Deformations isomonodromiques et varietes de frobenius

Déformat ions isomonodromiques et variétés de Frobenius Claude Sabbah Déformations isomonodromiques et variétés de F...

Author: Claude Sabbah

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Déformat ions isomonodromiques et variétés de Frobenius

Claude Sabbah

Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS EDITIONS

@ 2 0 0 2 , EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, B P 112, Parc d’activités de Courtabawf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans Ir présent ouvrage, faite saris l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont, autorisées, d’une part, les reproduct,ions strictement réservées à l’usage privé dii copiste et non destinées A une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont, incorporées (art. L. 122-4, I,. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : > 2.c. Résumé des Sfi 2.a et 2.b 3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff 3.a. Existence d’une déformation universelle locale 3.b. Existence et construction d’une déformation universelle globale 3.c. Déformation universelle avec métrique 3.d. La base E 3.e. La base e 3.f. Comparaison des bases E et e 3.9. Cas où R, est antisymétrique 3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation de Fourier par e--‘[ 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type A d , deuxième version

ix

229 229 230 230 236 240 240 242 244 244 245 246 247 248 249 249 250 260 262 262 265 266

Bibliographie

271

Index des notations

283

Index terminologique

285

PRÉFACE

Malgré un titre un peu ésotérique, ce livre traite d’un sujet classique, à savoir la théorie des équations différentielles linéaires dans le domaine complexe. Les prototypes en sont les équations (portant sur la variable complexe t et la fonction inconnue u ( t ) ) : c1 du 1 = - u ( t ) (. E C), dt = dt t La première a pour solution la fonction > t H t“ et la seconde a pour solution la fonction 1 H exp(-l/t). La fonction multiforme >> log est, quant à elle, solution d’une équation avec second membre :

du

p w

-

(mouche du vinaigre) sera la droite projective complexe, qui communément appelée > et notée P1 (C)ou P’, sera l’objet d’un certain nombre d’expériences portant sur les connexions : analyse des singularités et déformations.

La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d’équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d’une équation ou d’un système d’équations linéaires d’une variable complexe. Elle donne en même temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que des propriétés remarquables des solutions de ces systèmes (la propriété dite > notamment). Si, au début, seule était considérée la déformation d’équations différentielles linéaires d’une variable complexe à coefficients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systèmes linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la question, par l’usage d’outils de la géométrie algébrique ou différentielle : fibrés vectoriels, connexions, etc. Pendant longtemps (et c’est toujours essentiellement le cas), cette méthode a servi aux théoriciens des systèmes dynamiques et aux physiciens qui analysent les équations non linéaires produites par des systèmes dynamiques intégrables : faire apparaître ces équations comme équations d’isomonodromie est en quelque sorte une linéarisation du problème initial. De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype, depuis l’article de R. Fuchs [FucO~],suivi par ceux de R. Garnier, qui a montré comment la sixième pouvait s’écrire comme équation d’isomonodromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions transcendantes. Une belle application de cette théorie est l’introduction de la notion de structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement apparue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de fonctions holomorphes, ce n’est qu’avec Boris Diibrovin, à la suite de motivations issues de la physique, qu’elle s’est réellement développée, ouvrant des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, cohomologie quantique, symétrie miroir). Mon ambition de garder à ce texte un niveau et une taille modérés, tout autant que mon incompétence sur les développements les plus récents, m’ont conduit à limiter les sujets abordés, renvoyant notamment à l’article de B. Dubrovin [Dub961 ou au livre de Y. Manin [Man99a].

PRÉFACE

...

XLll

Le chapitre O, bien qu’un peu long, peut être sauté par tout lecteur ayant des connaissances de base en géométrie algébrique complexe ; il servira alors de référence pour les notations employées. I1 regroupe les énoncés utilisés dans la suite en théorie des faisceaux, fibrés vectoriels, connexions holomorphes et méromorphes, faisceaux localement constants. Les résultats en sont classiques et existent, dispersés, dans la littérature. On poiirrait dire la même chose du chapitre I, bien qu’il soit plus difficile de trouver une référence pour le théorème de rigidité des fibrés triviaux dans les livres de géométrie algébrique élémentaire. On se restreint ici aux fibrés sur la sphère de Riemann, ce qui ne nécessite qu’un petit investissement de géométrie algébrique. On admet essentiellement dans ce chapitre le théorème de finitude de la cohomologie d’un fibré vectoriel sur une surface de Riemann compacte (et même seulement la sphère de Riemann), pour lequel il existe de bonnes références. Avec les chapitres II et III commence l’étude des systèmes linéaires d’équations différentielles d’une variable complexe et de leurs déformations. Le type des points singuliers y est analysé. Ici encore, on ne démontre pas deux théorèmes d’analyse, dans la mesure où les techniques utilisées, bien qu’abordables, sortent trop du cadre de l’ouvrage. Un des objets fondamentaux attachés à une équation différentielle ou, plus généralement, à une connexion intégrable sur un fibré vectoriel, est le groupe d e . ~transjbrmntions de monodromie dans sa représentation naturelle, reflétant la multiformité >> des solutions de cette équation ou connexion. La correspondance de Riemann-HilbPrt - au moins lorsque les singularités de l’équation sont régulières - exprime que ce groupe contient toute l’information de l’équation différentiellc. Ainsi, u n des problèmes classiques de la théorie consiste, étant donnée une équation différentielle, à calculer son groupe de monodromie. Signalons aussi un autre objet, le groupe dr Gulois d f j k x t i e l - non utilisé dans ce livre - qui a l’avantage d’être défini algébriquement à partir de l’équation. Ce n’est pas ce problème que nous développons dans ce livre, et on ne trouvera pas de calcul explicite de tels groupes. Comme indiqué ci-dessus, nous cherchons plutôt à exprimer les propriétés des solutions de I’éqiiation en terme d’objets algébriques, ici le fibré vectoriel (méromorphe) à connexion. Dans ce fibré méromorphe existent des réseaux ( i . e . des fibrés holomorphes), qui correspondent aux diffkrentes manières équivalentes d’écrire le système différentiel. Trouver la manière la plus simple d’écrire un système différentiel à équivalence inéromorphe près fait l’objet du problime de Riemann-HilbPrt (cas des singularités régulières) ou du problème de Birkhoff. I1 s’agit dans tous les cas d’écrire le système comme une connexion sur le fibré trivial. Le chapitre Tv expose quelques techniques de résolution du problème de Riemann-Hilbert ou de Rirkhoff. On trouvera dans les livres de A. Bolibroiikh [AB941 et [Bo1951 beaucoup d’autres résultats. (
. De nombreux exemples sont donnés, afin de mettre en évidence différents aspects. II peut servir d’introduction à la théorie de K. Saito sur la structure de Frobenius-Saito associée aux déploiements de fonctions à singularités isolées. La démonstration de beaucoup de résultats de cette théorie fait appel à des techniques de géométrie algébrique en dimension 3 1, techniques qui sortent du cadre de cet ouvrage et dont l’exposition demanderait un autre livre (la théorie de Hodge du système de Gauss-Manin). Ce texte, version très développée de l’article [Sab98], est issu de plusieurs cours (parfois accélérés) faits dans le cadre de la formation doctorale des universités de Paris Vi, Bordeaux I et Strasbourg ainsi que lors d’une école sur les variétés de Frobenius au CIRM (Luminy). Michèle Audin, Alexandru Dimca, Claudine Mitschi et Pierre Schapira m’ont ainsi donné l’occasion d’en exposer certaines parties. Beaucoup d’idées, de même que leur présentation, viennent en droite ligne des articles de Bernard Malgrange, ainsi que de nombreuses conversations que nous avons eues. De nombreux aspects des variétés de Frobenius me seraient restés obscurs sans de multiples discussions avec Michèle Audin. J’ai aussi eu le plaisir de longs entretiens avec Andrei Bolibroukh, qui m’a expliqué ses recherches, notamment sur le problème de Riemann-Hilbert. Joseph Le Potier a répondu de bonne grâce à mes questions électroniques sur les fibrés. Plusieurs personnes m’ont aidé à améliorer le texte, ou m’ont indiqué quelques erreurs, notamment Gilles Bailly-Maitre, Alexandru Dimca, Claus Herding, Adelino Paiva, ainsi que les rapporteiirs anonymes. Je les en remercie.

Ce livre a été écrit notamnieiit dans le cadre du programme INTAS 971644.

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

Certains mots utilisés dans ce livre ont traditionnellement plusieurs sens, suivant le contexte dans lequel on les emploie. Ainsi : - la platitude (en géométrie) signifie l’absence de courbure (pour une métrique, une connexion...), elle est alors synonyme d’intégrabilité ; en algèbre commutative, elle traduit un bon comportement par rapport au produit tensoriel ; - la torsion est une notion géométrique (pour une connexion sur le fibré tangent), mais aussi une notion algébrique (pour un module) ; on s’intéresse à la torsion d’une connexion plate, alors qu’un module plat sur un anneau n’a pas de torsion ... De manière analogue, l’appellation de Frobenius >> peut renvoyer à diverses propriétés bien distinctes : I’intégrabilité au sens de Frobenius concerne les systèmes de Pfaff, qui deviennent ainsi des feuilletages, tandis que la notion de variété de Frobenius (ou structure de Frobenius sur une variété) fait référence à la structure d’algèbre de Frobenius sur le fibré tangent de cette variété ; il n’empêche que la notion d’intégrabilité intervient dans la construction de telles structures. On distinguera aussi les mathématiciens L. Fuchs (condition de Fuchs, équation fiichsienne, etc.) et R. Fuchs (isomonodromie et équations de Painlevé), de mênie que K. Saito et M. Saito. (
sont noleur germe en un point par tés en général par la lettre A&’ (et parfois H),

xvi

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

34 ou N. Enfin, dans un cadre algébrique, le module des sections globales d ’ u n f a i s c e a u Z , Y , F ’ , k ‘ e s t n o t éIE,IF,G,M. Dans une famille paramétrée par un espace, la restriction d’un objet A pour la valeur xo du paramètre est notée A’. Enfin, le carré blanc sur fond blanc O signifie la fin d’une démonstration. ou son absence.

CHAPITRE O LE LANGAGE DES F’IBRÉS

Ce chapitre regroupe les principaux résultats généraux utilisés dans ce livre. I1 a aussi pour but de préciser les notations employées plus loin. Les lecteurs pourront s’y reporter si nécessaire. Nous supposons une certaine familiarité avec le langage de la théorie de faisceaux. La notion de fibré vectoriel et de connexion permet d’aborder les problèmes globaux de la théorie des systèmes différentiels linéaires et de leurs singularités. Nous considérons ici uniquement le cadre holomorphe ou méromorphe. Nous nous sommes efforcé de donner des énoncés intrinsèques, indépendants des choix de coordonnées ou de base. Aussi les lecteurs ne s’étonneront-t-ils pas de ne pas trouver la notion de matrice fondamentale de solutions, de wronskien, etc. Par contre, nous insistons sur la différence entre la notion de système différentiel méromorphe (où les changements de base méromorphes sont permis) et celle de rbseaii d’un tel système (oil seuls les changements de base holomorphes le sont).

1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de

C”

On pourra se reporter par exemple à [ GR65, chap. I], [ GH78, chap. O], [Kod86, chap. 11 (ainsi qu’à [Hor73, chap. 11 011 [LT97, chap. 11) pour les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes. Soient n un entier 2 1 et ( J un ouvert de @”. Les coordonnées sont notées zl,. . . , z,,,OU z, = x1 + iyl est la décomposition en parties réelle et imaginaire. Soit f : u + une fonction de classe C’ . 011 pose

c

2

CHAPITRF O. LE LANGAGE DES FIKRLS

Une fonction f de classe C' sur U est dite holomorphe si, pour tout z E U et tout j = 1,. . . ,n , les équations de Cauchy-Riemann

sont satisfaites. On désigne par B ( U ) l'anneau des fonctions holomorphes sur U et par &I le faisceau des fonctions holomorphes sur U . 1.1. ïhéorème (les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques) Une fonction f : U + C est holomorphe si et spukwient si plle est analytiqup, autrpment dit dheloppable en sévie convevgentr de (zl - z: , . . . ,zn - z i ) a u voisinage d~ tout point z" E U .

Démonstration. - Analogue à celle pour les fonctions d'une variable. Soit n

A(zo,r) =

I1 D(z3,rj) j=1

un polydisque ouvert de polyrayon r = ( r i , .. . ,rn) E (Et;)" centré en z" E U et contenu dans U . Le résultat découle de la > qu'on montre par récurrence sur n : pour tout z E A(z", r ) on a

Soit z" E U . Le germe du faisceau 61 en z",noté @U,O, s'identifie donc à l'anneau des sévie.s convergentes à n variables, noté @{zl - zy,. . . ,zn - zn}. 1.2. Quelques propriétés - Toute application holomorphe d'un ouvert de C n à valeurs dans C? est une application P . - Toute application holomorphe bijective entre deux ouverts de @ " est biholomorphe. - Toute fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de @" est une application ouuerie. - On dispose du théorème des fonctions implicites et du théorème d'inversion locale pour les applications holomorphes. - Soient U un ouvert de @", cp : U t @ une fonction holomorphe O et 2 c U l'ensemble défini par l'équation y(z1,. . . ,z,) = O dans U . Si f est une fonction holomorphe sur U \ Z qui est bornée au voisinage de tout point de 2 , alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur 1 J .

+

2.VARIÉTÉS ANALYIIQULS COMPIXXES

3

2. Variétés analytiques complexes On pourra se reporter à [GH78, chap. O] ou [Kod86, chap. 21 pour plus de détails ou d'exemples. Soit M un espace topologique. Un recouvrement ouvert U de M est une famille ( ü , ) l d'ouverts E~ de M indexée par un ensemble I dont la réunion est égale à M . Un espace topologique M est dit paracompact s'il est séparé et si, pour tout recouvrement ouvert II de M , il existe un recouvrement ouvert de M qui est localementJini et plusJin que 11, c'est-à-dire que tout compact ne coupe qu'un nombre fini d'ouverts de 23 et tout ouvert VI de T? est contenu dans au moins un ouvert U, de LI. Une v a d é analytique complexe M de dimension n est un espace topoet des logique paracompact qui possède un recouvrement ouvert (üz)zt~ cartes 'pz : U, 4@ I n , chaque (p2 induisant un homéomorphisme de U, sur un ouvert O, de @ I n , telles que, pour tous z,j E I , le changement de carte

soit un biholomorphisme. Une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe est une fonction de classe C' telle que chaque f O (pi'soit une fonction holomorphe ) Cn. snr l'ouvert ~ i ( ü ide Tout ouvert de carte Ui admet alors des systèmes de coordonnées (zi,. . . , z,) provenant de ceux de O,. Une application entre deux variétés analytiques complexes est dite holomorphe si, pour un (ou tout) choix de coordonnées locales holomorphes de la source et du but, les composantes de l'application sont des fonctions holomorphes des coordonnées. Une sou.r-urcm'été analytique complexr N de M est un sous-ensemble localement fermé dans M pour lequel, au voisinage de tout point de N dans M , il existe des coordonnées locales z1,. . . ,zn telles que N y soit définie par les équations z1 = . . . = zp = O ; on dit alors que 1> est la codimension (complexe) de N dans M . Une hypersurface lisse est une sous-variété Jermée de codimension 1. Un sous-ensemble analytique complexe fermé de M est iin sous-ensemble fermé, qui est localement défini comme ensemble des zéros d'une famille de fonctions analytiques. Nous serons amenés à utiliser le résultat suivant (les lecteurs pourront consulter [GR65, chap. II et III] pour plus de détails sur les sous-ensembles analytiques) :

4

CHAPIïRE O. 1.E LANGAGE DES FIBR6S

2.1. Lemme (connexité, voir [GR65, th.2, p.861). Soit M une uaridé analytique complexe connexe. Alors le complémentaire dans M d u n sous-ensemble O analytiqw fermé distinct de M Pst connew. 2.2. Exemples (1) Tout ouvert de @" est une variété analytique complexe. (2) Tout revêtement (r$ par exemple [God7l]) d'une variété analytique complexe est muni d'une unique structure de variété analytique complexe rendant l'application de revêtement holomorphe. Pour cette striicture, toute section locale du revêtement est une application holomorphe. (3) L'espace projectif complexe P n est l'espace des droites de @"+' : c'est le quotient de Cn+' {O} par la relation d'équivalence v Au (A E Cc * ) . On note [u]E P" la droite engendrée par le vecteur v E Cc "+I \ {O}. Si (Zo,. . . , Z n ) sont les coordonnées sur C n + l ,on recouvre P n par les n + 1 ouvertsU3={[u] l u l # O } ( j = O , ..., % ) . O n n o t e N

y , : u,

N

C"

On obtient ainsi une structure de variété analytique complexe sur IP" : pour 1 # k , notons ( r o , . . . ,%,. . . , r n ) les coordonnées sur y , ( U 3 ) (la 1-ème coordonnée n'apparaît pas) et de même ( w g , . . . , . . . , w.) les coordonnées sur Pk(Uk) ; alors yl(ül n Uk) est l'ouvert Zk # O dans @" et qk(Ul n ük) l'ouvert w1 # O ; le changement de carte est l'isomorphisme

z,

(4) Une variété analytique complexe de dimension 1 est appelee surfnce de Riemann. Citons par exemple : - la droite projective P' , recouverte par deux cartes UO et U, ; le changement de carte @*

- 'Po

u, nu,

'POO

@*

est défini par z H l / z ; - le quotient de @ par un réseau L = Z @ Z T , avec T E C \ IR, naturellement muni d'une structure de surface de Riemann (courbe elliptique).

2.3. Exercice (la gassmannienne, I.$ [GH78, p. 193-1941). - Montrer que l'ensemble des soils-espaces vectoriels de dimension r + 1 de Cn+' admet une structure de variété analytique complexe (appelée grussmannienne des

P. VMIÉTÉS ANALYTIQUES COMPLLXES

5

r+ 1-plans de Cn+' ). Remarquer que c'est aussi l'ensemble des sous-espaces projectifs de dimension r de P".

2.4. Remarques (1) La notion de variété C" peut être définie de la même manière que ci-dessus, en remplaçant > par ( i . ~section . de f*o, ) et d’un champ E’’ ( Z.P. section de p*Ohfttsi $I désigne la deuxième projection) ; par définition, l’action de Vitt sur les sections de g’de la forme 1 g r , r section de g (i.e. les sections c< sans coefficient sur @ \ I ~ J ) , est nulle; d’autre part, si 5 est somme de champs de la forme y 8 y , où y est ilri champ sur un ouvert de M et ‘p une fonction sur un ouvert de MI,alors Vk (1 @ e) est déterminé par la formule V’,,, (1 e) = ‘p @I V, (e) . Nous allons commencer par une définition non intrinsèque a prion, en coordonnées locales, lorsque M’ est une sous-variété analytique complexe de M et J désigne l’application d’inclusion (on parle alors de la reskirtion du fibré à connexion). Supposons donc que M soit un ouvert de @ ” de coordonnées 2 1 , . . . , z, et que M’ soit la trace sur cet ouvert du sous-espace d’équations z1 = . . . = zi, = O. Supposons aussi que Li soit trivialisé et muni d’une base e de sections

CHAPITRE O . LE LANGAGE DES FIBRÉS

32

holomorphes sur M . On peut alors écrire la matrice de la connexion dans cette base sous la forme Cl(') ( 2 1 , . . . , z,) dz,.

0= /=1

La matrice de V' sur le fibré E', dans la base e' restriction de e à M ' , sera donnée par la formule n

0' =

C

( O , . . . ,O, ~ f i + i.,. . , z,) dz,.

z=p+1

D'une manière intrinsèque et pour f générale, on compose la restriction >

f - ' V : f-'E"

-

f-k&

@

f-lE"

J-'@ii

(2.e. on ne considère que les points de M ' ) avec l'opération (2.e. c< on fait z1 = . . . = zp = O .) pour aboutir dans

-

@~,@~-i@,,,

puis on compose avec le morphisme induit par l'application cotangente T*f @ Id .f*nkl@ E' Oh/ @ E'

4,~

w.

on oublie d z l , . . . , d z f 1 ) . On a maintenant obtenu un homomorphisme C -linkaire (ie.

qui satisfait la règle de Leibniz relativement à la multiplication par toute fonction sur un ouvert de M' de la forme '2 O f , oii cp est holomorphe sur un ouvert de A4. On dkfinit alors la connexion image inverse PO comme une connexion

I !-'A?, par extension de l'honioniorphisrne pi-écédcnt à 8' = ~ L I@f-~6,, obtenue en imposant qiic la règle de Leibniz soit satisfaite. Nous laissons aux lecteurs le soin de vérifier qu'une telle ex~ensioiicst bien di-fiiiie et est unique.

Nous noterons f+(& V) le fibré image inverse connexion V' ainsi construite.

YS

muni de la

11.11. Exercice (la matrice de la connexion image inverse). Soit U un ouvert de M trivialisant pour E", e = ( P I , . . . , ~ d ) une base de et R = ( w L 3 ) la matrice de la connexion V dans cette base.

q,-~

12. (:ONNEXIONS IiOLOMORPHES INTÉGR4BLES E‘T CHAMPS DE HI> sur le fibré tangent par la formule

5* 7

=

*

> v. (2) Montrer que le résidu Rész V , vu comme endomorphisme du fibré Elz , est compatible à la connexion v, c'est-à-dire que, vu comme section du fibré Hom(Ejz, E p ) , c'est une section horizontale vis-à-vis de la connexion plate naturelle construite à partir de v. (
> et intégrabilité). - Montrer que l'intégrabilité de V implique que les relations suivantes sont satisfaites par Ro et Q (elles

15. FMSCEAL’X 1.OCAI.EMENT CONSI AN I S

51

sont les analogues de l’intégrabilité de la connexion v et de l’horizontalité relativement à v de l’endomorphisme résidu, dans le cas logarithmique) Q A Q = O,

Qt

O

Ro

= Ro

O

QE pour tout champ de vecteur

sur M

En particulier, Q est un champ de Higgs sur Ejz et (Ejz, @) est un $ h é de Hag$. Ces objets dépendent du choix de coordonnée sur D par line constante miiltiplicative.

14.8. Remarque. - I1 n’est par contre pas possible, en général, de définir pour les connexions à pôle d’ordre 3 1 le long de Z un endomorphisme résidu, dont la matrice dans une base locale soit formée des résidus des coefficients de CL. En effet, si le rang dii fibré est 2 2 , une telle matrice n’a pas un comportement convenable par changement de base holomorphe.

14.9. Exercice (champ de Higgs, > et opérations) (1) Montrer que la construction de @ à partir de V est compatible aux opérations sur les fibrés de Higgs. ( 2 ) Déterminer le comportement du

15. Faisceaux localement constants 15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants. - Soit F un faisceau t <st d’ensembles sur iin espace topologique X . La réunion disjointe J des germes de F aux points de X est munie d’une topologie naturelle, pour laquelle une base d’ouvert est donnée par les U, , lorsque U est un ouvert de X et s E F), avec

nxExz

r(a

u, = LI { S r } c LI z. x E 1,:

X€X Y

Pour cette topologie, la projection naturelle p : F + X est continue et l’ensemble ï(U,F)s’identifie à celui des sections continues O : U t F de la projection fi, i.e. les applications continues qui satisfont $ 0 0 = IdIr. De plus, la projection fi est un homéomorphisme local et la topologie induite sur chaque fibre p-’(x) = est la topologie discrète ($ [God64]). On dit que Y ,muni de la projection p , est l’espace étnk associé au faisceau F.

15.1. Exercice (faisceaux localement constants et revêtements). - On suppose que X est connexe. Vérifier quele faisceau F est constant ( $ 5 2.6) si et seulement si l’espace étalé p : F --t X est homéomorphe a la projection fi2 : x X + X , pour tout x E X . En déduire que les proprittts suivantes sont équivalentes : (1) le faisceau F est localement isomorphe à un faisceau constant; (2) la projection p : F --f X est une application de revêtement.

