P'LOREHTIM SMARANDACHB
ASUPRA UNOR NOI FUNCTII IN TEORIA NUMERELOR
Cbi,iniu
-
1999
YNIYERSITATEA DE STAT DIN HQLDOVA CATEDRA DE ALGEBRA
FLORENTIN SMARANDACHE
ASUPRA UNOR NOI FUNCTII IN TEORIA NUMERELOR
Chiliinau
-
1999
Prof. Florentin Smarandache University of New Mexico Gallup, NM 87301, USA Fax: (505) 863-7532 (Attn. Dr. Smarandache) E-mail:
[email protected] URL: http://www/ga11up.unm.edu/-smarandache/ Diagrama de pe coperta I reprezinta functia zeta a lui Riemann 49). Iar
tabelul
sumatoare
10 1 0.000, rezulta ca Xc > 10 1 0.000. Dad Y1 > 3 si prin absurd 5 nu divide pe Xc, atunci Yo= 5 xJ4 este o noua solutie a ecu�tiei. Prin urmare , 5 divide pe XcDaca 25 nu divide pe Xc, atunci Yo = 4xJ5 este 0 noua solutie a ecuatiei. Prin urmare 25 divide pe x(J Vom construi acum prin recurentii
0
multime M de numere prime
avand proprietatea d dad M este infinita, atunci conjectura lui Carmichael este rezolvam. Etapele de recurentii sunt urmatoarele: (a) numerele
2, 3, 5 apartin lui M. 22
(b) dad. numerele prime distincte el' e2, ..., en sunt din M, atunci numfuul b =
1 + 2m e1 e2 ... en este prim pentru m = 1 sau m = 2, Si vom considera ca b E m m
M.
(c) Orice element apaI1inind lui M se obtine prin utilizarea, intr-un
numar fmit de pasi, numai a regulilor (a) si (b). Dadi M este infinitl, conjectura lui Carmichael este rezolvatl. Consideram di multimea M este infinita. De altfel se poate constata ca din cele
168 de numere prime mai
rnici decat 1.000 , doar 17 nu sunt in M Acestea sunt:
101, 151, 197, 251, 401, 491, 503, 601, 607, 677, 701, 727, 751, 809, 883, 907, 983.
1.5. Functii prime
Sa consideram urmatoarele funclii:
1 ) PI: N -7 {O, I } PI (n) =
{0
1
dad n este prim in caz contrar
Exemple. PI (0) = PI (1) = PI (4) = PI (6 ) =
PI (S) = 0
2 ) P2: N
2
-7
P..,(m, n) = -
1, PI ( 2 ) = PI ( 3 ) =
{O, I }
{0
1
dad!. m si n sunt prime intre ele in caz contrar 23
3 ) Mai general, Pk: N
k
-7
{O, I }
dad n1 , n2, . . . nk sunt prime intre ele in eaz eontrar In eontinuare yom studia in ee eonditii Pk(nl, n2, . . . nk) = Vom da
0
0
( 1.5. 1. )
eonditie neeesara si suficienta ea n numere prime doua
cite doua sa fie simultan prime intre ele. Generalizam teorema lui Popa W�], Cueurezeanu ([C3], p.
1 65 ),'
Clement Si Patrizio [P5]. Urmatoarea lema este evidenti
1.5.1. Lema. Dad A si B sunt intregi nenegativi, atunei AB ==
0 (mod pB) ¢::> A == 0 (mod p)
1.53. Lema. Fie a, b, p, q, numere intregi astfel ineit
(p, q) = (a, p) = (b, q) = Atunei A
== 0
(mod p) si B
== 0
aA + (bBp/q) == 0 (mod p)
1
(mod q) ¢::> aAq + bBp ==
0 (mod pq)
�
Demonstratie. Pentru prima eehivalenta avem
A = kiP, B = �q eu kl' k2
E
Z
deei aAq + bBp = (akl + bk2) pq
Reeiproe, din aAq + bBp = kpq rezulta aAq
==
0 (mod p) Si bBp ==
o (mod q)
Si datorita ipotezei rezulta A == 0 (mod p) Si B
==
0 (mod q)
A doua si a treia eehivalenta rezulta utilizind lema
24
1.5. 1.
1.53. Lema Dad PI' P:;, . . , Pn sunt numere intregi prime doua cinte dpua, iar aI' �, , an sunt numere intregi avint proprietatea .
.
.
.
(ai' p) = 1 pentru i = 1, n
Atunci, notind P = PI P:; avem •
n
�
•
. . .
.
P n �i D fiind un divizor al lui P
( pj)=O(modPI pz ... pJ
I (aiAi) .n. 1
i =
J:;Ct
�
Demonstra�ia acestei Ierne se face prin induc�e, utilizand lema pre�edenta Cu ajutorul acestei ultime Ierne obtinem urmatoarea teorema generaHi
1.5.4. Teorema. Fie Pij' cu i = 1, n, j = 1, mi, numere prime doua dte doua �i fie r1 ' r:;, ..., rn, aI' �, ..., an' numere intregi, astfel indt (ai' r) = 1 pentru orice i = 1, n.
Presupunem in plus ca numerele CI ' C:;, .. . Cn indeplinesc conditi,a (i) P·1I' p.", . .. p ·I m. sunt sumultan prime ¢::> C10 I '-::' orice i = 1, n. Atunci numerele Pij cu i
=
==
0 (mod rOI) pentru
G, j = 1, mi, sunt simultan prime daca
�i numai dad este indeplinita conditia 25
(%)i� (aijrJ unde R
=
(
0 mod
=
%)
( 1.5.2. )
r1 r2 ... rn, iar D este un divizor al lui R.
Demonstrane: ( Vezi
F.
Smarandache, "Characterization of n prime numbers
simultaneously", in «Libertas Mathematica», Texas State University, Arlington, SUA, vol.XL
(199 1 ), pp. 1 5 1-1 55).
