вся BЬICWAR МАТЕМАТИКА М.Л.Краснов А.И.Киселев Г. И.Макаренко Е.В.Шикин В.И.Заляnин С.К.Соболев
Рекомендовано Минисrер...
11 downloads
298 Views
23MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
вся BЬICWAR МАТЕМАТИКА М.Л.Краснов А.И.Киселев Г. И.Макаренко Е.В.Шикин В.И.Заляnин С.К.Соболев
Рекомендовано Минисrерсrвом образованиЯ Россимекой Федерации в качесrве учебника дпя сrуденrов высших rехнических учебных заведений
ББК 22.1я73
�
Краснов Михаил Ле вич, Кисе.itев АлексанJiр ИВа'нович, Макаренко I}Jиropиi Иваво811'1, Шнкин Евrениi Викторович, Владимир Соболев Сергей Залявив
Ильич,
BCJI высшая мaтeмa'I'IID: Учебник. Т. 4. --" ISBN
5-8360-0154-5
�811'1 М.:
� УРСС, 2001.. ,..;.. 352
с.
Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомникв сначала на английском и испанском языках в 1990 rоду, а. затем на француэском. Он llt'IJrЬ'З}te1' большим спросом за рубежом. В 1999 rоду книга стала Щуреаrом JЩmcypca no. � Rовых учебников Министерства образования России. · . · · · . Этот учебник адресован сТудентам вЫсших уЧебных зaвe.l(eнidt (в · первую очередь будущим инженерам и экономистам) и оХJiатЬlвает практическ:и все раЗделы математики, но nри этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое. Четвертый том ВЮiючает в себя материал по векторному анализу, теории функций комnлек сного nеременноrо, дифференциальным уравнениям с частными производными·�,�: некоторыМ разделам математического анализа (кратные и криволинейные интегралы, интегралы, зависящие от парамеrра). Директор -
Дoмimro Марин Рикой
Зоместите.ли диреrсторt� - НаТВЛЫI Финогенова,
Ад.министратор - Леонид Иосилевич Главный редактор
Елеиа Кудряшава
ИрИна МаJi:еева
Компьютерный дll31Jйн - Вйхтор Романов, Василий Подобед ...._
Верстка - Василий ПщЩбед, Наталия Бекетова
·
Редакция - ВасИЛий Подобед
Корректурные робтпы - Лариса КирдЯшкина, Марива Косарева Указатель - Василий Подобед, Андрей Стулов
Обработка грофикu - Василий Подобед ·
Дизайн обложки - Ирина Макеева
Техничес/СШI поддерж�Са - НаТВЛЫI Аринчева
Нобор - Анна Тюрина, Марина Круiшо
Менеджер по продажом - Алексей Петяев
Иэдательство •Эдиториал УРСС•. 113208, r. Москва, ул. Чepтaнoaci<JUI, д. 2/11, к.n. Лицензия ИД N203216 от 10.11.2000 r. f!trиеиический сертификат на IIЬil\YCК книжиоlt nродукции N2 77.ФЦ.8.95З.П.270.З.99 от 30.03.99 r. Подnисано к nечати 21.12.2000 r. Формат 70х 100/16. ТИраж 2SОО.экз. Печ. л; 22. Зiu. 129110, r. Москва, ул. Б. Персяслааская, 46.
·
·
ISBN S-8360-0150....2 (ПоЛное nроизведение) ISBN S-8360-0154-S (Том 4) © Эдиториал УРСС,
2000
Все права защишены. Нихакая часть насrояшей книги не может быть восnроизведена или nередана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элекrрониые или механические, вЮIЮчая фотокопирование и запись на магнитный носитель, есЛи на то нет nисьменного разрешения Издательства.
Эдиториал УРСС науЧНаЯ
и
учебная·литература
Тст./фахс: 7(1)95)135-44-23 Тел./фахс: 7(1)95)135-42-46 B-mail: urss@>urss. ru: Каталог йэдаЮtЙ вlntmи!t: 1\ttp:/fшss.m
Оглавление
Глава XXVI.
Кратные интеrрапЫ. Двойиой интеrраn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Крмволинеiные интеrраnw
Diaвa XXVII.
Глава XXVIII. llerropнwi анапиа Глава XXIX. Diaвa :ХХХ.
.
•
•
•
•
•
Интеrра11w, 3811ИС1Щ118 от nараметра
Преобраэоваиие Фурье
Diaвa XXXI I.
•
•
.
•
•
•
•
•
•
.
.
.
