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p ( R N et) qu'il existe une constante C, telle (2.13)
I~PL
-
pE
-
que :
I~PL
(2.14)
-
< Cm6,
*'uIIw~.P
ce qui termine la démonstration dans le cas de RN. O Soit maintenant un ouvert R # RN.On utilise un recouvrement ouvert { O J } j E ~ *de R , défini par :
f2j
= {z E
R I 1x1 < jC1 et d ( z , a R ) > Cz/j + I}
Les constantes G1 et C2 sont choisies pour que 0 2 # 0. Cette suite d'ouverts bornés est croissante et recouvre R. En posant alors : RO = f 2 - 1 = 0 , on définit la suite d'ouverts { A j } telle que : Aj = f 2 j + ~\ nj-1, avec : AO= f22, ~
Al
1 0 3 .
La famille { A j } constitue encore un recouvrement ouvert de R et on vérifie facilement que, si Ij - j'l 3 3 alors : A, n A,, = 0.Soit alors { $ j } une partition de l'unité associée au recouvrement { A j } . Soit aussi ~j assez petit pour que, E étant donné, on ait, à la fois : Vj22, V j 3 O,
A~+B(O,E,)CA~-~UA~UA~+~, E
* ($p)(+ju)llw.-.p < __ 23+1' -
On considère alors la fonction d E définie ) par : (2.15) O
Cette fonction est bien définie car la somme du second menibre est localemerit finie. On déduit des inégalités précédentes que ~ ( € E 1 W7n)p(R). En utilisant u = C;"(+,u), on peut terminer la preuve par l'inégalité :
66
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉOKÈMES D'IN.JECTION
Corollaire 2.1 7. (1) Soient u E W ' J ' ( 0 )et v E W'"'(0) o ù p etp' satisfont ù la condition l / p l/p' = 1. Alors, le produit UV appartient ù W1>'(0) et :
+
vi E [l,N],
& ( ' U V ) = ud,v
+ ?/a,U,
toutes les expressions figurant dans cette égalité ayant un sens, compte tenu des hypothèses. ( 2 ) Soit u appartenant ù W1>N(f2).Alors juIN-'u E W1>'([2) ainsi que luiN avec :
~ ( 1 ~ 1= ~N I) U / ~ - ~ U V U et
V ( I U I ~ - ' U )=
~ l u l ~ - ' ~ u .
Remarque 2.18. Dans ( 2 ) , W1>N(f2)peut être remplacé par W',q(O), pour q E ] 1,m[; le résultat est alors : Soit 7~ E W'>q(O).Alors ~ u ~ et~lu1~ 4 appartiennent ' u ù W ' > ' ( O ) ,avec
V( IuIqp'u) = q l u / q - l ~ u et V( IuIq) = ~ ~ u / ~ - ~ u v u . Preuve du corollaire. (1) Par la proposition précédente, il existe une suite { u n } c C"(O) n W'J'(i2)qui converge vers u dans W ' , p ( O ) . Alors, au sens du produit d'une fonction de classe C" par une distribution, on a : 82(UnV) = &(Un)V
+ U,dZV.
Passons à la limite au sens des distributions dans le membre de gauche de cette égalité. On a U,V E L ' ( 0 ) et l l u , ~- U V I I L ~ IIu, - uljLI>IIuIILp( O. On en déduit que {u,v} + uw dans L', a fortiori au sens des distributions. Alors, par une propriété des distributions (cf. section 1.4.8), &,(u,u) + a,(uv) au sens des distributions. De même, puisque un + u et &IL, + 8,u dans L", le second membre converge au sens de D'(Q). Le passage ii la limite donne airisi l'égalité désirée et, en outre, l'appartenance ai(..) E L', d'où
p(R).Soit 2 0 le point ( z b , t ) E R où 20 E et t E E%. O n désigne par B’(zL,r) une boule ouverte dans EtNp1 et par B * ( z o , r ) le cylindre ouvert B’(zb,r) x ] - r , r [ , dont l’adhérence, pour r assez petit, est incluse dans 0 . Alors, po’ur presque tous les couples ( x ‘ , t ) et ( ~ ’ , t ’d’éléments ) d e B*(x:o.r),o n a :
TW~P’
Preuve du corollaire 2.29. 0 Pour (t,t’)E (1 - r . r [ ) 2et z’ E ~ ’ ( z h , ~posons ), u(xL.I)
l,t 8,
%1(2’, ,5)&’.
On niontre que ii E Lp(B’(zb,r)). Comme B*(zo,r) c R, la fonction (.r’,s) H dNu(x’,.s) est dans LP(O), donc sorrirnable en s sur l’intervalle [t’,t ] inclus daris ] - r, r [ . I1 en résulte que w est presque partout définie sur B’(z0,r).Ensuite, en utilisant les formules de Holder et de Fiibini, on a pour presque tout, couple ( t ,t’) :
Soit {un}une suite de C”(B*) n WIJ’(B*) qui convtrge (cf. proposition prtkédeiite) vers u.On définit la suite { u n } sur B’ par la relation :
1, t
l J T L ( X ’ )=
d~
7LTL(XL.I, 5’)dS.
En remplaçant 71 par u,,- IL dans le calcul précédent. on voit que I I , 71 daris LP(B’). On peut donc extraire de cette suite une sous-suitc { u n , } qui converge presque partout vers u siir B‘. On peut. de niCiiie, extraire de -f
68
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION
la suite {un,} une sous-suite {ud(,)}qui converge p.p. vers u sur B * . Les fonctions ud(,) étant régulières, on a :
En utilisant la convergence p.p. des deux membres, on obtient la formule du corollaire. O Une autre conséquence du théorème 2.12 est très utile, en particulier, dans les procédés de prolongement d’une fonction de Wm>?’(R)en une fonction tie Wm>P(RN) lorsque R est un ouvert (( lipschitzien ». Ce procédé nécessite un changement de varia,ble pour une fonction de Wm,p(R).
Corollaire 2.21. Soient deux ouverts bornés R et R‘ d e RN et une fon,ction a réalisant une bijection de (1‘ sur R,a et a-’ étant de plus toutes deux lipschitziennes. Soit p donné > 1. Alors, si I L E W“~P(R),lu fonction composée v = I L O U est dans WIJ)(R‘), les dérivées de v au sens des distribution,s sont fourriies par les formules habituelles de dérivation des fonction,s composées et il existe une constante C(lVaim),dépendant de IVal,, telle que : Ilu O a l l W ’ . P ( f q
6~(I~~,/~)llullw’.p(n).
Preuve du corollaire 2.21. O Soit une suite { u n } de W’J’(R) n P ( R ) qui converge vers ‘II dans W’J’(R). La fonction y ++ wn(y) = u , ( a ( y ) ) est lipschitzienne dans R’, a fort,iorisur toutes les parallèles à l’un quelconque des axes de coordonnées yi. Comme le caractère lipschitzien implique l’absolue continuité,, on en déduit ( c f . remarque 2.4) que w, est p.p. dérivable dans R’et que :
Utilisons alors le lemme suivant :
Lemme 2.22. Les ouverts 12 et R’ étant bornés, soit a une bijection continue de R’ sur (1 telle que a-’ soit lipschitzienne. Alors, si u t LP(R), on a u o a E L”(0’) et il existe une constante c telle qu.e jjuoa((Lp(n,)6 c((uj(Lp(i2). Poursuivons la preuve du corollaire 2.21 en utilisant ce résultat. En l’appliquant à &(u,, u),l’inégalité du lemme fournit : ~
/I&(un)0
fJ
- &,7L)
6
0 alILl’(r2~)
C l l ~ i i ( ~ & )- & ( ~ ) / l L P ( Q )
Comme on sait que &(ulL) + &u. dans Lr’(SZ), on en déduit que { û ~ ( i ~ , ) o a } converge vers t$u 0 a dans Ll’(S2’). I1 en résulte, en utilisant (*) et les hypothèses selon lesquelles Ics ouverts et les dérivées 3,( ( 1 . j ) sont bornés, que la suite {ûz.(7in)> coriverge dans L P ( W )vers la fonction ~ l ( a j oua ) ai(aj)
2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
69
qui est dans L”(G’). L’inégalité (*) fournit alors, par un passage à la limite pour une sous-suite : P.P. Y E a’,
O
a ) b ) = ,E?a,(lL)(a(Y))3,(aj)(y).
Puisque ces dérivées, au sens p.p., sont dans L”(O’), ce sont, d’après la remarque 2.4, des dérivées au sens des distributions. D’après le lenirne, on a : u o a E Lp(R’), il en résulte que u o a E W’>p(O’).Par ailleurs IIuoa.lILp(n,)
1, que Vu est dans le dual de C,(Q), ce qui signifie que Vu est une mesure ( c j . chapitre 6). Coriinie cette estimation ne dCpend pas du support de p, on en déduit que Vu est, une mesure bornée. De plus, l’inégalité J , lVul c ( w ) montre quc la mesure Ou (cf. cliapitre 6) est absolunient continue par rapport à la niesure de Lebesgue, ce qui montre que Vu E L1(w). Puisque w est arbitraire et que c ( w ) est borné O indéperidaniment de w ,on conclut Vu E L1(62).
p ( ( R ~ ) + ) et ~ ( z '-XN) , encore dans D ( R N ) ,donc, par le changenierit X N H - X N (à deux reprises) et par la première égalité du lemme 2.58, 011 a, pour i < N-1 : 0
92
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION
Alors, toujours par la première partie du lemme :
(&G,P)= -@, 4P)
le deuxième rrierribre pouvant s’écrire encore
On a ainsi obtenu le résultat :
Pour la dérivation en x N , on utilise la variable
-jzN
à la place de ZN :
(dNZ,P)= -@, a N P )
La dernière égalité résulte de la deuxième partie du lemme 2.58 appliquée k à la fonction p(z’,ZN) - E, p3’p(z’,- z N / j ) qui est nulle sur X N = O en raison de l’hypothèse pL3= 1. En utilisant encore un changement de variable, on en déduit :
2 . 3 . GÉNÉRALISATIONÀ D’AUTRES OUVERTS
93
Ces deux relations (2.61) et(2.62) montrent que &6 pour i < N - 1 et d ~ i T appartieririeiit à L p ( R N ) .On a ainsi terminé la preuve de la proposition 2.57. O Achevons la preuve du théorème 2.54, à savoir la continuité de E . Les égalités précédentes montrent en outre que, pour tout i N : 0
O
=
J’
ZN
i3,’UCp. >O
Pour i = N , d’après la deiixiènie égalité (2.60) dii lemme 2.58: car PLYest à trace nulle, on a :
(a,ii,p)
=
-(“,&rp)
=-
J’
UaNp =
.I,,,
DNup.
XN>O
Soit ii,(x’) = G(d,ZN - l / n ) . Alors la suite { u ~qui ~ }est à support compact daris (RN)+ converge vers ?L dans W’J’(RN). Pour le voir, on reniarque que : (2.64)
- IIT~~W
‘dwE L p ( R N ) , lim Is
O
-
w / I p = O.
En effet, soit E > O et $ daris C,(RN)telle que I U I de l’uniforme continuité de $, il existe ho tel que :
Ainsi, pour Ih/ 6 ho, on a :
-
li,llp < ~ / 3En . raison
94
C H A P I T R E 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORËMES D’INJECTION
On en déduit lim Ijv,
-
n++cc
Gllp = O et V j E (1,NI,
lim lldjvn
-
n-+cc
E)jGllp =
O.
Soit ensuite p une fonction de D(R”). On définit ~2~ = ( 2 ~ ~ ) ~ p ( 2etn z ) un = pzn * u n . Alors { u n }est une suite de fonctions régulières à support compact dans (IRN)+ qui converge vers u dans W1>p(IRN), ce qui termine la preuve. O
2.3.4. Les ouverts lipschitziens, les ouverts de classe
C”
On commence par la définition d’un ouvert lipschitzien uniforme, puis d’un ouvert de classe C’-uniforme.
Définition 2.65. On dit que R est un ouvert lipschitzien uniforme si : (1) I1 existe un recouvrement ouvert (Ri)i>o de R tel que d(R0, d a ) > O et, pour tout i 3 1, Ri est borné avec Ri n dR # 0 et, ou bien la famille {Ri} a un cardinal fini, ou bien :
3k32,
Ii-jl>Ic
===+ R i n R , = O .
(2) I1 existe un ouvert borné 0: de I R N - l , une fonction ai lipschitzierine sur 0; et un système de coordonnées tel que, quitte à renurnéroter ces coordonnées :
c {(z’,zN) 1 z’ E U : , Z N > Q(Z’)}, Ri n dR = {(d, ai(^')) 1 Z’ E O:}. R, n R
(3) I1 existe une partition de l’unité (cf. définition 2.11) (cpi)i, subordonnee au recouvrement de R par les Ri et des constantes Cl et C2 tels que : Vi,
l l c p i l l ~ ~ ~< ( wClv ~ et
ll4~-(0) < C2.
Définition 2.66. On dit qu’un ouvert est de classe C1-uniforme s’il est lipschitzien uniforme avec des fonctions ai de classe C1. Remarque 2.67. On utilisera souvent dans la suite, pour alléger la lecture, le terme CI ou C k ou lipschitzien, en omettant le qualificatif régulier ou uniforme. Les ouverts lipschitziens possèdent la propriété de (1,p)-prolongement. Ceci fait l’objet de la proposition 2.70 qui suit. On va définir, plus loin, une classe d’ouverts qui possèdent la propriété de (m,p)-prolongement . Notons que cette dernière n’est pas nécessaire pour avoir les théorèmes d’injection, puisqu’ori verra qu’être (( lipschitzien )) suffit. Cependant la propriété pour un ouvert d’être de classe C”, avec m > 1, permet de définir des traces d’ordre supérieur (cf. chapitre suivant) et, en conséquence, d’obtenir des
2.3. GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS
95
résultats de régularité jusqu’au bord, qui interviennent dans l’étude des solutions d’équations elliptiques (cf. chapitre 5). I1 est utile, dans les questions qui utilisent la définition précédente, de connaître les relations existant entre les appartenances des restrictions de u E WIJ’(0) chacun des espaces W l > p ( R n O , ) ,ainsi que les relations entre les riorInes correspondantes. Cela est donné par la :
Proposition 2.68. Soit (1 u n ouvert lipschitzien. Si u E Lp(R) est telle que, pour tout i , u E W 1 l p ( n n f l i ) , alors u E W’>p(O). Par a.illeurs, il existe des constantes C et Cl indépendantes de u telles que : (2.69)
P r w v e de la proposataon 2.68. Seules, les inégalités sur les normes ne sont pas évidentes. 0 Soit u E LP(R). En utilisant la propriété (1) de la définition 2.65, on telles peut répartir la suite {O,} en la réunion de IC suites d’ouverts que les intersections R n [IxTL sont deux à deux disjointes. Pour une telle suite, la sonime E, ~ ~ u ~ ~ ~ est p ( majorée n t ~ L )par I I u ( / ~ ~ ( ~ ) . On en déduit l’inégalité E, J I u J J ~ ~ ( ~ ~ ~ k, J) / u J J t p ( , )Soit . alors u E W’>P(O).En utilisant la formule de dérivation de p,u et les majorations uniformes, dans la condition ( 3 ) de la définition 2.65, la norme II(P,uIIWI 13(nnn,) est majorée uniforménielit par Kllu((Wi.(nnn,) et la majoration précédente nous fournit donc :
p(RN-lx]O, +CO[). Comme G est obtenu par un (1,p)-prolongement sur IRN, on obtient V E W 1 i P ( I R N ) . On en déduit que E W’,p(RN). En outre, la constante e, qui figure dans le lemme 2.22, ne dépend que
2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D'AUTRES OUVERTS
des constantes de Lipschitz de S et de S-' majoration précédente, rie dépend que de
llvllwl I > ( I w N )
97
donc, comme il résulte d'une Ainsi, on obtient :
< C(l + IlV4lm)II~~uIIw1 P(nnn2,).
De plus, en rappelant que les normes sont majorées (cf. définition 2.65) par C2, ce qui implique que C(1 IVn,/,) C, et en utilisant la continuité du (1,p)-prolongement précédent, on peut écrire :
+
II(p;ullw1 ?'(IWN)
< (1 + C 2 ) l l v l l W l
1.
Définition 2.73. Un ouvert est dit C”-unifornie s’il est lipschitzieri avec des fonctions ai de classe C“ et les nouvelles majorations uniformes dans la condition 3 de la définition 2.65 : (2.74)
/la,Ilc.-(C?,)
+ IlPiIlC...
6
c3.
Théorème 2.75. Un ouvert de classe C”l possède la propriété de (m,p)prolongement pour tout p E [i,CO[. Preuve du théorème 2.75. On se ramène par cartes locales à prolonger une fonction du type cpiu. On laisse tomber les indices i pour la fonction at et les coordonnées locales et on définit alors ?J(,.’ t) = u(z’, a(.’) t),
+
qui est dans WmJ’((JRN)+) compte tenu des propriétés de a. On utilise alors le prolongement donné dans le théorème 2.54. La continuité du prolongement est une conséquence immédiate des propriétés de Cm-régularité, et de celle du prolongernent sur IRN. O Notons qu’on peut aussi définir directement
G par la forniule
m
G(x’,)z,
=
Xj’U(.’,
-jx,
+ (1 + j ) a ( z ’ ) ) ,
j=l
où les X j vérifient ;
Y k E [O,m- 11,
c(-j)’”Xj =
1.
j
Mais les calculs sont alors plus longs, puisqu’ils demandent d’utiliser la conservation des dérivées tangentielles le long de dR à savoir, pour l’ordre 1, les aiu ai(a)dNu, ceci pour tout i E [i,N - 11.
+
2.4. Injections compactes lorsque l’ouvert est borné On donne maintenant des résultats de compacité pour les injections de Sobolev dans les ouverts bornés lipschitziens, en commençant par des contreexemples dans le cas de l’exposant critique pour un ouvert borné, et pour toutes les injections dans le cas non borné :
2 . 4 . INJECTIONS COMPACTES LORSQUE L’OUVERT EST
BORNE
99
2.4.1. Deux contre-exemples préalables
-
Exemple 2.76. Montrons que si R = B(O,l), N > p , rn = 1, l’injection continue WmJ)(CL) L‘J(s1), où q est l’exposant critique N p / ( N - p ) , n’est pas compacte. Soit F une fonction de classe C’ sur IRN, à support compact dans B(O,1) et non ideritiquenient nulle. Soit {F,} la suite de fonctions définies sur B(O.1) par F,(r) = n ( N / ” ) - l F ( n x ) I1 . est facile de voir que (F,) terid vers O presque partout et dans Lr’(B(0,l)).D’autre part sori gradient est borné daris P(B(O,l)).En effet : ( N / P - 1+1)P IVFIP(nz)dz =
(2.77)
//VF(I;p.
S,,O,l)
En particulier (F,) est bornée dans W’J’(Cl2). D’autre part
(2.78)
I I Fn I I
v
p
/ N -p)
Il F I I L N ~ /-
(62)
(N
JJ)
011
a:
(n).
On eri déduit aisément (cf. section 6.1) que lF,,INp/(Npp) converge vaguement vers I F ( ~ ~ ~ $ ~où~&~désigne ~ ( n la~ niesure & , , de Dirac en zéro. En
tout cas, {F,} ne terid pas vers O daris
LN”/(Npp).
Donnons aussi un contre-exemple lorsque (1 est non borné.
Exemple 2.79. Montrons que l’injection de W’>’(RN) dans L1(RN) n’est pas compacte. Soit F E D ( R N ) ,non identiqiierrient nulle, et soit { r T Lune } suite qui terid vers l’infini. Alors {F7,} telle que F T L ( z= ) F ( z - z T Lest ) bornée dans WIJ’(RN) et elle converge presque partout vers O. Doric, si elle convergeait forterrierit daris L’, on aurait : ~ ~ F=7 IIFl/1 ~ ~ =\ O,~ ce qui apporte ime contradict ion. 2.4.2. Résultats de compacité
Théorème 2.80. Soit R u n ouvert borné et lipschitzien d e RN, oil, N > 1. Si N > rnp, 1 ’injection W”L’P(f2) L“R)
-
est compacte pour q < Np/(N - m p ) .
Pyeuve du théorème 2.80. Démontrons d’abord deux lernrnes : Lemme 2.81. Si R est un ouvert borné lipschitzien d e RN, alors :
wyn)
L’(a).
LJc
100
CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION
Preuue du lemme 2.81. Soit B un ensemble borné de W’>‘(R). On utilise le critère de compacité des bornés de P(R) donné dans le théorème 1.94 du chapitre 1. Ainsi, il faut vérifier les deux hypothèses de ce théorème : O Soit E > O donné. 011prouve qu’il existe un compact K de R tel que : E
B.
LK
/u(z)ldza
E.
En effet, en utilisant l’inégalité de Holder avec les exposants N et N / ( N - 1), on obtient :
L’ouvert (2 étant borné, on peut choisir mes K assez grande pour que la mesure de (0 \ K ) soit arbitrairement petite, le résultat s’ensuit. O En deuxième licu, on prouve qu’il existe 6 tel que, 6 désignant la prolongée de u E B par O hors de R,on a :
Soit 110 > O donné. On désigne par Bo la fermeture de la réunion de la famille B,lclde toutes lcs boiilcs oiivertes rentrées sur dR et de rayon h o . On pose w = R \ Bo. C’est un ouvert inclus dans bZ et on voit aisément que, si (hl < ho, alors E w =+ z h E 62. En coriséqucrice. pour tout z E w , Z(z + h ) = u(.r h ) . En utilisant la fonction composée t ++ U ( J . t h ) , 011 obtient lorsque u E B :
+
+
+
Par dérivation de la fonction absolument continue t (cf. exercice 2.3), on a :
Donc :
J1
llL(2
+ h ) I).(. -
./1 R;
’((R).D’après le lerrirne précédent 2.81: elle est relativement conipacte dans L 1(O). Par ailleurs! par le théorènie 2.72, la suite { u T Lest } bornée dans Ly(R) avec q N p / ( N - m p ) . En utilisant alors le lenirne 2.82, { u r Lest } relativenierit O conipacte daris tous les Lq(iZ), pour p < q < N p / ( N r n p ) . 0
N , aux injections conipactes daris des espaces de foiictions holdériennes. Théorème 2.84. Soit R u n ou,ver.t borné et lipschitzien. Soit rrrp j = [ N / p ]+ 1. Alors, pour tout X < j - N / p , les %njection,s:
-
W7*I,P(fl)
> N et
c”-j.yq
sont compactes.
Preuiie du théorème 2.84. 0 On coinnience par le cas m, = 1 et p > N en utilisant, dans la preiivc, le résultat, suivarit dont la justification est reportée plus loin :
102
C H A P I T R E 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉOHÈMES D'INJECTION
Lemme 2.85. Soit un ouvert borné R d e RN et { u n } une suite de Co,'(R) relativement compacte dans C(2). Alors, pour tout p tel que O < 1-1 < X, la suite { u T L }est relativement compacte dans tous les c~+(o). Montrons, alors, que l'injection de W',p(R) dans C(2) est compacte. Pour ce faire, on utilise le théorème d'Ascoli. Soit K un ensemble borné dans W l q0) Alors, pour tout z E R,l'ensemble { u ( x ) 1 u E K } est borné uniforrnénient. Er1 effet, l'injection étant déjà continue (cf. théoreme 2.72), on a pour tout u E K : 1
6
ll~(~)llcc
IIu/Iw'~P(n) 6
c.
Montrons que K est équicoritinu. En effet, par la continuité de l'injection de W',P(R) dans C o . l - N / P (R)(encore par le théorème 2.72), on a :
Ceci entraîne que K est uniforniément holdérien, donc en particulier équicontinu. L'utilisation du lemme 2.85 permet de coriclure dans le cas m = 1 et p > N. 0 Soit maintenant K un borné de WJ,P((n) avec ( j - 1)p 6 N < j p . I1 est facile de voir coniine précédemment que K est relativement compact dans C ( 2 ) . On utilise encore le lcrnrrie 2.85 pour conclure que K est compact dans C0>^(R)pour tout, X < j - ( N / p ) . 0 Dans IC cas général, soit I ( un sous-ensemble borné de WTn3P(R)et soit j = [ N / p ] 1. Soit { u n }u ~ i csuite de points de K . Puisque {,un} est bornée dans W T 1 ' , P ( ( n ) ,cette suite, ainsi que les suites des dérivées {D"-jun} sont bornées dans W.f..(R). Par ce qui précède, on peut extraire de ces suites des sous-suites, notées de la même façon pour simplifier, qui convergent respectivement vers u et vers Y,,,~ dans Cb'"(R), à savoir :
+
lluTL- u1lW
-
O et
IIDni-3u,
-
urn,Jm
+ O.
La convergence dans L"" entraînant la convergence au sens des distributions, on a = Drn-Ju. Er1 outre, d'aprés ce qui précède, {D"pju,n} converge vers Dm-3u dans CO,'(0) pour tout X < j N / p . Ori en déduit que, pour tout X < j N / p , {uTL}tend vers u dans CT-'"(R). Par conséquent, il en résulte la compacité de l'injection de W"J'( O) dans Cb"" (O). et ceci pour tout 1-1 < j - N/p. O -
-
Preuve du lemme 2.85. Soit Q E ]O, l [ tel que p = QX. Soit { u ~ ( une ~ ) }sous-suite de { u n } qui converge dans C(2). Pour tout couple ( n ,m ) d'indices, posons : 4L,"
= I('Ua(n)
-
% ( m ) ) ( x+ h )
-
ba(7)
-%)(.I
2.5. TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT C’
103
On a : d,,,, = d:,mdA;A. Grâce à la convergence de { u ~ ( dans ~ ) }C(a)), on peut choisir no assez grand et ho > O assez petit pour que, si n, m 3 n o et si z et 5 h sont dans R avec Ihl < ho, on ait l’inégalité suivante :
+
1-8
d,,,,n =
+ h)
~ ( u o ( n) ?Ao(Tï,))(x
-
(uo(n)- uo(rn))(x)~(’~’) G
Alors, sous ces conditions : d,,,,,
< 2hex,.
Par conséquent :
Il,%
-
U,IICw’(n)
< 2E.
2.5. Trace sur la frontière d’un ouvert
C’
On rappelle qu’on a défini un ouvert C’-uniforme comme un ouvert de I R N , lipschitzien avec des fonctions a , de classe C1.Daris cette situation, on peut donner un sens à l’intégration sur chacune des portions de frontière U, = 812 n R,lesquelles constituent des sous-variétés de dimension N - 1 et de classe C1 dans l’espace EtN.Une telle sous-variété étant définie par une équation cartészenne z’ H x~ = a , ( ~ ’ ) où , a, est de classe C1 sur l’ouvert 0; de IRNp1, l’élément d’aire ( N - 1)-dimensionnelle sur Ut est donné par d a ( m ) = , / m ( m )drn. On rappelle qu’alors l’intégrale de f , fonction sornrnable dans U,, est définie par :
Daris cette section, on définit coninie dans le cas de ( I R N ) + , ou plus généralement d’un bord droit, la trace d’une fonction u dc W’,p(R) sur le bord de R. Plus précisément :
Théorème 2.86. Soit R un ouvert C1-uniforme dans I R N . Alors, il existe une application linéaire et continue yo, dite application trace, de W’J’(R) dans LP(dR)telle que si u E C(2) n W’J’(R), l’image yo(7~)est la fonction x tf ~ ( xbien ) définie sur X I . Pour voir que l’hypothèse d e classe C1 sur 12 est importante, nous donnons un exemple d’ouvert non de classe C’ pour lequel les fonctions de W’,P(Q) n’ont pas une restriction à 80 dans LP.
Exemple 2.87. Reprenons l’exemple 2.9. Soit la fonction u(x, y) = l / y 2 qui appartient à H 1 ( R ) , cet ouvert étant défini par IC = 1/6. Cette fonction est la restriction d’une fonction 71 définie, sauf au point n: = O, sur 2.Examinons l’appartenance de vlan à L2(dR).