Observafie. Daca in condifia (i ) din teorema modulul r·I este
inlocuit cu
P'i
n
J -1
unde P
=
sau cu un divizor al sau, conc1uzia
�i D este un divizor allui P.
II II Pij
i
Ij
=
=
I
Desigur congruenta
( 1.5.2) devine
( 1.5.3 ) este echivalenili cu una din condinile
(1 . 5. 4.)
i
i
=
I
( rIT . ) a'
I
I
j
=
1
p
IJ
este numar intreg
( 1.5.5 )
Sa observam de asemenea ca restricfia impusa numerelor Pij in
teorema de mai sus de a fi prime intre ele, este suficient de 26
convenabiHi, deoarece dad doua dintre aceste numere nu sunt prime intre ele, atunci cel putin unul dintre ele nu este prim �i deci nici cele m1 + m:! + .
.
+ mn numere nu sunt toate prime.
Putem obfine multe variante ale acestei teoreme, dind parametrilor
ai' �, . . an �i rl' r:! . . . , rn diverse valori. o bservatii.
.
1j
Dad in teorema de mai sus luam mi = lui Simionov pentru orice i, atunci 2)
Pentru D =
1,
1,
iar ci reprezinta teorema
obfinem teorema lui V . Popa
�
P4 ] care si ea
generalizeaza teorema lui I. Cucurezeanu [ Ci, iar aceasta din urma
generalizeaza teorema lui Clement 3)
Pentru D = Pip., si 0 alegere convenabiHi a parametrilor a1 si k1 _
rezulta teorema lui S. Patrizio. Exemple.
Fie PI ' p." .. . , pn intregi pozitivi, primi doi cite doi Si numerele Is satisfacind conditia 1 � Is � Pi' pentru orice i. Atunci PI' P:!' ... , Pn
1)
_
sunt simultan prime dad �i numai dad este verificata una din
condifiile: (T) (U)
(
i
i[(Pi-kJ!(ki-l)!-(-l)k]'IIpj = o (modP! ... prJ =!
j;O i
t [(Pi -ki)! (ki-1)!-(_l)k]. II Pj
1
-!
J;OI
(V)
1!.
{Ps+! ... Pn}
= 0 (modPI'" pJ
i[(;i-ki)!(ki-l)!-(-l)k].P�,= o (modpj) i =1
27
Capitolul2
2.1. Baze de numerape generalizate
Se �tie di dad r este un numiir natural strict mai mare decit unu, atunci
0
rice numiir natural n poate fi scris in baza de numerarie r
astfel: unde m � 0 este numar natural �i Ci, pentro i
asemenea numere naturale, cu proprietatea 0 i
=
0, m, ia r Cm
;::
�
Ci
�
(2.1 .1.) =
0, m, sunt de
r-1 pentru orice
0.
Fiecarui numiir din �rirul 0, 1 , 2" . . , , r-1 i se poate atribui un simbol care se nume�te citra �i atunci formula (2.1 . 1 .) se poate scrie n = Ym Ym-l ... Y1 Yo (r)
unde Yi este cifra care simbolizeaza numarul Ci.. Se �tie di orice numiir natural poate fi scris in mod unic intr-o
baza de numeratie oarecare r, adidi poate fi scris sub forma (21 .1 .), unde numerele Ci satisfac conditiile mentionate mai sus. Dad notiim ai recurenta
=
� observam di �irol (a)ie N satisface relatia de (21 .3.)
ai+1 = r ai �i di (2.1 .1 ) devine
n
=
Cmam + Cm-Iam_1 + .. . +Cial + Co 28
(2.1 .4)
De aici ideea de a considera un sir strict cresditor oarecare (b.). x' I lE:�
Si se poate observa cu usurinta di orice numar natural n poate fi scris in mod unic sub forma
(21.5.) dar conditiile pe care Ie satisfac cifrele ci nu mai sunt atit de simple ca in cazul bazei determinate de sirul cu termen general ai. Spre exemplu, Sirul lui Fibonacci., determinat de conditiile Fl
=
F:!
=
1
F1 +_.,=F1+l+FI
poate fi considerat 0 baza de numeratie generalizata. Aceasta baza
are mare Ie avantaj (ca Si baza de numeratie doi) ca·cifrele Ci pot Iua
doar valorile 0 Si 1 , deoarece bi
>
bi+1 .
Avantajul utilizarii acestei baze generalizate este foarte mare in reprezentarea numerelor in caIculatoarele electron ice , deoarece, pe de-o parte, se folosesc tot doua cifre ca Si in baza doi, iar pe de alta
parte pentru memorarea unui numar este nevoie de 0 cantitate mai
mica de memorie deoarece numarul cifrelor necesare pentru reprezentarea lui n in baza
(F)ie N
este mai mic decit numarul
cifrelor necesare pentru reprezentarea aceluiasi n in baza
( 2i )ieN'
o alta baza generalizata, care va fi utilizata in paragrafele
urmatoare, este baza de numeratie determinata de sirul ai ( p)
=
i (p - 1 ) / (p - 1 )
unde p > 1 este un numar natural.
( 2. 1.6. )
Sa observam ca relatia de recurenta satisIacuta de acest sir:
(2.1.7. ) este totusi destul de simp la, dar difera de relatia de recurenta clasica
( 2. 1 .3.). 29
Bineinfeles di orice numar natural n poate fi scris in mod unic sub
forma
n = Cmam + Cm_lam_l + . . . + Clal +
n:!
> ... >
ne > 0 �i
1 =:; tj =:; p-l pentru j = I, e-l , iar 1 =:; te =:; p
(21.9.)
(2.1 .1 0.)
