MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
CY
MB
CY
MB
MB
EK¢O™EI™ ñ EKTY¶ø™EI™
¶. ZHTH & ™È· O.E.
Eκπαιδευτικο Προβληµατισµο
°PAºEIA - EP°A™THPIA: 18Ô ¯ÏÌ £ÂÛ/ӛ΢ - ¶ÂÚ·›·˜ T.£. 171 ñ N¤ÔÈ EÈ‚¿Ù˜ ñ £E™™A§ONIKH 570 19 TËÏ. (0392) 72.222 - Fax (0392) 72.229 e-mail:
[email protected] CY
Nο 9 - Oκτ βριος 2000 EK∆OTHΣ EK∆OΣEIΣ ZHTH
BIB§IO¶ø§EIO £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢: AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27 ñ £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 546 35 TËÏ. (031) 203.720 ñ Fax (031) 211.305 e-mail:
[email protected] BIB§IO¶ø§EIO AıËÓÒÓ: «ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5) Aı‹Ó· 105 64 TËÏ.-Fax (01) 32 11 097
Γ E
ENIKH EΠOΠTEIA
ΠIΣTHMONIKOI ΣYNEPΓATEΣ Αλατζ%γλου Παναγιτα Παναγιτα, Φιλ!λογος Ατρεδης Γιργος Γιργος, Φυσικ!ς Γιουβανο'δης Γιργος Γιργος, Φυσικ!ς Γιο'ρη-Tσοχατζ Γιο'ρη σοχατζ Kατερνα ατερνα, Eπικ πικ. Kαθ αθ. Xηµε,ας ηµε,ας A. A.Π.Θ. Iακβου ακβου Π τρος Π τρος, Φυσικ!ς Φυσικ!ς-Xηµικ!ς Mωυσιδης ωυσιδης Xρ%νης ρ%νης, Aν. Kαθ αθ. Mαθηµατικ ν αθηµατικ ν A. A.Π.Θ. Παπαθεοφνους Πα'λος Πα'λος, Xηµικ!ς Παυλδης ∆ηµτρης ∆ηµτρης, Xηµικ!ς Πο'λος Aνδρ ας νδρ ας, Mαθηµατικ!ς αθηµατικ!ς Σαββκη Xρ'σα ρ'σα, Φιλ!λογος Φαρµκης ∆ηµτρης ∆ηµτρης, Φιλ!λογος
·
Ï·
È ¿Ï
˜ η
ISSN 1106-9252
ÙÂ ÛÙ·
™YN¢POMH (3 Ù‡¯Ë): EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ›: 5.000 ‰Ú¯. BÈ‚ÏÈÔı‹Î˜: 8.000 ‰Ú¯. (™ÙËÓ ÙÈÌ‹ Û˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Ù· ¤ÍÔ‰· Ù·¯˘‰ÚÔÌÈ΋˜ ·ÔÛÙÔÏ‹˜)
Ú› ÙÔ ‚
¶ÒÏËÛË ·fi Ù· BÈ‚ÏÈԈϛ·: 1.500 ‰Ú¯ ÙÔ Ù‡¯Ô˜
Ô‰
ÈÎfi
ı·
¶§HPOºOPIE™-A¶O™TO§E™: ANNH ZHTH
È CY
ÂÚ
MB
‚È‚ÏÈԈϛ· Ì·
COPYRIGHT: EK¢O™EI™ ZHTH A·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ÌÂÚÈ΋ Î·È ÔÏÈ΋ ·Ó·‰ËÌÔÛ›Â˘ÛË ‹ ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ¤ÁÎÚÈÛË ÙÔ˘ ÂΉfiÙË.
T.£. 171 ñ N¤ÔÈ EÈ‚¿Ù˜ ñ £E™™A§ONIKH 570 19 TËÏ. - Fax: 0392/72.222 e-mail:
[email protected] TÔ
CY
· ‚È
™TOIXEIO£E™IA - EKTY¶ø™H EK¢O™EI™ ZHTH
Û˘
ÚÁ
ÂÓ ˙fiÌ
ˆÏ›· ‚ÏÈÔ
MB
¶EPIEXOMENA
E
I∆IKOI ΣYNEPΓATEΣ Kυρικος υρικος ∆ηµτρης ∆ηµτρης, Φυσικ!ς Φυσικ!ς, Aναπλ ναπλ. Kαθηγητς αθηγητς A. A.Π.Θ. Θωµα δης Γιννης Γιννης, ∆ρ ∆ρ. Μαθηµατικ ν Μαθηµατικ ν, Kαθηγητς αθηγητς M.E. Ξ νος Θανσης Θανσης, Mαθηµατικ!ς αθηµατικ!ς, Kαθηγητς αθηγητς M.E. Πασχαλδης ∆ηµτρης ∆ηµτρης, Φιλ!λογος Φιλ!λογος, Kαθηγητς αθηγητς M.E. Tσπης σπης Kωνσταντνος ωνσταντνος, Xηµικ!ς, Kαθηγητς αθηγητς A. A.Π.Θ.
ÓÂ
CY
MB
Γεργιος Παντελδης Kαθηγητς αθηγητς E.M. E.M.Π.
M·ıËÌ·ÙÈο 4
X. º›ÏË
∆· Ì·ıËÌ·ÙÈο Ù˘ ¯ÈÏÈÂÙ›·˜: 3Ô ª¤ÚÔ˜: 1800 - 2000 Ì.Ã.
8
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
MÈ· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜. ∫·Ù·Û΢‹ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÙÔ
10
£. •¤ÓÔ˜
∆Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÚÈÙÙÔ‡ ·ÎÂÚ·›Ô˘ Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ‹˜ ÙÔ˘ Ì ̛· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2
11
°. °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë˜
∫›ÓËÛË ÊÔÚÙÈṲ̂ÓÔ˘ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ Û ÔÌÔÁÂÓ¤˜ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô
17
K. º. ¶··ÛÙÂÊ¿ÓÔ˘
∞ÂÌÏÔ˘ÙÈṲ̂ÓÔ √˘Ú¿ÓÈÔ. ª‡ıÔ˜ ‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·;
18
¢. TÛÈÒÏ˘
∏ ÂÚȤÙÂÈ· ÂÓfi˜ ÊÔÚÙ›Ô˘
º˘ÛÈ΋
XËÌ›· 20
¶. ¶·Ï·ÌÈÙ˙fiÁÏÔ˘
A¶O THN H§EKTPOXHMEIA... ª›· Û˘ÁÎÚÈÙÈ΋ ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÔÏ˘ÙÈÎfi Î·È ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÔ¯ËÌÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô
22
¢. ¢ÂÚ¿Ó˘
MÂÙ·‚ÔÏ‹ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÂÚÈÔ‰ÈÎÒÓ È‰ÈÔًوÓ
25
§. M·Ï‹˜
∞ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ¯ÚˆÌÔÛˆÌÈΤ˜ ·ÓˆÌ·Ï›Â˜
BÈÔÏÔÁ›· OÈÎÔÓÔÌÈο 27
¢. K˘ÚȷΛ‰Ë˜
MÔÚȷ΋ ·Ó·˙‹ÙËÛË Ù˘ E‡·˜
28
™Ù. BÏ·¯fiÔ˘ÏÔ˜
√ÈÎÔÓÔÌÈ΋ ¶·ÁÎÔÛÌÈÔÔ›ËÛË Î·È ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi ∫Ú¿ÙÔ˜ ºÈÏÔÏÔÁÈο
30
¢. £ÂÔ¯¿ÚË ∂˘. ∞ÚÌÂÓ¿ÎË,
∏ ‰È‰·Ûηϛ· ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÓÂÔÂÏÏËÓÈ΋˜ ÁÏÒÛÛ·˜ ‚′ °˘ÌÓ·Û›Ô˘
32
T. TÛ¤ÎÔ˜
ª›· ÂÚÌËÓ¢ÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË ÁÈ· ÙÔÓ «¢·Ú›Ի ÙÔ˘ ∫·‚¿ÊË
37
¶. ¢Ú¤ÏÏÈ·˜
∏ ‰È·¯ÚÔÓÈ΋ ·Í›· Ù˘ ºÈÏÔÛÔÊ›·˜ Î·È Ë Û˘Ì‚ÔÏ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ÎÚÈÙÈ΋ ÛÙ¿ÛË ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘
38
™. T˙·Ó›‰Ë˜ OÏ. ¶··‰ÔÔ‡ÏÔ˘
ŒÎıÂÛË - ŒÎÊÚ·ÛË: ∏ ·È‰È΋ ÌÔÓ·ÍÈ¿
39
AÁ. KÒÛÙ·-¶ÂÁÈÔÔ‡ÏÔ˘ ¢È‰·ÎÙÈ΋ ÙÔ˘ ·ÚÈÛÙÔÙÂÏÈÎÔ‡ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎÔ‡ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡
40
XÚ. ™·‚‚¿ÎË
41
¢. §Ô‡ÏÔ˜, °. M·Ù˙›Ó·˜ KψÓÔÔ›ËÛË
EÎıÂÛË ‹ EÙÂÚÔηÙ‡ı˘ÓÛË È‰ÂÒÓ; ¢È¿ÊÔÚ·
16
¶. K·Ú·ÁÎÈÔ˙›‰Ë˜
H ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· ηıȤڈÛ˘ Ó¤Ô˘ ËÌÂÚÔÏÔÁÈ·ÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ E›Î·ÈÚ· £¤Ì·Ù·
45 46
√ ÂÎÊ˘ÏÈÛÌfi˜ ÂÓfi˜ ·ÓÔÈÎÙÔ‡ ‰È·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ Û ·Â˘ı›·˜ ·Ó¿ıÂÛ˘ ¶·Ú¿ÓÔÌË Î·Ù¿ÚÁËÛË ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ ÓfiÌÈÌÔ˘ ‰È·ÁˆÓÈÛÌÔ‡
CY
MB
MB
MB
∞Á·ËÙÔ› Ê›ÏÔÈ Î·È Û˘Ó¿‰ÂÏÊÔÈ ™ÙÔ Ù‡¯Ô˜ 8, ÙÔ ÚÒÙÔ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¯ÈÏÈÂÙ›·˜, ÂÎÊÚ¿Û·Ì ÙËÓ Â˘¯‹ fiÙÈ ÔÈ ·ÏÏ·Á¤˜ ÛÙ· ‰È‰·ÎÙÈο ‚È‚Ï›·, ÛÙË ‰È‰·ÎÙ¤· ‡ÏË Î·È ÂÍÂÙ·ÛÙ¤· ‡ÏË ı· ›¯·Ó ¤ÁηÈÚ· Ï¿‚ÂÈ ÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ÌÔÚÊ‹, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙˆÓ Î·Ù¿ÏÏËÏˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ Î·È ‰È‰·ÎÙÈÎÒÓ Ô‰ËÁÈÒÓ ·fi ÙÔ˘˜ Û˘ÓÂÚÁ¿Ù˜ ÙˆÓ «∂Î·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÒÓ».