-

CHAPITRE O. LE LANGAGE UES FIBRÉS

52

Lorsque l’une des deux propriétés équivalentes ci-dessus est satisfaite, on dit que le faisceau F est localement constant. On voit ainsi que la catégorie des faisceaux d’ensembles localement constants est isomorphe à celle des revêtements (vérifier le comportement des morphismes). De la théorie des revêtements (voir par exemple [God71]), on déduit : 15.2. Corollaire. - Tout faisceau localrmrnt constant sur un espace 1-connexe est O constant. 15.3. Exercice (faisceaux localement constants et revêtements, suite) (1) Montrer que, si f : X’ -+X est une application continue et si F est un faisceau localement constant sur X , le faisceau image inverse f - ’ est ~ localement constant. (2) Soit TC : X --+ X’un revêtement fini et soit F un faisceau localement constant sur X . Montrer que le faisceau T,F est localement constant.

15.b. Faisceaux localement constants de @ -espacesvectoriels de rang fini Nous allons maintenant préciser la correspondance faisceaux localement constants tf rmêtemrnts pour les faisceaux de @-espacesvectoriels de rang fini. Un tel faisceau est localement constant s’il existe iin recouvrement ouvert 11 de X et pour avec le faisceau constant chaque ouvert U de LI un isomorphisme de Ch. Dans la suite, tous les faisceaux seront des faisceaux de @-espacesvectoriels de rang fini et nous écrirons seulement c< localement constant ». On dit aussi parfois système local (15) au lieu de faisceau localement constant.

q ~ r

15.4. Exercice. - Dans l’exercice 15.3, calculer le rang des faisceaux f - ’ Y et T,F en fonction de celui de F.

Nous avons ainsi défini une sous-catégorie de la catégorie (6§ 17) des faisceaux sur X , à savoir celle des faisceaux localement constant de rang fini. On dit que cette sous-catégorie est pleine, car l’ensemble des homomorphismes de faisceaux localement constants est égal à celui de tous les homomorphismes de faisceaux. Si O est un point fixé de X (appelé point base), on dispose d’un foncteur > de cette catégorie dans celle des espaces vectoriels de rang fini : on associe à F son germe et à p : F + 27 son germe yo : 53

2%. (‘5)C’est en fait une abréviation pour , lorsqii’on considère la cohomologie à coefficients dans un faisceau localement coustant.

15. FAiSEAUXISXALEMENT ) = O pour tout k > 1. Démonstration,. - Le corollaire 1.4 montre que l’on a une suite exacte courte de faisceaux de @ -espaces vectoriels 0

- - - @a

g O o o

0.

Le théorème 0.6.2 permet d’obtenir une suite exacte longue

. . . -t Hk(R,@n) H k ( O ,g;) -f

e;) + H k + f ’ ( R , @+~ )

+ Hk(R,

de laquelle on déduit, à l’aide du théorème 0.6.3, que H k (a,&) = O pour k > 2. Le théorème 1.3 exprime alors l’annulation de N’(CL, &a).

1.6. Corollaire (la cohomologie holomorphe de P1 est nulle). - Les espaces H k ( P 1 , @ ps~o)n n u Z s p o u r t o u t k > 1 e t o n a H o ( l F 1 , & $ i ) = @ . Démonstration. - La seconde égalité résulte du théorème de Liouville, puisqu’une fonction holomorphe sur P’ se restreint en une fonction holomorphe sur @ = Uo, qui est bornée par compacité de P’. Le recouvrement de P’ par les deux cartes üo et U , ($ exemple 0.2.24) est acyclique pour le faisceau Hpl, d’après le corollaire précédent; le théorème de Leray 0.6.1 permet de calculer la cohomologie de P’àvaleurs dans @ à l’aide de ce recouvrement. Comme il n’est composé que de deux ouverts, on a trivialement Hk(P’,@p~) = 0 pour k 2 . Pour montrer que H’ (IF’’, @pl) ’= O, il suffit de voir que toute fonction holomorphe f sur @ * est la différence des restrictions à @ * d’une fonction holomorphe sur Uo et d’une fonction holomorphe sur U , : c’est exactement ce que donne le O développement de Laurent de f sur la couronne @ * .

>

1.7. Corollaire (les fibrés de rang 1 sur IP’). - Unjibré holomorphe de rung 1 sur P est déterminé (à isomorphisme près) pur sa classe de Chern.

2.FIRRÉS EN DROITES SUR Pl

Démonstration. - La suite exacte de l’exponentielle suite exacte de cohomologie

. . . 4 H’(P1,@pl)4H’(P1,@;l)

2 H2(P1,ZPl)

65

(cf: § 0.7.b) induit une HyPl,@pl) 4. . .

4

et les deux termes extrêmes sont nuls d’après le corollaire précédent. Ceci montre que c1 est un isomorphisme.

2. Fibrés en droites sur Pl 2.a. Le fibré tautologique @pl (-1). - Soit L c P1 x C 2 le sous-ensemble formé des couples ( m , v ) , où m est une droite vectorielle de C 2 et v un vecteur de C2, tels que l’on ait v E m. On note n : I, -+ P1 la restriction à L de la première projection. Si c I, désigne l’ouvert des (m,v ) tels que v # O, s’identifie par la seconde projection à C2\ {O} et n : lJ4 Pl à la $brution de Hopf C \ {O} -+ P .

t

FIGURE1 . La fibration de Hopf restreinte 2 la sphère S 3 = R 3 ü cc

2.1. Proposition. - L a projection n fait de I, un j’ïbrk holomorphe en droits sur P I . On note

@$,I

(-1) le faisceau associé au fibré L,qu’on dit tuutologlque.

Zlémonstrution. - Nous allons d’abord calculer la restriction de L à chacun ., Remarquons déjà que L est un sous-ensemble fermé des ouverts Uo et ü de Pl x @‘ ; on munira cet ensemble de la topologie induite.

66

CIiiWi’ïRE 1. FIBKÉS \’EC‘ïORiELS IIOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient t la coordonnée sur Uo, ma E U() le point de coordonnées homogènes (1;t o ) et v = (vo,v,) E @‘. Alors on a v E mo si et seulement . en déduit un homéomorphisme si v, = ~ “ U O On

(t>U)

-

(t,vo)

et de la même manière, si t‘ désigne la coordonnée sur U, et si mo E U, a pour coordonnées homogènes ( t ’ O ; 1 ) , on a v E rno si et seulement si vg = t”~,, d’où un homéomorphisme

Sur UOn U, le changement de carte est donné par

( 4 vo)

-

( 4 tug).

Le cocycle ainsi obtenu est donc dans H o ( @ *H , * ).

O

2.2. CuroZZuire (&$I (-1) n’a pas de section globale). - Le j b r é L n’a pas dP section globale holomorphe non nulle; autrement dit, il n’existe pas d’homomor(-1) n’est pas phisme non identiquement nul Hpl 4Hpl ( - 1) (en particulier isomorphe a u jîbré trivial). Démonstration. - Montrons l’absence de section holomorphe : la composée d’une telle section IP1 4 L avec chacune deux projections de P1 x C 2 + C se restreint en une fonction holomorphe bornée sur üo, donc est constante. I1 reste à voir que le fibré I , n’admet pas de section holomorphe qui soit constante non nulle ; autrement dit, puisque I, est un fibré en droites, que L n’est pas isomorphe au fibré trivial ; dans le cas contraire, il existerait un vecteur non nul contenu dans toutes les droites vectorielles de C‘, ce qui est absurde. On a vu (CJ: la remarque faite au cours de la démonstration de la proposition 0.4.1) qu’un homomorphisme Hp1+ Hp1(-1) n’est autre qu’une section globalc du fibré @hl (-1) , section qui doit donc être nulle d’après O ce qui précède.

2.b. Les fibrés Hpl ( k ) pour k E Z . - On définit le fibré (1) comme le dual du fibré Hpl( - l ) , c’est-à-dire (&pl(-l),@pl). C’est encore l’inverse du fibré Hpl (-1) pour le produit tensoriel. C’est lejbr6 canonique

2. FiKRlh L N DROITES SUR P1

sur

P'. Puis, pour tout k @pi

E

67

z , on pose

(II)=

LPI

(il@ si k 2 1 (-i)@lklsi K 6 -1 si k = O.

2.3. Exercice (premières propriétés des fibrés @pl ( k ) ) . Montrer les assertions : (1) Le fibré lp@ ( k ) est trivial en restriction à chacun des ouverts U" et U, et le cocycie correspondant est y, o y;' : ( t , v g ) H ( t , t- k v g ) . (2) Pour tout k E Z on a @pl ( - k ) = d%OmMpl (Hp(1 k),NPl). (3) (@$ (k),@& ( e ) ) = (@p~,@pl (e - k ) ) . (4) Hfi(P1,@pl(k)) # O u k 3 O. (5) HomHp, (@,I (k),HP1( e ) ) # O +=+ - k 2 O. ( k ) est isomorphe à @pl (e), c'est qiie k = Y . (6) Si (7) C l (@pl ( k ) ) = k rl (@pl (1)). '

2.c. Fibré en droites associé à un diviseur. - Explicitons les notions in-

O : on commence par consi(*ma) des germes de fonctions rnérornorphps & p 6 l p Pn mfJ dérer le faisceau et le germe en mo est l'anneau sur P' dont le germe en m # mo est C { t } [ l / t ]; on définit alors (km") c @I, ( * m " ) ,pour k > O , conime le sous-faisceau des germes qui o n t u n pôle d'ordre au plus k en m". On a de manière évidente une suite exacte de faisceaux

lp@

(2.4) OU

O

-

@pl

c,,~. est le faisceau

(km") + @pl ( ( k

Ilkmonsirntion. - Soit m" E P'. Choisissons un isomorphisme @pl (1) e ( m " ) .Notons ETrL(~ le faisceaii tel que r(U,E,,o) = Emn si rn" E U et = O sinon. Pour tout j E Z , on a une suite exacte analogiie à (2.4) : O

(3.4)

- CF(,jm0)

Z ( ( j + 1)mO)

- Em0

O.

Tout recouvrement ouvert 11 de P' tel que mn soit contenu dans un seul ) O poiir ouvert est acyclique pour E,rLo; on en déduit que H j ( P ' , E m c ~ = tout J 2 1. Ainsi, la suite exacte longue associée à (3.4) devient (3.5) O

i

H O ( P ' , E ( j r n o )+ ) H ( ' ( P ' , Z ( ( , j+ 1)m")) i E,,o

-

4 H ' ( P ' , 8 ( j m o ) )i H'(P',k?((j+ 1)m')) -0.

+

On en déduit que, si H"(P', 2?(/wi0)) O poiir un certain k E Z , il en est de même de l'espace H ( ' ( P ' , 2 ? ( , j m n ) )pour tout j k ; de même, si H0(P',2?(kmf')) = O poiir un certain k E Z , il en est de même de H o (PI, 8(jm")) poiir tout j k . Ainsi, tout revient à nioritrer qu'il existe k tel qiie H"(P',Z(km")) # O et qu'il existe e tel qiie H " ( P ' , ~ ( P ~=~O.) ) Montrons la prcmièrc assertion : si cellr-ci est fausse, c'est que l'on a pour tout j E Z

>

a'.. 1 i >, j . Si l'on a un isomorphisme

>

on en déduit, en tensorisant par

&$I

( - a l ) , iin isomorphisme

>

>

4. STRIKT~JRE »Es FIBRÉS

\ r ~ ( : lSUR ~ ~ ~ ~ ~ s

75

Cependant la dimension de l'espace des sections globales pour le terme de qauche est strictement inférieure à celle pour le terme de droite, d'où une O contradiction.

4.7. Exercice (degré d'un fibré). - On appelle degr6 d'un fibré E de type 3 . . . 3 ad sur P' la somme Ce=,ai.Montrer qu'un fibré E est trivial si et seulement s'il est de degré O et satisfait H'(P',&?(-1)) = O.

al

4.8. Exercice (la filtration de Harder-Narasimhan, cas de P'). - Pour tout Z , on définit le sous-fibré Fa&? c E" comme la somme directe des composantes isomorphes à &$I ( a i ) avec at a . (1) Montrer que F'+'E" c F"E, que le quotient F a / F a + ' est nul si a n'est pas égal & l'un des ni et qu'il est quasi trivial de poids a . On a donc

a E

{O}

Fa'&? c . . . c F " d 8

= Fm&?

= E.

(2) Montrer qu'une filtration de &? par des sous-fibrés vectoriels satisfaisant les propriétés ci-dessus est unique. ( 3 ) On appelle p m t e d'un fibré non niil E" le quotient p(E") = deg(&?)/r g ( E ) , avec deg(&?)= C2=la ; . Montrer que l'on a p(I;"+'&?)

3 p(F"&?)

et examiner le cas d'égalité. (4) On dit que &? est .wmi-stnhk~si tout sous-fibi-é non niil F de &? satisfait p ( F ) p(&?).En déduire que E" est semi-stable si et seulement s'il est quasi trivial.

4 L " ) < UJ-1, 4 L 0 )> a,+Y+i. f

1, choisissons, à l'aide du théorème 4.4, une décomposition 2Y = c$=,Zou 3 E @ ( a Z ) .Si Lo = Z,3,,no pour un certain 1 , on a de (1) et le résultat est clair. même 2?((Lomo)= e,+,Z@ Dans le cas général, on a, avec les notations ci-dessus,

4

LOc

F

~

(

~

"

)

E

~

=O ~ 1 , ~. .". CB I,î+e,mo

~

et

Lo

g Fa(Lo)-lE

7no

= L1,mO

e.

' '

c€? L3-l,mo.

On peut alors modifier la décomposition

P ( ~ " ) E ,=~ LI,^^

. . . e~

e

e . . . CB 121+e,mo

e

CB . ' . @ L i + @ O

~ - 1 , ~ L,,~" o

en F"(LO)EmO =

. . @ LJ-',rn0

de sorte que = Lo. I1 suffit par suite de montrer qu'il existe une décomposition correspondante

(4.12) pour se retrouver dans la situation précédente et terminer la démonstration. Choisissons pour cela un isomorphisme 3 E ( a t m o ) ,d'où une base de chaque Z,z,m~ ( 1 E {l,.. . ,d } ) ; choisissons une base de chaque Li+k,mo ( k E { 1, . . . ,e}) ; la projection pzk : Li+k,mO4 LZ,,0 est alors la multiplication par un nombre complexe c(,k, nul si z > 1 + e. On considère l'homomor(airno) obtenu à partir de I'homomorphisme phisme Hpl ( a ( L o ) m o )+ naturel en multipliant celui-ci par c ( , k . On obtient ainsi par somme directe un homomorphisme injectif Hpl(a(L')rno) L) @fZlHpi (a,rno), qui définit de 8 un sous-fibré de cette somme directe et donc un sous-fibré ( k E {1,. . . , e } ) . On vérifie alors (exercice) que ces sous-fibres satisfont

3kk

(4.12).

O

( I ) Cette construction apparaît dans la dbinonstration que O. Gabber donne dit théorème

N.2.2.

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SUR P*

79

( 2 ) Les PropriUtés suivantes sont équivalentes : (a) l~ réseau correspondant ù (EO, E,) e,~ltrivial; (b) on a dans M la décom@sition E, = (EOn E , ) @ t’lE, ; (c) on a dans M In décomposition Eo = (EOn E , ) @ tEo ; (d) on a M = Eo @ t’E, ou encore M = E, @ tEo. Démonstration. - Indiquons seulement pourquoi l’une des décompositions (b) ou (c) implique la trivialité du réseau E associé à (Eo,E,). Le reste est laissé en exercice. On identifie d’abord ï ( P ’ , E ) à Eo n E,. L’existence de la décomposition (b) signifie que l’application naturelle de restriction ï ( P ’ , E ) --+ i k E est un isomorphisme. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck (dans sa version algébrique),joint à l’exercice 2.3-(4), permet de conclure que le fibré E est nécessairement trivial. 0

5. Familles de fibrés vectoriels sur P1 5.a. Premières propriétés. - Soit X une variété analytique complexe, que nous supposerons toujours connexe dans la suite. Une famille de fibrés holomorphes sur P’paramétrée par X est, par définition, un fihré holomorphe E sur la variété A4 = P’x X . Pour tout x E X , on peut alors considérer la restriction E, du fibré E à la sous-variété P’x {x} = P’ (c& 0.3.3).Chaque fibré E, admet un type al (x) 2 . . . 2 ~ ( x ) .Puisque ce type est formé d’entiers, on peut imaginer qu’il reste constant lorsque x varie dans un ouvert dense de X . Tel est bien le cas. Plus précisément, on peut montrer (voir par exemple [Bru85]), qu’il existe une stratification de X à type de E, constant : il existe une partition de X en sous-variétés analytiques complexes (pas nécessairement fermées) au-dessus desquelles la restriction de E est de type constant; l’adhérence de chacune de ces sous-variétés est un sous-ensemble analytique fermé de X (éventuellement singulier) ; la frontière topologique d’une sous-variété de la famille est une réunion d’autres soils-variétés de la famille. Notons que toutes les > ne sont pas possibles. Le corollaire 5.4 ci-dessous montre par exemple que, si en un point de X le type est celui du fibré trivial, c’est encore le cas pour tout autre point assez proche du premier. De plus, il y a une contrainte simple sur le type des fibrés E, pour x E X (CJ: par exemple [BS77, chap. 3, th. 4.121 pour le cas analytique complexe et [HarSO] pour le cas algébrique) :

80

CHAPITRk 1. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

5.1. Proposition (par déformation, le degré est constant). - Si la variété X est connexe, la jinction degré deg : x H Cl=, ai (x) est constante. Lorsqu'on remplace la sphère de Riemann P1 par une surface de Riemann compact.e, c'est le polygone de Harder-Narasimhan du fibré qui indique les dégénérescences possibles (voir par exemple [Bru851 pour une étude précise sur toutes les surfaces de Riemann compactes). Pour la sphère de Riemann, on retrouve le polygone de la figure 2.

5.2. Exemple (d'une déformation non triviale). - L'extension non scindée (2.7) va nous permettre de construire une famille E de fibrés de rang 2 sur P', paramétrée par la droite X = C de coordonnée z , telle que Eo = HpI (- 1) GI ( 1) et E, r~ @pl CB&$I pour tout z E C \ {O}. Soit E' le fibré trivial de rang 2 sur P' x @ . Le fibré trivial Eh sur P1 contient un sous-fibré Fo de rang 1 isomorphe à &$I (-1). Soit alors E" le sous-faisceau de E"' dont les sections locales sont portées par F" en restriction à z = O. On vérifie comme à l'exercice 4.10 que E" est localement libre de rang 2. Puisque E et E' coïncident hors de z = O, les fibrés E, sont triviaux pour tout z E @ \ {O}. On peut écrire E" = F + zE"' c 8', si F est le fibré image inverse de 9 0 sur x e . Posons 9 0 = gi/Fo = (1) et S' = g'/F.NOUS allons expliciter un homomorphisme JZO + E"o,dont l'image ne rencontre 9$ que sur la section nulle, ce qui montre que E o = 8 9 0 . Pour cela, remarquons que l'on a un homomorphisine

9 =E"'/F

z

k?/zE"

induit par la multiplication par z,puisque zk?' c E" et z F c zE". De plus, le soils-faisceau z 9 a pour image O puisque z 2 E ' c zE". On en déduit l'homomorphisme cherché

JZo

=2 7 / 2 9

z

E/zE = E"".

5.b. Théorèmes de rigidité. - NOUSaurons essentiellement à considérer le cas où la restriction E, de E à P1 x {x}, pour x assez général, est isoaiirons à utiliser certains résultats fondamenmorphe aii fibré trivial. NOLIS taux de la théorie des faisceaux cohérents, pour lesquels nous renvoyons à [BS77, chap. 31 ou [Fis761 : semi-continuité de la dimension des fibres d'un faisceau cohérent et critère de liberté locale, cohérence des images directes par un morphisme propre (analogue en famille du théorème de finitude 3.1) et théorème de changement de base pour un morphisme propre. Nous

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SCK

PI

81

supposons donc dans ce numéro une certaine familiarité avec la théorie des faisceaux cohérents(2). En particulier, nous utiliserons le fait que le support d'un faisceau cohérent 2 sur X est un sous-ensemble analytique fermé de X et qu'en tout point x de ce support la fibre 2 / 1 1 1 ~ 2 de ce faisceau(')), ensemble des n'est pas nulle (Nakayama). valeurs en x des germes de sections de 2, Si E est un fihré de rang d sur P' x X , le degré de la restriction à la fibre P1 x {x} ne dépend pas de x, si X est connexe, comme il résulte de la proposition 5.1. Si on note encore & $ 1 ~ ~ l'image (1) inverse par la première projection du fibré Hpl (1) et Z ( k )= @ j + i X x ( k ) 827, on voit que le degré des restrictions de Z (- degi?') est nul. Par ailleurs, si T: désigne la projection P' x -+ x et si 9 est un faisceau localement libre sur IP' x X , le faisceau R k n , F ( k E IV) est (voir [God64, 5 4.171) le faisceau associé au préfaisceau

x

v

H k ( P x 1:F).

H

C'est un faisceau cohérent sur X (théorème de Grauert, voir par exemple [BS77, chap.3, § 2 ] ) . I1 est niil pour k 2 2 : en effet, si est un fibré sur P1 x {x}, on a H k ( I P 1 , z )= O, comme indiqué au théorème 3.1 ; on peut alors appliquer [BS77, cor. 3.111. I1 résulte de cette annulation que la formation de R ' x , F est compatible aii changement de base (voir [BS77, cor. 3.51). En particulier, la fibre en x de R ' n , F est égale à H ' ( P ' , z ) .

5.3. Théorème (le diviseur de non-trivialité). - Soien,i X une vam'ité analyiiqup complexe connexe et E unJifiréholoniorphe dr mrig d sur P 1 x X dont le dqyé des ratrictions aux,fibres P x { x} pst nul. (1) IY .su$$ort O du ,fuiscmu RIT,&? ( - 1) est 1CnsPmblp des x E X pour lrsyuels la 'resiriction de E h IP x { x > n,'rst p a s triviale. (2) Si O # M ri O # X,nlors O e.st unr hjj),pr:surj?zcedr X . Dhnonstmtion. - Au \TU des considérations ci-dessus, le premier point est une conséqiiencc directe de l'exercice 4.7. il reste donc à montrer que le support O, que nous supposerons non vide et # X ,est une liypersiirfàce('). Commençons par quelques reiiiarqiies sur les fibrés déterminants. ( 2 ) ~ iecteui-s ~ s ti-oiivei-orit iirie rléirioristi-;ttioiiciirecte (i.?. iie kiisaiir pas appel

i ~;i tliboiir cles

Iaihceaiix cohbrents) du tlibor2irie 5.3 et dii corollaire 5.6 d a i s [Mai83c] ; A. Rolihi-oiikh eii a réceiririieiit doiiiii. iiiie dbirioiistraiion plils Clbiiieritaire [BolSS]. ( " ) ~ i dbaigric i par 111, le kiisceaii ci'icii.aiix +I i @Y s i i r \ {x) et Cie gerrnc cri x egai i

x

I'idbal iriaxirrial d e @y,x, ( 4 ) i ~déiiioristratioii a qiii suit est directeriiciit iiispirbe d e celle faitc dans [OSSSO, p. 214-2171. Elle m ' a (.ti- fourriie parj. 1.e Potier.

