基本群とラプラシアン―幾何学における数論的方法 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國屋数学叢書 29

編集委員 伊藤 戸 田

清 三  (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜  (京都大学名誉教授)

飛 田

武 幸  (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明  (京都大学名誉教授)

砂田 利一

基 本 群 とラプ ラ シ ア ン 幾何 学 に お け る数論 的 方 法 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 上 で 定 義 され た2階

の偏 微分 作 用 素

Δ=∂2/∂x12+…+∂2/∂xn2 は,ラ

プ ラシ ア ン(あ る い は ラ プ ラス作 用 素)と

微 分 作 用 素 で あ る.方 程 式 Δf=0の

よば れ る最 も古 典 的 な 楕 円型

解 を 研 究 す る調 和 関 数 論 は も と よ り,作

用 素 Δ に関 す る,有 界領 域 上 の 関数 に適 当 な境 界 条 件 を お い て 考 察 す る スペ ク トル(固 有 値)問 題 は,解 析学 に お い て 古 くか ら考 察 され て きた 典型 的 な 研 究 対 象 で あ り,楕 円型 作 用 素 の一 般 理 論 の 原型 を 与 え る基 本 的 な 例 と し て,そ の 役 割 の重 要性 は 現在 で も失 わ れ て は い な い.本 書 の 主 要 な 課 題 は,一 般 の リー マ ン 多 様 体 に お い て,Δ の 類 似物 を 考 え(こ れ も ラ プ ラシ ア ン とい う),そ の ス ペ ク トル問 題 を微 分 幾 何 学 的立 場 か ら研 究 す る こ とで あ る.多 様 体 が コン パ ク トの と きに は,Δ の スペ ク トルは 重 複度 有 限 な 固有 値 の み か らな り,多 様 体 の 幾 何 学 的性 質(曲 率,体 積,直

径,閉 測 地 線etc.)と固 有 値 の 分 布 状 態 は 密 接 に

関 係 す る こ とが,最 近 の 数 多 くの 研 究 に よ って 明 らか に され て きた(こ に つ い ては,Berger-Gauduchon-Mazet 説 書 を参 照 の こ と).特

[8]あ

るい はChavel

に 閉測 地 線 との 関係 は,固有

の方 面

[16]等

の概

値 分 布 の 精 密 な性 質 が 反

映 して お り,現 在 で も最 も興味 あ る研 究 分 野 で あ る.本 書 では,多 様 体 の基 本 群 と ラ プ ラシ ア ンの スペ ク トル の 間 の"相 互 作 用"を 通 して,閉 測 地 線 の分 布 問題 を 含 め た い くつ か の 話 題 を 扱 うこ とに す る.そ し て そ の媒 介 とな る の が, いわ ゆ る跡 公 式 とい うもの で あ る.   跡公 式 の一 つ の 原 型 は,非

コン パ ク ト型 対 称 空 間(特

作 用 す る離 散 群 に対 して,1956年

にSelberg

[85]に

に上 半 平 面)と

それに

よ り定 式 化 され た.以 来

跡 公式 につ い て は 数 多 くの 拡 張 お よび応 用 が 得 られ て い る.し か し,跡 公 式 の 守 備 範囲 は これ ら の仕 事 が 主 に 扱 って きた 等 質 空 間 に は 止 ま ら な い.す な わ ち 自明 で は な い基 本 群 を 有 す る一 般 の多 様 体 に お い て も,そ の原 理 的 部分 は 適 用 可 能 で あ る.実 際,5章 ク トル多様 体(等

で 見 る よ うに,ラ プ ラシ ア ン の 固有 値 に 関 す る等 ス ペ

しい 固 有 値 を 持 ち,リ ー マ ン多 様 体 と し て 異 な る多様 体)の

構 成 に お い て も有 用 な役 割 を 果 た す.   基 本 群 と ラ プ ラシ ア ン の スペ ク トル の 間 の 関 係 を 明確 に す るの に用 い られ る 概 念 が,基 本 群 の 表 現 に 付 随 した 平 坦 ベ ク トル束 で あ る.特 に無 限 次元 ユ ニ タ リ表 現 に 対 す る平 坦束 を 考 え る こ とは,コ ン パ ク ト多様 体 の普 遍被 覆空 間(一 般 に は非 コ ンパ ク ト)上 で定 義 され た ラプ ラシ ア ン の ス ペ ク トル問 題 へ の手 掛 か りを与え,基

