原子核反応論 (朝倉物理学体系)

編集

荒船次郎 大学評価 ・ 学位授与機構教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

序

  原 子 核 は た か だ か 二 百 数 十 個 の核 子 が 核 力 で 強 く結 合 した,孤 立 し た体 系 で あ る.そ の 中で は核 子 が お の お の 一 粒 子 軌 道 上 を運 動 しつ つ 他 の 核 子 と相 互作 用 し,あ る い は 集 団 運動 に よ って 核 表 面 の 振 動 や 核 全 体 の 回 転 を起 こ し,あ る い は 幾 つ かず つ 塊 に な り,核 の 分 子 的構 造 を 形 作 る.そ の よ う な原 子 核 に他 の 粒 子 が 衝 突 す る と さ まざ まな 反 応 が 起 こ る.   核 反 応 の研 究 の歴 史 は 長 く,1909∼1911年

のRutherfordら

が α 粒 子 の 金,

白 金 に よ る 散 乱 の研 究 に よっ て 原 子 核 そ の も の を発 見 し た 時 点 に まで 遡 れ る. 1932年

に は α 粒 子 とBe原

子 核 の衝 突 で 中 性 子 が 発 生 す る こ とが 発 見 され た.

こ の 発 見 は,原 子 核 が 陽子 と中 性 子 か ら な る とい う原子 核 物 理 学 の 基 礎 の確 立 に導 い た.し か し,核 反応 の機 構 に対 す る本 格 的研 究 はFermiら

が1934∼1935

年 に 発 表 し た 中性 子 を 入射 粒 子 とす る 反 応 の 系 統 的研 究が そ の 始 ま りで あ る と 言 え よ う.そ の 後 間 も な く粒 子 加 速 器 を 用 い た 実 験 が 行 わ れ る よ うに な り,加 速 器 ・粒 子 検 出 器 そ の 他 の 実 験 技 術 の進 歩 の 結 果,非 常 に 広 い範 囲の 衝 突 粒 子, 入 射 エ ネ ル ギ ー の 核 反 応 に対 し て,非 常 に 多 様 な 観 測が で き る よ うに な っ た. 最 近 で は,不

安 定 核 を入 射 粒 子 とす る 反 応,相 対 論 的高 エ ネ ル ギ ーの 重 イオ ン

同士 の衝 突,ハ

イパ ー核 の生 成 反 応 な ど の 新 しい 分 野 の 実 験 的 研 究 が 進 展 し て

い る.   一 方,核 反 応 理 論 の本 格 的 な 第 一 歩 は,前 述 のFermiら に よる 説 明 で あ った.以 後,複

合 核 模 型,光

の実験の複合核模型

学 模 型,各 種 の 直 接 過 程 論,前 平

衡 過 程 の 理 論 な ど に よ っ て さ まざ ま な反 応 機 構 が 解 明 さ れ た.現 在,核 反 応 研 究 の 最 先 端 で は 理 論 と実 験 の両 面 か ら さ ら に 新 しい 反 応 の機 構 に つ い て 盛 ん な 研 究 が 行 わ れ て い る.   そ の よ うな 中で 本 書 を書 くに あ た り筆 者 ら は,核 反 応 論 の 網 羅 的記 述 よ り も, す で に あ る程 度 確 立 した と思 われ る部 分 の 集 中 的 記 述 の 方が 核 反 応 論 の 正 確 な 理 解 の 上 で も,ま た 今 後 新 し い 核 反 応 論 を 築 く基 礎 と して も役 立 つ で あ ろ う,

また 他 分 野 へ の新 た な 応 用 へ の 道 を拓 くか も知 れ な い,と を核 子 お よび 原 子 核同 士 の 数 百MeVま

考 え た.そ

こ で,的

で の 衝 突 に よ る反 応 に 絞 り,そ れ に 対

す る前 記 の基 礎 的 な 理 論 の 考 え 方,模 型 の導 出,定 式 化,物

理的解釈 などを体

系 的 に 説 明す る こ と に 努 め,個 別 的 な反 応 の記 述,実 験 との 比 較 な ど に つ い て は それ に 必 要 な 範 囲 に 止 め た.ま た,電 磁 的 相 互 作 用 に よ る反 応,ス

ピ ン偏 極,

相 対 論 的 エ ネ ルギ ー で の 核 反 応 は,い ず れ も非 常 に 重 要 で あ るが,割

愛 し他の

書 物 に 譲 る こ とに し た.   第1章

か ら 第5章

ま って 光 学 模 型,多

まで は 核 反 応 論 の 基 本 的 な 事 柄 の 記 述 と 理 論 的 準 備 に 始 重 散 乱 理 論,直 接 反応 の 現 象 論 的 理 論 まで を取 り扱 う.こ

の 部 分 は 河 合 が 担 当 し た.第6章

か らは複 合 核 過 程 の 共 鳴 理 論,統 計 理論,前

平 衡 過 程 につ い て の 詳 論 で あ る.こ の 部 分 は吉 田が 担 当 し た.全 書 を通 じ て 量 子 力 学 の 基 礎 的知 識 を 前提 と して い るが,核 反 応 論 に と っ て必 要 な 散 乱 理 論 は 第2章 で 説 明 して あ る か ら,そ れ につ い て の特 別 な 予 備 知 識 は 不 要 で あ る.し か し,原 子 核 の構 造 に つ い て の 初 歩 的 な 知 識 は あ る こ とが 望 まし い.し た が っ て,本 書 は 核 反 応 理 論 を 初 め て 学 ぶ 人,核 反 応 理 論 に 興 味 を もつ 他 分 野 の研 究 者,こ

の 分 野 の 研 究 者 で も う一 度 基 礎 を振 り返 っ て 見 た い と思 う人 な ど を読 者

と し て念 頭 に 置 い て い る.   本 書 を 書 くにあ た っ て は,多 ズ の 編 集 委 員 で あ る 江 沢 洋 氏,九

くの 方 々の お 世 話 に な った.中

で も この シ リー

州 大 学 の 大 坪 真 一 氏,緒 方 一 介 氏,河 野 俊 彦

氏 に は原 稿 を精 読 し て 多 くの貴 重 な助 言 して 頂 い た.こ れ ら の 方 々に 厚 く御 礼 申 し上 げ る.   最 後 に長 い 間辛 抱 強 く付 き合 って 下 さ り,大 変 お世 話 に な った 朝 倉 書 店 の 方 々 に 心 か ら感 謝 す る. 2002年9月

河

合

光 路

吉

田

思 郎

目

1  序

次

論 

1

  1.1  核 反 応 の 研 究 の 沿 革

 

1

  1.2  基 礎 的 な 事 柄

 

4

 

 

4

1.2.1  核 反 応 の 種 類   1.2.2 

チ ャ ネ ル

  1.2.3 

断

  1.2.4 

反 応 を記 述 す る座 標 系

 

8

  1.2.5 

実 験 室 系 と重 心 系

 

9

(a) 運 動 量,運

  10

 

面

  5

積 

6

動 エ ネル ギ ー

 (b) 二 粒 子 系 の 相 対 運 動 量  

(c)  し き い 値  (d) 散

  12.6

  11

Jacobi座

乱

  12

角 

12

標系

  13

  1.3  核 反 応 機 構 の 概 観

  13

  1.4  反 応 機 構 と エ ネ ル ギ ー 平 均

  18

2  核 反 応 の 量 子 力 学 的 記 述 

25

  2.1  状 態 ベ ク ト ル,Schrodinger方

程 式,実

験 条 件 

  2.2  ハ ミ ル トニ ア ン

25   26

  2.2.1 

ハ ミ ル ト ニ ア ン の 形 

26

  2.2.2 

重 心 運 動 の 分 離,内

27

  2.2.3 

ハ ミ ル ト ニ ア ン の 対 称 性,不

  2.2.4 

ハ ミル トニ ア ンの座 標 表 示

  30

  2.2.5 

二 粒 子 チ ャ ネ ル の ハ ミ ル トニ ア ン

  33

部 ハ ミ ル ト ニ ア ン  変 性,運

動 の恒 量

  2.3  定 常 状 態 の 波 動 関 数   2.3.1 

配 位 空 間,内

部 ・外 部 領 域,チ

  29

  34 ャネル領 域

  34

  2.3.2 

自 由 運 動,平

  2.3.3

Schrodinger方

面波

  34

程 式 の 独 立 解 

35

  2.3.4  重 心 運 動 の 分 離

  37

  2.3.5  二 粒 子 チ ャ ネ ル で の 波 動 関 数

  38

  2.3.6 

  40

内部 波 動 関 数

  2.3.7  境 界 条 件    2.4

42

Lippmann-Schwinger方

程式

  44

  2.4.1

Lippmann-Schwinger方

程式

  2.4.2

{Ψ(+)γ(Eγ)}の 規 格 直 交 性 

  2.4.3  Ψ(+)αの 漸 近 形 と 境 界 条 件,T行   2.4.4  時 間 依 存 の 理 論 形 式,断   2.5 

波 動 行 列,T行

列 お よ びS行

波 動 行 列 

  2.5.2

T行

列 お よ びS行

  47

  2.5.3

S行

列 の ユ ニ タ リ テ ィ,T行

列

  49

列

  53 53

列

  54

  2.6  角 運 動 量 表 示

列 の 和 則,光

学 定 理,相

反定理

56   59

  2.6.1 

基 底 関 数 

  2.6.2 

T行

列,S行

Coulomb相

46 列

熱 的 ス イ ッ チ ン グ,S行

  2.5.1 

  2.7

  44

60 列,散

乱振幅

互作用

  61   63

  2.7.1

Coulomb波

  2.7.2 

球面波展 開

  65

  2.7.3

Green関

  66

  2.7.4 

散乱 振幅,T行

  2.8  断

面

動 関数

  63

数 列

 67

積 

69

  2.8.1 

断面積 の一般形

  69

  2.8.2 

二粒 子 放 出 チ ャ ネル の 断 面 積

  74

  2.8.3 

三粒 子 放 出 チ ャネ ル の 断 面 積

  75

  2.8.4 

遠 心 力 ・Coulomb障

  76

  2.8.5 

断面積の角 運動量表示

  2.9  反 対 称 化 

壁

  78 79

3  光 学 模 型 

83

  3.1  光 学 模 型 の 沿 革

  83

  3.2  光 学 模 型 と実 測 量

  85

  3.3  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の概 観

  87

  3.4  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の探 索

  90

 

(a) 核   (b) 重

陽

子 

91

子 

98

  (c) t, 3He    (d) α

粒

99 子 

100

  (e) 重 イ オ ン 

101

  3.5  非 局所 ポ テ ン シ ャル と等 価 局 所 ポ テ ン シ ャル 

102

  3.6  光 学 模 型 の 理 論 的 基 礎 付 け 

106

  3.6.1

Feshbach理

論 に よ る光 学 模 型 の 導 出 

  3.6.2  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 実 部 と虚 部 の 分 散 関係 

107 110

4  多 重 散 乱 理 論 

115

  4.1

115

Watsonの

方 程 式 

  4.2  有 効 相 互 作 用 

119

  4.2.1  イ ンパ ル ス 近 似 

119

  4.2.2  最 適 運 動 量 近 似 

122

  4.2.3

124

G行 列 近 似 

  4.2.4  有 効 相 互 作 用 の 近 似 の 誤 差 

125

  4.2.5  有効 相 互 作 用 の 具 体 的 表 示 

126

  (a) 運 動 量 表 示 

126

  (b) 座 標 表 示 

129

  4.3  光 学 模 型 の 多 重 散 乱 理 論 に よる 導 出 

132

  4.3.1  光 学 模 型 の 導 出 

133

  4.3.2  光 学 ポ テ ン シ ャル 

135

 4.4  歪 曲波 イ ン パ ル ス 近 似(DWIA) 

140

5  直 接 過 程 

149

  5.1  直 接 過 程 の 一 般 論 

150

  5.1.1 

直 接 過 程 を 記 述 す る 波 動 関 数 と 有 効 ハ ミル トニ ア ン 

150

  5.1.2 

近

155

似

法 

  5.2  歪 曲 波Born近   5.2.1 

似(DWBA) 

157

形 状 因 子 の 一 般 形 

163

  (a) 移 行 角 運 動 量 表 示 

164

  (b) 選 択 規 則 

166

  5.2.2 

断 面 積 の 一 般 形 

167

  5.2.3 

非 弾 性 散 乱 に よ る 集 団 運 動 の 励 起 

171

  5.2.4 

組 み 替 え 反 応 

175

  5.2.5

strippingお

  5.2.6 

一 核 子stripping,

pick

up反 up反

応 

177

応 

181

 

(a)

 

(b) lxb≠0の

 

(c) 有 限 レ ン ジ の 補 正 

189

 

(d) 反 対 称 化 

190

(e) 分 光 学 的 解 析 

190

 

(f) 天 体 核 物 理 学 へ の 応 用 

196

 

(g) ク ラ ス タ ー 移 行 反 応 

196

 

  5.2.7 

lxb=0の

よ びpick

場 合 

185

場 合 

188

二 核 子 移 行stripping,

pick

up反

応 

197

 

(a) 形 状 因 子 

197

 

(b) 殻 模 型 の 描 像 に よ る 計 算 

202

二 段 階 過 程 

205

  5.3  チ ャ ネ ル 結 合 法 

206

  5.2.8 

 

(a) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式 

206

 

(b) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式 の 解 法 

208

  5.3.1 

非 弾 性 散 乱 に よ る 集 団 運 動 状 態 の 励 起 

209

  5.3.2 

組 み 替 え チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC) 

212

  5.3.3 

離 散 化 連 続 チ ャ ネ ル 結 合 法(CDCC) 

  5.4  連 続 状 態 へ の 遷 移    5.4.1 

多 段 階 直 接 過 程 のDWBA展

214 216

開 

217

 

(a) 多 段 階 直 接 過 程 の 断 面 積 

218

 

(b) 準 弾 性 散 乱 

219

 

(c) 角 分 布 の 特 徴 

220

(d) 半 古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW) 

221

多 粒 子 放 出 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 

223

 

(a) 核 内 カ ス ケ ー ド 模 型 

223

 

(b) 分 子 動 力 学 的 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 

225

    5.4.2 

  5.5

Glauber近

似 

6  複 合 核 過 程Ⅰ―   6.1

R行列

  6.2

Feshbachの

227

共 鳴 理 論 

235

理 論 

237 理 論 に 基 づ く分 散 公 式 

  6.3  光 学 模 型    6.3.1 

247 253

一 様 ポ テ ン シ ャ ル の 場 合 の 光 学 模 型 

  6.4  戸 口 状 態 

258 261

  6.4.1 

強 度 関 数 

263

  6.4.2 

巨 大 共 鳴 

267

  6.4.3 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS) 

270

  6.5  核 反 応 の 時 間 的 記 述 

274

  6.6  共 鳴 と エ コ ー 

281

7  複 合 核 過 程Ⅱ―

287

  7.1状

統 計 理 論 

態 密 度 

  7.1.1 

287

一 粒 子 の 準 位 密 度 

294

  7.2  共 鳴 準 位 の 統 計 的 性 質 と ラ ン ダ ム 行 列 

296

  7.3  準 位 密 度:相

301

互 作 用 の あ る 場 合 

  7.4  複 合 核 反 応 の 統 計 理 論:現

象 論 

308

  7.4.1 

終 状 態 が 離 散 状 態 の 場 合 

308

  7.4.2 

終 状 態 が 連 続 状 態 の 場 合 

311

  7.4.3 

多 粒 子 放 出 過 程 

315

  7.4.4 

直 接 過 程 の あ る と き の 複 合 核 反 応 

316

  7.5  複 合 核 の 統 計 理 論:ラ   7.6

Ericsonの

ゆ ら ぎ 

  7.7  カ オ ス と複 合 核 

ン ダ ム 行 列 理 論 

317 323 325

8  前 平 衡 過 程 

333

  8.1  部 分 準 位 密 度 

334

  8.1.1 

独 立 粒 子 模 型 

334

  8.1.2 

ラ ン ダ ム 相 互 作 用 

336

  8.2  マ ス タ ー 方 程 式 とFokker-Planck方

339

  8.2.1 

巨 視 的 古 典 論 

340

  8.2.2 

マ ス タ ー 方 程 式 

342

  8.2.3

Fokker-Planck方

程 式 

  8.3  統 計 的 多 段 階 過 程 

343 345

  8.3.1 

エ キ シ ト ン 模 型 

345

  8.3.2 

拡 張 さ れ た エ キ シ ト ン 模 型 

349

  8.3.3

MSDとMSC 

351

  8.4  多 段 階 直 接 過 程 

352

  8.4.1

DWBA 

352

  8.4.2 

終 状 態 に つ い て の 統 計 

353

  8.4.3 

中 間 状 態 の 統 計 

355

  8.4.4 

瞬 間 近 似 

356

  8.4.5 

断 熱 近 似 

358

  8.5  線 形 応 答 関 数   

程 式 

8.5.1

DWBAと

360 の 関 係 

363

  8.5.2 

近 似 計 算,RPA 

364

  8.5.3

Fermiガ

ス 模 型 

367

  8.5.4 

有

核 

371

限

  8.6  多 段 階 複 合 核 過 程 

371

  8.7

375

TDHF,

  8.7.1

Vlasov方 Vlasov方

程 式 

程 式 

377

参 考 図 書 

383

索

385

引 

1 序

論

1.1  核 反 応 の研 究 の沿 革

  核 反 応 は 原 子 核 に 何 か が 衝 突 し て 起 こ る 現 象 の 総 称 で あ る.核 反 応 の 研 究 の 歴 史 は 原 子 核 そ の も の の 発 見 の と き に 遡 る.1909年 Rutherfordら

か ら1911年

が 行 っ た 実験 とそ の 解 析が そ れ で あ る.彼 ら はPoの

にかけ て 自然 放 射 能

で 出 る α 粒 子 を 金,白 金 の 薄 膜 に 当 て る と大 きな 角 度 で 散 乱 され る確 率 が 非 常 に 大 きい こ と,そ れ が 原 子 の 中心 に あ る非 常 に 小 さ くて 重 い 荷 電 粒 子,す ち 原 子 核,と

α 粒 子 の 荷 電 の 間のCoulomb斥

こ と を発 見 し た[1].そ

なわ

力 に よ る散 乱 に よ る もので あ る

の後,核 反 応 に よ る 中性 子 の発 見,原

子 核 変 換 の発 見 な

ど に よ っ て 今 日の 原 子 核 物 理 学 の基 礎 が 築 か れ た の で あ る.   しか し,核 反 応 機 構 の本 格 的 な研 究 に先 鞭 を付 け た の はRoma大 らが 行 った 一 連 の実 験[2]だ っ た.彼 ら は放 射 性Poが

学 でE. Fermi

出 す α 粒 子 をBeに

し て,そ れ か ら出 る 中 性 子 を水 素 か らウ ラ ニ ウ ム に至 る36種

照射

の原子核に当てて

起 こ る反 応 を系 統 的 に 観 測 した.そ の 結 果,次 の 二 つ の 重 要 な こ とを発 見 した.   (1)核 が 中 性 子 を 捕 獲 してγ 線 を 出 す 反 応 の確 率 が 非 常 に 大 きい.   (2)0エ

ネ ル ギ ー 近 くで の 反応 の確 率 は 標 的核 の 種 類 に よ って 著 し く違 う.

  電 磁 相 互 作 用 は 弱 い か ら,(1)は

原 子 核 が 反 応 の 途 中 で γ線 を 出す こ とが で

きる 高 い 励 起 状 態 に 長 時 間留 ま っ て い る こ と を示 す,彼 の 確 率 か ら,そ の 時 間 を10-16sec程

度 と評 価 し た,(2)は

らは,観 測 され た 反 応 共 鳴(resonance)に

よる もの で あ る こ とが 間 もな く明 らか に な った.こ れ は,確 率 が 核 種 ご とに 異 な る特 定 の 入 射 エ ネ ル ギ ー で 非 常 に大 き くな る現 象 で あ る.入 射 エ ネ ル ギ ー が そ れ に ち ょ うど 重 な るか ど うか で,核 Fermiら

の 観 察 を 説 明 す る た め にN.

種 に よ っ て 大 き な違 いが 出 たの で あ る. 

は 複 合 核(compound

nucleus)模

Bohrお

よ びG.

型 を 提 唱 した[3].こ

BreitとE.P.

Wigner

の模 型 に よれ ば,核 反

応 で は す べ て入 射 粒 子 と標 的 核 の 強 い 相 互 作 用 に よっ て 入 射 粒 子 の エ ネ ル ギ ー が た ち ま ち核 内 に分 配 され,全 系 が 混 然 一 体 と な っ た,寿 命 の 長 い 複 合 核 状 態 が で き る.反 応 はす べ て この 状 態 を経 過 して 起 こ る.複 合 核 状 態 の エ ネ ルギ ー 固有 値 は 離 散 的で,入 射 エ ネ ル ギ ーが そ れ に合 っ た と きだ け そ の 状 態 が 形 成 さ れ,反 応 の確 率 が 大 き くな る.こ れが 共 鳴 で あ る.そ の共 鳴 の 幅 は 状 態 の 寿命 と 不 確 定 性 関 係 で 結 ば れ て い る.Fermiら  

が 中性 子 の 捕 獲 反応 か ら評 価 し た寿 命

で は共 鳴 の 幅 はΓ λ∼10eVと

なり,Γ λの 実 測 値 と一 致 す る.エ

ネ ル ギ ーが 高 くな る と,共 鳴 は 密 接 し,重 な り合 い,見 え な くな る.こ の 場 合, 複 合 核 状 態 か らの 放 出 粒 子 の 角 度 分 布 は重 心 系(1.2.5項)で90°

対 称 で,エ ネ

ル ギ ー スペ ク トル は,熱 せ られ た液 滴 か らの 蒸 発 と 同 じ く,い わ ゆ るMaxwell 型 で あ る こ とが 理 論 的 に予 言 され,多

くの 実験 に よ って 検 証 され た.か

くし て

しば ら くの 間,こ の 複 合 核 過 程 が 核 反 応 の 唯 一 の 機 構 で あ る と思 わ れ た.   しか し,1940年 て90MeVの

代 の 後 半 にBerkeleyで90イ

中性 子,200MeVの

ンチ の サ イ ク ロ トロ ン を 使 っ

重 陽 子 に よ る い ろい ろ な 反 応 が 観 測 され た

結 果,放 出粒 子 の 中に は複 合 核 模 型 で予 言 され る よ りは るか に高 い エ ネ ルギ ーで, 前 方 に 集 中 し て放 出 され る も のが あ る こ とが わか っ た.こ れ に 対 して,Serber は 次 の よ う な反 応 機 構 を提 唱 した[4].こ

の よ うな 高 エ ネ ル ギ ーで は,入

射粒

子 と核 内 核 子 との 衝 突 時 間 は 短 いか ら,そ の 間 に核 内 核子 同 士 が 相 互 作 用 して い る 暇が な い.し た が っ て,反 応 は 入 射 粒 子 と1個 の 核 内 核 子 との 衝 突 で 始 ま る と考 え て よい.高 エ ネ ル ギ ー で は,核 子-核 子 衝 突 の 確 率 は 小 さい か ら,入 射 粒 子 また は 衝 突 され た 核 子 が 複 合核 を作 らず,直 が か な りあ る.時

と し て,そ

ち に核 外 に 飛 び 出 す 可 能 性

れ らの 核 子 が 放 出 され る 前 に核 内 で 何 回 か 別 の

核 子 と衝 突 した り,何 個 か の 核 子 の 塊 と衝 突 した りして そ れ らを 叩 き 出す こ と もあ る.い ず れ にせ よ,1回

の衝 突 で 失 うエ ネル ギ ー は 比 較 的 小 さい か ら,こ

の よ う に し て 出 て くる核 子 は 高 い エ ネ ルギ ー を も って 前 方 に放 出 され る.こ れ が,Serberが

考 え た 直 接 過 程 の 描 像 で あ る.こ のSerberの

描 像 を基 礎 に,い

ろ い ろ な反 応 に対 して,具 体 的 な 直 接 過 程 の 機 構が 提 唱 され,実 験 の 説 明 に成 功 した.   Serberの 描 像 の提 唱 後 間 もな く,10数MeVの (p)ま た は 中性 子(n)が

重 陽子(d)に

よ る反 応 で 陽子

放 出 され,残 留 核 の 離 散 的状 態 へ 遷 移 す る場 合,放

粒 子 が 前 方 に強 く放 出 され る こ とが 見 い だ され た.pが

放 出 され る場 合,そ

角 度 分 布 が 干 渉 縞 に似 た 極 め て特 徴 的 な 模 様 を示 す こ とが わか っ た.Butlerは

出 の

それが

の よ う に,nがAに 入 り,pはAの

よ ってdか

ら は ぎ と られ て そ の 周 りの 殻 模 型 軌 道 の 一 つ に

外 を相 互 作 用 せ ず に 通 過 す る,と い う"stripping"の

明 で き る こ と を示 し た[5].そ の 逆 過 程 で あ るpick

の 後,こ

機構 で説

の 干 渉 縞 様 の 角 分 布 は,strippingと

そ

up反 応 ば か りで な く,α 粒 子,陽 子 な ど の 非 弾 性 散 乱 を

初 め と し て い ろ い ろ な反 応 に よ る残 留 核 の 離 散 低 励 起 状 態 へ の 遷 移 に お い て 観 測 され,そ れ が 標 的 核 の表 面付 近 で 主 と して 起 こ る こ とに 由 来 す る も の で あ る こ とが わか っ た[6].   しか し,非 複 合 核 過 程 の 普 遍性 を 決 定 的 に 示 した の は1952年

のBarschallの

実 験 で あ っ た[7].彼

中性 子 を 質 量 数

Aの

は 入 射 エ ネ ル ギ ーEn=0か

ら3MeVの

全 領 域 の 標 的核 に 当 て,そ れ に よ る ビ ー ム 強度 の 減 衰,す

(1.2.3項)σtを 数 百keVの

測 定 した.入 射 ビ ー ム は い わ ゆ る低 分 解 能(bad

エ ネ ルギ ー 幅 ΔEnを

structure)と

resolution)で,

もって い たか ら,測 られ た の は σtの ΔEnに

わ た る平 均 値 〈 σt〉 で あ る.ΔEnは 〈σt(En,A)〉 はEn,Aの

な わ ち全 断 面 積

共 鳴 の平 均 間 隔Dよ

りは るか に 大 きい か ら,

ゆ っ く り変 化 す る 関 数 で あ る.そ れ は 粗 い 構 造(gross

呼 ば れ る,山 谷 を もつ 関数 で あ っ た.し か し,複 合 核 模 型 は 単 調

な 〈 σt(En,A)〉 を予 言 す る!   Feshbach,

PorterとWeisskopfは,粗

い 構 造 の 原 因 は,入 射 し たnが

複合

核 にす べ て 吸 収 され て し ま うので は な く,入 射 波 の ほか に 核 に瞬 間 的 に 散 乱 さ れ て 出 て くる波 もあ り,そ れ らが 干 渉 す る こ とで あ る,と 考 え た.こ の 瞬 間 的 な散 乱 はnに Vはnが

働 く複 素 一 体 ポ テ ン シ ャルU=V+iWで

表 され る もの と した.

