Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

УДК 330.4(075.8)

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 2. Математический анализ (тетрадь 2): Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. — М.: Международный университет в Москве, 2005. — 52 с. Тетрадь 2 учебно-методического пособия посвящена интегралам и функциям нескольких переменных. Приводятся основные сведения из интегрального исчисления и теории функций нескольких переменных. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве, 2005 © Э.Ф.Казанцев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ 2.2 Элементы теории функций нескольких переменных 2.2.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.2 Дифференциальное исчисление функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . 17 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Интегральное исчисление 2.3.1 Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3 Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.4 Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 49 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2.2.1 Основные понятия Определение 1: Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре чисел (x,y) по определенному правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z. Если — одно значение, то z называют однозначной функцией, если — много значений, то — многозначной функцией. х и у — независимые переменные, z – зависимая переменная или функция. Множество пар чисел (х,у) для которых определена функция z, называется областью определения этой функции. Обозначается : z = f ( x , y ); z = j( x , y ); z = F ( x , y ). Частное значение функции z при x = x 0 , y = y 0 обозначается f ( x 0 , y 0 ). Функция z может задаваться аналитически, графически, таблично. p Примеры: z = ln(1 + x 4 + y 4 ), или V = R 2 H — объем конуса (пере3 менные R, H), или z = x 2 + y 2 — параболоид вращения. В прямоугольной системе координат область определения обозначается некоторым множеством точек. Например, для функции z = ln(1 + x 4 + y 4 ) — это вся плоскость ХOY кроме круга с центром в точке (0,0) и радиуса 1. Геометрически функция z = f ( x , y ) изображается в виде поверхности. Определение 2: линией уровня функции z = f ( x , y ) называется геометрическое множество точек (х,у) плоскости, в которой функция принимает одно и то же значение с: f ( x , y ) = c. Аналогично вводится понятие функций 3-х переменных и так далее. Здесь мы ограничимся рассмотрением функций 2-х переменных. 1) Понятие предела функции 2-х переменных Рассмот рим после дователь ность точек на плоскости ХOY: M 1 ( x 1 , y 1 ); M 2 ( x 2 , y 2 ) … M n ( x n , y n ). 4

Определение 3: последовательность точек M1, M2 … Mn cходится в точке М0(х0,у0), если расстояние M n M 0 = ( x n - x 0 ) 2 + (y n - y 0 ) 2 cтремится к нулю при n ® ¥, или, что то же, если x n ® x 0 , y n ® y 0 при n ® ¥. Пусть функция z = f ( x , y ) задана в некоторой области точки М0. Определение 4: Если для любой последовательности точек M1, M2 … Mn в окрестности точки М0, сходящейся к точке М0, соответствующая последовательность значений функции f(x1, y1), f(x2, y2) … f(xn, yn) имеет пределом число А, то это число А называется пределом функции f(x, y) при x ® x 0 , y ® y 0 : lim f ( x , y ) = A, или f ( x , y ) ® A при x ® x 0 , y ® y 0 Пример: функция f ( x , y ) = x 2 + y 2 определена на всей плоскости ХOY. Рассмотрим точку М0(1, 2). Для любой последовательности точек плоскости ХOY, сходящихся к точке М0 имеем: lim( x n2 + y n2 ) = 12 + 2 2 = 5. Следовательно : lim( x n2 + y n2 ) = 5. Определение 5: функция f(x,y) называется бесконечно малой при x ® x 0 , y ® y 0 , если lim f ( x , y ) = 0. В дальнейшем будем рассматривать только конечные пределы. Аналогично вводится понятие предела функции 3-х переменных и т. д. Только здесь уже нет геометрической наглядности. 2) Непрерывность функции 2-х переменных Определение 6: функция z = f ( x , y ), определенная в некоторой области точки (х0,у0), называется непрерывной в этой точке, если lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ). Если функция f(x, y) определена в окрестности точки М0(х0,у0) и не является непрерывной в этой точке, будем называть ее разрывной в этой точке М0. Примеры: Функция Z = x 2 + y 2 непрерывна всюду. 1 Функция Z = 2 разрывна в точке (0,0). x +y2 Определение 7: Множество точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек того же множества. Примеры: а) множество точек внутри круга — связно; б) множество из трех отдельных точек — не связно; 5

в) множество точек принадлежащих двум кругам — не связно. Определение 8: а) точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного множества; б) множество, каждая точка которого внутренняя, называется открытым множеством. Множество точек прямоугольника -1 £ x £ 1, -2 £ x £ 2 открытым не будет. в) связное множество точек плоскости называют областью г) точка М называется граничной точкой области, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области. д) совокупность всех граничных точек плоскости называют ее границей. е) область с присоединенной к ней границей называют замкнутой областью (круг, прямоугольник, кольцо). Определение 9 (непрерывности функции): а) функция f ( x , y ) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой ее точке; б) функция f ( x , y ) непрерывна в граничной точке М0(х0,у0) если для любого положительного числа e существует число d > 0, такое, что для всех точек М(x,y) об ласти D, удовле творяющих условию: ( x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 < d выполнимо неравенство f ( x , y ) - f ( x 0 , y 0 ) < e. Свойства непрерывной функции: а) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной области, ограничена в этой области, т. е. f ( x , y ) < k; б) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной области, принимает в этой области свое наименьшее и наибольшее значения ; в) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной области ме ж ду лю бы ми дву мя свои ми зна че ния ми при ни ма ет все промежуточные; г) если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого положительного числа e существует такое число d, что для любых двух точек ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) области, находящихся на расстоянии меньшем d, выполняется неравенство f ( x 1 , y 1 ) - f ( x 2 , y 2 ) < e. 6

Понятие непрерывности функции в точке и в области аналогично формулируется и для функции 3-х переменных и т. д. 2.2.2 Дифференциальное исчисление функции двух переменных 1) Пусть задана функция 2-х переменных z = f ( x , y ). Возьмем точку M ( x , y ) и дадим х приращение Dx, при y = const, при этом функция f ( x , y ) получит приращение D x z = f ( x + Dx , y ) - f ( x , y ) — оно называется частным приращением функции по х . D z f ( x + Dx , y ) - f ( x , y ) Отношение x = — это средняя скорость изDx Dx менения функции z = f ( x , y ) по переменной х от точки М до М’. Предел этого отношения при Dx ® 0: lim

D x ®0

f ( x + Dx , y ) - f ( x , y ) Dx

называется частной производной z = f ( x , y ) по переменной х. ¶f ( x , y ) ¶z Обозначается ; zx¢ ; ; f x¢( x , y ). ¶x ¶x Аналогично, считая x = const, и давая приращение Dy мы получим частную производную по у. Dyz f ( x , y + Dy ) - f ( x , y ) ¶z = lim = lim ¶ y D y ®0 D y D y ®0 Dy ¶f ( x , y ) ¶z ; zx¢ ; ; f y¢ ( x , y ). ¶y ¶y Частные производные f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ) являются функциями двух переменных. Вычисление частных производных производится по известным правилам для функции одной переменной. Пример: f ( x , y ) = x 2 + xy 2 + y 3 ; f x¢( x , y ) = 2 x + y 2 ; f y¢ ( x , y ) = 2 xy + 3y 2 . Обозначается

Геометрический смысл частной производной: f x¢( x , y ) — это tg угла наклона к оси ОХ касательной в точке N 0 ( x 0 y 0 , f ( x 0 , y 0 )) сечения поверхности S плоскостью y = y 0 . Аналогично вводится понятие частной производной любого числа переменных. 7

2) Полное приращение. Дадим точке N(x,y) приращение и по x и по y. Выражение Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) на зы вает ся пол ным при ра ще нием функции. Ес ли функ ция z = f ( x , y ) не пре рывна в точ ке ( x , y ), то lim f ( x + Dx , y + Dy ) = f ( x , y ). Обратно, если lim Dz = 0, то функция f ( x , y ) непрерывна в точка (x, y). Определение 10: функция z = f ( x , y ) называется дифференцируемой в точке (x, y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: Dz = A( x , y )Dx + B( x , y )Dy + a 1 Dx + a 2 Dy , где a1 и a2 — бесконечно малые при Dx ® 0 и Dy ® 0, или более сжато: Dz = A( x , y )Dx + B( x , y )Dy + ar, где r = (Dx 0 ) 2 + (Dy 0 ) 2 , a = (a 1 Dx + a 2 Dy ) r, a ® 0, r ® 0. Выражение A( x , y )Dx + B( x , y )Dy , линейное относительно Dx и Dy, называется главной частью приращения , так как a 1 Dx + a 2 Dy = ar есть бесконечно малая более высокого порядка. Теорема 1: Если функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. ( x,y) Теорема 2: Если функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке ( x , y ), то она имеет в этой точке частные производные f x¢ и f y¢ . Теорема 3: Если в некоторой окрестности точки ( x , y ) существуют частные производные f x¢ и f y¢ функции z = f ( x , y ) и эти производные непрерывны в точке ( x , y ), то функция дифференцируема в этой точке. Определение 11: Главная часть приращения дифференцируемой функции z = f ( x , y ) в точке f ( x , y ) называется ее полным дифференциалом в этой точке: dz = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy . Пример: z = x 2 y ; dz = 2 xyDx + x 2 Dy . По определению разность между полным приращением и полным дифференциалом есть бесконечно малая более высокого порядка чем Dx и Dy: Dz - dz = a 1 Dx + a 2 Dy . Поэтому в приближенных выражениях можно заменить приращение функции z = f ( x , y ), которое может сложно зависеть от Dx и Dy, ее дифференциалом, зависящим от Dx и Dy линейно. 8

