原子核構造論 (朝倉物理学体系)

編集 荒船次郎 東京大学教授

江沢 洋 学習院大学教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学教授

序

  原 子 核 の 存 在 が 最 初 に 認 識 され た の は,Rutherfordが に お い てで あ った.そ

提 唱 した 有 核 原 子模 型

れ 以 来1世 紀 弱が 経 過 し た.こ の 間 に,原 子 核 に 関 す る

さ まざ ま な 実 験 デ ー タが 収 集 され,原 子 核 の 構造 と 反応 に 関 す る膨 大 な情 報 が 蓄 積 さ れ て きた,20世

紀 の 早 い 時 期 に,原 子 核 が 陽 子 と 中性 子(核 子)か ら な

る量 子 力 学 的 多 体 系 で あ る こ とが わ か り,Yukawaの

中 間 子 論 を 出発 点 に して

核 子間 相 互 作 用 が 強 い 短 距 離 力 で あ る こ と も明 らか とな っ た.こ れ らの事 実 に 立 脚 し て,紆 余 曲折 を経 なが ら も,原 子 核 構 造 に 関 す る さ まざ まな 側 面が 明 ら か に な っ て きた.   自然 界 の 中で 原 子 核 は あ る 意 味 で は 極 め て 特 異 な 量 子 力 学 系 で あ る.原 子 核 を構 成 す る核 子 間 に 働 く核 力 は,強 い 相 互 作 用 で あ る に もか か わ らず,原 子 核 の 密 度 は そ れ ほ ど 高 くは な い.む

し ろ低 密 度 で あ り,核 力 の 作 用 半 径 と平 均 核

子間 距 離 とが ほ ぼ 同 程 度 で あ る.ま た 核子 数 は 数 個 か らた か だ か300個 い わ ば 少 数粒 子 の 有 限 多体 系 で あ る.20世

紀 の 約4分

究 に よ り,一 見 簡 単 そ うに見 え る この 原 子 核 が,驚

程 度 で,

の3を 通 じ て行 われ た研 くべ く豊 か で あ り,極 め て

多 様 な 側 面 を見 せ て くれ る 魅 力 にあ ふ れ る系 で あ る こ とが わか っ て きた.   それ で は,原

子 核 と い う有 限 量 子 多 体 系 が,現

え る で あ ろ うか.確

在,ど

の程 度 理 解 で きた とい

か に原 子 核 の さ まざ まな 側 面―"顔"―

が ず い ぶ ん理 解

で きる よ う に な っ た こ とは 間 違 い な い.し か し,ま だ まだ わ か ら な い側 面 が 数 多 く残 っ て い る よ うに 思 わ れ る.こ の よ うに原 子 核 が さ まざ まな 異 な った"顔" を見 せ る理 由 の 一 つ は,そ の 多 体 系 の 有 限性 に あ る と思 わ れ る.こ の 有 限性 の 故 に,原 子 核 は と きに は 液 滴模 型が 示す よ うな"強 結 合 的"な 顔 を見 せ る こ とが あ り,と きに は殻 模 型が 描 くよ うな"弱 結 合 的"な 性 質 を示 す こ と もあ る.こ の よ うに,多

くの 研 究 者 た ち は,原 子 核 の さ まざ ま な側 面 を端 的 に 表 現 す る"模

型"を 作 り,そ れ ら を 発 展 させ,互

い に矛 盾 す る と 思 わ れ る さ まざ ま な模 型 の

間 の 関 連 を量 子 力 学 に 立 脚 し て理 解 す る こ と に腐 心 して きた.

  有 限 核 子 多 体 系 と し て の 原 子 核 の 構 造 を記 述 す る さ まざ ま な模 型 の うち,最 も基 本 的で か つ 最 重 要 の もの は,殻 模 型,集 団 模 型,お

よび クラ ス タ ー模 型 で

あ る と筆 者 ら は 考 え る.本 書 で は これ ら3つ の 模 型 を 中 心 と して,そ れ らの 基 本 的 考 え 方 や 理 論 的 構 造,そ だ け 簡 潔 に記 述 し,さ

れ らか ら導 か れ る さ まざ ま な 性 質 や 結 果 をで き る

ら に こ れ らの 模 型 が 成 り立 つ 理 由や 背 景,模

互 関 係 な ど につ い て も述 べ,原

型の間の相

子 核 構 造 の統 一 的 理 解 が 得 られ る こ と を 目標 に

し た.   い う まで も な い こ とで あ るが,原

子 核 の 構 造 に 対 す る,あ る い は 原 子 核 構 造

の 模 型 に 対 す る上 述 の 考 え 方 は,筆 者 ら の偏 っ た 観 点 に基 づ く もの で あ り,こ れ が す べ て で あ る と か,最 善 で あ る と主 張 す る もの で は な い.奥 行 きの 深 い 原 子 核 に対 して,さ

ま ざ まな 観 点 や 考 え 方 が あ る の は 当 然 で あ り,そ の よ うな 多

様 性 が あ っ て は じめ て 正 しい 原 子 核 の 姿 が 理 解 で き る もの と信 じ る.   原 子 核 物 理 学 は,し ば しば 原 子 核 構造 論 と原 子 核 反 応 論 の2つ 分 け られ る こ とが あ る.前 者 は1つ あ り,後 者 は2つ

の研究分野 に

の 原 子 核 の 構造 を理 解 し よ う とす る もの で

以 上 の 原 子 核 の 間 に ど の よ うな相 互 作 用 が 働 き,ど の よ うな

反 応が 起 き るか を 明 らか に し よ う とす る もので あ る.こ れ ら2つ の 分 野 は 必 ず し も独 立 な もの で は な く,い わ ば 車 の 両 輪 の よ うに,一 方 の研 究 が 他 方 の 研 究 に 密接 に 影 響 を 及ぼ し全 体 の進 展 を促 す わ け で あ る.ま た ,あ る研 究が ど ち ら の 分 野 に分 類 され るか,必 ず し も常 に 明確 で あ る わ けで は な い.本 書 で は,も っ ぱ らそ の 一 方 の分 野 で あ る原 子 核 構 造 論 に 関 す る最 も基 本 的 な テ ー マ を 論 じた . 読 者 は,他 方 の 原 子 核 反 応 論 につ い て も,あ わ せ 学 ば れ る こ と をお 勧 め し た い.   最 近 の 原 子 核 物 理 学 は,従 来 に 比 べ て そ の研 究 対 象 を著 し く拡 大 し,極 め て 短 寿 命 の 不 安 定 核 や 超 高 エ ネ ル ギ ー の 領 域 な ど を含 む 極 限 条 件 下 に まで 広 が っ て きた.本 書 に お い て は 原 子 核 を 核 子 多 体 系 と し て取 り扱 い,核

子 の 自 由度 の

み を取 り上 げ た.し か し,こ れ で 十 分 で あ る と主 張 し て い るわ け で は な い.突 き詰 め て 言 えば,原

子 核 は グ ル ー オ ンを 媒 介 と して 相 互 作 用 す る ク ォー ク多 体

系 で あ る と考 え られ る.し た が って,上 す る原 子 核 物 理 学 で は,ク

の よ う に広 が っ た 領 域 の 研 究 対 象 に対

ォー ク と グ ル ー オ ンの 自 由度 ま で 考 慮 し な くて は な

ら な い で あ ろ う.そ の よ う な研 究が 進 展 し た 暁 に は,原 子 核 物 理 学 の さ ら に発 展 し た姿 が 見 られ る で あ ろ う.た いへ ん 興 味 深 く,期 待 され る と こ ろで あ る.  本 書 を執 筆 す るに 当 た っ て,多

くの 方 々に 一 方 な らぬ お 世 話 に な った.特 に,

本書 の 発 案 か ら執 筆 の 過 程 に お い て,常

に相 談 に の って い た だ い た九 州 大 学 名

誉 教 授 河 合 光路 氏 に は,特 記 し て感 謝 申 し上 げ な けれ ば な ら ない.ま

た原稿

の段 階 か ら数 多 くの 貴 重 な 意 見 をい た だ き,種 々の 事 項 に 関 して ご 教 示 い た だ い た 九 州 大 学 の 清 水 良 文 氏,京 い.そ の 他,九

都 大 学 の 堀 内 艇 氏 に も深 甚 の 謝 意 を表 した

州 工 業 大 学 の 岡 本 良 治 氏,北 海 道 大 学 の 加 藤 幾 芳 氏,信

大 学 の 東 崎(鈴 木)昭 弘 氏,福

岡 大 学 の 田 崎 茂 氏,理

州

化 学 研 究 所 の 間所 秀

樹 氏 に も多 大 の協 力 を願 った.感 謝 申 し上 げ た い.さ らに,筆 者 の1人(K.

T.)

の恩 師 で あ り,か つ て の 共 同研 究 者 で あ っ た 筑 波 大 学 名誉 教 授 丸 森 寿 夫 氏 に は,長 年 に わ た り原 子 核 多 体 問 題 につ い て ご 指 導 い た だ い た こ とに 対 し,特 別 に感 謝 の 意 を表 した い.最 後 に,朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に は,遅

々として進 ま

な い 筆 者 らの 執 筆 を,辛 抱 強 く見 守 り激 励 して い た だ き,出 版 まで こ ぎ つ け て 下 さ った こ と に,心 か ら感 謝 申 し上 げ た い.   な お,本 書 の 第1章:殻 集 団 運 動,の3つ

模 型,第2章:核

力 か ら有 効 相 互 作 用 へ,第3章:

の 章 お よび 付 録 は 高 田健 次 郎 が 責 任 分 担 し,第4章:ク

ス ター 模 型 は 池 田 清 美 が 責 任 分 担 し て執 筆 した.ま

ラ

た 本 書 全 体 を 通 じ て,記

述 内 容 の バ ラ ン ス や 統 一 な ど の 調 整 は 高 田 が 行 った.   本 書 が 読 者 諸 氏 の 核 構 造 へ の 関 心 を 引 くき っか け と もなれ ば,筆 者 らの 喜 び これ に 過 ぎ る もの は な い.ま た,筆 者 らの 浅 学 非 才 の 故 に,思 わ ざ る誤 り を犯 し て い るや も知 れ な い.読

者 諸 氏 の ご 叱 正 をお 願 いす る 次 第 で あ る.

2001年12月 高 池

田 健 次 郎 田

清

美

目

次

0  原 子 核 構 造 論 へ の 導 入 

1

  0.1  原 子 核 構 造 論 の は じ ま り

 

1

  0.2  有 限 量 子 多 体 系 と し て の 原 子 核

 

4

  0.3  原 子 核 構 造 論 の 特 質

 

6

1  殻

模

  1.1  jj結

型

  7

合殻模型の提唱

 

7

  1.1.1 

調和振動子波動 関数

 

8

  1.1.2 

ス ピ ン軌 道 スプ リ ッテ ィン グ

 

9

  1.1.3 

1体 ポ テ ン シ ャ ル と エ ネ ル ギ ー 準 位

  10

  1.1.4  対 相 関

  14

  1.2  配 位 混 合

  16

  1.2.1 

第2量

  1.2.2 

有効相 互作用の全角運動 量展 開

子化

  17   21

  1.2.3 

対相 関力

  22

  1.2.4 

準 ス ピ ン とセ ニ ョ リテ ィ

  23

  1.2.5 

対 相 関 ハ ミル トニ ア ン の 固 有 値

  1.2.6 

単 一準 位 のcfp 

  26 27

  (a)1粒

子cfpの

定義

  27

  (b)1粒

子cfpの

計 算法

  28

  (c)2粒

子cfp 

30

  1.2.7  単 一 準 位 の セ ニ ョ リ テ ィ ・ス キ ー ム のcfp    (a)最

高 セ ニ ョ リ テ ィのcfp―cfp(hs) 

  (b)cfp(hs)の

計 算法

  (c)低 い セ ニ ョ リ テ ィのcfp―cfp(ls)    (d)ま

とめ

31 32   34 35   36

  1.2.8 多準位系の基底ベクトル  

36

  (a)新型CFPの 定義     (b)新型CFPの 計算法     (c)新型CFPに 関する有用な公式     (d)新型CFPの 具体的表式     (e)まとめ    1.3 配位混合の実例と原子核の電磁気的性質     1.3.1  有効相互作用の選択     1.3.2  配位混合計算のいくつかの実例  

37 38 39 40 41 43 43 45

  (a)sd殻核の例     (b)pf殻核の例     1.3.3  原子核の電磁気的性質と配位混合  

45 46 50

  (a)磁気双極モーメント     (b)磁気モーメントの実例     (c)電気4重 極モーメント   (d)電磁気遷移とモーメントに関する定式化    1.4 殻模型に関する結語   2 核力から有効相互作用へ    2.1 核力の概観    2.2 原子核の飽和性とBrueckner理論     2.2.1 密度と結合エネルギーの飽和性   2.2.2 核物質とFermiガス模型     2.2.3 Brueckner理論  

 

51 53  56 58 61 63 63 67 67 69 71

  (a)連結クラスター展開     (b)平均ポテンシャルの導入     (c)反応行列(G行 列)    (d)まとめ     2.2.4 独立粒子描像はなぜ成立するか  

71 76 78 81 82

  (a)Bethe-Goldstone方 程式     (b)Pauli原理と回復距離    2.3 有効相互作用  

83 86 88

  2.3.1 

模 型 空 間 と 有 効 ハ ミル トニ ア ン

  88

  2.3.2 

エ ネル ギ ー に 依 存 す る有 効 相 互 作 用

  90

  2.3.3 

エ ネル ギ ー に 依 存 し な い有 効 相 互 作 用

  91

 

(a)有

  93

 

(b)Brueckner理

効 相 互 作 用 の 摂 動 展 開 とQボ

ッ クス

論 と の 関連

  94

3  集 団 運 動

 

99

  3.1  球 形 液 滴 の 表 面 振 動  

3.1.1 

  99

表面振動の古 典論 

100

 

(a)質

量 パ ラ メ ー タ ー 

101

 

(b)ポ

テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー 

103

 

(c)角

運動量 

105

 

3.1.2 

表 面 振 動 の 量 子 化―

 

3.1.3 

多 フ ォ ノ ン状 態 間 の 電 磁 遷 移

 

110

 

3.1.4 

実験 との 比 較

 

112

  3.2  4重 極 変 形 核 の 集 団 運 動

 

116

 

変 形核の集 団運動の古典論

 

117

(a)物

体 固定 座 標 系

 

117

(b)運

動 エ ネ ル ギ ー と ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー

3.2.1 

   

フ ォノン

  107

 

121

 

3.2.2 

変形核の集 団運動の量子化

 

124

 

3.2.3 

集 団 運 動 の 波 動 関 数 と その 対 称 性

 

128

 

3.2.4 

回 転 ・振 動 模 型

 

133

 

(a)エ

ネ ル ギ ー ・ス ペ ク トル 

133

 

(b)電

気4重

136

 

3.2.5 

極遷移  

実 験 との 比 較

  3.3  統 一 模 型(集

 

団 模 型) 

139 143

 

3.3.1 

弱結合模型

 

145

 

3.3.2 

強結合模型

 

146

 

(a)Bohr-Mottelsonの

強 結 合 ハ ミ ル ト ニ ア ン 

 

(b)強

 

(c)変 形 殻 模 型―Nilsson模

 

(d)強

148

結 合 模 型 の 波 動 関 数 と そ の 対 称 性  型

結 合 模 型 に よ る エ ネ ル ギ ー ・ス ペ ク ト ル 

150  

153 158

 

(e)Coriolis力

  159

 

(f)電 磁 モ ー メ ン ト,電

磁遷移

 

161

  3.4  集 団 運 動 の 微 視 的 理 論     3.4.1  Hartree-Fock法

164

 

164

 

(a)通

常 のHartree-Fock法

 

 

(b)密

度 行 列 とHartree-Fock法

 

(c)時

間 依 存Hartree-Fock法

  3.4.2 

乱 雑 位 相 近 似(RPA) 

 

(a)RPA励

 

(b)簡

 

(c)RPA方

 

(d)Tamm-Dancoff近

 

(e)Hartree-Fock基

  3.4.3 

準粒子  

 

(a)準

粒 子 とBogoliubov変

 

(b)ギ

ャッ プ 方 程 式

 

(c)Bogoliubov変

 

(d)BCS基

 

(e)セ

164 168

 

170

 

176

と微 小 振 動 解

 

174

起モ ー ド

単 な 場 合 のRPA方

程式の解  

178

程 式の性 質 似,new-Tamm-Dancoff近

179

 

181

 

185

似

 

底状 態 の 安 定 性

186 換

 

188

 

191

換 後 の ハ ミ ル トニ ア ン 

底状態 の構造

 

ニ ョ リ テ ィ と 準 粒 子,ギ

  3.4.4  Hartree-Fock-Bogoliubov法  

(a)一

 

(b)Hartree-Fock-Bogoliubov

194 195

ャッ プ と 偶 奇 質 量 差  

196

 

197

般 化 され た準 粒 子  

198 (HFB)方

程 式

 

  3.4.5  準 粒 子RPA  粒 子RPA方

205

 

(a)準

 

(b)(対

  3.4.6 

集 団 運 動 パ ラ メー ター 

 

(a)球 形 核 フ ォ ノ ン の 弾 性 パ ラ メ ー タ ー

 

(b)球

 

(c)変 形 核 の 集 団 運 動 パ ラ メ ー タ ー 

相 関 力+4重

201

程式  極 相 関 力)模

205 型 

形 核 フ ォ ノン の 質 量 パ ラ メー ター

運 動 量 射 影 法 に よ る慣 性 モ ー メ ン ト

210 214  

215  

218 220

 

(d)角

 

224

  3.4.7 

遷 移 領 域 核 と非 調 和 効 果

 

226

  3.4.8 

ボ ソン写像法

 

230

 

(a)SU(2)模

 

(b)全

   

型 と その ボ ソ ン写 像  

230  

236

(c)集 団 的 部 分 空 間 に 対 す る ボ ソ ン 写 像

 

238

(d)Dyson型

 

241

相 互 作 用 す る ボ ソ ン模 型

 

246

 

(a)IBMの

構 成 要 素 と ハ ミ ル トニ ア ン

 

246

 

(b)IBMの

対称 性

 

247

  3.5  高 ス ピ ン 回 転 運 動

 

252

 

3.5.1 

液 滴 模 型 と 殻 効 果 ―Strutinsky法

 

252

 

3.5.2 

高 ス ピ ン回 転 運 動 の概 観

 

257

 

260

形の型 と回転 スキーム

 

263

回 転 座 標 系 に お け る粒 子 運 動

 

266

   

殻 模 型 空 間 に対 す るボ ソ ン写 像

(e)ま 3.4.9 

ボ ソ ン写 像 法 の 応 用

とめ  

245

 

(a)慣 性 モ ー メ ン ト の 角 速 度 依 存 性,バ

 

(b)変

 

3.5.3 

 

(a)ク

ラ ン ク した 殻 模 型  

 

(b)非

集 団 的 回 転 ス キ ー ム の 場 合,そ

ン ド交 差

266 の他

  3.6  巨 大 共 鳴  

3.6.1 

和

269  271

(a)双

極共鳴の場合 の和則

 

(b)ア

イ ソ ス カ ラ ー 型 の 場 合 の 和 則S1,

3.6.2 

269

  則

 

 

 

  S3 

278

さ ま ざ まな 巨 大 共 鳴  

281

4  ク ラ ス タ ー 模 型  

287

  4.1  し き い 値 則 とIkedaダ

イ ア グ ラム  

288

  4.2  ク ラ ス タ ー 構 造 の 概 観    

4.2.1 

p殻

 

4.2.2 

8Beの2α

 

4.2.3 

sd殻

 

4.2.4 

12Cの3α

291

の は じめ の 領 域 で の ク ラ ス ター 構 造 ク ラ ス ター 構 造

 

291

 

293

の は じめ の 領 域 で の ク ラ ス ター 構 造   ク ラ ス ター 構 造 な ど

295  

  4.3  多 中 心 模 型      

4.3.1 

ク ラ ス タ ー 系 の2中

297 298

2中 心 α ク ラ ス タ ー 模 型 (a)2α

273

心調和振 動子模型

 

300

 

300

 

(b)2α 系 の2中

 

(c)2α 系2中

心 模 型 と1中 心 殻 模 型 の 関 係

 

心模型の重 心座標の分 離 

303 306

  4.3.2  2中 心 調 和 振 動 子 殻模 型  

307

 

(a)1中

心調和振動 子殻模 型

 

 

(b)1中

心 殻 模 型 の重 心 座 標 の 分 離  

 

(c)2中

心 模 型 のSlater行

 

(d)2中

心 模 型 の 重心 座 標 の分 離

 

(e)多 中 心 模 型 へ の 拡 張  

 

(f)2中 心 模 型 の1体

 

(g)荷 電 ・ス ピ ン飽 和 配 位 の 場 合 の 行 列 要 素  

 

(h)近 接 した 極 限 に お け る2中 心 模 型 波 動 関数

307 309

列式

 

312

 

312 314

お よび2体

演 算 子 の 行 列 要素

 

315 318

 

321

  4.3.3  パ リテ ィ射 影 と角 運 動 量 射 影

 

323

 

(a)パ リテ ィ射 影

 

324

 

(b)角 運 動 量 射 影

 

(c)内 部 状 態 の対 称 性 とパ リテ ィ ・角 運 動 量 射 影  

325

 

(d)α+16O模

330

 

型 に よ る20Neの

324

回 転 バ ン ド 

  4.4  ク ラ ス ター 間 の 相 対 運 動  

331

  4.4.1  生 成 座 標 法 に よ る ク ラス タ ー 間 相 対 運 動

 

331

 

(a)GCM方

 

332

 

(b)2体

程式

 

333

  4.4.2  共 鳴群 法 に よ る ク ラ ス タ ー 間相 対 運 動

ク ラス タ ー系 へ の 応 用

 

334

 

 

334

 

338

(a)RGM方

程式

  4.4.3  共 鳴群 法 と生 成 座 標 法 の 関係  

(a)RGMとGCMの

同等性

 

(b)RGMとGCMの

意義

  4.5  ク ラス タ ー模 型 空 間 とPauli禁

 

338  

止状 態  

  4.5.1  重 な り積 分 核 の 固 有 値 問題 とRGM基

339 340

底関数

 

340

  4.5.2  重 な り積 分 核 の 固 有 値 問題 の 解  

341

 

(a)単 一 チ ャ ン ネ ル 系  

341

 

(b)多 チ ャ ン ネル2体

ク ラ ス タ ー系

  4.5.3  ク ラ ス ター模 型 状 態 と殻 模 型 状 態 の 関 係  

(a)16O+α

系  

 

345

 

345 346

 

(b)12C+α

 

4.5.4 

系  

347

直 交条件模型

 

(a)ク

ラ ス タ ー 間 相 対 波 動 関 数 とPauli禁

 

(b)OCM方

程 式

 

(c)RGM方

程 式 とOCM方

止状態

程式 の関係

  4.6  微 視 的 ク ラ ス タ ー 模 型 の 適 用 例  

4.6.1 

20Ne系

 

4.6.2 

16O系

の α+12C模

 

4.6.3 

12C系

の3α

  4.7 

付

の α+16O模

 

349

 

349

 

350

 

351

 

353

型 

353

型

模型

ク ラス タ ー模 型 に 関 す る ま とめ

 

355

 

358

 

360

 

363

録

  A  回 転 体 の 理 論   B 

回 転 ・振 動 模 型 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値  

377

  C  ボ ソ ン 写 像 法 の 一 般 論  

383

参考 図書

索

引

 

 

395

397

0 原子核構造論への導入

  本 章 で は,原 子 核 の 発 見 か ら,そ の 後 の原 子 核 構造 論 の 発 展 の 簡単 な 歴 史 と, 原 子 核 とは い か な る存 在 で あ るのか につ い て 概 観 し,第1章

以 下で 述 べ る原 子 核

構 造 論 が ど の よ うな観 点 で 展 開 され るか につ い て 説 明 し,本 書 の 導 入 部 とす る.

0.1  原 子 核 構 造 論 の は じ ま り

  人類 が 原 子 核 の 存 在 を は じめ て 認識 した の は,Rutherfordに 型 の提 唱(1911)に

よ る有 核 原 子 模

お い て で あ っ た.当 時,原 子 の 大 き さが ほ ぼ10-8cmの

度で あ る こ とは,す で に わ か って い た.Rutherfordは,原

程

子 に よる α粒 子 の散

乱 の 実 験 結 果 を合 理 的 に 説 明 す る た め に,原 子 の 中心 に,原 子 の 質 量 の ほ と ん ど すべ て を 荷 い,電 つ原 子 核(atomic

子 の 電 荷 の 大 き さ(e)の 原 子 番 号(Z)倍

nucleus)が

の 荷 電(Ze)を

持

存 在 し,そ の周 辺 を軽 い 電 子 が 取 り巻 い て い る と

考 え た.原 子 核 の 半 径 は 原 子 の 大 き さに 比 べ て極 め て 小 さ く,種 々の 考 察 か ら 10-12cm程

度 で あ る と推 定 され た.こ れ がRutherfordの

有 核 原 子 模 型 で あ る.

  当 初 は,原 子 核 は 電 子 と 陽子 か ら構 成 され て い る と考 え ら れ た が,上 記 の小 さい 核 半 径 内 に 電 子 を 閉 じ込 め て お くこ とは 不 確 定 性 関 係 と相 対 論 の 観 点 か ら 困 難 で あ る こ と,な

らび に,原 子 核 の ス ピ ン と統 計 性 の 観 点 か ら も矛 盾が 生 じ

る こ とが わ か り,こ の 考 え は成 立 しな い こ とが 明 らか で あ っ た.そ れ で は 原 子 核 は 何 に よっ て 構 成 され て い るの だ ろ うか.   この 謎 はChadwickに

よる 中性 子 の発 見(1932)に

よ って 解 決 され る こ とに

な った.中 性 子 の 質 量 は 陽子 の 質 量 と ほ とん ど 同 じで あ り,陽 子 が 電 子 と同 じ 大 き さ で 反 対 符 号 の 電 荷(+e)を

持 つ の に対 し,中 性 子 の 電 荷 は0で

あ る(表

0.1参 照).現 在 で は,こ れ らの2種 類 の粒 子 は 同一 粒 子 の 異 な る状 態 で あ る と 考 え られ,総

称 し て しば し ば 核 子(nucleon)と

れ るや,IwanenkoやHeisenbergは,直

呼 ば れ て い る.中 性 子 が 発 見 さ

ち に,原 子 核が 陽 子 と 中性 子 に よ って

表0.1  核子の性 質

μN は 核 磁 子.詳

し く は1.3.3(p.50)参

照.

構 成 され る とい う考 え 方 を提 唱 した.こ

れが"原 子 核 構 造 論"の 第1歩

これ 以 後,原

の 陽 子 と,N個

子 核 は有 限 個 の 核 子(Z個

で あ り,

の 中性 子)か らな る量

子 力 学 的多 体 系 で あ る と い う考 え 方 が 定 着 した.   この考 え 方 に基づ けば,原 子 核 の 荷 電 はZeで Z+Nで

あ り,質 量 は大 雑 把 に 質量 数A=

き ま る こ とに な る.実 験 結 果 も この 考 え を 支持 して い る.Weizsacker

は 原 子 核 をあ た か も水 滴 の よ う にみ なす 液 滴 模 型(liquid-drop

model)を

考 え,

原 子 核 の 結 合 エ ネ ルギ ー を表 す 質 量 公 式 を 提 案 し成 功 をお さめ た(質 量 公 式 に 関 す る 詳 細 に つ い て は 第2章

参 照).N.

Bohrら

(nuclear fission)に 適 用 し て 成 功 を お さめ,さ 成 果 とい え る複 合 核 模 型(compound-nucleus の 基 本 思 想 は,核

ら に 核 反 応 論 に お け る輝 か しい model)へ

発 展 させ た.液 滴 模 型

を構 成 す る 核 子 間 の 相 互 作 用が 強 い と い う"強 結 合"の 考 え

方 で あ る とい え る.こ の 考 え 方 は,Yukawaの 進 ん だ 核 力 が,強

は 液滴模 型の 考 えを核 分裂

中 間子 論 を 出 発 点 に し て研 究 が

い 短 距 離 力 で あ る こ と と も整 合 して い る よ うに 見 え た.

  一 方,原 子 の 構造 に お け る平 均 場 近 似 と 同様 に,原 子 核 に お い て も何 らか の 平 均 場 が 成 り立 つ の で は な い か と い うア イデ ア は,割 合 早 い 時 期 か ら考 え ら れ て い た.し

か し,平 均 場 の 中 を 核 子 が 比 較 的独 立 に 運 動 す る とい う イ メー

ジ の 平均 場 近 似 は,い

わ ば"弱 結 合"の 考 え方 に 立 脚 す る もの で あ り,液 滴 模

型 や 複 合 核 模 型 の 強 結 合 的 な描 像 に 真 っ向 か ら対 置 され る もの と し て,直 は 受 け 入 れ られ る もの で は なか っ た.と Jensenら

こ ろが1940年

ちに

代 の 終 わ りに,Mayer,

に よ っ て,原 子 に お け る周 期 律 に相 当 す る マ ジ ック ナ ンバ ー(Nま

た はZ=2,8,20,28,50,82,126)が,ス

ピ ン ・軌 道 力 を 含 む平 均 場 の 中 の 単 一

粒 子 運 動 に よっ て 見 事 に説 明 で きる こ とが 示 され,弱 結 合 的 な 描 像 に基 づ く殻 模 型(shell model)を は 第1章

認 め な い わ け に は いか な くな っ た(殻 模 型 の 詳 細 に つ い て

参 照).さ ら に こ の考 え 方 は,原 子 核 反 応 論 にお け る光 学 模 型(optical

model)の

成 功 に よ り,確 固 た る もの とな った.

  さ ら に 他 方,特

に軽 い 原 子 核 に対 して,上

述 の 強 結 合 的 描 像 と弱 結 合 的 描 像

との 中 間 的 な 描 像 と も い え る α 粒 子 模 型(alpha-particle た.原 子 核 は,2個 され,そ

model)も

主 張 され

の 陽 子 と2個 の 中性 子 が 強 く結 合 した α粒 子 に よ って 構 成

れ ぞ れ の α 粒 子 の 間 の 相 互 作 用 は比 較 的 弱 い とす る 模 型 で あ る.

  こ の よ う に,互 い に 矛 盾 す るか の よ う に見 え る異 な っ た描 像 が,描

き出 そ う

とす る 原 子 核 の側 面 に 応 じて 成 立 す る こ とが 明 らか に な り,原 子 核 の 奥 行 きの 深 さ を 示 す こ と に な っ た.そ れ で は,原 子 核 の真 の 描 像 は ど の よ うに 理 解 で き るの か.こ

れ ら の 互 い に 対 立 す る よ う に見 え る種 々の 模 型 は い か に して 統 一 で

き る の か.こ

れ が1950年

代 の 原 子 核 構 造 論 の 最 大 の 問 題 で あ っ た.そ れ と 同

時 に,原 子 核 研 究 者 の 前 に 立 ち は だ か る難 問 は,原 子 核 内 に お い て 強 い 相 互 作 用 に よ る強 い相 関が あ りな が ら,な ぜ 殻 模 型 の よ う な独 立 粒 子 的描 像 が 成 り立 つ の か,と

い う こ とで あ った.こ れ も ま た1950年

代 以 降 の 基 本 的 問 題 の1つ

で あ っ た.   液 滴 模 型 が 描 く強 結 合 的 描 像 と,殻 模 型が 記 述 す る弱 結 合 的 描像 の 統 一 の 手 掛 か りは,原 子 核 にお け る集 団 運動 の研 究 か ら得 られ た.単 純 な殻模 型で は到 底 理 解 で き ない よ うな 励 起 状 態 や,極 端 に大 きい4重 極 モ ー メ ン トの 実 験 値 を 理 解 す る た め に,核 内 の 多 数 の 核 子 が 集 団 的 に 運 動 す る と い う運 動 形 態 を考 え な け れ ば な らな くな った.す な わ ち 集 団 運 動(collective motion)で

あ る.そ の理

論 的 定 式 化 の 最 初 は,液 滴 模 型 か ら 出発 した け れ ど も,A.BohrとMottelson は 集 団 運 動 と単 一 粒 子 運 動 の 双 方 を考 慮 し,そ れ ら を統 一 的 に 考 え なけ れ ば な ら な い こ と に 想 到 し,い わ ゆ る 集 団模 型(collective model)を

提 案 した.こ れ

に よ っ て,つ い に原 子 核 に対 す る相 反 す る2つ の 描 像 が 統 一 され た こ と に な る. し た が っ て,Bohr-Mottelsonの

集 団模 型 は しば しば 統 一 模 型 と も呼 ば れ て い

る(集 団 模 型 の 詳 細 につ い て は 第3章

参 照).

  1960年 代 以 降 の 原 子 核 構 造 論 の 中心 テ ー マ は,こ れ らの模 型 の微 視 的理 論 を 構 築 し,そ れ に よっ て 模 型 の 基 礎 づ け と改 良 ・発 展 を 図 る こ とに あ った.そ 内 容 が,ま

さ に 本 書 全 体 で 説 明 し よ う とす る もの で あ る.詳

参 照 して い た だ きた い.

の

し くは 次 章 以 下 を

図0.1  現在 まで に存在が確 認され ている核種の核図表 横 軸 は 中 性 子 数N,縦

軸 は 陽 子 数Zを

表 す 網 目 グ ラ フ と な っ て い る.1つ

核 種 を 表 し,影

の 濃 い 網 目 が 存 在 が 確 認 さ れ て い る 核 種.影

薄 い 部 分 は,未

確 認 で あ る が 理 論 的 に 存 在 し 得 る と 考 え ら れ る 範 囲.軸

の 微 小 な 網 目 が1つ

が 濃 い ほ ど 半 減 期 が 長 い .影

の

が 最 も

上 の 目盛 数 字 は マ ジ ック

ナ ン バ ー を 示 す. LBNL

Isotopes

systematics.html)よ

Project,

Nuclear

Structure

Systematics

Home

Page

(http://ie.lbl.gov/

り.

0.2  有 限 量 子 多 体 系 と して の 原 子 核

  前 述 の よ う に,原 子 核 は 有 限 個 の 核 子 か ら な る量 子 力 学 的 多 体 系 で あ る.自 然 界 の 中で 原 子 核 は あ る 意 味 で は極 め て特 異 な系 で あ る.す

なわ ち,核 子 間 に

働 く核 力 は 強 い 相 互 作 用 で あ る に もか か わ らず,原 子 核 の 密 度 は そ れ ほ ど高 く は な い.む

しろ 低 密 度 で あ り,核 力 の 作 用 半 径 と平 均 核 子 間 距 離 とが ほぼ 同程

度 で あ る.ま

た 核 子 数Aは

数 個 か ら た か だ か300個

程 度 で,い

わば少数粒子

の 多 体 系 で あ る.原 子 核 の ご く基 本 的 な これ らの 性 質 に つ い て,こ デ ー タを 示 し て お こ う.

こで 簡 単 に

  現 在(2000年)ま

で に存在が確

認 さ れ て い る 約3,000種 (nuclide)が,図0.1の 性 子 数N,縦

で,網

横 軸 を中

軸 を 陽 子 数Zと

る 網 目 グ ラ フ(地 て い る.(大

の核 種

図)上

す

に表 され

幅 に 縮 尺 され て い る の

目が た い へ ん 細 か く,見 づ

ら い の が 残 念 で あ る.)こ 表(nuclear

chart)と

濃 い 影 を つ け た1つ

れ を核 図

呼 ん で い る.

図0.2 

の 網 目の小 正 方 形 が1個

電 子 散 乱 に よ る原 子 核 の荷 電 分 布 の 測 定 結 果

の 核 種 を 表 し,そ の 影 が 濃 い ほ ど

そ の核 種 の 半 減 期 が 長 い.し たが って,小 正 方 形 の影 が 濃 い ほ ど安 定 な原 子 核 で あ る.影 が 最 も薄 い 部 分 は,ま だ確 認 され て い な い け れ ど も理 論 的 に存 在 し得 る と考 え られ る 範 囲 で あ る.縦 横 の軸 上 の 目盛 数 字 は マ ジ ッ クナ ンバ ー を 示 す.   原 子 核 に よ る 陽 子 や 電 子 の散 乱 を調 べ る こ とに よ って,原 測 定 す る こ とが で き る.そ の 実 験 デ ー タの 例 を図0.2に 果 や,そ

子 核 の 荷 電分 布 を

示 す.こ れ らの 実験 結

の 他 の 核 反 応 の 分 析 か ら,比 較 的安 定 な原 子 核 の 半 径R0は

と表 され る こ とが わ か っ て い る.つ

ま り,原 子 核 の体 積 は 質量 数Aに

比 例 し,粒 子 密 度 ρや 平 均 核 子 間 距 離dは

お お よそ

原 子 核 に よ らず ほ ぼ 一 定 で あ り,

とな る.こ の よ うに 密 度 が 原 子 核 に よ らず 一 定 で あ る と い う性 質 は,密 度 の 飽 和 性 と 呼 ば れ る.   核 子 間 の 相 互 作 用(核 力)の 作 用 半 径 は 大 雑 把 に い って ∼1.5fm程 と考 え て よい.(核

力 の 詳 し い性 質 は 第2章

度で ある

で 述 べ る.)こ の 作 用 半 径 と前 述 の

平 均 核 子 間 距 離 と を比 べ る と,ほ ぼ 同程 度 で あ る.こ の こ とか ら,原 子 核 は 通 常 の 液 体 よ り も低 密 度 で あ る と考 え られ る.こ の事 実 と,液 滴 模 型 の 成功 とは, ど の よ うに 整 合 させ て理 解 で き るの で あ ろ うか.   ま た,寿 命 が 長 く比 較 的 安 定 な 領 域 の 原 子 核 の 結 合 エ ネ ルギ ー の 実 験 値 は, 原 子 核 に よ らず,体 積 に(し た が って 質 量 数Aに)ほ

ぼ 比例 し,1核

子 当た りの

結 合 エ ネ ルギ ー は約8MeVで

あ る.こ の性 質 は 結 合 エ ネル ギ ーの 飽 和 性 と呼ば

れ て い る.   これ らの2つ の 飽 和 性(saturation)は

安 定 な 原 子 核 の 著 しい 特 徴 で あ り,こ

れ ら の 性 質 を,原 子 核 が 核 力 と い う強 い 相 互 作 用 に よっ て 結 合 し て い る有 限個 の 核 子 の 量 子 多 体 系 で あ る と い う観 点 か ら いか に 説 明 す るか と い う こ とが,原 子 核 構造 論 の 基 本 課 題 の1つ

で あ り,本 書 で 取 り上 げ な け れ ば な らな い 重 要 な

テ ー マ で あ る.

0.3  原 子 核 構 造 論 の 特 質

  上 に述 べ た よ うに,原 子 核 は 自然 界 の 中 で か な り特 異 な存 在 で あ る.構 成 粒 子 の 数 が 比 較 的 少 数 で あ る こ と,平 均 核 子 間 距 離 が 核 力 の 作 用 半 径 と 同 程 度 の 比 較 的 低 密 度 で あ る こ と,核 力 の 強 さに 比べ て 結 合 エ ネル ギ ー が そ れ ほ ど 大 き くな い こ と,等

々,い ろ い ろ な 意 味 で 中 くら い の性 質 を持 っ て い る.そ れ だ け

に 原 子 核 は,質 量 数 や エ ネ ルギ ー や その 他 の状 況 の 変 化 に応 じて,さ 側 面―"顔"―

を見 せ る.一 見 簡 単 そ うに 見 え る原 子 核 が,驚

の 深 い,豊 か な 存 在 で あ り,多   原 子 核 構 造 の研 究 は,核

まざ まな

くべ く奥 行 き

くの 研 究 者 を魅 了 す るゆ えん で あ る.

の さ まざ ま な側 面(顔)を 端 的 に 記 述 す る"模 型"を

作 り,改 良 し,精 密 化 す る こ と の 繰 り返 しで あ っ た.そ

こで は しば しば 互 い に

相 矛 盾 す る よ うな模 型 が 提 唱 され,こ れ らを統 一す る新 た な模 型 が 考 案 され た. ま た,そ れ らの 模 型 を 量 子 力 学 的 多 体 問 題 と し て 基 礎 付 け る こ と も重 要 な研 究 で あ っ た.  研 究対象が極め て短寿命の不 安定核や超高エ ネルギーの領域 などへ拡大 しつ つ あ る 原 子 核 物 理 学 の 今 後 の 研 究 に お い て も,こ の よ うな 原 子 核 構造 論 の 研 究 の 特 質 は 継 承 され る に 違 い な い.そ れ ゆ え に,本 書 に お い て は,原 子 核 構 造 論 の こ の特 質 の 最 も典 型 的 な 部 分 を 取 り上 げ て,読 者 の原 子 核 構 造 の 理 解 に資 す る こ と に す る.

1 殻

模

型

1.1  jj結 合 殻模 型 の 提 唱

  原 子 に お い て は,プ

ラス 電 荷 を持 つ 重 い 原 子 核 の 周 囲 に,マ

つ 軽 い 電 子 が 原 子 核 との 間 のCoulomb引

イナ ス 電 荷 を持

力 で 結 合 され,そ れ らの 電 子 が 殻 構

造 を な して い て,こ れ に よ って 元 素 の 周 期 律 が 説 明 で き る とい うこ とが よ く知 られ て い る.   多 数 の 陽 子 や 中性 子 が 集 ま っ て構 成 され て い る原 子 核 に お い て も,同 じ よ う な 殻 構 造 が 存 在 す る の で は な い か と い うア イデ ア は,ず い ぶ ん 早 い 時 期 か ら考 え られ て い た.実

際,陽 子 数(Z)や

な ど の 原 子 核 は,特

中 性 子 数(N)が2,8,20,28,50,82,126

に 結 合 エ ネ ルギ ーが 大 き く安 定 で あ り,元 素 の 周 期 律 表 に

お け る希 ガ ス に相 当す る よ う に見 え る.こ れ らの 数 を原 子核 にお け る マ ジ ッ ク ナ ン バ ー(magic

numbers)と

呼 ぶ が,こ の マ ジ ッ クナ ンバ ー を合 理 的 に説 明 す

る模 型 を 考 案 す る こ とは な か なか 困 難 で あ っ た.   原 子 に お け る殻 構造 は,電 子 が 原 子 核 か ら受 け るCoulomb力 テ ン シ ャル(正 確 に はHartree-Fockポ

に よ る1体 ポ

テ ン シ ャル)の 中の独 立 粒 子 運 動 で 記 述

で き る.こ れ と同様 に原 子 核 に お い て も,全 核 子(陽 子 や 中性 子)が 平 均 的 な1 体 ポ テ ン シ ャル を構 成 し,そ の 中の 各 々 の 核 子 の 独 立 粒 子 運 動 で 原 子 核 の 殻 構 造 を説 明 し よ う とい うア イデ ア に基 づ き,さ まざ まな 形 の1体

ポ テ ン シ ャル を

仮 定 し て上 記 の マ ジ ック ナ ンバ ー を説 明 す る 試 み が な され たが,な く行 か な か っ た.こ れ を解 決 した の が1949年 て 提 案 され たjj結 *1  M

合 殻 模 型(jj-coupling

にMayerお

shell model)で

よびJensenら

.G.Mayer,Phys.Rev.75(1949)1969;78(1950)16.

O.Haxel,J.H.D.Jensen 128(1950)295.

and

か なか うま

H.E.Suess,Phys.Rev.75(1949)1766;Z.Physik 

あ っ た.*1

に よっ

  Mayer-Jensenのjj結

合 殻 模 型 に お け る 単 一 核 子 の 従 うSchrodinger方

程

式 は

(1.1) で あ る.こ 働 く1体

こ で∇2は

ラ プ ラ シ ア ン で あ り,Mは

ポ テ ン シ ャ ル で あ る.lお

よ びsは

核 子 の 質 量,U(r)は

それ ぞ れ 核 子 の 軌 道 角 運 動 量 お よ

び ス ピ ン 角 運 動 量 を 表 す 演 算 子 で あ る. 

はMayerお

よびJensen

ら に よ っ て は じ め て そ の 重 要 性 が 見 出 さ れ た ス ピ ン 軌 道 力(spin-orbit の ポ テ ン シ ャ ル で あ り,こ

核 子に

force)

れ に よっ て は じ め て 上 記 の マ ジ ッ クナ ンバ ーが 説 明

さ れ た す ば ら し い 発 見 で あ っ た.

  1.1.1 

調 和振動子 波動関数

  Schrodinger方

程 式(1.1)の

解 を 調 べ る た め,1体

ポ テ ン シ ャ ルU(r)が3次

元 等 方 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャ ル  で あ る 場 合 を 考 え よ う.こ

で あ り, 

の と き,(1.1)式

は

(1.2) と 書 く こ と が で き る.エ

ネ ル ギ ー 固 有 値,固

有関数 は

(1.3a) (1.3b) と表 さ れ,主 量 子 数 はn=0,1,2,… り, 

で あ る. 

は球面調和 関数であ

とす れ ば,動 径 波 動 関 数Rnl(r)は

(1.4) と 表 さ れ る.こ

こ で 

はLaguerre多

項 式 で,

(1.5a)

(1.5b)

で あ る.*2   こ こで は1体

ポ テ ン シ ャル と して 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル を採 用 し て そ の エ

ネ ル ギ ー 固 有 値,固

有 関数 を 求 め た.定 性 的,あ

に は これ で 十 分 で あ るが,実

るい は半 定 量 的 な議 論 を行 う

際 の 原 子 核 にお い て 厳 密 な分 析 を行 う場 合,後 で

説 明 す る よ う な もっ と工 夫 され た現 実 的 な1体

ポ テ ン シ ャル を考 え な くて は な

らな い.

  1.1.2 

ス ピ ン 軌 道 ス プ リ ッテ ィン グ

  次 に,ス

ピ ン軌 道 力 を考 慮 し よ う.Schrodinger方

程 式(1.1)に

道 角 運 動 量 と ス ピ ン角 運 動 量 を合 成 し た全 角 運 動 量j=l+sの のz成

分mが

良 い 量 子 数 とな り,Uls(r)がrに

お いて は,軌 大 き さjと そ

よ らず 一 定 な らば,

(1.6a) (1.6b) が 固 有 関 数 と な る.こ Clebsch-Gordan係 ン 座 標 で あ る.ス

こ で, 

は 角 運 動 量 の 合 成 を 行 うた め の

数 で あ り, 

は 核 子 の ス ピ ン 固 有 関 数,σ

ピ ン 軌 道 力 が 比 較 的 小 さ い 場 合 に も,上

似 的 な 固 有 関 数 と 考 え て よ い.こ

の と き,エ

は ス ピ

の 

が 近

ネ ル ギ ー 固 有 値Enljは

(1.7) と 書 く こ と が で き,ΔElsは  

ス ピ ン 軌 道 力 ポ テ ン シ ャ ル 

に よ る 期 待 値 と な る.す

の

なわ ち

(1.8) で あ る.さ

て

で あ る か ら, 

は(l・s)の

固 有 状 態 で あ り,

(1.9) *2 Laguerre多

項 式 の表 記法 は

義 に よ る  Nuclear

Shell

,本

をLpqと Theory,

Academic

に よ っ て 異 な る こ とが あ る の で 注 意 を 要 す る.本 表 す 本 も 多 い.(た Press

(1963)).

と え ば,A.

de-Shalit

and

書 の定

I. Talmi:

と な る.し

た が っ て,

(1.10a) (1.10b) Uls(r)が

ス ピ ン に よ ら な い な ら ば,〈Uls〉

  核 子 の ス ピ ン は1/2で

あ る か ら,同

角 運 動 量 の 固 有 値 が  れ ら の2つ は,(1.10a)式

はj,mに

よ ら ず,n,lの

み で 定 ま る.

一 の 軌 道 角 運 動 量 の 量 子 数lを

と 

の2つ

持 ち,全

の 異 な る 状 態 が あ る.こ

の 状 態 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 に 対 す る ス ピ ン 軌 道 力 か ら の 寄 与ΔEls に 

を 代 入 し て,

(1.11)

が 容 易 に得 られ る.も

し 

押 し下 げ ら れ, 

(引 力)な らば, 

の 準 位が 上 に押 し上 げ られ る こ とに 注 目 し た い.

  ス ピ ン軌 道 力 が な い 場 合 に は,も の2つ

の 状 態 が,ス

の準位が 下に

と も とEnlに2重

縮 退 して いた

 

ピ ン 軌 道 力 に よ っ て 上 下 に 分 離 し た わ け で あ る.こ

ピ ン 軌 道 ス プ リ ッ テ ィ ン グ(spin-orbit

splitting)で

あ る.そ

れが ス

の 分 離 の 大 きさ は

(1.12) と な り,ス ピ ン軌 道 力 が 一 定(Uls(r)=定

数)な らば,大

きいlほ ど 大 き くな

る.こ の ス ピ ン軌 道 ス プ リ ッテ ィ ング に よ っ て,原 子 核 に お け る マ ジ ック ナ ン バ ーが み ご と に説 明 され た の で あ る.

  1.1.3  1体 ポ テ ン シ ャル と エ ネ ル ギ ー準 位   前 項 で は,簡 単 の ため1体

ポ テ ン シ ャルU(r)と

して3次 元 調 和 振 動 子 ポテ ン

シ ャル を と った.こ の と き,エ ネルギ ー 固有値 は(1.3a)式 とす る と,ゼ ロ点 エ ネ ルギ ー  ネ ル ギ ー 固 有値 はNだ 固 有 値 は  の状 態 は-パ

で 表 され, 

を除 け ば"励 起 子"hω のN倍

け で き ま る.す な わ ち3次 で あ る.N=偶

とな り,エ

元 調 和 振 動 子 の エ ネ ルギ ー

数 の状 態 は+パ

リテ ィ,奇 数

リテ ィで あ る.つ ま り3次 元 調 和 振 動 子 に お い て は,同 一 のN

で 異 な る 軌 道 角 運 動 量lの 状 態が 縮 退 し て い る.

  3次 元 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル を 原 子 核 の1体 う な値 に な るで あ ろ うか.質 量 数 をAと

ポ テ ン シ ャル と考 え る と,hω

はどの よ

す れ ば,核 半 径 は 

で 与 え られ る と考 え ら れ る.原 子 核 を 半 径 がR0の 球 とす る と,こ の 密 度 分 布 に 関 す る 距 離 の2乗

一様 な密度 の

の 平均 は

(1.13) と な る.ま ら,3次

た,エ

ネ ル ギ ー 固 有 値ENは(1/2)(N+1)(N+2)重

元 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル にN=0か

性 子(Z=N=A/2)を

と な る.た

詰 め る とす れ ば,核

だ し,2の

に縮 退 し て い る か

らN=Nの

準 位 まで 同 数 の 陽 子 と 中

子 の 総 数Aは

因 子 は ス ピ ン の 上 向 き,下

向 き を 考 慮 し た た め で あ る.こ

のと

きの 全 核 子 の エ ネ ルギ ー の 総 和Wは

で あ る.Nが

大 き い場 合 に は,こ

れ らの式 か ら

(1.14) が 得 ら れ る.一 方,調 の2倍

和 振 動 子 の 平 均 エ ネ ル ギ ー は ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー の 平 均

に 等 しい か ら,エ

ネルギ ーの総和 の平均 は

(1.15) で あ る.(1.13),(1.14),(1.15)の3式

か らWと

〈r2〉を 消 去 し て

(1.16) が 得 られ る.つ

い で なが ら,こ

の と きの 調 和 振 動 子 波 動 関 数 の 広 が りを 表 す 調 和 振 動

子 パ ラ メ ー タ ー は 

と な る.

  さて,井 戸 型 ポ テ ン シ ャル の 場 合 に は,調 和 振 動 子 にお い て 縮 退 して い る 同 一 Nに

対 応 す る 状 態 は 縮 退が 解 け,lが

大 きい 状 態 ほ ど エ ネル ギ ー 固 有 値 が 下が

る傾 向が あ る.現 実 の 原 子 核 に お け る平 均 ポ テ ン シ ャル は,井 戸 型 ポ テ ン シ ャル と調 和 振 動 子 ポ テ ンシ ャル との 中 間的 な もの で あ る と考 え られ,Woods-Saxon 型ポテ ンシャル

(1.17)

が よ く 用 い ら れ る.こ

こ で,U0は

テ ン シ ャ ル の 深 さ,R0は

ポ

核 半 径,a

は 核 表 面 で ポ テ ン シ ャ ルが 井 戸 型 と 異 な っ て 滑 ら か に 変 化 す る"滑 さ"(diffuseness)を

らか

表 し て い る.上

に 述 べ た よ う にR0=1.2A1/3fm (1fm=10-13cm)が

と ら れ る.パ

ラ メ ー タ ーaは0.6fm程

度 で あ る.

図1.1にWoods-Saxon型

ポ テ ンシ ャ

ル と調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャ ル の 比 較 が 図1.1 

Woods-Saxon型

示 さ れ て い る.   上 記 の よ う に,調

和振動子において

A=40,U0=-50MeV,a=0.6×10-13cm= 0.6fmと

は 縮 退 し て い る け れ ど も,井 戸 型 で は 縮 退 が 解 け,大

きいlの

状 態 のエ ネル

ギ ー 固 有 値 が 下 が る と い う 傾 向 は,も ち ろ んWoods-Saxon型 で も 見 ら れ る.調 (D=適

ポ テ ン シ ャ ル(実 線)と

調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル(破 線)の 比 較

と ら れ て い る.こ

半 径 はR0= な る.

調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャ ル はV0+(1/2)Mω2r2,V0 =-54.2MeVで

あ る.こ

がWoods-Saxon型

ポ テ ンシ ャル

の 場 合,核

1.2A1/3fm=4.10fm,hω=12.0MeVと

れ はr=R0の

点 で の 値

ポ テ ン シャ ル と一 致 す る よ う に

き め ら れ た も の で あ る.

和 振 動 子 ポ テ ン シ ャ ル に こ の 性 質 だ け を 付 加 す る に は,Dl2

当 な 定 数28ま

と え ば17Oや17F,に

子 準 位 に 入 る こ と に な り,そ 一 致 す る は ず で あ る.こ た はZ>28の

お い て は,最

れ らの 基 底 状 態 の ス

れ も実 験 結 果 と一 致 して

よ う な 少 し 重 い 原 子 核 で は ,図1.2

子 準 位 が 必 ず し も 正 し い 位 置 や 順 番 を 示 し て い な い の で,実

験 結 果 とは

必 ず し も一 致 しな い.逆

に この よ うな 原 子 核 に 対 して は,実 験 結 果 か ら本 当 の

1粒 子 準 位 の 順 番 な ど を推 定 す る こ とが で きる.   そ れ で は,閉 殻 核 の 上 に2粒 子 加 わ った 核 の 全 ス ピ ン は ど うな るか.実 験 に よれ ばNお

よびZが

と もに偶 数 の核(こ れ を偶 々 核(even-even

う)の 基 底 状 態 の 全 ス ピ ン は ほ とん ど例 外 な し に0で の1粒

子 準 位 に2個 の 同種 粒 子が 入 る と,こ の2個

は 

あ る.と こ ろ が ス ピ ンj

の粒 子 の 合 成 され た ス ピ ン

が 許 され る こ とが わ か って い る.(波 動 関 数 の 対 称 性 か

らJ=1,3,… J=0の

nucleus)と い

は 許 され な い.)こ れ らの(j+1/2)個

状 態 の エ ネ ル ギ ーが 低 くな って,そ の 結 果,偶

の 可 能 性 の 中 で,特

に

々核の基底状態 の全 ス

ピ ンが 例 外 な く0と な るの で あ る.す な わ ち,同 一 の1粒 子 準 位 に あ る2個 の 同種 粒 子 の 間 に は,合

成 ス ピ ン をJ=0に

組 ませ る よ うな特 別 な 相 関(相 互 作

用)が 働 くと考 え られ る.こ れ を対 相 関(pairing

correlation)と か,対 相 関 力

(pairing force)と 呼 ん で い る.   わ れ わ れ は 閉 殻 で な い 不 完 全 な殻 を オ ー プ ン 殻(open よ う.オ ープ ン殻 の2個

shell)と 呼 ぶ こ と に し

の 同 種 粒 子 は ス ピ ンが0の ペ ア ー(対)を 組 むが,さ

ら

に1粒 子 加 わ る とど うな る か.こ の と きは多 くの 場 合,基 底 状 態 の ス ピ ン は 当 該 の1粒

子 準 位 のjに

一 致 す る.

  以 上 述べ た こ と を 総 合 し て考 え る と,偶 々核 で は対 相 関 の 効 果 に よ って オ ー プ ン殻 に 入 って い る 同 種 粒 子 す べ て が ス ピ ン0の ペ ア ー(対)を 作 って 基 底 状 態 の 全 ス ピ ンがI=0と

な り,質 量 数Aが

で は,多

後 の 粒 子 が 入 る1粒 子 準 位 の ス ピ ンjが 基底 状 態 の全 ス

くの 場 合,最

奇 数 の 核(奇 核(odd

nucleus)と

い う)

ピ ン に 等 し くな る.   それ で は,対 相 関力 は ど こ か ら来 るか.原 子 核 は も と も と多 数 の 核 子 が 核 力 (nuclear force)と い う短 距 離 相 互 作 用 に よ っ て結 合 し た核 子 多 体 系 で あ る.第 0近 似 に お いて,こ れ らの 核 力 は平 均 ポ テ ン シ ャル を作 り,そ の 中で 核 子 は 近 似 的 に独 立 粒 子 運 動 を行 う とい う描 像 が 殻 模 型 の ア イデ アで あ り,こ の 描 像 が か な りよ く成 り立 つ こ とが わ か って きた.し か し なが ら,核 力 の 効 果が す べ て 完 全 に平 均 ポ テ ン シ ャ ル に な る わ け で は な く,当 然 の こ とな が ら平 均 ポ テ ン シ ャル に吸 収 され ない 相 互 作 用 も少 しは 残 る もの と考 え られ る.こ れ を残 留 相 互 作 用 (residual interaction)と 呼 ぶ.も

と も との 核 力 が 短 距 離 相 互 作 用 で あ る こ と を

考 え る と,残 留 相 互 作 用 も同 様 に短 距 離 相 互 作 用 とな る だ ろ う.後 で 詳 し く述 べ るが,同

一 準 位 に あ る 同種2粒

子 間 に 短 距 離 相 互 作 用 が 働 く場 合,J=0の

行 列 要 素が 特 別 に 大 きい こ とが わ か る.こ れ が 対 相 関力 の 源 で あ る.な お,対 相 関力 は 第2章

の2.2.1で

述 べ るWeizsacker-Betheの

質量 公 式(2.7)に

るペ ア リ ング ・エ ネ ル ギ ー δ(A)と 同根 で あ る と 考 え られ るの で,そ

現れ

の強 さは

δ(A)の 値 か ら推 定 で き る.   以 上 述 べ た よ うに,jj結   (1)1体

合 殻 模 型 の 最 も重 要 な 要 素 は,

ポ テ ン シ ャ ル と,そ の 中 に含 まれ る ス ピ ン 軌 道 力 ポ テ ン シ ャ ル,

  (2)オ ー プ ン殻 の 中の 核 子 間 に 働 く対 相 関 力. で あ り,こ れ ら に よっ て 原 子 核 の マ ジ ック ナ ン バ ー が 見 事 に説 明 され,多

くの

原 子 核 の 基 底 状 態 の ス ピ ン や そ の 他 の 性 質 が 理 解 で き る よ う に な り,jj結

合殻

模 型が 原 子 核 構 造 論 の 基 礎 とな り,出 発 点 とな る に 至 っ た.

1.2  配

位

混

合

  殻 模 型 に お い て は,原 子 核 の 基 底 状 態 は,閉 殻(芯)の 外 の オ ープ ン 殻 の1粒 子 準 位 に,エ ネ ルギ ーが 低 い 方 か ら順 番 に 陽子 や 中 性 子 が 入 る こ とに よっ て 作 られ る.た と えば 図1.3の

よ うに,影 の つ け て あ る 下 部 の 閉 殻(芯)の 準 位 は 完

全 に粒 子 が 詰 ま って い る と し,左 図 の よ うに 閉殻(芯)の

上 の 最 も低 い 準 位 に5

個 の 粒 子(陽 子 また は 中性 子)が 詰 ま っ て基 底 状 態 が で きて い る もの と し よ う. この5個

の 核 子 の うち何 個 か が,右

図 の よ うに,よ

り高 い 準 位 に励 起 す る こ と

に よ っ て 全 体 と し て の励 起 状 態 が で き る.   量 子 数(n,l,j)で

指 定 され る1つ の 準 位 に は,2j+1個

縮 退 して い る の で,図1.3の

の 異 な るmの

状態が

左 図 の よ うな状 態 とい え ど も,一 般 に は 多 重 縮 退

して い る.し か し前 節 で 述 べ た よ うに,オ ー プ ン 殻 の 核 子 の 間 に は残 留 相 互 作 用 が 働 い て い るの で,こ れ らの 多 重 縮 退 して い る状 態 の 中 で,相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー が 最 も低 くな る状 態 が 真 の 基 底 状 態 とな る.   ま た,図1.3の

右 図 で 示 され

る 励 起 状 態 の 場 合 も,核 子 の 励 起の仕 方 には極 め て多数の 可能 性 が あ る.こ れ らの 多 数 の 状 態 の 間に残留 相互 作用が 働い てい る は ず で あ る.し

た が っ て,真

図1.3 

殻 模 型 にお け る励 起 状 態 の概 念 図

の 基 底 状 態 や 励 起 状 態 は,オ ー プ ン殻 に 与 え られ た 個 数 の 核 子 が 配 置 され るす べ て の 可 能 な状 態(こ れ を配 位(configuration)と 用 を考 慮 して き まる.つ

い う)の 間 に働 く残 留 相 互 作

ま り,真 の 基 底 状 態 や 励 起 状 態 は,す べ て の可 能 な状

態 ベ ク トル で 作 られ るHilbert空

間 の 中で,全

ハ ミル トニ ア ン

(1.19) を対 角 化 す る こ と に よっ て得 られ る.こ こ で オ ープ ン殻 の 粒 子 数 をNと

し,i

番 目 の 粒 子 の1粒 子 ハ ミル トニ ア ン をhiと す れ ば,

(1.20) と 表 さ れ る.∇2iはi番

目 の 粒 子 の 座 標 に 関 す る ラ プ ラ シ ア ン で あ る.残

互 作 用 は 通 常 有 効 相 互 作 用(effective る と 考 え ら れ る の で,そ

interaction)と

呼 ば れ る2体

留 相

力 で 表 され

の ハ ミ ル ト ニ ア ンHintは

(1.21) と書 か れ る.有 効 相 互作 用 につ い て は 後 で 詳 述 す る.   この よ うな 殻 模 型 の さ ま ざ ま な 配 位 で で き るHilbert空

間 の 中 で,Hを

対

角 化 し て得 られ る真 の基 底 状 態 や 励 起状 態 は,一 般 に 殻 模 型 の さ ま ざ まな 配 位 を 線 形 結 合 し た混 合 し た状 態 とな るの で,こ mixing)と

の 方 法 を 配 位 混 合(configuration

呼 ぶ.こ れ に よ って 原 子 核 の 真 の 基 底 状 態 や 種 々 の励 起 状 態 を解 析

す る こ とが 可 能 で あ る.し か し オ ー プ ン殻 に 多 数 の 核 子 が 入 っ て い る よ うな 中 重 核 に お い て は,上 記 のHilbert空

間 の 次 元 数 が 巨 大 と な り,ハ ミル トニ ア ン

を 厳 密 に対 角 化 す る こ と は きわ め て 困 難 で あ る.実 際 に配 位 混 合 の 厳 密 な 計 算 が 可 能 な の は,粒 子 数 の 少 な い比 較 的 軽 い 原 子 核 や,閉 殻 核 に 近 い 原 子 核 の み で あ る.少

し重 い原 子 核 や 閉殻 か ら離 れ た 原 子 核 に お い て は,こ の 困 難 を解 決

す る た め の い ろ い ろ な近 似 法 や模 型 が 提 案 され て きた.こ

れ らが 原 子 核 構造 論

の 中心 的 テ ー マ で あ る と い っ て も過 言 で は な い だ ろ う.

 1.2.1  第2量

子化

  こ こ で は 上 記 の 配 位 混 合 の 定 式 化 を行 うた め の準 備 を し よ う.

  粒 子 数Nの 同 種 多 粒 子 系 を 考 え る.系 の 状 態 を 表 す 波 動 関 数   は,独 立 粒 子 の 波 動 関数,す なわ ち殻 模 型 の 波 動 関 数((1.1)式 の よ う な1粒

子Schrodinger方

程 式 の 解)の 積

(1.22) で 展 開 す る こ と が で き る.こ

こ でi番

を ま と め て  第2番

目 の 粒 子 の 空 間 座 標riと

で 表 し て い る.波

目,…,第N番

目 の 粒 子 が,そ

ス ピ ン 座 標 σi

動 関 数(1.22)は,第1番

れ ぞ れ, 

目,

の1粒

子状態 に

粒 子 の 入 れ 換 え に 対 し て 非 対 称 で あ る か ら,こ

の ま まで

あ る こ と を 意 味 す る.   波 動 関 数(1.22)は

は 同 種 多 粒 子 系 の 波 動 関 数 に は な ら な い.こ (boson)系

れ を も と に し て ,も

し系 が ボ ソ ン

な らば 完 全 対 称 関 数

(1.23) を作 り,も し フ ェル ミ オ ン(fermion)系

な らば 完 全 反 対 称 関 数

(1.24) を作 っ て,同 種 多粒 子 系 と し て 正 しい 波 動 関 数 に しな け れ ば な ら な い.こ こ で Pは 添 字 

に つ い て の 置 換 を意 味 し,符 号 因 子(-1)Pは 偶 置 換 に対 し  (1.25)

奇 置 換 に対 し で あ る.な お,ψFは determinant)と

行 列 式 の 形 に 書 く こ とが で き,こ れ をSlater行

呼 ぶ.こ

の よ う に し て 作 ら れ た 対 称 波 動 関 数 ψBま た は 反 対 称

波 動 関 数 ψFは 取 り扱 い が 結 構 面 倒 で,便 に お い て は,第4章 2量 子 化(second   Hilbert空 算 子(creation operator)と 状 態,す な わ ち 

利 で あ る と は い い 難 い.そ

を 除 くす べ て の 章 で 一 貫 し て,こ quantization)の

operator)と す る. 

な わ ち 真 空(vacuum)で

し,cα

こで本書

れ ら と まっ た く同等 な 第

方 法 を 用 い る こ と に す る.

間 に お け る 線 形 演 算 子c†αを1粒

で あ る.

列 式(Slater

子 状 態 α に 粒 子 を1個

を 粒 子 を1個

作 る生 成 演

消 す 消 滅 演 算 子(annihilation

を み た す 状 態 ベ ク トル￨0〉 は 粒 子 が ま っ た くな い あ る.￨0〉 は 規 格 化 され て い る も の と す る.す

N個

の 粒 子 が そ れ ぞ れ1粒

子 状 態 

に存 在 す る 場 合 の 状 態 ベ

ク トル は

(1.26) で 表 さ れ る.ま

た 

は 状 態 α に あ る 粒 子 の 個 数 を 表 す 演 算 子 で あ り,

す べ て の 状 態 に つ い て 和 を と っ た も の  個 数 演 算 子(number

operator)で

は系全体 の粒子数 を表す

あ る.

  生 成 ・消 滅 演 算 子 が 交 換 関 係(commutation

relations)

(1.27) を み た す な ら ば,状

態 ベ ク トル(1.26)は

ボ ソ ン のN粒

れ ら が 反 交 換 関 係(anti-commutation

子 系 で あ る.ま

た,そ

relations)

(1.28) を み た す な ら ば,状

態 ベ ク トル(1.26)は

に フ ェ ル ミ オ ン 系 の 場 合,反 状 態 に2個 ル(1.26)は

交 換 関 係(1.28)か

ら 

子 系 で あ る.特 と な る の で,同

以 上 の 粒 子 が 存 在 す る こ と は 許 され な い こ と に な っ て,状 自動 的 にPauli原

  わ れ わ れ の 当 面 の 目 標 は,殻 式 化 す る こ と で あ る.し で あ る.に

フ ェ ル ミオ ン のN粒

理(Pauli

principle)を

態ベ ク ト

み た し て い る.

模 型 の 配 位 混 合 を 第2量

た が っ て,扱

一

子 化 の 方 法 を用 いて 定

う系 は 多 核 子 系 で あ り,フ

も か か わ ら ず ボ ソ ン系 に も 言 及 し た 理 由 は,後

ェ ル ミオ ン系

の 章 で ボ ソ ン系 が 重

要 な 働 き を す る こ と に な る か ら で あ る.   さ て,(1.19),(1.20),(1.21)式

の よ うに 普 通 の 表 示 法 で 表 し た多 核 子 系 のハ

ミル トニ ア ン

(1.29) を,第2量

子 化 の 表 示 で 表 せ ば ど の よ うに な る か.

独 立 粒 子 状 態 の エ ネル ギ ー 固 有 値 εα,固 有 関 数 ψα は 固 有 値 方 程 式

(1.30) で き ま る.今 後,1粒

子 状 態(殻 模 型 状 態)を 詳 し く表 さ な け れ ば な ら な い と

き に は,量

子 数 

で 表 す こ と に す る.*3こ の 中 で  

は 準 位(レ

ベ ル)を 表 す 量 子 数 で あ る か ら,こ

と 表 す こ と も あ る.し

た が っ て,状

れ ら を ま とめ て  

態 α に お け る1粒

の よ う に 表 す こ と が で き る.ま εα はmα   第2量

子 の生成演算子 は  

た,1粒

子 エ ネル ギ ー 固有 値

に よ ら な い か ら εα と 書 く こ と に す る. 子 化 の 表 示 で 表 し た ハ ミ ル トニ ア ン は

(1.31) で あ る.こ

こで 行 列 要素 

は

(1.32) で 与 え られ る.Hintは

反 対 称 化 され た 行 列 要 素

(1.33) を 用 い て,

(1.34) と書 く方 が 便 利 で あ る.反

対称 化 され た行 列 要 素 は

 

の 反対 称 性 を み た す.   (1.29)式 は き ま っ た粒 子 数Nに 化 の 表 示 を と っ た(1.31)式 い.(1.26)式 ば,こ

対 す るハ ミル トニ ア ンで あ るが,第2量

の状 態 ベ ク トル の よ う に粒 子 数が き ま った ベ ク トル 空 間 内 で 扱 え

れ ら2種

類 の 表 示 に よる ハ ミル トニ ア ン(1.29)と(1.31)と

等 で あ る.何 よ り も第2量 子 化 の有 利 な点 は,(1.26)式

る点 で あ る.こ の よ う な有 利 な 点 を 利 用 す る た め,第4章

は完 全 に 同

の よ うに して作 った 状

態 ベ ク トル が 自動 的 に反 対 称 化 され て い て,自 動 的 にPauli原

し て 第2量

子

の ハ ミル トニ ア ン は特 定 の 粒 子 数 を指 定 し て い な

理 をみ た して い

を除 く本 書 全 体 を 通

子 化 の 方 法が 用 い られ る.

*3 陽 子 ま た は 中 性 子 の 状 態 で あ る こ と を 明 示 し な け れ ば な ら な い 場 合 に は に ア イ ソ ス ピ ン(isospin)のz成

分-1/2(陽

子)ま

た は1/2(中

性 子)を

,こ れ ら の 量 子 数 つ け 加 え る.

  1.2.2 

有 効相互作 用の全角運動 量展開

  核 子 の 対 演 算 子(pair

operators)を

次 の よ う に 定 義 し よ う.

(1.35a) (1.35b) こ こ で  お い て,mβ

で あ る.-β だ け を-mβ

と し た状 態,す

は1核

子 状 態 

に

な わ ち 

であ

る.こ れ らの 対 演 算 子 が 次 の 性 質 を持 つ こ と は容 易 に わか る:

(1.36a) (1.36b)  有 効 相 互 作 用Hintが

エ ル ミー ト(Hermitian)演

算 子 で,空

間 回 転 と 反 転,お

よ び 時 間 反 転 に 対 し て 不 変 で あ る と仮 定 す る と,

(1.37) と書 くこ とが で る.こ れ が 今 後 しば しば 使 わ れ る有 効 相 互 作 用 の2粒 運 動 量Jに

よ る 展 開式 で あ る.展 開係 数GJ(abcd)は

子の全角

実 数 とな り,*4次 の 関 係

式 を み た す:

(1.38a)

(1.38b) また 

で な け れば な らな い.

  つ い で な が ら,オ ー プ ン殻 に2核 子 が 存 在 す る と きの2核 子 系 の波 動 関数(状 態 ベ ク トル)に よる有 効 相 互 作 用Hintの 係 に つ い て 述 べ て お こ う.2核

行 列 要 素 と,上 記 のGJ(abcd)と

の関

子 系 の 規 格 直 交 化 され た状 態 ベ ク トル を

(1.39) *4 す べ て の 行列 要素 が 実数 とな る よ うに状 態 の位 相 を とる こ とが 可能 で あ る.以 後 そ の よ う な位 相 が と られ てい る もの とす る.

と表 す.記 号[…]JMは

全 角 運 動 量 の 大 きさ をJ,z成

分 をMに

合 成す ること

を意 味 す る.角 運 動 量 合 成 を表 す た め に,今 後 こ の 記 号 が しば しば 使 わ れ る. 状 態 ベ ク トル(1.39)に

よる 有 効 相 互 作 用.Hintの 行 列 要 素 は

(1.40) とな る.

  1.2.3  対 相 関 力   1.1.4に お い て,オ ープ ン殻 に あ る 同種 粒 子 間 に は粒 子 対 の 全 ス ピ ン をJ=0 に 組 ませ る よ うな 対 相 関 力が 働 くとい うこ と,近 距 離 力 で あ る 有 効 相 互 作 用 が そ の源 で あ る とい うこ とを 述べ た.有 効 相 互 作 用 と して,短 距 離 相 互 作 用 の 極 限 で あ る と こ ろ の δ関 数 型 の ポ テ ン シ ャル

(1.41) を と り,同 種 粒 子 間 の 行 列 要 素 を計 算 す る と,少 し 面倒 な 計 算 に な るが

(1.42) が 得 ら れ る.た

だ し 

た はlc+ld+J≠

で あ る.GJ(abcd)はla+lb+J≠

偶 数 の と き は0で

径 波 動 関 数Rnl(r)を

あ る.(1.42)式

の 中 のF0は1粒

偶 数,ま 子の動

用い て

(1.43) と表 され る.   単 一 の 準 位  用 す る場 合 に(1.42)式

にあ る2個

の粒 子 が δ関数 型 ポ テ ン シ ャ ルで 相 互 作

を適 用 して 行 列 要 素 を 求 め る と,

(J=偶

数) 

(1.44)

と な る.た

と えば,準

位 の ス ピ ン をj=9/2

の2粒

子 系 の 固 有 状 態 はJ=

と す れ ば,こ 0,2,4,6,8の5通 ベ ル は 図1.4の J=0の

りで あ り,エ

ネ ル ギ ー ・レ

よ う に な る.こ

の結 果か ら

レ ベ ルが 特 別 に 下 が る こ とが わか

り,対 相 関 力 が 短 距 離 力 か ら 由 来 す る こ とが う な ず け る で あ ろ う.   こ の よ う なJ=0の

核 子対が特 別に強 く

結 合 す る とい う短 距 離 力 の 特 徴 を強調 した相 互 作 用 が 対 相 関 力(pairing

force)で,そ

の

図1.4 

δ関 数 型 相 互 作 用 に よ る2粒

子

系 のエ ネル ギ ー 固 有 値 1粒 子準 位 の ス ピ ン はj=9/2.

行 列 要 素 は通 常

(1.45) と 定 義 さ れ る.G0は 要 素 に 

対 相 関 力 の 強 さ を 表 す 正 の 定 数 で あ る.(1.45)式

の 形 のj依

存 性 が 付 加 さ れ て い る 理 由 は,(1.42)式

と 置 い て み れば 直 ち に わ か る で あ ろ う.(1.45)式 相 関 ハ ミル ト ニ ア ン(pairing

を(1.37)式

の行 列 でJ=0

に 代 入 す る と,対

Hamiltonian)は

(1.46a) (1.46b) と 書 か れ る.た

  1.2.4 

だ し, 

で あ る.

準 ス ピ ン とセ ニ ョ リテ ィ

  こ こ で は オ ー プ ン 殻 に ス ピ ンjを

持 っ た 単 一 の 準 位(single-j

level)が

存在

す る 場 合 を 考 え る.   以 下 で 準 ス ピ ン(quasi-spin)の

理 論*5を

使 う こ と に す る.準

ス ピ ン演 算 子

S=(Sx,Sy,Sz)は

(1.47) *5  A

.K.Kerman,Ann.of

R.D.Lawson

Phys.12(1961)300. and

M.H.Macfarlane,Nucl.Phys.66(1965)80.

で 定 義 され る.た だ しnは 準位jに お け る粒子 数 演算子 で あ り,  で あ る.ま

た

 

で あ る.こ れ らの 演 算 子 は 交換 関 係

(1.48) をみ た す.こ の 交 換 関係 は 角 運 動 量 の 交 換 関係 と同 形 で あ る ので,準

ス ピンの

性 質 は 角運動 量 の それ と ま った く同様 で あ る.す な わ ち,  の 固有 値 をS(S+1)と は 量 子 数(S,S0)で き ま っ たSに

固 有 値 をS0と

指 定 で きる.Sは0ま

す れば,準

ス ピ ンの 固 有 状 態

た は 正 の 整 数 あ る い は半 整 数 で あ る.

対 し, 

  準 位jにn個 演 算 子Sは

し,Szの

の2S+1個

の 同 種 核 子が あ る場 合,す な わ ちjnの

すべ てJ=0対

が 許 され る.

配位 を考 え る.準 ス ピ ン

の 演 算 子 で 構成 され て い る か ら,全 角 運動 量 演 算 子

Jと 交 換 可 能 で あ る.す な わ ち  の 同 時 固 有 状 態 

で あ る.し たが っ て, 

を系 の 基 底 ベ ク トル とす る こ とが で きる.Szの

定 義 か ら 明 らか な よ うに

(1.49) で あ る.す

な わ ち,S0は

(additional

quantum

系 の 粒 子 数 を 定 め る 量 子 数 で あ る.α number)と

呼 ば れ,基

は付加量 子数

底 ベ ク トル を 完 全 に 指 定 す る た め

に 必 要 な 残 りの 量 子 数 を 意 味 す る.   演 算 子S_を

ベ ク トル 

1だ け 減 少 させ る.あ

るSの

に 作 用 さ せ る と,Sを 値 に 対 し て,最

変 え な い でS0を

小 のS0は-Sで

あ る か ら,

(1.50) で あ る.こ

の と きの 粒 子 数 をRacah代

セ ニ ョ リ テ ィ(seniority)ま

数 の 創 始 者Racahに

た は セ ニ ョ リ テ ィ数 と 呼 ぶ.演

粒 子 対 の 消 滅 演 算 子 で あ る か ら,(1.50)式 J=0対

な ら っ てυ と 書 き, 算 子S_はJ=0の

は ベ ク トル 

が ま っ た く含 ま れ て い な い こ と を 示 し て い る.(1.50)式

に を 用 い る と,

(1.51)

と な る か ら,準

ス ピ ン の 大 き さSと

セ ニ ョ リテ ィ数υ

との 関 係 は

(1.52) で あ る.   上 に 述 べ た よ う に,jnの れ る.量

子 数Sは

配 位 の 基 底 ベ ク トル は 一 般 に 

セ ニ ョ リ テ ィυ を 定 め,量

が わ か っ た の で,基

子 数S0は

粒 子 数nを

と表 さ 定 め ること

底 ベ ク トル は

(1.53) と 書 く こ と が で き る.   (1.50)式

を み た す よ う な 状 態 は,セ

う な 特 別 な 状 態￨jυ αυJM〉 state)と

呼ば れ る.こ

で あ り,最

ニ ョ リ テ ィ数υ が 粒 子 数nに

等 しい よ

高 セ ニ ョ リ テ ィ状 態(highest-seniority

の よ う な 状 態 ベ ク トル を 具 体 的 に 求 め る 方 法 は 後 で 述

べ る.   粒 子 数 がn,セ 態 にJ=0対 る.す

ニ ョ リ テ ィ数 がυ の 一 般 の 状 態 は,上 の 生 成 演 算 子S+を

記 の 最 高 セ ニ ョ リ テ ィ状

必 要 な 数 だ け 作 用 させ る こ と に よ っ て 得 ら れ

なわ ち

(1.54) で あ る.規 格 化 定 数 は

(1.55) で 与 え られ る.つ ま りセ ニ ョ リテ ィ数 は,J=0対 る.nが

偶 数 な らυ は 偶 数,nが

に 組 ん で い な い粒 子 数 で あ

奇 数 な らυ も奇 数 で あ る.

  い う まで も な く,異 な る セ ニ ョ リテ ィを持 つ 状 態 は 互 い に 直 交 す る.   真 空￨0〉 はn=0で n=υ=1,お

あ る か らυ=0で

あ る.簡 単 な最 高 セ ニ ョ リテ ィ状 態

よ びn=υ=2は,

(1.56a) J=偶 に よ っ て 与 え ら れ る.Clebsch-Gordan係  

と な る こ と に 注 意 せ よ.

数 ≠0 

数 の 対 称 性 に よ り,J=奇

(1.56b) 数 の場合

  一 般 に,粒 式 にS+を

子 数nのυ=1やυ=2の

状 態 は,そ

必 要 な 数 だ け 作 用 さ せ れば よ い.た

れ ぞ れ(1.56a)式

と えば,υ=2の

や(1.56b)

状態 は

(1.57) で あ る.(た

だ し,J=偶

数 ≠0.)

  1.2.5  対 相 関 ハ ミル トニ ア ンの 固有 値  単 一 準 位jに

あ るn個

の 同種 核 子が,(1.46)式

で 定義 した 対 相 関ハ ミル トニ

ア ンで 相 互 作 用 を し て い る もの とす る.こ の 場 合 の 系 の 全 ハ ミル トニ ア ンは

(1.58) で あ る.た  

だ し,ε

は 準 位jの1粒

子 エ ネ ル ギ ー で あ る.こ

に 作 用 さ せ, 

のHを

状態

を 考 慮 す る と,

(1.59) し た が っ て,

(1.60) を 得 る.す な わ ち,対 相 関 ハ ミル トニ ア ンの 固有 値 は

(1.61) で 与 え ら れ る.   偶 数 核 子 系 の 基 底 状 態 はυ=0と る.励

起 エ ネ ル ギ ー(excitation

な り,す べ て の 核 子 がJ=0対

n=偶

で あ る.奇 数 核 子 系 の 基 底 状 態 はυ=1で

数

  (1.62)

あ る.こ の 場 合 の 励 起 エ ネ ルギ ー は n=奇

で あ る.い ず れ にせ よ,励 起 エ ネ ル ギ ーが 核 子 数nに きで あ る.準 位 の ス ピ ンj(し

を組 ん で い

energy)は

数 (1.63)

よ らな い こ と は注 目すべ

たが って Ω)が 十 分 大 きい 場 合 に は,隣

り合 う

固 有 状 態間 の エ ネル ギ ー差 は   で あ り,こ れ はJ=0 対 を1個 壊 す エ ネ ル ギ ーが ∼G0Ω る こ と を示 し て い る.図1.5に

であ

偶数核子

系 の 励 起 エ ネ ル ギ ー の よ うすが 示 され て い る.

  1.2.6  単一 準 位 のcfp   前 に述 べ た よ うに,原 子 核 に お け る有 効 相 互 作 用 の 最 も重 要 な部 分 は 対 相 関 力 で あ り,1.2.2に お い て議論 した行 列 要 素 GJ(abcd)に

お け る,J=0の

図1.5 jn配

位(n=偶

数)に お け る 対 相

関 ハ ミル トニ ア ン に よる 励 起 エ ネル

部分であ

ギ ー ・ス ペ ク トル

る.し か し対 相 関 力 だ け で は 原 子 核 の 構 造 を 理 解 す る こ と は で き な い.わ れ われ は有 効 相 互作 用 に お け るJ≠0の も考 慮 に入 れ た 配 位 混 合 の 計 算 を し な け れば な ら ない.そ

部分

の た め に は,与 え ら

れ た 核 子 数 の 系 の 規 格 直 交 化 され た基 底 ベ ク トル を求 め な け れ ば な らな い.こ こ で は ス ピ ンjの 単一準 位 の場 合 を 考 え よ う.

  (a)1粒

子cfpの

定 義

  ｊn配 位 の 規 格 直 交 化 さ れ た 基 底 ベ ク トル を  状 態 を 指 定 す る た め に 必 要 なn,J,M以 加 量 子 数(additional

quantum

と す る.量

子数 αは

外 の す べ て の 量 子 数 をひ っ くる め た 付

number)で

あ る.規

格直交性 は

(1.64) で あ る.   任 意 の(n-1)粒  

子 系 の基 底 ベ ク トル 

を作 用 させ る とn粒

底 ベ ク トル 

に1粒 子 の 生 成 演 算 子

子 系 の状 態 ベ ク トル とな るか ら,こ れ をn粒

子系の基

で展 開す ると

(1.65) と 書 くこ と が で き る.展

開 係 数 

を1粒

子cfp(coefficient

of fractional

parentage)と

と もあ る.(1.65)式

か ら1粒

呼 ぶ.あ

る い は こ れ を 

子 の 生 成 演 算 子 

と表 す こ

の行列要素 は

(1.66) と な る.あ

る い は, 

は

(1.67) と書 くこ とが で き る. 粒 子 数 演 算 子 

の行 列 要 素 を 計 算 す る こ と に よ って,cfpの

規格直交性

(1.68) が 容 易 に得 られ る.こ の 規 格 直 交 性 を用 いれ ば,(1.65)式

の逆 の関係式

(1.69) が 得 ら れ る.(1.69)式

は,(n-1)粒

子 系 の 基 底 ベ ク トル か らn粒

ベ ク トル を 作 る 手 続 き を 示 し て い る .し た が っ て,cfpが

子系 の基底

与 え ら れ る な ら ば,こ

の 式 に よ っ て 任 意 の 粒 子 数 の 系 の 基 底 ベ ク トル を よ り少 な い 粒 子 数 の 基 底 ベ ク トル か ら 逐 次 作 る こ とが で き る.

  (b)1粒

子cfpの

計 算法

  さ て,問

題 は い か に し て 

オ ン の 反 交 換 関係 を使 う と,1粒

を 求 め る か で あ る.(1.69)式 子 演 算 子 

とフェル ミ

の行 列要 素は

(1.70)

と な る.右

辺 の 第2項

に(1.69)式

と(1.66)式

を 用 い れ ば,(1.70)式

は

(1.71) と 書 き直 す こ とが で き る.た

だ し,

(1.72) で あ る.*6こ

こ で 

で あ る.

  そ の 行 列 要 素 が(1.72)式 P2=Pを 行 列P(jnJ)の 値 が1に

で 定 義 され る よ う な 演 算 子P(jnJ)は,エ

ル ミー トで,

み た す 一 種 の 射 影 演 算 子 で あ る こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.し 固 有 値 は0ま

た は1で

あ る.一 方(1.71)式

属 す る 固 有 値 方 程 式 に な って い る.つ

た が っ て,

は,行 列P(jnJ)の 固 有 値 が1に

属

す る 規 格 直 交 化 され た 異 な る 固 有 ベ ク トル を量 子 数 α で 指 定(ラ ベ ル)す れ ば,そ

の

成 分 が(jn-1(α1J1)j1}jnαJ)で 行 列P(jnJ)の しか し,上

あ る.し

た が っ てcfp(n→n-1)を

固 有 値 方 程 式 を 解 い て,固 に 述 べ た よ うにP2=Pで

もの が 固 有 値 が1に

ま り,行 列P(jnJ)の

固有

有 値 が1の

計 算 す る に は,

固 有 ベ ク トル を 求 め れ ば よ い.

あ り,行 列P(jnJ)の

各 々の 列 ベ ク トル そ の

属 す る 固 有 ベ ク トル に な って い る か ら,そ れ ら をGram-Schmidt

の 直 交 化 法 で 規 格 直 交 化 す る方 が 数値 計 算 上 は 高 速 で 容 易 で あ る.   行 列P(jnJ)の

行 列 要 素(1.72)は,(n-1)粒

上 の 方 法 で 粒 子 数 を 順 次 増 し てcfpを n=2の

系 のcfpは

子 系 のcfpを

用 い て 与 え られ る の で,

求 め る こ とが で き る.た

と え ば,n=1お

よび

そ の 定 義 か ら 直 接 計 算 す る こ とが で きて,

 (1.73)

偶数, 奇数 で あ る か ら,こ

*6 

れ ら を(1.72)式

は6j

等 し い.詳

門 書 を 参 照 さ れ た い.た

Momentum,

Princeton 2nd

子 系 のcfpが

-記 号 と 呼 ば れ る 量 で あ り,Racah係

た(-1)a+b+c+aW(abcd;ef)に

Mechanics,

に 代 入 す れ ばn=3粒

ed.,

と え ば,A. Univ. Oxford

Press Univ.

R.

数W(abcd;ef)に

し く は,角 Edmonds,

(1957). Press

D.

M.

(1968).

符 号 肝

運 動 量(Racah代 Angular

Brink

Momentum and

G.

求 ま り,

R.

数)に in Satchler,

を か け 関 す る 専 Quantum Angular

(1.74) とな る.3粒

子 系(n=3)の

場 合,独 立 な状 態 を指 定 す る付 加 的 量 子 数 α は,  を み た す 偶 数 ス ピ ンJ'1と な る.

  (c)2粒

子cfp

  前 々項 に お い て 

を説 明 した が,場

合 に よっ て は2粒

子cfp

が た い へ ん 有 用 で あ る.  任 意 の(n-2)粒 子 

子 系 の基 底 ベ ク トル 

を作 用 させ る とn粒

子 系 の 基 底 ベ ク トル 

に2粒 子 対 の生 成 演 算

子 系 の状 態 ベ ク トル と な る か ら,こ れ をn粒 で展 開 す る と

(1.75) と書 くこ とが で き る.こ の と きの 展 開係 数  子 

で あ る.し たが って 対 演 算 子 

が2粒 の行列 要素は

(1.76) と な る.あ

る い は, 

は

(1.77) と 書 く こ とが で き る.ま

た,関

係 式

(1.78) の 両 辺 の 行 列 要 素 を計 算 し,(1.76)式

を使 えば, 

の規格直交性

(1.79)

が 容 易 に得 られ る.こ の 規 格 直 交 性 を用 いれ ば,(1.75)式

の 逆 の 関係 式

(1.80) が 得 られ る.

  2粒 子cfpを1粒

子cfpで 表 す こ とは 容易 で あ る.な ぜ な らば 対演 算 子  

の 行 列 要 素 を1粒 子 演 算 子 

の行 列 要 素 に 分 解 す れ ば よい か らで あ る.そ の

結 果 は,

(1.81) こ れ ら の2粒

子 

を 用 い れ ば,2体

力 の ハ ミ ル トニ ア ン

(1.82) の 行 列 要 素 は 簡 単 に 表 示 す る こ とが で きて,

(1.83) と表 され る.

  1.2.7  単一 準 位 の セ ニ ョ リ テ ィ ・ス キ ー ム のcfp   1.2.6で は,議 論 を簡 単 にす るた め,あ え て セ ニ ョ リテ ィを指 定 し な いで 基 底 ベ ク トル を作 っ た .一 方,殻 模 型 にお け る最 も重 要 な 残 留 相 互 作 用 は対 相 関 力 で あ る.1.2.5で

述 べ た よ うに,単 一 準 位 で 相 互 作 用 が 対 相 関力 だ け で あ れ ば セ

ニ ョ リテ ィが 良 い 量 子 数 で あ る.し か し,一 般 に は系 の 固 有 状 態 は 異 な るセ ニ ョ リテ ィ数 の 混 合 した 状 態 とな る.に

もか か わ らず 対 相 関力 の 強 い 殻 模 型 に お い

て は,配 位 混 合 の 基 底 ベ ク トル とし て は セ ニ ョリテ ィ数 で 指 定 した の 形 を と るの が 便 利 で あ る.こ の よ うな 方式(形式)を

 

セ ニ ョ リテ ィ ・ス キ ー ム

(seniority

scheme)と

呼 ぶ.以

下 で セ ニ ョ リ テ ィ ・ス キ ー ム に お け る 規 格 直 交

化 され た 基 底 ベ ク トル の 作 り 方 に つ い て 述 べ よ う.   セ ニ ョ リ テ ィ ・ス キ ー ム の 状 態 ベ ク トル を 作 る に は,1.2.4で ま ず 最 高 セ ニ ョ リ テ ィ(highest-seniority)の な 個 数 の0対

演 算 子S+を

述 べ た よ う に,

基 底 ベ ク ト ル を 作 り,これ

に必 要

作 用 さ せ て 一般 の 基 底 ベ ク トル を 作 る.

