Cohomologie des espaces localement compacts d'après J. Leray

Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg

2 Armand Borel Institute for Advanced Study, Princeton N.J.

Cohomologie des espaces Iocalement compacts d'apr6s J. Leray Expos6s faits au Seminaire de Topologie alg6brique de I'Ecole Polytechnique Fed6rale au printemps 1951 Troisi~me Edition, 1964

1964 ~,.., il~lll 9

q#.:~i.~

Springer-Verlag. Berlin. G~ttingen. Heidelberg

Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch cider Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielf~iltigen. 9 by Springer-Verlag O H G / B e r | i n " G6ttingen - Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 6 4 - 2 4 7 4 6 . Printed in Germany. Titel NR. 7322 Druck : Beltz, Weinheim

Introduction & la premiere gdition

Ces exposes sont consacr~s & la th~orie des invariants topologlques d'un espace localement compact et d'une application continue gdifi~e par J. Leray (Jour.Math. pur.appl. 29 (1950), 1-139, 169-213). Ils se r6partissent en deux groupes; les cinq premiers exposes d@veloppent ce que l'on peut appeler une th~orle axiomatique de la cohomologie de Cech-Alexander d'un espace localement compact (& coefficients darts un faisceau et & supports compacts). Pour faire apparaStre aussi clairement et aussi rapidement que possible les idles essentielles, on a tout d'abord traitg le cas des coefficients constants, pour lequel le th~or~me d'unlcit@ fondamental est obtenu dans l'exp. III, No 3; les Exp. I e t II donnent des notations pr~liminaires, alg~briques et topologiques, l'Exp. IV des applications; l'Exp.V introduit les faisceaux (qul en un certain sens ggn~ralisent les syst~mes locaux de Steenrod) et ~tablit le th~or~me d'unicit~ pour la cohomologie par rapport & tun faisceau. Pour ne pas trop allonger les prgliminaires on a ~vitg dans cette premiere partie d'utiliser la notion d'alg&bre spectrale; elle n'y interviendrait du reste que darts des cas partlculiers et nous lui avons substltug un raisonnement par r~currence, antErieurement employ~ par J. Leray (of. Exp. I, P.7); remarquons tout de m@me que s i c e s moyens suffisent pour obtenir le thEor~me d'unicit~, l'emploi de l'alg~bre spectrale et des faisceaux permet de d~montrer plus simplement le lemme du No 6 de l'Exp. III. Cependant l'alg~bre spectrale d'une alg~bre diff~rentielle filtr~e est une notion extr@mement Importante et en particulier essentielle pour la deuxi~me partie, consacr~e aux applications continues, aussi l'Exp. VI en donne-t-il la definition et les principales proprigt~s. L'Exp. VII dEfinit et gtudie l'alg~bre spectrale (Er) d'une application continue f : X - @ Y , (X,Y espaces localement compacts); il s'agit tr~s en gros d'une suite d'alg~bres diff~rentielles bigraduges reliant l'alg~bre de cohomologie E 2 de Y par rapport & un certain faisceau ~ la cohomologie de X (Exp. VII, p.4). Cet expose donne en outre quelques rectifications aux exposes prEcEdents. L'Exp. VIII ~tudie le cas particulier oh f est la projection d'un espace fibr~ sur sa base, le terme E 2 prend alors une forme tr~s simple; enfln, l'Exp. IX donne des applications de cette th~orie aux espaces fibrgs. On recommande de sauter en premiere lecture les d~monstrations des Exp. VII, VIII et de lire l'Exp. IX d~s que l'on conna~t les d~finitions qui permettent de comprendre les rEsultats rappelEs au No 1.

A. Borel

Introduction ~ la deuxi~me ~dit~on. Lapremi~re 6dition de ces Notes se proposait d,~tablir de mani~re aussi directe et aussi 61~mentaire que possible les prlncipaux r6sultats de la th~orie de Leray (J~Math.Pures Appl. 29, 1-139, !69-2~ (!950))o Depuis, cette th~orie a ~t~ consid~rablement g~n~ralis~e par H. Cartan (S~m. EoN~S. 1950-51), dont l:Expos@ est maintenant bien connu, et paraissait devoir rendre ces Notes superflues. Cependant, d'assez nombrsuses demandes revues apr~s ~p~Aisement de la l~re ~dition semb~_ent indiquer qu,e?~les peuvent encore presenter une certaine u t ~" e~ ,+ " crest pou~oi

on en a fait ~ne deuxISme edition, en ~ui conservant son carac~ere ~l~-

mentaire, et en particulier saz~ sortir du cadre de la cohomologie ~ supports compacts des espaces local~ment compacts. S~uon en effet, elles ne pourralent que faire double emplol avec un livre en preparation de R~ Godement, o,~ la th~orle des faiscea-~z( sera expos~e avec le maxdmum de g~n~rallt~. A part l'int~gratlon dans le texte de divers c~npl6ments et errata aJout~s apr~s coup dans la premiere ~dition, les princlpaux changements apport~s sont les suivants s l) InTroduction dtune modification ~ la not ion de couverture, propos~e par Fary, et qui permet de cc~.sid~rer directement des ~l~ments ~ supports campacts (Exp~II). 2) Adoptlon de la d6finition des faisceaux due ~ Lazard, qui est ~ la base de la th~orie de Ho Cartan~ cela a conduit ~ une refonte compl~+~e de l~Exp. V. 3) Adjonction d,une d~monstration de la non-existence de couvertures fin~s anticommutatlves en caract~rlstlque p ~ 0 (Exp.IV, No~4). Les p o ~ t s i) 2) entraSuent des simp~tfications techniques consld~rabl2s et permettent ainsi de mleux mettre en 6vidence les points essentiels, nof,amment~ qu! sont en d~finitlves les notions de couverture fine, de faisceau et d'alge~bre spectrale, le Th~or. 6 de l~Exp. I (cas particu~-ier de la r~gle de K~ueth), et le lemme 1 de IVE~. III.

Ao Borel

Ecole polytechnique f~d~rale Printemps 1951

S~minaire de Topologie alg6brique

COHC~0LOGIE DES ESPACES LOCAIEF~NT CG~PACTS, Expos~ I 9

NOTIONS

d,aprSs

J. LE~AY

ALGEBRIQUES.

I. Introduction. Les premiers exposgs seront consacr~s ~ la d~finition donn~e par J. Leray de 1, anneau de cohomologie drun espaoe localement compact~ Le point central de cette th6orie est un th~or~me d'unicit~, affirmant en gros que 2 anneaux munis dlun opgrateur cobord attaches ~ un espace ont des anneaux de cohomologie isomorphes lorsqu,ils vgrifient deux conditions qui s 'av~reront ~tre maniables. On verra que cet anneau de cohomclogie est isomorphe ~ l'amueau de cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports compacts. Nous traiterons tout d'abord complStement le cas des coefficients constants, r~servant pour plus tard 1,gtude de ]m cohomologie par rapport ~ un faisceau, notion qui, en un certain sens, g6n~ralise celle des coefficients locaux. Cette th~orie, amorc~e dans [1], forms la premiere partie de [2]. Ells a ~t~ d~'elopp~e et g~n6ralisge par H@ Cartan (S~minaire de I'EoNoS., Paris, 1949-50, Exp. XII ~ ~ I I , et 195G-51), qui 1, a en particulier 6tendue au cas des supports ferm~s non n~cessairement compacts. Ici, on se bornera ~ 12 th~orie de Leray, non sans cependant faire des emprunts aux Exposes de Ho Cartan~ notamment e n c e qui concerne les exemples. Ill [2]

J. Leray, Journ~math.pur. & appl~ IXs~ t. 24, 96-248 (1945) J. Leray, ibid. t. 29, 1-139 (1950).

2. Modules et alg~bres diff6rentiels. On renvoie ~ Bourbaki, Alg~bre lin~aire et Alg~bre multilin6aire, pour les d~monstrations non reproduites ci-dessous, en particuller pour 1,~tude d~taill~e du produit tensoriel de modules. A d~signera toujours un anneau co~utatif avec ~l~ment neutre. A-modules

groupe ab~lien admettant A c o m e anneau d,ep~rateurs. On supposera tou-

Jours le A-module unitaire, clest-~-dire que 1,~16ment neutre de A induit 1Tidentit6. A-module gradu~ E:

Somme directe de sous-modules E i (i entier quelconque).

~16ments de E i sont dits (homog~nes) de degr6 i~ A-module diff~rentiel (E,d):

Los

0 a n,importe quel degr~.

A-module E muni d~un endomorphisme d A-lin~aire de

I-2 carr~ nul s c,est-~-dire que l'on suppose d(x+y)

=

dx+

dy

x)

d.d.x = 0

A, x,y

E)

Les zgros de d sont les cycles (ou cocycles), les images de d les bords (ou co__ I bords)~ Le quotient du sous-module des cycles par celui des bozds est le module d!homologie (ou de cohomologie) de E, notg H(E)e Dans la suite nous emplos

toujours les expressions cocycle, cobord# cchomologle~

Un homomorphisme f:

(E,d)

sera dit permis~ si

fd

~ (E' ,d' ) -

dlf

dans ce cas i! induit un homomorphisme de H(E) dans H(E' )o . . . .diff~rentiel-gradu~: . . . . . A-module

On suppose d E i ~ E i+r ,

r ind~pendant de is

d est

alors dit homog~ne de degr~ ro Dans ce cas, H(E) est aussi gradu~ de fa~on ~vidente. A-module canonique: A-alg~bre:

A-module diff~rentiel-gradu~, d

~tant de degr6 1.

A-module muni d.un produit v~rifiant la r~gle

(xoy)

~

(~x)

y

= x(c~y)

qui sera toujours suppos~ distributs .A-alg~bre gradu~e~

on suppose

(~&,

x ~ y ~ E)

associatif~

EI.EJr E i+j

~a]gebre diff~rent.lelle ( E , d ~ ) "

A-alg~bre munie d~un endomorphisme A - ~ a i r e

d de carr~ nul et dlun automorp~sme ~

(A-lin~aire, respectant le produit) v~ri-

flant s aid + daJ On en d~duit que ~

~ 0

d(x.y) = (dx)y +

~(x).dy

transforme cocycles~ resp~ cobords~ en cocycles~ respo cobords,

et que le produit d~un oocycle par un cobord est un cobord~ on peut alors d~finlr un produit dans H(E) qui devient une A-alg~bre. .A-a~bre diff~rentiel!e-gradu~e: AN.alg~bre 'can onique~

On suppose

~ ( E i) C

&-alg~bre diff~rentielle-gradu~e,

Ei d

~tant de degr~ l, et

~tant d~fini par ~O(x ~)

~

(-1)~

(xp e E p)

Exemples. i)

Les cha~nes simplicialss ~ coefficients dans un groupe ab611en ferment un Z-module dlff~rentielZ-gradu~, avec une diff6rentielle de degr6 -lj les cochas simpliciales ~ valeurs dans un anneau forment une Z-alg~bre canonique (apr~s choix d, un ordre des sommets pour d~finir le produit)~

2)

Les formes diff~rentielles ext~rleures sur une vari6t~ munies du produit ext~rieur et de la diff~rentielle ext~rieure, foment une R-alg~bre canonique. (R = corps des r~els)o

1-3 3.

Le produit tensoriel.

Rappelons d,abord bri~vement la d~flnition du produit tensoriel de 2 A-modules E~F. Pour llobtenir, on part du module O~xy(X,y), (O~xye A, x ~ E,

~L(E,F) des combinaisons lin~alres finles yEF), dont les paires (x,y) forment une base.

Soit N le sous-module engendr~ par les ~l~ments ayant llun des types: (x,y) (A)

(~+x2,Y)

-

( ~ x,y)

~/ O~ supports. Pour cela on dira que x e X - S ( ~ )

Ii nous faut encore d~finir des

si x pose@de un voisinage V x tel que

II-ll fP(xo,...,Xp) = 0 quand Xo,...,Xp 6 Vx.

S(f) est ~videmment ferm4. Les cochalnes

de support vide sont donc les cocha~nes nulles lorsque les arguments sont suffisammerit voisins. Le complexe d'Alexander-Spanier des cochafnes ~ vale~rs dans M sera le quotient de l'ensemble des cocha~nes que nous venous de d4finir par les cocha~nes de support vide. Cela revient ~ dire que nous consid4rons comme identiques 2 fonctions qui prennent les m~mes valeurs sur des arguments voisins. Nous le noterons ~I;

~

est un complexe fin. Soit en effet U1,...,U n u n recouvrement

ouvert (qui n'a m~me pas besoin d'etre propre), rl(fP)

(xo,.o.,Xp)

r2fP

(Xo,..o.,Xp)

rn~

(Xo,.....,Xp)

-

~(Xo,~o,Xp)

-

•

=

si Xo ~ U2-UI'

fP

HP(x~) = 0

on d4finit

XoE UI, nulls sinon. nulls sinono

si Xo~ Un-(Ul~..oVUn_l) ,

I1 est clair que rlfP+'"+rn fp Ensuite, on a

si

fP~,

= fp

p > O,

st qus H~

nulls sinon.

S(rifP)c ~.~s(fP),I ~ M. Scit en sffst

A ~ A

dxfp = xdf p = O, cela signifie que df p est identiquement nulls dans un voisinage de x.