核 か ら受 け る平 均 場 の ポ テ ン シ ャ ル で あ り,Wは

複 合核過程 に流束

の 一 部 が 吸 収 され る こ とに 対 応 す る.こ の模 型 を光 学 模 型(optical model),

U

を光 学 ポ テ ン シ ャル(optical potential)と い う[8].   そ の 後,光 学 模 型 は 核 子 か ら重 イオ ン まで の すべ て の 入 射 粒 子,標

的核,入

射 エ ネ ル ギ ー に対 し て 普 遍 的 に 成 り立 つ こ とが わ か り,現 在 で は核 反 応 論 の基 礎 的概 念 の 一 つ に な って い る.   か くして,現 代 の 核 反 応 論 は複 合 核 模 型,Serberの 低 エ ネ ルギ ー直 接 過 程 の 模 型,光

直 接 過 程 の 描 像,各 種 の

学 模 型 な ど を基 礎 に し て研 究 が 進 ん で い る.

そ れ ら の 現 象 論 的 模 型 の 理 論 的 基 礎 付 け もか な りの 程 度 行 わ れ て い る.ま

た,

こ れ ら さ ま ざ まな 反 応 過 程 を統 一 的 に説 明す る枠 組 み も,あ る程 度 で きて い る. しか し,す べ て の 多 彩 な核 反 応 を 統 一 的 に記 述 す る 理 論 は まだ な い.

1.2  基 礎 的 な 事 柄

  1.2.1  核 反 応 の 種 類   核 反 応 は,普 通,一 つ の入 射 粒 子 が 一 つ の 標 的 核 に 衝 突 し て起 こ る.(星 の 中 で は 二 つ の 入 射 粒 子が 同 時 に 標 的核 に衝 突 す る 反 応 が 重 要 な こ と もあ る.)反 応 の結 果,い

くつ か の 放 出 粒 子 が 放 出 され,後

に 残 留 核 が 残 る.核 反 応 を観 測

す る に は,普

通,標 的 核 を 含 む 標 的 を実 験 室 に 固 定 し,入 射 粒 子 を一 方 向か ら

平 行 な 束(ビ

ー ム)と

し て 照 射 す る.入 射 粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー を入 射 エ ネル

ギ ー とい う.放 出粒 子 の 種 類,放

出 方 向,エ

ネ ルギ ー,強 度 な ど が 各 種 の測 定

装 置 を使 っ て測 定 され る.   標 的 核A,入

射 粒 子aで

始 ま り,残 留 核B,放

出 粒 子b1,b2,…,bnで

終 わる

反応 を

(1.1a) また は

(1.1b) で 表 す.も 表 す.も

し,入 射,放 出 粒 子 だ け に着 目す る と きは(a,b1b2…bn)の

し,b1=b2=bの

と きはb1b2の

代 わ りに2bと

よ うに

か い て も よい.普 通,

b1,b2,…,bnの

順 番 は 問 題 に しな い.し か し,特 に粒 子 の 放 出 の順 番 を 問 題 に

す る と き は,早

く放 出 され る もの を左 に 書 く.以 後,入 射 粒 子,標

粒 子,残

的核,放

出

留 核 を 一 括 し て反 応 粒 子 と呼 ぶ こ とに す る.各 反 応 粒 子 は素 粒 子 また

は い くつ か の粒 子 か ら な る複 合粒 子 で あ る.入 射 粒 子 に は 核 子,原 子 核,π,K 中 間子 な ど の ハ ド ロ ン,電 子,ミ

ュ ー オ ン な ど の 軽 粒 子,光

子 な ど,い ろ い ろ

の もの が あ る.本 書 で 取 り扱 うの は 主 と し て核 子 また は原 子 核 を入 射 粒 子 とす る 反 応 で あ る.し か し,一 般 に ハ ド ロ ン に よる 反 応 は そ れ と共 通 点 が 多 く,理 論 的 に は そ れ に準 じた 方 法 で 取 り扱 う こ とが で き る.以 後 簡 単 の た め に,特 に 断 らな い 限 り,軽 粒 子 と光 子 を除 く粒 子 を単 に粒 子,そ を複 合 粒 子 と呼 ぶ こ と にす る.

の い くつ か の 束 縛 状 態

  核 反 応 の 中 で 最 も 簡 単 な の は 弾 性 散 乱(elastic こ の 反 応 で は,そ

方 ま た は 双 方 が 励 起 さ れ る.そ

ず,運

弾 性 散 乱(inelastic

性 散 乱 と 同 じ く,反 応 粒 子 の 種 類 は 変 化 せ ず,入

よ びA(a,a*)A*で

A(a,a)Aで

あ る.

の 前 後 で 反 応 粒 子 の 種 類 も 内 部 状 態 も 変 わ ら な い.

  弾 性 散 乱 以 外 の 過 程 が 狭 義 の 反 応 で あ る.非 で は,弾

scattering)

scattering)

射 粒 子 と標 的 核 の 一

れ ら は 普 通 そ れ ぞ れA(a,a')A*とA(a,a*)Aお

表 さ れ る."*"は

励 起 状 態 を,a'はaの

内部状態 は変化せ

動 エ ネ ル ギ ー の 一 部 が 失 わ れ た こ と を 表 す.A(a,a*)A*は

相 互 励 起 と呼

ば れ る.   変 換 反 応(transmutation)で

は,反

そ れ は 組 み 替 え(rearrangement)反 構 も 多 様 で あ る.放

応 の 前 後 で 反 応 粒 子 の 種 類 が 変 わ る:A≠B. 応 と も呼 ば れ る.そ

出 粒 子 が 一 つ で あ るA(a,b)B型

の 種 類 は 多 く,そ

の機

の 反 応 は 特 に 詳 し く研 究 さ

れ て い る.

  1.2.2 

チ

ャ

ネ

ル

  2反 応 粒 子 の 衝 突 に よ る 反 応 で は 一 般 に

(1.2)

の よ うに,い ろい ろな残 留 核 と放 出 粒 子 の 組が そ れぞ れ あ る確 率 で 発 生 す る.始 お よび 終 状 態 で の それ らの 組  の そ れ ぞ れ をチ ャ ネ ル とい う.(1.2)の

左 辺 の α ≡{A,a}を

辺 の 

入 射 チ ャ ネル,右 の それ ぞ れ を 放

出 チ ャ ネ ル とい う.一 つ の 反 応 は 入 射 チ ャ ネ ル か ら放 出 チ ャネ ル の 一 つ へ の 遷 移 と見 る こ とが で き る.  一 般 にM個 の 反 応 粒 子 か らな るチ ャネ ル をM粒

子 チ ャネ ル と呼 ぶ こ とに す

る.正 確 な 議 論 の た め に は チ ャ ネル を反 応 粒 子 の 種 類 だ け で な くそ の状 態 まで 指 定 す るの が 便 利 で あ る.(1.2)で 乱)チ

ャ ネ ル{A*,a'}を

弾 性(散

乱)チ

ャ ネ ル{A,a}と

区 別 した の は そ の例 で あ る.時

また は 放 出 粒 子 の 名 前 だ け で 呼 ぶ こ とが あ る.た

非 弾 性(散

と して チ ャ ネ ル を 入 射

とえ ば1個

の 中 性 子(n)が

入

射,放

出 す るチ ャ ネ ル を 中性 子(n)チ

るチ ャ ネ ル を2pチ

ャ ネ ル,2個

の 陽 子(p)が

入 射,放

出す

ャ ネル と呼 ぶ な ど で あ る.

  系 に複 数 の 同 種 の粒 子が 含 まれ て い る 場 合,量 子 力 学 的 に は それ ら を区 別 で きない.し

か し,議 論 を 進 め る上 か らは,あ た か もすべ て の 粒 子 が 区 別 で きる

か の よ うに取 り扱 い,こ の 区 別 不 可 能性 は 計 算 が 終 わ っ て か ら,た

と えば 波 動

関 数 の 同種 粒 子 の 交 換 に 対 す る対 称 また は 反 対 称 化 な ど に よ っ て,別 途 考 慮 す るの が 便 利 な こ とが 多 い.そ

こで,以

下,特

に 断 らな い 限 り,す べ て の 粒 子 に

番 号 をつ け て 番 号 が 異 な る粒 子 が 区 別 で き る とい う取 り扱 い を す る.   一 つ の チ ャ ネル を 構 成 す る粒 子 の 静 止 エ ネル ギ ー の和 をそ の チ ャ ネル の 内部 エ ネル ギ ー とい う.こ れ と粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の和 が 系 の 全 エ ネ ル ギ ーで あ る.全 エ ネ ル ギ ー は 運 動 の 恒 量 で あ るか ら,反 応 の 前 後 で 変 化 しな い.反 応 前 後 の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 差 を そ の 反 応 のQ値

とい う.反 応(1.1a)の

部 エ ネ ルギ ー を εに 粒 子 の 名 を付 け て表 せ ば,そ のQ値

各粒 子の 内

は

(1.3) で あ る.Qβ α>0の

反 応 を 発 熱 反 応,Qβ α0

は Ψ(+)scが外 向 き 散 乱 波 で あ る こ とを保 証 す る.そ れ ゆ え,Ψ(+)α は 境 界 条 件 (2.80)を 自動 的 に満 た して い る.η の物 理 的 な 意 味 に つ い て は 後 で 時 間依 存 の 理 論 形 式 の 中で 明 らか に す る.

  (2.85)は 略 す)と

Ψ(+)αに 対 す るLippmann-Schwinger方 呼 ば れ る.Hα

子,(2.85)は 呼 ぶ.以

下LS方

は 微 分 演 算 子 だ か ら,(Eα-Hα+iη)-1は

積 分 方 程 式 で あ る.そ

下,記

程 式(以

程式 と 積分演 算

の 核(Eα-Hα+iη)-1をGreen関

数 と

号 を 簡 単 に す るた め に

(2.86) と 書 く.(2.85)の

形 式的な解 は

(2.87) (2.88) で あ る.   [証 明]   (2.85)の

右 辺 第2項

を左 辺 に 移 項 し,左

か らe(+)α(E)を

これ か ら直 ちに(2.87)を 得 る.ま た,  ら(2.88)が

か ける と

で あるか

得 られ る.

 

(証 明 終 わ り)

  こ れ ら の 解 は,分 Schrodinger方

母 にHを

含 ん で い る の で,正

確 に計 算 す るの は 元 の

程 式 を解 くの と 同 じ程 度 に 困 難 で あ る.形 式 解 と呼 ば れ る の

は そ の た め で あ る.そ れ に も 関 わ らず,(2.87),(2.88)は

理 論 の 展 開 に極 め て

有 用 な 式 で あ る.   Gell-Mann-Goldbergerの

恒等式

(2.89) を使 うと,任 意 の チ ャ ネル β に対 して

(2.90) で あ る か ら,(2.88)を

次 の よ う に 変 形 す る こ と が で き る.

(2.91)   特 に β=α な ら,  は(2.85)に 帰 着 す る.β ≠ α で あ れ ば,η →0の

で あ るか ら,(2.91) と き(2.91)の 右 辺 第1項 は

0に な る か ら,

(2.92) と 書 く こ とが で き る*2.   Ψ(+)α(Eα)に 対 し て,

(2.94) を 導 入 す る.Ψ(-)α は Ψ(+)αと 同 じSchrodinger方 散 乱 波 を 持 つ 解 に な る.散 保 証 す る.内

乱 波 が 内 向 き で あ る こ と は,第2項

く と(2.87),

(2.88),

  以 上 の 議 論 で は,Φ

か し,理

の 分 母 の-iη

(2.91)で

η を-η

に 断 ら な い 限 り,こ

 2.4.2 

の解は 解

で 置 き換 え た 方 程 式 が 得 ら れ る.

α(Eα)は 二 粒 子 チ ャ ネ ル の 平 面 波(2.78)で

程 式(2.85)∼(2.94)は

が

論 的 に は 非 常 に 有 用 で あ る.(2.94)を

明 ら か に Φα(Eα)が

Ψ(±)α(Eα)が そ れ に 対 応 す る(2.81)の 下,特

出チ ャネル に 内 向 き

向 き散 乱 波 と い う も の は 観 測 す る こ と は で き な い か ら,こ

実 験 条 件 に は 対 応 し な い.し

し か し,方

程 式 の,放

あ る と し た.

一 般 の 平 面 波(2.52),

解 で あ る と し て も 成 り 立 つ.そ

こで 以

の 一 般 的 な 場 合 を 想 定 し て 議 論 を 進 め る.

の規格直交性

 固有関数系  

*2 エ ネ ル ギーE

α に お い て,チ

は規格直交系をなす:

ャ ネ ル β ≠ α に 入 射 平 面 波 が あ る 場 合 の(2.85)方

程式は

(2.93) で あ る.(2.92)と(2.93)を

見 比 べ る と,(2.93)の

解 に(2.92)の

解 の 任 意 の 定 数倍 を加

え て も や は り(2.93)の 解 に な る こ と が わ か る.し た が っ て,こ の 極 限 で は(2.93)の 一 意 的 で な い .こ れ をLippmann-Schwinger (LS)方 程 式 の 解 の 非 一 意 性 と い う.こ η →0の

極 限 を 不 用 意 に と っ て は な ら な い こ と を 示 す.し

式 は 成 り立 っ て い る の で あ る か ら,LS方

か し,い

ず れ に せ よ,LS方

解は れは 程

程 式 か ら 演 繹 さ れ る す べ て の 方 程 式 は 成 り立 つ.

(2.95)   [証明]

 

に(2.87)を 使い,得られた式の第1項

の Ψ(+)β(Eβ)に(2.92)で

α と β を交 換 し た もの を 使 えば

(2.96)

こ こ で,  で あ る か ら,(2.96)の

第2項

と 第3項

は 相 殺 す る.

よって

  ゆ え に,(2.60)に

よ り(2.95)が

成 り立 つ.

  同様にして, 

が証明 できる.   (証 明終 わ り)

  関数系  

は 一般 には完 全系で はない.Hに

場 合 に は,そ の 波 動 関 数{ΨB}は

 

束縛状 態が存 在 す る

散 乱 状 態 の 波 動 関 数 と直 交 す るか らで あ る.

は{ΨB}を 付 け加 えては じめて完全系 にな る:

(2.97)

 2.4.3  Ψ(+)αの 漸 近 形 と境 界 条 件,T行

列

 次 に,α が 二 粒 子 チ ャネ ルで あ る場 合 Ψ(+)α が 境 界 条 件(2.80)を

ことを確か めよう.チ ャネル βにおいて, 

満 た して い る

の漸近形は次の ように

して求まる.Ψ(+)α(Eα)に(2.92)を 代入 し,  を使 えば

(2.98)

ただ し

(2.99) とな る.た だ し, 

は βチ ャネルでの相対 運動 のエ ネルギ ーで

あ る.   まず,β が 二粒 子 チ ャネル であ る場合 を考 え よ う.Green関  

数の座 標表 示

は二体 の散 乱問題で よ く知 られ てい

る よ う に,

(2.100) で あ る.た だ し,μ β,kβ は そ れ ぞ れ β チ ャ ネル で の 相 対 運 動 の 換 算 質 量 お よ び 運 動 エ ネ ル ギ ーEfに

対 応 す る波 数 で あ る.G(+)(rβ, r)のrβ≫rで

の漸近

形は

(2.101) で あ る.た

だ し, 

で あ る.(2.101)を(2.99)に

代 入すれ ば ,

Ψscβ の 漸 近 形 は

(2.102) と な る.こ

こに

(2.103) で 与 え ら れ る.た

だ し,

(2.104) で あ る.よ

っ て,(2.98)に

よ り, 

の 漸 近 形 は,

(2.105) と な る.(2.105)は ら な い.よ

確 か に(2.80)の

っ て,Ψ(+)α は,二

形 を し て い る.fβ α(Ωβ)は 散 乱 振 幅 に ほ か な

粒 子 放 出 チ ャ ネ ル に 関 す る 限 り,境

界 条 件(2.80)

を 満 た す.   行 列(Tβ α)を 反 応 α → β の 遷 移 行 列(transition と い う.T行

列 要 素 はVβ

matrix,略

し てT行

列)

の レ ン ジ 内で の 波 動 関 数 の値 に よ って 決 まっ て し ま

う.し たが って,(2.103)お

よび(2.104)は

も と も と波 動 関 数 の 漸 近 形 に よっ て

定 義 され て い た 散 乱 振 幅 を,Vβ の レ ンジ 内 の 情 報 だ け で 計 算 で きる こ とを意 味 す る.多

くの 場 合,波

動 関数 を無 限 遠 まで 正 確 に 求 め る こ とは 困 難 だ か ら,こ

れ は 実 際 上,非 常 に 有 用 で あ る.   次 に,β が3個 以 上 の 粒 子 か らな る チ ャ ネル で あ る場 合 を考 え よ う.す で に述 べ た よ うに,こ の場 合 に は Ψscβの漸 近 形 を一 般 的 に書 き下す こ とは 困 難 で あ る. しか し,ど れ か 一 つ の 粒 子,た と えば1,が ほ か の粒 子 全 体 の 重 心R'か

そ れ ぞ れ 決 ま った エ ネ ルギ ー を持 つ

ら無 限 に離 れ た場 合 の 漸 近 形 の1の 座 標 に 関 す る部

分 は,二 粒 子 チ ャネ ル の 場 合 と同 様 に して 求 め る こ とが で きる.こ の 場 合 に は,

ほか の粒 子全体Cを 質量M'=M-m1,エ

ネルギ ー  

を 持 つ 一 つ の 粒 子 で あ る と考 え れ ば,系 は1とCと て,相 対 距 離  

の 二 体 系 で あ る.し たが っ

で は,Ψscβ は,(2.102)と

同 じ く,

(Ψscβ の 漸 近 形)

と な る こ と は 明 らか で あ る.た だ し,  で あ る.ゆ え に,粒 子1は

ほ か の粒 子 に対 して 外 向 き球 面 波 と な っ

て 伝 搬 し て い く.こ れ は任 意 の粒 子 に対 して い え るか ら,Ψscβ は境 界 条 件 を満 た す こ とが わか る.   以 上 を 総 合 す る と,Ψ(+)αの 漸 近 形 は

(2.106) が 得 ら れ る.た れ は(2.80)と

だ し,ψ(+)scは 三 粒 子 以 上 の チ ャ ネ ル の 外 向 き 放 出 波 を 表 す.こ 一 致 す る.す

な わ ち,Ψ(+)α は 境 界 条 件 を 満 た し て い る.

  2.4.4  時 間依 存 の理 論 形 式,断 熱 的 ス イ ッ チ ン グ,S行   LS方 程 式 のGreen関 波 を導 くGreen関

数 に は常 に η→0+が

列

入 っ て い る.こ れ は外 向 き散 乱

数 の 特 異 点 の 処 理 の た め 数 学 的 に 導 入 され た.し か し,実 は

そ れ に は 物 理 的 な 意 味 が あ る こ と を,以 下 に 時 間依 存 の 理 論 形 式 を使 っ て 説 明 し よ う[1].

Schrodinger描

像 で は,系

の 状 態 ベ ク トル Ψ(t)は

(2.107) に よ って 変 化 す る.あ る一 つ の チ ャ ネル α に注 目す る と,Ψ(t)の 変 化 の う ち相 互 作 用 ポ テ ン シ ャルVα だ け に よ る もの を取 り出 す に はユ ニ タ リー 変 換

(2.108) を 行 っ て 相 互 作 用 描 像(interaction と な る 任 意 の 時 刻 で あ る が,以 と(2.108)に

picture)に

移 れ ば よ い.〓

後 簡 単 の た め に 

は  

と す る.ΨIα(t)は,(2.107)

よ り,

(2.109) を み た す.た

だ し,

(2.110) で あ る.も

し,Vα=0な

ら,ΨIα(t)はtに

よ ら な い.す

な わ ち,自

由運動の

相 互 作 用 描 像 の 波 動 関 数 は 時 間 的 に 変 化 し な い.   二 つ の 描 像 で 時 間 を 移 す ユ ニ タ リ ー 演 算 子U(t,t0)とUIα(t,t0)を

で 定 義 す る と,(2.107)か

(2.108)か

ら 有 限 のt,

それぞれ

t0に 対 し て

ら

(2.111) で あ る.(2.111)か

ら有 限 のt,

t0に 対 し て 直 ち に

(2.112)

(2.113)

(2.114) が 得 られ る.   実 際 の 反 応 で は,各

反応 粒 子 は 空 間 的 に 局 在 す る波 束 を な し,そ れ らが 接 触

す る短 い 時 間だ け 相 互 作 用 し,そ の前 後 で は 相 互 作 用 しな い.し か し,そ の 取 り 扱 い は 面 倒 な の で,相

互 作 用 を時 間 的 に 変 化 す る もの で 置 き換 え る こ とに よ っ

て シ ミュ レー トす る.す な わ ち,衝 突 が 時 刻t=0を

中心 に起 こ る場 合,各 チ ャ

ネ ルγ で の 相 互 作 用Vγ を

(2.115) で 置 き換 え る.こ の 相 互 作 用 は￨t￨が 大 きい と き,す な わ ち反 応 の 前,後 で は0 に な り,衝 突 が 起 こ るt=0付

近 で は元 のVγ に ほ ぼ 等 し い.η が 小 さけ れ ば

時 間 的 に ゆ っ く り変 化 し,η →0の

極 限 で は す べ て の 時 刻 でVγ に な る.し た

が って こ の 極 限 で は,Vγη に よる 反 応 は元 のVγ に よる そ れ と同 じで あ る,と 考 え られ る.実 際,こ

の よ うな方 法 を使 って 計 算 し た 断 面 積 が 波 束 を使 っ た計

算 の 答 え と一 致 す る こ とが 証 明 され て い る(た

とえば[2]).(2.115)に

換 え を相 互 作 用 の 断 熱 的 ス イ ッチ イ ン グ(adiabatic switching)と 合,断

よ る置 き

い う.こ の 場

熱 的 とは 「ゆ っ く り変 化 す る 」 とい う意 味 で あ る.

  さて,入 射 チ ャ ネ ル α の平 面 波か ら始 ま る反 応 で は,遠 い過 去 の 時刻t0で

は

(2.116) で あ る.ゆ

え に,ΨIα(t)と

で あ る.こ

れ に 対 して

Ψ(t)が 一 致 す る 時 刻t=0で

は

(2.117) が 成 り立 つ.た

だ し,Ψ(+)α(Eα)はLS方

程 式(2.85)の

解 で あ る.

  [証 明]   t〓0と (2.114)に

す る.ま

ず,あ

るt01の

い う.時 と して,n=∞

の場 合 が あ る.た

… と相 互

の相 互作 用 で 反 応 が 終

場 合 を一 括 し て 多段 階 直接 過 程 と とえ ば,集 団 運 動 の 励 起 の 場 合,集

団 運 動 状 態 間の 遷 移 の 確 率 が 強 い の で,そ れ ら の 間 を無 限 回遷 移 し た の ち反 応 が 終 わ る のが 普 通 で あ る.い ず れ の 場 合 も,全 過 程 に 要 す る時 間 は非 常 に短 く, 励 起 され る系 の 自由 度 は 非 常 に 少 な い.た

とえ ば,n段

階 過 程 で 励 起 され る 自

由度 は,入 射 粒 子 と核 の 双 方が 励 起 す る こ とを 考慮 して も,た か だ か2n個

であ

り,集 団 状 態 間 の 遷 移 の 無 限 回 の 遷 移 の 場 合 で も,少 数個 の集 団 運動 状 態 間 を 遷 移 す る に す ぎ な い.し たが って,こ の段 階 で 複 合 核 が 形 成 され る こ とは な い.   直 接 過 程 の散 乱 振 幅 は,そ の 所 用 時 間がΔtで 2I=h/ΔEに

あ る とす る と,散 乱 振 幅 を 幅

わ た って エ ネル ギ ー平 均 した もの で 与 え られ る.2Iは

光学模型

で の 平 均 の エ ネ ルギ ー 幅 と同程 度 で あ る.   直 接 過 程 は 非 常 に 多 彩 で あ る.一 つ の 反 応 に 二 つ 以 上 の機 構 の 直 接 過 程 が 寄 与 して い る場 合 もあ る.そ の 研 究 は核 反 応 論 の 中 心 的 課 題 の 一 つ で あ る.多 数 の 個 別 的 な 直 接 過 程 の 反 応 機 構 が 詳 細 に 研 究 され,そ れ を記 述 す る た め に い ろ い ろ な模 型 が 提 出 され,大   第4章

きな 成 功 を収 め て い る.

で,そ の 一 つ で あ る広 義 の 非 弾 性 散 乱 の 一 段 階過 程 に対 す るDWIAを

論 じ,そ れ が 多 重 散 乱 理 論 に よ っ て 二 体 の 核 力 か ら組 み 立 て る こ とが で きる こ と を示 した.し か し,こ の よ うな 第 一 原 理 的取 扱 い を 一般 の 反 応 に 拡 張 す る の

は 困 難 で あ る.そ れ ゆ え,多

くの 現 象 論 的 な 理 論 が 提 出 され 成 功 し て い る.こ

の 章 で は,ま ず そ れ らの 理 論 の 一 般 論 を 述べ,つ

い で それ に 基 づ い て個 別 的 な

反 応 機 構 に つ い て詳 論 す る.

5.1  直 接 過 程 の一 般 論

  5.1.1  直 接 過 程 を記 述 す る波 動 関 数 と有 効 ハ ミル トニ ア ン   直 接 過 程 で は 系 の 少 数 の 自 由度 が 励 起 され るか ら,そ れ に 直 接 関与 す る 系 の 内 部 状 態 γ は 入 射 ・放 出 チ ャネ ル α お よび β の そ れ と た か だ か 少 数 の 自由 度 の 状 態 だ け が 異 な る.波 動 関 数 のHilbert空

間 中 に,そ の よ うな 内 部 状 態 γ の

波 動 関 数 φγの 系{φ γ}が 張 る 関 数 空 間 をP,そ 入 射 ・放 出 チ ャ ネル の波 動 関 数 は,当 然,P空

れ 以 外 をQと

呼 ぶ こ と にす る.

間に 含 まれ て い る.φ γは 連 続 状

態 で あ る場 合 もあ る か ら,φ γの 個 数 は必 ず し も少 数 で は な い.直 接 過 程 で は, 系 は α チ ャ ネ ル か らP空

間 中 の 何 個 か の 内 部 状 態 を 経 由 し て β チ ャ ネ ルヘ 遷

移 す る.直 接 過 程 の 理 論 はP空

間 中 で の 波 動 関数 の振 る舞 い を 取 り扱 う.

