ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РАДИОФИЗИЧЕСКИМ КУРСАМ: «ИЗЛУЧАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА И ОСНОВЫ РАДИООПТИКИ», «ИЗУЧЕНИЕ, РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН», «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ И ЛОКАЦИИ» Часть 2 Учебное пособие для вузов Составители: А.В. Зюльков, И.Ф. Струков
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2008
Утверждено научно-методическим советом физического факультета ВГУ 20 июня 2008 г., протокол № 6
Рецензент А.М. Бобрешов
Учебное пособие подготовлено на кафедре радиофизики физического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 4 курса д/о, 6 курса в/о и магистров 5, 6 курсов.
Для специальности 010801 – Радиофизика и электроника, направления 010800 – Радиофизика
2
Учебное пособие предназначено для студентов дневного и вечернего отделений, изучающих радиофизические курсы «Излучающие устройства и основы радиооптики», «Изучение, распространение и рассеяние радиоволн» и «Теоретические основы оптической связи и локации». Они содержат основные формулы по – пространственному распределению электромагнитного поля различных излучателей, а также их основным параметрам: виду диаграмм направленности (ДН), ориентации и ширине основного лепестка и их связи с функцией возбуждения излучателей, коэффициенту направленного действия (КНД) антенны и т. д.; – преобразованию средой распределения электромагнитного поля, дифрагирующего на различных объектах; – взаимодействию электромагнитного поля с пространственными модуляторами (транспарантами). По каждому из разделов предложен ряд задач с подробными решениями и анализом полученных результатов. Большинство приведенных задач составлены авторами, а использованные для иллюстрации графические зависимости носят количественный характер и получены в результате расчета на ЭВМ по соответствующим формулам. Прежде чем приступить к решению и разбору задач, предлагается изучить соответствующие разделы по рекомендуемой литературе.
3
Список основных формул, используемых при решении задач Электромагнитное поле элементарных излучателей 1. Виток с током радиусом a (рамочная антенна) .
Ej = I mlд r sin q exp( jkR) (2lR) , .
.
.
H q = - Ej r ,
.
где Ej , H j – азимутальная и меридиональная составляющие напряженности электромагнитного поля; Im – амплитуда тока антенны; 2 lд = 2pSN l – действующая высота N-витковой рамки с площадью S = p a ; r = m e – волновое сопротивление среды распространения поля; e , m – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Для воздуха e 0 = (4p × 9) -1 × 10 -9 Ф/м; r0 = 120p Ом; m0 = 4p × 10 -7 Гн м ; k = 2p l – волновое число; l – длина волны электромагнитного поля;
sin q – диаграмма направленности антенны; R – расстояние от фазового центра антенны до точки наблюдения. 2. Электрический вибратор длиной l .
.
.
Eq = jI mlr sin q exp( jkR) (2lR) , H q = Eq r . 3. Элемент волнового фронта dS = dxdy, с напряженностью поля E0 .
.
d E (q , f ) = d E (q ) = E0 (1 + cos q ) exp( jkR) (2 j l R) × dS .
4. Мощность (Вт) и сопротивление (Ом) изучения элементарных антенн PS = 40p 2 ( I mlЉ l ) 2 , RS = 80p 2 (lЉ l ) 2 . 5. Диаграмма направленности (ДН) антенн – это зависимость амплитуды поля от угловых координат при R = const. F (q ,j ) = E (q ,j ) E (q ,j ) max = = H (q , j ) H (q , j ) max . Виток с током и электрический вибратор имеют тороидальную ДН F(q ,j ) = sin q , где q отсчитывается от нормали к витку или от оси вибратора. Для элемента волнового фронта 2 F (q , j ) = (1 + cos q ) 2 = cos (q 2) , q отсчитывается от нормали к площади элемента. 6. Коэффициент направленного действия (КНД) антенны .
.
D = P0 P ( E = E = E E0 0
2
= 4p P = P0
2p
ò0 ò0
p
F 2 (q , j ) sin q dq dj = D0 (1 - b ) ,
где P и P0 – мощности рассматриваемого и изотропного излучателей с напряженностями поля E и E 0 соответственно; D0 – максимальное значение КНД антенны (для антенны имеющей единственный лепесток); b – коэффициент рассеяния антенны – доля мощности, идущая на боковые и задние лепестки. 7. Зависимость КНД от угловых координат D(q ,j ) = DF 2 (q ,j ). 4
8. Относительное значение КНД двух антенн D21 = D2 D1 , где D2 и D1 – значения КНД излучателей относительно изотропной антенны. 9. КНД антенн с осесимметричной ДН D = 2
p
òo
F 2 (q ) sin(q )dq .
10. Напряженность поля эталонного излучателя длиной L
sin Y exp( jkR) , Y R -L 2 где величина A постоянна и для проволочных антенн A = j m e 2l ; .
E (q , f ) = AF1 (q , f )
exp( jkR ) R
ò
L 2 .
I ( z ) exp( - jkz cos q )dz = AI 0 LF1 (q , f )
F1(q ,j ) – ДН элемента антенны ( для проволочной антенны F1 (q ,j ) = sin q ); .
I ( z ) = I 0 exp( jkVz ) – функция возбуждения антенны с амплитудой тока I 0 ; V = k1 k = c vф = l L – коэффициент замедления; с , vф – скорости света и фазовая скорость функции возбуждения антенны ; k1 = 2p L – волновое число, а L – длина волны функции возбуждения; Y = kL(cosq - V ) 2 – обобщенная угловая переменная, угол q отсчитывается
от оси антенны. 11. ДН эталонной антенны без учета ДН ( F1(q ,j ) ) элемента – F2 (q ) = sin(Y ) Y = sinc(Y ) . 12. Угловое положение q 0 главного максимума ДН одномерного эталонного излучателя определяется из условий Y = kL(cosq 0 - V ) 2 = 0 или cosq 0 = V . 13. Ширина основного лепестка на нулевом уровне и уровне половинной мощности при поперечном и наклонном излучении 2 DY0 = 2p ; 2 DY0.5 = 2.78 ; 2 Dq 0 = 2p (¶Y ¶q ) = 2l L sin q ; 2 Dq 0.5 » 0.44 × 2 Dq 0 . 14. Ширина основного лепестка антенны при осевом ( q 0 = 0 ) излучении 2 DY 0 = p ; 2 DY 0.5 = p 2; 2 Dq 0 = 2 2 l L ; 2 Dq 0.5 = 2 0.88l L .
15. КНД эталонной антенны D=2 =
p
ò0
ò
F 2 (q ) sin q dq = kLf m2 (q 0 )
sin 2 Y min Y min
Y max
Y min
( sincY )
2
dY =
kLf m2 (q 0 ) , - sin 2 Y max Y max + Si (2Y max ) - Si (2Y min )
где f m (q 0 ) – значение ДН в максимуме; Ymax , Ymin – значения переменной Y при q=0 и q =p; Si ( x ) – интегральный синус; Si (0) = 0; lim Si ( x ) = ± p 2; Si (2p ) » 1.418 . x ®±¥
16. КНД и коэффициент рассеяния b эталонной антенны при поперечном ( V = 0 ) и наклонном излучении ( V £ 1 - l L ): D = 2 L l , D0 = 11 . D ; b £ 01 . . 17. КНД и коэффициент рассеяния эталонной антенны при осевом излучении ( V = 1 ) D = 4 L l , D0 = 11 . D ; b £ 01 . .
5
18. КНД и эффективная длина линейных антенн с произвольным распреде2
L.
.
L .
лением тока I ( z ) D = 2 Lэф l ; Lэф = ò I ( z)dz
ò I ( z)
0
19.
КНД
и
эффективная
D = 4pS ЭФ l2 ; S ЭФ =
.
2
ò E s ds
ò
S
2
dz .
0
площадь .
2
раскрыва
апертурных
антенн
.
E s ds , где E s ( x , y ) – тангенциальная состав-
S
ляющая поля по раскрыву антенны, занимающей область S . 20. Теорема о перемножении диаграмм направленности: ДН сложной антенны есть произведение ДН элемента ( F1 (q ,j ) ) на интерференционные множители – диаграммы направленности, обусловленные протяженностью излучателя вдоль координат X – ( F2 (q ,j ) ), Y – ( F3 (q ,j ) ), Z – ( F4 (q ,j ) ): F (q ,j ) = F1 (q ,j ) × F2 (q ,j ) ×F3 (q ,j ) × F4 (q ,j ) . Если антенна имеет нулевую протяженность вдоль какой-то координаты, то соответствующий множитель равен единице. 21. Поле излучения симметричного вибратора длиной L, сила тока в пучности которого Iп : .
.
{[
]
}
E (q ,j ) = E (q ) = j 60I п cos(( kL cosq ) 2) - cos( kL 2) sin q × exp( jkR) R .
22. ДН полуволнового вибратора ( L = l 2 ) F(q ) = cos[(p cosq ) 2] sin q . 23. ДН 2-мерной фазированной антенной решетки (ФАР) F (q ,j ) = F1 (q1 ,j1 )
sin[N1kd1 (sinq cosj - F1 (kd1 )) 2] sin[N 2 kd 2 (sinq sin j - F 2 (kd 2 )) 2] × , sin[kd1 (sinq cosj - F1 (kd1 )) 2] sin[kd 2 (sinq sin j - F 2 (kd 2 )) 2]
где Ni , di – число элементов и шаг решетки вдоль ортогональных координат; Fi = V i kdi – фазовое запаздывание в питании элементов решетки; F1(q 1,j 1) – ДН элемента ФАР в своей системе координат ( q 1,j 1 ). Угол q отсчитывается от нормали к площади раскрыва ФАР. 24. Условие отсутствия в ДН одномерной ФАР интерференционных максимумов d l £ ( N - 1) [ N (1 + V )] , ( N - 1) [ N (1 + V )] = ( N - 1) [ N (1 + cosq 0 )] , где q 0 – угол ориентации главного максимума ДН. ¥
25. Интеграл Пуассона ò exp( -a t )dt = 0
2
1 p . 2 a
26. Интегралы Френеля и их основные свойства v v v jp p p ò exp( t 2 )dt = ò cos( t 2 )dt + jò sin( t 2 )dt = C (v) + jS (v) 2 2 2 0 0 0 C ( -v) = -C (v); S ( -v) = - S (v); C (0), S (0) = 0; 1 1 lim C (v ) = ± ; lim S (v ) = ± . 2 2 v ® ±¥ v ® ±¥ 6
27. Импульсная характеристика свободного пространства в зоне излучения k z exp( jkR) k 1 h&( x , y , z ) = × × = × cosq × × exp( jkR) , 2pjz R R 2pjz R
где z – расстояние между объектом (антенной) и плоскостью анализа поля; cosq = z R . 28. Импульсная характеристика в параксиальном приближении (приближение Френеля) (при z >> x , y ) h&( x, y, z ) =
é k ( x 2 + y 2 )ùú × exp( jkz ) × exp êê jk × ú . êë 2p jz 2 z úû
29. Отклик среды распространения на поле элемента волнового фронта dx × dy = ds , напряженность которого E0 dE& (q , j ) = E0 ×
k q 1 × cos 2 ( ) × × exp( jkR) × dx × dy . 2p j 2 R
30. Границы приближений: 2 l; а) приближение геометрической оптики z1 £ 0.2 lmin б) приближение Френеля z2 ³ 3 ( R0 + r )4 l ; в) приближение Фраунгофера (дальней зоны) z3 ³ 2 D 2 l , где lmin – размер минимальной неоднородности входного сигнала или объекта; 2 R0 = D,2 r – максимальные размеры объекта (антенны) и области наблюдения. 31. Коэффициент передачи свободного пространства . é ù K (w1 , w 2 , z ) = expê jz k 2 - (w12 + w 22 )ú , k = 2p l , ëê ûú где w 1,v 2 – пространственные частоты – скорости изменения фазы сигнала
вдоль координат x, y. 32. Коэффициент передачи свободного пространства в приближении Фре.
неля ( W = (w12 + w 22 ) > l 2 DQ 0 » 1.22 × 2 l D ; 2DQ 0.5 » 1.03l D . 37. Коэффициент пропускания линзы и коэффициент отражения параболического (сферического) зеркала ×
.