Demonstrafie. Din relatia de recurenta satisfacuta de �irul cu termen general ai(p) deducem: al(p) = I , �(p) = l+p, a3(p)
=
1 + P + p2, . ..
deci N* =. u ([ai(p), ai+l(p)]n N*) leN*
intrucit [a/p), ai+l (p)]n [ai+l(p ), ai+lp )]= ¢ Pentru orice n E N * exista atunci un unic nl astfel in cit
n E [an I (p), anl+l (p)] �i deci ayem
[anIP)] an ./p) + r, olind [a:(P)] obtinem rl an�P) tlan(p) + n
N
n =
=
t, =
r I'
ell
r1' rezulta nl > n.,. De asemenea, din (21.1 1.) rezuWi in acest caz tI s p - 1, deoarece
Rl
t1$
Is
a -1-r l
n;t-II) a� P < P
Obtinem in continuare
= S an: (p) + r:
rl
�i continuind procesul, dupa un numar finit de p�i obtinem:
re_l = teane (p) + re cu re = ° �i n e
< ne_l, iar
Is
Sa observam ca in
te S p �i lema este demonstrata..
( 2.1. 9), spre deosebire de 21.8.),
toate cifrele tj
sunt semnificative (mai mari ca zero). Prin urmare, despre cifrele Cj din
( 2. 1.8. )
putem spune di ele sunt cuprinse intre zero �i p-l, cu
exceptia ultimei cifre semnificative, care poate fi �i p.
De asemenea sa observam di diferenta dintre relatiile de recurenta
( 2. 1.3.) �i ( 2. 1.7) induce mari diferente de calcul in baza standard. ( 2.1.12. ) (p) : 1, p, p2 , . . ., pi, ... �i baza generalizata ( 2.1.1 3.) [p] : al (p) , � (p) , ..., aj(p) , . . . Intr-adevar, �a cum se arata in [AI ]. daca m[ 5] 442, n[5] 412, r[5] 44 atunci m + n + r = 442 + 412 44 =
=
dcba
31
=
�i pentru a determina eifrele aeestei sume, ineepem adunarea din eoloana a doua, eorespunzatoare lui �(5). Avem 4�(5) + �(5 ) + 4�(5) = 5�(5 ) +4�(5) A eum, utilizand 0 unitate din prima eoloana obfinem 5�( 5 ) + 4�(5) = a3(5) + 4�(5 ) deci (deoeamdata) b = 4. Continuind, obtinem 4a3(5 ) + 4a/5 ) + a3(5) = 5a3(5) + 4a/5 ) si utilizind 0 noua unitate din prima eoloana, rezultii 4al5 ) + 4a3(5) + �(5 ) = ai5 ) +4a3(5 ) deei C = 4 �i d = l. in sf'�it, adunind eifrele ramase 4al(5 ) + 2al(5) = 5 al(5) + al(5) = 5al(5) + 1 = �(5) rezulra ca b trebuie sa fie modifieat, iar a = 0. Deei m+n+r = 1450[5]·
2.2. 0 noua functie 'in teoria numerelor
in aeest paragraf vm eonstrui 0 funetie s: Z· -7 N avind proprietatile (sl) S(n)! este divizibil eu n (s2 ) Se n) este eel mai mie numar natural eu proprietatea ( p I ). Fie p > ° un numar prim Vom eonstrui mai intii funefia Sp: N* -7 N* astfel: 32
i (a) Sp(aj(p» = p
(b) Dad n E N* este scris sub forma (2.1.9.) definim Sp(n)
t 1 Sp(a1(p»
+ SSp(�(p» + ... + teSp(ae(p»
=
2.2.1. Lema. Pentru orice numiir nE N*, exponentul la care apare numiirul prim p in descompunerea lui n! in factori primi este mai mare sua egal cu n.
De asemenea amintim 0 formula datorata lui Legendre care
permite calculul ex ponentului la care apare numarul prim p in descomp unerea in factori a numarului n!. Acest exponent este e (n) = [nJp] + [nJp2] + . . . .
(2.2.L)
..
p
Demonstratie. Se �tie d notmd cu �xt partea intreaga a numiirui x
avem:
[a l + a2 +b ... + an] - [abl] + [ab2] + . >
. .
[an]
+
b
pentru orice aj' bE N*. Atunci, dad n are scrierea (2.1.9), obtinem
[tIPD, +t2PD,+ ... +t'pD.] [tIPPD'] + [t2PPn1 + ... + [t.P-P ] =tlpn,1 +t2P Drl + ... +t.P n,-I P �
D.
[tIP.,+t2P00.n+, ". +t.PD'] [-tIP.0,' ] +[DO-t2P . ] + ... + [t.PnD,.] tIPn,n,+t2P p
�i deci
�
p
pD
•
p
-
=
0,0,
+ ... +t.P
0
2.2.2. Teorema. Funetia S p definita prin eonditiile s3 �i S4 de mai
sus are proprietafile ( 1 ) S p(n ) ! este multiplu de pn (2) S p( n) este eel mm mie numar natural eu proprietatea ( 1 ) Demonstratie.. Proprietatea ( 1 ) rezulta din lema preeedenta. Pentru a demonstra pe ( 2 ), fie n E N* oareeare �i ?-2 un numar prim S a eonsideram pe n seris sub forma (2. 1.9) �i sa notam z t1 p nl + S pn1 + . . + tepne .
=
Vom arata ca z este eel mai mic numar natural cu proprietatea ( 1 ). Presupunand prin absurd ca exista n E N*, u . . . > ne� 1 �i =
[Z-I] p
=
tIP
nrI
+ tzP nrI +
.
.
.
n-I
+ teP '
-
1
deoarece [k + a] = k + [a] pentru orice k intreg �i
[-lip] = -1
In mod asemanator avem de exemplu
deoarece 0< t pn l .s p . p ne_l < p ne+! De asemenea e_
e
Ultima egalitate de acest fel care ne intereseaza este
deoarece O
< t2Pn2 + ... + tePn. ::; (p- 1) p n, i "" L. P I =n l
::; (p-l) .