Si p~O,

proquement, d'o~

fP est donc constants au voislnage de x, ~gale ~ re@M, et r~clH~

~

M, la classe de H~

correspondant 2 m ~ M ~tant

cells qui contient la section par x de la fonction constants sur X ~gale ~ m. Si

p > O ~ d~finissons gp-1 par p-I

g (yo,...,yp.al #(X,yo,...,yp_l o En explicitant dfp = O, on verra que dans V s fP

=

dgp-l, donc xf p = xdg p-1

x

est un cobord. Enfin si M = A, la fonction ~gale A I sur un compact F, ~ 0 en dehors, est une unit4 relative pour F, et comme KA est 4videmment sans torsion, ses 414merits h support compact forment une A-couverture fine. On verra de m~me que les fonctions ~ valeurs r4elles ~ supports compacts qui sont continues pour l'ensemble de leurs arguments forment une R-couverture fine (pour d4montrer "fine", on utilisera une partition continue de l'unit~ fl,...,fn et ri(fP) sera le produit de fP par fi ) . En prenant darts une vari6t4 de classe Ck des partitions diff4rentiables de l'unit~, on verra que les cocha~nes de classe Ck forment aussi une R-couverture fine. R~sumons tout cela darts le

I I - 12

THEGREME 9.

Le complexe s~par~ ~

des cocha~nes d,Alexander-Spanier ~ valeursdans

le A-module (A-alg~bre) M est cangni~ue fin (avec prodult~, gradu~ par des degr~s

De plus H(xKM)

M.

A d~si6nant u n cor~s ou llanneau Z,

K~ est une A-couverture fine~

Les cochafnes d'Alexander-Spanier ~ valeurs r~elles continues et ~ Supports compacts forment une R-couverture fipe~ de m~ne que les cochaines ~ supports comPaCts de classe Ck dans une varigt~ de classe C k. S~ Cocha~nes altern~eso En supposant bien ordonn~s les points de X

0

par une relation


KX_F

o ~

~(,

0 ---~

~

KX

~

--~

~

0

FKx

>

0

Kx/K, - . >

o

0

d'o~ le diagramme commutatif suivant, oGles ]Agnes sent exactes. HP(Kx_F) ~-~ HP(Kx)---~

~Ip

- - ~ HP(Kt ) ~ - ~

12p

HP(Kx) ~

HP(FKx) ~

~3p

HP(Kx/K')

HP+I(Kx_F )

llp+l

,> HP+I(K , )

~.

IV-4

Du lemme 5 de l'Exp. III on d@duit que 3p est un isomorphis~e: comme il enest @videmment de m@me pour 2p,

l'application lp est un isomorphisme d'apr~s le

"lemme des cinq". D'autre part, H(K')

est par d@finition la cohomologie

supports compacts relative de X mod F, que nous noterons H (X mod F; M). Lorsque X --

--

C

est compact c'est la cohomologie relative usuelle. Finalement nous avons le THEOREME 2.

Soient X un espace localement compact, F u n sous-espca ferm@~ Alors

Hc(X mod F; M) s'identifie ca~oniquement ~ H(X-F, M); on a une suite exacte ---@ HP(x-F,M)

~ HP(x~M)

) HP(F,M)

~

HP+I(x-F~M) --@

qui s'identifie ~ la suite e xacte de cohomolog~e 2 supports c0mpacts relative. En particulier, si X est compact on voit que la cohomologie relative d,un compact modulo un ferm~ est un invariant de itespace difference@ Le fait que cela vaut aussi pour X nca compact lorsque l'on consid~re la cohomologie ~ supports compacts relative m'a @t6 sig~l~ par E~ Spanier. On sait que cela est faux lorsque llon prend X non compact et que It on consid~re la cohomologie relative usuel!e. Espace de dimensions f~ule~o

Pour la th~orie de la dimension, on renvoie

Hurev~cz-Nallmann, Dimension Theory, Princeton 1948. Un espace X de dimension n, est hom6c~orphe ~ un sous-espace de R 2n+l form~ de points s6parable metr~que, " ayant au plus n coordonn~es ratlonnelles (loc~cito p.64). r~me, on peut construlre (cf. 52S,

Se basant sur ce th~o-

une Z-couverture flue de X dont les degr@s sont ~

n

No@40) et nat~rellement si A est un corps C ~ A sera une A-couverture

fine ayant la re@me propri6t~. On a donc le THE ~0REME 3.

Un espace loca!ement compact s~parab!e m~trique de d~mensi0n ' n a un~e

A-couverture fine &~nt les de~r~s sont _~- n.

En ~articulier pour la cohomq!ogle

d,Alexander-Spanier ~ supports co~pacts, ~(X,A)

=

O

s_~ii ~ n~

La derni~re assertion vaut aussi pour la cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports ferm@s quelconques. 0nne sait pas si une proposition analogue est vraie en cohomologie singuli~re.

(Eilenberg, On the problems of topology, Ann.Math. 50,

247-60 (50), Probl. 22).

2.

Cohomologie singuli&re des espaces HLC.

Soit CS M le complexe (s4par@) des cocha~nes singuli~res de X ~ valeurs dans M. En faisant correspondre ~ une cocha~ne d'Alexander-Spanier sa restriction aux (p+l)uples de points qui sont sommets d'un simplexe singulier de dimension p e n d4finit un homomorphisme de ~ est une alg~bre. ~ HLC,

H(xCS~)

=

sur CS M e t de ~

et CS~ H(XCSM)

sur CS~, compatible avec le produit si M

sont fins ~ supports compacts. Si maintenant X est ~

M e t est de de degr4 0 (Exp.II, Th4or.9) et il est clair

que f est un isomorphisme sur pour los modules de cohomologie en chaque point, le lemme 5 donne THEOREME 4.

S_~iX est localement compact HLC, M un A-module, il y a un isomorphiame

naturel de sa cohomolo~ie d'Alexander-SDanier ~ suDDorts comnacts sur la cohomologie s~p,~uli~re ~ supports compact~ (routes deux @tant prises ~ valeurs dams M), compatible avec le produit si M e s t une alg~bre. N.B.

Ce th~or&me vaut aussi pour la cohomologie k supports ferm4s quelconques.

Soit maintenant X compact HLC et A un corps; notons H(X,A) le i-&me groupe d'homoi logic singuli&re de X ~ valeurs darts A, Hi(X,A) son i-~me groupe de cohomologie (singuli&re ou de Spanier-Alex8nder). Nous voulons d@montrer le THEOREME 5.

S_~X est compact HLC, ~(X,A) a un nombre fini de g4n4rateurs

(i q uelconque,

A = Z

ou tun corps).

(En fait, si l'on utilise la r~gle de ~ttnneth, on voit qu'il suffit de d4montrer le th4or~me pour Z.)

D4signons par SA l e module des cha~nes singuli~res de X

coefficients dans A, posons

CS~

= Hom(SA,M) et d4signons par CS M le complexe

s4par6 des cocha~nes singuli~res, c'est un quotient de CS~ et comme nous l*avons rappel4 dams l'Exp. If, p. ll, la projection de CS~ de H(CS~) sur H(CSM).

sum C ~

est um isomorphisme

On a un homomorphisme 4vident de CSi m M dams CS~

(m~me

d6finition que pour los cocha~nes de Spanier-Alexander, Exp. IV, No.l) qui passe aux quotients, d'o~ un diagrsmme commutatif 3

csi

%

.

r.T

> CS,~,~

IV-6 CS A est icl ~ne A-couverture fine, on pourra appliquer le lemme 5 de l~Expo III et ainsi 4 est un isomorp~hlsme pour !a cohomologie, comme 1 et 2 le sont aussi, il en est de m~me de 3~ Nous avons donc un iscmorphisme 9

H(Hom(SA,A)

m M) 4 -~*-

> H(Hom(SA;M)) = H(X,M)

Disons qu~un ~l~ment de Hom(SA~M) e s t de type f i n i s i !~ensemble de ses v a l e u r s sur SA e s t un module ~ un nombre f i n i de genera~eurs. L.image de 3 e s t ~videmment 9

9

4-

fortune des ~l~ments de Hom(SA~M) qui s o n t de type fL-Zto Tout cocycle de Hom(SA~M) f o u r n i t , come on s a l t # un homomorphlsme de Hi(X~A ) d a n s M d~o~ l~on d~duit ~m homomorphisme de ~(X,M) dans Hom(Hi(X,A)~M ) qui e s t m~me s u r j e c t i f formule des coefficients universels, (ici Hi(X~A ) d~homologie singuli~re ~ valeurs dans A)o

~

d~apr@s l a

Hi(SA) est le i~me groupe

Par consequent, v~ 3*, Hom(Hi(X..A)#M)

~_e contient qu? des homomgrphismes de ~.)Te fini.

En particulier si M ~ Hi(X~A),

l~homomorphisme identique doit ~ r e de type fini, donc H. (Xo~A) est de type fini I

(i = %1,@@o).

I1 en sera de m~me pour Hi(X,A) d~apr~s la formule des coefficients

universe!s o 3 9 Cohomologie des vari~t~s diff~rentiables o Soit X une vari~t~ diff~rentiable de classe C k. On a un homomorp.hisme ~vident f

:

CSM--*CS M

=

cocha~nes singuli~res diff~rentiables, qui est un isomorphisme

sur des modules de cohomologie en chaque point, tous deux de degr~ 0 et isomorphes M, f est compatible avec le produit si M est une alg@bre. Par integration sur les simplexes singuliers diff~rentiables une forme diff~rentlelle d~finit une cochaine singuli~re diff~rentiable dlo~ un homomorp~dsme g $ ~ --~ CSk, qui n'est cependant pas compatible avec le produit, saul sur les ~l~ments de degr~ Oo

g est un isomorphisme pour les alg~bres de cohomologie en

chaque point, dToG par application du lemme 5 et de son compl~ment: THEOR~ I)

~

6.

Soit X une vari~t6 d•

de classe C k.

a un isomor2hi'sme naturel de la cohomolo~ie singul~re ~ supports compacts, valeurs dans M, s ~

la cohomol%ei.e sLn~uli~re diff~rentiable ~ su~ort s com-

pacts t ~ valeurs dans M, compatible avec !e pr~uit s~_ M est ~me alg~bre.o 2)

_On a ~n isomorph~sme naturel de l'a~.gSbre, de cohO_mc]o~ie des for~es ~f.f~rende coh~molo~ie uli~re tiel~es ~ supports compacts ,,. sur 1 ,al~ebre " ......... sin ~ ~._ . ~ ~ su campacts, ~ valeurs dans R, compatible avec le ~rodu[t~

orts

IV-7 N~B.

Ce th~or@me vaut aussi pour la cohomologie ~ supports non compacts. 2) est un des th~or~mes de de Rham.

4. Couvertures fines anticon~tatives. Nous admettrons ici le fait qu~un poS~@dre fini contractile en un point a une cohomologie triviale, et renvoyons ~

E2]

No~67 pour une d~monstration dans le

cadre de la th~orie de Leray (valable pour les espaces compacts cor~nexes). Etant donn~e ~ue A-couverture fine K de X, on a vu que sa section FK par un sousespace est une A-couvert~re fine de ce derr~er et ainsi, l~application induit un homomorp~sme H(X.A) cut~ p l ~

~ H(F~A)

en d~tail dans l~Expo VII, No.2~

k -~ Fk

que nous noterons i*, et qui sera disil est ind~pendant de K.

On salt que les formes diff~rentielles forment une alg@bre ant&commutative, crestS-dire dans laquelle on a la r~gle

uP.u q

=

(-l)pq

uq.up

comme dans l'alge~bre

de cohomologie. Puisque la section dlune couverture fine par un sous-espace est une couverture fine, on tire en particulier du th~or~me dtimmersion de Menger ~oloeling la premi@re assertion du: THECREME 7. (1)

Un esp~ce compact s~parable m~trique de dimension finie pc~s~de

une R-co~r

f~ne anticoz.mutative~

(2)

Solt p un nambre premier et soit A un cor~s de caract~rists

p.

Alors ll

n'est pas possible d'~itro~ulre sur tout pelySdre fini une A-couverture f~i~e antic ommutat!ve Ii nous reste ~ ~tablir (2)~

nous ccmmencerons par prouver l, assertion suivante:

Soient X un espace compact, F u n

sous-espace et supposons que X poss~de une A-cou-

verture fine anticommutative K. Alors pour tout h E H2S(F~A), hD ~ i*(II(X.A)). (Notations du 2@me alin~a de ce No).

(s entier ~

En effet, pulsque FK est

une A-couverture fine de F, il existe k ~ K tel que Fk repr~sente hJ anticommutative, et k de degr~ pair, k d(~)

~

j~

O)s

comme K est

est dans le centre de K~ dto~

pour tout entier J ~ O, et en particulier

d(kp) ~ Oo

Ainsi

est un cocycle~ il repr~sente une classe de cohomologie dont lYimage par i* est hp par d~finition, ce qui ~tablit notre assertion. Supposons en particulier que X soit le cGne sur F, donc que X soit le pro@~it de F par l'Intervalle

[0~l] , dans lequel on a identifi~ entre eux les points (f,l)o

IV-g Alors X est contractile en un point; donc a une cohomolcgie triViale et stil pcss~de une A-couverture fine anticommutative, il r@sulte de ce qui a ~t~ d~montr6 que pour tout

h ~S(F,A),

(s > 0), on a

h p = Oo

Comme le cSne sur un poly&dre fini est aussi un poly&dre fini.

il suffit

pour~tablir

une

(2)

d'exhiberun

poly&dre fini

F

poss~dant

classe de cohomologle ~ coefficients dans A, de degr~ pair, dont la p-ie~me puissance est non nulle. On peut prendre par exemple l,espace proJectif complexe Pm(C) ~ m dimensions complexes pour tout m >/ p. En effet, on sait que H(Pm(C),A ) est le quotient dtun anneau de pclynomes A Ix] ~ une variable de degr6 2 par ltid~al m+l qu'engendre x ~ (cela se voit par exemple en appliquant la suite exacte de Gysin (of. Exp. IX), 2 la fibration de Hopf

S2m+I/S 1

=

Pm(C)'

o~

Sn

d~signe

la sphere ~ n dimensions.)

