Высшая математика (часть 2). Конспект лекций

I. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ОДНОЙ  ПЕРЕМЕННОЙ  1. Определение произв одной  Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x  приращение Dx. Тогда функция получит приращение Dy = f ( x + D x ) -  f ( x) .  Определение.  Производной от  ф ункции f в т очке x называет ся предел от ношения ее приращения Dy  в эт ой т очке к соот вет ст вующему приращению аргумент а Dx, когда последнее  ст ремит ся к нулю: Dy  f ( x + Dx ) - f ( x ) f ¢( x )  = lim  = lim  (1.1.1)  D x ® 0  Dx  Dx ® 0  D x  Для обозначения производной употребляются различные символы:  (Лагранж)  f ¢ ( x ),  f ¢ df ( x )  dy  ,  dx  dx 

(Лейбниц) 

(Коши)  Df ( x ),  Dy .  Замечание 1. Когда говорят, что в точке x существует производная f ¢ ( x ) , то обычно имеют  в виду, что существует конечный предел (1.1.1). Однако, может случиться, что существует  бесконечный предел (1.1.1). В этом случае полезно говорить, что функция f имеет в точке x  бесконечную производную.  Замечание 2. Производная f  ¢ ( x )  при данном значении x=x0, если она существует, есть  определенное число. Если же производная f  ¢ ( x )  существует, при каждом x из некоторого  открытого множества X, то она является функцией от x на множестве X.  Пример 1. Найти производную f ¢ ( x )  функции  y =  x 3 . Подсчитать значения f ¢ ( 1 ) , f ¢ ( 0 ) .  Решение. По определению имеем f ( x + Dx ) - f ( x )  ( x + Dx ) 3  - x 3 f ¢( x )  = lim  = lim  = D x ® 0  D x ® 0  Dx  D x  3  2  2  3  3  x  + 3 x  ( Dx ) + 3 x × ( Dx )  + ( Dx )  - x  = lim  = lim ( 3 x 2  + 3 x ( Dx ) + ( D x ) 2 ) = 3 x 2  .  Dx ® 0  Dx ® 0  Dx  2  2  Тогда: f ¢( 1 )  = 3 × 1  = 3 ; f ¢( 0 ) = 3 × 0  = 0 .

Функции f(x) и f ¢ ( x )  указаны на рис. 1.1.1.  Замечание 3. Если в точке x существует производная f ¢ ( x ) , то  функция f(x) непрерывна в этой точке.  В самом деле: пусть существует предел Dy  .  f ¢( x )  = lim D x ® 0  D x  Dy  Тогда разность между функцией и ее предельным значением D x  f  ¢ ( x )  есть бесконечно малая величина Dy  - f  ¢( x )  = a ( x , Dx ) ¾D ¾ x¾ ® 0 ® 0 .  Dx  Тогда Dy  = f ¢( x ) + a ( x , D x) Dx  Dy = f ¢( x ) Dx + a ( x , Dx ) D x . (1.1.2)  Отсюда получаем  lim D y = 0 . 

Рис. 1.1.1 

Dx ®0 

Бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение  функции. Это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x.  Определение.  Если в формуле (1.1.1) величина Dx ст ремит ся к нулю, ост аваясь полож ит ельной: Dx > 0 , соот вет ст вующий предел (если он сущест вует ), на зывает ся пра вой  производной от  функции f в т очке x:  f ( x + Dx ) - f ( x )  .  (1.1.3)  f пр¢ = lim  D x ® +0  Dx  Аналогично (при Dx 0 ,  a ¹ 1 

2 а . 

y = e x

y ¢ = e x 

3. 

y = log a x 

3 а . 

y = ln x

4. 

y = sin x

y ¢ = cos x 

5. 

y = cos x

y ¢ = - sin x 

6. 

y = tgx

7. 

y = ctgx

8. 

y = arc sin x

9. 

y ¢ =

1  1 ×  ,  a  ΠR a  > 0 ,  a ¹ 1 ,  x  ln a 

y ¢ = 

1  x 

y ¢ = 

1  cos 2  x 

1  y ¢ = -  2  sin  x  1 

y ¢ =

1 - x 2 

y = arc cos x

y ¢ = -

10.  y = arctgx

y ¢ =

11.  y = arcctgx 12. 

