О p-группах с черниковским централизатором неединичного элемента простого порядка

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 330—343

УДК 512.544

О р-ГРУППАХ С ЧЕРНИКОВСКИМ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ НЕЕДИНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРОСТОГО ПОРЯДКА*) А.М.ПОПОВ

Классические результаты Н. Блэкберна [1] и В.П.Шункова [2] пока­ зали основное направление исследований в области характеризаций черниковских р-групп. Используя нормализаторный процесс О.Ю. Шмидта [3], автор настоящей статьи под руководством В. П. Шункова в 1981 г. получил следующий результат [4]: р-группа будет черниковской, если она обладает элементом а про­ стого порядка с черниковским централизатором, который почти с каж­ дым сопряженным с ним элементом порождает в группе конечную под­ группу. А. И. Созутов предложил автору продолжить изучение р-групп, обла­ дающих элементами с черниковскими централизаторами. Докажем, что имеет место Т Е О Р Е М А . Пусть G — р-группа, а —- ее элемент, простого по­ рядка р, и CG(O) — черниковская группа. Тогда либо G — черниковская группа, либо G обладает не локально конечным сечением по черников­ ской подгруппе, в котором максимальная локально конечная подгруппа, содержащая образ элемента а, является

единственной.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект 99-01-00542, и Красноярского краевого фонда науки, грант 9F132.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

О р-группах с черниковским централизатором

331

Предположим, теорема не верна и С ~ - контрпример к ней. Подгруп­ пой типа М(о) называется произвольная максимальная (по включению) локально конечная подгруппа из G, содержащая а. В силу теоремы Н. Бл­ экберна [1], подгруппа типа М(а) — черниковская. Л Е М М А 1. Любая подгруппа типа М(а) бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М ~ конечная подгруппа типа М(а). Поскольку группа G — контрпример к теореме, она обладает подгруппой Mi типа М(а), отличной от М. Пересечение М П Mi содержит элемент а. Обозначим это пересечение через D\. Если бы D\ — М, то, по опре­ делению подгруппы типа М(а), подгруппы М, Mi совпали бы вопреки предположению. Следовательно, D\ ф М. Так как а £ X?i, то CG{D\)

— черниковская группа. Поскольку Dx ко­

нечно, то конечен и индекс \NG{D\)

: CG{D{)\.

Следовательно, NG{D\)

—

черниковская группа. В подгруппах М и Mi выполняется нормализаторное условие (см. [5]), и поэтому NG{DX) Отсюда вытекает, что NG(D\)

Г) М ф D\, NG{DI)

П M I ф Dx.

содержится в некоторой подгруппе М2 ти­

па М{а), отличной от М и Mi. Положим D2 = М П М2. Из того, что NG(DI)

< М 2 и NG(Di) П Mi ф Du следует Dt < D2. Если D2 = М, то

М < М2, получаем противоречие с определением подгруппы типа М(а) и выбором подгруппы М2. Таким образом, D2 ф М. Повторяя приведенные выше рассуждения, покажем существова­ ние конечной подгруппы Дз из М, содержащей D2 и отличной от нее (D2 < £>з). Продолжая этот процесс, построим строго возрастающую цепь подгрупп £>i < D2 < . . . < Dn < . . . , которая не обрывается на конечном номере. Существование такой цепи противоречит предположению о конечности подгруппы М. Лемма доказа­ на. Л Е М М А 2, Группа G обладает не локально конечным сечением, содержащим образ а элемента а, в котором нормализатор любой бес-

332

А.М.Попов

конечной а-инвариантной подгруппы из М(а) содержится в М(а)

(для

любой подгруппы типа М(а)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем утверждение (*) G обладает полной абелевой а-инвариантной подгруппой К та­ кой, что группа N = NQ(K) не является черниковской, а в фактор­ группе N/K

любая бесконечная полная абелева а К -инвариантная

группа обладает черниковским

под­

нормализатором.

Пусть В\ — бесконечная полная абелева а-инвариантная подгруп­ па такая, что NQ(BI)

— нечерниковская группа. Если подгруппа с таким

свойством не существует, то К = 1 и утверждение (*) доказано. Фактор-группа NG{B\)/BI

= G\ в силу теоремы С.Н. Черникова [6,

теор. 2.2] также не является черниковской. Пусть а = аВ\. Предположим, что C?i не удовлетворяет условию (*). Тогда в G\ найдется бесконечная полная абелева а-инвариантная подгруппа B