T ( x, y ) = exp[ - jk ( x 2 + y 2 ) 2 f ]; G ( x, y ) = exp[ - jk ( x 2 + y 2 ) 2 f ] .
Здесь f – фокусное расстояние линзы и зеркала. 38. Сигнал на выходе зеркальных и линзовых антенн при облучении их источником сферической волны радиуса R1 exp( jk r 2 2 R) = exp[ jk r 2 (1 R1 - 1 f ) 2] , r 2 = x 2 + y 2 . 39. Сигнал в фокальной плоскости линзы от объекта, расположенного перед линзой на расстоянии d от нее и облучаемого плоской волной é é æ öù . . r 2 æç d ö÷ ùú ê - jk ç x V + y h÷ ú d V dh = U ( x, y, f ) = A expêê jk 1 U ( V , h ) exp ê ç ÷úò ò çç ÷ú êë êë 2 f çè f ÷ø úû f ÷ø úû è f é . æ kx ky ö r 2 æç d ö÷ ùú = AG ççç , ÷÷÷ expêê jk 1 çç ÷÷ ú . ê f f 2 f f è ø è ø ûú ë
40. Сигнал на выходе транспаранта – пространственного модулятора с ко.
.
.
.
эффициентом пропускания T ( x , y ) : U ( x , y ) = U п ад( x , y ) T ( x , y ) .
8
41. Сектор углов, где формируется ДН при перефокусировании ее в зону Френеля, определяется условием cos q < cos q ‹р = l R 2 D 2 , где R – расстояние от раскрыва антенны размерами D до области формирования ДН. 42. Преобразование кривизны сферических волн зеркальными и линзовыми антеннами: 1 R = -1 f + 1 R1 , где R1 – радиус падающей сферической волны, R – радиус сферической волны на выходе антенны. 43. Поле в дальней зоне апертурной антенны с раскрывом S , распределение .
касательной составляющей поля которого E S .
E ( R0 , q , j ) =
k exp( jkR0 ) q cos 2 ò 2p jR0 2
ò
.
ES exp[ - jk sin q ( x cos j + y sin j )]dxdy.
44. Функция Грина уравнения Гельмгольца для комплексной амплитуды поля в свободном пространстве в приближении Френеля
[
]
. r r r r2 H (r - r ) = exp jkR + jk r - r (2 R ) ( jlR ) . r r Здесь r = ( x , y ) и r = (u, v ) – координаты в плоскостях излучения и наблюде-
ния, расположенных на расстоянии R друг от друга. 45. Для плоской апертуры, занимающей область W с площадью S и содерr жащей точку r = 0 , вводится функция h ( rr ) = 1 ò exp æç j k rrrr ö÷ d rr , имеющая слеS
W
è
R
ø
дующие свойства: ¥ 2 r r r r r r r ( l R) r r 1. h(0) = 1 ; 2. ò h(r )dr = ( l R ) S ; 3. ò h(r - r1 )h* (r - r2 )dr = h(r2 - r1 ) ; S -¥ -¥ 2 2 r ¥ ¥ 4. ò h ( rr - rr1 ) 2 d rr = ( l R ) lim ; 5. ò h ( rr ) 2 d rr = ( l R ) , где r = ( x, y ) .
2
¥
S
-¥
x ®¥
S
-¥
46. Число Френеля D = SS0 ( l R ) . Здесь S и S0 – площади объекта и апертуры наблюдения, расположенных на дальности R . Условие высокого разрешения D >> 1 . 47. Расстояние, на котором для неоднородности размером l необходимо учитывать дифракционные эффекты при описании поля, рассеянного неоднородностью, (длина дифракции) – kl 2 . 48. Зависимость коэффициентов отражения от угла падения q плоской волны на границу раздела двух сред, диэлектрические проницаемости которых e1 и e 2 а) Для вертикально поляризованной волны 2
×
Rв =
e 2 cos q -
e 1 e 2 - e 1 sin 2 q
e 2 cos q +
e 1 e 2 - e 1 sin 2 q
.
б) Для горизонтально поляризованной волны ×
Rг =
e 1 cos q - e 2 - e 1 sin 2 q e 1 cos q + e 2 - e 1 sin 2 q
.
9
49. а) Угол полного внутреннего отражения от границы раздела двух сред определяется из условия sin q кр = e 2 e1 . б) Угол полного преломления на границе двух сред (угол Брюстера) находится из условия tg q 0 = e 2 e1 . 50. Значение относительной диэлектрической проницаемости ионизированного газа (ионосферы)
æ f 02 ö÷ æç e2 N ö÷ æç 80.8 N ö÷ ç e N = çç 1 ÷ = çç 1 - 2 ÷÷ = çç 1 ÷, 2 ÷ mv e 0 ø è f ø è f 2 ÷ø è где e = 1.6*10-19 (Кл) – заряд электрона; m = 9.1*10-31 (Кг) – масса электрона; v = 2pf (рад/с) – частота падающего поля; e 0 (Ф/м) – диэлектрическая про-
ницаемость вакуума (воздуха); f 0 – собственная частота электронного газа; при f = f 0 реализуется режим отсечки электромагнитного поля; N (м –3 ) – концентрация электронов в ионосфере. 51. Условие полного внутреннего отражения электромагнитного поля от ионосферного слоя задается соотношением sin q 0 = nN = e N , где q 0 – угол падения волны на границу ионосферного слоя, e N – диэлектрическая проницаемость ионосферы в месте падения волны. 52. Максимальная частота электромагнитного поля, отраженного от ионосферных слоев, f max =
80.8 N max (1 + 2h R ) , где h – высота слоя ионосферы с sin 2 b + 2h R
максимальной концентрацией электронов N max ; R = 6.5*106 (м) – радиус Земли; b – угол возвышения, т. е. угол между касательной к поверхности Земли и направлением распространения падающей на ионосферу электромагнитной волны. 53. Эффективная площадь рассеяния (ЭПР) цели, ограниченной поверхностью S , P E s э = 4p R 2 = 4p R 2 2 P1 E1 2
2
=
4p l2
ò
2
e - j 2 kd cos q dS ,
S
где R – расстояние между целью и приемной антенной; P 2 ,P 1 – плотности потока мощности поля, облучающего цель и приемную антенну; E2 , E1 – амплитуды напряженности поля, облучающего цель и приемную антенну; cosq – ДН элемента dS рассеивателя; d – разность хода волн между текущей точкой рассеивателя и некоторой точкой, принятой за начало системы координат. 54. ЭПР металлического шара радиуса r s э = pr 2 . 55. ЭПР металлической пластины ( a ´ b ), облучаемой плоской волной, падающей под углом q к стороне a 2
4p sin(ka sin q ) s э = 2 S 2 cos 2 q . l ka sin q
10
56. ЭПР полуволнового вибратора s э = 0.86l2 cos 4 q , где q – угол между векr тором E падающего поля и осью вибратора. 57. ЭПР уголкового отражателя, образованного тремя ортогональными квадратными металлическими пластинами со стороной a 2 sэ =
4p 2 4p a 4 S = 2 . l2 l 3
58. Теорема Ван Циттерта – Цернике гласит, что поперечная корреляционная функция поля связана фурье-преобразованием с начальным распределением интенсивности. Если rпоперечная корреляционная функция излуr r r 2 чаемого поля имеет вид B0 (r , R) = h I ( R)d (r ) , где коэффициент h находится из условия
r r r r 2 B ( r 0 ò , R)dr = h I (r ) , то поперечная корреляционная функция поля
¥
-¥
на дальности z задается соотношением
2 ¥ r r r k rrö æ k rr ö r æ h ö æ B 0 (r , R ; z ) = ç ÷ exp ç - j r R ÷ ò I ( R ¢ ) exp ç j r R ¢ ÷ d R ¢ l z z è z ø è ø è ø -¥
.
r
Если I (R) существенно уменьшается на масштабах порядка радиуса пучка a , то радиус корреляции поля на дальности z равен rk » z ka . 59. Структурная функция фазовых флуктуаций плоской волны, распространяющейся в изотропной турбулентной атмосфере с флуктуациями показателя преломления, описывающимися моделью Колмогорова – Обухова, за-3 5 дается соотношением Dj (r ) = (r rk )5 3 , rk = (aC n2 k 2 L ) , где rk – радиус корреляции фазовых флуктуаций; r >> l0 , l0 – характерный размер минимальной области флуктуаций показателя преломления; C n2 – структурная постоянная флуктуаций показателя преломления; k – волновое число; L – длина трассы; a = 2.92 при kl02 ka02 ; a0 – характерный размер приемной апертуры. Результаты расчета величины rk для различных условий распространения приведены в таблицах [8 и др.]. 60. Относительная диэлектрическая постоянная среды с потерями (затухания) e 01 = (1 + j
s 60sl ) = (1 + j ) = (1 + jA), we e0
где s , (Ом ´ м) -1 проводимость; e , e 0 – абсолютная и относительная диэлектрическая постоянные среды; A = 60sl e 0 тангенс угла потерь. 61. Постоянная затухания – a и постоянная сдвига фаз – b электромагнитного поля в среде с потерями: a =
k 2
é ê ê ë
-1 +
ù 1 + A 2 úú ; b = û
k 2
é ê ê ë
1+
ù 1 + A 2 úú , û
где k = 2p l = k0 e 0 – волновое число электромагнитного поля в среде без учета потерь; k0 = 2p l0 – волновое число поля в воздушной среде; g = a -1 – глубина (толщина) скин-слоя. 11
62. Реальное распределение поля в раскрыве круглых апертур определяется ДН облучателя. Его можно аппроксимировать осесимметричной функцией вида U ( R) = D + (1 - D )(1 - R 2 ) n , U ( R)max
где R = r1 / r0 ; r0 – радиус раскрыва; D – значение относительной амплитуды на краях излучателя. При D = 1 ДН антенны с круглым раскрывом определяется формулой (35). 63. Поле излучения круглых апертур ( D = 2 r0 ), распределение амплитуды по раскрыву задано (62), может быть рассчитано по [2] и равно & (q ) e E& ( R0 ,q ) = CF 1 & (q ) e = CF 1 = 2 A&p ò
0
1
jkR0
jkR0
R0
2p
ò ò
1
é æ r ö 2 ùú ê ò0 ò0 êê D + (1 - D )(1 - ççç r1 ÷÷÷ )núú e- jk r1 sinq cosj1 r1d r1dj1 = êë è 0 ø úû nù é ê D + (1 - D ) 1 - R 2 ú e - jUR cosj1 RdRdj1 = êë úû 2p
R0 0 0 é ê D + (1 - D ) 1 - R 2 êë
(
r0
(
)
nù
) úúû J (UR) RdR, 0
где R0 – радиус сферической волны – расстояние до точки наблюдения, U = k r0 sin q ; F1 (q ) – ДН элемента волнового фронта раскрыва антенны; J 0 ( g) – функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка A& = C&1F1 (q ) e jkR0 R0 ; C& и C&1 – постоянные, определяемые амплитудой поля в
раскрыве, площадью раскрыва антенны и длиной волны. 64. Диаграмма направленности излучателей, поле в раскрыве которых задано (62) может быть определена с использованием (63) [2] и равна F (U ) =
где L n (U ) =
E& ( R0 , Q)
E& ( R0 , Q ) max
n!
(U 2 )
n
=D
L (U ) 2 J1 (U ) , + (1 - D ) n +1 U (n + 1)
J n (U ) – табулированная лямбда-функция, J1 (g), J n (g) –
функции Бесселя 1-го и n-го порядков.
12
Задача 19 На одномерную гармоническую дифракционную решетку (ДР) под углом a 0 падает плоская волна. Найти вид сигнала на выходе решетки и его спектральную плотность при L = 500 l . Как изменятся параметры сигнала, если период решетки увеличить с L1 = 500l до L 2 = 1000l . Решение 1. Падающая под углом a к оси OX плоская волна U 0 × exp( jkz ) × exp( jkx sin a 0 ) , взаимодействует с гармонической решеткой, коэффициент пропускания ко.