104
CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION
L’appartenance indiqu6e a été prouvée dans l’exemple 2.9. Raisonnons sur la partie de dR qui s’identifie à l’arc r défini par : {x E [O, 11 I y = z1/6} ou encore à l’arc : {x = y6 1 y E [O,i]}. L’abscisse curviligne est &(y) = Ji+36t2“dt, donc J, ~ ( y Y ) ~ d s (diverge y) en O. I1 en résulte que cette restriction, ou trace, n’appartient pas à L2(dR).
Preuve du théorème 2.86. Bien que l’existence de la trace dans le cas d’un ouvert lipschitzien puisse se montrer de manière analogue au cas de WIJ’((RN)+), on propose de fournir une preuve qui fasse mieux apparaître l’importance des termes des définitions 2.65 et 2.66. 0 Supposons que u E Cm(R)nW1>p(R). En utilisant la partition de l’unité et les coordonnées locales, on commence par définir la trace de v, = p,u. Cette dernière, qui appartient à W1ip(R,) peut être prolongée par O hors de son support dans l’ouvert 0: x {XN > a,(z’)}. En utilisant le corollaire 2.19, on écrit pour n. > O entier et y > O l’égalité :
(*) v,(x’,&(z’)
+ 1/n) -v,(x’,a(X’) +
+y)
=
-
4,
dN(.~)(d,a,(z’)+t)dt.
Posons : u,(z’)= v,(.~?,u,(x’) l / n ) . On déduit de (*), que, pour tout couple ( n ,m ) d’entiers non nuls, on a :
En utilisant Holder dans cette inégalité puis, en élevant à la puissance p et en intégrant par rapport à z’ E O:, après avoir multiplié à gauche par l’élénient d’aire da,, on prouve que A,,,, = I/u, - u ~ ~ I / L ~ ( o ; , ~ ~ , ) O: --f
Ceci, en utilisant la condition 2.66, exprimant notamment que IVa,(x’)I est majoré. Lorsque p > 1 et lorsque n et m tendent vers +m, le membre de droite tend vers zéro, donc le membre de gauche aussi. Lorsque p = 1, le membre de droite tend encore vers zéro par définition des fonctions de L1. Dans tous les cas, la suite (un)est de Cauchy dans l’espace LP(O:,da,), espace de Lebesgne pour la mesure bornée da,, donc complet. Cette suite est donc convergente dans L p ( 0 : , da,) vers une fonction w,E LP(O:,da,).
2 . 5 . TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT
c1
105
De plus, il existe une sous-suite { 7 ~ ~ ( ~ de ~ ) }{ u n }qui converge p.p. dans (9: vers wz(.d). Or, dire que lirn(p,u)(z’,a(z’) l/(q(n)))existe p.p. revient à dire qu’on peut définir la fonction z’ H p,u(z’,a(z’))= w,(z’). Ce prolongement w, de y,u sur 80 n 0, est la trace cherchée. On pose donc yO(pzu)= w,. D’après ce qui précède, cette fonction est dans l’espace LP(Q:,da,), donc dans l’espace L p ( d 0 n 0%). De plus, par un passage à la limite dans (*) en prenant y assez grand pour que v,(z’, a,(lr’) g) = O, on obt ierit (2.89)
+
+
r i m
I1 s’agit maintenant de définir la trace de u par recollement. On définit yo(u) par you = E, yo(p,u). Cette sornnie est localenierit finie et, d’après la condition (1) de la définition (2.65), on peut conclure ii yo(u) E LP(df2).On peut montrer aussi que la trace ainsi définie rie dépend pas du choix des éléments de la définition (2.65). 0 Si nous supposons que u E c1(2), les arguments précédents peuvent être repris. En particulier, l’égalité (2.89) nous fournit y0(pzu)(2-’,n,(z’)) = (pzU(z’,uz(x’)). On en déduit que TOU est, alors, le prolongement par coritinuité de u ( c f définition de C ( n ) ) sur le bord 80. 0 I1 reste 2. prouver la continuité de l’application 7 0 . Pour cela, on fait ii partir de l’égalité (2.89) les mêmes calculs que pour aboutir à (2.88). On obtient : 0
G
l l ~ o ( ( ~ llLqo;,dlT) ~7~)
CJmwJiZ lI~N(WIIL.(n,).
On en déduit, grâce à la condition (3) de la définition 2.65 :
z
< C’ SUP{IIPzllcar lldNcp,llm)
Ilullw1p(n,).
2
z
À l’aide de la condition (2.66), on en déduit qu’il existe une constante C * , qui ne dépend pas des éléments de la définition (2.65), tels que : VU E
.(n). Pour u E W’,p(f2), on approche u grâce à la densité de la proposition 2.12 par
106
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION
u, E Cm(R)nW',P(R).La forniule (2.89) donne finalement, par passage à la +O0 limite you = - JO d ~ ( ' p ~ u ) a( ,z( 'z ,' ) + t ) d t et il en résulte que ?ou, + you dans Lp(dR n 0%). On justifie airisi la continuité, à savoir : v u E W?
lIYoullLP(an)
G IIullwl>P(n).
O
Remarque 2.90. On peut normer l'espace image de l'application trace sans le caractériser exactement, comme ce sera fait dans le chapitre 3, en utilisant la norme induite. Soit 11, qui est la trace d'une fonction U E W'>p(R) sur le bord do. Posons : (2.91)
lllu'li
=
inf I I U I I w 1.71 (a) . {UEU'l.P(n)Ju=Ulan}
Ceci définit bien une norme, qui fait de l'espace image ?o(W',p(R)) un espace de Banach. En effet, soient u et v dans ro(W',p(R)) et U et V dans W'>p(R),telles que U = u,V = v sur ûR et teIIes que :
llull G III~III+ Alors U
et
11Vtl G Illvlll
+E.
+ V = u + I I sur dR et : Illu + v111 G
/lu+ VI1
IlUll + IlVll G
l l l ~ l l+l IIlvIII + 2 E ,
ce qui termine la preuve de la sous-additivité. La démonstration des autres axiomes, puis celle de la complétude, sont laissées au lecteur. On termine ce chapitre en revenant sur la caractérisation de l'espace
w,"P(o)lorsque R est C'
:
Théorème 2.92. Soit R un ouvert d e classe C l . Alors les propositions suivantes sont équivalentes : (1) u E W,'JyR). ( 2 ) (seulement s i p 'p E D(IRN), on ait :
> i) II existe une constante C telle que, quel que soit
l&'p)(+Z
6 CllwlL. ~ ( I R ~ ) . (4) La trace de u sur dR est nulle, soit
TOU = O .
2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2
107
Preuve du théorème 2.92.
Notons que l’implication 1 + 2 est toujours vraie (sans hypothèse sur l’ouvert et sans hypothèse sur p ) . 0 Montrons cette implication. En effet, soit 11, E W,”(R) et ( u n )E D(f2) qui converge vers u dans WlJ’(O). On a :
1.h
1-
un(z)at(p)(:E)dzl=
.h
a i u n ( z ) p ( z ) d z lIIvunIILp ~ ilpiiLp’.
On en déduit le résultat par passage à la limite. 0 11 est clair que 2 + 3 , car si ‘p E D ( R ~ )on , a :
et, en utilisant 2, on obtient que, si p > 1, alors ’Ü E W1>”(RN). 0 L’implication 3 + 4 est claire par unicité de la trace. 0 Montrons que 4 + 1. On se ramène à montrer que si u = O sur a R , on peut approcher up, par des fonctions de D ( 0 ) . Pour ce faire, on définit :
+
‘1
un,% =x up, x , -al(x’) .%N - - . ‘ n Les fonctions un,%sont dans W1>P(b2)à support compact. La suite converge vers u(pL dans WlJ’(IRN), donc elle converge vers up, dans W’J’(62). En régularisant ensuite par une fonction convenable, on obtient que u E W,,” (R). O
-(
2.6. Exercices sur le chapitre 2
Exercice [*]2.1(sur la complétude de l’espace de Sobolev H’(0)). Soit R un ouvert de RN.Rappeler la définition de H1(R). Montrer que
définit un produit scalaire sur l’espace H1(R). Montrer que H1(R) est un espace de Hilbert. Indzcations. Soit { u ~ } une ~ ~suite ~ Nde Cauchy dans H1(R). On montre que la suite des dérivées { 3 3 ~ nconverge } dans L2 vers uJ E L 2 . On montre ensuite que ces fonctions sont les dérivées distributionnelles de u = lim uT,. Enfin, on termine.
Exercice 2.2 (sur la construction d’une partition de l’unité). On dit qu’un recouvrement{Rk} de R est plus fin que le recouvrement {Rj} si, pour tout IC, il existe j tel que 0; c R j . On dit que le recouvrement {Qj} est localement fini si tout z appartenant à possède un voisinage ne rencontrant qu’un nonibre fini d’ouverts de la famille {Rj}.
108
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION
(1) Soit un recouvrement ouvert {a,} de l’ouvert R de IRN. Montrer qu’on peut trouver un recouvrement ouvert {Rl,} de R, localenient fini, plus firi que {Rj} et formé d’ensembles relativement compacts. (2) Soit un recouvrement { R j } constitué d’ouverts relativement conipacts. Prouver qu’il existe rj E D ( 0 , ) tel que rj 3 O et yj = 1 sur Ri. À l’aide de ces fonctions, construire une partition de l’unité associée au recouvrement donné. Dans le cas général, on utilisera le recouvrement ouvert de R , plus firi que et formé d’ensembles relativement compacts fourni par la question (1).
{a,},
Indications. Pour ( l ) ,on utilise une suite croissante compacts, recouvrant R et tels que :
{Uk}
d’ouverts relativement
-
UO
0,
uk c u k + l .
On utilise ensuite la compacité de pour trouver un recouvrement de ce compact par des Ur, en nombre fini. I1 est facile d’en déduire iin recouvrement de R possédant les propriétés requises. Pour ( 2 ) , à savoir la construction de y3, on pose K = Soit un voisinage V de O et un voisinage U compact tel que U + U c V (on prouvera l’existence de U ) . Soit une fonction régularisante pE ( c f . section 1.4.2) de support inclus dans U et soit x la fonction indicat,rice de K + U + U . On prend alors -yJ = y, * p E . La somme y = étant localement finie, on peut définir cette somme en chaque point de R et, par division, obtenir les fonctions d’une partition. Vérifier.
T.
Exercice [*]2.3(sur l’absolue continuité des fonctions d’un espace de Sobolev (cf. remarque 2.4)). La definition d’une fonction absolument continue (AC) a été donnée dans l’exercice 1.29. Pour deux fonctions AC sur un intervalle I , le produit U V est aussi AC et on a, pour tout [a,b] c I , la formule d’intégration par parties, où u et ’u sont les dérivées p.p. de U et V : (2.93)
I”
U ( t ) v ( t ) d t= U ( b ) V ( b ) U ( a ) V ( u )-
Soit u définie p.p. daris un ouvert R
~
c IR2.
.I*
V(t)u(t)dt.
(1) Soit R c R2.Soit u E W’>p(R) avec p 3 2 . On désigne par [azu]ia fonction de LP qui est égale à la dérivée de u par rapport à x au sens des distributions. On peut recouvrir R par des carrés Cj et poser vJ = $j-. où +j E D ( C j ) et $j = 1 sur R. On prolonge vj par O hors de Cj. Soit v définie sur R par v = Cvj Dans l’argumentation on raisonnera sur une fonction vj que l’on note v pour simplifier. Montrer que 11 E Lp(R). On définit v* par w*(x) = J!”,[&v](t,y)dt, pour tout y tel que S , \[alv](t,y)Idt< +CO. En déduire que v = w* p.p. et que, sur presque toutes les parallèles à Ox,la fonction IL est dérivable p.p. avec p l u ] = diu p.p.
2 . ü . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2
109
(2) Soit u E L:clc(0), absolunierit continue sur presque toutes les parallèles à Ox et telle que sa dérivée p.p. d,,u est dans U’(Q). Montrer que [3,;uI = 8 Z i U P.P. ( 3 ) Soit u E TV1)’(i2). On suppose que [ T , Z h] E O. Montrer que la dérivée de u : t H u,(x t h ) exist,e p.p. sur ]O, i[ et que dv/dt ( x + t h ) = il
’
VU(%
+ th).
+
+
Indications. Pour (2), il suffit d’intégrer par parties l’intégrale J,, pazludz. Pour (3), on utilise une décomposition de v(t’)- ~ ( ten) somme de différences di1 type U ( Z + t’h) - u(zi t’hi, z2 + t’hî, . . . ,z N - i + t ’ h N - 1 ~ZN + t h N ) et, pour chacune de ces différences,on écrit qu’elle est l’intégrale sur un certain intervalle d’une dérivée partielle. Le passage à la limite utilise la continuité d’une intégrale de Lebesgue par rapport à ses bornes.
+
Exercice [*]2.4(sur le (1,p)-prolongementdans le cas d’un intervalle de R). Soit u E W’J’(]O, +no[). On prolonge u sur ] - m’O[ par U ( Z ) = u - z ) . Montrer que u ainsi prolongée est xiti élément de W’J’(R). Soit u E W1,P(l) oii I = lu, b[. Montrer qu’on peut prolonger IL en un élément de WIJ)(R). I
Indzcatzons. On établit d’abord que
W’,*’(] - o o , O [ ) en montrant que (Ci)’ = -u’
Exercice 2.5 (produit de fonctions dans IV’i”(R) et lV’>‘I(R)). On considère un ouvert lipschitzien O de R ~Soient . p < N , y < N , et i / s = i / p + 1/q - I/N. Montrer que si %1 E W ’ , p ( Q ) et I I E W’>q(n),alors uu € W y Q ) . h~dzcatzoris.On utilise le théorèrnc de Sobolev 2.31 pour des exposants convenables et l’inégalité de Holder.
Exercice 2.6 (exemple d’ouvert non lipschitzien). Soit R = {O < .c < 1, O < I/ < T ‘ } . Montrer que la fonction .x H x-l appartient A H1(Q) et qu’elle n’appartient pas à L5(R). Conclure. Exercice [*]2.7(injection dans un espace de fonctions holdériennes qui est non compacte). S o i t p > N . Prouver que l’injection de WIJfB(O,l))dans Cb’l-N’p(B(O,1)) n’est pas compacte. Pour cela, soit F E D ( B ( O , l ) ) .telle qiie F 3 O ct F ( T ) = 1. Montrer que la suite FTL(z) = nPltN/”F(nz)tend vers O daris tous les espaces Cb”(B(O.1)) et a une norme constante @galeà 1 dans C:’’-N’p. Conclure. bUPI,I.((R~)+) et U P E W”p((RN)-). On
110
CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORQMES D'INJECTION
définit
u+(z) si 5 E ( R ~ ) + , u - ( x ) si
2
E
(EtN)-.
Montrer que U E W ' > p ( R Nsi) et seulement si -you+ = y-u- sur
RN-'.
Exercice 2.9 (inégalité de Poincaré généralisée). Soit R un domaine borné de RN,lipschitzien. Soit p E [I,+a[, et soit N une semi-norme continue sur W 1 > ~ ( R qui ) est une norme sur les constantes. Montrer qu'il existe une constante C > O qui ne dépend que de R, N , p telle que :
Appliquer ce résultat à N ( u )= J,, lu(z)ldz,où R est un ouvert C1 et est une partie de 80 de mesure de Lebesgue ( N - 1)-dimensionnelle strictement positive. Indications. On suppose par l'absurde qu'il existe une suite { u r L telle } que
-
En normalisant c'est-à-dire en considérant wn = U llwnlIwl&yn)= 1,
N(wn)
O,
-
,(IIU~~I/~~,~(~))-', IlvwnIlP
:
on obtient
:
0.
En utilisant la bornitude de R et la relative compacité dans L p de { w r L }en , déduire une contradiction.
Exercice 2.10 (fonction de R dans RN dont le tenseur des contraintes est dans LP(fi)). On considère l'espace (cf. chapitre 6) :
X,(R)
=
{u E LP(R,RN) I Y((i,j) E [1,NI2, & 2 3 ( u=) $(a3u2+ a 2 u j )E L y q }
où p E Il, +CO[. On admet (ce sera montré au chapitre 7) que, si 0 est un ouvert borné lipschitzieri de IRN, alors W l i p ( s 2 , IRN) coïncide avec cet espace lorsque p > 1 et, plus précisérnment, il existe C > O telle que pour toute u E W'>p(R,RN),on ait
(1) Montrer que X P ( n ) ,niuni de la norme
est un espace de Banach.
2.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 2
111
(2) Les dérivées étant prises au sens des distributions, on remarque : d,(~,k)(u) - a,(&,k)(u). Montrer que l’ensemble noté R des fonctions de W1,P qui sont telles que E(.) = O sont les déplacements rigides, à savoir u = A B ( z ) , où A est un vecteur constant et B une matrice aritisymétrique. Déterminer la dimension de R. (3) On considère une semi-norme ni sur W1-p qui est une norme sur les déplacements rigides. Montrer qu’il existe une constante G > O telle que : U , , ~ ~=C &(E,)(u)
+
+
v u E W’JyO), Exercice 2.11 (meilleure constante pour l’injection de W1,p(RN) dans Lk (RN)). Soit p < N et k N p / ( N - p ) . On sait qu’il existe deux constantes Cl et Cz telles que :
1, la suite = u(z/X). En déduire :
UA(.)
II7LXllk
< X-l+N’p-N/k
ci IIV~llP+ c2x- N / k.+ N / p
IluIlP.
À partir de là, montrer qu’il existe une constante meilleure que Ci.
Exercice 2.12 (fonction dont une dérivée est dans L’, l’autre dans L2). Soit Xo’z l’adhérence des fonctions de D(R2)pourla norme IdluIl +l&,u/2. Montrer que X i ’ z L4(R2). ~f
Indications. On écrit, lorsque u est une fonction régulière u 4 ( a , m )= u3(z1,z2)u(z1,s2).
On utilise ensuite
puis
:
:
:
112
CHAPITRE 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION
Enfin, on utilise la formule de Fubini et Holder comme suit
.IS,
luj4dz1dz2 6
6
:
(p(z1)~(~1)h(~2)dzid22 llPll2 114,112llhll 1
Conclure.
sur un intervalle). Exercice [*]2.13(majoration de u,élément de Soit u E Wi”(]O,l[).Montrer que : ~ ~ u1 /~2 \ ~ u m ’Montrer ~ ~ ~ . que cette inégalité est la meilleure possible.
P ( I )peut se prolonger en une fonction continue sur 7. ( 3 ) Au cours de cette question, on utilisera la propriété W1>”(Iw)= w,””(R). Soit u une fonction de classe c1 sur IR à support compact. On pose w = ( u ~ P ~ ~Montrer u . que w est de classe C1 à support compact et que v’ = ~ / u l P - ~ uEn ’ . utilisant l’égalité ~ ( x=) v’(t)dt,montrer qu’il existe une constante C telle que :
ST”,
< cllullw~.P(R).
v x E R, lu(.)I
Eri déduire que W’J’(R) s’injecte continûment dans Lm (IR). Montrer que la constante C peut être choisie indépendante de p . Montrer que le résultat est encore vrai lorsque l’intervalle I est borné. Indications. (1) Si 7~ E W 1 , p ( I l’exercice ), 1.29 fournit les propriétés. Rkiproquemerit, on se sert de l’intégration par parties pour prouver que :
([ulI1cp)
Vcp,
=
(bI1,P).
(2) Comme u/ est somrnable sur I , u est AC sur 7 , d’où la continuité sur 7. (3) À partir de l’indication donnée, on majore Iu(z)I au moyen de Holder par ~ ‘ / ~ l l u I I pI I /U ~’ I ‘I ~ / ~ , d’où le résultat en utilisant p 1 l P < e et l’inégalité de convexité
On achève avec la densité des fonctions continues à support compact. Dans le cas où I est borné, on utilise ?L(.T)
= u(z0)
+
%L/(t)dt.
[* I
Exercice 2.16 (résolution de problèmes aux limites sur un intervalle). Soit I = ]O, l[.I1 s’agit, f E L 2 ( I )étant donnée, de trouver u soliition en un certain sens de
i
4’+ u = f’
u ( O ) = u(1).
(1) On suppose que TU E C2(7) n H t ( I ) et vérifie (*). On multiplie (*) par une fonction w E H A ( I ) et on intègre sur I en utilisant des intégrations par parties. Montrer qu’alors, en désignant le produit scalaire dans HA ( I ) par (.I.), on a : vuE
mQ),
(uIw)H1(I) = ( f J ) P ( I ) .
Réciproquement, montrer que si u E H i ( I ) vérifie cette relation, alors u est solution du problème u” étant prise au sens des distributions. En montrant ensuite que w H f ( t ) v ( t ) d tdéfinit un élément du dual de H i (1)’ montrer l’existence et l’unicité d’une solution au problème doriné
s,
114
CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION
dans H i ( 1 ) (on utilisera le théorème de Riesz pour un espace de Hilbert). Montrer que cette solution est dans H 2 ( 1 ) et que, si f E C ( 1 ) , alors la solution est dans C 2 ( 1 ) . ( 2 ) En utilisant, par exemple, la solution élémentaire de u” u = O sur IR+, ou encore la méthode de variation des constantes, déterminer explicitement cette solution à l’aide d’intégrales portant sur la fonction f. ~
Exercice 2.17 (relations entre /IVullLzet
I~u/TIIL.L).
(1) Soit u E C,(RN)avec N 3 3. En calculant :
T-I
IVu+ ( N - 2) u ( x ) 2 2 r2
en intégrant ensuite sur
’
IR^ et enfin, en effectuant sur le terme
une intégration par parties, montrer que :
(2) En déduire que si N 3 3, on a l’implication u E H1 + u/lxl E L 2 . Montrer que ce résultat n’est pas vrai pour N = 2.
Exercice 2.18 (généralisation de l’exercice précédent). (1) Montrer que si u E W1,p(IRN),N > p et p > 1, p < CO alors, u/lxl E L P . Pour ce faire, on montrera l’inégalité de convexité (où l / p + i/p’ = 1) :
( 2 ) Appliquer cette inégalité aux expressions vectorielles Y = Vu et
En intégrant par parties le terme
JRN I U I P - ~ U ? ‘ / T P .
V u d x , en déduire que :
Indecatzons. Pour la convexité, on utilise f ( z ) = lzlp qui admet pour dérivée p l ~ l ~ - d’où ~ z , l’inégalité f(z y) 3 f(z) D f ( z ). y.
+
+
Exercice [**I 2.19 (solutions élémentaires du laplacien). Montrer qu’il existe une constante ka telle que, au sens des distributions, dans IR2, A ( 1 n J m ) = k2So. Montrer que, dans I R N , avec N > 2 , A ( r Z p N= ) k ~ 6 où 0 k N s’exprime simplement à l’aide de l’aire W N - ~ de la sphère unité de IRN. On utilisera des calculs élémentaires d‘intégrales
2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2
115
dans les cas N = 2 et N = 3 et, pour le cas général, on utilisera le second t héorèrrie de Green Indications. (1) On montre d'abord qu'au sens des fonctions et en dehors de l'origine, on a : i),[lnr] = z / r 2 et Ov[lnr] = y / r 2 . Montrer ensuite que ces fonctions sont localement somrnables. En utilisant enfin la fonction $(Y, e) = p(r cos O,r sin e), la
formule
:
a,p et la formule analogue pour
= cos 0
'py, on
a+
sin8
I
__ de$!?,
r
aboutira à
+ 3y+)
(3,;
-
:
= 27rp(O)
(2) On suppose N = 3 . On montre que les trois dérivées de u = localement somrnables et en déduire que :
(Au,$!?)= -
7-l
sont
r-3[23~p+y3yp+zdZp]dzd:ydz. L
3
Le passage en coordonnées polaires étant défini par z = rcos -1. Cette même condition permet d'écrire la deuxième intégrale, sous la forme :
+
Elle est donc aussi convergente puisque : résumé J ( v ) existe si û. > 1 - 2 / p .
(cy
- 1)p - ( a - i ) p - 2 = -2. En
3.1.2. Définition d'un espace de Sobolev fractionnaire. Exemples
DéJinition 3.3. Soit un réel p > 1 et un entier N 3 2. L'espace de Sobolev W'-l/pJ'(RN-l) est le sous-espace de L p ( R N - l ) caractérisé par : (3.4)
W1-1/p'yIWN-1) =
Théorème 3.5. L'espace
{.
E Lp(RN-1
W'-'/P,p(RN-'),
muni de la 'norme
est un espace de Banach. La preuve de ce théorème sera donnée au chapitre suivant dans le cadre d'espaces fractionnaires plus généraux et pour un ouvert R quelconque en place de De la mérrie façon, on définit pour 0 un ouvert de IRN-' :
On commence par étudier deux exemples simples en dimension 1.
Exemple 3.7. On étudie l'appartenance de z H u(x)= l n x , pour tout réel p tel que 1 < p 2, à l'espace W ~ - ' ~ P > P (i[). ]O, Pour 1 < p , on a u E L p ( ( ] O , l[).On étudie la finitude de :
120
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV
Eri utilisant la variable t
= y/z
et la, forniule de Fubirii, on a :
Pour p < 2, la fonction t H 1 IntJ*/jI - t J P est continue sur ] O , I ] , intégrable au point t = O, ainsi que 2 l - P ; la première intégrale du second membre est donc corivcrgente. La deuxième intégrale, qui s'écrit alors :
est convergente puisque, d'une part, si t + $00, la fonction est majorée par KI lntl"/t2 et que, d'autre part, on a I lntl 11 - tl quarid t + 1. Pour p=2, J est supérieure à la première intégrale, laquelle est égale à +cc. On en déduit : N
E w 1 - l / P , P (]O, 1[) u 1 < p < 2.
Exemple 3.8. On suppose p > 1. On veut montrer que, si ( a - 1)p > -2, alors z H zol n z est dans W 1 - ' l P I P ( ] O , l[). La condition pour que u ( x ) = zal n z soit dans L p ( ( ] O ,1[)s'écrit
(*)
clip
> -1.
+ b l ~< 2 P - ' ( l u l P + / b l p ) appliquée à ia décomposition lxa l n z - yQ lnyl = /z"(lnz lny) + lny(z" y")l,
L'inégalité la
-
nous montre que l'appartenance de u à l'espace quée par la finitude des deux intégrales :
-
W~-'/P>P(]O,
i[)est irnpli-
Par des calculs analogues à ceux de l'exemple précédent, on voit que la première intégrale I est finie s'il en est ainsi pour les deux intégrales :
+
C'est le cas pour II si (cy - 1 ) p 1 > -1 ou a p > p - 2 , condition qui entraîne (*). Sous cette mêriie condition, l'intégrant de la deuxième intégrale I,, transformée par Fubini, est équivalent en f c c à I l ~ i t l P / t " p + ~ .On en déduit sa convergence puisque cyp 2 > 1. Donc :
+
I < m Ic u p > p - 2 .
De même, la deuxième intégrale J est finie s’il en est de même pour les intégrales suivantes, où on a posé /3 = p a - p 1 :
+
L’intégrale J I se comporte comme J ( u ) dans l’exeniple 3.1. Elle converge si a p > p - 2 quel que soit le signe de a . D’autre part, comme ,4 > 1, la fonction z H x’l lriz/P est dominée par z H z7 pour tout y tel que 1 < y < /3, lorsque J: < 1. Par suite, sa primitive au point 1/t est dominée par I ( t - l - 7 et il en résulte que l’intégrant de Jz est dominé cn fcc par t-((’-”)P+yf1), ce qui prouve l’existence de J2. On en deduit le résultat aniioncé. 3.1.3. Caractérisation de la trace de u E W1i”(RNpl x
R+)
On montre maintenant le résultat :
Théorème 3.9. Soat N 3 2. Alors 1 ’amuge de 1 ’upplacutaon truce yo satasfaat à : y o ( W y R N - 1 x ]O,
+Ca[))
=
Wl-l/pJpN-’).
On prouve tout d’abord le théorème pour N = 2 , après quoi, on passera au cas général. Preuve du th6ori.me 3.9 pour N = 2 . O Montrons, pour cornmericer, que : Wl-l/”’”(R)
-
yo(Wl,”(R x ]O, +oo[)).
