Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler

Alfred Göpfert | Thomas Riedrich | Christiane Tammer Angewandte Funktionalanalysis Studienbücher Wirtschaftsmathemat...

Author: Alfred Göpfert | Thomas Riedrich | Christine Tammer

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Alfred Göpfert | Thomas Riedrich | Christiane Tammer Angewandte Funktionalanalysis

Studienbücher

Wirtschaftsmathematik

Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Luderer, Chemnitz

Die Studienbücher Wirtschaftsmathematik behandeln anschaulich, systematisch und fachlich fundiert Themen aus der Wirtschafts-, Finanzund Versicherungsmathematik entsprechend dem aktuellen Stand der Wissenschaft. Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathematik, der Wirtschaftswissenschaften, der Wirtschaftsinformatik und des Wirtschaftsingenieurwesens an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien als auch an Lehrende und Praktiker in den Bereichen Wirtschaft, Finanz- und Versicherungswesen.

www.viewegteubner.de

Alfred Göpfert | Thomas Riedrich | Christiane Tammer

Angewandte Funktionalanalysis Motivationen und Methoden für Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. Alfred Göpfert Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Mathematik Theodor-Lieser-Str. 5 06120 Halle [email protected] Prof. Dr. Thomas Riedrich TU Dresden Institut für Analysis Mommsenstr. 13 01062 Dresden Prof. Dr. Christiane Tammer Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Mathematik Theodor-Lieser-Str. 5 06120 Halle [email protected]

1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0133-3

Einleitung In diesem Buch werden Motivationen, Arbeitsweisen, Resultate und Anwendungen der Funktionalanalysis für Wirtschaftsmathematik und Mathematische Ökonomie dargestellt, die aber auch für Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften allgemein und für Informatik und Physik zutreffen. Die erwähnten Arbeitsweisen und Resultate haben interessante historische Ursprünge, aus denen heraus sich durch umfassendere Modellierungen und Anwendungen funktionalanalytische Versionen gebildet haben, die heute normales Wissen in den jeweiligen Disziplinen sind. Wir möchten einige der historischen Quellen nennen. Der schottische Ökonom Adam Smith schrieb in seinem Buch 1776, dass ein ökonomisches Marktgeschehen (etwa eine Austauschökonomie) so funktioniere, als ob es „von einer unsichtbaren Hand“ gesteuert würde. Das kann man als einen frühen Hinweis auf einen gesteuerten Prozess ansehen mit dem Ziel, einen Gleichgewichtszustand in dem Marktgeschehen zu erreichen. Später, in den zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts, entwickelte sich die Spieltheorie, in der modernen Form wesentlich beginnend mit Arbeiten von John von Neumann (1903–1957), und in dem Buch von von Neumann und Morgenstern hatte sie ihren ersten Kulminationspunkt. Spiele wurden verallgemeinert (viele Spieler, Kontinua von Spielern, Koalitionen, allgemeinere Präferenzen, Ökonomien) und aus der Vielzahl der beitragenden Wissenschaftler möchten wir John Nash (geb. 1928), Träger des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften 1994, nennen. Versionen von Nash-Gleichgewichtspunkten gehören zu den wichtigen Gegenständen der modernen Ökonomie. Harry M. Markowitz entwickelte 1952 ein Portfolio-Optimierungsproblem, welches die Entscheidungen eines Investors rational begründet. Für seine Forschungsarbeiten erhielt Markowitz 1990 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Eine weitere interessante Quelle der Mathematischen Ökonomie ist Paretos Effizienzbegriff. Der Sozial-Ökonom Pareto (1848–1923) beschäftigte sich mit der gleichzeitigen Maximierung mehrerer sich widersprechender Zielkriterien. Der mit seinem Namen verbundene Begriff für ein Maximum unter den genannten Bedingungen gehört heute samt seinen vielfältigen funktionalanalytischen Verallgemeinerungen zum Grundbestand der Mathematischen Ökonomie. Wir möchten schließlich Lagrange (1736–1823) erwähnen. Mit seinem Namen ist u.a. die Methode verknüpft, Extremumaufgaben mit Nebenbedingungen durch das Einführen von Lagrange’sche Multiplikatoren zu lösen. Heute spielen Lagrange-Methoden und Ihre Verallgemeinerungen eine eminente Rolle in allen obengenannten Disziplinen, für die Mathematische Ökonomie sind sie Basiselemente der Dualitätstheorie und ihre ökonomische Interpretation ist nichts anderes als eine Antwort auf Störungen des Ausgangsoptimierungsproblems. Um in der Wirtschaftsmathematik (und in der Stochastischen Analysis), aber ebenso in den weiteren eingangs genannten Gebieten, moderne Literatur lesen und verfolgen zu können, benötigt man (oft sogar tieferliegende) Kenntnisse aus verschiedenen Zweigen der Funktionalanalysis (in unendlichdimensionalen Räumen) und damit eng verbundener Gebiete: • Normierte, metrische und topologische Räume,

VI

Einleitung

• Arbeiten mit Funktionalen, Fortsetzung von linearen Funktionalen, Trennungsaussagen und Dualitätstheorie, Distributionen, • Optimalitätsbedingungen, Existenz von Fixpunkten und Gleichgewichtspunkten, Minimaxsätze, praktische Lösungsverfahren, • verallgemeinerte bzw. distributionelle Lösungen von Differentialgleichungen, • Rechnen mit Abbildungen (Operatoren), • Maß- und Integrationstheorie, • Maximalpunktsätze, • Kategoriesätze, • Mengentheorie, • halbgeordnete Räume, Präferenzen und Kegel. Wir greifen dazu in den einzelnen Kapiteln unseres Buches solche Sätze, Beispiele und Anwendungen auf, die in enger Beziehung zur Wirtschaftsmathematik und Mathematischen Ökonomie stehen. Dies zeigt sich beim genaueren Hinschauen auf die entsprechende moderne Fachliteratur. Unser Buch ist auch eine wichtige Stufe zum Einstieg in die Stochastische Analysis (vgl. hierzu u.a. Aliprantis und Border [2]) und die Finanzmathematik (vgl. Föllmer und Schied [60]). Grundlegend sind Existenzsätze für Gleichgewichtspunkte in Ökonomien (verallgemeinerten Spielen). Sie werden (für beliebige Mengen von Agenten und Gütern) in topologischen Räumen formuliert (die in einigen Fällen nicht einmal lokalkonvex, Hausdorffsch oder metrisierbar sein müssen) und nutzen dann entsprechend allgemeine Fixpunktsätze oder äquivalente Aussagen (KKM-Sätze, Maximalpunktsätze, Durchschnittsprinzip). Für eine Übersicht vgl. Tan [165] oder Yuan [173]. Wichtige Eigenschaften von nichtlinearen Funktionalen, die in der Mehrkriteriellen Optimierung und in der Finanzmathematik eine große Rolle spielen, werden in den Abschnitten 3.3 und 3.4 nachgewiesen. In Abschnitt 3.3 wird auf Differenzierbarkeitseigenschaften (FréchetDifferenzierbarkeit, Gâteaux-Differenzierbarkeit, Subdifferentiale) eingegangen, die insbesondere bei numerischen Verfahren (Ritz’sches Verfahren, Newton-Verfahren (Abschnitte 9.2, 9.3), Proximal-Point-Algorithmus (Abschnitt 5.9)) eine wichtige Rolle spielen. Ebenso grundlegend sind Anwendungen von Hahn-Banach-Sätzen (vgl. Abschnitt 5.1). Einerseits sind diese Sätze nicht ganz leicht zu durchschauen und auch nicht ganz leicht zu beweisen (man nutzt Mengenlehre). Deshalb haben wir deren endlichdimensionale Version und eine Reihe verständlicher Anwendungen an den Anfang des entsprechenden Kapitels gestellt. Andererseits sind die Anwendungen der Gruppe der Hahn-Banach-Sätze mannigfach. Schon auf Seite 6 in Föllmer und Schied [60] wird das Fundamentaltheorem der Vermögenspreisbildung (fundamental theorem of asset pricing), eine notwendige und hinreichende Bedingung zur ArbitrageFreiheit (unter gegebenen Umständen), bewiesen und dabei das Hahn-Banach-Theorem als Trennungssatz benutzt, ebenso im dynamischen Teil der Theorie (S. 242) und bei der Behandlung

VII

konvexer Risikomaße (S. 162). Das trennende Funktional ist ein Element aus dem Dualraum eines Funktionenraumes. In Inoue [91] ergibt ein trennendes Funktional den gesuchten Gleichgewichtspreisvektor und es werden u.a. Resultate aus der ersten Arbeit (1873) zur Dualitätstheorie der linearen Optimierung von Gordan (1837–1912) verwendet (vgl. Focke und Göpfert [58]). Zur allgemeinen Herleitung von Existenzaussagen für Subgradienten, Summenregeln bei Subdifferentialen (vgl. 5.4) und der Dualitätstheorie in der konvexen Optimierung (vgl. Abschnitt 5.8) spielen Trennungssätze (Abschnitt 5.3) (als Folgerungen aus dem Hahn-Banach-Satz) eine wesentliche Rolle. Auch für Optimierungsprobleme aus der Finanzmathematik können Dualitätsaussagen gezeigt werden, insbesondere für Optimierungsprobleme, wo in der Zielfunktion Risikomaße auftreten. Die duale Aufgabe wird im Sinne der Finanzmathematik interpretiert (vgl. Abschnitt 5.8.3). Weitere Anwendungen der Dualitätstheorie werden in Abschnitt 5.8 für Standortprobleme diskutiert. Wir verwenden häufig Halbordnungen und Ordnungskegel. Halbordnungen (oder allgemeiner Ordnungsstrukturen in Mengen, vgl. die Abschnitte 10.4 und 10.1.5) sind grundlegend sowohl für theoretische Fragen (beim Beweis des Hahn-Banach-Satzes werden halbgeordnete Räume benutzt, beim Ekeland’schen Prinzip und bei Maximalpunkttheoremen stecken Halbordnungen im Kern der Aussage, vgl. Lemma 7.2) als auch für die Anwendungen, denn mit Ordnungsstrukturen lassen sich Präferenzen von Entscheidungsträgern modellieren und in der Mehrkriteriellen Optimierung bilden Ordnungsstrukturen die Grundlage des Effizienzbegriffes (vgl. Abschnitt 10.2). Die Beziehungen zwischen Ordnungsstrukturen und Ordnungskegeln finden sich in Satz 10.28. Bei Verwendung von Ordnungskegeln werden Maximalpunkttheoreme (und das Ekeland’sche Variationsprinzip) und natürlich der Effizienzbegriff einprägsam anschaulich (vgl. Abb. 7.1). Aliprantis und Tourky widmeten ihr Buch [5] über halbgeordnete Vektorräume dem Mathematiker und Ökonom L.V.Kantorovich, der für seine Forschungsarbeiten 1975 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhielt, Auffällig ist in letzter Zeit die Hinwendung zu approximativen Gleichgewichtspunkten. Nicht nur, dass hier häufig generische Aussagen (das ist ein Grund, das Kapitel 4.1 über Kategoriesätze, insbesondere Abschnitt 4.4, genauer zu beachten) auftreten (z.B., unter Bedingungen sind „fast alle“ approximativen Gleichgewichte auch wirkliche Gleichgewichte), sondern approximative Lösungen existieren natürlich unter weit schwächeren Bedingungen als exakte Lösungen. Der Brouwer’sche Fixpunktsatz wird (vgl. Bich [23]) auf eine spezielle Klasse approximativer Fixpunkte verallgemeinert. Eine wesentliche Quelle für die Betrachtung approximativer Lösungen von Extremalproblemen ist das Ekeland’sche Variationsprinzip. Dieses liefert Näherungslösungen zu Optimalproblemen bzw. exakte Lösungen zu einem (in kontrollierbarer Weise) gestörten Problem. Wir heben u.a. die „Gâteaux-differenzierbare Version“ des Prinzips hervor, wodurch die Beziehungen zur Regel „erste Ableitung gleich null setzen“ beim Suchen von Optimalstellen einer Gâteaux-differenzierbaren Funktion offenbar werden (vgl. Lemma 7.1). Für das bei Problemen der Optimalen Steuerung wichtige Pontryagin’sche Maximumprinzip wird als eine der Anwendungen des Ekeland’schen Prinzips eine Version für ε -optimale Steuerungen hergeleitet. Im Ekeland’schen Prinzip versteckt sich ein Maximalpunkttheorem (vgl. Beispiel 7.1). In Hilbert-Räumen spielt die Orthogonalität eine effiziente Rolle. Dies drückt sich sowohl in Projektionssätzen als auch in der Entwicklung von Elementen eines Hilbert-Raumes in eine Orthogonalreihe aus. Beides wird bei numerischen Anwendungen oft ausgenutzt. Aber auch andere Eigenschaften von Hilbert-Räumen finden Anwendungen, so wird (vgl. Podczeck [132]) bei

VIII

Einleitung

der Untersuchung von Beziehungen zwischen Kern und Walras-Gleichgewichten in AustauschÖkonomien von nicht separablen Hilbert-Räumen (als Raum der Güter; commodity space) und einem atomfreien Maßraum (als Raum der Agenten) ausgegangen. Die Beziehungen zur Mengenlehre werden aber noch interessanter, denn in dieser Arbeit werden die Kontinuumhypothese und schließlich (für ein Gegenbeispiel) nicht Lebesgue-messbare Mengen eingesetzt. Distributionen und Fourier-Transformationen treten in wirtschaftswissenschaftlichen Sachverhalten häufig, aber manchmal versteckt auf. Natürlich spielen sie bei linearen Differentialgleichungen eine wichtige Rolle, wenn die „rechten Seiten“ der Gleichung z.B. einen Stoßvorgang (δ -Distribution) darstellen. Die zugehörigen Lösungen (= Grundlösungen) gestatten oft eine Darstellung der Lösung mit Faltungscharakter (dann kann Fourier-Transformation verwendet werden) oder dienen zur Überleitung des Differentialgleichungsproblems in ein Integralgleichungsproblem. In Ökonomien mit überlappenden Generationen führt (unter Bedingungen) die Bestimmung der Gleichgewichtspreise in Abhängigkeit von der Zeit auf Faltungsgleichungen (vgl. Demichelis und Polemarchakis [40]). Die Dirac-Distribution tritt u.a. als Spezialfall des Atoms bei Maßen auf. Ein großes Gebiet der Anwendung von Fourier-Transformationen sind Signaltheorie und Bildverarbeitung. Da in der modernen Wirtschaftswelt das Senden und das korrekte Empfangen von Signalen samt deren Verarbeitung (Bildverarbeitung) zunehmend breiteren Raum einnimmt, haben wir die Umwandlung digitaler in analoge Signale als Anwendungen zum Kapitel über Distributionen und Fourier-Transformationen mit aufgenommen. Aus der Integrationstheorie haben wir aus Platzgründen nur einige Sätze dargestellt. Diese werden aber bei vielerlei Beweisen im Rahmen der Mathematischen Ökonomie, bei denen aus der (geeigneten) Konvergenz von Folgen z.B. auf die Existenz und Summierbarkeit des Grenzwertes geschlossen wird, angewandt. Wir nennen schließlich stetige Transportprobleme (Massentransporte) etwa bei Stadtplanungen. Nicht nur, dass damit eines der historisch ersten Optimierungsprobleme in nicht endlichdimensionalen Räumen mit erfasst wird (Monge, 1746–1813), sondern in der modernen Literatur hierzu werden vielerlei funktionalanalytische Sachverhalte benutzt, es seien (vgl. z.B. Buttazzo, Santambrogio [29]) spezielle Metriken, die schwache* Topologie und die Dualitätstheorie erwähnt. Eine Diskussion von stetigen Transportproblemen (Massentransporte) unter Berücksichtigung stochastischer Aspekte wird in der Arbeit von Rüschendorf [147] vorgenommen. Auf eine Nutzung der Dualitätstheorie zur Herleitung von Lösungsverfahren für Standortprobleme und deren Anwendung in der Regionalplanung wird in der Arbeit von Hamacher, Klamroth und Chr. Tammer [74] im Buch „Die Kunst des Modellierens“ von Luderer eingegangen, vgl. auch [162]. In Abschnitt 7.4 unseres Buches wird ein Standortproblem gelöst. Das vorliegende Buch richtet sich sowohl an Studierende in Bachelor- als auch in MasterStudiengängen. Für Studierende in Bachelor-Studiengängen sind die Abschnitte zur Approximationstheorie (Kapitel 2), zu linearen und nichtlinearen Funktionalen (Kapitel 3) und der Anhang (Kapitel 10) als Grundlage für Anwendungsgebiete in der Mathematischen Ökonomie geeignet. Wichtige Sätze der Funktionalanalysis wie zum Beispiel Trennungssätze in HilbertRäumen basierend auf Projektionen (Satz 5.7) sind für Studierende der Bachelor-Studiengänge nachvollziehbar. Allgemeinere Trennungssätze in Abschnitt 5.3 sind für Studierende in MasterStudiengängen von Bedeutung, ebenso die Kapitel zum Hahn-Banach-Theorem (Kapitel 5), zu Fixpunktsätzen (Kapitel 6), Variationsprinzipien (Kapitel 7), Distributionen (Kapitel 8) und zu

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halbbeschränkten Operatoren (Kapitel 9). Auch Wissenschaftler, die auf den Gebieten Angewandte Funktionalanalysis, Optimierungstheorie und Stochastik tätig sind, finden in unserem Buch eine umfassende Darstellung der funktionalanalytischen Grundlagen. Auf Anwendungen der dargestellten Aussagen aus der Funktionalanalysis wird in unserem Buch großes Gewicht gelegt. Dazu sind in den Kapiteln Abschnitte mit Anwendungen und anwendungsorientierten Übungsaufgaben enthalten, wo geeignete Beispiele aus der Finanzmathematik, der Mathematischen Ökonomie und der Signaltheorie vorgestellt werden. Zum ertragreichen Studium des Buches wäre es günstig, wenn der Leser bereits gute Grundlagenkenntnisse in der Analysis erworben und dabei Beweisführungen verstehen, nachvollziehen und selbst durchzuführen gelernt hat. Der Anhang ist bewusst sehr ausführlich ausgestaltet worden und kann auch unabhängig vom Haupttext im Selbststudium durchgearbeitet werden, er stellt den unverzichtbaren Kern dar, mit dessen Hilfe die weiteren Entfaltungsmöglichkeiten wahrgenommen werden können, die sich in den neun Kapiteln des Haupttextes eröffnen. Nach dem Studium des Buches und dem Durcharbeiten der Beispiele sollte der Leser imstande sein, einerseits in tiefergehende Kapitel der Optimierung und Stochastik eindringen zu können und andererseits einen leichteren Zugang für umfangreichere Anwendungsgebiete in der Mathematischen Ökonomie zu gewinnen. Bei der Herstellung der computergestützten Anfertigung des Manuskripts haben uns Frau Sauter (Halle) und Frau M. Gaede-Samat (Dresden) in hervorragender Weise unterstützt. Wir möchten uns herzlich bedanken, ebenso beim Vieweg+Teubner Verlag für die gute Zusammenarbeit. Besonderen Dank richten wir an Herrn B. Luderer und Herrn W. Breckner für die gründliche Durchsicht des Manuskriptes und sehr konstruktive Anregungen. Weiterhin danken wir Herrn S. Dietze, Herrn A. Hamel und Herrn A. Löhne für nützliche Hinweise. Im Dezember 2008, Alfred Göpfert, Leipzig Thomas Riedrich, Dresden Christiane Tammer, Halle

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

V

1 Anwendung der Funktionalanalysis 1.1 Beispiele zur Optimierungstheorie in allgemeinen Räumen . . . . . . . . . . . .

1 1

1.2

Modellierung eines Marktgeschehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Approximation 2.1 Approximationsprobleme, Projektionen und Optimale Steuerung 2.2 Orthonormalreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . . . . 2.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5

9 . 9 . 15 . 24 . 25

3 Funktionale und Operatoren 3.1 Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Nichtlineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Anwendungen in der Finanzmathematik und der Mehrkriteriellen Optimierung 3.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29 29 45 61 78 92

4 Das Banach-Steinhaus-Theorem 4.1 Die Baire’schen Sätze . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit 4.3 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . 4.4 Fσ - und Gδ -Mengen. Was ist „generisch“? .

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95 95 99 102 107

5 Hahn-Banach-Theorem 5.1 Über den Satz von Hahn und Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Hahn-Banach-Theoreme und ihre Beweise . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Trennungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Subdifferential-Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Subdifferentiale spezieller Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Abstrakte Subdifferentiale und Multiplikatorenregeln . . . . . . . . . 5.7 Ökonomische Interpretation der Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Allgemeines Dualitätsprinzip für konvexe Optimierungsprobleme . . 5.9 Ein Proximal-Point-Algorithmus für stetige Approximationsprobleme

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111 111 114 118 123 126 130 133 135 148

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XII

Inhaltsverzeichnis

5.10 Anwendungen des Proximal-Point-Algorithmus zur Lösung von Multistandortproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.11 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6

Fixpunktsätze und Durchschnittsprinzip 6.1 Fixpunktsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Durchschnittsprinzip und KKM-Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Über Banach-Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Eine wirtschaftsmathematische Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes 6.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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163 163 173 178 181 183

7

Variationsprinzipien vom Ekeland’schen Typ 187 7.1 Das Ekeland’sche Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2 Folgerungen aus dem Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.3 Notwendige Bedingungen für Näherungslösungen von Approximationsproblemen 198 7.4 Nutzung des Variationsprinzips zur Lösung eines Standortproblems . . . . . . . 201 7.5 Ein ε -Maximumprinzip und dessen ökonomische Interpretation . . . . . . . . . . 203 7.6 Anwendung des ε -Maximumprinzips bei betriebswirtschaftlichen Fragestellungen 207 7.7 Dichtheitsaussagen in der Vektoroptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.8 Übungsaufgaben zur Anwendung des Variationsprinzips von Ekeland . . . . . . 213

8

Distributionen - Theorie und Anwendungen 8.1 Approximationsprinzipien im L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Der Schwartz-Raum S(RN ) (N = 1, 2, ...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Der Raum S (RN ) der temperierten Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Das Rechnen mit temperierten Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Beispiele für temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Über die Hermite’schen Orthogonalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Die stetige Einbettung von L2 in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Die Fourier-Transformation in S(R) und S(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Die Fourier-Transformation in S (R) und S (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . 8.11 Zur Anwendung der Fourier-Transformation in der Signaltheorie. Beispiele und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . .

217 217 224 228 229 234 238 244 247 256 268

. 272 . 273

Halbbeschränkte Operatoren in Hilbert-Räumen 9.1 Friedrichs’sche Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Lösung von Operatorgleichungen: Das Ritz’sche Verfahren . . . . . . . . . . . . 9.3 Übungsaufgaben (Newton-Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279 279 285 288

Inhaltsverzeichnis

10 Anhang 10.1 Vorbereitungen aus der Mengentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Anwendung der Ordnungsrelationen, Pareto-Effizienz, Nutzensfunktionen 10.3 Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Über Kegel und Präferenzen in Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . 10.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Elemente der Maß- und Integrationstheorie, Wahrscheinlichkeitsräume . . 10.7 Verwendung unterschiedlicher Normen bei Approximationsproblemen . . 10.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

291 291 305 307 338 343 350 361 364

Literaturverzeichnis

367

Sachverzeichnis

379

1 Anwendung der Funktionalanalysis 1.1 Beispiele zur Optimierungstheorie in allgemeinen Räumen Betriebswirtschaftliche Aufgabenstellungen können oft als Approximationsprobleme oder als Probleme der optimalen Steuerung modelliert werden. Den natürlichen Rahmen dieser Problemstellungen bildet die Optimierung auf Funktionenräumen. Im Folgenden diskutieren wir einige Beispiele solcher Optimierungsprobleme. Beispiel 1.1 (Ein Investitionsproblem als Optimierungsproblem auf Funktionenräumen) In einem Unternehmen wird ein Mittel A hergestellt. Ein Teil des hergestellten Mittels soll durch Reinvestition (Allokation) zur Steigerung der Produktionskapazität genutzt werden (zum Beispiel Verkauf und anschließender Erwerb von weiteren Produktionsmitteln). Der Rest steht zur Konsumtion zur Verfügung. Der betrachtete Zeitrahmen wird durch einen Endzeitpunkt T > 0 fest vorgegeben. Für t ∈ [0, T ] bezeichnen xP (t) xI (t) xC (t)

die Produktionsrate (vorgegeben) die Reinvestitionsrate (gesucht) die Konsumrate (gesucht)

zur Zeit t. Dann gilt für alle t ∈ [0, T ] einerseits xP (t) = xI (t) + xC (t), andererseits sind an die Funktionen xI (und xC ) weitere Bedingungen zu stellen wie z.B.: Aus welchem Funktionenraum darf man xI wählen? Eine Möglichkeit wäre xI ∈ CR [0, T ] (aber man könnte auch an Funktionen mit Sprungstellen denken). Es gibt weitere Einschränkungen an xI : xI muss mindestens für einige t ∈ [0, T ] positiv sein. Wir wollen deshalb alle Bedingungen, denen die Reinvestitionsrate genügen muss, als xI ∈ K ⊂ CR [0, T ] zusammenfassen. Zielstellung im Unternehmen sei es, durch geschicktes und zulässiges Reinvestieren xI den Gesamtkonsum zu maximieren: T

0

xC (t)dt → max,

(1.1)

wobei xP (t) = xI (t) + xC (t), xI ∈ K ⊂ CR [0, T ], xC ∈ CR [0, T ]. Das ist ein Optimierungsproblem auf dem Funktionenraum CR [0, T ]. Beispiel 1.2 (Energieminimierung als Approximationsproblem) Viele betriebswirtschaftliche Probleme lassen sich folgendermaßen formulieren: Die Bewegung eines Objektes mit festem Anfangs- und Endpunkt wird durch ein System von Differentialgleichungen beschrieben und soll so bestimmt werden, dass der dazu erforderliche Energieaufwand minimal wird. Die mathematische Formulierung dieses Problems lautet: Es seien T > 0, t ∈ [0, T ] und A : t → A(t) (A(t) ist eine reelle (n × n)-Matrix für jedes t ∈ [0, T ]) und B : t ∈ [0, T ] → B(t) ∈ Rn gegebene stetige Abbildungen. Wir untersuchen nun das Problem, den Zustand

2

1 Anwendung der Funktionalanalysis

des Systems x ∈ (CR [0, T ])n , stückweise stetig differenzierbar, und eine Steuerung u ∈ S[0, T ], stückweise stetig, so zu bestimmen, dass für gegebene x0 , xT ∈ Rn gilt: ∀t ∈ [0, T ] : x˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t),

x(0) = x0 , x(T ) = xT

(1.2)

und der gesamte Energieaufwand minimal wird, also T 0

(u(t))2 dt → min

(1.3)

erfüllt ist. Die Beziehungen (1.2) und (1.3) zusammen werden ein Problem der optimalen Steuerung genannt. Wir setzen voraus, dass eine Steuerung u ∈ S[0, T ] existiert, sodass das Randwertproblem (1.2) lösbar ist. Diese Lösung hat folgende Struktur (und hängt von u ab): t x(t) = Φ(t) x0 + (Φ(s))−1 B(s)u(s)ds , 0

wobei Φ eine Fundamental-Matrix der Differentialgleichung in (1.2) ist. Mittels (y1 (s), ..., yn (s)) := Φ(T )(Φ(s))−1 B(s) und

⎞ c1 ⎟ ⎜ c = ⎝ · · · ⎠ := xT − Φ(T )x0 , cn ⎛

kann das eben beschriebene Problem als Approximationsproblem vom Typ (2.2) formuliert werden: (PCP )

||u||2 =

T 0

(u(t))2 dt → min, u∈S

wobei S := {u ∈ S[0, T ] | ∀i ∈ {1, ..., n} : yi | u = ci }. In Problem (PCP ) ist die Abstandsfunktion (vergleiche (2.2)) mit x0 = 0 gegeben durch d(u, 0) = ||u − 0||, u ∈ K = S. Die Zielfunktion in (PCP ) ist das Quadrat des Abstandes. Es ist nun möglich, das Problem (PCP ) unter Nutzung des Approximationssatzes (Satz 2.1) zu lösen (vgl. Beispiel 2.5). Beispiel 1.3 (Ein Modell zur Ermittlung des optimalen Abbaus nicht erneuerbarer Ressourcen) Im Folgenden soll mit einem kontrolltheoretischen Ansatz ein weiteres Beispiel für ein Optimierungsproblem auf einem Funktionenraum diskutiert werden. Der Bestand einer Ressource zum Zeitpunkt t werde mit z(t) bezeichnet und stellt den Zustand des Systems dar, wobei zu Beginn des Betrachtungszeitraums [0, T ] noch z(0) := z0 Einheiten der Ressource vorhanden sind. Als Kontrollvariable fungiert die Abbauintensität q(t). Die Zielstellung des Unternehmens, das Eigentümer der nicht erneuerbaren Ressource ist, besteht darin, den Abbau der Ressource so vorzunehmen (zu steuern), dass der Gewinn maximal wird. Dabei wird angenommen, dass kein anderes Unternehmen diese Ressource am Markt anbietet, sodass der Ressourceneigner als Monopolist agieren kann. Ein monopolistisches Unternehmen kann entweder den Preis oder die Absatzmenge in gewissen Grenzen frei wählen. Der jeweils andere Wert ist mit Hilfe der Preis-AbsatzFunktion ableitbar. Der Preis stellt den Erwartungsparameter dar und ist eine Funktion der Kontrollvariable q. Dabei wird unterstellt, dass die im Zeitpunkt t abgebaute Ressourcenmenge q(t) sofort am Markt abgesetzt wird, wodurch Zwischenlagerungen ausgeschlossen werden und die Abbauintensität der Absatzmenge entspricht.

1.1 Beispiele zur Optimierungstheorie in allgemeinen Räumen

3

Ausgangspunkt für das hier betrachtete Modell sei eine lineare Preis-Absatz-Funktion p (q) mit einem Prohibitivpreis max p und einer absoluten Sättigungsmenge n: q p(q) = max p 1 − . (1.4) n Um das Modell und die zu Grunde gelegte Preis-Absatz-Funktion realitätsnäher zu gestalten, werden im Folgenden zwei Erweiterungen erläutert, die eine Veränderung der Preis-Absatz-Funktion im Zeitverlauf unterstellen. Auf Grund des exponentiellen Bevölkerungswachstums, der Erschließung neuer Märkte und der zunehmenden Industrialisierung vieler Staaten hat sich in den vergangenen Jahren gezeigt, dass die Nachfrage nach vielen Ressourcen ständig wächst. Um solche Nachfragetrends berücksichtigen zu können, soll die absolute Sättigungsmenge n = n(t) von der Zeit abhängig sein. Es werde für n(t) ein exponentielles Wachstum unterstellt, das heißt n(t) = n0 ewt ,

(1.5)

wobei mit n0 > 0 die maximale Nachfrage zu Beginn des Betrachtungszeitraums und mit w ≥ 0 die Wachstumsrate bezeichnet wird. Durch Verwendung der dynamischen Sättigungsmenge n(t) wird im Zeitablauf eine Drehung der Preis-Absatz-Funktion um den Punkt (0, max p) erreicht, sodass für jeden beliebig im Intervall [0, max p ] vorgegebenen Preis die absetzbare Menge mit der Rate w wächst. Des Weiteren wird angenommen, dass die Konsumenten den jeweiligen Restbestand der Ressource z(t) kennen und bereit sind, mit knapper werdendem Bestand mehr für eine Rohstoffeinheit zu zahlen. Die Erhöhung der Zahlungsbereitschaft auf Grund einer zunehmenden Knappheit kann in der PreisAbsatz-Funktion berücksichtigt werden, indem man den Prohibitivpreis max p = max p (z) als eine in z monoton fallende Funktion auffasst. Dabei sollen die Maximalpreise bei maximalem sowie bei minimalem Bestand bekannt sein: max p (z(0)) = max p (z0 ) = p0

und

max p (0) = pT

(1.6)

mit vorgegebenen Konstanten p0 < pT . Aus Vereinfachungsgründen wird nun angenommen, dass die Abhängigkeit des Prohibitivpreises von z linear ist, sodass sich folgende Funktion ergibt: max p (z(t)) =

p0 − p T z(t) + pT , z0

0 ≤ t ≤ T.

(1.7)

Je mehr also abgebaut wird beziehungsweise umso weniger Restbestand der Ressource vorhanden ist, desto höher ist der für eine Rohstoffeinheit maximal zu erzielende Preis. Analog zur dynamischen Sättigungsmenge führt der hier definierte Maximalpreis bei sinkendem Bestand z zu einer Drehung der Preis-AbsatzFunktion um den Punkt (n, 0). Es ist noch zu bemerken, dass auch der hier definierte Prohibitivpreis eine Nachfragesteigerung impliziert. Diese Erhöhung der Nachfrage hat im Gegensatz zur Nachfragesteigerung, die durch die dynamische Sättigungsmenge n(t) beschrieben wird, einen qualitativen Charakter. Das bedeutet, dass die Rohstoffnachfrage besonders im Bereich hoher Preise steigt, wohingegen die durch die wachsende Sättigungsmenge hervorgerufene Erhöhung vor allem bei niedrigen Preisen erfolgt. Im Unterschied zu bisherigen Modellen, die eine optimale Ressourcenausbeutung untersuchen, wird hier also statt einer konstanten Sättigungsmenge bzw. eines konstanten Prohibitivpreises eine Abhängigkeit von der Zeit t bzw. vom Zustand z(t) des Systems unterstellt, wodurch sich eine dynamische Preis-AbsatzFunktion ergibt. Der Preis im Zeitpunkt t hängt somit nicht nur von der abgesetzten Menge q(t), sondern

4


auch vom Ressourcenbestand z(t) und explizit von der Zeit t ∈ [0, T ] ab und ergibt sich wie folgt: p 0 − pT q(t) z(t) + pT 1− . p (z(t), q(t),t) = z0 n0 ewt

(1.8)

Das Ziel des betrachteten monopolistischen Unternehmens sei die Maximierung des mit dem Abbau der Ressource realisierten Gewinns über dem gesamten Planungszeitraum. Um eine dafür repräsentative Größe zu erhalten, wird der Barwert der erzielten Gewinne gebildet, wobei der Diskontfaktor r die individuelle Zeitpräferenz des Entscheidungsträgers widerspiegelt. Der Gewinn im Zeitpunkt t ergibt sich aus der Multiplikation der abgesetzten Menge mit dem Stückgewinn, der aus dem Preis je Rohstoffeinheit abzüglich der Stückkosten resultiert. Werden konstante Stückkosten k > 0 unterstellt, so erhält man demnach das (von q und T abhängige) Zielfunktional G

= =

T

e−rt (p (z(t), q(t),t) − k) q(t) dt T q(t) e−rt max p (z(t)) 1 − − k q(t) dt, n(t) 0 0

(1.9)

das es unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen zu maximieren gilt. Dabei bezeichnen gemäß (1.7) und (1.5) max p (z(·)) und n(·) die Funktionen für den Prohibitivpreis bzw. die absolute Sättigungsmenge der Preis-Absatz-Funktion. Das gesamte Problem der optimalen Ressourcenextraktion lässt sich demnach zusammengefasst wie folgt darstellen: T q(t) e−rt max p (z(t)) 1 − (1.10) − k q(t) dt → max G= q,T n(t) 0 unter Berücksichtigung der Restriktionen z˙(t) = −q(t)

(1.11)

z(0) = z0

(1.12)

z(t) ≥ 0

(1.13)

q(t) ≥ 0

(1.14)

n(t) − q(t) ≥ 0

(1.15)

T ∈ [ 0, T ].

(1.16)

Bei diesem Optimierungsproblem (auf einem Funktionenraum für q) handelt es sich um ein Kontrollmodell mit einer Steuerung q und einer Zustandsvariable z, einer reinen Zustandsbeschränkung (1.13) und Steuerbeschränkungen (1.14), (1.15), einem freien Endzustand und einem optimal zu bestimmenden Endzeitpunkt. Für diese Problemklasse werden von Feichtinger und Hartl [56], S. 188 (vgl. auch Abschnitt 7.5) notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Maximumprinzips für das erweiterte Modell vorgestellt, die zur Lösung des Kontrollmodells (1.10)–(1.16) herangezogen werden können. Ein auf dem erweiterten Maximumprinzip beruhender Algorithmus zur Lösung des Problems (1.10)–(1.16) wird in der Arbeit von Kunow, Tammer und Weiser [112] angegeben. Bei einer ökonomischen Interpretation des Maximumprinzips steht die Wertfunktion V (z,t), die den optimalen, auf den Zeitpunkt t bezogenen Wert des Zielfunktionals angibt, im Mittelpunkt (vgl. Feichtinger, Hartl [56], S. 25.):

T q(s) e−r(s−t) max p (z(s)) 1 − − k q(s) ds , (1.17) V (z,t) = max n(s) q(s)∈Ω t

1.2 Modellierung eines Marktgeschehens

5

wobei Ω die durch (1.14) und (1.15) beschriebenen Beschränkungen an q bezeichnet. Es wird vorausgesetzt, dass V : Rn × R → R für alle z und t wohldefiniert und zweimal stetig differenzierbar ist. Diese Voraussetzung muss im Maximumprinzip nicht erfüllt sein und stellt somit eine zusätzliche Annahme dar. Sei jetzt q∗ (·) eine optimale Steuerung für das Kontrollproblem (1.10)–(1.16) und z∗ (·) die zugehörige Zustandstrajektorie. Mit Hilfe des Bellman’schen Optimalitätsprinzips (vgl. Feichtinger, Hartl [56], S. 25.) sowie mehrerer Umformungen und einer Taylor-Reihenentwicklung kann man schließlich nachweisen, dass die adjungierte Variable λ mit λ (t) = Vz (z∗ (t),t), 0 ≤ t ≤ T, (1.18) die notwendigen Bedingungen des Maximumprinzips erfüllt. Die genaue Vorgehensweise, die für den Nachweis nötig ist, kann der entsprechenden Literatur (vgl. Feichtinger, Hartl [56], S. 24 ff.) entnommen werden. Gleichung (1.18) besagt, dass λ (t) zu jedem Zeitpunkt die Änderung des optimalen Zielfunktionswertes angibt, wenn der Zustand z(t) um eine marginale Einheit erhöht wird. Das heißt, dass sich der Gewinn um λ (t) Geldeinheiten erhöht, wenn zum Zeitpunkt t eine zusätzliche marginale Einheit des Zustands zur Verfügung gestellt und im Intervall [t, T ] optimal eingesetzt wird. Die adjungierte Variable kann somit ökonomisch als Schattenpreis des Zustands interpretiert und daher als Hinweis auf wünschenswerte Veränderungen der betrieblichen Gegebenheiten verwendet werden (vgl. Rosche [145]). Die Bezeichnung Schattenpreis soll verdeutlichen, dass es sich nicht um einen am Markt herrschenden Preis, sondern um einen internen Verrechnungspreis handelt, mit dem eine zusätzliche marginale Zustandseinheit bewertet wird.

1.2 Modellierung eines Marktgeschehens Bei der mathematischen Modellierung eines ökonomischen Marktgeschehens betrachtet man eine Menge I von Händlern (Individuen, agents) und eine Menge L von Gütern (commodities). Im folgenden Beispiel (wir nutzen Aussagen aus der Arbeit von Donato, Milasi and Vitanza [44]) sollen in einem Zeitraum nur Güter getauscht (konsumiert) und keine Güter produziert werden (reine Tausch-Ökonomie, pure exchange economy). Es gebe l Güter, d.h. card L = l und n Agenten (card I = n). Jeder Agent a ∈ I besitze eine Anfangsausstattung ea von Gütern (sein Vermögen) ea = (e1a , e2a , ..., ela ) ∈ Rl+ (1.19) und tausche die Menge xi vom Gut i ∈ I. Dann ist xa = (xa1 , xa2 , ..., xal ) ∈ Rl+

(1.20)

der Konsumtionsvektor von Agent a und x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rl×n +

(1.21)

die Konsumtion am Markt. Zum Handel mit Gut j ∈ L gehöre der Preis p j ≥ 0, also gilt p = (p1 , p2 , ..., pl ) ∈ Rl+ für den Preisvektor p. Wenigstens einer der Preise sei positiv. Dann können die Preisvektoren normiert werden, d.h. für die Preisvektoren p gilt p ∈ P = {(p1 , p2 , ..., pl ) ∈ Rl+ |

l

∑ |p j |2 = 1}.

j=1

(1.22)

6


Es liege ein Preisvektor fest und jeder Agent akzeptiert ihn (die Agenten sind Preisnehmer, kompetitives Verhalten), und es kann jedes Gut gegen jedes getauscht werden (Vollständigkeit des Marktes, complete market). Die Frage, wie Agent a ∈ I agiert, wird durch seine Präferenzvorstellungen (eine binäre Relation , vgl. Abschnitte 10.4 und 10.1.5) von der Wertigkeit (Nützlichkeit) der Konsumtionsvektoren xa bestimmt. Wir nehmen hier an, dass für jeden Agenten a eine Nützlichkeitsfunktion (utility function) ua : Rl+ → R, ua (xa ) ∈ R existiert. Der Zusammenhang zur binären Relation ist xa xa ⇔ ua (xa ) ≥ ua (xa ). Das Ziel von Agent a ist, seine Nutzensfunktion (unter Beachtung seiner Vermögensverhältnisse, seines Budgets) zu maximieren. Sein Budget beruht auf seiner Anfangsausstattung ea (da eine reine Tausch-Ökonomie betrachtet wird) und beträgt daher p · ea . Damit formuliert sich ein Optimierungsproblem für jeden Agenten a bei gegebenem Preisvektor p so: ua (xa ) = max ua (xa ), xa ∈Ma (p)

(1.23)

wobei für den zulässigen Bereich Ma (p) gilt l

Ma (p) = {xa ∈ Rl | xaj ≥ 0, j = 1, 2, ..., l; ∑ p j (xaj − eaj ) ≤ 0}.

(1.24)

j=1

Und nun ist ein solcher Preisvektor p ∈ P zu finden, dass alle Agenten gleichzeitig optimal operieren können, das ist die Frage nach einem Gleichgewichtszustand, bestehend aus p und einem passenden Gütervektor (allocation) x. Dazu wird für jedes Gut j ∈ L eine aggregierte ÜberschussNachfragefunktion (excess demand function) z j : Rnl → R eingeführt: z j (x) = ∑na=1 (xaj − eaj ). Offenbar ist xaj −eaj die Nachfrage von Agent a nach Gut j. Dann ist z(x) := (z1 (x), z2 (x), ..., zl (x)) ∈ Rl . Haben die n Probleme (1.23) für jedes p ∈ P eine eindeutige Lösung xa (p), so kann man die Funktion z an der Stelle x(p) = (x1 (p), x2 (p), ..., xn (p)) betrachten und erhält eine Funktion z(x(p)) : P → R. Die Gleichgewichtsbedingungen für die betrachtete reine Tausch-Ökonomie werden folgendermaßen definiert: Definition 1.1 Sind p ∈ P und x(p) ∈ M(p) = ∏na=1 Ma (p), so heißt das Paar (p, x(p)) ein (kompetitives) Gleichgewicht (competitive equilibrium), wenn für alle a = 1, 2, ..., n ua (xa (p) = max ua (xa ) xa ∈Ma (p)

und für alle j = 1, 2, ..., l −z j (xa (p) =

n

∑ (xa (p) − ea ) ≤ 0 j

j

(1.25)

(1.26)

a=1

gilt. Der Vektor p heißt Gleichgewichtspreis.

Unter geeigneten Bedingungen kann man beweisen, dass im betrachteten Markt das WalrasGesetz gilt: l

∑ p j (xaj (p) − eaj ) = 0 (p ∈ P, a = 1, 2, ..., n).

j=1

(1.27)

1.2 Modellierung eines Marktgeschehens

7

Das betrachtete Marktgeschehen ist ein sehr einfaches ökonomisches Modell, obwohl zum Beweis der Existenz von Gleichgewichten als auch zu deren Berechnung und Ausdeutung schon erhebliche mathematische Mittel bereitgestellt werden müssen (Fixpunktsätze, Dualitätstheorie). Dies gilt erst recht für komplexere Modellierungen der Mathematischen Ökonomie: Es müssen z.B. auch große Mengen für I und L zugelassen werden (Kontinuum von Agenten oder Gütern), manchmal gleichzeitig mit einzeln handelnden Agenten oder einzelnen Service-Stationen (Dirac-Maße, Atome), und zusätzlich Mengen K von Produzenten. Im obigen Beispiel wurde die Modellierung durch Optimierungsprobleme realisiert. Einerseits erkennt man bei genauerem Hinschauen, dass die Gesamtheit der Probleme bei (1.25) als Vektoroptimierungsproblem (vgl. (10.5), (10.6), (10.7)) auffassbar sind, sodass als Frage das Verhältnis zwischen den Gleichgewichtslösungen und Pareto-optimalen Lösungen von (1.25) entsteht. Eine Antwort geben die Fundamentaltheoreme der Wohlfahrtsökonomie (fundamental theorems of welfare economics): Unter Bedingungen sind Pareto-optimale Lösungen Gleichgewichtslösungen und umgekehrt. Andererseits sind geeignete Umrechnungen der erhaltenen Modelle (z.B. zu Variationsungleichungen, zu Fixpunktproblemen) sinnvoll, um (funktionalanalytische) Sätze und deren Beziehungen zueinander anwenden zu können (vgl. Sätze 6.13,6.15,6.16), die die Existenz von Gleichgewichtspunkten sichern oder wenigstens generisch sichern (zum Begriff generisch vgl. Abschnitt 4.4). Es gibt eine Vielzahl generischer Aussagen in der Ökonomie, die z.B. an solchen Fragen orientiert sind: Sind approximative Gleichgewichte „fast immer“ wirkliche Gleichgewichte? oder, sind (unter bestimmten Voraussetzungen) Gleichgewichtszustände „fast immer“ eindeutig? Weitere Modelle, die z.B. das Einwirken stochastischer Effekte, das Zusammenwirken von Agenten bei der Wahl optimaler Strategien (kooperatives Verhalten, auch wenn einige der Agenten (Firmen) Führungsrollen in einer Marktsituation haben, vgl. etwa Mordukhovich et al [121]), zeitliche Einflüsse (Mehrperiodenmodelle), optimale Steuerungen, oder approximative Lösungen berücksichtigen, lassen sich mit der in den folgenden Kapiteln dargestellten Funktionalanalysis angreifen. Auf klassische mathematische Modelle (Monge (1781), Kantorovich (1942)) und deren heutige Verallgemeinerungen wird man geführt, wenn man (z.B bei Stadtplanungen) Probleme des Massentransports (mass transfer problems) betrachtet. Bei der mathematischen Behandlung ist man sehr schnell auf Nutzung maßtheoretischer Sachverhalte im Rahmen der Funktionalanalysis angewiesen. Gegeben sei ein kompakter metrischer Raum X, seine Metrik sei d. Die Kosten des Transports einer Masseneinheit vom Punkt s ∈ X zum Punkt t ∈ X seien durch r(s,t) (stetig) gegeben. Es liege eine Anfangsmassenverteilung vor, diese sei durch ein auf den Borel-Mengen von K gegebenes (nichtnegatives) Maß μ beschrieben. Diese Massenverteilung soll durch eine gesuchte Umverteilung (beschrieben durch ein auf X × X nichtnegatives Maß γ ) in eine geforderte Massenverteilung ν so übergehen, dass die Kosten der Umverteilung minimal werden. Dabei bedeutet γ (e, e ) für alle Borel-Mengen e, e ⊆ X die von e nach e zu transportierende Masse.

8


Es ergibt sich folgende lineare Optimierungsaufgabe X×X

r(s,t)γ (de, de ) → min,

(1.28)

γ (e, e ) ≥ 0 für alle Borel-Mengen e, e ⊆ X

(1.29)

γ (X, e) − γ (e, X) = μ (e) − ν (e) für alle Borel-Mengen e, e ⊆ X.

(1.30)

Diese Aufgabe hat unter der Voraussetzung μ (X) = ν (X) immer eine Lösung. Zu neuerer Literatur zu solchen Problemen vgl. z.B. Buttazo und Santambrogio [29]. Dort wird auf Existenzresultate von Optimierungsproblemen obiger Art unter ausgiebiger Nutzung der Funktionalanalysis eingegangen. Zu Gleichgewichtsstrukturen bei der Stadtplanung wird auf die Arbeit von Carlier und Ekeland [30] verwiesen, siehe auch Gerth und Pöhler [63] und Tammer, Gergele, Patz und Weinkauf [162].

2 Approximation 2.1 Approximationsprobleme, Projektionen und Optimale Steuerung Optimierungsprobleme auf Funktionenräumen können sehr verschiedene Gestalt haben: Eine Vielzahl praxisrelevanter Probleme lässt sich mathematisch als die Aufgabe formulieren, den kürzesten Abstand zwischen Punkten y einer gegebenen nichtleeren Menge K in einem metrischen Raum X und einem gegebenen Punkt x0 ∈ X \ K zu bestimmen. Dabei interessiert nicht nur der kürzeste Abstand (2.1) inf d(y, x0 ), y∈K

sondern auch ein Punkt x ∈ K, der diesen kürzesten Abstand realisiert: d(x, x0 ) = inf d(y, x0 ). y∈K

(2.2)

Natürlich existiert ein solcher Punkt x, an welchem der kürzeste Abstand angenommen wird, nicht immer. Betrachten wir zum Beispiel den metrischen Raum R, K sei das offene Intervall (0, 1) und x0 := 2, so gibt es kein Element aus K, für welchen der kürzeste Abstand zu x0 angenommen wird. Existiert ein solcher Punkt x in K, dann heißt x Element bester Approximation von x0 bezüglich der Elemente von K, und das Problem (2.2), den kürzesten Abstand und seine Realisierung zu finden, heißt Approximationsproblem. Bisher war K in (1.1), (2.1), oder (2.2) eine nichtleere Menge in einem metrischen Raum X. Setzen wir voraus, dass X ein normierten Raum und K eine nichtleere konvexe Menge ist, so erhalten wir interessante Charakterisierungen von Elementen bester Approximation. Eine entsprechende Aussage ist in folgendem Satz angegeben. Dieser besagt jedoch nicht, dass ein Element bester Approximation existiert. Auf Existenzfragen wird in Satz 2.3 eingegangen. Satz 2.1 (Approximationssatz) / x0 ∈ / cl K. Dann gilt: x ∈ K ist eine beste Sei (X, || · ||X ) ein reeller Banach-Raum, K ⊂ X, K konvex, K = 0, Approximation von x0 bezüglich K genau dann, wenn ein Element x∗ ∈ X∗ existiert mit x∗ (x0 − x) = ||x0 − x||X ,

||x∗ ||∗ = 1,

x∗ (x − k) ≥ 0 (k ∈ K).

(2.3) (2.4)

Bemerkung 2.1 Die Bedingungen (2.3) und (2.4) heißen Kolmogorov-Bedingungen, die Ungleichung (2.4) Variationsungleichung für die gesuchten Punkte x ∈ X. Die Beziehungen (2.3) und (2.4) können zum Auffinden von Elementen bester Approximation ausgenutzt werden.

10

2 Approximation

Beweis von Satz 2.1: a) Unter Berücksichtigung von (2.3), (2.4) und der verallgemeinerten Schwarz’schen Ungleichung gilt für alle k ∈ K ||x − x0 ||X = x∗ (x0 − x) ≤ x∗ (x0 ) − x∗ (k) = x∗ (x0 − k) ≤ ||x∗ ||∗ ||x0 − k||X = ||k − x0 ||X , d.h. x ist eine beste Approximation von x0 bezüglich K. b) Wir betrachten F(w) := ||x0 − w||X für alle w ∈ X und nehmen an, dass x ∈ K eine beste Approximation von x0 bezüglich K ist. Unter Beachtung der Konvexität von F und K, der Summenregel für Subdifferentiale und des Extremalprinzips (vergleiche Abschnitt 5.4, Sätze 5.13, 5.14) erhalten wir 0 ∈ ∂ F(x) + ∂ χK (x), wobei χK (x) die Indikatorfunktion von K an der Stelle x (vgl. Beispiel 3.21) bezeichnet. Dies bedeutet, dass ein Element x∗ ∈ ∂ χK (x) mit −x∗ ∈ ∂ F(x) existiert. x∗ ∈ ∂ χK (x) ist äquivalent zu x∗ (x − k) ≥ 0 für alle k ∈ K, d.h. (2.4) gilt. Für −x∗ ∈ ∂ F(x) haben wir −x∗ (k − x) ≤ F(k) − F(x) = ||x0 − k||X − ||x0 − x||X (k ∈ X). Diese Beziehung liefert für k = x + w : −x∗ (w) ≤ ||w||X (w ∈ X), d.h. ||x∗ ||∗ ≤ 1; k = x0 : −x∗ (x0 − x) ≤ −||x0 − x||X ; w = x − x0 : −x∗ (x − x0 ) ≤ ||x0 − x||X . Somit folgt

x∗ (x0 − x) = ||x0 − x||X

und wegen x0 ∈ / cl K

||x∗ ||∗ = 1.

Damit haben wir gezeigt, dass (2.3) gilt.

Beispiel 2.1 (Approximation durch trigonometrische Polynome) Wir diskutieren ein typisches Beispiel für ein Abstandsproblem, wie es in (2.1) und (2.2) formuliert ist. Dazu betrachten wir den reellen linearen Raum CR [0, 2π ] aller reellen stetigen Funktionen x auf dem Intervall [0, 2π ]. Oft ist man nun daran interessiert, eine (gegebene) stetige Funktion x0 ∈ CR [0, 2π ] auf dem Intervall [0, 2π ] durch ein trigonometrisches Polynom y einer Ordnung kleiner oder gleich (einer gegebenen natürlichen Zahl) n „so gut wie möglich“ anzunähern. Solch ein y hat die Form n a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt), t ∈ [0, 2π ]. 2 k=1

Betrachtet auf [0, 2π ], gehört y natürlich zu CR [0, 2π ]. Sei K die Menge aller dieser trigonometrischen Polynome, die einen linearen Teilraum von CR [0, 2π ] darstellt. Es entsteht die Frage, wie der Abstand zwischen Elementen von K und dem gegebenen Element x0 gemessen werden kann. Dabei bestehen viele Möglichkeiten, üblicherweise verwendet man die durch das Skalarprodukt x | y = 02π x(t)y(t)dt induzierte Norm.

2.1 Approximationsprobleme, Projektionen und Optimale Steuerung

11

aus, so wird CR [0, 2π ] ein reeller Prä-HilbertStatten wir den Raum CR [0, 2π ] mit diesem Skalarprodukt Raum X := (CR [0, 2π ], · | ·) mit der Norm || · || = · | ·. Somit besteht unser Problem (Papp−pol ) nun darin, ein x ∈ K zu finden mit d(x, x0 ) = infy∈K d(y, x0 ), wobei 2π 2 d(x, y) = ||x − y|| = 0 (x(t) − y(t)) dt ist. Wir suchen nach einer Idee für die Lösung dieses Problems. Beachten wir, dass K im betrachteten Problem eine lineare Menge ist, so würde man im Endlichdimensionalen an den Zusammenhang zwischen dem kürzesten Abstand von K und x0 und der orthogonalen Projektion von x0 auf K denken. Tatsächlich kann man einen Approximationssatz und einen Projektionssatz in einem Prä-Hilbert-Raum beweisen, wobei Winkel zwischen Vektoren eine Rolle spielen: Satz 2.2 (Approximationssatz im Prä-Hilbert-Raum) Es seien (X, · | ·) ein reeller Prä-Hilbert-Raum, K ⊆ X eine konvexe Menge, K = 0/ und x0 ∈ X. Dann gilt für x ∈ K: x ist die beste Approximation von x0 bezüglich K, d.h. x ist eine Lösung der Aufgabe x − x0 2 → minx∈K

⇐⇒

x − x0 | k − x ≥ 0

(k ∈ K).

Ist (X, · | ·) ein komplexer Prä-Hilbert-Raum, so steht rechts Rex − x0 | k − x ≥ 0

(k ∈ K)

(2.5)

als Optimalitätsbedingung. Beweis: Die Aussage für den reellen Fall weisen wir mittels Satz 3.34 nach: Die Anwendung dieses Satzes auf f (·) = 12 · −x0 2 liefert für alle k ∈ K f+ (x, k − x) ≥ 0, wobei f+ (x, h) (= f (x, h)) = 2 · 12 x − x0 | h = x − x0 | h für h ∈ X. Damit erhalten wir für alle k ∈ K und h = k − x f+ (x, k − x) = x − x0 | k − x und für alle k ∈ K

0 ≤ x − x0 | k − x.

Die Aussage für den (allgemeineren) komplexen Fall weisen wir direkt nach: Da x ∈ K Minimalstelle von x0 − k2 für k ∈ K ist, gilt mit 0 < λ ≤ 1 für alle k ∈ K x0 − [(1 − λ )x + λ k]2 ≥ x0 − k2 ,

(2.6)

weil die konvexe Linearkombination in der eckigen Klammer zu K gehört. Umrechnen ergibt 2Rex0 − x|λ (x − k) + λ 2 x − k2 ≥ 0 und mit λ → 0 folgt die Behauptung: Für alle k ∈ K gilt Rex − x0 | k − x ≥ 0. Diese Rechnung geht auch rückwärts. Die in Satz 2.2 bewiesene Ungleichung ist eine sogenannte Variationsungleichung (zur Bestimmung von x bei gegebenen x0 , K, (X, · | ·). Es ist x so in K zu bestimmen (es ist so zu variieren), dass die Ungleichung erfüllt ist. Die unten bei (2.7) bewiesene Gleichung heißt entsprechend Variationsgleichung.

12

2 Approximation

r x 0

x−x0 rx K r k ....................................................... ........... ........ ........ ....... ...... ..... ..... .... . . . . .... ...... ... α ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... . ... .. ... .. ... .. . ... . . . k−x ... ... ... .... ... .... .... .... ... . . . ...... ...... ....... ....... ......... ......... ............ ...............................................

Abbildung 2.1: Geometrische Interpretation des Approximationssatzes Bemerkung 2.2 Die Aussagen in Satz 2.1 erlauben eine einfache und anschauliche Interpretation für den Fall, dass X ein reeller Hilbert-Raum ist (insbesondere, wenn X der endlichdimensionale Raum Rn ist). Dann erhalten wir in (2.4) mit x∗ = (x0 − x)/||x0 − x||X , x∗ (x) = x∗ | x (falls wir X mit X∗ identifizieren, vgl. Satz von Riesz, Satz 3.3) ∀k ∈ K gilt x − x0 | k − x ≥ 0. Beachten wir nun die Beziehungen zwischen dem Skalarprodukt zweier Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel, so erkennen wir anhand der letzten Ungleichung, dass für x der erwähnte Winkel zwischen x − x0 und k − x für alle k ∈ K kleiner oder gleich π2 ist (siehe Abbildung 2.1 und vergleiche auch Satz 2.2): In den Aussagen der Sätze 2.1 und 2.2 wurden notwendige und hinreichende Bedingungen für Elemente bester Approximation nachgewiesen, jedoch wurde nicht auf die Frage nach der Existenz von Elementen bester Approximation eingegangen. Eine entsprechende Existenzaussage liefert folgender Satz: Satz 2.3 (Projektionssatz I) Es seien H ein Hilbert-Raum, K ⊆ H abgeschlossen und konvex, K = 0. / Dann existiert genau ein Element minimaler Norm in K (d.h. eine beste Approximation von x0 = 0 bezüglich K) und es gilt sogar: Jede Minimalfolge in K konvergiert gegen dieses Element. Beweis: Es seien {xn }n∈N eine Minimalfolge in K mit {xn }n∈N → inf x := α und ε > 0. Dann gilt x∈K

nach der Parallelogrammgleichung für alle n, m ≥ n0 (ε ): x −x 2 n m = 2 xn 2 + xm 2 − xn +xm 2 = 1 (xn 2 + xm 2 ) − xn +xm 2 2 2 2 2 2 2 und somit xn − xm 2 1 2 2 2 ≤ 2 2 · (α + ε ) − α = ε , m 2 ≥ α 2 . Also ist jede Minimalfolge {xn }n∈N in K eine da xn 2 ≤ α 2 + ε , xm 2 ≤ α 2 + ε und xn +x 2 Cauchy-Folge, die wegen der Vollständigkeit von H und der Abgeschlossenheit von K gegen ein x ∈ K konvergiert. Unter Beachtung der Stetigkeit der Norm erhalten wir {xn }n∈N → x und es gilt x = α . Wären nun x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 , Elemente minimaler Norm in K, gilt also ||x1 || = ||x2 || = α , so ist natürlich

2.1 Approximationsprobleme, Projektionen und Optimale Steuerung

13

die Folge x1 , x2 , x1 , x2 , ... eine Minimalfolge, also eine Cauchy-Folge, und damit muss x1 = x2 sein, d.h. das Element x ist eindeutig bestimmt. Folgerung: Also gibt es auch genau eine beste Approximation y ∈ K von irgendeinem festen Punkt y ∈ H, denn man muss im Beweis nur statt von {xn − 0}n∈N → infx∈K x − 0 von {xn − y}n∈N → infx∈K x − y ausgehen. Diese beste Approximation heißt Projektion von y auf K. Durch die eindeutige Zuordnung y ∈ H → y ∈ K ist damit ein Operator PK auf H definiert. Er heißt Projektionsoperator. Dieser Operator ist nicht expansiv (zum Beweis vgl. Satz 2.14). Ist K eine abgeschlossene lineare Menge , so hat der zugehörige Projektionsoperator PK weitere Eigenschaften (vgl. Satz 2.14). Sie ergeben sich aus dem folgenden Projektionssatz II (vgl. Abbildung 2.2). Satz 2.4 (Projektionssatz II) Es seien K ein linearer Teilraum des Prä-Hilbert-Raumes X und x0 ∈ X. Ein Element x ∈ K ist die beste Approximation von x0 bezüglich K genau dann, wenn ∀k ∈ K :

x − x0 | k = 0.

(2.7)

Die beste Approximation ist eindeutig bestimmt. Beweis: Ist der Prä-Hilbert-Raum X reell, so ist der Satz wegen der Linearität von K eine direkte Konsequenz aus Satz 2.2. Den allgemeineren komplexen Fall beweisen wir wieder durch eine Störung. Mit beliebigem komplexen α und mit einem k ∈ K \ {0} gilt, weil x Minimalstelle von x0 − k2 (k ∈ K) ist, x0 − x2 ≤ x0 − (x + α k)2 = x0 − x2 − α k | x0 − x − α x0 − x | k + αα k2 . Indem man α =

x0 −x|k k2

(2.8)

setzt, folgt für alle k ∈ K |x0 − x | k|2 ≤ 0, also x0 − x | k = 0.

(2.9)

Wäre auch x1 = x Lösung der Minimumaufgabe, also x1 − x = 0, so ist einerseits x1 − x ∈ K, weil K linear ist. Andererseits ist für alle k ∈ K 0 = x0 − x | k − x0 − x1 | k = x1 − x | k, und für k = x1 − x = 0 folgt 0 = x1 − x2 aus (2.10), das ist ein Widerspruch.

(2.10)

Da (2.7) insbesondere eine hinreichende Bedingung ist, haben wir zur Lösung des Problems, die beste Approximation von x0 bezüglich K zu finden, nur ein Element x ∈ K zu suchen, welches (2.7) erfüllt. Solch ein Element x ∈ K muss im Falle des Problems (Papp−pol ) die Form n α0 + ∑ (αk cos kt + βk sin kt) 2 k=1

haben. Setzen wir dies in (2.7) ein und verwenden wir für Elemente y ∈ K ihre allgemeine Form n a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt), 2 k=1

dann können wir leicht die Koeffizienten von x bestimmen, da einerseits 1 1 1 1 1 { √ , √ cost, √ sint, ..., √ cos(kt), √ sin(kt), ...} π π π π 2π

14

2 Approximation

rx0

HH · H H

H HH

HH r · x HH

HH · H

HK

Abbildung 2.2: Geometrische Interpretation des Projektionssatzes II in CR [0, 2π ] ein Orthonormalsystem in X ist und andererseits die Koeffizienten von y beliebig gewählt werden können (wir setzen sukzessive α0 = 1 und alle anderen Koeffizienten gleich null und so weiter). Auf diese Weise erhalten wir für die bisher unbekannten Koeffizienten von x gerade die üblichen FourierKoeffizienten (k = 1, ...n):

α0 =

1 π

2π

αk =

x(t)dt,

0

βk =

1 π

2π

1 π

2π

x(t) cos(kt)dt,

0

x(t) sin(kt)dt.

0

Damit besitzt eine Lösung x an der Stelle t des Approximationsproblems (Papp−pol ) die Gestalt n α0 + ∑ (αk cos kt + βk sin kt). 2 k=1

(2.11)

Bemerkung 2.3 (Eindeutigkeit der Lösung) x ist der einzige Punkt in K, an welchem der kleinste Abstand zwischen einem gegebenen x0 ∈ X = (CR [0, 2π ], . | .) und der Menge K aller trigonometrischen Polynome vom Grad höchstens n angenommen wird, wie aus Satz 2.4 folgt. Bemerkung 2.4 (Konvergenzaussage) Betrachten wir ein Element x1 ∈ X = (CR [0, 2π ]), so können wir die Fourier-Koeffizienten von x1 in der gleichen Weise wie oben, aber für alle k ∈ N berechnen und erhalten die Fourier-Reihe von x1 (an der Stelle t): ∞ a0 + ∑ (an cos nt + bn sin nt). 2 n=1 Was kann man über die Konvergenz dieser Reihe aussagen? Und wenn eine solche Reihe (in einem gewissen Sinne, vgl. auch Beispiel 4.4) konvergent ist, was ist dann ihr Grenzwert? Wir erhalten hierauf für stetige periodische Funktionen eine Antwort unter Beachtung von (2.11) (vgl. Beispiel 2.1) zusammen mit dem Satz von Weierstraß (1885): Satz 2.5 (Konvergenzsatz) Es sei x1 ∈ CR [0, 2π ] und mit der Periode 2π periodisch. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von x1 im quadratischen Mittel gegen x1 .

2.2 Orthonormalreihen

15

Beweis: Der Satz von Weierstraß (Jede reellwertige stetige 2π -periodische Funktion kann durch trigonometrische Polynome beliebig genau gleichmäßig approximiert werden.) liefert die Existenz einer Folge von trigonometrischen Polynomen {Tn }∞ 1 mit grad Tn = n und max |x1 (t) − Tn (t)| → 0 für n → +∞.

0≤t≤2π

Unter Beachtung der Tatsache, dass die n-te Partialsumme Fn der Fourier-Reihe von x1 (vgl. (2.11)) die beste Approximation von x1 bezüglich der Menge der trigonometrischen Polynome vom Grad höchstens n im quadratischen Mittel ist, erhalten wir 2π 0

(x1 (t) − Fn (t))2 dt ≤

2π 0

(x1 (t) − Tn (t))2 dt

≤ 2π max |x1 (t) − Tn (t))|2 → 0 für n → +∞, 0≤t≤2π

d.h. die Folge {Fn } konvergiert im quadratischen Mittel gegen x1 .

2.2 Orthonormalreihen 2.2.1 Orthogonalsysteme In Prä-Hilbert-Räumen kann man von Paaren zueinander orthogonaler Elemente und von Orthonormalsystemen (siehe Definition 2.1) sprechen. Derartige Systeme sind von Bedeutung, wenn man sich mit der Entwicklung von Funktionen in Fourier-Reihen (Satz 2.9) beschäftigt. Definition 2.1 Sei (X, ·|·) ein Prä-Hilbert-Raum. Zwei Elemente x, y ∈ X heißen orthogonal zueinander, wenn x|y = 0 gilt. Eine Teilmenge von H heißt ein Orthogonalsystem, wenn je zwei ihrer Elemente orthogonal sind. Ein Orthogonalsystem, welches nur Elemente x mit x = 1 enthält, heißt ein Orthonormalsystem, kurz: ein ONS.

Für eine Folge x1 , x2 , ... von Elementen aus X gilt dann, dass sie ein Orthogonalsystem ist, falls alle Gleichungen xk |x j = 0, k = 1, 2, ..., j = 1, 2, ..., j = k (2.12) erfüllt sind. Sie ist ein Orthonormalsystem, falls alle folgenden Gleichungen gelten:

0 j = k, xk |x j = δk j = 1 j = k.

(2.13)

Beispiel 2.2 Wir betrachten den reellen linearen Raum Rn mit dem in Beispiel 10.13 eingeführten Skalarprodukt. Dann ist die Menge der n Vektoren e j = (0, ..., 1, ..., 0), ( j = 1, ..., n), natürlich ein ONS in Rn . Weiter betrachten wir den reellen linearen Raum CR (vergleiche Beispiel 10.13) und wählen das Intervall [0, 2π ] (wir bezeichnen nun den linearen Raum als CR [0, 2π ]), so erhalten wir das folgende ONS: 1 1 1 1 1 { √ , √ cost, √ sint, ..., √ cos(kt), √ sin(kt), ...}. π π π π 2π

(2.14)

Der Beweis erfolgt sehr einfach durch partielle Integration. Dieses ONS (2.14) wird zur Entwicklung von Funktionen in (trigonometrische) Fourier-Reihen verwendet, vergleiche Beispiel 2.1.

16

2 Approximation

Satz 2.6 (Satz von Pythagoras) Ist G ⊆ X ein Orthogonalsystem im Prä-Hilbert-Raum X und sind x1 , ..., xn Elemente von G, so gilt x1 + x2 + ... + xn 2 = x1 2 + x2 2 + ... + xn 2 .

(2.15)

Beweis: Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen: n

n

n

j=1

j=1

r=1

∑ x j 2 = ∑ x j | ∑ xr = =

n

n

j=1

j=1

n

n

∑ ∑ x j |xr

j=1 r=1

∑ x j |x j = ∑ x j 2 .

Satz 2.7 (Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren) Ist x1 , x2 , ... eine (endliche oder unendliche) Folge linear unabhängiger Vektoren eines Prä-Hilbert-Raumes X, so gibt es ein ONS e1 , e2 , ...,, welches den gleichen linearen Teilraum von X erzeugt, d. h., die Menge aller endlichen Linearkombinationen ∑nj=1 α j e j stimmt mit der Menge aller endlichen Linearkombinationen ∑m k=1 βk xk überein (n, m = 1, 2, ..., α j , βk beliebige komplexe Zahlen). Das ONS e1 , e2 , ... kann auf die folgende Weise berechnet werden: e1 =

1 x1 x1 , n−1

en =

xn − ∑ ek |xn ek k=1 n−1

xn − ∑ ek |xn ek

für n = 2, 3, ...

(2.16)

k=1

Beweis: Wie man leicht nachrechnet, gilt en |em = 0 für n = m sowie en = 1(n = 1, 2, ...). Mittels vollständiger Induktion ergeben sich die weiteren Aussagen des Satzes. Orthonormalsysteme spielen bei der Darstellung von Elementen eines (Prä-)Hilbert-Raumes im Hinblick auf die Approximation allgemeiner Vektoren (d.h. Funktionen, die Elemente eines Funktionenraumes sind) durch besonders übersichtliche und einfache Elemente eine wichtige Rolle. Im Folgenden treten unendliche Reihen ∑∞ n=1 xn auf, deren Glieder xn (n = 1, 2, ...) Elemente eines Hilbert-Raumes sind. Die Konvergenz dieser Reihen wird analog zur Konvergenz von Zahlenreihen erklärt: Definition 2.2 Es sei {xk } eine Folge von Elementen eines Hilbert-Raumes X. Der Ausdruck ∑∞ k=1 xk bezeichnet einerseits die Folge der zugehörigen Partialsummen sn = ∑nk=1 xk (n = 1, 2, ...) und wird unendliche Reihe genannt. Die unendliche Reihe ∑∞ k=1 xk heißt konvergent, wenn die Folge {sn } der Partialsummen konvergiert. In ∞ diesem Fall schreibt man s = limn→+∞ sn = ∑∞ k=1 xk und nennt s = ∑k=1 xk andererseits auch den Wert der ∞ unendlichen Reihe ∑k=1 xk . Eine unendliche Reihe, die nicht konvergent ist, heißt divergent. Satz 2.8 Es sei X ein Hilbert-Raum und die Folge {xn } sei ein Orthogonalsystem in X. Die unendliche Reihe ∑∞ n=1 xn ∞ 2 konvergiert genau dann, wenn ∑∞ n=1 xn konvergiert. Gilt ∑n=1 xn = x, so ist x2 =

∞

∑ xn 2 .

n=1

(2.17)


17

Beweis: Für n > m gilt mit sk = ∑kj=1 x j (k = 1, 2, ...) wegen Satz 2.6 die Gleichheit n

sn − sm 2 =

∑

x j 2 =

j=m+1

n

∑

x j 2 =

j=m+1

n

n

j=1

j=1

∑ x j 2 − ∑ x j 2 .

Daher ist die Folge {∑nk=1 xk } = {sn } genau dann eine Cauchy-Folge in X (vgl. Definition 10.20), wenn die Folge {∑nk=1 xk 2 } eine Cauchy-Folge (in R) ist. Wegen der Vollständigkeit von X ergibt sich die erste der obigen Behauptungen. Es gelte jetzt ∑nk=1 xk = x, d. h., die Folge {sn } = {∑nk=1 xk } konvergiert gegen x. Nach dem Satz von Pythagoras (Satz 2.6) gilt sn 2 = ∑nk=1 xk 2 . Wegen limn→+∞ sn − x = 0 gilt auch limn→+∞ sn = x (Dreiecksungleichung, Stetigkeit der Norm). Also ist auch limn→+∞ sn 2 = x2 , woraus die zweite Behauptung sofort folgt. Definition 2.3 Es sei {en } ein ONS im Hilbert-Raum X. Ist x ein beliebiges Element von X, so heißt die Zahl x|ek

(k = 1, 2, ...)

(2.18)

der k-te Fourier-Koeffizient von x bezüglich des gegebenen ONS.

Bei der Entwicklung nach Orthogonalfunktionen ist wesentlich, dass das vorliegende ONS umfangreich genug ist, um alle Elemente des betrachteten Raumes approximieren zu können. Zum Beispiel bildet das System {e1 , e2 } mit e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) zwar ein ONS im (reellen Hilbert-Raum) R3 . Der Vektor x0 = (1, 1, 1) hat dann jedoch von allen Linearkombinationen ∑2j=1 α j e j = α1 e1 + α2 e2 = (α1 , α2 , 0) einen Abstand 2

x0 − ∑ α j e j =

(α1 − 1)2 + (α2 − 1)2 + 1 ≥ 1,

j=1

kann also durch dieses ONS nicht beliebig genau approximiert werden. Die entscheidende Eigenschaft eines ONS, die eine solche Approximierbarkeit gewährleistet, ist die Vollständigkeit des ONS. Definition 2.4 Es sei {en }, n = 1, 2, ... ein ONS im Hilbert-Raum X. Das ONS {en } heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor x gibt, der zu allen Vektoren en orthogonal ist.

Der zugehörige Entwicklungssatz lautet: Satz 2.9 (Orthogonalentwicklung) Es sei X ein Hilbert-Raum und {en } ein ONS in X. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: 1. Das ONS {en } ist vollständig. 2. Für jedes x ∈ X gilt: (Fourier-Entwicklung von x) x=

∞

∑ x|en en .

(2.19)

n=1

3. Für jedes x ∈ X gilt: (Parseval’sche Gleichung) x2 =

∞

∑ |x|en |2 .

n=1

(2.20)

18

2 Approximation

Beweis: (2.20) und (2.19) sind gleichwertig. Wir benutzen die Bessel’sche Gleichung: Es gilt für festes n = 1, 2, ... ∀ x ∈ X : x −

n

n

ν =1

ν =1

∑ x|eν eν 2 = x2 − ∑ |x|eν |2 ,

(2.21)

was sich durch Ausmultiplizieren der Skalarprodukte ergibt. Da die linke Seite in (2.21) nichtnegativ ist, folgt die Bessel’sche Ungleichung: ∀x ∈ X : x2 ≥

n

∑ |x|eν |2 .

(2.22)

ν =1

Aus der Bessel’schen Ungleichung folgt, dass ∑ν∞=1 |x|eν |2 für jedes x ∈ X konvergiert. Satz 2.8 ergibt dann, dass ∑∞ n=1 x|en en konvergiert. Grenzübergang n → +∞ in der Bessel’schen Gleichung liefert nun das Resultat, dass ∑νn =1 |x|eν |2 genau dann gegen x2 konvergiert, wenn ∑νn =1 x|eν eν gegen x konvergiert. Wegen der Vollständigkeit gilt (2.19) für jedes x ∈ X. Wäre das für ein y ∈ X falsch, so würde, da eine Fourier-Reihe (in einem Hilbert-Raum) stets konvergiert, mit einem Element s ∈ X folgen ∞

∑ y|en en = s, s ∈ X, s − y = 0.

(2.23)

n=1

Für jedes eμ , μ = 1, 2, ..., gilt jedoch eμ |s − y = ∑∞ n=1 y|en eμ |en − eμ |y = 0, ein Widerspruch zur Vollständigkeit. Gilt (2.19) für jedes x ∈ X, so folgt die Vollständigkeit. Gäbe es ein y ∈ X, y = 0 mit en |y = 0 (n = 1, 2, ..., ) so folgte y = ∑∞ n=1 y|en en = 0, ein Widerspruch. Beispiel 2.3 Es sei X = L2 [0, 2π ]. Dann ist das folgende Funktionensystem ein vollständiges ONS: e−i n t √ 2π

(n = 0, ±1, ±2, ...).

(2.24)

Weitere Beispiele vollständiger ONS erhält man durch Orthogonalisierung der Funktionenfolge fn (x) = xn p(x), wobei p(x) ≥ 0 eine sogenannte Belegungsfunktion (oder Gewichtsfunk2 [−1, 1] und für p(x) = 1 die tion) bezeichnet. Auf diese Weise erhält man z.B. im Raum LR normierten Legendre’schen Polynome 2n + 1 1 dn 2 (x − 1)n (n = 0, 1, ...) (2.25) Pn (x) = 2 2n n! dxn 2 für p(x) = e−x die normierten Hermite’schen Funktionen und im LR 2

n −x x2 d (e (−1)n ψn (x) = e2 √ dxn 2n n! π

2)

(n = 0, 1, ...)

(2.26)

als ONS. Zu den Hermite’schen Funktionen vgl. Abschnitt 8.6. Bemerkung 2.5 Ein Hilbert-Raum unendlicher Dimension (d.h. mit unendlich vielen linear unabhängigen Elementen) besitzt genau dann ein vollständiges abzählbar unendliches ONS, wenn er separabel ist, d.h. eine abzählbar unendliche überall dichte Teilmenge besitzt.


19

2.2.2 Orthogonales Komplement, orthogonale direkte Summe Definition 2.5 Es seien X ein Prä-Hilbert-Raum und E eine Teilmenge von X. Die Menge aller Elemente x ∈ X, die auf allen Vektoren aus E senkrecht stehen, bezeichnet man mit X E oder mit E ⊥ , sie heißt das orthogonale Komplement von E bezüglich X (bzw. in X): X E = {x ∈ X | x|y = 0 für alle y ∈ E}.

(2.27)

Satz 2.10 Unter den Voraussetzungen der obigen Definition ist X E ein abgeschlossener linearer Teilraum von X.

Beweis: Ist x ∈ XE, so gilt für beliebiges komplexes λ : λ x|y = λ x|y = 0 für alle y ∈ E, also ist auch λ x ∈ X E. Sind x1 , x2 ∈ X E, so auch x1 + x2 , weil x1 + x2 |y = x1 |y + x2 |y = 0 für alle y ∈ E gilt. Gilt schließlich xn ∈ H E und x = limn→+∞ xn , so ist x|y = 0 für alle y ∈ E. Beispiel 2.4 Es sei X ein Hilbert-Raum und {en } ein vollständiges ONS in X. Es sei E = {e1 , ..., em } die Teilmenge dieses ONS, die aus den ersten m Elementen er besteht. Dann besteht X E aus allen Elementen x der Form ∞

x=

∑

∞

mit

ck ek

k=m+1

∑

|ck |2 < +∞.

(2.28)

k=m+1

Denn x|er = ∑∞ k=m+1 ck ek |er = 0 für r = 1, ..., m, also liegt jedes x der Gestalt (2.28) in X E. Ist umgekehrt x ∈ X E, so gilt nach dem Entwicklungssatz 2.9 x=

∞

∑ x|ek ek .

k=1

Weil x ∈ X E ist, muss x|ek = 0 für k = 1, ..., m gelten. Also ist x=

∞

∑

k=m+1

x|ek ek =

∞

∑

ck ek

mit

ck = x|ek

k=m+1

2 (k = m + 1, m + 2, ...). Aus dem Entwicklungssatz folgt weiter, dass +∞ > x2 = ∑∞ k=m+1 |x|ek | = ∞ 2 ∑k=m+1 |ck | gilt, woraus die Konvergenz der rechtsstehenden Reihe folgt. Mit anderen Worten, das orthogonale Komplement einer Menge endlich vieler Elemente eines (vollständigen) ONS besteht aus allen (Fourier-)Reihen, in denen nur die restlichen Elemente des ONS auftreten.

Definition 2.6 Es seien X ein Hilbert-Raum und X1 bzw. X2 abgeschlossene lineare Teilräume von X. Gilt für x1 ∈ X1 und x2 ∈ X2 stets x1 |x2 = 0, so nennt man die Teilräume X1 und X2 zueinander orthogonal. Die Menge {x ∈ X | x = x1 + x2 , x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 } nennt man die orthogonale direkte Summe von X1 und X2 und bezeichnet sie mit X1 ⊕ X2 .

(2.29)

Satz 2.11 Unter den in Definition 2.6 getroffenen Voraussetzungen ist die orthogonale direkte Summe von X1 und X2 stets ein abgeschlossener linearer Teilraum von X.

20

2 Approximation

Es ist in Analogie zu Definition 2.6 klar, wie die orthogonale direkte Summe X1 ⊕X2 ⊕...⊕Xn endlich vieler, paarweise orthogonaler linearer Teilräume zu definieren ist. Satz 2.12 Es sei X1 ein abgeschlossener linearer Teilraum eines Hilbert-Raumes X und X2 = X X1 das orthogonale Komplement von X1 in X. Dann ist X die orthogonale direkte Summe von X1 und X2 : X = X1 ⊕ X2 .

Dieser und der folgende Satz zeigen, dass die Bildung des orthogonalen Komplements und der orthogonalen direkten Summe zueinander invers (komplementär) sind. Satz 2.13 Es sei X ein Hilbert-Raum, und es gelte X = X1 ⊕ X2 , wobei X1 , X2 zwei abgeschlossene lineare Teilräume von X bezeichnen. Dann gelten die Gleichungen X1 ∩ X2 = 0, X1 = X X2 , X2 = X X 1

(2.30)

Außerdem lässt sich jedes x ∈ X auf genau eine Weise in der Form x = x1 + x2

(x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 )

(2.31)

darstellen.

Beweis: Wir zeigen nur die erste der Gleichungen (2.30) sowie die Gleichung (2.31). Da X1 und X2 lineare Teilraume von X sind, gilt 0 ∈ X1 ∩ X2 . Ist andererseits x ∈ X1 ∩ X2 , so gilt nach Definition 2.6 der orthogonalen direkten Summe, dass x|x = 0 sein muss, d. h. aber x = 0. Somit ist X1 ∩ X2 = {0}. Wegen X = X1 ⊕ X2 gibt es für jedes x ∈ X stets mindestens eine Darstellung der Form x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 . x = x1 + x2 , Gilt zusätzlich

x = x1 + x2 ,

x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 ,

so folgt x1 + x2 = x1 + x2 auch x1 − x1 = x2 − x2 . Es ist x1 − x1 ∈ X1 , x2 − x2 ∈ X. Da diese beiden Elemente gleich sind, gehören sie sowohl zu X1 als auch zu X2 , also zu X1 ∩ X2 , und daher gilt nach dem zuvor Bewiesenen, dass x1 − x1 = x2 − x2 = 0 sein muss, woraus schließlich x1 = x1 , x2 = x2 folgt. Es gibt also nur eine Zerlegung von x in der Form (2.31). Wichtig ist der folgende Projektionssatz (vgl. Satz 2.4, in dem eine notwendige und hinreichende Bedingung für Elemente bester Approximation bezüglich eines linearen Teilraumes eines Prä-Hilbert-Raumes, und Satz 2.3, in dem die Existenz bester Approximationen gezeigt wurden). Satz 2.14 Es sei K ein abgeschlossener linearer Teilraum des Hilbert-Raumes X. Zu jedem x ∈ X gibt es genau ein Element x1 ∈ K, welches von x einen minimalen Abstand (bezüglich K) besitzt (die Projektion PK von x auf K, PK : H → K ⊆ H): (2.32) x − x1 = inf x − y. y∈K

Der Vektor x − x1 = x2 gehört zum orthogonalen Komplement X K = K ⊥ . Der Projektionsoperator PK hat folgende Eigenschaften: PK ist linear, symmetrisch, hat (falls K = {0}) die Norm 1 (ist also ein stetiger Operator), ist itempotent und nicht expansiv.


21

Beweis: Es sind nur noch die Orthogonalzerlegung und die Eigenschaften von PK zu zeigen. Orthogonalzerlegung: Wegen Satz 2.4 gilt ∀y ∈ K :

x − x1 | y = 0,

(2.33)

also ist x − PK (x) = x − x1 ∈ K ⊥ . Nichtexpansitivität: Hier reicht es, K abgeschlossen und konvex vorauszusetzen. Es gilt für den Projektionsoperator PK wegen Satz 2.2 (man beachte PK (x ) ∈ K (x ∈ H)) Rex − PK (x)|PK (x) − PK (x ) ≥ 0 (x, x ∈ X),

(2.34)

und dies gilt auch nach Vertauschung von x mit x . Es folgen nach Addition beider Ungleichungen Rex − x |PK (x) − PK (x ) + Re−PK (x) + PK (x )|PK (x) − PK (x ) ≥ 0, Rex − x |PK (x) − PK (x ) − PK (x) − PK (x )2 ≥ 0.

(2.35)

Die Schwarz’sche Ungleichung, angewendet auf das Skalarprodukt in (2.35), ergibt PK (x) − PK (x )2 ≤ |x − x |PK (x) − PK (x )| ≤ PK (x) − PK (x )x − x und daraus folgt (natürlich auch bei PK (x) = PK (x )) die Nichtexpansivität: PK (x) − PK (x ) ≤ x − x (x, x ∈ X).

(2.36)

Stetigkeit: Aus der letzten Ungleichung folgt offenbar die Stetigkeit von PK . Ist K abgeschlossen und linear, so gilt: 1) PK ist linear, denn man zerlegt x1 , x2 ∈ H in die orthogonalen Bestandteile entsprechend H = K ⊕ K ⊥ , xi = yi + zi , i = 1, 2 und erhält PK (α1 x1 + α2 x2 ) = PK ([α1 y1 + α2 y2 ] + [α1 z1 + α2 z2 ]),

(2.37)

wegen der Eindeutigkeit der Projektion folgt dann das behauptete Resultat = α1 y1 + α2 y2 = α1 PK (x1 ) + α2 PK (x2 ). 2) PK hat die Norm 1, denn mit den Bezeichnungen wie eben ist für x ∈ H, x = y+z, y = PK x, y⊥z, PK x2 = y2 ≤ y2 + z2 = x2 , folglich ist PK x ≤ x. Für x = y ∈ K \ {0} folgt PK y = y, PK hat somit die Norm 1. 3) PK ist symmetrisch. Denn für x, w ∈ H und den Orthogonalzerlegungen w = u + v, x = y + z folgt PK x|w = PK x|u + v = y|u + y|v = y|u + 0 = y|PK w = z|PK w + y|PK w = x|PK w. 4) PK ist itempotent: PK PK = PK . Denn es ist PK x = x, weil PK x ∈ K liegt, und so PK (PK x) = PK x (x ∈ H).

22

2 Approximation

Der Projektionsoperator PK für K abgeschlossen und linear wird (u.a.) zum Beweis des Satzes von Hahn und Banach für Hilbert-Räume benutzt (vgl. Satz 5.2). Zur Veranschaulichung des Satzes 2.14 betrachten wir (vgl. Beispiel 2.1) im reellen Hilbert2 [a, b] (a = 0, b = 2π ) das vollständige ONS Raum X = LR 1 1 1 1 1 √ , √ cost, √ sint, ..., √ cos nt, √ sinnt, ... (0 ≤ t ≤ 2π ). π π π π 2π X1 bestehe aus allen trigonometrischen Polynomen der Ordnung kleiner gleich n: y(t) =

n α0 + ∑ (αk cos kt + βk sinkt) (0 ≤ t ≤ 2π ). 2 k=1

(2.38)

Ist x ∈ X beliebig, so lässt sich x nach dem Entwicklungssatz, Satz 2.9, in der Form ∞ ∞ cos kt sinkt α0 a0 + ∑ (αk cos kt + βk sinkt) x(t) = √ + ∑ (ak √ + bk √ ) = 2 k=1 π π 2π k=1

(2.39)

(0 ≤ t ≤ 2π ) darstellen, wobei diese Reihe im Sinne des Raumes L2 [0, 2π ] gegen x konvergiert (die Folge der Partialsummen sn (t) konvergiert im quadratischen Mittel gegen x(t), d. h., 2π

lim

n→+∞ 0

Es gelten die Beziehungen

α0 = a0

2 , π

1 a0 = √ 2π

(sn (t) − x(t))2 dt = 0).

ak αk = √ , π

2π

und

x(t)dt, 0

bk βk = √ π 1 ak = √ π

(k = 1, 2, ...),

2π

x(t) cos ktdt 0

2π 1 x(t)sinkt dt (k = 1, 2, ...). bk = √ π 0 Das Element x1 ∈ X1 , welches gemäß Satz 2.14 den kürzesten Abstand zwischen X1 und x realisiert, ist dann genau die n-te Partialsumme der Reihe (2.39):

x1 = x1 (t) =

n α0 + ∑ (αk cos kt + βk sinkt) (0 ≤ t ≤ 2π ). 2 k=1

Das Element x2 = x − x1 hat die Form x2 = x2 (t) =

∞

∑

(αk cos kt + βk sinkt) (0 ≤ t ≤ 2π )

k=n+1

und gehört (offensichtlich) zum orthogonalen Komplement von X1 . Zur Berechnung von Elementen bester Approximation in Prä-Hilbert-Räumen eignet sich der folgende Satz von Gram:


23

Satz 2.15 (Satz von Gram) Es seien K ein endlichdimensionaler linearer Teilraum des Prä-Hilbert-Raumes (X, · | ·) und {x1 , ..., xn } eine Basis von K. Ein Element x = ∑ni=1 αi xi ist die beste Approximation von x0 ∈ X \ K bezüglich K genau dann, wenn für alle j ∈ {1, ..., n} gilt x0 | x j =

n

∑ αi xi | x j .

i=1

Die Matrix

⎞ x1 | x1 x1 | x2 · · · x1 | xn ⎜ x2 | x1 x2 | x2 · · · x2 | xn ⎟ ⎟ G=⎜ ⎝ ............................... ⎠ xn | x1 xn | x2 · · · xn | xn ⎛

heißt Gram’sche Matrix von {x1 , ..., xn }. Beweis: Aus dem Projektionssatz (Satz 2.4) folgt, dass x := ∑ni=1 αi xi die beste Approximation von x0 bezüglich K ist genau dann, wenn für alle k ∈ K x0 − x | k = 0 gilt, d.h. für alle j ∈ {1, ..., n} ist dann x0 | x j = ∑ni=1 αi xi | x j .

Falls die Basis von K eine Orthonormalbasis ist, d.h. falls

1 falls i = j xi | x j = 0 falls i = j , gilt, dann stimmt die Gram’sche Matrix natürlich mit der Einheitsmatrix überein und die beste Approximation von x0 ist n

x = ∑ αi xi ,

αi = x0 | xi .

(2.40)

i=1

Satz 2.16 Es seien (X, · | ·) ein reeller Prä-Hilbert-Raum und {yi | i ∈ {1, ..., n}} linear unabhängige Elemente in X. Für c ∈ Rn betrachten wir S := {u ∈ X |yi | u = ci (i ∈ {1, ..., n})}. (2.41) Falls a ∈ Rn die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Gx = c ist, wobei G die Gram’sche Matrix von {y1 , ..., yn } darstellt, dann ist u0 =

n

∑ a jy j

j=1

das Element minimaler Norm in S.

Beweis: Wir betrachten a ∈ Rn mit Ga = c, d.h. für alle i ∈ {1, .., n} gilt n

∑ a j yi | y j = ci .

j=1

(2.42)

24

2 Approximation

Dann erhalten wir für u0 = ∑nj=1 a j y j und i ∈ {1, ..., n} n

∑ a j yi | y j = ci ,

yi | u0 =

j=1

d.h. u0 ∈ S. Für u ∈ S gilt u0 | u − u0 =

n

n

n

n

j=1

j=1

j=1

j=1

∑ a j y j | u − ∑ a j y j | u0 = ∑ a j c j − ∑ a j c j = 0.

Dies liefert u0 | u − u0 = 0 für alle u ∈ S. Unter Beachtung des Approximationssatzes (Satz 2.1) ist u0 daher das Element minimaler Norm in S.

2.3 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften In diesem Abschnitt beschreiben wir die Anwendung einiger Sätze aus dem Kapitel zur Approximation bei der Lösung betriebswirtschaftlicher Problemstellungen. Zunächst gehen wir auf eine Anwendung des Satzes von Gram und Schmidt ein. Beispiel 2.5 Wir betrachten als einen Spezialfall von Aufgabenstellung (PCP ) (siehe Beispiel 1.2) folgendes Problem, welches die betriebswirtschaftlich effektive Betreibung von Gleichstrommotoren beschreibt. Das dabei auftretende Optimierungsproblem soll unter Anwendung von Satz 2.16 gelöst werden. Die Winkelgeschwindigkeit ω eines Gleichstrommotors, welcher durch eine variable Spannung u gesteuert wird, genügt der Differentialgleichung

ω˙ (t) + ω (t) = u(t).

(2.43)

Die Anfangsgeschwindigkeit ist gegeben durch ω (0) = 0 und der Anfangszustand durch x(0) = 0. Zum Zeitpunkt t = 1 soll der Motor die Position x(1) = 1 haben und für die Winkelgeschwindigkeit soll gelten ω (1) = 0. Zielstellung ist es, die benötigte Energie unter Beachtung der Restriktionen zu minimieren: 1

(PCP1 )

0

(u(t))2 dt → min .

Um das Problem (PCP1 ) unter Anwendung von Satz 2.16 zu lösen, beschreiben wir dessen Restriktionen in der Form (2.41). Dazu seien y1 , y2 : [0, 1] → R mit y1 = et−1 und y2 = 1. 1

Für die Endgeschwindigkeit gilt ω (1) = et−1 u(t)dt = y1 | u = 0 und so erhalten wir die erste Glei0

chung zur Beschreibung des zulässigen Bereiches S in Satz 2.16 y1 | u =

1

et−1 u(t)dt = c1

0

mit c1 = 0. Weiter erhalten wir mit x(t) ˙ = ω (t) in (2.43)

ω˙ (t) + x(t) ˙ = u(t),

1 0

x(t)dt ˙ =

1 0

u(t)dt −

1 0

ω˙ (t)dt

2.4 Übungsaufgaben

25

und damit x(1) = x(1) − x(0) =

1

x(t)dt ˙ =

0

1

u(t)dt −

0

1

w(t)dt ˙ =

0

1

u(t)dt − (w(1) − w(0)) =

0

1

1 · u(t)dt = y2 | u.

0

Die zweite Gleichung zur Beschreibung von S lautet dann y2 | u =

1

1 · u(t)dt = c2

0

mit c2 = 1. Der zulässige Bereich S aus (2.41) wird somit in diesem Beispiel durch S := {u ∈ S[0, T ] | y1 | u = 0, y2 | u = 1} beschrieben, wobei S[0, 1] der Raum der (reellen) stückweise stetigen Funktionen auf [0, 1] ist. Unter Beachtung von Satz 2.16 erhalten wir die Koeffizienten a1 , a2 als eindeutige Lösung des linearen Gleichungs2

systems ∑ ai yi | y j = c j und damit die Lösung u0 von (PCP1 ) nach (2.42) durch u0 (t) = a1 y1 + a2 y2 = i=1 1 t 3−e (1 + e − 2e ).

2.4 Übungsaufgaben Es geht um die Fourier-Entwicklung bezüglich nicht notwendig orthogonaler „Funktionen“ (bzw. Elemente) in einem Hilbert-Raum oder Prä-Hilbert-Raum. Es seien (H, ·|·) ein Hilbert-Raum (reell oder komplex) und {gn }n∈N eine Folge von Elementen gn = 0 in H (n = 1, 2, ...). Diese Elemente sind nicht als orthonormal oder orthogonal vorausgesetzt, aber für jedes n ∈ N ist die endliche Folge Γn := {g1 , g2 , ..., gn } (2.44) eine Folge von linear unabhängigen Elementen aus H. Dann können wir die folgenden Aussagen zeigen (vgl. u.a. Ku˘zel, A.W.: Die Verallgemeinerung als mathematisches Arbeitsprinzip. In: Mathematik heute. Kiew 1982, S.68–88): 1. Die Gram’sche Matrix des Systems Γn (vgl. (2.44)), d.h. die Matrix ⎛

⎞ g1 |g1 g1 |x2 · · · g1 |gn ⎜ g2 |g1 g2 |g2 · · · g2 |gn ⎟ ⎟ = gk |g j (1 ≤ j, k ≤ n), Gn = ⎜ ⎝ ............................ ⎠ gn |g1 gn |g2 · · · gn |gn ist nicht singulär (oder det Gn = 0) für jedes n ∈ N. 2. Für jedes f ∈ H betrachten wir die Zahlen μn := f |gn (n = 1, 2, ...). Haben wir Aufgabe 1. gezeigt, so erhalten wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des linearen Systems

26

2 Approximation

für einen unbekannten n-dimensionalen Vektor x = (x1 , ..., xn )T und den gegebenen Vektor mn : mn = (μ1 , μ2 , ..., μn )T = Gn x in der Form x = G−1 n mn , welche wir nach der Cramer’schen Regel explizit schreiben können als 1 (k) det Gn (k = 1, ..., n). xk = det Gn (k)

Dabei geht Gn aus der Matrix Gn hervor, wobei die k-te Zeile in Gn ersetzt wird durch mn . Diese Komponenten xk des Lösungsvektors x werden im Folgenden mit xk =: cnk

(k = 1, ..., n, n = 1, 2, ...)

(2.45)

bezeichnet. 3. Wir können diese Werte cnk (vgl. (2.45)) als verallgemeinerte Fourier-Koeffizienten für das gegebene Element f ∈ H bezüglich der Folge {gn } betrachten. Wir geben eine Erklärung dieser Interpretation durch folgende Aussage: Wenn die Folge {gn } eine Orthonormalfolge in H ist (wir haben gn |gm = 0 für m = n und gn |gn = 1 für alle m, n ∈ N), dann stimmen die oben angegebenen verallgemeinerten Fourier-Koeffizienten cnk mit den gewöhnlichen Fourier-Koeffizienten (vgl. (2.18)) ck = f |gk (k = 1, 2, ...) überein, was bedeutet, dass cnk = ck für alle k unabhängig von n ∈ N sind. 4. Wir kommen nun zurück auf den allgemeinen Fall und definieren eine Folge von Linearkombinationen n

Sn :=

∑ cnk gk

(n = 1, 2, ...)

n=1

mit den Koeffizienten cnk und betrachten eine beliebige Linearkombination Sñ :=

n

∑ ank gk

k=1

vom gleichen Typ mit beliebigen Koeffizienten ank (k = 1, 2, ...; n = 1, 2, ...). Dann gelten die Ungleichungen (2.46) || f − Sñ || ≥ || f − Sn || für n = 1, 2, ... Mit anderen Worten: Die Summen Sn realisieren die beste Approximation von einem gegebenen Vektor f durch eine Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren gk (k = 1, ..., n). Deshalb kann die Folge {Sn } als eine verallgemeinerte FourierEntwicklung des Vektors f bezüglich der Folge {gk } betrachtet werden. Man zeige die oben angegebene Ungleichung (2.46). Hinweis: Zunächst zeige man die Orthogonalitätsrelation f − Sn |Sn − Sñ = 0 und die Gleichung || f − Sñ ||2 = || f − Sn ||2 + ||Sn − Sñ ||2 .

2.4 Übungsaufgaben

27

5. Man zeige, dass der minimale Abstand || f − Sn || die Gleichung || f − Sn ||2 = || f ||2 − xn |Gn xn

(2.47)

erfüllt und deshalb die folgende Verallgemeinerung der Bessel’schen Ungleichung xn |Gn xn ≤ || f ||2

(n = 1, 2, ...)

gilt. 6. Man zeige, dass die verallgemeinerte Fourier-Entwicklung n

∑ cnk gk n→+∞

f = lim

k=1

genau dann besteht, wenn folgende Grenzrelation gilt lim xn |Gn xn = || f ||2 .

n→+∞

(2.48)

7. Man zeige, dass die Grenzrelation (2.48) genau dann für jedes f ∈ H erfüllt ist, wenn die Folge {gk }k∈N total in H ist, was bedeutet, dass die Menge aller endlichen Linearkombinationen ∑ ak gk von Elementen gk dicht ist in H.

3 Funktionale und Operatoren 3.1 Lineare Funktionale 3.1.1 Lineare stetige Funktionale Ein Grundbegriff der Funktionalanalysis ist der einer Abbildung F : X → Y eines gegebenen Raumes X (dem Urbildraum) in einen gegebenen Raum Y (dem Bildraum). Jedem Element x ∈ X wird ein Element F(x) ∈ Y zugeordnet. Für F sind auch die Bezeichnungen Operator oder (wie in der Grundlagenanalysis) Funktion in Verwendung. Ist dabei der Bildraum Y der lineare Raum C (oder R), so heißt die Abbildung F ein Funktional. Also ist dann F(x) für jedes x ∈ X eine komplexe (oder reelle) Zahl. Man vergleiche zum Sprachgebrauch auch Definition 8.4 und (bezüglich erweitert reellwertiger Funktionale) (3.125), aber auch (10.48) bei der Definition monotoner Abbildungen. Wir setzen jetzt voraus, dass der Urbildraum X ein linearer Raum ist. Zu den einfachsten Abbildungen, die man auf linearen Räumen betrachten kann, gehören die linearen Abbildungen. Linearität ist hierbei eine Eigenschaft, die in den Anwendungen vor allem als Superpositionsprinzip zutage tritt. Wir behandeln in diesem Kapitel zunächst lineare Abbildungen mit Werten in C bzw. R, sie werden als lineare Funktionale oder Linearformen bezeichnet. Weiter unten in diesem Kapitel folgen lineare Abbildungen mit allgemeineren Wertebereichen, die linearen Operatoren. Anwendungen folgen in allen weiteren Kapiteln. Definition 3.1 (Lineares Funktional) Es sei X ein linearer Raum. Eine Abbildung F : X → C (bzw. F : X → R) heißt lineares Funktional über (auf) X falls F(α1 x1 + α2 x2 ) = α1 F(x1 ) + α2 F(x2 ) (α1 , α2 ∈ C bzw. R) und (x1 , x2 ∈ X)

(3.1)

gilt. Lineare Funktionale mit dem Bildraum R werden zur Verdeutlichung oft reelle lineare Funktionale genannt. Die Menge aller linearen Funktionale über X wird mit X , die Elemente von X werden mit x (·), y (·), · · · bezeichnet, manchmal nutzt man mit Vorteil auch andere Bezeichnungen wie etwa (x , ·), (y , ·), · · · oder (·, x ), (·, y ), · · · . Beispiel 3.1 Es sei X = Cn (bzw. Rn ) und es seien a1 , · · · , an feste komplexe (bzw. reelle) Zahlen. Für x = (ξ1 , · · · , ξn ) ∈ X setzen wir x (x) =

n

∑ a jξ j.

(3.2)

j=1

x ist ein lineares Funktional auf X. Ist ei = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1) die ausgezeichnete Basis von X, so gilt ersichtlich die Gleichung

30

3 Funktionale und Operatoren

x (ek ) = ak (k = 1, · · · , n).

(3.3)

Wegen (3.1) ist x (x) =

n

n

j=1

j=1

∑ a j ξ j = ∑ x (e j )ξ j .

(3.4)

Sind umgekehrt die Werte x (e j ) = a j ( j = 1, · · · , n) vorgegeben, so definiert (3.2) ein lineares Funktional auf X mit (3.4). Mit anderen Worten, jedes lineare Funktional auf X hat die Form (3.2), und durch die Vorgabe der Werte x (e j ) ( j = 1, · · · , n) ist das lineare Funktional x eindeutig bestimmt. Ein lineares Funktional auf X = Cn (bzw. Rn ) ist also eine (n-dimensionale) Linearform auf diesem Raum, d.h. eine im Nullpunkt verschwindende lineare Funktion in n Variablen.

So wie in Beispiel 3.1 möchte man auch in allgemeineren Räumen X, wie sie in der Wirtschaftsmathematik und der Mathematischen Ökonomie benutzt werden, möglichst alle linearen Funktionale auf X zu kennen. Wir fügen weitere Beispiele an. Beispiel 3.2 Es sei X der Raum C[a, b] komplexwertiger Funktionen auf dem Intervall [a, b] (vgl. Beispiel 10.13). Dann wird durch x (x) =

b a

x(t)dt (x ∈ [a, b])

(3.5)

ein lineares Funktional x auf C[a, b] definiert. Denn für x, y ∈ C[a, b] und λ ∈ C gelten x (x + y) =

b a

(x + y)(t)dt =

x (λ x) =

b a

b a

(x(t) + y(t))dt =

(λ x)(t)dt =

b a

b a

x(t)dt +

λ x(t)dt = λ

b a

b a

y(t)dt = x (x) + x (y),

x(t)dt = λ x (x).

Und man bekommt weitere lineare Funktionale über C[a, b], indem mit einer Funktion z ∈ C[a, b] x (x) :=

b a

z(t)x(t)dt (x ∈ C[a, b])

(3.6)

gebildet wird.

Die Frage ist, ob alle linearen Funktionale über C[a, b] die Gestalt wie in (3.6) haben, oder mit anderen Worten, ob alle linearen Funktionale über C[a, b] wie in (3.6) durch eine stetige Funktion erzeugt werden. Die überraschende Antwort ist nein, wie das nächste Beispiel zeigt. Beispiel 3.3 Wir betrachten X = C[a, b] und einen Punkt c ∈ [a, b]. Dann wird durch x (x) := x(c) (x ∈ C[a, b])

(3.7)

ein lineares Funktional über C[a, b] definiert (wie man durch Nachrechnen leicht sieht). Der Beweis dafür, dass x nicht die Gestalt (3.6) haben kann, ist nicht ganz einfach. Hinter dem Funktional (3.7) versteckt sich eine singuläre Distribution. Näheres dazu findet sich im Abschnitt über Distributionen.

3.1 Lineare Funktionale

31

Wir betrachten schließlich lineare Funktionale über dem Raum X = L2 [a, b] (vgl. Satz 10.22 und die Bemerkungen dazu). Beispiel 3.4 Wir benutzen die Konstruktion wie in (3.6), aber für Funktionen x ∈ L2 [a, b] und eine Funktion z ∈ L2 [a, b]. Dann ist x (x) =

b

a

z(t)x(t)dt (x ∈ L2 [a, b]),

(3.8)

ein lineares Funktional über L2 [a, b].

Im Weiteren schränken wir die Menge der betrachteten linearen Funktionale ein: In den Anwendungen sind nämlich die Urbildräume X oft normierte (oder lineare topologische) Räume und unter den auf ihnen definierten linearen Funktionalen sind die stetigen linearen Funktionale wichtig. Nebenbei gesagt, ein Blick zurück zu Beispiel 3.1 ist bemerkenswert: Für X = Cn (bzw. Rn ) kennen wir alle linearen Funktionale, und natürlich (wir denken uns X und C bzw. R) mit der Euklidischen Norm versehen) sind sie alle stetig. Sind aber die Räume allgemeiner, wie sie oft in den Anwendungen auftreten, so gibt es auch unstetige lineare Funktionale (für ein Beispiel vgl. Alt [6]). Wir betrachten nun als Urbildraum X insbesondere einen normierten Raum. Definition 3.2 (Beschränktheit eines linearen Funktionals) Ein lineares Funktional x auf einem normierten Raum (X, ·) heißt beschränkt, falls es eine nichtnegative Zahl k gibt (die auch eine Schranke von x genannt wird), sodass gilt |x (x)| ≤ kx( x ∈ X).

(3.9)

Lineare beschränkte Funktionale x auf einem normierten Raum (X, · ) werden oft mit x∗ und die Menge aller solchen Funktionale wird mit X∗ bezeichnet.

Ein auf X lineares beschränktes Funktional x∗ ist (in jedem Punkt x0 ∈ X) stetig, denn für eine beliebige Folge {x j }, die gegen x0 konvergiert (x0 , x j ∈ X, j = 1, 2, · · · ), ergibt sich aus (3.9) wegen |x∗ (x j − x0 )| ≤ kx j − x0 sofort {x∗ (x j )} → x∗ (x0 ). Überraschenderweise gilt auch die Umkehrung, daher sind auf normierten Räumen die Bezeichnungen lineares stetiges Funktional und lineares beschränktes Funktional gleichbedeutend. In der Tat, sei x∗ ein lineares stetiges Funktional über dem normierten Raum X. x∗ ist beschränkt. Sonst gäbe es für jede positive Zahl j = 1, 2, · · · ein Element x j ∈ X mit |x∗ (x j )| > jx j . Natürlich gilt x j = 0, j = 1, 2, ..., sonst folgte x∗ (x j ) = 0 > j · 0 = 0, ein Widerspruch. Daher sind die Elemente y j := 1j x1j x j wohldefiniert und haben die Eigenschaft {y j } → 0 für j → +∞. Da x∗ stetig ist, gilt auch {x∗ (y j )} → 0. Das ist ein Widerspruch zu |x∗ (y j )| = |x∗ (

1 1 1 1 1 1 x j )| = |x∗ (x j )| jx j = 1. > ∗ j x j j x j |x (x j )|> jx j j x j

Aus (3.9) folgt für jedes x = 0 die Ungleichung reichen Schluss ziehen:

|x∗ (x)| x

(3.10)

≤ k. Aus ihr können wir einen folgen-

32


Die kleinstmögliche untere Schranke von x∗ (bezeichnet mit x∗ ∗ ) ist offenbar |x∗ (x)| . x=0 x

x∗ ∗ := sup

(3.11)

x∗ ∗ heißt die Norm von x∗ . Falls der normierte Raum X nicht nur aus dem Nullelement besteht (dies sei im Weiteren vorausgesetzt), lassen sich einige andere Darstellungen für die Norm eines linearen beschränkten Funktionals x∗ herleiten. Sie ergeben sich aus der folgenden Kette von Ungleichungen: x∗ ∗

|x∗ (x)| = sup |x∗ (x)| ≤ sup |x∗ (x)| x x=0 x=1 x≤1

= sup ≤

|x∗ (x)| |x∗ (x)| ≤ sup = x∗ ∗ . x=0 x x≤1,x=0 x sup

(3.12)

Da man in (3.12) von x∗ ∗ ausgeht und auch wieder zu x∗ ∗ gelangt, haben sich zusätzlich zu (3.11) folgende Darstellungen für x∗ ∗ ergeben: x∗ ∗ = sup |x∗ (x)| = sup |x∗ (x)| = x=1

x≤1

|x∗ (x)| . x≤1,x=0 x sup

(3.13)

· ∗ ist wirklich eine Norm in der Menge X∗ im Sinne eines normierten Raumes: Satz 3.1 Es seien X ein normierter Raum und X∗ die Menge aller linearen beschränkten Funktionale auf X. Die Menge X∗ ist selbst ein linearer Raum, und dieser ist sogar normiert durch · ∗ . Es gilt die verallgemeinerte Schwarz’sche Ungleichung (3.14) |x∗ (x)| ≤ x∗ ∗ x (x ∈ X, x∗ ∈ X∗ ).

Beweis: Der Raum X∗ ist ein linearer Raum falls (wie üblich) (α1 x1∗ + α2 x2∗ )(x) = α1 x1∗ (x) + α2 x2∗ (x), x ∈ X; α1 , α2 ∈ C (oder R). Jetzt zeigen wir, dass · ∗ eine Norm ist. Seien x1∗ , x2∗ Elemente aus X∗ . (N1): Natürlich ist x1∗ ∗ ≥ 0. x1∗ ∗ = 0 genau dann, wenn x1∗ (x)∗ = 0( x ∈ X) genau dann, wenn x1∗ (x) = 0 (x ∈ X), d.h. x1∗ ist das Null-Funktional auf X (das ist das Element 0 ∈ X∗ ). (N2): Für λ ∈ C (oder R) gilt λ x1∗ ∗ = supx≤1 |(λ x∗ )(x)| = supx≤1 |λ (x∗ (x))| = |λ |x∗ ∗ . (N3): x1∗ + x2∗ ∗ = supx≤1 (x1∗ + x2∗ )(x) = supx≤1 x1∗ (x) + x2∗ (x) ≤ supx≤1 (x1∗ (x) + x2∗ (x)) ≤ supx≤1 x1∗ (x) + supx≤1 x2∗ (x) = x1∗ ∗ + x2∗ ∗ . Ein sehr wichtiges Beispiel für ein lineares beschränktes Funktional auf einem Hilbert-Raum (oder einem Innenproduktraum) X erhält man, wenn man das Skalarprodukt ·|b in X mit einem festen Element b ∈ X betrachtet. Natürlich ist ·|b ein lineares Funktional auf X. Es ist auch beschränkt. Denn die Schwarz’sche Ungleichung (10.51) ergibt | x|b | ≤ xb (x ∈ X). Damit haben wir eine Abschätzung der Norm x∗ ∗ des linearen beschränkten Funktionals x∗ (·) := ·|b durch x∗ ∗ ≤ b gefunden. Es gilt sogar das Gleichheitszeichen, vgl. Satz 3.3. Die folgenden drei Beispiele beschäftigen sich mit der Norm linearer beschränkter Funktionale.


33

Beispiel 3.5 Es sei X = Cn mit der Euklidischen Norm versehen: n

x = { ∑ |ξ j |2 }1/2 , x = (ξ1 , · · · , ξn ) ∈ Cn . j=1

Mit gewissen komplexen Zahlen a1 , · · · , an ist mit x∗ : x∗ (x) = ∑nj=1 a j ξ j (vgl.(3.2)) ein lineares Funktional gegeben. Mittels der Schwarz’schen Ungleichung folgt dessen Beschränktheit und damit Stetigkeit: n

n

n

k=1

k=1

k=1

(x ∈ Cn ) : |x∗ (x)| = | ∑ ak ξk | ≤ { ∑ |ak |2 }1/2 { ∑ |ξk |2 }1/2 = Mx,

(3.15)

dabei ist M = {∑nk=1 |ak |2 }1/2 . Falls M > 0 ist, wählen wir für x den Vektor x mit den Koordinaten ξk = ak x = 1 und es ist M (k = 1, ..., n). Damit gilt n

n

ak ak M2 1 n |ak |2 = |= = M. ∑ M k=1 M k=1 M

x)| = | ∑ ak ξk | = | ∑ |x∗ ( k=1

(3.16)

Also ist x∗ ∗ = supx=1 |x∗ (x)| ≥ |x∗ ( x)| = M und somit x∗ ∗ ≥ M (auch im Falle M = 0). Die Un∗ gleichung (3.15) ergibt |x (x)| ≤ M für x = 1 und somit x∗ ∗ = supx=1 |x∗ (x)| ≤ M. Insgesamt erhalten wir die Gleichheit n

x∗ ∗ = M = { ∑ |ak |2 }1/2 .

(3.17)

k=1

Beispiel 3.6 Es sei X = C[a, b] mit der Maximum-Norm x = maxa≤t≤b |x(t)| versehen. Das lineare Funktional (vgl. (3.5)) x∗ (x) =

b

(x ∈ C[a, b])

x(t)dt a

ist stetig. Wir beweisen dies durch Berechnung seiner Norm |x∗ (x)|

= =

|

b a

b a

x(t)dt| ≤

b a

xdt = x

|x(t)|dt ≤

b a

b

sup |x(t)|dt

a a≤t≤b

dt = (b − a)x

(x ∈ X).

x = 1 und |x∗ ( x)| = | ab 1dt| = b − a, Folglich ist x∗ ∗ ≤ b − a. Für die Funktion x(t) = 1 (a ≤ t ≤ b) gilt ∗ ∗ ∗ x)|). Insgesamt erhalten wir die Beziehung x∗ ∗ = b−a. und somit x ∗ = supx≤1 |x (x)| ≥ b−a(= |x ( Beispiel 3.7 Es seien X = L2 [a, b] mit der Norm xL2 = { ab |x(t)|2 dt}1/2 versehen und y(·) ∈ L2 [a, b]. Das lineare Funktional x∗ : x∗ (x) = ab x(t)y(t)dt, x ∈ L2 [a, b] ist, wie man mittels der Schwarz’schen Ungleichung erkennt, beschränkt und somit stetig. Analoge Betrachtungen wie in Beispiel 3.5 oder 3.6 zeigen, dass für die Norm die folgende Gleichung gilt: x∗ ∗ = {

b a

|y(t)|2 dt}1/2 = yL2 .

(3.18)

Die Schwarz’sche Ungleichung ergibt nämlich x∗ ∗ ≤ yL2 , und nimmt man für x(·) ∈ L2 [a, b] insbesondere x(t) = 1 (t ∈ [a, b]), so folgt x∗ ∗ ≥ yL2 .

34


Die Resultate der letzten drei Beispiele sind Spezialfälle allgemeiner grundlegender Aussagen über die Form linearer stetiger Funktionale im Raum C[a, b] oder in einem Hilbert-Raum. Satz 3.2 (Lineare stetige Funktionale im Raum der stetigen Funktionen) Ist X = CR [a, b], versehen mit der Maximum-Norm, so lässt sich jedes lineare stetige Funktional x∗ auf CR [a, b] als Riemann-Stieltjes-Integral x∗ (x) =

b a

x(t)dg(t) (x ∈ CR [a, b])

(3.19)

mit einer gewissen Belegungsfunktion g(t) (a ≤ t ≤ b) von beschränkter Variation darstellen (die bis auf eine additive Konstante und fast überall bestimmt ist).

Bezüglich der Definition des Riemann-Stieltjes-Integrals vgl. Rolewicz [144]. Die Norm x∗ ∗ eines linearen stetigen Funktionals x∗ auf CR [a, b] lässt sich explizit angeben. Dazu sei g eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] gegebene reellwertige Funktion. Ist Δ := {a0 , a1 , ..., an } eine Zerlegung des Intervalls [a, b], d.h. a = a0 < a1 < ... < an = b, so heißt g von beschränkter Variation, falls n

Var[a,b] g(t) = sup ∑ |g(ak ) − g(ak−1) | < +∞ Δ k=1

(3.20)

gilt, wobei das Supremum über alle Zerlegungen Δ des Intervalls zu nehmen ist. Var[a,b] g(t) heißt Variation der Funktion g. Es gilt dann x∗ ∗ = Var[a,b] g(t).

(3.21)

Das Stieltjes-Integral tritt beim Momentenproblem auf. Dabei sind über dem Intervall [a, b] der reellen Achse reelle stetige Funktionen f0 , f1 , ... gegeben und man sucht eine (reelle) Funktion g von beschränkter Variation, deren Momente mk , k = 0, 1, 2, ..., mk =

b a

fk (t)dg(t), k = 0, 1, 2, ...,

(3.22)

gegebene reelle Zahlen sind (das Problem lässt sich ebenso für den komplexen Fall stellen). Bei den Anwendungen in Stochastik, Physik und Technik gilt für die Funktionen f0 , f1 , ... oft f0 (t) = 1, f1 (t) = t, f2 (t) = t 2 , ... In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung bedeutet die Aufgabenstellung, dass eine Verteilungsfunktion g über [a, b] gesucht wird, deren Momente gerade die gegebenen Zahlen mk , k = 0, 1, 2, ... sind. Sind nur endlich viele Momente mk , k = 0, 1, 2, ..., n vorgegeben, so ist das Problem stets lösbar, denn man konstruiert ein lineares Funktional x˜∗ über dem (reellen) linearen endlichdimensionalen Raum L, der von den Funktionen f0 , ..., fn aufgespannt wird, durch x˜∗ ( fk ) = mk , k = 0, 1, ..., n. Dieses lineare Funktional ist stetig (da über einem endlichdimensionalen Raum definiert). Nach dem Satz von Hahn-Banach lässt es sich zu einem linearen stetigen Funktional x∗ auf dem Gesamtraum CR [a, b] fortsetzen. Nach Satz 3.2 entspricht diesem Funktional (nach geeigneter Konstantenbestimmung) eine Verteilungsfunktion g. Sind abzählbar unendlich viele Momente vorgegeben, so ist zur Lösbarkeit (entsprechend dem Satz von Hahn-Banach, Satz 5.2) die Stetigkeit (=Beschränktheit) des über dem dann unendlichdimensionalen Teilraum L von CR∗ [a, b]) konstruierten linearen Funktionals x˜∗ zu fordern. Eine hinreichende Bedingung zur Lösbarkeit lautet (vgl. Heuser [80], S. 321, oder Riesz-Nagy


35

[135], S.126): f0 (t) = 1, und, falls ∑n0 ck fk (t) ≥ 0, dann ∑n0 ck mk ≥ 0 (für jede natürliche Zahl n und beliebige ck ∈ R). Es folgt der Satz von F. Riesz über lineare stetige Funktionale über einem Hilbert-Raum: Satz 3.3 (Satz von Riesz) Es seien H ein Hilbert-Raum mit dem inneren Produkt ·|· und x∗ ein lineares stetiges Funktional über H. Dann gibt es genau ein Element y ∈ H, sodass die Gleichungen x∗ (x) = x|y (x ∈ H), und

x∗ ∗ = yH =

y|y

(3.23) (3.24)

gelten.

Die Beweisidee ist leicht zu verstehen. Ist x∗ das Null-Funktional, so ist y = 0. Ist x∗ = 0, so betrachte man die Menge E = {x ∈ H | x∗ (x) = 0} und ihr orthogonales Komplement E ⊥ := {v ∈ H | v|x = 0 (x ∈ E)}. Diese Menge E ⊥ ist eindimensional. Wären zwei linear unabhängige Elemente z1 , z2 in E ⊥ , so würde folgen z := x∗ (z2 )z1 − x∗ (z1 )z2 ∈ E ⊥ . Wegen x∗ (z) = 0 gilt z ∈ E, daher (vgl. (2.30)) ist z = 0, ein Widerspruch. Mit einem erzeugenden Element von E ⊥ (hier versteckt sich der Projektionssatz) lassen sich die Behauptungen beweisen (Aufgabe für den Leser). Im Beispiel 3.9 im nächsten Abschnitt wird auf die eineindeutige (das ist (3.23)) und isometrische (das ist (3.24)) Abbildung zwischen H und H∗ genauer eingegangen.

3.1.2 Dualer Raum Wir hatten uns im vorhergehenden Abschnitt intensiv mit linearen und linearen stetigen Funktionalen beschäftigt. Insbesondere hatte sich ergeben (vgl. Satz 3.1), dass die Menge X der linearen Funktionale über einem linearen Raum X mittels der Operationen

(x , y

(x + y )(x) = x (x) + y (x) (x ∈ X),

(3.25)

(λ x )(x) = λ x (x) (x ∈ X)

(3.26)

X , λ

∈ ∈ C bzw. R) zu einem Vektorraum wird. Diesen nennt man den algebraisch dualen bzw. algebraisch konjugierten Raum von X. Dualität ist eine grundlegende Begriffsbildung der Theorie und der Anwendungen in Analysis und Operations Research (vor allem in der Optimierung, man denke an duale Optimierungsprobleme, primal-duale Verfahren oder an Schattenpreise). Dabei spielen die linearen stetigen Funktionale die Hauptrolle: Definition 3.3 Es sei (X, · ) ein normierter Raum. Denjenigen linearen Teilraum X∗ von X , der aus allen stetigen linearen Funktionalen x∗ auf X besteht, versehen mit der Norm (vgl. (3.11)) x∗ ∗ = sup |x∗ (x)|,

(3.27)

x≤1

nennt man den Dualraum von (X, · ) (bzw. den dualen oder stetigen dualen oder konjugierten Raum von (X, · )).

36


Dualräume sind normierte Räume (vgl. Satz 3.1). Bei (10.41) ist angemerkt, dass (falls X = {0} ist) solche Dualräume nicht nur aus dem Null-Funktional bestehen. Dualräume haben eine weitere sehr bemerkenswerte und häufig ausgenutzte Eigenschaft, sie sind vollständig! Satz 3.4 Der Dualraum (X∗ , · ∗ ) eines normierten Raumes (X, · ) ist stets ein Banach-Raum.

Der Beweis dieses Satzes ist nicht ganz einfach, er wird weiter unten gleich für einen allgemeineren Fall (vgl. Satz 3.24) bewiesen. Man nutzt Satz 3.4 oft dadurch aus, dass man von einem in der Betrachtung stehenden Raum (X, · ) weiß, dass er Dualraum eines anderen normierten Raumes ist. Und so hat man die Vollständigkeit von (X, · ). Beispiel 3.8 Es sei X = Cn mit der Norm x = {∑nj=1 |ξ j |}1/2 , (x = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn ). Jedes lineare Funktional über Cn hat die Form x (x) =

n

∑ a j ξ j (x ∈ Cn )

(3.28)

j=1

mit eindeutig bestimmten a j ( j = 1, ..., n) (vgl. Beispiel 3.1 und 3.5) und ist (natürlich) stetig. Das heißt, im vorliegenden Fall gilt die Beziehung X∗ = X . Weiter ist (vgl. (3.17)) die Gleichung n

x∗ ∗ = { ∑ |a j |2 }1/2

(3.29)

j=1

erfüllt. Ordnet man jedem x∗ ∈ X∗ den zugehörigen Vektor (al , ..., an ) ∈ Cn zu, so erhält man eine eineindeutige lineare Abbildung A von X∗ auf Cn (Beweis der Linearität und der Surjektivität der Abbildung A als Übung). Diese Abbildung vermittelt also einen Isomorphismus zwischen X∗ und Cn . Dabei sind wegen (3.29) die Normen der einander zugeordneten Elemente gleich. Solch einen Isomorphismus nennt man einen Normisomorphismus. Normisomorphe Räume werden oft identifiziert. Im Sinne dieser Gleichsetzung normisomorpher Räume gilt dann die Beziehung (Cn )∗ = Cn .

(3.30)

Es sei angefügt, dass für die L p -Räume (vgl. Definition (10.35)) - wieder im Sinne der Gleichsetzung normisomorpher Räume - die Beziehung (L p (Ω))∗ = Lq (Ω) gilt, wobei 1 < p < ∞ und 1 1 q + p = 1 ist (q heißt der zu p konjugierte Exponent). Es folgt ein weiteres wichtiges Beispiel der Gleichsetzung normisomorpher Räume: Beispiel 3.9 Es sei X ein (komplexer) Hilbert-Raum. Nach dem Satz von Riesz (Satz (3.3) hat jedes x∗ ∈ X∗ die Form x∗ (x) = x|y (x ∈ X)

(3.31)

mit einem eindeutig bestimmten y ∈ X, für welches die Gleichung x∗ ∗ = y gilt. Die Zuordnung A : x∗

→ y ist eine eineindeutige Abbildung von X∗

(3.32) auf X, die aber nicht linear, sondern

antilinear ist in folgendem Sinn (Beweis als Übung): A(x1∗ + x2∗ ) = A(x1∗ ) + A(x2∗ ) A(λ x∗ ) = λ Ax∗ . Wegen (3.32) ist A ein antilinearer Normisomorphismus von X∗ auf X. Ist X ein reeller Hilbert-Raum, so ist A linear und es gilt (wieder im Sinne der Identifizierung normisomorpher Räume) X∗ = X.


37

Über einem Dualraum kann man natürlich wieder einen Dualraum bilden: Definition 3.4 Es sei (X, · ) ein Banach-Raum und (X∗ , · ∗ ) sein Dualraum. Den Dualraum von (X∗ , · ∗ ) bezeichnet man als Bidualraum (bidualen Raum) (X∗∗ , · ∗∗ ) von (X, · ).

Der folgende Satz ist für die Anwendungen von ausschlaggebender Bedeutung, denn er führt zum Begriff des reflexiven normierten Raumes. Satz 3.5 Der biduale Raum (X∗∗ , · ∗∗ ) enthält einen linearen Teilraum, der zu (X, · ) normisomorph ist. Es gilt also (im Sinne der Gleichsetzung normisomorpher Räume) die Relation X ⊆ X∗∗ . Dabei wird jedem x ∈ X dasjenige Element lx ∈ X∗∗ zugeordnet, das durch die Gleichung lx (x∗ ) := x∗ (x) (x∗ ∈ X∗ )

(3.33)

definiert ist (kanonische Einbettung).

Für einen Beweis dieses Satzes vgl. Kantorowitsch und Akilov [102] S.129. Definition 3.5 Der normierte Raum (X, · ) heißt reflexiv, wenn die kanonische Einbettung x → lx (x ∈ X) (vgl. (3.33)) ein Normisomorphismus von X auf X∗∗ ist.

Zu den reflexiven Räumen gehören die Räume Rn , Cn sowie die Räume L p (Ω)(1 < p < ∞) und alle Hilbert-Räume. Die Räume (CR [a, b]) und CC [a, b]), versehen mit der Maximum-Norm, sind keine reflexiven Banach-Räume. Ebenso sind die Räume L1 (Ω) und L∞ (Ω) nicht reflexiv. Bei nicht reflexiven Räumen führt die fortwährende Dualisierung X, X∗ , X∗∗ , ... zu „umfangreicheren“ Räumen (man denke an den Dualraum zu C[a, b], vgl. Beispiel 3.3), bei reflexiven Räumen ist (im Sinne der Gleichsetzung normisomorpher Räume) X∗∗ = X, X∗∗∗ = X∗ ,... Reflexive Räume haben besonders anwendungsrelevante Eigenschaften, wie weiter unten klar wird .

3.1.3 Schwache Konvergenz In vielen Untersuchungen (auch in der Wirtschaftsmathematik und den Wirtschaftswissenschaften) gewinnt man oft gewisse Punktmengen oder Folgen (in einem normierten Raum X), aber Konvergenzuntersuchungen (Grenzübergänge) bezüglich der Norm sind nicht (oder nicht ohne Weiteres) anwendbar. Man denke an die Lösung einer Minimumaufgabe. Es sei etwa eine Minimalstelle von f : M → R, f stetig, M ⊆ X, M = 0/ zu finden und man habe eine Minimalfolge {xn } gewonnen (also { f (xn )} → infx∈M f (x)). Wenn M kompakt ist, so kann man aus der Minimalfolge eine konvergente Teilfolge auswählen und deren Grenzwert (in der Norm) ist die gesuchte Minimalstelle (man denke an Satz 10.14). Ist M nicht kompakt, so hat man diese Auswahlmöglichkeit nicht. Selbst für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen M aus X gilt nur (vgl. (10.63)): M ist genau dann kompakt, wenn X endlichdimensional ist. Der aufmerksame Leser denkt jetzt an den Projektionssatz Satz 2.3. Dort wird einerseits behauptet (und bewiesen), dass jede Minimalfolge konvergiert, andererseits wird von der betrachteten Menge K nicht die Kompaktheit gefordert, sondern nur die Norm-Abgeschlossenheit und zusätzlich die Konvexität. Dies kann ergebnisreich ausgebaut werden, dazu werden in normierten Räumen schwächere Konvergenzbegriffe (als die Norm-Konvergenz) und schwache Topologien eingeführt. Lineare stetige Funktionale spielen dabei (wieder) eine grundlegende Rolle.

38


Definition 3.6 Es seien (X, · ) ein normierter Raum und {xn } eine Folge von Elementen von X. Die Folge {xn } heißt schwach konvergent gegen das Element (den Grenzwert) x ∈ X, wenn für jedes stetige lineare Funktional x∗ auf X die Gleichheit limn→+∞ x∗ (xn ) = x∗ (x) gilt; abgekürzt xn x (n → +∞).

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt (vgl. Satz 5.1 und Beispiel 5.2). Aus Definition 3.6 folgt (z.B. wegen (3.14)) sofort, dass jede (norm-)konvergente Folge {xn } auch schwach konvergent ist. Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Hierzu betrachten wir das folgende Beispiel: Beispiel 3.10 Es seien (H, ·|·) ein Hilbert-Raum und {en } ein vollständiges ONS (vgl. Definition 2.1) in H. Dann gilt en 0 (n → +∞), obwohl alle en die Norm 1 haben (en = 1) und daher die Folge {en } in H nicht gegen 0 (norm-)konvergiert. Zum Beweis betrachte man ein beliebiges Element x ∈ H. Dann gilt x = ∑∞ n=1 x|en en . Für ein beliebiges lineares stetiges Funktional x∗ auf H folgt daraus (wegen der Stetigkeit von x∗ ) die Gleichung x∗ (x) =

∞

∑ x|en x∗ (en ).