торой T ( x ) = (1 + a cosbx ) (1 + a ) , b = 2p L – пространственная частота решетки, L – период решетки; 0 £ a £ 1 – коэффициент глубины модуляции. Сигналы на выходе ДР дополнительно к a 0 отклоняются на углы дифракции ±a 1 . Действительно, .
U ( x, y ) = U 0 exp( jkx sin a 0 )
ù U0 1 éê a ú 1 + exp( jbx ) + exp( jbx ) ´ ê ú = ú (1 + a) (1 + a) êë 2 û
)
(
ì ù üï a éê ï ´ í exp jkx sin a 0 + ê exp jx(k sin a 0 + b) + exp jx(k sin a 0 - b úú ý ï 2ë û þï î
(
)
(
)
(
)
(1)
сигнал на выходе решетки модулирован и представляет сумму трех плоских волн: а) несущее колебание амплитудой U н = U 0 (1 + a ) – (плоская волна), распространяющаяся в том же направлении под углом a 0 ; б) сигнал верхней боковой частоты амплитудой aU н 2 – плоская волна, распространяющаяся под углом a 1 по отношению к падающему полю; в) сигнал нижней боковой частоты амплитудой aU н 2 – плоская волна, распространяющаяся под углом -a 1 по отношению к несущему колебанию. Амплитудные дифракционные решетки, как и вообще амплитудные транспаранты, играют роль пространственных амплитудных модуляторов. По условию задачи синусоидальная ДР – это гармонический модулятор с частотой модуляции b . Направление распространения сигналов на выходе ДР - пространственные частоты определяют из условия exp( jwx ) = exp( jkx sin a ) . Для нашего случая: w 0 = k sin a 0 ; w1,2 = k sin a 0 ± b = k sin a 0 ± 2p L = w 0 ± b . Углы распространения плоских волн a 1,a 2 определяются из условия k sin a 1 = k sin a 0 + b; sin a 1 = sin a 0 + b k = sin a 0 + l L ; k sin a 2 = k sin a 0 - b; sin a 2 = sin a 0 - l L .
Если углы a 0 ,a 1,a 2 малы, то можно положить sin a » a . В этом случае a1 » a 0 + l L ; a 2 » a 0 - l L .
13
(2)
Результат взаимодействия плоской волны с ДР изображен на рис. 1. На рис. 2 представлен амплитудно-частотный состав пространственномодулированного сигнала.
Рис. 1
Рис. 2
Спектральная плотность сигнала на выходе ДР представляет собой три дельта-функции: d (w - w 0 ); d (w - (w 0 + b)); d (w - (w 0 - b)) . При изменении периода решетки L будут изменяться и углы дифракции. В частности, при увеличении L с 500l до 1000l , т. е. в два раза, в два раза уменьшатся углы дифракции. Задача 20 Найти вид сигнала и его спектральную плотность на выходе одномерной гармонической дифракционной решетки, облучаемой плоской волной с нулевой пространственной частотой ( w 0 = 0 ). Изобразить вид двумерной спектральной плотности, а также разрешение такого спектроанализатора. Задача 21 На одномерную ограниченную дифракционную решетку с коэффициентом пропускания ì ï ï (1 + a cos bV ) (1 + a ) , если V £ D1 2, h £ D2 2; T (V , h ) = í ï если V > D1 2, h > D2 2; ï 0, ïî .
падает
плоская
волна
с
нулевой
пространственной
частотой
.
U п (V , h) = U 0 exp( jkz ) . Найти сигнал на выходе решетки и его спектральную
плотность. Определить разрешающую способность спектрoанализатора. Решение 1. Сигнал на выходе решетки имеет вид
ì ù ï U 0 éê ú , при V £ D1 2, h £ D2 2; 1 + a exp( jb V ) + exp( jb V ) 2 ïï . ê úû U (V , h ) = í 1+a ë ï ï 0, при V > D1 2, h > D2 2. ïî
)
(
14
(1)
Как видно, этот сигнал промодулирован решеткой и состоит из трех составляющих: несущего колебания амплитудой U’ = U 0 (1 + a) , распространяющегося в направлении падающего поля, и двух компонент с амплитудами aU н 2 , которые отклоняются на углы дифракции. Углы распространения компонент поля, которые продифрагировали на решетке, определяются отношением l L и при L >> l равны a = ± l L . 2. Пространственный спектр сигнала (1) формируется в дальней зоне на расстоянии z ³ 2 D12,2 l . Для неограниченной ДР, как показано в задачах 19,20, спектральная плотность входного сигнала представляет три дельтафункции, а разрешение чрезвычайно высокое. Так как падающее на транспарант электромагнитное поле модулируется им, то спектральную плотность выходного сигнала, в том числе и (1), можно определить по аналогии со спектром модулированного временного радиосигнала. То же самое получим, если воспользоваться прямым преобразованием Фурье (34.б) от (1) .
U ( x, y , z ) = B
D1 2
D2 2
2
2
U0 é a ù 1 + (exp( jbx ) + exp( - jbx ))ú × exp( - jw1V - jw 2h )dVdh = ê 2 û - D1 - D2 1 + a ë
ò ò
U0 D ì D D D a a D1 D2 sinc( w 2 2 )ísinc( w1 1 ) + sinc(( w1 - b ) 1 ) + sinc(( w1 + b ) 1 1+ a 2 î 2 2 2 2 2 где: w 1 = kx z ,w 2 = ky z . =B
Нормированное .
U ( x, y, z) .
U ( x, y, z)max
= sinc(
значение
амплитудного
спектра
(2)
ü )ý, þ
равно
ky D2 ìï kx D1 a kx D a kx D üï )í sinc( ) + sinc(( - b) 1 ) + sinc(( + b) 1 )ý . (3) z 2 ïî z 2 z z 2 2 2 2 ïþ
График спектральной плотности (3) в двух ортогональных сечениях при L = 100l , D1 = D2 = D = 5L; z = 10 D; a = 1; c = bD 2 изображен на рис. 1. Линейное смещение продифрагированных лучей определяется из условия kx z ± b = 0 или x = ± zb k = ± zl L . (4) 3. Относительно разрешающей способности ограниченной ДР следует отметить следующее: необходимо разрешать дифракционный пучок относительно основного (несущего колебания) и разрешать два дифракционных пучка при изменении длины волны, когда ДР работает в качестве спектроанализатора. а) Будем полагать, что дифракционный пучок можно выделить на фоне главного, если они разнесены таким образом, что в точке x1 спектральная плотность основного и дифракционного пучков равны и составляют 0.707 a 2 .
15
В этом случае sinc( y1) = 0.707 × a 2 , а также a × sinc( y2 ) 2 = 0.707 × a 2 , где
Рис. 1 y1 = kx1D1 2 z , y2 = kDx2 D1 2 z . При этом y2 = 139 . , Dx2 = 139 . × 2 z kD1 . Например,
при a = 1 , y1 = 2.21 , что соответствует x1 = 2.21× 2 z kD1 . Координата центра дифракционного пучка находится из условия x = x1 + Dx 2 . Таким образом, kD1( x1 + Dx2 ) 2 z = bD1 2 . Отсюда D1 ³ 115 . L. б) Дифракционные пучки будут разрешены относительно друг друга при изменении l , если их уровни в точке пересечения не превосходят 0.707 от a 2 , т. е. если расстояние между их центрами в координатах y1 не менее 2.78 . Таким образом, xD1 (k1 + k 2 ) 2 z = 2.78 . Подставляя в последнее выражение значение x из (4), получим æ 1 L 1 ö lz 2.78 × 2 z Dl 2p ç - ÷ » 0.88 . = ; l D1 D1 è l1 l 2 ø L
Из приведенного рассмотрения следует: 1) Дифракционные пучки разрешаются относительно главного, если D1 ³ 115 . L. 2) Относительная разрешающая способность ограниченного дифракционного спектроанализатора равна Dl l » 0.88 L D1 . Задача 22 На дифракционную решетку со ступенчатой функцией пропускания .
.
T ( x , y ) = T ( x + nL ) падает плоская волна с нулевой пространственной часто-
той. Найти вид сигнала на выходе решетки и его пространственную спектральную плотность. Результаты изобразить на графиках. Задача 23 На дифракционную решетку с периодом L = 10l падает последовательность радиолокационных сигналов с прямоугольной огибающей. Период следования радиоимпульсов T , а их длительность t = 10-3 T . Найти вид сигнала на выходе решетки. Результат прокомментировать. 16
Задача 24 Показать, что зонированная пластина Френеля (ЗПФ), коэффициент .
.
пропускания которой T ( x , y ) = T ( r ) = (1 + a cosbr 2 ) (1 + a ) , 0 < a £ 1 , может выполнять операцию Фурье-преобразования поля объектов. Показать также, что ЗПФ можно использовать в качестве приемо-передающих антенн. Решение 1. ЗПФ это амплитудная дифракционная решетка с осевой симметрией. При взаимодействии ЗПФ с плоской волной в соответствии с (40) сигнал на выходе решетки можно записать .
U ( x, y) =
[
U0 U ì a (1 + a cosbr 2 ) = 0 í1 + exp( jbr 2 ) + exp( - jbr 2 ) 1+ a 1+ a î 2
]üýþ .
(1)
Этот сигнал представляет собой сумму 3-х волн (рисунок).
1) Плоская волна амплитудой U н = U 0 (1 + a ) , распространяющаяся в направлении падающего поля. 2) Расходящаяся сферическая волна aU н exp( jbr 2 ) 2 . 3) Сходящаяся сферическая волна aU н exp( - jbr 2 ) 2 . Из этого рассмотрения видно, что 3-я компонента сигнала на выходе ЗПФ аналогична сигналу на выходе линзы. В этом случае в фокальной плоскости, т. е. на расстоянии f от ЗПФ формируется пространственный спектр поля объекта. При этом квадратичные фазовые набеги поля в зоне Френеля компенсируется эквивалентной линзой. Если таким полем по условию задачи является плоская волна, то сигнал в фокусе будет представлять дельта-функцию (яркая светящаяся точка). Фокусное расстояние ЗПФ найдем из сравнения сигнала на выходе пластинки со сходящейся сферической волной exp( - jk r 2 2 f ) = exp( - jbr 2 ) , f = ± k (2b) . (2) Вторая компонента сигнала (1) эквивалентна сигналу на выходе рассеивающей линзы с мнимым фокусом и f = - k (2b) . Таким образом, ЗПФ большую часть энергии подающего поля пропускает без изменения, часть рассеивает, а часть фокусирует. Свойство фокусировки части падающего поля можно использовать для формирования 17
Фурье-спектра, как и в обычной линзе. Однако спектр объекта при этом будет наблюдаться на фоне подающего поля и поля расходящейся волны. 2. Рассматривая возможность использования ЗПФ в качестве приемопередающих антенн, следует иметь в виду ряд обстоятельств. Если объект или передающая антенна находятся в дальней зоне, то сигнал на входе ЗПФ можно представить в виде плоской волны с какой-то пространственной частотой. Процессы, происходящие при взаимодействии падающего поля с ЗПФ, аналогичны ранее рассмотренному. Часть энергии, которая фокусируется в фокальной плоскости, используют для приема, разместив в этом месте коллектор, например, рупорную антенну. При работе ЗПФ в качестве передающей антенны используют облучатель, располагая его в фокальной плоскости. При этом на выходе ЭПФ формируются две сферические волны с разными радиусами кривизны и плоская волна с узкой диаграммой направленности. Энергетическая эффективность при использовании ЗПФ в качестве приемо-передающих антенн, так и в качестве систем, формирующих Фурьеспектр объектов, невелика. В этом смысле ЗПФ аналогичны системам передачи информации с амплитудной модуляцией. Достоинством ЗПФ является простота их изготовления и высокая экономичность. Задача 25 Определить, в какую сторону и на сколько необходимо переместить облучатель из фокуса зеркальной антенны ( D = 10 м; f = 3 м; l = 3 см ), чтобы сформировать ДН на расстоянии R = 100 м от ее раскрыва. Определить ширину главного лепестка и сектор углов, в пределах которого ДН формируется с допустимыми искажениями. Решение 1. У юстированных на бесконечность ДН зеркальных или линзовых антенн, облучатель которых расположен в фокусе, ДН формируется в дальней зоне на расстоянии Rд ³ 2 D2 l от раскрыва. По условию задачи Rд ³ 7000 м . Чтобы сформировать ДН в зоне Френеля на расстоянии R < Rд , необходимо в раскрыве антенны создать сходящуюся сферическую волну. При облучении антенны с фокусным расстоянием f сферической волной радиуса R1 формируется сферическая волна (41), радиус которой определяется из условия (42) 1 R = 1 f - 1 R1 . (1) При R1 = f ДН формируется в дальней зоне. Из (1) видно, что для создания в раскрыве сходящейся волны ( R > 0 ) необходимо сместить облучатель из фокуса в сторону от вершины антенны. Обозначая R1 = f + DR и используя (1) , получим DR = f 2 ( R - f ) » 9.28 см. (2) 18
Таким образом, вынос облучателя из фокуса антенны на 9,28 см приближает область формирования ДН с 7000 м до 100 м. Этим обстоятельством широко пользуются для создания испытательных полигонов антенн уменьшенной протяженности. 2. Сектор углов, в пределах которого при перефокусировке квадратичные фазовые искажения не превосходят p 8 , а ДН формируется с допустимыми искажениями, определяется из условия (41) cosq < cosq г р = lR (2 D2 ) = 0125 . ;q г р = 82.2o .