Soit donc u E W1pi/P,P(R).Soit cp une fonction de D(R) telle que cp(0) = 1. La fonction u étant daris LP(R),on peut définir la fonction u par : (3.10)
La fonction O est nulle pour /ti assez grand. Montrons que O E LP(R x]O, +co[). Par l’inégalité de Holder, appliquée à l’intégrale définissant le menibre de droite de (3.10))’on a :
En utilisant Fubini, cette dernière intégrale se majore par :
s’/
/cp”(t)l;
O
R
lu(X)l”dXdsdt =
JO
+m
Cette dernière intégrale est finie, d’où le résultat.
l p l ” ( t ) d t / lu(z)lPdz. R
122
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
On montre maintenant que v est une fonction de WIJ’(IR x IRf). On calcule donc les dérivées de v par rapport à 2 et t. On a :
+
u(x t ) - u(x) Y(t). t En rentrant u(x+ t ) dans l’intégrale portant sur z,on a également (3.11)
d,v(x,t ) =
d,v(x,t)=
9 l(u(z + + + + JTI t )- u(z
1
t )- u(z t z ) dz t
u(2
= P(t)
D’après la définition de
W1-l/P>P(IR),on
y h’ + y JTI
z))dz
+
u(2
~
t
u(z
a, en posant t = y
-
:
+ s)ds
+ s)ds
x
:
Ceci prouve que d,v E LP(R x ]O, t o o [ ) . En remplaçant y par y’ dans la définition de v, on voit aussi par les calculs précédents que :
I1 reste à montrer que f E LP(R x ]O,+m[). En fait, on montre que f E L”(R2). En utilisant d’abord l’inégalité de Holder, on obtient :
+
+
Faisons le changement de variables X = z t z , T = x t dont le jacobien est IdX A dT1 = /z- 11 Idz A dtl. En utilisant Iz 11 < 1, p > 1, on a 11 - zit’ 3 I(1 - z ) t l p = IX - T I P d’où : ~
G
cll~ll;l-
* / P > P ( ~ ) .
À présent que l’on a prouvé que u E W’>P(IRx ]O, +CO[), il reste à montrer que you = u,autrement dit, que limt,o+ Ilv(., t ) - uIILP(R) = O. Pour cela, écrivons : rl
+
[u(2 t z ) - u(2)ldz
u ( x ,t ) - u(x)= p(t) 10
+ (y(t)
-
l)u(z).
3 . 1 . ESPACES
IV-’’“”(IWN-l ), POUR
En tenant compte de limt,o[cp(t) ramène à :
-
p
>1
123
l ] ( ( u (= ( , O, la propriété à prouver se
Or, cela revient après l’application de la formule de Holder, puis de celle de Fubini, à utiliser la propriété de continuité de la translation dans LP, à savoir limb-0 I I T ~ U - ulIp = O. On a ainsi prouvé l’égaliti: : yo(w) = u. Ceci termine la démonstration d’une inclusion pour N = 2. Inversement, on veut montrer que si u E W’>”(IW x ]O, +CO[), sa trace appartient à w ~ - ’ / P > P ( I wx {O}). Pour cela, on utilise le leninie :
Lemme 3.14. Soient v un réel e t f une fonction de ]O, +m[ dans R. On suppose que O < u l / p = O < 1 et 1 < p < +m. Alors :
+
(i) Si l’application t par :
H
t ” f ( t ) appartient à L P ( ] O , +CO[) et si y est définie
(3.15)
alors l’application t H t”g(t) appartient à LP(]O,+m[).D e plus, il existe une constante C(p,u ) qui n e dépend que de p et de u , telle que : (3.16) (ii) Soit C Y , /3 E k avec CY < p, f définie sur]O,+m[ x ] a ,/3[, et y définie sur ]O, +CO[ x ] a ,p [ par :
a[),
Alors, si tuf E LP(]û,+CO[ x ] a , o n a : t u g E D’(Io, +CO[x ] C Y , ,û[) et il existe une constante c ( p , u ) n e dépendant que de p et v telle que : (3.17)
.cJO*
t y g ( t , z ) l p d t d x < c ( p ,v )
Lm
tupl f
( t ,s)lPdt dz.
Remarque 3.28. Le résultat s’étend dans (ii) au cas où la variable t est dans un intervalle ] a ,b[ à la place de ]O, +CO[. Remarque 3.29. On utilise ici le lemme seulement avec servant dans le chapitre suivant. Preuve du lemme 3.14. a Soit F définie pour x > O par : (3.20)
F(z)=
Ju’
f(s)ds.
u =
O ; le cas u
#O
124
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
On commence par remarquer que les hypothèses sur f entraînent que z1F(z)1P est bornée et terid vers O lorsque z tend vers O. En effet, si p > 1 :
d’où
4F(:x)IP6 Cllt”f(t)llLp(,O,%[). En particulier zlF(z)IP tend vers O quand
4F(z)IPG
1c
tend vers O et, en outre,
~/l~’fllP,P(]o,+~[)~
Ces remarques nous permettent de faire l’intégration par parties suivante :
pjF(”-2F(z)F’(z)zdz+ M p ( M ) y .
Or : rz
F ’ ( z ) = (. - 1)z”-2 J, f ( t ) d t
(3.21)
+ .”-lf(z).
D’où :
z F ’ ( x ) = (v - l ) F ( z )+ z U f ( z ) . On obtient : (3.22)
1“
IFl”(z)dz = -p(.
M -
1)
IFIP(2)dz
d’où
ce qui ent,raîne,en utilisant les notations suivantes Xm1 = et a! = / l t ” f ( t ) l l L P ( ] O , + m [ )
hf I/” (JO IF(x)I”) dz
3.1. ESPACES W‘-l’p,r’(RN-’),
POUR p
>
1
par l’inégalité de convexité de la fonction s H I x j P . Or1 en déduit
XI,
125
:
< C(P, V)QP.
Finalement :
Pour la preuve de (ii), on calque la démonstration sur la précédente en fixant 2, puis en intégrant par rapport & L . Le lernrne est ainsi prouvé. On rcvierit à la démonstration du théorème pour N = 2. Soit ‘II dans WIJ’(R x ] O , +m[) et u ( x ) = u(x,O). On peut découper l’intégrale sur R2 de la fonction lu(.) - u(y)IpIx - yl-P suivant les deux ensembles : {y > z} et {x > y}. I1 suffit d’etudier l’intégralc sur le domaine {y > x} : O
En élevant à la puissance p et en intégrant en z et y la première intégrale intervenant dans cette égalité, on obtient :
Définissons la fonction f ( S , ).
= d,7/
Alors, f E LP(R x ]O, +m[). Puisque quer le lemme 4.38, (ii) :
+
(x s / 2 , s / 2 ) ‘u
E W1,p(R x ]O, +m[)! on peut appli-
En faisant de rnème pour l’intégrale
SV-”:
2 2-Y
a,v (y - s / 2 , s / 2 ) d s ,
O
on obtient le résultat souhaité.
126
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
Dans le même temps, on a montré qu'il existe une constante C que : (3.23)
I I uI I
UT1
~
1/ P . P
(R)
G
cII I I w
I
TJ
> O telle
(WX I O, +Co [) '
ce qui montre la continuité de l'application trace dans cet espace.
Remarque 3.24. On donnera à la fin de ce chapitre une autre classe de relèvements plus appropriés aux problèmes liés aux traces d'ordre supérieur. L'avantage du relèvement précédent est de permettre des calculs plus explicites. Avant de passer au cas général, traitons un exemple
:
Exemple 3.25. On illustre le théorème démontré pour N = 2 à l'aide de 'Hp, la fonction ip étant un élément de D(R) valant 1 sur [-1/2,1/2] et 'H étant la fonction de Heaviside définie par :
On examine, lorsque I < p < 2, l'appartenance ' ~ Ep w ~ - ' ~ P > P ( I R ) . Pour calculer la semi-norme
on remarque que sa finitude équivaut à celle de la somme A, des intégrales sur les produits ] - 1/2,O[ x ]O, 1/2[ et ]O, 1/2[ x ] - 1/2,O[. On est ainsi ramené à montrer la finitude de :
+
La condition d'existence s'écrit donc -p 1 > -1 ou encore p < 2. On peut remarquer ainsi que p = 2 est un cas critique, dans la mesure où X p appartient à tous les W~-'/P~P(R) pour p < 2, et ceci malgré ia présence d'un point de discontinuité au point x = O, alors que cette même fonction n'est pas dans H'/2(R). On peut aussi, dans cet exemple, calculer la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l/p de 'Hp pour p E D(R) (cf. exercice 3.1). La preuve précédente montre l'existence d'un relèvement de 'Hp dans W'J'(R x ]O, +CO[). On peut aussi exhiber une fonction appartenant à l'espace W1,P(lR x ]O, +m[) dont la trace vaut 'Hp sur le bord IR x {O} sans utiliser la définition intrinsèque de H1I2(IW):
3.1. ESPACES W"/p.p(RN-l),
Soit, I L définie par :
u(x,y) =
{+ p(z)
POUR p
>1
127
< O et O < 11 < - 2 , si x < O et y > -x > O ,
si x
six >O.
Soit .i1, une fonction de D(R) qui vaut 1 sur {y = O}. Alors, .i1,(y)u(x,y) appartient à W1+'(R x ]O, +m[) et vaut 'Flp sur R x {O}, lorsque p E ] i , 2 [ .
Remarque 3.26. Lorsqu'une fonction présente une discontinuité en un point, sa dérivée au sens des distributions fait intervenir une distribution de Dirac qui ne peut donc s'identifier à une fonction. Ici, on a l'occasion de trouver des fonctions admettant des discontinuités de première espèce dont la dérivée ,fractionnaire est un élément d'un espace Lp pour p < 2 . Preuve du thkorème dans le cas général. O Nous aurons besoin du lemme suivant
Lemme 3.27. Les propriétés suivantes, pour un élément u d e LP(RK),sont équivalentes :
Preuve du corollaire. 0 On utilise le lemme en exprimant U
=
~ ~ u ~ ~ ~lorsque -l~q,q,
u E W 1 - l / p J ' ( R N ) En . utilisant l'inégalité de Holder, on a :
lu(x
+ tei)
-
u(x)lq
dt dx
128
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
Preuve du lemme 3.27. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E L P ( R K tel ) que, pour tout i,
On utilise, pour z et y des éléments de IRK, les notations suivantes : $ = xJe3+E,",,yJeJ = (z1, z2,. . . , L,, yz+l,. . . , Y K ) avec ZK = x et z o = y. On en déduit l'écriture suivante de u(y) - u ( x ) : h
a=K-l U(Y) -
4.)
[..($)
=
-
u(zT1)].
,=O
On peut donc majorer la puissance p-ième de la semi-nornie dans W1-l/p~p(RK)par la somme d'intégrales Co-' I? où :
I1 s'agit de majorer ces intégrales I,. Pour cela, en posant vJ = lxJ - y3I2 et q = ( p + K - 1)/2, on commence par encadrer le dénominateur (E,q j ) q . Par exemple en utilisant l'équivalence de normes en dimension finie, il existe des constantes Cl, C2, C,, C, ne dépendant que de p et K telles que :
Étudions, par exemple, l'intégrale I K - ~en commençant par intégrer partiellement en y1. En utilisant la parité en y1 - 21, les inégalités précédentes avec des constantes Ck lorsque K devient K - 1, et aussi une homothétie sur une variable d'intégration, on a, pour xi fixé, i E [1,KI et YK fixé :
3.1. ESPACES W’”’r’.7’(iWN-’),
POUR p
>1
129
+
Puisque p K > 2 on a 2q > 1 et, par conséquent, la dernière intégrale est convergente. On se retrouve ainsi en présence d’une inégalité :
où la constante Ml ne dépend que de p et de K . En inthgrarit cette inégalité par rapport à y2 . les mêmes calculs fourniront la majoration de l’intégrale partielle de I K - ~ en . y l , y 2 , par : 11.11M2
).(. I
A
- U(XK-i)/p
p+K-3‘ [&3
1x3 - y311
I1 en résulte, par récurrence, que l’intégration partielle en ( y i , y z , . . . dorine la majoration :
~
YK-1)
Par un dernier changement de variable, on aboutit à l’existence d’une constante c ne dépendant que dc p et de K telle qiie :
En tenant compte de l’hypothèse (ii), cela entraîne la finitude de 1 ~ ~ 1 On procède de la niêrrie manière avec les autres intégrales 1,.On a donc prouvé que (ii) implique (i), et aussi l’inégalité :
Inversement, montrons que (i) implique (ii). Ici encore nous utilisons un argument de récurrence sur les exposants des termes au dénominateur. Posons d’abord : O
+ .(.->IP lo,+m, PK .(.I
Ji
=JXK
tKeK) -
t
dt,dz.
Avec une notation différente, il s’agit là de l’intégrale qui figure dans la conclusion (ii). On la généralise par des intégrales Jk où le nuniérateur de l’intégrant est du type \u(x’)- u(x)I avec une différence
.
130
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
t,ej que l’on dit, ici, de longueur IC et t, 3 O, à savoir x’ - x = CKpk+, K
:
En utilisant la variable x - y dans l’intégrale exprimant la semi-norme de u dans W1”’PJ)(RK)et en se restreignant à des intégrations sur ]O, +00[,on voit que, par hypothèse, J K < 00. I1 en résulte que l’implication (i)+(ii) sera prouvée, pour i = K , si nous établissons que, pour tout k E [1,K - 11, on a l’implication : Jk+1
Supposons donc
Jk+1
< 00
=+
Jk
< 00.
< 00. Soit
Servons-nous de
On en déduit que JI, est majoré par
On procède maintenant à une majoration du numérateur en utilisant un point intermédiaire, noté x*,ii savoir Z* = x + t’eK-k + E E - k + l ( t 3 / 2 ) e 3 qui est situé entre 12: + t,e, et T et en utilisant aussi l’inégalité la + b l P 6 2 P - ‘ ( l a l P + lbl”). On minore les dénominateurs au moyen de t’ + E;-,+, t, 3 t’ + t,/2. E I ~écrivant ainsi :
xE-k+l
~E-,,,
3.1. ESPACES W”’”’”(R“-l),
011 obtient
JI, < 2p-l [ A+ BI, avec
POUR p
>I
131
:
Dans cette majoration, le numérateur de l’intégrant porte sur une différence
x’ - (1: de longueur I; et en tenant compte du contenu du dénominateur, on voit que cette majorante est l’intégrale J k + i . On en conclut que A < CO. Pour l’intégrale B , il noils faut transformer le riurnérateur pour qu’il apparaisse de la forme lu(y) - u(y’)/. y étant la variable d’intégration et la différence y - y’ étant aussi de longueur k . Pour cela. daris 1’iIltégrale B , effectuons la transformation définie par :
Le déterminant jacobien de cctte transformation est triangulaire, les ternies diagonaux étant égaux à 1. Donc, l’intégrale B est majorée par :
Cette dernière intégrale est du type JI,+^ ; elle est donc finie. Pour conclure, on a : Jk
< K ( A + B ) < 30.
Pour les autres intégrales
le raisonnerrient est le rnênie. L’équivalence entre (i) et (ii) est donc prouvée. En outre, on a obtenu qu’il existe une constante c’ ne dépendant que de K F t y telle que :
Cela achève de prouver l’équivalence des normes énoncée dans le lerrinie.
O
C H A P I T R E 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
132
0 Nous revenons ii la preuve du théorème 3.9 pour N > 2. Soit u dans W1-l/pJ’(RN-l) et soit t i définie pour t > O par :
(3.29)
où cp E D(R) avec p(0) = 1. Alors. liiiit,o Cela résulte en effet de :
t ) - ullp = O.
117~(.,
cp(t)(îL(Z
+
tZ) -
car, u etalit daris LI’ (cf. propriéte (2.64)). on a lim,,,o Il-rhu - ulIp = O. I1 faut vérifier ensuite que v E W1,p(RN).La dérivée par rapport à 2 , où 1 i N 1 apparaît. a p e s l’application de la formule de Fuhini et l’utilisation de la variable d’intégration .E, z,, comme une dérivation par rapport aux bornes. On obtient airisi :
<
) = cp(t)
- 742-1
+ 2,) dZ,.
En utilisant l’inégalité de Holder et uii cliarigenient dc variable 6, = t i , on it :
On integre ensuite par rapport k variable
(d, t)
--f
2’
(X’
ct t , puis
= IT’
011
fait le changeirieiit de
+ ti,, t),
ce qui doii~ie,eii utilisarit le lemme 3.27 et la formule de Fubiiii :
3 . 2 . CAS DU BORD D’UN OUVERT A U T R E Q U E RN-‘ x ]O, m [
On calcule maintenant &u(z’, t ) . On obtient
133
:
I1 est clair que la, fonction
appartient à LP(RN-’ x ]O, +CO[). II restc & rnoritrei qu’il en est de même pour les iritégrales :
En faisant le changerrierit de variable z = t Z , puis cri utilisant l’inégalité de Hdder, on obtient :
Eii intégrant par rapport A n.’ ct t . et eri faisant le changenicnt tic variable ( x ’ > t+ ) ( ~ ’ = ~ ’ + t ~ , ~ = f ( l - z , ) ) , o r i o b t i e n t d (~l ’- z~, d) d~. = d~dt, d’où, p i des riiajoratioris évidciitcs :
< CO. Ceci terriiiric la prciive du théorème 3.9.
O
3.2. Cas du bord d’un ouvert autre que R N p l x ]O, m[
Loisque R est lin ouvcrt C’, or1 a montré daris IC chapitre 2 l’existence d’une application tract A valeurs daris L”(df2). De iiiaiiière analogue A la
134
CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV
démarche précédente, on définit l’espace :
où d a désigne la densité superficielle sur 862. La propriété du théorème précédent possède l’extension suivante :
Proposition 3.31. Soit R un ouvert d e classe C1. Alors, l’image de l’application trace sur W1,P(R) satisfait ci : 7 0( W ’ ~ P
(0)
w1- ” p > p
(XI).
Preuve d e la proposition 3.31. 0 Soient u E W ’ > p ( f let ) , Ri, O:, Fi, ai et (pi coinine dans les définitioris 2.65 et 2.66 d’un ouvert de classe C1. Soit vi définie sur IRNp1 x]O, +coo[ par U i ( x ’ , x N ) = (p2u(x’, ai(x’) Z N ) .
+
I1 est facile de voir, en utilisarit le fait que ai est de classe C’ sur le compact Fi projection sur IRN-’ du support de y %que , vi E WL>p(RNp1 x ]O, +CO[). Par conséquent, grâce au théorème 3.9, la trace, notée yo’üi, de cette fonction de W1>p(RN-lx ]O, +mû[)est dans W1-l/pJ’(IRNP1). On va en déduire, en posarit, 2’= (z’, a t ( z ’ ) ) qiie , la fonction composée .;L, telle que G ( 2 ’ )= (p7u(2’)= ”y0~i(2’) est dans W1-’lp>p(dR n Q i ) . Notons I/G11?; sa serrii-riorine dans ce dernier espace. Pour la majorer, on utilise l’inégalité :
En utilisarit le prolongement par O hors de O:, la senii-norme la puissance p est égale à l’intégrale :
iiiilii:~, dont
fournit la majoration :
On a donc U, E W1-l/p.P(i3R). D’après le théorème 2.86, la trace ~ ~ ~ u ~ l la - l semi-riornie /p,p :
est définie par
E,lTt. En notant
3.3. TRACE DES FONCTIONS DE W'"(b2)
135
et en utilisant la proposition 2.68 et la continuité de l'application trace, on en déduit :
6
~"1
/ I V ~ T LP(n,nn) I / ~ ~
6 ~ ' " 1 1 ~ 1 1"(a). w1
1
Une partie de la proposition est ainsi démontrée. Inversement, supposons que u E LP(df2) et que la semi-norme I uli-l/P,P dans W1-'/p>*(dR) soit finie. Alors, pour tout i , iip,uili:p < 03 comme il est facile de le voir en utilisant le caractère lipschitzieii de p,. Posons, pour tout 5' E O:, 7 j a ( d ) = y,u(?'). En utilisant les inégalités
on obtient une inégalité de type inverse de (*), d'où l'on déduit que u, E
W1- 1 / P > P(p1). D'après le théorème 2.86, il existe donc V , E W ' J ' ( ( R N ) +à) support compact dans 0: x [O,S[ tel que I I , = yoV,. Soit alors, pour 5' E O; et X N E ] a , ( d ) , a , ( c ' ) S[, la fonction U, définie par U , ( X ' , X N= ) K ( d , -a,(d) z ~ ) Celle-ci . est définie sur R, n 62, vaut u, sur {ZN = a,(d)}et, en outre, Ut E W1,p(R, n 0 ) . Les calculs précédents montrent qu'il existe une constante C qui ne dépend que de XI,de p et de N , telle que :
+
+
llu~llwlp(n7nn)6
CI4-i/p,p.
Définissons U = E, U,. On a U ( d ,O) = E, U,(x', O) = E, p,u(d) = ~ ( z ' ) . D'autre part, U E W'>p(R),car, d'après la proposition 2.68 :
I I ~ I "(0) I ~ (n2,nc2) I~~ a
(3.32)
3.3. Trace des fonctions de W1>l(R) On traite maintenant le cas des traces des fonctions de W1>'(0). Ce qui suit peut être vu comme un prolongement du résultat précédent si on interprète la dérivée d'ordre 1 l / p = O comme étant la fonction elle-même. -
Théorème 3.33. Soit R un ouvert d e classe C1. Il existe une application linéaire continue et surjective, notée 70,qui envoie W1,' ( O ) dans L1(dR).
136
CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV
Cette trace coincide avec la restriction au bord d'une fonction lorsque u E wlJ(n)nc(2). E n outre il existe une constante C > O telle que, quel que soit II, E L1 (an), il existe U E W1il(fI) avec you = I L , et : I I ~ / l w l J ( nG) CllUIILl.
Preuve du théorème 3.33. O En utilisant le même procédé que pour les fonctions de W ' J ' ( 0 )on se ramène au cas où u est ti support compact dans (RN-l x [O, l[).On a alors, pour presque tout couple (s,t ) de réels strictement positifs, avec s < t pour fixer les idées :
Lorsque s et t tendent vers zéro, le membre de droite terid vers zéro. Or1 en déduit que u ( . , t ) est de Cauchy dans L1(IWN-') qui est complet. Soit you sa limite dans L1(pSN-'). I1 est facile de voir que l'application trace ainsi définie est continue. 0 Montrons que cette application est surjective sur L'(EtN-'). Soit donc 7~ dans L1(RNpl) et {uk} une suite de fonctions de classe C1 et à support compact, qui converge vers u dans L'(EtN-'). On peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que : (3.35) Soit alors
{ûk}
une suite de réels strictement positifs, telle que
:
Soit la suite de réels définie par :
(3.37)
t o = cal., tk+l = t k - N k
( v k > 1).
La suite { t k } tend vers O en décroissant strictement. On définit la fonction v, sur J R ~ - 'x ] ~t o, [ ,en posant, pour tout t E ]tk+l, t k [ et pour tout x' E R ~ : (3.38) En fait, v E W'>'(RN-' x ]O, t o [ ) . En effet, si j E [1,N t E]tk+l,tk[:
-
11, on a, pour tout
~
3.4. DENSITÉ D E C'(âR) DANS I&'-''" (80)
137
On en déduit :
La dérivée par rapport à t nous donne :
(3.39) Donc :
l(RNplx ]O,to[). Par le théorème de l'image ouverte, l'image par "io de la boule de centre O et de rayon 1 contient une boule B(O,rO) pour un TO > O. Alors, pour tout u E L1(8R), il existe U E Wl,' tel que
3.4. Densité de C'(3R) dans W1-'1pJ)(dO) 3.4.1. Densité dans W1-l/pJ'(ûR). Propriétés de l'application trace
Proposition 3.40. On suppose que R est un ouvert de classe Cl duns E t N . Alors C1(dR) n W1-l/p,p(dR) est dense duns W1-l/p>p(dR). Remarque 3.41. Nous pouvons établir ce résultat à partir de la définition de w ~ - ' / P ~ P ( ~ R~a ) . preuve est aiors analogue à celle donnée dans IC chapitre suivant pour EtNp' et Wsip, s E ]O, l [ étant quelconque. Nous avons choisi ici d'utiliser p ( d R ) ,ce qui termine.
On prouve égalenierit, dans le cas d'un ouvert de classe C', l'existence d'une fonction régulière à l'intérieur de R qui a la même trace que IL sur le bord :
Théorème 3.42. Soit R u n ouvert d e classe C'. Soit u E W ' > p ( O ) .Alors, il existe une suite {uTL}c Cm(n)nW1J'(!2) qui converge vers u duns W ' , p ( O ) et telle que -you, = -you sur XI.
Preuve du théorème 3.42. O Or1 reprend la construction dans la preuve de la proposition 2.12 du chapitre 2. On rappelle que
U E
=C P E J
* (P34
3
converge vers u dans W'>p(R) lorsque
E
tend vers O. Soit
N VN,E =
(PEJ
* ((P.74
~
9 3 4 .
O
Par définition UN,,est à support compact et elle converge dans W'>p(fl)vers u, - u lorsque N + +CO.On en déduit par la continuité de l'application trace que : ?O(U, -
u ) = o.
O
La proposition 3.40 et ce qui précède, permettent, eri particulier, d'établir des formules de Green généralisées qui sont des extensions de la formule de Green classique concernant les fonctions de classe C'. C'est l'objet de la sous-section suivante.
3.4.2. Généralisation de la formule de Green et applications Théorème 3.43 (formule de Green généralisée). Soit R un ouvert de classe C' duns R N . Soient U dans W ' > p ( O )et p E D ( I R N , R N ) Alors . :
3.4. DENSITÉ D E C ’ ( i X 2 ) DANS W ’ - ’ / p . p(ac2)
139
où d a est la densité superficielle sur di2 et où ?1 désigne la normale extérieure unitaire ù 80, les termes V u ( x ) . p ( x ) et p(s) . $(s) étant des produits scalaires de vecteurs dans R N et la divergence d e p étant dififinie par d i v p ( z ) = &(cpi)(z).
Preuve du théorème 3.43. Dans la situation présente où R est de classe C1, on connaît déjà cette formule lorsque u est de classe C’ sur 2.Soit u E W1,p(f2). Par la proposition 3.40, il existe une suite {un}de C1(n) n W’J’(R) qui converge vers u dans WlJ’(f2) avec, en outre, Y O U , you dans W’-llp>p(ûR). Par les convergences dzu,,pi + diupi dans L p ( 0 ) , on a J , Vu, . ‘p -+ ln V u . p. De même, le terme J, undiv p tend vers J, u div p. Enfin, en considérant les intégrales Jan((n)2piy~(u- u,,)da, on obtient, puisque lIy0(un - P L ) I I L ~ > ( ~ R ) + O, la convergence du ternie de bord i Jan u,(cp. n ) d a vers Jan you(p . n’)da. Cela établit le résultat. O -f
Autre preuve du théorème 3.43. Nous proposons ici de redémontrer ce résultat en reprenant les arguments de la preuve du théorènie classique de Green dans l’un des ouverts du recouvrement donné dans la définition 2.65 du caractere C’ de 62. 0 Les composantes upi de la fonction (up) appartiennent à W’,p(R), coniine on peut le voir en utilisant la définition de la dérivée de (upi) au sens des distributions. On peut supposer après changement de cartes, que, quel que soit i, upi E W1>p(Onf2)est à support compact dans O,où O est un ouvert de I W ~ tel , qu’il existe un ouvert O’ de I W ~ - ~et, a une fonction de classe C1 par morceaux et continue sur 0’ avec :
c {(z’,zN)I Z N > a ( z ’ ) , z’ t O } , O n df2 = {(d, u(x’)) 1 2’ E 0’). O nR
Dans le cas présent, la trace de upi sur le bord de O n 0 est nulle sauf sur O n ûR (arc r/lni’ sur la figure 3.1). Le terme de bord dans la formule se réduit donc à
LI
-f
u(z’,a(z’))p(z’,u(z’)). n (z)da(z’).
Notons que la normale extérieure unité à dR est définie par -f
n ( x )=
Par ailleurs, dc(z’) = Jl
-
t?N
+ I V U ( ~ ’dz’) ~et~ on en déduit :
ni(z’)da(z’)= ûia(z’) et
nN(x’)da(z’): -1.