(3.34)

n=1

Nach dem Satz von Riesz (Satz 3.3) hat das Funktional x∗ die Gestalt x∗ (x) = x|y (x ∈ H)

(3.35)

mit einem eindeutig bestimmten y ∈ H, für welches x∗ ∗ = y gilt. Einsetzen von (3.35) in (3.34) ergibt die Gleichheit x|y =

∞

∑ x|en en |y (x ∈ H).

(3.36)

n=1

Setzen wir in (3.36) für x speziell x = y, so erhalten wir y2 = y|y =

∞

∞

∞

n=1

n=1

n=1

∑ y|en en |y = ∑ en |y en |y = ∑ | en |y |2 .

Die rechts stehende Reihe ist somit konvergent. Daher bilden ihre Glieder | en |y |2 eine Nullfolge. Dann ist aber auch die Zahlenfolge mit den Gliedern x∗ (en ) = en |y (n = 1, 2, ...) eine gegen null konvergente Folge, womit alles gezeigt ist. Das Resultat ist auch in einer anderen Hinsicht bemerkenswert: Wir gingen von einer Folge {en } in der (nicht konvexen norm-abgeschlossenen) Menge M = {x ∈ H | x = 1} aus und bewiesen, dass diese Folge gegen ein Element (nämlich 0) schwach konvergiert, das nicht in M liegt. M ist also sicher nicht abgeschlossen im Sinne der schwachen Konvergenz (nicht schwach folgen-abgeschlossen). Wir kommen auf dieses Verhalten unten zurück (vgl. Satz 3.9).

In speziellen Räumen lässt sich die schwache Konvergenz genauer kennzeichnen, wie der folgende Satz am Beispiel des Raumes C[a, b] zeigt. Der Raum C[a, b] sei hierbei wie üblich mit der Maximum-Norm versehen. Satz 3.6 Eine Folge {xn (·)} von Elementen aus C[a, b] konvergiert genau dann schwach gegen ein Element x(·) aus C[a, b], wenn folgende Bedingungen beide (gleichzeitig) erfüllt sind 1. |xn (t)| ≤ M (t ∈ [a, b]; n = 1, 2, ...) für ein M > 0;


39

¯ (t ∈ [a, b]) (punktweise Konvergenz). 2. limn→+∞ xn (t) = x(t)

In einem Hilbert-Raum gilt für jede Folge {x j }, j = 1, 2, ... : Es konvergiert eine Folge in der Norm mit Grenzwert x genau dann, wenn diese Folge schwach gegen x konvergiert und zugleich die Folge der Normen der Folgenglieder gegen die Norm von x konvergiert. Dies folgt (aus der Stetigkeit des Skalarprodukts und) aus x − x j 2 = 2Re x, x − x j + x j 2 − x2 .

(3.37)

In einem normierten Raum (X, · ) ist die Norm eine stetige Funktion, d.h. aus xn − x → 0 folgt xn → x (vgl. Satz 10.18), und norm-konvergente Folgen sind beschränkt (es ist bei gegebenem ε > 0 für hinreichend große n : xn = xn −x0 +x0 ≤ xn −x0 +x0 ≤ ε +x0 ). Konvergiert die Folge {xn } hingegen nur schwach gegen x, so gilt folgende Aussage: Satz 3.7 Es sei (X, · ) ein normierter Raum und {xn } eine Folge aus X, die gegen das Element x schwach konvergiert. Dann gilt die Ungleichung (3.38) x ≤ limn→+∞ xn , und es existiert eine Konstante M > 0 mit xn ≤ M, (n = 1, 2, ...), m. a. W., jede schwach konvergente Folge ist beschränkt.

Der Beweis des Satzes nutzt den Satz von Banach-Steinhaus (vgl. Satz 4.3). Die Eigenschaft (3.38) drückt, wenn sie für jede schwach gegen das Element x konvergente Folge gilt, die schwache Unterhalbstetigkeit der Norm aus, genauer die schwache Folgen-Unterhalbstetigkeit, denn die Unterhalbstetigkeit wurde mit Folgen erklärt und nicht mit Umgebungen einer schwachen Topologie. Zu Letzterem kommen wir anschließend an das folgende Beispiel. Beispiel 3.11 Die Norm ist nicht schwach folgen-stetig. Wir nehmen als Beispiel die Norm im reellen Raum l 2 . Es sei x = 0, und als schwach gegen 0 konvergente Folge nehmen wir {δ n }, δ n ∈ l 2 , n = 1, 2, ..., wobei alle Komponenten von δ n bis auf die mit der Nummer n gleich 0 seien, die Komponente der Nummer n habe den Wert 1. Dann ist δ n = 1 für jedes n = 1, 2, ..., aber x = 0, also nicht x = limn→+∞ δ n . Offenbar ist (natürlich) (3.38) erfüllt.

Eine interessante Beziehung zwischen schwach konvergenten und in der Norm konvergenten Folgen gibt es in Banach-Verbänden (X, ≤X , · X ) (vgl. Abschnitt 6.3). Wir nennen zuerst den Sachverhalt und klären dann noch einzelne spezielle Begriffe. Definition 3.7 (Ordnungsstetige Norm) Es sei (X, ≤, · ) ein Banach-Verband. Die Norm · heißt ordnungsstetig, wenn jedes nicht fallende Netz (xα )(α ∈A) in KX = {x ∈ X | x ≥ 0} mit infα ∈A xα = 0 bezüglich der Norm gegen null konvergiert.

Es gilt dann der folgende bemerkenswerte Satz über die Kennzeichnung der Ordnungsstetigkeit mittels der Eigenschaften schwach konvergenter Folgen. Satz 3.8 (Satz von Meyer-Nieberg, Stein und Voigt) Ein Banach-Verband X hat eine ordnungsstetige Norm genau dann, wenn jede ordnungsbeschränkte Folge aus KX , die schwach gegen null konvergiert, auch bezüglich der Norm gegen null konvergiert.

40


Zu Netzen und deren Konvergenz vgl. Definitionen 10.25 und 10.27. Zu Halbordnungen vgl. Abschnitt 10.1.5. Ein nicht fallendes Netz wird in Definition 3.8 erklärt, anschließend folgen die Erklärungen für disjunkte Element und Ordnungsintervalle. Definition 3.8 Es sei (A, ≤) eine halbgeordnete gerichtete Menge. Es sei weiter (X, τ ) ein topologischer Raum und die

Menge X (der Träger von τ ) sei überdies mit einer Halbordnung = versehen. Ein Netz (xα )(α ∈A) von Elementen aus X heißt nicht wachsend (nicht fallend), wenn stets gilt

α1 ≤ α2 ⇒ α1 = α2

(α1 ≤ α2 ⇒ α2 = α1 )

(α1 , α2 ∈ A).

Definition 3.9 (disjunkte Elemente, disjunkte Folge) Zwei Elemente x, y eines Banach-Verbandes heißen disjunkt, wenn |x| ∧ |y| = 0 gilt. Eine Folge {xn } von Elementen eines Banach-Verbandes heißt disjunkt, wenn gilt |x j | ∧ |xk | = inf(|x j |, |xk |) = 0 für alle k, j ∈ N mit k = j. Definition 3.10 (Ordnungsintervall) Es sei (X, ≤, · ) ein Banach-Verband. Ein Ordnungsintervall in diesem Banach-Verband ist jede Menge der Gestalt [x, y] := {z ∈ X|x ≤ z ≤ y}, x, y ∈ X mit y − x ∈ KX .

Beweis des Satzes 3.8: Notwendigkeit. Dies wird in Meyer-Nieberg [117] in Lemma 4.12.15. und Theorem 4.12.14. gezeigt, vgl. auch Aliprantis und Border [2]. Hinlänglichkeit. Der Banach-Verband (X, ≤, · ) hat eine ordnungsstetige Norm genau dann, wenn jede ordnungsbeschränkte Folge, die disjunkt ist, bezüglich der Norm gegen null konvergiert (vgl. Meyer-Nieberg [117], Theorem 2.4.2.). Es sei also z ∈ KX und es gelte xn ∈ [0, z], also 0 ≤ xn ≤ z, für eine disjunkte Folge {xn }. Für jedes x∗ ∈ KX+ (d.h. ein stetiges lineares Funktional, das auf KX nichtnegativ ist, also ein Element des zu KX stetigen Dualkegels KX+ ) gilt wegen der Disjunktheit der Folge {xn } die Ungleichungskette 0≤

k

k

n=1

n=1

∑ x∗ (xn ) = x∗ ( ∑ xn ) ≤ x∗ (z) (k ∈ N).

Somit folgt limn→+∞ x∗ (xn ) = 0 und weiter (es reicht, dass x∗ ∈ KX+ gilt) die schwache Konver genz der Folge {xn } 0 für n → +∞. Interessant ist eine Folgerung, die auf Stein und Voigt [159], S. 5, Proposition 1.1, zurückgeht. Lemma 3.1 Es seien X ein Banach-Verband mit einer ordnungsstetigen Norm und {xn }, {yn } Folgen in X mit 0 ≤ xn ≤ yn (n ∈ N). Wenn {xn } y ∈ X für n → +∞ und lim yn = y (bezüglich der Norm) gelten, dann gilt auch lim xn = y bezüglich der Norm.

Beweis: Es sei {ynk } eine Teilfolge der Folge {yn } mit ∑∞ k=1 ynk+1 − ynk < ∞, der Leser überlege sich, dass eine solche Teilfolge existiert. Dann existiert in X auch das Element z := |yn1 | + ∑∞ k=1 |ynk+1 − ynk |. Ersichtlich gilt die Ungleichung ynk ≤ z für alle k = 1, 2, · · · und man erkennt unschwer, dass mit zk := ynk+1 − ynk (k ∈ N) nach der Voraussetzung {zk } 0 für k → ∞ gelten muss. Ferner ist ersichtlich zk ∈ [0, z] (k ∈ N). Aus dem zuvor bewiesenen Satz folgt nunmehr,


41

dass limk→+∞ zk = 0 bezüglich der Norm gilt und somit ist die Folge {xnk } norm-konvergent gegen y. Diese Überlegung kann auf jede Teilfolge der Folge {xn } angewandt werden, es folgt limn→+∞ xn = y bezüglich der Norm. Ist x∗ ein lineares stetiges Funktional über einem normierten Raum X, so ist (wie man leicht nachrechnet) |x∗ (·)| eine Halbnorm auf X (vgl. Beispiel 10.12 und Definitionen 10.17 und 3.22). Die schwache Topologie eines normierten Raumes X ist die (lokalkonvexe) Topologie, die durch das folgende System P von Halbnormen erklärt wird: P = {|x∗ (·)|x∗ ∈ X∗ }.

(3.39)

Da diese schwache Topologie durch die Funktionale aus X∗ erzeugt wird, wird sie mit σ (X, X∗ ) bezeichnet. Nach Beispiel 10.12 enthält die schwache Topologie wegen (3.6) zu ε > 0 und einer Halbnorm p ∈ P die Menge {y ∈ X | p(y − 0) = |x∗ (y − 0)| ≤ ε },

(3.40)

die Funktionale x∗ sind also auch in der schwachen Topologie stetig (an der Stelle x = 0 und daher überall). Die schwache Topologie σ (X, X∗ ) ist die schwächste Topologie für X, sodass alle x∗ ∈ X noch stetig sind. Sie enthält weniger offene Mengen als die Normtopologie (welche mindestens die durch (3.39) erzeugten offenen Mengen enthalten muss), sie ist daher schwächer als die Normtopologie über X. Die schwache Topologie muss nicht metrisierbar sein. Die Definition 3.6 einer in (X, · ) schwach (gegen 0) konvergenten Folge {yn } → 0 heißt dann wegen (3.40), dass die Glieder der Folge für hinreichend großes n in einer σ (X, X∗ )-Umgebung der 0 liegen. Wenn man über (X, · ) eine Funktion f : X → R gegeben hat, so sagt man, f sei schwach stetig an einer Stelle, wenn man die Stetigkeit mit Umgebungsbegriffen erklärt, bzw. f sei schwach folgen-stetig an einer Stelle, wenn man die Stetigkeit mit Folgen erklärt. Diese Begriffe müssen nicht zusammenfallen. Eine (an einer Stelle) schwach folgen-stetige Funktion muss dort nicht schwach stetig sein. Die Umkehrung gilt. Der Dualraum X∗ zu einem normierten Raum X ist selbst ein normierter Raum und man kann somit wie oben eine schwache Topologie auf X∗ bilden (mittels der Elemente aus X∗∗ ). Es ist aber nützlicher, nur eine Teilmenge der Elemente aus X∗∗ zu berücksichtigen, nämlich gerade die, die gemäß Satz 3.5 zu (X, · ) normisomorph ist. Die so gebildete Topologie wird mit σ (X∗ , X) bezeichnet und heißt schwache* Topologie. Sie ist (natürlich) schwächer als die schwache Topologie auf X∗ und diese ist schwächer als die Normtopologie von X∗ . Entsprechend ihrer Konstruktion gehört zur schwachen* Topologie auch eine schwache* Konvergenz: Definition 3.11 Eine Folge {xn∗ } ⊆ X∗ heißt schwach* konvergent, falls es ein Element x0∗ ∈ X∗ gibt, sodass gilt ∀x ∈ X : {xn∗ (x)} → x0∗ (x).

(3.41)

Man schreibt {xn∗ } ∗ x0∗ .

Der Grenzwert einer schwach* konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt, denn andernfalls gälte mit einem weiteren Grenzwert x1∗ ∈ X∗ , x1∗ = x0∗ , für alle x ∈ X : (x1∗ − x0∗ )(x) = 0, das heißt, x1∗ − x0∗ ist das Null-Funktional, also die 0 in X∗ . Ist X reflexiv (vgl. Definition 3.5), so ist X∗∗ zu

42


X isomorph und folglich stimmen die schwache* Konvergenz und die schwache Konvergenz auf X∗ überein.

3.1.4 Schwache Kompaktheit In diesem Abschnitt wird der Nutzen schwacher Konvergenzbegriffe dargestellt. Zu Anwendungen in der wirtschaftswissenschaftlichen und wirtschaftsmathematischen Literatur vgl. z.B. Cornet und Topuzu [36], Buttazzo und Santambrogio [29] und Föllmer und Schiedt [60]. Satz 3.9 Ist M eine konvexe und norm-abgeschlossene Menge eines normierten Raumes. Dann ist M schwach folgenabgeschlossen, d.h. der Grenzwert jeder schwach konvergenten Folge aus M liegt in M.

Beweis: Es sei {xk } eine schwach gegen x konvergente Folge aus M und x ∈ / M. Strenge Trennung liefert ein Element x∗ ∈ X∗ und eine reelle Zahl α mit ∀y ∈ M : Re x∗ (y) ≤ α ;

Re x∗ (x) > α .

(3.42)

Also gilt Re x∗ (xk ) ≤ α für die y = xk ∈ M und wegen der schwachen Konvergenz folgt Re x∗ (x) ≤ α im Widerspruch zur zweiten Aussage in (3.42). Ohne die Voraussetzung der Konvexität gilt die Aussage nicht allgemein, wie im Anschluss an Beispiel 3.10 gezeigt wurde. Satz 3.10 (Satz von Mazur) Es sei {xk } eine schwach gegen x konvergente Folge in einem Banach-Raum. Dann liegt der Grenzwert x in der norm-abgeschlossenen konvexen Hülle der Elemente xk , k = 1, 2, ...: x ∈ conv{xk }.

Beweis: Es sei M = conv{xk }. Diese Menge ist konvex. Also auch ihr Norm-Abschluss M, denn zu x ∈ M \ M, y ∈ M \ M gibt es dann (norm-konvergente) Folgen {x j } → x, x j ∈ M, {y j } → y, y j ∈ M, und wegen der Konvexität von M folgt für 0 < α < 1 : α x j + (1 − α )y j ∈ M. Der (Normy ∈ M. Aus Satz 3.9 ergibt sich, dass M schwach )Grenzwert für j → ∞ ergibt somit α x+ (1 − α ) folgen-abgeschlossen ist. Der Satz von Mazur gilt sogar allgemeiner: Eine konvexe Teilmenge eines Banach-Raumes ist norm-abgeschlossen genau dann, wenn sie schwach abgeschlossen ist (vgl. Kurdila und Zabarankin [113], S. 211). Satz 3.11 Es sei M eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Menge eines Banach-Raumes X und f : M → R eine konvexe und unterhalbstetige Funktion. Dann ist f schwach folgen-unterhalbstetig, also, für alle schwach gegen x0 ∈ M konvergenten Folgen {xn } aus M gilt limn→+∞ f (xn ) ≥ f (x0 ).

Beweis: Es sei {xn } x0 mit x0 , xn ∈ M, n = 1, 2, ... Wir bilden limn →+∞ f (xn ) und wählen eine Unterfolge {xn }, sodass gilt

lim f (xn ) = limn →+∞ f (xn ).

n→∞

(3.43)


43 j

Nach Satz 3.10 existiert eine weitere Unterfolge {xn }, j = 1, 2, ..., sodass die Folge ihrer arithmetischen Mittel in der Norm gegen x0 konvergiert: 1 m nj (3.44) ∑ x → x0 . m j=1 Da f konvex ist, ergibt sich 1 m

m

∑

j

f (xn ) ≥ f (

j=1

1 m

m

∑ xn ), j

(3.45)

j=1

und aus der Unterhalbstetigkeit von f folgt dann 1 m→+∞ m lim

m

1

m

lim f ( ∑ xn ) ≥ f (x0 ). ∑ f (xn ) ≥ m→+∞ m j

j=1

j

(3.46)

j=1

j

j

Nun ist lim j→+∞ f (xn ) = limm→+∞ m1 ∑mj=1 f (xn ) (die Folge der arithmetischen Mittel konvergiert mit gleichem Grenzwert) und wegen (3.43) folgt die Behauptung:

j

limn →+∞ f (xn ) = lim f (xn ) = lim f (xn ) ≥ f (x0 ). n→+∞

(3.47)

j→+∞

Satz 3.12 (Satz von Eberlein, Alaoglu und Schmuljan) Ein Banach-Raum ist genau dann reflexiv, wenn seine abgeschlossene Einheitskugel B(0; 1) = {x|x ≤ 1} schwach folgen-kompakt ist, d.h. wenn jede Folge aus B eine schwach konvergente Teilfolge enthält.

Zum Beweis sei auf Alt [6], S.162, verwiesen. Die Sätze dieses Abschnittes reichen aus, um Teil (ii) von Theorem 3.31 für f konvex zu beweisen. Ist f nur quasikonvex (vgl. Definition 3.18), so nutzt man im Beweis die konvexen Niveaumengen von f . Satz 3.13 (Teil (ii) von Satz 3.31) Ist zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 3.11 M beschränkt und X reflexiv, so hat das Minimumproblem f (x) → minx∈M eine Lösung, d.h. f nimmt sein Infimum I über M an.

Beweis: Es sei {xn } eine Minimalfolge, d.h. limn →+∞ f (xn ) = I. Da die Folge {xn } in M liegt, ist sie beschränkt. Nach Satz 3.12 gibt es eine schwach konvergente Teilfolge {xn } → x mit x ∈ M nach Satz 3.10. Nach Satz 3.11 ist f schwach folgen-unterhalbstetig, daher limn →+∞ ≥ f (x) ≥ I.

(3.48)

Da {xn } (und also auch {xn }) eine Minimalfolge war, steht in der Ungleichungskette links eben so I. Also f (x) = I. Als weitere Anwendung ergibt sich eine Erweiterung des Projektionssatzes (vgl. Satz 2.3):

44


Satz 3.14 Es seien X ein reflexiver Banach-Raum und M ⊆ X eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Teilmenge. Dann gibt es zu jedem Element x0 ∈ X \ M ein Element bester Approximation x¯ ∈ M, d.h. ¯ = inf x0 − y. x0 − x

(3.49)

y∈M

Beweis: Wir beginnen wie im Beweis des Projektionssatzes. Es sei {x j } in M eine Minimalfolge, also (3.50) lim x0 − x j = inf x0 − y. j→∞

y∈M

Dann muss die Folge beschränkt sein. Jetzt wird Satz 3.12 angewendet. Daher gibt es eine in X schwach konvergente Teilfolge {x jk }, deren Grenzwert x wegen Satz 3.9 in M liegt. Wegen Satz 3.11 ist die Norm schwach folgen-unterhalbstetig. Das ergibt, angewendet auf {x jk − x0 } (x − x0 ) (3.51) inf x0 − y = limk→+∞ x0 − x jk ≥ x0 − x ≥ inf x0 − y. y∈M

y∈M

Der folgende Satz gilt für separable Banach-Räume. Ein Banach-Raum X heißt separabel wenn es in X eine abzählbare dichte Teilmenge gibt, also eine Folge, die zu jedem x ∈ X eine Teilfolge enthält, die gegen x konvergiert. Die Separabilität im folgenden Satz ist notwendig, vgl. dazu Alt [6], S. 160. Satz 3.15 Der Banach-Raum X sei separabel. Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel B∗ (0; 1) in X∗ schwach* folgen-kompakt, d.h. jede beschränkte Folge in X∗ enthält eine schwach* konvergente Teilfolge.

Beweis: Da X separabel ist, gibt es eine in X dichtliegende Folge {xn }. Um die behauptete schwache Folgen-Kompaktheit zu zeigen, betrachten wir eine Folge {xk∗ } ⊆ X∗ , xk∗ ∗ ≤ 1. Dann ist für jedes n die Folge der Zahlen {xk∗ (xn )}(k = 1, 2, ...) beschränkt wegen |xk∗ (xn )| ≤ xk∗ ∗ xn . Daher enthält diese Folge für n = 1 eine konvergente Teilfolge, und diese enthält für n = 2 eine konvergente Teilfolge, usw. Durch dieses Diagonalverfahren erhält man eine Teilfolge, deren Grenzwert (in R bzw. C) für jedes n existiert. Dieser Grenzwert sei mit x (xn ) bezeichnet: lim xk∗ (xn ) = x (xn ).

k →+∞

Dann existiert auch der Grenzwert für jedes y ∈ Y = Menge der Linearkombinationen der xn und muss daher linear von den y ∈ Y abhängen: lim

k →+in f ty

xk∗ (y) = x (y) (y ∈ Y).

Das Funktional x ist sogar beschränkt, denn es gilt |x (y)| = lim |xk∗ (y)| ≤ 1 · y, k →+∞

3.2 Lineare Operatoren

45

also ist es stetig, daher ist es fortsetzbar auf den Gesamtraum X = Y mit x ∗ ≤ 1, somit ist x ∈ B∗1 . Die Folge {xk∗ } konvergiert schwach* gegen x , denn es ist für x ∈ X und geeignetes y∈Y |(xk∗ − x )(x)| ≤ |(xk∗ − x )(x − y)| + |(xk∗ − x )(y)| ≤ x − y · (xk∗ ∗ + x ∗ ) + |(xk∗ − x )(y)| ≤ 2x − y + |(xk∗ − x )(y)|. Der zweite Summand geht gegen null für k → +∞ für jedes y und der erste Summand ist wegen X = Y beliebig klein möglich. Der folgende Satz ist etwas allgemeiner als Satz 3.15: Satz 3.16 (Satz von Alaoglu und Bourbaki) Ist X ein Banach-Raum, so ist die abgeschlossene Einheitskugel in X∗ schwach* kompakt (d.h. kompakt bezüglich der schwach* Topologie).

Natürlich kann man auch zu Satz 3.15 einen Satz in der Art wie Satz 3.13 formulieren: Satz 3.17 Es seien X ein reeller separabler Banach-Raum und M eine abgeschlossene Kugel im Dualraum X∗ . Ist das Funktional f : M → R schwach* folgen-unterhalbstetig, so hat das Optimierungsproblem f (x∗ ) → infx∗ ∈M eine Lösung.

Abschließend seien Sätze angefügt, die (wie Satz 3.12) einige der eingeführten Begriffe charakterisieren. Satz 3.18 (Satz von James) Sei M eine beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge eines Banach-Raumes. M ist schwach kompakt genau dann, wenn jedes lineare stetige Funktional sein Infimum über M annimmt (Föllmer/Schied [60], S. 398).

Mit anderen Worten, ist ein Banach-Raum X nicht reflexiv, so gibt es ein lineares stetiges Funktional auf X, welches sein Supremum auf der Einheitskugel nicht annimmt. Satz 3.19 Ein reeller Banach-Raum X ist reflexiv genau dann, wenn jede abgeschlossene konvexe Teilmenge M von X proximinal ist, d.h. wenn für jedes x ∈ X das Optimierungsproblem x − y → infy∈M , eine Lösung hat (vgl. Holmes [84], S. 161).

3.2 Lineare Operatoren 3.2.1 Das Rechnen mit linearen Operatoren Wir betrachten in diesem Kapitel Abbildungen (Operatoren, Funktionen) F : X → Y eines gegebenen Raumes X (dem Urbildraum) in einen gegebenen Raum Y (dem Bildraum), siehe hierzu auch Dunford und Schwartz [46]. Jedem Element x ∈ X wird eindeutig ein Element F(x) ∈ Y zugeordnet. Ist M ⊆ X, so heißt F[M] = {F(x) | x ∈ M} das Bild von M. F heißt injektiv, falls gilt aus F(x) = F(y) folgt x = y (x, y ∈ X), (3.52)

46


surjektiv (oder Abbildung von X auf Y), falls F[X] = Y gilt, und bijektiv, falls F injektiv und surjektiv ist. In den (wirtschaftswissenschaftlichen bzw. wirtschaftsmathematischen) Anwendungen spielen lineare Operatoren eine wesentliche Rolle. Aber auch verschiedene Klassen nichtlinearer Operatoren treten auf, siehe dazu den Abschnitt 10.5 über monotone Operatoren bzw. Abschnitt 9.1 über halbbeschränkte Operatoren. Lineare Operatoren treten im Zusammenhang mit der Lösung sogenannter linearer Probleme auf, d.h. bei Problemen, in denen die wesentlichen Zusammenhänge ein lineares Verhalten zeigen. Die einfachste Grundaufgabe dieser Art ist die Frage nach den Lösbarkeitseigenschaften eines linearen Gleichungssystems mit endlich vielen Unbekannten ξ1 , ξ2 , ..., ξn : n

∑ a jk ξk = b j ,

j = 1, ..., m,

(3.53)

k=1

wobei die Koeffizienten a jk und die absoluten Glieder (die rechten Seiten) b j gegebene (komplexe oder reelle) Zahlen sind. Kennzeichnend für die funktionalanalytische Denkweise ist die Auffassung, dass der Koeffizientenmatrix (a jk ) ein Operator A entspricht, der jeden Vektor x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) in einen Vektor y = (η1 , η2 , ..., ηm ) überführt:

ηj =

n

∑ a jk ξk

(3.54)

k=1

oder y = A(x) (oder y = Ax).

(3.55)

Die Aufgabe, das lineare Gleichungssystem (3.53) zu lösen, kann also in der folgenden Weise formuliert werden: Man bestimme alle n-dimensionalen Vektoren x, die die Gleichung Ax = b

(3.56)

(b = (b1 , b2 , ..., bm )) erfüllen. Der Operator A hat ersichtlich folgende Eigenschaften Additivität : A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ),

(3.57)

Homogenität : A(λ x) = λ A(x) (λ komplex oder reell).

(3.58)

Diese Tatsache veranlasst folgende Definition (Definition 3.1 für lineare Funktionale ist ein Spezialfall hiervon) Definition 3.12 Ein Operator A : X → Y, der einen linearen Raum X in einen linearen Raum Y abbildet, heißt linear, wenn für alle x1 , x2 , x aus X und alle (komplexen bzw. reellen) Zahlen λ die Gleichungen (3.57) und (3.58) gelten.

Der Operator A in (3.55) bildet offensichtlich den Raum Cn in den Raum Cm ab. Die Auffassung, dass der Matrix (a jk ) ein Operator A entspricht, ist von grundsätzlicher Bedeutung, weil sich viele Eigenschaften der Matrizen und der mit ihnen verbundenen Gleichungssysteme auf


47

allgemeinere (und gerade in den Anwendungen vorkommende) lineare Operatoren und Operatorgleichungen (und auch Ungleichungen) übertragen lassen. Mit Matrizen kann man rechnen. Das erkennt man in den Rechengesetzen für lineare Operatoren wieder: Es sei A : X → Y ein linearer Operator gemäß Definition 3.12. Dann heißt die Menge Ker A := {x ∈ X | Ax = 0Y }

(3.59)

Kern oder Nullraum von A, das sind alle Nullstellen von A, und die Menge W (a) = Rang A := {y ∈ Y | y = Ax für ein x ∈ X}

(3.60)

Rang oder Wertebereich von A. Zufolge der Linearität von A sind Ker A und Rang A lineare Teilräume von X bzw. Y. Ist A bijektiv, so heißt A ein Isomorphismus und die Räume X und Y heißen zueinander isomorph. Im Folgenden seien A, B, T, ... lineare Operatoren von X → Y und S sei ein linearer Operator, der Y in den linearen Raum Z abbildet. Ist X = Y, so heißt I mit Ix = x (x ∈ X)

(3.61)

der identische Operator. Weiterhin werden erklärt: Summe zweier Operatoren : (A + B)(x) = A(x) + B(x) (x ∈ X),

(3.62)

Multiplikation von A mit einer Zahl λ : (λ A)(x) = λ A(x) (x ∈ X),

(3.63)

Produkt zweier Operatoren : (ST )(x) = S(T (x)) (x ∈ X).

(3.64)

Das Produkt ST ist ein linearer Operator von X in Z, wie man leicht nachrechnet. Mittels der Produktdefinition werden Potenzen An eines linearen Operators A : X → X rekursiv erklärt: A0 = I, A1 = A, ..., An+1 = AAn (n = 1, 2, ...).

(3.65)

Es sei A ein linearer Operator von X in Y. Wenn es einen linearen Operator B : Y → X gibt, sodass folgende Gleichungen gelten, BA = IX , AB = IY ,

(3.66)

wobei IX bzw. IY die identischen Operatoren von X bzw. Y sind, so heißt B der zu A inverse Operator (Umkehroperator, reziproker Operator) und man schreibt B = A−1 . Man weist leicht nach, dass es nur einen einzigen solchen Operator B = A−1 geben kann. Und wenn A einen inversen Operator A−1 hat, so sind A : X → Y und A−1 : Y → X lineare eineindeutige Abbildungen. Schließlich beweist man wie bei Matrizen: Es seien A1 : X → Y, A2 : Y → Z lineare Operato−1 ren, die inverse Operatoren A−1 1 , A2 besitzen. Dann hat auch der Operator A2 A1 : X → Z einen inversen Operator und es gilt −1 (A2 A1 )−1 = A−1 1 A2 .

(3.67)

48


3.2.2 Lineare beschränkte Operatoren in normierten Räumen Für wirtschaftswissenschaftliche und physikalische Anwendungen muss man lineare Operatoren in normierten Räumen betrachten. Wie bei Funktionalen ist dann der Begriff der Beschränktheit eines linearen Operators wesentlich und stimmt mit der Stetigkeit eines linearen Operators überein (vgl. (3.9)). Definition 3.13 Es sei A : X → Y eine linearer Operator und X und Y seien (beide komplexe oder reelle) Räume. A heißt beschränkt, wenn es eine Konstante k > 0 gibt mit Ax ≤ kx (x ∈ X).

(3.68)

Das Infimum dieser Werte k, für die die Ungleichung (3.68) gilt, wird mit A bezeichnet und heißt Operator-Norm. Die Menge aller linearen beschränkten Operatoren A : X → Y wird mit L(X, Y) bezeichnet. Falls X = Y gilt, schreibt man einfach L(X).

Dass in (3.68) von einem linearen beschränkten Operator gesprochen wird, lässt sich so interpretieren: Ein linearer beschränkter Operator bildet norm-beschränkte Mengen (d.h. Mengen M, sodass eine Zahl C existiert mit x ≤ C (x ∈ M)), wegen (3.68) in norm-beschränkte Mengen ab. Oder man kann auch sagen, aus der Beschränktheit einer Urbildmenge folgt die Beschränktheit der entsprechenden Bildmenge. Ist X nicht nur der Nullraum, so folgen aus (3.68) wie bei Funktionalen (vgl. (3.12)) x ) ≤ k (x = 0), (3.69) A x und für die Operator-Norm A = sup A x=0

x = sup Ax, x x≤1

(3.70)

und (wie man sieht auch für x = 0) die verallgemeinerte Schwarz’sche Ungleichung: Ax ≤ A x (x ∈ X).

(3.71)

Nach demselben Beweismuster wie bei Funktionalen (vgl. (3.9)) folgt für lineare Operatoren in normierten Räumen: Satz 3.20 Ein linearer Operator A ist genau dann stetig (d.h. aus {xn } → x folgt stets {Axn } → Ax), wenn A beschränkt ist.

Wir betrachten drei Beispiele und erinnern zuerst an den linearen Operator A von (3.54), der einer Matrix entsprach. Die beiden Räume (wir wählen sie reell) Rn und Rm seien mit der Euklidischen Norm versehen. Dann ist A ein beschränkter Operator, denn es gilt (unter Nutzung der Schwarz’schen Ungleichung für Summen) m

n

Ax2Rm = ∑ ( ∑ aik ξk )2 ≤ ∑ a2ik ∑ ξk2 = k2 x2Cn i=1 k=1

i,k

k


49

oder (3.72) AxRm ≤ kxRn (x ∈ Rn ), und dabei hat sich ergeben, dass k = ∑i,k a2ik gilt. Damit haben wir eine Zahl k ≥ 0, sodass die Beschränktheit von A gezeigt ist. k heißt Quadratsummen-Norm des Matrixoperators A. Ist diese Zahl k die Operator-Norm des Operators A? Ein einfaches Beispiel lehrt, dass beide Normen im Allgemeinen verschieden sind. Beispiel 3.12 (Übungsaufgabe) Für den zur (2, 2)-Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 2 und 1 gehörenden Operator A ergibt sich √ als Operator-Norm A = 2 und als Quadratsummen-Norm k = 5. Man vergleiche das Resultat mit der Ungleichung für den Spektralradius (3.80).

In den beiden folgenden Beispielen werden wichtige Integraloperatoren behandelt (vgl. auch Beispiel 3.17). Beispiel 3.13 Es sei X = CC [a, b] (vgl. Beispiel 10.13,c) versehen mit der Maximum-Norm x = maxa≤t≤b |x(t)| (damit ist X ein Banach-Raum). Mit K(s,t) werde ein für a ≤ s,t ≤ b definierte stetige komplexwertige Funktion bezeichnet. Dann wird durch die Zuordnungsvorschrift (Ax)(s) = y(s) =

b a

K(s,t)x(t)dt (a ≤ s ≤ b, x ∈ CC [a, b])

(3.73)

ein linearer beschränkter Operator A : CC [a, b] → CC [a, b] definiert. A ist ein sogenannter linearer Integraloperator mit dem Kern K(s,t). Das Wort Kern wird hier in einem anderen Sinn als in (3.59) gebraucht. Man sieht sofort, dass der Operator in den Raum CC [a, b] abbildet und linear ist. Die Beschränktheit folgt so: |(Ax)(s)| = |y(s)| = |

≤

b a

b

a

K(s,t)x(t)dt| ≤

|K(s,t)| max |x(t)|dt = x a≤t≤b

b a

b

a

|K(s,t)||x(t)|dt

|K(s,t)|dt (a ≤ t ≤ b).

Durch Übergang zum Maximum folgt Ax = max |(Ax)(s)| ≤ x max a≤t≤b

b

a≤t≤b a

|K(s,t)|dt (x ∈ CC [a, b]).

Also ist A beschränkt, denn es gilt für alle x ∈ CC [a, b] eine Ungleichung Ax ≤ Mx mit der Konstanten M = maxa≤t≤b ab |K(s,t)|dt. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass sogar M = A gilt.

Der eben betrachtete Integraloperator A ist für die Anwendungen in der Physik, in Elektrotechnik, Maschinenbau und Bauwesen, ebenso in der Wirtschaftsmathematik und in der Stochastik von Bedeutung. Viele Probleme in diesen Gebieten lassen sich nämlich in der Form von Integralgleichungen schreiben. Das sind Gleichungen, in denen die gesuchte Funktion insbesondere unter dem Integralzeichen auftritt. Häufig sind solche Gleichungen von der Form x(s) = g(s) + λ

b a

K(s,t)x(t)dt (a ≤ s ≤ b),

(3.74)

wobei g(s) (a ≤ s ≤ b), K(s,t) (a ≤ s,t ≤ b) gegebene stetige Funktionen (mit reellen bzw. komplexen Werten), λ = 0 eine (komplexe) Zahl (ein Parameter) und x(s) (a ≤ s ≤ b) die gesuchte

50


stetige Funktion bezeichnen. Eine Gleichung des Typs (3.74) heißt lineare Integralgleichung zweiter Art mit dem Kern K(·, ·) und der Inhomogenität (oder rechten Seite oder Störfunktion) g(·). In Operatorschreibweise lautet Gleichung (3.74) x = g + λ Ax

bzw. x − λ Ax = g

bzw. (I − λ A)x = g,

(3.75)

wobei A den zum Kern K(s,t) gehörigen Integraloperator bezeichnet: (Ax)(s) =

b a

K(s,t)x(t)dt (a ≤ s ≤ b).

(3.76)

Man wird daher versuchen, alle Fragen, die im Zusammenhang mit der Lösung der Integralgleichung (3.74) entstehen, durch die Untersuchung der Operatorgleichung (3.75) zu beantworten, d.h. Parameterwerte λ zu finden, sodass es dazu stetige Funktionen x gibt, die (3.75) erfüllen. Das erinnert an Fragestellungen aus der Matrizentheorie: Denkt man sich in (3.75) für einen Moment als Raum den Cn und setzt für den Operator A einen Matrixoperator, so stellt (3.75) ein Eigenwertproblem aus der Matrizentheorie dar. Man fragt sich daraufhin, ob ähnliche Lösungsverhältnisse auch bei der allgemeinen Operatorgleichung (3.75) auftreten, wie sie in der Eigenwerttheorie bei (endlichdimensionalen) Matrizen auftreten. Die Lösungsverhältnisse sind im Fall allgemeiner normierter Räume aber komplizierter. Einen Zugang liefert eine wichtige Eigenschaft des Operators A, die in den Anwendungen häufig auftritt und günstige Aussagen über die Lösungen der Operatorgleichung (3.75) gestattet, die sogenannte Vollstetigkeit. Der Integraloperator in (3.76) hat diese Eigenschaft, wie wir zeigen werden. Definition 3.14 Es seien X und Y normierte Räume und A : X → Y ein linearer Operator. Dieser Operator heißt vollstetig (gelegentlich auch kompakt), wenn die Abschließung A[B] des Bildes jeder beschränkten Menge B ⊆ X eine kompakte Teilmenge von Y ist, d.h. wenn es zu jeder beschränkten Folge {xn } aus X eine Teilfolge {xnk } gibt, für die die Folge {Axnk } in Y konvergiert. Satz 3.21 Ist A : X → Y eine vollstetiger linearer Operator, so ist A erst recht ein stetiger (=beschränkter) linearer Operator.

Beweis: Die Einheitskugel B(0; 1) = {x ∈ X | x ≤ 1} in X ist beschränkt. Nach Voraussetzung ist daher A[B(0; 1)] kompakt, somit A[B(0; 1)] beschränkt. Es existiert also eine Zahl M > 0 mit x in B(0; 1), und wir erhalten M ≥ Ax = Ax Ax ≤ M (x ∈ B(0; 1)). Ist x = 0, so liegt x = x x . Damit gilt (auch für x = 0) die Ungleichung Ax ≤ Mx (x ∈ X), also A ist beschränkt. Beispiel 3.14 Wir zeigen jetzt, dass der Integraloperator in (3.73) unter den dortigen Voraussetzungen vollstetig ist. K(s,t) ist eine stetige Funktion auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge [a, b] × [a, b], also beschränkt und gleichmäßig stetig, d.h. es gibt ein k > 0 mit |K(s,t)| ≤ k, (a ≤ s,t ≤ b), und zu jedem ε > 0 existiert ein δ = δ (ε ) > 0 mit |K(s,t) − K(s ,t )| ≤ ε für |s − s | + |t −t | ≤ δ (ε ). Es sei B(0; r) = {x ∈ CC [a, b]|x ≤ r} mit einer Zahl r > 0. Es ist zu beweisen, dass A[B(0; r)] kompakt ist. Dazu ist nach dem Kriterium von Arzela-Ascoli zu zeigen:


51

(a): A[B(0;r)] ist beschränkt, (b): A[B(0;r)] ist gleichgradig stetig. Zu (a): Ist y ∈ A[B(0; r)], so ist y = Ax mit x ∈ B(0; r), somit folgt |y(s)| = |

b a

K(s,t)x(t)dt| ≤

b a

|K(s,t)||x(t)|dt ≤ kr(b − a) (a ≤ s ≤ b).

Daher gilt auch y ≤ kr(b − a). Diese Konstante kr(b − a) ist eine gemeinsame Schranke für alle Elemente y ∈ A[B(0; r)]. Zu (b): Sind s, s ∈ [a, b] und |s − s | ≤ δ (ε ), so gilt für y = Ax, x ∈ B(0; r), |y(s) − y(s )| = |

b a

(K(s,t) − K(s ,t))x(t)dt| ≤

b a

|(K(s,t) − K(s ,t))||x(t)|dt ≤ ε r(b − a) .

Folglich ist A[B(0; r)] gleichgradig stetig. Also ist A vollstetig.

Über die Lösungen der Operatorgleichung (3.75): Definition 3.15 Es sei A ein linearer stetiger Operator auf dem normierten Raum X mit Werten in X. Die Menge ρ (A) aller komplexen Zahlen λ , für die der Operator λ I − A surjektiv ist (d.h. A ist eine eindeutige Abbildung von X auf sich: A(X) = X), und für die die Umkehrabbildung R(λ ; A) = Rλ (A) = (λ I − A)−1

(3.77)

ein stetiger (linearer) Operator ist, heißt die Resolventenmenge ρ (A) von A. Der Operator Rλ (A) = (λ I − A)−1 heißt die Resolvente von A im Punkte λ . Die Komplementärmenge der Resolventenmenge ρ (A) (bezüglich der Menge C der komplexen Zahlen), die Menge

σ (A) = C \ ρ (A)

(3.78)

r(A) = sup |λ |

(3.79)

heißt das Spektrum von A, und die Zahl λ ∈σ (A)

heißt Spektralradius von A.

Für den Spektralradius eines linearen beschränkten Operators auf dem normierten Raum X mit Werten in X gilt die Ungleichung r(A) ≤ A. (3.80) Das Spektrum eines vollstetigen Operators ist von übersichtlicher Gestalt. Man kann folgenden Satz beweisen: Satz 3.22 Es sei X ein komplexer normierter Raum und A ∈ L(X) vollstetig. Dann gilt (1) Das Spektrum σ (A) von A ist eine nichtleere endliche Menge komplexer Zahlen oder eine Folge {λn } komplexer Zahlen mit λn → 0 für n → +∞. Ist X unendlichdimensional, so gehört λ = 0 stets zu σ (A). (2) Jede Zahl λ = 0, die zum Spektrum von A gehört, ist ein Eigenwert von A, d.h. es gibt ein Element x = 0, x ∈ X, mit Ax = λ x. Das Element x heißt zum Eigenwert λ zugehöriger Eigenvektor. (3) Zu jedem Eigenwert λ = 0 von A gibt es nur endlich viele linear unabhängige Eigenvektoren.

52


Das Spektrum einer (endlichdimensionalen) Matrix passt sich als Spezialfall offensichtlich in den eben zitierten Satz ein. Etwas allgemeiner gilt: Die lineare Abbildung A : X → Y heißt eine Abbildung von endlichem Rang, wenn A(X) = R(A) ein endlichdimensionaler linearer Teilraum von Y ist. Jede stetige lineare Abbildung endlichen Ranges ist vollstetig. Das dritte Beispiel eines linearen beschränkten Operators ist wieder ein Integraloperator. Beispiel 3.15 Es sei X der Banach-Raum CR [0, 1] der über dem Intervall [0, 1] stetigen Funktionen, versehen mit der Maximum-Norm. Dann gehört der Integraloperator t

Ax := 0

x(s)ds, (0 ≤ t ≤ 1),

(3.81)

zu L(CR [0, 1]). Die Linearität ist klar, die Beschränktheit sieht man so: AxC = max | t∈[0,1]

≤ max | t∈[0,1]

t

t 0

x(s)ds| ≤ max | t∈[0,1]

t 0

|x(s)|ds|

max |x(s)|ds| = max (t − 0)xC = xC ,

0 s∈[0,1]

t∈[0,1]

also ist A ≤ 1, und es gilt sogar das Gleichheitszeichen, denn man braucht nur die Funktion, die identisch gleich 1 ist, für x einzusetzen. Man könnte zu diesem Integraloperator auch Integralgleichungen wie im vorhergehenden Beispiel 3.13 betrachten, das führt zu sogenannten Volterra’schen Integralgleichungen. Wir wollen aber an diesem Beispiel den inversen Operator A−1 von A studieren. Dazu geht man vom Wertebereich W (A) des Operators A aus. Dieser Wertebereich ist offenbar die Menge der im Nullpunkt verschwindenden stetigdifferenzierbaren Funktionen über dem Intervall [0, 1] (denn das Integral in (3.81) verschwindet für t = 0 und man kann es nach der oberen Grenze differenzieren und erhält die stetige Funktion x). W (A) ist daher eine echte lineare Teilmenge von CR [0, 1]. A−1 ist der Operator, der jedem Element y ∈ W (A) dessen Ableitung zuordnet. Dieser Operator ist natürlich (vgl. (3.66)) linear, aber nicht beschränkt. Denn es gehört zum Beispiel yn (t) = sinnπ t zu W (A), n = 1, 2, ..., und folglich ist A−1 yn = nπ cosnπ t =: xn und dieses zu CR [0, 1] gehörende Element hat die Norm xn C = max |nπ cosnπ t| = nπ . t∈[0,1]

Es gilt somit

A−1 y

n C

= nπ für jedes n, also kann es keine Konstante k geben mit A−1 yC ≤ kyC , y ∈ W (A),

(3.82)

der inverse Operator A−1 ist nicht beschränkt. Folgender Satz gibt Bedingungen an, unter denen ein inverser Operator beschränkt ist: Satz 3.23 Ist A ∈ L(X, Y) ein linearer beschränkter Operator mit W (A) ⊂ Y, so gibt es zu A einen linearen beschränkten inversen Operator A−1 : W (A) = X genau dann, wenn mit einer positiven Zahl k gilt AxX ≥ kxX . Es ist dann

(3.83)

A−1 ≤ 1k .

Als Beispiel zu diesem Satz erinnern wir an eine reguläre Matrix. Der Leser bestimme für eine reguläre (2,2)-Matrix den größtmöglichen Wert der Konstanten k.


53

Abschließend ein Satz zur Menge L(X, Y). Diese Menge ist ein normierter Raum, unter einer Bedingung gilt sogar noch mehr: Satz 3.24 Sind X und Y normierte Räume, so ist die Menge L(X, Y) der linearen beschränkten Operatoren, versehen mit der Operator-Norm, ein normierter Raum, und ist Y ein Banach-Raum, so ist L(X, Y) selbst ein BanachRaum.

Zur Unterscheidung von anderen Normen werde die Operator-Norm in L(X, Y) gegebenenfalls mit · L bezeichnet. Dieser Satz 3.24 lässt einen wichtigen Schluss zu: Ist nämlich Y einer der beiden Euklidischen Räume R oder C, so ist L(X, Y) nichts anderes als der Raum X ∗ der linearen beschränkten (reell- bzw. komplexwertigen) Funktionale über X. Nach Satz 3.24 ist daher X ∗ ein Banach-Raum, insbesondere vollständig (vgl. Satz 3.4). Diese Aussage zum Dualraum X ∗ ist einer der Gründe, dass in der Optimierung, in anderen Zweigen des Operations Research, in der Numerik und in der Analysis manche Rechenoperationen unter Einbeziehung des Dualen besser funktionieren. Beweis von Satz 3.24: L(X, Y) ist ein linearer Raum gemäß (λ1 A1 + λ2 A2 )(x) = λ1 A1 (x) + λ2 A2 (x), x ∈ X; A1 , A2 ∈ L(X, Y).

(3.84)

L ist mit der Operator-Norm Ax , x ∈ X, A ∈ L(X, Y), x=0 x

AL = sup Ax = sup Ax = sup x≤1

x=1

(3.85)

ein normierter Raum. Die Forderungen an eine Norm sind erfüllt, dies sieht man wie im Beweis von Satz 3.1 bei Funktionalen (die verallgemeinerte Schwarz’sche Ungleichung lautet hier Ax ≤ AL x, x ∈ X, A ∈ L). Zur Vollständigkeit von L muss man nur zeigen, dass jede Cauchy-Folge {An } in L einen Grenzwert in L hat. Wir betrachten eine Cauchy-Folge {An } in L. Bei vorgegebenem ε > 0 gilt somit, dass eine Zahl N(ε ) existiert, sodass gilt Am − An L < ε (m, n ≥ N(ε )). Dann ist

Am (x) − An (x) < ε, x x=0

Am − An L = sup

(3.86)

und es ergibt sich Am (x) − An (x) < ε x, x = 0, x ∈ X.

(3.87)

Hieraus folgt, da Y vollständig ist (das ist die Stelle, an der die zusätzliche Voraussetzung des Satzes genutzt wird), dass für jedes x ∈ X, x = 0, eindeutig der Grenzwert lim An x =: A(x)

n→+∞

existiert. Auch für x = 0, denn An 0 = 0. Der so gebildete Operator A ist linear, weil alle An und die Grenzwertbildung linear sind (Grenzwert einer Summe gleich Summe der Grenzwerte).

54


A ist auch beschränkter Operator, denn limm→+∞ , angewandt auf (3.87), ergibt, weil die Norm eine stetige Funktion ihres Arguments ist (vgl. Satz 10.18), Ax − An xL ≤ ε x (x ∈ X, n ≥ N(ε )).

(3.88)

Die letzte Ungleichung bedeutet, dass A − An ein linearer beschränkter Operator ist. Da An ∈ L, ist auch An + (A − An ) = A ∈ L. Die Ungleichung (3.88) bedeutet schließlich, dass {An } in L gegen A konvergiert, denn für x = 0 folgt Ax − An x ≤ ε , n ≥ N(ε ), x x=0

sup

und das heißt A − An L ≤ ε , n ≥ N(ε ).

(3.89)

3.2.3 Stetige Abhängigkeit von Daten Wesentlich schwieriger als Satz 3.23 zu beweisen, aber inhaltlich reicher ist der Satz von Banach über den inversen Operator, den wir wegen seiner Wichtigkeit in den Anwendungen hier zitieren (vgl. Heuser [80]). Ein Beispiel folgt. Satz 3.25 (Satz von Banach) Es seien (X, · ) und (Y, · ) Banach-Räume sowie A ∈ L(X, Y). Es existiere der Umkehroperator A−1 (d.h. A bildet X eineindeutig auf Y ab). Dann ist A−1 ∈ L(Y, X), also A−1 ist stetig.

Das folgende Beispiel (vgl. Heuser [80], S. 262/263) gibt einen Einblick in die Art der Anwendung von Satz 3.25. Man habe einen Vorgang durch ein Anfangswertproblem für eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung modelliert. Für solche Anfangswertaufgaben lehrt die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen: Sind die Koeffizientenfunktionen f0 , f1 aus CR ([a, b]), also reelle stetige Funktionen über dem Intervall [a, b], so besitzt das Anfangswertproblem x (t) + f1 (t)x (t) + f0 (t)x(t) = y(t), x(a) = ξ , x (a) = η , t ∈ [a, b],

(3.90)

für jede rechte Seite y ∈ CR ([a, b]) und jedes Paar von Anfangswerten ξ , η genau eine Lösung x in C2 ([a, b]). Gewisse Daten der Aufgabe, etwa die „rechte Seite“ der Differentialgleichung und die Anfangswerte, können aber bei Aufgaben aus der Praxis mit Messfehlern behaftet sein, dann ist es von ausschlaggebender Bedeutung zu wissen, wie die Lösung des Angangswertproblems von kleinen Fehlern dieser Daten abhängt. Mittels Satz 3.25 lässt sich zeigen, dass die Lösung von (3.90) in folgendem Sinne stetig von y, ξ , η abhängt. Die Messfehler oder Ungenauigkeiten der Daten seien von folgender Art: Man betrachtet eine Folge {yn } auf [a, b] stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die angesetzte rechte Seite y konvergiert, ebenso seien {ξn }, {ηn } Zahlenfolgen, die gegen die angesetzten Anfangswerte ξ , η konvergieren, und für jedes n = 1, 2, · · · sei xn die Lösung des Anfangswertproblems xn (t) + f1 (t)xn (t) + f0 (t)xn (t) = yn (t), xn (a) = ξn , xn (a) = ηn , t ∈ [a, b].

(3.91)


55

Dann strebt die Folge {xn } von Lösungen des Näherungsproblems (3.91) gleichmäßig gegen die Lösung x von (3.90). Letzteres gilt auch für die Folgen der ersten und zweiten Ableitungen, also {xn (t)} → x (t), {xn (t)} → x (t)

(3.92)

gleichmäßig bezüglich t ∈ [a, b]. Dies alles folgert man durch geeignetes Umschreiben des Anfangswertproblems in eine Operatorgleichung, d.h. durch Festlegung passender Räume und Operatoren, sodass dann Satz 3.25 angewendet werden kann. Man muss dazu die in Satz 3.25 genannten Räume (X, · ) und (Y, · ) und den Operator A ∈ L(X, Y) wählen. Weil es um zweite Ableitungen geht, versucht man, als den Banach-Raum (X, · ) den Raum C2 ([a, b]) mit der Maximum-Norm x = ∑2j=0 maxa≤t≤b |x( j) (t)| zu verwenden. Für (Y, ·) wählen man den Produktraum C([a, b])×R×R mit der Norm (y, ξ , η ) := maxa≤t≤b |y(t)|+|ξ |+|η |, um neben den Werten des Differentialoperators D : X → C([a, b]) mit D(x)(t) := x (t) + f1 (t)x (t) + f0 (t)x(t) auch die Anfangswerte zu erfassen. Jetzt erklärt man den Operator A : X → Y durch Ax := (D(x), x(a), x (a)) und damit ist das Anfangswertproblem (3.90) äquivalent mit der Operatorgleichung Ax = (y, ξ , η ) (x ∈ C2 ([a, b]). Der Operator A ist bijektiv wegen der genannten Eigenschaften des Anfangswertproblems (3.90), A ist auch linear und stetig, also ist auch A−1 stetig. Daraus folgt die behauptete stetige Abhängigkeit von den Daten. Auch andere mathematische Aufgaben (Approximationsprobleme, partielle Differentialgleichungen, Integralgleichungen,..) führt man gern auf Operatorgleichungen zurück, um gegebenenfalls die Stetigkeit des inversen Operators ausnutzen zu können. Bei partiellen Differentialgleichungen verwendet man bei der Umformung in Operatorgleichungen die Sobolew-Räume (vgl. Abschn. 10.3.5.3) oder auch die Fortsetzung von Operatoren (vgl. Abschn. 9.1).

3.2.4 Der adjungierte Operator In Analysis, Optimierung und Operations Research muss man oft den zu einem linearen beschränkten Operator adjungierten Operator betrachten. Als ein Beispiel aus der Optimierung führen wir unten (vgl. (3.118)) eine lineare Optimierungsaufgabe in Hilbert-Räumen an. Es seien H1 und H2 Hilbert-Räume, A ein linearer beschränkter Operator, der H1 in H2 abbildet. Für jedes y ∈ H2 und jedes x ∈ H1 setzen wir (das Skalarprodukt gehört zu H2 ) fy (x) = Ax|y .

(3.93)

Für festes y und variables x ist fy (x) ein lineares Funktional auf H1 . Mittels der Schwarz’schen Ungleichung erhalten wir unter Benutzung der Beschränktheit von A die Beschränktheit des linearen Funktionals fy : | fy (x)| = | Ax|y | ≤ y2 Ax2 ≤ y2 AL x1 = Kx1 , x ∈ H1 . Nach dem Satz von Riesz gibt es genau ein Element z ∈ H1 mit fy (x) = x|z , x ∈ H1 ,

(3.94)

56


wobei die Gleichung fy ∗ = z1 besteht. Das Element z werde mit A∗ y bezeichnet (dies bringt zum Ausdruck, dass z durch y eindeutig bestimmt ist). Es gilt also folgende Gleichung (man beachte (3.93), (3.94)) (3.95) ∀x ∈ H1 , ∀y ∈ H2 : Ax|y = x|A∗ y . In Abhängigkeit von y ist A∗ y linear und stetig (Beweis als Übung), d. h., die Zuordnung y → A∗ y definiert einen (stetigen) linearen Operator auf H2 : A∗ ∈ L(H2 , H1 ). Definition 3.16 Der durch die Gleichung (3.95) erklärte Operator A∗ heißt der zu A adjungierte Operator (auch: die Adjungierte von A). Der Operator A ∈ L(H1 ) heißt selbstadjungiert, falls A = A∗ gilt.

Wichtige Eigenschaften des Übergangs zum adjungierten Operator sind die folgenden (T und S bezeichnen beschränkte lineare Operatoren, die auf H1 definiert sind, in (3) sei A ∈ L(H2 , H3 )) : (1) (T + S)∗ = T ∗ + S∗ , (2) (λ T )∗ = λ T ∗, (3) (AT )∗ = T ∗ A∗ , (4) I ∗ = I, (5) (T ∗ )∗ = T, (6) T ∗ = T , (7) (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 (falls einer dieser Operatoren existiert). Zufolge dieser Rechenregeln gelten speziell für beliebige komplexe λ die Gleichungen

und

(T − λ I)∗ = T ∗ − λ I

(3.96)

((T − λ I)−1 )∗ = (T ∗ − λ I)−1 ,

(3.97)

falls eine der beiden Inversen als vorhanden vorausgesetzt wird, m. a. W., gehört λ zur Resolventenmenge ρ (T ), so gehört λ zur Resolventenmenge ρ (T ∗ ) und umgekehrt. Wegen σ (T ) = C \ ρ (T ) gilt dieselbe Aussage für das Spektrum: σ (T ∗ ) besteht genau aus den komplexen Zahlen. die zu den Zahlen aus σ (T ) konjugiert komplex sind. Beispiele für adjungierte Operatoren. Beispiel 3.16 Es sei A = (a jk ) eine komplexe (n,n)-Matrix. Dann wird durch die Zuordnung

ηj =

n

∑ a jk ξk ( j = 1, ..., n)

(3.98)

k=1

eine stetige lineare Abbildung A des Hilbert-Raumes Cn in sich erklärt, die jedem n-dimensionalen komplexen Vektor x = (ξ1 , ..., ξn ) einen ebensolchen Vektor y = (η1 , ..., ηn ) zuordnet. Die zugehörige adjungierte Transformation A∗ wird durch die zu A hermitesch-konjugierte Matrix A∗ geliefert, wobei A∗ = (a∗jk ) gilt mit a∗jk = ak j . Mit anderen Worten, gilt y = A∗ x, so ist η j = ∑nk=1 ak j ξk , ( j = 1, ..., n) Entsprechendes gilt für die Koordinatenmatrix von A* bezüglich eines vollständigen ONS eines Hilbert-Raumes allgemein.


57

Beispiel 3.17 Es seien K(·, ·) eine auf dem Quadrat [a, b] × [a, b], (a, b ∈ R, b > a) stetige oder quadratisch integrierbare Funktion und T mit (T x)(s) =

b

K(s,t)x(t)dt (a ≤ s ≤ b, x ∈ L2 [a, b])

a

(3.99)

ein linearer stetiger (=beschränkter) Integraloperator im Hilbert-Raum L2 [a, b]. Die Beschränktheit folgt aus der Schwarzschen Ungleichung: T x2 =

b b a

|

a

K(s,t)x(t)dt|2 ds ≤

b b a

a

|K(s,t)|2 dtds

b a

x2 ds = (b − a)

b b a

a

|K(s,t)|2 dtdsx2 .

(3.100) Nach den Rechenregeln des Skalarproduktes erhält man dann den adjungierten Operator T ∗ , er ist wieder linear und beschränkt und hat die Form (T ∗ x)(s) =

b a

K(t, s)x(t)dt (a ≤ s ≤ b, x ∈ L2 [a, b]).

(3.101)

Der Kern K(t, s) heißt auch der zu K(s,t) adjungierte Kern.

Sind X und Y normierte Räume, aber keine Hilbert-Räume, so kann man auch einen dualen Operator zu einem linearen (stetigen) Operator definieren. Statt des Skalarprodukts benutzt man jetzt die linearen stetigen Funktionale auf den Räumen X und Y. Geht man dann (siehe unten) zum spezielleren Fall, dass X und Y beide Hilbert-Räume sind, zurück, so verwendet man die Isometrien das Satzes von Riesz und ist wieder bei der Definition adjungierter Operatoren in Hilbert-Räumen. Definition 3.17 Es seien X und Y normierte Räume und X∗ und Y∗ ihre Dualräume (vgl. (3.26)). Ist A : X → Y eine lineare stetige Abbildung, so wird eine Abbildung A : Y∗ → X∗ durch die Gleichung A y ∗ = y∗ A

(y∗ ∈ Y∗ )

(3.102)

gegeben, d. h., für jedes lineare stetige Funktional y∗ ∈ Y ∗ wird ein lineares stetiges Funktional A y∗ auf X erklärt mittels der Beziehung (A y∗ )(x) = y∗ (Ax) (x ∈ X). (3.103) Die Zuordnung A : y∗ → A y∗ heißt die zu A adjungierte oder duale Abbildung (A ist der zu A duale Operator).

Für den dualen Operator gilt (zusammen mit den unten folgenden Rechenregeln) Satz 3.26 Ist A ∈ L(X, Y), so ist A ∈ L(Y∗ , X∗ ) und es gilt A = A.

(3.104)

Der Beweis nutzt eine Folgerung des Satzes von Hahn und Banach. Der entsprechende Beweis für den adjungierten Operator in Hilbert-Räumen bei (3.94) nutzt den Darstellungssatz von Riesz. Beweis von Satz 3.26: Dass A y∗ zu X∗ gehört, ergibt sich sofort aus der Definitionsgleichung (3.102): A y∗ ist die Zusammensetzung (Hintereinanderausführung) zweier linearer stetiger Abbildungen (nämlich y∗ und A) und daher selbst linear und stetig. A ist in y∗ linear (wegen (3.103)) und da für die Norm von A y∗ gilt A y∗ ∗ ≤ Ay∗ ∗ ,

(3.105)

58


(denn es ist

|(A y∗ )(x)| |y∗ (Ax)| = sup x x x=0 x=0

A y∗ ∗ = sup

Axy∗ = Ay∗ ∗ ) x x=0

≤ sup

ist zunächst A ∈ L(Y∗ , X∗ ) gezeigt. Aus (3.105) folgt offenbar A ≤ A. Es gilt aber auch A ≤ A , und damit würde die Behauptung A = A bewiesen sein. In der Tat, für y∗ ≤ 1 und x ≤ 1 ist (man denke an die Operator-Norm (Definition (3.85)) und an die Schwarz’sche Ungleichung) A ≥ A y∗ ∗ ≥ |(A y∗ )(x)| = |y∗ (Ax)|.

(3.106)

Ist Ax = 0, so gibt es nach Satz 5.1 ein Element y∗0 ∈ Y∗ mit y∗0 = 1 und Annahme des Gleichheitszeichens in der Schwarz’schen Ungleichung: y∗0 (Ax) = Ax. Somit ist (erst recht für Ax = 0) A ≥ Ax,

(3.107)

A ≥ sup Ax = A.

(3.108)

und auch x≤1

Beispiel 3.18 Es seien X = Rn , Y = Rm (mit der Euklidischen Norm), A ∈ L(X, Y) ein gegebener linearer stetiger Operator. Bezüglich (gegebener) Basen in Rn bzw. Rm wird A dargestellt durch eine (m, n)-Matrix (a jk ), 1 ≤ j ≤ m; 1 ≤ k ≤ n. Die zu A duale Abbildung A ist dann entsprechend (3.103) durch die (n, m)-Matrix ajk , 1 ≤ j ≤ n 1 ≤ k ≤ m mit ajk = ak j gegeben und bildet (Rm )∗ = Rm in (Rm )∗ = Rn ab. Die zu A gehörige Matrix ist also die transponierte Matrix der zu A gehörigen Matrix. Beispiel 3.19 Es sei K(s,t)(a ≤ t ≤ b; c ≤ s ≤ d) eine reellwertige stetige Funktion zweier Variabler. Der lineare Operator A: (Ax)(s) =

b

K(s,t)x(t)dt a

2 (c ≤ s ≤ d), (x ∈ LR [a, b]),

2 [a, b] stetig in den Raum L2 [c, d] ab. Der zu A duale Operator A ist dann durch die bildet den Raum LR R Gleichung

(A x)(s) =

d

K(t, s)x(t)dt c

2 (a ≤ s ≤ b), (x ∈ LR [c, d]),

2 [c, d] = Y in den Raum X∗ = L2 [a, b] = X ab. (Man beachte, dass gegeben und bildet den Raum Y∗ = LR R 2 und Elemente von L2 identifiziert werden.) entsprechend Theorem 3.3 stetige lineare Funktionale auf LR R K(t, s) heißt der zu K(s,t) transponierte Kern.


59

Für den Übergang zur dualen Abbildung gelten die folgenden Rechenregeln (es gelte T, S ∈ L(X, Y)): (1) (T + S) = T + S , (2) (λ T ) = λ T (λ reell oder komplex), (3) (IE ) = IE , (4) (T −1 ) = (T )−1 (X, Y Banach-Räume). (5) Ist T ∈ L(X, Y) und S ∈ L(Y, Z), so ist ST ∈ L(X, Z), und es gilt (ST ) = T S . (6) Sind X und Y Banach-Räume und ist T ∈ L(X, Y), so ist T genau dann vollstetig, wenn T : Y∗ → X∗ vollstetig ist. Aus (1), (2), (3) folgt speziell die Gleichung (T − λ IE ) = T − λ IE (λ komplex). Mittels (4) ergibt sich daraus (X, Y Banach-Räume) die wichtige Beziehung

ρ (T ) = ρ (T ),

(3.109)

σ (T ) = σ (T ).

(3.110)

und daraus folgt schließlich

Für das Arbeiten in komplexen Hilbert-Räumen hatten wir in (3.95) eine etwas andere Definition des adjungierten Operators gegeben. Der Zusammenhang wird durch die Isometrien des Riesz’schen Darstellungssatzes Satz 3.88 gegeben: Zu jedem linearen stetigen Funktional über einem Hilbert-Raum (H, ·|·) gibt es genau ein Element y ∈ H sodass die Gleichungen x∗ (x) = x|y (x ∈ H) und x∗ ∗ = yH gelten. Diese Beziehung x∗ ↔ y hatte sich als ein isometrischer antilinearer Isomorphismus J : X → X∗ ergeben, dieser Operator J heißt auch Dualitätsabbildung. Sind nun in der Definition des adjungierten Operators X und Y Hilbert-Räume und sind JX und JY die Isometrien aus dem Riesz’schen Satz, so sei für A ∈ L(X, Y) der Operator A∗ := (JX )−1 A JY

(3.111)

gebildet. Dieser (lineare und stetige) Operator A∗ bildet offenbar Y in X ab und genügt der Beziehung (für x ∈ X, y ∈ Y) Ax|y = x|(JX )−1 A JY )y = x|A∗ y .

(3.112)

Das ist gerade (3.95).

3.2.5 Fredholm’sche Alternative Die wichtigste Aussage über die Auflösbarkeit linearer Operatorgleichungen (Integralgleichungen, Matrixgleichungen) ist die sogenannte Fredholm’sche Alternative, die zuerst in der Theorie der linearen Integralgleichungen erkannt wurde. Wir geben hier die Formulierung für vollstetige lineare Operatoren in Banach-Räumen an. Vom Standpunkt der linearen Algebra aus gesehen stellt die Fredholm’sche Alternative eine determinantenfreie Theorie linearer Gleichungen dar.

60


Satz 3.27 (Fredholm’sche Alternative) Es seien X ein Banach-Raum und A ein vollstetiger linearer Operator A : X → X, sowie A der zu A duale Operator A : X∗ → X∗ . Wir betrachten die Gleichungspaare (x, y ∈ X; x∗ , y∗ ∈ X∗ ) mit dem reellen oder komplexen Parameter λ = 0 (1) (1h)

x − λ Ax = y, x − λ Ax = 0X ,

x ∗ − λ A x ∗ = y∗ , x∗ − λ A x∗ = 0X∗

(1a) (1ha)

(3.113)

(0X und 0X∗ seien die Nullelemente von X bzw. X∗ ). Dann gilt: I) Entweder sind die Gleichungen (1) bzw. (1a) für jede rechte Seite y bzw. y∗ nach x bzw. y∗ eindeutig auflösbar oder die zugehörigen homogenen Gleichungen (1h) bzw. (1ha) besitzen nichttriviale (d. h. von 0X bzw. 0X∗ verschiedene) Lösungen II) Die homogenen Gleichungen (1h) und (1ha) haben stets dieselbe endliche Anzahl linear unabhängiger Lösungen. III) Falls die homogenen Gleichungen (1h) bzw. (1ha) von oX bzw. oX∗ verschiedene Lösungen haben, so sind die inhomogenen Gleichungen (1) bzw. (1a) genau dann lösbar, wenn für alle Lösungen u von (1ha) die Gleichung u(y) = 0 (3.114) bzw. für alle Lösungen v von (1h) die Gleichung y∗ (v) = 0

(3.115)

gilt. Man erhält dann alle Lösungen von (1) bzw. (1a) in der Form

bzw.

x = x0 + v

(3.116)

x∗ = x0∗ + u

(3.117)

wobei x0 , x0∗ feste Lösungen von (1) bzw. (1a) sind und v, u beliebige Lösungen von (1h) bzw. (1ha) bezeichnen.

3.2.6 Lineare Optimierungsprobleme in Hilbert-Räumen Wir betrachten als Anwendung der Bildung adjungierter Operatoren lineare Optimierungsprobleme in reellen mittels der Kegel KH1 , KH2 halbgeordneten Hilbert-Räumen H1 , H2 . Zu den Begriffen Kegel und Halbordnung vgl. Abschnitt 10.1.5. Es seien c ∈ H1 , b ∈ H2 und A ∈ L(H1 , H2 ). Dann hat (analog zum endlichdimensionalen Fall) ein lineares Optimierungsproblem die Gestalt (primales Problem): (3.118) (P) inf{c|x | Ax ≥KH b, x ≥KH 0} 2

1

Dazu kann man formal ein Dualproblem (vgl. Abschnitte 5.7 und 5.8.1) aufstellen, indem man den zu A adjungierten Operator A∗ und die zu den Ordnungskegeln KH1 , KH2 dualen Kegel (vgl. Abschnitt 10.1.5) KH+1 , KH+2 nutzt (duales Problem): (D)

sup{y | b |A∗ y ≤K + c, y ≥K + 0} H1

H2

(3.119)

3.3 Nichtlineare Funktionale

61

Man erkennt sofort einen schwachen Dualitätssatz: Ist nämlich x ein primal zulässiges und y ein dual zulässiges Element, so ergeben die Rechenregeln mit den Halbordnungen wegen Ax − b ∈ KH2 und y ∈ KH+2 y | Ax − b ≥ 0 (3.120) und wegen x ∈ KH1 und c − A∗ y ∈ KH+1 c − A∗ y | x ≥ 0.

(3.121)

Zusammen mit der Verknüpfungsregel der adjungierten Operatoren (3.95) folgt c | x ≥ A∗ y | x = y | Ax ≥ y | b .

(3.122)

Aus (3.122) folgt: Sind die zulässigen Bereiche von Primal- und Dualproblem nichtleer, so existieren das Infimum I der primalen Aufgabe und das Supremum S der dualen Aufgabe, es gilt I ≥ S und y|b ist für ein dual zulässiges y eine Abschätzung von I von unten. In der gewöhnlichen endlichdimensionalen Optimierung ist bei nichtleerem primalen und dualen zulässigen Bereich stets I = S, in allgemeineren Fällen (z.B. wenn einer der Räume nicht endlichdimensional ist) gilt allgemein nur noch I ≥ S. Ist I > S, so spricht man von einer Dualitätslücke. Diese kann schon auftreten, wenn die Räume H1 , H2 endlichdimensional sind und einer der Kegel nicht durch eine endliche Zahl linearer Ungleichungen definierbar ist, d.h. wenn er nicht polyedrisch ist (vgl. auch den ice cream cone in (3.161)). Ein entsprechendes Beispiel ist Beispiel 3.20 (Nicht polyedrischer Kegel) Es seien H1 = R3 = H2 , KH1 = K = KH2 mit K = {ξ | ξ ∈ R3 , ξ1 ≥ 0, ξ2 ≥ 0, ξ1 ξ2 ≥ ξ32 }, c = (0, 0, 1), b = (0, −1, 0) und Aξ = (0, ξ3 , ξ1 ). Errechnung des Dualproblems ergibt dann S = −1, I = 0 und somit eine Dualitätslücke I − S = 1.

Es gibt Bedingungen (sogenannte Regularitätsbedingungen), die das Verschwinden der Lücke sichern (vgl. z.B. Satz 5.19). Dies ist für die Anwendungen wichtig, um z.B. durch die Berechnung dualer Zielfunktionswerte Abschätzungen des Infimalwertes von unten so scharf wie möglich zu gestatten. Ob I oder S angenommen werden, ob also zulässige primale bzw. duale zulässige Werte x oder y existieren mit I = c | x bzw. S = y | b, muss gesondert gesichert werden. Mehr dazu in Satz 5.19 und im Abschnitt über Kompaktheitsbegriffe (jedes (reellwertige) lineare stetige Funktional nimmt auf einem reellen Banach-Raum sein Infimum auf schwachkompakten Mengen an) zusammen mit Charakterisierungen von reflexiven Banach-Räumen. Zu Letzterem sei z.B. auf Satz 3.12 verwiesen.

3.3 Nichtlineare Funktionale Die Modellierung betriebswirtschaftlicher oder ingenieur-technischer Prozesse führt oft auf mehrkriterielle Optimierungsprobleme [66]. Sollen solche mehrkriterielle Optimierungsprobleme gelöst werden, ist es sinnvoll, geeignete Skalarisierungsfunktionale zu verwenden, die durch entsprechende Monotonieeigenschaften die Dominanzeigenschaften der Alternativen widerspiegeln.

62


Neben der Monotonie sind auch andere algebraische und topologische Eigenschaften der Skalarisierungsfunktionale von Bedeutung. Derartige Eigenschaften werden auch in der Finanzmathematik bei der Untersuchung von Risikomaßen diskutiert. Im folgenden Abschnitt werden wir deshalb auf algebraische und topologische Eigenschaften von nichtlinearen Funktionalen eingehen, wobei die zugrundeliegenden linearen Räume immer reelle lineare Räume sind. Wir betrachten ein bei vielen betriebswirtschaftlichen Fragestellungen (vgl. Abschnitt 1.1) auftretendes Minimumproblem (3.123) min f (x) =: α , x∈M

wobei M ⊆ X die Menge der zulässigen Elemente und X ein reeller linearer Raum ist. Derartige Optimierungsprobleme treten zum Beispiel dann auf, wenn ein zulässiges Produktionsprogramm gefunden werden soll, für welches ein Kostenfunktional minimal wird. Das im Allgemeinen nichtlineare Zielfunktional f : M → R gilt es zu minimieren. Wir betrachten verschiedene wichtige Klassen von Funktionalen, für welche man interessante Resultate in der Optimierungstheorie und im Bereich der Anwendungen, zum Beispiel in der Mehrkriteriellen Optimierung und in der Finanzmathematik, erhält. Um Optimierungsprobleme wie in (3.123) zu studieren, erweitern wir das Zielfunktional f zu einem neuen Zielfunktional f¯ wie folgt: f¯(x) := f (x) falls x ∈ M, f¯(x) := +∞ falls x ∈ X \ M. Wie üblich schreiben wir f¯ : X → R ∪ {+∞}. Somit ist es möglich, das restringierte Minimumproblem (3.123) als ein Problem ohne Restriktionen (freies Problem) min f¯(x) =: α x∈X

(3.124)

zu schreiben. Damit betrachten wir Funktionale, die den „Wert“ +∞ für spezielle x annehmen. Bei verschiedenen Anwendungen (vgl. Abschnitt 3.4) treten auch Funktionale auf, die auch den „Wert“ −∞ für spezielle x annehmen. Wir betrachten deshalb Funktionale f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} und nennen diese erweitert reellwertige Funktionale. Konvexe Funktionale, die den Wert −∞ annehmen können, kommen nur in sehr speziellen Fällen vor (siehe Z˘alinescu [183, Proposition 2.1.4]): Satz 3.28 Es sei f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ein konvexes Funktional. Falls ein x0 ∈ X mit f (x0 ) = −∞ existiert, dann gilt f (x) = −∞ für jedes x aus dem relativen algebraischen Inneren von dom f (vgl. [183, Seite 3]).

Üblicherweise werden die folgenden Regeln und Notationen für das Rechnen mit (±)∞ vereinbart:

μ (+∞) = +∞ und (−μ )(+∞) = −∞ (μ > 0) μ

< +∞

+∞ + ∞

= +∞

(μ ∈ R)

μ ± ∞ = ±∞ (μ ∈ R).

(3.125)


63

Wir vereinbaren noch +∞ + (−∞) = +∞, 0 · (−∞) = 0. Der effektive Definitionsbereich von f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ist die Menge dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞}. Es ist möglich, dass das Problem (3.123) das Minimum −∞ hat, etwa im Falle f (x) = x und M = R. Beispiel 3.21 (Indikatorfunktion) Sei M eine Menge in einem reellen linearen Raum X. Das erweitert reellwertige Funktional χM : X → R ∪ {+∞} wird definiert durch: 0 falls x ∈ M (3.126) χM (x) = +∞ falls x ∈ X \ M und heißt Indikatorfunktion bezüglich M. Für f¯ aus (3.124) und f aus (3.123) gilt natürlich f¯ = f + χM .

Speziell betrachten wir konvexe Funktionale und verschiedene Ableitungsbegriffe. Die Bedeutung konvexer Funktionale liegt darin begründet, dass der Epigraph eines solchen Funktionals sehr nützliche Eigenschaften besitzt. Zunächst führen wir diese Begriffe ein: Definition 3.18 Es seien X ein reeller linearer Raum und f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞}. a) f heißt konvex, falls ∀ x, y ∈ X und ∀ λ ∈ [0, 1] gilt f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y). b) f heißt quasi-konvex, falls die Niveaumengen Mr := {x ∈ X | f (x) ≤ r} konvex sind für alle r ∈ R.

Um eine Charakterisierung konvexer Funktionale durch konvexe Mengen vornehmen zu können, führen wir den Epigraphen eines Funktionals f ein. Definition 3.19 Es seien X ein reeller linearer Raum und f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ein gegebenes Funktional. Die Menge epi f := {(x, r) ∈ X × R | f (x) ≤ r} heißt Epigraph von f .

Natürlich ist epi f gerade die Menge „über f “ im Raum X × R (siehe Abbildung 3.1). Abbildung 3.1 verdeutlicht bereits, dass die Konvexität eines Funktionals durch seinen Epigraphen charakterisiert wird. Das wird im folgenden Satz gezeigt: Satz 3.29 Es seien X ein reeller linearer Raum und f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ein gegebenes Funktional. Dann ist f genau dann konvex, wenn epi f eine konvexe Menge ist.

Beweis: Es gilt (a) [⇒] Es seien (x1 , r1 ), (x2 , r2 ) Elemente von epi f und λ ∈ [0, 1]. Dies liefert wegen der Konvexität von f f (λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f (x1 ) + (1 − λ ) f (x2 ) ≤ λ r1 + (1 − λ )r2 , also ∀(x1 , r1 ), (x2 , r2 ) ∈ epi f , ∀ λ ∈ [0, 1] : (λ x1 + (1 − λ )x2 , λ r1 + (1 − λ )r2 ) ∈ epi f .

64


y

f (x)

6 epi f

- x

Abbildung 3.1: Epigraph einer Funktion f

(b) [⇐] Für f (x1 ) = +∞ oder f (x2 ) = +∞ gilt die Ungleichung f (λ x1 +(1− λ )x2 ) ≤ λ f (x1 )+ (1 − λ ) f (x2 ) immer. Es seien f (x1 ), f (x2 ) < +∞, λ ∈ [0, 1]. Wegen (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )) ∈ epi f ergibt die Konvexität von epi f , dass für alle λ ∈ [0, 1] f (λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f (x1 ) + (1 − λ ) f (x2 ) gilt. Definition 3.20 Es seien X ein reeller Banach-Raum und f : X → R ∪ {+∞}. f heißt unterhalbstetig, falls die Niveaumengen Mr := {x ∈ X | f (x) ≤ r} abgeschlossen sind für alle r ∈ R. Satz 3.30 Es seien X ein reeller Banach-Raum und f : X → R ∪{−∞}∪{+∞}. Dann ist f genau dann unterhalbstetig, wenn epi f = {(x, r) ∈ X × R | f (x) ≤ r} abgeschlossen ist.

Beweis: Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt: (a) [⇒] Wir betrachten (xn , rn ) ∈ epi f für alle n mit (xn , rn ) → (x, r) für n → +∞. Dann haben wir für alle ε > 0 f (xn ) ≤ rn ≤ r + ε (n ≥ n0 (ε )), also, da f unterhalbstetig ist, gilt für alle ε > 0 die Ungleichung f (x) ≤ r + ε und folglich f (x) ≤ r. Somit ist (x, r) ∈ epi f und damit epi f abgeschlossen. (b) [⇐] Für f (xn ) ≤ r ∀n und xn → x für n → ∞ gilt (xn , r) ∈ epi f , also, da epi f abgeschlossen ist, (x, r) ∈ epi f und somit ist f (x) ≤ r ∀r ∈ R. Daher ist für alle r ∈ R die Menge Mr = {x ∈ X | f (x) ≤ r} abgeschlossen. Dies bedeutet, dass f unterhalbstetig ist.


65

Diese Äquivalenz und Satz 3.29 sind wesentliche Aussagen der Konvexen Funktionalanalysis, sie bedeuten, dass bestimmte Eigenschaften unterhalbstetiger konvexer Funktionale durch Eigenschaften von abgeschlossenen konvexen Teilmengen von X×R charakterisiert werden können. Damit kann man sagen, dass Untersuchungen zu unterhalbstetigen konvexen Funktionalen als spezielle Betrachtungen abgeschlossener konvexer Mengen angesehen werden können. Ein Grund für die Einführung von erweitert reellwertigen Funktionen besteht darin, Eigenschaften abgeschlossener konvexer Mengen aus den Eigenschaften ihrer unterhalbstetigen konvexen Indikatorfunktionen abzuleiten. Damit ist auch das Studium abgeschlossener konvexer Mengen ein Spezialfall der Untersuchung von unterhalbstetigen konvexen Funktionen. Je nach Situation ist der geometrische oder der analytische Zugang geeigneter. Bemerkung 3.1 Wichtig für viele Anwendungen ist eine der Definition 3.20 entsprechende Formulierung der Unterhalbstetigkeit für Funktionale f : M → R, wobei M eine abgeschlossene Teilmenge des Banach-Raumes X ist. Hier wird dann für alle r ∈ R die Abgeschlossenheit der Niveaumengen Mr := {x ∈ M : f (x) ≤ r} gefordert. Weiterhin werden schwach folgen-unterhalbstetige Funktionale (vgl. Satz 3.11) folgendermaßen definiert: Ein Funktional f : M → R, wobei M eine abgeschlossene Teilmenge des Banach-Raumes X ist, heißt schwach folgen-unterhalbstetig in u ∈ M, falls für eine Folge {un } aus M mit un u stets gilt f (u) ≤ lim f (un ), (n → +∞). Beziehungen zwischen Unterhalbstetigkeit und schwacher Folgen-Unterhalbstetigkeit von Funktionalen wurden in Satz 3.11 gezeigt.

Bei der Einführung bestimmter Subdifferentiale und entsprechender Rechenregeln (vgl. Abschnitt 5.6) und bei der Herleitung von notwendigen Optimalitätsbedingungen (vgl. Abschnitt 5.6.2) spielt die Lipschitz-Stetigkeit der eingehenden Funktionen eine wichtige Rolle. Definition 3.21 Es sei X ein reeller Banach-Raum. Eine Funktion f : X → R∪{−∞}∪{+∞} heißt Lipschitz-stetig (mit der Konstanten L) auf einer Teilmenge S von dom f , falls | f (x) − f (y)| ≤ L||x − y|| für alle Punkte x und y in S. Falls f Lipschitz-stetig auf einer Umgebung von einem Punkt z ∈ X ist, dann heißt f lokal Lipschitz-stetig um z. Betrachten wir Funktionen F : X → Y, wobei auch Y ein reeller Banach-Raum ist, dann definieren wir die Lipschitz-Stetigkeit analog, indem wir | f (x) − f (y)| durch ||F(x) − F(y)|| ersetzen.

Die Lipschitz-Stetigkeit bestimmter Skalarisierungsfunktionale (aus der Finanzmathematik und der Mehrkriteriellen Optimierung) wird in Abschnitt 3.4 gezeigt. Wir betrachten das Minimumproblem min f (x) =: α , x∈M

(3.127)

wobei f : M ⊆ X → R, M = 0. / Um ein Optimierungsproblem zu lösen, stellt sich zunächst die Frage nach der Existenz eines Minimalpunktes. Solche Existenzaussagen spielen auch bei der Herleitung von Optimalitätsbedingungen und den darauf aufbauenden numerischen Verfahren (Ritz’sches Verfahren, vgl. Satz 9.6, Proximal-Point-Algorithmen, vgl. Abschnitt 5.9) eine wichtige Rolle. Der folgende Satz gibt eine Antwort auf die Frage nach der Existenz eines Minimalpunktes (vgl. hierzu auch Satz 10.14). Satz 3.31 (Hauptsatz der Theorie der Extremalprobleme – Erweiterung des Satzes von Weierstraß) Das Minimumproblem (3.127) hat eine Lösung x0 ∈ M, falls eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist.

66

3 Funktionale und Operatoren i) X ist ein vollständiger metrischer Raum, M = 0/ ist kompakt und f ist unterhalbstetig. ii) X ist ein reeller reflexiver Banach-Raum, M = 0/ ist abgeschlossen, (norm-) beschränkt und konvex, f ist unterhalbstetig und konvex. iii) X = Rn (Euklidischer Vektorraum), n ≥ 1, M = 0/ ist abgeschlossen, beschränkt und f ist unterhalbstetig (Spezialfall von i)).

Beweis: i) Es sei α := infx∈M f (x), −∞ ≤ α < +∞. Die Mengen Mr = {x ∈ M | f (x) ≤ r}

(r > α )

stellen eine Familie von abgeschlossenen Mengen dar, da f unterhalbstetig ist. Unter Anwendung des Cantor’schen Durchschnittssatzes (Lemma 4.2) erhalten wir, dass der nichtleere Durchschnitt / ∩r>α Mr ein Element x0 ∈ M mit f (x0 ) = α enthält. Für α = +∞ ist M = 0. ii) Da X ein reflexiver Banach-Raum ist, folgt mit Satz 3.12, dass die Einheitskugel B(0; 1) := {x ∈ X | ||x|| ≤ 1} schwach kompakt ist. Damit ist auch die (norm-) beschränkte Menge M schwach kompakt. Gilt nämlich nicht M ⊂ B(0; 1), so liefert eine stetige Transformation für ein festes x¯ ∈ M ¯ = {x ∈ X | x = α (b − x), ¯ α ∈ R fest, b ∈ M} M := α (M − x)

(3.128)

mit geeignetem α , dass M ⊂ B(0; 1). Die dann nach Voraussetzung existierende schwach konvergente Teilfolge {xn } x0 mit xn , x0 ∈ M wird gemäß (3.128) zurücktransformiert, wodurch das Konvergenzverhalten nicht beeinträchtigt wird. Zunächst beweisen wir die Endlichkeit von infx∈M f (x). Gäbe es kein endliches Infimum, so würde für jedes n ≥ 1 ein xn ∈ M existieren, sodass f (xn ) < −n. ˆ Da M Weil M schwach kompakt ist, gibt es eine schwach konvergente Teilfolge {xn } x. konvex und abgeschlossen ist, ist M schwach abgeschlossen (vgl. Kurdila und Zabarankin [113], S. 211). Der Grenzwert xˆ gehört folglich zu M. Da f konvex und unterhalbstetig ist, ist f nach Satz 3.11 schwach folgen-unterhalbstetig. Somit gilt ˆ lim ≥ f (x).

n →+∞

f ist an der Stelle xˆ natürlich endlich im Widerspruch zur Annahme, dass f (xn ) < −n für n → +∞ gilt. Jetzt beweisen wir die Werteannahme, wir benötigen ähnliche Schlüsse wie oben. Es existiert eine Folge {xn } mit (3.129) lim f (xn ) = inf f (x). n→+∞

x∈M

Da xn ∈ M für alle n gilt und M schwach kompakt ist, existiert eine schwach konvergente Teilfolge {xn } x0 , deren Grenzwert auch in M liegt, da M schwach abgeschlossen ist. Für diese Teilfolge gilt natürlich (3.129): lim f (xn ) = inf f (x).

n →+∞

x∈M

(3.130)


67

Da x0 ∈ M und f schwach folgen-unterhalbstetig ist, folgt mit (3.130) inf f (x) ≤ f (x0 ) ≤ lim f (xn ) = lim f (xn ) = inf f (x),

x∈M

n →+∞

n →+∞

x∈M

also infx∈M f (x) = f (x0 ).

3.3.1 Algebraische Eigenschaften nichtlinearer Funktionale Im Folgenden diskutieren wir algebraische Eigenschaften von Funktionalen, die auch bei den in der Finanzmathematik auftretenden kohärenten Risikomaßen eine wichtige Rolle spielen. Ebenso sind diese Eigenschaften bei Funktionalen, die zur Skalarisierung von mehrkriteriellen Optimierungsproblemen verwendet werden, von großer Bedeutung (siehe Abschnitt 3.4). Definition 3.22 Es seien X ein reeller linearer Raum und f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ein Funktional. i) f heißt positiv homogen, falls für alle α ≥ 0 und für alle x ∈ X gilt: f (α x) = α f (x). ii) f heiß subadditiv, falls für alle x, y ∈ X gilt: f (x + y) ≤ f (x) + f (y). iii) f heißt superadditiv, falls für alle x, y ∈ X gilt: f (x + y) ≥ f (x) + f (y). iv) f heißt sublinear (superlinear), falls f positiv homogen und subadditiv (superadditiv) ist. v) f : X → R heißt Halbnorm, falls f sublinear und symmetrisch (d.h. für alle x ∈ X gilt f (x) = f (−x)) ist. Bemerkung 3.2 Falls f eine Halbnorm ist, so gilt f (x) ≥ 0, denn aus der positiven Homogenität von f folgt zunächst f (0) = 0 und somit 0 = f (x − x) ≤ f (x) + f (−x) = 2 f (x), also f (x) ≥ 0. Gilt für eine Halbnorm f zusätzlich f (x) = 0 =⇒ x = 0, so ist f eine Norm (vgl. Definition 10.17, darüber hinaus ist dort die Definition einer Halbnorm für komplexe lineare Räume angegeben). Lemma 3.1 Unter der Voraussetzung, dass f : X → R ∪ {+∞} positiv homogen ist, gilt: f

ist konvex

⇐⇒

f ist sublinear.

Beweis: Es sei f positiv homogen. (a) [⇒] Unter der Voraussetzung, dass f ein konvexes Funktional ist, folgt aus der positiven Homogenität von f für alle x, y ∈ X: 1 1 1 1 1 1 f (x + y) = f (2( x + y)) = 2 f ( x + y) ≤ 2( f (x) + f (y)) = f (x) + f (y), 2 2 2 2 2 2 also ist f subadditiv. Da f als positiv homogen vorausgesetzt war, ist f somit sublinear.

68


(b) [⇐] f sei ein sublineares Funktional. Dann gilt für alle x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]: f (λ x + (1 − λ )y) ≤ f (λ x) + f ((1 − λ )y) = λ f (x) + (1 − λ ) f (y)

und damit ist f konvex. Eine Teilmenge K eines linearen Raumes X heißt symmetrisch, falls für alle x ∈ X gilt: x ∈ K ⇒ −x ∈ K.

Ein Punkt x0 ∈ K ⊆ X heißt algebraisch innerer Punkt von K, wenn es zu jedem y ∈ X ein α > 0 mit [x0 − α y, x0 + α y] ⊆ K gibt. Die Menge der algebraisch inneren Punkte von K ⊆ X bezeichnen wir mit core K. Beispiel 3.22 Es sei K eine konvexe Teilmenge eines reellen linearen Raumes X und 0 ∈ core K (K heißt dann absorbierend). Wir definieren das Minkowski-Funktional q : X → R durch q(x) := inf{α > 0 | x ∈ α K}.

(3.131)

Lemma 3.2 Das Minkowski-Funktional, definiert durch (3.131), ist ein positiv homogenes und subadditives Funktional auf X. Falls K zusätzlich symmetrisch ist, so ist q eine Halbnorm.

Beweis: (a) q ist positiv homogen, da für β > 0 gilt: q(β x) = inf{α > 0 | β x ∈ α K} = inf{α > 0 | x ∈

α K}, β

mit γ := αβ erhalten wir q(β x) = β inf{γ | x ∈ γ K} = β q(x). Für β = 0 gilt wegen 0 ∈ K: q(0x) = q(0) = inf{α > 0 | 0 ∈ α K} = 0 = 0 · q(x). (b) Aus der Konvexität von K folgt für α , β > 0:

α K + β K = (α + β )(

α β K+ K) ⊆ (α + β )K. α +β α +β

(3.132)

Dies liefert für x, y ∈ X: q(x) + q(y) = inf{α > 0 | x ∈ α K} + inf{β > 0 | y ∈ β K} = inf{α + β | x ∈ α K und y ∈ β K} ≥ inf{α + β | x + y ∈ (α + β )K} = q(x + y), d.h. q ist subadditiv. (c) Unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass K symmetrisch ist, folgt für α > 0:

α x ∈ K ⇔ −α x = α (−x) ∈ K ⇒ q(x) = q(−x), sodass q eine Halbnorm ist.


69

3.3.2 Differenzierbarkeitsbegriffe Bei der Lösung von Optimierungsproblemen kann man unter Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die eingehenden Funktionen numerische Verfahren (vgl. Abschnitt 9.3) entwickeln, die die Ableitung als linearen Anteil des Zuwachses der Zielfunktion berücksichtigen. Definition 3.23 Es seien (X, || · ||X ) und (Y, || · ||Y ) normierte Räume, M eine offene Teilmenge von X. Eine Abbildung f : M → Y heißt Fréchet-differenzierbar im Punkt x0 ∈ M, wenn es eine lineare stetige Abbildung A : X → Y gibt, sodass für ein gewisses δ > 0 und alle z ∈ X mit 0 < ||z||X ≤ δ die Gleichung f (x0 + z) − f (x0 ) = A(z) + r(x0 , z) gilt, wobei r(x, ·) eine Abbildung aus X in Y ist mit lim (||z||−1 X ||r(x0 , z)||Y ) = 0.

||z||X →0

Es ist leicht nachzuweisen, dass es im Falle der Differenzierbarkeit von f an der Stelle x0 ∈ M nur eine einzige lineare stetige Abbildung A mit den in Definition 3.23 genannten Eigenschaften gibt. Die Fréchet-Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnen wir mit fF (x0 ). Definition 3.24 Es seien X ein linearer Raum, M eine Teilmenge von X und Y ein normierter Raum, f : M → Y eine Abbildung, x0 ∈ M, z ∈ X. Die Abbildung f heißt differenzierbar an der Stelle x0 in Richtung z (oder Gâteaux-differenzierbar), falls es ein ε > 0 mit [x0 − ε z, x0 + ε z] ⊆ M gibt und der Grenzwert f (x0 , z) := lim

t→0

f (x0 + tz) − f (x0 ) t

(3.133)

in Y existiert. f (x0 , z) heißt Ableitung oder Gâteaux-Ableitung von f an x0 in Richtung z. f heißt Gâteaux-differenzierbar an der Stelle x0 , falls f differenzierbar an x0 in jeder Richtung z ∈ X ist. Die Abbildung f (x0 , ·) : X → Y heißt Gâteaux-Ableitung von f an der Stelle x0 . Falls wir in (3.133) nur [x0 , x0 + ε z] ⊆ M (oder [x0 − ε z, x0 ] ⊆ M) voraussetzen und falls wir limt→0 durch limt→+0 (bzw. limt→−0 ,) ersetzen, dann sprechen wir von der rechtsseitigen (bzw. linksseitigen) Richtungsableitung, die durch f+ (x0 , z) (bzw. f− (x0 , z)) bezeichnet wird. Bemerkung 3.3 Die Eigenschaften in Definition 3.24 können entsprechend für erweitert reellwertige Funktionale f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} an der Stelle x0 ∈ X mit f (x0 ) endlich, d.h. f (x0 ) ∈ R, analog formuliert werden. Diese Erweiterung ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn die Indikatorfunktion in die Betrachtung einbezogen werden muss (zum Beispiel, wenn ein restringiertes Optimierungsproblem in ein freies Problem überführt wird) oder bei Anwendungen in der Finanzmathematik (zum Beispiel bei Risikomaßen). Bemerkung 3.4 Betrachten wir f : M → R, wobei M ⊆ X und X ein linearer Raum ist. f ist an der Stelle x0 ∈ M Gâteauxdifferenzierbar in Richtung z genau dann, wenn f an x0 in Richtung z rechtsseitig und linksseitig Gâteauxdifferenzierbar ist und f+ (x0 , z) = f− (x0 , z) gilt. In diesem Fall haben wir f (x0 , z) = f+ (x0 , z) = f− (x0 , z).

70


Bemerkung 3.5 f ist an x0 in Richtung z linksseitig Gâteaux-differenzierbar genau dann, wenn f an x0 in Richtung −z rechtsseitig Gâteaux-differenzierbar ist. Es gilt: f− (x0 , z) = − f+ (x0 , −z) wegen lim

t→−0

f (x0 + tz) − f (x0 ) f (x0 + t(−z)) − f (x0 ) = lim t −t t→+0 f (x0 + t(−z)) − f (x0 ) . t

= − lim

t→+0

3.3.3 Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen Die bei vielen Anwendungen gewährleistete Konvexität der Zielfunktion erlaubt auch Aussagen über die Differenzierbarkeit dieser Funktion. Solche Aussagen sind Gegenstand der Konvexen Analysis, vgl. Kosmol [110]. Satz 3.32 (Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen) Es seien X ein linearer Raum, M eine konvexe Teilmenge von X, f : M → R ∪ {+∞} ein konvexes Funktional, x0 ∈ core M ein algebraisch innerer Punkt von M mit f (x0 ) ∈ R. Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. (Monotonie des Differenzenquotienten): Für z ∈ X sei Iz := {λ > 0 | x0 + λ z ∈ M} und

ϕ : Iz → R,

λ → ϕ (λ ) :=

Dann ist ϕ monoton wachsend auf Iz .

f (x0 + λ z) − f (x0 ) . λ

2. f ist an x0 in jeder Richtung z ∈ X rechtsseitig und linksseitig Gâteaux-differenzierbar. 3. Für alle x ∈ M gilt

f+ (x0 , x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ).

4. Weiter gilt falls f endlich ist, d.h. falls f (M) ⊆ R: (a) Die Abbildung f+ (x0 , .) : X → R ist sublinear.

(b) Die Abbildung f− (x0 , .) : X → R ist superlinear. (c) ∀ z ∈ X gilt: f− (x0 , z) ≤ f+ (x0 , z).

(d) Falls f an der Stelle x0 Gâteaux-differenzierbar ist, dann ist die Gâteaux-Ableitung f (x0 , ·) : X → R linear.

Beweis: 1. Betrachten wir h : Iz ∪ {0} → R, t → h(t) := f (x0 + tz) − f (x0 ), so ist h konvex, h(0) = 0 und für alle s,t ∈ Iz mit 0 < s ≤ t gilt: s t −s s t −s s h(s) = h( t + 0) ≤ h(t) + h(0) = h(t). t t t t t Dies liefert

ϕ (s) = Also ist ϕ monoton wachsend auf Iz .

h(s) h(t) ≤ = ϕ (t). s t


71

2. Die rechtsseitige Gâteaux-Differenzierbarkeit folgt aus 1. und die linksseitige GâteauxDifferenzierbarkeit erhalten wir unter Berücksichtigung von Bemerkung 3.5. 3. Für x ∈ M gilt

1 ∈ Ix−x0 = {λ > 0 | x0 + λ (x − x0 ) ∈ M}

und somit wegen 1. und 2.: f+ (x0 , x − x0 ) ≤ ϕ (1) = f (x) − f (x0 ). 4. Zunächst werden wir zeigen, dass für alle z ∈ X die rechtsseitige Gâteaux-Ableitung zu R gehört. Setzen wir voraus, dass z ∈ X, x0 ∈ core M, so impliziert x0 ∈ core M, dass ein ε > 0 existiert mit [x0 − ε z, x0 + ε z] ⊆ M. Weiterhin ist der Differenzenquotient monoton f (x0 ) < +∞. wachsend nach Beweisteil 1. Dies liefert f+ (x0 , z) ≤ f (x0 +ε z)− ε Weiterhin erhalten wir für alle t ∈ [0, 1] wegen der Konvexität von f : f (x0 ) = f ( ≤

1 t (x0 + t ε z) + (x0 − ε z)) 1+t 1+t

1 t f (x0 + t ε z) + f (x0 − ε z). 1+t 1+t

Dies liefert f (x0 ) + t f (x0 ) = (1 + t) f (x0 ) ≤ f (x0 + t ε z) + t f (x0 − ε z), t f (x0 ) − t f (x0 − ε z) ≤ f (x0 + t ε z) − f (x0 ) und −∞
0. λ

Falls α > 0 haben wir f+ (x0 , α z) = lim

λ →+0

= α lim

λ →+0

f (x0 + λ α z) − f (x0 ) λ

f (x0 + λ α z) − f (x0 ) = α f+ (x0 , z). λα

72


Nun soll gezeigt werden, dass f+ (x0 , ·) subadditiv ist: Es seien z1 , z2 ∈ X. Dann folgt aus der Konvexität von f : f+ (x0 , z1 + z2 ) = lim

λ →+0

f (x0 + λ (z1 + z2 )) − f (x0 ) λ

= lim

1 1 1 ( f ( (x0 + 2λ z1 ) + (x0 + 2λ z2 )) − f (x0 ) λ 2 2

≤ lim

1 1 ( ( f (x0 + 2λ z1 ) + f (x0 + 2λ z2 )) − f (x0 )) λ 2

λ →+0

λ →+0

= lim

λ →+0

f (x0 + 2λ z1 ) − f (x0 ) f (x0 + 2λ z2 ) − f (x0 ) + lim 2λ 2λ λ →+0 = f+ (x0 , z1 ) + f+ (x0 , z2 ).

(b) Der Nachweis erfolgt analog zu Teil (a) unter Beachtung von λ < 0, λ → −0. (c) Es sei z ∈ X. Dann erhalten wir 0 = f+ (x0 , z − z) ≤ f+ (x0 , z) + f+ (x0 , −z), also f− (x0 , z) = − f+ (x0 , −z) ≤ f+ (x0 , z). (d) Setzen wir voraus, dass f Gâteaux-differenzierbar in x0 ist, so gilt für alle z ∈ X: f+ (x0 , z) = f− (x0 , z). Aus (a) und (b) erhalten wir, dass f (x0 , ·) additiv und positiv homogen ist. Überdies folgt, dass f (x0 , ·) homogen ist, da für α ≤ 0 gilt: f (x0 , α z) = f− (x0 , α z) = − f+ (x0 , −α z) = (−α )(− f+ (x0 , z)) = α f (x0 , z). Bemerkung 3.6 Die Aussage von Satz 3.32, 3. kann für x0 ∈ M (ohne x0 ∈ core M vorauszusetzen) entsprechend gezeigt werden, indem man in den im Beweis genutzten Aussagen 1. und 2. Richtungen z = x − x0 mit x ∈ M betrachtet.

Für Gâteaux-differenzierbare Funktionale gilt folgendes Kriterium für die Konvexität: Satz 3.33 Es seien X ein linearer Raum, M eine konvexe Teilmenge von X und M = core M, f : M → R Gâteauxdifferenzierbar für jedes x ∈ M. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent: 1. f ist konvex, 2. f (x, ·) : X → R ist linear für alle x ∈ M und die folgende Ungleichung ist für alle x0 , x ∈ M erfüllt: f (x0 , x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ).

(3.134)

Beweis: Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt: (a) [1. ⇒ 2.] Es sei f konvex. Satz 3.32, 3. liefert (3.134) und aus Satz 3.32, 4. erhält man, dass f (x, ·) linear ist.


73

(b) [2. ⇒ 1.] Es seien x1 , x2 ∈ M und λ ∈ [0, 1]. Dann gilt x0 := λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ M, da M konvex ist und weiterhin: 0 = f (x0 , λ (x1 − x0 ) + (1 − λ )(x2 − x0 )) = λ f (x0 , x1 − x0 ) + (1 − λ ) f (x0 , x2 − x0 ) ≤ λ ( f (x1 ) − f (x0 )) + (1 − λ )( f (x2 ) − f (x0 )) = λ f (x1 ) + (1 − λ ) f (x2 ) − f (x0 ). Dies liefert f (λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ f (x1 ) + (1 − λ ) f (x2 ), d.h. f ist konvex.

Beispiel 3.23 Es sei X ein reeller Hilbert-Raum mit x := x | x (x ∈ X). Wir betrachten f (x) := x − x0 2 = x − x0 | x − x0 . Zur Berechnung der Gâteaux-Ableitung von f an der Stelle x in Richtung h seien x, h ∈ X, α ∈ R\{0}. Dann erhalten wir für den Differenzenquotienten: f (x + α h) − f (x) x + α h − x0 | x + α h − x0 − x − x0 | x − x0 = α α =

2x − x0 | α h α h | α h + = 2x − x0 | h + α h | h α α

und somit

f (x + α h) − f (x) = lim {2x − x0 | h + α h | h} = 2x − x0 | h. α α →0 Dies liefert die Gâteaux-Ableitung von f an der Stelle x in Richtung h als: lim

α →0

f (x, h) = 2x − x0 | h.

Unter Nutzung der rechtsseitigen Gâteaux-Ableitung kann folgende notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung in Form einer Variationsungleichung (vgl. Kosmol [110]) unter Nutzung von Satz 3.32 und Bemerkung 3.6 gezeigt werden: Satz 3.34 (Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung) Es seien M ⊂ X eine konvexe Menge, X ein linearer Raum und f : M → R ein konvexes Funktional. Dann gilt für x0 , x ∈ M : x0 ∈ M ist Minimallösung von min f (x) genau dann, wenn für alle x ∈ M gilt x∈M

f+ (x0 , x − x0 ) ≥ 0.

Beweis: Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt: (a) [⇒] Es sei x0 ∈ M Minimallösung von min f (x). Dann gilt für x ∈ M und t ∈ (0, 1]: x∈M

x0 + t(x − x0 ) = tx + (1 − t)x0 ∈ M und

f (x0 + t(x − x0 )) − f (x0 ) ≥ 0. t

Der Grenzwert für t → +0 existiert wegen der Monotonie des Differenzenquotienten konvexer Funktionen, also für alle x ∈ M: f+ (x0 , x − x0 ) ≥ 0.

74


(b) [⇐] Es sei für alle x ∈ M: f+ (x0 , x − x0 ) ≥ 0. Dann folgt mit Satz 3.32, (3), für alle x ∈ M f (x) − f (x0 ) ≥ f+ (x0 , x − x0 ) ≥ 0, also für alle x ∈ M f (x0 ) ≤ f (x). Satz 3.35 (Folgerung aus Satz 3.34 für den Fall M = V, V linearer Teilraum) Es seien V ⊂ X ein linearer Teilraum, X ein linearer Raum und f : V → R eine Gâteaux-differenzierbare konvexe Funktion. Dann ist x0 ∈ V genau dann Minimallösung von min f (x), wenn für alle v ∈ V die x∈V

Beziehung f (x0 , v) = 0 gilt.

Beweis: (a) [⇒] Es seien x0 ∈ V Minimallösung von min f (x) und z ∈ V . Dann hat die Funktion x∈V

g : (−ε , ε ) → R mit t → g(t) := f (x0 + tz) in t = 0 ein Minimum und nach Definition der Gâteaux-Ableitung gilt für alle z ∈ V 0 = g (0) = f (x0 , z). (b) [⇐] Es sei für alle z ∈ V : f (x0 , z) = 0. Da mit v ∈ V auch x = v + x0 ∈ V , gilt für alle x ∈ V f (x0 , x − x0 ) = 0 und somit ist x0 ∈ V wegen Satz 3.34 Minimallösung von min f (x). x∈V

Eine wichtige Rolle in der Nichtlinearen Optimierung spielt das Subdifferential konvexer Funktionale f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} (zum Kalkül und zu Existenzaussagen für Subgradienten siehe Abschnitt 5.4). Es seien dazu X ein reeller Banach-Raum und x0 , h ∈ X. Die rechtsseitige Gâteaux-Ableitung f+ (x0 , h) existiere. Entsprechende Definitionen werden von Zeidler [176] für lokalkonvexe Räume X eingeführt. Definition 3.25 Es seien f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞}, X ein reeller Banach-Raum und x0 , x ∈ X. Die rechtsseitige GâteauxAbleitung f+ (x0 , x) existiere. Die Menge

∂G f (x0 ) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x) ≤ f+ (x0 , x) (x ∈ X)} heißt Subdifferential von f an der Stelle x0 . Die Elemente x∗ von ∂G f (x0 ) heißen Subgradienten. Bemerkung 3.7 ∂G f : X ⇒ X∗ ist eine mengenwertige Abbildung.


75

6 @ @ H Stützhyperebenen H@ HH @ H @ HH HH H

Abbildung 3.2: Subgradienten von f (x) = |x| (x ∈ R) an der Stelle x0 = 0.

Ist f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} konvex, X ein reeller Banach-Raum und x0 ∈ X mit f (x0 ) endlich, dann verwenden wir (vgl. Satz 3.36) das folgende Subdifferential von f an der Stelle x0

∂ f (x0 ) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) (x ∈ X)}.

(3.135)

Auch hier heißen die Elemente von ∂ f (x0 ) Subgradienten von f an der Stelle x0 (siehe Abbildung / Das ist 3.2). Falls keine Subgradienten von f an der Stelle x0 existieren, setzen wir ∂ f (x0 ) = 0. der Fall für f (x0 ) = ±∞. Satz 3.36 Es seien X ein reeller Banach-Raum, f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} konvex, x0 , x ∈ X mit f (x0 ) endlich und f+ (x0 , x) existiere. Dann gilt: ∂G f (x0 ) = ∂ f (x0 ).

Beweis: (a) [⇒] Es sei x∗ ∈ ∂G f (x0 ), dann gilt wegen Satz 3.32, 3., für alle x ∈ X: x∗ (x − x0 ) ≤ f+ (x0 , x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ), also x∗ ∈ ∂ f (x0 ). (b) [⇐] Es sei x∗ ∈ ∂ f (x0 ), dann gilt für alle x ∈ X: x∗ (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ). Ist x − x0 =: th mit h ∈ X,t > 0, dann gilt für alle h ∈ X x∗ (th) ≤ f (x0 + th) − f (x0 ), f (x0 + th) − f (x0 ) , t f (x0 + th) − f (x0 ) = f+ (x0 , h). x∗ (h) ≤ lim t→+0 t Somit ist gezeigt, dass x∗ ∈ ∂G f (x0 ). x∗ (h) ≤

76


graph f

x∗ +

hhhh hhh

f (x0 ) − x∗ (x0 )

f (x0 ) hhh r h

hhh h

hhh h

hhh

h

x0

Abbildung 3.3: Geometrische Interpretation der Elemente des Subdifferentials von f an der Stelle x0 . Bemerkung 3.8 Die Ungleichung in der Definition des Subdifferentials ∂ f (x0 ) (in (3.135)) gestattet folgende Interpretation (vgl. Abbildung 3.3): Wir betrachten die Abbildung x∗ + α wobei α := f (x0 ) − x∗ (x0 ). Diese affine Abbildung wird unter den genannten Voraussetzungen durch f dominiert. An der Stelle x = x0 stimmen x∗ + α und f überein. Satz 3.37 (Beziehungen zwischen Subgradienten und Gâteaux-Ableitung) Es seien X ein reeller Banach-Raum und f : X → R ∪ {−∞} ∪ {+∞}. Falls f Gâteaux-differenzierbar an x0 ∈ X ( f (x0 ) endlich) ist mit lim

t→0

f (x0 +th)− f (x0 ) t

= A(h) (h ∈ X), wobei A ∈ X∗ , dann gilt ∂G f (x0 ) = {A}.

Beweis: (a) Es gilt für alle h ∈ X: A(h) = f+ (x0 , h), also A ∈ ∂G f (x0 ) nach Definition 3.25. (b) Angenommen, es gibt ein x˜∗ mit x˜∗ = x∗ = A und x˜∗ ∈ ∂G f (x0 ). Dann gilt für alle h ∈ X: x˜∗ (h) ≤ f+ (x0 , h) = x∗ (h), d.h. für alle h ∈ X:

(x˜∗ − x∗ )(h) ≤ 0,

und daher x˜∗ − x∗ = 0 und x˜∗ = x∗ im Widerspruch zur Annahme.


77

M

r

x∗ (x0 ) ≥ x∗ (x) (x ∈ M)

Abbildung 3.4: Elemente des Subdifferentials der Indikatorfunktion bezüglich M an der Stelle x0 . Beispiel 3.24 Es seien X ein reeller Banach-Raum, M ⊆ X eine konvexe Menge und χ M (x) die Indikatorfunktion (vgl. Beispiel 3.21) von M an der Stelle x mit

χ M (x) :=

0 +∞

falls x ∈ M falls x ∈ X \ M.

Elemente x∗ ∈ X∗ des Subdifferentials der Indikatorfunktion ∂ χM (x0 ), x0 ∈ M, haben für alle x ∈ M die Eigenschaft (vgl. Abbildung 3.4) x∗ (x − x0 ) ≤ 0, denn für x0 ∈ M gilt unter Beachtung von (3.135) für alle x ∈ M die Ungleichung x∗ (x − x0 ) ≤

χM (x) − χM (x0 ) . =0 =0 für x∈M

/ M erhält man ∂ χM (x0 ) = 0. / Falls x ∈ X \ M gilt die obige Ungleichung trivialerweise. Für x0 ∈

Bemerkung 3.9 Das Subdifferential der Indikatorfunktion bezüglich M an der Stelle x0 stimmt mit dem Normalenkegel bezüglich M an der Stelle x0 überein:

∂ χM (x0 ) = NM (x0 ) NM (x0 ) =

mit

{x∗ ∈ X∗ | x∗ (x − x0 ) ≤ 0 (x ∈ M)} 0/

falls x0 ∈ M falls x0 ∈ / M.

78


3.4 Anwendungen in der Finanzmathematik und der Mehrkriteriellen Optimierung 3.4.1 Skalarisierungsfunktionale in der Mehrkriteriellen Optimierung und der Finanzmathematik Ein nichtlineares Funktional, welches in der Mehrkriteriellen Optimierung und in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle spielt, ist gegeben durch ϕ : Y → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} mittels (vgl. Abbildung 3.5) ϕ (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − D}, (3.136) wobei Y ein reeller linearer topologischer Raum ist und D ⊆ Y, k0 ∈ Y \ {0}, D + R+ k0 ⊆ D. Dieses Funktional wird zur Skalarisierung von Vektoroptimierungsproblemen, in der Finanzmathematik zur Quantifizierung von Risiken und in vielen anderen Gebieten der Mathematik und den Wirtschaftswissenschaften genutzt.

6 HH HH H

A A

A

HH HH

s y ∈ tk0 − bd D H * B A B A k0 B * A B A B AP BB PP PP PP PP PP PPD P P

A

-

Abbildung 3.5: Die Niveaumengen des Funktionals ϕ in (3.136).

Ein Beispiel für ein Vektoroptimierungsproblem, wobei die Zielfunktion in einen unendlichdimensionalen Raum Y von Zufallsvariablen abbildet, ist das Problem (Pinvest ), eine bezüglich einer Präferenzrelation in Y optimale (effiziente) Investition zu finden (vgl. Heyde [82]). Setzen wir voraus, dass Ω eine Menge von Elementarereignissen ist (Menge aller aus heutiger Sicht möglichen zukünftigen Zustände), dann ist ein zukünftiger, mit Unsicherheit behafteter Zahlungsfluss als Ergebnis der Investition eine Zufallsvariable y : Ω → R (zum Beispiel die Höhe einer Kreditrückzahlung, der Wert einer Aktie zu einem bestimmten Zeitpunkt). Falls keine

3.4 Anwendungen in der Finanzmathematik und der Mehrkriteriellen Optimierung

79

Investition getätigt wird, dann ist diese Zufallsvariable null, positive „outcomes“ sind Gewinne und negative sind Verluste. Das Lösungskonzept in diesem Vektoroptimierungsproblem wird durch eine Präferenzrelation im Raum Y der Zufallsvariablen beschrieben, die durch eine Akzeptanzmenge D ⊆ Y induziert wird. Artzner, Delbean, Eber and Heath [12] führten Axiome für eine Menge D ⊆ Y von Zufallsvariablen, die akzeptablen Investitionen entsprechen, ein: (A1) {y ∈ Y | y(w) ≥ 0 (w ∈ Ω)} ⊆ D, D ∩ {y ∈ Y | y(w) < 0 (w ∈ Ω)} = 0, / (A2) D ist ein Kegel, (A3) D + D ⊆ D. Mengen D ⊆ Y, die die Axiome (A1)–(A3) für akzeptable Risiken erfüllen, können zur Einführung einer Präferenzrelation in Y verwendet werden. Der Entscheidungsträger bevorzugt y1 gegenüber y2 (der Wechsel von y2 zu y1 ist ein akzeptables Risiko) genau dann, wenn y1 − y2 ein Element von D ist, d.h. (3.137) y1 ≥D y2 ⇐⇒ y1 − y2 ∈ D. Die kleinste Menge, die (A1)–(A3) erfüllt, ist D = {y ∈ Y | y(w) ≥ 0 (w ∈ Ω)}. Ein Investor mit dieser Akzeptanzmenge ist absolut Risiko-abgeneigt (risiko-averse), er akzeptiert nur Anlagen ohne Verluste (oder Verluste mit Wahrscheinlichkeit 0). Die Eigenschaften (A1)–(A3) können folgendermaßen interpretiert werden: • (A1): Verlustlose Anlagen werden immer akzeptiert und Anlagen mit sicheren Verlusten werden nie akzeptiert. • (A2): Ein akzeptables Risiko wird beliebig oft eingegangen. • (A3): Mit zwei akzeptablen Risiken ist auch die Summe aus diesen beiden Risiken akzeptabel. Mitunter wird festgestellt, dass die Axiome (A2) und (A3) nicht immer sinnvoll sind, etwa dann, wenn ein Investor nicht mehr als einen bestimmten Betrag an Geld investieren möchte. In diesem Fall kann man die Axiome (A2) und (A3) durch ein Konvexitäts-Axiom ersetzen (vgl. Föllmer und Schied [59]). Das Funktional ϕ wird in der Finanzmathematik verwendet, um ein vorhandenes Risiko zu quantifizieren. Ein solches Risikomaß beschreibt einen Geldbetrag, der im Falle von Verlusten die Solvenz des Unternehmens bzw. der Bank mit hoher Wahrscheinlichkeit sichert. Dabei soll einerseits die Solvenz (fast) gesichert und andererseits nicht zuviel Kapital tot gelegt werden. Somit kann ein Risikomaß als minimaler Betrag an Geld (Kapital) aufgefasst werden, der dazugegeben werden muss, um die gesamte Investition (Risiko) akzeptabel zu machen. Um ein Risikomaß bezüglich der Akzeptanzmenge D ⊆ Y zu beschreiben, führten Artzner, Delbean, Eber und Heath [12] (vergleiche Hamel [76], Heyde [82]) kohärente Risikomaße ein, d.h. eine Skalarisierung des Vektoroptimierungsproblems (Pinvest ). Kohärente Risikomaße sind Funktionale μ : Y → R ∪ {+∞}, wobei Y der lineare Raum der Zufallsvariablen ist. In den Arbeiten von Artzner, Delbean, Eber, Heath [12] und Rockafellar, Uryasev, Zabarankin [142] werden folgende Eigenschaften für kohärente Risikomaße gefordert:

80


(P1) μ (y + tk0 ) = μ (y) − t (Translations-Eigenschaft), (P2) μ (0) = 0 und μ (λ y) = λ μ (y) für alle y ∈ Y und λ > 0 (positive Homogenität), (P3) μ (y1 + y2 ) ≤ μ (y1 ) + μ (y2 ) für alle y1 , y2 ∈ Y (Subadditivität), (P4) μ (y1 ) ≤ μ (y2 ) falls y1 ≥ y2 (Monotonie). Diese Eigenschaften kann man wie folgt interpretieren: • (P1): Die Translations-Eigenschaft sichert, dass das Risiko durch eine zusätzliche sichere Anlage in entsprechender Höhe gemildert wird. • (P2): Die positive Homogenität besagt, dass doppeltes Risiko durch doppeltes Risikokapital abgesichert werden muss. • (P3): Die Subadditivität bedeutet, dass eine Diversifikation des Risikos sich lohnt. • (P4): Die Monotonie besagt, dass höheres Risiko mehr Risikokapital benötigt. Die Niveaumenge Lμ (0) =: D von μ zum Niveau 0 ist ein konvexer Kegel und entspricht der Akzeptanzmenge. Es kann gezeigt werden, dass ein kohärentes Risikomaß dargestellt werden kann durch μ (y) = inf{t ∈ R | y + tk0 ∈ D}. (3.138) Man sieht leicht, dass ein kohärentes Risikomaß mit dem Funktional ϕ (−y) (siehe (3.136)) identifiziert werden kann durch ϕ (y) = μ (−y). Ein Risikomaß μ induziert eine Akzeptanzmenge (abhängig von μ ) Dμ := {y ∈ Y | μ (y) ≤ 0}.

(3.139)

Diese Menge enthält alle Positionen, die akzeptabel sind in dem Sinn, dass sie kein zusätzliches Kapital erfordern. Unter Verwendung der Resultate in den Theoremen 2.1 und 2.2 in Gerth, Weidner [64] und Lemma 7 in Göpfert, Tammer, Z˘alinescu [68] (vgl. Satz 3.38 und Folgerung 3.1) kann gezeigt werden, dass ein durch (3.138) gegebenes unterhalbstetiges Funktional mit D = {y ∈ Y | μ (y) ≤ 0}, welches die Eigenschaften (P1)–(P4) besitzt, durch (3.138) definiert werden kann unter Verwendung von abgeschlossenen Akzeptanzmengen D, die die Axiome (A1)–(A3) erfüllen. Das bedeutet, dass die Eigenschaften (P1)–(P4) für ein unterhalbstetiges Funktional μ gegeben durch (3.138) genau dann erfüllt sind, wenn μ definiert ist durch (3.138) für eine abgeschlossene Menge D = {y ∈ Y | μ (y) ≤ 0}, die die Axiome (A1)–(A3) erfüllt. Überdies, wie bereits erwähnt, werden in der Finanzmathematik (vgl. Föllmer, Schied [59]) die Axiome (A2) und (A3) mitunter ersetzt durch eine Konvexitätsvoraussetzung an die Akzeptanzmenge. Dann hat man entsprechende Resultate für konvexe Akzeptanzmengen und konvexe Risikomaße.


81

Auch in anderen Gebieten der Mathematik wird das Funktional (3.136) verwendet (vgl. Hamel [76]): Rubinov und Singer [146] führten so genannte topical Funktionale ein und studierten deren Niveaumengen bezüglich null. Ein Funktional ψ : Rn → R ∪ {+∞} ∪ {−∞} heißt topical genau dann, wenn es Rn+ -monoton ist und ψ (y + tk0 ) = ψ (y) − t mit k0 = (1, 1, ..., 1)T ∈ Rn erfüllt. Diese Funktionale und auch das Minkowski-Funktional bezüglich einer Menge D in [146] stehen in Beziehung zum oben eingeführten Funktional (3.136). Weiterhin sind die von Dudek [45] betrachteten isotonic Banach-Funktionale vom Typ des Funktionals (3.136).

3.4.2 Eigenschaften von Skalarisierungsfunktionalen Wir betrachten in den folgenden Sätzen einen reellen Banach-Raum Y. Die Aussagen des Satzes 3.38, von Lemma 3.2 und von Folgerung 3.1 werden in [66] für lineare topologische Räume Y gezeigt. Es seien D ⊂ Y eine nichtleere Menge und k0 ∈ Y \ {0}, sodass D + R+ k0 ⊆ D.

(3.140)

Dann definieren wir das Funktional ϕD,k0 : Y → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} (vgl. Abbildung 3.6)

ϕD,k0 (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − D}.

K 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 tk0 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 y¯ 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 t¯k0 − K 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 k0 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 yˆ 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

(3.141)

Abbildung 3.6: Niveaulinien des Funktionals ϕD,k0 aus (3.141), wobei D = K der gewöhnliche Ordnungskegel des R2 ist und k0 ∈ int K gilt.

Wir setzen voraus, dass D die Eigenschaft (3.140) besitzt und betrachten die Menge D := {(y,t) ∈ Y × R | y ∈ tk0 − D}.

82


Die Voraussetzung an D zeigt, dass D von epigraphischem Typ ist, d.h. falls (y,t) ∈ D und t ≥ t, dann gilt (y,t ) ∈ D . Tatsächlich, falls y ∈ tk0 − D und t ≥ t, dann folgt tk0 − D = t k0 − [D + (t − t)k0 ] ⊂ t k0 − D und wir erhalten (y,t ) ∈ D . Man erkennt auch, dass D = T −1 (D), wobei T : Y × R → Y ein stetiger linearer Operator ist, definiert durch T (y,t) := tk0 − y. Also, falls D ein abgeschlossener konvexer Kegel ist, dann ist auch D ein abgeschlossener konvexer Kegel. Da D von epigraphischem Typ ist, betrachten wir mit D und k0 die Funktion ϕ := ϕD,k0 : Y → R ∪ {−∞} ∪ {+∞} definiert durch

ϕ (y) := inf{t ∈ R | (y,t) ∈ D } = inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − D}.

(3.142)

Natürlich ist der effektive Definitionsbereich von ϕ (dom ϕ ) die Menge Rk0 − D und D ⊂ epi ϕ ⊂ cl D . Falls D abgeschlossen ist, folgt hieraus D = epi ϕ und somit ist ϕ ein unterhalbstetiges Funktional. In folgendem Satz werden Eigenschaften des Funktionals ϕ = ϕD,k0 (vgl. (3.136), (3.141)), die für die oben beschriebenen Anwendungen in der Finanzmathematik und zur Skalarisierung von Vektoroptimierungsproblemen wichtig sind, nachgewiesen. Das Funktional ϕ heißt eigentlich, wenn dom ϕ = 0/ und ϕ nicht den Wert −∞ annimmt. Eine Teilmenge D ⊆ Y heißt eigentlich, falls D = 0, / D = {0} und D = Y. Satz 3.38 Es seien D ⊂ Y eine eigentliche abgeschlossene Menge und k0 ∈ Y erfülle (3.140). Dann ist ϕ unterhalbstetig, dom ϕ = Rk0 − D, (3.143) {y ∈ Y | ϕ (y) ≤ λ } = λ k0 − D (λ ∈ R), und

ϕ (y + λ k0 ) = ϕ (y) + λ

(y ∈ Y), (λ ∈ R).

(3.144)

Weiterhin gilt (a) ϕ ist konvex genau dann, wenn D konvex ist; ϕ (λ y) = λ ϕ (y) für alle λ > 0 und y ∈ Y genau dann, wenn D ein Kegel ist. (b) ϕ ist genau dann eigentlich, wenn D keine Geradenabschnitte parallel zu k0 enthält, d.h. / D. ∀ y ∈ Y, ∃t ∈ R : y + tk0 ∈

(3.145)

(c) ϕ ist endlich genau dann, wenn D keine Geradenabschnitte parallel zu k0 enthält und Rk0 − D = Y.

(3.146)

(d) Es sei B ⊂ Y; ϕ ist B-monoton (d.h. y2 − y1 ∈ B ⇒ ϕ (y1 ) ≤ ϕ (y2 )) genau dann, wenn D + B ⊆ D. (e) ϕ ist subadditiv genau dann, wenn D + D ⊆ D. Wir setzen nun zusätzlich D + (0, +∞) · k0 ⊆ int D

(3.147)

voraus, dann ist (f) ϕ stetig und {y ∈ Y | ϕ (y) < λ } {y ∈ Y | ϕ (y) = λ }

=

λ k0 − int D,

(λ ∈ R),

(3.148)

=

λ k − bd D,

(λ ∈ R).

(3.149)

0


83

(g) Falls ϕ eigentlich ist, dann ist ϕ B-monoton ⇔ D + B ⊆ D ⇔ bd D + B ⊆ D. Weiterhin, falls ϕ endlich ist, dann ist ϕ strikt B-monoton (d.h. y2 − y1 ∈ B \ {0} ⇒ ϕ (y1 ) < ϕ (y2 )) ⇔ D + (B \ {0}) ⊆ int D ⇔ bd D + (B \ {0}) ⊆ int D. (h) Es sei ϕ eigentlich, dann ist ϕ subadditiv ⇔ D + D ⊆ D ⇔ bd D + bd D ⊆ D.