5.

Reoouvrements simples.

D6finition:

Un recouvrement localement fini (Fi) ,

(i ~ I), par des sous-ensembles

compacts est simple (sous-entendu pour les coefficients A) si toute intersection finie non vide d'ensembles du recouvrement a une cohomologie dtAlexander-Spanier triviale

(i.e.

THEGREME 8.

H~

=~ A,

Soit (Fi)

~

= O

i~O).

un recouvrement localement fin• par des compacts de

lVes~pace localement compact X qui soit simple# et soit N le nerf de ce recouvrement e t H(N,A)

ljalg~bre de cohomolo~ie simpliciale de N calcul~e avec les cocha~nes

sim~liciales finieso Alors Solent:

H(N,A)

-~ H(X,A).

K une A-couverture fine de X,

L l'alg~bre des cocha~nes simpliciales de N~

I* ltalg~bre des cochaLues simpliclales finies~ c,est-~-dire non nulles au msximum sur un nombre fini de simplexes. A chaque simplexes p de N nous faisons correspondre un compact non vide de X,s(sP), clest ltintersection des ensembles F i correspondant ~ ses p+l sommets. A une cochai~ne cp ~ L

nous attachons un support

s(cP), c'est la r~union des S(~), o~

sp parcourt les simplexes sur Issquels op e s t non nulle. Ce support est ferm~ car le recouvrement est localement finl et les F i ~tant compacts S(c p) est cc~pact sl et seulement s i c p est une cochafne finie. Nous raisons de la sorte de L un complexe (automatiquement s~par6) et L* d6signe indiff~remment l'ensemble des co-

IV-9 chafnes finies ou des ~l~ments ~ supports compacts. L* est naturellement sans torsion et mmni d'unit~s relatives. Soient

x 6 X et sq le simplexe de N dont les

sommets sont tousles points correspondant aux F i contenant x~ il est ~m~diat que xL et xl@ s~identifient aux cochsfnes d~finies sur les faces de sq, par cons~quent H(xL)

=

H~

~

A

~

H~

=

H(xL*), par c o n s ~ e n t ,

L* consi-

d~r~ comme complexe sur X est une A-couverture~ Consid~rons les homomorphismes I,--~

K o L*~ ~

K

d~finis ~ l'aide d~unit~s relatives. Le lemme 2 de l'Exp. III montre que 2 e s t u n isomorphisme des alg~bres de cchomologie. I1 nous reste donc ~ voir que 1 en est aussi un. La d~monstration sera de nouveau analogue ~ celle du lemme 2. l~re partie:

Soit ~

la d~riv~e partielle par rapport ~ K.

dl-COcycle de Kp o I~ est: p = O,

de la forme u

o c,

sip

~ 0

A montrer: un

dl-CObord d'un ~l~m~nt de Kp-I o I~, si

u = unit~ relative ~

~(c~

C

Nous num~rotons les simplexes de N

par un ludice J

(j ~

J), et soit uj la co-

chafne ~gale ~ 1 sur le simplexe dlindice j~ nulle sur les autres. Les uj forment une base de A-module de I@ et si llon envisage Auj comme un complexe,

L~ est

aussi en tant que canplexe la son,he dlrecte des Auj~ de par la d~finition m~me des supports. Ainsi Kp

h e K p o L*

o

Kp

o

s,@crit c,

cj non nul que pour un ncmbre fini dflndices, et dlh = 0 se traduit par dcj o uj

~ O.

Soit encore Sj

morphisme naturel

le support du simplexe d'indice

K e Auj --~ S~~ SjK

o Auj.

o Auj

~

SjK

J e t fj 1,homo-

On a m

Au.j ~

SjK

la l~re ~galit~ r~sulte de la Prop. I, Exp. II,

la 2~me du th~or. 1 de 1,ExpoI~

par consequent

dSjcj = O~

dcj

o

uj

= 0

donne Sjdcj

=

SjK en est une couverture fine, et par ~poth~se Sj

Sj est compact,

a une cohomologie triviale

(c,est ici seulement que cela intervlent) dto~ si p ~

0 : il e~iste m j ~ Kp-1

tel que Sjcj =

si p = 0 : il existe a j E A tel que

Sjcj

dSjmj

~ Sjdmj

= Sjaju = ajSju

j

IV - I0 donc

S(cj

ej o uj

-

=

dmj)

=

dmj o uj

O

resp.

resp~

S(cj - aju)

cj o uj =

= 0

d'o~ l'on tire que

u o ajuj

puisque uj a un support ~gal ~ Sj, ce qui ~tablit notre assertion. 2~me p artie! l) u

m 2)

il suffit de montrer

Tout cocycle de K o L* est cohomologue 2 un cocycle de la forme o m~

m cocycle de L*,

Si um o m

est cohomologue ~ z~ro dans K o I ~

m est cohomelogue 2 s~ro

dans L*. La d~monstration est la m@me que celle de la 2~me partie du Th~or~me 6 de lWExp. I, on d~finit le poids ~ l~aide du degr~ en K et on ~tablit l)

et

2)

par r~cur-

rence sur le poids.

6.

Cohomologie d:Im espace produit.

Soient X,Y

deux espaces !ocalement compacts,

relle du produit X x Y sur X (resp~ Y). defin~t un complexe Kt sur X x Y e n l'ensemble

S' (k) =

f-l(s(k)).

au sens de 1,Exp. VII.)

f

(respo g) la projection natu-

Etant donn~ un complexe K sur X on

attachs~nt ~ tout e_emen~ k E K

comme support

(Ce complexe est l:image r~ciproque de K par f,

I1 est clair que KW est alg~briquement isomorphe

K et que la section de K t par (x,y) est ~gale ~ xK~ De m~me on assooie ~ un complexe L sur Y un complexe L, sur X x Y, image r~ciproque par ~ T~E~E I.

~e

~ ~

On conserve les notations ci-dessus et on suppose de plus ~le K et L

sont fins ~ supports compacts~ Alors 1Tap~lication naturelle de K' ~ L' s_~ur K' o L' est un Isomarjghisme. On suppose K' m L'

m~ni des supports introduits d~ns le No.3 de iIExp~ Iio II

faut donc d6montrer que seul l'~l~ment nul de Kt ~ LI a un support vide~ Soit h ~ K '

m L' de support vide, et soit (x,y)~ X x Y. On a

(x,y)(K' m L,) = (x~y)Kt m (x,y)L, h =

~ i ui m vi'

dans $I (vi) ~

=

xK m yL, donc h peut s'@crire sous la forme

o~ po~Jr chaque i (x,y) n~est pas contenu soit dans S'(ui) soit

cette somme ~tant fin!e, et les ~apports ~tant ferm6s, il en r~-

sulte ltexistence d, un voisinage V

x W ~ adherence compacte de (x,y) tel que x y ne rencontre pas S(ui) , ou bien ~ ne rencontre pas

pour chaque i, ou bien V X

Y

IV-ll S(vl). Par consequent, s i r

(resp. s) est un endomorphisme de K (respiL), dont

llimage est form~e d'~l~ments ayant leur support dans ~x (resp' ~y), et s i t est le produit tensoriel r z s, on a t(h) - O.

Nous dirons que V

Fixons une representation de h comme somme

aj m bj de produits tensoriels,

~

x

x W

annule h.

et soit F 1 (resp. F2) un cc~pact de X (resp. Y) contenant les supports des aj (resp. bj). Vu ce qui precede et la compacit~ de F 2 il existe pour et un recouvrement ouvert (Wi,x) ,

(IL--.i ~

x ~ F 1 un voisinage V x

nx) de F 2 tel que V x x Wix annule h

pour tout i.

Soient Xl,...PXm~ F tels que les ~ que nous noterons V i forment xi un recouvrement de F 1 et soit W i (1-~ i ~ n) le recouvrement intersection des recouvrements (Wi,x ). Alors V i x Wj enfin V ~

(resp. Wo~

un ouvert de X

annule h quels que soient i,J.

Soient

(resp. Y), dont l'adh~rence ne rencontre pas

F I (resp. F2) , formant avec les V i (resp. Wi) un recouvrement propre de X (resp.Y), et soient r i (resp. sj) les endomorphismes correspondants de K (resp. L)o Posons t..~ =

r i m sj.

Alors la somme des tij

est l'identit~, et chaque tij(h ) est

nul, dlo~ h = O. 7~E

2o

Si K et L sont des A-couvertures fines de X et Y, alors KV m L' est une

A-couverture fine de X x Y. On vient de montrer que K' m L' est un complexe (s~par~). Soit (Uk) un recouvrement fini propre de X x Y. Par un raisonnement ais~, analogue ~ celui qui termine la d~monstration du len~ne l, on peut trouver des recouvrements finis propres Vi, (i = l,...,m), ouverts V i x Wj

et Wj, (J ~ l,.o.,n), de X et Y respectivement, tels que les

forment un recouvrement de X x Y plus fin que (Uk).

sj sont les endomorphismes de K et L correspondant

S i r i et

aux recouvrements (Vi) et

(V~j), alors en consid~rant les endomorphismes r i m sj de K' m L t

On volt tout

de suite que ce dernier est fin. La section de KI m L' est ~gale ~ xK m xL, donc est sans torsion pulsque xK et yL le sont 3

e t a une cohomologie triviale d,apr~s le th~or. 6 de l,Exp. I; il

s'ensuit aussi que Kt m L' est sans torsion. Enfin~ si F est un compact de X x Y, on peut trouver des compacts F I e t F 2 de X et Y tels que F C F I x F2; alors un

IV-12 prodult tensoriel dtunit6s relatives ~ F I e t F 2 est une unit@ relative pour F. Ainsi Kt m LI, muni de la diff@rentielle totale Introdulte dans ItExp. I, et de la graduation totale (Kt x Ll )i

~ --~a+b=i K la x Ltb, est une A-couverture

fine. THECR~M~ 9.

Solent X,Y des espaces iocalement cc~pacts, K et L des A-couvertures

fines de X e_~tY,

M une A - a ~ o r e .

Alors

H(X x Y , M) = H ( K x L m M ) .

Cela r~sulte du lemne 2 et de la d~finition de H(X x Y,M).

Expos~

V

!

LES FAISCEAUX

Nous avons jusqu,~ pr6sent consid~r~ la cohomologie ~ coefficients constants, mais J. Leray a d6velopp6 cette th@orie pour la cohomologie par rapport ~ un faisceau, notion qui g~n6ralise celle des coefficients locaux de N. Steenrod. A c e point de vue d~j~ elle est iht~ressante, mais de plus elle stav~rera indispensable dans 1,~tude des invariants dWune application continue. Dans cet expose, nous donnerons un th~or~me dtunicit6 pour cette cohomologie, analogue ~ celui du th~or~me de ltExp. III qu'il englobe. La d~monstration est sensiblement la m@me mais on a pr~f~r~ traiter tout dlabord le cas des coefficients constants pour ~viter au d~but autant que possible les complications techniques. Comme nous iTavcns dit dans lWintroduction~ nous adopterons ici la terminologie de Cartan et Godement. i. Faisceau~ pr~faisceau. D~finition I.

Soit X un espace topologique. Un faisceau d,ensembles F sur X est

la donn@e dtun espace topologique E et d'une application continue p de E sur X qui soit un hcm~cmorphisme local. La condition impos~e ~ p signifie donc que tout u ~ E poss~de un voisinage ouvert appliqu@ par p hom~omorphiquement sur un ouvert contenant p(u). L, ensemble F

=

p-l(x)

est la fibre au-dessus de x. Une application continue s

dtune partie A de X dans E tells que p o s soit l'identlt~ est une section sur A. L'ensemble des sections sur A est not6 SA(F )

ou simplement S(F)

Iorsque A

- X.

De la d~finition ci-dessus r~sultent tout de suite ltex~stence de sections d~finies au voisinage dlun point quelconque de X et le fait que si deux sections s,t d~finies respectivement dans A,B coincident en un point x ~ A ~ B, elles coincident auasi dans un voisinage de x dans A N B. D~finition 2.

Soit A un anneau. Un faisceau de A-modules ou simplement un A-fa~sceau

est un falsceau d'ensembles dans lequel i) ii)

les fibres p-l(x) sont des A-modules. Etant donn~es deux sections s,t d@finies sur Y, l'application y -~ s(y)+t(y) est aussi une section. Pour tout a ~ A, y -~ a.s(y) est une section.

F est un faisceau de A-alg~bres si de plus les fibres sont des A-alg~bres et si y --~ s(y).t(y)

est une section sur Y.

V-2 LEMME I.

Soient F - - ~

unA-faisceau,

o

--

l'@l@ment neutre de F . Alors x - - > o

X

--X

est une.section (la section nulle)~ L'application

9

X

u --~ -u est un hom6omorphisme

de itespace total E de F. Soit x & X fix@. Soient u ~ F_x,

U,V des voisinages de o

et u appliqu@s hom@omor-

X

p h i q u e m e n t p a r p s u r un v o i s i n a g e W de x ( c o l a e x i s t e

sons pour w ~ ,

u

=

p - l ( w ) ~ U,

v

W

d'apr~s

= p-l(w) t'~ V~

la d@finition).