Напомним случай одной переменной: Приращение функции y = x 3 : Dy = ( x + Dx ) 3 - x 3 = 3 x 2 Dx + 3 x (Dx ) 2 + (Dx ) 3 , в то время как дифференциал dy = 3 x 2 Dx — главная часть. Аналогично поступают и в случае двух переменных: Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) » f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy , откуда f ( x + Dx , y + Dy ) » f ( x , y ) + f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy . 3) Производная сложной функции. Пусть z = f ( x , y ) — функция двух переменных x и y, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t: x (t ) и y (t ). Тогда z = f ( x (t ), y (t )) – сложная функция независимой переменной t. Переменные x и y называются промежуточными переменными. Теорема 4: Если функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, а функция z = f ( x , y ) — дифференцируема в точке ( x , y ), где x = x (t ), y = y (t ), то сложная функция z = f ( x (t ), y (t )) также дифференцируема dz ¶z dx ¶z dy в точке t, причем в этой точке = . + dt ¶x dt ¶y dt До ка за тель ст во: да дим при ра ще ние Dt: Dx = x (t + Dt ) - x (t ); Dy = y (t + Dt ) - y (t ). Соответствующее приращение функции Dz: Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy + a 1 Dx + a 2 Dy, где a1 и a2 — бесконечно малые при Dx ® 0, Dy ® 0. Разделим Dz на Dt: Dy Dy Dz Dx Dx = f x¢( x , y ) + f y¢ ( x , y ) +a 1 +a 2 Dt Dt Dt Dt Dt Dy dy Dx dx в точке t. = ; lim = Dt dt Dt ®0 Dt dt Кроме того, т.к. функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке, значит при Dt ® 0 и Dx ® 0, Dy ® 0 и как следствие a 1 ® 0 и a 2 ® 0. Таким образом при Dt ® 0 существует предел: по условию lim

D t ®0

lim

Dz dz dx dz ¶z dx ¶z dy . = = f x¢( x , y ) + f y¢ ( x , y ) ® = + Dt dt dt dt ¶x dt ¶y dt 9

æxö Пример : z = x × sinçç ÷÷; x = 1 + 3t ; y = 1 + t 2 ; èyø dz æ x x x = çç sin + cos dt è y y y

ö x2 x t ÷÷ × 3 - 2 cos × . y 1+t 2 y ø

В частности если z = f ( x , y ), где y = j( x ), Пример : z = x 2 y 5 + e xy ; y =

dz ¶z ¶z dy = + × . dx ¶x ¶y dx

1 , тогда (1 + x 2 )

dz -2 x . = 2 xy 5 + ye xy + (5 x 2 y 4 + xe xy ) dx (1 + x 2 ) 2 В случае функции трех переменных u = f ( x , y , z); x = x (t ); y = y (t ); z = z(t ): du ¶u dx ¶u dy ¶u dz . = + + dt ¶x dt ¶y dt ¶z dt Более общий случай u = f ( x , y , z); x = x (t ); y = y (t ): ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y ; . = + = + ¶u ¶x ¶u ¶y ¶u ¶y ¶x ¶y ¶y ¶y 4) Дифференциал функции двух переменных. ¶z ¶z Если z = f ( x , y ); то dz = dx + dy для х и у, как независимых пе¶x ¶y ременных. Пусть x = x (u, v), y = y (u, v) — дифференцируемы в точке (u,v), а f(x,y) дифференцируема в точке (x,y) тогда : dz = = т.е. dz = 10

æ ¶z ¶x ¶z ¶y ö æ ¶z ¶x ¶z ¶y ¶z ¶z ÷÷du + çç du + dv = çç + + ¶u ¶v è ¶x ¶u ¶y ¶u ø è ¶x ¶v ¶y ¶v

ö ÷÷dv = ø ,

¶y ö ¶z æ ¶x ¶x ö ¶z æ ¶y ç du + dv ÷ + ç du + dv ÷ ¶x è ¶u ¶v ø ¶y è ¶u ¶v ø

¶z ¶z dx + dy и для х и у — как зависимых переменных. ¶x ¶y

Эта форма записи дифференциала называется инвариантной, т.к. относится и к независимым и к зависимым переменным. Используя эту форму, можно получить для функции двух переменных следующие свойства: Пусть z1 = f ( x , y ); z2 = j( x , y ) а) d(cf ) = cdf , c — const б) d( f ± j) = df ± dj в) d( f × j) = df × j + f × dj æ f ö dfj - fdj г) d çç ÷÷ = j2 è jø Аналогично записываются формулы для функции нескольких переменных u = f ( x , y , z,K, w); ¶u ¶u ¶u ¶u du = dx + dy + dz +L + dw ¶x ¶y ¶z ¶w 5) Производная по направлению.

y

n b a

M1

M

x

Рисунок 2.2.1

Рас смот рим функ цию z = f ( x , y ) и еди ничный вектор r n{cos a ,cos r b} (рис. 2.2.1). Перейдем из точки М в точку М1, по направлению n. При этом функция z получит приращение: Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) ®

Разделим приращение Dz на длину отрезка MM 1 Dz Определение 12: предел отношения при стремлении точки ® | MM 1 | М к точке М1, если он существует и конечен, называется производной ®

функции z = f ( x , y ) в точке М по направлению вектора n. 11

Обозначается:

¶f ¶z ; . ¶n ¶n

¶z Dz — средняя скорость изменения функции z на уча= lim ¶n MM 1 ®0 MM 1 стке ММ1. Обозначим через i и j — единичные векторы (проекции). Если ® ® ® ® ¶f ¶z ¶z ¶z n = i , то = . Если n = j , то = . ¶n ¶x ¶n ¶y Обозначим: MM 1 = r. Тогда Dx = rcos a .; Dy = rcos b. Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy + ar, Dz = f x¢( x , y )rcos a + f y¢ ( x , y )rcos b + ar. Разделим на r и перейдем к пределу при r ® 0 учитывая, что ¶z = f x¢ cos a + f y¢ cos b, или r = (Dx ) 2 + (Dy ) 2 = MM 1 , получим: ¶n ¶z ¶z ¶z = cos a + cos b ¶n ¶x ¶y Это и есть производная по направлению. 6) Неявные функции а) Для функции одной переменной: Определение 13: если каждому значению х поставить в соответствие те значения у, для которых F ( x , y ) = 0, то мы получим функцию y, заданную неявно уравнением F ( x , y ) = 0. Производная неявной функции: dF ( x , y ) = 0, где y = f ( x ) или F x¢( x , y ) + F y¢ ( x , y )y ¢ = 0, откуда dx y¢ = -

F x¢( x , y ) F y¢ ( x , y )

Таким образом мы можем найти производную неявной функции, не имея непосредственного задания самой функции. Пример: x 4 + y 5 + e xy = 0 — это уравнение удовлетворяется при x 0 = 0, y 0 = -1. F ( x , y ) = x 4 + y 5 + e xy ; F x¢ = 4 x 3 + ye xy , F y¢ = 5y 4 + xe xy . 12

Все эти функции непрерывны в окрестностях точки (0,-1), причем F y¢ (0,-1) ¹ 0, значит y¢ = -

(4 x 3 + ye xy ) ; (5y 4 + xe xy )

1 в точке (0,-1) y¢ = . 5 б) Для функции двух переменных: Функцию z = f ( x , y ) будем называть неявно заданной уравнением F ( x , y , z) = 0. Частные производные: F y¢ ( x , y , z) F ¢( x , y , z) ¶z ¶z ; . ==- x F z¢( x , y , z) ¶x F z¢( x , y , z) ¶z Причем F z¢( x , y , z) ¹ 0 — это условие существования неявной функции. 7) Касательная и нормаль к плоской кривой. Пусть плоская кривая задана уравнением f ( x , y ) = 0. Возьмем точку ( x 0 , y 0 ). Уравнение касательной: dy y - y0 = dx

x0

×( x - x 0 ) y0

или так как dy dx

x0

=y0

F x¢( x 0 , y 0 ) , F y¢ ( x 0 , y 0 )

F x¢( x 0 , y 0 ) ( x - x 0 ). F н¢( x 0 , y 0 ) F x¢( x 0 , y 0 )( x - x 0 ) + F y¢ ( x 0 , y 0 )(y - y 0 ) = 0 — уравнение касательной. Уравнение нормали запишем из условия перпендикулярности прямых то y - y 0 = -

F y¢ ( x 0 , y 0 )( x - x 0 ) + F x¢( x 0 , y 0 )(y - y 0 ) = 0 или x - x0 y - y0 . = F x¢( x 0 , y 0 ) F y¢ ( x 0 , y 0 ) 13

Точки, в которых F x¢( x 0 , y 0 ) = F y¢ ( x 0 , y 0 ) = 0 называется особыми точками кривой. В этих точках кривая может не иметь касательной. Пример 1: F ( x , y ):

(x

2

+y2

)

2

(

= 2a 2 x 2 - y 2

) — лемниската Бер-

нулли. F x¢( x , y ) = 2( x 2 + y 2 ) 2 4a 2 y üï ý — в точке (0,0) равны нулю. F y¢ ( x , y ) = 2( x 2 + y 2 ) 2 4a 2 y ïþ То есть в точке (0,0) нет касательной — особая точка. Пример 2: найти уравнение касательной и нормали к эллипсу: x2 y2 3ö æ + = 1 в точке M 0 ç 3;- ÷ 4 9 2ø è 2 2 2y y x x 3ö æ F ( x,y) = + -1; F x¢ = ; F y¢ = ; F y¢ ç 3 - ÷ ¹ 0 4 9 2 9 2 è ø 3 1æ 3ö x - 3 - ç y + ÷ = 0. 2 3è 2ø 3 y+ x- 3 2 . = æ 3ö æ 1ö ç ÷ ç- ÷ ç 2÷ è 3ø è ø

Уравнение касательной:

Уравнение нормали :

(

(

)

)

