Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Âîðîíåæñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò
Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ î...
21 downloads
195 Views
267KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Âîðîíåæñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò
Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ÷àñòü II (íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé)
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ñïåöèàëüíîñòè "ìàòåìàòèêà", 010100.
Âîðîíåæ 2004
Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 2 ñåíòÿáðÿ 2004, ïðîòîêîë N2
Ñîñòàâèòåëü: Ãåëüìàí Á.Ä.
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðèè ôóíêöèé è ãåîìåòðèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 4-ãî êóðñà.
Ñîäåðæàíèå 1 Ñæèìàþùèå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. 1.1 1.2 1.3
2
Ìåòðèêà Õàóñäîðôà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ìíîãîçíà÷íûå ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óðàâíåíèÿ ñ ñþðüåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè.
2.1 2.2 2.3
Îñíîâíûå ñâîéñòâà çàìêíóòûõ ëèíåéíûõ ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè âî âñåì ïðîñòðàíñòâå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèÿ ñ çàìêíóòûìè ñþðúåêòèâíûìè îïåðàòîðàìè íà ñôåðå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ 3.1 3.2 3.3
Îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà ñþðúåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ. . . . . . . . Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 5 8
11 11 14 14
16
16 16 18
Ââåäåíèå. Õîðîøî èçâåñòíà âàæíàÿ ðîëü, êîòîðóþ èãðàåò ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (òåîðåìà Áàíàõà è åå îáîáùåíèÿ) â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå.  1969 ãîäó áûëà äîêàçàíî óòâåðæäåíèå, îáîáùàþùåå òåîðåìó Áàíàõà íà ñëó÷àé ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé (ñì. [10]). Íåêîòîðûå âàðèàíòû äîêàçàííîé òåîðåìû òàêæå íàõîäÿò ïðèëîæåíèÿ â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ. Íàïðèìåð, ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ëþñòåðíèêà (ñì. [6], [5]), ïðè äîêàçàòåëüñòâå îáîáùåííîé òåîðåìû î íåÿâíîì îòîáðàæåíèè (ñì. [9], [4]) è ò.ä. Íàñòîÿùàÿ íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ ñîâðåìåííîé òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé è ïðèëîæåíèþ ýòîé òåîðèè ê èçó÷åíèþ ðàçðåøèìîñòè îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ ãëàâíîé ÷àñòüþ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûé çàìêíóòûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð. Òàêèå óðàâíåíèÿ åñòåñòâåííî âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè (ñì., íàïðèìåð, ðàçäåë 3). Ýòà ðàçðàáîòêà ñîäåðæèò êàê èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû (òåîðåìà Íàäëåðà, òåîðåìà Ðè÷åðè è äð.), òàê è íîâûå, ïîëó÷åííûå àâòîðîì. Íà âñå ðåçóëüòàòû, íå ïðèíàäëåæàùèå àâòîðó, äàþòñÿ ññûëêè. Ýòà íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçðàáîòêè [2], è èñïîëüçóåò îáîçíà÷åíèÿ è ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå â íåé.
1 Ñæèìàþùèå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. 1.1
Ìåòðèêà Õàóñäîðôà.
Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî , Y - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X . Îáîçíà÷èì P (Y ) - ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ Y . 3
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî ìíîæåñòâà A ∈ P (Y ) åñòü
ρ (x, A) = inf { ρ (x, y) | y ∈ A }. Ïóñòü A, B ∈ P (Y ).
Îïðåäåëåíèå 1. Âåëè÷èíó (êîíå÷íóþ èëè áåñêîíå÷íóþ) ρ∗ (A, B) = sup ρ (a, B) a∈A
íàçûâàþò ïîëóîòêëîíåíèåì ìíîæåñòâà A îò ìíîæåñòâà B . Ïðåäëîæåíèå 1. Ôóíêöèÿ ρ∗ : P (Y ) × P (Y ) → R ∪ ∞ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. ρ∗ (A, B) ≥ 0 äëÿ ëþáûõ A, B èç P (Y ); 2. ρ∗ (A, B) = 0 âëå÷åò A ⊂ B ; 3. â îáùåì ñëó÷àå ρ∗ (A, B) 6= ρ∗ (B, A); 4. ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (B, C) äëÿ ëþáûõ A, B, C èç P (Y ); 5. ρ∗ (A, B) = inf{ε | A ⊂ Uε (B)} äëÿ ëþáûõ A, B èç P (Y ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ. 2. Èç ρ∗ (A, B) = 0 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A âûïîëíåíî ρ (x, B) = 0. Òîãäà, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê èç B òàêàÿ, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ B . 3. Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû òàêèõ ìíîæåñòâ. 4. Äëÿ ëþáîãî x ∈ A â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà âûïîëíåíî
ρ (x, B) = inf ρ (x, y) ≤ inf (ρ (x, z) + ρ (z, y)) = y∈B
y∈B
= ρ (x, z) + ρ (z, B), ãäå z - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà C . Òîãäà äëÿ ëþáîãî z ∈ C ρ (x, B) ≤ ρ (x, z) + ρ∗ (C, B). Ñëåäîâàòåëüíî ,
