 1 r + 2 . . . 2r
48
С. Г. Колесников
Тогда группа P S2r порождается инволюцией σ2r = (1, r + 1)(2, r + +2) . . . (r, 2r) и группой P Sr . Очевидно, что для любого натурального числа m пара групп P S2m , P S2m−1 и инволюция σ2m удовлетворяют условиям 1–3 леммы 2. Далее, обозначим через ρn гомоморфизм группы P Sn на группу h1, −1i, отображающий чётные подстановки в 1, а нечётные — в (−1). Ясно, что ограничение гомоморфизма ρ2m группы P S2m на подгруппу P S2m−1 совпадает с ρ2m−1 . Кроме того, ρ2m (σ2m ) = 1 при m > 1, т. к. в этом случае подстановка σ2m раскладывается в произведение чётного числа циклов длины два. Покажем теперь, что группа P S4 и гомоморфизм ρ4 удовлетворяют условию 5 леммы 2. Имеем P S4 = hσ4 , (12)i. Нетрудно понять, что только два элемента из P S4 имеют порядок больше 2, а именно, g = (12)σ4 и g 3 . Так как g 4 = 1, σ4 gσ4 = g −1 и ρ4 (σ4 ) = 1, то условие 5 леммы 2 выполняется. Рассуждая далее по индукции, получаем, что для любого натурального числа m > 1 группы P S2m удовлетворяют условию Р и по лемме 1 являются рациональными. Рациональность силовских 2-подгрупп групп S1 и S2 очевидна. Докажем рациональность силовских 2-подгрупп знакопеременных групп. Пусть g ∈ P Altn . Так как P Altn = P Sn ∩ Altn и справедливо разложение (10), то g = g1 . . . gt , где gi ∈ P S2li . Из условия Р вытекает, что для любого натурального числа k в каждой подгруппе P S2li найдется такая чётная подстановка ci (в случае li = 0, 1 в качестве ci можно взять единичную подстановку), что ci gc−1 = g 2k+1 . В силу перестановочности i элементов из различных подгрупп P S2li , получаем −1 −1 −1 2k+1 c1 . . . ct gc−1 . . . gt2k+1 = g 2k+1 . t . . . c1 = c1 g1 c1 . . . ct gt ct = g1
Поскольку подстановка c1 . . . ct чётна, группа P Altn рациональна. С л у ч а и G = W (Bn ), W (Dn ). Группа W (Bn ) является полупрямым произведением элементарной абелевой 2-группы Tn = h(α1 , . . . , αn ) | αi = ±1, i = 1, . . . , ni
О рациональности и строгой вещественности
49
порядка 2n и симметрической группы Sn , которая действует на Tn перестановками координат (см, [4, табл. II]). Следовательно, силовская 2-подгруппа P Bn группы W (Bn ) является полупрямым произведением групп Tn и P Sn . В силу (10) для P Bn выполняется P Bn = P B2l1 × . . . × P B2l1 , где li определяются как и выше. Покажем, что группы P B2m также можно построить индукцией по m. Положим P B1 = h(±1)i ⋋ h(1)i. Пусть группа P Br (r = 2m−1 , m > 1) уже построена. Вложим её в T2m ⋋ S2r следующим образом: 1 2 ... r → (α1 , . . . , αr ) · i1 i2 . . . ir
→ (α1 , . . . , αr , 1, . . . , 1) ·
1
2
...
r
r + 1 r + 2 . . . 2r
i1 i2 . . . ir r + 1 r + 2 . . . 2r
.
Тогда P B2r порождается инволюцией σ2r = (1, . . . , 1) · (1, r + 1)(2, r + +2) . . . (r, 2r) и группой P Br . Очевидно, что для любого натурального числа m пара групп P B2m , P B2m−1 и инволюция σ2m удовлетворяют условиям 1–3 леммы 2. Далее, обозначим через θn гомоморфизм группы P Bn на группу h1, −1i, отображающий элемент (α1 , . . . , αn ) · g группы P Bn в элемент α1 ·. . .·αn группы h1, −1i. Ясно, что ограничение гомоморфизма θ2m группы P B2m на подгруппу P B2m−1 совпадает с θ2m−1 . Кроме того, θ2m (σ2m ) = 1 для любого натурального m > 0. Покажем, что группа P S2 и гомоморфизм θ4 удовлетворяют условию 5 леммы 2. Имеем P B2 = T2 ⋋ S2 . Нетрудно понять, что группа P B2 содержит только элементы порядка 2 и 4, причём все элементы порядка 4 имеют вид (α1 , α2 ) · (12) где (α1 , α2 ) 6= (1, 1) и (12) ∈ S2 . Очевидно, что все они сопряжены со своей 3-й степенью при помощи элемента σ2 и θ4 (σ2 ) = 1. Таким образом, условие 5 выполняется. Рассуждая далее по индукции, получаем, что для любого натурального числа m > 0 группы P B2m удовлетворяют условию Р и, по лемме 1, являются рациональными.