1  1 - x 2 

1  1 + x 2 

y ¢ = -

1  1 +  x 2 

y = sh x =

e x  - e - x 2

y ¢ = ch x =

e x  + e - x  2 

y = ch x =

e x  + e - x 2

y ¢ = sh x =

e x  - e - x  2

13. 

14.  y = thx =

e x  - e - x  e x  + e - x

y ¢ =

1  4  = ch x 2  ( e x  + e - x ) 2 

Отметим важные частные случаи формулы 1: ¢ ¢ 1  1  æ 1 ö x  =  ,  ç ÷ = -  2  .  è ø x  x 2  x Докажем некоторые из этих формул.  0).  y = C . ·  С ­ постоянная величина. Поэтому значению  x + D x соответствует значение 

( ) 

функции  y + D y = C . Тогда C ¢ = lim 

Dx ® 0 

C - C 0  = lim  = lim 0 = 0 n  D x ® 0  D x  D x ® 0  Dx 

1). Степенная функция  y = xa  . ·  Покажем сначала, что формула справедлива при любом натуральном a = n . Имеем

( x n ) ¢ = Dlim x ® 0

( x + Dx ) n  - x n

=

D x 

x n  + nx n -1  × ( Dx ) + = lim

Dx ® 0 

n ( n - 1 ) n - 2  2  n  x  × ( Dx ) +K +( Dx ) - x n  2 = D x 

é æ n ( n - 1 ) n - 2  n ( n - 1 )( n - 2 ) n - 3  n -1 ö ù = lim ênx n -1  + Dx ç x  + x  Dx +K +( D x ) ÷ ú = nx n - 1 n  Dx ® 0  è øû 2  !  3 ! ë С доказательством формулы (1) при произвольном a  можно ознакомится в  [1. гл. III, §12].  2).  Показательная функция  y = a x . x + D x 

a  ¢ · y ¢ = ( a x ) = lim  Dx ® 0 

(

)

- a x  e  x + Dx  ln a  - e x ln a  e Dx ln a  - 1  .  = lim  = lim e x ln a  Dx ® 0  Dx ® 0  Dx  Dx  D x 

Используя эквивалентность  ea - 1 ~ a при a ® 0 , получаем Dx ln a  ¢ y ¢ = ( a x ) = lim e x ln a  = e ln a  × ln a  = a x  ln a  n  Dx ® 0  D x  x 

2 а ).  y =  e x . ·  Это частный случай функции  y = a x при а=e. Используя формулу (2), получаем

(e x ) ¢ = e x  × ln e = e x n  3).  y = log a x .

log  ( x + Dx ) - log a  x  · y ¢ = (log a  x ) = lim  a  = lim  Dx ® 0  Dx ® 0  Dx  ¢

Dx ö æ log a  ç 1 + ÷ è x  ø = D x 

Dx ö Dx ö æ æ ln ç 1 + lnç 1 + ÷ ÷ è è 1  x  ø x  ø .  = lim  = × lim  Dx ® 0  ln a × ( Dx ) ln a  Dx ® 0  D x  Используя эквивалентность ln (1 + a )  ~ a  при a ® 0 ,  получаем ¢ 1  Dx  1  1  n  y ¢ = (log a  x ) = × lim  = × D x  ®  0 ln a  x × Dx  x  ln a  3 а ).  y = ln x . ·  Это частный случай функции  y = log a x  при а=е. По формуле (3) получаем ¢ 1  y ¢ = ( ln x ) =  n  x  4).  y = sin x . sin (x + Dx ) - sin x  ¢ · y ¢ = (sin x ) = lim  = lim  D x ® 0 D x ®0  Dx 