Beweis: Wir haben bereits festgestellt, dass dom ϕ = Rk0 − D und ϕ unterhalbstetig ist, wenn D abgeschlossen ist. Nach Definition von ϕ ist die Inklusion ⊇ in (3.143) klar, während die umgekehrte Inklusion aus der Abgeschlossenheit von D folgt. Die Beziehung (3.144) erhalten wir leicht aus (3.143). (a) Da der oben definierte Operator T surjektiv ist und epi ϕ = T −1 (D) gilt, folgt dass epi ϕ ein konvexer Kegel ist genau dann, wenn D = T (epi ϕ ) diese Eigenschaft besitzt. Das ergibt die Aussage. (b) Es gilt ϕ (y) = −∞ ⇔ y ∈ tk0 − D für jedes t ∈ R ⇔ {y + tk0 | t ∈ R} ⊆ D, woraus die Aussage folgt. (c) Die Aussage folgt aus (b) und der Beziehung dom ϕ = Rk0 − D. (d) Zunächst setzen wir D+B ⊆ D voraus und betrachten y1 , y2 ∈ Y mit y2 −y1 ∈ B. Es sei t ∈ R sodass y2 ∈ tk0 − D. Dann gilt y1 ∈ y2 − B ⊆ tk0 − (D + B) ⊆ tk0 − D, und ϕ (y1 ) ≤ t. Somit gilt ϕ (y1 ) ≤ ϕ (y2 ). Wir setzen nun voraus, dass ϕ B-monoton ist und betrachten y ∈ D und b ∈ B. Aus (3.143) folgt ϕ (−y) ≤ 0. Wegen (−y) − (−y − b) ∈ B erhalten wir, dass ϕ (−y − b) ≤ ϕ (−y) ≤ 0, und somit unter Verwendung von (3.143) folgt −y − b ∈ −D, d.h. y + b ∈ D. (e) Zunächst setzen wir voraus, dass D + D ⊆ D und betrachten y1 , y2 ∈ Y. Es sei ti ∈ R so, dass yi ∈ ti k0 − D für i ∈ {1, 2}. Dann gilt y1 + y2 ∈ (t1 + t2 )k0 − (D + D) ⊆ (t1 + t2 )k0 − D, und so ϕ (y1 + y2 ) ≤ t1 + t2 . Es folgt ϕ (y1 + y2 ) ≤ ϕ (y1 ) + ϕ (y2 ). Wir setzen nun voraus, dass ϕ subadditiv ist und betrachten y1 , y2 ∈ D. Aus (3.143) erhalten wir, dass ϕ (−y1 ), ϕ (−y2 ) ≤ 0. Da ϕ subadditiv ist, erhalten wir ϕ (−y1 − y2 ) ≤ ϕ (−y1 ) + ϕ (−y2 ) ≤ 0, und so wieder unter Verwendung von (3.143), folgt −y1 − y2 ∈ −D, d.h. y1 + y2 ∈ D. Wir setzen nun voraus, dass (3.147) gilt. (f) Es sei λ ∈ R. Wir betrachten y ∈ λ k0 − int D. Wegen λ k0 − y ∈ int D existiert ein ε > 0, sodass λ k0 − y − ε k0 ∈ int D ⊆ D. Daher gilt ϕ (y) ≤ λ − ε < λ , was zeigt, dass die Inklusion ⊇ immer gilt in (3.148), wenn int D = 0. / Es seien λ ∈ R und y ∈ Y so, dass ϕ (y) < λ . Es existiert ein t ∈ R, t < λ , sodass y ∈ tk0 − D. Es folgt dann y ∈ λ k0 − (D + (λ − t)k0 ) ⊆ λ k0 − int D. Daher gilt (3.148), und somit ist ϕ oberhalbstetig. Da ϕ auch unterhalbstetig ist, erhalten wir die Stetigkeit von ϕ . Aus (3.143) und (3.148) erkennen wir leicht, dass (3.149) gilt. (g) Wir zeigen den zweiten Teil der Aussage, der erste Teil folgt ähnlich wie (d). Also sei ϕ endlich. Wir setzen voraus, dass ϕ strikt B-monoton ist und betrachten y ∈ D und b ∈ B \ {0}. Wegen (3.143) haben wir ϕ (−y) ≤ 0, und somit nach Annahme ϕ (−y − b) < 0. Unter Verwendung von (3.148) erhalten wir y + b ∈ int D. Nun setzen wir bd D + (B \ {0}) ⊆ int D voraus. Wir betrachten y1 , y2 ∈ Y mit y2 − y1 ∈ B \ {0}. Wegen (3.149) erhalten wir y2 ∈ ϕ (y2 )k0 − bd D, und somit y1 ∈ ϕ (y2 )k0 − (bd D + (B \ {0})) ⊆ ϕ (y2 )k0 − int D. Wegen (3.148) erhalten wir ϕ (y1 ) < ϕ (y2 ). Die erwähnte Inklusion ist nun offensichtlich. (h) Es sei ϕ eigentlich. Wir haben zu zeigen, dass aus bd D + bd D ⊆ D die Subadditivität / dom ϕ , dann ist nichts zu zeigen; also von ϕ folgt. Wir betrachten y1 , y2 ∈ Y. Falls y1 , y2 ∈ seien y1 , y2 ∈ dom ϕ . Dann gilt wegen (3.149), yi ∈ ϕ (yi )k0 − bd D für i ∈ {1, 2}, und somit

84


y1 + y2 ∈ (ϕ (y1 ) + ϕ (y2 ))k0 − (bd D + bd D) ⊆ (ϕ (y1 ) + ϕ (y2 ))k0 − D. Daher folgt ϕ (y1 + y2 ) ≤ ϕ (y1 ) + ϕ (y2 ). Bemerkung 3.10 Die Bedingungen (3.140), (3.145), (3.146), und (3.147) sind invariant unter Translationen von D, aber die Bedingungen D + D ⊆ D und bd D + bd D ⊆ D sind es nicht. Wir bemerken auch, dass R = Im ϕD,k0 (Im ϕD,k0 bezeichnet den Wertebereich von ϕD,k0 ), falls ϕD,k0 endlich ist. Lemma 3.2 Es seien D ⊂ Y eine eigentliche abgeschlossene Menge und k0 ∈ Y. (i) Falls ein Kegel K ⊂ Y mit k0 ∈ int K und D + int K ⊆ D existiert, dann gelten die Beziehungen (3.145), (3.146) und (3.147). (ii) Falls D konvex ist, int D = 0/ und (3.140), (3.146) erfüllt sind, so gelten auch (3.145) und (3.147). Falls insbesondere die Annahmen von (i) oder (ii) gelten, dann ist ϕD,k0 endlich und stetig, und auch konvex im Fall (ii).

Beweis: (i) Es sei y ∈ Y. Wegen k0 ∈ int K ist int K − k0 eine Umgebung von 0 und somit existiert ein t > 0, sodass ty ∈ int K − k0 . Damit folgt y ∈ int K − (0, +∞)k0 und es gilt dann K + Rk0 = K − (0, +∞) · k0 = int K + Rk0 = int K − (0, +∞) · k0 = Y. Nehmen wir y0 ∈ D, so erhalten wir aus der Inklusion D + int K ⊆ D die Beziehung D + Rk0 ⊇ y0 + int K + Rk0 = y0 + Y = Y; d.h. (3.146) gilt. Setzen wir voraus, dass Rk0 + y in D enthalten ist, dann folgt Y = y + Rk0 + int K ⊆ D + int K ⊆ D, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass D eigentlich ist. Da D + (0, +∞) · k0 ⊆ D + int K ⊆ D ist offensichtlich, dass auch (3.147) gilt. (ii) Wir zeigen, dass (3.147) unter unseren Annahmen gilt. Nehmen wir an, es existieren y0 ∈ D / int D. Da D konvex ist, folgt bei Anwendung eines Trennungsund t0 ∈ (0, ∞), sodass y0 +t0 k0 ∈ satzes (Satz 5.11) dass ein y∗ ∈ Y∗ \ {0} existiert mit y0 + t0 k0 , y∗ ≤ (y, y∗ ) (y ∈ D). (3.140) erhalten wir, dass y0 + t0 k0 , y∗ ≤ y0 + tk0 , y∗ für jedes t ≥ 0. Da t0 > 0, folgt Wegen k0 , y∗ = 0, und somit (y0 , y∗ ) ≤ y + tk0 , y∗

(y ∈ D), (t ∈ R).

Aus (3.146) erhalten wir, dass (y0 , y∗ ) ≤ (y, y∗ ) für alle y ∈ Y, was zeigt, dass y∗ = 0. Dieser Widerspruch zeigt, dass (3.147) gilt. Nehmen wir jetzt an, dass y+Rk0 ⊆ D für ein y ∈ Y. Es seien d ∈ D und t ∈ R. Da D konvex ist, 1 0 erhalten wir für jedes n ∈ N, n > 0, die Beziehung n−1 n d + n (y+tnk ) ∈ D. Durch Grenzübergang


85

folgt d + tk0 ∈ cl D = D. Deshalb erhalten wir unter Verwendung von (3.146) den Widerspruch Y = D + Rk0 ⊆ D. Da in beiden Fällen die Bedingungen (3.145), (3.146) und (3.147) gelten, folgt aus Satz 3.38 (c,f), dass ϕ endlich und stetig ist; überdies ist ϕ konvex, falls D konvex ist. Unter Verwendung dieses Resultates erhalten wir den folgenden Spezialfall von Satz 3.38. Folgerung 3.1 Es seien K ⊂ Y ein eigentlicher, abgeschlossener konvexer Kegel und k0 ∈ int K. Dann ist

ϕ : Y → R,

ϕ (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − K}

ein wohldefiniertes stetiges sublineares Funktional, sodass für jedes λ ∈ R {y ∈ Y | ϕ (y) ≤ λ } = λ k0 − K,

{y ∈ Y | ϕ (y) < λ } = λ k0 − int K

gilt. Überdies ist ϕ strikt int K-monoton.

Beweis: Wir setzen D = K in Satz 3.38 und verwenden Lemma 3.2 (ii). Für den letzten Teil der Aussage beachten wir K + int K = int K. Im Folgenden werden Lipschitz-Eigenschaften des Funktionals vom Typ (3.141) diskutiert. Wir betrachten eine Formulierung des Funktionals, die in der Produktionstheorie unter dem Namen shortage function (Mangel-Funktion) eine wichtige Rolle spielt (vgl. Luenberger [116]). Falls nicht explizit anders formuliert, setzen wir im Folgenden voraus, dass Y ein reeller BanachRaum ist, Y∗ der entsprechende topologische Dualraum, K ⊂ Y ein eigentlicher abgeschlossener konvexer Kegel, k0 ∈ K \ (−K) und A ⊂ Y ist eine nichtleere Menge. Der Kegel K induziert die Halbordnung ≤K auf Y, d.h. y1 ≤K y2 falls y2 − y1 ∈ K. Zu A und k0 betrachten wir die Funktion

ϕA := ϕA,k0 : Y → R ∪ {−∞} ∪ {+∞},

ϕA (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 + A},

(3.150)

wobei üblicherweise inf 0/ := +∞ (und sup 0/ := −∞); wir verwenden auch die Konvention (+∞)+ (−∞) := +∞. Wichtige Eigenschaften des Funktionals ϕA wurden in Satz 3.38 gezeigt (vgl. auch [66, Section 2.3]). Zielstellung ist es nun, lokale Lipschitz-Stetigkeit (vgl. Definition 3.21) des Funktionals ϕA,k0 unter möglichst schwachen Voraussetzungen bezüglich der Menge A ⊂ Y und k0 ∈ Y nachzuweisen. Um Lipschitz-Eigenschaften von ϕA,k0 zu zeigen, werden wir eine Voraussetzung (P) einführen, die die free-disposal-Bedingung (Freie-Verwendbarkeits-Bedingung) A − K = A einschließt und weiterhin die strengere Bedingung (PS ) (die strenge free-disposal-Bedingung) A − (K \ {0}) = int A. Falls k0 ∈ int K zeigen wir in Satz 3.39 unter der Bedingung (P), dass ϕA,k0 Lipschitz-stetig auf Y ist. Setzen wir (P) voraus und zusätzlich, dass A konvex ist, ein nichtleeres Inneres besitzt und keine Geradenabschnitte parallel zu k0 enthält, so beweisen wir in Lemma 3.5, dass ϕA,k0 lokal Lipschitz-stetig auf int(dom ϕA ) = Rk0 + int A ist. Weiterhin geben wir in Satz 3.40, ohne Konvexitätsvoraussetzungen an A zu stellen, eine Charakterisierung der Lipschitz-Stetigkeit von ϕA,k0 auf einer Umgebung von y0 ∈ Y mittels der von Rockafellar [137] eingeführten epi-Lipschitz Eigenschaft einer Menge an. In den folgenden Aussagen setzen wir voraus, dass A die folgende Bedingung erfüllt:

86


Voraussetzung (P). A ist abgeschlossen und erfüllt die free-disposal-Bedingung A − K = A und A = Y. Wir werden auch folgende strengere Bedingung verwenden: Voraussetzung (PS ). A ist abgeschlossen und erfüllt die strenge free-disposal-Bedingung A − (K \ {0}) = int A und A = Y. Wegen A − K = A ∪ (A − (K \ {0})) gilt (PS ) ⇒ (P). Die Bedingung A − (K \ {0}) = int A ist überdies äquivalent zu A − (K \ {0}) ⊂ int A. Die free-disposal-Bedingung A = A − K zeigt, dass K ⊂ −A∞ , wobei A∞ := {u ∈ X | x + tu ∈ A (x ∈ A), (t ∈ R+ )} den Rezessionskegel von A bezeichnet. Es folgt leicht, dass A∞ ein konvexer Kegel ist. Es sei A abgeschlossen. Dann ist auch A∞ abgeschlossen. Somit ist −A∞ der größte abgeschlossene konvexe Kegel K, der die free-disposal-Bedingung A = A − K erfüllt. Falls A auch konvex ist, dann gilt A∞ = ∩t>0t(A − a) für a ∈ A. Wichtige Eigenschaften des Funktionals ϕA wurden in Satz 3.38 gezeigt. Unter Voraussetzung (P) folgt die Unterhalbstetigkeit von ϕ und darüber hinaus A = {y ∈ Y | ϕA (y) ≤ 0},

int A ⊂ {y ∈ Y | ϕA (y) < 0},

ϕA (y + tk0 ) = ϕA (y) + t

(y ∈ Y), (t ∈ R),

(3.151) (3.152)

und bd A = A \ int A ⊃ {y ∈ Y | ϕA (y) = 0}.

(3.153)

Dass die in (3.153) angegebene Inklusion strikt ist, zeigt das folgende Beispiel, wo für bestimmte y ∈ bd A der Funktionalwert ϕA,k0 (y) = −∞ ist. Beispiel 3.25 Es seien

ϕA,k0 (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 + A}, K = R2+ , k0 = (1, 0), A = (] − ∞, 0] × ] − ∞, 0]) ∪ ([0, +∞[ × ] − ∞, −1]). Dann gilt ϕA (u, v) = −∞ für v ≤ −1, ϕA (u, v) = u für v ∈ (−1, 0]; ϕA (u, v) = +∞ für v > 0, ϕA (0, −1) = −∞ und (0, −1) ∈ bd A (vgl. Abbildung 3.7).

Weiterhin wurde in Satz 3.38, (f) die Stetigkeit von ϕA unter der Voraussetzung (3.147) gezeigt, die umgekehrte Inklusion in (3.153) gilt, falls A − Pk0 ⊂ int A, wobei P := ]0, +∞[. Im folgenden Lemma charakterisieren wir die Stetigkeit von ϕA an der Stelle y0 ∈ Y. Lemma 3.3 Die Funktion ϕA ist (oberhalb-) stetig an der Stelle y0 ∈ Y genau dann, wenn y0 − ]ϕA (y0 ), +∞[ · k0 ⊂ int A.

Beweis: Falls ϕA (y0 ) = +∞ ist die Oberhalbstetigkeit von ϕA an der Stelle y0 offensichtlich und die Inklusion gilt. Es sei jetzt ϕA (y0 ) < +∞. Zunächst setzen wir voraus, dass ϕA oberhalbstetig in y0 ist. Sei λ ∈ ]ϕA (y0 ), +∞[. Dann existiert eine Umgebung V von y0 , sodass ϕA (y) < λ für jedes y ∈ V . Es folgt dann, dass für y ∈ V


87

K 11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 k0 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 y¯ 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 A 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 Abbildung 3.7: y¯ ∈ bd A mit ϕA,k0 (y) ¯ = −∞.

gilt y ∈ λ k0 + A, das bedeutet V ⊂ λ k0 + A. Deshalb erhalten wir y0 ∈ λ k0 + int A und somit y0 − λ k0 ∈ int A. Setzen wir jetzt y0 − ]ϕA (y0 ), +∞[ · k0 ⊂ int A voraus und betrachten ϕA (y) < λ < +∞. Dann ist unter unseren Voraussetzungen V := λ k0 +A eine Umgebung von y0 und wegen der Definition von ϕA gilt ϕA (y) ≤ λ für jedes y ∈ V . Damit ist ϕA oberhalbstetig an der Stelle y0 . Folgerung 3.2 Es sei ϕA stetig an der Stelle y0 ∈ bd A. Dann gilt ϕA (y0 ) = 0.

Beweis: Offensichtlich gilt ϕA (y0 ) ≤ 0. Falls ϕA (y0 ) < 0, so erhalten wir mit Lemma 3.3 y0 = y0 − 0k0 ∈ int A im Widerspruch zur Voraussetzung.

In Satz 3.38, (a) haben wir gezeigt, dass ϕA konvex ist, falls A eine konvexe Menge ist. In einem solchen Fall erhalten wir aus der Stetigkeit von ϕA an einer Stelle im Inneren des effektiven Definitionsbereiches die lokale Lipschitz-Stetigkeit von ϕA im Inneren ihres effektiven Definitionsbereiches dom ϕA (falls das Funktional eigentlich ist). Darüber hinaus, falls A = −K und k0 ∈ int K, dann ist (wie bekannt) ϕA eine stetige sublineare Funktion und somit ist ϕA Lipschitzstetig. Satz 3.39 Voraussetzung (P) sei erfüllt. (i) Es gilt

ϕA (y) ≤ ϕA (y ) + ϕ−K (y − y ) (y, y ∈ Y).

(3.154)

(ii) Falls ∈ int K, dann ist ϕA endlich und Lipschitz-stetig auf Y. (iii) Falls y2 ≤K y1 , dann gilt ϕA (y2 ) ≤ ϕA (y1 ). (iv) Falls A − (K \ {0}) ⊂ int A (das bedeutet, dass Voraussetzung (PS ) erfüllt ist) und ϕA eigentlich ist, dann [y2 − y1 ∈ −(K \ {0}), y1 ∈ dom ϕA ] ⇒ ϕA (y2 ) < ϕA (y1 ). k0

88


Beweis: (i) Nach Satz 3.38 (angewendet für D := −A oder D := K) erhalten wir, dass ϕA und ϕ−K unterhalbstetige Funktionale sind, ϕ−K ist sublinear und eigentlich. Es seien y, y ∈ Y. Falls ϕA (y ) = +∞ oder ϕ−K (y − y ) = +∞ ist nichts zu zeigen. Anderenfalls sei t, s ∈ R, sodass y − y ∈ tk0 − K und y ∈ sk0 + A. Dann folgt unter Beachtung von Voraussetzung (P) y ∈ tk0 − K + sk0 + A = (t + s)k0 + (A − K) = (t + s)k0 + A. Hieraus folgt ϕA (y) ≤ t + s. Beim Übergang zum Infimum bezüglich t und s, die die vorangegangenen Beziehungen erfüllen, erhalten wir (3.154). (ii) Wir setzen k0 ∈ int K voraus. Es sei V ⊂ Y eine symmetrische, abgeschlossene und konvexe Umgebung von 0 sodass k0 + V ⊂ K gilt und sei pV : Y → R das zu V assoziierte MinkowskiFunctional; dann ist pV eine stetige Halbnorm (vgl. Lemma 3.2) und V = {y ∈ Y | pV (y) ≤ 1}. Es seien y ∈ Y und t > 0 sodass y ∈ tV . Dann gilt t −1 y ∈ V ⊂ k0 − K, und somit y ∈ tk0 − K. Folglich erhalten wir ϕ−K (y) ≤ t, also ϕ−K (y) ≤ pV (y). Diese Ungleichung bestätigt, dass (Rk0 − K =) dom ϕ−K = Y. Darüber hinaus gilt ϕ−K (y) ≤ ϕ−K (y ) + pV (y − y ), da ϕ−K sublinear ist und somit ϕ−K (y) − ϕ−K (y ) ≤ pV (y − y ) (y, y ∈ Y), (3.155) d.h. ϕ−K ist Lipschitz-stetig. Das Funktional ϕA nimmt nicht den Wert −∞ an. Im Fall ϕA (y0 ) = −∞ für einige y0 ∈ Y wäre y0 + Rk0 ⊂ A, und deshalb A = A − K ⊃ y0 + Rk0 − K = y0 + Y = Y, ein Widerspruch. Unter der Voraussetzung (P) gilt dom ϕA = Rk0 + A = Rk0 − K + A = Y + A = Y, also ist ϕA endlich. Aus (3.154) und (3.155) erhalten wir, dass

ϕA (y) − ϕA (y ) ≤ pV (y − y ) (y, y ∈ Y).

(3.156)

(iii) Es sei y2 ≤K y1 , d.h. y2 − y1 ∈ −K. Wegen (3.151) gilt ϕ−K (y2 − y1 ) ≤ 0, und somit folgt wegen (3.154) auch ϕA (y2 ) ≤ ϕA (y1 ). (iv) Wir setzen voraus, dass A − (K \ {0}) ⊂ int A und ϕA eigentlich ist. Dann folgt A − Pk0 ⊂ int A, und somit erhalten wir nach Satz 3.38, dass bd A = {y ∈ Y | ϕA (y) = 0}. Wir wählen y1 , y2 ∈ Y mit y2 − y1 ∈ −(K \ {0}) und y1 ∈ dom ϕA . Damit gilt y1 − ϕA (y1 )k0 ∈ bd A ⊂ A, und auch y2 − ϕA (y1 )k0 = y1 − ϕA (y1 )k0 + y2 − y1 ∈ int A. Also folgt ϕA (y2 ) < ϕA (y1 ). Es soll bemerkt werden, dass die Bedingung A − (K \ {0}) ⊂ int A nicht impliziert, dass ϕA eigentlich ist. Beispiel 3.26 Wir betrachten A := {(x, y) ∈ R2 | y ≥ − |x|−1 }, mit der Konvention 0−1 := +∞, und K := R+ k0 mit k0 := (0, −1). Dann gilt A − (K \ {0}) = int A und ϕA (0, 1) = −∞.

Natürlich gilt in den Bedingungen von Satz 3.39(ii), dass −k0 ∈ int A∞ wegen K ⊂ −A∞ . Wir können auch die inverse Aussage zu Satz 3.39(ii) zeigen. Lemma 3.4 Es sei ϕA endlich und Lipschitz-stetig. Dann gilt −k0 ∈ int A∞ .


89

Beweis: Nach Voraussetzung existiert eine abgeschlossene, konvexe und symmetrische Umgebung V von 0, sodass (3.156) gilt. Weiter haben wir A = {y ∈ Y | ϕA (y) ≤ 0}. Es seien y ∈ A, v ∈ V und α ≥ 0. Dann gilt

ϕA (y + α (v − k0 )) ≤ ϕA (y + α v) − α ≤ ϕA (y) + α pV (v) − α ≤ 0 wegen V = {y ∈ Y | pV (y) ≤ 1}. Somit erhalten wir V − k0 ⊂ A∞ , was zeigt, dass −k0 ∈ int A∞ . Folgerung 3.3 Das Funktional ϕA ist endlich und Lipschitz-stetig genau dann, wenn −k0 ∈ int A∞ .

Beweis: Die Notwendigkeit ist gegeben durch Lemma 3.4. Es sei −k0 ∈ int A∞ . Setzen wir K := −A∞ , so erhalten wir unter Verwendung von Satz 3.39(ii) dass ϕA endlich und Lipschitzstetig ist. Falls int K = 0/ und k0 ∈ / int K, so ist ϕ−K nicht endlich und somit nicht Lipschitz-stetig. Nun gehen wir der Frage nach, ob die Einschränkung von ϕ−K auf den effektiven Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist. Beispiel 3.27 Wir setzen K = R2+ und k0 = (1, 0). Dann gilt ϕ−K (y1 , y2 ) = y1 für y2 ≤ 0, ϕ−K (y1 , y2 ) = +∞ für y2 > 0, und somit ist ϕ−K |dom ϕ−K Lipschitz-stetig. Beispiel 3.28 " ! Wählen wir K := (u, v, w) ∈ R3 | v, w ≥ 0, u2 ≤ vw und k0 := (0, 0, 1), dann gilt ⎧ ⎪ falls y > 0 oder [y = 0 und x = 0], ⎨ +∞, ϕ−K (x, y, z) = z, falls x = y = 0, ⎪ ⎩ z − x2 /y, falls y < 0. Es ist offensichtlich, dass die Einschränkung von ϕ−K auf den effektiven Definitionsbereich nicht stetig ist an der Stelle (0, 0, 0) ∈ dom ϕ−K und die Einschränkung von ϕ−K auf das Innere des effektiven Definitionsbereich nicht Lipschitz-stetig ist. Allerdings ist ϕ−K lokal Lipschitz-stetig auf dem Inneren des effektiven Definitionsbereichs.

Die zuletzt erwähnte Eigenschaft im vorangegangenen Beispiel ist allgemein für ϕA erfüllt, falls A konvex ist. Lemma 3.5 Wir setzen voraus, dass A konvex ist, ein nichtleeres Inneres besitzt und keine Geradenabschnitte parallel zu k0 enthält (oder äquivalent, k0 ∈ / A∞ ). Dann ist ϕA lokal Lipschitz-stetig auf int(dom ϕA ) = Rk0 + int A.

Beweis: Da A keine Geradenabschnitte parallel zu k0 enthält, ist ϕA eigentlich (siehe Satz 3.38 unter Beachtung von Voraussetzung (P)). Es ist bekannt, dass dom ϕA = Rk0 + A, und somit int(dom ϕA ) = int(Rk0 + A) = Rk0 + int A (vgl. zum Beispiel [183, Exer. 1.4]). Andererseits ist klar, dass A ⊂ {y ∈ Y | ϕA (y) ≤ 0}. Wegen int A = 0/ erhalten wir, dass ϕA auf einer Umgebung eines Punktes beschränkt von oben ist und somit ist ϕA lokal Lipschitz-stetig auf int(dom ϕA ) = Rk0 + int A (vgl. zum Beispiel [183, Cor. 2.2.13]).

90


Wir haben in Satz 3.39 gesehen, dass ϕA Lipschitz-stetig ist falls k0 ∈ int K, auch wenn A nicht konvex ist. Also sind wir im Folgenden an Fällen interessiert, in welchen A nicht konvex ist, / int K und A keinen Geradenabschnitt parallel zu k0 enthält. k0 ∈ Es soll noch bemerkt werden, dass für A nicht konvex und y ∈ int(dom ϕA ) Fälle eintreten können, in welchen ϕA nicht stetig ist an der Stelle y oder ϕA stetig ist, aber nicht Lipschitz-stetig in einer Umgebung von y. Beispiel 3.29 Wir setzen K := R2+ , k0 := (1, 0) und A1 := (] − ∞, 0] × ] − ∞, 1]) ∪ ([0, 1] × ] − ∞, 0]) und A2 := {(a, b) | a ∈ ]0, +∞[, b ≤ −a2 } ∪ (] − ∞, 0] × ] − ∞, 1]). Dann gilt ⎧ ⎪ ⎨ +∞, ϕA1 ,k0 (u, v) = u, ⎪ ⎩ u − 1,

falls falls falls

v > 1, 0 < v ≤ 1, v ≤ 0,

⎧ ⎪ ⎨ +∞, ϕA2 ,k0 (u, v) = u, ⎪ ⎩ u − √−v,

falls falls falls

v > 1, 0 < v ≤ 1, v ≤ 0.

Es ist offensichtlich, dass (0, 0) ∈ int(dom ϕA1 ), aber ϕA1 ist nicht stetig an der Stelle (0, 0), und (0, 0) ∈ int(dom ϕA2 ), ϕA2 ist stetig an der Stelle (0, 0), aber ϕA2 ist nicht Lipschitz-stetig an der Stelle (0, 0).

Aussagen zur Lipschitz-Stetigkeit von ϕA um einen Punkt y ∈ dom ϕA in endlichdimensionalen Räumen können unter Nutzung der epi-Lipschitz-Eigenschaft einer Menge, die von Rockafellar [137] (vgl. auch [138]) eingeführt wurde, hergeleitet werden. Wir erweitern diesen Begriff in unserem Zusammenhang. Wir sagen, dass die Menge A ⊂ Y epi-Lipschitz-stetig an der Stelle y ∈ A in Richtung v ∈ Y \ {0} ist, falls ein ε > 0 und eine (abgeschlossene, konvexe, symmetrische) Umgebung V0 von 0 in Y existieren, sodass ∀y ∈ (y +V0 ) ∩ A, ∀w ∈ v +V0 , ∀λ ∈ [0, ε ] : y + λ w ∈ A.

(3.157)

Es ist zu beachten, dass (3.157) für v = 0 genau dann gilt, wenn y ∈ int A. Falls ferner y ∈ int A gilt, dann ist A epi-Lipschitz-stetig an y ∈ A in jeder Richtung. Satz 3.40 Es sei y0 ∈ Y so, dass ϕA (y0 ) ∈ R. Dann ist ϕA endlich und Lipschitz-stetig auf einer Umgebung von y0 genau dann, wenn A epi-Lipschitz-stetig an y := y0 − ϕA (y0 )k0 in Richtung −k0 ist.

Beweis: Unter Verwendung von (3.152) erhalten wir ϕA (y) = 0. Wir bemerken auch, dass A = {y ∈ Y | ϕA (y) ≤ 0} und die endlichen Werte von ϕA werden angenommen (da A abgeschlossen ist). Wir nehmen an, dass eine abgeschlossene, konvexe, symmetrische Umgebung V von 0 in Y und eine stetige Halbnorm p : Y → R existieren, sodass ϕA endlich ist an der Stelle y0 +V und |ϕA (y) − ϕA (y )| ≤ p(y − y ) für alle y, y ∈ y0 + V . Unter Beachtung von (3.152), erhalten wir, dass ϕA endlich ist an der Stelle y +V und

ϕA (y) − ϕA (y ) ≤ p(y − y ) (y, y ∈ y +V ). Wir betrachten V0 := {y ∈ 13 V | p(y) ≤ 1} und ε ∈ ]0, 1] sodass ε k0 ∈ V0 . Nun zeigen wir, dass (3.157) gilt mit −k0 anstelle von v. Dazu verwenden wir y ∈ (y + V0 ) ∩ A, w ∈ −k0 + V0 und


91

λ ∈ [0, ε ]. Dann gilt y − λ k0 − y ∈ V0 + V0 ⊂ V und y + λ w − y = y − λ k0 − y + λ (w + k0 ) ∈ V0 +V0 +V0 ⊂ V , und somit ϕA (y + λ w) ≤ ϕA (y − λ k0 ) + p(λ (w + k0 )) = ϕA (y) − λ + λ p(w + k0 ) ≤ λ (p(w + k0 ) − 1) ≤ 0. Also y + λ w ∈ A. Nehmen wir jetzt an, dass (3.157) gilt mit −k0 anstelle von v. Es sei r ∈ ]0, ε ], sodass 2r(1 + p(k0 )) < 1, wobei p := pV0 . Natürlich gilt {y | p(y) ≤ λ } = λ V0 für jedes λ > 0 und falls p(y) = 0, dann gilt y ∈ λ V0 für jedes λ > 0. Wir setzen M := {y ∈ y + rV0 | |ϕA (y)| ≤ p(y − y)}; dann gilt natürlich y ∈ M. Wir behaupten M = y+rV0 und betrachten y ∈ M, w ∈ V0 und λ ∈ [0, r]. Setzen wir y := y − ϕA (y)k0 ∈ A, dann erhalten wir ϕA (y ) = 0 und p(y − y) ≤ p(y − y) + |ϕA (y)| · p(k0 ) ≤ r 1 + p(k0 ) < 12 ≤ 1, (3.158) und somit wegen (3.157), y + λ (w − k0 ) ∈ A; also ϕA (y + λ w) ≤ λ . Wir betrachten v ∈ rV0 . Einerseits gilt 1 v ≤ p(v) ϕA (y + v) = ϕA y + p(v) · p(v) falls p(v) > 0, und ϕA (y + v) = ϕA (y + λ (λ −1 v)) ≤ λ für jedes λ ∈ ]0, r], woraus ϕA (y + v) ≤ 0 = p(v) folgt. Deshalb gilt ϕA (y + v) ≤ p(v). Andererseits, wenn wir annehmen dass ϕA (y + v) < −p(v), dann existiert wegen 2r(1 + p(k0 )) < 1 ein t > 0, sodass r + (t + r)p(k0 ) ≤ 1/2 und ϕA (y + v) < −p(v) − t =: t < 0. Es folgt dann y + v − t k0 ∈ A. Darüber hinaus gilt unter Beachtung von (3.158) p(y + v − t k0 − y) ≤ p(y − y) + p(v) + (t + p(v))p(k0 ) ≤ 1/2 + r + (t + r)p(k0 ) ≤ 1, und somit y + v − t k0 ∈ (y +V0 ) ∩ A. Falls p(v) > 0 folgt unter Verwendung von (3.157), dass 0 1 0 0 0 v ∈ A, y + tk = y − t + p(v) k = y + v − t k + p(v) −k − p(v) während im Fall p(v) = 0

y + (1 − γ )tk0 = y + v − t k0 + γ t −k0 − (γ t)−1 v ∈ A

für γ := min{ 12 , ε t −1 } gilt. Wir erhalten einen Widerspruch 0 = ϕA (y ) ≤ −t < 0 im ersten Fall und 0 = ϕA (y ) ≤ −t(1 − γ ) < 0 im zweiten Fall. Deshalb gilt ϕA (y + v) ∈ R und

ϕA (y + v) − ϕA (y ) ≤ p(v) für jedes v ∈ rV0 , oder äquivalent,

ϕA (y + v) ∈ R,

|ϕA (y + v) − ϕA (y)| ≤ p(v) (v ∈ rV0 ).

(3.159)

92


Wenn y := y ∈ M, dann folgt aus (3.159) y + rV0 ⊂ M, und somit M = y + rV0 wie behauptet. Darüber hinaus, wenn y, y ∈ y + 12 rV0 , dann gilt y ∈ M und y = y + v für einige v ∈ rV0 ; verwenden wir wieder (3.159), so erhalten wir |ϕA (y ) − ϕA (y)| ≤ p(y − y). Damit haben wir die Aussage des Satzes gezeigt. Das nächste Resultat ist ähnlich der Folgerung 3.2. Folgerung 3.4 Es sei y ∈ bd A. Falls A epi-Lipschitz-stetig ist an der Stelle y in Richtung −k0 , dann ϕA (y) = 0.

Beweis: Wir betrachten ε > 0 und V0 entsprechend (3.157). Nehmen wir an, dass ϕA (y) = 0, so existiert ein t > 0, sodass t pV0 (k0 ) ≤ ε und y := y + tk0 ∈ A. Wählen wir λ := t in (3.157), so erhalten wir y + t(−k0 +V0 ) = y + tV0 ⊂ A, im Widerspruch zu y ∈ bd A. Die damit gewonnenen Aussagen zur Lipschitz-Stetigkeit des Funktionals ϕA wurden in der Arbeit von Tammer und Zalinescu [164] für separierte lokalkonvexe Räume Y dargestellt und sind wesentlich bei der Herleitung von Lagrange-Multiplikatoren-Regeln für Mehrkriterielle Optimierungsprobleme unter Nutzung einer geeigneten Kettenregel für das Subdifferential von Mordukhovich [120].

3.5 Übungsaufgaben 1. (Skalarisierung nach Pascoletti und Serafini) Zur Bestimmung von effizienten Elementen der Bildmenge einer vektor-wertigen Zielfunktion f (x) = ( f1 (x), ..., fm (x))T , n bezüglich des Ordnungskegels Rm + unter Berücksichtigung der Restriktion x ∈ Ω ⊆ R (vgl. Abschnitt 10.2) verwenden Pascoletti und Serafini (vgl. [127]) folgendes Ersatzproblem min t (3.160)

unter Beachtung der Nebenbedingungen f (x) ∈ a + tr − Rm +, x ∈ Ω, t ∈R (mit Parametern a, r ∈ Rm , r ∈ int Rm + ). Beschreiben Sie dieses Ersatzproblem unter Verwendung des Funktionals ϕD,r : Rm → R aus (3.141). Welche Eigenschaften besitzt das Funktional ϕD,k0 in diesem Anwendungsfall? 2. (Portfolio-Optimierung) In Aliprantis, Florenzano, Martins-da Rocha [4, Beispiel 4.2] und in [5, Abschnitt 2.6] wird ein nicht polyedrischer Kegel, der sogenannte ice cream cone

K ice := x ∈ R3 | x1 ≥

x22 + x32 ,

3.5 Übungsaufgaben

93

zur Beschreibung der Präferenzrelation oder Dominanzstruktur (vgl. Abschnitte 10.2 und 10.4) im dreidimensionalen Portfolio-Raum verwendet. Zeigen Sie, dass K ice ⊂ R3 ein abgeschlossener spitzer konvexer Kegel (vgl. Abschnitt 10.4) ist. Welche Eigenschaften besitzt das Funktional ϕK ice : R3 → R

ϕK ice (y) := inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − K ice },

(3.161)

wobei k0 ∈ int K ice ? 3. (Shortage / Benefit functions) Man zeige, dass Luenbergers shortage -Funktion [116, Def. 4.1] σ (g; y) := inf{ξ ∈ R | y − ξ g ∈ Y }, die für eine konvexe Produktmenge Y ⊂ Rm und Parameter g ∈ Rm + \ {0} definiert ist, konvex ist. 4. (Value at risk) Es seien P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) und X der lineare Raum aller beschränkten meßbaren Funktionen. Ein Zustand X wird als akzeptabel betrachtet, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes beschränkt ist durch ein Niveau λ ∈ (0, 1), d.h. falls P[X < 0] ≤ λ . Man betrachte das Risikomaß value at risk zum Niveau λ , definiert als negatives oberes λ -Quantil V @Rλ (X) := inf{m ∈ R | P(m + X < 0) ≤ λ }. Zeigen Sie, dass V @Rλ positiv homogen und monoton, aber i. Allg. nicht subadditiv, also nicht kohärent, ist (vgl. Föllmer und Schied [60], Beispiel 4.11, S. 158 und Abschnitt 4.4). Beispiele für kohärente Risikomaße sind conditional value at risk (vgl. [60], Abschnitt 4.4, Definition 4.43, S. 179) und worst-case risk measure (vgl. folgende Aufgabe). 5. (Worst-case risk measure) Dieses Risikomaß ist definiert durch

ρmax (X) := − inf X(w) für alle X ∈ X , w∈Ω

wobei Ω eine feste Menge von Szenarien, X : Ω → R ein zukünftiger, mit Unsicherheiten behafteter Zahlungsfluss und X der lineare Raum aller beschränkten Funktionen sind. Zeigen Sie, dass ρmax ein kohärentes Risikomaß ist (vgl. Föllmer und Schied [60], Beispiel 4.8, S. 157).

4 Das Banach-Steinhaus-Theorem 4.1 Die Baire’schen Sätze Die folgende Abschnitte beschäftigen sich mit dem Satz von Banach und Steinhaus und seinen Konsequenzen für die Konvergenz von Folgen von linearen Operatoren. Der Ursprung des zu betrachtenden Themenkreises liegt in rein topologischen Fragen. Aber die Anwendungen betreffen ganz praktische Probleme der Konvergenz von numerischen Approximationsprozessen beginnend bei unendlichen (Zahlen-) Reihen und ihrer Limitierung über Verfahren der näherungsweisen Integration und ihrer Anwendung in der Signaltheorie (Abtast-Theorem). Wovon die Rede ist, sind die Begriffe, Sätze und Anwendungsbeispiele für das sogenannte Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und für das allgemeine Banach-Steinhaus-Theorem und seine Konsequenzen in den genannten Gebieten. Wir streben einen lückenlosen Aufbau an und beginnen mit der Verallgemeinerung des Intervallschachtelungsprinzips auf vollständige metrische Räume (vgl. Lemma 4.1 und Lemma 4.2) und mit den Baire’schen Sätzen.

4.1.1 Über Mengen von erster und zweiter Kategorie Lemma 4.1 Es seien (E, d) ein vollständiger metrischer Raum (vgl. Definition 10.21) und {Bn } mit Bn := Bn (xn ; rn ) := {y ∈ E | d(xn , y) ≤ rn } eine fallende Folge von abgeschlossenen Kugeln (Bn+1 ⊆ Bn ) in E mit den Mittelpunkten xn ∈ E und den Radien rn > 0 (n = 1, 2, ...). Es gelte die Limesbeziehung limn→+∞ rn = 0. Dann ' enthält der Durchschnitt n∈N Bn genau einen Punkt (und ist damit nichtleer).

Beweis: Da {Bn } eine fallende Folge ist, gilt die Inklusion Bm ⊆ Bn für m, n ∈ N mit n ≤ m. Damit folgt die Ungleichung d(xm , xn ) ≤ rn für alle m ≥ n. Aus ihr ergibt sich wegen rn → 0 für n → +∞, dass die Folge {xn } eine Cauchy-Folge ist. Diese konvergiert wegen der vorausgesetzten Vollständigkeit von (E, d) gegen genau ein Element z ∈ E. Geht man daher in der oben notierten Ungleichung zur Grenze m → +∞ über, so folgt wegen der Stetigkeit der Metrik (vgl. Satz 10.18) ' ' d(z, xn ) ≤ rn für alle n ∈ N. Also ist z ∈ Bn für jedes n ∈ N oder z ∈ n∈N Bn . Ist z ∈ n∈N Bn , so gilt die Ungleichungskette 0 ≤ d(z , xn ) ≤ rn für alle n = 1, 2, ... Der Grenzübergang n → +∞ liefert unmittelbar die Relation d(z , z) = 0, also z = z. Lemma 4.1 äßt sich leicht verallgemeinern, indem man statt der Folge abgeschlossener Kugeln Bn , n = 1, 2, ... eine Folge nichtleerer abgeschlossener Teilmengen Fn , n = 1, 2, ... nimmt, deren Durchmesser gegen null konvergiert. Ist dabei eine Menge M eines metrischen Raumes nichtleer, dann heißt δ (M) := sup{d(x, y) | x, y ∈ M} (4.1)

96

4 Das Banach-Steinhaus-Theorem

der Durchmesser von M. Man erhält das folgende Lemma, das oft als Cantor’scher Durchschnittssatz bezeichnet wird. Lemma 4.2 In dem vollständigen metrischen Raum (E, d) sei eine Folge abgeschlossener Teilmenge Fn = 0/ mit F1 ⊇ ' F2 ⊇ ... und {δ (Fn )} → 0 gegeben. Dann enthält ∞ n=1 Fn genau einen Punkt.

Der Beweis verläuft analog zu dem von Lemma 4.1 (vgl. auch Heuser [80], S. 240). In topologischen Räumen dicht liegende (und nirgendsdicht liegende) Mengen wurden in Definition 10.12 definiert. In den jetzt benutzten spezielleren metrischen Räumen nehmen diese Definitionen folgende Gestalt an. Definition 4.1 Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge P ⊆ E heißt dicht in E, wenn die Abschließung P¯ von P mit E zusammenfällt, also P¯ = E gilt. Definition 4.2 Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge F ⊆ E heißt nirgendsdicht in E, wenn die Abschließung F¯ von F keine Kugel enthält, also F¯ keine inneren Punkte hat (int F¯ = 0). / Gleichwertig dazu ist die Beziehung E\F¯ = E, d.h., die Menge E\F¯ ist eine (offene) dichte Teilmenge von E.

Mit diesen beiden Definitionen wird der grundlegenden Begriff der Kategorie definiert: Definition 4.3 Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge M ⊆ E heißt eine Menge von erster Kategorie in E, wenn sie die Form ( Fk M= k∈N

besitzt, wobei alle Mengen Fk nirgendsdichte Teilmengen von E sind. Eine Teilmenge A ⊆ E heißt eine Menge von zweiter Kategorie in E, wenn A keine Menge von erster Kategorie in E ist. Eine Menge Q ⊆ E der Form Q = E\M, wobei M eine Menge von erster Kategorie ist (in E), heißt eine Residualmenge in E. Bemerkung 4.1 Ältere in der Literatur auftretende Bezeichnungen für Mengen von erster Kategorie, zweiter Kategorie, Residualmengen sind resp. „magere“, „fette“, „residuelle“, gelegentlich auch „dünne“, „massive“, „residuale“ Mengen. Beispiel 4.1 Das einfache Beispiel eines metrischen Raumes ist die Menge R der reellen Zahlen, versehen mit der Betragsmetrik d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ R). Die Menge P aller rationalen Zahlen ist eine in R dichte Menge, weil jede reelle Zahl t der Grenzwert einer Folge {tn } von rationalen Zahlen tn (z. B. sei tn die nach n Nachkommastellen abgebrochene Dezimalbruchentwicklung von t) ist. Zum anderen ist die Menge N der natürlichen Zahlen nirgendsdicht in R, denn N enthält kein offenes Intervall (a, b) mit a, b ∈ R, a < b. Auch die Mengen Fn := {x ∈ R | x = mn ; m ∈ Z} (Z = Menge der ganzen Zahlen 0, +1, −1, +2, −2, ...) sind für ) jedes n = 1, 2, ... aus eben demselben Grund nirgendsdicht in R. Ihre Vereinigungsmenge k∈N Fn , die mit der Menge P aller rationalen Zahlen übereinstimmt, ist somit (vgl. Definition 4.3) eine Menge von erster Kategorie in R. Also ist ihr Komplement R\P, also die Menge der irrationalen Zahlen, eine Residualmenge. Es entsteht die Frage nach der Kategorie dieser Menge (von erster oder von zweiter Kategorie?), die wir im Folgenden mittels des berühmten Baire’schen Kategorie-Satzes Satz 4.2 beantworten werden.

4.1 Die Baire’schen Sätze

97

Beispiel 4.2 Wir betrachten den Banach-Raum C[a, b] der reellwertigen stetigen auf dem abgeschlossenem Intervall [a, b] mit a, b ∈ R, a < b, definierten Funktionen mit der Supremum-Norm f = supa≤t≤b | f (t)| für f ∈ C[a, b]. Mit der Vereinbarung der Metrik d mittels der Gleichung d( f , g) = f − g ist C[a, b] ein (vollständiger) metrischer Raum. Wir betrachten die Menge P ⊆ C[a, b], die aus allen (reellen) Polynomen t → ∑nk=0 ak t k (t ∈ R, n ∈ N ∪ {0}, ak ∈ R, k = 0, ..., n) durch Einschränkung auf das Intervall [a, b] entstehen, wir nennen sie polynomiale Funktionen auf [a, b]. Ist an = 0, dann ist die Zahl n der Grad der polynomialen Funktion. Nach dem bekannten Approximationssatz von Weierstraß ist jede stetige reelle Funktion auf [a, b] der gleichmäßige Limes einer Folge polynomialer Funktionen, also der Grenzwert dieser Folge bezüglich der Supremum-Norm. Also ist die Menge P dicht in C[a, b]. Betrachten wir aber die Mengen Pn := { f ∈ P|Grad von f ≤ n}(n = 1, 2, ...), indem wir den Grad begrenzen, so entstehen abgeschlossene Teilmengen von C[a, b], die (im Unterschied zu P) im Raum C[a, b] nirgendsdicht sind. Letztere Eigenschaften ergeben sich wie folgt: • Die Abgeschlossenheit von Pn in C[a, b] ist Konsequenz der ersichtlichen Tatsache, dass Pn ein endlichdimensionaler linearer Teilraum des normierten Raumes C[a, b] und daher abgeschlossen ist. • Pn ist deshalb nirgendsdicht in C[a, b], weil in jeder δ -Umgebung eines ihrer Elemente g ∈ Pn Funktionen liegen, die nicht zu Pn gehören. Z. B. gehört die Funktion gδ ∈ C[a, b], gegeben für δ > 0 durch die Vorschrift δ π t (a ≤ t ≤ b) gδ (t) = g(t) + sin 2 b−a (der Leser überlege sich die Details), nicht zu Pn , weil ihre (n + 1). Abteilung nicht identisch verschwindet (was für Funktionen aus Pn der Fall ist). Andererseits gilt natürlich die Gleichheit P=

(

Pn ,

n∈N∪{0}

die besagt, dass die Menge P im Raum C[a, b] eine Menge von erster Kategorie ist.

4.1.2 Der Dichtheits-Satz und der Kategorie-Satz von Baire Satz 4.1 (Baire’scher Dichtheits-Satz) Es seien (E, d) ein vollständiger metrischer Raum und {Gn }n∈N eine Folge nichtleerer, offener und in E ' dichter Teilmengen von E. Dann ist (auch) der Durchschnitt n∈N Gn aller Gn eine in E dichte Menge.

Beweis: Es seien x ∈ E und V eine offene Umgebung von X. Wir müssen zeigen, dass es in V eine Element z von E gibt, das zu allen Mengen Gn (n ∈ N) gehört. Die Umgebung V von x enthält eine abgeschlossene Kugel B(x; δ1 ), (B(x; δ1 ) := {y ∈ E|d(y, x) ≤ δ1 }), weil x innerer Punkt von V ist (Umgebungseigenschaft) und o. B. d. A. gilt 0 < δ1 ≤ 1. Die offene Kugel B0 (x; 12 δ1 )(= {y ∈ E|d(y, x) < 12 δ1 }) liegt ebenfalls in V . Da die Menge G1 in E (nach Voraussetzung) dicht ist, gibt es ein x1 ∈ G1 mit 1 x1 ∈ B0 (x; δ1 ) ⊆ V. 2 In der offenen Menge B0 (x; 12 δ1 ) ∩ G1 liegt wiederum eine abgeschlossene Kugel (mit Mittelpunkt x1 ) 1 B(x1 ; δ2 ) ⊆ B0 (x; δ1 ) ∩ G1 ⊆ V 2

98


mit einem Radius 0 < δ2 ≤ 12 δ1 ≤ 12 . Die offene Kugel B0 (x1 ; 12 δ2 ) ist daher enthalten in der nichtleeren offenen Menge B0 (x; 12 δ1 ) ∩ G1 ⊆ V und es gibt somit (Dichtheit der Menge G2 ) ein Element 1 1 x2 ∈ B(x; δ1 ) ∩ B(x1 ; δ2 ) ∩ G1 ∩ G2 ⊆ V 2 2 sowie eine abgeschlossene Kugel 1 1 B(x2 ; δ3 ) ⊆ B0 (x; δ1 ) ∩ B0 (x1 ; δ2 ) ∩ G1 ∩ G2 ⊆ V 2 2 mit Mittelpunkt x2 und einem Radius 0 < δ3 mit 1 1 1 δ3 ≤ δ2 ≤ δ1 ≤ . 2 4 4 Ersichtlich besteht die Enthaltenseinsbeziehung B(x2 ; δ3 ) ⊆ B(x1 ; δ2 ) wobei 0 < δ2 ≤ 12 ; 0 < δ3 ≤ 14 gilt. Die Fortsetzung dieser rekursiven Definition abgeschlossener Kugeln B(xn ; δn+1 ) =: Bn liefert eine fallende Folge Bn+1 ⊆ Bn mit Bn ⊆ V ∩ (

n *

Gk )

für n = 1, 2, ...

k=1

n−1 ). Nach Lemma 4.1 existiert eine Element deren Radien δn eine Nullfolge bilden (0 < δ ≤ 12 ' ' z ∈ n∈N Bn und für dieses gilt dann tatsächlich z ∈ V und z ∈ n∈N Gn (nach Konstruktion der abgeschlossenen Kugeln Bn ). Äquivalent zum soeben bewiesenen Baire’schen Dichtheits-Satz ist der folgende Baire’sche Kategorie-Satz. Satz 4.2 (Baire’scher Kategorie-Satz) Es sei (E, d) ein vollständiger metrischer Raum. Dann ist E von zweiter Kategorie in sich. Jede Residualmenge in E ist von zweiter Kategorie in E. )

Beweis: Angenommen, es wäre E = gen Fk . Dann folgt (Mengenalgebra)

k∈N Fk

0/ = E\E = E\

( k∈N

mit (abgeschlossenen) in E nirgendsdichten Men-

Fk =

*

(E\Fk ) =

k∈N

(

Gk

k∈N

und Gk := E\Fk ist offen und dicht in E. Nach dem Baire’schen Dichtheits-Satz Satz 4.1 ist dies ein Widerspruch. Ist P ⊆ E eine Residualmenge, d. h. P = E\M mit einer Menge M ⊆ E von erster Kategorie, dann folgt die Gleichheit E = M ∪ (E\M) = M ∪ P. Wäre P von erster Kategorie in E, dann wäre E (als Vereinigungsmenge zweier Mengen von erster Kategorie) ebenfalls von erster Kategorie in E, was, wie wir soeben gezeigt haben, nicht möglich ist. Der Leser zeige als Übung, dass auch umgekehrt der Baire’sche Dichtheits-Satz aus dem Baire’schen Kategorie-Satz folgt, womit die Äquivalenz beider Aussagen (Sätze 4.1, 4.2) nachgewiesen ist.

4.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

99

4.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Eine sehr wichtige Folgerung aus den Sätzen von Baire ist das bekannte Banach-SteinhausTheorem über die gleichmäßige Beschränktheit einer Menge linearer stetiger Operatoren von einem Banach-Raum in einen normierten Raum (vgl. Banach und Steinhaus [17]). Die Anwendungen dieses Theorems liefern nutzbringende Einsichten in die Wirkungsweise zahlreicher Approximationsprozesse der Analysis: Limitierungsverfahren, Interpolationsprozesse, Abtastreihen etc. Satz 4.3 (Satz von Banach und Steinhaus) Es seien (X, · X ) ein Banach-Raum und (Y, · Y ) ein nomierter Raum und {Tα }α ∈J (J = 0/ beliebige Indexmenge) eine Familie (speziell eine Folge für J = N) linearer stetiger Operatoren Tα : X → Y. Für jedes feste x ∈ X existiere eine positive Zahl K = K(x) < +∞, sodass die Ungleichung Tα (x)Y ≤ K(x) für alle j ∈ J, also für alle Operatoren der Familie {Tα }α ∈J , gilt. Dann gibt es eine positive Zahl M < +∞, sodass die Operator-Normen Tα X→Y gleichmäßig nach oben durch die Schranke M beschränkt sind, also die Ungleichung Tα X→Y ≤ M für alle α ∈ J besteht.

Beweis: (Indirekt) Angenommen, es gibt keine solche Schranke M wie im Satz behauptet, dann gibt es für jedes n = 1, 2, ... ein α = αn ∈ J, mit Tαn X→Y > n. Auf Grund der allgemein gültigen Beziehung (vgl. (3.70)) Tαn X→Y = sup{Tαn (x)Y | xX ≤ 1} gibt es dann zu jedem n = 1, 2, ... ein xn ∈ X mit xn X ≤ 1, für das n < Tαn (xn )Y ist. Wir definieren für n ∈ N, k ∈ N die Mengen Gn,k := {x ∈ X | k < Tαn (x)Y }. Wegen der Stetigkeit der Operatoren Tα sind die Mengen Gn,k bekanntlich offen (in X). Daher sind auch die Mengen ( Gk := Gn,k (k = 1, 2, ...) (4.2) n∈N

offen und (man beachte, dass xk ∈ Gk gilt) nichtleer. Wir zeigen sogleich, dass sie im (vollständigen metrischen) Raum X sogar dicht sind. Denn ist x ∈ X ein beliebiger Punkt aus X und ist die Zahl δ > 0 gegeben, dann sei xn := x + δ xn (xn wie oben) für n = 1, 2, ... Ersichtlich gelten dann die Beziehungen (der Leser überzeuge sich)

und

xn − xX ≤ δ

(4.3)

Tαn (xn ) = Tαn (x) + δ Tαn (xn )

(4.4)

100


für n = 1, 2, ... Die Norm (gebildet in Y) können wir (Dreiecksungleichung) nach unten abschätzen Tαn (xn )Y ≥ δ Tαn (xn )Y − Tαn (x)Y und, wegen der Definition der Elemente xn ist der rechtsstehende Ausdruck nicht kleiner als die Zahl (δ · n − Tαn (x)Y ), somit gilt Tαn (xn )Y ≥ δ n − Tαn (x)Y . Nach der Voraussetzung des Satzes ist die Ungleichung Tαn Y ≤ K(x) < +∞ erfüllt und damit gilt weiter die Abschätzung Tαn (xn )Y ≥ δ n − K(x).

(4.5)

Wählen wir n ∈ N hinreichend groß, so finden wir für jedes vorgegebene k = 1, 2, ... ein n0 = n0 (k), sodass die Ungleichung δ n − K(x) > k für alle n ≥ n0 (k) gilt, also (vgl. (4.5)) die Ungleichung Tαn (xn )Y > k richtig ist, und dies bedeutet, dass die Relation xn ∈ Gn,k

(n ≥ n0 (k))

besteht. Folglich ist auch die Relation (vgl. die Definition von Gk in (4.2)) xn ∈ Gk

(n ≥ n0 (k))

zutreffend, was unter Beachtung der Ungleichung xn − xX ≤ δ (vgl. (4.3)) die Dichtheit der (offenen) Mengen Gk in X (k = 1, 2, ...) ergibt. Nach dem Baire’schen Dichtheits-Satz (Satz 4.1) ' ist auch der Durchschnitt k∈N Gk eine in X dichte Menge (insbesondere also nichtleer). Wir ' wählen irgendein Element x∗ ∈ k∈N Gk . Nach Definition der Mengen Gk (vgl. (4.2)) heißt dies, dass bei gegebenem k ∈ N das Element x∗ ∈ Gn∗ ,k für ein gewisses n∗ ∈ N, n∗ = n∗ (k), ist oder (Definition von Gn,k ) die Ungleichung Tαn∗ (x∗ )Y > k besteht. Wählen wir nun die Zahl k so, dass K(x∗ ) < k gilt, folgt sofort die Ungleichungskette (vgl. die Voraussetzungen des Satzes) 0 < K(x∗ ) < k < Tαn∗ (x∗ )Y ≤ K(x∗ ) < +∞, ein offensichtlicher Widerspruch. Die möglicherweise wichtigste Konsequenz dieses soeben bewiesenen Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit ist das folgende Dichtheits-Konvergenz-Theorem, das ebenfalls auf Banach und Steinhaus zurückgeht.

4.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

101

Satz 4.4 Es seien (X, .X ) und (Y, .Y ) zwei Banach-Räume und {Tn } eine Folge stetiger linearer Operatoren von X in Y (Tn ∈ L(X, Y), n ∈ N). Die folgenden Bedingungen (I) und (II) sind (zusammen, bei gleichzeitigem Bestehen) notwendig und hinreichend für die Existenz eines stetigen linearen Operators T : X → Y, gegen den die Folge {Tn } punktweise konvergiert, also limn→+∞ Tn (x) = T (x) für jedes x ∈ X gilt: (I) Die (Operator-) Normen der Operatoren Tn sind gleichmäßig beschränkt, d. h., es gibt ein M ∈ (0, ∞) mit Tn X→Y ≤ M für alle n ∈ N (Eigenschaft der Gleichstetigkeit). (II) Für alle x ∈ D ⊆ X einer in X dichten Menge D, konvergiert die Folge {Tn (x)} in Y (gegen ein gewisses Element von Y ).

Beweis: Notwendigkeit. Wir setzen voraus, dass es einen stetigen linearen Operator T : X → Y gibt, für den die Limesrelation limn→+∞ Tn (x) = T (x) für jedes x ∈ besteht. Die Folge {Tn (x)} ist daher eine in Y beschränkte Folge. Nach dem vorangehenden Satz folgt das Bestehen der Bedingung (I), die Richtigkeit von (II) ist unmittelbar ersichtlich. Hinlänglichkeit. Wir wählen ein beliebiges Element x ∈ X und eine positive Zahl ε . Es gibt ein Element x ∈ D mit x − x X ≤ ε weil D in X dichte Menge ist. Da die Konvergenz von (Tn (x )) in Y vorausgesetzt ist, gibt es ein n0 = n0 (ε ) mit Tn (x ) − Tm (x )Y ≤ ε für alle n, m ≥ n0 (ε ). Fortlaufende Anwendung der Dreiecksungleichung, der Linearität und Stetigkeit der Operatoren Tn sowie der (jetzt vorausgesetzten) Bedingung (I) ergeben die folgende Ungleichungskette zur Abschätzung der Differenz (Tn (x) − Tm (x)): Tn (x) − Tm (x)Y ≤ T < −n(x) − Tn (x )Y + Tn (x ) − Tm (x )Y + +Tm (x ) − Tm (x)Y = Tn (x − x )Y + Tn (x )Y + Tm (x − x)Y ≤ ≤ Tn x→Y x − x x + Tn (x ) − Tm (x )Y + Tm X→Y x − x X ≤ ≤ 2Mx − x x + Tn (x ) − Tm (x ) − Tm (x )Y ≤ 2ε M + ε = (2M + 1)ε für alle n, m ≥ n0 (ε ). Die Folge {Tn (x)} ist somit eine Cauchy-Folge in Y und hat wegen der vorausgesetzten Vollständigkeit von Y einen Grenzwert T (x) := limn→+∞ Tn (x)(x ∈ X). Der so definierte Operator T von X nach Y ist ersichtlich linear. Seine Stetigkeit ergibt sich wie folgt. Nach den Bedingungen (I) gilt 0 ≤ Tn (x)Y ≤ Tn X→Y xX ≤ MxX für jedes x ∈ X und alle n ∈ N. Der Grenzübergang n → +∞ führt sofort auf die Ungleichung T (x)Y ≤ MxX für alle x ∈ X, die die Stetigkeit des (linearen) Operators T beinhaltet. Wir fügen zur behandelten Thematik folgenden Satz an, der in etwas allgemeineren Räumen gilt (vgl. Rolewicz [143]).

102


Satz 4.5 Es seien X1 und X2 vollständige (vgl. Definition 10.21) metrische lineare (vgl. Definition 10.16) Räume und {Tn } eine Folge linearer stetiger Abbildungen (Operatoren) Tn : X1 → X2 (n ∈ N) und für jedes x ∈ X1 existiere (bez. der Metrik von X2 ) der Grenzwert T (x) := lim Tn (x). n→+∞

Dann ist auch die Zuordnung x → T (x) (x ∈ X1 ) ein linearer stetiger Operator von X1 in X2 . Bemerkung 4.2 (1) Betreffs einer detaillierten historischen Einordnung obiger (zentraler) Ergebnisse vgl. Schröder [152]. (2) Hinsichtlich weitgehender Verallgemeinerungen auf Familien linearer Operatoren auf metrisierbaren lokalkonvexen Räumen und deren sogenannter Gleichstetigkeit vgl. Köthe [108]. (3) Besonders wichtig ist insbesondere der Fall einer Familie bzw. Folge von (Tn = fn ) linearen Funktionalen fn auf einem Banach-Raum X, also für Y = C (gegebenenfalls auch Y = R). Der Leser formuliere die obigen Sätze für diesen Fall. (4) Im Kapitel über Distributionen greifen wir auf ein entsprechendes Ergebnis für Folgen linearer stetiger Funktionale auf lokalkonvexen Räumen, das aus dem Zusammenwirken der Bemerkungen (2) und (3) entsteht, (ohne Beweis) zurück und gelangen damit zur Konvergenz von Folgen von temperierten Distributionen, d. h. von Folgen stetiger linearer Funktionale auf dem Raum S der rasch fallenden (komplexwertigen) Funktionen, die auf R bzw. RN definiert sind. (5) Viele Beispiele des Banach-Steinhaus-Theorems Satz 4.4 sind Ergebnisse und Aussagen „negativen Charakters“, indem sie nachweisen, dass bestimmte (aus der numerischen Analysis, aus der Signaltheorie oder aus anderen Anwendungen stammende) Approximationsprozesse im Allgemeinen nicht gegen die vielleicht erwarteten Werte bzw. Funktionen konvergieren (was gelegentlich in ingenieurwissenschaftlichen Arbeiten nicht beachtet wird). Wir weisen dies weiter unten (Beispiel 4.4) anhand der Folge der Partialsummen von Fourier-Reihen periodischer Funktionen bezüglich ihrer gleichmäßigen Konvergenz nach. (6) Eine weitere Richtung der Anwendungen des Banach-Steinhaus-Theorems sind generische Aussagen (vgl. dazu Abschnitte 4.4, 7.1 und die Arbeit von Georgiev [62]).

Anschließend behandeln wir ein Beispiel einer direkten Anwendung des Banach-SteinhausTheorems (Beispiel 4.3). In Beispiel 4.5 gehen wir dann nochmals auf die Approximation periodischer Funktionen durch Fourier-Reihen ein. Die Anwendungen in der Theorie der Limitierungsverfahren (vgl. insbesondere Zeller [179]) seien nur erwähnt.

4.3 Anwendungen und Beispiele Beispiel 4.3 Wir betrachten den Prozess der näherungsweisen numerischen Integration mittels Quadraturformeln (vgl. auch Schröder [152]). Als Beispiel wählen wir die bekannte Simpson’sche Regel zur numerischen Integration einer stetigen reellwertigen Funktion, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall der Zahlengeraden, also f : [a, b] → R, durch die Verwendung sogenannter Stützwerte f (xk ) an den Stützstellen xk = a + k · h (k = 0, ..., 2n) mit der Schrittweite h = b−a 2n bei gegebenem n ∈ N. Zur näherungsweisen Berechnung von

4.3 Anwendungen und Beispiele I( f ) :=

b a

103

f (x)dx verwendet man hierbei (Simpson’sche Regel) die Quadraturformel , + n−1 n−1 h Q := Qn ( f ) := f (a) + f (b) + 4 ∑ f (a + (2k + 1)h) + 2 ∑ f (a + 2kh) 3 k=0 k=1 , + n−1 n−1 b−a = f (a) + f (b) + 4 ∑ f (x2k+1 ) + 2 ∑ f (x2k ) . 6n k=0 k=0

(4.6)

Ist die Funktion f : [a, b] → R viermal stetig differenzierbar auf dem Intervall [a, b] (einseitig in den Randpunkten) und gilt | f (IV ) (x)| ≤ M (a ≤ x ≤ b), so besteht die „Fehlerabschätzung“ (vgl. z. B. Engeln-Müllges [53]) b a

f (x)dx − Qn ( f ) = |I( f ) − Qn ( f )| ≤

M (b − a)5 · . 2880 n4

(4.7)

Aus dieser Abschätzung folgt direkt die (erhoffte) Beziehung b a

f˜(x)dx = I( f˜) = lim Qn ( f˜) n→+∞

(4.8)

für jede Funktion f˜ : [a, b] → R, die mittels Einschränkung eines Polynoms ( f˜ ist nur auf [a, b] erklärt) auf das Intervall [a, b] entsteht, da jede derartige Funktion beliebig oft auf [a, b] differenzierbar ist. Die „Näherungsausdrücke“ Qn (·) sind ersichtlich stetige lineare (reellwertige) Funktionale auf dem BanachRaum C[a, b] (mit der üblichen Supremum-Norm). Für die Abschätzung ihrer (Operator-) Norm erhalten wir aus Formel (4.3) sofort (n ∈ N): h |Qn ( f )| ≤ ( f + 4n f + 2(n − 1) f ) = (b − a) f 3 (wegen f = maxx∈[a,b] | f (x)| und h = b−a 2n für jede stetige Funktion f : [a, b] → R); somit folgt die Ungleichung (n = 1, 2, ...) Qn ≤ (a − b) (es ist leicht zu sehen, dass sogar stets das Gleichheitszeichen zutrifft). Im Ergebnis haben wir eine Folge (Qn ) stetiger linearer Funktionale auf dem Raum C[a, b], deren Normen gleichmäßig beschränkt sind und die auf einer dichten Teilmenge von C[a, b] (nämlich der nach dem bekannten Weierstraß’schen Approximationssatz dichten Teilmengen aller polynomialen Funktionen f˜, vgl. oben) punktweise konvergiert. Für jedes polynomiale f˜ gilt limn→∞ Qn ( f˜) = I( f˜). Der Satz 4.4 von Banach und Steinhaus liefert (die dortigen Voraussetzungen I und II sind erfüllt) nun die bemerkenswerte Tatsache, dass (sogar) für jede stetige Funktion f ∈ C[a, b] die Approximations-Beziehung b a

f (x)dx = I( f ) = lim Qn ( f ) n→∞

besteht. Beispiel 4.4 Wir betrachten die Entwicklung einer stetigen Funktion f : [0, 2π ] → R in eine Fourier-Reihe f→

∞ a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt), 2 k=1

104


wobei die Koeffizienten (-Funktionale) durch ak =

1 π

2π 0

f (τ ) cos kτ dτ =: ak ( f ); bk =

1 π

2π 0

f (τ ) sin kτ dτ =: bk ( f ) (k = 0, 1, 2, ...)

gegeben sind (vgl. Beispiele 2.2 und 2.1) und für alle k ∈ N existieren, da f stetig ist. Wir betrachten die Folge der Partialsummen obiger Fourier-Reihe {Sn }, also für n = 1, 2, ... die Ausdrücke Sn ( f )(t) :=

n a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt) (0 ≤ t ≤ 2π ). 2 k=1

Im Raum C[a, b], versehen mit der Supremum-Norm f = supa≤t≤b | f (t)|), wobei hier a = 0 und b = 2π gilt, bildet die Folge {Sn } eine Folge linearer und stetiger Operatoren Sn : C[0, 2π ] → C[0, 2π ] dieses Raumes in sich (zum Beweis schätze man die Beträge der Koeffizienten ak , bk mittels der Norm von f ∈ C[0, 2π ] ab). Wir zitieren die folgenden Resultate aus Schröder [152] und Kantorowitsch/Akilow [103]. (1) Es gilt für die (Operator-) Normen von Sn die Gleichheit (n ∈ N) Sn =

1 π

2π sin(2n + 1)t

sint

0

dt.

(2) Es gilt die Ungleichung 1 · ln n (n = 1, 2, ...). 8π Also ist limn→+∞ Sn = +∞, die (Operator-) Normen der Operatoren Sn sind nicht (nach oben) beschränkt. Aus dem Satz von Banach-Steinhaus (Satz 4.4) folgt damit, dass es mindestens eine (tatsächlich aber viele) Funktion(en) f0 ∈ C[0, 2π ] gibt, für die die Folge der Normen Sn ( f0 ) = sup0≤t≤2π |Sn ( f0 )(t)| nicht für n = 1, 2, ... gleichmäßig nach oben beschränkt sind und deshalb die Folge der Partialsummen {Sn ( f0 )} für n → ∞ nicht im Raum C[0, 2π ] konvergiert (und erst recht nicht gegen f0 ). Verfeinerte Betrachtungen (vgl. u. a. Schröder [152]) mit eben denselben Hilfsmitteln (Sätze des vorliegenden Abschnitts) ergeben (sogar) die Existenz stetiger reellwertiger Funktionen auf [0, 2π ], deren Fourier-Reihe auf einer vorgegebenen abzählbaren Teilmenge des Intervalls [0, 2π ] divergiert (speziell etwa auf der dichten Teilmenge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 2π ). Sn ≥

Beispiel 4.5 Mit den Beziehungen und Vereinbarungen des Beispiels 4.4 untersuchen wir jetzt (wir zitieren dieses Beispiel aus Kharazishvili [105], S. 154/155) die Fourier-Reihe von Funktionen f ∈ C[0, 2π ], die zusätzlich stetig differenzierbar auf dem Intervall [0, 2π ] sind. Mittels partieller Integration in den Koeffizienten-Formeln (vgl. Beispiel 4.4) und nachfolgender Abschätzung der Beträge der Koeffizienten (in einfachster Weise, also unter Verwendung von | sin kt| ≤ 1, | cos kt| ≤ 1 für alle t ∈ [0, 2π ]) erhält man eine Abschätzung der Fourier-Koeffizienten in der Gestalt |ak ( f )| + |bk ( f )| ≤

M k

(k = 1, 2, ...),

(4.9)

wobei die positive Konstante M nur von f , aber nicht von k ∈ N abhängt. Wir betrachten jetzt die Menge G aller Funktionen f ∈ C[0, 2π ], deren Fourier-Koeffizienten einer Ungleichung der Form (4.9) (für alle k ∈ N) genügen, m. a. W. die Fourier-Koeffizienten sind von der Ordnung O( 1k ). Diese Menge G ist ein linearer Teilraum von C[0, 2π ] (Aufgabe für den Leser). Überraschend ist nun die Menge G eine Menge von erster Kategorie im Banach-Raum C[0, 2π ], d. h. die abzählbare Vereinigung von Mengen, die in

4.3 Anwendungen und Beispiele

105

C[0, 2π ] nirgendsdicht sind. Zum Nachweis dieser Eigenschaft definieren wir Mengen Gn ⊆ G wie folgt (n = 1, 2, ...): n Gn := { f ∈ C[0, 2π ] | |ak ( f )| + |bk ( f )| ≤ für k = 1, 2, ...}. k Zufolge der Stetigkeit der Funktionale ak (·), bk (·) (vgl. Beispiel 4.4) sind alle Mengen Gn abgeschlossen und es gilt die Gleichheit ( Gn = G. n∈N

Wir zeigen, dass alle Mengen Gn in C[0, 2π ] nirgendsdicht sind. Nehmen wir gegenteilig an, dass Gn ein nichtleeres Inneres (d. h. eine offene Teilmenge) besitzt. Dann hat auch die Menge G ein nichtleeres Inneres (enthält eine offene Menge). Da nun G ein linearer Teilraum von C[0, 2π ] ist, muss sogar die Gleichheit G = C[0, 2π ] bestehen (der Leser vollziehe die Details). Aber diese Gleichheit kann nicht bestehen, weil es Funktionen f (·) ∈ C[0, 2π ] gibt, für die eine Ungleichungsfolge der Form (4.9) nicht besteht. Hierzu betrachten wir die Funktion g(·) (vgl. [105] S. 155), die mittels der Gleichung ∞

g(t) :=

∑

m=1

1 1 6 6 cos(m t) + sin(m t) m3 m3

(t ∈ [0, 2π ])

definiert ist (eine sogenannte „lückenhafte“ Fourier-Reihe). Dabei konvergiert die rechtsstehende Reihe gleichmäßig, g(·) ist daher stetig und gleich „ihrer“ Fourier-Reihe. Mit der Indextransformation k := m6 (m = 1, 2, ...) erhalten wir ersichtlich für f0 = g : ak ( f0 ) = m13 = √1 ; bk ( f0 ) = m13 = √1 für k = m6 (m = 1, 2, ...) k k also k = 1; 64; 729; 4096; 15625; ... und ak ( f0 ) = bk ( f0 ) = 0 für alle weiteren k ∈ N. Diese Koeffizientenfolge erfüllt aber keine Ungleichung vom Typ (4.9), denn es gilt für k = m6 , m = 1, 2, ... √ 2k k · (|ak ( f0 )| + |bk ( f0 )| = √ = 2 k, k √ was wegen der Unbeschränktheit der Folge k = m3 für m ∈ N das Bestehen einer Ungleichung der Form (4.9) (mit von k unabhängigem M) ausschließt. Somit ist jedes Gn (n ∈ N) nirgendsdicht und ihre Verei) nigung G = n∈N Gn folglich eine Menge von erster Kategorie im Banach-Raum C[0, 2π ], was auch so formuliert werden kann: Außer einer Menge von erster Kategorie hat jede Funktion f ∈ C[0, 2π ] eine Folge von Fourier-Koeffizienten ak ( f ); bk ( f ), die nicht von der Ordnung O( 1k )(k ∈ N) sind und damit keine Ungleichung der Form (4.9) erfüllen. Beispiel 4.6 (Über die Stetigkeit von Basen) Genauso wie wir in endlichdimensionalen Räumen die „rechnende Geometrie“ auf das Vorhandensein einer (algebraischen) Basis stützen müssen (etwa das System der Einheitsvektoren ek = (δk j ) mit δk j = 0 für k = j und δkk = 1, j, k = 1, ..., N in RN ), erweisen sich für das Auflösen von Gleichungen mit (vor allem linearen, aber auch nichtlinearen) Operatoren entsprechende Systeme von Basisvektoren, kurz: Basen, als nützlich und wesentlich. Wir beschreiben hier nur den Fall normierter Räume bzw. Banach-Räume (in extremer Kürze, einen Überblick zum genannten Thema gibt Singer in seinem Standardwerk „Bases in Banach Spaces I/II“ [157]. Wir beginnen mit der folgenden Definition. Definition 4.4 Es seien (X, · ) ein normierter Raum und {en } eine Folge von Elementen aus X. Die Folge {en } heißt eine Basis (auf) von X, wenn jedes Element x ∈ X genau eine Darstellung in der Gestalt x = ∑∞ k=1 αk ek besitzt. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz der Folge ihrer Partialsummen in der Norm von X.

106


Eines der wichtigsten Beispiele sind vollständige Orthogonalsysteme (vgl. Definition 2.1) in HilbertRäumen, man spricht auch von orthogonalen Basen. Ist (H, .|.) ein Hilbert-Raum und ist {gn } ein vollständiges Orthogonalsystem in H, so hat jedes x ∈ H eine Orthogonalentwicklung x=

∞

∑ ck gk , ck = x|gk

(k = 1, 2, ...)

k=1

im Raum H, wobei die Koeffizienten ck wegen der Orthogonalität der Elemente gk keine anderen Werte haben können. Im allgemeinen Fall der obigen Definition erkennen wir (durch Betrachtung der Reihendarstellungen von Elementen x, λ x, y, x + y in X, λ ∈ C), dass die (eindeutig bestimmten) „Entwicklungskoeffizienten“ αk ersichtlich lineare Funktionale auf X sind: αk = αk (x) für x ∈ X und k ∈ N. Im Falle des vollständigen ONS im Hilbert-Raum folgt mittels der Schwarz’schen Ungleichung aus ck = ck (x) = x|gk unter Beachtung von gk = 1 für alle x ∈ H, die Abschätzung |ck (x)| ≤ |x|gk | ≤ x.gk = x, also die Beschränktheit und damit die Stetigkeit der „Koeffizientenfunktionale“ ck (·). Dies führt auf folgende weitere Definition. Definition 4.5 Es seien (X, .) ein normierter Raum und {en } eine Basis von X. Die Basis {en } heißt stetig oder eine Schauder-Basis, wenn die Koeffizientenfunktionale αk = αk (·) sämtlich stetig sind, also Elemente des topologischen Dualraumes X∗ repräsentieren. Bemerkenswert ist nun, dass Basen in Banach-Räumen (allgemeiner bei entsprechender Erweiterung der Definition auch in vollständigen metrischen linearen Räumen) automatisch stetig sind (vgl. Singer [157], Rolewicz [143], Schauder[149]). Es gibt somit Zahlen Mk ∈ (0, +∞), k = 1, 2, ... mit |αk (x) ≤ Mk · x

(x ∈ X; k = 1, 2, ...).

Mittels dieser Ungleichung stellen wir weiter fest, dass die Abschnitts-Operatoren Sn , gegeben durch Sn (x) :=

n

∑ αk (x)ek

(x ∈ X; n = 1, 2, ...)

k=1

lineare beschränkte, also stetige Operatoren auf dem Raum X sind. Denn ersichtlich gilt (Dreiecksungleichung) die folgende Ungleichungskette n

Sn (x) = ∑ αk (x)ek ≤

+ ≤

k=1

,

n

∑ Mk · ek

· x

n

∑ |αk (x)|ek ≤

k=1

für alle x ∈ X und n ∈ N.

k=1

Somit haben wir die Ungleichung Sn ≤

n

∑ Mk · ek

(n = 1, 2, ...)

k=1

für die Operator-Normen der Abschnitts-Operatoren Sn . Da nun (vgl. die Definition der Basis) die AbschnittsOperatoren für jedes x ∈ X eine konvergente Folge {Sn (x)}, die gegen dieses Element x konvergiert, und

4.4 Fσ - und Gδ -Mengen. Was ist „generisch“?

107

somit eine beschränkte Folge erzeugen, ergibt sich aus dem Banach-Steinhaus-Theorem (Satz 4.4) sogar ¨ die gleichmßige Beschränktheit der Zahlenfolge {Sn }. Es existiert also ein festes M ∈ (0, +∞) mit Sn ≤ M

für

n = 1, 2, ...

Damit ist die Konvergenz der Operatoren Sn gegen die Identität auf X auf den kompakten Teilmengen von X stets sogar gleichmäßig. Interessant ist natürlich die Frage nach dem kleinstmöglichen M in letzterer Ungleichung (nach dem Infimum aller möglichen Werte von M). Für Hilbert-Räume und die Entwicklung nach einem vollständigen ONS gilt (der Leser zeige dies!) die Gleichheit inf M = 1. Die Ergebnisse von Beispiel 4.4 zeigen die prinzipielle Verschiedenheit des Banach-Raumes C[0, 2π ] mit der Supremum-Norm und des Hilbert-Raumes L2 ([0, 2π ]) mit der (von uns betrachteten) Skalarprodukt-Norm. Wie wir in Abschnitt über die Fourier-Transformation und die Entwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen erkennen (vgl. Bemerkung 8.5), können auch die gleichen Basiselemente in unterschiedlichen Räumen (S(R) bzw. L2 (R)) eine stetige Basis liefern.

4.4 Fσ - und Gδ -Mengen. Was ist „generisch“? Häufig reicht die Unterscheidung zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen in einem metrischen (bzw. topologischen) Raum nicht aus, um eine gegebene Situation zu beschreiben. Die nächste Stufe an Komplexität erreicht man, wenn abzählbar unendliche Mengenoperationen eingesetzt werden, die aus dem Bereich der offenen bzw. abgeschlossenen Mengen herausführen. Dementsprechend definiert man: Definition 4.6 Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge M ⊆ X heißt eine Fσ -Menge (in X), wenn M die abzähl) bare Vereinigung von abgeschlossenen Mengen ist, also M = ∞ n=1 Fn , Fn abgeschlossen in X für n ∈ N, gilt. Eine Teilmenge Q ⊆ X heißt eine Gδ -Menge (in X), wenn Q der abzählbare Durchschnitt von offenen ' Mengen ist, also Q = ∞ n=1 Gn , Gn offen in X für n ∈ N, gilt.

Wie einfache Beispiele zeigen (Menge der rationalen Zahlen in R mit der üblichen Betragsmetrik), braucht eine Fσ -Menge nicht abgeschlossen und eine Gδ -Menge nicht offen zu sein (etwa ' 1 1 Q= ∞ n=1 (1 − n ; 1 + n ) = {1} in R mit der üblichen Betragsmetrik). Weitere, umfassende Mengensysteme ergeben sich durch Einführung von Fσ δ - und Gδ σ -Mengen, etc. Ein etwas aussagekräftigeres Beispiel liefert die Feststellung, dass die Menge aller Stetigkeitspunkte einer auf einem metrischen (bzw. topologischen) Raum definierten Funktion mit reellen Werten stets eine Gδ -Menge ist. Es gilt Satz 4.6 Es seien (X, d) ein metrischer Raum und f : X → R eine reelle Funktion auf X. Dann ist die Menge M := {x ∈ X| f ist in x stetig} eine Gδ -Menge in X.

Beweis: Es bezeichne int A die Menge aller inneren Punkte einer beliebigen Menge A ⊆ X. Bekanntlich ist int A stets eine offene Menge. Es gelten die folgenden Gleichheiten (Aufgabe für den Leser): M=

∞ ( *

n=1 y∈R

int V (y, n) =

∞ ( *

y∈R n=1

int V (y, n),

108


wobei V (y, n) := f

−1

. 1 1 1 1 y− ;y+ = z ∈ X|y − ≤ f (z) ≤ y + (y ∈ R; n ∈ N) n n n n

gesetzt wird. Die erste obige Gleichheit für M ergibt unmittelbar die Behauptung. Das nächste Beispiel zeigt, dass das Komplement einer Menge von 2. Kategorie keinesfalls eine Menge von 1. Kategorie sein muss, auch wenn der zugrunde liegende metrische Raum vollständig ist. Beispiel 4.7 Wir beschreiben ein (einfaches) Beispiel dafür, dass eine Menge 2. Kategorie nicht notwendig eine Residualmenge, d. h. das Komplement einer Menge von erster Kategorie sein muss. Die Umkehrung gilt nach dem (Baire´schen) Satz 4.2 in jedem vollständigen metrischen Raum, denn dort ist jede Residualmenge eine Menge von zweiter Kategorie. Wir wählen den Raum X = R mit der Betragsmetrik d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ R). Mit P ⊆ R bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen. R\P ist dann die Menge der irrationalen Zahlen. Wir definieren Mengen A1 , A2 ⊆ R wie folgt: ) A1 := {x ∈ R|x ≥ 0 und x ∈ P} {x ∈ R|x < 0 und x ∈ R\P} , A2 := R\A1 . Es gelten ersichtlich die Gleichheiten: A1 ∪A2 = R = X; A1 ∩A2 = 0; / A2 ∪{0} = −A1 = {x ∈ R|(−x) ∈ A1 }. Wäre A1 von erster Kategorie, so träfe dies (aus Symmetriegründen) auch für A2 zu und dann wäre auch R = A1 ∪ A2 von erster Kategorie (als endliche Vereinigung solcher Mengen), was dem Satz von Baire widerspricht. Ebenso kann A2 nicht von erster Kategorie sein (der Leser vollziehe dies nach). Also sind sowohl A1 als auch A2 von zweiter Kategorie. Beide Mengen sind aber (als Komplemente bezüglich R = X voneinander keine Residualmengen.

Die generelle Frage „Was ist typisch?“, die bei der Betrachtung von Systemen und ihrer Eigenschaften stets auftritt, wird insbesondere in der Theorie der Dynamischen Systeme (vgl. [104] sowie [8]) und den Wirtschaftswissenschaften (vgl. u. a. [170]) durch den Begriff generisch beschrieben. Wir schließen uns dem Vorgehen von Dieudonné ([43], S. 591) an und definieren diesen Begriff wie folgt. Definition 4.7 Eine Eigenschaft E(·), die auf die Elemente eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) zutreffen oder nicht zutreffen kann, heiße generisch (genauer: generisch in X), wenn die Menge M aller Elemente von X auf die E(.) zutrifft, d.h. M = {x ∈ X|E(x) gilt}, eine in X dicht liegende Gδ -Menge enthält. Die Menge X\M ist dann von erster Kategorie. Beispiel 4.8 (Zur Begriffserläuterung) Es sei X = R mit der Betragsmetrik und es sei E(·) die Eigenschaft E(x) := (x ist eine irrationale Zahl). Dann ist E(.) eine (in X) generische Eigenschaft. Zum Beweis stellen wir fest, dass M = {x ∈ X|E(x) gilt} ) mit der Menge R\P(P : Menge der rationalen reellen Zahlen) übereinstimmt. Die Menge P = n∈N {rn } (rn : n-te rationale Zahl in einer gewählten Nummerierung) ist ersichtlich eine Fδ −Menge (jede Menge {rn } ist ) ' abgeschlossen). Daher gilt (Rechenregeln Mengenalgebra) M = R\P = R\ n∈N {rn } = n∈N (R\{rn }). ) Wegen R\{rn } = (−∞, rn ) (rn , +∞) ist somit M eine Gδ -Menge. Außerdem liegt M in R dicht, da in jedem Intervall in R, etwa [a, b] (a < b), stets eine irrationale Zahl liegt (vgl. Grundlagenanalysis).

Beispiel 4.8 steht trotz seiner Einfachheit für ein standardmäßiges Herangehen zum Nachweis der Existenz besonderer Objekte und zum Nachweis, dass eine bestimmte Eigenschaft generisch zutrifft.

4.4 Fσ - und Gδ -Mengen. Was ist „generisch“?

109

Methodisches Vorgehen zum Nachweis der Generizität: Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und E(·) eine Eigenschaft, die die Elemente von X besitzen können oder nicht. Falls die Menge aller Elemente von X, auf die die Eigenschaft E(·) nicht zutrifft, sich als abzählbare Vereinigung abgeschlossener und nirgendsdichter Mengen darstellen lässt, also die ) Gleichheit {x ∈ X | E(x) gilt nicht } = n∈N Fn , Fn abgeschlossen und nirgendsdicht besteht, gilt nach den de Morgan-Komplementregeln weiter M := {x ∈ X | E(x) gilt } = {x ∈ X | E(x)} = ) ' ' X\ n∈N Fn = n∈N (X\Fn ) = n∈N Gn mit Gn := X\Fn (n ∈ N), die Menge Gn ist offen. Also ist M eine Gδ -Menge, die nach dem Baire’schen (Dichtheits-) Satz in X dicht liegt (man beachte, dass alle Mengen Gn in X dicht liegen als Komplemente abgeschlossener nirgendsdichter Mengen). Damit ist die Eigenschaft E(.) in X generisch (und insbesondere ist die Menge M nichtleer).

5 Hahn-Banach-Theorem 5.1 Über den Satz von Hahn und Banach Der Satz von Hahn und Banach gehört zu den grundlegenden Sätzen der Funktionalanalysis und ist der Hintergrund für eine Menge wichtiger Resultate. Es gibt diesen Satz in verschiedenen Versionen (algebraische, analytische, geometrische), die oft zueinander äquivalent sind. Im nächsten Abschnitt wird eine (analytische) Version bewiesen und anschließend auf andere Versionen eingegangen. In diesem Abschnitt sollen Anwendungsmöglichkeiten des Satzes betrachtet werden. Geometrische Versionen beinhalten Aussagen über die Trennung zweier konvexer Mengen durch ein lineares (stetiges) Funktionals. Solche Funktionale beschreiben Hyperebenen. In der Optimierungstheorie wird die Optimalität eines Punktes oft dadurch beschrieben, dass zwei konvexe Mengen durch eine Hyperebene getrennt werden. Die Normalenvektoren der Hyperebene korrespondieren zu den Lagrange’schen Multiplikatoren des Optimierungsproblems und haben ökonomische Bedeutung (vgl. Schattenpreise, Abschnitt 5.8). Im Folgenden soll der Satz über die hinreichende Anzahl linearer stetiger Funktionale auf einem Banach-Raum interpretiert werden (der Beweis des Satzes folgt aus einer analytischen Version des Satzes von Hahn und Banach, vgl. Folgerung 5.1). Es gilt: Satz 5.1 Zu jedem Element x0 = 0 eines reellen normierten Raumes X gibt es ein lineares stetiges Funktional x0∗ auf X mit (5.1) x0∗ (x0 ) = ||x0 ||X , ||x0∗ ||∗ = 1.

Dieser Satz schaut nicht sehr attraktiv aus. Wir betrachten daher den endlichdimensionalen Fall. Dem Leser ist die Nützlichkeit der Koordinaten eines Punktes im 2−, 3− oder n−dimensionalen Raum R2 , R3 oder Rn wohlbekannt. Ein Punkt x ∈ Rn wird üblicherweise in der Form eines geordneten n-Tupels reeller Zahlen x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), ξk ∈ R beschrieben. Wir definieren nun eine Funktion durch x → ξ1 = ξ1 (x), x ∈ Rn . Diese Funktion ist die Projektion des Punktes x auf die ξ1 -Achse oder auf die erste Koordinate von x. Aus elementargeometrischen Gründen ist klar, dass diese Korrespondenz x → ξ1 zwei einfache Eigenschaften besitzt:

ξ1 (x + y) = ξ1 (x) + ξ1 (y) (x, y ∈ Rn ),

(5.2)

ξ1 (λ x) = λ ξ1 (x) (x ∈ Rn , λ ∈ R),

(5.3)

was nichts anderes bedeutet als die Definition der Addition von Vektoren (=Punkten) in Rn und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, d.h., die Relationen (5.2),(5.3) reflektieren, dass Rn ein Vektorraum (= linearer Raum) ist (vgl. Definition 10.15). Jetzt denken wir an die Definition linearer Funktionale (3.1): Ist X ein Vektorraum über R und f : X → R eine Abbildung, die die Relationen f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y ∈ X),

(5.4)

112

5 Hahn-Banach-Theorem

f (λ x) = λ f (x) (x ∈ X, λ ∈ R),

(5.5)

erfüllt, so hieß dieses f ein lineares Funktional auf dem Vektorraum X. Ein lineares Funktional, eines der wichtigsten Gegenstände der Funktionalanalysis, repräsentiert also eine Verallgemeinerung einer Koordinate, wie die ξ1 -Koordinate eines Vektors (= Punkt) x ∈ Rn . Wenn wir unsere Betrachtungen auf die Menge aller Koordinaten eines Punktes x ∈ Rn konzentrieren, so haben wir eine Menge L von linearen Funktionalen L = {ξ1 (·), ξ2 (·), ..., ξn (·)},

(5.6)

die alle auf Rn definiert sind. Und, selbstverständlich, alle diese n Funkionale sind nötig, um eine Beschreibung eines Punktes x ∈ Rn durch seine Koordinaten zu geben, mit anderen Worten, es besteht eine eineindeutige Korrespondenz zwischen den Punkten x aus Rn und den n-Tupeln (ξ1 (x), ξ2 (x), ..., ξn (x)). In gewissem Sinne kann man sagen, dass die Menge L von Funktionalen vollständig ist, weil diese Menge L hinreichend viele lineare Funktionale enthält. Natürlich, irgendeine Menge linearer Funktionale auf Rn , die die Menge L enthält, muss ebenso als vollständig in dem beschriebenen Sinne angesehen werden. Für eine beliebig gewählte Menge von linearen Funktionalen auf einem allgemeinen Vektorraum X (lineare Funktionale auf X werden oft mit x bezeichnet), kann man diese beschriebene Art von Vollständigkeit durch eine einfache Eigenschaft testen, die die Identifikation eines Punktes aus X durch eine hinreichend große Anzahl linearer Funktionale aus einer gegebenen Menge S von linearen Funktionalen auf X garantiert: (T) Es seien x1 , x2 ∈ X und x1 = x2 , dann gibt es ein Funktional x ∈ S, sodass x (x1 ) = x (x2 ) gilt. Von einer Menge S linearer Funktionale auf einem Vektorraum X, die die Eigenschaft (T) hat, sagt man, dass sie die Punkte aus X trennt. Manchmal heißt eine solche Menge kurz separativ. Somit ist die Menge L der Koordinatenfunktionale auf dem Raum Rn separativ. Es ist offensichtlich, dass ein punktetrennendes (= separierendes) Funktional nicht das Nullfunktional (x (x) = 0 x ∈ X) sein kann. Die Frage, ob es auf einem gegebenen Banach-Raum X = {0} eine separative Menge linearer Funktionale gibt, beantwortet Satz 5.1, denn man sieht leicht, dass die Menge X∗ aller linearen stetigen Funktionale (diese werden oft mit x∗ bezeichnet) auf dem Banach-Raum X separativ ist. Sind nämlich x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , so ist x1 − x2 = 0 und nach Satz 5.1 gibt es ein nichtverschwindendes lineares stetiges Funktional x0∗ mit der Eigenschaft x0∗ (x1 ) = x0∗ (x2 ). Wir möchten noch auf eine andere Eigenschaft der separativen Menge L hinweisen. Da L nicht durch eine echte Teilmenge linearer Funktionale ersetzt werden kann, die ebenso separativ ist, kann L als ein minimales System trennender Funktionale für den Raum Rn bezeichnet werden. Solche minimalen Systeme separierender Funktionale spielen eine wichtige Rolle für viele Fragen in linearen Räumen, man denke an Basen oder vollständige Orthogonalsysteme. Wir führen weitere Anwendungen von Satz 5.1 an: Beispiel 5.1 (Das Gleichheitszeichen in der Schwarz’schen Ungleichung) Es sei (X, ·|·) ein reeller Hilbert-Raum, dann können die linearen stetigen Funktionale auf dem HilbertRaum wegen des Satzes von Riesz (vgl. Satz 3.3) mittels des Skalarprodukts ·|· dargestellt werden. Und

5.1 Über den Satz von Hahn und Banach

113

nun besagt Satz 5.1, dass für jedes Element x0 ∈ X, x0 = 0, ein Element a ∈ X existiert mit der Eigenschaft a|x0 = ||x0 ||X ,

||a||X = 1.

Mit anderen Worten, für jedes nichtverschwindende Element x0 ∈ X gibt es ein Element a ∈ X, aX = 1, sodass in der Schwarz’schen Ungleichung y|x0 ≤ yX x0 X , x0 , y ∈ X, y = 0,

(5.7)

das Gleichheitszeichen gilt, oder, dass y|x0 auf {y ∈ X, y = 1} seinen Maximalwert annimmt. Das letzte Resultat wird in der Optimierungstheorie oft benutzt. Beispiel 5.2 (Schwache Kompaktheit) Einer der wichtigsten Sätze der elementaren Analysis ist der Satz von Weierstraß: Jede stetige reellwertige Funktion auf einer nichtleeren kompakten Menge im Raume Rn nimmt ihren Minimalwert (und ihren Maximalwert) an. Aber in allgemeineren Räumen, wie sie bei der Beschäftigung mit Differentialgleichungen, mit der Optimalen Steuerung, mit verallgemeinerten Spielen oder mit Ökonomien nötig sind, ist Kompaktheit eine sehr scharfe Voraussetzung. Als einen Ersatz kann man die schwache Folgen-Kompaktheit ansehen. Um mit ihr zu arbeiten, werden schwach konvergente Folgen benutzt: Eine Folge {xk } in einem normierten Raum X heißt schwach gegen x ∈ X konvergent, falls für jedes lineare stetige Funktional x∗ auf X gilt {x∗ (xk )} → x∗ (x). Man schreibt {xk } x. Diese Definition ist aber nur nutzbar, wenn der erwähnte (schwache) Grenzwert x ∈ X eindeutig bestimmt ist. Das kann mit Satz 5.1 bestätigt werden: Wäre x = x ein weiterer schwacher Grenzwert, dann folgt für x) gilt. jedes lineare stetige Funktional x∗ auf X, dass sowohl {x∗ (xk )} → x∗ (x) als auch {x∗ (xk )} → x∗ ( Subtraktion ergibt einerseits eine Folge von Nullen, daher ist x∗ (x − x) = 0 für alle x∗ auf X, aber andererseits ergibt Satz 5.1, dass ein lineares stetiges Funktional x0∗ auf X existiert mit x0∗ (x − x) = ||x − x|| = 0, ein Widerspruch. Mit den benutzten Begriffen ergibt sich im Banach-Raum X ein Analogon zum Weierstraß’schen Satz : Jede schwach folgen-unterhalbstetige Funktion F auf einer nichtleeren schwach folgen-kompakten Menge in X nimmt ihren Minimalwert an. Eine Menge M ⊆ X heißt schwach folgen-kompakt, wenn jede Folge in M eine schwach konvergente Teilfolge (mit Grenzwert in M) besitzt. In reflexiven Banach-Räumen ist jede abgeschlossene, beschränkte und konvexe Menge schwach folgen-kompakt. Beispiel 5.3 (Über Dualität) Bei den Aussagen über eine hinreichend große Anzahl von linearen Funktionalen über einem Raum hatte sich gezeigt, dass Satz 5.1 eine enge Beziehung zwischen den Elementen des Banach-Raumes X und den Elementen des Raumes X∗ der linearen stetigen Funktionale auf X definiert. Der Raum X∗ heißt der Dualraum zu X (und kann selbst als Banach-Raum angesehen werden (vgl. Satz 3.24). Es gibt eine große Anzahl außerordentlich wichtiger Beziehungen von dualem Charakter in der Funktionalanalysis, in der Geometrie und anderen mathematischen Disziplinen. Ein typisches Beispiel ist die Begriffsbildung der Ableitung einer Distribution (vgl. Definition 8.4), ein weiteres Beispiel einer solchen Beziehung ist die Charakterisierung einer abgeschlossenen konvexen Menge durch die Menge aller ihrer Stützhyperebenen. Eine Menge M in einem reellen linearen Raum heißt konvex, falls mit x1 , x2 ∈ M auch y = λ1 x1 + λ2 x2 ∈ M ist für alle reellen Zahlen λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1. Als ein Beispiel betrachten wir im Euklidischen Raum R3 (mit dem Skalarprodukt ·|·) eine abgeschlossene konvexe Menge M. Diese Menge M ist einerseits „punktweise“ als konvexe Menge in R3 definiert, M kann aber auch „dual“ durch alle Ebenen beschrieben werden, die M „stützen“. Falls M eine abgeschlossene Kugel in R3 mit Radius r > 0 und dem Ursprung als Mittelpunkt ist, kann diese Dualität leicht bestätigt werden. Ist nämlich x0 ein Randpunkt der Kugel, so liefert Satz 5.1 ein Element x∗ ∈ R3 \ {0}, ||x∗ || = 1 mit x∗ |x0 = ||x0 || = r. Die Menge {x ∈ R3 | x∗ |x = r} ist eine sogenannte Stütz(hyper)ebene bezüglich der Kugel M: Die genannte Ebene hat mit dem Kugelrand einen

114


Punkt gemeinsam und die Kugel liegt vollständig auf einer Seite der Ebene, denn aus der Schwarz’schen Ungleichung folgt für einen Punkt x der Kugel x∗ |x ≤ |x∗ |x| ≤ x x∗ = x ≤ r.

5.2 Hahn-Banach-Theoreme und ihre Beweise In diesem Abschnitt wird zunächst der Satz von Hahn und Banach in der Form einer Aussage über eine geeignete Fortsetzung eines linearen Funktionals auf einen größeren Definitionsbereich vollständig bewiesen. Wir beschränken uns dabei auf reelle normierte Räume. Auf allgemeinere Versionen wird unten hingewiesen. Auf andere Varianten des Satzes von Hahn und Banach, z.B. als Satz über die Trennung (Separation) konvexer Mengen, wird unten genauer eingegangen. Über Beziehungen zu Lagrange’schen Multiplikatoren vgl. z. B. Simons [156]. Satz 5.2 (Satz von Hahn und Banach, analytische Version) Es sei (X, ·) ein reeller normierter Raum und L ein linearer Teilraum vom X. Auf L sei ein lineares stetiges Funktional x˜∗ definiert. Dann gibt es mindestens ein lineares stetiges Funktional x∗ auf (dem Gesamtraum) X, welches auf L mit x˜∗ übereinstimmt und die gleiche Norm hat (Normerhaltung), mit anderen Worten für alle x ∈ L gilt x∗ (x) = x˜∗ (x)und x˜∗ = x∗ .

(5.8)

Ist X ein Hilbert-Raum (z.B. ein Euklidischer endlichdimensionaler Raum), so folgt der Beweis (für L abgeschlossen) aus dem Projektionssatz. In allgemeineren Fällen muss man das Zorn’sche Lemma (vgl. Satz 10.4) oder eine äquivalente Aussage benutzen. Dieses Lemma postuliert die Existenz eines maximalen Elements einer Menge bezüglich einer auf dieser Menge definierten Halbordnung. Der Satz von Hahn und Banach für komplexe lineare Räume lautet wie oben, auch L und die Funktionale müssen dann komplex linear sein. Beweis des Satzes von Hahn und Banach für Hilbert-Räume: Es sei X ein reeller HilbertRaum und L ein abgeschlossener linearer Teilraum. Wir betrachten den Projektionsoperator PL , der jedem Element x ∈ X seine Projektion in L zuordnet. Dieser Operator ist linear und mit Norm 1 beschränkt (vgl. Satz 2.14). Nun geben wir ein lineares stetiges Funktional x∗ an, welches sich als die behauptete Fortsetzung von x˜∗ erweisen wird: ∀x ∈ X : x∗ (x) = x˜∗ (PL (x)) .

(5.9)

1) x∗ ist eine Fortsetzung, denn für x ∈ L gilt PL (x) = x und somit: x∗ (x) = x˜∗ (PL (x)) = x˜∗ (x), x ∈ L. 2) Es ist x∗ = x˜∗ . Denn einerseits ist x∗ = sup |x∗ (x)| ≥ x≤1

sup x≤1,x∈L

|x∗ (x)| =

sup x≤1,x∈L

|x˜∗ (x)| = x˜∗ ,

andererseits ist aber auch x∗ = sup |x∗ (x)| = sup |x˜∗ (PL (x))| ≤ sup x˜∗ PL x ≤ x˜∗ x≤1

x≤1

x≤1

5.2 Hahn-Banach-Theoreme und ihre Beweise

115

wegen PL = 1. Also gilt x∗ = x˜∗ . Beweis für normierte Räume: Der Beweis für diesen allgemeinen Fall wird in zwei Schritten realisiert: Beweisschritt I: Man beweist die behauptete Fortsetzung für einen linearen Raum, dessen Dimension gegenüber der des Raumes L um eine Dimension vergrößert ist. Beweisschritt II: Da man Beweisschritt I beliebig wiederholen kann, bekommt man so eine Familie von Erweiterungen von L und entsprechende Fortsetzungen von Funktionalen. Diese Familie der Fortsetzungen kann man halbordnen, indem man als Relation ≥ nimmt: „ist Fortsetzung von“. Dann wendet man das Zorn’sche Lemma an. Dieses liefert ein maximales Element und damit – so zeigt sich – hat man das behauptete Resultat erhalten. (I) Wir betrachten L ⊆ X und das lineare stetige Funktional x˜∗ auf L. Wir erweitern die Dimension von L und konstruieren auf dieser Erweiterung eine Fortsetzung von x˜∗ . Sei dazu x1 ∈ X\L, dann ist L1 := {y = λ x1 + x, x ∈ L, λ ∈ R} ⊃ L eine Erweiterung von L und diese Erweiterung ist natürlich ein linearer Unterraum von X. Die Darstellung von y ist eindeutig: Gäbe es x = x ∈ L mit y = λ1 x1 + x = λ2 x1 + x, so folgte / L. (λ1 − λ2 )x1 = x − x ∈ L, ein Widerspruch wegen x1 ∈ Hätten wir auf L1 eine (normerhaltende) Fortsetzung x˜1∗ von x˜∗ , so wäre diese durch ihren Wert an der Stelle x1 eindeutig bestimmt: x˜1∗ (x1 ) = k1 . Mit der Schwarz’schen Ungleichung und der Normerhaltung folgt |k1 − x˜∗ (x)||x∈L = |x˜1∗ (x1 ) − x˜1∗ (x)||x∈L ≤ x˜1∗ · x1 − x = x˜∗ · x1 − x.

(5.10)

Die Abschätzung (5.10) besagt, dass alle abgeschlossenen Intervalle in R mit Mittelpunkt x˜∗ (x)|x∈L und Radius x˜∗ · x1 − x den gemeinsamen Punkt k1 haben. Die Abschätzung (5.10) ist hinreichend für die Existenz einer normerhaltenden Fortsetzung von x˜∗ von L auf L1 : Wenn es eine Zahl k1 gibt, die zu jedem Intervall mit Mittelpunkt x˜∗ (x)x∈L und Radius x˜∗ · x1 − x gehört, dann setzen wir x˜1∗ (x1 ) = k1 und definieren ein Funktional x˜1∗ auf L1 durch x˜1∗ (y) := λ (k1 ) + x˜∗ (x) für y ∈ L1 . Das Funktional x˜1∗ ist linear auf L1 (weil die Darstellung von y eindeutig und x˜∗ linear ist) und auch beschränkt auf L1 , denn mit λ = 0 und y ∈ L1 ergibt sich aus (5.10) x x |x˜1∗ (y)| = |λ k1 + x˜∗ (x)| = |λ | · |k1 + x˜∗ ( )| ≤ |λ | · x˜∗ x1 + = x˜∗ · y. λ λ Somit ist x˜1∗ beschränkt und x˜1∗ ≤ x˜∗ . Andererseits gilt offensichtlich x˜∗ ≤ x˜1∗ (da x˜1∗ eine Erweiterung von x˜∗ auf L1 ⊃ L ist) und das liefert ||x˜1∗ || = ||x˜∗ ||. Damit haben wir eine normerhaltende Fortsetzung gewonnen, wenn es ein Element k1 mit der Eigenschaft wie in (5.10) gibt. Um das zu beweisen, betrachten wir zwei Intervalle der obigen Art mit den Mittelpunkten xˆ1 , xˆ2 und den Radien r1 , r2 . Es gilt r1 + r2 = x˜∗ · (x1 − xˆ1 + x1 − xˆ2 ) ≥ x˜∗ · (x1 − xˆ1 ) − (x1 − xˆ2 ) = x˜∗ · |xˇ1 − xˆ2 ≥ |x˜∗ (xˆ1 − xˆ2 )| = |x˜∗ (x˜1 ) − x˜∗ (xˆ2 )|,

116


d.h. die Summe der Radien der Intervalle ist nicht kleiner als die Entfernung ihrer Mittelpunkte, sie haben einen gemeinsamen Punkt. Es gibt also ein Element k1 mit der gewünschten Eigenschaft. (II) Es sei A die Gesamtheit aller linearen stetigen normerhaltenden Fortsetzungen x˜l∗ von x˜∗ , die man durch die Erweiterungen von L erhält. Jetzt wird die Anwendung des Lemmas von Zorn vorbereitet, indem wir eine Halbordnung ≥ in A definieren: Sind x˜α∗ , x˜β∗ ∈ A, so setzen wir x˜α∗ ≥ x˜β∗ , falls x˜α∗ eine Fortsetzung von x˜β∗ ist, d.h. D(x˜α∗ ) ⊃ D(x˜β∗ ), und x˜α∗ (x) = x˜β∗ (x), x ∈ D(x˜β∗ ), wobei D(x˜α∗ ) der Definitionsbereich (ein linearer Unterraum von X) von x˜α∗ ist. Diese Relation ≥ ist offenbar eine Halbordnung in A (im Allgemeinen ist sie keine vollständige Ordnung). Die Voraussetzungen des Zorn’schen Lemmas sind erfüllt: Es sei A0 ⊆ A eine Kette (vgl. Definition 10.1) in A. Sie hat ein maximales Element. Dazu be) trachten wir X0 = x˜α∗ ∈A0 D(x˜α∗ ). X0 ist ein linearer Unterraum von X, weil für zwei Elemente (x˜α∗ , x˜β∗ ) aus der Kette A0 gilt: D(x˜α∗ ) ⊆ D(x˜β∗ ) oder D(x˜α∗ ) ⊇ D(x˜β∗ ). Für jedes x ∈ X0 gibt es (wenigstens) ein x˜α∗ ∈ A0 mit x ∈ D(x˜α∗ ). Falls ebenso gilt x ∈ D(x˜β∗ ), dann ist (weil A0 eine Kette ist) xα∗ ⊇ oder ⊆ x˜β∗ , sodass für x ∈ D(x˜α∗ ) ∩ D(x˜β∗ ) folgt

x˜α∗ (x) = x˜β∗ (x).

Wir definieren x˜0∗ für x ∈ X0 durch x˜α∗ ∈ A0 falls x ∈ D(x˜α∗ ). Mit x˜0∗ ist ein maximales Element in A0 gefunden. Denn x˜0∗ ist ein lineares stetiges Funktional, es ist Fortsetzung von jedem x˜α∗ ∈ A0 , und es ist normerhaltend x˜0∗ = x˜∗ über X0 : x˜0∗ ≤ =

sup

∗ ∈A x˜α 0

sup

∗ ∈A x˜α 0

sup |x˜α∗ (x)|

x≤1 ∗) x∈D(x˜α ∗ x˜α = x˜∗ .

x˜0∗ ≥ x˜∗ := sup |x˜∗ (x)| ≤ sup |x˜0∗ (x)|. x∈L, x≤1

x∈X 0 x≤1

Die Anwendung des Zorn’schen Lemmas liefert ein maximales Element in A, d.h. ein Element x∗ mit x∗ ⊇ x˜L∗ , x˜L∗ ∈ A. Das Element x∗ ist auf dem Gesamtraum X definiert. Sonst gäbe es ein x1 ∈ X\D(x∗ ). Mit diesem Element x1 würde man dann (wie in Schritt I) einen vergrößerten Unterraum L1 = {z = λ x1 + x, x ∈ D(x∗ )} konstruieren und es gäbe (wie in I) eine Fortsetzung x1∗ = x∗ in L1 . Für diese wäre insbesondere x1∗ ≥ x∗ , x1∗ = x∗ , ein Widerspruch zur Maximalität von x∗ . Als Folgerung aus Satz 5.2 ergibt sich der Satz 5.1 von der hinreichenden Anzahl linearer stetiger Funktionale aus dem vorhergehenden Abschnitt.

5.2 Hahn-Banach-Theoreme und ihre Beweise

117

Folgerung 5.1 (Folgerung aus dem Satz von Hahn und Banach) Für jedes Element x0 = 0 eines reellen normierten Raumes X gibt es ein lineares stetiges Funktional x∗ auf X mit x∗ (x0 ) = x0 , x∗ ∗ = 1.

Beweis: Auf dem von x0 erzeugten eindimensionalen linearen Raum X0 := {α x0 |α ∈ R} ist das lineare Funktional x1∗ : x1∗ (x) = α x0 , x ∈ X0 , beschränkt (und wegen x0 = 0) mit der Norm 1. Anwendung des Satzes von Hahn und Banach (Satz 5.2) ergibt die Behauptung. Es lässt sich noch etwas mehr beweisen als in der letzten Folgerung. Man kann eine Abschätzung über die Distanz zwischen einem gegebenen linearen Unterraum L ⊆ X und einem nicht in ihm enthaltenen Punkt x0 ∈ X erhalten. Folgerung 5.2 Es seien L ein linearer Unterraum eines reellen normierten Raumes X und x0 ∈ / L. Ferner seien (a1) L abgeschlossen oder (a2) δ = inf{x − x0 | x ∈ L} > 0. Dann gibt es ein lineares stetiges Funktional x∗ auf X mit folgenden Eigenschaften: 1. x∗ (x) = 0 für alle x ∈ L, 2. x∗ (x0 ) = δ , 3. x∗ ∗ = 1.

Beweis: Es sei H die lineare Hülle von x0 und L: H = H({x0 } ∪ L) := {h = α x0 + u; α ∈ R, u ∈ L}. Auf H werde das lineare Funktional g∗ definiert: g∗ (h) = g∗ (α x0 + u) := αδ . Das Funktional ist linear wegen g∗ (γ1 h1 + γ2 h2 ) = g∗ (γ1 (α1 x0 + u1 ) + γ2 (α2 x0 + u2 )) = γ1 α1 δ + γ2 α2 δ = γ1 g∗ (h1 ) + γ2 g∗ (h2 ). Offensichtlich ist g∗ (u) = 0 für u ∈ L falls α = 0, und g∗ (x0 ) = δ falls α = 1. Um zu zeigen, dass g∗ auf H beschränkt ist mit g∗ H = 1, nutzen wir die Infimumeigenschaft von δ aus. Man bekommt einerseits für y = α x0 + u ∈ H and α = 0, dass |g∗ (y)| = |α |δ ≤ |α |(− α1 u) − x0 = − α (− α1 u − x0 ) = y gilt, d.h., |g∗ (y)| ≤ y. Das ist auch richtig für α = 0, wegen g∗ (u)|u∈L = 0. Damit ist gezeigt, dass g auf H beschränkt ist : g∗ H ≤ 1. Es gilt sogar g∗ H = 1. Für jedes ε > 0 gibt es nämlich ein Element u ∈ L mit u − x0 ≤ δ + ε . Nun u−x0 betrachten wir für Z ∈ H with Z = 1 die Ungleichung Z g∗ ≥ |g∗ (Z)|. Mit Z := u−x , 0

1 1 δ folgt Z = 1. Mit Z = − u−x x0 + u folgt Z ∈ H und insbesondere |g∗ (Z)| = u−x δ > δ+ ε. 0 0 ∗ Da dies für jedes ε > 0 gilt, ergibt die obige Ungleichung |g H ≥ 1. Zusammen erhält man g∗ H = 1. Anwendung von Satz 5.2 ergibt die Fortsetzung x∗ von g∗ auf den Gesamtraum X. Wir fügen eine topologiefreie (sogenannte algebraische) Version des Satzes von Hahn und Banach an. Dazu betrachten wir einen (reellen oder komplexen) linearen Raum X, die Gesamtheit X aller linearen Funktionale und eine Halbnorm p auf X. Der Beweis ergibt sich mit Schlüssen ähnlich wie bei Satz 5.2 (vgl. auch Jahn [98], S.69).

118


Satz 5.3 Es seien X ein linearer Raum, p eine Halbnorm auf X und L ein linearer Teilraum von X. Auf L sei ein lineares Funktional x˜ gegeben und es gelte |x˜ (x)| ≤ p(x) auf L. Dann lässt sich x˜ auf den Gesamtraum unter Erhaltung der Halbnorm-Abschätzung fortsetzen, d.h. es gibt ein lineares Funktional x auf X mit den beiden Eigenschaften x (x) = x˜ (x) für alle x ∈ L, |x (x)| ≤ p(x) für alle x ∈ X. Ist X ein reeller linearer Raum, so gilt der Satz auch, wenn p (nur) ein sublineares Funktional ist und die Ungleichungen die Form x˜ (x) ≤ p(x) (x ∈ L) bzw. x (x) ≤ p(x) (x ∈ X) haben.

Ist in Satz 5.3 X ein linearer topologischer Hausdorff’scher Raum und ist x˜ stetig, so ist auch x stetig. Man könnte fragen, ob es überhaupt lineare unstetige Funktionale auf X gibt? Die Antwort ist nicht ganz leicht, in endlichdimensionalen Euklidischen Räumen sind alle linearen Funktionale stetig, aber in unendlichdimensionalen Räumen gibt es unstetige lineare Funktionale, für ein Beispiel vgl. Alt [6]. Und als Bemerkung: Ein lineares Funktional über einem linearen topologischen Raum X ist unstetig genau dann, wenn eine (und damit alle) seiner Niveaumengen dicht liegt in X (vgl. Holmes [84], S.63) Ist im letzten Satz von Satz 5.3 L = {0}, so folgt (für einen direkten Beweis vgl. Jahn [98], S.68): Satz 5.4 Für jedes sublineare Funktional p auf einem reellen linearen Raum X gibt es ein lineares Funktional x ∈ X mit x (x) ≤ p(x) (x ∈ X). (5.11)

Es sei noch auf andere Varianten des Satzes von Hahn und Banach verwiesen: Satz 5.5 (Sandwich-Version des Satzes von Hahn und Banach) Es seien S eine konvexe Teilmenge eines reellen linearen Raumes X, g : X → R ein sublineares Funktional und h : S → R ein konkaves Funktional mit h(x) ≤ g(x) für alle x ∈ S. Dann existiert ein lineares Funktional l ∈ X mit l(x) ≤ g(x) für alle x ∈ X und h(x) ≤ l(x) für alle x ∈ S. Satz 5.6 (Konvexe Version des Satzes von Hahn und Banach) Es seien S eine nichtleere konvexe Teilmenge eines reellen linearen Raumes X und g : X → R ein sublineares Funktional. Dann gibt es ein lineares Funktional x ∈ X mit x (x) ≤ g(x) für alle x ∈ X und es gilt infx∈S x (x) = infx∈S g(x).

Beweis: Wir können annehmen, dass α := inf g(x) größer als −∞ ist, andernfalls folgt die Behauptung sofort aus Satz 5.4. Mit α wird ein Funktional h : S → R wie folgt gebildet: h(x) = α für alle x ∈ S. Dann existiert nach Satz 5.5 ein lineares Funktional x ∈ X mit x (x) ≤ g(x) (x ∈ X) und inf g(x) = h(y) ≤ x (y) für alle y ∈ S, damit folgt auch die letzte Behauptung des Satzes.

5.3 Trennungssätze Die Sätze von Hahn und Banach gestatten eine geometrische Interpretation: Die Trennung konvexer Mengen durch lineare Funktionale. Das ist von großem praktischen Interesse und die Basis

5.3 Trennungssätze

119

vieler Sätze der Optimierungstheorie. Wir beweisen zuerst die strenge Trennung einer konvexen Menge und eines Punktes in einem reellen Hilbert-Raum (Satz 5.7) unter Benutzung des Projektionssatzes I (vgl. Satz 2.3) und des Approximationssatzes (Satz 2.1). Es schließen sich Bemerkungen über Stützhyperebenen an. Dann (vgl. Satz 5.10) folgt ein Trennungssatz für zwei konvexe Mengen. Satz 5.7 (Strenger Trennungssatz in Hilbert-Räumen) / cl K. Dann können Es seien K = 0/ eine konvexe Teilmenge eines reellen Hilbert-Raumes (X, ·|·) und x0 ∈ cl K und x0 streng getrennt werden, d.h., es existiert ein Element x∗ ∈ X \ {0} mit inf{x∗ |x | x ∈ K} > x∗ |x0 .

(5.12)

Man kann ein solches Element x∗ = 0 angeben: x∗ := Pcl K (x0 ) − x0 . Es gilt dann für alle x ∈ cl K: x∗ |x ≥ x∗ |x0 + ||x∗ ||2 .

Beweis: Es sei K eine nichtleere, konvexe Teilmenge von X. Der Projektionssatz I (Satz 2.3) (vgl. Folgerung aus Satz 2.3) liefert die Existenz eines eindeutigen Elements bester Approximation Pcl K (x0 ) von x0 ∈ X \ (cl K) bezüglich der abgeschlossenen konvexen Menge cl K. Der Approximationssatz ((2.4), Satz 2.1), ergibt für alle x ∈ cl K: 0 ≤ Pcl K (x0 ) − x0 |x − Pcl K (x0 ) = Pcl K (x0 ) − x0 |x − x0 + x0 − Pcl K (x0 ) = Pcl K (x0 ) − x0 |x − x0 − Pcl K (x0 ) − x0 |Pcl K (x0 ) − x0 . Indem wir x∗ := Pcl K (x0 ) − x0 ∈ X setzen folgt x∗ = 0 und 0 ≤ x∗ |x − x∗ |x0 − ||x∗ ||2 und schließlich für alle x ∈ cl K x∗ |x ≥ x∗ |x0 + ||x∗ ||2 ,

damit ist (5.12) gezeigt.

Durch die strenge Ungleichung (5.12) wird die strenge Trennung von cl K und x0 dargestellt. Man kann dies noch besser durch Halbräume beschreiben. Es sei X ein reeller linearer Raum, x ein lineares Funktional auf X und c eine feste reelle Zahl. Dann sind die beiden folgenden Mengen algebraisch abgeschlossen und heißen die von x und c erzeugten Halbräume Hx ,c,≥ und Hx ,c,≤ : (5.13) Hx ,c,≥ := {x ∈ X | x (x) ≥ c} und

Hx ,c,≤ := {x ∈ X | x (x) ≤ c}.

(5.14)

Im Falle eines normierten Raumes (X, ||.||X ) und eines stetigen linearen Funktionals x∗ auf X sind die entsprechenden Halbräume abgeschlossen in der Normtopologie. Die Hyperebene Hx∗ ,c,= := {x ∈ X | x∗ (x) = c}

(5.15)

bildet den Rand der beiden Halbräume. Wir betrachten solche Halbräume und eine beliebige Teilmenge A ⊆ X (vgl. Figur 5.1). Die abgeschlossene Menge A liegt vollständig in der Halbebene Hx∗ ,c,≥ (d.h., auf der „+“Seite der Hyperebene Hx∗ ,c,= ). Die Lage des Punktes P ∈ A ist extrem in dem Sinne, dass die

120


@ @

'$

@ A @ r &% x (x0 ) = c x@ 0 @ @ @ @x

Abbildung 5.1: Trennung einer konvexen Menge A und eines Punktes x0 .

Hyperebene Hx∗ ,c,= nicht in eine parallele Lage Hx∗ ,c+ε ,= (ε > 0) verschoben werden kann, ohne die Eigenschaft zu verlieren, dass die Menge A vollständig enthalten ist in einem Halbraum bezüglich des Funktionals x∗ . Deshalb heißt die Hyperebene Hx∗ ,c,= eine Stützhyperebene bezüglich der Menge A. Satz 5.8 Eine abgeschlossene konvexe Menge M = 0/ in einem Hilbert-Raum X kann durch ihre Stützhyperebenen (bzw. abgeschlossenen Halbräume, die M enthalten) charakterisiert werden: M ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Halbräume, die M enthalten: M=

*

Hx∗ ,c,≥ ,

M⊆Hx∗ ,c,≥

wobei x∗ ein lineares stetiges Funktional auf X ist.

Beweis: (I) Die Inklusion M⊆

*

Hx∗ ,c,≥

M⊆Hx∗ ,c,≥

ist natürlich richtig. (II) Annahme, es gäbe einen Punkt x0 ∈ X, der zum Durchschnitt auf der rechten Seite gehört, aber nicht zu M. Nach dem Trennungssatz (Satz 5.7) gibt es eine trennende Hyperebene Hx0∗ ,c0 ,= mit einem linearen stetigen Funktional x0∗ auf X (und einer Zahl c0 ), das bedeutet, es gilt einerseits x0∗ (x0 ) < c0 und für alle x ∈ M andererseits x0∗ (x) ≥ c0 . Unter Beachtung von (I) und M ⊆ Hx0∗ ,c0 ,≥ muss jedoch wegen der Annahme x0 ∈ Hx0∗ ,c0 ,≥ sein, das heißt, x0∗ (x0 ) ≥ c0 , ein Widerspruch. Im Raum Rn kann man aus dem Trennungssatz (Satz 5.7) leicht die Existenz von Stützhyperebenen folgern:

5.3 Trennungssätze

121

Satz 5.9 Es seien K eine konvexe abgeschlossene Teilmenge von Rn und x0 ∈ bd K. Dann existiert x∗ ∈ Rn \ {0} mit ||x∗ || = 1 und für alle x ∈ K gilt x∗ |x ≥ x∗ |x0 . Die Menge Hx∗ ,c,= := {x ∈ Rn | x∗ |x = c, c := x∗ |x0 } ist eine Stützhyperebene an K.

Beweis: Es sei x0 ∈ bd K, K abgeschlossen und konvex. Dann existiert eine Folge {xn }n∈N in Rn \ K mit {xn }n∈N → x0 . Für die Folge {xn∗ }n∈N mit xn∗ = P(xn ) − xn = 0, n ∈ N, liefert der strenge Trennungssatz (Satz 5.7 ) für alle x ∈ K: xn∗ |x ≥ xn∗ |xn + ||xn∗ ||2 , mit ||xn∗ || = 0. So erhalten wir für alle x ∈ K 0 / ∗ 0 / ∗ xn xn |x ≥ |xn . ||xn∗ || ||xn∗ || ∗

Wegen der Kompaktheit der Einheitskugel in Rn hat die Folge { ||xxn∗ || }n∈N einen Häufungspunkt n x∗ mit ||x∗ || = 1, sodass für alle x ∈ K gilt x∗ |x ≥ x∗ |x0 . Im folgenden Trennungssatz werden zwei konvexe Mengen getrennt. Im Beweis wird eine der beiden konvexen Mengen durch Nutzung des zu dieser Menge gehörigen MinkowskiFunktionals (vgl. (3.131)) erfasst. Dabei wird einsichtig, dass man den zu trennenden konvexen Mengen gewisse Einschränkungen auferlegt. Es werden im topologiefreien Fall Bedingungen an das algebraisch-Innere (bzw. in linearen normierten Räumen an das Innere) einer konvexen Menge gestellt. Zum algebraisch-Inneren vgl. Bemerkung 5.1, zum Inneren vgl. Definition 10.7. Satz 5.10 Es seien S und T konvexe Teilmengen eines reellen linearen Raumes X mit core{S} = 0. / Dann gilt core{S}∩ T = 0/ genau dann, wenn es ein lineares Funktional x ∈ X \ {0X } und eine reelle Zahl α gibt mit

und

∀ s ∈ S und ∀ t ∈ T : x (s) ≤ α ≤ x (t)

(5.16)

∀ s ∈ core{S} : x (s) < α .

(5.17)

Beweis: a) ⇐: Wenn ein Funktional x ∈ X \ {0X } und ein α ∈ R mit den Eigenschaften (5.16) und (5.17) existieren, dann ist klar, dass core{S} ∩ T = 0/ gilt. b) ⇐: Es gelte core{S} ∩ T = 0. / Für ein x ∈ core{S} seien U := S − {x} und V := T − {x}. Da U konvex und OX ∈ core{U} ist, ist das Minkowski-Funktional bezüglich U, q : X → R, q(x) = inf{α > 0 | x ∈ α U} für alle x ∈ X, sublinear (vgl. Lemma 3.2). Anwendung von Satz 5.6 liefert ein lineares Funktional x ∈ X mit (5.18) ∀ x ∈ X : x (x) ≤ q(x) und

inf x (x) = inf q(x).

x∈V

x∈V

(5.19)

122


Wegen q(x) ≤ 1 (x ∈ U) ergibt sich mit (5.18) x (x) ≤ 1 (x ∈ U). Genau für x ∈ core{U} ist q(x) < 1 (vgl. Bemerkung 5.1). Wegen (5.19) und der Annahme core{U} ∩V = 0/ folgt x (y) ≥ 1 (y ∈ V ). Folglich ist x (x) ≤ 1 ≤ x (y) für alle x ∈ U und alle y ∈ V und x (s) ≤ 1 + x (x) ≤ x (t) für alle s ∈ S und für alle t ∈ T. Offensichtlich ist x nicht das Null-Funktional. Damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen. Zum Beweis des zweiten Teils genügt es, x (x) ≤ q(x) < 1 für alle x ∈ core{U} zu betrachten. Daraus folgt wegen U := S − {x}, dass x (s) < 1 + x (x) für alle s ∈ core{S} gilt. Wir fügen eine topologische Version des letzten Trennungssatzes an. Der Beweis ist zum vorhergehenden ganz ähnlich. Satz 5.11 (Trennungssatz, topologische Version) Es seien X ein reeller normierter Raum und A und B nichtleere konvexe Mengen in X mit int A = 0/ und int A ∩ B = 0. / Dann können die Mengen A und B durch ein nichtverschwindendes stetiges lineares Funktional x∗ (wie in (5.16)) getrennt werden. Wenn A und B offene Mengen sind, ist die Trennung streng, also gilt mit einem lineare stetigen Funktional x∗ ∈ X∗ \ {0X∗ } und einer reellen Zahl α ∀ s ∈ A und ∀ t ∈ B : x∗ (s) < α < x∗ (t).

(5.20)

Wenn die Bedingung, dass A und B offen sind, gestrichen wird, so ist die letzte Behauptung nicht mehr richtig: Die punktfremden konvexen Mengen A = {(x1 , x2 ) | x1 ≤ 0} und B = {(x1 , x2 ) | x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} haben nichtleeres Inneres (in R2 ) aber können (offenbar) nicht streng getrennt werden. Beide Mengen sind abgeschlossen. Es gilt (vgl. Kurdila und Zabarankin [113], S. 209): Ist A abgeschlossen und B kompakt, so sind die Mengen streng trennbar. Bemerkung 5.1 Es seien X ein reeller linearer Raum, A eine konvexe absorbierende Menge („absorbierend“ heißt, für jedes x ∈ X gibt es eine Zahl δ > 0 sodass [0, δ ] · x ⊆ A gilt) und core A das algebraisch-Innere von A (es ist core A = {a ∈ X | A − a ist absorbierend}). Dann ist das Minkowski-Funktional pA von A sublinear (vgl. Lemma 3.2) und es gilt core A = {x ∈ X | pA (x) < 1} ⊆ A ⊆ {x ∈ X | pA (x) ≤ 1}.

(5.21)

Die Inklusionen in (5.21) sind offensichtlich. Es sei a ∈ core A. Da A − a absorbierend ist, gibt es ein δ > 0 sodass a + δ a ∈ A ist, d.h. a ∈ (1 + δ )−1 A. Folglich ist pA (a) ≤ (1 + δ )−1 < 1. Die andere Richtung ergibt sich so: Es seien a ∈ X mit pA (a) < 1 und x ∈ X. Da pA (a + tx) ≤ pA (a) + t pA (x) für t ≥ 0, existiert ein δ > 0 mit pA (a +tx) < 1 für t ∈ [0, δ ]. Wegen {x ∈ X| pA (x) < 1} ⊆ A folgt daraus a +tx ∈ A für t ∈ [0, δ ], und somit ist a ∈ core A. Damit ist (5.21) bewiesen. Bemerkung 5.2 Ein Blick in die Finanzmathematik (vgl. Föllmer und Schied [60], S.242) zeigt eine Anwendung der Trennung konvexer Mengen in der Arbitrage-Theorie. Es soll (unter gegebenen Bedingungen) bewiesen werden, dass die (nichtleere) Menge der Arbitrage-freien Preise ein offenes Intervall ist. Dazu wird zu einem gegebenen Preis π ein größerer Preis π konstruiert. Bei dieser Konstruktion ergeben sich zwei punktfremde konvexe Mengen im zugehörigen L1 -Maßraum. Der Satz von Hahn und Banach (als strenger Trennungssatz) ergibt ein Element Z im zugehörigen Dual-Maßraum L∞ , sodass eine strenge Ungleichung gilt. Einerseits mit dem durch Erwartungsliefert Z (nach leichter Modifizierung) ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß P, wertbildung ein Preis π gebildet wird. Andererseits liefert die strenge Ungleichung π > π .

5.4 Subdifferential-Kalkül

123

Bemerkung 5.3 Auf Anwendungen des Trennungssatzes in Satz 5.11 wird insbesondere in Abschnitt 5.4 bei der Diskussion des Subdifferential-Kalküls eingegangen.

5.4 Subdifferential-Kalkül In Abschnitt 3.3.2, Definition 3.25 und (3.135) führten wir das Subdifferential konvexer Funktionen ∂ ein. Wir zeigen jetzt unter Nutzung der Trennungssätze aus Abschnitt 5.3 die Existenz von Subgradienten und die Summenregel für Subdifferentiale konvexer Funktionen (vgl. Schirotzek [151] und Zeidler [177]). Die Aussagen der Sätze 5.12 und 5.13 werden in Zeidler [177] für einen reellen lokalkonvexen Raum X gezeigt. Satz 5.12 (Existenz von Subgradienten) Es sei f : X → R ∪ {+∞} ein konvexes Funktional auf einem reellen Banach-Raum X. Falls f (x0 ) < +∞ und f stetig ist an der Stelle x0 , dann gilt: ∂ f (x0 ) = 0. /

Beweis: Um einen Trennungssatz für konvexe Mengen anzuwenden, betrachten wir die Menge epi f = {(x, a) ∈ X × R | f (x) ≤ a}. Nach Satz 3.29 ist epi f konvex. Darüber hinaus gilt int(epi f ) = 0, / da (x0 , f (x0 ) + 1) ∈ int(epi f ). / int(epi f ) (dies folgt sofort aus der Definition des Wir betrachten A := epi f und (x0 , f (x0 )) ∈ Epigraphen). Durch Anwendung des Trennungssatzes (Satz 5.11) auf (x0 , f (x0 )) und epi f erhalten wir die Existenz von α ∈ R, x∗ ∈ X∗ , −a∗ ∈ R mit (x∗ , −a∗ ) = 0, sodass für alle (y, a) ∈ epi f gilt: x∗ (x0 ) − a∗ f (x0 ) ≥ α ≥ x∗ (y) − a∗ (a). Unter Beachtung von (x0 , f (x0 ) + 1) ∈ epi f folgt a∗ ≥ 0, denn x∗ (x0 ) − a∗ f (x0 ) ≥ x∗ (x0 ) − a∗ ( f (x0 ) + 1), x∗ (x0 ) − a∗ f (x0 ) ≥ x∗ (x0 ) − a∗ f (x0 ) − a∗ , also a∗ ≥ 0 . Es gilt sogar a∗ > 0, denn wäre a∗ = 0, dann würde für alle y ∈ dom f folgen x∗ (x0 − y) ≥ 0. Da f an der Stelle x0 stetig ist, enthält dom f eine Umgebung von x0 , d.h. x∗ = 0, im Widerspruch zu (x∗ , −a∗ ) = 0. Für (y, f (y)) ∈ epi f erhalten wir x∗ (x0 ) − a∗ f (x0 ) ≥ α ≥ x∗ (y) − a∗ ( f (y)) und somit für x0∗ =

1 ∗ a∗ x

(mit a∗ > 0) x0∗ (x0 ) − f (x0 ) ≥ x0∗ (y) − f (y) (y ∈ dom f ), x0∗ (y − x0 ) ≤ f (y) − f (x0 ) (y ∈ dom f ).