本 群 の構 造 と スペ ク トル の性 質 が,互 い に 影 響 しあ うこ とが こ

の考 察 の 副産 物 とし て示 され る.   本 書 を通 し て共 通 す る こ とは,数 論 的 ア イデ ィ アの 積 極 的 活 用 で あ る.上 で 述 べ たSelbergの

仕 事 の 中 で も暗 示 され てい る よ うに,ス ペ ク トル問 題 の 相 当

部 分 は,数 論 と類 似 す る構 造 を 持 つ こ と が 認 識 され る.特 に 被 覆 空 間 の 概 念 が,体 の 拡 大 に つ い て の ガ ロア理 論 と全 く平 行 な様 相 を 持 って い る こ と か ら も,こ の こ とは 容 易 に理 解 され る で あ ろ う.さ らに,議 論 を進 め る途 中 で,ゼ ー タ関 数 あ るい はL-関

数 の 幾 何 学 的 類 似 物 を ,ラ

地 線 の 長 さの分 布 か ら構 成 す るが,こ

プ ラシ ア ン の 固有 値 や 閉測

の 部分 に おけ る数 論(特

に解 析 数論)か

ら の影 響 は 決定 的 で あ る.本 書 に直 接 関 連 す る数 論 の概 観 につ い ては,緒 言 を 参 照 され た い.   本 書 で扱 う主 題 の 多 く は,現 在 で も活 発 に 研 究 が 行 な わ れ て い る も の で あ り,予 定 とし ては こ こ で 述べ た い と思 った 事 柄 で,機 が 熟 し てい ない と判 断 し て,割 愛 した も の も い くつ か あ った(例 えば 一 般 の負 曲率 多 様 体 上 の 閉 測 地 線 の分 布).こ

れ ら に つ い て は,他

日を期 した い.

  読 者 が 必 要 とす る予 備 知 識 に つ い て は,大 学 院 学 生 程 度 の も の を 仮 定 した が,特 に 代 数 的位 相 幾何(ホ モ トピー,基 本 群,ホ マ ン幾 何 の 初 歩,お

モ ロジ ー),多 様 体論,リ

ー

よび 関 数 解析 の初 歩 を理 解 し て い る こ とが 望 ま しい .

  終 りに,本 書 の執 筆 を すす め て下 さ った 飛 田武 幸 先 生 に 厚 く御 礼 を 申 し上げ た い.本 書 で扱 わ れ てい る研 究 成 果 の い くつか は,共

同研 究 者 の勝 田篤 君,足

立 俊 明君 との数 年 に わ た る研 究 か ら生 まれ て きた もの であ り,執 筆 中多 くの有 益 な助 言 もい た だ い た こ とに 感 謝 の意 を 表 わ す.東 京 工 業 大 学 の志 賀浩 二 先 生 に は,学 生 時 代 か ら現 在 に 至 る ま で,数 学 の楽 し さ,お

もし ろ さ につ い て,様

ざ まな 機 会 を 通 じ て御 教 示 頂 い てお り,心 か ら の謝 意 を表 した い. 砂田 利一

目

次

ま え が き ⅰ 記 号 表  ⅵ 緒 言  ⅶ 序 章  準備   §1 被 覆 空 間 の ガ ロア理 論     §2 G-バ ナ ッハ空 間 とG-ヒ ル ベ ル ト空 間     §3 有 限 群 の 表現   §4  平 坦 ベ ク トル束     §5  自己 共 役 作 用 素   §6  リー マ ン幾 何 よ りの 準 備   第1章

1 19   22 30  36 44

  リー マ ン 被 覆

  §7  リー マ ン被 覆 と閉測 地 線  

50

  §8  閉 測 地 線 の"類 体 論" 

53

  §9  閉測 地 線 とL-関 数 第2章

  55

 ラプラシ ア ン

  §10  リーマ ン多 様 体 上 の ラ プ ラ シ ァ ン

 61

  §11  平 坦 ベ ク トル束 と ラ プ ラ シ ア ン

 67

  §12  熱 方 程 式 とそ の 基 本 解(熱 核) 