•.
n2
+ ... +
n.,+-1 p + p . - 1 ::; (p-l) p- 1 n+l
-
--
=
n (p- 1 )p - p p . - 1
$
s.
n pentru orice n si
di
pentru
4 avem Se n ) = n dad si numai dad n este numar prim, se
obfine I1(x) =
r rS�k)] -
k =2l
1
2.5. Functia S ca funcpe sumatoare
Hind data 0 func�e numerica, formula de inversiune a lui Mobius permite, dupa cum se stie, scrierea func�ei f cu ajutorul functiei
sumatoare pi si anume
t£)
fen) = L �(d) F din daca d F (n) = L f(d) din .
( 2.5.1. )
Avind in vedere acest aspect, putem considera orice functie numerica f in doua situatii: 1 ) in situatia de a-i explicita functia sumatoare F 2) in situatia ca f sa fie fonsiderata functie sumatoare a unei functii numerice
g.
g(n) = L � (d) f din
ti)
d � f --7 F C n) 54
=
L fC d )
din
(2. 5 . 2 . )
De exemplu, pentru fen ) = n (aplicatia identidi) avem
g ( n ) = L ll (d &n
�
=
F d n)
(
0, fezuIta 58
> 0 pentru x �
cii f ( x )
1.
In plus, maximul functi,ei se obti,ne pentru
Notind
deducem
de unde rezuIta
� (In b/ �
x
� n E { 8, 1 2, 1 8, 2D} sau n = 2p, eu p numar prim In eonseeintfi, avem =
62
n + 4 pentru orice n E N*. Mai mult, intrucit avem solufiile inecuafiei Fs d( n ) � n putem deduce si solufiile inecua�iei Fsd ( n ) < n. Amintim di in [S9] se studiaza limita sirului FSd ( n )
�
d
T(n) = I - In F S( n) +
n
n
1
� I 7k F S\ P i ) 1=1 k= 1
ce confine func�ia sumatoare. S e demonstreaza ca
lim T(n) = � I n continuarea acestui paragraf vom avea in vedere sageata spre stinga din ( 25.2), adica vom privi pe S ca 0 funcfie sumatoare a unei funcfii s, pe care 0 vom determina Avem deci, prin definifie, sen) =
I � (d) S(J)
d in
Daca descompunerea lui n in factori primi este n
=
al
pI
• p a2
,
-. . . . • P
at t
rezuita ca
S a consideram ca (2 . 5 . 1 0 . ) 63
Distingem urmatoarele cazuri: s
(al )
(P i o 0 1) � s(Pia J.\
. pentru l :;: l. o-
al -
In acest caz observam d divizorii d ai lui n pentru care J.I.( d)
sunt de forma d = 1 sau d =
{ (l,l (
I
2
Ct_1 +
. . .
+
(-1 )
0
Un divizor de forma a
•
PiO sau nu, deci utilizind (2.5. 1 0 ) rezultl
doua poate sa contina pe sen) = S PiO 7 1- C t-l +
P i 1P i2 ' " P ir
:;:
t-I C t-I'_l) { (ll�7 (-1 + S PiO
+
2
C ,_l - ct_1 + 1
.
.
.
+ (- 1 )
t-I)
C t_1
de unde rezulti'i d sen) = 0 pentru t 2: 2 sau dad
s
a lO - 1
s
(P iO}� - (P iO ) ai
_
�i s( n) = p'IO ill celelalte cazuri.
( a2 ) dad exista jo astfel incit s
s
s
(PiOa lo - I) (PjOa)") . (PjOaiO - I ) - (P ai )J pentru .
1 :;: 10> J o
.
.
In acest caz, presupunilld in plus ca obtinem
sen) = S
sen)
1
.
1)
t-I
t-I C t-l +
)
t-' t-2 C t-2 + 2 CLJO - I t-2 t-2 I 1- C t-2 + C t-2 + . . . + (-1) C t-2 + S PjO +S
deci
{PiO'cd] ( 1 - C t_1 + C 2t_1 + . . .+ (
in ce1elalte cazuri.
(
=
(PjoCLj�] (
I 2 - 1 + Ct-2 - C t-2 + . . . + (
)(
-
-
0 daca t � 3 sau
daca S
(p�;o- ) I
=
1)
)
S{p,;d'
)
si S en) = -PjO
In consecinta, observam d pentru a obtine pe s ( n ) construim, dupa modelul de mai sus, un �ir maximal i t ' i2 , . . . , ik astfel incit S
-
a l�_1 -
(Pi 1JJ, s(P alli 1 1) s(Pi2}� . . . , s{Pik-1 1 ) s{P ik ]J se n ) = 0 daca t k + 1 sau S{p�i' S(p�ik - I)
( n) = s
a
2:
ah �i avem contradictia eph( m ) > min ( ah, �h ) $i propozitia este demonstrata. 69
Observam d foarte multe dintre valorile lui S4 sunt egale cu unu. De exemplu: S4 ( 2n + 1 ) = 1 Si S/ n ) >1 dad si numai dad n este numar par. 3 . 1 .2 . Propozitie. Fie P I ' P ' . . . P Sirul n umerelor prime ::! i consecutive Si Rr n = p 1 cxI . p 1 cx::! · 0 '" • pkCIk: . q l "'RI . q::!'"R::! ,. descompunerea numarului nE N* in factori primi astfel incit prima parte a descompunerii confine ( eventualele ) numere prime consecutive si fie CIi xi S(pI. .) 1 dad e pI.(S(p.Ic » ' > .a.I tI. = S(p.Iill) + p.I - 1 dad epi.(S(p.Iill» = a.I (3. 1 .3.) Atunci (3. 1 .4.) S4( n ) = min { t 1 , t2 , . . . , �, Pk+ l- 1 } i CI Demonstrafie. Daca epi.(S(pI. » > a.,I din definifia funcfiei S rezulra . ca S(p.ICXI) - 1 este cel mai mare intreg. pozitiv m cu proprietatea . epi.(m) � aI. De asemenea, daca epi.(S(pI. ill» = a.,I atunci S(p.Iill)+ p.I - 1 este cel mai mare intreg m cu proprietatea epi.(m) = aI.. Rezulra ca numarul min { t l ' t2, . . . , tk, Pk+ l - 1 } este cel mai mare intreg pozitiv m pentru care epi.(m ! ) =:; a.I pentru i = 1 , 2 , . . . , k. 3.1.3. Propozipe. Funcfia S4 satisface d S4( n l + n::! ) A S/ n l V n::! ) = S i n l ) A Si n::! ) . pentru once n 1 , n" E N* . Demonstrafie. Afmnafia rezulra utilizind egalitatea ( 3. 1.2 ), finind cont de faptul ca •
{
. . .