Also gilt x0∗ ∈ ∂ f (x0 ), d.h. ∂ f (x0 ) = 0. /

124


Satz 5.13 (Summenregel für Subdifferentiale) Es seien f1 , . . . , fn : X → R ∪ {+∞} konvexe Funktionale auf einem reellen Banach-Raum X, n ≥ 2. Wir ˜ . . . , fn (x) ˜ < +∞ existiert und dass f1 , . . . , fn−1 in x˜ stetige setzen voraus, dass ein Element x˜ ∈ X mit f1 (x), Funktionale sind. Dann gilt für alle x ∈ X: , + n

∑ fi (x)

∂

i=1

=

n

∑ ∂ fi (x),

i=1

wobei A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} und A + 0/ = 0. /

Beweis: Wir betrachten den Fall n = 2. Für n > 2 folgt die Aussage durch Induktion. (a) [⊇] Unter Beachtung der Definition des Subdifferentials ∂ fi (x) (i = 1, 2) erhalten wir für x1∗ ∈ ∂ f1 (x), x2∗ ∈ ∂ f2 (x): x1∗ (y − x) ≤ f1 (y) − f1 (x) (y ∈ X), x2∗ (y − x) ≤ f2 (y) − f2 (x) (y ∈ X) und so

(x1∗ + x2∗ )(y − x) ≤ f1 (y) + f2 (y) − f1 (x) − f2 (x) (y ∈ X),

also

(x1∗ + x2∗ ) ∈ ∂ ( f1 + f2 )(x).

(b) [⊆] Es seien x∗ ∈ ∂ ( f1 + f2 )(x) und x ∈ X, d.h. unter Beachtung der Definition der Subgradienten gilt f1 (x) < +∞, f2 (x) < +∞ und f2 (x) − f2 (v) ≤ f1 (v) − f1 (x) − x∗ (v − x) (v ∈ X).

(5.22)

Wir betrachten G(v) := f1 (v) − f1 (x) − x∗ (v − x) (v ∈ X). Um einen Trennungssatz für konvexe Mengen (Satz 5.11) anzuwenden, konstruieren wir die folgenden Mengen A und B in X × R: A

:= {(v, a) ∈ X × R | G(v) ≤ a},

B

:= {(w, b) ∈ X × R | b ≤ f2 (x) − f2 (w)}.

Dann gilt: (i) A ist konvex, denn wegen G konvex ist auch epi G = A konvex. Es gilt weiterhin ˜ < +∞ und f1 ist stetig an der Stelle x. ˜ int A = 0, / denn es existiert ein x˜ ∈ X mit f1 (x) (ii) B ist konvex, denn da f2 konvex ist, folgt für (w1 , b1 ), (w2 , b2 ) ∈ B, λ ∈ [0, 1]: f2 (λ w1 + (1 − λ )w2 ) ≤ λ f2 (w1 ) + (1 − λ ) f2 (w2 ) ≤ λ ( f2 (x) − b1 ) + (1 − λ )( f2 (x) − b2 ) = f2 (x) − λ b1 − (1 − λ )b2 , also f2 (λ w1 + (1 − λ )w2 ) ≤ f2 (x) − (λ b1 + (1 − λ )b2 ) w

b

5.4 Subdifferential-Kalkül

125

und somit (λ w1 + (1 − λ )w2 , λ b1 + (1 − λ )b2 ) ∈ B (λ ∈ [0, 1]). (iii) int A ∩ B = 0, / denn wäre (v, a) ∈ int A ∩ B, dann würde folgen (5.22)

G(v) ≤ a ≤ f2 (x) − f2 (v) ≤ G(v), also a = G(v). Andererseits, für (v, a) ∈ int A folgt (v, a − ε ) ∈ A und dies ist äquivalent zu G(v) ≤ a − ε für alle hinreichend kleinen ε > 0, im Widerspruch zu a = G(v). Aus dem Trennungssatz für konvexe Mengen (Satz 5.11) folgt die Existenz eines linearen stetigen Funktionals (w∗ , −a∗ ) = 0 in X∗ × R und α ∈ R mit w∗ (v) − a∗ a ≤ α ≤ w∗ (w) − a∗ b

((v, a) ∈ A , (w, b) ∈ B).

(5.23)

Für (v, a) ∈ int A erhalten wir in (5.23) w∗ (v) − a∗ a < α ≤ w∗ (w) − a∗ b. ˜ ∈ B gilt in (5.23) Weiterhin, für (x, ˜ G(x) ˜ + 1) ∈ int A und (x, ˜ f2 (x) − f2 (x)) ˜ − a∗ (G(x) ˜ + 1) < α ≤ w∗ (x) ˜ − a∗ ( f2 (x) − f2 (x) ˜ ), w∗ (x) ≤ G(x) ˜

also 0

< a∗ .

Wir wählen a∗ = 1 in (5.23) nach eventueller Änderung von w∗ und α . Damit gilt w∗ (x) = α , denn wegen G(x) = f1 (x) − f1 (x) − x∗ (x − x) = 0 gilt (x, 0) ∈ A und (x, 0) ∈ B (da f2 (x) − f2 (x) = 0), also (x, 0) ∈ A ∩ B und damit in (5.23) w∗ (x) ≤ α ≤ w∗ (x) und so w∗ (x) = α . Bei spezieller Wahl von a = G(v) und b = f2 (x) − f2 (w) erhalten wir in (5.23) dann für alle v ∈ dom G und w ∈ dom f2 : w∗ (v) − G(v) ≤ w∗ (x) ≤ w∗ (w) − ( f2 (x) − f2 (w)). Aus w∗ (x) ≤ w∗ (w) − ( f2 (x) − f2 (w)) folgt −w∗ (w − x) ≤ f2 (w) − f2 (x), also gilt −w∗ ∈ ∂ f2 (x). Weiterhin folgt aus w∗ (v) − G(v) ≤ w∗ (x) die Beziehung w∗ (v − x) ≤ f1 (v) − f1 (x) − x∗ (v − x) und somit (w∗ + x∗ )(v − x) ≤ f1 (v) − f1 (x), also (w∗ + x∗ ) ∈ ∂ f1 (x). Insgesamt erhalten wir x∗ = (w∗ + x∗ ) −w∗ ∈ ∂ f1 (x) + ∂ f2 (x), ∈∂ f1 (x) ∈∂ f2 (x)

d.h.

x∗ ∈ ∂ f1 (x) + ∂ f2 (x).

126


Unter Verwendung der Definition des Subdifferentials in (3.135) erhalten wir die folgende notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung: Satz 5.14 (Subgradienten und Extremalprinzip) Es seien X ein reeller Banach-Raum, f : X → R ∪ {+∞}, f ≡ +∞. Dann gilt für x0 ∈ X : x0 ∈ X ist eine Minimallösung des nichtlinearen Optimierungsproblems min f (x)

⇐⇒

0 ∈ ∂ f (x0 ).

x∈X

Beweis: Die Aussage folgt sofort mit (3.135)):

∂ f (x0 ) = {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) (x ∈ X)}.

5.5 Subdifferentiale spezieller Funktionale 5.5.1 Subdifferential der Norm Ein wichtiges Beispiel für ein konvexes Optimierungsproblem mit nichtdifferenzierbarer Zielfunktion ist ein Standortproblem, wo die gewichtete Summe der Abstände zwischen n gegebenen Punkten und einem neu zu bestimmenden Standort minimiert werden soll. Abstandsfunktionen sind im Allgemeinen nicht differenzierbar. Betrachten wir zum Beispiel die einfache konvexe Zielfunktion f (ξ ) :=| ξ |, −∞ < ξ < ∞, die einen Minimalpunkt an der Stelle ξ0 = 0 besitzt. Diese Funktion ist nicht differenzierbar an der Stelle ξ0 = 0. Bei Untersuchung des Graphen graph f der Funktion f in der ξ , η -Ebene wird deutlich, dass es keine Tangente an den Punkt (0, 0) ∈ graph f gibt, aber es existieren Geraden, die graph f im Punkt (0, 0) von unten stützen. Alle diese Geraden haben die Form

η = a(ξ − ξ0 ) + f (ξ0 ), a reell, | a |≤ 1,

(5.24)

und die Anstiege a der Geraden aus (5.24) sind die Subgradienten von f an der Stelle ξ0 . Stützen von unten bedeutet f (ξ ) ≥ a(ξ − ξ0 ) + f (ξ0 ),

−∞ < ξ < ∞.

(5.25)

Die Ungleichung (5.25) ist für unsere Zielfunktion f erfüllt, denn es gilt aξ ≤| a || ξ |≤| ξ | . Unter Beachtung von Ungleichung (5.25) folgt, dass ξ0 ein Minimalpunkt von f ist, falls (5.25) für eine Funktion f an der Stelle ξ0 mit a = 0 gilt. Das Subdifferential ∂ f einer konvexen Funktion f : X → R an x0 ∈ X, wobei X ein reeller Banach-Raum ist, ist definiert durch (vgl. Abschnitt 3.3.2, Definition 3.25 und (3.135)):

∂ f (x0 ) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) (x ∈ X)}.

(5.26)

5.5 Subdifferentiale spezieller Funktionale

127

Das Subdifferential (an x0 ∈ X) ist eine Menge und deren Elemente heißen Subgradienten. Wie oben angegeben, ist es sehr nützlich, Kenntnisse über das Subdifferential von f am Punkt x0 anzuwenden, da 0 ∈ ∂ f (x0 ) natürlich bedeutet, dass x0 ein Minimalpunkt von f ist. Zur Herleitung von Optimalitätsbedingungen können wir daher den Subdifferential-Kalkül für konvexe Funktionen verwenden. Wir verallgemeinern jetzt unser Beispiel f (x) =| x | und betrachten die Norm eines BanachRaumes X. Die Norm eines Banach-Raumes ist eine konvexe Funktion, somit können wir das Subdifferential der Norm unter Verwendung des Satzes von Hahn und Banach (Satz 5.1) folgendermaßen bestimmen: Satz 5.15 Es sei X ein reeller Banach-Raum. Dann ist die Norm || · ||X subdifferenzierbar und es gilt ∀x(= 0) ∈ X

:

an x = 0 ∈ X

:

∂ || · ||X (x) = {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x) = ||x||X und ||x∗ ||∗ = 1}, ∂ || · ||X (0) = {x∗ ∈ X∗ | ||x∗ ||∗ ≤ 1}.

Beweis: a) Aus Satz 5.1 folgt, dass für alle x0 (= 0) ∈ X ein lineares stetiges Funktional x0∗ ∈ X∗ existiert mit x0∗ (x0 ) = ||x0 ||X

und ||x0∗ ||∗ = 1.

Dies liefert x0∗ (x − x0 ) ≤ ||x0∗ ||∗ ||x||X − x0∗ (x0 ) = ||x||X − ||x0 ||X ,

(5.27)

d.h. x0∗ ∈ ∂ || · ||X (x0 ). b) Umgekehrt, für x0∗ ∈ ∂ || · ||X (x0 ) gilt mit (5.26): ∀x ∈ X

||x0 ||X − ||x||X ≤ x0∗ (x0 − x).

(5.28)

Setzen wir x = λ x0 (λ ∈ R, λ ≥ 0), so folgt aus (5.28): (1 − λ )(x0∗ (x0 ) − ||x0 ||X ) ≥ 0. Nehmen wir sukzessive λ > 1 und λ < 1, dann erhalten wir x0∗ (x0 ) = ||x0 ||X . Somit folgt aus (5.28) die Beziehung x0∗ (x) ≤ ||x||X für alle x ∈ X und ||x0∗ ||∗ = 1. c) Für x0 = 0 folgt die Aussage direkt aus der Definition des Subdifferentials, da für x0 = 0 gilt:

∂ ||x0 || = {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x) ≤ ||x|| (x ∈ X)}. Damit haben wir die Aussage gezeigt.

128


5.5.2 Subdifferentiale von Skalarisierungsfunktionalen und kohärenten Risikomaßen Für viele Anwendungen ist es wichtig, die Struktur des Subdifferentials und Eigenschaften der Subgradienten des Funktionals (3.136) näher zu studieren. Damit ist es zum Beispiel möglich, in der Mehrkriteriellen Optimierung Aussagen über Skalarisierungsfunktionale und in der Finanzmathematik entsprechende Aussagen über kohärente Risikomaße zu treffen. Durch die im Folgenden gezeigten Eigenschaften (vgl. [47]) gelingt es, schärfere Optimalitätsbedingungen und Dualitätsaussagen zu zeigen. Satz 5.16 Es seien Y ein reeller Banach-Raum, D ⊂ Y eine eigentliche, abgeschlossene und konvexe Menge und k0 ∈ Y \ {0}, sodass D + R+ k0 ⊆ D (vgl. (3.140)) gilt und für jedes y ∈ Y existiere ein t ∈ R sodass / D. Wir betrachten die Funktion ϕ (y) := ϕD,k0 (y) = inf{t ∈ R | y ∈ tk0 − D} in (vgl. (3.141)) und y + tk0 ∈ y ∈ dom ϕ . Dann gilt

∂ ϕ (y) = {v∗ ∈ Y∗ | v∗ (k0 ) = 1, v∗ (d) + v∗ (y) − ϕ (y) ≥ 0 (d ∈ D)}.

(5.29)

Beweis: Unter den gegebenen Voraussetzungen ist das Funktional ϕ in (3.141) nach Satz 3.38 konvex und eigentlich. Ein Element v∗ ∈ Y∗ gehört zu ∂ ϕ (y) genau dann, wenn

ϕ (y) ≥ v∗ (y) − v∗ (y) + ϕ (y) (y ∈ Y). Das bedeutet, dass für alle y ∈ dom ϕ und für alle λ ∈ R mit λ ≥ ϕ (y) die Ungleichung λ ≥ v∗ (y) − v∗ (y) + ϕ (y) erfüllt ist. Unter Beachtung von (3.143) folgt dann, dass für alle y ∈ λ k0 − D gilt λ ≥ v∗ (y) − v∗ (y) + ϕ (y), d.h.

λ ≥ λ v∗ (k0 ) − v∗ (d) − v∗ (y) + ϕ (y) (d ∈ D). Da die obige Ungleichung für alle λ gilt, erhält man für ein beliebiges, aber festes d ∈ D, dass v∗ (k0 ) = 1 und v∗ (d) + v∗ (y) − ϕ (y) ≥ 0. Da d ein beliebiges Element aus D ist, folgt die erste Inklusion in (5.29). Umgekehrt, betrachten wir nun ein v∗ ∈ Y∗ , sodass v∗ (d) + v∗ (y) − ϕ (y) ≥ 0 (d ∈ D) und ∗ v (k0 ) = 1. Für ein festes y ∈ dom ϕ nehmen wir λ ≥ ϕ (y). Dann existiert ein d ∈ D, sodass y = λ k0 − d. Entsprechend gilt v∗ (y) = λ v∗ (k0 ) − v∗ (d) ≤ λ + v∗ (y) − ϕ (y). Da λ ≥ ϕ (y) beliebig gewählt war, haben wir v∗ (y) ≤ ϕ (y) + v∗ (y) − ϕ (y) (y ∈ Y), d.h. v∗ ∈ ∂ ϕ (y).

Im Folgenden betrachten wir einen spitzen abgeschlossenen konvexen Kegel K ⊂ Y, welcher eine Halbordnung auf Y induziert vermöge der Äquivalenz y1 ≤K y2

genau dann, wenn

y2 − y1 ∈ K.

5.5 Subdifferentiale spezieller Funktionale

129

Wir setzen voraus, dass K ein nichtleeres Inneres hat. Wir betrachten K + := {y∗ ∈ Y∗ | y∗ (y) ≥ 0 (y ∈ K)}, den Dualkegel von K. Für eine Menge S ⊆ Y sei dS die Distanzfunktion bezüglich S, dS (y) = / = +∞). Die abgeschlossene Kugel d(y, S) := infs∈S y − s für jedes y ∈ Y (Vereinbarung: d(y, 0) mit dem Mittelpunkt y ∈ Y und Radius ε bezeichnen wir mit B(y; ε ). In Lemma 5.1 zeigen wir wichtige Eigenschaften eines Skalarisierungsfunktionals aus der Vektoroptimierung bzw. eines kohärenten Risikomaßes aus des Finanzmathematik. Dabei bezeichnet ∂ wieder das klassische Subdifferential einer konvexen Funktion und bd K bezeichnet den topologischen Rand von K. Weiterhin geben wir eine Charakterisierung von schwachen Minima einer Vektoroptimierungsaufgabe (vgl. Abschnitt 10.2) mittels geeigneter Skalarisierungsfunktionale an. Zunächst sollen diese schwachen Minima eingeführt werden. Definition 5.1 Sei A ⊆ Y eine nichtleere Teilmenge von Y. Ein Punkt y0 ∈ A heißt schwach minimales Element von A bezüglich K (Bezeichnung: y0 ∈ WMin(A, K)), falls (A − y0 ) ∩ (− int K) = 0. / Falls f : X → Y eine Funktion ist und S ⊆ X eine nichtleere Menge, so heißt ein Punkt x0 ∈ S schwaches Minimum von f über S bezüglich K, falls f (x0 ) ∈ WMin( f (S), K). Lemma 5.1 Es seien Y ein reeller Banach-Raum und K ⊂ Y ein abgeschlossener konvexer Kegel mit nichtleerem Inneren. Dann ist für jedes e ∈ int K das Funktional se : Y → R, gegeben durch (vgl. (3.141 )) se (y) = inf{λ ∈ R | λ e ∈ y + K},

(5.30)

stetig, sublinear und strikt int K-monoton. Für jedes u ∈ Y ist ∂ se (u) nichtleer und

∂ se (u) = {v∗ ∈ K + | v∗ (e) = 1, v∗ (u) = se (u)}. Speziell gilt ∂ se (0) = {v∗ ∈ K + | v∗ (e) = 1}. Weiterhin ist se eine d(e, bd K)−1 -Lipschitz-Funktion und für jedes u ∈ Y und v∗ ∈ ∂ se (u) gilt e−1 ≤ v∗ ∗ ≤ d(e, bd K)−1 . Falls A ⊂ Y eine nichtleere Menge ist und 0 ∈ WMin(A, K), dann gilt se (a) ≥ 0 für jedes a ∈ A (Abkürzung: se (A) ≥ 0).

Beweis: Die oben definierte Funktion se ist ein Spezialfall des Funktionals ϕ in (3.141) aus Satz 3.38 für D = K. Dann ist se nach Satz 3.38 ein strikt int K-monotones, stetiges und sublineares Funktional (vgl. auch [66, Corollary 2.3.5]). Natürlich gilt se (0) = 0 und bei Anwendung von Satz 5.16 erhalten wir die Formel für ∂ se (0). Unter Beachtung der Stetigkeit des Funktionals se ist sein Subdifferential nichtleer an jedem Punkt und da es auch sublinear ist, können wir [183, Theorem 2.4.14] anwenden. Dann gilt für jedes u ∈ Y,

∂ se (u) = {v∗ ∈ ∂ se (0) | v∗ (u) = se (u)}. Damit folgt der erste Teil der Aussage.

(5.31)

130


Da e ∈ int K und K abgeschlossen ist, haben wir B(e; d(e, bd K)) ⊆ K, d.h. e + d(e, bd K)B(0; 1) ⊆ K. Somit gilt für u ∈ B(0; 1) die Beziehung e ∈ d(e, bd K)u + K, und d(e, bd K)−1 e ∈ u + K; also für v∗ ∈ ∂ se (0), v∗ (u) ≤ d(e, bd K)−1 . Da u beliebig gewählt war in B(0; 1) folgern wir v∗ ∗ ≤ d(e, bd K)−1 . Die Ungleichung e−1 ≤ v∗ ∗ folgt aus v∗ (e) = 1. Das Funktional se ist Lipschitz-stetig, da jedes sublineare stetige Funktional diese Eigenschaft hat. Es ist leicht zu sehen, dass die Lipschitz-Konstante d(e, bd K)−1 ist, da B(0; 1) ⊆ {y | se (y) ≤ d(e, bd K)−1 }. Abschließend, falls a ∈ A und se (a) < 0, folgt a ∈ − int K wegen se (a)e ∈ a + K, im Widerspruch zur schwachen Minimalität von 0.

5.6 Abstrakte Subdifferentiale und Multiplikatorenregeln 5.6.1 Abstrakte Subdifferentiale Wir führen jetzt das Konzept des abstrakten Subdifferentials (vgl. zum Beispiel [92]) ein. Sei X eine Klasse von Banach-Räumen, welche die Klasse der endlichdimensionalen normierten Vektorräume enthält. Wir betrachten unterhalbstetige Funktionale f : X ∈ X → R∪{+∞}. Unter einem abstrakten Subdifferential ∂ verstehen wir eine Abbildung, die jeder unterhalbstetigen Funktion f : X ∈ X → R∪{+∞} und jedem x ∈ X eine (möglicherweise leere) Teilmenge ∂ f (x) ⊂ X∗ zuordnet. Es seien X, Y ∈ X und bezeichne F (X, Y) die Klasse der Funktionen, die von X nach Y abbilden mit der Eigenschaft, dass bei Verknüpfung von links mit einer unterhalbstetigen Funktion von Y nach R ∪ {+∞} die resultierende Funktion ebenfalls unterhalbstetig ist. Wie in Beispiel 3.21 sei für eine Teilmenge M ⊆ X eines Banach-Raumes X die Indikator/ M. funktion χM bezüglich M gegeben durch χM (x) = 0, falls x ∈ M und χM (x) = +∞, falls x ∈ Wir arbeiten in jedem Spezialfall mit den folgenden Eigenschaften des abstrakten Subdifferentials ∂ (vgl. [47]). (H1) Ist f konvex, so stimmt ∂ f (x) mit dem klassischen Fenchel-Subdifferential (siehe (3.135)) überein. / dom f , so gilt ∂ f (u) = 0. / (H2) Ist x ein lokales Minimum von f , so gilt 0 ∈ ∂ f (x); ist u ∈ Offenbar sind (H1) und (H2) sehr natürliche Forderungen an jedes Subdifferential. (H3) Falls ϕ : Y → R ∪ {+∞} konvex ist und ψ ∈ F (X, Y), dann gilt für jedes x

∂ (ϕ ◦ ψ )(x) ⊂

)

y∗ ∈∂ ϕ (ψ (x)) ∂ (y

∗

◦ ψ )(x).

(H4) Ist ϕ : Y → R ∪ {+∞} konvex, ψ ∈ F (X, Y) und M ⊂ X eine abgeschlossene Menge, die x enthält, dann gilt ∂ (ϕ ◦ ψ + χM )(x) ⊂ ∂ (ϕ ◦ ψ )(x) + ∂ χM (x). (H5) Sind f , g : X → R ∪ {+∞} unterhalbstetig, x ∈ dom f ∩ dom g, g lokal Lipschitz-stetig um x, dann gilt ∂ ( f + g)(x) ⊂ ∂ f (x) + ∂ g(x).

5.6 Abstrakte Subdifferentiale und Multiplikatorenregeln

131

Die Eigenschaften (H3), (H4) und (H5) stellen exakte Rechenregeln für Summen und für zusammengesetzte Funktionen dar. Beispiele für Subdifferentiale (vgl. Schirotzek [151]) mit diesen Eigenschaften sind: • das Limiting (oder Mordukhovich-) Subdifferential, falls X die Klasse der AsplundRäume, Y endlichdimensional und F (X, Y) die Klasse der Lipschitz-stetigen Funktionen von X nach Y ist (vgl. [120]); • das approximierende (oder Ioffe-) Subdifferential, falls X die Klasse der Banach-Räume und F (X, Y) die Klasse der streng kompakten Lipschitz-stetigen Funktionen von X nach Y ist (vgl. [92]). • das Clarke’sche Subdifferential (vgl. Clarke [34], Clarke, Ledyaev, Stern, Wolenski [35]) erfüllt (H5) auf Banach-Räumen. Als Gegenstück zu den „exakten Rechenregeln“ führen wir im Folgenden die allgemeineren fuzzy-Rechenregeln ein: (H6) Falls X ∈ X , ϕ : X → R eine lokal Lipschitz-stetige Funktion ist und x ∈ dom f , dann gilt

∂ ( f + ϕ )(x) ⊆ ·∗ − lim sup (∂ f (y) + ∂ ϕ (z)). f

y→x,z→x

(H7) Falls ϕ : Y → R eine lokal Lipschitz-stetige Funktion ist und ψ ∈ F (X, Y), dann gilt für jedes x: ) ∂ (ϕ ◦ ψ )(x) ⊆ ·∗ − lim sup u∗ ∈∂ ϕ (v) ∂ (u∗ ◦ ψ )(u). ψ

u→x,v→ψ (x)

Dabei verwenden wir die folgenden Notationen: f

f

1. u → x bedeutet, dass u → x und f (u) → f (x). Falls f stetig ist, dann ist u → x äquivalent zu u → x. 2. x∗ ∈ ·∗ − lim sup ∂ f (u) bedeutet, dass für jedes ε > 0 Elemente xε und xε∗ existieren, u→x

sodass xε∗ ∈ ∂ f (xε ) und xε − x < ε , xε∗ − x∗ < ε ; die Notation x∗ ∈ ·∗ − lim sup∂ f (u) hat f

eine ähnliche Interpretation und ist äquivalent zu

x∗

u→x

∗

∈ · − lim sup∂ f (u), falls f stetig ist. u→x

Die Eigenschaft (H6) heißt fuzzy-Summenregel und ein Raum X, auf welchem eine solche Eigenschaft gilt, heißt trustworthiness Raum für das Subdifferential ∂ . Zum Beispiel, für das Fréchet-Subdifferential sind die trustworthiness-Räume die Asplund-Räume (vergleiche [54]). Diese Regel ist auch erfüllt (siehe [101, pp. 41], [41], [93] und darin enthaltene Referenzen) durch das Proximal-Subdifferential, falls X die Klasse der Hilbert-Räume ist. Mitunter verwendet man auch eine schwächere Form von (H6): (H6)’ Falls X ∈ X , ϕ : X → R eine lokal Lipschitz-stetige Funktion und x ∈ dom f ein lokales Minimim für f + ϕ ist, dann gilt 0 ∈ ·∗ − lim sup (∂ f (y) + ∂ ϕ (z)). f

y→x,z→x

132


Diese Eigenschaft ist durch jedes Subdifferential erfüllt, welches größer (im Sinne der Inklusion) als jedes der oben genannten Subdifferentiale ist. Dies ist der Fall für schwache Hadamard-, Gâteaux- und ε -Fréchet-Subdifferentiale. Die Eigenschaft (H6) ist eine allgemeinere Summenregel für das Subdifferential im Vergleich mit den in der Literatur verwendeten Regeln. Die Eigenschaft (H7) ist eine fuzzy- Kettenregel, die zum Beispiel für das Proximal-Subdifferential erfüllt ist, falls X die Klasse der Hilbert-Räume und F (X, Y) die Klasse der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen von X nach Y ist (vgl. [35, Satz 9.1 (ii)]).

5.6.2 Multiplikatorenregeln Unter Anwendung der in Abschnitt 5.6.1 eingeführten abstrakten Subdifferentiale ist es möglich, insbesondere für schwache Minima von Vektoroptimierungsproblemen (vgl. Definition 5.1 und Abschnitt 10.2), notwendige Optimalitätsbedingungen in Form von Lagrange-MultiplikatorenRegeln zu zeigen (vgl. [47]). In diesem Abschnitt setzen wir voraus, dass K ⊂ Y ein spitzer abgeschlossener konvexer Kegel mit int K = 0/ ist. Satz 5.17 Es seien X, Y ∈ X , f ∈ F (X, Y) und M eine abgeschlossene Teilmenge von X. Falls x0 ∈ M ein schwaches Minimum von f über M bezüglich K ist, dann existieren für jedes ε > 0 ein v∗ ∈ K + und ein e ∈ int K mit v∗ ∗ < ε und v∗ (e) = 1, sodass 0 ∈ ∂ (v∗ ◦ f )(x0 ) + N∂ (M, x0 ) gilt, vorausgesetzt, dass ∂ die Bedingungen (H1), (H2), (H3), (H4) erfüllt.

Beweis: Für ein positives ε wählen wir ein e ∈ int K, sodass ε −1 < d(e, bd K) (ein solches e existiert stets). Wir verwenden das Funktional ze , definiert durch ze (y) := se (y − f (x0 )) für jedes y ∈ Y. Dann ist x0 Minimallösung von ze ◦ f + χM . Unter Beachtung der Bedingungen (H2), (H4), (H3) gilt dann: 0 ∈ ∂ (ze ◦ f + χM )(x0 ) ⊆ ∂ (ze ◦ f )(x0 ) + ∂ χM (x0 ) = ∂ (ze ◦ f )(x0 ) + N∂ (M, x0 ) ⊆

)

y∗ ∈∂ ze ( f (x0 )) ∂ (y

∗

◦ f )(x0 ) + N∂ (M, x0 ).

Wegen Lemma 5.1 (es ist offensichtlich, dass ∂ ze ( f (x0 )) = ∂ se (0) gilt) und (H1) erhalten wir die Aussagen des Satzes. Die nächste Multiplikatorenregel wird unter Nutzung des folgenden Lemmas, welches in der Arbeit [33] von Clarke bewiesen wird, gezeigt. Lemma 5.2 Es seien X ein normierter Raum, M ⊂ X eine nichtleere abgeschlossene Menge und h : X → R eine an x0 ∈ M lokal L-Lipschitz-stetige Funktion ( L > 0). Falls x0 ein lokales Minimum von h auf M ist, dann existiert eine Umgebung V von x0 , sodass die Funktion x → h(x) + LdM (x) ihr Minimum auf V an der Stelle x0 annimmt.

5.7 Ökonomische Interpretation der Dualität

133

Satz 5.18 Es seien Y ∈ X und M eine abgeschlossene Teilmenge von Y. Falls y0 ∈ M ein schwach minimales Element von M bezüglich K ist, dann existiert für jedes e ∈ int K ein v∗ ∈ K + , v∗ (e) = 1, sodass −v∗ ∈ ∂ (LdM (·))(y0 ) gilt, vorausgesetzt, dass ∂ die Bedingungen (H1), (H2), (H5) erfüllt, wobei L := d(e, bd K)−1 .

Beweis: Wir verwenden wieder das Funktional ze wie in Satz 5.17 mit y0 anstelle von f (x0 ). Dann ist ze Lipschitz-stetig, und somit lokal Lipschitz-stetig an y0 mit der Lipschitz-Konstanten L. Da y0 ein Minimum (und somit ein lokales Minimum) von ze über M ist, folgt mit Lemma 5.2, dass y0 ein lokales Minimum von ze + LdM (·) ist. Somit gilt 0 ∈ ∂ (ze + LdM (·))(y0 ) ⊆ ∂ ze (y0 ) + ∂ (LdM (·))(y0 ), und der Beweis wird vervollständigt mit den gleichen Argumenten wie oben. Falls ∂ positiv homogen ist, finden wir im oben gezeigten Satz ein v∗ ∈ K + , sodass −v∗ ∈ ∂ dM (·)(y0 ) und L e ≤ v∗ ∗ ≤ 1. Eine leichte Modifikation im Beweis der obigen Aussage liefert folgendes Lemma. Lemma 5.1 Es seien Y ∈ X und M eine abgeschlossene Teilmenge von Y. Falls y0 ∈ M ein schwach minimales Element von M bezüglich K ist, dann existiert ein v∗ ∈ K + \ {0}, sodass −v∗ ∈ N∂ (M, y0 ) vorausgesetzt, dass ∂ die Bedingungen (H1), (H2), (H5) erfüllt. Insbesondere, wenn N∂ ein Kegel ist, kann v∗ so gewählt werden, dass seine Norm gleich 1 ist.

Beispiele für Subdifferentiale, für welche die eben gezeigten Resultate gelten, sind das Limiting (oder Mordukhovich-) Subdifferential und das approximierende (oder Ioffe-) Subdifferential. Falls die positive Homogenität von ∂ vorausgesetzt wird, ist die Abschätzung der Norm von v∗ nicht länger notwendig.

5.7 Ökonomische Interpretation der Dualität Wir betrachten folgendes betriebswirtschaftliche Modell: Ein Unternehmen stellt unter Einsatz von m Rohstoffen R1 , R2 , ..., Rm , von denen nur die Kapazitäten b1 , b2 , ..., bm zur Verfügung stehen, n Produkte P1 , P2 , ..., Pn her. Zur Herstellung von 1 Mengeneinheit (ME) Pj sind ai j ME von Ri erforderlich, x j ( j = 1, ..., n) sind die von Produkt Pj produzierten ME, eine ME des Produktes Pj erziele den Gewinn c j . Für das Unternehmen sind dann nichtnegative Produktionsprogramme, die den Kapazitätsbeschränkungen genügen, so zu bestimmen, dass der Gewinn maximiert wird. Folgendes lineares Optimierungsproblem (PL ) beschreibt die Gewinnmaximierung bei dieser Produktion: cT x → max , (PL ) x≥0, Ax≤b

134


wobei x ∈ Rn , c ∈ Rn , A : (m, n)-Matrix, b ∈ Rm . Dabei ist A die Matrix der Aufwandskoeffizienten, b der Vektor Kapazitätsbeschränkungen, c der Vektor der Effektivitätskoeffizienten und x der vorläufig unbekannte „Programmvektor“, x stellt die primale Variable der Produktionsaktivität dar. Die Menge B := {x ∈ Rn | x ≥ 0, Ax ≤ b} beschreibt den zulässigen Bereich und enthält diejenigen nichtnegativen Produktionsprogramme, die die Kapazitätsbeschränkungen nicht überschreiten. Die Zielstellung des Unternehmens besteht in der Auswahl eines zulässigen Produktionsprogrammes, das die höchste Effektivität sichert. Wir ordnen der primalen Aufgabe (PL ) eine duale Aufgabe (DL ) zu. Auf Grund der vorangegangenen Interpretation soll auch die duale Aufgabe ökonomisch motiviert werden: Jeder Produktionsprozess ist mit einem Bewertungsprozess (bezüglich der eingesetzten Kapazitäten bi ) verbunden, weil das Unternehmen überlegt, welche Gewinnsteigerung sich bei einer eventuellen Änderung der Kapazitätsbeschränkung bi ergibt. Den Einsatzgrößen wird dabei ein geeignetes Bewertungssystem zugeordnet. Zulässige Bewertungssysteme definiert man durch: B∗ = {y ∈ Rm | y ≥ 0 und yT A ≥ cT }. Die (nichtnegative) duale Variable y stellt ein zulässiges Bewertungssystem dar, wenn y der Bedingung yT A ≥ cT genügt. Die Komponenten eines solchen Vektors y heißen Schattenpreise (y: Schattenpreissystem oder Vektor der Schattenpreise). Der Zeilenvektor yT A ist der Vektor der spezifischen Selbstkosten bei der Produktion, natürlich mit den Schattenpreisen berechnet. Die Schattenpreise geben keinen Aufschluss darüber, welche Arbeitsmenge in den verbrauchten Einsatzgrößen verkörpert ist, sondern geben an, welche Rolle die einzelnen Einsatzgrößen beim Ausbau der optimalen Produktionsstruktur spielen. Die Komponenten von cT zeigen die spezifischen ökonomischen Ergebnisse. Somit kann die Ungleichung yT A ≥ cT so interpretiert werden, dass das ökonomische Ergebnis den ökonomischen Aufwand für kein Produkt überschreiten kann. Das Ziel der dualen Seite eines Produktionsprozesses besteht darin, ein zulässiges Schattenpreissystem zu bestimmen, das den Gesamtwert der Einsatzgrößen minimiert. Solch ein Schattenpreissystem heißt optimal. Damit erhalten wir folgende duale Aufgabe: (DL )

yT b →

min

y≥0, yT A≥cT

.

Während die Produktionsaktivität auf das Ziel gerichtet ist, die maximale ökonomische Effektivität zu erreichen, fordert ihre duale Seite, die Bewertungsaktivität, den Ausbau eines solchen Bewertungssystems, nach dem die maximale ökonomische Effektivität mit minimalen Kosten verwirklicht werden kann. Die schwache Dualitätsaussage besagt, dass für alle x ∈ B und für alle y ∈ B∗ gilt cT x ≤ sup cT x ≤ inf∗ yT b ≤ yT b. x∈B

y∈B

Die ökonomische Interpretation der schwachen Dualität besagt: Das ökonomische Ergebnis kann den ökonomischen Aufwand nicht übertreffen. Die Gültigkeit der schwachen Dualitätsaussage für (PL ) und (DL ) folgt sofort aus den Bedingungen für die Zulässigkeit bezüglich der primalen

5.8 Allgemeines Dualitätsprinzip für konvexe Optimierungsprobleme

135

bzw. der dualen Aufgabe: Wegen y ∈ B∗ gilt ∑m i=1 ai j yi ≥ c j ∀ j = 1, ..., n. Andererseits besagt x ∈ B, dass ∑nj=1 ai j x j ≤ bi (i = 1, ..., m). Damit erhalten wir ∑nj=1 c j x j ≤ ∑nj=1 x j ∑m i=1 ai j yi = m n m y a x ≤ y b , also ∑i=1 i ∑ j=1 i j j ∑i=1 i i ∀x ∈ B, ∀y ∈ B∗ :

cT x ≤ yT b

und sup cT x ≤ inf∗ yT b. y∈B

x∈B

Unter starker Dualität versteht man Aussagen der Form: ∃x0 ∈ B, ∃y0 ∈ B∗ mit cT x0 = yT0 b, d. h. min(PL ) = max(DL ) und x0 ist optimale Lösung von (PL ), y0 ist optimale Lösung von (DL ). Aus der Gültigkeit der starken Dualität folgt für das Unternehmen, dass eine Vergrößerung der Kapazität bi um 1 ME eine Erhöhung des Gewinns um yi nach sich zieht. Deshalb werden yi Schattenpreise genannt. Ökonomisch gesehen spiegelt die Dualität die Tatsache wider, dass jeder Produktionsprozess untrennbar mit einem Bewertungsprozess verbunden ist. Eine ökonomische Interpretation der starken Dualität besagt, dass alle Möglichkeiten einer weiteren Gewinnsteigerung und Kostenminimierung ausgeschöpft wurden und ein gewisses ökonomisches Gleichgewicht entstanden ist. Die Aufgaben (PL ) und (DL ) sind vom mathematischen Standpunkt aus gleichwertig. In Abschnitt 5.8.1 leiten wir die duale Aufgabe zu (PL ) und entsprechende Dualitätsaussagen mit Hilfe eines verallgemeinerten Lagrange-Ansatzes her.

5.8 Allgemeines Dualitätsprinzip für konvexe Optimierungsprobleme 5.8.1 Ein allgemeines Dualitätsprinzip mittels Lagrange-Zugang Betrachtet man neben einer gegebenen Optimierungsaufgabe (P) eine zugehörige Dualaufgabe (D), so erhofft man sich aus der Kenntnis der dualen Aufgabe • ein besseres Verständnis der gegebenen Optimierungsaufgabe, und • Grundlagen für effektive Berechnungsverfahren zu gewinnen, wie zum Beispiel in der Linearen Optimierung das duale Simplexverfahren. Insbesondere liefert die duale Aufgabe Schranken für Zielfunktionswerte der Ausgangsaufgabe und damit Möglichkeiten zum Aufstellen eines effektiven Abbruchkriteriums. Zunächst soll eine allgemeine Beschreibung der Dualität vorgenommen werden: Wir betrachten nichtleere Mengen A , B, Funktionen f : A → R, g : B → R und die Aufgaben (P)

inf f (x) =: α ,

x∈A

136


(D)

sup g(y) =: β , y∈B

wobei für alle x ∈ A und für alle y ∈ B gilt g(y) ≤ β ≤ α ≤ f (x).

(5.32)

(5.32) definiert die schwache Dualität und damit folgen für alle x¯ ∈ A und alle y¯ ∈ B mit f (x) ¯ = g(y) ¯ die Lösungseigenschaften: α = β, x¯ ist Lösung von (P), y¯ ist Lösung von (D). Falls β < α , spricht man von einer Dualitätslücke und die entsprechenden Fehlerabschätzungen können nicht beliebig genau werden. Deshalb ist die Frage nach hinreichenden Bedingungen für β = α sehr wichtig. Die Dualitätsaussagen beziehen sich auf • das Verhältnis zwischen den Extremalwerten: β ≤ α oder β = α , • die Relationen zwischen den Lösungen x¯ von (P) und y¯ von (D). Interessiert ist man an Dualaufgaben, die eine einfachere Struktur als die Primalaufgaben besitzen, z.B. erhält man bei bestimmten Approximationsproblemen als Primalaufgabe eine duale Aufgabe mit linearer Zielfunktion (vgl. Abschnitt 5.8.2). In der Literatur findet man folgende Möglichkeiten zur Konstruktion der dualen Aufgabe: • Lagrange-Technik (vgl. Zeidler [175], [176]) • Fenchel-Konjugation (vgl. Rockafellar [136]), • Axiomatischer Zugang (vgl. Luc [115]). Wir stellen hier einen allgemeinen Zugang zur Lagrange-Dualität dar. Unter Konvexitäts- und Regularitätsvoraussetzungen an die eingehenden Funktionen bzw. Mengen werden starke Dualitätsaussagen gezeigt werden. Definition 5.2 Es seien A und B nichtleere Mengen und L : A ×B → R. (x, ¯ y) ¯ ∈ A ×B heißt Sattelpunkt der LagrangeFunktion L bezüglich A × B, falls: ¯ y) = L(x, ¯ y) ¯ = min L(x, y). ¯ max L(x, y∈B

x∈A

Beispiel 5.4 Betrachten wir die Lagrange-Funktion L : R × R → R mit L(x, y) = x2 − y2 , so sieht man leicht, dass (0, 0) ein Sattelpunkt von L bezüglich R × R ist.

Für das Ausgangsproblem (P)

inf f (x) =: α

x∈A

− ∞ ≤ α ≤ +∞.


137

setzen wir folgende Darstellung voraus: Für alle x ∈ A gilt f (x) = sup L(x, y). y∈B

Als entsprechendes Dualproblem betrachten wir sup g(y) =: β

(D)

− ∞ ≤ β ≤ +∞,

y∈B

wobei für g(y) die folgende Darstellung vorausgesetzt wird: Für alle y ∈ B gilt g(y) = inf L(x, y). x∈A

Damit lassen sich beide Probleme formulieren als: inf sup L(x, y) = α ,

(P)

x∈A y∈B

sup inf L(x, y) = β .

(D)

y∈B x∈A

Beispiel 5.5 Wir betrachten die lineare Optimierungsaufgabe (PL ) aus Abschnitt 5.7 und konstruieren die zugehörige Dualaufgabe mit Hilfe der Lagrange-Funktion L. Das Maximum-Problem (PL ) : f (x) = cT x → max ist äquivalent zum Minimum-Problem Ax≤b x≥0

f (x) = −cT x → min . Ax≤b x≥0

Unter Verwendung der Lagrange-Funktion L : A × B → R mit L(x, y) = −cT x + yT (Ax − b), A = {x ∈ Rn : x ≥ 0}, B = {y ∈ Rm : y ≥ 0} und unter Beachtung von sup{−cT x + yT (Ax − b)} = −cT x + sup{yT (Ax − b)} = y≥0

y≥0

gilt für zulässige Elemente x der primalen Aufgabe:

−cT x falls Ax − b ≤ 0 +∞ sonst

f (x) = sup L(x, y). y∈B

Zur Ermittlung der dualen Aufgabe berechnen wir: T

T

T

T

T

inf {−c x + y (Ax − b)} = −y b + inf {(−c + A y) x} =

x≥0

x≥0

−yT b falls − c + AT y ≥ 0 −∞ sonst.

Damit erhalten wir die duale Aufgabe zu (PL ) als g(y) = inf L(x, y) = −yT b → x∈A

max

−c+AT y≥0 y≥0

.

138


Diese Aufgabe ist äquivalent zur Aufgabe (DL )

g(y) = yT b → min , yT A≥cT y≥0

die wir bereits in Abschnitt 5.7 mit Hilfe ökonomischer Interpretationen als Dualaufgabe zu (PL ) hergeleitet hatten.

Beim Beweis des folgenden Hauptsatzes der Dualitätstheorie zwischen (P) und (D) folgen wir Zeidler [176, Satz 49.B.]. Satz 5.19 (Hauptsatz - Dualität zwischen (P) und (D)) Es seien A und B nichtleere Mengen und L : A × B → R. Dann gilt: I. Doppelte Dualisierung (D) bzw. (P) sind äquivalent zu: inf sup −L(x, y) = −β

(D)

y∈B x∈A

sup inf −L(x, y) = −α

(P)

x∈A y∈B

In diesem Sinne ist (P) die duale Aufgabe zu (D). II. Schwache Dualitätsaussage Es gilt stets β ≤ α und damit für x¯ ∈ A und y¯ ∈ B mit f (x) ¯ = g(y), ¯ dass α = β und x¯ ist Lösung von (P), y¯ ist Lösung von (D). III. Dualität (x, ¯ y) ¯ ist genau dann Sattelpunkt der Lagrange-Funktion L bezüglich A × B, wenn x¯ eine Lösung von (P) und y¯ eine Lösung von (D) ist und α = β gilt. Außerdem ist dann die Extremalbe¯ = L(x, ¯ y) ¯ = g(y) ¯ = β erfüllt. ziehung α = f (x) IV. Existenzaussagen L besitzt einen Sattelpunkt bezüglich A × B, falls folgende Voraussetzungen erfüllt sind: (V1) A (= 0) / ⊆X ist abgeschlossen und konvex, wobei X ein reflexiver Banach-Raum ist, (V2)

B(= 0) / ⊆Y

ist abgeschlossen und konvex, wobei Y ein reflexiver Banach-Raum ist,

(V3)

x → L(x, y)

ist für alle y ∈ B unterhalbstetig und konvex auf A ,

(V4)

y → −L(x, y)

ist für alle x ∈ A unterhalbstetig und konvex auf B,

(V5)

A ist beschränkt oder es existiert ein y0 ∈ B mit L(x, y0 ) → +∞ für x → +∞, x ∈ A ,

(V6)

B ist beschränkt oder es existiert ein x0 ∈ A mit L(x0 , y) → −∞ für y → +∞, y ∈ B.

V. Starke Dualität (a) Falls die Voraussetzungen (V1) bis (V5) erfüllt sind und α < +∞ gilt, so besitzt (P) eine Lösung x¯ ∈ A und es gilt α = β . (b) Falls die Voraussetzungen (V1) bis (V4) und (V6) erfüllt sind und β > −∞ gilt, so besitzt (D) eine Lösung y¯ ∈ B und es gilt α = β .

Beweis : Zu I.:

β = sup inf L(x, y) = sup (− sup −L(x, y)) = − inf sup −L(x, y), y∈B x∈A

y∈B

x∈A

y∈B x∈A

α = inf sup L(x, y) = inf (− inf −L(x, y)) = − sup inf −L(x, y). x∈A y∈B

x∈A

y∈B

x∈A y∈B


139

Zu II.: Es gilt

β = sup inf L(x, y) ≤ sup L(x, y) (x ∈ A ), y∈B x∈A

y∈B

also

β ≤ inf sup L(x, y) = α . x∈A y∈B

Zu III.: [⇒]

Für einen Sattelpunkt (x, ¯ y) ¯ gilt: α = inf sup L(x, y) ≤ sup L(x, ¯ y) = L(x, ¯ y) ¯ x∈A y∈B

y∈B

und L(x, ¯ y) ¯ = inf L(x, y) ¯ ≤ sup inf L(x, y) = β x∈A

[⇐]

y∈B x∈A

⇒ α ≤ β, ⇒ α = β (da α ≥ β nach II. gilt). Es sei x¯ Lösung von (P), y¯ Lösung von (D) und α = β , dann gilt:

β = sup inf L(x, y) = inf L(x, y) ¯ ≤ L(x, ¯ y) ¯ ≤ sup L(x, ¯ y) = α = β , y∈B x∈A

x∈A

y∈B

d.h. es gilt überall Gleichheit, also supy∈B L(x, ¯ y) = L(x, ¯ y) ¯ = infx∈A L(x, y) ¯ und (x, ¯ y) ¯ ist Sattelpunkt der Lagrange-Funktion bezüglich A × B.

Zu IV.: (a):

Sind A und B beschränkt, dann existiert nach Satz 10.16 ein Tupel (x, ¯ y) ¯ ∈ A × B mit ¯ y), ¯ minx∈A maxy∈B L(x, y) = maxy∈B minx∈A L(x, y) = L(x, d.h. (x, ¯ y) ¯ ist Sattelpunkt der Lagrange-Funktion L bezüglich A × B.

(b):

Für hinreichend große n ∈ N mit n ≥ n0 gilt für x0 und y0 aus (V5) bzw. (V6): x0 ∈ An := {x ∈ A : x ≤ n}, y0 ∈ Bn := {y ∈ B : y ≤ n}. Ist A bzw. B beschränkt, dann kann x0 ∈ A bzw. y0 ∈ B beliebig aber fest gewählt werden.

(c):

L besitzt nach (a) einen Sattelpunkt (xn , yn ) bezüglich An × Bn , d.h. L(xn , y) ≤ L(xn , yn ) ≤ L(x, yn ) (x ∈ An , y ∈ Bn ).

(5.33)

140


(d):

Voraussetzungen (V5) und (V6) und Satz 10.15 liefern für alle x ∈ A L(x, y0 ) ≥ a > −∞, und für alle y ∈ B

−L(x0 , y) ≥ −b > −∞.

Also gilt für alle n ≥ n0 : a ≤ L(xn , y0 ) ≤ L(xn , yn ) ≤ L(x0 , yn ) ≤ b.

(e):

(5.34)

Aus (5.34), (V5) und (V6) folgt, dass {xn }, {yn } und {L(xn , yn )} beschränkt sind (aus (5.34) folgt zunächst, dass {L(xn , yn )} beschränkt ist und mit (V5) und (V6) folgt dann die Beschränktheit von {xn } und {yn }) und folglich gilt, eventuell durch Übergang zu Teilfolgen: xn x¯ ∈ A , yn y¯ ∈ B, L(xn , yn ) → γ für n → +∞. Wegen (V3), (V4) und Satz 3.11 folgt ∀x ∈ Am , ∀y ∈ Bm , m ≥ n0 und damit ∀x ∈ A , ∀y ∈ B: (5.33)

(5.33)

L(x, ¯ y) ≤ lim L(xn , y) ≤ γ ≤ lim L(x, yn ) ≤ L(x, y). ¯ ¯ y), ¯ d.h. (x, ¯ y) ¯ ist Sattelpunkt von L bezüglich A × B. Damit erhält man, dass γ = L(x,

Zu V.(b): Ist A beschränkt, dann folgt die Behauptung aus IV. und aus III. Falls β = −∞, so gilt für das innere Optimierungsproblem in (D) für alle y ∈ B : inf L(x, y) = g(y) = −∞.

(5.35)

x∈A

Sei nun A unbeschränkt und β > −∞: Unter Beachtung von (5.35) folgt dann die Existenz eines y0 ∈ B mit inf L(x, y0 ) > −∞. Damit gilt für x∈A

Ln (x, y) := L(x, y) + n−1 x

(x ∈ A , y ∈ B, n ∈ N)

die Beziehung Ln (x, y0 ) → +∞ für x ∈ A und x → +∞. Somit sind alle Voraussetzungen aus IV. erfüllt und Ln (x, y) besitzt einen Sattelpunkt (xn , yn ) bezüglich A × B : L(xn , y) + n−1 xn ≤ L(xn , yn ) + n−1 xn ≤ L(x, yn ) + n−1 x

(x ∈ A , y ∈ B).

(5.36)


Also gilt

α

=

inf sup L(x, y)

x∈A y∈B

≤

141

sup L(xn , y) y∈B

(5.36)

≤ ≤

(5.36)

≤

L(xn , yn ) L(xn , yn ) + n−1 xn ≥0

L(x0 , yn ) + n−1 x0 ,

d.h.

α ≤ L(x0 , yn ) + n−1 x0 .

(5.37)

Nach II. gilt β ≤ α und somit −∞ < β ≤ α . (5.37) sichert zusammen mit (V6) die Beschränktheit von {yn }, d.h. ∃{yn }, yn y¯ für n → +∞ : α

(5.37)

≤

lim L(xn , yn )

≤

lim L(x, yn )

(5.36) (V 4)

≤ Damit erhalten wir unter Beachtung von α ≥ β = sup inf L(x, y)

L(x, y) ¯

(x ∈ A ).

y∈B x∈A

≥

inf L(x, y) ¯

x∈A

≥ α,

die Aussagen α = β und y¯ löst (D).

Zu V.(a): Man schließe analog zu V. (b).

5.8.2 Dualitätsaussagen für eine spezielle Klasse von Approximationsproblemen Wir betrachten folgende Klasse von Approximationsproblemen (vgl. [18], [163]): (P) :

α := inf{λ Ax − a + c(x) | x ∈ KX , Bx − b ∈ KV }.

Ziel ist es, Existenzaussagen für Lösungen von (P) sowie Dualitätsaussagen aufzustellen. Dabei seien in (P) folgende Bedingungen erfüllt:

142


X, V reelle, reflexive Banach-Räume, U reeller normierter Raum, A:X→U linearer stetiger Operator, B:X→V linearer stetiger Operator, a ∈ U, b ∈ V, c ∈ X∗ , x ∈ X, λ ≥ 0, KX (= 0) / ⊂ X abgeschlossener konvexer Kegel, KV (= 0) / ⊂ V abgeschlossener konvexer Kegel. Die entsprechenden stetigen Dualkegel bezeichnen wir mit KX+ bzw. KV+ . Um die Dualitätsaussagen aus Abschnitt 5.8.1 anzuwenden, formulieren wir eine verallgemeinerte LagrangeFunktion, definiert auf X ×U ∗ × V∗ durch L(x, u∗ , v∗ ) := λ u∗ (a − Ax) + c(x) + v∗ (b − Bx),

(5.38)

die bei festem (u∗ , v∗ ) linear und stetig in x und bei festem x linear und bei festem x linear und stetig in (u∗ , v∗ ) ist. Wir verwenden folgende Bezeichnungen: A := KX , B := {(u∗ , v∗ ) ∈ U ∗ × V∗ | λ u∗ ∗ ≤ λ , v∗ ∈ KV+ }, wobei u∗ ∗ = sup u∗ (u). u≤1

Mit Hilfe der verallgemeinerten Lagrange-Funktion aus (5.38) und der Mengen A und B bilden wir die zueinander dualen Probleme inf

L(x, u∗ , v∗ )

(5.39)

inf L(x, u∗ , v∗ ).

(5.40)

sup

x∈A (u∗ ,v∗ )∈B

und sup

(u∗ ,v∗ )∈B x∈A

Für die Aufgaben (5.39) und (5.40) gelten (unter gewissen Voraussetzungen) die in Abschnitt 5.8.1 beschriebenen Dualitätssätze. Die in der Form (5.39) und (5.40) wenig handhabbaren Aufgaben lassen sich durch Berechnung der inneren Optimierungsprobleme auf handhabbare Optimierungsprobleme zurückführen. Satz 5.20 Die Probleme (P) und (5.39) sind äquivalent in folgendem Sinne: 1. Sie besitzen dieselben Optimallösungen. 2. Die Optimalwerte der Zielfunktionen in (P) und (5.39) sind gleich.

Beweis: sup v∗ (b − Bx) = + v∗ ∈KV

0 falls Bx − b ∈ KV +∞ sonst.


⇒ ⇒

sup

L(x, u∗ , v∗ ) =

⎧ ⎨ λ

sup

λ u∗ ∗ ≤λ

143

u∗ (a − Ax) + c(x) falls Bx − b ∈ KV

⎩ +∞ sonst. Durch Anwendung des Satzes von Hahn und Banach (Satz 5.2) folgt sup L(x, u∗ , v∗ ) = λ Ax − a + c(x) für x ∈ A mit Bx − b ∈ KV

(u∗ ,v∗ )∈B

(u∗ ,v∗ )∈B

und damit die Behauptung. Wir konstruieren nun zu (P) eine duale Aufgabe (D), die äquivalent zu (5.40) ist: (D) :

β := sup{λ u∗ (a) + v∗ (b) | c − λ A∗ u∗ − B∗ v∗ ∈ KX+ , λ u∗ ∗ ≤ λ , v∗ ∈ KV+ },

wobei A∗ und B∗ die zu A bzw. B adjungierten Operatoren sind, d.h. A∗ : U ∗ → X∗ und B∗ : V∗ → X∗ . Bemerkenswert ist, dass das duale Problem eine lineare Zielfunktion hat. Satz 5.21 Die Probleme (D) und (5.40) sind äquivalent im Sinne von Satz 5.20.

Beweis: inf L(x, u∗ , v∗ ) = x∈A

=

inf {λ u∗ (a − Ax) + v∗ (b − Bx) + c(x)} x∈A λ u∗ (a) + v∗ (b) + inf {(−λ A∗ u∗ − B∗ v∗ + c)(x)} x∈A

+ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

λ u (a) + v (b) falls c − λ A u − B v ∈ KX −∞ sonst und damit folgt die Behauptung. =

Unmittelbar aus den Aussagen der Sätze 5.20 und 5.21 folgt mit Satz 5.19: Satz 5.22 Für die Aufgaben (P) und (D) gilt: 1. β ≤ α . 2. Hinreichend für die Optimalität eines zulässigen Punktes x0 von (P) ist die Existenz eines zulässigen Punktes (u0∗ , v0∗ ) von (D) mit der Eigenschaft

λ Ax0 − a + c(x0 ) = λ u0∗ (a) + v0∗ (b).

(5.41)

3. Hinreichend für die Optimalität eines zulässigen Punktes (u0∗ , v0∗ ) von (D) ist die Existenz eines zulässigen Punktes x0 von (P) mit der Eigenschaft (5.41). 4. Für zulässige Punkte x0 von (P) und (u0∗ , v0∗ ) von (D) ist (5.41) erfüllt, falls die folgenden Gleichungen gelten v0∗ (b − Bx0 ) + (λ A∗ u0∗ + B∗ v0∗ − c)(x0 ) = 0, (5.42) und

λ {u0∗ (Ax0 − a) + Ax0 − a} = 0. 5. Sei λ = 0 oder U ein reeller reflexiver Banach-Raum. Besitzt (P) ein zulässiges Element x¯ mit Bx¯ − b ∈ int KV und besitzt (D) ein zulässiges Element (u¯∗ , v¯∗ ) mit c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ ∈ int KX+ , so sind (P) und (D) lösbar und es gilt α = β .

(5.43)

144


Beweis: Zu 1.: Die Aussage ergibt sich aus den Sätzen 5.20 und 5.21 und einer entsprechenden Aussage für die Probleme (5.39) und (5.40) in Satz 5.19. Zu 2. und 3.: Die Aussagen sind einfache Folgerungen aus 1. Zu 4.: Falls (5.42) und (5.43) gelten, folgt: 0

= = = =

v0∗ (b − B(x0 )) + (λ A∗ u0∗ + B∗ v0∗ − c)(x0 ) v0∗ (b) − v0∗ B(x0 ) + λ A∗ u0∗ (x0 ) + B∗ v0∗ (x0 ) − c(x0 ) v0∗ (b) + λ A∗ u0∗ (x0 ) − c(x0 ) v0∗ (b) − c(x0 ) + λ u0∗ (a) − λ Ax0 − a.

Also gilt c(x0 ) + λ Ax0 − a = v0∗ (b) + λ u0∗ (a). Zu 5.: Zum Nachweis von 5. zeigen wir, dass die Voraussetzungen (V5) und (V6) aus Satz 5.19 erfüllt sind. Wegen der Voraussetzung c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ ∈ int KX+ (für (u¯∗ , v¯∗ ) zulässig bezüglich (D)) existiert ein γ > 0 mit (c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ )(x) ≥ γ für alle x ∈ A mit x = 1. Wir betrachten eine beliebige Folge {xi } von Elementen aus A mit xi → +∞ für i → ∞ und definieren x˜i := x1i xi , also x˜i = 1. Dann gilt L(xi , u¯∗ , v¯∗ ) = = = = = ≥

λ u¯∗ (a − Axi ) + v¯∗ (b − Bxi ) + c(xi ) λ u¯∗ (a) − λ u¯∗ Axi + v¯∗ (b) − v¯∗ Bxi + c(xi ) λ u¯∗ (a) + v¯∗ (b) − λ u¯∗ Axi − v¯∗ Bxi + c(xi ) λ u¯∗ (a) + v¯∗ (b) + (c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ )(xi ) λ u¯∗ (a) + v¯∗ (b) + (c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ )(x˜i )xi λ u¯∗ (a) + v¯∗ (b) + γ xi ,

also L(xi , u¯∗ , v¯∗ ) → +∞ für xi → +∞, xi ∈ A , d.h. (V5) aus Satz 5.19 ist erfüllt. Aus x¯ (zulässig bezüglich (P)) mit B(x) ¯ − b ∈ int KV folgt die Existenz von δ > 0 mit ∗ ∗ mit (u∗ , v∗ ) ∈ B, v∗ = 1. (b − B( x)) ¯ ≤ − δ für v v ∗ ∈KV ∈−int KV Wir betrachten im Fall λ > 0 eine beliebige Folge {(u∗i , v∗i )} von Elementen aus B, sodass (u∗i , v∗i )∗ → +∞ für i → +∞ gilt. Wegen u∗i ∗ ≤ 1 folgt v∗i ∗ → +∞ und die Beschränkt¯ Wir definieren v˜∗i := v∗i v∗i1 , also v˜∗i ∗ = 1. heit der Zahlenfolge {u∗i Ax}. ∗


⇒

v∗i (b − B(x)) ¯

= ≤

145

v∗i ∗ v˜∗i (b − B(x)) ¯ ∗i −v ∗ δ

∗i λ u∗i (a) − λ u Ax¯ + v∗i (b − B(x)) ¯ +c(x) ¯ ≤−v∗i ∗ δ beschränkt beschränkt ∗i ∗i ∗i ∗i für (u , v )∗ → +∞. ⇒ L(x, ¯ u , v ) → −∞ Im Fall λ = 0 taucht die Variable u∗ in (5.38) nicht auf, also betrachten wir von vornherein {v∗i } mit v∗i ∈ KV und v∗i ∗ → +∞. Der Beweis erfolgt damit wie oben. Folglich ist Voraussetzung (V6) aus Satz 5.19 erfüllt. Die Aussage 5. folgt nun mit Satz 5.19.

⇒

L(x, ¯ u∗i , v∗i )

=

Bemerkung 5.4 Beim Beweis der Aussage 5. in Satz 5.22 wird Satz 5.19, V., angewendet. Hierbei folgen die Voraussetzungen α < +∞ und β > −∞ in Satz 5.19, V., aus den Annahmen in Satz 5.22, 5., dass ein zulässiges Element x¯ in (P) mit Bx¯ − b ∈ int KV und ein zulässiges Element (u¯∗ , v¯∗ ) in (D) mit c − λ A∗ u¯∗ − B∗ v¯∗ ∈ int KX+ existieren.

5.8.3 Dualitätsaussagen für Risikomaße Das Ziel des folgenden Abschnittes ist, an Hand eines Beispiels aus der Finanzwirtschaft auf neue Ergebnisse bezüglich anwendbarer Formulierung von Dualproblemen mehrkriterieller linearer Optimierungsprobleme einzugehen. Wir folgen [83]. Dort wird in vollständigen Verbänden unter Verwendung einer mengenwertigen dualen Zielfunktion eine lückenfreie Dualitätstheorie für lineare mehrkriterielle Optimierungsaufgaben dargestellt. Wir betrachten dazu ein bikriterielles Portfolio-Optimierungsproblem vom Markowitz-Typ, wobei der erwartete „Return“ des Portfolios maximiert und zugleich das Risiko des Portfolios, gemessen durch den Risiko-Mittelwert, minimiert werden soll. Zu Einzelheiten bezüglich des Risiko-Mittelwertes vgl. Foellmer und Schied [60], Sektion 4.4. oder Rockafellar und Uryasev [141]. Gegeben sei ein Markt mit n verschiedenen finanziellen Möglichkeiten (Instrumenten) mit den Returns r j , j = 1, ..., n. Diese sind Zufallsgrößen, zusammengefasst zu einem Zufallsvektor r = (r1 , ..., rn )T mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung P. Die Komponente x j ( j = 1, ..., n) des Entscheidungsvektors x ∈ Rn ist die Kapitalmenge, die in das Instrument j investiert wird. Der Vektor x ∈ Rn stellt ein Portfolio dieser Instrumente dar. Das ergibt die Nebenbedingungen x ≥ 0,

n

∑ x j = 1.

j=1

Der Return eines Portfolios x ist rT x. Somit lautet das bikriterielle Optimierungsproblem, sowohl den negativen erwarteten Return −E(rT x) als auch den Risiko-Mittelwert des Returns zu einem gegebenen Risikoniveau β ∈ [0, 1) zu minimieren. Dieses Problem ist im Allgemeinen nicht linear. Unter Verwendung von Stichproben kann es aber durch ein lineares Problem approximiert werden (vgl. Rockafellar und Uryasev [140]): Mit

146


einer Stichprobe r1 , ..., rm der Größe m gilt 1 m kT ∑r x m k=1

E(rT x) ≈

und für den Risiko-Mittelwert des Returns gilt genähert m 1 T inf α + ∑ zk | α ∈ R, k ∈ {1, ..., m} : zk ∈ R+ , rk x + α + zk ≥ 0 . (1 − β )m k=1

(5.44)

Wir erhalten im Wesentlichen folgendes lineare vektorielle Optimierungsproblem: (PM ) : f [X] + R2+ → min mit dem zulässigen Bereich X :=

(x, z, α ) ∈ Rn+ × Rm + ×R

|

n

∑ x j = 1, k ∈ {1, ..., m} : r

kT

x + α + zk ≥ 0

(5.45)

j=1

und f ist gegeben durch

⎛ ⎜ ⎜ f (x, z, α ) = ⎜ ⎜ ⎝

⎞

1 m T − ∑ rk x m k=1

α+

m 1 zk ∑ (1 − β )m k=1

⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Um ein Dualproblem zu bilden, schreiben wir das Problem (PM ) in Normalform. Wir erhalten M[X] + Rq+ → min ,

X := {x¯ ∈ Rn+m+1 | Ax¯ ≥ b},

(5.46)

wobei gesetzt wurde ⎛ ⎛ 1 T T − m 1m R M := ⎝ 0

mit

0 1 T (1−β )m 1m

⎞ 0 ⎠, 1

⎛

r11 ⎜ .. R := ⎝ . rn1

In

⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ A := ⎜ 1Tn ⎜ ⎜ ⎜−1T ⎜ n ⎝ RT ··· .. . ···

⎞ r1m .. ⎟ , .⎠ rnm

0 Im 0 0 Im

0

⎞

⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟, ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎠ 1m

⎛

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b := ⎜ 1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0


147

I ist die -dimensionale Einheitsmatrix und 1 ist der -dimensionale Vektor, dessen Komponenten alle gleich 1 sind. Zum Primalproblem (5.46) wird ein Dualproblem mit der mengenwertigen Zielfunktion H(v, u, c) = {y ∈ R2 | c1 y1 + c2 y2 = v} angegeben (und es gelten lückenfreie Dualitätsaussagen): (DM )

H[U] → min,

wobei U = {(v, q, c) ∈ R × Rm × R2 | c ≥ 0, c1 + c2 = 1,

(5.47) m

∑ qk = 1,

k=1

für alle k = 1, ..., m : 0 ≤ qk ≤

m 1 1 , für alle j = 1, ..., n : v ≤ − ∑ rkj c1 + rkj qk c2 }. (1 − β )m k=1 m

Lösungen der dualen Aufgabe lassen sich charakterisieren: Ein Tripel (v∗ , q∗ , c∗ ) ∈ U ist eine Lösung von (DM ) genau dann, wenn v∗ = max{v|(v, q∗ , c∗ ) ∈ U}, d.h. genau dann, wenn m

m 1 k ∗ 1 r j c1 + rkj q∗k c∗2 = max min − ∑ rkj c∗1 + rkj qk c∗2 q∈Q j=1,...,n k=1 m k=1 m

v∗ = min − ∑ j=1,...,n

mit

m

Q := {q ∈ Rm | ∑ qk = 1, für alle k = 1, ..., m : 0 ≤ qk ≤ k=1

1 } (1 − β )m

nichtleer wegen β ≥ 0. Wegen q ≥ 0 und ∑m k=1 qk = 1 können die Zahlen qk als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden, die eine alternative Wahrscheinlichkeitsverteilung Pq für die Stichk proben rk beschreiben. Dann ist ∑m k=1 r j qk = Eq (r j ) der Erwartungswert von r j unter der al1 k ternativen Verteilung Pq und ∑m k=1 m r j = E(r j ) der Erwartungswert von r j unter der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung P. Die Skalarisierungsgewichte c1 und c2 beschreiben die Modellunsicherheit, d.h., c1 kann als die gegebene Wahrscheinlichkeit für die Verteilung P und c2 als die Wahrscheinlichkeit für die alternative Verteilung Pq angesehen werden. Dann beschreibt P(c,q) := c1 P + c2 Pq eine Verteilung, die eine Mischung aus P und Pq ist mit dem Erwartungswert E(c,q) (r j ) = c1 E(r j ) + c2 Eq (r j ). Folglich besteht eine Lösung des Dualproblems aus gewissen (c∗ , q∗ ), die eine alternative Wahrscheinlichkeitsverteilung P(c∗ ,q∗ ) bestimmen, und einer Zahl v∗ = min j=1,...,n −E(c∗ ,q∗ ) (r j ), wobei der Vektor q∗ ∈ Q so gewählt werden muss, dass er min j=1,...,n −E(c∗ ,q) (r j ) maximiert oder max j=1,...,n E(c∗ ,q) (r j ) minimiert, d.i. bei gegebenem Wert von c∗ der größte erwartete Return der n gegebenen finanziellen Instrumente. Das bedeutet, (c∗ , q∗ ) liefert den schlechtesten Fall für den erwarteten Return des „besten“ der gegebenen finanziellen Instrumente unter der gegebenen alternativen Wahrscheinlichkeit P(c∗ ,q) .

148


Aus den Resultaten in [83] folgt, dass ein Punkt (x∗ , z∗ , α ∗ ) ∈ X eine Lösung des Primalproblems (PM ) genau dann ist, wenn es eine Lösung (v∗ , q∗ , c∗ ) von (DM ) gibt mit −

m c∗1 m k T ∗ 1 r x + c∗2 (α ∗ + z∗ ) = v∗ = min −E(c∗ ,q∗ ) (r j ). ∑ ∑ j=1,...,n m k=1 (1 − β )m k=1 k

(5.48)

Man kann also eine Lösung des Portfolio-Optimierungsproblems finden, indem man zuerst die alternative („worst case“) Wahrscheinlichkeit P(c∗ ,q∗ ) , die zu einer Lösung (v∗ , q∗ , c∗ ) von (DM ) gehört, bestimmt, und dann nach einem Portfolio x∗ sucht, sodass (5.48) erfüllt ist. Natürlich ist es auch mitunter nützlich, alle Lösungen des Dualproblems (DM ) zusammen mit den entsprechenden Portfolios zu bestimmen, um dem Entscheidungsträger (dem Investor) Informationen zum Zusammenspiel zwischen Skalarisierungsgewichten c∗ und dem „worst case“ Szenario P(c∗ ,q∗ ) unter dieser Skalarisierung zu geben.

5.9 Ein Proximal-Point-Algorithmus für stetige Approximationsprobleme Wir betrachten unter Hinzunahme eines Kostenfunktionals c : Rk → R1 das folgende Abstandsminimierungsproblem: ⎫ n β ⎪ ⎪ f (x) = cT x + ∑ αi Ai x − ai i i → minx∈D , ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k ⎪ · i : Normen in R , ⎬ (5.49) ⎪ x, c ∈ Rk , ai ∈ Rk , αi > 0, βi ≥ 1, Ai ∈ L(Rk , Rk ), (i = 1, ..., n), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m ⎪ ' ⎪ k ⎪ D = D j , D j ⊂ R abgeschlossen und konvex ( j = 1, ..., m), ⎭ 1

wobei L(Rk , Rk ) die (k, k) - Matrizen (oder den Raum der linearen stetigen Funktionale vom Rk in den Rk ) bezeichnet. Das Innere der Menge D sei nichtleer. Die Aufgabe (5.49) besitzt nach dem Satz von Weierstraß (Satz 3.31) zum Beispiel dann eine Lösung, wenn eine der Mengen D j ( j = 1, ..., m) beschränkt ist. Die Aufgabe (5.49) stellt ein allgemeines Approximationsproblem dar, welches Standortprobleme als Spezialfall enthält. Ein Proximal-Point-Algorithmus zur Lösung von Spezialfällen der Aufgabenstellung (5.49) wurde in den Arbeiten von Idrissi, Loridan, Michelot [90] und Idrissi, Lefebvre, Michelot [89] angegeben.

5.9.1 Optimalitätsbedingungen Mittels der Indikatorfunktion χM (x) bezüglich einer Menge M ⊆ Rk (vgl. Beispiel 3.21):

0 falls x ∈ M, χM (x) := +∞ falls x ∈ /M ,

5.9 Ein Proximal-Point-Algorithmus für stetige Approximationsprobleme

149

wird das Problem (5.49) in ein unrestringiertes Problem überführt : n

m

β

F(x) = cT x + ∑ αi Ai x − ai i i + ∑ χD j (x) → min . i=1

x∈Rk

j=1

Da F unter den gegebenen Voraussetzungen eine konvexe Funktion ist, lautet die notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung an x0 ∈ Rk (vgl. Satz 5.14): 0 ∈ ∂ F(x0 ) .

(5.50)

Wegen der Bedingung an die Restriktionsmenge D, dass deren Inneres nichtleer sein soll, gilt die Summenregel für Subdifferentiale (vgl. Satz 5.13), und die Optimalitätsbedingung (5.50) kann in die folgende Form überführt werden: β

qi

∈

∂ (αi Ai x0 − ai i i ), i = 1, 2, . . . , n,

(5.51)

rj

∈

∂ χD j (x ),

(5.52)

∑ qi + ∑ r j + c

=

0.

n

m

i=1

j=1

j = 1, 2, . . . , m,

0

(5.53)

Bekanntlich (vgl. Abschnitt 3.3.3) stimmt das Subdifferential von χM mit dem Normalenkegel an die Menge M überein:

{u∗ ∈ Rk : u∗ | y ≤ u∗ | x (y ∈ M)}: x ∈ M ∂ χM (x) = NM (x) = 0/ :x∈ /M. Die Struktur des Subdifferentials der Norm erhält man wie folgt (vgl. Satz 5.15 und Aubin, Ekeland [14]): Lemma 5.3 Für x = 0 und β ≥ 1 ist p ∈ ∂ (xβ )

⇔

p∗ = β xβ −1

und

(5.54) p | x = β xβ .

(5.55)

p∗ ≤ 1 ,

(5.56)

Für x = 0 und β = 1 ist p ∈ ∂ (x)

⇔

und für x = 0 und β > 1 ist p = 0 die einzige Lösung.

5.9.2 Die Methode der partiellen Inversen In diesem Abschnitt werden der Proximal-Point-Algorithmus und die Methode der partiellen Inversen vorgestellt, die von Spingarn entwickelt wurden (vgl. [158], [89]). Der Proximal-Point-Algorithmus ist eine Methode zur Bestimmung der Nullelemente von mengenwertigen maximal-monotonen Operatoren T : H ⇒ H, wobei H ein Hilbert-Raum ist. Ein Operator T heißt monoton (vgl. Abschnitt 10.5.1), falls x − x | y − y ≥ 0

(y ∈ T (x), y ∈ T (x ), x, x ∈ H)

150


und maximal-monoton (vgl. Abschnitt 10.5.2), falls sein Graph nicht echt im Graph eines anderen monotonen Operators enthalten ist. Für maximal-monotone Operatoren ist die sogenannte Proximal-Abbildung (I + cT )−1 , c > 0, eine Abbildung mit jeweils einelementigem Bild (vgl. [119]). Diese Proximal-Abbildung stellt die Basis für den Proximal-Point-Algorithmus dar (vgl. [139]): Für eine Folge {cn }, cn ∈ R, mit ci > k > 0 i = 1, 2, ... und einen beliebigen Startpunkt x1 ∈ H konvergiert die Iteration xn+1 := (I + cn T )−1 (xn ) entweder schwach gegen eine Lösung x0 mit 0 ∈ T (x0 ) oder (falls keine Lösung existiert) ||xn || −→ ∞. Spingarns Methode der partiellen Inversen arbeitet mit komplementären Teilräumen A und B von H = A ⊕ B. Wir betrachten das Problem bestimme y0 ∈ A , p0 ∈ B

sodass p0 ∈ T (y0 ) .

(5.57)

Zur Lösung dieses Problems führte Spingarn die partielle Inverse TA von T durch ihren Graphen graph(TA ) = {(yA + pB , pA + yB ) : p ∈ T (y)} ein, wobei xM die Projektion von x ∈ E auf die Menge M ⊆ E bezeichnet. Der Vergleich mit dem Graphen von T : {(yA + yB , pA + pB ) : p ∈ T (y)} zeigt, dass pB und yB ausgetauscht werden in TA . Falls B = {0} und A = E, dann ist TA = T . Falls A = {0} und B = E dann ist TA die Inverse von T . Dieser Operator TA ist maximal-monoton genau dann, wenn T maximal-monoton ist (Proposition 2.1, [158]). Die Gleichung 0 ∈ TA (z) ist äquivalent zu zB ∈ T (zA ), sodass die letzte Gleichung unter Anwendung des Proximal-Point-Algorithmus gelöst werden kann. Dies ergibt die folgende Iteration zk+1

:= (I + TA )−1 zk

zk+1 + TA (zk+1 )

"

zk ,

TA (y

)

"

(y − y

T (yk+1 + (pk − pk+1 ))

"

(yk − yk+1 ) + pk+1 ,

k+1

+p

k+1

k

=:y˜k

zk = yk + pk , k+1

yk ∈ A , pk ∈ B

) + (p − p k

k+1

)

=: p˜k

und mit p˜k und y˜k erhalten wir die folgenden Bestimmungsgleichungen: p˜k ∈ T (y˜k ) k+1

y

:=

y˜kA

mit und

y˜k + p˜k = yk + pk , p

k+1

:=

p˜kB .

(5.58) (5.59)

Die Lösung von (5.58) heißt Proximalschritt, und die Bestimmung von (5.59) heißt Projektionsschritt. Bei einer geeigneten Wahl der Teilräume A und B und des Operators T kann diese Methode zur Zerlegung des Problems genutzt werden. Der wesentliche Unterschied zum Ausgangsproblem ist die Lösung von p˜ ∈ T (y) ˜ in E ohne Restriktionen für p˜ und y˜ und die anschließende Projektion auf die „Restriktionen“ A und B. Der Operator TA fehlt in den abgeleiteten Gleichungen, er ist lediglich für die Herleitung von Aussagen über die Konvergenz von Interesse.


151

5.9.3 Die Formulierung des Spingarn-Problems Das Ziel besteht in einer Transformation des Problems (5.49) auf ein Problem in Spingarns Form. Der Raum E ist definiert durch E

:= Rk1 × Rk2 × . . . × Rkn+m+1

(5.60)

(k1 = ... = kn+m+1 = k). Zur verkürzenden Darstellung definieren wir den Operator S : E → Rk durch S(e) :=

n

m+1

i=1

j=1

∑ ATi ei + ∑ en+ j ,

e = (e1 , . . . , en+m+1 ) ∈ E .

Dann haben die Teilräume die Form A

:= {y ∈ E | y = (A1 x, A2 x, . . . , An x, x, . . . , x), x ∈ Rk } ,

(5.61)

n+m+1

B

:= {p ∈ E : S(p) = 0} .

(5.62)

Wir werden zeigen, dass der Teilraum B das orthogonale Komplement von A ist. AT bezeichnet den adjungierten Operator zu A. Mit v ∈ E und a ∈ A folgt dann n

m+1

i=1

j=1

∑ Ai x | vi +

a | v =

∑ x | vn+ j

= x | S(v) .

(5.63)

Falls v ∈ B, so ist die rechte Seite null und somit folgt B ⊂ A ⊥ . Falls v ∈ A ⊥ , dann ist (5.63) gleich null für alle a ∈ A und deshalb für alle x ∈ Rk . Dies bedeutet, dass der rechte Anteil im Skalarprodukt gleich null ist, sodass wir v ∈ B erhalten und A ⊥ ⊂ B ⊂ A ⊥ , A ⊥ = B. Wegen der Abgeschlossenheit von A und B folgt: E = A ⊕B .

(5.64)

Der Operator T : E ⇒ E hat die Form: p˜ ∈ T (y) ˜

⇔

p˜i ∈ Ti (y˜i ) i = 1, . . . , n + m + 1, β

Ti (yi ) := ∂ (αi yi − ai i i ), i = 1, . . . , n Tn+ j (yn+ j ) := ND j (yn+ j ), Tn+m+1 (yn+m+1 ) := c .

j = 1, . . . , m

p, ˜ y˜ ∈ E . (5.65) (5.66) (5.67)

Das Problem (5.51)–(5.53) ist äquivalent zum Problem (5.57) bei dieser Wahl von A , B und T mit qi = ATi p0i , r j = p0n+ j und y0 = (A1 x0 , . . . , An x0 , x0 , . . . , x0 ). Dies bedeutet: Hat eines der Probleme eine Lösung, so auch das andere, und die Lösung von (5.57) kann transformiert werden in eine Lösung von (5.51) - (5.53).

152


Um dies zu zeigen, verwenden wir die Kettenregel für Subdifferentiale: β

β

∂ (αi Ai x − ai i i ) = ATi ∂ (αi yi − ai i i )

mit yi = Ai x .

Geht man von einer Lösung von (5.57) aus, so folgt die Lösbarkeit von (5.51) - (5.53) direkt aus der Definition des Operators T und der Teilräume A und B. Die andere Richtung wird gezeigt für gegebene qi und r j mit β

qi

∈ ∂ (αi Ai x0 − ai i i ) yi = Ai x0 ,

qi

∈

β

ATi ∂ (αi yi − ai i i ) .

Da qi gegeben ist als eine Lösung von (5.51), existiert ein Element pi mit: qi pi

= ATi pi ∈

und

β ∂ (αi y0i − ai i i ) .

Diese pi sind die ersten n Elemente von p0 in der Äquivalenzbeziehung. Die anderen Komponenten von p0 und y0 sind leicht zu transformieren.

5.9.4 Lösung der Optimalitätsbedingungen Spingarns Algorithmus gibt die Möglichkeit, die einzelnen Gleichungen im Proximalschritt (5.58) für die Summanden Zeile um Zeile zu lösen und die Projektion auf die Teilräume anschließend zu berechnen (5.59). Bei gegebenen pki und yki ist die Iteration definiert durch die entsprechenden Gleichungen (vgl. Abschnitt 5.9.2): β

p˜ki ∈ ∂ (αi y˜ki − ai i i ) p˜kn+ j

∈

ND j (y˜kn+ j )

p˜kn+m+1

=c,

mit

p˜ki + y˜ki = pki + yki , i = 1(1)n

mit

p˜kn+ j + y˜kn+ j = pkn+ j + ykn+ j , y˜kn+m+1 = pkn+ j + ykn+ j − c.

(5.68) j = 1(1)m

(5.69) (5.70)

Die nächsten Teilabschnitte behandeln diese Beziehungen.

5.9.5 Das Subdifferential der Norm-Anteile in der Zielfunktion Unter Beachtung der Struktur des Subdifferentials der Norm (vgl. Lemma 5.3) untersuchen wir zwei unterschiedliche Fälle: βi = 1 und βi > 1. Erster Fall: βi = 1. Die Subdifferential-Gleichung wird vereinfacht zu: p˜ki ∈ ∂ (αi y˜ki − ai i ),

i = 1, . . . , n.


153

(I) y˜ki − ai = 0: Die Struktur des Subdifferentials der Norm liefert p˜ki i∗ = αi ,

p˜ki | y˜ki − ai = αi y˜ki − ai i .

Unter Verwendung von (17) in der Form y˜ki = pki + yki − p˜ki erhalten wir

p˜ki | yk + pk − ai − p˜ki = yki + pki − ai − p˜ki i . αi i i =:bi

=bi

Die Schwarz’sche Ungleichung mit z∗ i∗ ≤ 1, z∗ ∈ Rk , führt auf z∗ | x ≤ xi . Mit Bi (0; 1) := {z∗ ∈ Rk | z∗ i∗ ≤ 1} folgt: p˜ki | bi − p˜ki = bi − p˜ki i , αi p˜k i | bi − p˜ki ≥ z∗ | bi − p˜ki (z∗ ∈ Bi (0; 1)), αi

p˜ki − z∗ | bi − p˜ki ≥ 0 αi p˜k bi p˜k i − z∗ | − i ≥ 0 αi αi αi

(z∗ ∈ Bi (0; 1)), (z∗ ∈ Bi (0; 1)) .

(5.71)

Dies ist äquivalent zu p˜ki αi p˜ki

bi ) αi bi = αi PBi (0;1) ( ) . αi = PBi (0;1) (

(II) y˜ki − ai = 0: Es folgt

p˜ki ∈ αi ∂ (0i ) = {z∗ ∈ Rk | z∗ i∗ ≤ αi },

und somit p˜ki i∗ ≤ αi . Der zweite Teil der Gleichung ist p˜ki

= yki + pki − y˜ki

y˜ki

= ai

p˜ki

= yki + pki − ai .

Beides zusammen liefert bi := yki + pki − ai ≤ αi .

(5.72)

154


Werden beide Fälle zusammengefasst, so erhalten wir bi p˜ki

:= (yki + pki − ai ) : bi /αi i∗ ≤ 1 bi := αi PBi (0;1) (bi /αi ) : bi /αi i∗ > 1 .

(5.73)

Die Berechnung der Projektion eines Elementes x ∈ Rk auf Bi (0; 1) hängt ab von der Norm · i . Die Ausführung der Projektion ist nur erforderlich, falls xi∗ > 1. Die Projektion bezüglich der Norm im Hilbert-Raum (mit x2 = x | x) ist einfach x/x. Die Projektion bezüglich der Maximum-Norm kann komponentenweise berechnet werden: Falls xl > 1 wird sie gleich 1 gesetzt, falls xl < −1 wird sie −1 gesetzt. Die Summen-Norm ist komplizierter zu behandeln. Die Projektion wird ausgeführt durch gleichmäßige Reduzierung des Absolutbetrages aller Komponenten, bis die jeweilige Komponente gleich 0 ist oder die Summe der Komponenten gleich 1 ist. Eine andere Möglichkeit wäre die sukzessive Projektion auf die Hyperebenen, die Bi (0; 1) begrenzen. Zweiter Fall: βi > 1. Die zu lösende Beziehung ist β

p˜ki /αi ∈ ∂ (y˜ki − ai i i ) . Wir setzen wieder bi := pki + yki − ai , und aus p˜k + y˜k = pk + yk folgt y˜ki − ai = bi − p˜ki . Der Fall ( p˜ki = bi ) hat nur eine Lösung: p˜ki = 0, d.h. also auch bi = 0. Sei nun bi = 0. Unter Nutzung von Lemma 5.3 erhalten wir p˜ki i∗ y˜ki − ai i

β

= αi βi y˜ki − ai i i

p˜ki | y˜ki − ai =

β αi βi y˜ki − ai i i .

(5.74) (5.75)

Beides zusammen und die Ersetzung von y˜ki − ai durch bi − p˜ki ergibt p˜ki i∗ bi − p˜ki i

= p˜ki | bi − p˜ki .

(5.76)

Das ist die Schwarz’sche Ungleichung mit dem Gleichheitszeichen. Im Folgenden ist eine Betrachtung spezieller Normen erforderlich. Für die Maximum-Norm, die Summen-Norm und die Euklidische Norm können Lösungen dieser Gleichung gefunden werden. Für die Euklidische Norm gilt die Schwarz’sche Ungleichung mit dem Gleichheitszeichen genau dann, wenn p˜ki und bi − p˜ki linear abhängig sind mit einem positiven Faktor. Daher muss eine reelle Konstante K ∈ (0, 1) mit p˜ki = Kbi existieren. Setzen wir dies in die Gleichung (5.74) ein, erhalten wir eine nichtlineare Gleichung für K in Abhängigkeit von αi , βi und bi : β −2

c1

:= αi βi bi i i

c2

:= βi − 1 > 0,

0

=

> 0,

c1 (1 − K)c2 − K.

(5.77)


155

Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden und K kann verwendet werden, um p˜ki = Kbi zu erhalten. Falls βi = 2, dann ist K einfach 2αi /(2αi + 1). Für die Summen-Norm und für die Maximum-Norm kann die Gleichung (5.76) verwendet werden, um komponentenweise geeignete Bedingungen zu erhalten. Um doppelte Indizes zu vermeiden, betrachten wir die Gleichung x∗ y − x = x | y − x mit x = p˜ki , y = bi ∈ Rk . Für die Summen-Norm kann gezeigt werden, dass für jede Komponente l entweder xl = yl oder sup j |x j | = xl sign(yl − xl ). Diese Bedingung und die Gleichung (5.74) mit xi∗ = sup j |x j | führt dann auf die Lösung der Gleichung

∑

(|yl | − K)

|yl |>K

=

K αi βi

1 βi −1

(5.78)

für K = sup j |x j |, welche numerisch gelöst werden kann, und hieraus wiederum kann xl berechnet werden: ⎧ ⎨ K : yl > K xl = (5.79) −K : yl < −K ⎩ yl : |yl | ≤ K . Eine ähnliche Bedingung kann auch für die Maximum-Norm abgeleitet werden. Entweder gilt xl = 0 oder (yl − xl )sign(xl ) = supj |yj − xj |. Mit (5.74) und K = sup j |y j − x j | folgt die Gleichung

∑

(|yl | − K) = αi βi K βi −1 ,

(5.80)

|yl |>K

welche numerisch berechnet werden kann. Weiterhin erhält man x aus ⎧ ⎨ yl − K : yl > K xl = y + K : yl < −K ⎩ l 0 : |yl | ≤ K .

(5.81)

Nach diesen Schritten kann y transformiert werden auf p˜ki .

5.9.6 Das Subdifferential der Indikatorfunktionen in der Zielfunktion Es sind folgende Gleichungen zu lösen p˜kn+ j ∈ ND j (y˜kn+ j ) mit

p˜kn+ j + y˜kn+ j = pkn+ j + ykn+ j , p˜kn+ j

∈ ND j (y˜kn+ j )

pkn+ j + ykn+ j − y˜kn+ j

∈ ND j (y˜kn+ j )

pkn+ j + ykn+ j

∈ (I + ND j )(y˜kn+ j ) .

j = 1(1)m .

156


Die Inverse von (I + ND j ) ist die Projektion auf die Menge D j : := PD j (pkn+ j + ykn+ j ) .

y˜kn+ j

(5.82)

p˜kn+ j ist leicht zu erhalten aus y˜kn+ j : p˜kn+ j

pkn+ j + ykn+ j − y˜kn+ j .

:=

(5.83)

5.9.7 Projektionen auf Halbräume Die Projektion auf die Halbräume A und B ist ein wichtiger Schritt beim Algorithmus von Spingarn. Es sei v ∈ E ein beliebiges Element. v

= vA + vB ,

vA

= (y1 , . . . , yn+m+1 ) ∈ A ,

vA

= (A1 x, . . . , An x, x, . . . , x) ∈ A .

Unter Verwendung des Operators S (S(e) = ∑ni=1 ATi ei + ∑m+1 j=1 en+ j ) auf beiden Seiten, und S(p) = 0 für p ∈ B, erhält man S(v) =

S(vA ) , n

∑ ATi Ai x + (m + 1)x

S(v) =

i=1

n

n+m+1

∑ ATi vi + ∑

i=1

vj

j=n+1

=

n

∑ ATi Ai x + (m + 1)x.

(5.84)

i=1

(5.85) Setzen wir n

n+m+1

i=1

j=n+1

u = ∑ ATi vi + und

∑

vj

n

B = ∑ ATi Ai + (m + 1)I , i=1

so kann x berechnet werden durch Lösung der Gleichung Bx = u . Der Operator B ist regulär für alle endlichdimensionalen linearen Operatoren Ai : Rk → Rk , da alle Eigenwerte größer oder gleich 1 sind. Somit existiert der inverse Operator zu B.


Die Projektion von v ∈ E auf A hat die folgende Form: + := B−1

x yi yn+ j

n+m+1

i=1

j=n+1

∑ ATi vi + ∑

:= Ai x,

i = 1(1)n,

:= x,

j = 1(1) m + 1,

=

vA

n

157

, vj ,

(y1 , . . . , yn+m+1 ) .

Bei Beachtung von E = A ⊕ B (vgl. (5.64)), ist die Projektion auf B gegeben durch vB = v − vA . Die Punkte p˜k und y˜k sind verbunden durch p˜k + y˜k = pk +yk (yk ∈ A , pk ∈ B). Die Projektion auf einen linearen Halbraum ist additiv, dies kann genutzt werden bei der Berechnung einer Projektion durch die andere: y˜k

= yk + pk − p˜k

PA (y˜k ) = PA (yk ) + PA (pk ) − PA ( p˜k ) yk+1 − yk

= −PA ( p˜k ).

Somit sind alle Schritte der Methode der partiellen Inversen von Spingarn für dieses Problem gelöst.

5.9.8 Algorithmus PPA Der Algorithmus PPA zur näherungsweisen Lösung von (5.49) hat dann die folgende Form (mit der Summe pk + yk als eine Variable, und Bi (0; 1) = {p : pi∗ ≤ 1}): 1. Initialisierung • Wähle x1 ∈ Rk und p1 ∈ B, setze (p1 + y1 )i = p1i + Ai x1 und p1n+ j + y1n+ j = p1n+ j + x1 . −1 • Bestimme B−1 := (m + 1)I + ∑ni=1 ATi Ai . 2. Proximalschritt Für i = 1(1)n: Setze bi := yki + pki − ai . • Falls βi = 1, dann setze p˜ki =

bi falls bi i ≤ αi αi PBi (0;1) (bi /αi ) sonst .

• Falls βi > 1 und · i die Summen-, Maximum- oder Euklidische Norm, berechne K aus (5.78), (5.80) oder (5.77) und p˜ki aus diesem K und bi folgt aus (5.79), (5.81) oder p˜ki = Kbi . Für j = 1(1)m: Setze p˜kn+ j = pkn+ j + ykn+ j − PD j (pkn+ j + ykn+ j ) Setze pñ+m+1 = c.

158


3. Projektionsschritt Bestimme: n

m+1

i=1

j=1

• p¯k := B−1 ( ∑ ATi p˜ki +

=:o1

∑ p˜kn+ j ).

• xk+1 := xk − p¯k . • pk+1 + yk+1 := p˜k + (A1 (xk − 2 p¯k ), . . . , An (xk − 2 p¯k ), xk − 2 p¯k , . . . , xk − 2 p¯k ). Stop, falls o1 + p¯k = S( p) ˜ + p¯k < ε und (pk+1 + yk+1 ) − (pk + yk ) < ε für einen gegebenen Wert ε > 0. Anderenfalls: Setze k = k + 1 und gehe zurück zum Proximalschritt (Schritt 2). Spezialfall: Für den Spezialfall, wo alle Operatoren Ai = I, wird B−1 nicht benötigt und der ProjektionsSchritt vereinfacht sich zu: n+m+1 k k • p¯ := ∑ p˜i /(n + m + 1) . i=1

• xk+1 := xk − p¯k . • (pk+1 + yk+1 )i := p˜ki + xk − 2 p¯k .

5.10 Anwendungen des Proximal-Point-Algorithmus zur Lösung von Multistandortproblemen Wir betrachten hier folgendes betriebswirtschaftliche Problem: Ein Unternehmen verfügt über Auslieferungslager an den Standorten ai , i = 1, . . . , n , ai ∈ R2 und sucht nach geeigneten Standorten für zwei neu zu errichtende Zentrallager. Es ist möglich, eine Erweiterung des Proximal-Point-Algorithmus für Standortprobleme anzugeben, wo gleichzeitig mehrere neue Standorte bestimmt werden sollen: Durch die schwachen Voraussetzungen an die Matrizen Ai , die der Proximal-Point-Algorithmus benötigt, ist es möglich, die Bestimmung mehrerer Standorte mit gegenseitiger Beeinflussung auf den Ein-StandortFall mit größerer Dimension zurückzuführen. Da die allgemeine Formulierung etwas schwerer zu überblicken ist, soll an einem einfachen Beispiel vorgeführt werden, was geschieht. Vorgegeben seien n ∈ N Standorte ai , i = 1, . . . , n , ai ∈ R2 , eine Norm · im R2 und nichtnegative Gewichte α1i , α2i , α 12 ∈ R. Weiterhin seien zwei zulässige Bereiche D1 , D2 ⊂ R2 für x1 , x2 gegeben. Gesucht seien zwei neue Standorte x1 und x2 , die die Abstände zu den vorhandenen ai

5.11 Übungsaufgaben

159

(i = 1, ..., n) und untereinander minimieren: n

n

i=1

i=1

∑ α1i x1 − ai + ∑ α2i x2 − ai + α 12 x1 − x2 →

min

{x1 ∈D1 ,x2 ∈D2 }

!

(5.86)

An Stelle der beiden zweidimensionalen Variablen x1 = (x11 , x21 ) und x2 = (x12 , x22 ) wird eine neue vierdimensionale Variable x = (x11 , x21 , x12 , x22 ) betrachtet. Durch die geeignete Besetzung der Matrizen Ai ∈ L(R4 → R2 ) wird ein zu (5.86) äquivalentes Problem erzeugt. E sei die (2, 2)Einheitsmatrix, O die (2, 2)- Nullmatrix. Mit der Kurzschreibweise (E, O) sei die (2, 4)-Matrix bezeichnet, die durch Aneinanderhängen der Einheits- und der Nullmatrix entsteht: (E, O) = 1 0 0 0 . 0 1 0 0 A := (E, O),

B := (O, E),

C := (E, −E).

Der Bereich D ⊂ R4 = D1 × D2 sei definiert durch D := {(y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ R4 : (y1 , y2 ) ∈ D1 , (y3 , y4 ) ∈ D2 }. Dann ist das Problem n

n

i=1

i=1

∑ α1i Ax − ai + ∑ α2i Bx − ai + α 12 Cx → min x∈D

(5.87)

äquivalent zum Problem (5.86) und kann nach entsprechender Umformulierung mittels ProximalPoint-Algorithmus gelöst werden.

5.11 Übungsaufgaben 1. (Markovitz-Modell) Harry M. Markowitz entwickelte 1952 ein Portfolio-Optimierungsproblem, welches die Entscheidungen eines Investors rational begründet. Für seine Forschungsarbeiten erhielt Markowitz 1990 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Im Markowitz-Modell wird davon ausgegangen, dass Investoren eine Maximierung des Gewinns ihrer Anlagen anstreben und gleichzeitig das Ziel haben, das Risiko zu minimieren. Die Investoren setzen ihre Portfolios aus n unterschieden Aktien zusammen. Es wird ein Ein-Perioden-Modell zugrunde gelegt, d.h., der Investor trifft die Entscheidung zu Beginn einer Periode und darf diese Entscheidung bis zum Ende der Periode nicht verändern. Für eine solche festgelegte Zeitperiode soll Kapital in den n Aktien angelegt werden. Wir schreiben xi ∈ R (i ∈ {1, 2, . . . , n}) für die Anteile, welche in der Aktie i angelegt werden. Dabei gilt für alle i ∈ {1, 2, . . . , n} xi ≥ 0 und ∑ni=1 xi = 1. Das Kapital, welches man aus der Aktie i nach der festgelegten Zeitperiode zurückerhält (Rückgabewert oder Return), bezeichnen wir mit Ri , i ∈ {1, 2, . . . , n}. Dabei handelt es sich um Zufallsvariable. Es seien x = (x1 , ..., xn ) der Vektor der Anteile, μi = E[Ri ], μ = (μ1 , ..., μn )T der Vektor der Erwartungswerte der Returns, C = {σi j }ni, j=1 die Matrix der Kovarianzen zwischen den Returns

160


und R = (R1 , . . . , Rn )T . Das Risiko der gesamten Investition wird durch das Risikomaß Varianz Var(x) =

n

∑

xi x j σi j = xT Cx

i, j=1

beschrieben, der Gewinn durch den Erwartungswert des Returns R(x) = ∑ni=1 xi Ri , also durch n

E[R(x)] = ∑ xi μi . i=1

Natürlich soll der Gewinn so groß wie möglich und das Risiko so klein wie möglich sein. Das führt auf ein Bikriterielles Optimierungsproblem mit zwei Zielfunktionen: −μ T x (PM ) → v-min xT Cx unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen x ≥ 0 und ∑ni=1 xi = 1. Im Allgemeinen erhält man für ein Portfolio mit dem kleinsten Risiko nicht den größten Gewinn, d.h. die beiden Zielfunktionen widersprechen sich und man hat die für die Mehrkriterielle Optimierung (vgl. Abschnitt 10.2) typische Situation. Oft verwendet man zur Behandlung des Markowitz-Modells die Skalarisierung von Haimes (ε -constraintMethode). Dabei kann man zunächst eine untere Schranke rmin > 0 für den Erwartungswert des Returns wählen und das Risiko über alle Portfolios minimieren unter der Nebenbedingung, dass der Erwartungswert des Returns nicht kleiner ist als rmin (Min–Risk–Problem): (PMin−Risk )

min

μ T x≥rmin , x≥0, ∑ni=1 xi =1

xT Cx.

Oder man setzt eine obere Schranke σmax > 0 für das Risiko und maximiert den Erwartungswert des Returns über alle Portfolios unter der Nebenbedingung, dass das Risiko nicht größer ist als σmax (Max–Return–Problem): (PMax−Return )

max

xT Cx≤σmax , x≥0, ∑ni=1 xi =1

μ T x.

Beide Ersatzprobleme stellen Skalarisierungen des Bikriteriellen Optimierungsproblems (PM ) auf Y = R2 dar. Formulieren Sie für das Bikriterielle Optimierungsproblem (PM ), das Min–Risk–Problem (PMin−Risk ) und das Max–Return–Problem (PMax−Return ) eine notwendige Optimalitätsbedingung unter Nutzung der Sätze 5.17 bzw. 5.14. 2. (Anwendung des Hahn-Banach-Theorems bei der Charakterisierung von Risikomaßen in der Finanzmathematik) Es seien μ : L∞ → R ein konvexes Risikomaß und Aμ die entsprechende Akzeptanzmenge (siehe (3.139) in Abschnitt 3.4). Die Akzeptanzmenge Aμ von μ sei schwach∗ abgeschlossen in L∞ , d.h. Aμ ist abgeschlossen bezüglich der Topologie τ (L∞ , L1 ). Zeigen Sie unter Nutzung des Hahn-Banach-Theorems, dass μ : L∞ → R folgendermaßen dargestellt werden kann:

μ (x) =

sup (EQ [−x] − αmin (Q)),

Q∈M1 (P)

x ∈ L∞ ,


161

wobei L∞ := L∞ (Ω, A, P), M1 (P) := M1 (Ω, A, P) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A), welche absolut stetig sind bezüglich P, EQ [x] das Integral bezüglich Q ∈ M1 (P) und αmin (Q) := supx∈Aμ EQ [x] für Q ∈ M1 (P). Hinweis: Diese Aussage und der entsprechende Beweis sind im Buch von Föllmer und Schied [60], Theorem 4.31, S. 172ff, angegeben. 3. (Anwendung des Hahn-Banach-Theorems bei der Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Wir untersuchen die Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit gegebenen Randverteilungen. Gegeben seien μ1 und μ2 zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf S und Λ eine konvexe Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf S × S. Dabei entsteht die Frage: Wann enthält Λ ein μ , welches μ1 und μ2 als Randverteilungen hat? Eine Antwort auf diese Frage wird in Theorem 2.88 im Buch von Föllmer und Schied [60], S. 100, gegeben. Studieren Sie den Beweis dieser Aussage in [60], S. 103, wo das Hahn-BanachTheorem verwendet wird. 4. (Anwendung eines Trennungssatzes für konvexe Mengen zur Darstellung von konvexen Risikomaßen) Wir bezeichnen mit M1 := M1 (Ω, A) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A) und mit M1, f := M1, f (Ω, A) die Menge aller endlich additiven Mengen-Funktionen Q : A → [0, 1] mit Q[Ω] = 1. EQ [X] bezeichnet das Integral bezüglich Q ∈ M1, f (vgl. Föllmer und Schied [60], S. 92, Abschnitte 4.2 und A.6). Weiter sei X der Raum aller beschränkten messbaren Funktionen auf (Ω, A). Ausgestattet mit der Supremum-Norm (||X|| := supω ∈Ω |X(ω )|, X ∈ X ) ist X ein Banach-Raum. Zeigen Sie unter Anwendung eines Trennungssatzes für konvexe Mengen (Satz 5.11) folgende Aussage: Jedes konvexe Risikomaß ρ auf X hat die Form

ρ (X) = max (EQ [−X] − αmin (Q)), Q∈M1, f

X ∈X,

wobei die Penalty-Funktion αmin gegeben ist durch

αmin (Q) := sup EQ [−X] für Q ∈ M1, f X∈Aρ

und Aρ die zu ρ gehörende Akzeptanzmenge (siehe (3.139)) bezeichnet. Hinweis: Der Beweis dieser Aussage ist im Buch von Föllmer und Schied [60], Theorem 4.15, S. 162, angegeben.

6 Fixpunktsätze und Durchschnittsprinzip 6.1 Fixpunktsätze 6.1.1 Fixpunktprobleme Manche zu lösende Probleme kann man als Fixpunktprobleme formulieren und erfolgreich behandeln. Als ein Beispiel betrachten wir ein einfaches (ökonomisches) Problem von der Form gesucht x ∈ Rn , sodass x = Mx + a gilt,

(6.1)

dabei ist M eine gegebene Matrix reeller Zahlen vom Typ (n, n) und a ∈ Rn ein fest vorgegebener Vektor. Indem man die rechte Seite M · +a von (6.1) als Abbildung A : Rn → Rn interpretiert, ist Problem (6.1) offensichtlich gelöst, wenn man ein Element x˜ ∈ Rn so gefunden hat, dass x˜ = A(x) ˜

(6.2)

gilt. Solch ein Element heißt Fixpunkt der Abbildung A (bezüglich der Menge Rn ). Es gibt eine Vielzahl von Fixpunktsätzen, die Bedingungen angeben, dass bei vorgegebener Menge B in einem Raum X eine Abbildung A : B → B einen Fixpunkt hat, d.h., es gibt ein Element x˜ ∈ B mit A(x) ˜ = x. ˜ Einer der am häufigsten benutzten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach (synonym das Prinzip der kontrahierenden Abbildung). Er behauptet nicht nur die Existenz eines (eindeutigen) Fixpunktes, sondern enthält sogar ein numerisches Verfahren, den Fixpunkt wirklich zu berechnen. Ferner liefert er noch eine Fehlerabschätzung. Definition 6.1 Es seien (X, d) ein metrischer Raum, B ⊆ X eine nichtleere Teilmenge von X und A : B → B eine Abbildung. Die Abbildung A erfüllt eine Lipschitz-Bedingung mit der Konstanten K ≥ 0 auf B falls für alle x, y ∈ B d(A(x), A(y)) ≤ Kd(x, y) (6.3) gilt. Ist 0 ≤ K < 1, so heißt A eine kontrahierende Abbildung (oder eine Kontraktion) auf B. Satz 6.1 (Banach’scher Fixpunktsatz) Ist A : B → B eine kontrahierende Abbildung einer nichtleeren abgeschlossenen Menge B eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich, dann existiert genau ein Fixpunkt x˜ ∈ B der Abbildung A. Die Folge {x j }, j = 0, 1, 2, ... mit x j+1 = A(x j ), j = 0, 1, 2, ... und x0 ∈ B,

(6.4)

konvergiert für jeden Startpunkt x0 ∈ B gegen x. ˜ Es gilt die Fehlerabschätzung d(x j , x) ˜ ≤ d(x0 , x1 )(1 − K)−1 K j , j = 1, 2, ...

Der Beweis folgt in Abschnitt 6.1.3. Wir betrachten als Beispiel das Problem (6.1).

(6.5)

164

6 Fixpunktsätze und Durchschnittsprinzip

Beispiel 6.1 Um einen vollständigen metrischen Raum zu bekommen, statten wir Rn wahlweise mit einer der Normen von Beispiel 10.10 aus. Es sei . eine solche Norm und d die zugehörige Metrik. Dann gilt für x, y ∈ Rn d(A(x), A(y)) = A(x) − A(y) = (Mx + a) − (My + a) = M(x − y).

(6.6)

Es sei x − y = z ∈ Rn , dann ergeben sich mit Hilfe der Schwarz’schen Ungleichung die folgenden Abschätzungen: a) Euklidische Norm. Mz2 =

n

n

n

n

n

∑ ( ∑ mik zk )2 ≤ ∑ ( ∑ m2ik ) ∑ z2k := k12 z2 .

i=1 k=1

i=1 k=1

(6.7)

k=1

4 5n 5 k1 = 6∑ m2ik .

(6.8)

i,k

Wegen Definition 6.1 ist k1 eine Lipschitz-Konstante für die Abbildung A. Also ist der Fixpunktsatz von T Banach anwendbar, falls 0 ≤ k1 < 1 gilt. Nebenbei bemerkt, falls λ der größte Eigenwert der Matrix M M 2 2 ist (es ist immer λ ≥ 0), dann gilt Mz ≤ λ z . Daher kann also auch λ benutzt werden um zu testen,

ob das Kontraktionsprinzip anwendbar ist oder nicht. Einerseits ist λ ≤ k1 , sodass λ allgemein eine bessere Konstante ist als k1 , andererseits ist es nicht ganz einfach, den Eigenwert λ zu bestimmen. b) Maximum-Norm, z = maxk |zk | , z ∈ Rn . n

n

n

Mz = max | ∑ mik zk | ≤ max ∑ |mik | |zk | ≤ max ∑ |mik | max |zk | = k2 ||z||, i

i

k=1

i

k=1

k

k=1

n

k2 = max ∑ |mik |. i

(6.9)

k=1

c)Summen-Norm, ||z|| = ∑nk=1 |zk |, z ∈ Rn . Mz =

n

n

n

n

n

n

n

k=1 n

i=1

k=1

i=1

n

∑ | ∑ mik zk | ≤ ∑ ∑ |mik | |zk | = ∑ |zk | ∑ |mik | ≤ ∑ |zk | max ∑ |mik | = k3 ||z||, k

i=1 k=1

i=1 k=1

k3 = max ∑ |mik |. k

(6.10)

i=1

Abhängig von der Norm in Rn ergaben sich (im Allgemeinen) unterschiedliche Zahlen k1 , k2 , k3 . Sie werden Matrix-Normen der gegebenen reellen Matrix M genannt. Wenn man die Matrix M als linearen Operator M : Rn → Rn auffasst und Rn mit der Euklidischen Norm ausstattet, so ist λ die Operator-Norm von M (vgl. (3.68) und Beispiel 3.12).

Ein elementares praktisches Beispiel für die Varianten im Beispiel 6.1 tritt auf, wenn wir einen in Betrieb befindlichen Fernsehempfänger mit dem rechteckigen Bildschirm B ⊆ R2 betrachten, vor dem in genügendem Abstand eine Fernsehkamera installiert wurde, die den Bildschirm B erfasst. Diese so entstehende Aufnahme wird zu ebendiesem Fernsehempfänger übertragen, Was sehen wir auf B? Wir sehen das Bild einer gewissen Umgebung des Fernsehempfängers und (verkleinert) das Bild des Bildschirms B. Dieses Bild wird aber seinerseits von der Fernsehkamera erfasst und wiederum auf den Fernsehempfänger übertragen und liefert (nun nochmals verkleinert) das Bild des Bildes von B innerhalb des Bildes von B usw. Wir erhalten eine

6.1 Fixpunktsätze

165

(theoretisch unendliche) Folge ineinandergeschachtelter Bilder (=iterativer Bilder) von B, die eine Rechteckschachtelung ergeben, wobei der Durchmesser dieser Rechtecke gegen null geht, da stets eine Verkleinerung mit einem Verkleinerungsfaktor λ (0 < λ < 1) stattfindet. Nach einem elementaren Ergebnis der Analysis (Rechteckschachtelung) haben diese rechteckigen Bilder (von Bildern von Bildern von B) einen nichtleeren einpunktigen Durchschnitt. Dieser Punkt heiße ( x, y). Als Abbildung A von B in sich definieren wir diejenige Zuordnung, die jedem Punkt von B seinen Bildpunkt bei der oben beschriebenen Fernsehaufzeichnung und -übertragung zuordnet. Wir wählen die linke untere Ecke des Bildschirmes B als Nullpunkt des Koordinatensystems, seine untere Begrenzung als x-Achse, seine linke Begrenzung als y-Achse. Das erste Bild von B ist wieder ein Rechteck (die Fernsehübertragung lässt alle Längenverhältnisse und Winkel invariant) mit der unteren Ecke a = (a1 , a2 )T . Die Abbildung A hat also folgende Gestalt: λ 0 A = A((x, y)) = a + Mx mit x = (x, y)T und der Matrix M = , (6.11) 0 λ was zum Ausdruck bringt, dass bei der konstruierten Abbildung die Längen der Ausgangsvektoren (also der Punkte von B) um das konstante Verhältnis λ > 0 verkleinert werden, aber alle Lagebeziehungen erhalten bleiben. Der oben beschriebene Grenzpunkt ( x, y) ist nun ersichtlich (der) Fixpunkt der Abbildung A, die mit dem Faktor k = λ < 1 kontrahierend ist. Dieser Fixpunkt ( x, y) lässt sich elementar aus der Fixpunktgleichung A(( x, y)) = ( x, y)T , also aus den Gleichungen (6.12) x = a1 + λ x und y = a2 + λ y a1 a2 = 1− berechnen. Wir erhalten x = 1− λ und y λ . Diese Lösung hätte man auch durch fortgesetztes Wiedereinsetzen, also durch Iteration (unter Beachtung der Summenformel für die geometrische Reihe) und Grenzübergang gewonnen. Es gilt ersichtlich die Mengenbeziehung (vgl. auch den ' n x, y)}. Beweis des Banach’schen Fixpunktsatzes in Abschnitt 6.1.3) ∞ n=1 A [B] = {( Eine weitere Anwendung des Banach’schen Fixpunktsatzes auf die Existenz und iterative Approximation selbstähnlicher (fraktaler) Mengen findet sich bei Hutchinson [86]. U.a. gewinnt man damit alternative Konstruktionen bekannter Fraktale, wie z.B. der Cantor-Menge C0 . Die genannte Vorgehensweise (vgl. auch Edgar [48]) wurde in den 90-er Jahren für stochastische Fraktalmengen verallgemeinert (vgl. Hutchinson und Rueschendorf [87]). Zu fraktalen stochastischen Differentialgleichungen vgl. Grecksch, Roth [72] und Grecksch, Tudor [73].

6.1.2 Gleichgewichtspunkte in Ökonomie und Spieltheorie Gleichgewichtspunkte (Equilibria) sind grundlegende Begriffe in Ökonomie und Wirtschaftsmathematik (vgl. Aliprantis, Brown und Burkinshaw [3], Aubin [13], Aubin, Frankowska [15], Demichelis, Polemarchakis [40] und Isac, Bulavsky, Kalashnikov [95]). Wir betrachten ein gewöhnliches Optimierungsproblem.

ϕ (x) → min, x ∈ B,

(6.13)

wobei B eine gegebene nichtleere Menge in einem Raum X ist und ϕ : B → R eine gegebene Funktion. Es sei x ∈ B eine Lösung von (6.13), d.h.

ϕ (x) ≤ ϕ (y) für alle y ∈ B.

(6.14)

166


Wir setzen f (x, y) := ϕ (x) − ϕ (y) für x, y ∈ B, dann löst x auch das Problem gesucht x ∈ B, sodass f (x, y) ≤ 0 für alle y ∈ B.

(6.15)

Für eine gegebene Menge B und eine Funktion f : B × B → R mit f (y, y) ≤ 0 für alle y ∈ B heißt eine Aufgabe der Art (6.15) ein Equilibrium Problem oder Gleichgewichtsproblem und B dessen zulässige Menge. Eine Vielzahl ganz unterschiedlicher Aufgabenstellungen ordnen sich der Klasse der Gleichgewichtsprobleme unter, wie z.B. Sattelpunktprobleme, die Suche von Nash-Gleichgewichtspunkten in der nichtkooperativen Spieltheorie, die Bestimmung von Pareto-Nash-Equilibria in verallgemeinerten Spielen, Komplementaritätsprobleme, Variationsungleichungen und Fixpunktprobleme. Wir gehen auf den Zusammenhang mit Fixpunktproblemen ein. Es sei X ein reeller Hilbert-Raum und T : B → B sei eine gegebene Abbildung. Wir setzen f (x, y) := x − T x | x − y. Somit haben wir: x ∈ B ist ein Fixpunkt von T (d.h. T x = x) genau dann, wenn für x gilt f (x, y) ≤ 0 für alle y ∈ B. In der Tat, ist x ein Gleichgewichtspunkt, dann ergibt sich mit y := T x 0 ≥ x − T x | x − T x = x − T x2 , und somit x = T x, die Fixpunkteigenschaft. Die andere Richtung ist offensichtlich. Es gibt sehr wirksame Resultate, die die Existenz einer Lösung des Gleichgewichtsproblems (6.15) sichern, eines der berühmtesten ist der Satz von Fan (vgl. [55]): Satz 6.2 Es sei B eine kompakte konvexe Teilmenge des Hausdorff’schen lokalkonvexen Raumes X und es sei f : B × B → R eine Funktion, die folgende Bedingungen erfülle ∀ y ∈ B : x → f (x, y) ist unterhalbstetig, ∀ x ∈ B : y → f (x, y) ist konkav, ∀ y ∈ B : f (y, y) ≤ 0. Dann existiert ein Punkt x ∈ B mit f (x, y) ≤ 0 für alle Elemente y ∈ B.

6.1.3 Banach’scher Fixpunktsatz Der Beweis des Fixpunktsatzes von Banach (Satz 6.1) ist konstruktiv, er enthält ein iteratives Verfahren, den Fixpunkt zu approximieren. Beweis von Satz 6.1: Die im Satz genannte Folge {x j }, j = 0, 1, 2, ... ist eine Cauchy-Folge, denn es ist, indem abwechselnd (6.4) und (6.3) (mit 0 ≤ K < 1) verwendet werden d(xn , xn+1 ) = d(A(xn−1 ), A(xn )) ≤ Kd(xn−1 , xn ) = Kd(A(xn−2 ), A(xn−1 )) ≤ K 2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ... ≤ K n d(x0 , x1 ). Setzt man dieses Resultat in die Dreiecksungleichung für 0 ≤ n < m d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + ... + d(xm−1 , xm )

6.1 Fixpunktsätze

167

ein, so ergibt sich wegen d(xn , xm ) ≤ K n d(x0 , x1 ) + K n+1 d(x0 , x1 ) + ... + K m−1 d(x0 , x1 ) = d(x0 , x1 )K n (1 + K + ...K n−m−1 ) die Abschätzung

d(xn , xm ) ≤ d(x0 , x1 )K n (1 − K)−1 .

(6.16)

{K n }

Da die Folge wegen 0 ≤ K < 1 gegen null konvergiert, ist {xn } eine Cauchy-Folge. Da X vollständig ist, liegt der Grenzwert x˜ der Folge {xn } in X. Da alle xn , n ≥ 0, in B liegen und B abgeschlossen ist, liegt x˜ in B. Da A eine stetige Abbildung ist (sogar Lipschitz-stetig wegen (6.3)), ergibt Grenzwertbildung in der Beziehung xn+1 = A(xn ): x˜ = lim xn+1 = lim A(xn ) = A( lim xn ) = A(x.) ˜ n→∞

n→∞

n→∞

(6.17)

Damit ist x˜ als Lösung erkannt: x˜ ∈ B und x˜ = A(x). ˜ Aus (6.16) folgt weiter für m → ∞ die behauptete Fehlerabschätzung ˜ ≤ d(x0 , x1 )K n (1 − K)−1 . d(xn , x) Zur Eindeutigkeit der Lösung: Wären x˜ = x Fixpunkte, so müsste gelten d(x, ˜ x) = d(A(x), ˜ A(x) ≤ Kd(x, ˜ x), dies ist aber für d(x, ˜ x) = 0 unmöglich, weil K < 1 gilt.

Bemerkung 6.1 Die Vollständigkeit von X ist notwendig, damit der Fixpunktsatz von Banach gilt. Als Gegenbeispiel nehme man X = (0, 1] mit der Euklidischen Metrik und A(x) = 2x . Dann ist A kontrahierend und es existiert kein Fixpunkt. Wird die Kontraktionsbedingung d(A(x), A(y)) ≤ Kd(x, y), 0 ≤ K < 1 durch d(A(x), A(y)) < d(x, y), x = y, ersetzt, so muss kein Fixpunkt existieren: Man nehme den Raum R+ = {x ∈ R|x ≥ 0} mit der 1 Euklidischen Metrik und A(x) = (x2 + 1) 2 . Diese Abbildung erfüllt d(A(x), A(y)) < d(x, y) = |x − y| und hat keinen Fixpunkt. Die letzte Ungleichung steht in enger Beziehung zu nicht expansiven Abbildungen, vgl. dazu Definition 6.2.

Wir fügen zwei Erweiterungen des Banach’schen Fixpunktsatzes an, die mit iterierten Abbildungen arbeiten. Sind (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, A : X → X eine Abbildung und n eine positive ganze Zahl, so versteht man unter der n-ten Iterierten von A nichts anderes als die n-fach aufeinanderfolgende Anwendung von A auf die Elemente x ∈ X. Man erhält also sukzessive A(x), A(A(x)) = A2 (x), A(A2 (x)) = A3 (x), · · · , A(An−1 (x)) = An (x). Satz 6.3 (Banach’scher Fixpunktsatz mit kontrahierender Potenz) Es seien (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und A : X → X eine Abbildung, für die mit einer Zahl q ∈ (0, 1) und einer natürlichen Zahl n0 ≥ 1 für alle x, y ∈ X gilt d(An0 (x), An0 (y)) ≤ qd(x, y).

(6.18)

168


Dann hat die Abbildung A genau einen Fixpunkt x˜0 ∈ X und für jedes z ∈ X konvergiert die Folge der iterierten Punkte {An (z)} gegen x˜0 . Mit den Bezeichnungen A0 (z) = z (für alle z ∈ X) und ρ = ρ (z) := max{d(Am (z), x˜0 )|m = 0, 1, ..., n0 − 1} gilt die Fehlerabschätzung

mit r =

7 8 n n0

d(An (x), x˜0 ) ≤ qr · ρ (z)

(6.19)

, n natürliche Zahl, und es folgen daher limn→∞ r = ∞ und limn→∞ An (z) = x˜0 .

Beweis: Da An0 kontrahierend ist, gibt es genau ein x˜0 ∈ X mit An0 (x˜0 ) = x˜0 . Somit folgen 0 ≤ d(A(x˜0 ), x˜0 ) = d(A(An0 (x˜0 )), An0 (x˜0 )) = d(An0 (A(x˜0 )), An0 (x˜0 )) ≤ qd(A(x˜0 ), x˜0 ). Hieraus schließen wir wegen 0 < q < 1, dass d(A(x˜0 ), x˜0 ) = 0 gilt. Das bedeutet A(x˜0 ) = x˜0 , also ist x˜0 Fixpunkt von A. Es gibt keinen weiteren Fixpunkt. Andernfalls gäbe es ein x˜1 = x˜0 , x˜1 ∈ X, A(x˜1 ) = x˜1 . Durch Induktion ergibt das Am (x˜1 ) = x˜1 für alle m = 1, 2, ..., also auch für n0 , somit würde An0 einen von x˜0 verschiedenen Fixpunkt haben, im Widerspruch zur Kontraktivität von An0 . Es folgen die weiteren Aussagen des Satzes: Es sei z ∈ X willkürlich gewählt. Mit den Bezeichnungen wie im Satz, wobei wir n = r · n0 + l, 0 ≤ l < n0 benutzen, ergibt sich durch Induktion die folgende Kette von Ungleichungen (und damit auch die behauptete Fehlerabschätzung) 0 ≤ d(An (z), x˜0 ) = d(Ar·n0 +l (z), An0 (x˜0 )) ≤ qd(A(r−1)n0 +l (z), x˜0 ) ≤ ... ≤ qr d(Al (z), x˜0 ) ≤ qr · ρ (z). Für n → ∞ ergibt sich r → ∞ und wegen 0 < q < 1 dann limn→∞ qr = 0. Dies heißt lim d(An (z), x˜0 ) = 0

n→∞

oder gleichbedeutend limn→∞ An (z) = x˜0 . Als Folgerung ergibt sich der nächste Satz.

(6.20)

Satz 6.4 Es seien (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und A : X → X eine Abbildung (von X in sich), deren Iterierte A, A2 , · · · , An (n = 2, 3, · · · ) alle Lipschitz-stetig (vgl. Definition 6.1) sind, d.h., es existieren positive Zahlen Kn (n ∈ N), sodass die Ungleichungen d(An (x), An (y)) ≤ Kn d(x, y) für alle x, y ∈ X gelten. Die unendliche Reihe ∑∞ n=1 Kn sei konvergent. Dann gelten (a) Für jede Wahl von x0 ∈ X ist die Iterationsfolge xn = A(xn−1 ) konvergent gegen den einzigen Fixpunkt x∗ ∈ X von A. (b) Es gilt die Fehlerabschätzung (n = 1, 2, · · · ) ∞ d(x∗ , xn ) ≤ ∑ Kr d(x1 , x0 ). r=n

∑∞ n=1 Kn

Beweis: Wegen der Konvergenz der Reihe existiert ein n0 ∈ N mit 0 < Kn0 < 1, d.h., es gilt d(An0 (x), An0 (y)) ≤ qd(x, y) für alle x, y ∈ X mit 0 < Kn0 < 1. Die Behauptung (a) folgt sofort aus Satz 6.3. Den Beweis der Behauptung (b) stellen wir als Übungsaufgabe für den Leser.

6.1 Fixpunktsätze

169

6.1.4 Der Brouwer’sche Fixpunktsatz Ein Standardresultat für Fixpunkte ist der Fixpunktsatz von Brouwer: Satz 6.5 Jede stetige Abbildung f der abgeschlossenen Einheitskugel B des Euklidischen Raumes Rn in sich f : B → B hat einen Fixpunkt, d.h., es existiert ein Punkt x0 ∈ B mit f (x0 ) = x0 .

Eine oft genutzte Folgerung ist: Satz 6.6 Jede stetige Abbildung f einer nichtleeren kompakten und konvexen Menge M eines endlichdimensionalen Raumes in sich f : M → M hat einen Fixpunkt, d.h., es existiert ein Punkt x0 ∈ M mit f (x0 ) = x0 .

Ein Beweis des Brouwer’schen Satzes ist nicht ganz einfach und stützt sich auf die vorausgesetzte Kompaktkeit und Konvexität von M. Wir verweisen auf Istratescu [96] und Granas/Dugundji [70], dort findet man den konstruktiven Beweis von Scarf (1967) und Anwendungen der im Beweis verwendeten algorithmischen Gedanken in der Ökonomie. Wenn man ökonomische Modelle im Auge hat, die unendlichdimensionale Räume nutzen, so ist der Brouwer’sche Fixpunktsatz nicht mehr ausreichend. Dann verwendet man den Schauder’schen Fixpunktsatz[149][31] oder eine seiner Versionen: Satz 6.7 Jede stetige Abbildung f einer nichtleeren kompakten und konvexen Menge M eines normierten Raumes in sich f : M → M hat einen Fixpunkt, d.h., es existiert ein Punkt x0 ∈ M mit f (x0 ) = x0 .

Eine andere Version ist Satz 6.8 Jede stetige Abbildung f einer nichtleeren abgeschlossenen und konvexen Menge M eines normierten Raumes in sich f : M → M mit relativ-kompaktem Bild ( f [M] ist kompakt) hat einen Fixpunkt, d.h., es existiert ein Punkt x0 ∈ M mit f (x0 ) = x0 .

Es gibt auch Versionen für allgemeinere Räume (vgl. Istratescu [96] und Granas/Dugundji [70]). Sie nutzen als Beweishintergrund z.B. Varianten des KKM-Lemmas (zu einer Form in uniform konvexen Räumen vgl. Satz 6.16) von Ky Fan für lineare topologische Räume. Wenn man den Brouwer’schen Satz 6.5 im reellen Raum R betrachtet, so ist er zum Zwischenwertsatz aus der Grundlagenanalysis äquivalent. Die Einheitskugel ist dann das Intervall [−1, +1] und die Schnittpunkte der beiden Kurven y = x und y = f (x) im zweidimensionalen (x, y)-Koordinatensystem sind Fixpunkte. In den Räumen Rn , n ≥ 2, gibt es einen anderen Zusammenhang: Beispiel 6.2 Das folgende praxisorientierte Beispiel zum Brouwer’schen Fixpunktsatz soll die Tiefe seiner Aussage und seine beachtliche Gegensätzlichkeit zum Banach’schen Fixpunktsatz verdeutlichen. Wir beziehen uns wieder auf das Fernsehen. Man stelle sich ein Fernsehempfangsgerät älterer Bauart vor, an welchem die wichtigen Parameter (Helligkeit, Farbe, Lautstärke) mittels Drehknöpfen (Analogregelung) eingestellt werden. Wir wollen so vorgehen, dass zur schrittweise erfolgenden Einstellung mit dem Ziel einer bestmöglichen Wiedergabe am Bildschirm jeweils nur ein Regelknopf betätigt wird und alle übrigen Einstellungen fest bleiben. Dieser eine ausgewählte Regelknopf wird durch Probieren auf eine bestmögliche Stellung gebracht

170


(die Lautstärke z.B. ist dann angenehm). Frage: Gibt es eine gleichzeitig bezüglich aller Parameter bestmögliche Stellung aller Regelknöpfe? Zur Entscheidung dieser Frage treffen wir eine Zuordnung der Parameter zu Variablen. Die Helligkeit werde durch die Variable x1 beschrieben, die Farben Rot, Grün, Gelb durch die Variablen x2 , x3 , x4 , dem KontrastParameter entspreche x5 und die Lautstärke der Variablen x6 . Diese Variablen liegen alle ersichtlich zwischen endlichen Grenze ak , bk : −∞ < ak ≤ xk ≤ bk < ∞, k = 1, 2, · · · , 6. Die jeweils bestmögliche(n) Stellunge(n) für eine Variable, etwa x j , ist dann eine Funktion (das nehmen wir an, korrekterweise müsste man von einer Relation sprechen) der jeweils vorgegebenen Werte der übrigen Variablen xk mit k = j, sie heiße ϕ j (·). Diese Funktionen sind auf dem Quader (Parallelepiped, Rechtflach) Q := {x = (x1 , x2 , · · · , x6 ) ∈ R6 |ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, 2, · · · , 6} erklärt und bilden diesen insgesamt in sich ab, da wir in den technisch gesetzten Grenzen bleiben müssen. Wir fassen die einzelnen Abbildungen ϕ j (·) zu einer Gesamt-Abbildung (Vektorfunktion) Φ zusammen, d.h. ⎞ ⎛ ϕ1 (x1 , x2 , · · · , x6 ) ⎟ ⎜ Φ(x) := ⎝ · · · ⎠ , x ∈ Q. ϕ6 (x1 , x2 , · · · , x6 ) Annahme : Alle Funktionen ϕ1 , · · · , ϕ6 sind stetig (hängen stetig von Ihren Variablen ab). Dann bildet die Abbildung Φ den Quader Q stetig in sich ab. Der Quader Q ist eine beschränkte, abgeschlossene und konvexe Teilmenge des Raumes R6 . Nach dem Brouwer’schen Fixpunktsatz (bzw. einer seiner Folgerungen) hat die Abbildung Φ mindestens einen Fixpunkt x∗ = (x1∗ , · · · , x6∗ ), es gilt daher Φ(x∗ ) = x∗ . Dieser Fixpunkt, von denen es mehrere geben kann, liefert eine in dem Sinne beste Einstellung des Fernsehgeräts, dass jede Änderung eines der betreffenden Parameter die Situation wieder verschlechtert (genauer: nicht verbessert).

Orientiert am Beispiel 6.2 folgt ein Beweis des Brouwer’schen Fixpunktsatzes für den folgenden Spezialfall im R2 . Es seien f , g stetige Funktionen, die das Intervall [0, 1] stetig in sich abbilden: f : [0, 1] → [0, 1]; g : [0, 1] → [0, 1]. Mittels f und g bilden wir die folgende Selbstabbildung Φ des Quadrates Q = [0, 1] × [0, 1] : Φ(x1 , x2 ) :=

g(x2 ) f (x1 )

, 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1.