  (a) 最 高 セ ニ ョ リ テ ィ のcfp−cfp(hs)   単 一 準 位 に お け る セ ニ ョ リ テ ィ ・ス キ ー ム の 規 格 直 交 化 さ れ た 基 底 ベ ク トル を￨jnα

υJM〉

と す る.規

格 直交性 は

(1.84) で あ る.これ

らの 基 底 状 態 の う ち,最 高 セ ニ ョ リテ ィ状 態 を特 別 に

(1.85) と 表 す こ と に す る.   1粒 子 

は,1.2.6の

場 合 と ま っ た く 同 様 に,

(1.86) で 定 義 され る.これ

ら のcfpの

略 す:hsはhighest-seniorityの

中 で 最 高 セ ニ ョ リ テ ィのcfp(以 略)を

特 に 

後cfp(hs)と と 表 す.す

な わ ち,

(1.87) で あ る.これ

らのcfpの

規格 直交性 は

(1.88a) (1.88b)

と 書 か れ る.(1.69)式

と ま っ た く 同 様 に,

(1.89) で あ る.さ

て,最

高 セ ニ ョ リテ ィ状 態 の 場 合 に は(1.89)式

に対 応 す る 関 係 式 は

ど う な る で あ ろ うか.   こ こ で,セ

ニ ョ リ テ ィ・ ス キ ー ム で の 基 底 ベ ク トル を,1.2.4で

ス ピ ン の 表 記 法 を 用 い て(1.53)式 る 事 柄 の み に 限 られ る の で,簡  

を 単 に￨SS0〉

で 表 す.以

下 の 議 論 は セ ニ ョ リ テ ィに 関 す

単 の た め 量 子 数(αJM)は

と 表 すこ と に す る.状

生 成 演 算 子c† を 作 用 さ せ る と,粒

子 数 が1増

省 略 す る.す

態 ベ ク トル￨SS0〉

え る の でS0→S0+1/2と

SはS→S±1/2の2種

類 の 成 分 が で き る.つ

変 化 す る.し

高 セ ニ ョ リ テ ィ状 態 

た が っ て,最

議 論 した準

なわ ち

に1粒

子 の な り,

ま り セ ニ ョ リ テ ィが ±1だ

け

にc† を 作 用 させ

る と,

(1.90) と な り,右 辺 の 第1項 が セ ニ ョ リテ ィが1だ し た 成 分 で あ る.し た が っ て,第1項

け増 加 し た 成分,第2項

が1減

少

は 最 高 セ ニ ョ リテ ィ状 態 で あ る.次 に 準

ス ピ ン 演 算 子 を用 い て,演 算 子

(1.91) を 導 入 す る.演

算 子pを(1.90)式

の 両 辺 に 作 用 させ る と,

が 得 られ る か ら,演 算 子pは 状 態 ベ ク トル 

の 中 か ら最 高 セ ニ ョ リテ ィ

の 成 分 を 選 び 出す 働 き をす る.し た が っ て 最 高 セ ニ ョ リテ ィ状 態 に対 して は,

(1.92)

と な る.(1.92)式

は,(n-1)粒

子 系 の 最 高 セ ニ ョ リ テ ィ の 基 底 ベ ク トル か ら

n粒 子 系 の 最 高 セ ニ ョ リ テ ィ の 基 底 ベ ク ト ル を 作 る 手 続 き を 示 し て い る .し が っ て,cfp(hs)が

与 え られ る な ら ば,こ

た

の 式 に よ って 任 意 の 粒 子 数 の 系 の最

高 セ ニ ョ リ テ ィの 基 底 ベ ク トル を よ り少 な い 粒 子 数 の 基 底 ベ ク トル か ら逐 次 作 る こ と が で き る.

  (b)cfp(hs)の

計 算法

  最 高 セ ニ ョ リテ ィ のcfpの セ ニ ョ リテ ィの 状 態 に よ る1粒

計 算 は1.2.6の(b)項

と 同 様 に 行 う こ とが で き る.最 高

子 演 算 子 の 行 列 要 素 は,(1.92)式

を用 いて

(1.93) と書 か れ る.演

算 子pの

定 義 式(1.91)と,関

係式

(1.94) と を使 っ て(1.93)式

を書 き な お す と,

(1.95) が 得 られ る.こ

の 後,少

た す べ き 連 立 同次1次

し ば か りRacah代

数 に 関 す る 計 算 を行 っ た 後cfp(hs)の

み

方程 式

(1.96) が 得 ら れ る.た

だ し,

(1.97) で あ る.   (1.71)式 に お け る行 列P(jnJ)の Qを

み たす の で,行

の1組

列Q(jnJ)の

の 解 に な っ て い る.し

法 で 規 格 直 交 化 す れ ば,付

場 合 と 同様 に,行 列Q(jnJ)は

エ ル ミー トでQ2=

各 々 の 列 ベ ク トル そ の もの が 連 立1次 た が って

これ ら を,た

方 程式(1.96)

と え ばGram-Schmidtの

直交化

加 的 量 子 数 α で ラ ベ ル 付 け され た 独 立 な 組 のcfp(hs)が

得 られ る.   行 列Q(jnJ)の

行 列 要 素(1.97)は,(n-1)粒

子 系 のcfp(hs)を

の で,上

の 方 法 で 粒 子 数 を 順 次 増 し てcfp(hs)を

  (c)低

い セ ニ ョ リ テ ィ のcfp−cfp(ls)

  低 い セ ニ ョ リ テ ィ状 態(lower-seniority 対 の 生 成 演 算 子S+を

用 い て 与 え られ る

求 め る こ とが で き る.

state)は

最 高 セ ニ ョ リ テ ィ 状 態 に0

必 要 な 個 数 だ け 作 用 さ せ るこ とに よ っ て 得 られ る.す

な

わ ち

(1.98) で あ る.規

格 化 定 数Npυ

粒 子 演 算 子 

の 行 列 要 素 は 

い セ ニ ョ リ テ ィ のcfp(以 求 め られ る.結

与 え られ る.こ

の 状 態 ベ ク トル に よ る1

の 行 列 要 素 

質 や 交 換 関 係(1.94)を が,こ

は(1.55)で

は 準 ス ピ ンの 性

使 っ て 容 易 に 計 算 す るこ と が で き る.い の と き だ け0で 後cfp(ls)と

な い 値 を 持 つ.そ

略 す:lsはlower-seniorityの

うま で も な い の 結 果 か ら低 略)が

果は

(1.99) で あ る.

  (d) ま とめ   以 上 でcfp(hs)とcfp(ls)を

含 め た セ ニ ョ リテ ィ ・ス キ ー ム のcfpの

に 関 す る 定 式 化 が で きた.これに

すべ て

よ って 単 一 準 位 の 場 合 の 与 え られ た 粒 子 数 の

す べ て の 基 底 状 態 を作 るこ とが で き,ま た 配 位 混合 の 計 算に 必 要 な 種 々の 演 算 子の行 列要素 を は,これ

これ らのcfpを

らのcfpは

用 い て 表 すこ とが で きる.実 際 の計 算に お い て

数 値 デ ー タ と し て計 算 機 の 中に 保 存 され,必

要に 応 じて 呼

び 出 され るの が 通 例 で あ る.

  1.2.8  多 準 位 系 の基 底 ベ ク トル   オ ープン 殻 に単 一 の準 位(single-j level)し か 存 在 しな い 場 合 の 基 底 ベ ク トル  

の 構 成 の 方 法 は 上に 述 べ た通 りで あ る.し か し一 般に は オ ー プ ン

殻に 複 数 の 準 位 が あ る 多 準 位(many-levelま 準 位 の 数 をNと

た はmultilevel)系

し,各 準 位 の ス ピン を 

が 通 例 で あ る.

とす る.

  各 準 位 内 を記 述 す る基 底 ベ ク トル  は前述 の よ うに構 成 す る と し て,これ ら の 各 準 位 の 基 底 ベ ク トル の 積 を 作 り,全 体 の 全 角 運 動 量 を 合 成 し た基 底 ベ ク トル

(1.100) を構 成 す る に は も う1段 の 工 夫 が 必 要 で あ る.た だ し,  は{1,2,…,N}の

中 の特 定 の 組 で あ り,これ に よ っ てこ の 基

底 ベ ク トル を 構 成 す る準 位 が 示 され る.Iは

全 角 運 動 量 の 大 きさ,Kは

そ のz

成 分,α は 一次 独 立 な基底 状 態 を指 定 す る付 加 量 子 数 で あ る. は,ス

ピンjk1の

が(Jk1, Mk1)に

準 位k1にnk1個

の 粒 子 が 入 って,全

  分

角 運 動 量 お よびz成

合 成 され て い て,付 加 量 子 数αk1で 指 定 され る状 態に あ る こ

と を表 し て い る.こ の よ うな 状 態 は1.2.6な

ど の 項 で 説 明 した 単 一 準 位 のcfp

に よ っ て構 築 され る.   問 題 は,(1.100)式

の よ うに 各 準 位 の 基 底ベ ク トル の 積 ベ ク トル か ら,い か

に して 全 系 の規 格 直 交 化 され た 基 底 ベ ク トル を作 るか,とい の 目的 の た め に,従 来 のcfpと

うこ とで あ る.こ

は ま っ た く概 念 を異 にす る新 型 のCFPを

導入

す る.*7 *7  従 来 のcfpと K.

Takada,

は 異 な る 概 念 で あ るこ M.

Sato

and

S.

と を 強 調 す る た めに

Yasumoto,

Prog.

Theor.

,わ

ざ と 大 文 字 で"CFP"と

Phys.

104

(2000)

173.

表 す.

  (a) 新 型CFPの   N種

定義

類 の"粒 子" 

の ス ピンJkが

を 導 入 す る.これ

らの"粒 子"は そ

半 整 数 な ら フ ェ ル ミオ ン,整 数 な らボ ソン と し,(反)交

換 関係

(1.101a) (1.101b) を み た す もの とす る.  ￨0))をこ の"粒 子"の 真 空 とす る

.以 後,"粒

子"が0個

ま た は1個

のみ存在

す る状 態 ベ ク トル だ け を 考 え,規 格 直 交 化 され た 多"粒 子"状 態 を

(1.102) とす る.た だ し, 

は{1,2,…,N}の

中

の 特 定 の 組 で あ る.   要 す るに 多"粒 子"状 態(1.102)は,多 異 な る 準 位 の 状 態 を表 す 多 粒 子 演 算 子 

準 位 の 多 粒 子 状 態(1.100)に

おけ る

の 置 換に 関 す る対 称性 −

入れ 換 えに 対 し て 符 号 が 反転 す るか 否 か − の 性 質 の み を 表 す た め の仮 想 的 な "粒 子"で あ る .   さ てここ で,新

型 のCFP 

を次 式

で 定 義 す る:

(1.103) 書 き直 す と

(1.104) が 得 られ

る.iが{k1,k2,…,kn}の

記号(k1,k2,…,kn;i-1)は,(k1,k2,…,kn)の され

てい

る)こ

と を 意 味 す る.

中に

な い な ら ば,こ 中 か らiが

のCFPは0で

あ る.

抜 け 落 ち て い る(消

"粒 子"の 個 数 演 算 子 は

(1.105) で あ る.両

辺 の 行 列 要 素 を 計 算 し,(1.104)式

を 使 え ば,CFPの

規 格 直 交性 は

(1.106) と な る.CFPの

定 義 式(1.103)と

規 格 直 交 性(1.106)と

を使 っ て

(1.107) が 得 られ る.

  (b)  新 型CFPの   (1.107)式

計 算法

と(反)交

換 関係(1.101)式

と を 用 い て,"粒

子"の 生 成 演 算 子 の 行 列 要

素は

(1.108) と書 くこ とが で き る.右 直 せ ば,CFPが

辺 の{}の

中 の 第2項

み た す べ き連 立 同次1次

を(1.107)と(1.104)式

を使 っ て 書 き

方程式

(1.109)

が 得 られ る.た

だ し,

(1.110) で あ る.   行 列R(k1,k2,…,kn;I)は ベ ク トル そ の もの が 連 立1次 を,た

と え ばGram-Schmidtの

(additional

quantum number)α

れ る.数 値 計 算 上 は の で,後

エ ル ミー トでR2=Rを み た す の で,Rの 各 々の 列 方 程 式(1.109)の 解 に な っ てい る .し た が っ て これ ら 直 交 化 法 を使 っ て 規 格 直 交 化 すれ ば,付

で ラベ ル 付 け され た 独 立 な 組 の 新 型CFPが

これ で も よい が,普

通 は 割 合 小 さいnの

で 示 す よ うに 解 析 的に 求 め たCFPの

  (c) 新 型CFPに

加的 量子 数

方 が 有 用 で あ る だ ろ う.

関 す る有 用 な公 式

  い ま 考 え て い る 状 態に お い て は,"粒

子"数

は1ま

た は0で

あ る か ら,

ま た は0 

で あ る.両

辺 の 行 列 要 素 を 計 算 し,(1.104)式

の 任 意 のiに

求めら

場 合 の み が 必 要 と され る

対 す るCFPの

も う1つ

(1.111)

を使 え ば,{k1,k2,…,kn}の

中

の規格直交性

(1.112) が 得 られ る.こ

の 規 格 直 交 性 を(1.103)式

に 適 用 すれ ば,任

意 のiに

対 して

(1.113)

が 得 られ る.し

たが っ て 新 型CFPが

与 え られ た な らば,こ の 関係式 を使 っ て

低い"粒 子"数 の 状 態 か ら高い"粒 子"数 の 規 格 直 交 化 され た 状 態 を順 次 作 る こ とが で き る.

  (d) 新 型CFPの

具 体 的表 式

  もち ろ ん,CFPの

表 現 は 唯 一 で は ない.行 列 要 素 が(1.110)で

列Rの1つ

の 列ベ ク トル が1組

か ら ス ター トして 順 次nの 下 にn=4ま

で の1組

  記 号i, j, kお

な く,n=2の   CFPの

与 え られ る行

も簡 単 なn=1の

場合

大 きい 場 合 の 具 体 的 な 解 を求 め るこ とが で きる.以

の 解 を示 す.

よびlが

を表 す もの とす る.し

の 解 を 与 え るの で,最

それぞれ,第1,第2,第3お

たが って,た

場 合に はiとjの2種

とえ ばn=1の

よび 第4番

目の"粒 子"

場 合に はiの"粒

子"し か

類 の"粒 子"が あ る.

具 体 例 は 以 下 の 通 りで あ る.

n=1の

場 合,

(1.114) n=2の

場 合,

(1.115a) (1.115b) た だ しIは  n=3の

を み た さ な けれ ば な ら な い.

場 合,

(1.116a)

(1.116b) (1.116c) た だ し,こ

の 場 合,付

加 的 量 子 数 α は ス ピンI'1で

表 され る.

n=4の

場 合,

(1.117a)

(1.117b)

(1.117c)

(1.117d) た だ し こ の 場 合,付

加 的 量 子 数 α1は ス ピ ンI'1で 表 さ れ,α

は ス ピ ンI'とI"

の 組 で 表 さ れ る.*8

 (e)  まとめ   準 位 の 数 がN,各 え る.系 る か ら,結

準 位 の ス ピ ン がj1,j2,,…,jNで

の 基 底 ベ ク トル は,各

準 位 の1準

あ る よ うな 多準 位 系 を考

位 系 基 底 ベ ク トル の 直 積 で 構成 さ れ

局

(1.118) *8 

は9j-記

号 と呼 ば れ る 量 で あ る.詳

専 門 書 を 参 照 さ れ た い.*6

し くは,角

運 動 量(Racah代

数)に

関す る

と 表 さ れ る.し

た が っ て,系

の 基底 ベ ク トル を指 定 す る量 子 数 を整 理 す る と

  (1) 各 準 位 の 粒 子 数:n1,n2,…,nN.   (2) 各 準 位 の 付 加 的 量 子 数:α1,α2,…,αN.(こ

れ ら の 中 に は 各準 位 の セ

ニ ョ リ テ ィ も含 まれ る.)   (3) 各 準 位 の 多 粒 子 の 全 ス ピ ン:J1,J2,…,JN.   (4) 多 準 位 系 の 合 成 に 関 係 す る 付 加 的 量 子 数:α.   (5) 全 角 運 動 量 の 大 き さ とz成 と な る.(1.118)式

分:I,K.

の 左 辺 に お い て は,量

子 数(1)-(3)を

ま と め て,

(1.119) と表 示 され て い る.   この よ うに し て,各

々の 準 位 のcfpや,こ

成 す る た め の 新 型CFPを

用 い て,多

れ らの 多 準 位 の状 態 ベ ク トル を合

準 位 系 の 完 全 な 基 底 ベ ク トル が 完 成 し,

配 位 混 合 の 計 算 が 原 理 的 に は可 能 に な る.し か しな が ら,準 位 数Nや n=n1+n2+…+nNが

粒子数

大 き くな る と,基 底 状 態 の 数(し た が って 解 くべ き

固 有 値 問 題 の 次 元 数)は た ち ま ち膨 大 と な っ て,現 実 的 に は 計 算 不 可 能 と な る で あ ろ うこ とは 容 易 に推 測 で き る.   一般 に は,2種

類 の 核 子(陽 子 と中性 子)の 各 々の 系 を 合 成 して 全 体 の 系 の 状

態 ベ ク トル を 作 ら な けれ ば な らな い.そ の ため に 次 元 数 は さ らに 増 加 す る.た とえ ば,1s1/2,0d3/2お

よび0d5/2で

構 成 され る い わ ゆ るsd殻

大 の 次 元 数 は 陽 子 ま た は 中性 子 だ け な ら33次 元(陽 子 数Z=6,中 ま た はZ=0,N=6で 合 は15,386次 び0f7/2で

元(Z=6,N=6,I=3の

と き),陽 子,中

性 子 数N=0,

性 子 が と もに あ る場

と き)で あ る. 

およ

構 成 され る い わ ゆ るpf殻 に お い て,最 大 の次 元 数 は 陽 子 また は 中性

子 だ け な ら2,468次 の と き),陽 子,中 I=6の

全 角運 動 量I=2の

に お い て,最

元(Z=10,N=0,ま

た はZ=0,N=10で

性 子 が と もに あ る場 合 は232,623,876次

と き)で あ る.比 較 的 軽 いsd殻

全 角 運動 量I=4 元(Z=10,N=10,

やpf殻 で す ら この 次 元 数 で あ るか ら,

中 重 核 に な る と配 位 混 合 の 計 算 を正 直 に 実 行 す る こ と は不 可 能 で あ る.何

らか

の 模 型 や 空 間 の 切 断 や 近 似 が 必 要 に な っ て くる.こ れ こ そが 核 構 造 論 の最 重 要 問 題 の1つ

で あ るだ ろ う.

1.3  配 位 混 合 の 実例 と原 子 核 の 電 磁 気 的 性 質

  前節 に お い て,多 準 位 多 粒 子 系 の 基 底 ベ ク トル を作 り配位 混 合 を 行 う方法 につ い て 詳 し く述 べ た.我 calculation)と

々 は しば しば 配位 混 合 の 計 算 を殻 模 型 計 算(shell-model

呼 ん で い る.実 際 の 殻 模 型 計 算 を行 って,ど

構 造 が 理 解 で き るか,以

の よ うに 原 子 核 の

下 で そ の 実例 を示 そ う.ま た,原 子 核 の 性 質 を特 徴 付

け る い くつか の 物 理 量 が 考 え られ るが,中 で もそ の 基 底 状 態(お よび 低 い励 起 状 態)の 電 磁 気 的 性 質 は 重 要 で あ る.原 子 核 の 電 磁 気 モー メン ト(electromagnetic moment)が

殻 模 型 に よ っ て ど の よ う に理 解 で き るか 検 討 し よ う.

 1.3.1  有 効 相 互 作 用 の 選 択   原 子 核 は 多 数 の 核 子 が 核 力 とい う短 距 離 相 互 作 用 に よ っ て 結 合 し た 核 子 多 体 系 で あ り,核 力 は平 均 化 され 第0近 似 に お い て 平均 ポ テ ン シ ャル とな るが,こ の平 均 ポ テ ン シ ャル に吸 収 され な い残 留 相 互 作 用 が 残 り,こ れ が 有 効 相 互 作 用 と し て 殻 模 型 に お け る配 位 混 合 を引 き起 こ す 原 因 と考 え られ る.核 力 か ら有 効 相 互 作 用 へ 導 く理論 的 プ ロ セ ス につ い て は 第2章 で 議 論 す る こ と に して,こ で は 当 面,有 効 相 互 作 用 が 短 距 離2体   殻 模 型 計 算 に お け る2核 子i,j間

こ

力 で あ る と し よ う.

の 有 効 相 互作 用 は,通 常

(1.120) と書 か れ る.こ

こ でT,Sは,そ

び ス ピ ン状 態 を表 す.VTSは

れ ぞ れ,2核

子 の ア イ ソ ス ピ ン(isospin)お

有 効 相 互 作 用 の 強 さ(strength),PTSは2核

ア イ ソ ス ピ ン お よび ス ピ ンが それ ぞ れTお

よびSで

よ 子の

あ る状 態 へ の 射 影 演 算 子

で あ る.   有 効 相 互作 用 の 荷 電 独 立 性(charge るの で,当

該 の 核 子 が 陽 子(p)で

に,ア イ ソ ス ピ ン のz成

あ るか 中性 子(n)で

分 が-1/2か1/2か

す た め に合 成 し た ア イ ソ ス ピ ンTを (ppま た はnn)な 場 合 とT=0の

independence)を

らばT=1の 場 合 が あ る.い

仮 定 す るの が 普 通 で あ あ るか を 区 別 す る代 わ り

で 表 し,2核

子 の 荷 電 の状 態 を表

用 い るのが 便 利 で あ る.2核

み,異 種 核 子(pnま う まで もな く,2核

た はnp)な

子が 同種核子 らばT=1の

子 の ア イ ソ ス ピ ン波 動 関 数

はT=1の

と き対 称,T=0の

  有 効 相 互 作 用(1.120)の す る 関 数 が と ら れ る.殻 型 やYukawa型

と き 反 対 称 で あ る. 中 のf(r)と

し て,普

通 は2核

子 間の 距 離 だ け に 依 存

模 型 計 算 に お い て よ く用 い ら れ る 関 数 形 に は,Gauss

が あ る.Gauss型

は

(1.121) Yukawa型

は

(1.122) で あ る.こ れ らの 関 数 の 中 の μ は 相 互 作 用 の 到 達 距 離(range;作 数 を表 す パ ラ メ ー タ ーで あ る.ま た 場 合 に よ って は,f(r)と 核 の 表 面 に あ る と き(す な わ ちri=rj=R0の ル タ関 数 型 の力(SDI:

して2核 子 が 原 子

と き)に の み 作 用 す る よ うな デ

surface-delta interaction)を 仮 定 す る こ と もあ る.

  したが って,有 効 相 互 作 用(1.120)の 到 達 距 離 の 逆 数 を表 す μ との 計5個 な るが,こ

用 半 径)の 逆

中 に は,相 互 作 用 の 強 さを 表 すVTSと

が パ ラ メー ター と して 含 まれ て い る こ とに

れ ら の パ ラ メー タ ー の 値 は,殻 模 型計 算 の 問 題 ご とに 計 算 の 結 果 が

実 験 デ ー タ をで き るだ け よ く再 現 す る よ うに き めれ ば よい.   有 効 相 互 作 用が 与 え られ た な らば,1.2.2に

お いて 議 論 した行 列 要 素GJ(abcd)

が 求 め ら れ,有 効 相 互作 用 の ハ ミル トニ ア ンHintが

き ま る.こ れ に よ っ て 配

位 混 合 の 計 算 が 可 能 に な る.   上 に 述べ た有 効 相 互 作 用 の 中 のパ ラ メ ー ター は5個 で あ っ た が,も

っ と複 雑

な 関 数 形 を導 入 し,も っ と多 数 の パ ラ メ ー ター を扱 うこ と も可 能 で あ る.パ ラ メー ター の 数 が 増 え れ ば,そ れ だ け 計 算 結 果 が よ り多 くの 実 験 デ ー タ を よ り よ く再 現 で き るで あ ろ う.極 論 す れ ば 可 能 なす べ て の 行 列 要 素GJ(abcd)を

すべ

て 独 立 な パ ラ メー タ ー と して 取 り扱 い,配 位 混 合 の 計 算 結 果 が よ り多 くの 実 験 デ ー タ を再 現 す る よ うに きめ る こ と もで きる.一 般 には あ る領 域 の 原 子 核 を対 象 に した 場 合,行 多 い の で,完

列 要 素GJ(abcd)の

数 よ り再 現 す べ き実験 デ ー タ の 数 の 方 が

全 に それ らを 再 現 す る こ とは で きな いが,全

体 と し て で き るだ け

よ く再 現 す る よ うに行 列 要 素 を きめ る.ま た オ ープ ン殻 内 の 配 位 混 合 で は ど う して も理 解 で き な い よ うな 実 験 デ ー タ も存 在 す る の で,そ の よ うな デ ー タは 再 現 の 対 象か ら除 外 す る.こ の よ うな 分 析 を積 み 重 ね る こ と に よ っ て,対 象 とす る領 域 の 原 子 核 の 構造 や 有 効 相 互 作 用 の 性 質 に つ い て の 理 解 を深 め る こ とが で き る.こ の よ うな 考 え に 基 づ く分 析 は,最 初 にCohenとKurathに

よ ってp

殻 の 領 域(2と8の

マ ジ ッ クナ ンバ ー の 間 の 領域:オ ー プ ン殻が 

準 位 で 構 成 され る)に お い て行 われ た.*9そ の 後sd殻

やpf殻

の

にお いて も同様 な

試 み が な され て い る.*10こ の よ うな 方 法 を用 い た 計 算 結 果 につ い て は 後 述 す る.   原 子 核 を構 成 す る核 子 間 に働 く力 は 核 力 で あ る か ら,有 効 相 互 作 用 も核 力 か ら導 か れ る はず で あ る.有 効 相 互 作 用 を第1原 理 か ら(す なわ ち核 力 か ら)導 く の が 最 も望 ま し い こ とは い うまで もな い.し か し,そ の 理 論 に 関 して は さ まざ ま な検 討 が 必 要 で あ り,詳 し くは 第2章

で 述べ る こ と にす る.KuoとBrown

は そ の よ うな 理 論 を用 い て,有 効 相 互 作 用 の行 列 要 素 を数 値 的 に 求 め た.*11そ の 結 果 を 用 い た 殻 模 型 計 算 につ い て も後 述 す る.

 1.3.2  配 位 混 合 計 算 の い くつ か の 実 例   上 に述 べ た よ う に種 々 の有 効 相 互 作 用 の 選 択 を 行 い,配 位 混 合 の 計 算 を 割 合 簡 単 に 行 うこ との で きるsd殻

やpf殻

の い くつ か の 原 子 核 を例 に とっ て,エ

ネ

ルギ ー 準 位 の 計 算 結 果 を 実験 値 と比 較 して み よ う.な お,最 近 コ ン ピ ュ ー ター に 関 す る環 境 が 整 って きた の で,配 位 混 合 計 算 を取 り扱 う汎 用 プ ログ ラ ムが い くつ か 開発 され,公

開 され て きた.著 者(Takada)もSato,

Yasumotoと

し て,本 章 で 説 明 した 配 位 混 合 の 定 式 を用 い た 汎 用 プ ログ ラ ムjjSMQを

協力 作成 ・

公 開 した.*12以 下 の 計 算 例 に お い て は,他 の 多 くの 研 究 にお い て 提 案 され た 有 効 相 互 作 用 の パ ラ メ ー タ ーや 行 列 要 素 を このjjSMQに

入力 して 求 め た 結 果 が,

基 底 状 態 の エ ネ ルギ ー を基 準 に して,励 起 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー 準 位 の 形 で 示 され て い る.

  (a) sd殻 核 の 例   い わ ゆ るsd殻 核 は,マ ジ ッ クナ ンバ ー8と20の 殻 の1粒

子 準 位 が 

お よび 

  こ の 領 域 の 殻 模 型 計 算 はArimaら *9  S *10 B J. B. *11 T

. Cohen . H. B. A.

and

D.

Wildenthal, McGrory, Brown

Kurath,

Nucl.

Prog. Phys.

Part.

and

B.

Rev. H.

C8

Phys. Nucl. (1973)

Wildenthal,

ープ ン

で 構 成 され る 領域 の 核 で あ る.

に よ っ て 早 い 時 期 か ら精 力 的 に 行 わ れ 73

(1965)

Phys.

11

1. (1984)

5.

693. Ann.

Rev.

. T. S. Kuo and G. E. Brown, Nucl. Phys. *12 こ の パ ッ ケ ー ジ は 九 州 大 学 原 子 核 実 験 室 のFTPサ る.ftp://kutl.kyushu-u.ac.jp/pub/takada/jjSMQ/

間 の 領 域 の 核 で,オ

85

Nucl.

Part.

Science

(1966) 40. イ ト か らanonymous

38

(1988)

ftpで

29. 取 得 で き

た.*13以

下 の 図1.6−

図1.11に

示 は,彼

ら が 選 ん だYukawa型

お い て"Yukawa"ま お よ びGauss型

の パ ラ メ ー タ ー を 採 用 し た も の で あ る.以 は,有

よ う にWildenthalら

い う表

の 有 効 相 互作 用 と まっ た く同一

下 の 図 に お け る"USD"と

効 相 互 作 用 の 行 列 要 素GJ(abcd)を

殻 模 型 計 算 の 結 果 がsd殻

た は"Gauss"と

い う表 示

独 立 な パ ラ メ ー タ ー と し て 変 化 させ,

核 の 実 験 デ ー タ を 全 体 的 に で き る だ け よ く再 現 す る

に よ っ て きめ られ た 行 列 要 素 を 使 っ て 配 位 混 合 を 行 っ た

も の で あ る.行

列 要 素 の 値 は*10の

論 文 で 与 え ら れ て い る.ま

け る"Kuo"と

い う 表 示 は,KuoとBrownが

議 論 し た 核 力 か ら有 効 相 互 作 用

を 導 く理 論 を 用 い て 数 値 的 に 求 め た 行 列 要 素*14を 配 位 混 合 の 計 算 はHalbertら

た以下の図にお

用 い た も の で あ る.実

際の

に よ っ て 報 告 さ れ て い る.*15

  こ れ ら の 結 果 を 見 る と,さ す が に 多 数 の パ ラ メ ー タ ー を 探 索 し て 合 わ せ た "USD"が 実 験 値 を 最 も よ く再 現 し て い る .一 方,Yukawa型 お よびGauss型 の 有 効 相 互 作 用 で は 実 験 値 の 大 ま か な 傾 向 は 求 め ら れ る が,詳 ず し も う ま くい く と は い え な い.核

力 か ら 導 い たKuoの

細 に わ た って は必

行 列 要 素 の 方 が,む

し

ろ よ い 結 果 を 出 し て い る こ と は 注 目 す べ きで あ ろ う.

  (b) pf殻

核の例

  い わ ゆ るpf殻

は,マ

ジ ッ ク ナ ン バ ー20の

お よ び  も,陽

閉 殻 の 上 の4つ

子 ・中 性 子 数 が 比 較 的 少 な い 核 は,殻

図1.12お

よ び 図1.13に

模 型 計 算 が 容 易 で あ る.そ

い う表 示 は,上

のsd殻

た も の と ま っ た く同 一 の パ ラ メ ー タ ー を もつYukawa型

に,有

子 準 位,  の領域 において

た,"FPD6"と

核 に お い て用 い られ

の有 効相 互 作 用 を使 って

い う表 示 は,sd殻

効 相 互 作 用 の 行 列 要 素GJ(abcd)を

核 に お け る"USD"と

同様

独 立 な パ ラ メ ー タ ー と し て,殻

模 型計

算 の 結 果 が 実 験 デ ー タ を 全 体 的 に で き る だ け よ く再 現 す る よ う にB. ら*16に *13 T Y. *14 T *15 E

よ っ て 決 め ら れ た 行 列 要 素 を 使 っ た も の で あ る.た

. Inoue,

T.

Akiyama, S.

. C.

Halbert,

A523

H.

A.

. T.

Phys. *16 W . A.

Sebe,

Kuo,

4 (1971)

and

Nucl. J.

Phys. B.

M. 325.

and T.

A.

Sebe,

A103

McGrory,

Chap.

Richter, (1991)

Hagiwara

Arima

の例が

示 され て い る.

  こ れ ら の 図 に お い て"Yukawa"と

計 算 され て い る.ま

の1粒

で 構成 さ れ る オ ー プ ン 殻 で あ る.こ

B.

Arima,

Nucl.

Nucl.

Phys.

(1967)

71.

H.

Wildenthal

Phys.

A138

and

59

(1969)

P.

Brown

だ し,"Yukawa" (1964) 273

Pandya,

A.

1.

.

Advances

in

Nucl

6,315. G.

Van

der

Merwe,

R.

E.

Julies

and

B.

A.

Brown,

Nucl.

Phys.

.

図1.6  "Exp"は

18Oの

励起準位

実 験 値 を 示 す ."Yukawa"はYukawa型

メ ー タ ー はArimaら*13に

相 互 作 用(パ

ラ

よ る)を,"USD"はWildenthalら*10

の 行 列 要 素 を,"Kuo"はKuo*14の

図1.7 

行 列 要 素 を 用 い た 計 算 値 を 示 す.

18Fの

励起準位

記号 の 説 明 な ど は 図1.6参

照.

図1.8 

20Neの

励起準位

記 号 の 説 明 な ど は 図1.6参

図1.9  "Gauss"はGauss型 る)を

21Neの

相 互 作 用(パ

用 い た 計 算 値 を 示 す.そ

照.

励起準位

ラ メ ー タ ー はArimaら*13に

の 他 の 説 明 は 図1.6参

照.

よ

図1.10 

22Neの

励 起準 位

記号 の 説 明 な ど は 図1.9参

図1.11 

24Mgの

照.

励 起準位

記 号 の 説 明 な ど は 図1.9参

照.

図1.12  "Exp"は

42Caの

実 験 値 を 示 す

相 互 作 用(パ "FPD6"はB

励起準位

図1.13 

."Yukawa"はYukawa型

ラ メ ー タ ー は 図1.6と .A.Brownら

同 じ)を

44Tiの

励 起 準 位

記 号 の 説 明 など は 図1.12参

照.

用 い,

の 行 列 要 素 を 用 い た

計 算 値 を 示 す.

と"FPD6"に

お い て1粒

子 準 位 エ ネル ギ ー は 同 一 に と ら れ て い る.

  こ れ らの 図 か ら わか る よ う に,42Caや44Tiの い0+励

起 状 態 は,考

計 算 で は 閉殻(芯)と

実 験 デ ー タ に見 られ る割 合 低

え て い る よ う な簡 単 な 配 位 混 合 で は 説 明 で き な い .こ の 仮 定 され て い るsd殻 の 励 起 を 考 え な け れ ば 理 解 で きな い

よ うな,や や 特 異 な構 造 を持 った 状 態 で あ る と考 え られ て い る.

 1.3.3  原 子 核 の 電 磁 気 的 性 質 と配 位 混 合   原 子 核 の 基 底 状 態 お よび 励 起 状 態 の 波 動 関数 の 構造 を調 べ る に は,そ の 電磁 気 的 性 質が た い へ ん 重 要 で あ る.特 に,磁 気 双極 モ ー メン ト(magnetic-dipole moment)や

電 気4重

極 モ ー メン ト(electric-quadrupole

moment)が

最 も重 要

な 物 理 量 で あ る.さ ら に,原 子 核が 基底 状 態 や 励 起 状 態 間 を遷 移 す る と きに,γ 線 を放 出 ・吸 収 す るが,こ

のγ 線 の 性 質 や 遷 移 確 率 を測 定 す る こ と に よ って,

原 子 核 の 構 造 を調 べ る こ とが で きる.   こ こで は,磁

気 双 極 モ ー メ ン トお よび 電 気4重

極 モ ー メ ン トと配 位 混 合 との

関連 に つ い て 述 べ,電

磁 気 遷 移 確 率 に 関す る 定 式 化 と実 例 を示 す.

  (a) 磁 気 双 極 モ ー メ ン ト   原 子 核 の 全 ス ピ ンIが0で 持 つ.以

下,慣

な い な らば,原 子 核 は 磁 気 双 極 モ ー メ ン ト μ を

習 に し た が っ て,単 に 磁 気 モ ー メン ト(magnetic

moment)と

呼 ぶ こ と にす る.   原 子 の 中 で 原 子 核 を取 り巻 く電 子 が 作 る磁 場 と,原 子 核 の磁 気 モ ー メ ン トの 間 に は 弱 い な が ら相 互 作 用 が 働 き,原 子 の エ ネル ギ ー 準 位 に お け る縮 退 が 解 け, これ が 原 子 の スペ ク トル に お け る超 微 細構 造(hyperfine

structure)と

して 観 測

され る.こ れ を 調べ る こと に よ って 原 子 核 の ス ピ ンIを 決 定 す る こ とが で きる.   核 子 は そ れ 自 身で ス ピ ン角 運 動 量sに 比 例 す る磁 気 モ ー メ ン トを持 って い る. また,核 子 が 軌 道 角 運 動 量lで 運 動 す れ ば,lに

比 例 す る 磁 気 モ ー メン トを持

つ.た だ し 中性 子 は 電 荷 を持 た な い の で,軌 道 角 運 動 量 に よ る磁 気 モ ー メ ン ト は0で

あ る.し

たが っ て,核 子 の 磁 気 モ ー メ ン トは

(1.123) と 書 く こ と が で き る.gsお

よ びglは

お よ び 軌 道g因

g-factor)と

子(orbital

magneton) 

そ れ ぞ れ ス ピ ンg因 呼 ば れ,そ

子(spin

g-factor)

れ ら の 値 は 核 磁 子(nuclear

を 単 位と し て

で あ る.た だ しMは   い ま核 子 が1粒

(陽子 に 対 し) 

(1.124a)

(中性 子 に対 し) 

(1.124b)

核 子 の 質 量 で あ る.

子 状 態 

に あ る と し よ う.こ の状 態 で の μ の 期 待 値 を

(1.125) と書 くこ とが 可 能 で あ り,そ の よ うなgを 下 に 示 され る.(1.125)式   で 

はx,yお

よびz成

求 め る こ とが 可 能 で あ る こ とが 以 分 の3成

分 に 関 す る 式 で あ るが,

で あ るか ら,実 際 に 意 味が あ るの はz成

分 だ け で あ る.そ こ

の状 態 で の μ の 期 待 値

(1.126)

で も っ て 状 態 

の 磁 気 モ ー メ ン ト と 定 義 す る.因

因 子(g-factor)と   さ て1粒

状 態 

のg

呼 ぶ.

子 状 態 

き の 因 子gを

子gを

に 対 し て,(1.125)式

求 め る こ と に す る.ま

が 成 り立 つ こ と を 示 し,そ

ず,jとlは

の と

交換 関係

(1.127) を み た す.こ

れ ら を使 って

(1.128) お よび

(1.129) が 得 ら れ る.状

態 

と な る か ら,結

局

に よ る(1.129)式

の 両 辺 の 期 待 値 を と る と,左

辺 は0

(1.130) が 得 ら れ る.同

様 に し て,lの

代 わ り にsを

とると

(1.131) が 得 ら れ る.し

た が っ て,1粒

子 状 態 

に 対 し て(1.125)式

が 成 り立 ち,

g因 子 は

(1.132) と書 か れ る.j=l+sか が 得 られ る ので,こ

ら れ ら を(1.132)式

  に 代 入 す る と,磁 気 モ ー メン ト μ は

(1.133)

と な る. 

で あ る か ら,最

終 的には

(1.134)

が 得 ら れ る.こ

の 結 果 は1核

子 が(nlj)と

い う1粒

子 状 態 に あ る と きの 磁 気

モ ー メ ン トの 値 を 与 え る も の で,Schmidt値(Schmidt れ をjの

values)と

関 数 と し て 描 い た 図 をSchmidt線(Schmidt

1.14,1.15参

lines)と

呼 ば れ,こ

呼 ん で い る(図

照).

  多 核 子 が あ る 場 合 に は,磁 メ ン ト(1.123)の

気 モ ー メ ン トの 演 算 子 は そ れ ぞ れ の 核 子 の 磁 気 モ ー

和 で 表 され る.い

を μiと す る と,全

まi番

目の 核 子 の 磁 気 モ ー メ ン トの 演 算 子

体 の 磁 気 モ ー メ ン トの 演 算 子 μ は

(1.135) で あ る か ら,あ る多 核 子 状 態 

の 磁 気 モ ー メ ン トは

(1.136) を計 算 す れ ば よ い.こ

こ でsi,zお

よ び 軌 道 角 運動 量 演 算 子 のz成 第2量

子 化 の 表 示 お よび,磁

よ びli,zは 分 を 表 す.磁

そ れ ぞ れ 核 子iの

ス ピ ン演 算 子 お

気 モ ー メ ン トの 演 算 子(1.135)の

気 モ ー メ ン ト(1.136)の

具 体 的 表 式 につ い て は 後

述 す る.

  (b) 磁 気 モ ー メ ン トの 実 例   偶 々 核 の 基 底 状 態 の 全 ス ピ ンIは0で 奇 核 は こ れ に1核

あ る か ら,磁

子 を 加 え た も の で あ る か ら,最

た が っ て 最 後 の1核

子 が 入 る 準 位(nlj),に

え る の が 最 も単 純 な 考 え 方 で あ る.要

気 モ ー メ ン トは0で

後 の1核

よ っ て 磁 気 モ ー メ ン トが き ま る と 考

す る に こ の と き は,(1.134)式

値 で 核 の 磁 気 モ ー メ ン トが き ま る と い う こ と で あ る.閉

=-0.2642μNで

与 す る 陽 子 準 位 は0p1/2で あ り,μ(実

験 値)=-0.28312μNで

のSchmidt

殻 ±1の 原 子 核 で は こ

の 考 え が か な り よ く 成 り立 つ こ と が 実 験 デ ー タ か ら わ か る.た 底 状 態 はI=1/2で,関

あ る.

子 が 持 つ ス ピ ン,し

と え ば15Nの

基

あ る か ら μ(Schmidt値) あ る.ま

た17Oの

基底状

図1.14 

奇 数 陽子 核 の磁 気 モ ー メ ン ト

奇 数 陽子 核(中 性 子 数 は 偶 数)の 主 と し て基 底 状 態 の磁 気 モ ー メ ン ト の 測 定値 が,核 磁 子 μNを 単 位 と し,ス ピ ンjの 関数 と して描 か れ て い る.各 黒 点 が1個

の 原 子 核 を示 す.2本

の 実 線 はSchmidt線

を

表 す.

態 はI=5/2で,関

与 す る 中 性 子 準 位 は0d5/2,μ(Schmidt値)=-1.9128μN

μ(実 験 値)=-1.8928μNで   図1.14お

あ る(μNは

よ び1.15で

トが 最 後 の1核

核 磁 子).

わ か る よ う に,ほ

トの 実 験 値 はSchmidt値

,

とん ど の 奇 核 にお い て 磁 気 モ ー メ ン

か ら 大 き く異 な っ て い る.こ

れ は 奇 核 の磁 気 モ ー メ ン

子 の み か ら の 寄 与 で は 説 明 で き な い こ と を 意 味 し,原

子 核 の磁

気 モ ー メ ン ト は オ ー プ ン 殻 に お け る 多 核 子 の 配 位 混 合 の 影 響 を 強 く受 け て い る こ と を 示 し て い る.こ

の こ と を 確 か め る た め に ,2,3の

合 計 算 に よ る 磁 気 モ ー メ ン トの 計 算 値 とSchmidt値,お 示 さ れ て い る.こ

原 子 核 にお け る配 位 混 よ び 実 験 値 が 表1.1に

こ に 例 示 し た 核 の 磁 気 モ ー メ ン トは 配 位 混 合 に よ っ て ほ ぼ 説

明 で き る こ と が わ か る.磁

気 モ ー メン トを計 算 す る た め の 定 式 化 につ い て は 磁

気 遷 移 や 電 気 遷 移 の 定 式 化 と ま と め て 後 述 す る.ま

た,図1.14お

よ び 図1.15

図1.15 

奇 数 中 性 子 核 の磁 気 モ ー メ ン ト

奇 数 中 性 子 核(陽 子 数 は 偶 数)の 主 と し て 基 底 状 態 の 磁 気 モ ー メ ン トの 測 定 値 が, 核磁 子 μNを 単 位 と し,ス 子 核 を 示 す.2本 表1.1 

19Fと21Neの

vances

in Nucl.

C.

G.

325.)い

Van

Phys.

der

J. B.

4(1971)

Merwe,

R.

E.

McGrory,

Chap.

B.

出 のB.

A.

Julies

and

B.

A.

. Arima Noya,

,前

and

よび43Scの

出 のHalbertら P. Pandya,

の 計 算 に よ る.(W. Brown,

Nucl.

A.

Phys.

Richter,

A523

(1991)

子 を 使 っ て い る.

と ん ど の 実 験 値 が2つ

Horieら and

A.

H.

Horie,

Arima

and

のSchmidt線

の 間 に 分 布 し,外

Prog.

Theor.

Horie,

Prog.

Phys. 11 Theor.

側

れ も配 位 混 合 に よ っ て 理 解 可 能 で

に よ っ て 詳 し い 分 析 が な さ れ た.*17

H.

Ad-

計 算 は"FPD6"

の よ う な 磁 気 モ ー メ ン トへ の 配 位 混 合 の 効 果 に つ い て は,か

時 期 にArima,

H.

Wildenthal

Brownら

に 分 布 し な い こ と は 注 目 す べ き で あ る が,こ

*17 A

H.

6, 315.)43,45Caお

ず れ の 計 算 も 自 由 核 子 のg因

で 見 ら れ る よ う に,ほ

あ る.こ

の原

を 表 す.

相 互 作 用 を 使 っ て 配 位 混 合 を 行 っ た もの で

Halbert,

の 相 互 作 用 を 用 い た も の で,前 M.

関 数 と し て描 か れ て い る.各 黒 点が1個

配 位 混 合 に よる磁 気 モ ー メ ン トの 計 算(単 位 は μN)

計 算 はKuoの

の 論 文 に よ る.(E.

ピ ンjの

の実 線 はSchmidt線

(1954) Phys.

509; Suppl.

12 (1954) 623. 8 (1958)

33.

な り早 い

  すべ て の 原 子 核 の磁 気 モ ー メ ン トが オ ープ ン 殻 の 配 位 混 合 だ け で 説 明で き る わ け で は な く,オ ープ ン殻 以 下 の 閉 殻(芯)の 核 子 のg因

励 起 や,さ

らに 核 内 に お い て は

子 の値 そ の もの が 自 由 な核 子 の そ れ とは 異 な る とい う効 果 も考 え ら

れ る.

  (c) 電 気4重

極 モ ー メン ト

  核 の 荷 電 分 布 が 球 対 称 か ら ど の く らい ず れ て い る か を表 す 指 標 とな るの が 電 気4重

極 モ ー メン ト(electric quadrupole

moment)で,演

算子

(1.137) の 期 待 値 で あ る.た だ し,eは す る.核 の 荷 電 分 布,あ 極 モ ー メ ン トは0で

荷 電 単 位 で,和

は 陽 子 に 関 し て の みと る もの と

る い は 陽 子 の波 動 関 数 が 完 全 に球 対 称 な らば 電 気4重

あ る.

  い ま オ ー プ ン殻 に1個 の 陽子 が 存 在 し,そ の 陽 子 が(nlj)と にあ る と す る と,こ の 陽 子 に よ る 電 気4重

い う1粒 子 状 態

極 モ ー メ ン トは

(1.138) と な る.Qspの

添 字"sp"は"1粒

子(single-particle)"を

を 核 半 径 

意 味 す る. 

を 使 っ て 

と見 積 も

れ ば,

(1.139) と な る.こ

のQspが

  オ ー プ ン 殻 の1粒 動 関 数 は,対

核 内 陽 子 の4重 子 準 位(nlj)にn(奇

数)個

相 関 に よ っ て セ ニ ョ リ テ ィυ=1の

の 状 態 ベ ク トル は(1.54)式 ら 当 然J=jで

極 モ ー メ ン トの"1粒

あ る.こ

の 期 待 値 を 計 算 す る と,結

に お い てυ=1と

あ る.

の 陽 子 が あ る と きの 殻 模 型 の 波 状 態 で あ る と 考 え ら れ る.こ し た も の で あ る.υ=1で

の 状 態 に お い て,M=jと 果 の4重

子 見 積 も り"で

し て4重

あ るか

極 モ ー メ ン トQ

極 モ ー メ ン トQは

(1.140)

と な る.n=1,3,…,2jで (2j+1)/2に Q=0と

あ り,n=1か

ら順 次 陽 子 数 を 増 し て 行 く と,n=

お い て こ の 準 位 に 入 り う る 最 大 粒 子 数 の 半 分と な る.こ な り,そ れ 以 後 のQは

に な る.(1.139)式 前 半 のQは

そ れ 以 前 の もの の 符 号 を対 称 的 に逆 転 し た もの

か ら 明 ら か な よ う にQspの

マ イ ナ ス,後

で あ る の に 対 し,(1.139)式 で あ る.ま

た,39Kの

極 モ ー メ ン トは0で

際209BiのQ(実

な い 状 態 で あ る か らQspの

あ る.39Kの

たが っ

験 値)=-0.37e×10-24cm2 算 値)=-0.22e×10-24cm2

験 値)=0.054e×10-24cm2で

算 値)=0.04e×10-24cm2で

あ る.し

極 モ ー メ ン トの 実 験 値 はQsp

で 計 算 し た もの はQ(計

場 合Q(実

たが って 殻 の

験 結 果 も こ の 傾 向 を 示 し て い る.

殻 ±1個 の 陽 子 が あ る よ う な 原 子 核 の4重

に ほ ぼ 等 し く な る は ず で あ る.実

Q(計

値 は 負 で あ り,し

半 は プ ラ ス と な る.実

  閉 殻 の 荷 電 分 布 は 球 対 称 で あ る か ら4重 て,閉

の と き

あ る の に 対 し,

場 合 は 閉 殻 か ら 陽 子 が1個

少

符 号 を 逆 転 し た も の に 相 当 す る わ け で あ る.

  オ ープ ン殻 に多 数 の 核子 が あ る場 合 の 核 全 体 の4重

極 モ ー メ ン トは,

複 数 の 準 位 に またが る 配位 混 合 の 効 果 を 反 映 し て1陽

子 のQspと

はか

な り異 な った 値 を示 す.そ の 場 合 の 電 気4重 極 モ ー メ ン トを 求 め る ため の一 般 的 な定 式 化 は,次 項 で 電 磁 気 遷 移 の 定 式 化 と と も に与 え られ る.   奇 核 の 基 底 状 態 の4重 極 モ ー メ ン トの 実験 値 とQspと Zま た はNの

の 比が,奇 数 の

関数 と して図1.16に

描 か れ て い る.こ の 図か ら隣 り合 う マ ジ ッ クナ ンバ ーの 中 間の 領 域 の 原 子 核 の4重 極 モ ー メン トは極 め て 大

図1.16 

奇 核 の 電 気4重 実 験 値 とQspと

きい 値 を示 し,場 合 に よって はQsp

横 軸 は 奇 数 の 陽子 数Zま

の20∼30倍

す.各

に もな る こ とが あ る.こ

れ を説 明 す る た め に は オ ープ ン殻 に

黒 点 が1個

科 年 表(平 よ り.

成11年

極 モ ー メ ン トの の比

た は 中 性 子 数Nを

表

の 原子 核 を 表 す.デ ー タは 「理 度 版)」 国 立 天 文 台 編(丸 善)

お け る単 純 な 配 位 混 合 とは 異 な る 別 の 考 え方 が 必 要 に な る で あ ろ う.   表1.2に

配位 混 合 に よ る電 気4重

極 モ ー メ ン トの 計 算 値 が 例 示 され て い る.

こ の 結 果 のQ(計 算値1)を 見 る と,4重 極 モ ー メン トの 値 は1粒 子 見 積 も り￨Qsp￨

表1.2 

Q(計

算 値1)は

配位 混 合 に よ る 電 気4重

陽 子 の 電 荷 をep=1.0e,中

る の に 対 し,Q(計 ep=1.5e,

極 モ ー メ ン トの 計 算(単 位 はe×fm2)

算 値2)で

en=0.5eと

性 子 の 電 荷 をen=0と

は 有 効 電 荷 が 使 わ れ て い る.す し,43,45Scに

て い る.19Fと21Neの

対 しep=1.33e,

計 算 はKuoの

で 引 用 し たHalbertら

し て計 算 され て い

な わ ち,19Fと21Neに en=0.64eと

対 し して 計 算 され

相 互 作 用 を 使 っ て 配 位 混 合 を 行 っ た もの で,表1.1

の 論 文 に よ る.

に 比べ 配 位 混 合 に よっ て大 幅 に 増 加 す る こ とが わ か る.し か し まだ 実 験 値 と比 べ 半 分 以 下 で あ る.そ こ でQ(計

算値2)の

計 算 の よ う に,有 効 電 荷(effective

charge)と

い う考 え 方 を導 入 す る こ と に よっ て,通 常 の 殻 模 型 計 算 で 採 られ る

Hilbert空

間の 狭 さ を実 効 的 に 補 う効 果 を果 た させ るの が 普 通 で あ る.

  (d)  電 磁 気 遷 移 と モ ー メ ン ト に 関 す る 定 式 化   原 子 核 の 基 底 状 態 や 励 起 状 態 の 性 質 や 構 造 を 調 べ る た め に,そ の 単 位 時 間 当 た りの 電 磁 気 遷 移 確 率 を 計 算 し,実 る.本

れ らの 状 態 間

験 と比 較 す る こ とが 重 要 で あ

項 で は そ の た め の 定 式 化 を 示 そ う.

  い ま 電 気(磁

気)多

重 極 遷 移 演 算 子(electromagnetic

operator)をM(E(M)λ

μ)と す る.た

遷 移 な らM(E2μ)で M(M1μ)で

あ り,磁

あ る.単

気2重

と え ば 電 気4重 極(双

multipole 極(electric

極)(magnetic

transition quadrupole)

dipole)遷

移 な ら

位 時 間 当 た りの 遷 移 確 率 は

(1.141) と 表 さ れ る.Iiお の ス ピ ン で あ る.ω 率(reduced

よ びIfは

そ れ ぞ れ 遷 移 の 前 後 の"始

は 放 出(吸 収)さ

transition

probability)と

状 態"お

れ る 光 の 角 振 動 数 で あ る.Bは

よ び"終

状 態"

換算遷移確

呼 ば れ,

(1.142)

で 与 え ら れ る.右

辺 の 行 列 要 素 はWigner-Eckartの

定 理 を 使 っ て,

(1.143) と書 くこ とが で きる か ら,換 算 遷 移 確 率 は

(1.144) と 表 さ れ る.  で,換

は ス ピ ン(角 運 動 量)のz成

算 行 列 要 素(reduced

matrix

移 確 率 を 求 め る た め に は,こ   演 算 子M(E(M)λ

element)と

呼 ば れ る.し

分 に よ ら な い量 た が って 電磁 気 遷

の 換 算 行 列 要 素 を 求 め れ ば よ い こ と に な る.

μ)を 第2量

子 化 の 表 示 で 表 せ ば,

(1.145) と書 か れ る.こ

こ でa,bは

核 子 の1粒

子 状 態 を表 す.ま

た 演 算 子 

は

(1.35b)式 で 定 義 され る対 演 算 子 で あ る.  1粒 子 遷 移 演 算 子 

は電気遷移 の場合は

(1.146a) で あ り,磁 気 遷 移 の 場 合 は

(1.146b) で あ る.(1.146a)式 しeeff=0と

のeeffは 有 効 電 荷 で あ り,陽 子 に対 しeeff=e,中

す るの が 最 も単 純 で あ るが,多

中性 子 に対 しeeff=δeと

性子に対

くの場 合,陽 子 に対 し  

置 き,δeは 適 当 な調 節 可 能 なパ ラ メー ター と して 計 算

結 果 の遷 移 確 率 が 実 験 値 にほ ぼ 合 うよ う に選ぶ の が 通 例 で あ る.同 様 に(1.146b) 式 のglやgsも

有 効g因 子 と考 え,調 節 可 能 な パ ラ メ ー ター と し て取 り扱 うこ

と も多 い.   さ て,(1.145)式 表 式 は,少

に 現 れ た 遷 移 演 算 子M(E(M)λ

し面 倒 な計 算 を経 て,電

μ)の 換 算 行 列 要 素 の 具 体 的

気遷移の場合 は

(1.147)

と な る.た

だ し, 

で あ る.1粒

子 状 態 の 動 径 波 動 関 数 をRnl(r)と

すれば

(1.148) で あ る.磁 気 遷 移 の 場 合 は

(1.149) (1.150) で あ る.   以 上 で 多 重 極 遷 移 演 算 子 を具 体 的 に 書 き下 す こ とが で きた の で,遷 移 の 始 状 態 

お よび 終状 態 

を使 って 行 列 要 素 を計算 す れ ば(1.144)式

で換

算 遷移 確 率 が 計 算 で きる.   特 別 な場 合 と して 電 磁 気 モ ー メ ン トの 具 体 的表 式 を与 え て お こ う.多 粒 子 状 態 

に お け る λ次 の 電 気 モ ー メン トは

(1.151a) と な り,ま

っ た く 同 様 に λ 次 の 磁 気 モ ー メ ン トは

(1.151b)

表1.3 

"計 算 値1"は 対 し,"計 Kuoの

電 気4重

極 換 算 遷 移確 率 

陽 子 の 電 荷 をe

算 値2"で

p=e,中

の計 算(単 位 はe2×fm4)

性 子 の 電 荷 をen=0と

は 有 効 電 荷ep=1.5e,en=0.5eが

して 計 算 され て い る の に 使 わ れ て い る.こ

相 互 作 用 を 使 っ て 配 位 混 合 を 行 っ た もの で,表1.1で

よ る.(E.C.Halbert,J.B.McGrory,B.H.Wildenthal in Nucl.Phys.4

(1971)

and

の 論 文 に

P.Pandya,Advances

Chap.6,315.)

で あ る.こ れ ら の 式 の 中 で,遷  

れ らの 計 算 は

引 用 し たHalbertら

移 演 算 子 の1粒

は,そ れ ぞ れ(1.147)式

行 列 要 索 

子 行 列 要 素 

お よ び(1.149)式

や

で 与 え られ,多

粒子

は 配位 混 合 計 算 で 得 られ る.同 様 に して,配 位

混 合 計 算 の 結 果 得 られ る特 定 の 固有 状 態 間 の 電 磁 気 的 遷 移 確 率 も,そ れ らの 固 有 状 態 間 で の(1.145)式

で 与 え られ る多 重 極 遷 移 演 算 子 

行 列 要 素 を計 算 し,(1.144)式

に代 入 す る こ と に よ って 求 め られ る.

  以 上 の 表 式 を用 い て,配 位 混 合 計 算 に よる電 気4重 示 す."計 合 で,計

算 値1"は

の換 算

有 効 電 荷 を 用 い な い 場 合,す

極 遷 移 の一 例 を 表1.3に

な わ ちep=e,en=0の

場

算 値 が 実 験 値 に比 べ て小 さ過 ぎ,有 効 電 荷 な し に は 到 底 実 験 値 を 再 現

で きな い こ とが わ か る."計 算 値2"で

は 有 効 電 荷 と してep=1.5e,en=0.5e

が と られ て い る.

1.4  殻 模 型 に 関 す る結 語

  こ の 章 で 見 て 来 た と お り,jj結

合 殻 模 型 は 原 子 核 の 構 造 を理 解 す るた め の 基

礎 で あ り,出 発 点 で あ っ た.そ れ は 核 力 とい う短 距 離 力 で 相 互 作 用 して い る 核 子 多 体 系 で あ る と こ ろ の 原 子 核 に お い て,第0近

似 と して 平 均 ポ テ ン シ ャ ル が

形 成 され,そ の ポ テ ン シ ャル の 中 を核 子 が 独 立 粒 子 運動 を 行 い,そ の 核 子 間 に 残 留 相 互 作 用 が 働 い て 配 位 混 合 が 生 じ,そ れ に よ っ て原 子 核 の 基 底 状 態 付 近 の さ ま ざ ま な性 質が 説 明 で きる,と い う考 え 方 で あ る.こ の考 え 方 が 確 実 に 成 立 して い る こ とが 明 らか に な っ て きた.   し か し な が ら,オ ープ ン殻 に 多 数 の 核 子 が 存 在 す る よ う な 中重 核 に な る と,

配 位 混 合 の 計 算 の た め に は 巨大 な 固 有 値 問 題 を解 か な くて は な らな くな り,極 め て 困 難 と な る.近 年,そ の よ うな 巨大 次 元 問 題 に ア プ ロー チ す る さ まざ まな 試 み も な され て きた.*18   一方,原

子 核 の 基 底 状 態付 近 の 構 造 を 決 定 す るの に,オ ー プ ン殻 の す べ て の

自由 度 が 関 与 して い る わ け で は な く,よ く組 織 化 され た わ りあ い 少 数 の 自 由度 の みが 寄 与 し て い るの で は な い か と い う考 え が あ る.す な わ ち,わ

りあ い 少 な

い 自由 度 を持 つ 空 間で 記 述 で き る とい う考 え で あ る.こ の こ と を確 か め る こ と 自体 が 真 の 原 子 核 構 造 の 姿 を 理 解 す る こ と に な る と思 わ れ る.そ の た め に は, 殻 模 型 空 間 を う ま く切 りつ め て 縮 小 す る方 法 を見 出す こ とが 大 切 で あ る.   ま た,た 値 が,殻

と え ば 図1.16の

よ う に,原 子 核 の 電 気 的4重

極 モ ー メン トの 実 験

模 型 で 簡 単 に は 理 解 で きな い よ う な大 きな 値 を もつ 領 域 が 広 く存 在 す

る と い う事 実 は,殻 模 型 を基 礎 に しなが ら も,さ らに 拡 張 され た 新 しい模 型 を 考 え な け れ ば な ら な い こ と を示 唆 し て い る.こ れ が 以 後 の 章 で 議 論 す る こ とに な る集 団 模 型(collective model)や て い くの で あ る.

*18 大 塚 孝 治

,科

学,69(1999)945.

ク ラ ス タ ー模 型(cluster model)に

つ なが っ

2 核力か ら有効相互作用へ

2.1  核 力 の 概 観

  原 子 核 は核 力(nuclear

force)と い う短 距 離 力 で 相 互 作 用 し て い る核 子 多 体 系

で あ り,核 子 間 に 働 くこれ らの 核 力 が 第0近 似 で 平 均 化 され て 平 均 ポ テ ンシ ャ ル を作 る とい う こ と は 第1章 子 間 に働 くCoulomb力

で 述べ た.原 子 に お け る原 子 核 と電 子 の 間や,電

に 比 べ て,核 力 は 短 距 離 力 で か つ 極 め て 強 い 相 互 作 用

(strong interaction)で あ る.こ の よ うな 核 力 が なぜ 平 均 ポ テ ン シ ャ ル を 構 成 し,核 内核 子 が なぜ 独 立 粒 子 運 動 を行 うか と い うこ とは,た 難 しい こ との よ うに 思 わ れ た.こ

いへ ん 考 え に く く

の こ とを 明 らか にす る の が 本 章 の 第1の

目的

で あ る.ま ず 核 力 を概 観 す る こ と に し よ う.   Coulomb力

と違 っ て,核 力 は そ の概 括 的性 質 は わ か っ て きたが,現 在 で も完

全 に解 明 さ れ た わ け で は な い.通 常,核

力 は 中 間子 理 論 に 基 礎 を お き なが ら,

自 由空 間 に お け る 核 子-核 子 散 乱 や 重 陽 子(陽 子 と 中性 子 の 束 縛 状 態)に 関 す る 実 験 デ ー タ を再 現 す る よ うに きめ られ て い る.し た が って,い 核 力 が 提 案 され,実

際 の 研 究 に 引 用 され て い る.

  大 雑 把 に い えば,核 力 の 到 達 距 離(range;作 波 長(Compton

くつ か の 異 な る

wave

length)の

用 半 径)は π 中 間子 のCompton

 

(mπ は π 中 間子 の 質 量,1fm=10-13cm) の 程 度 で あ り, 

の領 域 で は π 中 間 子 交 換 力,す

型 ポ テ ンシ ャル で 表 され,も

な わ ち単 純 なYukawa

っ と近 距 離 で は 重 い 中 間子 の交 換 力 な ど状 態 に 強

く依 存 した 複 雑 な ポ テ ンシ ャル と な り,さ らに 近 距 離 の  は 芯(core)と

の領域 で

呼 ば れ る強 い 斥 力 が 働 く もの と考 え られ る.

  核 力 の よ り詳 細 に 関 し て は,提 案 され て い る い くつ か の 種 類 に よ っ て 若 干 の

差 異 が あ る.最

近 わ りあ い よ く 引 用 さ れ る も の に,パ

potential)*1と

ボ ン ・ポ テ ン シ ャ ル(Bonn

リ ・ポ テ ン シ ャ ル(Paris

potential)*2が

あ る.こ

古 い け れ ど も 見 や す い 例 と し て,Hamada-Johnstonポ

こで は 少 し

テ ン シ ャ ル*3を 例 示 す

る こ と に す る.   核 力 は2核 と し,ア

子 の 状 態 に 強 く依 存 す る.2核

イ ソ ス ピ ン(isospin)演

イ ソ ス ピ ン 演 算 子 を,対

子 の ス ピ ン 演 算 子 を そ れ ぞ れs1,s2

算 子 をt1,t2と

応 す るPauliス

す る.こ

れ ぞ れ 

離 で き る.核

す る.2核

の 部 分 と 相 対 座 標r=r1-r2の

子 は フ ェ ル ミ オ ン で あ る か ら,2核

対 し て 反 対 称 で な け れ ば な ら な い.重 ピ ン 波 動 関 数,ア

数 はS=0が

心 部 分 は 核 子 の交 換 に対 し て 不 変 で あ る

state)と

反 対 称,S=1が

呼 ば れ,そ

とす れ

状 態(singlet

state)お

れ ぞ れ の 状 態 の ス ピ ン波 動 関

対 称 で あ る こ と は い う ま で も な い.ア

ピ ン に つ い て も 同 様 で あ る.す 反 対 称,T=1が

な わ ち,T2の

固 有 値 を 

対 称 で あ る.2核

固 有 値 を 

S+T+L=奇

固 有 値 を 

状 態 は そ れ ぞ れ ス ピ ン1重

状 態(triplet

角 運 動 量 の 大 き さLの

部 分 に分

イ ソ ス ピ ン 波 動 関 数 お よび 相 対 波 動 関 数 の 積 が 核 子

よ びS=1の

よ び ス ピ ン3重

間

子の波動 関数は核子 の交換 に

の 交 換 に 対 し て 反 対 称 で な け れ ば な ら な い.S2の ば,S=0お

子の波動

イ ソ ス ピ ン 部 分 お よ び 空 間 部 分 の 積 で 構 成 さ れ る.空

部 分 は 重 心 座 標 

か ら,ス

 

た そ れ ら の 合 成 をS=s1+s2,T=t1+t2と

関 数 は ス ピ ン 部 分,ア

し,L2の

で 表 せ ば,そ

お よび

で あ る.ま

T=0が

れ ら ス ピ ンお よび ア

ピ ン 行 列 

子 の 相 対 運 動 の 角 運 動 量 をLと

と す れ ば,相 偶 奇 性 に 等 し い.し

数 の 場 合 の み で あ る.こ

イソ ス

とす れ ば ,

対 波 動 関 数 の 偶 奇 性(parity)は

た が っ て,許

され る2核

子 の状態は

れ ら を 慣 習 的 に,

1E:1重

偶(singlet

-even)状

態…S=0

1O:1重

奇(singlet

-odd)状

態…S=0

3E:3重

偶(triplet

-even)状

態…S=1

3O:3重

奇(triplet

-odd)状

態…S=1,T=1

,T=1,L=even ,T=0,L=odd ,T=0,L=even ,L=odd

と表 す. *1  M

.Lacombe,B.Loiseau,J.M.Richard,R.Vinh

R.de Tourreil,Phys.Rev.C21 *2  R .Machleidt,K.Holinde

Mau,J.Cote,P.Pires (1980)

and

C.Elster,Phys.Reports,149

R.Machleidt,Adv.Nucl.Phys.19 *3  T .Hamada and I.D.Johnston,Nucl.Phys.34

and

861. (1987)

(1989) 189. (1962)

382.

1.

  Hamada-Johnston(HJ)ポ

テ ン シ ャ ル は, 

の 近 距 離 の 部 分 に お い て ポ テ ン シ ャ ル が+∞ 核 子 がrcま と呼 び,rcを

な わ ち,2

で 近 づ く と無 限 大 の 斥 力 が 働 く.こ の よ う な 力 を 固 い 芯(hard 芯 半 径(core

radius)と

呼 ん で い る.近

core)

い う.実 際 に は 極 め て 強 い 斥 力 で は あ る が,

も う 少 し 柔 ら か い 芯 が よ り 現 実 的 で あ ろ う.そ core)と

と な る.す

の よ う な 芯 を 柔 ら か い 芯(soft

年 よ く 引 用 さ れ る パ リ ・ポ テ ン シ ャ ル や ボ ン ・ポ テ ン

シ ャ ル は 柔 ら か い 芯 を 持 つ.   Hamada-Johnstonポ ル 力 お よ びL2力

の4種

テ ン シ ャ ル は 以 下 に 示 す よ う に 中 心 力,LS力,テ

ンソ

類 の ポ テ ン シ ャ ル の 和 に よ っ て 構 成 さ れ る.す

な わ ち,

(2.1) で あ る.た

だ しrc=0.485fmで

あ る.ま

た

(2.2a)

(2.2b) で あ る.各 ポ テ ン シ ャル の 関 数 形 は

(2.3a) (2.3b)

(2.3c) (2.3d) で 与 え られ る.こ こで,π 中 間子-核 子 の 結 合定 数 は 

中間子の

質量 は 

単位 と し

で あ る.ま

た,rは1fm=10-13cmを

て 表 し,

(2.4a) (2.4b) (2.4c)

図2.1 

図2.3 

HJポ

テ ン シ ャ ル(1E)

HJポ

テ ン シ ャ ル(3E)

図2.2 

図2.4 

HJポ

HJポ

テ ン シ ャ ル(1O)

テ ン シ ャ ル(3O)

表2.1 

Hamada-Johnstonポ

テ ン シ ャル の パ ラ メー ター

芯 半 径 はrc=0.485fm.

で あ る.(2.3)式 る.ま

た,各

2.1−2.4に

の ポ テ ン シ ャ ル 中 の パ ラ メ ー タ ー の 値 は 表2.1に 状 態 に お け るHamada-Johnston(HJ)ポ

テ ン シ ャル の 概 観 が 図

図 示 さ れ て い る.

2.2 

  2.2.1 

示 され て い

原 子 核 の 飽 和 性 とBrueckner理

論

密 度 と結 合 エ ネ ル ギ ーの 飽 和 性

  陽 子 数Z,中

性 子 数Nの

数A=Z+Nに

安 定 な 原 子 核 を 球 と 考 え た と き の 体 積 は,ほ

比 例 し,し

た が っ て 半 径 は,お

る こ と が 実 験 的 に わ か っ て い る.半

お よ そAの1/3乗

ぼ 質量

に比例す

径R0は

(2.5) と 表 さ れ る.   ま た,原

子 核 の 質 量 をM(Z,N)と

す れ ば,結

合 エ ネ ル ギ ーB(Z,N)は

(2.6) で あ る.こ

こ で,Mpお

よびMnは

そ れ ぞ れ 陽 子,中 性 子 の 質 量 で,  で あ る.B(Z,N)は

Weizsacker-Betheの

質 量 公 式(mass

半経験 公式 で あ るところの

formula)

(2.7) で か な り う ま く 表 現 で き る こ と が 知 ら れ て い る.こ に な ぞ ら え た 液 滴 模 型(liquid-drop

model)に

の 質 量 公 式 は原 子 核 を 液 滴

基 づ い て 考 案 さ れ た も の で あ る.

(2.7)式

の 右 辺 第1項

は 体 積 に 比 例 す る 体 積 エ ネ ル ギ ー(volume

質 量 公 式 の 主 要 部 分 で あ る.第2項 energy),第3項 (Coulomb

い.し

energy)で

あ る.同

の 効 果 が 第4項

ら に 第1章

じ 質 量 数 な らZが

を す る.第5項 で あ る.各

にZとNの

数 のZま

ネルギ ー

大 き い ほ どCoulombエ

ネル

比 べ てNが

大 き

差 が 小 さい ほ ど エ ネ ル ギ ー の 得 を

の 対 称 エ ネ ル ギ ー(symmetry

で 議 論 し た よ う に,核

す る 対 相 関 力 が 働 き,偶

力 に よ るCoulombエ

量 数 が 大 き い 原 子 核 で は 一 般 にZに

か し 核 力 の 対 称 性 か ら,逆

す る.こ

は 表 面 張 力 に よ る 表 面 エ ネ ル ギ ー(surface

は 陽 子 間 に 働 くCoulomb斥

ギ ー で 損 を す る の で,質

energy)で

energy)の

項 で あ る.さ

内 に お い て は 同 種 核 子 はペ ア ー を作 りや す く た はNは

奇 数 の 場 合 に 比べ て エ ネル ギ ー の得

は こ の 対 相 関 力 に よ る 偶 奇 質 量 差(even-odd

mass

difference)

項 の 定 数 は 実 験 値 に 合 う よ う に き め ら れ,

(2.8a) とな る.ま た 偶 奇 質 量 差 の項 は

(Z=偶

数,N=偶

(A=Z+N=奇 (Z=奇 で あ る.図2.5に,1核 の 質 量 公 式(2.7)に

数), 数),

数,N=奇

(2.8b)

数)

子 当 た りの 結 合 エ ネ ル ギ ー の 実 験 値 とWeizsacker-Bethe お い て δ(A)を

除 い た 値 とが 比 較 され て い る .

  上 に 述 べ た よ うに 核 半 径 が 質 量 数Aに

比 例 す る と い う こ と は,核

ず 密 度 が 一 定 で あ る こ と を 意 味 す る.こ

れ を 原 子 核 の 密 度 の 飽 和 性(saturation

of density)と

呼 ぶ.核

の種 類 に よ ら

の粒子 密度 ρは

(2.9) で あ るか ら,平 均 核 子 間距 離dは

(2.10) と 考 え ら れ る.

 一方Weizsacker-Betheの 量 公 式 に よ れ ば,原

質

子核の結 合

エ ネル ギ ー の 主 要 部 分 で あ る 体 積 エ ネ ル ギ ー も ま た 質 量 数A に 比 例 す る.す

な わ ち核 の 大 き

さ に よ ら ず,核

子1個

当 た りの

結 合 エ ネ ル ギ ーが 一 定 で あ る こ と を 意 味 す る.こ

れが結合 エネ

ル ギ ー の 飽 和 性(saturation

of

binding

れ

ら2種

energy)で 類 の,密

あ る.こ

度 と結 合 エ ネ ル

ギ ー の 飽 和 性 は,安

定 な原 子 核

の 著 し い 特 徴 で あ る.   Weizsacker-Betheの

質 量 公

式は原 子核 を液滴に見立 てた液 滴 模 型 に 基 礎 を 置 い て い る.液

図2.5 

滴 は そ れ を構 成 す る粒 子 が 互 い に 強 く結 合 し て い る と い う 強 結 合(strong

coupling)の

考 え に

立 脚 して い る.一 方,第1章 模 型(independent-particle が 弱 い と い う弱 結 合(weak

点 は 実 験 値.実

核 子 当 た りの結 合 エ ネ ル ギ ー

線 はWeizsacker-Betheの

に お い て δ(A)を

除 い た 値.A.Bohr

telson,Nuclear

Structure,Benjamin,Vol.I

Chap.2よ

質 量 公 式(2.7) and

B.R.Mot (1969),

り.

で 見 た よ う に,原 子 核 で は 殻模 型 とい う独 立 粒 子 model)が coupling)の

よ く成 り立 つ.こ れ は構 成 粒 子 間 の 結 合 考 え 方 で あ る.し たが っ て,こ の2つ

の 模 型(描 像)は 概 念 的 に極 め て 矛 盾 し て い る よ うに 思 わ れ る.こ の矛 盾 は ど の よ う に し て解 決 で き,そ し て上 述 の 原 子 核 の 飽 和 性 は ど の よ う に説 明 で き るの で あ ろ うか.こ れ が 本 節 で 解 くべ き問題 で あ る.

  2.2.2 

核 物 質 とFermiガ

ス模 型

  上 記 の 問題 を検 討 す る にあ た っ て,原 子 核 の 体 積 の 有 限 性 と表面 効 果 を扱 うこ と を避 け て 問題 を簡 単 化 す る た め に,無 限 に 広 が った 核 物 質(nuclear

matter)

を議 論 の対 象 と し よ う.核 物 質 は 同 数 の 陽子 と中性 子 か らな る密 度が 一定 の無 限 に広 が っ た理 想 化 され た 物 質 で あ り,陽 子 間 のCoulomb力

は無 視 す る こ と にす

る.つ ま り核 物 質 とは,原 子 核 の 中 心 部 分 の 性 質 を持 っ た無 限 に 広が っ た物 質で

あ る.し た が っ て 核 物 質 は 粒 子 密 度 が(2.9)式 ギ ー がWeizsacker-Betheの

で あ り,1粒

子 当 た りの 結 合 エ ネ ル

質 量 公 式 に お け る 体 積 エ ネ ル ギ ーCV=15.6MeV

で あ る よ う な 抽 象 化 さ れ た 物 質 で あ る と 考 え る.   こ の 核 物 質 を 扱 うた め の 準 備 と し て,Fermiガ

ス 模 型(Fermi

gas model)に

つ い て 述 べ よ う.   Z=N=A/2個

の 核 子 が,1辺

じ込 め ら れ て い る も の と す る.壁 た,い

がLの

立 方 体 の ポ テ ン シ ャル の壁 の 中 に 閉

の 内 部 の ポ テ ン シ ャ ル の 値 を-U0と

ま 想 定 し て い る の は 核 物 質 で あ る か ら,Lは

とす る.1核

す る.ま

ほ とん ど無 限 大 に 近 い もの

子の波動 関数は平面波

(2.11) で 表 され,系

の基底状態は

(2.12) と書 か れ る.kは

平 面 波 の 波 数 ベ ク トル で,hkが

核 子 の 運 動 量 で あ る.系 の基

底 状 態 は,こ れ らの 平 面 波 の 状 態 に運 動 量 の 小 さい ほ うか ら最 大 の 運 動 量hkF まで 核 子 を 詰 め た状 態 で あ る.こ れ をFermiガ 運 動 量(Fermi 類 あ り,1つ

momentum)と

の1つ

ス模 型 と 呼 ぶ.hkFはFermi

呼 ば れ る.た だ し,核 子 は 陽子 と 中性 子 の2種

の 核 子 は 上 向 き と下 向 きの2つ

の ス ピ ン状 態 が あ る の で,平 面 波

の 状 態 に は4個 の 核 子 が 入 る こ とが で きる.波 数 ベ ク トル 空 間 にお け る

状 態 密 度 は 

で あ る か ら,

(2.13) と な る.し

た が っ て,Fermiガ

ス の 粒 子 密 度 を 

とす れ ば

(2.14) が 得 られ る.原 子 核 の密 度 は(2.9)式

で 与 え られ るか ら,核 物 質 の 密 度が これ

と 同 じ で あ る とす れ ば

(2.15) と な る.

  つ い で な が ら,核 物 質 中 の1核 子 当 た りの 平 均 の 運 動 エ ネ ル ギ ーTと シ ャル の深 さU0を

ポテ ン

見 積 もって お こ う.核

物 質 中 の 最 高 の 運 動 エ ネ ル ギ ー はFermi 運動 量 に対 応 す る エ ネル ギ ー で あ る か ら

(2.16a) で あ る.こ

こでMは

図2.6 

Fermiガ

ス模 型 の 概 念 図

核 子 の 質 量 で あ る.平 均 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は

(2.16b) (2.16c) と な る.原 子 核 か ら1核 子 をは ぎ取 るの に必 要 な平 均 の エ ネル ギ ー は約8MeV で あ る.し た が っ て,核 物 質 中 の 最 高 の 運 動 エ ネル ギ ーTFに え た もの が ポ テ ン シ ャル の 深 さU0に

この8MeVを

加

な る はず で,

(2.16d) で あ る(図2.6参

  2.2.3 

照).

Brueckner理

論

  核 物 質 の 密 度 や 結 合 エ ネ ル ギ ー を 第 一 原 理 か ら,す み がBrueckner*4に で あ る.後

な わ ち 核 力 か ら導 き 出 す 試

よ っ て 提 唱 され たBrueckner理

にBetheやGoldstoneに

Bethe-Goldstone理

theory)

よ っ て 補 強 さ れ た の で,*5Brueckner-

論 と も 呼 ば れ る.こ

す べ き重 要 な理 論 の1つ

論(Brueckner

の理 論 は 原 子 核 構 造 論 の 中 で も特 筆

と い え る で あ ろ う.

  (a) 連 結 ク ラ ス ター 展 開  粒 子 数Aの

核 物 質 を考 え る.核 物 質で あ る か らAは

ほ とん ど 無 限 大 に 近 く

大 きい もの とす る.こ の核 物 質 の基 底 状 態 の 波 動 関数 をΨ0,エ ネル ギ ー をEと *4  K

.A.Brueckner

and

C.A.Levinson,Phys.Rev.97

K.A.Brueckner,Phys.Rev.100

(1955)

K.A.Brueckner and *5  H .A.Bethe,Phys.Rev.103 H.A.Bethe

and

J.L.Gammel,Phys.Rev.109 (1956)

1344.

(1958)

1023.

1353.

J.Goldstone,Proc.Roy.Soc.A238

J.Goldstone,Proc.Roy.Soc.A239

(1955) 36.

(1957)

(1957) 267.

551.

す れ ば,系

のSchrodinger方

程式 は

(2.17) で あ る.こ

こ で,H=T+H'は

系 の 全 ハ ミ ル トニ ア ン で,

(2.18) で あ る.Tは

運 動 エ ネ ル ギ ー,H'は

iと 粒 子jの間

相 互 作 用 の ハ ミル トニ ア ン,υ(ij)は

粒子

に 働 く核 力 で あ る.

  Schrodinger方

程 式(2.17)を

通 常 の 摂 動 展 開*6で

展 開 の 次 数 を 明 確 に す る た め に,パ

取 り扱 う こ と に す る.摂

ラ メ ー タ ー η を 導 入 し,H'=ηhと

動

お く.

無摂 動 系 の 基 底 状 態 を

(2.19) と し,演 算 子Fを

導 入 して 

とす る.Ψ0とEの

摂動展 開 を

(2.20a) (2.20b) と書 く.Φ0お よびΨ の 規 格 化 を

(2.21) とす る.い

う まで も な く,無 摂 動 系 の 基 底 状 態 Φ0はFermiガ

ス模 型 の 波 動 関

数 と同 等 で あ る.   無 摂 動 系 の 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー はE0で た た め に基 底 状 態 の エ ネル ギ ーがEと だ け の エ ネ ル ギ ー ・シ フ ト(energy エ ネ ル ギ ー で あ り,こ れ が 粒 子 数Aに

あ るが,こ

れ に相互作 用が加 わっ

な っ た わ け で あ るか ら,ΔE=E-E0 shift)が 生 じ る.ΔEが

核物 質の相互作用

比 例 す る こ とが わ か れ ば 結 合 エ ネ ルギ ー

の 飽 和 性 が 示 され た こ と に な る.   Schrodinger方

程 式(2.17)を

(2.22) *6 Rayleigh

-Schrodingerの

性 が 悪 い の で 使 え な い.

摂 動 展 開 で あ る.Brillouin-Wignerの

摂 動 展 開は この 場 合収 束

と書 き 直 し,(2.17)式

と(2.21)式

と を 考 慮 す れ ば,エ

ネ ル ギ ー ・シ フ トは

(2.23) と書 か れ る.   (2.20)式

の 摂 動 展 開 を(2.17)式

に 代 入 し,両

辺 の η の 同 一 べ きの 項 を 比 べ

て 次 の 各 式 を 得 る.

(2.24a) (2.24b)

(2.24c) ただ し

(2.25) で あ る.ま

た 演 算 子Q/bは

プ ロ パ ゲ ー タ(propagator)と

呼ばれ

(2.26) で 定 義 され る.演 算 子Pは

無 摂 動 系 の基 底 状 態 へ の 射 影 演 算 子 で あ り,Qは

そ

れ 以 外(励 起 状 態 の すべ て)へ の 射 影 演 算 子 で あ る.   これ らの 摂 動 展 開 係 数EnやFnは,原

理 的 に はn=1,2,…

こ とが で きる が た いへ ん 複 雑 で あ る.Tとhを

第2量

と順 次 求 め る

子 化 の 表 示 で 書 くと,

(2.27a) (2.27b) と 表 され る.た で あ る.ま (2.24a),

だ し 

た  (2.24b)式

は1粒

は2体

が1粒

子 エ ネルギ ー

力 の 反 対 称 化 さ れ た 行 列 要 素 で あ る.(2.27)式

へ 代 入 す る. 

と 同 等 で あ る.Fermiガ

子 状 態 α の 運 動 量, 

はFermiガ

を

ス 模 型 の 波 動 関 数(2.12)式

ス 模 型 に お け る 最 高 準 位(Fermi運

動 量hkFの

準 位)を

(a)

(b) 図2.7 

Fermi面(Fermi

surface)と

(c)

Feynman図

呼 び,記

号Fで

(d)

次 説 明

表 す.し

た が っ て,

(2.28) (2.29) で あ る.同 様にE2は

(2.30) と な る.た

だ し  (2.31)

それ以外 で あ る.こ

れ は 摂 動 展 開(2.30)の

中 間 状 態α',β'が,Pauli原

理 に よ りFermi

面 よ り 高 く励 起 し な け れ ば な ら な い こ と を 意 味 す る.   以 上 の よ う な 議 論 を 高次 の 項 まで 続 け るの は た い へ ん 面 倒 なの で,Feynman 図(Feynman

diagram)を

  あ る 状 態 α がFermi面 態(particle

state)と

(hole state)と

用 い て 少 し わ か りや す く し よ う. よ り 上に あ る 場 合(α>Fの

呼 ん で 上 向 きの 矢 印 線 で 表 し, 

場 合),こ

れ を粒 子 状

の場 合 は 空 孔 状 態

呼 ん で 下 向 き の 矢 印 線 で 表 す こ とに す る(図2.7参

照).

  演 算 子  は,状 態γ,δに あ る2粒 子 が 相 互作 用 後,状 態α',β' に移 る こ と を 意味 す る.状 態α',β'γ,δす べ て が 粒 子 状 態 な らば,こ れ を図2.7 次(a)で

表 す.水 平 の 破線 は 相 互作 用 を 意 味 す る.粒 子 の演 算 子 

な どの 並 び

は,右

か ら左 へ 時 間が 進行 す る もの と考 え,図 の 上 で は 時 間 は 下 部 か ら上 部 へ

進 行 す る もの とす る.状 態 α,βが 粒 子 状 態,γ,δ が 空 孔 状 態 な らば 図2.7の (d)で ある.そ

の 他 は 自明 で あ ろ う.

  1次 の 摂 動 展 開E1,す

な わ ち(2.29)式,に

け る 

は 空孔 状 態 α,β にあ る

2粒 子 が 相 互 作 用 して,そ

お 図2.8 

の 後 も同 じ状 態 に 留

1次 の 摂 動 展 開E1

ま る こ と を意 味 す る.(相 互 作 用 後 に 元 の 状 態 に戻 るの は,  算 す る の で あ る か ら 当 然 で あ る.)し たが って,こ

で 期 待 値 を計

の 相 互 作 用 は 図2.8で

表さ

れ る.   2次 の 摂 動 展 開E2は の摂 動 展 開E3は

図2.9で

図2.10の

表 され る.3次

よ うに本 質 的 に 異 な

る4種 類 の ダ イ ア グ ラ ム で 表 され,4次

の摂 動

展 開 に な る と もっ と多 数 の種 類 の 図 が 現 れ る.   さ て,図2.10に

お け る4種

図2.9 

類 の ダ イ ア グ ラ ム を 眺 め る と,(a),(b),(c)は

い ず れ も 図 全 体 が 相 互 作 用 の 破 線 で つ な が っ て い る.こ タ― 図(linked-cluster

diagram)と

ス タ ー)に 分 離 し て い る.こ diagram)と   Bruecknerは

2次 の 摂 動 展 開E2

呼 ぶ.一

方,(d)は

の よ うな図 を連 結 ク ラ ス 図 が 左 右2つ

の 部 分(ク ラ

の よ う な 図 を非 連 結 ク ラ ス タ― 図(unlinked-cluster

呼 ぶ. 具 体 的 に4次

の 摂 動 展 開 ま で 計 算 し,非

(a)

(b)

(c) 図2.10  (a),(b),(c)は

連 結 ク ラ ス ター 図 か ら

(d) 3次

の 摂 動 展 開E3に

連 結 ク ラ ス タ ー.(d)は

お け るFeynman図 非 連 結 ク ラ ス タ ー.

の 寄 与 は そ の 次 数 内 と そ れ 以 下 の 項 で 完 全 に 相 殺 さ れ,そ

の 結 果,連

グ ラ ム の み を 考 慮 す れ ば よ い と い う こ と を 見 出 し た.*7こ

れ が 摂 動 の 無 限次 ま

で 一 般 的 に 正 し い こ と はGoldstoneに

の摂動展 開は連結ク

ラ ス タ ー 展 開(linked-cluster   Goldstoneに は,そ

よ っ て 証 明 され,こ

expansion)と

結 ダ イア

呼 ば れ て い る.*8

よ れ ば 基 底 状 態 の 波 動 関 数Ψ0,お

よ び エ ネ ル ギ ー ・シ フ ト ΔE

れぞ れ

(2.32) お よび

(2.33) と書 か れ る.た だ し 

はす べ て の 次 数nに

お い て 連 結 ク ラ ス ター 図 の

み の 和 を とる こ と を 意 味 する.

  (b) 平 均 ポ テ ン シ ャル の 導 入   上 述 の連 結 ク ラ ス ター展 開 に よ っ て 核 物 質 の 基 底 状 態 に対 す る摂 動 展 開 法 が か な り見や す くな っ た け れ ど も,実 際 の計 算 に 適 用 す る こ とは で きな い.な ぜ な らば,核

力 は そ の 短 距 離 部 分 にお い て 強 い 斥 力 芯 を持 ち,相 互 作 用 の行 列 要

素ν αβγ δは 極 め て 大 きな 値 と な るか らで あ る.特 に 固い 芯(hard

core)の 場 合

に は行 列 要 素 は 無 限 大 と な る.し たが っ て,低 次 の 摂 動 展 開 で す ら発 散 して し ま うの で ある.こ

の 困難 を 解 決 す る た め に,特 別 に重 要 な連 結 ダ イ ア グ ラム を

ま とめ て 無 限 次 まで 和 を と る よ う に工 夫 す る.こ れ がBrueckner理

論 の真髄で

あ る.   2体 力 の 行 列 要 素 の 対 角 成 分 の 和 を と って,1体

ポ テ ン シ ャ ル を 次 の よ うに

定 義 す る:

(2.34) 連 結 ク ラス ター 展 開(2.33)の た な らば,そ *7  K

. A.