2 sin 

Dx  æ Dx ö cos ç x + ÷ 2  2  ø è = Dx 

Dx  æ Dx ö cos ç x + ÷ è D x ö 2  2  ø æ = lim  = lim cos ç x + ÷ = cos x n  è Dx ® 0  Dx ® 0  Dx  2  ø 2 

5).  y = cos x .  (Доказательство формулы проводится аналогично доказательству предыдущей  формулы). Имеем y ¢ = sin x n  6).  y = tg x . ¢  ¢ æ sin x ö · (1.7.1)  y ¢ = ( tg x ) = ç ÷ .  è cos x ø Используя правило дифференцирования дроби получаем y ¢ = =

( sin x ) ¢ cos x - sin x ( cos x ) ¢ cos 2  x 

cos 2  x + sin 2  x  1  n  =  cos 2  x  cos 2  x 

7).  y = ctg x .  Доказательство формулы 1  ¢ y ¢ = ( ctg x ) = -  2  sin  x  проводится аналогично.

=

cos x × cos x - sin x ( - sin x ) =  cos 2 x 

С доказательством остальных формул можно ознакомится в [1. гл III, §§ 8, 10, 12, 14].  Примеры .  1.  Дана функция  y =  x 3 . Найти y ¢ .  Решение. Используя табличную формулу (1) при a = 3, получаем y ¢ = 3 x 3 - 1  = 3 x 2 .  æ x + 1 ö 2.  Найти производную y ¢  от функции y  = çç 3 3  x  - 2  ÷÷ .  x  ø è 1 

Решение.  y = 3 x 3  - 2 

1  1  1  x  2  -  = 3 x 3  - 2 x 2  - 2 x 2  . x  x 

1  1 -1  1  1 -1  æ y ¢ = 3 × x 3  - 2 × x 2  - 2 × ç è 3  2  3.  y = xe x + 

2  1  3  1 ö - 1 2 -1  -  ÷ x  = x  3  - x  2  + x  2  = 2 ø

1  3 

2 

x 

-

1  x 

+

1  x 3 

. 

sin x  . Найти y ¢ .  ln x 

Решение. Используя правила дифференцирования и табличные формулы, получаем ¢ ¢ ( sin x ) ¢ ln x - sin x ( ln x ) ¢ sin x ö ¢ æ sin x ö æ x  ¢ ( ) y ¢ = ç xe x  + ÷ = ( x × e x ) + ç ÷ = x e  ¢ x  + x e  + =  è è ln x ø ln x ø ln 2 x  1  cos x × ln x - sin x ×  x  .  = 1 × e  + xe  + ln 2  x  x 

x 

4.  Записать уравнения касательной и нормали к кривой  y =  x 3 , в точке  ¢ М0(2; 8). Решение. y ¢( x ) = ( x 3 ) =  3 x 2  . В точке x0=2 имеем y ¢( 2 ) = 3 × 2 2  = 12 .  Уравнение касательной имеет вид

( y - y  ) = y ¢( x  )( x - x ) .  В нашем случае x0=2,  y  = 8 , y ¢( x  ) = y ¢( 2 ) = 12 . Тогда получаем уравнение  0 

0 

0 

0 

0 

касательной

( y - 8 ) = 12 ( x - 2 )  y - 8 = 12 x - 24  12 x - y - 16 =  0 .  Уравнение нормали имеет вид

( y - y  ) = 0 

1  y ¢( x 0 )

( x - x ) . 

В нашем случае имеем y - 8 = -

1  ( x - 2)  12 

0 

12 y - 72 = - x + 2  x + 12 y - 74 = 0 .  7. Производная сложной функции  Пусть заданны две функции  y =  f ( u)  и  u = j ( x) ,  причем множество значений функции  u = j ( x)  принадлежит области определения функции  y =  f ( u) . В этом случае определена функция y = F ( x )  =  f (j ( x) ) , называемая слож ной  функцией.  Примеры сложных функций:  y = 1 - x 2  (здесь  y =  u , где  u = 1 - x 2 );  y = cos5 x (здесь  y = cos u , где  u = 5 x );