73

  §13  熱 核 の 性 質(ユ ニ タ リ表 現 の 場 合) 

75

  §14  熱 核 の 構 成   §15  被 覆 多 様 体 上 の熱 核 の存 在   §16  ラ プ ラシ ア ン の 固有 値   §17  ラ プ ラ シ ア ンの スペ ク トラ ル ・ゼ ー タ関 数

 79  84   87  90

第3章 

非 正 曲率多様 体

  §18  非 正 曲 率 多様 体 上 の 閉 測地 線     §19  平 坦 多様 体 第4章

92   104

 跡公式

  §20  熱 核 に 対 す る跡 公 式

  112

  §21  初 等 的 跡 公式

  114

  §22  非 正 曲 率 多様 体 上 の跡 公 式(一 般 的 注 意)    §23  平 坦 多様 体 上 の 熱核 に対 す る跡公 式   §24  Epsteinゼ 第5章

ー タ関 数

115  117   120

  等 ス ペ ク トル 多 様 体

  §25  ラプ ラシ ア ン に関 す る等 スペ ク トル多 様 体  

122

  §26  等 スペ ク トル多 様 体 の例  

125

  §27  閉 測 地 線 の 長 さに 関 す る等 スペ ク トル 多様 体  

126

第6章 

Selbergの

ゼ ー タ関 数

  §28  上 半平 面 の 幾 何 学 

128

  §29  上 半平 面 に お け る跡 公 式  

133

  §30  Selbergゼ

136

第7章 

ー タ関 数  

基 本 群 の 表 現 と ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル

  §31  1次 元 表 現 と最 小 固 有 値     §32  リーマ ン面 の 閉 測地 線 の 分布 へ の応 用   §33  一 般 の ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 す るΔρの 最 小 ス ペ ク トル   §34  離 散 群 のamenability   §35  表 現 の 弱 包 含 とス ペ ク トラム  §36  有 限 リー マ ン被 覆 と ラ プ ラシ ア ンの 最 小 正 固 有 値 第8章 

143   145   150 157  162  164

関 連 す る話 題

 §37  Wiener測

度 と跡 公式

 §38  等 ス ペ ク トル平 坦 多 様 体

 169   171

  §39  コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体 のRay-Singerゼ   §40  有 限 有 向 グ ラ フ にお け るL-関   §41  非 有 向 グ ラ フ のL-関   §42  Gel'fandの

ー タ関 数  

数  

数(Iharaゼ

ー タ 関 数) 

問題  

174 180 187 194

付 録   A 

Wiener-IkeharaのTauber型

定理

  B  Hardy-LittlewoodのTauber型   C  非 ユ ー ク リ ッ ドFourier変

定理   換

  199 202  203

参考文献  

210

索 引 

217

記

#A: 

集 合Aの

表

濃度

Z={…,-2,-1,0,1,2,…}:  Q: 

号

整数の集合

有理数の集合

R: 

実数の集合

C: 

複 素数 の集 合

R+={x∈R;x≧0} R++={x∈R;x>0}  

:  円 周

Br(x)={y∈X;d(y,x)≦r}:  tr A: 

作 用 素Aの

Spect(A): 

作 用 素Aの

[G]={[σ]}:  Gσ={μ

距 離 空 間(X,d)の

群Gの

∈G;μ

心 をx,半

径 をrと

す る球

ス ペ ク トル の 集 合 元 の共 役 類 の 集 合

σ=σ μ}: 

IndGH(ρ): 

誘導表現

π1(X,a): 

位 相 空 間Xの,基

Eρ: 

中 の,中

跡

σの中心化群

点 をaと

す る基 本 群

表 現 ρに 付 随 す る 平 坦 ベ ク トル 束

L2(Eρ): 

Eρ の 二 乗 可 積 切 断 の 空 間

Δρ:  Eρ の 切 断 に 作 用 す る ラ プ ラ シ ア ン 1: 

自明 な 表 現

λ0(ρ):  Δρの ス ペ ク ト ラ ム の 下 限(ρ が 有 限 次 元 表 現 の 場 合 は,Δ L(s,ρ): 

L-関

数

ζ(s,ρ):  ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数 kρ(t,x,y):  M: 