8) Касательная плоскость и нормаль поверхности. Уравнение поверхности F ( x , y , z) = 0, возьмем точку (х0,у0,z0). ¶z½ ¶z½ Уравнение касательной плоскости z - z0 = ½( x - x 0 ) + ½(y - y 0 ) ¶x½ ¶y½ ¢ F ( x , y F ¢ ( x , y , z ) ¶z ¶z y 0 0 , z0 ) Подставляем: . =- x 0 0 0 ; =¶x F z¢( x 0 , y 0 , z0 ) ¶y F z¢( x 0 , y 0 , z0 ) Уравнение касательной плоскости F x¢( x 0 , y 0 , z0 )( x - x 0 ) + F y¢ ( x 0 , y 0 , z0 )(y - y 0 ) + F z¢( x 0 , y 0 , z0 )( z - z0 ) = 0. Уравнение нормали: (x - x 0 ) (y - y 0 ) ( z - z0 ) = = F x¢( x 0 , y 0 , z0 ) F y¢ ( x 0 , y 0 , z0 ) F z¢( x 0 , y 0 , z0 ) 14

9) Частные производные высших порядков. f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ) называются частными производными первого порядка. Частные производные по x и по y от функций f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ), если они существуют, называ ются частными производными второго порядка. ¶ 2 f ( x,y) ¶2 z ¢¢ = z = xx ¶x 2 ¶x 2 ¶ 2 f ( x,y) ¶2 z ¢¢ = f xy¢¢ ( x , y ) = = zxy ¶ x¶ y ¶ x¶ y f xx¢¢ ( x , y ) =

f yx¢¢ ( x , y ) =

¶ 2 f ( x,y) ¶2 z = z¢¢yx = ¶y ¶x ¶y ¶x

f yy¢¢ ( x , y ) =

¶ 2 f ( x,y) ¶2 z ¢¢ = z = yy ¶y 2 ¶y 2

По определению:

¶ 2 f ( x , y ) ¶ æ ¶f ( x , y ) ö = ç ÷. ¶ x¶ y ¶y è ¶x ø

Пример: f ( x,y) = x 4 + 3 x 2 y 2 ; f x¢ = 4 x 3 + 6 xy 2 ; f y¢ = 6 x 2 y; f xx¢¢ f xy¢¢ f yx¢¢ f yy¢¢

= 12 x 2 + 6y 2 ; = 12 xy ; = 12 xy ; = 6x 2 .

Частная производная по различным переменным называется смешанной. Аналогично находятся частные производные высших порядков. ¢¢¢ = 24 x ; f xxy ¢¢¢ = 12 y ; f xyx ¢¢¢ = 12 y ; f xyy ¢¢¢ = 12 x ; f yyy ¢¢¢ = 0 и т. д. f xxx Нетрудно заметить, что: ¢¢¢ = f xyx ¢¢¢ = f yxx ¢¢¢ ; f xyy ¢¢¢ = f yyx ¢¢¢ = f yxy ¢¢¢ f xy¢¢ = f yx¢¢ ; f xxy Теорема 5: Если в некоторой окрестности точки (х0,у0) функция z = f ( x , y ) имеет смешанные частные производные f xy¢¢ и f yx¢¢ и эти производные непрерывны в точке (х0, у0), то они в этой точке равны: f xy¢¢ = f yx¢¢ . Доказательство: Рассмотрим вспомогательное выражение: 15

A = f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) - f ( x 0 + Dx , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 + Dy ) + f ( x 0 , y 0 ), то есть A = D x (D y z), где D y z = f ( x 0 , y 0 + Dy ) - f ( x 0 , y 0 ). Очевидно, что D x (D y z) = D y (D x z). Обозначим j( x ) = f ( x , y + Dy ) - f ( x , y 0 ). Тогда: A = [ f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) - f ( x 0 + Dx , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 + Dy ) + f ( x 0 , y 0 )] = = j( x 0 + Dx ) - j( x 0 ). Применим к этому выражению теорему Лагранжа (по Dx): A = j¢ ( x 0 + QDx )Dx , то есть. A = [ f x¢( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Dy ) - f x¢( x 0 + Q1 Dx , y 0 )] Dx . Применим еще раз теорему Лагранжа (по Dу): A = f xy¢¢ ( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Q 2 Dy )DxDy Аналогично, меняя ролями х и у, находим: A = f yx¢¢ ( x 0 + Q 3 Dx , y 0 + Q 4 Dy )DxDy , откуда f xy¢¢ ( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Q 2 Dy )DxDy = f yx¢¢ ( x 0 + Q 3 Dx , y 0 + Q 4 Dy )DxDy . При Dx ® 0, Dy ® 0, в силу непрерывности двух производных, получим: f xy¢¢ = f yx¢¢ . Следствие: Если функция z = f ( x , y ) в некоторой области имеет все частные производные n-го порядка включительно и это производные непрерывны, то смешанные производные порядка m (m£n), отличающиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой. (5) (5) Пример: n = 5; f xxyxy . = f xyxxy ¢¢¢ = ( f x¢)¢¢xy = ( f x¢)¢¢yx = f xyx ¢¢¢ . Затем дифференцируя Действительно: f xxy (5) (5) по х, а потом по у f xxyxy . = f xyxxy Аналогично для трех переменных: f = x 3 y 2 z ¶f ¶f ¶f ¶f = 3 x 2 y 2 z; = 2 x 3 yz; = x3y 2; = 6 x 2 z; ¶x ¶y ¶z ¶x 16

¶2 f ¶2 f ¶2 f ¶2 f = 6 x 2 yz = ; = = 3 x 2 y 2 и т.д. ¶ x¶ y ¶ x¶ y ¶ y ¶ x ¶ z ¶ x 10) Дифференциалы высших порядков. Дифференциал первого порядка: dz = f x¢( x , y )dx + f y¢ ( x , y )dy . Дифференциал второго порядка: d 2 z = d(dz) = d[ f x¢( x , y )dx + f y¢ ( x , y )dy ] = = f xx¢¢ (dx ) 2 + 2 f x¢¢y dxdy + f yy¢¢ (dy ) 2 . Дифференциал третьего порядка:

[

]

d 3 z = d(d 2 z) = d f xx¢¢ (dx ) 2 + 2 f xy¢¢ dxdy + f yy¢¢ (dy ) 2 = ¢¢¢ (dx ) 3 + 3 f xxy ¢¢¢ (dx ) 2 dy + 3 f xyy ¢¢¢ dx (dy ) + f yyy ¢¢¢ (dy ) 3 . = f xxx n

æ ¶ ö ¶ Введем символическую запись: d z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ), тогда ¶y ø è ¶x n

æ ¶ ö ¶ dz = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ) ¶ x ¶ y è ø 2

æ ¶ ö ¶ d 2 z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ) ¶y ø è ¶x 3

æ ¶ ö ¶ d 3 z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ). ¶y ø è ¶x 2.2.3 Экстремум функции двух переменных 1) Пусть z = f ( x , y ) — функция двух переменных. Точка ( x 0 , y 0 ) называется точкой максимума, если для любой другой точки ( x , y ) выполняется неравенство f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ). Аналогично, точка ( x 0 , y 0 ) называется точкой минимума, если f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 ).Точки минимума и максимума функции называется ее точками экстремума. 17

а) Необходимое условие экстремума: Теорема 1: Если функция f ( x , y ) в точке ( x 0 , y 0 ) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю: f x¢( x 0 , y 0 ) = f y¢ ( x 0 , y 0 ) = 0, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует. Пример 1: f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 (конус). В точке (0,0): f (0,0) = 1; в любой другой точке f ( x , y )< 1. Частные производные: -y -x ; f y¢ = в точке (0,0) не существуют. f x¢ = x2 -y2 x2 -y2 Пример 2: f ( x , y ) = x 2 + y 2 (параболоид). f (0,0) = 0 — максимум. f x¢ = 2 x ; f y¢ = 2 y ; f x¢(0,0) = f y¢ (0,0) = 0. Пример 3: f ( x , y ) = xy ; f x¢(0,0) = f y¢ (0,0) = 0 — но это не экстремум. Если равны нулю первые производные или они не существуют, то такие точки называют критическими, но не экстремальными. б) Достаточное условие экстремума. Теорема 2: Пусть в окрестностях критической точки ( x 0 , y 0 ) функция f ( x , y ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка. Рассмотрим выражение: 2

D( x , y ) = f xx¢¢ ( x , y ) × f yy¢¢ ( x , y ) - ( f xy¢¢ ( x , y )) . Тогда: 1) если D( x 0 , y 0 ) > 0, то в этой точке (x0,y0) функция f ( x , y ) имеет экстремум: если f xx¢¢ ( x 0 , y 0 ) < 0 — максимум, если f xx¢¢ ( x 0 , y 0 ) > 0 — минимум; 2) если D( x 0 , y 0 ) < 0, то функция экстремума не имеет; 3) если D( x 0 , y 0 ) = 0, экстремум в точке (x0, y0) может быть, может и не быть. Пример: f ( x , y ) = xy (1 - x - y ); f x¢ = y (1 - 2 x - y ); f y¢ = x (1 - x - 2 y ). Определим критические точки ( f x¢ = f y¢ = 0); ìï y (1 - 2 x - y ) = 0 y = 0 ì(1 - 2 x - y ) = 0 x =1 3 ; Þ í í y =1 3 ïî x (1 - x - 2 y ) = 0 x = 0 î(1 - x - 2 y ) = 0 18