140
CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
\
_.__
FIGURE 3 . 1 . La localisation en un point frontière.
On doit ainsi, pour chacune des composantes, montrer les formules
pour tout i
p(RN). 0 Inversement, supposons que G E WIJ’(RN). On désigne la distribution de Dirac de support ûR (cf. exemple 1.84) par S,,,, laquelle est une mesure. Le calcul précédent nous donne :
v’cp E D(RN,RN),
lc2 2.
p(z)yo(u - v ) ( z ) d a ( J )= 0.
Prenons pour p une fonction dont la seule composante non nulle est celle p~ E D ( R N )d’indice N . Alors, l’égalité précédente devient :
VP E D ( R N ) ,
(?“(TL
-
71)4,,1?NPN) =
0.
On en déduit que, comme fonction de LP(dO), on a : yo(u - v) = O, ce qui termine la prcuve. O
142
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
Corollaire 3.46. Soit R un ouvert de classe C ' . Alors :
W,'JyR) = {u I G E W 1 q P ) } , où
G est la prolongée par O
hors de R. O n a aussi
w,""(R)= { u t w'.P(R)
I you = O sur an).
3.4.3. Détermination de duaux d'espaces de Sobolev Dual de l'espace W'J'(C2).
Proposition 3.47. Soit 1 6 p < t o o . O n considère l'espace produit Lp(R)N+l muni de la norme /l.ullp = ~ ~ v J p ) l ' p .L'application J de W'ip(R) dans cet espace LP(f2)N+1, définie par :
(EO"
v u E W'Jyn),
J ( u ) = ( U , d ' U , d 2 U , . . . ,divu)
est une isométrie dont l'image Im J est un sous-espace f e r m é de Lp(R)N+l. Il en résulte que, si T E W'J'(fl)', alors o n a l'égalité :
Réciproquement, la formule précédente, où v E L P ' ( f l ) N + l , définit un élément T du dual d e W ' J ' ( 0 ) .La norme de la f o r m e linéaire T est alors : j J T l / ( ~ l= , ~inf{ll.ullpf ), I w satisfait ù (3.48)). Preuve de la proposition 3.47. La première affirmation concernant J est claire. Soit T un élément du dual de W'>p(R) et T * , défini sur Im J par T * ( J ( u ) ) T ( u ) .D'après le théorème de Hahn-Banach, T* se prolonge en une forme linéaire continue sur l'espace LP(R)N+', c'est-à-dire en un élément du dual de cet espace. I1 en résulte qu'il existe, pour O 6 i < N , v, E ~ ~ ' (tels 0 1que : N
v u E LP(fl)N+',
T * ( J ( u )= ) UP!O
+-y(&U,Ui) 1
En revenant à T, on obtient une affirmation de l'énoncé. La réciproque étant évidente, on a la caractérisation d'un élément du dual. Pour la norme, il faut remarquer que le ( N 1)-uplet (ui)oG2GN n'est pas nécessairement unique. Le prolongenierit précédent, qui conserve pour norme celle de T * ,nous fournit par l'inégalité de Holder :
+
N
llT(.)II
=
llT*(J(u))IlG
+
II~llPll~OIlP~
II~uiIlP'Il~Z~llP
3.4.DENSITÉ DE C ’ ( d a ) DANS W ’ - l ’ p ~ p ( X i )
143
1, on introduit l’espace WP‘(div) défini par WP’(div) = {O E Lp’(62)I div(a) E LP’(CI)}.
144
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
On définit aussi les espaces suivants :
R c RN de classe C l ,
Définition 3.50. Soient un ouvert l’exposant conjugué de p .
(I) Si p < N , on pose; pour q’
= Np/(Np- N
un réel p
> 1 et p’
+p ) :
W$(div) = { a E LP’(R,IRN) I div(a) E Lq’(R)}.
(3.51)
(2) Si p
> N , on pose
:
W t ( d i v ) = { a E LP’(62,RN)I div(a) E L1(R)}.
(3.52)
(3) Pour p = N , et pour
E
< i/(p
-
I), on pose :
Wf’(div) = { a E LP‘(R,RN)I div(a) E L1+E(62)}.
(3.53)
+
Ces espaces sont normés par ( ( ~ ( l ~= > ,( (~~ *( ( ~ c / ( d i v a ( ( q le- , nombre q* étant N p / ( N p - N p ) dans le premier cas, q* = 1 dans le deuxième cas et q* = 1 E dans le troisième cas. Alors, on a :
+
+
Théorème 3.54. O n suppose que R est u n ouvert d e classe C1 dans I R N . O n considère, pour tout a E W$(div), la forme linéaire S ( g ) définie par :
oc U est un relèvement de PI. dans W’J’(n).Alors, S ( a ) E W-l+l/P’~P’(o)O), dual d e W1-’/”J’(df2) et S est continue et surjective sur W$(div). E n fait, la forme S se prolonge d e façon continue, respectivement, à l’espace W: (div) si p < N , à l’espace Wf‘(div) si p > N et, pour E > O sufisamm e n t petit, à l’espace WF‘(div) si p = N . Remarque 3.55. En principe, dans ce qui précède, p > 1, niais on peut adapter les démonstrations qui suivent au cas p = 1 (cf. exercice 3.6). Dans ce cas où p
< N , on a p’
S(W$-(div))
-
= +cc
et q’ = N . On obtient alors :
L1(dR)’ = L“(dS1).
Preuve du théorème 3.54. On montre simultanément que S est continue sur W; (div) et sur les espaces W: suivant la position de p par rapport à N . 0 Supposons p < N . Montrons que le second membre de la définition de S ( a ) est bien défini. Cela résulte, d’une part, de a E LP’(R2) et, d’autre part, de la propriété, vraie si p < N (cf. théorème 2.31) U E Lq(R) où q = N p / ( N - p ) est l’exposant conjugué de q’. Par ailleurs, cette définition de S ( a ) est indépendante du choix du relèvement U . I1 suffit, pour le voir, de prouver que le second membre précédent est nul lorsque YOU = O.
3.4.DENSITÉ DE C’(d62) D A N S W1-l’p.J’ (an)
145
Or, YOU = O signifie (cf. corollaire 3.46) que U E W,’”(O). Ainsi, la cohérence annoncée résulte du fait que, lorsque U est daris D ( O ) , on a, par définition de la divergence au sens des distributions,
1,
+
1,
a(z) . ~ ~ ( : r * ) d z ~ ( xdiv) g(z) ùz = O.
(3.56)
En observant que toutes les quantités de cette égalité passent ù la limite, ce résultat reste vrai, en effet, par la densité des fonctions de D(f2) daris Wi,p(f2).I1 est évident que la forme S est linéaire. Pour la continuité de S , on utilise la continuité de l’injection de W’iP dans Lq et l’inégalité des normes (3.32) liant la fonction u à un de ses relèvements U . Cela nous doririe :
I(S(fl),U)I
< ll~IIL.II diva/lLd + I I ~ ~ I I L p I I ~ I I L ~ ~ < C l I I ~ l I W 1 , l ~diV~1ILd Il +ll~~llL~ll~llLP~ ClII~/IW’.p(R)Il~lil~~,4*
< CCl l l ~ ~ l l W 1 - l / ~ l ~ P ( n ~
I/gllp’,q*.
Cette inégalité nous montre la continuité de l’application S , sa norme satisfaisant à l’inégalité lllSlll CC1 l l ~ l l ~ ’ , ~ * . O Supposons p > N. On utilise la même définition de S ( a ) . Les éléments U appartiennent alors (cf. étape F dans la preuve du théorème 2.31) à L”(R). I1 en résulte que la définition de S ( o ) garde un sens puisque d i v a E L1(0). La cohérence de la définition‘ la linéarité et la continuité se démontrent coniine daris le cas précédent. O Enfin, dans le cas où N = p , le théorème 2.31 nous indique que U E Lq pour tout q 3 p . Puisque, par hypothèse a E WF’(div), on a a E Lp‘ et div a E LI+‘. Le gradient V U appartenant à L P , l’intégrale a ( z ). V U ( z ) d zest bien définie. D’autre part, puisque E l / ( p - 1), l’exposant conjugué q de 1 E vérifie : q = 1 l / 3~I>, ce qui implique que l’intégrale J, U ( z )div a ( z ) d zest égalernent finie. La première partie du théorème est donc prouvée. O On montre maintenant que S est surjective. Pour ce faire, soit f dans le dual Wp1+l/p’,p’(dR) de l’espace Wlp1lp>p(8R).On - définit f sur l’espace W’>p(O) en posant, pour tout U de cet espace ( f , U ) = ( f , ~ o U )Par . la continuité de l’application trace, on a :
ql 1 ’espace : W:(div)(R)
= {O E
LP(R,RN)I d i v e E Lq(R)}.
Alors D ( D , R N ) est dense dans W:(div)(R). Preuve de la proposataon 3.57. 0 On se donne O E W,P(div)(R). Soient O,, pz,O:,a, les 6léments intervenant dans la régularité C1 de R. Les fonctions vectorielles v, = apz,qui ont leur support borné dans A, = R, n R, appartiennent à W:(div)(A,) car P > q. En effet, on a d’abord < Ipzloollcllp.Par ailleurs, on a div(ap,) = pzdiv o+o.Vp,. Le premier terme appartient à LQ.En appliquant l’inégalité de Holder, avec les exposants t = p / q > 1 et t’ = t / ( t - 1)’ à l’intégrale SA,lo.Vp,1qdx, on obtient également l’appartenance du deuxième terme à L q . On est ainsi ramené à approcher up, par des fonctions de D(a’ IRN). Les fonctions p,e peuvent être prolongées à l’ouvert
et pzoappartient à W,”(div)(U,). L’ouvert U, étant étoilé par rapport à l’un de ses points noté 2, (cf. exercice 3.9)’ nous pouvons considérer la fonction 2 ++ hx(2) = 2 , X(2 - 2,). ) est un Pour X > 1, la fonction wz = op, O hX1 est définie dans h x ( A Lqui ouvert contenant strictement l’adhérence de A,. En utilisant les dilatations sur les distributions, (cf. [13, p. 1031) on a, pour tout j E [I’NI, l’égalité a,(w?) = +(a3w,) O hx1’ ce qui entraine que E W,P(div)(hx(A,)). D’autre part sa restriction à A, converge vers w, lorsque X tend vers 1.
+
3.4.DENSITÉ DE C’(8n)
(an)
DANS W’”’”
147
\
x \
\ \ \ \
\ \
.
At>:
FIGURE 3 . 2 . Utilisation des ouverts étoilés d’un recouvrement lipschitzieri.
Soit E: = d ( d R , 3 ( h ~ ( A , ) ) / 2A ,: = {x E h x ( A , ) I d(z,ûR) < E : } et p une fonction régularisarite. Alors la fonction p E ; * w> est définie sur A: et sa restriction à A, convergt’ vers w,, lorsque X tend vers 1, daris l’espace W:(div(A,). En multipliant p E ~ UJ? par une fonction appartenant à D(Ar) qui vaut I sur A, et en faisant ainsi sur chaque ouvert A,, la fonction E, ?,/j?(p,; wt) est une suite de D ( R N ) qui converge vers n dans W:(div(R)). U On ferait la merne démonstration dans les autres cas p 3 N .
+:
On applique ce résultat de densité & une extension de la formule de Green :
Proposition 3.58. Soit f l un ouvert de classe C1 de R N . Pour tout r E E , où E = W:‘(div) (resp. E = W: , E = Wf‘ s,uivant les ualew-s d e p ) , o n définit l’élément, noté r . du dual topologique d e WlP1/”>p(dl2),tel que : I
Cette formule constitue une extension de la .forrr~mled e Green car, lorsque r E v ( ~ , R ~La) forme , linéaire r . 3 coincide avec u cf J a n r . 2 y o ~ ( n ) d n . r .i r i l’application défin,ie sur W,$(div), Enfin, soit S : r alors S est ssurjective. En outre, al existe une constante C telle que, si f E W P ~ + ’ / ~ J ’ > P ’ ( X I ) , il existe r E W$(div)(o) tel que ~ ( r=) f et
Ilf Il ~//~llMi;:I(di”)(nj. Preuve de la proposition 3.58. O À l’él6rnent r E E donné, on associe l’élément T = S ( r ) di1 dual de ~ ~ - l I p > ” ( û Lorsque ~ ) . uE w ~ P ’ / ~ > et P u (E xw’.P(o) ~ ) t,el que you = u, on a ( c f . théorème 3.54) :
( T ,u)=
~ ( x ;div ) r(x)dx
+
148
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
Soit), grâce à la densité précédentje, une suite {pk} de D(RN,RN) qui converge dans E vers 7 . Alors, on a :
D’après la forniule de Green (3.43), on a
Or, puisque u E L ~ ( R et ) que div(r - c p k ) terid vers O dans L ~ ‘ ( olorsque ) k t o o , or1 en déduit que U ( x )divyk(x)ds 4J, U ( r )divT(r)dx. De irièrrie, on a Jn V U ( r ) p k ( x ) d x+ J,, V U ( r ) ~ ( x ) d a . On associe $ok la forme linéaire, notée (pk.n’)sur ~ ‘ - l / p + ( û ~définie )
s,
--f
par :
D’après ce qui précède, cette suite coiiverge daris le dual de W1-l/”,P(o)fl) -+ vers S ( r ) ,lequel peut ainsi être noté r . n .
Remarque 3.59. I1 est clair que si, outre les hypothèses faites bur r , il ap--f partient aussi à C(n,IRN), alors r . n coïncide avec sa restriction ai1 bord au se115ordinaire. Corollaire 3.60. Soien,t un ouuert R d e classe C1 et deux fo’nctioris U E W’J’(R) et V E W1J~(fl)où les exposan,ts p et q vérifient 1 < p < N et l l p + l / q = ( N + 1)/N. Alors, ces desuz fonctéon,s satisfont à la, formule d e Green :
12
U&Vdx t
V&Udx =
Ln
you yoVn,,da.
Preuve. e C’est clair, en utilisant le théori?iiie préckleiit, la fonction r 6tant égale à vei. O
3.5. Traces d’ordre supérieur 3.5.1. Remarques préliminaires Hypothéses de réqularité sur les ouverts R. Or1 désignc par le t,erme trace d’ordre supérieur de 11 E WmJ’(Q), lorsque m > 1, les traces des dérivées Dn’u qui sont d‘ordre I C Y/ tel que O 6 v i - 1. On a vu dans le chapitre 2 la coristructioii de la trace d’un élérrient 11, E W1.”(12).Cette construction
p(dR),lequel serait un autre espace fractionnaire de Sobolev, généralisant ainsi l’espace w ’ - ’ ~ P . P ( ~ x I ) ? C’est, entre autres à cette question, que nous consacrons la section présente. En particulier, si k 2 , on verra que le comportement de you et yo(Vu) sur le plan de la régularité est analogue à celui de U et V U , à savoir
>
que, si you E
~ “ l p l l p > p ( d ~ alors ), ~ O ( V U ) E w“’-’~P.P
(an).
Rappels de calcul différentiel. Dans ce qui suit, la dérivée V(‘)(u)(x), où k est un entier > O, est l’application multilinéaire dont les composantes sont les dérivées partielles de u au point LC de longueurs égales à k . Par exemple, soit, pour k = 2 , l’application Minéaire V(’),U(Z), dite aussi /iessienne, de u au point IC. La dérivée a$)u(z) est définie conime l’image, par cette + + application, du couple ( n , n ), à savoir, { n J }étant les composantes de 2 :
3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR
On généralise, pour Q de longueur au nioyen de la formule :
(QI
=k
en posant
151
%(a) = n:’
ni2 . . . n g N ,
i
On définit de même les dérivées 8:’ lorsque t est un vecteur tangent. L’exercice 3.14 propose des calculs de telles dérivées lorsque 80 est un cylindre ou une sphère.
3.5.2. Généralisation des relèvements Pour mettre en évidence les propriétés des traces des dérivées d’ordre supérieur ou égal à 1, nous introduisons un autre relèvement de 7 4 mieux adapté aux problèmes concernant les classes d’ordre supérieur, autre que celui jusqu’ici utilisé.
Proposition 3.62. Soit p E ’D(RN) et p y ( z ) = l/yNp(z/y). À tout u E W1-’lp1p(RN), o n associe la fonction (z, y) H U ( z ,y) = py * u . Alors, U E W1,p(RNx ]O, I[) et on a YOU = au où Q = JRN p ( z ) d z . E n outre, il existe une constante C n e dépendant que d e p de N et de p telle que : E W1-l’p’p(RN),
llpy
*
P(R), et (ûzu)(k-2)(.,O) E W'-'/P>P(R). Ceci entraîne que TL(., O) E w"-l-'/pqR). 0 On passe à la réciproque. La propriété étant évidente pour k = 1, on suppose k 3 2 . Soit u E WIC-'/p~p(R),avec / ~ u ~ ~ ~ < ~CO.l La , P fonction ,2 y étant donnée dans D(R), avec y ( 0 ) = 1, on définit le relèvement :
On montre dans ce qui suit que U E Wk,P(Rx]O, m [ )et que U ( x ,O) = u(x). La preuve est faite par récurrence sur k . On suppose donc démontré que : (3.68)
Vj,
1
<j < k
-
( R )U E W 3 > p ( f 2 ) . 1, u E W J - l / P > P==+
Puisque, par hypothèse, u E W"'/P.P(R), la définition 3.65 nous fournit &u E W k P 2 J ' ( Ret) Ila~~llk-~,, < + ~ oet, par conséquent, on obtient l'appartenance û,u E W"'-l/PJ'(R). Avec la formule du relèvement, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.68) :
azu €
Wk-l,p(R x ]O, +Co[).
I1 reste donc à montrer que : (3.69)
diu € LP(R x ]O, +Co[).
Pour démontrer le résultat, montrons d'abord par récurrence, la formule, k ! (- 1)"' où KI, = yk+1
1, établi pour @-'U. 1 Cette fonction U étant écrite sous la fornie U ( x , y ) = JO u ( z z y ) d z , sa dérivée nous fournit immédiatement : On suppose ce résultat (3.70), qui est vrai pour k
=
+
apU(2,y) =
J' O
Par intégration par parties, on a :
1
z"("(x
+ zy)dz.
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
156
Utilisant alors l'hypothèse de récurrence (3.70) pour l'exposant k voit que ~ ~ u y) ( Is'écrit I:, : -
5!'&zL
Y
.I"
(u(x+ Z )
-
+
u(x y)
( z - y ) W ) ( z +y) -
j!
l<j 2 avec des propositions sur le nouveau relèvemerit ' en commençant par un théorème généralisant la proposition 3.62 et qui, en fait, termine la preuve du théorème 3.67 :
Théorème 3.73. Soit p E D ( R N ) et, comme dans ce qui précède, p y ( z ) = (i/y")p(z/y). A la fonction u appartenant à VV"'/~,"(R~), on associe la fonction U telle que U ( x ,y) = py * I L . Alors :
(I) O n a u E w " ~ ( Ixw]O,~I[). (2) si,de pllLs : Y s = {si},
< IC-
O < Is1
I,
on a
t S p ( t ) d t = O,
+ où t S = II%(t;'), la trace de U satasfait aux relatzons :
(3.74) U ( . r , û ) =
P(R~ x ]O, I[), 0x1 en déduit finalement que U E W k + J J ) ( RxN]O, l[).Cela prouve la première affirmat ion. La niajoration de la norme de U dans W3+k,p(RN x]O, l[),à une constante près, par celle de u dans W J - ' / P > ~ ( Rrésulte ~) des calculs précédents. Pour les conditions au bord. on remarque d'abord que, par la formule de Leibniz, on a ûhU(x,O) = O pour tout 1 tel que 1 < k et a,"U(x,O) = ( J R N p ( t ) d t ) u ( x ) . Pour les exposants 1 tels que k < 1 IC j - 1, on fait encore une preuve par récurrence sur IC, j étant fixé. Pour k = O, c'est le theorèrne 3.73 où IC est remplacé par 3 . On suppose que la proposition est prouvée pour j et IC - 1, autrenient dit, on suppose que, si U ( J ,y) = (y"-'/((IC l)!)) py * U , alors u est dans W ~ + J - ' > " x( R]O,~I[) avec les conditions :
< +
~
ye
< k +j
-
2,
a;u(L,O) = SF-'
(lN
p(t)tlt)+).
Soit V ( x ,y) = (yk/IC! )py * 71. En posant encore qJ = 8, ( t 3 p ) et en utilisant des calculs déjà faits (cf. relation (3.77) et celles qui suivent), sa dérivée par rapport à y s'écrit :
Par l'hypothèse de récurrence, la fonction p étant dans D ( R N )et satisfaisant + à la condition JRN p ( t ) t'dt = O pour E [ i , j- I], on a :
e
Pour les termes de la somme V,, il importe de vérifier la propriété d'orthogonalité de la fonction q,?.
162
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
+
Soit, pour Is1 E [ î , j - 11, l'intégrale JRN q,(t)t"dt. Puisque riJ une intégration par parties sur la variable t, nous donne :
y
a,(t,p),
On peut donc appliquer aux termes de V2l'hypothèse de récurrence. On en déduit ainsi que :
ti (e(6 I;
+j
-
2,
apex, O) = u(.)s;
I1 en résulte bien que a i V ( x ,O) = O pour k
(LN
p(t)dt)
< IC + j
P(dR) x . . . x
W m - . 7 - l / P > P ( d ~x)
... x
W1-llP>P
(an).
Preuve du théorème 3.79. O On prouve la première affirmation. On commence par montrer la continuité de U H y3U où j 6 m - 1. Par 4 + + définition a$ = V(j) . n . n . . . n . En développant, on obtient l'expression :
D'après ce qui précède, puisque l'ouvert est de classe C'", les applications U H yO(D"U) où = J sont continues. Le passage aux dérivées normales fait intervenir des produits d'une fonction %t de WJ-l/p,p(dR) par une fonction f élément de C". On montre (cf. exercice 3.13) que l'on a
IN/
l l ~ f l l W ~ - l .(an) / " G cll4lwJ-1/""(an) où la constante C dépend des normes de f . On en déduit l'existence de constantes cJ telles que : lIyJ~//W""3-1/1'
"(an)
p(RN-l) et af-luE w'-'/~>~(Iw pour ~ -tout ' ) i N - 1.
N > ( j - 1)p (autrenient dit j = [ N / p ] 1). On a D("-')u E W-'-(l/p)J'(RN-l) et, par ce qui précède, Dk-3u E C:'J-N/p(RN-l). On en déduit que :
+
Le cas où N l p E N est laissé au lecteur.
On passe à présent à la compacité de certaines de ces injections
O
:
3.6.2. Résultats de compacité pour dS2 borné
Théorème 3.85. O n suppose que dR est borné et C k . (1) Soit p > 1 et N - 1 la dimension de dS2. On suppose que k p < N . Alors, l'injection de W"'lpJ'(df2) dans Lq(dS2) est compacte pour tout q < ( N - l)p/(N kP). ( 2 ) Si k p = N, l'injection de Wk-1/pJ'(dS2) est compacte dans tous les LY (df2). (3) Si k p < N . l'injection de W"'/p.P(dR) dans Ck-'-[N/pl,X(aR) est compacte pour tout X < [ ( N / y ) 11 - N / p . ~
+
Preuve du théorème 3.85. 0 Daris le premier cas, il suffit de montrer que l'injection de W"'lpJ'(dR) dans LP(dS2) est compacte, puis d'utiliser le lemme 2.82 du chapitre 2. I1 suffit de montrer le résultat avec k = 1, et pour des fonctions de 1 l P J J(p1 x {O}) à support dans un compact fixe. Soit donc { u n } une suite bornée dans W1-l/p)p(RN-l) à support dans un compact fixe. Par la continuité du relèvement de W'-'/pJ'(RN-l) dans W ' , p ( ( R N ) + )il, existe E, égale à urLsur le bord telle que G, est bornée dans I+"J'((RN)+). Soit $ E D ( R N - ' ) , égale à 1 sur tous les supports des u n ,et p E D ( R ) ,égale à 1 en O. Alors la suite des un définie par I I , ( X ) = Gn(x)ljl(d)p(z~) a la même trace que G, et est à support dans un compact fixe de RN-' x [O, cm[.
w1-
3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3
171
Par le théorème de compacité pour les bornés de W',p(n) lorsque R est borné, { u n } est relativement corripacte dans L P ( R N ) .On a pour n et m deux indices d'une sous-suite convergente dans L P , encore notée { u n } : "1
et. en intégrant par rapport à
11%
-
u&,~(RN-I~{~))
2'
et en utilisant Holder
G ~IlvrL
-
%Il;-'(
+lbn,~Ilp)
IIvn,~ilp
qui tend vers O quand n,m + 00. La suite { u T Lest } donc de Cauchy dans Lp(pSNp1),donc elle converge dans LP(RN-l) vers 2' ++ u(.r', O). Supposons k p > N . I1 suffit de montrer que l'injection W"'lP>P(]
-
1, q N - 1 x{O})
-
C([-1, 1IN-' x {O})
est compacte et d'utiliser le leninie 2.85. Soit {un}une suite bornée de W"'lPJ'(]-1, l[N-lx{O}), et une suite bornée de Wk3p(]-1, l[N-l x]O, 1[)qui vaut unsur le bord. Par la conipacite de 1'iri.jection de WkJ'(] - 1, l[N-lx]O, 1[)dans C( [-1, 1IN-l x [O, il),on peut extraire une sous-suite de u, qui converge dans e([-1, ilNpi x [O, 11). En particulier, elle converge dans C ([ 1,1]N - l x {O}). ce qui donne le résultat. O
7x
-
3.7. Exercices sur le chapitre 3 Exercice [**I 3.1 (dérivationfractionnaire). I1 s'agit, dans cet exercice, de donner des propriétés de la dérivation fractionnaire des distributions. En particulier, on pourra justifier la remarque 3.2 du début du chapitre 3. Dans ce qui suit, on désigne par 'Ft la fonction qui est égale à i sur ]O,+m[ et nulle sinon. Pour la définition des parties finies qui sont utilisées ici, on se reportera, par exemple. à l'exercice 1.27 du chapitre 1, niais on peut aussi se contenter de la formule suivante, valable si (I: E ]O, l [ :
On rappelle la définition de la convolée de deux distributions T et S de D'+(IL?).La fonction q E D(R) valant 1 sur un voisinage de siipp(cp), cette convolée est définie par :
(T*S,cp)= ( T : ( ( S , 7 7 ( ~ ) 7 1 ( Y ) C p ( Z + Y)))). Dans la plupart des cas, on pourra se contenter de calculs formels en négligeant l'intervention de cette fonction 7 .
172
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
On admettra que la dérivée de la distribution obtenue est la coiivolée SI * T ou la convolée S TI. On rappelle la définition de la fonction eulérienne B , à savoir :
*
v a > O, t i p > O
B(cy,/j) =
t-yl
-
t)wit.
Elle satisfait aux relations :
Enfin, on prolonge suivantes :
r sur les réels négatifs non entiers au moyen des formules
et ainsi de suite, sur tous les segments ] - n - 1, - n [ . La dérivée fractionnaire d'ordre m de la distribution T E D$(R) (cf. 1371) est, pour m non entier > O :
et P ( T ) = S ( m ) A T = T ( m )lorsque rn est entier.
(1) On considère, comme premier exemple, la dérivée d'ordre 1/2 de cy > O. Prouver le résultat suivant, où K est une constante :
'R(z)z" lorsque
Plus généralement, déterminer la dérivée d'ordre s de cette fonction X(z)zcy lorsque s E ]O, l [ (on pourra se servir de la définition (*)). En utilisant la dérivation d'une convolution et les dérivées des parties finies, déduire du résultat précédent la dérivée d'ordre s de Y(z)z" lorsque s E Il, 2[. Généraliser à un ordre de dérivation non entier positif quelconque. (2) Lorsque a et /3 appartiennent à ]0,1[,déterminer la convolée des distributions S = K ( X ) X -et~ T = K ( z ) z - f i , convolée qui peut être alors considérée au seils des fonctions. Préciser le résultat lorsque a ?!, = 1. Eri déduire l'expression de la composition des deux dérivations d'ordres non entiers m > O et k > O à l'aide de la dérivation d'ordre m k . (3) (Question en relation avec l'exemple 3.25). Soit f la fonction valant 1 sur ]O, l [ et nulle hors de ]O, l[. On suppose p > 1. Déterminer la convolée de fonctions ' F ~ ( X ) X ~ / "*- f~ . Er1 déduire la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l / p de f . on remarque que le résultat est une fonction, contrairement aux dérivées d'ordre entier qui font intervenir des distributions de Dirac. Montrer que cette dérivée fractionnaire n'appartient à Lp(R)que si p < 2 (cf. exemple 3.25).