Глава XXXV.
•
.
•
•
•
•
•
•
Преобраэование Jlannaca
•
•
.
•
•
.
.
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . .
.
. .
.
.
.
.
.
.
•
. .
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
.
•
.
•
•
•
•
.
•
•
Глава :ХХХШ. Общие С1еДе11Ю1 о дмфференqиапьнw уравненнх с Ч8С'ПtWМИ Глава XXXN.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Фунtщми комnвексноrо nеременноrо .
Глава :XXXI .
•
.
nрои3110Дными
3 44
62 125 140 205 222
245
. . . . . . . . . . . . .
253
Уравнени• nарабодическоrо тиnа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
Уравненн!1 rиnepбo.nll'leCIOI'O тиnа .
Глава XXXVI. Уравнениw ЭJUitlпntЧeCкoro типа
Приложение. Конформные отобраеинl
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
.
.
.
.
.
•
•
.
. . . . . . . . . . . .
308
321
Глава XXV/
---:-----
__________
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ДВ ОЙ Н ОЙ И НТЕГРАЛ
§ 1 . Задача, приводящая к п онятию двой н оrо интеграла. Оп ределение двойного интеграла К понятИю двойного интеrрала мы прихо z дим, рещая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела. Цилиндрическим. телом называется тело, оrраниченное плоскостью жОу, некоторой поверхностью z = f(x, у), (х, у) Е D, и цилиндр}fческой поверхностью, образую !/ щие которой параллельны оси (см. рис.l ) . Область D изменения переменных х и у на зывается ОСНО6(lнием цилиндрического тела. При оnределении объема тела будем ис ходить из двух принципов: I) еслиразбитьтело начасти, то егообъ Рис.! ем, равен сумме объемов всех частей (свой СТВQ аддитивности) ; 2) объем прямого цилиндра, оrраниченногоnлоскостью z = const , параллельной плоскости хОу, равен площади основания, умноженной на вьrсоту. В далънейщем мы будем предполагать, область D является связной (состоящей из одного куска) , квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. располо женной внуrри некоторого круга с центром в начале координат) Пусть z = f(x, у) - непрерывная фуНкция точки Р(ж, 1/} в области D и /(ж, у) � О всюду в области D, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над nлоско стью жОу. Обозначим объем цилиндрического тела через V. Разобъем область D основание цилиндрического тела на некоторое число n непересекающихся квадрируемых областей nроизвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, ·
что
.
-
4
______
Гnава XXVI. Краmые интеrрапw. Двоi1н0А интеrраn
обозначим их через а их площади - через соответственно. ти
D�: величину
Назовем
diam D�: =
диаметром sup
P,QEDc
частичной облас-
.·
р(Р, Q) ,
р(Р, Q) означает расстояние между точками Р d наибольший из диаметров ча стичных областей D�; (k = l, 2, . , n). Проведем через где символ
и
Q.
Обозначим через
.
.
границу каждой частичной области цилиНдрическую nо
верхность с образующими,IJара.JIДельными оси Oz. В �:-' зультате цилиНдрическое тело окажется разбитым на
стичных цилиндрических тел.
Заменим
k-oe
n ча
частичное
тело nрямым цилиндром с тем же основанием и высо
Рцс.2
той, равной аnпликате какой-нибудь точки заменяемой nоверхности (рис. 2). Объем такого цилиНдра равен
Р�; (ж�:1 у�:) D�; , AS�:
1 A V�:
=
j(P�:)AS�:, 1
D�:.
а -площадь области где точка Е Проделав оnисанные построения для каждого частичного цилиндрического тела:, nолучим
n-cтyneJiчaтoe тело, объем которого
ИJIТУИТивно ясно,
что
n Vn = Lf(P�;)AS�; .
Yn тем точнее выражает искомый объем V , чем меньше размеры
частичных областей д�;. Примимаем объем
мится объем диаметра
(1)
k=l
V
цилиндрич�ского тела равным пределу, к которому стре
(1) n-ступенчатоrо тела nри n -+ оо и стремлении к нулю наибольшего
d частичных областей Dt. Естественно, предел не должен зависеть от вида D на частичные области D�: и от выбора точек Pt в частИчных '
разбиения области областях.
Пусть J(ж,
у)
......
произвольпая функция, заданная в области
D. Сумма (1)
называется
интегрШlьной суммой для функции j (ж, у) по области D, соответствующей
мниому разбиению этой области на
I\(:t;�:, у �:) на частичных областях Dt .