  P空 間へ の 射 影 演 算 子 をPと

す る と,系 の 波 動 関 数 Ψ のP空

舞 い はPΨ

に よ って 記 述 され る.PΨ

に 対 す るSchrodinger方

間 中で の振 る 程 式は

(5.1) で あ る.こ ば,そ

こ に,H(P)はP空

れ はFeshbachの

間 内 で の 有 効 ハ ミル トニ ア ン で,3.6節

に よれ

公式

(5.2) で 与 え られ る.た だ し  のP空

,ま たQ=1-Pで

あ る.H(P)

間 内 の チ ャ ネ ル γ に対 す る具 体 的 な形 は

(5.3) で あ る.た

だ し,hγ

は 内 部 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ン,Kγ

は相 対 運 動 の 運 動 エ ネ

ル ギ ー,

(5.4) は チ ャ ネ ル γ で の 有 効 相 互 作 用 で あ る.

  求 め るPΨ

は(5.1)の 解 で,チ ャネ ル α に 入射 波 が あ り,開 い た チ ャネル に 外

向 き散 乱 波 が あ る,と い う漸 近 形 を もつ もの で あ る.そ れ を  接 過 程 を記 述 す る 波 動 関 数 は  節 で 述 べ た よ うに, 

とす る.直

の エ ネ ル ギ ー 平 均 

で あ る.1.4

に対 す る 方程 式 は(5.1)の 両 辺 を エ ネ ルギ ー 平均

した

(5.5) で あ り,〈H(P)〉IはH(P)の

中 のEをE+iIで

置 き換 え れ ば 求 まる:

(5.6)   こ れ に よ ってVγ(E)は  に な る.〈Vγ(E)〉Iは 複 素 数 で,エ ネ ル ギ ー に 依 存 し,非 局 所 型 の 複 雑 な演 算 子 で,そ れ を正 確 に計 算 す る こ とは 多 くの場 合 不 可 能 で あ る.そ

こで 直 接 過 程 の現 象 論 で は,物 理 的 な考 察

に よって,そ れ ら を比 較 的 簡 単 な演 算 子 で 近 似 す る.具 体 的 に は,各 チ ャ ネル γ に対 して 〈Vγ 〉Iを 簡 単 な 現 象 論 的 ポ テ ン シ ャルVγ で 置 き換 え る の で あ る.こ れ に よ って,〈H(P)(γ)〉Iは

現 象 論 的 な 有 効 ハ ミル トニ ア ン

(5.7) で 置 き換 わ る.こ に は,γ

の 置 き 換 え は 任 意 で は な く,H(γ)(P)は,少

な くと も近 似 的

に よ ら な い:

(5.8) と い う条 件 を 満 たす もの と す る.逆 ル に対 す る 表 式 で あ る.H(P)に

に い う と,H(γ)(P)はH(P)の

対 応 す る 波 動 関 数 を 

γチ ャネ とす る と,

(5.9) と な る.H(P)と 

が それ ぞ れ 直接 過 程 の現 象 論 的 ハ ミル トニ ア ン お よ

び 波 動 関数 で あ る.   Vγ をど う選 ぶ か は個 々の場 合 につ い て検 討 せ ね ば な らな い.最 は,Vγ=Vγ

とす る こ とで あ る.こ れ はVγ に 対 す るQ空

も単 純 な 仮 定

間 か らの 寄 与 を 無視

す る近 似 で あ る.こ の 場 合Vγ は 核 力 の 知 識が あ れ ば 既 知 で あ る.し か し,そ れ は 特 異 性 を 持 つ か な り複 雑 な もの で あ るか ら,簡 単 な 現 象 論 的 な ポ テ ン シ ャ ル で代 用 され る こ とが 多 い.

 はP空

間 を張 る 内 部 波 動 関 数 の 組{φ γ}に よ っ て

(5.10) と展 開 で き る.た だ し,Xγ は 内 部 状 態 φγに対 応 す る 相 対 運 動 の 波 動 関数 で あ る.{φγ}は 離 散 的状 態 と連 続 状 態 を 含 む.そ れ ら のす べ てが 直接 観 測 可 能 とは 限 らな い.ま た,{φγ}は 必 ず し も直 交系 で は な い.Sγ は 離 散 的状 態 に対 す る和 と連 続 状 態 に対 す る積 分 を表 す.   直 接 過 程 の 現 象 論 で は,{φγ}は 既 知 と し て,Xγ 漸 近 形 が 反 応 α → β の,こ べ て の γ ∈Pに

を 計 算 す る.そ の 解Xβ の

の 直接 過 程 に よ る 散 乱 振 幅 を与 え る.(5.9)か

らす

対 して 得 られ る

(5.11) の 左 辺 に(5.8)と(5.7)を

使 えば

(5.12) が 得 ら れ る.た

だ し

(5.13) (5.14) お よび 

で あ る.(5.12)が

基 礎 方 程 式 で あ る.左 辺 の ポ テ

ン シ ャルUγ は相 対 運 動 だ け に働 くポ テ ン シ ャ ルで,内

部 状 態 を 変 え ない.そ

れ は 歪 曲 ポ テ ン シ ャル(distorting potential)と 呼 ば れ る.右 辺 のUγγ'が 二 つ の状 態 φγと φγ'を結 合 す るポ テ ン シ ャ ルで あ る.   Xγ に 対 す る境 界 条 件 は 「漸 近 形 が,(1)γ=α (2)Eγ>0な

ら外 向 き散 乱 波 が あ る.(3)Eγ0だ

れ が,前

述 し た,対

相 関 に よる 断 面 積 の 高 揚 に ほ か な

ら な い.   B.  形 状 因 子 の 標 準 形   (5.209)の

右 辺 を 計 算 す る に は 座 標 変 換(r1A,r2A)→(rxA,r21)を

し,そ

れ

に 伴 う 角 運 動 量 の 組 み 替 え,

から へ

をせ ね ば な ら な い.座 標 変 換 は,一 般 に は,直 接 解 析 的 に 実 行 す る こ とは で き な い.し か し,一 核 子 波 動 関 数 が 調 和 振 動 子(H.O.)型 

であ る場合

には

(5.218) の 展 開 が 成 り立 つ.こ

こ に, 

波 動 関 数 系 で あ る.  ば れ る も の で あ る.そ

は そ れ ぞ れH.O.型 は 既 知 の,Moshinsky-Talmi係

れ は

の

数 と呼

の と き に 限 っ て0で

な い.一

般 の 

に 対 し て も,そ

の 波 動 関 数 系 で 展 開 す れ ば, 

れ をH.O.型

は 二 つ のH.O.型

関 数 の 積 の 和 の 形 に 書 け る.

  5.2.8 

二 段

  時 と し て,直 態 群{γ}を

階

過 程

接 反 応 α → β に は 一 段 階 過 程 の ほ か に,α,β

経 過 す る 二 段 階 過 程 α →{γ}→

  た と え ば,集

とは 別 の 内 部 状

β が 重 要 で あ る 場 合 が あ る.

団 運 動 の 二 フ ォ ノ ン状 態 を 一 段 階 で は 励 起 で き な い が,一

状 態 を 経 由 す れ ば 二 段 階 で 励 起 す る こ とが で き る.一 段 階 の(p,d)反 の1粒

子2空

孔(1p-2h)状

フ ォノン

応 で 閉殻 核

態 を 励 起 す る こ と は で き な い が,(p,t)(t,d)反

応 では

可 能 で あ る.(16O,15C)は

一 段 階 で は 不 可 能 で あ るが(16O,17O)(17O,15C)ま

は(16O,14C)(14C,15C)な

ら可 能 で あ る.(3He,t)で

は 一 段 階 過 程 は,運

角 運 動 量 移 行が 大 きい と き

動 量 の 不 整 合 の た め に 著 し く弱 く,代 わ っ て(3He,α)(α,t)が

主 な 機 構 に な る[10].二 で あ る[11].(p,t)反 (p,t)反

た

核 子 移 行 反 応(18O,16O)は 応 に お い て す ら,継

主 に(18O,17O)(17O,16O)

続 移 行 反 応(p,d)(d,t)が

一段 階の

応 と 少 な く と も 同 程 度 の 強 さ で 寄 与 す る こ と が 知 ら れ て い る[12].

  二 段 階 過 程 のT行

で 与 え ら れ る.こ

列 要 素 はDWBA展

開 の 第2近

似 で,(5.34)に

れ は, 

よ り

で あ る か ら,

(5.219) と書 く こ と も で き る.こ   H(P)は

れ を 二 次 のDWBA

(second

order

一 般 に チ ャ ネ ル δで 

の う ち ど れ を と る か,そ

に 対 し て 

い う.

の 形 を と る.α

γ → β が 組 み 替 え 反 応 で あ る場 合 に は(5.219)の δ と し て α,γ,β

DWBA)と

右 辺 の 二 つ のH(P)に

→ γ, 対 して

れ ぞ れ 二 通 り の 選 択 が あ る.α

→ γ

と とれ ば

(5.220) と な る.  し遷 移 α → range近

はDWBAのprior γがpick

upな

ら,そ

formの

形 状 因 子 で あ る.し

れ はDWBAの

似 な ど を 使 っ て 計 算 す る こ とが で き る.し

た が っ て,も

計 算 で よ く知 ら れ て い るzeroか し,α

→ γがstrippingで

あ る と そ れ は で き な い.strippingに

適 合 す る の はpost

form,

の 方 で あ る が,

(5.221) であ る. 

がDWBAのstrippingの

の 右 辺 に は 第2項

形 状 因子 で あ る.し か し,(5.221)

が あ る.そ れ は 

に等 しい こ とか

ら もわか る よ うに,チ ャ ネ ル α と γ の非 直交 性 に 由 来 す る.非 直 交 項 と呼 ば れ る.同 様 に して 第2段

階 γ→ β で は,そ れ がstrippingな

子 の 計 算 だ け で す み,pick

らDWBAの

形状 因

upで あ れ ば 非 直 交 項 も計 算 せ ね ば な らな い.非 直

交 項 は微 分 演 算 子 を含 むか ら計 算 が 面 倒 で あ る.し か し実 際 に は,そ の 寄 与 は 比 較 的小 さ い と して,そ れ を無 視 し た計 算 が 行 わ れ る こ と も多 い.

5.3  チ ャ ネ ル 結 合 法

 

DWBA展

開 で は,系

し か し,実

の 異 な る 内 部 状 態 間 の 結 合 が 弱 く,摂 動 論 が よ い と し た.

際 に 起 こ る 反 応 の 中 に は,チ

な い ほ ど 強 い 場 合 が あ る.こ of coupled

channels以

の 場 合 に 有 効 な 現 象 論 が チ ャ ネ ル 結 合 法(method

下 略 し てCCと

は 前 か ら 使 わ れ て き た が,核 24Mg(p

,p')24Mg*(第1励

ャ ネ ル 間 の 結 合 が 摂 動 論 で は 取 り扱 え

呼 ぶ)で

あ る.こ

の 方 法 は原 子 物 理 で

反 応 論 に そ れ が 導 入 さ れ た の はYoshidaに 起.2+,一

フ ォ ノ ン 状 態)の

よる

計 算 におい てであ る

[13].

  (a) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式   CCは5.1節

の 一般 論 でP空

の近 似 下 で の 

間が 二粒 子 チ ャネ ルか らな る場 合 を取 り扱 う.CC

を ΨCCと 書 くこ と にす る と,そ の 座 標 表 示 は,た

とえば

(5.222) の形 を して い る.{φ γ}は 二粒 子 系 の 内 部 波動 関 数 を表 す.右 辺 は 第1項 か らそ れ ぞ れ,入

射 チ ャ ネル,非

弾 性 チ ャ ネ ル,組 み 替 え チ ャ ネ ル,入 射 粒 子 が 二 つ

の破 片 に 分 解 した チ ャ ネル に対 応 す る.分 解 チ ャ ネル の 項 のkは 片 間 の 相 対 運 動 の 運 動 量 で あ る.CCで

分 解 した2破

は,{φ γ}を 既 知 と して 未 知 関 数{χγ}

を計算す る．   ΨCCに

対 す る方 程 式 は(5.11)よ

り

(5.223) 相対 運 動 の 波 動 関 数{χγ}に 対 す る 方 程 式 は,(5.12)よ

り

(5.224) で あ る.境 界 条 件 は,漸

近 形が 開い た チ ャネ ル に 対 し て は

(5.225) 閉じたチ ャネルに対 しては

(5.226) で あ る.た だ し,cγ は 定 数,    実 際 の 計 算 で は,歪

で あ る.

曲ポ テ ン シ ャル{Uγ}は

ル で 置 き換 え られ る.そ れ を 用 い たCC計

しば し ば 現 象 論 的 な ポ テ ン シ ャ

算 が 実 験 結 果 を説 明 で きる よ うに,

そ れ に含 まれ るパ ラ メ タ ー を調 節 す る こ と も あ る.い ず れ に せ よ,Uγ

は,そ

れ だ け で は 弾 性 チ ャ ネ ル の 散 乱 を 記 述 しな い か ら,光 学 ポ テ ン シ ャルで は な い. そ れ は,チ

ャ ネ ル 結 合 が な い と きの ポ テ ン シ ャル,と

ポ テ ン シ ャル"と 呼 ば れ る.し か し,Uγ

い う意 味 で"裸 の(bare)

と し て は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル と似 た 複

素 中 心 力 と,ス ピ ン軌 道 結 合 力 な ど を持 つ ポ テ ン シ ャ ル を 仮 定 す る のが 普 通 で あ る.   Uγ γ'は チ ャ ネ ル γと γ'が 同 じ粒 子 構 成 で あ れ ば 局 所 ポ テ ン シ ャ ル で あ る. した が っ て,{γ}が 弾 性 ・非 弾 性 散 乱 チ ャネ ル だ けか らな り,結 合 す る チ ャ ネ ル が 核 の 有 限個 の 離 散 状 態 の そ れ で あ れ ば,(5.224)は 程 式 に な り,比 較 的 容 易 に解 け る.し か し,(5.222)の 連 続 状 態 を含 む 場 合 に は,結 合 す る チ ャ ネル の 数,し

有限次元 の連立微 分方 よ うに非 弾 性 チ ャ ネル が たが っ て(5.224)の

次 元,

は 連 続 無 限 に な る.こ の 場 合 の 処 理 に は 特 別 な工 夫 が 必 要 で,そ れ に つ い て は 5.3.3項 で 詳 論 す る.   γ と γ'が組 み 替 え チ ャネル で あ る と,φ γ と φγ'は直 交 せ ず,そ の結 果Uγ γ'

は 非 局 所 型 に な る.し

た が っ て,{γ}が

は 連 立 微 積 分 方 程 式 に な る.こ

  (b)チ

組 み 替 え チ ャ ネ ル を 含 む場 合 は,(5.224)

の 場 合 に つ い て は5.3.2項

で 論 じ る.

ャ ネル 結 合 方 程 式 の 解 法

  連 立 方 程 式 を 実 際 に 解 くた め に さ まざ まな 方 法が 使 わ れ て い る.例

と して,

そ の 中 の い くつ か の 原 理 を 簡 単 に 説 明 す れ ば 次 の通 りで あ る.   (1)逐 次 近 似 法 はDWBA展 算 す る に は,第(n-1)次

開 そ の もの で あ る.Xγ

の 第n次

近似X(n)γ を計

近 似 まで を既 知 と して

(5.227) をX(n)γに対 す る 非 斉 次 の微 分 方 程 式 と して 境 界 条件(5.225)ま

た は(5.226)の

下 に 解 け ば よい.こ れ を解 が 数 値 的 に収 束 す る まで 繰 り返 す.た だ し,収 束 は 保 証 され な い.も

し,入 射 チ ャ ネル α と の結 合 の 強 さの 順 に γ を並 べ る こ とが

で きれ ば,そ の 順 に(5.227)型

の 方 程 式 の 右 辺 の γ'の中 で す で にX(n)γ'が求 ま っ

て い る もの に対 して はX(n-1)γ'をX(n)γ'で 置 き換 え れ ば 収 束 が 速 い[14].   (2)連 立 方 程 式 を 直 接 解 くに は,ΨCCを

全 角 運動 量Jの

固 有 関 数 ΨJMで

(5.228) と展 開 す る のが 便 利 で あ る.(J,M)は

運 動 の 恒 量で あ るか ら,(5.223)は 各 ΨJM

に対 す る 方程 式 に な り,異 な る ΨJMが

混 ざ る こ とは な い.ΨJMを

各 チ ャ ネル

で の 角 運 動 量 の 固 有 関数 に展 開 して

(5.229) の 形 に書 く.た だ し,  性 の ゆ え に,動 径 関数 は  は 等 しいJの 

で あ る.回 転 対 称 はMに

よ らな い.こ の 表示 を使 うと,(5.223)

の連 立 方 程 式 に な る.そ れ を解 く実 際 的 方 法 に は 次

の よ うな もの が あ る.   (a)rγ の座 標 軸 を 適 当 な 大 き さの 区 間(メ  

ッシ ュ)に 分 け,各 分 点rγiで の

を未 知 数 と し,数 値 微 分,数 値 積 分 の公 式 を使 って 

す る 連 立 一 次 斉 次 方 程 式 を導 く. 

に対

に 対 し て 一 組 の境 界 条 件 を 課 せ

ば,一 組 の 独 立 解 が 得 られ る.こ の よ うに し て, 

の数 に等 しい 数 の 独

立 解 を 求 め て お く. 

は そ の よ うに し てす べ て のJの

す べ て の連 立 方 程 式

に 対 して 求 め た独 立 解 の 一 次 結 合 で あ る.一 次 結 合 の 係 数 は,そ れ が 境 界 条 件 (5.225)お

よび(5.226)を

満 た す,と い う条 件 で 決 ま る.

  (b)連 立 方 程 式 を 直接 解 く代 わ りに,次

の よ う な逐 次 近 似 で 解 く方 法が あ る

[15].弾 性 ・非 弾 性 散 乱 チ ャ ネル だ けが 結 合 す る場 合, 

に対

して

とお く. 

は チ ャネル 結 合 が な い とし た と きの 方 程 式 の 解 で,そ

れ ぞ れ 振 幅1のr=0で

正 則 な 解 お よび 無 限 遠 で 外 向 き進 行 波 の 漸 近 形 を持

つ 解 で あ る. 

はrに 緩 や か に依 存 す る 関 数 で,一 階 の 連 立 微

分 方 程 式 をみ たす.そ れ らに 境 界 条件:  を 課 し,逐 次 近 似 で 解 く.第0近 ∞ か らr=0ま

似 で は す べ て の 

で 積 分 して 

 

の 第1近

と して,r=

似 を得 る.た

だ し,cJMLは

とな る係 数 で あ る.そ れ を使 って,r=0

か ら ∞ まで 積 分 す る こ とに よって 

の 第1近 似 を得 る,等 々で あ る.

こ の 方 法 で は 数 値 微 分 は 不 用 で あ り,数 値 積 分 は容 易 で あ る.   (c)  を適 当 な基 底 関 数 系  で展 開 し,そ の 展 開 係 数 を 未 知 数 と し て そ れ に対 す る 連 立 方 程 式 を 解 く,と い う方 法 が あ る. gγi(rγ)を,た とえ ば レ ンジが 等 比 数 列 を な すGauss関

数 な ど,適 当 に と って 置

く と,よ い 精 度 の計 算 が か な りの 部 分 解 析 的 に で きる,と い う長 所が あ る[16].   以 下 に,い

  5.3.1    CCは

くつ か の典 型 的 な場 合 に対 す るCCの

応 用 例 を見 て み よ う.

非 弾 性 散 乱 に よ る集 団運 動 状 態 の 励 起

まず,p,α

な どの 軽 イ オ ン非 弾性 散 乱 に よ る集 団運 動 状 態 の励 起 の 記

述 に 大 き な成 功 を納 め た.同

じバ ン ドに属 す る集 団 運 動(振 動,回 転)状

チ ャ ネ ル の 間 に は 強 い 結 合 が あ る.し たが って,集

団運 動 の 励 起 状 態 へ の遷 移

の 記 述 に は,そ れ と強 く結 合 す るチ ャ ネル を取 り込 ん だCC計   こ の 場 合 に は,P空

算 が 必 要 で あ る.

間 の す べ て の チ ャ ネル の 内 部 座 標 ξ,相 対 座 標r,お

び ハ ミル トニ ア ンH(P)は

態の

よ

共 通 で あ る.ま た,異 な るチ ャ ネル は 同 じ核 の 異 な

る 固 有 状 態 に対 応 す るか ら,そ れ らの 内 部 波 動 関 数 は 直 交 す る.し

たが って,

(5.230) と な る.Vγ(r,ξ)は 集 団運 動 の 励 起 を引 き起 こす 現 象 論 的相 互作 用 で,DWBA で 使 わ れ て い るポ テ ン シ ャル と同 じで あ る.遷 移が フ ォ ノ ンの励 起 に よる もの で あれ ば(5.92)お

よび(5.93)で,ま

た 回転 運 動 状 態 間 の 遷 移 で あ る場 合 は(5.98)

で 与 え られ る.Uγγ'は これ ら のVγ を相 互作 用 とす るDWBAの

形 状 因 子 とま っ

た く同形 で あ る.た だ し,γ も γ'も一 般 に は励 起 状 態 で あ るか ら,遷 移 には 励 起 と脱 励 起 とが あ る.   以上 の よ うに し て,集 団 運動 励 起 の チ ャ ネル 結 合 の ポ テ ンシ ャル が 与 え られ る と,前 記 の 一 般 論 に従 っ て(5.224)を   CCは

解 い て 散 乱 振 幅 を計 算 す る こ とが で き る.

多 くの(p,p'),(d,d'),(α,α')な

ど に よ る 球 形 核 表 面 振 動 の 励 起,歪

ん だ核 の 回 転 状 態 の 励 起 に 適用 され,実 験 の説 明 に大 きな成 功 を収 め た.図5.4 は50MeVで

の154Sm(α,α')154Sm*に

分 断 面 積 のCCに

よ る 回転 準 位2+,

4+,

よる計 算 と実 験 との 比 較 の 例 を示 す.CC計

状 態 と基 底 状 態 お よび8+の

6+の 励 起 の微 算 で は これ らの

回転 準 位 が 結 合 され て い る.

  集 団 運 動 の 中 で,回 転 状 態 の 準 位 は 一般 に数 が 多 く,相 互 の 結 合 は 強 い.し た が って,そ れ らの 励 起 をCCで

扱 うに は 多 次 元 の 連 立 微 分 方 程 式 を解 か ねば な

らな い場 合が あ る.し か し,回 転準 位 間の 間隔 は 入 射 エ ネ ルギ ー に比 べ て は るか に小 さい の で,近 似 的 にそ れ を無 視 し,す べ て の 回 転準 位 が 縮 退 し て い る とす る こ とが で き る.こ の 近 似 は 物 理 的 に は,回 転 運 動 が 反 応 粒 子 間 の相 対 運 動 に 比 べ て 非 常 に遅 い と仮 定 す る こ と を意 味 し,断 熱 近 似(adiabatic

approximation)

と呼 ば れ て い る.こ の近 似 の も とで は,核 の 内 部 ハ ミル トニ ア ンhAはP空 中の す べ て の状 態 に 対 して 同 じ 固有 値 ε0を もつ こ とに な るか ら,H(P)の hAを

ε0で 置 き換 え る こ とが で きる.そ

うす る と,H(P)は

動 関数 に対 す る演 算 子 で は な くな る.H(P)は で 与 え られ る相 互 作 用 ポ テ ン シ ャルV(r,Θ)を 過 ぎ な い.ゆ

間 中で

もは や 核 の 内 部 波

回 転 運 動 の集 団座 標Θ を(5.98) 通 じて パ ラ メ タ ー と して 含 む に

え に,(5.223)は

(5.231) とな る.Θ は 歪 ん だ 核 の 対 称 軸 の 空 間 固 定 軸 か らの 方 向 のEuler角 たが って,V(r,Θ)は

で あ る.し

そ の 方 向 に 固 定 され た歪 ん だ核 が 入 射 粒 子 に お よぼ す 力

の ポ テ ンシ ャル で あ る.(5.231)は

単 な る常 微 分 方程 式 で あ るか ら,連 立微 分 方

図5.4 

50MeVの(α,α')に 実 験 値(黒 β2,β4,β6は (D.L.Hendrie

程 式 で あ る(5.224)に

よ る154Smの

丸)と

計 算 値(実

線)の

そ れ ぞ れ2+,4+お et

al,Phys.Lett.26B

回転 準 位 の励 起 の 微 分 断 面 積 の 比 較

よ び6+状

態 の 変 形 度 を 表 す. 127

(1968)に

よ る.)

比 べ て は るか に 簡単 で あ る.境 界 条 件 は 漸 近 形

(5.232) で 与 え られ る.f(Ω,Θ)は

核 の 対 称 軸 の 方 向がΘ で あ る と きの 散 乱 振 幅 で あ る.

全 体 の散 乱 振 幅 は

(5.233) で 与 え られ る.た だ し,φ α(Θ),φβ(Θ)は核 の 波 動 関数 の 回転 座 標 部 分 で あ る. 粒 子 座 標 の 部 分 は 変 化 を 受 け な い の で,そ の 重 な りは 規 格 化 積 分 に な り,1を 与 え る.   断 熱 近 似 で は,核 は 準 位 間 隔 をDと

の 回 転 準 位 が すべ て 縮 退 して い る と した.回 転 運 動 の 周 期 す る とお よそ ん/Dの 程 度 で あ るか ら,こ れ は 回転 運 動 が 入

射 粒 子 の 運 動 に くらべ て 非 常 に 遅 い と仮 定 し た こ と を 意 味 す る.し た が っ て, 散 乱 が 起 こ る 間 そ の核 の 方 向Θ が 変 化 し な い こ とに な る.(5.231)は

正 にその

描 像 に符 合 し て い る.   か くして,CCは

軽 イオ ン の非 弾 性 散 乱 に よる 集 団運 動 励 起 に対 す る標 準 的 な

理 論 に な っ た[17].ま -16Oな

た 重 イ オ ン 反 応 で も,低

エ ネ ル ギ ー で の12C-12C,12C

ど の 比 較 的軽 い重 イ オ ン 同士 の散 乱 に 現 れ るい わ ゆ る分 子 共 鳴 の 説 明 に

大 き な 寄 与 を す る[18]な   時 に は,DWBAで

ど 成 果 を 挙 げ て い る.

始 −終 チ ャ ネ ル の 一 方 ま た は 両 方 が そ れ ぞ れ 別 の チ ャ ネ ル

と 強 く結 合 し て い る 場 合 が あ る.た

と え ば,(d,p)反

が 集 団 励 起 状 態 で あ る 場 合 が そ れ で あ る.こ

ャネルの残留核

の よ う な 場 合 に は,歪

結 合 を 取 り入 れ たCCの

解 を 使 う必 要 が あ る.こ

近 似(coupled

Born

channels

応 のpチ

曲波 に そ の

の 近 似 を チ ャ ネ ル 結 合Born

approximation,略

し てCCBA)と

い う.