+
+
3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3
173
Indications. Pour ( l ) ,en appliquant la définition d'une convolution de distributions, on obtient : ( T ,'p) = ('Ft(z)z", (Pf('Ft(Y)lY3/">(P(~ + Y)))
Ensuite, une intégration par parties fournit
:
I1 en résulte, à l'aide d'une translation sur la variable
:
En utilisant ensnite la formule de Fubini et la fonction eulérienne B ( o + 1 , 1 / 2 ) , obtient : ( T ,p) = K ' ~ ~ m ~ ' y + 1 / 2Une p ' (intégration ~). par parties donne firialement, puisque O, le résultat souhaité :
011
Un calcul analogue détermine la dérivée d'ordre s E ]O, l [ . On trouve encore la fonction K,'Ft(x)za+. Or1 généralise la formule en remplaçant lorsqiie a - s - 1 la fonction puissance par la partie finie associée. Pour cela, par exemple, si s E ] 1 , 2 [ (d'où cr = s - 1 E ]O,i[)eto-sm(0). Exercice 3.8 (fonctionsde D ( R ) orthogonales a des espaces de polynômes).
< < p . Quel que soit le compact [a,b] de IR, montrer
(1) Soit p E W et O k l'existence d'une fonction
'p
de D ( ] q b [ ) telle que pour tout i E [ O , p ] ,on a :
(2) Soit p E Ri. Montrer qu'il existe une fonction de D(IW") qui sataisfaità :
quel que soit le polynôme P de valuation au moins 1 sur I R N , de degré inférieur ou 6gal à p . Indzcatzons. Pour ( i ) ,on peut supposer pour fixer les idées que [a,b] = [-1, I]. Soient 'pJ où J E [O,p],des fonctions de L 2 ( ]- 1, i[)telles que d e t ( h cp,t3dt) # O. On montrera leur existence par exemple en prenant pour cp. les polynômes de Legendre sur ] - 1, l[.On utilise ensuite la densité de D ( ]- 1,i[)dans L 2 ( ]- 1,1[) pour trouver des 'p3 dans D ( ]- 1,1[)telles que le déterminant d e t ( ( h 'p,t'dt),,,), dans lequel les indices z et j appartiennent à [O,p],ne soit pas nul. On considère alors le systèmc D
où les û3 sont donnés. I1 adniet une unique solution (A", A i , . . . , A p ) . En particulier en prenant Co A,p, = cp et les a3 = 6:, on obtient le résultat.
176
CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
s,
s
Pour ( 2 ) , on prend une fonction p telle que cp(t)dt = 1 et p(t)t’dt = O pour tout j 2 1. On vérifie ensuite que p(t1, t 2 , . . . , t,v) = p(tz)a les propriétés souhaitées.
n;”
Exercice 3.9 (preuve pour un ouvert lipschitzien d’être localement étoilé). Soit R l’ouvert { ( z ’ , x N ) I X N > a ( z ’ ) ,z’ E 0’) où a est lipscliitzierine et 0’une boule ouverte bornée de IRNp1 (ou un convexe). Montrer que R est étoilé par rapport à un point. Indzcatzo~is.On peut supposer que le point (0.0) t 862 (donc a(O) = 0). Soit m > ( ( a ( ( ~ , m ( ~(r/)V ( L ( / L ~ sup ( O( I~)’ ( 0Alors ,. l’ouvert est étoilé par rapport à (0, m ) . Soit A E 10, I [ et (z’,.cN) E 62. I1 faut montrer que X ( O , ~ L ) + ( ~ - A ) ( Z ’ , Z N ) E L?. Pour cela il suffit de montrer que a ( ( 1 - A ) d ) < Am (1 - X)a(x’).Pour ce faire, on considère la fonction cp(A) = Am (1 - A)a(r’) - a ( ( 1 - A ) d ) . Cette fonction vaut O en A = O et est croissante car si a est C1,
+
+
+
p’(A) = m
-
+ ~ ( a ( i A)T’)
u(T’)
-
‘2‘
>O
par les hypothèses sur m, sur la boule 13’. Cette preuve marche encore pour a lipschitzienne car p est croissante. En effet si X > A’, on obtient, par l’utilisation du caractère lipschitzien de a : p(A) - cp(A‘) = ( A
3 (A
-
+
X‘)(m- a ( z ‘ ) a ( ( 1 - A)%’)
- X’)(7n-
-
a ( ( 1 - X’)Z’))
a ( & ) - Kl1Va(lm).
Exercice 3.10 (appartenance de x H sin J.à des espaces de Sobolev). Montrer que la fonction z H sin J.appartient à W ’ ? ~ ( I[) ] Opour , tout p < 2 , et qu’elle appartient à W1p1/~7p(]0, I[) pour tout p < 4. indications. On majore la semi-norme
Si p > 2, l’intégrant est équivalent en O à xippl2 et, si p < 2 , à zi-p’2 (( 1
+1
/%)1-”/2
-
1)
N
1.
Cette intégrale converge donc si 1 - p / 2 > -1 ou encore p < 4. Pour voir qu’elle ne converge pas pour p = 4, on utilise :
3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3
177
Exercice 3.11 (fonction de W1-'/J'ip(R) qui n'appartient pas à W ' J ' ( 0 ) ) . Soient R = ]O, l [ et p(z) = zp1lkoù IC E N*.Reniarquer que p ri'appartient à aucun W ' > p ( ] O ,l[).Montrer que p E LVp1/X'J'(]O, 1[)si et seulement si p < %/(IC + 1). Indzcatzons. La fonction p ri'est niême pas bornée, elle ne peut donc être daris aucun W'.P(]O, 11). On majore la semi-norme ~ ~ p ~ ~comme ~ - l ~suit P ,: P
La deuxième intégrale Jz converge au point u = O si p / k < 1, ce qui implique d'ailleurs que p E LP(]O,l[,elle converge également cn f cy> si p > 1. L'intégrale 11 est finie si et seulement si 1 p - p / k > -1, ce qui donne p < 2 k / ( k + 1). On a 2 k / ( k + 1) < k , donc p < 2 k / ( k + 1) est une condition suffisante pour que E W " / P > P (]O, l[).I1 est facile de voir que la condition est nécessaire. ~
Exercice [**]3.12(relèvement dans 62 = IR2 x Rf). Pour u E W.'"-1/"rP(R2),on pose 2 = (zl, za) et on définit le relèvement :
où p E D(R) avec p(0) = 1 (cf théorème 3.67). Justifier que cette fonction est bien un relèvement,
Indzcatzons. Or1 fait, comme dans le théorème du cours, une démonstration par récurrence pour prouver que pour Icy1 < k - 1, on a D"U E W'3p(fl). On suppose que : (3.86)
tig,
J
< IC
-
i et
7L
E
WJ-'/P,P(IW~) j
u E w3xP(n).
(w avec ~ )la forOn montre que, si u E W ~ - ' / P > P ( I R ) , alors a,u E w ~ - ' - ' ~ P , ~et, mule du relèvement doriné, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.86) : d,U E W " " P ( I w 2 x ]O, + C o [ ) . I1 reste donc à montrer que : (3.87)
a,"uE L"(IW2x ]O,
+Co[).
En traitant à part les termes en p ' ( y ) qui sont simples, on se ramène à
:
178
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
On montre, pour la dérivée d’ordre 1, l’expression suivante de &,U &,U =
J’
[ti&u(Z
:
+ y t ) + tz&u(Z + y t ) ] d t i d t i .
(10>1[)2
On pose Il(??,y) = ~ ( , o , i , ) zt l & u ( Z
J’ J’ l i l = / J’ Y o =
1
y
-
Y3
-
O
En déduire que
1:
1111
y
[u(zl
O
O
[.,(XI
+ y 7 ) d t i d t î . Montrer :
+ y, + 22
+y,m
22) -
+ tzy)
u(z1 + Z I , z2 + Z.)] d a d z z
- u(z1
+ t1y,z2 + tiy)]dtldtz.
dans IR2 x ]O, +mû[) est majorée par l’intégrale en y sur
]O, +oo[ de :
Er1 utilisant ensuite les variables Xi = prouver
51
+ tiy, XZ= xz + t z y , Y = + y, 21
puis, par une majoration de l’intégrale intérieure’ une translation et en posant t finalement X = (XI,X , ) :
t Conclure par l’utilisation du lemme 3.27 du cours, qu’en raison de l’appartenance u E W ~ ~ ” P ~ ~ la ( Inorme W ~ ) I ,~ I , ~ I P est majorée par :
Le même raisonnement peut s’appliquer à l’intégrale suivante :
Dans le cas de la dérivée en y d’ordre IC quelconque, observer que 8,kU est la somme d’intégrales dii type
avec ( a (= IC - 1. En appliquant l’hypothèse de récurrence & la dérivée D”u et en utilisant des arguments semblables aux précédents, terminer la démonstration.
3 . 7 . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3
179
Exercice 3.13 (application associant a U la dérivée normale de sa trace). (1) Soit U E W"P(R) où R est régulier. Montrer que si f E C"'(G), avec D"f lipschitzienrie pour \al = k , alors Ir produit Uf est encore daris W"p(0) et que l'on a J J f u J J W iJ(q A ,< CfJ1uJJI.t'" p(n). (2) Soit R de classe C k . Montrer l'existence d'une constante C telle que :
Exercice 3.14 (détermination de gradients itérés et dérivée normale). I1 s'agit de déterminer des gradients itérés et des dérivées tangentielles ou normales sur des cylindres ou des sphères en dimension N = 3. (1) La fonction U étant daris C2(R3), déterminer, par des dérivations de fonctions composées, les dérivées partielles de U à l'aide des coordonnées cyliridriques z = rcosû, y = r s i n û , z . Déterminer, de niêrrie, les dérivées partielles d'ordre 2. ( 2 ) Soit le cylindre (1 = ( ( 5 ,y, z) 1 xz y' < 1, z E R}. Soit le vecteur --t tangent à 30 défini au point z E dR par t = (- sinû, cosû, O). Déterniirier la dérivée tangentielle dtu où u est la trace de U sur 39. Déterminer égalerrierit la dérivée ilorniale. Déterminer ensuite les dérivées d$u et d$u. (3) On se propose tie retrouver les résultats précédents par une autre méthode. Trouver la relation entre les opérateurs D = zd, yay et d r . En déduire l'expression de V2u . 2 . ?;' iil'aide de D et de D2 et retrouver le résultat précédent. De rnî.rrie, trouver la relation entre les opérateurs Dl = -y& z:i3y et 80. Eri utilisant D et Df , trouver l'expression de la derivée tangentielle + + V2u. t . t . (4) En utilisant une niéthode analogue, effectuer les calculs des dérivées normales d'ordre 1 et 2 lorsque R est la boule de centre O et de rayon 1, les coordoiiriées choisies étant les coordoririées sphériques :
+
+
+
T
=
rcosûcosp,
y = rsinocosy.
z= rsinp.
Exercice 3.15 (étude d'un espace de Zygmund). On rappelle la définition du tenseur des contraintes (cf. exercice 2.10) :
Soient 'u E L"(R2,R2) telles que E ( U ) E L"(R2). Montrer que u l ( z , O ) E L"(R) et que u ~ ( zO), appartient à l'espace de Zygmund
180
CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV
Par les hypothéses A ~ est u rriajoré en module par
~
~
~
~
~
E
(
u
)
~
Exercice 3.16 (réciproque, entièrement rédigée, de l'exercice précédent). Soit cp E Z . Ori introduit H ( x . c / ) = i/?jJ?., p(x - t ) ( y - Itl)dt ct définit u l ( r , y )= -?lZH, uz(z.y) = ûl,H. On rriontrc que E ( U ) E L". On a E , ~ ( u ) = O. Alors :
À l'aide de deux intégratioiis par parties, on montre :
qui tend vers
-Sp(nl)
ce qui prouve que
+ p(z) lorsque y
1 1 2 , ~est
bornée.
3
O. On eri tire :
~
~
011
,
~
CHAPITRE 4 ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
Ce chapitre constitue une suite du chapitre 3. Dans les deux premières sections, on étudie les espaces W ’ > ’ ( R ~ )où , s est un réel quelconque, ii l’aide de la transforrnation de Fourier, laquelle fait l’objet, ail début du chapitre, des rappels nécessaires. Les sections suivantes sont consacrks A diverses di:finitioris des espaces Ws$p(fl)où O < s < 1 et 1 < p < +oo avec p # 2, qui généralisent les espaces W’-’/”P(CI) du chapitre préc”icicnt. Les résultats de densité et de régularité, les théorèmes d’iri.jectioris continues ou compactes et les théorèmes d’existence de traces lorsque l’ouvert, R a une certaine régularité, sont établis dans ces nouveaux espaces de Sobolev. Toutcs ces propriétés s’ét,eriderit ensuite aux cspaces W”>” où s E R,après que la défiriitiori de ceux-ci ait été doririée 21 partir du cas où O < s < 1.
4.1. Distributions tempérées et transformation de Fourier 4.1.1. Fonctions à décroissance rapide et distributions tempérées
Déjînition 4.1. Une forict,ion 9 est dite à décroissance rapide dans RN si cp t Cm(RN) et si, Dj désignant l’opérateur de dérivation par rapport au multi-indice j = ( j l ,j 2 , . . . j N ) , on a : ~
(*I
tjj €
N N , Y k E N,
1X1Wcp
EP(RN).
L’ensenible de ces forict,iorisest un espace vectoriel noté S ( R N ) .
Remarque 4.2. La condition (*) peut être mise sous deux autres formes équivalentes :
Y ( . j . k ) , 1J:I”Jcp
E L1(RN).
CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
182
Structure topologzque et dual. L’espace S ( R N )est naturellement muni de la topologie engendrée par la famille dénombrable de semi-normes :
% ( c p ) = III~lkDJPllco. On note S’(RN)le dual topologique de S ( R N ) .C’est un e.l.c., sous-espace de D’(RN),car :
Proposition 4.3. L’espace D ( R N ) est dense dans S ( R N ) . Preuve de la proposataon 4.3. 0 Soit p E S ( R N )et 1c, E D ( R N ) ,4 = 1 sur la boule B(O,l ) ,vérifiant, en outre O $ < 1. On définit la suite {cp,} par y,(.) = +(x/n)p(x). Alors {cp,} converge uniformément vers cp car, cp tendant vers O à l’infini, on a :
N / 2 , la transformée F ( u ) s'écrit toujours comme le produit de la fonction g, telle que g(E) = (1 I ~ ( O ) . 4.3.4. Comparaison des espaces W et T pour
R = RN
On montre dans ce qui suit que Ws,P(f2) est égal à l'espace des traces au point t = O des éléments de T ( p , 1 - l / p - s, R). Un résultat partiel est donné par la :
Proposition 4.28. Soit s E ] O , l [ et soit u E T ( p , 1 - i / p - s , R). Alors la limite, dans LP(R), notée u(O),de la suite {un}où u, = .(A,) la suite {A,} étant une suite arbitraire de réels tendant vers O , existe et 1 'application trace u H u(0) d e T dans Lp(R), ainsi définie, est continue. Preuve d e la proposition 4.28. O Ori suppose toujours O < s < 1 et on pose v = 1 - i / p - s. Soit u E T ( p , v,f l ) . En prenant, pour fixer les idées A, = l / n , on étudie la suite {un} de fonctions définies sur R par u, = u ( l / n ) .En utilisant la propositiori 4.21
200
CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
et l’inégalité de Holder, on obtient pour n
> rn
:
(4.29)
la dernière majoration tenant compte de l’hypothèse suivant laquelle Y u ’ appartient à l’espace L p ( ] O , +a[, Lp(R)). Puisque u i / p < 1, on a up’ = u p / ( p - 1) < 1. I1 en résulte que le premier facteur tend vers O lorsque rn et n tendent vers +cc et qu’en conséquence, la suite { u n }est de Cauchy dans l’espace complet Lp(R). Remarquons que l’inégalité précédente (4.29) est valable, avec la même preuve, pour obtenir Ilu(t1)- u(tz)ljL.(n), à savoir :
+
(4.30)
Ilu(t1) - 74t2)l/;p(n)
À partir de cette équation (4.30), on voit que, pour toutes les suites {A,} tendant vers O+, les limites de {.(A,)} existent et sont égales. Cela termine la preuve de l’existence de la limite. On note u(0) la limite dans Lp(R) de ces suites. En faisant tendre ti vers O et en utilisant l’inégalité triangulaire, on déduit alors de (4.30) :
ri intégrant cette inégalité sur [O, il et en transformant J; llu(t)llL,G CllullT.
L’application trace u H u(0) est donc continue.
O
4.3.LES ESPACES W,”’’(n) POUR O
<s
~(IR et ”yo ) ( ~ ( pi ,- i/p - s, IR”)) :
Proposition 4.31.
Schéma de la preuue. On s’intéresse d’abord au cas N = 1, que l’on montre grâce à deux propositions réciproques l’une de l’autre (propositions 4.32 et 4.37). Pour le cas général on utilisera une récurrence sur la diniension N à l’aide du lerrime 4.33.
Proposition 4.32. Soit u E WsJ’(R),et v définie sur ]O, +cal x R pur
:
formule dans laquelle ‘p E D(W) et ’p(0) = 1. Alors, la fonction t H v ( t ,.) appartient à T ( p , 1 - l/p - s, R). Plus précisément, si 711 et v2 désignent respectivement les fonctions :
on a
Preuve de la proposition 4.32. Ori conimence par vérifier que, si v = I Lp(]O,+CO[ x IR). En effet :
-
i/p
-
s , vu
On montre maintenant que t”8,v E LP(I0, +ca[ x IR). En effet : t”aZv = ’p(t)t-l/P-s(lL(x + t ) - U(x)), d’où, en élevant à la puissance p et en intégrant :
=
t”v E
CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
202
Enfin, on vérifie que t”&v E LP(]O,+oo[ x R) :
t”&v
= p(t)t-l’p-”
= t ” f ( t ,z)
Jc
t
+
+
+
(u(z t ) - u(x s ) ) d s p’(t)t”
1’ -
+ p’(t)t”
u(z
.II’
u(z+ st)ds
+ st)ds. +
11 est clair que t p ’ ( t ) t ” J i u(x s t ) d s E L P , avec, par ailleurs, une norme dans LP majorée, à une constante multiplicative près, par IIullp. En utilisant l’inégalité de Holder et un changement de variable on a :
+ +
Enfin, le changement de variable (2, t , z ) + (z t , z t z , z ) dont le jacobien est Il - zI permet de majorer la dernière intégrale :
O
ce qui donne le résultat attendu.
On commence à étudier le cas où N 3 2 en établissant le résultat d’équivalence suivant qui est l’analogue du lemme 3.27 : Lemme 4.33. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes
;
u E WsyRK),
(il
et il existe une constante universelle c telle que :
On en déduit facilement l’existence d’injections continues qui nous seront utiles dans la suite :
Corollaire 4.34. Les espaces WsJ’(RN) satisfont aux propriétés d’injections continues suivantes : (i) si O
< s’ < s < 1, alors w , ~ , P ( R ~ )w ” > ~ ( R;~ )
(ii) s i s E ]O, I[, alors
L)
w ~ > ~ ( Iws)p w ~( R) N ) . CJ
Preuve du lemme 4.33. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E D’(EtK),tel que :
4 . 3 . LES ESPACES W “ > ” ( n )POUR O
<s
p ( R N ) et, par la proposition 4.32, il existe une fonction I I telle que u E T ( p ,v, W I J ’ ( R N L ) ,p ( R N ) )et telle que ~ ( 0x), = E u ( x ) .Par restriction des fonctions de z à l’ouvert O, il est facile de voir que ( t ,x) H v ( t ,x) définit un élément 71* de T ( p , v,W’J’(O),Lp(R)) et cette restriction de 71 vérifie, O pour tout x E R , la relation u*(O,x) = IL(.).
Une application immédiate de cette comparaison d’espaces est l’existence d’injections continues des espaces W s > pdans des espaces Lq. C’est ce qui va être traîté dans la section suivante.
212
CHAPITRE 4. ESPACES DE SOROLEV FRACTIONNAIRES
4.4. Théorèmes d’injection pour les IVs>p(R) 4.4.1. Cas de R
= RN
-
Théorème 4.47. Soit s E ]O, 1[,p E 11,CO[. Alors -
-
~ ( R ~L“P) ) pour tout q N p / ( N - s p ) ; si N = s p , WSJyRN) c-1 L“RN) pour tout q < Co ; si s p > N , W.>~(R”)L) L ” ( I W ~et, ) plus précisément : w s , p ( ~ N c---f ) c~,~-N/P N
(R
1.
Remarque 4.48. Ce théorème a déjà été déniontré pour s = 1-l/p en utilisant les théoremes d’iiijection dans les espaces de Sobolev d’ordre entier. Preuve du théorème 4.47. O Soit u E W’ ”(R~) et soit u E D’(Io, +30[ x I W ~avec ) ?)(O, z)= u ( z ) , tel que t H tut)soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , w’>P(Iw et~tel ) )qiic t H t’&w soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , L P ( ( I W (où ~ ) )11 = 1 - i / p s). O Oii suppose, pour commencer, que N > p . Fixons z et définissons f par f ( t ) = v ( t , x ) .On a : -
t
f(0) = f ( t )
f’(5)ds
-
O
de sorte qu’en rriultipliant et divisant par t”, en intbgraiit sur ]O, I[, cri utilisant ensuite Holder et l’inégalité -up’ > -1. on obticrit :
En utilisant la fonction f x ( t ) = f ( A t ) il vient, pour tout X > O, l’iiiégaliti: :
ce qui donne la majoration optimale :
Soit r tel que
4.4. THÉORÈMES D’INJECTION POUR LES
W,‘.p(n)
213
(Ji
1g(t)l”)’/”, l’utilisation de l’inégalité de Holder nous En riotant lglp fournit la majoration de JRN Iw(0, z)l‘dz par :
de sorte qu’en élevant à la puissance l / r on obtient :
Cette relation nous doririe le resultat pour le cas où N > p . Notons quc cette niéthode ne s’adapte pas au cas p > N : 0 Lorsque p > N et s p < N , on est amené à utiliser d’autrcs argiirnents. On utilise la solution élémentaire E du laplacien, laquelle rappeloiisle (cf. exercice 2.19 du cl-iapit,re 2), est définie en dimension N 1 par : E(t,:x)= k N + 1 ( / x I 2 t2)(1-N)/2avec k ~ + 1choisi de fason à obtenir exactement A E = So. Soient O et y‘) des fonctions respectivt:nient dans D(RN) et D(R), conprises entre O et 1 et qui valent 1 sur des voisinages de O. On peut reiiiplacer So: qui est de support, {O} par le produit û(n:)$(t)So. Alors, en utilisant du produit d’une distribution par une fonction de classe C”, la formule doririarit le laplacien d’un tel produit et celle donnant la dérivation d’une convolution, & savoir 8,( V ) U = 3,(U * V ) = diU * V , on pciit écrire‘ PJ étant telle que li(0,z)= u ( x ) :
+
+
II
= So * I I = A(O(z)li,(t)E) * P I - ~ ( V ( Q ( X ) $ ( ~ ) ) . V*E~) I - A ( O ( ~ ) ~ J ( ~ ) ) E * U
Vi(O(x)li/(t)E)Vi’u
=
+ &(Q(n:)S>(t)E) *&I
l N . On utilise encore la solution élémentaire du laplacien dans IRN+l. Comme dans le cas sp < N , on est amené à montrer l’appartenance à Lm de somnies de produit de convolution du type (1 E * v ou <SE &u ou N , on a : 5 ( h * g ) ( O , x )E L”(RN).
*
*
*
+
-
En effet :
car la dernière intégrale s’exprime par
qui est borné, puisque sp > N . Pour majorer les fonctions du type ( 1 E v ou <SE*&v ou encore (4E*ôzul il suffit de remarquer que l’un quelconque de ces produits est majoré par un produit de convolution d’une fonction de L* et d’une fonction de LP‘ qui n’est autre que B i ( ~ ) l z l “ - avec ~ + ~Bi une fonction de D ( R N ) . 0 Montrons, à présent, que u est holdérienne d’exposant s - N/p. Pour cela, on montre qu’il existe une constante C telle que : I-u-(N+l)/p
(4.50)
II4m G CIltVullp
u+N+l/p
Ilt”V(t:X)vll,
En effet, soit u telle que u ( 0 , z ) = u ( z ) .Par ce qui précède, il existe des constantes Cl et C2 telles que : IIUIIm
Soit alors
6 C1lltUullp+ c211~Vv(t,z)ullp.
définie par uA(t, z) = v ( A t ,Ax). Le calcul des normes fournit :
Donc, en choisissant A = ( Ilt”ulIp)(Ilt”V(t,z)vllp)-ll011 obtient l’inégalité :
4.4. THÉORÈMES D'INJECTION POUR LES W"J'(C2)
Soient h E IR et i E [1,NI. Supposons, pour fixer les idées h inégalité maintenant classique, on a :
lv(t,z - h e i ) - v ( t ,.)I
O. Par une
Lh
l&w(t, z - sei)\&.
En multipliant par tw puis en intégrant à la puissance d'exposant p et en utilisant l'inégalité de Holder, on obtient : rl
r
J, J,- t w P ( u ( t , x he;) -
-
v(t,x)lpdzdt
En élevant à la puissance l/p, on obtient
Comme, d'autre part
Iltvvt,z(w- v)llp
< 2/ltwvjt,z')"'lIp,
on obtient, en appliquant l'inégalité (4.51) à utL- u , la majoration :
< Puisque 1 - v - (N+ i ) / p = s llUh -
d'exposant s
-
ulloo C l h / l - " - ( N + w P (IltWvll,+ lltwV(t,z)41P).
- N / p , il en résulte que u est holdérienne N / p . Le théorème est ainsi démontré pour R = W N . O
4.4.2. Le cas d'un ouvert possédant une propriété de prolongement L'analogue du théorème 4.47 est vrai pour des ouverts possédant une certaine régularité. En particulier, il est vrai si 0 est un ouvert qui possède la propriété de (s,p)-prolongement qui a été étudiée précédemment.
Conséquences de l'existence d'un ( s ,p)-prolongement. On obtient de façon simple le résultat de densité suivant :
Proposition 4.52. Soit s E [O, l[ et p > 1. Soit R un ouvert qui possède un ( s ,p ) prolongement. Alors, .O@), espace des restrictions à R des fonctions de D(IRN) est dense dans WsJ'(R). Preuve de la proposition 4.52. Soit u E W'J'(0).Soit E un prolongement continu de W'ip(0) sur W S ~ ~ ( I R N Puisque ). ~ ( 7 1 )E Wsi~(IRN), il existe une suite (9,) de fonctions de D(IR") qui converge vers E ( u ) dans W s ) p ( I R N ) . Alors la suite des O restrictions des pn converge vers u dans Ws>p(R).
CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
218
Un corollaire de la proposition 4.52 et du théorème 4.47 est le suivant :
Corollaire 4.53. Soit s E ]O, I[, p E 11,m[. Soit R un ouvert lipschitzien. Alors : -
-
-
si SP < N , W”P(R) si N = sp, WsJ’(R) s i sp > N , W’J’(0)
L‘I(R) pour tout 4 6 N p / ( N - S P ) ; Lq(R) pour tout q < 03 ; ~f Lm(R) et plus précisément : ~f ~f
W”,P(R)
-
c,Q,s-N/p (0).