Alors w

~ u ~v

W

~

section sur W, ~ g a l e ~ v e n x , donc @gale ~

w ~u

Po-

est une

V~

.~rW dans un v o i s i n a g e

"ff

c~ve-

nable de x, ce qui entraine uw = ow pour w voisin de x, dto~ la premiere assertion. La deuxi@me @quivaut ~ dire que s i s est une section sur Y en est aussi une,

ou aussi que u - ~ - u

alors

y--~ -s(y)

est continue. Soient x fix@ et V un voisi-

nage de -UxJ on peut 12 supposer assez petit pour qu'il existe un voisinage U de uX tels que U et V soient appliqu@s hom~omorphiquement sur un voisinage W de x. Alors, dans les notations pr@c@dentes,

w-~u

+v W

est une section locale s @gale

W

o~r e,~ x ~ P u i s q u e l e s @l@ments n e u t ~ e s o~r f e r m e n t u n o u v e r t ,

vw =

-u

W

cel~ entra~ne ~e

pour w suffisazmment proche de x, d'o~ la continuit@ de u

Ce lemme montre que l,ensembl2 Sy(F)

~ -Uo

est muni de fa~on naturelle dVune structure

de A-module (ou de A-alg@bre si F est un faisceau d'alg~bres). On appelle support d'une section sur Y

l'ensemble des points y pour lesquels s(y) / oy. D,apr~s

le le~e, il est relativement ferm@ dans Y. compacts de Sy(F) sera not~ ~ ( F ) .

L,ensemble des @l@ments ~ supports

Ce sont aussi des modules ou alg@bres, et avec

la d@finition donn@e des supports, des complexes au sens de lVExp~ II. D@finition 3.

Soit

~

qui associe ~ tout U ~

une base des ouverts de X. Un A-pr@faisceau est une ioi ~

un A-module B(U) et ~ tout couple U,V ~ ~

un homomorphisme fL~ s B(V)

wc ucv,

~ B(U) de sorte que lion air

~

=

~U

, U C o

fUV

V, si

),

(w,u,v

Etant donn@ un pr@faisceau B on lui associe un faisceau F(B) de la fa~on sulvantel la fibre F(B)x

est la limite inductive des B(U),

x faisant partie de

~

. Soit pour u 6

B(U),

oG U parcourt les voisinages de mx(U )

l'@l@ment de F(B)x , (x ~ U),

qu,il d@finit. Alors dans la r@union des F(B)x , la topologie est d@finle par la condition que les ensembles rex(U),

(x e U,

U 6 ~

,m ~ B(U)) forment une base

des ouverts, ll est imm~diat que 1,on obtient ainsi un A-faisceau. On lfappelle souvent le faisceau des germes d'@l@ments de B.

v-3 Invers6ment, ~ un faisceau F on pout associer un pr~faisceau B(F) en posant B(F)(U)

=

Su(F),

fUV ~tant IVhomomorphisme de restmiction. II est clair que

F(B(F)) sVidentifie ~ F~. Par contre IVapplication naturelle

B(U)--~ Su(F(B) )

nlest pas touJours un isomorphisme (voir exemples 2 et 3). Exemples.

(i)

Soient x ~ X et M Un ensemble. On appelle germe dr application de X

dens M (de centre x), tune classe dV6quivalence dans 1,ensemble des applications de voisinages (variables) de x dans M relativement ~ la relation dt@quivalence ! f ~

g

si

f(y)

=

g(y) darts un voisinage convenable de x.

Pour tout ouvert U, notons B(U) l,ensemble des applications de U dans M, fUV 6tant la restriction. Alors les B(U) d~finissent un pr~faisceau B e t F(B) est le faisceau des germes d'applications de X dans M.

Si M est un espace, on d~finit

de re@me le pr6faisceau B des applications continues dans M, et F(B) est le faisceau des germes d'applications continues o (2)

Prenons en particulier M - R e t

solent B(U),

(resp. B, (U)), l,ensemble des

applications continues (respo continues et born~es) de U dans R. Alors F(B) et F(B, ) sont tous deux le faisceau des germes de fonctions continues sur X. Su(F(B)) = Su(F(B')) est l'ensemble des fonetions continues sur Up born6es ou non, done B(F(B')) (3)

/ B'.

Soit B(U) iVensemble des cochas

singuli~res de U, ~ valeurs dens un anneau

A. LIensemble des B(U)~ muni des operations de restriction, d~finit un pr~faiseeau B et F(B)

est le faisceau des germes de cochas

Alors l'~l~ment m x ~

E(B)x qu'il

d6finit,

slnguli@res. Soit m e B(U).

(x W U) est nul si et seulement sVil

existe un voisinage V de x tel que m soit nulle sur tout simplexe singulier support oontenu dans V, done si le support de m, au sens de IVExp.lls ne rencontre pas x.

II en r~sulte que dans l'application naturelle de B(U) dans SU(F(B)) les

cochafnes de support vide ont oomme image la section nullej cette application n'est dono pas inJective. Cependant on verra plus loln qu'elle est surJective. (4)

Le faiseeau constant de fibre A est celui dont itespace total est X ,< A i

(avec la topologie produit de la topologie de X et de la topologie discrete sur A), et o~ p e s t d~finie par

p((x~a))

=

x. Plus g~n~ralement, on se permettra d'appe-

ler constant tout faisceau l-isomorphe (au sons du No.2) au faisoeau ci-dessus. De m6~ne on appellera faisceau localement constant de fibre A un faisceau localement l-isomorphe au faisceau constant.

V-4 2o

Homomorphismes, sous-faisceau~ faisceauxquotients.

Un sous-faisceau G de F est d6fini par un sous-ospace ouvert E, de lVespace total E de F dont les intersections avec les fibres F

sont des sous-modules (ou des sous-

alg~bres, le cas ~ch~ant), la projection ~tant la restriction de p ~ El. On voit ais~ment que si 11 on munit la r~union des modules F / G x de celle de E par la relation d,@quivalence | u ~ v fibre Fx et si

u - v ~ G_x,

de la topologie quotient

si u et v sont dans la m@me

on en fait lWespace total d'un faisceau, appel~ le

faisceau quotient F/G. Soient E,~I f s X--~X

2 faisceatux dTespaces totauxE,E',

projections p,p', sur X et soit

une application continue. Un f-homomorphisme de E dans E' est une appli-

oation continue f : E ~ - ~ E w qui pour tout x Q X ~zvoie F

homomorph~quement dans

~X

Ef(x)"

C'est un isomorphisme si ~ est un hom~omorphisme. Lorsque f est l,identit~

on parlera de f-homomorphisme ou de l-isomorphisme. En utilisant le fait que des sections locales sur des voisinages convenables sont des hom~omorphismes,

on volt

tout de suite qu,un I-homomorphisme biJectif est un I-isomorphisme I que l'image dlun faisceau par un I-homomorphisme est un sous-faisceau, que le noyau d'un I-homomorphisme (i.e. l'image r~ciproque de la section nulle) est un sous-faisceau et que le faisceau image s'identifie au faisceau quotient F ~ . 2 faisceaux~, E, sont localement I-isomorphes si tout x ~ X poss~de unvoisinage U tel que les faisceaux induits par F et FV P-l(u), p'-I(u)

sur U~ dVespaces totaux

soient I-isomorphes.

Un faisceau E est fi__~nsi ~tant donn6 un recouvrement fini propre (Ui) il existe des endomorphismes r i de F dont la somme est 1,identit~ et tels que ri(Fx )

=

o

pour x ~ ~..

X

phismes d~finls par ri(s)(x ) = 39

I1 est clair que si F est fin, S(F), muni d,endomor-

I

ri(s(x)) , est un complexe fin.

Faisceaux et complexes.

A tout complexe K on associe un faisceau not~ K ainsi d~finl : l,espace total de K

est la r~union des xK, la projection p associe x ~ tout ~l~ment de xK~ ~tant

donn~ u ~ x K xk

=

les ensembles yk,

o~ y ~ X

et o~ k parcourt les k ~ K tels que

up ferment un syst~me fondamental de voisinages de u.

On v~rifie sans

difficult~s que les conditions des d6fo I e t 2 sont remplies. Etant donn~ k ~ K llapplication x - - ~ x k K dans S(K)

est une section de K~ d'o~ une application canonique IOK de

qui est un homomorphisme de complexes.

ll est imm~diat que K e s t ~ m si K ltest.

V-5 TF~ME 2.

Soient E un complex% K le faisceau associ~ L S(K) le complexe des sec-

tions de K ~ K (a)

l'application canonique de K d ans S(K).

Alors

~ K e st i~Jective.

(b)

Pour tout

x -~_ X, ~ K

~uduit un isomorphisme de xK sur xS(K~

lorsque K est fin. (c)

Si K est fin,

de K* (d)

S*(K*)

=

S*(K)

et

est un isomorphisme

S*(K).

Si F estfln, pour tout x ~ X , --

tout 61~ment de F

,

est la valeur en x

~m x

d'une section ~ support compact de F. (e)

~K

Par suite F(S*(F))

S~ F e st fin et gradu~ par des sous-faisceau F i,

S*(F)

= F(S(F)) = F_, =

i s.(#). Vu les d~finitions pos~es, il est clair que (a) et le fait que que si K est fin, de S(K)

modulo

Soient u ~ S ( K ) , U1,U 2

~K,x | xK --~ xS(K)

~ K conserve les supports, dlo~

est inJective. I1 faut encore montrer

I~K est surjective, autrement dit, que toute classe de restes S(K)x_x Ux

contient une section de la forme

sa valeur en x, k ~

K

tel que xk

un recouvrement propre de X tel que x @ U1,

morphismes correspondants de K.

Alors

=

x ~ ~2'

y-->Yrl(k),

y

~ yk,

Ux.

K).

Soient encore

et rl, r 2

(y~X),

(k ~

les endo-

est la section

cherch~e. De (b) et du Th6or. 5 de l'Expl II, on d~duit que les sections de S*(K)

par x

s'identifient ~ xK

=

xK*;

S*(K*)

et

(c) r~sulte alors du lemme i de

l'Exp. III. (d)

Soit a ~-xF.

On peut trouver un voisinage U I de x, d ! adherence compacte et

une section s de F sur U I ~gale ~ a en x. Soit U 2 dont l,adh6rence ne contient pas x, et formant avec U I un recouvrement propre de X, et soient rl, r 2 morphismes correspondants de F~

Alors y ~

rl(S(y))

les endo-

est une section de F9

support contenu dans ~i' donc compact, ~gale ~ a en x. (e)

Le deuxi~me compiexe est contenu dans le ler, et vu (d) les sections par

un point sont ~gales a F x.

On peut de nouveau appliquer le lemme I de l'Exp. III.

V-6 Exemple s. I)

Soit K le complexe des cochafnes d,Alexander-Spanier,

des germes de cocha~nes d'Alexander-Spanier. Ici

K est donc le faisceau

~ K est bljective. Vu le

lemme 2, il suffit de voir qu'elle est surjective. Soit donc u ~ S(K) et soit pour tout x ~ X, V x avec celle

un voisinage pour lequel la valeur de u en

y ~ Vx coincide

dlune cocha~e dtAlexander-Spanier cx d~flnie dans V x. Supposons les

points de X bien ordonn~so On d~finlra alors une cocha~ne d,Alexander-Spanler c par les conditions : C(Po,...~pk)

~

0 si les P i n e sont pas dans un m~me

Vx,

C(Po,@..,pk) = Cx(Po,...,pk) si x est le premier x

Pi"

On

2)

tel que V x contlenne les

alors ;oK(o) =

On volt de m~me que IJK est un isomorphisme lorsque K est le cc~plexe des

cocha~es singuli~res. 3)

On v~rifie tout de suite que

lhK est un isomorphisme lorsque K est le com-

plexe des formes diff~rentielles sur unevari~t~ dlff~rentiable.

4o

Operations sur les faisceaux.

Soient F i

(i ~ I,

U soit B(U)

I ensemble d,indices), des A-faisceaux sur X. Pour tout ouvert

la somme directe des modules Su(Fi).

Pour V C U

on a un homomor-

phisme B(U)--~B(V), "somme" des operations de restrictions dans les Su(Ei), d'o~ un pr~faisceau B. Is faisceau F(B) associ~ est la somme directe des faisceaux ~ . Ccmme la limlte inductive de sommes directes est la somme directe des limites inductives, on voit que F(B)x

est la somme directe des Fi~ x,

d~finition de la topologie de F(B)~ si

De plus par la

s i est une section de F i

au-dessus de U,

nulle sauf pour au plus un hombre fini d,indices, alors x--)~si(x ) tion du faisceau somme. On voit aussi que F i Soient FI,F 2

deux faisceaux sur X.

s,identifie 2 un sous-faisceau de F.

On veut d~finir un faisceau F I ~ F 2

tensoriel de F I e t F2, dont la fibre sur x sera FI~ x m F2, x. B(U)

=

S(FI)

m

S(~).

est une sec-

(U ouvert de X).

Pour

VC

U

produit

A cet effet, soit

le produit tensoriel des

op6rations de restriction envoie B(U) dans B(V). d' o~ un pr~faisceau B. C o m e une limite inductive de produits tensoriels s,identifie au produit tensoriel des limites Inductives, 12 faisceau associ6 a bien Fix H _F2x comme fibre. C'est _FI z F 2. Par d~finition de sa topclogie, si s~t sont des sections de F I e t F2 sur U, alors x --~ s(x)

x

t(x) est une section du produit tensoriel sur U s ce qui du reste

V - 7

La v~rification des propri~t~s suivantes

sufflt pour caract@riser sa topo!ogie. est imm6diate et laiss@e au lecteur. THE O R E ~ i.