82

CHAPITRE I. FIBRES \‘ECTORIEI.S HOI.OMORPHES SLIR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient F et F deux faisceaux localement libres de &x-modules de même rung d et soit cp : F + F un homomorphisme non identiquement nul. Dans des bases locales de F et 9,le déterminant de sa matrice est une fonction holomorphe, dont le lieu des zéros est l’ensemble des points où ‘3 n’est pas un isomorphisme. De manière plus intrinsèque, on appelleJibré déterminant de le fibré en droites dét F = A d F et dét cp l’homomorphisme d é t Y -+ d é t F dont la matrice dans une base locale de d é t F et d é t F est le déterminant de celle de 9.C’est aussi une section du fibré d é t F @ ( d é t F ) * ,où ( d é t F ) * est le dual du fibré en droites d é t F (c’est aussi son inverse au sens du produit tensoriel, r$ 5 0.7). Si cp : F + F est injectif, le conoyaii de ‘p est un faisceau cohérent sur X et son support est l’ensemble des zéros de la section détcp : si cet ensemble n’est pas égal à X , c’est une hypersurface analytique fermée de X , vide si et seulement si ‘p est partout un isomorphisme. Nous allons donc montrer que le faisceau R1n*2?‘(-1) admet, au voisinage de tout point xu de O , une présentation du type précédent, c’est-à-dire qu’il existe une suite exacte de faisceaux sur un voisinage de xu dans X

O

--Y

27

Rln*Z(-l)

-

O,

avec Y et 2 7 localement libres et de même rang Sur P1 x {x”} existe un isomorphisme d

@ @pl 1=1

N

(a,)

&+(-I),

d’après le théorème de Birkhoff-Grothendieck 4.4. On en déduit, quitte à remplacer X par un voisinage assez petit de xu, un homomorphisme vurjectif

Soit 37 son noyau. Nous allons appliquer la suite exacte longue de cohoobtenue par passage à la limite inductive sur mologie pour le foncteur TC,, les voisinages de xu E X à partir de la suite exacte 0.6.2. Remarquons d’abord que le faisceau ~ * 8 ( - 1 )est nul : pour x O, sa restriction aux fibres P‘ x {x} est nulle puisquc Hk(IP1,&$l ( - l ) ‘ f ) = O pour tout k 2 O (voir [BS77, cor. 3.111) ; par ailleurs, il n’a pas de section locale à support dans O, puisqu’une telle section définit une section du fibré Z ( - l ) sur un ouvert P’ x V à support dans n-’O, donc est nulle. De plus, pour tout faisceau cohérent ?i sur Pl,les groupes de cohomologie H k (Pl, 27) sont nuls pour k 2 : nous l’avons indiqué plus haut pour les faisceaux localement libres après le théorème 3.1. Le cas général des faisceaux cohérents en résulte, en utilisant le fàit que tout faisceau

>

5.FAMILLES DE FIBRÉS VECïORIE1.S SUR P'

83

cohérent sur P1 admet une résolution finie par des faisceaux localement libres (voir par exemple [BS77, chap. 4, cor. 2.61). Par suite on a R k z * Z= O pour k 2 2 , lorsque Z est l'un des faisceaux A?,8'ou 8 ( - 1 ) ([BS77, cor.3.111). On obtient finalement

x*A?

-

Ln * 8 '

et iine suite exacte

O

R'x,A?

+R ' z * 8 ' +R 1 n * 8 ( - l )

-

O.

Notons que 9 %! R1n,Z' est localement libre, puisqn'il est cohérent (image directe propre d'un faisceau cohérent) et les fibres ont même rang 8 = dimH'(P', ( a , ) ) (voir [BS77, chap. 3, lemme 1.61). De même, F E R ' x , Z est cohérent et localement libre de rang égal \ O. De plus, étant un sous-faisceau du faisceau localement libre 9 ,il n'a pas de torsion. Si X est de dimension 1, on en déduit que F est @ X localement libre puisque, pour tout x" E X , l'anneau @x,~,,est principal. Si X est de dimension n 2 et si F n'est pas localement libre, la dimension de la fibre de F en x" est > 8 (voir par exemple [Fis76, p.541). Alors il existe, quitte à restreindre X , un système de coordonnées locales ( x i , . . . , x,) centrées en xo tel que la restriction de F à l'axe xi ait iine fibre générique de dimension 8 et une fibre en xo de dimension strictement supérieure à 8, c'est-à-dire que cette restriction n'est pas localement libre. Comme la formation de 9 et F < ommute au changement de base(5) (propreté de TC),ceci est impossible d'après le résiiltat vu lorsque dimX = 1. Ainsi, F est localement libre, de même rang que 9 , et le support de R' n&7 (- 1) est une hypersurface analytique fermée de X . O à 8 sur X

L'énoncé de rigidité ci-après sera essentiel. Comme l'a remarqué B. Malgrange, il est à l'origine de la propriété de PainlevC de certains systèmes d'équations différentielles considérés plus loin.

5.4. Corollaire (rigidité des fibrés triviaux sur Pl). - Soit E u n j b r i de rung d sur le produit P1 x X. O n suppose qu'al existe x" E X te1 que Eo

Elpix{x,,l soit trivial. Il existp dors un voisinage ouuut V de x" duns X tel que la rpstriction de E ti P' x V soit triviale.

Démonstration. - D'après le théorème 5.3-( 1), il existe iin voisinage ouvert W de x" tel que E l p ~ x { xsoit l trivial pour tout x E W . On a donc ('1 C;oriiirie F n'est pas iocaierrieiit libre, il faut iitiiisci- une resolution par cies 4 1 xl, iriodules localement libres pour obtcnir l'assertion pour 9I? partir de [BS77, chap. 3, th. 3.41.

84

(

H M I T R L I FIBRES \W I ORIEL5 HO1 OMORPHES SL K LA 5PHERE. Dk R I F W W N

H k ( P 1 , q p ~ x i x= l ) O pour tout k 3 1 ; par suite, comme indiqué avant l'énoncé du théorème 5.3, on a R k n , g = O sur W pour tout k 3 1. I1 en résulte que la formation de n,~? commute au changement de base. Ainsi, notant 1lt,o l'idéal maximal de @x,,o, on a ï ( P 1 , g o )= n&?/nix0n*g et ce dernier espace est de dimension d. Choisissons-en une base e ; , . . . ,e: et soient e l , . . . , Pd des relèvements dans ( x , ~ ) , o .On obtient ainsi, pour V assez petit, iin homomorphisme e:

qP1

-qpl

Dans une base locale de sa matrice A ( t , x) satisfait détA(t, x') # O pour tout t puisque, E" étant trivial, P';, . . . ,e: en forment une base locale. On en déduit que, quitte à diminuer V , on a aussi détA(t, x) # O pour tout O t et tout x E V . Ainsi, e est un isomorphisme.

5.5. Remarques (1) On voit aussi que n*i? est localement libre de rang d sur X

\ O. (2) L'analogie suivante peut permettre de mieux faire comprendre la démonstration de ce corollaire. Soit H un (C-espace vectoriel de dimension finie et soit d un entier 6 d i m H . La grassmannieniie Gr(d,H) des sous-espaces de dimension d de H est munie d'un fibré > CY dont la fibre au point [ E ] représentant le sous-espace E c H est ce sous-espace lui-même (pour d = 1 et H = C', on a Gr( 1, (C') = IF" et g = HPI (- 1)) . Fixons un sous-espace E" c H de dimension d et une projection p : H -+ E " , c'est-à-dire une décomposition H = E" @ F " . On en déduit, pour chaque E E Gr(d, H ) , un morphisme 'p : E + E " , qu'on interprète comme un morphisme 'p de 8 vers le fibré trivial @ i , . ( d , ~ ) @JC E" de fibre E'. Ce morphisme est un isomorphisme hors du lieu Op où dét 'p = O. On voit dét 'p comme un morphisme du fibré en droites d é t g vers le fibré trivial de rang 1, c'est-à-dire une section du fibré d é t g " dual de d é t g . Ainsi, Op est une hypersurface de Gr(d, H ) (qui dépend du choix de fi). La condition (2d) de la proposition 4.15 suggère d'étendre le raisoiinement ci-dessus au cas d'un espace de dimension infinie ( i . e . prendre H = M ) . On peut le faire lorsque H est un espace de Hilbert séparable ($ [PS86, chap. 7]), par exemple l'espace des fonctions L' sur le cercle unité. La démonstration de [Md83c] utilise ce type de méthodes.

Nous pouvons préciser le corollaire 5.4 au voisinage d'un point de O :

5.6. Corollaire (trivialisation méromorphe). - Soit E u n j b r é de rang d sur P1 x X de degré O . On suppose que le support O de R ' x * g (- 1) est une hypersuvuce (éventuellement vide). Alors, pour tout x E X , il existe u n voisinage ouvert

5 . FAMILLES DE FIKRÉS i'F.CTORIELS SUR P'

85

V de x et une trivialisation méromorphe qpXi,(*n-1O) ? @;lxL,(*n-lO). Démonstration. - Elle est conséquence du lemme qui suit :

5.7. Lemme. - Soit F un faisceau @x -cohérent, localement libre de rang d sur X \ O . Alors @x (*O) 8~~F est localement libre de rang d comme @x (*O)module. En effet, la remarque 5.5 permet d'appliquer ce lemme à n * g . Soit x" E O et ( e l , . . . , e d ) une base de n*k?(*O)xo.Cette base définit donc un homomorphisme

-

e :~ ~ l x L , < * n - l ~ g (>* n - l ~ ) l P l x V si V est un voisinage assez petit de xo. Puisque e induit une hase de chaque pour x E V \ O, on en déduit comme plus haut que e est un fihré O isomorphisme.

qP1

Démonstration du lemme 5.7. - Soit xo E O. Puisque

F est cohérent, on a

3 d.

dimSC,o/in.&o

Choisissons d vecteurs indépendants y:, . . . ,'pi dans cet espace. Ils se relèvent en d sections locales indépendantes ' p i , . . . , y ~ dde 9sur un voisinage assez petit V de xo. Celles-ci définissent un homomorphisme 'p : @$ 4 Celui-ci est un isomorphisme sur V \O puisque F y est localement libre de rang d et que le déterminant de ces sections, vu comme homomorphisme de @y- dans A d F , ne s'annule pas sur V . Le noyau X et le conoyau de 'p sont des faisceaux cohérents à support dans O. Si O = O est une équation de O ai1 voisinage de xo, 22' et $5' sont annulés par une puissance de 8. En particulier on a X = O et @"(*O) @ $ ? = O .

TIT.

Puisque @"(*O) est plat sur @" (voir par exemple [Bou64]),on en déduit Y(*@ 1". ) O que 'p induit un isomorphisme @{(*O) Soient io et ,i les sections nulle et infini de X dans JP' x X . Considérons les deux morphismes naturels de restriction po :

+ ioE"

et . .p

-

: n*k?

--

ikg.

L'application pu est donnée, pour tout ouvert V de X par

rp'

x

i;q s ( t , x)

et ,p

est définie de même.

r({o}x vg)

H s(O,

x)

86

(XIAPITRE 1. FIBRÉS \TECTORiEIS HOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRF DE KIEMANN

Soit E un fibré de rang d sur P*x X . On suppose qu'il existe xo E X tel Et que E" '= E,,i xixo) soit trivial. I1 existe alors, d'après le théorème 5.3, une hypersurface O de X (éventuellement vide) ne contenant pas x" tel que E , soit trivial pour tout x E X \ O.

5.8. Corollaire (identification canonique entre les restrictions O et 00 ) Sous cettp hypothèse, les morphismes de re.ririction po et ..p induisent des isomorphismes après tensorisation par & (*O) ;en particulier, sur X \ O , les jib& vectoriels n,qx\(->, iOqx\o et i&qx\e sont isomorphes via po et ..p. On a aussi, après application d u jbncteur n*,des isomorphismes de,fiDrbs méromorphes

8'( * x - ' o ) , n * i o(*n-' ~ O) et n * i( *~T c -~l ~ ) . Démonstration. - Notons d'abord que iGE" et iL8' sont deux fibrés vectoriels sui- X (restrictions du fibré 8').D'après le corollaire 5.6, le fibré 8( *n-lO) est un fibré méromorphe trivialisé sur des ouverts P x V . Nous voulons vérifier que les morphismes pu et ..p sont des isomorphismes. I1 suffit de le vérifier localement sur X . Nous pouvons donc supposer que B(*n-'O) = @pixlr(*O)d et dans ce cas le résultat est évident. O La deuxième partie du corollaire se montre de la même manière.

CHAPITRE II CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT SUR UNE SURFACE DE RIEMANN

Dans ce chapitre, M désigne une surface de Riemann, i.e. une variété analytique complexe de dimension 1 (CJ: § 0.2) qui sera toujours supposée connpxp. Une présentation générale des propriétés des surfaces de Riemann est donnée dans [Rey89]. Leurs propriétés topologiques, (groupe fondamental notamment) sont analysées en détail dans [Gra7l, Mas671.

1. Énoncé des problèmes Soient C un ensemble discret de points de M et o un point base dans A4 \ C. Si par exemple M = P’,l’ensemble C = {rno, ml,.. . , m p } est fini car P’ est compact et on a \ = c \ { m i , . . . ,m!,} (en prenant CO = mo) ; ainsi, le groupe fondamental “1 ( M \ c, O ) est le groupe libre avec pour gkiiérateurs les classes des laccts y l , . . . , yp dessinés sur la figure 1 (où le point mo est à l’infini), ou, de manière plus intrinsèque, le quotient du groupe libre à p + 1 générateurs yo,.. . , yp par la relation d’équivalencc engendrée par la relation yp . . . yo = 1.

x

FIGUREI

88

CHAPITRE II. >

+

A

que

+

+

+

(a) P ( t ) = 4) tP1 t2P2 . . . , (b) t f " ( t ) = P ( t ) B ( t )- A ( t ) P ( 1 ) avec B ( t ) = A" + tBl t-/)B 1) 01

+ t'B2 + . . . + taBa =

'

[On utilisera le fait que ad(Ao - D ) + k Id commute à ad D , donc préserve les sous-espaces propres de a d D , et y induit un isomorphisme si k # O ; on dkcomposera l'équation de (h) sur les espaces propres de adB.] ( 2 ) Montrer, en utilisant la proposition 2.18, que la matrice P est convergente. En déduire qu'il existe un changement de base P E GL,l(C { t } ) après lequel la matrice de la connexion a la forme dt K ( 1 ) -. t

(3) En appliquant le changement de base méromorphe de matrice P(t)t-" a la matrice R = A ( t ) d t / t , montrer que la nouvelle matrice est (Bo - U ) d t / t et retrouver ainsi le théorème 2.8. En déduire que la inatrice de rnonodromie est exp(-2in(Bo - D ) ) .

98

CHMITRE I I . CORRESPONDAN<X I>b RIEMANN-HILBERT

(4) Donner un exemple d’une matrice A ( t ) dans M?(C{t)) telle que la monodromie du système de matrice A ( t ) d t / t ne soit pas conjuguée à exp(-2inA(O)). 2.e. Réseaux logarithmiques canoniques. - Soient (M,V) un ( k , V ) espace vectoriel et E un réseau logarithmique. Soient e une base de E sur @ { t > et O ( t )= A(t) d t / t la matrice de V dans cette base. Alors l’endomorphisme de Eo de matrice A ( 0 ) dans la base e ne dépend pas du choix de la base : c’est le résidu de la connexion à l’origine (voir le 0.14.b), que nous notons Rés V , ou encore Résg V pour rappeler le réseau qui le définit. Nous pouvons maintenant préciser le résultat de l’exercice 2.6 et construire des réseaux logarithmiques canoniques (encore appelés réseaux de Ildigne) dans tout fibré méromorphe à singularités régulières. Ils sont obtenus par recollement des réseaux logarithmiques canoniques locaux construits ci-dessous. Les réseaux de Deligne locaux permettent de reformuler le théorème de classification 2.8 en terme d’équivalence de catégories. 2.21. Corollaire (les réseaux de Deligne). - Soit (34,V) un (k,V) -espace vectoriel c i sinplurité répli&-e. (1) Soit E un réseau logarithmique de M ; si les valeurs propres d u ré.sidu Rész V de lu connexion V sur E ne dffirent pas d’un entier nori nul, il existe une base de E sur C.{ t> dans laquelle la matrice de la connexion a la forme Ao d t / t auec A0 constante. ( 2 ) Soit o une seciion de la projection naturelle C. + @ / Z (de sorte que deux nombres complexxps dans l’image Ini o de o ne d@rent pas d’un entiPr # O ) . Il existe un unique réseau logarithmique “V de (M, V ) tel que les valeurs propres de R é s v V soient contenues dans Im o . De plus, pour tout homomorphisme y : (M, V) + (M‘, VI), on a

~(“17)= “V(Ini cp, V)

= “17(n/z’, V’)

n 1111Q.

( 3 ) Réciproquement, soil T un automorfihismxp de C d (déjnissant un sytè?ne local de rang d sur un disque Il’ priué de son oripne). Il existe alors un unique (ù isomorphisme près) $ h é Ù connexion mbromorf)hxp.mr D ii @e logwithmique en O pour lequel (a) le système local qu’il d$riit sur LI* est celui associé Ù T , (b) le r&du en O de la connexion a se.$ valeurs propres dans h i o . (4) Le foncteur qui associe Ù tout (k,V) -es$ace vectoriel (M, V) ii sin,plurité r&ulit?re lkspace uectoriel OH = “ V / t “V muni de l’uutomorphisme T = exp (-2in Résw V) e,st une équivalence de catégories.

2. ETUDE I.OCAI.E DES

SINGIJIARITES

RF.GIII.IÈRES

99

Ilhnonstration (1) C’est exactement ce que donnent les propositions 2.11 et 2.13.

(2) L’existence d’un réseau “17 résulte de la proposition 2.12. Si E et E’ sont deux tels réseaux, il existe, d’après ( l ) ,une base e de E (resp. e’ de E’) dans laquelle la matrice A&/t (resp. A$t/t) de V a ses valeurs propres dans Ini o . En raisonnant comme pour la proposition 2.11, on voit que la niatrice de passage P E GLd(k) de e à e’ est constante et conjugue A() et A;,. D’où l’unicité. Comme l’image par ‘p d’un réseau est un réseau de l’image de q , la deuxième assertion résulte de l’unicité. ( 3 ) On pcut écrire de manière unique (décomposition de Jordan de T ) C d = @iLFjs oii F>,est somme directe d’espaces C I T , T - l ] / ( T et on a une décomposition correspondante du système local attaché à T sur U * . Le fibré cherché sera décomposé de même et, à chaque terme Q: [T, T p 1 3 / ( Ton associe la connexion V sur le fibré trivial de rang k de matrice (ctId+N) d t / t , avec T = exp-2zrt(xId+‘V), où - 2 i x x est l’unique logarithme de A qui se trouve dans 2inIm0, 1V est un bloc de Jordan de taille k et t est une coordonnée sur LI. Si l’on a deux tels fibrés E et E’, le fibré à connexion méromorphe B m 8 ) (E“,E“’) est aussi à pôle logarithmique en O et les valeurs propres du résidu de sa connexion s’obtiennent en faisant les différences des valeurs propres de RésV’ et de RésV. Aussi la seule différence entière est O , par hypothèse. Puisque les fibrés ont même monodromie sur D * ,il existe un isomorphisme des faisceaux localement constants sur L)* qu’on leur associe et donc on dispose d’une section inversible horizontale de Zornm, (E“,CY’)sur Il*. Puisque la singularité de ( S o m a ( M ,M ) , V) est régulière, cette section est à croissance modérCe (d’après l’exercice 2.6 et le théorème 2.8), donc est méromorphe en O. Puisque l’unique valeur propre entière du residu E“’) est 2 O, cette section est holomorphe en O (voir de V sur Zm4)(8, remarque 2.17). Son inverse satisfait la même propriété, d’où l’existence d’un isomorphisme entre les deux fibrés à connexion méromorphe.

(4) Le point ( 3 ) montre en particulier que ce foncteur est essentiellement surjectif. Pour la pleine fidélité, remarquons d’abord que, si ‘p : (M, V) + (M’,V’) satisfait cp(“V(M)) c t . “V(M’), alors d’après (2) on a “V(p(M))= t . “V(‘p(M))et par suite ‘p = O. Enfin, montrons que l’application induite sur les Hom est surjective. En choisissant des bases convenables, nous sommes ramenés à montrer que, si A() et A() sont deux matrices carrées de taille d et d’ respectivement ayant leur valeurs propres dans Iiii O, toute matrice P ( t ) de taille d’ x d satisfaisant

100

CHAPITRE II. CORRESPOND.LW O. Soient x" E X et ( x i , . . . , x,) un système de coordonnées locales centrées en xo. Soit h

&,O

R

dt

= A(t, x) t

+

71

C(') ( t , x) dx,

i=l

la matrice de la connexion V dans une base e de M au voisinage de (O, xu). Si les matrices A et C ( i ) ( i = 1, . . . ,n ) sont à éléments holomorphes, ( est à singularité régulière au voisinage de (O, x") . 2.25. T h é o r h e (forme normale des singularités régulières avec paramètre) Il existe une base d u gmme dans laguplle la matm'cp de V c ' h i t B d t / t où B Pst ron5tante. &(O,~O)

Dkmonstration. - Supposons d'abord que les valeurs propres de la matrice A ( O , x " ) ne diffèrent pas d'un entier non nul. I1 en est de même pour les valeurs propres de la matrice A(0, x) pour tout x dans un voisinage U de xO. L'endomorphisme adA(0,x) + eId est donc inversible sur U , d'inverse holomorphe en x, pour tout e E Z \ {O}. La formule (2.15) fournit ainsi ~) que une matrice E G L ~ ( @ D ~ ~ , , , teiie

P

h

?-'A(t, x ) P + tP-lûP/ût = A(0, X ) pour x E U . Posons 6' =

P-'@ + P - ' d P .

dt R ' = A(0,x)Y + h

Alors

n

C C'(')(t,x)dx,.

,=I

h

Puisque R satisfait la condition d'intégrabilité, il en est de même de R' exercice 0.12.6). On en déduit que ? ' ( ' ) ( t , x ) = C'(')(O,x) krC'(')(x) :

(CJ:

h

H,APITKEII. i\N(:E DE RIEMANN-HILBERT

102

en effet, la condition d’intégrabilité implique que

A

et, en posant CI(’) = CkC;,[ I ( / ) ( x ) t k , on obtient, pour k (ad A (O, x)

# O,

+ k Id) (CL“) (x) ) = O;

le choix de l’ouvert U montre que Ci(’) (x) O sur U pour tout k # O. Comme la connexion v de matrice E, C’(’) (x) dx, est intégrable et que le résidu A(O,x) est horizontal relativement à v (cJ exercice 0.14.6), il existe une base dans laquelle la matrice de fi’ est A(O, x) d t / t . L’argument de la proposition 2.13 s’étend à la situation ci-dessus, sur l’ouvert U . On en déduit que E G L ~ ( & I ~ ~ , ( ~ , ~ O ) ) . Enfin, il suffit d’obtenir l’analogue de la proposition 2.12 en demandant ,-. que les valeurs propres de la matrice H(0, x”) ne diffèrent pas d’un entier non nul. La démonstration est similaire. O

2.26. Réseaux de Deligne. - Nous laissons aux lecteurs le soin d’étendre à la situation > les résultats du fi 2.e. Indiquons seulement que, pour toutc section O de la projection C + @ / Z , il existe Lin unique réseau logarithmique ‘Y du fibré méromorphe (A, V) . L’unicité locale permet d’obtenir, par recollement, l’existence globale à partir dc l’existence locale.

3. Applications 3.a. Correspondance de Riemann-Hilbert. - Nous suivons ici [De170]. Soient 11.1 une surface dc Riemann et C un ensemble discret de points.

3.1. Théorème (la correspondancelogarithmique). - Étant donné unPLisceau localement constanl 9 sur M \ C , il existe unjibrt? holomorphe E sur M et une connexion V : ?i + On, ( C ) 2? 6 pôles logumthmiques, lrls que, sur M \ C, Ir faiscrau localement constant E” .soit isomorphe iI Y . Dkmonstration. - Sur l’ouvert M \ C 011 pose 2? = @bf,c @cY .I1 s’agit donc, pour chaque point rn E C, de trouver un voisinage ouvert assez petit U de m (en particulier U n C = { m } ) et une base e de T(U \ { m } , Z ) dans laquelle la matrice de la connexion V soit à pôle logarithmique : cette base permet de définir un fibré à connexion sui- U qui coïncide avec sur C7 \ C . On construit alors le fibré cherché par recollement. Ainsi, le problème est local et on peut supposer que U est un disque D centré à l’origine de @ . En restriction à D \ {O}, la donnée du faisceau localement constant LF = E” équivaut à ceiie d’une representation de

nl ( D \ {O}, O) = Z dans GLd(C), c’est-à-dire d’une matrice inversible ï . On applique alors le corollaire 2.21-(3). O

3.2. Corollaire (la correspondance méromorphe). - ktant donné un faisceau localement constant F sur M \ 2, il existe un jibré mirornorphe (z connexion , V ) sur M (z p d e s aux points de C et à si lurité rigulière en ces points, tel que, sur M \ C, le faisceau localement constnn soit isomorphe à Y .

’

Démonstration. - I1 suffit de prendre A = g ( * C ) , OU par le théorème 3.1.