• . . .
_
.
_
10
I nainte de a prelungi functia S la multimea Q a numerelor rationale vom pune in evidenta unele proprietati de morfism pentru alte functii definite prin triplete ( a, b, c). 3.1.4. Propozi�ie.
( i ) Functia S 5 : N* --7 N*, S / n ) = � { m 1 m! ::;d n } satisface S 5 (n 1 1 n2 ) = S 5(n 1 ) 1 S 5(n2) S 5(n l ) A S 5 (n2 ) (ii ) Functia S6 : N* --7 N*, S 6 ( n ) = � { m / n ::;d m! } satisface S 6(n l -e. n2) = S in l ) -e. S 6(n2) (iii) Functia S 7 : N* --7 N*, S / n ) = � { m I m! ::;d n } satisface S 7 (n 1 A n 2) = S 7(n 1 ) A S 7(n2) S /n 1 V n 2) = S /n 1 ) V S /n 2) =
Demonstratie. ( i ) fie A = { ai I ai! ::;d n 1 } ; B { b I b/ ::;d n2 } j C = { Ck I Ck! ::;d n 1 1- n2 } Atunci avem A c B sau B c A. Intr-adevar, fie A = { a i ' a2, . . . , ah } , B = {b l ' b 2, . . . , b) astfel incit a. < a. I �i b. < b.J I . 1+ + J Atunci dad. ah ::s; b , rezulta ca a. ::s; b pentru i a.! ::S;d b ! ::S;d n..,. Prin urmare A c B.
(3.1 .5.)
(3. 1 .6.)
(3.1 .7. ) (3. 1 .7. )
=
1
1
r
1
r
-
71
r
= 1 , h, deci
Analog, dadi br :S ah, rezulm B c A. Desigur, avem C = A n B, deci dad A c B rezuWi S 5 ( n 1 Ad n2 ) = �Ck = � ai = S / n 1 ) = min { S5 (n l ), S/ n2 ) } = S 5 (n 1 ) 1S/n2) Considerind S 5 definita pe � din ( 2.7. 5. ) rezulta c5. aceasta functie este monotona.. Dar nu este pe laticea �, deoarece m ! < m ! + 1 dar S/m ! ) = [ 1 , 2, . . . , m] Si S/m !+ I ) = 1 ( ii ) Sa observam d S6 ( n ) = � { m / 3 i E 1 , t astfel ca epi. ( m) < u. } Dad nomm a = V { m / n :5d m! } atunci n :5d (a+ I ) ! Si a+ I = A { m / n :5d m! } = Sen) deci S 6(n) = [1, 2, . . . , Sen) - 1] Atunci avem Si n l �n2 ) = = [ 1 , 2, . . . , S(n l �n) - 1] = = [1, 2, . . . , S(n l ) V S(n2)-I ] si Si nl) Vd S6(n2) = [[1, 2, . . , Sinl)-l], [ 1 , 2, . . . , S 6 (n2)-I ]] = = [ 1 , 2, . . . , Sin l ) V S6(n2 )-1] ( iii) Egalimtile rezulm din faptul d Sin) = [ 1 , 2, . . . , m] ¢:::> n E [m!, (m+l ) !- I ] Acum yom extinde functia S la multimea numerelor rationale. Orice numar rational pozitiv poate fi descompus in factori primi sub fonna I
.
( 3. 1.8. )
cu U E Z si doar un numar finit dintre acesti exponen�i sunt p nenuli. n
Avind in vedere aeeasta seriere se dii d efin ifia divzibil itatii numerelor rationale in felul urmator: a = I1 p divide numarul 3.1.5. Definitie. Numarul rational rational b = I1 p �' dad ap s pp. Datoritii egalitiitii ( 3 . 1.8.) inmultirea numerelor rationale se reduce la adunarea exponentilor acestor numere. In eonseeintli, problemele in legatura eu divizibilitatea numerelor rationale se redue l a probleme de ordine intre exponenti. eel mai mare divizor eomun d �i eel mai mie multiplu eomun e se definese [H2] prin a,
d - ( n este divizibil eu j } o Atunei v in) se poate ob�ne rezolvind problema de programare
liniam
max
f(x) :::
to
I X i in P
i r =
to
I X i in P i � in Pt# l
i 1 =
Dad f este valoarea maxima a lui f din aeeasta problema, atunci o
yi n ) = e
ro
De exemplu, v
3 (2 -3 2-5- 1 1 )
=
6
4 Desigur si funetia v poate fi e xtinsa la multimea numerelor
ra�onale, prin aeelasi proeedeu ea si fune�a 79
S.
3.3. Functii Smarandache de tipul unu, doi �i trei
Fie X 0 mulp-me nevid5., r e X x X 0 relap-e de echivalenta,
X
multimea cIaselor de echivalenta corespunzatoare si ( 1, ::s:) muHime
total ordonata.
3.3.1. Dermipe. Dad g: X -t I este 0 funcp-e injectiva oarecare,
atunci funcp-a -t
f: X
I, f( x )
=
(3.3. 1. )
g( x)
se numeste functie de standardizare.
Despre multimea X yom spune in acest caz ca este ( r, (I, ::S:), f)
standardizata.