(1)

-F2)

(3)

S_~ Ki

(4)

K 1 o K2

-F3 " -q " (-F2 " % >

sont dos complexes, -- K 1

m

~

Ki

-- (~_W~)

K2

(pour 4 on utilisera le th6or. 4~2 de l'Exp. II.) Homomor~his~eso

ll est @ga!ement Imm@diat que si F,F', G,G' sont des faisceaux

sur X et s i f

F --~F,.

~

g ! G --~ Gt

sont des l-homomorphismes il existe

un et un seul homomorphisme h de F_ m G_ dans F_' m G_' v4rifiant h(u ~ v)

=

_f(u) ~ ~(v), pour u et v dans la m~me fibre~ On l,appelle le produit

tensoriel de _fet _get on le note f ~ g.

On a un r~sultat analogue pour les

somme s directes. .Faisceaux gradu~s~ diff6rentiels,

On peu~ imposer ~ un faisceau des structures

alg~briques suppl~mentaires. Elles seront combinaisons d,exigences port~es sur les fibres et de conditions naturelles de continuitY. Par exemple s F est gradu6 par des sous-faisceaux F.

s'il est somme directe des Fi~ F est diff6rentiel si

chaque fibre est un module diff~rentiel et si

u --~ du

est une application

continue de F dans lui-me~me. Dans ce cas, la r~union des cocycles (resp. cobords) des fibres d~finit un sous-faisceau Z(F), (resp. D(F)) H(F)

=

Z(F)~(F)

de F et le faisceau

est appel~ le faisceau de cohomologie de F. En rant qu'en-

semble, clest donc la r~union des modules de cohomologie H(F_x). Sa topologie est d~finle en prenant comme syst~me fondamental de voisinages les sections locales d6finies par des sections locales de Z(F). On dira que F est un faisceau unitaire d'alg~bres si F un ~l~ment neutre u x (pour le produit), et si x

est une alg~bre poss6dant

~ u x est une section de F,

(ce qui du reste est une consequence des autres axiomes lorsque les fibres n Ion pas de diviseurs de z~ros, m~me d~m. que pour le l e ~ e I)~

II r~sulte des d~fi-

nitions que si K est une couverture (cf. Expo Ii), alors K est un faisceau unitaire d' alg~bres.

v-8 5. Le complexe K o F. Le th@or&me d'unicit@. Soient K un complexe et F u n S*(~|

faisceau sur X. On @crira K o F au lieu de

c'est done le complexe des sections ~ supports compacts de ~ @ E .

Cette notion remplacera ici eelle "d'intersection introduite par J. Leray. Elle lui est d'ailleurs

d'un complexe et d'un faisceau" @quivalente

lorsque K est

canonique fin sans torsion et que F correspond ~ un faisceau propre au sens de Leray, et c'est pourquoi nous utilisercns

la m~me notation que Leray. On remar-

quera que K o ~ est fin si K ou ~ l'est, et que si K est canonique diff@rentiel et si ~ est diff@rentiel, de diff@rentielle

K o ~ est muni de fagcn naturelle

d'une op@raticn

totale.

LEMME 3. Soient K un complexe, ~ un faisceau sur X. (a) Si K ou F est fin~ on a x(K o Z) = x K @ (b) __Si K___ouF est fin~ et si K = Z K o _F = ~ i , j

Ki o ~J ,

F .

Ki, -F- = ~ F

(i,j parcourant

--

j,

on

a

des ensembles quelconques

d' indices) 9 Soit K fin. Alors (c) K* o F = K o F. (d) Si K' est un deuxi~me complexe, K' (e) S._~iF est constant~

(a) Par d@finition,

isomorphe ~ X ~ M ,

o (K o _F) = (K' o K) o _F. alors K o ~ = K O M .

x(K o ~) = x S * ( K @ ~ ) .

aussi, donc (lemme 2d), xS*(_K O ~

Puisque K o u ~

Ki

o

zJ

sont compatibles

l'est

= (K 9 ~)x -- x K @ D F--x .

(b) On suppose bien entendu que K ou F est"gradu@-fin", phismes r

est fin, K ~ _ F

avec la graduation,

i.e. que les endomor-

par eons@quent

chaque complexe

I

est fin. La somme L de ces complexes est contenue dans K o _F. Vu (a)

xL et x ( •

o _F) sont tous deux ~gaux ~ x K @

F

et (b) r@sulte du lemme I de

l'Exp. III. (c) D'apr~s (a) et le Th@or. 4.2. de l'Exp. II, les sections par x de ces deux complexes sont @gales ~ x K O

F . On applique le lemme 1 de l'Exp. III.

(d) Le deuxi~me complexe est isomorphe ~ S * ( K ' @ ~ @ F ) En tenant compte de (a), on volt que @tant donn@s u ~ l'application x ~

xu|

d'apr~s le th@or. I. K',

v(x) est un @l@ment de S*(~' @ ~

v ~ @~),

K o _F, que nous

noterons h(u,v). I1 est imm@diat que h est une application bilin@aire! d@finit done

elle

V-9

une application lin~aire de K' m (K o ~) dens (K' o K) o E"

Vu la d6finitioa des

supports dans le premier membre (cf. Exp~ II), h envoie les ~16ments d~ support vide sur la section nulle, d,o~ une application lin~aire de K' o (K o E) dans (K, o K) o ~;

les sections par un point x de ces deux complexes ~tant isomorphes

xK' m xK m F

et des deux complexes ~tant fins ~ supports compacts, on peut de

nouveau appliquer le lemme I de l'Exp~ III, d~ (e)

(d).

On a une application ~vidente de K* m M dans K o ~

point de ces deux complexes s o n t x K ~

les sections par un

M dlapr~s le th~or. 4~2 de 1TExpo II et

le lemme 3a, et (e) r~sulte de nouveau du lemme 1 de l'Exp~ III. T E M ~ 4.

S oient K et L d e u x

complexes dont l,un au moins est In. Alors l'homomor-

phisme naturel de (K o L)* dans K o ~ est un isomorphisme. L'homomorphisme de (K o L)* dans L o ~ section x - - ~ x u

est celui qui associe ~

i m xv i du faisceau ~ m ~.

sections par x~ %outes deux ~gales ~ x K m x L

~u

i o vi

la

II induit un isomorphisme des

dlapr~s le Th~or.4.2 de l,Exp. II

et le lemme 3a de ltExp. V, et comme les deux complexes sont fins ~ supports compacts I c~est un isomorphisme d~apr~s le lemme 1 de lrExp. III. THEORF~ 2 (DIUNICITE).

F u n A-faisceau

Soient CI, C 2 des A-couvert -couvertures finesp

s_.~ X. Alors H(C 1 o _F) e t H(C 2 o F) sont isomorphes. On consid~re le diagramme cI

oF

C2

o F

I

2 c 2 o (c I

o

[) ~

c I o (c2

o

F> ~

11

(c 2

o

c l)

o.

Soit C une couverture finep

Alors en utillsant les endomorphismes r i de

attaches ~ des recouvrements propres, on peut consid~rer le faisceau ~ m ~ et le complexe C o F co.me fins relativement ~ des endomorphismes qui commutent avec la diff~rentielle (qui est ici celle de C). Les complexes de oocyoles et de cobords Z(C o [) et D(C o ~) sont donc aussi fins et l'on a d,apr@s le lemme 6 de ltExp. III et le lemme 3a

~(c

o F_)

z(~

=

x

_~) F

xD(C o _F) ~ D ( ~ . - x F ).

Mais l e t h ~ o r , 6 de l'Expo I donne

z(xc i ~ ~ 1

~ D(~ •

, ~)

,

(• ~- l)

o _F) ,

(i ~- l)

droP, compte tenu du lem~e 1 de ItExpo III

z(cio

F)

~

D(C i - 1

et le th6or~me.

6.

Calcul

THEOREME 4.

de H~ Bolt F un faisceau sans diff~rentielle sur X. Alor_~s H~

est

c anoniquement i somorphe ~ S*(F). Soient C une couverture fine, u x l'~l~ment neutre de xC. On a vu (Noe3) que x--~u

est une section de C. X

Comme C est gradu6 par des degr~s positifs, on a H~ a~

Z(C~ o F).

Alors xa~Z(x(C ~

o F))=

Z(xC ~

o F) = Z(C ~ o F). Soit m Fx),

(len~ne 3a)~ donc vu

le th~or. 6 de lIExp. I, il existe un ~l~ment bien d~termin~

b x ~ -xF tel que

V - Ii a x = Ux

m

bx ~

@gales ~ x ~

Si

y--~Uy

et y - - * by

sont des sections locales de_C et_F

et b

en x alors y ~ u m b est une section locale de C m F x y y (cf. No.4), ~gale ~ a en x, donc ~gale ~ a dans un voisinage convenable de x. x y I1 s lensuit que x ) b est une section de FS comme a est ~ support compact, X

il en est de re@me de la section x > b

d'o~ une application i : Z(C ~ o F_)-# S* (F) . X

R~ciproquement, on volt de re@me que si b : x - ~

b

est une section ~ support X

compact de F

alors x - , u

--

m

b

X

J : S*(F) --~C o F}

en est une pour C o F dtoG X

con~ne u

m X

une application

--

b

est un cocycle pour tout x, le support de X

d(j(b)) est vide, donc j(b) est un cocycle, et J e s t

en fait une application de

S*(F)

et

dans

Z(C ~ o F).

II est Imm~diat que i o J

j o i

sont l'identit~,

d,o~ le th~ore~me. Dans le faisceau X x M, les sections sont exactement les applications x

--~ (x,m) o~ m ne d~pend pas de x.

Par consequent, dans un faisceau constantj

de fibre M, il existe pour chaque point m ~ F

exactement une section s(m),

--X

~gale ~ m en x, et la correspondance m --~ s(m) est un isomorphisme de F

-~X

sur

S(F), et ce dernier s'Identifle ainsl de fa~on canonique ~ la fibre type. Si F

est localement constant, cela montre aussi que le support dVune section est

un ouvert~ comme il est touJours par ailleurs fermi, c,est la r~union dtun certain nombre de composantes connexes (compactes sl la section est ~ support compact) de X.

Supposons de plus X connexe. Alors deux sections qui coincident en

un point sont identiques, donc un ~l~ment m E F x tion.

Autrement dit, la correspondance s

appartient ~ au plus une sec-

) s(x)

qui associe ~

sa valeur en x est un isomorphisme de S(F) sur un sous-module -x Fc

de

s ~ S(F) -x jF

de plus,

la r~union des supports des sections de F est de fa~on ~vidente ltespace total d'un faisceau F_c

constant, isomorphe ~ X ~

"le plus pjrand sous-faisceau constant!,de F.

S(F), qui peut s,envisager comme Enfin, on volt que si X est connexe

non compact S*(F) ne contient que la section hullo, THEOREME 5.

Soient X connexe

X est non comPact ~ H~

=

et le th~or. 4 entraine le

F un faisceau l qcalemen t constant sur X. Alors sl 0, s_~ X est compact H~

s,identifie cano-

nlquement au module des valeurs en un point x des sections de F.

V-12 7.

Une suite exacte.

THEORF~E

6.

Soient K canonique_fin sans torsion , F,F' , F " des faisceaux sur X.

Si la suite de I-homomorphismes 0 - ~ F , - ~ F re@me de la suite (i,j

0 -@ K'o F' --~K o F

F ~t --~0

~)K

o F"

es t exacte~ il e n e s t de

--~0.

sont bien entendus d~finis par l~identit~ sur K et a,b respectivement).

Tout dTabord la suite

O-

x(KoF,)

..... x(KoF_)

est exacte puisque, v u l e 0 --~xK~F,

lemme 3a, elle se ram~ne

--~ x K m F

"X

~

xKmF"

"X

-~0

--X

qui est exacte d'apr~s l'expo I, Th~or. 3 et 5.1. Cela entralne en particulier que i conserve les supports, donc est injectif; K o F' s'identifie dono ~ un sous-complexe de K o F

qui est contenu dans le

noyau N de j, puisque la suite exacte pr~c~dente montre que j o i(K o F') est form~ d'~l~ments de supports videso Mais les 2 suites exactes ci-dessus montrent aussi que xN ~ x ( K

o F'), d'o~

x(K o F') =

xN,

et K o F' = N d'apr~s le

l e ~ e I de l'exp~ III, appliqu6 ~ l, injection de K o F' dans No Enfin, puisque Jx s x(K o F) --~ x(K o F " )

est surJective, il en est de re@me pour

J d'apr~s le leone l' de 1,exp~ III, ce qui termine la d~monstration.

Expos~

VI

!

L, AIGEBRE SPECTRAIE

La construction alg6brique qui est l,objet de cet expos~ est fondamentalej nous aurions pu d6j~ ncus en servir dans l,~tabllssement du th~or~me d,unicit@, comme cela est fair dans le m~moire de Leray (Journ.Math.pur.appl. 29, 1-139 (1950)), que nous citerons comme pr~c~demment par [2] j

elle s'y substitue ~ la r~currence

sur le poids que nous avons utilis~e ~ diverses reprises. Mais dans cette question elle joue plutSt le rSle d,un artifice alg~brique. Elle s,av~rera par contre indispensable pour l'~tude des invariants des applications continues. Nous ne reproduirons pas toujours les d~flnitions sous la forme g6n~rale de [2], insistant plutSt sur les cas particuliers importants dans la suiteI

certaines

d~monstrations, pour lesquelles on peut faire des renvois precis ~ [2~, ne seront pas reproduites, elles sont formul6es pour des anneaux, mais valent automatiquement pour des A-alg~bres, A d~signant comme d,habitude Z ou un corps. Nous nous tenons ici au point de vue de Leray, adapt6 ~ la cohomologie. Pour dWautres expos6s sur la suite spectrale, voir le S6minaire de Topologie de lWE.N.S., Paris 1950-51, Exp. Vlll, et J. P. Serre, Th~se, Annals of Math. 54, 425-505 (1951). 1. La notion de filtration. Nous en donnerons deux d~finitions 6quivalentes. D6finition Is

Soit S une A-al~bre. Une filtration de S est la donn~e d,une

suite de sous-modules S q (i)

Sp ~

S p+I

(q entier quelconque) v6rifiant sP.s q C

S p+q

~S p

=

S.