(g, V) est fourni O

La correspondance qui associe à un fibré méromorphe 2 connexion ( M ,V) le faisceau localement constant des sections horizontales &t?$f,c est fonctorielle : à un homomorphisme : & + A’ compatible avec les connexions, c’est-à-dire satisfàisant (Vs) = a’( (s) ) pour toute section locale s de A ,on associe l’homomorphisme restreint

+

+

Cette correspondance au niveau des morphismes patible à la composition des morphismes.

+

est bien

évidemment com-

3.3. Corollaire (la correspondance de Riemann-Hilbertest une équivalence) Cette rorreJpondance anduat unp bquzuulence entrp la cntégome des fiOréJ mhomorpheq & connexion, & pôles aux poznts de C et ù \angulamti réplzme pn tout poant dr C, et la catbgome dey faasceaux localement comtantr d~ C -espaces vectom~lssur M\C. llb~nonstration.- Le corollaire ci-dessus montre que le foncteur est rs.sentiellement su+?ctif: Montrons qu’il est pleinement fidèle. Soit ‘p : + I A?$~,x un homomorphisme. I1 s’agit de montrer qu’il existe un unique hoV) + (&’, V) qui l’induise. Interprétons ‘p coinnie momorphisme : (A, Line section horizontale du fibré (A5meb,(A, ’) p f \ c , V ) . I1 s’agit de vérifier que cette section horizontale est la restriction à M \ C d’iine section iiiéroniorplie horizon tale de ( A ? û m ~ (A&”, , ~ A’), V) . Ceci rCsiilte du lemme ci-dessous, puisque ( X o ~ i f l ;(, A ~ A’), , V) est à singularité régulière en toiit O point de C si (A&‘, V) et (A’, V ) le sont.

Ai,z

+

3.4. Lemme. - Sozt (A””,V) u n j h r b mérornorphe & ronnexaon, & @es aux poantr d~ C rt iG szngulnntY rYgulz&p pn tout point d~ C . Sozt J urw rcrtzon honzontnlr de (A””,V) \ur M \ C. Alorr 5 rr prolonge d~ manaPre unique rn u n e rertzon mtromorphr d p JY. rur M .

104

CHAPITRE II. CORRESPONDANCE DE RIEMANN-ilII BERT

Démonstration. - L’unicité du prolongement est claire. Montrons-en l’existence. Le problème est local, de sorte qu’on peut supposer que A4 est un disque D centré en O dans C et C = {O}. D’après le corollaire 2.9, on peut supposer que = pour un choix de c( E C et d E 11 existe une section horizontale sur D \ {O} si et seulement si a E Z (les sections horizontales ont pour coordonnées des combinaisons de fonctions du type t-“ (log t ) P ) et, si c( E Z , il existe une unique section horizontale (à une 17 constante près), celle-ci étant méromorphe.

w.

3.b. Correspondance de Riemann partielle. - Reprenons la situation du problème de Riemann partiel 1.3. Considérons le foncteur qui, à tout fibré méromorphe à connexion (A&“, V) sur M , à pôles aux points de C ü C’ et à singularité régulière aux points de C, associe sa restriction (‘&,‘O) à l’ouvert U et de même pour les morphismes de fibrés à connexion. 3.5. Théorème. - Cefoncteur est une kquivalence d~ catégories. Démonstration. - Pour l’essentielle surjectivité, on commence par étendre (‘&,‘’V) en un fibré méromorphe à connexion sur A4 \ C : le fibré ho‘IV) l p , ~ / s’étend en un fibré holomorphe à lomorphe à connexion (‘2, connexion sur M \ (Lü C’) puisqu’il en est de même, d’après l’hypothèse faite dans le problème 1.3, di1 faisceau localement constant de ses sections horizontales (corollaire O.15.10), ce qui permet de construire le fibré méromorphe cherché sur M \ C . L’extension de celui-ci à M se fait comme ai1 théorème 3.1. Ceci donne l’essentielle surjectivité du foncteur. Reste à vérifier sa pleine fidélité. Si U = A4 \ C, on raisonne comme au corollaire 3.3. Sinon, on utilise la pleine fidélité du foncteur de restriction de M \ C à U , obtenue à l’aide du corollaire 0.15.10-(3). o 3.6. Remarque. - Le corollaire 3.3 est bien entendu un cas particulier du

théorème 3.5.

3.c. Aigébrisation d’un germe de connexion méromorphe. - Ce procédé a été introduit par G. Birkhoff [BirOS]. En appliquant le théorème 3.5 en prenant pour U un petit disque centré à l’origine E’, on obtient :

3.7. CoroZZuire (l’algébrisation est une équivalence). - Soit (M, V) un kespace uectoriel à connexion. Il exi.Tte alors unjïhrb méromorphe ( sur IP’, n ’ajant de sin~plrcritéqu’en O et CO, cette donière étant régulière, et de germe en O isomorphe c i (34,V ) . Un teljibré est unique à isomorphisme près (uniquesi on 0 impose que ce dernivr induise I’identitP‘sur M ). Notons que le théorème 3.5 donne un procédé canonique pour effectuer cette globalisation. Ce corollaire a une traduction plus concrète :

4. COMPLÉMENTS

105

3.8. Corollaire (algébrisationdes systèmes différentiels holomorphes) Étant donnée une matrice A ( t ) de taille d à éléments dans le corps k des s h i e s de Laurent méromorphes, il existe unp matrice P E G L d ( C { t } ) telle que B ( t ) P - l A P + P-IP‘ soit à éléments dans l’anneau C [ t ,t-’1 des polynômes de Laurent et que la connexion de matrice B ( t ) dt soit à sinLplaritérégulièrp à l’injni. Démonstration. - Soit (M, V) = ( k d ,d + A ( t ) d t ) . Notons E le réseau C { t } d . Nous pouvons alors construire un sous-fibré méromorphe 8(*00) du fibré méromorphe .A&” fourni par le corollaire 3.7 : le réseau I définit un réseau de sur un disque assez petit centré à l’origine ; nous recollons celiiici avec le fibré méromorphe à l’aide de l’identification E sur D* = D \ {O}. Ce fibré méromorphe n’a de pôle qu’en 00. D’après le corollaire 1.4.9, il est isomorphe à (*00)~. Prenons une base de 8 ( * m ) à l’aide d’un tel isomorphisme. Dans cette base, la matrice de la connexion V est à éléments dans l’anneau T(ÏF’,@p~(*{O,oo})) = C [ t , t - ’ I . I1 en est de même si l’on considère les germes de ces objets en O. O

q~ 4.

qp

4~).

3.9. Remarque (un autre procédé d’algébrisation). - Le changement de base pour passer d’une base donnée de M à la base fournie par ce corollaire n’est pas explicite par la méthode ci-dessus. On peut aussi montrer que l’analogue formel de ce corollaire, i.e. le passage de k 2 C [ t ,t-’1 , est vrai ( c f : [Mal91, prop. 1.12, p.491). Celui-ci est même plus explicite, puisqu’il suffit de tronquer à un ordre assez grand le développement de A ( t ) . Néanmoins, ce procédé ne permet pas d’affirmer que la singularité que l’on obtient à l’infini est régulière. Le procédé du corollaire 3.8, lui, ne conserve a priori de A que la partie la plus polaire, puisque la matrice P n’a pas de pôle. A

3.10. Exercice. - Soit A ( t ) à éléments dans C [ t ,t-’1 telle que le système de matrice R = A ( t ) dt soit à singularité régulière à l’infini. Montrer que tout germe u E @{t}‘ solution du système du + R . u = O est en fait polynomial, i . ~dans . C [tId. 3.11. Exercice. - Lorsque (M, V) est à singularité régulière, comparer le procédé de Birkhoff du corollaire 3.7 et celui de la remarque 2.22.

4. Compléments 4.a. Reconnaître une singularité régulière. - Étant donné un germe (M, V) de système différentiel méromorphe, de matrice A ( t ) dt dans une base e , où A est à éléments dans k, il n’est pas immédiat en général de

106

(:HAPITRE 11. COKWSPONDANCE DE RIEhLWN-EiII.RERT

vérifier que (M, V) est à singularité régulière en O. En effet, il se peut par exemple que A ait un pôle double et que (M, V) soit pourtant à singularité régulière. NOUSallons donner quelques critères qui sont parfois efficaces. Celui qui suit est plutôt un critère d’irrégularité ; une démonstration en est proposée en exercice (cf: exercice 5.9).

4.1. Théorème (un critère d’irrégularité). - Posons A ( t ) = B(t)/t‘+’ avec B ( t ) holomorphe, B (O) # O et supposons que r 2 I . Alors, s i la matrice B ( O ) n’est pas nilpotente, le système de matrice A ( i) d t e.st ii singularité irrélî&nteurfi est singularité réLpli&e s i et .seulement si la condition suivante e.st riulisée :

vi E (1,. . . , d

-

l},

Ah'CE DE RIk MANN-HI1 KkRT

110

(2) Vérifier qu'un homomorphisme entre deux modèles est diagonal relativement à la décomposition suivant les 'p et que deux modèles sont isomorphes si et seulement si les facteurs X? correspondants sont isomorphes. En déduire que la décompositioii (5.4) est unique. 5.6. Déjinition (de la bonté). - Nous dirons qu'un modèle (5.4) est bon si, pour tous p # q!~ tels que 2v,X+ soient non nuls, l'ordre du pôle en t = O de ( y - +) ( t , x ) ne dépend pas de x assez voisin de x O .

+

tPk(p- + ) k ( x ) avec (y - + ) r ( ~ $ ) O, la condition signifie Si p - = donc que l'on a ( ~ - + ) ~ ( x ' )# O. I1 se peut cependant que l'ordre de 'p ou soit strictement plus grand que r. On remarquera que, si un modèle (M,V ) est bon, alors, pour tout q E t-'C{xl,. . . , x.}[t-l], le germe E? @ (M,V) = (M, V + kq) est encore u n modèle et qu'il est bon.

+

5.7. Théorème (de décomposition formelie). - Soit (M, V) un germe defibré mhomor-heà connexion, munz d u n e base dans laquelle la matrice R a la forme dt

A ( t , x) - +

1

n

C C(') ( t , x ) dx,

2=1

>

avpc r 1, A et les C(') ù élémpnts holomorphes, P t A0 E A ( 0 ,)'x semi-simple régulière (Le. ii valeurs propres distinctes). Il existe alors un bon modèle (Mh'i'',8) et un isomorphisme .formel jj

A

@DXX,X"

N

@ (M, V)

-

@DXX,XO

@

V).

Lorsque la conclusion du théorème est satisfaite, nous disons que le germe (M,V) admet une bonne dkomposition formelle le long de {O} x X . Un résultat plus général dû à Tiirrittin et dont il existe plusieurs approches (voir [Tur55], [Lev75], [RobSol, [Mai79], [BV83], [Var911 pour le cas > et [BV85] pour celui c< avec paramètres >>),affirme qu'une teiic décomposition existe(5),peut-être pas pour (M, V) , mais pour son image inverse par une ramification convenable t = zq d'ordre q 2 1. Dans la situation présente, la raniification est inutile. De plus, nous allons voir que toutes les composantes 2? qui interviennent dans le modèle sont de rang 1, ce qui n'est pa5 le cas général, même lorsqu'aiicime ramification n'est nbcessaire.

(5)(;éntriquemeiii sur l'espace cies paramètres ; xn ) t

k

k>O

où les fk sont holomorphes sur un voisinage fixé de x ” . Autrement dit, si on note d 5 1 x x la restriction à {O} x S1 x X du faisceau & f i x x , l’application > définit un homomorphisme T -

-

~ ~ x x , ( o ~ , x ~@DxX,xo )

dont le noyau(g)est noté < ~ ~ $ , ~ ~ , x o ou , , encore ~ : : X , ( o , , , x , , ) en identifiant X au diviseur {O} x X de D x X.Par construction, T est compatible à l’action des dérivations a/&, d / û x ~ ,. . . , û/dxn. On remarquera qu’on peut autant de fois qu’on veut les sections de Le lemme dP Borel-Ritt (voir par exemple [Maigl]) affirme que T est surjective(”). En terme de faisceaux, on peut exprimer ce résultat en disant que la suite de faisceaux sur S’ x x T O Lf;;, J+\lxX x-l*lxX O

* les extrémités de IL jusqu'aux directions (principales ou secondaires) les plus proches pour obtenir ainsi un intervalle ouvert In de longueur > n/r ; - considérons enfin le recouvrement 2 de S' par les intervalles I,. (
,v?. Le réseau E permet ainsi de définir une filtration décroissante exhaustive de chaque sous-espace Hi, en posant, pour tout k E Z ,

v>"

H{ ! !(rkn v " ) / ( E n v~> ~=) ( H n~ H " ) / ( H ~n H>") (en choisissant CI E ] - 1,O] tel que h = exp(-2Zncc) et en prenant garde a l'ambiguïté de notation dans le terme de droite). Le polynôme caractéristique X E (s) est alors d k j n i par la formule ( 1.15).

1.16. Définition (du polynôme caractéristique d'un réseau). - Le polynôme caractéristique X E (s) du réseau E est égal ii

1.1 7. Remarque. - Le polynôme X E (s) détermine le polynôme caracteristique de la monodromie T : celui-ci est égal a n , ( S - exp(-2ixP))"r3.

I . I & Exercice (comportement du polynôme caractéristique par dualité) Soit (M*,V*) le (k,V)-espace vectoriel dual de (M, V ) . (1) Montrer que, pour tout p E C ,on a

vp (M*) = a m @ ( , >(v>-(l'+'),C { t } ) .

-

(2) En déduire que la forme bilinéaire composée des deux applications

V"M*)

v-(p+i)(M) + t - ' @ { t } @11) @

induit une forme bilinéaire non dégénérée

[vp(M*)/v'"(M*)]

Résidu

@ [v-(-+l)(M)/V>++')

c

(M)]

@

@.

( 3 ) Montrer que l'orthogonal de t-'E n V-(p+')(M) est égal à

[ E * n v > ~ ( M * )+] [ t ~ n* v ~ ( M * ) ]

138

(XIAPITRL 111. RÉSEALrX

et en déduire une forme bilinéaire non dégénérée

E* n Vcniz*) [ E * n W(M*)] + [tE* n V ( M * ) ]

n~-(i.+i) E? [ E n v - ( P +(M)] ~ ) + [t-lE n v>-(P+~) (M)] t-'E

-

@.

(4) En déduire que x ~ * ( . Y=) ( - i ) d ~ c ( - s ) ,où d = diinkM. (5) En déduire que, s'il existe une forme bilinéaire non dégénérée sur (XI, V) de poids w relativement à E , on a X E (s) = ( - I ) ~ x(7u~ - s ) . Montrer les énoncés analogues pour

a*.

Remarque (différentes notions d'exposants). - I1 existe d'autres façons d'associer des > à un réseau E . Indiquons notamment celle due à Levelt [LevGl]. E. Core1 [Cor99a] a montré que ces exposants correspondent au polynôme caractéristique du résidu de V agissant sur le plus grand sous-réseau logarithmique de E . On pourrait aussi considérer le plus petit réseau logarithmique contenant E , ou aussi, avec Gérard et Levelt [GL76], le satiiré par tVd/pf de E . Ces exposants ne satisfont pas nécessairement la propriété de dualité de l'exercice 1.18, mais dans loc. rit. E. C h e l a montré à leiir propos une inégalité qiii permet, lorsqii'on l'applique 5 iin réseau sur P',d'obtenir ties inkgalités analogues à celles montrées par R. Fuchs pour les équations diffkrentielles.

1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques. - La proposition qui suit montre que, localenient, les réseaux logarithmiques ne donnent pas lieu à une théorie de déformations intégrables intéressante. Cet énoncé se révélera cependant très utile poiir transformer des problèmes locaux en des problèmes globaux, donc algébriques.

1.19. Proposition (rigidité, [Mai83c, th. 2.11, [Mai86]). - Soit (E', V u ) un ,fibré sur un disque LI muni dUne connexion à pôle logurithmique h l'orig'ne. Soient X une variYtY analytique 1-connexe et xo E X . Il existe alors un unique (à isomorphisine iiniqueprès),fibrY E sur D x X ri con'nexiwn logurithmique le long de { O } x X telque ( E , V ) ~ U ~= { ~(E",V"). ,,) 1.20. Remarques (1) Ce résultat est à rapprochcr du corollaire 11.2.21 ct du ij 11.2.26, à ceci près que la condition sur les valeurs propres du résidu est ici remplacée par la condition initiale ( E ,V ) ~ ~ x {=x (~El"}, V ' ) , ce qiii dorine la/iort~unicité. (2) Une façon plus précise de formuler la proposition 1.19 est de dire que le foiicteiir de restriction, de la catégorie des fibrés holomorphes sur

D x X à connexion logarithmique à pôle le long de {O} x X vers la catégorie des fibrés sur D x {x"} à connexion logarithmique à pôle en O , est ilne équivalence. En effet, si cette équivalence est montrée, tout ( E , V) logarithmique de restriction égale à (E",V") est isomorphe à p+(E",V'), si p : Zl x X + X désigne la projection. La pleine fidélité montre qu'il existe un uriiqiie isomorphisme induisant l'identité en restriction à D x {x"}. (3) Si, dans la proposition 1.19, on part d'un triplet ( E o , V " ,( , ) O ) où ( , ) O est une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids 7u E Z , un raisonnement analogue à celui fait pour cette proposition montre l'existence et l'unicité d'une extension ( E ,V, ( , ) ) : on interprète en effet -* -* ( , ) comme un homomorphisme ( E , V ) + ( E * , V * ) ou ( E , V ) et 011 applique la pleine fidélité du foncteur de restriction ii Z) x { x " } . DPnionstrntion de la profiosition 1.19. - Nous allons montrer que le foncteur de restriction est une équivalence. L'essentielle surjectivité est claire, comme nous l'avons vu dans la remarque 1.20-(2) : il siiffit de prendre pour ( E ,V) l'image inverse de (So,0") par la projection fi : D x X + I I . Montrons la pleine fidélité. Une section horizontale du faisceau A%m~l(P,h?'") se relève de manière unique en une section horizontale de 2 ? % m ~ l x(R, , y E"') I ~ ~puisque, * ~ s par hypothèse de simple connexité de X , l'inclusion il* x { x " } D* x X induit un isomorphisme des groupes fondamentaux. I1 s'agit de vérifier qiie cette section s'étend en une section de h 3 m 4 i > xy (E,E"'). Ceci résulte de l'existence de la forme normale donnée par le théorème 11.2.25 : celui-ci implique en effet que toute section horizontale sur 1)" x X est méromorphe le long de {O} x X et qiie, si la restriction d'une telle section à 11 x {x"} est holomorphe, la section est eilc-même liolornorpiie le long de {O)x x ( 4 ) . O

-

1.21. Remarque. - On montre de la mênie manière que, si E" est un fibré sur P 1 muni d'une connexion V" à pôles logarithmiques aiix points d'un sous-ensemble Co de cardinal fi + 1 de P', il existe un uniquc (à isomorphisme unique près) fibré E muni d'une connexion intégrable V à pôles logarithmiques le long de Co x X qui étende (E', V") . 1.22. Remarque. - Supposons maintenant que l'ensemble Ç" varie analytiquement dans IP1. Autrement dit, donnons-nous une hypersurface lisse C de Pl x X , telle que la projection C --f X soit un revêtement de degré fini p + 1. Pour tout x E X , l'ensemble C, c Pl est donc une configuration de ('1 OII prcncira garde qiic cette cieriiièrc propi-itté peut être fausse pour line scctioii iiiéroiiioi-phi n o 1 1 linriiontalc.

CHAPITRE 111. &SEAUX

140

p+

1 points distincts et l'on a C,O = Co. Si X est 1-connexe, l'énoncé donné dans la remarque 1.21 précédente est encore vrai dans cette situation, sous l'hypothèse supplémentaire que l'inclusion

(P'\

CO) x {x"}

L)

(P'x X ) \ c

induise un isomorphisme des groupes fondamentaux. Cette hypothèse est satisfaite par exemple si le groupe d'homologie Hz (X, Z ) est nul(5).Puisque X est 1-connexe, le revêtement C + X est trivialisable et il existe + 1 applications holomorphes +i : X + IP' ( i = O , . . . ,p ) telles que C soit la réunion des graphes des +i. On applique la proposition 1.19 à un voisinage

X

X"

FIGURE2

ouvert V, de chaque composante C, isomorphe à D x X pour obtenir un fibré ( E z ,V,). On obtient ( E , V) sur IP' x X en recollant les (Ez,O,) avec le fibré holomorphe à connexion plate sur P1 x X \ C correspondant à la représentation de nl (P'x \ C) = nl (P'\ CO)définie par ( E " ,v").

x

(')EU effet, puisque x est I-corinexc, ce groupe est égal au groupe . r r 2 ( ~ ;) ia suite exacte d'lioriiotopie de la fihrdtiori ( p l x \ C + X donne le résultat voulu.

x)

2.RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES VEp)+ ( t E nv'b)'

2.4. Remarque. - Ce polynôme réapparaîtra en relation avec le problème de Birkhoff ( $ remarque IV.5.13-( 1 ) ) . 2.5. Exercice. - Retrouver le polynôme caractéristique de la nionodromie T' sur l'espace H' = V ' / t ' V ' à partir de $'(s) (voir la remarque 1.17).

CHAPITRE III. RÉSEAUX

144

2.6. Exemple (le zéro et l'infini). - Si (M, V) est à singularité régulière et (s) = X E (s) . En effet, on peut si E en est un réseau logarithmique, on a écrire M = @pt@Mpet IE = @pE@IEp. La multiplicité vp de (s - p) dans X E (s) est égale à dim Es. On remarque alors que le résidu en O de V sur Mp a pour valeur propre p, tandis que le résidu en CO a pour valeur propre -p.

x?

Le comportement par dualité est analogue à celui de l'exercice 1.18 :

2.7. Proposition (comportement par dualité). - Si E* est le réseau dual de E -* o o et E en est son dual (< hermitien »,on a f$ ( s ) = (s) = (-1) d xr (-s) .

x-". E

np

x?

xg

Démonstration. - Posons (s) = (s - p) "p et (s) = (s - p) I1 s'agit de montrer que v i = v-9, Pour tout y E C ,soit F y le fibré sur P' construit en recollant les réseaux E (au voisinage de l'origine) et V f ' f(au voisinage de l'infini). Notons de même Y * y le fibré construit à l'aide des réseaux E* et VfY(M*).Puisque l'on a (6exercice 1.18)

VfY(M*) =

Y'

fj.

[.p-(Y+')]*

on a aussi F*'f = [F>-('{+')]*. D'autre part, pour k E Z , on a F'f+k = Hp1( - k ) @ 7. La dualité de Serre (CJ: [Har80]) et le fait que a;, e Hpl(-2) (rJ: proposition 1.2.11) impliquent alors les égalités dim H' ( p1, F>(Y+1) )

=

dim H" ( p l ,F * ( Y + T

1

& m H 1(P',F-(Y+')) = d i m H 0 ( p ' , F * > ( Y + 21.) On a par ailleurs dirnN"(P',Yy) = dimIE nVfY cSy, de sortc que = (Sp

-

Sp+1)

-

(Sp,

-

S,p+1).

On en déduit donc

v i = (dim N' (P',F > - p + ' )

-

dim H'

(P',F > - p

- (dirriH'(P',F-p+') Pour tout y on a une suite exacte de faisceaux

-

)>

-

dimH'(P',F-p ) > ,

où

F r i GY 4O G-f est le faisceau gratte-ciel, nul sur Pl \ {CO} et de fibre Vf'(/Vf>*( cn

CO.

Cette suite exacte induit donc une suite longue de cohornologie

Oi 3 - Y

O

4

-

-

H"(IP',F>Y) -f H " ( P 1 , F - f )-f Goo Y

H'(P',F>Y)

H ' ( P ' , F ) -0.

P . RÉSEALIX DES (k,V) -ESPACES VEEp(M )

(on pourra calculer Mirg %‘ @~~E~(t’kV/t’’‘tlV) en fonction de M’r‘g et M”“g en considérant les germes analytiques de M , MI’,”’ en 0 0 ) . (4) Montrer que

CHAPITRE III. RESEAUX

146

(6) On suppose de plus que (MI, V’) et (M”, V”) sont munis de formes bilinéaires (ou sesquilinéaires) non dégénérées de poids respectifs w’et w” relativement à E’ et E”. Montrer que (M, V) est aussi muni naturellement d’une forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) non dégénérée de poids 7u = 7u’ + w” relativement à E . En déduire que l’on a, pour tout p E C , vp = vw-p

et

( v ’ * v”)p = ( v I

*v

II

)u-p.