K. *8  J

A.

は な くuで あ っ

の よ うな項 は い か な る ダ イア グ ラム で 表 され る だ ろ うか.た

Brueckner

and

Brueckner,

. Goldstone,

中 間 状 態 に お け る相 互 作 用がhで

C.

Phys. Proc.

Roy.

A.

Levinson,

Rev.

100

Soc.

Phys.

A239

(1955)

Rev.

36.

(1957)

267.

97

(1955)

1344.

とえ

図2.11 

ば 最 も簡 単 な3次

1体 ポ テ ン シ ャ ルuに

く り込 まれ るFeynman図

の場合 は

(2.35) で あ る.(2.34)式 2.10(c)に

のuの

等 し い.す

グ(環)状

定 義 を 考 慮 す る と(2.35)式

な わ ち 中 間 状 態 にuが

の 連 結 ダ イア グ ラム は 図

挿 入 さ れ た 項 は,粒

子 の 線 に リン

の グ ラ フ が 連 結 さ れ た ダ イ ア グ ラ ム に な る.

  さ て2つ

の 演 算 子x,

yに 対 し て,公

式

(2.36) が 成 り立 つ.こ

の 公 式 を 用 い る と,

(2.37a) (2.37b) と な る.以

後,1粒

子 ポ テ ン シ ャ ルU',U'0を

導 入 し 

とした新 しいプ

ロパ ゲ ー タ を

(2.38) と 表 す こ と に す る.こ

の 新 し い プ ロ パ ゲ ー タ は 粒 子 の 線 に リ ン グ(環)状

のグ ラ

フ が 繰 り返 し 連 結 さ れ た ダ イ ア グ ラ ム を 無 限 次 ま で 加 え た も の に な り,図2.11 を 計 算 し た こ と に な る.し 2.11の

た が っ て,連

結 ク ラ ス タ ー 展 開(2.33)に

よ う な ダ イ ア グ ラ ム の 部 分 は,プ

ロ パ ゲ ー タ を 

お い て,図 と置 き

換 え る こ と に よ っ て す べ て 取 り 入 れ る こ と が で き る.   以 上 の 結 果 を ま と め る と,(2.34)式 入 し,新

し い1粒

子 ハ ミ ル トニ ア ン 

で 定 義 さ れ る 平 均 ポ テ ン シ ャ ルU'を

導

を 使 っ て プ ロパ ゲ ー タ を

図2.12  無 限 次 まで 加 え て2粒

は しご 型 ダ イ ア グ ラ ム

子 演 算子G(1)に

く り込 まれ る.こ れ を新 し い相 互 作 用 と

考 え て 波 線 で 表 す.

 

と す る こ と に よ っ て,図2.11の

よ う な 粒 子 の 線 に リ ン グ(環)

状 の グ ラ フ が 繰 り返 し 連 結 さ れ た ダ イ ア グ ラ ム を 無 限 次 ま で く り込 む こ と が で き た.こ し,新

れ は,Q/bの

プ ロ パ ゲ ー タが 自 由 粒 子 の 進 行(伝 播)を 意 味 す る の に 対

し い プ ロ パ ゲ ー タQ/b(1)は

ルU'に

多 体 系 の 中 に埋 もれ た粒 子 が 平均 ポ テ ン シ ャ

よ っ て 力 を 受 け な が ら 進 行 す る こ と を 意 味 す る.

  Feynman図 がQ/bで

に お け る"実 線"は あ る かQ/b(1)で

に 断 ら な い 限 りQ/b(1)で

  (c) 反 応 行 列(G行   次 に 図2.12の の 第1項

プ ロ パ ゲ ー タ を 意 味 す る の で,プ

あ る か に よ っ て"実

線"の

後,特

あ る と す る.

列)

よ う な は し ご 型 ダ イ ア グ ラ ム(ladder

は 図2.10(a)に

ロパ ゲ ー タ

意 味 が 異 な る.以

現 れ て い る.こ

diagram)を

考 え る.こ

れ ら を 無 限 次 ま で 加 え た も の は,2粒

子演算子

(2.39) の行 列 要 素 

に 等 しい.た

間 に 働 く核 力 で あ る.こ のG(1)は2粒

だ し,υ は い ま対 象 に し て い る2粒 子 子方程式

(2.40) と 書 く こ とが で きる.こ trix)と

かG行

のG(1)の

列(G-matrix)と

  し た が っ て2粒

よ う な2体

演 算 子 は 反 応 行 列(reaction

呼 ば れ て い る.

子間 に 核 力 が 繰 り返 し 働 く"は

か ら 無 限 次 ま で 加 え て,2粒 粒 子 間 の 相 互 作 用 が 

ma

子 演 算 子G(1)に

し ご 型 ダ イ ア グ ラ ム"を1次

く り込 む こ とが で き る.つ

と 置 き 換 わ る わ け で あ る.

ま り2

図2.13 

バ ブ ル 型 ダ イア グ ラ ム

こ こ で プ ロ パ ゲ ー タ(実 線)は  子G(0)に

とす る.無

限次 まで 加 え て2粒

  2粒 子 方 程 式(2.40)の

中 の プ ロ パ ゲ ー タQ/b(1)は(2.38)式

で 与 え ら れ る.

こ こ に は2粒 子 の 中 間状 態 に働 くPauli原 理 を表 す 演 算 子Qが 無 視 す れ ば こ の 方 程 式 は 平 均 ポ テ ン シ ャルU'の あ る.2体

子演算

く り込 まれ る.こ れ を新 し い相 互 作 用 と 考 え て 波 線 で 表 す.

中 で の2体

あ るが,こ れ を 散 乱 問題 と等 価 で

散 乱 で は た と え相 互 作 用 に強 い斥 力 芯 が あ った と して も,反 応 行 列

が 発 散 す る こ とは な い,し

たが っ て 図2.12の

よ うな"は しご 型 ダ イア グ ラ ム"

の 各 項 は 発 散 して も,無 限 次 まで 加 え る と結 果 は 有 限 な 反 応 行 列 を与 え る の で あ る.   さ ら に,中

間 状 態 で 励 起 した 粒 子 が,Fermi面

以 下 の励 起 し て い な いす べ て

の 粒 子 と繰 り返 し相 互 作 用 す るダ イア グ ラ ム の 寄 与 を 考 え よ う.図2.13の うな バ ブ ル 型 ダ イ ア グ ラ ム(bubble ロパ ゲ ー タ はQ/b(1)で せ る た め 

diagram)で

は な く,元 のQ/bと

あ る.こ

よ

こ で い ま しば ら くプ

し て お く.こ の こ と を は っ き りさ

と書 い て お く.こ の 寄 与 は2粒

子演算子

(2.41) の 行 列 要 素 の 和 

とな るか ら,結 局 相 互 作 用が 

と

置 き換 え られ た こ とに 等 し い,   前 項 で 議 論 した プ ロパ ゲ ー タへ の く り込 み  た と こ ろ の 励 起 した 粒 子 とFermi面 み と を 同 時 に 考 慮 す る に は,プ シ ャルU',U'0を 互作 用G(0)で

と,こ こで 検 討 し

以 下 の 粒 子 と の 相 互 作 用G(0)へ

ロパ ゲ ー タQ/b(1)の

中 に 現 れ た1粒

の く り込 子ポ テ ン

構 成 す る 際,相 互 作 用 と し て 元 の 核 力υ の 代 わ りに 新 た な相 置 き換 えれ ば よい.す

な わ ち,G(0)の

反 対 称 化 され た 行 列 要 素

図2.14 

最 終 的 プ ロパ ゲ ー タQ/eに 波 線 はG(0)に

を 

くり込 まれ る ダ イア グ ラ ム

よ る相 互作 用.

と し て,

(2.42a) (2.42b) に よ っ て 新 し い 平 均 ポ テ ン シ ャ ルU, U0を

定 義 し,プ

ロパ ゲ ー タ を

(2.43) と2段 2.14の

階 の 置 き換 え を や れ ば よ い.こ

の 結 果 の 最 終 的 な プ ロ パ ゲ ー タQ/eは

図

よ う な ダ イ ア グ ラ ム を 加 え 上 げ た も の に な る.

  最 終 的 に プ ロ パ ゲ ー タ はQ/eと の で,核

物 質 内 の1粒

な り,1粒

子 ポ テ ン シ ャル はU,

U0と

なった

子 エネルギ ーは

(2.44) と書 か れ る.   この 最 終 的 プ ロパ ゲ ー タQ/eを

使 っ て 図2.12に

グ ラム を計 算 す る と い う こ とは,2粒

お け る"は し ご 型"ダ イア

子方程式

(2.45) を 解 い てGを Bruecknerの

求 め る こ と と 同 等 で ある.こ 反 応 行 列(reaction

  プ ロ パ ゲ ー タQ/eの と,こ

中 の1粒

matrix)ま

は 核 力 で あ り,こ

た はG行

のGが

列 で あ る.

子 ポ テ ン シ ャ ルU, U0を

の プ ロ パ ゲ ー タ を 用 い て(2.45)式

は な い.し

こ でυ

か ら 求 め たG行

き め る 反 応 行 列G(0) 列 とは 同 一 演 算 子 で

か し こ れ ら が 等 し く な る ま で 繰 り返 し 計 算 す る こ と に よ っ て よ り よ

図2.15  最 終 的 に エ ネ ル ギ ー ・シ フ ト ΔEを 構 成 す る ダ イア グ ラ ム 波 線 はG行 列 に よ る 相 互作 用.2次 の 項 は 存 在 し ない.

いG行

列,ひ

い て は よ り よ い 平 均 ポ テ ン シ ャ ル が 得 ら れ る は ず で あ る.つ

りHartree-Fock法 で あ る.し

と 同 様 な 自 己 無 撞 着 法(self-consistent

た が っ て,(2.42)式

と(2.45)式

method)の

ま

考 え方

と を 連 立 させ た 方 程 式 を 自 己 無 撞

着 的 に 解 く こ と をBrueckner-Hartree-Fock法(Brueckner-Hartree-Fock method)と

呼 ぶ.

  (d)  ま と め   強 い 斥 力 芯 の あ る 核 力 に よ っ て 相 互 作 用 し て い る 核 子 多 体 系 で は,摂 は 発 散 し て そ の ま ま で は 取 り扱 い 不 可 能 で あ る.こ 物 質 に お け る 連 結 ク ラ ス タ ー 展 開(2.33)を し て きた.そ

の 結 果 は 次 の2つ

動 展開

の 問 題 を 解 決 し な が ら,核

いか に し て計 算 す るか に つ い て 議 論

の ス テ ッ プ に ま と め る こ と が で き る:

 (1) プ ロ パ ゲ ー タ の エ ネ ル ギ ー 分 母 に1粒

子 ポ テ ン シ ャ ル を 導 入 し,く

り込 み

可 能 な ダ イ ア グ ラ ム を 無 限 次 ま で す べ て こ の ポ テ ン シ ャ ル の 中 に 取 り こ む.  (2) 相 互 作 用 の 繰 り返 し の 無 限 次 ま で の 和 を と り,発

散 し な いG行

列 に くり

込 む. こ の2つ

の ス テ ップ は 連 動 し て い る.す

の 行 列 要 素 を 用 い て 計 算 さ れ,そ

のG行

な わ ち,1粒

子 ポ テ ン シ ャ ル はG行

列 は 計 算 され た1粒

列

子ポテ ンシャルを

使 っ た プ ロ パ ゲ ー タ の 下 で 計 算 さ れ る と い う 仕 組 み で あ り,こ れ がBrueckner 理 論 の 論 理 構 成 で あ る.こ

の よ う に して 核 物 質 に 対 す る摂 動 展 開 を発 散 し な い

よ う な 量 で 書 き 表 す こ と が で き た.そ 図2.15に

の エ ネ ル ギ ー ・シ フ トは

表 さ れ る よ う な 連 結 ダ イ ア グ ラ ム の 和 と な る.こ

ラ ム に 現 れ る相 互 作 用(波 線)は G行

の 結 果,(2.33)式

も は や 裸 の 核 力 で は な く,発

列 で あ る こ と に 注 意 す べ き で あ る.

れ ら の 各 ダ イア グ 散 す る こ との な い

  図2.15の 第1項(1次 の 項)が 核 物 質 の エ ネ ルギ ー ・シ フ ト ΔEの 主 要部 分 で あ り,し た が っ て 核 物 質 の 結 合 エ ネ ル ギ ーB. E.の 主 要 部 分 は

(2.46) で あ る.   核 物 質 は ほ と ん ど 無 限 に 広 が っ た 多 体 系 で あ る か ら,並 invariance)か

ら1粒

式 に 等 し く,G行 あ る.し

進 不 変 性(translation

子 波 動 関 数 は 平 面 波 で あ り,Fermiガ

列 の 行 列 要 素 は1/L3に

た が っ て 図2.15に

エ ネ ル ギ ー は 粒 子 数Aに

比 例 す る.た

お け る3次 比 例 す る.ま

ス 模 型 の そ れ(2.11) だ しL3は

系 の全 体 積 で

以 上 の 項 を 無 視 す れ ば,核 た ,さ

物 質 の結 合

ま ざ ま な 検 討 の 結 果,3次

以上 の

項 か ら 結 合 エ ネ ル ギ ー へ の 寄 与 は あ ま り大 き な も の で は な い と さ れ て い る.以 上 の 議 論 か ら,Brueckner理

論 に よ っ て結 合 エ ネル ギ ー の 飽 和 性 が 説 明 で きた

と 結 論 し て よ い.   で は,2.1で

見 た よ う な 現 実 的 な 核 力 か ら 出 発 し,Brueckner理

論 を用 い て

1核 子 当 た りの 結 合 エ ネ ル ギ ー の 計 算 値 は ど の よ う な 値 に な る で あ ろ う か.図 2.16に

種 々 の 現 実 的 な 核 力 を 用 い た 結 合 エ ネ ル ギ ー の 計 算 値 が 示 さ れ て い る.

こ こ で 用 い ら れ た 核 力 は,い

ず れ も 重 陽 子 や 低 エ ネ ル ギ ー の 核 子-核 子 散 乱 の 実

験 デ ー タ を よ く再 現 す る よ う に きめ ら れ て い る.核 算 値 は 密 度(し 最 も 大 き いkFの

た が っ てkF)に

物質の結 合エネルギーの計

よ っ て 変 わ る.図2.16の

値 は 結 合 エ ネル ギ ーが

点 を 示 し て い る.

  こ れ ら の 結 果 か ら,現

実 的 な 核 力 か ら 出 発 し てBrueckner理

1核 子 当 た りの 結 合 エ ネ ル ギ ー の 計 算 値 がWeizsacker-Betheの 推 定 さ れ る"実

験 値"の

約16MeVを

た 安 定 な 核 子 密 度 も"実 る こ と が わ か り,密

  2.2.4 

質量公式 か ら

ほ ぼ 再 現 す る こ と が 明 ら か に な っ た.ま りや や 高 い と は い う も の の,近

い 値 が 得 られ

度 の 飽 和 性 も ほ ぼ 説 明 で き る こ とが 明 ら か と な っ た.

独立粒子描像 はなぜ成立 するか

  上 述 の よ う に,原 で き た.一

験 値"よ

論 を 用 い れ ば,

方,第1章

(independent-particle

子 核 の 飽 和 性 はBrueckner理 で 述 べ た よ う に,原 picture)が

子 核 で は 殻 模 型 と い う独 立 粒 子 描 像

成 り立 つ.こ

点 か ら ど の よ う に 理 解 で き る で あ ろ う か.核

論 に よ って 説 明 す る こ とが

の こ と はBrueckner理

物 質 中 の2粒

論 の観

子 の 相 対 運 動 の波 動

図2.16  4角

種 々 の 現 実 的 な 核 力 を 用 い た 場 合 の,核

形 は 質 量 公 式 か ら 推 定 さ れ る"実

験 値".粒

が 大 き い ほ ど 密 度 が 高 い こ と に 注 意.た

物 質 の 結 合 エ ネ ル ギ ー(B.

子 密 度 は 

と え ば"HJ"は2.1で

の 他 の 核 力 の 詳 細 に つ い て は,下

れ ら の デ ー タ は 主 と し てB.

D.

B.

はK.

Wiringa, Suzuki,

phys. R.

Rev.

Day,

Rev.

Mod.

Phys.

Okamoto,

C32(1985)1057か M

Kohno

S. Nagata,

の 原 論 文 を 参 照 さ れ た い.こ

50(1978)495;

ら と り,最

and

計 算 値

示 し たHamada-Johnston

ポ テ ン シ ャ ル を 意 味 す る.そ

R.

E.)の

で あ る か ら,kF

Nucl.

B.

D.

Day

and

も 新 し い 計 算 結 果"Bonn Phys.

B"

A665(2000)92か

ら と ら れ て い る.

関 数 の 振 る舞 いか ら,独 立 粒 子 描 像 の 成 立 の ゆ え ん を議 論 し よ う.*9

  (a) Bethe-Goldstone方

程式

  2.2.3に お け るBrueckner理

論 か ら 明 らか な よ う に,核 物 質 中の2粒

子の相

関 を きめ る方 程 式 は(2.45)式 で あ る.こ の方 程 式 は 平均 ポ テ ン シ ャルUの 運 動 し な が ら核 力 υで 相 互 作 用 す る2粒

子 の"散 乱 問 題"を 記 述 して い る.通

常 の 散 乱 と異 な る 点 は プ ロパ ゲ ー タQ/eに れ て い るQ/eは

演 算 子Qを

散 乱 す る と き,Fermi面

A.

Bethe

K.

A.

Brueckner

L.

C.

Gomes,

and

J. D.

で定義 さ 子が

以 下 のす べ て の 状 態 は他 の 粒 子 に よっ て 占め られ て い

J. Goldstone, and

あ る.す な わ ち,(2.43)式

含 ん で い る.こ の 演 算 子 は,核 物 質 中で2粒

*9  こ こ で の 議 論 の 内 容 は 次 の 論 文 に 負 っ て い る H.

中を

J. L. Walecka

Proc. Gammel, and

V.

.

Roy.

Soc.

Phys.

Rev.

F.

Weisskopf,

A238(1957)551. 109(1958)1023. Ann.

Phys.

3(1958)241.

るの で,中

間状 態 に お い て2粒 子 は必 ずFermi面

ば な ら ない と い うPauli原 この 演 算 子Qが

よ り上 の 状 態 に励 起 しな け れ

理 に よ る もの で あ る.独 立 粒 子 描 像 の 成 立 に とっ て,

た い へ ん 重 要 な 働 き をす る こ とが 後 で 明 らか に な る .

  い ま核 物 質 中 で 相 互 作 用 す る2個 の 粒 子(粒 子1と 粒 子2)に 子 の 励 起 は す べ て 無 視 す る こ と にす る.こ の2粒 は,(2.45)式

子 のG行

注 目 し,他 の粒

列 を きめ る方 程 式

から

(2.47) と 書 く こ と が で き る.こ ネ ル ギ ー 演 算 子,U1, を 通 常 のSchrodinger方

こ で υ12は2粒

U2は2粒

子 間 の 核 力,t1,

t2は2粒

子 の運動エ

子 に働 く平 均 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.こ

の方 程 式

程 式 の 形 で 表 示 す る と,

(2.48) と表 され る.こ の 形 の 方 程 式 をBethe-Goldstone方

程 式 と呼 ぶ.*10要 す る

に平 均 ポ テ ン シ ャル 中 の2粒 子 が 核 力 に よ って 散 乱 す る状 態 を記 述 す る方 程 式 で あ るが,通 常 の 散 乱 と異 な るの はPauli原

理 に起 因 す る演 算 子Q12が

介在す

る とい う点 で あ る.   核 物 質 中 の1粒

子 状 態 α は 運 動 量hkα で 示 され る.平 均 ポ テ ン シ ャ ルUの

行 列 要 素Uα は 波 数kα の 関 数 で あ るが,核

力 に強 い斥 力 芯が あ る の で,kα が

大 きい ほ ど(す な わ ち 近 距 離 に な るほ ど)斥 力 的 にな るで あ ろ う.こ れ を単 純 に

(2.49) と近 似 して お く.し た が っ て 核 物 質 中の1粒

子 エ ネ ルギ ー は

(2.50) と 書 か れ る.た

だ し

(2.51) で あ る.こ

の 結 果 は,核

物 質 中 の 核 子 の 質 量 が 裸 の 核 子 の 質 量Mで

で あ る と 見 な さ れ る こ と を 意 味 す る.M*を 実 際 の 核 物 質 の 計 算 結 果 か ら ∼0.6Mの *10 H

. A.

Bethe

and

J. Goldstone,

Proc.

Roy.

有 効 質 量(effective

は な く,M* mass)と

程 度 で あ る と 考 え られ る. Soc.

A238(1957)551.

呼 び,

  1粒 子 ポ テ ン シ ャ ル(2.49)お

よ び 有 効 質 量 を 用 い る と,Bethe-Goldstone方

程 式(2.48)は

(2.52) と な る.  る.こ

は そ れ ぞ れ 粒 子1,粒

子2の

座 標 に 関す る ラプ ラ シ ア ンで あ

の 方 程 式 の 解 ψ12の 性 質 を 定 性 的 に 調 べ る た め,以

や ア イ ソ ス ピ ン の 自 由 度 は す べ て 無 視 す る.2粒 相 対 運 動 量 を   

  Bethe-Goldstone方

子 のス ピン

子 の 相 対 座 標 をr=r1-r2,

全 運 動 量 を 

は 相 対 距離 

後2粒

と し,核

力

の み の 関 数 と す る.

程 式(2.52)は

積分方程式

(2.53) と書 くこ とが で きる.こ

こで 

は平面波で

(2.54) で あ り,Green関

数 

は

(2.55) で 定 義 され る.た だ し

 

で あ る.ま た 

は 演 算 子Q12の

運 動 量 表 示 で,

 (2.56)

その 他 で あ る.

  当面 の 目標 は,2粒 子の相対運動の波動 関数  こ と で あ る か ら,簡 と す る.さ る.波

単 の た め2粒

ら に 相 対 運 動 の 角 運 動 量 はL=0と

動 関 数 の 動 径 部 分 をu(r)と

の定性 的性 質 を調べ る

子 の 重 心 が 静 止 し て い る 場 合 を 考 え,P=0 し,S波

す る な ら ば,こ

の み を考 え る こ と にす

の 場 合 のBethe-Goldstone

方程式 は

(2.57)

と な る.こ

こ でjl(x)はl次

 

の 球Bessel関 で あ る.ま

数(spherical

たGreen関

Bessel's

function)で,

数 は 次 の 通 り で あ る:

(2.58)   Bethe-Goldstone方

程 式 を解 く に 当 た っ て,核 力 υ(r)が 固 い 芯(hard

持 つ 場 合 に は 少 し 工 夫 が 必 要 で あ る.い

ま 芯 半 径(core

力 υ(r)が 固 い 芯 だ け の 場 合 を 考 え る.す な わ ち  に 対 し 

の 場 合 で あ る.こ

の 場 合 の2体

radius)をrcと

core)を す る.核

に対 し

 

散 乱 の 問 題 は,Schrodinger方

程式 におい て

(2.59) と 置 き,境

界 条 件 

証 明 で き る.証  

明 は,有

に よ っ て定 数 λ を きめ る こ と と 同等 で あ る こ とが 限 の 高 さV0の

の 極 限 を と れ ば よ い.し

箱 型 ポ テ ン シ ャ ル に よ る 散 乱 問 題 を 解 き,

た が っ て 固 い 芯 の 外 側(r>rc)に

ル υa(r)が あ る 場 合 に は,Schrodinger方 方 程 式(2.58))に

お い て 

程 式(い

ポテ ンシャ

ま の 場 合 はBethe-Goldstone

の 代 わ りに

(2.60) と 置 き,境

界 条 件u(rc)=0に

Goldstone方

よ っ て 定 数 λ を き め る.そ

の 結 果,Bethe-

程 式 は 以 下 の よ う に な る:

(2.61) (2.62a) (2.62b)

  (b)  Pauli原   簡 単 の た め2粒

理 と 回復 距 離 子 相 互 作 用 υ(r)と し て 固 い 芯 の 外 に 井 戸 型 ポ テ ン シ ャ ル が 加

わ っ た 形 の ポ テ ン シ ャ ル を と り,2粒

子 の 相 対 運 動 量 が 

種 々 の 値 に 対 し て,Bethe-Goldstone方

程 式(2.61)の

 

の 場 合 の 結 果 が 示 され て い る.た

だ しFermi運

の範 囲の

解 を 求 め る.図2.17に 動 量 は(2.15)式

と同

じ く 

と し,芯 半

径 は 

井戸 型 ポテ ン

シ ャ ル の 半 径 は 

また

核 子 の有 効 質 量 は  し た.図2.17に

と

お い て,実 線 は

Bethe-Goldstone方 物 質 中 の2粒

程 式 に よる核

子散乱の相対 波動関

数 で あ り,破 線 は 同 じ相 互 作 用 に よ る 自 由 空 間 中の2核

子 散 乱 の相

対 波 動 関 数 で あ る.ま た,点 線 は 図2.17 

自由粒 子(相 互 作 用 が な い と き)の

場 合 のBethe-Goldstone方

程 式 の解(実 線)と,自

相 対 波 動 関 数 で あ る.こ れ ら を比 較 す る と,2粒 子 間の距 離 が 相 互作

k=0.6kFの 散 乱(破 線)お

由 空 間 内 の2粒

子

よび 自由 粒 子 の 相 対 波 動 関

数(点 線)の 比 較  

用 の 到 達 距 離(相 互 作 用 半 径)程 度

芯 半 径 は 

ンシ ャ ル の半 径 は 

井戸型ポテ 有 効 質量 は  

とと られ て い る.

に な る と 実 線 と点 線 が ほ ぼ 重 な っ

て し ま う こ とが わ か る.と こ ろが 破 線 と点線 とは 遠 方 まで 重 な らない.す なわ ち Bethe-Goldstone方

程 式 の 解 は,相 互 作 用 半 径 を 越 え る と た ち まち 自由粒 子 の

相 対 波 動 関数 に回 復(heal)し て し ま う.こ の 距 離 を回 復 距 離(healing と呼 ぶ.核

物 質 中 の2粒

distance)

子 散 乱 の 相 対 波動 関 数 の 回復 距 離 は 相 互 作 用 半径 の 程

度 で あ るの に対 し,自 由空 間 中 の2粒 子 散 乱 の 回復 距 離 は無 限大 で あ る.す な わ ち ど こ まで も回復 し な い.こ れ らの 性 質 は 相 対 運 動 量hkの

大 きさには よら

な い こ とが 確 か め られ て い る.   自 由 空 間 内 の2核

子 散 乱 とBethe-Goldstone方

か.核 物 質 中で は2粒 子 が 散 乱 す る と き,Fermi面 粒 子 に よ っ て 占 め られ て い るの で,2粒 Fermi面

程 式 の 場 合 とで は何 が 違 う 以 下 の すべ て の 状 態 は他 の

子 の 中 間状 態 はPauli原

理 に よ り必 ず

よ り上 に 励 起 し な け れ ば な ら な い.こ れ がBethe-Goldstone方

(2.48)に お け る 演 算 子Q12の

出現 で あ り,そ の 結 果Green関

数(2.58)に

程式 おけ

るk'に つ い て の 積 分 範 囲 が 

とな る.自 由空 間 内 の2核 子 散 乱 の場 合 の

Green関

にお け る 積 分 範 囲 を[0,∞]と す れ ば よい.

数 は,い

こ の と きのGreen関

ま の 場 合(2.58)式

数 の 解 析 的表 現 は容 易 に 求 め る こ とが で き,そ れ を用 い て

計 算 した のが 図2.17の

破 線 で あ る.

  以 上 の 結 果 を ま とめ る と,核 物 質 中 にお い て は2核 子 の 相 対 波 動 関 数 は 相 互 作 用 半 径 の 程 度 の 回復 距 離 で た ち ま ち 自 由粒 子 の それ に 回復 す る.し た が って, (2.10)式 で 与 え られ る平 均 核 子 間距 離 く らい 離 れ る と,波 動 関 数 は 自由 粒 子 の そ れ とほ とん ど 変 わ ら な い とい う こ と に な る.こ れ が す な わ ち原 子 核 に お い て 独 立粒 子 描 像 が 成 り立 つ メ カニ ズ ムで あ り,そ の 最 大 の 原 因 はPauli原

理であ

る とい え る.

2.3  有 効 相 互 作 用

  第1章

殻 模 型 で 述 べ た よ うに,原 子 核 は 多 数 の 核 子 が 核 力 とい う強 い 短 距 離

相 互 作 用 に よ って 結 合 した 多 体 系 で あ り,第0近

似 において核力 は平均ポ テン

シ ャル を 形 成 し,そ の 中で 核 子 は"独 立 粒 子 運動"を 行 い,そ の 核 子 間 に"有 効 相 互 作 用"が 働 い て 配 位 混 合 が 生 じ,そ れ に よ って 基 底 状 態 付 近 の さ まざ ま な 性 質 が 説 明 され る.   そ れ で は,こ

の 有 効 相 互 作 用 は核 力 か らど の よ うに して 導 き出 せ るで あ ろ う

か.こ の 道 筋 を論 じ る理論 を有 効 相 互 作 用理 論(theory と呼 ぶ.こ

of effective interaction)

の 理 論 はず い ぶ ん 以 前 か ら多 くの 研 究 者 に よ っ て論 じ られ,さ

まざ

ま な形 の 有 効 相 互 作 用 理 論 が 提 案 され て きた.近 年 に至 り,こ の 分 野 の研 究 に か な りの 進 展 が 見 られ,種

々の 理 論 の 間 の相 互 関 連 な ど も明 らか に な っ て きた.

しか し,そ れ らの 成 果 の 詳 細 を述 べ る の は 本 書 の主 旨 を 越 え る と思 われ る ので, こ こで は有 効 相 互 作 用 理 論 の 基 本 的 な 考 え 方 と,前 節 で 議 論 し たBrueckner理 論 と の 関 連 に つ い て の み 議 論 す る こ と に す る.*11

  2.3.1  模 型 空 間 と有 効 ハ ミル トニ ア ン   核 子 多 体 系 の 全 ハ ミル トニ ア ン をH=T+Vと

す る.こ

こで の核 子 多 体 系

は無 限 に 広 が っ た 核 物 質 で も,あ る い は有 限 の 大 き さ を 持 った 現 実 的 な 原 子 核 で もか まわ な い.Tは ち核 力)で あ る.い テ ンシ ャルUを *11 本 節 の T.

T.

運 動 エ ネ ル ギ ー,Vは

相 互作 用 ハ ミル トニ ア ン(す な わ

ま無 摂 動 系 と し て 殻 模 型 を考 え,適

導 入 す る.Uと

し て は,た

当 に 選 ば れ た1粒

子ポ

とえば 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル が 考

議 論 の 内 容 は 主 と し て 次 の 論 文 に 負 っ て い る. S.

Kuo,

鈴 木 賢 二,岡

Lecture 本 良 治,日

Notes

in

Physics,

Vol.

本 物 理 学 会 誌,42(1987)263.

144(Springer-Verlag,

1981)p.

248.

え ら れ る.全

ハ ミ ル トニ ア ンHは

(2.63) と書 く こ と が で き る.H0が

無 摂 動 ハ ミル トニ ア ン,H1が

摂 動 ハ ミ ル トニ ア ン

で あ る.   い ま,無

摂 動 系 の 固 有 状 態iの

と す る.す

なわ ち

エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を εi,固 有 ベ ク トル を  

(2.64) で あ る.   わ れ わ れ が 殻 模 型 計 算(す な わ ち配 位 混 合 計 算)を 行 うの は,多 Hilbert空 間 の 中 の ご く限 られ た 部 分 空 間内 で あ る.第1章 とえ ば"sd殻"な "pf殻"な らばN

粒子系 の全

で 示 した よ うに,た

らば 調 和 振 動 子 の 固 有 値 がN=2n+l=2の =3の

空 間 で あ り,

空 間 で あ る.こ の よ うな 限 られ た 部 分 空 間 内 で 有 効 相

互 作 用 を 含 む模 型 ハ ミル トニ ア ン(model

Hamiltonian)を

対 角 化 す る のが 配

位 混 合 で あ り,こ の よ う な 部 分 空 間 を模 型 空 間(model

space)と

  い ま,あ る模 型 空 間 を 考 え る.こ の 模 型 空 間 をP空

間 と呼 び,そ

dと す る.P空

呼 ぶ. の次元数 を

間へ の 射 影 演 算 子

(2.65) を導 入 す る.P空

間以 外 の 空 間(補 空 間)をQ空

間 と呼 べ ば,Q空

間へ の 射 影

演 算 子Qは

(2.66) で あ る.い

う ま で も な く 

が 成 り立 つ.

  さ て,系

の 真 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値Eα,固

有 ベ ク トル 

はSchrodinger方

程式

(2.67) の 解 で あ る.P空 け るd個

の す べ て の 固 有 値 が,も

い な ら ば,Heffを わ ち,有

間 内 で 定 義 さ れ る あ る ハ ミ ル ト ニ ア ンHeffのP空 と の ハ ミ ル トニ ア ンHの

有 効 ハ ミ ル ト ニ ア ン(effective

効 ハ ミ ル トニ ア ン と は,模

型 空 間(P空

真 の固有値 に等 し

Hamiltonian)と 間)内 のd次

間 内 にお

呼 ぶ.す

な

元 の固有値 問題

(2.68)

のd個

の 固 有 値 が,Schrodinger方

程 式(2.67)の

真 の 固 有 値(の

中 のd個)を

与 え る よ う な ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.こ

の よ う な 有 効 ハ ミル トニ ア ンHeffが

ら れ る な ら ば,い

ま 目 標 に し て い るd個

の 真 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を求 め る た め

に は 全Hilbert空

間 を 考 え る 必 要 は な く,狭

化 す れ ば よ い こ と に な り,真

いd次

に 精 確 か つ 有 用 な"模

  で は,ど

の よ う に し て 有 効 ハ ミ ル トニ ア ンHeffが

  2.3.2 

エ ネ ル ギ ー に依 存 す る有 効相 互 作 用

元 の 模 型 空 間 でHeffを 型"が

得

対角

得 ら れ た こ と に な る.

求 め ら れ る で あ ろ う か.

  こ こ で は 有 効 相 互 作 用 に 関 係 し て し ば し ば 引 用 され るFeshbach理

論*12を

紹

介 す る.   も と も と のSchrodinger方 Qを

作 用 さ せ,(2.66)式

程 式(2.67)の

両 辺 に 左 か ら 射 影 演 算 子Pお

よび

を考 慮 す る と

(2.69a) (2.69b) が 得 ら れ る.(2.69b)式

か ら

(2.70) が 得 ら れ る の で,こ

れ を(2.69a)式

に代 入 す る と

(2.71) と な る.左 辺 の括 弧 内 の 演 算 子 はP空 効 ハ ミル トニ ア ン 

間内 だ け で働 く演 算 子 で あ り,こ れ を 有

とす る.す

なわち

(2.72) と す る と,(2.71)式

は

(2.73) とな る.さ

ら に, 

で あ り,射 影 演 算 子Pお

有 状 態 で 定 義 され て い る の で,Pお *12 H

. Feshbach,

Ann.

Phys.

19(1962)287.

よびQはH0と

よびQはH0の

固

交 換 可 能 で あ る.し たが っ

て,Heffは次

の よ う に 書 きか え る こ と が で き る:

(2.74a) (2.74b) こ れ ら の 式 を 一 見 す る と,こ

こ で 得 ら れ た(2.74a)式

提 唱 し た 有 効 ハ ミル トニ ア ン であ り,(2.74b)式 き 有 効 相 互 作 用 で あ る か の よ う に 見 え る.確 間 の そ れ の よ う に 見 え,そ

の で あ る.な

のVeff(Eα)が

の 固 有 値 は 真 の 固 有 値 を 与 え る は ず で あ る.し こ で 得 ら れ た"有

のHeff(Eα)に

エ ネ ル ギ ー 固 有 値Eα

間 内 の 固 有 値 方 程 式 の よ う に 見 え る(2.73)式

固 有 値 方 程 式(2.68)と

Hilbert空

効 ハ ミル トニ ア

は 最 終 的 に 解 くべ きエ ネ ル ギ ー

固 有 値 が 入 っ て い る か ら で あ る.Heff(Eα)が

方 程 式(2.67)を

か し

提 唱 さ れ た 有 効 ハ ミ ル トニ ア ン と は 本 質 的 に 異 な る も

ぜ な らば,(2.74)式

な っ て い る の で,P空

ま さに 求 め るべ

か に 固 有 値 方 程 式(2.73)はP空

こ れ は 外 見 的 に そ の よ う に 見 え る だ け で,こ ン"Heff(Eα)は2.3.1で

のHeff(Eα)が2.3.1で

は 異 な る も の あ る.(2.73)式

変 形 し た だ け で,実

の関数 に

は,d次

元の

は も と も と のSchrodinger

際 に は 同 等 な 方 程 式 で あ り,無

限次 元 の 全

間 に お い て は じ め て 解 く こ と の で き る 方 程 式 であ り,d次

元 のP空

間 内 の み で 解 く こ と は で き な い.

  2.3.3 

エ ネル ギ ー に 依 存 しな い 有 効 相 互 作 用

  上 述 の よ う な エ ネ ル ギ ー に 依 存 し た 有 効 相 互 作 用 で な く,模 空 間 の 効 果 を 完 全 に く り込 ん だ,真

にP空

と が で き る よ う な 有 効 相 互 作 用 は,ど

型 空 間 以 外 のQ

間 内 の み で そ の 固 有 値 問 題 を解 くこ

の よ う に 導か れ る であ ろ う か.こ

れが本

節 の 主 題 であ る.   全 ハ ミル トニ ア ンHの な わ ち,  分 に

真 の 固 有 状 態 のP空 である.ま

た, 

間 成 分 を 

のQ空

間 成 分 

と する.す はP空

演 算 子 ω を 作 用 させる こ と に よ り 得 ら れる も の と する.す

間成

なわ ち

(2.75) と する.d個 な い.ケ

のP空

間 成 分 

ッ ト ・ベ ク トルの 組  を 導 入 し, 

は 互 いに 直 交 する と は 限 ら に 対 し,ブ

ラ ・ベ ク トル の 組  

を み た す よ う に 双 直 交 系(biorthogonal

system)を

導 入 す る こ とが で きる.こ の 双 直 交 系 を使 え ば,P空

間へ の 射 影 演

算 子Pは

(2.76) と 表 さ れ る の で,(2.75)式

におけ る ω は

(2.77) と書 か れ る.ω はP空

間 の 成 分 をQ空

間 の 成 分 に変 換 す る演 算 子 で あ るか ら,

(2.78) の 性 質 を 持 つ.PQ=0で

あ る か ら, 

  さ て ω の 従 う方 程 式 を 求 め よ う.ω に,全

を み た す. の定 義 式(2.75)か

空 間 に お け る 固 有 状 態 は 

と も と のSchrodinger方

で

ら容 易 に わ か る よ う ある.し た が っ て,も

程 式(2.67)は

(2.79) と書 く こ とが で き る.両 辺 に 左 か ら(Q-ω)を

作 用 させ る と, 

で ある か ら αの い か んに か か わ らず 右 辺 は0で

あ る.ゆ

えに

(2.80) が 得 られ る.こ

の 方 程 式 を解 けば ω を決定 する こ とが で きる.

  固 有 値 方 程 式(2.79)の

両 辺 へ 左 か らPを

作 用 させる と,P空

間 に お け る固

有値方程 式

(2.81) が 得 ら れ る.こ 値 方 程 式(2.68)で

れ こ そ ま さに2.3.1で あ り,し

提 唱 し たd次

元の 模 型 空 間に お け る 固 有

たが って

(2.82) が 有 効 ハ ミル ト ニ ア ン で あ る.*13 *13 模 型 空 間 に お け る 固 有 値 方 程 式(2 い.演

.68)に

導 く有 効 ハ ミル トニ ア ン は(2.82)が

算 子 ω を 用 い て 表 さ れ る 有 効 ハ ミ ル トニ ア ン は,一

唯 一で は な

般 に

(2.83) と 書 か れ る:K. 単 なm=0の

Suzuki

and

場 合 が(2.82)式

R.

Okamoto, であ

る.

Prog.

Theor.

Phys.

71(1984)

1221.最

も 簡

  (a) 有 効 相 互 作 用 の 摂 動 展 開 とQボ

ックス

  (2.81)式 で 示 した よ うに,系 の 全 ハ ミル トニ ア ンが  る もの とす る.H0が のH0の

無 摂 動 項,H1が

固 有 値 

とす る.た

と表 され

摂 動 ハ ミル トニ ア ンで

ある.P空 間内 で

は すべ て 縮 退 して い る もの とし,そ の値 をE0

と えば,H0が

調 和 振 動 子 ハ ミル トニ ア ンで,P空

有 状 態 の 主量 子 数 が 一 定 のNに

間 を構 成 す る 固

限 定 され て い る場 合 は この 条件 に 当 て は ま る.

しか し一 般 に は そ の よ うに は な らな い の で,  し,こ の平 均 値 か ら の差 は 摂 動 項H1に

の 平 均 値 をE0と

入れ る こ とに す る.し た が っ て

(2.84) と 考 え て よ い.   さ て 有 効 ハ ミル ト ニ ア ン(2.82)を2つ

の 部 分 に 分 け て 有 効 相 互 作 用Veffを

(2.85) と定 義 す る.有 効 相 互 作 用Veffの 摂動 展 開 を 求め る た め に,演 算 子

(2.86) を 導 入 す る.こ (2.36)の

の 演 算 子Q(ε)は

公 式 を 用 い れ ば,Qボ

し ば し ばQボ

ッ ク ス(Q-box)と

呼 ば れ る.

ッ クス は

(2.87) と摂 動 展 開 で き る.た だ し

(2.88) で あ る.(2.80)式 Qボ

と(2.85)式

と を 使 っ て ω を 消 去 す る と,有

効 相 互 作 用Veffは

ッ ク ス を用 い て

(2.89a) (2.89b)

と 書 か れ る.*14(2.89a)式

を 逐次 代 入 す る こ と に よ っ て,Veffの

展 開公 式

(2.90) が 得 ら れ る.   表 式(2.89)か

ら 明 ら か な よ う に,Qボ

ッ ク ス さ え 計 算 で き る な ら ば,そ

微 係 数 を 数 値 的 に 計 算 す る こ と に よ っ て 有 効 相 互 作 用Veffが (2.86)式

と(2.45)式

と を 比 べ る と,Qボ

ッ ク ス がBrueckner理

行 列 と ほ と ん ど 同 様 な 構 造 を 持 っ て い る こ とが わ か る.し に 固 い 芯(hard

core)の

発散 しない量で   (2.90)式 のVeffは

た が っ て,摂

動 項H' ック ス は

ある と 考 え ら れ る.

のVeffに

よ り エ ネ ル ギ ー に 依 存 し な い 有 効 相 互 作 用 が 得 ら れ た.こ 依 存 す る が,こ

型 空 間 を選 べ ば き ま る もの で

の エ ネ ル ギ ー 依 存 で は な い.有 る の は 当 然 であ

た

論 に お け るG

よ う な 特 異 的 な 相 互 作 用 を 含 む 場 合 で も,Qボ

模 型 空 間 の 無 摂 動 エ ネ ル ギ ーE0に

性 であ り,模

の

求 め ら れ る.ま

れ は 模 型 空 間の 属

ある か ら,(2.74)式

の よ う な意 味 で

効 相 互 作 用 は 模 型 空 間 を ど の よ う に と るか に よ

り,模 型 空 間 の 属 性 で

ある と こ ろ のE0に

依 存 す る の は 自然 な

こ と であ る.   殻 模 型 な ど で 用 い ら れ る 有 効 相 互 作 用 は エ ル ミ ー ト であ る こ と を 仮定 す る の が 通 例 であ る.し

か し,こ

こ で 得 ら れ た 有 効 相 互 作 用(2.89)ある

厳 密 に は エ ル ミ ー トで は な い.し と す れ ば,Qボ

と え ば(2.83)式

に お い てm=-1/2

ッ ク ス お よ び そ の 微 係 数 を 用 い て エ ル ミー トな 有 効 相 互 作 用 を

作 る こ と は 可 能 であ る.こ

  (b) Brueckner理   2.2.3で

か し,た

い は(2.90)は

こで は これ 以

上の 詳 細 は 割 愛 す る.

論 との 関連

述 べ たBrueckner理

論 は,核

力 とい う強 い 斥 力 芯 を持 つ きわ め て特

異 的 な力 で 相 互 作 用 し て い る 核 物 質 の 基 底 状 態 の 結 合 エ ネ ル ギ ー を求 め る こ と を 目 的 と し て い た.Brueckner理 た と え ば16Oや40Caの

論 は 有 限 の 広 が り を 持 っ た 現 実 的 な 原 子 核,

よ う な 閉 殻 核 に 適 用 す る こ と もで き る.Brueckner理

論 は 結 合 エ ネ ル ギ ー の み な らず,基 を 反 応 行 列(G行

底 状 態 お よび 励 起 状 態 に お け る2核

列)の 形 で 求 め る こ と が で き る.ま

*14  J . des Cloizeaux, Nucl. Phys. 20(1960) B. H. Brandow,

Rev. Mod.

321.

Phys. 39(1967)

771.

た,核

子相 関

子が基底状態 におけ

る 他 の 核 子 か ら 受 け る 平 均 ポ テ ン シ ャ ル も 同 時 に 求 め ら れ る.そ 行 列 は こ れ ら の 系 に お け る2核   こ のBrueckner理 て お こ う.両 空 間(P空

子 間 の"有

者 の 根 本 的 な 違 い は,考

間)へ の 射 影 演 算 子Pを

元 で あ る.一

方,本

式 で 定 義 さ れ て い て,P空   い ま た と え ば16Oを は,0s1/2,

0p1/2,お

め た2重

元,す

間 はd次 考 え よ う.無

よ び0p3/2の

た が っ て こ の 場 合P空

間

影 演 算 子Pは(2.65)

摂 動 ハ ミル トニ ア ンH0の

準 位 に8個

の 陽 子 と8個

基 底 状 態 

の 中性 子 を完 全 に詰

あ る.こ

で あ り,P

の と き(2.90)式

で 与 え られ る 有 効 相

論 で 求 め た エ ネ ル ギ ー ・シ フ トΔEに

ほ か な らな

連 結 ク ラ ス タ ー 展 開(2.33)で

論 と本 節 の 有 効 相 互 作 用 理 論 と は完 全 に 同

.

子 が 加 わ り,こ

考 え よ う.こ

れ ら は1s1/2,

の 場 合2個

よ び0d5/2の

れ ら の3つ

の1粒

の 中 性 子 の 独 立 な 状 態(す

れ ら の 縮 退 し た14の

な り,有

の 系 は16Oの2重

0d3/2,お

殻 に 入 る も の と 考 え ら れ る.こ

空 間)と

論 にお

の 場 合 の 射 影 演 算 子 は 

な わ ちd=1で

  別 の 例 と し て18Oを

存 在 す る.こ

れ は模 型

元 で あ る.

計 算 す る こ と が で き,Brueckner理

す る.こ

あ る.そ

見 れ ば 容 易 に わ か る.Brueckner理

た が っ て こ の と き のVeffはGoldstoneの

一内容 とな る

型 空 間"に

節 の 有 効 相 互 作 用 理 論 で は,射

互 作 用Veffは,Brueckner理 い.し

え て い る"模

で 定 義 さ れ て い る.し

閉 殻 状 態 で あ る.こ

空 間 は1次

あ る.

論 と本 節 に お け る有 効 相 互 作 用 理 論 との 関連 につ い て 述 べ

け る 射 影 演 算 子Pは(2.26)式 は1次

効 相 互 作 用"で

の 意 味 で はG

閉 殻 の 外 に2個

の 中性

準 位 か ら な る い わ ゆ るsd 子 準 位 が 縮 退 し て い る もの と

な わ ちH0の

固 有 状 態)は14個

状 態 か ら な る 空 間 が こ の 場 合 の 模 型 空 間(P

効 相 互 作 用Veffは14×14行

列 と な る.こ

れ た 有 効 相 互 作 用 を 用 い て 配 位 混 合 計 算 を 行 え ば,18Oの

の よ うに し て得 ら 基 底 状 態 お よび 励 起

状 態 が 計 算 で き る わ け で あ る.   2.2.3で

述 べ た よ う に,Brueckner理

表 す こ とが で き た.し Brueckner理 こ と に よ る.す て,摂

か しd>1の

論 は す べ て を(2.45)式

論 に は 生 じ な い 困 難 が 発 生 す る.そ な わ ち,(2.90)式

のG行

列で書 き

場 合 の 有 効 相 互 作 用 の 計 算 で は,d=1の

のVeffを

れ は 無 摂 動 状 態 に 縮 退が あ る

評 価 す る と き,そ

の高 次 の 項 にお い

動 展 開 の 中 間 状 態 で プ ロ パ ゲ ー タ の エ ネ ル ギ ー 分 母E0-QH0Qが0に

な る 場 合 が あ る こ と に よ る.そ

の よ う な 項 は,図2.18の(b)の

よ う に粒 子 の

(a)

(b)

図2.18 

折 れ 線 ダ イア グ ラム を考 慮 し たG行

列

水 平 な 破 線 は 核 力 を表 す. (a)はBrueckner理 論 に おけ るG行 列 で,は しご 型 ダ イ ア グ ラ ム の み で 構成 され る. (b)は(a)のG行 列 に 折 れ 線 ダ イア グ ラ ムが 無 限次 まで く り込 まれ て い る.○ 印 の 線 はP空 間 に属 す る1粒 子 状 態 で あ る.

図2.19 

Brueckner理 第1近

波 線 はGを

論 に お け るG行

列 を 核 内 の2核

似 と した と き,有 効 相 互 作 用Gを

表 す.こ

子 間 の 有 効 相 互 作 用Gの

構 成す る ダ イア グ ラ ム

こで は 折 れ 線 ダ イア グ ラム の 項 は ま っ た く無 視 され て い る.

線 を折 り曲 げ た 折 れ線 ダ イア グ ラ ム(folded

diagram)*15で

置 き換 え る こ と に

よ って 計 算 で きる こ とが 明 らか に な り,原 理 的 な 問題 は 解 決 され た.現 在 で は 折 れ 線 ダ イア グ ラ ム に 関 す る規 則 も確 立 され,Brueckner理 あ ったGoldstoneの

論 の1つ

の主 柱 で

連 結 ク ラ ス タ ー展 開 の定 理 が こ こ で も 同様 に成 り立 つ こ と

が 明 らか に な っ た.こ れ ら につ い て の 詳 細 は,あ

ま りに も専 門 的 に な るの で 割

愛 す る.   さて18Oの

場 合 の よ うに オ ー プ ン殻 に2核

子 が あ る場 合 の 有 効 相 互 作 用 に

*15B .H. Brandow, Rev. Mod. Phys. 39(1967) 771. M. B. Johnson and M. Baranger, Ann. Phys. 62(1971) 172. T. T. S. Kuo, S. Y. Lee and K. F. Ratcliff,Nucl. Phys. A176(1971)

65.

お い て,折 れ線 ダ イ ア グ ラム の 項 を無 視 す れ ば,核 内2核 の 第1近

似 はBrueckner理

Brueckner理

論 のG行

子 間の 有 効 相 互 作 用

列 で 表 され る.図2.15で

示 し た よ うに,

論 に お け る相 互 作 用 エ ネル ギ ー(エ ネル ギ ー ・シ フト)ΔEの

要 部 分 はG行 互 作 用 の 第1近

列 に よ る1次の

ダ イ アグ ラ ムであ っ た.ゆ

似 であ る と考 え られ る.し か し,図2.15に

え にG行

主

列が 有効相

お け る3次 以上 の

効 果 も無 視 す る こ とは で きな い.し

たが っ て,こ れ ら高次 の 効 果 を 取 り入 れ た

核 内有 効 相 互 作 用Gは,図2.19の

よ うな ダ イア グ ラ ム の和 で 表 され る こ と に

な る.こ のGの がsd殻

行 列 要 素 をGに

つ い て2次

まで 取 り入 れ て 数 値 計 算 し,こ れ

核 に 共 通 した 近 似 的 な 有 効 相 互 作 用 であ る と考 え て 配 位 混 合 計 算 に 用

い た ものが1.3.2で う表 示 の

示 した 結 果 である(図1.6−

図1.11に

お け る"Kuo"と

い

ある デ ー タ).こ れ らの 結 果 を 見 る と,折 れ 線 ダ イア グ ラ ム の効 果 を 無

視 し た り,か な り荒 っぽ い 近 似 を し て い るに もか か わ らず,実

験 値 を わ りあ い

よ く再 現 して い る こ とが わ か り,有 効 相 互 作 用 定 論 の 信 頼 性 と有 効 性 が 確 立 さ れつつ

ある こ と を示 して い る.今後,こ

精 密 に 行 わ れ る こ とが 望 まれ る.

の よ うな分 析 が よ り広 い範 囲 で,よ

り

3 集

  原 子 核 に は2つ   1つ は 第1章

の顔が

団

運

動

ある.

で 学 ん だ 殻 模 型 の 顔 であ る.こ の模 型 は,原 子 核 内 の 核 子 間 の

相 互 作 用 が 第0近 似 と して 平 均 ポ テ ン シ ャル を作 り,この ポ テ ン シ ャル の 中 を 核 子 が 独 立 に1粒

子 運 動 を行 うと い う"独 立粒 子 描 像"で

ある.この 考 え に基

づ くjj結 合 殻模 型 に よ って,数 多 くの 原 子 核 の 基 底 状 態 の ス ピ ンや 低 励 起 状 態 の性 質 を 説 明 する こ とが で きた.   他 の1つ

は"集 団 運 動 的 描 像"ある い は"強 結 合 的描 像"であ

れ た 原 子 核 を水 滴 に なぞ らえ た液 滴 模 型 は そ の 典 型 の1つ で

る.第2章

でふ

ある.この 模 型 は,

核 内 核 子 が 独 立 粒 子 運 動 で は な く,核 子 間 の 相 関が 比 較 的 強 く,全 体 と し て歩 調 を 合 わせ た 運 動 を行 う とい う考 え に基 づ い て い る.液 滴 模 型 は 原 子 核 の 質量 (結 合 エ ネル ギ ー)を 大 局 的 に よ く説 明 する こ とが で きるWeizsacker-Betheの 質量 公 式 の 基礎 と な っ て い る.ま た,こ の 考 え 方 は核 分 裂(nuclear 説 明 す る ため の模 型 と して,jj結

fission)を

合 殻模 型 の提 唱 よ り以 前 か ら検 討 され,成 功

を お さめ て い る.*1   こ れ ら2つ の 顔 は,一 見 互 い に矛 盾 して い る よ うに 見 え る.こ の 矛 盾 を解 決 し,こ れ らの2つ

の"描 像"を い か に統 一 して 定 解 し統 一 模 型(unified

model)

に到 達 す る か とい うこ と,ま た そ の 微 視 的構 造 な らび に そ の発 展 を学 ぶ こ とが 本 章 の 目標 で

ある.

3.1  球 形 液 滴 の 表 面 振 動

  上 に 述 べ た よ うに液 滴 模 型 が 原 子 核 構 造 の1側 面 を表 し て い る とす る な らば, 当然 そ の"液 滴"の 振 動 運 動 とい う集 団 運 動(collective motion)が

考 え られ る.

こ の 集 団 運 動 が ど の よ うに定 式 化 され,そ れ が 現 実 の原 子 核 で ど の よ うに観 測 *1 N . Bohr and J. A. Wheeler, Phys. Rev. 56(1939) 426.

される かが 第1に 検 討 され なけ れ ば な らな い 課 題 で

ある.*2

  3.1.1  表 面 振 動 の 古 典 論   原 子 核 を密 度 が 一定 の ほぼ 球 形 の 液 滴 と考 え よ う.原 子 核 の 中心 を座 標 原 点 と し,原 子 核 の 表 面 を 中心 か らの 距 離 

で 表 す こ とに する. 

を

球面調和 関数で 展開す ると

(3.1) と 表 す こ とが で きる.*3R0は の 第2項

原 子 核 が 球 形 の 場 合 の 半 径 であ り,右

が 球 形 か ら の"ず

の 度 合 い を 表 し,こ 面 振 動(surface

れ",す

な わ ち 変 形 を 表 す.し

れ が 時 間 と と も に 変 化 し,振

vibration)を

た が っ て, 

が 変形

動 す る こ とに よ っ て 液 滴 の 表

表 す こ と になる.つ

ま り 

動 と い う 集 団 運 動 を 記 述 す る 集 団 座 標(collective  は 実 数 であ り,ま

辺 の 括弧 内

が原 子核の表面振

coordinates)で

た 

ある. で

ある か ら,

(3.2) が 得 ら れる.さ な い.し

らに 

は 座 標 系の 回 転に対

た が っ て, 

な わ ち 

は 

と 同 じ 変 換 性 を 持 た な け れ ば な ら な い.す

は λ 階 の 既 約 球 面 テ ン ソ ル(irreducible

  原 子 核 の 表 面 を(3.1)式 の 場 合に 分 け て 図3.1に

で 表 し た と き の 変 形(振 動 運 動)の

こ の 型 の 振 動 は 起 き な い.原 mode)と

tensor)で 型 が λ=0,1,2,3

度 が 一定(非

圧 縮 性)の

条 件 の も とで は

子 核 は 厳 密に は 非 圧 縮 性 で は な い の で 呼 吸 モ ー ド

呼 ば れる こ の 型 の 振 動 運 動 が 考 え ら れ る が,励

心 の 平 行 移 動 を 表 す の で,重

起エ ネル

場 合 は 球 形 を保 っ た ま ま の 重

心 静 止 の 条 件 下 で は 考 え な く て も よ い.し

際 に 問 題 と な る 振 動 運 動 は 

の 低 い 振 動 運 動 は λ=2の4重 重 要 な も の が λ=3の8重

ある.

場 合 は 球 形 を保 っ た まま半 径

ギ ー が 高 い の で 当 面 考 え な くて も よ い.λ=1の

て,実

spherical

示 さ れ て い る.λ=0の

が 収 縮 ・膨 張 す る 変 形 であ る か ら,密

(breathing

して ス カ ラー量 で な けれ ば な ら

の モ ー ドであ る.通

極 振 動(quadrupole 極 振 動(octupole

vibration)であ

vibration)であ

たが っ

常 最 もエ ネ ル ギ ー り,次

に

る.

*2 早 い 時 期 に

,原 子 核 の 液滴 模 型 の集 団 運動 は次の 論 文 で 検 討 され た:S. Flugge, Ann. Physik, 39(1941) 373. *3 以下 の集 団運 動 の記 述 に 関 し ,そ の多 くを原 子 核 理論 の 分 野 で の最 重 要論 文 の1つ A. Bohr, Mat.

Fis. Medd.

Dan.

Vid. Selsk., 26(1952)

No. 14に 負 って い る.

図3.1 

液 滴 の 表 面 を(3.1)式

で 表 した と きの 変 形(振 動 運 動)の 型

λ=0は

球 形 を保 っ た ま ま半 径 が 収 縮 ・膨 張 す る.λ=1は

λ=2は

楕 円 体 型 の 変 形 で あ り,λ=3は"お

は,核

む すび"型

球 形 の ま ま重 心 が 平 行 移 動 す る. の 変 形 で あ る.図

中 の矢 印 の 細 線

物 質 が 渦 な し流 体 と考 え た と き のそ の 移 動 の よ うす を 示 して い る.

  これ ら液 滴 の 表 面 振 動 が 微 小 振 動 で あ る と し よ う.す な わ ち αλμお よび αλμ が 微 小 量 で あ る とす る.表 面 振 動 の運 動 エ ネ ルギ ーTは

核 の 変 形 の 速 度 の2次

形 式 で 表 され るで あ ろ う.ゆ え に αλμの2次 形 式 に な る と考 え られ る.ま た ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ルギ ーVは

変 形 に よるエ ネ ルギ ー の 変 化 分 で 与 え られ,こ れ

を微 小 量 αλμのべ き級 数 に展 開 し,2次 エ ネ ルギ ーT,お

まで と る こ とに す る.振 動 運 動 の 運 動

よび ポ テ ンシ ャル ・エ ネル ギ ーVは,座

標 回転 に対 して ス カ

ラ ーで な け れ ば な ら な い か ら

(3.3) と 表 さ れ る は ず で あ る.し 同 等 で あ る.そ parameter)Bλ

た が っ て,液

滴 の 表 面 振 動 は調 和 振 動 子 の 集 ま りと

れ ぞ れ の 振 動 子 の 固 有 振 動 数 ωλ は,質 と 弾 性 パ ラ メ ー タ ー(elasticity

量 パ ラ メ ー タ ー(mass

parameter)Cλ

と で 与 え ら れ,

(3.4) とな る.

  (a)質 量 パ ラ メ ー タ ー   質 量 パ ラ メ ー ターBλ

は"液 滴"を 構成 す る 核 子 群 が ど の よ う に 運 動 す る か

に 依 存 して き ま る量 で あ る.も っ とつ きつ め て い えば,最 互 作 用 に よっ て き まるべ き量 で あ るが,こ で は な い.そ

終 的には核子 間の相

の 観 点 か ら理 論 的 に 求 め るの は容 易

こ で"液 滴"を 構 成 す る 流 体 が 非 圧 縮 性 で 粘 性 が な い もの と し,

"渦 な し"(irrotational)の

運 動 を考 え

,Bλ

度 を ρ,流 体 内 の あ る1点 に

を 見 積 も る こ とに す る.流 お け る 流 れ の 速 度 をυ

体の密

と す る と,連

続の方程式

(3.5) が 成 り立 つ.ρ=一

定 で あ る か ら,

(3.6) で あ る.流

体 力 学に よ れ ば,υ

は 速 度 ポ テ ン シ ャ ル(velocity

ば れ る ス カ ラ ー 関 数 に

potential)と

呼

よって

(3.7) と 表 さ れ,Φ

はLaplace方

程式

(3.8) を み た す.原

点 で 正 則 なLaplace方

程 式 の 解 は,一

般 に

(3.9) と 表 され るが,液 滴 が 球 形 に な った 瞬 間 の,表 面 に お け る速 度υ の 表 面 に垂 直 な成 分 は, の

と な り,こ

時 間 微 分 に等 しい か ら,

れ に(3.1)式

が 得 ら れ る.こ

と(3.9)式

れ を(3.9)式

を 代 入 す る と, 

に 代 入 す る と,速

と 

の関係式

度 ポ テ ン シ ャ ルΦ

は

(3.10) と な る.

さて,流 体 全 体 の 運 動 エ ネ ル ギ ーTは

(3.11) で あ る.こ る と,結

れ に(3.10)式

を 代 入 し て 積 分 を 遂 行 す る.α λμが 微 小 量 で あ る と す

果 は

(3.12) と な り,渦

  (b)ポ

な し 流 体 の 場 合 の 質 量 パ ラ メ ー タ ー が 得 ら れ た こ と に な る.

テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー

  次 に ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ーVに 討 し よ う.Vは ら れ る.1つ

お け る 弾 性 パ ラ メ ー タ ーCλ

変 形 に よ る エ ネ ル ギ ー の 変 化 分 か ら 導 か れ,2つ は 変 形 に よ り 液 滴 の 表 面 積 が 変 化 し,こ

の 変 化 で あ り,も

う1つ

は 変 形 に よ るCoulombエ

  まず 表 面 エ ネ ル ギ ー を 考 え る.一

般 に 

に つ い て検

の 由来 が 考 え

れ に よ る 表 面 エ ネル ギ ー

ネ ル ギ ー の 変 化 で あ る. で 表 さ れ る 曲 面 の 表 面 積S

は

(3.13) で 与 え ら れ る.R(θ,φ)=R0+ζ(θ,φ)と (3.13)式

の 中 の 平 方 根 を 展 開 し,2次

か ら,ζ/R0の2次

し,変

形 分 ζ(θ,φ)が 小 さ い と し て

の 項 ま で と る.さ

ら に体 積 不 変 の 条 件

ま で と る と,

(3.14) が 得 られ る.こ れ ら の 結 果 を用 い る と,球 形 か ら 変 形 した こ と に よ る表 面 積 の 増 加 分 ΔSは

(3.15)

と な る.

(3.16) を(3.15)式に

代 入 し, に

関す る 少 し面 倒 な積 分 を遂 行 す る と,結 果 は

(3.17) と な る.単

位 面 積 あ た りの 表 面 張 力 σ をΔSに

エ ネ ル ギ ー の 増 加 分ΔVSで 式(2.7)の R0の

あ る.表

掛 け た も の が 変 形に よ る 表 面

面 張 力 σ はWeizsacker-Betheの

中 の 表 面 エ ネ ル ギ ー の 項 か ら 求 め る こ と が で き る.す

球 面 の 表 面 エ ネ ル ギ ー4πR20σ  に 等 し い は ず で あ る か ら,核

質量 公 な わ ち,半

径

が 質 量 公 式(2.7)の

中 の 表 面 エ ネル ギ ー

半 径 と し て(2.5)式

のR0を

用 い れ ば,

(3.18) と な る.   さ ら に 変 形 に よ るCoulombエ と し,そ

ネ ル ギ ー の 変 化 を検 討 し よ う.荷 電 密 度 を ρe(r)

れ に よ る 静 電 ポ テ ン シ ャ ル をu(r)と

す る と,Coulombエ

ネ ルギ ー は

(3.19) で 与 え られ る.液 滴 内 部 で は 荷 電 密 度 は 一 定 で

(3.20) で あ る と し,外

部 で は0と と す れ ば,変

す る.表

面 エ ネ ル ギ ー の 時 と 同 様 に, 

形に よ るCoulombエ

ネ ル ギ ー の 増 加 分ΔVCは

(3.21) と書 か れ る. 

を球 面 調 和 関 数 で 展 開 し,体 積 一 定 の 条 件 式(3.14)を

併 用 し,や や 面 倒 な 積 分 計 算 を行 っ て

(3.22) を 得 る.

  以 上 を ま と め て,変 分 の 和  る の で,弾

形に よ る 表 面 エ ネ ル ギ ー とCoulombエ が(3.3)式

ネル ギ ー の 増 加

の ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー で あ る と 考 え ら れ

性 パ ラ メ ー タ ーCλ

は

(3.23) とな る.

 (c)角 運 動 量   液 滴 表 面 の 振 動 運 動 は 図3.1に

示 し た よ うに,液 滴 内 の 流 体(核 子)の 集 団

的 な 流 れ で あ るか ら,そ れ ら は 当然 角 運 動 量 を持 つ はず で あ る.こ こ で 表 面 振 動 の持 つ 角 運 動 量 

を求 め る こ と に し よ う.ρ を液 滴 内 の 核 物

質 の 一 定 な密 度 とす れ ば,Lは

(3.24) で与 え られ る.Lx, Lyの2つ

の 成 分 の 代 わ りに を

使 い,そ れ

ぞ れ を極 座 標 で 表 す と,

(3.25a) (3.25b) (3.25c) と な る.(3.10)式 を 用 い れ ば,た

を 使 い,液

滴 表 面 を 

と し て(3.16)式

と え ばL+は

(3.26) とな る.た だ し  と の

で あ る.右 辺 の第2番 部 分に 分 ける.す

なわ ち

目の積 分 の 範 囲 を  

と す る と,[0,R0]の

部 分 の 積 分 は θ,φに よ ら な い の で,(3.26)式に

の θ,φ に つ い て の 積 分 が0と

な り, 

変 形 ζが 十 分 小 さ い と す れ ば,こ

と 考 え て よ い だ ろ う.し

おける最初

の 部 分の み を 考 え れ ば よ い.

の部分の 積分は

たが って

(3.27) が 得 ら れ る.こ

れ に(3.16)式

を 代 入 し,よ

く知 ら れ た 式

(3.28) を使 え ば 角 度 積 分 は 容 易 で あ る.L-やLzも

同 様 に し て 計 算 す る こ とが で き

る.結 果 を ま と め る と

(3.29a) (3.29b) (3.29c) と な る.   こ こ で 後 の 都 合 の た め,集 mentum) 

を 導 入 す る. 

団 座 標 

に 共 役 な 正 準 運 動 量(canonical

mo

は

(3.30) で 定 義 さ れ る.こ

れ を 用 い れ ば,液

滴 の 表 面 振 動 のHamilton関

数 は

(3.31) と書 か れ,上

述の角運動 量は

(3.32a)

(3.32b) (3.32c) と書 くこ とが で き る.こ れ に よっ て 液 滴 表 面 の 振 動 運 動 の持 つ 角 運 動 量 が,集 団座 標 と それ に 共 役 な正 準 運 動 量 とで 表 現 で きた こ とに な る.  上 記 の 角 運 動 量 

Lzの 代 わ りに,次 の 表 式

(3.33) を 用 い れ ば,(3.32)式

は よ り 統 一 的 か つ 有 用 な 形 で 表 現 で き る.す

なわ ち

(3.34) で あ る.この 

は 角 運 動 量 の 成 分Lx, Ly,

Lzか

ら構 成 し た1

階 の 既 約 テ ン ソ ル で あ る.

  3.1.2  表 面 振 動 の 量 子 化―

フ ォノン

  上 述 の 液 滴 表 面の 振 動 運 動 を量 子 化 し よ う.通 常の 正 準 量 子 化 を行 う.す な わ ち,集 団 座 標 

とそ れ に 正 準 共 役 な運 動 量 

を演 算 子 と考 え,そ れ ら

の 間に 交 換 関係

(3.35) を導 入 す る.(3.2)式に

対 応 す る関 係 式 は

(3.36) で あ る.   演 算 子 

の 代 わ りに次 の 演 算 子

(3.37)

を 使 う の が 便 利 で あ る.こ り,ω λ は(3.4)式

こ でBλ

は(3.3)式

の 固 有 振 動 数 で あ る.この

に現 れ た 質量 パ ラ メ ー タ ーで あ 演 算 子 

が ボ ソ ン の交 換 関係

(3.38) を み た す こ と は,交

換 関 係(3.35)か

の 振 動 の 量 子 は ボ ソ ン で あ り,通   (3.37)式

ら容 易に 確 か め られ る.つ 常 こ れ を フ ォ ノ ン(phonon)と

ま り,液

滴表面

呼 ん で い る.

か ら

(3.39a) (3.39b) が 得 ら れ る の で,こ

れ ら を(3.31)式に

代 入 し て 表 面 振 動の ハ ミル トニ ア ンH

を 求 め る と,

(3.40) と な る.た る.基

だ しnλ=Σ

底 状 態￨0)は

し て 

μb†λμbλμ は 量 子 数 λ を持 つ フ ォ ノ ンの個 数演 算子 で あ

フ ォ ノ ン が ま っ た く な い 状 態(真

を み た す 状 態 で あ る.￨0)は

な わ ち(0￨0)=1で

空)で,す

べ て の λ,μ に 対

規 格 化 さ れ て い る も の と す る.す

あ る.

  (3.34)式

に 演 算 子(3.39)を

代 入 し,量

と な る.こ

れ を 求 め る に あ た っ て,

子 化 さ れ た 角 運 動 量 演 算 子 を 求 め る と,

(3.41)

を用 い た.一 般 に 角 運 動 量 λ を持 つ ボ ソ ン(こ れ を λボ ソ ン と呼 ぶ)を 角 運 動 量(LM)に

組 んだ対演算子 は

(3.42)

で 定 義 され る が,2つ

の ボ ソ ン 演 算 子 が 交 換 可 能 で あ る こ と と,Clebsch-Gordan

係 数 の 性 質 〈λμ'λμ￨LM〉=(-1)2λ-L〈

λμλμ'￨LM〉

(L=奇

か ら,

数) 

(3.43)

と な る こ と に注 意 す べ きで あ る.つ ま り,同 一 の 角 運 動 量 を持 つ2個 が 全 角 運 動 量Lhに

組 ん だ 対(ペ ア ー)を 作 る と き,Lが

のボ ソン

奇 数 の 対 は 許 され な い

とい う こ とで あ る.  さて フ ォ ノ ンが1個

だ け 存 在 す る状 態 

L2x+L2y+L2zとLzを

を考 え る.こ の 状 態 にL2=

作 用 させ る.容 易 に わ か る よ うに (3.44a)

(3.44b) と な る.し

た が っ て,1個

  λ フ ォ ノ ンがn個 こ と に し よ う.今

の フ ォ ノ ン 

励 起 し,全 後,こ

は 角 運 動 量 λ〓 を 持 つ こ とが わ か る.

角 運 動 量 が(L,

M)の

状 態 を￨λnαLM)と

の よ う な 状 態 を 多 フ ォ ノ ン 状 態(multi-phonon

表す states)

と 呼 ぶ こ と に す る.α

は 多 フ ォ ノ ン 状 態 を完 全 に 指 定 す る た め の 付 加 量 子 数

(additional

number)で

quantum

あ る.n=1,2の

場 合 は 簡単 に

(3.45a) (L=偶

と 書 く こ と が で き る.一

般 の 個 数nの

数) 

多 フ ォ ノ ン 状 態 は,n-1個

(3.45b)

の 状 態 に1

個 の フ ォ ノ ン を加 え て

(3.46) と 作 る こ と が で き る.た

だ し 係 数(λn-1(α1L1)λ￨}λnαL)は

(coefficient

parentage)で

of fractional

あ り,第1章

λ ボ ソ ン のcfp

で 出 て き た フ ェ ル ミオ ン

の 場 合 のcfpを

ボ ソ ン 系 に 焼 き な お し た も の で あ る.こ

ミ オ ン のcfpと

ほ ぼ 同 様 に 求 め る こ と が で き る.相

の ボ ソ ン のcfpは

フェル

違 点 は フ ェ ル ミオ ン の 生 成 ・

表3.1 

多 フ ォ ノン状 態 

注:λ=3,

n=3,

に お い て許 さ れ る 全 角 運 動 量Lの

L=3の

場 合,独

立 な 状 態 は2個

消 滅 演 算 子 が 反 交 換 関 係 を み た す の に 対 し,ボ 点 で あ る.い 対 し,ボ

存 在 す る.

ソ ンの そ れ は 交 換 関 係 をみ た す

い換 え れ ば 多 フ ェ ル ミオ ン系 の 波動 関 数 が 反 対 称 関 数 で あ るの に

ソ ン の 場 合 は 対 称 関 数 と な る こ と で あ る.こ

若 干 の 相 違 を も た ら す が,そ

ん 可 能 で あ る.)し す る 式 で あ り,こ

の こ とがcfpの

計 算法 に

の 他 は ま っ た く 同 様 に 扱 う こ と が で き る.(フ

ミ オ ン の セ ニ ョ リ テ ィ と 同 様 に,ボ

ェル

ソ ンの セ ニ ョ リテ ィを 考 え る こ と も も ち ろ

た が っ て(3.46)式

は フ ェ ル ミ オ ン の 場 合 の(1.73)式

に対応

れ に よ っ て 順次 大 き い フ ォ ノ ン 数 の 独 立 な 状 態 を 作 る こ と が

で き る.表3.1に,λ=2と

λ=3の

さ れ る 全 角 運 動 量Lが 状 態 は2個

値

あ り,こ

場 合 のn=1,2,3の

示 さ れ て い る.λ=3でn=3の

多 フ ォ ノ ン状 態 の 許 場 合,L=3の

独立な

の と き に は こ れ ら を 区 別 す る た め に 付 加 量 子 数 α(=1,2)

が 必 要 に な る.

  3.1.3 

多 フ ォ ノン 状 態 間 の 電 磁 遷 移

  上 記 の 多 フ ォ ノ ン状 態 間 の 多 重 極 電 磁 遷 移 確 率 を 計 算 し よ う.ま 電 分 布 は 一 様 で(3.20)式 子 は(1.146a)式

で 与 え ら れ る ρ0で あ る と す る.電

か ら 

ず 液滴の荷

気 的多 重 極 遷 移 演 算

を 液 滴 全 体 に わ た っ て 積 分 し,Coulomb

エ ネ ル ギ ー の 計 算 と 同 様 に し て,

(3.47) が 得 られ るの で,こ れ に(3.39a)式

を代 入 して量 子 化 す れ ば よい.そ の結 果,Eλ

遷移演 算子は

(3.48)

と表 され る.こ の演 算 子 はボ ソ ン の数 を ±1だ け 変 化 させ るの で,Eλ

遷移の選

択則 は

(3.49) で あ る.   ここ で,電 skopf

気 的 遷 移 確 率 の 大 き さ を 表 す た め に 便 利 なWeisskopf単

units)を

導 入 し よ う.*4い

て 起 き る も の と 考 え る.こ (1.147)式

始 状 態bの

な ど に 依 存 す る が,そ

の 陽子 の状 態 の変 化 に よっ

の 場 合 の 換 算 遷 移 確 率 は,殻

を 使 っ て 見 積 も る こ と が で き る.す

結 果 は 終 状 態aや

表 す.す

ま 電 気 的 遷 移 が1個

ス ピ ンjaやjbに

位(Weis

模 型 を 用 い,(1.145)式,

な わ ち"1粒

子 見 積 も り"で あ る.

関 係 し たClebsch-Gordan係

の 部 分 を 無 視 し た も の をWeisskopf単

数

位 と 呼 び,BWで

なわ ち

(3.50a) で あ る.通

常 は 

と して

(3.50b) が よ く 用 い ら れ る.磁 が,こ

気 的 遷 移 確 率 に 対 す るWeisskopf単

こ で は 省 略 す る.

  つ い で な が ら1フ

ォ ノ ン の 励 起 エ ネ ル ギ ーhω λ を 概 算 し て お こ う.(3.23)式

で 与 え ら れ る 弾 性 パ ラ メ ー タ ーCλ る.そ

位 も定 義 され て い る

こ でCoulombエ

の う ち,表

ネ ル ギ ー に よ る 第2項

量 パ ラ メ ー タ ー と を(3.4)式

に 代 入 す る と,表

面 張 力 に よ る 第1項 を 無 視 し,こ

が 主要で あ

れ と(3.12)式

の 質

面 振 動 の 固 有 エ ネ ル ギ ーhω λ は

大雑把 に

(3.51) と な る.   さ て,電 気 的 遷 移 演 算 子(3.48)を る こ とが で き る.い

ま(3.46)式

用 い て 多 フ ォ ノ ン状 態 間の 遷 移 確 率 を 求 め

で 定 義 され る多 フ ォ ノ ン状 態 

から

 へ の 遷 移 を 考 え る .そ の 場 合 の換 算 遷 移 確 率 は

(3.52) *4  V

.F.Weisskopf,Phys.Rev.83(1951)1073.

と な る.n=1やn=2の

場 合 は,(3.52)式

の で 結 果 は 簡 単 で あ る.も

ち ろ ん(3.45)式

あ る.た

と え ばE2遷

移 でn=1の

の ボ ソ ンcfpは

す べ て1に

等 しい

を 使 っ て 直 接 計 算 す るこ と も容 易 で

場 合,

(3.53) とな る.ここ て(3.51)式

で2+1は 第1励 起2+状

態, 

は 基 底 状 態 を 意 味 す る.hω λ と し

を,ま た 質 量 パ ラ メー ター と して(3.12)式

れ ば, 

を使 い,Z〓A/2と

∼40BW

が 得 られ る.こ の 値 はA=50の ,A=100の

と き ∼70BWに

もな り,1粒

す とき

子 見 積 も りBWに

比べて

1桁 以 上 大 き くな る.つ ま り,原 子 核 の 表 面 振 動 は 多 数 の 粒 子 の 集 団 的 運 動 で あ り,そ の た め に 大 きな 電 気 的遷 移確 率 を もた らす の で あ る.   液 滴 の 表 面 振 動 に よる 磁 気 モ ー メ ン トは 角 運 動 量Lに

比 例 す る はず で あ る.

し たが って 磁 気 的 遷 移 演 算 子 は

(3.54) と書 か れ る で あ ろ う.ここ でg(λ)は 表 面 振 動 に 伴 う核 物 質 の 集 団 運 動 の 詳 細 に 依 存 す る 量 で あ る.μNは

核 磁 子 で あ る.(3.41)式

フ ォ ノ ン数 を変 化 させ な い.し

たが っ て,フ

か ら 明 らか な よ う にLは

ォ ノ ン 数 の 異 な る多 フ ォ ノ ン状 態

間 の 磁 気 的 遷 移 は 生 じな い と考 え られ る.

  3.1.4  実 験 との 比 較   上 述 し た 液 滴 模 型 の 表 面 振 動 に相 当す る振 動 運 動 が,現

実の原子核 において

生 じ るか 否 か を い くつ か の 実 験 事 実 に 照 ら し合 わせ て 検 討 し よ う.   質量 数 の 全 範 囲 に わ た り,ほ と ん どす べ て の偶 々核 の 第1励 起 状 態 の ス ピ ン ・ パ リテ ィは2+で

あ る.以 後こ の 状 態 を2+1状 態 と 書 く.添 え 字 の"1"は

ル ギ ー の 低 い 方 か ら順 に1番

目の2+状

態 と い う意 味 で あ る.こ の 表 示 法 で は

基 底 状 態 は0+1と 書 か れ る.図3.2に2+1状 3.3に3-1状

態 の 励 起 エ ネル ギ ーE(2+1)が,図

態 の 励 起 エ ネル ギ ーE(3-1)が,示

い て ほぼ 系 統 的 な分 布 を示 し て い る.図3.4に ら基 底 状 態 へ の 換 算 遷 移 確 率 

エネ

され て い る.閉 殻 核 の付 近 を 除 は 

の 領域 の2+1状 態 か

の 実 験 値 がBWを

単位 にして

表 され て い る.こ の 図 か らわ か る よ う に,こ れ らの2+1状 態 か ら基 底 状 態 へ の  は いず れ もWeisskopf単

位 に 比べ て1桁 以 上 大 きい値 で あ る.

図3.2 

偶 々核 の 第1励

横 軸 は 質 量 数.hω2(流 タ ー(3.23)と S. (K.

G.

図3.3 

起2+状

態 の 励 起 エ ネ ルギ ー

質 量 パ ラ メー タ ー(3.12)と

を 使 っ た と き の 励 起 エ ネ ル ギ ー で あ る.O.

Nilsson,

Siegbahn

体)は

Alpha-, ed.)

Beta-

North-Holland

偶 々核 の 第1励

and

Gamma-Ray (1955),

起3-状

弾 性 パ ラ メー Nathan

and

Spectroscopy, Chap.

10に

よ る.

態 の励 起 エ ネ ル ギ ー

横 軸 は 質 量 数.hω3(流 体)は 質 量 パ ラ メ ー ター(3.12)と 弾性パ ラ メー ター(3.23)と を使 っ た と きの 励 起 エ ネル ギ ーで あ る.3.2図 と 同 じ文 献 に よる.

図3.4 

AεFの1粒 を"空

呼 び εFで 表 す(図3.26参

な わ ち 真 の 真 空 で あ る.

state)と

子 状 態 を"粒 呼 ぶ.関

子 状 態"(particle

よ び 空 孔(hole) state), 

数

(3.206)

を使 っ て,生 成 演 算 子c†αを

(3.207) と書 くと,右 辺 の 演 算 子c†αは 粒 子 状 態 α に"粒 子"を 生 成 す る演 算 子 で あ り, 演 算 子bα は 空 孔 状 態 α の"空 孔"を 消 す 演 算 子 と な る.容 易 に わ か る よ うに,

(3.208) で あ る か ら,Hartree-Fock基 空"と

底 状 態￨Φ0〉 は"粒 子"お

よび"空

孔"に

対 す る"真

な っ て い る.

  こ の"粒

子 ・空 孔"表

示 を 用 い る と(3.204)式

の ハ ミ ル トニ ア ン は

(3.209a) (3.209b) (3.209c) と 書 き 直 す こ と が で き る.こ 演 算 子 を":"の product)で

こ で,(3.209a)式

記 号 で は さ ん だ 表 式 は,粒

に お け る: 

:の よ う に,

子 ・空 孔 に 関 す る 正 規 積(normal

あ る.*16

  Hartree-Fock法

は 上 記 のSlater行

 を 変 分 関 数 と し て,系 を 極 小 に す る よ うに 

列 式￨Φ0〉 を 構 成 す る1粒 の ハ ミル トニ ア ンHの

子 波 動 関数

期 待 値 

を決 定 す る近 似 で あ る.規 格 化 条件

 を 付 す た め のLagrange未

定 乗 数 と し て εα を と れ ば,変

分 方程 式 は

(3.210) と 書 か れ る.そ Fock

の 結 果,1粒

子 状 態 を きめ るHartree-Fock方

程 式(Hartree-

equation)

(3.211) *16  生 成 演 算子 を最 左 方 に

,消 滅 演算 子 を最 右 方 に並 べ る演 算 子 の積 を正規 積 と呼 ぶ.Wick の定 理 を用 い て,演 算 子の 積 を 正規 積 の形 にす る と,定 数 項が 真 空 期待 値 とな る.

を 得 る.た

だ し,変

分 方 程 式(3.210)の

主 旨 か ら わ か る よ う に,こ

空 孔 状 態 に 対 し て 導 か れ た も の で あ る が,粒 す な わ ち,1粒 ま た,非

子 状 態 まで 拡 張 す る もの と す る .

子 状 態 α は 空 孔 ・粒 子 の す べ て の 状 態 を 意 味 す る も の と す る .

局 所 的 な 平 均 ポ テ ン シ ャ ル,す

(Hartree-Fock

の方程式 は

potential)

な わ ちHartree-Fockポ

テ ン シ ャル

U(q,q')は

(3.212) で 与 え ら れ る.Hartree-Fock方 テ ン シ ャ ルU(q,q')の

中 に 解 くべ き1粒

自 己 無 撞 着 的(self-consistent)に   1粒

程 式(3.211)は

εαβ は,α

も と で,系

子Schrodinger方

程 式(3.211)の

程 式(3.203)の

解

解 を と れ ば,(3.209c)式

の

ま た は β の 一 方 が 粒 子 状 態 で 他 方 が 空 孔 状 態 の と き に は0と

ら,(3.209a)式

の 右 辺 の 第3項

均 ポ

子 波 動 関 数{φ α}が 入 っ て い る の で ,

解 か な け れ ば な ら な い.

子 表 示 を き め る た め に 使 っ た1粒

{φα}の 代 わ り にHartree-Fock方

非 線 形 方 程 式 で あ り,平

は0と

な る.し

た が っ て,Hartree-Fock近

な るか 似の

の ハ ミル ト ニ ア ン は

(3.213a) (3.213b) (3.213c)

(3.213d) (3.213e) (3.213f) (3.213g)

図3.27 

残 留 相 互 作 用 の ダ イ アグ ラム

上 向 きの 矢 印線 は 粒 子 状 態.下 向 きの 矢 印 線 は 空 孔 状 態.丸 HXは 粒 子 数 お よび 空 孔 数 を 変 化 させ な い 相 互 作 用 で あ る.

印が 相 互 作 用 の バ ー テ ック ス.

(3.213h) (3.213i) と 書 か れ る.(3.213h),(3.213i)式

に お け るh.c.は

意 味 す る.U0がHartree-Fock基

直 前 の 項 の エ ル ミー ト 共 役 を

底 状 態 の エ ネ ル ギ ー,H0が1粒

ル トニ ア ン で あ り,全 ハ ミ ル トニ ア ン の う ちHartree-Fock近 H0に

入 り き れ な か っ た 残 留 相 互 作 用 がHintで

空 孔 ・空 孔,Hphは

ミ

似 の も と でU0や 粒 子 ・粒 子,Hhhは

粒 子 ・空 孔 の 間 の 相 互 作 用 で あ る. 

と 表 す こ と も あ る.HXは HVとHYと

あ る.Hppは

子(空 孔)ハ

粒 子 数 お よ び 空 孔 数 を 変 化 させ な い 相 互 作 用 で あ る.

は 粒 子 数 お よ び 空 孔 数 を 変 化 させ る.こ

イ ア グ ラ ム が 図3.27に

れ ら の残 留 相 互 作 用 の ダ

示 され て い る.

  自己 無 撞 着 的 に 決 定 され た 上 述 の 平 均 ポ テ ン シ ャルU(q,q')(3.212)は 的 に は 非 局 所 的 な1体

ポ テ ン シ ャ ルで あ るが,こ

1章 にお い て議 論 し た殻 模 型 の1体

一般

れ を近 似 的 に 表 し た ものが 第

ポ テ ンシ ャル で あ る と考 え られ る.

 (b)  密 度 行 列 とHartree-Fock法   Hartree-Fock法 が あ る.以

を密 度 行 列(density

matrix)を

用 い て 表 現 す る と都 合 が よ い 場 合

下 で 簡 単 に 説 明 し よ う.

 い ま ,あ るA粒

子 系 の 状 態 ベ ク トル 

を考 え る.一 般 に

(3.214) と書 か れ る. 

は 引 数 

に 関 し て 反 対 称 関 数 で あ る.

この状 態￨Ψ〉にお け る密 度行 列 ρΨ の行列 要素 

は

(3.215) で 定 義 され る もの とす る.し

たが って密度 行列 の行列 要素 は

(3.216) と な る.以

後 ρΨ の 添 字"Ψ"は

省 略 す る.

  い ま状 態 ベ ク トル￨Ψ〉 がHartree-Fock状 行 列 式)で あ る な らば,密

態(す な わ ち規 格 化 され た 単 一 のSlater

度行 列 は

(3.217) を み た す.逆

に密 度 行 列 が(3.216)式

れ た単 一 のSlater行

を み た す な らば,そ

列 式 と 同 等 で あ る.こ

の 状 態 ベ ク トル は 規 格 化 さ

のとき

(3.218) で あ る こ と は 容 易 に わ か る.   規 格 化 され たHartree-Fock状

態 ベ ク トル に 対 す る 系 の エ ネ ル ギ ー 期 待 値EHFを

密 度 行 列 を 使 っ て 表 す と,

(3.219a) (3.219b) と な る.し

た が っ て,エ

ネ ル ギ ー 期 待 値EHFは

密 度 行 列 ρ の 汎 関 数 で あ り,

(3.220) と な る.

  Hartree-Fock近 ち(3.217)式

似 は状 態 ベ ク トル を単 一 のSlater行

を保 持 し た ま ま,ρ に 微 小 変 分 を 与 え,汎

こ とで あ る.こ

列 式 に 保 持 し た ま ま,す 関数EHF[ρ]を

なわ

停留 値 にす る

れ は微 小 ユ ニ タ リー 変 換

(3.221) を 行 う こ と と同 等 で あ る.fは お け るfに

微 小 な エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ る.(3.221)式

関 す る 級 数 展 開 の1次

まで と る と,δ ρ=i[ρ,f]が

の 右辺 に

得 られ る の で,EHFの

変分 は

(3.222)

と な る.最 て,任

後 の 等 式 は 

意 のfに

を 使 っ て 得 ら れ る.し

対 して 

たが っ

とな るため に は

(3.223) で な け れ ば な ら な い.こ

  (3.223)式

は,ρ

れ がHartree-Fock近

を対 角 的(diagonal)に

る こ とが で きる こ と を意 味 す る.そ

似 の 条 件 で あ る.

す る 表 示 に お い て,hも

同時 に対角 的にす

のとき

(3.224) で あ る.hの

定 義 を使 っ て 具 体 的 に書 く と,こ の 方 程 式 はHartree-Fock方

程 式(3.211)

と 同 等 で あ る こ とが わ か る.

  (c) 時 間 依 存Hartree-Fock法

と微 小 振 動 解

  前 に 述 べ たBohr-Mottelsonの

集 団 模 型 に お い て は,原

子 核 の 集 団 運 動 は平

均 ポ テ ン シ ャ ル が 時 間 と と も に 回 転 ・振 動 す る 運 動 で あ る と 考 え た.こ 方 を 表 現 す る 近 似 法 が 時 間 依 存Hartree-Fock法

で あ る.*17こ

の考 え

こ で これ を説 明

し よ う.  時 間 に 依 存 し たSchrodinger方

程式

(3.225) は,試 行 関 数￨Ψ(t)〉に何 らの 制 限 を加 え な い と きの 変 分 方 程 式

(3.226) と 同等 で あ る こ とが よ く知 られ て い る.   試 行 関 数￨Ψ(t)〉 Hartree-Fock る.こ

と し て 単 一 のSlater行

(TDHF)法(time-dependent

の と き のSlater行

列 式￨Φ 〉 を と る 近 似 法 が 時 間 依 存 Hartree-Fock

列 式 を 構 成 す る1粒

子 波 動 関 数 は,時

method)で

あ

間に依存す る も

の と 考 え る の で あ る.   時 間 依 存Hartree-Fock法

に お け る 微 小 振 動 解 を 求 め る た め に,次

有 用 で あ る. *17 野 上 茂 吉 郎 R.