Cette filtration permet de d6finir une fonction f(s) ~ valeurs enti~res, on pose f(s) = Max (p, s @_ sP), d'o~ une deuxi~me d~finition! D~finition 21

Une filtration sur une A-al~@bre S est d~finie par une fonction

valeurs enti~res (ou plus l, infini) v~rifiant

f(s + s,) ~

(2) f(..s,) ~

Min (f(s),f(s,))

f(s) * f(s,)

f(as) ~ f(O)

f(s) , ..

(a ~

A)

+ c~.

Ii est clair que la fonction f d~finie avant v~rifie (2). R6ciproquement 6tant donn6e f v~rifiant (2)~ on introduit S p comme llensemble des s ~

S

tels que

VZ - 2 f(s) ~

p, et les Sp sont des A-modules v~rifiant (I).

D~finition 3.

Soit S une A-alg~bre filtr~e par les sous-modules S p. On appelle

alg~bre gradu~e associ~e ~ la filtration de S le module

G(s)

o

sP/s p§

somme directe des sP/s p+I, muni du produit associant ~ ~ q & sq/s q+l (sP~ Sp,

la projection dans SP+q/s p+q+l

sq ~ S q

se projetant sur ~P

~P~ sP/s p+I et

du produit sP.s q

et ~q

resp.).

Ce produit ne d6pend pas des repr~sentants choisis vu (i). Nous ~Irons que la filtration est born~e sup~rieurement (resp. inf~rieurement) s'il existe p tel que S p = 0

(resp. Sp = S).

La fonction f a alors une borne

sup~rieure (inf~rieure) finie sur l~ensemble des @l~ments diff@rents de zAro. Remarque s. I)

On peut naturellement d~finir la filtration pour un A-module, il suffit de

supprimer dans ce qui pr6c~de tout ce qui se rapporte au produit. 2)

La notion de filtration est prise ici dans un sens adapt~ ~ la cohomologle.

Elle a ~t~ d~finie par une suite d~croissante de sous-modules, c'est ce qui intervient en cohomologie; pour l'homologie, on d~finit la filtration par une suite croissante de modules, mais nous nlen aurons pas besoln ici.

2.

L, alg~bre spectrale d,une alg~bre dlff~rentielle filtr~e.

Soit S filtr~e, munie d,une diff~rentielle (d, ~ ). On suppose que f(~(s))

=

f(s) pour tout s ~ Sj

d~signons par

Cp

l, ensemble des cocycles de S p

Dp

lt ensemble des cobords contenus dans S p, done D p = dS ~ S p

JP

Itensemble des classes de cohomologie contenant un cocycle de Cp.

Les JP d~finissent une filtration de H(S) et G(H(S))

=

~

jp/jp+l

=

~

cP/(cP+I

+

DP).

L'alg~bre spectrale sera constitute par une suite d'alge~bres dlff~rentielles gradu~es, dont chacune est 1,alg~bre de cohomologie de la pr@c~dente, et qui, en gros, relient G(S)

~ G(H(S)).

On peut dire peut-@tre que lfalg~bre spectrale

permet le calcul par approximations successives de G(H(S)).

Solent

VI - 3

Cp r

l'ensemble des @l@ments de S p dont le cobord est dans S p+r

Dp

l'ensemble

r

d e s @l@ments de S p q u i s o n t d a ~ s dS p - r , DP = dC p-r r

donc

= sPgN dS p-r.

r

On a notament les inclusions: 9 .. cDL C D p C r+l

...

C p+I r-i

Les C p e t

~

~

Cp r

D p+I ~ r+l

Dp r

Dp

~

~

...

~

Cp r+l

Cp C q r r

D p sont stables pour

r

Cp

~

Cp r

~

...

C

Sp

~ C p+q r

0~.

r

Le terme E

de l'alg&bre spectrale est d@fini comme somme directe des sousr

modules E p r

o~ Ep

cP/cP+l + Dp r r-i r-i P ils sont donc gradu@s par les Er, on appellera p le degr@ filtrant. Le Droduit r

de e P G

Epet

eq~

E q est d@fini comme la projection dans E p+q de cP.c q oG

r

cp e t

=

r

r

c q se projettent s u r e p e t

bien que de e p e t

e q (cf.

e q respectivement;

[2], p.16). On a EP.E q C E D+q. r

9 L'automorohisme

d

sur E r

suivantes,

p

(Cr'

r

r

p+I + D r-I p et C p CA) laisse C r-I r invariants,

quotient, tun automorphisme diff@rentielle

on v@rifie qu'il ne d@pend

d'o~ par passage au

P et un automorphisme de E r 9 Pour d@finir une de Er,

consid@rons les homomorphismes

(additifs)

des paires

r

o~ le 2&me terme est contenu dans le ler

cP+l

r-1 +

Dp

r-1

)

d

r~

(CP+r P+ll) r , dC _

i

le premier est d@fini par la diff@rentielle

p+r CP+r+l p+r r~ (C r , r-I + Dr-I ) ' d, le deuxi&me par les inclusions

(rappelons que dcP+~ p+r , d'o~ en composant et en passant au quotient, un _ = Dr_l) homomorphisme dP: E p ~ E r

r

p+r r

il est clair que d p+r o d p = 0, d' o~ un endomorphisme lin@aire d de Er, de r r r carr@ nul. On v@rifie alors (voir [2], No. 9) le

VI - 4 THEORE~ i.

E r e s t une alge~brediff4rentielle ~radu~e, dont la diffErgntiell ~ d

au~mente le de~r~ de r.

Er+ 1

est 1,alg@bre de cohomologie de Er, calcul~e avec

la diff~l-entiellc d . r

On pose encore E ~

E oo

avec

= ~ EPoo

EP~Q

=

cP/c p+I + D p, autrement dit

Q(H(S)).

!I est clair que si r crol~t, toujours comme limite.

Ep

s'approche de EP@o ,

r

mais ne lWa n~anmoins pas

Dans le cas general on peut dEfinir une alg~bre l i m E

r

qui contient G(H(S)). ~ais dans des cas particuliers importants, du reste les seuls qui nous int~resseront, il y aura ~galit~. De mane on voit que s i r d~croft, Ep r

tend vers

sP/s p+l, on pourrait introduire E

=

-oo

G(S).

Cas particuliers. l)

Supposons la filtration born~e supErieurement et soit S t = 0.

Alors C p = C p r

et dr est nulle sur Cpr' qui est ainsi form6 de cocycles et applip p+l§ p qu~ sum EP ~; pour r >t-p, on ~ E p = C /C Dr_l, et ~ la limlte cP/c p • p = jp/jp+l. pour r > t-p

2)

Supposons la filtration born~e supirieurement et inf~rieurement, et soit

S u = S~ r > v-u

S v = 03 alors dr, qui augmente le degr~ filtrant de r, est nul pour et pour

r q+l, dr e s t nul sur E r~ puisque dr diminue q de r-l. E q+2 ~ = E-oe ~ est un sous-module de E2'q , form~ des ~l~ments qui sont des cocycles pour toutes les dlffgrentielles dr. pr~sentant dans

Crest aussi ltensemble des ~l~ments de ~o~q qui ont un re-2 C~ ~c2'q donc un repr~sentant qui est un cocycle q~2 ~

Nous identifions E2'q que ~(Hq(E,M))

et Hq(Fb,M)C

= -o~'~

par l'isomorphisme section, et voulons montrer

o Soit k E E ~ q, et c un oocycle de C ~

qui se p r o -

Jette sur Iv/, alors Fb(C ) = k (avec los identifications faites), dono k = ~(h) ,

Vlll-

5

h @tant la classe de cohomologie de c, d'o~ nant h 6 H(E,M), et k - ~(h)o nous l'avons vu plus

E ~o,q C i.(Hq(E,M))

soit mainte-

Si k / O, h est de filtration nulls, puisque comme

haut i~(J l) = O.

S i c est un cocycle de h il dolt alors

@tre de filtration hullo, donc c E C~ 'q

admet une image dans E~ 'q, la classe

.

q

_o,q

de cohomologie de FbC , qui est k par definition, d'o~ i~(H ( E , M ) ) C E o o particulier, l'image de i~

est toujours contenue dans

9

s

en

Hq(Fb,M) c, ce qui

naturellement peut se voir directement@ On salt d~j~ que ~(j1) = O, il nous rests 2 voir que le noyau de ~

est con-

tenu dans jlo Supposons qus ce ne soit pas le cas et soit h tel que h ~ jIj i~(h) = Oo Un cocycle c de h est alors de filtration nulls st le raisonnemsnt fait ci-dessus montre que la classe de cohomologle k de FbC est nulls, l'image de h dans E ~ q = jo, q/j!~q-I

est nulls, d'o~ h ~ jl, q-i en contradiction

avec notre supposition~ Si B n'est pas compact,

E2'q & H~

o Hq(F,M))

est nul (exp. V No.6)} d,autre

part dans (E~) on a E tp'q - 0 si p > O, r >/ 2, d,apr~s (3)~ L,image 2 FbE 2 de E 2 par la section est doric nulls par cons@quent FbE r = 0 ( r ~ 2), FbG(H(E~M )) = 0

4~

et fJzalement i~(H(E#M)) = Oo

Repr@sentations d'espaces fibr@s.

Soisnt (E',

B'

.

F'

. P ')

et

(E,B,F,p) deux espaces fibr@s. Conform6ment ~ la

d@finition de repr@sentations dtapplications continues (expos~ VII, No~6), une rspr@sentation de (E', B,, Ft, pl) cations continues

g | E'

>E

dans (E,B,F,p)

et h ~ BI +B E

v@rifiant le diagramme commutatif I

E

p'$ B'

est la donn~e de deux appli-

h

~ B

On peut dire aussi qu ' une repr@sentation est d~finie par une application g : Et-~ E

qui applique chaque fibre de E t dans une fibre de E~

un homomorphisme g. des alg~bres spectrales [Er)

et (Err) de p e t

A g est associ@ p'; remarquons

que si E'~ F',E~F sont compacts connexes, le th~or@me 4 de l'expos@ VII s.appliquej nous vou!ons ici @tudier l'effet de g~ sur les @l@ments de degr~ filtrant O~ on suppose g propre, B3B, compacts connexes.

viii - 6

Soient

Mt~L~jKpL

des A-couvertures fines de E 1,Bt ~E~B,

s

,, p-l(L) o K ~) M

s,

- p,-l(h-l(L) o L,) o g-l(K) o K, ~ M

Soit encore bt un point de B'~ b = h(b)~ gb' la restriction de g ~ F~ 9 On a FbS

= bL ~

F~S'

FbK

@M

= b L ~ b. l l ~ (F~(g-~)

o F~K') |

M

nous noterons g llhcmomorphisme de S dans S: qui d@finit g* ! (Er)---. ( E ~ )

(expos6 VII, no.6).

On volt facilement que F~(g'lK ) ~

gbl(Fb K ). Consid@rons le diagramme commuta-

tif 1

FbS

FbK

M

(5)

Fgs,

*

e-l(FbK )

o

K'

~M

1 et 2 sont les homomorphismes utilisant les @l@ments neutres de bL et bLT, ce sont des isomorphlsmes pour la cohomologle (expos@ I, th6or@me 6),

3 est le ccm-

pos@ de la s~ot~o~ FbK

| M ~ gb'(F'~')'K | M d~ Fb~( 9 M p~r ~(F~,) ~t de l'homomorphisme qui d@finit gWb' ' H(g(F~,),M) >H(F~,,M), Si l'on veut c,est

le transpos@ de ~

o g~, ,

done plus simplement ~

o~ ~

est l'ir4ection de gb3(F~,)

J H(FbIM ) ---> H(F~pM),

dans Fb, c'est

On a alors le diagramme cormm~

tatif

H(FbS)




H(FbbM)

.... >

H(F~,,M)

(6) H(FI~,S, ) ~, "

So•

(Or) ~t(Gp

Z

les alg@bres spectrales de FbS

degr@ en bL I resp. le degr@ total en bL | b ILt~ 6videmment le diagramme commutatlf

et F~SV

(filtr@es par le

comme dans le num~ro 3).

On a

VIII

E~

-

g

G~ g~

(7) E ~~

5

G~2~q

e~ 4 et 5 d~signent lee homomorphismes dgflnis par los sections gtudi~s au No.3. Or on a vu dans ce No. que G ,q

s,ldentifle ~

Hq

S)

Rq(F~,,M), que 4 (resp. 5), est un isomorphlsme de E~ 'q E, 2o,q

sur Hq(F~M)C),

= Hq

,M), G~ 2

sur Hq(Fb,M)C

(resp.

d'o~ flnalement le th~orSme

THEORF~3.