(

) 

y = ln  x + x 2  + 1  (здесь  y = ln u , где  u = x + x 2  + 1 ).  Теорема. Пуст ь определена слож на я функция y = F ( x )  =  f (j ( x) ) . Если функция  u = j ( x)  имеет  производную в т очке x, а  функция  y =  f ( u)  имеет  производную в  соот вет ст вующей т очке  u = j ( x) , т о слож ная ф ункция y = F ( x )  =  f (j ( x) )  имеет  производную (по x) в т очке x, причем F ¢( x )  = f u ¢( u ) × j x ¢ ( x ),  где u = j ( x ) (1.7.1)  или, в другой записи, y x ¢ = y u ¢ × u x ¢ .  (1.7.2)  Доказат ельст во. Данному значению x соответствует значение  u = j ( x) . Придадим x  приращение Dx ¹ 0 . Это вызовет приращение Du  = j ( x + D x ) - j ( x) . Так как функция  y =  f ( u)  имеет производную в точке u, то на основании равенства (1.1.2) имеем Dy = f ¢( u ) Du + a ( Du ) × D u ,  (1.7.3)  где a ( Du) ® 0  при Du ® 0 .  В формуле (1.7.3) величина a ( Du ) определена при Du ¹ 0 . Но переменная u есть функция от  x. Поэтому при Dx ® 0  (и Dx ¹ 0 ) может получиться так, что Du = 0 . Поэтому доопределим  функцию a ( Du ) , полагая a ( 0 ) =  0 . Равенство (1.7.3) при этом соглашении выполняется, так  как, если подставить в него Du = 0 , то получится 0=0.  Разделим обе части равенства (1.7.3) на Dx ¹ 0 : Dy  Du  Du  (1.7.4)  = f ¢( u )  + a ( Du ) ×  .  Dx  Dx  D x Пусть Dx ® 0. Тогда Du ® 0 , потому что функция  u = j ( x)  имеет производную в точке x и,  следовательно, непрерывна. Переходим в равенстве (1.7.4) к пределу при Dx ® 0 . Тогда Du ® 0  и a ( Du) ® 0 . Поэтому получим y x ¢ = f u ¢( u ) × j x ¢ ( x ) + 0 × j x ¢ ( x ) = f u ¢( u ) × j x ¢ ( x ) = y u ¢ × u x ¢ n  Пример 6. Найти производную функции  y = sin ln x .  Решение. Здесь  y = sin u , где  u  = ln x . Следовательно 1  ¢ y x ¢ = cos u × u ¢ = cosln x ( ln x ) = cosln x ×  .  x  Пример 7. Найти производную функции  y =

x 2  + 4 .

Здесь  y =  u , где  u = x 2  + 4 . Поэтому 1  1  1  x  .  y x ¢ = × u ¢ = × ( x 2  + 4 ) ¢ = × 2 x = 2  2  2  2  u  2  x  + 4  2  x  + 4  x  + 4  Замечание 1. После того, как несколько примеров на нахождение производной сделано,  можно освоить более короткую запись (не водя явным образом переменную u, а имея ее в  виду). Так решение примера 7 можно записать так: ¢ 1  2 x  x  ¢ y ¢ = x 2  + 4  = × ( x 2  + 4 ) = = .  2  2  2  2  x  + 4  2  x  + 4  x  + 4  Замечание 2. Возможен случай, когда функция u, в свою очередь, является сложной. Тогда  правило (1.7.2) применяется снова.  Пример 8. Найти производную функции  y = ln cos x 2 .  1  1  ¢ Решение. y ¢ = ( ln cos x 2 ) = (cos x 2 ) ¢ = cos x 2  ( - sin x 2 )( x 2 ) ¢ = - 2 x tg x 2 .  cos x 2 

(

)

Пример 9. Найти производную функции  y = arcsin  x 2  - 4 .  ¢ ¢ 1  Решение. y ¢ = arcsin  x 2  - 4  = x 2  - 4 =  2  1 - x 2  - 4 

(

=

1 

×

)

1 

1 - ( x  - 4 ) 2  x  - 4  2 

2 

¢ × ( x 2  - 4 ) =

(

)

1  2 

×

5 - x 

(

)

1  2 

2  x  - 4 

× 2 x =

x  2 

5 - x  × x 2  - 4 

. 