4.5. Injections compactes pour les Ws,P(R), (1 borné
Théorème 4.54. Soit R un ouvert borné de IRN, qui est lipschitzien uniforme. Soient s E [ O , 1 [ , p > 1, N 2 1. Alors : si s p < N l’injection de W‘>P(R) dans Lk est compacte, pour tout k < N P / ( N - SPI ; - si s p = N l’injection d e Ws>p(R) est compacte dans Lq, pour tout -
q<m; -- si s p > N l’injection de W’iP(R) dans Cb”(R), pour X < s compacte.
-
N / p est
Preuve du théorème 4.54. O On commence par le cas s p < N. Pour montrer l’affirmation énoncée, il suffit de montrer que l’injection est compacte dans L1. En effet, WsJ’ if L N p / ( N - s p ) et toute suite bornée dans L k , avec k > 1, qui converge dans L1 est convergente dans Lk’ pour k’ < k , en utilisant le lemme 2.82. On utilise donc le critère de compacité des bornés de L1 (cf. théorème 1.94). Soit B un sous-ensemble borné dans W’iP(0). Soit U E B, i E [1,NI, -f h > O et R h = {x E R I d(z,d(2) > h}. Posons h = hei et considérons l’intégrale :
lx =
.1,.s,,,, 14. +
hei) - 4z)Idydx.
En premier lieu, l’intégrant ne dépendant pas de y, on a, en désignant par volume de la boule unité :
W N - ~ le
(4.55)
Ix
=UN-1
Ihl
lh
Iu(x
+ +h,)
I).(.
-
dx.
En utilisant alors, pour x E R h et y E B ( z ,h ) , l’égalité : + + U(X h ) - ~ ( z ) U ( Z h ) - ~ ( y ) ~ ( y -) ~ ( z ) ,
+
+
+
4.5. INJECTIONS COMPACTES POUR LES Ws,*(s2),R
et en posant
CT
= (sp
BORNE
219
+ N ) / p , l'intégrale I h peut être majorée par
En les transformant au préalable, par translation sur g, en intégrales sur le domaine Ah = Q h x B(0,h ) , on majore ces intégrales 12)et I!?) au moyen h h de l'inégalité de Holder. Par exemple :
La première intégrale dans le deuxième membre, qui est égale à
est majorée, puisque, d'après les hypothèses B ( z , h ) c grale
f2h
c R,par l'inté-
qui est bornée lorsque u décrit B. Par ailleurs, on a
< (rnesf2)'-'/pC'
IhlNfS,
(où la constante A droite ne dépend que de la senii-nornie
~ I Z L ~ ~ ~ ,On ~ ) . peut
procéder de manière analogue pour l'intégrale 12).Finalement, en utilisant h l'inégalité (4.55) et les relations suivantes, 011 parvient à :
à savoir, la première condition du critère de compacité daris L'(f2) :
D'autre part, comme l'ensemble B est borné dans Lp(R), et puisque R est borné, on peut trouver K un compact assez grand pour que pour tout u E B, on ait :
220
CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
On a ainsi obtenu que B est relativement compact dans L1(0), donc dans tous les ~ ' ( 0avec ) k P(O) = {. E WI"l>P((n) I D j , E WS-["I>P (O), j I j I = [SI>. 7
I1 est clair que W"J'(f2) est un Banach lorsqu'il est muni de la norme :
I1 est facile de vérifier en outre que les fonctions de D ( R N )sont denses dans W s + ' ( R N )Nous . donnons le théorème d'injection, analogue aux précédents :
4.6. LES ESPACES
W 5 . p ( n )AVEC ,
8
E ]O, +a[
22 1
Preuve du thkorème 4.57. 0 Si s p < N ,on fait une récurrence sur [s]. Si [s] = O, c'est le théorème 4.47. Supposons montré le théorème pour [s] = rn - 1, et soit u t W"J'(0) avec [s] = m, et s p < N.Alors Vu E WSp1J)(C2)et u E W["]>P(R),donc en utilisant l'hypothèse de récurrence, V U E ~ " ( 0avec ) 'r = N ~ / ( N - (s - i)p) et 'u E L ~ ~ I ( ~ - [ ~ I ~ ' ) ( Q ) . En utilisant p < N p / ( N - (s - 1)p) N p / ( N - [SIP), on obtient
N et j un entier tel que s - 1 - N / p < j < s - N / p . Alors, I L t W".p et TI = Vju vérifie TI E W"-~J', donc 11 et Vu appartiennent à WS-j-1.p et (s - j - 1 ) p < N entraîne que 11 et Vu appartiennent à L" avec 'r = ( N p ) / ( N- ( s - j - 1)p). Ainsi, TI E W','(R) et r > N ,donc 7/ C y V ' (0) = c1""-"!"-.'
Finalement, on obtient u E C [ " - N I P l , s - N l p - [ s - N l p l (O). Si s - N / p = j t W, alors u t W">p(R) entraine ( L F 1 u , I P u ) E (W"j;p(b2))' = ( W " I p J ' ( 1 1 ) ) ' . On en déduit Dj-lu E W'>q(R) pour tout q < 30 et donc D J P 1 ut C:"(R) quel que soit X < 1. Finalenieut 'u E c;-N:"-l>X ((2) pour tout X < 1.
4.6.2. Injections compactes
On a aussi pour un ouvert borné les résultats d'injection compacte :
Théorème 4.58. Soit R un ouuert borné lipschitzien. Alors : si sp < N ,l'injection W"J'(0) ci Lq(R) est compacte pour tous les exposants q tels que q < N p / ( N - s p ) ; si sp= N,l'injection W"J'(0) Lq(R) est compacte pour tout q < 03 ; s a sp > N , -
~ - f
~ b ~ (0)est ' compacte ~ l ~ ~
si s - ~ / 6pN,l'injection WS~P(R) ci pour tout X < s - N / p - [s- N/p](b2); si s - ~ / E pRI,l'injection w " , P ( c L-f~ ) pacte pour tout X < 1. -
~ b - ~ : " (-( 2~) ~est~ com-
222
CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
4.7. Appendice : théorème de convexité de Riesz Soit T la transformation de Fourier. On sait que l’image par T d’une fonction de L1 est une fonction de L“O et que l’image d’une fonction de L2 est une fonction de L2. On a donc, en particulier, pour tout g E L1 et pour fEL1: I(Tf’9)I 6
IITfll”Ollsll16 Ilfll1llslI1
et, pour tout couple ( f , g ) d’éléments de L2 :
I(Tf’dI 6
Ilfllzll~llz.
Le théorème suivant permet d’en déduire que, lorsque p E [1,2], T envoie LP dans LP’. C’est cette propriété qui a été utilisée dans la preuve de la proposition 4.18. Dans la preuve qui suit, du résultat connu sous le nom de théorème de Riesz, on utilise les arguments de Stein et Weiss, [39]. Le lecteur intéressé pourra consulter cet ouvrage pour le théorème plus de MarcinkieWitz.
Théorème 4.59. Soit T un opérateur linéaire défini sur tous les LP(RN,@) et qui est continu d e L P ‘ ( R ~@) , dans L ~ % ( e) R ~pour , i = O, 1, où p, et q, sont donnés dans [1,C O ] . On note ses normes d’opérateur par
y: désigne le conjugué de qi. Alors, si t E ] O , l [ et si l / p = t / p o (1 - t ) / p l , l’opérateur T est continu d e LP(RWN, @) dans Lq(RN,@) avec l / q = t / q o (1 - t ) / q ~En . outre, o n a 1’inégalité de continuité : 0.ù
+
+
Preuve du théorème. b On commence par montrer le résultat pour des fonctions simples. Soit f = E, U , X E , , que l’on suppose de norme dans LP égale à 1, les E j étant des ensembles intégrables et deux à deux disjoints. On(5note a3 = la, /e2*,. Soit g = E kb k X F k où les Fk sont intégrables et deux à deux disjoints, avec b k = lbkle2vk et llgllp = 1. On définit pour p E [i,CO] le réel t dans [O, 1 1 tel que : i / p = t / p o (1 - t)/pl. Soit cy et ,6’ les fonctions définies sur @ par :
+ ).(yc
=
1-2 + Po Pi z
-
~
,
P(z) =
-z+ 40
1-2 -.
41
4.7. APPENDICE
:
THÉORÈME DE CONVEXITÉ DE RIESZ
sRN
223
avec 7 3 , k = S R N T ( ~ ~d x, . )On ~ vérifie ~ k que F(t)= Tfgdx. On commencera par montrer que IF(iy)I 6 kl et que IF(1 iy)l 6 ko. On utilisera ensuite le fait que F est holomorphe et est bornée sur la bande O 6 x 6 1, y E: IR et le théorème de Phragmèn-Lindelof qui entraîne qu'alors, pour tout couple ( x , y ) avec O 6 x 6 1, on a I F ( X iy)/ 6 On en déduira alors l'inégalité de continuité sur la norme d'opérateurs avec n:+iy=t. On évalue donc IF(@)(.On a Re(a(iy)) = l/p1, donc !J?e(a(iy)/a(t))= p / p l , de sorte que :
~col~i-~.
+
Ilf(iY)ll::
=
+
IlflpP = 1.
la31PIEJI=
3
D'autre part, SJZe(P(iy)) = l/q1, de sorte que :
1 - %e(P(iy)) 1 - l/q1 1 P(t) l-l/q
-
g 41'
-
Donc : IC
+
+
On a aussi : !J?e(a(l i y ) ) = l/po, donc !J?ea(l i y ) / a ( t ) = p / p o , d'où
Ilf(1 + iY)II;: Enfin SJZe(P(1
=
,
la,lPIE,I
=
ilfil;
=
1.
+ i y ) ) = 1/40, ce qui implique :
+
1 - !J?e(P(i i y )
1- P(t)
1 l/q0 1- l/q
- ~-
-
q' 4;'
Doric : Ildl +iY>ii$
Ibklq'lFkl = ilgii$ =
=
1.
k
En utilisant la continuité de l'opérateur, on a alors :
I
IF(iY)/ = /Wiy)g(iy)I
IF(1+iv)l
6 ~ l l l f ( ~ Y ) l l lPl ! ld ~ Y ) l l q ;
6 koIlf(l+ i d l l P " l l d 1 +
D'où le résultat pour les fonctions simples.
iy)IIq; = ko.
= kl'
:
CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
224
Dans le cas général, soit f E LP(RWN, C."). On va montrer qu'il existe une suite f n de fonctions simples telle que llfn - f i l p 4O et T f n ( x ) 4T f ( x ) pour presque tout x. En supposant que cette suite existe, montrons d'abord qu'on obtient le résultat. La suite {Tf,}est bornée dans Lq. Par le lemme de Fatou, on a, avec kt = l ~ k k i - ~ , 0
IITfllq G
lim
G kt
ll~fmllq
m-m
lim
m-co
IIfrnllP
G ktllfllp,
en particulier T f E L Q ,et le théorème est alors obtenu Reste à montrer l'existence de fn : on se ramène & f réelle et f 3 O. Supposons que po < p l . Pour f E L", soit fo qui vaut f quand f(x) > 1, f(x) = O sinon et soit f 1 = f - fo. On a fo E LPOet f 1 E L P ~Soit . gm une suite croissante de fonctions simples, convergente vers f presque partout. Par le théorème de convergence monotone on a : IlSm - f i l P + O. De même igk - f n l l p o + O ct igh fillpl -+ O. Puisque T est continu de LP1 dans LQ1et de L P O dans Lqo, on a : ~
IITgk - TfOIIq,
-
0 et
IITgrn - TflIIq,
-
0.
Pour une certaine sous suite, on a donc T g k + T f o presque partout, et Tgm Tf' presque partout. Alors, la suite {fm}définie par fm = g k +g& fournit la suite souhaitée. 0 --f
Corollaire 4.60 (théorème de Hausdorff-Young). S i f E LP(RN) et g E L Q ( R N )avec l / p + l / q > 1, alors le produit de convolution de ces fonctions satisfait à f * g E L" avec 1 + i / r = i / p + l / q . Preuve du corollaire. Daris tout ce qui suit, f E L P est un élément fixé. On lui associe l'opérateur, noté T f tel que, pour tout g appartenant à un espace LQconvenable, on ait Tf(g) = f * g. Considérons deux situations qui correspondent aux hypothèses du théorème : 0 Si g E L p ' , par une propriété connue, on a T f ( g )E L" et, en outre,
Ilf * gllm G
IlfllPll~llP5
ce qui prouve la continuité de T considérée comme opérant de LP' dans Loo. On peut donc prendre dans le théorème po = p' et qo = $03. La norme d'opérateur IlTf IIPf, m vérifie les égalités suivantes : I I ~ f l l P ~ , c= o
sup I ( ~ f ( S ) , Y l )= I sup Ilgllpt=l ll91llP=1
Ilslip)=1
Is,(f
* g)(x)gl(xWl.
II91 I l p = l
Ce dernier terme est, par définition de la norme dans un dual et de la propriété de réflexivité, la borne supérieure de Ilf * glloo lorsque llglP, = 1.
4.7. APPENDICE
1
THEORÈME D E
CONVEXITÉD E RIESZ
225
On en déduit : llTf IlP’,oo =
IlfllP.
Si g E L’, alors, puisque f E LP, le théorème de Young nous assure que
Sf(g) E LP et que, d’autre part, I l f *slip6 l l f l l p Ilglli. L’opérateur T opère donc continûment de L1 dans LP. On peut donc prendre dans le théorème p l = 1 et
y1
= p . La norme d’opérateur associée à cette situation vérifie
encore l 1 ~ f l l l . P= I l f l l P .
Soit maintenant q tel que 1/p 1
+ I/q > I et soit t tel que
t
I-t
Po
Pl
-
Y
t
--+l-t. P’
On en tire t = p ( 1 - l / q ) qui est bien compris strictement entre O et 1. Cette condition du théorème étant remplie, on en déduit que T f applique continûment Lq dans L‘, le nombre r étant celui qui vérifie
= -t+ -
t I-t 1 =-+-=-+--I. 790 41 03 P P Ainsi, on a la première affirmation du corollaire. Soit, à présent l’inégalité 1
-
llTf IlW 6
1-t
G ( h ) l - t 6 ilfiipiifii;-t
1
q
= IlfllP.
On en déduit, en revenant à la définition des normes d’opérateurs, que
llf * gllr 6
llfllpll~llq~
Remarque 4.61. Ce corollaire permet de retrouver des résultats utilisés à plusieurs reprises dans l’ouvrage, notamment au cours des preuves des théorèmes d’injection. Soit, en effet, pour p 3 1, la convolée g = f * C r l P N dans laquelle f E L P et C une fonction régulière de support compact. La fonction z H g(x) = est donc dans Lq si (1 - N)(y - I) > -1 ou encore si q < N / ( N - 1). Alors le corollaire s’applique et nous fournit l’appartenance f * y E L’ où 1+ l / r = l / p + l / q . Comme q < N / ( N - I), on en déduit que l’exposant T vérifie : 1 1 (N-1) - 1 = N - P - > - + r P N NP On retrouve ainsi que la convolée envisagée f * O,
.{I
(Notons que L' est inclus dans L' faible.) Soit T un opérateur qui envoie de façon continue L' dans L' faib 2 et L2 dans L 2 , alors, pour 1 < p 6 2 , T envoie de façon continue LP dans lui-même. Notons que ce résultat est un cas particulier du théorème de Marcinkiewitz, que nous donnons plus loin dans ce cours ( c f . théorème 7.34).
4.8. Exercices sur le chapitre 4
Exercice 4.1 (fonction propre de la transformation de Fourier). Soit f ( x ) = exp(-7r/xI2) sur RN.Montrer qu'elle est sa propre transformée de Fourier. Indications. Poiir le cas N = 1, on peut utiliser l'équation différentielle du premier ordre dont f est solution ; ou bien encore utiliser le théorème de Cauchy appliqué à la fonction holomorphe z H exp(-7rz2) et à un chemin rectangulaire dont un côté est le segment [-R, RI de l'axe des réels (on fera ensuite tendre R vers $00). Pour le cas où N est quelconque, on utilisera le fait que f est un produit d'exponentielles di1 type précédent.
Exercice 4.2 (transformation de Fourier de x H 1). Calculer la transformée de Fourier de la fonction caractéristique xn de [-n,n,], où n E W * . Montrer que la suite des transformées de Fourier { F ( x ~ converge ) } ~ dans S' vers F(1).En déduire que
F ( 1 )= 6". En déduire
F.(eZiTXnt ) = 6Z". Exercice 4.3 (formule de réciprocité pour la transformation de Fourier). Montrer la formule de réciprocité de Fourier pour les fonctions de S(RN); autrement dit, si cp E S ( R N ) ,alors -
FF((P)= cp. En déduire la formule de réciprocité pour les distributions tempérées.
Zndicatzons. Soit y
= F ( p ) . Remarquer
que
F(ppa)(A)= e 2 z " y A ) .
Intégrer par rapport à A, et utiliser F ( 1 ) = 6.
4.8. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 4
227
Exercice [**] 4.4 (transformées de Fourier des distributions homogènes). (1) Soit f E L1(RN).Pour tout X > O, on définit H x ( f ) par H x ( f ) ( z )= Montrer que, si [ f ]est la distribution associée à la fonction localement sorrimable f , on a : f(X5).
([Eix(f)l'cp)= x-"([fl'cp(./X)). Soit T une distribution sur IRN. On étend la propriété précédente en la définition de H x ( T ) comme étant la distribution telle que :
( f f x ( T )cp) , = X-yT' cp(./X)). Déterminer, à l'aide de f i a transformée de Fourier de H x ( f ) . Montrer ensuite la formule concernant la distribution tempérée T :
. F ( H x ( T ) ) = XPNHx-i ( F ( T ) )
(4.63)
(2) On dit que T est homogène de degré k si 'dX
> O,
H A T = X'T.
Soit T s'identifiant à la fonction radiale f définie par f ( r )= lzl' où z E RN et
IJI
(E,52, )112 . (a) On suppose -N < k < O. Montrer que T est tempérée en remarquant qu'elle s'écrit comme la somme :
T = TX{IZl -N/k. Moiitrer que sa transformée de Fourier existe et que c'est une distribution radiale ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7). Montrer que cette transformée de Fourier est homogène de degré -k - N . (b) On suppose que 2k < - N . Alors T est la somme d'une fonction de L1 et d'une fonction de L2. Montrer que .F(T) est une foiictiori. En utilisant la positive hornogéneité montrer qu'il existe une constante c(N , k ) telle que .FT(T)(E)= c ( N ,k)III"".
(3) En utilisant la fonction p(z) = e-n1Z12,en déduire que
r est la fonction eulérienne ([13], 1361 ou exercice 3.1 du chapitre 1). Ces résultats sont repris dans le chapitre 7 dans le cas où k : -N+ 1, qui vérifie bien la condition 2k < -N lorsque N > 2. On y montre, au moyen où
228
CHAPlTRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES
d’une dérivation par rapport à la variable xt,que l’on a :
7). (4) On suppose maintenant O > 2k > - N . On montrera, en utilisant la formule de réciprocité, que les résultats précédents restent valables. Soit la distribution T = /xik; on pose k’ = - N - k . Montrer que l’on peut appliquer les résultats précédents à la fonction z H 1 . ~ 1 ~ ’ . Er1 déduire la transformée de Fourier de T . Étudier le cas 2k = - N . (cf. transformation de Riesz dans le chapitre
Indications. Pour la formule 4.63, il suffit d’utiliser les définitions
( p ( H x ( T ) )9) , = (HAP),G) A
= X - y T , @(./A)) =
= ( T ,WP))
( p ‘ ( n H x < P >=) X-N(Hx--l ( W ) ) > P )
Si T est lioniogérie de degré k , on a
:
F ( H x ( T ) )= X-NHi/x(F(T)) =
X-N-“l/X
(Hx(F(T))= ) X-N-”(T)
Dans le cas oii la distribution radiale devient ilne fonction, on sait ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7) qu’alors la transformée de Fourier de T s’identifie il la fonction H g(I O, l’égalité g(Xi. Soit f E LP(RN),et E D ( R N ) .Montrer que la convolée f * ( appartient à n L ~ ( ( I pour w ~ )tout IC 3 p .
p et T > 1 défini par l + l / k = l / ~ + l / p Puisque . { E D(RN), on a { E L’ . Eii conséquence C * f t L h .
CHAPITRE 5 EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Dans ce chapitre, nous donnons une méthode de résolution de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques, à savoir, celles qui se présentent sous la forme D J ( u ) = O où D J représente la différentielle (en un sens faible) d’une fonctionnelle J , convexe dans la plupart des cas. Les propriétés des fonctions convexes permettent de chercher une solution de l’équation aux dérivées partielles (EDP) comme le mininiuni d’une fonctiorinelle, sous réserve que cette fonctionnelle ait la propriété de tendre vers +m à l’infini. Après un exposé rapide des ingrédients théoriques permettant de concliire à l’existence d’un minimum pour J , on décrit quelques exemples classiques de problèmes aux limites régis par des EDP elliptiques linéaires ou non, la méthode variationnelle aboutissant à leur résolution. On donne ensuite des résultats de régularité pour les solutions de ces problèmes. D’autres propriétés, notamment celles qui généralisent le principe du maxiniuni pour les fonctions harmoniques, sont développées en relation avec ces résolutions.
5.1. Présentation de quelques résultats utiles Une suite { u n } 7 Lest E ~dite bornée dans L P ( f 2 ) s’il existe une constante C > O telle que
v n E IV,
lu,l~(z)dz< C.
À propos d’une telle suite, on utilisera souvent dans ce chapitre les notions et les résultats suivants :
Conséquence de la compacité faible des fermés bornés d’un espace réflexif : de toute suite bornée de LP(O), 1 < p < 00,on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans LP (O). ~
232
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Conséquence de 1 ’étoile-faible séquentielle compacité de la boule unité du dual d’un espace normé séparable : de toute suite bornée dans L1(sl),on peut, extraire une sous-suite qui converge vaguement au sens des niesures vers une mesure bornée sur 0. Conséquence des théorèmes d’injection compacte dans les W’J’(R) : soit 62 un ouvert borné de IRN, et p un réel appartenant à ] l , N [ ; de toute suite bornée de W’>p(R), on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans W’J’(R), fortement convergente dans Lq(R), avec q < N p / ( N - p ) , et convergente presque partout. - Conséquences du théorème de Banach-Steinhaus : soit p E 11,cal ; toute suite de Lp(R) qui converge faiblement daris D’(fi) est bornée dans Lp(R) ; toute suite de mesures ou de fonctions de L:,,(R) qui converge vaguement vers une mesure est telle que la suite de ses modules est d’intégrale sur tout compact de R uniformément bornée par rapport à n. ~
~
On suppose dans tout le chapitre R connexe sauf mention du contraire.
5.2. Rappels d’analyse convexe Dans cette section, on rappelle des résultats sur la convexité dont nous ne donnons pas les démonstrations. Elles sont détaillées dans l’ouvrage (141. Dans ce qui suit, X désigne toujours un espace de Banach. X’ désigne son dual topologique et on note (., .) le crochet de dualité entre X et X’. Dans cette section, on suppose les fonctions à valeurs dans E = RU{+OO}U{ -CO}.
5.2.1. Ensembles convexes. Séparation. Fonctions s.c.i.
Définition 5.1. Un sous-ensemble C de X est dit convexe s’il est stable par conibinaison convexe, autrement dit si : Y(IL., y )
E
c2,V A E ]O, 1[,
AIL.
+ (1
-
A)y E
c.
Définition 5.2. Un hyperplan est un sous-espace vectoriel de codimension 1, c’est-à-dire un sous-espace différent de X tel qu’il existe 20 E X pour lequel l’espace engendré [zo] satisfait à [20]8 H = X . Proposition 5.3. Soit f une f o r m e linéaire sur X , non, identiquement nulle. Alors son noyau est un hyperplan et, ou bien f est continue et cet hyperplan est fermé, ou bien elle n’est pas continue et l’hyperplan noyau est partout dense dans X . Définition 5.4. Soient Cl et Cz deux convexes. on dit que l’hyperplari H de direction orthogonale à b E X ’ , donc défini par H = {IL. E X I (b,s) = a},
5.2. RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE
233
les sépare si
Cl c E + = { ~ E XI ( b , z )> u }
et
C2 c E- = { X E E X
I ( b , z )G a }
Définition 5.5. On dit que Cl et Cz sont séparés strictement par H s’il existe E > O tel que :
Cl
+ B(O,E)c E+
et
C2
+ B(O,E)c E - .
Une fornie faible du théorème de Hahn-Banach s’énonce comme suit :
Théorème 5.6. Soit C un convexe relativement compact dans X et 1cI une sous-variété a f i n e de X , telle que MnC = 0.Alors il existe un hyperplan H qui sépare nil et C . Déjînition 5.7. Soit J définie sur X , à valeurs dans E. Elle est dite semicontinue inférieurement (s.c.i.) en x si, pour toute suite { z n }telle que 2 , converge vers 11:’ on a : (5.8)
J(z)G
lim
J(x,).
n-Dc)
Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente :
V A E R,A < J ( z ) j{y 1 J ( y )
> A}
est un ouvert contenant z.
On dit que J définie sur X est s.c.i. sur X si elle est s.c.i. en tout point de X . Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente :
V A E R,V x E X ,
{x I J ( z ) > A} est un ouvert.
Cette semi-continuité se traduit aisément par une propriété de l’épigraphe :
Proposition 5.9. La fonction J est s . c . ~ .sur X si et seulement si son épigraphe défini par {(z, y) E X x IR I y > J ( z ) } est fermé. On passe à des résultats utiles concernant la niininiisation des fonctions convexes.
Déjînition 5.20. Une fonctionnelle J de X dans E est dite propre si elle n’est pas identiquement égale à +m et ne prend pas la valeur -00. En particulier, son domaine dom( J ) = {z E X I J ( z ) E R} est non vide. Théorème 5.11. Si J est convexe, et majorée sur un voisinage d e xo en lequel .J(xo) est finie, alors elle ne peut pas prendre la valeur -CO et elle est continue sur ce voisinage et m ê m e lipschitzienne. Théorème5.12. Si J est convexe, s.c.~.,et ne prend pas la valeur -a, elle est l’enveloppe supérieure des fonctions afines continues qui la minorent.
234
C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Corollaire 5.13. Tout convexe f e r m é d’un espace de Banach est aussi faiblement séquentiellement fermé. - Une fonctionnelle convexe est s.c.i. si et seulement s i elle est faiblement séquentiellement s.c.i. 5.2.2. Sous-différentiabilité. Gâteaux-différentiabilité
Définition 5.14. On appelle sous-différentiel de J en z le sous-ensemble de X’ :
a J ( z )= { a E X’ I Q y E d o m ( J ) , ( a ,y
~
x) < J ( y ) - J ( z ) }
Si J est convexe, a J ( z ) est un convexe de X’. Ce sous-differentiel peut être vide, comnie c’est le cas pour une fonction dont le domaine est réduit à un point ou plus généralement pour une fonction dont le domaine a un intérieur vide. Si J est différentiable (au sens de Fréchet) de dérivée notée D J ( z ) en z, a J ( z ) = { D J ( z ) } .On dit qu’une fonction est sous-différentiable en z si son sous-différentiel en z est non vide. Par exemple, la fonction z H 1x1 est différentiable partout sauf en O où elle est cependant sous-différentiable, le sous-différentiel en ce point étant égal au convexe [-1, 11.
Proposition 5.15. Sozt J une foncfaon c o n w z e de X dans E, finze et contznue au poznt u E X . Alors, û J ( u )# 0. Un cas particulier de fonctions soils-différentiables est celui des fonctions Gâteaux-différentiables. À ce sujet, on rappelle la notion de dérivée directionnelle :
Définition 5.16. Soit J une fonction convexe sur X . On définit la dérivée de J au point z, directionnelle à droite relativement à y E X’, comme étant J’(x,y) = inf
+
J ( z A!/)
X>O
-
J(x)
x
Lorsque f est une fonction d’une variable, si y
> O, f ’ ( z ,y)
=y
fi(.) et
si Y < O, f’(z,lJ)= f y ( x ) ! / . I1 est clair, dans le cas général, que cette borne inférieure, qui est aussi une limite, existe. Cette dérivée est liée au sous-différentiel grâce au :
Théorème 5.17. O n suppose que J est continue et finie e n x (ou encore que x est un point intérieur au domaine de J ) . Alors : v y EX,
J’(z,y)
=
sup Z*ti?f(Z)
(x*,y).