ρ (x, B) ≤ inf ρ (x, z) + ρ∗ (C, B) = ρ (x, C) + ρ∗ (C, B) ≤ z∈C
≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B). Òîãäà ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B). 5. Ïóñòü ε > ρ∗ (A, B), òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ A íàéäåòñÿ òî÷êà y ∈ B òàêàÿ, ÷òî x ∈ Uε (y). Ñëåäîâàòåëüíî, A ⊂ Uε (B), òî åñòü
ρ∗ (A, B) ≥ inf { ε | A ⊂ Uε (B) }. Åñëè æå ε > 0 òàêîå, ÷òî A ⊂ Uε (B), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A âûïîëíåíî ρ (x, B) < ε. Òîãäà ρ∗ (A, B) < ε , òî åñòü ρ∗ (A, B) ≤ inf { ε | A ⊂ Uε (B) }. Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ñâîéñòâî. 4
Ïóñòü C(X) - ìíîæåñòâî íåïóñòûõ çàìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ â X . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h : C(X) × C(X) → R ∪ ∞ ,
h (A, B) = max { ρ∗ (A, B) ; ρ∗ (B, A) }. Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàçèìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå C(X). Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ A, B ∈ C(X) âûïîëíåíî : 1. h (A, B) ≥ 0. 2. åñëè h (A, B) = 0 , òî A = B . 3. h (A, B) = h (B, A). 4. h (A, B) ≤ h (A, C) + h (C, B) äëÿ ëþáûõ A, B, C èç C(X). 5. Åñëè A = { x◦ } , B = { y◦ } , òî h (A, B) = ρ (x◦ , y◦ ). Äîêàçàòåëüñòâà ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè h(A, B) è ñâîéñòâ ρ∗ (A, B). Ëåììà 1. Ïóñòü M1 , M2 - ëèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿ â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå E , ÿâëÿþùèåñÿ ñäâèãàìè îäíîãî è òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà L ⊂ E , òîãäà h (M1 , M2 ) = ρ∗ (M1 , M2 ) = ρ∗ (M2 , M1 ) =
= inf{ ||x1 − x2 || | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 }.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ρ(x1 , M2 ) = ρ(x2 , M1 ) äëÿ ëþáûõ x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 . Ïóñòü x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , ïîëîæèì α1 = 0 0 ρ(x1 , M2 ), α2 = ρ(x2 , M1 ). Åñëè x2 ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç M2 è x1 = x2 + 0 0 (x1 − x2 ), òî x1 ∈ M1 . Òîãäà èìååì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: 0
0
α2 ≤ ||x2 − x1 || = ||x1 − x2 ||. 0
Ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî x2 ∈ M2 . Ïîýòîìó α2 ≤ α1 . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, α2 = α1 . Ëåììà äîêàçàíà.
1.2
Íåïîäâèæíûå òî÷êè ìíîãîçíà÷íûõ ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.
Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, BR [x◦ ] - çàìêíóòûé øàð â X ñ öåíòðîì â òî÷êå x◦ . Ïóñòü F : BR [x◦ ] → C(X) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Òî÷êó x∗ ∈ BR [x◦ ] áóäåì íàçûâàòü íåïîäâèæíîé òî÷êîé ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F åñëè x∗ ∈ F (x∗ ). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü X - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : BR [x◦ ] → C(X) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî k ∈ [0, 1) òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: (1) ρ(x◦ , F (x◦ ) < R(1 − k), 5
(2) äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ BR [x◦ ] ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ BR [x◦ ] 6= ø, (3) äëÿ ëþáûõ x ∈ BR [x◦ ] è y ∈ (F (x) ∩ BR [x◦ ]) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
ρ∗ (F (x) ∩ BR [x◦ ], F (y)) ≤ kρ(x, y). Òîãäà, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà R1 óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó
ρ(x◦ , F (x◦ ) < R1 < R(1 − k), ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ îòîáðàæåíèÿ F òàêàÿ, ÷òî
ρ(x◦ , x∗ ) ≤
R1 . 1−k
(1)
Áîëåå òîãî, ñðåäè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ F ñóùåñòâóåò òî÷êà xˆ∗ òàêàÿ, ÷òî 2 ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )). (2) 1−k
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x◦ , x1 , ... òàêóþ,
÷òî
xn ∈ BR [x◦ ]
n = 0, 1, ...,
xn ∈ F (xn−1 )
n = 1, 2, ...,
n
ρ(xn+1 , xn ) < k R1
n = 0, 1, ... .
Ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåì ñòðîèòü èíäóêòèâíî. Ïóñòü òî÷êà x◦ - öåíòð íàøåãî øàðà, òî÷êà x1 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç ïåðåñå÷åíèÿ F (x◦ ) ∩ BR [x◦ ] òàêàÿ, ÷òî ρ(x◦ , x1 ) < R1 . Äîïóñòèì, ÷òî óæå ïîñòðîåíû n + 1 òî÷êà íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x◦ , x1 , ..., xn . Òîãäà
ρ(xn , F (xn )) ≤ ρ∗ (F (xn−1 ) ∩ BR [x◦ ], F (xn )) ≤ kρ(xn−1 , xn ) < k n R1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà xn+1 ∈ F (xn ), ÷òî
ρ(xn , xn+1 ) < k n R1 . Ïðîâåðèì, ÷òî òî÷êà xn+1 ïðèíàäëåæèò øàðó BR [x◦ ]. Äåéñòâèòåëüíî,
ρ(x◦ , xn+1 ) ≤
n X
ρ(xi , xi+1 )