 5.3.2  組 み 替 え チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC)  

P空

間が 組 み 替 えチ ャ ネ ル を含 む場 合 に は,組

み 替 えチ ャ ネ ル 間 の 結 合

(5.234) が 現 れ る.右

辺 の 計 算 に はH(P)の

で の そ れH(P)(γ'),を の 経 験 に よ る と,遷

使 う.右

チ ャ ネ ルγ で の 表 式H(P)(γ),ま

辺 はDWBA展

移 γ → γ'がpick

up

た は γ'

開 に 現 れ た 表 式 で あ る.そ (stripping)の

を 使 う の が 便 利 で あ る.た

と え ば γ→

と き はH(P)と γ'がpick

upの

こで して 場 合,

 と す る と

(5.235) と な る.た

だ し,

(5.236) (5.237) で あ る.Vγγ'をUγ γ'の相 互 作 用 項,Nγ γ'を非 直 交 項 とい う.Nγγ'は 組 み 替 え 反 応 に特 有 な 項 で φγ と φγ'の非 直 交 性 に 由 来 す る.実 際,も

し γとγ'が 同

じ反 応 粒 子 の異 な る 内部 状 態 に対 応 す る場 合 は,φ γとφγ'は同 じ 内部 座 標 を持 ち互 い に 直 交 す るか ら,Nγ γ'=0で   DWBAの

あ る.

場 合 と同様 に,ξ γ をチ ャネ ル γ と γ'に共 通 な 内 部 座 標 ξγγ'と γ

を構 成 す る 二粒 子cとCの

相 対 座 標rcCに

分 け,ξ γ'につ い て も 同様 にす る と,

(5.238)

と な る.rcC,

rc'C'はrγ

とrγ'の

一 次 結 合

(5.239) で あ る.そ

こ で,(5.236)の

積 分 を ま ず ξγγ'に 対 し て 行 い,次

に 変 数rcCを

t'rγ'に 換 え て 行 う と,

(5.240)

(5.241) と な る.γ → γ'がstrippingの

場 合 に も同 様 な 変 形 が で きる.た だ し,こ の場

合 はNγ γ'の中 にKγ'が 現 れ,そ れ は未 知 関 数χγ'に 作 用 す るの で,そ れ を 避 け るた め にGreenの 要 が あ る[19].非

定 理 を使 って 部 分 積 分 し,そ 直 交 項 は,演 算 子Kγ-Eγ

うな らな い よ うに変 形 す る必

が 無 限 の レ ン ジ を も って い る の

で,非 常 に 長 い レ ン ジ を 持 つ[20].   この よ うなUγ γ'を含 む(5.12)は 連 立微 積 分 方程 式 で,そ れ を使 った計 算 法 は 組 み替 えチ ャネル 結 合(coupled channels,略

し てCRC)法

reaction channelsま

た はcoupled

と呼 ば れ て い る[21].CRCの

rearrangement

計 算 は 非 弾 性 チ ャネ

ル だ けが 結 合 す る場 合 に 比べ て,非 直 交 項 の 処 理 が 面 倒 で あ る.た だ し,こ の 項 の 効 果 の 大 き さ は 反応 に よ って 異 な り,無 視 して よい場 合 もあ る.数 値 計 算 に は,5.3節(b)項   CRCは

で あ げ た よ うな い ろ い ろ な 方 法 が 使 われ る.

比 較 的軽 い重 イ オ ン(C,Oな

ど)間 の 反 応 の解 析 に精 力 的 に使 われ,

成 果 を あげ て い る.二 つ の核 の 間 で 核 子 が 繰 り返 しや りと りされ る機 構 が 重 要 で あ る こ との 発 見 は そ の 一 例 で あ る[22].複 を 取 り入 れ てCCに

合粒 子 間 の衝 突 で 同 種 核 子 の交 換

よ る計 算 をす る 方 法 に は,波 動 関 数 の 反 対 称 化 を正 確 に取

り入 れ た,共 鳴 群 の 方 法(resonating

group

method,

RGM)が

あ る.こ の場

合 に は,核 子 の 交 換 に よって 反 応 粒 子 間 に 粒 子 の 組 み 替 えが 起 こ る か ら,CRC に よ る計 算 が 必 要 で あ る.こ の 方 法 に よる計 算 が 比 較 的軽 い 核 同 士 の 散 乱 に 対 し て 行 われ,い

ろい ろ な 近似 法 も 開発 され て い る[23].

  5.3.3  離 散 化 連 続 チ ャネル 結 合 法(CDCC)  入 射 粒 子aが

重 陽 子, 

の よ うに,弱

く結 合 した 二 つ の 破 片 か らな る場 合 に は,aは

反 応 の 途 次,標

的核 との 相 互 作

用 に よ って 容 易 に 変 形 し た り,分 解 し た りす る.そ の よ うな 状 態 はaの 連 続 励 起 状 態 の 重 ね 合 わ せ で あ る.   こ の よ う な過 程 をCCで

取 り扱 うた め の 現 象 論 的 ハ ミル トニ ア ンH(P)は

の 形 を して い る.A,1,2の

内 部 状 態 は 反 応 を通 じ て不 変 で あ る と し て,そ れ

ら の 内 部 ハ ミル トニ ア ン は省 い た.V1AとV2Aは の 相 互 作 用 の 現 象論 的 ポ テ ン シ ャル で あ る.た

そ れ ぞ れ1-Aお とえ ば,1-A間

よび2-A間

お よび2-A間

の

光 学 ポ テ ン シ ャ ル や 相 互 作 用 の 畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル に適 当 な 虚 数 部 を付 け た もの な ど で あ る.   座 標 系 と して は,a-A間

の相 対 座 標rと1-2間

使 う.説 明 の 簡単 の た め に ス ピ ンを 無 視 し,aの をそ れぞ れ 

お よび 

の それr21の

型を

基 底 状 態 と連 続 状 態 の 波 動 関 数

とす る. 

の相 対 運 動 の 運 動 量 

い わ ゆ るT字

はa内 で の 二破 片

軌 道 角 運動 量

 

の 固 有 関数 で あ る.ΨCCJMは

(5.242) と展 開 され る. 

は 

動 関 数 で,hP(k)とhLは

に対 応 す る,a-A間

の 相 対 運 動 の波

そ れ ぞ れ 運 動 量 お よび 軌 道 角 運 動 量 で あ る ．  

は

(5.243) を 満 た す.(5.242)に   (5.242)の そ こ で,P空

ス ピ ン の 自 由 度 を 取 り入 れ る こ と は 容 易 で あ る.

右 辺 は 連 続 無 限 個 の 未 知 関 数  間 を 離 散 化 し て,連

続 無 限個 の未 知 関 数 を有 限個 の そ れ で 近 似 す

る の が 離 散 化 連 続 チ ャ ネ ル 結 合 法(coupled た はcontinuum

discretized

離 散 化 の 方 法 は,(a)lを

を 含 む.

coupled

discretized

channels,略

continuum し てCDCC)で

有 限 値 λ ま で に 制 限 す る: 

channelsま あ る[24]. (b)各lに

対 し

て,連 続 無 限 個 の 

を有 限Nl個 

で近

似 す る.し た が っ て(5.242)は

(5.244) で 近似 され る.ΨCDCCJMがCDCCの 近似 内部波 動 関 数, 

の と りか た は一 意 的 で な い.最 も よ く使 われ るの は, を等 しい 大 きさ 

に分 け,i番

の小 区 間

目の 区 間 内 の 

と して は 小 区 間 内 の 

のkに

で の  当 なNlm個

のCCの

とす る.か 一 般 のkに

の 基 底 

間点

に よ っ てhaを

対

とす る,と い う,"pseudo-state"

くし て得 られ た 有 限 個 の 離 散 化 され た チ ャ ネ ル に 対 し て通 常 を解 く.そ れ ぞ れ の 

値kiを 対 応 させ,(5.243)に

に 対 して,適 当

よ って そ れ に対 応 す るP(ki)を

決め

く して,離 散 的 なP(ki)に 対 す る 短χlLが 求 まる.そ れ を内 挿 す れ ば 対 し て  が 求 まる.

  以 上 の 方 法 はaだ

け で な く,標 的核Aも

拡 張 す る こ とが で き る.CDCCはd,

連 続 状 態 に励 起 す る 場 合 に も容 易 に

6,7Li, 12Cな ど の 弾 性 散 乱,弾 性 分 解 反

応 な ど に適 用 され て,実 験 と よい 一 致 を示 し た.図5.5に   CDCCに

た は,中

な ど を とる こ とが で き る.運 動 量 ビ ン の 方 法

手 法 を使 って 

な方 法 でkの

とす

bin)の 方 法 と い う. 

つ い て の 平 均,ま

角 化 し,そ のi番 目の 固 有 関数 を  の 方 法 もあ る.か

 

を代 表 す る適 当 な 関数 を 

る方 法 で あ る.こ れ を運 動 量 ビ ン(momentum

の ほ か に,適

はi番 目の

はそれ に対応 す る相 対 運動 の未 知 の波 動 関数 で あ る.

離散 化 の基 底  区 間 

波 動 関 数で あ る. 

先 だ っ て,弱

く結 合 した2破 片 か らな る 入射 粒 子 に よ る反 応 を取 り

扱 う方 法 と し て 断 熱 近 似 が 導 入 され た[25].こ あ る程 度 以 上 高 け れ ば,結

そ の 実 例 を 示 す.

の 近 似 で は,入 射 エ ネ ル ギ ー が

合 エ ネル ギ ーが 小 さな 粒 子 の 内 部 状 態 の準 位 間 隔 は

それ に 比 べ て小 さ く,ほ とん ど 縮 退 し て い る と見 な して よい,と 仮 定 す る.こ の仮 定 は 内 部 運 動 が 非 常 に ゆ っ く りし てい る とい う近 似 で,5.3.1項

で述べた 回

転 準 位 の励 起 に 対 す る 断 熱 近似 と本 質 的 に 同 じで あ る.こ の 近 似 は 重 陽子, の弾 性 散 乱 に適 用 され,成

功 を 収 め た.同

じ近 似 で,

図5.5 

56MeV58Ni(d,d)58Niの

実 験 値(o)[N.Matsuoka とCDCCに

微 分 断 面 積 のRutherford比 et

よ る 理 論 値(実

al.Nuc.Phys.A455 線),dの

413

の (1986)]

変 形 を 無 視 し た 計 算 値(破

線)

and

M.

と の 比 較. (M.Yahiro,Y.Iseri,H.Kameyama,M.Kamimura Kawai,Prog.Theor.Suppl.No.89

32(1968)に

よ る.)

(d,p)のzero-range DWBAは 歪 曲ポ テ ン シ ャル をpとnの 光 学 ポ テ ンシ ャル の 和Up+Unと した もの に な る.こ の 場 合 も,実 験 との 一 致 は,弾 性 散 乱 ほ ど で は な い が,改 善 され る.断 熱 近 似 は,CDCCで

入射 粒 子 の すべ て の 内 部 状 態

が エ ネル ギ ー 的 に縮 退 して い る,と い う近 似 を し た もの と数学 的 に等 価 で あ る. した が っ て,そ

の 近 似 の 良 否はCDCCに

して,CDCCは   CDCCを

よ って 評 価 す る こ とが で き る.か

弱 く結 合 した 粒 子 を 含 む反 応 の 標 準 的 現 象 論 の 一 つ に な っ た. 組 み 替 え チ ャ ネ ルが 結 合 す る 場 合 に拡 張 す る こ と も行 わ れ て い る.

計 算 を実 行 す るの は必 ず し も容 易 で は な い.組 で使 ったT字

く

み 替 え チ ャ ネル に対 し て は,上

型 の 座 標 系 が 不 適 当 だ か らで あ る.こ の場 合 に 対 して は,変 分 法

な ど に よ る 近 似 的 な計 算 法 も研 究 され て い る[26].

5.4  連 続 状 態 へ の 遷 移

  前 節 まで は 残 留 核 の 離 散 的 準 位 へ の 遷 移 を取 り扱 った.し か し,入 射 エ ネル ギ ー が 十 数MeV以

上 の 核 反 応 で は,残 留 核 の 連 続 状 態 へ の 直 接 過 程 に よ る遷

図5.6 

非 弾 性散 乱 の 放 出 粒 子 の エ ネル ギ ー ・スペ ク トル

移 も重 要 で あ る.実 際,放

出粒 子 の エ ネル ギ ー ・ス ペ ク トル を は 図5.6の

よう

に な って い て,残 留 核 の 離 散 的状 態 の 励 起 に対 応 す る線 スペ ク トル と複 合 核 か ら の 蒸 発 に よ るMaxwell型

の 山(第7章

参 照)の間

に 広 い 平 坦 な領 域 が あ る.

こ の 領 域 で は,放 出 粒 子 の角 度 分 布 は前 方 に 強 く,明 らか に直 接 過程 が 重 要 な 寄 与 を し て い る.入 射 エ ネ ル ギ ーが 数 十MeV以

上 に な る と,こ の平 坦 な スペ

ク トル を背 景 に して 巨 大 共 鳴 な ど の 山が 現 れ る こ と も あ る.こ の平 坦 領 域 は 直 接 過 程 と前 平 衡 過 程(1.3節)に 体 に つ い て は第8章 い て,DWBA展

  5.4.1 

よ る もの と考 え られ て い る.前 平 衡 過 程 の 全

で 詳 し く述べ る.こ の節 で は そ の 中 の 多段 階 直接 過 程 につ

開 に よ る解 釈 と,反 応 の シ ミュ レー シ ョ ンに つ い て 論 じ る.

多 段 階 直 接 過 程 のDWBA展

開

  残 留 核 の連 続 状 態へ の 遷 移 は 原 理 的 に はDWBA展

開 の 方 法 で 取 り扱 え るが,

組 み 替 え 過 程 を伴 う多段 階 過 程 の計 算 は 非 常 に複 雑 で あ る.実 際 上,取

り扱 え

るの は広 義 の 非 弾 性 散 乱 で あ る.ま た,こ の 種 の 反 応 で は 複 数 個 の粒 子 が 放 出 され るが,そ

れ ら に つ い て の 個 別 的 断 面 積 を扱 うの は 二 核 子 放 出 の場 合 を除 き

困 難 で あ る.最

も簡 単 で,実 験 デ ー タが 多 い の は1個

括 断 面 積(inclusive

の 放 出粒 子 に注 目 した 包

cross section)お よ び そ れ に伴 う ス ピ ン偏 極 量 で あ る.多

数 の 粒 子 に つ い て個 別 断 面 積 の 計 算 に は,次 節 で 述 べ る シ ミュ レ ー シ ョ ンに よ る 記 述 が 必 要 に な る.   例 と して 核 子 の 非 弾 性 散 乱A(N,N')A*の め に,核 子 の ス ピ ン を無 視 し,入 射 核 子0は

包 括 断 面 積 を 考 え よ う.簡 単 の た 常 に 核 内核 子i=1∼Aと

区別で

き,そ れ が 終 状 態 で 観 測 され る もの とす る.以 下 の議 論 に は これ ら の制 限 は 本

質 的 で は な い.実

際 の 計 算 は それ らの 制 限 な し で 行 わ れ て い る.

  (a) 多 段 階 直 接 過 程 の 断 面 積   この 場 合 の 包 括 断 面 積 は 核 子0の

エ ネル ギ ー と放 出 方 向 に つ い て の 二 重 微 分

断面積

(5.245) で 与 え られ る.た だ し,εA(εA*)は

核 の 始(終)状

態 の 内部 エ ネ ルギ ーで あ る.

この 節 で は 相 対 運 動 の始 状 態 をi,終 状 態 をfで 表 す こ とにす る.多 段 階過 程 に は 中 間状 態 が 現 れ る の で,そ れ と の 区別 を 明確 に す るた め で あ る.こ の 記 号 で, は 反 応 の移 行 エ ネル ギ ー で あ る.ま た,  で あ る.こ の 包 括 断 面 積 は,系

の0以 外 の部 分 に 起 こ る すべ て の 事 象 の 断 面 積

を含 ん で い る.   DWBA展

開で は,Tα'α は

(5.246) で 与 え られ る. 

はn段

階 過 程 のT行

列要 素で

(5.247) で 与 え られ る.た だ し,φA(φA*)は

核 の 始(終)状

はk段

中で の 核 子0と 標 的 核 の 相対 運動 のGreen

階 後 の 歪 曲ポ テ ンシ ャルUkの

関数 で あ る.反 応 を 引 き起 こす 相 互 作 用Vは

で あ る と仮 定 す る.υ(r0-ri)は 用(4.2節)で され て い る.歪

態 の 波 動 関数 で あ る.ま た

二体力 の和

入 射 核 子 と標 的 核 内 の 核 子iと の 有 効 相 互 作

あ る.そ れ に は 相 互 作 用 の 核 物 質 の 媒 質 効 果 に よ る 変 化 も考 慮 曲波 展 開 で は座 標 表 示 を使 うのが 便 利 で あ る.

  (5.247)か ら明 らか な よ うに,断 面 積 は移 行 運 動 量q=ki-kfと

移行エ ネ

ル ギ ー ω の 関 数 で あ る:

(5.248)   (5.245)に(5.246)を し,そ

代 入 す れ ば,nが

れ ら は 一 般 に 大 き くな く,ま

か ら,各n段

異 な る 

た 

の(q, ω)依

の 干 渉 項 が 現 れ る.し 存 性 はnに

か

よ っ て違 う

階過程 の断面積

(5.249) を議 論 す る こ と は物 理 的 に 意 味が あ る こ とで あ る.次 に,そ れ らの 定 性 的 な性 質 を見 よ う.

  (b) 準 弾 性 散 乱   入 射 ・放 出粒 子 の エ ネ ル ギ ーが 高 く,そ れ に く らべ て歪 曲 ポ テ ンシ ャル も,衝 突 され る核 子1の て 入 射 粒 子0と

核 に よ る束 縛 エ ネ ルギ ー も小 さけ れ ば,衝 突 は大 ざ っぱ に い っ 自 由空 間 中 の核 子1と

階 過程 前 後 の 核 子1の

の衝 突 に ほ ぼ 等 し い.し た が って,一 段

運 動 量 は そ れ ぞ れk1お

よびk1+qで

あ り,反 応 の移 行

エ ネ ル ギー は

で あ る.こ 大 で,反

の 値 はk1の

大 き さ がFermi運

平 行 の と き 最 小 で あ る.よ

動 量kFで,qと

平 行 で あ る と き最

って

(5.250) で な け れ ば な らな い.も

し上 記 の仮 定 が 厳 密 に 成 り立 つ な ら, 

は

(5.250)が 成 り立 つ 場 合 に だ け 値 が あ る で あ ろ う.こ の 条 件 を満 た す 散 乱 を準 弾 性 散 乱(quasi-elastic scattering)と い う.実 際 に は,核 子1は

核 内に束縛 さ

れ て 運 動 して お り,歪 曲 ポ テ ン シ ャル は 入 射 ・放 出粒 子 の 運 動 量 を変 え るか ら, 準 弾 性 散 乱 で な い 散 乱 も起 こ る.し か し,  る 山が あ り, 

に は 準 弾 性 散 乱 に対 応 す

は そ の 周 りに広 が る,と い う形 を 示 す で あ ろ う と予 想

され る.こ の 予 想 は 実 験 事 実 と合 っ て い る.

(c) 角 分 布 の 特 徴 次 に,一 定 の ω に対 す る 

の 角 分 布 につ い て 考 察 し よ う.

(5.251) ここで

を使 い,絶 対 値2乗

を開けば

(5.252) と な る.こ

こ に,

(5.253) ただし

(5.254) で あ る.K(r1,r'1)は4.4節

で 導 入 した 応 答 関 数 と本 質 的 に 同 じ もの で あ る.

は遷 移 密 度(transition  さて,(5.252)の はr0とr'0で

density)と呼

ば れ る.

右 辺 で,被 積 分 関 数 の最 初 の 因子 

発 生 し た放 出 波 の 干 渉 を示 す.も し,互 い に 干 渉 を 起 こすr0と

r'0の 領 域 が あ る程 度 以 上 広 けれ ば,そ

の 干 渉が 断 面 積 の 角 分 布 に 干 渉 縞 模 様 と

な っ て 現 れ る.し か し,も し そ の 領 域 が 非 常 に狭 け れ ば,断 面 積 は ほ と ん ど 各 点 で の 断 面 積 の和 に な るか ら,実 質 上 干 渉 は な い に等 し く,干 渉縞 模 様 は現 れ な い.こ

の干 渉 領 域 を決 定 す るの はK(r1,r'1)で

は 短 い か ら, は  値 を持 た な い か らで あ る.

あ る.な ぜ な ら,υ の レ ン ジ の と き しか ほ と ん ど

残 留 核 の 一 つ の 離 散 的状 態 へ の 遷 移 で は,

(5.255) で あ る か ら,K(r1,r'1)は￨r'1-r1￨に

よ ら な い.し

 が 値 を 持 つ,核

た が って,干

渉は

の 大 き さ程 度 の 広 さの 領 域 に わ た る.こ

れ が 断 面 積 に 干 渉 縞 模 様 が 現 れ る原 因 で あ る.   これ に 反 し て 連 続 状 態 へ の 遷 移 の 場 合 に は,(5.253)の K(r1,r'1)は

右 辺 が 示 す よ うに,

非 常 に多 くの 縮 退 し た φA*に つ い て の 和 か らな って い る.φA*の

位 相 が 乱 雑 で あ れ ば,そ れ ば 非 常 に小 さい.し

の 各 項 も 同様 で あ るか ら,そ の和 はr1〓r'1で

た が っ て 先 に述 べ た理 由で 

なけ

の角分布 は干 渉

縞 模 様 が な い,な だ らか な もの に な る で あ ろ う.こ れ は 実 験 的観 測 と符 合 し て い る.た と えば 巨 大 共 鳴 は 位 相 が 揃 った φA*の 成 分 を持 つ か ら,上 記 の 乱 雑 位 相 の 議 論 は 成 り立 た ず,む

 

し ろ離 散 的 状 態 へ の 遷 移 と同 様 に な る.し た が っ て

の この部分 は干 渉縞模様が現れ る.し か し,そ の背景 とな る平坦 な

部 分 は 前 記 の な だ らか な角 分 布 を持 つ と予 想 され る.こ れ も実 験 結 果 と一 致 し て い る.

 (d)半

古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW)

  

の具 体 的 な 表 式 を 求 め る に は遷 移 密 度 ρA*A(r1)が 必 要 で あ る.核

の 波 動 関 数 に 独 立 粒 子 模 型 を 使 えば,

で あ る.た だ し, 

は核 の 始(終)状

核 子 状 態 の 波 動 関 数 で あ る.し

態 で 核 子1が

占 め る単 一

たが っ て

(5.256) と な る.た

だ し,FはFermi準

状 態 で あ る こ と,衝

位 で あ る.h,

突 の 際Pauli原

が 完 全 系 を な す か らclosure

pに 対 す る 制 限 は,始

理 が 満 た さ れ て い る こ と を 表 す. 

propertyを

も つ.し

た が っ て,(5.256)の

 の と き に だ け 値 を 持 つ こ とが 予 想 さ れ る.実 型 を 使 っ て 評 価 す る と,核 程 度 で,核

状 態が 基 底

際,右

辺 をFermiガ

の 平 均 的 な 密 度 に 対 し てK(r1,r'1)の

半 径 に く らべ て は る か に 小 さ い.

右辺 は ス模

レ ン ジ は2fm

 ￨r'0-r0￨がこの程度の大きさであれば,歪 曲波  に 対 し て 局 所 半 古 典 近 似(semi-classical

distorted

waves

approximation,

SCDW)

(5.257) が使える.た だし,   

の局所波数,Kf(r0)は  

(5.257)を 使 う と  度Fermiガ

は点r0で の のそれである.(5.256)と

に 対 す る 閉 じ た 形 の 簡 単 な 表 式 が 導 け る.局 所 密

ス 模 型 を使 った 場 合 の それ は

(5.258) で あ る.こ

こで

(5.259) は 点rで

の 二 核 子 衝 突 の 平 均 断面 積 で あ る.hF(r)は

の 大 き さ,ρ(r)は

点rで

のFermi運

動量

核 の 粒 子 数 密 度 で あ る.

(5.260) は 核 物 質 内 で の,有 効相 互 作 用 に よ る二核 子 散 乱  微 分 断 面 積 で あ る. 

が そ の 際 の 移 行 運 動 量 で あ る.

  (5.258)は 非 常 に 簡 単 な直 感 的解 釈 を許 す.  出)粒 子 が 点rに

到 達 す る(rか

の

は 入 射(放

ら無 限遠 に 到 達 す る)確 率 で あ る.局 所 平均

断 面 積 に粒 子 密 度 を 掛 け た もの は,そ の 点 で 衝 突 が 起 こ る断 面 積 で あ る.求 め る 断 面 積 は そ の 局 所 平 均 断 面 積 と前 記 の到 達 ・放 出確 率 の積 の和 で 与 え られ る. (5.258)で は,異

な る 点 で 発 生 した 放 出 波 の 干 渉 は 核 の 終 状 態 に 対 す る和 を と

る こ とで 消 え て し まっ た.し た が って,「衝 突 点 」 とい う概 念 が 意 味 を 持 つ.こ の こ とは 次 節 で 述 べ る カ ス ケ ー ド模 型 の 基 礎 を 与 え る.

  Ⅱ.  多 段 階 過 程   多 段 階過 程 は 複 雑 で あ るか ら,そ の 断 面 積 の 特 徴 に つ い て 一 段 階 過 程 と 同様 な 議 論 をす るの は 困 難 で あ る.し か し大 ざ っぱ に い って,衝 突 が 起 こ る度 に累 積 移 行 運 動 量 ・移 行 エ ネル ギ ーが 変 化 す る か ら,衝 突 回 数 が 多 い ほ ど 反 応 の 移 行 運 動 量 も移 行 エ ネル ギ ー も大 き くな り うる.し た が って,n段 積 

はnが

増 え る ほ どqと

依 存 性 は な だ らか に な る. 

階 過 程 の 断面

ω の広 い 範 囲 に広 が り,そ れ ら に対 す る の平 均 的 な 大 き さは,摂 動 論 の 常 と して,

nと と もに小 さ くな るが,q,ω

の 値 に よ っ て はnの

大 きな 過 程 の 寄 与 の方 が

大 き くな る場 合 も あ る.   多 段 階過 程 の  にGreen関

に対 す る(5.258)に

数 に 対 す るEikonal近

対 応 す る表 式 は,近 似(5.257)の

ほか

似

(5.261) を使 えば 求 ま る.Km(r)は

点 

で の 局 所 波 数 で あ る. 

体 的 な式 は 省 略 す るが,(5.258)と

の具

同様 な,直 感 的 に 非 常 に わ か りや す い 解 釈 が

で き,次 項 で 述べ る核 内 カ ス ケ ー ド模 型 の基 礎 付 け を 与 え る.そ の 

を使 っ

て 三 段 階過 程 まで の 数 値 計 算 が 行 わ れ,実 験 と よい 一 致 が 得 られ て い る[27].

  5.4.2  多 粒 子 放 出の シ ミュ レー シ ョン   連 続 領 域 へ の遷 移 の 多 段 階 直接 過 程 で は 一 般 に 反 応 の 各段 階 で 粒 子 が 放 出 さ れ る.そ の 全 体 像 を と ら え る に は,そ れ らの 放 出粒 子 の 各 々 に つ い て 運 動 量 分 布 な ど を 知 らね ば な ら な い.そ れ を 記 述 す る に は,前 項 ま で の よ うな理 論 は現 象 が 複 雑 す ぎ て 手 に 負 え な い.そ

こで,威 力 を発 揮 す る のが シ ミュ レ ー シ ョ ン

で あ る.こ の 項 で は 最 も成 功 して い る二 つ の 方 法 に つ い て 解 説 す る.