Δρの 熱 核

多 様 体Mの

普遍被覆

expx:TxM→M: 

指数写像

〓:  接 続(共

変 微 分)

R(X,Y)Z: 

曲 率 テ ン ソル

dυg: 

体 積要 素

vol(M):  DM: 

Mの Mの

直径

体積

ρの 最 小 固 有 値 と一 致)

緒

  こ こ で は,全

篇 に わ た って 積 極 的 に 用 い られ る数 論 的 ア イ デ ィア の輪 郭 を 読

者 に つ か ん で も ら うた め,代 る(詳

言

細 に つ い て は,高

数 体 の 整 数 論 の ご く簡 単 な 概 観 を 与 え る こ と に す

木[ⅶ],末

綱[ⅷ]を

参 照 せ よ).し

べ る こ と は 直 接 に は 本 論 の 内 容 と 係 わ る も の で は な い か ら,直

か し こ こで 述 ち に 第1章

に進

ん で も さ し つ か え は な い.   代 数 体,す

な わ ち 有 理 数 体Qの

び 類 体 論 は,19世

紀 か ら20世

有 限 次 代 数 拡 大 体 に おけ る イ デ ア ル 論 お よ

紀 に か け て,Kronecker,

高 木 ら に よ っ て 構 築 さ れ た 格 調 高 い 理 論 で あ る.そ

Dedekind,

Hilbert,

し て そ の 基 礎 に は,一

体 の 拡 大 に 関 す る ガ ロ ア 理 論 が あ る こ と は も ち ろ ん で あ る.K/kに 体kと

そ の 拡 大Kを

表 わ す こ と に し,G(K/k)を

と よ ば れ る.ガ

σ∈G(K/k)}と

ロ ア 理 論 に よ れ ば,全 部 分 体, 

部 分 群} に よ り与 え ら れ,

正 規 で あ る こ と と,HがGの

な わ ち 体 の 拡 大 が,群

正 規 部 分 群 と な る こ と は 同 値 で あ る.す

論 で 完 全 に 制 御 さ れ る の で あ る.

  群 論 と 代 数 体 の 理 論 の 間 の 密 接 な 関 係 は,代

な い(分 Ikをkの

ガ ロア群

単射

が 対 応 

て,よ

恒等

正 規 拡 大 あ る い は ガ ロ ア 拡 大,G(K/k)はK/kの

{L;Kの

L/kが

よ り代 数

同 型 σ:K→Kでk上

写 像 に な る も の 全 体 か ら 成 る 群 と す る.k={x∈K;σx=x,∀ な る と き,K/kは

般の

り明 ら か に な る.代 数)イ

数 体kの

数 体 の イ デ ア ル の理 論 を 通 し

整 数 環 をOkと

デ ア ル 全 体 か ら な る 群 を 表 わ す.積

イ デ ア ル 群 と よ ぶ.Dedekindの

よ りkの0で

は

は イ デ ア ル 積 に よ り定 義 し,

古 典 的 定 理 に よれ ば,Ikは

ル の 集 合 を 基 とす る 自 由 ア ー ベ ル 群 で あ る.I0kを Ikの 部 分 群 と す れ ば,Ik/I0kは

記 す.Ikに

素 イデア

主 イ デ ア ル か ら生 成 さ れ る

有 限 ア ー ベ ル 群 と な る こ とが 知 られ,こ

れ がk

の イ デ ア ル 類 群 と よば れ る も の で あ る.   K/kを

有 限 次 拡 大 と し よ う.kの

素 イ デ ア ルpに

対 し て,K内

のpを

含む

最 小 の イ デ ア ルpOKは

一 般 に は 素 イデ ア ル で は な く pOK=B1e1…Bgeg

の よ う に 素 イ デ ア ル の 積 に 分 解 さ れ る.eiはBiの {Bi}の (Ok/pは

中 の1つ

と し た と き(B￨pと

分 岐 指 数 と よ ば れ る.Bを

書 く),体OK/BはOk/pの

拡大体 であ り

実 際 有 限 体 で あ る),degreeB=[OK/B;Ok/p](=拡

大 の 次 数)と

お くと

と な る.e1=…=eg=1の

と きpは

pが 不 分 岐 の と き,拡   次 にK/kを

大K/kは

不 分 岐 で あ る と い い,す 不 分 岐 で あ る と い わ れ る.

