Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов: Лабораторный практикум

Министерство образования Российской Федерации

УДК 538. 945 И88

Омский государственный университет

Рекомендован к изданию учебно-методическим советом ОмГУ. Протокол № 1 от 28 апреля 2004 г.

И88

Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов

Практикум включает две лабораторные работы. Материал соответствует Государственному образовательному стандарту по специальности 010400 «Физика». Может быть использован студентами других специальностей. УДК 538. 945

Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) Специальность 010400 «Физика»

Издание ОмГУ

Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов: Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) / Сост.: Н.В. Блинов, О.Л. Курнявко, Д.C. Пашкевич, И.В. Широков, К.Н. Югай. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 28 с.

© Омский госуниверситет, 2004

Омск 2004 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Исследование симметричного dc-сквида Сквиды – это сверхпроводящие сенсоры, позволяющие измерять чрезвычайно слабые магнитные поля. Само слово сквид – это русское произношение английской аббревиатуры SQUID – Superconducting Quantum Interference Device (сверхпроводящее квантовое интерференционное устройство). С помощью сквидов можно создать магнитометры с чувствительностью порядка 10–11 Гс, вольтметры с чувствительностью порядка 10–15 В и другие приборы с очень высокой чувствительностью. Открытие в 1986 году Беднорзом и Мюллером высокотемпературных сверхпроводников – металлооксидных керамик – сделало приборы на основе сквидов доступными для широкого использования. Различают два вида сквидов: сквид на постоянном токе – dc-сквид (двухконтактный сквид) и высокочастотный – rf-сквид (одноконтактный). Ниже рассматриваются свойства dc-сквида. Причем используется простейшая модель dc-сквида – симметричная модель, в которой предполагается полное равенство плеч сквида. Цель лабораторной работы – исследовать симметричный dc-сквид с помощью численного решения системы уравнений для dc-сквида; для ряда конкретных параметров сквида найти важнейшие характеристики сквида: вольтамперную и вольтпотоковую характеристику, его чувствительность. Уравнение симметричного dc-сквида Dc-сквид состоит из двух джозефсоновских переходов, включенных в сверхпроводящее кольцо с индуктивностью L. Это кольцо называют контуром квантования. При наведении на сквид внешнего потока магнитного поля Φ e возникающее на сквиде напряжение V является периодической функцией Φ e при постоянном токе смещения I.

3

Схема dc-сквида изображена на рис. 1. В симметричном dcсквиде критические токи левого и правого переходов, отмеченных на рис. 1 крестиками, равны I c1 = I c 2 ≡ I c , равны также сопротивления R1 = R2 ≡ R и индуктивности плеч L1 = L2 =

L , где L – полная 2

индуктивность кольца.

Рис. 1. Схема dc-сквида Уравнение dc-сквида основывается на двух соотношениях Джозефсона: I s = I c sin ϕ, (1) h

∂ϕ = 2eV , ∂t

(2)

где Is – сверхпроводящий ток через джозефсоновский переход; ϕ – разность фаз волновых функций сверхпроводящего конденсата на переходе; V – напряжение на переходе. Уравнение (1) определяет стационарный эффект Джозефсона, а уравнение (2) нестационарный эффект. 4

Полный ток смещения в сквиде I = I1( t ) + I 2 ( t ) = const . (3) Несмотря на то, что I = const, токи I1 и I2 являются в общем случае функциями времени из-за возникновения индуцированного внешним переменным магнитным полем кругового тока в кольце. Ток I1, а также ток I2 имеет две компоненты: сверхпроводящую и нормальную: V (t ) I1( t ) = I c sin ϕ1( t ) + 1 , (4) R1 I 2 ( t ) = I c sinϕ 2 ( t ) +

V2 ( t ) . R2

можно записать круговой ток J в виде Φ ( t ) Φ( t ) J= e − . L L Полный поток Φ связан с разностью ϕ 2 − ϕ1 соотношением ϕ 2 − ϕ1 = 2π где Φ 0 =

Φ( t ) , Φ0

(10’)

(11)

πh – квант потока. Покажем справедливость соотношения e

(11).