Так как основной лепесток ДН формируется в направлении q 0 = 90o , то 2Dq ‹ р = 15.6 o . Известно, что ширина основного луча ДН на нулевом уровне равна 2 Dq 0 = 2l D = 0.34o . Проведенные расчеты показывают, что основной лепесток ДН шириной 0.34o можно сканировать в секторе углов ±7.8o. Если ДН антенны неподвижна, то с допустимыми искажениями формируются основной и ближайшие к нему десятки боковых лепестков. Задача 26 Найти вид ДН одномерного излучателя в виде узкой щели длиной a = 100l , облучаемой плоской волной ( a = b = 0 ). Определить разрешающую способность такого излучателя в 3-х основных ортогональных сечениях, проходящих через оси координат. Примечание. Записать ДН в виде произведения ДН элемента волнового фронта F1(q 1,j 1) = cos2 (q 1 2) на интерференционный множитель-ДН одномерной системы – F2 (q 2 ,j 2 ) , где q 1 – отчитывается от оси Z – нормали к волновому фронту, а q 2 – от оси y – ориентации щели. Учесть то обстоятельство, что F1 равномерна в плоскости j 1 – XOY, а F2 равномерна в плоскости j 2 – XOZ. Задача 27 Найти вид диаграммы направленности (углового пространственного спектра) зеркальной антенны в виде параболического цилиндра, размеры раскрыва которой a = 100l , b = 50l . Поле в раскрыве антенны принять равноамплитудным и синфазным. Решение 1. Поле зеркальной антенны можно найти как суперпозицию полей вторичных источников (29) .
E=
. exp( jkR ) k q cos2 òò E s dxdy , 2pj 2 R
(1)
S
19
.
где E s – комплексная амплитуда касательной составляющей поля в раскры.
ве антенны. По условию задачи E s = E0 - const. Поле в дальней зоне, когда лучи от различных точек раскрыва S к точке наблюдения P( R0 ,q ,j ) можно считать параллельными, согласно (43), равно .
E ( R0 ,q ,j ) =
a b 2 2
k exp( jkR0 ) 2 q cos E0 exp[ - jk sin q ( x cosj + y sin j )]dxdy , 2pjR0 2 -òa -òb
(2)
2 2
где R0 – расстояние от фазового центра начала координат антенны до точки наблюдения; q – угол от нормали к излучающему значению поля. В результате интегрирования получим .
E ( R0 ,q ,j ) =
exp( jkR0 ) 2 q æ ka ö æ kb ö cos E0absincç sin q cosj ÷ sincç sin q sin j ÷ . è 2 ø è 2 ø jlR0 2
(3)
Нормированная диаграмма направленности или угловой пространственный спектр антенны определяется выражением F (q ,j ) = F1(q ,j ) F2 (q ,j ) = cos2
q æ ka ö æ kb ö sincç sin q cosj ÷ sincç sin q sin j ÷ . è 2 ø è 2 ø 2
(4)
2. ДН элемента волнового фронта, как показано в задаче 26, имеет ширину на уровне половинной мощности 2 Dq 0.5 » 130o . Это широкополосная функция. Учет ДН элемента волнового фронта указывает на одностороннее излучение. В направлениях 130o £ q £ 180o лепестки зеркальной антенны подавляются ДН элемента, имеющей вид кардиоиды. 3. Диаграмма направленности зеркальной антенны в 2-х ортогональных сечениях имеет вид Fxoz = F (q ,0o ) = cos2
q q æ ka ö æ kb ö sincç sin q ÷ , Fyoz = F (q ,90o ) = cos2 sincç sin q ÷ . è 2 ø è 2 ø 2 2
Так как по условию задачи a , b >> l , то в интервале основного и ближайших к нему боковых лепестков ДН элемента ( cos2 (q 2) ) можно считать постоянной. Ширина основного лепестка ДН зеркальной антенны на уровне половинной мощности, определяющая разрешающую способность антенны, равна (13) 2 Dq 0.5 » 0.89 l a = 0.52o , при j = 0o и 2 Dq 0.5 » 0.89 l 2 = 1.04o , при j = 90o . Задача 28 Определить мощность ретранслятора телевизионного спутника, расположенного на стационарной орбите и обеспечивающего мощность на выходе приемной антенны Pc » 10-10 Вт . Диаметр зеркальных антенн ретранс20
лятора и приемника D1 = D2 = 17 . м . Коэффициент использования поверхности антенн КИП 1 = КИП 2 = 0.75 , частота ретранслятора f = 12.5 Пц. Решение 1. Известно, что плотность потока мощности у раскрыва приемной антенны в направлении максимума ДН антенны ретранслятора задается соотношением П = PK1 (4pR 2 ) , (1) 4p S h = S1КИП 1 – коэффициент усиления антенны, кото1 эф l2 l2 рый в СВЧ диапазоне примерно равен G1 ; Sэф = S1КИП 1 – эффективная пло-
где K1 = G1h =
4p
щадь антенны; S1 = pD12 4 – площадь раскрыва антенны; l = c f ; R » 39 000 км радиус стационарной орбиты спутника, h – КПД, который для СВЧ антенн близок к 1. 2. Мощность на выходе приемной антенны равна Pc = П × S2 эф = П × S2 КИП 2 = П × КИП 2 × pD22 4 . (2) После подстановки (1) в (2) можно определить мощность ретранслятора
P=æ ç ç ç è
é ù2 ê ú ê ú ê ú 2 2 ê ú Pc 4p c R cR ê ú » 34 Вт. = P c ê ú æ æ 2ö 2ö 2ö ê ú ÷ ç ÷ ç ÷ p D1 p D2 p D 2 êç ú ÷ × КИП1 × ç ÷ × КИП2 × 4p f ÷ × × КИП f êç 4 ÷ ú ç 4 ÷ 4 ÷ ê ú ø è ø ø êë è úû
Задача 29 r Доказать свойства функции h(r ) (45). Для апертуры в форме круга убедиться, что характерная площадь области сосредоточения отличных от r нуля значений функции h(r ) равна ( lR)2 S . Решение Свойство 1 очевидно. Используя определение и свойства двумерной дельта¥
r
rr
r
r
функции d (r ) = ò exp(2pjr r )dr , d (ar ) = -¥
¥
r r
¥
1
k rr r r
1 r d (r ) , получим a2 1 r
r
ò h(r )dr = S ò ò exp( j R r r )drd r = ò d ( l R r )d r = ( l R )
-¥ ¥
r
r
W -¥
W
r
r
1
ò-¥ h(r - r1 )h* (r - r2 )dr = S 2 òW òW expêêëê ¥ é ´ ò expêê êë -¥
S;
k r r r r ùú r r ( r2 r2 - r1r1 )ú d r1d r2 ´ R ûú é k r r rr ù k r r rù r 1 j ( r1 - r 2 ) r úú dr = 2 ò ò expêê j ( r2 r 2 - r1r1 )úú ´ R úû êë R úû S WW r
é
2
j
21
2 é 1 r r ù r r é k r r rù ( l R ) 2 r r l R) ( ê ú ´ dê ( r1 - r2 )ú d r1d r2 = 2 ò expêê j R ( r2 - r1 ) rúú = S h(r - r1 ); êë l R úû S W ûú ëê
¥
r r 2 r ( lR ) ò h(r - r1) dr = S
-¥ ¥
r 2 r ( lR ) ò h(r ) dr = S
2
2
– следует из предыдущего соотношения;
– следует из предыдущего соотношения.
-¥
r
Заметим, что функция h(r ) обладает одним очень важным свойством: все ее значения, отличные от нуля, практически сосредоточены в компактной области Wh , площадь которой по порядку величины равна ( lR)2 S . Убедимся в этом, когда W имеет форму круга диаметром d. В полярной системе координат r 1 h( r ) = S
p
d 2
r r é k ù exp ê j rr cos(y - j ) ú rdr; r = (r ,y ); r = ( r ,j ) . ë R û 0
ò dj ò
-p
Интегрируем по j , используя представление функции Бесселя n-го порядка 1 Jn ( z ) = 2p
p
ò exp[ j ( z sin t - nt )]dt .
-p
Положим y = p 2 и рассмотрим зависимость от r . Тогда r h( r ) y =p =
2p S
1 = h( r ) = S
2
d
ò xJ 0
d 2
ò 0
p
2p æ k ö rdr ò expç j rr sin j ÷dj = S è R ø -p
d 2
ò rJ 0
0
æk ö ç r r ÷ dr = èR ø
2p d æ k ö æ pdr ö æ pdr ö æ pdr ö æ pdr ö rx ÷dx = J1 ç × ç ÷ ç ÷ , Þ h( r ) = J 1 ç ÷ ç ÷. S 4 è lR ø è lR ø è lR ø è lR ø è lR ø 2
0
Таким образом, площадь области сосредоточения отличных от нуля знаr чений функции h(r ) совпадает с «площадью» главного лепестка функции r 2 h(r ) (рисунок к задаче 16) и имеет порядок ( lR) S .
Задача 30 Дать различные интерпретации числу Френеля (46). Решение 1. Установим связь числа Френеля с числом элементов разрешения апертуры на объекте. Пусть объект с площадью S0 (в картинной плоскости) наблюдается с помощью апертуры площади S на дальности R на длине волны l . Угловое разрешение апертуры порядка l S , соответствующее линейное разрешение на дальности R порядка lR S . Так что число элементов разрешения апертуры на объекте S0 (lR S ) = D . Таким образом, число 2
Френеля равно числу разрешаемых (с помощью данной апертуры) элемен22
тов объекта или, как говорят, числу наблюдаемых пространственных мод. Число Френеля характеризует информационное богатство формируемого изображения, т. е. сложность его формы и распределения яркости. Чем больше D, тем богаче пространственная информация, содержащаяся в изображении. 2. Другим способом число Френеля можно интерпретировать как произведение числа первых зон Френеля S0
(
lR
)2 поля на объекте, создаваемого
точечным источником в плоскости апертуры на соответствующее число зон S
(
lR
)2 на апертуре при положении источника на объекте.