M 1 (0 , 0); M 2 (0 , 1); M 3 (10 , ); M 4 (1 3 , 1 3) f xx¢¢ = -2 y ; f xy¢¢ = 1 - 2 x - 2 y ; f yy¢¢ = -2 x ; D( x , y ) = 4 xy - (1 - 2 x - 2 y ) 2 D(0 , 0) < 0; D(0 , 1) < 0; D(1 , 0) < 0 — экстремума нет. D(1 3 , 1 3) = 1 9 — экстремум. Так как f xx¢¢ (1 9 , 1 9) > 0, то М4 — это максимум. zmax = f (1 3 , 1 3) = 1 9(1 -1 3 -1 3) = 1 27. 2) Условный экстремум Пусть дана функция u = f ( x , y , z) и на ее переменные наложены дополнительные условия: F1 ( x , y , z) = 0; F 2 ( x , y , z) = 0 Эта формула называется уравнением связи. Говорят, что для такой функции может существовать условный экстремум. а) Необходимое условие условного экстремума. Предположим, что все функции f, F1, F2 имеют непрерывные производные первого порядка и хотя бы один определитель типа ½¶F1 ¶F1 ½ ¶(F1 F 2 ) ½ ¶y ¶z ½в точке M (x ,y ,z ) отличен от нуля. Тогда условный =½ 0 0 0 0 ¶ F ¶ F 2½ ¶(y , z) ½ 2 ½ ¶z ½ ½ ¶y экстремум находится по следующим правилам (метод Лагранжа): а) составляем вспомогательную функцию: j = f + l 1 F1 + l 2 F 2 — функция Лагранжа; б) записываем необходимые условия экстремума этой функции: ¶j ¶j ¶j ¶j ¶j = = = = =0 ¶x ¶y ¶z ¶l 1 ¶l 2 в) решаем полученную систему уравнений, находим критические точки экстремума для функции j. г) если ( x 0 , y 0 , z0 ,l 1 ,l 2 ) — найденная критическая точка, то в точке ( x 0 , y 0 , z0 ) функция u = f ( x , y , z) может быть име ет условный экстремум. Исследование достаточных условий выходит за рамки курса. Пример: найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если его полная поверхность имеет площадь 2а. Объем V = xyz. 19

Площадь S = 2( xy + xz + yz) = 2a. То есть требуется найти max функции V = xyz при условии xy + xz + yz - a = 0. Составим функцию: j( x , y , z,l) = xyz + l( xy + xz + yz - a). Приравняем к нулю все ее частные производные первого порядка: ì yz + l(y + z) = 0; ï ï xz + l( x + z) = 0; í ï xy + l( x + y ) = 0; ïî xy + xz + yz - a = 0. Из первого и второго уравнения получаем

yz xz , то есть = y+z x+z

yz( x + z) = xz(y + z); z( x - y ) = 0; y = x . Аналогично, из третьего уравнения получаем: y = z. Подставляем в четвертое уравнение: x = y = z, то есть 3 x 2 = a; æ a a aö a 1 a ÷ — является кри. Точка ( x 0 , y 0 , z0 ) = ç , , x= = y = z; l = ç 3 3 3÷ 3 2 3 è ø тической точкой экстремума функции V. То есть максимальный объем a a a у параллелепипеда со сторонами и этот объем равен V = . 3 3 3 Задания для самостоятельной работы: 1) Вычислить частные производные функций : а) Z = x 2 + xy + y 2 б) Z = x y в) Z = ( x - y ) ( x + y ) г) Z = exp( x + y ) д) Z = ln( x × y ) е) Z = x 2 y + exp( x 2 ) ln x ж) Z = exp( x × y ) sin y 2) Найти экстремум функции 2-х переменных: а) Среди всех треугольников с периметром 2p найти тот, площадь которого наибольшая. б) Среди всех вписанных в круг радиуса R треугольников найти тот, площадь которого наибольшая. 20

2.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2.3.1. Неопределенный интеграл 1) Первообразная функция. Если задача дифференциального исчисления — отыскание производной от заданной функции, то обратная задача — восстановление функции по заданной производной — задача интегрального исчисления. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F ¢ ( x ) = f ( x ). Примеры: а) F ( x ) = sin x — первообразная для функции f ( x ) = cos x , так как (sin x )¢ = cos x . б) F(x)=ln x — первообразная для функции f ( x ) =1 x . Очевидно, что если F(x) — первообразная для f(x), то функция F ( x ) + c также будет первообразной (c = const). Действительно: если F(x) — первообразная, то есть F ¢ ( x ) = f ( x ), то [F ( x ) + c]¢ = F ¢ ( x ) = f ( x ). Пример: f ( x ) = 3 x 2 ; для этой функции первообразными будут: F ( x) = x 3 j( x ) = x 3 -1 3 y( x ) = x 3 + 2 и т.д. Лемма: Функция, производная которой тождественно равна нулю, постоянна. Теорема 1: Если F(x) — первообразная для f(x), то любая другая первообразная может быть записана в виде F ( x ) + c. Доказательство: Пусть j( x ) — любая первообразная для f(x): ¢ j ( x) = f ( x) . Тогда: [j( x ) - F ( x )]¢ = j¢( x ) - F ¢( x ) = f ( x ) - f ( x ) = 0, значит функция j( x ) - F ( x ) — постоянна: j( x ) - F ( x ) = c. Отсюда: j( x ) = F ( x ) + c. Выражение F ( x ) + c называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается символом: ò f ( x )dx = F ( x ) + c. Читается «интеграл эф от икс по дэ икс». f ( x ) называется подынтегральной функцией; f ( x )dx называется подынтегральным выражением; x — переменная интегрирования; 21

символ ò — знак интеграла. 1 Примеры: а) ò dx = ln x + c; x б) ò 3 x 2 dx = x 3 + c. Отыскание первообразной, или отыскание неопределенного интеграла функции f ( x ) называется интегрированием этой функции. Это операция обратная дифференцированию. Проверка интегрирования осуществляется дифференцированием результата. Пример: ò e -2 x dx = (1 2)e -2 x + c; ((-1 2)e -2 x + c)¢ = e -2 x . 2) Свойства неопределенного интеграла. а) производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: [ò f ( x )dx ]¢ = f ( x ); б) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d(ò f ( x )dx ) = f ( x )dx ; в) неопределенный интеграл от производной функции равен самой функции плюс произвольная постоянная: ò F ( x )¢dx = F ( x ) + c; г) неопределенный интеграл от дифференциала функции равен диф фе рен ци руе мой функ ции плюс про из воль ная по сто ян ная: ò dF ( x) = F ( x) + c; д) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ò c f ( x)dx = c ò f ( x)dx; е) неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций ра вен сум ме (раз но сти) ин те гра лов от этих функ ций: ò[ f ( x) ± j( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò j( x)dx. 3) Таблица основных интегралов. x a +1 a x dx = + c, a ¹ -1 ò a +1 dx ò x = ln x + c x x ò e dx = e + c 22

ax + c, a ³ 0 ln a ò cos xdx = sin x + c x ò a dx =

ò sin xdx = -cos x + c ò sec xdx = tg x + c ò cosec x dx = -ctg x + c dx 1 x = arctg + c a + a2 a dx 1 x -a ò x 2 - a 2 = 2a ln x + a + c dx 2 2 ò x 2 + a 2 = ln x + x + a ò tg x dx = ln cos x + c

òx

2

(

) +c

ò ctg x dx = ln sin x + c ò sec xdx = ln sec x + tg x + c ò cosec x dx = ln cosec x + ctg x + c Все формулы проверяются дифференцированием. dx 1 æxö Пример: ò 2 = arctg ç ÷ + c 2 a x +a èaø ¢ é1 1 1 1 æxö ù 1 × = 2 ê arctg ç ÷ + c ú = × 2 2 a a a a 1+ (x a ) a + x2 è ø û ë 4) Некоторые приемы интегрирования. a) метод подстановки: Пусть F ( x ) первообразная для f ( x ): F ¢( x ) = f ( x ). Пусть x = j(t ), тогда F [j(t )] будет первообразной для функции f [j(t )]. Действительно: [F (j(t ))]¢ = F x¢[j(t )]j¢(t ) = f [j(t )]j¢(t). Отсюда следует: ò f [j(t )]j¢ (t )dt == F [j(t )] + c = F ( x ) + c = ò f ( x )dx Эта формула называется формулой замены переменной: ò f ( x)dx = ò f [j(t )]j¢(t )dt 23

Формально замена переменной сводится к замене дифференциала: dx = dj(t ) = j¢ (t )dt После нахождения интеграла по t, надо заменить результат на его значение через x. Примеры: x3 а) ò dx = : обозначим x = t +1; dx = dt ( x -1) 2 (t +1) 3 t 3 + 3t 2 + 3t +1 3 1 =ò dt = dt = ò (t + 3 + + 2 )dt = ò 2 2 t t t t 1 2 1 1 1 2 = t + 3t + 3 ln t - + c = ( x -1) + 3( x -1) + 3 ln x -1 +c 2 t 2 x -1 б) метод интегрирования по частям: Пусть: u = j( x ); n = y ( x ) [j( x )y ( x )]¢ = j¢( x )y ( x ) + j( x )y ¢( x )

ò[j( x)y( x)]¢dx = ò j¢( x)y( x)dx + ò j( x)y¢( x)dx, т.е. j( x )y ( x ) = ò j( x )y ( x )dx + ò j( x )y ( x )dx , т.е. ò j( x )y ¢ ( x )dx = j( x )y ( x ) - ò y ( x )j¢ ( x )dx , или ò udv = uv - ò vdu — это формула интегрирования по частям. Примеры: ½x = u; e x dx = dv½ ½= xe x - ò e x dx =xe x - e x + c а) ò xe x dx =½ x dx = du ; e = v ½ ½ 2 ½x = u; sin xdx = dv ½ ½ = - x 2 cos x + 2 ò x cos dx = б) ò x 2 sin xdx =½ ½2 xdx = du; - cos x = v½ x = u ; cos xdx = dv½ ½ ½ = 2 x sin× x - x 2 cos x - 2 sin xdx = =½ ò dx = du ; sin x = v ½ ½ = - x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c Класс функций типа P ( x )e ax ; P ( x )sin ax ; P ( x )cos ax берутся по частям, путем многократных подстановок. 24

Примеры: ½( x 2 - 2 x ) = u; e - x dx = dv½ ½= а) ò ( x 2 - 2 x )e - x dx =½ -x ½2( x -1)dx = du; - e = v½ ½x -1 = u; e - x dx = dv½ ½= = -( x 2 - 2 x )e - x + 2 ò ( x -1)e - x dx =½ -x ½dx = du; e = v ½ = -( x 2 - 2 x )e - x - 2( x -1)e - x + 2 ò e - x dx = -( x 2 - 2 x )e - x -2( x -1)e - x - 2 e - x + c = - x 2 e - x + c ½e ax = u; sin bxdx = dv ½ 1 ½= - e ax cos bx + б) ò e ax sin bxdx =½ ax ½ae dx = du; (-1 b)cos bx = v½ b ½e ax = u; cos bxdx = dv ½ a a ½= + e ax cos bx + ò e ax cos bxdx =½ ax b b ½ae dx = du; (1 b)sin bx = v½ 1 a a2 = - e ax cos bx + 2 e ax sin bx - 2 ò e ax sin bxdx b b b Составляем уравнение относительно интеграла: (1 +