3.3.2. Definipe. Dad r1 si r sunt doua relatii de echivalenta pe X, 2
relap-a
r=
r 1 A r2 este determinatli de conditia
¢::>
x r 1 y Si x r y 2 Se observa cu usurinta eli r este
xry
3.33. Definipe. Functiile f. : X dad pentru orice x, y fk( x )
::s:
fk( y )
¢::>
E
f/ x )
1
0
-t
X rezultli :s
� ( y ), k, j
( 3.3.2)
relatie de echivaIen�
I, i
=
=
1 , s, au aceeasi monotonie
1, s
3.3.4. Teorema. Dad functiile de s tandardizare f. : X corespunzatoare relatiilor de echivalenta r., pentru i 1
monotonie, atunci functia
_ 1
=
1
este 0 functie de standardizare corespunzatoare relatiei r
este de aceeasi monotonie cu functiile f.. 1
=
s
A r.1 si i=1
Demonstratie. Dam demonstratia acestei teoreme penttu cazul s In cazuI general demonstratia rezultli apoi prin inductie. 80
I,
1 , s, au aceeasi
f = max. f. 1
-t
=
2
X
S a notam cu
rl
' x ., r_
�i
x
r
clasele de echivalenta a le lui
x
corespunzatoare respecti v relatiilor de echi valenta r , r::; $i r = r A r 1 1 2' X X X iar cu r l' r_"' r mUlfimile cit corespunzatoare. Avem f.1 ( x ) = g.(x . ), i = 1 ,2, unde g. : X .
Func?a
g:
1
n
1
X � I definita prin g(x ) r r
injectiva. intr-adevar, dad = max ( gl( Xr 1 -)' .,
g::;
., - ) ), g.,( _ xr_ .,
avem de exemplu max ( gl (Xr 1 I ) ,
g/xr::;l »
l 2 xr ;:: Xr
n
=
�
max
�i max
I sunt func?i injective. (g 1 ( x ) , g ( x ) rl ::; r2
(g ( x \ g ( x 1 rl ::; r2
este
1» =
atunci datorita injectivita?i functiilor g 1 �i = gl(xr2::; ) = max
2 C g 1 C xr 1 ::; ) , g::;C xr::; »
�i avem 0 contradic?e, deoarece
2 l l f ( x ) = g( xrl::; ) < g 1 (xrl ) = f C X ) 1 1 1 f2 ( x1 ) = g2 (Xr 1 ) < g::;(xr2::; ) = f::;(x::; )
deci fl $i f::;nu sunt de aceeJ.$i monotonie. Din injectivitatea lui g rezulili ca func?a f: X � I, f(x ) = g(xr ) este 0 func?e de standardizare. in plus avem 1 2 f(x 1 ) :s f(x ) � g(xr ) :s g(xr::; ) � max( g l ( xr 1 1 ), g.,_( Xr_.., l » :s ::; ::; 1 max(g/xr / ) , g2(xr::;::; » ) � max(f (x I ), f2 ( x » :s max(f ( x ) , f::;(x ) 1 I 2 2 l l � � f/ x ) :s f(x ) �i f/ x ) :s f (x ) deoarece f $i f2 au aceea�i l z monotonie. sunt doua opera?i algebrice pe
S a considerfun acum d X,
respectiv
1.
33.5. Definipe. Func?a de standardizare f: X
este L compatibila cu operatiile X
triplerul ( f( x ), fCy), f( x
T
T
�i
.L
�
dad. pentru orice x , y E
y» sati�face condi?a L 81
I se spune ca
In aeest eaz, yom mai spune ca funtia f I-standardizeaza struetura ( X,
T
) pe struetura ( I, :s
.l.
).
Exemplu. Dad! f este funetia Smarandaehe S : N*
� N*,
avem
urmatoarele standardizan (a) funetia S, I - standardizeaza ( N*, - ) in ( N*, :S, +) deoareee I avem
(I/ S(a-b) :s S e a ) + S(b) b ) Functia S verifica de asemenea relatia
(I) : max (S(a), S(b)) :s (S(a-b) :s Sea) - S( b )
deci aceasta funqie ( 1) standardizeaza struetura ( N* , -) in (N*, :s , -).
eu aeeasta introducere putem defini funetiile Smarandaehe de primul tip. Am vazut
cii
functia Smarandaehe S ' a fost defmitii eu ajutorul
func�iilor S p avind proprieta�ile ( a ) �i ( b ) din paragraful 2.2.
Amintim
ca pentru fieeare numiir prim p functia S p : N*
defmitii de eonditiile 1 ) S p(n) !
2 ) S p( n )
� N*
este
este divizibil cu pn
este eel mai mic intreg pozitiv avind proprietatea 1 ).
Utilizind defini�ia fucntiei de standardizare prezentam in continuare
[B 2]
trei generalizari ale funetiei Sp.
Vom nota cu Mn un multiplu de n.
Pentru orice ne N* relatia rn determinatii de condiriile 33.6. Definipe.
82
c
N* x N* este
( i) Dad n = u':', cu U = 1 sau u = p - numar prim.
s i i € NY , ':' a r a , b E Ny atune':' a:::-, b = k€ N Y , k ! = Mu " , k ! = MU"� s':' k e s t e eel rna i mi e i n t reg p o z i t i v eu a e e a s ta p ropr::. e t a t e
(n) Daca n = p ..
�
atunci
1
i l . p i2 ?
_
.
.
.
.
P
s
is,
(3.3.4)
de p r imul tip e s t e funeia nume =iea S . : NY- NY d e t e � ':' n a : a de eene: : ':' ':' l e ( i ) Daca n=U1 , C� 0 = : sau w=p nurna= P = :ill
K avand p =o p =':' e tatea :< ! = Mu" ( i i ) Daea n=Pl" P2'Z . . . P." a t u n e i a t u n c i S. ( a )
e s � e c e 2. rna':' mic :' :1 : =9':; p c : :' : :' �l
S . ( a ) = rnax ( S;: ] l J " ' ) l :s: i :s: s
Se observa Ca: 1 . Func�iile S
n
sunt funqii de standardizare corespunzatoare n
relat:iiJ.or de echivalen� r defInite mai sus �i pentru n = 1 ob�em x = rl
N*, pentru orice x E N*, iar s 1 (n) = 1
pentru orice n E
N*.
n
2. Dad. n = p este un numar pri m , atunci S este func�ia
S defmitii de F. Smarandache. p
3. Func�e S sunt crescatoare �i deci sunt de acee�i monotonie. n
ln sensu! defini�ei ( 3.3.3. ).