5.2. RAPPELS D‘ANALYSE CONVEXE
235
La notion de Gâteaux-différeritiabilité se déduit de celle de dérivée directionnelle :
Définition 5.18. Une fonctionnelle .J convexe sur X , est dite Gâteauxdifférentiable en PL élément de X si, pour tout w E X , w H J’(u, w) est un élément de X ’ , qui est alors noté J’(u). Ainsi, pour tout w E X I on a : J’(*u,‘u -
(J’(u),w
r u )
=
lim
-
u)=
lim
J ((1- t ) u + t u ) - J ( u )
t-O,t>O
+ t(7)
J ((u
-
t
u ) )- J ( u )
t
t-O,t>O
Corollaire 5.19 (du théorème 5.17). Si J est convexe et continue en u,son sous-dzflérentiel en ce point u est réduit à u n singleton de X’ si et seulement si J est Gâteaux-différeritiable en u.O n a alors ô J ( u ) = { J ’ ( u ) } . Exemple 5.20 (de fonction Gâteaux-différentiable). Soit F définie sur LP(R), où 1 < p < 00, par F ( u ) = l / p s n (u(p(z)dz.Alors, F est Gâteaux-différentiable partout et : F’(u) = ~
~ T L I ~ ~ ~ u .
En effet, on remarque d’abord que IulPp2u E LP‘. En intégrant, sur Q, l’inégalité de convexité appliquée pour u et h dans Lp(R), à savoir : l u
+ hlP(z)
-
IuI”(z)3 p17Ll~-2U(2)h(z)l
on obtient l’appartenance plulPp2u E B F ( u ) . De plus, pour presque tout .7: E R,le théorème des accroissements finis assure l’existence d’un nombre Q,,t E ]O, l [ tel que :
).(. I
+ th(z)l” = pth(z) ).(.I(
- IU(.)I”
- ptll(Z)IU(Z)/P-2U(.)
+ to,,th(Z)/P-2(u(z)+ tQ,,th(x))
- ~U(Z)~p-”(z)).
Par continuité, la parenthèse dans le second membre tend vers O presque partout dans R lorsque t 4 O. En majorant ce secorid membre par 2(lu(z)l+/h(z)l)pp’, on a :
Enfin, en utilisant l’inégalité de Holder, on voit que l’intégrale de cette dernière fonction est majorée par ~ l h l l ~ ( l l u l ~\ ~~ ~ ~ ~ P On ) p peut p l . donc appliquer le théorème de convergence dominée et conclure à la G-différentiabilite de F , au point u.
+
236
CHAPITRE 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Remarque 5.21. Cet exemple peut se généraliser dans des espaces de Sobolev : Soit G définie sur bVIJ’(fl) pour p > 1 par G ( u ) = l/pJ, jVulP(z)dz. Alors, G est Gâteaux-différentiable partout avec (cf. section 5.8) :
5.2.3. Minimisation d’une fonctionnelle convexe
Définition 5.22. Une fonctionnelle J définie sur un espace de Banach séparable X est dite coercive si : lim J ( z )= t o o . I 1 4 x ++cc On se préoccupe du problème de riiiriimuni de J sur un convexe fermé de X . Deux résultats sont utiles :
Proposition 5.23. Soit J une fonction convexe sur X ti rualeurs dans IR U {fm}. Pour tout IL E dorn(J), les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (1) J ( u ) = inf,,x J ( z ); (2) pour tout v E d o m ( J ) , on a : J’(u, I I - u)3 O.
Preuve de la proposition 5.23. 0 Si u vérifie (I), alors :
J ( uf t(v - u) J(u) 3 o. t En faisant tendre t vers O, on obtient la propriété (2). Réciproquement, pour tout x E X , 011 peut écrire, lorsque t E ]O, l [ : V u E dorri(J), V t E ]O, 1[,
~
+ (X - u ) )- J ( u ) 3 J ( u + t ( z
-u)) J(u) 1 t D’où, en faisant tendre t vers O, l’inégalité J ( z ) - J ( u ) 3 J’(u,z - u ) 3 O, d’où la propriété (1). O
J(z) - J(u) =
J(u
~
Proposition 5.24. S’il existe une solution u E X au problème infuEXJ ( u ) et si J est Gâteaux-différentiable en ce point u, alors le sous différentiel en u , q’ui s’écrit a J ( u ) = { J ’ ( u ) } est réduit & O . Réciproquement si J est convexe et Gâteaux-différentiable en u avec J’(u) = O , alors u est un m i n i m u m pour J . Théorème 5.25. Soient X u n espace de Banach séparable et réflexif, U un convexe fermé d e X et J une fonctionnelle convexe, propre, coercive et semi-continue inférieure. Alors il existe une solution au problème : inf J ( u )
UtU
5 . 2 . RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE
237
Ce minimum u est alors caractérisé par : b’v E dom J
Dans le cas où U
=X
n U , J’(u, v - u)3 O.
, cette caractérisation devient : b’u E dom J ,
J‘(u, v)
= O,
ou bien encore O E ô J ( u ) , ce qui redonne J ’ ( u ) = O si J est G-différentiable en I L . Dans le cas d’un sous-espace a f i n e U = xo + Y , où Y est un sous-espace vectoriel fermé de X , le minimum xo ‘Li se traduit par :
+
b’5 E Y , xo + G E dom J n li et, s i ,I est G-différentiable e’n xo
* J’(Q
+il,:)
=O
+ 6,par J’(x0 + 6 ) = O.
Preuve du théorème 5.25. O Montrons que l’infirriurn est fini. Sinon, il vaut -0û et il existe alors { u T LE} UN, telle que J ( u n ) -0û. Si {un}était bornée. c’ri extrayant une sous-suite qui converge faiblement vers u,le fait que J est s.c.i. entraînerait que J ( u ) = -00, -f
ce qui est absurde. Donc { u n } est non bornée. I1 existe donc une sous-suite ~ ~ u n+ ( n+oo ) ~et~en~ utilisant la coercivité de .I,J(IL,(,)) 4 +00. ce qui constitue une contradiction. Finalement
rn
=
irif J ( u ) >
-00.
UEU
Soit { u n } une suite rninimisaiite du problème. Alors, J ( u T L ) rn et en particulier { u n } est bornée (sinon il existerait une sous-suite de ( u ~ ~ rio), tée qui tendrait vers l’infini, et donc telle que J ( I L , ( ~ + ~ ) 00). Puisque X est reflexif, et que ci est faiblement séquentiellement fernié, on peut extraire de { u ~une ~ }sous-suite qui converge faiblement vers u dans U . Puisque J est convexe et s.c.i., elle est aussi faiblement s.c.i., d’où : -f
J(u)6
lim
J ( u n ) = m,
n i a
ce qui prouve que u est une solution. Le reste du théorème résulte des définitions de la dérivée directionnelle et du sous-différentiel. O
Remarque 5.26. Si J est strictement convexe, la solution u est unique. Remarque 5.27. Si u appartient à l’intérieur de U , J est alors corit,inue en u, et possède un sous différentiel non vide en u.La condition de niiriimurri donne alors (proposition précédente) : O E a J ( u ) .
238
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
5.3. Résolution d’EDP linéaires elliptiques de type Dirichlet 5.3.1. Introduction Considérons le problème de Physique qui consiste en l’étude de la position d’équilibre d’une membrane élastique dans le plan. La membrane se projette sur le plan dans un ouvert (1, son bord restant confondu avec la courbe frontière dR de cet ouvert. La membrane est soumise en chaque point z = (21, z 2 ) à une tension, force verticale définie par une fonction z H f ( z ) . Le déplacement de ce point z s’identifie à la cote de la membrane z = u(z) en ce point. Les équations de la physique conduisent à l’équation vérifiée par u , à savoir -Au = f avec, en outre, la condition frontière u = O sur dR. C’est un des modèles physiques du problème de Dirichlet. En remplaçant la condition frontière u = O par u = uo, où uo est une fonction donnée sur ûR, on obtient un problème de Dirichlet non homogène.
FIGURE 5.1
En modifiant la condition frontière, d’autres types de problèmes apparaissent et, parmi eux, ceux de Neumann qui seront étudiés plus loin.
5.3.2. Problème [Dr]Lde Dirichlet dans H1(R)associé au laplacien
Énoncé d’un problème d e Dirichlet. Soit A l’opérateur de Laplace, défini pour une distribution T appartenant à D’(fi), où R est un ouvert de IRN, par :
On considère pour commencer le problème dit de Dirichlet. Soit R un domaine borné de classe C1 de IRN, et f une fonction de L2(s2).On cherche u
5 . 3 . RÉSOLUTIOND’EDP LINEAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 239
solution du problème : [;l)Zr]i:
-Au= f
dans R , sur do.
Dans la suite, on pourra considérer le même problème avec une donnée non nulle sur le bord. Cette donnée devra avoir une certaine régularité : par exemple si on cherche une solution dans H1(R), on imposera à la donnée au bord d’être au moins dans N112(dR).
Unicité de la solution dans H1(R) si elle existe. Supposons u et w dans H’(R) qui vérifient toutes deux l’équation. Par différence, u - 71 vérifie : A(u - u ) = O. En multipliant par u - w, en intégrant sur R et en utilisant la formule de Green généralisée vue au chapitre 3 , on obtient
Comme u - u = O sur le bord, on obtient le résultat.
Existence d’une solution duns H1( O ) . Pour démontrer l’existence d’une solution, on transforme le problème en un problème dit variationnel. On utilise alors les résultats précédents 5.24 et 5.25 pour une fonctionnelle J que nous allons associer au problème de Dirichlet : Soient R un domaine borné de IRN, f 6 L2(R) et J , définie sur Hi(R) = w;l2(n) par :
Supposons que J soit convexe, continue et coercive sur Hd(R). Le théorème 5.25 nous apporte alors l’existence du minimum de .I. Comme J est Gâteaux-différentiable (et même, Fréchct-différentiable) en tout point u E H1(0),avec :
( J ‘ ( u ) ,II)
=
Vu . Vv
-
.I,f
v,
il en résulte que, si u est un minimum, alors la condition (proposition 5.24) (J’(u),w) = O nous donne, avec u E D(R), le résultat -Au = f , autrement dit, u est une solution du problème de Dirichlet. I1 est facile de voir que J est convexe et continue, et il nous reste à montrer que J est coercive sur HU(O). Cela nécessite l’inégalité suivante, dite de Poincaré (cf. aussi, sa généralisation : exercice 2.9).
Proposition 5.28. Soit R un domaine borné de classe Cl. Alors il existe une constante Cp > O telle que, pour tout u dans HA(O), on ait l’inégalité :
C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
240
Preuve de la proposition 5.28. Si on contredit la proposition, il existe une suite {un}dans Ho(R) telle que = 1, et IIVunl12 6 i / n . D’après la compacit,é de l’injection de Sobolev H1(n) ~t L2(R), on peut extraire de {un}une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O), et fortement dans L2(R). Soit u sa limite. Puisque IIVz~~112 O, la semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la norme dans L2 nous donne :
llVull2
< lim llVunIl2 = O.
Donc u est constante et comme 7~ appartient à HA, 7~ est nulle. Mais on a aussi, puisque {un}converge fortenient vers 7~ dans L2 : IIuIl2
= lim l l 7 h t l l 2 = lim IlunIlH; = 1,
O
ce qui constitue une contradiction.
Or1 revient à la coercivité de J . On peut écrire, en utilisant la constante Cp de la proposition 5.28 : O
fui 6 l I f l l 2 l l u l l a 6 llf 1 1 2 I l ~ l l H ’ ( R ) 6 C;llf
1
llz” + qllull;1(c).
112,
Puisque J ( u ) 3 1/4Cgllull&l O tel que :
= Aji ;
‘dxE RN, X A i j x i x j 2 a / z l 2 . ..
23
Cette dernière propriété est dite uniforme ellipticité de A. On cherche u solution du problème :
Remarque 5.29. Ce problème s’écrit - div(A(x)Vu) = f , donc conime une EDP (cf. préambule) sous forme divergence. Un avantage, entre autres, à l’existence de cette écriture, est d’obtenir une formulation sous forme
5.3. RÉSOLUTION D’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 241
variationnelle du problème. Ce problrme est une généralisation de [Dr]:, puisqu’il suffit de choisir A,, = 6: pour l’obtenir.
Existence et unicité d’une solution. 11 suffit de suivre les mêmes arguments, aussi bien pour l’unicité que pour l’existence, que ceux utilisés dans le problème précédent [Du-]:. La fonctionnelle J que l’on associe à ce problème s’écrit :
où A ( x ) X . Y désigne le scalaire Aij(x)X,Y,. La formulation variationnelle de [Dir]5est ainsi : uEHO(C2) inf
cil
A ( x ) V u . V u d x - l fudx}.
On prouve facilement la convexité et la continuité de J . La coercivité est une conséquence de l’inégalité de Poincaré et de l’uniforme ellipticité de A. La fonctionnelle J est Gâteaux-différentiable, sa dérivée étant définie par : ( J ’ ( u ) u) , =
h
A ( z ) V u ( x ). V‘PI(Z) dx
-
Jn
f ( x ) w ( x dz. )
À l’aide de la formule de Green, on prouve que le minimuni sur H; (R) de J est bien la solution du problème [Dr]L.
Remarque 5.30. Notoris aussi qu’on peut remplacer f E L2 par f E H - l ( R ) . Daris ce cas, on remplace l’intégrale fu par le crochet de dualité ( f ,u). La fonctionnelle précédente ainsi modifiée reste continue et coercive.
s,,
Cette remarque sera utile dans la section sur les problèmes non honiogènes, qu’il s’agisse de Dirichlet ou de Neumann.
5.3.4. Problème de Dirichlet [ D L ~ ] sur : , ~ H1(R) On ajoute au premier membre des EDP précédentes le ternie Xu.
Énoncé du problème. Soit R un domaine borné de classe C1. Soit C une constante de Poincaré, à savoir C = Cp2, où Cp satisfait à la proposition 5.28. Soit aussi X un réel tel que X > -C. On cherche une solution u du problème :
-Au u=o
+ Xu = f
dans R, sur dR.
242
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Existence et unicité. On cherche u comme solution du problème variatiorinel (5.31)
La fonctionnelle est coercive car X > -C. Dans le cas où X 3 O, cette fonctionnelle étant également convexe et continue, on peut conclure, comme dans les deux problèmes précédents. Si -C < X < O, la fonctionnelle n’est pas convexe, mais cependant, on peut utiliser la convexité des termes autres que Xl(ull2 pour montrer l’existence d’une solution. En effet soit { u n } une suite niininlisante. Elle est bornée dans Ht(R) puisque la fonctionnelle est coercive. On peut en extraire une sous-suite qui converge faiblement dans H1 et fortement dans L 2 . Cette convergence fort,e dans L2 permet de dire que XIIunll; XlIull;. D’autre part, la semi-continuité inférieure de l’application ‘u ++ 1 / 2 l l V v ~-~ ~ f ( x ) v ( s ) d z pour la topologie faible, entraîne que su est un minimum. On vérifie, dans tous les cas, par le calcul de J’ et l’utilisation de la formule de Green, que ce minimum est une solution du problème [2)ir]a,x. f --f
s,
Remarque 5.32. On peut remplacer X par une fonction a continue et bornée sur (1, telle que, pour tout 2 E 0, a(.) > -C. 5.3.5. Problèmes
[ D ~ r ] a , Valeurs ~. propres et vecteurs propres
de -A
On suppose toujours R un domaine borné de classe C1. Lorsque X = -C = -Cp2, où Cp est optimale dans la proposition 5.28, le raisonnement précédent n’est plus valable. Cette valeur de la constante C est donnée par 1
+l/Xl,
où : XI =
inf .ilCH:(n)
/’
l~u12(x)ciz
R
ll4l2=1 Nous allons voir que cette valeur critique X I est une valeur propre de -A et que le problème homogène associé, à savoir possède des solutions non nulles qui seront ainsi des vecteurs propres de -A associés à XI. Plus précisément :
Proposition 5.33. Soit XI définie ci-dessus. Alors XI est strictement positive et il existe u 2 O, qui réalise llulla = 1 et lIVu1I2 = X i . D’autre part u est u n vecteur propre d e -A associé ù XI, ù savoir, u est solution de [ Z h ] ~ , p A , . Enfin, R étant connexe, l’espace propre associé est de dimension 1. En particulier, sous cette hypothèse, toute fonction propre est de signe constant.
5.3. RÉSOLUTIOND’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES D E T Y P E DIRICHLET 243
Preuve. 0 On commence par montrer que X i > O. Cela résulte de l’inégalité de Poincaré, mais nous la montrons ici directement pour faciliter la lecture. On a X1 3 O. Supposons X1 = O. Alors il existe une suite { u n }dans H t ( O ) telle que lluTL112= 1 et llVu,\~2+ O. Puisque l’espace Hg(O) est un Hilbert, donc réflexif, on peut extraire de { u n }une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O) vers une fonction I L de cet espace. Par la compacité de l’injection de H i dans L2 on a IIu(/zx 1 et, finalement, la convergence forte de { u n } vers u dans H1 puisque { u n }terid vers u dans L2 et { V u n }+ O dans L2. On en déduit : V I L= limn-+oo V u , O d’où u = O, puisque u = O sur le bord, ce qui constitue une contradiction avec IIu(/2= 1. Finalement X1 > O. Soit maintenant { u n } une suite minimisante, donc telle que IIVu,ll; 4 X1 avec JJ?L,,J]~ = 1. La suite est bornée dans HO, donc pour une sous-suite encore notée { u n }on a : IL,
2
u dans HO,
un
-
u dans L2.
En particulicr lJuIJ2= 1 et, par semi-continuité inferieure pour la topologie faible de u H lDu112, on a :
Xi
O, fonction qui appartient à HA. On obtient :
+
Transformons le ternie de droite ; on a :
VU.V(-)
II U+E
=2-
II IL
+
Y2
VU.VV-E
(11,
+
E)2
/VUl2
Doric :
Or, grâce au tliéorèrnc de convergence dominée, le terme de gauclic tend w2(z)dz= IVv12(z)dz.Par conséquent : vers XI
s,
2
‘II
!%llutcVIL - V7i/
= O,
ce qui entraîne que lini,,oV(v/(t+e)) = O dans L2 fort sur tout compact. D’après un principe de maxiniurn strict(cf. proposition 5.74), ‘u > O à l’intérieur de R. Soit alors RI un compact connexe dans R et mcl, telle que u m c 2 , sur RI.La suite {71/(u E ) ) } converge vers I I / U dans L’(RI). Le passage a la limite précédent montre que son gradient est riul dans (21. On en déduit v = ~ $ 2 ~ Finalement, 7 ~ . en considérant des ouverts connexes coiitenarit (21, on voit que cette constante ne dépendant pas de ( 2 1 . L’ouvert I l ktant coiiiiexe, on a donc prouvé l’existence de C telle qiic v = C u dans (1. Or1 a prouvé eri d i n e temps quc toute fonction propre est de signc O constant, ce qui achève la démonstration.
+
Remarque 5.34. À la place de la déniorist,ratiori précédente, 011 peut aussi utiliser le résultat de régularité des solutions des problèmes de Dirichlet (voir plils loin) et le principe de Hopf qui est énoncé dans le théorème 5.83.
5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES
245
On constate alors que la fonction v 2 / u est alors dans H1 ce qui permet d’éviter l’intervention d’un paramètre E (cf. exercice 5.1).
5.3.6. Problèmes [ D U - ] L , _avec ~ O
< X < XI
Alors, la fonctionnelle & minimiser n’est pas convexe mais coercive et faiblement s.c.i. On suppose O < X < XI. I1 s’agit, R étant iiii domaine borné dc classe C1 dans R N ,de trouver u solution dans HO(R),de [ZXr]L.pA, avec f E L”(62).
E:ristence d’une solution. 0
Cette équation conduit à considérer la fonctionnelle dkfiriic sur HO (R)
par :
Cette fonctionnelle est coercive puisque X < X I . Le minimum est donc dans R.Soit alors ( 7 ~ ~une ~ ) suite niinimisante pour J . Elle est bornée dans HO donc. quitte & extraire une sous-suitc, elle converge vers u E H i , faiblcnient dans H~ et forternerit dans L 2 . On en déduit qiie le terme non convexc -A ln ~ I L , , ~ ~ (converge J)~x vers -A Jr2I I L ~ ’ ( J : ) ~ ~ . L’autre terme en gradient etant s.c.i. pour la topologie faible, on en dkluit que u est solution dtl
ce qui montre le résultat. 0 Puisque J admet un minimun~ en 7 ~ on , a J’(u) X!u = f . dans HA(R) par I L , à savoir -Au
= O,
d’où I’EDP vérifiée
-
Urvicité. Puisque l’iiquation est linéaire, il suffit de vérifier que U J ,solution de [Dr]a,pX est nulle dans R. Pour cela, il suffit de se rappe1t:r que, si w n’est, pas ideritiquement nulle, elle est une fonction propre pour une ~ialeur propre X < XI ce qui est impossible par la proposition précédente.
5.4. Régularité des solutions précédentes
On s’iriteresse niaintenant iila régularité des solutions des problèrnes [ D r ] précédents. 5.4.1. Problèmes [2)(,r]i
Théorème 5.35. Soit R un, domaine borné de classe C2 et f un élémen,t de L‘((il). Soit A vérifiant les hypothèses précédentes. Alors, s i u est la solution dans HU (O) de elle appartient (i. H’((11).
[&]A,
246
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Preuve du théorème 5.35. Faisons un préambule à la preuve pour en faciliter la lecture. Elle se fera en trois étapes qui sont justifiées par ce qui suit : En utailisant une partition de l’unité {pi} attachée au recouvrement de classe C’ de 0, on se ramène à montrer que chaque cpiu est dans H2(R).En effet si ‘pk est dans D ( R N ) ,elk vérifie aussi une équation div (A( z)V ( ‘ p k u ) ) E L2(O), car le second membre de l’expression :
appartient à L’(a). Dans le cas de k = O, puisque pou est à support compact dans 0, elle satisfait une équation de la forme div(A(r)V(pou)) E L z ( R N ) , ce qui justifie une première étape, à savoir :
Étape 1. On commence par niontrer Ie résultat sur R ~ autrement , dit : si u E H ~ ( R est ~ )à support compact et satisfait à l’équation -
div(A(2)Vu) = f ,
avec f E L’(EXN) et A symétrique, lipschitzienne et coercive, alors, u E H2(RN).
Pour les autres fonctions ( p k u , on doit donc montrer que si u est à support compact dans un ouvert de la forme RI, n 2,avec la condition au bord (Pku(Z’,u(d)) = O et satisfait par ailleurs à div(A(z)Vpku) E L 2 , alors pku E H 2 . Outre le fait que a peut être la fonction nulle et donc que le bord est localement droit, on peut par un changement de cartes, comme on le montre plus loin, se ramener à ce cas. Par conséquent. cette remarque justifie une deuxième étape, & savoir :
Étape 2. On étend le résultat obtenu à la première étape à l’ouvert R ]O, +a[ avec la condition IL = O sur { r =~O}.
~x-
La démonstration se terminera par : Étape 3. On étend à l’aide de cartes locales et de partitions de l’unité, le résultat au cas de 0. Ici la difficulté provient du fait qu’en changeant de cartes, A(z) est rnodifiée. Cette difficulté sera surmontée en reniarquant que A ( z ) est remplacée
~
5.4. RÉGIJLARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES
247
par une matrice B ( z ) ,elle aussi uniformément clliptique. On pourra donc conclure en utilisant les résultats déjà obtenus sur IRWNp1x ] O , + m [ .
Première étape. Soit u E H1(IRN)à support compact. On fixe une direction e,, et on définit la translatée u h : z H u(z+he,).Puisque l’équation est linéaire en u on a div(At,Vuh) = fh, de sorte qu’en retranchant cette équation translatée de l’équation et en multipliant ensuite par utL u,on obtient par intégration sur R et utilisation de la formule de Green sur H1x W2(div) : ~
+
On développe le premier facteur en : (Ah - A)Vuh A(Vuh -Vu),pour en déduire, à l’aide d’une translation de la variablc dans l’intégrale du second membre :
En divisant par h2 on obtient :
Pour le second membre, considérons u = (uh - u ) / h . Alors, on a la relation (u- ‘uU-tL)/h = (uh - 2u u - h ) / h 2 .Puisque ‘u E H ’ ( R N ) ,on déduit de l’inégalité (2.26) de la proposition 2.23 appliquée pour R = RN,la niajoration
+
En utilisant en outre l’uniforme ellipticité de A, la relation précédente fournit :
Finalement, on obtient
248
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Puisque le membre de droite est indépendant de h, on peut utiliser la caractérisation des fonctions de H 1 à l'aide de différences finies, donnée (cf. encore la proposition 2 . 2 3 ) dans le chapitre 2. En faisant décrire à e, une base de RN,on obtient, pour u solution de [Dr]A,l'appartenance VVu E L2 avec, pour la norme, l'inégalité :
1 IIVVUlI2 6 p u 1 1 2 IlVAllm + Ilfllz).
Deuxième étape : cas de RN-l x ] O , +CO[. On peut reproduire les calculs + ci-dessus, avec h = he,, où z < N . En raison de la nullité de u h - u sur le bord, la formule obtenue en intégrant le produit div(AhVuh - AVu)(uh- u) nous donne, par la forniule de Green, si l'un des indices ( z , ~ ) est différent de N , l'appartenance :
a,,u E L2(RNP1 x ]O,
I1 reste à obtenir que
~ N N UE
+CO[).
L2. Pour cela, on écrit l'équation sous la
forme : 8N(ANNaNu)
=f
&(A&u) E L 2 .
-
z
x B z , X t X , = EAz,7’,Y,. 23
23
En développant cette égalité et en identifiant, on obtient les relations : (2,
j ) E [I,N
-
Il2, B,,= A,,
V Z E [I,N
-
11, B,N
= A%N -
A,,d,a 3GN-I
B N N= A N N+
diaAi~
Aijôiudja2,gGN-l
i”. Les hypothèses faites sur u permettent aussi d’affirmer que la fonction ( x ’ , x ~H ) h ( z ’ , x ~= ) ~ ( x ’ , u ( x ’ ) + x Nest ) dans L 2 ( 0 ’ x ] O+CO[). , Puisque .(.’,O) = u ( d ,a(%’)), u est solution du problème [237-]h,. Pour appliquer les résultats de la deuxième étape, il reste à voir l’uniforme ellipticité de B . Pour cela, soit C la matrice telle que Y = C X , c’est-à-dire :
V’i
N , la solution u est continue et lorsque 2 m > N , elle est de classe C2. 0 De même, si f E Cm(R) et A E Cm(n), ce qui implique f E H;U(R), alors u E HI,, n”+”(n)= c-(n).