Оnреде.��енме. Если nри d -+
n
частичJIЫХ областей и данному выбору точек
существует предел интегральных сумм 11
n L J (P�:)AS�;, 1:=1
§ 1. задача, npliвoд!IЩII к ПОНIПIIКI двоiiноrо мнтеrрала. Оnределение ДIIOiro iнo интеrрапа ------ 5
не зависящий ни от способа разбиения области D на частичные области, ни от выбора точек Р�: в частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции j(P) (или f (:с, у)) по области D и обозначается символом
1/ j(P) dS,
/1 j(z, у) dz dy. D
или
D
Итак,
(2) Сама функция f (:с, у) при этом называется интегрируемой в области D (I(P) - под ын тегральная функция, f(P) dS -подынтегральное выражение, dS -дифференциал (или элемент) площади, область D- область интегрирования; точка Р(ж, у)- переменноя точка интегрирования). . : · ..; , . Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилИНДрического тела, огранИченного плоскостью z Oy, поверхностью z = j(z, у) (/(ж, у)� 0), (z, у) Е D, и цилиндрической поверхностью с образующими, параллелънw.IИ QCH Oz, равен двой.:. HQMY интегралу от функции /(z, у) по области D, являюЩейся осноВанием цилиндрического тела .. .. ·
V
,
.. .
.
·
11 J(P) dS,
==
11 j(z, у) dz dy. D
или
dz
V�
D
Здесь dy - элемент площади в декартовых координатах.· Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции. Если F(P) � О в D, то объем
Если в области D функции тельные значения, то интеграл
j(P)
принимает как положительные, так и отрица-
11 j(P} dS D
представляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью z Oy (берутся со знаком«+») , и тех частей riшa, которые расположены под плоскостью z Oy (берутся со знаком «-» ) .
& ------- Гnlll XXVJ.
Кратнwе интеrрапw. Двoiiнoii интеrрап
К составлению сумм вида (l ) для функции двух независимых персменных и к по СЛедующему предельному переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела. Сформулируем достаточные условия интегрируемости.
Теорема 1 . Вся�еая фун�еция f(ж, у), непрерывная в ограниченной замкнутой области D,
интегрируема в этой области.
Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слиш ком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для пекоторога класса разрывных функций. Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если ero можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.
ТеОреМа 2. Если функция f(ж, у) ограничена в замкнутой ограниченной области D и не прерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D.
§. 2. О�новные свойства двойного интеграла '
'
Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного мНтеграла Для функций одной независимой переменной. ·
2.1. Линейное свойство ·
Если функции f(Р) и �р(Р) интегрируемы в области D , а а и fЗ -любые вещественные числа, то функция af(P) + fЗ�р(Р) таюке интегрируема в области D , причем
!! [af(P) + {З�р(Р)] dS.
(l)
D
2.2. �.,те.rрирование керавенста
Если функции /(Р) и �р(Р) интегрируемы в области D и всюду в этой области /(Р):::;; �р(Р), то
!! f(P)dS !! �р(Р)dS, :::;;
D
(2)
D
т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства -1/(P)I:::;; /(Р):::;; lf(P)I, получим lf(P)I dS, 1/(P)IdS:::; f(P)ds:::; '·
// D
// D
jj D
§ 2. Основные c10iic11a двоiiноrо интеrрапа
или,что то же,
------
1
!! J(P)d S � jj!J(P)I dS. D
D
2.3. Площадь nлоской области
Площадь плоской облаСти D равна двойному интеrралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно, интегральная сумма для функции /(Р) = 1 в области D имеет вид n
2: l· �S"
k=l и при :Любом разбиении области D на частичные области
D" равна ее площади Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл,равен ПлgЩЩUI S области D:
�s� {J dS I
2.4. Оценка интеrрапа
S.
(3)
Пусть функция /(Р) непрерывна в ограниченной замкнуfой области D , пусть М и т -наибольшее и наименьшее значения /(Р) в области D и S -ее площадь. Тогда
mS � !! J(P) dS � MS.
(4)
D
2.5. Аддитивность
Если функция /(Р) интегрируема в области D и область .l).paзбlfra на две области Dt и D2 без общих внутренних точек, то / (Р) интегрируема на каждой из областей D1 и D2,причем
!! J(P) d S = !! /(Р) d S + 11 /(В:) dS.
(5)
D2
D1
D
·,,
2.6. Теорема о среднем значении
1
J(P)
непрерывна s замкнутой ограниченной области D, то пайдется по крайней мере одна точка Ре области D т01сая, что будет справедлива формула
Теорема 3 (о среднем значении). Если функция
11 J(P) dS J(Pc)S, =
D
где S
-
площадь области D.