(5)

Разность фаз ϕ1 и ϕ 2 согласно (2) определяются уравнениями: ∂ϕ1 2e = V1( t ), ∂t h

(6)

∂ϕ 2 2e = V2 ( t ) . (7) ∂t h Напряжение на сквиде V определяется следующим образом: dI ( t ) dI ( t ) V ( t ) = V1( t ) + L1 1 = V2 ( t ) + L2 2 . (8) dt dt Уравнения (3)–(8) в принципе описывают работу dc-сквида, поскольку влияние внешнего магнитного поля учитывается зависимостью I1 и I2 от времени, что в свою очередь позволяет найти разность потенциалов на сквиде (8). Однако удобнее явно ввести поток внешнего магнитного поля в уравнение dc-сквида. Это можно сделать следующим образом: введем круговой ток в контуре I ( t ) − I1( t ) J( t ) = 2 . (9) 2 С помощью выражения для полного потока Φ , сцепленного с контуром Φ( t ) = Φ e ( t ) − LJ ( t ) , (10) 5

Рис. 2. К выводу соотношения (11): штриховыми линиями изображены контуры, по которым проводят интегрирование Проведем внутри кольца контуры ac и db, соединяющие пары точек, расположенных вблизи переходов (рис. 2). Обобщенный импульс куперовской пары имеет вид: r r h∇θ = 2mvs + 2eA, (12) r где θ – фаза волновой функции сверхпроводящего конденсата; vs – скорость куперовской пары. Полагая, что контуры ac и db расположены на расстоянии от края кольца, превышающем лондоновскую 6

глубину проникновения магнитного поля λ , и интегрируя (12) по этим контурам, получим 2e  a r r d r r  θ a − θ c + θ d − θ b =  ∫ A dl + ∫ A dl . (13) h c b  Вводя обозначение разности фаз на левом ϕ1 и правом ϕ 2 переходах θb − θ a = ϕ1 , θ d − θ c = ϕ 2 (14) и учитывая, что расстояние между точками a и b, а также c и d малы по сравнению с длинами контуров ca и bd, получаем 2e r r Φ ϕ 2 − ϕ1 = A dl = 2π , ∫ h abcda Φ0 поскольку по теореме Стокса r r r r r r ∫ A dl = ∫ rot A dS = ∫ H dS = Φ , abcda

S

S

где S – площадь контура квантования. С учетом (11) выражение для кругового тока запишем в виде J ( t ) 2 Φ e ϕ 2 ( t ) − ϕ1( t ) = − , (15) Ic β Φ0 πβ где введем параметр β β=

2Ic L . Φ0

(16)

В выражении (9), подставляя вместо I1 или I2 , соответствующее выражение из (3), получим I − 2 I1( t ) − I + 2 I 2 ( t ) J( t ) = = , (17) 2 2 откуда имеем dJ ( t ) dI ( t ) dJ ( t ) dI 2 ( t ) =− 1 , = . (18) dt dt dt dt Учитывая (18), можно записать выражение для разности потенциалов на сквиде V(t) в виде L dJ ( t ) L dJ ( t ) V ( t ) = V1( t ) − = V2 ( t ) + . (19) 2 dt 2 dt 7

Отсюда с учетом (6) и (7) получаем V +V h  dϕ ( t ) dϕ 2 ( t )  V( t ) = 1 2 =  1 (20) + . 2 4e  dt dt  Подставляя в (6) и (7) соответствующие выражения для V1 и V2 из (4) и (5), получим dϕ1 2eR = (I1( t ) − I c sinϕ1( t )), (21) dt h dϕ 2 2eR = (I 2 ( t ) − Ic sin ϕ 2 ( t )) . (22) dt h Из соотношений (3) и (9) имеем 1 1 (23) I1 = − J , I 2 = + J . 2 2 Подставляя (23) в (21) и (22), получаем dϕ1 2eR  I  = (24)  − J ( t ) − I sinϕ1( t ) , dt h 2  dϕ 2 2eR  I  = (25)  + J ( t ) − I sin ϕ1( t ). dt h 2  Уравнения (15), (20), (24) и (25) составляют систему уравнений, описывающих dc-сквид без учета шума. Для удобства вычислений перейдем к безразмерным величинам. Введем обозначения: h h Φ h = = 0 ≡ τ c , Vc = I c R = . 2eRI c 2eVc 2πVc 2eτ c С учетом этих обозначений образуем безразмерные величины: t I J → t, ≡ i, ≡ iL , τc Ic Ic V L Φe ≡ φe . ≡ v, ≡ l, Φ0 Vc Lc Тогда система уравнений dc-сквида записывается в виде: dϕ1 i = − iL ( t ) − sinϕ1( t ), dt 2 dϕ 2 i = + iL ( t ) − sin ϕ 2 ( t ), (26) dt 2 8

