Математический анализ: Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета (3 семестр)

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Математический анализ Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета 3 семестр

Екатеринбург 2007

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Математический анализ, 3 семестр» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Густомесов В.А., Ткаленко Н.В.

Содержание 1.

Программа курса .......................................................................................................3

2.

Лекции........................................................................................................................ 4

3.

Практические занятия ............................................................................................... 4

4.

Материалы для практических занятий и домашних заданий ..................................5

5.

Материалы для контрольной работы ........................................................................7

6.

Материалы к экзамену............................................................................................... 7

6.1

Вопросы к экзамену................................................................................................... 7

6.2

Задачи к экзамену ......................................................................................................8

Литература .......................................................................................................................... 9 Приложение. Методические советы студентам .............................................................. 10

2

1.

Программа курса Определение

первообразной,

первообразная

линейной

комбинации,

свойства

первообразной. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной

функции.

Интегрирование тригонометрических

функций. Интегрирование иррациональных функций. Мера

Жордана

на

плоскости.

Ее

свойства:

аддитивность,

монотонность,

регулярность, инвариантность относительно движений. Критерии измеримости по Жордану. Измеримость плоских фигур. Определение интеграла Римана. Необходимое условие

существования

интеграла.

Суммы

Дарбу.

Критерий

интегрируемости.

Геометрический смысл интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат; площади фигуры, заданной параметрически. Нахождение массы и длины плоской кривой. Нахождение объема тела вращения. Вычисление работы силы. Несобственные интегралы.

3

2.

1.

Лекции [1-3] Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной.

2.

Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям.

3.

Интегрирование рациональной функции.

4.

Интегрирование тригонометрических функций.

5.

Интегрирование иррациональных функций.

6.

Мера Жордана на плоскости. Ее свойства: аддитивность, монотонность, регулярность, инвариантность относительно движений.

7.

Критерии измеримости по Жордану. Измеримость плоских фигур.

8.

Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования интеграла.

9.

Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл интеграла Римана.

10.

Равномерная непрерывность функции.

11.

Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана.

12.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

13.

Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям.

14.

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат; площади фигуры, заданной параметрически.

15.

Нахождение массы и длины плоской кривой.

16.

Нахождение объема тела вращения. Вычисление работы силы.

17.

Несобственные интегралы.

3.

Практические занятия [4-6, 7]

1.

Нахождение простейших первообразных. Составление таблицы первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства.

2.

Интегрирование подстановкой (часть 1).

3.

Интегрирование подстановкой (часть 2).

4.

Интегрирование по частям.

5.

Интегрирование рациональной функции (часть 1).

4

6.

Интегрирование рациональной функции (часть 2).

7.

Интегрирование тригонометрических функций (часть 1).

8.

Интегрирование тригонометрических функций (часть 2).

9.

Интегрирование иррациональной функции (часть 1).

10.

Интегрирование иррациональной функции (часть 2).

11.

Зачет по технике интегрирования (контрольная работа №1).

12.

Построение интегральных сумм. Определение и геометрический смысл интеграла Римана. Вычисление и оценка интеграла Римана.

13.

Свойства интеграла Римана. Вычисление интеграла Римана: формула НьютонаЛейбница.

14.

Решение задач на приложения интеграла Римана (часть 1).

15.

Решение задач на приложения интеграла Римана (часть 2).

16.

Вычисление несобственных интегралов.

17.

Итоговое занятие.

4.

Материалы для практических занятий и домашних заданий [4-6, 7]

Занятие 1. Нахождение простейших первообразных. Составление таблицы первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Задачи [4]: 1677, 1681, 1683, 1680, 1685, 1689, 1691, 1693, 1695, 1682, 1699. Домашнее задание [4]: 1684, 1686, 1687, 1688, 1692, 1694, 1696, 1698, 1700, 1701. Занятие 2. Интегрирование подстановкой (часть 1). Задачи [4]: 1727, 1729; 1751, 1752; 1731, 1707, 1738, 1741, 1737, 1725, 1745. Домашнее задание [4]: 1712, 1716, 1718, 1720, 1722, 1724, 1728, 1730,1732, 1748. Занятие 3. Интегрирование подстановкой (часть 2). Задачи [4]: 1764, 1770, 1881, 1885, 1875, 1879, 1890, 1891. Домашнее задание [4]: 1760, 1763, 1769, 1770; 1869, 1882, 1883, 1888, 1892, 1894, 1897, 1901. Занятие 4. Интегрирование по частям. Цель занятия: усвоить правило интегрирования по частям. Задачи [4]: 1832, 1834, 1835, 1836, 1837, 1846, 1850, 1853, 1854, 1860, 1863. Домашнее задание [4]: 1833, 1838, 1842, 1847, 1849, 1851, 1855, 1857, 1862, 1864. Занятие 5. Интегрирование рациональной функции (часть 1). Случай простых и кратных действительных корней знаменателя. Задачи [4]: 1797, 1805; 2012, 2013, 2021, 2025. Домашнее задание [4]: 1800, 1796, 1802, 1806; 2014, 2020, 2023, 2025. 5