8. Производная обратной функции  Пусть функция  y =  f ( x)  взаимно однозначно отображает область определения на множество  значений. Это означает, что различным значениям  аргументов x1  и x2  соответствуют различные значения  функции, то есть  f ( x 1 )  ¹  f ( x 2 )  (см. рис. 1.8.1). В этом  случае каждому y из множества значений функции f(x)  соответствует одно значение x из области определения  функции f(x), а именно то самое значение x, для  которого f(x)=y. Такое соответствие  y ®  x определяет  функцию  x =  g ( y) , называемую обрат ной к функции  Рис. 1.8.1 y =  f ( x) . Часто обратную функцию обозначают так:  x = f  -1 ( y) .  Если  y =  f ( x) ­ строго монотонна, то она взаимно однозначно отображает область  определения на множество значений u, следовательно, определена обратная функция  x =  g ( y) . Так на рис. 1.8.1 отрезок [a; b] на оси OX взаимно однозначно отображается на  отрезок [c; d] на оси OY. Графики функций  y =  f ( x)  и  x =  g ( y)  совпадают. Если же обозначить аргумент обратной функции g (как обычно) через x, а  значение функции (как обычно) через y, то график функции  y =  g ( x)  симметричен графику  функции  y =  f ( x)  относительно биссектрисы I и III координатных узлов. 

é p p ù Пример 10. Дана функция  y = sin x . При  x Î ê- ;  ú ей соответствует обратная функция  ë 2  2 û x = arcsin y , где y Î[ - 1 ;  1 ] . Обозначая аргумент этой  функции через x, а значение этой функции ­ через y,  получаем обратную функцию  y = arcsin x , где x Î [ - 1 ;  1 ] . Графики функций  y = sin x и  y = arcsin x показаны на рис. 1.8.2. Эти графики симметричны  относительно примой y=x. Очевидно, что функция  y = sin x будет обратной по отношению к функции  y = arcsin x .  Теорема. Если функция  y =  f ( x)  непрерывна, ст рого  Рис. 1.8.2 монот онна в некот орой окрест ност и т очки x,  имеет  производную в эт ой т очке f ¢( x ) ¹  0 , т о и  обрат ная ф ункция  x =  g ( y)  имеет  производную в соот вет ст вующей т очке  y =  f ( x) , причем  1  g ¢ ( y ) = ,  где x  = g ( y ) ,  (1.8.1)  f ¢( x )  или, в другой записи, 1  x y ¢ = .  (1.8.2)  y ¢  x  Доказат ельст во. Дадим переменной y приращение Dy ¹ 0 . Ему соответствует приращение Dx  обратной функции, также не равное нулю, вследствие строгой монотонности f. Поэтому Dx  1  =  .  (1.8.3)  Dy  Dy  D x Покажем, что Dx ® 0 при Dy ® 0 . В самом деле, Dy ® 0 при Dx ® 0 , вследствие  непрерывности функции  y =  f ( x)  в точке x. Так как функция f строго монотонная, то Dx  и Dy  взаимно однозначно соответствуют друг другу, откуда Dx ® 0  при Dy ® 0 .  Теперь перейдем в формуле (1.8.3) к пределу при Dy ® 0 :  Dx  1  lim  =  .  Dy  Dy ® 0  Dy  lim Dx ® 0  D x По условию существует предел  Dy  lim  = f  ¢( x) ¹ 0 .  Dx ® 0  D x  Тогда существует предел  Dx  1  lim  = g ¢( y )  = ,   где  x =  g ( y) ,  Dy ® 0  D y  f  ¢ ( x) или, в другой записи, 1  n  x y ¢ = y ¢ x  Пример 11. Дана функция  y = arcsin x , где x Î ( - 1 ;  1 ) .  Найти y ¢ . 