-bcos bx + a sin bx ax a2 ) e ax sin bxdx = e , 2 ò b b2

откуда

òe

ax

sin bxdx =

a sin bx - bcos bx ax e +c a 2 +b2

5) Интегрирование элементарных дробей. ½t = ax + b ½ dx 1 dt 1 1 ½ = ò = ln t + c = ln ax + b + c а) ò =½ dt ½ ½ ax + b dt = adx ; dx = a t a a ½ a½ ½ax + b = t½ dx 1 dt 1 б) ò =½ = ò m =+c dt ½ m ½ ½ dx = a t (ax + b) a(m -1)t m -1 ½ a ½ ½ax 2 + bx + c = 1 [4a 2 x 2 + 4abx + b 2 + ½ ½ ½ dx 4a в) ò 2 =½ ½= 1 ax + bx + c ½ 2 2 2 ½ +4ac - b ] = [(2ax + b) + (4ac - b )] ½ ½ 4a 25

½u = 2ax + b; du = 2adx½ dx ½= =½ 2 (2ax + b) + (4ac - b ) ½4ac - b 2 = s ½ 4a du 2 u 2 2ax + b = ò 2 = arctg +c = arctg +c 2a u + s s s s s ½u = 2ax + b ½ Mx + N Mx + N г) ò 2 dx = 4aò dx =½du = 2adx ½ = ½ ½ ax + bx + c (2ax + b) 2 + (4ac - b 2 ) 2 ½4ac - b = s½ M (u - b) +N 4a 1 Mu - Mb + 2aN M udu 2a = ò du = - ò du = + 2 2 2a a a ò u2 + s u +s u +s ½t = u 2 + s½ M dt 2aN + Mb du 2aN - Mb du + = ò u 2 + s ½½dt = 2udu½½= 2a ò t + a ò u 2 + s = a M 2aN + Mb 1 u M = ln t + arctg +c = ln (2ax + b) 2 + (4ac - b 2 ) + 2a a 2a s s 2aN + Mb 2ax + b + arctg +c a (4ac - b 2 ) 4ac - b 2 = 4aò

2

Примеры: 7x -2 84 x - 24 84 x - 24 а) ò 2 dx = ò dx = ò dx = 2 3x -5x + 4 36 x - 60 x + 48 (6 x - 5) 2 + 23 ½u = 6 x - 5 ½ 1 14u + 70 - 24 7 udu 23 du =½du = 6dx ½ = ò du = ò 2 + ò 2 = 2 ½ ½ 6 3 u + 23 3 u + 23 u + 23 ½x = (u + 5) 6½ ½t = u 2 + 23½ 7 23 u 7 ½ = ln u 2 + 23 + =½ arctg + c = ln 36 x 2 - 60 x + 48 + 6 3 23 23 ½dt = 2udu ½ 6 23 6x -5 7 23 6x -5 arctg + c = ln 3 x 2 - 5 x + 4 + arctg + c1 . 3 6 3 23 23 ½u = x - 3½ 3x + 4 3x + 4 3u + 9 + 4 б) ò dx = ò dx =½du = dx ½ = ò du = 2 2 2 ½ ½ 7 - x +6x 16 - ( x - 3) 16 u ½x = u + 3½ +

= 3ò 26

udu 16 - u 2

+ò

½t 2 = 16 - u 2 ½ tdt u ½ = - 3ò =½ +13 arcsin + c = 2 t 4 16 - u ½2tdt = -2udu½ du

u x -3 = -3 16 - u 2 +13 arcsin + c = -3 7 - x 2 + 6 x +13arcsin +c 4 4 dx du 1 s +u 2 +u 2 1 du в)ò = I = du = ò 2 ò ò 2 n 2 n 2 n s (u + s) s (u + s) n -1 (ax + bx + c) (u + s) 1 u 2 du u 2 du - ò 2 = I I ; I = = 2 2 1 s (u + s) n (u 2 + s) n ½ ½ udu udu 1 ½= =½dv1 = 2 ; u1 = u; du1 = du; v1 = ò 2 = n n 2 n -1 (u + s) (u + s) 2(n -1)(u + s) ½ ½ u 1 du = + ò 2 n -1 2 2 n - 2 (u + s) n -1 (2 n - 2)(u + s) Таким образом: du 1 du u 1 du ò (u 2 + s) n = s ò (u 2 + s) n -1 + s(2 n - 2)(u 2 + s) n -1 - s(2 n - 2) ò (u 2 + s) n -1 или: du u 2n -3 du = + + s) n s(2 n - 2)(u 2 + s) n -1 s(2 n - 2) ò (u 2 + s) n -1 то есть мы понизили степень в знаменателе на 1. Применяя эту формулу (n -1) раз, мы придем к табличному интеdu гралу ò 2 . u +s Данная формула называется рекурентной.

ò (u

2

Пример: dx x 3 dx x а) ò 2 = + = + ò 3 2 2 2 2 2 ( x + 5) 5 × 4( x + 5) 5 × 4 ( x + 5) 20( x + 5) 2 3 x 1 dx x 3x + × + = + + ò 2 2 2 2 20 5 × 2( x + 5) 5 × 2 x + 5 20( x + 5) 200( x 2 + 5) 3 x . + arctg 200 5 5 +c (Mx + N )dx Mx + N б)ò dx = (4a) n ò = 2 n (ax + bx + c) [(2ax + b) 2 + (4ac - b) 2 ]n ½u = 2ax + b; du = 2adx ½ (4a) n M (u - b) (2a) + N ½ =½ = du = u b ½x = ; s = 4ac - b 2½ 2a ò (u 2 + s) n ½ ½ 2a 27

½t = u 2 + s, а второй ½ (4a) M udu 2aN + Mb du ½ = + = интеграл берется по ½ ò ò 2 n 2 n ½ 2a 2a (u + s) 2a (u + s) ½ ½рекуррентной формуле½ Пример: ½u = x - 2½ 3x +5 3x +5 3u + 6 + 5 I =ò 2 dx = ò dx =½du = dx ½ = ò 2 du = 2 2 2 ½ ½ (u + 3) 2 ( x - 4 x + 7) [( x - 2) + 3] ½x = u + 2½ n

½t = u 2 + 3½ 3 dt udu du u 1 du ½ ½ = ò +11 + 11 = + = ò ò 2 2 2 2 2 2 2 (u + 3) (u + 3) ½dt = 2udu½ 2 t 3 × 2(u + 3) 3 × 2 u + 3 11( x - 2) 3 11u 11 u 3 =- + + arctg +c = + + 2 2 2t 6(u + 3) 6 3 2( x - 4 x - 7) 6( x 2 - 4 x + 7) 3 11 x -2 + arctg + c. 6 3 3 = 3ò

6) Интегрирование тригонометрических функций. 2 sin( x 2)cos( x 2) 2 tg ( x 2) Вспомним, что: sin x = = 2 2 cos ( x 2)sin ( x 2) 1 + tg 2 ( x 2) Правило 1: Ин те грал ви да ò R(sin x ,cos x )dx подстановкой t = tg( x 2) приводится к интегралу от рациональной функции t, который всегда выражается через элементарные функции. Доказательство: Пусть t = tg( x 2), тогда: sin x =

2t 1-t 2 2dt ; cos x = ; x = 2arctg t ; dx = 2 2 1+t 1+t 1+t 2

Подставим все это под интеграл:

ò R(sin x,cos x)dx = ò R

2t 1 - t 2 2 dt = ò r (t )dt 1+t 2 1+t 2 1+t 2

где r(t) — рациональная функция t. Подстановка t = tg( x 2) называется универсальной подстановкой. ½t = tg ( x 2) ½ dx 2 ½ ½ Пример: ò = dx = 2dt (1 + t ) = ½ 9 + 8cos x + sin x ½ ½x = 2arctg t ½ 28

=ò

2dt 2

= 2ò

dt dt = 2ò = t + 2t +17 (t +1) 2 +16 2

æ 8(1 - t ) 2t ö ÷ (1 + t 2 )çç 9 + + 2 1+t 1 + t 2 ÷ø è tg ( x 2) +1 1 t +1 1 = arctg + c = arctg +c 2 4 2 4 Однако эта подстановка часто приводит к громоздким выкладкам. Правило 2: Если функция R(sin x ,cos x ) нечетна относительно cosx, R(sin x ,cos x ) то интеграл ò R(sin x ,cos x )dx = ò = cos xdx cos x Так как R(sin x ,cos x ) — не чет на от но си тель но cos x, то R(sin x ,cos x ) — четно относительно cos x и может содержать cos x лишь cos x в четных степенях. Применим подстановку t = sin x , dt = cos xdx , ò R(sin x,cos x)dx =ò r (sin x)cos xdx = ò r (t )dt , где r (t ) — рациональная функция t. Правило 3: Если R(sin x ,cos x ) нечетна относительно sin x, то t = cos x интеграл ò R(sin x ,cos x )dx приводится к интегралу от рациональной функции. Доказывается так же, как и правило 2. Примеры: 2 2 cos 3 x ½t = sin x ½ ½ = (1 - sin x ) cos xdx = 1 - t dt = а) ò dx =½ ò 2 + sin x ò 2 +t 2 + sin x ½dt = cos xdx½ 3 t2 = ò (-t + 2 )dt = - + 2t - 3 ln 2 + sin x + c. 2 +t 2 t = cos x б) ò cos 2 x × sin 5 xdx = = cos 2 x (1 - cos 2 x ) 2 sin xdx = dt = - sin xdx ò 1 2 1 = -ò t 2 (1 - t 2 ) 2 dt = -ò t 2 (1 - 2t 2 + t 4 )dt = - t 3 + t 5 - t 7 + c = 3 5 7 1 2 1 = - cos 3 x + cos 5 x - cos 7 x + c. 3 5 7 в) ò cos 7 xdx = |t = sin x ; dt = cos xdx| = = ò (1 - sin 2 x ) 3 cos xdx =ò (1 - t 2 ) 3 dt =ò (1 - 3t 2 + 3t 4 - t 6 )dt = 29