(7) Sous l’hypothèse précédente, montrer que l’on a Np = (N’ it N”)p pour tout p et en déduire que v~ = (v’ it v ” ) ~ pour tout p. 2.c. Déformations. - Le résultat principal de cette section est le théorème 2.10 ci-dessous, analogue de la proposition 1.19 pour les connexions à pôle d’ordre 1, et dont la démonstration occupera le reste de ce chapitre. Nous nous restreignons ici au cas des pôles d’ordre 1 par souci de simplicité et parce que seul ce cas sera considéré dans la suite. Les lecteurs intéressés par une situation plus générale pourront consulter [Mai83c]. Dans la suite, X désigne une variété analytique connexe de dimension n munie d’un point base x’ et de fonctions holomorphes Ai,. . . , hd : X + Nous supposerons que, pour tout x E X et tous i # j , les valeurs h 2 ( x ) et A j ( x ) sont distinctes. Nous noterons hl = A,(x’).

e.

2.10. Théorème ($ [Mai83c]). - Soit ( E ” ,V”) u n j b r é s u r un disque D muni d’une connexion à pôle d’ordre 1 à l’ori@ne, doni le , R:, admet AT, . . . , :A pour valeurs propres. Sa l éspace des paramètres X esi 1-connexe, il existe un unique (à isomorphisme près) j b r é holomorphe E.: sur D x X , muni d ’une connexion à pôle d’ordre 1 le long de { O } x X , tel que - pour tout x E XIle spectre de Ro ( x ) soit { A 1 ( x ), . . . ,hd ( x )} ; - la restriction ( E , V) p}soit isomorphe ù (E’, Vu) .

2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1. - Soit ( E ,V) un fibré holomorphe sur D x X muni d’une connexion plate V. Nous supposons dans ce paragraphe que le fibré E est de rang 1 et, comme dans le théorème 2.10, que la connexion est à pôle d’ordre 1. Commençons par la classification locale de tels objets.

2.11. Proposition. - Soit ( E ,V ) un germe en ( O , x”) deJibré de rang 1 sur Il x X, à connexion ù pôle d’ordre 1 le long de {O} x X . (1) O n peut associer ci ( E ,V ) un unique couple ( A , p), où p E C et A E @ ( X ) , carartprisé p a r le fail que, dans toute buse locnle de E , la partie polaire de la forme de connexion s’écrit W,,~I =

-d

(T)+

dt p-.t

2. RÉSEAUX DES ( k ,V)-ESPACES \.‘ECTORIEI.S À SINGULARITL? IRRÉGLKIÈW

147

( 2 ) Ide gmme de jibré ( E , V )admet une section horizontale holomorphe non identiquement nulle si et seulement s i A O et p E - W . ( 3 ) Deux tels jibrés de cou+$ associés ( A , p) et (A‘, p‘) sont Localement isomorphes si et seulement si h = A’ et p = p’. Démonstration (1) Soit w la forme de connexion dans une base locale de E . La condition d’intégrabilité se réduit à la condition dw = O puisque E est de rang 1. De plus, la partie polaire de la forme w n’est pas modifiée par un changement de base holomorphe, qui a pour effet d’ajouter une forme holomorphe exacte à o. La condition d’intégrabilité appliquée à la partie polaire de w donne la forme cherchée.

(2) Ceci est analogue à la proposition 11.5.1. Commençons par remarquer qu’il existe une base de E dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire : en effet, la forme w de la connexion dans une base donnée s’écrit 03 = wpol + d y avec ‘p holomorphe. Le changement de base de matrice e-v donne l’existence. Dans cette base, le coefficient s ( t , x) = sk (x)t” d’une section holomorphe horizontale satisfait notamment l’équation différentielle

t -at+

(?++O,

ce qu’on écrit

c,( k +

k

O

E.l).Fk(X)lk

+ A(x)

c

sk(x)tk-l =

o.

ka0

Si A(x) f O, on en déduit successivement que tous Ics coefficients Sk sont identiqucment nuls. Si A E O , on voit de même que la non-nullité d’au moins un coefficient s k équivaut à p E -W.

( 3 ) Un homomorphisme ( E ,O) + (E’, 0’)est une section horizontale holomorphe du fihré Zom(k?,Z’). Celui-ci est encore de rang 1 et sa connexion est encore d’ordre 1, de forme w’ - W . L’existence d’un isomorphisme entre ces deux fibrés à connexion implique donc, d’après le point ( Z ) , que h A’ et p = p’. Réciproquement, si cette égalité est satisfaite, les deux fibrés sont isomorphes, puisqu’il existe pour chacun une base dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire. O Considérons maintenant la situation globale : le point ( 3 ) de la proposition précédente montre l’existence d’une fonction holomorphe ), sur X et d’un nombre complexe p tels que, dans toute hase locale, la partie polaire wpol de la forme de connexion soit égale à -d(A(x)/t) + p d t / t .

1. 2.e. Structure formelle. - Lorsque le rang de E est > 1, la structure du fibré ( E , V ) n’est plus aussi simple (c’est déjà le cas pour le fibré méromorphe associé, voir 11.5). Néanmoins, si l’on ne considère que le fibré formel associé, tout se passe comme en rang 1. Soit 8 le complété formel du faisceau @uxx le long de {O} x X : c’est un faisceau sur {O} x X dont le germe en un point (O, x”) est l’ensemble des séries formelles C z oa, ( x ) t z où les al sont des fonctions holomorphes définies sur un même voisinage de xo ($ 11.2.0. Soient E un fibré holomorphe sur L) x X et 8 le faisceau associé. Nous noterons 8 le complété formel de E“ le long de {O} x X : c’est le faisceau 3 @@ 8; c’est donc un faisceau sur {O} x X . Nous dirons que E“ est le fibré formel le long de {O} x X associé à B . La notion de fibré formel à A

A

A

2. RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES \‘FCTORIEI.S ,k SIN? 2 :construction d u jcbré mhomorphe. - Le fibré méromorphe ( J f , V ) = (Z(*({O} x X)),V)

--

peut être obtenu à l'aide de la correspondance de Riemann-Hilbert à paramètre du aII.6.b. En effet, le fibré formel ( J f , V ) = (@(*{O} x X ) , 8 ) est détermine par ce qui précède. De plus, le théorème 11.6.1 montre que le faisceau de Stokes est localement constant, donc constant puisque X est 1-connexe. I1 existe par suite une unique section CJ de ce faisceau de Stokes dont la valeur en x" est l'élément détermine par (E', V", J " ) . La donnée de (Jf, et de la section O permet de construire un fibré méromorphe à , V, La restriction de celui-ci à D x {x'} est isomorphe à A

A

e)

7).

30).

(Z(*{O})> V",

l?'lal>e3 :conrtructaon d u j b r é ( Z ,V) . - On peut procéder de deux façons. La plus simple consiste à reniarquer que, une fois la décomposition formelle du théorème 2.15 obtenue, les arguments du sII.6 ne nécessitent pas l'inversion de la variable t et peuvent donc s'appliquer à (ti?, V, aussi On peut ainsi regrouper les étapes 2 et 3 . bien qu'à (A?,V,

7).

7)

Une autre méthode consiste à construire Z comme un réseau du fibré méromorphe A? obtenu ci-dessus et à vérifier que la connexion V y est à

pôle d’ordre 1. De plus, il suffit de construire le germe de le long de {O} x X puisque, en dehors de cet ensemble, 2 Y doit être égal 2 suffit alors de montrer que %‘ 8n A est un réseau Cie A qui satisfait @ 88 ?2 = 8 ‘ : en effet, si cette égalité est montrée, la connexion V s t i r 8 ‘ a un pôle d’ordre 1 le long de {O} x X piiisqu’il en est de même de sa formalisée. On trouvera dans [Mal96, prop. 1.21 une démonstration de ce résultat, qui est l’analogue, avec paramètres, du lemme 2.1. A

A

A

Unicité. - Employons les arguments de la première méthode ci-dessus, en utilisant bien stir la simple connexité de X . Soient ( E ,V) et (E’, V’) deux tels fibrés à connexion, isomorphes en restriction à 11 x {x”} et soit g” un tel isomorphisme. Soient d’autre part f et f’ des isomorphismes formels de ces fibrés avec un modèle (E”””,V’””’) comme au théorème 2.15. La remarque 2.16 montre que l’autoniorphisme ho = f ’ O O O (y)-’ de la restriction i+ (EhIi, VI,o,,) se prolonge de manière unique en un automorphisme h de (Êt’ol1, +l1). 12esrestrictions à D x {xo> de (g, V, h o f ) et (g’, v’, sont alors isomorphes vin g o . Ida constance du faisceau de Stokes montre que (E, V, h O f ) et (g’, V’, sont isoniorphes. O A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

7)

-

?>

CHAPITRE IV LE PROBLÈME DE RIEMANN-HILBERT ET LE PROBLÈME DE BIRKHOFT

Introduction

La question de l’existence de réseaux logarithmiques, triuiaux en tant que fibrés vectoriels, dans un fibré méromorphe à connexion sur P1 est connue sous le nom de problème de Riemann-Hilbert(’).Cette question présuppose que le fibré méromorphe n’a que des singularités régulières. I1 y a différentes généralisations et variantes de cette question. Le problhp de Sirkhoff est celle où le fibré méromorphe n’a que deux singularités, l’une étant régulière, et où l’on fixe le réseau au voisinage de l’autre singularité, qui peut être régulière ou irrégulière. On peut aussi se poser le problème de l’existence d’un réseau trivial dont l’ordre en chaque singularité soit minimum parmi les ordres des réseaux locaux du fibré rnéromorphe en cette singularité : c’est la généralisation directe du problème de Riemann-Hilbert au cas des singularités irrégulières. Le cas des fibrés sur les surfaces de Riemann compactes a aussi été considéré. On cherche alors à majorer le nombre de sin~p1am’ti.sapparenta qu’il est nécessaire d’ajouter pour obtenir un fibré trivial. On pourrait aussi, au vu de l’exercice 1.4.8, se poser la question de l’existence de réseaux logarithmiques qui sont semi-stables en tant que fibrés vectoriels (CJ: [EV99]). On trouvera dans [AB941 et [Bo1951 un historique détaillé de cette question (cfi aussi [Bea93]). Indiquons seulement que, si l’on connaît depuis longtemps des exemples donnant une réponse négative au problème de Birkhoff [Gan66, Mas59]), ce n’est que récemment que A. Bolibroukh a donnC des exemples de réponse négative au problème de Riemann-Hilbert.

(CJ:

(‘1 De h i t , le problème original 1.; fait intervenir la représentation de rnonodroriiie, inais cela revient au même en vertu de la correspondance d e Riemann-Hilbert 11.3.3.

154

ropnétPy suzrinnte;\ ‘ (1) (A?’,V) est arrkductzble; 1 C, O ) , ir -1> 1-upLrt formé $CF ( 2 ) pour tout cfiozx gbnhntrurî ù~ (IF’ matmcec de monodroinw Yb, . . . ,Tj, pst zrrkductzblp ; unr coordonnbr t cur 1 { m o } , 2 1 pxzstr unp bare e l , . . . , pd ) dan$ lnquellr In mntncp de In (onnexton Cl n In forme (1.4) où ( A l , . . . , A!,) e5t un p-uplrt zrréductzble, (4) 21 exzctr un résmu lognnthînique E dr (A?‘,V), tmvzal CommP

P

+

module, trl que les endomorphzsmpc Rés,,, V (i = 1,.. . ,f?) ophant rur T(P1,E) (cf. rprnarque 1.7)Jorment un f)-u@~tzrrkdur tzble. A l o r c o n n (1) e ( 2 ) , (3) e (4) etenfin (1) o u ( 2 ) =+ (3) o u ( 4 ) .

Démonstration. - L’équivalence de ( 1 ) et (2) a été indiquée à la remarque 3.2. Par ailleurs, la remarque 1.7 montre que (3) et (4) sont équivalents.

(1) 3 (4) : si (&?‘,O) est irréductible, le corollaire 5.1 fournit un réseau logarithmique trivial. Si les résidus de la connexion sur ce réseau en m l , . . . , mL ne forment pas tin fi-iiplet irréductiblc, tin soiis-espace de r p l ,E“) invariant par ces résidus cst aussi invariant par le rCsidii en ?no, piisqiic l’on a Rés,,, V = - /=1 Rés,, V , et on peut alors construire iin sous-fibré propi-e de li stable par la connexion. Elle est nécessaircrrient 5 pôles logarithmiqiics en tout rni sur le fibre ainsi construit, piiisqii’elle l’est sur K . En tensorisant ce sous-fibré par @(*X), on obtient lin sous-fibi-é mCromorphc à connexion de (A, V) de rang < d , ce qui est conti”nc1’ictoire avec l’hypothèse d’irrédiictibilité.

E”

168

CHAPITRE IV. LES PROBLÈMES DE RILMANN-HII.BEKI‘

LT DE BIMIOFF

4.2. Remarque. - L’implication réciproque (4) + (1) est fausse. La raison en est que la condition (4) signifie que E n’a pas de sous-fibré logarithmique trivial stable par la connexion, alors que la condition (1) signifie pour E qu’il n’existe pas de sous-fibré logarithmique n o n nécmairement trivial stable (au sens méromorphe) par la connexion (utiliser un réseau de Deligne). L’exercice ci-dessous donne un contre-exemple ; il m’a été fourni par A. Bolibroukh. On peut aussi regarder [Bo195, prop. 5.1.11. 4.3. Exercice (dû à A. Boiibroukh). - On considère les trois matrices

et sur le fibré trivial de rang 2 sur C la forme Cl =

A2 - + __

+ -)A3

dt.

t-1 t+l (1) Montrer que le fibré méromorphe à connexion (A, V) qu’il définit n’a de pôles qu’en mg = O, ml = 1, m2 = -1 (et pas à l’infini) et qu’il est réductible (i.e. non irréductible).

(2) Soit P ( t )

= (3;4t

y)

E GL2(@[t-’1)

(1l

. Calculer la matrice de la

connexion après le changement de base de matrice P . ( 3 ) Montrer que la nouvelle base de A engendre un réseau logarithmique trivial et calculer les matrices résidus aux pôles m,. (4) Montrer, en calculant les espaces propres de ces matrices, que ces dernières forment un triplet irréductible et conclure.

5. Le problème de Birkhoff 5.a. Problèmes de Birkhoff analytique local et algébrique. - Commençons par le problème local et considérons un disque centré à l’origine de C , muni de la coordonnée(‘) T . Donnons-nous donc sur ce disque une connexion méromorphe d’ordre r O sur le fibré trivial. Dans une base de ce fibré, la matrice de la connexion est de la forme A ( T ) ~ Toù A(T) est une niatrice carrée de taille d telle que T‘+’ A(T) soit à coefficients holomorphes dont au moins un ne s’annule pas en T = O. 5.1. Problème de Birkhoff analytique local. - Existe-t-il une matrice P ( 7 ) dans GLd(@), où B e.yt l’anneau des séries convergentes en O (i.e. P est iI copfJicients holomorphes et son déterminant ne s’annule pas en O ) telle que la matrice R ( T ) = (‘)Le changement de noin pour la coordonnée permettra dans ia suitc d e mieux distiiiguerles objets et lcirr. transforrri6s de Foui-ier.

5. LE PROBLEME DE RIRKHOFF

P-’AP

+ P-‘P‘

où B-1,.

s’écrive sous la forme B(T) = r-(r+l)B-(r+l)

(5.2)

169

+

‘

’ . + T-lB-,

. . , B-(r+l) sont des matrices constantes ?

On dit alors que la matrice B est sous forme normale de Birkhoff : elle n’a pas de coefficient d’indice > O dans son développement de Laurent en O. Remarques ( 1 ) Si l’on demande seulement que la matrice B ( r ) soit une fraction rationnelle sans pôle autre que O, c’est-à-dire si l’on autorise aussi des coefficients Rk avec k 2 O en nombre fini, le problème a une solution (voir le corollaire 11.3.8).C’est ce résultat qu’a montré Birkhoff dans [BirOS] (voir la démonstration de Birkhoff dans [SibSO, § 3.31). (2) Dans l’énoncé du problème de Birkhoff, on ne fait pas d’hypothèse sur le germe de fibré méromorphe sous-jacent : celui-ci peut avoir une singularité régulière ou irrégulière (dans le premier cas, la matrice B-(r+l) est nilpotente). I1 est très simple ($ [Gan66, vol. 2, p. 1431, voir aussi [Mas59]) de donner des exemples où le problème n’a pas de solution (contrairement 2 ce qu’avait cru démontrer Birkhoff) : lorsque T = O, le problème revient à savoir si tout germe de réseau logarithmique admet une base dans laquelle la matrice de la connexion est de la forme B-I/T; si la monodromie n’est pas semi-simple, il existe des formes normales de Levelt qui ne sont pas de ce type (choisir une filtration décroissante non triviale de H qui soit stable par la monodroniie, cf: § III. 1.a). ( 3 ) Par ailleurs, Tiirrittin ([TuI-631,voir aussi [SibSO, s3.101) a montré que, lorsque les valeurs propres de A-(r+ll sont deux à deux distinctes, il existe une matrice P E GL~(&[T-’]) telle que B ait la forme (5.2) (avec le même indice r , ce qui n’est plils évident puisqiie P peut avoir un pôle en O ) . Nous allons aussi considérer le problème sous sa forme algébrique. Dans ce cas, nous supposons que A(T) est à éléments dans l’anneau C [T,7-’1 des polynômes de Laurent.

5.3. Problème de Birkhoff algébrique. - Supposons de plus que la connrxion de matrice R = A(.r)dr nit u n e sin> O et on utilise ensuite le fait que, pour e > k , on a HI' n G i = (H@' n Gk) + (Hie n Gk-l). On déduit de ce fait que, si l'on pose H i = H'p n GL, on a H i n H; = O pour p # q . Enfin, on montre par récurrence ascendante sur I 3 O que l'intersection HIk-] "G; se décompose en somme (qui est directe d'après ce qui précède) O H; + . . + H;-, . '

5.11. Exemple. - Supposons que dim H' = 2 et que T' ne soit pas semisimple. I1 existe ainsi une seule droite propre I , pour T ' . Si une décomposition non triviale H' = H i @ H i existe, avec p < q , on doit avoir H; = L et

par conséquent Gb # L . Autrement dit, la filtration G: définie par

GY, = O ,

Go = L ,

Ci = H'

ne satisfait pas la condition du théorème. Par contre, si Go # L , la condition du théorème est satisfaite, de même que dans le cas où T' est semi-simple.

5.12. Exercice. - Expliciter de même la condition du théorème pour dim H' = 3 . Démonstratzon d u thkorème 5.9. - Nous allons construire un C E, solution du problème 5.5 pour EO.Considérons le C [T',

module

module

I1 est muni d'une connexion naturelle induite par celle de M et, si e est une base de H i , donc une C [ T i , T I - ' ] -base de Mreg, la matrice de la connexion dans cette base n'est autre que Résv, V dT'/T'. Notons que M'.'g est à singularité régulière en 00 ainsi qu'en O. Ce module s'identifie, comme indiqué plus haut, au C [ T , à connexion g r , M déjà considéré à la remarqne 11.2.22. Lorsque M n'est pas à singularité régulière en O, on

module

5 . LE PROBLEME DE B I W I O F F

173

ne peut pas identifier M et M I e g , puisque ce dernier module est régulier en O. Par contre, si M est à singularité régulière, ces deux modules sont isomorphes. La filtration H” permet de construire un réseau logaritliiiiique EEg de MIeg : on pose

Par ailleurs, le réseau Mr“g : on pose

EO de M permet de construire un réseau E o g de =

e (E() n Pv)/(IE() n @+IV).

kcZ

La condition du théorème (ou, plus précisément, celle du lemme) signifie exactement que EEg est une solution au problème 5.5 pour le réseau E o g de Mrrrg. Puisque M est à singularité régulière à l’infini, on peut voir Mreg comme un @ [T,T-’1 sous-module de M’ ( CJ remarque 11.2.22).Le réseau E z g définit un réseau E, c M’ en posant E, = @{.’> g ~ @ [IE:~~. / ] 11 existe alors un unique réseau E, de M sur la carte U,, dont le germe en m soit égal à E,. Par construction on a reg . grv,IE, = grv,E, = E,, Puisque Eog = (Eog n E z g )

.Erg, on a, pour tout k

E

Z,

v ’ n~E()= ( v ’n~E()n E,) + (vrk n a0) + ( P + l n IE~). En itérant cette égalité et en utilisant le fait que VIk+‘n E o = O pour on en déduit l’existence d’une décomposition

v ’ n~I

G = ~

O,

( v ’n~I E n~ E,) + ( v ’n~ TE^^).

Montrons que la somme est directe : par hypothèse on a, pour tout k ,

vtkn a0n E, c V + l , donc

v ’ n~TIEO n IE, c vrk+l n TIE^ n E, et, en itérant cette inclusion, on obtient l’assertion.

O

5.13.Remarques (1) On peut montrer (voir par exemple [Sai89, Sab991) que, si on fixe un ordre comme au $ III. 1.c et si pour chaque h on peut trouver une décomposition de H: comme dans le théorème 5.9 compatible 2 la filtration induite naturellement par G. sur H i , alors le polynôme caractéristique de B-1 pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le

174

(XIAPI’I RE

n‘.LES PROBLÈME-S DE RIEMANN-IiILREKï

ET DE KIKKIiOFF

x&

théorème 5.9 n’est autre que le polynôme caractéristique (s) associé au comme au 3 III.2.b. réseau 8” (2) La proposition 111.1.6 appliquée au réseau Ez!montre que, pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le théorème 5.9, la matrice B-1 est semi-simple si et seulement si la partie unipotente 1; de T’ est triangulaire inférieure relativement à la décomposition @ H i , c’est-à-dire .. . (Tu - Id) (Hi)c H;+] (3) Supposons donnée une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids w sur EO.I1 revient au même de donner une base de Eo dans laquelle la matrice de V a la forme

où, pour k # -1, Ak est antisymétrique (resp. (-l)‘-symétrique) et A-1 satisfait A-1 + tA-l = w Id. Nous voulons donner une condition pour trouver une forme de Birkhoff avec la même propriété. I1 s’agit d’étendre à IE la forme non dégénérée définie sur Eo.Notons que cette forme s’étend de manière évidente en une forme du même type sur le fibré méromorphe (M, V) et définit donc, par la correspondance de Riemann-Hilbert (cj. corollaire 111.1.12 et exercice III.l.13), une forme bilinéaire non dégénérée sur H’. I1 rCsulte de manière immédiate de ce corollaire que la forme s’étend en une forme de poids w sur E si et seulement si, vis-à-vis de la forme bilinéaire ( , ) sur H’, la filtration H” du lemme 5.10 satisfait /k I = ~ / - k - W + l

et ( H I ) 1 En effet, ces conditions sont équivalentes au fait que la forme sur (M, V) induit sur E, une forme non dégénérée de poids zu, d’où l’existence, par recollement, de la forme cherchée sur E . (H$)L

= H’$-UI

CHAPITRE V

LA DUALITÉ DE FOURIER-LAPLACE

Introduction La transformation de Fourier échange les fonctions de deux variables réelles x,y à décroissance rapide à l’infini ainsi que toutes leurs dérivées et les fonctions du même type en les variables y, 5. Si l’on pose t = x + zy et 8 = 5 + iq (variable notée T’ dès le 8 2 ) , elle s’exprime par la formule

La transformation inverse s’exprime par une formule analogue utilisant le noyau e t f i P L o .On étend ces transformations, par le procédé usuel de diialité, aux distributions tempérées. Si la distribution tempérée rp est solution d’une équation différentielle linéaire holomorphe à coefficients polynomiaux

alors la distribution ad(-a/aO)

q est elle-même solution de l’équation différentielle +‘.‘+a1(-a/ao)(si;) + a o ( - a / a o ) q = o.