MB
∞Á·ËÙÔ› Ê›ÏÔÈ Î·È Û˘Ó¿‰ÂÏÊÔÈ
CY
CY
CY
¢˘ÛÙ˘¯Ò˜ ÔÈ ‰È¿ÊÔÚ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ (·ÎfiÌË Î·È Î·Ù·ÍÈˆÌ¤ÓˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘ ÂÚȯÔ̤ÓÔ˘ ‚È‚Ï›· ‹ ‰Â˘Ù¤Ú·˜ ÂÈÏÔÁ‹˜), Ì·˜ ·Ó¿ÁÎ·Û·Ó Ó· ηı˘ÛÙÂÚ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ Ù‡¯Ô˜ ·˘Ùfi. £ÂˆÚԇ̠fï˜ ˘Ô¯Ú¤ˆÛ‹ Ì·˜ Ó· ·ÓÙÈÌÂÙˆ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ·‰È¤ÍÔ‰Ô ·˘Ùfi, Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ù¤ÏÔ˜, Ì ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙˆÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ‰È‰·ÎÙ¤·˜ ‡Ï˘ Ì ·fiÏ˘Ù· ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi Î·È ·È‰·ÁˆÁÈÎfi ÙÚfiÔ, fiˆ˜ οӷÌ ̤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·. ™Ùfi¯Ô˜ Ì·˜ ‹Ù·Ó Î·È ·Ú·Ì¤ÓÂÈ: √ Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ (ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ ∂ηȉ‡Ûˆ˜) ·Ó¿Ï˘ÛË ıÂÌ¿ÙˆÓ, ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó Î·ı·Ú¿ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ ηıÒ˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ χÛÂˆÓ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È ÙÚfiÔ˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·. ™ÙÔ Ï·›ÛÈÔ ·˘Ùfi Î·È ÂÂȉ‹ Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ¤ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ¿ÁÓˆÛÙ˜ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·ÏÏ·Á¤˜ ıˆÚԇ̠˘Ô¯Ú¤ˆÛ‹ Ì·˜ Ó· ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ, Ó· ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ Î·È Ó· Û¯ÔÏÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ Ù˘¯fiÓ ¿ÛÙԯ˜, ÏÔÁÈο Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜ Î·È ·ÓÙȷȉ·ÁˆÁÈΤ˜ ·Ó·ÊÔÚ¤˜ ÙˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ‹ ÙˆÓ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Ô‰ËÁÈÒÓ. ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÔÈ ˘Ô‰Â›ÍÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·‰¤ÏʈÓ, Ì·¯fiÌÂÓˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ, Ì·˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ˜. O EfiÙ˘ EΉfiÛˆ˜ MB
H ÂΉfiÙÚÈ· TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈԈϛ·:
CY
● EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (0310) 211.305 ● «ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5), 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (010) 32 11 097 ● EΉfiÛÂȘ ZHTH AÔı‹ÎË AıËÓÒÓ ñ ¶ÒÏËÛË ¯ÔÓ‰ÚÈ΋ B·ÏÙÂÙÛ›Ô˘ 45 ñ EÍ¿Ú¯ÂÈ· 106 81, Aı‹Ó·, TËÏ.-fax 010-3816.650
O ÂΉÔÙÈÎfi˜ Ì·˜ Ô›ÎÔ˜, ÁÈ· Ó· οÓÂÈ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ÙË «Û˘˙‹ÙËÛË» ̤۷ ·fi ÙÔ˘˜ «EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡˜ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆π™ª√À™», ı· Û·˜ ‰ˆÚ›˙ÂÈ ‚È‚Ï›· ÙˆÓ ÂΉfiÛÂÒÓ ÙÔ˘ (Ù· ÔÔ›· ı· ÂÈϤÍÂÙ ÂÛ›˜) ·Í›·˜ 10.000 ‰Ú¯. ÁÈ· οı ÚfiÙ·Û‹ Û·˜ Ô˘ ı· ‰ËÌÔÛȇÂÙ·È.
● ™Â fiÏ· Ù· Û˘ÓÂÚÁ·˙fiÌÂÓ· ‚È‚ÏÈԈϛ·
➧ ➧
H 1κταση της παρουσ,ασης εν!ς θ1µατος δε θα πρ1πει να υπερβα,νει τις 4 σελ,δες του εντ3που, τουλ0χιστον στις θετικ1ς επιστµες. H χρησιµοπο,ηση της διατ3πωσης, της ορολογ,ας και των συµβολισµ ν των εγκεκριµ1νων διδακτικ ν βιβλ,ων της ∆ευτεροβ0θµιας Eκπα,δευσης ε,ναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοι ν και µεθ!δων, που ε,ναι εκτ!ς της διδακτ1ας 3λης, οπωσδποτε !µως απ! το «0µεσο περιβ0λλον» της, θα πρ1πει να ε,ναι περιορισµ1νη και να επισηµα,νεται !τι ε,ναι εκτ!ς διδακτ1ας 3λης. Στην περ,πτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ0 θα ε,ναι πολ3 χρσιµη.
Eιδικ!τερα, κατ0 την παρουσ,αση θα πρ1πει, εφ!σον ε,ναι εφικτ! και απαρα,τητο, ➧ να επισηµα,νονται οι επιδιωκ!µενοι στ!χοι, ➧ να δ,νεται το απαρα,τητο πληροφοριακ! υλικ! µε αναφορ0 στα διδακτικ0 βιβλ,α, ➧ να γ,νονται οι κατ0λληλες διδακτικ1ς υποδε,ξεις, ➧ να γ,νονται εκε,νες οι αποδε,ξεις που υποδεικν3ουν µεθ!δους επεξεργασ,ας θεµ0των επ,λυσης προβληµ0των και ➧ να υποδεικν3ονται εκε,να τα σηµε,α, !που ε,ναι δυνατ!ν να ξεφ3γουν λ0θη.
E
™Ùfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ô Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ (ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Eη›‰Â˘Û˘) ·Ó¿Ï˘ÛË ıÂÌ¿ÙˆÓ, ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó Î·ı·Ú¿ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ ηıÒ˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ χÛÂˆÓ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È ÙÚfiÔ˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·. M ÂÎÙ›ÌËÛË °ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
3
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
➧
Âȉ‹ Ë Û‡ÓÙ·ÍË ÙÔ˘ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Ì·˜ ηٷÎχ˙ÂÙ·È ·fi ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÎÚÈÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘ ÛÙ· Û¯ÔÏÈο ‚È‚Ï›·, Ì ·Û΋ÛÂȘ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ χÛÂȘ ÌÈ·˜ ¿ÛÎËÛ˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Û·˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ì¤Û· ÛÙÔ˘˜ ÛÙfi¯Ô˘˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ı¤ÛÂÈ ÔÈ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È ➧ Ë ÎÚÈÙÈ΋ ÙˆÓ ÂÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ‰È‰·Ûηϛ·˜ (ÂÎÙfi˜ Î·È ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜), ÁÈ·Ù› ı· ÚÔηϤÛÔ˘Ì ۇÁ¯˘ÛË ÛÙÔÓ Ì·¯fiÌÂÓÔ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi, Ô‡ÙÂ Î·È ➧ Ë ·Ú¿ıÂÛË ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ Î¿ÔÈˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ·ÊÔ‡ ·˘Ùfi ηχÙÂÙ·È ·fi ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ‚ÔËıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ΢ÎÏÔÊÔÚÔ‡Ó.