  (a)核 内 カ ス ケ ー ド模 型   直 接 過 程 の 模 型 と して 最 初 に 導 入 され,現 核 内 カ ス ケ ー ド(intra-nuclear

在 で も盛 ん に使 わ れ て い るの が,

cascade, INC)模

型 で あ る.こ

初 の計 算 は 入 射 中 性 子 に よる 反応 に 対 してGoldbergerに

の模 型 に よ る最

よ って 行 わ れ た[28].

こ の模 型 で は 反 応 を次 の よ うに見 る.そ れ は 入 射 中性 子 と標 的核 内 の 一 つ の 核 子 の 二 体 衝 突 に よっ て 始 ま る.衝 突 後 の 二 核 子 は そ の ま ま核 外 に 放 出 され るか, ま た は ほ か の 核 内核 子 と衝 突 す る.こ の 繰 り返 し に よ って 核 内 核 子 は次 々 と励

起 され る.こ れ が 核 内 カ ス ケ ー ドで あ る.こ の 過 程 で 放 出 され る 核 子 が 直 接 過 程 に よ る もの と して観 測 され る.新

た な核 子 が 励 起 され る た び に 個 々 の核 子 の

平 均 エ ネル ギ ー は 下が り,核 外 に 出 られ な くな る粒 子が 増 え,や が て 複 合 核 が 形 成 され る.   計 算 の 概 略 は 次 の 通 りで あ った.入 射 ・励 起 核 子 の 運 動 は古 典的 に 記 述 す る. 計 算 で は,ま ず 入 射 粒 子 が 核 内 に 入 る点 を 偶 然 事 象 を使 っ て 確 率 的 に 決 め る. 核 に 入 った 核 子 は 距 離xだ の 平 均 自 由行 程(mean

け 動 く と流 束がe-x/λ だ け 減 る.た だ し,λ は核 内

free path,略

してm. f.p. )で あ る.そ れ は ほ か の 核 内

核 子 との 衝 突 に よ る もの で,核

内で の衝 突 の 平 均 全 断 面 積 を 〈 σt〉,核の 核 子 密

度 を ρ とす る と, 

で あ る.入 射 粒 子 の最 初 の 衝 突 が 入 射 方 向 の直

線 上 の 重さ の

等 確 率 に 分 け られ た細 区 間 の どれ の 中 で 起 こ るか を偶 然 事

象 に よ っ て決 め る.標 的 核 にFermiガ

ス 模 型 を 仮 定 す る と,エ ネ ル ギ ーEの

入射 粒 子 に対 し て 〈 σt〉は

(5.262)

で 与 え られ る.た だ し,EFはFermiエ

ネ ルギ ーで あ る[29].同

じ くFermiガ

ス模 型 の 仮 定 の 下 に,衝 突 され る 核 内 核 子 の 種 類 と運 動 量,衝 突 後 の 両 核 子 の 運 動 量 を,二 核 子 散 乱 の 断 面 積 を 重 み と しPauli原 れ 等 確 率 な 領 域 に 分 け,そ

理 を 考 慮 に 入れ て,そ れ ぞ

の どれ が 生 起 す る か を偶 然 事 象 に よ っ て 決 定 す る.

こ の操 作 を直 接 過 程 が 終 わ る まで 入 射 お よび 励 起 され た 核 子 の す べ て に つ い て 繰 り返 し,最 終 的 に放 出 され る 核 子 の 運 動 量 分 布 を生 起 す る頻 度 に よ って 測 る. こ の よ うな 計 算 法 はMonte   こ の計 算 はINC計

Carlo法

と呼 ば れ て い る.

算 の 原 型 で,電 子 計 算 機 の 到 来 に よ って この 手 法 に よ る大

規 模 計 算 が 可 能 と な り[30][31],計

算 機 の発 達 と と もに 著 し く発 展 し て 今 日に

至 っ て い る[32].   こ の模 型 で 重 要 な点 は,粒 子 の 運 動 を古 典 的 に取 り扱 う こ と の ほ か に,衝 突 点 と い う概 念 を使 うこ とで あ る.量 子 力 学 的 に は,核 内 の 異 な る点 で 発 生 し た 散 乱 波 は 互 い に 干 渉 す る か ら,古 典 的 な 意 味 で の衝 突 点 とい う概 念 に は 意 味 が

な い.し た が って,こ

の衝 突 点 と い う概 念 の 正 当性 は量 子 力 学 的 に 検 証 す る必

要 が あ る.前 項 で 述 べ たSCDW模 る.SCDWは

型 は そ れ に対 す る肯 定 的 な答 え を与 え て い

また,量 子 力 学 的歪 曲波 を使 うので,歪

子 軌 道 の 曲が り,流 速 の 吸 収 の ほ か,古

曲ポ テ ン シ ャル に よ る粒

典 的 に 到 達 で きな い 場 所 で の 衝 突 も含

ん で い る こ と を付 け加 え て お く.

  (b)分

子 動 力 学 的 シ ミュ レー シ ョン

  前 平 衡 過 程 の シ ミュ レ ー シ ョン とし て 近 年 非 常 に成 果 を挙 げ て い る のが 量 子 分 子 動 力 学(quantum

molecular

力 学(anti-symmetrized

molecular

個 々 の 核 子 の 波 動 関 数 はGauss波

dynamics,

QMD)[33]お

dynamics,

AMD)[34]で

よび 反 対 称 化 分 子 動 あ る.両

者 と も,

束

(5.263) で あ る と仮 定 す る.

(5.264) が 位 相 空 間 中 の 波 束 の 中心 で あ る.波 束 の 幅υ は 定 数 で あ る.系 の 波 動 関 数 は QMDで

は

(5.265) AMDで

は,Slater行

列式

(5.266) と仮 定 す る.た だ し,Nは

全 系 の核 子 数 で あ る. 

応 じて 複 数 のSlater行 列 式 を 仮 定 す る.パ

で は,必

要に

リテ ィの 固有 関数 を作 る に は,そ れ

は 必 須 で あ る.

 または 

は時間依存変分法 (5.267)

の 試 行 関 数 で あ る.{Zj}を

変 分 の パ ラ メ ター と して(5.267)を

解 け ば,{Zj}

に 対 す る 運 動 方 程 式 が 得 られ る.そ れ が 平均 場 の 中で の 各粒 子 の 中心 の 運 動 を

決 め る.QMDの の 場 合 は,よ

場 合 は,運 動 方程 式 は 古 典 的Hamilton方

程 式 に な る.AMD

り複 雑 で あ る.後 に述 べ る 初 期 条 件 を与 え て それ を解 けば,{Zj}

が 時 間 の 関数 と して 求 ま る.そ れ は 各 核 子 の,自

らの 運 動 に伴 って 時 間 的 に 変

化 す る 平 均 場 の 中の 運 動 を表 す.   Pauli原 理 をAMDは

自動 的 に 満 た す.QMDは

そ うで は ない の で,同 種 の2

個 の 核 子 が 空 間 の 同 じ場 所 を 占 め るの を妨 げ る よ う なad

hocな

ポテ ンシャル

をハ ミル トニ ア ン に付 け 加 え て お く.そ の ポ テ ン シ ャル は 一 意 的で は な い.   核 子-核 子衝 突 は,二 つ の核 子 波 束 の 中 心が あ る 距離 よ り近 づ い た と き起 こ る, と仮 定 す る.衝 突 後 の両 者 の運 動 量 はMonte

Carlo法 で 確 率 的 に決 め,そ れ を初

期 条 件 と して 再 び 運動 方 程 式 を解 く.QMDで

は,衝 突 は 

に よ って 記 述 され る.し か し,AMDで

子 の 物 理 的 中 心{Wj}は{Zj}

で は な く,衝 突 はWjに

は,粒

よ って 記 述 され る.{Zj}と{Wj}は

線 形 変換 に よっ

て 結 ば れ て い る.衝 突 後 の 運 動 の 計 算 を続 け る に は,{Wj}を{Zj}に す る必 要 が あ る が,そ れ が 不 可 能 な 場 合 が あ る.こ れ は,そ

逆 変換

の衝 突 がPauli原

理 で 禁 止 され て い る こ と を示 す,と 解 釈 す る.   衝 突 す る各 粒 子 は衝 突 前 に は そ れ ぞ れ の 基 底 状 態 に あ る.そ  を 極 小 に す る{Zj}(複 結 合 を使 う場 合 に は それ ぞ れ の 中の{Zj}と に は,任 意 の{Zj}を

の波動 関数 は

数 のSlater行 列 式 の 一 次

一 次 結 合 の係 数)を 決 め る.そ れ

初 期 値 と して"摩 擦 冷 却 方 程 式"

(5.268) を解 く.た だ し,λ は任 意 の,ま た μ は μ 〓0の 実 定 数 で あ る.そ の 解 に 対 応 す るE({Zj})は

を満 た す か ら,E({Zj})はtと の{Zj}が

と もに 減 少 し,や が て 極 小 値 に な る.そ の と き

基 底 状 態 の 波 動 関 数 Φ({zj})AMDを

与 え る.

  こ の よ うに して 得 られ た 入 射 お よび 標 的 核が,互

い に 遠 く離 れ た い ろ い ろ な

衝 突 係 数 の位 置 か ら与 え られ た 相 対 速 度 で 動 き出す,と る.そ れ 以 後 の{Zj}の,運

い うの が 初 期 条 件 で あ

動 方 程 式 と 上 記 のstochasticな

二 体 散 乱 に よ る,

時 間 変 化 を追 跡 す る.十 分 時 間が 経 つ と,各 核 子 はば らば ら に,あ る い は い く つ か ず つ が ク ラ ス ター(塊)に

な って 核 外 に 飛 び 出 し,ま た は核 内 に と らわ れ

る.こ の よ うに し てで きた 始 原 的 な ク ラ ス ター は 統 計 的 平 衡 状 態 に あ り,そ こ か ら 粒 子(核

子 ま た は原 子 核)が 蒸 発 され る とす る.こ の 操 作 を十 分 多 くの 場

合 に つ い て 繰 り返 し,起   以 上 がQMD,

AMDの

こ る頻 度 に よ っ て 注 目す る 事 象 の 断 面 積 を計 算 す る. 概 略 で あ る.両 者 は さ まざ ま な改 良が 加 え られ,そ

れ ぞ れ 発 展 を続 け て い る.そ の適 用 範 囲 は軽 イオ ン反 応 か ら重 イ オ ン反 応 まで, 中 エ ネ ル ギ ー か ら高 エ ネ ルギ ー まで 非 常 に 広 い.ま た,重

イオ ン衝 突 で の α粒

子 の よ うな ク ラ ス ター の 放 出,放

動 量 の 流 れ の記 述 な

出粒 子 の 質 量 数 分 布,運

ど,ほ か の 方 法 で は取 り扱 え な い 事 柄 の定 量 的 記 述 に も成 功 し て い る.量 子 力 学 的 に 見 て,AMDはQMDよ

り優 れ て い る こ とは 明 らか で あ る.特 に原 子 核

の 束 縛 状 態 の 構 造 に つ い て は 波 動 関 数 の 反 対 称 化 は 重 要 で あ る.そ の か わ り, シ ミュ レ ー シ ョン に 要 す る計 算 時 間 はQMDの

5.5 

Glauber近

方 が は るか に少 な い.

似

  高 エ ネル ギ ー 入 射粒 子 に よ る反応 に使 われ る有 力 な 近 似 法 の 一 つ にGlauber 近 似[35]が あ る.入 射 チ ャ ネ ル αか ら始 ま る広 義 の非 弾 性 散 乱 を考 え よ う.反 応 を記 述 す る波 動 関 数 Ψ(+)α が 満 た すSchrodinger方

程式 は

(5.269) で あ る.Glauber近

似 の 第 一 の 仮 定 は,入

射 エ ネ ル ギ ー,し

た が っ てE,が

の 反 応 に よ る 内 部 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー よ り は る か に 大 き い,と る.こ

の 仮 定 は,断

熱 近 似(5.3.1項)の

動 に く ら べ て 非 常 速 い,と い てhα

そ れ と 同 じ く,系

い っ て も よ い.い

こ

い うこ とで あ

の相 対 運 動 が 内 部 運

ず れ に せ よ,そ

れ は(5.269)に

を 入 射 チ ャ ネ ル で の 値 εα で 置 き 換 え て よ い こ と を 意 味 す る.ゆ

お え に,

とす る と

(5.270) と な る.い

ま,入

射 波 の 波 数 ベ ク トル を κα と し

(5.271) と置 く と,(5.270)は

(5.272)

と な る.こ

れ は ξα を パ ラ メ タ ー と し て 含 む 方 程 式 で あ る.

  Glauber近

似 の 第 二 の 仮 定 は,Eα

入 射 波 の1波

長 内 で のVα

が￨Vα￨に

比 べ て は る か に 大 き く,か

の 変 化 が 無 視 で き る ほ ど 小 さ け れ ば,す

つ,

なわ ち

 か つ  な ら ば,f(rα,ξ

α)はrα

の 激 し く変 動 す る 関 数 で あ る 

り と変 化 す る,と

す る こ と で あ る.た

し(5.270)でVα

を 無 視 す れ ば Ψ(+)αは 平 面 波 に な り,f(rα,ξ

た く よ ら な くな る.し

か し,Vα

で 急 激 に 変 化 す る と,入

だ し,aはVα

に比べ てゆ っ く

が 小 さ くて も,も

の レ ン ジ で あ る.実

しVα が1波

射 波 は そ こ で 反 射 さ れ,f(rα,ξ

そ の よ う な こ とが 起 こ ら な い た め に は,  の 条 件 が 満 た さ れ て い れ ば,(5.272)左

際,も

α)はrα

に まっ

長 よ り狭 い 範 囲

α)も 急 激 に 変 化 す る.

の 条 件 が 必 要 で あ る.こ

辺 のΔ αfの 項 は 無 視 で き る.こ

れ ら

の近似

の 下 に(5.272)は

(5.273) と な る.こ (z,b,φ)を

こ で,rα=0を 定 義 す る.bは

原 点 と し,κ α をz方

向 と す る 円 筒 座 標 系rα=

入 射 粒 子 の 衝 突 係 数 とい う物 理 的 意 味 を持 つ.κ α∇rα=

κα∂/∂zで あ る か ら,(5.273)は

(5.274) と な り,そ

の 解 は, 

と し て,

(5.275) で あ る.た あ る.今

だ し,ψ(b,φ)とg(ξ の 場 合,ψ(b,φ)とg(ξ

α)は そ れ ぞ れbと α)は,Ψ(+)α

φ お よ び ξα の 任 意 の 関 数 で

が 

で入射平面波

(5.276) に な る,と い う物 理 的 条 件 で 決 め られ る.そ の た め に は

(5.277) で な け れ ば な ら な い.こ

れ を(5.275)に

代 入する と

(5.278)

とな る.こ の 関 数 はzが  した が っ て,も

しdは(6.96)に

現 れ る動 的偏 極 ポ テ ンシ ャル で あ る.

  こ こ で 得 られ た 透 過 行 列 の式 は 正確 で あ るが,複 導 い て お こ う.そ れ に は 準 位 行 列(6.99)を

合 核 共 鳴 の 幅 で 表 した 式 を

チ ャ ネ ル行 列

(6.119) を 使 っ て 書 き直 す.す な わ ち(6.99)の 主 要 項 と し,残

りの 項 をQ空

第2項

の 分 母 を 

間 の 行 列 と して,べ

を

き展 開 し,次 にQ空

間の行

列 と し て和 を と る と

(6.120) から

(6.121) が 求 め られ る.エ ネ ル ギ ーがEで

あ るチ ャ ネ ル だ けが0で

ない行列要素

(6.122) を 使 う と,(6.121)は

(6.123) と な る.さ

ら にXの

虚 数 部 を無 視 す る近 似 を と る と

(6.124)

と な る.ρ

λは

(6.125) で 定 義 さ れ る 準 位 λ の 密 度 で あ る.(6.114),(6.123)か

ら透 過 行 列

(6.126) が 求 め られ る.チ ャネ ル 間 の直 接 結 合 の影 響 を無 視 す る とX(E)は

対角形にな り

(6.127a) (6.127b) が 求 まる.(6.127b)は 

の と き成 り立 つ[20].

  透 過 係 数 に 関 係 した 観 測 量 は 強 度 関 数 で,弾 性 散 乱 に 対 す る 平 均 の 共 鳴 幅 (6.93)と 平 均 準 位 間 隔 

の比

(6.128) は,3.2節

に お い て 定 義 さ れ た 強 度 関 数(3.8)で

て は る か に 小 さ い エ ネ ル ギ ー 領 域 で は,1に 係 数(6.127b)に

あ る.共

鳴幅が準位 間隔に比べ

比 べ て は る か に 小 さ い 量 で,透

過

よ り

(6.129) と表 され る.こ の 式 に よ り光 学 ポ テ ンシ ャル が 与 え られれ ば 計 算 で きる.強 度 関 数 は低 エ ネ ルギ ー の 中性 子 散 乱 の実 験 デ ー タか ら求 め られ るが,s波 p波 まで で あ る. 

は 貫 通 因 子 に比 例 し(6.44),(6.45),貫

か せ いぜ い

通 因子 は(6.51)

で 与 え られ る た め,強 度 関 数 は エ ネル ギ ー に依 存 す る 量 で,理 論 と比 べ る と き に はs波 の 場 合 に はs波 強度 関 数

(6.130) が 用 い られ る.E0と

し て は 適 当 なエ ネ ルギ ー(た と えば1eV)を

選 べ ば よい.

  6.3.1  一様 ポ テ ン シ ャル の 場 合 の光 学 模 型   光 学 模 型 の波 動 関 数,透 過 係 数 な ど を最 も簡 単 な系,一 様 な複 素 ポ テ ン シ ャ ル を例 に とっ て 計 算 す る.時

間 に依 存 す るSchrodinger方

程式 は

(6.131)

で あ る.Vは

実 数 部,Wは

虚 数 部 の 光 学 ポ テ ン シ ャル で あ る.こ れ か ら次 の連

続 の方 程 式

(6.132) が 導 か れ る[20].こ

こ で,密

度 ρ(r,t)と 流 束j(r,t)は

(6.133) で 与 え られ る.こ

こ で ξ はr以

外 の 積 分 変 数 で,(6.132)の

 は虚 数 ポ テ ン シ ャ ルWに

右辺 に現 れ る

よ る吸 収 の 割 合 で あ る.

  こ れ を 最 も簡 単 な1次 元 の 一 様 な ポ テ ン シ ャル に 適 用 し て み る.ま ず 時 間 に 依 存 しな い 方 程 式

(6.134) のエ ネ ル ギ ーが 実 数 の 定 常 解 は

(6.135) と な るが,波

数は

(6.136) (6.137) で,全

波動関数 は

(6.138) で 与 え られ る.こ れ か ら密 度 を計 算 す る と, 

と な り,x=0と

x=Lの

区 間 を考 え て み る と,密 度 は 吸 収 の た め,x=0に

x=Lに

お い て 

で あ るか ら,x=0に

お い て ρ=1か

ら,

に減 少 す る.一 方,流 れ は  お い て   に 減 少 す る.そ

か ら,x=Lに

おける

の差が ち ょうどこの 区 間で吸収 さ

れ る  る 流 れ か ら,出 る 流 れ を差 し引 い た もの で,そ れ は 

に等 し い.透 過 係 数 は 入 で与

え られ る.こ れ が 普 通 使 わ れ て い る 時 間 に独 立 な 光 学 模 型 の 波 動 関 数 に 対 応 す る(3.3節 参 照).

も う一 つ の 簡 単 な 解 は 波 数 が 実 数,エ

ネ ルギ ー が 複 素 数 の 場 合 で

(6.139) で 与 え ら れ る.こ

こで

(6.140) で あ る.す

な わ ち 密 度 は 座 標xに  で 位 置xに

Wに

は よ ら な い,  よ ら ず,密

と な る.流

れ は

度 と流れ は と もに 吸 収 ポ テ ン シ ャ ル

よ り一 様 に 時 間 と と も に 減 衰 す る.

  境 界 条 件 が 課 せ ら れ るR行 テ ン シ ャ ル で は 作 れ な い.い Rosenfeld[10]の

列 理 論 の 波 動 関 数 は,以 まKapur-Peierls[5]と

固 有 関 数 を 考 え て み る.一

ま で 広 が り 

の 境 界 条 件 を 課 す.波

は 

の 関 係 が あ る.す

x=Lで

は 

で あ る. 

と も に 指 数 関 数 的 に 減 少 す る が,こ

る と,x=0に

kR,kIは

れ は ポ テ ン シ ャ ルWに

分 はxと

の で,kILの

に よ り打 ち 消 さ れ る[10].具

体 的 にx>Lの

波 と な る.

方,エ

ネ ル ギ ー の 虚部 は負 で な け れ

な る.し

と も に 指 数 関 数 的 に 増 大 す る.し

エ ネル

よ る 吸 収 とx=L

と 書 く とエ ネ ル ギ ー は  固 有 値 方 程 式 を 解 い て 求 め る.一

数kと

お け る 流 束 は0で,

素 数 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は 離 散 的 で あ る.こ

ば な ら な い か ら,kR>0な

らx=L

の 密 度 ρ(x,t)は 時 間 と

に お け る 流 失 の 二 つ に よ っ て 引 き起 こ さ れ る.こ

数 を 

は 少 し 異 な るHumblet-

様 ポ テ ン シ ャ ル がx=0か

ギ ーEに

複 素 数 で,複

上 の よ うな一様 な ポ

たが って波 動 関数 の 空 間部

か し こ の 増 大 は 時 間 部 分 の  振 幅 を 書 く と,

(6.141) と な る.こ

こ で 波 束(6.5節

参 照)を

に あ る とす る と,波 束 は速 度  波 束 の 位 置 はx=L+υtで

考 え,そ の 中心 がt=0に でx=Lか

与 え ら れ るの で,上

束 で 見 て い れ ば 差 し引 き0と な る.

お い てx=L

ら遠 ざ か る.こ の と きの の 式 の 右 辺 指 数 の 実 数 部 は波

6.4  戸

  前 の2節

口

状

態

で 複 合 核 を取 り扱 う理論 の 枠 組 み を 説 明 した が,こ れ か ら そ の 内 容

に 立 ち 入 る.複 合核 に 至 る まで に は複 雑 な 経 路 を た ど るが,そ 戸 口状 態が こ の節 で 導 入 され,そ

の第一歩であ る

の性 質が 調 べ られ る.入 射 核 子 が 核 内 に 入 る

と,核 に よる平 均 ポ テ ン シ ャル を感 じ,そ のエ ネル ギ ー はFermiエ

ネルギー よ

りは る か に 高 い.入 射 核 子 が 核 内核 子 と衝 突 す る と,そ れ にエ ネ ルギ ー と運 動 量 を与 え,Fermiエ ち1粒

子 と1空

2p-1h状

ネ ル ギ ー よ り低 い状 態 か ら高 い状 態 に押 し上 げ る.す な わ 孔(1p-1h)の

対 が で き る.も

し標 的 核 が0p-0h状

態で あれば

態 に な る.入 射 核 子が また 核 内核 子 に 衝 突 す る と,新 た な1p-1hの

が で き,3p-2h状

態 に な る.こ の粒 子 と空 孔 の 数 の 和m=p+hは

さ を示 す 指 標 に な る の で,エ キ シ トン(exciton)数

にΔm=±2,0で

状 態の複雑

と呼 ば れ て い る.こ れ は 固

体 物 理 の エ キ シ トンか ら とっ た と思 わ れ る.核 子 の 衝突 で,エ だ け 増 え る と言 っ たが,反

対

キ シ トン 数 は2

対 に減 る こ と もあ り,変 わ らな い こ と もあ る.一 般

あ る.こ れ は 有 効 相 互 作 用 を 二 体 力 と仮 定 し た 結 果 で あ る.

反 応 の 初 期 で はエ キ シ トン 数が 大 きい ほ ど状 態 数 が 大 き くな るの で,Δm=2 が お こ りや す いが,だ

んだ んmが

大 き くな る と状 態 数 は ピ ー ク に達 し,そ れ か

らは 減 少 に 転 ず る(8.1.1項 参 照).し

たが っ てmも

あ る と こ ろ まで 達 す る とそ

の あ た りで 停 滞 し 一 種 の 定 常 状 態 に な る.こ れ が 複 合 核 で あ る.   粒 子 の 状 態 と して は 束縛 状 態 と散 乱(連 続)状 態 が あ る.全 部 束 縛 状 態 か らな る エ キ シ トンmの

状 態 は6.2節 で 述べ た よ うにQ空

上 の 粒 子 が 散 乱 状 態 に あ れ ばP空

間 に属 す る.も し 一 つ 以

間 に 属 す こ と に な るが,二

つ以 上の連続 状

態 の 粒 子 は 今 後 考 え な い こ とに す る.核 反 応 の 初 め の 状 態 はP空 1回 の 衝 突 後 の 状 態 はQ空 に 落 ち る と,P空

間 の こ と もあ りP空

間 で あ るが,

間 の こ と もあ る.一 度Q空

間

間 に戻 る の は最 後 の粒 子 放 出 の と き に な る こ とが 多 い.こ の

よ うな 様 子 は 図6.2に 示 され て い る.最 初 の 衝 突 で で きたQ空

間 の エ キ シ トン

3の 状 態 の うち,励 起 され や す く重 要 な役 割 を果 た す 状 態 は複 合 核 状 態 へ の 入 り口 で あ る とい う こ とか ら,戸 口状 態(doorway 核 の エ キ シ ト ン数 がm0な の 次 の エ キ シ トン5のQ空 (hallway

state)と

state)と 呼ば れ て い る.(標 的

ら戸 口状 態 で はm=m0+3).つ

いでに戸 口状態

間 に属 す る励 起 され や す い 重 要 な 状 態 は 廊 下 状 態

呼 ば れ て い る.

図6.2 

エ キ シ ト ン数mに

  入 射 核 子 が 平 均 場 で 散 乱 され て,m=3の

よ り示 す 核 反 応 の 進 行

状 態へ い く割 合 が あ ま り大 き くな

い と き は,こ の散 乱 は 光 学 模 型 で よ く記 述 され る.m=3ま 上 にい く割 合 が 大 き くな けれ ば,m=3の

で は い くが そ れ 以

戸 口状 態 が 重 要 な 役 割 を果 た す.こ

の と きの 断 面 積 の エ ネ ル ギ ー変 化 は 一 体 の 共 鳴 と複 合 核 共 鳴 と の 中 間 で,核 反 応 の 中 間 構 造 と し てMITの   S行 列 の 一 般 式(6.75)に

グ ル ープ[21,22]に 現 れ るQ空

態 な の で,こ れ を特 別 扱 い し てdと と し,Q=d+qと HPQ=HPdと

よっ て 発 展 させ られ た.