A.

,素

Ferrell,

粒 子 論 研 究,10 Phys.

Rev.

107

(1956)

600.

(1957)

1631.

の定理 は

[定理](Thouless)A粒

子 系 のHartree-Fock型

の 波 動 関 数(Slater行

列 式)を

(3.227) と す る. 

と 直 交 し な い 任 意 のHartree-Fock型

の波 動関数 は

(3.228) と 表 す こ と が で き る.係

数Cμiは

式 の 形 の 波 動 関 数 はA粒

子 系 のSlater行

[証明]  Hartree-Fock型

一意 的 に き め る こ と が で き る.逆

の 波 動 関 数 

粒 子 波 動 関 数 を そ れ ぞ れ{φi}お

に(3.228)

列 式 で あ る.*18 お よ び 

を 構 成 す る 規 格 直 交 化 され た1

よび{ψ α}と し,そ れ ら の 間 の 関 係 を

(3.229) と す る.も

ち ろ ん これ は ユ ニ タ リ ー 変 換 で あ り,

(3.230) と な る.こ

れ を 第2量

子化 の表 示で表せ ば

(3.231) で あ る.し

た が っ て,

(3.232) と書 か れ る. 

は 

に 直 交 し な い と 仮 定 し て い る の で,

(3.233) と規 格 化 す る こ とが で き る.た だ しdet(fαi)はfαiを

行 列 要 素 とす るA×A行

の 行 列 式 で あ る.行

す る と,

列(fαi)の 逆 行 列 を行 列(Fiα)と

列(fαi)

(3.234) *18 D

. J.

Thouless,

Nucl.

Phys.

21

(1960)

225.

で あ る.さ

てA×A行

列(Fα β)を 用 い て

(3.235) と変 換 す る.(3.230)式

お よ び(3.234)式

を用 い て

(3.236) と な る か ら,変

換(3.235)はA×Aの

ユ ニ タ リ ー 変 換 で あ る.さ

て 係 数Cμiを

(3.237) と 定 義 す る と,(3.235),(3.231),(3.234)の

各 式 を 使 って

(3.238) と な る.し

たが って

(3.239) と な る.係

数Cμiは

(3.240) に よ っ て 一 意 的 に 決 定 され る.  [証明 終 り]  い ま,ユ ニ タ リ ー 変 換eGを とす る.任

意 の2つ

考 え る.た だ し 

の 演 算 子A,Gに

対 す る よ く知 られ た 公 式

(3.241) に お い て,  はc†μ の1次

と す れ ば,  結 合 で 表 さ れ る.し

と な る か ら,  た が っ て,ユ

ニ タ リ ー 変 換(3.238)は

一般 に

の 形 に 書 くこ とが で き る.す

なわ ち

(3.242) と な る か ら,前 述 のThoulessの [定理] 

定 理 は 次 の よ う に書 き換 え る こ とが で き る.

をHartree-Fock型

と す る. 

の 波 動 関 数(Slater行

と 直 交 し な い 任 意 のSlater行

列 式)

列 式￨Φ 〉は

(3.243) と 表 す こ と が で き る.た

だ し,a† μ お よ びb†iは そ れ ぞ れ￨Φ0〉 に 関 す る 粒 子 お

よび 空 孔 の 生 成 演 算 子 で あ る.   さ て,時 Mottelsonの

間 依 存Hartree-Fock法

に よ る 微 小 振 動 解 を 解 く こ と に よ り,Bohr-

集 団 模 型 に お け る 集 団 運 動,す

な わ ち 静 的 なHartree-Fock解￨Φ0〉

の ま わ りの 微 小 振 動 が 解 け る は ず で あ る.こ

れ を 検 討 し よ う.

  時 間 依 存Hartree-Fock近

分 方 程 式(3.226)に

は(3.243)式

似 に お い て は,変

の￨Φ 〉の 形 を 持 つ は ず で あ る.こ

変 化 す る も の と し て,変

分 方 程 式(3.226)に

の￨Φ 〉の 中 のGが

お け る  時 間 と と もに

おいて

(3.244) の 形 の 定 常 解 を 考 え る.こ

こ で 

  に よ る ハ ミル トニ ア ン(3.213)の 考 え て,そ

の2次

で あ る. 期 待 値 を 計 算 し,gμi(t)は

微小 量 と

ま で と れ ば,

(3.245a)

(3.245b) と な る.変

分 方 程 式(3.226)は

す べ て の(μ,i)の

組 につ い て

(3.246) と書 か れ るか ら,

(3.247) が 得 られ る.い ま振 動 解 を 考 え て い る か ら,

(3.248) と置 く と,固 有 値 方 程 式

(3.249) が 得 ら れ る.こ y(μi)が

  3.4.2 

の 固 有 値 方 程 式 を 解 く こ と に よ っ て 固 有 振 動 数 ω と 振 幅x(μi),

得 ら れ る.

乱 雑 位 相 近 似(RPA)

  前 述 の 時 間 依 存Hartree-Fock法 モ ー ド(excitation

mode)と

  ￨Ψ0〉を ハ ミ ル トニ ア ンHの る.す

な わ ち 

時 間 に 依 存 す るSchrodinger方

の 微 小 振 動 解 は,別

の 観 点,す

な わ ち励 起

い う 観 点 か ら 見 直 す こ とが で き る. 真 の 基 底 状 態 と し,そ で あ る.こ

の と き, 

の エ ネ ル ギ ー をE0と

す は

程式

(3.250) の 解 で あ る.

さて,方

程式

(3.251) を み た す エ ル ミ ー ト演 算 子G(t)を

考 え よ う.状

態 ベ ク トル

(3.252) も ま た 時 間 に 依 存 す るSchrodinger方

程式

(3.253) の 解 で あ る.   こ れ を 証 明 す る の は 容 易 で あ る.(3.250)式

が 得 られ る.こ

の 両 辺 に 展 開 式(3.241)を

か ら

適 用 す る と,

(3.254) と な る.と

こ ろが

で あ る か ら,こ

の 関係 式 と(3.251)式

と を(3.254)式

が 得 られ る.こ

れ は 方 程 式(3.253)に

ほ か な ら な い.

  こ こ で 方 程 式(3.251)の

へ 代 入 す る と,直

ちに

振動解

(3.255) を 考 え よ う.こ

のG(t)を(3.251)式

に 代 入 す る と,

(3.256) と な り,演 算 子O†λ,Oλ は 調 和 振 動 子 の 生 成 ・消 滅 演 算 子 の よ うに 振 る舞 う.   この よ うな 振 動 解O†λ,Oλ を形 式 的 に 書 くこ とは 常 に可 能 で あ る.Hの

厳密

な 励 起 状 態 を￨Ψ λ〉 と す る.す ギ ー を 

な わ ち, 

で あ る.励

起 エ ネル

と し,

(3.257) と す れ ば,こ

れ ら のO† λ,Oλ は(3.256)式

を み た す こ と は 明 ら か で あ る.関

係式

(3.258) か らわか る よ うに,演 算 子O† λ は基 底 状 態 に作 用 し て励 起 状 態 を 生 成 す る励 起 モ ー ドの 生 成 演 算 子 で あ り,逆 にOλ は 消 滅 演 算 子 で あ る.

 (a) RPA励

起 モー ド

 上 記 の 厳 密 か つ 形 式 的 な 励 起 モ ー ド の 代 わ りに,近 よ う.O†

λと し て1粒

子1空

似 的 な 励 起 モ ー ド を考 え

孔 モ ー ド(one-particle-one-hole

mode)

(3.259) を 採 用 す る.(3.255)式

のO† λ の 代 わ り にX† λ を 代 入 し た 近 似 的 なG(t)を

ば, 

は 時 間 依 存Hartree-Fock波

  X†λ の み た す べ き 方 程 式 は(3.256)式

使 え

動 関 数 で あ る.

に お い てO† λ をX† λで 置 き 換 え た も の

(3.260) で あ る.こ relation

の 方 程 式 を 近 似 的 に み た す よ う に 固 有 振 動 数 ωλ や 相 関 振 幅(cor

amplitudes) 

を き め る.ハ

ミ ル トニ ア ン(3.213)を

用

い て,

(3.261) が 得 ら れ る.た

だ し:Z:はa†aとb†bの

規 積 の 形 か ら な る 項 で あ る.(3.261)式 す る と,(3.249)式

形 と  を(3.260)式

と 同一 の 固 有 値 方 程 式

に 関 す る4次 に 代 入 し:Z:の

の正

項 を無 視

(3.262) を 得 る.す

な わ ち,時

間 依 存Hartree-Fock法

の 微 小 振 動 解 と,:Z:の

視 す る と い う近 似 と は 同 等 で あ る,と い う こ と に な る.こ (RPA)

(random-phase

approximation)と

動 方 程 式 の 方 法(method

of linearized

と 呼 ば れ る こ と もあ る.(3.262)式

RPA方

お よ びMarumoriら   上 のRPA方

るいは線形化運

of motion)と

かSawada近

似

は プ ラ ズ マ 振 動 を 記 述 す る た め にSawadaに

よ っ て は じ め て 導 か れ た も の で,し ば れ て い る.*19

の近 似 は乱 雑 位 相 近 似

呼 ば れ て い る.あ

equation

項 を無

ば し ばRPA方

程 式(RPA

equation)と

呼

程 式 を 原 子 核 の 振 動 運 動 に 最 初 に 適 用 し た の はTakagi で あ る.*20

程 式 はBohr-Mottelson

の 集 団模 型 を微 視 的 に忠 実 に表 す こ と を 目 ざ し て い る が,こ

こで 重 大 な 問題 点が

あ る.   RPAモ

ー ド は ア ク テ ィブ な 空 孔 軌 道

(準 位)か

ら ア ク テ ィ ブ な 粒 子 軌 道(準

位)へ

粒 子 が 励 起 さ れ た 粒 子 ・空 孔 励 起

(particle-hole

excitation)の

演 算 子 の重

ね 合 わ せ で 作 ら れ る(図3.28参 た が っ て,実

図3.28 

照).し

際 の 原 子 核 にRPAを

実 際 にRPAが

適 用 され る

殻 模 型 空 間の 概 念 図 εFはFermiエ

適 用

ネ ルギ ーで あ る.

す る と き,粒 子 軌 道 と 空 孔 軌 道 が 明確 に 定 義 され て い な け れ ば な らな い.閉 殻 核 の 場 合 は何 ら問 題 は な い が,そ れ 以外 の 場 合,す

なわちオープ ン殻の準位 を

粒 子 が 不 完 全 に 占め て い る場 合 に は,粒 子 軌 道 と空 孔 軌 道 を明 確 に 区 別 して 定 義 す る こ とが で き な い.前 に 見 た よ うに,こ の よ うな オ ー プ ン殻 核 の 場 合 こ そ 集 団 運 動 が 最 も重 要 とな るが,こ

の と きRPAが

適 用 で きな い と い う こ とは 理

論 上 の 大 問 題 で あ る.こ の 問 題 点 は,後 で3.4.5に お いて 説 明 す る準 粒 子RPA を用 い る こ と に よ っ て,う *19 K

. Sawada,

*20 S T.

. Takagi, Shiozaki

Phys. Prog. and

Rev. Theor. S.

Takagi,

ま く回避 す る こ とが で きる.

106

(1957)

372.

21

(1959)

Phys. Prog.

Theor.

174; Phys.

K.

Ikeda, 22

(1959)

M.

Kobayashi, 663.

T.

Marumori,

  (b) 簡 単 な 場 合 のRPA方   RPA方

程 式(3.262)は

程式の解 一 見 通 常 の 固 有 値 方程 式 の よ うに 見 え るが,実

際 はエ

ル ミー トな 固 有 値 方 程 式 で は な く,そ の 固有 値 は 必 ず し も常 に 実 数 とは 限 らな い.し たが っ て後 の都 合 の た め に も,RPA方

程 式 の性 質 につ いて は少 し詳 し く

検 討 し て お くこ とが 必 要 で あ る.   一 般 的 な議 論 をす る 前 に,有

効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 が 分 離 可 能(separable)

な 場 合 を例 示 し よ う.い ま有 効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 が

(3.263) で あ る と す る.た だ し相 互 作 用 の 強 度xお す る.こ の と きのRPA方

よ び 行 列 要 素Qμiは

実数で あ る と

程式 は

(3.264) と な る.こ

の2式

にQμiを

掛 け て μ,iに つ い て 加 え, 

に 関 す る 式 を 作 る と,固

有 値hω

を決 定 す る 方 程 式

(3.265) を得 る.こ の 形 の 方 程 式 を 一 般 に 分 散 式(dispersion を使 っ て 固 有 値hω を 求 め る に は,図3.29に

relation)と 呼 ぶ.分 散 式

示 す よ う にグ ラ フ を 用 い る の が

わ か りや す い.   図3.29に

お い て は,粒 子 準 位 μ と 空 孔 準 位iの 可 能 な 組 み 合 わせ が3つ

場 合(n=1,2,3)を

例 示 し て い る.し た が っ てRPA方

方 程 式 で あ り,固 有 値hω は6個 の 強 さxの

あ る.実

程 式 は6×6の

曲線 で 表 され るS(ω)と,相

の

固有 値 互作 用

逆 数 を表 す 水 平 の 線 との 交 点(黒 点)に お け る横 軸 の 値 が 固有 値hω

を 与 え る.6個 な らば-hω

の 固 有 値 の う ち3個 は 正,3個 もま た 固 有 値 で あ る.い

は 負 で あ り,hω が1つ

ま3個 の 正 の 固 有 値 

み 考 え よ う.図 か ら明 らか な よ うに,x>0(引

力)の 場 合,最

の 値 は 他 に 比 べ て特 別 に低 くな っ て い る.逆 にx0)の

り￨x￨が

場 合,虚

数 解 が 現 れ る.

大 き く な る と,固

有 値hω0の

く な る こ と を 意 味 す る.x>0(引 えx>xcと

な る とhω0は

状 態 は 特 別 に 集 団 性(collectivity)が

力)の 場 合,臨

界 値(critical

value) xcを

高 越

虚 数 と な る.

  固 有 値hω λ に 対 す る 振 幅xλ(μi),yλ(μi)はRPA方

程 式(3.264)か

ら容 易 に

求 め る こ と が で き,

(3.266) と な る.こ

こ でNλ

は 規 格 化 定 数 で あ る.規

結 果 か ら 直 ち に わ か る よ う に,固 のxλ(μi)とyλ(μi)と

有 値-hω

格 化 に つ い て は 後 で 述 べ る.こ λ に 対 す る 振 幅 は,固

の

有 値hω λの 解

を 交 換 し た も の と な っ て い る.

 (c) RPA方 程式の性 質  こ こ でRPA方 程 式 の 一 般 的 な性 質 につ い て述 べ る.RPA方

程 式(3.262)は

(3.267a) と 書 く こ と が で き る.た

だし

(3.267b) で あ る.1.2.2で うに系 の1粒

も述 べ た よ う に,相 互 作 用 の すべ て の 行 列 要 素 が 実 数 に な る よ

子 状 態 の 位 相 を とる こ とが で きる.以 下 で は すべ て そ の よ うに と

られ て い る もの とす る.し たが って 上 のRPA方 や 

程 式 に お け る 行 列 要 素 

は す べ て 実 数 で あ る.

  い ま可 能 な 粒 子 ・空 孔 の ペ ア ー(μ,i)の 数 がNで 式(3.267a)は2N×2Nの

固有 値 方 程 式 で あ る.直

つ のhω λが 固有 値 な らば-hω

あ る とす れ ば,RPA方

程

ち に わ か る よ う に,あ る1

λ も また 固 有 値 で あ る.

  前 項 の 例 で もわ か る よ うに,固 有 値hω λは常 に 実 数 とは 限 ら な い.い ま正 の 固有 値 の モ ー ドに注 目す る と,最

も集 団 性 の 高 い モ ー ドの 固有 値 は,相 互 作 用

が 引 力 で そ の 強 さが 大 き くな る に したが って小 さ くな り,あ る 臨界 点 に お いて0 と な る.こ の 臨 界 点 を越 え る と固 有 値 は複 素 数 とな る.*21以 下 の 議 論 は,RPA 方 程 式 が 意 味 を持 つ 場 合,す な わ ち2N個

の す べ て の 固 有 値hω

数 の場 合 に 限 る こ と に す る.こ の と き2N個 のN個

の 固 有 値 の う ちN個

λが0で ない 実 は 正,あ

と

は 負 に分 類 され る.

  さて(3.267b)式 れ ぞ れA,Bと れxλ,yλ

の 

を 行 列 要 素 とす るN×Nの

し, 

を 要 素 と す るN列

と す る と,RPA方

実行列 をそ

の 列 ベ ク トル を そ れ ぞ

程 式(3.267a)は

(3.268) と書 か れ る.た だ しIはN×Nの

単 位 行 列 で あ る.こ の結 果 か ら固 有 ベ ク トル

の 規 格直 交 性 は

(3.269a) と な る.い

ま,す べ て の 固 有 値hω λが 実 数 で あ る 場 合 に 限 っ て い る の で,ω λ,yλ

は 実 ベ ク トル で あ る.し

た が っ て,規

格 直 交 性(3.269a)は

(3.269b) と 書 く こ と もで き る.*22た

だ し

(3.270) で あ る.ま

た(3.269)式

の 規 格 直 交性 か ら 完 備 性

*21 こ の 臨 界 点 の 物 理 的 意 味 に つ い て は *22 前 述 の(3

.266)式

の 規 格 化 定 数Nλ

,次 項 お よ び 次 々 項 で 議 論 す る. は,こ の 規 格 直 交 性 に 基 づ い て 決 定 され る.

(3.271a) (3.271b) (3.271c) を 導 く こ とが で き る.

  上 に述 べ た よ うに,あ る1つ の  も ま た 固 有 値 で あ る.こ ル(相

関 振 幅)は,互

(backward

が 固 有 値 な らば  の 正 負1組

い に 前 方 振 幅(forward

amplitude)yλ(μi)と

に 対 応 す るRPAモ

の固有値 に属す る固有ベ ク ト amplitude)xλ(μi)と

後方振 幅

を 交 換 し た も の と な っ て い る.固

有値  

ー ドを に 対 し て) 

と す れ ば, 

(3.272a)

に 対 応 す る モ ー ドは

に 対 し て)  (3.272b)

と 書 く こ とが で き る.し

た が っ て,

(3.273) で あ る.つ

ま り,負

ネ ル ギ ー のRPAモ

エ ネ ル ギ ー のRPAモ

構 成 さ れ て い る.こ

  RPAに

孔 が1つ

粒 子 ・空 孔 対 の 生 成 演 算 子 と 消 滅 演 算 子 の1次

方 振 幅yλ(μi)の

す べ て を 強 制 的 に0に

お け る 基 底 状 態￨Ψ0〉 は(3.258)式

結合で

す る わ け で あ る.

の 最 後 の 式,す

ま 考 え て い る 近 似 の も と で は,基

底 状 態￨Φ0〉 そ の も の で あ る.つ も な い 状 態 で あ り,励

子 ・空 孔 対 が1組

似

れ を 生 成 演 算 子 の 部 分 の み に 限 定 す る 近 似 を 考 え よ う.す

で 与 え ら れ る か ら,い Fock基

似,new-Tamm-Dancoff近

ー ド(3.259)は

な わ ち,後

応す る正エ

ー ド の 消 滅 演 算 子 と な っ て い る.

  (d)  Tamm-Dancoff近   RPAモ

ー ド の 生 成 演 算 子 は,対

ま り,こ

の と き 基 底 状 態 は 粒 子 ・空

起 状 態 

励 起 し た 状 態 で あ る.こ

な わ ち 

底 状 態￨Ψ0〉 はHartree-

は 基 底 状 態 か ら粒 の よ う に,1つ

の 状 態 に あ る粒 子 お

図3.30 

実 曲 線 が 関 数 値S'(E)を い る.そ れ らの 交 点(黒 と示 し た破 線 は,RPAの

分 散 式(3.276)の

グ ラ フ

示 し,与 え られ た 相 互作 用 の 強 さχ の逆 数 が 水 平 の線 で 表 され て 点)に お け る 横 軸 の 値 が エ ネ ルギ ー 固 有 値Eλ を与 え る."RPA" 場 合 の 分 散 式(3.276)の

対 応 す るS(ω)を

描 い た もの で あ る(図

3.29と 比 較せ よ).

よ び 空 孔 の 数 が き ま っ た 一 定 数 で あ る よ う に す る 近 似 はTamm-Dancoff近 (Tamm-Dancoff

approximation)と

  Tamm-Dancoff近

似

呼 ば れ る.

似 に お け る 励 起 モ ー ド の 演 算 子 を 

と 表 せ ば,

(3.274) で あ る.こ の モ ー ドの エ ネ ル ギ ー 固 有 値 

と振 幅 

固 有 値 方 程 式 は,(3.262)式

と した もの で あ るか ら,エ ル

にお い て 

を決定す る

ミー トな 固有 値 方 程 式

(3.275) で あ り,い うまで もな く固 有 値 

は 常 に実 数 で あ る.

  (3.275)式 に お け る相 互 作 用 の 行 列 要 素 

と し て,(3.263)式

能 な 相 互 作 用 を 考 え よ う.こ の と き固 有 値 方 程 式(3.275)は

の分離 可

分散式

(3.276) と 書 くこ と が で き る.こ

の 分 散 式 はRPAの

を グ ラ フ に 表 し た もの が 図3.30で と 比 べ て み る と,特

場 合 の(3.265)式

あ る.RPAの

徴 が 明 ら か で あ ろ う.

に 対 応 す る.こ

場 合 の 分 散 式 の グ ラ フ 図3.29

れ

  Tamm-Dancoff近 (3.275)か

似 の 場 合 は,固

ら わ か る よ う に,こ

る 相 互 作 用 は(3.213)式 参 照)の

み で あ る.ま

有 値方程式

の方 程 式 に寄 与 す

の 中 のHph(図3.31(a) た,す

こ の 近 似 の も と で は,基

で に 述 べ た よ う に,

底 状 態 は 粒 子 ・空 孔 が

1つ も な いHartree-Fock基

底 状 態￨Φ0〉 で あ り,

励 起 状 態  孔 対 が1個

は 粒 子 ・空 励 起 し た 状 態 で あ る.し

の 状 態 は 図3.31(b)図   そ れ で はRPAの 程 式(3.262)あ に,RPAで

場 合 は ど う な る か.RPA方

あ る(図3.32(a)参

ドの 演 算 子 の 定 義 は(3.259)式

き め られ る か ら,基

子2空

孔(2p-2h),4粒

せ で 構 成 さ れ る.す

照).ま

で あ り,粒

結 合 で 構 成 さ れ て い る.こ

しhω λ>0)で と2粒

らわ か る よ う

取 り上 げ ら れ る 相 互 作 用 は(3.213)

式 の 中 のHphとHVで

子 の1次

図3.31

で 表 さ れ る.

る い は(3.267)か

(b)

(a)

た が っ て,こ (a) Tamm-Dancoff近 入 れ られ る相 互 作 用.

似 で取 り

(b) Tamm-Dancoff近 起 状 態.

似 で の励

粒 子 ・空孔 対 が1個

励 起 され る.

た,RPAに

お け る励 起 モ ー

子 ・空 孔 対 の 生 成 演 算 子 と 消 滅 演 算

の と き 基 底 状 態￨Ψ0〉 は  底状 態は

子4空

一 般 にHartree-Fock基

孔(4p-4h),…

(た だ 底 状 態￨Φ0〉

が 励 起 した状 態 の 重 ね 合 わ

なわ ち

(3.277)  で あ る.右

辺 の 各 項 の 係 数C(0),C(1),…

も と で  が っ て,基

は,RPAの

を 解 く こ と に よ っ て き ま る は ず で あ る.し 底 状 態￨Ψ0〉 は 図3.32(b)の

た

よ う な 粒 子 ・空 孔 対 で 作 ら れ る 閉 じ た

ダ イ ア グ ラ ム の 重 ね 合 わ せ で 表 さ れ る.ま 3.32(c)の

近似 と同等 な近似 の

た 励 起 状 態 

は図

よ う な ダ イ ア グ ラ ム で 表 され る.つ

ま り1つ

の 状 態 に お け る粒 子 お

よ び 空 孔 の 数 が 一 定 で な く(た だ し 粒 子 数=空

孔 数),さ

まざ ま な数 の 重 ね 合 わ

せ に な っ て い る.こ (new

Tamm-Danncoff

Tamm-Dancoff法

の よ う な 近 似 法 は し ば し ばnew approximation)と と も呼 ば れ て い る.

呼 ば れ る.し

Tamm-Dancoff近 た が っ てRPAはnew

似

(a)

(b)

(c)

図3.32

(a) New

Tamm-Dancoff近

(b) New 念 図.

Tamm-Dancoff近

(c) New Tamm-Dancoff近 の概 念 図.

  Tamm-Dancoff近 Dancoff近

似 とnew

似(RPA)に

似(RPA)で

取 り入 れ られ る 相 互 作 用.

似(RPA)で

の基 底 状 態 を 構 成 す る ダ イア グ ラ ムの 概

似(RPA)に

お け る励 起 状 態 を構 成 す る ダ イ ア グ ラム

Tamm-

よ る 第1励

起状

態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー を 比 較 し よ う.こ れ は 図3.30か き るが,わ

ら も読 み取 る こ とが で

か りや す く模 式 的 に 表 示 し

た もの が 図3.33で 互 作 用(引 力)の 第1励

あ る.図

の横 軸 は相

強 さχ を 表 し,縦

図3.33 

軸は

Tamm-Dancoff近 に よる 第1励 の模式 図

起 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー を 示 す.

似(TD)とRPA 起 状 態 の励 起 エ ネル ギ ー

χ が 大 き く な る に し た が っ て,Tamm-Dancoff近

似 で の 励 起 エ ネル ギ ー は直 線

的 に 下 が っ て い く.RPAで

似 よ り も 激 し く下 が り,臨 界

はTamm-Dancoff近

値 χcに お い て 励 起 エ ネ ル ギ ー は0と

な り,こ

理 的 に 意 味 の あ る 解 は 得 ら れ な い.こ

の 臨 界 点 はHartree-Fock基

安 定 に な り始 め る 点 で あ る.こ   RPAす

れ を越 え る と複 素 数 と な っ て物 底状態が不

の 点 に つ い て は 次 項 で 述 べ る.

な わ ちnew-Tamm-Dancoff法

で は,Tamm-Dancoff近

似 におい て

考 慮 す る こ と が で き な か っ た 粒 子 数 ・空 孔 数 を 保 存 し な い 相 互 作 用HVを 入 れ る こ と に よ っ て,基 取 り込 まれ た.こ

底 状 態 そ の も の にHartree-Fock基

底 状 態 に な い相 関が

の 相 関 は し ば し ば 基 底 状 態 相 関(ground-state

と 呼 ば れ て い る.ま

た 相 互 作 用HVを

ら す こ とが で き た.こ

correlations)

取 り入 れ た こ と に よ り,図3.33で

れ る よ う に 励 起 エ ネ ル ギ ー が 下 が り,特

取 り

見 ら

に 臨 界 点 χc近 傍 で 強 い 集 団 性 を も た

の 基 底 状 態 相 関 こ そ が,Bohr-Mottelsonの

集 団模型で

取 り上 げ ら れ た 中 重 核 に お け る 強 い 集 団 性 に 対 応 す る も の と 考 え ら れ て い る.

  (e) Hartree-Fock基

底 状態 の安定性

  上 に 述 べ た よ う に,RPA方

程 式 に お い て は,相

くな り,あ る 臨 界 点 に な る と,エ は 一 般 に 複 素 数 とな る.こ   Hartree-Fock法 値 

互 作 用 が 引 力 で,そ

ネル ギ ー 固 有 値hω が0と

の 臨 界 点 の 意 味 に つ い て 簡 単 に 説 明 し よ う.*23

は,単

一 のSlater行

列 式￨Φ0〉 に よ る系 の ハ ミル トニ ア ン の 期 待

を 停 留 値 に す る と い う条 件 に よ っ て1粒

で あ っ た.い

の 強 さが 大 き

な り,こ れ を越 え る とhω

子 波 動 関 数 を 決 定 す る近 似 法

ま￨Φ0〉 か ら わ ず か に 変 化 させ たSlater行

列 式￨Φ 〉を

(3.278) とす る.た だ しGは に 対 し て  をGの

微 小 演 算 子 で あ る.Hartree-Fock法

は,換

言 す れ ば,任

を停 留 値 に す る とい うこ とで あ る.公 式(3.241)を

意 のG

使 って 

べ き級 数 に 展 開 す る と,

(3.279) と な る.容

易 に わ か る よ うに 右 辺 の 第2項

は

(3.280) で あ るか ら,確 か に 

は 

小 点 で な い な らばHartree-Fock基

の 停 留 値 に な っ て い る.し か し この 点 が 極 底 状 態￨Φ0〉 は 安 定 とは い え な い.す

と低 い エ ネ ル ギ ー を 持 つ 別 の 安 定 なHartree-Fock基 る. 

な わ ち,も っ

底状 態が 存 在す る こ とを意味 す

が 極 小 と な る た め に は,(3.279)式

の 右 辺 の 第3項

が

(3.281) で な け れ ば な ら な い.ハ

ミル トニ ア ン(3.213)を

用 い て(3.281)式

を具体 的 に書 き下

す と,

(3.282) と な る.行

列 要 素 

Hartree-Fock基   (3.282)式

は 実 数 で,(3.267b)式

底 状 態 の 安 定 性 条 件(stability に 現 れ た ベ ク ト ル をRPA方

と展 開 す る.こ れ を(3.282)式

condition)で

と 同 一 で あ る.こ

程 式 の 固 有 ベ ク トル で

の 左 辺 に 代 入 し,規

格 直 交 性(3.269)を

す と, *23 D K.

. J.

Thouless,

Sawada

and

Nucl. N.

Phys.

Fukuda,

21

(1960)

Prog.

れが

あ る.

225;

Theor.

22 Phys.

(1961)

78.

25

(1961)

653.

使 って 書 き 直

 (3.282)式

が 得 ら れ る.も

の左 辺

ち ろ ん こ の 展 開 は す べ て の 固 有 値hω λが0で

な い 実 数 の と きに の み

可 能 で あ る.   で は 固 有 値hω λが 複 素 数 に な る 場 合 は ど うな る か.(3.282)式

に現 れ た 行 列 を

(3.283) と表 そ う.こ の 行 列が 正 値(positive る な らば,行

列A1/2を

definite),す な わ ち そ の す べ て の 固 有 値 が 正 で あ

定 義 す る こ とが で き る.こ れ を用 い てRPA方

程 式(3.268)は

(3.284) と書 か れ る.た

だし

(3.285) で あ る.固 有 値 方 程 式(3.284)は あ る.し

たが っ て,RPA方

な い.つ

ま り(3.282)式

エ ル ミー トで あ る か ら,固 有 値hω λは す べ て 実 数 で

程 式 の 固 有 値hω λが 複 素 数 な らば 行 列Aは

正値 とは限 ら

の 左 辺 は 正 に な る と は 限 ら な い.

  以 上 の 結 果 を ま とめ る と, (1) RPA方

程 式 の 固 有 値hω

が す べ て0で

な い 実 数 の 場 合,Hartree-Fock基

底状

態 の 安 定 性 条 件 は み た され る. (2) RPA方

程 式 の 固 有 値hω に 複 素 数 が 現 れ る と きに は,Hartree-Fock基

底状 態 の

安 定 性 条 件 は 必 ず し もみ た され な い.   つ ま りRPA方

程 式 の 固 有 値hω が0と

な る 点 は,Hartree-Fock基

領 域 か ら不 安 定 と な る 領 域 の 境 界 で あ る.し 式 が 複 素 数 解 を 持 つ な ら ば,よ

た が っ て,こ

底状 態が安 定 な

の 境 界 を越 え,RPA方

り低 い エ ネ ル ギ ーの 新 た なHartree-Fock基

程

底状 態 を

求 め な くて は な らな い.そ の 意 味 で この 点 は あ る種 の"相 転 移"(phase-transition)へ の 臨 界 点 で あ る.

  3.4.3    第1章

準 粒子 で 述 べ た よ う に,原

子 核 内 の有 効 相 互 作 用 の 最 も主 要 な 部 分 は平 均 化

さ れ て 平 均 ポ テ ン シ ャ ル(Hartree-Fockポ 留 相 互 作 用 の う ち,第 が っ て,集

テ ン シ ャ ル)に

一 に 重 要 な 部 分 は 対 相 関 力(pairing

団 運 動 の 微 視 的 理 論 を 考 え る と き,Hartree-Fock場

れ ば な ら な い の は 対 相 関 で あ る.

く り込 ま れ,残 force)で

あ る.し

る残 た

の次 に 考 え な け

  第1章

で は,準

ス ピ ン や セ ニ ョ リテ ィ量 子 数 と い う概 念 を 用 い て,単

お け る 対 相 関 を 取 り扱 っ た.こ

場 合 の 配 位 混 合 計 算 に は 有 用 な 定 式 化 で あ っ た.し 的 理 論 で は,多 を,で

一準 位 に

れ は オ ー プ ン 殻 に お け る粒 子 数が 比 較 的少 な い

数 の ア ク テ イ ブ 軌 道(多 準 位)に

か し なが ら集 団 運 動 の 微 視

お け る多 数 の粒 子 の 間 の対 相 関

き る だ け 見 や す い 形 で 取 り 扱 う こ と の で き る 定 式 化 が 要 求 さ れ る.こ

目 的 の た め に 導 入 さ れ た の が 本 節 で 説 明 さ れ る 準 粒 子(quasi-particle)で   準 粒 子 の 導 入 の 意 図 を 明 ら か に す る た め に,第1章

の1.2.3に

た 対 相 関 ハ ミ ル ト ニ ア ン を 検 討 し よ う.以

下 で は1粒

(na,la,ja,mα)で

す る.こ

表 し,α=(na,la,ja)と

法(notations)と

同 一 で あ る.状

ま た,対

演 算 子A†(ab)等

と る.い

ま,多

H0と

態 α の 代 わ り に(ja,mα)と

々 に 関 す る 表 記 法 もす べ て1.2に

準 位 配 位 を 考 え,系

対 相 関 力 

の ハ ミ ル ト ニ ア ン は1粒

の み を 含 む も の と す る.す

あ る.

おいて定義 し

子 状 態 は,量

れ ら は1.2節

の

子 数 α=

にお け る表 記

表 す こ と も あ る. お け る もの と同 一 に 子 ハ ミル トニ ア ン

な わ ち,

(3.286) と す る.こ

こ で 準 ス ピ ン 演 算 子S+(a),S-(a),Sz(a)は

(3.287) で あ り,    1.2.4で

で あ る. 詳 し く述 べ た よ う に,各

々 の 準 位aに

同 時 固 有 ベ ク トル  の と き,準

位aに

お け る 粒 子 数 をNa,セ

お い て は,S2(a)とSz(a)の

を 基 底 ベ ク ト ル とす る こ と が で き る.こ ニ ョ リ テ ィ を υaと す れ ば,

(3.288) で あ る.   準 ス ピ ン演 算 子 は,準 位 が 異 な れ ば 互 い に 交 換 可 能 で あ るの で,全 系 の 基 底 ベ ク トル を

(3.289) と 書 く こ と が で き る.

  ハ ミル トニ ア ン(3.286)か ら,各

ら 直 ち に わ か る よ う に, 

で あるか

準 位 に お け る セ ニ ョ リ ティ υaは 良 い 量 子 数 で あ る.し

リ テ ィ(total

た が っ て,全

セニ ョ

seniority)

(3.290) も良 い 量 子 数 で あ る.全 セ ニ ョリテ ィυは そ の 状 態 に含 まれ る0対 な い 粒 子 数 で あ る.と ころが 各準 位 の粒 子 数演 算 子naはHと たが っ てS0(a)(あ (3.289)はHの

るい はNa)は

良 い 量 子 数 で は な い.つ

交 換 しな い.し ま り,基 底 ベ ク トル

固 有 状 態 で は な い.全 系 の 固有 状 態 にお いて は,全 セ ニ ョ リテ ィ

υは 一 定 の確 定 値 で あ るが,各

準 位 に さ ま ざ まな 数 の 粒 子 が 入 った 状 態 の重 ね

合 わせ と な って い る.し か し,い

ま対 相 関 力が 引 力 で あ る(G0>0)と

い る の で,υ が 小 さい 状 態 ほ ど エ ネル ギ ーが 低 い と考 え られ,特 数 の核 の 基 底 状 態 は υ=0で

  上 述 の よ う に,引 態 で 表 さ れ る.し 数 存 在 す る.こ

換

力 の 対 相 関 力 に 対 し て は,基

底 状 態 は 低 い セ ニ ョ リ テ ィ状

か し 多 準 位 配 位 の 場 合 に は υ=0と

れ はJ=0対

い え ど も独 立 な 状 態 は 多

が 多 くの 準 位 に 分 布 し,分

布 の仕 方 が 多 数 あ るか

伝 導 を 説 明 す る た め の 理 論 で あ るBardeen-Cooper-Schrieffer理

論 あ る い はBCS理

論(BCS

theory)で

状 態 が 変 分 法 的 に 求 め ら れ,こ り,"超

考 えて

に粒 子 数 が 偶

あ る こ とが 容 易 に予 想 され る.

  (a) 準 粒 子 とBogoliubov変

ら で あ る.超

に組 ん で い

伝 導 状 態"と

基 底 状 態(BCS

は,こ

の 分 布 の うちエ ネ ル ギ ー最 低 の

の 状 態 が 特 別 にエ ネ ル ギ ーが 低 い 基 底 状 態 を作

な る こ とが 示 さ れ て い る.こ

ground

  い ま 偶 数 粒 子 系(粒

state)と

呼 ば れ る.*24

子 数=N=偶

数)を 考 え る.こ

の よ う に し て 求 め ら れ る か.次

の2点

  (ⅰ)  全 セ ニ ョ リ テ ィが0(υ=0)で (ⅱ)  Hartree-Fock法

の 基 底 状 態 は し ば し ばBCS

の 系 のBCS基

底状態 はど

が 要 請 さ れ る. あ る こ と. 

の 場 合 と 同 様 に,近

似 的 に1粒

子 モ ー ドで 記 述 され る

こ と.   要 請(ⅱ)の *24 J

. Bardeen,

意 味 は 次 の 通 りで あ る.い

L.

N.

Cooper

and

J. R.

ま考 え て い る ハ ミル トニ ア ン は(3.286)

Schrieffer,

Phys.

Rev.

108

(1957)

1175.

で あ り,書 き直 す と

(3.291) で あ る.対 Fock基

相 関 力 が な い と き,す

な わ ちG0=0の

と き の 基 底 状 態 はHartree-

で あ るが,対

相 関 力 が 強 くな っ た と き,1粒

底 状 態 

子 モ ー ド 

の 代 わ り に 別 の 新 し い1粒

子 モ ー ド 

が 導 入 され,

ハ ミル ト ニ ア ンHが

(残 りの 相 互 作 用) の 形 に 書 か れ る こ と が 望 ま し い.こ (quasi-particle)と

呼 ぶ.つ

ネ ル ギ ーE0と1準 あ る.こ

の 新 し い1粒

 (3.292)

子 モ ー ド 

ま り対 相 関 力 の 主 要 部 分 が,準

粒 子 エ ネ ル ギ ーEaと

を準粒子

粒 子 の"真

空"の

エ

に く り込 ま れ る こ と を 要 請 す る の で

の 要 請 を み た す よ う な ユ ニ タ リ ー 変 換 が 可 能 で あ る.

  階 数(rank)κ

の 準 ス ピ ン ・ テ ン ソ ル(quasi-spin

tensor)Tκqは

(3.293a) (3.293b) で 定 義 さ れ る.こ

こで

(3.294) と す る と,こ は1/2階

れ ら の 演 算 子 は(3.293)式

の 準 ス ピ ン ・テ ン ソ ル(ス

  上 記 の 要 請(ⅱ)を を 導 入 す る.準

を み た す の で,1粒

ピ ノ ル:spinor)で

み た す よ う に 新 し い1粒

子 演 算 子,す

粒 子 が フ ェ ル ミオ ン で あ る た め に は,変

が ユ ニ タ リ ー で な け れ ば な ら な い.こ

子 演 算 子(c†α,cα)

あ る. な わ ち 準 粒 子  換 

の ユ ニ タ リ ー 変 換 をUと

す る と,

(3.295) で あ る.準 粒 子 に 対 す る"真 空",す な わ ちBCS基

で き め ら れ る.一

方,真

の 真 空￨0〉 に 対 し て は 

底 状 態 

は

で あ る か ら,

(3.296)

と な る.   で は ユ ニ タ リ ー 変 換Uは 上 述 の 要 請(ⅰ)に

ど の よ う な 性 質 を 持 た な け れ ば な ら な い だ ろ う か.

よ り,BCS基

底 状 態 

は υ=0で

あ る.し

な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,Uは

い.換

準 ス ピ ン 空 間 の 座 標 軸 の 回 転 で な け れ ば な ら な い.こ

言 す れ ば,Uは

回 転 をR(n,ω)と で あ る.付

表 す.nは

録Aの(A.8)式

た が っ て,Uは0対

な け れ ば な ら な い.

￨0〉は も ち ろ ん υ=0で

の み を生 成 す る演 算 子 で

準 ス ピ ンの 大 きさ を保 存 し な け れ ば な ら な

回 転 軸 に 沿 っ た 単 位 ベ ク トル で あ り,ω

の

は 回転 角

に な ら え ば,

(3.297) と書 か れ る.異

な る準 位 の 準 ス ピ ンS(a)は

のユ ニ タ リー 変 換Uは

互 い に 交 換 可 能 で あ るか ら,上 述

次 の よ うに な る:

(3.298)

  い ま特 定 の 準 位aに す.す はD関

注 目 し よ う.回 転 

な わ ち,  数(付 録A参

をEuler角 

で表

とす る.こ の 回 転 の2次

元表現

照)を 用 い て

(3.299) と な る.し

た が っ て,1/2階

の テ ン ソ ル(ス

ピ ノ ル)は 次 の よ う に 変 換 さ れ る:

(3.300)   さ て,z軸

の ま わ りの 回 転 

式 か ら 

お よ び 

変 換 に な っ て い な い の で 無 意 味 で あ る.そ を 考 え る.こ

の と き,(3.298)式

を 考 え よ う.(3.299),(3.300) が 得 ら れ るが,こ こ で,y軸

れは実質的な

の ま わ りの 回 転 

か ら

(3.301)

が 得 ら れ,ま

た(3.299),(3.300)式

か ら準 粒 子 は

また は

と な る.た

だ し 

で あ る.*25変

Bogoliubov-Valatin変

換(Bogoliubov-Valatin

単 にBogoliubov変

approximation)と

  変 換(3.302)は

換(3.302)は

transformation)あ

換 と 呼 ば れ て い る.*26ま

似 的 な 基 底 状 態 を 求 め る 方 法 を,準 近 似(BCS

 (3.302)

た,こ

るいは

の よ うに準 粒 子 を用 い て 近

粒 子 法(quasi-particle

method)と

かBCS

呼 ぶ こ と に す る.

粒 子 の 生成 演 算 子 と消 滅 演 算 子 の1次 結 合 で あ るか ら,こ の 変

換 は 粒 子 数 を保 存 し な い.つ ま りBogoliubov変

換Uは,系

の セ ニ ョ リテ ィは

保 存 す るけ れ ど も,粒 子 数 は保 存 し な い ユ ニ タ リー 変 換 で あ る.

 (b) ギ ャップ 方 程 式   Bogoliubov変

換Uに

は 係 数(ua,υa)を

お い て,準

ス ピ ン 空 間 の 座 標 軸 の 回 転 角 度 θa,あ る い

き め な け れ ば な ら な い.そ

変 分 関 数 と 考 え,係

数(ua,υa)を

  上 述 の よ うに,Bogoliubov変

の た め,BSC基

底 状 態 

を

変 分 パ ラ メ ー タ ー と し て 変 分 法 を 用 い る.

換 は 粒 子 数 を保 存 し ない.そ こで 変 分 法 を適 用

す る に 当 た っ て,系 の 粒 子 数 演 算 子

(3.303) の 期 待 値 

が 与 え られ た 粒 子 数Nに

エ ネ ル ギ ー 期待 値 

等 しい とい う条 件 を付 け て

を極小 にす る.そ の た め に は,λ をLagrange

の 未 定 乗 数 と し て,H'=H-λNの   ハ ミ ル トニ ア ン(3.286)ま

期 待 値 を極 小 に す れ ば よ い. た は(3.291)を

用 い て,

(3.304a)

*25 変 換 係 数 υ aと

準 位aに

号 を 用 い て い る の で,混 *26 N

. N.

Bogoliubov,

JETP,

お け る セ ニ ョ リ テ ィ と は ま っ た く別 の 量 で あ る.習 同 し な い よ う に 注 意 す る こ と. USSR,

34

(1958)

58;

73.

N. N. Bogoliubov, Nuovo Cimento 7 (1958) 794. J. G. Valatin,Nuovo Cimento 7 (1958) 843.

慣 的 に同 一 記

(3.304b) (3.304c)

(3.304d) H4=(a†,aに と な る.た

つ い て4次

の 正 規 積) 

(3.304e)

だ し

(3.305) で あ る. 

で あ る か ら,パ

と に 注 意 し て, 

ラ メ ー タ ーuaと

υaと は 独 立 で は な い こ

す なわ ち

を計 算 す れ ば,

が 得 ら れ る.し

た が っ て,

(3.306) と な る.こ

の 結 果 を(3.305)式

に 代 入 す る と ギ ャ ッ プ 方 程 式(gap

equation)

(3.307a) すなわ ち

(3.307b) が 得 ら れ る.こ  ,す

の ギ ャップ 方 程 式(3.307)と,粒

子 数 の 期待 値 を与 え る式

なわ ち

(3.308)

(a)正 常 状 態 図3.34 

(b)BCS基

1粒 子 準 位a,b,c,…

横 軸 が 占有 確 率 を表 す.完

底状 態

を粒 子 が 占め る 占有 確 率 υ2aの概 念 図

全 に 占有 され て い る と きは1,完

影 をつ け た 部 分 が,(a)  正 常 状 態,お れ て い る確 率 を示 す.

よび(b)  BCS基

と を連 立 させ て 解 くこ と に よ って,Δ

全 に 空 い て い る と き は0で

あ る.

底 状 態 に お け る 粒 子 に よ って 占有 さ

お よび λが 求 め られ る.

 容 易 に わ か る よ う に,対 相 関 力 が 弱 く

(3.309) の 場 合 に は,ギ に は,BCS基

ャッ プ 方 程 式(3.307b)は

解 を 持 た な い.し

た が っ て,こ

の場合

底 状 態 は 存 在 し な い.

 も と も と の ギ ャ ッ プ 方 程 式(3.307a)は

単 純 な 解 Δ=0を

持 つ.こ

の 場 合,

(3.310) で あ り,こ あ る.こ

の と き の 基 底 状 態 はHartree-Fock基

の 状 態 はBCS基

常 状 態(normal

で

底 状 態 と い う 特 異 な 状 態 で は な い と い う 意 味 で,正

state)と

  さ て,Bogoliubov変

底 状 態 

呼 ば れ る こ と も あ る. 換 の 係 数(ua,υa)の

意 味 を 考 え よ う.(3.308)式

を書 き

直す と

(3.311) と な る.ゆ (occupation

え に 

はBCS基

probability)を

底 状 態 に お い て,粒

子 が 準 位aを

意 味 す る こ と が わ か る.こ

占める占有確率

の 占有 確 率 の 概 念 図 が

図3.34に

示 さ れ て い る.図

はFermiエ

ネ ル ギ ー εFを 意 味 し,占

 (空 孔 準 位)は BCS基

底 状 態(b)に

の 準 位 は 

段 状"に

(粒 子 準 位)は

の と き, 

お いては λ な っ て い て,

完 全 に 空 い て い る.

お い て は 占 有 確 率 は な だ ら か に 分 布 し,空

で あ る.こ

energy)と

常 状 態(a)に

有 確 率 の 分 布 は"階

完 全 に 占 め ら れ, 

位 の 区 別 が つ か な い.こ

Fermi

か ら も わ か る よ う に,正

孔 準 位 と粒 子 準

の 準 位 の 占 有 確 率 は 

の 場 合 の λ は 有 効Fermiエ

ネ ル ギ ー(effective

呼 ば れ る.

 

を 極 小 に す る 変 分 原 理 と し て,変 分 パ ラ メ ー タ ー

(ua,υa)の 代 わ りに,粒 子 数Nを

連 続 変 数 と考 え てNに

も同等 で あ る.こ の 変 分 に対 し て も δE0=0と

で あ る.し

関する変分 を考え て

な って い るは ず で あ るか ら,

た が っ て,

(3.312) と な る.す

な わ ち,λ は 系 の 粒 子 数Nの

当 す る の で,BCS基 potential)と

変 化 に と も な うエ ネ ル ギ ー の 変 化 率 に 相

底 状 態 に お け る λ は し ば しば 化 学 ポ テ ン シ ャ ル(chemical

呼 ば れ る.

 (c) Bogoliubov変

換 後 の ハ ミル トニ ア ン

  ギ ャ ッ プ 方 程 式 の 解 Δ,λ を 用 い て ハ ミ ル トニ ア ン(3.304)を (3.304d)式

のH20は0と

な り,そ

の 結 果Bogoliubov変

書 き 直 す と,

換 後 の ハ ミル トニ ア

ンは

につ い て4次

と な る.準

粒 子 エ ネ ル ギ ー(quasi-particle

の正規積

 (3.313)

energy)Eaは

(3.314) で あ る.1準 ら,Δ

粒 子 の エ ネ ル ギ ー の 最 小 値 は Δ で あ り,常

を エ ネ ル ギ ー ・ギ ャッ プ(energy

  残 りの 相 互 作 用H4を

無 視 す れ ば,ハ

gap)と

にEa>Δ

であ るか

呼 ぶ.

ミル ト ニ ア ン(3.313)の

1準 粒子励起状態

励起状態 は

2準 粒 子励起状態 3準 粒 子励起状態

の よ う に,準 粒 子 数 で 特 徴 付 け られ る こ とに な る.

 (d)  BCS基   BCS基

底状態の構 造

底 状 態 は 

で あ り,Uは(3.301)式

で 与 え ら れ る.い

ま

(3.315a) (3.315b) と す れ ば,

(3.316) と 書 か れ る.

の 性 質 を使 え ば,

とな る.し

た が っ て,BCS基

底状 態 は

(3.317) と 表 さ れ る.Bardeen-Cooper-Schriefferは

超 伝 導 状 態 が こ の 波 動 関 数 で 表 され る こ

と を 示 し た.*27 *27 J

. Bardeen,

L.

N.

Cooper

and

J.

R.

Schrieffer,

Phys.

Rev.

108

(1957)

1175.

  (e) セ ニ ョ リテ ィ と準 粒 子,ギ   上 に 述べ た よ う に,BCS基

ャップ と偶 奇 質 量 差

底 状 態 は系 の全 セ ニ ョ リテ ィを υ=0と

す る条 件

の もと で,変 分 法 を用 い てエ ネル ギ ー が 最 低 とな る よ うに作 られ た.ま た,こ の 状 態 は準 粒 子a† の真 空 で あ るか ら,い う まで もな く準 粒 子 数 は0で あ る.そ れ で は υ≠0の 状 態 は ど の よ うな 状 態 で あ るだ ろ うか.   これ を検 討 す るた め に,ス ピ ンjの

単 一準 位 にn個

の粒 子が あ り,そ れ らが

対 相 関力 で 相 互 作 用 し て い る場 合 を考 え る.こ の と きの ギ ャップ 方 程 式(3.307) と方 程 式(3.308)と

の 連 立 方 程 式 は 直 ち に 解 くこ とが で き,

(3.318a) (3.318b)

(3.318c) と な る.し

たが ってBCS理

論 に よ る基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー は

(3.319) と な る.一 (1.61)式

方,対

相 関 ハ ミル ト ニ ア ン の 正 確 な エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は 第1章

のE(n,υ)で

与 え ら れ て い る の で,υ=0と

正 確 な エ ネ ル ギ ー で あ る.す

の

お い た ものが 基 底 状 態 の

なわち

(3.320) で あ る.(3.319)式 一致 す る の で  さ て,1準

,BCS近

と(3.320)式

と を 比 較 す る と, 

の と き両 者 は よ く

似 が よ い 近 似 で あ る こ とが わ か る.

粒 子 エ ネ ル ギ ーEaは

い ま の場 合

(3.321) で あ る.し

たが っ て,υ 個 の準 粒 子 が 励 起 す る と きの 励 起 エ ネル ギ ー は

(3.322) で あ る.こ れ を セ ニ ョ リテ ィが υの 励 起 状 態 の 正 確 な励 起 エ ネ ル ギ ー

(3.323)

と比 べ る と,υ=2の く一 致 す る.こ

と き に は 一 致 し,そ

の 結 果 か ら,あ

の 他 の 場 合 で も 

で あ る限 りよ

る状 態 にお け る準 粒 子 数 と そ の 状 態 の セ ニ ョ リ

テ ィ 数 と は 対 応 す る,と い え る.

  BCS基

底 状 態 は 偶 数 粒 子 系(偶 々核)を 記 述 し,そ の セ ニ ョ リテ ィは υ=0

で あ る.偶 数粒 子 系 の 励 起 状 態 の セ ニ ョ リテ ィは もち ろ ん 偶 数 で あ る.し た が っ てBCS近

似 の も とで は,偶 数 粒 子 系 の 励 起 状 態 は 偶 数 個 の 準 粒 子 が 励 起 し た

状 態 と して 表 され,奇 系 のBCS基

数 粒 子 系 は 基 底 状 態 も励 起 状 態 も含 め て,隣

の偶 数 粒 子

底 状 態 か ら奇 数 個 の準 粒 子が 励 起 した 状 態 と し て 記 述 され る.

  偶 数 粒 子 系(N=偶

数)の 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー は,BCS近

 

で 与 え られ る.(3.312)式

似 の もとで

か らわ か る よ う に

(3.324a) とな る.奇 数 粒 子 系 の 基 底 状 態 の エ ネル ギ ー は

(3.324b) で 与 え ら れ る.こ

こ でEaは

 

に お い て,ε'aが

い よ う な 準 位aの

粒 子 エ ネ ル ギ ー で あ る.す 有 効Fermiエ

準 粒 子 エ ネ ル ギ ー で あ る.し

る.Weizsacker-Betheの (3.324)式

最 も 小 さ い1準

質 量 公 式(2.7)に

な わ ち,

ネ ル ギ ー λ に 最 も近

た が っ て 

と考 え られ

現 れ た 偶 奇 質 量 差 δに 相 当 す る 量 を,

を 用 い て 求 め る と,

(3.325)   が 得 ら れ る の で,BCS理 Betheの

論 に お け る エ ネ ル ギ ー ・ギ ャ ッ プ Δ はWeizsacker-

質 量 公 式 に お け る 偶 奇 質 量 差(even-odd

mass

difference)δ

に相当す

る 量 で あ る と い え る.ゆ

え に δの 実 験 値 か ら エ ネ ル ギ ー ・ギ ャ ップ の 大 き さ が

推 定 で き る.図3.35に

中 性 子 に 対 す る 実 験 値 お よび(2.8b)式

れ て い る.陽

子 に 関 す る 図 も 似 た よ う な も の な の で,こ

図 か ら わ か る よ う に,中

の経 験 式 が 示 さ

こ で は 割 愛 す る.こ

重 核 の エ ネ ル ギ ー ・ギ ャ ップ は1∼1.5MeVで

の

あ ると

推 定 さ れ る.

  3.4.4 

Hartree-Fock-Bogoliubov法

  3.4.1のHartree-Fock法 お け る"独

立 粒 子 描 像"の

と3.4.3のBCS近

似 と に よ っ て,原

理 論 的 な 柱 が 確 立 さ れ た.ま

子核多体 系 に

ずHartree-Fock法

では

図3.35  横 軸 は 中 性 子 数.実 が ギ ャ ップ.エ Nuclear

中性 子 に 対 す る 偶 奇 質 量 差 の 実 験 値

線 は 経 験 公 式 

[(2.8b)式]を

ネ ル ギ ー に ほ ぼ 等 し い も の と 考 え ら れ る.図

Structure,

Benjamin,

Vol.

I (1969),

Chap.

示 す.こ はA. 2よ

Bohr

こに示 され る偶 奇 質 量差 and

B.

R.

Mottelson,

り.

核 内 有 効 相 互 作 用 の 最 も重 要 な 部 分 が 平 均 ポ テ ン シ ャ ル(Hartree-Forkポ シ ャ ル)に

く り込 ま れ,BCS近

導 入 さ れ,第2に

似 に お い て はBogoliubov変

重 要 な 核 子 間 相 関 で あ る と こ ろ の 対 相 関 が"ペ

テ ン シ ャ ル"(pairing

potential)あ

子 描 像 の 中 に く り込 ま れ た.そ な り,励

テ ン

換 に よ り準 粒 子 が ア リ ン グ ・ポ

る い は エ ネ ル ギ ー ・ギ ャ ッ プ と し て 独 立 粒

の 結 果,系

の 近 似 的 基 底 状 態 はBCS基

底状態 と

起 状 態 は こ の 基 底 状 態 の 上 に 複 数 個 の 準 粒 子 が 励 起(生 成)さ

れ た状 態

と し て 記 述 さ れ る こ と に な っ た.   以 上 の 定 式 化 に お い て,わ

れ わ れ は 系 の ハ ミ ル ト ニ ア ン と し て1粒

ル ト ニ ア ン(運 動 エ ネ ル ギ ー+Hartree-Fockポ を 考 え た け れ ど も,一 る.し

た が っ て,一

対相 関力 のみ

般 に 核 内 有 効 相 互 作 用 は も っ と多 種 の 相 関 を含 ん で い

般 論 と し て は,上

立 さ せ た 形 で 統 合 し,一

記 の(Hartree-Fock法)+(BCS近

般 化 し た 理 論 に 発 展 さ せ る 必 要 が あ る.こ

説 明 す るHartree-Fock-Bogoliubov method)で

テ ン シ ャ ル)と

子 ハ ミ

似)を

連

れが 以下で

(HFB)法(Hartree-Fock-Bogoliubov

あ る.

  (a) 一 般 化 され た 準 粒 子   い ま考 え て い る1粒 子 空 間 がM次

元 で あ り,し た が っ て1粒 子 状 態 の 個 数

がMで

子 状 態 に 対 し て そ の 時 間反 転 状 態 が 必 ず

あ る とす る.通 常,あ

存 在 す る の で,Mは *28  Tを

る1粒

偶 数(M=2m)で

時間反転演 算子 とす ると

あ る と考 え て よい.*283.4.1で

,1粒 子 状 態  で あ る.

説明し

の 時間反転状 態 は  

たHartree-Fock法

に お い て は,こ

のM次

元 空 間 内で の ユ ニ タ リー変 換

(3.326) を 行 い,Hartree-Fock基

底 状 態(単 一Slater行

列 式)に

が 極 小 に な る よ う に そ の ユ ニ タ リ ー 変 換 を 決 定 し た.こ お け る ユ ニ タ リ ー 変 換UHFで

 BCS近

よ るエ ネル ギ ー期 待 値 れ がHartree-Fock法

に

あ る.

似 に お い て は,Bogoliubov変

換 に よ って この1粒

子状態 とその時間

反 転 状 態 とを 結 び つ け る2次 元 の ユ ニ タ リー 変 換

(3.327) を行 っ て 準 粒 子 

を 導 入 し,こ の 準 粒 子 に対 す る"真 空"す な わ ちBCS

基 底 状 態 で のエ ネ ル ギ ー期 待 値 を極 小 にす る とい う条 件 で 係 数(ua,υa)を た.(1準

粒 子 状 態 α はM個

あ るか ら,正 確 に い えば2M次

きめ

元 の ユ ニ タ リー変

換 で あ る.)   こ れ ら の2段

階 の 変 換 を 統 合 し,一

particle) 

般 化 さ れ た 準 粒 子(generalized

を 考 え る こ と が で き る.す

quasi-

な わ ち変 換

(3.328) で あ る.変 換   は2M次

元 空 間 の 変 換 で あ り,

(3.329) と書 か れ る.UTはUの

転 置 行 列 で あ る.変

化 さ れ たBogoliubov変

換(generalized

換(3.328)ま

Bogoliubov

た は(3.329)は

一般

transformation)*29と

呼 ば れ て い る.

 一 般 化 され た準 粒 子 

が フ ェル ミオ ンで あ るた め に は

タ リー で な け れ ば な らな い.す

,変 換Wは

ユニ

なわ ち,

(3.330a) *29 N

. N.

Bogoliubov,

Sov.

Phys.

Usp.

2 (1959)

236.

または

(3.330b) で あ る.(3.328)式

の 逆 変 換 は 次 の よ う に 表 され る:

(3.331)   Bloch-Messiahの Wの

定 理(Bloch-Messiah's

theorem)*30に

型 の ユ ニ タ リ ー 変 換 は 次 の よ う に3つ

よ れ ば,上

記の

の ユ ニ タ リ ー 変 換 に 分 解 で き る:

(3.332a) た だ し,Cお

よ びDはM次

元 の ユ ニ タ リ ー 行 列 で あ り,U,Vは

(3.332b)

と 書 か れ る.こ

こ でUi,Viは2×2の

行列

(3.332c) で あ る.た

だ し 

で あ る.

  一 般 化 さ れ たBogoliubov変 (3.332a)は,こ

換WのBloch-Messiahの

の 変 換 が 次 の よ う に3段

定 理に よる分解

階の変換

(3.333)

か ら構成 され て い る こ と を意 味 す る.最 初 の 変 換Dは

(3.334a) *30 C

. Bloch

and

A.

Messiah,

Nucl.

Phys.

39

(1962)

95.

で あ り,通 goliubov変

常 のHartree-Fock型

の 変 換 で あ る.次

の 変 換U,Vは

通 常 のBo

換 と同じ型の変換

(3.334b) で あ り,最 後 の 変 換 は これ らの 準 粒 子(α,α†)の間 の 変 換

(3.334c) で あ る.   た と え ば,球

形 の1粒

たHartree-Fock 態pと

子 状 態 か ら ス タ ー トし て,最

そ の 時 間 反 転 状 態pと

を 作 り,最

初 の 変 換Dに

1粒 子 状 態 へ 移 り,次 の 変 換U,Vで

よ り変 形 し

変 形 場 に お け る1粒

を結 合 す るBogoliubov変

子状

換 に よ り準 粒 子(α,α †)

後 に こ れ ら の 準 粒 子 間 で 付 加 的 な ユ ニ タ リ ー 変 換Cを

行 う よ うな

ケ ー ス が 想 定 さ れ る.   そ れ で は こ の 一 般 化 さ れ たBogoliubov変

換Wは

ど の よ うな 基 準 で 決 定 さ

れ る で あ ろ うか.

 (b) Hartree-Fock-Bogoliubov

(HFB)方

程式

 考 え て い る多 体 系 の あ る波 動 関 数￨Φ 〉に 関す る次 の 対 演 算 子 の 期 待 値

(3.335) を 行 列 要 素 と す るM×M行

列 ρ,κ を そ れ ぞ れ 密 度 行 列(density

よ び ペ ア リ ン グ ・テ ン ソ ル(pairing

tensor)と

matrix)お

呼 ぶ(ρ に つ い て は(3.215)式

参

照).   い ま 波 動 関 数￨Φ 〉 と し て,

(3.336) で き め ら れ る 準 粒 子 演 算 子 の"真 空"  liubov

(HFB)基

底 状 態 を と る.こ

,す な わ ちHartree-Fock-Bogo の と き の ρ お よび κ は,(3.331),(3.330b)

式 を 用 い れ ば,

(3.337)

と な る.ρ

は エ ル ミー ト行 列,κ

を 使 っ て,関

は 反 対 称 行 列 

で あ る.(3.330)式

係式

(3.338) が 確 か め られ る.こ れ らの密 度 行 列 とペ ア リング ・テ ン ソル を統合 して2M×2M の 一般 化 され た密 度 行 列Rを

定 義 す るの が 便 利 で あ る.す な わ ち

(3.339) で あ る.Rは

エ ル ミ ー トで あ り,

(3.340) を み た す.容

易 に わ か る よ う に,

(3.341) で あ る.つ

ま りHFB基

底 状 態 に よ る一 般 化 され た 密 度 行 列 は対 角 的 に な っ て

い る.こ の よ うな表 示 の もと で,変 換Wを

ど の よ うに きめ るか が 以 下 に述 べ

る 問 題 で あ る.   さて こ こで,変 分 法 を使 って,HFB基

底 状 態 

に よ る系 の エ ネ ルギ ー

期 待 値 を極 小(停 留 値)に す る よ うに 一般 化 され たBogoliubov変

換Wを

きめ

る こ と にす る.   系 の ハ ミル トニ ア ン を

(3.342) と表 す.   BCS近

似 の場 合 と同様 に,変 換Wは

粒 子 数 を保 存 し ない.し たが って,HFB

基 底 状 態 に よ る粒 子 数 の 期 待 値 を,与 え られ た粒 子 数 に等 し くす る と い う条 件 の もとで 変 分 法 を行 うた め,  (Nは

粒 子 数 演 算 子,λ はLagrangeの

  上 で は,変

換Wに

の 期 待 値 を極 小(停 留 値)に す る 未 定 乗 数).

よ って 得 られ る一 般 化 され た 準 粒 子 を 

の 準 粒 子 に対 す る"真 空"がHFB基

底 状 態 

と し,こ

で あ る と し た.同 様 な 型

の 別 の 変 換W'に ￨Φ'0〉 が 

よ る 一 般 化 さ れ た 準 粒 子 に 対 す る"真 に 直 交 し な い な ら ば,一

空"を￨Φ'0〉

と し よ う.

般 に

(3.343) と 書 か れ る こ と が 知 ら れ て い る.*31こ 一 般 化 した もの で あ る

のThoulessの

定理 を

.

  上 述 の 変 分 法 を 行 う に は,係

と す れ ば よ い.ハ

の 定 理 は(3.228)式

数 

を変 分 パ ラ メ ー タ ー と して

ミ ル トニ ア ンH'=H-λNに(3.331)を

代入す る と

(3.344) と な る.こ

こ でH(4)は

β†,β に 関 す る4次

の 正 規 積 で あ る.ま

た

(3.345a) (3.345b) (3.345c) で あ る.た だ しTはTijを T+Γ-λ

行 列 要 素 と す るM×Mの

行 列 で あ る.ま たh=

で あ る.Γ お よび Δ の 行 列 要 素 は

(3.346) で 定 義 さ れ る.Γ

は 一 般 化 さ れ た"平

ン グ ・ポ テ ン シ ャ ル"で   ￨Φ'0〉に よ るH'の

均 ポ テ ン シ ャ ル"で

あ り,Δ

は"ペ

ア リ

あ る.

期 待 値 を 変 分 パ ラ メ ー タ ーZ*kk'の

べ き級 数 に 展 開 す れ ば,

(3.347) *31 H

. J. Mang

and

H.

A.

Weidenmuller,

Ann.

Rev.

Nucl.

Sci.

18

(1968)

1.

と な る.こ

の期 待 値 を停 留 値 とす るた め の 条 件 は

(3.348) で あ る.こ

の 条 件 は 変 換WのBloch-Messiahの

け る 第3段

階 の 変 換C,す

条 件(3.348)を

な わ ち 変 換(3.334c)に

満 足 さ せ な が ら,H(11)を

る.Bloch-Messiahの

定 理 に よ る 分 解(3.333)に

対 角 化 す る 変 換Cを

定 理 の 重 要 性 の1つ

  し た が っ て,(3.345a),(3.345b)式

は 依 存 し な い.し

お

た が っ て,

行 う こ とが で き

は こ の 点 に あ る.*32

か ら わ か る よ う に,変

換Wを

決定す るこ

と は,

(3.349) を対 角 化 す る問 題 と な り,固 有 値 方 程 式

(3.350) を解 く と い う 問 題 に 帰 着 す る.こ bov

(HFB)方

  HFB方

の 固 有 値 方 程 式 をHartree-Fock-Bogoliu

程 式(Hartree-Fock-Bogoliubov

程 式(3.350)は

equation)と

非 線 形 方 程 式 で あ る.な

呼 ぶ.

ぜ な らば 一 般 化 され た 平 均

ポ テ ン シ ャ ル Γ や ペ ア リ ン グ ・ポ テ ン シ ャ ル Δ の 中 にHFB方 が 入 っ て い る か ら で あ る.ゆ

え にHFB方

程 式 の 解U,V

程 式 は 自己 無 撞 着 的 に解 か な け れ ば

な ら な い.   HFB方

程 式 を 解 い て ユ ニ タ リ ー 変 換Wが

き ま っ た の ち,変

換 さ れ た ハ ミル

トニ ア ン は

(3.351) とな る.つ ま り,ハ ミル トニ ア ンの 主 要 部 分 は 一 般 化 され た1準 粒子 エ ネ ルギ ー Ekに H(4)と

く り込 まれ,残

りは準 粒 子 に 関 す る4次 の 正 規 積 で 書 か れ る残 留 相 互 作 用

な る わ け で あ る.BCS近

似 的 な 基 底 状 態 はHFB基

似 の と き と同 様 に,偶 数 粒 子 系(偶 々核)の 近

底 状 態 

で 表 され,励

起 状 態 は 偶 数 個 の準 粒

子 が 励 起(生 成)さ れ た 状 態 とな る.奇 数 粒 子 系(奇 核)は 隣 の偶 数 粒 子 系(偶 々 *32 こ の こ とは 式 のH20を0と

,BCS近

似 に お い て(3.304b)式

のE0を

極 小 に す る 条 件 が,ち

す る 条 件 に な って い る こ と に 対 応 す る.

ょ うど(3.304d)

核)のHFB基

底 状 態 の 上 に 奇 数 個 の 準 粒 子 が 励 起(生 成)さ れ た 状 態 で 記 述 さ

れ る.   こ の よ う に し て,Hartree-Fock法

とBCS近

似 と を 統 合 し た 原 子 核 の"独 立

粒 子 描 像"の 理 論 が 確 立 され た こ とに な る.

  3.4.5 

準 粒 子RPA

  原 子 核 に お け る集 団 運 動 は平 均 ポ テ ン シ ャ ルが 時 間 的 に揺 動 す る こ とに よ っ て 生 じ る と い うBohr-Mottelsonの で き る と い う こ と を3.4.2で に は な っ て い な くて,そ

集 団 模 型 の 考 え 方 が,RPAの

説 明 し た.そ

こ で のRPAモ

こ で は ま だ 対 相 関 を 陽 に考 慮 した 形

ー ド は1粒

  し か し な が ら 現 実 の 原 子 核 に お い て,対 い.実

際,図3.35に

子1空

孔 モ ー ド で あ っ た.

相関 を考慮 しな いわけ には いか な

お け る 偶 奇 質 量 差 が 示 す よ う に,中

ギ ー ・ギ ャ ッ プ Δ は1∼1.5MeVで

あ り,多

ギ ー ・ギ ャ ッ プ が あ る と い う こ と は,ほ (Hartree-Fock基

重 核 に お け る エ ネル

くの 原 子 核 に こ の よ うな エ ネ ル

とん ど の 偶 々核 の 基 底 状 態 は 正 常 状 態

底 状 態)￨Φ0〉 で は な く,BCS基

こ と を 意 味 す る.つ

方法 で記述

底状 態  

ま り 大 抵 の 原 子 核 の 基 底 状 態 は"超

とな って い る

伝 導 状 態"で

あ るとい

え る.   し た が っ て,RPAモ

ー ド もHartree-Fock基

底 状 態 に 基 づ く粒 子 ・空 孔 表 示

で は な く,対 相 関 を あ ら か じ め 考 慮 し た 準 粒 子 表 示 を 用 い て 表 さ れ る よ う に 拡 張 し な け れ ば な ら な い.こ わ ち 準 粒 子RPA

れ が 以 下 で 説 明 す る 拡 張 さ れ た 乱 雑 位 相 近 似,す

(quasi-particle

 (a) 準 粒 子RPA方

RPA)で

あ る.*33

程式

  偶 々 核 の 近 似 的 基 底 状 態 をBCS基 a† α, aα の"真

空"で

あ る.核

式 で 示 し た よ う に,こ

底状態  

と す る. 

. Kobayasi

T.

Marumori,

R.

Arvieu

M.

Baranger,

and

T.

Prog.

れ ら 準 粒 子 は 次 のBogoliubov変

and

M. Phys.

Marumori, Theor.

Rev.

Prog. Phys.

Veneroni,

Compt. 120

は準 粒 子

子 の 生 成 ・消 滅 演 算 子 をc†α,cα と す れ ば,(3.302) 換 で 得 ら れ る:

また は 

*33 M

な

(1960)

(3.352)

Theor.

24 (1960) rend. 957.

Phys.

23

(1960)

331. 250

(1960)

992.

387.

ここで, 

であ り, 

であ る.

  Bogoliubov変 換後のハ ミル トニ アンは,(3.313)式 で示 した よ うに,

(3.353a) (3.353b) (3.353c) と表 され る.平 均 ポ テ ン シ ャル お よび 対 相 関力 の 効 果 の 主 要 部 分 が1準 ミル トニ ア ンH0に

く り込 まれ た あ との 残 留 相 互 作 用 がHintで

よっ て 集 団 的 励 起 が 引 き起 こ され るの で あ る.Hintの

粒子ハ

あ り,こ れ に

具 体 的 な形 は,次 の よ う

に 表 され る:

(3.354a) (3.354b) (3.354c) (3.354d) た だ し,h.

c.は

直 前 の 項 の エ ル ミ ー ト 共 役 を 意 味 す る.ま

た,記

号 

を使 っ て

(3.355a) (3.355b)

(3.355c) と書 か れ る.こ れ ら の残 留 相 互 作 用 を グ ラ フ に 表 し た もの が 図3.36で

あ る.粒

子 ・空 孔 表 示 の 場 合 と違 っ て,準 粒 子 の場 合 に は粒 子 準 位 と空 孔 準 位 の 区 別 が ない.1つ

の 準 位 は 部 分 的 に 占有 さ れ,部 分 的 に 空 い て い る か らで あ る.し た

が って 図3.36に 示 す 矢 印が ない.

お い て は,準 粒 子 の 進 行(伝 播)を 示 す 実 線 に は粒 子 と空 孔 を

図3.36 

準 粒 子 表 示 に お け る残 留 相 互 作 用 の グ ラ フ

  粒 子 ・空 孔 表 示 のRPAモ

ー ド(3.259)を

拡 張 し て,準

粒 子RPAモ

ー ドの 演

算子 を

(3.356) とす る.こ の 準 粒 子RPAモ

ー ドが 近 似 的 な励 起 モ ー ドで あ る な らば

(3.357) で あ る.し た が っ て 通常 のRPAの

場 合 と 同様 に,

(3.358) と し て,準

粒 子a†α, aα に つ い て4次

位 相 近 似(RPA)を

行 って,エ

び 相 関 振 幅 

の 正 規 積 で あ る:Z:の

ネ ル ギ ー 固 有 値(固 有 励 起 エ ネ ル ギ ー)hω λ,お よ を 決 定 す る 固 有 値 方 程 式,す

方 程 式(quasi-particle

RPA

項 を無 視 す る 乱 雑

な わ ち 準 粒 子RPA

equation)

(3.359a) が 得 ら れ る.た だ し行 列 要 素 

は 実 数 で,

(3.359b) で 与 え られ る.   準 粒 子RPA方 式(3.267a)と

程 式(3.359a)は

一 見 して 粒 子 ・空 孔 表 示 の 普 通 のRPA方

程

同形 で あ り,同 じ性 質 を持 つ.す な わ ち,固 有値hω λは相 互 作 用

が 弱 い 範 囲 で は 実 数 で あ るが,あ

る臨 界 点 を 越 え て 相 互 作 用 が 強 くな る と複 素

数 の 固有 値 が 現 れ る.物 理 的 に意 味 の あ るの はす べ て の 固 有 値 が0で

な い実 数

の 場 合 で あ る か ら,以 下 の 議 論 で は 固 有 値hω λは す べ て0で し たが っ て,相 関 振 幅 

な い実 数 とす る.

もす べ て 実 数 で あ る.

  こ の と き,準 粒 子RPA方

程 式(3.359a)の

解 の性 質 は,普 通 のRPA方

程式

(3.267a)の 解 の 性 質 とほ とん ど 同 じで あ る.異 な る点 は 相 関 振 幅xλ,yλ の対 称 性 に あ る.RPA方

程 式(3.267a)に

状 態 を意 味 し,iは

空 孔 状 態 を意 味 す る.し た が っ て,μ とiと の 間 に は対 称 性

は な い.と で は,α

こ ろが 準 粒 子RPA方

お け る振 幅 

程 式(3.359a)に

で は,μ は粒 子

お け る振 幅 

と β との 交 換 に対 して そ れ らは 反 対 称,す

な わ ち符 号 を 反転 させ る は

ず で あ る.こ の こ と を考 慮 す る と,相 関 振 幅 の 規 格 直 交 性 は

(3.360) と な る.こ

こ で σλは(3.270)式

に 対 し σλ=-1で

あ る.ま

で 与 え られ, 

に 対 し 

た こ の規 格 直 交 性 か ら 完 備 性

(3.361a) (3.361b) (3.361c) を導 くこ と もで き る.   準 粒 子RPAに

お け る"真 の"基 底 状 態(true

る.￨Ψ0〉 は 準 粒 子RPAモ し 

ground

ー ド に 対 す る"真 空"で

state)を￨Ψ0〉 とす

あ り, 

をみ たす よ うに きめ られ る はず で あ る か ら,BCS基

と そ の 上 に4準 粒 子(4qp),8準

粒 子(8qp),…

(た だ 底状態  

が 励 起 した 状 態 の重 ね合 わせ で

構 成 され る.す な わ ち

(3.362) と な る.ま た励 起 状 態 は  

(ただ しhωλ>0)で

与 え られ,そ の 励 起 エ ネ ル

ギ ーがhω λで あ る.こ れ らの状 態 を構 成す るダ イアグ ラム の概 念 図が 図3.37の (a)基 底 状 態,お

よび(b)励

起 状 態 で あ る.準 粒 子RPAで

は,基 底 状 態,励 起

状 態 と も に,さ まざ まな数 の準 粒 子 が 励 起 した 状 態 の 重 ね 合 わせ とな っ て い る.

(a)

(b)

(c)

図3.37

(a) 準 粒 子New Tamm-Dancoff近 ダ イア グ ラム の 概 念 図.

似(準 粒 子RPA)で

(b) 準 粒 子New Tamm-Dancoff近 る ダ イア グ ラ ム の概 念 図.

似(準 粒 子RPA)に

(c) 準 粒 子Tamm-Dancoff近 念 図.

れ を 準 粒 子new

Tamm-Dancoff

approximation)と ー ド に お い て,前

振 幅(backward

BCS基

Tamm-Dancoff

底状態  

で あ る.こ

Tamm-Dancoff近

approximation)の

似 と準 粒 子new

き た.こ

粒 子Tamm-Dancoff近

起 状 態 は2準

場 合 に は,基

底状態 は

粒 子(2qp)の

みの状態

あ る. Tamm-Dancoff近

粒 子new

似 に お け る励 起

Tamm-Dancoff近

関 し て 図3.33 似 におい

似 で 取 り上 げ る こ と が で き な か っ た 相 互 作 用

よ る 基 底 状 態 相 関 を 取 り込 む こ と に よ っ て,強 れ こ そ がBohr-Mottelsonの

の準 粒

の み を と り,後 方

子 ・空 孔 表 示 の 通 常 のRPAに

で 示 し た も の と ま っ た く 同 様 で あ る.準

new

す る 準 粒 子Tamm-Dancoff

れ を 図 示 し た も の が,図3.37の(c)で

エ ネ ル ギ ー の 比 較 に つ い て は,粒

HVに

れ に対 し,(3.356)式

amplitudes)xλ

を 強 制 的 に0と

そ の もの で あ り,励

  準 粒 子Tamm-Dancoff近

て は,準

似(quasi-particle

呼 ん で い る.こ

方 振 幅(forward

amplitudes)yλ

近 似(quasi-particle

お け る励 起 状 態 を構 成 す

似 に お け る励 起 状 態 を 構 成 す る ダ イ ア グ ラム の 概

し た が っ て,こ

子RPAモ

の基底状 態を構成す る

い 集 団 性 を 得 る こ とが で

集 団模 型 に お け る 強 い 集 団性 に対 応 す る

も の と 考 え ら れ て い る.   準 粒 子RPAに

関 し て 強 調 し な け れ ば な ら な い 点 は,こ

の 方 法 が 集 団 運動 が

最 も重 視 さ れ る 閉 殻 か ら 離 れ た オ ー プ ン 殻 核 に も適 用 可 能 で あ る こ と で あ る. 3.4.2に は,粒

お い て,粒

子 と 空 孔 を 明 確 に 定 義 す る こ とが で き な い オ ー プ ン 殻 核 で

子 ・空 孔 表 示 の 通 常 のRPAは

適 用 で き な い と 述 べ た.し

か し,準

粒子表

示 で は粒 子 準 位 と空孔 準 位 とは 区別 され な い.こ の こ とに よっ て,準 粒 子RPA が 閉 殻 か ら離 れ た オ ー プ ン殻 核 に 適 用 可 能 と な っ た の で あ る.そ の 結 果,い や(Hartree-Fock近

似)+(BCS近

似)+(準 粒 子RPA)に

ま

よっ て,集 団 運 動 の 微

視 的 理 論 の 基 礎 が 確 立 され た とい う こ とが で きる.

 (b) (対 相 関 力+4重

極 相 関 力)模 型

  (3.213)式 で 表 され る残 留 相 互作 用  中 で,特

にHppお

た.1.2.2で

よびHhhを

の

代 表 す る 核 内で 最 重 要 な 相 関が 対 相 関 力 で あ っ

述 べ た よ う に,有 効 相 互 作 用 の行 列 要 素 ναβγδを

(3.363) と 角 運 動 量 展 開 し た と き,J=0の 化 し,行

列 要 素GJ(abcd)と

項 が 特 に 大 きい と い う際 立 った 性 質 を 単 純

し て(1.45)式,す

なわ ち

(3.364) に よ っ て 対 相 関 力 を 定 義 し た.こ

の と きの ハ ミ ル ト ニ ア ン が(1.46)式

れ る 対 相 関 ハ ミ ル ト ニ ア ン(pairing

で与え ら

Hamiltonian)

(3.365) で あ る.た だ し 

で あ る.

  対 相 関力 に次 い で 重 要 な相 関 は,原 子 核 の集 団 的振 動 運 動(フ ォノ ン)を 励 起 す るHphで

あ る.特 に 大 抵 の 偶 々核 の 第1励 起 状 態 が2+状

え る と,粒 子 ・空 孔 間でJ=2の

態 で あ る こ とを 考

組 に特 別 に 強 い相 互作 用が 働 い て い る と考 え

られ る.   2体 力 の行 列 要 素 ναβγδは次 の よ う に書 くこ と もで き る:

(3.366) 行 列 要 素 

は 実 数 で あ る と考 え て よ い.ま た そ の 対 称 性 は

(3.367)

で あ り,FJ'(acdb)とGJ(abcd)と

の 間 に は 次 の 関 係 式 が 成 り立 つ:

(3.368) 粒 子 ・粒 子 お よ び 空 孔 ・空 孔 間 で ス ピ ンJに

組 む 行 列 要 素 がGJ(abcd)で

こ れ をGタ

子 ・空 孔 間 で ス ピ ンJ'に

イプ(G-type)と

要 素 がFJ'(acdb)で

呼 ぶ.他

あ り,こ

  集 団 的 振 動 運 動(フ

方,粒

れ がFタ

イプ(F-type)で

ォ ノ ン)を 励 起 す るHphを

プ に お い て 特 にJ'=2の

あ り, 組 む行 列

あ る.

代 表 す る 相 互 作 用 は,Fタ

項 が 強 い と 考 え られ る.こ

イ

れ を単 純 化 して

(3.369) と し よ う.こ

こ でq(ac)は

(3.370) で 定 義 さ れ る.す 用 を4重   さ て4重

な わ ち 

で あ る.こ

極 相 関 力(quadrupole

force)と

極 演 算 子(quadrupole

の よ う な相 互 作

呼 ぶ.

operator) 

を

(3.371) で 定 義 す る.こ の4重

極演 算 子 を 用 い て4重

極 相 関 力 の ハ ミル トニ ア ンは

(3.372) と 書 か れ る.4重

極 相 関 力 は し ば し ばQQ力(QQ

force)と

呼 ば れ る.

  ア ク テ ィブ 軌 道 に 存 在 す る 核 子 の 粒 子 ・ 粒子 お よび 空孔 ・ 空 孔 間 の 相 関Hpp, を 代 表 す る の が 対 相 関 力 で あ り,粒 子 ・空 孔 間 の 相 関Hphの (QQ力)で

あ る と考 え て,こ

れ ら2種

極相関力

類 の 相 関 の 絡 み 合 い に よ って 中 重 核 の 集 団

運 動 の 性 質 を 調 べ る と い う 方 法 が,Bohr, て 提 唱 さ れ た(対 相 関 力+4重

中 心 が4重

Hhh

Mottelsonお

よび そ の協 力 者 ら に よ っ

極 相 関 力)模 型(pairing-plus-quadrupole-force

model)で

あ る.こ れ は 簡 略 化 してP+QQ模

型 と も呼 ば れ て い る.こ の模 型

の ハ ミル トニ ア ンは

(3.373) で あ る.H(0)はHartree-Fock

1粒 子 ハ ミ ル ト ニ ア ン((3.213)式

で あ り,H(pair)は(3.365)式 る.つ

ま り こ の 模 型 に お い て は,原

力)と,楕 とxの

の 対 相 関 力,H(QQ)は(3.372)式

に お け るH0) のQQ力

子 核 を 球 形 に 保 た せ よ う と す る 力(対

円 体 型 に 変 形 さ せ よ う と す る 力(QQ力)の

型 に お い て は,H(pair)お

そ の 考 え 方 を 貫 くた め に,以 (1) H(P+QQ)を

よ びH(QQ)は

たが っ

一 種 の 機 能 概 念 で あ り,

下 に 述 べ る よ う な 取 り扱 い を す る の が 普 通 で あ る:

再 度Hartree-Fock近

へ く り 込 む こ と は し な い.ま 作 る.Bogoliubov変

相 関

強 度 の パ ラ メ ー タ ーG0

競 合 に よ っ て 原 子 核 集 団 運 動 を 理 解 し よ う と す る も の で あ る.し

て,P+QQ模

であ

似 を し て,H(pair)+H(QQ)か ずBogoliubov変

換 はH(pair)の

ら1体

場

換 を 行 っ て 準 粒 子a†,aを

み で(H(QQ)の

効 果 は 入 れ な い で)決

定 す る. (2) H(QQ)を

準 粒 子a†,aの

の 項(a†a,a†a†,aa)は 子 に 関 す る4次

表 示 に 書 き 直 し た と き現 れ る 準 粒 子 に 関 す る2次 す べ て 無 視 す る.し

た が っ て,H(QQ)か

らは 準 粒

の 正 規 積 の み 取 り上 げ る.

(3) 以 下 に 示 す 交 換 項(exchange

terms)((3.375d)お

よび(3.376d))は

すべ て

無 視 す る.   上 記 の 処 方 箋 に し た が っ てBogoliubov変

換 後 の 準 粒 子 表 示 を し たP+QQ模

型 の ハ ミ ル ト ニ ア ン は 定 数 項 を 除 い て,

(3.374a) (3.374b) (3.374c) と 書 か れ る.た

だ し,

(3.375a) (3.375b)

(3.375c) (3.375d) お よび

(3.376a)

(3.376b) (3.376c) (3.376d) で あ る.ま た 

で あ り,準

粒子対 演算 子は

(3.377a) (3.377b) で 定 義 され る.ま た 

で あ る.

  上 に 述 べ たP+QQ模  が4重

型 の ハ ミル トニ ア ン の 中 で,準

極 の 準 粒 子RPAモ

粒 子 間 の4重

極相関

ー ド,す な わ ち4重 極 フ ォ ノ ン を作 り出 す 相

互 作 用 で あ る と考 え られ る.こ の 場 合 の 準 粒 子RPAモ

ー ドは

(3.378) で 定 義 さ れ,3.4.5で

述 べ た よ うに 方 程 式

(3.379) に 乱 雑 位 相 近 似 を 行 っ て 準 粒 子RPA方

程 式 を つ く り,こ

て4重

の 考 え に 沿 っ た詳 細 な分 析 と実 験 と の

極 フ ォ ノ ン 

比 較 が,割 *34 L

. S.

No.

合 早 い 時 期 にKisslingerとSorensenに

Kisslinger 9;

を き め る.こ

Rev.

and Mod.

R. Phys.

A.

Sorensen, 35

(1963)

Mat. 853.

Fis.

れ を解 くこ と に よっ

よ っ て 行 わ れ た.*34そ Medd.

Dan.

Vid.

Selsk.,

32

の結 (1960)

図3.38 

Kisslinger-Sorensenに の4重

太 い 実 線 が 計 算 値.丸

よ るP+QQ模

印 が 実 験 値.同

一Zの

ア イ ソ トー プ が 実 線 で 結 ば れ て い る.使

た パ ラ メ ー タ ー な ど,詳

細 に つ い て は 原 論 文L.

Mod.

853を

Phys.

果 の1例

35 (1963)

が 図3.38に

型 を用 い た 中 重 偶 々核

極 フ ォ ノ ンの 励 起 エ ネ ルギ ーの 分 析

S.

Kisslinger

and

R.

A.

Sorensen,

わ れ Rev.

参 照 さ れ た い.

示 さ れ て い る.図

は 中 重 偶 々 核 の4重

極 フ ォ ノ ン の励 起

エ ネ ル ギ ー を 分 析 し た も の で あ る.   P+QQ模

型 の ハ ミ ル ト ニ ア ン の 中 に は 準 粒 子4重

対 相 関 力 か ら 生 じ た 準 粒 子 単 極 相 関 力(monopole る.こ

極 相 関 力H(QQ)intの

ほ か に,

force) H(pair)intが 含 ま れ て い

れ に よ っ て生 み 出 され る集 団 的 振 動 モ ー ド

(3.380) は 対 振 動(pairing

vibration)*35と

呼 ば れ,中

重核 において重 要な役割 を果た

す.*36

  3.4.6    3.1お

集 団運 動 パ ラ メー タ ー よ び3.2の

各 節 で 述 べ た よ う に,球

を 特 徴 付 け る の は 弾 性 パ ラ メ ー タ ーC2と *35  D . R. Bes and R. A. Broglia, Nucl. *36  対 振 動 モ ー ド(3 .380)は 準 粒 子 の0対 せ な い.し υ=0の

た が っ て,BCS基

状 態 で あ る.す

振 動 状 態 は υ=0の

Phys.

形 核 の4重

極 集 団 運 動(フ

質 量 パ ラ メ ー タ ーB2で 80 (1966)

ォ ノ ン)

あ り,4重

極

289.

で 構 成 され て い る の で,系

の セ ニ ョ リ テ ィを 増 加 さ

底 状 態 か ら 対 振 動 モ ー ドが 励 起 し た 状 態 は 全 セ ニ ョ リ テ ィが

な わ ち,BCS基

励 起 状 態 で あ る.

底 状 態 は υ=0の

エ ネ ル ギ ー 最 低 状 態 で あ り,対

変 形 核 の 集 団 運 動(回 転 ・振 動)を 特 徴 付 け る の は 慣 性 モ ー メ ン トJと 動 の 質 量 パ ラ メ ー タ ーBβ,Bγ,お る.こ

β,γ 振

よ び ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ーV(β,γ)で

あ

れ らが ど の よ う に して 得 られ るか が 集 団運 動 の微 視 的 理 論 の 重 要 な 問 題

で あ る.