ガ ロ ア 拡 大 と し よ う.こ

ア ル に 自 然 な 仕 方 で 作 用 す る が,も て σB￨pと GB={σ

な り,し

べ ての素イデアル

か もG(K/k)は

∈G(K/k);σB=B}と

の と き ガロ ア 群G(K/k)はKの

しB￨pな

集 合{B;B￨p}に

お く と,準

イデ

ら ば 任 意 の σ∈G(K/k)に

対 し

推 移 的 に 作 用 す る.

同型

GB→G((OK/B)/(Ok/p)) σ が 得 ら れ る.特

にpが

→σ:x(modB)→

σx(modB)

不 分 岐 な ら ば,こ

れ は 同 型 を 与 え,

σ(x)≡x#(Ok/p)  (modB),  を 満 た す σ∈GBが Frobenius置

x∈OK

一 意 的 に 存 在 す る.σ=(B￨K/k)と

換 と よ ぶ.定

GB=(B￨K/k)で

生 成 され る 巡 回 群, ,

(μB￨K/k)=μ(B￨K/k)μ-1, 

G(K/k)の

固 定 しB￨pと

な るBを

と 記 す こ と に す る.特

にK/kが

群 の と き,(p￨K/k)は

群G(K/k)の

  ガ ロ ア 拡 大K/kお

よ び 部 分 体K⊃L⊃kを

pのLに

μ∈G(K/k). 動 か し た と き,(B￨K/k)は

一 つ の 共 役 類 を 形 作 る こ と を 意 味 す る か ら,こ

と お く.kの

ア ー ベ ル 拡 大,す

の 共 役 類 を(p￨K/k)

な わ ちG(K/k)が

ア ーベ ル

元 で あ る.

不 分 岐 素 イ デ ア ルpとB￨pと

取 りG=G(K/k),H=G(K/L) な るKの

お け る 素 イ デ ア ル 分 解 をpOL=q1…qrと

τiB￨qiと な る よ うに選 び,こ

対 す る

義 か ら 明 ら か な よ うに

#GB=degreeB

最 後 の 関 係 式 は,pを

書 い てBに

素 イ デ ア ルBを す る.Gの

元

れ も 固 定 す る.degreeqi=fi,σ=(B￨K/k)と

固 定 し,

τ1,…,τrを お

くと

 (1)

は 分 離 和 と な る.こ

れ に よ りイデ ア ルの 分 解 とガ ロ ア群 の 群 論 的 構 造 が 密 接 に

関 連 し あ う こ と が 理 解 さ れ る.   次 に 代 数 体 の 類 体 論 を 説 明 し よ う.こ 論 で あ る が,叙

れ は 一 言 で 言 え ば,ア

述 を 簡単 に す る た め,不 分 岐 な 拡 大K/kの

ー ベ ル拡 大 の理

み を 考 え る(Hilbert

に よ る 絶 対 類 体 の 理 論 に 対 応 す る).   拡 大K/kと,B￨pと

な る素 イ デ ア ルが 与 え られ た と き NK/k(B)=p(degreeB)

と お き,NK/kを

準 同 型IK→Ikに

拡 張 す る.類

体 論 の 基 本 定 理(の

一部)は

次 の よ うに 述 べ られ る.   1)  指 数[Ik;I0k・NK/k(IK)]は 号 が 成 立 す る の はK/kが   2)  (Artinの (p￨K/k)は

越 え な い.こ

こで 等

ア ー ベ ル 拡 大 の と き の み に 限 る.

相 互 法 則)  も しK/kが

ア ー ベ ル 拡 大 な ら ば,対

応p→

を 誘導 す る.

同 型 

  3)  Ikの 部 分 群HがI0kを =Hと

拡 大 の 次 数[K;k]を

含 め ば,あ

る ア ー ベ ル 拡 大K/kでI0k・NK/k(IK)

な る もの が 存 在 す る .