(Oq

Dans ce chapitre, nous allons étendre l’aspect algébrique de cette transforniation, tcl qu’il apparaît sur les équations différentielles ci-dessus, aux réseaux des (C( t ) ,V) -espaces vectoriels. Nous mettrons ainsi en correspondance, sous certaines conditions, les solutions dii problCme de Birkhoff et les solutions d’un problème de Riemann-Hilbert partiel. La transformation de Fourier présente aussi une variante locale, la microlocalisation. Cette dernière nous sera utile pour analyser la dualité sur les réseaux et son comportement par transformation de Fourier. La transformation de Fourier n’induit pas une correspondance entre (C ( t ) ,V)-espaces vectoriels et (C ( O ) , V)-espaces vectoriels : en effet, des

176

CHAPITRE V. LA DCTALITÉ DE FOURIER-I.APIhCE

phénomènes de torsion peuvent intervenir, puisque, dans le cas des distributions tempérées par exemple, la transformée de Fourier d’une fonction constante est une distribution à support ponctuel. La transformation de Fourier opère naturellement sur les modules sur l’algèbre de Weyl d’une variable. On trouvera une étude détaillée de cette transformation dans [Mal911. Nous présenterons seulement les propriétés utiles pour la transformation de Fourier sur les réseaux.

1. Modules sur l’algèbre de Weyl Nous ne donnerons pas de démonstration complète pour les résultats qui suivent. Les lecteurs pourront se reporter par exemple à [Bj079, BdM83, Cou95, Ehi87, Kas95, Sab93, GM93, Mal91, Sch941.

1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable. - I1 s’agit de l’algèbre quotient de l’algèbre libre engendrée par les algèbres de polynômes > sur l’algèbre de Weyl nous entendrons dans la suite (sauf mention explicite) module ù gauche de typeJini sur C [ t ] ( a t ) . k . Ce module est donc de torsion. I1 est de la forme donnée dans l’exemple (1) en prenant pour P l’opérateur de degré O égal à t . (3) Plus généralement, tout module de torsion est somme directe de modules du type C [ t ] ( û t ) / ( t - t o ) (le vérifier). (4) Tout module holonome M peut être inséré dans une suite exacte courte O K c[t](a,)/(P) M O

--

--

où K est de torsion : on choisit pour cela un générateur e de M (proposition 1 . 4 ( 2 ) ) et on prend pour P un opérateur de degré rninimal (disons d ) qui annule e ; il s’agit de voir que le noyau du morphisme

1. M0DUI.F.S SIJR L‘AIGÈRRE DL WEYL

179

surjectif C [t](&)/(P)+ M qui envoie la classe de 1 sur e est de torsion; si l’on travaille dans l’anneau des fractions C [ t , ad’],dans lequel on peut inverser le coefficient dominant a d de P , on peut effectuer la division euclidienne(’) de tout opérateur par P et la minimalité du degré de P montre que C [ t , a i ’ ] ( d l ) / ( P ) -7’ M [ad’]est bijectif; on en déduit que K est à support dans l’ensemble fini des zéros de ad. O

1.6. Proposition (la localisation préserve l’holonomie). - Soit M un module holonome. Il existe un ensemblejni minimal C = { p ( t ) = O} tel que le localisé

M(*C) 2E C [ t , l / P ( t ) ] c3 M (c [,I soit un module libre sur lanneuu des fractions rationnelles en t ù pôles contenus dans C, i.e. M (*E) déJinit u n j b r é méromorphe sur P1, à pôles en C ü CO, muni d’une connexion. Be plus, pour tout ensembleJini C‘, le localisé M (*X‘)a t encore holonome. Réciproquement, tout Jibré mbomorphe sur Pl,muni d’une connexion, O est un module holonome. L’ensemble C est l’ensemble des points .singuliers de M . On appellera rang de M celui du fibré méromorphe associé. On a donc rgM = dimc(ll C ( t ) 8 M .

c?[ t l Réseaux. - Un ré.seuu du module M est un gendre sur C [ t ](&), c’est-à-dire tel que 00

M

=

C [ t ]sous-module qui l’en-

a$.

k=O

1.7. Proposition (la localisation préserve les réseaux). - S i E est un réseseau d u C [ t ] (ô,) -module M , son image duns le j b r é méromorphe associé est un résenu de ceJlbré méromorphe, i.e. engendre lefîbri méromorphe sur l’anneau des fractions O rationnelles en t ù pôles duns C .

1.c. Dualité. - Si M est un C[t](at)-module à gauche, le C-espace (M, C [ t ](ô,)) est muni d’une structure de C [ t ] (&)vectoriel module à droite (par ( y ~. P ) ( m ) = q(’rri)P).PIUSgénéralement, les espaces Extk,,l(,t)(M, C [ t ] (a,)) sont des C [ t ](&)-modulesà droite(‘).

(‘1 rnalgi-é la non-coniinutativité de l’algèbre de Weyl ! Ce qui compte, pour l’algorithme d’Euclide, est que le degré du cornrniitateur [ Q I , Q ] de deux opérateurs soit strictrrnmt pliis petit que la somme des degrés de Q, et Q. Le lecteur pourra consulter [God641 pour les proprietés élémentaires d’algèbre Iiornologiqiie utilisées ci-dessoiis.

CHAPITRE V. LA DUA1,ITE DE FOLIRIER-IAPIACE

180

1.8. Proposition (la dualité préserve l'holonomie).

- Si M est holonome,

(1) les modules Ù droites Ext' [ t l ( a t ) (M, C [ t ](8,)) sont nuls pour i # 1 ; ( 2 ) le module Ù guuche DM associé au module Ù droitt Ext; (i (MI, C [t ] (at)) {)

est holonome; (3) on a D ( D M ) Y M .

Démonstration. - En utilisant la suite exacte longue des Ext associée à la suite exacte courte 1.5-(4),on est ramené à montrer la proposition pour M = C [ t ]( û t ) / ( P ) .Ce module admet la résolution .P O C[t](d,) -t C [ t ] ( & ) M O

-

--

et, en appliquant le foncteur obtient la suite exacte 0

-

( 0 ,

--

Hornc[t](q)(M,@[t](at))

C [ t ] (at)) à cette résolution, on

C[tl(&)

5@[t](dt)

-

Ext~[,](~,)(M,@[tl(i'l!) 0

sur lequel on voit que Ext'qtl(8,)(M3C[t](4))= C [ t ] ( & ) / ( P (ici, ) ( P ) désigne l'idéal ù droite engendré par P ) et que tous les autres Ext sont nuls. On a donc ici DM = C [ t ] ( d , ) / ( " ) . O Soit M un fibré méromorphc à pôles en C, muni d'une connexion. Si p ( t ) est un polynôme dont les racines sont les O E C, le fibré M est un C [ t ,l/p] -module libre de rang fini. C'est aussi un C [ t ](&)-module holonome ($ proposition 1.6). Son dual DM en tant que C [ t ](&)-module est holonome, mais n'est pas nécessairement un fibré méromorphe. Nous al(*C) est un fibré méromorphe à connexion, lons voir que le module (DM) i.e. C contient l'ensemble singulier de DM . Par ailleurs, le dual M * = H o m ~ [ [ , , l / P 1 ( M , @ [ t , l / $du ] ) fibré méromorphe M est naturellement muni d'une connexion (e$ O. 11.b). Nous allons comparer les fihrés méromorphes à connexion M * et

(DM) (*C). 1.9. Proposition (la localisation est compatible à la dualité). isomorphisme canonique M * P (DM) (*E) .

On a un

Démonstration. - Introduisons l'algèbre C [ t , i/$] (a,) des opérateurs différentiels à coefficients dans C [ t , i/$].Alors M est aussi un C [ t , i/p] (&)module. En considérant une résolution de M par des C [ t ](dt)-modules libres, on voit que

DM(*C)

= C [ t , I/$]

@ [tl

= Ext~[i,l,u](a,)(M,@[t, 1/p](4))g.

1 . MOUUI.ES SCR L'ALGÈBRE DE WEE?.

181

Nous allons maintenant construire une résolution libre de M comme C [ t , i/p] (a,)-module. Pour cela, oublions un instant la connexion sur le module M et considérons-le uniquement comme un C [ t , 1/ p ] -module libre. Alors C [ t , l/p] (3,) @ q [ t , l / P 1M est un C [ t , l/p] (d,)-inodule libre. I1 s'identifie à C [a,] @cM . Tout élément a une écriture unique Ck,Oa," @ mk et, avec cette écriture, l'action (à gauche) de C [ t , I/$] (a,) est décrite par les formules

où nous avons posé

[f(t),

$1

=

x!ii $gP(t)

dans l'algèbre de Weyl

C [tl ( a t ) .

(1.12)

a!

@ mk

' c a!

1

@ (rnk-1

-

(atmk)),

ka0

k,O

où l'on utilise maintenant l'action de at sur M . Montrons que le morphisme (1.12) est C [ t , i/p] (&)-linéaire: nous allons vérifier par exemple que f ( t ) . ( a , @ l - I @ & ) ( l @ m= ) ( & @ I- l @ d t ) ( l @ f ( t ) r n ) , laissant les autres vérifications en exercice ; on a

f(t)

'

(4@ 1 - 1 @ a,) ( I (8m ) = a, @ f ( t ) m- 1 @ f ' ( t ) m - 1 E3 f ( t ) d t m =

3, @ f ( t ) m

-

1@ & ( f ( t ) m ) .

d,"@mk tel que mk-1- (dtmk) = Montrons I'injectivité de (1.12) : soit 0 (en posant m-1 = O ) ; puisque mk = 0 pour k > O , on 0 pour tout k en déduit que mk = 0 pour tout k . On identifie alors le conoyaii de (1.12) à M (en tant que C [ t , l/p] (&)module) par l'application

Revenons maintenant au calcul du Ext' à l'aide de cette résolution. Un morphisme C [ t , 1/61 (&)-linéaire à gauche C [ t , l/p] (8,) @ M + C [ t ,1/$](ût) est déterminé par sa restriction à 1 @ M , qui doit être C [ t , l/p]-linéaire. On en déduit une identification

182

C:II.U’ITRE \’ 1A IWALITÉ DE FOLTRIER-IAPIACE

où la structure de C [ t , l / p ] (&)-moduleà droite sur le terme de droite se décrit par des formules analogues à (1.10) et ( 1 . 1 1 ) . Ainsi, en appliquant le foncteur Hom@[t,l/p](a,) ( * > It, i / P l ( a t ) ) g au complexe ( 1 . 1 2 ) , on obtient un complexe du même type, où l’on a remplacé M par M * . En reprenant l’argument utilisé pour ( 1 . 1 2 ) , on en déduit une identification

Ce faisant, nous avons aussi montré que Ext’@ [ , , l / p ] ( ô i ) ( ~ m 1’ / f i l ( 3 d ) Rest O un fibré méromorphe.

1.d. Régularité. - Un opérateur différentiel à coefficients dans C [ t ] P ( t , 3,) = a d ( t ) $

+ . . . + al ( t ) i i + a o ( t )

est dit Ci singularité régxliire en l’une de ses singularités t n (i.e. une racine de a d ) s’il satisfait la condition de Fuchs en t n (CJ: théorème 11.4.3) (1.13)

V Z E (1,..., d - l } ,

i - v p ( ~ i )
a un double sens : il indique que l'on travaille dans la coordonnée 7 du plan > et avec des séries formelles en T). Pour tout r E C ,

qui engendre

A u A

h

(,')On coriipreiici niirux cettc relation en interprétmt T coninie i'opérateirr de tioii

>, 2',

.

i e , la taille dir disque iriiporte peii et 011 poui-rait aussi bien partir. d'un gerriie, IC long de {O} x X , de libré holomorphe à coiiiicxion méromorphe.

208

CHAPITRE I?. DÉFORMATIONS

IN ïÉGFL4BI.ES

dans A. Sur A x X , le fibré ( E , ? ) I A ~ est x déterminé par sa monodromie. Puisque X est 1-connexe, on a T C I (A x X) = -x1 (A) - = Z de sorte que (E, o)ijixx est isomorphe à l'image inverse $+(E", V 0 ) / par ~ la projection fi: A x X 4 A. En restriction à A x X , le fibré trivial muni de la connexion de -' , donc isomorphe à ( E , V) ~ A ~Notons x . que matrice -(~'Ell+ B m ) d ~ ' / ~ est cette connexion est à pôles logarithmiques le long de {CO} x X . On peut ainsi recoller ces deux fibrés en un fibré ( & V ) sur P1 x X , muni d'une connexion méromorphe plate à pôles le long de {O, m} x X , logarithmique en CO et d'ordre 1 en O. Par hypothèse, la restriction Eo de E à P1 x {x'} est trivialisable.

@Sx,,

v

(2) Le fibré ikJl est muni d'une connexion holomorphe plate ($ sO.14.b). La donnée d'une telle connexion est équivalente à la donnée du faisceau localement constant de ses sections horizontales. Puisque X est 1-connexe, ce faisceau localement constant est trivialisable; il en est donc de même du fibré ikk? et, plus précisément, toute base de la fibre en xo de ce fibré s'étend de manière unique en une base horizontale du fibré ($ théorème 0.12.8). (3) Le corollaire 1.5.8 donne un isomorphisme C Y ( * d O ) cx ï T * i & q * ï T - l @ ) ,

où O est l'hypersiirface associée, par le théorème 1.5.3,au fibré E construit en (1). (4) Appliquons ceci à la base E" pour obtenir une base E. Elle définit donc, d'après ( 3 ) , une base du fibré Z ( * n - ' O ) en tant que Hp1x x (*;i-'O)-module ; autrement dit, les éléments de la base s'étendcnt en des sections globales de Z , au moins sur le complémentaire de x-'O.

2.3. Lemme. - Dans une telle base E rt dans la carte de P cmtrie en O, la matrice dr la r.on,nrxion V s k r i t SOILS la form? (2.2). Dimonstrulion. - La matrice Cl dans la base donc

(?+B&))!5

+C"(x,q+:,

E

est d'ordre 1. Elle s'écrit

c(X)

oii B, et Co sont holomorphes en leiirs arguments. Le comportement logarithmique à l'infini montre que B, et Co sont indépendants de T . La platitudc de la base vis-à-vis de la restriction à l'infini de la connexion montre que Co = O. L'horizontalité du résidu relativement à la connexion ($ exercice 0.14.6-(2)) montre que la matrice B, est constante. O

v

5. 1.E PROBLÈME DE KIKKHOFF EN FAMILLE

209

Démonstration dP l’unzcité. - Soient E‘ et E“ deux telles bases, méromorphes le long de O’ et O” respectivement. Posons O = O’ ü O”. 11 existe donc un isomorphisme

P (@$&y(*(D x O ) ) , V / ) Ni ( @ t X X ( * p x O)),V”) où V’ et V” ont la forme (2.2), dont la restriction à D x {x”} est l’identité. Considérons alors sa restriction à D x X”,avec X o = X \ O. Nous allons montrer qu’elle est égale à l’identité, ce qui donnera le résultat cherché. Notons que les connexions V’ et V”, par leur formule même, sont définies sur le fibré ,@ : x X o et sont à pôle logarithmique le long de {CO} x X”. Puisque P préserve les connexions, il s’étend en un isomorphisme des fibrés à connexion sur C x x” (car I’incliision D x x”cf C x X o induit un isomorphisme des groupes fondamentaux). Ainsi, P est une solution d’un système différentiel à singularité régulière à savoir celui associé à le long de l’hypersurface {CO}x X”,

Le théorème 11.2.25 et un argument analogue à celui de l’exercice 11.2.6 montrent que les éléments de la matrice P sont méromorphes le long de {CO}

x

X”.

Notons aussi que le système satisfait par P est encore sous forme de Birkhoff. Si on écrit P comme un vecteur, le système s’écrit donc, dans la coordonnée T’ à l’infini, sous la forme

tl Si on pose P =

,0 d‘f’t (x) , on en di.duit en particulier

(*)

dP( = D(X)f’(&I.

On a i‘p O pour Y < Y o . Si Y o < O on a niissi P(,, (x”) = O. D’apiès (*) on a df’,,, = O, donc, puisque \ O eyt connexe (q.0.2.1), on d P(,) p~,(x”) = O . On en déduit que les éléments de P sont holomorphes sur P1 x X”: ce sont donc des fonctions indépendantes de 7 ’ . Ainsi P(T’,x) = P o ( x ) . On a encore, d’après (*), l’idciititi. = O , donc P(T’, x) p O ( x o ) = Id. O

x

2.4. Exercice. - Utiliser la reniarquc 111.1.20 pour montrer que P , définie sur D x X ” , s’étend de nianière holomorphe à IP’ x Xo. Remarque. - Ida matrice -B, est la niatrice du résidu à l’infini de la connexion dans la base horizontale E . La condition d’intégrabilité de V

(:IIAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRABLES

210

s’écrit alors dans cette base dC = O CAC=O

(2.5)

[Bo,C] = O d B o + C = [&,CI.

Dans des coordonnées locales XI,.. . ,xn sur X , on peut écrire C = C(’)(x)dx,,où les C(’) sont des matrices de fonctions inéromorphes sur X à pôles le long de O. Le système (2.5) se récrit sous la forme . .

.

i = 1, . . . Si par exemple la matrice Bo(.) est réplière(‘) pour tout x, c’est-à-dire si son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique, toute est un polynôme cn Bo(x).Si les équations matrice qui commute à &(x) de la troisième ligne sont satisfaites, les C(’) (x) sont des polynômes en Bo(x) et, dans ce cas, les équations de la deuxième ligne sont aussi satisfaites.

2.b. Constructions en présence d’une c< métrique ».- Nous restons dans la situation précédente et nous analysons les conséquences de la présence O ) . Nous considérons le cas d’une dualité sesd’une dualité sur le fibré quilinéaire, la coordonnée r étant fixée sur le disque D . Les lecteurs pourront vérifier (exercice) que des arguments analogues s’appliquent dans le cas de la dualité linéaire. -Supposons donc qu’il existe une forme sesquilinéaire G sur ( E ,V ) , de _ _

(E,

(E,

poids 7u E Z : si, comme au fiIII.1.13, on note (E, 0)le conjugué - de 0) par l’application antipodale r H -r, on interprète la forme G comme un isomorphisme

--

( E ,V)

N

_ _ - dr ( E * ,V* + w-). c

I

Nous dirons que G est hermiticlane de poids w si de plus sa transposée conju-

-

guée

tc;

-

est égaie à ( - l ) W G .

(‘)Rappelons qu’une matrice rrffulièrp B est une matrice qui n’a qu’un bloc de .Jordan par valeur propre. Les matrices qui commutent à B sont alors les polynhmes en B et forment un espace vectoriel d e dimension d. L‘ensemble des matrices régulières est un ouvert de M d ( @ ) .

2. 1.E PROBLÈME DE BIKKHOFF EN FAMILLE

21 1

-

Si on voit G comme un accouplement sesquilinéaire

(&O)

6%

(53)

--f

(.“@DxX,d),

-

on a, pour deux sections locales e et e’ de Z , l’identité -

,

-

E ( e , e’) = G(e’, e ) .

- -

De plus, le coefficient - de T” dans c ( e , e’) ne dépend que des classes de e et e’ dans C Y / . ~= igZ. Ainsi, permet de définir une forme hilinéaire go sur le fibré restriction de à {O} x X . On a

5

E

-

G ( e , e ’ ) = r”go([e], [ e ’ ] ) + r 7 ° + 1 g r ) ( [ e 1 ,

[ e ’ ] )+ .. .

Par suite, si C:-est hermitienne de poids w , la forme go est hilinéaire SJmétrique sur i;E. On voit de même que le > Ro de 0 le long de {O} x X , qui est un endomorphisme du fibré io”, est auto-adjoint pour go. Le champ de Higgs Q satisfait aussi Q* = Q , c’est-à-dire que, pour -tout germe de champ de vecteurs 5 sur X , l’endomorphisme Q>E du fibré iGE est auto-adjoint pour go. Nous pouvons maintenant compléter l’énoncé du théorème 2.1 en prbsence de G.

2.7. Proposition. - Sous les condiiions du théorème 2.1, supposons - de plus que (1) il existe une forme sesquilintaire (resp. hermitienne) G de poids 7u sur

(E(2) 0); en restnition à P

-

x {xo), la forme G” s’itend en une forme .sesquiLiniaire

(resp. hurmitienne) Co de poids w .sur (So,V”) . Il existe alors un? unique forme sesquilinéaire (resp. hurmitienne) G de poids lejïbré méromorphe ( E( t x - ’ O ) ,V) qui étend G et G O .

TU

sur

Démonstration. - I1 s’agit de voir que la construction utilisée dans le théorème 2.1, qui fait passer de [(E,?), ( E o ,V ) ] à ( E ,V) est fonctorielle. Si (@,TO)

:

[@,O), ( S ” , V O ) ]

- -

--f

[(E’J’), ( S ’ y ’ o ) ]

est un homomorphisme, on montre, comme dans la partie unicité de la démonstration du théorttme 2.1, que (p s’étend à C x (X \ O ) , puis que l’homomorphisme ainsi défini est méromorphe le long de {m} x (X \ O ) , et enfin que sa matrice dans les bases E et E’ est constante. Ceci implique l’existence et l’unicité d’une extension ‘p : ( E ,V) 4 (E’, V’) de (@,T~’).La fonctorialité s’en déduit aussitôt. O n’est pas le fibré trivial est vide ou une hypersurface de X (donc s’il est de codimension 2 2 dans X,c’est qu’il est vide).

2.13. Zdentijkation méromorphe. - Les deux fibrés Eo ! !igE et E, !!i&,E de rang d sur X sont identifiés de manière méromorphe le long de O grâce aux isomorphismes de @x (*O)-modules induits par les restrictions

le fibré méromorphe n , g ( * O ) sur X . Il contient donc deux réseaux localement libres, à savoir et un > interméet goo, diaire gl, à savoir x * g (noter que x * g est un faisceau @x-cohérent sans , mais n’est pas nécessaitorsion, donc est naturellement contenu dans rement localement libre).

214

CIIMITRE VI. l)@FORMATIONSIN7ÉGR,ZBI.ES

2.14. Données à l'infini. - Le réseau E"m est muni d'une connexion plate v et d'un endomorphisme v-horizontal K , (résidu de la connexion 0 , de matrice -B, dans une base horizontale). On en déduit unc connexion méromorphe plate et un endomorphisme méromorphe horizontal sur ainsi que sur les autres réseaux. 2.15. Données en O. - Le réseau &) est muni d'un endomorphisme Ru (. résidu >> de V ) dépendant du choix de coordonnée sur la carte UO de P' par une constante multiplicative. I1 induit un endomorphisme méromorphe sur A et sur les autres réseaux. Le réseau &) est de plus muni d'une 1-forme @ à valeurs dans les endomorphismes de go, qui satisfait @ A @ = O, autrement dit (Eo, @) est un jibré de Higgs. 2.1 6. Comportement relatiuement aux paramètres. - La formation de O, A , Z,, @, Ru, v et K , est compatible au changement de base : si f : X' + X est une application analytique et si E' désigne le fibré sur P' x X' image inverse de E par Id x f , muni de la connexion image inverse V', les objets sus-mentionnés relatifs à E' sont obtenus à partir de ceux relatifs à fi par image inverse f * .

E"0,

2.17.Relations. - Dans ilne base O-liorizoiitale, la matrice de V a la forme (2.2) et la matrice de Ru est K O , celle de K , est -&,, celle de @ est C . Les conditions d'intégrabilité (2.5) se traduisent donc par les relations

7'= O,

v(R,)

=

O,

@ A Ro de V est semi-simple régulier et que 2, est 1-connexe, la restriction Eo du fibré E à {O} x 2, se décompose en somme directe de fibrés propres de rang 1. D'après le théorème 111.2.15 et la proposition 111.2.12, - chacun de ces fibrés peut être muni d'une connexion plate et, puisque Xd est I-connexe, la donnée d'un vecteur de base en X" donne une trivialisation de ce fibré. Puisque par hypothèse B i est diagonale dans la base E", cette base est adaptée à la décomposition en restriction à 2 . On dispose ainsi d'une trivialisation de Eo et plus précisément d'une unique base e qui coïncide avec E" en Xo et qui est compatible avec la décomposition. Dans la suite, nous allons analyser la matrice de la connexion V exprimée dans la base e . 3.f. Comparaison des bases E et e . - Le théorème 111.2.15 implique qu'il existe - un changement de base formel en r à coefficients holomorphes sur X d \ @ et méromorphes le long de 0, qui transforme la matrice fl de V dans la base E en une matrice fl' qui a la forme A

où A" (X) = diag(x1, . . . , xd) et Am est une matrice diagonale constante (qui donne la = O.