CY
Oδηγ,ες προς τους συγγραφε,ς των προτ0σεων
MB
CY
MB
CY
MB
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
CY
∆∞ ª∞£∏ª∞∆π∫∞ Ù˘ Ãπ§π∂∆π∞™ 3 Ô ª¤ÚÔ˜: 1800-2000 Ì .Ã. T˘ ÃÚÈÛÙ›Ó·˜ º›ÏË, ∂›ÎÔ˘Ú˘ ∫·ıËÁ‹ÙÚÈ·˜ ∂.ª. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
£ÂˆÚ›· ∞Ó·Ï˘ÙÈÎÒÓ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ
O
CY
MB
CY
MB
È Gauss, Chauchy, Riemann Î·È Weierstrass ıÂÌÂÏÈÒÓÔ˘Ó ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ıˆڛ· ÙˆÓ ∞Ó·Ï˘ÙÈÎÒÓ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ. √ Gauss ‰Â ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ٛÔÙ fiÛÔ ˙Ô‡ÛÂ. √ Cauchy ı¤ÙÂÈ Î¿ÔȘ ÂÚÈÔÚÈÛÙÈΤ˜ Û˘Óı‹Î˜ ÛÙȘ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ .¯. Ó· ¤¯Ô˘Ó Û˘Ó¯‹ ·Ú¿ÁˆÁÔ. ŸÏ· ‚·Û›˙ÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ·Ïfi ıÂÒÚËÌ· Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙÔ ÌÈÁ·‰ÈÎfi ÔÏÔÎϋڈ̷ Î·È ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi ˘fiÏÔÈÔ (residuum) «∫¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷». ∏ ıˆڛ· ÙÔ˘ Cauchy ÂÚȤ¯ÂÈ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ıÂÒÚËÛ˘ ÙÔ˘ Riemann Î·È Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ıÂÒÚËÛ˘ ÙÔ˘ Weierstrass. °È· ÙÔÓ Riemann Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÈÎfiÓ· ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ: ªÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÔÈ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó. ∞Ó·˙ËÙÔ‡Û ӷ ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÈ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ Î·È fi¯È Ó· ÙÔ˘˜ ·Ó·Ï‡ÛÂÈ. «√ Weierstrass ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ¿ÎÚÔ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ÂÎΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ë ‰˘Ó·ÌÔÛÂÈÚ¿, ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘, ÂÚÈÔÚÈṲ̂ÓÔ Û’ ¤Ó· ·ÎÏÔ Û˘ÁÎϛۈ˜. °È· Ó· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¤Íˆ ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ ÂÂÎÙ¿Ûˆ˜. ªÂ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi fiÏ· Â›Ó·È Â·ÎfiÏÔ˘ı· Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙˆÓ ÛÂÈÚÒÓ, Ë ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ıÂÌÂÏȈı› Û ÛÙ¤Ú˜ ‚¿ÛÂȘ» (H. Poincaré, L’ oeuvre Mathematique de Weierstrass, Acta Mathematica). √ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ÔÏfiÌÔÚÊ˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ·fi ÙÔÓ Cauchy ‰›ÓÂÈ ÙÔ ¤Ó·˘ÛÌ· ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÚÈÔ¯ÒÓ ÔÏÔÌÔÚÊ›·˜ ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ 20Ô˘ ·ÈÒÓ· (Hartogs, Thullen, H Weyl, K, Oka). ∏ ÌÂϤÙË Ù˘ Û‡ÌÌÔÚÊ˘ ·ÂÈÎÔÓ›Ûˆ˜ ÂÚÂ˘Ó¿Ù·È Î·È ·fi ÙÔÓ ∫. ∫·Ú·ıÂÔ‰ˆÚ‹. ™ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ 1950 Ë ·Ó¿ÁÎË ·Ó¿Ù˘Í˘ Ù˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ıˆڛ·˜ Ù˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ ÂÂÎÙ¿Ûˆ˜ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·Ó·Ï˘ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘, ÙËÓ ÔÔ›·Ó ÁÂÓÈÎÂ‡Ô˘Ó ÔÈ Serre, Remmert, Grauert Î·È Grothendieck. √È Abel, Jacobi, Weierstrass Î·È Poincare ÌÂÏÂÙÔ‡Ó ÙȘ ÂÚÈÔ‰ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÂÓÒ Ì ÙȘ ÔχÌÔÚʘ Û˘4
Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Abel, Jacobi, Riemann, Poincare Î·È Ì ÙȘ ÌÂÚfiÌÔÚʘ ÔÈ Picard, Hadamard, Poincare Î·È Borel. ∆Ô ÁÓˆÛÙfi ıÂÒÚËÌ· Picard ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Û˘ÁηٷϤÁÔÓÙ·È Î·È ÔÏϤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ °. ƒÂÌÔ‡Ó‰Ô˘. √ ∫·Ú·ıÂÔ‰ˆÚ‹ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ ÙÔ˘ Riemann ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙËÓ ›ÛË ÛÊ·ÈÚÈ΋ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ÙË Û˘Ó¯‹ Û‡ÁÎÏÈÛË.
ÕÏÁ‚ڷ (18Ô˜, 19Ô˜ & 20Ô˜ ·ÈÒÓ·˜) ∆Ô 1799 Ô Gauss ÛÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ÙÔ˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹ ı· ‰ÒÛÂÈ ÌÈ· ·fi ÙȘ ÔÏϤ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÙÔ˘ ıÂÌÂÏÈÒ‰Ô˘˜ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ù˘ ∞ÏÁ¤‚Ú·˜. ŒÓ· ·Ô Ù· ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÈÒÓ· Â›Ó·È Ë Â¤ÎÙ·ÛË Ù˘ Ù¯ÓÈ΋˜ ÙˆÓ CardanoFerrari Û ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ‚·ıÌÔ‡ ≥5. √ Lagrange ÛÙ· Ù¤ÏË ÙÔ˘ 18Ô˘ ·ÈÒÓ· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÌÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·Ó·ıÂÒÚËÛË ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ Â›Ï˘Û˘ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 3Ô˘ Î·È 4Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Î·È ·Ó·Ù‡ÛÛÂÈ ÙȘ ȉ¤Â˜ ÙÔ˘ ÁÈ· ÂÍÈÛÒÛÂȘ ‚·ıÌÔ‡ >5Ô˘ . √ Vandermonde Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÌÈ· ÏÔÁÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ÙˆÓ √ÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ (1772) Î·È Ô Laplace ÙËÓ ›‰È· ¯ÚÔÓÈ¿ ÔÚ›˙ÂÈ Ù˘ ÂÏ¿ÛÛÔÓ˜ ÔÚ›˙Ô˘Û˜. √È ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ Bezout ÛÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ··ÏÔÈÊ‹˜ Û˘Ì‚¿ÏÏÔ˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙË £ÂˆÚ›· ÙˆÓ ∞ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ∂ÍÈÛÒÛˆÓ. ∞Ó Ë ÕÏÁ‚ڷ ÙÔ˘ 18Ô˘ ·ÈÒÓ· ÂÚÈÔÚ›˙ÂÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛˆÓ, Ë ÕÏÁ‚ڷ ÙÔ˘ 19Ô˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ‰ÔÌÒÓ. √ 19Ô˜ ·È. ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÙË ‰ËÌÔÛ›Â˘ÛË ÙÔ˘ ÎÏ·ÛÈÎÔ‡ ¤ÚÁÔ˘ ÙÔ˘ Gauss (1777-1855) ∞ӷηχ„ÂȘ ÛÙËÓ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ (1801). ŒÚÁÔ ˘„›ÛÙ˘ ÛËÌ·Û›·˜ ÁÈ· ÙË £ÂˆÚ›· ÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ, fiÔ˘ ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È Ô Û‡Á¯ÚÔÓÔ˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ Ù˘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ô ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ Ù˘ ·ÌÔÈ‚·ÈfiÙËÙ·˜ Î·È ‰›ÓÔÓÙ·È Î¿ÔÈ· ÚÒÈÌ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÔÌ¿‰ˆÓ Î·È ÈӿΈÓ. ∞ÎfiÌ· Á›ÓÂÙ·È ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·+‚i, fiÔ˘ ·,‚ Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›. ŸÌˆ˜ ÛÙȘ ∞ӷηχ„ÂȘ ÙÔ˘ Ô Gauss ÌÂÏÂÙ¿ ÙȘ χÛÂȘ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x n–1=0 Î·È ÙËÓ ÂÊ·Ú-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
∫·Ù¿ ÙÔÓ 19Ô ·È. ÛÙËÓ ∞ÁÁÏ›· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÁÈ· Ù¿ÛË ÁÈ· ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ, Ë ÔÔ›· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi ¤Ó· ÂӉȷʤÚÔÓ ÁÈ· ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Î·È ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ù˘ Ì ÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ·Ï‹ıÂÈ·. √ ·ÚÈÔ˜ ÂÎÚfiÛˆÔ˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ Ù¿Û˘ Â›Ó·È Ô G. Peacock (17911858), Ô ÔÔ›Ô˜ Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¶Ú·ÁÌ·Ù›· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ (1830) ÂÂÍËÁ› ÙËÓ Î·ÈÓÔ‡ÚÁÈ· Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ·Ó·ıÂÒÚËÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ Î·È ÙÔ˘ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. √ de Morgan, ÂËÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·fi ÙÔÓ G. Peacock ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜, Ô˘ Â›Ó·È ‚·ÛÈÎÔ› ÁÈ· ÙȘ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ∏ ÁÂӛ΢ÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Î·È Ë ·ÍȈ̷ÙÈÎÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ È‰ÂÒÓ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÙÔ 1843 ÙÔÓ W. R. Hamilton ÛÙËÓ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙˆÓ quaternions, ˆ˜ ÌÈ· ·fiÂÈÚ· ηıÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÛËÌ·Û›·˜ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÛÙÔÓ R3. √ W. Gibbs Î·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· Ô Heaviside ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Î·È Â͈ÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. ∆ËÓ «·ÏÁ‚ÚÈ΋ ÂÏ¢ıÂÚ›·», Ô˘ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙÔÓ Peacock, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Ô G. Boole ÛÙ· ‰‡Ô ‚È‚Ï›· ÙÔ˘ «ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Ù˘ §ÔÁÈ΋˜» (1847) Î·È «ŒÚ¢ӷ ÙˆÓ ¡fiÌˆÓ Ù˘ ™Î¤„˘» (1854) ÁÈ· Ó·
CY MB CY
°ÂˆÌÂÙÚ›· (18Ô˜, 19Ô˜ Î·È 20Ô˜ ·ÈÒÓ·˜) ∫·Ù¿ ÙÔÓ 18Ô ·È. ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ‰ÈۉȿÛÙ·ÙË ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·. √ J. Hermann, ÙÔ 1729, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÙÔÓ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙˆÓ ÔÏÈÎÒÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ, ·ÏÏ¿ Ô Euler Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ÙȘ ‰›ÓÂÈ Û ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ∞ÎfiÌ·, ÙÔ 1748, ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙËÓ ·Ú·ÌÂÙÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Î·Ì˘ÏÒÓ, fiÔ˘ Ù· x, y ‰›ÓÔÓÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌÈ·˜ ÙÚ›Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜, Ù˘ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘. √ Euler ÌÂÏÂÙ¿ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ÙËÓ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙË ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Ì ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘, ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘, ÙÔ˘ ÂÏÏÂÈ„ÔÂȉԇ˜, ÙÔ˘ ˘ÂÚ‚ÔÏÈÎÔ‡ ÌÔÓfi¯ˆÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ‰›¯ˆÓÔ˘, ÙÔ˘ ˘ÂÚ‚ÔÏÈÎÔ‡ ·Ú·‚ÔÏÔÂÈ‰Ô˘˜ Î.¿. ™ËÌ·ÓÙÈ΋ Â›Ó·È Î·È Ë Û˘Ì‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ Clairaut ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ Î·Ì˘ÏÒÓ ‚·ıÌÔ‡ >3 Î·È ÙÔ˘ Monge ÛÙËÓ ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙË ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·. ∏ ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· (Ô fiÚÔ˜ ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ·fi ÙÔÓ L. Biachi ÙÔ 1894) ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ì·˙› Ì ÙËÓ ∞Ó·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È Ôχ Û˘¯Ó¿ ÔÈ ‰ÚfiÌÔÈ ÙÔ˘˜ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÓÔÓÙ·È. ∏ ¿ÓıËÛË ÙÔ˘ ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ ı· ÙȘ ‰ÒÛÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÒıËÛË.