(6.21)

x1 Die Fixpunktgleichung Φ(x) = x mit x = ∈ Q besteht also genau dann, wenn die Gleix2 chungen x1 = g(x2 ) und x2 = f (x1 ) gleichzeitig bestehen (Mischungsaufgabe). Satz 6.9 Die Abbildung Φ (vgl. (6.21)) hat mindestens einen Fixpunkt.

Beweis: Wir zeigen, dass sich die beiden Kurven (besser gesagt, die beiden Mengen) C1 := {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ 1 mit y = f (x)} und C2 := {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ 1 mit x = g(y)} in mindestens einem Punkt schneiden müssen. Nehmen wir an, dies wäre nicht der Fall, dann wäre C1 ∩C2 = 0/

6.1 Fixpunktsätze

171

und für irgendeinen Punkt (x, y) ∈ C2 gilt somit entweder y < f (x) oder f (x) < y, d.h., die Menge C2 lässt sich darstellen in der Form C2 = {(x, y) ∈ C2 |y < f (x)} ∪ {(x, y) ∈ C2 | f (x) < y} = C2− ∪C2+ . Die Mengen C2− und C2+ sind wegen der Stetigkeit der Funktion f relativ-offene Mengen und / natürlich zueinander fremd, C2− ∩C2+ = 0. Wir definieren die Menge W + durch die Gleichung W + := {y ∈ [0, 1]|(x, y) ∈ C2+ für mindestens ein x ∈ [0, 1]. Ist diese Menge leer, dann setzen wir W − := {y ∈ [0, 1]|(x, y) ∈ C2− für mindestens ein x ∈ [0, 1]. Die Menge W − ist, falls W + = 0/ gilt, ersichtlich nichtleer. Wir treffen damit eine Fallunter/ Wir setzen y∗ := inf W + (dieses Infimum ist scheidung und beginnen mit dem Fall W + = 0. + vorhanden und endlich da W ⊆ [0, 1] ist) und x∗ := g(y∗ ). Wir treffen die weitere Fallunterscheidung a) y∗ < f (x+ ), b) y∗ < f (x+ ), c) y∗ < f (x+ ), und zeigen, dass die Fälle a) und b) jeweils einen Widerspruch ergeben. Zu a). Dann ist (x∗ , y∗ ) ∈ C2− . Zu gegebenem ε > 0 existiert ein y ∈ [0, 1] mit (x , y ) ∈ C2+ für ein gewisses x ∈ [0, 1], d.h. x = g(y ) und f (x ) < y , sowie mit y∗ < y < y∗ + ε . Durchläuft ε eine (monoton fallende) Nullfolge εn (= 1n ), so erhalten wir dementsprechend Folgen {xn }, {yn } mit den Eigenschaften y∗ < yn ≤ y∗ + 1n , xn = g(yn ), f (xn ) < yn . Der Grenzübergang n → ∞ liefert der Reihe nach: limn→∞ yn = y∗ , wegen der Stetigkeit von g(·) folgt limn→∞ xn = limn→∞ g(yn ) = g(y∗ ) = x∗ und wegen der Stetigkeit von f (·) folgt limn→∞ f (xn ) = f (x∗ ) sowie die Ungleichung f (x∗ ) ≤ y∗ , die sich aus f (xn ) < yn durch Grenzübergang ergibt. Es gilt aber im Fall a), dass y∗ < f (x∗ ) sein muss. Der Fall a) ist also ausgeschlossen. Analog zeigt sich, dass auch der Fall b) nicht eintreten kann. Es bleibt nur der Fall c) und in diesem Fall ist ersichtlich der Punkt (x∗ , y∗ ) ∈ Q der (ein) gesuchter Fixpunkt von Φ(·, ·). Ist aber die Menge W + leer, dann ist die obengenannte Menge W − nichtleer und wir betrachten dann die Größe y∗∗ := sup W − . Eine zur obigen Betrachtung völlig analoge Überlegung zeigt, dass dann der mittels der (Ergänzungs-)Gleichung x∗∗ = g(y∗∗ ) erklärte Wert zusammen mit y∗∗ einen Fixpunkt der Abbildung Φ ergibt. Das oben ausgeführte Beispiel 6.2 zum Brouwer’schen Fixpunktsatz zeigt deutlich, dass die Schwierigkeiten mit wachsender Dimension ansteigen. Es gibt im Wesentlichen zwei Wege, mit diesen Problemen auf elementarer Ebene fertig zu werden. I) Der Weg über die Kombinatorik. Dabei war richtungsweisend der Zugang mittels des sogenannten Sperner’schen Lemmas (vgl. Aumann [16]) bzw. des kubischen Sperner-Lemmas, das auf Kuhn zurückgeht. Besonders durchsichtig wurde der Beweis des Brouwer’schen Fixpunktsatzes durch eine Veröffentlichung von Kuratowski, Knaster und Mazurkiewicz [106], in welcher der Übergang von einer diskreten kombinatorischen Aussage zum topologischen Sachverhalt auf die einfachste Form gebracht wird. II) Der Weg über die Differential- und Integralrechnung. Dieser Zugang ist der historisch frühere, die Anfänge gehen auf Poincaré zurück (ab 1890). Der erste Beweis einer zum Brouwer’schen Fixpunktsatz äquivalenten Aussage (Existenz einer Lösung eines endlichdimensionalen nichtlinearen Eigenwertproblems) stammt von Bohl (1904). Dabei werden nur Grundlagen der mehrdimensionalen klassischen Analysis verwendet wie z. B. Funktionaldeterminanten und das Divergenztheorem (Gauß’scher Integralsatz). In moderner Form findet sich dieser Beweis in dem

172


Standardwerk von Dunford und Schwartz [46]. Weitere Vereinfachungen wurden von Milnor und Gröger angegeben (vgl. auch [70]). Der mathematisch-systematische Zugang zum Brouwer’schen Fixpunktsatz erfordert jedoch den Einsatz von Methoden der algebraischen Topologie, wie z.B. den Abbildungsgrad, der von Brouwer selbst auch hierzu entwickelt wurde (1910–1912). Von den verschiedenen elementaren Zugängen besitzt derjenige von Milnor eine hervorzuhebende geometrische Anschaulichkeit. Es gilt nämlich folgender Satz von Milnor [118]: Satz 6.10 Auf einer Sphäre (=Kugelrand) in einem reellen Euklidischen Raum ungerader Dimension kann kein stetiges nichtverschwindendes Tangentenfeld existieren.

Ist die Dimension 2, liegt also ein Kreisrand vor, so kann man natürlich auf seinem Rand ein stetiges Feld von tangierenden Einheitsvektoren angeben, man kann den Kreisrand „kämmen“ wie man erklärend sagt. Und ist die Dimension 3, liegt also ein Kugelrand (eine Sphäre) im R3 vor, so existiert kein stetiges nicht verschwindendes tangierendes Vektorfeld, oder, in der eben genutzten Redeweise, man kann eine Kugel nicht kämmen (es gibt Scheitelpunkte, also Nullpunkte eines Vektorfeldes). Aus Satz 6.10 folgt der Fixpunktsatz von Brouwer (zu Details vgl. Granas/Dugundji [70]).

6.1.5 Fixpunktsätze für nicht expansive Abbildungen Wir erinnern an kontraktive Abbildungen (vgl. Definition 6.1). Etwas allgemeiner wird definiert: Definition 6.2 Es sei X ein reeller normierter Raum. Eine Abbildung f einer Menge B ⊆ X in sich heißt nicht expansiv, wenn gilt f (x) − f (y) ≤ x − y (x, y ∈ B). (6.22)

Solch eine Abbildung muss keinen Fixpunkt haben, denn ist X = R und f : R → R, f (x) = x + 1, so ist f nicht expansiv und ohne Fixpunkte. Es gilt jedoch folgende Aussage: Ist B eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Menge eines Hilbert-Raumes H, und ist die Abbildung f : B → B nicht expansiv, so hat f (mindestens) einen Fixpunkt genau dann, wenn B beschränkt ist. Die Menge der Fixpunkte ist abgeschlossen und konvex. Ist also B ⊆ H unbeschränkt, so existiert eine nicht expansive Abbildung, die keinen Fixpunkt hat (vgl. Istratescu [96], S.211). In uniform konvexen Banach-Räumen gilt der folgende Satz von Browder, Göhde und Kirk: Satz 6.11 Jede nicht expansive Selbstabbildung einer nichtleeren, abgeschlossenen, konvexen und beschränkten Menge eines uniform konvexen Banach-Raumes hat einen Fixpunkt.

Ein Beweis dieses Satzes für den Hilbert-Raum folgt weiter unten im Abschnitt über monotone Operatoren. Die Theorie nicht expansiver Abbildungen ist völlig verschieden von der Theorie kontraktiver Abbildungen. Eine nicht expansive Abbildung ist natürlich auch stetig, und kontraktive Abbildung sind Beispiele nicht expansiver Abbildungen, aber hat eine nicht expansive Abbildung einen Fixpunkt, so muss er nicht der einzige sein, und der Iterationsprozess wie beim Banach’schen Fixpunktsatz muss nicht konvergieren.

6.2 Durchschnittsprinzip und KKM-Abbildungen

173

6.2 Durchschnittsprinzip und KKM-Abbildungen 6.2.1 Uniform konvexe Räume Der Existenzsatz für Approximationsaufgaben (vgl. Satz 2.3) galt in Hilbert-Räumen und stützte sich auf die Parallelogrammgleichung. Oft liegen aber Approximationsprobleme in allgemeineren normierten Räumen (X, .) vor. Interessanterweise gilt dann, dass immer noch die Lösbarkeit von Approximationsaufgaben (und anderer Aufgabentypen) gesichert werden kann, wenn die Norm folgende Eigenschaft erfüllt: xn + yn → 1 folgt xn − yn → 0, (6.23) Aus xn ≤ 1, yn ≤ 1 und 2 wobei xn , yn ∈ X, n = 1, 2, ... Diese Eigenschaft ist nicht sofort zu durchschauen, gilt in X jedoch die Parallelogrammgleichung, so ist (6.23) erfüllt, wie man sofort sieht. Normierte Räume mit der Eigenschaft (6.23) werden superreflexiv oder uniform konvex genannt. Normierte Räume (X, .) werden uniform normierbar genannt, wenn es eine zur gegebenen Norm äquivalente Norm gibt (vgl. Definition 10.31), bezüglich derer X uniform konvex ist. Die Bezeichnung „superreflexiv“ wird verständlich, weil bewiesen werden kann (vgl. Heuser [80], S.578), dass uniform konvexe Räume reflexiv sind. Satz 6.12 (Satz von Milman) Jeder uniform konvexe Banach-Raum ist reflexiv.

Beispiele für uniform konvexe Räume: Wegen der Parallelogrammgleichung sind Innenprodukträume, erst recht alle Hilbert-Räume, uniform konvex. l p , L p für 1 < p < ∞ und C[a, b] mit der L p -Norm für p ≥ 2 sind uniform konvex, dagegen sind z.B. l 1 , l ∞ ,C[a, b] mit der Maximum-Norm nicht uniform konvex. Lineare Unterräume uniform konvexer Räume sind uniform konvex. In uniform konvexen Räumen (X, .) hat das Approximationsproblem, eine Bestapproximation von x0 ∈ X in einer nichtleeren konvexen und abgeschlossenen Menge K ⊆ X zu finden, x0 − y → min, y ∈ K,

(6.24)

eine eindeutige Lösung (vgl. Heuser[80], S. 576). Im Beweis wird dort gezeigt, dass die Bedingung der uniformen Normierbarkeit immer noch stark genug ist, dass (wie im Beweis von Satz 2.3) Minimalfolgen bezüglich (6.24) Cauchy-Folgen sind. Wir gehen auf uniform konvexe Räume deshalb ein, weil man mit ihrer Hilfe einen einfachen Zugang (zum allgemeinen Fall vgl. [66]) zu einer wichtigen Methode der Funktionalanalysis zur Lösung von Variationsungleichungen, zur Existenz von Gleichgewichtspunkten und Fixpunkten usw. hat: das Durchschnittsprinzip (intersection principle) und das Arbeiten mit KKMAbbildungen. Wir geben einen Einblick in die genannte Methode (wir folgen Granas und Lassonde [71]) und betrachten nur reelle lineare Räume. Satz 6.13 (Durchschnittsprinzip) Es seien (X, · ) ein uniform konvexer Banach-Raum und {M j | j ∈ I} (I eine Indexmenge) eine Familie abgeschlossener konvexer Mengen in X mit der Eigenschaft, dass je endlich viele einen nichtleeren ' Durchschnitt haben. Ist Mi0 beschränkt für ein i0 ∈ I, so ist j∈I M j nichtleer.

Die entscheidende Frage bei der Anwendung dieses Satzes (der Beweis folgt weiter unten) ist, die endliche Durchschnittseigenschaft einer Familie konvexer Mengen zu sichern. Dazu dienen die Eigenschaften der oben erwähnten KKM-Abbildung. In einfacher gelagerten Fällen kann man die endliche Durchschnittseigenschaft schnell sehen, wie das folgende Beispiel zeigt.

174


Beispiel 6.3 (Infimumannahme) Es sei (X, .) ein uniform konvexer Banach-Raum, M ⊆ X eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Menge, und φ : M → X sei quasikonvex, unterhalbstetig und koerzitiv (d.h., die Niveaumengen S(φ , λ ) = {x ∈ M : φ (x) ≤ λ }, λ ∈ R, von φ sind konvex, abgeschlossen und beschränkt). Dann nimmt φ sein Infimum über M an. Das ist eine bemerkenswerte Existenzeigenschaft. Um sie zu beweisen, bildet man einfach für jedes x ∈ M die Menge Mx = {y ∈ M|φ (y) ≤ φ (x)}. Wenn gezeigt werden kann, dass {Mx |x ∈ M} einen nichtleeren Durchschnitt hat, so folgt * x∈M

Mx =

*

*

{y|φ (y) ≤ φ (x)} = 0/ =⇒ ∃y ∈

x∈M

Mx mit : φ (y) ≤ φ (x) für alle x ∈ M,

x∈M

und das war die Behauptung. Die endliche Durchschnittseigenschaft ist erfüllt, denn es gilt n *

Mxi = {y ∈ M|φ (y) ≤

i=1

min φ (xi )} = 0, /

i=1,2,...,n

(weil eine Menge endlich vieler reeller Zahlen eine kleinste hat). Jetzt kann man das Durchschnittsprinzip anwenden.

Mit dem Durchschnittsprinzip lassen sich u.a. Sätze aus der Theorie der Hilbert-Räume (Satz von Riesz, Trennungssätze, Projektionssatz) beweisen, dazu sei auf Granas und Lassonde [71] verwiesen, ebenso Fixpunktsätze, vgl. dazu Satz 6.11 (und sein Beweis für den Hilbert-Raum). Zum Satz von von Neumann (aus der Spieltheorie) vgl. Satz 6.17 unten.

6.2.2 KKM-Abbildungen Die Bezeichnung erinnert an die polnischen Mathematiker Knaster, Kuratowski und Mazurkiewicz [106]. Es seien X,Y gegebene Mengen und T : X ⇒ Y eine mengenwertige Abbildung. Dann heißen für jedes y ∈ Y die Mengen T −1 (y) mit T −1 : Y ⇒ X : T −1 (y) = {x ∈ X | y ∈ T x} die Fasern (fibers) von T und die Mengen T ∗ (y) mit T ∗ : Y ⇒ X : T ∗ (y) = X\T −1 (y) die Kofasern (cofibers) von T . Definition 6.3 (KKM-Abbildung) Es seien X ein reeller linearer Raum und X eine Teilmenge von X. Dann heißt G : X ⇒ X eine KKMAbbildung, falls für jede endliche Teilmenge A = {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ X gilt conv A ⊆ G[A] =

n (

G(xi ).

(6.25)

i=1

G heißt eine starke KKM-Abbildung, falls gilt (1) x ∈ G(x) (x ∈ X), (2) die Kofasern von G sind konvex. Satz 6.14 Ist X ⊆ X konvex und G : X ⇒ X eine starke KKM-Abbildung, so ist G eine KKM-Abbildung. )

Beweis: Es sei A = {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ X und y0 ∈ conv A. Es ist zu zeigen: y0 ∈ ni=1 G(xi ). Weil / G∗ (y0 ). Somit ist conv A nicht in G∗ (y0 ). Aber G stark KKM ist, folgt y0 ∈ G(y0 ), also y0 ∈


175

G∗ (y0 ) ist konvex (wegen (2)), also kann wenigstens einer der Punkte xi ∈ A, i = 1, 2, ...n nicht zu G∗ (y0 ) gehören, etwa x j . Nach Definition von G∗ ist somit x j ∈ G−1 (y0 ), das heißt y0 ∈ G(x j ). Beispiel 6.4 Es seien C eine konvexe Teilmenge eines reellen lokalkonvexen Hausdorff’schen Raumes X, a : X × X eine stetige Bilinearform und l ein lineares stetiges Funktional über X. Dann ist die Abbildung G : C ⇒ X : G(x) = {y ∈ C|a(y, y − x) ≤ l(y − x)}

(6.26)

stark KKM. Man beweist die beiden Bedingungen (1),(2) in Definition 6.3. (1): Es sei x ∈ C. Dann gilt x ∈ G(x), denn a(x, 0) = 0, l(x.x) = 0. (2): Die Kofasern von G sind konvex. Denn es ist G∗ (y) = C\G−1 (y) = C\{x ∈ C|y ∈ G(x)} = {x ∈ C|a(y, y − x) > l(y − x)}. Und nun nimmt man irgend zwei Punkte aus G∗ (y) und sieht sofort, dass deren konvexe Kombination auch die strenge Ungleichung erfüllt.

Der Nutzen der KKM-Abbildungen wird durch den folgenden Satz erhellt: Satz 6.15 Ist M eine nichtleere Teilmenge des uniform konvexen Banach-Raumes X und ist G : M ⇒ X eine KKMAbbildung mit abgeschlossenen und konvexen Werten, so hat die Mengenfamilie {G(x)|x ∈ M} die endliche Durchschnittseigenschaft.

Wenn man diesen Satz mit Satz 6.13 koppelt, erhält man ein elementares KKM-Prinzip. Die allgemeinere topologische Variante dieses Prinzips (vgl. Bemerkung 6.2) ist zum Brouwer’schen Fixpunktsatz (vgl. Satz 6.5) äquivalent! Satz 6.16 (Elementares KKM-Prinzip) Es seien M eine nichtleere Teilmenge des uniform konvexen Banach-Raumes X und G : M ⇒ X eine KKMAbbildung mit abgeschlossenen und konvexen Werten. Ist eine der folgenden drei Bedingungen befriedigt: (i) M ist beschränkt, (ii) alle G(x), x ∈ M, sind beschränkt, (iii) wenigstens ein G(x0 ), x0 ∈ M, ist beschränkt, ' / so gilt {G(x)|x ∈ M} = 0. Bemerkung 6.2 (Topologisches KKM-Prinzip) Es seien X ein linearer topologischer Raum, M eine beliebige Teilmenge von X, und G : M ⇒ X eine KKMAbbildung. Sind alle Mengen Gx mit x ∈ M abgeschlossen in X und wenigstens eine von ihnen kompakt, ' so ist {Gx|x ∈ M} = 0. /

Der Beweis des Durchschnittsprinzips stützt sich auf den Durchschnittssatz von Cantor (vgl. Lemma 4.2). Dies wird im folgenden Lemma offenbar. In ihm bezeichnet d(A, B) die Distanz zwischen den Mengen A und B. Lemma 6.1 Ist X ein uniform konvexer Banach-Raum, {Mn } eine (bezüglich der Inklusion) fallende Folge nichtleerer, abgeschlossener und konvexer Teilmengen von X und ist d = supn d(0, Mn ) endlich, so gibt es genau einen ' Punkt x ∈ X mit x ∈ n Mn und x = d.

176


Beweis: Bezeichnet B(0; r) die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt 0 und Radius r, so ist 1 Pn := Mn ∩ B(0; d + ), n

n = 1, 2, ...,

eine fallende Folge nichtleerer, abgeschlossener und konvexer Mengen. Pn = 0/ heißt, es existiert kein x ∈ Mn mit x ∈ B(0; d + 1n ). Folglich ist d(0, Mn ) > d + 1n , also d > d + 1n , ein Widerspruch. Die Folge {Pn } ist fallend, denn Pn+1 = Mn+1 ∩ B(0; d +

1 1 ) ⊆ Mn ∩ B(0; d + ) = Pn . n+1 n

Es gilt dann für die Durchmesser δ (Pn ) der Mengen Pn {δ (Pn )} → 0.

(6.27)

Um das zu zeigen wird die uniforme Konvexität ausgenutzt. Denn da die Mengen Pn konvex sind, n ∈ Pn = Mn ∩ B(0; d + 1n ) gilt. Also folgt für jedes n folgt aus xn , yn ∈ Pn , dass auch xn +y 2 xn + yn ≤ d + 1. (6.28) d(0, Mn ) ≤ xn , yn , 2 n Die linke Ungleichung gilt, da d(0, Mn ) der kürzeste Abstand der Punkte von Mn zu 0 ist, die n in B(0; d + 1n ) liegen. Für n → ∞ konvergiert die rechte rechte Ungleichung gilt, da xn , yn , xn +y 2 Seite von (6.28) gegen d, die linke Seite kann nur wachsen (da {Mn } eine fallende Folge ist), konvergiert somit gegen d = supn d(0, Mn ). Somit konvergieren alle drei Folgen {xn }, {yn } und { 12 xn + yn } gegen d. Ist d = 0, so konvergiert auch die Folge {xn − yn } gegen 0, dann 1 ist (6.27) erfüllt. Ist d = 0, so konvergieren alle drei Folgen { xdn }, { ydn } und { 2d xn + yn } gegen 1. Wie man dann leicht sieht, erfüllen die Folgen {xn }, {yn } mit xn :=

1 1 · xn , yn := · yn d + |d − xn | d + |d − yn |

die Voraussetzungen der Bedingung der uniformen Konvexität. Somit kann man (6.23) anwenden und es folgt limn→∞ xn − yn = 0 und (der Leser prüfe dies) dann auch limn→∞ xn − yn = 0. (6.27) gilt somit auch bei d = 0. Jetzt sind die Voraussetzungen des Cantor’schen Durchschnitts' satzes (Satz 4.2) erfüllt, es gibt genau ein Element x ∈ X mit x ∈ n Pn , sodass gilt 1 ∀n ∈ N : d(0, Mn ) ≤ x ≤ d + , n also ist x = d.

Beweis des Durchschnittsprinzips: Es sei I die Familie aller endlichen Teilmengen von I, ' die i0 enthalten. Mit J ∈ I ergibt dann die endliche Durchschnittseigenschaft MJ := {M j | j ∈ J} = 0. / Die Mengen MJ sind abgeschlossen und konvex. Wegen MJ ⊆ Mi0 und Mi0 beschränkt ist d := supJ∈Idist(0, MJ ) < ∞. Da d ein Supremum ist, gibt es eine (bezüglich der Indexmenge)


177

wachsende Folge {Jn }, Jn ∈ I mit d(0, MJn ) ≥ d − 1n . Dann ist {MJn } eine (bezüglich der Inklusion) fallende Folge abgeschlossener konvexer Mengen mit supJn d(0, MJn ) = d. Wegen Lemma ' 6.1 existiert genau ein Element x ∈ n MJn mit x = d. Unter den Indices bei der letzten Durchschnittsbildung müssen nicht alle i ∈ I vorkommen. Es / abgeschloswerde deshalb eine beliebige Menge J ∈ I betrachtet. Dann ist Mn := MJ ∩ MJn = 0, sen und konvex, und {Mn } fallend. Es muss wieder d = supn d(0, Mn ) sein, weil die Mn Durchschnitte sind und somit 1 d ≥ d(0, Mn ) ≥ d(0, MJn ) ≥ d − n ' ' gilt. Also existiert nach Lemma 6.1 wieder ein x1 ∈ n Mn mit x1 = d. Wegen x1 ∈ n MJ n und und x1 = d muss x1 = x gelten. Somit ist x ∈ MJ (J ∈ I) * i∈I

Mi =

*

MJ = 0. /

J∈I

Abschließend soll als Anwendung des Durchschnittsprinzips Satz 6.16 ein klassisches Resultat aus der Spieltheorie bewiesen werden (vgl. Granas und Lassonde [71]): Satz 6.17 (Sattelpunktsatz von von Neumann) Sind M ⊆ X und N ⊆ Y nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Mengen in uniform konvexen Räumen und sei f : X × Y → R eine reellwertige Funktion (in der Spieltheorie die Auszahlungsfunktion), für die gilt ∀y ∈ Y : x → f (x, y) ist konvex und unterhalbstetig, (6.29) ∀x ∈ X : y → f (x, y) ist konkav und oberhalbstetig.

(6.30)

Dann existiert ein Sattelpunkt für f , d.h. ein Punkt (x0 , y0 ) ∈ X × Y mit ∀(x, y) ∈ X × Y : f (x0 , y) ≤ f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y0 ),

(6.31)

min max f (x, y) = f (x0 , y0 ) = max min f (x, y).

(6.32)

oder als Folgerung y∈Y x∈X

x∈X y∈Y

Unter den genannten Voraussetzungen gibt es also stets solch ein Strategienpaar (x0 , y0 ) ∈ M ×N, welches ein Gleichgewichtspunkt für das Spiel {M, N, f } ist. Beweis: Wir beweisen (6.31). Dazu wird über M × N eine geeignete mengenwertige Abbildung definiert: (6.33) G(x, y) = {(x , y ) ∈ M × N ⊆ X × Y | f (x , y) − f (x, y ) ≤ 0} Diese Abbildung ist stark KKM, denn (1) und (2) von Definition 6.3 sind erfüllt: (1) Offenbar gilt (x, y) ∈ G(x, y) für alle (x, y) ∈ M × N. (2) Die Kofasern von G : G∗ (x , y ) = {(x, y) ∈ M × N | f (x , y) − f (x, y ) > 0} sind konvex, weil die Funktion (x, y) → f (x , y) − f (x, y ) konkav ist. Wegen Satz 6.14 ist G eine KKM-Abbildung, denn M × N ist konvex. Alle Mengen G(x, y) sind konvex und abgeschlossen, denn die Funktion (x , y ) → f (x , y) − f (x, y ) ist konvex und unterhalbstetig für jedes (x, y) ∈ X × Y. Jetzt wenden wir das KKM-Prinzip Satz 6.16 an und es folgt, dass es einen Punkt (x0 , y0 ) gibt mit

178


der Eigenschaft: ∀(x, y) ∈ X × Y : (x0 , y0 ) ∈ G(x, y). Das bedeutet, dass (x0 , y0 ) ein Sattelpunkt für f ist. Mit den Methoden dieses Abschnittes können auch Sätze aus der Theorie maximal-monotoner Operatoren (vgl. Abschnitt 10.5.2) bewiesen werden, wie etwa Satz 6.18 (Satz von Minty) Ist T : H → H ein maximal-monotoner Operator, der den reellen Hilbert-Raum H in sich abbildet, so gilt: (1) Ist der Definitionsbereich von T beschränkt, so ist T eine surjektive Abbildung (d.h. zu jedem Element y ∈ H existiert ein Element x ∈ H mit T x = y). (2) I + T ist eine surjektive Abbildung. Ist T : H → H ein monotone Abbildung, so ist sie maximal-monoton genau dann, wenn I + T eine surjektive Abbildung ist.

6.3 Über Banach-Verbände Uniform konvexe Räume spielen in Theorie und Anwendungen noch in ganz anderer Richtung eine wesentliche Rolle (vgl. Aliprantis et al [2]). Es geht darum, Beziehungen zwischen Normen und Halbordnungen auszunutzen. Dazu benutzt man den Begriff des Verbandes. Definition 6.4 (geordneter Vektorraum, Vektorverband) Es sei X ein reeller Vektorraum, der mit der Relation ≤X halbgeordnet ist (vgl. Definition 10.1). Ein solcher Vektorraum heißt ein geordneter Vektorraum, wenn die Halbordnung mit der linearen Struktur von X verträglich ist (vgl. Definition 10.43). Ein geordneter Vektorraum X heißt ein (reeller) Vektorverband, wenn X ein Verband ist bezüglich der gegebenen Ordnungsrelation ≤X , d.h., es existieren zu x, y ∈ X stets das Supremum sup{x, y} (vgl. (10.4)) und das Infimum inf{x, y} und man schreibt (x, y ∈ X) x ∨ y := sup{x, y}, x ∧ y := inf{x, y}.

(6.34)

Für x ∈ X setzt man x+ := x ∨ 0, x− := −(x) ∧ 0, |x| := (−x) ∨ x und nennt x+ den Positivteil, x− der Negativteil und |x| den Betrag von x. Beispiel 6.5 Man sieht leicht (auch eine Zeichnung ist hilfreich), dass der Raum X = CR ([a, b]), versehen mit der punktweisen Halbordnung, also x ≤ y für x, y ∈ X genau dann, wenn x(t) ≤ y(t) (t ∈ [a, b]) ist, ein Vektorverband ist. Es ist dann für x, y ∈ X (6.35) (x ∨ y)(t) := maxt∈[a,b] {x(t), y(t)}, entsprechend für x ∧ y. Auch die (reellen) L p -Räume L p ([a, b]), 1 ≤ p ≤ ∞, sind Vektorverbände, die De1 ([a, b]) ist finition der zugrunde liegenden Halbordnung erfolgt dann für fast alle t ∈ [a, b]. Der Raum CR kein Vektorverband, denn das Maximum zweier differenzierbarer Funktionen muss nicht in jedem Punkt des Intervalls [a, b] differenzierbar sein. Zu Rechenregeln in Vektorverbänden vgl. Abschnitt 10.4.

Es sei nun der Vektorverband (X, ≤X ) ein mit der Norm · X normierter Raum. Dann nennt man die Norm des Vektorverbandes mit der Halbordnung des Vektorverbandes kompatibel (oder verträglich), falls gilt ∀x, y ∈ X : |x| ≤X |y| =⇒ xX ≤ yX . (6.36) Aus (6.36) folgt für alle x ∈ X die Beziehung |x| X = xX und, dass die Verbandsoperationen stetig sind. Die entscheidende Definition dieses Abschnittes lautet:

6.3 Über Banach-Verbände

179

Definition 6.5 (Banach-Verband) Ein Vektorverband (X, ≤X ), der ein Banach-Raum mit der Norm · X ist und die Bedingung (6.36) erfüllt, heißt ein Banach-Verband (Banach lattice) (X, · X , ≤X ) .

Die Vektorverbände aus Beispiel 6.5 sind Banach-Verbände. Von besonderem Interesse sind uniform konvexe Banach-Verbände (vgl. (6.23)). Beispiele uniform konvexer Banach-Verbände sind die Räume L p , l p für 1 < p < ∞, der Banach-Verband X = CR ([a, b]) aus Beispiel 6.5 ist nicht uniform konvex. In uniform konvexen Banach-Verbänden gilt der bemerkenswerte Satz, dass nichtfallende norm-beschränkte Folgen in solchen Räumen norm-konvergent sind: Satz 6.19 Es sei (X, · , ≤) ein Banach-Verband und gleichzeitig als Banach-Raum uniform konvex. Es sei weiter die Folge {xn } von Elementen aus X nichtfallend, also x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · für alle n ∈ N, und außerdem norm-beschränkt, d.h., es gilt g := sup xn < +∞. n

Dann konvergiert die Folge {xn } gegen ein Element z ∈ X und es gelten die Gleichheiten z = lim xn = g = sup xn . n→∞

n

Beweis: Wir führen den Beweis in zwei Schritten. 1) Wir beweisen, dass ein uniform konvexer Banach-Verband die UMB-Eigenschaft (uniform monotone norm property) hat (vgl. Birkhoff [24]). Diese besagt, dass man zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε ) > 0 so finden kann, dass aus x, y ∈ X+ , x = 1 und x + y ≤ x + δ = 1 + δ die Ungleichung y ≤ ε folgt. Angenommen, die UMB-Eigenschaft besteht nicht. Dann existieren ein ε0 > 0 und zu jedem n ∈ N ein xn ∈ X+ mit xn = 1 und ein yn ∈ X+ , sodass sowohl die Ungleichungen 1 (6.37) 1 ≤ xn + yn ≤ 1 + (n ∈ N) n als auch die Ungleichungen ε0 ≤ yn (n ∈ N) bestehen. Wir setzen nun ξn := xn und ηn := 1 xn +yn (xn + yn ) für n = 1, 2, · · · . Dann folgen ξn = 1, ηn = 1 und yn = ηn − ξn + (xn + yn − 1)ηn für n ∈ N. Wegen (6.37) ist 0 ≤ xn + yn − 1 ≤ ξn − ηn ≥ ε0 −

ε0 3

für alle n ≥ n0 = n0 (ε ), also

ε0 2 = ε0 (n ≥ n0 ). 3 3

(6.38)

Wir betrachten jetzt 12 (ξn + ηn ), n = 1, 2, · · · Die Dreiecksungleichung liefert (nach oben) 1 1 (ξn + ηn ) ≤ (ξn + ηn ) = 1 2 2

(6.39)

180


und andererseits nach unten (nach Ersetzen von ξn und ηn ) 1 1 1 (xn + yn − 1) 1 (ξn + ηn ) ≥ xn + yn − 2 2 xn + yn 2 xn + yn

(6.40)

und somit wegen xn + 12 xn +1 yn yn ≥ xn ≥ 0 und (6.37) 1 1 1 (ξn + ηn ) ≥ xn − = 1− . 2 2n 2n Aus den bewiesenen Ungleichungen (6.37) und (6.41) folgt

(6.41)

1 lim (ξn + ηn ) = 1. (6.42) 2 Diese Relation ergibt zusammen mit (6.38) und ξn = 1, ηn = 1 einen Widerspruch zur uniformen Konvexität von (X, · ). Also besitzt (X, · , ≤) die UMB-Eigenschaft. 2) Es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit g > 0. Um die Aussage des Satzes zu beweisen setzen wir wn := xgn (n = 1, 2, · · · ) Es gilt dann supn wn = 1, ferner wn ∈ X+ und wn ≤ wn+1 (n ∈ N). Wir zeigen, dass die Folge {wn } eine Cauchy-Folge ist. Es sei ε > 0 gegeben, dann gibt es ein δ = δ (ε ) > 0 mit der UMB-Eigenschaft. Mit δ := 1+δ δ ist 0 < δ < 1 und δ < δ . Für n ≥ n0 ist 0 < 1 − δ ≤ wn ≤ 1 (weil ersichtlich limn→∞ wn = 1 sein muss). n→∞

Ferner sei qn :=

1 wn

− 1 (n = n0 , n0 + 1, · · · ), dann ist qn ≥ 0 und (1 + qn )wn = 1 und weiter

für n ≥ n0 (wegen der Abschätzung für wn ) 1 ≤ 1 + qn ≤ 1

1 1−δ

sowie schließlich

δ

= δ. 1 − δ 1 − δ Für n0 ≤ n ≤ m gilt daher die Abschätzung (man beachte 0 ≤ wm − wn und wn + qn wn ∈ X+ ) 0 ≤ qn ≤

−1 =

wm − wn + wn + qn wn ≤ wn + qn ≤ 1 + qn ≤ 1 + δ = (1 + qn )wn + δ . Das Paar (wm − wn , (1 + qn )wn ) erfüllt somit die Voraussetzungen der UMB-Eigenschaft. Demzufolge gilt wm − wn ≤ ε für alle m, n mit n0 ≤ n ≤ m. Die Folge {wn } ist somit eine CauchyFolge (im Banach-Raum (X, · ). Also existiert der Grenzwert w∗ := limn→∞ wn im Sinne der Norm · . Dann ist auch limn→∞ xn vorhanden und es werde gesetzt lim xn = gw∗ =: z.

n→∞

Da X ein Banach-Verband ist, gilt für alle n ∈ N wegen der Monotonie der Folge {xn } xn ≤ xn+1 ≤ g (n ∈ N) und so zusätzlich z = lim xn = g = sup xn , n→∞

wie behauptet wurde.

n

Bemerkung 6.3 Ohne Schwierigkeiten ist nachzuweisen, dass sich die Aussage des Satzes in entsprechender Form auch auf nichtfallende Netze (verallgemeinerte Folgen) übertragen lässt.

6.4 Eine wirtschaftsmathematische Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes

181

6.4 Eine wirtschaftsmathematische Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes Neben den bekannten Beispielen der Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes auf ökonomische Probleme, also den Arbeiten von v. Neumann und Nash (vgl. [125], [122] ) entstehen im Rahmen der Wirtschaftsmathematik immer wieder Aufgabenstellungen, in denen der Brouwer’sche Fixpunktsatz insofern nützlich ist, als er überhaupt die Existenz einer gesuchten Lösung sichert. Dass damit die gestellten Probleme noch nicht gelöst sind, ist nahezu selbstverständlich, es bleiben die Fragen nach der Einzigkeit (Unität) und der näherungsweisen Berechnung (möglichst durch rasch konvergente Iterationsverfahren) der Lösung(-en) meistens offen. Ein Beispiel für die befriedigend vollständige Untersuchung eines derartigen Problems bietet das Vorgehen zur Lösung der Marginal-Summengleichung mit zwei Risiko-Merkmalen (risk chracteristics), dargestellt in der Arbeit von Dietze, Riedrich und Schmidt [42]. An dieser Stelle wollen wir uns aber ausschließlich mit der Existenzfrage und der Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes befassen. Dabei folgen wir weitgehend der Arbeit [42]. In der Kraftfahrzeugversicherung werden die Risiken für den Versicherer auf zwei (oder mehrere) sogenannte Risikocharakteristiken aufgeteilt, die den eintretenden Realisierungen entsprechen. Wir beschreiben die Situation im Detail in wörtlicher auszugsweiser Anlehnung an die Arbeit „Risikoadäquate Tarifierung in der Kraftfahrthaftpflichtversicherung“ von Zocher (vgl. [182], S. 131-133). Dort wird zunächst festgestellt: (Zitat) „In einem Tarif wird jedem Risiko eine Prämie zugewiesen. Dabei werden die Risiken nach sogenannten Tarifmerkmalen klassifiziert. Dies können zum Beispiel Jahresfahrleistung oder Garage oder Wohneigentum sein. Jedes Tarifmerkmal ist wiederum in Tarifklassen (z. B. die pro Jahr gefahrenen Kilometer, Anm. d. Verf.) unterteilt. Jedes Risiko fällt pro Tarifmerkmal in genau eine Tarifklasse und die Gesamtheit der Tarifklassen aller Tarifmerkmale erzeugt die Tarifzellen. Von allen Risiken, die in einer bestimmten Tarifzelle zusammengefasst sind, wird dieselbe Prämie verlangt, sodass ein Tarif vollständig bestimmt ist, wenn jeder Tarifzelle eine Prämie zugeordnet ist.“ (Zitat Ende). Die Ermittlung dieser Prämien erfolgt mittels statistischer Datenanalyse aus vorhandenem Datenmaterial, und es sollte bei einem gerechten Prämiensystem die Prämie in jeder Tarifzelle dem erwarteten Schadenbedarf (SB) entsprechen. Um dies zu erreichen, hat sich ein multiplikatives Modell herausgebildet, in dem sich die Prämie aus einer Grundprämie μ berechnet, die für jedes Tarifmerkmal (jede Tarifzelle) mit einem Tariffaktor, der der Tarifklasse entspricht, multipliziert wird. Bei der Beschreibung der Tarifzellen mittels Tarifmerkmalen und Tarifklassen in einer Kreuztabelle, durchnummeriert mittels des Indexpaares (i, j) (dieses entspricht der Tarifzelle) i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J, wird daher eine Prämiengröße

μαi β j angesetzt, wobei die αi bzw. β j die Tariffaktoren für die Tarifmerkmale bzw. die Tarifklassen sind. Wir zitieren weiter aus [182], S. 133, zur Ermittlung dieser Faktoren: (Zitat) „Die Einträge in jeder Tarifzelle (i, j) entsprechen der Prämie und sollen daher den erwarteten Schadenbedarf in der Tarifzelle (i, j) möglichst genau beschreiben. Es gibt nun verschiedene

182


Verfahren, um diese Forderung zu erfüllen, und exemplarisch soll hier das weit verbreitete Marginalsummenverfahren kurz vorgestellt werden. Setzt man in jeder Tarifzelle den erwarteten Schadenbedarf dem beobachteten Schadenbedarf gleich, ergeben sich die Gleichungen Si j = μαi β j , Ni j wobei Si j und Ni j (> 0) den Schadenaufwand respektive die Jahreseinheiten in der Tarifzelle (i, j) beschreiben. Multipliziert man beide Seiten mit den Jahreseinheiten und summiert die dann erhaltenen Gleichungen für jede Tarifklasse auf, so erhält man die Marginalsummengleichungen ∑Jj=1 Ni j μαi β j

= ∑Jj=1 Si j

(i = 1, . . . , I)

∑Ii=1 Ni j μαi β j

= ∑Ii=1 Si j

( j = 1, . . . , J).

Die linke Seite entspricht demnach dem erwarteten Schadenaufwand und die rechte Seite dem beobachteten Schadenaufwand der Tarifklasse also Marginale in der Kreuztabelle.“ (Zitat Ende) Zocher weist in [182], S. 133, darauf hin, dass bis dahin ein Nachweis der Existenz und Unität der Lösungen der Marginalsummengleichungen fehlt, aber ein iteratives Vorgehen „erfahrungsgemäß“ eine (Näherungs-)Lösung liefert. Dieses Problem wird in [42] vollständig gelöst, insbesondere wird in [42] die lineare Konvergenz des zugehörigen Iterationsverfahrens bewiesen. Die Verallgemeinerung auf die analoge Aufgabe mit mehr als zwei Faktorengruppen steht noch aus. Wir wollen an dieser Stelle, mit geringfügigen Modifikationen gegenüber [42], für den oben beschriebenen Fall die Existenz der (einer) Lösung der Marginalsummengleichungen mittels Anwendung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes nachweisen, indem wir die einzelnen Schritte als Aufgaben formulieren. Gegeben seien zwei reelle Matrizen N = [Ni j ] und S = [Si j ] vom Format I ∗ J, die Matrixelemente (Einträge) von N seien sämtlich positiv. Es gibt daher zwei positive Zahlen N0 , N1 mit 0 < N0 ≤ Ni j ≤ N1 < +∞ (i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J). Die Einträge von S werden als nicht negativ vorausgesetzt +∞ > Si j ≥ 0 (i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J), J I und es sollen die Ungleichungen ∑ Sil > 0 (i = 1, . . . , I) sowie ∑ Sik > 0 (k = 1, . . . , J) l=1

i=1

gelten. Die Zahl μ sei positiv: μ > 0. Unter den zugehörigen Marginalsummengleichungen verstehen wir das Gleichungssystem (vgl. [42], S. 2) ⎫ (i = 1, . . . , I) ⎬ ∑Jl=1 μαi βl Nil = ∑Jl=1 Sil (MSG) ⎭ ∑Ii=1 μαi βk Nik = ∑Ii=1 Sik (k = 1, . . . , I); für die „Unbekannten“ μ ; α1 , . . . , αI ; β1 , . . . , βJ . Wir verwenden die Bezeichnungen RI+ := {α = (α1 , ..., αI ) ∈ RI |αi ≥ 0 für i = 1, ..., I}, analog für RJ+ . Entsprechend dem Vorgehen in [42]

6.5 Übungsaufgaben

183

definieren wir Abbildungen G : (RI+ \ {0}) H : (RJ+ \ {0})

→ (RJ+ \ {0}), → (RI+ \ {0})

koordinatenweise durch die Gleichungen G j (α ) =

∑Ii=1 Si j ∑Ii j Ni j αi

( j = 1, . . . , J),

α = (α1 , . . . , αI ) ∈ RI+ \ {0}, Hi (β ) :=

∑Jj=1 Si j ∑Jj=1 Ni j β j

(i = 1, . . . , I), β = (β1 , . . . , βJ ) ∈ RJ+ \ {0}.

6.5 Übungsaufgaben Aufgabe 1. Zeigen Sie die Richtigkeit folgender Aussage. Ein Tripel (α , β , μ ) ∈ (RI+ \ {0}) × (RJ+ \ {0}) × (R+ \ {0}) ist genau dann eine Lösung des obigen Systems der Marginalsummengleichungen, wenn die Gleichungen H(β ) = G(α ) =

μα , μβ

(gleichzeitig) bestehen. Fasst man die Abbildungen G und H zu einer Abbildung F : (RI+ \ {0}) × (RJ+ \ {0}) → (RI+ \ {0}) × (RJ+ \ {0}) erklärt durch die Vorschrift F(α , β ) := (H(β ), G(α ))(α ∈ RI+ \ {0}; β ∈ RJ+ \ {0}) zusammen, so ist das System der Marginalsummengleichungen (MSG) daher gleichwertig zum nichtlinearen Eigenwertproblem F(α , β ) = μ (α , β ) (μ > 0; α ∈ RI+ \ {0}; β ∈ RJ+ \ {0}). Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Menge I

J

i=1

k=1

M := {(α , β ) ∈ (RI+ \{0})×(RJ+ \{0})|α = (α1 , . . . , αI ); β = (β1 , . . . , βJ ); ∑ αi = 1; ∑ βk = 1} eine im Raum RI × RJ liegende Menge darstellt, die nichtleer, abgeschlossen, beschränkt, konvex, also kompakt und konvex ist.

184


Aufgabe 3. Definition einer Selbstabbildung von M. Zeigen Sie zunächst, dass durch die Zuordnungen I

(1) (α , β ) ∈ RI × RJ $→ (α , β )1 := p(α ) := ∑ |αi |, (2)

(α , β ) ∈ RI

× RJ

i=1 I

$→ (α , β )2 := q(β ) := ∑ |β j |, j=1

Halbnormen p(·), q(·) auf RI × RJ definiert sind und dass deren Summe (α , β )1 + (α , β )2 = p(α ) + q(β ) ((α , β ) ∈ RI × RJ ) eine Norm auf RI × RJ liefert, die zur Euklidischen Norm · ⎛ 1/2 ⎞ I J ⎠ gleichwertig (äquivalent) ist. auf RI × RJ ⎝(α , β ) := ∑ αi2 + ∑ β j2 i=1

j=1

Ist (sind) nun (α , β ) ∈ M (vgl. Aufg. 2) so setzen wir

ψ (α , β ) := (ψ 1 (α , β ), ψ 2 (α , β )),

(6.43)

+

, 1 · H(β ) ∈ (RI+ \ {0}), ψ1 (α , β ) := p(H(β )) 1 · G(α ) ∈ (RJ+ \ {0}) ψ2 (α , β ) := p(G(α )) für (α , β ) ∈ M bezeichne. Zeigen Sie (zunächst), dass ψ1 (·, ·) und ψ2 (·, ·) für jedes Paar (α , β ) ∈ M erklärt sind und dass die Gleichungen wobei

p(ψ 1 (α , β )) = 1 sowie q(ψ 2 (α , β )) = 1 gelten. Zu diesem Zweck ermitteln Sie untere und obere Schranken für die Koordinatenfunktionen Hi (·) und G j (·) auf der Menge M. Mit unseren obigen Bezeichnungen gelten z. B. die Ungleichungen (es sei (α , β ) ∈ M) für i = 1, . . . , I : H j (β ) = Hi (β )

≥

∑Jj=1 Si j ∑Jj=1 Ni j β j

≤

∑Jj=1 Si j N0 · ∑Jj=1 β j

=

∑Jj=1 Si j , analog N0

∑Jj=1 Si j , N1

die man durch Verkleinerung bzw. Vergrößerung des Nenners unter Beachtung der Gleichheit J

∑ β j = p(β ) = 1 sofort erhält. Summation über i = 1, . . . , I liefert anschließend

j=1

0
0. Dieselben Schranken ergeben sich analog für q(G(α )) ((α , β ) ∈ M) : 0
0 also f (xε ) ≤ ε + infx∈K f erfüllen), so ergeben sich folgende bemerkenswerte und wie sich weiter unten zeigt sehr verwendungsfähige Resultate: (a) Schon mit der einfachen (und für Minimumprobleme fast selbstverständlichen) Voraussetzung „ f sei über K nach unten beschränkt“ hat man die Existenz von suboptimalen Lösungen. (b) Es reicht, zusätzlich lediglich die Unterhalbstetigkeit von f zu fordern, um globale notwendige Optimalitätsbedingungen zu erhalten. (c) Mit diesen Optimalitätsbedingungen werden Punkte bestimmt, die bezüglich des Epigraphen der Zielfunktion Pareto-optimal sind unter Verwendung einer Halbordnung, die durch das Problem bestimmt wird. Es besteht dadurch Anschluss an die große Gruppe der Maximalpunkttheoreme (oder Minimalpunkttheoreme), wobei sich Maximalität im Rahmen gegebener Halbordnungen oder Präferenzrelationen bestimmt (vgl. Definition 10.1 und Beispiel 10.1). Genauer gesagt gilt der folgende als Ekeland’sches Variationsprinzip (vgl. Ekeland [50], [51], Ekeland, Temam [52], Aubin und Ekeland [14], de Figueiredo [37] und Hamel und Tammer [77]) bekannte Satz. Wir formulieren ihn für das allgemeinere Optimierungsproblem f (x) → inf

x∈X

(7.2)

mit f : X → R ∪ {+∞}. Aufgabe (7.1) ist ein Spezialfall von Aufgabe (7.2), denn man setzt einfach f (x) := +∞ für x ∈ / K und lässt f (x) für x ∈ K ungeändert. f in (7.2) ist eine Abbildung f : X → R ∪ {+∞} und man muss festlegen, wie man mit solchen „erweitert reellwertigen“ Funktionen rechnet. Dies wurde bei (3.125) erklärt. Insbesondere war x0 ∈ dom f , falls f (x0 ) < +∞ galt. Eine erweitert reellwertige Funktion f : X → R ∪ {+∞} heißt unterhalbstetig, wenn

188

7 Variationsprinzipien vom Ekeland’schen Typ

der Epigraph epi f := {(x, α ) ∈ X × R | f (x) ≤ α } im metrischen Raum X × R abgeschlossen ist (vgl. Definition 3.20 und Satz 3.30). Satz 7.1 (Ekeland’sches Variationsprinzip) Es seien X ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik d und f : X → R ∪ {+∞} eine unterhalbstetige und nach unten beschränkte Funktion. Die Funktion f habe nicht für jedes x ∈ X den Wert +∞. Es sei eine Zahl ε > 0 gegeben und z ∈ X sei eine suboptimale Lösung mit f (z) ≤ inf f (x) + ε . Dann gibt es für jede x∈X

Zahl λ > 0 einen Punkt xε ∈ X , xε ∈ dom f , mit

f (xε ) + λ d(xε , z) ≤ f (z), also f (xε ) ≤ f (z),

ε , λ λ d(x, xε ) + f (x) > f (xε ) falls x = xε . d(xε , z) ≤

(7.3) (7.4) (7.5)

In Worten gesagt, (7.3) bedeutet, dass wir ausgehend von der Näherungslösung z eine nicht schlechtere Näherungslösung xε bekommen haben. (7.4) bedeutet, dass diese gewonnene Näherungslösung nicht weiter als λε von z entfernt liegt. Die Bedingung (7.5) ist die wichtigste Aussage und stellt die erhaltene Optimalitätsbedingung dar: Die gefundene suboptimale Lösung xε ist Minimallösung (sogar eindeutige) einer gegenüber der Ausgangsaufgabe leicht gestörten Aufgabe, sie löst die Optimierungsaufgabe

λ d(x, xε ) + f (x) → inf . x∈X

(7.6)

(7.5) ist eine Variationsungleichung für einen zu findenden Punkt xε . Hat die gegebene Optimierungsaufgabe die Form (7.1), so ist die für die Gültigkeit des Variationsprinzips geforderte Unterhalbstetigkeit erfüllt, wenn der zulässige Bereich K ∈ X abgeschlossen ist (denn es ist dann f (x) := +∞ für x ∈ / K und konvergente Folgen {(xn , αn )} ⊆ epi f , {(xn , αn )} → (x, α ) erfüllen insbesondere {d(xn , x)} → 0 in K). λ und ε sind frei wählbare Parameter. Wird z.B. λ verkleinert, so wird zwar die √ Störung in (7.5) verkleinert, aber die Entfernung in (7.4) wird größer. Oft ist es nützlich, λ = ε zu setzen, sodass man nur noch einen freien Parameter hat. Beweis von Satz 7.1: Es sei (x0 , α0 ) ein beliebiger Punkt in epi f . Dazu betrachten wir die Menge (7.7) F((x0 , α0 )) := {(y, β ) ∈ epi f | β + λ d(x0 , y) ≤ α0 }. Es sei m0 := inf {β ∈ R | (y, β ) ∈ F((x0 , α0 ))},

(7.8)

m0 ist also die untere Grenze der zu F((x0 , α0 )) gehörenden β −Werte. Jetzt beginnt ein Iterationsprozess, der konstruktiven Charakter hat: Wir wählen den nächsten Punkt (x1 , α1 ) so aus der Menge F((x0 , α0 )) aus (unter Berücksichtigung von (7.8)), dass gilt 1 α1 − m0 ≤ (α0 − m0 ), 2

(7.9)

d.h., wir führen einen Abstieg um mindestens 50% des möglichen Abstiegs aus. Nun bilden wir gemäß (7.7),(7.8) die Menge F((x1 , α1 )), die Zahl m1 und wählen (x2 , α2 ) entsprechend (7.9)

7.1 Das Ekeland’sche Variationsprinzip

189

usw. Die entstehende Folge {F((xn , αn ))}, n = 0, 1, 2, ... hat bemerkenswerte Eigenschaften: Jede der Mengen F((xn , αn )) ist abgeschlossen (weil die Metrik d stetig und epi f abgeschlossen ist), nichtleer (denn es ist jeweils (xn , αn ) ∈ F((xn , αn )) und es gilt F((xn+1 , αn+1 )) ⊂ F((xn , αn )), n = 0, 1, 2, ...

(7.10)

wegen der Dreiecksungleichung: Aus (y, β ) ∈ F((xn+1 , αn+1 )) folgt

β + λ d(xn , y) ≤ β + λ d(xn , xn+1 ) + λ d(xn+1 , y) ≤ αn+1 + λ d(xn , xn+1 ) ≤ αn

(7.11)

weil (xn+1 , αn+1 ) ∈ F((xn , αn )) gilt. Weiter folgt mn+1 ≥ mn wegen (7.10), und aus der gewählten Abstiegsrate (7.9) folgt 1 1 αn+1 − mn+1 ≤ αn+1 − mn ≤ (αn − mn ) ≤ n+1 (α0 − m0 ). 2 2

(7.12)

Dieses letzte Resultat heißt aber, dass die Durchmesser der Mengen F((xn , αn )) eine Nullfolge bilden, denn es verschwindet für n → +∞ sowohl die X−Komponente der Durchmesser, für (y, β ) ∈ F((xn , αn )) ist d(y, xn ) ≤ (αn − β ) ≤ (αn − mn ) → 0 wegen (7.12), als auch die R−Komponente wegen |αn − β | ≤ αn − mn → 0. Da epi f ein vollständiger metrischer Raum ist, kann der Cantor’sche Durchschnittssatz (vgl. Lemma 4.2) angewandt werden und ' es muss genau einen Punkt (x, α ) ∈ F((xn , αn )) geben, der also im Durchschnitt aller Mengen F((xn , αn )) liegt. Dieser Punkt erfüllt die im Ekeland’schen Prinzip aufgestellten Behauptungen. In der Tat: (7.5) ist erfüllt: Wir betrachten F((x, α )) = {(y, β ) ∈ epi f |β + λ d(x, y) ≤ α }, also ist (x, α ) ∈ ) aus epi f geben, der auch in F((x, α )) liegt. Für x, α F((x, α )). Es kann keinen anderen Punkt ( ihn müsste dann wegen der Definition von F((x, α )) gelten + λ d(x, x) ≤ α . α

(7.13)

Da (x, α ) aber zu allen Mengen F((xn , αn )) gehört, erzwingt (7.13) wegen + λ d( + λ d(x, x) + λ d(xn , x) ≤ α + d(xn , x) ≤ αn , α x, xn ) ≤ α

(7.14)

) ∈ F((xn , αn )) für alle n = 0, 1, 2, ... Dann könnten die Durchmesser der Mengen dass auch ( x, α F((xn , αn ) aber keine Nullfolge bilden. Also ist F((x, α )) = (x, α ) und es muss sogar α = f (x) erfüllt sein, denn eine Menge F((x, α )) enthält mit (x, α ) auch stets (x, f (x)). Folglich ist (x, f (x) der einzige allen Mengen F((xn , αn )) gemeinsame Punkt und Gleichung (7.13) kann für kein (x, f (x)) ∈ epi f mit x = x erfüllt sein, es muss vielmehr gelten

λ d(x, x) + f (x) > f (x) (x = x).

(7.15)

Und wenn man x durch xε ersetzt ergibt sich (7.5):

λ d(x, xε ) + f (x) > f (xε )

(x = xε ).

(7.16)

190


(7.3) ist erfüllt: Man muss nur die Iteration im Beweis statt mit (x0 , α0 ) durch die im Satz vorgegebene suboptimale Lösung (z, f (z)) beginnen. (xε , f (xε )) ∈ F((x0 , α0 )) ergibt dann f (xε ) + λ d(z, xε ) ≤ f (z), daher f (xε ) ≤ f (z)

(7.17)

und das ist (7.3). (7.4) ist erfüllt. Das folgt aus (7.17) und weil natürlich f (xε ) ≥ inf f ist:

λ d(z, xε ) ≤ f (z) − f (xε ) ≤ ε + inf f − inf f .

(7.18)

Wenn man die Voraussetzungen im Variationsprinzip verschärft, so kann man zeigen, dass die Methode der Differentialrechnung, bei der Suche nach Extremalstellen glatter Funktionen deren erste Ableitung gleich null zu setzen, sich als Spezialfall in (7.5) versteckt hält. Außerdem lässt sich eine eindrucksvolle geometrische Aussage herleiten und der Kontakt zu Maximalpunkttheoremen herstellen (vgl. Phelps [130]). Dazu sei X ein reeller Banach-Raum mit der Norm · . Für das Variationsprinzip erhält man dann Satz 7.2 Es seien X ein reeller Banach-Raum mit der Norm · und f : X → R ∪ {+∞} eine unterhalbstetige und nach unten beschränkte Funktion. Die Funktion f habe nicht für jedes x ∈ X den Wert +∞. Zu gegebenem ε > 0 und zε ∈ X mit f (zε ) ≤ inf f (x) + ε und zu jeder Zahl λ > 0 gibt es einen Punkt xε ∈ X, xε ∈ dom f , x∈X

mit

λ xε − zε ≤ f (zε ) − f (xε ),

(7.19)

λ xε − zε ≤ ε ,

(7.20)

λ x − xε + f (x) > f (xε ) falls x = xε .

(7.21)

Lemma 7.1 Ist unter den Bedingungen wie in Satz 7.2 die Funktion f zusätzlich endlich und Gâteaux-differenzierbar √ (die Gâteaux-Differenzierbarbarkeit impliziert nicht die Unterhalbstetigkeit) und ist λ = ε , dann gibt es einen Punkt xε ∈ X, xε ∈ dom f , mit √ xε − zε ≤ ε und (7.22) √ (7.23) f (xε )∗ ≤ ε .

√ Beweis: (7.22) folgt für λ = ε aus (7.20) vom Variationsprinzip. (7.23) folgt, weil f : X → R im Punkt xε ∈ X Gâteaux-differenzierbar ist, denn das heißt, es existiert ein Element f (xε ) ∈ X∗ , sodass gilt f (xε + α h) − f (xε ) f (xε )(h) = lim (h ∈ X). (7.24) α →+0 α Für festes h ∈ X mit h = 1 und α > 0 setzen wir x = xε + α h. Dies ergibt unter Ausnutzung von (7.21) √ f (xε ) < f (xε + α h) + ε ||xε + α h − xε ||, √ 1 ( f (xε ) + α h) − f (xε )) > − ε ||h||, α


191

und somit

√ f (xε )(h) ≥ − ε .

(7.25)

Für −h anstelle von h ergibt sich analog

√ − f (xε )(h) ≥ − ε ,

zusammen also

| f (xε )(h)| ≤

(7.26)

√ ε für alle h ∈ X mit h = 1,

(7.27)

oder unter Ausnutzung der Norm einer linearen stetigen Abbildung f (xε ) in einem BanachRaum (oder eines Elements f (xε ) in dessen Dualraum) f (xε )∗ = sup | f (xε )(h)| ≤ h=1

√ ε .

√ Lemma 7.1 ist höchst bemerkenswert, denn xε kommt nicht nur dem Infimum von f bis auf ε nahe, sondern wegen (7.23) ist auch die Ableitung f (xε ), gemessen in der zur Banach-RaumNorm dualen Norm, klein. Das ist für ε = 0 die wohlbekannte Optimalitätsbedingung erster Ordnung (aber: Lemma 7.1 gilt für ε > 0). Ferner sieht man, indem man sukzessive n−1 , n = 1, 2, ... für ε setzt, dass eine Minimalfolge {xn } existiert mit f (xn ) → inf f und f (xn ) → 0 (in X∗ ).

(7.28)

Wir zeigen nun, wo sich in den Aussagen des Ekeland’schen Prinzips Halbordnungen (vgl. Definition 10.1) und Maximalpunkttheoreme verstecken. Dazu erinnern wir an den Beweis des Ekeland’schen Prinzips. Dort wurden gleich anfangs für Punkte (x, r) ∈ epi f Mengen des Typs F((x, r)) := {(y, s) ∈ epi f | λ d(x, y) ≤ r − s}.

(7.29)

definiert. Dies wird wie folgt ausgenutzt: Lemma 7.2 Seien (x, r) und (y, s) Punkte im metrischen Raum X × R, so ist durch (x, r) ≤ (y, s)

⇐⇒

λ d(x, y) ≤ r − s

(7.30)

eine Halbordnung ≤ in X × R definiert.

Beweis: In der Tat, die Reflexivität ist sofort ersichtlich, die Transitivität schließt man aus (x, r) ≤ (y, s), (y, s) ≤ (z,t) durch Anwendung der Dreiecksungleichung für die Metrik d, und die Antisymmetrie ergibt sich, wenn man beachtet, dass aus (x, r) ≤ (y, s) und (y, s) ≤ (x, r) die Ungleichungen r − s ≤ −λ d(x, y) ≤ λ d(x, y) ≤ r − s folgen. Wählt man für X spezieller wieder einen reellen Banach-Raum mit der Norm ., so erhält man für diese Halbordnung (7.30) eine eindrucksvolle geometrische Darstellung, denn (7.30) hat jetzt die Gestalt (7.31) (x, r) ≤ (y, s) ⇐⇒ λ x − y ≤ r − s,

192


und da X × R ein linearer Raum ist, folgt (0, 0) ≤ (y − x, s − r) falls λ x − y ≤ r − s.

(7.32)

Setzen wir (x, r) = (0, 0), so haben wir als Definition der Halbordnung ≤ (0, 0) ≤ (y, s) falls λ y ≤ −s

oder gleichwertig

(y, s) ≥ (0, 0) falls λ y ≤ −s.

(7.33)

Die Menge Kλ := {(y, s) ∈ X × R | λ x ≤ −s} ist ein konvexer Kegel im Banach-Raum X × R. Ein Punkt in diesem Raum ist größer gleich dem Nullpunkt (0, 0), wenn er im Kegel Kλ liegt. Im Vergleich mit der Definition der Effizienzbegriffe (Pareto-Maximum, Pareto-Minimum) (vgl. (10.5), (10.6)) wird also in epi f mit dem Ekeland’schen Variationsprinzip ein Pareto-maximaler Punkt bezüglich der durch K erzeugten Halbordnung erzeugt. Dies wird in den folgenden Figuren dargestellt. Auch im allgemeineren Fall des metrischen Raumes lässt sich diese Interpretation mit der Pareto-Maximalität halten, die geometrische Deutung mit den Kegeln geht allerdings (im Allgemeinen) verloren. Bemerkung 7.1 Kλ ist ein konvexer Kegel: Kλ ist ein Kegel, weil mit (y, s) ∈ Kλ und α ≥ 0 auch gilt (α y, α s) ∈ Kλ , denn aus λ y ≤ −s folgt λ α y ≤ −α s. Der Kegel Kλ ist konvex, weil mit (x, r), (y, s) ∈ Kλ wegen der Dreiecksungleichung auch (x, r) + (y, s) ∈ Kλ ist. Bemerkung 7.2 Kλ kann als Hypograph der Abbildung −λ · : X → R angesehen werden: Kλ = hypo{−λ · } := {(y, s) ∈ X × R | s ≤ −λ y}.

(7.34)

6 -

@

@

@y = −λ x @ Kλ @ @ @ @

6

6

-

HH H

H HH

Kλ

HH H

λ > 0 klein =⇒ Kλ ist „flacher“

-

A

A

A

A K A λ

A

A

A A

λ > 0 groß =⇒ Kλ ist „spitzer“


193

6

(x0 , r0 ) ∈ A = epi f r @ @ @ @ r (x, r) ∈ A = epi f @ @ @ @ @

Kλ +(x0 ,r0 )

Kλ +(x,r)

-

Abbildung 7.1: Variationsprinzip von Ekeland Bemerkung 7.3 / denn es ist zum Beispiel (0, −1) ∈ int Kλ . In obiger Figur ist int Kλ = 0,

In Abbildung 7.1 sieht man (für den Fall, dass X × R ein reeller Banach-Raum ist) einerseits die Aussage des Ekeland’schen Variationsprinzips, wobei die Iteration mit (x0 , r0 ) ∈ A = epi f begonnen wurde und (x, r) ∈ A = epi f erhalten wurde. Andererseits erkennt man, dass im an (x, r) ∈ A = epi f angelegten Kegel keine weiteren Punkte von epi f liegen. Das ist die oben erwähnte (Pareto-)Maximalität bezüglich des Kegels Kλ . Man sieht so, dass mit dem Ekeland’schen Prinzip im Produktraum X × R ein Maximalpunkttheorem bewiesen wurde. Unter einem solchen Theorem versteht man eine Aussage der folgenden Art: Jeder Punkt einer abgeschlossenen und (in Richtungen der Öffnung des gegebenen Kegels K ) beschränkten Menge A des ( mit K halbgeordneten) Raumes X wird durch einen Maximalpunkt dieser Menge dominiert. Es folgt ein Beispiel eines Maximalpunkttheorems in einem halbgeordneten Banach-Raum X. Beispiel 7.1 (Beispiel eines Maximalpunkttheorems) Es sei C ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge eines reellen Banach-Raumes X und x∗ ∈ X∗ ein lineares stetiges Funktional über X mit (7.35) sup x∗ (x) < +∞. x∈C

Der Raum X sei halbgeordnet durch den Kegel K(x∗ , ε ) := {x ∈ X |

√

ε x ≤ x∗ (x)},

(7.36)

194


wobei ε > 0. Dann gibt es zu jedem Element z ∈ C ein Element x ∈ C mit (i) (ii)

x ∈ C ∩ z + K(x∗ , ε ) (Dominanzeigenschaft) und

(7.37)

{x} = C ∩ x + K(x∗ , ε ) (Maximaleigenschaft).

(7.38)

Beweis: Der Beweis soll mit dem Ekeland’schen Prinzip geführt werden, also sucht man nach einer geeigneten nach unten beschränkten und unterhalbstetigen Funktion f über einer abgeschlossenen Menge des Banach-Raumes X. Wir gehen von einem festen Element z ∈ C aus und betrachten die Menge √ Kz := {y ∈ C| ε z − y − x∗ (y) ≤ −x∗ (z)}. Sie ist nichtleer (denn z ∈ Kz ) und abgeschlossen, da x∗ und die Norm stetige Funktionen sind. Wir setzen f := −x∗ . Dann ist f unterhalbstetig und nach unten beschränkt über Kz weil sup x∗ (x) < +∞. Damit sind die Voraussetzungen √ des Ekeland’schen Variationsprinzips erfüllt. Die Frage ist, welchen Wert man λ erteilt. Wir wählen λ = ε . Somit existiert ein Element x ∈ Kz , sodass für alle y ∈ Kz \ {x} gilt: √ (7.39) f (y) + ε y − x > f (x). Wir werten dieses Resultat für Elemente y ∈ C aus, denn √ x soll als Maximalpunkt von C√bezüglich des Kegels K(x∗ , ε ) nachgewiesen werden. Für y ∈ C \Kz gilt ε z−y−x∗ (y) > −x∗ (z), also ε z−y+ f (y) > f (z). Für die linke Seite von (7.39) ergibt sich daher für y ∈ C \ Kz unter Verwendung der Dreiecksungleichung und weil x und z in Kz liegen die Abschätzung √ √ √ √ (7.40) f (y) + ε y − x ≥ f (y) + ε y − z − ε z − x > f (z) − ε z − x ≥ f (x), also insgesamt

√ f (y) + ε y − x > f (x) ∀y ∈ C \ {x}.

Der Punkt x ∈ Kz ist daher exakte Lösung der gestörten Optimierungsaufgabe √ f (y) + ε y − x → min . y∈C

(7.41)

(7.42)

Jetzt folgen die beiden Behauptungen. √ Zu (7.37): x ∈ Kz bedeutet einerseits x ∈ C, andererseits ε x − z ≤ x∗ (x − z) und daher x ∈ (z + K(x∗ , ε )), also x ∈ C ∩ (z + K(x∗ , ε )). Das ist die Dominanzeigenschaft: Zu jedem Element z ∈ C gibt es ein Element x ∈ C, das z ∈ C (bez. der durch den Kegel K(x∗ , ε ) gegebenen Halbordnung) dominiert. Zu (7.38): Aus (7.41) folgt ∀y ∈ C \ {x} die strenge Ungleichung y − x > x∗ (y − x), wegen der Defini/ K(x∗ , ε )) bzw. y ∈ / x + K(x∗ , ε )). Für x hingegen gilt tion von K(x∗ , ε )) folgt also ∀y ∈ C \ {x} ,dass y − x ∈ ∗ ∗ x ∈ C da x ∈ Kz und x ∈ (x + K(x , ε )) da 0 ∈ K(x , ε ). Das ist die Maximaleigenschaft: x ist ein maximales Element bezüglich der Menge C und des Kegels K(x∗ , ε ), denn {x} = C ∩ (x + K(x∗ , ε )).

Theorie und Anwendungen von Maximalpunkttheoremen sind weit ausgebaut. Wir gehen dazu kurz auf den Satz von Brezis und Browder ein, da sich beim heutigen Forschungsstand die meisten Maximalpunkttheoreme und zu ihnen äquivalente Aussagen aus ihm herleiten lassen und zeigen dann unten bei den Anwendungen, dass das Ekeland’sche Prinzip einem Fixpunkttheorem äquivalent ist. Satz 7.3 (Satz von Brezis und Browder) Es seien X eine halbgeordnete Menge und Φ : X → R eine Funktion, die folgende Bedingungen erfüllt: x ≤ y zieht nach sich Φ(x) ≤ Φ(y),

(7.43)

7.2 Folgerungen aus dem Variationsprinzip

195

für jede wachsende Folge {xn } in X mit Φ(xn ) ≤ C < ∞ (n = 1, 2, · · · ) gibt es ein Element y ∈ X mit xn ≤ y (n = 1, 2, · · · ), für jedes x ∈ X gibt es ein u ∈ X mit x ≤ u und Φ(x) ≤ Φ(u).

(7.44) (7.45)

Dann ist für jedes x ∈ X die Menge Φ(S(x)) unbeschränkt, wobei S(x) := {y ∈ X | y ≥ x}.

Bei genauerem Hinschauen bemerkt man, dass dieser Satz keine Normen, Metriken oder Topologien benutzt. Wir übergehen seinen (Induktions-)Beweis, wollen aber zeigen, wie ein Maximalpunkttheorem sehr rasch folgt. Es werden die Bezeichnungen von Satz 7.3 benutzt. Lemma 7.3 Sei Φ : X → R nach oben beschränkt und erfülle (7.43) sowie: für jede wachsende Folge {xn } in X gibt es ein Element y ∈ X mit xn ≤ y für alle n.

(7.46)

Dann gibt es zu jedem a ∈ X ein a ∈ Xmit a ≤ a (das ist die Dominanz) und φ (S(a)) = φ (a).

Beweis: Man wendet Satz 7.3 auf X = S(a) an. Die Bedingungen (7.43) und (7.44) sind erfüllt, aber die Schlussfolgerung des Satzes nicht, also muss (7.45) für ein a ∈ S(a)) verletzt sein, d.i. die Behauptung (wie man sieht, wenn man die Negation von (7.45) notiert und (7.43) beachtet). Man bekommt mit demselben Schluss die Maximalität von a, das heißt S(a) = {a}, wenn (7.43) verschärft wird zu aus x ≤ y und x = y folgt Φ(x) ≤ Φ(y).

(7.47)

7.2 Folgerungen aus dem Variationsprinzip Fixpunktsätze haben in der Theorie verallgemeinerter Spiele (=Ökonomien) grundlegende Bedeutung. Es folgt der zum Variationsprinzip äquivalente Fixpunktsatz von Kirk-Caristi. Bezüglich weiterer äquivalenter Sätze muss auf die Literatur verwiesen werden, vgl. u.a. [181], [62], [37], [88], [95], [77]. Lemma 7.4 Es sei X ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik d. Ist ψ : X → R eine unterhalbstetige und nach unten beschränkte Funktion und ist T : X → X eine Abbildung, die die Ungleichung d(x, T (x)) ≤ ψ (x) − ψ (T (x)) (x ∈ X)

(7.48)

erfüllt, so hat T einen Fixpunkt.

Beweis: Wegen der Voraussetzungen kann (7.5) (mit λ = 1) angewandt werden, daher existiert xε ∈ X mit d(x, xε ) + ψ (x) > ψ (xε ) falls x = xε , x ∈ X. (7.49)

196


Es folgt die behauptete Fixpunkteigenschaft von T : T (xε ) = xε , denn T (xε ) = xε würde wegen (7.49) d(T (xε ), xε ) > ψ (xε ) − ψ (T (xε )) nach sich ziehen, was (7.48) widerspricht. Umgekehrt ist (7.5) (und damit das Ekeland’sche Prinzip) eine Folgerung aus dem Lemma. Denn wäre (7.5) nicht erfüllt, so würde für jedes x ∈ X ein y ∈ X, y = x, existieren mit (wir setzen λ = 1, wir hätten aber auch λ d als Metrik in X verwenden können) ψ (y) − ψ (x) ≤ −d(x, y). (7.50) Das ist ein Widerspruch, denn die genannte Zuordnung x → y = x definiert eine Abbildung T : X → X mit T (x) = x und (7.50) schreibt sich als

ψ (T (x)) − ψ (x) ≤ −d(x, T (x)) (x ∈ X). Das heißt, wir haben eine Abbildung, die die Bedingung (7.48) erfüllt, aber keine Fixpunkte hat. Die folgenden Aussagen sind im Buch von de Figueiredo [37] nachgewiesen. Beziehung zum Banach’schen Fixpunktsatz. Die Existenz eines Fixpunktes für eine (mit 0 < α < 1) kontraktive Abbildung F eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich ist eine Konsequenz von Lemma 7.4. Denn mit ψ (x) := (1 − α )−1 d(x, F(x)), x ∈ X, ist (7.4) erfüllt (aus d(F(x), d(F(y)) < α d(x, y) folgt d(F(x), F(F(x))) < α d(x, F(x))), und da ψ nichtnegativ ist, ist ψ auch nach unten beschränkt. Beziehung zu Lösbarkeit von Gleichungen. Lemma 7.1 gestattet folgende Deutung. Ist T : X → X∗ ein Gradientenoperator, d.h., es existiert ein Funktional f : X → R mit T = f , so heißt f ein Potential von T . Wenn f die Bedingungen von Lemma 7.1 erfüllt so besagt dieser Satz, dass die Gleichung T x = x∗ ∗ ∗ eine Lösung √ x hat für ein gewisses Element x in einer Kugel um den Nullpunkt von X mit Radius ε . Und dies gilt für jedes ε > 0. Man kann zusätzliche Aussagen über die „rechten Seiten“ x∗ der zu lösenden Gleichung machen, wenn man weitere Bedingungen an f stellt: Gibt es nämlich Konstanten k > 0 und C, sodass gilt

f (x) ≥ kx −C,

(7.51)

so hat die Gleichung T x = x∗ Lösungen für eine in kB∗ dicht liegende Menge, wobei B∗ die Einheitskugel in X∗ ist. In der Tat, sind ε > 0 und x∗ ∈ kB∗ gegeben, so ist zu zeigen, dass ein xε existiert mit T (xε ) − x∗ ≤ ε . Dazu muss man nur Lemma 7.1 auf die Funktion g(x) = f (x) − x∗ (x) anwenden (die Voraussetzungen sind insbesondere wegen (7.51) erfüllt) und man erhält ein Element xε mit g (xε ) ≤ ε . Wegen g (x) = f (x) − x∗ ergibt sich das zu beweisende Resultat. Beziehungen zu generischen Aussagen. Aus dem Ekeland’schen Variationsprinzip lassen sich generische Aussagen ableiten (vgl. u.a. Georgiev [62], Phelps [130]). Sie sind von folgendem Typ: Ist X ein reeller Banach-Raum mit Fréchet-differenzierbarer Norm, dann ist jede stetige

7.2 Folgerungen aus dem Variationsprinzip

197

konvexe Funktion f : X → R auf einer dichten Gδ -Menge Fréchet-differenzierbar oder kürzer (vgl. Definition 4.7) generisch Fréchet-differenzierbar. Derartige Eigenschaften spielen auch bei der Definition von Asplund-Räumen (vgl. Abschnitt 10.3.5.5) eine wichtige Rolle. Es gilt auch: Skalare Optimierungsprobleme sind generisch eindeutig lösbar (siehe Georgiev [62] einschließlich der darin zitierten Literatur). Beziehungen zu kritischen Punkten. Lemma 7.1 kann überraschenderweise auch direkt zu kritischen Punkten führen. Dann muss man eine Bedingung an f stellen, die es gestattet, aus den Aussagen von Lemma 7.1 von Minimalfolgen auf konvergente Folgen zu schließen. Solch eine Bedingung ist die Palais-Smale-Bedingung: Es sei X ein reeller Banach-Raum und f : X → R ein C1 -Funktional. f erfüllt die Palais-Smale-Bedingung, wenn jede Folge {yn } in X, die | f (yn )| ≤ konst und f (yn ) → 0 ∈ X∗

(7.52)

erfüllt, eine norm-konvergente Teilfolge hat. Es gilt der folgende Satz: Satz 7.4 Ist f : X → R ein C1 -Funktional, welches die Palais-Smale-Bedingung erfüllt und nach unten beschränkt ist. Dann wird das Infimum von f an einem Punkt x0 ∈ X angenommen und x0 ist ein kritischer Punkt von f , d.h. f (x0 ) = 0.

Beweis: Die Voraussetzungen von Lemma 7.1 sind erfüllt. Also können wir die Minimalfolge {xn } in (7.28) betrachten. Sie erfüllt f (xn ) → inf f und f (xn ) → 0 (∈ X∗ ).

(7.53)

Sie erfüllt somit die Palais-Smale-Bedingung. Es existiert daher eine konvergente Teilfolge {xn j } → x0 ∈ X sodass (7.53) mit dieser Teilfolge gilt. Da f und f stetig sind folgen f (x0 ) = inf f und f (x0 ) = 0 (∈ X∗ ).

(7.54)

Kritische Punkte x0 und kritische Werte f (x0 ) werden in vielfältiger Weise bei Fragestellungen der Mathematik und Ökonomie benutzt. Einblicke (in Richtung Sard-Morse-Theorie) erhält man z.B. beim Studium der Monographie von Villanacci et al [170], zu Theoremen vom MinMax-Typ (Mountain Pass und Sattelpunkttheoreme) z.B. bei de Figueiredo [37]. Bemerkung 7.4 Das (zweite) Resultat von (7.54) ist auch ohne Gültigkeit der Stetigkeit von f richtig, denn für y ∈ X, y = 1, t > 0 und unter Benutzung der Minimaleigenschaft von x0 ergibt sich aus der Fréchet-Differenzierbarkeit von f f (x0 ) ≤ f (x0 + ty) = f (x0 ) + t f (x0 )(y) + o(t) und hieraus f (x0 )∗ = sup f (x0 )(y) ≤ y=1

und nun liefert t → 0 die Aussage

f (x

0 ) = 0.

o(t) , t

198


In den nächsten Abschnitten werden weitere Anwendungen des Ekeland’schen Prinzips gegeben. Es werden Näherungslösungen beim Auftreten großer linearer Optimierungsprobleme, das Pontryagin’sche Maximumprinzip bei Problemen der optimalen Steuerung sowie Dichtheitsaussagen für Lösungen von mehrkriteriellen Optimierungsproblemen (sogenannte ABB-Theoreme) betrachtet. Zu Fragen der Sicherung der Existenz von Gleichgewichtspunkten in Ökonomien mittels des Ekeland’schen Prinzips vgl. [22].

7.3 Notwendige Bedingungen für Näherungslösungen von Approximationsproblemen Bei ökonomischen Aufgabenstellungen hat man es zum Teil mit großen linearen Optimierungsaufgaben zu tun, wobei neben Ungleichungsnebenbedingungen (dazu siehe unten, Aufgabe (P1 )) Gleichungsnebenbedingungen Ai (x) − ai = 0, i = 1, . . . , p, auftreten und mitunter nicht bekannt ist, ob (gemeinsame) Lösungen vorhanden sind. Dann ist es sinnvoll, das Optimierungsproblem durch eine Aufgabenstellung in der folgenden (allgemeinen) Form zu modellieren (die Normen der linken Seiten der Gleichungsnebenbedingungen werden mit in der zu minimierenden Zielfunktion erfasst): p

(P)

β

f (x) = c(x) + ∑ αi Ai (x) − ai i i → inf , x∈X

i=1

dabei seien X,Ui reelle Banach-Räume, x ∈ X, c ∈ X∗ , ai ∈ Ui , αi > 0, βi ≥ 1 (i = 1, . . . , p) und Ai ∈ L(X,Ui ), wobei L(X,Ui ) der Raum der linearen stetigen Operatoren ist, die X in Ui abbilden. Wir setzen infx∈X f (x) > −∞ voraus, d.h. f ist nach unten beschränkt. Das ist zum Beispiel für (P) mit c = 0 erfüllt. Setzt man im Spezialfall c = 0, Ai (x) = x, βi = 2, X = Ui , i = 1, · · · , p, so ist f (x) die gewichtete Summe von Abweichungsquadraten. Wir suchen nach suboptimalen Lösungen, also Näherungslösungen, dieser Aufgabe und geben dafür im folgenden Satz notwendige Optimalitätsbedingungen unter Nutzung des Variationsprinzips an. Näherungslösungen von Optimierungsproblemen existieren unter schwachen Voraussetzungen (Beschränktheit von unten), insbesondere ohne Kompaktheitsvoraussetzungen zu stellen. Satz 7.5 Wir betrachten (P) mit den oben genannten Voraussetzungen. Für ε > 0, x0 ∈ X mit f (x0 ) ≤ infx∈X f (x) + ε gibt es ein Element xε ∈ X und für alle i = 1, . . . , p lineare stetige Abbildungen Yiε ∈ L(Ui , R) mit β

Yiε (Ai (xε ) − ai ) = Ai (xε ) − ai i i , Yiε i∗ ≤ 1 falls βi = 1 und Ai (xε ) = ai , β −1

Yiε i∗ = Ai (xε ) − ai i i und es gelten

anderenfalls,

7.3 Notwendige Bedingungen für Näherungslösungen von Approximationsproblemen (i) (ii) (iii)

199

√ f (xε ) ≤ f (x0 ) − ε x0 − xε , √ x0 − xε ≤ ε , p √ c + ∑ αi βi A∗i Yiε ∗ ≤ ε . i=1

Beweis: Es sei f (x0 ) ≤ infx∈X f (x) + ε . Unter√den gegebenen Voraussetzungen kann das Ekeland’sche Variationsprinzip (Satz 7.2 mit λ = ε ) angewendet werden, d.h. es existiert ein Element xε ∈ X mit √ f (xε ) ≤ f (x0 ) − ε x0 − xε , (i ) √ (ii ) x0 − xε ≤ ε , √ (iii ) f (xε ) < f (x) + ε x − xε ∀x = xε . Mit (i ) und (i ) sind (i)√und (ii) bewiesen und (iii ) bedeutet, dass xε eine Minimallösung der Zielfunktion x → f (x) + ε x − xε auf X ist. Da diese Zielfunktion konvex und subdifferenzierbar ist, wenden wir die notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung (Satz 5.14) für xε an und erhalten, wenn B(0; 1) = {x ∈ X | x ≤ 1} die abgeschlossene Einheitskugel in X ist, √ 0 ∈ ∂ ( f (xε )) + ε B(0; 1). (7.55) Dies bedeutet, dass ein stetiges lineares Funktional xε∗ : X → R existiert mit den Eigenschaften √ xε∗ ∈ ∂ ( f (xε )) und xε∗ ∗ ≤ ε . (7.56) Anwendung der Regeln für Summen von Subdifferentialen (vgl. Satz 5.13) ergibt: p p β β ∂ ( f (xε )) = ∂ c(·) + ∑ αi Ai (·) − ai i i (xε ) = c + ∑ αi ∂ (Ai (xε ) − ai i i ). i=1

(7.57)

i=1

Nach Satz 5.15 ergibt sich für das Subdifferential des Normanteils {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x) = x, x∗ ∗ = 1} falls x = 0 falls β = 1: ∂ (x) = {x∗ ∈ X∗ | x∗ ∗ ≤ 1} falls x = 0 falls β > 1:

∂

1 β β ·

(x) = {x∗ ∈ X∗ | x∗ (x) = xβ , x∗ ∗ = xβ −1 }

und unter Verwendung von (7.57): p

β

∂ ( f (xε )) = c + ∑ αi A∗i ∂ ui i |u=Ai (xε )−ai i=1 p

∂ ( f (xε )) =

9 β c + ∑ αi βi A∗i Yiε | Yiε ∈ L(Ui , R), Yiε (Ai (xε ) − ai ) = Ai (xε ) − ai i i , i=1

Yiε i∗ ≤ 1

falls βi = 1, Ai (xε ) = ai ,

β −1 Yiε i∗ = Ai (xε ) − ai i i p

Zusammen folgt daher (iii): c + ∑ αi βi A∗i Yiε ∗ ≤ i=1

√

ε.

:

(7.58)

sonst.

200


Beispiel 7.2 Setzt man in (iii) ε = 0, so erkennt man die wohlbekannten notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für Optimallösungen von (P), die Kolmogorov-Bedingungen (jedoch gelten die hier hergeleiteten Bedingungen nur für ε > 0!): Aus (iii) mit ε = 0 folgt natürlich p

c + ∑ αi βi A∗i Yiε ∗

=

0

c + ∑ αi βi A∗i Yiε

=

0

i=1 p

und somit

i=1

für ein

Yε = (Y1ε ,Y2ε , . . . ,Ypε ), Yiε ∈ L(Ui , R), Ui∗

β

Yiε (Ai (xε ) − ai ) = Ai (xε ) − ai i i , wobei für i = 1, ..., p gilt

Yiε i∗

≤1 β −1 = Ai (xε ) − ai i i

falls βi = 1 und Ai (xε ) = ai , sonst.

Noch spezieller ergibt sich das Standortproblem: Gesucht ist im einfachsten Fall ein Standort (etwa ein Auslieferungslager), sodass die (eventuell gewichtete) Summe der Abstände zu p gegebenen (bekannten) Standorten (etwa von Kunden) minimal ist. Als notwendige Optimalitätsbedingungen für eine Lösung xε ergeben sich dann folgende Resultate: Wir setzen c = 0 und βi = 1, Ai = I für alle i = 1, . . . , p und erhalten: p

∑ αiYiε ∗ = 0 ⇐⇒ i=1

p

∑ αiYiε = 0,

(7.59)

i=1

das bedeutet 0 ∈ ∂ f (xε ) (vgl. Satz 5.14), und Yiε (xε − ai ) = xε − ai i ,

wobei Yiε i∗

≤ 1 falls xε = ai , = 1 sonst.

Wir möchten abschließend Nebenbedingungen zu Problem (P) hinzunehmen, d.h. wir betrachten p

(P1 )

i=1

wobei D =

' j=1,...,m

β

f (x) = c(x) + ∑ αi Ai (x) − ai i i → inf

x∈D

D j und D j ⊆ X ( j = 1, . . . , m) abgeschlossene und konvexe Mengen sind und

int D = 0/ vorausgesetzt wird. Auch hier setzen wir infx∈X f (x) > −∞ voraus, d.h. f ist nach unten beschränkt. Das ist zum Beispiel erfüllt, wenn eine der Mengen D j ( j = 1, ..., m) beschränkt ist. Die Idee, um ähnlich wie bei (P) zu notwendigen Optimalitätsbedingungen zu kommen ist, die Menge D durch ihre Indikatorfunktion (vgl. Beispiel 3.24) zu berücksichtigen und diese einfach an die Zielfunktion in (P) additiv anzuhängen. Dann hat man einerseits statt (P1 ) ein freies

7.4 Nutzung des Variationsprinzips zur Lösung eines Standortproblems

201

Problem (also ein Problem ohne Restriktionen), andererseits ist die Zielfunktion nicht mehr überall endlich (sie ist +∞ für x ∈ / D). Solche Funktionen sind aber für den Subdifferentialkalkül (vgl. Abschnitt 5.4) ausdrücklich zugelassen. Wir erinnern an Definition und Eigenschaften der Indikatorfunktion (bez. D j ):

χD j (x) =

0 falls x ∈ D j +∞ sonst.

Da D j konvex und abgeschlossen ist, ist die Indikatorfunktion konvex und (wichtig für das Variationsprinzip) unterhalbstetig. Das Subdifferential der Indikatorfunktion bez. D j am Punkt x0 ∈ X stimmt mit dem Normalenkegel bez. D j am Punkt x0 ∈ X überein (vgl. Beispiel 3.24):

∂ χD j (x0 ) = ND j (x0 ) =

{x∗ ∈ X∗ | x∗ (x − x0 ) ≤ 0 für alle x ∈ D j } 0/

falls x0 ∈ D j , sonst.

Nun können wir wie oben bei (P) das Variationsprinzip (Satz 7.2 mit λ = differentialkalkül (vgl. Abschnitt 5.4) benutzen und erhalten

√ ε ) und den Sub-

Satz 7.6 Es seien ε > 0 und (P1 ) wie oben gegeben. Für x0 ∈ D mit f (x0 ) ≤ infx∈D f (x) + ε gibt es einen Punkt xε ∈ D mit den folgenden Eigenschaften: √ (i) f (xε ) ≤ f (x0 ) − ε x0 − xε , √ (ii) xε − x0 ≤ ε , p m √ (iii) c + ∑ αi βi A∗i Yiε + ∑ r j ∗ ≤ ε i=1

j=1

für

Yε = (Y1ε , . . . ,Ypε ),

Yiε ∈ L(Ui , R) (i = 1, . . . , p),

mit

Yiε (Ai (xε ) − ai ) = Ai (xε ) − ai i i , ≤1 falls βi = 1 und Ai (xε ) = ai , Yiε i∗ βi −1 i = Ai (xε ) − a i sonst,

β

r j ∈ ND j (xε ) ( j = 1, . . . , m).

Beweis: Der Beweis verläuft wie der von Satz 7.5, nur ist die Zielfunktion um die Summanden χD j (x), j = 1, ..., m, ergänzt.

7.4 Nutzung des Variationsprinzips zur Lösung eines Standortproblems Die in den Sätzen 7.5, (iii) und 7.6, (iii) angegebenen notwendigen Bedingungen für Näherungslösungen können als Abbruchkriterien bei primal-dualen Verfahren, wie zum Beispiel beim

202


Proximal-Point-Algorithmus (vgl. Abschnitt 5.9), verwendet werden. Der in Abschnitt 5.9 beschriebene Proximal-Point-Algorithmus kann bei folgendem Standortproblem in der Landschaftsplanung angewendet werden: Eine Region mit neu entstandenen Seen in der Bergbaufolgelandschaft im Südraum Halle/Leipzig soll für den Tourismus erschlossen werden. Um diese touristische Nutzung zu unterstützen, ist die Errichtung eines touristischen Informationszentrums geplant und ein geeigneter Standort dafür zu finden. Dabei soll das Informationszentrum gut von umliegenden Orten, Verkehrsknotenpunkten und Sehenswürdigkeiten (lokalisiert in ai ∈ R2 , i = 1, ..., M) aus erreichbar sein. Eine geeignete Zielfunktion ist zum Beispiel die Weber-Zielfunktion: Unter Verwendung von Gewichten λi ≥ 0 und unterschiedlichen Abstandsfunktionen · i (i = 1, ..., M) ist ein Standort x für ein touristisches Informationszentrum so zu bestimmen, dass die gewichtete Summe (mit Gewichten λi ≥ 0 für alle i = 1, ..., M) von Abständen zwischen M gegebenen Standorten ai (i = 1, . . . , M) und x minimal wird:

(PM,λ )

M

fλ (x) := ∑ λi x − ai i −→ min , i=1

x∈R2

wobei || · ||i für jedes i ∈ {1, ..., M} eine geeignete Abstandsfunktion (Norm) bezeichnet. Ebenfalls möglich sind mehrkriterielle Modelle (vgl. Abschnitt 10.2), bei denen mehrere Zielfunktionen gleichberechtigt nebeneinander stehen. Bei der Modellbildung und bei der Visualisierung der Ergebnisse sind Geographische Informationssysteme sehr nützlich. Eine Kombination von mathematischen Methoden zur Standortbestimmung mit Geographischen Informationssystemen wird in Abbildung 7.2 dargestellt, wo eine Näherungslösung des oben genannten Standortproblems (PM,λ ), die man mittels Proximal-Point-Algorithmus erhält, durch einen Punkt dargestellt ist. In der Abbildung 7.2 hat der Planer die digitalen Orthophotos als Hintergrundinformationen aktiviert und darüber die thematischen Ebenen der Standortoptimierung eingeblendet. Auf der Karte sind die Eingangsgrößen als Punkte erkennbar. Der etwas größere, dunkel markierte Punkt ist die Lösung eines Problems (PM,λ ) mit der Summen-Norm als Abstandsfunktion. Dieser Punkt befindet sich in der Lösungsmenge des mehrkriteriellen Standortproblems mit der SummenNorm als Abstandsfunktion, die durch einen geometrischen Algorithmus (vgl. [74]), der auf einer Auswertung der Bedingung (7.59) (vgl. auch Satz 5.14) beruht, bestimmt wurde. Zur Lösungsmenge des mehrkriteriellen Standortproblems mit der Summen-Norm als Abstandsfunktion gehören die horizontal bzw. vertikal ausgerichteten Flächen, die Punkte der Eingangsgrößen sowie die Linien zwischen den Punkten der Eingangsgrößen und den Flächen der Lösungsmenge. Analog ist die Lösungsmenge des mehrkriteriellen Standortproblems mit der Maximum-Norm als Abstandsfunktion sichtbar. Die Flächen dieser Lösungsmenge sind diagonal ausgerichtet. Da alle Lösungsflächen anteilsweise transparent dargestellt werden, kann der Planer die Schnittmenge der Lösungsmengen ersehen. Diese Betrachtung ermöglicht die Einschränkung der zu betrachtenden Lösungsalternativen und ist in vielen Planungsprozessen sinnvoll.

7.5 Ein ε -Maximumprinzip und dessen ökonomische Interpretation

203

Abbildung 7.2: Visualisierung des Optimierungsergebnisses

7.5 Ein ε -Maximumprinzip und dessen ökonomische Interpretation Bei der optimalen Steuerung ökonomischer Prozesse wird gern das Pontryagin’sche Maximumprinzip ausgenutzt, weil aus der Analyse der von diesem Prinzip gelieferten notwendigen (in einigen Fällen auch hinreichenden) Bedingungen oft Aussagen zur Struktur der gesuchten Steuerung oder Ansätze zu ihrer numerischen Lösung möglich sind. Aus der reichlich vorhandenen Literatur sei hier das mit vielen Beispielen versehene Buch von Feichtinger und Hartl [56] herausgegriffen. Die Existenz optimaler Steuerungen ist aber oft nicht gegeben oder nur unter (zu) harten Bedingungen zu beweisen, während suboptimale Steuerungen allgemein unter schwachen Voraussetzungen existieren. Daher ist es wünschenswert, notwendige Optimalitätsbedingungen für solche Näherungslösungen zu suchen. Es zeigt sich, dass das Ekeland’sche Variationsprinzip erfolgreich zu diesem Zweck eingesetzt werden kann und wir erhalten Bedingungen, die zum oben erwähnten Pontryagin’sche Prinzip verwandt sind und die eine entsprechende ökonomische Interpretation gestatten. Wir betrachten folgendes Problem der optimalen Steuerung: Gesucht ist im Zeitintervall [0, T ] eine messbare Steuerung u, ¯ sodass die zu u¯ gehörende Trajektorie x¯ die vorgegebene Zielfunktion f am Endzeitpunkt T gegenüber allen anderen zulässigen Trajektorien x minimiert: f (x(T )) ≥ f (x(T ¯ ))

(7.60)

204


Voraussetzungen an die Daten der Aufgabe: (A1): die Funktion f : Rn → R sei differenzierbar, (A2): der Zustandsvektor x genüge dem System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen dx (t) = ϕ (t, x(t), u(t)), x(0) = x0 ∈ Rn , (7.61) dt (A3): für die Steuerung u gelte u(t) ∈ U fast überall auf [0, T ] mit T > 0, dabei ist U ⊆ R eine gegebene kompakte Menge und die Steuerungen u sind aus dem Raum der über [0, T ] L-messbaren wesentlich beschränkten Funktionen. Bemerkung 7.5 Man muss die eindeutige Lösbarkeit des Differentialgleichungssystems über dem gesamten Teilintervall sichern. Das wird durch folgende Bedingungen erreicht: (C1) ϕ : [0, T ] × Rn ×U −→ Rn ist stetig und U ist kompakt, ∂ϕ (C2) ∂ x j , i=1,. . . ,n, j=1,...n, sind stetig auf [0, T ] × Rn ×U, i

(C3) x|ϕ (t, x, u) ≤ c(1 + x2 ) für ein c > 0. Es sei u : [0, T ] → U eine messbare Steuerung. Bedingung (C2) und die Stetigkeit von ϕ sichern, dass eine eindeutige Lösung x des Differentialgleichungssystems auf dem Intervall [0, τ ] für ein hinreichend kleines τ > 0 existiert. Mittels der Gronwall’schen Ungleichung ergibt (C3) x(t)2 ≤ (x0 2 + 2cT )e2cT und sichert daher die Existenz der Lösung auf dem gesamten Zeitintervall [0, T ].

Um das Ekeland’sche Prinzip anzuwenden, muss man das Steuerungsziel (7.60) bezüglich der Steuervariablen u und über einem geeigneten vollständigen metrischen Raum (V, d) betrachten. Das gelingt so: Der Raum (V, d) der Steuerungen wird definiert als die Menge aller messbaren Funktionen u : [0, T ] → U (vgl. Definitionen 10.57,10.61 und 10.152) mit der Metrik d(u1 , u2 ) = mes{t ∈ [0, T ]|u1 (t) = u2 (t)}. Ekeland ([50]) bewies, dass (V, d) ein vollständiger metrischer Raum ist und dass das Steuerungsziel F : u → f (x(T )), wobei x(·) die von u abhängige Lösung von (7.61) ist, eine über (V, d) stetige nach unten beschränkte Funktion ist. Jetzt kann man das Ekeland’sche Prinzip anwenden. Es gilt daher (unter den gegebenen Voraussetzungen) Satz 7.7 Zu jedem ε > 0 gibt es ein Element vε ∈ V mit 1. F(vε ) − ε ≤ F(v) (v ∈ V ), 2. Fε (v) ≥ Fε (vε ) (v ∈ V ), wobei Fε (v) := F(v) + d(v, vε ).

vε ist einerseits subminimal bezüglich F, andererseits minimal bezüglich Fε . Letzteres nutzen wir aus, um ein Pontryagin’sches ε -Maximumprinzip für suboptimale Lösungen des gesamten Steuerproblems zu erhalten. Dies wird für ε > 0 bewiesen, setzt man aber probeweise ε = 0,

7.5 Ein ε -Maximumprinzip und dessen ökonomische Interpretation

205

so erhält man die Formulierung des bekannten Pontryagin’schen Maximumprinzips. Wir folgen im Beweis Ekeland [50]. In [66] wird der folgende Satz für mehrkriterielle Steuerprobleme und auch für mehrkriterielle stochastische Steuerprobleme bewiesen. Satz 7.8 (Pontryagin’sches ε -Maximumprinzip) Unter den Voraussetzungen (A1)-(A3) und (C1)-(C3) gibt es für das betrachtete optimale Steuerungsproblem zu jedem ε > 0 eine messbare Steuerung uε mit der entsprechenden zulässigen Trajektorie xε sodass gelten 1. f (x(T )) ≥ f (xε (T )) − ε für alle Lösungen x von (7.61), 2. ϕ (t, xε (t), u)|pε (t) ≥ ϕ (t, xε (t), uε (t))|pε (t) − ε für jedes u ∈ U und fast alle t ∈ [0, T ], dabei ist (die vektorielle Funktion) pε die Lösung des adjungierten Differentialgleichungssystems mit zugehörigen Endbedingungen: ⎫ ⎪ ∂ϕj d piε j n ⎬ (t) = − (t, x (t), u (t))p for i = 1, . . . , n; ∑ ε ε ε j=1 ∂ xi dt (7.62) ⎪ ⎭ pε (T ) = f (xε (T )) .

Beweis: In Satz 7.7 hatten wir bereits zu jedem ε > 0 ein Element vε ∈ V festgestellt, sodass gilt (i) F(vε ) − ε ≤ F(v) (v ∈ V ), (ii) Fε (v) ≥ Fε (vε ) (v ∈ V ), wobei Fε (v) := F(v) + d(v, vε ). Die zu vε gehörige Trajektorie xε erfüllt die Differentialgleichung dxε (t) = ϕ (t, xε (t), vε (t)) dt

(7.63)

für fast alle t ∈ [0, T ] und xε (0) = x0 . So ergibt (i) f (x(T )) ≥ f (xε (T )) − ε für alle Lösungen x von (7.61), d.h. Behauptung 1 ist bewiesen. Um Behauptung 2 zu beweisen sei t0 ∈ (0, T ) so gewählt, dass Gleichung (7.63) gilt und dass t0 ein Lebesgue’scher Punkt (vgl. Bemerkung 10.16) ist, ferner sei u0 ∈ U, und man definiert eine spezielle Steuerung vτ ∈ V für τ ≥ 0 durch

u0 | t ∈ [0, T ] ∩ (t0 − τ ,t0 ), vτ (t) := uε (t) | t ∈ / [0, T ] ∩ (t0 − τ ,t0 ). Für ein hinreichend kleines τ gilt dann d(uε , vτ ) = mes{t | vτ (t) = uε (t)} ≤ τ . Weiter gilt für die zu vτ gehörige zulässige Trajektorie xτ (vgl. Pallu de la Barrière [38]), d f (xτ (T )) dτ

τ =0

= ϕ (t0 , xε (t0 ), u0 ) − ϕ (t0 , xε (t0 ), uε (t0 ))|(pε (t0 ),

(7.64)

206


wobei pε = (pε1 , . . . , pm ε ) (7.62) befriedigt. Aus (ii) schließt man für v = vτ auf F(vτ ) + ε d(vτ , uε ) ≥ F(uε ) und somit f (xτ (T )) ≥ f (xε (T )) − ετ . Für hinreichend kleine τ > 0 folgt so lim

τ →+0

f (xτ (T )) − f (xε (T )) ≥ −ε , τ

d.h.

d f (xτ (T )) ≥ −ε . τ =0 dτ Zusammen mit (7.64) ergibt das für beliebiges u0 ∈ U ϕ (t, xε (t), u0 )|pε (t) ≥ ϕ (t, xε (t), uε (t))|pε (t) − ε

und somit ϕ (t, xε (t), u)|pε (t) ≥ ϕ (t, xε (t), uε (t))|pε (t) − ε für beliebiges u ∈ U und fast alle t ∈ [0, T ], oder minu∈U ϕ (t, xε (t), u)|pε (t) ≥ ϕ (t, xε (t), uε (t))|pε (t) − ε für fast alle t ∈ [0, T ].

Bemerkung 7.6 Setzen wir ε = 0, so besagt Satz 7.8: Wenn es eine zulässige messbare Steuerung uε gibt, die zusammen mit der entsprechenden zulässigen Trajektorie xε f (x(T )) ≥ f (xε (T )) für alle Lösungen x von (7.61) erfüllt, dann gilt ϕ (t, xε (t), u)|pε (t) ≥ ϕ (t, xε (t), uε (t))|pε (t) für jedes u ∈ U und fast alle t ∈ [0, T ], dabei ist pε (·) die Lösung des Differentialgleichungssystems (7.62). Das heißt, uε erfüllt das Pontryagin’sche Maximumprinzip. Aber Satz 7.8 gilt auch, wenn optimale Steuerungen nicht existieren.

Die Form der erhaltenen Resultate für ε > 0 gestattet eine eng an den Fall ε = 0 (vgl. [56]) angelehnte Interpretation, also, mit der näherungsweisen Minimierung der Hamilton-Funktion H(x, u, p,t) = ϕ |p bezüglich u ∈ U für fast jedes t ∈ [0, T ] und dem kanonischen Differentialgleichungssystem für die Zustandsvariablen xi , i = 1, ..., n (zusammen mit den Anfangsbedingungen) und den adjungierten Variablen p j , j = 1, ..., n (zusammen mit den Endbedingungen) stehen für die 2n+1 zu bestimmenden Funktionen x, p, u auch 2n+1 Bedingungen bereit, um im Zeitraum [0, T ] etwa über Kapitalbestände x(t) so mittels einer Steuerung (etwa Investition oder Verkaufspreis) u(t) zu verfügen, dass der Verlust an Kapitals am Planungsende T genähert minimal ist. Der adjungierten Variablen p kommt wieder die Bedeutung eines Schattenpreises zu: p j (t) ist der Preis (oder die Bewertung) einer zum Zeitpunkt t verlorenen Kapitaleinheit x j (t), i wenn der gesteuerte Prozess im Restzeitraum (t, T ] näherungsweise optimal verläuft, ddpt (t) auf der linken Seiten der adjungierten Differentialgleichungen ist die zugehörige Bewertungsrate.

7.6 Anwendung des ε -Maximumprinzips bei betriebswirtschaftlichen Fragestellungen

207

7.6 Anwendung des ε -Maximumprinzips bei betriebswirtschaftlichen Fragestellungen In Beispiel 1.3 (Abschnitt 1.1) haben wir ein Modell zur Ermittlung des optimalen Abbaus nicht erneuerbarer Ressourcen beschrieben. Das mit Hilfe eines kontrolltheoretischen Ansatzes beschriebene Problem (1.10)-(1.16) kann unter Nutzung des erweiterten Maximumprinzips behandelt und darauf aufbauend ein numerisches Verfahren entwickelt werden (vgl. [112]). Diese Herleitung notwendiger Bedingungen entspricht einer Anwendung der Bedingung (7.62) aus Satz 7.8 für den Fall ε = 0 (vgl. Bemerkung 7.6). Für das Problem (1.10)-(1.16) sind die Voraussetzungen für eine Anwendung des erweiterten Maximumprinzips erfüllt. Die dabei zu berücksichtigende Hamilton-Funktion hat die Gestalt

q(t) H(z(t), q(t), c, λ (t),t) = c maxp (z(t)) 1 − − k q(t) − λ (t)q(t), m(t)

(7.65)

wobei λ (·) die adjungierte Variable (Schattenpreis) beschreibt und c eine nichtnegative Konstante ist. Wie bekannt ist (vgl. Feichtinger, Hartl [56]), beschreibt die Hamilton-Funktion die Gesamtwirkung der Steuerung auf die Zielfunktion, wobei in einen mittelbaren und einen unmittelbaren Effekt unterschieden wird. In unserer Problemstellung besteht die unmittelbare Wirkung der Kontrolle aus dem Gewinn, der mit dem Verkauf von Rohstoffen in jedem Zeitraum erzielt wird. Der mittelbare Effekt resultiert aus der durch den Abbau hervorgerufenen Verringerung des Ressourcenbestandes, wodurch langfristig der Gewinn reduziert wird. Multipliziert man die geförderte Menge mit ihrem internen Wert, dem Schattenpreis λ , so erhält man demnach die (negative) Wirkung, die beim Abbau von Rohstoffeinheiten entsteht. Die Lagrange-Funktion ergibt sich für das betrachtete Ressourcen-Modell als

L(z(t), q(t), c, λ (t), μ , ν ,t) =

q(t) cq(t) maxp (z(t)) 1 − −k −λ (t) m(t) +μ1 q(t) + μ2 (m(t) − q(t)) + ν z(t),

(7.66)

wobei der Kontrollbereich durch Ω(z(t),t) = Ω(t) = {q(t) | q(t) ∈ [0, m(t)]} gegeben ist und μ1 (t), μ2 (t) und ν (t) die eingehenden Multiplikatoren bezeichnen. Das erweiterte Maximumprinzip (vgl. Feichtinger, Hartl [56], Seite 188) liefert für die Optimallösungen (q∗ (t), T ∗ ) des Problems (1.10)-(1.16) aus Beispiel 1.3 mit dem dazugehörigen z∗ (t) die Existenz einer Konstanten c ≥ 0, einer stückweise stetig differenzierbaren adjungierten Funktion λ (t), von stückweise stetigen Multiplikatorfunktionen μ1 (t), μ2 (t) und ν (t) und eines konstanten Multiplikators γ ≥ 0, wobei (c, λ (t), μ1 (t), μ2 (t), ν (t), γ (t)) = 0 für jedes t ∈ (0, T ] gilt, sodass an allen Stellen t ∈ [0, T ] mit Ausnahme möglicher Unstetigkeitsstellen von q∗ (t) und

208


Verbindungsstellen1 (Verbindungszeitpunkten) gilt: q∗ (t) = arg max H(z∗ (t), q(t), c, λ (t),t),

(7.67)

q∈Ω(t)

Lq = 0, p 0 − pT λ˙ (t) = rλ (t) − ν (t) − c · q∗ (t) z0 ∗ μ1 (t) ≥ 0, μ1 (t) q (t) = 0,

μ2 (t) ≥ 0, ν (t) ≥ 0, γ ≥ 0,

1−

q∗ (t) m(t)

(7.68)

,

(7.69) (7.70)

∗

μ2 (t)(m(t) − q (t)) = 0,

(7.71)

ν (t)z∗ (t) = 0,

(7.72)

γ z∗ (T ∗ ) = 0,

(7.73)

∗

λ (T ) = γ ,

⎫ ⎧ ⎨ ≤ ⎬ H(z∗ (T ∗ ), q∗ (T ∗ ), c, λ (T ∗ ), T ∗ ) = 0 ⎭ ⎩ ≥

für

⎧ ∗ ⎨ T = 0, 0 < T ∗ < T¯ , ⎩ ∗ T = T¯ .

(7.74) (7.75)

Falls z∗ (tˆ) = 0 für einen Zeitpunkt tˆ ∈ [0, T ∗ ] gilt, so darf offensichtlich für alle t > tˆ nichts mehr abgebaut werden. Somit wird ab diesem Zeitpunkt kein Gewinn mehr erzielt und sowohl die Zustands- als auch die Kontrolltrajektorie des Systems bleiben konstant. Daher wird ein Zeitpunkt, bei dem zum ersten Mal z∗ (t) = 0 gilt, als Endzeitpunkt betrachtet, wobei zu bemerken ist, dass im Endzeitpunkt theoretisch auch z∗ (t) > 0 gelten kann. Auf Grund dieser Festlegung gibt es in dem betrachteten Modell maximal eine Verbindungsstelle, die mit dem Endzeitpunkt T übereinstimmt und ein Eintrittspunkt ist. Die Schattenpreisfunktion, die nach dem erweiterten Maximumprinzip stückweise stetig sein muss und nur an Stellen, an denen z∗ (t) = 0 gilt, Sprünge haben kann, muss somit für alle t ∈ [0, T ) stetig sein. Nun sollen die notwendigen Bedingungen (7.67)-(7.75) äquivalent umgeformt werden. Wie leicht nachzuprüfen ist, folgt ⎧ für λ (t) ≤ −maxp (z∗ (t)) − k, ⎪ ⎨ m(t) m(t) λ (t)+k 1 − maxp für − maxp (z∗ (t)) − k < λ (t) < maxp (z∗ (t)) − k, q∗ (t) = 2 (z∗ t)) ⎪ ⎩ 0 für λ (t) ≥ maxp (z∗ (t)) − k (7.76) aus der Maximumbedingung (7.67), indem man die Hamilton-Funktion H nach q(t) ableitet, anschließendnull setzt und dabei den Kontrollbereich Ω(t) berücksichtigt. Aus (7.68) erhält man maxp (z∗ (t)) 1 − 2q(t) m(t) − k − λ (t) + μ1 − μ2 = 0, woraus durch Umstellen nach λ schließlich

2q(t) λ (t) = maxp (z (t)) 1 − + μ1 (t) − μ2 (t) − k m(t) ∗

(7.77)

folgt. (vgl. Feichtinger, Hartl [56], S. 165) sind Punkte, an denen z∗ erst- oder letztmals den Wert null annimmt. An Eintrittspunkten geschieht das erstmals.

1 Verbindungsstellen

7.7 Dichtheitsaussagen in der Vektoroptimierung

209

Um von Anfang an einen positiven Stückgewinn zu ermöglichen, wird folgende Beziehung vorausgesetzt: (7.78) maxp (z0 ) = p0 > k. Das bedeutet, dass es schon zu Beginn des Betrachtungszeitraums wenigstens einen Konsumenten gibt, der einen Stückpreis zahlen würde, der die Stückkosten übersteigt. Offensichtlich kann dann der Endzeitpunkt T ∗ = 0 nicht optimal sein, da das Zielfunktional den Wert G = 0 hätte und bei einer anderen Wahl des Endzeitpunktes ein positiver Gewinn möglich wäre. Alle Bedingungen, die eine optimale Steuerung des Ressourcen-Modells erfüllen muss, seien hier noch einmal zusammengefasst: ⎧ ∗ ⎪ ⎨ m(t) für λ (t) ≤ −maxp (z (t)) − k, m(t) λ (t)+k 1 − maxp für − maxp (z∗ (t)) − k < λ (t) < maxp (z∗ (t)) − k, (7.79) q∗ (t) = 2 (z∗ (t)) ⎪ ⎩ 0 für λ (t) ≥ maxp (z∗ (t)) − k, 2q∗ (t) λ (t) = maxp (z∗ (t)) 1 − (7.80) + μ1 (t) − μ2 (t) − k, m(t) p0 − pT q∗ (t) λ˙ (t) = rλ (t) − ν (t) − q(t)∗ 1− , (7.81) z0 m(t) (7.82) z˙(t) = −q∗ (t), z(0) = z0 ,

μ1 (t) ≥ 0,

μ1 q∗ (t) = 0,

(7.83)

μ2 (t) ≥ 0,

μ2 (m(t) − q∗ (t)) = 0,

(7.84)

ν (t) ≥ 0, γ ≥ 0,

ν (t)z(t) = 0,

(7.85)

∗

γ z(T ) = 0,

(7.86)

∗

λ (T ) = γ ,

(7.87)

T ∗ ∈ (0, T¯ ],

(7.88)

H(z∗ (T ∗ ), q∗ (T ∗ ), λ (T ∗ ), T ∗ )

= ≥

0

für

0 < T ∗ < T¯ , T ∗ = T¯ .

(7.89)

Basierend auf diesen notwendigen Optimalitätsbedingungen wird in [112] ein numerisches Verfahren zur Lösung des Problems (1.10)-(1.16) entwickelt.

7.7 Dichtheitsaussagen in der Vektoroptimierung Mit dem weiter oben (oder in Abschnitt 10.1.5) eingeführten Begriff Maximalpunkt einer Menge bezüglich eines Kegels wird die simultane Optimierung von mehr als einer Zielfunktion über einem zulässigen Bereich S eines Raumes X definiert: Sind etwa p Zielfunktionen f1 , ..., f p gegeben, so wird durch sie der zulässige Bereich S in eine Menge M ⊆ R p abgebildet. Den Raum p halbgeordnet. Zur mehrR p denkt man sich durch den gewöhnlichen Ordnungskegel K := R+ kriteriellen Maximierungsaufgabe f (x) → max, x ∈ S, wobei f = { f1 , ..., f p },

(7.90)

210


sucht man dann Maximalpunkte y0 ∈ M bezüglich des Kegels K (und auch ihre Urbilder x0 ∈ S mit f (x0 ) = y0 , den Lösungen von (7.90). S heißt auch Menge der Alternativen). Maximalpunkte heißen auch Pareto-maximale oder Pareto-effiziente Punkte. Statt von Mehrkriterieller Optimierung spricht man auch von Vektoroptimierung und hat dabei den Vektor f im Auge. Wenn man mehrkriteriell minimieren will, so nutzt man den Kegel −K. Übrigens kann in der eben gegebenen Definition der Vektormaximierung auch p = 1 sein, das ergibt die üblichen Optimierungsaufgaben. Um funktionalanalytische Aussagen über Maximalpunkte mehrkriterieller Aufgaben zu machen, genügt es, sich nur auf die Bildmenge M und die Halbordnung in R p zu konzentrieren, mehr noch, wir betrachten allgemeiner eine nichtleere Menge M ⊆ Y, wobei Y ein mit einem konvexen abgeschlossenen und spitzen Kegel K halbgeordneter Banach-Raum sei, und stellen eine für die wirkliche Bestimmung von Maximalpunkten von M bezüglich K sehr nützliche Aussage bereit, die mit einem Äquivalent zum Ekeland’schen Prinzip gewonnen wird. Es sei Max M die Gesamtheit der Maximalpunkte von M bezüglich K. Um zur erwähnten Aussage zu kommen betrachten wir zunächst wieder die Aufgabe (7.90). Vom Standpunkt der Ökonomie aus würde man folgendermaßen an ihre Lösung gehen: Man legt eine Bewertung der p Zielfunktionen fest. p αi = 1. Statt Dies geschieht durch Angabe eines Vektors positiver Zahlen (α1 , ..., α p ) mit ∑i=1 der Aufgabe (7.90) betrachtet man jetzt die Aufgabe p

∑ αi fi (x) → max, x ∈ S.

(7.91)

i=1

Dies ist eine gewöhnliche Optimierungsaufgabe mit einer Zielfunktion, man spricht von einer Skalarisierung der Aufgabe (7.90). Eine Lösung x0 ∈ S von (7.91) hat den Maximalwert p ∑i=1 αi fi (x0 ) und y0 mit y0i =: fi (x0 ), i = 1, ..., p, ist ein Maximalpunkt von (7.90). Andernfalls gäbe es ein y1 ∈ M mit y1 ≥ y0 , y1 = y0 was einen größeren Zielwert von (7.90) ergeben würde: p p ∑i=1 αi y1i > ∑i=1 αi y0i , ein Widerspruch. Variiert man die Bewertungen, so erhält man im Allgemeinen ein Vielzahl von Maximalpunkten der mehrkriteriellen Aufgabe. Es sei mit PM die Menge der so gewonnenen Maximalpunkte (sie heißen auch eigentlich effiziente Punkte) bezeichnet, so haben wir PM ⊆ Max M. Sehr nützlich wäre es, für Max M auch nach oben eine Beziehung zu PM zu haben, sodass man weiß, welchen Anteil der Pareto-effizienten Punkte man durch skalarisierende Bewertungen erhält! Genau eine solche Aussage haben wir als Ziel. Um dies für den allgemeineren Fall, gesucht Maximalpunkte der Menge M ⊆ Y bezüglich eines Kegels K ⊆ Y, zu behandeln, müssen wir auch hier von einer Bewertung ausgehen. In Erinnerung an den Begriff des linearen Funktionals erkennen wir den Bewertungsvektor in den obigen Betrachtungen als lineares stetiges Funktional über dem Raum R p . Entsprechend betrachten wir den Dualraum Y∗ zum Banach-Raum Y. Das Bewertungsfunktional hatte besondere Eigenschaften, es galt αi > 0, i = 1, ..., p. Dem entspricht jetzt, Funktionale aus dem Quasi-Inneren K # des Dualkegels K + zu nehmen: K # := {y∗ ∈ K + | y∗ (y) > 0 , y ∈ (K\{0})}.

(7.92)

7.7 Dichtheitsaussagen in der Vektoroptimierung

211

Wir betrachten zwei Spezialfälle: p (a) Es sei Y der Euklidische Raum R p und K = R+ . Dann kann man Y∗ mit Y identifizieren # und es ist K = int K. Das ist die Menge der p-dimensionalen Vektoren positiver Zahlen.

(b) Ist Y der Hilbert-Raum L2 [0, 1] der (Klassen der) über dem Intervall [0, 1] quadratisch Lebesgue-summierbaren Funktionen, und K der Kegel der (Klassen der) über [0, 1] fast überall nichtnegativen Funktionen aus L2 [0, 1], so kann man wieder Y∗ mit Y identifizieren aber int K ist leer. Der Kegel K # besteht aus den (Klassen der) Funktionen aus L2 [0, 1], die fast überall positiv sind. Zum Beispiel gehört y(t) = 1 für fast alle t ∈ [0, 1] zu K # . Um Maximalpunkte der Menge M ⊆ Y bezüglich eines Kegels K ⊆ Y zu finden, skalarisieren (bewerten) wir diese Aufgabe, d.h., wir wählen ein Element y∗ ∈ K # und studieren das Optimierungsproblem im Funktionenraum Y: y∗ (y) → max, y ∈ M.

(7.93)

Wie oben gilt, ist y0 ∈ M eine Lösung von (7.93), so ist y0 ein Maximalpunkt von M bezüglich K. Wäre dies falsch, so gäbe es ein y1 ∈ M mit y1 − y0 ∈ K\{0}. Anwendung von y∗ ∈ K # ergibt wegen (7.92) einen Widerspruch: y∗ (y1 ) > y∗ (y0 ). Es gilt also wieder die Beziehung PM ⊆ Max M. Wir konstruieren im Folgenden die gesuchte Beziehung nach oben, sodass wir insgesamt eine Einschließung von Max M erhalten. Dazu verwenden wir das sogenannte Tropfentheorem, dies ist äquivalent zum Ekeland’schen Variationsprinzip (zum Äquivalenzbeweis vgl. z.B. Georgiev [62], zu weiteren äquivalenten Aussagen vgl. z.B. Hamel und Tammer [77]): Satz 7.9 Es seien Y ein Banach-Raum, M ⊆ Y eine abgeschlossene Menge und z ∈ Y\M. Zwei Zahlen r, R seien so gewählt, dass gilt 0 < r < dist(z, M) < R, wobei der Abstand durch die Norm definiert ist. Dann gibt es ein Element m0 ∈ M mit den Eigenschaften m0 − z ≤ R und M ∩ conv[B(z; r) ∪ {m0 }] = {m0 }.

(7.94)

Der Name des Satzes ergibt sich aus der geometrischen Gestalt von conv[B(z; r) ∪ {m0 }] etwa im zweidimensionalen Euklidischen Raum. Wenn man in diesem Raum die Aussage des Satzes skizziert, sieht man seine nahe Verwandtschaft zum Ekeland’schen Prinzip. Die gesuchte Einschließungsaussage wird oft ein ABB-Theorem genannt nach den Autoren, die 1953 den ersten Satz dieser Art bewiesen (Arrow, Barankin und Blackwell [11]): Ist der p Euklidische Raum R p mit dem (natürlichen) Ordnungskegel K = R+ halbgeordnet, so gilt für p jede kompakte konvexe Teilmenge M ⊆ R , dass die Menge der eigentlich effizienten Punkte von M dicht liegt in der Menge der effizienten Punkte von M. Satz 7.10 Es seien Y ein Banach-Raum, M ⊆ Y eine konvexe und abgeschlossene Menge, K ⊆ Y ein solcher abgeschlossener, konvexer und spitzer Kegel, dass gilt K # = 0, / und es sei PM =

(

y∗ ∈K #

{v ∈ M | y∗ (v) ≥ y∗ (m) , m ∈ M}.

212


Dann gelten (i) Ist M schwach kompakt und hat K eine beschränkte Basis, dann ist PM ⊆ Max M ⊆ cl PM . (ii) Hat der Kegel K eine schwach kompakte Basis, so ist ebenso PM ⊆ Max M ⊆ cl PM .

Mit anderen Worten, unter den genannten Bedingungen besagt der Satz, dass die Menge der eigentlich effizienten Punkte einer mehrkriteriellen Optimierungsaufgabe dicht liegt in der Menge der effizienten Punkte, oder auch so, effiziente Punkte sind die Grenzwerte konvergenter Folgen von eigentlich effizienten Punkten, oder, in jeder noch so kleinen Umgebung eines Maximalpunktes liegt ein eigentlich effizienter Punkt. Hat man also „genügend“ eigentlich effiziente Punkte gefunden, so hat man eine gute Übersicht über die Menge Max M. Wird in (i) die Beschränktheit der Basis von K weggelassen, so kann man immerhin noch beweisen, dass die Menge der effizienten Punkte im schwachen Abschluss von PM liegen (das ist im Allgemeinen eine umfassendere Menge als der Norm-Abschluss von PM ). Beweis: Nach den Voraussetzungen ist Max M = 0/ (insbesondere wegen der schwachen Kom/ Ohne Beschränkung der Allgepaktheiten) und der Kegel K hat eine Basis B (wegen K # = 0). meinheit kann man 0 ∈ Max M annehmen, daher ist 0 ∈ / M − ε B für jedes ε > 0, und da man B als abgeschlossen ansehen kann, folgt (wieder wegen der schwachen Kompaktheiten) M − ε B ist abgeschlossen. Es seien rε = dist(0, M − ε B) und δ0 = dist(0, B). Aus 0 ∈ Max M folgt 0 < rε ≤ εδ0 , daher gilt rε → 0 falls ε → 0. Jetzt wird das Tropfentheorem angewandt mit r = r2ε , R = 2rε , der Menge M − ε B und dem Punkt 0, es gibt daher Elemente mε ∈ M und bε ∈ B mit mε − ε bε − 0 ≤ 2rε ,

(7.95)

(M − ε B) ∩ D(r, ε ) = {mε − ε bε },

(7.96)

und

wobei D(r, ε ) der Tropfen conv[B(0; r) ∪ {mε − ε bε }] ist. (7.96) bedeutet, dass die Menge M − ε B und der Tropfen D(r, ε ) nur den Punkt mε − ε bε gemeinsam haben. Da beide Mengen konvex sind, kann ein Trennungssatz angewendet werden: Es existiert ein Element yε∗ ∈ Y∗ mit y∗ε = 1 und y∗ε (z) ≥ y∗ε (m − ε b) , z ∈ D(r, ε ) , m ∈ M , b ∈ B.

(7.97)

Wir werten (7.97) aus: (a) Für z ∈ int D(r, ε ) ist die Ungleichung streng, mit z = 0, m = 0 folgt daher y∗ε (0) > y∗ε (ε b), b ∈ B, somit yε∗ ∈ K # . y∗ε ist also ein Bewertungsfunktional, wie es oben eingeführt wurde. (b) Für z = mε − ε bε ergibt (7.97): yε∗ (mε ) ≥ y∗ε (m) , m ∈ M. Zusammen mit dem Resultat von (a) heißt das, mε ∈ PM . Also ist mε eigentlich effizient. Wir werten nun die weiteren Voraussetzungen bei (i),(ii) aus. Aus ihnen folgt, dass der Kegel K eine beschränkte Basis hat. Aus diesem Grunde und wegen (7.95) ergibt sich für jede Folge {εk } → 0, εk > 0, k = 1, 2, ... mεk − 0 ≤ mεk − εk bεk + εk bεk ≤ 2rεk + εk bεk ≤ 2εk δ0 + εk bεk → 0,

(7.98)

7.8 Übungsaufgaben zur Anwendung des Variationsprinzips von Ekeland

213

und das bedeutet, dass die Folge {mεk } gegen 0 ∈ Y konvergiert, daher liegt 0 im Norm-Abschluss von PM : 0 ∈ clPM . Da wir anfangs 0 anstelle irgendeines der Maximalpunkte von M genommen hatten, ist alles bewiesen. Satz 7.10 kann in verschiedenen Richtungen (und mit verschiedenen Beweistechniken, etwa Nutzung von Optimalitätsbedingungen oder Minimaxsätzen) verallgemeinert werden, zu einer Zusammenfassung von entsprechenden Literaturstellen vgl. [66]. Dort finden sich weitere Aussagen und Beweise zu Kegeln und Kegelbasen in Räumen der Funktionalanalysis. Aus Satz 7.10 können Aussagen zum (topologischen bzw. bogenweisen) Zusammenhang der Effizienzmenge von mehrkriteriellen Optimierungsaufgaben abgeleitet werden. Solche Aussagen sind bei Problemlösungen wesentlich, da dann in der Effizienzmenge eine stetige Bewegung zwischen allen effizienten Punkten und zwar entlang effizienter Punkte möglich ist. Zu weiterer Literatur hierzu siehe ebenso [66], S. 56 und S. 110, und Luc [115]. Man kann auch Aussagen zum Zusammenhang im Raum der Alternativen herleiten, die dann die Menge der Optimallösungen selbst betreffen.

7.8 Übungsaufgaben zur Anwendung des Variationsprinzips von Ekeland 1. In einem Unternehmen existieren drei Auslieferungslager, die auf der Landkarte die Koordinaten a1 = (1, 2), a2 = (7, 3), a3 = (4, 5) haben. Die Unternehmensführung möchte nun ein Zentrallager an einem neuen Standort bauen und zwar so, dass die Gesamtentfernung (also die gewichtete Summe aller Entfernungen zwischen den Auslieferungslagern und dem Zentrallager) möglichst klein wird. Aus Datenerfassungen weiß man, dass man von dem zu errichtenden Zentrallager fünfmal bzw. dreimal so oft zum Auslieferungslager a1 bzw. a2 fährt, wie zum Auslieferungslager a3 . Dazu betrachten wir folgendes Standortproblem, d.h. (Pstand )

3

fˆ(x) = ∑ αi x − ai −→ inf , i=1

x∈R2

wobei α1 = 5, α2 = 3, α3 = 1. Zeigen Sie unter Nutzung des Variationsprinzips von Ekeland notwendige Bedingungen für Näherungslösungen der Aufgabe (Pstand ). 2. Es seien X und Z Banach-Räume, f1 : X → R ein konvexes Kosten-Funktional, Ai ∈ L(X, Z) und αi ≥ 0 (i = 1, . . . , n), M ⊂ X. Dann betrachten wir für x ∈ X und ai ∈ Z (i = 1, . . . , n) das folgende Approximationsproblem: (Papp )

n

f˜(x) := f1 (x) + ∑ αi Ai (x) − ai Z −→ inf . i=1

x∈M

Geben Sie unter Nutzung des Variationsprinzips von Ekeland notwendige Bedingungen für Näherungslösungen der Aufgabe (Papp ) an.

214


3. Ein inverses Stefan-Problem Zur näherungsweisen Lösung eines inversen Stefan-Problems formulieren wir ein Approximationsproblem (vgl. auch Jahn [98]). Leiten Sie unter Nutzung des Variationsprinzips von Ekeland notwendige Bedingungen für Näherungslösungen dieser Aufgabe her. Das zu betrachtende inverse Stefan-Problem beschreibt den Prozess des schmelzenden Eises im Wasser. Die Temperaturverteilung u(x,t) im Wasser zur Zeit t wird durch die Wärmeleitungsgleichung uxx (x,t) − ut (x,t) = 0 beschrieben. Wir nehmen an, dass die Veränderung der schmelzenden Oberfläche des Eises gegeben ist und entsprechende Randbedingungen zu bestimmen sind, d.h. der schmelzende Rand δ (·) ist eine gegebene Funktion von t und die Wärmezufuhr g(t) entlang x = 0 ist zu bestimmen. Physikalisch bedeutet das, dass die Randbedingungen so zu bestimmen sind, dass sich die schmelzende Oberfläche in vorgeschriebener Weise x = δ (t), t ≥ 0, verändert. Es sei δ ∈ C1 [0, T ], T > 0, eine gegebene Funktion, 0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ x ≤ δ (t), und δ (0) = 0. Wir setzen D(δ ) := {(x,t) ∈ R2 | 0 < x < δ (t), 0 < t ≤ T } for

δ ∈ C1 [0, T ].

Nun betrachten wir das parabolische Randwertproblem uxx (x,t) − ut (x,t)

= 0, (x,t) ∈ D(δ ),

(7.99)

ux (0,t)

= g(t), 0 < t ≤ T,

(7.100)

wobei g ∈ C([0, T ]), g(0) < 0 so zu bestimmen ist, dass

δ˙ (t) = −ux (δ (t),t),

u(δ (t),t) = 0,

0 < t ≤ T.