Число Френеля является обобщением вводимого в курсе «Теория волн» волнового параметра. Изображение считается хорошим, если D >> 1 . Часто качество изображения можно оценить как удовлетворительное, если D » 10 . При D = 1 изображение объекта представляет собой один независимый отсчет (пятно). Пример. Рассмотрим качество изображения кусочка мела, которое формируется глазом. Примем S0 = 2.5 см2, диаметр зрачка 3 мм, l = 0.5 мкм, R = 5 м. Тогда D » 280 . Следовательно, в данном случае качество изображения можно считать хорошим. Примечание. Число Френеля характеризует качество изображений для пространственно-когерентного наблюдаемого поля. Однако можно показать, что и в противоположном случае пространственно-некогерентного поля число независимых отсчетов на изображении (число пространственных мод) также определяется числом Френеля. Поэтому этот параметр может использоваться для характеристики качества изображений и в этом случае. Задача 31 Реализует ли глаз человека свою дифракционную разрешающую способность? Задача 32 Позволяют ли принципиальные ограничения различить муху на фотографии с расстояния 5 метров полученной с помощью камеры обскуры? Указание. Уяснить физический механизм формирования изображения с помощью малого отверстия – камеры обскуры и оценить максимальный диаметр этого отверстия. Рассчитать число Френеля для формируемого изображения. Задача 33 Показать, что длина дифракции задается соотношением (47). Описать качественный механизм возникновения амплитудных флуктуаций поля при его распространении в среде с фазовыми неоднородностями. 23
Решение Как следует из физической природы образования турбулентности, в среде существуют различного масштаба вихревые движения, каждое из которых можно представить в виде сферической линзы. Флуктуации электромагнитной волны, распространяющейся в такой среде, обусловлены дифракционными и рефракционными эффектами. Эти эффекты существенны, если в результате волна приобретает такой набег фазы, который приводит к интерференции. Для этого лучи должны получить разность хода не менее размера первой зоны Френеля lL , что при дифракции на краю соответ-ствует углу q 0 » l L на длине трассы L . Неоднородность размером l вызывает дифракционное отклонение падающего на ее край луча на угол q д » l L . Таким образом дифракционные эффекты проявляются при условии q 2д ³ q 20 , т. е. на расстояниях больше длины дифракции Lд » l 2 l » kl 2 . Задача 34 Получить и проанализировать выражения для комплексных амплитуд полей в фокальной плоскости и плоскости изображений тонкой линзы. Решение
r
Установим связь между комплексными амплитудами излучаемого E (r ) и r наблюдаемого e ( r ) полей для однолинзовой оптической системы. Введем в r плоскости линзы систему координат (координата r л ), центр которой лежит на оптической оси. Пусть на линзу падает световое излучение, комплексная r амплитуда которого описывается функцией e л ( r л ) . Тогда за линзой с фокусным расстоянием fл комплексная амплитуда равна r r e л ( r л ) exp - jk r л
[
2
(2 f л )] . Комплексная амплитуда поля в плоскости 24
W , кол-
линеарной плоскости линзы и удаленной от нее на расстояние R1 ,задается соотношением r e (r) =
æ k rr 2 ö r r r r л ò e л (r л ) expçç - j 2 f л ÷÷ H1( r л - r )dr л . è ø Wл
Здесь W л – область раскрыва линзы, H1(×) – функция Грина уравнения Гельмгольца при распространении волны в свободном пространстве на расстояние R1 . Пусть выполнено приближение Френеля. Если плоскость, в которой находится излучатель, расположена от линзы на расстоянии R , то, r учитывая, что e ( r л ) , в свою очередь, определяется интегральным выражением, находим r e (r ) = ò
(
ò
W 0 W‘
´ò
ò
W 0 W‘
é ù æ r 2ö ç exp êê jk R1 + R úú k r‘ ÷÷ ç r r r r r r r ë û ´ ÷ H 1 ( r‘ - r ) d r‘ d r = E ( r )H ( r - r‘ ) exp çç - j 2 ÷ l 2 f RR çç 1 ‘ ÷ ÷ è ø
æ r 2 r r ç k r‘ k r - r‘ ç r + j E ( r ) exp çç - j 2 f‘ 2R çç è
2
)
r r 2ö k r‘ - r ÷÷ r r ÷ d r‘ dr . + j 2 R1 ÷÷ ÷ ø
1. Пусть наблюдение производится в фокальной плоскости линзы ( R1 = f л ). Тогда
r é ù æ k r r R r 2ö r ù r kr æ jk r r ö é r r 1 e( r ) = - 2 expê jk(R + f‘ ) + j 2 ( f‘ - R)ú × ò E( r )expçç - rr ÷÷ × ê ò expç j r‘ - r - r ÷dr‘ údr . ç ÷ ú f‘ l Rf‘ 2 f‘ êë úû W0 è f‘ ø êëW‘ è 2R ø û 2 ¥ æ k r 1 r R r ö÷ v ç exp j r - r - r dr л = j . При досУчтем соотношение (задача 13) ç 2R л ÷ lR ò f è ø -¥
таточно больших размерах области W л интеграл в квадратных скобках приближенно равен j и, следовательно, r e (r) =
r2 ù é kr æ jk r r ö r r ê ( ) ( ) exp jk R + f‘ + j f‘ - R ú × ò E (r ) expçç - r r ÷÷dr . ê ú jl2 Rf‘ 2 f‘ 2 è f‘ ø û W0 ë 1
Из полученного выражения видно, что поле в фокальной плоскости линзы по своей пространственной структуре тождественно полю в плоскости самой линзы, если последняя находится в зоне Фраунгофера. Однако при этом оно претерпело масштабное преобразование, так что по отношению к полю на линзе оно оказывается сосредоточенным в области с линейным размером в f л R раз меньше, чем линейный размер линзы. В дальнейшем при исследовании методов пространственной обработки в тех случаях, когда это не имеет особого значения, в целях максимального упрощения математических выкладок не будем учитывать масштабный множитель. Фактически это означает, что в выражении 25
r
для e ( r ) может быть принято f л = R . Правда, при таком переходе в выражении r для поля исчезает квадратичный по r фазовый множитель. Однако его роль сводится к описанию сферической волны с вполне определенными параметрами, и его исчезновение никак не скажется на пространственной структуре поля, обусловленной особенностями наблюдаемого объекта. Опуская постоянный множитель exp(2 jkR) j , окончательно имеем r 1 e ( r) = lR
r
jk r r ö r
æ
ò E (r ) expçè - f л r r÷ø dr .
W0
В рассматриваемой оптической схеме преобразование поля сопровождается заменой преобразования Френеля преобразованием Фурье. В общем случае подобной замены не происходит. 2. Пусть теперь R1 определяется из соотношения 1 fл = 1 R + 1 R1 , т. е. поле наблюдается в плоскости изображения линзы. При этом условии имеем r2 é kr ù ær rö r r r ú × ò E (r ) expæç jk r 2 ö÷h‘* ç r + R r ÷dr . exp ê jk (R + R1 ) + j ç 2 R1 ú R1 ÷ø ê è 2R ø è l2 RR1 ë û W0 r Здесь S – площадь области W л , а функция hл (r ) определяется соотношением r 1 k rr r hл (r ) = ò exp( j r r л )dr л . S R r e (r) = -
S
Wл
r
[
]
r
Если функция E (r ) exp jk r 2 (2 R ) изменяется достаточно плавно в области Wh , где hл (×) отлична от нуля (задача 29), то
æ jk R r 2 ö æ r R rö r r R r æ jk r 2 ö * æ r R r ö r ç + E ( r ) exp r h r r dr » E ( r ) exp r ÷ ò hл* ç r + r÷ dr . ç ÷ лç ÷ ò ç 2 R R1 ÷ è 2R ø è R1 ø R1 R1 ø è ø W0 è W0
Предположим далее, что площадь S0 области W0 существенно больше пло-
[
]
щади области Wh , т. е. S0 ( lR)2 S = S0S ( lR )2 >> 1 . Тогда при вычислении интеграла в предыдущем выражении можно распространить область интегрирования на всю плоскость
ò
W0
æ r R rö r hл* ç r + r÷ dr » R1 ø è
¥
ò
-¥
æ r R r ö r lR hл* ç r + r÷ dr = 1 R1 ø S è
ò
Wл
r r (lR1) . æ k r rö expç j r лr ÷ × d ( r л )dr л = è R ø S 2
Таким образом, имеем
r2 2 é kr r R1 k R r ùú æ R r ö ê ( ) e ( r ) = - exp jk R + R1 + j +j r × E çç - r ÷÷. R 2 R1 2 R R1 ê ú è R1 ø ë û
Согласно этому выражению, комплексная амплитуда поля в каждой точке плоскости изображения с точностью до комплексного множителя, зависящего от координат этой точки и соответствующего сферической волне, оказывается подобной комплексной амплитуде излучаемого поля. При этом 26
появляется масштабный коэффициент -R R1 . При выводе последнего выражения было использовано условие высокого разрешения 2 D º ( SS0 ) ( lR) >> 1 , подробно обсуждаемое в задаче 31. Задача 35 Оценить размеры области когерентности поля точечного источника монохроматического излучения в сильнотурбулентной атмосфере. Решение В силу обобщенного принципа Гюйгенса–Френеля, комплексная амплитуда волны в турбулентной атмосфере в цилиндрической системе координат заr
дается соотношением A(r , L) =
r r r ö r ik ik r r 2 æ A0 (r0 ) expç ikL + r - r0 + m (r , r0 , L ÷dr0 , где ò 2pL 2L è ø
m = c + ij – комплексная фаза (сравнить с формулой 44). Если точечный исr r r r точник излучения расположен в точке rи , то A0 (r0 ) = A0d (r0 - rи ) и функция ко×
r r r
r
r
герентности G (r1 , r2 , rи , L) = < A(r1 , L) A* (r2 , L) > имеет вид 2
× r r r A k2 é ik r r G ( r1 , r2 , rи , L ) = 0 < exp ê r1 - rи 2 ( 2p L ) ë 2L ×
2
r r r
+
ik r r r2 - rи 2L
2
r r r r ù + m ( r1 , rи , L ) - m ( r2 , rи , L ) ú > û
.
Обозначая g ( r1 , r2 , rи , L ) – функция когерентности поля точечного источника излучения в свободном пространстве, это выражение можно переписать в виде . r r r . r r r r r r r G ( r1 , r2 , rи , L ) = g ( r1 , r2 , rи , L ) < exp[m ( r1 , rи , L ) - m ( r2 , rи , L )] > .
Считая поле флуктуаций показателя преломления изотропным и нормально-распределенным (в силу центральной предельной теоремы), воспользовавшись результатом задачи 12, получим r r r r r r r r G ( r1 , r2 , rи , L ) = g ( r1 , r2 , rи , L ) exp[- D( r1 - r2 2], r r r r r r é. r r r ù é. r r r ù G ( r1 , r2 , rи , L ) = Re êG ( r1 , r2 , rи , L )ú , g ( r1 , r2 , rи , L ) = Re êg ( r1 , r2 , rи , L )ú , ë û ë û D (r ) – структурная функция флуктуаций комплексной фазы, D(r ) = Dc (r ) + Dj (r ) .
Для интенсивной турбулентности (больших длин трасс) вклад флуктуаций уровня в структурную функцию мал, поскольку они насыщаются с увеличением длины трассы, поэтому (59) D(r ) = Dj (r ) = (r rk ) 5 3 , rk = (aC n2 k 2 L) -3 5 . r r r Ширина главного максимума функции g (r1 , r2 , rи , L) определяется размеr r r
(
)
k r r 2 r r 2ù r1 - rи + r2 - rи ú . ë 2L û
ром первой зоны Френеля. В самом деле, g ( r1 ,r2 ,rи , L ) ~ coséê
Если считать, что точечный источник излучения расположен в начале сисr темы координат в картинной плоскости ( rи = 0 ) и оценивается когерентность поля в двух точках, расположенных на расстоянии x вблизи начала коорди27
v
v
r
r r r
нат в области наблюдения ( r1 = 0; r2 = x ), то g ( r1 , r2 , rи , L ) ~ cos(kx 2 2 L ) . Радиус области когерентности x0 находится из уравнения kx 2 2 L = p 2 . Следовательно, x0 = lL / 2 . r r r Ширина главного лепестка функции когерентности G(r1 , r2 , rи , L) в условиях сильной турбулентности определяется величиной rk , поскольку rk q кр ) для e1 > e 2 , отраженная волна в общем случае оказывается эллиптически поляризованной независимо от поляризации падающей волны? Решение Рассмотрим наиболее простой случай падения под углом q на границу разr дела двух сред линейно-поляризованной волны (рис. 1). Пустьr вектор E ориентирован под углом x к плоскости падения. Раскладывая E на вертикально и горизонтально поляризованные компоненты, получим ×
×
Eв = E cosx , E г = E sin x . Коэффициенты отражения Rв и Rг для этих компонент
определяются формулами (48 а, б). 1. EВ
r П
r n
EГ
q
r П1
E 1В E 1Г
q
y
Рис. 1
r П2 28
Из формулы (48б) следует, что условие полного прохождения ×
( | Rг |= 0 ) для горизонтально поляризованной волны никогда не выполняется независимо от значений e1 и e 2 . Для вертикально поляризованной компо×
ненты поля условие полного отражения Rв = 0 может быть реализовано. При этом угол Брюстера может быть найден из условий sin q 0 = e 2 (e1 + e 2 ) , cosq 0 = e1 (e1 + e 2 ) , tgq 0 = e 2 e1 . Используя данные задачи, получаем q 01 = 7, 4o ; q 02 = 82, 6o. Подставляя расcчитанные значения в (48б), получим значения коэффициента отражения горизонтально поляризованной компоненты поля R& г (q 0 ) =
e1
e1 e1 + e 2
e 2 - e1
e2 e1 + e 2
e1
e1 + e1 + e 2
e 2 - e1
e2 e1 + e 2
e - e 2 R& (q ) = 5 8 ; R& (q ) = - 58 г 01 г 02 ; = 1 60 60 e1 + e 2
.