MB
∏ ™˘Ì‚ÔÏÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ
ÂÚ¢ӋÛÂÈ ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÓfiÌÔ˘˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Ù˘ ÛΤ„˘. ŒÓ·Ó ·ÈÒÓ· ·ÚÁfiÙÂÚ· ÔÈ ¤Ú¢Ó˜ ÙÔ˘ Boole ÛÙË §ÔÁÈ΋ ·ÍÈÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ Û¯Â‰È·ÛÌfi ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ. ™Ù· ̤۷ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·È. ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ Ë £ÂˆÚ›· ¶ÈӿΈÓ. ∞Ó Î·È Ë ıˆڛ· ÔÚÈ˙Ô˘ÛÒÓ Â›Ó·È ‹‰Ë ÁÓˆÛÙ‹ ·fi ÙÔÓ 17Ô ·È., Ô Sylvester ÂÈÓÔ› ÙÔÓ fiÚÔ ›Ó·Î·˜ ÁÈ· ÌÈ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú¿Ù·ÍË ·ÚÈıÌÒÓ. §›ÁÔ ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Cayley ·Ó·Ù‡ÛÛÂÈ ÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ ¶ÈӿΈÓ. ∏ ¤Ú¢ӷ ÙˆÓ È‰ÈÔÙÈÌÒÓ ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÙÔÓ Cauchy Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ Jordan Î·È Frobenius. ™ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ 20Ô˘ ·È. ÔÈ Û˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ¤¯Ô˘Ó Á›ÓÂÈ ÔÈΛ˜ Î·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ Ù˘ Û˘Óı¤Ûˆ˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ‹‰Ë Û ÛÙÔȯ›· Ù˘¯fiÓÙÔ˜ Û˘ÓfiÏÔ˘. ∆Ô 1930 Ë °Ú·ÌÌÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Ì ÙȘ ÁÚ·ÌÌÈΤ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, ÂÓÒ Ë ‚·ÛÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ °Ú·ÌÌÈ΋˜ ÕÏÁ‚ڷ˜ ı· Â›Ó·È Ë ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ÔÌ¿‰· ÙÂÏÂÛÙÒÓ. ∏ Û‡Á¯ÚÔÓË ÕÏÁ‚ڷ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜, ÙË ªÂÙ·ıÂÙÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ÛÙÂÓ¿ Ì ÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›·, Î·È ÙËÓ √ÌÔÏÔÁÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ. ∆ÂÏÂ˘Ù·›· ¤¯ÂÈ ·Ó·Ù˘¯ı› Î·È Ë ¶ÔÏ˘ÁÚ·ÌÌÈ΋ ÕÏÁ‚ڷ. ∆Ô 1945 ÔÈ S. Eilenberg Î·È S. Maclane ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÌÈ· ·ÊËÚË̤ÓË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ‰ÔÌ‹, ÙËÓ ∫·ÙËÁÔÚÈ¿. ∏ ¤ÓÓÔÈ· «functor» Ô˘ ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÌÂٷ͇ ηÙËÁÔÚÈÒÓ. ∆¤ÏÔ˜ Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ ∞ÏÁ‚ÚÒÓ ÛÙËÓ ∞Ó¿Ï˘ÛË ··ÈÙ› ¯Ú‹ÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ, Ô˘ Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙȘ ÕÏÁ‚Ú˜ Banach, ‰ËÏ·‰‹ ¿ÏÁ‚Ú˜ Ì ÓÔÚÌ (norm) Ô˘ Â›Ó·È Ï‹ÚÂȘ ÁÈ· ÙȘ ÓÔÚÌ-ÙÔÔÏÔÁ›Â˜.
CY
ÌÔÁ‹ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ηÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. ∞ÔÛ·ÊËÓ›˙ÂÙ·È ÙÔ ¿Ï˘ÙÔ (Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË) Úfi‚ÏËÌ· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·ÏÁ‚ÚÈο ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙË Ï‡ÛË Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ x2-=0 (∏ ·‰˘Ó·Ì›· ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ô ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ú›˙· ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜, ‚Ï. ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, Ù‡¯Ô˜ 5, √ ·ÚÈıÌfi˜ e). ∏ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ÛÔ˘‰‹ ÙˆÓ ªÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ ·fi ÙÔÓ A. L. Cauchy (1815) Î·È Ë Â›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x n-1=0 ·fi ÙÔÓ Gauss Û˘Ì‚¿ÏÏÔ˘Ó ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‚·ıÌÔ‡ ≥4. √ N. Abel (1802-1829) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ 1827 ÙËÓ ·‰˘Ó·Ì›· Â›Ï˘Û˘ Ì ÚÈ˙Èο Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ ‚·ıÌÔ‡ >5. §›ÁÔ ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô E. Galois (1811-1832) ˘ÔÁÚ·ÌÌ›˙ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË ∞ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ∂ÍÈÛÒÛÂˆÓ Î·È √Ì¿‰ˆÓ ªÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ. ∏ ȉ¤· ÙÔ˘ ¿ÚÁËÛ ·ÚÎÂÙ¿ ÁÈ· Ó· ηٷÓÔËı›. ∆Ô 1854 Ô A. Cayley ‰›ÓÂÈ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·ÊËÚË̤Ó˘ ÔÌ¿‰·˜, ÂÓÒ ÔÈ W. von Dyck Î·È H. Weber ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· Ï‹ÚË ·ÍȈ̷ÙÈÎÔÔ›ËÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ÔÌ¿‰Ô˜. ∏ ÌÂϤÙË ÙˆÓ «·ÚÈıÌÒÓ» ηıÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ·fi ÙȘ χÛÂȘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ô‰ËÁ› ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ ·fi ÙÔ˘˜ L. Kronecker Î·È R. Dedekind. √ Weber Û˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÔÚÈÛÌÔ‡˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÁÂÓÈÎfi ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜.
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
5 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
CY
MB
CY
MB
CY
MB
T ∞ M ∞£∏ª∞∆π∫∞
6
∆∏™
MB
X π§π∂∆π∞™ (3 √ M ∂ƒ√™ : 1800-2000 Ì.X.)