3.3.8. Teoremi. Funqiil e S au proprietatea ca L standardizeaza 1
n
( N*, +)
pe
( N*, �. + ) prin rela�a
(L 1 ) : max ( S n( a), S n( b »
pentru orice
a,
�
n
S ( a+b)
�
n
n
S ( a) + S ( b )
b E N * �i ( L ) standardizeaza structura ( N* , + ) pe Z 83
structura ( N*, ::;, . ) prin
(1: 2 ): max ( S n( a), S n( b »
pentru orice
a,
n
b E N*
Demonstratie. Fie p
un
n
n
::; S ( a+b ) ::; S ( a ) · S ( b )
numar prim �i n
i p , cu i E N*, iar
=
S iC a), b* = S i( b ) , k = S i( a+b ) p p p numerele a* , b* �i k sunt cele mai S lui mitiei def ta Atunci datori n
a*
=
mici numere mtregi pozitive cu proprietati!e: a* !
=
Mp ia, b* !
Deoarece k !
=
=
Mp i b , k !
Mp i a
=
Mpi(a+b ).
M p i b rez uWi a* ::; k � i b * ::; k , deci
=
max ( a*, b* ) ::; k, ceea ce demonstreaza primele inagalitati din (1: ) I �i
(1:) Deoarece ( a* + b * ) !
=
a* ! ( a* + 1 )
a vem k � a " +b " ,
Dad n
=
p/I
.
deci P i2 2
.
pentru j
PJ J
..
. .
i, s
( a* + b * )
=
M p' :'�1
r e z u l t a ca
i . p S, avind in vedere cele de mai sus s
PJ J
max ( S .i.(a), S l.( b » =
. .
(1: 1 ) este verificata.
deducem
(1: 1 ):
. .
PJ J
PJ J
PJ J
::; S i.(a+b) ::; S l . ( a ) + S i( b )
In consecintii j
PJ J
j
PJ J
j
PJ J
max ( max S i( a), max S l.( b » ::; max S i.( a+b) ::; � J
ru J
j
::; max ( S .i.( a) + max ( S i .( b ) ) pentru j j
A�adar n
n
n
n
=
i,
S
n
max ( S ( a), S ( b ) ::; S ( a+b ) ::; S ( a ) + S ( b ) Pentru demonstrarea celei de-a doua inegal i tati din ( 1:.,) sa amintim c5. ( a+b ) ! ::; ( ab ) ! daca �i numai dac5. a 84
>
1 �i b
>
1 �i sa
observam ca inegalitatea este satisIacuta pentru n S ( a+b) l
S Ca) I
=
=
S/b )
=
1
deoarece
1
=
Fie acum n>1. Rezulta ca pentru a*
=
S ( a ) avem a* n
>
1.
Intr-adevar. daca n are descompunerea ( 3.3.4. ) atunci a*
=
S ( a ) max S 1. ( a )
¢>
1
o
ceea ce implica p
pj j
I
P, _
=
' "
=
>
Prin urmare. pentru orice n n
S ( a)
=
>
a*
0
1 �i S ( b)
atunci ( a*+b* ) !
�
=
b*
=
=
1
p
5
=
1 . deci n =
1.
1 avem
>
1
( a*·b* ) ! �i obfinem
S ( a+b) < S n ( a) + S n( b ) n
�
S (a) · S (b) n n
In continuare prezentam citeva rezultate referitoare la monotonia funqiilor Smarandache de primul tip.
3.3.9. Propozifie. Pentru fiecare intreg p o z i tiv n funqia
Smarandache . de primul tip S este crescatoare. 0
Demonstrafie. Daca n este numar prim �i k < k , finind cont ca
avem ( S (k2 » ! n
Mnk2
=
rezulta S ( k ) o
I
�
l
Mnk l
=
S (k,) 0
_
Pentru n numar mtreg oarecare S
(i k )
pm m
S pt (i k2 ) t
l
=
Deoarece po rn !
S (i k )
max S .(i.k )
Is� pj
=
Isjsr
PJ
J
J
I
max S .(i .k, )
�
S
o
-
( i k? )
pm m _ !
2
rezulta ca S (k )
�
=
�
=
fi@
S (k ) 0
l S (k, ) 0
_
S ( i k?) pt t _
S (k ) �i propozitia este demonstrata. n
2
as
3.3. 1 0. Propoz i�ie. S i rul de funqii ( S ) * es te mon oton p iEN crescator pentru OIice numar prim p.
Demonstrafie. Pentru orice i , i E N*, cu i < i 2
1
n E N* avem
S i (n) = S ( il . n) p i p deci S i p i
:s
p 5 este un numiir prim, partea intii a
teoremei rezulra din inegalitafile S
p-
l(k)
max( m. 4 ). Atunci p.u. S p. I
I
I
ai
< p pentru
. 1 =
-
1, t
deci avem 91
>
k.
sunt at
. Pc
k S ( mp )
Pentru m k S (le p )
S « mp l )
=
=
=
=
max ( S .(a. ) , S ( k » Isis
k ob�em
pi
P
I
=
P
S ( k)
=
kp
kp
k deci kp este punct fIx pentru S .
3.3.19. Teorema.. Functiile Sk au urmlitoarele proprietliti: k (i) S
( li )
l o( n +E) pentru
=
1 l·
m sup
Si nk) = k -n
E >
0
Demonstratie. Avem Os
�n) = l im S(n k) s lim s �n) = k l i m S In) I +E n - x nI +E n - � n I +E �n
lim
n-
s
I +E
n-x n
=
0
�i ( i ) este demonstrata De asemenea
lim sup
0 - :10
unde ( p )
n C � N
S �n) = l i m sup S(nk) = l i m s (p � = k n n P n
n - ::CI
n-x
este �irul numerelor prime.