Таким образом, при угле падения, равном углу Брюстера ( q = q 0 ), отраженная волна будет линейно-поляризованной E&1г = E& R& г = E& R& г sin x ; E&1в = 0 . Если на границу раздела двух сред падает эллиптическиполяризованная волна (общий случай поляризации), то, как известно, ее можно представить в виде суперпозиции двух ортогональноориентированных линейно-поляризованных волн различных амплитуд, сдвинутых по фазе на угол j . Причем разложение можно провести в базисе горизонтально и вертикально поляризованных компонент поля. В этом случае для вертикально поляризованной компоненты поля (при q = q 0 ) R& г (q 0 ) ¹ 0, R& в (q1 ) = 0 , т. е. отраженная волна будет линейно-поляризованной. 2. Из анализа (48 а, б) следует, что при e1 < e 2 разность фаз между отраженными вертикально и горизонтально поляризованными компонентами поля определяется соотношениями j г - j в = p (q £ q 0 ); j г - j в = 0 (q 0 £ q £ q кр ) . Таким образом, вид поляризации поля при отражении не меняется. Из анализа (48 а, б) также следует, что R& г и R& в при e1 > e 2 действительные величины, если угол q падения волны меньше угла полного внутреннего отражения q кр , определяемого условием (49 а). Дополнительная разность фаз j г - j в при этом равна p . Это указывает на то, что при q £ q кр вид поляризации поля при отражении не меняется. ×
×
При q > q кр = arcsin e 2 e 1 коэффициенты отражения Rв и Rг становятся комплексными величинами и их можно представить в виде ×
Rв =
× a1 - jb1 a - jb2 = exp( -2 jj1 ) ; Rг = 2 = exp( -2 jj 2 ) ; a1 + jb1 a 2 + jb2
a1 = e 2 cos q ; b1 = e 1 e 1 (sin q ) 2 - e 2 ; a 2 = e 1 cos q ; b2 = e 1 (sin q ) 2 - e 2 ; 29
e 1 e 1 (sin q ) 2 - e 2 b1 2j 1 = j в = 2arctg = 2arctg ; a1 e 2 cos q
(1)
e 1 (sin q ) 2 - e 2 b2 2j 2 = j г = 2arctg = 2arctg . a2 e 1 cos q
(2)
Таким образом, при e 1 > e 2 и p 2 > q > q кр = arcsin e 2 e 1 разность фаз между отраженными горизонтально и вертикально поляризованными компонентами поля будет равна é æ e e sin 2 q - e ö æ e sin 2 q - e öù 1 1 2 ÷ 2 ÷ ç ú. (3) j в - j г = 2 êarctg - arctgç 1 ç ÷ ç ÷ú e 2 cosq ê e cos q 1 è ø è øû ë На рис. 2 приведены зависимости j в (сплошная линия), j г (пунктирная ли-
ния) и j в - j г (штриховая линия) от угла q падения волны на границу раздела сред. 4 p
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Рис. 2 Из выражения (1) и рис. 2 видно, что при qкр £ q £ p 2 , 0 < j в - j г < p . Таким образом, при q > q кр , отраженная волна оказывается в общем случае эллиптически-поляризованной. Задача 39 Определить модуль и фазу коэффициентов отражения от металла ( s ® ¥ ) горизонтально и вертикально поляризованных электромагнитных волн. Изменится ли параметры поляризации отраженного поля при падении на металл электромагнитной волны различной поляризации (линейная, эллиптическая)? Задача 40 Найти значение поля в дальней зоне E -секториального рупора, питаемого волной H10 . Размеры раскрыва рупора a * b = 1.5l *10l , высота рупора R1 = 25l . Провести анализ сечений ДН при различных значениях квадратичных фазовых набегов поля на краях рупора ( R1 = 1000l ; 100l ; 50l ; 25l ).
30
Решение
Рис. 1
Рис. 2
Рупорные антенны запитываются с помощью волновода, в котором распространяется тот или иной тип волны. По условию задачи питание E -секториального рупора (см. рис. 1) осуществляется волноводом с основным типом волны H10 . Поле в сечении волновода задается следующим соотношением: E y ( x, y ) = E0 cos(px a ) . (1) Поле в раскрыве S (рис. 2) секториальных рупорных антенн может быть найдено из решения задачи дифракции волны (1) волновода на раструбах рупора. Для E - и H - секториальных рупоров оно представляет собой цилиндрическую волну [2, с. 475–495]. При малых углах раскрыва j 0 £ 45o для E-секториального рупора поле имеет вид
(
)
E y ( x, y ) = E0 cos(px a ) exp jky 2 2 R1 .
(2)
Поле в дальней зоне на расстоянии R ³ 2b 2 l , согласно (43), задается следующим соотношением E ( R, q , j ) =
ò cos(px a) exp(- jkx sin q cos j )dx ò exp[ jk (y
a 2
= AE 0
(
-a 2
)
k q )òò E0 cos(px a) exp jky 2 2R1 - jk sin q ( x cos j + y sin f ) dxdy = e jkR (1+ cos 2 2pjR S b2
2
)]
2 R1 - y sin q sin j dy .
(3)
-b 2
Из этого выражения с учетом формулы Эйлера видно, что интегралы по y сводятся к интегралам Френеля. Если бы мы рассматривали пирамидальный рупор, то интегрирование по координате x также бы привело к интегралам Френеля, ввиду квадратичной зависимости фазы поля в раскрыве излучателя. При этом R – радиус сферы, на которой отыскивается поле.
31
На практике интересуются распределением поля в двух ортогональных плоскостях, в которых ориентированы компоненты поля E ( j = 90o ) и H ( j = 0o ). В этом случае (3) принимает вид a2
b2
(
)
2 æ px ö E H = AE0 ò cosç ÷e - jkx sin q dx ò e jk y 2 R1 dy , è aø -a 2 -b 2
a2
b2
(
(4)
)
2 æ px ö E E = AE 0 ò cosç ÷dx ò e jk y 2 R1 - y sin q dy . è a ø -b 2 -a 2
(5)
Рассмотрим более подробно распределение поля в двух ортогональных плоскостях: XOZ (j = 0o ) – (4) и YOZ (j = 90o ) – (5). Второй интеграл в (4) сводится к интегралам Френеля заменой переменных y = lR1 2 t b2
ò exp( jk (y
2
-b 2
v2
))
(
2 R1 dy = ò exp jp t 2 2 v1
)
lR1 lR1 {C (v 2 ) - C (v1 ) + j[S (v 2 ) - S (v1 )]} , dt = 2 2
2 b 2 b , v2 = . lR1 2 lR1 2 Учитывая, что C (v) и S (v) нечетные функции, получим v1 = -
é æ b ö æ öù 2 ç ÷ + jS ç b ÷ú . ê exp jk y 2 R dy 2 R C = l 1 1 ò ç 2lR ÷ú êë çè 2lR1 ÷ø 1 øû -b 2 è После интегрирования по x в (4) получим (с учетом формулы Эйлера) b2
[ (
)]
a 2
1 {exp [ jx(p a - k sin q )] + exp [ - jx(p a - k sin q )]} dx = 2 - aò 2 é pö p öù p æ ka æ ka æ ka ö + 2sin sin q 2sin sin q 2 cos sin q ÷ ç ÷ ç ÷ ç ê ú 1 2ø 2ø a è 2 è 2 è 2 ø ú= = ê + . 2 2 ê k sin q - p a k sin q + p a ú (p a ) 1 - ((ka sin q ) p )2 êë úû
(
)
Таким образом, окончательно получим EH
R1 é æç b 1 êC = E 0 ap j 2l ê çè 2lR1 ë
ö æ ÷ + jS ç ÷ ç ø è
æ ka ö cosç sin q ÷ ù b ö÷ (1 + cos q ) e jkR è 2 ø ú . (6) 2 (p 2) 2 - ((ka sin q ) 2) 2 R 2lR1 ÷øúû
Из этого выражения видно, что диаграмма направленности E-секториального рупора в H плоскости ( j = 0 ) совпадает с ДН волновода в той же плоскости æ ka ö cosç sin q ÷ (1 + cos q ) è 2 ø f H (q ) = . 2 2 (p 2) - ((ka sin q ) 2) 2
После нормировки на (2 p ) 2 получим
32
æ ka ö cosç sin q ÷ (1 + cosq ) è 2 ø . FH (q ) = 2a 2 1 - ( sin q ) 2 l
(7)
Результаты расчета сечения ДН по формуле (7) приведены на рис. 3. 120
90
60
0.8 0.6 0.4 0.2 0
150 180
1 30 0
210
0.5
330 240
270
300
0
0
0.5
1
1.5
Рис. 3 Найдем распределение поля в E плоскости ( j = 90o ), рассчитав интегралы в (5), выделив полный квадрат в показателе экспоненты во втором интеграле 2
a 2
ù æ y2 ö pé 2 kR12 2a æ px ö ç ÷ ( ) ; sin sin sin 2 q . cos dx = k y q = y R q ú 1 ò çè a ÷ø p çè 2 R1 ÷ 2 ê lR 2 R1 ø ë û -a 2
Сделаем замену переменных lR lR y=t + R1 sin q ; dy = dt , 2 2
=
2 ( y - R1 sin q ) = t , тогда lR b2
ò
-b 2
(
)
exp é jk y 2 2 R1 - y sin q ù dy = ë û
v2
l R1 l R1 exp éë jp t 2 - j (kR sin 2 q ) 2 ùû dt = exp éë - j ( kR sin 2 q ) 2 ùû = ò 2 -v 2 1
= {C (v1 ) + C (v2 ) + j[S (v2 ) + S (v1 )]}, v1 = -
2 æb 2 æb ö ö ç + R1 sinq ÷ .(8) ç - R1 sin q ÷ , v2 = lR1 è 2 lR1 è 2 ø ø
Подставляя значения вычисленных интегралов в (5), получим E E = BF1 (q ) f 2 (q )e - jF (q ) , F1 (q ) = cos 2 B = E0
a jp
q , f 2 (q ) = {C (v1 ) + C (v2 ) + j[S (v2 ) + S (v1 )]} , (9) 2
2 R1 e jkR kR , F(q ) = 1 sin 2 q . l R 2
Анализируя (9), видим, что у рупорных антенн от угловых координат зависит не только амплитудная диаграмма ( F1 (q ) f 2 (q ) ), но и фазовая диаграмма ( F(q ) ). Зависимость фазы поля от угла при постоянном R приводит к тому, что в рупорной антенне нет такой точки, которая могла бы быть принята за фазовый центр излучения. В амплитудной диаграмме направленности F (q ) = F1 (q ) f 2 (q ) (10) 33
функция F1 (q ) задает диаграмму направленности элемента волнового фронта (кардиоида – рис. 0.8 150 0.6 30 4). Это широкополосная функция, и при b >> l 0.4 этот множитель можно не учитывать в выраже0.2 180 0 0 нии для амплитудной ДН, т. к. в пределах основного и ближайших к нему боковых лепест210 330 ков функции f 2 (q ) значение F1 (q ) меняется 240 300 медленно. Таким образом, можно считать, что 270 при b >> l амплитуда поля определяется Рис. 4 формулой f 2 (q ) = {C (v1 ) + C (v2 ) + j[S (v2 ) + S (v1 )]}. (11) 120
90
60