+
n,
n,
Preuve de la proposition 5.40. 0 Pour montrer la proposition, on raisonne par récurrence sur m. Corrimençons par supposer que u est la solution dans H1(RN-l x 1 0 , + 4 ) du problème [Zhr]2,où f E Hm(RNpl x ]O, +a[). Supposons la proposition montrée à l’ordre nb-1. On a donc u E H“+l(RNpl x]O, +cm[). Si IC 6 N-1, en dérivant l’équation par rapport à la variable x k , OII obtient :
252
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Donc, compte tenu des hypothèses et du résultat à l'ordre m - 1, le membre de droite g de l'équation (**) appartient à H"-l. Par ailleurs, sur dR,on a dku = O, car w,(z',O) = O entraîne d k u ( d , O) = O. La relation (**) exprime donc que d k u est solution de [Dk]:. En utilisant une seconde fois l'hypothèse de récurrence pour d k u , l'appartenance de g à H7n-1(RN-1 x ]O, +CO[) entraîne celle de la dérivée &u à H"+l(RN-' x 10, +CO[). II reste à nioritrer que dNu E H ~ ~ + ~ x( ]O, R +CO[). ~ - ~ Or, puisque u E H"+l(RN-l x ]O, +CO[), on a déjà 3 ~ EuH"(RN-l x ]O, +CO[). Comme on vient de montrer que dku E Hm+' (IRN-' x ]O, +CO[), on a, pour k 6 N - 1, le résultat & N U E H"(IRNpl x ]O, +oo[).D'autre part :
Enfin, par l'uniforme ellipticité de A, il existe une constante (Y > O telle que ANN 3 (Y > O. Doric, en notant que si une fonction u t et si b E C" est telle que b # O, alors v/b E H", on obtient ~ N N UE H"(RNpl x ]O, +KI[). De tout cela, il résulte que u E HTn+'(RN-l x ]O, +CO[). En fait on peut aussi, dans ce qui précède, supposer seulement que A est un élément de Wm+l,oo. 0 On passe au cas général. On utilise encore la partit,ion de l'unité et la localisation. Les notations concernant les définitions de la régularité Cmf2 restent toujours les mêmes, on est donc ramené à montrer que l'on a pku E H m f 2 ( R k n R) en supposant que div(A(Vu)) E H"(Rk n 0 ) . Soit 11 la fonction définie dans RI*n R par
où a une fonction de classe C T n f 2 sur 0'. Alors w est à support compact dans 0'x [O, CO[. En utilisant B introduite dans la preuve de la proposition 5.35, elle est solution de div(B(Vv)) = g avec g E H"(C3' x ]O, +CO[), et B E C"+'(R n 0,) donc, par Ia première partie de la proposition, E H " f 2 ( O / x ] O , +CO[) et en utilisant le fait que a est Cm+2, on trouve que (PkU E H m f 2 ( R k n O). En utilisant un recollernent, on a finalement la conclusion u E H m f 2(fl).
O
5.5. PROBLÈMES DE N E U M A N N
253
5.5. Problèmes de Neumann
Lorsque la condition frontière fait intervenir dans le modèle physique de Dirichlet, non plus une égalité portant sur la fonction inconnue, mais sur une dérivée de cette fonction, le problème est dit d e Neumann.
5.5.1. Trace normale et dérivée normale Soit
R
un domaine horrié de classe C1 et A une fonction appartenant à
C1(D) à valeurs dans l’espace des matrices symétriques sur RN.On suppose que CT E L2(R,IRN) de sorte que n: H A(z)u(a) est défini comme fonction sur R à valeurs daris RN.On a, puisque R est t)orné, Au E L2(R,I R N ) , donc, si on suppose que div(Au) E L2(R),on en déduit que ACTE Wz(div)(R), espace introduit au chapitre 3 (§ 3.4.3). Alors, par la formule dc Green généralisée 3.58, I t symbole ACT. Z’ a un sens sur 30. Ainsi :
V U E H’(R).
b
( A c T . Z ’ , ~ ~=U ) Ao(z).VU(x)dn:+
U ( x )div(Au)(z)dz.
Définition 5.41. Cette forme linéaire Au . $, qui appartient au dual de l’espace de traces H’/2(df2),donc & ~ ? - l / ~ ( d R est ) , appelée la trace norrnale de .4u sur di]. En particulier, si u E H’(f2) et div(AVu) E L2,la dérivée nor~nale, ou plus précisément la dérivke A-norm,& de u , à savoir A(n:)Vu . 2 = Ai,?&unj, appartient à H-1/2(dR). En prenant pour A, la matrice identité, 011 obtient que, sous les conditions A’u E L2(R)et u E H1(0), on peut parier de la dérivée iiorrnale & I L L qui appartient ~ - l / ’ ( d n ) . 5.5.2. Problème de Neumann homogène
[Neu];
Énoncé du p r o b l h e . Le problème consiste à chercher u dans H’(f2) tel que : dans R , - div(A(z)Vu) = f
[Neu];:
{
A(Vu) .nI = O
sur 30.
Remarque 5.42. Notons que ce problème n’a de solutions que si :
.1/1
f (n:)dx= O.
(5.43)
En effet, si u est une solution, en appliquant la formule de Green avec p et A(n:)Vu qui appartient à W;(div), on a :
1
f(z)dn:=
1
-
=
1 ~ 2
div(A(n:)V,u(n:))dn:= ( A ( x ) V u . Z’, i n ) = O.
On supposera donc cette condition remplie et, également, que A vérifie les hypothèses éiioiicées dans l’étude du problème [Dr];.
254
CHAPITRE 5. EDP ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Formulation variationnelle. Comme dans ce qui précède, on associe à ce problème, la minimisation : inf J ( u ) =
(5.44)
inf utW’(R)
{
L ( A ( x ) V u ) . Vudx
~
fudz]
s,
Compte tenu de l’hypothèse f ( x ) d x = O, on remarque que, si u est une solution, alors u cte est aussi solution, et plus généralement que la fonctionnelle J définie dans (5.44) vérifie J ( u + cte) = J ( v ) , ‘iv E H I ( [ ] ) .En identifiant l’espace des fonctions constantes à R, on peut alors travailler sur l’espace quotient H1(R) = H1(R)/R. Muni de la norme quotient, à savoir (cf. exercice 1.28) :
+
-
(5.45) cet espace est un Banach séparable et réflexif. Pour montrer la coercivité _ I
-
de Jdéfinie sur H1(R) par J ( V ) = J ( v ) , on utilise une inégalité analogue à celle de Poincaré :
Proposition 5.46. Soit R u n domaine borné de RN . Pour tout u appartenant u(z)dx. à H1(R), o n définit [u]n par [u],= (mes(R))-’ Alors, il existe une constante C > O telle que :
Preuve de la proposition 5.46. Si u = cte, l’inégalité est évidente. Dans le cas contraire, posons, pour u E H1(R), m(u) = [u]nln. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite { u n }E H 1 , un non constante, telle que : Ilun - m(urJ/lHl(n)3 ~
I I ~ U n I l 2
Soit alors la suite des termes v, = (llu, - m(u,,)/)2)p1(u, - m ( u n ) )On . a l/Vunl12 1/n, et Ilvn/12 = 1, donc {un} est bornée dans H1(f2),et puisque l’ouvert est borné, on peut extraire de {un} une sous-suite, notée de la même façon pour simplifier, qui converge dans H1(R) faible et dans L2(R) fort. Puisque lIVv,l/~ converge vers O, on a la convergence forte. En particulier, la sous-suite choisie converge vers une fonction qui est constante. Mais la fonctionnelle ‘riétant linéaire, on a m(urL) = O et, puisque vi est évidemment continue pour la norme de N 1 , on en déduit que {m(v,)} converge vers m ( v ) , qui est égal à 11, car I) est une constante. Finalement v = O. Ainsi, en utilisant llunllH1 = 1 et la convergence forte, on en déduit IIwIILz(n) = 1, ce qui const it ue une contradiction. O
O et que cette borne inférieure est atteinte. Montrer qu’un minimum u vérifie :
-apu= x1 I ~ I P % . Soit un nombre p, tel qu’il existe w E Wi”, w # O avec -Apv = ~ I w U J P - ~ V . Montrer alors que ce nombre vérifie p 3 XI. Pour p = 2 on retrouve ainsi la première valeur propre du laplacien.
Zndzcatzons. On utilise la proposition 5.57 (inégalité de Poincaré) pour en déduire que X i 3 C pour une constante C donnée par cette proposition. Soit maintenant une suite {u,} de norme 1, telle que (IVu7,11P+ X i . On en déduit une sous suite qui converge faiblement vers u dans W1,”et fortement vers u dans LI’, en particulier IIullp = 1. Par semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la semi-norme, on montre que llOullP < X i . À l’aide de llVuilP 3 X i , on conclut. En utilisant, pour t E R et p E D ( O ) , l’inégalité llV(u + tp)IIP 3 X1IIu + tplj; et les accroissements finis (cf. premier chapitre par exemple), on niontre :
3 xi
s,
lqdz
+pt
s,
lulP-2upda
+ o(t).
Avec llVullP = XiIIuIIP, en divisant par t > O puis en faisant tendre t vers O, on obtient : lwl”-2updz. IVulP-2Vu ’ Vpdz 3 xi
l
JI,
On termine en changeant p en -p. Soit p tel qu’il existe v E W;,”, v # O avec -A,v = p l ~ l ” - ~ vI1. suffit de multiplier par v et d’intégrer pour obtenir, grâce à la définition de X i , la propriété annoncée, à savoir p 3 X i .
Exercice [ * *]5.3 (régularité de fonctions propres d’un opérateur divergence). Soit $2 un ouvert borné de classe C’ de I R N . Soit A E avec IC 3 l+[N/2], la matrice A étant symétrique et uniformément elliptique. Montrer qu’une solution u de div(A(z)Vu) = Xu est de classe C1 à l’intérieur de R. On montrera par récurrence que u E HL:’(R). En utilisant les injections de Sobolev, on en déduira u E C1>“pour un a que l’on calculera.
C‘(a)
290
C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Exercice [*] 5.4 (compléments au principe du maximum strict : principe de HOPf). Soit R un domaine de RN de classe C1 et p un réel > 1. On suppose que u est solution de -A,u 3 O et u = O sur d o . On suppose aussi que u est de classe C1 sur 2.Montrer que, sur la frontière, on a :
m. Exercice [**I 5.5 (simplicité de la première valeur propre du laplacien). On reprend les notations de la sous section 5.3.5. (1) Montrer qu’il existe une solution de -Acp = Alp, avec A 1 la première valeur propre du laplacien et cp dans H i (O). (2) Montrer, en utilisant le principe du maximum strict, que cp > O dans O. Montrer que, pour tout u et tout w dans HO(R) tels que 2, > O, alors on a l’inégalité dite identité de Picone :
/VuI2- V(u2/u) Vu 3 O, ’
avec une égalité si et seulenient s’il existe X E (3) Soient u et w deux solutions positives :
-Au = X l l L et
-
Aw
R tel que l’on ait u = Xu. = Xiu.
Montrer que u et w sont proportionnelles. Pour ce faire, en utilisant le priricipe de Hopf, on établira qu’il existe E > O tel que u 3 EW dans R.On en déduit que u2/wappartient à H 1(O). Ensuite, en multipliant l’équation en w par u2/u, en intégrant et en utilisant l’identité de Picone, on montrera le résultat demandé. Indications. (1) La fonction p est solution du problème de minimum (cf. exercice 5.1) :
inf
1
~vu(x)/zdx.
U€HOP) c2 Ilu.l12=1
L’existence d’une solution non négative résulte de lVlul I < IVul. Si p 3 O, alors - A p 3 O. On utilise ensuite le principe du maximum de Vazquez avec /3 = O. (2) En développant le premier membre de l’inégalité de Picone, on obtient : IVu12
ce qui n’est rien d’autre que
~
2U -vu U
‘
vu vu, vv + u2 U2 ’
: u 2 IVu - -Vu1
C’est donc une expression positive et, si cette expression est nulle partout, cela entraîne que, dans fi, on a V(u/v) = O. Finalement, u / u = cte. Cette constante est 3 O.
5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5
(3) Puisqu’il existe C E HO(0).
> O telle que u
291
< Cu sur le bord, on a l’appartenance
u2/u
On multiplie l‘équation en ainsi :
71
par u 2 / u et l’équation en u par u ; on obtient
de sorte que, partout, il y a des égalités au lieu d’inégalités, ce qui implique u = Xv.
Exercice [**I 5.6 (simplicité de la première valeur propre du p-laplacien). Soit (2 un domaine borné de classe C I . Montrer que si p > 1, si u et v appartiennent à W,’”’(O) et vérifient u O et v > O, on a l’identité dite de Picorie, généralisation de celle de l’exercice précédent :
1vuy
- V(uP/.rip-l)
‘
.(v)
3 O,
O(.) = /VvIPp2Vv,et que l’égalité intervient seulement si 7~ = Xv. En utilisant le principe du maximum strict et l’identité de Picone, montrer que si u et v sont solutions de
où
- 4 7 L = X I IuIP%,
alors, il existe X E
-Apu
= A 1 /vIP%,
IR tel que u = Xu.
Indications. En développant ce qui précède, on obtient l’inégalité de convexité
:
avec, par la stricte convexité de z
H IzIp,l’égalité si Vu = (u/v)Vw. Conclure. On miiltipiic l’équation en 7~ par u et l’équation en v par up/(u”-’) et, en remarquant que u”/(v”-’) E Wd (grâce au principe de Hopf), on obtient :
de sorte qu’on a partout des égalités au lieu d’inégalités. En particulier, dans l’identité de Picone, ceci entraîne que u = Xu.
Exercice [**I57(fonctions propres de V2 dans H i ) . Soit s1 un domaine borné de RN et de classe C2. On rappelle que V V ~ L est le vecteur de R N z de coniposantes a,,u et que :
On considère le problème variationnel :
292
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Montrer que X > O et que ce problème a une unique solution. h4ontrer que, si u est solution du problème, on a A2u = Xu.
> O grâce à la généralisation de l’inégalité de Poincaré :
Indicatio~ns.La valeur X est
vu E
HO(R),
II1Lll2
< CIIVVull2.
Pour la prouver, on raisonne par l’absurde en utilisant la suite { u r L }tel que IIVVun112 6 l/nllunli2. En divisant par la norme JIIu7L/12+ /IVun112,on a llvnIIH~= i et I/VVv,112 < 1/n. Par extraction d’une soils-suite et l’utilisation de la compacité de l’injection de H 2 dans H I , il existe une sous-suite {tin} telle que vlL + v dans H 1 fort et VVv, + VVv faiblement. Par la semi-continuité inférieure de la serni-norme, on a VVu = O. En particulier, 7) est un polynôme du premier degré, mais puisque v = O = d71/37~= O sur df2, on a finalenierit v = O, ce qui contredit l l 7 1 i l & ~ = lim = 1. Soit niainteriarit uric suite iriinirriisarite { 7 i V L } pour la valeur A. La suite I/VVu, 112 est bornée et donc, en utilisant Green et d-i;v,, = O sur dR,on obtient : llVvnJ12=
1
-
llvii
div(V~orl)i
O telle que pour tout u E W,’’P(n), on a J , JVuJP3 C J, J u J P .
5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5
295
Soit O < c < C et soit f une fonction continue, et positive au moins en un point. On considère, pour p < N et p < q < p* = p N / ( N - p ) , le problème : inf
w,'
ut .p (0) f(z)l4"z)dz=l
s,,
{I
l ~ u l p ~
c:.h
iulp>.
(1) Montrer que ce problème admet une solution en remarquant que la fonctionnelle que l'on minimise est coercive. Montrer qu'il existe une solution positive. Montrer qu'une solution u vérifie l'équation d'Euler :
-A,u
- c/uIP-2u
= Xf/u/4-2,u,
où X est constante, égale à l'infimurn précédent. (2) Montrer, en utilisant un scalaire convenable, que l'équation
-A,u
-
cup-'
-
u 3 O et, sur d o , u = O,
fuq-l,
a une solution. (3) On écrit l'équation sous la forme :
-A$
+
=
llfll,U4-1
+ f)u"-' +
( llflloo
3 O.
cupp1
En utilisant le principe du niaxirnum strict de Vazquez dans lequel on prend et en supposant que u est dc classe C', en déduire que
P(u) = I I f l l o o u q - l , u > O dans 0.
Indications. La fonctionnelle est coercive. Elle n'est pas convexc, mais elle est sci. Soit ( 7 ~ ~une ) suite minimisante. Elle est bornée dans W13p(R)donc une soussuite converge vers u E W,"". Par la semi-continuité inférieure faible de la seminorme I I V ~ et, L ~piiisqii'il ~~ y a convergence forte dans Lq par le théorème dc f(z)lu(z)lq = 1. Donc IL réalise l'infinium. compacité dans L q , 011 obtient que La fonctionnelle étant paire, si TL est solution, alors lu1 l'est aussi.
On utilise l'inégalité
où u est une solution, cp t D(R) et t choisi assez petit pour que
en utilisant, bien sûr, l'homogénéité. En développant, on obtient par un calcul classique
= (1
I1 existe donc une constante
IL
-a,u
+ tq
f Iu1q-2ucp + o ( t ) ) P " ) J ( u ) .
> O telle que, dans R -
:
cIuI~l-zu= pflu1q-2u.
Pour obtenir une solution en remplaçant
IL
par 1, on introduit
21
= pl/(p-q)u.
296
C H A P I T R E 5. EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Exercice [**]5.11 (équation -A,u + u p p 1 = O avec condition de Neumann). Soit R un domaine borné de classe C1 et p un réel > 1. On considère le problème : inf
XI =
utW’.P(R)
s,,
{/’
+
l ~ u l p
II
b
luip>.
/7LIP=1
Montrer que Al est positive et que cette borne est atteinte. Montrer qu’il existe une solution 3 O. Montrer qu’une telle solution satisfait à l’équation :
-A,u et
-0.
+ upL1 = O
nI + X ~ U P - ’
=O
dans R sur d o ,
avec 0 . 2 = 1 3 ~ u ( ) V u l ~En - ~supposant ). que u est de classe C1 sur 2, montrer en utilisant le principe de maximum strict et le principe de Hopf que u > O sur il. Indications. Par la continuité de la trace, à savoir I / Y , J U I / ~ ~ ( ~ ~ ~ )< CIIU(L/I~I,~, on voit que l’infimum est > O. Par ailleurs, la continuité de yo pour la topologie faible sur W ’ X P implique que cet inf est atteint : en effet, si { u T Lest } minirnisante avec / ( - ~ O U ~ ~ ( /= L ~1, ( ~elle C ~ est ) bornée dans W’,p; par s.c.i., en extrayant une soussuite convergente, on obtient que un u où IL satisfait à I I ~ l l ~ O telle que pour tout 7~ E W’+’(R),
5.12. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5
297
Soit g une fonction continue sur db2 telle que Ilgllm < c. Soit enfin p et q < ( N - l ) p / ( N - p ) . On coiisidère le problème :
>N
(1) Montrer que ce problème admet une solution, et qu’il existe des solutions positives. (2) Montrer qu’une telle solution vérifie :
+ up-’ = O dans R g(u)‘ 2 + gup-l = A 1 f u q - l sur 80. -A,u
et
Montrer, en utilisant la multiplication par tion positive à :
-A,u
+ up-’ = O dans R
et
Uri
g ( u ) .T?
scalaire, qu’il existe une solu-
+gd-l
= fu“’
sur da.
Exercice 5.13 (problème variationnel non convexe). Soit R un domaine borné de RN de classe C1. Soit p > 1 et IC < p , q < p” = N p / ( N - p ) , f E LP’ (O). On considère le problème variatiorinel :
(1) Montrer que cet infimum est fini. En prenant une suite minimisante et en montrant qu’elle est bornée, en déduire par l’extract,ion d’une sous-suite l’existence d’un u qui réalise le minimum. ( 2 ) Donner l’équation différentielle vérifiée par une solution u. Y a-t-il unicité ? Exercice [*] 5.14 (problème variationnel et meilleure constante pour une injection critique de Sobolev). On admettra que si p < N il existe une meilleure constante pour l’injection de Sobolev critique sur RN K ( N , ~ )=P
inf
/
JV~JP
U E W ’ ~ ~ ( I W RN ~) Iulp* =1
et que cette constante est atteinte pour les fonctions de la forme u(x)= (A. T P ) ( P - ~ ) / P . Soit R un domaine borné de classe C1. On considère une fonction continue a telle que a(.) > - A l , où X I est la première valeur propre pour le p-laplacien sur R et soit aussi f une fonction continue positive non identiquement nulle et qui atteint sa borne supérieure à l’intérieur de R.
+
298
C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES
Ori considère le problème
:
{I
inf
UE
s,
+
.I
I V ~ ~ P .i,i~>
w,: .I’ (a) flul”*=l
Montrer, en utilisant un point forme
20 où
f atteint son sup et une fonction de la
&
où p est une fonction à support compact, égale à 1 au voisinage de l’on a :
ZO,
que
Exercice [*I515(extrémalespour des injections de Sobolev dans H1( E X N ) ) . On considère l’équation sur RN : -au
où u est supposée positive, N de Sobolev, p est donnée > O.
pu-,
1
> 5, 2* = 2 N / ( N
-
2) est l’exposant critique
(1) Montrer que s’il existe une solution non triviale, alors p > O. Comrrient passe-t’on d’une solution pour l’équation avec p = 1 à une solution avec p quelconque ? (2) Soit r2 = et pour X # O dans R,la fonction :
E,Z;
u ( r ) = (A2
+,y?
Montrer que u est solution de l’équation (on vérifiera d’abord que u E H 1 ( R N ) ) ,en choisissant X en fonction de p.
Exercice 5.16 (extrémales pour des injections de Sobolev critiques dans W1+’(RN);généralisation du précédent). On considère l’équation sur RN :
-a,u = pup*-1,
>
où u est supposée positive, N p 2 , p* = p N / ( N - p ) est l’exposant critique de Sobolev pour l’injection de W ’ l p dans Lq, p étant donnée > O.
(I) Montrer que s’il existe une solution non triviale, alors p > O. Comnient passe t’on d’une solution pour l’équation avec p = 1 à une solution avec p quelconque ? (2) Montrer que le p-laplacien pour une fonction radiale s’écrit :
5.12. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5
299
(3) Montrer que les fonctions
sont dans W1,P(RN)et sont solutions de l'équation (on précisera X en fonction de p ) .
Exercice 5.17 (utilisation de l'identité de Pohozaev). On considère l'équation dans une boule euclidienne B de RN :
-AU = u2*-',u = 0 sur 813, oii u est supposée à valeurs positives ou nulles et non identiquement nulle. On veut montrer qu'il n'y a pas de telles solutions de classe C2. On rappelle que si u n'est pas identiquernent nulle, du/an > 0 sur dB. (1) En multipliant par u et en intégrant sur B.trouver une première identité d'énergie. ( 2 ) En multipliant par z . Vu et en intégrant par parties plusieurs fois, obtenir l'identité
S,,..(E)
2
=o.
Conclure en utilisant le principe de Hopf.
Exercice [*] 5.18 (existence de solutions en utilisant des sur- et des soussolutions). Soit 0 un domaine borné de classe C1 de R N . Soit p > 1 et 'iz et 14 deux fonctions de W,',p(0), bornées, telles que O < 14 < ü dans 12. Soit ,f line fonction positive dans L" et q 3 1. On suppose que
-a,%3 fGq
et
-
apu
fuq.
Montrer qu'il existe une fonction u de W;'"(O) telle que g que u est solution de -A,u = f u q .
< IL < ü et telle
Indicntio7~s.On construit par récurrence une suite {u'')} en déniarrarit avec g. La fonction u(') est définie par u(') E
solution de
w,'P(Q)
-
~ , u ( ' )= f ( u ( " l ) ) q .
Le principe du maximum et le théorème de comparaison nous assurent les propriétés : u(') > O, {TL(')} croissante et 3 < u(') < u. On en déduit que { u " ) } converge vers u.On remarque qu'on a aussi convergerice faible dans W"" car
En extrayant line sous suite daris W1'" faible il existe CJ limite faible, modulo une sous-suite, de IVu(')lp-2Vu(')= a('). On a, par passage à la limite dans : (k-1) 4 - divo('C) = (u 1 f,
C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES
300
:
TECHNIQUES VARIATIONNELLES
la relation : -
On veut montrer que
c~
=
div O
IVUI”-~VU.
= u‘f.
Pour ce fair(,, on montre la convergence
J,, l V ~ ( ~ ) (+~ d xlVu(”dx,ce qui entraîne la convergence forte dans W 1 , pcar p > 1 et, donc, par extraction d’une sous suite, V u ( k + ) Vu presque partout. Du théorème de convergence dominée et grâce à la convergence ponctuelle de la suite {u‘”}, on déduit :
d’où
:
On en déduit
:
D’où, en divisant par
ES,
I V ’ U . ( ~ ) Il’inégalité ~~Z, :
(1-1
(vu(”(r)(’ds)P 6 (/(VuJJ,)P,
ce qui entraîne le résultat puisque, par s.c.i. pour la topologie faible dans L P ,on a
< hJn IVu(IC)(z)lpdz.
déjà /lVullp
CHAPITRE 6 DISTRIBUTIONS À
DERIVEES
MESURES
Nous proposons dans ce chapitre l’étude de propriétés d’espaces de fonctions qui présentent de fortes analogies avec les espaces de Sobolev, à savoir des espaces de fonctions dont certaines dérivées sont dans L1(R) ou dans l’espace M ’ ( 0 ) des mesures bornées sur un ouvert R de RN.Les propriétés des espaces de Sobolev s’étendent pour la plupart à ces espaces, tandis que d’autres tombent en défaut. Par exemple, l’espace S V ( O ) des fonctions de L1 (O) qui ont leurs dérivées dans hll(R), s’injecte continûment dans tous les L p ( O ) , pour p < N / ( N - I), et ces injections sont compactes lorsque R est borné pour p < N / ( N - 1). Nous avons montré au chapitre 3 que les fonctions de W’)’(O)possèdent une truce sur toute hypersurface régulière C intérieure à [I, ainsi qu’une C)’ SUPP P c K ===+ l(P,‘p)l < CKllPllm. Définition 6.2. La constante CK peut ne pas dépendre du compact K inclus dans R. On dit alors que la mesure ,u est une mesure bornée sur 0. Dans ce cas, il existe une constante C telle que : I(P’P)I G CllPllm.
YP E C C ( Q ) ,
L’espace vectoriel des mesures bornées sur R est noté M1(R).
Définition 6.3. Soit p une mesure sur R. La mesure conjuguée, not& ji est la forme linéaire, sur C,(R, C)définie par :
(P’ P)= ( P , 3. Définition 6.4. Une mesure p sur R est dite réelle si Y’p E C,(Q RI,
( P , P)E
R.
Cela revient à dise que p = p.
Déjnition 6.5. Une mesure réelle p sur R est dite positive si :
YP E C C ( 0 , IR),
Cp
3 0 ===+ ( P , ‘p) 3 0.
Proposition 6.6. Une distribution positive sur R peut s’étendre e n u n e mesure positive s u r R. Preuve de la proposition 6.6. O Rappelons qu’une distribution positive est une distribution qui vérifie
YP E D ( 0 ) ’
‘p
3 0 ===+ (T’P) 3 o.
q.
Soit K un compact de R, RI un ouvert, 01 c K et Ki = Soit 11, une fonction de D(R), 1c, = 1 sur K . Si cp E D(R), à support compact dans K , lplm+& est une fonction positive et donc (S,P) G ll‘pllco(T’,$J) et aussi
-(T,‘p) G
ll‘pllco(~’y‘/).
6.1. RAPPELS SUR LES MESURES. CONVERGENCES
303
En particulier, si p E C,(O) est à support dans K I , soit pn E D(R), à support dans K , qui converge uniformément vers p dans K I . La suite ( T ,p,) est de Cauchy par l’inégalité précédente, elle converge donc vers un réel que l’on notera ( T ,p). On laisse au lecteur le soin de vérifier que ceci ne dépend pas de la suite pTL choisie et que T prolongée airisi aux fonctions contiriues O à support compact est linéaire et continue. 6.1.2. Module d’une mesure, mesure bornée
Proposition 6.7. Si p est une mesure à valeurs réelles ou complexes, on peut définir son module, noté lpl, comme l’application ù valeurs réelles telle que : Y $ E CC(O,R), y‘/ 3 O,
sup
(lpl,+) =
{l(P,V)l}.
ipECC(W3
lPl I L L I ~ lirn ( p ,$,)
n-+w
le compact support de p. Donc, pour n assez grand, K
c K,
= 1 sur KL’ ( p ,‘p) 6 ( P , $ n ) . On en déduit, par passage à la limite, que limn++oo(p,$,) ce qui entraîne le résultat puisque E est arbitraire.
E Soit K et, puisque ~
$n
3
Iplcl
- E,
304
CHAPITRE 6. DISTRIBUTIONS À DÉRIVÉES MESURES
(2) Soit {p,} une suite de fonctions de D(IR") égales à 1 sur K , et convergente vers 10. Soit NO assez grand pour que pour n 3 No, ( p , p n - p N O ) E . Soit p une fonction comprise entre O et 1, à support compact dans R K N ~Soit . n > NO assez grand pour que supp cp c K,, alors p = p(p, - pi^,,), d'où :