√È Î·Ì‡Ï˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Î·È ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Î·ıÒ˜ Î·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Á›ÓÔÓÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÌÂϤÙ˘ ÙˆÓ C. Huygens, π. Newton, Clairaut Î·È Euler. √ Cauchy ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ù· ‰È¢ı‡ÓÔÓÙ· Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Û οı ÛËÌ›Ô. √ Monge Î·È Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÙÔ˘ Ch. Dupin ÌÂÏÂÙÔ‡Ó ÙȘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ, ÂÓÒ Ë Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô¯˘ÚˆÌ·ÙÈÎÒÓ ¤ÚÁˆÓ Ô‰ËÁ› ÙÔÓ Monge ÛÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· Ù˘ ¶·Ú·ÛÙ·ÙÈ΋˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ŒÓ·˜ ÎÏ¿‰Ô˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜, Ô˘ ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ¿ÓıËÛË Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ¢È·ÊÔÚÈ΋˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È Ë £ÂˆÚËÙÈ΋ ÷ÚÙÔÁÚ·Ê›· Ì ÙȘ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ Laubert. ∞Ó Î·È Ù· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· Ù˘ ∞ӷχÛˆ˜ ηχÙÔ˘Ó Û¯Â‰fiÓ ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 18Ô˘ Î·È ÙÔÓ 19Ô ·È. ÔÈ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Ô‰‹ÁËÛ·Ó Û ηÈÓÔ‡ÚÁȘ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ȉ¤Â˜. √ Gauss ·Û¯ÔÏÔ‡ÌÂÓÔ˜ (1820-1825) Ì ÙË ÏÂÙÔÌÂÚ‹ Áˆ‰·ÈÙÈ΋ ηٷÁÚ·Ê‹ Ù˘ fiψ˜ ÙÔ˘ ∞ÓÓÔ‚¤ÚÔ˘, ÂÈÛ¿ÁÂÈ Î·ÈÓÔ‡ÚÁȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È Î·ıÈÂÚÒÓÂÈ ÙË °Âˆ‰·ÈÛ›· ˆ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ÂÈÛÙ‹ÌË. ∆Ô 1827 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Ù· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ ÙÔ˘ ÁÈ· ÙȘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ: °ÂÓÈΤ˜ ŒÚ¢Ó˜ ÁÈ· ΢ÚÙ¤˜ ∂ÈÊ¿ÓÂȘ. ∂ÈÛ¿ÁÂÈ ÙȘ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·Ì̘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Î·È ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÏÈ΋˜ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ·˜. ∞ÎfiÌË ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‚È‚Ï›Ô ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÙÔ ·Û›ÁÓˆÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· Egregium (H Î·Ì˘ÏfiÙËÙ· Gauss ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙË Û ÈÛÔÌÂÙÚÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ) ηıÒ˜ Î·È ÙË Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Û ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. ∏ Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙÔ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ∞›ÙËÌ· ÙˆÓ ·Ú·ÏϋψÓ, Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ··Û¯fiÏËÛ ·ÚÎÂÙ¿ ÙÔÓ Gauss ÛÙ· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÈ·. √ ÁÓˆÛÙfi˜ Ù‡Ô˜ ÙˆÓ Gauss-Bonnet Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Áˆ‰·ÈÛÈ·ÎÔ‡ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙËÓ ÔÏÈ΋ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ· Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. ∏ ÌÂϤÙË ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ Ì ·ÚÓËÙÈ΋ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ· ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÛÙÔÓ Beltrami Ó· Û˘Ó‰¤ÛÂÈ ÙË ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Ì ÙȘ ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂȘ °ÂˆÌÂÙڛ˜. ™ÙÔ ÎÏ·ÛÈÎfi ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Darboux (°ÂÓÈ΋ £ÂˆÚ›· ∂ÈÊ·ÓÂÈÒÓ (4 ÙfiÌÔÈ) (1887-1896) ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÔÈ ÈÔ Û‡Á¯ÚÔÓ˜ ıˆڋÛÂȘ ÙÔ˘ ÎÏ¿‰Ô˘. √ π. ÷Ù˙ˉ¿Î˘ (1844-1921) Î·È Ô ÁÈÔ˜ ÙÔ˘ ¡ÈÎfiÏ·Ô˜ (1873-1947) ÂÌÏÔ˘Ù›˙Ô˘Ó Ì ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù¿ ÙÔ˘˜ ÙÔÓ ÎÏ¿‰Ô ·˘Ùfi. ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ ÙÔ˘ ÎÈÓËÙÔ‡ Ùڛ‰ÚÔ˘ ÙˆÓ RibaucourDarboux, ÁÂÓÈ·ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ E. Cartan, Ô ÔÔ›Ô˜ ÙËÓ ÂÓÙ¿ÛÛÂÈ ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Lie Î·È ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ÔÏÏ·ÏÔًوÓ. ªÂ ÙËÓ ÂÓ·ÚÎÙ‹ÚÈ· ÔÌÈÏ›· ÙÔ˘ Ô Riemann ÙÔ 1854 (°È· ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÂ‡Ô˘Ó ÛÙË ıÂÌÂÏ›ˆÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜) Î·È ÙȘ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ Helmholtz (1868) ÁÈ· ÙË ÁÂÓÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁˆÌÂÙÚÈ΋˜ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ Á›ÓÔÓÙ·È ·Ô‰ÂÎÙ¤˜ ÔÈ Ó¤Â˜ ıˆڋÛÂȘ Ù˘ ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, Ô˘ ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ó ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· Ô ¤Ó·˜ ·fi ÙÔÓ
¿ÏÏÔ, Ô Lobatchewsky Î·È Bolyai. √È J.-V. Poncelet Î·È M. Chasles Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ Pascal Î·È Desargues ÛÙËÓ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÂÓÒ Ô J. Steiner ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È Ì ÙË ™˘ÓıÂÙÈ΋ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È Ô A. Möbius Ì ÙÔÓ J. Pl¸cker Ì ÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·. ∆Ô 1871 Ô F. Klein, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÌÂÙÚÈ΋˜, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋˜ Î·È ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∂ÓÒ ÙÔ 1872, Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘, ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ Erlanger Program, ‰›ÓÂÈ ¤Ó· Ó¤Ô ÔÚÈÛÌfi Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Ì ÙÔ˘˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜. ™ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË Ù˘ ¶ÚÔ‚ÔÏÈ΋˜ Ì ÙËÓ ∂˘Î›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ηıÒ˜ ›Û˘ Î·È ÙË Û¯¤ÛË Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ì ÙËÓ ·Ó·Ù˘ÛÛfiÌÂÓË £ÂˆÚ›· √Ì¿‰ˆÓ. ªÂ ÙËÓ ·˘Í·ÓfiÌÂÓË ¯Ú‹ÛË ·Ó·Ï˘ÙÈÎÒÓ Î·È ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ¤ÁÈÓ ηٷÓÔËÙfi fiÙÈ ÁÈ· ·ÚÎÂÙ¤˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ȉ¤Â˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÏfiÁÔ˜ Ó· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙÔÓ 3, ÔfiÙ ÁÂÓÈ·ÙËÎ·Ó ÔÏÏÔ› Ù‡ÔÈ Î·È ıˆڋ̷ٷ Û Ó-‰È¿ÛÙ·ÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜. ∆Ô 1844 Ô H. Grasmann ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÌÈ· ÏÂÙÔÌÂÚ‹ ¤Ú¢ӷ ÁÈ· Ó-‰È¿ÛÙ·ÙÔ˘˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜. ∏ ÂÚÁ·Û›· ¿ÚÁËÛ ӷ Á›ÓÂÈ ·Ô‰ÂÎÙ‹. √ Peano Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ı· ÚÔÛʤÚÂÈ Ù· ·ÍÈÒÌ·Ù· ÁÈ· ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˘ ‰È·ÛÙ¿Ûˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Î·È ÙË ‚¿ÛË ÁÈ· °ÂˆÌÂÙڛ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ‰È¿ÛÙ·Û˘. ªÂ ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ °ÂˆÌÂÙÚÈÒÓ ÔÈ M·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ·ÈÛı¿ÓÔÓÙ·È ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ·˘ÛÙËÚ‹˜ ıÂÌÂÏ›ˆÛ˘ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ÔfiÙ ÔÈ Peano Î·È Hilbert ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·ÍÈˆÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∏ ıˆڛ· ÙˆÓ ÈÓÔ‰ÒÓ ¯ÒÚˆÓ (espaces fibres) Ô‰ËÁ› ÙÔÓ C. Ehresmann Î·È ∂. Cartan Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ÛÙË ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙË ÛËÌÂÚÈÓ‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹. √È ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ ¢È·ÊÔÚÈ΋˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙË ¢È·ÊÔÚÈ΋ ∆ÔÔÏÔÁ›·, ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ÔÏfiÌÔÚÊˆÓ ÔÏÏ·ÏÔÙ‹ÙˆÓ Î·È ÛÙËÓ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙˆÓ Û‡Á¯ÚÔÓˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ.