Решение. Функции  y = sin x

æ æ p p ö ö ç x Î ç - ;  ÷ ÷ , соответствует обратная функция  x = arcsin y è 2  2 ø ø è

p

p 

( y Î( - 1;  1 )) . Для всех  x Î æçè - 2 ;  2 ö÷ø

функция  y = sin x удовлетворяет условиям 

предыдущей теоремы. В соответствии с формулой (1.8.2) получаем 1  1  1  ;  (arcsin y ) ¢ y  = 1  ¢ = cos  = = x  cos arcsin  y )  ( 1 -  y 2  ( sin x ) x

æ p  p ö (знак + взят перед корнем, т.к.  cos > 0  при x Î ç - ; ÷ ).  è 2 2 ø Заменяя y на x, получаем 1  ( arcsin x ) ¢ x = ( x Î (- 1 ;  1 )) .  1 - x 2 9. Производная степенно­показательной функции  Пусть дана функция вида  y =  u ( x ) v ( x ) , где  u ( x ) > 0  и функции  u ( x )  и  v ( x )  имеют производные u ¢ ( x ) , v ¢ ( x ) . Запишем функцию в виде  v

y = e ln u  = e v ln u  .  Отсюда следует, что, в соответствии с теоремой о производной сложной функции,  производная y ¢  существует. На практике y ¢  находим путем приравнивания производных  обеих частей равенства  ln y = v × ln u .  Пример 12. Пусть  y =  x sin x (x>0).  Найти y ¢ .  Решение. Очевидно, что  ln y = sin x × ln x .  Приравниваем производные обеих частей равенства, учитывая, что y ­ функция  от x: 1  ¢ ¢ × y ¢ = æçè ( sin x ) ln x + sin x ( ln x)  ö÷  ø, y  y ¢ sin x  = cos x × ln x +  .  y  x  Отсюда sin x ö æ y ¢ = y ç cos x × ln x + ÷  è x  ø sin x ö æ y ¢ = x sin x ç cos x × ln x + ÷ .  è x  ø Замечание. Прием логарифмирования полезен и в других случаях, когда это приводит к  более простым выкладкам.  3 

Пример 13. Найти производную y ¢  от функции y = Решение. Прологарифмируем обе части равенства: 2  3  3  ln y = ln ( x + 1 ) + ln ( x - 2 ) - ln ( x + 4 ) . 3  5  2 

( x + 1 ) 2  × 5  ( x - 2 ) 3  ( x + 4 ) 3 

. 

Приравниваем производные от обеих частей равенства, учитывая, что y ­ функция от x: y ¢ 2  3  3  ; = + ( ) ( ) ( y  3  x + 1  5  x - 2  2  x + 4 ) 3  3  ö æ 2  y ¢ = y ç + ÷ ; è 3 ( x + 1 ) 5 ( x - 2 ) 2 ( x + 4 ) ø 3 

y =

( x + 1 ) 2  × 5  ( x - 2 ) 3  æ 20 ( x - 2 )( x + 4 ) + 18 ( x + 1 )( x + 4 ) - 45 ( x + 1 )( x - 2 ) ö ç ÷ .  è ø 30 ( x + 1 )( x - 2 )( x + 4 )  ( x + 4 ) 3 

Замечание. Далее ( в разделе "Функции двух переменных", параграф 10) обоснован  следующий прием нахождения производной y ¢  от функции  y =  f ( x) , заданной неявно, то  есть в виде уравнения  F ( x ,  y ) = 0 .  Пример 14. Функция  y =  f ( x)  задана уравнением ln ( x + y ) - x 2  = 0 .  Найти y ¢ .  Решение. Приравниваем производные от обеих частей уравнения, учитывая, что y есть  функция от x. 1  ( x + y ) ¢ - 2 x = 0 ;  x + y  1 + y ¢ =  2 x ; x + y  1 + y ¢ = 2 x ( x +  y ) ; y ¢ = 2 x ( x + y ) - 1, где  x и y связаны уравнением ln ( x + y ) - x 2  = 0.