50
С. Г. Колесников Доказательство рациональности силовских 2-подгрупп P Dn групп
Вейля W (Dn ) аналогично доказательству рациональности силовских 2подгрупп знакопеременных групп, т. к. P Dn совпадает с ядром гомоморфизма θn (см. [4, табл. IV]). С л у ч а й G = W (Cn ). Вытекает из изоморфизма W (Bn ) ∼ = W (Cn ). С л у ч а й G = W (G2 ). Группа P G2 является элементарной абелевой 2-группой порядка 4 и, следовательно, рациональна. Для доказательства рациональности силовских 2-подгрупп групп Вейля оставшихся исключительных типов нам потребуются представления соответствующих систем корней в евклидовом пространстве (см. [4]). Ортонормированный базис пространства представления будем обозначать через ε1 . . . εn . С л у ч а й G = W (F4 ). Группа G содержит подгруппу, порождённую отражениями относительно корней ±εi (1 6 i 6 4), ±εi ±εj (1 6 i < j 6 4), изоморфную группе W (B4 ) (см. [4, табл. VIII]). Так как P B4 ∼ = T 4 ⋋ P S4 , то |P B4 | = 24 · 23 = 27 . В то же время |G| = 27 · 32 . Следовательно, P F4 изоморфна рациональной группе P B4 . С л у ч а й G = W (E6 ). Группа G содержит подгруппу, порождённую отражениями относительно корней ±εi ± εj (1 6 i < j 6 5), изоморфную группе W (D5 ). Так как P D5 ∼ = T4 ⋋ P S5 , то |P D5 | = 24 · 23 = 27 (см. [4, табл. V]). Поскольку |G| = 27 · 34 · 5, то P E6 изоморфна рациональной группе P D5 . С л у ч а й G = W (E7 ). Группа содержит подгруппу G0 , порождённую отражениями относительно корней ±εi ± εj (1 6 i < j 6 6) и изоморфную группе W (D6 ), и отражение ωr (r = ε7 − ε8 ), перестановочное с каждым элементом из G0 (см. [4, табл. VI]). Рассмотрим подгруппу T = P D6 ×hωr i. Так как P D6 ∼ = T5 ⋋P S5 , то |T | = 25 ·24 ·2 = 210 . В то же время |G| = 210 ·34 · · 5 · 7. Следовательно, группа P E7 раскладывается в прямое произведение рациональных групп P D6 , Z2 и поэтому сама является рациональной. Случай пу,
порождённую
(1
6
i
2. По условию 5 леммы в группе G0 существует инволюция x такая, что xg2σ g1 x = (g2σ g1 )−1 = g1−1 (g2σ )−1 , откуда g1 xg2σ g1 xg2σ = 1.
(11)
Пусть y = g1 xg2σ . Ввиду (11), y является инволюцией. Положим z = g1 x,
(12)
z −1 = (g1 x)−1 = (y(g2σ )−1 )−1 = g2σ y.
(13)
тогда
Из (12) и (13) следует, что zx = g1 и z −1 y = g2σ . Положим u = σz(z −1 )σ , v = xy σ . Элементы u, v являются инволюциями, ρ(u) = 1 и uv = σz(z −1 )σ ) · (xy σ ) = σzx(z −1 y)σ = σg1 (g2σ )σ = σg1 g2 = g.
О рациональности и строгой вещественности
53
В частности, u инвертирует g. Лемма доказана. Доказательство строгой вещественности групп P Sn , P Altn , P Bn и P Dn почти дословно повторяет доказательство рациональности этих групп, только вместо леммы 2 применяем лемму 3, а условие 5 для групп P S2 , P B2 и гомоморфизмов ρ4 , θ4 , соответственно, выполняется очевидным образом. Строгая вещественность силовских 2-подгрупп групп Вейля W (Cn ), W (E6 ), W (E7 ), W (E8 ), W (F4 ), W (G2 ) вытекает из установленных ранее изоморфизмов P Cn ∼ = P D6 × Z2 , = P D 5 , P E7 ∼ = P Bn , P E6 ∼ P E8 ∼ = P D8 , P F4 ∼ = P B4 , P G2 ∼ = Z2 × Z2 . Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА 1. Ж.-П. Серр, Группы Галуа над Q, в кн.: „Труды семинара Бурбаки за 1988 г.“ (Математика. Новое в зарубежной науке, 46), М., Мир, 1990. 2. Р. Картер, Классы сопряжённых элементов в группе Вейля, в кн.: „Семинар по алгебраическим группам“ (Библиотека сб. „Математика“), М., Мир, 1973. 3. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002. 4. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Главы IV–VI, М., Мир, 1972. 5. М. Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962.
Поступило 19 декабря 2003 г. Адрес автора: КОЛЕСНИКОВ Сергей Геннадьевич, каф. прикладной матем., Красноярский гос. техн. университет, ул. Киренского, 26, г. Красноярск, 660074, РОССИЯ. e-mail:
[email protected] 