∆·Ó˘ÛÙÈ΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË ∞Ó Î·È ÔÏÏÔ› ÙËÓ ıˆÚÔ‡Ó Î·ÈÓÔ‡ÚÁÈÔ ÎÏ¿‰Ô ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÈÎÒÓ ·Ó·ÏÏÔ›ˆÙˆÓ Ô˘ ÍÂΛÓËÛ·Ó ÔÈ Riemann, Beltrani, Christoffel Î·È Lipschitz. √ G. Ricci-Curbastro (18531925) ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ¤Ú¢ӷ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ηٷϋÁÂÈ ÛÙÔÓ ·fiÏ˘ÙÔ ¢È·ÊÔÚÈÎfi ÏÔÁÈÛÌfi, fiˆ˜ Ô ›‰ÈÔ˜ ÙÔÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ. ª·˙› Ì ÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ ÙÔ˘ T. Levi-Civita (1873-1941) ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙÔ 1901 ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘˜ «ª¤ıÔ‰ÔÈ ÙÔ˘ ·ÔχÙÔ˘ ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ Î·È ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘», fiÔ˘ ‰›ÓÔ˘Ó ÌÈ· ÈÔ ·ÔÎÚ˘ÛÙ·Ïψ̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÏÔÁÈÛÌÔ‡, Ô˘ ÙÔ 1916 Ô Einstein ÔÓfiÌ·Û ∆·Ó˘ÛÙÈ΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË. ªÂ ÙË ÁÂÓÈ΋ ıˆڛ· Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜, ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÁÈ·
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
›‰È˜ ¤ÓÓÔȘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì»2, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È Â·ÎfiÏÔ˘ıÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÙˆÓ ıÂÌÂÏÈ·ÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ŒÙÛÈ Ô Lobatchewsky ‹Ú ÁÈ· ˘fiıÂÛË ÙËÓ ¿ÚÓËÛË ÙÔ˘ ·ÈÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÂÏ›˙ÔÓÙ·˜ Ó· ηٷϋÍÂÈ Û ·ÓٛʷÛË. ŸÌˆ˜ Ë ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓË ·ÓٛʷÛË ‰ÂÓ ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠÔÙ¤. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ÏÔÈfiÓ ·fi ÙËÓ ·Ú·‰Ô¯‹ fiÙÈ «·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ Û ‰Ôı›۷ ¢ı›· ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì fi¯È Ì›· ·ÏÏ¿ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ Û ·˘Ù‹Ó», Ô §ÔÌ·ÙÛ¤ÊÛÎÈ ¤Êı·Û Û ‰‡Ô ·ӷÛÙ·ÙÈο Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·:
ªË ∂˘ÎÏ›‰ÂȘ °ÂˆÌÂÙڛ˜
1. ŸÙÈ ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ·Ô‰Âȯı›.
MB
√È O‡ÁÁÚÔÈ Bolyai (Wolfang Î·È Janos, ·Ù¤Ú·˜ Î·È ÁÈÔ˜) ‰È·Ù˘ÒÓÔ˘Ó Î·È ·˘ÙÔ› ÌÈ· ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, Ô˘ ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ó ·fiÏ˘ÙË. √ Riemann ÛÙÔ ÔÓÔÌ·ÛÙfi ÙÔ˘ ÂÓ·ÚÎÙ‹ÚÈÔ Ì¿ıËÌ¿ ÙÔ˘ ÛÙÔ ¶·Ó. ÙÔ˘ Göttingen «°È· ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÂ‡Ô˘Ó ˆ˜ ıÂ̤ÏÈ· ÁÈ· ÙËÓ °ÂˆÌÂÙÚ›·» (1854) ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙË ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ·fi ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÁÈ· ÛÎÔÈ¿. ¶ÚÈÓ ÙÔÓ Riemann Ë ¢È·ÊÔÚÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÂÚÈÔÚ›˙ÔÓÙ·Ó ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Î·Ì˘ÏÒÓ Î·È ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ ÛÙÔÓ 3-‰È¿ÛÙ·ÙÔ Â˘ÎÏ›‰ÂÈÔ ¯ÒÚÔ. ∂ËÚ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·fi ÙËÓ ªË¯·ÓÈ΋ Î·È º˘ÛÈ΋ Ô Riemann ÁÂÓÈ·ÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜, ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ «ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ Ó ‰È·ÛÙ¿Ûˆӻ, ‰Â›¯ÓÂÈ ˆ˜ ÁÂÓÈ·ÔÓÙ·È Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙÔ˘ Gauss Î·È ÁÈ· ÙȘ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ·Ú·ÙËÚ› fiÙÈ Ë ‡·ÚÍË ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂˆÓ ‰Â Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÔÏÈ΋ ÌˉÂÓÈ΋ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ· Û οı ÛËÌ›Ô, fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘, ·ÏÏ¿ Ì ÌÈ· ÔÏÈ΋ ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·Ì˘ÏfiÙËÙ·, Ô˘ ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ·È Û ÌˉÂÓÈ΋, ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ ıÂÙÈ΋, Î·È Í·Ó·‚Ú›ÛÎÂÈ ÙËÓ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ ÔÍ›· Î·È ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›·. ∞˘Ù‹ ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙË ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·Ó·Ù˘Á̤ÓË, ÔÈ ÌÂÙ·ÁÂÓ¤ÛÙÂÚÔÈ ÙËÓ ÔÓfiÌ·Û·Ó «°ÂˆÌÂÙÚ›· Riemann». ∏ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë Ù˘ ªË-∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ›¯Â Î·È ¤Ó· ‚·ı‡ÙÂÚÔ ·ÓÙ›ÎÙ˘Ô Î·ıÒ˜ ˘Ô¯ÚÂÒÓÂÈ Ó· ·Ó·ıˆÚËıÔ‡Ó ÔÈ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÁÈ· ÙËÓ «·fiÏ˘ÙË ·Ï‹ıÂÈ·» Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È ÁÈ· Ù· ª·ıËÌ·ÙÈο ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·. ™À¡∂Ãπ∑∂∆∞π
1.
¡. π. Lobatchewsky, Õ·ÓÙ·, ∆fiÌÔ˜ 1 ÛÂÏ. 219
2.
∫›ÌÂÓÔ Ô˘ ¤ÁÚ·„Â Ô Lobatchewsky ÙÔ 1823, ª·ı‹Ì·Ù· °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, Ô˘ ÂΉfiıËÎ·Ó ÙÔ 1910, ÌÂÙ¿ ÙÔ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘.
CY
MB
√È ÚÔÛ¿ıÂȘ ·fi‰ÂÈ͢ ÙÔ˘ ·ÈÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÍÂÎÈÓÔ‡Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· (¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜, ¶ÚfiÎÏÔ˜), Û˘Ó¯›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ¡·Û›Ú ÂÏ ¡ÙÈÓ Î·È √Ì¿Ú ∫·ÁÈ¿Ì Î·È ÙÔ ·›ÙËÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· Ï·Ì‚¿ÓÂÈ «Î·Ù·ÏËÎÙÈ΋» ÌÔÚÊ‹ Ì ÙȘ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙˆÓ Wallis, Legendre, Sacherri Î.¿. √ ·ÚÈÔ˜ ÛÙfi¯Ô˜ ÙˆÓ ÂÚ¢ÓÒÓ ·fi ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ̤¯ÚÈ Î·È ÙÔÓ 19Ô ·È. ‹Ù·Ó Ó· ·Ô‰Âȯı› ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ·fi ¿ÏϘ ıÂÌÂÏȷΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Î·È ¤ÙÛÈ Ó· ··ÏÂÈÊı› ÂÓÙÂÏÒ˜ ˆ˜ ·›ÙËÌ·. ª¤¯ÚÈ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ· ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ·Ú¤ÌÂÈÓ ·ÚfiÛÈÙÔ fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‹Ù·Ó Î·È ÛÙË ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë. ∆Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ·ÈÒÓÈÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ı· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó·˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ Ó·Úfi˜ ηıËÁËÙ‹˜ ÛÙÔ ∫·˙¿Ó, ·ÔÌ·ÎÚ˘Ṳ̂ÓÔ˜ ·fi Ù· ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ΤÓÙÚ· Ù˘ ∂˘ÚÒ˘. ∆ËÓ Ô˘Û›· Ù˘ χÛ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Ì·˜ ·ÔηχÙÂÈ Ô ›‰ÈÔ˜: «ÔÈ ¿Î·Ú˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ‰‡Ô ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ÂÙÒÓ, ·fi ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, Ì ·Ó¿ÁηÛ ӷ ˘ÔÙ¢ıÒ fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÔÈ ›‰È˜ ¤ÓÓÔȘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, ·ÏÏ¿ fiÙÈ ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ·ÏËı¢ı› Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ .¯. ·ÛÙÚÔÓÔÌÈΤ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¿ÏÏˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ÓfïÓ. ŸÙ·Ó ÙÂÏÈο ›ÛıËη ÁÈ· ÙËÓ ÔÚıfiÙËÙ· Ù˘ ˘fiıÂÛ‹˜ ÌÔ˘ Î·È ›ÛÙ„· fiÙÈ Â›¯· ÙÂÏ›ˆ˜ χÛÂÈ ·fi ÙÔ ‰‡ÛÎÔÏÔ Úfi‚ÏËÌ·, ¤ÁÚ·„· ÙÔ 1826 ÌÈ· ÌÂϤÙË ÁÈ· ·˘Ùfi ÙÔ ı¤Ì·: ™‡ÓÙÔÌË ŒÎıÂÛË ÙˆÓ ∞Ú¯ÒÓ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, Ì ÌÈ· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ÙˆÓ ·Ú·Ïϋψӻ.1 ∞fi ÙÔ 1823, ÔÎÙÒ ¯ÚfiÓÈ· ÌÂÙ¿ ÙËÓ Úoۋψۋ ÙÔ˘ Û ·˘Ùfi ÙÔ ı¤Ì· ¤ÁÚ·ÊÂ: «ŸÏ˜ ÔÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ›‰Ô˘˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ·ÏÒ˜ ‰È·˘Á›˜ ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÓÔÌ·ÛıÔ‡Ó Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Ì ÙËÓ Ï‹ÚË ¤ÓÓÔÈ·2, ÂÓÒ ·ÎfiÌ·, ÔÈ
2. ªÂ ‚¿ÛË ÙËÓ «¿ÚÓËÛË Ù˘ ˘fiıÂÛ˘» ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ì›· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÚÔÙ¿ÛˆÓ, ÔÈ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó η̛· ·ÓٛʷÛË. √È ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÁÂÓÓÔ‡Ó ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÁÈ· ÏÔÁÈο ‰˘Ó·Ù‹ ıˆڛ· ÌË ·ÓÙÈÊ·ÙÈ΋, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÁÈ· ÁˆÌÂÙÚ›·.