間 の 状 態 の 中 で 一 番 重 要 な の は 戸 口状

し,廊 下 状 態 を含 め た そ の ほか の 状 態 をq

書 く.す る と入 射 チ ャネ ル とqの 結 合 は な い と仮 定 す る と なって

(6.142) と な る.そ

こで

(6.143) とq空 間 を前 と 同 じ や り方 で 消 去 す る こ とが で き る.こ こでHQQか

ら の寄 与

の一つは

(6.144) で あ り,Γ ↓は 分 散 幅(spreading

width)と

呼 ば れ,戸

口 状 態 が も っ と複 雑 な 状

態qへ

崩壊 す る幅 で あ る.も

う一 つ の 寄 与 は

(6.145) で,Γ ↑は 脱 出幅(escape

width)と 呼 ば れ 連続 状 態 へ の 崩壊 に対 応 す る.Γ ↓+Γ ↑

は 戸 口状 態 の 幅 で,一 粒 子 幅 よ り小 さ く,複 合 核 の 幅 よ りは 大 きい.   戸 口状 態 は い ま述 べ た 核 子 散 乱 の 場 合 の2p-1h状 1p-1h状 態 で あ る巨 大 共 鳴 状 態,ま 移 行 反 応 の 場 合 の1p状

た(d,p)あ

態 あ るい は1h状

態 の ほ か,光 反 応 の場 合 の

る い は(p,d)反

応 の よ うな核 子

態 な どが あ る.以 下,戸

口状 態が も っ

と複 雑 な状 態 に 崩 壊 す る様 子 を強 度 関 数 を 使 って 調 べ る.そ の あ と,巨 大 共 鳴 と ア イ ソバ リ ッ ク ・ア ナ ログ 状 態 を 例 に と り,戸 口状 態 の崩 壊 を議 論 す る.

  6.4.1 

強

度

関

数

  強 度 関 数 の 歴 史 は 古 い が,Lane-Thomas-Wigner

[23]は 低 エ ネ ル ギ ー 中性

子 散 乱 に現 れ る 巨 大 共 鳴 現 象 は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 実 部 に よ る 共 鳴が 残 留 相 互 作 用 に よ り多 くの 複 合 核 状 態 に 分 散 さ れ た もの と い う解 釈 を 示 し た.そ 後Bohr-Mottelson Breit-Wigner型

の

[20]は 簡 単 な 模 型 を使 って,強 度 関 数 は 一 定 の 条 件 の 下 で に な る こ と を示 した.最 近Lauritzenら[24]は

もっ と一 般 的 な

条件 の 下 で,こ れ を 定 式 化 し,ま た大 規模 殻模 型 の シ ミュ レ ー シ ョ ン[25]と 比 べ た.以 下[24]に 従 っ てQ空

間 内で,戸

口状 態 が 残 留 相 互 作 用 に よ り,も っ と

複 雑 な状 態 に拡 散 して い く有様 を 強度 関数 を使 って調 べ る.す な わ ちQ=d+q 空 間 内 で 計 算 を 行 う.戸 口状 態 は独 立粒 子 ハ ミル トニ ア ンH0の 定 す る.(H0の

固 有 状 態 と仮

定 義 を 少 し変 えれ ば,巨 大 共 鳴 も扱 うこ と も可 能 で あ る.)戸 口

状 態 μ は,

(6.146) を 満 た す.次 H0+Vと

に 残 留 相 互 作 用Vを

し,そ

考 え,Q空

間 で の ハ ミ ル ト ニ ア ン をH=

の 固 有 値 ・固 有 関 数 を εα,￨α〉と す る と,

(6.147) を満 た す.こ れ ら の 二 つ の 状 態 は

(6.148)

で 結 ば れ,そ

の 展 開係 数 には

(6.149) の 関 係 が 成 り立 つ.戸

口 状 態 μ の 強 度 関 数(strength

function)を

(6.150) で 定 義 す る[20].

(6.149)よ

り

(6.151) を 満 た す の で,こ

の 強 度 関 数 は 規 格 化 され て い る.(6.128)の

す る た め 規 格 化 され た 強 度 関 数 と呼 ぶ こ とに す る.d空

強 度 関 数 と区 別

間 の 有 効 相 互 作 用 を用

い る と,規 格 化 され た 強 度 関 数(6.150)は

(6.152) とな る.戸

口状 態 μ は ほか の 戸 口状 態 と相 互 作 用 が な い とす る と,

(6.153) と 書 け る.Σ

μ(ε)は

(6.154) で 与 え られ る.固 有 関 数￨λ〉は

(6.155) を 満 た す が,一

般 に状 態￨λ〉を具 体 的 に 求 め る こ とは 難 し い.

  しか し次 に説 明 す る弱 結 合 の 条 件 が 満 た され る と きに は Σμ(ε)のエ ネ ル ギ ー 平 均 Σμ(ε)は,戸 口 状 態 μ と そ の つ ぎ に複 雑 な 廊 下状 態 ν との 行 列 要 素Hμ ν と準 位 密 度 ρν(ε)によ り

(6.156)

で 与 え られ,容 易 に 計 算 す る こ とが で き る.弱 結 合 は 戸 口状 態 μ と(6.155)の 固 有 状 態 λ との 行 列 要 素Hμ λの 分 布 関 数

(6.157) の 広 が りΔ εが 弱 結 合 で 計 算 し た分 散 幅Γ μ(ε)よりは るか に大 きい と き成 り立 つ[25].こ

の と き規 格 化 され た 強 度 関 数 は

(6.158) のBreit-Wigner型

に な る.

  初 め の 状 態 が1粒 で,幅

子 か1空

は エ キ シ ト ン 数3の

比 例 す る こ と に な る(8.1節 高 く な る と,ず ル ギ ー の2乗

準 位 密 度 に 比 例 し,そ 参 照).励

で は な く1乗

に

起 エ ネ ル ギ ー が 低 い 場 合 は よ い が,少

し

[26,27]に

よ る と,励

起エ ネ

に 比 例 す る ほ うが 大 局 的 に 合 う と い う.図6.3に のEが

空 孔 の 場 合 に 対 応 し,正

子 の 結 合 エ ネ ル ギ ー よ り 高 く な る と,散

い が 必 要 と な る.図

態なの

の 励 起 エ ネ ル ギ ー ε の2乗

れ が 生 ず る.EsbensenとBertsch

の 実 験 値 と の 比 較 を 示 す.負 応 す る.核

孔 の 場 合 は 戸 口 状 態 は2p-1hか1p-2h状

核

の場合は粒子に対

乱 状 態 に な り,別

の 取 り扱

を 見 る と,

(6.159)

 図6.3 

エ ネル ギ ーE-εFで

エ ネ ル ギ ーが 負 は 空 孔,正

プ ロ ッ トし た 核 子 の 分 散 幅Γ ↓

は 粒 子 に 対 応.曲

せ た カー プ で,V字 型 点線 は(6.159)に デ ー タか ら と った[28].

線 は 実 験 デ ー タに 合 わ

対 応.中

空円は弾性散乱の

が 全 般 的 に よ い 近 似 に な って い る こ とが わ か る.次 て か ら,残 留 相 互 作 用 に よ り,廊 下 状 態,さ

に戸 口状 態 が 核 反 応 で で き

らに 複 雑 な状 態 が 混 じ っ て戸 口 状

態が 崩 壊 す る 有 様 を 時 間 を追 っ て 調 べ て み る.状 態￨μ〉はt=0に

生 成 され た

とす る と,こ の と きに は 状 態￨α 〉の 位 相 が コ ヒー レ ン トに な り,戸 口状 態 を形 成 し て い る(6.148).時

刻tに

お い て は 

に な るの で,状 態

￨α〉の位 相 に 乱 れ が 生 じ,初 め の状 態 が 残 っ て い る確 率 振 幅 は

(6.160) と な る が,こ

れ は 規 格 化 さ れ た 強 度 関 数(6.150)のFourier変

換

(6.161) に な っ て い る.弱 ら,こ

結 合 の 場 合 は 強 度 関 数Fμ(ε)は(6.158)で

与 え られ て い るか

れ を 代 入 す る と,

(6.162) と な り,生

存 確 率(survival

probability)は

(6.163) と な る.す

な わ ち,戸

口 状 態 の 生 存 確 率 は 指 数 関 数 的 に 時 間 と と も 減 少 し,そ

の 寿 命 はh/Γ↓μ で 与 え ら れ る.し

か し こ れ は 弱 結 合 の 場 合 で,一

般の場合 には

指 数 関 数 的 に 減 少 す る と は 限 ら な い.   こ こ で 強 度 関 数(6.128)と る.(6.79),(6.93),(6.150)よ

規 格 化 さ れ た 強 度 関 数(6.150)の

関係 を調 べ て み

り

(6.164) を得 る.こ こで Γμαは 戸 口状 態 μの残 留核 が 基 底 状 態の 脱 出 幅 で あ る*3.(6.150) よ り 〈Dλ〉を複 合 核 状 態 λの 平 均 状 態 間 隔 とす る と,

(6.165) *3 この 戸 口状 態 μ は1粒 子 の 共鳴 状 態が 重 要 なの で ,6.2節 算 子Qに

のFeshbach理

論 で は,射 影演

よ り結 合 状 態 に限 られ,共 鳴 状態 は取 り扱 うこ とはで きな い.Q空

変 えるか,R行

列 理論 に拠 らざ る をえ な い.

間 の定義 を

な の で,強

度 関 数(6.128)は

(6.166) とな る.す な わ ち強 度 関 数 は 規 格化 され た強 度 関 数 に 比 例 し,弱 結 合 の と きに は Breit -Wigner型

  6.4.2 

巨

に な り,エ ネ ルギ ー で 積 分 す れ ば 一 核 子 状 態 の 脱 出幅 とな る.

大

共

鳴

  戸 口 状 態 の 一 例 と し て,巨

大 共 鳴(giant

れ に つ い て は 文 献[30]の3.6節 論 す る.γ 線,電

子,核

子,軽

resonance,

GR)を

に 論 じ ら れ て い る の で,こ イ オ ン,重

イ オ ン,π

な ど に よ る散 乱 な ど に よっ

て い ろ い ろ の ス ピ ン ・パ リ テ ィ の 巨 大 共 鳴 が 観 察 さ れ る が,そ 古 くか ら 知 ら れ,ま を 考 え る.こ 双 極 子(ED)モ

た 顕 著 な,巨

大 双 極 共 鳴(giant

れ は ア イ ソ ス ピ ン1,ス

取 り 上 げ る.こ

こ で は 崩 壊 を主 に議

dipole

ピ ン ・パ リ テ ィ1-の

の 中 で,も resonance,

っ とも GDR)

量 子 数 を 持 つ,電

気

ー メン ト

(6.167) に よ り励 起 さ れ る.tzは

ア イ ソ ス ピ ン のz成

え ば 核 の 基 底 状 態 に 作 用 さ せ る と,ス 起 の1次

分 で あ る.こ

ピ ン1-,ア

の 演 算 子Mを

たと

イ ソ ス ピ ン1の1p-1hの

励

結合

(6.168) の波 動 関 数 を持 った 状 態が 生 成 され る.も し核 に調 和振 動 子 模 型 を用 い れば,励 起 エ ネル ギ ー は1hω0で あ る.こ の 時 の 各成 分 の振 幅Cμ,phは 行 列 要素  に比 例 す る の で,基 底 状 態 か らこ の状 態 へ の 電 気 双 極 子 モ ー メン トMの 素 を計 算 す る と,各 成 分 は み な 同 じ符 号 で,遷 て こ の 状 態 は 集 団 励 起 状 態 で,ま   現 実 の核 で は 各ph励 ので,ハ

行列要

移 確 率 は増 強 され る.し た が っ

た 戸 口状 態 で あ る.

起 の エ ネル ギ ー も一 定 で は な く,残 留 相 互 作 用 もあ る

ミル トニ ア ン を対 角 化 す る と,成 分 の 数 だ け の エ ネル ギ ー を 持 つ 状 態

が 得 られ る.μ は そ れ ら を 区別 す る.そ の 中 で,一 番 エ ネ ル ギ ー の 高 い の が 実 験 値  態 に よ く似 て い る.こ

に近 く,そ の波 動 関 数 は い ま述 べ た 戸 口状 の エ ネル ギ ー以 下 に 現 れ る状 態 は 大 体 は集 合 励 起 状 態 で

は な く,遷 移 確 率 も大 体 一 粒 子 励 起 の 大 き さで あ る.

(a)

(b)

図6.4 

巨 大 共 鳴 の 幅 へ の 粒 子 と 空 孔か らの 寄 与

上 向 き矢 印 は粒 子 を,下

  こ の 戸 口状 態 に は6.4.1項

向 き矢 印 は 空孔 を表 す.

で 説 明 し た 強 度 関 数 の 計 算 で 弱 結 合 が 適 用 され る

と期 待 され る ので,(6.156)式 る.す

(d)

(c)

で,戸

口状 態 μ を 巨 大 双極 共 鳴(GDR)状

態 とす

る と,

(6.169) とな り,廊 下 状 態 νは2p-2h状 子pと

空 孔hの

態 で あ る.巨 大 共 鳴 の幅 は独 立 粒 子 模 型 で は 粒

幅 の 和 と な るが,(6.159)を

用い る と

(6.170) とな る.次 に 残 留 相 互 作 用 を 考 え る.巨 大 共 鳴 μ は 多 くのphの あ るが,初 pがphの 態phに

め そ の 一 つ のphか 組qを

つ く り,そ れがpと

戻 る 場 合(a),同

ら もphに きはhと

ら 出 発 す る と考 え る.図6.4に 相 互 作 用 し てphの

じ く空 孔hが

つ き対 角 型 で あ る.次

示 す よ う に粒 子

組qが 消 え,も と の状

相 互 作 用 を す る場 合(b)が

に(a)と

同 じ にpが 組qを

相 互 作 用 を して,終 状 態 がp'h'に

ら 同 じ終 状 態p'h'に 進 む 場 合(d)の4つ

重 ね合わせで

あ るが,ど

作 るが,消

な る場 合(c)と,(b)の

ち

える と

中 間状 態か

の 場 合 が 考 え られ る.非 対 角 型(c)を

式 で 書 くと,

(6.171) と な る.こ

の 干 渉 効 果 の た め,対

角 型 の み を と っ た 計 算 よ り,一 般 に 小 さ く な る.

  図6.5に 独 立 粒 子 模 型 の 場 合 の 幅(6.170)を

点 線 で 示 し,そ れ を 巨大 双 極 共

鳴 の 実 験 値 と比 較 して あ る.次 に 脱 出 幅 を考 え る.核 子 の 放 出 は 陽子 ・中性 子

図6.5 

巨 大 双 極 共 鳴 の 幅[27]

カ ー ブ は 実 験 値 で,点 表6.1 

208Pbの

線 は 理論 値.

中 性 子 幅Гn(keV)[31]

Jπ は 中 性 子 放 出 後 の 残 留 核 の ス ピ ン ・パ リテ ィ

と もに 可 能 だが,陽 は(6.145)を の 粒 子pが

子 の方 がCoulomb障

用 い て行 うが,そ

壁 の た め 抑 圧 され る.脱

こ に現 れ る 相 互 作 用Hpdの

そ の ま ま連 続 状 態 で 出 て 行 く場 合 と,1回

出幅の計算

た め,GDRの

衝 突 し てphを

なか 作 って 出

て 行 く場 合 が 考 え られ るが,後 者 は エ ネ ルギ ー 的 に不 利 で あ る.   こ こ で208Pbを

例 に と り,巨 大 双 曲 共 鳴(GDR)の

鳴 エ ネ ル ギ ー はEGDR=13.4MeV,全 幅Гnの 計 算 値 を 表6.1に

ら最 大500keVぐ

らい まで で,全

比 べ て小 さい.中 性 子 脱 出 幅 の 実 験 値 は測 定 が 困難 の た め,個 々

に は 正 確 に 測 定 され て い な い が[29],そ  で,直 比 は3%く

あ る.中 性 子

示 す.残 留 相 互 作 用 の と りか た に よ って 大 きな 変 動

が あ るが,総 計 は 表6.1に 示 し た120keVか 幅 の4MeVに

実 験 値 を示 して お く.共

幅 は ΓGDR=4.0MeVで

の 断 面 積 の 全 吸 収 断 面 積 に対 す る比 は

接 の 中 性 子 崩 壊 の 割 合 は小 さ い.計 算 値 の 幅 の

ら い で 大 体 合 って い る.し た が っ てγ 吸 収 でGRが

ま ま 中性 子 が 放 出 され る よ り,1p-1h状

態 か ら,2p-2h,3p-3hと

で きる と,そ の 複 雑 な 状 態 へ,

さ ら に複 合 核 に進 み,そ れ が 崩 壊 す る よ うな 過 程 が 主 要 な もの に な る.   以 上 は 巨 大 双 極 共 鳴 の 例 で あ っ たが,ス いl=2,3の

ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン の励 起 を伴 わ な

場 合 も同 様 で あ る.し か し ス ピ ン ・ア イ ソス ピ ンの 励 起 が あ る場

合 に は 事 情 が 変 わ り,干 渉 の結 果,幅 が 増 大 す る場 合 が あ る こ とが 期 待 され る [32,33].光

反 応 な ど で 励 起 され る これ らの 戸 口状 態 は 集 団 状 態 で,そ の励 起 関

数 は 強 め られ,顕

著 な 山 と して 認 め られ る.し か し,反 応 と して は大 部 分 は複

合 核 を 作 っ て か ら崩 壊 す る.巨 大 共 鳴 状 態 は核 の 基 底 状 態 上 につ くられ る とは 限 らず,高

い 励 起 状 態 の上 に あ った り,ま た 二 つ の 巨 大 共 鳴が 重 な っ て つ くら

れ る場 合 もあ る.こ れ らに つ い て は[34]を み よ.

  6.4.3 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS)

  戸 口 状 態 の も う 一 つ の 例 と し て,ア analog

state, IAS)を

取 り上 げ る[35].ア

は 古 くか ら 知 ら れ て い た が,一 性(charge

イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(isobaric

independence)を

イ ソ ス ピ ンが よい 量 子 数 で あ る こ と

方Coulomb相

互 作 用 が あ り,こ

破 る こ と も 明 ら か で,Zが

れが荷 電独立

大 き い 重 い核 で は ア イ

ソ ス ピ ン は も は や よ い 量 子 数 と は 見 な さ れ な か っ た.   こ れ を 打 ち 破 っ た の が(p,n)反 応 に よ るIASの 40Ar(p ,n)40K反 応 を 考 え る[36].40ArはZ=18,N=22だ 状 態 はT=Tz=2で あ る の で,一

あ る.40Kの

発 見 で あ る.例

と し て,

か ら,基

底

基 底 状 態 の ア イ ソ ス ピ ン はT=Tz=1で

番 起 き や す い 荷 電 交 換 反 応 は 過 剰 中 性 子(excess

neutron)f7/2の

軌 道 を ま っ た く変 え ず に た だ 荷 電 状 態 を 中 性 子 か ら 陽 子 に 変 え る 反 応 で あ る. こ の と き 入 射 陽 子 も 軌 道 を 変 え ず に 荷 電 状 態 だ け を 変 え て 出 て 行 く.こ な 反 応 はLaneポ

テ ン シ ャ ル[37]と

の よう

呼ばれ る光学ポ テ ンシャル

(6.172) に よ り記 述 され る.こ こ で,Tは

標 的 核 の ア イソ ス ピ ン演 算 子 で,tは

子 の ア イソ ス ピ ン演 算 子 で,U0,U1は で は 標 的 核 の 状 態￨TT〉 にT_が

入射核

一体 ポ テ ンシ ャル で あ る.荷 電 交 換 反 応

作 用 し,IAS

(6.173) が で き る.こ

の 状 態 の 荷 電 状 態 以 外 は 親 の 状 態 と ほ と ん ど 変 わ ら ず,そ

ネ ル ギ ー は 過 剰 中 性 子 のCoulomb置 energy)と   IASが

非 常 に よ く 一 致 す る.ま

換 エ ネ ル ギ ー(Coulomb

displacement

た 実 験 か ら 求 め られ たQ値

戸 口 状 態 と し て 現 れ る の は(p,p)反

を 考 え る[39].208PbはT=Tz=22で,陽

応 で あ る[38].例

のエ

と も 一 致 す る. と し て208Pb(p,p)

子 はT=1/2,Tz=-1/2な

の

図6.6 

208Pbの

209Pbの

過剰 中性 子 の軌 道 とIAS

図6.7  209BiのIASの 実 験[39] 陽子 に よ る弾 性 散 乱 の微 分 断 面 積 を 入射 エ ネル ギ ー で プ ロ ッ

トし た.

で,こ

の 二 つ の 合 成 系 は209Biで 

態 はT=43/2で,IASはT=45/2に で あ る.209Pbの T_を

属 す.こ

基 底 状 態 は208Pbに

作 用 させ る と,図6.6に

は な く,6つ

ク が い くつ か 見 え る.最

付 い た も の で あ る.こ

れ に

中 性 子 か ら陽 子 に 変 わ るだ け で

の 軌 道 の 過 剰 中 性 子 が 陽 子 に 変 わ る.こ

陽 子 散 乱 の 共 鳴 状 態 と し て 現 れ る.実

底状

の 親 は 

中 性 子g9/2が

示 す よ うにg9/2が

で あ る.基

の よ う に し て で き たIASが

験 デ ー タ を 図6.7に

低 の ピ ー ク は209Pb基

示 す が,幅

底 状 態 のIASで

の狭 い ピ ー

あ る が,そ

れ よ

り上 の ピ ー ク は 励 起 状 態 で,g9/2の 付 い た の に 対 応 し て い る.最 な の で,209Bi 一方

IASの208Pbを

,親 核209Pbの

代 わ り にi11/2,j15/2,d5/2な

低 のIASの

ど が208Pbに

陽 子 の 入 射 エ ネ ル ギ ー は14.828MeV

基 準 に し た エ ネ ル ギ ー も14.828

基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー は-3.94MeVな

の エ ネ ル ギ ー の 差 は18.768MeVと

な り,Coulomb置

MeVで

あ る.

の で,IASと

親核

換 エ ネ ル ギ ー18.69MeV

と 一 致 す る.   IASは

陽 子 散 乱 に 対 す る 戸 口 状 態 で あ る.IASの

状 態￨π 〉にT_を ら な い.そ

定 義 と し て,親

核 の 固有

掛 け た もの を と っ て もそ の 波 動 関 数 は 正 確 な 固 有 状 態 に は な

れ は ア イ ソ ス ピ ン 対 称 性 を 破 る 相 互 作 用 が あ る か ら で,そ

要 な の はCoulomb相 Coulombポ

互 作 用 で あ る.し

た が っ てIASは

幅 を 持 ち,そ

テ ン シ ャ ル が か か わ っ て い る こ とが 予 想 され る.IASの

出 幅 は(6.144)と(6.145)か IASのAと

ら 求 め ら れ る が,全

そ れ 以 外 の 状 態qに

の 最 も重

空 間 をP+Qに,さ

れ には

分 散 幅 と脱 ら にQを

分 け る とQ=A+qで,Aq=0が

成 り立 つ.

分散幅 は

(6.174) で 与 え られ る.こ

こ に現 れ る 行 列 要 素

(6.175) の 計 算 か ら は じめ る.複 合 核 状 態qとIAS

Aと

は 直 交 す る の で,

(6.176) が 成 り立 ち,

(6.177) とな る.交 換 子[H,T_]に

は 核 の ハ ミル トニ ア ンの ア イ ソ ス カ ラ ー の 部 分 の 寄

与 は な く,ア イ ソ ス ピ ン対 称 を破 る 部 分 か ら の 寄 与 の み で,そ な の はCoulomb相 子 は 一 様 な 半 径Rcの 用VC(r)

の 中 で 最 も重 要

互 作 用 で あ る.こ の 相 互 作 用 は 二 体 力 で あ るが,一

方 の陽

球 に 分 布 し て い る と近 似 し た,一 体 のCoulomb相

互作

(3.18)を 使 う.交 換 子 は

(6.178) と な る.

表6.2 

脱 出 幅 はq空

209BiのIASの

幅

間 を消 去 した と きのA+P空

間 の有 効 相 互 作 用

(6.179) を使 い

(6.180) とな る.こ こでHPPは(6.179)か Hの

ら求 め られ たP空

行 列 要 素 の 計 算 は 分 散 幅 の 場 合 と ま っ た く同 じで,や

作 用が 主 要 な役 割 を果 たす.状 態Pと が,中

間の 有 効 相 互作 用 で あ る. は りCoulomb相

し て は,陽 子 を放 出 す る過 程 は 寄 与 す る

性 子 か ら は ほ とん ど寄 与 し な い.そ の 理 由 は[H,T_]が

変 え るの で,中

互

中性 子 を 陽子 に

性 子 は 出 て こ な い か らで あ る.も っ と複 雑 な過 程 か ら くる寄 与

は 小 さ い の で,無

視 す る こ とに す る.さ てP状

態 の 波 動 関 数 はIASの

直 交 し な け れ ば な らな い と い う条件 が あ る.IASの

それ と

崩 壊 で は,親 核 の 中性 子 が

ア イ ソ ス ピ ン 以外 の 量 子 数 を変 えず に,陽 子 に変 わ っ て 出 て い くの で あ るか ら, 残 留 核 は過 剰 中性 子 に 一 つ 穴 が 空 い た 状 態 で あ る.散 乱 状 態 の 陽 子 の 波 動 関 数 は 普 通,基 底 状 態 の 残 留 核 に対 す る 光 学 模 型 の 解 を使 うの で,IASと な い.し

は 直交 し

たが っ て 陽 子 の 波 動 関 数 は直 交 化 しな け れ ば な らな い[35].

  208Pb(p,p)の

例 を 表6.2に

デ ー タか ら求 め た.脱

示 す[39].全

幅 Γ,弾 性 散 乱 の 脱 出 幅 Γ↑cは 実験

出 幅 に は 非 弾 性 散 乱 に対 応 す る もの が あ るが,こ れ は 過

剰 中性 子 が 陽 子 に 変 わ っ た もの の 脱 出 に対 応 す る もの で,実 験 が 難 し く一部 の デ ー タ しか 得 られ て い な い.そ れ で,207Pb(p,p)の208Bi0+で の 基 底 状 態 のIASに

ち ょ うど208Pb

対 応 す る非 弾 性 散 乱 のデ ー タか ら と った 非 弾 性 脱 出幅 をそ

の ま ま持 っ て き て,そ れ を208Pb(p,p')の

脱 出 幅 とす る.こ の よ うに して 求 め

た 弾 性 ・非 弾 性 の 脱 出 幅 の 和 Γ↑を 全 幅 Γ か ら 引 い た もの を 分 散 幅 Γ↓ と し

て 表6.2に

載 せ て あ る.こ れ を見 て わ か る こ と は分 散 幅 は 全 幅 に比 べ 小 さ い こ

とで あ る.こ れ は 巨 大 共 鳴 とは異 な り,IASは で,そ

戸 口 状 態 で 崩 壊 す る のが 大 部 分

れ よ り先 に 進 むの は比 較 的 少 な い こ と を示 して い る.