Занятие 6. Интегрирование рациональной функции (часть 2). Случай, когда знаменатель имеет комплексные корни. Задачи [4]: 2036, 2040, 2048. Домашнее задание [4]: 2037, 2039, 2041. Занятие 7. Интегрирование тригонометрических функций (часть 1). Задачи [4]: 1815, 1817, 2091, 2093, 2095, 2097. Домашнее задание [4]: 1811, 1820, 1819, 2098, 2099, 2102. Занятие 8. Интегрирование тригонометрических функций (часть 2). Задачи [4]: 2105, 2109, 2113, 2118. Домашнее задание [4]: 2108, 2114, 2121. Занятие 9. Интегрирование иррациональной функции (часть 1). Задачи [4]: 2071, 2069, 2075. Домашнее задание [4]: 2068, 2070, 2072. Занятие 10. Интегрирование иррациональной функции (часть 2). Задачи [4]: 2079, 2081, 2083; 2159, 2161. Домашнее задание [4]: 2076, 2084; 2156, 2158, 2162, 2166. Занятие 11. Зачет по технике интегрирования. Контрольная работа №1. Занятие 12. Интеграл Римана. Суммы Римана, суммы Дарбу. Их построение, геометрический смысл. Свойства интеграла Римана. Задачи [4]: 1593; 1621, 1629, 1631, 1643. Домашнее задание [4]: 1622, 1632, 1642, 1646. Занятие 13. Вычисление интеграла Римана: формула Ньютона-Лейбница. Задачи [4]: 1620, 1650(1); 2231, 2239, 2275, 2260. Домашнее задание [4]: 1616, 1650(2), 2232, 2240, 2242, 2276, 2279, 2262,2264. Занятие 14. Решение задач на приложения интеграла Римана (часть 1). Задачи [4]: 2455, 2459, 2495, 2497, 2491, 2507. Домашнее задание [4]: 2462, 2478, 2590, 2506, 2508 Занятие 15. Решение задач на приложения интеграла Римана (часть 2). Задачи [4]: 2521, 2529, 2555, 2565, 2561, 2581. Домашнее задание [4]: 2524, 2531, 2534, 2566. Занятие 16. Вычисление несобственных интегралов. Задачи [4]: 2685; 2367, 2369, 2373; 2395, 2397; 2418. Домашнее задание [4]: 2686, 2368-2384 (четные), 2394, 2398. Занятие 17. Итоговое занятие. Отчет по ИДЗ [7].

6

5.

Материалы для контрольной работы

Прим. Ниже приведены типичные задачи. На контрольной работе могут быть предложены другие аналогичные задачи. Контрольная работа № 1: «Основные методы интегрирования»

ctg 4 x  100 dx ; sin 2 4 x 3x 2  1 ln( x3  x)dx д)  3 x x 3

1) а)



2) а)

 arcsin 4x dx ; б)

б)

x e

2 3x3

dx ;

в)

 tg

x

dx ; x

(3x 2  1)( x3  x  1) ln( x3  x)dx ; в) 3  x x

г)

e

sin 2 x

 1  sin

x

4

x

dx ;

sin 2 xdx

x7 c tg x dx 3) а)  ; б)  ln sin x dx (1  x 2 )5 x 2  3x  2 dx 4)  ( x  1)( x3  1) Контрольная работа № 2: индивидуальное домашнее задание [7].

6.

Материалы к экзамену

6.1

Вопросы к экзамену Неопределенный интеграл. 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства интеграла. 2. Таблица основных интегралов. Интегрируемость в элементарных функциях. 3. Интегрирование по частям. Рекуррентная формула. 4. Интегрирование подстановкой, подведение функции под знак дифференциала. Стандартные подстановки. 5. Интегрирование рациональных функций: разложение правильной дроби в сумму простейших. 6. Интегрирование простейших дробей. 7. Метод рационализации. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. 8. Интегрирование квадратичных иррациональностей, дифференциалов. Понятие об эллиптических интегралах.

7

биномиальных

9. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл (Римана). 10. Определение и свойства площади (меры Жордана) плоской фигуры. Критерии квадрируемости. 11. Интеграл Римана как предел интегральных сумм. 12. Необходимое условие интегрируемости. 13. Суммы Дарбу, их свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу. 14. Критерий интегрируемости через суммы Дарбу. Следствие о пределе сумм Дарбу. 15. Равномерная непрерывность функции на промежутке. Теорема Кантора, следствие. 16. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные функции. 17. Геометрический смысл интеграла Римана. 18. Свойства интеграла. 19. Интеграл с переменным верхним пределом, его дифференцируемость. 20. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и подстановкой в интеграле Римана. 21. Вычисление площади плоской фигуры через определенный интеграл. 22. Кубируемость тел. Вычисление объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения. 23. Спрямляемые кривые. Вычисление длин кривых через определенный интеграл.

Задачи к экзамену

6.2 Найти

dx dx 2 ; 3) 4)  x sin ax dx ;  x3  8  x3  8 ; x3  1 x 1 1 dx ; 7)  6)  3 dx ; 8)  arctg ax dx ; x 1 x 1 1 x 3 dx dx x dx 10)  4 ; 11)  4 , ; 3 4  x  16 x x x  16 ln 5 4 e x dx dx 3  x2 13)  x e dx ; 14)  ; 15)  . x 1  2 x  1 e  1 ln 2 0

1)

3 4  (sin x  sin x) dx ; 2)

5)

e

9)



12)

x

sin x dx ;

x 2  a 2 dx ;

dx

 sin x  cos x  1 ;

16) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=2-x2, y=| x|. 17) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=x3, y=2x. 18) Найти объем прямого кругового цилиндра высотой H с радиусом основания R, рассматривая цилиндр как тело вращения.

8

Литература Учебники: 1. 2. 3.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.,1989 Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа. Т.1. М., 1966 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969.

Задачники: 4. 5. 6.

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1975. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. Ч.1. М., 1971. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1990.

Методические разработки: 7. 8.

Интегральное исчисление. Контрольная работа для заочного отделения, индивидуальные задания для очного отделения. Екатеринбург: УрГПУ,1995. Определенный интеграл. Метод. разработка. Св.: СвГПИ, 1989.

9

Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня.

10

Учебно-методическое издание: «Математический анализ». Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета, 3 семестр. Составители: Густомесов В.А., Ткаленко Н.В.

11