CY
5Ô˘
CY
ÙËÓ ∆·Ó˘ÛÙÈ΋ ∞Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ Riemann ·˘Í¿ÓÂÙ·È. ∆Ô 1917 Ô Levi-Civita ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ÂÓfi˜ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ÙË ÁÂÓÈ·ÂÈ ÛÙÔ Ó-‰È¿ÛÙ·ÙÔ ¯ÒÚÔ Riemann. ∏ ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Riemann ÛÙË ıˆڛ· Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ·Ó·Óˆı› ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÁÈ’ ·˘Ù‹Ó, ÂÓÒ Ë ÁÂӛ΢ÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Riemann, «Ô‰ËÁ›» ÛÙȘ ªË-ƒËÌ¿ÓȘ °ÂˆÌÂÙڛ˜ (fiˆ˜ .¯. ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ÔÌÔ·Ú·ÏÏËÏÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ Ô˘ ÂÈÛ¿ÁÂÈ Ô H. Weyl Î·È Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ‰ÚfiÌˆÓ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÙˆÓ L. P. Eiseulant (18761965) Î·È O. Vebleu).
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
7
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
CY
MIA EºAPMO°H TOY ¶Y£A°OPEIOY £EøPHMATO™ ∫∞∆∞™∫∂À∏ ∂À£À°ƒ∞ªª√À ∆ª∏ª∞∆√™, ∆√À √¶√π√À ∆√ ª∏∫√™ ¶ƒ√™∂°°π∑∂π π∫∞¡√¶√π∏∆π∫∞ ∆√ ∆Ô˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, ∫·ıËÁËÙ‹ ∂.ª.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
T
1
∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ · = 1,
ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÁÒÓÈfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ‰=2 . ™ÙÔ 3-Ï¿ÛÈÔ 1 Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙÔ Ù˘ 10 ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ‰ (£ÂÒÚËÌ· £·Ï‹). ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 1 1 3· + ‰ = 3 + 2 = 3,141421... 10 10
2
▲
ªÈ· ÈÔ Î·Ï‹ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË Î·Ù·Û΢‹ (Û¯.1):
A
B
E
O H
Z ¢
°
™¯‹Ì· 1
™Â ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ·ÎÙ›Ó·˜ 1 ÂÁÁÚ¿ÊÔ˘Ì ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞µ°¢, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜, ¤ÛÙˆ ∞µ, Â›Ó·È 2. ¶ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ ηٿ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÊÔÚ¤˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂. ∆fiÙÂ Â›Ó·È ∞∂=5 2. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞∑=1 (fiÛË Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘) Î·È Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∑ Î·È ∂. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞∑∂ ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô ∏, Ì ∂∏=4. ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∑∏, Ô˘ ›ӷÈ: 2 + ∞∂2 – 4 = 1 + 50 – 4 = ∑∏ = ∑∂ – 4 = ∞ ∑
= 3,141428 ∏ ÙÈÌ‹ ·˘Ù‹ ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi 0,000165. ▲
3
ªÈ· ¿ÏÏË Î·Ù·Û΢‹, fi¯È ÈÔ ÂÚ›ÏÔÎË ·fi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ˘ ÔÔ›-
CY
MB
CY
MB
Ô Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì·˙› Ì ÂΛӷ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·‚Ô˘(1) Î·È Ù˘ ÙÚȯÔÙÔÌ‹Ûˆ˜ ÁˆÓ›·˜(2) ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙ· ÎÏ·ÛÛÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ∞Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Î·È ÔÈ ÂÚ¢ÓËÙ¤˜ ¤¯Ô˘Ó ·Û¯ÔÏËı› Ì ·˘Ù¿ ¿Óˆ ·fi 2000 ¯ÚfiÓÈ·. ∫·È ÁÈ· Ù· ÙÚ›· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ë ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈ΋. √ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ·fi ·˘Ù¿, Û˘Ó›ÛÙ·Ù·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹, Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î‡ÎÏÔ˘ Ì ‰ÔṲ̂ÓË ·ÎÙ›Ó·. ªÈ· ÛÙÔȯÂÈ҉˘ ıÂÒÚËÛË ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë Ï‡ÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ Û¯¤ÛË Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi =3,141592653.... ™‹ÌÂÚ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌfiÓÔ ¿ÚÚËÙÔ˜ ·ÏÏ¿ Î·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜, ‰ËÏ. Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÏ¿ Î·È Î·ÌÈ¿ ·Î¤Ú·È· ‰‡Ó·Ì‹ ÙÔ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ‹ ÚËÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ (‚Ï. ∆‡¯Ô˜ 2, √ ·ÚÈıÌfi˜ e Î·È ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ ÙÔ˘). °È· ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ηٷÛ΢‹ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ›ÛÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ Ì ‰Ôı¤ÓÙ· ·ÎÏÔ, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ·ÚÈıÌËÙÈο ·˘Ùfi Â›Ó·È ·Ó‡ÎÔÏÔ, ·Ó ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔÓ ˆ˜ ÁÓˆÛÙfi. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ·ÎÙ›Ó· 1 ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ , ÔfiÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ı· Â›Ó·È . ™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ ª. ∞. ªÚ›Î·, ∆· ÂÚ›ÊËÌ· ¿Ï˘Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ∞ı‹Ó· 1970, ÌÔÚ› Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ó· ‚ÚÂÈ fiϘ ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȘ ‰È· ̤ÛÔ˘ ÙˆÓ ·ÈÒÓˆÓ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ. ∏ ηٷÛ΢‹, Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi , ÔfiÙÂ Î·È ÙÔ , Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi˜ «ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌfi˜» ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. £· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò ÙÚÂȘ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ηٷÛ΢¤˜. 1.
∫·Ù·Û΢‹, Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·‚Ô˘ Ì ‰ÈÏ¿ÛÈÔ fiÁÎÔ ·fi ‰ÔṲ̂ÓÔ Î‡‚Ô.
2.
∆ÚȯÔÙfiÌËÛË, Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÁˆÓ›·˜.
8
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
Z
E
H
¶
∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· £¶ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 13 46=3,141591953..., 1 50 Ô˘ ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi 0,00000171. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·fi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ¤¯Ô˘ÌÂ: 52 + 122 2 + ∑∏2 = = 13 ∞∏ = ∑ ∞ 10 10
B °
A
O
CY
Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¶ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi 0,000002 Â›Ó·È Ë ÂfiÌÂÓË (Û¯. 2):
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
¢
£ ™¯‹Ì· 2
146 52 + 112 2 + ∞°2 = = . ∑£ = ∑° = ∑ ∞ 10 10 ∞Ó ı¤ÛÔ˘Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ·˘Ù¤˜ ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· £¶ ∑ £ = ∞∏ ∑∞ (fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·), ÙfiÙ ·›ÚÓÔ˘Ì £¶=3,141591953.... ▲ µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· 1. ª. ∞. ªÚ›Î·, ∆· ÂÚ›ÊËÌ· ¿Ï˘Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ∞ı‹Ó· 1970.
MB
2. Das mathematisches Kabinett, Herg. Heinz Haber, Deutscher Taschenbuch Verlag, 1974.
◆
CY
°Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ ∞µ=1, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ʤÚÓÔ˘Ì οıÂÙ· ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· √∂. √È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ Î·È ∂ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∑. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ∞µ (ÚÔ˜ ÙÔ µ) ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ° Î·È ¢, Ì µ°=1/10 Î·È µ¢= 2/10. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ∞µ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÛÙÔ ∏ ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ ∑∂. ªÂ ΤÓÙÚÔ ∑ Î·È ·ÎÙ›Ó· ∑° ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ, Ô ÔÔ›Ô˜ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÛÙÔ ∞ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô £. ∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ʤÚÓÔ˘Ì ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ ∞∏ Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ∑∏ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¶.
EÛ›˜ EÌ›˜ ÚÔÛ·ıԇ̠ڈٿÙ Ӓ ··ÓÙ‹ÛÔ˘ÌÂ
¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ›Û·; A·ÓÙ¿ÂÈ Ô £. •¤ÓÔ˜, K·ıËÁËÙ‹˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ M.E.
Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Á=ω, ‚=Ï2‰, ·=Ï3‰. ∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· fiÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ï>0, Ï2 –Ï–10. ∂Ô̤ӈ˜,
5 – 1
5 + 1
2
2
< Ï < ∞Ó Ï=1, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ÚÔÊ·Ó‹ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ŸÌˆ˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ¿ÏϘ ÙÈ̤˜
Ï3‰, Ï2‰, ω, Î·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÔÌÔÏfiÁˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Ï2‰, ω, ‰ fiÔ˘ ‰>0 ηÈ
5 – 1 5 + 1 Ï∈ , 2 2
Ì Ï≠1.