  (a) 球 形 核 フ ォ ノ ン の 弾 性 パ ラ メ ー タ ー   質 量 数Aの

原 子 核 が,球

形 の 平 衡 点 の 近 傍 で 十 分 ゆ っ く り と4重

る 場 合 の 弾 性 パ ラ メ ー タ ー を,断 検 討 し よ う.変

熱 近 似(adiabatic

極 振 動 をす

approximation)の

も とで

形 の 大 き さ を パ ラ メ ー タ ー α で 表 し,

(3.381) とす る. 

は(3.371)で

分 ゆ っ く りで,パ

定 義 され る4重 極 演 算 子 で あ る.変 形 α の 変 化 が 十

ラ メ ー タ ー α の 値 ご と に系 の エ ネル ギ ー 

が 変分的

な 意 味 で 極 小 に な る もの とす る.球 形 か ら微 小 変 形 α が 与 え られ た と きの 系 の エ ネル ギ ー の 変 化 分 を計 算 し よ う.そ の た め に は次 の 定 理が 有 用 で あ る. [定理] BCS基 真 空 で, 

底 状 態 を 

とす る.同 じ型 の 状 態,す な わ ち別 の準 粒 子 の

に直 交 し ない 状 態 

はユ ニ タ リー 変 換eFに

よって

(3.382) と 表 さ れ る.た

だ しF†=-F,す

  こ の 定 理 は(3.343)式

な わ ち 

で あ る.

で 示 し た 一 般 化 さ れ たThoulessの

定 理 を,ユ

ニ タ リー

変 換 の 形 に 書 き換 え た もの で あ る.

  球 形 の 基 底 状 態 を  れ た状 態 を 

と し,こ の 状 態 か ら微 小 な4重

と して,こ れ を(3.382)式

の 関 数 で あ り微 小 量 と考 え る.(3.381)式

極変形 αが与 え ら

で 表 す.そ の と き 

をみ たす とい う条 件,す

はα なわ ち

(3.383) と い う 条 件 付 で,エ の 未 定 乗 数 と し て,変

ネ ル ギ ー 期 待 値 を 極 小 に す る.そ

の た め に μ0をLagrange

分原理

(3.384)

を 用 い る.ハ

ミ ル トニ ア ンHと

ン(3.353)お

よ び(3.354)式

 展 開 公 式(3.241)を

し て は,準

粒 子 で 表 し た 一 般 的 な ハ ミル トニ ア

を と る こ と に し よ う.

用い ると

(3.385) と な る.右

辺 の 展 開 に お い て,微

小 量 

あ る い は α に つ い て2次

まで

と る と,

(3.386) と な る.右 ら ば,下

辺 の 最 後 の 項 は2次

の 微 小 量 で あ る こ と に 注 意 す べ き で あ る.な ぜ な

で 明 ら か に な る よ う に,μ0は

微 小 量 

あ る い は α と同 じオ ー

ダ ー の 微 小 量 で あ る か ら で あ る.   ハ ミ ル トニ ア ン(3.353),(3.354)を

用 い て 具 体 的 に 計 算 す る と,

(3.387) が 得 ら れ る.た

だ し,係

と 同 一 で あ る.ま

た4重

数 

は(3.359b)式

で 定 義 され た もの

極演算子 は

(3.388) と 表 さ れ る.た

だ し

で あ る.こ

の4重

極 演 算 子 の 表 式(3.388)を

使 え ば,

(3.389) と な る.変

分 方 程 式(3.384)は

(すべ て の αβの 組 に 対 し) と 同 等 で あ る か ら,(3.386)式 連 立1次

に(3.387)お

よ び(3.389)式

を 代 入 す れ ば,次

の

方 程 式 が 得 ら れ る:

(3.390) こ の 連 立1次

方 程 式 を 解 く こ と に よ っ て, 

め る こ とが で き る.他

方,Lagrangeの

を求

未 定 乗 数 μ0を き め る 条 件 式(3.383)は

(3.391) と書 く こ とが で き る.  系 が α だ け4重

極 変 形 し た こ とに よ るエ ネ ル ギ ー の 増 加 分 は

(3.392) と な る.こ

こ で 係 数C2は

(3.393) で あ る.こ

のC2こ

そ 球 形 核 の 集 団 的4重

シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー の パ ラ メ ー タ ー,す タ ー で あ る と 考 え ら れ る.

極 振 動(フ な わ ち3.1な

ォ ノ ン)に

対 す るポ テ ン

ど に現 れ た 弾 性 パ ラ メー

  (b) 球 形 核 フ ォ ノ ン の 質 量 パ ラ メ ー タ ー   まず,断

熱 摂 動(adiabatic

perturbation)法

対 す る ク ラ ン キ ン グ 公 式(cranking

を 用 い て,質

formula)の

量パ ラメーターに

一 般 形 を 求 め よ う.

  系 の ハ ミ ル トニ ア ンが 集 団 座 標 α(た と え ば 変 形 パ ラ メ ー タ ー)を を 通 じ て 時 間 に 依 存 す る も の と す る.す と す る.そ

含 み,こ

な わ ちH=H(t)=H(α(t))で

れ ぞ れ の α の 値 に 対 す るH(α)の

れ ある

固有 状 態 を

(3.394) と す る.時

間 依 存Schrodinger方

程式

(3.395) を考 え る.状 態 ベ ク トル 

を 規 格 直 交 系 

で 次 の よ うに 展 開

す る:

(3.396) た だ し,時 間 に 依 存 す る位 相 

は

(3.397) で あ る.(3.396)式

を(3.395)式

に 代 入 し,an(t)が

従 う 方 程 式 を 求 め る と,

(3.398) が 得 られ る.た だ し, 

で あ る.

  ここ まで は厳 密 な議 論 で あ る.こ こか ら断熱 近 似 を考 慮 し よ う.時 刻t=0に お い て 系 は 純 粋 な状 態  で あ る.ハ

にあ る もの とす る.し たが っ て 

ミル トニ ア ン 

す る に し たが ってn≠0の

の 時 間 依 存 性 が 小 さ い な らば,時

間が 経 過

状 態 は"ゆ っ く り"と 混 合 す るで あ ろ う.す な わ ち,

(3.398)式 にお い て位 相 因 子 

の 時 間 変化 に 比べ て 

微 小 な 量 で あ る と考 えれ ば,(3.398)式

が

は

(3.399)

と 書 か れ る. 

は 微 小 な 定 数 と 考 え る こ とが で き る の で,

(3.399)式 は 容 易 に 積 分 す る こ とが で きて

(3.400) と な り,断 熱 摂 動 論 に よる系 の 状 態 ベ ク トル 

は

(3.401) と な る.こ

の 状 態 ベ ク トル を 用 い て 系 の エ ネ ル ギ ー を 計 算 す る と,

(3.402) と 書 く こ と が で き,質

量 パ ラ メ ー タ ーM(α)は

(3.403) と な る.こ

れ が よ く知 ら れ た ク ラ ン キ ン グ 公 式(cranking

あ る."ク

ラ ン キ ン グ"と

一般 形 で

い う 命 名 の 由 来 は 後 で 説 明 す る.

  さ て 上 記 の ク ラ ン キ ン グ 公 式 を 使 って,球 質 量 パ ラ メ ー タ ーB2を

formula)の

求 め よ う.ク

形 核 の4重

極 振 動 運 動(フ ォ ノ ン)の

ラ ン キ ン グ 公 式(3.403)に

お い て 

と して 前 項 で 採 用 し た状 態

(3.404) を と る.た

だ しF†=-Fで

る 微 小 変 形 を 持 ち,準

あ る.こ

の 状 態 

は(3.383)式

で 与 え られ

粒子

(3.405) の"真 空"で あ る.い ま変 形 の 大 き さ α は十 分 小 さい と考 え て い る の で,"励 状 態"￨Φn(α)〉 と し て は2準

起

粒子状 態

(3.406) を考 え れ ば 十 分 で あ る.し たが っ て,ク

と な る が,

ラ ン キ ン グ公 式 の 中の 行 列 要 素 は

で あ る か ら,質

量 パ ラ メ ー タ ーM(α)=B2は

(3.407) と な る.Ec,Edは1準

粒 子 エ ネ ル ギ ー(3.353b)で

方 程 式(3.391)を

解 い てfγ δを α の 関 数 と し て 求 め れ ば,4重

量 パ ラ メ ー タ ーB2が   3.4.5に

の 結 果,連

立1次

極 フ ォ ノ ンの 質

計 算 で き る の で あ る.

お い て 説 明 し たP+QQ模

形 核 に お け る4重 C2を

あ る.こ

型 の 場 合 に は,前

項 お よび本 項 で 述 べ た 球

極 フ ォ ノ ン の 質 量 パ ラ メ ー タ ーB2お

よび 弾 性 パ ラ メー ター

あ ら わ に 表 す こ とが で きて,

(3.408a)

(3.408b) と な る.*37

  (c) 変 形 核 の 集 団 運 動 パ ラ メ ー タ ー   4重 極 変 形 核 の 振 動 運 動 を 特 徴 付 け る の は,β と γ 振 動 の パ ラ メ ー タ ーBγ,Cγ た 方 法 を4重 き る が,過

度 の 詳 細 を 避 け る た め こ こ で は 割 愛 す る.詳

  本 項 で は,回 . Marumori,

振 動 の パ ラ メ ー タ ーBβ,Cβ

れ ら は前 々項 お よ び 前 項 で 述 べ

極 平 衡 変 形 し た 原 子 核 に 拡 張 す る こ と に よっ て 求 め る こ とが で

Marumori-Yamamura-Bandoの

*37 T

で あ る.こ

論 文*37を

参 照 さ れ た い.

転 運 動 に 対 す る 慣 性 モ ー メ ン トJに M.

Yamamura

and

H.

Bando,

し くは 前 項 で 引 用 し た

Prog.

Theor.

つい てのみ述べ る ことに Phys.

28

(1962)

87.

す る.一 般 形 の クラ ン キ ン グ公 式(3.403)を

導 い た と き と同様 に,Inglis*38に

よ っ て 最 初 に 提 唱 され た 断 熱 近 似 の 考 え方 を 用 い る.   Nilsson模 Hを

型 の ハ ミル トニ ア ン(3.178)の

考 え る.Hに

よ うな 変 形 殻 模 型 ハ ミル トニ ア ン

含 まれ る1体 ポ テ ンシ ャル は 自己 無 撞 着 的 な 平 均 場 で あ り,

回 転 軸 の まわ りに 角 速 度 ω で ゆ っ く りと 回転 し て い る もの とす る.平 均 場 中 の 核 子 の 運 動 は,平 均 場 の 回 転 に 比 べ て 十 分 速 く,し た が っ て 回 転 の 角 度 ご とに 自己 無 撞 着 的 に平 均 場 が 形 成 され る もの とす る.実 際 の 実 験 結 果 にお い て も, 粒 子 運 動 の エ ネル ギ ーが 回 転 運 動 の エ ネル ギ ー に 比 べ て 十 分 大 きい ので,こ

の

状 況 に よ く対 応 して い る と思 わ れ る.こ の と き時 間 依 存 の 波 動 関 数 が 求 ま る な らば,回

転 の 角 運 動 量 の 平均 値 を計 算 す る こ とが で き,そ れ は 角速 度 ω に比 例

す るで あ ろ う.そ の 比 例 係 数Jが

慣 性 モ ー メ ン トで あ る.

  平均 ポ テ ン シ ャル は 回 転対 称(軸 対 称)変 形 してい る もの とす る.図3.39 の よ うに 対 称 軸 をz軸 垂 直 なx軸

と し,こ れ に

の まわ りを 一 様 な 角 速 度

ω で ゆ っ く りと 回転 す る もの とす る. この と きの ハ ミル トニ ア ンH(θ)は 図3.39  対 称 軸(z軸)に

ω=微

小 定 数, 

と 書 か れ る.時

ク ラ ンキ ン グ公 式 の 概 念 図 垂 直 な 回 転 軸(x軸)の

まわ りで,

ゆ っ く り と一 様 な 角 速 度 ω で 回 転 す る.

(3.409)

間 依 存Schrodinger方

程式

(3.410) に お い て,

(3.411) と す れ ば,Schrodinger方

程 式(3.410)は

(3.412) と 書 き 直 す こ とが で き る.*39こ 間 に 依 存 し な い.方

程 式(3.412)の

の 段 階 で の"ハ

ミ ル トニ ア ン"H−hωJxは

定 常 解 を￨Φ 〉と し,

*38  D . Inglis, Phys. Rev. 96 (1954) 1059; 97 (1955) 701. *39  e-iθJxは 空 間 固 定 座 標 系 か ら 物 体 固 定 座 標 系(回 転 座 標 系)へ (付 録A参

照),し

た が っ て(3.412)式

時

のユ ニ タ リ ー変 換 で あ り

は 物 体 固 定 系 に お け るSchrodinger方

程 式 で あ る.

(3.413) と 置 け ば,

(3.414) と な る."無

摂 動 系"(ω=0の

回 転 し て い な い 系)の

固有状態 を (3.415)

とす る と,ω が 微 小 量 で あ る か ら,方

程 式(3.414)は

摂 動 的 に 解 く こ とが で き て,

(3.416) と書 か れ る.こ の状 態 に お け る 角 運 動 量 の期 待 値 は,ω の1次

まで と っ て

(3.417) と な る か ら,慣

性 モ ー メ ン トJは

(3.418) と な る.こ

れ が 有 名 な 慣 性 モ ー メ ン ト に 対 す る ク ラ ン キ ン グ 公 式(cranking

formula)で

あ る.*38上

度 ω で ま わ し(ク る.こ

述 の 考 え 方 は,変

ラ ン ク し),そ

形 物 体 の 軸 に ハ ン ドル を付 け て角 速

の と き の"慣

性"(抵 抗)を

求 め る こ とに 相 当 す

れ が こ の 公 式 の 命 名 の 由 来 で あ る.

  い ま 変 形 殻 模 型 ハ ミ ル トニ ア ンHと (3.178)を

と り,ク

し てNilsson模

ラ ン キ ン グ 公 式(3.418)に

さ δ に お け る 基 底 状 態 と す る.つ

ま り,変

型 の ハ ミル トニ ア ン

お け る￨Φ0〉 を あ る 変 形 の 大 き 形 δ に お い て,Nilssonダ

イア グ ラ

ム に エ ネ ル ギ ー の 低 い 方 か ら順 に 与 え られ た 数 の 核 子 を 詰 め た 状 態 で あ る.Jx は1粒

子 演 算 子 で あ る か ら,(3.418)式

￨Φ0〉を 真 空 と す る1粒 孔 状 態 をiで

表 せ ば,ク

子1空

に 寄 与 す る 励 起 状 態￨Φn〉(n≠0)は,

孔 状 態 だ け で あ る.こ

の と き の 粒 子 状 態 を μ,空

ラ ン キ ング 公 式 は

(3.419) と な る.

図3.40 

ク ラ ン キ ン グ 公 式(3.420)を

縦 軸 は  A 193

用 い た慣 性 モ ー メ ン トの 計 算 結 果 と実 験 値 との 比 較

J. Meyer-ter-Vehn,

(1972)

60よ

J. Speth

  実 際 の 原 子 核 の 慣 性 モ ー メ ン トは,上 よ り1/2∼1/3小

さ い.こ

J. H.

Vogeler,

Nucl.

Phys.

記 のInglisの

慣 性 モ ー メ ン ト(3.419)

れ は 平 均 場 の 中 に あ る 核 子 間 の 相 関(残 留 相 互 作 用)

の 影 響 に よ る も の と 考 え られ る.最 変 形 殻 模 型 に お け るBCS理 結 果,ク

and

り.

も 大 き い 効 果 は 対 相 関 で あ る.Belyaevは

論 を 使 っ て,対

相 関 の 効 果 を 取 り入 れ た.*40そ

の

ラ ンキ ング 公 式 は

(3.420)

と な る.i,jは ギ ーは

変 形 殻 模 型 の1粒  

子 準 位(Nilsson準 で 与 え ら れ る.準

ル ギ ー ・ギ ャ ップ Δ を 含 む の で,一 り,現

較 し た 例 が 図3.40に

. T.

あ り,準

粒子 エネル

粒 子 エ ネ ルギ ー は大 きい エ ネ

般 にJBelyaevはJInglisに

比 べ て小 さ くな

実 の 値 に 近 く な る.

  ク ラ ン キ ン グ 公 式(3.420)を

*40  S

位)で

Belyaev,

Mat.

用 い た 慣 性 モ ー メ ン トの 計 算 値 を 実 験 結 果 と 比

示 さ れ て い る.

Fis.

Medd.

Dan.

Vid.

Selsk.,

31

(1959)

No.

11.

  (d) 角 運 動 量 射 影 法 に よ る慣 性 モ ー メ ン ト   核 内 の 有 効 相 互 作 用 の 効 果 を 十 分 に 取 り入 れ な が ら慣 性 モ ー メ ン トを計 算 す る も う1つ の 方 法 に つ い て 説 明 し よ う.   平 均 ポ テ ン シ ャル が 大 き く回転 対 称(軸 対 称)変 形 して い る もの とす る.こ の と きのHartree-Fock基

底 状 態 を 

と し よ う.β0は 変 形 パ ラ メ ー ター で

あ る.空 間 固定 座 標 系 か ら見 た 変 形 ポ テ ン シ ャル の 主 軸 方 向 を表 すEuler角  とす れ ば,こ の と きのHartree-Fock基 で あ る.た だ し  算 子(A.9)で

は付 録Aに

お け る 回転 演

あ る.

  系 の ハ ミル トニ ア ンHは

本 来 回転 不 変 で あ るか ら,状 態 ベ ク トル 

に よ る エ ネ ル ギ ー 期 待 値  い.し

を

底状 態 は 

たが って,よ

はEuler角

りよ い変 分 関 数 を作 るに は,Euler角

Ω に依存 しな

Ω を さ まざ ま な方 向

に 回転 させ た もの を重 ね 合 わせ て

(3.421) と す る の が よ い.*41対

称 軸(z'軸)方

式 に お け る 重 み 関 数f(Ω)がD関

向 の 全 角 運 動 量 の 成 分 をKと 数 

す る.(3.421)

に 比 例 す る も の と し,

(3.422a) とす る と,こ の 状 態 ベ ク トル は 全 角運 動 量 の 固 有 状 態 と な る.す な わ ち,演 算 子

(3.422b) は 全 角 運 動 量 の 大 き さがI,z成

分 がMの

状 態 へ の 射 影 演 算 子 とな って い る.

  以下 で示 す よ うに,こ の証 明は 簡単で あ る.演 算子PIMKを

*41 パ ラ メ ー タ ー α を 含 む 波 動 関 数 Φ(α)に

を 作 り,変

分 方 程 式 

,重

み 関 数f(α)を

Euler角

か け て重 ね 合わせ て 試 行 関数

を 解 く こ と に よ っ てf(α)を

的 な 固 有 状 態 を 得 る 方 法 を 生 成 座 標 法(generator-coordinate 論 の 各 方 面 で よ く 用 い ら れ る.パ

展 開 し,

method)と

ラ メ ー タ ー α を 生 成 座 標 と呼 ぶ.い

Ω を 生 成 座 標 と考 え る こ とが で き る.

求 め,系

の近 似

呼 び,原

子核 理

ま の 場 合,回

転の

と書 く.α',α"は

角 運 動 量 の 量 子 数 以外 の す べ て の 量 子 数 を ま と め て 表 して い る.行

列 要 素 

は

とな る.こ

こ で 付 録Aの(A.22)式

のD関

数 の 直 交 性 を用 い た.こ

の 結 果 を使 っ て,

演 算 子PIMKは

(3.423) と書 か れ る.こ れ は ま さ にPIMKが る こ と を 示 し て い る.す

角 運 動 量 の 固 有 状 態(I,M)へ

な わ ち,(3.422a)式

の射影 演算子 で あ

の￨ΨIM〉 は 全 角 運 動 量 の 固 有 状 態 で あ

る こ とが わ か っ た.   (3.422a)式

の 状 態￨ΨIM〉

に よ る 系 の エ ネ ル ギ ー 期 待 値EIは

(3.424) と な る.偶 M=0を

々 核 で はK=0で

あ り,系

考 え れ ば よ い.し

の エ ネ ル ギ ー はMに

よ ら な い の で,

た が っ て,

(3.425)

と な る.こ

こ で, 

お よ び(A.17)式

は 行 列 要 素 

で 与 え ら れ る.Jyは

標 系 に お け るy成

で あ り,付 録Aの(A.16) 系 の 全 角 運 動 量 の 演 算 子Jの

空 間 固 定座

分 で あ る.

  PeierlsとYoccozは,変

形 が 大 き い と き に は(3.425)式

のEIが

(3.426) と 展 開 で き る こ と を 示 し た.*42し て 慣 性 モ ー メ ン トJが *42 R

. E.

Peierls

J. Yoccoz,

and Proc.

J.

た が っ て,(3.425)式

を計 算 す る こ とに よ っ

得 ら れ る. Yoccoz,

Phys.

Soc.

Proc. A 70

Phys. (1957)

Soc. 388.

A 70

(1957)

381.

  次 の よ う な,慣

性 モ ー メ ン トの も う少 し ス マ ー ト な 計 算 法 が あ る.系

ル ギ ー 期 待 値EIが,か

のエ ネ

な り正 確 に

(3.427) の 形 に 書 か れ る も の と 仮 定 す る.変 は,さ

形 し たHartree-Fock基

ま ざ ま な 全 角 運 動 量Iの

底 状 態 

状 態 を 含 ん で い る か ら,

と書 く と,

と な る.EIに(3.427)式

を代 入 す る と,

と な り,同 様 に し て

が 得 ら れ る.こ

れ ら の2式

か らE0と1/(2J)を

解 く と,

(3.428a) (3.428b) が 得 られ る.*43(3.428b)式 演 算 子HJ2やJ4は4粒

の 右 辺 を計 算 す れ ば慣 性 モ ー メ ン トが 求 め られ るが, 子 演 算 子 で あ るか ら,実 際 の計 算 はか な り難 し くな

るだ ろ う.ま た 同 様 に し て,(3.426)式

の 展 開 の 高 次 の項,た

とえ ば 

の項 の 展 開係 数 の 表 式 を得 る こ とが で きる が,実 際 の 計 算 は た い へ ん 困難 で あ る と思 わ れ る.

  3.4.7  遷 移領 域 核 と非 調 和 効 果   球形 核 の4重 極 振 動(フ ォ ノ ン)や 変 形 核 の 回 転 運 動 が,原 子 核 にお け る典 型 的 な集 団運 動 で あ る こ と はす で に詳 し く述 べ た.回 転 運 動 の エ ネル ギ ー ・スペ ク *43 T

. H.

R.

Skyrme,

Proc.

Phys.

Soc.

A 70

(1967)

433.

(a)

(b) 図3.41

(a) 102Ruの

励 起 ス ペ ク トル の 実 験 値,

(b) 対 応 す る2+フ

トル はI(I+1)に 特 徴 で あ る.そ る.こ

比 例 し,し

た が っ て 

り,2フ

nuclei)と

ォ ノ ン励 起 の0+,2+,4+状

示 さ れ て い る.こ

  102Ruの

呼 ぶ.一

方,4重

極 振 動(フ

ォ ノ ン)は

ソ ン)の 励 起 に 近 い と 考 え ら れ る の で,  態 や3フ

状 態 が 近 似 的 に 縮 退 す る は ず で あ る.こ 3.41に

と な る こ とが そ の

の よ う な 規 則 に 極 め て よ く一 致 す る 例 は 数 多 く見 出 す こ と が で き

れ ら を 回 転 核(rotational

調 和 振 動 子(ボ

ォ ノン の励 起 スペ ク トル.

とな

ォ ノ ン励 起 の0+,2+,3+,4+,6+

の 性 質 を か な り よ く表 し て い る 例 が 図

の よ う な 原 子 核 を 振 動 核(vibrational

ス ペ ク トル(図3.41)は

振 動 核 の 典 型 と は い え,励

高 く な る に し た が っ て 縮 退 が 解 け て,調

nuclei)と

起 エ ネル ギ ー が

和 振 動 子 の 励 起 の 性 質 か ら ず れ て く る.

こ の よ う な 調 和 振 動 子 か ら の ず れ の 効 果 を 非 調 和 効 果(anharmonic か 非 調 和 性(anharmonicity)と

3.42に

示 さ れ て い る.こ

中 でN=86の15266Dyは 158 66Dyは

回 転"相

ら 回 転 核(変

形 核)へ"相

の 性 質 が 徐 々 に 変 化 し,

転 移"す

の 図 で わ か る よ う に,Dyア

る.そ

が図

位 体)の

ほ と ん ど 完 全 に 振 動 ス ペ ク トル を 示 し,N=92の

閉 殻 核 に 近 い の で,殻

転 移"の

の1例

イ ソ トー プ(同

ほ と ん ど 完 全 に 回 転 ス ペ ク トル を 示 し て い る.(14866Dyは

り,15066Dyは

effect)と

呼 ん で い る.

  原 子 核 を 構 成 す る 中 性 子 や 陽 子 の 数 が 変 わ る と,そ た と え ば 振 動 核(球 形 核)か

呼 ぶ.

別 の 例 が 図3.43に

閉殻核 であ

模 型 的 な ス ペ ク トル を 示 し て い る.)振 示 さ れ て い る.こ

動 ・

の 図 か ら わ か る よ う に,

図3.42 

Nd,Sm,Gdア 転 型 へ"相

66Dy同

位 体 にお け る振 動 ・回 転 相 転 移

イ ソ トー プ に お い て はN=88とN=90の 転 移"す

  こ の よ う な"相

間で 振 動 型 か ら 回

る と 思 わ れ る.

転 移"を

微 視 的 に見

る とど の よ う に 理 解 で きる で あ ろ う か.振

動 核 と 回転 核 の 根 本 的 な 違 い

は,そ

れ ら のHartree-Fockポ

テンシ

ャ ル(平 均 ポ テ ン シ ャ ル)の い に あ る.い

はHartree-Fockポ で あ る が,回 円 体)変

形状の違

う ま で も な く,振 動 核 で テ ンシ ャル は球 形

転 核 で は 通 常4重

形 し て い る.3.4.2で

よ う に,球

極(楕 述べ た

形 のHartree-Fockポ

シ ャ ル が 不 安 定 に な り,エ

テ ン

ネル ギ ー 的

に よ り低 い 安 定 なHartree-Fockポ ン シ ャ ル に"遷

移"す

る の は,球

テ 形の

平 均 ポ テ ン シ ャ ル の も と で のRPAモ あ る.RPAモ

ー ド に 寄 与 す る 相 関(い

臨 界 点 を 越 え る と 安 定 なHartree-Fockポ 3.43の とN=90の

場 合 のNd,Sm,Gdア 間,あ

図3.43 

Nd,Sm,Gdア

イ ソ トープ に おけ る

振 動 ・回 転"相 大 西 直 毅,日

転 移"

本 物 理 学 会 誌,28

(1973)

ー ド の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 が0と ま の 場 合4重

606よ

な る点 で

極 相 関)が 強 く な り,こ

テ ン シ ャ ル は 変 形 す る.た

イ ソ ト ー プ に お い て は,こ

の

と えば 図

の 臨 界 点 がN=88

る い は そ の 近 傍 に 存 在 す る の で あ ろ う.

り.

図3.44 

  Hartree-Fockポ で あ り,さ

球 形 核 か ら変 形 核 へ の 励 起 準 位 の 遷 移 の概 念 図

テ ン シ ャ ル が 変 形 す る と い う こ と は,回

ま ざ ま な 方 向 の 変 形 に 対 し てHartree-Fock基

的 に す べ て 縮 退 す る こ と に な る.こ

れ は あ く ま で1体

転 対 称 性 を破 る こ と 底状 態はエ ネルギー

場 近 似 の 枠 内 の 話 で あ り,

全 ハ ミル ト ニ ア ン は 本 来 回 転 不 変 で あ る か ら,Hartree-Fockポ ら な か っ た 残 留 相 互 作 用 を 考 慮 す れ ば,回 は ず で あ る.こ

復"(restore)さ

れ る

の 回 転 不 変 性 の 回復 に と もな っ て エ ネ ル ギ ーの 縮 退 の 小 さ な分

離 が 起 き る.こ も た ら す.こ

転 不 変 性 は"回

テ ンシ ャル に入

れ が 回 転 核(変

形 核)に

れ に よ っ て,図3.42や

お け る 回 転 の エ ネ ル ギ ー ・ス ペ ク トル を 図3.43に

見 られ る よ う に 回 転 核 の 励 起

エ ネ ル ギ ー が 振 動 核 に 比 べ て 著 し く低 く な る こ と が 理 解 で き る で あ ろ う.

  原 子 核 は た か だか 数100個

の核 子 か らな る有 限多 体 系 で あ る.そ の た め 物 性

論 で 取 り扱 わ れ る無 限多 体 系 で の 理 想 的 な 相転 移 と違 っ て,原 子 核 にお け る"相 転 移"は そ の 遷 移 が 徐 々 に発 生 す る.た

と えば 上 に述 べ た 球 形 ・変 形 相 転 移 が

そ の 例 で あ る.   そ れ で は,こ

の 徐 々 に お きる 球 形 ・変 形 遷 移 の 中 間 領 域 は ど の よ うに考 えれ

ば よい で あ ろ うか.こ

れ らの 中 間領 域 は通 常 遷 移領 域(transitional

呼 ば れ て い る.す べ て の 原 子 核 を 図 に 表 した 核 図表(nuclear

region)と

chart)の

中 に は,

か な り広 い 遷 移 領 域 が 存 在 す る.こ の遷 移 領 域 核 を 球 形 核 の 側 か ら眺 め る と, 非 調 和 効 果 が だ ん だ ん 大 き くな っ て 調 和 振 動 子 的 運 動 か ら 回 転 運 動 へ 規 則 性 を も っ て徐 々 に 移 行 し て い く.図3.44に

示 され る よ う に,振 動 核 の 励 起 スペ ク

トル は 非調 和 性 が だ ん だ ん 大 き くな っ て,回 転 スペ ク トル につ なが って い くと 考 え ら れ,実 際 の 実 験 結 果 は こ の事 実 を示 し て い る.*44   こ の よ う に考 え る と,原 子 核 構 造 論 に と って 遷 移 領 域 核 の 微 視 的研 究 は不 可 欠 で あ り,こ れ に はRPA法

を越 え る理 論 が 必 要 とな るで あ ろ う.有 力 な その1

つが 次 項 で 説 明す る ボ ソ ン写 像 法 で あ る.

  3.4.8  ボ ソ ン 写 像 法   Bohr-Mottelsonの

集 団模 型 に お い て は,原 子 核 の 集 団 運 動 は 平均 ポ テ ンシ ャ

ル の 時 間 的揺 動 で あ る と考 え られ,微 視 的 には(準 粒 子)RPAフ る こ とが わ か って きた.球 形 核 に お け るRPAフ

ォ ノ ンで 表 され

ォノ ン は,近 似 的 に は 調 和振 動

子(ボ ソ ン)の よ うに振 る舞 うが,遷 移 領 域 に お い て は 非調 和 効 果 が 大 き くな り, 次 第 に 回転 的 な励 起 準 位 に 移行 す る と考 え られ る.し た が っ て,非 調 和 効 果 の 微 視 的研 究 は,原 子 核 に お け る"相 転 移"の だ ろ う.そ の 鍵 を解 き明 か す た め,さ

ま ざ まな 試 み が な され て きた が,中

以 下 で 説 明 す る ボ ソ ン写 像 法(boson

mapping

つ で あ る.Belyaev-Zelevinski*45お に よ って,核

メカニ ズ ム を明 らか に す る鍵 で あ る

method)は

でも

最有 力の方 法の一

よびMarumori-Yamamura-Tokunaga*46

構 造 論 にボ ソ ン写 像 法 が は じめ て 導 入 され て 以 来,多

くの 人 た ち

に よっ て,そ の 理 論 構 造 の研 究 や 実 際 の 原 子 核へ の 応 用が 精 力 的 に行 わ れ た.*47   以 下 で は,簡 単 な模 型 を用 い て,ボ

ソ ン写 像 法 の基 本 的 な 考 え方 を 説 明 す る

こ とか らス ター トし よ う.

  (a) SU(2)模

型 と その ボ ソ ン 写 像

  最 も簡単 なボ ソ ン写 像法 の例 を示 す た め,2準

位 殻 模 型 を取

り上 げ よ う.フ ェル ミオ ンのN 粒 子 系 を 考 え る.い

ま図3.45

に示 す よ うに,同 一 の ス ピ ンj を 持 つ2つ *44 M

. Sakai,

*45 S

. T.

の 準 位 か ら 成 る単 Nucl.

Belyaev

and

Phys.

A

V.

G.

104

. Marumori, M. Yamamura *47 ボ ソ ン 写 像 全 般 に 関 し て は (1991)

375が

(1967)

and ,総

型 に お け る2つ

の1粒

子準位

けが 完 全 に 占有 され る.

301. Nucl. A.

合 報 告A.

参 考 に な る だ ろ う.

SU(2)模

フ リー の 基 底状 態 で は,準 位0だ

Zelevinski,

*46 T

63

図3.45 

Phys.

Tokunaga, Klein

39

(1962)

Prog. and

E.

582.

Theor. R.

Marshalek,

Phys.

31 Rev.

(1964)

1009.

Mod.

Phys.

純 な 殻 模 型 を 考 え る.*48エ 位 をi=1と …

す る.し

,j-1,jで

はN=2Ω N個

ネ ル ギ ー の 低 い 準 位 を 準 位 番 号i=0と

た が っ て,上

下2本

の 準 位 は,そ

構 成 さ れ,2Ω=2j+1重 で あ る と す る.粒

の 粒 子 は 準 位i=0を

に 縮 退 し て い る.さ

位i=1は

い準

れ ぞ れm=-j,-j+1,

子 間 に 相 互 作 用 が な け れ ば,基

完 全 に 占 め,準

し,高

ら に系 の粒 子 数 底状 態においては

完 全 に 空 い て い る.こ

れ

を フ リ ー の 基 底 状 態 と 呼 ぶ.

  さ て,  す る.い 孔"演

を準 位i(=0ま

ま 準 位1に

算 子 を 

た は1)に

お け る"粒 子"演 とす る.す

お け る粒 子 の 生 成,消

算 子 を 

と し,準

位0に

滅演 算 子 と お け る"空

なわ ち

(3.429) と す る.フ

リ ー の 基 底 状 態￨0〉 は

(3.430) を み た す こ とは 明 らか で あ るか ら,フ

リー の 基 底 状 態￨0〉 は これ ら粒 子,空 孔

演 算 子 に対 す る"真 空"で あ る.   次 に 準 ス ピ ン 演 算 子(quasi-spin

operators)

S=(Sx,Sy,Sz)を

次 式 で 定 義

す る:*49

(3.431) ただ しnpお

よびnhは,そ

れ ぞ れ 準 位1に

お け る"粒 子"お よび 準 位0に

おけ

る"空 孔"の 個 数 演 算 子

(3.432) で あ る.こ Lie代

数(Lie

れ ら の 準 ス ピ ン 演 算 子 が,2次 algebra),す

元 特 殊 ユ ニ タ リ ー 群(SU(2)群)の

な わ ち角 運 動 量 の 交 換 関係

(3.433) *48  h =1と す る 単 位 を用 い る. *49 こ こ で 定 義 す る 準 ス ピ ン と1

.2.4で 扱 っ た 準 ス ピ ン と は,物

学 的 構 造 は ま っ た く 同 じ で あ る.

理 的 意 味 は 少 し 異 な るが,数

をみ た す こ と は容 易 に 確 か め られ る.   上 述 の 準 ス ピ ン演 算 子S+は で あ り,S-は

合 成 ス ピ ンがJ=0の

粒 子 ・空 孔対 の生 成 演 算 子

消 滅 演 算子 で あ る.粒 子 間 の 相 互 作 用 が 演 算 子S=(Sx,Sy,Sz)

の み で 表 され る よ うな 模 型 で は,系 の 物 理 的 に 意 味 の あ る状 態 は すべ てJ=0 の 粒 子 ・空 孔 対 で 記 述 され る.こ の よ う な模 型 をSU(2)模

型 と呼 ぶ.*50い ま

ハ ミル トニ ア ン を

(3.434) と す る.こ

こ で,ε

は2準

互 作 用 の 強 さ(実 定 数)で の1次

位 間 の エ ネ ル ギ ー 間 隔 で あ り,V1,V2お あ る.こ

の 系 に お い て は,固

結 合 で 表 さ れ る.つ

ル を 求 め る た め に は,ハ

よびV3は

有 状 態 は 

ま り 系 の 正 し い 固 有 値,固

ミル トニ ア ンHFを

相

有ベ ク ト

部分 空間

(3.435) の 中 で 対 角 化 す れ ば よい.￨n〉 は 規 格 直 交 性 

をみ た す.準 ス ピ ン

演 算 子 の 行 列 要 素 は,

(3.436)

と表 さ れ る.こ れ らを 用 い れ ば ハ ミル トニ ア ンHFの

行 列 要 素 は容 易 に 書 き下

す こ とが で きる.  さ て フ ェ ル ミ オ ン 部 分 空 間(3.435)に

対 応 す る イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間

(3.437) を導 入 し よ う.た だ しbは 交 換 関係

(3.438) *50 こ の 模 型 はLipkinら H.

J. Lipkin,

N.

に よ っ て 詳 し く調 べ ら れ た の で Meshkov

and

A.

J. Glick,

Nucl.

,Lipkin模 Phys.

62

型 と も 呼 ば れ て い る. (1965)

188.

を み た す ボ ソ ン 演 算 子 で あ り,￨0)は

ボ ソ ン の 真 空 で あ る.今

ル ミ オ ン の 状 態 ベ ク トル を 表 し,￨…)は す る.容

易 に わ か る よ う に,(3.436)式

(3.437)の

後,￨…〉

は フェ

ボ ソ ンの 状 態 ベ ク トル を表 す こ と に の 行 列 要 素 は,イ

デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間

中で

(3.439)

と表 され る.こ れ は フ ェル ミオ ン演 算 子Sが

ボ ソ ン演 算 子 に

(3.440)

と 変 換(写

像:map)さ

Primakoff型

れ る こ と を 意 味 す る.こ

写 像(Holstein-Primakoff-type

ば し ばHP型(HP-type)と   (3.440)式

mappimg)で

あ る.*51以

後,し

簡 略 表 示 され る.

のHP型

(3.434)は

の 型 の 写 像 がHolstein-

写 像 を 使 え ば,フ

ェ ル ミオ ン 空 間 で の ハ ミル トニ ア ン

ボ ソ ン 空 間 に 写 像 さ れ て,

(3.441) と 書 か れ る.こ

の ハ ミ ル ト ニ ア ン は エ ル ミ ー トで あ り,HP型

ユ ニ タ リ ー 変 換 で あ る こ と が わ か る.(3.440)ま を 展 開 す る と 無 限 級 数 と な る.し HP型

ボ ソ ン 展 開(boson

expansion)と

  フ ェ ル ミ オ ン 部 分 空 間(3.435)か はHP型

た が っ て,こ

に 限 る わ け で は な い.も

た は(3.441)式

Holstein

and

H.

Primakoff,

Phys.

の平方根演算子

の 型 の ボ ソ ン 写 像 は,し

ば しば

呼 ば れ る.

ら イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間(3.437)へ う1つ

の 有 用 なDyson型

*51 磁 性 体 中 の ス ピ ン 波 の ボ ソ ン 表 現 の た め のHolsteinとPrimakoffに T.

写 像(3.440)が

Rev.

58 (1940)

1098.

の写像

写 像(Dyson-type よ る 考 案 に 由 来 す る

.

mapping)*52に れ る.こ

つ い て 述 べ よ う.こ

の 型 の 写 像 に お い て は,フ

〈n￨と ケ ッ ト(ket)ベ ト ルL(n￨と

れ は し ば し ばD型(D-type)と

簡略表示 さ

ェ ル ミ オ ン 部 分 空 間 の ブ ラ(bra)ベ

ク トル

ク ト ル￨n〉 に 対 応 す る イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の ブ ラ ・ベ ク

ケ ッ ト ・ベ ク ト ル￨n)Rを

(3.442) と 定 義 す る.こ

れ ら の ボ ソ ン 基 底 ベ ク トル は 双 規 格 直 交 性(biorthonormality)

L(n￨n')R=δnn'  をみ たす.HP型

とD型

の ボ ソ ン写 像 にお

(3.443)

フ ェル ミオ ン空 間

イデ アル ・ボ ソン空間

け る基 底 ベ ク トル の 対 応 関 係 が 図3.46に 示 され て い る.   い ま 考 え て い るD型 に な る た め に は,フ

写像が 正 しい写像

ェ ル ミ オ ン 演 算 子S=

(a) (Sx,Sy,Sz)の

行 列 要 素(3.436)が,写

像 さ

れ た 演 算 子 の 双 直 交 基 底 ベ ク トル(3.442)

フェル ミオ ン空 間

イ デア ル・ボ ソ ン空 間

に よ る行 列 要 素 に 等 し くな らな け れ ば な ら な い.こ

れ を 実 現 す る に は,演

算 子Sの

写像 を

(b) 図3.46 

(3.444)

フ ェ ル ミオ ン 空 間 と イデ ア ル ・ ボ ソ ン空 間 の 基 底 ベ ク トル の 対 応関係

(a) HP型

と す れ ば よ い.こ

ボ ソン 写像.(b)  D型

ボ ソ ン写像.

れ に よ っ て フ ェ ル ミ オ ン 空 間 と イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に お け

る 行 列 表 示 が 等 し く な り,

(3.445)

*52 F

. J. Dyson,

Phys.

Rev.

102

(1956)

1217,

1230.

と な る.D型

ボ ソ ン 写 像(3.444)を

ニ ア ン(3 .434)は

用 い れ ば,フ

ボ ソ ン 空 間 に 写 像 さ れ て,D型

ェ ル ミオ ン 空 間 で の ハ ミル ト ボ ソ ン ・ハ ミ ル トニ ア ン

(3.446) が 得 ら れ る.

  D型 ボ ソ ン ・ハ ミル トニ ア ン(3.446)は,(3.441)式 簡単 で あ る.HP型

の 場 合 は(3.440)や(3.441)式

を展 開 す る と無 限級 数 とな るが,D型

のHP型

に比 べ てず っ と

に平 方 根 演 算 子 が 現 れ,そ れ

に お い て は(3.444)や(3.446)式

に有 限次 の 多 項 式 で あ るか らで あ る.い ま考 え て い るSU(2)模

は厳密

型 の よ うな簡 単

な模 型 に お い て は,平 方 根 演 算 子 の 中 に現 れ る の は 単 な るボ ソ ン の 個 数 演 算 子 b†bだ けで あ るか ら,平 方 根 演 算 子 を わ ざ わ ざ 展 開 す る必 要 は な く,そ の ま ま 厳 密 に扱 う こ とが 可 能 で あ り,し た が って,有 限 級 数 に な るD型 べ て 特 別 な 優位 性 は な い.し か し後 で 述 べ る よ うに,一 般 のHP型

がHP型

に比

の場 合 には,

平 方 根 演 算 子 を直 接 扱 う こ と は で きず,級 数 展 開せ ざ る を得 な い.こ の 点 にD 型 写 像 法 の 決 定 的優 位 性 が あ る.   と こ ろ がD型

写 像 法 の 不 利 な 点 も あ る.た

と え ば,も

と も と の フ ェ ル ミオ

ン の 準 ス ピ ン 演 算 子 は エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ り,(S-)†=S+を 確 か にHP型

写 像(3.440)で

保 た れ て い る が,D型

は((S-)HP)†=(S+)HPと

写 像(3.444)で

ト性 は 保 存 さ れ な い.つ

は ユ ニ タ リ ー 変 換 で は な い.そ ミ ー トで あ る が,D型

ボ ソ ン.ハ

な り,エ ル ミ ー ト性 は

は 

ま りHP型

み た し て い た.

と な っ て エ ル ミー

写 像 は ユ ニ タ リ ー 変 換 で あ る が,D型

の 結 果,HP型

ボ ソ ン ・ハ ミ ル トニ ア ン は エ ル

ミル ト ニ ア ン は エ ル ミ ー トで は な い.こ

た い へ ん 不 利 な 点 で あ る と 思 わ れ る.し

写像

か し,後

で 述 べ る よ う に,こ

れ は

の困難 は

避 け る こ と が で き る.   さ て,上

述 のHP型

お け る"物

理"を

お よ びD型

う ア イデ ア に 基 づ い て い る.い ル ミ オ ン 空 間(3.435)の 元 数 はN+1で

ボ ソ ン 写 像 と もに,フ

イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 写 像 し て,よ

あ る.と

ソ ン の 数 に 制 限 は な い.し

ま扱 っ て い るSU(2)模

粒 子 数(=空

孔 数)はNで

ェ ル ミオ ン 部 分 空 間 に り容 易 に 取 り扱 お う と い 型 に お い て は,元

あ り,し

の フェ

たが って 空 間 の 次

こ ろ が イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間(3.437)に

お い て は,ボ

た が っ て イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の 次 元 数 は 無 限 大 で

あ る.す

な わ ち,イ デ ア ル ・ボ ソ ン空 間の 中 に は 元 の フ ェ ル ミオ ン 空 間の 基 底

ベ ク トル に 対 応 し な い状 態 が 無 数 に 含 まれ て い る こ と を 意 味 す る.つ ン空 間(3.437)に

お い て,n>Nの

ま りボ ソ

状 態 は 元 の フ ェル ミオ ン空 間(3.435)に

対

応 物 が な い.こ の よ うに,元 の フ ェル ミオ ン 空 間 に対 応物 が な い よ う なボ ソ ン の状 態 を非 物 理 的 状 態(unphysical

states)と 呼ぶ.一 般 にボ ソ ン写像 に お い て

は,元 に な る フ ェル ミオ ン空 間 よ りボ ソ ン空 間の 方 が は るか に大 きい.し たが っ て ボ ソ ン空 間 は必 ず 非 物 理 的 状 態 を 含 み,こ れ が 真 に 意 味 の あ る物 理 的状 態 に 混 じ る こ とに よ って 悪 い 影 響 を もた らす 可 能 性 が あ る.本 項 で 扱 ったSU(2)模 型 の よ うな 簡 単 な場 合 に は,非 物 理 的状 態 を取 り除 くた め には 単 にボ ソ ン 数 を と制 限す れ ば よい.し

か し,一 般 に は もっ と複 雑 な検 討 が 必 要 に な る.

こ の点 に つ い て は 後 で 再 び 議 論 す る で あ ろ う.

 (b) 全 殻 模 型 空 間 に 対 す るボ ソ ン 写像  偶 数 粒 子 系 の 全 殻 模 型 空 間(フ ェ ル ミオ ン空 間)か ら イデ ア ル ・ボ ソ ン空 間へ の 写 像 を考 え よ う.詳 し くは付 録Cを

参 照 され た い.系 の 状 態 ベ ク トル は,

(3.447) と 表 さ れ る.偶

数 粒 子 系 の 全 殻 模 型 空 間 は,す

れ る フ ェ ル ミ オ ン 空 間{￨m〉}で

あ る.一

方,イ

べ て の 可 能 な￨m〉

に よっ て張 ら

デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間{￨n)}は

(3.448) に よ っ て 張 られ る.ボ

ソ ン演 算 子 

は,交 換 関 係

(3.449) を み た す も の と す る.

  イデ アル ・ボ ソ ン空 間{￨n)}の

中で,物

理 的 に意 味 の あ る状 態￨m)は,フ

ェ

ル ミオ ンの 状 態￨m〉 に対 応 して い な けれ ば な らな い の で,反 対 称 化 され た ボ ソ ン の状 態 ベ ク トル

(3.450) で 与 え られ る((C.4)式 る部 分 空 間{￨m)}と

参 照).こ れ らの 反 対 称 化 され た 状 態 ベ ク トル で 張 られ

フ ェ ル ミオ ン空 間{￨m〉}と

の 間 に は 完 全 に1対1対

応が

あ り,し

た が っ て イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の 中 の 部 分 空 間{￨m)}は

間(physical

subspace)と

呼 ば れ,そ

subspace)と

呼 ば れ る.ま

た イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の 中 で,物

の 射 影 演 算 子Pは(C.10)式   全 殻 模 型 空 間(フ

はDyson

(D)型

  HP型

れ 以 外 は 非 物 理 的 部 分 空 間(unphysical 理 的 部 分 空 間へ

で 定 義 さ れ る.

ェ ル ミ オ ン 空 間)か

法 が 有 力 で あ る.1つ

物理的部分空

ら イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 へ の2つ

はHolstein-Primakoff

(HP)型

ボ ソ ン 写 像,も

の写像 う1つ

ボ ソ ン 写 像 で あ る.

に お い て は,フ

ェル ミオ ン対 演 算 子 は

(3.451a) (3.451b) (3.451c) と 変 換 さ れ る.他

方,D型

に お い て は,

(3.452a) (3.452b) (3.452c) と な る.た

だ し 演 算 子A†,A,B†,ρ

は

(3.453) で 定 義 され る.   フ ェ ル ミ オ ン ・ハ ミ ル トニ ア ン をHと トニ ア ン を そ れ ぞ れHHPお

よ びHDと

に フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子a†,aの4次

し,HP型 す る.相

れ る.そ

互 作 用 ハ ミ ル トニ ア ン の よ う

れ ぞ れ を 上 記 の(3.451)ま

の ボ ソ ン 写 像 で 置 き 換 え る こ と に よ っ て,全 の 上 で,(C.15a)式

ボ ソ ン ・ハ ミル

形 式 で 書 か れ て い る よ う な 演 算 子 は,2つ

の フ ェ ル ミ オ ン の 対 演 算 子 の 積 で あ る か ら,そ (3.452)式

お よ びD型

たは

体 の ボ ソ ン写 像 が 得 ら

を 用 い れ ば,

(3.454)

の 形 に 書 く こ とが で き る.た

だ し,HHPはA†,A,ρ

な い.ま

の 積 で 書 か れ,Pを

た,HDはB†,b,ρ

か る よ う に,演

算 子A†,Aは

た が っ て,HHPは

含 ま

含 ま な い.(3.453)式

か らわ

を 含 む の で,こ

れ を級数

平 方根演算 子  

展 開 す る と 無 限 級 数 に な る.し HDは

の 積 で 書 か れ,Pを

無 限 級 数 と な る.と

こ ろ が,

有 限 級 数(多 項 式)で あ る.

  HP型

ボ ソ ン ・ハ ミル ト ニ ア ンHHPに

対 す るSchrodinger方

程式 を

(3.455) と す る.(C.34)式

を使 え ば

(3.456) が 得 られ る.し にPを   D型

た が っ て,系

作 用 させ,0で

の 固 有 状 態 を 得 る た め に は,HHPの

な いP￨Ψ

固 有 状 態￨Ψ λ)

λ)を 求 め れ ば よ い.*53

に つ い て も 同 様 で あ る.

  以 上 の 結 果 か ら,系 の 固 有 状 態 を 求 め る に はHHPま ル を求 め れ ば よい こ と に な るが,上 り扱 い が 困 難 で あ る の に 対 し,HDは C.5の 説 明 の 通 り,D型

た はHDの

述 の よ うに,HHPは

固有 ベ ク ト

無 限 級 数 で あ り,取

有 限 級 数 で 問題 は な い,し か も付 録Cの

ボ ソ ン写 像 にお け る左 右 の 固有 値 問 題 をHP型

値 問 題 に転 換 す る こ と もで きる の で,HP型

に比 べ てD型

の固有

ボ ソ ン写 像 法 が 圧 倒

的 に有 利 とな る.

 (c) 集 団 的 部 分 空 間 に対 す るボ ソ ン 写像   前 項 で 述べ た よ うに,全 殻 模 型 空 間 に 対 す るボ ソ ン写 像 法 と し て は,理 論 的 に は確 か にD型

写 像が 有 利 で あ る け れ ど も,そ の ま まで は 実 際 的 に は ほ とん ど

実 用価 値が な い と い え る.な ぜ な らば,こ れ ら の ボ ソ ン写 像 は全 殻 模 型 空 間 を 忠 実 に イデ アル ・ボ ソ ン空 間 に写 像 し た もの で あ る か ら,ボ ソ ン空 間 で 取 り扱 い 可 能 な 問 題 は,当

然 も との フ ェ ル ミオ ン空 間 で 取 り扱 い 可 能 だ か らで あ る.ボ

ソ ン写 像 が 実 際 的 に 意 味 を 持 つ の は,全 殻 模 型 空 間 を写 像 す るの で は な く,目 標 と して い る集 団 運 動 の 自由 度 の 記 述 に必 要 な 全 殻 模 型 空 間 内 の 集 団 的 フ ェル *53  射 影 演 算 子Pは

ボ ソ ン の 無 限 級 数 で 表 さ れ る の で ,￨Ψ λ)にPを

な い よ う に 思 わ れ る が,こ C35

(1987)

807.

れ に は う ま い 方 法 が 提 案 さ れ て い る:P.

作 用 させ るの は 容 易で S. Park,

Phys.

Rev.

ミ オ ン 部 分 空 間(collective

fermion

subspace:以

下CFSと

略)を

写像す る場

合 で あ る だ ろ う.   前 述 し たSU(2)模 にCFSを

型 の 場 合 のCFSは,部

ど の よ う に と れ ば よ い か は,考

関 わ る 問 題 で あ る が,当

面 はCFSは

分 空 間(3.435)で

あ っ た.一

般 的

え て い る多 体 系 の 集 団 運 動 の 本 質 に

与 え られ て い る も の と し よ う.た

と え ば,

4重 極 フ ォ ノ ン の 非 調 和 効 果 を 記 述 す る 空 間 と し て 最 も普 通 に 考 え ら れ るCFS, す な わ ち 単 純 な 多 フ ォ ノ ン 空 間(multi-phonon

space)

(3.457) を 考 え よ う.Nは ノ ン 演 算 子 

フ ォ ノ ン の 最 大 数 で あ り,適 当 に 選 ぶ も の とす る.4重 は3.4.5で

述 べ た 準 粒 子Tamm-Dancoff近

が 最 低 で 最 も 集 団 性 の 強 い4重

極 フォ

似 で の エ ネ ルギ ー

極 フ ォ ノ ン ・モ ー ド が よ い だ ろ う.す

な わ ち,

(3.458) で あ る.こ の多 フ ォ ノ ン空 間が,集

団 的 部 分 空 間 と し て 十分 意 味 を持 つ とい う

こ とは,厳 密 解 が 求 まる 簡 単 なモ デ ル を用 い た分 析 で 確 か め られ て い る.   CFS

(3.457)に

以 下CBSと

対 応 す る 集 団 的 ボ ソ ン 部 分 空 間(collective

boson

subspace:

略)は

(3.459) で あ る 

は4重

極 ボ ソ ン の 生 成 演 算 子 で,交 換 関係

(3.460) を み た す も の と す る.

  CFS

(3.457)か らCBS

間 にお け る完 全 に1対1対

(3.459)へ の 正 確 な 写 像 を定 義 す るた め に,双 方 の空 応 す る基 底 ベ ク トル を 導 入 し よ う.ま ず,CFSに

い て,行 列 要 素 が  化 す る よ うな 表 示 を と る.Nに

で あ る よ うな ノ ル ム行 列Nを

お

考 え,こ れ を対 角

対 す る固 有 値 方程 式 を

(3.461)

集 団 的 フ ェル ミオ ン 部分空間

集団的ボソン 部分空間

(CFS) 図3.47 

(CBS)

集 団 的 フ ェ ル ミオ ン部 分 空 間(CFS)と

とす れ ば,固 有 値 が  をa=a0で

集 団 的 ボ ソ ン部 分 空 間(CBS)と

で あ る こ と は容 易 に わ か る.特 にna=0の

表 す.固 有 解 の規 格 直 交 性 を  

有 解 を 使 っ て,ベ

の対応

固有 解

とす る.こ れ らの 固

ク トル

(3.462)  を 作 る と,こ

れ ら は 規 格 直 交 系 を 作 る.す

式 の ベ ク トル は 

な わ ち 

で あ る.(3.462)

に 対 し て の み 定 義 さ れ て い る.a=a0に

対 して は,

 

が0ベ

がCFSの

基 底 ベ ク トル とな る こ とが わ か っ た.こ れ に 対 応 す るCBSの

ク トル に な る こ と に注 意 す べ きで あ る.こ の よ うに して{￨a》} 基底ベ

ク トル は

(3.463) で あ る.も

ち ろ ん,こ

れ ら は 規 格 直 交 性 

  こ こ で 注 目 す べ き は,CFSの CBSの

(3.457)よ

含 む こ とで あ る.こ

り広 い こ と を 意 味 す る(図3.47参

物 理 的 部 分 空 間 はCFSに1対1に の 非 物 理 的 部 分 を 取 り 除 い て,  CBSに

基 底 ベ ク トル が 

基 底 ベ ク トル{￨a))}がa=a0を

の 方 がCFS

を み た す. で あ る の に 対 し, れ はCBS 照).CBSに

(3.459) おけ る

対 応 し て い な け れ ば な ら な い の で,a=a0 で な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,

お け る 物 理 的 部 分 空 間 へ の 射 影 演 算 子Pは

(3.464)

で あ る.CFSか

らCBSへ

のHP型

写 像 演 算 子Uは

(3.465) と定 義 され る.他 方,D型

写像 は

(3.466) で 与 え ら れ る.付 トル を,U†2は

録CのC.3と

フ ェ ル ミオ ン 空 間 の ケ ッ ト ・ベ ク

ブ ラ ・ベ ク トル を ボ ソ ン 空 間 に 変 換 す る.U†U=1,UU†=P

で あ る か ら,HP型 D型

同 様 に,U1は

写 像 は エ ル ミー ト型 で あ る.他

方,U1≠U2で

あ る か ら,

写 像 は 非 エ ル ミー ト型 で あ る.

  CFSに

お け る 任 意 の フ ェ ル ミオ ン 演 算 子OFは,こ

てCBS内

の ボ ソ ン 演 算 子OHPま

れ ら2種

類の写像 によっ

た はODに

(3.467a) (3.467b) と 変 換 さ れ る.

 (d)  Dyson型

ボ ソ ン写 像 法 の 応 用

  上 述 の(3.467a)お

よ び(3.467b)式

に よ っ て,HP型

像 が 形 式 的 に は 完 成 し た こ と に な る.し OHPま

た はODの

要 素 

か らわ か る よ う に,行

の 具 体 的 表 式 を 求 め な け れ ば な ら な い.こ

こ ろ が,こ

の ボ ソ ン写

際 に写 像 され た ボ ソ ン演 算 子

具 体 形 を 得 る た め に は,(3.467)式

空 間 の 行 列 要 素 で あ る か ら,正 る.と

か し,実

お よ びD型

列

れ は元 の フ ェ ル ミオ ン

確 に 計 算 す る こ と は 一 般 的 に は 困 難 な こ とで あ

こ で は 集 団 的 部 分 空 間 に 対 す る ボ ソ ン 写 像 を 考 え て い る か ら,

も と も との フ ェ ル ミオ ン 空 間 を 集 団 的 部 分 空 間 で 近 似 す る こ と が 意 味 を 持 つ と い う前 提 に 立 っ て い る.し

た が っ て,こ

的 取 り扱 い が 許 さ れ る で あ ろ う.そ approximation)あ *54 K K.

. Takada, Takada,

の 前 提 に ふ さ わ し い と思 わ れ る 適 当 な 近 似 こ で フ ォ ノ ン 切 断 近 似(phonon-truncation

る い は 閉 じ た 代 数 近 似(closed-algebra Nucl. T.

Phys.

Tamura

A439 and

(1985) S.

Tazaki,

approximation)*54

489. Phys.

Rev.

C31

(1985)

1948.

と呼 ば れ る近 似 法 を用 い る こ とに す る.こ れ は(3.458)式 ン演 算 子X2M,X†2Mお

よ び そ の 交 換 子 

で 定 義 され る フ ォ ノ

が"閉 じ た代 数"を 形 成

す る よ うに 自 由度 を 強 制 的 に制 限す る とい う近 似 で あ る.す

なわ ち,交 換 関 係

(3.468) を仮 定 す る の で あ る.こ

こで 係 数CLは

(3.469)

で あ る.(3.468)式 が 現 れ るが,そ

の左 辺 の 交 換子 を忠 実 に計 算 す る と,X2Mに

比 例 しな い 項

れ ら を すべ て 無 視 す る のが フ ォ ノ ン切 断 近 似(あ る い は 閉 じた

代 数近 似)で あ る.こ の 近 似 を仮 定 す る と,行 列 要 素 

を

(3.470) の 形 に 書 く こ とが で き る.こ ノ ル ム の 固 有 値nbが

れ を(3.467b)式

に 代 入 し,(3.461)式

を 用 い る と,

消 去 さ れ て,

(3.471) と な る.つ

ま り,D型

変 換 に お い て は,元 の フ ェ ル ミオ ン空 間 に お け る ノル ム

の情 報 は,変 換 後 のボ ソ ン 演算 子 に お い て は 完 全 に 消 去 され て い る.他 方,HP 型 変換 に お い て は そ の よ うな消 去 は起 こ らな い.こ の 点 がHP型

とD型

の写像

法 に お け る最 大 の 相 違 点 で あ る.   (3.470)式 のfikは,具

体 的 なOFの

各 々の 場 合 に つ い て 計 算 し な けれ ば な ら

な いが,こ れ は難 し い こ とで は な く,一 般 にあ る簡 単 なボ ソ ン演 算 子(OF)Dの ボ ソ ン空 間 に お け る行 列 要 素 の 形 で 表 され る.す な わ ち 

で

あ る.し た が っ て,変 換 後 の ボ ソ ン演 算 子ODは

(3.472)

と 書 くこ と が で き る.Pは ン 演 算 子(OF)Dは

物 理 的 部 分 空 間 へ の 射 影 演 算 子(3.464)で

フ ェ ル ミオ ン 演 算 子OFのDysonイ

あ る.ボ

メ ー ジ(Dyson

ソ

image)

と 呼 ば れ る.   1例

と し て,4重

極 フ ォ ノ ン 演 算 子 のDysonイ

メー ジ は

(3.473a) (3.473b) と な る.注

目 す べ き は,こ

れ ら の 式 か ら わ か る よ う に,Dysonイ

に ボ ソ ン 演 算 子 の 有 限 級 数 で 表 さ れ る こ と で あ る.な で あ る か ら,D型   一 方,HP型

メー ジ は 一 般

お, 

写 像 が ユ ニ タ リ ー 型 で な い こ と が 明 ら か で あ る. の 場 合 に も,変

換後の演算子 は

(3.474) と 表 され る が,(3.467a)式 で,一

に お け る ノ ル ム の 固 有 値na,nbが

般 にHolstein-Primakoffイ

メ ー ジ(OF)HPは

消 去 され な い の

ボ ソ ン演 算 子 の 無 限 級 数

と な る.   こ こ で は 簡 単 の た め,た

だ1種

ミ オ ン 部 分 空 間(CFS)を

考 え て き た が,4重

ノ ン(対 振 動)な り,そ

類 の4重

極 フ ォ ノ ンで 構 築 さ れ る 集 団 的 フ ェ ル 極 フ ォ ノ ン の み な ら ず,単

ど を含 む多 種 類 の フ ォ ノ ンの 場 合 に拡 張 す る こ と も容 易 で あ

の 場 合 のDysonイ

メ ー ジ を 具 体 的 に 書 き 下 す こ と も可 能 で あ る.*55ボ

ソ ン 写 像 法 を 実 際 の 原 子 核 の 集 団 運 動 の 分 析 に 応 用 す る 場 合,多 位(1粒

子 状 態)が

の 多 数 の1粒

と ら れ る の が 一 般 的 で,集

の ノ ル ム 行 列Nの

数 の1粒

団 的 フ ォ ノ ン演 算 子X†

子 状 態 が よ く混 じ っ た 演 算 子 で あ る.し

の フ ォ ノ ン の 場 合 で も,多 り,そ

極 フ ォ

た が っ て,た

子準

は これ ら とえ 多 種 類

フ ォノ ン空 間の フ ォ ノ ン数 を極 端 に大 き くし な い 限 固 有 値naが0に

方 程 式(3.461)がa=a0の

な る こ と は な い.す

解 を 持 つ こ と は な く,現

な わ ち,固

有値

実 的 な 原 子 核 に お い て は,

常に

(3.475) で あ る と 考 え て よ い. *55 最 も 一 般 的 な 表 式 はK れ て い る.

. Takada,

Prog.

Theor.

Phys.

Suppl.

141

(2001)

179に

与 え ら

(b)計 算 値

(a)実 験 値 図3.48 

Geア

イ ソ トー プ の 低 い 励 起 状 態 の エ ネル ギ ー 準 位 の(a)実

と(b)Dyson型 説 明 が な か な か 困 難 な 励 起0+状 Nucl.

Phys.

448

(1986)

  上 述 の よ う に,フ Dysonイ

態 を 割 合 う ま く 再 現 し て い る.K.

Takada

and

S. Tazaki,

56.

ォ ノ ン演 算 子 の み な らず す べ て の フ ェル ミオ ン対 演 算 子 の

メ ー ジ を 具 体 的 に 書 き下 す こ とが で き る の で,*55そ

ミ オ ン ・ハ ミ ル ト ニ ア ンHFに HDが

験 値,

ボ ソ ン写 像 法 に よる 計 算 値

代 入 す れ ばDyson型

の結 果 を フ ェル

ボ ソ ン ・ハ ミ ル トニ ア ン

得 ら れ,

(3.476) の 形 に 表 さ れ,HFのDysonイ のDysonイ

メ ー ジ(HF)Dは

メ ー ジ(HF)Dは

非 エ ル ミ ー ト で あ る が,付

説 明 し た 方 法 を 用 い て,非 に 転 換 し て 解 け ば,エ

ボ ソ ン の 有 限 級 数 と な る.こ 録CのC.5に

おいて

エ ル ミ ー ト固 有 値 方 程 式 を エ ル ミ ー ト固 有 値 方 程 式

ネ ル ギ ー 固 有 値 お よ び 固 有 ベ ク トル が 求 め ら れ る.*56

  こ の よ う に し て,Dyson型

ボ ソ ン 写 像 法 が 現 実 の 原 子 核 の 分 析 に応 用 可 能 と

な っ た.そ

図3.49に

の 例 が 図3.48と

る 集 団 的 フ ェ ル ミオ ン 部 分 空 間(CFS)と 極 フ ォ ノ ン(対 振 動 モ ー ド)に

*56 付 録CのC

.5で 解 説 し たD型

く ま で 近 似 で あ る.し Sato,

数 種 類 の4重

と も,元

にな

極 フ ォ ノ ンと単

の 例 か ら 見 て も,多

フ ォ ノ ン部 分 空 間 に対 す

ボ ソ ン 写 像 法 が 遷 移 領 域 核 の 分 析 に 有 用 で あ る こ とが わ か る.

方 程 式 へ 転 換 す る 方 法 は,集

M.

し て,複

の2例

よ っ て 構 築 さ れ る 多 フ ォ ノ ン 部 分 空 間 をDyson

型 ボ ソ ン 写 像 し た も の で あ る.こ るDyson型

示 さ れ て い る.こ

Y. R.

の 非 エ ル ミ ー ト固 有 値 方 程 式 をHP型

の エ ル ミ ー ト固 有 値

団 的 部 分 空 間 に 対 す る 写 像 の 場 合 は 厳 密 に は 成 り立 たず,あ

か し そ れ が 極 め て 良 い 近 似 で あ る こ と が 確 か め られ て い る.

Shimizu

and

K.

Takada,

Prog.

Theor.

Phys.

102 (1999)

287.

(a)実験 値 図3.49  い わ ゆ る2フ

(b)計算 値

114Cdの 低 励 起 エ ネ ル ギ ー準 位 の(a)実 ン写 像 法 に よる計 算値 ォ ノ ン 状 態 の 付 近 の 余 分 な0+状

態 が,4重

験 値,と(b)Dyson型

極 フ ォ ノ ン と と もに 対 振 動 フ ォ ノ

ン ・モ ー ド を 取 り 入 れ る こ と に よ っ て は じ め て 再 現 で き た.M. Theor.

Phys.

  他 方,HP型 Tamura,

100

(1998)

581よ

ボソ

Sato

and

K.

Takada,

Prog.

り.

ボ ソ ン 写 像 法 を 現 実 の 原 子 核 の 分 析 に 応 用 し た 例 はKishimoto,

Sakamotoに

よ っ て な さ れ た.*57HP型

の 場 合 は,複

数種類の フォノ

ン を と る こ と が た い へ ん 困 難 で あ る.

 (e) ま と め  上 述 し たボ ソ ン写 像 法 の 要 点 を ま とめ て お こ う: (1) 有 力 な2種 類 の ボ ソ ン写 像 法 の うち,Holstein-Primakoff

(HP)型

は変換

が ユ ニ タ リー型 で あ り,変 換 後 の ボ ソ ン ・ハ ミル トニ ア ン は エ ル ミー トで あ るが,無

限級 数 展 開 と な る.Dyson(D)型

は 変換 が 非 ユ ニ タ リー型 で,変

換 後 の ボ ソ ン ・ハ ミル トニ ア ンは エ ル ミー トで は な いが,有 (2) ボ ソ ン 写 像 法 を 実 際 の 問 題 に適 用 す る に は,フ 部 分 空 間 を写 像 す るの が 実 際 的で あ るが,多 す る場 合,HP型

限級 数 とな る.

ェ ル ミオ ン 空 間 内 の 集 団 的

種 類 の フ ォノ ン 自由 度 を考 慮

は 変 換 後 の ボ ソ ン演 算 子 が 無 限 級 数 展 開 と な る の で 困 難

で あ る.他 方,D型

で は この 困難 は 起 こ ら な い.

(3) D型 ボ ソ ン写 像 に お け る 非 エ ル ミー トの 固 有 値 方 程 式 は,(厳 密 に,あ るい は 極 め て 良 い 近 似 で)HP型 *57 T H.

. Kishimoto Sakamoto

and and

T. T.

Tamura, Kishimoto,

の エ ル ミー ト固 有 値 方 程 式 に 転 換 可 能 で あ る. Nucl. Nucl.

Phys. Phys.

A270 A486

(1976) (1988)

317. 1; A528

(1991)

73.

  以 上 の 結 果 を 総 合 す る と,Dyson型

ボ ソ ン写 像 法 が 圧 倒 的 に有 利 で あ り,実

際 の 原 子 核 の 集 団 運 動 の微 視 的研 究 に 十 分 応 用 可 能 で あ る.   上 述 の ボ ソ ン写 像 法 は,す べ て偶 数粒 子 系 に 関 す る もので あ った.も

し これ

が 奇 数 粒 子 系 な ら,イ デ ア ル ・ボ ソ ン空 間 に写 像 で きな い余 分 の1粒 子 が 残 る. この 場 合 に は,ボ

ソ ン とは ま っ た く独 立 で 交 換 可 能 な1個

の イデ ア ル ・フェ ル

ミオ ン を付 加 し た イデ ア ル ・ボ ソ ン ・フ ェ ル ミオ ン空 間 に す れ ば よい こ とが わ か っ て い る.*58そ の場 合 で も,や は りDyson型

写 像 法 が 優 れ て い る.そ の 説

明 は紙 数 の 関 係 で 割 愛 す る.

  3.4.9 

相互作 用す るボソン模型

  前 項3.4.8に て,原

お い て 述 べ た ボ ソ ン 写 像 法 と は ま っ た く異 な っ た 考 え 方 に 立 っ

子 核 の 集 団 運 動 を 取 り扱 うボ ソ ン模 型 がArimaとIachelloに

唱 され た.*59相

互 作 用 す る ボ ソ ン 模 型(interacting

で あ る.IBMは

そ の 提 唱 以 来,そ

論 争 の 渦 に 巻 き 込 み,燎

boson

れ に 賛 成 す る 者,疑

よ って 提

model),略

称IBM

問 視 す る 者 を,と

もに

原 の 火 の 如 く原 子 核 物 理 の 世 界 を 席 巻 し,理

論 ・実 験

を 問 わ ず こ の モ デ ル に 関 す る お び た だ し い 数 の 論 文 が 出 版 さ れ た.そ

れ ら は極

め て 多 岐 に わ た り,こ

こ で す べ て を 説 明 す る こ と は で き な い.こ

こで はIBMの

最 も 基 本 的 な 事 項 の み を 述 べ る こ と に す る.

 (a) IBMの

構 成 要 素 とハ ミル トニ ア ン

  IBMの

構 成 要 素 はsボ

lπ=0+の

ボ ソ ン で,そ

の ボ ソ ン で,そ

ソ ン とdボ

ソ ン で あ る.sボ

の 生 成 ・消 滅 演 算 子 をs†,sで

の 演 算 子 をd†μ,dμ で 表 す.添

数=-2,-1,0,1,2)で

ソ ン は ス ピ ン ・パ リ テ ィが

あ る.こ

表 す.dボ

ソ ン はlπ=2+

字 μ は ス ピ ン のz成

れ ら の 演 算 子 は,交

分(磁

換 関係

(3.477)

(その 他 の 交 換 子)=0  をみ た す もの とす る.IBMに

お い て は,す べ て の物 理 量 は これ らのsボ

dボ ソ ンで 構 成 され る もの と し,次 の2項 *58 T K. *59 A A.

. Tamura, Takada

Phys. and

K.

Rev. Yamada,

C28

(1983) Nucl.

. Arima

and

F.

Iachello,

Phys.

Arima

and

F.

Iachello,

Ann.

気 量子

ソンと

を基 本 的 な 仮 定 とす る:

2480. Phys. Rev.

Phys.

A462 Lett. 99

(1987) 35

(1975)

(1976)

253;

561. 1069. 111

(1978)

201;

123

(1979)

468.

(1) 1つ の 系(原 子 核)の

ボ ソ ン 数(sボ

ソ ン とdボ

ソ ン の 個 数 の 和)は

一定で

あ る. (2) 系 の ハ ミ ル トニ ア ン はs,dボ

ソ ン の1粒

子 エ ネ ル ギ ー と,ボ

ソ ン 間 の2体

相 互 作 用 を 含 む 回 転 不 変 な エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ る.  ボ ソ ン の 個 数 演 算 子 を

(3.478) とす る.ボ

ソ ン 数 が 良 い 量 子 数 で あ る こ とや,回

転 不 変 性 な ど を 考 慮 す る と,

最 も一 般 的 な形 の ハ ミル トニ ア ン は

(3.479) で あ る.た

だ し,∈ はsボ

で あ る.ま

た, 

ソ ン とdボ

ソ ン の1粒

子 エ ネ ル ギ ー の 間 隔 

で あ り,[…]LMは

を 意 味 す る.IBMに

お け る4重

角 運 動 量(LM)へ

の合 成

極演 算子は

(3.480) で 定 義 され る.し y,wの6通

た が っ て,IBMに

り とxと

 (b) IBMの

含 まれ る 基 本 的 パ ラ メ ー タ ー は ∈,c0,c2,c4,

で あ る.

対称性

 1群 の 演 算 子{Xa}が

交換 関係

(3.481) を み た す と き,{Xa}はLie代

数 を 作 る と い う.い

ま,{Xa}と

して 演 算 子

(3.482) を と る.た

だ し,ボ

ソ ン 演 算 子b†lはsボ

ン(l=2,m=-2,-1,0,1,2の5種

類)を

ソ ン(l=m=0の1種

類)とdボ

ま と め て 表 し た も の で あ る.こ

ソ れ ら

6×6=36個 き,演

の 演 算 子 は6次

算 子(3.482)は

元 ユ ニ タ リ ー 群U(6)のLie代

群U(6)の

生 成 子(generators)と

数 を 作 る.こ 呼 ば れ る.

  あ る 群 の す べ て の 生 成 子 と 交 換 可 能 な 演 算 子 をCasimir演 erator)と

呼 ぶ.た

で あ る が,全 Casimir演

と え ば,回

転 群O(3)の

べ て と 交 換 す る か らL2は

た が っ て,系

子 と 交 換 可 能 で あ る な ら ば,そ

算 子(Casimir

op

生 成 子 は 角 運 動 量 の 演 算 子Lx,Ly,Lz

角 運 動 量L2はLx,Ly,Lzす 算 子 で あ る.し

の と

回転群の

の ハ ミ ル トニ ア ンが あ るCasimir演

のCasimir演

算

算 子 の 固有 値 は系 の 良 い 量 子 数 で

あ る.   群U(6)は

部 分 群U(5)を

含 む.さ

O(3)はO(2)を

含 む.こ

⊃O(3)⊃O(2)と

書 か れ る.系

連 鎖 のCasimir演 ら のGasimir演   IBMの

ら にU(5)はO(5)を,O(5)はO(3)を,

れ ら の 部 分 群 の 連 鎖(chain)はU(6)⊃U(5)⊃O(5)

算 子 の1次

の ハ ミ ル トニ ア ンHが,こ 結 合 で 書 か れ て い る な ら ば,系

の 固 有 状 態 は これ

算 子 の 固 有 値 で 分 類 ・指 定 さ れ る.

一般 的 な ハ ミル トニ ア ン(3.479)は

が っ て,い

の ような部分群 の

ま 考 え る べ きU(6)の

け れ ば な ら な い.U(6)の

回 転 不 変 性 を 仮 定 し て い る.し

部 分 群 の 連 鎖 に は 必 ず 回 転 群O(3)を

そ の よ う な 連 鎖 は3種

た

含 まな

類 あ る こ とが わ か っ て い る.そ

れ ら は 次 の と お りで あ る:

(3.483)

  ハ ミ ル トニ ア ンHが

連 鎖(3.483)の

れ か の 部 分 群 のCasimir演 Casimir演

U(5)対

算 子 の1次

た は(Ⅱ)ま

結 合 な ら ば,固

算 子 の 固 有 値 の 関 数 と し て 書 か れ る.以

た は(Ⅲ)の

いず

有 エ ネル ギ ー は こ れ ら

下 で こ れ を 説 明 す る.

称性 の場合

  ハ ミ ル トニ ア ンHが,(3.483)式 Casimir演 Hは

中 の(Ⅰ)ま

算 子 の1次

一 般 形(3.479)に

の 連 鎖(Ⅰ)の 部 分 群U(5),O(5),O(3)の

結 合 で 書 か れ る 場 合 で あ る.こ お い てw=y=0と

の 場 合 の ハ ミル トニ ア ン

置 い た も の で あ る.こ

の場 合 の エ ネ

ルギー固有値 は

(3.484)

図3.50  IBMに エ ネ ルギ ー準 位 の 実 験 値 とIBMに

110Cdの

おけ るU(5)対 称 性 の例 よ る 理論 値 の比 較.理 論 値 は(3 .484)式 の4個

の パ ラ メ ー タ ー の 値 を適 当 に選 ん だ もの.大 前 線20),共

と な る.た

立 出版(1988)よ

だ し,ndはdボ

塚 孝 治,"相

互 作 用 す るボ ソ ン模 型"(物 理 学 最

り.

ソ ン の 個 数,υ

は ボ ソ ン ・セ ニ ョ リ テ ィで2個

ボ ソ ン が 角 運 動 量0の

対 に 組 ん で い な い 個 数,nΔ

量0に

状 態 の 全 角 運 動 量,Mは

組 ん だ 数,Lは

c0,c2,c4で

が 角運動

分 で あ る.α,β,γ

称 性 を 持 つ と 考 え ら れ る 典 型 的 な 例 と し て,110Cdの

ネ ル ギ ー 準 位 の 実 験 値 とIBMに の 中 の4個

よ る 理 論 値 の 比 較 が 示 さ れ て い る.理

は

エ 論 値は

の パ ラ メ ー タ ー ∈,α,β,γの 値 を 適 当 に 選 ん だ も の で あ る.

図 中 の 括 弧 の 中 の 量 子 数 は(υ,nΔ)で

SU(3)対

そ のz成

ソ ン の3個

き ま る 定 数 で あ る.

  図3.50にU(5)対

(3.484)式

はdボ

のd

あ る.

称 性の場 合

  ハ ミ ル トニ ア ンHが,(3.483)式 演 算 子 の1次

の 連 鎖(Ⅱ)の

結 合 で 書 か れ る 場 合 で あ る.こ

部 分 群SU(3),O(3)のGasimir

の 場 合 の ハ ミル ト ニ ア ンHは

(3.485) と な る.た だ し,(Q・Q)は(3.480)の4重

極 演 算 子 に お い て, 

と

置 い たQμ の 内 積(ス カ ラ ー 積)

(3.486)

156Gdの

図3.51  IBMに お け るSU(3)対 称 性 の例 エ ネル ギ ー 準 位 の実 験値 とIBMに よる 理 論 値 の 比較 .理 論 値 は(3.487)式

の パ ラ メ ー タ ー の 値 を適 当 に 選 ん だ もの.大 前 線20),共

立 出版(1988)よ

で あ り,(L・L)は

塚 孝 治,"相

の2個

互 作 用 す る ボ ソ ン模 型"(物 理 学 最

り.

演算子  

の 内 積(ス カ ラ ー積)で あ る.κ,κ'

は相 互 作 用 の 強 さを 表 す 定 数 で あ る.こ の 場 合 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は,

(3.487) と な る.

  SU(3)対 (L,M)で

称 性 の 場 合 の 固 有 状 態 は,SU(3)に 指 定 され る.す

な わ ち,(λ,μ)で1つ

ド 内 で 励 起 エ ネ ル ギ ー がL(L+1)則   図3.51にSU(3)対

の2個

のバ ン

よ る 理 論 値 の 比 較 が 示 さ れ て い る.理

エ 論値 は 中の

あ る.

称 性の場合

  ハ ミル ト ニ ア ンHが,(3.483)式 Casimir演

の バ ン ド が 指 定 さ れ,そ

に 従 う"回 転 バ ン ド"を 作 る.

の パ ラ メ ー タ ー κ,κ'の 値 を 適 当 に 選 ん だ も の で あ る.図

括 弧 の 中 の 量 子 数 は(λ,μ)で

O(6)対

角運動量

称 性 を 持 つ と 考 え ら れ る 典 型 的 な 例 と し て,156Gdの

ネ ル ギ ー 準 位 の 実 験 値 とIBMに (3.487)式

特 有 の 量 子 数(λ,μ)と

算 子 の1次

の 連 鎖(Ⅲ)の

部 分 群O(6),O(5),O(3)の

結 合 で 書 か れ る 場 合 で あ る.こ

の場合のエ ネルギー固有

値 は,

(3.488)

図3.52  IBMに エ ネル ギ ー 準 位 の 実 験 値 とIBMに

118Ptの

お け るO(6)対 称性 の 例 よ る理 論 値 の 比 較 .理 論値 は(3.488)式

の パ ラ メー タ ー の値 を 適 当 に選 ん だ もの.大 前 線20),共

と な る.σ

立 出 版(1988)よ

はO(6)に

塚 孝 治,"相

の3個

互 作 用 す るボ ソ ン模 型"(物 理 学 最

り.

特 有 な 量 子 数 で あ り,〓,ν Δ はO(5)に

特 有 な量 子 数 で あ

る が 説 明 は 省 略 す る.   図3.52にO(6)対

称 性 を 持 つ と 考 え ら れ る 典 型 的 な 例 と し て,118Ptの

ネ ル ギ ー 準 位 の 実 験 値 とIBMに (3.488)式

の3個

よ る 理 論 値 の 比 較 が 示 さ れ て い る.理

の パ ラ メ ー タ ーA,

B, Cの

エ 論値 は

値 を 適 当 に 選 ん だ も の で あ る.図

中 の 括 弧 の 中 の 量 子 数 は(σ,ν Δ)で あ る.

  IBMの が,現

基 本 的 対 称 性U(6)に

含 ま れ る3種

類 の 対 称 性,U(5),

形(振 動)核

に 相 当 し,SU(3)お

も ち ろ ん,こ

トル を,対

よ びO(6)対

称 性 は 変 形(回 転)核

れ ら は 理 想 的 な 場 合 に お け る 対 称 性 で あ っ て,こ

性 質 を 示 す 原 子 核 も 多 い.し

か し,Bohr-Mottelsonの

称 性 と い う 見 方 で 見 直 し,少

は,IBMのsボ

ソ ン とdボ

組 ん だ 核 子 対 で あ る と 考 え た.し

的"核

大 き な 功 績 で あ ろ う.次

Iachelloら

は こ れ を0+お

か し 殻 模 型 の 観 点 か ら見 る と,そ

に

よ び2+に の よ う な0+

の 中 の い か な る"集

ソ ン に 対 応 す る の か は 不 明 で あ る.*60ま

述 べ た ボ ソ ン 写 像 法 と,ど

れ らの中間的 な

集 団 模 型が 示 す ス ペ ク

組 む 可 能 な 核 子 対 は 極 め て 多 数 存 在 し,そ

子 対 がs,dボ

に 対 応 す る.

ソ ンが 原 子 核 内 の い か な る 実 体 を表 現 し て い るの

い う 点 に 興 味 が 持 た れ る.Arima,

お よ び2+に

O(6)

称性は球

数 の パ ラ メー ター を使 っ て 見事 に 整 理 ・

分 類 す る こ と が で き る こ と を 示 し た こ と は,IBMの

か,と

SU(3),

実 の 原 子 核 集 団 運 動 に 見 ら れ る こ とが 明 ら か に な っ た.U(5)対

た,3.4.8に

の よ う に 関 連 す る の か い ま だ 明 ら か で な い.今

団

おい て 後の

研 究 が 待 た れ る. 3.5  高 ス ピ ン 回 転 運 動

  本 章 に お い て こ れ ま で に 述 べ て き た 原 子 核 の 集 団 運 動 は,主

と して 安 定 な 原

子 核 の 基 底 状 態 に 近 い 比 較 的 低 い 励 起 エ ネ ル ギ ー 領 域 に お け る も の で あ っ た. し た が っ て,扱 転 で あ り,状

っ て き た 変 形(回

態 の ス ピ ンIも

変 形"に

の と 考 え て き た.し

ス ピ ン 状 態"す

デ ー タ が 得 ら れ,ま

の 回 転 運 動 も,割

あ ま り大 き く な く,ま

大 き く な い(δ=0∼0.4)も 進 展 に よ っ て,"高

転)核

な わ ち"高

た 変 形 の 大 きさ もそれ ほ ど

か し な が ら,近

速 回 転 状 態"に

rotational

motion)を

年実験技 術の

関 す る 多 くの 実 験

た 高 速 回 転 状 態 に お い て 実 現 す る 

つ い て の 情 報 も得 ら れ る よ う に な っ て き た.こ

運 動(high-spin

合 ゆ っ く りと し た 回

に も な る"巨

大

の よ うな高 ス ピ ン 回 転

調 べ る こ と に よ っ て,Bohr-Mottelson

に よ る独 立 粒 子 運 動 と集 団 運 動 の 統 一 と い う統 一 模 型 の 考 え 方 の 理 解 を よ り 一 層 深 か め る こ と が で き る で あ ろ う.本

節 で は,高

ス ピ ン 回転 運動 に 関 す る基 礎

的 な 部 分 に つ い て の み 簡 単 に 述 べ る こ と に す る.*61

  3.5.1 

液 滴 模 型 と殻 効 果 ―Strutinsky法

  原 子 核 は,基 底 状 態 近 傍 の 低 い励 起 状 態 に お い て は,あ い る もの と考 え られ る.し か しな が ら,高

る一 定 の変 形 を して

ス ピ ン 回 転状 態 や 少 し高 い励 起 状 態

を 考 え る と き,基 底 状 態 の 近 くに お け る の と 同 じ変 形 度 を保 つ と は 限 ら な い. 独 立 粒 子 運 動 と集 団 運 動 と を統 一 的 に よ り深 く理 解 す る た め に は,独 立 粒 子 運 動 が 原 子 核 の 変 形 に ど の よ うな 影 響 を もた らす か を考 え,変 形 が 起 き る機 構 を 検 討 す る必 要 が あ る.  原 子 核 の1粒

子 状 態 を記 述 す る 最 も一 般 化 され た定 式 化 は,3.4.4で

Hartree-Fock-Bogoliubov *60 Janssenら

(HFB)法

はArima-Iachelloと

で あ る.近 年,Skyrme力*62と

は 独 立 に

唱 し た.D. Janssen, R. V. *61 本 節 の 多 く を ,清 水 良 文,"夏

Jolos

and

,ま

F.

の 学 校 講 義 録:高

Nucl.

Phys.

A224

ソ ン 模 型 を提 (1974)

Phys.

9 (1959)

A238

(1975)

力 と3体 615; 29.

力 と を 含 む.T. M.

Beiner,

H.

H. Flocard,

R.

93.

速 回 転 お よび 巨 大 変 形 の 極 限 状 態 に お け

る 原 子 核 構 造"(2000)に 負 っ て い る. *62 原 子 核 内 の 有 効 相 互 作 用 を 扱 い や す い 形 で 近 似 し た も の と 考 え ら れ る .δ 依 存 し,2体

呼ばれ る

っ た く 別 の 観 点 か らSU(6)ボ

Donau,

説 明した

Skyrme, N.

Van

Phil. Giai

Mag. and

P.

関 数 型 で 密 度 に

1 (1956) Quentin,

1043; Nucl.

Nucl. Phys.

有 効 相 互 作 用 を 用 い て,軸

対 称 な ど の 対 称 性 に 制 限 を付 け な いHFB計

算が可

能 に な り,核 図 表 上 の広 い 範 囲 に わ た る原 子 核 の 基 底 状 態 の性 質 を よ く再 現 す る こ と に成 功 して い る.こ の よ うなHFB計

算 が 原 子 核 の 変 形 な ど を理 解 す る

最 も正 統 的 な手 法 で あ る こ とに 間 違 い な いが,も しや す い 方 法 が,以

っ と直 観 的 で 本 質 を よ り理 解

下 で 述べ るStrutinsky法(Strutinsky

method)*63で

あ

る.*64   質 量 数Aの

原 子 核 の 全 エ ネ ル ギ ーEtot(A)を

べ た よ う に,Etot(A)は Weizsacker-Betheの

質 量 公 式(2.7)に

な わ ち 殻 補 正(shell

る と,全

の2.2で

model)す

correction)で

滴 模 型 の 値ELDMか

あ る.こ

述

なわ ち

よ っ て か な り よ く再 現 で き る が,閉

付 近 で は 結 合 エ ネ ル ギ ー が 大 き くな っ て,液 る.す

考 え る.第2章

大 局 的 に は 液 滴 模 型(liquid-drop

殻核

らず れ が 生 じ

の 殻 補 正 の 部 分 を δEshと

す

エ ネ ル ギ ーEtotは

(3.489) と表 され る.   い ま全 エ ネル ギ ーEtotの な る とELDMは

変 形 度 依 存 性 を考 え よ う.多 くの 場 合 変 形 が 大 き く

単 調 に大 き くな る.こ れ は 主 と して,変 形 に よ る原 子 核 の 表 面

積 の 増 加 に と もな う表 面 エ ネル ギ ー の 増 加 に よる もの で あ る.し か し,殻 補 正 δEshは 単 調 に は 変 化 せ ず,複

雑 な殻 効 果(shell effect)が 現 れ る.こ の 効 果 は

系 を 構 成 す る1粒 子 準 位(厳 密 に はHFB理

論 の1準 粒 子 エ ネ ルギ ー)εiが 一 様

に 分 布 し て い な い こ とに よ る.図3.53に1粒 (a)は 一 様 分 布 の場 合,(b)は1粒 殻模 型 あ る い はHFB理

子 準 位 の模 式 図が 示 され て い る.

子 準 位 の分 布 に濃 淡 が あ る場 合 を示 して い る.

論 の 立 場 か ら は,系 の 全 エ ネ ルギ ー は 

表 され る は ず で あ る.図3.53の(a)の

場 合 の よ うに1粒

て い る 場 合 に は,1粒 子 当 た りの エ ネ ル ギ ーEsh/Aは 質 量 数Aに 一定値 を示すが ,(b)の よ うに分 布 に濃 淡 が あ る場 合 に はFermiエ の 位 置 に よっ てEsh/Aが い て, 

一 定 で な く,多 寡 が 生 じ る.つ

の と き はEsh/Aは

少 し小 さ く, 

で

子準位 が一様分布 し よ らず ほぼ ネ ルギ ー εF

ま り(b)の

場 合にお

の と きに はEsh/Aは

少 し大 き くな る.こ の 凹 凸 こそ 殻 効 果 で あ る. *63 V

. M. Strutinsky, *64 本 項 の 内 容 の 多 Springer-Verlag

Nucl. く をP (1980),

Phys. . Ring Chap.