Рис. 5 На рис. 5 приведены графики нормированных на f 2 ( 0 ) функций f 2 (q ) для различных максимальных значений фазовых набегов поля в раскрыве рупора ( R1 = 1000l - нижняя кривая; R1 = 100l ; 50l ; R 1 = 25l – верхняя кривая) 2 2 R1 = kb 2 8R1 . Штриховая линия на этом рисунке при y = ± b 2 , Dy max = kymax задает уровень 0.707 от максимума. Результаты анализа диаграммы направленности в H плоскости и расчета f 2 ( q ) (11) позволяют сделать следующие выводы: 1. Наиболее узкая диаграмма направленности реализуется у излучателей с равноамплитудным и синфазным полем ( R1 ® ¥ ) по раскрыву (рис. 5). Для таких излучателей ДН имеет вид æ kb ö æ kb ö f 2 (q ) = sin ç sin q ÷ ç sin q ÷ . è 2 ø è 2 ø
(12)
2. Спадание амплитуды поля (1) к краям излучателя приводит к уширению диаграммы направленности (рис. 3), что согласуется с решением задачи 6. 3. Наличие квадратичных фазовых сдвигов поля (2) по раскрыву излучателя также приводит к деформации (уширению) ДН антенн. Для значительных Dy max в ДН при q = 0 появляется провал, что делает такой режим работы антенн непригодным в радиопеленгаторах; при Dy max ³ p ширина основного лепестка ДН по уровню половинной мощности удваивается по сравнению с (12). 34
Задача 41 Представить произвольно поляризованную электромагнитную волну в виде линейно-поляризованных в ортогональном базисе компонент. Указать параметры поляризации произвольно поляризованных компонент поля. Задача 42 Определить максимальные частоты отраженных от ионосферного слоя F 2 сигналов при: 1. Ортогональном падении зондирующего сигнала на ионосферу – случай вертикального зондирования. 2. Максимально возможном угле падения зондирующего сигнала ионосферу с учетом кривизны поверхности Земли. Пояснить принцип работы ионосферных станций. Задача 43 Предложить схему записи голограмм поля сферической волны. Дать математическое описание процесса формирования и записи голограмм и показать, что полученная голограмма представляет зонную пластину Френеля (ЗПФ). Решение 1) Поле реальных источников представляет сферическую волну. В параксиальном приближении это поле в плоскости анализа x, y можно записать в виде u& ( x, y, t ) = E 0 × F ( x, y ) ×
e
jkR
1 e - jwt » E 0 × const × × e jkz × e R z
jk
x2 + y 2 2z
× e - jwt =
(1)
= A × e jj ( x, y ) × e- jwt , j ( x, y ) = k ( x 2 + y 2 ) 2 z , где F ( x, y ) сечение ДН излучателя плоскостью анализа, в параксиальном
приближении F ( x, y ) = const , R – расстояние от фазового центра источника
до точки анализа M ( x, y ) . Амплитудно-фазовое распределение рассеянного объектами поля в общем случае можно записать в виде u& ( x, y ) = A( x, y ) × e jj( x, y ) . (2) Как известно, голограммой называют интерференционную картину, несущую полную информацию об объекте – амплитуде A( x, y ) и фазе j( x, y ) . Для регистрации поля (1), (2) используют зонды (приемные антенны), нагруженные на детекторы – элементы с нелинейной вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Однако нелинейными элементами непосредственно детектировать фазомодулированные сигналы (ФМС) (1–2) невозможно. Поэтому их 35
вначале преобразуют в амплитудно-модулированные. Для пространственных сигналов это преобразование возможно, если сформировать интерференционную картину исследуемого поля с опорным колебанием, как правило, плоской волной. В радиодиапазоне в качестве опорного колебания может выступать сигнал, подаваемый на сумматор по отдельному каналу одновременно с предметным (1–2) и когерентным с ним. 3 x z M(x,y) 12 2 4 9 10 9 11 5 a z 6 x 1 7 15
y j
8
14
13
Рис. 1 Одна из схем формирования и регистрации голограмм поля антенны представлена на рис. 1 и включает: генератор-1; передающую антенну-2, которая облучает область анализа-3 непосредственно или служит для облучения объекта-4, рассеянное поле которого регистрируется; приемную антенну-5; неподвижную антенну-6 искусственной опорной волны; аттенюатор-7 и фазовращатель-8 для регулирования параметров опорного колебания; сумматор-9; нелинейный преобразователь (детектор)-10; усилитель сигнала-11; видеоконтрольное устройство-12 (осциллограф, дисплей ЭВМ); электромеханическую систему-13 для перемещения антенны-5 по области анализа-3; блок электронной развертки-14 луча видеоконтрольного устройства-12 по х,у координатам, работающего синхронно с перемещением антенны-5; пространственный опорный сигнал (плоская волна)-15. Покажем, что регистрируемая в такой схеме голограмма поля антенны-2 представляет ЗПФ. При регистрации голограмм, с которых восстановливается изображение объекта-4, область анализа-3 облучают пространственной (плоской) волной-15, падающей под углом a . u& ( x, y, t ) = u 0 × e jkz × e jkx sin a × e - jwt (3) 36
Аналогом (3) может служить электромагнитное поле, подаваемое на сумматор-9 (направленный ответвитель, одинарные или двойные Т-мосты и т. д.), от неподвижной антенны-6. Для регулирования параметров опорной волны в этот канал включают аттенюатор-7 и фазовращатель-8, фаза поля которого изменяется синхронно с перемещением антенны-5 по закону j 0 ( x, y ) = kx sin a . Мы же рассмотрим случай ортогонального падения опорной волны на область анализа ( a = 0 ). В этом случае выражение (3) примет вид (4) u& ( x, y, t ) = u 0 × e jkz × e - jwt = u 0 × e - j (wt - j 0 ) . Если представить векторную сумму (1) и (4) (рис. 2), положив j 0 = 0 , то результирующее колебание можно записать в виде r u p = u p × e - j (wt - j1 ) , (5) r r up
A
j
j1
где tg j1 =
r u0
A sin j , u 0 + A cos j
r u p º u = u 02 + A 2 + 2u 0 A cos j .
(6)
Рис. 2 Выражение (5) описывает уже амплитудно-модулированное поле, причем амплитуда (6) содержит информацию как об амплитуде А анализируемого поля, так и о его фазе – j ( x, y ) . Сигнал (5) поступает на нелинейный элемент – детектор-8, ВАХ которого, например, квадратична. В этом случае сигнал на выходе детектора пропорционален квадрату амплитуды и будет иметь вид é ù 2u A u вых = const (u 02 + A 2 + 2u 0 A cos j ( x, y ) ) = const (u 02 + A 2 ) ê1 + 2 0 2 cos j ( x, y )ú . ë u0 + A û 2 2 2 2 Введя обозначения B º const u 0 + A ; a = 2u 0 A (u 0 + A ) , получим
(
)
u вых = B(1 + a cos j ( x, y )) .
(7) Этот сигнал после усиления (блок-11) подается на яркостный модулятор видеоконтрольного устройства-12, развертка которого по х и у координатам синхронизирована с перемещением зонда-5 по области анализа-3. С помощью блока-13 осуществляется перемещение зонда-5 и управление работой блока-14 электронной развертки луча устройства-12. Таким образом, сигнал (7) наблюдается на ЭЛТ и может быть сфотографирован или использован для дальнейшей электронной обработки. Если рассматривать негативное изображение (7) на фотопленке, то коэффициент пропускания такого транспаранта можно представить в виде ×
T ( x, y ) =
é k(x2 + y 2 ) ù cu вых = 1 + a cos ê ú, cB 2 z ë û
(8)
где c – коэффициент линейных преобразований сигнала (7) в блоках-11 и 12. 37
Выражение (8) совпадает с коэффициентом пропускания ЗПФ, имеющий вид ×
T ( x, y ) = 1 + a cos( x 2 + y 2 ) .
(9)
Из выражений (8) и (9) видно, что параметр ЗПФ равен b = k 2z , (10) где z – расстояние от источника-2 до области анализа-3 или радиус сферической волны, облучающей область голографирования. Задача 44 Предложить схему восстановления поля объекта (изображения) с голограммы, рассмотренной в задаче 43. Задача 45 Рассмотреть механизм сжатия пространственных сигналов с помощью линзовых и зеркальных систем. Найти коэффициент сжатия сигнала на выходе фазового транспаранта при z = f , рассмотренного в задаче № 17. Задача 46 Представляя международную станцию «Альфа» в виде шара радиуса ×
r 0 = 15 м с коэффициентом отражения | R | = 1 , найти ЭПР такого объекта.
Определить размеры «блестящего» квадратного участка на станции, ЭПР которого будет соизмерима с ЭПР всей станции, если ее облучать РЛ сигналом на частотах f = 10 ГГц и 37.5 ГГц ( l = 3 см, 8 мм). Задача 47 Учитывая только дифракционные эффекты, определить разрешающую способность приемной антенны диаметром D = 0,6 м с фокусным расстоянием f = 4 D на длине волны l = 0, 4 мкм при аэрофотосъемке земной поверхности из космоса в оптическом диапазоне. Решение 1) Рассмотрим оптическую систему как приемную антенну, формирующую изображение земной поверхности сканированием ДН. Если ДН формируется в дальней зоне приемной апертуры, то такой подход справедлив при высоте орбиты h ³ Rдз Rдз = D 2 l = 0,36 (4 ´ 107 ) = 900 км .