1  dϕ ( t ) dϕ 2 ( t )  2φ ϕ − ϕ1 v=  1 . +  , iL = e − 2 2  dt dt  β πβ В общем случае система уравнений (26) может быть решена только численно. Интегрируя (26), можно определить все важнейшие характеристики сквида, а также чувствительность, определяемую выражением  ∂V   . S =   ∂Φ e  I Критический ток, вольтамперная, вольтпотоковая характеристики и чувствительность dc-сквида Пусть Φ e = 0 , тогда при токе смещения I, меньшем удвоенного значения критического тока Ic, I < 2Ic, ток, протекающий через джозефсоновские переходы, будет являться сверхпроводящим I = I1s ( t ) + I 2 s ( t ) = I c (sinϕ1 + sinϕ 2 ) или ϕ − ϕ1 ϕ + ϕ2 I = 2 I c cos( 2 ) sin( 1 ). (27) 2 2

Используя (11), запишем ток I в виде I = 2 I c cos( π

Φ Φ ) sin( π + ϕ1 ). Φ0 Φ0

(28)

Отсюда можно видеть, что максимальный сверхпроводящий ток I m = 2 I c cos( π

Φ ) Φ0

(29)

является периодической функцией полного потока, захваченного контуром. Как видно из рис. 3, |Im| = 2Ic при Φ = nΦ 0 , где n = 0,1,2,..., т. е. при целом значении квантов захваченного потока. При числе квантов, равном полуцелому числу n+1/2, Im=0. Зависимость Im от внешнего потока Φ e будет также функцией от индуктивности контура или от параметра β . В соответствии с выражением (10)    π (Φ e − LJ ) = 2 I c cosπ Φ e − πβJ  I m = 2 I c cos  Φ 0 2Ic    Φ0

(30)

зависит от параметра β . Чем больше β , тем меньше разность ∆ I m между значениями Im при Φ e = 0 и его значением при Φ e = 0,5Φ 0 (при β → ∞ , ∆ I m → 0 ). При β → 0 , т. е. при L → 0 , Φ → Φ e ,

∆I m → 1 . Таким образом, изменение внешнего потока при заданном 2I c β приведет к изменению максимального критического тока; Im миΦe Φe нимален при = 0 ,5 и максимален (| I m |= 2 I c ) при =0 и Φ0 Φ0 Φe = 1. Φ0 Рис. 3. Зависимость максимального сверхтока Im от полного потока в контуре Φ 9

10

ВАХ совпадает с предыдущей ВАХ (а). При

Φe = 0 ,5 ВАХ лежит Φ0

ниже всех остальных ВАХ при тех же значениях β (b) , т.е. ВАХ при всех остальных значениях

Φe лежат между ВАХ a и b. Φ0

Рис. 4. Зависимость максимального сверхтока Im от внешнего потока при различных значениях β : β 1 < β 2 < β 3

Рис. 6. ВАХ dc-сквида при Φ e = const и различных значениях β ( β 1 > β 2 > β 3 )

Рис. 5. ВАХ dc-сквида при β = const : Φ Φ Φe = 0 (или 1) (a); e = 0 ,5 (b); 0 < Φ e < 1 , но e ≠ 0,5 (c) Φ0 Φ0 Φ0 Вольт-амперная характеристика (ВАХ) сквида при заданном Φ β ≠ 0 и Φ e = 0 имеет вид, изображенный на рис. 5 (a). При e = 1 Φ0 11

Рис. 7. Вольтпотоковая характеристика dc-сквида (Ia