(7.101)

Um das inverse Stefan-Problem (7.99), (7.100), (7.101) näherungsweise zu lösen, betrachten wir l

u(x,t, ¯ a) = ∑ ai wi (x,t),

l > 0 ganz, fest,

i=0

mit

wi (x,t) =

[ 2i ]

i!

∑ (i − 2k)!k! xi−2kt k ,

i = 0, . . . , l,

k=0

([ 2i ] bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich 2i ) und als Ansatz g(t) = c0 + c1t + c2t 2 , c0 ≤ 0, c1 ≤ 0, c2 ≤ 0. Zur Formulierung des Approximationsproblems verwenden wir eine Zielfunktion, die durch drei Fehler-Funktionen gegeben ist:

ϕ1 (t, a, c) ϕ3 (t, a, c) ϕ (a, c)

:= u( ¯ δ (t),t, a) − 0,

ϕ2 (t, a, c) := u¯x (0,t, a) − g(t), ˙ := u¯x (δ (t),t, a) − (−δ (t)), 3

:= ∑ ϕi (·, a, c)i , i=1

7.8 Übungsaufgaben zur Anwendung des Variationsprinzips von Ekeland

215

wobei · i die Norm in einem reflexiven Lq -Raum Yi (i = 1, 2, 3) bezeichnet. Weiterhin setzen wir S ⊂ Rl × R3 and S := {s ∈ Rl × R3 | si ∈ R ∀ i = 1, . . . , l + 3; si ≤ 0 ∀ i = l + 1, . . . , l + 3}. Zur näherungsweisen Lösung des inversen Stefan-Problems untersuchen wir dann das Approximationsproblem (Papp−St )

3

f (s) := ∑ Ai (s) − ai i → min, s∈S

i=1

wobei Ai lineare stetige Operatoren von Rl × R3 in Yi , Yi (i = 1, 2, 3) reflexive Lq -Räume, sind, insbesondere A1 (t)

= (w1 (δ (t),t), w2 (δ (t),t), . . . , wl (δ (t),t), 0, 0, 0),

A2 (t)

= (w1x (0,t), w2x (0,t), . . . , wlx (0,t), −1, −t, −t 2 ),

A3 (t)

= (w1x (δ (t),t), w2x (δ (t),t), . . . , wlx (δ (t),t), 0, 0, 0),

s

T

a1

= (a1 , a2 , . . . , al , c0 , c1 , c2 ), = (0, . . . , 0) ∈ Y1 ,

a2 = (0, . . . , 0) ∈ Y2 ,

a3 = −δ˙ ∈ Y3 = Lq [0, T ].

Zeigen Sie unter Verwendung des Variationsprinzips von Ekeland notwendige Bedingungen für Näherungslösungen von (Papp−St ).

8 Distributionen - Theorie und Anwendungen 8.1 Approximationsprinzipien im L2 Um Distributionen und deren Anwendungen gründlich behandeln zu können, sind genauere Kenntnisse über Rechenmethoden in den Räumen L2 (R) bzw. L2 (RN ) unumgänglich. In Definition 10.35 und dem folgenden Satz 10.22 sind die Lebesgue-Räume für 1 ≤ p ≤ ∞ eingeführt worden. Zur besseren Nutzbarkeit durch den Leser und weil im Rahmen der Theorie der Distributionen und Fourier-Transformationen eine eigenständige (etwas von der in Definition 10.35 abweichenden) Schreibweise in Verwendung ist, werden anschließend – quasi als Beispiel für Definition 10.35 – die L2 -Räume explizit dargestellt und wichtige Schlussweisen für Beweise angefügt. Distributionen, Fourier-Transformationen und Faltungen treten z.B. auf (natürlich auch in der Wirtschaftsmathematik und der Mathematischen Ökonomie), wenn (partielle) Differentialgleichungen (auch stochastische) gelöst werden sollen oder (mittels Greenscher Funktionen) Umformungen der Differentialgleichungen vorgenommen werden sollen. Sie treten aber auch in anderen Zusammenhängen auf: Man denke nur an das immer breiteren Raum einnehmende Verarbeiten von Signalen und an die Bildverarbeitung. Wir gehen weiter unten auf das Umwandeln digitaler in analoge Signale ein. In Ökonomien mit überlappenden Generationen (der Agenten) (vgl. z.B. [40]) genügt (unter zusätzlichen Bedingungen) im Falle kontinuierlicher Zeit der von der Zeit abhängige Gleichgewichtspreis p(t), −∞ < t < +∞, einer Faltungsgleichung. Einerseits sind dann Fourier- (oder Laplace-)Transformationen anwendbar, andererseits ergibt sich über eine Regularisierungs-Standardschlussweise mit distributionellen Ableitungen, dass p glatt ist (hier: beliebig oft differenzierbar). Definition 8.1 Mit L2 (R), dem Raum der quadratisch summierbaren Funktionen, bezeichnen wir die Menge aller komplexwertigen, bis auf eine Menge vom Lebesgue-Maß null auf ganz R definierten messbaren Funktionen f (im Sinne des Lebesgue-Maßes auf R), für die das Lebesgue-Integral R

| f (x)|2 dx

(8.1)

einen endlichen Wert hat (also kleiner als +∞ ist) und die mit den üblichen Operationen für „+“ und „Zahl ·“ zu einem (komplexen) Vektorraum gemacht wurde, also für f , g ∈ L2 (R) gilt ( f + g)(x) = f (x) + g(x) für (fast alle) x ∈ R, und mit λ ∈ C gilt (λ f )(x) = λ · f (x) und der mit der Norm f := versehen wird.

R

für (fast alle) x ∈ R, 1/2 | f (x)|2 dx

(8.2)

218

8 Distributionen - Theorie und Anwendungen

Bemerkung 8.1 1. Korrekterweise müssten die Elemente f des L2 (R) als „Klassen zueinander äquivalenter Funktionen“, also als Mengen eingeführt werden, die aus Funktionen f : R → C bestehen, welche zur gleichen Klasse jeweils gezählt werden, wenn sie bis auf eine Menge vom Lebesgue-Maß null (die von den betrachteten Funktionen abhängt) in ihren Funktionswerten übereinstimmen. Nach einer allgemein üblichen Vereinbarung führt man das Rechnen mit den Klassen auf das Rechnen mit „geeigneten“ Repräsentanten – also wieder individuellen – Funktionen zurück, dabei treten keinerlei Probleme auf. 2. Mit der eingeführten Norm wird der Vektorraum L2 (R) zu einem normierten Raum. Die Normeigenschaften sind erfüllt. Man kann beweisen, dass der Raum L2 (R) mit dieser Norm vollständig, also ein Banach-Raum (vgl. Definition 10.21) ist. 3. Ferner führt man im Raum L2 (R) ein Skalarprodukt ·|· mittels der definierenden Gleichung ( f , g ∈ L2 (R)) f |g :=

R

f (x)g(x)dx

(8.3)

ein (der Querstrich bezeichnet den Übergang zum konjugiert-komplexen Zahlenwert). Die Orthogonalität zweier zum Raum L2 (R) gehörenden Funktionen f und g bedeutet das Bestehen der Glei chung R f (x)g(x)dx = 0. Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt im L2 (R) : für jedes f ∈ L2 (R) ist f | f = f 2 . (8.4) Der Raum L2 (R) ist somit ein Prä-Hilbert-Raum (vgl. Definition 10.18) und als vollständiger normierter Raum (sogar) ein Hilbert-Raum (vgl. Definition 10.21). 4. Ersetzen wir in allen Formulierungen der Definition 8.1 die Grundmenge R durch die Menge RN (N = 1, 2, 3, ...) so können alle Festlegungen übertragen werden (einschließlich der Eigenschaften 1.–3. oben) und liefern den Hilbert-Raum L2 (RN ) mit dem Skalarprodukt ( f , g ∈ L2 (RN )) f |g :

= =

R

N

RN

f (ξ1 , ..., ξN ) · g(ξ1 , ..., ξN ) · dξ1 ...dξN f (x)g(x)dx

(mit x = (ξ1 , ..., ξN ) als unabhängiger Variabler im Raum RN ). 5. Räume vom Typ L2 , die von vektorwertigen Funktionen gebildet werden, erhalten wir mittels des kartesischen Produkts aus einzelnen Faktorräumen L2 (RN ). Beispielsweise genannt sei der Raum [L2 (R3 )]3 = L2 (R3 ) × L2 (R3 ) × L2 (R3 ), der „Raum der quadratisch integrablen 3-dimensionalen komplexwertigen Vektorfelder“ v mit ⎤ ⎡ v1 (x, y, z) ⎥ ⎢ v(x) = ⎣ v2 (x, y, z) ⎦ (x = (x, y, z)) mit v j ∈ L2 (R3 ) ( j = 1, 2, 3) v3 (x, y, z) ⎤ ⎡ w1 ⎥ ⎢ und mit dem Skalarpodukt (es sei w = ⎣ w2 ⎦ ein zweites solches Feld) w3 v|w =

R

(v1 (x)w1 (x) + v2 (x)w2 (x) + v3 (x)w3 (x))dx.

8.1 Approximationsprinzipien im L2

219

Räume dieses Typs spielen speziell in der theoretischen Hydrodynamik und in der allgemeinen Feldtheorie eine wesentliche Rolle.

Typisch für das Beweisen von grundlegenden Aussagen im Raum L2 ist die Vereinfachung von Beweisschritten dadurch, dass zunächst spezielle Eigenschaften von den betrachteten Funktionen oder Funktionenmengen vorausgesetzt werden, für die sich die betreffenden Beweisschritte vereinfachen (man muss erst einmal „durchkommen“). Der allgemeine Fall wird danach mittels eines Grenzübergangs „erledigt“. Wir beschränken uns hier auf zwei sehr einfache (nichtsdestoweniger wirkungsvolle) Approximationsprinzipien, nämlich das Abschneiden und das Glätten und stellen, der Einfachheit der Darstellung halber, alles im Raum L2 (R) vor. Satz 8.1 (Approximation durch Abschneiden (truncation)) Es sei f ∈ L2 (R). Wir definieren die Funktionen fn (n = 1, 2, ...) durch die Vorschrift (x ∈ R) fn (x) fn (x)

= =

f (x) 0

für für

|x| ≤ n, n < |x|.

Dann gehören alle Funktionen fn aus der so definierten Funktionenfolge { fn } zum Raum L2 (R) und es gilt (in diesem Raum) lim fn = f n→+∞

d.h., es gilt lim fn − f = lim

n→+∞

+∞

−∞

n→+∞

1/2 | fn (x) − f (x)|2 dx

= 0.

Beweis: Aus der (offensichtlich) bestehenden Ungleichung | fn (x)| ≤ | f (x)| (x ∈ R; n = 1, 2, ...) und der Messbarkeit der Funktionen fn (Übung für den Leser) folgt die Ungleichung +∞ −∞

| fn (x)| dx ≤ 2

+∞ −∞

| f (x)|2 dx < +∞,

aus der sich die Zugehörigkeit der Funktionen fn zum Raum L2 (R) sofort ergibt. Wir betrachten die wie folgt definierten Funktionen gn : gn (x) := | fn (x) − f (x)|2

(x ∈ R; n = 1, 2, ...).

Ersichtlich gelten die folgenden Relationen (vgl. die Definition von fn ) gn (x) = 0 für |x| ≤ n und gn (x) = | f (x)|2 für n < |x| (x ∈ R; n = 1, 2, ...) und die daraus folgenden Ungleichungen 0 ≤ gn+1 (x) ≤ gn (x)

(x ∈ R; n = 1, 2, ...)

und (Lebesgue-) fast überall lim gn (x) = 0.

n→+∞

220


Nach dem Konvergenzsatz 10.37 ist daher +∞

lim

n→+∞ −∞

gn (x)dx =

+∞ −∞

lim gn (x) dx =

+∞

−∞

n→+∞

0 · dx = 0.

Dies aber ist genau die zu beweisende Aussage.

Wir beginnen zur Beschreibung einer weiteren Approximationsvariante (das Glätten (mollifying)) mit einer einfachen Situation, indem wir die charakteristische Funktion eines Intervalls [a, b] (−∞ < a < b < +∞) auf der reellen Achse R betrachten, also die Funktion

χ[a,b] mit χ[a,b] (x) = 0 (x ∈ R \ [a, b]) und χ[a,b] (x) = 1 (x ∈ [a, b]). Diese Funktion ist ersichtlich unstetig, sie hat Sprünge der Höhe 1 bei x = a und x = b. Diese Unstetigkeiten sollen „geglättet“ werden und zwar so, dass die dabei entstehende neue Funktion überall auf R beliebig oft differenzierbar ist und trotzdem „weitgehend“ mit der gegebenen (unstetigen) Funktion übereinstimmt. Es liegt nahe, zur Lösung dieser Aufgabe ein Parameterintegral zu verwenden mit einer Funktion, die - die gegebene Funktion χ[a,b] geeignet verwendet, - bezüglich des Parameters beliebig oft differenzierbar ist, und - die Positivität der gegebenen Funktion (χ[a,b] ≥ 0) beibehält. Diese natürlichen Forderungen werden realisiert durch die sogenannte Faltung der gegebenen Funktion mit einem nichtnegativen glättenden Kern K, der mittels einer beliebig oft differenzierbaren Funktion ψ : R → R konstruiert wird, die folgende Eigenschaften (1)–(3) besitzt: (1) ψ ist beliebig oft differenzierbar, (2) ψ (x) = 0 für 1 ≤ |x| (x ∈ R); ψ (·) ist gerade, also ψ (−x) = ψ (x)(x ∈ R), (3)

+∞ −∞

ψ (x)dx = 1.

Wegen (2) kann die Bedingung (3) auch in der Form ein beliebiges ε > 0 setzen wir dann 1 1 K(x, ε ) := ψ x ε ε

1

−1 ψ (x)dx

= 1 geschrieben werden. Für

(x ∈ R)

und bilden das Parameterintegral mit dem Kern K(·, ·) ε χ[a,b] (x) :=

d.h. ε χ[a,b] (x) =

b a

+∞ −∞

K(x − y, ε )dy =

χ[a,b] (y) · K(x − y, ε )dy, 1 ε

b a

ψ

1 (x − y) dy ε

(8.5)

(x ∈ R).

(8.6)


221

Für die Funktion ψ nimmt man gewöhnlich die folgende Funktion auf R : 0 für 1 ≤ |x| (x ∈ R) ψ (x) = C · exp |x|21−1 für |x| < 1 wobei

C :=

1

−1

exp

−1 1 dx |x|2 − 1

ist (womit die Forderung (3) ersichtlich erfüllt wird.) Der Nachweis der Eigenschaft (1) erfordert (nur) elementare Analysis, sollte aber vom Leser überlegt werden, die Eigenschaft (2) ist offensichtlich. (ε ) Wir kommen zur Auswertung des Parameterintegrals für χ[a,b] (·) (vgl.(8.6)) und betrachten zwei Fälle für x ∈ R : (I) [x − ε , x + ε ] ⊆ [a, b] Im Fall (I) gilt mit der Substitution t = (ε ) χ[a,b] (x) =

1 ε

b a

ψ

(II) [x − ε , x + ε ] ∩ [a, b] = 0. /

(−1) ε (x − y)

und weil ψ (−t) = ψ (t) ist

1 1 (b−x) 1 ε 1 ε (b−x) 1 (x − y) dy = ψ (−t) · ε dt = ψ (t)dt = ψ (t)dt = 1 1 ε ε ε1 (a−x) −1 ε (a−x)

Die vorletzte Gleichheit resultiert aus den Ungleichungen 1 1 1 1 (b − x) ≥ (x + ε − x) = 1 und (a − x) ≤ (x − ε − x) = −1 ε ε ε ε die im Fall (I) bestehen und aus der Voraussetzung ψ (t) = 0 für |t| > 1. Im Fall (II) erhalten wir (Aufgabe für den Leser) die Beziehung (ε )

χ[a,b] (x) = 0. Für die verbleibenden Werte von x ∈ R entsteht eine „Mischung“ der Fälle (I) und (II) und wir erhalten demzufolge (ε ) 0 ≤ χ[a,b] (x) ≤ 1 für alle x ∈ R. Auf Grund der Darstellung (8.6) als Parameterintegral ergibt sich die Differen(ε ) zierbarkeit nach x beliebig oft für die Funktion χ[a,b] (·). Außerdem gilt, wie oben festgestellt, dass (ε )

χ[a,b] = 0 (ε )

χ[a,b] = 1

für

x ∈ [a − ε , b + ε ]

für

x ∈ [a + ε , b − ε ] (ε )

[ε ]

ist. Damit ist die „sprungbehaftete“ Funktion χ[a,b] (·) zu der C∞ -Funktion χ[a,b] (·) durch „Abrundung der Sprünge“ geglättet worden, was der Zielstellung entspricht. (Der Leser fertige eine

222

8 Distributionen - Theorie und Anwendungen (ε )

Computergrafik von χ[a,b] für a = −1, b = 1 an und weise nach, dass für alle ε > 0 die Gleichun(ε )

(ε )

gen χ[a,b] (a) = χ[a,b] (b) =

1 2

bestehen.) (ε )

Führen wir den Grenzübergang ε ↓ 0 durch, so verschwindet der Unterschied zwischen χ[a,b] und χ[a,b] (bis auf die Punkte x = a, x = b). Es gilt (im Sinne der punktweisen Konvergenz) fast überall, dass die Limesbeziehung (ε ) lim χ (x) = ε →+0 [a,b]

χ[a,b] (x)

(ε )

besteht (außer x = a und x = b). Die Funktion χ[a,b] „approximiert“ die Funktion χ[a,b] . An die Stelle der Funktion χ[a,b] im obigen Beispiel kann nun jede Funktion mit hinreichenden 1 (R) (vgl. Definition 10.36) und jedem Integrabilitätseigenschaften treten, jeder Funktion f ∈ Lloc 1 (R) zu mittels der Formel ε > 0 ordnen wir die Funktion f (ε ) ∈ Lloc

f (ε ) (x) =

+∞ −∞

f (y)K(x − y, ε )dy

(8.7)

und erhalten damit eine beliebig oft differenzierbare Funktion f (ε ) , die für kleine ε die gegebene Funktion f „approximieren“ kann, wobei diese Wortwahl jeweils präzisiert werden muss. Wir fassen die für uns wichtigen Sachverhalte in einem Approximationssatz zusammen. Satz 8.2 (Approximation durch glättende Faltung) (1) Ist f : R → R eine stetige Funktion mit kompakten Träger (d. h. f (x) = 0 für |x| ≥ a mit einem a > 0), so gilt lim f (ε ) (x) = f (x) ε →+0

im Sinne gleichmäßiger Konvergenz, d.h., es gilt lim

ε →+0

(sup | f (ε ) (x) − f (x)|) = 0. x∈R

(2) Ist f : R → C k-mal stetig differenzierbar (k = 0, 1, 2, ... oder k = +∞) und besitzt einen kompakten Träger, so gilt für jedes n ≤ k (n = 0, 1, 2, ..., k) dn f (ε ) (x) dn f (x) = dxn dxn ε →+0 lim

im Sinne gleichmäßiger Konvergenz, d.h., ⎛ lim ⎝

ε →+0

sup x∈R

⎞ dn f (ε ) (x) dn f (x) ⎠ =0 − dxn dxn

für n = 0, 1, ..., k. (3) Ist f ∈ L p (R) (p ≥ 1, speziell: p = 2), so gelten für jedes ε > 0 auch f (ε ) ∈ L p (R) und die Ungleichung f (ε ) L p ≤ f L p


223

sowie die Limesbeziehung

lim f (ε ) − f L p = 0,

ε →+0

d.h.

f (ε ) → f im Raum L p (R) für ε → 0.

Für die Beweise dieser Aussagen vgl. z.B. Adams [1] und Schwartz [153]. Wir zitieren noch einige nützliche Eigenschaften der oben definierten Glättungsoperation, wobei wir alles für lokalsummierbare komplexwertige Funktionen (vgl. Definition 10.36), die auf dem RN definiert sind formulieren (aber nicht beweisen) und damit die bisher betrachteten Fälle vollständig erfassen. Es seien also für x = (ξ1 , ..., ξN ) ∈ RN (ξk reell), |x|2 = ∑Nk=1 ξk2 , ψ (x) = 0 für 1 ≤ |x| und 1 ψ (x) = CN exp für |x| < 1 |x|2 − 1 mit CN =

- RN

exp

1 |x|2 − 1

.−1

.

1 (RN ), d.h., die Funktion f ist (Lebesgue-)summierbar über jeder beschränkten Nun sei f ∈ Lloc N Menge im R . Es seien wie in (8.6) 1 1 ·x (x ∈ RN ) K(x, ε ) := N ψ ε ε

und f (ε ) (x) :=

RN

K(x − y, ε ) f (y)dx

(x ∈ RN ).

(8.8)

Dann gelten die folgenden Aussagen 1.–7. (zu den Beweisen vgl. Burenkov [28]). 1. Es gilt der Approximationssatz in der für die jetzige Situation angepassten Formulierung. 2. f (ε ) ∈ C∞ (RN ). 3. Gilt f ∈ L1 (RN ), so gilt limε ↓0 f (ε ) − f L1 (RN ) = 0 oder ausgeschrieben lim

ε ↓0 RN

| f (ε ) (x) − f (x)|dx = 0.

1 (RN ) und reellwertig und bestehen Ungleichungen der Form (A, B reelle 4. Sind f , g ∈ Lloc Zahlen mit A ≤ B) A ≤ f (x) ≤ g(x) ≤ B (x ∈ RN ), so folgt (auch)

A ≤ f (ε ) (x) ≤ g(ε ) (x) ≤ B

(x ∈ RN ).

5. Sind f , g ∈ L2 (RN ), so besteht die Gleichheit RN

f (ε ) (x)g(x)dx =

RN

f (x)g(ε ) (x)dx.

224


6. Ist f auf dem RN stetig differenzierbar, also f ∈ C1 (RN ), so besteht die Gleichheit ∂ f (ε ) ∂ f (ε ) = für k = 1, ..., N. ∂ ξk ∂ ξk 1 (RN ), also die Menge 7. Liegt der Träger (support) von f ∈ Lloc

supp f := {x ∈ RN | f (x) = 0}, in einer Menge A ⊆ RN , dann liegt der Träger der geglätteten Funktion f (ε ) in der Menge Aε := {z ∈ RN | es existiert ein x ∈ A mit |x − z| ≤ ε }, also supp f (ε ) ⊆ Aε .

(8.9)

In den Aussagen 1.–7. bedeuten f (ε ) , g(ε ) , ... stets die nach Formel (8.8) geglätteten Funktionen bezüglich f , g, ..., d.h., der Träger einer Funktion vergrößert sich bei Glättung nur „geringfügig“, die genaue Quantifizierung ist die Formel (8.9).

8.2 Der Schwartz-Raum S(RN ) (N = 1, 2, ...) Zunächst erinnern wir an festgelegte Schreibweisen. Im N-dimensionalen komplexen Raum CN der Punkte x = (ζ1 , ..., ζN ), y = (χ1 , ..., χN ) (ζk , χk komplex) wird das Skalarprodukt mittels der Gleichung (a : konjugiert komplexe Zahl zu a ∈ C) x|y :=

N

∑ ζk χ k ,

k=1

und der Betrag durch |x| :=

x|x =

N

∑ ζk ζk

1 2

k=1

eingeführt. Die üblichen Eigenschaften eines Skalarproduktes (vgl. Definition 10.18) sind erfüllt. Für den reellen Raum RN vgl. Bemerkung 10.5. Für partielle Ableitungen von reell- bzw. komplexwertigen Funktionen, die auf RN oder auf einem (Teil-) Gebiet des RN erklärt sind, wurden zur Vereinfachung der Schreibweise Multiindizes α = (α1 , ..., αN ) mit ganzzahligen, nichtnegativen Komponenten αk eingeführt (vgl. (10.74)) und folgende Formel vereinbart: |α | :=

N

∑ α j.

j=1

Die partielle Ableitung einer Funktion ϕ : RN → C nach der k-ten Ortsvariablen ξk , also die Funktion ∂ϕ , werde mit ∂ k ϕ ∂ ξk

8.2 Der Schwartz-Raum S(RN ) (N = 1, 2, ...)

225

bezeichnet. Eine (gemischte) partielle Ableitung der Ordnung m = |α |, also

∂ mϕ ∂ |α | ϕ α2 αN , werde mit ∂ xα (∂ ξ1 ) (∂ ξ2 ) · · · (∂ ξN ) α1

abgekürzt, und vereinfachend auch als ∂ α ϕ geschrieben. Ein linearer Differentialoperator der Ordnung M(≥ 0) setzt sich aus derartigen Ableitungen zusammen, die im Allgemeinen mit Koeffizienten (-Funktionen) aα (x) behaftet sind: L(ϕ ) :=

∑

|α |≤M

aα (x)∂ α ϕ ,

wobei der Fall konstanter Koeffizienten (aα (x) = aα für alle x) eine herausragende Rolle einnimmt. In diesem Fall vergleicht man den Differentialoperator L(ϕ ) =

∑

|α |≤M

aα ∂ α ϕ

häufig mit dem (zugehörigen) Polynom P(x) :=

∑

|α |≤M

aα xα ,

wobei jetzt der Ausdruck xα das Potenzprodukt xα = ξ1α1 · ξ2α2 · ... · ξNαN bezeichnet, und schreibt dann L(ϕ ) = P(∂ )(ϕ ) =

∑

|α |≤M

aα ∂ α ϕ

(8.10)

als Standardform eines linearen partiellen Differentialoperators mit konstanten Koeffizienten. Als ein häufig auch in der Wirtschaftsmathematik auftretendes Beispiel nennen wir den Laplace-Operator im RN : N ∂ 2ϕ . ϕ := ∑ 2 k=1 ∂ ξk Das zugehörige Polynom lautet dementsprechend P(x) =

N

∑ ξk2

k=1

d.h., die Koeffizienten aα sind = 0 bis auf die Multiindizes α der Form

α = (2, 0, ..., 0); (0, 2, 0, ..., 0); ...; (0, 0, ..., 0, 2) und für diese α ist aα = 1. Im allgemeinen Fall beginnt P(∂ )(ϕ ) mit dem Ausdruck a(0,0,...,0) · ∂ (0,0,...,0) ϕ = a(0,0,...,0) · ϕ , d.h. „Faktor mal Funktion“.

226


Definition 8.2 (Der Schwartz-Raum S(RN )) Funktionen ϕ : RN → C, die - beliebig of (partiell) differenzierbar sind und - schneller als jedes Produkt der Form „Potenz · Ableitung“ für |x| → +∞ gegen null gehen, fasst man im Vektorraum S(RN ) (über C) zusammen. D.h. + , S(RN ) :=

ϕ ∈ C∞ (RN )

sup xα ∂ β ϕ (x)

< +∞ für jede Wahl der Multiindizes α , β

.

x∈RN

S(RN ) heißt der Raum der rasch fallenden Funktionen. Beispiel 8.1 N 2 2 1. Es sei ϕ (x) := e−x = e− ∑k=1 ξk (x = (ξ1 , ..., ξN )). N Dann gilt ϕ ∈ S(R ). Dies folgt aus der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Tatsache, dass 2 lim|t|→+∞ |t|m e−t = 0 gilt. 2. Es sei ϕ eine beliebige oft differenzierbare Funktion, ϕ : RN → C, die außerhalb einer Kugel {x ∈ RN | |x| ≤ a} a > 0, verschwindet, also ϕ (x) = 0(a < |x|). Dann gehört ϕ zu S(RN ). (Übung für den Leser.) Bemerkung 8.2 Die Menge aller Funktionen, die in 2. in Beispiel 8.1 erfasst sind (für die also jeweils ein a > 0 existiert mit ϕ (x) = 0 (a < |x|)) bildet einen (komplexen) Vektorraum, der üblicherweise mit C0∞ (RN ) bezeichnet wird. Mit einer passenden Topologie wird er zum lokalkonvexen Raum D(RN ), dem Grundraum der finiten Funktionen.

Der Vektorraum S(RN ) soll ein lokalkonvexer Raum werden. Dies kann durch Einführung einer Menge von Halbnormen realisiert werden. Es gibt dafür mehrere Möglichkeiten. System 1 von Halbnormen für S(RN ). Jedem Paar (α , β ) von Multiindizes und jeder Funktion ϕ ∈ S(RN ) werde die Zahl pα ,β (ϕ ) := sup xα ∂ β ϕ (x)

(8.11)

x∈RN

zugeordnet. Es ist leicht zu sehen, dass (bei festen α , β ) die Zuordnung

ϕ → pα ,β (ϕ ) eine Halbnorm (vgl. Definition 10.17) auf S(RN ) liefert. System 2 von Halbnormen für S(RN ). Jeder natürlichen Zahl k = 0, 1, 2, ... und jeder Funktion ϕ ∈ S(RN ) werde die Zahl qk (ϕ ) :=

∑

sup ((1 + x2 )k · |∂ α ϕ (x)|)

|α |≤k x∈RN

zugeordnet. Wiederum liefert (bei festem k) die Zuordnung

ϕ → qk (ϕ )

(8.12)

8.2 Der Schwartz-Raum S(RN ) (N = 1, 2, ...)

227

eine Halbnorm auf S(RN ), die (sogar) eine Norm (vgl. Definition 10.17) ist. System 3 von Halbnormen für S(RN ). Jedem Paar (α , β ) von Multiindizes und jeder Funktion ϕ ∈ S(RN ) werde die Zahl pˆα ,β (ϕ ) :=

2

RN

xα ∂ β ϕ (x) dx

1 2

(8.13)

zugeordnet. Bei festem (α , β ) ergibt die Zuordnung

ϕ → pˆα ,β (ϕ ) eine Halbnorm auf S(RN ). Eine Metrik auf S(RN ).Mittels des Systems 2 von Halbnormen auf S(RN ), also der Folge {qk }, definieren wir für ϕ , ψ aus S(RN ) ∞

1

qk (ϕ − ψ )

∑ 2k · 1 + qk (ϕ − ψ )

d(ϕ , ψ ) :=

(8.14)

k=0

Damit erhalten wir (Beweis!) eine Metrik auf dem Raum S(RN ). Ein Vergleich der Halbnormensysteme {pα ,β }; {qk }; { pˆα ,β } zeigt, dass alle drei Systeme von Halbnormen auf dem Raum S(RN ) die gleiche lokalkonvexe Topologie liefern, die mit der durch die mittels (8.14) erklärten Metrik auf S(RN ) erzeugten Topologie identisch ist. Bezüglich der in (8.14) erklärten Metrik ist der Raum S(RN ) ein lokalkonvexer vollständiger linearer metrischer Raum. Für diesen Raum gilt (8.15) S(RN ) ⊆ L p (RN )(1 ≤ p ≤ ∞). Zunächst zeigen elementare Betrachtungen (Benutzung N-dimensionaler Kugelkoordinaten), dass das Integral dx =: C 2 N RN (1 + x ) existiert (also < +∞ ist). Zum Nachweis der Existenz des Integrals RN

|ϕ (x)| p dx

für eine Funktion ϕ ∈ S(RN ) schätzen wir den Integranden wie folgt ab: Für alle x ∈ RN gilt N

p

|ϕ (x)| p = (1 + x2 ) p · ϕ (x) · (1 + x2 )−N ≤ (man beachte 1 ≤ p) p

(1 + x2 )N · ϕ (x) ·(1+x2 )−N ≤ ( jetzt benutzen wir, dass ϕ ∈ S(RN ) gilt) ≤ qN (ϕ )·(1+x2 )−N , wobei qN (ϕ ) in (8.12) definiert wurde. Folglich gilt 0≤

RN

|ϕ (x)| p dx ≤ qN (ϕ ) ·

RN

dx < +∞, (1 + x2 )N

(8.16)

228


womit die Zugehörigkeitsrelation

ϕ ∈ L p (RN ) nachgewiesen ist. Die dazu bewiesene Ungleichung (8.16), RN

|ϕ (x)| p dx ≤ C · qN (ϕ ),

gültig für alle ϕ ∈ S(RN ), beweist zusätzlich, dass die Einbettungsabbildung ϕ → j(ϕ ) :

ϕ ∈ S(RN ) → ϕ ∈ L p (RN ) j eine stetige Abbildung ist (sie ist auch linear), denn aus der obigen Ungleichung folgt die weitere Abschätzung

1 p 1 1 p |ϕ (x)| dx ≤ C p · qN (ϕ ) p (8.17) ϕ L p (RN ) = RN

für alle ϕ ∈ S(RN ). Durchläuft ϕ eine Folge {ϕk } aus S(RN ), die in S(RN ) gegen das Nullelement konvergiert, so gilt die Limesrelation lim d(ϕk , 0) = 0,

k→+∞

wobei d(·, ·) die in (8.14) erklärte Metrik auf S(RN ) ist. Daraus folgt, dass auch limk→+∞ qN (ϕk ) = 0 ist und schließlich aus (8.16), dass lim ϕk L p (RN ) = 0

k→+∞

gilt. Somit ist die Einbettungsabbildung j im Nullelement von S(RN ) stetig. Wegen der (ersichtlichen) Linearität von j ist diese Abbildung auf dem gesamten Raum S(RN ) stetig.

8.3 Der Raum S (RN ) der temperierten Distributionen Definition 8.3 Ein stetiges lineares Funktional f auf dem Raum S(RN ) heißt eine temperierte Distribution. Man schreibt statt f (ϕ ), ϕ ∈ S, auch ( f , ϕ ), ϕ ∈ S. Die Menge aller temperierten Distributionen werde mit S (RN ) bezeichnet. Statt des Ausdrucks „temperierte Distribution“ verwendet man auch den Ausdruck „Distribution schwachen Wachstums“. Bemerkung 8.3 1. Eine temperierte Distribution ist somit eine Abbildung f : S(RN ) → C mit folgenden Eigenschaften (1) f (αϕ + β ψ ) = α f (ϕ ) + β f (ψ ) für alle ϕ , ψ ∈ S(RN ) und alle α , β ∈ C. (2) Gilt mit der in (8.14) erklärten Metrik d(·, ·) und für eine Folge {ϕn } aus S(RN ) die Limesrelation d(ϕn , ϕ ) → 0 für n → +∞ und ein festes ϕ ∈ S(RN ), so gilt limn→+∞ f (ϕn ) = f (ϕ ) (im Sinne einer konvergenten Zahlenfolge).

8.4 Das Rechnen mit temperierten Distributionen

229

2. Die Menge aller temperierten Distributionen S (RN ) bildet in natürlicher Weise einen (komplexen) Vektorraum: Sind f , g Elemente von S (RN ) und ist α ∈ C, so sei erklärt: ( f + g)(ϕ ) : (α f )(ϕ ) :

= =

f (ϕ ) + g(ϕ ) α f (ϕ )

für alle ϕ ∈ S(RN )

3. Die Motivation zur Einführung des Begriffs der (temperierten) Distribution (und der Distributionen überhaupt) liegt begründet im unausweichlichen Zwang, das Begriffsnetz der Analysis der reellen und komplexen Funktionen (von einer oder mehreren reellen Variablen) so erweitern zu müssen, dass z.B. eine umfassende Theorie der Differentialgleichungen ermöglicht wird, die auch die Modellierung realer Prozesse, in denen unstetige, sprungbehaftete Verläufe, nadelförmige Impulse und Ursachen mit großer „Rauhigkeit“ (Fraktale) auftreten, einerseits nicht nur zulässt, sondern auch entsprechende, nun verallgemeinerte Lösungen in einer konsistenten Theorie und Numerik von Differentialgleichungen liefert. 4. Zur Theorie und Anwendung der temperierten Distributionen gibt es heute Literaturquellen von beträchtlichen Umfang, wir erwähnen im Sinne einer stark konzentrierten Auswahl die grundlegenden Werke von Szmydt [161],[160], Wladimirov [172], L. Schwartz [153], Gel’fand, Schilov und Wilenkin [61], Taylor [166], Treves [167], [168] und Antosik, Mikusinski und Sikorski [10]. 5. In den nachfolgenden Abschnitten werden die einfachsten Grundoperationen dieses erweiterten Begriffsnetzes der Analysis erläutert, das „Rechnen mit Distributionen“. Danach geht es um die Hermite’schen Orthogonalfunktionen und ihre Anwendung bei Distributionen und um die Verallgemeinerung der FourierTransformation auf Distributionen, womit ein enger Zusammenhang zwischen Algebra und Differentialrechnung nicht nur herausgearbeitet wird, sondern auch seine Anwendung auf Probleme der Mathematischen Physik vorbereitet werden soll.

8.4 Das Rechnen mit temperierten Distributionen Die Addition von temperierten Distributionen sowie die Multiplikation mit einem Zahlenfaktor und einer temperierten Distribution wurden im vorangehenden Abschnitt definiert, im folgenden Abschnitt geht es um die Grundoperationen der Differentiation, der Multiplikation eines Polynoms mit einer temperierten Distribution und der Faltung zweier temperierter Distributionen. Zu Folgen von temperierten Distributionen vgl. Definition 8.9 und Satz 8.5. Das entscheidende methodische Hilfsmittel ist die Verwendung von Dualitätsbeziehungen, die, weil sie in Spezialfällen schon nachgewiesen (und bekannt) sind, als Ausgangspunkt der Erweiterung von Definitionen für „gewöhnliche“ Funktionen auf „verallgemeinerte Funktionen“ (also Distributionen) verwendet werden können (in einem gewissen Sinn sogar müssen).

8.4.1 Differentiation Am Beispiel der Operation Differentiation wollen wir die konkreten Schritte, die zur gewünschten Verallgemeinerung führen, für den Fall N = 1 nachvollziehen. Es seien f : R → C eine stetig differenzierbare Funktion einer (reellen) Variablen, die einer Ungleichung | f (x)| ≤ M(1 + x2 )k

230


für ein (festes) k ∈ N und alle x ∈ R genügt, sowie ϕ ∈ S eine rasch fallende Funktion ϕ : R → C (vgl. Definition 8.2). Wir betrachten das Integral +∞

I :=

−∞

f (x)ϕ (x)dx.

Dieses Integral ist der Grenzwert der Folge der Integrale n

In :=

−n

f (x)ϕ (x)dx

(n = 1, 2, ...)

für n → +∞ (unsere Voraussetzungen über f und ϕ sichern diese Feststellung, was der Leser nachvollziehen sollte). Nach der üblichen Formel der partiellen Integration gilt In = f (x)ϕ (x)|n−n −

n −n

f (x)ϕ (x)dx = f (n)ϕ (n) − f (−n)ϕ (−n) −

n −n

f (x)ϕ (x)dx.

Nach der Voraussetzung über f gelten die Ungleichungen (n = 1, 2, ...) | f (n)ϕ (n)| ≤ M(1 + n2 )k · |ϕ (n)| und | f (−n)ϕ (−n)| ≤ M(1 + n2 )k · |ϕ (−n)|. Wegen ϕ ∈ S gilt (vgl. die Definition 8.2 von S), dass eine Konstante M > 0 existiert, für die die Ungleichung |ϕ (x)|(1 + x2 )k+1 ≤ M für alle x ∈ R zutrifft. Somit folgt die Abschätzung 0 ≤ M(1 + n2 )k |ϕ (n)| =

M(1 + n2 )k+1 MM · |ϕ (n)| ≤ 2 1+n 1 + n2

für alle n ∈ N, also gilt auch (n = 1, 2, ...) 0 ≤ | f (n)ϕ (n)| ≤

MM , 1 + n2

woraus direkt folgt, dass lim | f (n)ϕ (n)| = 0

n→+∞

sein muss, analog ist natürlich lim | f (−n)ϕ (−n)| = 0.

n→+∞

Damit folgt schließlich (mittels Grenzübergang) aus dem zweiten, mittels partieller Integration hergestellten Ausdrucks für In die Gleichheit n +∞ +∞ I= f (x)ϕ (x)dx = lim In = lim − f (x)ϕ (x)dx = − f (x)ϕ (x)dx. (8.18) −∞

n→+∞

n→+∞

−n

−∞

+∞ +∞ f (x)ϕ (x)dx tritt also das Integral − −∞ f (x)ϕ (x)dx, d.h., die An die Stelle des Integrals −∞

Operation „1. Ableitung“ ist von der gegebenen Funktion f (·) auf die Funktion ϕ (·) ∈ S gewissermaßen „herübergewälzt“ worden. Da der Raum S mit einer Funktion auch stets ihre erste Ableitung (und damit alle Ableitungen) enthält, lässt sich die bewiesene Formel (8.18) zur Definition der Ableitung einer temperierten Distribution f ∈ S in folgender Weise erweitern:


231

Definition 8.4 Es sei f ∈ S eine temperierte Distribution. Als Ableitung f dieser Distribution definieren wir die durch die Vorschrift (das ist eine der am Abschnittsanfang erwähnten Dualitätsbeziehungen) ( f , ϕ ) := −( f , ϕ ) (ϕ ∈ S) erklärte temperierte Distribution.

Diese Definition bedarf natürlich des Nachweises ihrer Korrektheit, d.h., es muss gezeigt werden, dass durch die genannte Vorschrift tatsächlich eine temperierte Distribution erklärt ist. Das wiederum heißt, dass die Linearität und die Stetigkeit des mit f bezeichneten Funktionals (auf dem Raum S) nachgewiesen werden muss. Linearität: Die Linearität folgt, indem man Schritt für Schritt die Definition der Ableitung von f , die Rechenregeln für gewöhnliche Ableitungen, die Linearität von f und schließlich wiederum die Definition der Ableitung von f einsetzt (α , β ∈ C): ( f , αϕ1 + β ϕ2 ) = −( f , (αϕ1 + β ϕ2 ) ) = −( f , αϕ1 + β ϕ2 ) = −(α ( f , ϕ1 ) + β ( f , ϕ2 )) = −α ( f , ϕ1 ) − β ( f , ϕ2 ) = α ( f , ϕ1 ) + β ( f , ϕ2 ). Stetigkeit: Es gelte die Beziehung limn→+∞ ϕn = 0 für eine Folge {ϕn } aus S. Zu zeigen ist, dass auch limn→+∞ ( f , ϕn ) = 0 gilt. Nach Definition 8.4 ist ( f , ϕn ) = −( f , ϕn ) (n = 1, 2, ...). Aus der Definition der Metrik in S ist ersichtlich, dass aus limn→+∞ ϕn = 0 in S auch die Relation limn→+∞ ϕn in S folgt (der Leser vollziehe selbst diesen Schluss). Da aber das Funktional f als stetig vorausgesetzt wurde, ergibt sich limn→+∞ ( f , ϕn ) = 0, also (wegen ( f , ϕn ) = −( f , ϕn )) auch limn→+∞ ( f , ϕn ) = 0, womit alles gezeigt ist. Die Erweiterung dieser Definition auf den mehrdimensionalen Fall (N ≥ 1) sowie auf Ableitung höherer Ordnung bietet nun keine Schwierigkeiten. Wir definieren für f ∈ S (RN ) (x = (ξ1 , ..., ξN ) ∈ RN ) ∂f ∂ϕ , ϕ := − f , (ϕ ∈ S; k = 1, ..., N) ∂ ξk ∂ ξk für die partiellen Ableitungen erster Ordnung und allgemein für jeden Multiindex α = (α1 , ..., αN ) die höheren (partiellen) Ableitungen , + , + ∂ |α | f ∂ |α | f (ξ1 , ..., ξN ) , ϕ := , ϕ := ∂ xα ∂ ξ1α1 ∂ ξ2α2 ...∂ ξNαN + , + , ∂ |α | ϕ ∂ |α | ϕ (ξ1 , ..., ξN ) |α | |α | f, := (−1) f , α1 α2 = (−1) ∂ xα ∂ ξ1 ∂ ξ2 ...∂ ξNαN für alle ϕ ∈ S(= S(RN )). (Der Fall N = 1 ist automatisch mit erfasst.) Aufgabe. Der Leser weise nach, dass alle (höheren) partiellen Ableitungen für temperierten Distributionen unabhängig von der Reihenfolge der Variablen sind (Satz von H. A. Schwarz), dass also z.B. ∂2 f ∂2 f = ∂ ξ1 ∂ ξ2 ∂ ξ2 ∂ ξ1

232


für jedes f ∈ S gilt. Des Weiteren ist natürlich noch zu zeigen, dass, unter einschränkenden Voraussetzungen, die „neue“ Definition der Ableitung in S mit der bisherigen Auffassung übereinstimmt und damit eine Permanenz-Eigenschaft besitzt. Dies wird am Ende des kommenden Abschnittes (vgl. (8.29)) gezeigt, da der Begriff der regulären temperierten Distribution benutzt werden muss.

8.4.2 Multiplikation Die Multiplikation einer temperierten Distribution mit einem Polynom wird gleichfalls durch eine Dualitätsbeziehung definiert. Wir beachten dazu, dass das Produkt eines Polynoms mit einer rasch fallenden Funktion (ϕ ∈ S) wieder eine rasch fallende Funktion ist. Definition 8.5 Es sei f ∈ S (RN ) und P(·) ein Polynom (in N Variablen), also P(x) = ∑0≤|α |≤m aα xα mit x = (ξ1 , ..., ξN ) und Konstanten aα ∈ C (xα = ξ1α1 · ξ2α1 · ... · ξNαN ). Durch die Vorschrift (ϕ ∈ S) (P(x) · f , ϕ ) := ( f , P(x)ϕ ) (genauer: (P(·) f , ϕ (·)) := ( f , P(·)ϕ (·))) ist eine temperierte Distribution P · f erklärt, das Produkt des Polynoms P(·) mit der temperierten Distribution f .

Den Nachweis, dass P · f eine temperierte Distribution liefert, überlassen wir dem Leser. Sehr leicht ist der Nachweis der Produktregel für die Differentiation eines Produkts eines Polynoms P mit einer temperierten Distribution f . Denn es gilt für alle ϕ ∈ S die folgende Gleichungskette (der Leser prüfe alle Einzelschritte) ∂ (P · f ) ∂ϕ ∂ϕ ∂ (Pϕ ) ∂ P ,ϕ = − P· f, − ·ϕ = = − f,P· = − f, ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂P·ϕ ∂P ∂f ∂P ·ϕ = ,P·ϕ + f · ,ϕ = + f, = − f, ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂f ∂P ∂f ∂P ,ϕ + f · ,ϕ = P· +f· , ϕ , (ϕ ∈ S) = P· ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk

somit folgt

∂ (P · f ) ∂f ∂P =P +f . ∂ ξk ∂ ξk ∂ ξk also die (übliche) Produktregel. Der Leser beachte, dass die partiellen Ableitungen eines Polynoms wieder Polynome sind und daher alle auftretenden Ausdrücke bereits erklärt sind. Unschwer lässt sich die Multiplikation eines Polynoms mit einer temperierten Distribution verallgemeinern auf C∞ -Funktionen, für die alle (partiellen) Ableitungen durch gewisse Polynome (die von der gewählten Ableitung abhängen) nach oben in ihrem Betrag beschränkt sind. Wir gehen auf diese Verallgemeinerung nicht ein und verweisen auf die genannte Literatur (vgl. Szmydt [161], [160]).


233

8.4.3 Die Faltung von temperierten Distributionen Wir beginnen mit der Faltungsoperation für Grundfunktionen, also in den Räumen S(R) bzw. S(RN ). Definition 8.6 Sind zwei Funktionen f und g, erklärt auf R und mit komplexen Werten, gegeben, so bezeichnet man das Parameter-Integral (ein uneigentliches Lebesgue-Integral, gelegentlich auch Riemann-Integral) +∞ −∞

f (x)g(y − x)dx

(y ∈ R)

im Falle seiner Existenz für alle Werte des Parameters y ∈ R als Faltungsintegral oder kurz, als die Faltung der beiden Funktionen f und g (symbolisch f ∗ g): ( f ∗ g)(y) :=

+∞ −∞

f (x)g(y − x)dx

(y ∈ R).

(8.19)

Für Funktionen, die auf RN erklärt sind, ( f : RN → C, g : RN → C), definiert man entsprechend ( f ∗ g)(y) :=

RN

f (x)g(y − x)dx

(y ∈ RN ).

(8.20)

Zum Beispiel existiert das Faltungsintegral ersichtlich dann, wenn f und g zum Raum L2 (R) bzw. L2 (RN ) gehören. Somit ist, wegen der Inklusion S(R) ⊆ L2 (R) bzw. S(RN ) ⊆ L2 (RN ) (vgl. (8.15)) die Faltung zweier Funktionen ϕ , ψ ∈ S(R) (bzw. S(RN )) stets erklärt und darüber hinaus gilt – wie mittels der Grundeigenschaften von Parameter-Integralen nachgewiesen werden kann – die wichtige Eigenschaft, dass auch die Faltung ϕ ∗ ψ zum Raum S(R) (bzw. S(RN )) gehört. Genauer formuliert, es gilt der folgende Satz (vgl. Reed und Simon [133], S. 16/17). Satz 8.3 (1) Für jede Funktion ψ ∈ S(R) (bzw. S(RN )) ist die Zuordnung

ϕ ∈ S(R) $→ ψ ∗ ϕ (bzw. ϕ ∈ S(RN )) eine stetige lineare Abbildung von S(R) in den Raum S(R) (bzw. S(RN ) in den Raum S(RN )). (2) Für je drei Funktionen ϕ , ψ , χ aus S(R)(S(RN )) gilt stets das Assoziativgesetz

ϕ ∗ (ψ ∗ χ ) = (ϕ ∗ ψ ) ∗ χ (3) Das Faltungsprodukt ∗ ist kommutativ, also für je zwei Funktionen ϕ , ψ aus S(R)(S(RN )) ist

ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ.

Den Beweis dieses Satzes kann mittels der Fourier-Transformation im Raum S(R)(S(RN )) geführt werden (vgl. Abschnitt 8.8). Wir erweitern nun das Faltungsprodukt auf den Fall, dass der erste Faktor eine temperierte Distribution f ∈ S (R)(S (RN )) und der zweite Faktor eine Grundfunktion ψ ∈ S(R)(S(RN )) ist.

234


Definition 8.7 Für f ∈ S (R) und ψ ∈ S(R) setzen wir ψ ∗ (x) := ψ (−x)(x ∈ R) und damit definieren wir die Faltung f ∗ ψ mittels der Gleichung (8.21) ( f ∗ ψ, ϕ) = ( f , ψ∗ ∗ ϕ) für alle ϕ ∈ S(R) (analog für den Fall des Raumes RN ).

Zum Beweis der Sinnfälligkeit dieser Definition muss gezeigt werden, (1) dass durch Definition 8.7 tatsächlich ein stetiges lineares Funktional f ∗ ψ auf dem Raum S(R) erklärt ist (bzw. auf S(RN )), und (2) dass für den einschränkenden Fall, dass sogar f ∈ S(R) gilt, die bereits in Definition 8.6 erklärte Faltungsoperation mit der hier in Definition 8.7 vereinbarten Operation „Faltung“ übereinstimmt (bzw. für f ∈ S(RN )). Zu (1): Nach Satz 8.3 folgt aus ϕn → 0 für n → +∞ im Raum S(R) ebenso, dass ψ ∗ ∗ ϕn → 0 für n → +∞ im Raum S(R) gilt (man beachte, dass mit ψ ∈ S(R) auch ψ ∗ ∈ S(R) gilt). Aus der vorausgesetzten Stetigkeit des Funktionals f auf S(R) (analog S(RN )) folgt dann tatsächlich auch limn→+∞ ( f ∗ ψ , ϕn ) = limn→+∞ ( f , ψ ∗ ∗ ϕn ) = 0, womit die Stetigkeit von f ∗ ψ auf S(R)(S(RN )) gezeigt ist. Zu (2): Diese Eigenschaft ergibt sich mittels der Erweiterung des Satzes von Fubini (vgl. Satz 10.39). Der Leser rechne im Detail nach. Für f ∈ S(R) (alles analog für S(RN )) ϕ ∈ S(R), ψ ∈ S(R) gelten die Gleichheiten: +∞ +∞ +∞ f (x) · (ψ ∗ ∗ ϕ )(x)dx = f (x) ψ ∗ (x − t)ϕ (t)dt dx = ( f , ψ∗ ∗ ϕ) = −∞

−∞

+∞ −∞

=

+∞ +∞ −∞

−∞

f (x)

+∞

−∞

−∞

ψ (t − x)ϕ (t)dt dx =

ψ (t − x) f (x)dx · ϕ (t)dt =

+∞

−∞

(ψ ∗ f ) · ϕ (t)dt =

= (ψ ∗ f , ϕ ) = ( f ∗ ψ , ϕ ). Aufgabe. Für die Verwendung des Faltungsprodukts für Differentialgleichungen ist die folgende Differentiationsregel für Faltungsprodukte besonders nützlich. Sie lautet: Sind f ∈ S (RN ) und ϕ ∈ S(RN ), so gelten für jeden Multiindex α = (α1 , · · · , αN ) die Gleichheiten δ α ( f ∗ ϕ) = f ∗ δ α = δ α f ∗ ϕ. Den Beweis führe der Leser als Aufgabe. Er beginne mit dem Fall N = 1, α = 1 und f ∈ S(R) und benutze die Kommutativität des Faltungsprodukts, die Regel für die Differentiation des Parameterintegralen und die partielle Integration.

8.5 Beispiele für temperierte Distributionen Beispiel 8.2 (Reguläre temperierte Distributionen) Wir betrachten zuerst temperierte Distributionen, die durch eine potenzbeschränkte lokalsummierbare Funktion erklärt sind. Es sei also f : R → C eine lokalsummierbare Funktion (d.h., es existieren alle Integrale

8.5 Beispiele für temperierte Distributionen

235

b

a | f (x)|dx im Lebesgue’schen Sinn für −∞ < a < b < +∞), und für eine natürliche Zahl k(= 0, 1, 2, ...) existiere eine feste Zahl M > 0 sowie eine positive Zahl r0 mit

| f (x)| ≤ M|x|k für alle x ∈ R mit r0 ≤ |x|. Dann wird durch die Vorschrift ( f˜, ϕ ) :=

+∞ −∞

f (x)ϕ (x)dx

(8.22)

(ϕ ∈ S)

(8.23)

ein stetiges lineares Funktional f˜ auf S erklärt, d.h., f˜ ist eine temperierte Distribution, f˜ ∈ S . Der einfache Beweis für diesen Sachverhalt sei dem Leser anempfohlen. Es sei angemerkt, dass die von der lokalsummierbaren Funktion f erzeugte Distribution f˜ manchmal auch wieder mit f bezeichnet wird, insbesondere, wenn es sich um „elementare“ Funktionen handelt (vgl. dazu u.a. Wladimirow [172]). Definition 8.8 Eine temperierte Distribution, die in der obigen Weise durch eine potenzbeschränkte lokalsummierbare Funktion erklärt wird, heißt eine reguläre temperierte Distribution. Die Verallgemeinerung auf den mehrdimensionalen Fall ist wörtlich zu übertragen.

Besteht eine Ungleichung der Form (8.22) für eine lokalsummierbar Funktion f : R → C nicht, so brauchen keineswegs alle in (8.23) auftretenden Integrale überhaupt zu existieren, wie das x2

Beispiel der (lokalsummierbaren) Funktion f (x) = ex zeigt. Man setze ϕ (x) = e− 2 für x ∈ R, 2

dann gilt ϕ ∈ S, aber

+∞ −∞

f (x)ϕ (x)dx =

+∞ −∞

x2

e 2 dx = +∞.

Beispiel 8.3 (Das Dirac-Funktional) Mit Definition 8.8 hat man eine große Anzahl von (regulären) temperierten Distributionen erhalten. Die einfachste (und wichtigste) nicht reguläre (=singuläre) temperierte Distribution ist das sogenannte Dirac’sche δ -Funktional, das auf dem Raum S durch die Vorschrift (δ , ϕ ) := ϕ (0)

für ϕ ∈ S

(8.24) S

(im ein- bzw. mehrdimensionalen Fall) erklärt ist. Die Zugehörigkeit von δ zum Raum ist unmittelbar ersichtlich, der Nachweis, dass δ keine reguläre temperierte Distribution im Sinne von Definition 8.8 ist, erfordert zusätzliche, aber einfache Überlegungen, die hier übergangen werden können. Als Verallgemeinerung gegenüber (8.24) führen wir noch die „verschobene“ δ -Distribution δx0 ein, die für x0 ∈ R (bzw. x0 ∈ RN ) durch die Formel (8.25) (δx0 , ϕ ) := ϕ (x0 ) für ϕ ∈ S erklärt wird. Das Funktional δx0 kann in der Mechanik als Punktmasse und in der Elektrotechnik als Punktladung (an der Stelle x0 ) interpretiert werden. Eine wichtige Anwendung des δ -Funktionals ist der Begriff der Grundlösung linearer partieller Differentialgleichungen (vgl. Abschnitt 8.10.1). In der Mathematischen Ökonomie gilt u.a.: Für die (konvexe) Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße (als Teilmenge eines Dualraumes) sind die Dirac-Maße (vgl. (10.136)) die Extremalpunkte (vgl. Pedersen [128], S.72). Es besteht ein enger Zusammenhang zu den Atom-Maßen (atomic measure), vgl. dazu (10.145). Ist P(·) ein Polynom in x ∈ R (bzw. x ∈ RN ), so gilt nach Definition 8.5 für das Produkt „Polynom · temperierte Distribution“ die Gleichung (ϕ ∈ S) (P(·)δ , ϕ ) = (δ , P(·)ϕ (·)) = P(0) · ϕ (0). Speziell folgt für P(x) = xα

= ξ1α1 · ξ2α2 · · · ξNαN

mit |α | = α1 + α2 +· · ·+ αN > 0 die oft benötigte Gleichung xα · δ = 0,

dabei steht rechts das Null-Funktional 0, das jedem Element ϕ ∈ S den Wert 0 zuordnet.

(8.26)

236


Beispiel 8.4 (Die Heaviside-Funktion Θ(·)) Als Heaviside-Funktion bzw. Einheitssprung bezeichnet man (im Fall N = 1) die unstetige Funktion Θ(·), die durch die Vorschrift 0 für x ∈ (−∞, 0) Θ(x) = 1 für x ∈ [0, +∞) auf R gegeben ist. Da diese Funktion Θ(·) ersichtlich lokal summierbar ist und (mit r0 = 2; M = 1; k = 1) eine Bedingung der Form (8.22) genügt, ist durch +∞

(Θ, ϕ ) =

−∞

Θ(x)ϕ (x)dx =

∞ 0

ϕ (x)dx (ϕ ∈ S)

(8.27)

eine temperierte Distribution Θ ∈ S gegeben. Hier wird von der in Beispiel 8.2 gemachten Bemerkung Gebrauch gemacht, die von der Funktion Θ erzeugten Distribution wieder mit Θ zu bezeichnen. Zur Berechnung ihrer Ableitung (in S ) gehen wir auf deren Definition 8.4 zurück und erhalten für ein beliebiges ϕ ∈ S die Gleichheiten (Θ , ϕ ) = −(Θ, ϕ )

= − (8.27)

∞ 0

ϕ (x)dx = − lim

b

b→+∞ 0

ϕ (x)dx =

= − lim [ϕ (b) − ϕ (0)] = ϕ (0) − lim ϕ (b) = ϕ (0) b→+∞

b→+∞

wobei wir die Definition eines uneigentlichen (Riemann-) Integrals und die Gleichung limb→+∞ ϕ (b) = 0, die für alle rasch fallenden Funktionen gilt, sowie den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt haben. Der Vergleich mit (8.24) zeigt, dass stets (Θ , ϕ ) = ϕ (0) = (δ , ϕ )

(ϕ ∈ S)

gilt, somit erhalten wir die häufig gebrauchte Beziehung Θ = δ .

(8.28)

Beispiel 8.5 (Die zur p-ten Potenz summierbaren Funktionen als temperierte Distributionen) Es sei f ∈ L p (RN ) für 1 < p < ∞. Wir bilden den Ausdruck ( f˜, ϕ ) :=

RN

f (t)ϕ (t)dt

für ϕ ∈ S(RN ). Die Existenz des Integrals rechts ergibt sich mittels der Hölder’schen Ungleichung RN

f (t)ϕ (t)dt ≤

(p : konjugierter Exponent, d. h.

RN

1/p | f (t)| dt · p

RN

p

1/p

|ϕ (t)| dt

1 p = 1) und der bereits (vgl. Ende des Abschnittes 8.2) bewiesenen Tatsache, dass die Inklusion S(RN ) ⊆ L p (RN ) für alle p ∈ (1, ∞) besteht. Die Stetigkeit des oben erklärten 1 p

+

Funktionals f˜ auf S(RN ), also seine Zugehörigkeit zu S (RN ), folgt aus der stetigen Einbettung von S(RN ) in den Raum L p (RN ) (vgl. Ende des Abschnittes 8.2). Der Leser vollziehe die Detailschritte nach. Für den Fall p = 1, der problemlos einbezogen werden kann, geht man analog von der Ungleichung RN

aus.

f (t)ϕ (t)dt ≤

RN

| f (t)|dt · sup |ϕ (t)|( f ∈ L1 , ϕ ∈ S) t∈RN

8.5 Beispiele für temperierte Distributionen

237

Es folgt der noch nachzuholende Beweis der Permanenzeigenschaft des Ableitungsbegriffes einer Distribution. Jede Funktion ψ ∈ S erfüllt (Aufgabe für den Leser) eine Ungleichung der Form (8.22) und ist (als stetige Funktion) lokalsummierbar auf R (bzw. RN ). Also kann dieser Funktion mittels der Gleichung (8.23) eine temperierte Distribution ψ˜ zugeordnet werden: für ϕ ∈ S gilt (ψ˜ , ϕ ) =

+∞ −∞

ψ (x)ϕ (x)dx.

Ihre Ableitung (als temperierte Distribution) ergibt sich dann (nach Definition 8.4) als ((ψ˜ ) , ϕ ) = (ψ˜ , −ϕ ) = −

=−

=

lim a → −∞ b → +∞

−∞

ψ (x)ϕ (x)dx = −

b

lim a → −∞ b → +∞

a

ψ (x)ϕ (x)dx =

. b ψ (b)ϕ (b) − ψ (a)ϕ (a) − ψ (x)ϕ (x)dx = a

b

lim a → −∞ b → +∞

+∞

a

ψ (x)ϕ (x)dx =

+∞ −∞

A , ϕ ) ψ (x)ϕ (x)dx = (ψ

(wobei wir das Integral mit den endlichen Grenzen a, b mittels partieller Integration umgeformt und die Limesbeziehungen lim ψ (b) = 0, lim ψ (a) = 0, lim ϕ (b) = 0, lim ϕ (a) = 0,

b→+∞

b→−∞

b→+∞

b→−∞

die wegen ϕ , ψ ∈ S gelten, benutzt haben). Insgesamt ergibt sich (wegen ψ ∈ S ist auch ψ eine lokalsummierbare Funktion mit Wachstumsbeschränkung (8.22)) A , ϕ ) ((ψ˜ ) , ϕ ) = (ψ

für alle

ϕ ∈S

und somit die (gewünschte) Gleichheit in S A . (ψ˜ ) = ψ

(8.29)

In Worten: Für ψ ∈ S ist die Ableitung der nach (8.23) zugeordneten temperierten DistributiA , die der (gewöhnlichen) Ableitung on, also (ψ˜ ) , gleich derjenigen temperierten Distribution ψ ψ zugeordnet ist (wiederum nach (8.23)). Damit ist die Permanenzeigenschaft gezeigt. Für den mehrdimensionalen Fall verläuft dieser Nachweis völlig analog (an die Stelle der partiellen Integration tritt die Green’sche Formel).

238


8.6 Über die Hermite’schen Orthogonalfunktionen Man überzeugt sich leicht davon, dass die Folge der durch die Vorschrift x2

ϕn (x) = xn e− 2

(−∞ < x < +∞; n = 0, 1, 2, ...)

2 erklärten Funktionen zum Raum S(R) und damit zum Raum L (R) gehören. Sie bilden aber be−∞ 2 züglich des Skalarprodukts im L (R) f |g = −∞ f (x)g(x)dx kein Orthogonalsystem (die

+∞ ϕn (x)ϕm (x)dx sind z. B. schon dann von null verschieden, wenn (n + m) eine Integrale −∞ gerade Zahl ist). Es stellt sich also ganz natürlich die Frage, welche Funktionen durch einen Orthogonalisierungsprozess (vgl. Satz 2.7) aus den Funktionen (ϕn ) mittels ihrer endlichen Linearkombinationen erzeugt werden können. Das Ergebnis ist bereits seit langer Zeit bekannt: Es handelt sich um die Hermite’schen Funktionen, die mittels der Gleichungen (n = 0, 1, 2, ...) 2 n x d −x2 hn (x) := (−1)n (e ) · e 2 (x ∈ R) (8.30) n dx

eingeführt werden können, es gilt z. B. h0 (x) =

x2

x2

x2

e− 2 ; h1 (x) = 2xe− 2 ; h2 (x) = (4x2 − 2)e− 2 ; x2

x2

h3 (x) = (8x3 − 12x)e− 2 ; h4 (x) = (16x4 − 48x2 + 12)e− 2 , ... und es gilt, wie man mittels vollständiger Induktion zeigt, die Rekursionsformel (es sei dabei h−1 (x) = 0 gesetzt) hn+1 (x) = 2xhn (x) − 2nhn−1 (x) (x ∈ R, n = 0, 1, 2, ...).

(8.31)

Weiterhin ist durch fortlaufende Anwendung der partiellen Integration (im Intervall (−∞, +∞), also inklusive der erforderlichen Grenzübergänge) elementar nachweisbar, dass die Beziehungen (man muss beachten, dass die hn (·) reelle Funktionen sind) hn |hm =

+∞ −∞

hn (x)hm (x)dx = 0

für n = m gelten. Das System {h0 , h1 , h2 , ...} bildet also ein Orthogonalsystem und ersichtlich (vollständige Induktion) ist jede dieser Funktionen eine endliche Linearkombination aus den zux2

vor betrachteten Funktionen ϕn (x) = xn e− 2 (n = 0, 1, ...) für x ∈ R. Mittels der Rekursionsformel (8.31) ergibt sich (vollständige Induktion) auch die Umkehrung dieser Feststellung (der Beweis sei dem Leser anempfohlen): Lemma 8.1 (n) (n) (n) Es gibt (reelle) Konstante C0 (= C0 ),C1 (= C1 ), ...,Cn (= Cn ) für die die Gleichung + , x2

xn e− 2 = ϕn (x) =

n

∑ Ck hk (x)

k=0

besteht (n = 0, 1, 2, ...; x ∈ R).

=

n

(n)

∑ Ck

k=0

hk (x)

8.6 Über die Hermite’schen Orthogonalfunktionen

239

D.h., die obengenannten Funktionen ϕn (·) sind sämtlich als endliche Linearkombinationen der Hermite’schen Funktionen darstellbar. Damit das System {hn } ein Orthonormalsystem wird, muss jedes hn durch seine Norm hn L2 dividiert werden. Wegen (wiederum vollständiger Induktion und partieller Integration) gilt die Gleichung hn 2L2 =

+∞ −∞

√ (hn (x))2 dx = 2n · n! π

(n = 0, 1, 2, ...),

also erhalten wir mittels

ψn (x) :=

1

√ · hn (x) (n = 0, 1, 2, ...; x ∈ R) π

2n · n!

(8.32)

ein Orthonormalsystem {ψn } im Raum L2 (R). Damit wir aber dieses System der ψn im Raum L2 (R) als „Basis für ein orthogonales Koordinatensystem“ verwenden können, müssen wir nachweisen, dass das System {ψn } vollständig ist, d.h., dass sich jedes Element f ∈ L2 (R) nach den ψn „entwickeln“ lässt, d.h., dass die Gleichung (verallgemeinerte Fourier-Reihe) f (x) =

∞

∑ cn ψn (x) mit cn = f |ψn (n = 0, 1, 2, ...) im L2 (R)

(8.33)

n=0

gilt, m. a. W., dass die Limesbeziehung (im L2 (R)) B C n

lim

n→+∞

f − ∑ ck ψk L2 (R) = 0 für jedes f ∈ L2 (R) besteht. k=0

Bekanntlich gilt diese Limesbeziehung für jedes f ∈ L2 (R) genau dann, wenn die Menge der (endlichen) Linearkombinationen aus den ψn in L2 (R) dicht liegt, d.h., wenn es bei gegebenem f ∈ L2 (R) zu jedem ε > 0 eine Linearkombination ∑nk=0 ak ψk mit f − ∑nk=0 ak ψk ≤ ε gibt (ak ∈ C). Satz 8.4 Die Hermite’schen Orthogonalfunktionen, d.h. die Glieder der Folge {ψn (·)}, n ≥ 0, bilden im Raum L2 (R) (bezüglich dessen Metrik) ein vollständiges ONS.

Beweis: Wir folgen dem Vorgehen von Natanson [123], S. 339. Zunächst wird eine beliebig gegebene Funktion f ∈ L2 (R) in ihren geraden und in ihren ungeraden Anteil, fg bzw. fu , zerlegt. Es gilt (8.34) f (x) = fg (x) + fu (x) (x ∈ R) wobei

fg (x) := (1/2)( f (x) + f (−x)) (x ∈ R) fu (x) := (1/2)( f (x) − f (−x)) (x ∈ R)

gesetzt wird (dann gilt fg (−x) = fg (x); fu (−x) = − fu (x) (x ∈ R)). In (8.34) haben wir eine Orthogonalzerlegung, denn man berechnet direkt, dass fg | fu = 0 ist. Es reicht daher aus, die zu

240


beweisende Approximationseigenschaft für gerade bzw. für ungerade Funktionen f ∈ L2 (R) zu zeigen. Es sei zunächst f gerade. Wir arbeiten die gegebene Funktion zurecht, durch Anwendung der eingangs beschriebenen Approximationsprozesse „Abschneiden“ und „Glätten“. Also bestimmen wir zu einem gegebenen ε > 0 eine Zahl N > 0, sodass f − fN L2 (R) ≤ gilt, dabei sei

fN (x) =

f (x) 0

ε 3 |x| ≤ N N < |x|

für für

Anschließend wird „geglättet“, für ein geeeignetes ε > 0 gilt ε (ε ) fN − fN 2 ≤ 3 L (R) (ε )

(ε )

(es gilt fN (x) = ( fN ∗ ψε )(x), vgl. (8.8)). Die Funktion fN

ist (der Leser vollziehe dies nach) (ε )

beliebig oft differenzierbar und hat einen kompakten Träger (für (N + ε ) ≤ |x| gilt fN (x) = 0), liegt also auch in L2 (R). Des Weiteren wird in einer hinreichend kleinen Umgebung des Null(ε ) punktes die Funktion fN lokal durch null ersetzt („Ausschneiden“), indem wir sie einfach mit der nach Satz 8.2 geglätteten charakteristischen Funktion des Intervalls [−2ε , 2ε ] (für geeignetes ε > 0) multiplizieren, also zur Funktion (ε )

χ[−2ε ,2ε ](ε ) · fN (ε )

übergehen und diese von fN

subtrahieren, also mit der Funktion (ε )

h := fN

(ε ) 1 − χ[−2ε ,2ε ]

arbeiten, welche die geforderte Eigenschaft ersichtlich besitzt (für x ∈ [−ε , ε ] gilt h(x) = 0, Aufgabe für den Leser). Durch geeignete Wahl von ε erreichen wir (Integration über ein Intervall von hinreichend kleiner Länge), dass schließlich auch ε (ε ) fN − h 2 ≤ 3 L (R) gilt, sodass insgesamt nach der Dreiecksungleichung die Abschätzung (ε )

(ε )

f − hL2 ≤ f − fN + fN − fN L2 + fN − hL2 ≤ ε folgt. Die Funktion h(·) ist gerade, beliebig oft differenzierbar und verschwindet im Intervall [−ε , ε ] sowie für (N + ε ) ≤ |x|.


241

Das weitere Vorgehen lässt sich wie folgt beschreiben: 1) Wir zeigen, dass sich der Integralausdruck + , +∞

Ig

:=

−∞

=2

[h(x) −

∞ 0

n

∑ ck e−kx

2

x2

e− 2 ]2 dx = (h(·) ist gerade)

k=1

B

+

n

,

∑ ck e

h(x) −

−kx2

2

− x2

e

C2 dx

k=1

durch geeignete Wahl von den ck (komplex) und von n ∈ N kleiner als

ε 2

wählen lässt. 2) An1

schließend wird mittels direkter Rechnung gezeigt, dass sich die Funktionen x → e−(k+ 2 )x (x ∈ R, k ∈ N) nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen ψm (·) (vgl. (8.32)) entwickeln lassen. Dies wird mittels der Parseval’schen Gleichung (Vollständigkeitsrelation) bewiesen. Zunächst +∞ −(k+ 1 )x2 2 werden die Entwicklungskoeffizienten ηm := −∞ e · hm (x)dx ermittelt und danach gezeigt, dass die folgende Gleichung besteht: ∞

∑

m=0

1

ηm2 = e−(k+ 2 )x 2L2 (R) = 2

+∞ −∞

2

e−(2k+1)x dx. 2

x2

Ersetzt man mittels der bekannten Werte von ck die Summe ∑nk=0 ck e−kx · e− 2 durch geeignete, hinreichend genau approximierende Partialsummen der Entwicklungen von den einzelnen Summanden nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen (z. B. jeweils mit dem L2 -Abstand kleiner oder gleich ε˜k := 1n ck · ε2 ) was nach dem vorher zu Zeigenden möglich ist, finden wir insgesamt eine Linearkombination von Hermite’schen Orthogonalfunktionen, die von der Funktion h(·) um weniger als ε (im Raum L2 (R)) abweicht und somit das gegebenen f mit der Genauigkeit 2ε (im Raum L2 (R)) approximiert, womit für diesen Fall ( f (·) eine gerade Funktion) nach der allgemeinen Theorie der Orthogonalentwicklung im Hilbert-Raum die Dichtheit der Linearkombinationen aus Hermite’schen Orthogonalfunktionen nachgewiesen ist (und damit die Entwickelbarkeit nach diesen Funktionen folgt). Für ungerades f (·) verlaufen die Betrachtungen völlig analog. Anstelle der oben genannten Näherungen für gerade Funktionen treten jetzt Ausdrücke der Form 2

r

x2

x $→ ∑ bk xe−kx · e− 2 2

(x ∈ R; k = 0, 1, 2, ...)

k=

die analog zur Approximation mittels Linearkombinationen Hermite’scher Orthogonalfunktionen eingesetzt werden. Die Zusammenfassdung beider Fälle (gerade und ungerade Funktion) liefert schließlich das gewünschte Ergebnis. Wir führen nun die Details für den Fall einer geraden Funktion f (·) soweit aus, dass der Leser den erforderlichen Einblick erhält. Der oben angegebene Integralausdruck Ig wird durch Substitution umgeformt, wir beachten, dass alle auftretenden Integrale (uneigentliche) Riemann-Integrale sind (die gleichmäßig konvergieren).

242


Im ersten Schritt setzen wir x2 = z und erhalten Ig

= 2 = 2

∞ 0

∞

n

−x2

e

h(x)e

0

0

2

k=0

B

∞ −z e

=

x2

[h(x) − ∑ ck e−kx e− 2 ]2 dx x2 2

C2

n

− ∑ ck e

−kx2

k=0

+

n √ z h( z)e 2 − ∑ ck e−kz

√ z

dx

,2 dz.

k=0

√ z Mit g(z) := h( ze 2 ) und der Substitution z = − lnt wird daraus unter Beachtung, dass h(·) in einer Umgebung von z = 0 selbst gleich null ist, + ,2 Ig =

1

0

n

g(− lnt) − ∑ ck t k

1

[− lnt]− 2

dt.

k=0

Die Funktion t $→ g(− lnt) ist stetig auf dem Intervall [0, 1]. Man beachte hierzu die Eigenschaften der Funktion h(·). Nach dem (klassischen) Weierstraß’schen Approximationssatz gibt es daher ein Polynom t $→ ∑nk=0 ck t k ; sodass, bei gegebenem n √ |g(− lnt) − ∑ ck t k | ≤ C · ε k=0

7

8− 1 1 2 gilt; für C > 0 wählen wir den Wert 01 [− lnt]− 2 dt =: C. (Der Leser überzeuge sich davon, dass 0 < C < +∞ gilt.) Damit wird schließlich (eben durch die passende Wahl der ck , k = 0, ..., n) erreicht, dass die Ungleichung 0 ≤ Ig ≤ ε gilt, womit der erste Schritt vollzogen ist. Für Schritt 2 benötigen wir die Entwicklungskoeffizienten +∞ 2 1 ηm := e−k x ψm (x)dx mit k = k + für k = 0, ..., n. 2 −∞ Ersichtlich gilt ηm = 0 für m = 2l + 1(l = 0, 1, 2, ...), weil ψm (·) für diesen Fall eine ungerade Funktion ist. Der Leser überlege diesen Sachverhalt. Für ηm mit m = 2l erhält (mittels vorhandener Tafelwerke z. B. [69] und Literaturquellen [27] und nach einer längeren Rechnung) die Beziehung + , − 1 √ k 1 1 (2l − 1)!! 2 η2l = (−1)l · 2− 2 π · · + 1 k 1 k (2l)! 2 2 +4 (k = k + 12 ) ((2l − 1)!! := 1 · 3 · 5 · ... · (2l − 1)) 2 −1 k 2 und damit weiter mit ξ = 2k = k+1 2k +1 ∞

∑

l=0

η2l2

√ (2l)! π , = 4 ∑ ξ · 2l · 2 2(2k + 1) 2 · (l!) l=0 ∞

l


243

eine wegen (Quotientenkriterum!) 0 < ξ < 1 konvergente Reihe mit der Summe √ ∞ π 2 √ η = ∑ 2l 2k + 1 l=0 (beim Aufsummieren kommt die Potenzreihe für die Funktion t $→ die wegen 0 < ξ < 1 benutzt werden kann).

für t = ξ zum Einsatz,

√1 1−t

x2

Andererseits liefert die Integration von (ekx e− 2 )2 den gleichen Wert (Integraltafeln) +∞ 2 π , e−(2k+1)x dx = 2k + 1 −∞ 2

womit schließlich die erforderliche Gleichheit ∞

+∞

l=0

−∞

∑ η2l2 =

x2

(e−kx · e− 2 )2 dx 2

nachgewiesen ist. Somit gilt im Raum L2 (R) die Orthogonalentwicklung x2

e−kx · e− 2 = 2

∞

∑ η2l · ψ2l (x)

l=0

mit den obengenannten Werten für η2l . Damit ist der Beweis der Vollständigkeit des ONS {ψm (·)} der Hermite’schen Orthogonalfunktion beendet. Aufgabe. Der Leser weise nach, dass die zu Beginn des Beweises des Satzes 8.4 angegebene Aufspaltung einer Funktion f ∈ L2 (R) in einen geraden Anteil fg und einen ungeraden Anteil fu (vgl. (8.34)) eine Orthogonalzerlegung des Raumes L2 (R) mittels der orthogonalen direkten Summe des abgeschlossenen Teilraumes der geraden Funktionen und des abgeschlossenen Teilraumes der ungeraden Funktionen liefert. Wie lautet diese Zerlegung, wenn f ∈ L2 (R) als Entwicklung f = ∑∞ k=0 ak ψk nach den (normierten) Hermite’schen Orthogonalfunktionen gegeben ist? Aufgabe. In der Theorie der sogenannten „wavelets“, die heute eine große Bedeutung für die Signaltheorie besitzen (vgl. z. B. [114]), tritt als wavelet-Funktion u. a. der sog. „Mexikanische Hut“ auf, der mittels der Funktion x2

ϕ (x) = (1 − x2 )e− 2

(x ∈ R)

(8.35)

beschrieben wird. Entwicklen Sie ϕ (·) nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen. Lösung: Wir verwenden zweckmäßig die nicht normierten Hermite’schen Funktionen {hn (·)} (vgl. (8.30)). Die Funktion ϕ (·) gehört ersichtlich zum Raum S(R) und ist eine gerade Funktion (ϕ (−x) = ϕ (x)). Nach den eingangs dieses Abschnittes über Hermite’sche Funktionen getroffenen Festx2

stellungen (und wegen des nur quadratischen Faktors in ϕ (·) von „e− 2 “) sind daher nur die Funktionen h0 (·) und h2 (·) beteiligt ( h1 (·) ist ungerade). Somit wählen wir den Ansatz x2

ϕ (x) = (1 − x2 )e− 2 = Ah0 (x) + Bh2 (x) (x ∈ R)

244

8 Distributionen - Theorie und Anwendungen x2

mit den gesuchten Koeffizienten A, B. Einsetzen von h0 (·), h2 (·) und Division durch e− 2 liefert die Gleichung 1 − x2 = A + B(4x2 − 2) = A − 2B + 4Bx2 (x ∈ R) aus der mittels Koeffizientenvergleich die Gleichungen A − 2B = 1 und 4B = −1 folgen, die genau mittels A = 12 , B = − 14 gelöst werden. Somit gilt x2 1 1 (1 − x2 )e− 2 = h0 (x) − h2 (x) (x ∈ R). 2 4

Gehen wir noch zu den normierten Hermite’schen Orthogonalfunktionen (ψn (·)) über, erhalten wir die Orthogonalentwicklung 2

− x2

(1 − x )e 2

√ √ 1 √ 1 ( π) 2 2 = ψ0 (x) − ( π ) 2 · ψ2 (x) (x ∈ R) 2 2

(8.36)

im Raum L2 (R).

8.7 Die stetige Einbettung von L2 in S Wir beginnen mit der noch ausstehenden Definition der Konvergenz von Folgen in S . Definition 8.9 Eine Folge { fn } von Distributionen fn ∈ S (R)(S (RN )) für n = 1, 2, ... heißt konvergent gegen die temperierte Distribution f ∈ S (R)(S (RN )), wenn für jede Grundfunktion ϕ ∈ S(R)(S(RN )) die Limesbeziehung ( f , ϕ ) = lim ( fn , ϕ ) n→+∞

(8.37)

(im Sinne gewöhnlicher Zahlenkonvergenz in C) zutrifft. Wir schreiben dann f = lim fn . n→+∞

Die wichtigste hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge { fn } von temperierten Distributionen kommt in dem folgenden Satz zum Ausdruck. Satz 8.5 Es sei { fn } mit fn ∈ S (R)(S (RN )) eine Folge von temperierten Distributionen. Für jede Grundfunktion ϕ ∈ S(R)(S(RN )) existiere der Grenzwert lim ( fn , ϕ ).

n→+∞

Dann ist mittels der Festlegung ( f , ϕ ) = limn→+∞ ( fn , ϕ )(ϕ ∈ S(R), ϕ ∈ S(RN )) eine temperierte Distribution f erklärt und es gilt im Sinne der obigen Definition 8.9 f = lim fn . n→+∞

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich mittels des allgemeinen Banach-Steinhaus-Theorems (vgl. Abschnitt 4.1) in vollständigen metrisierbaren lokalkonvexen Räumen sofort.

8.7 Die stetige Einbettung von L2 in S

245

Bemerkung 8.4 Wir zeigen, dass im Sinne einer stetigen Einbettung die Inklusion L2 ⊆ S

(8.38)

(in R und allgemein im RN ) besteht. Dazu verwenden wir die Entwicklung nach den (normierten) Hermite’schen Orthogonalfunktionen. Es sei daher eine Funktion f ∈ L2 (R) gegeben und (vgl. (8.33)) f=

∞

+∞

k=0

−∞

∑ ck ψk mit ck = f |ψk =

f (x)ψk (x)dx

(k = 0, 1, 2, ...)

(8.39)

ihre Orthogonalentwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen {ψk }. Die Partialsummen n

∑ ck ψ k

Hn =

k=0

dieser Orthogonalentwicklung gehören als endliche Linearkombinationen von Elementen aus S, nämlich den ψk , zum Raum S(R). Mittels der Zuordnung

ϕ ∈ S $→ Hn (ϕ ) =

n

+∞

k=0

−∞

∑ ck

ϕ (x)ψk (x)dx = (Hn , ϕ )

entsteht ein stetiges lineares Funktional auf S (den Nachweis dafür sollte der Leser erbringen). Wir können Hn also auch als Element von S (R) interpretieren. Wir zeigen nun, dass der Grenzwert lim (Hn , ϕ )

n→+∞

für jedes ϕ ∈ S(R) existiert. Dazu weisen wir nach, dass die Folge von (komplexen) Zahlen αn = (Hn , ϕ ) eine Cauchy-Folge ist und betrachten dazu die Differenzen (0 < m < n)

αn − αm

= =

(Hn , ϕ ) − (Hm , ϕ ) = (Hn − Hm , ϕ ) = +∞

n

∑

ck

−∞

k=m+1

mit dk =

+∞ −∞

ϕ (x)ψk (x)dx.

n

∑

ck dk

k=m+1

Die Schwarz’sche Ungleichung liefert die Abschätzung |αn − αm | ≤

n

∑

ϕ (x)ψk (x)dx =

n

∑

2

|ck | ·

k=m+1

1/2 2

|dk |

.

k=m+1

2 Wegen f 2L2 = ∑∞ k=0 |ck | (Parseval’sche Gleichung) folgt weiter

|αn − αm | ≤ f L2 (R) ·

1/2

n

∑

2

|dk |

≤ f L2 ·

k=m+1

∞

∑

1/2 2

|dk |

,

k=m+1

2 2 denn die Reihe ∑∞ k=0 |dk | konvergiert, weil mit ϕ ∈ S(R) auch ϕ ∈ L (R) ist (vgl. (8.15)) und somit die Orthogonalentwicklung

ϕ=

∞

∑ dk ψk

k=0

246


2 im Raum L2 (R) besteht, denn es gilt ϕ 2L2 = ∑∞ k=0 |dk | (Parseval’sche Gleichung). Zu ε > 0 gibt es daher ein m0 = m0 (ε ), sodass für alle n, m ≥ m0 und mit m < n die Ungleichung

1/2

n

∑

≤ε

2

|dk |

k=m+1

besteht. Mit obiger Abschätzung folgt nun |αn − αm | ≤ ε · f L2 (R)

(n > m ≥ m0 ),

also ist die Folge (αn ) (bzw. {αn }) eine (Zahlen-) Cauchy-Folge, somit daher konvergent, es existiert für alle ϕ ∈ S(R) der Grenzwert H(ϕ ) := lim Hn (ϕ ) = lim (Hn , ϕ ). n→+∞

n→+∞

Nach Satz 8.5 wird daher mittels + ( f˜, ϕ ) := H(ϕ ) = lim (Hn , ϕ ) = lim n→+∞

n→+∞

n

,

∑ ck ψ k , ϕ

k=0

eine temperierte Distribution f˜ ∈ S (R) definiert, d. h., im Raum S (R) gilt die Gleichheit +

∑ ck ψ k

f˜ = lim

n→+∞

die man auch in der Gestalt f˜ =

n

, ,

k=0 ∞

∑ ck ψ k

S k=0

schreiben kann. Vergleichen wir diese Formel mit der Orthogonalentwicklung für f ∈ L2 (R) (vgl. (8.39) f= L2

∞

∑ ck ψ k ,

k=0

die im Raum L2 (R) gilt, so können wir - zur praktischen Vereinfachung - auch f˜ = f setzen und sagen, dass die Zerlegung einer L2 -Funktion ( f ) nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen {ψk }) auch in S (= S (R)) gilt. Wir schreiben dies in der Form L2 (R) ⊆ S (R) und haben damit die Inklusionskette (vgl. (8.15)) S(R) ⊆ L2 (R) ⊆ S (R). In entsprechender Weise wie oben weist man nach, dass die Inklusion L2 (R) ⊆ S (R) tatsächlich eine stetige Einbettung ist, d. h. aus limn→+∞ fn = f im Raum L2 folgt mit den oben verwendeten Bezeichnungen auch limn→∞ fñ = f˜ in S (R), also – im Sinne der vereinbarten Auffassung ( f˜ = f ) – auch die Limesbeziehung limn→+∞ fn = f im Sinne der Konvergenz im Raum S (= S (R)). Die analogen Betrachtungen im RN führen zum gleichen Ergebnis (wir überlassen diesen Nachweis dem aktiven Leser): Es gilt im Sinne jeweils stetiger Einbettung S(RN ) ⊆ L2 (RN ) ⊆ S (RN )

(8.40)

8.8 Die Fourier-Transformation in S(R) und S(RN )

247

Aufgabe. Der Leser zeige mittels der am Ende des Abschnittes 8.2 nachgewiesenen stetigen Einbettung des Raumes S(RN ) in den Raum L p (RN )(1 < p < ∞), dass allgemein im Sinne stetiger Einbettung die Beziehungen S(RN ) ⊆ L p (RN ) ⊆ S (RN ) bestehen. Anleitung: (für den Fall N = 1). Ist f ∈ L p (R) (1 < p < ∞), sowie 1q + 1p = 1, so folgt aus der Hölder’schen Ungleichung die Ungleichung +∞ −∞

f (t)ϕ (t)dt ≤

+∞

−∞

1/p | f (t)| dt · p

+∞

−∞

1/q |ϕ (t)| dt q

für jedes Element ϕ ∈ S(R). Durchläuft dieses Element eine Nullfolge in S(R), so folgt daraus, dass auch die Werte +∞ f (t)ϕ (t)dt ( f˜, ϕ ) := −∞

gegen null gehen, womit die Stetigkeit des zugeordneten linearen Funktionals f˜ auf dem Raum S(R), also seine Zugehörigkeit zum Raum S (R), gezeigt ist. Die Stetigkeit dieser Einbettung folgt analog. Für den Fall p = 1, der problemlos einbezogen werden kann, gehe man analog von der für f ∈ L1 (RN ), ϕ ∈ S(RN ) gültigen Ungleichung |

RN

f (t)ϕ (t)dt| ≤ |

RN

f (t)dt| · sup |ϕ (t)| ≤ f L1 · p0,0 (ϕ ) t∈RN

aus. Bemerkung 8.5 Da der Raum S(R) sich stetig in den Raum L2 (R) einbetten lässt (vgl. (8.15) oder (8.40)), besitzt jedes Element ϕ ∈ S(R) somit eine in L2 (R) konvergente (Orthogonal-) Entwicklung (vgl. (8.33))

ϕ=

∞

∑ ck ψk

k=0

+∞

mit ck = −∞ ϕ (x)ψk (x)dx (k = 0, 1, 2, ...) nach den normierten Hermite’schen Orthogonalfunktionen ψk . Eine vertiefende Untersuchung (vgl. [143], S. 209/210, Antosik und Mikusinski [9]), auf deren Details wir hier verzichten müssen, zeigt, dass diese Reihenentwicklung für ein Element ϕ ∈ S(R) auch und sogar in der Metrik des vollständigen metrischen lokalkonvexen Raumes S(R) (vgl. (8.14)) konvergiert. Die Koeffizientenfunktionale ϕ $→ ck (ϕ )(ϕ ∈ S(R)) sind linear und stetig auf S(R), gehören also zum Raum S (R). Damit bilden die Hermite’schen Funktionen {ψk } eine stetige Basis ( Schauder-Basis) im Raum S(R) mit der in (8.14) angegebenen Metrik.

8.8 Die Fourier-Transformation in S(R) und S(RN ) So, wie im 16. Jahrhundert beginnend, das Rechnen mit Logarithmen zu einer wesentlichen Verbesserung der seinerzeitigen „Rechentechnologie“ beitrug, indem komplizierte arithmetische Operationen wie Multiplikation und Division auf vergleichsweise einfachere Operationen wie Addition bzw. Subtraktion „zurückgeführt“ bzw. „abgebildet“ bzw. „transformiert“ wurden, so

248


leistet die ab diesem Abschnitt einzuführende Fourier-Transformation eine „Zurückführung“ von Operationen der Analysis, wie Differentiation oder Faltung, auf elementare algebraische Operationen wie Multiplikation mit einem Polynom bzw. einfache Multiplikation der transformierten „Faltungsfaktoren“. Die Rückrechnung auf die ursprüngliche eigentlich interessierenden Größen erfolgt dann, ähnlich der Benutzung einer Logarithmentafel, durch Rücktransformation mittels der inversen Fourier-Transformation. Diese letztere steht daher von vornherein mit im Blickfeld. Gleichzeitig wird damit auch die praktische Nützlichkeit der Räume S und L2 (über R) offensichtlich. Die Verallgemeinerung der Fourier-Transformation auf (temperierte) Distributionen, also den Raum S , liefert vor allem die Grundlage der modernen Theorie der (linearen) partiellen Differentialgleichungen sowie der Signaltheorie und deren Anwendungen (wie etwa Bildanalyse). Der physikalische Ursprung der Fourier-Transformation ist die sogenannte Harmonische Analyse, in der es darum geht, eine Funktion (ein Signal) nach ihren Frequenzen zu zerlegen. In der Theorie (und Praxis) der periodischen Funktionen benutzt man seit langem dafür die sogenannten Fourier-Reihen, also z. B. (x ∈ R) S(x) :=

∞ a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx), 2 k=1

die die Periode 2π besitzen. Die ak , bk sind dabei die sogenannten Fourier-Koeffizienten (reell oder komplex). Sie werden aus einer gegebenen Funktion x → f (x)(x ∈ R), die (2π )-periodisch ist, ermittelt: 1 2π 1 2π ak = f (x) cos kxdx; bk = f (x) sin kxdx π 0 π 0 (k = 0, 1, 2, ...) (Formeln von Euler-Fourier). Das Verhältnis von S(x) zu f (x) ist dabei ein schwieriges Problem, für f ∈ L2 [0, 2π ] (bei Beschränkung auf das Intervall [0, 2π ], was wegen der Periodizität ausreicht) gilt S(x) = f (x) (0 ≤ x ≤ 2π ) im Sinne des Raumes L2 [0, 2π ] (vgl. auch Satz 2.9 und Beispiel 2.3 im Abschnitt über Orthogonalentwicklungen im Hilbert-Raum). Haben wir es nun mit nicht periodischen Funktionen zu tun, kann man die Frage stellen, in welcher Weise sich die gegebene Funktion x → f (x) (x ∈ R) nach beliebigen Frequenzen λ ∈ R zerlegen lässt, also eine Gestalt (x ∈ R) I(x) =

+∞ −∞

[a(λ ) cos λ x + b(λ ) sin λ x]dλ

aufweist. Mit dieser Frage befasst sich die Theorie der Fourier-Transformation. Zur Bedeutung der Fourier-Transformation in der Quantenfeldtheorie vgl. z.B. Zeidler [178].


249

Definition 8.10 (a) Für jedes ϕ ∈ S(R) bezeichnen wir die durch 1 ψ (p) := √ 2π

+∞ −∞

e−ixp ϕ (x)dx

(p ∈ R)

gegebene Funktion ψ als die Fourier-Transformierte von ϕ , symbolisch abgekürzt

ψ = F(ϕ ) (gelegentlich auch ψ = ϕˆ ). (b) Für jedes ϕ ∈ S(RN ) bezeichnen wir die durch

ψ (p) :=

1 (2π )N/2

RN

e−ix|p ϕ (x)dx

(p ∈ RN )

gegebene Funktion ψ als die Fourier-Transformierte von ϕ , symbolisch abgekürzt

ψ = F(ϕ ) (auch ψ = ϕˆ ). Dabei bezeichnet x|p = ∑Nj=1 ξ j p j das Skalarprodukt von Vektoren x und p aus dem RN (x = (ξ1 , ..., ξN ); p = (p1 , ..., pN )). Bemerkung 8.6 Zufolge der Gleichung |e−ix|p ϕ (x)| = |ϕ (x)| und dass stets die Funktion ϕ ∈ S auch zu L1 gehört, existieren die obigen Integrale (genauer: Parameter-Integrale) für alle p ∈ R bzw. p = (p1 , ..., pN ) ∈ RN . Bemerkung 8.7 Es ist sofort zu erkennen, dass F eine lineare Transformation (Abbildung, Operator) auf dem Raum S ist, denn es gilt für alle komplexen Zahlen c1 , c2 und alle ϕ1 , ϕ2 ∈ S ersichtlich die Gleichheit F(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 ) = c1 F(ϕ1 ) + c2 F(ϕ2 ). Beispiel 8.6 Als erstes, wichtiges Beispiel berechnen wir die Fourier-Transformierte der Funktion h0 ∈ S(R) (vgl. (8.30)), gegeben durch h0 (x) := e−x /2 (x ∈ R). Wegen der Formel eiα = cos α + i sin α (α ∈ R) gilt für die Fourier-Transformierte von h0 die Beziehung 2

1 F(h0 )(p) = √ 2π 1 √ 2π

+∞ −∞

e−x

2

/2

+∞

(cos px)dx − √

−∞

i 2π

e−i px · e−x

+∞ −∞

e−x

2

2

/2

/2

dx =

(sin px)dx

(p ∈ R).

Das zweite Integral verschwindet (Integration einer ungeraden Funktion über ein zu 0 symmetrisches Intervall). Zur Berechnung des ersten Integrals verwenden wir die Potenzreihe der cos-Funktion und erhalten (bei Vertauschung von Integration und Reihensummation, die hier zulässig ist, wie gesondert nachgewiesen werden muss)

250

F(h0 )(p)


= =

1 √ 2π

= =

2 π

∞

(−1)n p2n · n=0 (2n)!

∑

∞

(−1)n p2n n=0 (2n)!

∑

+∞ −∞

e−x

2

/2

· x2n dx =

√1 2π

∑∞ n=0

(−1)n p2n (2n)!

(Integration einer geraden Funktion) n ∞ 2 −p2 π 1 1 · = e−p /2 · · n =∑ 2 2 · n! n=0 2 n!

·2·

∞

e−x

0

2

/2

· x2n dx

h0 (p) (p ∈ R)

(die Integrale 0∞ e−x /2 · x2n dx können rekursiv elementar ermittelt werden). Das heißt, die Funktion h0 wird mittels der Fourier-Transformation in sich selbst überführt. Durch elementare Substitution erkennen wir weiterhin sofort, dass die Fourier-Transformierte einer Gauß-Verteilung oder Normalverteilung mit dem Mittelwert μ ∈ R und der Standardabweichung σ > 0: 2

Φ(x) =

(x−μ )2 1 √ e− 2σ 2 σ 2π

(x ∈ R),

die ersichtlich eine Funktion aus S darstellt, durch e−i pμ − σ 2 p2 ˆ F(Φ)(p) = Φ(p) = √ ·e 2 2π

(p ∈ R)

geliefert wird. Für μ = 0 (zentralisierte Normalverteilung) folgt die Gleichheit σ 2 p2 ˆ 0 (p) = √1 e− 2 Φ 2π

(p ∈ R),

was, abgesehen von einem Normierungsfaktor σ , wieder eine Normalverteilung, aber mit der Standardabweichung σ1 darstellt: Eine „stark konzentrierte“ Normalverteilung („σ ist klein“) wird also durch die Fourier-Transformation in eine „stark auseinandergezogene“ Normalverteilung („ σ1 ist groß“) überführt. Beispiel 8.7 In Verallgemeinerung des vorangehenden Beispiels betrachten wir die Fourier-Transformierten der (nicht normierten) Hermite’schen Funktionen hn , n = 1, 2, ... (vgl. (8.30)). Es gilt ersichtlich hn ∈ S für alle n = 1, 2, ... Wir erläutern die allgemeine Vorgehensweise am Beispiel n = 1. Es gilt die Gleichheit h1 (x) = 2 xh0 (x) − h0 (x) = 2xe−x /2 (x ∈ R) und damit wird F(h1 )(p)

= = = =

1 √ 2π 1 √ 2π 1 √ 2π

+∞ −∞

2xe−ixp · e−x b

lim

b→+∞,a→−∞

(−i) · 2p · e

−p2 /2

/2

dx =

2xe−ixp · e−x

lim

b→+∞,a→−∞ a

2

a

2

/2

dx = (partielle Integration) b b −x2 /2 −ixp −x2 /2 −ixp 2e (−ip)e dx − 2e e

= (−i) · h1 (p),

a

8.8 Die Fourier-Transformation in S(R) und S(RN ) denn der Summand −2e−x

2

/2 · e−ixp

b a

= = −2e−b

2

251 /2 e−ibp + 2e−a2 /2 e−iap

hat, wegen |e−ixp | = 1 (x, p ∈

R) für a → −∞ und b → +∞ den Grenzwert 0. Allgemein gilt die Gleichheit (n = 0, 1, 2, ...; p ∈ R) F(hn )(p) = (−i)n hn (p).

(8.41)

Die Hermite’schen Orthogonalfunktionen hn bzw. die normierten Funktionen ψn (vgl. (8.32)) sind daher sogenannte Eigenfunktionen des Fourier-Transformations-Operators F zu den Eigenwerten (−i)n (n = 0, 1, 2, ...). Zum Beweis der grundlegenden Beziehung (8.41) mittels vollständiger Induktion benutzt man die Rekursionsformel (Rolewicz [143]) hn+1 (x) = xhn (x) − hn (x) (n = 0, 1, 2, ...; x ∈ R)

+∞ −ixp e · xhn (x)dx bzw. und formt die zur Berechnung von F(hn+1 ) damit auftretenden Fourier-Integrale −∞ +∞ −ixp e · h (x)dx beide mittels partieller Integration (analog dem oben gezeigten Vorgehen für n = 1) n −∞ um. Es ergibt sich (mit nochmaliger Verwendung der Rekursionsformel (8.31)) und der Induktionsvoraussetzung F(hn ) = (i)n hn F(hn+1 )(p) = i(−i)n hn (p) − ip(−i)n hn (p) =

= (−i)n+1 (phn (p) − hn (p)) = (−i)n+1 hn+1 (p), also die erforderliche Gleichheit, die den Induktionsbeweis abschließt. Definition 8.11 (a) Für jedes ψ ∈ S(R) bezeichnen wir die durch 1 χ (x) := √ 2π

+∞ −∞

eixp ψ (p)dp

(x ∈ R)

gegebene Funktion χ als die adjungierte Fourier-Transformierte

χ = F ∗ (ψ ) (gelegentlich: χ = ψˇ ). (b) Für jedes ψ ∈ S(RN ) bezeichnen wir die durch

χ (x) :=

1 (2π )N/2

RN

eix|p ψ (p)dp

(x ∈ RN )

gegebene Funktion χ als die adjungierte Fourier-Tranformierte, kurz

χ = F ∗ (ψ ), gelegentlich schreiben wir χ = ψˇ . Bemerkung 8.8 Die in den Bemerkungen 8.6 und 8.7 zur Definition 8.10 getroffenen Feststellungen für F gelten sinngemäß auch für die adjungierte Fourier-Transformierte F ∗ (Existenz und Linearität). Bemerkung 8.9 Es sei ϕ ∈ S gegeben. Mit ϕ ∗ bezeichnen wir die durch ϕ ∗ (x) = ϕ (−x) gegebene Funktion (x ∈ RN ). Ersichtlich gilt dann die Gleichung F ∗ (ϕ ) = F(ϕ ∗ ) (einfache Substitution unter dem Integralzeichen).

252


Das Verhältnis der Transformationen F und F ∗ auf dem Raum S wird durch den folgenden Satz geklärt. Satz 8.6 1. Die Transformationen F bzw. F ∗ bilden beide den Raum S(RN ) umkehrbar eindeutig sowie linear und stetig auf sich selbst ab. 2. Die adjungierte Transformation F ∗ ist die (nach 1. existierende) Inverse (Transformation) zur FourierTransformation F. Das heißt, es gelten die Gleichungen F ∗ (F(ϕ )) = ϕ F(F ∗ (ψ )) = ψ

für jedes für jedes

ϕ ∈ S(RN ), ψ ∈ S(RN ).

Beweis: Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf den Fall N = 1. Wir zeigen zunächst, dass die Funktionen ϕ ∈ S durch die Fourier-Transformation F wieder auf Elemente ψ = F(ϕ ) aus S abgebildet werden, dass m.a.W. die Inklusion F[S] ⊆ S besteht. Die Funktion ψ (p) = +∞ −ixp √1 e ϕ (x)dx (x ∈ R) ist (Eigenschaften von Parameter-Integralen) nach der Variablen 2π −∞ p beliebig oft differenzierbar, und es ist, wiederum nach allgemeinen Aussagen über ParameterIntegrale (hier: uneigentliche Riemann-Parameterintegrale) elementar zu beweisen, dass die Gleichung („ “ bedeutet die erste Ableitung nach der Variablen p ∈ R) F(ϕ )(p) = (ip)(F(ϕ ))(p) (ϕ ∈ S(R); p ∈ R)

(8.42)

besteht, analog erhalten wir die Beziehung (Differentiation von Parameterintegralen) (F(ϕ )) (p) = (−i)F(xϕ )(p) (ϕ ∈ S(R); p ∈ R),

(8.43)

wobei (xϕ ) die durch die Gleichung (xϕ )(x) := x · ϕ (x) (x ∈ R) erklärte Funktion für ϕ ∈ S(R) bezeichnet (die ebenfalls in S(R) enthalten ist, wie der Leser überlegen möge). Mittels vollständiger Induktion und durch Zusammenfassung erhält man analog die allgemeinere Formel (ϕ ∈ S(R); p ∈ R) (8.44) (−ip)m (F ϕ )(n) (p) = (−1)m F [(−ix)n · ϕ (x)](m) gültig für n = 0, 1, 2, ... und m = 0, 1, 2, ... Aus letzterer Formel gewinnen wir die folgende Abschätzungskette: (p ∈ R) |(−ip)m (F ϕ )(n) (p)| = |p|m · |(F(ϕ ))(n) (p)| ≤

+∞ 1 ≤√ |e−ixp [(−ix)n ϕ (x)](m) |dx ≤ (!|e−ixp | = 1) 2π −∞ ⎫ ⎧ ⎬ +∞ ⎨ 1 1 sup (1 + x2 )2 [(−ix)n ϕ (x)](m) · dx ≤ ≤√ ⎭ −∞ (1 + x2 )2 2π ⎩ x∈R


253

(erweitern mit (1 + x2 )2 ) ≤C·

n+m+2

∑

k=0

sup ((1 + x2 )k · |ϕ (k) (x)|) = C · qn+m+2 (ϕ ) x∈R

nach der Definition des Systems 2 von Halbnormen für den Raum S(R) (vgl. (8.12)) und mit 1 C := √ 2π

+∞ −∞

1√ 1 dx = 2π . 2 2 (1 + x ) 4

Indem wir auch auf der linken Seite zum Supremum übergehen folgt 9 : sup |p|m |(F(ϕ ))(n) (p)| ≤ C · qn+m+2 (ϕ ) p∈R

oder, unter Verwendung des Systems 1 von Halbnormen für S(R) (vgl. (8.11)) 0 ≤ pm,n (F(ϕ )) ≤ C · qn+m+2 (ϕ ) < +∞. Der Wert pm,n (F(ϕ )) ist also für alle m, n und alle ϕ ∈ S(R) endlich. Damit folgt zuerst, dass F(ϕ ) ∈ S(R) gilt (weil alle pm,n (F(ϕ )) endlich sind). Ist nun {ϕk } eine Nullfolge in S(R), so gilt lim qn+m+2 (ϕk ) = 0 k→+∞

und, nach obiger Ungleichung, demzufolge auch lim pm,n (F(ϕk )) = 0

k→+∞

für alle m, n ∈ N, also für alle Halbnormen des Systems 1 von Halbnormen für S(R). Damit ist insgesamt bewiesen, dass die Fourier-Transformation F den Raum S(R) stetig in sich selbst abbildet. Das Gleiche gilt für die adjungierte Fourier-Transformation F ∗ , da für diese Abbildung die im Prinzip gleiche Ungleichskette besteht (die Ersetzung des Faktors e−ixp durch den Faktor eixp ist ersichtlich unwesentlich). Im nächsten Beweisschritt zeigen wir, dass aus der Gleichung (dem Vorgehen in [160] wörtlich folgend) F(ϕ ) = ψ für ϕ ∈ S(R) die Gleichung ϕ = F ∗ (ψ ) folgt (Umkehrformel). Es gelte also die Gleichung (ϕ ∈ S(R), p ∈ R) 1 ψ (p) = √ 2π

+∞ −∞

e−ixp ϕ (x)dx.

Weil ψ ∈ S(R) gilt, gehört die Funktion p → eixp ψ (p) zu L1 (R) (beachten, dass |eixp | = 1 gilt) für jedes feste x ∈ R. Für jedes ε > 0 und x ∈ R gehört dann auch die Funktion (p ∈ R) 1 2 p2

p → eixp e− 2 ε

· ψ (p)

254


zum Raum L1 (R), denn es gilt die Ungleichung eixp e− 2 ε

1 2 p2

· ψ (p) ≤ |ψ (p)| (p ∈ R).

Nach dem Lebesgue’schen Konvergenzsatz gilt somit 1 lim √ ε →+0 2π

+∞ −∞

eixp · e− 2 ε

1 2 p2

1 · ψ (p)d p = √ 2π

+∞ −∞

eixp ψ (p)dp =

= F ∗ (ψ )(x) für jedes x ∈ R. Wir bezeichnen das Parameterintegral unter dem Limeszeichen links mit Jε (x)(ε > 0; x ∈ R), also 1 Jε (x) = √ 2π

+∞ −∞

eixp · e− 2 ε

1 2 p2

· ψ (p)dp

Durch Einsetzen des Integralausdrucks für ψ (p) erhalten wir ein iteriertes Integral, welches mit dem Satz von Fubini in ein Doppelintegral verwandelt wird. Es gilt somit 1 Iε (x) = √ ( 2π )2

+∞ +∞ −∞

−∞

1 2 p2

e−i(y−x)p− 2 ε

ϕ (y)dy dp

+∞ −iyp e ϕ (y)dy für alle p ∈ R gilt). (man beachte, dass ψ (p) = √12π −∞ Die Anwendbarkeit des Satzes von Fubini ergibt sich hier aus der leicht zu erkennenden Tatsache, dass die Funktion der zwei Variablen (p, y) ∈ R2 , gegeben durch

(p, y) → e−i(y−x)p · e− 2 ε

1 2 p2

· ϕ (y)

für jedes festes x ∈ R zum Raum L1 (R2 ) gehört. Also darf man im Ausdruck für Iε (x) die Reihenfolge der Integrationen vertauschen und erhält +∞ 1 +∞ −i(y−x)p − 12 ε 2 p2 d p Iε (x) = ϕ (y) · e ·e dy. 2π −∞ −∞ Das obige Beispiel 8.6 kann zur Auswertung des „inneren Integrals“ herangezogen werden. Wir erhalten (Faktoren beachten) √ +∞ 2π − (y−x)2 2 −i(y−x)p − 12 ε 2 p2 e e dp = e 2ε (x, y ∈ R). ε −∞ Dies setzen wir in den Ausdruck Iε (·) ein und substituieren t := chen Integral; was für Iε (·) den Ausdruck 1 Jε (x) = √ 2π

+∞ −∞

t2

ϕ (x + t ε )e− 2 dt

y−x ε

in dem entstandenen einfa-

(x ∈ R)

nach sich zieht. Wegen ϕ ∈ S(R) gibt es eine konstante K > 0 mit |ϕ (x + t ε )| ≤ K für alle x,t und ε > 0; also wird der Integrand in Jε (·) majorisiert in der Form t2

|ϕ (x + t ε ) · e− 2 | ≤ Ke−t

2 /2

(x ∈ R, t ∈ R, ε > 0).


255

Nochmalige Anwendung des Lebesgue’schen Konvergenzsatzes liefert für den Grenzübergang ε → +0 die Gleichung 1 lim Jε (x) = √ ε →+0 2π

+∞ −∞

ϕ (x)e−t

2 /2

1 dt = ϕ (x) · √ 2π

+∞ −∞

e−t

2 /2

dt = ϕ (x)

(x ∈ R). Dies aber bedeutet (vgl. oben den Anfang des Beweises), dass die Gleichheit

ϕ (x) = F ∗ (ψ )(x) (x ∈ R) oder kurz

ϕ = F ∗ (ψ )

besteht. Damit ist wegen der Bedeutung von ψ allgemein die Gleichung

ϕ = F ∗ (F(ϕ )) für alle ϕ ∈ S(R) nachgewiesen. Ganz analog zeigt man das Bestehen der Gleichheit F(F ∗ (ϕ )) = ϕ für alle ϕ ∈ S(R). Daraus folgen (der Leser überlege dies) die restlichen Behauptungen des Satzes unmittelbar. Eine weitere wichtige Eigenschaft der Fourier-Transformation ist ihre Isometrie-Eigenschaft bezüglich der L2 -Norm, auch Formel von Plancherel genannt (M. Plancherel 1910), gelegentlich auch Parseval’sche Gleichung. Sie lautet (im Raum S(RN )) F(ϕ )L2 (RN ) = ϕ L2 (RN ) (ϕ ∈ S(RN )) bzw.

F(ϕ )|F(ψ )L2 (RN ) = ϕ |ψ L2 (RN ) =

RN

(8.45)

ϕ (x)ψ (x)dx

(8.46)

für alle ϕ , ψ ∈ S(RN ). Die Aussagen (8.45) und (8.46) besagen das Gleiche (man setze für (8.46) ⇒ (8.45) speziell ϕ = ψ ; für (8.45) ⇒ (8.46) stelle man das Skalarprodukt in bekannter Weise durch die Norm dar, vgl. (10.54)), ebenso für die ergänzende Formel (ϕ ∈ S(RN )) F ∗ (ϕ )L2 (RN ) = ϕ L2 (RN ) für die adjungierte Fourier-Transformation F ∗ = F −1 . Beweis zu (8.45): Es gilt für jedes ϕ ∈ S(RN ) die folgende Gleichungskette F(ϕ )2L2 (RN ) =

|(F(ϕ )(p)|2 dp =

RN

= (2π )−N/2

= (2π )−N/2 ·

RN

F(ϕ )(p) · {

RN

F(ϕ )(p) · {

RN

RN

F(ϕ )(p) · F(ϕ )(p)dp

e−iy|p ϕ (y)dy}dp

RN

eiy|p ϕ (y) dy} dp

(8.47)

256


= (2π )−N/2 =

RN

RN

ϕ (y)

RN

eiy|p F(ϕ )(p)dp}dy

ϕ (y)ϕ (y)dy = ϕ 2L2 (RN ) .

Die Begründung für die Anwendung des Satzes von Fubini ergibt sich hierzu in der leicht zu erkennenden Tatsache, dass die Funktion (p ∈ RN , y ∈ RN ) (p, y) → F(ϕ )(p) · ϕ (y) · eiy|p zum Raum L1 (R2N ) gehört, also einen summierbaren Betrag besitzt. (Man beachte, dass F(ϕ ) und ϕ im Raum S(RN ) liegen und der e-Faktor den Betrag 1 hat.) Die in Formel (8.45) für die Metrik des Raumes L2 (RN ) ausgedrückte Isometrie-Eigenschaft versetzt uns in die Lage, die Fourier-Transformation vom Raum S(RN ) auf den Raum L2 (RN ) (auf genau eine Weise) fortzusetzen, sodass auch für die erweiterte Fourier-Transformation die Formel (8.45) bestehen bleibt. Formel (8.45) ist in der Signaltheorie bedeutsam, denn quadriert man beide Seiten, so steht rechts (bis auf einen Faktor) die Gesamtenergie eines (zeitabhängigen) Signals ϕ , die sich durch Integration über das Quadrat des Amplitudenspektrums ergibt.

8.9 Die Fourier-Transformation in S (R) und S (RN ) Definition 8.12 Es sei f ∈ S mit S = S (R) oder S = S (RN ). Unter der Fourier-Transformierten F ( f ) von f versteht man die durch die Gleichung (8.48) (F ( f ), ϕ ) = ( f , F(ϕ )) für alle ϕ ∈ S mit S = S(R) oder S = S(RN ) erklärte temperierte Distribution. Dabei bezeichnet F(ϕ ) die in Definition 8.10 erklärte Fourier-Transformierte von ϕ ∈ S. Entsprechend erklärt man die adjungierte Fourier-Transformierte F ∗ von f ∈ S , als die durch die Gleichung (F ∗ ( f ), ϕ ) = ( f , F ∗ (ϕ ))

(8.49)

für alle ϕ ∈ S erklärte temperierte Distribution.

Die Tatsache, dass durch die Gleichungen (8.48) bzw. (8.49) temperierte Distributionen erklärt werden, beweist der Leser unschwer mittels der in Abschnitt 8.8 bewiesenen Eigenschaften der Fourier-Transformation in S(R) und S(RN ). Auch die Gleichung F ( f ) = F(ϕ ) für f = ϕ ∈ S, die ausdrückt, dass F eine Fortsetzung von F : S → S auf den größeren Raum S (mit Werten in S ) liefert, kann problemlos nachgewiesen werden. Die oben mittels (8.48) erklärte Transformation F : S → S hat ersichtlich die Eigenschaft der Linearität und im Sinne der weiter oben (vgl. Definition 8.9) definierten Konvergenz in S auch die Eigenschaft der (Folgen-) Stetigkeit. F bildet also S linear und stetig in (nach) S ab. Ferner ist F eine bijektive Abbildung von S auf S , ihre Umkehrabbildung ist gerade (die lineare und ebenfalls stetige) Abbildung F ∗ (vgl. (8.49)). Man sagt auch, dass F ein linearer Homöomorphismus von S auf sich mit der Inversen F ∗ ist. Der Nachweis auch dieser (elementaren) Eigenschaften sei dem Leser anempfohlen.

8.9 Die Fourier-Transformation in S (R) und S (RN )

257

Beispiel 8.8 Es sei δ ∈ S (R) das Dirac-Funktional (δ -Distribution). Dann gilt nach Definition 8.24 für ein beliebiges ϕ ∈ S(R) die Gleichung +∞ +∞ 1 1 1 √ · ϕ (x)dx = √ , ϕ . ϕ (x)dx = (F (δ ), ϕ ) = (δ , F(ϕ )) = F(ϕ )(0) = √ −∞ 2π −∞ 2π 2π Also haben wir die Beziehung 1 F (δ ) = √ 2π

(8.50)

(in dem Sinne, dass in obiger Gleichung rechts die polynombeschränkte, lokalintegrierbare Funktion

√1 , 2π

also eine identisch konstante Funktion steht und als Element von S (R) aufgefasst wird). Analog gilt für S (RN ) die Gleichung (3’) 1 (8.51) F (δ ) = N . (2π ) 2 Nach unseren Feststellungen oben zur Umkehrbarkeit der Fourier-Transformation in S folgt aus (8.50) sofort, dass die Gleichung 1 F∗ √ =δ 2π gelten muss, sowie (einfache Symmetriebetrachtung) die Relation √ F (1) = 2π · δ (8.52)

die Fourier-Transformierte der identisch konstanten Funktion 1 (1(x) = x für alle x ∈ R). In RN gilt dann analog (8.53) F (1) = (2π )N/2 · δ . Beispiel 8.9 Für die Heaviside-Funktion Θ(·)(Θ(x) = 0 für x < 0, Θ(x) = 1 für 0 ≤ x, x ∈ R) ergibt sich die zugehörige Fourier-Transformierte in S (R) mittels der Gleichungen (F (Θ), ϕ ) = (Θ, F(ϕ )) =

+∞ −∞

Θ(p)F(ϕ )(p)dp =

+∞ 0

F(ϕ )(p)dp

als ein spezielles lineares stetiges Funktional auf S, dessen explizite Form durch die sogenannten SochozkiGleichungen (vgl. Wladimirov [172], Picard [131], aber auch Göpfert und Riedrich [67]) beschrieben wird, worauf wir nicht weiter eingehen.

Wir notieren noch die häufig gebrauchten Rechenregeln 1.–3. für die Fourier-Transformation in S bzw. S , im weiteren Text kurz als „Rechenregeln“ zitiert, deren Beweis dem Leser als Aufgabe gestellt sei. 1. Differentiation der Fourier-Transformierten: Für jeden Multiindex α und jede temperierte Distribution f ∈ S (= S (RN )) gilt die Gleichheit

δ α (F ( f )) = F ((ix)α f ) (x ∈ RN ).

(8.54)

2. Fourier-Transformierte der Ableitung(en): Unter den gleichen Voraussetzungen wie in 1. gilt die Gleichheit (8.55) F (δ α f ) = (ip)α F ( f ) (p ∈ RN ).

258


Man beachte, dass der Faktor von F ( f ) rechts eine polynomial beschränkte C∞ -Funktion ist. 3. Translationssatz: Ist f ∈ S (RN ) und h ∈ RN fest, so sei (für alle ϕ ∈ S(RN )) eine Distribution fh durch ( fh , ϕ ) := ( f , ϕ (· + h)) erklärt. Dann gilt die Gleichheit F ( fh ) = e−ip|h F ( f ) (p ∈ RN ),

(8.56)

dabei steht rechts ein Produkt einer polynomial beschränkten C∞ -Funktion mit einer temperierten Distribution, denn |eip|h | = 1 für alle p und h aus dem RN . Man beachte, dass für den Spezielfall f ∈ S(RN ) die Gleichheit fh (x) = f (x − h) besteht.

8.9.1 Die Berechnung der Fourier-Transformation im Raum S mittels der Entwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen. Satz 8.7 Es sei f ∈ S (R). Dann lässt sich die temperierte Distribution f (auf genau eine Weise) nach den normierten Hermite’schen Orthogonalfunktionen entwickeln. Es gilt im Raum S (R) die Gleichheit f = S

∞

∑ ak ψk

(8.57)

k=0

mit den Entwicklungskoeffizienten ak = ( f , ψk )(= f (ψk )) (k = 0, 1, 2, ...).

Beweis: Wir müssen zeigen, dass die Folge der Partialsummen fn := ∑nk=0 ak ψk (n = 0, 1, 2, ...) im Raum S für n → +∞ gegen f konvergiert. Man beachte, dass wegen der Relation ψk ∈ S(R) alle Entwicklungskoeffizienten ak existieren (k = 0, 1, 2, ...). Die Konvergenz in S (R) bedeutet (vgl. Definition 8.9) punktweise Konvergenz, also müssen wir nachweisen, dass für jedes ϕ ∈ S(R) die Limesbeziehung + , n

lim

n→+∞

∑ ak ψ k , ϕ

= ( f , ϕ)

(8.58)

k=0

besteht. Wir bilden die Differenz ( f , ϕ ) − (∑nk=0 ak ψk , ϕ ) (n = 0, 1, 2, ...) und formen diese wie folgt um: + , ( f , ϕ) −

n

∑ ak ψk , ϕ

n

= ( f , ϕ ) − ∑ ak (ψk , ϕ ) = k=0

k=0

(ψk als Element von S ) + ,

n

= ( f , ϕ) − ∑ ( f , ψk )(ψk , ϕ ) = ( f , ϕ ) − k=0 ( Def. der ak ) + , =

n

f , ϕ − ∑ dk ψ k

n

f , ∑ ψk (ψk , ϕ )

mit dk = ϕ |ψk = (ψk , ϕ )

k=0

(ψk ist reell, also ϕ |ψk L2 (R) =

+∞ −∞

=

k=0

ϕ (x)ψk (x)dx = (ψk , ϕ )).

(8.59)


259

Nach dem Satz von Rolewicz [144] gilt die Konvergenz der Orthogonalentwicklung ϕ = ∑∞ k=0 dk ψk auch im Raum S(R) (vgl. Abschnitt 8.2 ). Es gilt somit (im Raum S(R)) + , n

lim

n→+∞

ϕ − ∑ dk ψk

= 0.

(8.60)

k=0

Also folgt (wegen der Stetigkeit von f ∈ S (R) auf dem Raum S(R)) aus (8.59) und (8.60) die behauptete Gleichung (8.58). Satz 8.8 (Fourier-Transformation in S ) Es sei f ∈ S gegeben (der Einfachheit halber sei S = S (R)). Die Entwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen gemäß Satz 8.7 sei f =

∞

S (R)

∑ ak ψ k

k=0

(mit ak = ( f , ψk ), k = 0, 1, 2, ...). Dann besitzt die Fourier-Transformierte F ( f ) (gemäß Definition 8.12) die entsprechende Orthogonalentwicklung F(f) =

S (R)

∞

∑ (−i)k ak ψk ,

(8.61)

k=0

die im Raum S (R) konvergiert.

Beweis: Da die Partialsummen der Reihe (8.61) in S(R) liegen und (vgl.(8.41)) die allgemeine Beziehung F(ψk ) = (−i)k ψk (k = 0, 1, 2, ...) besteht, gilt für jedes n = 0, 1, 2, ... die Gleichung , + , + F

n

∑ ak ψk

=F

k=0

n

∑ ak ψ k

k=0

=

n

n

k=0

k=0

∑ ak F(ψk ) = ∑ (−i)k ak ψk

(in S und in S ). Nach Satz 8.7 und der Stetigkeit der Fourier-Transformation in S folgt daraus dann schrittweise + , + , F ( f ) = lim F n→+∞

n

∑ ak ψk

k=0

= lim

n→∞

n

∑ (−i)k ak ψk

k=0

=

∞

∑ (−i)k ak ψk ,

k=0

also die Formel (8.61). Die Konvergenz der rechtsstehenden Reihe in S (R) ergibt sich analog zu den Betrachtungen im Beweis des vorangehenden Satzes. Beispiel 8.10 1. Zu berechnen sei die Fourier-Transformierte der Funktion f (x) = cos(ax) (x ∈ R, a ≥ 0), fest), aufgefasst als temperierte Distribution. Lösung: Wir entwickeln zunächst (in S (R)) die Funktion x → cos ax (x ∈ R) nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen gemäß Satz 8.7. Es gilt wegen der allgemeinen Relation cos ax = 12 (eiax +e−iax ) (x ∈ R) und wegen +∞ +∞ √ 1 eiax ψk (x)dx = 2π · √ e−i(−a)x ψk (x)dx = −∞ 2π −∞

260

8 Distributionen - Theorie und Anwendungen =

√

2π · F(ψk )(−a) =

√ 2π (−i)k ψk (−a)

(man beachte die Formel für die Fourier-Transformation der ψk ) und der entsprechenden Formel +∞ −∞

e−iax ψk (x)dx =

√ 2π (−i)k ψk (a) (k = 0, 1, 2, ...)

die Gleichung

∞

∑ ak ψk (x) S (R)

cos ax =

mit ak =

π (−i)k (ψ (a) + ψ (−a))(k k k 2

cos ax = S

k=0

= 0, 1, 2, ...), folglich in S (= S (R)) die Entwicklung

π 2

∞

∑ (−i)k (ψk (a) + ψk (−a)) · ψk (x).

(8.62)

k=0

Weil die Funktionen ψk für gerades k gerade und für ungerades k ungerade sind, und weil ψ2k+1 (a) = −ψ2k+1 (−a) gilt, folgt aus (8.62) in S cos ax =

√

2π

∞

∑ (−1)k (ψ2k (a)ψ2k (x)) (x ∈ R).

(8.63)

k=0

Die Fourier-Transformierte von cos ax in S lautet demzufolge (für p ∈ R) F (cos ax)(p) =

π 2

∞

∑ [ψk (a) + ψk (−a)] · ψk (x) =

√ 2π

k=0

∞

∑ ψ2k (a)ψ2k (p).

k=0

2. Für den Spezialfall a = 0 ergibt sich die Fourier-Transformierte für die identisch konstante Funktion 1 : 1(x) = 1 für x ∈ R zu der in S (R) geltenden Entwicklung F (1)(p) =

√

2π

∞

∑ ψ2k (0)ψ2k (p) (p ∈ R).

k=0

im Raum S (R). Ein Vergleich mit Formel (8.53) lohnt! Denn es folgt damit (N = 1)

δ (p) =

∞

∑ ψ2n (0)ψ2n (p)

√

2πδ = F (1) oder

(p ∈ R)

n=0

in S (R). Die numerische Auswertung ergibt die Orthogonalentwicklung der δ -Distribution in S (R) (das „x“ ist nur eine formale Variablenbezeichnung)

δ = δ (x) = (π )−1/4

∞

∑ (−1)k

k=0

(2k − 1)!! · ψ2k (x) (x ∈ R). (2k)!

Wie unschwer (Quotientenkriterium) nachzuweisen ist, ist die Betragsquadratsumme obiger Entwicklungskoeffizienten divergent (bestimmt divergent gegen +∞). Somit ergibt sich als Folgerung die Tatsache, dass die Dirac-Distribution δ ∈ S (R) nicht zum Raum L2 (R) gehören kann.


261

8.9.2 Die Berechnung der Fourier-Transformierten im Raum L2 (R) ⊆ S (R). Satz 8.9 Es sei f ∈ L2 (R) und es gelte (Entwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen) im Sinne des Raumes L2 ∞

∑ ak ψk ,

f=

k=0

ak = f |ψk L2 (R) , k = 0, 1, 2, ... Die Fourier-Transformierte von f (aufgefasst als Element von S (R)) ergibt sich mittels der Formel F(f) =

∞

∑ (−i)k ak ψk .

(8.64)

k=0

Es gilt F ( f ) ∈ L2 (R) und (Parseval-Gleichung) die Isometrie-Beziehung ( f ∈ L2 (R))

F ( f )L2 = f L2

(8.65)

oder (dazu äquivalent) F ( f )|F (g)L2 = f |g für alle

f , g ∈ L2 (R).

F ist eine Isometrie von

L2 (R)

auf

L2 (R)

(8.66)

und hat die Umkehrabbildung

F ∗.

2 Beweis: Es gilt (vgl. Satz 2.9) die Gleichung f 2L2 = ∑∞ k=0 |ak | , da die Hermite’schen Orthogonalfunktionen im Raum L2 (R) vollständig sind. Daher gilt die Formel (8.64) zunächst in S (R), ∞ k 2 2 2 aber wegen ∑∞ k=0 |(−i) ak | = ∑k=0 |ak | < +∞ auch in L (R). Die letzte Gleichung zeigt gleichzeitig die Isometrie-Eigenschaft (8.65) und damit auch die Formel (8.66).

Es gibt allerdings noch eine weitere Berechnungsformel für die Fourier-Transformierte im Raum L2 (R), die auf der Approximation der zu transformierenden Funktion mittels Abschneiden (truncation, vgl. Satz 8.1) beruht und die wir nur angeben (vgl. [161], [160]). Satz 8.10 Es sei f ∈ L2 (R). Für die Fourier-Transformierte F ( f ) von f gilt die Formel F ( f )(p) = lim

n→+∞

1 √ 2π

n −n

e

−ixp

f (x)dx

(p ∈ R)

wobei der Grenzwert im Raum L2 (R) zu bilden ist. Es gilt also genauer n 1 lim F ( f )(·) − √ e−ix(·) f (x)dxL2 (R) = 0. n→+∞ 2π −n Die Gleichung für die inverse (= adjungierte) Fourier-Transformation ist bis auf das Vorzeichen im Exponentialausdruck völlig analog. Bemerkung 8.10 1. In der Theorie der wavelets tritt die folgende „Zulässigkeitsbedingung“ auf (vgl. [114], S. 18): Gilt für eine Funktion ψ ∈ L2 (R) die Ungleichung 0 < cψ := 2π

+∞ |ψˆ (p)|2 −∞

|p|

dp < +∞

262


wobei ψˆ (·) die Fourier-Transformierte von ψ (·) bezeichnet, so heißt die Funktion ψ (·) ein wavelet. Wir zeigen, dass der „Mexikanische Hut“ (vgl. (8.35))

ψ (x) := (1 − x2 )e−x

2

/2

(x ∈ R)

ein wavelet ist. Dazu berechnen wir seine Fourier-Transformierte ψˆ (·) mittels der bereits angegebenen Zerlegung von ψ (·) nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen (vgl. (8.36)) und merken an, dass ψ ∈ S(R) und damit ψ (·) ∈ L2 (R) gilt:

ψ (x) = (1 − x2 )e−x

2

/2

1 1 = h0 (x) − h2 (x) (x ∈ R). 2 4

Auf Grund der Formeln für die Fourier-Transformierten der Hermite’schen Orthogonalfunktionen hn (·) folgt (i2 = −1) 1 1 1 1 F(ψ )p = h0 (p) − (−i)2 h2 (p) = h0 (p) + h2 (p) = 2 4 2 4 1 −p2 /2 1 −p2 /2 2 2 −p2 /2 + e (4p − 2) = p e (p ∈ R) = e 2 4 Die interessierende Konstante cψ hat daher den Wert cψ = 2π

+∞ 2 −p2 /2 2 (p e )

|p|

−∞

dp = 4π

∞ 0

p3 e−p dp = 2π 2

Also sind die Bedingungen (die obige Zulässigkeitsbedingung und die Zugehörigkeit zu L2 (R)) erfüllt. 2. In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung tritt bei der Diskussion des (linearen) Differentialoperators D(ϕ ) = −ϕ + λ ϕ

(ϕ ∈ S(R), λ > 0)

das Problem der Bestimmung der inversen Fourier-Transformierten der Funktion p→

1 =: ψ (p) (p ∈ R) p2 + λ

−1 auf. Zur konkreten Berechnung von F (ψ ) erweist sich diesmal der oben beschriebene alternative Weg

zur Ermittlung von F −1 F

−1

1 p2 +λ

(·) als günstig. Denn es gilt (vgl. Satz 8.10)

1 2 p +λ

+

(x) = lim

R→+∞

1 √ 2π

R −R

eixp dp 2 p +λ

, (x ∈ R).