3 1 3 1 = t - t 3 + t 5 - t 7 + c = sin x - sin 3 x + sin 5 x - sin 7 x + c 5 7 5 7 Правило 4: Если функция R(sin x ,cos x ) четна относительно sin x и cos x, то интеграл подстановкой t = tg x проводится к интегралу от рациональной функции. Доказательство: Преобразуем функцию: R(sin x ,cos x ) = R(tg x × cos x ,sin x ) Так как она четна относительно cosx, то может содержать только четные степени, но cos 2 x =

1 1 , = 2 sec x 1 + tg 2 x

поэтому R(sin x,cos x)=r(tg x). Умножим и разделим r(tg x) на sec 2 x и сделаем подстановку: t=tg x; dt = sec 2 xdx . Получим: r (tg x ) sec 2 xdx = ò r1 (t )dt 2 x

ò R(sin x,cos x)dx = ò r (tg x)dx = ò 1 + tg Пример:

ò sin

2

dx = t = tg x ; dt = sec 2 xdx 2 x + 6 sin x × cos x + cos x

Подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x; разделим и умножим на cos2 х: sec 2 xdx dt dt 1 ½tg x - 2½ ò tg 2 x + 6tg x -16 = ò t 2 + 6t -16 = ò (t + 3) 2 - 25 = 10 ln½½tg x + 8½½+ c Правило 5: Интеграл от целых степеней tg x и ctg x и от sec x и cosec x удоб но брать, ис поль зуя со от но ше ния: tg 2 x = sec 2 x -1; ctg 2 x = cosec 2 x -1. Примеры: 4 2 2 2 2 ò tg xdx = ò tg x(sec x -1)dx = ò tg x ×sec xdx -ò tg 2 xdx = ò tg 2 x × sec 2 xdx - ò sec 2 xdx + ò dx = ò tg 2 xd(tg x ) 1 -ò sec 2 xdx + ò dx = tg 3 x - tg x + x + c. 3 30

3

2

2

ò ctg xdx = ò ctg x(cosec x -1)dx = = ò ctg x × cosec xdx - ò ctg xdx = t = ctg x ; dt = cosec xdx = 1 = -ò tdt - ò ctg xdx = ctg x - ln sin x + c. 2 ò sec xdx = ò (1 + tg x) × sec xdx = t = tg x; dt = sec xdx = = ò (1 + t ) dt = ò (1 + 3t + 3t + t )dt = 2

2

8

2

2 3

3

2

2

4

2

6

3 1 = tg x + tg 3 x + tg 5 x + tg 7 x + c. 5 7 Правило 6: Если встречаются произведения типа sin m x × cos n x , где m и n — четные неотрицательные числа, то целесообразно использовать соотношения: cos 2 u = 1 2 (1 + cos 2u); sin 2 u = 1 2 (1 - cos 2u); sin 2 u × cos 2 u = 1 4 sin 2 2u = 1 8(1 - cos 4u). Примеры: 1 1 1 (1 - cos14 x )dx = - sin14 x + c. ò 2 2 28 1 1 4 2 2 ò cos 5 xdx = 4 ò (1 + cos10 x) dx = 4 ò (1 + 2 cos10 x + cos 10 x)dx = 1 1 1 = ò (1 + 2 cos10 x + + cos 20 x )dx = 4 2 2 3 1 1 = x + sin10 x + sin 20 x + c 8 20 160 1 1 1 2 2 ò sin 3 x ×cos 3 xdx = 8 ò (1 - cos12 x)dx = 8 x - 96 sin12 x + c.

ò sin

2

7 xdx =

Правило 7: Для произведения можно использовать соотношения: 2 sin ax × cos bx = sin(a + b) x + sin(a - b) x 2 cos ax × cos bx = cos(a + b) x + cos(a - b) x 2 sin ax × sin bx = cos(a - b) x - cos(a + b) x Не трудно заметить, что в отличие от дифференциального исчисления, которое конструктивно (есть определенные правила), интегральное исчисление — неконструктивно (вместо правил вводится ряд 31

приемов). В этом плане, интегрирование более сложная задача, чем дифференцирование. Здесь нужны навыки и интуиция. Многие интегралы можно брать только приближенно или через специальные функции. Существуют многочисленные справочники, где приводятся уже взятые интегралы. 2.3.2. Определенный интеграл 1) При определении понятия производной мы решали задачу о мгновенной скорости: V мгн = limV ср = lim t ®0

t ®0

s(t + Dt ) - s(t ) Ds . = lim t ® 0 Dt Dt

Теперь рассмотрим обратную задачу: пусть нам известен закон изменения мгновенной скорости V = V (t ). Нас интересуют путь S, пройденный за промежуток времени Dt = t 2 - t 1 . Так как движение не является равномерным, то нельзя просто скорость V умножить на Dt. Разобьем весь промежуток времени на большое число малых интервалов времени, тогда приближенно: S » V1 Dt 1 +V 2 Dt 2 +K+V n Dt n или n

S » åV k (t k )Dt k . k =1

Для получения более точного пути, надо перейти к пределу: n

S = lim åV k (t k )Dt k k =1

Другая задача — о площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной кривой y = f ( x ) на интервале [a, b]. Если разбить интервал [a, b] на малые промежутки Dх и принять высоту каждого прямоугольника за f (x k ), то площадь приближенно равна: n

n

S » å f (x k )Dx k ; в пределе, более точно: S = lim å f (x k )Dx k . k =1

k =1

n

Выражение типа å f (x k )Dx k называется интегральной суммой. k =1

32

Определение: Предел, к которому стремится интегральная сумма при Dx ® 0, называется определенным интегралом от функции f(x) по интервалу интегрирования и обозначается: b

ò

n

f ( x )dx = lim å f (x k )Dx k . k =1

a

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а,b] — промежутком интегрирования. Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а,b], ограниченной сверху кривой y = f ( x ). 2) Свойства определенного интеграла. а) Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: b

ò a

b

b

f ( x )dx =ò f (t )dt =ò f (u)du. a

a

б) Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования: b

ò a

a

f ( x )dx = - ò f ( x )dx . b

b

в) ò dx = b - a. a

г) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: b

b

ò cf ( x)dx = c ò f ( x)dx. a

a

д) Определенный интеграл от суммы (разности) двух функций f1 ( x ) и f 2 ( x ) равен сумме (разности) определенных интегралов от слагаемых: b

b

b

ò [ f1 ( x) ± f 2 ( x)]dx = ò f1 ( x)dx ±ò f 2 ( x)dx. a

a

a

33

е) Если отрезок [a, b] разбит точкой c на две части [a,c] и [c, b], то: b

c

b

ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx a

a

c

ж) Если всюду на отрезке [a, b] функция f ( x ) ³ 0, то: b

ò f ( x)dx ³ 0. a

з) Если всюду на отрезке [a, b] функция f1 ( x ) £ f 2 ( x ), то: b

ò

b

f1 ( x )dx £

a

òf

2

( x )dx

a

Теорема 1 (о среднем): Если функции f ( x ) и j( x ) непрерывны на отрезке [a, b] и функция j( x ) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка x, такая, что: b

ò a

b

f ( x ) × j( x )dx = f (x)ò j( x )dx a

b

b

В частном случае, если j( x ) =1, то ò f ( x )dx = f (x)ò dx . a

b

a

b

Так как ò dx = b - a, то ò f ( x )dx = f (x)(b - a). a

a

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с высотой f (x). 3) Определенный интеграл с переменным верхним пределом: x

ò f (t )dt = F( x). a

Теорема 2: Производная определенного интеграла от непрерывной Функции f(t) по его верхнему пределу равна подынтегральной функции с заменой переменной верхним пределом: x

d f (t )dt = f ( x ) dx òa 34

Доказательство: Дадим приращение Dх аргументу функции Ф точке х и рассмотрим разность: x + Dx

DF( x ) = F( x + Dx ) - F( x ) =

ò a

Так как

x + Dx

x

ò

f (t )dt = ò f (t )dt +

a

x

f (t )dt - ò f (t )dt . a

x + Dx

a

ò

f (t )dt , то DF( x ) =

x

x + Dx

ò f (t )dt

или, по

x

теореме о среднем: DF( x ) = f (x)Dx , где x — точка между x и x+Dx. Разделим на Dx и перейдем к пределу: lim

D x ®0

DF( x ) = lim f (x) = f ( x ), D x ®0 Dx

то есть производная F¢( x ) = f ( x ),что и требовалось доказать. Аналогично: b

d f (t )dt = - f ( x ) dx òx Теорема 3: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Доказательство: Действительно, по теореме о существовании определенного интеграла, существует функция: x

F( x ) = ò f (t )dt , a < x < b. a

Так как F¢ ( x ) = f ( x ), то эта функция является первообразной для x

функции f(x) и ò f ( x )dx = ò f (t )dt + c. a

3) Формула Ньютона — Лейбница. Пусть F(x) — первообразная для функции f(х) на отрезке [a, b]: x

ò f (t )dt = F ( x) + c a

a

Пусть x = a, тогда ò f (t )dt = F (a) + c, то есть 0 = F (a) + c; c = -F (a). a

35

x

Таким образом: ò f (t )dt = F ( x ) - F (a). a

b

В частности, для x = b: ò f (t )dt = F (b) - F (a) — это формула Ньютоa

на-Лейбница, выражающая определенный интеграл через неопределенный: b

½b

ò f ( x)dx = F ( x)½½a a

Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленной для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Примеры: 1