La relation v ( R o ) - [Q, v E ] = se traduit par

-4,

appliquée à un couple de vecteurs

(5,y )

vg(y*E)-vgy*Q+E*vU;Q-C7S*qE=F*y. Ceci se vérifie par le même argument que ci-dessus. = O, celle-ci est équivalente à la relation Modulo la relation

v(@)

P&*y)

-P@F*y-E*-Z@y=t*y.

1. STRII(:TIJKE DE SA1 I O SI'R UNE VARIÉTL

233

Si l'on considère le produit * comme une section du fibré des homomorI agit par dérivée phismes symétriques de OM @ OM dans O M ,sur lequel C de Lie, la relation précédente signifie que(5)

*.

9E(*) =

1.6. Exemple (structuresde Saito en dimension 2). - Nous allons exhiber les structures de Saito sur le plan complexe @' muni de la connexion plate usuelle pour laquelle les coordonnées canoniques ( t i , t 2 ) sont plates. Nous supposons que est le champ unité. Nous supposons aussi que V@ est semi-simple de valeurs propres 1 et 82 et, d'après le 1.4, que les coordonnées sont translatées de sorte que le champ d'Euler ait la forme

at,

tiat, tid,,

E={ Le produit

+ w2atP

+ rqû,,

(y2

si 8' E

* sera déterminé par la valeur de a,, * a,,. ate

*

at,

= E l ( t i , t2)3t1

# O,

C ) si 82 = O. Posons donc

+ K 2 ( t l , ts)dt,.

Les relations que nous n'avons pas encore utilisées sont

va,,(at2 * a t 2 ) = Va,, (4,* 4,)= vat,4,

=O

et

9@(d,,

* a t n ) - 2 9 @ ( d t , ) *a,,

=

a,,

*at,.

La première montre que c(1 et cc2 ne dépendent que de t'. La seconde montre que 2 et a2 = c g t y - si 82 # O et si on pose Sg = 1/(1 + m ) , on a ccl = clt2r" ( c l , e2 E ) ; ainsi, une telle structure existe sur ~2 si et seulement si m E w lorsque c2 # O et 2m E W si c2 = O ; on a alors

c

a,, * atn = t;(cltya,, + c&); - si 82 = O, on a cc1 = cle2t2'rz

at, * a,,

et

ccg

= cyet"'?

= et?/', (clet""a

tl

(cl,

e:! E ~ 1 ;)on a aiors

+ Qat2).

1.7. Plongement de la variété LQ comme hypersurface. - Le champ d'Euler @ définit une forme linéaire sur chaque fibre du fibré cotangent, c'est-à-dire un homomorphisme linéaire de 7 M dans le fibré trivial M x @. Notons h la coordonnée sur le facteur C . Soit LQ la sous-variété du fibré cotangent T * M associée à Q comme au gO.13.d. Si pour tout x E M l'endomorfihisrne (5)La premiere relation du

9 1.5 inipliqiie aussi la relation TC*?(*)

=t

(cf:

[HerSS, $51)

* 2 7 (*) + -8(*) * 3.

Ro9x de T,M est régulier (i.e. son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique), 1iLpplicntion LQ + n/r x C ,induite par le champ d’Euler (5, est une immersion f m é P et son image a pour équution dét( Id -Ro) = O. En effet, il s’agit de voir que le morphisme @ b f [ h ] + Ofif qu’on en déduit est surjectif. L’endomorphisme de multiplication par est égal à Ro . I1 est donc régulier ; pour toute section 5 de Ofil la multiplication par commute à la multiplication par (5, donc s’exprime comme un polynôme en Ro à coefficients dans & . Par suite, = 5 * e est un polynôme en E. Enfin, le noyau de @){[hl -+ Ob1 est engendré par le polynôme minimal de Ro, qui est son polynôme caractéristique.

2 et si j

STRUCTURES DE FROBENIUS

:M

Olzl(1ogD) = j*@M(logD)ilzl\z

\

C ~f M désigne l’inclusion,

@M

C j*Olzl,z.

En effet, pour tout champ de vecteurs 5 sur un ouvert U de M sur lequel h = O est une équation de D, si s , ( h ) s’annule sur D \ C , alors 2 8 ( h ) s’annule aussi sur D. L’hypersurface est un diuiseur libre (au sens de K. Saito) si le faisceau OM(log D) est localement libre comme &M -module (donc de rang dim hl ) . On peut montrer (par dualité) que cette propriété est équivalente à celle de la liberté locale du faisceau des 1-formes logarithmiques (CJ: remarque O.9.16-(3) ) Revenons à la variété de Saito hl et à l’hypersurface A . Si Ro est de plus semi-simple régulier sur un ouvert dense de M qui contient un ouvert dense de A , le diviseur A est libre. En effet, il suffit de vérifier que le faisceau O ~(log J D ) est égal au faisceau image de Ro : OM + 0‘21 puisque, par hypothèse sur Ro, ce dernier est localement libre. Le fermé analytique des points de A où Ro n’est pas semi-simple régulier est de codimension 1 dans A , donc 2 dans M . Puisque image Ro est localement libre, on a aussi

>

image Ro = j , (image Ro) , M \ ç

nOM,

ce qu’on voit en exprimant une section locale du terme de droite dans une base de image Ro avec des coefficients holomorphes sur le complémentaire de C , donc à singularité illusoire le long de C. I1 suffit ainsi de vérifier l’égalité des deux sous-faisceaux au voisinage de tout point du complémentaire de ce fermé. I1 existe alors, au voisinage d’un est défini comme tel point, des coordonnées canoniques XI,. . . , xd et réunion disjointe des hypersurfaces xi = O. Dans la base canonique, la matrice de &) est diag(x1,. . . , x d ) et, au voisinage de x1 = 0 par exemple, on a x2,.. . , xd # O, donc l’image de Ro est engendrée par les champs de vecteurs XI&, ,ûx2,.. . , ûxd, ie. les champs logarithmiques.

1.b. Structure de Saito avec métrique. - Comme au 5 0.13, nous appelons mélrigue sur le fibré tangent OM une forme &M-bilinéairc symétrique non dégénérée. 1.11. DéJinition. - Une structure de Saito métrique sur la variété M est la donnée d’une structure de Saito (v,‘D, e, E) et d’une métrique g sur le fibré tangent, satisfaisant les propriétés suivantes : (1) ~ ( g=) O (donc v est la connexion de Levi-Civita de g) ;

1. STRIJ<XUW, DE ÇMTO SIJR UNE VARIÉTÉ

237

( 2 ) @* = Q, i.e. pour toute section locale [ de O M ,Q: =

&?

1.15. Exemple 1.6, suite. - Considérons la métrique g telle que

g(4,,a,,) =g(af,,4,) = O

et

g(&,,&,)= 1.

Pour que cette métrique soit compatible au produit *, il est nécessaire et suffisant que l’on ait g(&, * &,,a,,) = O , c’est-à-dire c2 = O. On a alors v E (@)* = (2 282) Id:

+

+

1.16. Un potentiel pour la métrique. - Si on a un système de coordonnées canoniques (xz) (6définition 0.13.10) sur un ouvert de M (dans la situation du 1.8 par exemple), alors on a g( &.!, &,) = O si i # j : en effet,

s

g(&!, & / )

= g(&,

* a,,, a,),

= g ( ax!, &, = g(&,

a,

(canonicité)

)

, O) = O

(compatibilité de g et *) (canonicité).

1. STRLICTURk DE SlUTO SIJR UNE VARII~TÉ

239

Si l’on pose

va,,&,>azk ) +

(

9

&,,vdzF ark ) .

Considérons alors des coordonnées plates telles que les champs . . . ,dtd soient g-orthonormés. La matrice de Q> s’écrit C, C(’) d t , où 1 est ) la matrice cl,?. ( Mors

at,, ~ (

Q symétrique

:C :

Enfin on a, dans les coordonnées plates

=

~,liL’

v z, 1, k

( t l ,...,t d ) ,

qui est donc bien symétrique.

1.20. Exercice. - Écrire le tenseur c dans des coordonnées canoniques si la structure de Saito est semi-simple. 1.21. La constante d’homogénéité. - Dans certaines situations (voir par exemple le § 3 ) , le nombre D s’exprime naturellement sous la forme D = 2g + 2 - w où w est un entier et q E C .I1 est alors naturel de poser

CHAPITRE VII. STRUCTURES DE SN

240

R,

=

ro FT STRUCTURES

DE FRORENIIJS

v(e)- (1 + q ) Id. La connexion V = v + T

encore intégrable et les conditions de compatibilité 1.11 sont équivalentes à la donnée d’une forme G , hermitienne non dégénérée sur x*TM,qui est compatible à la connexion V et de poids 7u (cJ aVI.2.b). Par ailleurs, l’unit6 e est un vecteur propre de R m , de valeur propre -q, ce qui précise la signification de ce nombre q.

2. Structure de Frobenius sur une variété Nous présentons maintenant la définition d’une structure de Frobenius sur une variété analytique complexe M , telle qu’elle est donnée par B. Dubrovin [Dub96]. Elle ne fait pas référence a priori aux relations isomonodromiques ; elle met plutôt en évidence les propriétés de certains tenseurs sur la variété.

2.a. Structure de Frobenius. - Donnons-nous donc sur TM une forme bilinéaire symétrique non dégénérée g , u n produit * associatif et commutatif à unité e. Ceci permet de munir chaque espace tangent T,M d’une structure d’algèbre de Frobenius (au sens donné dans l’exercice 0.13.13). I1 revient au même de se donner trois tenseurs e E r(M,Oh)), g E r ( M , ( f l M ) B 2 ) et T(M, cl^)@'), les deux derniers étant symétriques, satisfaisant les propriétés de l’exercice 0.13.13. Cette famille d’algèbres de Frobenius sera une structure de Frobeniur sur M si elle satisfait deux conditions supplémentaires, à savoir une condition d’intégrubilzté et une condition d’homogbnéitt. Ces conditions s’expriment ainsi : (1) la métrique g est plate et, si v est la connexion plate sans torsion associée, on a v ( e ) = O ; (2) le 4-tenseur oc (voir 1.18) est symétrique en ses arguments; (3) il existe un champ de vecteurs (F (champ d’Euler) et un nombre complexe il soumis aux conditions suivantes : (a) l’endomorphisme v(F de OM est une section v-horizontale de Ends,, (OM) ; (b) on a -ZE(R(S>y ) ) - g ( % L y ) - g(S,-%.q) = ’ g ( L y ) pour (g) = L ) . g ; tous champs 5, y ; autrement dit, 2~ (c) o n a ~ ~ ( 5 * r i ) - ~ ~ 5 * y - 5 * y ~ y = Epoiirtouschamps .y 6,y1 ; autrenient dit, 2~ (*) = *. 2.1. Remarques (1) En présence de la condition ( i ) ,l’horizontalité (3.a) de l’endomorphisme v(F est conséquence de la condition (3.b). I1 est cependant

2. SIKU(:TIIRE DE FROBENILIS SUR IINE WRIÉTÉ

24 1

important de mettre en évidence cette propriété. Pour voir que (1) + (3.b) j ( X u ) , nous travaillerons dans un système de coordonnées plates , t d telles que les champs a,, , , dld soient ,y-orthonormés. Posons E = & p/,(t)a,,. Montrons exercice 0.12.11(2)) que, sous la condition (3.b), la section v21!@ est encore horizontale. Puisque v est sans torsion

(CJ:

(condition ( i ) ) ,il est équivalent de montrer que 2&(ûtt) = - CI, (yk)dt, est horizontale, c’est-à-dire que les a, (yk) sont constantes pour tous i, k . La condition (3.b) s’écrit, vu les hypothèses faites sur la base a t , , . . . , a t d , ati(yj)

+ & , ( y i ) = -»8z,

c’est-à-dire encore, en posant $z = ‘pi dt)(+j)+L$(+J

=O

v i , j = 1,...,d3

+ Dtj/2, v i , j = l >. . . >d.

On déduit de ces relations que les 8,)( + j ) sont constantes pour tous i , j : en effet, on a at,&,

( $ 1 ) = -&,at,

($2)

= atid,, ( $ j )

Donc

&,at,

($j) =O

-&/a,, ( 4 J i ) = a t i d t i (44)d’une part, d’autre part. = -ût,ûtl (+/O = -dti8,, ( + k ) =

pour tout 12.

( 2 ) On déduit de la condition (3.c), en prenant

O

5 = 7 = e , que l’unité P

est un vecteur propre de valeur propre 1 de v@, c’est-à-dire encore TEP = -e. (3) B. Dubrovin impose aussi une condition de semi-simplicité pour @.! Cette condition n’est pas essentielle pour la suite. (4) On peut affaiblir la notion de structure de Frobenius en imposant seulement les conditions (1) et (2), c’est-à-dire en n’introduisant pas l’homogénéité due à l’exi&nc< du champ d’Euler. L’associativité du produit (2.6. la symétrie de Q) et la condition (2) se traduisent alors par l’absence de courbure de la famille de connexions v + A@ paramétrée par A E C (voir [Dub961 ou [Man99al).

2.2. Proposition (les structures de Saito sont les structures de Frobenius) Il y n équiuu1m-P entw ytrurturp de Snito ~ V P métrique C et ytructure de Frobmius Jur une uumt;tP‘M. Démonytmtaon. - Lc fait qu’une structure de Çaito avec métrique donne une structure de Frobenius résulte des propriétés qui suivent les définitions 1.1 et 1.11. Inversement, donnons-nous une structure de Frobenius et posons @E(YJ)= -5 * y . La commutativité et l’associativité de * donnent la symétrie de Q dans une base v-hori~ontale de @ et Q A CD = O. Les déments

orthonormée sont tels que

X ( " / a t ( est une expression symétrique en 1.k

v(Q)= O et donc la propriété (3.c) de v(&)+ @ = [Q, v@], comme indiqué au fi 1.5.

z , j , k , t . Ceci implique que équivaut à la relation

O

2.b. Le potentiel de la structure de Frobenius et les équations d'associativité. - Donnons-nous une structure de Frobenius (éventuellement sans champ d'Euler, comme à la remarque 2.1-(4)) sur une variété M que nous supposerons 1-connexe. Fixons un système de coordonnées plates ( t i , . . . , t d ) sur M .Le fait que le tenseur ~ ( c soit ) symétrique en ses quatre arguments implique qu'il existe iine fonction holomorphe F : M + C telle que l'on ait, pour tous i, j , k , la relation (2.3) On remarque d'abord que, si une telle fonction existe, elle n'est bien déterminée qu'à l'addition près d'un polynôme de degr6 2 en t l , . . . , t d . Montrons l'existence de F. Nous travaillerons dans des coordonnées plates gorthonormées pour simplifier. On n, dans ces coordonnées, c(û,, a,,, a t k ) =

3,h. (1)

Une première conséquence de la symétrie de ~ ( c est ) que la 1-forme dt, est fermée. Pour tout couple (1, k ) il existe donc (4 exercice 0.9.8) une fonction FJ,k (définie à constante près) telle que dF,,k = F ( dt,. Toujours par symétrie, on a dF3,k = "';a,], de sorte qu'on

C,C;:;

E,

1.k

peut ajuster les constantes (la variété M étant connexe) pour avoir de plus Fl,k = Fk,3 pour tous 1,k . Encore par symétrie, on voit que la forme Fl,k d t k est fermée et il existe donc des fonctions F, telles que %,/&a = F3,k. La forme I;] d t , est encore fermée, d'où l'existence de F .

E,,

c,

Lorsque v@est semi-çimple et g(e, u ) = O , on a, dans les coordonnées plates du fi 1.14, I'egalité g(&, * a t , , û t k ) = 1 si I + k = d + 1 et O sinon, de sorte qu'on peut écrire

(2.4)

F(t1,.. . , t d ) =

1

2

( /c= 1 d

t,td+lPl

) + G ( t p , . ..,

td).

2.5. Exemple 1.6, suite. - Reprenons la situation de l'exemple 1.15. Les seules dérivées troisièmes de F qui sont éventuellement non nulles sont, en posant e = 2m E N, û3 F

-=I

allat,

et

a3 I;

~

at;

= c 1 t 20 p (O11 C l e e t " " ) .

P . STRUCTURE DE FKOBENIUS SUR UNF VARIETF.

243

On a donc, 2 un polynôme de degré 2 près,

pour une constante ci convenable.

2.6. Homogénéité du potentiel. - Supposons que VQ soit semi-simple. Nous pouvons alors choisir des coordonnée3 plates comme au 51.4. On a en particulier 2&(at,) = -filat, pour tout 1 . On déduit de la conformité de E par rapport à la métrique g ( 5 1.12) que, pour tous z , ~ ,k , la fonction f ( a t l , d t , , d t k ) est E-homogène de degré D + I - 6 , - 6 , - 8 k , c’est-à-dire satisfait l’éqiiation

-zK+t,,atl,at,)

= ( ~ + -1 s,-s,

-8k)c(at7,atl,at,).

O, ceci implique que F est un polynôme, puisque le coefficient de t;”’ . . . t p dans F est nul sauf si 1 81 n3 = D + 1 lorsque E, nl 2 3 .

2.7. Éguations d’associativité. - L’associativité du produit impose des contraintes sur (les dérivées troisièmes de) la fonction F . Ce sont des équations non linéaires aux dérivées partielles, connues sous le rioni d’«équations WûW ». Fixons un système de coordonnées plates ( t l , . . . , t d ) que nous supposerons g-orthonormées pour simplifier. On a donc = g ( t , ût,,!)ût, pour tout champ 5 et par suite

Cqiiivaiit 2 l’absence dc torsion de

(‘Q.

O

(2) Le prodiiit est donné par (peu (&!

* dz, ) = -%:( (90,(2:,) ) - -c(/) y[,,(&,) -

(;(i)

. (;(il .

et la première assertion provient de la relation [C, (”’1 = O. (“)Ici encore, il faiidi-ait aflirhler la notation d’un exposant w ; dans les exemples du 3 4 noirs verrons cependant que ce prodiiit ne depend pas de la section primitive c-hoisir.

CIIAPITRE \'Il. STRUCTURES 1)K SAiTO ET STRUCTURES DE FROBFNILJS

246

On a par ailleurs

ce qui donne le deuxième point (l'horizontalité de e équivaut à celle de w ) .

O 3.3.Remarque. - Si est muni d'une forme bilinéaire non dégénérée g telle que les relations du sVI.2.18 soient satisfaites, cette forme se transporte par y u en une forme bilinéaire sur T M , que l'on note "g. Alors "g est "Q-horizontale, car g est 7-horizontale et, puisque "Jv est sans torsion, celle-ci est la connexion de Levi-Civita de la forme hilinéaire.

3.4. Exercice. - L'endomorphisme R, de @ G par

définit une section "5,

de

flk

"s',

( f ) = R, (y" (5)).

Montrer que l'on a v("S,) = O dans C L k @G.

3.c. Le champ d'Euler

3.5. Proposition (1) Il existe un unique champ dP vecteurs "E, appelé champ d'Euler de la sectiorz primitive w , tel que léndomorphisme 4 H 5 * "E soit léndomorphisme "Ro de TM . (2) Si w est homogènp de degré -q (Le. R, ( O )= -yu), on a

"v"Q= et en particulin

+ (1 + 4 ) Id

"v ("v "E) = O .

Démonstration (1) Si le champ

existe, il doit satisfaire, puisque e est l'unité de

E=

u>

= ' ' R ~ ( P=)y,'

(E6,).On a, par hypothèse,

Posons donc E(,,= &(a) et "@ = y;' yu (&!

* ,,E)

= -@a:, = -@E

(~o(o))

(Ec+) '

Ro ( O )

= -Ro .

(a) d'après VI.(2.6)

= Ro ( y b J (Z' ,

))'

A,

s. APPLICATION DE PÉRIODES

INFINITÉSIMALE

(2) On calcule dans une base v-horizontale

247

E

O Nous pouvons résumer les résultats ci-dessus :

3.6. Théorème (l’applicationde périodes infinitésimaleproduit une structure de Frobenius-Saito) (1) Soit M une variété munie d u n j b r é Eo et de donnies v, @, Ro, R, et g satisfnisant les relations des §$VI. 2.17 et 2.18. Si adnaei un<section primitive O hornogèlze, l’application de périodes inJinitésimule y,, munit M d’une structure de variété de Frobenius ayant pour unité le champ e = y;’ (a). ( 2 ) Réciproquement, touie varidé de Frobenius est obtmue de cette manike, en O prenant pour section primitive le champ unité. ?. 7. Remarque (construction d’une section primitive). - Dans la pratique, la section primitive est déterminée par sa valeur initiale en x”. En effet, soit w” E E; un vecteiir propre de R , (opérant sur E o ) . I1 existe alors, sur tout ouvert simplement connexe de M contenant x” (ou sur le revêtement universel de M ), une unique section V-horizontale w de Eo dont la restriction à xo est 0’.Si de plus (p,. induit Lin isomorphisme TpiW -f E;, il existe une hypersurface 0,)”dans M , hors de laquelle yo est u n isomorphisme (son équation est le déterminant de yo, dans des bases locales quelconques de TM et E o ) . Alors, en restriction à M \ w est une section primitive. @,,,O,

3.d. Adjonction d’une variable dans l’application de périodes infinitésimale. - On se donne maintenant u n fibré F’ sur une variété M ’ , avec rg F’ = dim M’ + 1, et on suppose F’ muni de v’, R & , @’, K:) (et éventuellement g’), satisfaisant les relations du sVI.2.c (et éventuellement du svI.2.18). On cherche à munir la variété M = A’ x M’, où A’ est la droite affine de coordonnée T,d’une structure de variété de Frobenius en identifiant F’ et T M ~ { o } ~=M@id7 / TM’. On dira, dans cette situation, qu’une section v-horizontale O’ de 7’ est primitive si l’application de périodes infinitésimale : TM,{(j}&’

-

F’

définie par +,!([) = Y(,!([) = -@[(a’) si 4 est une section de TM’ et +(,,!(dt) = w’,induit un isomorphisme de fibrés. On notera de la même

CHhPITRE VU.SI-RI'CTURES DE SAIT0

248

ET STRUCTURES I>E FRORENIUS

: TM + $*E', si fi : M + M' est la manière le morphisme relevé projection ; autrement dit, on étend +,I par &-linéarité. R, , Q, Ro et g définies par Considérons sur F E p* F' les données

v,

v = p*v',R,

= p*R&,

g = $*g',

Q = p*Q'

-

+

Iddr, Ro = p*R(, T Id

On voit que w' est primitive dans le sens ci-dessus si et seulement si w Er 1 8 w' est une section primitive de F au sens de la définition 3.1 et qu'alors = 'pa.

$Jal

La structure de Frobenius définie sur M = A' x M' par une section primitive homogène 1 8 w' de F , par la méthode du fi3.b, admet pour unité e le champ 3,.

3.8. Exercice (adjonction d'une variable à une variété de Frobenius) Soit M une variété de Frobenius. Utiliser le procédé ci-dessus pour munir A' x M d'une structure de variété de Frobenius pour laquelle le champ unité est &, si T est la coordonnée sur A'. 3.e. Justification de la terminologie. - Nous allons expliquer le choix de la terminologie > pour le morphisme 'pa associé à une section primitive homogène (1). L'explication sera plus claire pour le morphisme +a! du § 3.d, ce qui n'est pas très restrictif, au vu de l'exercice 3.8. Nous nous plaçons donc dans la situation du § 3.d et nous supposerons que R, - k Id est inversible pour tout k E N . Notons IF = @MI [TI ~ q ,E' , (variante ~ algébrique du fibré p*F' du C; 3.d). Ce fibré est muni de la connexion V =p* v + +Ra) h

$1

:[ ($

h

Soit F le transformé de Fourier partiel inverse de P (cf: SV.2.c et sVI.3.h). [ t ] -module libre de On montre comme au lemme VI.3.22 que c'est un rang dimM' + 1 et que la connexion V est à singularités régulières (on constatera que le calcul de la matrice de connexion fait au sVI.3.h n'utilise pas l'hypothèse que Bo a toutes ses valeurs propres distinctes). Si 5 est un champ de vecteurs sur M' et si O est une section locale de F = IF, on a, par définition, l'égalité V ~ G=) V t w . Considérons aussi la section ~w . Pour un tel champ 5,on a alors l'égalité h

h

h

VE(TO) =

rV(w)

= -Q(w).