Die Integrale unter dem Limeszeichen werden (für hinreichend großes R > 0) auf funktionentheoretischem Wege, also mittels des Residuenkalküls ermittelt (vgl. [19], ab S. 195, insbesondere S. 202/S. 203). Es müssen die Fälle x > 0 und x < 0 unterschieden werden (x = 0 : Grenzwertbildung). Es reicht aus, den Fall x > 0 zu betrachten (Aufgabe für den Leser). In diesem Fall gilt nach dem Residuenkalkül , + +∞ R eixp 1 eixp 1 √ √ dp = lim dp = R→+∞ 2π −R p2 + λ 2π −∞ p2 + λ + = lim

R→+∞

2π i Res √ 2π Imz > 0

1 · eixz z2 + λ

, .


263

Die Zerlegung (Partialbruchzerlegung) 1 (−i) 1 i 1 √ + √ · √ = √ · (z ∈ C) z2 + λ 2 λ z−i λ 2 λ z+i λ √ zeigt,√dass in der oberen Halbebene Im z > 0 nur die Stelle z = i λ singulär ist und wir erhalten (für alle R > λ ) den Wert √ 1 (−i) Res 2 eixz = √ · e−x λ (x > 0). z +λ 2 λ Das gesuchte Integral (unter dem Limeszeichen) hat also den Wert 1 √ 2π

R −R

eixp dp = 2 p +λ

π −x√λ e 2λ

(x > 0)

√ √ und zwar für alle R > λ . Da √die Funktion e−x λ (x ≥ 0) in L2 (R+ ) liegt und die sich bei analoger Rechnung ergebende Funktion ex λ (x < 0) zu L2 (R− ) gehört, gilt insgesamt die Limesbeziehung im Raum L2 (R) ⎧ √ π −x λ R ⎨ e (x ≥ 0) 1 eixp 2λ √ dp = lim √ π x λ ⎩ R→+∞ 2π −R p2 + λ e (x < 0); 2λ L2 (R)

womit die gesuchte inverse Fourier-Transformierte bestimmt ist. Es gilt für λ > 0 und x ∈ R : ⎧ ⎫ √ π ⎨ e−x λ (x ≥ 0) ⎬ 1 π −|x|√λ 2 λ −1 √ F = e (x ∈ R). (x) = 2 π ⎩ 2λ p +λ ex λ (x < 0); ⎭ 2λ L2 (R) Über die Beziehung dieses Resultats zur Grundlösung des Differentialoperators D : ϕ → −ϕ + λ ϕ vgl. Abschnitt 8.10.1, wo wir diese Problematik allgemein darstellen. 3. In der Signaltheorie (vgl. Abschnitt 8.11) tritt häufig die charakteristische Funktion eines Intervalls, 1 für |x| ≤ 1 und x ∈ R. Ihre Fourieretwa des Intervalls [−1, 1] auf, d. h., die Funktion χ (x) = 0 für 1 < |x| Transformierte bestimmt man ebenso wie im Beispiel 2. oben am besten mittels des Satzes 8.10. Es folgt also n 1 e−ixp χ (x)dx F (χ )(p) = lim √ n→+∞ 2π −n und wegen χ (x) = 0 für |x| > 1 weiter + , 1 1 2 sin p 1 2 ei p − e−i p − i xp √ √ · · e · (p ∈ R \ {0}). lim dx = lim = = n→+∞ p 2i π p 2π −1 2π n → +∞ n≥1 Die Funktion rechts ist (bis auf den Vorfaktor sinc(x) =

sin x x

2 π ) die in der Signaltheorie häufig auftretende sinc-Funktion

(x = 0), sinc(0) = 1. Also gilt F (χ[−1,1] )(p) =

2 · sinc(p) (p ∈ R). π

264


8.9.3 Zum Begriff des Trägers einer temperierten Distribution Definition 8.13 Man sagt, die Funktion ϕ ∈ C(RN ) (speziell: ϕ ∈ S(RN )) hat den Träger F = supp ϕ (von frz.: „support”), wenn F = Abschließung von {x ∈ RN |ϕ (x) = 0} = {x ∈ RN |ϕ (x) = 0} gilt.

Gleichwertig zur Definition 8.13 ist ersichtlich die folgende Definition 8.14. Definition 8.14 Der Träger einer Funktion ϕ ∈ C(RN ) ist die kleinste abgeschlossene Menge des RN , außerhalb derer die Funktion ϕ den Wert null hat, also (mit der Bezeichnung in Definition 8.13) supp ϕ = F = ∩{A|A ⊆ RN abgeschlossen und ϕ (x) = 0 für alle x ∈ RN \ A}.

Diese Auffassung des Trägerbegriffs ist übertragbar auf temperierte Distributionen. Definition 8.15 Eine temperierte Distribution f ∈ S (RN ) verschwindet (ist gleich null) in der offenen Menge G ⊆ RN , wenn ( f , ϕ ) = 0 gilt für jede Grundfunktion ϕ ∈ S(RN ), für die supp ϕ ⊆ G gilt. Der Träger der Distribution f ist erklärt durch supp f = ∩{F|F ⊆ RN abgeschlossen und f verschwindet in RN \ F}.

Das heißt, der Träger supp f von f ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge des RN , außerhalb derer die Distribution f verschwindet. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt beliebiger Mengen abgeschlossener Mengen stets wieder abgeschlossen ist. Beispiel 8.11 Es sei f = δ die Dirac-Distribution. Dann gilt supp f = supp δ = {0}. Denn für jede Grundfunktion ϕ ∈ S(RN ) mit supp ϕ ⊆ RN \ {0} gilt ϕ (0) = 0 also auch (δ , ϕ ) = ϕ (0) = 0, also verschwindet die δ -Distribution in der (maximal gewählten) offenen Menge RN \ (0}. In jeder offenen Menge G, die den Nullpunkt enthält, verschwindet die Dirac-Distribution nicht. Beispiel 8.12 Es sei f = 1 die (identisch konstante) Distribution, die von der Funktion f (x) = 1 für alle x ∈ RN erzeugt wird. Dann gilt supp f= supp 1 = RN . Denn der Wert ( f, ϕ ) = (1, ϕ ) = RN ϕ (x)dx für ϕ ∈ S(RN ) ist positiv für eine geeignete Grundfunktion, deren Träger als Teilmenge einer beliebigen offenen Menge G ⊆ RN gewählt werden kann. Der Leser überlege dies unter Zuhilfenahme der in Satz 8.2 behandelten glättenden Approximation.

8.9.4 Fourier-Transformation und Faltungsoperation Eine der grundlegenden Eigenschaften der Fourier-Fransformation besteht darin, dass ein Faltungsprodukt in ein gewöhnliches Produkt überführt wird. Daraus ergeben sich neue Berechnungsmöglichkeiten, ganz speziell auch zur Berechnung sogenannter Grundlösungen linearer partieller Differentialoperatoren (mit konstanten Koeffizienten) (vgl. Abschnitt 8.10.1). Wir beweisen hier nicht die allgemeinste Form dieses sogenannten Faltungssatzes, sondern beschränken uns auf das von uns weiter oben (vgl. Definition 8.7) eingeführte Faltungsprodukt „Distribution ∗ Grundfunktion“. Mittels der Tatsache, dass der Raum S(RN ) im Raum S (RN ) dicht liegt bezüglich der in S (RN ) eingeführten (schwachen) Konvergenz (vgl. Definition 8.9) ergeben sich durch Grenzübergang allgemeinere Aussagen. Wir beginnen mit der Vorstufe des Faltungssatzes für das Faltungsprodukt zweier Grundfunktionen und erweitern die Aussage dann auf das Faltungsprodukt „temperierte Distribution ∗ Grundfunktion“.


265

Satz 8.11 (Faltungssatz (Vorstufe)) Es seien ϕ1 , ϕ2 Elemente von S(RN ). Dann gilt die Gleichheit F(ϕ1 ∗ ϕ2 ) = (2π )N/2 · F(ϕ1 ) · F(ϕ2 )

(8.67)

für die Fourier-Transformierte des Faltungsprodukts der Grundfunktionen ϕ1 und ϕ2 .

Beweis: Wir beschränken uns auf den Fall N = 1. Die Erweiterung auf beliebiges N verläuft ohne Schwierigkeiten analog. Zunächst gilt für alle x ∈ R die Beziehung (ϕ1 , ϕ2 ∈ S(R)) (ϕ1 ∗ +∞ ϕ2 )(x) = −∞ ϕ1 (y)ϕ2 (x − y)dy und damit wird für p ∈ R

+∞ 1 F(ϕ1 ∗ ϕ2 )(p) = √ e−ixp (ϕ1 ∗ ϕ2 )(x)dx = 2π −∞ +∞ +∞ 1 =√ e−ixp ϕ1 (y)ϕ2 (x − y)dy dx. −∞ 2π −∞

Auf das letztere Integral wenden wir den Vertauschungssatz von Fubini (vgl. Satz 10.39) an. Die Rechtfertigung dafür folgt aus der Lebesgue-R2 -Summierbarkeit der Funktion (von 2 Variablen) (x, y) → e−ixp ϕ1 (y)ϕ2 (x − y) ((x, y) ∈ R2 ). Diese Summierbarkeitseigenschaft folgt ihrerseits aus der Tatsache, dass es, wegen ϕ1 ∈ S, ϕ2 ∈ S positive Konstante C1 ,C2 gibt, für die die Ungleichungen |ϕ1 (y)| ≤

C1 ; 1 + y2

C2 1 + (x − y)2

|ϕ2 (x − y)| ≤

(x ∈ R, y ∈ R)

gelten. Somit wird für alle p ∈ R die Abschätzung e−ixp ϕ1 (y)ϕ2 (x − y) ≤

C1C2 2 (1 + y )(1 + (x − y)2 )

((x, y) ∈ R2 )

gültig. Man rechnet nun leicht nach, dass das Integral über die rechte Seite letzterer Ungleichung gleich dem Wert (C1C2 · π 2 ) < +∞ ist. Damit ist (weil messbar) auch die linksstehende Funktion über R2 (Lebesgue-)summierbar, womit die Voraussetzungen für die Anwendung des Satzes von Fubini bestehen. Damit erhalten wir 1 F(ϕ1 ∗ ϕ2 )(p) = √ 2π 1 =√ 2π

+∞ −∞

+∞ +∞ −∞

ϕ1 (y)

−∞

+∞ −∞

e−ixp ϕ1 (y)ϕ2 (x − y)dxdy =

e−ixp ϕ2 (x − y)dx dy,

und durch Substitution von t = x−y im inneren Integral und Einsetzen der Definition der FourierTransformierten ergibt sich weiter 1 =√ 2π

+∞ −∞

ϕ1 (y)

+∞ −∞

ei(t+y)p ϕ2 (t)dt dy

266


1 =√ 2π

+∞

e

−∞

−iyp

+∞ √ 1 −it p √ ϕ1 (y) · 2π · e ϕ2 (t)dt dy , 2π −∞

und folglich (Integration nacheinander ausführen) √ = 2π · F(ϕ2 )(p) · F(ϕ1 )(p) (p ∈ R). Die soeben bewiesene Vorstufe bildet die Grundlage für den allgemeineren Faltungssatz. Satz 8.12 (Faltungssatz) Es seien ψ ∈ S(RN ) und f ∈ S (RN ) gegeben. Dann gilt die Gleichheit F ( f ∗ ψ ) = (2π )N/2 · F(ψ ) · F ( f ) (Man beachte, dass mit ψ ∈ S(RN ) auch F(ψ ) ∈ S(RN ) zutrifft).

Beweis: Der Beweis ergibt sich unter Verwendung der vorangehenden Vorstufe durch alleinige Anwendung der vereinbarten Definitionen und bewiesenen Rechenregeln wie folgt. Es gilt für jedes ϕ ∈ S(RN ) die folgende Gleichungskette: (F ( f ∗ ψ ), ϕ ) = ( f ∗ ψ , F(ϕ )) = ( f , ψ ∗ ∗ F(ϕ )) (ψ ∗ (x) := ψ (−x) für alle x ∈ RN ). Andererseits ist mit c = (2π )N/2 : (cF(ψ ) · F ( f ), ϕ ) = c(F ( f ), F(ψ ) · ϕ ) = = c( f , F(F(ψ ) · ϕ )) = c( f , F(F −1 (ψ ∗ ) · ϕ )) = (Vorstufensatz oben) = c( f , 1c ψ ∗ ∗ F(ϕ )) = ( f , ψ ∗ ∗ F(ϕ )) (ϕ ∈ S(RN )) (man beachte, dass die Gleichungen F(ψ ) · ϕ = F −1 (ψ ∗ ) · F −1 (F(ϕ )) und damit F(F(ψ ) · ϕ )) = c−1 ψ ∗ ∗ F(ϕ ) gelten). Also ist die Gleichung (F ( f ∗ ψ ), ϕ ) = ( f , ψ ∗ ∗ F(ϕ )) = (cF(ψ ) · F ( f ), ϕ ) für alle ϕ ∈ S(RN ) erfüllt, m.a.W., es gilt tatsächlich die behauptete Beziehung F ( f ∗ ψ ) = cF(ψ ) · F ( f ). Mittels Approximation durch Elemente von S(RN ) lässt sich der Faltungssatz auf die Faltung zweier temperierter Distributionen u1 , u2 ∈ S (RN ), von denen eine, sagen wir u1 , einen kompakten Träger besitzt. Es gilt dann analog die Gleichung F (u1 ∗ u2 ) = (2π )N/2 F (u1 ) · F (u2 ) wobei die rechte Seite deshalb existiert, weil F (u1 ) dann eine beliebig oft differenzierbare, polynomial beschränkte Funktion ist. Das Faltungsprodukt u1 ∗ u2 selbst ist dabei mittels der Gleichung (u1 ∗u2 , ϕ ) = (u2 , u∗1 ∗ ϕ ) für alle ϕ ∈ S(RN ) gegeben, u∗1 ist dabei die durch (u∗1 , ϕ ) := (u1 , ϕ ∗ ), ϕ ∈ S, gegebene Distribution. Beispiel 8.13 Es sei ψ ∈ S(RN ) gegeben. Dann gilt mit der Dirac-Distribution δ ∈ S (RN ) die Gleichung (δ ∗ ψ , ϕ )

=

(δ , ψ ∗ ∗ ϕ ) = (ψ ∗ ∗ ϕ )(0) = = =

RN

RN

ψ ∗ (x − y)ϕ (y)dy

x=0

=

RN

ψ (y − x)ϕ (y)dy

ψ (y)ϕ (y)dy = (ψ , ϕ ) für alle ϕ ∈ S(RN ),

= x=0


267

d. h., es gilt die Gleichheit

δ ∗ψ = ψ für alle ψ ∈ Die Dirac-Distribution ist also das neutrale Element des Faltungsprodukts. Wenn wir andererseits die Fourier-Transformierte von der Distribution δ ∗ ψ bilden, liefert der Faltungssatz die Gleichheit F (δ ∗ ψ ) = (2π )N/2 · F (δ ) · F(ψ ) S(RN ).

zum anderen folgt aus der vorhergehenden Gleichheit die Beziehung F (δ ∗ ψ ) = F(ψ ). Daraus ergibt sich durch Vergleich (2π )N/2 · F (δ ) · F(ψ ) = F(ψ ). Da ϕ = F(ψ ) ein beliebiges Element aus S(RN ) sein kann, folgt ϕ · ((2π )N/2 F (δ ) − 1) = 0 für alle ϕ ∈ S(RN ). Daraus folgt (Beweis für den Leser) schließlich (2π )N/2 · F (δ ) − 1 = 0 oder F (δ ) = (2π1)N/2 (wie bereits weiter oben ermittelt).

8.9.5 Die Reihenentwicklung nach den Hermite’schen Orthogonalfunktionen und ihre Fourier-Transformierten im RN Wir legen die normierten Hermite’schen Orthogonalfunktionen ψn (·) (vgl. Satz 8.4) zugrunde. Für n = 0, 1, 2, . . . und t ∈ R ist

ψn (t) =

(−1)n

t2

√ ·e 2 · 2n · n! · π

d n (e−t ) . dt n 2

Für einen Multiindex α = (α1 , . . . , αN ) und x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN ) ∈ RN definieren wir verallgemeinernd ψα (x) := ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) · . . . · ψαN (ξN ) und erhalten auf diese Weise ein (vollständiges) Orthonormalsystem im Raum L2 (RN ) (vgl. [9]). Die Funktionen ψα (·) können, da sie eine Basis (Schauder-Basis) im Raum S(RN ) bilden (Satz von Antosik-Mikusinski-Rolewicz [9], [143]) sowohl zur Reihenentwicklung im Raum S(RN ), im Raum L2 (RN ) als auch im Raum S (RN ) benutzt werden. Wir listen diese Varianten auf: (1) Im Raum S(RN ) lässt sich jede Funktion ϕ ∈ S(RN ) (auf genau eine Weise) darstellen in der Form x = (ξ1 , . . . , ξN ) ∈ RN

ϕ (x) =

∞

∑

|α |=0

cα ψα (x)

(8.68)

mit cα = RN ϕ (x)ψα (x)dx. Die Reihe (8.68) konvergiert in der Metrik (vgl. (8.14)) des Raumes S(RN ).

268


(2) Im Raum L2 (RN ) lässt sich jedes Element f ∈ L2 (RN ) durch eine Orthogonalreihe darstellen in der Form f (·) =

∞

∑

|α |=0

cα ψα (·)

(8.69)

mit cα = f |ψα L2 (RN (für alle α ) = RN f (x)ψα (x)dx Die Reihe (8.69) konvergiert in der Norm des Raumes L2 (RN ) und es gilt die Parseval’sche Gleichung (vgl. (2.20)) f 2L2 (RN ) = 2 ∑∞ |α |=0 |cα | .

(3) Im Raum S (RN ) lässt sich jede temperierte Distribution f ∈ S (RN ) durch eine Reihe f=

∞

∑

|α |=0

cα ψα

(8.70)

darstellen, wobei cα := ( f , ψα ) für alle α gilt (man beachte, dass ψα ∈ S(RN ) ist). Die Reihe (8.70) konvergiert im Sinne der (schwachen) Konvergenz in S (RN ). Also ist S(RN ) bezüglich dieser Konvergenz dicht in S (RN ). Die Fourier-Transformierten in den Fällen (1)–(3) werden wie folgt berechnet: |α | N N (1) F(ϕ )(x) = ∑∞ |α |=0 (−i) cα ψα (x) (ϕ ∈ S(R ); x ∈ R ). |α | (2) F ( f ) = ∑∞ |α |=0 (−i) cα ψ F ( f )L2 = f L2 .

( f ∈ L2 (RN )) und es gilt für alle f ∈ L2 (R) die Gleichheit

|α | (3) F ( f ) = ∑∞ |α |=0 (−i) cα ψα

( f ∈ S (RN )) (|α | = ∑Nk=1 αk )

Die Reihen für die Fourier-Transformierten konvergieren im gleichen Sinne wie die Ausgangsreihen in den Fällen (1)–(3). In jedem der Fälle (1)–(3) gilt die Gleichheit (I bezeichne die identische Abbildung) F 4 = IS bzw. F 4 = IL2 oder F 4 = IS

8.10 Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation 8.10.1 Grundlösung Einem Polynom in N Variablen ξk ∈ R (k = 1, ..., N), x = (ξ1 , ..., ξN ), M

P(x) :=

∑

|α |=0

aα xα =

∑

0≤|α |≤M

aα ξ1α1 · ... · ξNαN (aα ∈ C, M ∈ N)

(aα = aα1 ,...,αN ∈ C) vom Grad ≤ M lässt sich (vgl. (8.10)) ein linearer partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten zuordnen: P(∂ ) :=

M

∑

|α |=0

aα ∂ α =

∑

0≤|α |≤M

aα ∂1α1 · ... · ∂NαN

8.10 Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation

α ∂k k

k

:=

∂α α ∂ ξk k

269

, und jeder solche Differentialoperator entsteht auf diese Weise aus einem Po-

lynom. Ersichtlich kann der Operator P(∂ ) auf jede temperierte Distribution f ∈ S (= S (RN )) angewandt werden, nach unseren Vereinbarungen gilt für alle ϕ ∈ S(= S(RN )) die Gleichung (P(∂ )( f ), ϕ ) =

∑

|α |=0

+ =

M

f,

M

∑

|α |=0

P∗ (∂ )

|α | α ∑M |α |=0 (−1) aα ∂

wobei = rentialoperator ist.

aα (∂ α f , ϕ ) =

M

∑

|α |=0

aα (−1)|α | ( f , ∂ α ϕ ) =

,

|α | α

aα · (−1) ∂ ϕ

= ( f , P∗ (∂ )ϕ ),

der zu P(∂ ) formal adjungierte (oder: transponierte) Diffe-

Definition 8.16 Eine temperierte Distribution E ∈ S (= S (RN )) heißt eine Grundlösung des linearen Differentialoperators α P(∂ ) = ∑M |α |=0 aα ∂ , wenn mit der Dirac-Distribution δ die folgende Gleichung gilt: P(∂ )(E) = δ . Satz 8.13 (Satz von Hörmander und Łojasiewicz) Ist P(∂ ) ein linearer nicht identisch verschwindender Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten und ist f ∈ S (RN ), so hat die Gleichung P(∂ )(u) = f (mindestens) eine Lösung u ∈ S (RN ) (vgl. [161], [160], [153], [85], [166]). Folgerung 8.1 Jeder Differentialoperator der Form P(∂ ) = ∑0≤|α |≤M aα ∂ α (mit aα = 0 für mindestens eine α ) besitzt eine Grundlösung in S (RN ). Je zwei Grundlösungen unterscheiden sich um eine (beliebige) Lösung v der homogenen Differentialgleichung P(∂ )(v) = 0 (v ∈ S ). Beispiel 8.14 Es sei N = 1 und P(∂ )(u) := u . Dann ist die Distribution x+ , erklärt durch die Vorschrift x+ (t) = 0 (t ∈ (−∞, 0)); x+ (t) = t (t ∈ [0, ∞)) eine zugehörige Grundlösung. Beweis für den Leser als Übungsaufgabe, zu 2 + zeigen ist, dass die Gleichung ddtx2 = δ im Raum S (R) besteht.

Zur Ermittlung der Grundlösung eines linearen Differentialoperators kann man die FourierTransformation verwenden. Wendet man nämlich auf die (zunächst hypothetische) Gleichung P(∂ )(E) = δ die Fourier-Transformation an, so entsteht nach den Rechenregeln die Gleichung P(ix)F (E) = (2π )−N/2

(x ∈ RN , i2 = −1)

(8.71)

Wenn es gelingt, durch „Division“ durch das Polynom P(ix) in dieser Gleichung die FourierTransformierte F (E) zu isolieren (= zu bestimmen), so kann die Grundlösung E (deren Existenz ja bereits feststeht) durch Anwenden der inversen (= adjungierten) Fourier-Transformation F −1 = F ∗ gewonnen werden. Nach Hörmander ([166], [161], [160]) ist diese „Divisionsaufgabe“ stets lösbar. Wir betrachten ein (sehr einfaches) Beispiel.

270


Beispiel 8.15 (Ermittlung der Grundlösung mittels Fourier-Transformation) Es sei N = 1 und P(∂ )(u) = −u + λ u für ein festes λ > 0. Gesucht ist eine Distribution E ∈ S (R) mit −E + λ E = δ Die Anwendung der Fourier-Tranformation ergibt unter Verwendung der Rechenregeln 1 −(+ip)2 F (E) + λ F (E) = F (δ ) = √ 2π oder

also (formal!) F (E) =

(p ∈ R)

1 (p2 + λ )F (E) = √ 2π

(8.72)

(p ∈ R). Da in diesem Beispiel die rechte Seite der letzteren Gleichung +∞ d p im Raum L2 (R) liegt (es existiert das Integral −∞ ) und es gilt L2 (R) ⊆ S (R), ist (in diesem (p2 +λ )2 einfachen Fall) die Divisionsaufgabe (8.72) direkt lösbar und wir erhalten mittels der inversen FourierTransformation 1 1 1 1 −1 −1 ∗ =√ F E = F (F (E)) = √ · F p2 + λ p2 + λ 2π 2π √1 2π

· p2 1+λ

Mittels der Plancherel’schen Formel (vgl. (8.45)) haben wir weiter oben diese Transformation bereits bestimmt und wir bekommen damit als eine Grundlösung E des Differentialoperators u $→ −u + λ u für λ > 0 in der Form ⎫ ⎧ √ ⎨ √1 ex λ (−∞ < x < 0) ⎬ 1 −|x|√λ 2 λ √ √ = e (x ∈ R), E(x) = ⎩ √1 e−x λ (0 ≤ x < +∞) ⎭ 2 λ 2 λ

das Gleichheitszeichen ist im Sinne des Raumes L2 (R), also auch in S (R) gültig.

Grundlösungen werden ihrerseits zur Bestimmung der sogenannten Green’schen Funktion einer linearen Randwertaufgabe verwendet. Wir verweisen hierzu auf die umfangreiche Literatur zu diesem Thema (vgl. [184] oder [32]). Eine Vorstufe hierzu ist die Verwendung von Grundlösungen zur Berechnung von Lösungen inhomogener linearer Differentialgleichungen mittels der Faltungsoperation. Es gelte also mit den oben eingeführten Bezeichnungen die Gleichung P(∂ )(E) = δ für eine (bereits ermittelte) temperierte Distribution E ∈ S (RN ). Ist nun u ∈ S (RN ) eine weitere temperierte Distribution, für welche die Faltung v := u ∗ E ∈ S (RN )

(8.73)

existiert (hinreichend ist z. B., dass u einen kompakten Träger hat, vgl. Definition 10.34), so ist v eine (distributionelle) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung P(∂ )(v) = u Der Beweis (den wir hier nur andeuten) beruht auf den Eigenschaften der Faltungsoperation bezüglich der Operation Differentiation. Es gilt danach die Gleichungskette P(∂ )(v) = P(∂ )(u ∗ E) = u ∗ P(∂ )(E) = u ∗ δ = u,

8.10 Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation

271

die den Gang des Beweises zeigt, wobei jedes einzelne Gleichheitszeichen eines besonderen Beweises bedarf. Faltungsprodukte der Form (8.73) heißen auch Potentiale im Hinblick auf den 2 Spezialfall P(∂ ) = = N := ∑Nk=0 ∂∂ξ 2 für N = 3; dort gilt E(x) = − 4π1|x| (x ∈ R3 \ {0}) und k

für u ∈ S(R3 ) ist dann, falls der Träger von u in der beschränkten Menge Ω ⊆ R3 liegt, das Faltungsprodukt v = u ∗ E gegeben durch die Gleichung (y ∈ R3 ) v(y) =

−1 4π

R3

−1 u(x) dx = |x − y| 4π

u(x) dx, Ω |x − y|

ist also das klassische Newton-Potential mit der Belegungsdichte (Ladungs- oder Massendichte) u(·) auf der kompakten Menge Ω ⊆ R3 . Es gelten die Gleichungen v(x) = u(x) für x ∈ Ω (Poisson-Gleichung) und v(x) = 0 für x ∈ R3 \ Ω (Laplace-Gleichung). Grundlösungen der wichtigsten Differentialoperatoren (vom Standpunkt der Anwendungen in der Mathematischen Physik und bei stochastischen Prozessen) liegen in Tabellenform vor, wir erwähnen: - Galler, M.: Fundamentallösungen von homogenen Differentialoperatoren. Rozprawy Matematyczne CCLXXXII, PWN, Warschau, 1989. - Ortner, N. und Wagner, P.: A survey on explicit representation formulae for fundamental solutions of linear partial differential operators. Acta Appl. Math. 47, No. 1, 101-124 (1997).

8.10.2 Die Fourier-Transformation im Raum L1 (RN ) Beispiel 8.16 Wie wir in Beispiel 8.5 gesehen haben, kann man für jede Zahl p mit 1 ≤ p < +∞ den Raum L p (RN ) als Teil des Raumes S (RN ) auffassen, indem man jedem Element f ∈ L p (RN ) das Funktional f˜ ∈ S (RN ) (umkehrbar eindeutig!) zuordnet, welches durch die Vorschrift ( f˜, ϕ ) :=

RN

f (x)ϕ (x)dx

(8.74)

für alle ϕ ∈ S(RN ) gegeben ist. Im Folgenden betrachten wir speziell den Fall p = 1. Welche Gestalt hat dann die Fouriertransformierte? Ausgehend von der Definition der Fourier-Transformation in S (RN ) erhalten wir unter Verwendung von (8.74) für f ∈ L1 (RN ) die folgenden Beziehungen für jedes Element ϕ ∈ S(RN ) (vgl. [160]): + , 1 − i x|p f (x) e ϕ (p)dp dx = (F ( f˜), ϕ ) = ( f˜, F(ϕ )) = N RN ( 2π ) RN 1 −ix|p = e f (x)dx dp, (2π )N/2 RN

272


wobei das dritte Gleichheitszeichen auf Grund des Satzes von Fubini (vgl. Satz 10.38) zutrifft. Der Leser vollziehe dies im Detail nach. Es gilt also die Gleichheit (F ( f˜), ϕ ) = mit

RN

g(p)ϕ (p)dp

1 e−ix|p f (x)dx (p ∈ RN ), (2π )N/2 RN dabei ist (zufolge der Aussagen des Satzes von Fubini zur Summierbarkeit der bezüglich einer der Produktvariablen bereits integrierten faktoriellen Funktionen) die Funktion g(·) selbt eine summierbare Funktion, gehört also zum Raum L1 (RN ). Somit sind wir berechtigt, auf Grund obiger Gleichheiten für jedes f ∈ L1 (RN ) die Beziehung F ( f ) = F ( f˜) = g g(p) :=

oder F ( f )(p) =

1 (2π )N/2

RN

e−ixp f (x)dx

(p ∈ RN )

(8.75)

zu verwenden. Für die adjungierte Fouriertransformation gilt völlig analog die Gleichheit ( f ∈ L1 (RN )) : F ∗ ( f )(p) =

1 (2π )N/2

RN

eixp f (x)dx

(p ∈ RN ).

Eine einfache Folgerung aus der Gleichheit (8.75) ist die weiter oben bereits angegebene Berechnungsvorschrift für die Ermittlung der Fourier-Transformation im Raum L2 (RN ) : Für jedes f ∈ L2 (RN ) gilt die Beziehung (p ∈ RN ) n n 1 −x|p · · · e f (x)dx · . . . · dx F ( f )(p) = lim N , 1 n→+∞ (2π )N/2 −n −n L2 wobei der Grenzwert im Sinne des Raumes L2 (RN ) gebildet wird (vgl. die Beispiele 2. und 3. innerhalb der Bemerkung 8.10). Der Leser überlege den Beweis für diesen wichtigen Sachverhalt.

8.11 Zur Anwendung der Fourier-Transformation in der Signaltheorie. Beispiele und Aufgaben Als „Signal“ bezeichnet man ganz allgemein jede reell- oder komplexwertige Funktion einer reellen Variablen der „Zeit“ bzw. der „Frequenz“ und verallgemeinernd auch temperierte Distributionen über R. Der Übergang von der „Zeitdarstellung“ zur „Frequenzdarstellung“ wird durch die Fourier-Transformation vermittelt. Wir verzichten auf detaillierte Ausführungen und verweisen auf Beispiel 8.17, auf die Bemerkung zur Plancherel’schen Formel (8.45) und auf folgende Literaturstellen: - Boche, H.: Neuere Beiträge zur Theorie der Funktionaltransformationen und ihre Anwendungen. Fortschritte - Berichte VDI. Reihe 21: Elektrotechnik Nr. 158. VDI-Verlag GmbH, Düsseldorf, 1994. - Müller-Wichards, D.: Transformationen und Signale. Teubner, Stuttgart, 1999.


273

- Krabs, W.: Mathematical Foundations of Signal Theory. Heldermann, Berlin, 1995. - Tönnies, K.D.: Grundlagen der Bildverarbeitung. Pearson Studium, 2005. - Castleman, K.R.: Digital Image Processing. Prentice-Hall, 1996. Auf die weiterführende Theorie der „wavelets“ wurde bereits eingegangen (vgl. z. B. Bemerkung 8.10). Zur Numerik der Fourier-Transformation für aktuelle Anwendungen vgl. insbesondere Saranen, J. und Vainikko, G.: Periodic Integral and Pseudodifferential Equations with Numerical Approximation. Springer, Berlin 2002. Durch das folgende Beispiel mit seinen Aufgaben soll ein erster Eindruck von der Spezifik des angesprochenen Gebietes vermittelt werden. Beispiel 8.17 (Die Umwandlung D/A von digitalen Signalen in analoge Signale) Mit C0 (R) bezeichnen wir den Raum der komplexwertigen auf R definierten, stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen. Dabei heißt eine Funktion f : R → C „im Unendlichen verschwindend“, wenn für jede positive reelle Zahl die Menge {x ∈ R| | f (x)| ≥ c} kompakt ist (also hier: beschränkt und abgeschlossen). Mit der Norm f 0 := supt∈R | f (t)| wird C0 (R) zu einem Banach-Raum. Der Leser zeige dies. Durch einen Messprozess werden durch Abtastung die diskreten Funktionswerte f (n)(n ∈ Z = {0; +1; −1; +2; −2; . . .}) zugänglich (praktisch nur in einer endlichen Teilmenge von Z). Die Folge { f (n)n∈Z } ist als ein digitales Signal aufzufassen. Wie stellt man nun aus diesem digitalen Signal auf sinnvolle Weise ein – etwa zur Steuerung einer Anlage benötigtes – analoges Signal F : R → C mit den gewünschten Eigenschaften her? In der Arbeit [21], die im Rahmen einer „ECMI Modelling Week“ angefertigt wurde, wird dazu der folgende Weg beschritten. Nach Wahl einer mit besonderen Eigenschaften ausgestatteten sogenannten Pulsfunktion Φ : R → C bildet man das analoge Signal F :R→C durch die Gleichung F(x) :=

∑

f (n) · Φ(x − n) (x ∈ R)

n∈Z

und untersucht die Eigenschaften dieser so ablaufenden D/A-Wandlung. Mittels eines Minimalprinzips wird in [21] eine parameterabhängige Familie (Φε )ε >0 solcher Pulsfunktionen ausgewählt, die durch die Vorschrift 2ε (x ∈ R; ε > 0) Φε (x) := 2 x + 4π 2 ε 2 erklärt ist, dabei werden Verlustenergie und Fehlerrate zusammen minimiert.

8.12 Übungsaufgaben Aufgabe 1. Stellen Sie die folgenden Eigenschaften der Funktionen Φε (·) für jedes ε > 0 fest: (1) (2) (3)

+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞

Φε (x)dx = 1 und Φε (x) ≥ 0 |Φε (x)|2 dx =

1 , 4π 2 ε

|x · Φε (x)|2 dx = ε .

(x ∈ R),

274


(4) Es ist (bei festem ε > 0) φε (·) die einzige Funktion mit den Eigenschaften (1), (2) und (3). Lösungshinweis: (1), (2), (3) ergeben sich mittels elementarer Rechnung, (4) ist eine Konsequenz der sogenannten Carlson’schen Ungleichung (Literatur dazu in E.F. Beckenbach and R. Bellman: Inequalities, Springer, Berlin 1961, Chap.5, §8), sie lautet wie folgt: Sind für eine (messbare) Funktion g : R → R die Voraussetzungen (I) g ∈ L2 (R) und (II) x · g ∈ L2 (R) ((xg)(x) := x · g(x), x ∈ R) erfüllt, so gilt auch g ∈ L1 (R) und es besteht die Ungleichung ⎛ ⎝

⎞4

+∞

g(x)dx⎠ ≤ 4π 2

−∞

+∞

|g(x)|2 dx ·

−∞

+∞

|(x · g(x))|2 dx.

−∞

Dabei gilt in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die Funktion g die folgende Form (A, B Konstante) besitzt: A (x ∈ R). g(x) = 1 + (Bx)2 Beweisen Sie zunächst die Carlson’sche Ungleichung, indem Sie im Hilbert-Raum L2 (R) unter den Voraussetzungen (I) und (II) die Schwarz’sche Ungleichung auf die Funktionen x → g(x) 1 + λ 2 x2 und x → √

1 1 + λ 2 x2

(x ∈ R; λ > 0)

bei festem λ > 0 anwenden und anschließsend λ so wählen, dass die rechte Seite der damit erhaltenen Ungleichung minimal wird. Danach ermitteln Sie diejenige Funktion g ∈ L2 (R), die für dieses spezielle λ in der Schwarz’schen Ungleichung das Gleichheitszeichen realisiert (Proportionalität der betreffenden Funktionen). Anschließend bestimmen Sie die Konstanten A und B aus den Eigenschaften (1) und (3), (2) gilt dann automatisch. Aufgabe 2. Eigenschaften der D/A-Wandlung. Mit der in Aufgabe 1. diskutierten Funktion φε (·)(ε > 0) bilden wir für ein diskretes Signal (Z : Menge der ganzen Zahlen) f : Z → R (oder f : Z → C) die Analog-Reihe Fε (x) :=

∑

f (n)φε (x − n) =

n∈Z

∑

f (n) ·

n∈Z

2ε (x − n)2 + 4π 2 ε 2

(8.76)

für x ∈ R. Das diskrete Signal f sei beschränkt, d. h., es gibt ein C > 0 mit | f (n)| ≤ C für alle n ∈ Z. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Analog-Reihe: 1. In jedem beschränkten (x)-Intervall von R konvergiert die Reihe (8.76) gleichmäßig (in x, bei festem ε > 0), die Funktion Fε (·) ist auf ganz R stetig. 2. Auch die Funktion Fε (·) ist beschränkt, es gilt die Ungleichung |Fε (x)| ≤ C · coth(2π 2 ε ) (x ∈ R),

(8.77)

wobei C die oben eingeführte Schranke für | f (·)| ist (coth = Kotangens hyperbolicus) . 3. Im Raum S (R) gilt (mit der Dirac-Delta-Distribution δ ) die Limesbeziehung lim φε (·) = δ

ε →+0

(8.78)


275

Lösungshinweise zu Aufgabe 2. Wir führen den Leser zur Lösung von Aufgabe 2 in mehreren Schritten. Schritt 1: Lösung des Aufgabenteils E beliebiges, festes ganzzahliges k (k ∈ Z) betrachten wir D (1). Für ein die Reihe Fε (x) im Intervall Ik := k − 12 ; k + 12 und schätzen den Reihensummanden (ε > 0 ist fest!) f (n) ·

2ε (x − n)2 + 4π 2 ε 2

für hinreichend große Werte von n nach oben ab. Es sei für ein festes x ∈ Ik der Wert von n ∈ Z so gelegen, dass die Ungleichung 2|x| < |n| besteht. Es gibt nur endlich viele n ∈ Z, für die diese Ungleichung nicht zutrifft. Wir erhalten (mit den Voraussetzungen über das Signal f (·)): 0

≤ =

1 2ε ≤ 2ε ·C · = (x − n)2 + 4π 2 ε 2 ||x| − |n||2 + 4π 2 ε 2 1 1 8ε C 2ε C ≤ 2ε C |n|2 ≤ 2 2 |n| 2 2 |x| |n|2 1 − |n| + 4π 2 ε 2 4 + 4π ε f (n) ·

1 für alle n ∈ Z mit 2|x| < |n|. Damit ist die absolut konvergente Reihe 2·(8ε C)· ∑∞ |n|=1 |n|2 eine Majorante für die Reihe Fε (x) mit konstanten Summanden (abgesehen von endlich vielen Summanden, für die |n| ≤ 2|x| gilt). Nach dem Kriterium von Weierstrass ist somit die obige Reihe Fε (x) in jedem Intervall Ik (und damit in jedem beschränkten Intervall von R) absolut und gleichmäßig konvergent. Da jeder Summand eine stetige Funktion repräsentiert, ist auch die Reihensumme, also Fε (x), eine stetige Funktion von x ∈ R. Schritt 2. Nachweis der Beschränktheit von Fε (·) auf R durch die angegebene Schranke. πz In [107] S. 433 finden wir die Partialbruchzerlegung der (komplexen) Kotangensfunktion cot π z := cos sin π z (z ∈ Z; z = x + iy) in der Form ∞ 1 1 2 . cot π z = + ·z· ∑ 2 2 πz π n=1 z − n

Daraus ergibt sich durch elementare Rechnung für y ∈ R mit y = 0 die Gleichheit (¯z = x − iy) cot π z − cot π z¯ 1 . (−π ) = ∑ 2 + y2 z − z¯ (x − n) n∈Z Mittels der komplexen Exponentialfunktion und der Trennung von Real- und Imaginärteil auf der linken Seite obiger Gleichheit folgt weiter (y = 0) sinh(2π y) 1 π = ; 2 + y2 2 (π y) sin2 π x + sinh2 (π y) cos2 π x 2y (x − n) cosh n∈Z

∑

woraus wir für y = 2πε die Beziehung sinh(4π 2 ε ) 2ε 1 = ; 2 2 2 2 cosh2 (2π 2 ε ) sin2 π x + sinh2 (2π 2 ε ) cos2 π x n∈Z (x − n) + 4π ε

∑

abgekürzt

∑ φε (x − n) = d(x; ε ),

n∈Z

wobei d(x; ε ) die in letzterer Gleichheit auf der rechten Seite angegebene Funktion (von x, mit dem Parameter ε > 0) darstellt. Ersichtlich ist die Zuordnung x $→ d(x; ε ) =

sinh(4π 2 ε ) 1 (x ∈ R) 2 2 2 cosh (2π ε ) sin2 π x + sinh2 (2π 2 ε ) cos2 π x

276


eine stetige periodische Funktion (mit der Periode 1), die für x = 0 ihren Maximalwert d(0; ε ) =

1 sinh(4π 2 ε ) cosh(2π 2 ε ) = coth(2π 2 ε )(> 0) · = 2 sinh(2πε ) sin(2π 2 ε

annimmt und überall positiv ist (Minimalwert d( 12 ; ε ) = tanh(2π 2 ε ) > 0). Daraus folgt sofort die zu beweisende Abschätzung (8.77). Die Limesbeziehung (8.78) wird mit einem Standardverfahren nachgewiesen (der Leser arbeite die Details aus): - zu zeigen ist, dass die Gleichheit lim

ε →+0

+∞

−∞

2ε · ϕ (x)dx = ϕ (0) x 2 + 4π 2 ε 2

für jede Funktion ϕ ∈ S(R) besteht. Man beachte dabei, dass die Funktion φε (x) = +∞ bei festem ε > 0 zu L1 (R) gehört und dass −∞ φε (x)dx = 1 gilt.

2ε (x ∈ R) x2 +4π 2 ε 2

- Mittels der Zerlegung des Integrals (ϕ ∈ S(R)) (φε , ϕ ) =

+∞ −∞

2ε · ϕ (x)dx x 2 + 4π 2 ε 2

in drei Bestandteil in der Form +∞ −∞

2ε ϕ (x)dx = x 2 + 4π 2 ε 2

−δ −∞

···+

δ −δ

···+

+∞ δ

···

√ mit jeweils demselben Integranden und geeignet gewähltem δ > 0, etwa δ = ε , weist man unschwer nach, dass für ε → +0 die beiden Integrale von −∞ bis −δ und von δ bis +∞ den Grenzwert 0 besitzen und dass der Grenzwert des mittleren Integrals von −δ bis +δ gerade gleich dem Wert ϕ (0) ist, womit die Behauptung insgesamt nachgewiesen ist. Ohne Beweis merken wir noch an, dass in Verallgemeinerung der obigen Limesbeziehung (8.78) im Raum S (R) sogar die folgende Gleichheit gilt: , + lim

ε →+0

∑ φε (x − n)

n∈Z

= S

∑ δn .

n∈Z

Dabei bezeichnet δn das an den Punkt x = n "verschobene“ δ -Funktional, d. h., es gilt (δn , ϕ ) = ϕ (n) für alle ϕ ∈ S(R) (n ∈ Z). Aufgabe 4. (Fourier-Transformation der Analogreihe) Nach Aufgabe 2. ist Fε ein Element von S (R)(Fε (·) ist lokalintegrierbar und durch eine Konstante beschränkt). Also existiert die Fourier-Transformierte F (Fε ) (für jedes ε > 0). Wir berechnen diese in den folgenden Schritten. 1. Zeigen Sie mittels früherer Ergebnisse (Bemerkung 8.10), dass die Gleichheit (!(φε ∈ L2 (R))) F (Φε ) (p) = L2 besteht.

e−2πε |p| √ 2π

(p ∈ R)


277

2. Leiten Sie daraus die gesuchte Gleichung (in S (R)) F (Fε )(p) = S

e−2πε |p| √ · ∑ f (n)e−inp (p ∈ R) 2π n∈Z

her. In der Signaltheorie betrachtet man insbesondere (vgl. die am Abschnittsanfang genannten Literaturstellen, z.B. Boche oder Müller-Wichards) sogenannte Abtast-Reihen der Form

∑

n∈Z

f (n)

sin π (x − n) π (x − n)

(x ∈ R)

(8.79)

im Verhältnis zur gegebenen Funktion f : R → R, die z.B. zum Raum C0 (R) der im Unendlichen verschwindenden Funktionen gehört. Unter sehr speziellen Voraussetzungen wie z.B. die Eigenschaft der sogenannten Bandbegrenztheit von f , das ist die Voraussetzung, dass die Fourier-Transformierte von f ∈ L2 (R) einen kompakten Träger hat (für die obige Reihe (8.79) das Intervall [− 12 , 12 ]) lässt sich die Konvergenz der Abtast-Reihe gegen die gegebene Funktion f (im Sinne der Konvergenz in S (R)) nachweisen (vgl. das am Abschnittsanfang genannte Buch von Krabs). Man erhält damit eine mögliche Variante des Shannon’schen Abtast-Theorems.

9 Halbbeschränkte Operatoren in Hilbert-Räumen 9.1 Friedrichs’sche Fortsetzung Ein grundlegendes Problem der angewandten Mathematik ist es, Operatorgleichungen aufzulösen oder Aussagen über die Lösungsmenge zu machen (vgl. den Abschnitt 3.2.2 über lineare beschränkte Operatoren). In Zusammenhang mit dem Satz von Banach über den inversen Operator (vgl. Satz 3.25) führte die funktionalanalytische Behandlung eines allgemeinen Anfangswertproblems einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung auf eine Operatorgleichung mit einem linearen beschränkten Operator. Die Beschränktheitsforderung ist aber oft zu eng, wie man an folgendem einfachen Beispiel sieht. Beim Beispiel mit der Differentialgleichung erkauft man sich die Beschränktheit damit, dass man eine Norm mit zweiten Ableitungen verwenden kann, weil genügend Wissen über das Verhalten der zweiten Ableitung der Lösung bei den dort gemachten Voraussetzungen bekannt ist. Bei (3.82) wurde ein Ableitungsoperator behandelt. Dieser erwies sich in dem zugrundegelegten Raum zwar als linear, aber als nicht beschränkt und nicht überall definiert (vgl. Aufgabe 1 in Abschn. 9.3). Man wird deshalb bei der funktionalanalytischen Behandlung von (gewöhnlichen oder partiellen) Differentialgleichungen in Abhängigkeit von den gewählten Räumen mit der Situation konfrontiert, dass der das Differentialgleichungsproblem beschreibende Operator nicht beschränkt und nicht überall definiert ist. Es zeigt sich aber, dass solche Operatoren oft doch noch wenigstens eine gewisse Beschränktheitseigenschaft haben, die sogenannte Halbbeschränktheit, mit deren Hilfe eine ertragreiche und anwendbare (vgl. z.B. das Verfahren von Ritz, Abschnitt 9.2) Theorie aufbaubar ist.

9.1.1 Halbbeschränkte symmetrische Operatoren Definition 9.1 (Halbbeschränkter Operator) Es seien H ein Hilbert-Raum und A ein linearer Operator, dessen Definitionsbereich D(A) dicht in H liegt (man spricht von einem in H dicht definierten Operator A), und der D(A) in H abbildet. Gibt es eine positive Zahl γ , sodass gilt ∀u ∈ D(A) : Au|u ≥ γ 2 u2 , (9.1) so heißt A halbbeschränkt (stark positiv definit). A heißt symmetrisch falls gilt ∀u, v ∈ D(A) : Au|v = u|Av.

(9.2)

Beispiel 9.1 Es seien H = LR2 ([0, 1]), D(A) = {u ∈ CR2 ([0, 1]) | u(0) = u(1) = 0} und A sei der Operator A=−

d2 . dx2

(9.3)

280

9 Halbbeschränkte Operatoren in Hilbert-Räumen

Dann ist D(A) = H, ferner ist A symmetrisch, wie durch partielle Integration folgt, und (9.1) gilt, denn u2 (x) =

0

x

u (t)dt

2 ≤

x

x

dt 0

0

liefert u2L2 ≤ R

u2 (t)dt ≤

1 0

1 0

u2 (t)dt ≤

(u (t))2 dt = Au|u.

1 0

u2 (t)dt, 0 ≤ x ≤ 1,

(9.4)

(9.4) ist die eindimensionale Form der Friedrichs’schen Ungleichung, die für mehrdimensionale beschränkte Gebiete Ω für Funktionen u ∈ C0,1 (Ω) lautet: Es existiert eine (gebietsabhängige) Konstante K mit der Eigenschaft |u(x)|2 dx ≤ K ∑ |uxi (x)|2 dx.

Diese Ungleichung gilt auch für

Ω u ∈ W20,1 (Ω).

(9.5)

Bemerkung 9.1 Gleichwertig zu (9.1) ist, dass die untere Grenze g von A positiv ist: g=

inf

u∈D(A),u=0

Au|u > 0. u2

(9.6)

Bei (9.2) wurde ein symmetrischer Operator A : D(A) → H definiert. Diese Definition steht in enger Beziehung zu Definition 3.16. Dort wurde für einen linearen beschränkten Operator A : H → H der adjungierte Operator A∗ : H → H mittels ∀u, v ∈ H : v|Au = A∗ v|u

(9.7)

definiert. A∗ war auch linear und beschränkt. Der Operator A hieß symmetrisch (oder auch selbstadjungiert), falls A = A∗ gilt, m.a.W., es ist (9.2) für alle Elemente in H erfüllt. In diesem Zusammenhang ist der Satz von Hellinger und Toeplitz interessant, er besagt, dass ein überall auf H definierter symmetrischer linearer Operator beschränkt ist, genauer Satz 9.1 Es sei A ein auf dem Hilbert-Raum H definierter linearer Operator, der H in sich abbildet. Falls die Gleichung u|Av = Au|v für alle u, v ∈ H gilt, so ist A notwendig beschränkt (=stetig).

Um für nur dicht definierte lineare Operatoren (also z.B. für die funktionalanalytische Behandlung von Differentialgleichungen verschiedener Art) eine Theorie unter Verwendung adjungierter Operatoren aufzubauen, muss die Definition der Adjungiertheit (9.7) (und der Selbstadjungiertheit) auf dicht definierte Operatoren ausgedehnt werden: Definition 9.2 Es sei A ein auf einem dichten Teilraum D(A) des Hilbert-Raumes H definierter linearer Operator mit Werten in H. Es sei D(A∗ ) die Menge aller u ∈ H, zu denen ein v ∈ H existiert, sodass die Gleichung u|Az = v|z

(9.8)

für alle z ∈ D(A) gilt. Für jedes u ∈ D(A∗ ) setzen wir dann ((9.8) nutzend), v = A∗ u. Der Operator A∗ heißt der zu A adjungierte Operator.

9.1 Friedrichs’sche Fortsetzung

281

Es zeigt sich, dass D(A∗ ) ein linearer Teilraum von H ist und dass das Element v entsprechend (9.8) eindeutig festgelegt ist, sodass die Setzung v = A∗ u sinnvoll ist. Auf D(A∗ ) ist dann A∗ ein linearer Operator, der D(A∗ ) in H abbildet, aber nicht stetig zu sein braucht. Ist D(A) = H und ist A beschränkt, so gilt auch D(A∗ ) = H und A∗ ist der zu A adjungierte Operator im Sinne von Definition 3.16.

9.1.2 Selbstadjungiertheit Definition 9.3 Ein auf einem dichten linearen Teilraum D(A) eines Hilbert-Raumes definierter linearer Operator heißt selbstadjungiert, wenn A symmetrisch ist und zusätzlich D(A) = D(A∗ ) gilt, d.h. wenn A = A∗ ist.

Man erhält ein Beispiel, wenn man im Hilbert-Raum L2 (R) den in ihm dicht liegenden Unterraum W 2,2 (R) der verallgemeinert zweimal differenzierbaren Funktionen als Definitionsbereich 2 des in Beispiel 9.1 behandelten Operator A = − ddx2 auffasst. Es ist dann A : W 2,2 (R) → L2 (R) ein in L2 (R) selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich W 2,2 (R). Wenn man (9.8) (Adjungiertheit) mit (9.2) (Symmetrie) vergleicht, erhält man D(A∗ ) ⊇ D(A).

(9.9)

Um also für einen halbbeschränkten symmetrischen Operator A die Selbstadjungiertheit zu sichern, muss entsprechend (9.9) der Definitionsbereich von D(A) erweitert werden. Das ist der entscheidende Hinweis. Eine solche Erweiterung des Definitionsbereiches von A fordert daher, A auf gewissen weiteren Elementen von H zu definieren. Und nun stellt man als Bedingung der Erweiterung (=Fortsetzung) noch, dass die untere Grenze g des Operators A erhalten bleiben soll. Satz 9.2 (Satz von Friedrichs) Jeder symmetrische halbbeschränkte Operator A : D(A) ⊆ H → H gestattet eine Fortsetzung A, d.h., es ist D(A) ⊇ D(A), Au = A(u) für u ∈ D(A), und dieser Operator A ist selbstadjungiert, hat die gleiche untere Grenze wie A, und sein Wertebereich ist der gesamte Raum H. Es existiert sogar (A)−1 und ist symmetrisch und beschränkt.

Dieser Satz klingt abstrakt, er beschreibt aber, dass man beispielsweise ein Randwertproblem einer linearen elliptischen Differentialgleichung in eine Integralgleichung überführen kann, sodass Verfahren zur Lösung von Integralgleichungen Verwendung finden können. Bei der Umformung in eine Integralgleichung wird die Grundlösung bzw. eine Green’sche Funktion des elliptischen Differentialoperators benutzt, vgl. dazu die Anmerkungen in Abschn. 8.10.1.

9.1.3 Der Fortsetzungsprozess Hätten wir die Fortsetzung (=Erweiterung) von A zu A schon erledigt, so müsste für ein u ∈ D(A) das Bild A(u) auch in H liegen. Wir nehmen so (da R(A) = H erreicht werden soll) ein beliebiges f ∈ H und versuchen, nach einer einheitlichen Verfahrensweise solch ein u zuzuordnen, dass für f ∈ R(A) gerade u ∈ D(A) gilt mit Au = f , und falls f ∈ H \ R(A), so wird ein Element u zugeordnet, das dann nicht mehr in D(A) liegt, also D(A) erweitert, sodass die gesamte Zuordnung

282


die im Satz 9.2 genannten Eigenschaften hat. Mit anderen Worten, A wird so erweitert, dass die Gleichung Au = f für jedes f ∈ H lösbar wird. Daraus folgt auch, dass die ins Auge gefasste Erweiterung maximal ist, da H der größtmögliche Wertebereich eines in H abbildenden Operators ist. Wir führen einige Gedanken des Beweises für reelle Hilbert-Räume durch, da sich wichtige Beziehungen zur Variationsrechnung, zur konvexen Analysis und eine schöne Anwendung des Satzes von Riesz ergeben. Bezüglich des Beweises zum allgemeinen Fall vgl. etwa [79], [169]. Es sei zunächst f ∈ R(A). Dann gibt es dazu eindeutig ein u f ∈ D(A) mit Au f = f . Denn hätte die homogene Gleichung Au = 0 Lösungen u = 0, so widerspräche das (9.1). Für u f gilt: Satz 9.3 u f löst die Optimierungsaufgabe (das Variationsproblem) F(u) = Au|u − 2u| f → min .

(9.10)

u∈D(A)

Beweis: Wir variieren u f mit η = 0, η ∈ D(A). Dann ist, da A symmetrisch ist, F(u f + η ) = F(u f ) + 2Au f − f |η + 2Aη |η .

(9.11)

Da u f die die Operatorgleichung Au = f löst und A halbbeschränkt ist, folgt F(u f + η ) > F(u f ) (η ∈ D(A)).

(9.12)

Es ist also u f eindeutige Minimalstelle von F. Dies ist auch klar, weil F streng konvex ist über D(A). Es gilt auch die Umkehrung: Satz 9.4 Ist u◦ Minimalstelle von (9.10) bei gegebenem f , so löst u◦ die Gleichung Au = f .

Beweis: Da F Gateaux-differenzierbar ˆ ist, muss das Gateaux-Differential ˆ (vgl. Definition 3.24) von F an der Stelle u◦ für jedes η ∈ D(A) verschwinden: F (u◦ , η ) = 2Au f − f |η = 0 Wegen D(A) = H muss sein Au f − f = 0 (Au − f = 0 ist die Euler’sche Gleichung zu (9.10)). Wir lassen jetzt ein beliebiges f ∈ H zu. Ist f ∈ H \ R(A), so kann keine Minimalstelle von (9.10) existieren, denn sie würde die Euler’sche Gleichung lösen, also f ∈ R(A) nach sich ziehen. Wir zeigen jetzt, dass die untere Grenze J f der Menge der Werte von F, wenn u den Bereich D(A) durchläuft, stets endlich ist: J f = inf F(u) > −∞. (9.13) u∈D(A)

Denn es ist, falls nur γ 2 u − 2 f ≥ 1 ist, wegen (9.1) und der Schwarz’schen Ungleichung Au|u − 2u| f ≥ u(γ 2 u − 2 f ≥ u ≥ 0, und im anderen Falle, d.h. γ 2 u − 2 f < 1, ist 2|u| f | ≤ 2 f u < γ −2 (1 + 2 f )(2 f )

9.1 Friedrichs’sche Fortsetzung

283

und mit K = −2γ −1 (1 + 2 f ) f folgt Au|u − 2u| f ≥ γ 2 u2 − 2γ −2 (1 + 2 f ) f ≥ K. Das Variationsproblem (9.10) hat also für jedes f ∈ H einen endlichen Minimalwert, aber nur für f ∈ R(A) eine Minimalstelle. Jetzt konstruieren wir durch Vergrößerung des zulässigen Bereiches D(A) des Variationsproblems Minimalstellen für f ∈ H \ R(A), wobei der Minimalwert J f ungeändert bleibt. Wir führen dazu in der Menge D(A) ⊆ H ein neues Skalarprodukt ein durch u|vD(A) = Au|v (u, v ∈ D(A)).

(9.14)

Wegen der Halbbeschränktheit ist das wirklich ein Skalarprodukt. Dieses induziert eine Norm in D(A): (9.15) u2D(A) = u|uD(A) = Au|u (u ∈ D(A)). Wieder wegen der Halbbeschränktheit folgt u2D(A) ≥ γ 2 u2 (u ∈ D(A)).

(9.16)

Bemerkung 9.2 (Energetischer Raum) Die Ungleichung (9.16) ergibt, dass eine Cauchy-Folge in D(A) im Sinne der Norm · D(A) erst recht Cauchy-Folge in H ist, und da H vollständig ist, gehört zu ihr eindeutig ein Grenzelement. Wir nehmen zu D(A) alle diese Grenzelemente von · D(A) -Cauchy-Folgen hinzu. Die entstandene Menge heiße HA und ist Abschließung von D(A) im Sinne der uD(A) -Norm. HA ist selbst ein Hilbert-Raum (der energetische Raum), und es gilt natürlich HA ⊆ H. Die Norm eines Elements u ∈ HA ist, falls u ∈ D(A) ∈ HA gilt: u2HA = Au|u.

(9.17)

Falls u ∈ HA \ D(A), so ist u Grenzwert etwa der Cauchy-Folge {un }, also u2HA = lim Aun |un .

(9.18)

n→+∞

Die Norm · HA heißt auch energetische Norm.

Da zum zulässigen Bereich D(A) nur Grenzwerte von Folgen aus D(A) hinzugenommen wurden, bleibt J f wirklich ungeändert. Wir setzen nun in (9.10) für u ∈ D(A) gerade (9.17) ein: F(u) = u2HA − 2u| f ,

(9.19)

und (9.19) kann sogar für alle u ∈ HA gelesen werden. Jetzt hat die Aufgabenstellung F(u) = u2HA − 2u| f → min

u∈HA

(9.20)

einen Sinn und es gilt der bemerkenswerte Satz Satz 9.5 Für beliebig fest vorgegebenes f ∈ H existiert genau ein u f ∈ HA mit F(u f ) = infu∈HA F(u) (und verschiedenen f entsprechen verschiedene u f ).

284


Im Beweis des Satzes wird eindrucksvoll der Satz von Riesz (vgl. Satz 3.3) ausgenutzt. Beweis: Der Term u| f in (9.20) ist ein lineares beschränktes Funktional in HA , denn es gilt wegen (9.16) (9.21) |u| f | ≤ u f ≤ γ −1 uHA f zunächst in D(A) und wegen der Stetigkeit von ·| f und · HA auch für die Grenzelemente, also in HA . Somit gibt es nach dem Satz von Riesz genau ein Element u f ∈ HA , sodass gilt u| f H = u|u f HA u ∈ HA .

(9.22)

u f löst also die Variationsungleichung u|vHA = f |v für alle v ∈ HA , wenn mit ·|·HA das Skalarprodukt in HA bezeichnet wird. Damit ist für beliebiges festes u ∈ HA F(u) =

u2HA − 2u|u f HA + u f |u f HA − u f |u f HA

= u − u f |u − u f HA − u f 2HA

(9.23)

und folglich, da der erste Summand in (9.23) nichtnegativ ist, min F(u) = −u f 2HA .

u∈HA

Für u = u f gilt u − u f 2HA > 0, daher gibt es keine weiteren Minimalstellen.

(9.24)

Definition 9.4 Das Element uF ∈ HA (vgl. Satz 9.5) heißt verallgemeinerte Lösung von Au = f . Liegt u f bereits in D(A), so ist u f gewöhnliche Lösung von Au = f . Die Gesamtheit der verallgemeinerten Lösungen sei der Definitionsbereich D(A) eines Operators A, dieser heißt die Friedrichs’sche Erweiterung von A: Zu u ∈ D(A) existiert entsprechend Satz 9.5 genau ein f ∈ H mit der Eigenschaft, dass u verallgemeinerte u = f Lösung von Au = f ist, diese Abbildung u → f definiert den Operator A : A

Die weiteren Aussagen des Satzes von Friedrichs sind erfüllt. Bemerkung 9.3 Für den Operator A in (9.3) lautet F(u) aus (9.10) F(u) = − und in der Form (9.20) gilt F(u) =

1 0

1 0

u udx − 2

(u )2 dx − 2

1

f udx,

(9.25)

f udx.

(9.26)

0

1 0

Deutet man den Integranden (u )2 in (9.26) als Geschwindigkeitsquadrat, so versteht man die Bezeichnung energetischer Raum für HA und energetische Norm für uHA . Beispiel 9.2 Es seien H, A, D(A) wie in Beispiel 9.1. Dann ist H = HA und 2 2 HA = {u |u absolut stetig auf [0, 1], u ∈ LR [0, 1], u(0) = u(1) = 0} ⊆ H = LR [0, 1].

(9.27)

HA ist mengenmäßig W20,1 . Die Normen beider Räume sind äquivalent. u ist die verallgemeinerte Ablei1 [0, 1], sodass u(x) = x v(t)dt + const (0 ≤ x ≤ 1) tung. Da u absolut stetig ist auf [0, 1], gibt es ein v ∈ LR 0 gilt. Für den Erweiterungsoperator A gilt 2 D(A) = {u ∈ HA |u absolut stetig, u ∈ LR } = HA .

(9.28)

9.2 Lösung von Operatorgleichungen: Das Ritz’sche Verfahren

285

Selbstadjungierte Operatoren in Hilbert-Räumen spielen u.a. in der Quantenmechanik eine wesentliche Rolle, sie stellen dort die beobachtbaren Größen dar. Nun weiß man, dass für gewisse Paare A, B solcher Operatoren (etwa für den der Impuls- und den der Lagekoordinate zugeordneten Operator) die Heisenberg’sche Unschärferelation gilt. Diese drückt sich funktionalanalytisch in der Vertauschungsrelation zweier Operatoren aus: ABx − BAx = ρ Ix für x ∈ D(A)∩D(B), Ax ∈ D(B), Bx ∈ D(A), ρ = 0. Solch eine Relation kann nicht für lineare beschränkte Operatoren gelten, denn, sind A, B zwei lineare beschränkte Operatoren, die einen HilbertRaum H in sich abbilden, so kann es keine Konstante ρ = 0 geben, sodass ABx − BAx = ρ Ix für alle x ∈ H gilt (vgl. Hellwig, S.94). Entfällt die Beschränktheit (etwa zugunsten der Halbbeschränktheit), so gibt es für gewisse Paare selbstadjungierter Operatoren eine Konstante ρ = 0, sodass die Vertauschungsrelation ABx − BAx = ρ Ix für x ∈ D(A) ∩ D(B), Ax ∈ D(B), Bx ∈ D(A) gilt. Die Unschärferelation für solche Paare von Operatoren A, B der Quantenphysik lautet dann (für Zustände x, x = 1, wie eben beschrieben) wie folgt: 1 σ (x/A)σ (x/B) ≥ h¯ , 2

(9.29)

das heißt, dass für einen Zustand x des quantenmechanischen Systems, für den die beobachtbare Größe A eine Messung mit kleiner Streuung σ (x/A) erlaubt, die Streuung σ (x/B) die Relation (9.29) erfüllen muss. Es ist h¯ = 2hπ und h = 6, 62 · 10−34 J sec das Planck’sche Wirkungsquantum. Halbbeschränkte Operatoren A spielen bei partiellen Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Bei elliptischen Differentialoperatoren (also z.B. auch beim Studium stationärer Lösungen parabolischer Differentialgleichungen, auch bei stochastischen Differentialgleichungen) ergibt sich die Halbbeschränktheit aus der Elliptizitätsbedingung und der Ungleichung von Friedrichs ((9.4),(9.5)). Die Friedrichs’sche Fortsetzung (also ein selbstadjungierter Operator) hat eine Inverse und diese nutzt man zur Spektralanalyse (vgl. Definition 3.15) von A. Im nächsten Abschnitt wird das Ritz’sche Verfahren zur Lösung von Operatorgleichungen mit halbbeschränkten Operatoren mittels des bei (9.3) konstruierten zugehörigen Optimierungsproblems dargestellt. Für andere Verfahren wie z.B. die von Trefftz und Galerkin oder von Newton vgl. [176], [67] und Übungsaufgabe 3. unten.

9.2 Lösung von Operatorgleichungen: Das Ritz’sche Verfahren Bei Satz 9.3 wurde gezeigt, dass Operatorgleichungen Au = f unter den Voraussetzungen A : D(A) → H, D(A) dicht in H, f ∈ H, A linear, symmetrisch, halbbeschränkt, eine eindeutige Lösung u f haben. u f war Lösung der Variationsaufgabe (vgl. (9.20)) F(v) = v2HA − 2v| f H → min , v∈HA

(9.30)

wobei HA der energetische Raum und · HA die Norm des Hilbert-Raumes HA waren, vgl. die Bemerkungen 9.2 und 9.3. u f hatte sich mittels des Satzes von Riesz als das Element in HA

286


ergeben, welches die Variationsgleichung (9.22) v| f H = v|uHA , v ∈ HA .

(9.31)

löst. Der Sachverhalt (9.30), (9.31) bildet einen Spezialfall der folgenden allgemeinen Formulierung, für die wir das Ritz-Verfahren formulieren. Mit dessen Hilfe kann u f numerisch bestimmt werden. Wir betrachten einen separablen (vgl. bei Satz 3.15) reellen Hilbert-Raum V (anstelle HA ). Auf dem Produktraum V×V sei das bilineare Funktional (= Bilinearform) a(·, ·) definiert, d.h., a(·, v) ist linear in der ersten Variablen bei v ∈ V fest, und a(u, ·) ist linear in der zweiten Variablen bei festem u ∈ V. Als ein Beispiel erkennt man a(u, v) = v|uHA , wenn V = HA gesetzt wird, wobei v|uHA das Skalarprodukt in HA ist. Weiter sei b ein lineares beschränktes Funktional auf V. Das Variationsproblem (Optimierungsproblem) J(u) = a(u, u) − 2b(u) → min u∈V

(9.32)

mit der zugehörigen Variationsgleichung a(u, v) = b(v), v ∈ V,

(9.33)

hat dann gerade (9.30) mit (9.31) als Spezialfall. Es gilt folgender Satz, das im Beweis genauer dargelegte Verfahren ist das Ritz’sche Verfahren. Satz 9.6 (Ritz’sches Verfahren) Ist die Bilinearform a a) symmetrisch : a(u, v) = a(v, u), u, v ∈ V, b) beschränkt : |a(u, v)| ≤ kuV vV , u, v ∈ V, c) halbbeschränkt: a(u, u) ≥ γ 2 u2V , wobei γ 2 > 0, u ∈ V, so existiert eine Lösung u von (9.32) und ist eindeutig bestimmt. Ist {ϕ j }( j = 1, 2, ...) ein vollständiges Orthogonalsystem in V, so erhält man eine Folge von Näherungslösungen u1 , u2 , ..., die gegen u in der Norm von V konvergiert, indem man für k = 1, 2, ... das folgende lineare Gleichungssystem (Ritz-System) für c1k , c2k , ..., ckk löst: k

∑ a(ϕi , ϕ j )cik = b(ϕ j ),

j = 1, 2, ..., k.

(9.34)

i=1

Beweis: Die eindeutige Existenz von u folgt, indem in V die Energie-Norm uE = a(u, u) betrachtet wird. Sie ist wegen b) und c) äquivalent zur Norm in V. Nach dem Satz von Riesz (vgl. Satz 3.3) existiert ein b ∈ V mit b(v) = b|vE für alle v ∈ V , wobei ·|·E das zur EnergieNorm gehörige Skalarprodukt a(u, v) = u|vE ist. Dann ist (nach derselben Rechnung wie bei (9.23)) die Aufgabe (9.32) äquivalent zur Lösung von b − u2E → min, u∈V

also ist u = b die eindeutige Lösung.

(9.35)

9.2 Lösung von Operatorgleichungen: Das Ritz’sche Verfahren

287

Zu (9.34). Das Lösungsverfahren verläuft so: Man minimiert J nicht auf dem Gesamtraum V, sondern im k-ten Schritt auf der Menge der Linearkombinationen Vk der ersten k Elemente ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕk . Setzt man daher im k-ten Schritt u = ∑ki=1 cik ϕi in J ein, so erhält man eine Extremwertaufgabe für die reellen Variablen c1k , c2k , ..., ckk . Setzt man die ersten Ableitungen nach diesen Variablen gleich null, so erhält man (9.34). Man hätte natürlich den Ansatz für u im k-ten Schritt auch gleich in (9.33) einsetzen können, denn (9.33) ist nichts anderes als 1 2 J (u)(v) = 0, v ∈ V, wobei J die Gâteaux-Ableitung von J ist. (9.34) hat eine eindeutige Lösung, denn die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch (wegen a) in Satz 9.6) und das homogene System hat nur die triviale Lösung. Gäbe es eine andere, etwa c1k = d1 , ..., ckk = dk , und nicht alle d j = 0, so folgte durch Multiplikation von ∑ a(ϕi , ϕ j )di = 0 mit d j und Addition über j : a(∑i di ϕi , ∑ j d j ϕ j ) = 0, wegen b) und c) also ∑i di ϕi = 0. Wegen der linearen Unabhängigkeit der ϕi müssen daher im Widerspruch zur Voraussetzung alle di verschwinden. Es sei uk die Lösung von (9.34). Dann ist offenbar J(u1 ) ≥ J(u2 ) ≥ J(u3 ) ≥ ... ≥ J(u).

(9.36)

Die Folge {J(uk )} ist eine Minimalfolge, denn es gilt (Beweis unten) lim J(uk ) = J(u).

(9.37)

k→+∞

Es folgt dann sogar {uk } → u: Weil u Minimalstelle von (9.32) ist, muss die erste Ableitung nach t von J(u + tv) = J(u) + t(a(u, v) − b(v)) + t 2 a(v, v) (9.38) (an der Stelle t = 0) verschwinden (d.i. gerade (9.33) für u = u). Für t = 1, w = u + v, und unter Nutzung von c) folgt daher für alle w ∈ V J(w) − J(u) = a(u − w, u − w) ≥ γ 2 u − w2 .

(9.39)

Mit w = uk ergibt sich wegen (9.37) somit {uk } → u: lim J(uk ) − J(u) = 0 = lim u − uk 2 .

k→+∞

k→+∞

(9.40)

Es ist noch die Minimalfolgeneigenschaft (9.37) zu beweisen. Dazu bilden wir sukzessive aus dem ONS {ϕ j } ein neues ONS in der Energie-Norm: {ψ j }. Denken wir uns u in eine FourierReihe ∑ αi ψi nach den ψi entwickelt, so gilt einerseits 2 + , k k k 0 = lim ∑ αi ψi − u = lim a u − ∑ αi ψi , u − ∑ αi ψi , k→+∞ i=1 k→+∞ i=1 i=1

(9.41)

E

wegen (9.39) heißt das

+ + lim

k→+∞

J

k

∑ αi ψ i

i=1

,

, − J(u)

= 0.

(9.42)

288


Andererseits ist J(uk ) der Minimalwert von J auf Vk , und da die k-te Partialsumme von u ein Element aus Vk ist, folgt , + k

J

∑ α i ψi

− J(u) ≥ J(uk ) − J(u) ≥ 0, k = 1, 2, ...

(9.43)

i=1

Daher ergibt (9.42), dass {uk } eine Minimalfolge ist.

Für das Beispiel 9.2, HA = V, a(u, v) = u, vHA , kann man das folgende ONS nehmen: √

ϕk (t) =

2 sinkπ t, k = 1, 2, ... kπ

(9.44)

9.3 Übungsaufgaben (Newton-Verfahren) 1. Wieso ist der Operator A−1 von Beispiel 3.15 nicht überall in CR [0, 1] definiert? Man gebe Elemente in CR [0, 1] an, die nicht zum Definitionsgebiet von A−1 gehören. 2. Ist der Operator A in Beispiel 9.1 überall in H definiert? 3. Wenn man zu einer Operatorgleichung T (x) = 0, wobei T : X → Y eine nichtlineare Abbildung eines Banach-Raumes X in einen Banach-Raum Y ist, eine Stelle x0 ∈ X kennt, von der man vermutet (oder weiß), dass sie in hinreichender Nähe einer exakten Lösung x∗ ∈ X, T (x∗ ) = 0, liegt, so ist es naheliegend, die zu lösende nichtlineare Operatorgleichung T (x) = 0 in einer gewissen Umgebung von x0 durch eine den bekannten Lösungsverfahren zugängliche lineare Operatorgleichung zu ersetzen. Der bestmögliche lokale (d.h. in der Umgebung von x0 ) lineare Ersatzoperator wird durch die Ableitung (das Differential) von T geliefert. Dazu ersetzt man zunächst die Gleichung T (x) = 0 durch die äquivalente Gleichung T (x0 + h) = 0 und (unter der Voraussetzung, dass der Operator T Fréchet-differenzierbar ist, vgl. Definition 3.23) folgt dann T (x0 + h) = T (x0 ) + T (x0 )h + r(x0 ; h).

(9.45)

Jetzt wird der Einfluss höherer Ordnung r(x0 ; h) vernachlässigt und man hat die gesuchte lineare Ersatz-Operatorgleichung T (x0 ) + T (x0 )h = 0. (9.46) Besitzt der lineare Operator T (x0 ) eine Inverse [T (x0 )]−1 , so erhalten wir für die Korrekturgröße h die Formel h = −[T (x0 )]−1 (T (x0 )) und als neue Näherungslösung den Wert x = x0 + h = x0 − [T (x0 )]−1 (T (x0 )).

(9.47)

Formel (9.47) bildet den Ausgangspunkt für das Newton-Verfahren, wonach rekursiv eine Folge von Punkten xn ∈ X (n = 1, 2, ...) nach der Vorschrift xn+1 = xn − [T (xn )]−1 (T (xn )) (n = 0, 1, ...) bestimmt wird.

(9.48)

9.3 Übungsaufgaben (Newton-Verfahren)

289

Definition 9.5 (Newton-Verfahren) Es seien X, Y Banach-Räume und B ⊆ X eine offene Teilmenge von X. Ist T : B → Y eine in jedem Punkt von B Fréchet-differenzierbare Abbildung und ist x0 ∈ B, so heißt die Vorschrift (9.48) das NewtonVerfahren für T mit dem Startwert x0 .

Es zeigt sich, dass die Folge {xn } bereits unter geringen Voraussetzungen sehr rasch gegen eine Lösung x∗ konvergiert (vgl. [102], S. 562-604). 3a. Ist X = R mit der Norm x = |x| (x ∈ R) und Y = X, so zeige man, dass (9.48) das klassische (gewöhnliche) Newton-Verfahren liefert: xn+1 = xn −

T (xn ) (n = 0, 1, ...). T (xn )

(9.49)

3b. Welche lineare Operatorgleichung erhält man für die n-te Korrekturgröße hn = xn+1 − xn (n = 0, 1, ...) (vgl. [67], S. 130)? Es wird also die Lösung eines nichtlinearen Problems durch die Lösung abzählbar unendlich vieler linearer Probleme ersetzt.

10 Anhang 10.1 Vorbereitungen aus der Mengentheorie 10.1.1 Zum Gebrauch mathematisch-logischer Symbole. Zur Abkürzung und Verdeutlichung sind mathematisch-logische Symbole für die folgenden Betrachtungen sehr nützlich. Die am häufigsten auftretenden mathematischen Beschreibungen sind sogenannte Relationen, die die Zugehörigkeit eines Ausdrucks zu einer geeigneten Produktmenge beinhalten. Die Feststellung der Gültigkeit einer Relation, z. B. die Elementbeziehung „a ∈ M“, ist eine spezielle Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann. Aussagen kann man mittels logischer Operationen miteinander verknüpfen, dabei entstehen weitere Aussagen. Der Wahrheitswert der Aussageverknüpfungen hängt nur und ausschließlich und vollständig ab von den Wahrheitswerten der an der Verknüpfung beteiligten Aussagen. Beispiele für Aussageverknüpfungen sind: (es seien p, q, r, . . . Aussagen) „¬p“ oder „p “ oder „non-p“, die Negation der Aussage p, die genau dann wahr ist, wenn die Aussage p falsch ist. „p ∨ q“, die Disjunktion der Aussagen p und q (= das nicht ausschließende „oder“), die genau dann wahr ist, wenn mindestens eine der beiden Aussagen p, q wahr ist. „p ∧ q“, die Konjunktion der Aussagen p und q (= „und“), die genau dann wahr ist, wenn sowohl die Aussage p als auch die Aussage q wahr sind. „p ⇒ q“, die Implikation „aus p folgt q“, die genau dann falsch ist, wenn die Aussage p richtig und die Aussage q falsch ist. „p ⇐⇒ q“, die Äquivalenz „p ist gleichbedeutend mit q“, die genau dann wahr ist, wenn sowohl die Aussage p ⇒ q als auch die Aussage q ⇒ p wahr sind. Als Verallgemeinerung von Disjunktion bzw. Konjunktion verwendet man noch häufig als sogenannte Quantoren das Existenz-Zeichen ∃ bzw. das Alle-Zeichen ∀. ∃x : P(x) wird interpretiert: Es gibt ein x, das die Eigenschaft P hat. ∀x : P(x) wird interpretiert: Alle x besitzen die Eigenschaft P. ∃!x : P wird interpretiert: Es gibt genau ein x, das die Eigenschaft P hat.

10.1.2 Das System ZF (Zermelo-Fraenkel-System) Die Mengentheorie, „Mengenlehre“, ist grundlegend für alle Gebiete der Mathematik. Georg Cantor (1845–1918) war der Schöpfer der Mengentheorie in ihrer wissenschaftlichen Form, die uns befähigt, mit mathematischen Objekten als Elemente von Mengen und als Mengen selbst zu arbeiten und damit eine universelle Sprache für die gesamte Mathematik benutzen zu können. Er initiierte die Vermessung des Unendlichen mittels transfiniter Kardinal- bzw. Ordinalzahlen, eine der größten Errungenschaften des menschlichen Denkens.

292

10 Anhang

Bald nach dem Erscheinen der ersten Veröffentlichungen Cantors (≈ 1872) traten als Ergebnis des kritischen Hinterfragens seiner neuen Konzepte einige ernst zu nehmende Widersprüche in seiner Auffassung einer „Menge“ als eine Gesamtheit (Ganzheit), die aus mathematischen Objekten mit einer gemeinsamen („sammelnden“) Eigenschaft besteht, zu Tage. Erwähnenswert ist z. B. das Russell’sche Paradoxon (ein in sich widerspruchsvolles Objekt bzw. eine sich selbst widersprechende Aussage) von der „Menge aller der Mengen, die sich nicht selbst (als Elemente) enthalten“, was ersichtlich ein widerspruchsbehaftetes Objekt ist. (Bertrand Russell 1902). Um die besondere, herausragende Nützlichkeit der Mengentheorie als eine gemeinsame Sprache für alle Teile der Mathematik erhalten zu können, gab es nach dem Hervortreten solcher Paradoxa (Antinomien der Mengenlehre) sehr bald erhebliche Anstrengungen durch die Entwicklung geeigneter Axiomensysteme der Mengentheorie, die gewissermaßen den unverzichtbaren Konsens über die grundlegenden Eigenschaften der Mengen und das Umgehen mit ihnen festschreiben. Diese Axiome (oder Postulate) werden nicht bewiesen, sondern als feststehende Grundsätze aufgestellt und vereinbart. Alle weiteren Eigenschaften von Mengen, von Mengen von Mengen müssen dann unter Zuhilfenahme der Axiome und rein logischer Deduktion bewiesen werden. Die damit verbundene Hoffnung, bei der Zurückziehung auf einige wenige Axiome der Mengentheorie nun nicht gleich auf weitere vorher nicht zu Tage getretene Antinomien (Widersprüche) in der somit begrenzten Mengenlehre zu stoßen, ist der grundlegende Untersuchungsgegenstand der sogenannten Metamathematik, die wir hier nicht zu betrachten haben. Eines der meistgenutzten Axiomensysteme der Mengenlehre ist das System von Zermelo (1871–1953) und Fraenkel (1891–1965), das sogenannte Zermelo-Fraenkel-System, abgekürzt: ZF, das auch heute als erfolgreich gilt. Wir stellen eine kurz skizzierte Aufstellung des ZF-Systems vor, die für unsere Bedürfnisse in dieser Hinsicht ausreicht. Dabei folgen wir fast wörtlich der exzellenten Darstellung dieser Axiome (und einfacher Folgerungen) in Deiser [39], S. 42 ff. Das Axiomensystem ZF besteht aus neun Axiomen A.1–A.9 (in unserem Text). Wir beschreiben sie zunächst verbal und dann in einer formalisierten Variante. In dem System ZF sind alle mathematischen Objekte Mengen. Die grundlegenden undefinierten Begriffe dieses Systems sind die Begriffe der – Menge, z. B. sei A eine Menge, und der – Zugehörigkeit eines mathematischen Objektes z. B. x, zu einer Menge, z. B. zur Menge A, symbolisch ausgedrückt in der Form x ∈ A, „x gehört (als „Element“) zu A“, mit dem Symbol „∈“ (was auf das griechische „εδ τι “ = „das Seiende“ zurückgeht). Neben der Relation der Zugehörigkeit haben wir noch die Relation der Gleichheit a = b zwischen mathematischen Objekten a, b, auch: Identität. Die Negation von a = b werde mit a = b notiert. Ist eine Eigenschaft Φ(·) gegeben, die auf ein mathematische Objekt x zutrifft oder nicht zutrifft, so vereinigt man alle Objekte x, auf die Φ(x) zutrifft (für die Φ(x) eine wahre Aussage darstellt) zu einer Klasse {x|Φ(x)}. Die Axiome ZF legen dann fest, welche solcher Klassen auch (d. h. sogar) Mengen sind. Wir stellen nun die Liste der Axiome ZF auf. A.1 Zwei Mengen x und y sind (definitionsgemäß) gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. x = y :⇐⇒ ∀z : z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y. (Extensionalitätsaxiom).

10.1 Vorbereitungen aus der Mengentheorie

293

A.2 Es gibt eine, mit „0“ / bezeichnete Menge, die (überhaupt) keine Elemente hat, sie wird „die leere Menge“ genannt. 0/ := {z|z = z}. A.3 Zu je zwei Mengen gibt es eine Menge, die genau die zwei gegebenen Mengen als Elemente enthält (Paarmengenaxiom) ∀x, y∃z : w ∈ z ⇒ w = x ∨ w = y Wir schreiben z = {x, y} und für den Fall y = x, z = {x} (das Singleton). A.4 Zu jeder Menge gibt es eine Menge, deren Elemente genau die Elemente ihrer Elemente sind (Mengenvereinigungsaxiom). ∀x∃y : z ∈ y ⇐⇒ ∃w ∈ x ∧ z ∈ w, in Symbolen: y = x. A.5 Zu jeder Eigenschaft E(·) und jeder Menge x gibt es (genau) eine Menge y, die genau diejenigen Elemente von x enthält, die die Eigenschaft E(·) besitzen (Separierungsaxiom). ∀x∃y : z ∈ y ⇐⇒ z ∈ x ∧ E(z) A.6 Es gibt eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält und mit jedem Element y auch {y} (als Element) enthält (Unendlichkeitsaxiom; es existiert eine unendliche Menge). Zur Vorbereitung auf das nächste Axiom A.7 bringen wir die folgende Definition. Eine Menge heißt eine Teilmenge einer Menge B oder gleichwertig „B enthält A“, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist, in Zeichen: A ⊆ B, d. h. ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B. Für echte Teilmengen A von B, d.h. A ⊆ B und A = B, schreiben wir A ⊂ B. A.7 Zu jeder Menge gibt es eine Menge, die genau die Teilmengen der gegebenen Menge als Elemente enthält (Potenzmengenaxiom). ∀x∃y : z ∈ y ⇐⇒ z ⊆ x, symbolisch: y = P(x) oder y = 2x . Für alle weiteren Betrachtungen erklären wir Mengenoperationen (wie üblich). Der Durchschnitt x ∩ y zweier Mengen x, y ist erklärt durch x ∩ y := {z ∈ x | z ∈ y}. Die Differenz x \ y oder das Komplement einer Menge y bezüglich einer Menge x ist definiert durch x \ y := {z ∈ x | z ∈ y} („∈“ bezeichnet die Negation der Zugehörigkeit als Element). Zwei Mengen x, y werden disjunkt oder zueinander fremd genannt genau dann, wenn ihr Durchschnitt gleich der leeren Menge ist. x disjunkt zu y : x ∩ y = 0. / Damit können wir das nächstfolgende Axiom formulieren: A.8 Jede Menge x = 0/ besitzt ein Element, das kein Element mit der Menge x gemein hat (Fundierungsaxiom) ∀x = 0/ ∃y : y ∈ x ∧ ∀z ∈ y ⇒ z ∩ x = 0. /

294

10 Anhang

Wir definieren weiter eine Eigenschaft C(x, y) in zwei Variablen x, y (bei deren Belegung mit Objekten entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht) als „funktional“, wenn zu jedem x genau ein y existiert, sodass C(x, y) besteht. A.9 Zu jeder funktionalen Eigenschaft C(x, y) und jeder Menge m gibt es eine Menge n, die genau jene Elemente y enthält, für die es ein x ∈ m gibt, sodass C(x, y) besteht. (Axiom des Substitutionsschemas.) ∀m ∃n : y ∈ n ⇐⇒ x ∈ m : C(x, y). Diese Axiome A.1, A.2, A.3, A.4, A.5, A.6, A.7, A.8, A.9 bilden das System ZF (vgl. Deiser [39]).

10.1.3 Das System ZFC = ZF + AC, AC = Auswahlaxiom Das System ZF ist nun aber in keiner Weise erschöpfend und damit für die Zwecke der Funktionalanalysis ausreichend, sondern wir können bzw. müssen weitere Axiome hinzufügen, die uns die Möglichkeit zur Entscheidung bei grundlegenden mathematischen Fragen liefern. Die in mathematischen Überlegungen am häufigsten benötigte Eigenschaft, die von ZF nicht abgesichert ist, ist die Möglichkeit, in einer unendlichen Menge nichtleerer paarweise disjunkter Mengen, in simultaner Weise aus jeder dieser Mengen – zu welchem Zweck auch immer – genau ein Element (aus jeder dieser Mengen) auszuwählen (ohne dass dafür eine explizite Konstruktion oder Formel zur Verfügung steht). Dieses Grundprinzip kann aus den Axiomen A.1 bis A.9 nicht abgeleitet werden. Zum anderen wird – innerhalb der Analysis ganz besonders – sehr häufig auf die Möglichkeit einer simultanen Auswahl zurückgegriffen, z. B. bei vielen indirekt geführten Beweisen. Deshalb fügt man dieses Auswahlprinzip, das berühmte Auswahlaxiom (axiom of choice) AC, zu den oben aufgelisteten Axiomen A.1 bis A.9 von ZF hinzu. Das so erweiterte System ZFC = ZF + AC ist dann für den überwiegenden Teil der Funktionalanalysis (insbesondere für dieses Buch) ausreichend. Zur genauen Formulierung von AC: AC: Ist x eine Menge, deren Elemente nichtleere und paarweise disjunkte Mengen sind, so existiert eine Menge y, die mit jedem Element von x genau ein Element gemein hat (= aus jedem Element von x genau ein Element enthält). Wie Deiser [39] treffend bemerkt, ist das System ZFC das Ergebnis einer historisch lang dauernden sorgfältigen Analyse der Grundbegriffe der Mengentheorie.

10.1.4 Das System ZFC + CH Gelegentlich wird das oben vorgestellte Axiomensystem ZFC, das wir im vorliegenden Buch zugrundelegen, noch ergänzt durch ein weiteres Axiom CH („Continuum Hypothesis“) oder durch das noch weiter einschränkende Axiom GCH („Generalized Continuum Hypothesis“). Da zumindest die Gültigkeit des Axioms CH für wirtschaftsmathematische Untersuchungen verwendet wird (vgl. z.B. Podczeck [132]), soll eine nicht formalisierte kurze Beschreibung des

10.1 Vorbereitungen aus der Mengentheorie

295

Sachverhalts erfolgen. Diese muss durch eine präzise Darstellung, zu finden in neueren Lehrbüchern der Mengentheorie (z. B. Jech [100]), ersetzt werden, sobald sich der Leser selbständig arbeitend oder sich orientierend weiter bewegen will. Der einschlägige Grundbegriff zur darzustellenden Thematik ist der Begriff der Kardinalzahl card M einer Menge M (wir verweisen hierzu auf Jech [100], vgl. auch Riedrich und Vetters [134]). Im Rahmen des Axiomensystems ZFC und der sich daraus ergebenden Theorie besitzt jede Menge eine Kardinalzahl. Es existiert eine Zuordnung M → card M. Diese Zuordnung verallgemeinert den für endliche Mengen (das sind diejenigen Mengen, die sich umkehrbar eindeutig auf ein Anfangsstück Wn := {1, 2, ..., n} ⊆ N der Menge der natürlichen Zahlen abbilden lassen, und selbstverständlich gilt card Wn = n) üblichen Anzahlbegriff auf nichtendliche Mengen, d.h. unendliche Mengen. Der grundlegende Maßstab zum Vergleich von Mengen hinsichtlich ihrer Kardinalzahl ist der Begriff der Gleichmächtigkeit von Mengen. Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, wenn es eine umkehrbar eindeutige (oder: bijektive) Abbildung von A auf B (und damit eine ebensolche Abbildung von B auf A) gibt und genau dann haben die Mengen A und B die gleiche Kardinalzahl: card A = card B. Wichtige Kardinalzahlen unendlicher Mengen sind: • die Kardinalzahl der Menge N der natürlichen Zahlen card N =: ℵ0 (Aleph null), • die Kardinalzahl der Menge R der reellen Zahlen card R =: c (Mächtigkeit des Kontinuums), • die Kardinalzahl der Menge aller Funktionen von R mit Werten in R, bezeichnet mit RR , card RR = f (die Mächtigkeit der Menge aller Abbildungen von R in R), • die Kardinalzahl der Menge P(M) = 2M aller Teilmengen einer gegebenen Menge M (=Potenzmenge von M) card P(M) = card 2M . Die Klasse der Kardinalzahlen wird in folgender Weise halbgeordnet (zu Halbordnung vgl. Abschnitt 10.1.5): für zwei Mengen A, B gelte card A ≤ card B,

(10.1)

wenn es eine bijektive Abbildung von A auf eine (nicht notwendig echte) Teilmenge von B gibt. Die Relation ≤ für Kardinalzahlen ist reflexiv (card A ≤ card A für jede Menge A), antisymmetrisch (card A ≤ card B und card B ≤ card A zieht nach sich, dass card A = card B gilt) und transitiv (aus card A ≤ card B und card B ≤ card C folgt, dass card A ≤ card C gilt) und hat somit alle Eigenschaften einer Halbordnung. Die Reflexivität und die Transitivität ergeben sich sofort aus der Definition, die Antisymmetrie ist der Inhalt des schon etwas tiefer liegenden Bernstein’schen Äquivalenzsatzes. Aus dem (von uns hier geforderten) Auswahlaxiom folgt, dass die eingeführte Halbordnung eine vollständige Halbordnung ist („je zwei Mengen sind bezüglich ihrer Kardinalzahlen stets vergleichbar“). Aus formalen Gründen führt man noch die Relation „ 0}. Man erhält eine abzählbare Umgebungsbasis, indem man die Radien rational wählt. Das ist der Hintergrund, dass man in metrischen Räumen beim Arbeiten mit Konvergenzbegriffen mit Folgen von Elementen (statt mit sogenannten Netzen, vgl. Def. 10.25) auskommt. Man sagt auch, metrische Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom. (4) Wir erwähnen vorab die lokalkonvexen Räume. Das sind lineare topologische Räume, deren Nullpunkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus konvexen Mengen besteht. Genauer ist das in Beispiel 10.12 ausgeführt. (5) Die diskrete Metrik auf einem Raum X erzeugt die diskrete Topologie, d.h. zu x ∈ X gehört das Umgebungssystem N(x), das aus allen Mengen U ⊆ X besteht mit x ∈ U.

10.3 Räume

313

10.3.3 Lineare Räume Wir kommen jetzt zu dem Fall, dass ein gegebener Raum X ein linearer Raum oder Vektorraum ist, oder, wie oben gesagt wurde, dass ein gegebener Raum mit einer linearen Struktur versehen ist. Grob gesprochen heißt das, dass die Elemente von X addiert und mit Zahlen multipliziert werden können. Dazu führen wir die Bezeichnungen R für die Menge aller reellen Zahlen und allgemeiner C für die Menge aller komplexer Zahlen ein. Wir geben die Definition eines linearen Raumes für den allgemeineren Fall an, dass alle komplexen Zahlen zur Multiplikation zugelassen sind. Nebenbei bemerkt, man könnte auch andere Zahlkörper zum Multiplizieren zulassen, dies wird aber hier nicht betrachtet. Definition 10.15 Es sei X eine nichtleere Menge. Sie heißt linearer Raum oder Vektorraum, falls eine Addition (das ist eine Abbildung + : X × X → X) und eine Multiplikation mit komplexen Zahlen (das ist eine Abbildung · : C × X → X) definiert sind, die folgenden Bedingungen genügen: (a) (b) (c)

∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z) ∀x, y ∈ X : x + y = y + x

∃ 0 ∈ X, ∀x ∈ X : x + 0 = x

(Assoziativität),

(Kommutativität), (Nullelement),

(10.22) (10.23) (10.24)

(d)

∀x ∈ X, ∃x : x + x = 0; wir schreiben x = −x,

(10.25)

(e)

∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ C : λ (x + y) = λ x + λ y,

(10.26)

(f)

∀x ∈ X, ∀λ , μ ∈ C : (λ + μ )x = λ x + μ x,

(10.27)

(g)

∀x ∈ X, ∀λ , μ ∈ C : λ (μ x) = (λ μ )x,

(10.28)

(h)

∀x ∈ X : 1x = x.

(10.29)

Werden zur Multiplikation nur reelle Zahlen zugelassen, so spricht man von einem reellen linearen Raum (oder einem Vektorraum über R), sind alle komplexen Zahlen als Faktoren möglich, so spricht man von einem komplexen linearen Raum (oder einem Vektorraum über C). Beispiel 10.8 Es sei X = Rn die Menge aller n-Tupel x = (ξ1 , ..., ξn ) reeller Zahlen ξ j ( j = 1, ..., n) mit den üblichen Festlegungen der Rechenoperationen: Falls x = (ξ1 , ..., ξn ), y = (η1 , ..., ηn ), so sei x + y = (ξ1 + η1 , ..., ξn + ηn ) und für γ ∈ R sei γ x = (γξ1 , ..., γξn ). Man kann Schritt für Schritt beweisen, dass die für einen linearen Raum zu befriedigenden acht Bedingungen (a)–(h) alle erfüllt sind. Damit ist Rn ein reeller linearer Raum. Entsprechend definiert man den n-dimensionalen komplexen linearen Raum Cn als die Menge aller n-Tupel x = (ξ1 , ..., ξn ) komplexer Zahlen ξ j ( j = 1, ..., n) mit den üblichen Festlegungen der Rechenoperationen.

Eine Teilmenge Y eines linearen Raumes X heißt linearer Teilraum (oder linearer Unterraum) von X, falls Y mit den Regeln der Addition und Multiplikation, wie sie in X definiert sind, selbst ein linearer Raum ist. Eine endliche Teilmenge x1 , ..., xn von Elementen eines linearen Raumes X heißt linear abhängig, falls es Zahlen γ1 , ..., γn , nicht alle gleich null, gibt, sodass gilt n

∑ γk xk = 0.

k=1

Andernfalls heißen die Elemente x1 , ..., xn linear unabhängig.

(10.30)

314

10 Anhang

Häufig ist eine Metrik d in einem linearen Raum X gegeben. Dann ist es notwendig, dass beide gegebenen Strukturen (die lineare und die metrische) verträglich sind. Man kann diese Verträglichkeitsforderungen in verschiedener Weise formulieren. Wir stellen sie in der Form der folgenden Bedingungen dar: Definition 10.16 Sind alle drei der folgenden Bedingungen (LM1)–(LM3) erfüllt, so ist die Metrik d kompatibel mit der linearen Struktur von X und der metrische Raum (X, d) heißt dann linearer metrischer Raum. (LM1) ∀x, y, z ∈ X : d(x + z, y + z) = d(x, y) (Translationsinvarianz), (LM2) ∀x ∈ X und für alle Folgen {γn } von Zahlen mit lim γn = 0 gilt lim d(γn x, 0) = 0, n→+∞

n→+∞

(LM3) ∀x ∈ X, α ∈ R (bzw. α ∈ C) mit |α | ≤ 1 gilt d(α x, 0) ≤ d(x, 0).

Die erste Forderung sagt aus, dass sich der Abstand zweier Elemente x und y nicht ändert, wenn auf beide Elemente eine Translation mit dem Element z ausgeübt wird, die zweite Bedingung drückt eine Stetigkeitseigenschaft aus. In (LM2) wird ersichtlich nur der elementare Grenzwertbegriff aus der Grundlagenanalysis gebraucht, da auch die Folge {d(γn x, 0)} (nur) eine Zahlenfolge ist. Die Eigenschaft (LM3) sorgt für die Kreisförmigkeit der metrischen „Kugeln“. Man beachte hierzu die folgende Aufgabe. Aufgabe. Wir definieren im (reellen) Raum R2 eine Funktion d(·, ·) mittels d(x, y) := |ξ1 − η1 | + |ξ2 − η2 |, x, y ∈ R2 , x = (ξ1 , ξ2 ), y = (η1 , η2 ). Man beweise die folgenden Eigenschaften von d(·, ·): (1) d(·, ·) ist eine Metrik auf R2 . (2) d(·, ·) genügt den Axiomen (LM1)–(LM3) (vgl. Definition 10.16) und erzeugt damit einen linearen metrischen Raum. (3) Die Metrik d(·, ·) ist zur (üblichen) Euklidischen Metrik d2 (·, ·) (vgl. Beispiel 10.9 für n = 2) äquivalent, d.h., sie liefert dieselben konvergenten Folgen und damit dieselbe Topologie auf R2 . (4) Die „Kugeln“ B(x0 ; r) := {y ∈ R2 |d(x0 , y) ≤ r} mit x0 ∈ R2 , r > 0, fest, sind nicht konvex. Entsprechend betrachtet man lineare topologische Räume oder topologische Vektorräume, d.h. in einem linearen Raum X ist auch eine Topologie τ gegeben, und es sind Verträglichkeitsbedingungen zwischen linearer und topologischer Struktur erfüllt: Die Addition zweier Elemente aus X und die Multiplikation eines Elements aus X mit einem Skalar müssen stetige Operationen sein, wobei die Stetigkeit mit (zur Topologie gehörigen) Umgebungen definiert wird (vgl. Definition 10.14). Ein linearer topologischer Raum heißt Hausdorffsch (oder separiert), wenn die Menge {0}, die nur aus dem Nullpunkt von (X, τ ) besteht, abgeschlossen ist. Allgemeiner heißt ein topologischer Raum Hausdorffsch (oder separiert), wenn je zwei verschiedene Punkte Umgebungen mit leerem Durchschnitt besitzen. Ein topologischer Raum, dessen Topologie durch eine Metrik erzeugt wird, ist stets separiert. Beispiel 10.9 Wir betrachten den Vektorraum Rn und geben drei Möglichkeiten an, eine mit der linearen Struktur dieses Raumes verträgliche Metrik d zu definieren. Dabei seien x, y ∈ Rn wie in Beispiel 10.8 gegeben. d1 (x, y) :=

n

∑ |ξk − ηk | ,

k=1

10.3 Räume

315

n

∑ (ξk − ηk )2 ,

d2 (x, y) :=

k=1

d3 (x, y) := max |ξk − ηk | . k=1,...,n

Die Metrik d2 ist die übliche Euklidische Metrik. Man sieht schnell, dass (LM 1)–(LM 3) erfüllt sind.

S. Banach, einer der Begründer der polnischen funktionalanalytischen Schule, spezialisierte den Begriff des linearen metrischen Raumes in einer für viele Anwendungen geeigneten Weise durch die Einführung des Begriffs des normierten Raumes. Die Norm eines Elements eines linearen Raumes verallgemeinert den Begriff der Länge eines Vektors. Definition 10.17 Es sei X ein linearer Raum. Falls jedem Element x ∈ X eine reelle Zahl x zugeordnet ist, die die folgenden Eigenschaften (Normaxiome) (N1)–(N3) erfüllt, dann heißen x die Norm von x und X ein normierter Raum, bezeichnet mit (X, · ). (N1)

Für alle x = 0 gilt x = 0

(Definitheit),

(10.31)

(N2)

γ x = |γ | x (x ∈ X) und (γ ∈ C) (positive Homogenität),

(10.32)

(N3)

x + y ≤ x + y

(10.33)

(x, y ∈ X)

(Dreiecksungleichung).

Wird auf die Forderung (das Axiom) (N1) verzichtet, so spricht man von einer Halbnorm. Bemerkung 10.4 Auf jedem normierten Raum (X, .) kann man mittels der Gleichung d(x, y) = x − y, x, y ∈ X,

(10.34)

eine Metrik d einführen und diese Metrik ist verträglich mit der linearen Struktur des Raumes X. Dass (M1)–(M3) und (LM1) erfüllt sind, ist leicht zu sehen (vgl. Satz 10.6, (c)). (LM2) ist auch erfüllt, denn für eine Folge {γn } → 0 folgt natürlich {|γn |} → 0 und hieraus {d(γn x, 0)} = {γn x − 0} = {|γn | x} → 0. (LM3) folgt aus (N2) sofort. Jeder normierte Raum ist daher mit der Metrik (10.34) ein linearer metrischer Raum. Beispiel 10.10 Der Raum Rn kann (analog zu Beispiel 10.9 für Metrisierungen) in ganz verschiedener Weise normiert werden, wir geben wichtige Möglichkeiten an (x ∈ Rn ): x1 :=

n

∑ |ξk | ,

(Summen- bzw. Lebesgue-Norm),

k=1

x2 :=

n

∑ (ξk )2

(Euklidische Norm),

k=1

x∞ := max |ξk | , k=1,...,n

(Maximum-Norm),

oder allgemein für 1 ≤ p < +∞ n

1

x p := ( ∑ |ξk | p ) p k=1

(Hölder-Norm oder l p -Norm).

316

10 Anhang

Damit sind tatsächlich Normen definiert. Wir beweisen dies zunächst für den ersten Fall x1 = ∑ |ξk |: x = (ξ1 , ..., ξn ) = 0 =⇒ x1 = ∑ |ξk | = 0,

(N1)

γ x1 = ∑ |γξk | = |γ | ∑ |ξk | = |γ | x1 .

(N2)

(10.35) (10.36)

(N3) folgt aus der gewöhnlichen Dreiecksungleichung n

n

n

k=1

k=1

k=1

n

n

n

k=1

k=1

k=1

∑ |ξk + ηk | ≤ ∑ |ξk | + ∑ |ηk | :

x + y1 =

(10.37)

∑ |ξk + ηk | ≤ ∑ |ξk | + ∑ |ηk | = x1 + y1 .

(10.38)

Weiter wird gezeigt, dass x∞ eine Norm ist. (N1) und (N2) sind offensichtlich erfüllt. (N3) ist auch erfüllt, denn es gilt für alle x, y ∈ Rn x + y = max |x j + y j | ≤ max (|x j | + |y j |) ≤ max |x j | + max |y j | = x∞ + y∞ . j=1,...,n

j=1,...,n

j=1,...,n

j=1,...,n

Es gilt folgende Beziehung zwischen den Normen für 1 ≤ p < +∞ und p = +∞: Für x ∈ Rn \ {0} ist ⎞ p ⎞ 1p |x | j ⎠ ⎠ lim max |xk | ⎝ ∑ ⎝ p→+∞ k=1,...,n max |xk | j=1 ⎛

⎛

lim x p

p→+∞

n

=

k=1,...,n

=

max |xk |

k=1,...,n

= x∞ wegen lim

p→+∞

n

∑

j=1

1

p

a pj

= 1 für ∑nj=1 |a j | > 0 und a j ≥ 0 ( j = 1, · · · , n).

Beispiel 10.11 Es sei X die Menge aller auf dem (reellen) Intervall (a ≤ t ≤ b) definierten reellwertigen stetigen Funktionen x der reellen Variablen t ∈ [a, b]. Diese Menge X wird ein reeller linearer Raum, bezeichnet mit CR (oder ausführlicher mit CR [a, b]), wenn die Addition seiner Elemente und die Multiplikation mit einer reellen Zahl wie üblich definiert werden: (x + y)(t) = x(t) + y(t), (γ x)(t) = γ x(t), x, y ∈ CR , γ ∈ R, (a ≤ t ≤ b).

(10.39)

Dann sind Normen auf X = CR [a, b] (x ∈ CR [a, b]) definiert durch: x p

=

x∞

=

a

b

|x(t)| p dt

1p

(1 ≤ p < +∞),

max |x(t)|.

t∈[a,b]

Für 1 ≤ p < +∞ bezeichnen wir diese Normen als Hölder-Norm oder L p -Norm und für p = +∞ als Tschebyscheff-Norm.

10.3 Räume

317

y 6

y 6

.................................... ....... ........... ..... ....... .... .... .... ... .. .. ... ... ... .. ... .. ... .. .. .. .. ... .... . ... . . ... . . .... .... ..... ..... ....... ....... ........... ..................................

-x

@

@ @ @

y 6

-x

-x

@ @

Abbildung 10.1: Einheitskugeln der Normen || · ||2 , || · ||1 und || · ||∞ auf R2 . Satz 10.6 Es sei X ein linearer Raum. Eine Norm · : X → R hat für alle x, y ∈ X folgende Eigenschaften: (a) Für alle x = 0 gilt x > 0, (b) x = 0 ⇐⇒ x = 0, (c) d(x, y) := x − y kann als Metrik zwischen x und y aufgefasst werden, (d) x − y ≥ x − y, (e) die Zuordnung x → x ist stetig.

Beweis: Zu (a): Wegen (N2) gilt 0 = 0. Mit (N3) erhalten wir x − x ≤ x + x = 2x, d.h. 0 ≤ 2x, und somit 0 < x für x = 0 unter Beachtung von (N1). Zu (b): Aus x = 0 folgt mit (N1) x = 0, und aus x = 0 mit (N2) x = 0 . Zu (c): Es sei d(x, y) = x − y. Wegen (N2) gilt d(x, y) = x − y = y − x = d(y, x), also ist (M2) erfüllt. (M1) erhalten wir aus (b): 0 = d(x, y) = x − y ⇐⇒ 0 = x − y, d.h x = y. Schließlich folgt für x, y, z ∈ X wegen (N3) d(x, y) = x − z + z − y ≤ x − z + z − y = d(x, z) + d(z, y), d.h. (M3) gilt. Zu (d): Es folgt aus (N3) y = x + (y − x) ≤ x + y − x = x + x − y, d.h. x − y ≥ y − x, also x − y ≥ −(x − y). Andererseits gilt auch x = y + (x − y) ≤ y + x − y,

also x − y ≥ x − y und x − y ≥ −(y − x). Dies liefert x − y ≥ x − y. Zu (e): Für alle x, y ∈ X gilt wegen (d) x − y ≤ x − y, d.h. x → x ist stetig.

318

10 Anhang

Zur Stetigkeit der Metrik vgl. Satz 10.18. Wir fügen zwei Sätze über die Stetigkeit linearer Abbildungen f : Rm → Rn an, wobei beide Räume Rm , Rn normiert seien. Solche Abbildungen werden (u.a.) in Abschnitt 3.2.2 behandelt. Satz 10.7 Lineare Abbildungen f : Rm → Rn sind für alle Normen stetig.

Zum Beweis vgl. Heuser [80], Satz 11.5. Satz 10.8 Es sei L der lineare Raum der linearen Abbildungen f : Rm → Rn und · Rm , · Rn seien Normen des Rm bzw. Rn . Dann ist f (x)Rn f L = sup ( f ∈ L), x=0 xRm eine Norm in L (in Abhängigkeit von den gewählten Normen im jeweiligen Raum).

Beweis: Wir zeigen, dass das Supremum endlich ist. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner mit einem reellen Wert x1 m für x = 0 : R

x f x f (y)Rn Rn = sup f L = sup = sup f (y)Rn . x x=0 yRm =1 yRm yRm =1 x m R

Wir haben nach Satz 10.7 und Satz 10.6 (e) eine stetige Abbildung f (·)Rn . Weiter ist {y ∈ Rm | yRm = 1} kompakt. Somit ist nach dem Satz von Weierstraß (Satz 10.14) das Supremum endlich, d.h. f L < +∞. Die formalen Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3) sind erfüllt. Man vergleiche hierzu auch (3.11)–(3.13), (3.70) und (3.72). Weiter oben wurden topologische Räume definiert. Natürlich ist ein normierter Raum erst recht ein topologischer Raum, denn wir bewiesen dies sogar für metrische Räume. Man kann umgekehrt nach Bedingungen fragen, unter denen ein linearer topologischer Raum normierbar ist. Eine Antwort gibt der Satz von Kolmogorov (er bezieht sich auf lokalkonvexe Räume, diese sind spezielle lineare topologische Räume, vgl. Beispiel 10.12): Satz 10.9 (Satz von Kolmogorov) Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann normierbar, wenn er eine beschränkte Nullumgebung besitzt.

Eine Teilmenge A eines linearen topologischen Raumes heißt dabei beschränkt, wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d.h. für jedes U ∈ N(0) gibt es eine Zahl λ > 0 mit A ⊆ λ U := {λ u|u ∈ U}. Die Einheitskugel in einem normierten Raum ist beschränkt. Beispiel 10.12 (Lokalkonvexe Räume) Lokalkonvexe Räume sind spezielle lineare topologische Räume (X, τ ). Für die Topologie τ eines lokalkonvexen Raumes gibt es zwei (gleichwertige) Definitionen: (1) Der Nullpunkt von X hat eine Umgebungsbasis, die aus konvexen Mengen besteht. (2) τ wird von einer (nichtleeren) Familie P von Halbnormen erzeugt. Die zweite Definition bedarf einer Erklärung. Es sei P ⊆ P eine endliche nichtleere Teilmenge von P und ε > 0. Wir betrachten für x ∈ X die Menge V (x, P, ε ) = {y ∈ X | p(y − x) ≤ ε , p ∈ P}. Diese Menge ist (offensichtlich) konvex und es ist V (x, P, ε ) = x +V (0, P, ε ). V (0, P, ε ) ist symmetrisch (eine Teilmenge

10.3 Räume

319

K eines linearen Raumes X heißt symmetrisch, falls für alle x ∈ K gilt x ∈ K → −x ∈ K) und absorbierend (vgl. Bemerkung 5.1 oder auch Satz 10.9), daher erfüllt {B(x) | x ∈ X} mit / P ⊆ P, P endlich} B(x) := {V (x, P, ε ) | ε > 0, P = 0,

(10.40)

die Bedingungen an ein Umgebungssystem für eine Topologie, und diese ist genau τ (wie man mit Hilfe des Minkowski-Funktionals zeigen kann). Enthält P höchstens abzählbar unendlich viele Halbnormen, so gehört zu τ eine abzählbare Umgebungsbasis. Ist (X, τ ) auch noch Hausdorffsch, so ist (X, τ ) metrisierbar. Für einen lokalkonvexen Raum gilt, dass er Hausdorffsch ist genau dann, wenn für jedes x ∈ X \ {0} eine Halbnorm p ∈ P existiert mit p(x) > 0. Eine Anwendung des Satzes von Hahn und Banach liefert dazu den bemerkenswerten Sachverhalt: Ist X = {0} ein lokalkonvexer Hausdorff’scher Raum, so gibt es auf diesem Raum mindestens ein vom Nullfunktional verschiedenes lineares stetiges Funktional: X∗ = {x∗ : X → C oder R | x∗ linear und stetig} = {0},

(10.41)

m.a.W., zu jedem x ∈ X \ {0} gibt es ein lineares stetiges Funktional x∗ (∈ X∗ ) mit x∗ (x) > 0. Explizite Beispiele für lokalkonvexe Hausdorff’sche Räume folgen unten, denn jeder normierte Raum gehört dazu, man setzt einfach P = { · }. Ein anders geartetes wichtiges Beispiel findet sich im Abschnitt über Distributionen (vgl. (8.11)–(8.14)).

Die Erfolge der Funktionalanalysis liegen unter anderem darin begründet, dass es ihr gelingt, komplizierte Fragen aus den verschiedensten Gebieten in einfacher, geometrisch fassbarer Form darzustellen und zu behandeln. Die Einführung des Raumbegriffes und des Abstandsbegriffs (Norm und Metrik) machen dies deutlich. Noch enger wird die Bindung an unsere gewohnten geometrischen Anschauungen, wenn auch Winkel zwischen Elementen (Vektoren), insbesondere die Orthogonalität, verfügbar sind. Dies wird durch die Einführung eines Skalarprodukts (inneres Produkt) ·|· auf einem linearen Raum X erreicht. Die zu einer komplexen Zahl λ konjugiert komplexe Zahl wird mit λ bezeichnet. Definition 10.18 Es sei X ein linearer Raum, in dem zu je zwei Elementen x, y ∈ X eine komplexe Zahl ·|· erklärt ist. Diese Zahl heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt von x und y, wenn folgende vier Bedingungen (S1)–(S4) erfüllt sind (x, y, z ∈ X): (S1)

x + z|y = x|y + x|z ,

(10.42)

(S2)

x|y = y|x,

(10.43)

(S3)

x|λ y = λ x|y , λ ∈ C,

(10.44)

(S4)

x|x > 0 (x = 0).

(10.45)

Ein mit einem Skalarprodukt versehener linearer Raum heißt Innenproduktraum, unitärer Raum oder Prä-Hilbert-Raum. Bemerkung 10.5 Aus (S2) und (S3) folgt λ x|y = y|λ x = λ y|x = λ x|y , und (S3) und (S4) liefern x|x ≥ 0 (x = 0), und x|x = 0 genau dann, wenn x = 0. Ist X ein reeller linearer Raum, so fordert man, dass das Skalarprodukt ebenfalls reell ist und (S2) lautet dann x|y = y|x . (10.46)

320

10 Anhang

Beispiel 10.13 Wir betrachten verschiedenen lineare Räume um Skalarprodukte zu definieren: a) Der reelle lineare Raum Rn wird, versehen mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt x|y =

n

∑ ξk ηk ,

(10.47)

k=1

für x = (ξ1 , ..., ξn ) und y = (η1 , ..., ηn ) aus Rn , ein reeller Prä-Hilbert-Raum (der gewöhnliche n-dimensionale Euklidische Raum). Für das Skalarprodukt in diesem Raum wird oft auch die Schreibweise x|y =: xT y verwendet. Man betrachtet dabei die Elemente (Vektoren) aus Rn als Spalten und xT y bedeutet dann in Anlehnung an die Matritzenmultiplikation „Zeile mal Spalte“. b) Man erhält ein Skalarprodukt auf CR [a, b] (vgl. Beispiel 10.11) in folgender Weise: x|y =

b

(10.48)

x(t)y(t)dt. a

Versehen mit diesem Skalarprodukt ist CR [a, b] ein reeller Prä-Hilbert-Raum. c) Man bekommt einen komplexen Prä-Hilbert-Raum CC [a, b], wenn die Funktionen in b) als komplexwertig und die Skalare γ als zur Menge der komplexen Zahlen C gehörig betrachtet werden. Als Skalarprodukt dient dann b

x|y =

Es sei X ein Prä-Hilbert-Raum. Durch x :=

x(t)y(t)dt.

(10.49)

|x|x|, x ∈ X,

(10.50)

a

wird eine Norm auf X definiert. Um diese wichtige Beziehung zu beweisen, benutzt man eine grundlegende Ungleichung der Funktionalanalysis (Schwarz’sche Ungleichung, manchmal auch nach Cauchy oder Bunyakovskij benannt): Satz 10.10 (Schwarz’sche Ungleichung) Es sei X ein Prä-Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt ·|·. Dann gilt unter Benutzung von (10.50) ∀ x, y ∈ X :

|x|y| ≤ x y, .

(10.51)

Das Gleichheitszeichen gilt in dieser Ungleichung genau dann, wenn x und y linear abhängig sind.

Beweis: Für ein Element y ∈ X und ein Element β ∈ C erhält man unter Benutzung von (S3) 0 ≤ x + β y|x + β y = x|x + β y|x + β x|y + |β |2 y2 . Wegen (S4) gilt die Ungleichung als Gleichung 0 = x + β y2 genau dann, wenn x + β y = 0 ist, oder mit anderen Worten, wenn x und y linear abhängig sind. Da (10.51) für y = 0 erfüllt ist betrachten wir nun y ∈ X, y = 0. Wählen wir β = − x|y y|y , so folgt 0 ≤ x|x −

x|y y|x y|x x|y x|y y|x − + , y|y y|y y|y

und daher 0 ≤ x|x −

|x|y|2 . y|y

10.3 Räume

321

Multiplikation mit y|y ergibt (10.51).

Mit Nutzung der Schwarz’schen Ungleichung folgt leicht, dass in einem Prä-Hilbert-Raum X durch |x|x|( x ∈ X) wirklich eine Norm x definiert wird. Die Eigenschaften (N1) und (N2) folgen direkt aus den Eigenschaften des Skalarprodukts. Falls x + y = 0 (x, y ∈ X) gilt, dann ist (N3) erfüllt. Für x + y = 0 liefert die Schwarz’sche Ungleichung x + y2 = x + y|x + y = x + y|x + x + y|y ≤ x + yx + x + yy = x + y(x + y). Division durch x + y ergibt die Dreiecksungleichung (N3). Nicht jeder normierte Raum X ist ein Prä-Hilbert-Raum. Ein normierter Raum X ist ein PräHilbert-Raum genau in dem Fall, dass für je zwei Elemente x, y ∈ X die sogenannte Parallelogrammgleichung gilt: (10.52) x + y2 + x − y2 = 2(x2 + y2 ). Im Euklidischen Raum R2 heißt das, dass in einem Parallelogramm die Summe der Quadrate über den Seiten gleich der Summe der Quadrate über den Diagonalen ist, wie aus der Elementargeometrie bekannt ist. Ist X ein Prä-Hilbert-Raum, so kann man (10.52) durch Nachrechnen bestätigen. Gilt (10.52) auf dem normierten Raum X, so ist auf X durch 1 x|y = (x + y2 − x − y2 + ix + iy2 − ix − iy2 ), x, y ∈ X, 4

(10.53)

bzw. für einen reellen normierten Raum durch 1 x|y = (x + y2 − x − y2 ), x, y ∈ X, 4

(10.54)

ein Skalarprodukt ·|· gegeben, das gemäß (10.50) wieder die Ausgangsnorm erzeugt. Man kann nachrechnen, dass die Anforderungen an ein Skalarprodukt erfüllt sind. In einem reellen Prä-Hilbert-Raum kann man einem Winkel zwischen zwei Elementen x = 0, y = 0 erklären: Die Schwarz’sche Ungleichung ergibt nach Division durch x und y y x | ∈ [−1, +1], x y also gibt es genau ein α ∈ [0, π ] mit

y x | x y

= cos α .

α heißt der Winkel zwischen x und y. Besonders wichtig ist der Fall α = π2 , man sagt dann, dass x und y senkrecht aufeinander stehen bzw. zueinander orthogonal sind. Dies wird im Abschnitt 2.2 über Orthogonalsysteme ausgenutzt.

322

10 Anhang

10.3.4 Konvergenz, Kompaktheit, Vollständigkeit Wir haben uns mit topologischen, metrischen, normierten und Prä-Hilbert-Räumen beschäftigt und Beispiele diskutiert. Um näher an analytische Betrachtungen heranzukommen, sind Konvergenzbegriffe erforderlich. Wir betrachten dazu Folgen von Elementen eines metrischen Raumes. Definition 10.19 Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge {xn } von Elementen xn ∈ X heißt konvergent, falls es ein Element x ∈ X gibt, sodass die Folge (reeller Zahlen) {d(xn , x)} den Grenzwert 0 hat (gegen 0 konvergiert). Das Element x heißt Grenzwert der Folge {xn } und man schreibt lim xn = x.

n→+∞

(10.55)

Der Grenzwert x einer Folge in einem metrischen Raum ist eindeutig bestimmt. Gäbe es nämlich ein zweites Element x ∈ X, x = x, das ebenso (10.55) erfüllt, so folgte aus (M1) und (M3) 0 < d(x, x) ≤ d(x, xn ) + d(xn , x) (n = 1, 2, · · · )

(10.56)

und Bildung des Grenzwertes n → +∞ ergibt 0 < d(x, x) ≤ 0, ein Widerspruch. Man kann also von dem Grenzwert einer Folge sprechen. Von der Grundlagenanalysis her weiß man, dass es das Cauchy’sche Konvergenzkriterium gibt. Wir definierten in Definition 10.19 die Konvergenz einer Folge {xn } von Elementen xn ∈ X mittels eines Grenzwertes x ∈ X. Anwendung der Dreiecksungleichung (M3) ergibt d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ).

(10.57)

Zu jeder Zahl ε > 0 gibt es (da limn→+∞ d(xn , x) = 0) eine positive ganze Zahl n0 , sodass für n ≥ n0 gilt d(xn , x) ≤ ε2 . Also folgt d(xn , xm ) ≤ ε aus (10.57) für m, n ≥ n0 . Und dies führt zur wichtigen Definition einer Cauchy-Folge: Definition 10.20 Eine Folge von Elementen {xn } eines metrischen Raumes (X, d) heißt eine Cauchy-Folge (in (X, d)), falls zu jedem ε > 0 eine positive ganze Zahl n0 (ε ) existiert, sodass d(xn , xm ) ≤ ε gilt für alle m, n ≥ n0 .

Die Zeilen direkt vor dieser Definition zeigen, dass in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Und das folgende kleine Beispiel zeigt, dass die umgekehrte Behauptung im Allgemeinen nicht gilt. Das bedeutet, dass es metrische Räume gibt, in denen nicht jede Cauchy-Folge konvergent ist. Um dies zu zeigen betrachten wir die Menge P aller rationalen Zahlen mit der Metrik d(x, y) = |x − y|. Es ist leicht zu zeigen, √ dass (P, d) dann ein metrischer Raum ist. Es sei xn ∈ P die dezimale √ Approximation von 2, die die ersten n Dezimalstellen der dezimalen Darstellung von 2 enthält. Die Folge {xn } ist eine Cauchy-Folge, weil d(xn , xm ) < 10− min(n,m) gilt. Aber die Folge {xn } ist in (P, d) nicht konvergent, weil es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich zwei ist. Jetzt erscheint die folgende Definition verständlich: Definition 10.21 Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in (X, d) eine konvergente Folge ist. Ein vollständiger normierter Raum heißt ein Banach-Raum, ein vollständiger Prä-Hilbert-Raum heißt ein Hilbert-Raum.

10.3 Räume

323

Beispiel 10.14 Wir betrachten den Prä-Hilbert-Raum CR , wie er in Beispiel 10.13b) definiert wurde. Sein inneres Produkt x|y = ab x(t)y(t)dt ergibt eine Norm, die sogenannte L2 -Norm: xL2 :=

b a

(x(t))2 dt.

(10.58)

Ausgerüstet mit dieser Norm ist CR ein normierter Raum (CR , · L2 ). Dieser Raum ist aber kein HilbertRaum. Das bedeutet, es gibt in diesem Raum nichtkonvergente Cauchy-Folgen. Jetzt definieren wir eine andere Norm auf CR in folgender Weise: x := max |x(t)| . 0≤t≤1

(10.59)

Ausgestattet mit dieser Norm ist der Raum CR einerseits wieder ein normierter Raum, aber nicht einmal ein Prä-Hilbert-Raum, da die Parallelogrammgleichung nicht erfüllt ist. Andererseits ist dieser Raum ein Banach-Raum, denn Konvergenz in der Norm wie in (10.59) ist nichts anderes als die gleichmäßige Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen und damit gehört zu jeder Cauchy-Folge ein Grenzwert (eine stetige Funktion, die somit auch in diesem Raum liegt). Der endlichdimensionale lineare Raum Rn , definiert in Beispiel 10.8, und ausgerüstet mit der Euklidischen Norm (vgl. Beispiel 10.10) ist vollständig, also ein (endlichdimensionaler) Hilbert-Raum, da (wie aus der Grundlagenanalysis bekannt ist) das Cauchy’sche Konvergenzkriterium in solchen Räumen gilt: Eine Folge ist konvergent genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Wir fügen einige Begriffe und Sätze an, die mit der Konvergenz von Folgen (also mit der Existenz von Grenzwerten) in metrischen Räumen zu tun haben und von grundlegender Bedeutung sind. Es müssen aber auch allgemeinere Räume betrachtet werden. Über Konvergenz in allgemeineren Räumen als metrischen zu sprechen ist komplizierter. Ist die Topologie eines topologischen Raumes (z.B. eines lokalkonvexen Raumes) nicht mittels einer Metrik erzeugbar, reicht der Begriff der Konvergenz gewöhnlicher Folgen x1 , x2 , · · · , xn , ...(n ∈ N) nicht mehr aus, um alle Berührungspunkte bzw. Häufungspunkte einer gegebenen Menge zu erfassen. Man geht daher zu verallgemeinerten Folgen, sogenannten Moore-Smith-Folgen oder Netzen über (vgl. Definition 10.25 unten und auch (3) in Beispiel 10.7). Es geht insbesondere um die Einführung und Nutzung des Kompaktheitsbegriffes. Aus der Grundlagenanalysis kennt man den folgenden Kompaktheitsbegriff: Definition 10.22 Eine Menge M ⊆ C (oder M ⊆ R) heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Entsprechendes gelte für Mengen in Cn bzw. Rn . Beispiel 10.15 Es sei A ⊆ Cn beschränkt und abgeschlossen und f1 , ..., f p seien stetige reellwertige Funktionen, die auf A definiert sind. Dann ist die Menge M := {t ∈ A | f1 (t) ≤ 0, · · · , f p (t) ≤ 0}

(10.60)

kompakt. Die Abgeschlossenheit folgt aus der Stetigkeit. Aber auch komplizierter zu definierende Mengen sind kompakt, wie etwa das Cantor’sche Diskontinuum (vgl. Königsberger [108], S.89).

324

10 Anhang

Auf kompakten Mengen gelten wichtige Sätze, wie z.B. der Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Jede stetige Funktion f : M → R, M kompakt, M ⊆ Cn bzw. Rn , nimmt ihren Maximal- und Minimalwert auf M an, d.h., es gibt t1 ∈ M und t2 ∈ M so, dass gilt ∀t ∈ M : f (t1 ) ≤ f (t) ≤ f (t2 ).

(10.61)

Dies ist eine der wirkungsvollsten Existenzaussagen bei Extremalproblemen. Kann man für solche Probleme keine Kompaktheitsvoraussetzungen stellen, so sind die weiter unten in normierten Räumen dargelegten Begriffe schwache Kompaktheit und schwache* Kompaktheit anwendungsfähige Erweiterungskonstruktionen oder man sucht andersartige Voraussetzungen zu stellen wie z.B. die Koerzitivität von f , wenn M nicht beschränkt ist, oder man beschränkt sich auf genäherte Lösungen von Extremalproblemen (vgl. das Kapitel über das Ekeland’sche Prinzip). Um den Kompaktheitsbegriff auch in allgemeineren Räumen als den endlichdimensionalen Euklidischen Räumen Cn oder Rn auszunutzen, erinnere man sich an andere (in Cn oder Rn zur Definition 10.22 äquivalente) Definitionen der Kompaktheit in C oder R wie etwa (a) Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft: Eine Menge M ⊆ C ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in M eine konvergente Teilfolge besitzt (die also gegen einen Punkt in M konvergiert). b) Heine-Borel-Eigenschaft: Eine Menge M ⊆ C ist genau dann kompakt, wenn für jedes Sys tem {Ok }k∈K offener Mengen in C mit M ⊆ k Ok ( k Ok heißt offene Überdeckung von M) gilt, dass M bereits von endlich vielen dieser Mengen Ok überdeckt wird, d.h., es existieren k1 , k2 , ..., kr ∈ K mit M ⊆ Ok1 ∪ Ok2 ∪ ...Okr . Die Definition (a) lässt erkennen, dass Kompaktheit einen Schluss auf Konvergenz (und damit auf die Existenz von Grenzwerten) ermöglicht, was in vielen analytischen und numerischen Prozessen ausgenutzt wird. Und wenn man bei der Definition (b) offene Kugeln mit Radius r > 0 als die überdeckenden offenen Mengen nimmt, so bedeutet (b), dass jeder Punkt von M höchstens die Entfernung r von einem der endlich vielen Kugelmittelpunkte hat, die zu den M überdeckenden Kugeln gehören. M.a.W., jeder Punkt von M kann gleichmäßig durch eine endliche Menge von Punkten (den Mittelpunkten der Kugeln) beliebig genau approximiert werden. Um Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen (X, τ ) zu erklären, verwendet man als Vorbild die Definition (b), und man betrachtet Mengen M ⊆ X (vgl. (10.18)) selbst als topologische Räume (M, τM ) (mit den relativ zu M offenen Mengen): Definition 10.23 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt kompakt, wenn jede Überdeckung {Ok }k∈K durch offene Mengen bereits durch endlich viele dieser offenen Mengen möglich ist. Eine Teilmenge M ⊆ X heißt kompakt, wenn sie, als Teilraum (M, τM ) aufgefasst, ein kompakter topologischer Raum ist. M heißt relativ kompakt, falls ihr Abschluss M kompakt ist.

Man kann auch die Definition (a) als Vorbild verwenden, wie aber oben gesagt, muss man dann den Folgenbegriff erweitern: Definition 10.24 (gerichtete Menge) Eine teilweise geordnete Menge (A, ≤) heißt gerichtet oder ein gerichtetes System, wenn es zu jedem α ∈ A und jedem β ∈ A ein γ ∈ A gibt, sodass α ≤ γ und β ≤ γ gelten.