а)

òx

-1

dx p ½1 = arctg x½ = arctg1 - arctg(-1) = 2 2 +1 ½-1

2 ½2 б) ò (3 x 2 -1)dx = ( x 3 - x )½ = 2 3 - 2 = 6. ½0 0

5) Замена переменной в определенном интеграле. Теорема 5: Если функция j(t ) непрерывна вместе со своей производной j¢(t ) на отрезке [c,d] и j(c) = a; j(d) = b, то: b

ò a

d

f ( x )dx = ò f [ j(t )]j¢ (t )dt . c

Доказательство: b

С одной стороны ò f ( x )dx = F (b) - F (a). a d

С другой стороны ò f (j(t ))j¢ (t )dt = F (j(d)) - F (j(c)) = F (b) - F (a). b

c d

Значит: ò f ( x )dx = ò f (j(t ))j¢ (t )dt . a

36

c

Пример: 1 ½t = e x ; a = e 0 = 1 ½ e e x dx dt = ò0 4e 2 x +12 e x + 34 ½dt = e x dx; b = e 1 = e½½= ò1 4t 2 +12t + 34 = ½ ½u = 2t + 3; t = 1½ 2e + 3 dt du 1 u½2 e + 3 ½u = 5; du = 2dt ½ = 1 =ò = = arctg ½ = ò 2 2 ½ ½ 2 5 u + 25 10 5½5 1 (2t + 3) + 25 ½t = e; u = 2 e + 3½ 1 2e +3 p = arctg 10 5 40 e

6) Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть функции u = j( x ) и v = y( x ) — непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a, b]: [j( x )y ( x )]¢ = j¢ ( x )y ( x ) + j( x )y ( x )¢. Проинтегрируем это выражение в пределах от а до b: b

b

b

ò[j( x)y( x)]¢dx = ò j¢( x)y( x)dx + ò j( x)y( x)¢dx a

a

a

По формуле Ньютона — Лейбница: b

½b

ò[j( x)y( x)]¢dx = j( x)y( x)½½a, a

то есть b b ½b j( x )y ( x )½ = ò j¢ ( x )y ( x )dx + ò j( x )y ¢ ( x )dx ½a a a

или b

b b ½ ½ - j¢( x )y ( x )dx j ( x ) y ¢ ( x ) dx = j ( x ) y ( x ) òa ò ½a a b b ½b или ò udv = uv½ - ò vdu — формула интегрирования по частям. ½a a a Пример: p2 p 2 p2 ½x = u; sin xdx = dv½ ½ = - x cos x½ ½ + cos xdx = ½ x sin xdx = ò0 ò0 ½0 ½dx = du; v = -cos x½

37

p2

=

½p 2

ò cos xdx = sin x½½0

=1

0

Интегрирование в симметричных пределах. a

а)

ò

-a a

б)

a

f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx , если f(x) — четная функция. 0

ò f ( x)dx = 0, если f(x) — нечетная функция.

-a

2.3.3. Геометрические приложения определенного интеграла 1) Площадь плоской фигуры.

Пусть Т — плоская фигура. Многоугольник Q, содержащий фигуру Т, называется описанным около фигуры Т. Многоугольник q содержащийся в фигуре Т, называется вписанным в фигуру Т. Если существует последовательности описанных и вписанных в фигуру Т многоугольников (соответственно Q1, Q2,...,Qn и q1, q2,…qn таких, что последовательности их площадей имеют общий предел: lim пл.Qn = lim пл.q n = S , n ®¥

n ®¥

то фигура Т называется квадрируемой, а этот общий предел называется площадью фигуры Т. Площадь криволинейной трапеции равна пределу площадей описанной и вписанной ступенчатых фигур, то есть квадрируема: b

S = ò f ( x )dx . a

38

Если функция f ( x ) знакопеременна на отрезке [a, b], то определенb

ный интеграл ò f ( x )dx численно равен сумме площадей криволинейных a

трапеций лежащих над и под осью ОХ (со знаком + и -). Если фигура ограниченна кривыми y = j( x ) и y = y( x ), то ее площадь можно вычислить как разность площадей криволинейных трапеций: b

b

b

S = ò y ( x )dx - ò j( x )dx = ò [y ( x ) - j( x )]dx . a

a

a

Примеры: а) Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями: y = x ; x = 3; y = 0.

3

S = ò xdx = 0

2 ½3 x x½ = 2 3. 3 ½0

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x ; y = x 2 ; x = 2. y

0

2

x

2

æ x 3 x 2 ö½2 5 ÷½ = . S = ò x 2 - x dx = çç 2 ÷ø½1 6 è 3 1

(

)

39

2) Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим фигуру, ограниченную углами a и b и полярным радиусом r = f (j), a £ j £ b. Разобьем ее на ряд секторов с углами: Dj1 = j1 - j 0 ; Dj 2 = j 2 - j 0 . Площадь каждого кругового сектора для наибольших и наименьших радиусов Ri и ri: Ri2 r2 Dj i и i Dj i 2 2 Ri2 Dj i . i =1 2 n r2 Площадь вписанной фигуры: пл.q = å i Dj i . i =1 2 Устремим Dj ® 0, тогда в пределе: n

Площадь описанной фигуры: пл.Q = å

b

b

n r2 Ri2 1 1 Dj i = lim å i Dj i = ò f 2 (j)dj = ò r 2 dj 2a 2a i =1 2 i =1 2 n

lim å

Пример : Площадь кардиоиды r = a(1 + cos j) y

2

40

x

S=

a2 2

2p

ò (1 + cos j)

2

dj =

0

3p 2 a 2

3) Объем тела. Рассмотрим в пространстве тело V. Всякий многогранник К, содержащий внутри себя это тело, называется описанным, а всякий многогранник k, содержащийся внутри тела V, называется вписанный в это тело. Определение: Тело V называется кубируемым, если существуют последовательности описанных и вписанных в него многогранников, объемы которых имеют общий (конечный) предел: lim об.K n = lim об.kn = V . n ®¥

n ®¥

Этот общий предел называется объемом тела V. Пусть площадь любого сечения Т тела V есть непрерывная функция х: S ( x ), a < x < b, a и b — крайние точки тела V. Разобьем отрезок [a, b] точками x1, x2, … xn. Обозначим наибольшее значение сечения через M i , а наименьшее через m i . Построим на соседних сечениях цилиндры описанный и вписанный. Их объемы: M i Dx i и m i Dx i . Производя аналогичные построения для каждого отрезка Dx i , получим описанное около тела V и вписанное в него тело, цилиндры. n

Их объемы:

åM i =1

n

i

Dx i и

å m Dx i

i

. При стремлении шага Dx i ® 0,

i =1

эти суммы имеют общий предел, который называется объемом этого тела: b

V = pò S ( x )dx , так как тело V — кубируемо. a

4) Объем тела вращения. Рассмотрим кривую y = f ( x ), непрерывную на отрезке [a,b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию вращать вокруг оси ОХ, то образуется тело вращения. Сечение: S ( x ) = p f 2 ( x ), так как f ( x ) - R — радиус круга. Значит: b

b

V = pò f 2 ( x )dx = pò y 2 dx a

a

41

Пример: Найти объем тела, ограниченного поверхностью вращения y = x 3 , 0 < x < 1.

1

V = pò x 6 dx = 0

p 7

5) Длина дуги кривой. Рассмотрим кривую АВ.

Разобьем ее точками M0, M1, … Mn и соединим их ломаной линией M0M1Mn . Определение: За длину S кривой АВ принимается предел, к которому стремится ломанная при стремлении к нулю наибольшего отрезка. Прямые, для которых существует предел S, называются спрямляемыми. Пусть кривая АВ задана в параметрической форме: x = j(t ); y = y(t ); a < t < b. Длина ломанной прямой : n

p=

åM i =1

n

i -1

Mi = å i =1

n

=

å ( j(t i =1

42

2

( x i - x i -1 ) + ( y i - y i -1 ) 2

i

) - j(t i -1 )) + ( y (t i ) - y (t i -1 ))

2

2

=

Применим теорему Лагранжа: n

p = å j¢ 2 ( t i ) + y ¢ 2 ( t i ) Dt i . i =1

Если кривая АВ спрямляема, то существует предел р, равный длине дуги : b

b

S = ò j¢ 2 ( t i ) + y ¢ 2 ( t i )dt = ò x ¢ 2 +y ¢ 2 dx . a

a

Если кривая АВ задана явно: y = f ( x ) на отрезке [а,b], то принимая х за параметр, получим, как частный случай: b

b

S = ò 1 + f ¢ 2 ( x )dx = ò 1 + y ¢ 2 dx . a

a

Если кривая АВ задана в полярных координатах: r = f (j), a £ j £ b то, учитывая равенства: x = f (j)cos j, y = f (j)sin j. При этом: dx = f ¢ (j)cos j - f (j)sin j; dj dy = f ¢ (j)sin j - f (j)cos j; dj 2

2

æ dx ö æ dy ö 2 çç ÷÷ = çç ÷÷ f ¢ (j) - f 2 (j). è dj ø è dj ø b

b

То есть S = ò f 2 (j) + f ¢ 2 (j)dj или S = ò r 2 + r¢ 2 dj a

a

Пример: Найти длину дуги кардиоиды r = a(1 + cos j). p

S = 2aò (1 + cos j) 2 + sin 2 jdj = 0

p p j = 2aò 1 + 2 cos j +1dj = 2 2a 2 ò cos dj = 2 0 0

p2 ½j 2 = t ½ ½ = 8a sin t½ ½ = 8a =½ ½j = p; t = p 2½ ½0 43

6) Площадь поверхности вращения: Рассмотрим кривую y = f ( x ), a £ x £ b. Разобьем дугу ab на n частей и соединим ломанной линией. Получится n усеченных конусов. Рассмотрим i-й конус, его высота — Dxi, радиус основания y i = f ( x i ). Образующая равна: ( x i - x i -1 ) 2 + ( f ( x i ) - f ( x i -1 ))