A95 and 2に

(1967) P.

420;

Schuck:

負 っ て い る.

A122

(1968)

The

Nuclear

1. Many-Body

Problem,

(a) 図3.53 

(b)

原 子核 に おけ る1(準)粒 子 エ ネ ルギ ー準 位 の模 式 図

(a) 準 位 が 一様 に分 布 して い る場 合.(b)  準 位 の 分 布 に 濃 淡 が あ る 場 合.

  図3.54に

単 純 な 軸 対 称4重

極 変 形 した 調 和 振 動 子 模 型 の1粒 子 準 位 が,変

形 パ ラ メ ー ター〓 の 関 数 と し て 示 され て い る.こ の 場 合 の 調 和 振 動 子 の 定 数 は

(3.490) と表 され る.も

ち ろ ん ωxωyωz=一

Nilsson模 型 で 使 わ れ た(3.179)式

定 で あ る.(上 の 変 形 パ ラ メ ー タ ー〓 と

の δと は 定 義 が 少 し異 な るが,数

ほ とん ど 同 じで あ る.)し た が っ て,楕 円 体 変 形 の 長 軸Rzと

短

の 比 は 

で あ る.図3.54か

短 軸 とが 整 数 比 に な る 点 で,1粒

子 準 位 に ギ ャップ が 現 れ,大

値的 には

軸Rx=Ryと

らわ か る よ う に,長 軸 と きい 殻 効 果 が 生

じ る こ とが 予 想 され る.こ の よ うな殻 効 果 の 変 形 度 依 存 性 を 考 慮 して 全 エ ネ ル ギ ー を変 形 度〓 の 関 数 と し て模 式 的 に 表 し た ものが 図3.55で す よ うな 核 に お い て は,基 底 状 態 は 少 し変 形 し(〓=〓0の く変 形 し た準 安 定 な 状 態(〓=〓1の

あ る.本 図が 示

点),励 起 状 態 に大 き

点)が 見 出 され るで あ ろ う.後 で 述べ る よ う

に,長 軸 と短 軸 の 比 が2:1(〓=0.6)に

対 応 す る と思 わ れ る 巨 大 変 形 状 態 を実

際 の 実 験 結 果 に見 る こ とが で きる.   さ て 準 位 密 度(level

density)をg(ε)と

 の 間 の 準 位 数 をg(ε)dε

す る.す

なわ ちエ ネル ギ ーが

と す る と,

(3.491) と な る.こ

れ に よ りFermiエ

ネ ル ギ ー εFが き ま る.殻

模 型 にお け る 準 位 密 度

図3.54 

軸 対 称4重

極 変 形 し た調 和 振 動子 模 型 に よる1粒

子 エ ネ ルギ ー 準 位

横 軸 εは 変形 パ ラ メー ター.上 部 の 横 軸 の 目盛 りは 回転 楕 円体 変 形 の長 軸Rzと との 比.

図3.55 

あ る 系 の 全 エ ネ ル ギ ーEtotの

短 軸Rx=Ry

変形度

依存性の模式図 ELDMは

液 滴 模 型 に よ る値.δEshは

あ る.松 柳 研 一 他,"岩

波 講 座:原

殻補正で 子 核 の 理 論"

(1993)  よ り.

9(ε)は

(3.492)

で あ り,系

の 全 エ ネ ル ギ ーEshは

(3.493) と書 か れ る.   上 記 の 準 位 密 度g(ε)は デ ル タ関 数 で 書 か れ て い る か ら,極 め て 特 異 性 の 高 い 関 数 で あ るが,仮

に εの 連 続 関 数 で 近 似 で き た と して も,単 調 増 加 関 数 とは

な らな い.な ぜ な らば,た 考 え る と,1粒

と えば1粒

子 ポ テ ン シ ャル と して調 和 振 動 子 模 型 を

子 準 位 は 

のエ ネルギ ー 間隔 ご と に ま と

ま って 束 に な り((1.16)式 参 照),し た が っ てg(ε)はhω0を

周 期 に して 振 動 す

る と考 え ら れ るか ら で あ る.こ の と きの 準 位 密 度 の平 均 的 値 をg(ε)と し よ う. この 平 均 準 位 密 度 が 求 め られ る な らば,

(3.494) に よ っ て対 応 す る有 効Fermiエ

ネ ルギ ー εFが 得 られ,殻 模 型(あ る い はHFB

理 論)に よ る全 エ ネ ル ギ ー の 平 均 部 分Eshは

(3.495) と な る.   この 平 均 部 分Eshが

核 の 全 エ ネルギ ー 中の 液 滴 模 型 で 再 現 され る部 分ELDM

に相 当 す る と考 え る と,(3.495)式

で 述 べ た 殻 補 正 δEshは

(3.496) で 与 え られ る こ とに な る.し たが って,Nilsson模

型 の よ うな変 形 殻 模 型 やHFB

理 論 に よ って 殻 補 正 δEshを 計 算 し,液 滴 模 型 に よるエ ネルギ ーELDMに る と系 の 全 エ ネ ル ギ ー  (Nilsson模 型)を 用 い る場 合 に は,そ 欠 落 す る の で,BCS理

が 得 られ る.な お,変

加え

形殻模 型

の ま まで は 重 要 な対 相 関 に よ る殻 補 正が

論 を使 って δEpairを計 算 し,加 え な け れ ば な らな い.以

上 の 方 法 に よっ て,液 滴 模 型 に 殻 効 果 を 入 れ,全 エ ネ ル ギ ー の 変 形 依 存 性 な ど を 正 確 に算 定 で き る よ うに な り,原 子 核 の 巨 大 変 形 や 核 分 裂 を詳 し く研 究 で き る よ う に な った.

  平 均 的 エ ネ ル ギ ーEshを

計 算 す る た め に は,平 均 準 位 密 度g(ε)が 必 要 で あ

る.こ の ため に は,(3.492)式 け て 平 均 化 す れ ば よい.す

の厳 密 な 準 位 密 度g(ε)に 適 当 な 重 み 関 数fを

か

な わ ち,

(3.497) で あ る.た

だ し 

  重 み 関 数fと

は 重 み 関 数fの

広 が り の 幅(width)で

し て ど の よ う な 関 数 が よ い か に つ い て は 種 々 検 討 さ れ,Gauss

関 数 に 適 当 な 多 項 式 を か け た も の を と る こ と が で き る,と な っ て い る.ま

た,重

が 必 要 で あ る.そ   Strutinsky法

み 関 数fの

幅aの

い う こ とが 明 ら か に

取 り方 に よ っ て 結 果 が 変 化 し な い こ と

の よ う な 条 件 の 検 討 も な さ れ て い る.*65 を い くつ か の 実 際 の 原 子 核 に 適 用 し,全

の 関 数 と し て 計 算 し た も の が 図3.56に Nilsson模

あ る.

型 に よ る1粒

示 され て い る.こ

子 準 位 を 用 い て δEshを

取 り入 れ て δEpairを 計 算 し て い る.こ

エ ネ ル ギ ー を 変形 度 〓 れ ら の 図 に お い て は,

計 算 し,BCS理

れ ら の 図 か ら,原

論で対相 関を

子 核 の変 形 に殻 効 果 が

い か に 寄 与 す る か が 明 ら か で あ ろ う.

  3.5.2 

高スピ ン回転運動の概観

  原 子 核 の 高 速(高 ス ピ ン)回 転 状 態 を調 べ る に は,原 子 核 へ 何 らか の 方 法で 大 きな 角 運 動 量 を持 ち込 まな け れ ば な ら な い.そ の 方 法 と して 重 イ オ ン 反応 が 用 い ら れ る.中 で も核 融 合 反 応 が 効 果 的 で あ る.   た と え ば,標

的 核124Snに

融 合 反 応 を起 こ し て164Erが MeVの

加 速 した 入 射 核40Arを

衝 突 させ る と,両 者が 核

で き る.こ の と きの164Erは,エ

励 起 状 態 に あ り,一 般 に,高 速 に 回 転 し,大

ネルギ ーが 数10

きい ス ピ ン を持 っ て い る

不 安 定 な状 態 に あ る.こ の状 態 か ら数 個 の 核 子(特 に 中性 子)が 蒸 発 して エ ネ ル ギ ーが 持 ち 去 られ る.こ れ が 第1の

過 程 で あ る.こ の 過 程 で はエ ネル ギ ー は 下

が る け れ ど も,角 運 動 量 は あ ま り持 ち去 られ な い.そ の結 果,融 合核 は高 ス ピ ン を保 っ た ま ま励 起 エ ネ ルギ ー を下 げ るの で あ る.次 に 第2の 過程 とし て,γ 線 の 放 出 に よ る脱 励 起(deexcitation)が 別 され る.第1は *65 M V.

. Brack M.

and

Strutinsky

起 き る.こ の と きの 主 な γ線 は2種 類 に大

角 運 動 量 をほ とん ど 持 ち去 ら な い統 計 的E1遷 H.

C. and

Pauli, F.

Nucl. A.

Phys.

Ivanjuk,

A207 Nucl.

(1973) Phys.

255

401. (1975)

405.

移(ΔI=0,1)

図3.56 

い く つ か の 原 子 核 に 対 す るNilsson-Strutinsky計

算 の 例

横 軸 は変 形 度〓.実 線 がEtot,破

線 が δEsh,一 点 鎖 線 が 対 相 関 か らの 殻 補 正 δEpair,点 線 は

液滴 模 型 の エ ネル ギ ーELDMで

あ る.清

水 良文,"夏

形 の極 限 状 態 に お け る原 子 核 構 造"(2000)よ

で あ り,第2は

角 運 動 量 を2h持

を状 態 の ス ピ ン とす る.hΔIは   一 般 に,あ

ピ ンIを 表 す.(E,I)平

移(ΔI=2)で

あ る.(hI

遷 移 の始 状 態 と終 状 態 の ス ピ ン差 で あ る.) 持 つ エ ネ ル ギ ー の最 も低 い 状 態 を

あ る.縦 軸 が 励 起 エ ネル ギ ーE,横

面 で イ ラ ス ト状 態 をIの

line)で あ る.こ の(E,I)平

る統 計 的E1遷

速 回転 お よび 巨 大 変

state)と 呼 ぶ.上 記 の 脱 励 起 の 過 程 を,(E,I)平

的 に表 し た もの が 図3.57で

ト線(yrast

ち去 る 回転 的E2遷

る角 運 動 量(ス ピ ン)の 値Ihを

イ ラス ト状 態(yrast

の 学 校 講 義 録:高

り.

面で模式

軸が 状態の ス

関数 として結んだ線が イラス

面 で 見 る と,上 述 の 第1の 脱 励 起 で あ

移 は 主 に縦 方 向 の 脱 励 起 で あ り,第2の

回 転 的E2遷

移 は イラ

ス ト線 に 沿 っ た横 方 向 の 脱 励 起 で あ る.   い う まで も な く,イ ラス ト線 の 下 に は 原 子 核 の 状 態 は 存 在 しな い.逆 と,イ ラ ス ト状 態 とは(10∼20MeVと

にい う

い う よ うな)高 励 起 状 態 で あ る に もか か

図3.57  4nな

ど の 等 高 線 は4つ

の 統 計 的E1遷

典型的な γ遷移の模式図 の 中 性 子 を 放 出 し た後 の分 布 を 示す.縦

移 と イラ ス ト線 に 沿 っ た 回転 的E2遷

方向

移が 起 こ る.

わ らず,そ の 励 起 エ ネル ギ ー の す べ てが 回 転 運 動 に費 や され て い る よ うな 状 態 で あ る.し たが って,イ

ラ ス ト領 域 で は 原 子 核 の 内部 励 起 は ほ とん ど な く,こ

の意 味 で 基底 状 態 と 同様 に"冷 え た"温 度 の低 い状 態 で あ る と考 え られ る.す な わ ち,イ ラ ス ト領 域 で の 準 位 密 度 は 低 く,γ 遷 移 は 離 散 的 な ス ペ ク トル と して 観 測 され,こ れ に よ り原 子 核 の構 造 を詳 細 に 調べ る こ とが で きる と期 待 され る.   そ れ で は重 イオ ン 反応 に よ って,原 子 核 に は ど れ だ け の 角 運 動 量 を 持 ち込 む こ とが で きる で あ ろ うか.原

子 核 が あ ま りに 高 速 に 回転 す る と,引

て核 分 裂 を起 こ し て し ま う.図3.58(a)に

回 転 す る液 滴 模 型 に よっ て 予 想 され

る原 子 核 の持 ち う る角 運 動 量 の 限 界 値 を示 す.こ の 図か ら  は, 

きち ぎ られ

の 中重 核 で

程 度 まで の 高 ス ピ ン状 態 が 存 在 で きる こ とが わか る.た だ し,3.5.1

で 見 た よ うに 液 滴 模 型 で 取 り入 れ られ な い 殻 効 果 も重 要 で あ り,こ の評 価 は お お よそ の 目安 と考 え るべ きで あ る.現 在 の と ころ,通 常 の 変 形 核 で は  程 度,後

で 述べ る 大 き な 変 形 を もつ超 変 形 核 で は 

の

程度 の高 スピン状態

が 観 測 され て い る.   重 イ オ ン核 融 合 反 応 で は 角 運 動 量 だ け で な く,大 き な励 起 エ ネ ルギ ー も持 ち 込 まれ る.図3.58(b)に

は(E,I)平

面 上で 研 究 対 象 とな りう る高 速 回 転 状 態 の

存 在 領 域 が 示 され て い る.上 側 の 境 界 は 核 分 裂 に よ る もの で あ るが,下 界 は イ ラ ス ト線 で あ る.図 中 の 破 線 は 中性 子 分 離 エ ネル ギ ーSnで よ り上 で は 中性 子 放 出 を 起 こす.

側の境

あ り,こ れ

(a)

(b) 図3.58

(a)  回 転 す る液 滴 模 型 に よっ て 推 定 した 原 子 核 が 持 ち う る角 運 動 量 の 限 界 値.Bf=0お よ び8MeVの 曲 線 は,そ れぞ れ 核 分 裂 障 壁 が0, 8MeVと な る と き核 分 裂 を起 こす と仮 定 し た もの.S.

Cohen,

F. Plasil and

W.

J. Swiatecki,

Ann.

Phys.

(b)  (E,I)平 面 上 で の 原 子 核 の 高 速 回 転 状 態 の 存 在 域.Sn(中 よ り上 で は 中 性 子 放 出 を 起 こ す.

  典 型 的 な 高 ス ピ ン 回 転 状 態 を 示 す1例 3.59に

82 (1974)

557よ

り.

性子 分 離エ ネ ルギ ー)の 破 線

と し て,164Erの

励 起 ス ペ ク トル を 図

示 し て お こ う.

  (a) 慣 性 モ ー メ ン トの 角 速 度 依 存 性,バ   図3.59に

示 し た164Erは,プ

ン ド交 差

ロ レ ー ト変 形 し た 典 型 的 な 回 転 核 で,基

底バ

ン ド や γ バ ン ド はI(I+1)則

に か な り近 い 回 転 バ ン ド を 示 し て い る.し

か し

他 の 多 く の 回 転 核 と 同様 に,そ

の イ ラ ス ト ・レ ベ ル を 見 る と 慣 性 モ ー メ ン ト は

必 ず し も 一 定 で は な く,ス か な り変 化 す る.こ

ピ ン や エ ネル ギ ーが 高 くな る に し たが って そ の 値 は

の よ うす は 慣 性 モ ー メ ン トを角 速 度 の 関 数 と して 見 る とわ

か りや す い.

  い ま角 運動 量 をIhと

し,回 転 バ ン ドの エ ネル ギ ー をE(I)と

書 く.古 典 力 学

で は 回 転 角 θ と角 運 動 量 と は互 い に 正 準 共役 で あ り,し たが って 正 準 方 程 式 は

(3.498) と な る.現 実 のIは

離 散 的 で あ る か ら,上 式 のIに

え る と,実 験 値E(I)か 速 度 ω はIの

関 す る微 分 を差 分 で 置 き換

ら 回転 の 角 速 度 ω が 得 られ る.(3.498)式

関 数 と な るか ら,逆 に 角 運 動 量Ihは

に よっ て,角

角 速 度 ω の 関 数 で あ る.こ

図3.59  矢 印 はE2遷 い る.矢 O.

C.

A. 1417よ

W.

お け る 回転 バ ン ド構 造

だ し バ ン ド 間 の遷 移 の 矢 印 は 省 略 され て

印 の 側 の 数 字 はE2遷 Kistner,

C17(1978)

の と き,慣

16468Er96に

移 を 表 す.た

Sunyar

移 に よ る γ 線 の エ ネ ル ギ ー(keV). and

E.

der

Mateosian,

Phys.

Rev.

り.

性 モ ー メ ン トは

(3.499) と 定 義 さ れ,そ   164Erの

の 結 果,慣

性 モ ー メ ン トは 角 速 度 ω の 関 数 と な る.

イ ラ ス ト状 態 を 結 ん だE(I)か

ら(3.499)式

を用 い て 得 られ る慣 性

(b)

(a) 図3.60

(a)164Erに お け る イ ラ ス ト ・レベ ル の慣 性 モ ー メ ン トを 角 速 度 の 関数 と し て 描 い た もの. 図 中 の 実 験 値 の 側 の数 字 は ス ピ ンIを 表 す.I=16前 後 で 後 方歪 曲 現 象 が 見 られ る. (b)164Erの(E,I)平 差 が 起 こ っ て い る.

モ ー メ ン ト を,角

面 に お け る基 底 バ ン ド とsバ

間で バ ン ド交

速 度 の 関 数 と し て 描 い た も の が 図3.60(a)で

の あ た りで 角 速 度 がIの に 大 き く 変 化 す る.こ ば れ,プ

ン ド.I=14と16の

増 加 に 反 し て 減 少 す る た め,慣

あ る.I=14,16

性 モ ー メ ン トがS字

れ は 慣 性 モ ー メ ン トの 後 方 歪 曲(backbending)現

ロ レ ー ト型 変 形 核 に 系 統 的 に 見 られ る 現 象 で あ る.後

当 初 は た い へ ん 注 目 を 集 め た が,現 ド と は 内 部 状 態 が 少 し 異 な るsバ

在 で は 図3.60(b)に

示 す よ う に,基

ま り,164Erに

以 下 の イ ラ ス ト状 態 は 基 底 バ ン ド に 属 す る が,I=16か

象 と呼

方 歪 曲現 象 は発 見

ン ド*66と が バ ン ド交 差(band

こ す こ と に よ っ て 生 じ る と 考 え ら れ て い る.つ

型

底バ ン

crossing)を

起

お い て は,I=14

ら は イ ラ ス ト状 態 がs

バ ン ド に 乗 り移 る と い う こ と で あ る.   角 運 動 量Iが

大 き く な る と,Coriolis力((3.189)式

子 の 角 運 動 量 ベ ク トルjは alignment)と

呼 ぶ.上

参 照)の 作 用 に よ っ て,核

回 転 軸 方 向 に 整 列 し始 め る.こ れ を 回 転 整 列(rotation

記 の164Erのsバ

ン ド の 内 部 状 態 は,2個

の中性子が変

形 ポ テ ン シ ャ ル と 対 相 関 の 束 縛 を 脱 し て 回 転 整 列 し た も の と 考 え ら れ る.

*66 Stockholmの

グ ル ー プ に よ っ て 発 見 され た の でsバ

ン ド と呼 ば れ て い る .

  (b) 変 形 の 型 と回 転 ス キ ー ム   原 子 核 に は さ まざ ま な励 起 モ ー ドが 存 在 す る.そ れ らの 中 の ど の 種 類 の モ ー ドが 高 ス ピ ン回 転 状 態 を構 成 して い るか とい う こ とが そ の 状 態 の 性 質 を きめ る. イラ ス ト状 態 の 近 傍(イ ラス ト領 域)の 高 ス ピ ン状 態 の 特 徴 は,系 の 角 運 動 量 を ど の種 類 の 励 起 モ ー ドが 担 っ て い るか に よっ て 分 類 す る こ とが で き る.   大 きい 角 運 動 量 を効 率 よ く生 成 す る励 起 モ ー ド と して,集 立粒 子 運 動 が 考 え られ る.3.4.7で

述 べ た よ うに,集

団 的 回転 運 動 と独

団 的 回転 運 動 は 平 均 ポ テ

ン シ ャル が 変 形 して 回 転 対 称 性が 破 れ た こ と に伴 っ て 発 生 す る 集 団 運 動 で あ る こ とを 思 い 起 こ そ う.し た が っ て,軸 対 称 変 形 の場 合,対 称 軸 の まわ りに集 団 的 回 転 運 動 は 起 こ りえ な い.他 方,独 立 粒 子 の 軌 道 運 動 は,対 称 軸 方 向の 成 分 が 大 きい か 小 さ いか に よ っ て,合 成 した 角 運 動 量 ベ ク トル の方 向 は 異 な っ て く る.つ

ま り集 団 的 回 転 運 動 と独 立粒 子 運 動 と を と もに 重 視 し な け れ ば な ら な い

高 ス ピ ン回 転 状 態 で は,基 底 状 態 の 場 合 と は違 っ て,変 形 を指 定 す る軸 の ほか に,回 転 の 方 向(す な わ ち全 角 運 動 量 ベ ク トル の 方 向)と い う新 た な軸 を考 慮 し な けれ ば な ら な い.高 ス ピ ン 回転 状 態 で は,こ れ らの 変 形 軸 と 回転 軸 とが ど の よ うな 方 向 に 向 い て い るか,そ

の 相 互 の 関係 が 重 要 に な る の で あ る.

  い まわ れ わ れ は イ ラ ス ト領 域 の 高 ス ピ ン 回 転 運 動 を 考 え て い る.そ こ で は比較 的単 純 な回転 運動 が 期待 さ れ,回

転 軸 は 変 形 の 主 軸 と一 致 し て

い る で あ ろ う.通 常,回

転 軸 をx軸

とす る のが 習 慣 で あ る.一 般 に 高 ス ピ ン状 態 で は 非 軸 対 称 変 形(γ 変 形)が 起 こ り うる.変

形 の 形 の み を指 定 す

るた め に は 

で 十分で

あ るが,変

形 の 形 と そ の と きの 回転

軸(x軸)と

を と もに 指 定 す る た め に

は 

の 範 囲 の γの

値 を指 定す れ ば よい.図3.61に

楕円

体 に変 形 した 平均 ポ テ ン シャル の場 合 に起 こ りう る 回 転 ス キ ー ム(rotation schemes)が

示 され て い る.

図3.61 

楕 円体 変形 し た 原 子 核 に お け る 回転 ス キ ー ム 回 転 軸 をx軸 と す る.

  軸 対 称 の 変 形 の 場 合 に は,図3.61に 考 え ら れ る.γ=0°

お よ び-60°

図 示 す る よ う に4種 の 場 合 に は,回

類 の 回 転 ス キ ー ムが

転 軸 は 対 称 軸 と 垂 直 で あ り,

集 団 的 回 転 モ ー ド が 回 転 運 動 の ほ と ん ど す べ て を 担 っ て い る と 考 え られ る.こ れ を 集 団 的 回 転(collective

rotation)ス

キ ー ム と い う.γ=0°

お よ び-60°

の

対 称 軸 回 り の 回 転 状 態 は,そ

れ ぞ れ プ ロ レ ー ト型 お よ び オ ブ レ ー ト型 の 変 形 整

列(deformation-aligned)状

態 と も呼 ば れ る こ とが あ る.な

ぜ な ら ば,ほ

ど す べ て の 独 立 粒 子 モ ー ド は 変 形 ポ テ ン シ ャ ル に 束 縛 さ れ て お り,系

とん

の全 角運

動 量 は ほ と ん ど す べ て 集 団 的 回 転 運 動 に よ っ て 担 わ れ て い る か らで あ る.   他 方,γ=60° ら な い の で,系 る.こ

お よ び-120°

の 場 合 に は,対

の 回 転 運 動 は 主 と し て独 立粒 子 モ ー ドの み に よっ て 担 われ て い

れ を 非 集 団 的 回 転(non-collective

お よ び-120°

称 軸 の 回 りに 集 団 的 回転 は 起 こ

の 回 転 状 態 は,そ

整 列(rotation-aligned)状

rotation)ス

れ ぞ れ オ ブ レ ー ト型 お よび プ ロ レ ー ト型 の 回 転

態 と も 呼 ば れ る.こ

れ ら の 場 合,集

独 立 粒 子 モ ー ド が 対 相 関 の 束 縛 か ら 離 れ て 励 起 し,そ 回 転 軸 の 方 向 に 揃 え る(align)こ

キー ム と い う.γ=60°

団 的 回 転 が な く,

れ らの 各 々の 角 運 動 量 を

とに よ っ て 系 の 全 角 運 動 量 が 生 成 され る か ら

で あ る.

  図3.62に

は これ ら2つ の 回

転 ス キー ム の スペ ク トルの 典 型 例 が 示 され て い る.右 側 の 集 団 的 回転 スキ ー ムが 規 則 的 なス ペ ク トルで あ るの に対 し,左 側 の 非集 団的 回転 スキ ー ム の スペ ク トル は不 規 則 で あ る.回 転 運 動 を担 うモ ー ドの 違 い に よって 極 め て大 きな定性 的違 いが 現 れ る こ とが わ か る.   古典 的剛 体 の 回転 運動 を考 え る と,与 え られ た 角運 動 量 の 下 で の 最 低 エ ネル ギ ー状 態(イ ラ ス ト状 態)は,最

も大 きな 慣 性

非集団的 回転 図3.62 

非 集 団 的 回 転(左)と トルの 例

モ ー メ ン ト を 持 つ 主 軸 の ま わ りの 回 転 で あ る.こ た は γ=-60°

集 団的回転 集 団 的 回 転(右)の

の 描 像 に 基 づ く と,γ=0°

が 好 都 合 な 回 転 ス キ ー ム に な る.実

際,通

スペ ク

ま

常の変形核 の基底状

図3.63  矢 印 はE2遷 J.

F.

移 を 表 す.矢

Sharpy-Schafer,

波 講 座:原

れ たI(I+1)則 れ る.γ=0°

Prog.

子 核 の 理 論"(1993)に

態 近 傍 で は γ=0°

15266Dy86に

お け る励 起 ス ペ ク トル

印 の 側 の 数 字 はE2遷 Part.

Nucl.

移 に よ る γ 線 の エ ネ ル ギ ー(keV). Phys.

28(1992)

187;松

柳 研 一

他,"岩

よ る.

の プ ロ レ ー ト型 集 団 的 回 転 運 動 が 実 現 し て お り,よ く知 ら

に し た が い,強 いE2遷

移 で 結 ば れ た 回転 スペ ク トルが 観 測 さ

の場 合 の 典 型 的 な例 が 図3.59に

見 られ る.

  しか しなが ら,現 実 には そ の よ うな ス ペ ク トル だ け で な く,核 種 に よって,エ

ネ ル ギ ー に よ って さ ま ざ まな ス ペ ク トル が 見 られ,近 似 的 に 軸 対 称 な 変 形 を も つ 上 記 の4つ

の 回 転 ス キ ー ムの す べ て に 相 当 す る現 象 が 観 測 され て い る.紙 数

の 関 係 で そ れ ら の例 をす べ て 図 示 す る こ と は で き な い の で,1つ 図3.63に152Dyの

励 起 ス ペ ク トル を示 す.こ

で あ り,低 励 起 イラ ス ト状 態 は2+フ れ るが, 

だ け例 と して

の 核 は,基 底 状 態 近 傍 で は 球 形

ォノ ンの 多 フ ォ ノ ン状 態 で あ る と考 え ら

の イ ラ ス ト状 態 に な る とス ペ ク トル は不 規 則 に な り,明 ら

か に 独 立 粒 子 励 起 に よっ て 状 態 が 作 られ て い る こ と,す な わ ち 回転 整 列状 態 で あ る こ とが わ か る.   この よ うな 非 集 団 的 回 転 スキ ー ムの 場 合 の 特 筆 す べ き特 徴 は,イ ラ ス ト状 態 に そ の 励 起 エ ネル ギ ー の 高 さ を考 えれ ば 驚 くべ き長 寿 命 の 異 性 体 状 態が 存 在 す る こ とで あ る.こ れ らは 高 ス ピ ン 異 性 体(high-spin モ ー メン トやg因

isomer)と

呼 ば れ,4重

極

子 な ど の 性 質 が よ く調 べ られ て い る.非 集 団 的 回 転 ス キ ー ム

の も う1つ の 特 徴 と して は,そ れ ぞ れ の状 態 は 不 規 則 で 互 い に 関係 が な い よ う に 見 え るが,平

均 と し て は 対 応 す る変 形 を持 っ た,(一 様 な 密 度 分 布 の)剛 体 の

慣 性 モ ー メ ン トに 対 応 した 回転 状 態(剛 体 的 回転)を 成 し て い る こ とで あ る.   図3.63の152Dyの

励 起 ス ペ ク トル にお い て,Iπ=22+か

ら60+に

もお よ

ぶ きれ い な 回 転バ ン ドが 見 られ る.こ れ は3.5.1で 述べ た 長軸 と短 軸 の 比 が2:1 (変形 度 が  に相 当)の 回転 楕 円体 の 回転 状 態 で あ る と考 え られ る.こ の バ ン ドは"巨 大 変形"で あ る ため,バ ン ド内のE2遷 移 のB(E2)値 はWeisskopf単 位 の2660倍

に もお よび,超 変 形 回 転バ ン ド(super-deformed

rotational band)

と呼 ば れ て い る.

  3.5.3  回 転 座 標 系 に お け る 粒 子 運 動   前 項3.5.2で で きるか,そ

概 観 し た高 ス ピ ン 回転 運 動 に 関 す る 実 験 事 実 をど の よ う に理 解 の 最 も基 礎 的 な 方 法 に つ い て 簡 単 に 述べ よ う.

  (a) ク ラ ン ク し た 殻 模 型   い ま変 形 した1粒 子 ポ テ ン シ ャ ルが 変 形 の 主 軸 の 回 りで 角 速 度 ωrotで一 様 に 回 転 し て い る場 合 を考 え よ う.図3.61の

よ う に,回 転 軸 をx軸

に とることに

す る.   空 間 固 定 座 標 系 か ら回 転 して い るポ テ ンシ ャル に固 定 され た 回転 座 標 系 に 移 っ て 考 え るの が 便 利 で あ る.回 転 座 標 系 に お け るハ ミル トニ ア ンH',あ

るい は 平

均 場 近 似 の ハ ミ ル ト ニ ア ン(1粒

子 ハ ミル ト ニ ア ン)h'は

(3.500) と書 か れ る.1粒

子 ハ ミル トニ ア ンhdefと

ミル トニ ア ンhNilsson,あ た はh'の

第2項

し て は,た

と え ばNilsson模

る い は 超 伝 導 状 態 に あ る と き に はhBCSを

−hωrotJxは

ク ラ ン キ ン グ 項(cranking

term)と

型のハ

と る.H'ま 呼 ば れ,回

転

座 標 系 に 移 っ た た め に 現 れ たCoriolis力

お よび 遠 心 力 の ポ テ ンシ ャル か ら な っ

て い る.こ

間 固 定系 に お い て 一 様 に 回 転 し て い る

れ ら の ハ ミル ト ニ ア ン は,空

ハ ミ ル トニ ア ン に 関 す る 時 間 依 存Schrodinger方 変 換(3.411)に

程 式(3.410)を,ユ

よ っ て 回 転 座 標 系 に 変 換 し たSchrodinger方

れ る 時 間 に 依 存 し な い ハ ミ ル トニ ア ン そ の も の で あ る.し 系 に お け る1粒

子 状 態 は,時

ニ タ リー

程 式(3.412)に た が っ て,回

間 に 依 存 し な い 定 常 状 態 のSchrodinger方

現

転座 標 程式

(3.501) の 解 と し て 求 め る こ と が で き る.   ク ラ ン キ ン グ 項 −hωrotJxは に 依 存 し な いSchrodinger方

別 の 見 方 を す る こ と もで き る.す

な わ ち,時

間

程 式

(3.502) は,拘 束 条 件

(3.503) を付 けた変分 問題

(3.504) と 同 等 で あ る.た

だ しIhは

ωrotは 拘 束 条 件(3.503)を

系 の 全 角 運 動 量 の 大 き さ で あ る.こ

の と き角 速 度

み た す よ う に き め ら れ るLagrangeの

未 定乗 数で

あ る.   回 転 系 で の 独 立 粒 子 運 動 は(3.501)式 法 を ク ラ ン ク し た 殻 模 型(cranked 系 で の エ ネ ル ギ ー 固 有 値e'(ωrot)を ダ イ ア グ ラ ム と 同 様 に,独

を 解 く こ と に よ っ て 得 ら れ る.こ

shell model,

CSM)と

ル ー シ ア ン(Routhian)と

呼 ぶ.ま

の方

た,回

転

い う.Nilsson

立粒 子 のル ーシ アンを角速 度 の関数 として描 いた

ル ー シ ア ン ・ダ イ ア グ ラ ム(Routhian diagram)は,集

団 的 回 転 に 対 し て独

立 粒 子 運 動 が ど の よ う に反 応 す るか を 示 し,た

いへ ん重 要な役 割 を果 た

す.図3.64に

そ の 一 例 を 示 す.こ

図 で は 変 形 し た1粒 ンhdefと

の

子 ハ ミ ル トニ ア

し てhNilssonが

と られ て お

り,対 相 関 の 効 果 が 取 り入 れ ら れ て い な い の で,具 hBCSに

体 的 に解析 す る場 合 に は

し な け れ ば な ら な い.ま

こ の 図 で は 実 線,点

線,破

線,一

た, 点鎖

線 に よ っ て 独 立 粒 子 状 態 の パ リ テ ィや シ グ ネ チ ャ ー(signature)と

い った 重

要 な 量 子 数 を 表 し て い る が,こ

れ らの

図3.64 

回 転 系 で の 中性 子 に 対 す る 独 立 粒 子 エ ネ ル ギ ー を 角 速 度 の 関 数 と して 示 す

量 子 数 に つ い て の 説 明 は 省 略 す る.

4重 極 変 形 度 は ∈2=0.26,16重

  ク ラ ン ク し た 殻 模 型(CSM)の 重 要 な 応 用 例 は,対

最 も

称軸に垂直な軸の

0.01,γ=0で164Er近 清 水 良文,"夏

極 変 形 度 は ∈4=

傍 の 原 子 核 に 対 応す る.

の学 校 講 義 録:高 速 回 転 お よび 巨大

変形 の 極 限状 態 に お け る原 子核 構 造"(2000)よ

り.

回 りに 回 転 す る 集 団 的 回転 ス キ ー ム に

従 う原子 核 の イラ ス ト領 域 の 回 転 ス ペ ク トル で あ る.基 底 状 態 近 傍 の あ ま り高 ス ピ ンで な い 基 底 状 態 回転 バ ン ド(基 底 バ ン ド)の 性 質 は 慣 性 モ ー メン トJに よって き まる.3.4.6に 求 め る に は,ク

お い て 詳 し く述 べ た よ うに,慣 性 モ ー メ ン トを微 視 的 に

ラ ンキ ン グ公 式 が 最 も一 般 的 で あ る.最 初 に提 案 され たInglis

の ク ラ ンキ ング 公 式(3.419)に ン グ公 式(3.420)に

対 相 関 の 効 果 を取 り入 れ たBelyaevの

クランキ

よ っ て,実 験結 果が よ く再 現 され る こ と はす で に 述 べ た.

  しか し なが ら,高 ス ピ ン に な る に した が って,す な わ ち回 転 の 角 速 度 ωrotが 大 き くな る に したが って,回 転 系 に お け る特 定 の1粒 子 状 態 のエ ネ ルギ ー(ル ー シ ア ン)が 下 が り,2個

の 準 粒 子 が こ の1粒

子 状 態 を 占 め る ほ うが エ ネル ギ ー

的 に 有 利 と な っ て 回 転 バ ン ド の 内 部 構造 の 変 化 が 起 こ る.こ の よ う な準 粒 子 の 励 起 を 回 転 整 列(rotational

alignement)と

呼 ぶ.な ぜ な らば,そ れ まで 変 形

軸 の 方 向 に束 縛 され て い た 準 粒 子 の 角 運 動 量が 回転 軸 方 向へ 整 列 す る こ とに 対 応 して い る か らで あ る.こ れ が 図3.60に

示 し たバ ン ド交 差 現 象 で あ り,慣 性

モ ー メ ン トの 後 方 歪 曲現 象 で あ る.こ の よ う なバ ン ド交 差 現 象 は基 底 バ ン ド だ

けで は な く,励 起 回転 バ ン ドに お い て も系 統 的 に 観 測 され て お り,CSMに

より

そ の 機構 が 理 解 され て い る.

  (b) 非 集 団 的 回 転 ス キ ー ム の 場 合,そ

の他

  ク ラ ン ク した 殻 模 型(CSM)は,対 称 軸 回 りに 回 転 す る非 集 団 的 回転 ス キ ー ム の場 合 に も応 用 可 能 で あ り,前 項 と ま っ た く同様 にCSMの 準粒子 ルーシア ン を考 え る こ とが で きる.し か しなが ら,こ の と きの 角 速 度 ωrotの 意 味 に は 若 干 の 違 い が あ り,注 意 が 必 要 で あ る.非 集 団 的 回 転 ス キ ー ム の 場 合 に は,集 団 的 回転 が な い の で 変 形 ポ テ ン シ ャルが 角 速 度 ωrotで 回転 し て い る と考 え る こ と は で き な い か らで あ る.こ の 場 合 の ωrotは,(3.502)∼(3.504)式 うに,回 転 軸 方 向 に 角 運 動 量 を生 成 す る た め のLagrange未 た す もの と考 え れ ば よい.こ の よ うに解 釈 して,CSMの

で述べ た よ

定乗数の役割 を果

準 粒 子 ル ー シ ア ン を計

算 し,具 体 的 な 原 子 核 に応 用 して 非 集 団 的 回 転 ス キ ー ム の解 析 が な され て い る.   こ こ まで の議 論 で は,高 ス ピ ン状 態 で の 原 子 核 の 変 形 が ど の よ うに きま る か につ い て は論 じな い で,あ が ら,3.5.1で

らか じめ 形 を 仮 定 して 議 論 を行 って き た.し か しな

述 べ た よ う に,核 変 形 は独 立 粒 子 軌 道 の 殻 効 果 に 強 く依 存 す る.

この 殻 効 果 を評 価 す る方 法 がStrutinsky法

で あ っ た.し た が って,イ

域 で の 変 形 を 自 己無 撞 着 的 に求 め る た め に は,Strutinsky法 模 型 の 場 合 に 拡 張 す れ ば よい.す

な わ ち,ク

を ク ラ ン ク した 殻

ラ ン ク し たStrutinsky法

実 際 に その よ うな 方 法 を応 用 し て,た とえ ば 図3.63に

ラス ト領

で あ る.

示 し た よ うな球 形 多 フ ォ

ノ ン ・バ ン ド,小 さ くプ ロ レ ー ト型 変 形 し た 集 団 的 回 転 バ ン ド,オ ブ レ ー ト型 変 形 の 非 集 団 的 回 転 スキ ー ム,さ に 説 明 で き る こ とが 示 され,高

ら にプ ロ レ ー ト型 超 変 形 回 転 バ ン ドが 合 理 的

ス ピ ン 回 転 運 動 の 統 一 的 理 解 が 得 られ る に至 っ

て い る.

3.6  巨

大

共

鳴

  こ こ まで に議 論 して き た原 子 核 に お け る 集 団 運 動 は,特 に 集 団 性 の 強 い低 励 起 状 態(そ の 典 型 は 偶 々球 形 核 の2+フ

ォノ ン励 起 状 態 や 変 形 核 の 集 団 的 回 転

状 態 な ど)で あ っ た.は た して こ の よ うな低 励 起 集 団 運 動 状 態 だ け が 原 子 核 の 集 団 運 動 な の だ ろ うか.

図3.65  実 線 はBreit-Wignerの 4.2MeVと Vol. Ⅱ

と ら れ て い る.A. (1969),

Chap.

  偶 々 核 の 第1励

197Auに

よ る光 吸 収 反 応 の 断 面 積

共 鳴 公 式(3.507)の

6よ

起2+状

Bohr

and

B.

値 を 示 す.た R.

Mottelson,

だ し,Eres=13.9MeV,Γ= Nuclear

Structure,

Benjamin,

り.

態(2+1)の

励 起 エ ネ ル ギ ーE2+1の

実 験 値 は 図3.2に

示 され て い る.一 方,E2+ 1を 流 体(液 滴)模 型 で 見 積 もっ たhω2を1/5倍 した ものが 同 じ 図 に 実 線 で 示 され て い る.こ れ らを 比べ る と,大 雑 把 に い え ば 質 量 数依 存 性 は 再 現 され て い る とい え な くは な い.し か し全 体 的 に流 体(液 滴)模 型 が 実験 値 を よ く再 現 して い る とは い い難 い.特 に,E2+

1の 殻 構 造 依 存 性 は,流 体(液 滴)模 型 に よっ て は ま っ た く説 明 で きな い こ とが 明 らか で あ る.   また,実 験 的 に は2+1状

態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー と,基 底 状 態0+1へ の 換算 遷 移

確 率 との 間 に は 強 い相 関が あ って,質 量 数 の 広 い 範 囲 に わ た っ て

(3.505) が よ く成 り立 つ こ とが 知 ら れ て い る.*67流 体(液 滴)模 型 で は,B(E2;2+1→0+1) は(3.53)式

で 表 さ れ る か ら,(3.505)式

に 対 応 す る 量 は,液

滴 模 型 で は(3.12)

式 を考 慮 す れ ば

(3.506) と な っ て,両 者 の 質 量 数 依 存 性 が 異 な る.   これ ら を総 合 的 に考 慮 す る と,液 滴 模 型 はBohr-Mottelsonの

集団模型の ア

イデ ア の 出 発 点 に な った と は い え,こ れ をそ の ま ま適 用 し て特 に 集 団 性 の 強 い *67 L

. Grodzins,

Phys.

Lett.

2(1962)

88.

2+低 励 起 集 団 運動 状 態 を理 解 す るの は 無 理 で あ ろ う.そ れ で は 原子 核 に は 流 体 (液 滴)模 型 が もっ と うま く当 て は ま る よ う な集 団運 動 は 存 在 し な いの で あ ろ う か?そ

の よ うな 集 団 運 動 こ そ,以 下 で 述 べ る 巨 大 共 鳴(giant

resonance)で

あ

る と考 え られ て い る.   巨 大 共 鳴 は 高 い 連 続 エ ネ ル ギ ー 状 態 の 中 に 見 出 さ れ る 集 団 的 励 起 状 態 で あ る. そ の1例

と し て,図3.65に197Auに

双 極 共 鳴(giant

dipole

よ る光 吸 収 反 応 の 断 面 積 に見 られ る 巨 大

resonance; Iπ=1-,T=1)が

  巨 大 共 鳴 の 励 起 断 面 積 σ(E)はBreit-Wignerの

示 さ れ て い る. 共 鳴 公 式 に よ っ て,

(3.507) と 表 さ れ る.こ

こ でEresは

共 鳴 エ ネ ル ギ ー(resonance

大 共 鳴 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー で あ り,Γ 巨 大 共 鳴 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー は,粒 ギ ー 状 態 で あ る か ら,時

energy),す

は 共 鳴 幅(resonance

なわ ち巨

width)で

あ る.

子 放 出の し きい値 よ りも高 い 連 続 エ ネ ル

間 と と も に 崩 壊 す る.こ

の と き の 寿 命〓

と共 鳴 幅Γ

と

の 間には

(3.508) の 関係 が あ る.   上 記 の 巨 大 双 極 共 鳴 は 最 も古 くか ら知 られ た 典 型 的 な 巨 大 共 鳴 で あ り,多 く の原 子 核 で 観 測 され て い る.そ れ らの 共 鳴 エ ネ ル ギ ーE(1-)は,大

雑把 に実

験式

(3.509) で表 され る(図3.66参 弾 性 散 乱 や,荷

照).巨 大 双 極 共 鳴 の ほか に,さ まざ まな粒 子 を用 い た 非

電 交 換 反 応 な ど に よ り,種 々 の 巨 大 共 鳴 が 見 つ か っ て い る.こ

れ ら につ い て は 後 で 概 観 す る(表3.2(p.285)参

  3.6.1 和

照).

則

  原 子 核 に お け る集 団 運 動 の 全 体像 を 理 解 す るた め に,和 則 は た いへ ん 重 要 な 役 割 を は た す.以 下 で こ れ につ い て 説 明 し よ う.   い ま系 の基 底 状 態￨0〉 に作 用 して,1粒 状 態)を 作 り出 す エ ル ミー トの1粒

子1空

孔 励 起 状 態(た とえ ば 巨 大 共 鳴

子 演 算 子Fを

応 に よ り核 を 励 起 させ る場 合 に は,1粒

考 え る.原 子 核 の 光 吸 収 反

子 演 算 子Fは

電 磁 的 な外 場 で あ る.こ

図3.66 

さ まざ まの 原 子 核 の 巨 大 双極 共 鳴 の共 鳴エ ネ ルギ ー

横 軸 は 質 量 数A.実

線 は 実 験 式(3.509)の

Nuclear

Benjamin,

Structure,

の1粒 子 演 算 子Fに

Vol.

値 を 示 す.A.

Ⅱ (1969),

関 す る和 則(sum

Chap.

Bohr 6よ

and

B.

R.

Mottelson,

り.

rule)は

(3.510) で 与 え られ る.こ

こで,状

態￨n〉 は 系 の ハ ミル トニ ア ンHの

固 有 状 態 で あ り,

そ れ ら は完 全 系 を作 る もの と し,そ の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 をEnと は1粒

子 演 算 子Fに

す る.Sk(F)

よ る励 起 強 度 関 数

(3.511) の κ次 の モ ー メ ン ト

(3.512) で あ る.{￨n〉}の

完 全 性 を 用 い れ ば,

(3.513) と 書 か れ る.

 さて,演 算 子Fに

よ って 励 起 され る状 態 の"エ ネル ギ ー"

(3.514) を 考 え る.kの

い ろ い ろ な 値 に 対 す る こ の"エ

数 の さ ま ざ ま な 情 報 が 得 ら れ る.も

ネ ル ギ ー"に

よ っ て,励

し あ る エ ネ ル ギ ー の 値 の1点

起強度関

に鋭 い ピ ー ク

が あ る と き に は,す

べ て のkに

対 す るεk(F)は

そ の ピ ー ク の 点 のエ ネ ルギ ー に

一 致 す る.

 た とえ ば

(3.515) を適 当 な 模 型 を用 い て 見 積 も る こ とが で きれ ば,演 算 子Fに

よっ て 励 起 され

る状 態 の 平 均 の励 起 エ ネル ギ ーが 得 られ る.そ の 結 果 を実 験 値 と比 べ る こ と に よっ て,そ の 模 型が 正 当 で あ る か 否 か を判 断 す る こ とが で きる.

 (a) 双 極 共鳴 の 場 合 の 和 則   前 に述 べ た原 子 核 に よる 光 吸 収 反 応 に お け る ア イ ソベ ク トル 型(T=1)巨

大

双 極 共 鳴 の場 合 の 和 則 につ い て 検 討 し よ う.  電磁 場(光)が 原 子 核 へ 及 ぼ す外 場 は 荷 電 を持 つ 陽 子 だ け に作 用 す るの で,い まの 場 合,双

極 共 鳴 状 態を 生 成 す る双 極 子 演 算 子F(E1)は

(3.516) と 書 か れ る.た

だ し

(陽 子 の と き)  (3.517)

(中性 子 の と き) で あ る.(3.516)式

を

(3.518) と書 き直 す と,右 辺 の 第1項 例 す る.つ

ま り外 場F(E1)の

は Σiziに 比 例 し,こ れ は 系 の 重 心 のz座 標 に比 中 の こ の 項 は 系 の 重 心 運 動 を励 起 す る け れ ど も,

内 部 励 起 は 起 こ さな い.わ れ わ れ の興 味 が あ る の は 原 子 核 の 内 部 励 起 で あ るか ら,以 後 この 項 を無 視 し,

(3.519) と す る.

  (3.519)式

の 演 算 子 に よ るk=1の

H=T+Vに

お い てVが

和 則 値S1(E1)は,系

の ハ ミル トニ ア ン

座 標 の み の 関 数 で あ る と す る な ら ば,

(3.520) とな るか ら容 易 に計 算 す る こ とが で き て,結 果 は

(3.521) と な る.*68Mは

核 子 の 質 量 で あ る.一

の 励 起 エ ネ ル ギ ー ε1(E1)を ば な ら な い が,こ

方,(3.515)式

に よっ て 双 極 共 鳴 の 平均

見 積 も る た め に は,和

則S-1(E1)を

の た め に は 少 し 工 夫 が 必 要 で あ る.*69ま

計 算 し なけ れ

ず和則

(3.522) の物 理 的 意 味 を 考 え て み よ う.た だ しFは

双 極 子 演 算 子(3.519)で

偶 々核 を 考 え,そ の基 底 状 態￨0〉の ス ピ ン ・パ リテ ィを0+と 光 を当 て,外 場F(E1)を を加 え る と,1次

あ る.い ま

す る.こ の 原 子核 に

作 用 させ る.す な わ ち摂 動 ハ ミル トニ ア ンH'=F(E1)

の摂 動 まで 考 えて,系

の 波 動 関数￨Φ〉は

(3.523) とな る.こ の 状 態 で 双 極 子 演 算 子F(E1)の

期 待 値 を計 算 す る と

(3.524) と な る か ら,Dは

和 則S-1(E1)に

  基 底 状 態￨0〉 がHartree-Fock基

ほ か な ら な い.

演 算 子Fは1体 態 で あ る.し

底 状 態 で あ る と し よ う.(3.519)式

の双極子

演 算 子 で あ る か ら,こ れ に よる励 起 状 態￨n〉 は1粒 子1空 孔 状 たが って 状 態￨Φ〉は1つ

のSlater行

列 式 で 表 され る はず で あ る.

*68  い ま原 子 核 の 内部 励 起 のみ を議論 の対 象 に して い るか ら

,厳 密 に いえ ば,(3.520)式

の運

動 エ ネルギ ー演 算子Tか

ら,重 心 運動 に関す る部 分 を除か なけ れば な ら ない.し か し,重

心 の 効 果 は 全体 の1/Aの

程 度 で あ る と推 定 され るので,こ こ で は無 視 し た.

*69 こ の 部 分 の 説 明 は に 負 っ て い る.

,鈴 木 敏 男,"原

子 核 の 巨 大 共 鳴 状 態"(物 理 学 最 前 線19),共

立 出 版(1988)

そ のSlater行

列 式 を 構 成 して い る1粒

子 波 動 関 数 を 

とす る と,

(3.525) とな る.こ

こで, 

は そ れ ぞ れ 中性 子 と 陽子 の密 度 分 布 で あ り,

(3.526) で あ る.(3.525)式

のDが

ρnと ρpの 差 で 構 成 さ れ る の は,(3.519)式

の双 極 子

演 算 子 に〓zが 入 っ て い て,陽

子 と 中 性 子 に 符 号 が 逆 の 作 用 を 及 ぼ す か らで あ る

(ア イ ソ ベ ク トル 演 算 子).換

言 す れ ば,原

め,陽

子 核 に 光 と い う外 場 を 作 用 さ せ た た

子 と 中 性 子 の 分 布 が 変 化 し て 偏 極(polarization)を

モ ー メ ン ト を 持 つ こ と に な っ た わ け で あ る.こ Dが

和 則S-1(E1)で

あ る.こ

生 じ,原

子 核が 双 極 子

の と き の 偏 極 度(polarizability)

の 概 念 図 が 図3.67に

示 さ れ て い る.

  そ こ で,以 上 を考 慮 し なが ら,液 滴 模 型 を用 い て 和 則S-1(E1)を

見積 も

る こ と に す る.原 子 核 が一 様 な 密 度 を 持 っ た 半 径Rの

球 とす る.核 子 の 密

度 分 布 をρ(r)と す れ ば,

(3.527) 図3.67 

陽 子 と中 性 子 が 一様 に 分 布 し て い る原 子 核 の 基 底 状 態 が 光 を吸 収 す る と,陽

で あ る.核 子 密 度 ρは(2.9)式 で与 え

子 と中 性 子が 逆 方 向 に励 起 ・移 動 し,偏

られ る.陽 子 と 中性 子 の 分 布 は そ れ ぞ れ

極 が 生 じ る.

(3.528) と な り,

(3.529) を み た す.   さ て,Weizsacker-Betheの E(Z,N)=-B(Z,N)が,ρ,ρp,ρnの  と 仮 定 す る.つ

質 量 公 式(2.7)で

与 え られ る 核 の エ ネ ル ギ ー

関 数 で あ る と 考 え,エ

ネ ルギ ー 密 度 を

ま り,こ の エ ネ ル ギ ー 密 度 を 積 分 し た もの が(2.7)

式(の 逆 符 号)を 与 え る もの とす る.こ こで は特 に(2.7)式 の 右 辺 第4項 の対 称 エ ネ ルギ ーの 項 に 注 目す る.こ の項 に対 応 す るエ ネルギ ー密 度 を  と す れ ば,そ れ は

(3.530) で あ る と 考 え られ る.実

際,(3.530)式

に(3.528)式

を 代 入 し て 積 分 す れ ば,

(3.531) が 得 られ るか らで あ る.   この核 に外 場(3.531)を

作 用 させ る と,当 然 偏 極 が 生 じ,核 のエ ネ ルギ ー,し

た が っ てエ ネ ル ギ ー密 度 に 変 化 が 生 じ る.そ の 変 化 分 は  で あ るか ら,対 称 エ ネル ギ ー の エ ネ ルギ ー密 度 は

(3.532) で あ る.外 場 と核 の 偏 極 とが 釣 り合 い を保 つ た め に は,

(3.533) の は ず で あ るか ら,

(3.534) が 得 ら れ る.こ

の 結 果 と(3.527)式

と な り, 

とを(3.525)式

で あ る か ら,和

に 代 入 し,積

分 を行 えば

則S-1(E1)は

(3.535) と な る.

  (3.521)式 す る と,ア

の 和 則S1(E1)と(3.535)式

を(3.515)式

に代 入

イ ソ ベ ク ト ル 双 極 子 共 鳴 の 平 均 の 励 起 エ ネ ル ギ ー ε1(E1)を

見積 も

る こ と が で き て,

の 和 則S-1(E1)と

図3.68 

双 極 共 鳴 に 対 す る 和 則 値 の 実 験 値S1(E1)expと

実 験 値 はE=30MeVま Nuclear

で 積 分 し た もの.横

理 論 値S1(E1)theorと

軸 は 質 量 数A.A.Bohr

Structure,Benjamin,Vol.Ⅱ(1969),Chap.6よ

と な る.Weizsacker-Betheの と す れ ば,流

体(液

の比

B.R.Mottelson,

り.

質 量 公 式(2.7)に

滴)模

and

型 に よ る ε1(E1)の

し た が っ てCsym=23.3MeV

値 は

(3.536) と な り,こ   (3.521)式 れ た.こ

の 結 果 は 実 験 式(3.509)に の 和 則S1(E1)は

模 型 に 依 存 せ ず(model-independent)に

の 結 果 と 実 験 値 と を 比 べ る こ と に よ っ て,観

を 知 る こ と が で き る.光 積 分)と

よ く 合 致 し て い る. 求め ら

測 され た 巨大 共 鳴 の 性 格

吸 収 反 応 の 全 断 面 積(す べ て の エ ネ ル ギ ー に つ い て の

和 則 値 との 関 係 は

(3.537) で あ るか ら,実 験 値 の 全 断 面 積(た と えば 図3.65の ら和 則 の 実 験 値S1(E1)expを

求 め,(3.521)式

種 々 の 核 に対 して 描 い た もの が 図3.68で 和 則 値 の 実 験 値 が 理 論 値 の ほ と ん ど100%を

断面 積 を積 分 した もの)か

の 理 論 値S1(E1)theorと

の比 を

あ る.こ の 図 か ら,巨 大 双 極 共 鳴 の 尽 く して い る こ と が わ か る.こ

の よ う に,巨 大 共 鳴 は 一 般 に 和 則 の ほ とん ど す べ て を尽 くす の が 特 徴 で あ る. GoldhaberとTellerは

この 点 に最 初 に注 目 し,巨 大 双 極 共鳴 は核 の す べ て の核

子 が 関与 し,陽 子 流 体 と 中性 子 流 体 の2種

類の流体が位相 をそろえて逆方 向に

運 動 す る 集 団 運 動(図3.67)で

  (b)ア

あ る こ と を 指 摘 し た.*70

イ ソ ス カ ラ ー 型 の 場 合 の 和 則S1,

  い ま1粒 子 演 算 子Fを

S3

ア イ ソス カ ラー 型(T=0の

子)に 限 る も の とす る.さ

ら にFは

状 態 の み を 励 起 す る演 算

粒 子 の 座 標 だ け に依 存 す る もの とす る.つ

まり

(3.538) と す る.ま

た 全 ハ ミ ル ト ニ ア ンH=T+Vに

依 存 す る 部 分 は 無 視 す る も の と す る.こ 容 易 に 求 め る こ と が で き る.す

お い て,相 の 場 合 に は,k=1の

互 作 用Vの

運動量 に

和 則 値S1(F)は

な わ ち,

(3.539) で あ る.し

た が っ て,個

々 の 励 起 状 態￨n〉 の 詳 細 を 知 る こ と な し に,(3.539)式

の 右 辺 を 計 算 す る こ と に よ っ て 和 則 値S1(F)を

  演 算 子Fが

求 め る こ と が で き る.

λ次 の 多 重 極 演 算 子 の場 合,す な わ ち 

の

場 合 の 和 則 値Sl(λ)は

(3.540) と な る.右 辺 の 〈r2λ-2〉 は基 底 状 態 で の 期 待 値 で あ り,半 径Rの

一 様 な球 形 の

密度分 布の場 合

(3.541) で あ る.

次 にk=3の

和 則 値S3(F)は

(3.542) と 書 か れ る.た

*70 M

. Goldhaber

だ し,

and

E.

Teller,

Phys.

Rev.

74

(1948)

1046.

で あ る.し

た が っ て,

(3.543) とす れ ば,和 則 値S3(F)は

(3.544) とな る.こ の 場 合 もS1の な し に和 則 値S3(F)を

 演算子Fが

と き と同様 に,個 々の 励 起 状 態￨n〉 の詳 細 を知 る こ と

求 め る こ とが で き る.

多重極演算 子 

の場 合に は,

(3.545)

で あ る.

  た と え ば,Fが4重

極 演 算 子(λ=2)の

場 合 に は,任 意 の 関 数 

に 対 し て 直接 計 算 を行 っ て,

(3.546) が 得 られ るか ら,

(3.547) と な る.こ こ で,〈T〉 は 基 底 状 態 に お け る運 動 エ ネ ル ギ ー の 期 待 値 で あ る.(3.540) と(3.547)式

を 用 い れ ば,λ=2に

対 す る(3.514)式

の"エ

ネ ル ギ ー"は

(3.548) と な る.

  い ま粒 子 の 運 動 が 通 常 の 殻 模 型 で 記 述 で き る とす る な らば,す

な わ ち調 和

振 動 子 ハ ミル トニ ア ン に 従 う とす る な ら ば,  で あ る か ら,  ギ ー" 

で あ る.こ の"エ ネ ル

が ア イ ソス カ ラー 型4重 極 励 起 状 態 の 平均 の 励 起 エ ネル ギ ー を

表 し て い る と考 え られ る.(1.16)式

に 示 した よ うに,通 常 の 殻 模 型 に お い て は

  で あ る か ら,ア quadrupole

イ ソ ス カ ラ ー 型 巨 大4重

resonance;Iπ=2+,T=0)の

極 共 鳴(giant

励 起 エ ネ ル ギ ー は

(3.549) と な り,*71表3.2(p.285)に

示 さ れ て い る 実 験 結 果 に よ く合 致 し て い る.

  早 い 時 期 に は,(3.540)式

にお

い て λ=2と

した と きの2+(T=

0)の 和則S1(λ=2)の

理論 値が 表

す 集 団運 動 は,集 団性 の極 め て 強 い低 励 起2+状

態 で あ るだ ろ う と

考 え られ た.し か し,こ れ らの 低 励 起2+状

態 に よる 和 則 の 実 験 値

図3.69 

を求 め た とこ ろ,理 論 値 の た か だ か10%程

度 しか 尽 くし てい な か っ

た(図3.69参

照).残 りの90%以

低 励 起2+状 態 に対 す る和 則 の 実 験 値 の 理 論 値 に 対 す る比

黒 丸が 実 験 値.横 軸 は 質量 数 を 示 す.鈴 核 の 巨 大 共鳴 状 態"(物 理 学最 前 線19),共 よ り.

上 が 行 方 不 明で 謎で あ った.上 述 の ア イ ソス カ ラー 巨 大4重 これ が 和 則 の90%以

極 共 鳴 が 発 見 され,

上 を 尽 くす こ とが わ か り,謎 が 解 け る に 至 っ た.

  上 述 の λ=2の4重

極 励 起 と 同 様 に,λ=0の

考 え る こ と も で き る.こ (breathing

木敏 男,"原 子 立 出 版(1988)

mode)で

ア イソスカラー型集団励起 を

れ は 球 形 の 原 子 核 の 半 径 が 収 縮 ・伸 張 す る 呼 吸 モ ー ド

あ り,核 物 質 の 非 圧 縮 率 に 関 係 し て い る.こ

演 算 子 は 

で あ る こ とが わ か っ て い る.λ=2の

ア イ ソ ス カ ラ ー 型 巨 大 単 極 共 鳴(giant

monopole

の と きの励 起

場 合 と 同 様 に し て,

resonance; Iπ=0+,T=0)

の励 起 エ ネル ギ ー は

(3.550) と な り,表3.2(p.285)に き の 和 則 の 理 論 値 を,巨

示 さ れ て い る 実 験 結 果 に よ く 合 っ て い る.ま

大 単 極 共 鳴 の実 験 値 が ほぼ 尽 くして い る こ とが わか っ

て い る.

*71 T

. Suzuki,

Nucl.

Phys.

た この と

A217

(1973)

182.

  3.6.2 

さ まざ ま な 巨 大 共 鳴

  光 吸 収 反 応 に よ っ て 最 も以 前 に見 出 され た 巨 大 共 鳴 が,す (λπ=1-)振

動 状 態 で あ り,図3.67に

で に述べ た双極

示 され た よ うに,陽 子 群 と 中性 子 群 が

逆 位 相 で 振 動 す る とい う古 典 的 描 像 に対 応 し た 集 団 運 動 状 態 で あ る.こ の 状 態 を励 起 す る 演 算 子(3.516)が ル 型(T=1)の

ア イ ソス ピ ン演 算 子τzを 含 む ので,ア

イ ソベ ク ト

振 動 とい う.す で に述 べ た よ うに,こ の 巨 大 共 鳴 の 特 徴 は和 則

の ほ とん どす べ て を 担 って い る とい うこ とで あ る.こ れ は 核 を構成 す る全 核 子 が 関 与 す る集 団 運 動 で あ る こ と を意 味 す る.   1970年 代 に 入 り,電 子 や 陽 子 や α 粒 子 の 非 弾 性 散 乱 にお い て 新 た に 観 測 さ れ た のが,陽 子 群 と中 性 子 群 が 同位 相 で4重 ラ ー 型(T=0)の ん ど(90%以

極(λπ=2+)振

動 す る ア イソ ス カ

巨 大4重 極 共 鳴 で あ り,そ の 励 起 演 算 子 に 対す る和 則 の ほ と

上)を 担 うこ とが 見 出 され た.*72さ ら に 引 き続 い て 同 種 の 非 弾 性

散 乱 に よっ て,ア

イソ ス カ ラ ー 型(T=0)の

巨 大 単 極(λ π=0+)共

鳴が 見 出

され た.こ れ らア イ ソ ス カ ラ ー の 振 動 モ ー ドに 対 す る古 典 的 描 像 の概 念 図が 図 3.70に

示 され て い る.図3.70の(a)に

示 す λπ=0+の

単極振動 モー ドは核

の圧 縮 ・膨 張 運 動(呼 吸 運 動)に 対 応 し,核 物 質 の 圧 縮 率 に関 す る情 報 を与 え る もの で あ り,こ の 情 報 に よ り核 の 非 圧 縮 率(圧 縮 率 の 逆 数)Kが

(3.551) で あ る こ とが わ か った.な お,図3.70の(b)が ラ ー 型 巨 大4重

上 記 の λπ=2+の

ア イソ ス カ

極 共 鳴 の 古 典 的描 像 で あ る.

  上 記 の よ うに 古典 的対 応が 必 ず し も直 接 的 で な い 振 動 モ ー ド と して,(p,n)反 応 な ど の荷 電 交 換 反応 に よって 励 起 され る 陽子 と 中性 子 の荷 電 を交 換 す る荷 電 交 換 モ ー ドが あ る.1960年

代 の は じめ に(p,n)反 応 で非 常 に狭 い 幅(数100keV)

の共 鳴状 態 と し て見 出 され た ア イ ソバ リッ ク ・ア ナ ログ 状 態(isobaric analogue state:IAS)が

それ で あ る.*73こ の 共 鳴 状 態 はN>Zの

統 的 に 存在 し,励 起 前 の 親 核(N,Z)か *72 S

.Fukuda

M.Nagao R.Pitthan

and

Y.Torizuka,Phys.Rev.Lett.29

and

Y.Torizuka,Phys.Rev.Lett.30

and

M.B.Lewis and *73 J .D.Anderson,C.Wong

Th.Walcher,Phys.Lett.36B

ら測 った 励 起 エ ネル ギ ーが,い (1972) (1973) (1971)

F.E.Bertrand,Nucl.Phys.A196 and

中重 核 や 重 い 核 に系

J.W.McClure,Phys.Rev.126

1109. 1068. 563.

(1972)

337. (1962)

2170.

ちば ん 外

(b)

(a) 図3.70  (a)が

側 の1個

λπ=0+の

ア イ ソス カ ラー 型 の 振 動 モ ー ドの概 念 図

単 極振 動(圧 縮 ・膨 張 振 動).(b)が

の 陽 子 のCoulombエ

ネ ル ギ ー(Δc)と

λπ=2+の4重

極 振 動.

な る と 考 え られ た.す

な わ ち,

演算子

(3.552) を 考 え る と,T_が T_に

中性 子 を 陽 子 に 変 換 す る演 算 子 で あ る か ら,IASは

よ っ て 励 起 され る 状 態 

と 考 え ら れ,そ

この

の エ ネ ルギ ー は

 で あ る とみ な され た.*74   つ ま り,親 核 の1個

の 中性 子 が 消 滅 し,ス ピ ン ・軌 道 状 態 が 変 化 し な い1個

の 陽子 が 生 成 され,荷

電 の み が 交 換 され た 励 起 状 態 が 生 成 され る の で あ る.集

団 運 動 の 観 点 か ら考 え る と,特 にN≫Zの の1空

核 で は,荷 電 交 換 に よ って 中性 子

孔 が で き,そ れ と 同 じ ス ピ ン ・軌 道 状 態 の 陽子 の1粒 子 状 態 が 多 数 で き

る.IASは

こ の よ うな多 くの1粒

子1空

重 ね 合 わ さっ た 娘 核(Z+1,N-1)の

孔 状 態 が コ ヒー レ ン ト(coherent)に

集 団 的 励 起 状 態 で あ り,荷 電 が 変 化す る

こ と に よ る 対 称 エ ネル ギ ーの 引 き戻 す力(復 元 力:restoring

force)に よ って生

じ る振 動 モ ー ドで あ る と理 解 す る こ とが で き る.*75   そ の と きの 励 起 エ ネ ルギ ー は

(3.553) と な る.こ

こ で,ハ

ミ ル トニ ア ンHの

し な いCoulomb力

中 の 大 部 分 はT_と

な ど の 部 分Hcの

み が 残 る.こ

交 換 す る の で,交

換

の場合 の 和則 は

(3.554) *74 A

. M.

Lane

506. *75 K . Ikeda,

and

S.

Fujii

J.

M.

and

Soper,

Phys.

J. I. Fujita,

Rev.

Phys.

Lett.

Lett.

7 (1962)

2 (1962)

250;

169.

Nucl.

Phys.

37

(1962)

図3.71 

90Zr(p,n)90Nbで C.

と な る.も

Gaarde,

見 出 さ れ たGamow-Teller巨

Nucl.

Phys.

し ほ と ん ど 厳 密 に 

子 へ の 荷 電 交 換 がPauli原 100%近

くがIASに

発 見 は,荷

よ る陽 子 か ら中 性

の 原 子 核 で 系 統 的 に 見 出 され た.こ

則の

起 演 算 子 

に よっ て

の 状 態 は 理 論 的 に は 早 くか ら 予 言 され て い 1980年

代 に 入 りN-Z>1

れ が 巨大 双 極 共 鳴 と並 ん で 典 型 的 な 巨 大 共

鳴 で あ る と こ ろ のGamow-Teller巨 あ る.図3.71に

と な っ て,和

験 結 果 も そ う な っ て い る.

に は じ め て 実 験 的 に 観 測 さ れ,*77

  こ のGamow-Teller巨

り.

電 交 換 と 同 時 に ス ピ ン を 反 転 させ る よ う な 振 動

な わ ち,励

励 起 さ れ る 集 団 運 動 状 態 で あ る.こ

GTR)で

大 共 鳴

127cよ

理 で 禁 止 さ れ る な ら, 

モ ー ド の 存 在 を 示 唆 す る.す

1975年

(1982)

で あ り,T+に

集 中 す る は ず で あ り,実

  こ の よ う なIASの

た が,*76

A396

大 共 鳴(Gamow-Teller

示 し た90Zr(p,n)90Nbの

giant resonance;

デ ー タ は そ の1例

で あ る.

大 共 鳴 は 荷 電 交 換 と と も に ス ピ ン を 反 転 させ た 多 数 の

1粒 子1空

孔 励 起 状 態 が コ ヒー レ ン トに 重 ね 合 わ さ っ てで きる 集 団 的励 起 状 態

で あ り,そ

の 励 起 エ ネ ル ギ ー 

はIASの

場 合 と 同様 に

次 式 で 推 定 で き る:

*76 K *77 R 35

. Ikeda, . R.

S.

Fujii

Doering,

(1975)

1691.

A.

and

J. I. Fujita,

Galonsky,

D.

Phys. M.

Lett.

Patterson

3 (1963) and

G.

271. F.

Bertsch,

Phys.

Rev.

Lett.

(3.555) こ こ で,ハ

ミル トニ ア ンHの

演 算 子Y_と

中 の ス ピ ン 依 存 力HsとCoulomb力Hcな

交 換 し ない 部 分 の み が 残 る.ス ピ ン依 存 力Hsは

ど,

ス ピ ン軌 道 力 に

よ る部 分 εlsとス ピ ン依 存 の 中心 力 な ど の 部 分-α(N-Z)/Aで

近似す ること

が で きる.ま た こ の 場 合 の 和 則 は

(3.556) と な る.*78こ の 和 則 の90%以 験 的 に は,IASが100%近 50%∼60%し

上 がGTRに

集 中 す る と予 想 され て い た が,実

くで あ った の に対 し,こ の エ ネ ルギ ー 領 域 に お い て

か 観 測 され な か った.*79こ の失 わ れ た(missing)和

則 を め ぐ って,

(ⅰ)スピ ン依 存 力,特 に π 中 間 子 な どが もた らす 強 い テ ン ソ ル 力 に に よ る高 い エ ネル ギ ー領 域 へ の 分 散,と(ⅱ)π 中 間 子 と核 子 との 共 鳴 状 態 で あ る Δ 粒 子 (T=3/2,S=3/2)と

の 結 合 に よ る,*80も の と考 え られ た が,現

在 で は,そ

の 失 わ れ た和 則 の 多 くが 高 い エ ネ ルギ ー 領 域 に 分 散 して い る こ とが 実 験 的 に 確 か め られ て い る.*81   以 上 述 べ た よ う に,多 種 類 の さ ま ざ まな 巨 大 共 鳴 が 観 測 され て い る.そ れ ら の 主 な もの を整 理 し た の が 表3.2で

あ る.こ の表 に 上 げ た もの 以 外 に も,よ

高 い 多 重 度 を もつ 多 重 極 型 巨 大 共 鳴 や,ス

り

ピ ン振 動 型 や ス ピ ン ・ア イ ソス ピ ン

振 動 型 の 巨 大 共 鳴が 観 測 され て い る.*82ま た,そ の他 の 型 の励 起 演 算 子 に よ る 巨 大 共 鳴 の 存 在 が 理 論 的 に 予 想 され て い る. *78  IASお

よ びGTRの

のFermi型

励起 演算 子は

∫1お

移 はFermi型

,原 子 核 の β 崩 壊 に お け る 許 容 遷 移 の 演 算 子 で あ る と こ ろ

よびGamow-Teller型

∫σ に 対 応 す る.N>Z核

に お い て は 非 常 に 強 く抑 圧(hinder)さ

で は,低

れ,Gamow-Teller型

い状 態へ の遷

に おい ては 強 く

(∼1/10)抑 圧 され る こ とが 知 られ て い た.こ の 抑 圧 は こ れ ら の 集 団 運 動 状 態 の 存 在 に よ っ て 理 解 され る こ とが 示 され た[J.I.Fujita,S.Fujii and K.Ikeda,Phys.Rev.133 (1964) 549].(3.554)式 れ ぞ れFermiお

お よび(3.556)式

と 呼 ば れ る よ う に な っ た. *79 C .Gaarde,Nucl.Phys.A396 *80 鈴 木 敏 男 *81 酒 井 英 行

,池

*82 J .Speth Review

の 強 度 関 数S±

よ びGammow-Tellerを

の 添 え 字"(F)"お

示 す.こ

(1982)

127cよ

本 物 理 学 会 誌37

(1982)

,若 狭 智 嗣,日 (ed.),Electric

本 物 理 学 会 誌52 and Magnetic

(1997) 441. Giant Resonances

Physcis,World

Scientific

大共鳴

り.

田 清 美,日

of Nuclear

よ び"(GT)"は,そ

の こ と か ら,Gamow-Teller巨

664.

Publishing

in Co.,7

Nuclei (1991).

International

表3.2 

主な巨大共鳴

†  A>60の

原 子 核 に 対 す る大 まか な 表 式 で あ る .

注:IASは

ア イ ソバ リ ッ ク ・アナ ロ グ状 態 の略.IASは

1種 と考 え て よい.GTRはGamow-Teller共

鳴 の 略.

共 鳴 幅が 狭 い けれ ど も巨 大 共 鳴 の

4 クラス ター模 型

  1個 の 原 子 の 性 質 は,原 子 の 中心 とな る原 子 核 の 周 囲 の 平 均 ポ テ ン シ ャル の 中 の 多 数 の 電 子 の 状 態 に よ っ て き ま る.同 様 に,第1章 型 は,原 子 核 の さ ま ざ まな 性 質 が1つ

で 述 べ たjj結

合殻模

の 平 均 ポ テ ン シ ャル 内 の 多 数 の 核 子 の 状

態 に よ っ て 決 定 され る とい うア イデ ア に 立 脚 し て い る.し

たが っ て,殻 模 型 は

い わ ば 原 子 核 の"原 子 的描 像"で あ る.   これ に 対 し,原 子 核 の"分 子 的 描 像"も 考 え られ る.前 に 述 べ た よ う に,原 子 核 は ほ ぼ 一 定 の 密 度 の 液 滴 状 の多 核 子 系 で あ る と考 え る こ とが で き る.こ の 液 滴 に わ ず か ば か りの エ ネル ギ ー を 加 え る と,核 子 の す べ てが ば らば ら に な る の で は な く,い くつか の 核 子 の か た ま りに 分 割 され る と い う事 実 か ら,原 子 核 は い くつ か の 核 子 の 集 合 体 で あ るサ ブ ・ユ ニ ッ ト,す な わ ち核 子 の ク ラス タ ー (cluster)に よ って 構 成 され て い る とい うア イデ ア も成 立 し うる の で あ る.こ れ が 原 子 核 の"分 子 的描 像"で あ る.   原 子 核 の 分 子 的 描 像 に立 脚 し,あ る原 子 核 を い くつ か の ク ラス タ ーか ら な る と考 え て,そ

の ク ラ ス ターの 内 部 励 起,ク

ラ ス ター 間 の 相 対 運 動,お

よび そ れ

らの 間 の 結 合(相 互作 用)を 取 り扱 う模 型 を ク ラ ス タ ー模 型(cluster model)と 呼 び,こ

の模 型 で よ く記 述 され る構 造 を ク ラ ス タ ー構 造(cluster

る い は 分 子 的 構 造(molecule-like け る 分 子 的描 像 は,各

structure)と

structure)あ

い う.し たが っ て,原 子核 に お

々の ク ラ ス タ ー 内 の 核 子 間 の結 合 が 比 較 的 強 く,ク ラ ス

タ ー 間 の 相 関 が 比 較 的弱 い場 合 に初 め て 意 味 を持 つ こ と に な る.こ れ を 簡 約 し て 述 べ る と,"内

部 相 関が 強 く,外 部 相 関が 弱 い"と い う こ とが で きる.

  それ で は,実 際 の原 子 核 が この よ うな ク ラス ター構 造 を 示す で あ ろ うか.1960 年 代 か ら始 まっ た 軽 重 イ オ ン原 子 核 反 応 の 実 験 に お い て,α ク ラス ター 構 造*1 と考 え られ る 状 態 が,特

に 軽 い核 に お い て 少 なか らず 発 見 され た.も

ち ろん α

*1 2個 の 陽子 と2個 の 中性 子が 比 較 的強 く結 合 した α 粒 子 を核 内 の クラ ス ター とす る クラ ス ター 構 造 で あ る.

クラ ス ター だ け が 核 内 の ク ラス ター で は な く,そ の他 の ク ラ ス ター も考 え られ る.本 章 に お い て は,上 述 の"内 部 相 関 が 強 く,外 部 相 関 が 弱 い"と い う分 子 的描 像 が 原 子 核 に お い て ど の よ う に成 り立 っ て い るか,そ れ らが 核 子 間の 相 関 (核力)か ら出 発 し て,い か に 理 解 で き るか を検 討 す る こ とに し よ う.

4.1 

し きい 値 則 とIkedaダ

イアグ ラム

  原 子 核 に お け る"分 子 的 構 造"と は い う もの の,実 際 の 分 子 と は 大 い に異 な る 点が あ る.実 際 の 分 子 に お い て は,原 子 核 に お け る ク ラ ス ター に相 当す る の が 分子 を構 成 し て い る原 子 で あ る.原 子 に は 中 心 と な る原 子 核 が あ るが,原 核 に お け る ク ラ ス ター に は そ の よ うな 中心 とな る"核"が

な い.し

子

か も原 子 核

に お け る ク ラス ター を結 合 させ るの も,ク ラ ス ター 間相 互 作 用 を もた らす の も, そ の源 は と もに 核 子 間力(核 力)で あ る.こ の こ とが 実 際 の 分 子 と原 子 核 に お け る"分 子 的 構 造"と を 著 し く異 な る もの と して い る.こ の 点 を 明 らか にす る た め に 図4.1を   図4.1に

見 て い た だ きた い. はH2分

子,8Be原

子 核,お

よび 重 陽 子 の 場 合 の 結 合 ポ テ ンシ ャル

と相 対 波 動 関 数 の 概 略 が 示 され て い る.結 合 ポ テ ン シ ャル と して は,H2分 場 合 は水 素 原 子 の 原子 間 力 ポ テ ンシ ャル,8Be原

子の

子 核 の 場 合 は α-α ポ テ ン シ ャ

ル,重 陽 子 の 場 合 は 核 力 の 中 の 中心 力 ポ テ ンシ ャル が 描 か れ て い る.図4.1で

図4.1  H2分

H2分

子,8Be原

子 核,お

よび 重 陽子 の場 合 の 結 合 ポ テ ン シ ャル と相 対 波 動 関 数 の概 略

子 の 場 合 は 水 素 原 子 の 原 子 間 力 ポ テ ン シ ャ ル,8Be原

子 核 の 場 合 は α-α

ポ テ ン シ ャ ル,重

陽 子 の 場 合 は 核 力 の 中 の 中 心 力 が 描 か れ て い る.相

対 距 離 は 近 距 離 斥 力 の 作 用 半 径Rcを

て い る.エ

各 々 の 場 合 に 対 し て,そ

子,核

子 の 質 量 で あ る.)A.

I (1969) よ り.

ネ ル ギ ー の 単 位 はh2/(M0R2c)(M0は

268;

J. Hiura

Bohr and

R.

and

B.

Tamagaki,

R.

Mottelson, Prog.

Theor.

Nuclear Phys.

Structure, Suppl.

単 位 と し

れ ぞ れ 水 素 原 子,α Benjamin, 52 (1972)

粒 Vol.

Chap.

2

わか る よ うに,水 素 分 子 の 場 合 に は 結 合 ポ テ ン シ ャ ル に 比 べ て 結 合 エ ネル ギ ー が 比 較 的 大 き く,水 素 原 子 間 の 相 対 波 動 関 数 は極 め て 狭 い 領 域 に 局 在 化 され て い る.こ れ に対 し,8Be原

子 核 の 場 合 に は,結 合 エ ネ ルギ ーが 比 較 的小 さ く,相

対 波 動 関 数 は た いへ ん 広 い領 域 に広 が り,現 実 の 分子 と比 べ て ク ラ ス タ ー 的 構 造 が 弱 い こ と を示 して い る.   この こ とか ら も推 測 され る よ うに,原 子 核 に お け る分 子 的構 造 あ る い は ク ラ ス ター 構 造 を 示 す 状 態 は,系 の エ ネル ギ ーが 構 成 要 素 と な る ク ラス タ ー に 分 解 す る し きい(閾 ま た は 敷 居)値(threshold

energy)の

近 傍 に あ る と き に現 れ る.

この こ と は実 験 的 に も確 か め られ て い る.た と えば,8Beは を もつ 典 型 的 な原 子 核 と して 良 く知 られ て い るが,そ

α ク ラ ス ター 構 造

の 基 底 状 態 は2個 の α 粒

子 か ら構 成 され る 準 安 定(不 安 定)な 結 合状 態 で,そ の ま まで は2α に 分 解 し て し ま う.つ ま り,8Beの

基 底 状 態 は α+α に分 解 す る し きい 値 の す ぐ傍 に あ る.

  この よ うに ク ラ ス ター 構 造 を 示 す 状 態 は,そ の 系 の エ ネ ルギ ー が そ れ らの ク ラ ス ター に 分 解 す る し きい 値 の 近 傍 にあ る と きに 現 れ る と い う"法 則"で て,さ

もっ

まざ まな 軽 い 核 の 励 起 状 態 の ク ラ ス ター構 造 を整 理 す る こ とが 可 能 で あ

る.こ の 法 則 を し きい 値 則(threshold

energy rule)と 呼 ぶ.*2こ の し きい 値 則

は前 に 述 べ た"内 部 相 関 が 強 く,外 部 相 関が 弱 い"と い う分子 的 描 像 と完 全 に 整 合 して い る.   こ の し きい値 則 を規 範 に して,α

クラ ス ター を 基 本 単 位 とす る分 子 的構造 の

系 統 図 を描 くこ とが で き る.そ れが 図4.2に diagram)で

あ る.*3図4.2に

示 したIkedaダ

イア グ ラ ム(Ikeda

は,軽 い 自己 共 役4n核(Z=N=2n:(2p+2n)

を単 位 に し て,そ の 整 数 倍 の 核 子 に よ っ て 構 成 され る原 子 核)に お い て,よ 小 さい4n核

り

か らな る ク ラス ター 群 に分 解(分 裂)す る し きい 値 が 質 量 数 の 関 数

と して 示 され て い る.4n核

で は α 粒 子 が ク ラ ス ター の 基 本 単 位 で あ り,n個

の

α 粒 子 へ の 分 解 の し きい 値 が この 図 の 上 限 を与 え る.下 限 は そ の 系 の基 底 状 態 で あ る.す な わ ち,図4.2に

お い て,個

々 の ダ イア グ ラム は"し きい 値 則"に

則 っ て 考 え られ る可 能 な サ ブ ・ユ ニ ッ ト(ク ラス ター)を 示 し て い る.た と えば 12Cが3個 の α粒 子 にば らば ら に分 解 す る し きい 値 は7 .27MeVで あ り,励 起 *2  K

. Ikeda,

N.

Takigawa

(1968) 464. *3  本 ダ イ ア グ ラ ム は 化 図"と H.

,当

and

K.

Ikeda

Horiuchi,

初 原 子 核 の"分

呼 ば れ て い た が,現

Horiuchi,

H.

and

Prog.

Theor.

子 的 構 造 系 統 図",あ

在 で は 国 際 的 に も"Ikeda Y.

Suzuki,

Phys.

Prog.

Theor.

Suppl.

る い は"分

diagram"と Phys.

Suppl.

Extra

Number

子 的 構 造 へ の 系 統 変 し て 定 着 し て い る. 52

(1972)

Chap.

3.

図4.2  各 ダ イ ア グ ラ ム は"し

き い 値 則"に

Ikedaダ

イ ア グ ラ ム

則 っ て 考 え ら れ る 可 能 な サ ブ ・ユ ニ ッ ト(ク

ラ ス タ ー)を

示 し て い る.括 弧 内 の 数 字(単 位MeV)は し き い 値 の 実 験 値.対 角 線 上 に配 置 され て い る 8Be以 外 の 安 定 核 の 基 底 状 態 は ,殻 模 型 的 状 態(す な わ ち 原 子 的 描 像)で あ る と 考 え ら れ る. K.

Ikeda,

N.

(1968)

464;

(1972)

Chap.

Takigawa H.

Horiuchi, 4よ

and K.

H.

Horiuchi,

Ikeda

and

Prog. Y.

Theor.

Suzuki,

Prog.

Phys.

Suppl. cxtra

Theor.

Phys.

number Suppl.

52

り.

エ ネ ル ギ ー が この 値 に近 くな る と,12Cに

お い て は3個 の α ク ラ ス タ ーか ら構

成 され る ク ラス ター 構 造 が 顕 著 に な る わ け で あ る.ま た,図 の対 角 線 上(下 限) に 配 置 され て い る8Be以

外 の安 定 核 の 基 底 状 態 は,す べ て殻 模 型 的 状 態(す な

わ ち原 子 的 描 像)で あ る と考 え られ,そ の 近 傍 の 状 態 は1中 心 の平 均 ポ テ ンシ ャ ル で 記 述 され る通 常 の殻 模 型 に よ っ て理 解 で き る と考 え られ る.   し た が って,Ikedaダ

イ アグ ラム は,安 定 な 基 底 状 態 で は殻 模 型 的 描 像(原 子

的描 像)が 成 り立 つ 原 子 核 にお い て も,エ ネル ギ ー が 高 くな るに した が っ て種 々 の ク ラ ス タ ー構 造(分 子 的 描 像)へ 質 的 変 化 を生 じ る と い う こ と を 主 張 し,ど のエ ネ ル ギ ー 領 域 で ど の よ う な構 造 変 化 が 生 じ るか を 示 唆 して い る.Ikedaダ イア グ ラ ム が 示 す この よ うな 構造 変 化 を模 式 的 に表 した も のが 図4.3で

あ る.

Ikedaダ

イアグ ラム に整 理 され た

実験 事 実 と,そ れが 示唆 し てい る 構 造 変 化 が,真

に量 子 力 学 的 な

分 子 的 ク ラ ス タ ー構 造 へ の 構 造 変 化 と して 理 解 で き るか 否 か は, 微 視 的 理 論 と し て の ク ラ ス ター 模 型 を用 い て そ れ らの 状 態 を 詳 し く解 析 す る こ と に よ って は じ め て 明 ら か に され る.こ の こ と

図4.3 

Ikedaダ

イア グ ラ ムが 示 す構 造 変 化 の概 念 図

原 子核 の 基 底状 態 は 殻 模 型 的 構 造 が 下 限 で あ る.励 起 エ

を 検 討 す る の が 本 章 の 目標 で あ

ネ ルギ ー の 上 昇 と と もに,ク

る.*4

ラス ター に 分 解 し,分 子 的

構造 へ の 変 化 が 起 こ り,上 限 の α ク ラ ス ター 群 の 分 子 的構 造 へ 至 る.逆 に エ ネ ルギ ーが 下 降 す る に し たが って, 分 子 的 構 造 か ら融 合的 変 化が 起 きる.

4.2 

ク ラ ス タ ー構 造 の 概 観

  こ の 節 で はp殻(p-shell:2と8の び0p3/2の1粒

マ ジ ッ ク ナ ン バ ー の 間 の 領 域:0p1/2お

子 準 位 で 構 成 さ れ る)やsd殻(sd-shell:8と20の

ン バ ー の 間 の 領 域: 

お よ び0d5/2の1粒

よ

マ ジ ック ナ

子 準 位 で 構 成 さ れ る)に

お け る 典 型 的 な 原 子 核 の ク ラ ス タ ー 構 造 の 実 際 を 概 観 す る.

  4.2.1 

p殻 の は じめ の 領 域 で の ク ラ ス タ ー構 造

  原 子 核 にお い て ク ラ ス ター 模 型 が よ く成 り立 つ た め に は,2つ で あ る.1つ

は,強

の条件が必要

く相 関 し合 う核 子 群(サ ブ ・ユ ニ ッ ト)が 空 間 的 に局 在 化 し

た ク ラ ス ター を作 る とい うこ とで あ り,も う1つ は,そ の ク ラス ター 間 の 相 対 運 動 が か な り良 い 運 動 モ ー ドで あ る とい うこ とで あ る.そ の 意 味 で 核 内 にお け る ク ラ ス ター の最 有 力 候 補 は,2個

の 陽 子 と2個

の 中 性 子 が 結 合 した α ク ラ

ス ター で あ る.α ク ラ ス ターが 自由 空 間 に 孤 立 して 存 在 す る と きに は α 粒 子 (=4He)で

あ る.α 粒 子 は 表4.1に

示 す よ うに,周

大 きい 結 合 エ ネル ギ ー を持 っ て い る.さ *4  次 節 以 降 の 記 述 は International に 負 っ て い る.

,主

Review

と し てH. of Nuclear

Horiuchi Physics,

辺 の 核 と比 較 し て 際 立 っ て

らに α粒 子 には,基 底 状 態 か らエ ネル and

K.

World

Ikeda,

Cluster

Scientific

Model

Publishing

of the Co.,

Nucleus, 4 (1986)

1

表4.1 

こ こ には2核

子,3核

=2H),3Heお

子 お よび4核

子 系 の安 定 核 の結 合エ ネル ギ ー な ど

子 系 の 安 定 核 で あ る と こ ろ の,重

よび α 粒 子(=4He)の

(し きい 値:Ethres)が で あ る.Jπ

2-4核

結 合 エ ネ ル ギ ー(B.E.)と

示 され て い る.Tは

ア イ ソ ス ピ ン,Tzは

陽 子(d=2H),3重

陽子(t

最 も低 い 分 解 種 の 分 解 エ ネ ルギ ー そ のz成

分 で, 

は 全 ス ピ ン とパ リテ ィで あ る.

ギ ー が20.21MeVに

な る ま で 励 起 状 態 が な く,し

た が っ て 極 め て"堅

い"核 子

系 で あ る と い え る.   結 合 エ ネ ル ギ ー の 大 き さ で 見 る と,核 有 す る核 は α 粒 子 で あ り,次 に3重 に 至 る と わ ず か2.224MeVの

内 の ク ラ ス タ ー と して の 最 適 な 資格 を

陽 子(t)や3Heと

続 く.し か し,重

結 合 エ ネ ル ギ ー し か 持 た ず,と

陽 子(d)

て も ク ラ ス ター と

し て の 資 格 を 有 す る と は い い 難 い.   p殻 の は じ め の 領 域(ZやNが た はp),2核

子np,3核

子nnp(ま

る 原 子 核5He(5Li),6Li,7Li(7Be)お (p),d,t(3He)お energy)に

少 な い 領 域)に

お い て,α

た はnpp)お

粒 子 に1核

子n(ま

よび α 粒 子 を付 け加 え て で き

よ び8Beの

基 底 状 態 か ら,そ

れ ぞ れn

よ び α 粒 子 を 分 離 す る と き の 分 離 エ ネ ル ギ ー(separation

注 目 し よ う.こ

れ は 各 々 の ク ラ ス タ ー を,自

由 空 間 に あ る対 応 す る原

子 核 と 仮 定 し た と き の ク ラ ス タ ー 間 の 結 合 エ ネ ル ギ ー で あ り,そ

れ らの 実 験 値

は そ れ ぞ れ,-0.89MeV

(1.578MeV),

-0 .09189MeVで

(-1.97MeV),1.475MeV,2.468MeV あ る.