10.3 Räume

325

Beispiel 10.16 Es sei A das System aller Umgebungen eines Punktes in einem topologischem Raum. Mit der Halbordnungsrelation ≤:=⊇ ist A ein gerichtetes System. Definition 10.25 (verallgemeinerte Folge) Unter einer verallgemeinerten Folge (Moore-Smith-Folge, Netz) versteht man eine Abbildung einer gerichteten Menge (A, ≤) in eine nichtleere Menge X. Schreibweise: (xα )(α ∈A) . Beispiel 10.17 Es sei (A, ≤) das gerichtete System der natürlichen Zahlen N mit der üblichen Ordnungsrelation ≤. Dann fällt der Begriff der verallgemeinerten Folge mit der einer (gewöhnlichen ) Folge von Elementen einer Menge X zusammen. Definition 10.26 (verallgemeinerte Teilfolge) Unter einer verallgemeinerten Teilfolge (Teilnetz) einer gegebenen verallgemeinerten Folge (xα )(α ∈A) versteht man eine verallgemeinerte Folge (yβ )(β ∈B) ((B, ≤∗ ) eine gerichtete Menge), die mittels einer Abbildung N : B → A so erklärt wird: 1) es gilt yβ = xN(β ) für jedes β ∈ B, und 2) für jedes α ∈ A gibt es ein β ∈ B, sodass aus β ≤∗ γ , γ ∈ B, stets folgt, dass α ≤ N(γ ) gilt.

Es folgt die entscheidende Definition der Konvergenz eines Netzes: Definition 10.27 (Konvergenz eines Netzes) Es sei (X, τ ) ein separierter topologischer Raum. Man sagt, ein Netz (xα )(α ∈A) ((A, ≤) gerichtet) konvergiert gegen ein Element z ∈ X, wenn es zu jeder Umgebung U von z ein α0 ∈ A gibt mit xα ∈ U für alle α ∈ A mit α0 ≤ α , und schreiben dafür lim xα = z.

Mit Verwendung des Netz-Begriffes lassen sich folgende Sätze für die Kompaktheit eines separierten (=Hausdorff’schen) topologischen Raumes und für den Abschluss einer Menge in einem solchen Raum zeigen. Zum Beweis vgl. Köthe [111], S. 11–14 und Granas/Dugundji [70]. Satz 10.11 (Abschließung einer Menge) Ist M ⊆ X eine Teilmenge eines separierten topologischen Raumes (X, τ ), so gehört das Element x ∈ X zur Menge M (=Abschließung von M), wenn es ein Netz (xα )(α ∈A) von Elementen xα ∈ M (α ∈ A) gibt, für welches gilt lim xα = x. Satz 10.12 (Kompaktheit) Ein separierter topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz (xα )(α ∈A) in X ein (in X) konvergentes Teilnetz besitzt.

Unter Nutzung des Begriffes Berührungspunkt kann der letzte Satz umformuliert werden. Definition 10.28 (Berührungspunkt) Es sei (X, τ ) ein (separierter) topologischer Raum und (xα )(α ∈A) ein Netz von Elementen xα ∈ X. Ein Punkt y ∈ X heißt ein Limespunkt oder Berührungspunkt des gegebenen Netzes (xα )(α ∈A) , wenn es ein Teilnetz (yβ )(β ∈B) von (xα )(α ∈A) gibt mit y = lim yβ .

Mittels Definition 10.28 ergibt sich für Satz 10.12: Satz 10.13 (Kompaktheit) Ein separierter topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt, wenn jede verallgemeinerte Folge von Elementen aus X einen Limespunkt (in X) hat.

326

10 Anhang

Bemerkung 10.6 Unter Beachtung der Sätze 10.11 und 10.12 nimmt Definition 10.23 für metrische Räume folgende Gestalt an: Ein metrischer Raum (X, d) ist genau dann kompakt, wenn jede Folge {xn } aus X eine konvergente Teilfolge besitzt. Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt kompakt, wenn sie, als Teilraum aufgefasst, ein kompakter metrischer Raum ist. Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt relativ kompakt, wenn ihre Abschließung kompakt ist.

Die einfache Definition 10.22 der Kompaktheit in endlichdimensionalen Räumen ist in allgemeineren Räumen nicht mehr richtig: In unendlichdimensionalen Banach-Räumen X ist die abgeschlossene Einheitskugel nicht kompakt, vgl. folgendes Beispiel (Königsberger [109], S.30). Beispiel 10.18 Wir betrachten den (komplexen) Banach-Raum C[0, 1] mit der Maximum-Norm. Dann ist seine Einheitskugel B(0; 1) := {x ∈ C[0, 1] | x ≤ 1} zwar abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt, weil die Folge {ek } mit ek ∈ B(0; 1), ek (t) = e2π ikt , 0 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, ... keine konvergente Teilfolge hat. Denn es gilt (10.62) ∀k = l : ek − el = 2 sin(k − l)π t = 2, wie man durch direktes Ausrechnen (Halbwinkelformel) erhält. Es sei nur angefügt, dass in normierten Räumen X gilt (vgl. Alt [6], S.86), B(0; 1) kompakt ⇔ X ist endlichdimensional,

(10.63)

und dass in metrischen Räumen jede kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen ist.

Es gilt in einem topologischen Raum (X, τ ) der Satz von Weierstraß wie im Rn (vgl. hierzu auch Satz 3.31). Wir beweisen ihn und eine wichtige Anwendung: Satz 10.14 Jede stetige Funktion f : X → R, (X, τ ) kompakt, nimmt ihr Maximum und Minimum an.

Beweis: Denn sei {Oi } eine offene Überdeckung von f [X], so bilden die Urbilder oi = f −1 [Oi ] eine offene Überdeckung von X. Wegen der Kompaktheit sind dafür endlich viele ausreichend, etwa oi1 , oi2 , ..., oi p . Deren Bilder Oir , r = 1, 2, ..., p, überdecken also f [X], somit ist das Bild von X unter f , also f [X], kompakt. f bildet in unserem Falle in den R ab, daher gehören das Supremum und das Infimum der kompakten (also beschränkten und abgeschlossenen) Menge f [X] zur Menge dazu, sind folglich Elemente von f [X]. Für eine Anwendung dieses Sachverhaltes seien (X, d) ein metrischer Raum und A und B zwei nichtleere Teilmengen von X, wobei A kompakt, B abgeschlossen und A ∩ B = 0/ gelte. Dann gibt es einen Punkt P ∈ A (man erinnere sich auch an die Approximationsaufgabe (2.2)) womit gilt d({P}, B) = d(A, B) = inf{d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}(> 0).

(10.64)

Die Aussage folgt aus dem Satz 10.14 von der Annahme des Minimums einer auf einer kompakten Menge stetigen reellwertigen Funktion. Denn die Distanzfunktion t → d(t, B) ist auf A stetig und nimmt daher auf A ihr Infimum an. Somit gibt es einen Punkt P ∈ A mit d({P}, B) = d(A, B). Aus der Abgeschlossenheit von B folgt die Positivität von d({P}, B). Es folgen zwei weitere Existenzaussagen:

10.3 Räume

327

Satz 10.15 Es seien X ein reeller reflexiver Banach-Raum, U(= 0) / ⊆ X abgeschlossen und konvex, f : U → R konvex und unterhalbstetig. Weiterhin sei U beschränkt oder ||xn || → +∞, {xn } aus U impliziert stets lim f (xn ) = +∞. Dann besitzt (10.65) inf f (x) =: α x∈U

eine Lösung x ∈ U. Weiter ist die Lösungsmenge von (10.65) konvex, abgeschlossen und beschränkt.

Der Beweis von Satz 10.15 ist zum Beispiel in [174, Satz 44.1,5)] angegeben. Eine Existenzaussage für Sattelpunkte der Lagrange-Funktion L : U ×W → R bezüglich nichtleerer Mengen U und W (gemäß Definition 5.2) wird in folgendem Satz (vgl. Zeidler [175, Satz 9.D, Abschnitt 9.6]) angegeben. Der Nachweis dieser Existenzaussage für Sattelpunkte wird in [175, Satz 9.D, Abschnitt 9.6] unter Nutzung des Fixpunktsatzes von Brouwer ([175, Satz 9.9, Abschnitt 9.4], vgl. auch Abschnitt 6.1.4) geführt. Satz 10.16 Es seien X und Y reelle reflexive Banach-Räume, U(= 0) / ⊆ X beschränkt, abgeschlossen und konvex, W (= 0) / ⊆ Y beschränkt, abgeschlossen und konvex. Weiterhin seien x → L(x, y) für alle y ∈ W unterhalbstetig und konvex auf U, und y → −L(x, y) für alle x ∈ U unterhalbstetig und konvex auf W . Dann existiert ein Tupel (x, ¯ y) ¯ ∈ U ×W mit ¯ y) ¯ min max L(x, y) = max min L(x, y) = L(x, x∈U y∈W

y∈W x∈U

und (x, ¯ y) ¯ ist Sattelpunkt von L bezüglich U ×W .

Der Zusammenhang zwischen Kompaktheit und Vollständigkeit (vgl. Definition 10.21) metrischer Räume wird durch folgenden Satz beschrieben: Satz 10.17 Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig.

Beweis: Ist {xn } eine Cauchy-Folge des kompakten metrischen Raumes X, so besitzt diese wegen der Kompaktheit eine konvergente Teilfolge. Nach der folgenden Bemerkung 10.7 muss die Cauchy-Folge {xn } dann selbst konvergent sein. Die Umkehrung des Satzes gilt nicht. Dies zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 10.19 Wir betrachten als vollständigen metrischen Raum den (komplexen) Banach-Raum C[0, 1] mit der MaximumNorm. Die Folge {xn } mit xn (t) = n, n = 1, 2, ..., 0 ≤ t ≤ 1, besitzt aber keine gegen ein Element von C[0, 1] konvergierende Teilfolge. Bemerkung 10.7 Es sei {xn } eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum (X, d). Die Folge {xn } besitze eine konvergente Teilfolge {xn j }. Dann ist {xn } eine konvergente Folge (sie hat also einen Grenzwert in (X, d)) und es gilt limn→+∞ xn = lim j→+∞ xn j . Beweis: Wir setzen x = lim j→+∞ xn j und geben ein ε > 0 beliebig vor. Da {xn } eine Cauchy-Folge ist, gibt es ein n0 mit d(xn , xm ) ≤ ε2 für m, n ≥ n0 . Da die Teilfolge {xn j } gegen x konvergiert, gibt es ein j0 mit

328

10 Anhang

d(xn j , x) ≤ ε2 für j ≥ j0 . Für j → +∞ gilt aber n j → +∞, und es existiert ein j1 ≥ j0 mit n j ≥ n0 für j ≥ j1 . Für n ≥ n0 gilt dann auf Grund der Dreiecksungleichung (weil n j1 ≥ n0 und j1 ≥ j0 ist) d(xn , x) ≤ d(xn , xn j1 ) + d(xn j1 , x) ≤

ε ε + = ε, 2 2

d.h., die Folge {xn } konvergiert gegen x.

(10.66)

Der Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen, genauer (vgl. (10.6)) von (P, d) zu (R, d) (dabei ist d die Euklidische Metrik), also von einem nicht vollständigen zu einem vollständigen Raum, der den ersteren als dichte Teilmenge enthält (jede irrationale Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen), ist ein spezielles Beispiel für einen allgemeinen Sachverhalt, der Vervollständigung. Definition 10.29 Es seien (X, d) und (Y, ρ ) metrische Räume. Der Raum (X, d) heißt eine Vervollständigung von (Y, ρ ), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) (Y, ρ ) ist ein Teilraum von (X, d), d.h., Y ist eine Teilmenge von X und ρ (x, y) = d(x, y) für alle x, y ∈ Y. (2) Y ist eine dichte Teilmenge von X, d.h., die Abschließung (in X !) von Y ist gleich X. (3) Der Raum (X, d) ist vollständig.

Man kann beweisen, dass jeder metrische Raum eine Vervollständigung besitzt. Eine solche kann man immer dann leicht angegeben werden, wenn ein gegebener nicht vollständiger metrischer Raum (X, d1 ) Teilraum eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) ist. Man nimmt nämlich die Abschließung X1 ⊆ X von X1 in X, versehen mit der auf X1 eingeschränkten Metrik d. Es besteht die Frage nach der Eindeutigkeit der Vervollständigung. Die Suche nach einer Antwort führt auf den Begriff der Isometrie metrischer Räume. Definition 10.30 Zwei metrische Räume (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) heißen isometrisch, wenn es eine Abbildung φ : X1 → X2 von X1 auf X2 (d.h. φ (X1 ) = X2 ) gibt mit d2 (φ (x), φ (y)) = d1 (x, y) (x, y ∈ X1 ).

(10.67)

Jede solche Abbildung heißt eine Isometrie von X1 auf X2 . Beispiel 10.20 Es seien X1 = X2 = Rn (bzw. Cn ) mit der Euklidischen Metrik n d(x, y) = ∑ (ξ j − η j )(ξ j − η j ),

(10.68)

j=1

und es sei A eine orthogonale Matrix, d.h., AT A = AAT = I (bzw. A sei eine unitäre Matrix A∗ A = AA∗ = I, wobei A∗ = AT ). Dann ist die durch A erklärte Abbildung eine Isometrie von X1 auf X2 . Der Beweis ergibt sich sofort aus der Invarianz des Skalarprodukts bei der Anwendung orthogonaler (bzw. unitärer) Matrizen: d(Ax, Ay) = Ax − Ay|Ax − Ay = A∗ A(x − y)|(x − y) = x − y|x − y = d(x, y).

Man kann beweisen, dass je zwei Vervollständigungen eines metrischen Raumes isometrisch sind. Identifiziert man also isometrische Räume untereinander, so kann man in diesem Sinne von

10.3 Räume

329

der Vervollständigung metrischer Räume sprechen. Im nächstfolgenden Abschnitt über Funktionenräume werden konkrete Vervollständigungen verwendet. In normierten Räumen werden oftmals äquivalente Normen betrachtet: Definition 10.31 Es sei X ein linearer Raum. Auf X seien zwei Normen · 1 und · 2 gegeben. Die Norm · 2 heißt äquivalent zur Norm · 1 , wenn es Zahlen m > 0, M > 0 gibt, sodass die Ungleichungen mx1 ≤ x2 ≤ Mx1

(10.69)

für alle x ∈ X gelten.

Aus (10.69) folgt, dass konvergente Folgen konvergent bleiben, wenn (was oft gewisse Rechenvorteile bringt) in einem normierten Raum von einer Norm zu einer äquivalenten Norm übergegangen wird. Ist der Raum X ein Banach-Raum bezüglich einer Norm · 1 , so ist er auch ein Banach-Raum bezüglich jeder äquivalenten Norm · 2 . In endlichdimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent. Die Äquivalenz von Normen hat die üblichen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität. Als Abschluss dieses Kapitels folgt ein in den Anwendungen häufig ausgenutzter Satz (vgl. Satz 10.6, wo bereits die Stetigkeit der Norm bewiesen wurde): Satz 10.18 (Stetigkeit der Metrik) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Metrik d ist stetig, d.h. für je zwei in (X, d) konvergente Folgen {xn } → x und {yn } → y gilt {d(xn , yn )} → d(x, y).

Die Behauptung folgt unter Nutzung der Vierecksungleichung (10.11) wegen |d(xn , yn ) − d(x, y)| ≤ d(xn , x) + d(yn , y) → 0, n → +∞.

(10.70)

Natürlich sind dann erst recht Normen und Skalarprodukte stetige Funktionen.

10.3.5 Funktionenräume Die für die Anwendungen wichtigsten normierten Räume sind Funktionenräume, d.h. lineare Räume, deren Elemente x, y, ... Funktionen mit reellen bzw. komplexen Werten sind, die einen gemeinsamen Definitionsbereich besitzen. Ist D dieser gemeinsame Definitionsbereich, so sind die algebraischen Grundoperationen in einem Funktionenraum stets, wie üblich, durch die Gleichungen (punktweise) (x + y)(s) = x(s) + y(s), (s ∈ D) (10.71) (λ x)(s) = λ x(s) (s ∈ D; λ ∈ R bzw. λ ∈ C)

(10.72)

erklärt. Hinzu kommen Eigenschaften, die die Funktionen des betrachteten Funktionenraumes auszeichnen, wie z.B. Stetigkeits-, Differenzierbarkeits- bzw. Integrierbarkeitseigenschaften. Einen gewissen Sonderfall stellen die Folgenräume dar, die als Funktionenräume, bestehend aus Funktionen mit dem gemeinsamen Definitionsbereich N (Menge der natürlichen Zahlen), aufgefasst werden können.

330

10 Anhang

10.3.5.1 Räume stetiger und stetig differenzierbarer Funktionen Wir erinnern an Beispiel 10.13, dort wurden die Räume CC [a, b] bzw. CR [a, b] aller auf dem Intervall [a, b] ⊆ R definierten (komplex- bzw. reellwertigen) stetigen Funktionen x der reellen Variablen t ∈ [a, b] definiert. Allgemeiner gilt Definition 10.32 Es sei D ⊆ Rn eine nichtleere Teilmenge des Rn . Die Menge aller komplex- bzw. reellwertigen Funktionen, die auf D stetig sind, bezeichnet man mit CCn (D) bzw. CRn (D).

Man bekommt durch folgenden Satz einen Banach-Raum: Satz 10.19 Es sei D ⊆ Rn nichtleer, abgeschlossen und beschränkt (D ist daher kompakt). Dann ist die Menge CCn (D) (bzw. CRn (D)), versehen mit der üblichen Vektorraumstruktur ((10.71),(10.72)) und mit der MaximumNorm (10.73) xCCn (D) = sup |x(s)| (x ∈ CCn (D)), s∈D

ein Banach-Raum.

Beweis: Man rechnet die Forderungen an einen normierten Raum leicht nach. Die Banach-RaumEigenschaft folgt wie bei (10.59). Im Folgenden sei Ω ein Gebiet des Rn , d.h. eine nichtleere, offene und zusammenhängende Teilmenge (vgl. Definition 10.10) des Rn , z.B. der Raum Rn selbst. Mit ∂ Ω = Ω \ Ω bezeichnet man den Rand des Gebietes Ω. Ein geordnetes n-Tupel α = (α1 , α2 , ..., αn ) von nichtnegativen ganzen Zahlen nennen wir einen Multiindex. Mit |α | bezeichnet man die zugehörige Summe ∑nj=1 α j der Komponenten des Multiindex α . Die Einführung eines Multiindex dient zur übersichtlichen Schreibweise partieller Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher: Man schreibt für eine Funktion f mit f (t) = f (t1 ,t2 , ...,tn ),t = (t1 ,t2 , ...,tn ) :

∂α f =

∂ |α | f

. ∂ t1α1 ∂ t2α2 ...∂ tnαn

(10.74)

Definition 10.33 Es sei Ω ein beschränktes Gebiet des Rn und k = 0, 1, ... eine nichtnegative ganze Zahl. Die Menge aller komplexwertigen (bzw. reellwertigen) Funktionen, die auf der Abschließung Ω(= Ω ∪ ∂ Ω) stetig sind und in Ω stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung k einschließlich besitzen und die sämtlich auf ganz Ω k (Ω) (bzw. Ck (Ω)). stetig fortgesetzt werden können, bezeichnen wir mit CC R Bemerkung 10.8 k (Ω) = C (Ω) (vgl. Beispiel 10.13). Die Forderung der stetigen FortFür k = 0 gilt die Gleichung CC C setzbarkeit der partiellen Ableitungen auf ganz Ω ist nicht unwesentlich. Ist z.B. im R2 die Funktion √ √ f (t1 ,t2 ) = t1 + t2 auf dem Gebiet Ω : 0 < t1 < 1, 0 < t2 < 1 gegeben, so lässt sich zwar f auf Ω stetig fortsetzen (mit derselben Zuordnungsvorschrift), jedoch lässt sich z.B. die erste partielle Ableitung von f nach der ersten Variablen, also die in Ω erklärte Funktion ∂∂ tf = 2√1 t , nicht stetig auf Ω (als Funktion mit Werten aus R) fortsetzen, da für t1 → 0 die Funktion (Skizze!).

∂f ∂ t1

1

1

keinen (endlichen) reellen Grenzwert besitzt

Wie für den mit der Maximum-Norm versehenen linearen Raum CC [a, b] (vgl. (10.59)) gilt

10.3 Räume

331

Satz 10.20 k (Ω) ist bezüglich der Norm Der lineare Raum CC xCk (Ω) = C

∑

(max |∂ α x(t)|)

(10.75)

|α |≤k t∈Ω

ein Banach-Raum. Das Symbol ∑|α |≤k bedeutet, dass über sämtliche Multiindices α mit |α | ≤ k zu summieren ist.

Solche Funktionenräume werden häufig bei der Behandlung von Differential-, Integral- oder Variationsgleichungen (oder Ungleichungen) eingesetzt und erfordern oft die Kenntnis der Kompaktheit von Mengen in diesen Räumen. Dazu geben wir das folgende Kompaktheitskriterium an: Satz 10.21 (Satz von Arzela und Ascoli) k (Ω) eine Es sei Ω ein beschränktes Gebiet des Rn (die Menge Ω ist also kompakt). Es sei weiter M ⊆ CC k (Ω), · abgeschlossene Teilmenge des Banach-Raumes (CC Ck (Ω) ) (vgl. (10.75). M ist eine kompakte TeilC

k (Ω) genau dann, wenn M beschränkt und gleichgradig stetig zur Ordnung k ist. Mit anderen menge von CC Worten, M ist genau dann kompakt, wenn es eine feste Zahl Q > 0 gibt mit

xCk (Ω) ≤ Q (x ∈ M) C

(10.76)

und wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε ) > 0 (welches nicht von x abhängt) gibt, sodass aus der Beziehung

t − t Rn ≤ δ (t,t ∈ Ω) stets die Beziehung

|∂ α x(t) − ∂ α x(t )| ≤ ε

(10.77)

(10.78)

für jeden Multiindex α mit |α | = k und für alle x ∈ M folgt.

Für eine Anwendung dieses Satzes vgl. Beispiel 3.14. Bei der Behandlung von Distributionen (vgl. Abschnitt 8.2), aber auch schon bei den für Differentialgleichungen und Steuerungsproblemen wichtigen Sobolew-Räumen (vgl. Definition 10.40) benutzt man folgende Funktionenräume: Definition 10.34 Es sei C∞ (Ω) die Menge aller im Gebiet Ω ⊆ Rn beliebig oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen. Dann bezeichnet man mit C0∞ (Ω) (oder auch C0,∞ (Ω)) die Menge aller Funktionen, die Elemente von C∞ (Ω) sind und deren Träger, d.h. die Menge supp f = {t ∈ Ω|x(t) = 0}, beschränkt ist und ganz in Ω liegt. Mit Ck (Ω) bezeichnen wir die Menge aller im Gebiet Ω ⊆ Rn insgesamt k-mal stetig differenzierbaren Funktionen.

10.3.5.2 Räume integrierbarer Funktionen (Lebesgue-Räume) Eine wichtige Klasse von Funktionenräumen stellen die sogenannten Lebesgue-Räume dar. Ihre Elemente sind Funktionen (genauer: Mengen von L-fast überall übereinstimmenden Funktionen), die auf einem Gebiet Ω ⊆ Rn messbar sind und zusätzlich Integrierbarkeitseigenschaften besitzen.

332

10 Anhang

Definition 10.35 Es sei p eine positive reelle Zahl. Der Raum L p (Ω) ist die Menge aller auf dem Gebiet Ω definierten messbaren komplexwertigen Funktionen x(·) (genauer: die Menge aller Klassen zueinander L-äquivalenter Funktionen), für welche Ω

|x(t)| p dt < +∞

(10.79)

gilt. Die Funktionen, die Elemente von L p (Ω) sind, nennt man die zur p-ten Potenz über Ω absolut integrierbaren Funktionen. Mit L∞ (Ω) bezeichnet man die Menge aller auf dem Gebiet Ω definierten Lmessbaren komplexwertigen Funktionen x(·), für welche eine (von der betrachtenden Funktion abhängende) Konstante α > 0 existiert mit (μL ist das Lebesgue-Maß , vgl. Abschnitt 10.6.1)

μL ({t ∈ Ω | |x(t)| ≥ α }) = 0.

(10.80)

Jedes solche α heißt eine wesentliche Schranke von x(·), und x(·) heißt dann im Wesentlichen beschränkt. Man nennt L∞ (Ω) den Raum der auf Ω fast überall beschränkten Funktionen.

Die Räume L p (Ω) und L∞ (Ω) sind mit den in Satz 10.22 aufgeführten L p - bzw. L∞ -Normen Banach-Räume: Satz 10.22 Für 1 ≤ p < +∞ ist der Raum L p (Ω) mit der Norm x p =

Ω

1 |x(t)| p dt

p

(10.81)

ein Banach-Raum. Der Raum L∞ (Ω) ist ein Banach-Raum mit der Norm x∞ = ess sup |x(t)| := inf{a > 0|μL ({t ∈ Ω | |x(t)| ≥ a}) = 0}.

(10.82)

t∈Ω

Ist Ω = (a, b) ein Intervall der reellen Zahlengeraden, so schreibt man für L p (Ω) auch L p (a, b). Betrachtet man Funktionen, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] definiert und dort zur p-ten Potenz absolut integrierbar sind, so bezeichnet man den entsprechenden Raum auch mit L p [a, b]. Dieser unterscheidet sich (im Sinne der Normisomorphie normierter Räume) nicht von L p (a, b). Entsprechendes gilt beim Übergang von Ω ⊆ Rn zu Ω. Der Beweis dafür, dass in (10.81) eine Norm gegeben ist, ergibt sich aus den Ungleichungen von Hölder bzw. Minkowski: Ist p > 1 und p−1 + q−1 = 1 und sind x ∈ L p (Ω), y ∈ Lq (Ω), so ist xy ∈ L1 (Ω), und es gilt die Hölder’sche Ungleichung: x(t)y(t)dt ≤ x p yq . (10.83) Ω Ist p ≥ 1 und sind x, y ∈ L p (Ω), so gilt die Minkowski’sche Ungleichung: x + y p ≤ x p + y p .

(10.84)

Wir schließen diesen Abschnitt mit einer Aussage zur Kompaktheit von Mengen in L p -Räumen und einer Aussage zum Verhältnis von L p - zu Ck -Räumen: Satz 10.23 Es sei M ⊆ L p (Ω) eine abgeschlossene Teilmenge des Raumes L p (Ω). Dafür, dass M kompakt ist, ist das gleichzeitige Bestehen der folgenden Bedingungen sowohl notwendig als auch hinreichend:

10.3 Räume

333

(1) M ist beschränkt; d.h., es existiert ein K > 0 mit x p ≤ K für alle x ∈ M. (2) Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 und eine abgeschlossene beschränkte Teilmenge G ⊆ Ω mit

|x(t)| p dt ≤ ε (x ∈ M)

(10.85)

| x(t + h) − x(t)| p dt ≤ ε

(10.86)

Ω\G

und

Ω

für alle x ∈ M und alle h ∈ Rn mit hRn ≤ δ , wobei x die folgende Funktion bezeichnet: x(t) = x(t) falls t ∈ Ω, x(t) = 0 falls t ∈ Rn \ Ω.

(10.87)

Zum Verhältnis der Räume Ck (Ω) und L p (Ω) ist zu sagen, dass für ein beschränktes Gebiet Ω die Beziehung Ck (Ω) ⊆ L p (Ω) in folgendem Sinne gilt: Die von den Elementen von Ck (Ω) erzeugten Klassen (L-fast überall übereinstimmender Funktionen) sind Elemente von L p (Ω). Im Sinne der Abschlussbildung im Raum L p (Ω) gilt die Gleichung Ck (Ω) = L p (Ω), (10.88) d.h., der Raum Ck (Ω) liegt dicht im Raum L p (Ω) (Ω beschränkt). Ist das Gebiet nicht beschränkt, so gilt in entsprechendem Sinne: Die Menge C0,∞ (Ω) liegt dicht in L p (Ω) für 1 ≤ p < +∞. Für nicht notwendig beschränkte Gebiete Ω ⊆ Rn (und zur Behandlung der Sobolew-Räume im nächsten Abschnitt) benutzt man noch eine weitere Menge von Räumen: Definition 10.36 p Unter Lloc (Ω), 0 < p < +∞, versteht man die Menge aller auf dem Gebiet Ω definierten messbaren komplexwertigen Funktionen (genauer die Menge aller Klassen zueinander L-äquivalenter Funktionen) mit

|x(t)| p dt < +∞

(10.89)

Ω

für jedes beschränkte Gebiet Ω ⊆ Ω. p p Über diese Räume Lloc (Ω) gilt: Lloc (Ω), 0 < p < +∞, sind lineare Räume. Ist Ω beschränkt, so p p 1 (Ω) wird auch als der Raum gilt Lloc (Ω) = L (Ω), sonst sind diese Räume verschieden. Lloc der lokal integrierbaren Funktionen auf Ω bezeichnet. Zum Beispiel liegt f (t) = t −1 nicht in 1 (R), aber z.B. y(t) = log |t|. Für 1 ≤ p < +∞ gilt die Beziehung (Ω ⊆ Rn , beliebiges Gebiet): Lloc 1 (Ω). L p (Ω) ⊆ Lloc

10.3.5.3 Sobolew-Räume In diesem Abschnitt führen wir Sobolew-Räume (ganzzahliger Ordnung) ein. S.L.Sobolew (1908 – 1989) legte ungefähr 1935 einen Grundstein zur systematischen Behandlung verallgemeinerter Ableitungen bei der Behandlung und Lösung partieller Differentialgleichungen. Sobolew-Räume sind Räume von (Klassen L-fast überall übereinstimmender) Funktionen, die auf einem Gebiet Ω ⊆ Rn definiert sind und gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften besitzen. Sie sind überdies Teilräume der Räume L p (Ω) und haben sich insbesondere bei der theoretischen und numerischen

334

10 Anhang

Behandlung partieller Differentialgleichungen, bei deterministischen und stochastischen Steuerproblemen, bei Variationsgleichungen und ungleichungen und in der Mathematischen Ökonomie als nützlich erwiesen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Sobolew-Räume einzuführen: a) als Vervollständigung des Raumes Ck (Ω) bezüglich einer speziellen Metrik, b) als Räume von Funktionen, deren verallgemeinerte Ableitungen bis zur Ordnung k einschließlich existieren und zusätzlich Elemente des Raumes L p (Ω) sind. Es zeigt sich, dass diese verschiedenen Zugänge für 1 ≤ p < +∞ die gleichen Räume liefern. Um die zuerst genannte Möglichkeit zu realisieren, betrachten wir den Raum Ck (Ω) und führen folgende Metrik ein Definition 10.37 Ist x ∈ Ck (Ω) und 1 ≤ p < +∞, so setzen wir 1

xk,p :=

∑

∂

α

0≤|α |≤k

und

p

x pp

, k = 0, 1, 2, ...

xk,∞ := max ∂ α x∞ , k = 0, 1, 2, ...,

wobei · p (1 ≤ p ≤ +∞) die Norm im

0≤|α |≤k Raum L p (Ω)

(10.90)

(10.91)

bezeichnet (vgl. (10.81),(10.82)).

Definition 10.38 Mit H k,p (Ω) bezeichnet man die Vervollständigung der Menge {x|x ∈ Ck (Ω), xk,p < +∞} bezüglich der durch xk,p erzeugten Metrik.

Der Raum H k,p (Ω) ist definitionsgemäß ein Sobolew-Raum für 1 ≤ p < +∞. Seine Elemente sind aber nur sehr unkonkret erfassbar. Die zweite Möglichkeit, Sobolew-Räume einzuführen, ist wesentlich anschaulicher. Allerdings kommt sie ohne Benutzung des Begriffs der verallgemeinerten Ableitung (=Distributionsableitung) nicht aus. Dieser Ableitungsbegriff stützt sich auf den Gauß’schen Satz (partielle Integration): Für jedes feste x ∈ Ck (Ω) und beliebiges φ ∈ C0,∞ (Ω) gilt Ω

x(t)∂ α φ (t)dt = (−1)|α |

Ω

φ (t)∂ α x(t)dt, |α | ≤ k,

(10.92)

wobei ∂ α φ (t) und ∂ α x(t) die Ableitungen im üblichen Sinne sind. Die Zeile (10.92) bildet die Grundlage für den Begriff der verallgemeinerten Ableitung: Definition 10.39 1 (Ω). Eine Funktion y, die zu L1 (Ω) gehört, heißt schwache Ableitung oder verallgemeiEs sei x ∈ Lloc loc nerte Ableitung (Distributionsableitung) von x bezüglich des Multiindex α , wenn die Gleichung

Ω

x(t)∂ α φ (t)dt = (−1)|α |

Ω

y(t)φ (t)dt

(10.93)

für jede Funktion φ gilt, die zu C0,∞ (Ω) gehört. Wir schreiben dann y = Dα x.

(10.94)

Wegen (10.92) folgt, dass für jedes x ∈ Ck (Ω) die verallgemeinerte und die klassische Ableitung übereinstimmen (im Sinne der Gleichheit im Raum L p (Ω)). Es folgt die Definition der SobolewRäume:

10.3 Räume

335

Definition 10.40 p Mit W k,p (Ω) (oder Wk (Ω) oder Wpk (Ω)),1 ≤ p ≤ +∞, bezeichnen wir den linearen Raum W k,p (Ω) = {x ∈ L p (Ω) | Dα x ∈ L p (Ω), 0 ≤ |α | ≤ k}.

(10.95)

−α n Zum Beispiel gehört die Funktion x(t) = |t| (t ∈ Ω ⊆ R , Ω offen und beschränkt und 0 ∈ Ω),

wobei |t| =

t12 + t22 + ... + tn2 ist, für 0 < α < ( n2 − 1) zu W 1,2 (Ω), falls n ≥ 3 ist. Es gilt:

Satz 10.24 Der Raum W k,p (Ω), 1 ≤ p < +∞, versehen mit der Norm

∑

xk,p = (

0≤|α |≤k

1

Dα x pp ) p ,

(10.96)

ist ein Banach-Raum, für p = 2 sogar ein Hilbert-Raum. Wir nennen den Raum W k,p (Ω) einen SobolewRaum.

Auch den Raum der finiten Funktionen C0,∞ schließt man in der Norm (10.96) ab: Definition 10.41 k,p Mit W0 (Ω) (oder W 0,k,p (Ω)) bezeichnet man die Abschließung der Menge C0,∞ (Ω) im Raum W k,p (Ω) (versehen mit der Norm (10.96)).

Gemäß der letzten Definition ist W0k,p (Ω) ein abgeschlossener linearer Teilraum von W k,p (Ω). Wir setzen diesen Abschnitt fort mit Angaben zu Beziehungen der eingeführten Räume untereinander. Satz 10.25 (Satz von Meyers und Serrin) Für 1 ≤ p < +∞ gilt die Gleichheit (k = 0, 1, 2, ...) H k,p (Ω) = W k,p (Ω).

(10.97)

Die beiden geschilderten Möglichkeiten der Einführung von Sobolew-Räumen sind also im Wesentlichen äquivalent. Im Sinne der mengentheoretischen Enthaltenseinsrelation ⊆ gilt stets C0,∞ (Ω) ⊆ W0k,p (Ω) ⊆ W k,p (Ω) ⊆ L p (Ω).

(10.98)

W00,p (Ω) = W 0,p (Ω) = L p (Ω), 1 ≤ p < +∞.

(10.99)

Für k = 0 ist dabei speziell

Für p = +∞ gilt (10.97) nicht! (H k,∞ (Ω) ist nicht separabel, W k,∞ (Ω) ist separabel). Für 1 < p < +∞ kann man den zu W0k,p (Ω) dualen Raum (W0k,p (Ω))∗ mit W −k,p (Ω) bezeichnen. Dabei ist p−1 + q−1 = 1 und (W0k,p (Ω))∗ ist die Menge aller Distributionen L über C0,∞ (Ω) mit endlicher (sogenannter) negativer Norm von L: L−k,p =

|L(φ )| . φ ∈C0,∞ (Ω),φ =0 φ W k,p (Ω) sup

(10.100)

Es bestehen die stetigen Einbettungen ... ⊆ W 2,2 (Ω) ⊆ W 1,2 (Ω) ⊆ L2 (Ω) ⊆ W −1,2 (Ω) ⊆ W −2,2 (Ω) ⊆ ...

(10.101)

336

10 Anhang

Bemerkung 10.9 Im Gegensatz zur Klasse der Banach-Räume, die durch axiomatisch festgelegte Grundgesetze definiert sind (vgl. Definition 10.21), entsteht der Begriff des Sobolew-Raumes durch die konkrete Beschreibung der Raumtypen, die in diesen Raumbegriff einbezogen werden sollen und bildet damit ein historisch gewachsenes (und noch wachsendes) Begriffsnetz.

Beziehungen z.B. zwischen W - und C-Räumen (vgl. z.B. (10.98)) sind oft Gegenstand von Einbettungssätzen (vgl. dazu Triebel [169] und Zeidler [175]). Ein Beispiel folgt ([169], [67]). Satz 10.26 (Sobolew’scher Einbettungssatz) Ist Cl (Rn ) die Vervollständigung von C0,∞ (Rn ) in der Norm f Cl =

∑

sup |Dα f (x)| (n, l ∈ N),

(10.102)

n |α |≤l x∈R

so gilt: Ist k ≥ 0 ganz, l > n2 eine natürliche Zahl, dann ist der Hilbert-Raum H1 = W l+k,2 (Rn ) stetig in den Banach-Raum Ck (Rn ) eingebettet. Es gibt daher eine Zahl c, sodass für alle f ∈ W l+k,2 (Rn ) gilt f Ck (Rn ) ≤ c f W l+k,2 (Rn ) . Beispiel 10.21 Es seien n = 3, k = 0, l = 2. Dann ist l > n2 , also sind die verallgemeinerten Ableitungen nullter Ordnung (d. h. die Funktionen f aus W 2,2 (R3 ) selbst) stetige Funktionen (im Sinne der Gleichheit fast überall mit einer stetigen Funktion).

In der Funktionalanalysis und ihren Anwendungen (z.B. in der Finanzmathematik, etwa beim American option pricing problem, vgl. [180]) benötigt man oft noch allgemeinere Räume. Wir gehen dazu kurz auf Evolutionsgleichungen ein. Man betrachte das folgende Randanfangswertproblem (t ist die Zeitvariable) ut = Δu + f , u(ξ , 0) = u0 (ξ ), u(∂ Ω, [0, T ]) = 0

(10.103)

über dem beschränkten Gebiet Ω ⊆ Rn . Jetzt multipliziere man in der Evolutionsgleichung skalar im Rahmen des Hilbert-Raumes H = L2 (Ω) mit v ∈ C0,∞ und integriere partiell, es treten nur noch erste Ableitungen auf: d dt

Ω

u(ξ ,t)v(ξ )dξ +

∑ D uD vdξ = i

i

Ω i

Ω

f vdξ .

(10.104)

Eine Lösung u(ξ ,t) von (10.104) sucht man im Raum L p ([0, T ],V ) mit V = W01,2 (Ω), d.h. u ∈ L ([0, T ],V ) := {u : [0, T ] → V, L-messbar|u =

p

0

T

1 u(t)Vp dt

p

< +∞}.

(10.105)

Der Raum V erfasst von einer gesuchten Lösung, dass sie verschwindende Randwerte und örtliche erste Ableitungen hat. Sie muss aber auch eine zeitliche Ableitung haben. Diese Ableitung wird so erklärt: d u(ξ ,t)v(ξ )dξ , v ∈ V (10.106) u (t)|v V = dt Ω

10.3 Räume

337

das bedeutet, dass u (t) ein Element des Dualraumes V ∗ von V ist, also V ∗ = (W01,2 )∗ . Insgesamt wird eine Lösung von (10.104) im Raum W 1,p ([0, T ];V, H) = {u ∈ L p ([0, T ];V ) | u ∈ Lq ([0, T ];V ∗ )}

(10.107)

gesucht. Dieser Sobolew-Raum ist mit der Norm uW 1,p = uL p ([0,T ];V ) + u Lq ([0,T ];V ∗ )

(10.108)

ein Banach-Raum. Das Raumtripel (V, H,V ∗ ) heißt Evolutionstripel, dabei liegt V dicht in H mit vH ≤ konst.vV , und es gilt weiter (indem man H mit seinem Dualraum identifiziert) auch H ⊆ V ∗. 10.3.5.4 Folgenräume In vielen funktionalanalytischen Betrachtungen lassen sich zur Darstellung eines Sachverhalts einfache unendlichdimensionale Räume, nämlich Folgenräume benutzen. Dies sind lineare Räume. Ihre Elemente (Vektoren) sind Folgen komplexer (bzw. reeller) Zahlen bzw. Folgen von Elementen eines Banach-Raumes. Die folgende Definition führt einige wichtige Folgenräume ein. Definition 10.42 Es sei x = {ξn } eine Folge komplexer Zahlen ξn (n = 1, 2, ...). Wir setzen • l ∞ = {x| supn | ξn | < +∞}, Raum der beschränkten Folgen, • c = {x | limn→+∞ ξn existiert}, Raum der konvergenten Folgen, • c0 = {x | limn→+∞ ξn = 0}, Raum der Nullfolgen, p • l p = {x | ∑+∞ n=1 |ξn | < +∞} (1 ≤ p < +∞), Raum der zur p-ten Potenz summierbaren Folgen,

• s = {x | limn→+∞ nk ξn = 0, k = 1, 2, ...}, Raum der rasch fallenden Folgen, • s0 = {x | ξn = 0 für alle n, bis auf endlich viele n}, Raum der finiten Folgen.

Es gelten die Enthaltenseinsbeziehungen s0 ⊆ s ⊆ l p ⊆ c0 ⊆ c ⊆ l ∞ .

(10.109)

Sie sind ebenso richtig für s0R , sR , lRp ,..., also Räume reeller Zahlenfolgen. Satz 10.27 Mit der Norm x∞ = supn |ξn | ist l ∞ ein Banach-Raum, ebenso c und c0 mit der gleichen Norm. Mit der Norm 1 x p =

+∞

∑ |ξn | p

n=1

ist l p ein Banach-Raum, für p = 2 ist er ein Hilbert-Raum.

p

(10.110)

338

10 Anhang

10.3.5.5 Asplund-Räume In der Optimierungstheorie, insbesondere bei der Herleitung von Rechenregeln für Subdifferentiale (vgl. Abschnitt 5.6), spielen Asplund-Räume eine wichtige Rolle. Ein Banach-Raum X heißt Asplund-Raum (vgl. Phelps [130, Def. 1.22]), falls jede stetige konvexe Funktion, die auf einer nichtleeren offenen konvexen Teilmenge D von X definiert ist, Fréchet-differenzierbar (vgl. Definition 3.23) in jedem Punkt einer dichten Gδ -Teilmenge (vgl. dazu Definition 4.6) von D ist. Derartige Eigenschaften spielen auch in Abschnitt 7.2 bei generischen Aussagen zum Ekeland’schen Variationsprinzip eine Rolle. Falls der stetige Dualraum X∗ des Banach-Raumes X separabel ist, dann ist X ein Asplund-Raum. Beispiel 10.22 Jeder reflexive Banach-Raum ist ein Asplund-Raum. Der Folgenraum c0 , und darüber hinaus die Räume l p , L p [0, 1] für 1 < p < +∞ sind Beispiele für Asplund-Räume. Der Raum l 1 ist kein Asplund-Raum.

10.4 Über Kegel und Präferenzen in Optimierungsproblemen Bei (skalaren wie auch bei mehrkriteriellen) Optimierungsproblemen treten sowohl bei der Modellierung als auch bei der Problembehandlung Kegel auf. Bei der Modellierung tritt das z.B. ein, wenn Ungleichungsbedingungen vorliegen (vgl. (3.118)) oder bei mehrkriteriellen Problemen im Zielraum oder im Raum der Alternativen vorgegebene (verbale) Präferenzen (eines Entscheidungsträgers) sich mathematisch durch (Ordnungs-)Kegel formalisieren lassen (vgl. den folgenden Satz 10.28). Wir erinnern an Definition 10.1, dort war X = 0/ eine nichtleere Menge und ≤ eine (zweistellige) Relation auf X, d. h. für je zwei Elemente a, b ∈ X steht fest, ob a ≤ b gilt oder nicht gilt. Damit hat man den Präferenzbegriff, sind die Elemente von X etwa verschiedene Alternativen eines Entscheidungsträgers, so werden durch die Relation ≤ (in Worten etwa besser) gerade die Paare von Gütern beschrieben, bezüglich derer der Entscheidungsträger bei a ≤ b, a, b ∈ X die Alternative a der Alternative b vorzieht. Deshalb gilt: ≤ := {(x1 , x2 ) ∈ X × X | x1 ≤ x2 }.

(10.111)

Danach ist eine Relation als Teilmenge des Produkts M × X auffassbar, wir nehmen stets an, dass diese Teilmenge nicht die leere Menge ist. Ein Beispiel einer solchen Relation oder Präferenz oder synonym auch Ordnungsstruktur ist eine Halbordnung (vgl. Definition 10.1, eine Halbordnung hat die Eigenschaften der Reflexivität, der Transitivität oder der Antisymmetrie). Ist ≤ eine Ordnungsstruktur in einem reellen linearen Raum X, so kann man nutzbare Resultate nur erwarten, wenn zwischen Ordnungsstruktur und Linearität gewisse Verträglichkeitsbedingungen gelten: Definition 10.43 Ist ≤ eine Ordnungsstruktur in einem reellen linearen Raum X, so nennt man die Ordnungsstruktur mit der linearen Struktur verträglich, wenn folgende Bedingungen gelten ∀x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ R : x1 ≤ x2 , λ ≥ 0 =⇒ λ x1 ≤ λ x2 ,

(10.112)

∀x1 , x2 , x ∈ X : x1 ≤ x2 =⇒ (x1 + x) ≤ (x2 + x).

(10.113)

Ist dabei ≤ eine Halbordnung, so heißt X dann ein halbgeordneter Vektorraum (oder halbgeordneter linearer Raum oder auch geordneter Vektorraum, Riesz-Raum), er wird oft mit (X, ≤) bezeichnet.

10.4 Über Kegel und Präferenzen in Optimierungsproblemen

339

Es gibt eine große Klasse von Ordnungsstrukturen auf einem (reellen) linearen Raum, die mit der linearen Struktur verträglich sind, das sind genau die, die von einem Kegel K (vgl. Beispiel 10.1, 5.) in X erzeugt werden: Für x1 , x2 ∈ X sei x1 ≤ x2 genau dann, wenn gilt x2 − x1 ∈ K. Jetzt sieht man leicht, dass folgender Satz richtig ist (vgl. [66], Theorem 2.1.13). Satz 10.28 (Äquivalenz von Präferenzen und Kegeln) Es seien X ein reeller linearer Raum und K ein Kegel in X. Dann ist die durch den Kegel erzeugte Relation ≤K := {(x1 , x2 ) ∈ X × X | x2 − x1 ∈ K}

(10.114)

reflexiv und transitiv. Der Kegel K ist konvex genau dann, wenn ≤K transitiv ist. Der Kegel K ist spitz (d.h., es ist K ∩ (−K) = {0}) genau dann, wenn ≤K antisymmetrisch ist. Ist ≤ eine in X reflexive und mit der linearen Struktur von X verträgliche Relation, so ist die Menge K := {x ∈ X | 0 ≤ x}

(10.115)

ein Kegel K in X und es ist ≤ = ≤K .

Zum Beweis vgl. die Übungsaufgaben in Abschnitt 10.8. In Definition 10.1 wurden für halbgeordnete Mengen die Begriffe Supremum und Infimum erklärt. Definition 10.44 Ein geordneter Vektorraum (X ≤) heißt ein Vektorverband, wenn X ein Verband ist bezüglich der gegebenen Ordnungsrelation ≤, d.h., zu x, y ∈ X existieren stets x ∨ y := sup{x, y} und x ∧ y := inf{x, y}.

(10.116)

Für x ∈ X setzt man x+ := x ∨ 0, x− := −(x) ∧ 0, |x| := (−x) ∨ x und nennt x+ den Positivteil, x− den Negativteil und |x| den Betrag von x. Bemerkung 10.10 Ist (X, ≤) ein Vektorverband, so gelten folgende Rechenregeln (x, y, z ∈ X, λ ≥ 0): (1) x ∨ y + x ∧ y = x + y, (2) x ∨ y − x ∧ y = |x − y|, (3) (λ x) ∨ (λ y) = λ (x ∨ y) , (λ x) ∧ (λ y) = λ (x ∧ y), (4) Translationsinvarianz: (x + z) ∨ (y + z) = (x ∨ y) + z , (x + z) ∧ (y + z) = (x ∧ y) + z, sowie die Ungleichungen (5) | |x| − |y| | ≤ |x − y| , |x + y| ≤ |x| + |y|. Ist (X, ≤) ein geordneter Vektorraum (nicht notwendig ein Vektorverband), so gilt für x, y ∈ X, dass x ∨ y existiert genau dann, wenn x ∧ y existiert und diese Elemente der Beziehung (1) genügen (vgl. Schaefer [148]).

Zu Beispielen und Anwendungen der Vektorverbände vgl. Abschnitt 6.3. Beispiel 10.23 Der folgende Kegel K im Raum Rn ist einerseits konvex, besteht nicht nur aus dem Nullelement 0, ist reproduzierend (d.h. K − K = Rn ) und spitz, andererseits repräsentiert er eine wichtige Präferenzaussage. Die Eigenschaften des Kegels sind leicht gezeigt, zur Präferenz vgl. Übungsaufgabe 1. in Abschnitt 10.8. K := {x ∈ Rn | x1 > 0 oder x1 = 0, x2 > 0 oder ... oder x1 = ... = xn−1 = 0, xn > 0 oder x = 0.} (10.117)

340

10 Anhang

Bei der obengenannten Problembehandlung versucht man oft, Optimalitätsbedingungen auszunutzen. Dabei treten Voraussetzungen derart auf, dass der (natürliche) Ordnungskegel in einem der zugrunde liegenden Räume ein nichtleeres Inneres besitzt. Im Folgenden werden Beispiele für Räume angegeben, in denen der (natürliche) Ordnungskegel ein nichtleeres Inneres besitzt. Beispiel 10.24 Wir betrachten den linearen Raum der stetigen reellen Funktionen C[a, b] mit der Norm ||x|| = max{|x(t)| | t ∈ [a, b]}. Der Kegel der nichtnegativen Funktionen in C[a, b] KC[a,b] := {x ∈ C[a, b] | x(t) ≥ 0 (t ∈ [a, b])} besitzt ein nichtleeres Inneres. Beispiel 10.25 2 mit der Struktur eines Hilbert-Raumes. Der konvexe Kegel (Lorentz-Kegel) Wir betrachten den Raum lR Kl 2 := {x = {xi }i≥0 | x0 ≥ 0 und R

+∞

∑ xi2 ≤ x02 }

i=1

hat ein nichtleeres Inneres, nämlich int Kl 2 := {x = {xi }i≥0 | x0 > 0 und R

+∞

∑ xi2 < x02 }.

i=1

Beispiel 10.26 Wir betrachten den Raum l ∞ der beschränkten Folgen von reellen Zahlen, ausgestattet mit der Norm ||x|| = sup {|xn |}. n∈N

Der Kegel Kl ∞ := {x = {xn }n∈N | xn ≥ 0 für jedes n ∈ N} hat ein nichtleeres Inneres (vgl. Peressini [129], Seite 186). Beispiel 10.27 Es sei C1 [a, b] der reelle Vektorraum aller stetig differenzierbaren Funktionen, die auf [a, b] (a, b ∈ R, a < b) definiert sind. Mittels b

|| f ||1 := {

a

( f (t))2 dt +

b a

( f (t))2 dt}1/2

für jedes f ∈ C1 [a, b], wird auf C1 [a, b] eine Norm erklärt. Mit Hilfe eines Einbettungssatzes von Sobolev (vgl. dazu Satz 10.26) kann gezeigt werden, dass der natürliche Ordnungskegel KC1 := { f ∈ C1 [a, b] | f ≥ 0} ein nichtleeres Inneres hat (vgl. Da Silva [155]).

10.4 Über Kegel und Präferenzen in Optimierungsproblemen

341

Für die Herleitung von Existenzaussagen für Lösungen von Optimierungsproblemen in allgemeinen Räumen (vgl. Abschnitte 7.1, 10.2 und [66]), wo das Lösungskonzept mittels geeigneter Kegel formuliert wird, benötigt man zusätzliche Voraussetzungen an den Ordnungskegel, die Beziehungen zwischen Topologie und Ordnung beschreiben (vgl. [66]). Solche Kegeleigenschaften sind zum Beispiel, dass der Kegel normal oder nuklear ist, eine beschränkte Basis oder die Daniell-Eigenschaft besitzt, vgl. Peressini [129], Isac [94], Jahn [97, 98], Isac, Bulavsky und Kalashnikov [95], Göpfert, Riahi, Tammer, Zalinescu [66]. Für viele wichtige Räume mit den entsprechenden Ordnungskegeln sind diese Eigenschaften nicht gegeben. Zum Beispiel hat der gewöhnliche Ordnungskegel im Raum der stetigen Funktionen keine beschränkte Basis und besitzt auch nicht die Daniell-Eigenschaft. In Abbildung 10.2 geben wir einen Überblick über diese zusätzlichen Kegeleigenschaften und zeigen entsprechende Beziehungen zwischen ihnen für den Fall, dass Y ein Banach-Raum ist, C und K eigentliche (d.h. {0} = K, K = Y) und konvexe Kegel in Y sind. Wie üblich bezeichnen wir mit K + := {y∗ ∈ Y∗ | y∗ (y) ≥ 0 (y ∈ K)} den stetigen Dualkegel zu K, und mit K # := {y∗ ∈ K + | y∗ (y) > 0 (y ∈ K \ {0})} das Quasi-Innere von K + . Um Beziehungen zwischen Topologie und Ordnung zu studieren, bezeichnen wir eine nichtleere Teilmenge A eines linearen Raumes Y als voll bezüglich eines konvexen Kegels K ⊂ Y, falls gilt A = (A + K) ∩ (A − K). Definition 10.45 Es seien (Y, τ ) ein linearer topologischer Raum und K ⊂ Y ein konvexer Kegel. Dann heißt K normal (relativ zu τ ) falls der Ursprung 0 ∈ Y eine aus vollen Mengen bezüglich K gebildete Umgebungsbasis hat. Definition 10.46 Es seien Y ein Hausdorff’scher linearer topologischer Raum und K ⊂ Y ein nichttrivialer konvexer Kegel. / cl B existiert. (i) K besitzt eine Basis, falls eine konvexe Menge B mit K = R+ B und 0 ∈ (ii) K besitzt eine beschränkte Basis (K ist well-based), falls eine beschränkte konvexe Menge B mit K = R+ B und 0 ∈ / cl B existiert. (iii) Die Topologie in Y sei definiert durch eine Familie P von Halbnormen. K heißt supernormal oder nuklear, falls für jedes p ∈ P ein y∗ ∈ Y∗ existiert, sodass p(y) ≤ y∗ (y) für alle y ∈ K. In diesem Fall gilt y∗ ∈ K + . (iv) K besitzt die Daniell-Eigenschaft, falls jedes nicht wachsende nach unten beschränkte Netz gegen sein Infimum konvergiert.

Es folgen Beispiele für Kegel mit Daniell-Eigenschaft. Beispiel 10.28 Zunächst ein Resultat von Peressini [129], Proposition 3.1, Seite 90, 91: Falls {xα }α ∈A ein wachsendes (fallendes) Netz in einem linearen topologischen Raum (Y, τ ) ist, der mittels eines abgeschlossenen konvexen Kegels K halbgeordnet ist, und falls x0 ein Häufungspunkt von {xα } ist, dann gilt x0 = supα ∈A xα

342

10 Anhang

K besitzt beschränkte Basis ! Y normiert K nuklear

K=cl K, Y=Rn

⇐=

K spitz

=⇒

K normal

⇐=

K hat kompakte Basis.

! K vollständig K besitzt Daniell-Eigenschaft

Abbildung 10.2: Kegeleigenschaften. (x0 = infα ∈A xα ). Wir erinnern daran, dass ein konvexer Kegel regulär ist, falls jedes fallende (wachsende) Netz, welches eine untere Schranke (obere Schranke) hat, konvergent ist. Unter Nutzung des oben angegebenen Resultates von Peressini besitzt jeder reguläre Kegel die Daniell-Eigenschaft. Beispiel 10.29 Falls (Y, || · ||) ein Banach-Verband (vgl. Abschnitt 6.3) ist, dann besitzt der Kegel K + = {y ∈ Y | y ≥ 0} die Daniell-Eigenschaft, falls Y schwach kompakte Intervalle besitzt. Beispiel 10.30 Ein konvexer Kegel mit schwach kompakter Basis besitzt die Daniell-Eigenschaft. Bemerkung 10.11 Unter den klassischen Banach-Räumen besitzen die üblichen positiven Ordnungskegel eine beschränkte Basis nur im Falle der Räume l 1 und L1 (Ω) (aber l 1 ist kein Asplund-Raum).

Folgender Satz beschreibt die Beziehungen zwischen den Kegeleigenschaften: Lemma 10.1 (Isac [94]) Es seien (Y, P) ein Hausdorff’scher lokalkonvexer Raum und K ⊂ Y ein eigentlicher konvexer Kegel. Dann gilt K besitzt eine beschränkte Basis =⇒ K ist nuklear =⇒ K ist normal. Falls Y ein normierter Raum ist, dann gilt K nuklear =⇒ K besitzt eine beschränkte Basis.

Beziehungen zwischen supernormalen (nuklearen) Kegeln, Pareto-Effizienz und geometrischen Aspekten des Ekeland’schen Variationsprinzips werden im Buch von Isac, Bulavsky und Kalashnikov [95] dargestellt. Eine wichtige Eigenschaft von Kegeln in linearen Räumen ist, erzeugend zu sein. Es folgen die Definition und (vgl. [5, Corollary 2.12]) in Banach-Räumen eine Beziehung zur Topologie des Banach-Raumes. Definition 10.47 Ein konvexer Kegel K in einem linearen Raum Y heißt erzeugend, falls Y = K − K gilt, d.h., falls der lineare Teilraum, der durch K erzeugt wird, mit Y übereinstimmt. Satz 10.29 Es sei der Ordnungskegel K in einem halbgeordneten Banach-Raum Y abgeschlossen, konvex, spitz und erzeugend und B(0; 1) = {y ∈ Y | ||y|| ≤ 1} sei die abgeschlossene Einheitskugel von Y, dann ist die Menge (B(0; 1) ∩ K) − (B(0; 1) ∩ K) eine Umgebung des Nullpunktes.

10.5 Monotonie

343

In folgendem Satz ist eine Charakterisierung von abgeschlossenen, konvexen, spitzen Kegeln in Banach-Räumen, die erzeugend sind, angegeben. Satz 10.30 (Krein und Schmulian) Für einen abgeschlossenen, konvexen, spitzen Kegel K in einem Banach-Raum Y sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: (1) Der Kegel K ist erzeugend. (2) Es sei B(0; 1) die abgeschlossene Einheitskugel in Y, d.h. B(0; 1) := {y ∈ Y | ||y|| ≤ 1}, dann ist die konvexe Menge (B(0; 1) ∩ K) − (B(0; 1) ∩ K) eine Umgebung des Nullpunktes. Das bedeutet, dass ein α > 0 existiert mit α B(0; 1) ⊆ (B(0; 1) ∩ K) − (B(0; 1) ∩ K). (3) Es existiert eine Konstante ρ > 0, sodass es für jedes y ∈ Y Vektoren w1 , w2 ∈ K gibt mit y = w1 − w2 ,

||w1 || ≤ ρ ||y|| und ||w2 || ≤ ρ ||y||.

Beweis: [(1) =⇒ (2)] Diese Aussage folgt sofort aus Satz 10.29. α y ∈ α B(0; 1). Deshalb existieren y1 , y2 ∈ [(2) =⇒ (3)] Es sei y(= 0) ∈ Y. Natürlich gilt ||y|| α 1 1 1 1 2 1 2 i i ||y|| y = y −y . Dies liefert y = α ||y||y − α ||y||y . Setzen wir w := α ||y||y ρ := α1 > 0, dann erhalten wir y = w1 − w2 und ||wi || ≤ ρ ||y|| für i = 1, 2.

B(0; 1)∩K, sodass

∈

K für i = 1, 2 and [(3) =⇒ (1)] ist offensichtlich.

10.5 Monotonie 10.5.1 Monotone Operatoren Häufig spricht man davon, dass gewisse Abläufe monoton wachsendes oder monoton fallendes Verhalten zeigen. In der Grundlagenanalysis spielt monotones Verhalten ebenso eine wichtige Rolle, man denke nur an monoton wachsende reelle Zahlenfolgen: Sind sie beschränkt, so konvergieren sie (sie haben daher eine reelle Zahl als Grenzwert). Oder man denke an die Umkehrung von funktionalen Abhängigkeiten, letztlich an die Auflösung von (insbesondere nichtlinearen) Gleichungen, das könnten auch Integralgleichungen, Funktionalgleichungen, Differentialgleichungen oder Ungleichungen sein, bei Vorliegen gewissen monotonen Verhaltens lassen sich oft Ergebnisse erzielen. Um Monotonie mathematisch zu fassen, orientiert man sich beispielsweise an der Beschreibung einer über R gegebenen (reellwertigen) monoton wachsenden Funktion f . Es ist f monoton wachsend, also f (x2 ) ≥ f (x1 ) falls x2 ≥ x1 , x1 , x2 ∈ R,

(10.118)

( f (x2 ) − f (x1 ))(x2 − x1 ) ≥ 0, x1 , x2 ∈ R

(10.119)

genau dann, wenn gilt, wie man leicht nachrechnet. Um Monotonie für Abbildungen im Rahmen der Funktionalanalysis zu erfassen deutet man das Produkt in (10.119) als Skalarprodukt (im Hilbert-Raum R). Dies führt zu folgender wichtiger Definition

344

10 Anhang

Definition 10.48 Es sei H ein reeller Hilbert-Raum. Eine (im Allgemeinen nichtlineare) Abbildung A : H → H heißt monoton, falls gilt ∀x, y ∈ H : A(x) − A(y)|x − y ≥ 0. (10.120) Ist eine Abbildung A nur auf einer Teilmenge M ⊆ H erklärt, also A : M → H, so heißt sie monoton, falls (10.120) für alle x, y ∈ M gilt. M heißt dann der Definitionsbereich von A. Bemerkung 10.12 Es gibt eine wichtige Beziehung zu nicht expansiven Abbildungen (vgl. Definition 6.2). Ist I die identische Abbildung im (reellen) Hilbert-Raum H und T eine nicht expansive Abbildung von H in sich, so ist die Abbildung A := I − T monoton (und auch die Abbildung A := I − λ T, λ > 0). Denn es ist für x, y ∈ H zunächst A(x) − A(y)|x − y = x − y − (T (x) − T (y)|x − y (10.121) und nun folgt mit der Schwarz’schen Ungleichung und dann wegen der Nichtexpansitivität von T = x − y2 − T (x) − T (y)|x − y ≥ x − y2 − T (x) − T (y)x − y ≥ 0.

(10.122)

Die obige Definition einer monotonen Abbildung ist nicht allgemein genug: 1) Man möchte monotone Abbildungen auch in allgemeineren Räumen, wenigstens in reellen Banach-Räumen X, verwenden. 2) Man möchte (z.B. für Optimalitätsbedingungen) Subdifferentiale x ⇒ ∂ f (x), x ∈ X, von (konvexen) Funktionen f erfassen, da Subdifferentialabbildungen ein monotones Verhalten haben. Ein Subdifferential ist aber im Allgemeinen eine (mehrelementige) Menge (die auch leer sein kann), und diese Menge liegt im Dualraum von X. Zu 1): Um eine Produktstruktur wie in (10.119) oder (10.120) auch bezüglich eines reellen Banach-Raumes X zu erhalten, nutzt man die Elemente x∗ des stetigen Dualraumes X∗ zu X und wählt für x∗ (x), x ∈ X, (vgl. Definition 3.1) die Schreibweise (x, x∗ ), x ∈ X. Zu 2): Man fasst die zu definierende monotone Abbildung A als mengenwertige Abbildung A : X ⇒ X∗ auf, d.h. dass jedem x ∈ X eine Teilmenge A(x) ⊆ X∗ zugeordnet wird. Diese Vorbetrachtungen leiten zur allgemeinen Definition monotoner Abbildungen (monotoner Operatoren). Definition 10.49 Es sei X ein reeller Banach-Raum. Eine mengenwertige Abbildung A: X ⇒ X∗ heißt eine monotone Abbildung (oder ein monotoner Operator), falls gilt ∀x1 , x2 ∈ X, x1∗ ∈ A(x1 ), x2∗ ∈ A(x2 ) : (x1 − x2 , x1∗ − x2∗ ) ≥ 0.

(10.123)

A(x) kann die leere Menge sein. Als Definitionsgebiet D(A) von A bezeichnet man die Menge aller x ∈ X mit A(x) = 0. /

Man erkennt, dass (10.119) ein Spezialfall von (10.123) ist. Natürlich kann man auch Definition 10.48 mit mengenwertigen Abbildungen schreiben. Ist dabei die Abbildung A nur über einer Teilmenge M des Hilbert-Raumes X erklärt, so wäre dann A(x) = 0/ für x ∈ X \ M. Als Beispiel der Arbeitsweise mit monotonen Abbildungen beweisen wir jetzt für Hilbert-Räume den Fixpunktsatz 6.11 unter Nutzung von Definition 10.48. Der Beweis stützt sich auf folgenden bemerkenswerten Satz von Minty (vgl. Nirenberg [126], S.94):

10.5 Monotonie

345

Satz 10.31 Ist M eine konvexe Teilmenge des Hilbert-Raumes H und ist A : M → H eine monotone Abbildung, die auf endlichdimensionalen Unterräumen stetig ist. Dann sind für festes u ∈ M und z ∈ H äquivalent: ∀v ∈ M : A(u) − z|v − u ≥ 0,

(10.124)

∀v ∈ M : A(v) − z|v − u ≥ 0.

(10.125)

Der Satz ist bemerkenswert, denn die linke Seite in der Ungleichung (10.125) ist linear in u, während u in der linken Seite in (10.124) insbesondere Argument der nicht notwendig linearen Abbildung A ist. Beweis: Wegen der Monotonie von A folgt A(u) − z|v − u − A(v) − z|v − u ≤ 0,

(10.126)

also folgt aus (10.124) die Beziehung (10.125). Es seien nun w ∈ M und 0 ≤ t ≤ 1, mit v = tu + (1 − t)w ist dann v − u = (1 − t)(w − u). Aus A(v) − z|w − u ≥ 0 folgt mit t → 1 wegen der Stetigkeit von A auf Liniensegmenten A(u)u − z|w − u ≥ 0, daher impliziert (10.125) die Beziehung (10.124). Beweis des Fixpunktsatzes (Satz 6.11) für Hilbert-Räume: Es ist zu zeigen, dass jede nicht expansive Selbstabbildung T einer nichtleeren, abgeschlossenen, konvexen und beschränkten Menge M eines Hilbert-Raumes H einen Fixpunkt hat (und die Menge der Fixpunkte konvex ist). Es sei (o.B.d.A.) 0 ∈ M. Wegen T (x)−T (y)|x−y ≤ x−y (x, y ∈ M) ist die Abbildung λ T für 0 < λ < 1 kontraktiv. Nach dem Fixpunktsatz von Banach (Satz 6.1) hat die Gleichung λ T (x) = x einen Fixpunkt xλ ∈ M. Die Abbildung Aλ = I − λ T : M → H ist nach der Bemerkung 10.12 monoton, ferner ist Aλ (xλ ) = 0. Wir betrachten jetzt eine Zahlenfolge {λn } → 1, 0 < λn < 1, und die zugehörige Folge der Fixpunkte {xλn }. Aus der Folge der Fixpunkte wählen wir eine schwach konvergente Teilfolge aus, die wir wieder mit {xλn } bezeichnen. An dieser Stelle wurden die Voraussetzungen an die Menge M benutzt. Der Grenzwert der Folge heiße u. Es gehört u zu M, weil M auch schwach abgeschlossen ist. u ist ein Fixpunkt von T : Für ein Element v ∈ M ist wegen der Monotonie von Aλ und wegen Aλ (xλ ) = 0 Aλ (v)|v − xλ ) ≥ Aλ (xλ )|v − xλ ) = 0. Mit {λn } → 1 ergibt sich A(v)|v − u ≥ 0. Nutzung von Satz 10.31 mit z = 0 ∈ M liefert A(u)|v − u ≥ 0 , v ∈ M. Damit gilt für jedes v ∈ M u − T (u)|v − u ≥ 0. Indem v = T (u) gewählt wird, ergibt sich u − T (u)|T (u) − u ≥ 0 und somit u = T (u), u ist Fixpunkt von T . Die Menge der Fixpunkte von T ist konvex: Ist u ∈ M Fixpunkt von T , so ist A(u) = 0. Also wurde für u ∈ M bewiesen Au = 0 =⇒ A(v)|v − u ≥ 0 (v ∈ M),

(10.127)

nach Satz 10.31 (mit z = 0) gilt auch die Umkehrung. Da M konvex ist, ist also die Lösungsmenge von Au = 0, u ∈ M konvex, denn u tritt in der rechten Seite von (10.127) linear auf.

346

10 Anhang

10.5.2 Maximal-monotone Operatoren Bereits in Abschnitt 5.4, Satz 5.14 wurde deutlich, dass viele Optimierungs- und Gleichgewichtsprobleme äquivalent sind zur Aufgabe, Nullelemente eines maximal-monotonen Operators T : X ⇒ X∗ (X ist dabei ein reeller Banach-Raum) zu bestimmen, d. h. Probleme folgender Art zu betrachten: Bestimme x ∈ X, sodass 0 ∈ T (x). (10.128) Nach Definition 10.49 heißt eine mengenwertige Abbildung T : X ⇒ X∗ (X reeller BanachRaum) monoton, falls gilt ∀x, x ∈ X, y ∈ T (x), y ∈ T (x ) : (x − x , y − y ) ≥ 0. Definition 10.50 (Maximal-monotone Abbildung) Ist der Graph graph (T ) = {(x, y) | y ∈ T (x)} ⊂ X × X∗ einer monotonen Abbildung T : X ⇒ X∗ nicht echt enthalten im Graph einer anderen monotonen Abbildung, dann ist T maximal-monoton.

Das bedeutet, dass eine Abbildung T : X ⇒ X∗ genau dann maximal-monoton ist, wenn T monoton ist und keine echte monotone Erweiterung T1 : X ⇒ X∗ existiert, d. h. aus (x−x , y−y ) ≥ 0 für y ∈ X∗ , x ∈ X und für alle y ∈ T (x ) folgt stets y ∈ T (x). Mit anderen Worten, maximale Monotonie von T bedeutet, dass T monoton und in der Menge aller monotonen Abbildungen S, A, · · · : X ⇒ X∗ , geordnet durch S ≤ A ⇔ S(x) ⊆ A(x)(x ∈ X), maximal ist. Es folgen Beispiele für monotone bzw. maximal-monotone Abbildungen. Beispiel 10.31 Wir betrachten (im Hilbert-Raum R2 ) die Abbildung T : R2 → R2 : T (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 ). a) Zunächst folgt, dass T monoton ist, denn für x = (x1 , x2 ), x = (x1 , x2 ), gilt

y = (x2 , −x1 ) ∈ T (x), y = (x2 , −x1 ) ∈ T (x )

x − x |y − y = (x1 − x1 )(x2 − x2 ) + (x2 − x2 )(−x1 + x1 ) = 0.

b) Es bleibt zu zeigen, dass T maxmimal-monoton ist. Für x = (x1 , x2 ) ∈ R2 und y = (y1 , y2 ) ∈ R2 gilt wegen T monoton: y − y |x − x ≥ 0 (x ∈ R2 , y ∈ T (x )), y − T (x )|x − x ≥ 0 (x ∈ R2 ). Um y = T (x) zu zeigen sei x = x − t ω ∈ R2 , t > 0. Dann gilt y − T (x −t ω )|x − (x − t ω ) ≥ 0. Division durch t > 0 ergibt für alle ω ∈ R2 : y − T (x − t ω )|ω ≥ 0.

10.5 Monotonie

347

Da T stetig ist, folgt für x, ω , v ∈ R2 die Stetigkeit der Abbildung t → T (x − t ω )|v auf [0, 1]. Für t → 0 ergibt sich y − T (x)|ω ≥ 0 (ω ∈ R2 ), und da diese Ungleichung für alle ω ∈ R2 , also auch für −ω gilt, folgt y − T (x)|ω = 0 (ω ∈ R2 ). Somit erhalten wir y = T x, d.h. T ist maximal-monoton. Beispiel 10.32 (Stützfunktionalabbildung) Es sei C eine nichtleere Teilmenge eines reellen Hilbert-Raumes H. x∗ ∈ H heißt Stützfunktional zu C ⊂ H in x ∈ C, falls gilt x∗ |x ≥ x∗ |v (v ∈ C). Die Menge der zu x ∈ C gehörigen Stützfunktionale bezeichnen wir mit ∂ χ (x) (vgl. Subdifferential der Indikatorfunktion, Beispiel 3.24). Die Abbildung

∂ χ : C ⇒ H,

x → ∂ χ (x)

heißt Stützfunktionalabbildung. Lemma 10.2 ∂ χ : C ⇒ H ist maximal-monoton. Beweis: a) Zunächst zeigen wir, dass ∂ χ monoton ist. Für alle x1 , x2 ∈ C gilt x1∗ ∈ ∂ χ (x1 ) x2∗ ∈ ∂ χ (x2 )

Def.∂ χ (x1 ) ∗ =⇒ x1 |x1 ≥ x1∗ |x2 Def.∂ χ (x2 ) ∗ =⇒ x2 |x2 ≥ x2∗ |x1 .

Daraus folgt ∀ x1∗ ∈ ∂ χ (x1 ), ∀x2∗ ∈ ∂ χ (x2 ) : x1∗ − x2∗ |x1 − x2 ≥ 0,

(10.129)

also ist ∂ χ monoton. b) Es wird gezeigt, dass ∂ χ maximal-monoton ist. Da (10.129) für x1 ∈ C und alle x2∗ ∈ ∂ χ (x2 ) sowie alle x2 ∈ C gilt, erhalten wir speziell für x2∗ = 0 ∈ ∂ χ (x2 ) x1∗ |x1 − x2 ≥ 0 (x2 ∈ C), also x1∗ |x1 ≥ x1∗ |x2 (x2 ∈ C), und somit

x1∗ ∈ ∂ χ (x1 ).

Damit ist gezeigt, dass ∂ χ maximal-monoton ist.

Beispiel 10.33 (Subdifferentialabbildung einer stetigen konvexen Funktion) Es seien X ein reeller Banach-Raum und f : X → R stetig und konvex auf X. Dann ist die Subdifferentialabbildung ∂ f : X ⇒ X∗ maximal-monoton. Der Beweis dieser Aussage ist im Buch von Phelps [130], Theorem 2.25, unter Nutzung des Main-Value-Theorems angegeben.

348

10 Anhang

Im Folgenden wird eine entsprechende Aussage für unterhalbstetige eigentliche konvexe Funktionen f : X → R ∪ {+∞} aus einer Arbeit von Alves und Svaiter [7] angegeben und gezeigt. Es sei X ein reeller Banach-Raum und X∗ der zugehörige stetige Dualraum. Eine eigentliche konvexe Funktion auf X ist eine Funktion f : X → R ∪ {+∞}, nicht identisch +∞, sodass für alle x, y ∈ X, 0 < λ < 1 gilt f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y). Das Subdifferential von f ist ein mengenwertiger Operator ∂ f : X ⇒ X∗ , definiert für jedes x ∈ X durch (vgl. Abschnitt 3.3.2, Definition 3.25, (3.135 )):

∂ f (x) := {u∗ ∈ X∗ | f (y) ≥ f (x) + (u∗ , y − x) für alle y ∈ X}. Für eine eigentliche konvexe Funktion f ist die Fenchel-Legendre-Konjugierte von f die Funktion f ∗ : X∗ → R ∪ {+∞}, die durch f ∗ (u) := sup{(x, u) − f (x) | x ∈ X} definiert ist. Falls f also unterhalbstetig ist, dann ist f ∗ eigentlich. Aus der Definition der Konjugierten folgt direkt die Fenchel-Young’sche Ungleichung: Für alle x ∈ X, u ∈ X∗ gilt f (x) + f ∗ (u) ≥ (x, u), wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn u ∈ ∂ f (x). Zum Beispiel sei f (x) = 12 ||x||2 , dann ist es nicht schwierig zu zeigen, dass f ∗ (u) = 12 ||u||2 gilt, wobei || · || beide Normen in den linearen Räumen X und X∗ bezeichnet. Das Konzept des ε -Subdifferentials einer konvexen Funktion f wurde von Brondsted und Rockafellar [26] eingeführt als mengenwertiger Operator ∂ε f : X ⇒ X∗ , für jedes x ∈ X definiert durch ∂ε f (x) := {u ∈ X∗ | f (y) ≥ f (x) + (y − x, u) − ε (y ∈ X)}, wobei ε ≥ 0. Man beachte ∂ f = ∂0 f und ∂ f (x) ⊂ ∂ε f (x) für alle ε ≥ 0. Unter Verwendung der konjugierten Funktion f ∗ von f ist u ∈ ∂ε f (x) ⇐⇒ f ∗ (u) + f (x) ≤ (x, u) + ε leicht zu sehen. Eine Abschätzung, wie gut ∂ f durch ∂ε f approximiert wird, liefert folgende Aussage von Brondsted und Rockafellar [26]: Satz 10.32 Falls f eine unterhalbstetige eigentliche konvexe Funktion auf X ist und u ∈ ∂ε f (x) gilt, dann existieren für jedes μ > 0 Vektoren z ∈ X und w ∈ X∗ , sodass ||z − x|| ≤ μ , ||w − u|| ≤ με und w ∈ ∂ f (z).

Der folgende Satz enthält die klassische Fenchel-Dualitätsaussage. Zum Beweis vgl. Brezis [25, Seite 11].

10.5 Monotonie

349

Satz 10.33 Wir betrachten zwei eigentliche und konvexe Funktionen f und g, wobei f (oder g) stetig ist an der Stelle xˆ ∈ X, für die f (x) ˆ < +∞ und g(x) ˆ < +∞. Dann gilt inf { f (x) + g(x)} = max∗ {− f ∗ (u) − g∗ (u)}.

x∈X

u∈X

(10.130)

Durch direkte Anwendung der Sätze 10.32 und 10.33 folgt, dass die Subdifferentialabbildung einer unterhalbstetigen eigentlichen konvexen Funktion maximal-monoton ist: Satz 10.34 Falls f eine unterhalbstetige konvexe Funktion auf X ist, dann ist ∂ f ein maximal-monotoner Operator von X nach X∗ .

Beweis: Es sei (x0 , v0 ) ∈ X × X∗ so, dass (x − x0 , v − v0 ) ≥ 0 gilt für jedes v ∈ ∂ f (x). Wir werden zeigen, dass v0 ∈ ∂ f (x0 ). Dazu definieren wir eine Funktion f0 : X → R ∪ {+∞} durch f0 (x) := f (x + x0 ) − (x, v0 ). Durch Anwendung von Satz 10.33 auf f0 und g(x) = 12 ||x||2 erhalten wir, dass ein u ∈ X∗ existiert, sodass 1 1 inf { f0 (x) + ||x||2 } = − f0∗ (u) − ||u||2 . x∈X 2 2 Da f0 eine unterhalbstetige, eigentliche und konvexe Funktion ist, sind beide Seiten der obigen Gleichung endlich. Damit erhalten wir aus dieser Gleichung 1 1 inf { f0 (x) + ||x||2 } + f0∗ (u) + ||u||2 = 0. 2 2

x∈X

(10.131)

Insbesondere existiert eine Minimalfolge {yn }, sodass 1 1 1 1 1 1 ≥ f0 (yn ) + ||yn ||2 + f0∗ (u) + ||u||2 ≥ (yn , u) + ||yn ||2 + ||u||2 ≥ (||yn || − ||u||)2 ≥ 0, n2 2 2 2 2 2 (10.132) wobei die zweite Ungleichung aus der Fenchel-Young’schen Ungleichung folgt. Unter Nutzung der obigen Gleichung erhalten wir f0 (yn ) + f0∗ (u) − (yn , u) ≤

1 . n2

Somit gilt u ∈ ∂ 1 f0 (yn ) und wegen Satz 10.32 folgt, dass Folgen {zn } in X und {wn } in X∗ n2

existieren, sodass

wn ∈ ∂ f0 (zn ),

||wn − u|| ≤

1 n

1 und ||zn − yn || ≤ . n

(10.133)

Weiterhin erhalten wir (zn , wn ) ≥ 0.

(10.134)

350

10 Anhang

Unter Nutzung von (10.132) folgt ||yn || → ||u||,

(yn , u) → −||u||2 ,

für n → +∞,

was zusammen mit (10.133) und (10.134) u = 0 liefert. Damit gilt yn → 0. Da f0 unterhalbstetig ist, minimiert x = 0 die Funktion f0 (x) + 12 ||x||2 und unter Verwendung von (10.131) erhalten wir f0 (0) + f0∗ (0) = 0. Damit gilt 0 ∈ ∂ f0 (0), was äquivalent ist zu v0 ∈ ∂ f (x0 ).

10.6 Elemente der Maß- und Integrationstheorie, Wahrscheinlichkeitsräume Bei der Behandlung von Fragestellungen der Wirtschaftsmathematik, der Wirtschaftswissenschaften (einschließlich der Mathematischen Ökonomie), der Steuerungs- und Optimierungstheorie und in der Analysis überhaupt ist die Kenntnis von Grundbegriffen der Maß- und Integrationstheorie unumgänglich (vgl. u.a. Schilling [150]). Sie werden im Folgenden soweit entwickelt, dass sie zum Verständnis der Darlegungen in den genannten Gebieten (und in diesem Buche) herangezogen werden können. Wir gehen im nächsten Abschnitt allgemein auf den Maßbegriff, auf Maßräume und auf das allgemeine Integral (das sich auf ein zuvor gegebenes Maß stützt) ein. Das ist in den oben genannten Disziplinen die Grundlage vieler Begriffsbildungen, u.a. auch von Lebesgue-Maß und Lebesgue-Integral. Im dann folgenden Abschnitt wird ein direkter Zugang zu Lebesgue-Maß und Lebesgue-Integral behandelt, und es werden einige Integraleigenschaften angefügt, die zeigen, welche Vorteile man bei der Nutzung des Lebesgue’schen Integrals gegenüber dem Riemann’schen Integral hat.

10.6.1 Allgemeine Maße Zum Maßbegriff: Man betrachte den Raum R. Dann ist jedem Intervall [a, b] ⊆ R, a ≤ b, eine (nichtnegative) Zahl l([a, b]) = b − a zugeordnet, die Intervalllänge. Manchmal spricht man dann vom (elementargeometrischen) Längenmaß l des Intervalls. Dieses Längenmaß hat gewisse Eigenschaften, beispielsweise habe man n disjunkte Intervalle I1 , I2 , ..., In aus R mit den Längen l1 (I1 ), l2 (I2 ), ..., ln (In ), dann gilt offenbar l(∪nj=1 l j (I j )) = ∑nj=1 l(I j ). Für die Betrachtungen in Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung muss man diese Idee des Längenmaßes verallgemeinern. Dazu führen wir nacheinander die Begriffe σ -Algebra, messbarer Raum, Maß, Maßraum und messbare Menge ein, stellen einige Eigenschaften der Maße und Maßräume fest und studieren wichtige Beispiele. Der aufmerksame Leser kann bereits einen Hinweis zur Verallgemeinerung des elementargeometrischen Maßbegriffes (im R) erahnen: Man ordne jedem Intervall statt seiner Länge eine andere Zahl zu. Man denkt sich dazu auf dem Raum R eine nichtnegative monoton wachsende Funktion F gegeben und ordnet einem Intervall [a, b] ⊆ R, a ≤ b, statt seiner Länge die (nichtnegative) Zahl F(b) − F(a) zu. Diese einfache Idee führt tatsächlich zum Aufbau der Maßtheorie.

10.6 Elemente der Maß- und Integrationstheorie, Wahrscheinlichkeitsräume

351

Definition 10.51 Ein (nichtleeres) System A von Teilmengen einer Menge Ω heißt eine Algebra, wenn 1) Ω und die leere Menge zu A gehören, 2) mit A1 , A2 aus A gehören auch A1 ∪ A2 und A1 \ A2 zu A, dann gehört wegen (10.20) auch A1 ∩ A2 = Ω \ [(Ω \ A1 ) ∪ (Ω \ A2 )] zu A. Gilt außerdem für jede Folge {A j }, j = 1, 2, ..., von Mengen aus A auch ∪+∞ j=1 A j ∈ A (dann gehören auch abzählbare Durchschnitte zu A), so heißt A eine σ -Algebra (auf Ω). Das aus einer Menge Ω und einer σ -Algebra A (auf Ω) gebildete Paar (Ω, A) heißt messbarer Raum. Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. Eine Abbildung μ , die jeder zu A gehörenden Teilmenge A eine Zahl μ (A) zuordnet mit 0 ≤ μ (A) ≤ +∞ heißt ein Maß auf (Ω, A) (oder auf Ω oder auf A), wenn folgende Forderungen erfüllt sind: / = 0, 1. μ (0) / 2. μ (A ∪ B) = μ (A) + μ (B) für A, B ∈ A und A und B disjunkt, d.h. A ∩ B = 0, 3. für jede Folge {A j }, j = 1, 2, ..., paarweise disjunkter Mengen aus A gilt +∞ μ (∪+∞ j=1 A j ) = ∑ j=1 μ (A j ) (σ -Additivität des Maßes). Ein Tripel (Ω, A, μ ) heißt Maßraum, ein Element A ∈ A heißt messbar und μ (A) das Maß von A. Ein Maß μ heißt endlich (bzw. σ -endlich), wenn μ (Ω) < +∞ gilt (bzw. eine Zerlegung Ω = ∪+∞ j=1 Ω j existiert mit μ (Ω j ) < +∞ für alle j). Ein Maß μ und auch der Maßraum selbst heißen vollständig, wenn folgende Beziehung gilt: (10.135) A ⊆ B, B ∈ A, μ (B) = 0 ⇒ A ∈ A, mit anderen Worten, wenn jede Teilmenge A ⊆ Ω einer Menge vom Maße null selbst zur σ -Algebra A gehört, also messbar ist. Es ist dann μ (A) = 0.

Gilt für μ speziell 0 ≤ μ (A) ≤ 1 für jedes A ∈ A und μ (Ω) = 1, so ist ein entsprechender Maßraum ein Wahrscheinlichkeitsraum (und damit Basis für Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Die Elemente von Ω heißen dann Elementarereignisse, die Elemente A der σ -Algebra zufällige Ereignisse, μ (A) heißt die Wahrscheinlichkeit von A und μ (·) heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß (probability measure). Beispiel 10.34 Es sei Ω eine beliebige Menge und P ein fester Punkt in Ω. A sei das System aller Teilmengen von Ω. Für jede Menge A ∈ A gelte μ (A) = 1 falls P ∈ A; μ (A) = 0 falls P ∈ / A. (10.136) Damit ist ein Maß auf (Ω, A) erklärt, das Dirac-Maß. Es stimmt mit dem Dirac-Funktional in Beispiel 8.3 überein, wie man etwa mittels des Integralbegriffs sieht (Abschnitt 10.6.2), vgl. auch [60]. Beispiel 10.35 Es sei Ω eine endliche oder eine abzählbar unendliche Menge und A sei das System aller Teilmengen von Ω. Für jede Menge A ∈ A gelte (card A sei die Anzahl der Elemente von A)

μ (A) = card A; μ (A) = 0 falls A = 0. /

(10.137)

Damit ist ein Maß auf (Ω, A) gegeben (das abzählende Maß oder Zählmaß). Beispiel 10.36 In der wirtschaftswissenschaftlichen und wirtschaftsmathematischen Literatur spielen Ökonomien und ihre Eigenschaften eine dominierende Rolle. Unter einer Ökonomie E versteht man im Allgemeinen ein Tupel E = ((Ω, A, μ ), E, X, ≺, e),

(10.138)

352

10 Anhang

wobei Ω die Menge der Agenten (Händler) ist (das muss keine endliche Menge sein, es kann z.B. ein Banach-Raum sein). E ist der Raum der Güter (commodity space), in ihm gibt es Mengen positiver Elemente, z.B. einen Positivitätskegel E+ (zu Kegelhalbordnungen vgl. Abschn. 10.4). Für jedes a ∈ Ω ist X(a) ⊆ E die Konsumtionsmenge, e(a) ∈ E ist die Anfangsausstattung des Händlers a, ≺ ist (abhängig von a) die Präferenzrelation der Agenten. Unter verschiedenen Voraussetzungen werden in der Mathematischen Ökonomie Sätze über die Existenz von Gleichgewichtspunkten in solchen Ökonomien bewiesen (vgl. (6.15)).

Das Prinzip der Konstruktion eines Maßes kann wie folgt angedeutet werden: Es sei eine Menge Ω gegeben. Gewissen Teilmengen von Ω mögen nichtnegative Zahlenwerte zugeordnet werden, man denke an (10.136) oder an die oben erwähnte Zuordnung der Intervalllänge zu Intervallen des Raumes R. Wenn diese Zuordnung so erweitert werden kann, dass die Teilmengen eine Algebra bilden (vgl. Definition 10.51) und die zugeordneten Zahlenwerte dabei den Forderungen an ein σ -endliches Maß genügen (für Mengen, die zur Algebra gehören), so lehrt der Satz von Hahn aus der Maßtheorie, dass zu den gegebenen Zuordnungen (Teilmenge von Ω ⇒ Zahlenwert) eindeutig ein σ -endliches Maß μ gehört, wobei die zugehörige σ -Algebra A die kleinste σ -Algebra in Ω ist, die die betrachtete Algebra umfasst. Das σ -endliche Maß μ wird ein vollständiges Maß, wenn man zu A alle Teilmengen von Mengen vom Maße null hinzufügt und ihnen das Maß null zuordnet. Dieses Prinzip werde am wichtigen Beispiel des Lebesgue-Stieltjes-Maßes auf Ω = R erläutert: Auf dem R sei eine reellwertige monoton nichtfallende Funktion F gegeben, die an jedem Punkt t ∈ R linksseitig stetig ist (d.h. limτ ↑t F(τ ) = F(t)). Jedem halboffenen Intervall [a, b) werde der Wert μ ([a, b)) := F(b) − F(a) zugeordnet. Wird diese Zuordnung mit dem obengenannten Prinzip verarbeitet, so erhält man das zu F gehörende (σ -endliche und vollständige) LebesgueStieltjes-Maß μLS auf Ω = R. Gleichzeitig mit dieser Konstruktion hat man eine σ -Algebra erhalten. Diese enthält alle BorelMengen des Raumes R (diese Mengen sind bzgl. μ messbar): Die kleinste σ -Algebra von Teilmengen des R, die alle halboffenen Intervalle enthält (und damit alle offenen und abgeschlossenen Intervalle des R), heißt die σ -Algebra B1 der Borel-Mengen des R und die Elemente der σ -Algebra B1 heißen Borel-Mengen. Ist speziell F(t) = t ,t ∈ R, so heißt μLS das Lebesgue-Maß auf R. Es werde mit μL bezeichnet. Dann ist μL ([a, b)) = b − a (a, b ∈ R, a ≤ b), μL (R) = +∞. Das Lebesgue-Stieltjes-Maß kann man ganz analog auch im Raum Rn erklären. Das (n-dimensionale) Lebesgue-Maß eines (n-dimensionalen) Quaders im Rn ist dann gerade das (n-dimensionale) elementargeometrische Volumen des Quaders. Es sei hinzugefügt, dass bei wirtschaftsmathematischen Fragestellungen (z.B. bei stochastischen Prozessen oder in der Mathematischen Ökonomie) entsprechend angepasste Maßräume benutzt werden.

Bemerkung 10.13 Es seien X ein topologischer Raum und B die kleinste σ -Algebra von Teilmengen von X, die alle offenen Mengen von X enthält. Die Elemente aus B heißen die Borel-Mengen in X.


353

10.6.2 Zum Integralbegriff Wir gehen zuerst genauer auf Mengen vom Maße null ein. Definition 10.52 Ist (Ω, A, μ ) ein Maßraum, so heißt ein Element N ∈ A eine μ -Nullmenge, wenn μ (N) = 0 gilt.

Nullmengen sind deshalb wichtig, weil es oft vorkommt, dass gewisse Aussagen für alle Punkte einer Menge bis auf die Punkte einer Menge vom Maße null gelten. Man sagt dann, dass Aussagen fast überall, genauer μ -fast überall, gelten. Ist (Ω, A, μ ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, so sagt man, dass solche Aussagen fast sicher oder mit Wahrscheinlichkeit 1 gelten. Beispiel 10.37 Es sollen Nullmengen im Maßraum (Ω, R, μL ) angegeben werden. Wenn man diesen Maßraum genauer studiert, stellt man fest, dass Lebesgue-messbare Mengen vom Maße null ganz elementar, ohne Verwendung der in Definition 10.51 eingeführten Begriffe erklärt werden können. Das führt zu folgender unabhängigen Definition: Definition 10.53 Es sei [a, b] (a, b ∈ R) ein Intervall der Zahlengeraden. Eine Teilmenge N dieses Intervalls heißt eine Menge vom Maße null (genauer, vom Lebesgue-Maß null), wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge offener Intervalle Jn gibt, Jn = (an , bn ), an ≤ bn , deren Gesamtlängensumme nicht größer ist als ε und deren Vereinigungsmenge die Menge N enthält: +∞

+∞

n=1

n=1

∑ (bn − an ) ≤ ε , N ⊆

Jn .

(10.139)

Eine Menge N ⊆ [a, b], die aus endlich vielen Punkten t1 , ...,tm besteht, hat das Maß null. Eine abzählbar unendliche Menge N (also eine Menge N = {t1 , ...,t j , ...} ⊆ [a, b], die sich als Folge schreiben lässt) hat das Maß null. Zum Beweis wählt man (es genügt, den zweiten Fall zu betrachten) zum gegebenen ε > 0 die Intervalle Jn = (an , bn ) in der Form Jn = (tn − Dann gilt

ε ε ,tn + n+1 ) (n = 1, 2, ...). 2n+1 2

+∞

+∞

n=1

n=1

1

1

1

∑ (bn − an ) = ε ∑ 2n = ε 2 1 − 1

(10.140)

=ε

2

sowie N = {t1 , ...,t j , ...} ⊆ +∞ n=1 Jn . Somit hat die Menge N das Maß null. Das Intervall [a, b] (a < b) hat positives Maß. Da die Menge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] abzählbar ist, bilden die rationalen Zahlen dieses Intervalls eine Menge vom Lebesgue-Maß null. Man kann auch sagen, dass alle Zahlen des Intervalls [0, 1] irrational sind bis auf die Zahlen einer Menge vom Maße null. Oder: Fast alle Zahlen des Intervalls sind irrational. Das Cantor’sche Diskontinuum C0 hat das Maß null. Eine Teilmenge A ⊆ Rn ist Lebesgue-messbar, falls die Menge der Randpunkte von A das Maß null besitzt. Auf Mengen vom Maße null kommt es in der Integrationstheorie nicht an.

Zur Integrationstheorie. Es soll über messbare Funktionen f integriert werden. Messbare Funktionen können in verschiedener Weise definiert werden. Wir behandeln zunächst kurz den Zugang zur Integration unter Ausnutzung der Maßräume und gehen danach (vgl. Definition 10.58) auf den speziellen Fall des Lebesgue-Integrals ein, wobei von Maßtheorie lediglich der Begriff der Menge vom Maße null benutzt wird, wie er in Definition 10.53 angegeben wurde.

354

10 Anhang

Definition 10.54 (Messbare Funktion) Es seien (Ω, A) und (Ω1 , A1 ) zwei messbare Räume. Eine Funktion (Abbildung) f : Ω → Ω1 heißt (A, A1 )messbar, falls das Urbild f −1 (A1 ) für jede Menge A1 ∈ A1 zu A gehört. Sind keine Irrtümer möglich, so heißt f einfach eine messbare Funktion (Abbildung).

Zum Beispiel seien Ω1 = R, A1 = σ -Algebra B1 der Borel-Mengen des R, Ω = R, A = σ Algebra AL der Lebesgue-messbaren Mengen des Raumes R, so heißt eine (A, A1 )-messbare Funktion Lebesgue-messbar oder auch einfach messbar (wenn die zugehörigen σ -Algebren aus dem Kontext hervorgehen, wie etwa in der Lebesgue’schen Integrationstheorie). Zum Integralbegriff kommt man in zwei Schritten: Definition 10.55 Es seien (Ω, A, μ ) ein Maßraum und g eine auf Ω gegebene reellwertige (A, B1 )-messbare Funktion, die nur die (endlich vielen) reellen Werte k1 , ...km annimmt, und zwar auf den paarweise disjunkten messbaren Mengen M1 , ..., Mm ∈ A mit μ (M j ) < +∞ ( j = 1, ..., m). Die Funktion g ist also stückweise konstant. Sie wird einfache Funktion genannt. Dann heißt Ω

g dμ =

m

∑ k j μ (M j )

(10.141)

j=1

das Integral der einfachen Funktion g bezüglich des Maßes μ . Ist f eine (allgemeine) reellwertige (A, B1 )-messbare Funktion, für die eine Folge einfacher Funktionen {gn } existiert mit 1)limn,m→+∞ Ω |gn − gm |dμ = 0, 2)limn→+∞ μ ({ω ∈ Ω||gn (ω ) − f (ω )| ≥ δ }) = 0 für jedes δ > 0, so heißt f eine μ -integrierbare (oder auch summierbare)Funktion und die Zahl limn→+∞ Ω fn dμ das Intezum Maß μ wird das eben definierte Integral manchmal Maßgral von f bezüglich μ (wegen dieses Bezuges Integral genannt). Es wird mit Ω f dμ (oder Ω f (ω )dμ (ω ))bezeichnet (und es ist hierbei | Ω f dμ | < +∞).

Man kann zeigen, dass das definierte Integral von der gewählten Folge einfacher Funktionen unabhängig ist, und dass das Integral unverändert bleibt, wenn man f auf einer Menge vom Maße null abändert. Ist A ∈ A eine Teilmenge von Ω, so wird das Integral über A mit der charakteristischen Funk/ A, und tion χA von A definiert: Es ist χA (t) = 1, falls t ∈ A, und χA (t) = 0, falls t ∈

A

f dμ =

Ω

χA · f d μ ,

(10.142)

falls χA · f μ -integrierbar ist. Damit gilt auch M dμ = μ (M) für jede μ -messbare Menge M. Beispiel 10.38 Wir betrachten die Funktion f : R → R, die folgende Werte annehme: f (t) = 1 falls t irrational, f (t) = 0 falls t rational. Das Riemannsche Integral dieser Funktion über das Intervall [0, 1] existiert nicht. Es existiert aber das in Definition 10.55 definierte Integral (unter Nutzung der oben definierten Maßräume für die LebesgueMessbarkeit), da man als Folge einfacher Funktionen fn die Funktionen fn (t) = 1 (t ∈ R) nehmen kann. Es ist dann (offenbar) [0,1] f (t)dμL (t) = R f (t)χ[0,1] (t)dμL = μL ([0, 1]) = 1.

Mit der Definition des Integrals in (10.141) und (10.142) ist Anschluss an die Definition der Lebesgue-Räume in Definition 10.35 erreicht. In Verallgemeinerung von (10.79)–(10.82) definiert man die in der Stochastik (z.B. in der Finanzwirtschaft, bei stochastischen Prozessen oder


355

bei stochastischen Differentialgleichungen, vgl. z.B. Föllmer und Schied [60] oder Grecksch, Roth [72] und Grecksch, Tudor [73]) benötigten L p -Räume L p (Ω, A, μ ) (0 ≤ p ≤ +∞) wie folgt: Definition 10.56 Es seien (Ω, A, μ ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (R, B) der messbare Raum des (mit dem Betrag normierten) Raumes R und der σ -Algebra B seiner Borel-Mengen, und f sei eine (A, B)-messbare Funktion. Sie heißt (reelle) Zufallsgröße (bzgl. (A, B) oder auch (reelle) Zufallsvariable. Zufallsgrößen, die zueinander μ -äquivalent sind, sich also nur auf einer Menge vom μ -Maß null unterscheiden, fasst man in einer Äquivalenzklasse zusammen. Es vereinfacht alle weiteren Ausführungen, wenn man jede dieser Klassen mit einem Element dieser Klasse identifiziert. Dann ist L p (Ω, A, μ ) (0 ≤ p ≤ +∞) die Menge (der Klassen) der (A, B)-messbaren Funktionen f mit (E ist der Erwartungswert) 1

f p = (E(| f (·)| p )) p =

Ω

1 p | f (ω )| p d(ω ) < +∞ falls 0 < p < +∞,

f ∞ = inf{k ≥ 0 | μ (|F| ≥ k) = 0} < +∞ falls p = +∞

(10.143) (10.144)

und f endlich, falls p = 0 ist. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, werden die eben definierten Räume kurz mit L p bezeichnet.

Mit 1 ≤ p ≤ +∞ sind die Räume L p Banach-Räume und · p wie in (10.143) bzw. (10.144) sind dann ihre Normen. Einerseits sieht man an den Definitionen, dass es auf Mengen vom μ -Maß wirklich nicht ankommt, andererseits muss man bei der Betrachtung eines Element aus L p (Ω, A, μ ) (0 ≤ p ≤ +∞) stets beachten, dass es nur bis auf eine Menge vom Maße null bestimmt ist. Statt R könnte allgemeiner die Menge der komplexen Zahlen C mit der Betragsnorm genommen werden oder der entsprechende n-dimensionale Raum mit der Euklidischen Norm, man kommt so zu komplexen Zufallvariablen, ebenso statt L p (Ω, A, μ ) (1 ≤ p < +∞) der Raum L p (M, A, μ ) (1 ≤ p < +∞) mit M ∈ A. In den wirtschaftsmathematischen Anwendungen findet man häufig den Begriff des atomfreien Wahrscheinlichkeitsraumes. Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, μ ) heißt atomfrei, wenn er keine Atome enthält. Ein Atom ist ein Element A ∈ A mit μ (A) > 0, falls für jedes B ∈ A mit B ⊆ A gilt (10.145) entweder μ (B) = 0 oder μ (A) = μ (B). Ist (Ω, A, μ ) atomfrei, so existiert eine Zufallsgröße mit einer stetigen Verteilungsfunktion.

10.6.3 Zum Lebesgue-Maß Messbare Funktionen wurden oben mit der Messbarkeit von Urbildern erklärt. Sie können auch durch die Existenz gewisser Grenzwerte von Folgen von Funktionen erklärt werden. Dies wird im Folgenden für die Definition Lebesgue-messbarer Funktionen ausgenutzt und führt in einfacher Weise unter Nutzung des Riemann’schen Integrals zum Lebesgue-Integral (vgl. Göpfert und Riedrich [67]). Definition 10.57 (Messbare Funktion) Eine reellwertige Funktion f , definiert auf dem Intervall [a, b], wird Lebesgue-messbare Funktion (oder L-messbare Funktion oder auch nur messbare Funktion) genannt, wenn es eine Folge auf [a, b] definierter

356

10 Anhang

stetiger Funktionen gn gibt, die fast überall in [a, b] gegen f konvergiert. Mit anderen Worten, es gilt f (t) = limn→+∞ gn (t)(t ∈ [a, b] \ A), wobei A eine Menge vom Lebesgue-Maße null ist. Die Menge A hängt von f ab.

Man überzeugt sich leicht davon, dass die Summe zweier L-messbarer Funktionen wieder eine L-messbare Funktion ist und dass die Multiplikation mit einem (reellen) Zahlenfaktor nicht aus dem Bereich der L-messbaren Funktionen heraus führt, mit anderen Worten, die L-messbaren Funktionen bilden einen linearen Raum. Man bezeichnet ihn mit S[a, b] oder mit L0 [a, b]. Auch beim allgemeinen Maßbegriff bilden die messbaren Funktionen einen linearen Raum. Es folgt die Definition des Lebesgue-Integrals für beschränkte messbare Funktionen: Definition 10.58 Es sei f eine (reellwertige) beschränkte L-messbare Funktion auf [a, b], d.h., es gibt ein M > 0 mit | f (t)| ≤ M für fast alle a ≤ t ≤ b. Ist {gn } eine Folge stetiger Funktionen mit |gn (t)| ≤ M für a ≤ t ≤ b und n = 1, 2, ..., die auf [a, b] fast überall gegen f (t) konvergiert (vgl. Definition 10.57), so setzen wir für das Lebesgue-Integral von f über [a, b] b b f (t)dt = lim gn (t)dt . (10.146) n→+∞

a

a

In (10.146) stehen rechts gewöhnliche Riemann-Integrale für stetige Funktionen. Die Definition 10.58 ist korrekt, denn man kann beweisen, dass der Grenzwert in (10.146) unabhängig von der gewählten Folge ist. Die Funktionenfolge {gn } in Definition 10.58 kann gegebenenfalls (wenn die Schrankenbedingung für die gn nicht eingehalten ist) ersetzt werden durch die Folge {g∗n } mit ⎫ ⎧ gn (t) < −M ⎬ ⎨ −M, falls , a ≤ t ≤ b; n = 1, 2, ... g∗n (t) = gn (t), falls −M ≤ gn (t) ≤ M ⎭ ⎩ M, falls M < gn (t) Eine auf [a, b] erklärte reellwertige beschränkte L-messbare Funktion f ist genau dann Riemannintegrierbar, wenn f für fast alle t ∈ [a, b] stetig ist. Ist dies der Fall, so stimmen die Zahlenwerte des Lebesgue-Integrals und des Riemann-Integrals überein. Es folgt die Definition des Lebesgue-Integrals für nichtnegative L-messbare Funktionen: Definition 10.59 Es sei f eine nichtnegative L-messbare Funktion: f (t) ≥ 0 (a ≤ t ≤ b). Wir bilden die Folge beschränkter L-messbarer Funktionen ( ) fn (t), t ∈ [a, b] und 0 ≤ f (t) ≤ n, n = 1, 2, ... fn (t) = n, t ∈ [a, b] und n < f (t), Die Funktion f heißt Lebesgue-summierbar über [a, b], wenn die Folge der Integrale oben beschränkt ist. Man setzt b b b f (t)dt = lim fn (t)dt = sup fn (t)dt a

a

n

a

und bezeichnet diesen Ausdruck als das Lebesgue-Integral von f über [a, b].

*

b a f n (t)dt

+ nach

(10.147)


357

Lebesgue-summierbare Funktionen beliebigen Vorzeichens ergeben sich dann naheliegend in folgender Weise: Definition 10.60 Es sei f eine reellwertige L-messbare Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wenn es zwei nichtnegative Lebesguesummierbare Funktionen f1 , f2 gibt, für die f (t) = f1 (t) − f2 (t) (t ∈ [a, b])

(10.148)

gilt, so heißt f summierbar ((L)-summierbar) über [a, b]. Die Zahl b a

f (t)dt =

b a

f1 (t)dt −

b a

f2 (t)dt

(10.149)

wird das (L)-Integral von f über [a, b] genannt. Bemerkung 10.14 1) Der Leser zeige als Übung, dass der Wert (10.149) des Integrals einer summierbaren Funktion nicht von der speziellen Darstellung (10.148) abhängt. 2) Statt summierbar sagt man gelegentlich auch integrierbar. 3) Komplexwertige summierbare Funktionen f erhält man genau in der Form f (t) = u(t)+iv(t) (a ≤ t ≤ b), wobei u, v reellwertige summierbare Funktionen sind. 4) Das Lebesgue-Integral hat analoge Eigenschaften wie das Riemann-Integral. Insbesondere bildet die Menge aller (reell- oder komplexwertigen) summierbaren Funktionen einen linearen Raum und die Zuordnung f⇒ ist linear. 5) Mit f ist auch | f | summierbar und es ist

b a

f (t)dt

f dt ≤ | f |dt.

(10.150)

(10.151)

Summierbare Funktionen sind fast überall endlich. Sind zwei Funktionen fast überall gleich und ist eine von ihnen summierbar, so auch die andere und die Integrale sind gleich.

Oben in Definition 10.53 hatten wir (auf der Zahlengeraden) Mengen vom Lebesgue-Maße null definiert. Messbare Mengen (auf der Zahlengeraden) beliebigen Lebesgue-Maßes lassen sich über ihre charakteristische Funktion unter Nutzung des Lebesgue-Integrals einführen. Definition 10.61 Eine Menge A ⊆ [a, b] heißt Lebesgue-messbar, wenn ihre charakteristische Funktion χA summierbar ist. Die Zahl b

a

χA (t)dt

(10.152)

heißt das Lebesgue-Maß von A und wird mit mes A bezeichnet. Beispiel 10.39 Es sei A = [c, d] ⊆ [a, b], c ≤ d. Dann gilt mes A = d − c. Das Lebesgue-Maß ist also eine Verallgemeinerung des elementargeometrischen Längenbegriffs. Man sieht ebenso leicht, dass das eingeführte Lebesgue-Maß additiv ist: Sind A ⊆ [a, b] und B ⊆ [a, b] zwei messbare disjunkte Teilmengen von [a, b], d.h. A ∩ B = 0, so ist auch A ∪ B messbar und es gilt mes (A ∪ B) = mes A + mes B.

(10.153)

358

10 Anhang

In den obigen Betrachtungen ab Definition 10.57 wurde ein beliebiges, festes Intervall [a, b] benutzt. Man kann zeigen, dass diese Betrachtungen von der Wahl eines solchen Intervalls unabhängig sind. Man erhält also allgemein beschränkte Lebesgue-messbare Mengen und summierbare Funktionen auf beschränkten Definitionsintervallen. Die Erweiterung der obigen Begriffe auf den Fall von Funktionen, die auf unbeschränkten Intervallen erklärt sind, wird wiederum mittels eines Grenzübergangs durchgeführt. Nichtnegative summierbare Funktionen erhält man durch die Forderungen f : (−∞, +∞) → R, f (t) ≥ 0 (t ∈ R), f summierbar über jedes Intervall [−n, n] (n = 1, 2, ...), n

lim

n→+∞ −n

f (t)dt existiert.

∞ f (t)dt bezeichnet. Anschließend ist es möglich, wie in DefiLetzterer Grenzwert wird mit −∞ nition 10.60, summierbare Funktionen beliebigen Vorzeichens auf (−∞, +∞) einzuführen. Unbeschränkte messbare Mengen werden unter Nutzung von Definition 10.61 ebenso durch einen Grenzprozess erklärt, wobei jetzt auch +∞ als Grenzwert (bestimmte Divergenz) zuzulassen ist. Die Betrachtungen im k-dimensionalen Raum Rk verlaufen analog. Als Definitionsbereiche summierbarer Funktionen können auch beliebige messbare Mengen (z.B. beim unten aufgeführten Satz von Fubini der gesamte Raum) verwendet werden.

Der folgende Satz findet häufig Anwendung: Satz 10.35 Ist f (komplex- oder reellwertig) summierbar über dem Intervall [a, b] und gilt b a

| f (t)|dt = 0,

(10.154)

so ist f (t) = 0 fast überall in [a, b].

Beweisskizze: Die Menge N = {t ∈ [a, b] | | f (t)| = 0} ist die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen , 1 N j = t ∈ [a, b] | | f (t)| ≥ , j = 1, 2, ... (10.155) j Nullmenge, denn aus 1 ≤ j| f (t)| für t ∈ N j (vgl. (10.155)) folgt Jede dieser Mengen N j ist eine 0 ≤ mes N j = |χN j dt| ≤ j | f (t)|dt = 0, also mes N j = 0( j ∈ N). Die abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist wieder eine Nullmenge.

10.6.4 Integraleigenschaften Der große Fortschritt, der mit der Einführung des Lebesgue-Integrals erreicht wurde, liegt vor allem in der Möglichkeit, Grenzübergänge unter sehr allgemeinen Voraussetzungen durchführen zu können. Wir nennen hier nur zwei wichtige Sätze vom Typ Grenzübergang unter dem Integralzeichen:


359

Satz 10.36 (Satz von Levi) Es sei { fn } eine nicht fallende Folge nichtnegativer summierbarer Funktionen auf dem Intervall [a, b], und es existiere eine (von n unabhängige) reelle Zahl C > 0 mit ab fn (t)dt ≤ C (n = 1, 2, ...). Dann ist die Funktion f (t) = limn→+∞ fn (t) über [a, b] summierbar, und es gilt b a

f (t)dt =

b a

( lim fn (t))dt = lim n→+∞

b

n→+∞ a

fn (t)dt.

(10.156)

Satz 10.37 (Satz von Lebesgue) Es sei { fn } eine Folge summierbarer Funktionen auf [a, b], die dort fast überall gegen eine (messbare) Funktion f konvergiert: f (t) = limn→+∞ fn (t) (t ∈ [a, b] mit evtl. Ausnahme einer Menge vom Maße null). Es existiere eine über [a, b] summierbare Funktion g(t) ≥ 0 mit | fn (t)| ≤ g(t) (t ∈ [a, b]) für n = 1, 2, ... Dann gilt (10.156).

Ein häufig auftretendes Problem der Integralrechnung ist die Frage nach der Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integrationen bei Mehrfachintegralen. Eine hinreichend umfassende Antwort gibt der folgende Satz. Satz 10.38 (Satz von Fubini) Es seien A1 ⊆ Rk , A2 ⊆ Rm messbare Mengen und A = A1 × A2 ⊆ Rk+m . Die Funktion f : A → R sei Aussagen (1)-(3). summierbar bezüglich des Lebesgue-Maßes im Rk+m .Dann gelten die folgenden (1) Das Integral A2 f (s,t)dt existiert für fast alle s ∈ A1 ; das Integral A1 f (s,t)ds existiert für fast alle t ∈ A2 . (2) Die Funktion f1 (s) = A2 f (s,t)dt (s ∈ A1 ) ist messbar und summierbar auf A1 . Die Funktion f2 (t) = (t ∈ A2 ) ist messbar und summierbar auf A2 . A1 f (s,t)ds (3) Es gilt A2 f2 (t)dt = A1 f1 (s)ds = A f (s,t)dsdt; d.h., / / . . f (s,t)ds dt = f (s,t)dt ds = f (s,t)dsdt. (10.157) A2

A1

A1

A2

A

Bemerkung 10.15 Hinreichend für die Summierbarkeit von f über A = A1 ×A2 ist außer der Messbarkeit von f auf A bezüglich des Lebesgue-Maßes in Rk+m die Existenz eines der beiden iterierten Integrale / / . . | f (s,t)|ds dt oder | f (s,t)|dt ds. (10.158) A2

A1

A1

A2

Diese lässt sich im Allgemeinen leichter fest stellen als die Summierbarkeit von f über A.

Aus den Sätzen 10.37 und 10.38 lässt sich der nachfolgende Satz ableiten, der bei der Behandlung der Fourier-Transformation (vgl. Kapitel 8.8) genutzt wird (vgl. Sikorski [154]). Satz 10.39 Es sei f (·, ·) eine bezüglich des R2 -Lebesgue-Maßes messbare Funktion, die auf einer Produktmenge Q × B erklärt ist, Q = (a, b) ein offenes, nicht notwendig beschränktes Intervall in R, B ⊆ R eine Lebesguemessbare, nicht notwendig beschränkte Menge. Es seien folgende Voraussetzungen erfüllt: (1) Die Funktion f ist summierbar auf jeder Menge P × B, wobei P ein abgeschlossenes beschränktes Intervall ist. (2) Das Lebesgue-Integral (i.A. ein uneigentliches Integral) h(η ) :=

b a

f (ξ , η )dξ

(η ∈ B)

360

10 Anhang

ist konvergent (existiert) für jedes η ∈ B. Es ist dann h(·) eine Lebesgue-messbare Funktion. (3) Es existiert eine auf B definierte summierbare Funktion g(·) mit |

β α

f (ξ , η )d ξ | ≤ g(η )

für fast alle η ∈ B und für jedes beschränkte Intervall [α , β ] ⊆ Q. Dann ist h(·) über B summierbar und es gilt b b f (ξ , η )dξ dη = f (ξ , η )dη dξ . a

B

a

(10.159)

B

Beweis: Das Intervall [a, b] wird „von innen“ durch eine Folge beschränkter Intervalle [αn , βn ] approximiert. Auf die Funktionenfolge {hn } mit hn (η ) := αβnn f (ξ , η )dξ , η ∈ B, kann dann der Lebesgue’sche Satz 10.37 angewandt werden. Der Rest folgt aus dem Satz von Fubini 10.38. Die Regel der partiellen Integration nimmt die folgende Gestalt an: Satz 10.40 Die reellwertigen Funktionen f , g seien auf dem Intervall [a, b] gegeben und über [a, b] summierbar. Ferner seien s s f (t)dt bzw. G(s) = g(t)dt (a ≤ s ≤ b) (10.160) F(s) = a

a

ihre unbestimmten Integrale. Diese sind absolut stetige Funktionen. Dann sind die Produkte F f bzw. Gg ebenfalls summierbar über [a, b] und es gilt b a

F(s)g(s)ds = F(s)G(s)|ba −

b a

f (s)G(s)ds,

(10.161)

dabei ist F(s)G(s)|ba = F(b)G(b) − F(a)G(a).

(10.162)

Bemerkung 10.16 Eine auf dem Intervall [a, b] gegebene Funktion f heißt absolut stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε ) > 0 gibt, sodass für je endlich viele Punkte t0 ,t1 , ...,tn ∈ [a, b] mit ∑nj=1 |t j − t j−1 | ≤ δ stets die Ungleichung ∑nj=1 | f (t j ) − f (t j−1 )| ≤ ε gilt. Absolut stetige Funktionen sind erst recht (gleichmäßig) stetig. Es gilt weiter (vgl. [124]): Ist f über [a, b] summierbar, so ist das unbestimmte Integral F(s) = as f (t)dt über [a, b] absolut stetig und es gibt zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε ) > 0, sodass für Lebesgue-messbare Mengen A ⊆ [a, b] mit mes A < δ stets | A f (t)dt| < ε folgt. Die Ableitung des unbestimmten Integrals F(s) (nach s) ist fast überall gleich f (s). Diese Aussage lässt sich wesentlich verschärfen, wenn man Lebesgue’sche Punkte benutzt: Ein Punkt t0 ∈ [a, b] heißt Lebesgue’scher Punkt der Funktion f , wenn gilt (t0 + h ∈ [a, b]) 1 h→0 h lim

t0 +h t0

| f (t) − f (t0 )|dt = 0.

(10.163)

Es gilt dann, dass F in einem Lebesgue’schen Punkt t0 ∈ [a, b] die Ableitung f (t0 ) hat. Jeder Stetigkeitspunkt einer summierbaren Funktion ist ein Lebesgue’scher Punkt. Bemerkung 10.17 Man kann nicht Lebesgue-messbare Mengen angeben, dazu wird das Auswahlaxiom benötigt (vgl. Abschnitt 10.1.3). Ein Beispiel findet man in Natanson [124], S. 84. In der Mathematischen Ökonomie kann man z.B. in Zusammenhang mit der Existenz von Walras-Gleichgewichtsverteilungen Anwendungen nicht Lebesgue-messbarer Mengen finden (vgl. Podczeck [132]), vgl. zu diesem Themenkreis auch Schilling [150].

10.7 Verwendung unterschiedlicher Normen bei Approximationsproblemen

361

10.7 Verwendung unterschiedlicher Normen bei Approximationsproblemen Die in Abschnitt 10.6.2 eingeführten Integrale werden nun zur Formulierung von Approximationsproblemen im Mittel verwendet. Im Folgenden sei (Ω, A, μ ) ein Maßraum. Wir betrachten für x ∈ L1 (Ω, A, μ ) und K ⊂ L1 (Ω, A, μ ) folgendes L1 -Approximationsproblem: (PL1 )

k − xL1 → min . k∈K

Zur Herleitung von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen für das Problem (PL1 ) gemäß Satz 3.34 wird zunächst die rechtsseitige Gâteaux-Ableitung (vgl. Definition 3.24) der L1 -Norm berechnet. Satz 10.41 Für die L1 -Norm, definiert durch f : L1 (Ω, A, μ ) → R mit f (x) := Ω |x|dμ , gilt für alle x0 , h ∈ L1 (Ω, A, μ ) : f+ (x0 , h) =

{x0 =0}

h · sign(x0 )dμ +

{x0 =0}

|h|dμ .

Verschwindet speziell x0 nur auf einer μ -Nullmenge, so ist f in x0 sogar Gateaux-differenzierbar, ˆ und es gilt für alle h ∈ L1 (Ω, A, μ ) f (x0 , h) =

Ω

h · sign(x0 )dμ .

Beweis: Es seien x0 , h ∈ L1 (Ω, A, μ ). Da | · | konvex ist, ist der Differenzenquotient von | · | monoton. Der Satz über monotone Konvergenz erlaubt die Vertauschung von Integral und Limes (vgl. [81]). Also gilt f (x0 + α h) − f (x0 ) α |x0 + α h| − |x0 | = lim dμ α →+0 Ω α |x0 + α h| − |x0 | = lim dμ. α Ω α →+0

f+ (x0 , h) =

lim

α →+0

Da | · | in R\{0} differenzierbar ist mit der Ableitung sign, gilt:

|x0 + α h| − |x0 | dμ + α |α h| + lim dμ = {x0 =0} α →+0 α

f+ (x0 , h) =

=

lim

{x0 =0} α →+0

{x0 =0}

h · sign(x0 )dμ +

{x0 =0}

|h|dμ .

Ist μ ({x0 = 0}) = 0, dann verschwindet das zweite Integral und f+ (x0 , ·) ist linear. Also ist f in x0 Gâteaux-differenzierbar und es gilt für alle h ∈ L1 (Ω, A, μ ) :

362

10 Anhang

f (x0 , h) = f+ (x0 , h) =

{x0 =0}

h · sign(x0 )dμ .

Aus den Sätzen 3.34 und 10.41 folgt ein notwendiges und hinreichendes Optimalitätskriterium für Elemente bester L1 -Approximation: Satz 10.42 Es sei K eine konvexe Teilmenge von L1 (Ω, A, μ ), dann gilt: x0 ∈ K ist genau dann ein Element minimaler L1 -Norm in K, falls für alle x˜ ∈ K gilt

mit f+ (x0 , x˜ − x0 ) =

f+ (x0 , x˜ − x0 ) ≥ 0

{x0 =0}

(x˜ − x0 ) sign(x0 ) d μ +

{x0 =0}

|x˜ − x0 | d μ .

Satz 10.42 liefert eine Charakterisierung von Elementen bester L1 -Approximation. Satz 10.43 Es seien K eine konvexe Teilmenge von L1 (Ω, A, μ ) und x ∈ L1 (Ω, A, μ ). Dann ist k0 ∈ K die beste L1 Approximation von x bezüglich K genau dann, wenn für alle k ∈ K gilt

wobei f+ (x − k0 , k0 − k) =

f+ (x − k0 , k0 − k) ≥ 0,

{x=k0 }

(k0 − k) sign(x − k0 )dμ +

{x=k0 }

|k0 − k|dμ .

Ist K speziell ein linearer Teilraum, so lässt sich die Bedingung folgendermaßen schreiben: ∀v ∈ K gilt

v sign(x − k0 )dμ +

{x=k0 }

|v|dμ ≥ 0.

(10.164)

{x=k0 }

Ein Element k0 des Teilraumes K, das mit x nur auf einer μ -Nullmenge übereinstimmt, ist ein Element bester L1 -Approximation von x bezüglich K genau dann, wenn ∀v ∈ K gilt:

v sign(x − k0 )dμ = 0.

(10.165)

{x=k0 }

Beweis: Man ersetze in Satz 10.42 K durch x − K, d.h. x˜ = x − k und x0 = x − k0 .

Beispiel 10.40 (Beste L1 -Approximation) Es geht um die beste L1 -Approximation einer monoton wachsenden Funktion auf dem Intervall [a,b] bezüglich des Teilraumes Dazu seien a, b ∈ R mit a < b, x : [a, b] → R monoton + * K der konstanten Funktionen.

wachsend und S := t ∈ [a, b] | x(t) = x( a+b 2 ) . Wir zeigen, dass die konstante Funktion k0 : [a, b] → R mit dem Wert k0 (t) = x( a+b 2 ) (t ∈ [a, b]) die Bedingung (10.164) des Satzes 10.43 erfüllt. S ist ein Intervall im Bereich der reellen Zahlen und a+b α := inf S ≤ ≤ sup S =: β . 2 Dann gilt für alle konstanten Funktionen v : [a, b] → R (d.h. v ∈ K):

{x=k0 }

v(t) sign(x(t) − k0 (t))dt +

{x=k0 }

|v|dt =

10.7 Verwendung unterschiedlicher Normen bei Approximationsproblemen

=

α

363 β

b

)dt + v(t) sign( )dt + |v|dt x(t) − k0 (t) x(t) − k0 (t) 0 12 3 0 12 3 α β ≤0 da x monoton w. ≥0 da x monoton w.

v(t) sign( a

= −v(α − a) + v(b − β ) + |v|(β − α ). −v(α − a) + v(b − β ) + |v|(β − α ) −v(α − a) + v(b − β ) + v(β − α ) −vα + va + vb − vβ + vβ − vα −2v α + va +vb

Für v ≥ 0 gilt : = = = =

2v

a+b 2

− α ≥ 0,

−v(α − a) + v(b − β ) + |v|(β − α ) −v(α − a) + v(b − β ) − v(β − α ) −vα + va + vb − vβ − vβ + vα −2v β + va +vb

Für v < 0 gilt : = = = =

2v

a+b 2

− β ≥ 0,

da v ≥ 0 und

a+b 2

− α ≥ 0.

da v < 0 und

a+b 2

− β ≤ 0.

Das Optimalitätskriterium aus Satz 10.43 ist also erfüllt und damit ist k0 (t) = x( a+b 2 ) für alle t ∈ [a, b] die beste L1 -Approximation von x bezüglich des Teilraumes der konstanten Funktionen und es gilt min x − kL1 =

b

k∈K

|x(t) − x(

a

a+b )|dt. 2

Zur Sensibilisierung des Lesers für die Approximationsunterschiede in üblichen Normen behandeln wir die gleiche Aufgabe im Folgenden noch für die L2 -Norm sowie für die L∞ -Norm (Supremum-Norm für stetige Funktionen). Beispiel 10.41 (Beste L2 -Approximation) Es seien a, b ∈ R mit a < b und x : [a, b] → R eine Funktion, die dem Raum L2 [a, b] angehört. Wir betrachten für k ∈ R den Ausdruck J(k) := ab (x(t) − k)2 dt, also das L2 -Norm-Quadrat der Funktion (x(·) − k). Es ist J(·) eine in k quadratische Funktion: J(k) =

b a

(x(t))2 dt − 2k

b a

x(t)dt + k2 (b − a)2 (≥ 0).

Deren globales Minimum liegt bekanntlich dort, wo die erste Ableitung von J verschwindet. Wegen (Differentiation nach k) J (k) = −2

b a

x(t)dt + 2k(b − a) und J (k) = 2(b − a) > 0

liegt die einzige Minimalstelle von J(·) bei k = k0 =

1 b−a

b

x(t)dt

Integralmittelwert von x(·).

(10.166)

a

Eine kurze Rechnung ergibt mit diesem Wert von k b (x(t))2 dt − min x − k2L2 [a,b] = k∈R

a

1 b−a

2

b

x(t)dt a

(≥ 0).

(10.167)

364

10 Anhang

Der Leser überlege, dass dieses Resultat auch in folgender Form geschrieben werden kann: ( min x − kL2 [a,b] = k∈R

x2L2

1 − b−a

2 ) 12

b

x(t)dt a

.

(10.168)

Beispiel 10.42 (Beste L∞ -Approximation) Es seien a, b ∈ R mit a < b und x : [a, b] → R eine stetige Funktion, also x ∈ C[a, b], die nicht identisch konstant ist. Nach dem klassischen Satz von Weierstraß existieren im Intervall [a, b] solche Punkte t1 ,t2 , für die gilt x(t1 ) = max x(t) =: M und x(t2 ) = min x(t) =: m. t∈[a,b]

t∈[a,b]

Wir setzen c := 12 (M − m). Nach Voraussetzung ist m<M. Wir denken uns zwei solche Werte t1 ,t2 für die weiteren Betrachtungen fixiert und stellen fest, dass die Gleichungen c−x(t1 ) = − 12 (M −m) und c−x(t2 ) = − 12 (M − m) (für den benannten Wert von c) gelten. D.h., die betragsgleiche Differenz 12 (M − m)(> 0) wird mit entgegengesetzten Vorzeichen an zwei Stellen t1 ,t2 des Intervalls [a, b] angenommen. Mit n = 0 bilden somit die beiden Stellen t1 ,t2 eine sogenannte Tschebyscheff’sche Alternante aus n + 2 = 2 Punkten, welche das Vorliegen einer bestmöglichen Approximation im Sinne der Maximum-Norm (= Supremum-Norm = L∞ -Norm) für x(·) auf [a, b] durch ein Polynom vom Grade n = 0 (also eine Konstante) kennzeichnet, d.h. notwendig und zugleich hinreichend ist, vgl. Natanson [124] S.31–32. Es gelten dann die Beziehungen M − m x(t1 ) − x(t2 ) 1 max |x(t) − k| = = = max (x(t)) − min (x(t)) . 2 2 2 t∈[a,b] t∈[a,b] t∈[a,b]

min x − kL∞ = min k∈R

k∈R

Bemerkung 10.18 Setzen wir in den letzten drei Beispielen a = 0, b = 1 und x(t) = t 3 (0 ≤ t ≤ 1) und bezeichnen die bestmöglichen Konstanten für die L1 -, L2 - und L∞ -Norm, die oben ermittelt wurden, mit k1 , k2 und k∞ , dann gilt (Aufgabe für den Leser) k1 = 18 , k2 = 14 , k∞ = 12 , und für die Minimalabweichungen erhalten wir (vierstellige Wertangabe) entsprechend der obigen Resultate: min x(·) − kL1 = k∈R

min x(·) − kL2 = k∈R

0

1

6

1 0

t dt −

1 7 |t 3 − |dt = = 0.2188, 8 32

1

2 12 3

t dt 0

=

3√ 7 = 0.2835, 28

1 1 1 min x(·) − kL∞ = (M − m) = (1 − 0) = = 0.5000. 2 2 2 k∈R

10.8 Übungsaufgaben 1. Lexikographische Ordnung im Rn : Ein Entscheidungsträger habe über einem (nichtleeren) zulässigen Bereich Ω im Rahmen eines mehrkriteriellen Optimierungsproblems n Ziele f1 (·), ..., fn (·) zu maximieren, wobei für ihn gemäß seiner Präferenzvorstellungen das Ziel f1 wichtiger ist als Ziel f2 usw. Man zeige, dass diesen Präferenzvorstellungen der in Beispiel 10.23 angegebene Kegel K entspricht.


365

2. Eigenschaften der lexikographischen Ordnung: Man beweise die für den Kegel K in Beispiel 10.23 genannten Eigenschaften. Ist die durch diesen Kegel gegebene Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation? Ist sie verträglich mit der linearen Struktur des Rn ? Ist K eine abgeschlossene Menge in Rn ? 3. Der folgende Kegel K heißt der natürliche Ordnungskegel im Rn : K = Rn+ = {y ∈ Rn |yi ≥ 0 (i = 1, · · · , n)}.

(10.169)

K ist ein spitzer, konvexer, abgeschlossener, eigentlicher (K = {0}, K = Rn ) und erzeugender Kegel. 4. Im linearen Raum der stetigen reellen Funktionen C[a, b] bildet die Menge der nichtnegativen stetigen Funktionen einen Kegel (vgl. Beispiel 10.24) KC[a,b] := {x ∈ C[a, b] | x(t) ≥ 0 (t ∈ [a, b])}. Man zeige, dass KC[a,b] konvex, spitz und erzeugend ist. Gilt das auch für den Kegel Q := {x ∈ KC[a,b] | x nicht fallend}? Q ist konvex und spitz, aber Q − Q ist der eigentliche lineare Teilraum aller Funktionen beschränkter Variation von C[a, b] (vgl. auch Satz 3.2). Wird der Raum C[a, b] mit der Maximum-Norm normiert, so hat der Kegel KC[a,b] ein nichtleeres Inneres. Gilt das auch, wenn C[a, b] mit der L2 -Norm zu einem normierten Raum gemacht wird? Die Antwort ist negativ. Man zeige etwa, dass es zur stetigen Funktion x(t) = 1 (a ≤ t ≤ b) keine L2 -Kugel mit Mittelpunkt x und positiven Radius gibt, die nur Punkte aus KC[a,b] enthält. 5. (Modellierung einer Aufgabenstellung aus der Strahlentherapie als Bikriterielles Optimierungsproblem) Es soll ein für den Patienten optimaler Behandlungsplan bei der Bestrahlung eines Tumors gefunden werden. Dabei verfolgt man das Ziel, den Tumor zu zerstören oder wenigstens zu reduzieren und das umgebende gesunde Gewebe vor unnötigen Schäden so gut wie möglich zu schützen. Die natürliche Struktur solcher Aufgaben ist mehrkriteriell, d.h. man hat zwei (oder mehr) sich widersprechende Zielfunktionen gleichzeitig zu minimieren, wobei das Lösungskonzept der mehrkriteriellen Optimierung (vgl. Abschnitt 10.2) verwendet wird. Studieren Sie dazu die in Hamacher und Küfer [75] und Eichfelder [49] angegebenen Modelle und Lösungsansätze.

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