3 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó Ï = Î·È ‰=8, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ٷ 2 ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ 27, 18, 12 Î·È 18, 12, 8 4 ∂›Û˘ ·Ó Ï = Î·È ‰=125, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ٷ ÙÚ›5 ÁˆÓ· Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ 64, 80, 100 Î·È 80, 100, 125
◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
MB
· ‚ Á = = = Ï ‚ Á ‰
ÙÔ˘ Ï ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ ‰È¿ÛÙËÌ·, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ˙‡ÁË ¿ÓÈÛˆÓ fiÌÔÈˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ∆· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ
CY
MB
CY
¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∆Ô Úfi‚ÏËÌ¿ Ì·˜, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÓÈÛ· fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ì ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ŒÛÙˆ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ̋ÎË Ï¢ÚÒÓ ·, ‚, Á. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑, fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ∞µ°, Ì ̋ÎË ÔÌfiÏÔÁˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‚, Á, ‰. ∞Ó Ï Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ:
9
CY
MB
CY
MB
MB
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
CY
∆√ ∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ¶∂ƒπ∆∆√À ∞∫∂ƒ∞π√À Î·È Ù· À¶√§√π¶∞ ∆∏™ ¢π∞πƒ∂™∏™ ∆√À ª∂ ªπ∞ ¢À¡∞ª∏ ∆√À 2 TÔ˘ £·Ó¿ÛË •¤ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ M.E.
A
˜ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÂÚÈÙÙfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·=2Î+1, Î∈∑. ∆Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓfi ÙÔ˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
¢È·ÈÚ¤Ù˘: 23, 24, ¶Ï‹ıÔ˜ ˘ÔÏÔ›ˆÓ: 1, 2, (‰ËÏ·‰‹ 20,
·2 = (2Î+1)2 = 4Î2 + 4Î + 1 = 4Î(Î+1) + 1 .
∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Î Î·È Î+1 Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ŒÙÛÈ, ·Ó ı¤ÛÔ˘Ì Î(Î+1)=2Ì, Ì∈∑, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ·2
= 8Ì + 1
(1)
∏ ÈÛfiÙËÙ· (1) ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :8 ‰›ÓÂÈ ¿ÓÙ· ˘fiÏÔÈÔ 1.
CY
MB
∞Ó ÙÒÚ· ÁÈ· ÙÔÓ Ì ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ó· Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ‹ ÂÚÈÙÙfi˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ٷ ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·2 :16. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó Ì=2Ï, Ï∈∑, ÙfiÙÂ Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·2 = 16Ï + 1
(2)
·Ó Ì=2Ï+1, ÙfiÙÂ Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·2 = 8(2Ï+1) + 1 = 16Ï + 9 Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :16 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 1 ‹ 9. ∞Ó ÛÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (2) Î·È (3) ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ Ï ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ó· Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ‹ ÂÚÈÙÙfi˜, ÙfiÙ ÁÈ· ÙÔÓ ·2 ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ÌÔÚʤ˜ 32v + 1, 32v + 9, 32v + 17, 32v + 25 (v∈Z), Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :32 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 1 ‹ 9 ‹ 17 ‹ 25. √ÌÔ›ˆ˜, ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :64 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ
MB
1 ‹ 9 ‹ 17 ‹ 25 ‹ 33 ‹ 41 ‹ 49 ‹ 57.
CY
22, 23, …)
∫·Ù·Ï·‚·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ˘ÔÏÔ›ˆÓ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·2 : 2v Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 2v–3. ∞˘Ùfi ¿ÏψÛÙ ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È ·ÏÏÈÒ˜, ·Ó ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ‰È·È1 Ú¤ÛÂȘ ¤¯ÂÈ Ï‹ıÔ˜ ˘ÔÏÔ›ˆÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÔ˘ ‰È·È8 2v Ú¤ÙË, ‰ËÏ·‰‹ = 2v–3 ˘fiÏÔÈ·. 8 ŒÙÛÈ, ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·2 :2v Â›Ó·È Ô fiÚÔ˜ Ì ٿÍË 2v–3 Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ÚÔfi‰Ô˘ 1, 9, 17, 25, … Î·È ÈÛÔ‡Ù·È Ì 1 + (2v–3 –1)8 = 1 + 2v – 8 = 2v – 7 £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘ÌÂ, ÙÒÚ·, ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÚfiÙ·ÛË:
(3)
∞fi ÙȘ (2) Î·È (3) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ
10
21,
25, 26, … 4, 8, …
£· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘ÌÂ, ÙÒÚ·, Ó· ÁÂÓÈ·ÛÔ˘Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÓfi˜ ÂÚÈÙÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ì ̛· ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 2 (8, 16, 32, 64 Î.Ï.) Â›Ó·È 1, 9, 17, 25, … ∆· ˘fiÏÔÈ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ› fiÚÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ÚÔfi‰Ô˘ Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ˆ=8. πÛ¯˘ÚÈ˙fiÌ·ÛÙ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :2v, fiÔ˘ v Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì v≥3, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈ· 1, 9, 17, 25, … ¶ÔÈÔ, fï˜, Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ˘fiÏÔÈÔ. ∞fi ÙȘ ÌÂÚÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÌÂÏÂÙ‹Û·Ì ·Ú·¿Óˆ, ¤¯Ô˘ÌÂ:
∞Ó · Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÂÚÈÙÙfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜, ÙfiÙÂ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :2v , fiÔ˘ v ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ì v>2, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 1, 9, 17, 25, ..., 2v –7. ∞fi‰ÂÈÍË: £· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ·ÁˆÁ‹˜. °È· v=3 Ë ÚfiÙ·ÛË ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı›. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi v > 3, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 : 2Ó ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 1, 9, 17, 25, …, 2Ó–7. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi v+1, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :2Ó+1 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 1, 9, 17, 25, …, 2Ó+1 –7. ∞fi ÙË ‰È·›ÚÂÛË ·2 :2Ó ÚÔ·ÙÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ·2 = 2ÓÏ + ˘, ˘∈{1, 9, 17, 25, …, 2Ó–7}
(4)
∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ Ï ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ó· Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ ‹ ÂÚÈÙÙfi˜. ·) ∞Ó Ï=2Ì, Ì∈∑, ÙfiÙÂ Ë (4) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·2 = 2Ó+1 Ì + ˘, ˘∈{1, 9, 17, 25, …, 2Ó–7}
(5)
‚) ∞Ó Ï=2Ì+1, ÙfiÙÂ Ë (4) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ·2 = 2Ó(2Ì+1) + ˘ = 2Ó+1 Ì + (2Ó+˘)
(6)
√ ·ÚÈıÌfi˜ 2Ó+˘ ÁÈ· ˘=1, 9, 17, 25, …, 2Ó–7 ·›ÚÓÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ 2Ó +1, 2Ó + 9, 2Ó + 17, …, 2Ó + (2Ó–7) = 2Ó+1 – 7 ŒÙÛÈ, ·fi ÙȘ (5) Î·È (6) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË ·2 :2Ó+1 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 1, 9, 17, 25, …, 2Ó–7, 2Ó + 1, 2Ó + 9, 2Ó + 17, …, 2Ó+1 – 7
◆
Î·È ÔÏÔÎÏËÚÒıËÎÂ Ë ·fi‰ÂÈÍË.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
CY
MB
CY
MB
CY
MB
CY
MB
MB
º À™π∫∏
CY
∫π¡∏™∏ º√ƒ∆π™ª∂¡√À ™øª∞∆π¢π√À ™∂ √ª√°∂¡∂™ ª∞°¡∏∆π∫√ ¶∂¢π√ ŒÓ· ÂӉȷʤÚÔÓ ı¤Ì· ÛÙË º˘ÛÈ΋ £ÂÙÈ΋˜ Î·È ∆¯ÓÔÏÔÁÈ΋˜ ∫·Ù‡ı˘ÓÛ˘ µ′′ §˘Î›Ԣ TÔ˘ °ÈÒÚÁÔ˘ °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë, º˘ÛÈÎÔ‡
B i) ∞Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ· b˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ ¤ÓÙ·ÛË B 6 (‰ËÏ·‰‹ ÛÙȘ ‰˘Ó·ÌÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜), ÙfiÙ Ê=0Æ ¿Ú· ËÌÊ=0 Î·È FL =BØ˘ØqØËÌÊ=0. ∞ÊÔ‡ ÏÔÈfiÓ ÛÙÔ ÊÔÚÙÈṲ̂ÓÔ ÛˆÌ·Ù›‰ÈÔ ‰ÂÓ ·ÛÎÂ›Ù·È Î·Ì›· ‰‡Ó·ÌË, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ 1Ô ÓfiÌÔ ÙÔ˘ ¡Â‡ÙˆÓ·, Ë Î›ÓËÛË ı· Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌË ÔÌ·Ï‹. ii) ∞Ó ÙÔ ÛˆÌ·Ù›‰ÈÔ ÌÂÈ ÛÙÔ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô Ì ٷ¯‡ÙËÙ· b˘ οıÂÙË ÛÙȘ ‰˘Ó·ÌÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜, ÙfiÙ Ê=90Æ ⇒ ËÌÊ=1 ⇒ FL =BØ˘Øq (Ë Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹, Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ Ë ‰‡Ó·ÌË Lorentz). ™’ ·˘Ù‹ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, ·ÊÔ‡ ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ë ‰‡Ó·ÌË Lorentz Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ οıÂÙË ÛÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· b˘ , Ë Î›ÓËÛË ı· Â›Ó·È ∫˘ÎÏÈ΋ √Ì·Ï‹ Î·È Ë ‰‡Ó·ÌË Lorentz ı· ·›˙ÂÈ ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘ ÎÂÓÙÚÔÌfiÏÔ˘. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ΢ÎÏÈ΋˜ ΛmØ˘ 2m ÓËÛ˘ ı· Â›Ó·È R = Î·È Ë ÂÚ›Ô‰Ô˜ ∆= . BØq BØq iii) ŸÙ·Ó 0Æ