(6)
а ______ rпава XXVI. + д Au, + дv Av, ф + д Au, + u u д д,р rр v> + дv Av, ф + д Av , 'li
д ф д Av v
)
,
(5)
где функции v>, ф и все их производвые вычисЛены в точке (u, v). НаЙденные въrра жения для kоординат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольниk Р1 Р2Р3Р4 есть параллелоrрамм. Это следует из того, что
д ({J -д Au + j · . дu --+ ----+ rр Р1Р4 = Р2Рэ = i · д Av +J v ----+
----+
Р1Р2 = Р4Рз =
i
·
·
AS
Тогда площадь
д,р
-д Au,
u д,р
дv Av.
]
[
четырехугольника Р1Р2Р3Р4 можно приближенно выразить через
длину векторного произведения Р1Р2, Р1Р4 ,
называется функциональным определителем функций Итак, ·
v>(u, v), Ф(u, v), или як.обианом. (6)
( 6)
Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных коорди Так как Au Av, то из формулы (6) получаем, что
натах.
·
!:18
AS*
�
(J)
IJ\.
Равенство (7) является приближенным. Однако в пределе, когда диаметры площадок f:J.S* и AS стремятся к нулю, оно переходит в точное:
IJ(u, v)i
=
diam(As• )->О
lim
лs•
AS ц
§4. замена nepeмetiHIIIX 8 АВОIНОМ lllt'l'tf'P8IIe ------- 17
Из формул (7) и (8) видно, что абсолютная величинаякобианаиrрает ролълока.льного коэффициента растяжения области D* (в данной точке 11)) при отображении ее на область D при помоiци формул иреобразования (1).
(и,
4.3. Формула замены перем енных в двойном инт еграле Пусть неnрерывные функции
ж = tp(u, 11),
у = ф{и, 11)
осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* sa D и имеют непре рывные частные производные первого порядка. Пусть в области 1J на плоскости жОу задана непрерывная функция
z = /(ж, у).
Каждому значению функции z у) в области D соответствует равное значение функции z в области D*, где
= /(ж,
= F(и, v)
F(u, v) =./ [! прщ>бразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в по лярных координатах, нужно х и 11 в подынте гральной функции заменить соответственно через р cos r.p и р sin r.p, а элемент площади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади Рис.16 в полярных координатах р dpdr.p. Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу. Рассмотрим сначала случай, когда полюс лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координат ная линия r.p=const) пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому Отметим крайние значения r.p1 и r.pz полярного угла r.p, r.p1 (r.p ( r.p2• отрезку (рис. Числа r.p1 и 1Р2 являются пределами внешнего интегрирования.
О
17).
20 ------- Гпава XXVI.I(pa11uole интеrрапw. Двoiitюii инmраn
.Р
Рис.
р
17
Рис. 1 8
контура области D� а луч Луч tp = rp1 проходит через точку точку В. Точки и разбивают контур области D на две части: v1(rp) и "2(v>)- их п олярныеуравнения ,причемщ (tр) и
р=
р=
А
А В
непрерывные функции
q>, удовлетворя ющие условию
liJ ( tp) � v2(tp)
tp =
rp2 -через
АСВ и АРВ. Пусть v2 (tp)- однозначные
tp Е ('Р1'Р2).
для всех
Функци и v1(q>) и v2(tp) являются пределами вн �нн его интеrрнрования. Переходя к повrорн ым интегралам, получаем следующую формулу
jf F(S, q>)pdpdtp = f dtp f F(p, tp)p dp. 'Р2
'Pi
D
S=
1'2
llt
Vj
(15)
(rp)
S области D при F(p, q>) =Е:.] получаем
j J
В частности, для площади
1'2('Р)
v2(9>) dtp р dp = llt (rp)
� j [vi{rp) -vf(tp)]
О
'Р2
'PI
dtp.
v(tp)
Пусть теперьполюс расположен внутри области D. Предположим, чтообласть D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч !{J = �onst пересекает границу Пусть р = области только в одной точке или по целqму отрезку (рис. уравнение границы области в полярных координатах. Torna
18).
1 dtp f F(p,q>)pdp. 211"
!! D
F(p,q>)pdpdr 2-р2 1 . [2 V = Jjj dz dydz =J!J pdpd'{Jdz =J d'{J j pdp j dz = 211' ]