О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп

Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371

УДК 512.54

О ^-ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ р-ГРУПП Е. И. ХУХРО Введение

Изучение действия группы на абелевой (под)группе часто дает важ­ ную информацию о группе. Например, порядок конечной нильпотентной группы ограничен в терминах порядка ее максимальной нормальной абе­ левой подгруппы. Другой пример: (секционный) ранг конечной р-группы ограничен в терминах ранга ее максимальной нормальной абелевой под­ группы. В настоящей работе мы рассматриваем действие р-группы G на абелевой р~группе А (предполагая, что G < AutA и считая А правым ZG-модулем). Целью является установление связи между периодами ядер индуцированного действия группы G на элементарных р-группах и Q>i(A) = {х 6 А | рх = 0}; эти ядра мы обозначаем через и

CG(QI(A))

Св(А/рА)

соответственно. В некоторых хорошо известных ситуациях

А/рА и Qi(A) изоморфны как ZG-модули и тогда, конечно, Со(А/рА) =

CG(QI(A));

А/рА

=

например, если А является прямой суммой циклических

групп одного порядка, то Со{А/рА)

=

CG{&I(A))

— пересечение G с со­

ответствующей главной конгруэнц-подгруппой. В общей ситуации модули А/рА и £2i(A) могут быть неизоморфны. Тем не менее, полученные ре­ зультаты показывают, что если период у одного из ядер Со(А/рА) CG(OI

или

(А)) конечен, то и другое ядро имеет конечный период, причем огра­

ниченный в терминах первого. Кроме того, эти ядра будут нильпотентны.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

360

Е. И. Хухро

Поскольку результаты несколько отличаются при р = 2, удобно ввести фиксированное обозначение: е = 0, если р ф 2, и е = 1, если р = 2. Т Е О Р Е М А 1. Предположим, что G ~ р-группа

автоморфизмов

абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(A/AP)

имеет конечный период р*, то под­

группа CG(&I{A))

имеет конечный период ^ р**€,

неравенству / ^

р*~*~г.

где f

удовлетворяет

оо

(б) Если р | р%А = 0 и подгруппа CG(&I(A)) ршх? p s , то подгруппа CG{A/AP)

имеет конечный пе-

имеет конечный период ^ р**£}

где f

удовлетворяет неравенству f ^ pf~8~l. Т Е О Р Е М А 2. Предположим, что G — р-группа

автоморфизмов

абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(&I(A)) {или CG(&I(A))2

группа CG{&I(A))

имеет конечный период рп} то под­ при р = 2) нильпотентна

ступе­

ни ^ п. оо

(б) Если f] р*А = 0 и подгруппа CG(A/AP) одрп, то подгруппа CG(A/AP)

(или CG(A/AP)2

имеет конечный периприр = 2)

нильпотентна

ступени ^ п. Сплетение Ср I G квазициклической группы с произвольной р-группой G показывает, что условие на Л в частях (б) теорем 1, 2 опустить нельзя (его, видимо, следует рассматривать как двойственное условию пе­ риодичности). Действительно, если А — база этого сплетения, то активная группа G точно действует на Q\(A), т. е. CG(^I(A)) G = CG(A/PA)}

так как А =

= 1; в то же время

рА.

Заметим, что число / из заключения теоремы 1 удовлетворяет нера­ венству / ^ 45, а также, например, неравенству / ^ (1 + S)s + u(S^p) для любого S > 0, где и(6, р) зависит только от S и р. На данный момент неясно, насколько можно усилить ограничения на / : можно ли, например, полу­ чить аналогичные результаты с / ^ s + С, где С — некоторая константа (возможно, зависящая от р)? В заключение работы мы используем теоремы 1(a) и 2(a) для под-

361

О р-группах автоморфизмов

тверждения в одном частном случае гипотезы об ограничении на сту­ пень разрешимости конечной группы с автоморфизмом порядка 2, все неподвижные точки которого центральны (разрешимость таких групп, а также сведение к случаю 2-группы установлены В.Д.Мазуровым и Т. Л. Недорезовым [1]). Автору интересно узнать о других возможных при­ менениях, в частности, о применениях "двойственных" теорем 1(6) и 2(6). При доказательстве теоремы 1 можно просто рассматривать случаи, когда G =

CG(&I{A))

но. Условие G =

ИЛИ G P

CG(A/A )

= Со{А/рА) в частях (а) или (б) соответствен­

ДНЯ конечной р-группы

G означает (при р ф 2),

что А ~ так называемая мощно вложенная подгруппа полупрямого произ­ ведения AG. Это понятие является ключевым в теории мощных р-групп. По определению, конечная р-группа Р является мощной, если [Р, Р] < Рр при р ф 2 или [Р)Р] < РА при р = 2. Предвосхищенная М.Лазаром [2] теория мощных р-групп была развита А.Любоцким и А.Манном [3]. В определенном смысле дуальным к последнему понятию будет понятие р-центральной р-группы: по определению, конечная р-группа р-централъна, если Q\(P) < Z(P)1 т. е. все элементы порядка р лежат в центре. Основы теории р-центральных р-групп были заложены Дж. Вакли [4]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Т. Вайгеля [5, 6]. Так называемые однообразно мощные р-группы являются одновременно и р-центральными р-группами, многие их свойства похожи на свойства гомоциклических абелевых р-групп. Если Р — конечная р-группа (сек­ ционного) ранга г, то Р содержит мощную подгруппу индекса ^

р^г\

где /(г) зависит только от г. В свою очередь, ранг конечной р-группы Р ограничен в терминах ранга любой ее максимальной абелевой нормальной подгруппы А: это следует из аналогичного утверждения для групп авто­ морфизмов абелевых р-групп, так как фактор-группа Р/А точно действует на А. Если G =

C G ( ^ I ( A ) ) , TO

можно сказать, что А р-централъно вло­

жена в полупрямое произведение AG. Пока неясно, каким должен быть полный "р-центральный аналог*4 вышеупомянутой связи мощных р-групп с абелевыми подгруппами.

362

Е. И. Хухро § 1. Предварительные леммы Будем использовать сокращенную запись для простых коммутато­

ров: [хг,х2,..

•, хп] = [-..[[»!, ж2]» • • •, з„].

В аддитивных обозначениях правого ZG-модуля Л мы продолжаем употреблять коммутаторные обозначения типа [а,д] = —а + а# для а 6 А, д Е G. Эта операция линейна по первому аргументу: [а + Ь,д] = [а,