Soi___~t(g,h) une representation de (E~,B,,FI,p,) dans (E,B,F,p). On o,q suppose g propre, B~B .compacts connexes. Si l~on identlfie E 'q e~tEl 2 _

Hq(Fb,M)C

et Hq(F~,,M) c

par les' Isomorphismes du th~or~me 2, alors

g* i E ~q---~E~ 2o~q .se transporte . . en IVhomomorphlsme . . . g~b~ . induit par la restriction de g ~ la fibre F~,o Dans cet ~nonc~ est implicitement contenu le fait que l,image de Hq(Fb~M) par ~ est toujours contenue dane Hq(F~,,M) c.

On volt aussi que

~,

est, ~ des Iso-

morphismes naturels pr~s~ indgpendant de b'.On pout donc parler d,un homomorphlsme g* de H(F,M) c

THEOREME 4.

dane

H(F',M)C~

Soit (g,H) une representation de (E',B',F',p t) days (E~B,F,p).

supp0se Et,E,FI,F

compacts conne~es~ et que dans lesal~bres s~ectrales de pl

et p 6crites pour les coefficients A l'on ait E~ E 2 = H(B,~) |

9 H(F',A),

~H(B',A)

et ~

est le Pr0duit tensoriel des homomorphismes

, H(F,A) --.H(F,,A)o

En effet sous lee hypotheses faites, on a ET~ 'q

= H(B,A)

H(F,A).

Alors l'homomorphisme g~ : ~ - - > E ~ , H(B,A)

On

= E'~ 'O @

E~,q . E~,O @ ~O,q -2

9 E'~ 'q , il suffit d'appllquer le th6or~me 3 ci-dessu~ et le

th~or~me 4 de l'expos~ VII. (Pour lthypoth~se falte sur E 2

et E~

cf. remarque

au num~ro 2). 5. Autres alge~bres spectrales. Nous avons reproduit ici les th~or@mes dlexlstence d,alg~bres spectrales de Leray, qui sont relatifs ~ la cohomologie d,Alexander-Spanier ~ supports compacts. Depu•

des alg~bres spectrales ayant los m@mes propri~t~s formelles que cellos

VIII

- 8

~tudi~es ici ont ~t~ obtenues dana d~autres cohomologles et sous des hypotheses topologlques diff~rentes. A titre d~orientation, nous en direns quelques mots icl. a)

La th~orie de l.alg~bre spectrale dtune application continue quelconque a ~t~

g~n~ralis~e par HA Cartan (S~minaire de I'E.NoS., Paris, 1950~51, exposes XIV YS(1). Elle vaut pour des espaces non n~cessairement localement compacts, et pour la cohomologie d'Alexander-Spanier ~ supports quelconques. b)

J~P~ Serre a 6tabli l'existence d'une alg~bre spectrale dss espaces fibres en

homologie et cohomologle singuli~re. Les espaces consid~r~s ne sont pas ngeessalrement localement compacts~ et

"espace fibre"

es~ pris dans un sens plus g~n~ral

que celui que nous avons adopt~ ici. Les fibres nctamment ne sont p~s n~cessairement hom~omorphes, mais neanmo_ns leurs groupes d:homologie ou dThomotople le sont. Serre a appliqu~ cette th~orie ~ lV~t~de des espaces de lacets et des groupes d'homotopie des spheres (Th~se, Annals of Math. 54, 425-505 (1951)). c)

Ce qui pr6c~de concerne surtout le cas o~ la fibre est connexe. Pour celui

des rev~tements, o~ la fibre est un groupe discret, H. Caftan a aussi obtenu une alg~bre spectrale (Comptes Rendus 226, 148-150, 303-305 (1948) et S~m. de I'E.N.S. 1950-51, exposes XI et XII)3 elle a comme terme E 2 - H(F~H(E)) ltalg~bre de cohomologie de F ~ valeurs dana H(E), au sens des groupes discrets, et se termlne par l'alg~bre gradu~e associ~e ~ H(B) convenablement filtr~ Cela vaut en cohomologle sLuguli~re ou dTAlexander-Spanier. d)

En cohomologie r~elle, pour la fibration d~un groupe de Lie compact connexe

par un sous-groupe ferm~ connexe, il y a une alg~bre spectrale qui peut gtre d~finie alg6briquement ~ partir des alg~bres de Lie du groupe et du sous-groupe (J. L. Koszul, Bull. Soc. ~ath. France 78, 6~-127, (19~0)). Enfin signalons que si la base de 1,espace fibr~ (localement trivial) est un po~V~dre, on peut d~montrer l~existence d~une suite spectrale dans toute th~orie de l'homologie (S. Eilenberg, S~m. de I'E.N.S. Paris 1950-51, expos~ IX).

Expos~

IX ~ APPLICATIONS AUX ESPACES FIBRES

Cet expos~ est consacr~ ~ quelques applications simples de l~alg~bre spectrale des espaces fibr6s~ emprunt~es en grande partie ~

~3]

J~ Leray, Journ. Math~ put.

appl. 29, 169-233 (1950). Dans cet expos~ nous consid~rons exclusivement des espaces fibres localement compacts, connexes, ~ 2ibres connexes, ~ bases loca!ement cor~nexes~ Espace flbr~ est pris au sens de la d~finltion de i | expose9 VIII, c:est donc un espace fibr~ "localement trivial"

(i~

tout point de la base a un voisinage au-dessus duquel

la fibration est un produit topologique). Notation.

Pour des raisons typographlques, on d~signera par E., resp. ~.P'q

l~alge~bre terminale de l~alg~bre spectrale (Er) , resp. les modules qui d~flnissent sa bigraduation. I. Rappel de r~sultats. THEOREME i.

Solent (E,B,F,p) une fibration, M une A-algebHe. Alors il ex~ste une

al~bre spectrale (Er) sur A, q.ui se termine par l!a!g~bre gradu~e as soci~e H(E,M) convenanblement filtr6e~ et dans la~uelle E~ ~ H(B o H(F,M))est 1,alg~bre de .c~176176176 de B par rap~ozt ~ un faisceau., localement, cons~mnt,, localement isomor~he ~ H(F,M). Ce th6or~me a ~t~ d~montr~ dans les exposes VII et Vlll. Nous r~sumons maintenant les prlncipales propri~t~s de (Er) obtenues dans ces exposes. a) E r est une alg~bre diff~rentielle sur A, bigradu~e par des sous-modules E p'q" r J en particulier E p'q ~ HP(B o Hq(F,M)). (~ dira que p e s t le de~r~ base, q le degr~ fibre, p+q le degr~ total, ces degr~s seront notes respm DB,DF~D~ l~alg%bre de cohomologie de E

pour une diff~rentie!le d r

~minue DF de r-l,

augmente D de lj

Er+ I e s t

qui augmente DB de r, r

E r est une alg~bre dAff~rentielle canonlque

pour le degr~ total~ elle est (pour r ~ 2)~ anticommutative par rapport au degr~ total si M est commutativeo b) Nous notons JP les modules (qui sont ici du reste des id~aux), qui d~fln~ssent la filtration de H(E~M) et posons JPPq = jP ~% HP+q(E~M)~

On a JP ~

jp+l et

JP est somme directe des modules JP~qj la filtration est "comprise entre 0 et le degr~", ctest-~-4ire que

jo = H(E,M),

JP'q ~ 0 si q < 0 .

Dans E. on a

IX - 2

~.,q = jp, q/jp+l,q-1 ~.

et

%

"

E+~ .

E l ' n - 1 + . o . . + E~ , ~

est donc la somme directe des quotients successifs de la suite normale Hn(E,~I)

=

jo, n ~ j13n-1 ~

Si M = A est un corps, ~ .

.... ~ ~ , o ~

jn+lj-1

=

0

est isomorphe 2 Hn(E~), mais cet isomorphisme ntest

pas en g@n@ral Intrins@quej n@ar~oins l~inclusion

jn~o(Hn(E;~)

est un isomor-

phlsme naturel de En'~

dans ~(E,M),

(pour des coefficients quelconques).

e)

: H(B,M) ~

H(E,M)~-

L'homomorphisme p*

est compact~ Dans cecas on a

E~ ~~

=

ll ne peut @tre non nul que sl F

HP(B o H~

=

RP(B,~). Dtautre part

oes @l@ments de E p~~ sont tous des d-cocycles, si r ~ 2 car d dlminue DF de r r r r-l, et ~p~o ~r+l est un quotient de E rp~~ J on a une suite d~homomorphismes sur

To

>T

et iVhomomorphisme HP(B,~I) ~ d)

L'homomorphlsme i* ) H(E,M) compacte. Dans cecas E~ 'q

contenu dans HCF,~))o

~

. . . .

_-

HP(E,M) r~sultant est p*. ~)H(F,N).= ~ c

II ne peut ~tre non nul que sl B e s t , (plus grand sous-faisceau constant

D~autre part les @l@merlts de E ~ r

ne peuvent ~ r e des co-

bords (r >t 2) pour d qui augmente DB de r) E ~ e s t donc tm sous-module de E~ r r§ r l'ensemble de ses d-cocycles. On a la suite dtincluslons r Eo;q Hq(F, 0 c = E 'q D E~ 'q q§ = E.o,q .

'

La premiere ~galit~ est donn~e par un isomorphisme qui applique i*(Hq(E,M)) sur Eo, qj

llimage de i* est donc 1Tensemble des ~l~ments de E ~ qui sont des cocycles 2 pour routes les diff6rentielles. On a aussi vu que le noyau de i* est ltid~al ~ . e)

Remarques sur E2.-

Si la base est globalement et localement cormexe par arcs,

la notion de faisceau localement constant se ram~ne ~ cello de

syst~me local

au sens de Steenrod. On a des coefficients ord!naires H(F,M) dans E2 sile groupe fondamental de B agit trivialement sur H(F,M), donc en particulier si B est ss ment connexe ou encore si la fibration a&met un groupe structural co~nexeo Si llon a dans E 2 des coefficients or ~dinaires, cTest-~-dire s l l e faisceau H(F,~I) est constant~ on pout appliquer la r~gle de KU_~neth pour calculer E 2. si M = A = K est un corps, on a E 2 = H(B,K)

n

H(F,K) - H(B x F,K)~

Par exemple si

M = A = Z, H(B,Z) m H(F,~) est contenu dans E2~ le quotient E2~(B)Z ) m H(F,Z) est le produit de

torsion Tor(H(B,Z),H(F~Z)) de Cartan-Eilenbergj c'est une fonction

IX - 3 billn~aire des groupes de torsion de H(F~Z) et H(B,Z)o E 2 = H(B,Z) K H(F,Z).

Si l.un d'eux est nul on a

Si lee groupes Hi(B,Z) et HJ(F,Z) ont chacun unnombre flni

de g~n@rateurs, il suffit pour calculer Tor(H(B,Z),H(F~Z~ de savoir que Tor(Za,~)

=

Z(a~b)~ (a,b) = p.g~cod,

[2] , No.18).

de a e t b ~

(voir sur cette question

Mentionnons encore qu'au point de vue de la bigraduation on a la

suite exacte: 0 --~HP(B,Z) ~

2.

Hq(F,Z) --~ E P'q 2 --~ Tor(HP+I(B,Z),Hq(F,Z) )

-> 0

MaJorations des nombres de Betti 3 caract~ristique d~Euler-Poincar6.

Notations:

Nous dirons que H(X,A) est de type fini, si HI(X~A) a un nombre fini

de ggn~rateurs pour i quelconque~

si A e s t u n corps, on notera alors Pk(X) la

dimension de Hk(x,A). THEG~E

2.

On suppose que le faisceau H(F~M) est constant sur B, que !es modules

H(BsA ) e_~tH(F~A) sont de type fini. Alors H(E,A) est de type fini et si de plus A est un corps~ on a

pn(E)Z_

pa(B) %(F).

a+b=n Soit tout d'abord A m u corps. Alors E p'q = HP(B~A) ~ Hq(F,A) et dim E_a,b 2 = pa(B) ? ( F ) ~ Comme E r§ a'b ~st un quotient d'un sous-espace de Ea,b r 9. on a ev~demment ~im _a,b Er+ I Pn(E) = dim ZE. = Si A = Z,

~

dim Ea, r b ' d'o~ dim E a:b ~

dim E~

+

o.. +

dim E n'~ ~

Pa(B)Pb(F) et

Pn(B x F).

E2 /

H(B;Z) ~ H(F,Z) = Tor(H(B~Z),H(F,Z)) , et d'aprSs ce que nous _a~b avons rappel~ au No.1 e), Eq a un nombre f~mi de g~n6rateurs. I1 en est alors

_ajb1 est quotient d~un sous-groupe de Era'b de m@me pour Ea'br et Ea'b' puisque Er+ b @ Ainsi k ~ ,, et que Ea'b = Ea, a+b+2 a un nombre fini de generateurs~ c'est la somme des quotients successifs d~une suite normale de sous-groupes de Hn(E,M) qui a par consequent aussi un nombre fini de g~n~rateurs. Remarqueo

On d~montre aussl facilement que si deux des modules H(E~A), H(B~A),

H(F,A) sont de type fini, le troisi~me l'est aJssi. THEOREME 3.

