ЧИШВЫЯ ТОЖЕСТВА, ОАХОДЯЩШСЯ
ВЪ СВЯЗИ Cl СВОЙСТВАМ С И М А Е. Н. В. Б у г а е в а . Совокупность математическихъ истинъ,...
6 downloads
330 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ЧИШВЫЯ ТОЖЕСТВА, ОАХОДЯЩШСЯ
ВЪ СВЯЗИ Cl СВОЙСТВАМ С И М А Е. Н. В. Б у г а е в а . Совокупность математическихъ истинъ, известная въ на стоящее время подъ общимъ именемъ теорш чиселъ, суще ственно распадается на два огромныхъ отдела. Въ одномъ разсматриваются свойства неопред'Ьленныхъ уравненШ: сюда относится теор1я сравненШ и различныхъ формъ. Въ другомъ наследуются свойства числовыхъ функцШ, какъ по отношешю ихъ между собой, такъ и по отношенш ихъ къ функшямъ аналитическим^ и по связи ихъ съ различными вопросами анализа. Къ этому отделу принадлежатъ изящныя изслъдовашя Чебышева о первыхъ числахъ, Гаусса, Дирикле и Кронеккера о числе родовъ и классовъ квадратичныхъ формъ для различныхъ определителей, изеледовашя Дирикле объ ассимптотическихъ выражешяхъ, Нувилля о различныхъ чи словыхъ тожествахъ и ВСЕ изыекашя о взаимной зависимости между свойствами числовыхъ функцш и коеффищентами безконечныхъ рядовъ. Хотя еще не существу етъ до сихъ поръ общихъ методовъ для решетя различныхъ вопросовъ втораго отдела, хотя частныя изыскания, отноеяпряея сюда, стоятъ независимо другъ отъ друга, однако нельзя не видеть, что вопросы и npieMbi, употребляемые во второмъ отделе, отли»
Ii
чаются отъ пр1емовъ перваго отд-вла своимъ аналитико-числовымъ характеромъ. На этомъ основанш мы считаемъ полезнымъ усвоить и терминолопю, соответствующую этимъ двумъ отд-вламъ. Совокупность истинъ, относящихся къ пер вому отделу, мы будемъ называть собственно Teopieio чиселъ, или просто теоргею чиселъ, совокупность истинъ, относящих ся ко второму отделу, будемъ называть для краткости число вым, исчмсленшю или числовымъ анализомъ (calcul numérique). Т* случаи, въ которыхъ свойства числовыхъ функщй зависятъ отъ свойствъ неопред*ленныхъ уравнешй, нисколько не противоречат этому разд*ленно, и намъ кажется, что при такомъ воззрЪнш все, что проигрывается въ точности, выигрывается въ ясности и наглядности представлении Совокупность законовъ, составляющихъ предметъ нашего изсл^доватя, принадлежитъ къ той огромной групп* истинъ, которую мы будемъ называть чиеловымъ •исчислешемъ, ибо, если неопред-вленныя уравнешя и служатъ точкою отправлешя при вывод* различныхъ числовыхъ тожествъ въ нашемъ изсл-Ьдованш, то ГГБЛЬ и воззр*ше, съ которыми разсматриваются эти уравнешя, носятъ на себ-В характера не подле жащей ВПОЛН-Б теорш чиселъ въ смысл* вышеупомянутая опредъмешя. Въ выражешяхъ законовъ, выводимыхъ въ этомъ изсл-вдованш, входитъ функщя Е(«) съ символомъ Е, означающие наибольшее ц*лое число, содержащееся въ положительномъ количеств* и. До сихъ поръ этотъ символъ употреблялся какъ вспомо гательное оруде для облегчешя доказательства различныхъ теоремъ теорш чиселъ и числоваго исчислешя (законъ взаим ности двухъ простыхъ чиселъ, теорема Чебышева), но онъ не былъ предметомъ самостоятельныхъ изысканш и свойства функцш Ем не имелись въ виду при этомъ главныиъ образомъ. Лучшее изслЪдоваше, въ которомъ разбираются н*ко-
Ill ?орыя свойства выражешй, зависящихъ отъ символа Е, принадлежитъ Дирикле. Но въ своей статье *) онъ преимуще ственно имФетъ -въ виду провести мысль объ аееимптотиче« скихъ формулахъ, къ которымъ стремятся въ предал* р1>ше~ шя различныхъ числовыхъ вопросовъ, поэтому и методы и преобразовашя, употребляемые у него, носятъ частный ха рактера еоотвФтствующШ другой основной мысли. Для изел1*довашя свойствъ символа Е можно пользоваться любымъ изъ трехъ пр!емовъ: или 1) можно употреблять способъ неравенствь, въ которомъ общею задачею было бы опре делить, сколько разъ неравенство f (х, у, z)