2

Площадь S боковой поверхности: S = 2p

f ( x i ) + f ( x i -1 ) 2

2

( x i - x i -1 ) 2 + ( f ( x i ) - f ( x i -1 )) .

f ( x i -1 ) + f ( x i ) . 2 По теореме Лагранжа: f ( x i ) - f ( x i -1 ) = f ¢ (z i )( x i - x i -1 ). Среднее между f ( x i -1 ) и f ( x i ) равно: f (h i ) =

Таким образом: S i = 2 p f (h i ) 1 + f ¢ 2 (z i )Dx i . Если существуют предел этой суммы, то он является площадью поверхности вращения: b

S = lim S = 2 pò f ( x ) 1 + f ¢ 2 ( x )dx . x ®0

a

Пример: Вычислить площадь поверхности параболоида радиуса R, отсеченного на расстоянии Н.

x = ky 2 , H = kR 2 , то есть k = y =R 44

x . H

H H . Таким образом x = k 2 y 2 или 2 R R

2

¢ù é æ x x ö÷ ú R ê ç S = 2 pò R 1+ R dx = 2 p ç ÷ ê ú H H ø H 0 êëè ûú H

=p

=

R H

H

4 xH + R 2 dx = p

ò

pR 6H 2

0

é(4H 2 + R 2 ) 3 êë

2

H

ò 0

x1 +

R2 1 dx = H 4x

R (4 xH + R 2 ) 3 2 = 3 H 4H 2

-R 3 ù úû

2.3.4. Несобственные интегралы До сих пор считали, что интервал интегрирования конечен и подынтегральная функция на нем не обращается в бесконечность. Такие интегралы называются интегралами в собственном смысле слова, или коротко, собственными. Если одно из этих условий нарушается, то интеграл называется несобственным. Несобственный интеграл может не иметь численного значения. 1) Интеграл с бесконечными пределами. b

+¥

ò F ( x)dx = lim ò F ( x)dx — если такой предел существует, то несобa

b ®+¥

a

ственный интеграл существует и сходится. Если такого предела нет, или этот предел бесконечен, то несобственный интеграл не существует или расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл: b

ò

-¥ ¥

b

f ( x )dx = lim ò f ( x )dx и a ®-¥ c

a

+¥

ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx.

-¥

-¥

c

Определение: Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на +¥

промежутке [a,+¥], то величина несобственного интеграла

ò f ( x)dx равна a

площади бесконечной трапеции, ограниченной сверху линией y = f ( x ). Примеры: +¥ b b dx dx p а) ò = lim = limarctg x| 0 = arctg b = 2 2 b ®¥ ò b ®¥ b ®¥ 2 0 1+ x 0 1+ x 45

б)

1

1

ò

e 2 x dx = lim ò e 2 x dx = lim

-¥ +¥

a ®-¥

1 2x e a ®-¥ 2

a

1

= a

1 e2 lim (e 2 - e 2 a ) = 2 a ®-¥ 2

в) ò e x dx = I 1 + I 2 -¥

b

I 1 = lim ò e x dx = lim e x b ®¥

b ®¥

0

|

b 0

= lim(e b -1) = ¥ b ®¥

Этот интеграл расходится, несмотря на то, что вторая часть сходится: 0

I 2 = lim ò e x dx = lim e x a ®¥

a ®¥

a

|

0 a

= lim (1 - e a ) = 1 a ®-¥

Несобственный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: N

¥

а) ò f ( x )dx = lim ò f ( x )dx = lim[F (N ) - F (a)] = F (¥) - F (a) — если суN ®¥

a

a

N ®¥

ществует lim F (b) при b ® ¥; +¥

б)

ò f ( x)dx = F (+¥) - F (-¥) — если существуют lim F (b) и limF (a)

-¥

при b ® ¥, a ® ¥. 2) Несобственные интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f ( x ) перестает быть конечной на одном из пределов (например а), тогда существует интеграл от бесконечной функции: b

ò

b

f ( x )dx = lim

a

e ®0

ò f ( x)dx — если этот предел существует.

a+ e

Точка, в которой функция перестает быть конечной называется особенностью рассматриваемого интеграла. Определение: Если функция F ( x ) непрерывна и неотрицательна на интервале [a,b], не ограничена вблизи b и несобственный интеграл сходится, то его величина равна площади бесконечной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x ) и прямыми x = a, x = b. Здесь также можно пользоваться формулой Ньютона-Лейбница: b

ò f ( x)dx = F ( x)| a

ствует предел. 46

b a

— если первообразная не имеет разрыва и суще-

Пример: 2

ò

-1

1 3

x

2

2

dx = ò x

-1 3

-1

x 2 3½ ½ = 3 (2 2 3 -1) = 0,881 dx = 2 3 ½-1 2

3) Специальные функции а) Гамма-функция ¥

Несобственный интеграл: G( p) = ò e - x x p -1 dx — называется эйлеро0

вым интегралом второго рода. На верхнем пределе (+¥) интеграл сходится, так как e - x при x ® ¥ стремится к нулю, быстрее, чем x p . На нижнем пределе (0) интеграл сходится только для p > 0, таким образом 0< p < ¥. Проведем интегрирование по частям: ¥

G( p +1) = ò e - x x p dx = -e - x x p 0

¥

¥

¥

| +òe 0

-x

px p -1 dx

0

¥

то есть G( p +1) = pG( p); G(1) = ò e - x x 1 -1 dx = ò e - x dx = -e - x 0

0

|

¥ 0

= 1.

Аналогично получим: G(2) = 1G(1) = 1; G(3) = 2 G(2) = 2 ×1; G(4) = 3G(3) = 3 × 2 ×1; G(n +1) = n ! то есть 0! = G(1) = 1. б) Бетта-функция Несобственный интеграл: 1

B = ( p,q) = ò x p -1 (1 - x ) q -1 dx — называется эйлеровым интегралом 0

первого рода. Интеграл сходится только для p > 0, q > 0 в интервале [0,1]. G( p)G(q) Можно показать, что B( p,q) = . G( p + q) Положим p = q =1 2: 1

B(1 2 ; 1 2) = G 2 (1 2) = ò x -1 2 (1 - x ) -1 2 dx = 0

1

=ò 0

dx x (1 - x )

1

= 2ò 0

dx 1 - (1 - 2 x )

1

2

= -arcsin (1 - 2 x )| 0 = p 47

То есть G(1 2) = p. Отсюда важный «неберущийся» интеграл: ¥

¥

-x ò e dx = x = t = 0

¥

1 - t -1 2 1 1 p e t dt = ò e - t t 1 2 -1 dt = G(1 2) = 2 ò0 20 2 2

в) d-функция Дирака 2 Рассмотрим функцию F( x ) = e - x , которая называется нормальной кривой (см. рис.2.3.1).

Рисунок 2.3.1

Умножим у на m: y = mF( x ) — увеличивается высота линии в m раз. Умножим х на m: x = F(mx ) — ширина уменьшается в m раз. Но площадь под кривой осталась постоянной, действительно: ¥

¥

¥

¥

ò mF(mx)dx = ò F(mx)d(mx) = ò F( s)ds = ò F( x)dx =1

-¥

-¥

-¥

-¥

Пусть m ® ¥: 2 — для всех x ¹ 0 mF(mx ) ® 0, т.к. F(mx ) = e - mx уменьшается быстрее, чем увеличивается m (линия сужается); — для всех x = 0 mF(0) ® ¥ с ростом m. То есть получается функция со следующими свойствами: 1) функция равна нулю для x < 0 и x > 0; 2) функция равна бесконечности при x = 0; 3) интеграл от этой функции от -¥ до +¥ равен 1. ì0 x ¹ 0 Такая функция называется d-функцией: d( x ) = í î¥ x = 0 48

Свойства d-функции: ¥

ò f ( x)d( x)dx = f (0);

-¥ ¥

ò f ( x)d( x - a)dx = f (a).

-¥

г) q-функция (тета-функция)

Рисунок 2.3.2 x

q( x ) = ò d( x )dx — единичная ступенчатая функция (рис. 2.3.2) -¥

ì0 x < 0 q( x ) = í î1 x > 0

q¢ = d( x ).

Задания к самостоятельной работе: 1) Вычислить неопределенные интегралы: а) ò sin2 xdx б) ò x × arctg x dx в) ò x 2 ln xdx г) ò x ln 2 xdx д) ò x 2 sin xdx е) ò 4 - 9 x 2 dx ж) ò[( x 2 -1) ( x 2 +1)]dx з) ò (1+ x )dx 49

2) Найти площадь фигуры а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = ln x , x = e, y = 0 б) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 , и прямой y = a. в)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = 2 px , x = a г) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4- x2, y =0 д)Найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами: y 2 = x, x 2 = y е) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x3, y =2x 3) Найти объем тела вращения: а) y 2 = 2 px , x = a б) y = x 3 , y =1, x = 0 в) y = x 2 , y = x г) y = 4 - x 2 , y = 0, x = 0 д) y = exp x , x = 0, y = 0 е) x 2 + y 2 = R 2 .

ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высш. шк., 1999. 2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Ч. 2. М.: «Финансы и статистика», 2003. 3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Физматгиз, 1960. 4. Берс Л. Математический анализ. М.: Высш. шк. 1994. 5. Щипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высш.шк., 1994. 6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1998.

Эдуард Федорович Казанцев МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Тетрадь 2)

Учебно-методическое пособие Печатается по решению Редакционно-издательского совета Международного университета в Москве Компьютерная верстка и дизайн: Д.А.Глазков Печатается в авторской редакции Подписано в печать 21.02.05 Гарнитура Times New Roman Формат 60´90 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая Усл. печ. л. 3,0. Тираж 150 экз. Изд. № 13 Издательский дом Международного университета в Москве Москва, Ленинградский проспект, 17 Международный университет в Москве Тел. (095) 250-45-42