  類 体 論 の 証 明 は 今 日数 多 く存 在 す る が,高 木 に よ り確 立 さ れ た 最 初 の 証 明 は "解 析 的"手 法 に よ る も の で あ っ た.す な わ ちRiemannの ビー タ 関 数 の 数 体 に お け る 一 般 化 で あ る,Dedekindゼ

ー タ あ る い はL-関

数の複素関数論的性

質 を 用 い る も の で あ る.   Riemannの Re

sが1よ

ゼ ー タ 関 数 に つ い て 簡 単 に 復 習 し よ う.複 り大 き い と き,級

は 絶 対 収 束 し,任

実数 部

数

意 の 正 数 εが与えら

れ た と きRe

し た が っ て,上

の 級 数 は 領 域Re

てRiemannの

ゼ ー タ 関 数 と よ ぶ.ζ(s)の

す る ヤ コ ビの 恒 等 式

素 数s∈Cの

s>1で

s≧1+ε

で 一 様 収 束 す る.

正 則 関 数 と なり,こ

れ を ζ(s)と 書 い

重 要 な 性 質 の 一 部 分 は,θ-級

数 に関

か ら 導 出 さ れ る(23節

参 照).す

な わ ち,Γ-関

を 結 び付 け る式

か ら,ζ(s)と

θ-級 数 

を 得 る が,積

分 区 間(0,∞)を(0,1),(1,∞)に

と書 くこ とに す る.第1項 ら,す べ て のs∈Cに

分 割 し て,右

辺を

は 被 積 分 関 数 がt↑ ∞ の とき指 数 的 に急 減 少 す るか

対 し て積 分 が 収 束 し て正 則 関 数 とな る こ とが わ か り,第

2項 に つ い て は 変 数 変 換t→t-1を

と な る.こ

数 の定 義 式

行 な う こ とに よ り

こ で ヤ コ ビ の 恒 等 式 を 適 用 す る と,こ

の積 分 は

と変 形 され,最 後 の 積 分 項 もsの 正則 関 数 とな り,結 局 次 の式 が成 立 す る.

Γ(s)-1は 全s-平

面 で 正 則 で あ る か ら,こ

接 続 さ れ る.Γ(s)は の み1位

ロ ー ラ ン 展 開 

の 極 を 有 す る こ と が わ か る.さ

う し て ζ(s)は 全 平 面 に 有 理 型 に 解 析 を 持 つ の で,ζ(s)はs=1に ら に 上 式 の 右 辺 の 変 換s→1-sに

よ る 不 変 性 に よ り,ζ(s)は 次 の 関 数 等 式 を 満 足 す る.

  ゼ ー タ 関 数 ζ(s)はEulerの

積表示

p:素

数

を 通 して,素 数 分 布 の 問題 に 関 連 す る.実 際 ζ(s)の解 析 的 諸 性質 は,有 名 な 素 数 定理

素数 に 導 く.素 数nを

数 定 理 の 精 密 化 で あ る 算 術 級 数 定 理 に よ れ ば,素

与 え た と き,環Z/nZの

数 の 分 布 は,自

各 可 逆 元 の 中 で 均 等 で あ る.す

と 互 い に 素 な 自 然 数 と し,π(x;a,n)=#{p<x;素

数pでa+knの

然

な わ ちaをn 形 の も の}

とお くと

と な り,極 のL-関

限 はaの

取 り方 に よ ら な い.算

術 級 数 定 理 の 証 明 に は,Dirichlet

数 を 用 い る 方 法 が 最 も古 典 的 で あ る.χ

表 現 と し,L-関

を 乗 法 群(Z/nZ)×

の1次

元

数L(s,χ)を

に よ り定 義 す る.χ

が 自 明 な 表 現 の と きに は,L(s,χ)はRiemannの

ゼ ー タ関

数 に 他 な ら な い.   L(s,χ)は 次 の 性 質 を 満 た す.   1)  Re

s>1でL(s,χ)は

  2)  L(s,χ)は 全s-平   3)  L(s,χ)はRe

絶 対 収 束 し,sの

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.

s≧1で

零 を 持 た な い.

  4) χ が 自 明 で な け れば,L(s,χ)はRe   こ れ ら のL-関

がs=1で

s≧1で

数 の 性 質 は,Dirichlet級

留 数 φ(n)-1の

を 保 証 し て い る.非

正 則 関 数 に な る.

極 を 持 ち,こ

正 則.

数

れ を 除 い てRe

s≧1で

正 則 とな る こ と

減 少 関 数f(x),0≦x