On a aussi par définition

V?, (TU) = T-'Tw

= w.

4. EXEMPLES

249

Ainsi, après transformation de Fourier, l'application plication Ofif

- F,

yI

+a

n'est autre que l'ap-

V?(TW).

La terminologie utilisée provient du fait que, pour les applications de périodes considérées en géométrie algébrique, l'application tangente associée s'exprime souvent de cette manière.

4. Exemples 4.a. Structures de Frobenius-Saito semi-simples universelles. - Soit ( x i , . . . , xd) un point de Xd (CJ: §Vi.i.c) et soit B, une matrice telle que B, - ( w / 2 ) Id soit antisymétm'que. Nous allons associer à ces données et à un choix de vccteur propre de B, une structure de Frobenius sur le complémentaire d'un diviseur dans le revêtement universel 2,. Soit donc GI' un vecteur propre de B , de valeur propre K E C .Nous ferons l'hypothèse que les coefJicienl.r de wu sont lous non nuls. Posons aussi 13: = diag(x; , . . . , x i ) . La proposition VI.3.8 et son complément du SVi.3.c nous fournissent un fibrt E sur Xd,une connexion plate holomorphe v et un endomorphisme v-horizontal R,. Sur le complémentaire d'un diviseur O c 2, nous disposons aussi des objets holomorphes @, Ru, g et nous nous trouvons dans la situation décrite - au 5 3.a. Puisque X d est I-connexe. il existe une unique section w de k? horizontale pour v et telle que w(X") = wu, si X o est un relèvement fixé de xu dans Xd.Nous restreindrons cette section à 2, \ O. Considérons la base e de 2?,;x,,\@ introduite au sVI.3.e. Puisque la base e est méromorphe, les composantes w1 de w sur la base e sont des fonctions méromorphes sur Xd à pôles le long de O. Soit 0;. la réunion des hypersurfaces {aI= O} c Xd et posons O,,,«= O:,, ü O. Nous allons plus précisément associer à la donnée ( B i , B,, wo) une structure de variété de Frobenius sur 2, \ O,,". La définition de montre que la famille u = (ui,. . , ,ud) définie au point Z par I

@,,,O

u,= o,(X)e, ( i = 1, ..., d ) cst une base de forme

q.\d,c-,,, . L'homomorphisme -

p '.

: T(Xd

N

\

+E

@,O)

&E

'pw

s'exprime alors sous la

-

IX,l\@,,O

-@&,

(a)= u,.

CHAPITRE 111.STRUCTURES DE SAIT0 E?‘ STRLI(:TURES DE FROBENIUS

250

C’est donc un isomorphisme. I1 satisfait ~ , ( e )= O

et

y,(@) = E w

en posant e = C, û, et E = C,x,û,, . Ainsi on peut appliquer les résultats du § 3 pour en déduire une structure de Frobenius sur Xd \ De plus, le produit * des champs de vecteurs est donné par @,O.

yw (axi

* ax, ) = -@zyz

(Ta (&,) ) >

formule que l’on prolonge par &-linéarité à tous les champs de vecteurs ; on voit que pa(&,

donc

ax{* ax, = 8II û

*a,)

= ‘pa(&,ax,)

Onendéduit:

4.1. Proposition. - L e produit *, lunaté e et le champ d Euler ne dépendent pas d u vecteur propre wo de B, choisa (sous l’hypothèse de non-annulataon de tous yes copfJicientr). U On déduit du § 1.8 et des résultats ci-dessus :

4.2. lWorème (Dubrovin [Dub96]). - Il y a correspondance bijective entre variétés de Frobenius simplement connexes semi-simples (Le. pour lesquelles Ro est semi-simple régulier en tout point) et les quadruplets ( B & B,, wo, U ), où B i est une matrice semi-simple réplière, B , satisfait BO, + B , = ru Id avec 7u E Z , O’ est un vecteur propre de B, dont aucune des composanies sur la base propre de B i n’est O nulle et U e,pt un ouuert (étale) simplement connexe de Xd \ @ , O . 4.b. Structuresde Frobenius-Saito de type Ad. - Ceci est l’exemple le plus simple de structure de Saito ou de Frobenius associée à une singularité. Ici, les calculs sont assez simples pour que nous n’ayons pas à utiliser explicitement l’application de périodes infinitésimale, mais nous reprendrons cet exemple avec l’application de périodes infinitésimale au 13 5.c. 11 est remarquable que les coordonnées plates s’expriment algébriquement en fonction des coordonnées naturelles dans lesquelles le produit * s’exprime simplement. Le d6ploiement universel de lu sincplam’té Ad. - Notons M l’espace affine C muni des coordonnées z = (ZO, . . . , Z d - 1 ) . Si u est une nouvelle variable, considérons le sous-ensemble (hypersurface) 3 de C x M d’équation f ( u , z ) = O, avec

f ( u , z ) = Ud+l

+ Z d - I U d - 1 + . . . + z1u + zo.

251

4. EXEMPIXS

Ce polynôme décrit le diploiemmt univmsel de la fonction u H ud+’, encore appelée singularité Ad ( l o ) . Un point singulim de l’hypersurface 2 est un point (u’, zo) de Z où le polynôme >)

8 2 , ) = réslJ=o

((d+l)

+ (d-

du. l ) z d - 1 ~ ~ + . . . + ~ 1 ~ ~ )

On voit ainsi que, d'une part, g ( û Z l a, , ) = O si i + j < d - 1 et d'autre part, pour i + j 2 d - 1, g(&,,&,) est le coefficient de u ' + J + ' - ~ dans la série

4.7. Lemme (homogénéité). - Le champ d Euler satisfail

+

L)Ymon>tratzon.- Attribuons le poids pz = (d 1 - z ) / ( d + 1) à la variable z,.Nous dirons qu'un polynôme h(z0, . . . ,zd-1) est qunsz hornoghe de degré 8 si tous ses monômes ont un degré 8 quand on pondère le degré des = pzz2. variables z, par p, ; autrement dit, 9 ~ ( h=) Sh. On a donc -%(z,) Le polynôme f est homogène de degré 1 si on attribue à la variable u le poids l / ( d 1). L'expression de g(&,,&,) indiquée ci-dessus montre 1 - d ) / (d 1). que c'est un polynôme quasi homogène de degré (z J Puisque 9 @ ( û z t )= -p,d,,, on en déduit que, pour tous z , ~ , on a (en posant

+

D

= (d+

+ +

+

3 ) / ( d + 1))

- z @ ( g ( ~ z l > & -, )g) < ~ ? & & , ) - g ( & z > - 8 ? & i ) = Dg(aZ&,).

L'égalité -!& (&,*&,) = (l-pL-pJ)&,*û,, se montre de la même manière, par récurrence sur z + J , d'où l'on déduit la première assertion. O

4.8. Proposition (platitude de la métrique). - Ida forme bzlznéazre g est non dégknhée et plate.

255

4. EXEbfPLES

Démonstration. - Pour la montrer, nous allons exhiber un système de coordonnées plates, système introduit dans [SYSSO, th. 2.5.31. Elles vont apparaître comme coefficients d'un développement de Puiseux de f quand u + CO. Posons donc h ( u ) = l / f ( l / u ) , que l'on voit comme section du faisceau &bf[uJ[u-'] des séries formelles (polaires) de Laurent en u à coefficients holomorphes sur M :

II existe une série formelle w ( v , z ) = u ( i + n2(2)71* + . . . ) telle que w(v,z)~+' h ( u , z ) et ( w , z ) est un autre système de coordonnées sur C x M au voisinage de u = O. Écrivons

(

u = u(w,z) = w I $ b * ( % ) ? U 2 f . . '

).

La fonction u = l / u peut finalement s'écrire sous la forme

ce qui définit d fonctions t o ( z ) , . . . , td-1 ( z ) . Rappelons que l'on a, par construction, la relation = 1.

7Ud+'/(U(7U,Z),%)

En développant cette relation et en annulant les coefficients des puissances positives de 7u, on trouve(I3)

t&]

- Zd-1

td-9 - Zd-2

=O =

O

et plus généralement, pour z 6 d - 3, t , - Z, = q 7 ( 4 + 2 , .

. . > t d - l , 7 4 + 2 > . . ., Z d - 1 )

où q2 est un polynôme a coefficients constants. Ces formules définissent deux changements de coordonnées algébriques inverses l'un de l'autre : t H z et z H t . Nous allons vérifier que t est un Jystèmc d~ coordonnkeer platps sur M , relativement à la forme bilinéaire g sur Ob[.Notons déjà qu'étant donnée la forme triangulaire du changement de coordonnées, on a a

i

i

-- - = e. at() azo

Posons q ( u , t ) = / ( u , z ( t ) ) .On a donc aussi q ' ( ~ , t= ) f ' ( u , z ( t ) ) . Nous voulons dans un premier temps calculer dq/ûtl mod 9'. Nous allons faire

256

LH WITW VI1 STRUCTUWS DE SAIT0 ET SIKUCTURES DE EKOBENIC'S

un calcul dans la coordonnée w (et donc dans l'anneau @M [ w ] [wp'] ) . Du fait de la relation wd+l . q ( u ( w , t ) ,t ) s 1,

Par ailleurs, l'expression de la série u(7u, t ) montre que

On peut donc écrire, puisque d - i et d - j sont 2 1,

Calculons maintenant le résidu définissant g dans les variables ( v , t ) . Nous trouvons

Cette expression montre aussi que la forme bilinéaire g est partout non O dégénérée.

La structuw de FrobeniusSnito (Dubrouin, [Dub961). - Nous allons maintenant montrer que la métrique plate g,le produit * sur O1v et les champs = ûz,, = a,, et E induisent une structure de Frobenius sur l'espace M = C d .Au point où nous en sommes, nous avons montré les propriétés ( l ) , ( 3 )(b) et ( 3 )(c) de la définition du S2.a. P

Commençons par ( 3 )(a). Pour cela, on remarque que, dans le changement de coordonnées t , = zi + r>, (z,+p, . . . ,z d - l ) , le polynôme r>, est quasi homogène de degré p,, de sorte que l'on a pour tout i -%@(ti) = p i t , ,

donc on a E = Cip;t;ût,.Ainsi, dans la base donnée par les coordonnées plates, VE est la matrice diagonale constante de termes diagonaux les nombres p,, ce qui implique bien que ~ ( v E = ) O.

257

4. EXEMPI.ES

La vérification de 2.a-(2) procède de manière indirecte. En effet, un calcul analogue à celui fait pour la métrique niontrc que

+ rkvd-l-(l+r)

Lorsque i , j , k satisfont i C(&!>

”,

>

+j ,j + k , k + i 6 d

atk)

=

{

-

) . (1 + . . . ) d u .

1, ce calcul donne

o / ( i i + 1) si i + j + k = d - 1 sinon.

Par contre, quand cette condition n’est pas satisfaite, ce calcul est insuffisant pour conclure. L’idée de B. Diibrovin consiste à utiliscr les coordonnées canoniques X I , . . . , xd. I1 suffit en effet de montrer la symétrie de vc sur un ouvert dense de M , de sorte que l’on peut supposer I’existcnce d’un système de coordonnées canoniques, d’après ce que nous avons VII plus haut. 4.9. Lemme (condition de Darboux-Egorov, d’après Dubrovin). - Sozent 1rs donnbes (g,*, p , E) sur OIL[ S’d QxzstP un qyyrtème de coordonnh ranoniqups ( x i , . . . , xd) pour le produzt * et J I ( g , *, e, E) satzsjont LQS condztzons (1) rt ( 3 ) du $ 2 . ainrz ~ qur la condztaon (Y)zL Q X Z ~ ~1ornLpmPnt P unp jonction 4 L P L qicp ~ La métmqup g ratzsjarsQ

Ce lemme s’applique au déploienient de la singularité Ad.En effet, on a = P , ( u ) et l’expression (4.5) pour la métrique montre que

y(&!)

Nous allons vérifier que la fonction +(x) = zd-1 ( x ) / ( d + 1) satisfait la relation

(4.10)

CHAP1 TRE \TI. STRUCTURES DE SAIT0 F.T STRUCTURES DE FROBENIIJS

258

Rappelons d'une part que le changement de coordonnées z relations

Hx

donne les

(4.11) D'autre part, le changement de coordonnées z H t étant triangulaire et les champs a,1 étant g-orthogonaux, on en déduit que, pour tout j = 0 , . . . , d1, on a

Du fait de la g-orthogonalité des champs ûx8 et de (4.11), on en déduit (4.12)

O

ce qui montre (4.10).

4.13. Exercice. - En utilisant (4.11) montrer, pour tout i = 1,. . . , d , l'égalité de polynômes

et en déduire une démonstration de (4.10) n'utilisant pas les coordonnées plates. propriété de symétrie (1.19) de vc se montre en utilisant les coordonnées canoniques (xi,.. . ,xd) . Elle résulte facilement des deux relations Démonstration du lemme 4.9. - La

(4.14)

(4.15)

g(va,,&,,ax,)= 0 si i

# j , j # k et i # k .

La première relation résulte de l'horizontalité de g vis-à-vis de et de l'absence de torsion de cette dernière. Pour la seconde, on utilise de plus la g-orthogonalité des champs ilxientre eux ( 4 1.16) : on a ~ ( m , , * a w ~ x , )=g(m,$.,&,)

=

- g ( ~ x k > v c , , ~ x ,=) -g(o?,ia,,ax,)

et, en itérant trois fois la permutation cyclique z (4.15).

H

j

H

k

H

i, on obtient O

1. EXEMl’I.ES

259

I,P potrntid F . - La propriété d’homogénéité vue au 5 2.6 montre que, puisque les pl sont > O, la fonction F est un polynômr quasi homogène de degré 13 = ( d + 3 ) / ( d + 1 ) .

4.16. Exercice (potentiel des sinNarités A2 et A3). - Détailler les calculs qui précèdent pour les singiilarités A2 et A3 et montrer que le potentiel F est donné par

4.17. Remarque. - II est intéressant de comparer la structure de Frobenius ainsi construite à la structure de Frobenius universelle du 4.a. Donnonsnous un point zo dans l’ouvert U considéré plus haut et notons x” ses coordonnées canoniques (supposées deux à deux distinctes) et t” ses coordonnées plates. Le poids 7 u ( $ 1.21) est ici le nombre de variables u , c’est-à-dire 1, et le nombre Q correspondant (11 = 2q 2 - 7 1 ) ) est donc dans la base dtJ égal k l / ( d + 1 ) . La matrice de K, = ( q + 1 ) I d - v est égale à diag( ( i + l ) / ( d + 1),=0,,,,,(/-1) et l’explicitation dii changement de coordonnées t H x permettrait de l’expliciter dans la base des &?,,. La section priniitive w est le champ unite &,, = C, dx, . Dans cet exemple, la structure de Frobenius de A,1 restreinte 2 Cl coïncide donc avec la structure construite aii 4.a si l’on choisit comme données initiales en zo celles que l’on vient de définir. I1 est k noter que le théorème 4.2 n’aurait donné l’existence d’une telle structure que sur Uri ouvert du revêtement universel de U et c e , de manière implicite.

s

+

a

4.18. Exercice (structure de Frobenius pour le déploiement universel du polynôme de Laurent u + l / u ) . - On considère le déploienient f ( u ,zo, z1) = zo zlu + l / u du polynôme de Laiirerit u + l / u de la variable u E C *. La variété M est ici l’ouvert z1 # O du plan de coordonnées zo,21. Le faisceau d’algèbres jacobienncs est [ u ,.-‘I/( f ’ ) et l’application de Kodaira-Spencer q envoie a$, sur la classe de 1 et a,, sur celle de u modulo f ’ . La métrique g est définie par

+

CHAPITRE VI1 S T R C C T U U S UL. SAIT0 ET S T R I ' C T U U S DE. FROBENIUS

260

Montrer les résultats suivants et en déduire une structure de Frobenius sur la variété hl (plus précisément sur le revêtement double sur lequel fi est définie) : (1) Le champ d'Eider est égal à zoûz,, 2ziûz, et on a 11 = 2 (donc q = 1/2 si on choisit w = 1 ) .Calculer les produits û, * û, . (2) Les coordonnées canoniques sont données par

+

X I =

zo

+

+2

6 ,

x2 =

zo - 2

6

et le potentiel par + ( x l , x 2 ) = zo. ( 3 ) Les coordonnées plates sont données par

to et

= zo,

t1=2\/ZI

ûtL) est une base g-orthonormée de O M . (4) Le potentiel F de la structure de Frobenius est

(at,,

1 , + -tot1 1 2 -to 3 2 Identifier enfin cette structure à la structure universelle du 3 4.a avec B i diag(1, -1) et B , = I d / 2 . F(t0,ti) =

=

4.19. Exercice (structure de Frobenius pour le déploiement universel du po. Même exercice que le précédent avec lynôme de Laurent u* + i / ~ )J ( u ,zo, z ~z 2,) = zo z1u z2u2 l / u et M = C 3 \ ( z 2 = O } . L'application de Kodaira-Spencer est donnée par y(&,) = u' ( z = O, 1 , Z ) . La métrique est ici définie comme étant 2 6 résidus. (1) Montrer que E = zoû,, + 221û,, 3z2ûZ7 et D = 3/2 (donc q = 1/4 si on choisit w = 1 ) . Calculer les produits û, * û$. (2) Déterminer le domaine d'existence des coordonnées canoniques. ( 3 ) Montrer que les formules

+

+

+

+

définissent des coordonnées plates (étales) M . (4) Calculer le potentiel F de cette structure. (5) Identifier cette structure à la structure universelle di1 4.a avec B i = 3 . 2T2'" d i a g ( l , j , j 2 ) (j' = 1) et B, de valeurs propres 1/4, 1/2, 3/4.

4.c. Structures de Frobenius définies par leur potentiel. - I1 s'agit de chercher les fonctions F de d variables complexes t l , . . . , t d satisfaisant les équations W D W (2.8). Par construction, les coordonnées 1, sont les coordonnées plates sur la variété; autrement dit, on cherche à munir un ouvert de C d ,avec sa structure affine naturelle, d'une structure de variété de Frobenius. Urie façon de produire de tels potentiels consiste à exprimer les )

4. EXEMPLES

26 1

relations WDW comme des relations de récurrence sur les coefficients du développement de Taylor de F .

4.20. Exercice (structures de Frobenius polynomiales en dimension 3, d’après S. Natanzon). - On se donne 81 = 1, 8 2 , s ~ # O avec 282 = 83 1 ! ! B et on cherche, dans des coordonnées plates t i , t2, t g comme au al.14, les potentiels F polynomiaux homogènes de degré D + 1 (à un polynôme de degré 2 près) relativement au champ d’Euler @ = t,&, 82t2ût2 + S3t:3ût,, satisfaisant les équations WDW de l’exercice 2.9. On écrit, comme en (2.4),

+ +

(1) Montrer que la seule contrainte WDW non trivialement satisfaite est

) ~G333 fG222G233, si on pose Gz$ = d‘G/at,ôt,ôt,. qui s’écrit encore ( G 2 2 ~= (2) Exprimer la contrainte d’homogénéité et de polynomialité sur G. ( 3 ) En déduire trois types de solutions G , donc F (parmi lesquelles se trouve le potentiel FA? de la singularité As).

Les solutions polynomiales sont néanmoins assez rares. Une fois résolues ces récurrences, reste le problème, difficile en général, de la détermination d u domaine de convergence de la série de Taylor ainsi construite. Aussi introduit-on la notion de 71ariktk de Frobenius formelle, définie par un potentiel F qui peut n’être qu’une série formelle en t ~ ,. . , tli. Ce qui importe alors seulement sont les coefficients de la série, solutions des équations de réciirrerice déduites de WDW. Voici iin exemple :

4.21. Proposition (potentiel de la cohomologie quantique du plan projectif) (d 1, = 1) telle que la s h e jormellp Il exasie uny1p unzqup mite dentiers

soit solution de L’équation ( ~ 2 2 3 )=~ ~ 3 3 3+ ~ 2 2 2 ~ 2 3 3Le. potentiel ,formel F ( t l , t y , t g ) = G ( t y , t 3 ) t i ( t i t s + t i ) / 2 est homogène de degré il + 1 = 1 r~lativemen,tau champ dEuler Q = t i a,, - t’a,, + 3&,.

+

262

CHAPITRE \III. STRU). ( I 4 ) pour laquelle nous renvoyons aux articles et aii livre mentionnés dans l’introduction de ce chapitre. I1 est a noter aussi que S. Barannikov et M. Kontsevitch ont récemment introduit une nouvelle construction de structures de Frobenius formelles, permettant d’appréhender le phénomène d e syrmélrip miroir en ternies de telles structures ( $ [BWS, Bar99, ManSSb] j . (l‘)Il existe une définition précise d e cette notion, voir par exemple [SabSS].

5. STRUCTURE DE FROBENIUS-SAI r0 ASSOCIÉE. À UNF SIN(;LJLAKITÉ

263

La démarche pour construire la structure de Frobenius-Saito procède en plusieurs étapes. Nous allons en dégager les grandes lignes.

( I ) On associe à la fonction f o un fibré méromorphe à connexion ( G u V) , de rang d sur le plan complexe C (variable T du #V.2.c), appelé système de Guuss-Manin de f o . On montre que celui-ci n'a de singularité qu'en T = O et T = CO, cette dernière étant régulière. I1 est de plus muni d'un réseau naturel E", appelé réseau de Brieskorn(") et qui est transformé A

de Fourier du système des équations de Picard-Fuchs classiquement associé à f o (variable t du SV.2.c).Le réseau E"est muni d'une forme hermitienne non dégénérée de poids w = n + 1 (nombre de variables de la fonction f o ) , reliée a la dualité de Poincaré des fibres non singulières de la fonction f o . Cette construction trouve son origine dans la recherche de développement asymptotiques, quand T tend vers O, pour des intégrales du type

I(r) =

,-fo(4/T

a,

J l -

où w est une forme différentielle holomorphe de degré maximum et ï est un cycle de dimension dim U (par exemple, si U = Cn+', ï = IRTL+') . Cet aspect est amplement détaillé dans le livre [AVG86]. Nous ne le développerons pas ici.

(2) Lorsqu'existent des coordonnées (au sens étale)

UO,

. . . ,un sur la va-

riété U (c'est le cas dans la situation locale, bien sûr, et parfois dans la situation globale, par exemple si U = Cn+l ou U = (C*)"+'), on peut considérer le quotirnt jacobien de l'anneau des fonctions sur U par l'idéal des dérivées partielles de f o . Dans de nombreuses situations, on peut identifier naturellement ce quotientjacobien au quotient E"/TIE" et choisir des fonctions 1, À 1 ( u ) ,. . . , hd-1 ( u ) sur U qui induisent, par cette identification, une base de l'espace (par exemple, on peut choisir les vecteurs propres du résidu à l'infini considéré plus haut ; lorsque f o est le polynôme u H d+', on retrouve ia famille I , u, . . . , ,un-' 1. h

A

@"/TE'

( 3 ) On peut alors considérer, sur le produit U x l'origine, la fonction

C dou sur son germe à

d- 1

.f(u,z) = f o ( u )

+ z=o c &hi(u),

que nous appellerons

Deformations isomonodromiques et varietes de frobenius

Tores et varietes abeliennes complexes

Isomonodromic deformations and Frobenius manifolds: An introduction

Isomonodromic Deformations and Frobenius Manifolds: An Introduction

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Complexe cotangent et deformations I

Éléments de Mathématique: Varietes differentielles et analytiques. Fascicule de resultats

Complexe cotangent et deformations II

Analyse mathematique: Fonctions analytiques, differentielles et varietes, surfaces de Riemann

Isomonodromic Deformations and Frobenius Manifolds: An Introduction (Universitext)

Structures de Fredholm sur les Varietes Hilbertiennes

Varietes Kaehleriennes Compactes

Varietes Analytiques Compactes

Semi-Martingales sur des Varietes et Martingales Conformes sur des Varietes Analytiques Complexes

Deformations of singularities

Deformations of Algebraic Schemes

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Diophantine Frobenius Problem

The Diophantine Frobenius problem

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Quasi-Frobenius Rings

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Nonlinear Perron-Frobenius Theory

Analyse mathematique III: Fonctions analytiques, differentielles et varietes, surfaces de Riemann

De fièvre et de sang

De Re et De Dicto

Infinitesimal deformations of singularities

Introduction to singularities and deformations

De chair et d'âme

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