  分散 幅 の計 算 は(6.174)を 使 って,qと

して 陽子 の 独 立粒 子 状 態 を とる と,実 験

値 よ りは るか に大 きい値 にな る.こ れ を説 明 した の はMekjian

[40]で,Coulomb

相 互 作 用 で 転 移 す るの は 個 々の 状 態 へ で は な く,集 団 状 態 で あ る ア イ ソベ ク ト ル 単 極 子(IVM)状

態 で あ る と した.こ

れ はIVM演

算子

(6.181) に よ って 生 成 され る 集 団 状 態 で あ る.こ のIVM演 作 用(3.18)のr0の

の場 合 をエ コ ー(echo)と

場 合 を 共 鳴 と呼 び,dδ/dEで

(8.77) を満 た す(6.147).殻 数 をumμ

模 型 の エ キ シ ト ンがmの

μで 指 定 され る 状 態 の 波 動 関

≡￨μ>で

(8.78) を 満 た す の で(6.146),こ

れ ら2つ

の基 底 の 間 に は

(8.79) の 関 係(6.148)が

あ る.ま

た 展 開 係 数 の 間 に は 関 係(6.149)が

成 り立 つ.遷

移

確率 は

(8.80) と な り,さ

ら に(8.79)に

よ り 展 開 し,終

状 態 の エ ネル ギ ー につ い て の 平 均 を行

う と,

(8.81) と な る.標

的 核 は 簡 単 の た め0p-0h状

る 状 態 は1p-1h状

態 のphで

と き の 重 み の 関 数 で,Iは (6.150)を

あ る.こ

態 と し た の で,νoptに

よ って 励 起 され

こ で δI(ε-ε β)は エ ネ ル ギ ー 平 均 を す る

そ の 幅 で,I→0で

δI(ε)は δ 関 数 に な る.す

る と

拡張 した

(8.82) を 使 っ て,(8.81)は

(8.83)

と な る.終 状 態 で粒 子bが

観 測 され るの は残 留 核 にphが

和 時 間,こ こで は(6.170)か

ら求 め られ るph状

で きて か ら,核 の 緩

態 の 寿 命,に 比 べ て 長 い 時 間が

経 っ た後 で あ る.そ の 間 に残 留 核 は 平 衡 状 態 に な っ て い る.   一つ のph状 で,IをΓ

態 は 分 散 幅Γ ↓の エ ネル ギ ー範 囲 に分 布 し て い る と考 え られ るの

↓よ り大 き くとれ ば,違

うph状

態 の干 渉 は 消 え て

(8.84) が 成 り立 ち,遷 移 確 率 は

(8.85) と な る.上

の 式 に は 部 分 準 位 密 度 ρph(ε)を 含 む が,こ

れ は 強 度 関 数(6.150)と

同 じ で あ る.

 8.4.3  中 間 状 態 の 統 計  中 間状 態が 現 れ るの は,二 段 階過 程 以 上 な の で,二 段 階 の 遷 移 確 率 を書 くと,

(8.86) とな る.こ の 中 間 状 態 を ど の よ う に取 り扱 うか を 考 え る.そ れ に は 連 続 状 態 の 粒 子 が 核 に衝 突 す る 平 均 時 間 とで きたphの 近 似 を使 う こ とが で きる.そ phに

つ い て は6.4.1項

の た め6.4.1項

の(6.159)で

寿 命 に 大 差 が あ れ ば,断

熱や 瞬間

で 導 入 し た 生 存 確 率 を評 価 す る.

与 え られ る よ うに,分 散 幅 は

(8.87) とな る.集 団 状 態 の 場 合 は6.4.2項 で 述べ た よ うに 一般 に は これ よ り小 さ くな る.   次 に 連 続 状 態 の 粒 子 の 場 合 は,核 物 質 を考 え る と,光 学 ポ テ ン シ ャ ルUの

虚

数 部 の 絶対 値 の2倍 が 幅Γcに な る.有 限 の核 で は,特 に 表 面 吸 収 型 の 場 合 の 評 価 は 難 しいが,等

価 な体 積 吸 収 型 に 直 して,そ の2倍

を近 似 的 な分 散 幅 とす る.

(8.88)   さて 二 段 階 過 程 の最 初 の衝 突 でphを

作 った 時 刻 をt=0と

続 状 態 の粒 子 の 衝 突 が 起 こ る時 刻tに お い て,こ

のph状

して,2回

目の 連

態 と連 続 状 態 の 粒 子

が 生 存 して い る確 率 は,生 存 確 率 の積  の 衝 突 を 連 続 状 態 の粒 子がdtの

に よ り与 え られ る.2回

間 に 起 こす 確 率 はΓcdt/hで

目

あ るか ら

(8.89) とな るが,こ れ を 瞬 間 指 標 と呼 ぶ こ と にす る.Γcは,吸

収 も含 む の で,非 弾 性

散 乱 の 幅 に 置 き換 え た ほ うが よ り正確 に な る.

  8.4.4 

瞬

間

  ま ずPs〓1す

近

似

な わ ちΓc≫Γ↓phの

場 合 を 考 え る.式(8.86)に

現 れ るT行

列

要素 は

(8.90) で あ る.最 初 の 衝突 で はphが Green関

で き るの で,状

態0は

きわ め て小

さ な 数 とす る.原 子 核 の 方 程 式 は

(8.106) と な る.こ れ を1次 の 摂 動 と し て解 く.原 子 核 の 状 態 をν で 表 し,方 程 式

(8.107) を満 たす もの とす る.t=-∞

で 基 底 状 態ν=0に

あ るとし

(8.108) と 展 開 す る.(8.108)を(8.106)に

代 入 し,H'(t)に

つ い て1次

の項 をとる と

(8.109)

を 得 る が,こ

れ を-∞

か らtま

で 積 分 し て,

(8.110) と な る.波

動 関 数 は(8.108)よ

り

(8.111) で 与 え られ る.   摂 動 に よ り核 の 状 態 が(8.111)の

よ う に変 わ っ た.こ れ に 伴 っ て密 度 行 列 の

期待値 は

(8.112) と な る.こ の 計 算 で 

の よ うな 項 が 現 れ るが,運 動 量 保 存 則 が

満 た され な い の で 落 と し て あ る. 

のFourier変

換は

(8.113) とな る.こ こ で 単 位 刺 激 に 対 す る応 答

(8.114) を 偏 極 伝 搬 関 数(polarization 義 す る.こ

の 式 は1956年Kubo

propagator),そ [34]に

の 虚 数 部 分 を線 形 応 答 関 数 と定

よ っ て 最 初 に 求 め ら れ た.

  応 答 関 数 を 一 般 の 場 合 に 計 算 す る に は,摂

動(8.104)を

一 般 化 して

(8.115)

と書 く.そ し て 密 度 行 列 の期 待 値 を 計 算 す る と

(8.116) とな る.偏 極 伝 搬 関数 は

(8.117) で 与 え られ る.密 度 は

(8.118) と 表 され る.ρ(0)は

基 底 状 態 の 密 度 で あ る.

  8.5.1  DWBAと

の関係

  これ で 線 形 応 答 関 数が 求 ま った が,こ て お く.こ こ で は2∼5章

れ と従 来 の 核 反応 理 論 との 関係 を 述べ

と同 じ く運 動 量 表 示 で,波

使 う.し た が っ て チ ャネ ル 指 標aは

数 に よ る規 格 化(2.59)を

αsκ を示 す.DWBAに

よ る と核 に対 す る

摂動は

(8.119) とな る.Vは

入射 粒 子 と核 内核 子 の相 互 作 用 で,ξ は核 内核 子 の 座 標 で,(8.119)

は 一 体 の 演 算 子 を表 し て い る.こ れ が(8.104)の

摂 動 に 対 応 す る.DWBAの

断面積 は

(8.120) と 書 け る((2.232)参

照).遷

移行 列 要 素

(8.121) の δ関 数 を 書 き直 す と

(8.122)

とな る.Oを

生 成 消 滅 演 算 子 を使 っ て 表 す と

(8.123) と な る.(8.123)の は な い が,こ

右 辺 を(8.117)の

右 辺 と 比 較 す る と,(8.117)の

右 辺 第2項

れ は 通 常 寄 与 は な い.

  8.5.2  近 似 計 算,RPA   以 上 の 計 算 は核 の 状 態 は 正 確 に わか って い る と し たが,そ

の よ うな場 合 は 少

な く,一 般 に は近 似 の 波 動 関 数 を使 う.原 子 核 の 波動 関 数 は平 均 場 近 似 を用 い, Slater行 列 式 で 表 され る とす る.各 軌 道 は 核 子 が 占 拠 して い るか,空

で あ るか

の いず れ か で あ る の で,密 度 行 列 は

(8.124) を 満 た す.密

度 行 列(8.116),

(8.118)の

運 動 方 程 式 を 求 め る と,Φ(t)は(8.106)

を 満 た す の で,

(8.125) を得 る.平 均 場 近 似 の も とで 計 算 す る と(8.125)は

(8.126) と な る[32].f(t)は

行 列(fkl)のFourier変

換 で あ る.摂

動fの1次

の近似で

(8.127) で あ る.h0は

摂 動 の な い と き の 平 均 場 の ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.ま

でf(t)=0と

す る と,TDHFの

  密 度 行 列 ρ は(8.118)の

方 程 式 と な る(8.7節

た(8.126)

参 照).

よ う に 書 け る の で,δ ρ に つ い て1次

の 項 を と る と,

(8.128)

を得 る.平 均 場 近 似 に よ り

(8.129) と な る.こ

こ でFermi準

位 よ り 上 の 準 位 をp,下

の をhと

記 し た.ρ(1)に

つい

ては

(8.130) が 成 り立 つ.ま

た

(8.131) で あ る.こ

れ ら を 使 っ て(8.128)のhp,

phの

行 列 要 素 を と る と,

(8.132) と な る が,こ

こで

(8.133) で,

(8.134) は 有 効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 で,残 留 相 互 作 用 の 密 度 依 存 性 を 無 視 す れ ば 二 体 相 互 作 用 の 行 列 要 素 に な る.方 似(random

phase

右 辺 でf=1と

approximation,

程 式(8.132)で RPA)の

置 くと ρ(1)はRPAのGreen関

た と きの 線 形 応 答 関 数 はRPAに

右 辺 を0と

置 く と乱 雑 位 相 近

方 程 式 に ほか な ら な い[32].ま

た

数 で あ る.平 均 場 近 似 を使 っ

対 応 す る.こ れ ら を 次 に具 体 的 な 式 を用 い て

示 そ う.   RPAの

方程式 は

(8.135) と 書 け る.こ

こで

(8.136)

で

(8.137) で あ る. 

も(8.135)の

解 で,そ

の 固 有 値 は-ん Ωνで あ る の で,二

つの

解 を行 列

(8.138) の 形 で 書 く.固 有 値 も

(8.139) と 表 せ る.(8.135)の

左辺 の行列 を

(8.140) と 書 く と,(8.135)は

(8.141) とな る.  RPAの

固有 関 数 に つ い て は,直 交 関係 が 成 り立 ち,規 格 化 条 件 と と も に

(8.142) と な る.RPAのGreen関

数Gの

満 た す 方 程 式 は(8.132)の

右 辺 を-1と

お き

(8.143) と 表 さ れ る.Green関

数 の 固 有 関数 展 開

(8.144) を(8.143)に

代入 する と

(8.145) と な り,Green関

数 は

(8.146) で 与 え ら れ る.こ

れ は(8.117)の

偏 極 伝 搬 関 数 に 対 応 す る.

  次 にGreen関

数 の 別 の 形 の 方 程 式 を 求 め よ う.(8.140)のSを

独 立粒子模型

の 部 分 と相 互 作 用 の 部 分 に分 け る.

(8.147) S(0)は(8.133)の る.こ

行 列Aminjの

れ を(8.143)に

右 辺 第1項

の み か ら な る も の で,ν

は 残 りで あ

代 入す ると

(8.148) を 得 る.次

にν=0の

数 をG(0)と

す ると

場 合 のGreen関

数,す

な わ ち 独 立 粒 子 模 型 のGreen関

(8.149) を 満 た す.(8.148)と(8.149)か

ら方 程 式

(8.150) が 求 め ら れ る.Green関

数 が(8.150)を

解 い て 求 ま れ ば,(8.132)よ

り,密 度 行

列は

(8.151) と な る.

8.5.3  Fermiガ

ス模型

 線 形 応 答 関 数 の 最 も簡 単 な場 合 と し て,平 面 波Born近 た核 子 のFermiガ

似(PWBA)を

用い

ス に よる 散 乱 に応 用 す る.入 射 核 子 と核 内 核 子 との 相 互 作 用

は 二 体 の ポ テ ン シ ャル の 和

(8.152) と し,中

心力

(8.153) を 仮 定 す る.a0,

a1は

定 数 で あ るが ア イ ソ ス ピ ン に よ っ て も よ い.ス

し な い 部 分 を 摂 動 と す れ ば ス カ ラ ー 応 答(scalar

response)が

ピ ン に依 存

得 ら れ,ス

ピンの

部 分 を とれ ば ス ピ ン 応 答(spin

response)を

得 る.さ

ら に 後 者 は 運 動 量 移 行hq

につ き

(8.154) の よ う に ス ピ ン 縦(spin

longitudinal)と

ス ピ ン 横(spin

transverse)の2成

分

に 分 け ら れ る.   入 射 ・散 乱 粒 子a,

bの ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 量 子 数 をa, bと 書 く と,核

摂 動(8.119)はPWBAに

へ の

よ り

(8.155) と な る.ξ

は 核 内 核 子 の ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 変 数.例

と して ス カ ラ ー 応 答 を

考 える と

(8.156) と な る.hqは

運 動 量 移 行 で あ る.υ(q)はυ(r)のFourier変

換 で

(8.157) で 与 え ら れ る.密

度 のFourier変

換 を 使 っ て,摂

動は

(8.158) と な る.   偏 極 伝 搬 関 数(8.114)は

(8.l59) で あ る.密

度 のFourier変

換(8.105)は

(8.160) と 書 け る.こ

こで 中 間 状 態 を

(8.161)

と す る と,(8.159)の

右 辺 第1項

の分子 は

(8.162) と な る の で,κh=κ

と 書 く.第2項

も 同 様 に 計 算 し,κp=κ

と す る と,

(8.163) とな る.   線 形 応 答 関 数 す な わ ち 偏 極 伝 搬 関 数 の 虚 数 部 だ け を 考 えれ ば,(8.163)の 辺 の 第2項

は0と

右

な る.し た が っ て

(8.164) と な る が,

(8.165) こ こ でκ

とqと

の な す 角 を θ と し た.(8.164)の

積分は

(8.166) と な る.こ

こ でν

は 核 の 体 積 で あ る.

  こ こ で 非 相 対 論 的 ス ケ ー リ ン グ 因 子(non-relativistic

scaling

factor) [35]

(8.167) を 導 入 す る と,

(8.168) と な る.す

る と,

(8.169)

した が っ てκ2の 積 分 範 囲 は

(8.170) に よ り決 ま る.上 の 式 の 左 辺 の2量 の 大 小 は

(8.171) の 正 負 で 決 ま り, 

な の で,

(8.172)  の 場 合 は 上 の 式 は 

とス

ケ ー リ ン グ 因 子 の み の 関 数 と な る.  運 動 量 κFで あ ら わ す と  関 数 の グ ラ フ を 示 す.相

と し て,核

と な る.図8.12に(8.172)の

互 作 用 の な いFermiガ

相 互 作 用 の あ る 場 合 は(8.150)を

図8.12  横 軸 は  と して 示 し た.た

の 体 積 をFermi

Fermiガ

ス の 偏 極 伝 搬 関 数 が 求 まれ ば,

使 っ て 求 め る こ とが で き る.

ス模 型 に よる 線 形 応 答 関 数[37]

を,縦 軸 は  だ しq=q/κF.

応答

を 

を単 位

  8.5.4 

有

限

核

 有 限核に対 する応答 関数は独 立粒子模型 の偏極 伝搬 関数

(8.173) に(8.150)に

従 い 相 互 作 用 を 導 入 す れ ば 求 め られ る.pとhは

態 を 表 す.巨 大 共 鳴 の 励 起 に 対 す るRPA応 多 い[36].こ

答 関 数 はr表

粒 子 と空孔 の 状 示 で 行 われ た もの が

の 表 示 で は 式(8.173)は

(8.174) と 書 け る.φ0k(r)は

軌 道kの

互 作 用 を 使 う と,(8.144)の

波 動 関 数,相 計 算 はrの

互 作 用 と し て δ関 数 形 のSkyrme相 各 点 を足 に もつ 行 列 の 簡 単 な計 算 に帰

着 す る.   ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 応 答 関 数 は π 中 間 子 凝 縮(pion 係 が あ り,多

condensation)に

も関

く の 人 々 に よ り研 究 さ れ て い る[38].

8.6  多 段 階複 合 核 過 程

  多 段 階 複 合 核(MSC)過 結 果 は(8.48),(8,49)に

程 は す で に8.3節 示 さ れ て い る.本

で マ ス タ ー 方 程 式 に よ り取 り扱 わ れ, 節 で は 複 合 核 に 対 し,7.5節

よ う に ラ ン ダ ム 行 列 理 論 に よ る 基 礎 付 け を し て,8.3.1項 す る こ と を 示 す[39].出

発 点 は7.5節

部 分 状 態 密 度 の と き の よ う に,ク

の結 果 は 弱結 合 に相 当 あ る が,8.1.2項

ラ ス 分 け に エ キ シ ト ン 数 を 使 う.相

行 列 要 素 は ラ ン ダ ム 行 列 と し,Gauss分 で あ る.S行

の(7.147)-(7.149)で

布 を 仮 定 し,2次

で行 った

の

互作用 の

モ ー メ ン トは(8.15)

列 の ア ン サ ン ブ ル 平 均 は チ ャ ネ ル 間 の 直 接 結 合 を 入 れ な い の で,

対 角 型 の み で,準

位 密 度 の 場 合 と 同 じ に 計 算 で き て,

(8.175) と な る.σ0はHubbard-Stratonovitch変 添 え 字 が つ く対 角 行 列 で あ る.h0は

数 の 鞍 点 に お け る 値 で,ク ハ ミル トニ ア ンHの

ラ スmの

独 立 粒 子 部 分,Wは

脱 出 幅 で,(7.149)の

指 標 μ をmμ

に 変 え る と得 られ るが,エ

ネルギーのず れ

を以 下 無 視 す るの で,

(8.176) で あ る.こ れ よ り透 過 行 列 を計 算 す る と

(8.177) を 得 る.Δmは(7.96)に

対 応 し,σmの

虚 数 部 で 準 位 密 度 に 比 例 す る.

(8.178) こ こで 

は エ キ シ トン数mの

チ ャ ネ ル につ い て 対 角 行 列 で ク ラ スmのQ空

状 態 数 で あ る.透 過 行 列 は

間へ の 吸 収 に対 応 す る.

  S行 列 の ア ンサ ン ブ ル 平 均 の 計 算 は 簡 単 で あ るが,2点 の ア ンサ ンブ ル 平 均)の

関数(2個

のSの

積

方 は 複 合 核 の 場 合 よ り クラ ス 分 け が あ るだ け 複 雑 で あ

る と考 え られ る.事 実,同

じ精 度 の 計 算 はで きな い.し か し前 平 衡 過 程 で は多

くの チ ャ ネル が 開 い て い る の で,脱 な り,か え って 簡 単 に な る.2点

出 幅が 大 き く,そ の た め 摂 動 計 算 が 可 能 に

関 数 の 式 は σmを 含 むが,被

積分 関数はすべ

て の σmに よ り,ま た σmは 互 い に 交 換 し な い.そ れ で 平 衡 過 程 の場 合 の よ う に 鞍 点 の 多 様 体 に つ い て 正 確 に 積 分 す る こ とは で きな い.指 数 の 中 の 対 数 項 は 結 合Wを

含 むが,そ

れ は チ ャ ネ ル に つ い て の 和 を 含 み,そ

い て は 非 常 に大 きい.し

の 数 はMSCに

お

たが って 対 数 項 は σmの 対 角 部 を 中心 に して,べ

き展

開が で き る.最 終 結 果 は

(8.179) とな る.右 辺 のΠ は エ キ シ トン 数 に つ い て の 行 列 で,次 の確 率 平 衡 方 程 式 を満 た す.

(8.180) (8.179)のTabは TextmnはP空

透 過 行 列(8.177)で,実 間 を 経 由 し て 状 態mか

際 の 計 算 は(8.40)を らnへ

の遷移確率 で

使 っ た 方 が よ い.

(8.181) で 与 え られ る.Eと

εは それ ぞ れE(1)とE(2)の

平 均 と差 で あ る

.P空 間 に

関 す る幅 は

(8.182) で 与 え ら れ る.

 一 方

,内 部 遷 移 の 方 は

(8.183) で,分 散 幅 は

(8.184) と な る.(8.183)に でMSC過

現 れ るgmnは2次

程 の 断 面 積 が 求 め ら れ る が,強

れ に 反 し て8.3.1項 Mantzouranis る が,こ

モ ー メ ン トMmnの

結 合 近 似 を 仮 定 し た も の で あ る.こ

で 現 象 論 か ら 求 め た もの,あ

[27]が

逆 行 列 で あ る .こ れ

る い はAgassi-Weidenmuller-

ラ ンダ ム行 列 を使 い 求 め た もの は 弱 結 合 近 似 の 仮 定 で あ

こ で 求 め た 強 結 合 の 結 果 か ら 形 式 的 に 導 く こ とが で き る.残

用 が 弱 い と 部 分 準 位 密 度 は 独 立 粒 子 模 型 の ρ(0)に 変 わ る.内

留 相互作

部 遷移の確率 は

(8.185) と な る.こ れ は8.3.1項 で 求 め た(8.37)と

同 じで あ る.

  前 平 衡 過 程 の 断 面 積 は 弱 結 合 ・強 結 合 と もに 同 じ形(8.180)の 確 率 伝 搬 関数 Π(ε)によ り記 述 され る こ とが わ か った.こ れ らの議 論 の詳 細 は[10]に 譲 りMSC とMSDの

関 係 に つ い て 触 れ て お く.こ こで 説 明 し たMSCで

ら す ぐ にQm空

間 に 入 る よ うに な っ て い るが,8.3.3項

ル ギ ーが 高 い と き に はチ ャ ネ ルaか

らP空

間 をMSDで

は チ ャネ ルaか

で 触 れ た よ うに,エ

ネ

経 過 し て か らMSC過

程 に 入 る方 が 起 こ りや す い.こ の と きは 透 過 行 列(8.177)にMSDに

お け る遷

移 を組 み 込 まな け れ ば な ら な い.こ れ は[40]で 行 わ れ,簡 単 な場 合 の 数 値 計 算 は[41]で な され て い る.   こ こで 時 間 に 依 存 す る 定 式 化 に 移 り,平 衡が 成 り立 つ 条 件 な ど を求 め て み よ

う[27].(8.180)に

お い て ε=0と

し た も の か らQ行

列

(8.186) を定 義 す る.こ れ は2π ρで 割 っ て い る の で エ ネ ル ギ ー の次 元 を 持 ちエ ネ ルギ ー 幅 に 関係 し て くる.行 列Qは

実 数 で 対 称 行 列 で あ る か ら,直 交 変 換 に よ り対 角

化 され る.こ れ をqと す る と,

(8.187) す ると確 率伝搬 関数は

(8.188) と 書 く こ と が で き る.こ

れ を(8.179)に

代 入 し,そ

のFourier変

換 を行 う と

(8.189) と な る.す qjは

な わ ち 前 平 衡 過 程 は い ろ い ろ な 幅qjの

最 も寿 命 の 長 い モ ー ドで,平

少 し 調 べ る.和

モ ー ド に 分 解 さ れ る.最

衡 過 程 に 最 も 近 い.次

公 式(8.182)と(8.184)を

使 っ て(8.186)を

にQの

小の

固有 値 を も う

書 き直 す と

(8.190) と な る の で,(8.187)を

使 うと

(8.191) と 変 形 さ れ る.も

しtr(Tm)が

小 さ く無 視 で き る と す る と,変

換

(8.192)

は 最 低 の 固 有 値q1=0を で は(8.10)に

よ り,エ

近 似 され る.tr(Tm)を

与 え,寿

命 無 限 大 で 平 衡 過 程 に 対 応 す る.平

キ シ ト ン 数 は 

を ピ ー ク と し たGauss分

小 さ な 摂 動 と 考 え,(8.192)を(8.191)に

衡 状態 布で

代 入 す る と,

(8.193) を得 る.こ れ が 複 合 核 の 幅 で,透 過 係 数 の チ ャ ネ ル 和 の 平均 に比 例 し,分 散 幅 は 寄 与 しな い.   複 合核 は6,7章 Q空

で 論 じ られ,7.7節

に お い て 要 約 し た よ う に統 計 は 考 えず に

間 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン の対 角 化 あ る い は 大 規 模 殻 模 型 の 計 算 に よ り求 め

られ,GOEの

よ うな統 計 的 計 算 と合 う結 果 を得 て い た.こ

こで は 初 め か ら統

計 を仮 定 しマ ス タ ー 方程 式 を解 い た結 果,一 番 長 寿 命 の モ ー ド と し て得 られ た の が 複 合 核 で あ っ た.そ れ は す べ て のエ キ シ トン状 態が 状 態 数 に従 い統 計 的 に 分 布 し(8.192),そ

の 寿 命h/q1は

8.7 

殻 模 型 の 結 果(7.173)と

TDHF,

  重 イオ ン反 応 につ い て は 現 象 論,輸

Vlasov方

一致 した.

程 式

送 方 程 式 に よ る もの,そ れ と本 節 に 述 べ

る 微 視 的 な もの が あ る.現 象 論 は8.2節 で 簡 単 に説 明 し た.輸 送 方 程 式 に よ る もの に は い ろい ろ あ る が,前 節 のMSDと 重 イ オ ン に 応 用 し た もの で,こ

れ をTDHFか

ら始 め る.エ ネ ルギ ーが 高 くな る と

古 典 版 で あ るVlasov方

程 式 が 使 わ れ るが,そ

ら導 く.高 エ ネ ル ギ ー で は 核 子-核 子 衝 突 が 重 要 とな る の で,そ

れ を取 り入 れ,さ

ら に エ ネ ル ギ ー が 高 くな る と方 程 式 を ま と もに 数 値 的 に 解 く

こ とは 困 難 に な り,Monte

Carloの 方 法 を使 う.核 子 を 点で は な く波 束 で 表 し,

量 子 効 果 の 一 部 を い れ た のがQMDで,こ   TDHFの

方法を

こで は省 略 す る.本 節 で は,低 エ ネル ギ ー で 適

用 され る,平 均 場 を 基 礎 とす るTDHFか 古 典 近 似 が よ くな り,TDHFの

ラ ン ダ ム 行 列 に よるMSCの

歴 史 は 古 くDiracに

時 に 一 体 のHartree-Fockポ

れ も最 後 に 簡 単 に 触 れ る.