3.3.20. Teorema. Functiile Smarandache de tipul al doilea sunt in n
general crescatoare, ill sensul cl 't/ n E N* 3 m
� rna
�
k S (m)
�
k S (n).
Demonstralie. Se �tie [S J di functia Smarandache este in general ;:,
crescatoare, adicii 't/ t E N* 3
k Fie t = n �i
ra
ro
E N* 't/
r � ra
�
S(r)
�
astfel illcit pentru orice
Fie de asemenea
rna
=
Set)
r � ra
avem S(r)
.• � [� ro 1 + 1 . Desigur rna � 92
�-ro
.;::>
�
( 3.3. 1 5. ) k S(n ).
rna
k
� ra Sl
.
k k rn � rn . o k k Deoarece rn � rn � r0 rezul ta o k k k k S(rn ) � S(n ) adica S (rn) � S (n)
rn � rn
o
A�adar
[� J + 1 'r/ m � mo o k unde r = r (n ) este dat de ( 3.3. 1 5. ) o o 'r/ n E N* 3 m =
�
k k S (m) � S (n)
33.21. Teorema. Fiecare numar n = p ! , cu p � max ( 3 , k), nurnar
k prim este punct de minim relativ al lui S . Demonstralie. Fie p! = P I
i2 im p . P2 . . . . . P m .
il
descompunerea lui p ! in factori primi, astfel ineit
2 = p I < P? < . . , < p < p. m _
i Deoarece p ! este divizibil cu p. j, rezulta J S ( p .ij ) p = S(p ) pentru orice j = 1 , m. 1
s
Desigur
k k" k k S ( p ! ) = S« p ! ) ) = max ( S(p . .IJ ) , S ( p » J l:Sjsn �l j S ( p.i ) 1
ss
k ij k S ( P . ) < k S ( p ) = kp = S ( p )
pentru k
1
p. Prin urmare
k k S ( p ! ) = S( p ) = kp pentru k
s
p
Dad. descompunerea lui p !-1 in factori primi este p' 1 = q .!
il
i . q2
atunci avem q.
J
2
>
. ... .
�
it
p pentru j = 1 ,
t
93
!
( 3.3. 16. )
Rezulta ij S ( p !-l ) = max ( S( q . » = S e a cu
J
1 !:F;t
'In
im)
� . p, �i deoarece S(�lm) > S ( p ) = S ( p ! ) rezultii di .
S ( p !-l ) > S(p ! )
Analog se aratii di S( p ! ) + 1 > S ( p ! ) Desigur k S ( p !_l )
=
�
k S « p !_l ) )
m m k.i ) �
Seq
Se q
m
k
k ) > S(p )
=
k.p
( 3.3. 1 7. ) �i s
k
( p !+ l ) = S e e p ! + 1 )
Din
in
k
) > k .p
( 3.3. 1 8. )
( 3.3. 1 6. ), ( 3.3. 1 7. ) �i ( 3.3. 1 8. ) rezultii demonstratia teoremei.
incheierea acestui paragraf vom prezenta funcWle Smarandache
de al treilea tip, a�a cum au fost ele defInite de 1 B aIacenoiu in
[B/
Sa consideram �iruri1e arbitrare a , a , 1 2
( a) :
1
( b):
1 =b
=
[
•
. . •
, a ,
_
b." . . , b ,
avind proprietiitile 1m
a
k
1m
= a · a , b n
Desigur, exista alegind
n
n
k
' "
... n
= b · b
( 3.3. 1 9. )
0 infmitate de �iruri c u aceste proprietati deoarece
0 valoare arbitrara pentru a
27
termenii urmatori din �irul ( a )
se determina punfud conditia sa fIe satisiacuili relatia de recurenfa.. Fie acum functia f
b: N*
a
unde S
_
an
N* . f b( n ) = S ( b ) a
an
n
este functie Smarandache de primul tip. 94
Se observa �or ca
( i ) dad a
n
=
n
=
( i ) dad a
1 �i b
n
=
n pentru OIice n E
n �i b = 1 , pentru orice n E
n
N*, rezuWi fab = S I N*, rezulta f b
=
5 1.
3.3.22. Definipe. Funcfiile Smararidache de tipul aI treilea
a
f
=
sunt
b defInite prin
functiile S S b
a
a
b
a
in cazul cind �irurile ( a ) $i ( b ) diferii de cele care genereaza func
We 5 1 �i
51.
3.3.23. Teorema. FuncWle f b au proprietatea ca L -standardizea_
a
za structura
( L5):
( N*, ) pe struc tura ( N* , �, +, 0) prin 0
max ( fab( k), fabe n » � � fab( kon ) � bn fab( k )
Demonstratieo Fie f
b(k)
a
=
f b(kon ) a
ak
k
S (b ) =
S
ak'
n
=
k* , fabe n )
kn
(b
'
)
=
=
S (b )
an n
t*
=
=
b b f e n) ka
n*
k*, n* �i t* sunt cei mai mici i'ntregi pozitivi pentru care b = M ( a k ) , n * ! M( a bn ), t* ! M( a bnk ) M« a oa ) �·bn )
Atunci k* !
)
=
k
=
n
nk
=
k n
�i deci
max(k*, n* ) � t*
( 3.3.20 )
muIt, deoarece ( bkon* ) ! M( ( n* ! ) bk), ( bnok* ) ! = M( (k* ! )bn ) b ( b on * + b ok* ) ! = M( ( b on* ) ! ( b ok* ) ! ) M« n* ! ) x: o( k* ! ) bo ) = k n k n = M« a bn ) bx: o( a �)bn ) M« a oa )�bn ) k n k n Mai
=
=
=
rezuIra d
t* - bn k* + bk