  分 離 エ ネ ル ギ ー が 負 で あ る と い う こ と は,そ

の 系 に は 束 縛 状 態 が な く,そ

系 の 基 底 状 態 が 対 応 す る ク ラ ス タ ー 核 に 崩 壊 す る 共 鳴 状 態(resonance

の

state),

す な わ ち 準 束 縛 状 態 で あ る こ と を 示 し て い る.5He(α-n)(5Li(α-p))と8Be (α-α))が こ の 場 合 に あ た り,そ れ ぞ れ の 分 離 エ ネ ル ギ ー が 対 応 す る ク ラ ス タ ー 核 に 崩 壊 す る と き に 放 出 さ れ る エ ネ ル ギ ー で あ る.そ は 分 離 エ ネ ル ギ ー は 正 で あ り,そ み な さ れ る.注

れ ら は2つ

の 他 の6Li,7Li(7Be)で

の ク ラ ス ター の 結 合 エ ネ ル ギ ー と

目 す べ き は,6Li(α-d)と7Li(α-t)の

結 合 エ ネ ル ギ ー が,各

の ク ラ ス タ ー そ の も の の 結 合 エ ネ ル ギ ー よ り小 さ い か,あ

々

るいはわずかに小 さ

い 値 で あ る こ と で あ る.こ

れ ら の 事 実 が,LiやBe領

的 ク ラ ス ター 模 型(microscopic

cluster

域 の 原 子 核 の 構 造 を微 視

model)に

基 づ い て 系 統 的 に研 究 して

き た ゆ え ん で あ る.*5

  微 視 的 クラ ス ター 模 型 とは,各

々の クラ ス ター を構 造 の ない 粒 子(質 点)の よ

うに考 え た 初 期 の 素 朴 な ク ラス ター 模 型 と 違 っ て,そ れ らが 核 子 の 集 合 体 で あ る と い うこ と を考 慮 し,核 子 の そ れ ぞ れ の 自 由 度 をあ か ら さ まに 微 視 的 に 取 り 扱 う よ うな ク ラ ス ター 模 型 で あ る.微 視 的 ク ラス ター 模 型 に は,種

々 の表 現 法

が あ り,そ れ らの 詳 細 につ い て は 以 下 の 節 で 説 明 す る.混 乱 を生 じ る恐 れ が な い 限 り,以 下 で は しば しば 微 視 的 ク ラ ス ター模 型 を単 に クラ ス ター 模 型 と呼 ぶ こ とが あ る.

  4.2.2  8Beの2α

クラスター構造

  上 に 述べ た よ う に,自 由 空 間 で 孤 立 し た状 態 に お い て,結 合 エ ネル ギ ーが 際 立 っ て 大 きい の が α ク ラ ス タ ー で あ り,2個 ギ ーが0に

の α ク ラ ス ター 間 の 結 合 エ ネル

近 い ク ラ ス ター構 造 を もつ 系が8Beで

あ る.こ の系 は2つ の α ク ラ

ス ター か ら な る微 視 的 ク ラ ス タ ー模 型 を用 い,合 理 的 か つ適 切 な 核 子 間 力(核 力)に 基づ い て,早

くよ り詳 細 な理 論 的研 究 が な され た.*6そ の 結 果,基 底 回転

バ ン ドの3つ の 共 鳴 状 態 を α-α散 乱 の共 鳴状 態 と し て理 論 的 に 再 現 す る こ と に *5 1950年 代 後 半か ら

,微 視 的 ク ラス ター模 型 に よる クラ ス ター構 造 の研 究 が 徐 々に増 加 し,

1960年 代 に 入 る と系 統 的 に研 究 が な され て きた.代 表 的 な もの は,  (1)  K.

Wildermuth

Phys.  

E.

W.

 (2)  V.

G.

Schmid

R.

Nucl.

and

Phys.

Tamagaki

and

 (3b)  I. Shimodaya,

Th.

Kanellopoulos,

Nucl.

Phys.

7 (1956)

150;

Nucl.

449.

Neudatchin

Prog.  (3a) 

and

9 (1958/59)

R.

K.

Wildermuth,

and

Yu.

10

(1969)

H.

Tanaka,

Tamagaki

F.

Nucl.

Phys.

Simirnov,

26

Atomic

(1961)

463.

Energy

Rev.

3 (1965)

157;

275. Prog. and

Theor.

H.

Phys.

Tanaka,

34

Prog.

(1965)

191.

Theor.

Phys.

27

(1962)

585;

36

(1966)

793.   (3c)  J.

Hiura

and

I. Shimodaya,

Prog.

Theor.

Phys.

30

(1963)

977.

わ が 国 で 最 も精 力 的 に 行 っ た の が 北 大 グ ル ー プ(3)で 成 果 に 基 づ い て い る.そ   (3d) 

J. Hiura

あ り,以

下 の4.2.2は

それ らの研 究

の 成 果は

and

R.

Tamagaki,

Prog.

Theor.

Phys.

Suppl.

52

(1972)

Chap.

Theor.

Phys.

27

(1962)

793.

に ま と め ら れ て い る. *6  I

. Shimodaya,

 R. Tamagaki

R. and

Tamagaki H.

Tanaka,

and

H.

Prog.

Tanaka, Theor.

Prog. Phys.

34

(1965)

191.

2

成 功 し て い る.   基 底 回 転 バ ン ド を 構 成 す る3つ 値 よ り わ ず か0.0919MeVだ 励 起2+状 起4+状

態(励 態(励

底0+状

態(α 崩 壊 の し き い

け 上 に あ り,狭 い 崩 壊 幅Γ α=6eVを

起 エ ネ ル ギ ーEx=2.9MeV, 

)で あ る.こ

の 共 鳴 状 態 以 外 の 励 起 状 態 は16.63MeVに

た が っ て,こ

持 つ),第1

),お よ び 第2励

起 エ ネ ル ギ ーEx=11.4MeV, 

バ ン ド の3つ る.し

の 共 鳴 状 態 は,基

の 回転

お い て は じめ て 現 れ

の 回 転 バ ン ドと α ク ラス タ ーの 内部 励 起 との 結 合 は ほ とん

ど な い と 考 え て よ い だ ろ う.つ

ま り,こ

の 回 転 バ ン ド は2個

相 対 運 動 に よ る も の と 考 え て よ い だ ろ う.そ

の α ク ラ ス ター の

こで 系 全 体 の 波 動 関 数 を

(4.1) と仮 定 す る.φ(α1)お よび φ(α2)は2つ の ク ラ ス ター の 内 部 波動 関 数 で,自 由 空 間 内 の α 粒 子 の それ に等 しい もの と仮 定 す る.XJ(ξ)は 波 動 関 数 で あ り,Aは

系 の8個

ク ラ ス ター 間 の 相 対

の す べ て の核 子 に 関 し て全 波 動 関数 を 反 対称 化

す る 演 算 子 で あ る.   (4.1)式 に お い て,α 動 関 数XJ(ξ)が

ク ラ ス タ ー の 内 部 波 動 関 数 は 与 え ら れ て い る の で,相

み た す べ き方 程 式 を 求 め,そ

有 エ ネ ル ギ ー や 固 有 関 数 を 計 算 す る と い う方 法 は,共 method)*7と

呼 ば れ,し

ば しばRGMと

つ い て は 後 で 述 べ る こ と に す る.適 よ っ て2個

鳴 群 法(resonating

簡 略 表 示 さ れ る.そ

group

の 詳 しい 定 式 化 に

切 か つ 合 理 的 な 核 子 間 力 を 用 い,RGMに

の α ク ラ ス タ ー 間 の 相 対 運 動 の 散 乱 状 態 の 位 相 の ず れ(phase

が 求 め られ,上

対波

れ を解 くこ とに よって 相対 運 動 の 固

述 の 実 験 デ ー タ を よ く再 現 す る こ とが で き た.そ

shift)

の 結 果,8Be

の 基 底 回 転 バ ン ド は α-α の 典 型 的 な ク ラ ス タ ー 構 造 を も つ 状 態 で あ る こ と が 明 ら か に な っ た.*8こ

の 分 析 の 結 果,α-α

間 相 互 作 用 は 次 の2つ

の 特 徴 を もつ こ

とが 明 ら か に な っ た: (1) α-α 間 の 近 距 離 領 域(内 部 領 域)に は,芯 る.こ

れ は,α

ク ラ ス タ ー がPauli原

あ る こ と に よ る.し

た が っ て,構

半 径 

の 斥力 芯 が あ

理 に 従 う核 子 の 集 合 体(複 合 粒 子)で 造 的 斥 力 芯(structural

repulsive

core)

と 呼 ば れ て い る.*9

(2) 遠 距 離 領 域(外 部 領 域)で は,2個 *7  J *8  J *9  R

.A.Wheeler,Phys.Rev.52 .Hiura .Tamagaki

and

(1937)

の αが 接 触 す る 距 離 ∼3.5fmま

1083,1107.

R.Tamagaki,Prog.Theor.Phys.Suppl.52 and

H.

Tanaka,

Prog.

Theor.

(1972) Phys.

34

(1965)

191.

Chap.2.

でが 引

力 ポ テ ン シ ャ ル で あ り,そ の 強 さ は,Coulomb斥 ギ ー が ∼1.4MeVの

束 縛 状 態 を た だ1つ

力 を 除 く と,結

作 る程 度 で あ る.

こ の α-α間 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル を2原 子 分 子H2や た もの が 図4.1で

合エネル

重 陽 子 の場 合 と比 較 し

あ る.こ の 図 か ら,α-α 間相 互 作 用 はH2の

場 合 に比 べ て は

る か に弱 く,重 陽 子 の場 合 よ りわ ず か に 強 い こ とが わ か る.

 4.2.3 

sd殻 の は じめ の 領 域 での ク ラ ス タ ー構 造

 原 子 核 に お け る分 子 的 構 造 を持 つ状 態 が,p殻

の は じ め の 領 域 にの み 限 られ

る わ け で は な く,も っ と広 い領 域 で 発 現 す る 可 能 性 が あ る こ とは,殻 模 型 で 説 明 し 難 い 種 々の 不 思 議 な 回転 バ ン ドが 存 在 す る こ と に よっ て示 唆 され て いた が, 16Oや20Neで2体 分 子 的 な構造 が 見 られ る こ とに よ っ て確 実 とな った .   図4.4に16Oと20Neに さ れ て い る.Kは 成 分 で,1つ

回転 バ ン ドが 示

当 該 の バ ン ド 内 の 各 レ ベ ル の 全 角 運 動 量Iの

の バ ン ド を 通 じ て 共 通 の 良 い 量 子 数 で あ る.(詳

Bohr-Mottelsonの   16Oは

お け るKπ=0+とKπ=0-の

し く は 第3章

の

集 団 模 型 の 項 を 参 照 す る こ と.)

殻 模 型 の 言 葉 で い え ば2重

る.Kπ=0+の

閉 殻 核 で あ り,基

底 状 態 はIπ=0+で

回 転 バ ン ド は 励 起 エ ネ ル ギ ー が6.05MeVの

を バ ン ド ・ヘ ッ ド と し て そ の 上 に 形 成 さ れ て い る.ま バ ン ド は0+基

対称軸 方向の

第1励

起0+状

た20NeのKπ=0+回

底 状 態 を バ ン ド ・ヘ ッ ド と し て そ の 上 に 形 成 さ れ て い る.

図4.4 

16Oと20Neに

お け るKπ=0+とKπ=0-の

回転 バ ン ド

各 々 の 準 位 の 上 の 数 字 は 励 起 エ ネル ギ ー の値(単 位MeV).

あ 態 転

  他 方,こ

れ ら2つ

の 系 のKπ=0-バ

ン ド の エ ネ ル ギ ー は,と

バ ン ド よ り高 く,Iπ=1-,3-,5-,7-の る.し

も にKπ=0+

各 状 態 は α 崩 壊 の し き い 値 よ り上 に あ

た が っ て こ れ ら の 状 態 は α 散 乱 で の 共 鳴 状 態 と し て 観 測 され る.Kπ=0-

バ ン ド の 各 状 態 の α 崩 壊 幅 の 解 析 に よ っ て,こ

れ ら すべ て の 共 鳴状 態 に お い て

α ク ラ ス ター が 核 表 面 に 滞 在 す る 確 率 が100%に 事 実 は,16Oお

よ び20NeのKπ=0-バ

び α-16Oの2体   さ て,負

ン ド の 構 造 が,そ

れ ぞ れ α-12Cお

の よ

ク ラ ス タ ー 構 造 で あ る こ と を 示 し て い る.

パ リ テ ィ のKπ=0-回

る な ら ば,分

近 い こ と が わ か っ た.*10こ

転 バ ン ドが2体

子 物 理 学 で よ く知 ら れ た 反 転2重

え に 基 づ い て,2重

ク ラ ス ター 構 造 で あ る とす

項(inversion

doublet)*11の

考

項 の も う 一 方 の 片 割 れ の 正 パ リ テ ィの 回 転 バ ン ドが 近 くに

存 在 す る は ず で あ る.パ

リ テ ィ2重 項 の 対 称 性 か ら,対

れ の エ ネ ル ギ ー はKπ=0-バ に 上 に 述 べ たKπ=0+回

転 バ ン ドで あ り,*12そ

エ ネ ル ギ ー 準 位 は(2重

称 状 態 で あ る そ の片 割

ン ド よ り低 い と 予 想 さ れ る.そ

の片割れが まさ

れ ら のバ ン ドの 各 メ ンバ ー の

項 の 中 央 か ら 測 っ て)

(4.2a) (4.2b) と し て よ く表 さ れ る.た る.し

だ し,ΔE0は

た が っ て,"16Oお

バ ン ド は,(α+コ す",と

パ リ テ ィ2重 項 の 間 の エ ネ ル ギ ー 差 で あ

よ び20Neに

ア ー 核)と

お け るKπ=0+とKπ=0-の

回転

い う ク ラ ス タ ー 構 造 に 基 づ くパ リ テ ィ2重 項 を な

い う こ と が で き る.

  この 考 え 方 が 提 案 され た 当初 は,な か なか 受 け 入 れ られ 難 く,殻 模 型 的考 え 方 に 基 づ く検 討 も種 々な され たが,現 した もの とな っ て い る(4.6の"微 *10 R

.H.Davis,Proc.of

mar,1963 *11 H .Horiuchi

*12  20Neの

the

(Univ.of and

Third

California

強 い 状 態 と見 な され て い た.特

and

Conf.on

Reaction

between

Complex

Nuclei,Asilo

Press),p.67.

K.Ikeda,Prog.Theor.Phys.40

基 底 回 転 バ ン ドや16Oの

プ ン 殻 の4粒

在 で は この クラ ス ター 構 造 の 見 方 は 確 立

視 的 ク ラ ス ター模 型 の 適 用 例"参 照).

(1968)

励 起 回転 バ ン ドは に16Oの

277.

,殻 模 型 研 究 か ら α ク ラ ス タ ー 相 関 の

励 起 回 転 バ ン ド は,α

ク ラ ス タ ー 相 関 が 強 く,オ ー

子 と 芯 核 が 弱 く結 合 し て い る とす る 弱 結 合 殻 模 型(A.Arima,H.Horiuchi

T.Sebe,Phys.Lett.24B

(1967)

造 と し て 理 解 で き る と す る も の で あ る.

129)が

提 案 さ れ て い た.そ

れ を α ク ラス ター構

  4.2.4 

12Cの3α

ク ラ ス タ ー構 造 な ど

  3体 以 上 の 多 体 ク ラ ス タ ー 構造 に 関 し て は,典 3α ク ラ ス タ ー 構 造 が 確 認 さ れ て い る.そ

型 的 な 例 と し て12Cに

れ 以 外 に は,16Oに

し き い 値 近 傍 の 励 起 エ ネ ル ギ ー 領 域 に,4α

おいて

お い て4α 分 裂 の

の 線 形 鎖 状 構 造*13の

状 態 を示 唆 す

る 実 験 情 報 が あ る だ け で あ る.   12Cに

お い て 確 認 さ れ て い る3α

の わ ず か に 上 に あ り,励 10.3MeVの2+2状 い る.こ

ク ラ ス タ ー 構 造 は,3α

に 分 裂 す る し きい値

起 エ ネ ル ギ ー がEx=7.66MeVの0+2状

態 で あ る.こ

れ ら の 状 態 で の3つ

れ ら の2つ

態 とEx=

の 状 態 は 大 きい α 崩 壊 幅 を持 っ て

の α ク ラ ス タ ー は,線

形 鎖 状 で は な く,3α

が互

い に 緩 く結 合 し て い る状 態 で あ る と 考 え ら れ て い る.   16Oに

お い て4α

線 形 鎖 状 構 造 と 推 定 さ れ て い る 準 位 は,励

起 エ ネル ギ ーが

態 を バ ン ド ・ヘ ッ ド と し て,Kπ=0+回

転 バ ン ドを

Ex=16.95MeVの0+状

形 成 す る よ う に 見 え る 準 位 群 で あ る.*14こ

れ ら を 回 転 バ ン ド と み な せ ば,4α

線

形 鎖 状 構 造 を 予 想 さ せ る よ う な 極 め て 大 き い 慣 性 能 率 

図4.5 

16Oに

お け る4α

の 線 形 鎖 状 構 造 と 推 定 さ れ る 高 い 励 起 状 態 か らの 種 々 の 崩壊 モ ー ド

図 の 中 央 の,16.95MeVの0+状 Y. Suzuki,

H.

Horiuchi

*13 α ク ラ ス タ ー が1直

態 か ら 始 ま る 回 転 バ ン ド と み な さ れ る 状 態 群 が そ れ で あ る. and

K.

Ikeda,

Prog.

Theor.

Phys.

線 上 に 並 ん で い る よ う な構 造 .串

47

(1972)

1517.

刺 し さ れ た"だ

ん ご"を

連 想 すれ ば

よ い だ ろ う. *14 P. 160

Chevallier (1967)

, F. 827.

Scheibling,

G.

Golding,

I. Plesser

and

M.

W.

Sachs,

Phys.

Rev.

を持 つ.図4.5に

お け る中 央 に描 か れ て い る0+状

態 か ら始 ま る 回転 バ ン ド と

み な され る1群 の レベ ル が そ れ で あ る.   Morinagaは

軽 い 自己 共 役4n核

るい は8粒 子 励 起,に

に お い て,多

粒 子 励 起,た

と えば4粒

子あ

よっ て 系 全 体 が 再 組 織 され 大 き く長 く伸 び た 変 形 構 造 か,

あ る い は α ク ラス ター の 線 形 鎖 状 構 造 を考 え な けれ ば な らな い0+,2+状

態が

存 在 す る とい う考 え を提 案 した.*15こ の 考 え は ク ラ ス ター構 造 へ の 構 造 変 化 の パ イオ ニ ア 的研 究 と して 大 き な 影 響 を与 え た.い

まで は これ らの 状 態 は 線 形 鎖

状 構 造 で は な く,相 互 に緩 や か に 結 合 して い る 典 型 的 なnα ク ラス ター構造 で あ る と考 え られ,こ の 考 え は図4.2のIkedaダ   1960年

イ ア グ ラ ム に取 り入 れ られ て い る.

頃 か ら盛 ん に 行 わ れ た 重 イ オ ン核 ど う し の 反 応 の 実 験 は,原 子 核 の 分 子

的 状 態 に 関 す る 重 要 な 情 報 を 与 え た.特 12C+16Oお

よ び16O+16O反

に 軽 重 イ オ ン反 応,た

と え ば12C+12C,

応 に お け る 分 子 共 鳴(molecular

象 や 散 乱 励 起 関 数 に 見 出 さ れ る マ ク ロ 構 造 な ど で あ る.*16こ 子 的 描 像 の 拡 張 と 深 化 に 重 要 な 役 割 を は た し た.*17こ

resonance)現 れ ら は原 子 核 の 分

れ ら の 情 報 もIkedaダ

イ

ア グ ラ ム に 取 り入 れ ら れ て い る.

4.3  多 中 心 模 型

  い くつ か の ク ラ ス タ ー か ら 構 成 さ れ る ク ラ ス タ ー 構造 状 態 を,個

々の核 子 の運

動 の 自 由 度 に 基 づ い て 微 視 的 に 記 述 し よ う とす る の が 微 視 的 ク ラ ス タ ー 模 型 で あ る.微

視 的 ク ラ ス タ ー 模 型 に は い ろ い ろ な タ イ プ が あ るが,そ

で も あ り,そ model)で

れ ら の 模 型 の"原

の1つ

の タイプ

も い え る も の が 多 中 心 模 型(multi-center

あ る.

 こ の模 型 にお い て は,各 *15 H

型"と

ク ラ ス ター が 異 な る 中心 位 置 に あ り,各 々の ク ラ ス

.Morinaga,Phys.Rev.101

*16 実 験 結 果 の ま と め は

(1956)

254.

,

R.H.Siemssen,Proc.INS-IPCR Sympo.on Clustering Phenomena in Nuclei,ed. by H.Kamitsubo,I.Kohno and T.Marumori,(1975) p.233. D.A.Bromley,Nuclear Molecular Phenomena,ed.by N.Cindro,(North-Holland, 1978) p.3. *17 Y

.Abe,Y.Kondo

and

T.Matsuse,Prog.Theor.Phys.Suppl.68

B.Imanishi,Nucl.Phys.A125

A.Tohsaki-Suzuki,M.Kamimura 5.

(1969)

(1980)

Chap.4.

350.

and K.Ikeda,Prog.Theor.Phys.68

(1980) Chap.

タ ー に 属 す る 核 子 の 状 態 は,そ の 中心 位 置 を原 点 とす る調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャ ル に従 う殻 模 型 で 記 述 され る もの とす る.ま た,核 子 は も ちろ ん フ ェル ミオ ン で あ り,全 系 の 波 動 関 数 は 任 意 の2核

子 の交 換 に対 し て 反 対 称 化 され て い る こ

とが 必 要 不 可 欠 で あ る.こ れ ら の2核 子 が 同 一 の ク ラ ス ター に 属 す る と否 と に か か わ らず,こ れ ら2核 子 の 交 換 に 対 し て全 系 の 波 動 関 数 は 反 対 称 で なけ れ ば な ら な い.   さ て,系

がn個

の ク ラ ス タ ー(C1,C2,…,Cn)に

中 心 位 置 が ベ ク トル(R1,R2,…,Rn)で

よ っ て 構 成 さ れ,そ

表 さ れ る も の と す る.こ

れ らの

の場合の多

中 心 模 型 の 波 動 関 数 は 次 の 形 式 で 与 え ら れ る:

(4.3) こ こで,ψ(Ci,Ri)はRiを ク ラ ス ターCiを

中心 位 置 とす る

記 述 す る調 和 振 動 子 型 の 殻

模 型 の 反 対 称 化 され た 波 動 関 数 で あ る.N0 は 規 格 化 定 数,Aは

異 な る ク ラ ス ター に 属 す

る核 子 間の 交 換 に対 す る反 対 称 化 の演 算 子 で あ る.   1例

と し て,図4.6に3体

の3中

心 模 型 の 模 式 図 が 示 され て い る.こ

図 に お い て,3つ の 中 心 位 置 は,原

クラス ター系 の

の ク ラ ス タ ー(C1,C2,C3) 点Oか

ら の ベ ク トル 図4.6 

(R1,R2,R3)で

示 さ れ て い る.3つ

ス タ ー の 核 子 数 を そ れ ぞ れ(A1,A2,A3)と

の クラ す る と,こ

3体 クラ ス ター系 の3中 の模式図

れ ら の3つ

心模 型

の ベ ク トル は

全 体 の 重 心 の 位 置 ベ ク トル

(4.4a) と,2つ

の 相 対 位 置 ベ ク トル

(4.4b) に 変 換 さ れ る.

  この 多 中心 模 型 の 波 動 関数 は 取 り扱 いが 便 利 で,こ れ に よ るハ ミル トニ ア ンや さ まざ ま の演 算 子 の 期 待 値 な ど の計 算 が 比 較 的 容 易 で あ る.こ の多 中心 模 型 は,

そ の 多 中 心 の 位 置 を 生 成 座 標 と す る 生 成 座 標 法*18で 取 り扱 うた め にBrinkに と 呼 ば れ る.こ

よ っ て 導 入 され た の で,Brink模

model)*19

よ っ て 用 い ら れ た の で,

動 関 数 と 呼 ば れ る こ と も あ る.*20

  実 際 に 応 用 さ れ る 多 中 心 模 型 は,ク

系)で

型(Brink

の 模 型 波 動 関 数 は 古 く はMargenauに

Brink-Margenau波

系 で あ る.本

ク ラ ス ター 間 の 相 対 運動 を

節 で は,ま

ラ ス タ ー 数 がn=2,3,4の

ず 最 も 簡 単 な α ク ラ ス タ ー の2体

そ の 波 動 関 数 の 性 質 を 詳 し く検 討 し,次

α ク ラ ス タ ー の3体

系(3α

多 ク ラス ター

に 他 の2ク

系(2α

クラ ス ター

ラ ス タ ー 系,お

よび

ク ラ ス タ ー 系)の 多 中 心 模 型 の 例 を 示 す こ と に す る.

  4.3.1  2中 心 α ク ラ ス タ ー模 型   8Beは2個

の α ク ラ ス ターか らな る典 型 的 な ク ラ ス ター構 造 を持 つ 原 子 核 で

あ り,ク ラ ス ター 模 型 の原 点 で あ る.こ れ を 記 述 す る2中 心 ク ラス ター 模 型 の 波 動 関 数 の 性 質 に つ い て 述 べ よ う.

 (a) 2α ク ラ ス タ ー 系 の2中  2α ク ラ ス ター 系 の2中

心調和 振動子模型

心 模 型 の 波 動 関 数 は,(4.3)式

から

(4.5) と 表 され る.Aは

反 対 称 化 演 算 子,N0は

規 格 化 定 数 で あ る.α

2個 の 陽 子 と2個

の 中 性 子 か ら な る4He核

ター の 中 心 位 置 が そ れぞ れRi(i=1,2)に と きの1核

ク ラ ス ター で あ る.2つ

ク ラ ス ター は の α クラ ス

あ る調 和 振 動 子 模 型 を 考 え る.そ の

子 の 波 動 関数 を

(4.6) と表 す.た だ しr=(x,y,z)は

核 子 の位 置 を示す 位 置 ベ ク トルで あ る. 

は

核 子 の 荷 電 と ス ピ ンの状 態 を表 す 波 動 関 数 で あ り,  で あ る.し

た が っ て,核 子 の 荷 電 ・ス ピ ン状 態 に は4つ

 は 次 の4つ

の 異 な る場 合 が あ り,

の 異 な る値 を と る:

(4.7) *18 p

. 224の

*19 D by *20 H

脚 注*41参

照.

Proc.

International

. Brink, C.

Bloch,

. Margenau,

(Academic Phys.

School

Press, Rev.

1966)

59 (1941)

of Physics p. 37.

247.

"Enrico

Fermi"

course

36

(1965),

ed.

  他 方,空

間 部 分 φ0(r-R)は

EN=(N+3/2)hω

調 和 振 動 子 波 動 関 数 で あ り,エ

が 最 小 のN=0の

示 でN=2n+lと

波 動 関 数 で あ る.*21す

し て,n=0,l=0の(0s)軌

はN=nx+ny+nzと

ネル ギ ー 固有 値

な わ ち,極

道 状 態 で あ り,直

し て,(nxnynz)=(000)の

座標表

角座標表示で

軌道状 態の波動 関数

(4.8) で あ る.た

だ し,Mを

核 子 の 質 量 と し て, 

標(x,y,z)を(x1,x2,x3)と に よ り,直

表 し て い る.(4.8)式

角 座 標 表 示 を 

の 異 な る4つ

た,座

は 直 角 座 標 表 示 で あ る.場

合

と表 記 す る こ と も あ る.

  α ク ラ ス タ ー を 構 成 す る4つ ン が(4.7)式

で あ る.*22ま

の 核 子 は す べ て(0s)軌

の 状 態 に あ る の で,i番

ス タ ー の 反 対 称 化 さ れ た 波 動 関 数 は1つ

道 に あ り,荷

目(i=1,2)の1個

のSlater行

電 とスピ の α クラ

列 式 で 表 さ れ,

(4.9)

と 書 か れ る.こ

こ で(0s)軌

道 の 波 動 関 数 φ0(ik)は

(4.10) を 意 味 す る.(4.9)式

に お い て,粒

α1(i=1)に

対 し て は(1,2,3,4),2番

(5,6,7,8)と

と る.ま

た,後

子 番 号(i1,i2,i3,i4)は1番

目の ク ラ ス ター

目 の ク ラ ス タ ー α2(i=2)に

の 便 利 の た め,(4.9)式

の 

対 し て は を

(4.11) と 書 くこ と に し よ う. *21 調 和 振 動 子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 *22 第1章1

,固 有 関 数 に つ い て は,第1章1.1.1参 照. .1.1の 調 和 振 動 子 の 固 有 関 数(p.8)に お け る 調 和 振 動 子 パ ラ メ ー タ ー ν と,本

章 に お け る ν と は,定

義 が 異 な っ て い る こ と に 注 意 せ よ.

(4.9)ま

た は(4.11)式

の 

は

(4.12) と書 か れ る.α ク ラ ス ター を構 成 す る4つ

の 核 子 は すべ て(0s)軌

道 に あ るか

ら,波 動 関 数 の 空 間部 分 は 完 全 対 称 とな り,荷 電 ・ス ピ ン部 分 が 完 全 反 対 称 と な るの は当 然 で あ る.空 間 部 分 の 対 称 性 を記 号[4]で 示 し,そ の配 位 を(0s)4と 表 す.   2α ク ラス タ ーの2中 心 波 動 関 数 

は, 

と 

と

を(4.5)式 に代 入 し,

(4.13) と書 か れ る.こ こでAは

異 な る α ク ラ ス ター α1と α2に 属 す るす べ て の 核 子

間 の 交 換 に対 す る 反 対 称 化 の 演 算 子 で あ る.こ の 反 対 称 化 を行 う と,行 列 式 の 定 義 か ら,2中

心 波 動 関数 Ψ(R1,R2)は1つ

のSlater行

列式

(4.14) で 表 され る.   系 の ハ ミル トニ ア ンは,核 子 の 運動 エ ネルギ ー 

と核子 間の相 互 作 用 Σ υij

とで 与 え られ,

(4.15) と書 か れ る.た だ し,わ れ わ れ の 興 味 は もっぱ ら原 子 核 の 内部 運 動 の み で あ る か ら,重 心 の 運 動 エ ネルギ ーTGは

除 か れ て い る.

  2中 心 模 型 の波 動 関 数(4.14)に

よ る系

の エ ネル ギ ー 期 待 値 は 容 易 に計 算 す る こ とが で き る.2中

心 模 型 に 含 まれ て い る

パ ラ メー ター は,2つ

の α ク ラ ス ター の

中 心 位 置(R1,R2)お

よび 調 和 振 動 子 パ

ラ メ ー タ ー ν で あ る.こ れ らは 系 の エ ネ ル ギ ー期 待 値 を最 小 に す る と い う変 分 法 に よっ て きめ る こ とが で きる.す な わ ち,

=最

小値

  (4.16) 図4.7 

の 結 合 エ ネル ギ ー を α ク ラ ス タ ー 間 距 離dの

と す る よ う に パ ラ メ ー タ ー(R1,R2)と

関 数 と し

て 表 し て い る.

ν を き め る わ け で あ る. Y.

 の 場 合 の 計 算 例 が 図4.7 に 示 さ れ て い る.図

固 定 し,2つ

and Phys.

N.

値 はd0=3.0fm程

  (b) 2α 系 の2中

52

Prog. (1972)

228

の α ク ラ ス ター 間 の 相 対 距 離 

を 変 え た と き の エ ネ ル ギ ー 期 待 値 の 変 化 が 描 か れ て い る.エ な るdの

Takigawa,

Suppl.

よ り.

にはエ ネルギ ーが 最 小

と な る よ う な ν=ν0を

Abe

Theor.

ネ ルギ ーが 最 小 と

度 と な っ て い る.

心 模 型 と1中

心殻模型 の関係

  2中 心 模 型 の波 動 関 数(4.14)が

中心 間 の 相 対 距 離 

の よ う に 変 化 す るか を調 べ よ う.特 に,d→0の

と と もに ど

と き に1中 心 殻 模 型 の 波 動 関

数 に 移 行 す る こ と に注 目 し よ う.   わ か りや す くす るた め に,2つ わ ちR1+R2=0と

の α ク ラス ター の 重 心 を座 標 原 点 に と る.す な

す る.d=R1-R2と

す れ ば, 

とな る.   Slater行 列 式(4.14)に お け る1粒 子 軌 道 波 動 関 数  とは 互 い に 直 交 し て い な い.そ

こで,次

の よ う に直 交 す る2っ

と  の波 動 関 数 に変

換 す る の が 便 利 で あ る:

(4.17a)

(4.17b) こ の 変 換 を(4.14)式

の 波 動 関 数 に 対 して 行 う と,2中

心模 型の波動 関数は

(4.18) と な る.   新 た な1粒

子 軌 道 波 動 関 数 

は 互 い に 直 交 し,そ お よ び − のパリティ r→

れ ぞ れ+

を 持 つ.す

な わ ち,

−rに 対 し て φ+は 対 称,φ − は 反 対

称 関 数 で あ る.ま

た,そ

関 数 の 中 心d/2と

れ ら は2つ

−d/2の

(a)

の波動

図4.8 

ま わ りの(0s)

(b) 1粒 子 軌 道 波 動 関 数 の変 換 (4.17a)の

軌 道 を,そ れ ぞ れ 対 称 お よ び 反 対 称 に 重 ね

模 式図

合 わ せ た 軌 道 へ の 変 換 で あ り,原 子 分 子 物

(a):変 換 前 の波 動 関 数.ク ラ ス ター の 中 心が d/2と −d/2に 位 置 す る非 直 交 の1粒 子 波動

理 学 で の 原 子 軌 道(atomic

関 数 φ0.(b):変 換 後 の波 動 関 数 φ+と φ−. 互 い に 直 交 す る.矢 印 を 逆 に し た逆 変換 が 変

分 子 軌 道(molecular 対 応 し て い る.こ (a)が

orbital)か

orbital)へ

動 関 数 で,互 変 換(4.17b)で

の変換に

の 変 換(4.17a)を

変 換 前 の 波 動 関 数 で,ク

に 直 交 し な い"原

子 軌 道"波

ら

換(4.17b)で

模 式 的 に 示 し た も の が 図4.8で

ラ ス タ ー の 中 心 がd/2と 動 関 数 φ0で あ る.(b)は

い に 直 交 す る φ+と

あ る.

φ− で あ る.図

−d/2に

あ る.図

位 置する互い

変 換 後 の"分

子 軌 道"波

中 の 矢 印 を 逆 に し た 逆 変換 が

あ る.

  こ こ で ク ラ ス タ ー 間 の 距 離dが

小 さ い場 合 

の 

のふ る

まい を見 よ う.そ の た め に は 直 角 座 標 を使 って  表 し,(4.8)式

の

と

の 表 示 を用 いれ ば,

(4.19) と 表 さ れ る.し

た が っ て,d→0の

極 限 や,dが

小 さ い 場 合 に お い て は,

(4.20a) (4.20b)

とな る.こ

こ で 

底 状 態,φ1は

で あ り,φ0は 調 和 振 動 子 の 基

振 動 子 の 量 子 が1個

生 成 さ れ た 第1励

起 状 態 で あ る 

こ の 結 果 か ら明 らか な よ うに,対 称 な(+パ φ+(r,d)は1中

心 殻 模 型 の(0s)軌

軌 道 φ−(r,d)は1中

リテ ィの)分 子 軌 道

道 に移 行 し,反 対 称 な(− パ リテ ィの)分 子

心 殻 模 型 の(0p)軌

道 のz方

向 成 分(0p)m=0を

持 つ軌道

に 移 行 す る こ とが わ か る.こ の結 果 か ら,

(4.21) と な り,d→0の

極 限 で, 

位 を持 つ8Beの

配 位,あ

る い は[(000)4(001)4]配

殻 模 型 状 態 に 比 例 し た状 態 に な る こ と を 示 して い る.*23

  以 上 の結 果 か ら 明 らか に な った 大 事 な こ とは,2中 の 中心 に 近づ く(d→0)に

心 模 型 で は2中 心 が1つ

し たが って,殻 模 型 の特 定 の 配 位 が 表 現 され る(現

れ る)こ とで あ る.上 記 の 例 で は,2中

心 を結 ぶ 軸 の 方 向 に4つ

の核 子の軌 道

状 態 が(001)と

な る[(000)4(001)4]の

た が っ て,dが

大 き く2つ の α ク ラ ス ター が 互 い に そ の 表 面 が 少 し重 な り合 っ

て い る程 度 の 場 合 に は,2中

配位 を持 つ 状 態 が 現 れ る こ とで あ る.し

心 模 型 は 発 達 した2α

ク ラ ス タ ー 構 造 を表 現 し,

dが 小 さ く2つ の α ク ラ ス タ ー の 重 な りが 大 きい 場 合 に は,2α

ク ラ ス ター構

造 は 衰 退 し,殻 模 型 的 構造 の状 態 を表 現 す る こ と とな る.こ の と きの 殻 模 型 的 構 造 は,2中

心 を 結 ぶ 軸(z軸)方

向 に沿 って 核 子 密 度 が 大 き くな って い る こ と

か ら,ラ グ ビ ー ボ ー ル 状 に変 形 して い る構 造 とい う.殻 模 型 で は,そ の よ うな 変 形 の 構 造 は 通 常(x,y,z)軸

 

方 向 の 調 和 振 動 子 の量 子 数 の 分 布(配 置)の 仕 方

で 表現す る.そ の よ うな表現法 をSU(3)殻

模型 またはSU(3)

模 型 と い う.*24

*23 (4

.21)式

の 波 動 関 数 はd4の

因 子 を 含 む か ら,d→0の

極 限 でO(d4)の

な る が,こ の 因 子 は 規 格 化 定 数 に 吸 収 さ せ て 考 え れ ば 問 題 は な い. *24 J . P. Elliott, Proc. Roy. Soc. A245 (1958) 128, 562. J. P.

Elliott

and

M.

Harvey,

Proc.

Roy.

Soc.

A272

(1963)

557.

オ ー ダ ー で0と

  (c) 2α 系2中

心 模 型 の 重 心 座標 の 分 離

  前 述 した よ うに,わ れ わ れ は 特 に 原 子 核 の 内 部励 起(内 部 運 動)に 興 味 が あ る. した が っ て,系 の 全 波 動 関数 が,系

全 体 の 重 心 座 標 に 関 わ る部 分 と 内 部 座 標

に 関 わ る 部 分 と に分 離 され て い るの が 望 ま し い.こ こ で,上 述 の2α 系 の2中 心 模 型 の 波 動 関 数 か ら,重 心 座 標 を 分 離 す る方 法 を述べ て お こ う.   は じめ にRiに

中心 を持 つ1つ

の ク ラス タ ー を 考 え る.ク ラ ス ター 内 の4個

の 核 子 の 位 置 を これ まで は位 置 ベ ク トル 

は4核子の重心 

で 表 した が,今 後

からのベクトル 

表 す こ と に す る.こ れ らの ベ ク トル 

で

は 重 心XiGと

は独 立

の 内 部 座 標 とな る.こ の 内 部 座 標 を用 い る と,関 係 式

(4.22a) (4.22b) (4.22c) が 得 ら れ る.こ れ ら の 関 係 式 を(4.12)式

に 代 入 す る と,中 心 位 置 がRi(i=1,2)

に あ る α ク ラ ス タ ー の 波 動 関 数 は,重

心 座 標 と内 部 座 標 が 分 離 され た 形 に 表

さ れ,

(4.23) と な る.た り,内

だ し,φ(αi)(i=1,2)は

部 座 標 

各 々の α ク ラス タ ー の 内 部 波 動 関 数 で あ だ け で 書 か れ て い る.*25

  以 上 の 結 果 を 用 い る と,2α

系 の2中

心模 型 の 波 動 関 数 は

(4.24) と書 か れ る.こ こでAは

反 対 称 化 演 算 子 で あ り,

(4.25a) *25 内 部 座 標 ξ κ は κ=1,2,3,4の4個

あ る よ う に 見 え るが, 

自 由 度 か ら 重 心 座 標 の 分 だ け 減 っ て い て,独

で あ る か ら,全

立 な 内 部 座 標 は 実 質 的 に は3個

で あ る.

(4.25b) と す れ ば,波

動 関 数(4.24)は

(4.26a) と な っ て,重

心 座 標 が 分 離 さ れ た 形 と な る.た

だ し,

(4.26b) で あ る.

 4.3.2 

2中 心 調 和 振 動 子 殻 模 型

  前 項4.3.1に お け る2中 心 α ク ラ ス ター 模 型 を,さ らに 一般 の軽 い ク ラス ター の2中

心 模 型 の 場 合 に 拡 張 す る.拡 張 され た2中

数 の 特 徴 は 次 の2点

で あ る:

(1) 2中 心調 和 振 動 子 殻 模 型 の波 動 関数 は,2つ の1粒

心調和振動子殻模型 の波動関

の 中心 位 置 にあ る核 ク ラス ター

子 波 動 関 数 か ら構成 され る1つ のSlater行

列 式 で 与 え られ る.

(2) 2つ の核 ク ラス ターの 調 和振 動 子 パ ラ メー タ ー ν1お よび ν2が等 しい(ν1= ν2)場 合,2中

心 調 和 振 動 子 殻 模 型 の 波 動 関 数 は,重

心 座 標 の み を 含 む部

分 と,内 部 座 標 の み で 表 され る 内部 波 動 関数 の 部 分 に 分 離 され る.   これ らの2中

心 模 型 の 波 動 関 数 の 性 質 は,1中

心 調 和 振 動 子 模 型(通 常 の 殻

模 型)の 波 動 関 数 の 持 つ性 質 か ら導 か れ る の で,ま ず は じめ に1中 心 調 和 振 動 子 殻 模 型 につ い て復 習 を し て お こ う.

  (a) 1中 心 調 和 振 動 子 殻 模 型   1中 心 調 和 振 動 子 殻 模 型 に つ い て は,第1章1.1.1に て い る の で,こ

お い て 詳 し く述 べ ら れ

こで は 以 下 で 必 要 と な る 要 点 の み を あ げ て お く.

  原 点 を 中心 とす る調 和 振 動 子 殻 模 型 の1粒

子 ハ ミル トニ ア ンは

(4.27)

表4.2 

"記 号"'は

準 位(nl)のl=0

"縮 退 度"は

で あ り,エ

調 和 振 動 子 模 型 に お け る1粒

子 状 態(N〓2)

,1,2,… を 分 光 学 の 記 号"s,p,d,…"で 表 し た も の で あ る. 状 態 数 で あ り ,  で 与 え ら れ る.

そ の 準 位Nの

ネ ル ギ ー 固 有 値,固

有 関数 は

(4.28) で 与 え ら れ る.い

う ま で も な く,量 子 数 α はx,y,z軸

の 量 子 数 の 組 み 合 わ せ α=(nxnynz)で る.ま

た 第1章

子 数lお

の(1.3)式

よ び そ のz成

  こ れ ら の1粒

の1粒

向 き の2つ

を 入 れ る こ と が 可 能 で,結

局1つ

の1粒

殻(closed

れぞ れ に 陽子 と 中性 子 の 核 子 を 入れ る こ

状 態 に 核 子 を4個

つ め た(000)4の に核子 を

配 位 で あ る. よ びN=1の

shell)と

準 位 を 核子 が 完 全 に 占

な っ て い て 配 位 は 唯 一 で あ る.し

か し,

れ らの 準 位 を核 子 が 部 分 的 に 占 め る こ とに な

ま ざ ま な 配 位 が 可 能 で あ る.た 場 合,配

た は(nlm)

な わ ち α 粒 子 の 配 位 で あ り, 

こ れ ら の 中 間 の 核 に お い て は,こ

性 子 数〓8)の

子 状 態(nxnynz)ま

子 状 態 に は 合 計4個

配 位 は そ れ ぞ れN=0お

め た 配 位 で あ り,閉

り,さ

指定 す

子 状 態 が 示 さ れ て い る.

の 状 態 が 縮 退 し,そ

つ め た(000)4(001)4(100)4(010)4が16Oの

  4Heや16Oの

組 み 合 わ せ α=(nlm)で

の1粒

ネ ル ギ ー が 最 低 のN=0の

配 位(configuration)が4Heす 16個

運 動量 量

子 状 態 に エ ネ ル ギ ー の 低 い 方 か ら 順 番 に 核 子 を 入 れ て い く と,

ピ ン が 上 向 き,下

と が で き る.エ

あ

れ ら の 量 子 数 は 主 量 子 数n,角

分(磁 気 量 子 数)mの

さ ま ざ ま な 殻 模 型 の 状 態 が で き る.1つ は,ス

元調和振動子

指 定 さ れ,N=nx+ny+nzで

の よ う に,こ

る こ と もで き る.表4.2に 

上 の1次

と え ば(0p)殻

核(2〓

陽子数 または 中

位

(4.29) に お い て 

や 

の 種 々 の 組 み 合 わ せ が 可 能 と な る.こ

れ ら の 各 々 の 配 位 に 対 す る 波 動 関 数 が1つ

のSlater行

ら か で あ る.し

配 位 は そ れ ぞ れ,た

た が っ て,4Heや16Oの

列 式 で 表 され る こ とは 明 だ1つ

のSlater

行 列 式 で 表 さ れ るが,中 わ せ と な る.す

間 の 核 の 波 動 関 数 は い くつ か のSlater行

な わ ち 第1章

の1.2で

列 式 の重 ね 合

述 べ た 配 位 混 合(configuration

mixing)

で あ る.   こ こ で は1つ

の 配 位 のSlater行

る こ と と す る.i番 の 中 心 がRiに

列 式 で1つ

の 核 ク ラ ス タ ー の 状 態 を 代 表 させ

目 の 核 ク ラ ス タ ーCiがAi個

あ る も の と す る.各

の 核 子 か ら な る も の と し,そ

々 の 核 子 の 荷 電 ・ス ピ ン 状 態 を 含 む1粒

動 関 数 を 

と す れ ば,ク

ラ ス タ ーCiの

子波

波 動 関数 は

(4.30) と 書 か れ る.た

だ し,

(4.31) で あ り, 

は(4.28)式

で 与 え られ る 調 和 振 動 子 殻 模 型 の1粒

子 波 動 関数,

 は(4.7)式 の 荷 電 ・ス ピ ン波 動 関 数 で あ る.あ と の便 宜 の た め,簡 単 な 場 合 の 

の 具 体 的 な 関 数 形 を記 し て お こ う:

(4.32a)

(4.32b) こ こ で 調 和 振 動 子 パ ラ メ ー タ ー は 

で あ る.

  (b) 1中 心 殻 模 型 の 重 心 座 標 の 分 離   1中 心 調 和 振 動 子 殻 模 型 の 波 動 関 数 は,重 心 座 標 と内 部 座 標 に 関 す る部 分 が 分 離 され る こ とが 知 られ て い る.*26す な わ ち,(4.30)式

の 波 動 関 数 

が 次 の 形 に 分 離 され る の で あ る:

(4.33) た だ し,Xiは

ク ラ ス タ ーCiを

構 成 す るAi個

の核子 の重心

(4.34) *26 J

. P.

Elliott

and

T.

H.

R.

Skyrme,

Proc.

Roy.

Soc.

A232

(1955)

561.

で あ り, 

はXiを

含 まず,内 部 座 標 の み で 記 述 され る ク ラ ス ターCiの

内

部 波 動 関 数 で あ る.

  (4.33)式 の よ う に,波 動 関 数  こ と を,(0p)殻

が 重 心 部 分 と 内 部 波 動 関 数 と に分 離 され る

核 の 場 合 に つ い て 説 明 し よ う.

  (4.31)式 に お い て1つ

の ク ラ ス タ ー を と り上 げ,こ

の ク ラ ス タ ー を 構 成 す る1粒

波 動 関 数 を考 え よ う.簡 単 の た めRi=0と

す る.す

振 動 子 波 動 関 数 φα(r)を 考 え る.(4.32)式

に 示 し た よ う に,こ

子

な わ ち,原 点 を 中心 と した 調 和 の 波 動 関 数 はGauss

型 の 指 数 関 数 部 分 と多 項 式 の 部 分 とに 分 け ら れ て,

(4.35) と表 され る.こ

れ を(4.31),

(4.30)式 に 代 入 す る と,指

数関数 部分 は行 列式 の外 に く

く り出 す こ とが で き て,

(4.36a) (4.36b) と な る.(4.36a)式

に お け る指 数 関 数 の 部 分 は

(4.37) と 書 か れ る.(4.36),

(4.37)式

とRi=0と

置 い た と き の(4.33)式

と を 比 較 す る と,

こ の と き の 内 部 波 動 関 数 φ(Ci)は

(4.38) と 表 さ れ る.こ

の φ(Ci)が 重 心 座 標Xiを

な って い て,全

体 の 波 動 関 数(4.36a)は

含 ん で い な い な らば 真 の 内 部 波 動 関 数 に

重 心 座 標 が 分 離 され た こ と に な る.こ の こ と

を確 か め よ う.   あ る 関 数が 重 心 座 標Xiを け 平 行 移 動 させ た と き,す

含 な い と い う こ とは,す べ て の 粒 子 の 座 標 を 一 様 にaだ なわち

(4.39) と し た と き,そ の 関 数 がaに とでrκ-Xiが

よ らず 不 変 で あ る とい うこ とで あ る.こ

不 変 で あ る こ とは 明 らか で あ る か ら,φ(Ci)の

の平 行移 動の も

中の指数 関数 部分は不

変 で あ る.し

た が っ て,残

移 動(4.39)に

対 し て 不 変 で あ る こ と を示 せ ば よい.

  い わ ゆ るp殻

核(2〓

 が 平行

りの 行 列 式 の 部 分det

陽 子 数 ま た は 中性 子 数 〓8)の

場 合,配

位(4.29)に

行 列 式 部 分 が 不 変 で あ る こ と を示 そ う.こ の 行 列 式 を構 成 す るAi個 通 し番 号k=1,2,…,Aiを の 部 分 の1粒 はPαk(r)=1で

で あ る.ま

付 け,最 初 の4つ

子 状 態 とす る.こ れ ら4つ

たk=5,6,…,Aiの

子波動 関数の 多項式 部分

対 す るPCik(rk)は,そ

軌 道 状 態 は(001),(100),(010)の

そ れ ら の 多 項 式 部 分 は(4.32b)式

対 して 子状態に

の 状 態k=1,2,3,4を(000)4=(0s)4

の 状 態 に 対 す る1粒

あ る か ら,ｋ=1,2,3,4に

の1粒

れ ぞれ

いず れ か で あ り,

の φ1(x)で 与 え られ る.し た が っ て,こ れ ら の1粒

子 波 動 関 数 の 多 項 式 部 分 の 平 行 移 動(4.39)に

よ る変 化 は,a=(ax,

ay, az)と す れ ば,

(4.40a) (4.40b) (4.40c) (4.40d) と な る.こ

れ ら の 結 果 か ら,行

列 式 部 分 は 平 行 移 動(4.39)に

より

(4.41) と な る.た だ し, 

はax,

は  い て,行 1行-4行

ay, azの いず れ か で あ り,  の い ず れ か で あ る.行

を状 態 番 号,列

を粒 子 番 号 と す る と,5行-Ai行

列 式(4.41)に

お

の 定 数 に 比 例 す る 部 分 は,

に 比 例 す る こ と に な り,行 列 式 の 性 質か ら こ れ ら の 寄 与 は0と

な る.し

た

が っ て,

(4.42) が 成 り立 ち,平 行 移 動(4.39)の

も とで 行 列 式 部 分 は 不 変 で あ る こ とが わ か る.つ

波 動 関 数 φ(Ci)は 確 か に 重 心 座 標Xiを   さ ら に,調

和 振 動 子 殻 模 型 に お け るsd殻

場 合 に も,(0s)殻 され る.

芯,(0p)殻

ま り,

含 ん で い な い. 核(8〓

陽 子 数 ま た は 中 性 子 数 〓20)の

芯 が 閉 殻 で あ る 限 り,(4.33)式

の よ うに 重 心 座 標 が 分 離

  (c) 2中 心 模 型 のSlater行   2中 心 模 型 の2つ

列式

の ク ラ ス ター の そ れ ぞ れ の 波 動 関 数 が(4.30)式

つ のSlater行

列 式 で 与 え られ る な らば,全

つ のSlater行

列 式 で 表 され る こ と を 示 そ う.波 動 関 数 

の よ う に1

体 の 波 動 関 数 

も また1 は

(4.43) と 書 か れ る.た

だ し,Aは

2式 に お け る 反 対 称 化Aは,異 べ て に わ た っ て 行 わ れ,そ Pに

符 号 因 子(-1)P(=1(偶

系 の 全 粒 子 数A=A1+A2で な る ク ラ ス タ ーC1, れ は 第3式

あ る.(4.43)式 C2に

な ら な い.し

た が っ て,全

属 する核子の置換

置 換 の と き))を 付 し て す べ

て の 置 換 に つ い て の 和 を と る こ と に よ っ て な さ れ る.こ 行 列 式 をA1×A1とA2×A2の

属 す る核 子 の組 の す

に お け るC1とC2に

置 換 の と き),-1(奇

の 第3式

行 列 式 に 分 解 す るLaplaceの 系 の 波 動 関 数 は1つ

の 第

のSlater行

はA×Aの

展 開定 理 に ほ か 列 式 で 表 さ れ,

(4.44) と書 か れ る.こ のSlater行

列 式 を用 いれ ば,全 系 の 核 子 に 関 す る物 理 量 の期 待

値 や 行 列 要 素 が 容 易 に計 算 で き る.

  (d) 2中 心 模 型 の 重 心 座 標 の 分 離   1中 心 模 型 に お け る重 心 波 動 関 数 と内 部 波 動 関 数 を分 離 した 形 式(4.33)を い れ ば,2中

心模 型の全波動関数 は

用

(4.45) と な る.た れ2つ

だ し 

お よ び 

はそれぞ

の ク ラ ス タ ー に 属 す る 核 子 の 重 心 で あ る.

  2つ の ク ラ ス タ ー を 構 成 す る 調 和 振 動 子 パ ラ メ ー タ ー ν1と な わ ち 

ν2が 等 し い,す

の 場 合 に は,

(4.46a) と な る.こ

こ で 

で あ る.ま

た,

(4.46b) (4.46c) で あ る.し た が っ て,こ の 場 合 の全 系 の 波 動 関 数 は 重 心 座 標 が 分 離 され て,

(4.47) とな る.こ

こで 重 心 座 標 の 部 分 を反 対 称 化 演 算 子Aの

きた の は,そ

の 演 算 に 対 してXGが

不 変 で あ る か らで あ る.

  調 和 振 動 子 パ ラ メ ー タ ーが2つ ち 

の と き に は,重

外 に く く り出す こ とが で

の ク ラ ス タ ー に よ っ て 異 な る と き,す な わ

心 座 標 は(4.47)式

の よ うに 簡 単 に は 分 離 され な い.

 の場 合 に お い て 波 動 関 数か ら重 心 座 標 を取 り除 き,内 部 座 標 の み を含 む 内部 波 動 関 数 を作 る に は,複 雑 な 変 換 が 必 要で あ り実 際 的 で は な い.し た が っ て ν1=ν2を

仮 定 し て,(4.47)式

の よ う に重 心 座 標 が 簡 単 に分 離 で き る利 点 を

活 用 す るの が 模 型 と して 有 利 で あ る.   重 心 座 標 部 分 が 分 離 され て い る波 動 関 数(4.47)の な くて す む 点 で あ る.通 常,ク をRG=0と

利 点 は,重 心 座 標 を 考 え

ラ ス タ ー の 中 心 を 示 す パ ラ メ ー タ ーR1,R2

な る よ う に と る.こ

の 場 合,波

動 関 数 の重心 座 標部 分 は常 に

 で あ る か ら, 

と な る.一

方,物 理 的 な演 算 子Oは

重 心 座 標 を含 まな いの で,Oの

行 列 要 素 を計 算 す る に

あ た っ て,波 動 関 数 の 重心 座 標 部 分 は 考 え な くて よい.す

なわ ち,RG=0の

条 件 下 で,

(4.48) と な る.N0,N0'は

そ れ ぞ れ ブ ラ お よ び ケ ッ トベ ク トル の 規 格 化 定 数 で あ る.

  (e) 多 中 心 模 型 へ の 拡 張   上 述 の2中

心 模 型 を 多 中心 模 型へ 拡 張 す る こ と は容 易で あ る.3中

例 に あ げ て,そ

心模型 を

の 要 点 を示 そ う.

  3中 心 の 位 置 を示 す パ ラ メー ター(R1,

R2, R3)を,図4.6と(4.4)式

れ るパ ラ メー ター 

に示 さ

に 変換 す る と,2中

の 場 合 の 波 動 関 数(4.47)に

対 応 して,3中

心 模 型 波 動 関 数 

心模 型 は

(4.49a) (4.49b) と な る.た

だ し,

(4.49c) で あ る.(4.44)式 心 の 波 動 関 数  1つ のSlater行

の2中

心 の 波 動 関 数 Ψ(R1, も,3中

心 の1粒

R2)と

同 様 に,(4.49a)式

の3中

子 軌 道 殻 模 型 波 動 関 数 か ら成 る

列 式 で 表 さ れ る こ と は 明 ら か で あ る.

  (4.49c)式

の よ う な 座 標 の 取 り方 は,任

こ とが で き る.こ Jacobi座

意 の数 の多 中心 の場 合 に順 次 拡 張す る

の よ う な 座 標 をJacobi座

標 を 用 い れ ば,一

般 のn中

標(Jacobi

心 波 動 関 数 

式 と 同 様 な 形 の 重 心 分 離 型 に 表 さ れ る こ と は,ほ

  (f) 2中 心 模 型 の1体

お よび2体

子 波 動 関 数 のSlater行

る.こ れ らの1粒

呼 ぶ.

が,(4.49a)

と ん ど 自 明 で あ る.

演 算子の行 列要素

  2中 心 模 型 の 波 動 関数 は,(4.44)式 わ りの1粒

coordinates)と

に 示 す よ うに,2つ 列 式,あ

の 中心(R1,

子 波 動 関数 は 互 い に 直 交 す るわ け で は な い.多

ミル トニ ア ン や そ の 他 の 物 理 演 算 子 は,1体

R2)の

ま

る い は そ の 重 ね 合 わせ で 与 え られ

ま た は2体

くの 場 合,ハ

演 算 子 と し て 与 え られ

る.し た が っ て非 直交 の1粒 子 波 動 関 数 に よ って 構成 され るSlater行 列 式 に よ る,1体

お よ び2体 演 算 子 の 行 列 要 素 を計 算 す る方 法 につ い て 述べ よ う.

  全 系 の ハ ミル トニ ア ンHは,重 ギ ーTと

核 子 間の2体

心 運 動 エ ネ ル ギ ー を 除 いた 内 部 運 動 エ ネ ル

相 互 作 用Vで

次 の よ うに 与 え られ る もの とす る:

(4.50a) (4.50b) こ こで ∇2iは 粒 子iの 座 標 に 関す る ラ プ ラ シ ア ン,∇2Gは

重心座標 に関す るラ

プ ラ シ ア ンで あ る.   2体 相 互 作 用Vを

中 心 力 に 限 る もの とす れ ば,1,2番

目の 核 子 間力 の ポ テ

ンシャルは

(4.51) と書 か れ る.定

数WはWigner力(普

通 の 中 心 力)の 強 さで あ る.定 数B,H,M

は そ れ ぞ れBartlett力,Heisenberg力,Majorana力

の 強 さ を 表 す.こ

種 類 の 力 が 交 換 力(exchange

子 の ス ピン座 標 を交換 す

forces)で

あ る.PBは2核

るBartlett演

算 子,PHは

演 算 子PMは

位 置 座 標 の み を 交 換 す るMajorana演

れ ら3

位 置 座 標 と ス ピ ン 座 標 を と も に 交 換 す るHeisenberg 算 子 で あ る.2核

ン 座 標 お よ び ア イ ソ ス ピ ン 座 標 を 交 換 す る 演 算 子Pσ,P〓

は,そ

子 の スピ

れぞれ

(4.52)

と表 され る か ら,PB=Pσ

で あ る.核 子 は フ ェ ル ミオ ン で あ り,位 置 と ス ピ

ン と ア イ ソ ス ピ ン座 標 の す べ て の 交 換,す

な わ ち粒 子 の 交 換 に対 して 反 対 称

で な け れ ば な ら な い か ら, 

と な り,し た が っ て

 で あ る.   ハ ミル トニ ア ン(4.50)は 次 の よ うに1粒 子 演 算 子 と2粒 子 演 算 子 に分 け る こ とが で き る:

(4.53a) (4.53b)   以 下 に お い て,非 直 交1粒 子 波 動 関 数 か ら作 られ るSlater行 列 式 に よ る行 列 要 素 の 計 算 法 を述 べ る.2つ

のSlater行

列式

(4.54a) (4.54b) を 考 え る.た だ し,  2組 の 非 直 交1粒

お よび 

子 波 動 関 数 で あ る.物 理 演 算 子Oは

は, 核 子 の 交換 に 対 して 完 全

に 対 称 で あ るか ら 次 式が 成 り立 つ:

(4.55)

重 な り積 分   ま ず,波

動 関 数 Φ と Ψ の 重 な り積 分(overlap

式 に お い てO=1と

integral)を

求 め よ う.(4.55)

置 く と,

(4.56)

と な る.第2式

は(1,2,…,A)の

て の 和 を 意 味 し,符 で あ る.ま

す べ て の 置 換(P(1),P(2),…,P(A))に

号 因 子 は(-1)P=1(偶

たBは1粒

つい

置 換 の と き),=-1(奇

置 換 の と き)

子 状 態 の 重 な り積 分

(4.57) を行 列 要 素 とす る 行 列,￨B￨は

そ の 行 列 式 で あ る.

1粒 子 演算子 の行列 要素   1粒 子 演 算 子 を 

と な るが,右

とす る.こ

れ を(4.55)式

辺 の積分  

分 の 行 列 式￨B￨の

第i行

に 代 入 す る と,

は,(4.56)式 を  

の 重 な り積

で 置 き換 え た もの に

な っ て い る.こ の 第i行 に つ い て 展 開 す る と(Laplaceの

展 開 定 理),

(4.58) が 得 られ る.た

だ し,(B-1)jiは

行 列Bの

逆 行 列B-1の(ji)行

列 要 素 で あ る.

2粒 子 演 算 子 の 行 列 要 素

 2粒子演算子  計 算 の 都 合 上,あ

の行列要素を求める.いま

る1粒 子 状 態 の 完 全 系 

と にす る.こ れ を用 い る と,2粒

を導 入 す る こ

子 演 算 子Oijは

(4.59a) (4.59b) と 表 さ れ る.こ

の 表 示 を 使 う と,

となるが,右 辺の最後の積分  

は,

(4.56)式の行列式￨B￨の 第i行 を   で置き 換え,第j行 を   で置き換えたものになって いる.この行列式の第i行 と第j行 について展開すると(Laplaceの展開定理),

が 得 られ る.し た が っ て最 終 的 に2粒 子 演 算 子Oの

行列 要素は

(4.60) と な る.

  (g) 荷 電 ・ス ピ ン 飽 和 配 位 の 場 合 の 行 列 要 素   α,16Oや40Caな はZ=N=偶

ど を1つ

の ク ラ ス タ ー と 考 え る と,こ

数 で あ り,1つ

の 空 間 状 態 に 属 す る4つ

状 態(n↑),(n↓),(p↑),(p↓)の

量 数Aiを

の 異 な る 荷 電 ・ス ピ ン

す べ て を 核 子 が 占 め て い る.こ

を 荷 電 ・ス ピ ン 飽 和 配 位(saturated わ ち,質

れ ら の核 ク ラ ス ター

spin-isospin

持 つ 核 ク ラ ス タ ーCi(i=1,2)に

態 

が あ る と し て,1つ の4つ

configuration)と

 

い う.す

対 し,Ai/4個

な

の 空 間状

の 空 間 状 態 に 対 し 

の 荷 電 ・ス ピ ン ・空 間 状 態(こ

1粒 子 状 態 と い う)の す べ て を 核 子 が 占 め て い る こ と に な る.こ

ス ピン飽和配位 を

の よ う な配 位

と表す こ とにす る.

れ を ま とめ て の よ うな 荷 電 ・

  荷 電 ・ス ピ ン飽 和 配 位 を持 つ2つ

の ク ラ ス タ ー か らな る2中

心模型 波動 関

数 は,

(4.61) と書 か れ る.こ れ ら の 表 記 の 順 序 を荷 電 ・ス ピ ン状 態 を 共通 に す る もの の 順 に 並 べ 替 え る と,

(4.62) と書 く こ と が で き る.   (4.61)式

の Φ と 同 様 に,も

う1つ

の 荷 電 ・ス ピ ン 飽 和 配 位

を 持 つ2中

心模

型 の 波 動 関数

(4.63) を考 え,こ れ らの 波 動 関 数 Φ お よび Ψ に よ る物 理 演 算 子 の 行 列 要 素 の 計 算 を 行 う. 重 な り積 分   Φ を構 成 す る1粒 子 状 態 

お よび Ψ を構 成 す る1粒

子 状 態 

の重 な り積 分 は

(4.64a) (4.64b)

と な る.Bi1t1s1 びDと

,i2t2s2お

よ びDi1i2を

行 列 要 素 と す る 行 列 を そ れ ぞ れBお

よ

す る と,

(4.65) と な る.行

列Bは,(A/4×A/4)の

列 で あ る.行

列Bの

小 行 列Dを

逆 行 列B-1も

ま たDの

対 角 成 分 と す る(A×A)の 逆 行 列D-1を

行

用 いて

(4.66) と表 され る.以 上 の結 果 か ら2つ の2中

心 模 型 波 動 関 数 Φ,Ψ の 重 な り積 分 は

(4.67) とな る.た だ し,￨B￨お

よび￨D￨は,そ

れ ぞ れ 行 列Bお

よびDの

行 列 式 で あ る.

2体 相 互 作 用 の 行 列 要 素   (4.53)式 の ハ ミル トニ ア ンの 中 の1体 演 算 子 の 部 分 の 行 列 要素 は 簡 単 で あ る の で 割 愛 し,2体

相 互 作 用 の 部 分 の み の 結 果 を示 し て お こ う.

  2体 相 互 作 用Vを

交 換 力 を含 む 中心 力 に 限 定 す る と,(4.51)式

の よ うに 表 さ

れ るの で,

(4.68) と書 か れ る.演 算 子P〓 お よびPσ は,そ れ ぞ れ 荷 電(ア イ ソ スピ ン)お よび ス ピ ン の 交 換 演 算 子 で あ るか ら,

(4.69a) (4.69b) が 成 り 立 つ.こ

れ ら を(4.60)式

に 用 い れ ば,

(4.70)

が 得 ら れ る.た

だ し

(4.71) で あ る.

  この よ うに,荷 電 ・ス ピ ン飽 和 配 位 を 持 つ2中 心 模 型 の 波 動 関 数Φ,Ψ に対 す る重 な り積 分(4.67)や

行 列 要 素(4.70)に

に関 す る計 算 は す で に完 了 し,残

お い て は,ア

イ ソ ス ピ ン とス ピ ン

りの 空 間 軌 道 状 態 に 関す る計 算 の み を行 え ば

よい こ とに な る.

 (h) 近 接 した 極 限 に お け る2中

心 模 型 波 動 関数

  2つ の ク ラ ス タ ー の 中 心間 の 距 離 をR=￨R1-R2￨と

す る.2つ

タ ー が ち ょ う ど 接 触 す る 程 度 の 距 離 

に な る と,2中

型 の 波 動 関 数Ψ(R1,R2)は え ら れ る.そ R→0の

れ で は2ク

よ く発 達 し た2体

の 場 合 に つ い て 前 述 し た よ う に,そ

い う よ り ほ と ん ど 重 な っ た)

ど の よ う に な る で あ ろ う か.8Be=α+α の 答 え は,R→0の

極 限 に お い て1中

和 振 動 子 殻 模 型 の 波 動 関 数 に 帰 着 す る と い う こ と で あ る.8Be=α+α に つ い て は す で に 述 べ た の で,こ

心模

ク ラ ス ター 構 造 を表 現 す る と考

ラ ス タ ー 間 が 近 接 し た(と

極 限 で は,Ψ(R1,R2)は

の クラス

こ で は 

心調 の場合

の場合について見てみ

よ う.

 

模 型 の2中

と る と, 

心間 相 対 ベ ク トル をR=R1-R2と と な る か ら,2中

す る.重 心 位 置 を 原 点 に 心 模型 波動 関数 は

(4.72) となる.Aは

反対 称化演 算子 で あ る.規 格 化定 数Noは

(4.73)

で きめ ら れ,行

列Dは

(4.74) で 与 え ら れ る.￨D￨はDの

行 列 式 で あ る.た

だ し,1粒

子 軌 道 状 態(000)"お

よび

(nxnynz)'は

(4.75) で あ る.(4.32)式

の1粒

子 波 動 関 数 を用 い る と,

と な る か ら,

が 得 ら れ る.簡

単 の た め,ベ

す る.(4.75)式

の(000)"を(00nz)'で

ク トルRをz軸

と な る.こ れ らの 結 果を(4.72)式

とな る.し

た が っ てR→0に

に 沿 っ た 方 向 に と り,R=(0,0,R)と

展 開 して

に代 入 し, 

の 場 合 の 波 動 関 数 を求 め る と,

お い て 次 の 結 果 が 得 られ る:

(4.76)   (4.76)式 で 示 した よ うに,R→0の

極 限 で の2中

心 模 型 の波 動 関 数 は,1中

心 調 和 振 動 子 殻 模 型 の波 動 関 数 に ほか な らな い.   調 和 振 動 子 模 型 に お け る多 粒 子 基 底 状 態 は,通 常SU(3)対 子 数(λ,μ)で 分 類 され る.こ の量 子 数(λ,μ)と,3軸

称 性 を表 現 す る量

方向の調和振動 子量子数

(Nz,Nx,Ny)と

は 次 の よ う な 関 係 が あ る.い

ま,(x,y,z)軸

が 

と な る よ う に と ら れ て い る も の と し て,

(4.77) で あ る.こ れ らの 関係が 図4.9に 簡単 に図 示 され て い る.図 の3本 の水 平 の棒 グ ラ フ が,そ れ ぞ れ 核 子 に よって 占有 され て い る 3軸 上 の 調和 振 動 子 の状 態 を表 し,し た が って棒 グ ラ フの 長 さが 量 子 数Nz,Nx,Ny 図4.9 

を表 す.3軸

に共通 して粒子が 占めてい

る 配 位 の 部 分(〓Nyの け られ て い る.こ

部 分)に 影 が つ

の 部 分 の 配位 は 調 和 振

動 子 殻 模 型で の 閉 殻 配 位 に対 応 して い て, SU(3)変

SU(3)の

量 子 数(λ,μ)と

調和 振 動

子 量 子 数(Nz,Nx,Ny)と 3本 の 棒 グ ラ フが,占

の 関係

有 され て い る3軸

調 和 振 動 子の 状 態 を 表 し,し フ の長 さが 量 子 数Nz,Nx,Nyを

上の

た が っ て棒 グ ラ 表す.3軸

と もに 核 子 が 占 め て い る配 位(〓Nyの

部分)

に 影 が つ け られ て い る.

換 に 対 して 不 変 で あ る の で,実

質 的 に 必 要 な 量 子 数 は(Nz,Nx,Ny)の3つ

で は な く,(λ,μ)の2つ

となって

い る.

  た と え ば(4.76)式 (λ,μ)=(8,0)で

の 波 動 関 数 で は,Nz=12,Nx=Ny=4で

あ るか ら

あ る.こ の 内 部 波 動 関 数 に お け る核 子 の 密 度 分 布 は,z軸

方向

に伸 び た 軸 対 称 な ラグ ビ ー ボ ー ル 型 に変 形 して い る.こ の よ う に変 形 に対 応 す る量 子 数(λ,μ)を 持 つSU(3)殻

模 型 の 内部 波 動 関 数 は,系 の 全 角 運 動 量 の 固有

状 態 で は な い.こ の 波 動 関 数 か ら全 角 運動 量 の 固 有 状 態 を 作 るた め に は,次 節 で 述 べ る角 運 動 量 射 影 が 必 要 と な る.上 記 の(λ,μ)=(8,0)の ら射 影 され て で き る状 態 の 角 運 動 量 は,L=0,2,4,6,8で は20Neの

内部波動 関数か

あ る.こ れ らの状 態

基 底 回転 バ ン ド と呼 ば れ る状 態 に よ く対 応 す る こ とが 知 られ て い る.

  4.3.3  パ リテ ィ射 影 と 角 運 動 量 射 影   本 節 で これ まで に議 論 して き た ク ラ ス ター 模 型 波 動 関 数 は,一 般 に 定 ま った パ リテ ィや 角 運 動 量 の 固 有 状 態 で は な い.こ れ らの 波 動 関 数 は,核 子 が 原 子 核 内で ク ラ ス ター 化 す る 相 関 や,成 長 し た ク ラス ター 構 造 を 自然 にか つ 直感 的 に わ か りや す く記 述 す る こ と を第 一 目標 に し た 結 果,ハ

ミル トニ ア ン の持 つ 空 間

反 転 不 変 性 や 回転 不 変 性 の よ うな 対 称 性 を と りあ えず 無 視 し て い る.し か し, 実 際 の 原 子 核 の 状 態 を よ りよ く記 述 す る た め に は,こ れ らの 波 動 関 数が 定 ま っ た 角 運 動 量 や パ リテ ィ を持 つ よ うに す る こ とが 望 ま しい.本 項 で は,こ れ ら模 型 波 動 関数 の 反 転 対 称 性 や 回 転 対 称 性 を 回 復(restore)す る方 法 と し て,射 影 法(projection

method)*27に

つ い て 述べ よ う.

 (a) パ リテ ィ射 影   模 型 波 動 関 数Φ が パ リ テ ィの 固 有 状 態 で は な い も の と し よ う.空 間 反 転(space inversion)の

演 算 子 をPと

す る と,

(4.78) と な り,P2=1で

あ る.

  波 動 関 数Φ か ら,パ 作 る に は,Φ

リ テ ィ が+ま

た は-に

に 射 影 演 算 子(projection

定 ま っ た 模 型 波 動 関 数Φ(±)を

operator)(1±P)/2を

作 用 さ せ,

(4.79) と す れ ば よ い.こ

れ を パ リ テ ィ射 影(parity

projection)と

呼 ぶ.

 (b) 角 運動 量 射 影   角 運 動 量 射 影 法 に つ い て は,す

で に 第3章

の3.4.6で

説 明 し た の で,こ

こで

は 重 複 を 避 け て 簡 単 に 述 べ る こ と に す る.*28

  模 型 波 動 関 数 Φ が 角 運 動 量 の 固 有 状 態 で は な い もの とす る.本 節 で 考 えて き た2中 心 模 型 の 波 動 関 数,た る.2中

と えば(4.24),(4.44),(4.45)式

心 模 型 を例 に し て説 明 し よ う.2中

とす る.模 型 波 動 関 数Φ に お け るRの 回 転 させ た波 動 関 数 はR(Ω)Φ 付 録Aに

心 の 相 対 ベ ク トルをR=R1-R2

方 向 をEuler角 

と表 され る.た だ し, 

お け る回 転 演 算 子(A.9)で

な どが そ の 例 で あ

だけ は

あ る.系 の ハ ミル トニ ア ンは 回転 不 変 で あ

るか ら,状 態 ベ ク トル 

に よ るエ ネ ル ギ ー期 待 値 

はEuler角Ω

たが ってRの

特定のも 方 向 に は 特 別 な優 位 性 は

な く,さ まざ ま な方 向 Ω に 関す る重 み 関数 

をか け て重 ね 合 わせ る こ

*27 R *28 p

. E.

に 依 存 し な い.し

Peierls

. 224参

照.

and

J. Yoccoz.

Proc.

Phys.

Soc.

A70

(1957)

381.

とに よ っ て,角 運 動 量 の 固 有 状 態 に す る こ とが で きる.す な わ ち

(4.80) とす る と,ΨJMは

角 運 動 量 の 固 有 状 態 に な っ て い る.演 算 子PJMKが

動 量 の 大 き さ とz成 章 の(3.423)式

分,(J,M),の

状 態 へ の 射 影 演 算 子 で あ る こ と は,す で に 第3

で 示 し た 通 りで あ る.こ

projection)*27で

系の全角運

れ が 角 運 動 量 射 影(angular-momentum

あ る.

 模 型 波 動 関 数 Φ が き まっ た 量 子 数K(波

動 関 数Φ に お け る 角運 動 量 のz軸

方 向 の 成 分)を 持 つ 場 合 に は,Φ=Φ(K)と

書 くこ とが で き るの で,そ

の場 合

の角運動量射 影は

(4.81) と書 か れ る.し か しΦ が 異 な るKの よっ て,同 一 の(J,M)の が 得 られ,Kの

値 を含 む よ うな場 合 に は,角 運動 量射 影 に

固 有 状 態 で あ りなが ら,異 な るKを

持 つ 状 態ΨJMK

混 合 を 考 え な け れ ば な らな くな る.こ の 点 につ い て は,問 題 ご

とに 考 慮 され る で あ ろ う.

 (c) 内 部 状 態 の 対 称 性 とパ リテ ィ ・角 運 動 量射 影   α や16Oの

よ う な 閉殻 核 ク ラス ター か ら な る系 で,ク

ラ ス タ ー構 造 の 内 部 波

動 関 数 の 持 つ対 称 性 とパ リテ ィ ・角 運 動 量 射 影 との 間 に ど の よ うな 関 係 が あ る か を,2つ

の 具 体 例 を 通 じ て 示 そ う.な お 空 間 座 標 の 原 点 は 重 心 の 位 置 に とる

もの とす る. [I] α+16O系

  2つ の ク ラス タ ー の 中 心 位 置 を結 ぶ 方 向 をz軸 と16Oは

とす る(図4.10(a)参

異 種 ク ラ ス タ ー であ るか ら,こ の 場 合 の2中

照).α

心模型 波動 関数はパ リ

テ ィ射 影 に よっ て ± 両 方 の パ リテ ィの 固 有 状 態

(4.82) が 得 られ る.Pは  α+16Oの2体

空 間反 転 の 演 算 子 で あ る. ク ラ ス ター 系 の 内 部 波 動 関 数 Φ が 持 つ 対 称 性 には 次 の2つ が

あ る:   (I-1) z軸 まわ りの 回 転 対 称 性(軸 対 称 性).

(b)

(a) 図4.10 

(a)α+16O系,お

  (I-2) xz平 [II] 正3角

よび (b)正3角

形 配 置3α

系 の ク ラス ター 構 造 の 模 式 図

面 に 関 す る 反 転(σv(xz):(x,y,z)→(x,-y,z))対 形 配 置 の3α

  3α が 正3角

称 性.

系

形 に配 置 され て い る系を 考 え る(図4.10(b)参

照).こ の 場 合 の

3中 心 模 型 の 内 部 波 動 関 数 は 次 の よ うな 対 称 性 を持 って い る:  (II-1) z軸 の ま わ りの 角 度2π/3お  (II-2) y軸

の ま わ りの 角 度π

 (II-3) xy平

回 転 に 対 す る不 変 性.

の 回 転 に 対 す る 不 変 性.

面 に 関 す る 反 転 

  これ ら[I],[II]の2つ 性 が,パ

よ び4π/3の

対 称 性.

の 場 合 を例 に と っ て,上 記 の 内部 波 動 関 数 の 持 つ 対 称

リ テ ィ ・角 運 動 量 射 影 し た 波 動 関数 の 性 質 に ど の よ う な影 響 を もた ら

す か を 以 下 で 検 討 し よ う.   ま ずz軸

ま わ りの 回 転 に つ い て 述 べ て お く.z軸

般 的 な 回 転 の 演 算 子(A.9)に た も の で あ り,し 数Φ

お い て,Euler角

を θ1=θ2=0,θ3=θ

た が っ て 回 転 演 算 子 

を 回 転 させ,重

み 関 数 

ま わ りの 角 度 θの 回 転 は,一

で 生 成 さ れ る.い

と置 い

ま,模

型波動関

を か け て 重 ね 合 わ せ,

(4.83) を作 る と,Φ(K)は

角 運 動 量 のz成

分Jzの

固 有 値Kの

固有 状 態 で あ り,

(4.84) と な る.し Kの

た が っ て,演

算 子PKは

模 型 波 動 関 数Φ

固 有 状 態 へ 射 影 す る 射 影 演 算 子 で あ る.こ

と 呼 ぶ.(4.84)式

の 証 明 は 容 易 で あ る か ら,各

ま た はΦ(±)か

の 射 影 をK射

らJzの

固 有値

影(K-projection)

自 試 み ら れ た い.

  注 目 しな けれ ば な ら な い こ とは,(4.80)式 で 与 え られ た 角 運 動 量 射 影が,す で に(4.83)式 のK射 影 を含 ん で い る こ とで あ る.付 録Aに お け る 回転 演 算子 (A.9)とD関

数(A.16)の

具 体 的 な 形 を参 照 す る と,角 運 動 量 射 影 が

(4.85) と書 か れ る こ とが 容 易 にわ か る.す な わ ち,角 運 動 量 射 影 に お い てEuler角 第3成

分 θ3に 関 す る重 ね 合 わせ は,K射

の

影 に ほ か な らな い.

  以 上 の 諸 点 を 考 慮 し な が ら,(Ⅰ-1),(Ⅰ-2),(Ⅱ-1),(Ⅱ-2),(Ⅱ-3)の

対称性 か ら

引 き 出 さ れ る パ リ テ ィ ・角 運 動 量 射 影 さ れ た 波 動 関 数 の 性 質 を 議 論 し よ う.

z軸 まわ りの 回転 対 称 性  この 対 称 性 は

(4.86)

(任 意 の 回転 角 θに 対 し)  と 表 さ れ る.こ

れ を(4.83)式

に 代 入 す る と 

が 得 ら れ る の で,

(4.87) と な る.

z軸 まわ りの 角 度2π/Nの

回 転 に 対 す る不 変性

 こ の 不 変 性 は

(4.88) と 表 さ れ る.こ

れ を(4.83)式

る の で, 

に 代 入 す る と  の み を と る こ とが で き る.す

が得られ なわ ち

(4.89) と な る.

xz平 面 に 関す る反 転 不 変 性   xz平

面 に 関 す る 反 転(σv(xz):(x,y,z)→(x,-y,z))は,空

(x,y,z)→(-x,-y,-z))とy軸

間 反 転(P:

の ま わ り の 角 度 π の 回 転((x,y,z)→(-x,

y,-z))を て,こ

合 成 し た もの と な る.す

な わ ち 

で あ る.し

たが っ

の 変 換 に対 す る不 変 性 は

(4.90) と 書 か れ る.こ

の 第2式

か ら

(4.91) が 得 ら れ る.  (4.91)式 は 次 の よ う に して 導 か れ る.(4.90)式

から

(4.92) と な る.し

た が っ て,次

式 が 得 られ る:

(4.93) と こ ろが 一 般 に,任

意 のEuler角Ω0に

対 して

(4.94) が 成 り立 つ.こ

の 関 係 式 は,PJMKが(3.423)式

こ とか ら容 易 に 証 明 で き る.(4.94)式

の よ う に 表 され る射 影 演 算 子 で あ る

を(4.93)式

に 用 い る と,

(4.95) と な っ て(4.91)式

が 得 られ た.な お(4.95)式

d関 数 の 性 質(A.19d)に

お い て,θ2=0と

の 最 後 の 関係 は,付 録Aに

示 され て い る

し た と きの

 

を使 っ て 得 ら れ た.  さ て,(4.91)式

に お い てK=0と

す る と,

(4.96) が 得 ら れ る.こ の 関係 式 か ら 次 の 結 果 が 得 られ る:

(4.97a) (4.97b)

 

α+16Oな

ど の2体

  α+16Oの

ク ラ ス ター 系 の対 称 性

よ う な 異 種 の2体

う に,(Ⅰ-1)のz軸

ク ラ ス タ ー 系(図4.10(a)参

ま わ りの 回 転 対 称 性 と(Ⅰ-2)のxz平

と を み た し て い る.し

た が っ て,こ

動 関 数PJMKΦ(±)はK=0で 0ま た は 偶 数(奇 数)の

照)は,前

述 した よ

面 に関 す る 反 転 対 称 性

の 場 合 の パ リ テ ィ ・角 運 動 量 射 影 さ れ た 波

あ り,パ

リ テ ィが+(-)に

み が 残 る こ と に な る.つ

対 し て 角 運 動 量Jが

ま り 異 種 の2体

ク ラ ス ター 系 に

お い て は,

(4.98) の 状 態 の みが 許 され る.   α+α +パ

の よ うな 同 種 の2体

リテ ィ射 影 を 行 う と

ク ラス ター 系 の 場 合 に は,パ

リ テ ィ し か 残 ら な い の で,Jπ=0+,2+,4+,6+,…

正3角

形 配 置 の3α 系 の 対 称 性

  正3角 は,一

の み が 許 さ れ る.

形 配 置 の3α 般 にD3h対

系(図4.10(b)参

照)の 持 つ 対 称 性(Ⅱ-1),(Ⅱ-2),(Ⅱ-3)

称 性 と 呼 ば れ る も の で あ る.こ

運 動 量 射 影 さ れ た 波 動 関 数 で(Ⅱ-1)の2π/3回 は,(4.89)式

か らK=0,±3,…

の 系 に 対 し て,パ

リ テ ィ ・角

転 不 変 性 を課 して 生 き残 る 状 態

で あ る.す

なわ ち

(4.99) で あ る.

  (Ⅱ-2)のy軸

まわ りの π の 回転 に 対 す る不 変 性 を,パ

リテ ィ射 影 し た 波 動 関

数 に 適 用 す る と,

(4.100) が 得 ら れ る.(4.90)式

か ら(4.91)式

を 導 い た の と 同 様 な や り方 で

(4.101) を 得 る.こ

こ でK=0と

お く と,(-1)J=1を

み た すJの

み が 残 っ て,

(4.102) と な る.

(Ⅱ-3)のxy平

面 に 関 す る 反 転 σh(xy)に

対 す る不 変 性 は

(4.103)

と書 か れ る.こ の不 変性 は Φ(±)(K)に 対 し て 次 の 条 件 を 課 す こ と に な る:

(4.104) し た が っ て, (パ リ テ ィ ≠(-1)K)

 (4.105)

と な る.

  以 上 の 結 果 を ま とめ る と,3α の 正3角 性 を持 つ 系 で は,パ

形 配 置 にお い て み た され るD3h対

称

リテ ィ ・角 運 動 量 射 影 した 波 動 関 数 で 生 き残 る の は 次 の 状

態 で あ る:

(4.106)

 (d)  α+16O模   4.2.3で

型 に よ る20Neの

述 べ た よ う に,20Neの

回転バ ン ド  

ラ ス タ ー 構 造 を 持 つ も の と 考 え ら れ る.こ

の 回 転 バ ン ド の 状 態 は,α+16Oク れ ら の 状 態 が,2中

心 模 型 で よ く記

述 で き る こ と を 示 そ う.

 パ リテ ィ ・角 運 動 量 射 影 した 波 動 関数

に よる エ ネ ル ギ ー 期 待 値(エ ネル ギ ー 曲 線)

が,図4.11に

示 され て い る.ψ 「(α-16O)は(4.72)式

で 与 え ら れ る.エ

曲 線 の 極 小 点 を と っ て エ ネ ル ギ ー 準 位 を 描 く と,図4.4の20Neの を よ く再 現 す る.こ

の 結 果 の 特 徴 は,

ネル ギ ー

回転 バ ン ド

(1) エ ネ ル ギ ー 極 小 点 に お け る ク ラ ス タ ー 間 距 離Rは,Kπ=0-状 方 が 大 き く,Kπ=0+状 さ い.J=1,3の

態 の方 が 小

状 態 のエ ネ ル ギ ー

極 小 点 で は,  は2つ

態の

で あ り,こ れ

の ク ラ ス タ ー の表 面が 接 触 す

る程 度 で あ る.す

な わ ち,Kπ=0-

状 態 に お い て は,ク

ラ ス ター構 造 が

よ く発 達 し て い る と 考 え ら れ る. (2) Jπ=0+と0-の ギ ー 差(パ

極 小点 のエ ネル リ テ ィ2重 項 の エ ネ ル ギ ー

差)は,約6MeVで 5.78MeVに

あ り,実 験 値 の よ く 一 致 し て い る.

(3) Kπ=0±

の 各 々 の 回 転 バ ン ド内 の

状 態 につ い て は,エ

ネル ギ ー極 小 点

図 4.11 

20Neの

α+16O模

型 に よ る

エ ネル ギ ー 曲線

のRの

値 はJが

大 き くな る ほ ど 小

さ くな る.こ の 振 る舞 い はSU(3)殻

エ ネ ル ギ ー は α+16Oの 照)を

模 型 の 観 点 か ら も 自然 に 理 解 で きる.

し き い 値(図4

基 準 に し た 結 合 エ ネ ル ギ ー.用

.4参 い られ た

有 効 相 互 作 用 な ど の 詳 細 に つ い て は,原

論 文

A.Arima,H.Horiuchi,K.Kubodera

and

N.Takigawa,Advances Vol.5,ed.M.Baranger (Plenum

Press,1972)p.345を

in

Nucl.Phys. and

E.Vogt 参 照 せ よ.

4.4  ク ラ ス ター 間 の 相 対 運 動

  微 視 的 ク ラ ス ター 模 型 に お い て,ク

ラ ス ター 間 の 相 対 運 動 を個 々の 核 子 の 自

由 度 か ら導 き 出 す こ と は 最 も重 要 な課 題 で あ る.本 節 で は,こ の 課 題 のた め の 方 法 を検 討 す る こ と に す る.

  4.4.1  生 成 座 標 法 に よ る ク ラ ス タ ー 間 相 対 運 動   ク ラ ス タ ー 模 型 の 模 型 波 動 関 数 Ψ は,そ ラ メ ー タ ー  れ る.た

と え ば,前

の 模 型 を特 徴 付 け るい くつ か の パ

を 含 ん で い る.す 節4.3で

な わ ち, 

述 べ た 多 中 心 模 型 に お い て は,n個

と書 か の ク ラ ス ター

の 中 心 位 置 を 示 す ベ ク ト ル が パ ラ メ ー タ ー と な り,模

型 波 動 関 数 は 

と 表 され る.*29

  この よ うなパ ラ メー ター α を含 ん だ 模 型 波 動 関数 Ψ(α)を 変 分 関 数 と考 え る と,そ の パ ラ メー タ ー の 最 適 値 

は,変 分 原 理

(4.107) に よ っ て き め る こ とが で き る.そ の 場 合 で あ る.こ と し て,系

の1例

が 図4.7に

の 図 に お い て は,2α

の エ ネ ル ギ ーE(d)が

間 の 距 離 

記(4.107)式

は,α=α0を

をパ ラ メー ター

描 か れ て い る.パ

ネ ル ギ ー が 最 小 に な る    一 般 に,上

示 さ れ て い る8Be=α+α

ラ メ ー タ ーdの

最適値 はエ

と 考 え ら れ る. のE(α)が

最 適 値 α0の 周 囲 で 鋭 く変 化 す る 場 合 に

持 つ 模 型 波 動 関 数 Ψ(α0)は 系 の 基 底 状 態 の 波 動 関 数 の 良 い 近 似

を 与 え る で あ ろ う.し

か し ゆ る や か に 変 化 す る 場 合 に は,最

適 値 α=α0の

わ り の 異 な る α の 値 を 持 つ 模 型 波 動 関 数 に 適 当 な 重 み 関 数f(α)を 合 わ せ,f(α)を

ま

か けて重ね

変 分 法 で きめ る こ と に よっ て 波 動 関 数 の よ り良 い近 似 を得 る

こ とが 必 要 に な る.こ

の と き の α を 生 成 座 標(generator

こ の よ う な 方 法 は 生 成 座 標 法(generator-coordinate

coordinate)と

method:略

呼 び,

称GCM)*30

と 呼 ば れ て い る.