は じ ま る[42].こ れ を重 イオ ン衝 突 に 応 用 した

テ ン シ ャルが 時 間 的 に ど う変 わ っ て い くか を 初 め

に 描 い て み よ う.初 期 状 態 で は 二 つ の 一 体 ポ テ ン シ ャ ル は 形 を変 えず そ の 二 つ の 重 心 は近 づ い て い く.二 つ の ポ テ ン シ ャ ルが 接 触 を は じ め る と,初 め の 二 つ の 球 に近 い 形 か ら一 つ の 球 形 に 近 い 形 に段 々 と変 化 す る.し ば ら くす る と また 2部 分 に 分 か れ て 飛 び 去 る.し か し 各 々の イ オ ンに 対 す る ポ テ ン シ ャ ル の 形 は

一 般 に は静 止 し て い な い で ,振 動 す る こ と もあ る.こ の と き の波 動 関 数 は 時 間 に よ り変 化 す る 一 つ のSlater行

列 式 で 表 され,

(8.194) 独 立 粒 子 波 動 関 数 φα(r,t)は 時 間 に依 存 す る と し,こ れ を 自己 無 撞 着 に決 め る の がTDHFで

あ る.そ の 方 程 式 は 次 の 量

(8.195) の 変 分 原 理 か ら求 め られ る.ハ ミル トニ ア ンHのSlater行

列 式 に よる 期待 値 は

(8.196) で あ る の で,Iの

φ*α に つ い て の 変 分 の 停 留 値 を求 め る と

(8.197) の 方 程 式 を 得 る.Hartreeポ

テ ンシャルは

(8.198) で,Fockポ

テ ン シ ャル は

(8.199) で 与 え ら れ て い る.こ の 中で 密 度 行 列 は

(8.200) に よ り表 さ れ て い る.TDHFの 共 役 に φα を か け,辺

方 程 式 は(8.197)に

φ*αを 掛 け,(8.197)の

複素

辺 引 き 算 を し た も の を α に つ き和 を と り,

(8.201)

と い う密 度 行 列 の 方 程 式 に書 き換 え られ る.こ

こでUはHartreeとFockポ

テ

ン シ ャル の 和 で あ る.   TDHFの

方 程 式 を解 くに は初 期 の 波 動 関数 を与 え な け れ ば な らな い.こ れ に

は まず 衝 突 前 の 二 つ の 核 の 波 動 関 数 を 静 的Hartree-Fockの

近 似 で 求 め,次

に

二 つ の 核 の 距 離 を十 分 離 し,一 定 の 速 度 で 互 い に 近 づ く よ うな 波 動 関数 を つ く る.こ の と きの衝 突 径 数 か ら相 互 運 動 の 角 運 動 量 が 決 ま る.こ の 初 期 条 件 の 下 で 方 程 式 を解 い て い く と,二 つ の 核 が 近 づ き,接 触 し,一 つ の 塊 に な る.こ れ が そ の状 態 を 保 ち な が ら振 動 回 転 をあ る時 間 た とえ ば2,3回

転 ぐ らい 続 け れば

核 融 合 反 応 が 起 こ っ た とみ な す.も し 二 つ の 核 に す ぐ離 れ れ ば 深 非 弾 性 衝突 が 起 こ っ た と考 え る.こ の と き二 つ の 核 は 通 常 励 起 状 態 に あ る.二 つ の 核 の運 動 方 向 か ら角 分 布 を,ま た そ の 相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ーか ら エ ネ ル ギ ー 損 失 が,ま た 二 つ の 核 の お の お の の 質 量,荷 電 量 か ら 質量,荷

電 分 布 が 求 め られ る.し か

し初 期 条 件 を決 め る と それ に 対 応 した 一 定 の 反 応 が 起 こ る の で,量 子 力 学 を全 面 的 に 使 った と きの 波 動 関 数が い ろ い ろの 型 の 反 応 の振 幅 の和 に な っ て い る の と異 な る.そ れ でTDHFは   TDHFの 積,深

古 典 近 似 とみ な され る.

計 算 は 比 較 的低 エ ネ ル ギ ー10MeV/A以

下 で 行 われ,核

非 弾 性 衝 突 の 断面 積 な ど 実 験 と合 う結 果 が 得 られ て い る.ま

融 合 断面 た生 成 核 の

平 均 質 量 や 荷 電 数 も よ く合 っ て い る.し か し 質 量 や 荷 電 の分 布 の 広 が りにつ い て は過 小 評 価 して い る.TDHFは 結 果 を 与 え るが,分

布 幅 の よ うな 二 体 以 上 の 演 算 子 の 期 待 値 に は よい 結 果 が 得

られ て い な い.TDHFの

  8.7.1 

Vlasov方

平均 場 近似 な の で 一 体 演 算 子 の期 待 値 は よ い

計 算 の 一 例 を 図8.13に

示 す.

程 式

  エ ネ ル ギ ーが 高 くな る とTDHFの

計 算 は 難 し くな る 一 方,古 典 近 似 が よ く

な る.古 典 論 の 方 程 式 はVlasov方

程 式 と よば れ,TDHFの

う に し て 導 くこ とが で きる[44].密

度 行 列 のWigner変

方 程 式 か ら次 の よ 換

(8.202) を使 ってTDHFの

方 程 式(8.201)のWigner変

換 を行 うが,右 辺 の 第1項[K,ρ]

の 計 算 に は 運 動 量 表 示 の 方が 容 易 で あ る.そ れ で 運 動 量 表 示 の 密 度 行 列 は

(8.203)

図8.13 

84Kr+209Bi重

イオ ン 衝 突 のTDHFに

よ る計 算 結 果(Elab=600MeV,l=140)

計 算 は2次 元 空 間(軸 対 称 を仮 定 し,回 転 の 影響 は コ リオ リ力 の 形 で 入 れ た) で 行 い,時 間 の 単 位 は10-21s[43].

で 表 せ るの で,Wigner変

換 した密度行列 は

(8.204) と表 す こ とが で き る.こ れ を使 う と

(8.205) と な る が,k=p+q/2,k'=p-q/2と

変 数 をpとqに

変 換 す る と,

(8.206) と な る.(8.204)を

使 うと

(8.207) を 得 る.次

に(8.201)右

辺 第2項

のWigner変

換は

(8.208) と な る.一

体 ポ テ ン シ ャ ル と し て 局 所 的 な 

を と る と,

(8.209) とな る.一 体 ポ テ ン シ ャ ル のrに

よ る 変化 は小 さい と し て1次

近似

(8.210) を使 う と

(8.211) が 得 られ る.し た が ってTDHF方

程 式(8.201)は

(8.212) と な る.こ れ がVlasov方

程 式 で あ る.こ れ はTDHF方

程 式 の古 典 近似 で あ っ

て,核 子-核 子 の 衝 突 の 影 響 は 入 っ て い な い.  一 方

,Boltzmann方

程 式 は

(8.213) で 与 え られ る.右 辺 は 衝 突 項 で,次 の2項 し,そ れ が も う一 つ の 核 子2と

か ら な る.核 子1の

衝 突 し て1'と2'に

衝 突 に よ り減 少 す る.こ れ と反 対 に1'と2'が 増 加 す る.こ のfの

密 度 行 列 をfと

な っ た とす る と,fは

衝 突 し て1と2に

この

な る と,fは

増 減 を 散 乱 断 面 積dσ/dΩ を使 って 書 くと

(8.214) こ こ でυ12は

衝 突 す る 二 核 子 の 相 対 速 度 で あ る.(8.214)で

グ 効 果 が 入 っ て い る が,も

と のBoltzmann方

の 右 辺 の 終 状 態 に 対 す る1-fを1で

はPauliブ

ロ ッキ ン

程 式 で は 入 っ て い な い.(8.214)

置 き 換 え る と,Boltzmannの

衝突項が

得 ら れ る.   平 均 場 と 衝 突 項 を 入 れ た 輸 送 方 程 式(8.214)はBoltzmann-UehlingUhlenbeck

(BUU)方

式 と 呼 ば れ て い る.こ

程 式 あ る い はVlasov-Uehling-Uhlenbeck

(VUU)方

程

れ ら の 方 程 式 を 解 い て 重 イ オ ン 衝 突 が 研 究 さ れ て い る.

そ の 中 で い ちば ん 簡 単 なの は カ ス ケ ー ド模 型 で,平 均 場 を無 視 し た 古 典 模 型 で あ る.初 期 条 件 と して 重 イオ ン を表 す 二 つ の 球 の 中 に核 子 を ラ ン ダ ム に 分 布 さ せ る.与 え られ た 衝突 径 数 で 衝 突 す る よ うに 二 つ の イオ ン に 速 度 を与 え て,こ の 系 の 時 間 的 変 化 を み る.二 つ の イ オ ンが 接 近 す る と核 子-核 子 相 互 作 用 が 働 き,二 核 子 は 散 乱 す る.こ の散 乱 を純 古 典 的 に解 く と核 子 の 散 乱 方 向 は確 定 す る.Pauliブ

ロ ッキ ング 効 果 は 入 らず,散 乱 も古 典 的 で あ る.

  カ ス ケ ー ド模 型 に平 均 場 の 影 響 を 入れ た の が 分 子動 力 学 模 型 で,さ

らに 量 子

効 果 を 近 似 的 に入 れ る と量 子 動 力 学 模 型 と な る.こ れ らの 模 型 に つ い て は す で に5.4.2項 に 述 べ られ て い る.

文

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子 核 の 理 論",岩

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入 的 な 著 書 と し て 次 の も の を 挙 げ て お く.

波 講 座 「現 代 の 物 理 学 」

G.R.Satchler:Introduction

to

Nuclear

Reactions,2nd.ed.,MacMillan

Education,1990. 河 合 光 路:"核

反 応",パ

リ テ ィ 物 理 学 コ ー ス,丸

善,1995.

直 接 反 応 G.R.Satchler:"Direct N.Austern:"Direct

Nuclear Nuclear

高 エ ネ ル ギ ー の 直 接 反 応,光 野 上 茂 吉 郎 編:新

Reactions",Oxford Reaction

Theories",John

University Wiley

Press,1983. &

Sons,1970.

核 反 応 に つ い て は 次 の も の が あ る.

編 物 理 学 選 集25「

高 エ ネ ル ギ ー 核 反 応 」,日

本 物 理 学 会,1960.

索

Barschallの BCS状

実 験   3,84

G行 列

態   204

Bohigasの

  124,125,131,140,145

Gamow因

推 測   326

Boltzmann方

引

程 式   379 程 式   379

公 式 

Butlerのstripping理

換   8,9

Gell-Mann-Goldbergerの

Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck方 Breit-Wignerの

子   78

Galiei変

236,244,251 論   2

Glauber近

  位 相 差(phase

214

shift)関

  cumulant展   optical

CDCC 

Grassmann

  位 相 差   64,238

  数

  散 乱 振 幅   64,255

  積 分   301,303

 302,338

Green関

数   45,66,192,218,223,250,301,

304,365

  置 換 エ ネ ル ギ ー   270

Greenの

  波 動 関 数   63-65,238

CRC 

232

数   230

Coulomb

  Sommerfeldパ

定 理   240

ラ メ タ ー   63,238 Hartreeポ

212,213

テ ン シ ャ ル   376

Hauser-Feshbachの DWBA 

Hubbard-Stratonovitch

  断 面 積   167

  変 換   305,320

  展 開   156,217

  prior

form 

DWIA 

140,

Eikonal近

156,163 identity 

  二 次 の ― 

  変 数   338,371

156,163

form 

  post-prior

理 論   307

  公 式   309,316

156,352,363

  post

数   230

開  232 limit 

  profile関

  障 壁   14,76-78,89,269,314

恒 等 式   45

似   227

157

IAS 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態 を 見 よ.

205 Jacobi座

144

似   223

標 系   座 標 系 を 見 よ.

Laneポ

テ ン シ ヤ ル   270

Ericson

Levinsonの

  の 公 式  334

Lippmann-Schwinger方

定 理   284

  の ゆ ら ぎ   323

Lorentz型

重 み 関 数   22,253

Lorentz変

換  8,121

程 式   44,45

Feshbach   射 影 演 算 子   107,150,247

M3Y 

  有 効 ハ ミ ル ト ニ ア ン  108,150,249

Markoff過

Fermiガ

ス 模 型  145,367

Moller因

Fermi分

布   328

Monte

fm 

101,131,132,145 程   343 子   121 Carlo法 

224,305,315,336,375

14

Fokker-Planck方

程 式   339,343,344

nuclear

Ramsauer効

果   284

Perey効 Perey

果  105 factor 

Poisson分

ア

105

布 

行

296

Porter-Thomas分

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS) 

布  300

246,270-273 Q値 

ア イ ソ ベ ク トル 単 極 子  274

6

粗 い 構 造  3,84 R行

ア ン サ ン ブ ル 平 均  371

列 理 論  237,238

Rutherford散 RPA 

鞍 点  338,371

乱  64

鞍 点 法  290,305,318,320

365

SCDW 

移 行

225

  運 動 量  9,159,219,222,360

Schrodinger   描 像 

  エ ネ ル ギ ー  74,218,219,223,360 50  角 運 動 量  166

  方 程 式  25,35

位 相 体 積  73 一 段 階 過 程  157

Serberの

描 像  2

Sinaiの

玉 突 き  326

Sommerfeldパ S行 列 

因 果 律  22,279

ラ メ タ ー  63,238

イ ン パ ル ス 近 似  119,120,136,140

53,55,238,239,250,262

 角 運 動 量 表 示  62   共 鳴 公 式  253

  平 面 波― 

141

  歪 曲 波― 

140,144

  相 反 性  57,251 運 動 の 恒 量  29

  対 称 性  251   ユ ニ タ リ ー 欠 損  256

運 動 量 中 心 系  座 標 系 を 見 よ.

 ユ ニ タ リ

運 動 量 の 整 合 

TDHF  T行

ー 性  56,57,59,62,250

エ キ シ トン 334,364,375,379   数  261,334,336,345

列  48,54,61,68

  模 型  345,346,349

 角 運 動 量 表 示  62

エ コ ー  280,281,284   相 互 性  58   反 対 称 比 

エ ネ ルギ ー 160,163

  和 則  57   post   prior

form 

153,156,163

form 

Vlasov方

identity 

  殻 外(off

energy

shell) 

121

  殻 上(on

energy

shell) 

121

  半 殻 外(half

153,156,163

  post-prior

159

157   平 均 

18-22,109,151

 内 部―  程 式  375,377,379

Vlasov-Uehling-Uhlenbeck方

off shell) 

 の ず れ  239

6,36

エ ル ゴ ー ド性  程 式  379

317

遠 心 力 障 壁  76 エ ン ト ロ ピ ー  288,292,327 Watsonの Wigner変

方 程 式  換 

  情 報― 

ロ ッ ト  341

Woods-Saxon型

ポ テ ン シ ャ ル  92,282,296 98

応 答 関 数  146,147,360  ス カ ラ ー―   ス ピ ン―    線 形―  zero-range近

327

378

Wilczynskiプ

  対 称― 

116

似 

158,186,201

367 368

333,360,362,365

温 度  288,292,314,327

121

16,237,

双 極  267

カ

行

中 性 子 幅  269

回 転  29

組 み 替 え  5

 運 動 の 励 起  173

  チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC) 

外 部 領 域  34,237 カ オ ス  325,328  量 子 カ オ ス  326  

K系 

CRCを

見 よ.

反 応  175

形 状 因 子 

138,158

326

化 学 ポ テ ン シ ャ ル  288

光 学 定 理  57,86

角運動量

光 学 ポ テ ン シ ャ ル  3,14,134,346

 移 行  164  の 整 合  159

  運 動 量 表 示  136,138   概 念 図  89

角 運 動 量 表 示  59,61,237,249  散 乱 振 幅 の― 

 自 動 探 索  90

62

  不 定 性  91   一 般 化― 

 断 面 積 の―  78   S行

列 の― 

62

  T行

列 の― 

61

  広 域― 

109

,134,135

91,101

光 学 模 型  3,83,236,253

拡 散 係 数  344

古 典 近 似 

281,294,325

核 内 カス ケ ー ド模 型  223,314 核 の ポ テ ン シ ャ ル  281

サ

行

角 分 布  7,172,186,220,311 確 率 伝 搬 関数  374

最 近 接 距 離 

確 率 平 衡 方 程 式  372

最 適 運 動 量 近 似 

過 剰 中性 子  270

酒 瓶 型 ポ テ ン シ ャ ル  92

可 積 分 系  325

座 標

荷 電 交 換 反 応  140,174,270

122-124,136

 回 転 変 換  29

荷 電 独 立 性  270

  鏡 映 変 換  29

換算幅  振 幅  241,243

13,313

 内 部  32  

Galilei変

換  8,9

 総 和 則  245

  Lorentz変

慣 性 能 率  292

座 標 系  8

完 全 融 合 反 応  339

  運 動 量 中 心 系  12

貫 通 因 子  239,244,258

  実 験 室 系  8,9-12

換  8,121

  重 心 系  8,9-12,38,39

吸 熱 反 応  6

  Jacobi座

球 面 波 展 開  60,62,65

作 用 積 分  283

標 系  12

鏡 映 変 換  29

散 乱 

強 結 合 近 似  373

  位 相 差  276,281,282

強 度 関 数  87,258,263,264,355

  境 界 条 件  43

239,250,262

  行 列  53

規 格 化 され た  264,266 境 界 条 件  42,43,64,152,241,326

  剛 体 球  239

共 鳴  1,281

  時 間 の 遅 れ  274,277,279,282

共 鳴 幅 分 布 関 数  300

  時 間 の 進 み  279

共 鳴 領 域  17

  振 幅  21,42,48,61,62,68

局 所 エ ネ ルギ ー 近似  102 局 所 波 数  281

 

Wignerの

上 限(時

局 所 密 度 近似  125,144 巨 大 共 鳴  16,267

間 の 進 み) 

残 留 相 互 作 用  153,307,314,328,334,337

時 間 反 転  29,243,251

280

時 間 を 移 す ユ ニ タ リ ー 演 算 子  50

相 関 エ ネ ルギ ー  323

し き い 値  6,12

相 関 関 数  324

自 己 相 関 関 数  323

増 強 因子  322

実 験 室 系  座 標 系 を 見 よ.

相 互 作 用描 像  50

射 影 演 算 子 

相 対 運動 量  11,33

107,133,150,247,253

 

P空

間  247

相 対 論 的光 学 ポ テ ン シ ャル  97

 

Q空

間  247

双 直 交基 底  243,252

弱 結 合 近 似  373

相 反 定理  57,58

自由

粗 視 化  342

  運 動  34

タ

  行 程  224

行

  ハ ミ ル トニ ア ン  28

大 正 準 集 団  288

重 心   運 動 の 分 離  27,28,33,37,38   系  座 標 系 を 見 よ. 集 団 励 起 

多重 微 分 断 面 積  7 畳 み 込 み ポ テ ンシ ャル  87,101,136 多段 階

171-173,209

重 粒 子 ス ト リ ッ ピ ン グ  176 準 位 間 隔 分 布  297,299,326

 過 程  223,345  直 接 過 程  149,217,333,351,352  統 計 過 程  333

準 位 密 度  287,301,306   一 粒 子  294

 複 合核 過 程  333,371  複 合核 反 応  351

瞬 間 近 似  352,356

  DWBA 

準 弾 性 散 乱  219,341

353

脱 出 幅  16,263,268,272,273,347

状 態 密 度  287-290

弾 性 散 乱  5

衝 突 係 数  228

 形 の― 

衝 突 点  222,224 深 非 弾 性 散 乱  339,341,342

  準― 

85,134 219

 複 合― 

85

断 熱 近似  210,215,274,352,358 ス カ ラ ー 応 答  367

断 熱 的 ス イ ッチ ング  51

ス ト リ ッ ピ ン グ  5,176,177,181,197   一 核 子― 

181

  二 核 子― 

197

 三 重微 分― 

ス ピ ン 応 答  368

76

 三 粒 子 チ ャ ネル の― 

ス ピ ン ・ カ ッ ト オ フ ・パ ラ メ タ ー  293,335 ス ペ ク トル の 剛 性 

断 面 積  6,69  一 般 形  73

299,326

  全― 

 全 弾性 散 乱―   全 反応― 

正 準 分 布  288

7

7

生 存 確 率  266,356

 多 重微 分―   二 重微 分― 

遷 移

 二 粒 子 チ ャネ ル の― 

  確 率  70,346,350,353,354

 微 分― 

7,78,169,171

  行 列  T行

 包 括― 

217

列 を 見 よ.

75

7

7 7,75 74

  密 度  220

チ ャ ネ ル  5,42

漸 近

 ス ピ ン  41,255

  形  48,49,67   振 幅  187

 内 部 エ ネ ル ギ ー  36  波 動 関 数  240

  領 域  42 選 択 規 則 

166

前 平 衡 過 程 

15,217,225,333,342,345,373

前 方 散 乱  57,86

 領 域  34 チ ャ ネ ル結 合Born近

似  212

チ ャ ネ ル 結 合 法  156,206

ノ ッ ク ・オ ン  176

  方 程 式 解 法  206,208,209   組 替 え― 

212,213

  離 散 化 連 続―  中 間 共 鳴 

ハ

218

行

15

超 対 称

配 位  34

  行 列  303

配 位 空 間  34

  行 列 式  303

媒 質 効 果  124 パ イ 中 間子 凝 縮  371

  ト レ ー ス  303   ベ ク トル  303,319

波 束  26,51,274

  理 論  301,302,338

裸 の(bare)ポ

直 接 過 程  2,15,149,236,316,333

発 熱 反 応  6

  角 分 布  2,172,186,220

波 動 行 列  53,142 ハ ミル トニ ア ン

対 相 関  293

 座 標 表 示  30

テ ン シ ャ ル  207

 対 称 性  29  不 変 性  29

停 留 値  290,305,320,376 天 体 核 物 理 

 自 由― 

196

28,31

 内 部 運動― 

  因 子  78

27,32

 複 合 粒 子 の―   有 効― 

透 過

反 対 称 化  79,81,82,130,131,160,163,170, 178,190

  行 列  256,316,318,346,372   係 数  256,259,308 等 価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル  97,102,104 動 的 偏 極 ポ テ ン シ ャ ル  110,253,257 戸 口 状 態 

32

108,150,249

15,236,261,263,265,267,272

バ ー ン  6 パ リテ ィ  29,167 反対 称 化 分 子 動 力 学(AMD) 

225

反 応 粒 子  4

  共 鳴  16

半 古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW) 

ド リ フ ト速 度  344

221

ト ン ネ ル 効 果  14

非 干 渉  274 ナ

行

非 局 所 型 ポ テ ン シ ャル  90,96,102 微 細 構 造  84

内部

非 相 対 論 的 ス ケ ー リ ング 因 子  369

  運 動  28   エ ネ ル ギ ー  6,36

非 弾 性 散 乱  5,171,209 ピ ッ ク ・ア ップ  176,177,181,197

  座 標  32,157

 核 子― 

  波 動 関 数  35,40

 二 核 子― 

  ハ ミ ル ト ニ ア ン  27,32,35

非平 衡 過 程  333

  領 域  34,237

標 的 核  4

181 197

表面 振 動 励 起  172 二 次 のDWBA  2次

203

モ ー メ ン ト  305,337

複 合 核  325,375

二 重 畳 み 込 み ポ テ ン シ ャ ル  101

 過 程  2,15,235,325

二 重 微 分 断 面 積  7,75

 共 鳴  237

二 段 階 過 程 

 形 成 断 面 積  87

2点

205

関 数  372

 寿 命  236,252,322,325,375

入 射 エ ネ ル ギ ー  4

 状 態  15

入 射 チ ャ ネ ル  5

 模 型  1,235,308

熱 浴 

複 合 弾 性 散 乱  85 複 合 粒 子  4

288

複 素 直 交 変 換  252 部 分 準 位 密 度  334,337

有 効 質 量  105

部 分 幅  244

 運 動 量 表 示  126

 振 幅  244

 近 似 の 誤 差  125

分 解 能  8

 座 標 表 示  128  ス ピ ン縦 ・横 方 向成 分  127

有 効 相 互 作 用  101,117,261

分光学的

  G行 列―  

 因 子  192-195,202

125,128,140,144

  Love-Franeyの― 

 解 析  190

 

分 散 関係  105,111

M3Y― 

130

131,132,144

分散 幅  16,262,265,272,346,356,373

有 効 ハ ミル トニ ア ン  110,150

分 配 関 数  289

有 効 ポ テ ン シ ャル  281 ゆ らぎ  20

分 離 エ ネ ル ギ ー の 方 法  191

ラ

平行 移動  29

行

平 衡 過程  333,375 乱 雑 位 相 近 似  365

平 面 波  34 平 面 波 イ ン パ ル ス 近 似  141 平 面 波Born近

似  367

ラ ン ダ ム 行 列  296,317,342   EGOE  307   GOE 

変換 反応  5

298,300,301,312,325-327,329,

334

偏 極  7, 8 偏 極 伝搬 関 数  147,362,366,368

  GSE    GUE 

329 329

ラ ンダ ム 変 数  304,317

崩壊  曲 線  279  振 幅  251

離 散 化 連 続 チ ャ ン ネル 結 合 法(CDCC) 

崩壊 確 率  308,315

流 束  6,69,81,259

放 出 粒子  4

量 子 分 子 動 力 学(QMD) 

母 関 数  301,318 ポ テ ン シ ャル 障 壁  281

励 起 関 数  7

225

連 続 状 態 へ の 遷 移  145,216 マ

行

連 続 状 態 に 埋 ま っ た束 縛 状 態  15 連 続 方 程 式  259

摩擦

連 続 領 域  17

  力  340  冷 却 法  226 マ ス ター 方 程 式  315,339,342,351

廊 下 状 態  15,261,264 ワ

密 度  259 密度 行列  146,362-364,376

行

歪 曲波  143 歪 曲 波 イ ンパ ル ス 近 似  140,144 歪 曲 波 ボ ル ン近 似  156

無 反 挑 近似  181

歪 曲ポ テ ン シ ャル  143,152 ヤ 有 限 レ ン ジ の 補 正  189

行

214

著者 略歴 河

合 光

1930年  1953年  1976年  現 在 

路

吉

東 京都 に生 まれ る 東 京大学 理学部 卒業 九 州大学教 授 九 州大学 名誉教授 理 学博士

田 思 郎

1923年  東 京都 に生 まれ る 1949年  東 京大 学理学 部卒業 1974年  東 北大 学教 授 現 在  東 北大学 名誉教授 理 学博 士

朝倉物理学大系19 原子核反応論 2002年11月25日 

定価 は カバー に表示 初 版 第1刷

2005年3月25日 

第2刷

著

者  河

合

光

路

吉

田

思

郎

発 行 者  朝

倉

発 行 所 

ISBN

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 4-254-13689-7

邦 倉

造 書

店

東 京 都新 宿 区新 小 川町6-29 郵 便 番 号 162-8707 電 話 03(3260)0141 FAX  03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

〈検 印省 略 〉 C2002〈

株式会社  朝

C

3342

三美 印刷 ・渡辺 製本 Printed

in Japan