.Soit K un corps,

On suppose que le faisceau H(FtK ) est consta~nt sur

B, que H(F,K) et H(B,K) sont de dimensions finies. Alors

7(E)

=

~(B)

~

~

(F)

IX

Nous notons

~(Er)

n~ne de Polncar6,

-

h

la caract~ristique d,Euler-Poincar@ de Er, P(r,t) son polYC(r,t) le polyn6~ne de Poincar~ de l,espace de ses dr-cocycles

(tout cela pris par rapport au degr~ total)~ On a ~videmment, puisque dr augmente Ddel P(r+l,t) = C(r~t) - t(P(r~t) - C(r~t)) = donc

~ (Er+l) = P(r+l,-l) = P(r,-l)

d,o

--

(l+t)C(r~t) - tP(r,t)

= ~ (Er)

7 ( E 2)

(B) o

(F)

puisque sous les hypotheses faites on a E 2 - H(B~K)

3.

H(F~K).

Fibre totalement non homologue ~ z~ro.

Notations. r~

m

2.

On dit que l'alg~bre spectrale est triviale si d r = 0 pour tout

On a dans oe cas E 2 = E 3 = ........ = E..

On dit que F est totalement non homologue ~ z6ro dans E, relativement ~ M, si i*

, H(E,M) --~

H(F,lVI)

est surJectif.

H+(X,M) d~signe l'ensemble des ~l~ments de deg2~s ~ 0 THEOREME 4.

Soit

de

de H(X.M).

(E,B;F,p) un espace flbr6 compacto Pour que F soit totalement

non homolo~ue ~ z~r 0 dans E, relativement ~ un corps K, ll faut et il suffit que llal~@bre spectrale (Ee) sur K de ia fibration soit triviale et que le faisceau H(F~K) soit constant sur B. Si H(F~K) E~ 'q

=

H(F~K) c, alors E 2

=

I ~ Hq(F,K).

=

H(B,K)

m

H(F,K) 3

Si IIalg@bre spectrale est triviale, alors i* est sur d'apr@s No. I d).

R~ci-

proquement, supposons que i* soit surjectif, alors H(F~K~ = H(FtK) c (of No. I d)) et E2

=

H(B,K)

m

H(F,K)

. E p'q

~ E p'O

~

E2'q

(la deuxi@me ~galit~ provient de ce que, F et B ~tant compacts,

H(F,K) et H(B,K)

ont des 61~ments neutres I, et i' on peut ~crire HP(B~K) m Hq(F~K)

=

(HP(B~K)

~ I) , (I z Hq(F~K))).

sur E p'~ , elle l'est aussi sur E~ 'q doric sur E ppq r~2.

et sur E2;

d r e s t naturellement nulle

d'apr@s l'h~oth@se et le No. Id)J elle l'es%

on verra de m~me par r~currence que dr = 0 pour tout

IX

THEOREME 5.

-

5

Si F est totalement non homolo~ue ~ z ~ r o relativement. ~ K .dans

l'espace ~br~..compact (E,B,F,p), alo rs H(E;K) e st add%tivement Isomorphe H(B x F,K)o

L:homomorphisme p~ applique H(B,K)

biunivoquement dans

H(E,K) . Le

noyau de i* est llid~al engendr~ par p* (H+(BsK)). On sait d~j~ que E 2 = E., done dim Hn(E,K) ~ dim nE. ~ d~m nE 2 ~ ~im Hn(B x F,K), et p~ est biur.~voque, v u l e No i c)~ Itldeal de I~(H+(B~K))~ com~2 p~(Hk(B~K)) = ~ o p~(H§

II reste ~ voir que le noyau de ~

Nous avons rappel~ au Nee I d) que ce noyau est ~ et que ja ~b ~

est contenu dans ~ .

ja+b ,

Pour obtenir

il est clair qua l,•

sur p ~ 0 ,

pour p e t

n positifs

n ~tant ~ixe, on procedera pour cela par r~currence descendante en tenant compte de ~n+l~-i

G(H(E~K))

de

l,inclusion contraire, il s u ~ i t

de montrer que jp,n-p est contenu dans l~id~al de ~ + ( B # K ) > # quelconques~

est

=

E. ~ E 2 = H(B,K)

THEORE~E 6.

~

.

0

et du fait que

H(F~K), ce qui ne pr@sente aucune difficultY.

On suppose qua pour 1,espace flbr~ compact (E,B,F,p), le. faiscesu

H(F~K) est constant sur B, 1,alg~bre H+(F,K) est en~endr~e par se s ~!~ments de .degr~ posit if paJ~ ~%nimum. S~i K est de caract~.ristlque O,

Fest

tota lement non homolo~ue ~ zOro dans E re la-

tivement ~ K. II nous suffit de montrer qua (Er) est trivialej soit s le degr@ minimum de H+(F,K), est supposons avoir d~J~ etabli " l que

d2 = ~.... = dr. I = O,

done

E r = E 2 J alors pour montrer qua dr = O, il suffit de faire voir que dr(E ~

= O; en effet crest le cas, dr qui est une diff~rentielle, est aussi

nulle sum E ~

= I m Hn(F,K) qui est engendr6 par E~

r

sur E p'~ r

r

done d

Pour 2 ~

r ~

r

est nulle sur E p'q = E p'~ r r

H

E~ r

d,autre part d

r

est nulle

et finalement sur E . r

s , il est clair que d ( E ~

m O, car il n'y a pas de DF interm@_Oj8 diaire entre 0 et s, done dr ~ 0 pour r ~ s et Es+ I = E 2. Soit x~,:s+l ' alors ds+iX = y ~ E :+l, o et y.x = y m X E ~ s_s+l,s +l " Es+l est canor~que et anticommutative pour le degr@ total, donc x est dans son centre et de plus ds+l xm

=

~ d s + i X o x m'l

=

my ~ xm-l,

Mais x est nilpotent (expos~ III, th6o-

r~me 2), il existe donc m tel que xm'l ~ O, xm = 0 et alors m-1 o my m x = dxm = 0 ~ dlo~ y = 0 puisque K est de caracterist~que

nulle;

ainsi

O,S

ds+l(Es+l)

=

0 ,

ds§ l = 0 et Es+ 1 = Es+ 2.

Pour r > s + l ,

dr qui diminue DF de

IX - 6 r-l, est nulle sur E ~

dTod par r@currence d

r

Remarques.

I)

~

pour tout r ~

2.

La conclusion du th~or~me 6 subsiste si

H(F~K) = H(FI, K ) I .o .... ~ H(Fm~K ) ,

o~ H (Fi~K) est engendr~ par ses ~l~ments

de degr@ pair minimum (i = l~...,m). 2)

= 0 r

D~monstration analogue.

On a des propositions analogues aux th@or~mes 4 et 5 pour les coefficients

entiers si H(B,Z)

ou

H(F,Z) est sans torsiono Le th~or~me 6 et sa g~n~ralisa-

tion l) valent aussi pour les coefficients entiers si H(F,Z) est sans torsion. Los d@monstrations sont los m@mes.

4.

Cocycles maxima et m~nima~ fibrations de

LEMME. a)

itespace euclidien.

On su2pose ~ue dans la f~_bration (E,BtF,p) le faisceau ~

Si Hi(B,K) = ~(F,K)

~ 0 2our i>u,

J~

v,

est constant.

_u,v = HU(B,K) m HV(F,K) est ~;2 - '

appliqu@ i s o m o r p h i q u e m e n t s u r Eu ~ v .

b)

Si ~(B,K) = ~(F,K) =

0 o~

i
/ 2. Les seuls degr~s -2 r fibres gtant 0 et k, seule la diff~rentielle ~ + l peut ne pas @tre nulle. Ainsi E2

= Ek+ 1

, Ek+ 2

=

H(Ek+I)

=

E.

= G(H(E,A)).

Nous d~signons naturellement par i des g&n&rateurs de H~ encore h un g6n~rateur de ~(F,A)o Ek+ 1

=

H(B,A)

~k '~ +i

=

Hn(B,A) m

et H~

soit

On peut gcrire

m

1 + H(B,A) ~ h I {

_n-k.k ~;k+l"

= Hn-k(B,A) m h

D~signons par z l'gl~ment de ~+I(B~A) tel que ~+l(1

~ h)

=

et par Ann. z, resp. (Ann. z)n , Les cocycles de Ek+ 1

k+l, o Ek+ 1

z ~ 1 ~

l.armulataur de z dans H(B,A), resp~ dans Hn(B,A).

forment &Tidemment H(B,A) H 1

et les cobords sont H(B,A).z ~ 1 , E.

=

+

Arm.

z m h

d'o~

H(B,A)/H(B,A).z + Ann.

z m h .

%

ne contient que deux termes ~E:~ '~ et E n-k'k , donc dans la suite nornmle et ~-k+l,k-1 = ~ , o Hn(E,A) = jo, n b ~ , o D 0 , on a jo,n = ~ - k ~ k On peut eorlre " "

H (B ; A)/H -k-I(B 9 A) (Anno z)n-k

En, o o

.

.

Z

m h = En-k,,k

=

jn-k,k/~-k+!,k-1

= jo,n/~,o 9

IX - 9 Soit f* la projection de Hn(E,A) sur .E~ k'k , Hn-k(B,A) qui fair correspondre ~ y

m h

g*

l'isomorphisme de ~.-k,k

l'~!6ment Y9

J*

=

dans

g* ~ f* est alors

un homomorpP~sme de Hn(E,A) dans Hn'k(B,A) dont le noyau est jn, o .p,(Hn(B,A)) et dont l~image est (Anno z)n~k~

La suite de l'~nonc~ est alors exacteo En effet,

dans Hn(B,A), le noyau-image est (Ann~ z)n~ dans Hn+k+I(B,A) c,est Hn(B~A) dans Hn+k+l(E,A), c,est jn+k+l,o = p~(Hn~k+l(B,A)).

9

z,

On a naturellement h.h = O, donc sl k est pair ds+l(l H h.h) = 0

"

d'o~

2z m h ,

2z - 0 ,

ce qui termine la d~monstration du th6or~me 8. R emarque~ Si E n'est pas compact, on a aussi une suite exacte analogue 2 celle de 1.~nono~ du th~or~me 8, mais l'homomorphisme s* dolt ~tre d~fini dlreotement partir de d . et ne peut ~tre interpr~t~ c omme le cup-produit par une classe de s cohomologie ~ support compact~ En fait, ctest~ comme on sait, le cup-produit par la classe caract~ristique, qui ntest pas ~ support compact si B n,est pas compact (sauf si elle est n1~lle). On a aussi une suite exacte si le faisce~u H(F,K) n'est pas constant, llufaut reinplacer dans le th~or~me 8 chaque terme H~(B,A) pr~c~dant z* par H~(B o H~(F,A)).

6.

Espaces fibres ~ bases sph~riques. Suite exacte de HoC@ Wang.

THEOR~E 9.

On suppose que dartsla fibration (E,B,F,p) le faisceau H(F,A) es~t

constant et qu e H(B~A) ~(E,A) On a ici E 2 Se~le ~

=

H

(~k,A) " (k > O) .

i*) ~(F,A) =

H(Sk,A ) m

A lors on a la_ suite exacte _

g~> Hn-k+l(F,A) et E p'q

H(F,A),

J*)

~+I(E,A)

= EP'qr =

0

Q(H(E,A))

.

.~

pour p / O,k

, r >/ 2.

peut ne pas ~tre nulle et E2

=

Ek

Ek+ l

-

Soient i et h des g&n~rateurs de H~ Ek _k.n-k OU encore ~k

= =

h m

H(F~A)

h m ~ - k (F,A) ,

~k,n-k Les ~l~ments de ~k

E.

-

et ~(Sk, A). +

On a

i m H(F3A ) E k ,n

=

i ~ h~n(F,A).

_o,n sont tous des ~-cocyoles. Les ~l~ments de ":k

qui sont

des cocyoles sont alors des cocycles pour tout r, ils forment donc i*(~(E,A)) dtapr~s le Nor 1 d). les cocycles de E k sont donc

IX - i0 h ~ H(F,A)

+

i*(H(E,A)) o

Les cobordsj qui ont un DB = k, sont tous contenus dans h ~ H(F~A)~ donc E~ ~.

=

h m H(F,A)/~(Ek)

+n'a que lee termes

jn-k l~k-1 = 0 J

+

I*(H(E,A)) ,

otn e~_ _~.

Ek'n-k

par consequent E n k~k

naturelle ~ un sous-module de ~(E~A)

donc jll n-I

,

9

=

~-k,k

=

~-k,k

et

sfidentlfie ici de fagon

st i*(~(E,A)) -

jo,n/jl, n-1 = jo,n/jn-k,k est le quotient de Hn(E,A) par ce sous-module. Solt _k~ n-k f* lthomomorphisme de E k dans ~(E,A) qul r~sulte de la projection de Ek, k n-k

sur E.k'n-k

et de ltinclusion de ce dernier dans Hn(E,A). I1 est clair

que la suite suivante est exacte Hn(E,A) _ ~

Hn(F,A)

~>

_k,n-k+l

f*)_

Ek

Hn+I(E,A)

S,9

mais E k'n-k+l = h @ Hn-k+l(F,A). Soit u 1,isomorphisme 6vident de -k+l'" k~n-k+l . -1 H~ (F,A) sur E~ , si l'on pose g* ~ u o ~ , J~ = f~ D U~ t

"

,

,

k,n-k+l

et si I cn remplace dans !asuite precedente E k

par

-k+l

Hn

(F~A)

on obtlent

la suite de 11~nonc6, qui est donc exacteo P emarque. On v~rible faolismen% que Ithomomorphisme g~ s H(F,A) > H(F,A) dl~m!nuant le degr~ de k-l, que nous avons d~/inij a la propri~t~ ~r.]Itipllcative suivante: Si k ~st pair

~ g*('~P.v) - g*(uP)Qv + (-1)PuP.g~(v) .

Si k est impair

s g*(u.v)

= g*(u).v

+

u.g*(v).