(1)
При этом ширина луча на нулевом уровне равна (36) 2 DQ 0 » 1.24
2l = 1,6 × 10 -6 рад . D
(2)
Разрешение объектов на земной поверхности можно найти по формуле 2 Dx0 = 2 DQ 0 h @ 1.45 м . (3) 38
2) Выносом приемника излучения или облучателя из фокуса можно сформировать ДН на любом расстоянии, т. е. в зоне Френеля. В этом случае разрешение будет выше, чем рассчитанное. 3) Определяя разрешение, следует учитывать ряд факторов, ухудшающих разрешение приемных антенн. Соотношение (3) справедливо, если поле по апертуре имеет одинаковую амплитуду и синфазно. а) В реальности амплитудное распределение поля по раскрыву антенны определяется ДН облучателя или коллектора излучения и может быть аппроксимировано соотношением (62) E& = E0 (D + (1 - D)(1 - ( r1 / r 0 ) 2 ) n , (4) где ∆ – относительное значение амплитуды на краях излучающей (принимающей) апертуры. ДН при этом будет иметь вид (64) F (u ) = D
L (u ) 2 J 1 (u ) n! , L n (u ) = J n (u ) , u = kr 0 sin Q , + (1 - D ) n +1 u n +1 (u / 2) n
(5)
где J n – функция Бесселя n-го порядка. Конкретный вид F(u) при заданных значениях ∆ и n можно определить, рассчитав численно интеграл (63). Например, при ∆ = 0 и n = 1 ширина основного лепестка возрастает в 1.24 раза [2, с. 452]. Во столько же раз при этом ухудшается и разрешение. б) Существенно снижают разрешающую способность фазовые аберрации (искажения) поля в раскрыве антенн из-за погрешностей их изготовления. Наиболее неприятны квадратичные искажения (дефокусировка), когда фазовое распределение поля по раскрыву имеет вид j ( r1 ) = j 2 ( r1 / r 0 ) 2 = j 2 ( R ) 2 , (6) где j 2 – фаза на краях излучателя (приемника). Подставляя (6) в (63), можно рассчитать ДН. 4) Приведенные рассуждения носят лишь иллюстративный характер. Простейший способ оценки максимальной (ограниченной лишь дифракцией) разрешающей способности состоит в использовании числа Френеля (46). Максимальная разрешающая способность соответствует значению DФ = 1 , т. е. Dx = l h D , что при h = 900 км дает Dx » 0,6 м . Наличие флуктуаций турбулентной атмосферы может существенно ухудшить разрешающую способность. Тем не менее, величина порядка 1 м соответствует результатам, полученным в 60–70 годах прошлого века в СССР и США, опубликованным в последнее время. Задача 48 Показать, что с помощью собирающих линз и зеркал можно осуществить сжатие сигналов. Найти коэффициент сжатия при облучении плоской волной прямоугольного отверстия (a = 20λ; b = 15λ) в непрозрачном экране, 39
расположенном вплотную к линзе диаметром D = 50λ и фокусным расстоянием f = D = 50λ. Решение 1) Известен способ сжатия временных сигналов, применяемый для улучшения разрешения радиолокационных целей по дальности. Он основан на использовании ЛЧМ зондирующих импульсов и обработки отраженных от цели сигналов в системах, содержащих согласованные фильтры, реализованные, например, на базе дисперсионных линий задержки. Коэффициент сжатия при этом пропорционален базе сигнала B = ∆F∙T , где ∆F – девиация частоты, T – длительность импульса. Можно осуществить сжатие пространственных сигналов, используя аналогичный алгоритм обработки, заключающийся в следующем: сначала входной сигнал U& вх = ( x1 , y1 ) преобразуют в ЛЧМ пространственный сигнал, а затем пропускают его через пространственный фильтр, импульсная характеристика которого комплексно сопряжена с этим сигналом [9]. Пусть пространственный сигнал формируется падением плоской волны U 0 exp( jkz ) на плоский объект, коэффициент пропускания которого T&1 ( x1 , y1 ) . Тогда комплексная амплитуда сигнала на выходе объема, называемая входным сигналом, будет равна (40) U& вх ( x1 , y1 ) º U& 1 ( x1 , y1 ) = U 0T& ( x1 , y1 ) . (1) Сигнал (1) необходимо преобразовать в ЛЧМ с помощью фазового модулятора, в качестве которого служить собирающие линзы, зеркала или ФАР. Сигнал на выходе линзы, коэффициент пропускания которой описывается (37), можно записать 2
2
( x + y1 ) ) U& 2 ( x1 , y1 ) = U& 1 ( x1 , y1 ) exp(- jk 1 2f
(2)
представляет собой сходящуюся сферическую волну. Для сжатия (1) необходимо (2) пропустить через пространственный НЧ фильтр, импульсная характеристика h&( x, y, f ) которого комплексно сопряжена с (2). В качестве ФНЧ выступает область пространства за линзой глубиной Z = d, осуществляющая преобразование Френеля над (2). Если рассмотрение ведется в параксиальном приближении, то h&( x, y, d ) имеет вид (28). В этом случае сигнал в области Z = d следует рассматривать как свертку между (2) и h&( x, y, d ) . 2 2 é é ( x - x1 ) 2 + ( y - y1 ) 2 ù ( x1 + y1 ) ù & & & U ( x, y, d ) = A òò U 1 ( x1 , y1 ) exp ê- jk ú exp ê jk ú dx1 dy1 2f 2d ë û x1 , y1 û ë
где A& =
k exp( jkd ) – постоянная величина. 2p jd
40
(3)
При d = f слой пространства выступает в качестве согласованного фильтра и (3) преобразуется к виду && U& ( x, y, f ) = AB
é
òò U&1 ( x1, y1 ) exp êë- jk (
x1 , y1
xx1 + yy1 ù ) ú dx1dy1 . f û
(4)
é ( x2 + y 2 ) ù & B = exp ê jk ú 2f ë û
Выражение (4) с точностью до фазового множителя
представляет прямое преобразование Фурье от U& 1 ( x1 , y1 ) или пространственный спектр поля объекта. Возможность формирования пространственного спектра поля объекта(1) в зоне Френеля физически объясняется тем, что квадратичные фазовые набеги поля в этой зоне из-за дифракции при d = f компенсируются сходящейся сферической волной (2). Формирование пространственного спектра входного сигнала в области Френеля, называемое фокусировкой сигнала, при определенных условиях приводит к его сжатию. Так при падении на идеальную тонкую линзу ( D2 ® ¥ ) плоской волны U& 1 ( x1 , y1 ) = U 0 , т. е. интегрирование (4) в бесконечных пределах приводит к двумерной дельта-функции. При этом коэффициент сжатия – отношение протяженности входного сигнала к протяженности сформированного стремится к ∞. Покажем возможность сжатия сигналов применительно к условиям задачи. В этом случае ïìU при x1 £ a / 2, y1 £ b / 2, U&1 ( x1 , y1 ) = í 0 . ïî 0 при x1 > a / 2, y1 > b / 2.
(5)
Нормированное значение амплитуды поля в фокальной плоскости линзы можно записать в виде U ( x1, y1, f ) = max U ( x1, y1, f )
где y 1 =
&& AB
a/ 2 b/ 2
ò ò
U0 exp[- jk (
-a / 2 -b / 2 a/ 2 b/ 2
xx1 yy1 + )]dx1dy1 f f
xx yy && max AB ò ò U0 exp[- jk ( f 1 + f 1 )]dx1dy1 -a / 2 -b / 2
kx a ky b ´ ; y2 = ´ . f 2 f 2 41
=
siny1 siny 2 , ´ y1 y2
(6)
2) Протяженность (размер) сигнала 2Dx0 , 2Dy0 по координатам x,y на нулевом уровне, на которую приходится порядка 90 % энергии (6), определяется из условий y 1 = ±p ; y 2 = ±p , что соответствует 2 Dx0 =
2l f 2l f . ; 2 Dy0 = a b
(7)
Протяженность сигнала (6) по уровню половинной мощности определяется из условий y 1 = ±1.39;y 2 = ±1.39 , что соответствует (34.д) 2 Dx0.5 » 0.88
lf lf ; 2 Dy0.5 » 0.88 . a b
(8)
При этом коэффициенты сжатия будут равны: a a2 b b2 a a2 b2 nx0 = = ; ny0 = = ; nx0.5 = = ; ny0.5 = . 2Dx0 2l f 2Dy0 2l f 2Dx0.5 0.88l f 2Dy0.5
(9)
Сжатие наблюдается в том случае, если nx ,ny >1 т. е. при условии min(a, b) = 2lf . 3) Применительно к условиям задачи 2Dx0 = 5l ; 2Dy0 = 6.6l ; nx0 =
(20l ) 2 (15l ) 2 = 4; n y0 = = 2.25 . 2l ´ 50 l 2l ´ 50l
Если протяженность выходного сигнала считать по уровню половинной мощности, то коэффициенты сжатия будут примерно равны nx » 9; ny » 6 . Квадратичные фазовые искажения в спектре (4) можно скомпенсировать, располагая объект T&1 ( x1 , y1 ) в передней фокальной плоскости линзы. Такая схема формирования Фурье-спектра поля объекта считается оптимальной. 0.5
0.5
Задача 49 Определить расстояния, при которых радиоволны диапазона (10 5 ¸ 1010 ) Гц затухают в морской воде на –100 dВ. Можно ли использовать радиоволны этого диапазона для радиосвязи с объектами, находящимися под водой? Решение 1) Проведем решение для 3-х частот указанного диапазона f1 = 105 Гц; f 2 = 107 Гц; f3 = 1010 Гц.
Проводимость и диэлектрическая постоянная для морской воды имеет следующие значения [10] – табл. 1. Таблица 1 f, Гц l0 , м
s , (Ом ´ м)-1 e0
5
7
10
10 3´ 10 3
10 3´ 10
10 3 ´ 10 -2
0,5 80
1 75
15 65
2) Для определения затухания радиоволн при распространении на расстояние Z необходимо знать постоянную затухания – α, которую найдем из (61). 42
a=
где k 0 =
k é - 1 + 1 + A2 ê 2ë
ù = k0 e 0 é - 1 + 1 + A2 úû 2 êë
ù, úû
(1)
2p – постоянная распространения электрической волны в воздухе l0
A = s (we ) = 60sl0 e 0 .
(2) Классифицировать среды можно по параметру A. При A→0 – идеальный диэлектрик; A>>1 – проводник ; A≤1 – среда с потерями. Значения A и α, вычисленные по (1÷2), для некоторых частот приведены в табл. 2. Таблица 2 l0 , м
3´ 10
A
1.1 ´ 10 3 – проводник
a , м -1
3
» 4,5 ´ 10
-2
3´ 10
3 ´ 10
24 – проводник
4,15 ´ 10 -1 – среда
6,35
с потерями 350
-1
3) Напряженность поля при распространении в среде без потерь представляет собой сферическую волну (1÷3; 10; 21; 34в). Амплитуда при этом имеет вид E& ( R ) = C R , (3) где R – радиус сферической волны, не меньший расстояния до дальней зоны; C – const, определяемая мощностью излучения, типом антенны, λ. При распространении поля в среде с потерями на расстояние Z, амплитуда изменяется по закону E ( R + z) =
c e -a z . (R + z)
(4)
При R>>Z изменением амплитуды из-за Z в знаменателе (4) можно пренебречь. В этом случае E& ( R + z ) E& ( R)
» const ´ e -a z .
(5)
Определим расстояния, на которых по условию задачи затухание составляет – 100 dB. e -az = 10 -5 ; lg(e -az ) = -a ´ z ´ 0.43 = -5 . (6) Отсюда z = 5 (0, 43a ) . Результаты расчета представлены в табл. 3 Таблица 3 f, Гц z, м
10
5
25,6
10
7
1,33
43
10
10
0,0325
Если рассматривать распространение радиоволн в среде без потерь, то уменьшение амплитуды поля на 100 dB соответствует увеличению расстояния от R до 10 5 R. 4) Результаты предыдущей задачи показывают, что а) морская вода – дисперсионная среда, приводящая к искажению широкополосных сигналов; б) организовать радиосвязь между объектами в морской воде на приемлемые расстояния на частотах, указанных в задаче, не представляется возможным; в) коэффициент затухания α уменьшается с ростом λ, поэтому эффективная радиосвязь в условиях моря возможна на сверхдлинных волнах. Задача 50 Определить минимальную частоту f min , на которой осуществить радиосвязь с экипажем космического корабля при выводе на орбиту, если работающие двигатели образуют плазменную струю с концентрацией электронов N e = 1012 эл / см 3 . Задача 51 Почему снег блестит на солнце?
44
Литература 1. Анго А. Математика для электро-радиоинженеров : пер. с фр. / А. Анго; под ред. К.С. Шифрина. – М. : Наука, 1964. 2. Драбкин А.Л. Антенно-фидерные устройства / А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко. – М. : Сов. Радио, 1961. 3. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ / Д.М. Сазонов. – М. : Высш. шк., 1988. 4. Фрадин А.З. Антенно-фидерные устройства / А.З. Фрадин. – М. : Связь, 1977. 5. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику : пер. с англ. / Дж. Гудмен; под ред. Г.И. Косоурова. – М. : Мир, 1970. 6. Литвиненко О.Н. Основы радиооптики / О.Н. Литвиненко. – Киев : Техника, 1979. 7. Радиотехнические системы / под ред. Ю.М. Казаринова. – М. : Высш. шк., 1990. 8. Троицкий И.Н. Статистическая теория голографии / И.Н. Троицкий, Н.Д. Устинов. – М. : Радио и связь, 1981. 9. Воронцов М.А. Принципы адаптивной оптики / М.А. Воронцов, В.И. Шмальгаузен. – М. : Наука, 1985. 10. Струков И.Ф. Способы улучшения разрешения сложных фазомодулированных сигналов / И.Ф. Струков, В.И. Парфенов. – М. : Антенны, 2007. – Вып. 8(123). – С. 7–13. 11. Грудинская Г.П. Распространение радиоволн / Г.П. Грудинская. – М. : Высш. шк., 1972.
45
Учебное издание
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РАДИОФИЗИЧЕСКИМ КУРСАМ: «ИЗЛУЧАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА И ОСНОВЫ РАДИООПТИКИ», «ИЗУЧЕНИЕ, РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН», «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ И ЛОКАЦИИ» Часть 2 Учебное пособие для вузов Составители: Зюльков Александр Владимирович, Струков Иван Федотович Редактор И.Г. Валынкина
Подписано в печать 30.12.08 Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,67. Тираж 50 экз. Заказ 1949. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс) http://www.ppc.vsu.ru; e-mail:
[email protected] Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133 46