 (a) GCM方

程式

 生成座標 法の波動 関数は

(4.108) と定 義 され る.規 格 化

(4.109) の 拘 束 条 件 の 下 で,ハ

ミル トニ ア ンの 期 待 値 を最 小 に す る と い う変 分 原 理 に よ

り,重 み 関 数f(α)が

きめ られ る.す なわ ち,Lagrangeの

*29  この 場合

,重 心位 置 を示す パ ラ メー ター   メー ター は ク ラ ス ター 間の 相 対ベ ク トル のみ で あ る.

*30 D J.

. L.

Hill

J. Griffin

and

J. and

A.

Wheeler,

J. A.

Wheeler,

Phys. Phys.

Rev. Rev.

89

(1953) 108

未 定 乗 数Eを

導入し

は必 要 で な く,実 際の パ ラ 1102.

(1957)

311.

て,生 成 座 標 が み た す べ き方 程 式,す

な わ ちGCM方

程 式(GCM

equation)

(4.110) が 得 ら れ る.た

だ し,

(4.111) で あ る.積

分 核H(α',α)お

核(Hamiltonian

  GCM方

よ びN(α',α)は,そ

kernel)お

よ び 重 な り積 分 核(overlap

程 式(4.110)は,生

底 状 態 の み な らず,励

れ ぞ れ ハ ミル トニ ア ン 積 分 kernel)と

呼 ば れ る.

成 座 標 α の 領 域 を適 当 に広 くと って お けば,基

起 状 態 に対 す る良 い近 似 解 も与 え る こ とが で き る の で た

いへ ん 有 力 で あ る.

 (b) 2体 ク ラ ス タ ー 系 へ の 応 用   2つ の ク ラ ス タ ーC1お

よびC2の

は そ れ ぞ れ  R=R1-R2で

お よび  あ る.2つ

が 等 し い 

重 心 位 置 を座 標 原 点 と す れ ば,中

と表 され る.た

だし

の ク ラ ス ター を構 成 す る調 和 振 動 子 の パ ラ メー ター

とす る と,重 心 座 標 が 分 離 され る.(4.47)式

波 動 関 数 を用 い れ ば,こ

心位 置

の 系 のGCM方

の2中

心模型

程 式は

(4.112a)

(4.112b) と な る.Aは  GCM方

反 対 称 化 演 算 子 で あ る. 程 式(4.112a)を

実 際 の 問 題 に適 用 す る 場 合 に は,部 分 波 展 開 して お

くのが 便 利 で あ る.(4.112b)式

に 現 れ た 相 対 波 動 関 数 

を部 分 波 展

開す る と,

(4.113a)

(4.113b) と な る.こ る.ま

こ でr,

たil(z)は

Rは

ベ ク トルr,

変 形 球Bessel関

Rを

極 座 標 表 示 した と きの 角 度 成 分 で あ

数(modified

  の 関 係 に あ る.部

分 波lに

spherical

Bessel

対 す るGCM方

function)で,

程式 は

(4.114a)

(4.114b) と 書 か れ る.   こ れ ら の 部 分 波 展 開 し たGCM方

程 式(4.114)は,も

と のGCM方

を 角 運 動 量 射 影 す る こ と に よ っ て 得 る こ と も で き る が,詳

  4.4.2 

程 式(4.112)

細 は 省 略 す る.

共 鳴群法に よるクラスター間相対 運動

  種 々 の ク ラ ス タ ー構 造 を 持 つ 状 態 を 重 ね 合 わ せ て 軽 い 核 を 記 述 す る 目 的 で, Wheelerに

よ っ て 提 唱 さ れ た 方 法 が,以

method:略

称RGM)*31で

あ る.本

下 で 述 べ る 共 鳴 群 法(resonating 項 で は,RGMとGCMと

group

の 関係 に つ い

て も言 及 す る.

 (a) RGM方

程式

  簡 単 の た め,2体

ク ラ ス タ ー 系(Ck1,

内 部 状 態 がk1,第2がk2で の 波 動 関 数 

Ck2)を

考 え よ う.第1の

あ る こ と を 意 味 す る.RGMに

は 種 々 の チ ャ ン ネ ル(channel)の

ク ラ ス ター の

お い て は,系

波 動 関 数 

全体

の重 ね 合

わせ

(4.115a) (4.115b) で 表 さ れ る もの とす る.こ 動 量,kは *31 J

. A.

こで,Aは

反 対 称 化 演 算 子 で あ り,Jは

チ ャ ン ネ ル番 号 で あ る.  Wheeler,

Phys.

Rev.

52

(1937)

は 第1の 1083,

1107.

系の全角運

ク ラス ター の 内 部 波 動

関数 で あ り,こ の ク ラス ター に属 す る 核 子 の 相 対 座 標 の み の 関数 で あ る こ とは い う まで も な い.ま た そ の 内 部 状 態 がk1に を示 す.第2の

ク ラ ス ター 

角 運 動 量 の 大 き さIへ

あ り,内 部 ス ピ ンがIk1で あ る こ と

に つ い て も 同様 で あ る.記 号[…]Iは

の 角 運 動 量 合 成 を 意 味 す る.ま た, 

ター 間 の 相対 運 動 の波 動 関数 で,Lkは

は ク ラス

そ の 相対 角 運 動 量 の 大 き さ を示 す.し た

が っ て 量 子 数(チ ャ ン ネ ル 番 号)kは 

をまとめて表

示 し た も ので あ る.

 さて,相 対波動関数を   RGMの 波動関数(4.115)は

とすると,

(4.116a) (4.116b) と な る.A'kは

反対称化演 算子

(4.117) で あ る.こ

こ で,Akは

ク ラ ス タ ーCk1に

属 す る 核 子 とCk2に

属 す る核 子 を交

換 す る 演 算 子 で あ る.

  (4.116a)式 のRGM波

動 関 数 に含 まれ る相 対 波 動 関 数uk(rk)が

あ る.こ れ ら を ま とめ て  動 関 数uは

未知関数で

と表 す.こ れ ら相 対 波

変分原 理

(4.118) に よっ て きめ る こ とが で き る.す な わ ち,上 記 の 変 分 方 程 式 か ら

(4.119) が 得 られ,こ の 方 程 式 は 次 の よ う にチ ャ ン ネ ルkが

そ の 他 の チ ャ ン ネル に結 合

し た積 分 方 程 式 の 組 とな る:

(4.120a)

(4.120b)

これ らの 結 合 チ ャ ン ネル 方 程 式 はRGM方 ク ラ ス ター 間 の 相 対 座 標{rk}を

程 式(RGM

equations)と

変 数 とす る方 程 式 で あ る.RGM方

体 の ク ラ ス ター の 束 縛 状 態 の み な らず,共

呼 ば れ, 程 式 は2

鳴状 態 を含 む散 乱 状 態 に も適 用 で き

る方 程 式 とな っ て い る.   RGM方

程 式 に お い て,ど の よ うな チ ャ ン ネ ルが 結 合 す る の か,具 体 例 で 見 て お こ う.

  閉殻 核 ク ラ ス ター か ら な る2ク

ラ ス ター系, 

で あ るか らIk=0で,J=Lkと   α+12Cの Ik2=0,2,4と

場 合,12Cの

内 部 励 起 状 態 と し て 回 転 バ ン ド を 考 え る と,Ik1=0,

な る か ら,Ik=0,2,4で

合 成 さ れ て 全 ス ピ ンJと

あ り,こ

な る.た

対 し て 許 され る チ ャ ン ネ ル

程 式(4.120)の

対 し て は(Ik,Lk)=

ャ ン ネ ル と な る.

積 分 核 

る 部 分 を 抜 き 出 す と,RGM方

を 整 理 し,局

所 的(local)に

な

程 式 の 中で そ の 局 所 的 積 分 核 に対 応 す る部 分 は

程 式 の 形 に な る の で 見 通 し が よ く な る.積

に な る の は,k=k'の あ り,こ

相 対 運 動 の 角 運 動 量Lkが

ャ ン ネ ル,Jπ=1-に

(0,1),(2,1),(2,3),(4,3),(4,5)の5チ

通 常 のShrodinger方

のIkと

と え ば,Jπ=0+に

は(Ik,Lk)=(0,0),(2,2),(4,4)の3チ

  RGM方

な ど で は,Ik1=Ik2=0

な る 単 一 チ ャ ン ネ ル の 方 程 式 と な る.

弾 性 的 過 程(elastic

れ を 次 の よ う に2つ

process),す

な わ ち 

分 核が局所 的 で

の 部 分 に 分 け る:

(4.121a) (4.121b)

(4.121c) 系 の ハ ミ ル トニ ア ン(4.50)を

書 き 直 す と,

(4.122a) と 書 く こ と が で き る.た り,2つ

だ し, 

の ク ラ ス タ ー の 内 部 ハ ミ ル トニ ア ン 

で あ は

(4.122b)

と な る.こ Xkpに

こ で, 

は そ れ ぞ れ の ク ラ ス タ ー(p=1,2)の

関 す る ラ プ ラ シ ア ン で あ る.(4.122)式

重心座 標

の ハ ミ ル ト ニ ア ン を 用 い れ ば,

(4.123a) と な る.た

だ し,

(4.123b) で あ る.Erkは (Ek1+Ek2)を

全 系 の エ ネ ル ギ ーEか 差 し 引 い た,2ク

の エ ネ ル ギ ー で あ る.ま potential)と

た,ポ

ら2つ

の ク ラ ス タ ー の 内 部 エネ ル ギ ー

ラ ス タ ーへ の分 解 し きい 値 か ら測 っ た相 対 運 動 テ ン シ ャ ルVDkk(bk)は

直 接 ポ テ ン シ ャ ル(direct

呼 ば れ,

(4.123c) で 定 義 さ れ る.(4.123a)式 りの 積 分 核 

で 明 ら か な よ う に,  は,演

算 子(Ak-1)に

は 局 所 的 で あ る.残 よ る核 子 の 交 換 に と もな う積 分

核 で 一 般 に 局 所 的 で は な い.

  α+α

の よ う な 同 種 の ク ラ ス タ ー か ら な る 系 の 場 合,す の 場 合,Ck1の

核 子 がCk2の

も 交 換 し な か っ た 場 合 と 同 等 で あ る.こ 分 核 を 

な わ ち 

核 子 とす べ て 入 れ 替 わ っ た 交 換 は,何

の 交 換 を 

と し,こ れ に 対 応 す る 積

とす る と,こ の 項 も局 所 積 分 核 に 繰 り込 む こ とが で きる.

し た が っ て,局 所 積 分 核 

は

(4.124) と定 義 され る.こ の と き の 

は 局 所 積 分 核 に 繰 り込 ん だ 項 が 差 し引 か れ て 定

義 され る こ とは い う まで も な い.全 核 子 の 入 れ 替 え は 相 対 座 標 の 反 転 を 意 味 す る の で,

と な り,こ の 場 合 の 局 所 積 分 核 は(4.123a)式

の 

に  

を掛 け た もの と な る.こ れ は よ く知 られ た 同 種 核 の 統 計 性 で,Ak1(=Ak2)が 数)の 場 合,相

対 角 運 動 量 は 偶 数(奇 数)の 値 の み とな る こ と を 示 して い る.

偶 数(奇

  結 局,RGM方

程 式(4.120a)は(4.123a)式(ま

た は(4.124)式)の

積分核 を

用 い て,

(4.125) とな る.こ のRGM方

程 式 に お い て,最 初 の 項(第1行)の

とす る と,直 接 ポ テ ン シ ャ ル 

み を と り,残 りを0

の 下 で の 相 対 運動 のSchrodinger方

と な り,ま た単 一 チ ャ ン ネル の 場 合 は 右 辺 が な い の で 第2項

程式

の交換項 を含む微

積 分 方 程 式 とな る.

4.4.3  共 鳴 群 法 と生 成 座 標 法 の 関 係 (a) RGMとGCMの

同等性

  ク ラ ス ター 間 相 対 運 動 を記 述 す る た め に,共 鳴 群 法(RGM)と (GCM)の2つ

生 成座標 法

の 方 法が あ る こ とを示 した.こ れ らの 間の 関係 を理 解 す る ため に,

2ク ラス ター系 を例 に と り,ク ラ ス ターの 内部 波 動 関 数 

が 調和

振 動 子 殻模 型 で 記 述 され,そ れ らの 振 動 子 パ ラ メー ターが 等 しい  もの とす る.   い まの場 合 のGCM波

動 関数 は,(4.47)式

基 底 関 数 とし,R=R1-R2を

で 与 え られ る2中 心模 型 波 動 関 数 を

生 成 座 標 とす る. 

と な る よ うに 座 標 原 点 を と る と,  と な る か ら,Aを

反 対 称 化 演 算 子 とす れ ば,基 底 関 数 は

(4.126) となる.た だし,  である.したがって,GCM波

動関数は

(4.127) と書 か れ る.(4.127)式

のGCM波

動 関 数 に対 応 す るRGM波

動 関数 は

(4.128) で 与 え ら れ る.(4.127)式

に お け る 未 知 関 数X(r)は(4.118)式

理 に よ っ て き め ら れ る べ き も の で あ る.一 て は,∫dRf(R)Γ(r,R,γ)が

方,GCM波

の よ うな 変 分 原 動 関 数(4.127)に

対 応 す る 未 知 関 数 で あ る.し

た が っ て,こ

おい れ ら

の未 知関数 を

(4.129) と 等 し い と 置 く こ と が 可 能 で あ る.こ の 波 動 関 数 を 除 け ば,(4.127)式 あ る と い え る.*32そ X(r)が GCM方

直 接RGM方

部 運動 に 関 係 し な い 重心 運 動

の ΨGCMと(4.128)式

の 同 等 性 を 表 す(4.129)式

の ΨRGMと

求 め ら れ,そ

て た た み 込 む こ と に よ っ てRGMの

積 分 方 程 式(4.112a)は,通

常,生

程 式 の 解X(r)に

X(r)は,多

用い

求 め ら れ る.

成 座 標Rを

離 散 化 して 適 当 な 個

と り,積 分 を和 に 置 き換 え て 連 立1次

式 の 形 に し て 解 か れ る.こ の 方 法 で 解 か れ た{f(Ri)}を,(4.129)式 RGM方

は

は最 初に

の 解 を 積 分 核 Γ(r,R,γ)を

解X(r)が

数 の 離 散 的 な 値R1,R2,…,Rnを

は 同等 で

か ら わ か る よ う に,RGMで

程 式 の 解 と し て 求 め ら れ る の に 対 し,GCMで

程 式 の 解 と し てf(R)が

  GCMの

の と き,内

変 換 す る こ とが で き る.こ

方程

を使 っ て

の ようにして求め られた

くの実 例 に お い て,比 較 的 少 な い 数 の 離 散 化 点 の場 合 で も,RGM

方 程 式 を直 接 解 い た 解 と非 常 に良 い精 度 で 一 致 す る こ とが わ か って い る.

(b) RGMとGCMの

意義

  上 述 の よ うに,RGMとGCMが れ ら2つ

同等 で あ る こ とが わ か っ た.そ れ で は,こ

の 方 法 は ど の よ うに意 義 付 け られ る で あ ろ うか.

  ク ラス タ ー 間 の 相 対 運 動 を記 述 す る の はRGM波 対 波 動 関 数X(r)で し く理 解 さ れ る.つ *32 H

. Horiuchi,

Prog.

動 関数(4.128)に

お け る相

あ り,こ れ を解 くこ と に よ って ク ラ ス ター 間の 相 対 運 動 が 正 ま り,相 対 波 動 関 数X(r)を Theor.

Phys.

43

(1970)

375.

解 くこ とが 目標 で あ る.そ の

た め の 実 際 的 な 手 段 とし てGCMが 容 易 なGCMの

極 め て有 力 で あ る.た と えば,計

積 分 核(行 列 要 素)を あ らか じ め 求 め て お き,こ れ をRGMの

積 分 核(行 列 要 素)に 変 換 す る こ と も可 能 で あ る.ま た,ま ずGCM方 き,そ の 解f(r)を(4.129)式 る.こ の よ う にGCMの の 解X(r)を

算が よ り

に よ り相 対 波 動 関 数X(r)に

程式を解

変 換 す る こ と もで き

有 利 な点 を 活 用 す る こ と に よっ て,目 標 とす るRGM

求 め る こ とが 容 易 に な っ た.*33

4.5 

ク ラ ス タ ー 模 型 空 間 とPauli禁

  4.5.1  重 な り積 分 核 の 固有 値 問 題 とRGM基

止状態

底 関数

  核 子 間が 完全 に 反対 称 化 され て い る2体 クラス ター系 のRGM波 基 底 関 数 を 考 え る.2つ

の ク ラ ス ターC1,C2の

動 関 数 の直 交

内部 角 運 動 量 がIC1=IC2=0

で あ る 単 一 チ ャ ン ネ ル の 場 合 に つ い て 述 べ る.そ の と きのRGM波 一般 的に

動 関数 は,

(4.130a) と書 か れ る.た だ し,Aは

反 対 称 化 演 算 子 で あ り,

(4.130b) で あ る.(4.130a)式 波 動 関 数X(a)を

の右 辺 は,RGM波

動 関 数が Φ(a)を 基 底 関 数 と し,相 対

振 幅 と して 線 形 結 合 し た 表 式 と な っ て い る.し か し,こ の 基

底 関 数 Φ(a)は 規 格 直 交化 され て い な い ので,そ

の 重 な り積 分

(4.131) を 対 角 化 し て 規 格 直 交 化 され た 基 底 ベ ク トル を作 ろ う.  重 な り積 分N(a,b)に

対 す る固 有 値 方程 式

(4.132) *33 H

. Horiuchi,

Prog.

A.

Tohsaki-Suzuki,

M.

Kamimura,

Prog.

Theor.

Phys.

Suppl.

Prog.

Theor.

Phys.

Theor.

Phys.

62

(1977)

Suppl.

Suppl.

62

62 (1977)

Chap.

3.

(1977)

Chap.

Chap.

5.

4.

を考 え る.そ の 固 有 解  

は, 

をみ た す よ うに 規 格 直 交 化

され て い る もの とす る.固 有 値 が  この 規 格 直 交 系{Xk}を

で あ る こ とは 容 易 に わ か る.

用 い て, 

の 固有 解 に対 して

(4.133) を作 る と,   

は 

を み た す 規 格 直 交 化 さ れ た 基 底 関 数 と な る.

の 固 有 解 に 対 し て は, 

と な る か ら,対

応 す る 基 底 関 数 は 存 在 し な い.つ

の 場 合 の 反 対 称 化 さ れ たRGM波 な 状 態 はPauli禁 state)と

動 関 数 は0と

止 状 態(Pauli

forbidden

ま り,  な る(消

state)と

の 固 有 解Xk(r) え る)の

で,こ

の よう

か 余 分 な 状 態(redundant

呼 ば れ る.

  単 一 チ ャ ン ネル の 場 合 のRGM波

動 関 数 の基 底 関 数 につ い て の 上 述 の 内 容 は,

2体 ク ラ ス タ ー系 で の 一 般 的 な多 チ ャ ン ネル の場 合 に 容 易 に拡 張 す る こ とが で き るが,詳

細 は 割 愛 す る.そ

の場 合 には,Pauli禁

止 状 態 は単 一 の チ ャ ン ネ ル

で は な く,複 数 の チ ャ ンネ ル に ま たが った 形 で 成 立 す る こ と に な る.

4.5.2  重 な り積 分 核 の 固 有 値 問 題 の 解   クラ ス ター の 内 部 波 動 関数 が,同 殻 模 型 で 構 成 され て い る場 合,RGMの

一 の 振 動 子 パ ラ メー ター を持 つ調 和 振 動 子 重 な り積 分 核 の 固 有 値 問題 の 解 は 解 析

的 に解 くこ とが で き る.以 下 で そ の典 型 的 な例 をあ げ よ う.解 析 解 の 有 用 性 は, 次 節 で 説 明 す る直 交 条 件 模 型 を 構 築 す る際 や,ク

ラ ス ター 分 解 反応 の 分 光 学 的

因子 を計 算 す る 際 に 活 用 され る点 にあ る.

(a) 単 一 チ ャ ン ネ ル 系  2つ の ク ラ ス ターC1, C2の 内 部 角 運 動 量 がIC1=IC2=0で くべ き固 有 値 方 程 式 は(4.132)式

あ る とす る.解

で あ る.内 部 波 動 関 数 が 共 通 の 振 動 子 パ ラ メー

タ ーν を持 つ 調 和 振 動 子 波 動 関 数 で 構 成 され てい るの で,解 とな るべ き相 対 波 動 関数 も,対 応 す る振 動 子 パ ラ メー ターγ=(A1A2/A)ν(た を持 つ 調 和 振 動 子 波 動 関数   こ の 推 定 が 正 し い こ と は,以

だ しA=A1+A2)

と な るで あ ろ うこ とが,容 易 に 推 定 され る. 下 の よ うに 確 か め る こ とが で き る.

い ま積 分Inlm(a)を

次 の よ う に 定 義 し よ う:

(4.134) こ の 積 分Inlm(a)を

完 全 系 

で 展 開 し,

(4.135a) と 表 す.た

だし

(4.135b) で あ る.こ

の 展 開 係 数(行

あ る な ら ば,す

列 要 素)Anlm

,n'l'm'が(nn'),(ll'),(mm')に

な わ ち 

方 程 式(4.132)の

関 して 対 角 で

で あ る な ら ば,ψnlm(r)が

固有 値

解 で あ る こ と が 証 明 さ れ た こ と に な る. 

い う ま で も な い.し

た が っ て, 

は

を 示 せ ば よ い.

 系 の ハ ミル トニ ア ン を 次 の よ う に表 す:

(4.136a) こ こで,hkはk番

目の 核 子 の1粒

心 の ハ ミル トニ ア ン,HCiは り,hrは2つ

子(調 和 振 動 子)ハ ミル トニ ア ン,hGは

ク ラ ス タ ーi(=1ま

た は2)の

系全体 の重

内 部 ハ ミル トニ ア ンで あ

の ク ラ ス タ ー の 重 心 間 の 相 対 運 動 の ハ ミル トニ ア ン で あ る.す

な わ ち,

(4.136b) (4.136c) で あ る.も は2つ

ち ろ ん,h(i)Gは

ク ラ ス タ ーi(=1,2)の

重 心 の ハ ミ ル ト ニ ア ン で あ り,∇2r

の ク ラ ス ター の 重 心 間 の 相 対 座 標

(4.136d) に 関 す る ラ プ ラ シ ア ン,Mは   ハ ミル トニ ア ンHC1,HC2,hrは

核 子 の 質 量 で あ る. す べ て 同 一 の エ ネル ギ ー 量 子hω を 持 つ 調 和 振 動

子 で あ る か ら,そ れ ぞ れ に 対 して 調 和 振 動 子 量 子 数(エ ネ ル ギ ー 量 子 の 数)の 演 算 子 を

(4.137a)

(4.137b) (4.137c) と定 義 す る こ とが で き る.演 算 子Nは 演 算 子Aと

交 換 可 能 で あ る.2つ

は それ ぞ れ 演 算 子NC1,NC2の とす る.ま

た,ψnlmはNrの

核 子 の 交 換 に 対 し て 対 称 で あ る か ら,反 対 称 化

の ク ラ ス タ ーC1,C2の

内 部 状 態 φ0(C1),φ0(C1)

固 有 状 態 で あ り,そ れ ぞ れ の 固 有 値 をN(C1),N(C1) 固 有 状 態 で あ り,固 有 値 は2n+lで

あ る.す な わ ち,

(4.138a) (4.138b) し た が っ て,

(4.139) と な る.つ

ま り こ の 式 は,行

列 要 素Anlm

,n'l'm'が

対 角 的 で あ り,

(4.140) (4.141) と な る こ と を示 し て い る.

  以 上 の 結 果 か ら,振 動 子 パ ラ メー ター が  の 波 動 関 数 ψnlmが,RGMの

で あ る調 和 振 動 子

重 な り積 分 核 の 固 有 関数 で

(4.142) を み た し,固   4.5.1に

有 値 μnlは(4.141)式

お い て 述 べ た よ う に,RGMの

対 応 す るRGM基 (4.141)式

で 与 え ら れ る こ と が わ か っ た.

底 関 数 はPauli禁

重 な り 積 分 核 の 固 有 値 が μnl=0に 止 状 態 で あ り,存

で 与 え ら れ る 固 有 値 μnlは ど う な る で あ ろ う か.GCMを

ば μnlを 解 析 的 に 求 め る こ と が で き る.こ

  2つ の ク ラ ス タ ー が α,16O,40Caの 合,固

有 値 μnlはN=2n+lに

μnl=μNと

在 し な い.で

書 く こ と に す る.

は上 述の 利 用すれ

れ を 以 下 に 示 そ う.

よ うな 調 和 振 動 子 殻 模 型 の 閉 殻 核 で あ る 場

の み 依 存 す る こ とが わ か っ て い る の で,以

下では

  GCMの

重 な り積 分 核((4.112b)式

参 照)の 対 角 成 分

(4.143) を 考 え よ う. 

を調 和 振 動 子 固 有 関 数 

で 展 開 し,

(4.144a)

(4.144b) と 表 し,(4.143)式

に 代 入 す れ ば,

(4.145)

が得られる.ところが展開式  と置けば, 

において,θ=0 が得られるから, (4.146)

し た が っ て,2体

ク ラ ス タ ー 系 の 具 体 的 な例 に お い て,GCM重

NGCM(R,R)がRの

関 数 と し て 与 え られ る な らば,(4.146)式

な り積 分 の 対 角 要 素 か ら μNを 容 易 に 求

め る こ とが で き る.   以 上 の 結 果 を α+16O系 式 で 与 え られ る行 列Dの

に 適 用 して み よ う.こ の 場 合 のNGCM(R,R)は(4.74) 行 列 式￨D￨を

用 い て,

(4.147) と な る.こ

れ を(4.146)式

に 代 入 し て,

(4.148)

が得られる.ただし, 

である.この結果から, (4.149)

を 得 る.θ(x)は また,(4.148)式

階 段 関 数 で,x〓0の の 右 辺 をRの

と き θ(x)=1,x20の れ ら は 一 般 に2n+l〓8のSU(3)殻

模 型状 態

重 ね 合 わ せ に よ っ て 表 現 され る.

系

  こ こ で は12C+α

の ク ラ ス タ ー 模 型 を 考 え,こ

の 中 に ど の よ う な16Oの

殻模型

状 態 が 含 ま れ て い る か 検 討 し よ う.議 論 の 対 象 と す る 殻 模 型 状 態 と し て は,16Oの 閉 殻 配 位((0s)4(0p)12)と,こ

の 閉 殻 配 位 か ら1核

子 が 励 起 し た1粒

子1空

孔 配位

 に 限 る こ とに す る.   こ の 場 合 の ク ラ ス ター 模 型 波 動 関 数 は

(4.162)

で あ る.こ

こ でAは

Iπ=0+,2+,4+の

反 対 称 化 演 算 子 で あ る.φI(12C)は12Cの 回 転 バ ン ド を と る もの とす る.ま

タ ー 間 の 相 対 運 動 の 角 運 動 量lと12Cの と き ク ラ ス ター 状 態 

内 部 状 態 を表 し,

た 

は クラス

内 部 状 態 の 角 運 動 量Iと は 量 子 数 演 算 子N(T)の

の 合 成 を表 す.こ

固 有 状 態 で,そ

の

の 固有

値NTは

(4.163) で あ る.12Cの

配 位 は((0s)4(0p)8)で

  16核 子 系 の16Oの の2重

あ るか ら,N(12C)=8で

あ る.

最 低 の 調 和 振 動 子 の 量 子 数 を持 つ 配 位 は,ア

イ ソ ス ピ ンT=0

閉殻 配位

(4.164) の み で あ り,こ の 状 態 はN(T)の が っ て,T=0の16核

固 有 状 態 で,そ

子 の12C+α

の 固 有 値 がNT=12で

系 に 対 し て は,N(T)の

あ る.し た

固 有 値 は12よ

り大 き く,

(4.165) で な け れ ば な ら な い.こ 態 と な る.す NT=12に

の 条 件 が み た され な い よ う な ク ラ ス タ ー 状 態 はPauli禁

な わ ち, 

に 対 し て は 

対 し て は, 

で あ る.ま

たNTが

の み が 許 され る状 態 で あ る.し

止状 最小 の

た が っ て,

(4.166) と な る.こ

こ で,I=l=0,2,4の

  次 に 閉 殻 配 位 か ら1核 S=T=0に

い ず れ を と っ て も 同 一 状 態 で あ る.

子 が 励 起 し た1粒

子1空

孔 配 位 

限 る と,殻 模 型 状 態 と し て は 次 の2つ

を 考 え る.

が 考 え られ る:

(4.167a) (4.167b) Jπ=1-の

殻 模 型 状 態 で は 重 心 運 動 の励 起 状 態 が 混 じ るの で,係 数 α,βを適 当 に と っ

て,重

心 運 動 の 励 起 を 取 り除 か な けれ ば な ら な い.一

は,重

心 運 動 の 波 動 関 数 は 常 に 励 起 し て い な い(0s)状

し た が っ て,各

々 のJに

対 して1つ

のNT=13(あ

方,ク

ラ ス ター 模 型 波 動 関 数 で

態 の ω0(XG)が

る い は2n+l=5の)殻

付 加 され る. 模 型状態

が 対 応 し,

(4.168) と な る.(種 注 意 せ よ.)

々 の 異 な る(l,I)の

組 み 合 わ せ は,い

ず れ も 同 一 の Φ1hω,Jと

なる ことに

  以 上 の よ うな ク ラ ス ター 模 型 空 間 と殻 模 型 空 間 との 比 較 は,他 い て も 同様 に行 う こ とが で き る.そ の結 果,ク

の軽 い核 に つ

ラ ス ター模 型 空 間 は,低 エ ネル

ギ ー 領 域 に お い て 重 要 な 殻 模 型 状 態 を よ く表 現 で きる模 型 空 間 と な っ て い る こ とが 明 らか に な っ た.

  4.5.4 

直交条件模 型

  (a) ク ラ ス タ ー 間 相 対 波 動 関数 とPauli禁   2ク ラ ス タ ー系 を 構 成 す る2つ ν=ν1=ν2で は1組

の ク ラ ス ター の振 動 子 パ ラ メ ー タ ーが 等 し く

あ る 場 合,前 節 で 述べ た よ うにRGM重

のPauli禁

表 す.記 号Fは RGM波

止状態

な り積 分 の 固 有 状 態 に

止 状 態 が 存 在 す る.こ れ ら を  禁 止 状 態(Forbidden

と

states)を 意 味 す る.こ

の ときの全系の

動 関数は

(4.169) と な り,消 え て し ま う こ と は 前 節 で 述 べ た と お りで あ る.し 程 式 の1つ

の 解X(r)に,Pauli禁

は りRGM方

程 式 の 解 で あ る.な

つ ま り,RGM方 あ る.こ

止 状 態XF(r)を

程 式 の 解X(r)に

の不 定 性 を利 用 して,得

解X(r)を,次

ぜ な ら ば,次

はXF(r)だ

た が っ て,RGM方

任 意 に 重 ね 合 わ せ て も,や の 式 が 成 り 立 つ か ら で あ る:

け の 不 定 性 が あ る とい うこ とで

られ た 解X(r)か

らPauli禁

止 状 態 を除 いた

の よ うに 作 る こ とが で き る:

(4.170) この 解 は

(4.171) をみ た し,明

らか にPauli禁

  後 の 便宜 の ため に,X(r)の

止 状 態 と直 交 し て い る. 関数 空 間 をPauli禁 止 状 態 の 部 分 空 間 とPauli許 容

状 態 の 部 分 空 間 に分 け,Pauli許

容 状 態 の 部 分 空 間に 射 影 す る射 影 演 算 子 Λ を,

(4.172) と 定 義 す る.

  こ の よ う に 定 義 さ れ たX(r)の Pauli禁

止 状 態XF(r)に

一 般 的 特 徴 は,(4.171)式

直 交 す る と い う条 件 に よ り,内 部 領 域(r=￨r￨の

領 域)に お い て 振 動 的 な 振 る 舞 い を す る こ と で あ る.こ oscillation)と

で 示 さ れ る よ う に,

の 振 動 を 内 部 振 動(inner

い う.*34

  具 体 例 をあ げ て 内 部 振 動 につ い て 説 明 し よ う.前 節 で 述 べ た よ う に,重 固 有 値 が0で

な い 固 有 関 数 に 対 応 す るRGM波

数 と な って い る.た

とえ ば α+16Oの

動 関 数 は,調

位 のSU(3)(8,0)の

は 内 部 振 動 を持 つ.た

あ り,unl(r)は4個

のPauli禁

動 関 数 は,

殻 模 型 波 動 関 数 で あ る こ と は,前 節 で 示 した.こ の 節(nodes)を

(rが 小 さい 部 分)の 内 部 領 域 に4つ の4個

容 状 態の 相

に 対 応 す るRGM波

波 動 関 数 の 動 径 部 分  は,n=4で

な り積 分 の

和振 動 子殻 模 型波 動 関

場 合,N=2n+l=8のPauli許

対 波 動 関 数  (1s0d)4配

小 さい

持 ち,最

の相 対

と え ばl=0の

外 の4番

場合

目 の 節 よ り内 側

の 山 を持 つ 内 部 振 動 が あ る.こ れ はn=0,1,2,3

止 状 態 と 直 交 す る と い う条 件 か ら 生 じ る の で あ る.

  上 記 の 殻 模 型 状 態 の 動 径 波 動 関 数unl(r)の

内 部 振 動 の 振 幅 は,外

節 の 位 置 よ りrが

大 き い 部 分 の 振 動)の 振 幅 と 何 ら 変 わ ら な い.こ

の 特 徴 で あ る.と

こ ろが,ク

部 振 動(最 外 の

れが 殻 模型 的状 態

ラ ス タ ー 的 構造 が よ く発 達 し た状 態 に お い て は,内

部振

動 の 振 幅 は外 部 振 動 に 比 べ て 格 段 に 小 さ くな り,外 部 領 域 の 振 幅 が 大 き く な る の が 一 般 的 特 徴 で あ る.逆

にRGM方

程 式 の 解 が こ の 特 徴 を 示 す 場 合 に は,ク

ラ ス ター 構 造

が 発 達 し て い る と判 定 す る こ とが で き る.

  (b)  OCM方   RGM方 て,得

程式

程 式 に基 づ い て 軽 い 核 クラ ス ター 間の 散 乱 過 程 を扱 っ た 実 例 にお い ら れ た 相 対 運 動 の 波 動 関 数X(r)の

特 徴 は 次 の と お りで あ る:

  入 射 エ ネ ル ギ ー が 低 い 場 合,エ

ネ ル ギ ー の か な り広 い 範 囲 に わ た っ て 内 部 振

動 の 振 幅 は あ ま り変 化 し な い.特

に 著 し い 特 徴 は,内

ん ど 変 化 し な い と い う こ と で あ る.こ ク ラ ス タ ー 間 のPauli原

の こ と は,内

理 に よ っ て 支 配 され,そ

直 交 性 に よ っ て ほ と ん ど き ま っ て し ま う,と を 取 り 入 れ,ク

*34 R

model;略

. Tamagaki

S. Okai *35 S . Saito,

and

and Prog.

部 領 域 の 波 動 関 数 が2つ の 特 徴 がPauli禁

S.

C.

称OCM)で H.

Tanaka,

Park,

Theor.

Phys.

下 で 説 明 す る 直 交 条 件 模 型(orthogonality

Prog.

Theor.

Rev. 40

の性 質

単 に 取 り扱 う こ と が

あ る.*35

Phys.

(1968)

145

Phys. (1966)

893;

41

34

(1965)

787. (1969)

705.

の

止 状 態 との

い う こ と を 示 し て い る.こ

ラ ス タ ー 間 の 相 対 運 動 を わ か りや す く,簡

で き る よ う に 工 夫 さ れ た 模 型 が,以 condition

部 振 動 の 節 の位 置 が ほ と

191.

  OCMが

考 案 され た 物 理 的 背 景 は,次 の よ うに ま とめ る こ とが で き る:

(1) 相 対 波 動 関 数X(r)の

内 部 領 域 に お け る 振 る 舞 い は 主 と し てPauli原

よ っ て 支 配 さ れ,Pauli禁

(2) 外 部 領 域(最 外 の 節 の 位 置 よ り外 側)で き く な く,Pauli原

は,2つ

の ク ラ ス タ ー の 重 な りは 大

理 の 効 果 は 小 さ い と 考 え ら れ る.し

程 式 に お け る 積 分 核(4.121a)に 項(4.121c)の

理に

止 状 態 と の 直 交 性 で 記 述 さ れ る.

お い て,粒

た が っ て,RGM方

子 交 換 に よ る非 局 所 積 分 核 の

作 用 が 小 さ く,直 接 ポ テ ン シ ャ ル(4.121b)が

 こ の 考 え に基 づ い て 導 入 され たOCM方

主 で あ る.

程式は

(4.173) で あ る.こ

こ で,μ

は2つ

の ク ラ ス ター の 換 算 質 量,∇2は

ラ プ ラ シ ア ン で あ り,Er=E-(EC1+EC2)で 有 効 ポ テ ン シ ャ ル で あ り,第0近 と し て よ い.す X(r)に

あ る.ま

似 と し て はRGMの

な わ ち,OCMと

は,RGM方

よ っ て 近 似 す る 方 法 で あ る.こ

交 させ る 条 件 を 除 け ば,通

相 対 座 標rに た,Veff(r)は

関す る 局所 的

直 接 ポ テ ン シ ャ ル(4.123c)

程 式 の 解X(r)を(4.173)式

のOCM方

程 式 は,Pauli禁

常 の ポ テ ン シ ャ ル 問 題 と 同 じ で あ り,物

の解 止 状 態 と直 理 的内容 の

理 解 が 容 易 な 模 型 と い え よ う.

  (c) RGM方   RGM方

程 式 とOCM方 程 式 とOCM方

程 式 の 関係

程 式 の 間 の 関 係 を 調 べ,OCMがRGMの

いか なる

近 似 に な っ て い る か を 明 ら か に し よ う.*36   RGM方

程 式 は 形 式 的 に 次 の よ う に 表 す こ と が で き る:

(4.174a)

(4.174b) こ の解Xが

た と えPauli禁

止 状 態 を含 まな い.RGM方 *36 S

. Saito,

Prog.

Theor.

止 状 態XFを

含 ん で い た と し て も,NXはPauli禁

程 式 は す べ て,Nの0で Phys.

Suppl.

62

(1977)

Chap.

な い 固 有 値 に属 す る 固 有 2.

ベ ク ト ル で 張 られ るPauli許 論 は す べ てPauli許 算 子N-1が

容 空 間 内 で 取 り扱 う こ とが で き る の で,以

容 空 間 内 で 行 う も の と す る.し

定 義 で き,N-1/2も

算 子 を 用 い れ ば,RGM方

た が っ て,演

下の議

算 子Nの

定 義 で き る 

逆演 この 演

程 式(4.174a)は

(4.175) と 書 か れ る. 

はPauli禁

び 

止 状 態 を 含 ま な い か ら, 

と な る こ と に 注 意 す れ ば,(4.175)式

お よ は

(4.176) と 書 き 直 さ れ る.こ

のRGM方

程 式 を 基 に し てOCM方

程 式(4.173)を

なが め

る と,

(4.177) と 置 き 換 え を 行 っ た こ と に な っ て い る.つ

ま り,OCM方

程 式 は,RGM方

に お け る 複 雑 な 非 局 所 的 ハ ミル トニ ア ン 積 分 核 

程式

を,(4.177)式

の 右 辺 の 局 所 的 ハ ミ ル トニ ア ン に 置 き換 え る と い う 近 似 に よ っ て 得 られ る.軽 い 核 ク ラ ス タ ー を取 り扱 う場 合 に は,有 て 直 接 ポ テ ン シ ャ ルVD(r)で

効 ポ テ ン シ ャ ルVeffは

似におい

置 き換 え ら れ る こ とが 知 ら れ て い るが,一

は 粒 子 交 換 に 由 来 す る 項 を 実 効 的(effective)に   し た が っ て,(4.177)式

第0近

般的に

含 む も の と 考 え る.

の 近 似 の も と で,RGM方

程式 は

(4.178) と 書 か れ る.つ

ま り,OCM方

解,す

な わ ち(4.178)式

て,入

射 エ ネ ル ギ ー をErと

程 式(4.173)の

の 解 

解X(r)は,RGM方

程式の近似

で あ る と 考 え る わ け で あ る.こ

れに よっ

し た と き の 散 乱 問 題 を 取 り扱 う際 の,解

の規格直

交性が

(4.179) と き ま る.こ

の よ う に し て,一

程 式 と 考 え ら れ る.

般 的 に(4.178)式

が 直 交 条 件 模 型(OCM)の

方

  4.6 

  4.1お

よ び4.2で

微 視 的 ク ラ ス タ ー模 型 の 適 用 例

述 べ た よ う に,8Beの

ほ か に12C,

16O,

20Neに

達 し た ク ラ ス タ ー 構 造 が 存 在 す る こ とが 明 ら か に な っ て い る.4.3, 4.5の

諸 節 で 示 し た 微 視 的 ク ラ ス タ ー 模 型(GCM,

い た 研 究 は,原

RGMお

も,よ

く発

4.4お

よび

よ びOCM)を

用

子 核 の 中 に よ く発 達 し た 分 子 的 構 造 状 態 が 存 在 す る こ と を 認 識

させ る の に 大 き な 役 割 を 果 た し た.*37   微 視 的 ク ラ ス タ ー 模 型 の 重 要 な 点 は,こ

の 模 型 が,よ

くク ラ ス ター 化 した 状

態 を 理 論 的 に 再 現 す る だ け で な く,殻 模 型 状 態 を も あ わ せ 統 一 的 に 導 く こ と で あ る.そ

れ は,前

述 し た よ う に,ク

ラ ス タ ー 模 型 空 間 が,低

励 起 エ ネルギ ー 領

域 で 見 ら れ る 重 要 な 殻 模 型 配 位 状 態 を 包 含 し て い る か ら,い   本 節 に お い て は,こ

わ ば 当 然 で あ る.

の よ う な 特 徴 を持 つ 微 視 的 ク ラ ス ター 模 型 を 適 用 し た 例

と し て,20Ne系,16O系

お よ び12C系

を 取 り上 げ て,そ

の 結 果 の 概 要 を示 す

こ と に す る.

  4.6.1 

20Ne系

  20Ne系

に 対 す る α+16O模

問 題 で あ る.そ

の α+16O模

のGCM方

型 型 は 典 型 的 な 単 一 チ ャ ン ネ ル の2体

程 式 は(4.112)式

で あ り,RGM方

程 式 は(4.120a)

式 の 右 辺 の 他 チ ャ ン ネ ル と の 結 合 が な い 場 合 の 方 程 式 で あ る.こ の 解 を 求 め た 結 果,明 のKπ=0±

ら か に さ れ た20Neの

ク ラス ター

れ ら の方 程 式

結 合 状 態 と 共 鳴 状 態 は,次

の3つ

の 回 転 バ ン ド の 状 態 群 で あ る:

(1) 励 起 エ ネ ル ギ ー が5.78MeVの  ン ド.こ

か ら 始 ま る 

の 回転 バ

れ ら は 大 き な α 崩 壊 幅 を 持 つ 共 鳴 状 態 で あ る.(α

崩壊幅 に関す

る 詳 し い 説 明 は 割 愛 す る.) (2) 上 記(1)の  態(0+1)か (3) α+16Oク

バ ン ド とパリティ2重 ら 始 ま る 

ラ ス タ ー 模 型 で 新 た に 導 か れ た 

基 底 回 転 バ ン ド よ り1だ *37 代 表 的 な 総 合 報 告 は Y.

Suzuki

項 を なす と見 な され る基 底 状

の 基 底 回 転 バ ン ド(図4.4参

and

E.

,Y.

Uegaki,

の 励 起 回 転 バ ン ド.

け 高 い ノ ー ド(node;節)を

Fujiwara, Prog.

H. Theor.

Horiuchi. Phys.

K. Suppl.

照).

Ikeda,

持 つ 状 態 で あ る.実

68

M. (1980)

Kamimura, Chap

K. 2.

験

Kato,

表4.3 

20Neの

チ ャ ン ネ ル 半 径 はa=5fmと は,T. 706よ

Matsuse, り.実

M.

α+16O

計 算 結 果 と実 験 値 の 比 較

と ら れ て い る.10+と11-は

Kamimura

験 値 は,F.

RGMの

and

Y.

Fukushima,

Ajzenberg-Selov,

Nucl.

的 に 見 出 され て い る8.03MeVの0+4状

観 測 さ れ て い な い.理 Prog.

Phys.

A166

Theor.

Phys.

(1972)

1よ

論 値

53 (1975) り.

態 の 上 にあ る α 幅 の 非 常 に 大 きい

状 態 群 に 対 応 す る と 考 え ら れ る.   上 記 の(1),(2)の

状 態 に 関 す るRGMに

よ る 計 算 結 果(エ

換 算 幅 θ2α(a)),お よ び 対 応 す る 実 験 デ ー タが 表4.3に ネ ル ギ ーEは

α+16Oの

ン ネ ル 半 径a(い

確 率 に 比 例 す る 量 で あ る.つ

中の エ

換 算 幅 θ2α(a)はチ ャ

に お い て α ク ラ ス タ ー と16Oク

ラ

離 の あ た りで の α ク ラ ス タ ー の 存 在 確 率

たが って α 換 算 幅 は そ の 値 が 大 きい ほ ど そ の 状 態 が よ りよ

く ク ラ ス タ ー 化 し て い る こ と を 意 味 し,ク る と も い え る.こ

α

し て い る)に お け る α ク ラ ス タ ー の 存 在

ま り,20Ne系

ス タ ー が 接 触 す る(反 応 を 起 こ す)距 を 示 す 量 で あ り,し

示 さ れ て い る.表

し き い 値 か ら 測 っ た 値 で あ る.α

ま の 場 合a=5fmと

ネ ル ギ ーEと

ラ ス ター構 造 の 度 合 い を 示 す 量 で あ

の 点 を も う 少 し 見 や す くす る た め に,20Ne系

算 幅 振 幅yL(r)を,次

にお け る α 換

の よ う に 導 入 す る:

(4.180a) (4.180b) こ こ で,(4.180b)式 で あ る.し

のuL(r)はRGM方

た が っ て,α

換 算 幅 振 幅yL(r)は

ラ ス タ ー の 存 在 確 率 振 幅 で あ り,r=aに

程 式 を解 い て 求 め られ る相 対 波 動 関数 ク ラ ス タ ー 間 距 離rに お け る 

おけ る α ク

が上 述の α換算 幅

図4.12 

20Ne系

の α+16O模

比 較 の た め,SU(3)殻 F.

Nemoto

and

型 に よ る0+1お

模 型 に よ る0+1の H.

Bando,

Prog.

よ び0+4状

態 に 対 す る α 換 算 幅 振 幅yL(r)

α 換 算 幅 振 幅 が 破 線 で 示 さ れ て い る.J.

Theor.

Phys.

Suppl.

52

(1972)

173よ

Hiura,

り.

 に な る.

  上 の表4.3の

α 換 算 幅 

は 

の 値 か ら, 

の 共 鳴 状 態 

の よ く発 達 した ク ラ ス ター 構 造 で あ り, 

(Jπ=6+,8+)は Jπ=0+状

の 共 鳴状 態

殻 模 型 構 造 に 近 い 状 態 で あ る と い え る.ま た, 

態(基 底 状 態),お よび 上 の(3)で

ス タ ー化 の発 達 の 度 合 い を見 るた め に,Jπ=0+1お 振 幅yL(r)を

図4.12に

示 す.Pauli禁

の

述 べ た 高 ノ ー ド状 態 に お け る ク ラ よび0+4に 対 す る α換 算 幅

止 状 態 と 直 交 す るた め に現 れ た 内部 振

動 の 振 幅が 減 少 し,外 部 振 幅 が 増 大 して い る よ うす が 見 て 取 られ る.

  4.6.2  16O系   16O系

の α+12C模

に対 す る α+12C模

題 で あ る.12Cク

型 型 は,典 型 的 な 結 合チ ャン ネル の2体 ク ラ ス ター 問

ラ ス ター の 基 底 回転 バ ン ドの3つ

の 状 態(0+,2+,4+)と

相対

運 動 との チ ャ ンネ ル結 合が 考 慮 され る.実 験 との対 応 を明確 にす る た め,RGM (ま た はGCM)の

代 わ りにOCMを

きい 値 エ ネル ギ ー と12Cの も,OCMで

用 い る こ と にす る.こ れ は,α+12Cの

励 起 エ ネル ギ ー をRGMか

し

ら導 くのが 難 しい け れ ど

は そ れ ら を 実 験 値 で 置 き換 え る こ とが で き るか らで あ る.こ の 結

合 チ ャ ン ネルOCM方

程 式 を解 い て得 られ た 状 態 は,10数MeVま

で のT=0

の ほ と ん ど すべ て の 観 測 され て い る 状 態 に対 応 して お り,実 験 値 をか な り よ く 再 現 し て い る.   この 場 合 に 模 型 波 動 関 数 は(4.116)式

の1例

で あ り,

(4.181) で 与 え ら れ る.Iπk=0+,2+,4+と し て 全 角 運 動 量Jと

な る.結

ルu=(u1,u2.…)で

ク ラ ス タ ー 間 相 対 運 動 の 角 運 動 量lkが 合 す る チ ャ ン ネ ル の 相 対 波 動 関 数 の 組 を,ベ

表 す と,結

合 チ ャ ン ネ ルOCM方

程 式 は(4.176)式

結合 ク ト と同

形 と な り, (4.182) と 表 さ れ る.た

だ し,T,V,Eは

行 列 で あ り,そ

で与 え られ る.重 な り積 分 核Nの

の行列 要素は

固 有 関 数 を 求め,Pauli禁

止状 態 を 除い て 許容

状 態 の み で 張 られ る 関 数 空 間へ の 射 影演 算 子 Λ が 定 義 され る.ま た,EIi(12C) とE(α)は

実 験 値 で 置 き換 え る こ とに す る.こ の よ う に して 作 られ るOCM

方 程 式 を解 い た エ ネル ギ ー ・ス ペ ク トル が 図4.13に 軸 は 励 起 エ ネ ル ギ ー で あ り,α+12Cの 7.16MeVで

分 解 し きい 値 は 励 起 エ ネル ギ ー に し て

あ る.図 の左 端 に 観 測 され たT=0の

は 基 底 状 態(0+)お

よび 主 成 分 が(1p-1h)の

α ク ラ ス ター 的 状 態 が 示 され て い る.α

ラス ター と α+12Cの

準 位 が 示 され て い る.(1)

殻 模 型 状 態 で あ る.(2)-(6)に

は

ク ラス タ ー 的状 態 は,波 動 関数 の 主 要

成 分 の 結 合 様 式Iπ ×lに よっ て 分 類 され て い る.こ れ12Cク

示 され て い る.本 図の 縦

こで,Iお

よびlは それ ぞ

相 対 運 動 の 角 運 動 量 で あ る.こ れ らの 結 果 か

ら,α ク ラ ス ター 的状 態が どの よ うな性 格 を持 っ て い るか が 理 解 で き る.*38   殻 模 型 的 状 態 と ク ラ ス ター化 し た状 態 の 大 きな 違 い は α 換 算 幅 振 幅 に最 も よ く現 れ る.α 換 算 幅振 幅 は *38 波 動 関 数 の 主 要 成 分 が 結 合 様 式Iπ 回 転 運 動(Iπ)と

×lに よ っ て こ の よ う に 分 類 され る とい う こ と は ,12Cの

ク ラ ス ター 間 相 対 運 動(l)と

が 弱 結 合 し て い る こ と を 意 味 す る.殻

視 点 か ら α ク ラ ス タ ー 相 関 の 重 要 性 を 端 的 に 示 し た 弱 結 合 殻 模 型(A. and

T.

Sebe,

Phys.

Lett.

24B

(1967)

り は じ め て 明 ら か に さ れ た と い え る.

129)の

成 り立 つ 機 構 が,こ

Arima,

模型の

H. Horiuchi

の α+12C模

型によ

(1) 

図4.13 

16O系

の

α+12C

計 算 さ れ た エ ネ ル ギ ー 準 位 は,(1)に れ て い る.α い る.こ Y.

Suzuki,

Theor.

よ びlは

Prog.

Phys.

Theor.

Suppl.

で 与 え ら れ る.典

68

0+2と0+3に

そ れ ぞ れ12Cク Phys. (1980)

1751,

2よ

(6)2+×4

よ るエ ネ ル ギ ー ・スペ ク トル α ク ラ ス タ ー 的状 態 が 示 さ

ラ ス タ ー と α+12Cの

55 (1976) Chap.

(5)2+×2 

56 (1976)

×lに

よ っ て分 類 され て

相 対 運 動 の 角 運 動量 で あ る. 111;

Y.

Fujiwara

et

al., Prog.

り.

の 状 態(0+1,0+2,0+3)に

つ い て,

へ 分 解 す る α 換 算 幅 振 幅 を 図4.14に

示 す.基

内 部 振 幅 と 外 部 振 幅 と が あ ま り 変 わ ら な い 殻 模 型 的 状 態 で あ り, お い て はy0(00)とy0(22)と

内 部 振 幅 が 減 少 し,ク

も に 外 部 振 幅 が 大 き く外 に 張 り 出 し,

ラ ス ター 化 し た 状 態 で あ る こ と を 示 し て い る.

  こ れ ら の 性 質 を見 る 他 の 方 法 は,全

(4)2+×1 

動 関 数 の 主 要 成 分 の 結 合 様 式Iπ

型 的 な 例 と し て,3つ

  と  底 状 態(0+1)は

OCMに

(3)2+×0 

殻 模 型 的 状 態 が,(2)-(6)に

ク ラ ス タ ー 的 状 態 は,波

こ で,Iお

(2)0+×1 

表4.4 

160の

低 い3つ

の0+状

態 の エ ネ ルギ ー構 成

エ ネル ギ ー に お け る 運 動

エ ネ ル ギ ー とポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー の 寄 与 を見 る こ とで あ り,そ れ らが 表4.4に い る.殻

示 され て

模 型 状 態 は 大 きな 運 動

エ ネ ル ギ ー と大 き な 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー と の 相 殺 が 生 じ るの に

,は

そ れ ぞ れ 運 動 エ ネ ル ギ ー,ポ

テ ン シ ャ ル ・エ ネ

ル ギ ー の 期 待 値 で あ り,は12Cの

平均 励 起 エ ネ

ル ギ ー で あ る.単

et al.,Prog.

位 はMeV.Y.Fujiwara

Theor,Phys.Suppl.68(1980)Chap.2よ

り.

(a) (b) 図4.14  左 図(a)に Prog.

の α+12C

はy0(00)(r)が,右

Theor.

対 し,ク

16O系 Phys.

OCMで

得 られ た3つ

図(b)に

Suppl.

68 (1980)

の 低 い0+状

はy0(22)(r)が p. 103よ

態の α換算幅振幅

示 さ れ て い る.Y.

Fujiwara

et

al.,

り.

ラ ス タ ー 的 構 造 の 場 合 は そ れ と 対 照 的 で あ る.

  4.6.3    12C系

12C系

の3α

に 対 す る3α

種 々 の 微 視 的3α

模型 模 型 は 典 型 的 か つ 基 本 的 な3体

模 型 に よ る 分 析 が あ る が,こ

ク ラ ス タ ー 問 題 で あ り,

こ で はGCMに

よ る分 析 結 果 の

主 要 点 を 示 そ う.*39   全 系 の 波 動 関 数 は3α れ るGCM波

動 関 数 で,パ

配 置 と し て は 一 般 の3角 て,ク

の 種 々 の 配 置 の3中

心 模 型 の 重 ね 合 わせ に よっ て 表 さ

リ テ ィ ・角 運 動 量 射 影 さ れ た も の を 用 い る.空 形 配 置 で あ る が,直

線的配置

ラ ス タ ー 間 距 離 も適 切 に と ら れ て い る.(正)3角

間 距 離 を 同 時 に 小 さ くす る 極 限 で は,殻 状 態 が 得 ら れ る.こ を 生 成 し,観

測 さ れ て い る 基 底0+1状

れ ら の 状 態 が3α

態,4.42MeVの2+1状

に 示 さ れ るKπ=3-の

*39 Y

. Fujiwara

et

al., Prog.

態,13.35MeVの た,正3角

形 配 置 が 含 まれ

で3α

に ク ラス ター 化 した 構

論 的 に 明 ら か に す る こ とが 重 要 で あ る.

Theor.

Phys.

位 の

回 転 バ ン ド も期 待 さ れ る.こ

模 型 で 再 現 で き る か 否 か,12C系

造 が ど の よ う に 現 れ る か,理

ク ラ ス ター

基 底 回 転 バ ン ド(Jπ=0+,2+,4+)

4+1状 態 が こ れ ら に 対 応 す る こ と が 知 ら れ て い る.ま て い る の で,(4.106)式

もそ の 中 に 含 まれ て い

形 配 置 で3α

模 型(0s)4(0p)8のSU(3)(04)配

の 配 位 はKπ=0+の

間的

Suppl.

68

(1980)

Chap.

2.

  励 起 エ ネ ル ギ ー が15MeVま GCMで

得 ら れ たT=0の

で の, エ ネル ギ ー ・

ス ペ ク トル を 図4.15に

示 す.実

の 比 較 が 示 さ れ て い る が,1つ (12.7MeVの1+1)を

験 と の例 外

除 い て は,実

に 観 測 され て い る 準 位 と1対1対 つ け ら れ る.(こ ら1粒

の 例 外 は,基

験 的 応が

底状態 か

子 が ス ピ ン 反 転 して で きた状 態

と 考 え ら れ,3α い.)励

模 型で は記述 で きな

起 エ ネ ル ギ ー に 関 し て も,基

回 転 バ ン ド の2+1,4+1を

除 い て は,実

験 値 を ほ ぼ 再 現 し て い る.基 ン ド の2+1,4+1状 あ り,3α

底

底回転バ

態 は殻 模 型 的構造 で

模 型 で は 十 分 記 述 で き な い.

  α ク ラ ス ター 化 の 指 標 と な る α 崩 図4.15 

壊 幅 の 分 析 の 結 果 が 表4.5に て い る.表

に は,12Cの

12C系

示 され

の3αGCMで

計 算 され た

エ ネ ル ギ ー ・ス ペ ク トル こ れ ら の エ ネ ル ギ ー は3α

α崩 壊 し きい

の し き い 値 エ ネ ル

ギ ー を 基 準 に し て い る.計

値 よ り上 に あ り,実

験 値 が 得 られ て い

る 状 態 に つ い て 

wara 68

,   の 部 分 幅 と,そ

et (1980)

Theor.

れ

al., Chap.

Theor.

実 験 値 はF. A248

全 崩 壊 幅 か ら換 算 幅 

表4.5 

崩 壊 幅 Γ は0+2を Phys. A248

Suppl. (1975)

12C系

1よ

り.

Suppl.

E.

Uegaki

(1977)

1262;

Phys.

1よ

et

62 (1979)

E.

al., Prog. Uegaki

et

1621よ

り.

Nucl.

り.

ャ ン ネ ル 半 径 をa=6.0fm

を 求 め る と ,そ

れ ぞ れ 

の 励 起 状 態 の α 崩壊 幅 の 理 論値 と実 験 値 の 比 較

除 い てkeVを 68 (1980)

Fuji

Phys.

Ajzenberg-Selove,

(1975)

実 験 値 を 極 め て よ く再 現 し て い る こ とが わ か る.チ と し て,0+2と2+2の

57

算 値 はY.

Theor. 2;

Phys.

al., Prog.

ら を あ わ せ た 全 幅 と が 記 さ れ て い る.

Prog.

Chap.

単 位 と す る.理 2よ

り.実

論 値 はY.

験 値 はF.

Fujiwara

et al., Prog.

Ajzenberg-Selove,

Nucl.

Theor. Phys.

Phys.

0.72と1.6と

な り,こ

れ ら2つ

の 正 パ リ テ ィ状 態 は 非 常 に 大 き い α ク ラ ス タ ー

化 の 確 率 を 有 し て い る こ と が わ か る.   主 だ った 状 態 の α ク ラス タ ー

表4.6 

12Cの

特 徴 あ る状 態 の エ ネ ルギ ー構 成

化 の 度 合 い を 見 る 指 標 と し て,表 4.6に,エ

ネ ル ギ ーEを

運動エ

ネ ル ギ ー 〈T〉と ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー 〈V〉 に 分 け た 値 が 記 さ れ て い る.0+1,2+1状

態 は殻 模 型

的 構造 状 態 で あ り,0+2は タ ー 化 が 発 達 し,ク

クラス

ラス ター が

ゆ る や か に 結 合 し て い る構造 で

〈T〉,〈V〉 は そ れ ぞ れ 運 動 エ ネ ル ギ ー,ポ

テ ン シ ャル ・

エ ネ ル ギ ー の 期 待 値.単

Fujiwara

al., Prog. 2よ

Theor.

Phys.

位 はMeV. Suppl.

Y. 68

(1980)

et

Chap.

り.

あ る こ とが よ くわ か る.ま た,1-1が0+2に

準 じた クラ ス タ ー化 し た 状 態 で あ

り,3-1は ク ラ ス ター 化 が あ る程 度 進 ん で 殻 模 型 的 構 造 と ク ラ ス ター 的構 造 の 中 間 的 構 造 で あ る こ とが 読 み 取 られ る.こ の こ とは α 換 算 幅 振 幅 に よっ て も確 か め られ る.

4.7  ク ラ ス タ ー模 型 に 関 す る ま とめ

  微 視 的 ク ラ ス ター模 型 と軽 い 核 の 構 造 変 化 に つ い て コ メ ン トす る こ と に よっ て,こ

の 章 の 締 め く く り と し よ う.

  軽 い 核 に お け る2つ の 異 な る構 造 状 態,す

な わ ち殻 模 型 的 構 造 と ク ラ ス ター

構 造 の 間 の構 造 変 化 が,微 視 的 ク ラ ス ター 模 型 に よ っ て ど の よ うに理 解 され る か,図4.16に

模 式 的 に示 す.軽 い 核 に お い て は 図 に 示 す よ うに,殻 模 型 的構

造 を持 つ 状 態 が 基 底 状 態 に現 れ,ク

ラ ス ター 構 造 の状 態 が エ ネ ル ギ ー 的 に わ り

あ い 近 接 し た励 起 状 態 に現 れ る.こ れ ら の2種 類 の状 態 は,微 視 的 ク ラ ス ター 模 型 で 共 に再 現 す る こ とが で き る.殻 模 型 的 状 態 の特 徴 はPauli禁

止状態 と直

交 す る こ と に よっ て 生 じ た 内 部振 動 の 振 幅 が 大 きい こ とで あ り,波 動 関 数 の 最 も外 側 の 振 幅 と ほぼ 同 程 度 で あ る(図4.16の(a)参

照).こ れ は 大 きな 運 動 エ

ネル ギ ー と と もに 大 きな ポ テ ン シ ャル ・エ ネ ル ギ ー を もた ら し,そ れ らの 相 殺 に よ って 基 底 状 態 の 結 合 エ ネ ルギ ーが 生 まれ る.ひ と たび 基 底 状 態 が 殻 模 型 的 状 態 と な る と,励 起 状 態 はPauli禁

止 状 態 と この 基 底 状 態 と に 直 交 し なけ れ ば

な らな い と い う直 交 条 件 が は た ら き,そ の状 態 の 性 質が 強 く制 約 され る.励 起

(a) 図4.16 

(b)

(c)

殻 模 型 的構 造 と ク ラ ス ター 構 造 の 間 の 構 造 変 化 の機 構 を示 す 模 式 図

状 態 の エ ネル ギ ーが 基 底 状 態 の それ とあ ま り大 き くは 変 わ ら な い とい う こ とか ら,上 述 の 直 交 条 件 の 下 で 内部 振 動 が 抑 え られ,最 (図4.16の(c)参

外 の 振 幅 が 伸 張 させ られ る

照).そ の結 果,ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネルギ ー,運 動 エ ネル ギ ー

と も に値 が 抑 制 され,適 度 な励 起 エ ネル ギ ー と な る(図4.16の(b)参 機 構 が4.6で 例 示 した12C, い る.ク

16Oお

よ び20Neを

ラス タ ー構 造 状 態 の み に注 目す れ ば,こ

照).こ の

は じ め,軽 い核 で 共 通 に働 いて の よ う な機 構 は ク ラ ス ター 間

相 対 運 動 に 対 す る 一 種 の 構 造 的 斥 力 芯 の 働 きの よ うに 理解 す る こ とが で きる. つ ま り,あ た か もク ラス ター 間 の 相 互 作 用 に 斥 力 芯が 存 在 す るか の よ うに 見 え るの で あ る.そ の 典 型 的 な例 が8Be系

に お け る α-α間 相 互作 用 に お け る"斥 力

芯"で あ る.   微 視 的 ク ラス ター 模 型 の 重 要 性 は,し

きい 値 則 に基 づ くIkedaダ

イア グ ラ ム

に見 られ る 軽 い 核 の 性 質,す な わ ち わず か な エ ネ ル ギ ー を与 え た だ けで い くつ か の ク ラ ス ター に 分 割 され る性 質 に よっ て,殻 模 型 的 状 態 が 現 れ るの と同 一 の エ ネ ルギ ー 領 域 に ,ク ラ ス ター 構 造 状 態 が 多 数 現 れ,両 者 が 共 存 し,結 合 しあ っ て い る 状 況(状 態)を 記 述 で き る こ と にあ る.そ れ ゆ え に,ク ラス ター模 型が 軽 い核 の か な り広 い エ ネ ルギ ー領 域 にお け る 構 造 を 包括 的 に 記 述 す るた め に不 可 欠 の模型 で あ り,殻 模 型 と並 んで 軽 い 核 の 基 本 的 な模 型 とな って い る ゆ え ん で あ る.

付録A 

回転 体 の 理 論

  物 体 回 転 の 量 子 力 学 に 関 し て,本 行 う.*1中

心 と な る 問 題 は 空 間 固 定 座 標 系(space-fixed

物 体 固 定 座 標 系(body-fixed

coordinate

A.1 

  空 間 固 定 系K(x,y,z)か 間 固定 系Kか

system)と

Euler 

coordinate

system)と

の 間 の 関 係 で あ る.

角

ら物 体 固 定 系K'(x',y',z')へ

ら見 た 物 体 の 方 向 を示 す3つ

(双方 の系K,

の 座 標 軸 の 回転 は,空

のEuler角(θ1,θ2,θ3)で 表 され る.

K'は 原 点 を共 有 す る もの とす る.)

  空 間 固 定 系Kのx,

y, z軸 上 の 単

位 ベ ク ト ル を そ れ ぞ れx1, と し,ま

文 で 必 要 と され る 最 小 限 の 範 囲 の 説 明 を

x2, x3

た 物 体 固 定 系K'のx',

y',

z'軸 上 の 単 位 ベ ク トル を そ れ ぞ れ x'1, x'2, x'3と す る.   Euler角

は 次 の3つ

定 義 さ れ る(図A.1参 (1)  も と のz軸 y軸

の 回転 角 で 照).

の ま わ りでx軸,

を角 度

だ け 回 転 す る.し

た が って,x,

y軸 は 新 し い 位 置 へ 移 動 す る.

(2) 新 し い位 置 に移 動 し たy軸(図 軸,z軸

図A.1 

Euler角(θ1,θ2,θ3)

で は ベ ク トルe2で

を角度

示 され る)の まわ りでx

だ け 回転 す る.し たが っ てx軸,z軸

は

新 し い位 置 へ 移 動 す る. *1  以 下 の 説 明 の 多 ory)

Vol.

く をJ

1, North-Holland

. M.

Eisenberg (1987)

and Chap.

W. 5に

Greiner,

Nuclear

負 っ て い る.

Models

(Nuclear

The

(3)新

しい 位 置 に移 動 し たz軸(図

軸,y軸

で は ベ ク トルe3で

を 角度

示 され る)の まわ りでx

だ け 回転 す る.し たが っ てx軸,y軸

は

新 しい 位 置 へ 移 動 す る. こ れ ら の3段

階 の 回 転 の 結 果,新

ぞ れ 物 体 固 定 系K'に   都 合 に よ り,こ を 導 入 し た.こ

し い 位 置 に 移 動 し たx軸,y軸,z軸

お け るx'軸,y'軸,z'軸

れ ら の3つ

で あ る.

の 回 転 の 回 転 軸 に 沿 っ た 単 位 ベ ク ト ルe1,

れ ら と 空 間 固 定 系Kのx,

お よ び 物 体 固 定 系K'のx',

が それ

y, z軸 上 の 単 位 ベ ク トルx1,

y', z'軸 上 の 単 位 ベ ク ト ルx1', x'2,

e2, e3 x2, x3,

x'3と の 間 に次 の

関 係 が あ る こ と は 容 易 に わ か る:

(A.1a) (A.1b) た だ し,

(A.2a)

(A.2b)

(A.2c)

(A.2d) で あ る.(A.1a)と(A.1b)式

か ら{ei}を

と な る か ら,あ

お よ びK'系

(x1,x2,x3)お

る 点 のK系

消 去 す れ ば, 

よ び(x',y',z')=(x'1,x'2,x'3)と

に お け る 座 標 を そ れ ぞ れ(x,y,z)= す れ ば,

(A.3)

で 座 標 変 換 で きる.た だ し変 換 行 列R=(Rij)は

(A.4) で あ る.

A.2 

  空 間 固 定 系Kか ベ ク ト ルnと

ら 物 体 固 定 系K'へ

関

の 座 標 軸 の 回 転 は,回

の 回 転RはEuler角(θ1,θ2,θ3)で

の と き はR(θ1,θ2,θ3)と

転 軸 に 沿 った 単 位

か らK'系

す る.前

節

表 す こ と もで き る.こ

書 く.

へ の 座 標 軸 の 回 転 に よ り,空

トルrのK系

に お け る 座 標(x,y,z)は,K'系

変 換 さ れ る.位

置rの

間 内 の あ る 点 の 位 置 を示 す ベ ク に お け る 座 標(x',y',z')に

み に よ っ て き ま る 関 数,た

座 標 変 換 に よ り 関 数 形 が 変 わ り ψ'と な る.こ   ψ(x,y,z)と

数

そ の ま わ り の 回 転 角 θ と で き ま る .こ れ をR(n,θ)と

で 述 べ た よ う に,こ

  K系

D 

ψ'(x',y',z')と

し た も の で あ る か ら,も

座標

と えば 系 の波 動 関 数 ψ は この

れ を

と 表 す.

は 同 一 の 関 数 の 同 一 点 で の 値 を別 の 座 標 系 で 表

ち ろ ん 等 し い.つ

ま り

(A.5) で あ る.こ の 式 に よ って 座 標 変 換 に よ る 関 数 の 変 換 性が き ま る.   い ま系 の 全 角 運 動 量(一 般 的 に は 軌 道 角 運 動 量 とス ピ ン角 運 動 量 を合 成 し た もの)をJ=(Jx,Jy,Jz)と

す る.Jは

角 運 動 量 の 交 換 関係

(A.6)

を み た す.(都 合 に よ りhが 省 か れ て い る こ と に 注 意 され た い.)軸nの

まわ り

の無限小 回転は (ε=無

で 与 え られ,有

限 小) 

(A.7)

限の回転は

(A.8) と 書 か れ る こ と は よ く知 ら れ て い る.こ

れ をEuler角

を 使 っ て 書 け ば,

(A.9) で あ る.

  空 間 固 定 系 か ら物 体 固 定 系 へ の 座 標 系 の 回 転 が,全

角 運 動 量 の 固有 ベ ク トル

へ 及 ぼ す 変 換 性に つ い て 検 討 す る.量 子 力 学 で よ く知 られ て い る よ うに, の 規 格 化 され た 同 時 固 有 ベ ク トル￨jm〉

は

(A.10a) (A.10b) で あ る.(hが

省 か れ て い る こ と に 注 意.)Jx,

Jy, Jzの

行列 要素 は

(A.11a) (A.11b) で あ り,こ

れ 以 外 は す べ て0で

  (A.11)式 ら,上

か ら 明 ら か な よ う に,演

の￨jm〉

じ る.つ

あ る.

に 回 転Rを

算 子Jx,

Jy, Jzはjの

作 用 させ る とjが

値 を変 化 させ ない か

同 一 で 異 な るmの

状 態 の みが 混

ま り,

(A.12) と書 くこ とが で き,係 数 

は

(A.13)

と な り,こ れ はD関

数 と呼 ば れ て い る.(通 常 のD関

数 の 定 義 と複 素 共役 だ け

異 な る.原 子 核 理 論 で は便 利 の た め 本 書 の定 義 が よ く使 わ れ る.)   定 義 か らR(θ1,θ2,θ3)は ユ ニ タ リーで あ るか ら,D関

数の直交性

(A.14a) (A.14b) が 容 易 に 求 め ら れ る.   ベ ク トルrで

指 定 さ れ る 空 間 内 の 任 意 の1点

(r,θ,φ)で 表 し,同 の 場 合,J2とJzの

一 点 を 物 体 固 定 系K'に

に よ り￨lm〉はR￨lm〉

間 固 定 系Kに

お い て(r,θ',φ')で

同 時 固 有 ベ ク トル￨lm〉 ごあ る.(A.12)式

を,空

で 示 さ れ る よ う に,回

数=l

転

と な る よ う な ベ ク トルr'の

間 固 定 系 に お け る 極 座 標 は(r,θ',φ')で

あ る か ら,￨lm〉

点 の 値 と,R￨lm〉

点 の 値 と は 等 し い.す

で あ る.し

表 す.j=整

の 極 座 標 表 示 は 球 面 調 和 関 数 で あ り,

に 変 換 さ れ る.Rr'=γ

の 極 座 標 表 示 のrの

お い て極 座標

空

の 極 座 標 表 示 のr'の な わ ち,

た が っ て,

(A.15) が 得 られ る.こ れ が 球 面 調 和 関 数 の 空 間 固定 系 か ら物 体 固 定 系 へ の 座 標 変 換 で あ る.   D関

数 の 定 義(A.13)か

ら 直 ち に わ か る よ う に,

(A.16) と な る.関 数 

は 実 関 数 で あ り,具 体 的 に は

(A.17)

と書 か れ る.た だ し μは 各 階乗 の 引 数 が 負 に な ら な い範 囲 の 整 数 で あ る.ま た これは

(A.18) と 書 く こ と が で き る.こ 多 項 式)で

こ でF(α,β,γ;x)はGaussの

まの 場 合

あ る.

  djm'mやDjm'mの

定 義,な

ら び にGaussの

の さ ま ざ ま な 性 質 を 求 め る こ と が で き る.以 djm'mの

超 幾 何 関 数(い

超 幾 何 関 数 の 性 質 か ら,そ

れ ら

下 に い く つ か を ま と め て お こ う.

対 称 性は

(A.19a) (A.19b) (A.19c) (A.19d) Djm'mの

対称性 など は

(A.20a) (A.20b)

(A.20c) (A.20d) j=整

数=lの

場 合,特

殊 なD関

数 は 球 面 調 和 関数 と関 係 が あ り,

(A.21) とな る.ま たD関

数の直交性 として

(A.22) が 成 り立 つ.

A.3 

角

運

動

量

  物 体 が 時 間 と と も に 回転 す る と い う こ とは,物 体 固定 系 の座 標 軸 が 時 間 と と もに 回転 す る こ とで あ り,Euler角(θ1,θ2,θ3)が れ で は 物 体 回転 の 角 運 動 量 演 算 子 はEuler角   そ の 定 義 か ら 明 ら か な よ う に,Euler角 回 転 軸 と し た と き の,そ e1,e2,e3の

で どの よ うに表 され るで あ ろ うか. は3つ

の 単 位 ベ ク トルe1,

の ま わ り の 回 転 角 で あ る(図A.1参

照).い

e2, e3を ま回転軸

ま わ り の 微 小 な 回 転 角dθ1, dθ2, dθ3か ら な る 微 小 回 転 を 考 え よ う.

こ の 微 小 回 転 の 空 間 固 定 系Kに と す る.す

時 間 変 化 す る こ とで あ る.そ

お け るx,

y, z成 分 を そ れ ぞ れ

なわ ち

(A.23) で あ る.eiとxiと

の 関 係 は(A.1a)式

で 与 え ら れ て い る の で,こ

れ を(A.23)

式 に代 入 す る と

また は

が 得 られ る.空

間 固 定 系Kに

 (A.24)

お け る3つ の 座 標 軸 の まわ りの 角 運 動 量 演 算 子

(ま た は 無 限小 回転 を 生 成 す る 演 算 子)は

(A.25) で 与 え ら れ る.通 常 の 角 運 動 量 演 算 子 と違 って,hが

省 か れ て い る こ と に注 意

され た い.関 係 式

を使 えば,

(A.26) と な る.行 列Uの

逆 行 列U-1は(A.2c)式

量演算子 は具体的 に

で 与 え られ て い るの で,上 の 角 運 動

(A.27) と 表 さ れ る.こ

れ ら の 角 運 動 量 演 算 子 に お い て,記

す る 演 算 子"と

い う 意 味 で あ る.

号"^"は"Euler角

に作 用

 これ らの 角運動量演算子が 交換関係

(A.28) を み た す こ とは,直 接 計 算 に よ り容 易 に確 か め られ る.   次 に 物 体 固 定 系K'に

お い て 角 運 動 量 演 算 子 をEuler角

で 表 す こ と を考 え よ

う.最 も正 統 的 に は 上 述 の 空 間 固 定 系 の 角 運 動 量Lを(A.4)式

の変換 行列 を

使 って

(A.29) と 変換 す れ ば よい.も

っ と簡 単 な 方 法 は,上 述 の 空 間 固定 系 に お け る角 運 動 量

Lを 求 め た や り方 を その ま ま踏 襲 す る こ とで あ る.そ の と きの微 小 回 転 の 物 体 固定 系K'に

お け るx', y',z'成 分 を

とす る.す な わ ち

(A.30) で あ る.eiとx'iと

の 関 係 は(A.1b)式

で 与 え ら れ て い る の で,こ

れ を(A.30)

式 に代 入 す る と

また は 

が 得 られ る.前

(A.31)

と同 様 に し て 物 体 固 定 系K'に

お け る3つ

の 座 標 軸 の まわ りの

角運動 量演算子 は

(A.32) で 与 え ら れ る.

  行 列Vの

逆 行 列V-1は(A.2d)式

算子 は具体的 に

で 与 え られ て い るの で,上

の角運動 量演

(A.33) と表 され る.こ れ らの 角 運 動 量 演 算 子 にお い て,記 号"〓"は"Euler角 す る 演 算 子"と い う意 味 で あ り,記 号"'"は"物

体 固 定 系K'"に

に作用 おけ る成分

で あ る と い う こ と を 表 して い る.   こ れ ら の 角 運 動 量 演 算 子 が 交 換 関係

(A.34) を み た す こ とは,直 接 計 算 に よ り容 易 に確 か め ら れ る.注

目す べ きは,こ の 交

換 関 係 が 空 間 固定 系 に お け る角 運 動 量 の 交 換 関 係 の 符 号 を 逆 転 し た もの に な っ て い る こ とで あ る.   両 方 の 系 に お け る 角 運 動 量 の2乗

の 演 算 子 は 等 し く,

(A.35) と 表 さ れ る.   演 算 子L2は

演 算 子L1,L2,L3,L'1,L'2,L'3の

す べ て と 交 換 可 能 で あ る.す

な

わ ち,

(A.36a) (A.36b) が 成 り立 ち,ま

た

(A.37) が 成 り 立 つ.し

た が っ てL2,L3,L'3の

と が で き る.こ

れ を 

規 格 化 さ れ た 同 時 固 有 ベ ク トル を作 る こ

と す る.す

なわ ち

(A.38a) (A.38b) (A.38c)

である.た だし 

であり,

 で あ る.こ れ らの 固有 値 は,角 運 動 量 の 交 換 関 係 か ら固 有 値 を 求 め るた め に通 常 行 わ れ る方 法 を用 い て,交 換 関係(A.28),(A.34)だ

け を使 って 導 くこ とが で

きる.   角 運 動 量 演 算 子 の0で

ない行列 要素は

(A.39a) (A.39b) (A.39c) (A.40a) (A.40b) (A.40c) で あ り,そ

の 他 は す べ て0で

る の は,交

換 関 係(A.28)と(A.34)の

A.4 

あ る.(A.39b)と(A.40b)式

の符 号 が 逆 転 し て い

符 号 が 逆 転 し て い る こ と に よ る.

角 運 動 量 の 固 有 関 数 と して のD関

数

  角 運 動 量 演 算 子L2,L3お

よびL'3の

は前 節 で 述 べ た.し か し,そ

こで は その 具 体 的 な 表 示 は示 さな か っ た.本 節 で

は￨j,m,m'〉

をEuler角

で 表 示 し,D関

同 時 固 有 ベ ク トル￨j,m,m'〉

数 が 角 運 動 量 演 算 子L2,L3お

について

よびL'3

の 同 時 固 有 関 数 で あ る こ と を示 す.ま ず その た め の 準 備 を す る.   (A.9)式 で 示 した よ うに,Euler角(θ1,θ2,θ3)で 算子  

表 され る座 標 軸 の 回転 は 演

で 与 え られ る.し た が っ て,任 意 の 波 動

関数Ψ に 対 し て

(A.41a) (A.41b) (A.41c)

が 得 られ る.た だ し 

で あ る.任 意 の2つ

の 演 算 子A,F

に対 す る よ く知 られ た公 式

(A.42) を 用 い れ ば,関 係 式

が 得 ら れ る の で,こ

れ ら を 使 っ て(A.41b)と(A.41c)式

は

(A.43a)

(A.43b) と 書 く こ とが で き る.物

体 回 転 の 角 運 動 量 演 算 子 は,(A.26)式

角 の 微 分 演 算 子 で 表 さ れ る.(A.26)式 与 え ら れ る の で,(A.26)式

に お け る 行 列Uの

に よ っ てEuler

逆 行 列 は(A.2c)式

で

に 上 記 の(A.41a),(A.43a),(A.43b)の

各 式 を代 入

で あ る.Ψ

は 任 意 で あ る か ら,

す る と,

が 得 ら れ る.た

だ し 

一般 に

(A.44) が 成 り立 つ.注

意 す べ きはLκ はEuler角

に作 用 す る演 算 子 で あ り,Jκ は 空 間

座 標 や ス ピ ン座 標 に作 用 す る 演 算 子 で あ る と い う点 で あ る.つ はEuler角

ま り,(A.44)式

で 表 した 角 運 動 量 と通 常 の 全 角 運動 量 との 間 を 関 係づ け る重 要 な 関

係 式 で あ る.   上 のLκ やJκ は 空 間 固定 系Kに 系K'に

お け る成 分 で あ っ た が,こ れ ら を物 体 固 定

お け る 成 分 に 変 換 す る こ と は(A.4)式

の 座 標 変 換 行 列Rを

使 って容 易

に行 われ る.そ の 結 果 は

(A.45) で あ る.こ

こで も注 意 すべ きは,L'κ がEuler角

に作 用 す る の に 対 し,J'κ は通

常 の 全 角 運 動 量 の 演 算 子 の 物 体 固 定 系 に お け る成 分 で あ る とい う こ とで あ る.   また

(A.46) が 成 り立 つ こ と も容 易 に わ か る.   以 上 で 準 備 が で きた の で,D関

数 が 角 運 動 量 演 算 子L2,L3お

時 固有 関 数 で あ る こ と を示 す.D関

数 の 定 義 式(A.13)と(A.46)式

よびL'3の

同

と を用 い て

(A.47) と な る.こ

こ で,記

号"〓"が

作 用 す る 演 算 子 で あ り,つ

つ い て い る 演 算 子LはEuler角(θ1,θ2,θ3)に

い て い な い 演 算 子Jは

あ る こ と に 注 意し な け れ ば な ら な い.  トル で あ る.ゆ

え に 

通 常 の全 角 運 動 量 の 演 算 子 で の同時固有ベ ク と な り,

(A.48) が 得 ら れ る.   ま た,(A.44)式

を用 い て

(A.49) で あ る か ら,

(A.50) が 得 られ る.次 に

(A.51)

と な る.こ こで ￨jm'〉はJ3の

固有 ベ ク トルで あ り,J'3の 固有 ベ ク トル で は ない こ

と に注 意 しな けれ ば な らない.空 間固 定系 で の 全角 運 動 量 演算 子  と物 体 固 定 系 で の 全 角 運 動 量 演 算 子 

とはユ ニ タ リー 変 換R(θi)

に よ って 関係 づ け られ, 

であ るか ら

(A.52) と な る.し

た

っ て 

が 得 ら れ,結

局

(A.53) が 得 ら れ る.  (A.48),(A.50)お びL'3の

よ び(A.53)式

同 時 固 有 関 数 で あ り,そ

か ら,関

数 がL2,L3お

れ ぞ れ の 固 有 値 がj(j+1),m'お

よ よ びmで

あ

る こ と が わ か っ た.

A.5 

  物 体 の 回転 はEuler角

D関

が 時 間 と と もに変 化 す る こ と を意 味 す る.物 体 回 転 の

運 動 エ ネ ルギ ー を 求 め る た め に,D関 D関

数の 時間変化

数 の 時 間的 変 化 を求 め なけ れ ば な らな い.

数 の 時 間微 分 は

(A.54) で あ る.(A.32)式

か ら

(A.55) が 得 ら れ る.Euler角θ1,θ2,θ3は で あ る か ら,そ

単 位 ベ ク トルe1,e2,e3の

の 時 間 微 分θ1,θ2,θ3は

の 成 分 で あ る.こ

そ れ ぞ れe1,e2,e3の

の 角 速 度 の 成 分 を 物 体 固 定 系 のx',y',z'軸

まわ りの 回 転 角 ま わ りの 角 速 度 成 分,す

なわ ち

 に 変 換 す る と

(A.56)

と な る.(A.55)式

を(A.54)式

に 代 入 し,(A.56)式

を 使 え ばD関

数 の 時 間微

分は

(A.57) と な る.(A.45)と(A.52)式

を用 い て

(A.58) と な り,こ

れ を(A.57)式

に 入 れ て,最

終的に

(A.59) が 得 ら れ る.

付 録B 

回転 ・振 動模 型 のエ ネ ルギ ー 固有 値

  4重 極 回転 対 称(回 転 楕 円体)変 形 し た原 子 核 の 回 転 ・振 動 運 動 の ハ ミル トニ ア ン は(3.127)式

で 与 え られ る.回 転 運 動 と振 動 運 動 の 間 の結 合Hrot-vibを

視したときのハミルトニアンの主要部分  

無

のエネル

ギ ー 固 有 値 を 求 め よ う.

B.1 

回

転

運

 回 転 の ハ ミ ル トニ ア ンHrotは(3.127b)式

動

で 与 え ら れ,

(B.1) で あ る か ら,そ の 固 有 値 は

(B.2) と な る こ と は 明 ら か で あ る.

B.2 

 β 振 動 の ハ ミ ル ト ニ ア ンHβ

β

振

は(3.127c)式

動

で 与 え ら れ,

(B.3) で あ る.こ の ハ ミル トニ ア ン は1次 元 調 和 振 動 子 の そ れ と同 等 で あ るか ら,エ ネル ギ ー 固 有 値 は

(B.4a) と な る.た

だ し,

(B.4b) で あ る.

B.3 

 γ 振 動 の ハ ミル トニ ア ンHγ

γ

振

動

は(3.127d)式

で 与 え ら れ,

(B.5) で あ る.こ のハ ミル トニ ア ンは2次 元 調 和振 動 子 を極 座 標(r,φ)で 表 した と きの 動 径 部 分(rの

部 分)の ハ ミル トニ ア ン と同 型 で あ るか ら,エ ネ ルギ ー 固 有 値 は

(B.6) と な る こ とが 予 想 され る.確 か に この 予 想 が 正 し い こ と は後 で 明 らか に な る.   しか し2次 元 調和 振 動 子 の 場 合 と γ振 動 の 場 合 とで は 大 き く異 な る点 が あ る. 2次 元 調 和 振 動 子 の 場 合,変 数rの

領 域 は[0,∞]で

あ り,波 動 関 数 が この 領 域

に お い て 規 格 化 可 能 で あ る と い う条 件 に よっ て エ ネル ギ ー 固有 値 が きま る.と こ ろが γ振 動 の 場 合 に は,波 動 関 数 は 変 数 γ の領 域[0,π/3]で 規 格 化 され る こ とが 要 求 され,波 動 関 数 の 境 界 条 件 は2π/3を あ れ ば よい こ とに な っ て,こ

周 期 と す る 滑 らか な 周 期 関 数 で

の こ とか らエ ネ ル ギ ー固 有 値(B.6)を

こ とは 難 し い.γ 振 動 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を得 る た め に は,少

直 ちに得 る

し 異 な るや り方

が 必 要 と され る よ うで あ る.こ れ を以 下 で 説 明 し よ う.   これ まで は振 動 運 動 を 集 団 座 標(β,γ)で 表 示 し て きた が,あ (a0,a2)を 用 い る こ と に す る.(β,γ)と(a0,a2)と

の 関 係 は(3.65)式

れ る.す な わ ち,こ れ まで は 集 団 座 標 と して  の代 わ りに 

で与 え ら

を と った が,そ

を採 用 す る わ け で あ る.

  い ま考 えて い る平 衡 変 形 は  す る と,平 衡 変 形 点 に お い て は  わ りの 集 団 座 標(a0,a2)の

らためて座 標

で あ る.こ れ を(a0,a2)の

値 に換算

で あ る.こ の 平 衡 変 形 点 の ま

微 小 振 動 を考 え る.し た が って微 小 振 動 の 変 数(ξ,η)

を

(B.7)

と し よ う.こ れ らの変 数(ξ,η)を 用 い て 振 動 運 動 に対 す る ポ テ ン シ ャ ルVの

平

衡 点 の まわ りで の 展 開(3.126)は

(B.8) と書 か れ る.  集 団 座 標 

を と る と振 動 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 演 算 子 は

(B.9) とな る.い

まの 場 合 の 体 積 要 素

(B.10) に お い て,dΩ

は(3.97)式

と 同 じ くEuler角

に 関 す る 部 分 で あ る が,座

標(a0,a2)

に 関 す る 部 分dT1は

(B.11) で あ る.い

ま,振

動 運 動 の 波 動 関 数 をΨ(a0,a2)と

す れ ば,規

格化は

(B.12) で あ る.そ

こで 変換

(B.13) に よ っ て 新 し い 波 動 関 数Ψ(a0,a2)を

定 義 す る.そ

の規格化 は

(B.14) で あ る.   こ の 新 し い 波 動 関 数Ψ(a0,a2)が

変 換 前 の 波 動 関 数Ψ(a0,a2)と

等 な 物 理 内 容 を 記 述 す る た め に は,集

まっ た く同

団 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ンHcollを

(B.15)

と 変 換 し な け れ ば な ら な い.こ な ら な い.回

れ は 相 似 変 換(similarity

transformation)に

転 ・振 動 の 結 合 ハ ミル トニ ア ンHrot-vibを

無 視 す れ ば,こ

の変換

に よ っ て 作 用 を 受 け る の は 振 動 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 演 算 子Tvibの り,回

転 運 動 の ハ ミル トニ ア ンHrotや

受 け な い.Tvibは

ポ テ ン シ ャ ルV(a0,a2)は

他

みで あ

何 らの影 響 も

こ の 相 似 変 換 に よ り,

(B.16) と な る.変

数(a0,a2)を(B.7)式

を使 っ て(ξ,η)に 置 き換 え,こ

べ て 微 小 量 で あ る と 考 え て 展 開 し,最

低 次 を とれ ば,回

れ ら が β0に 比

転 ・振 動 の 結 合Hrot-vib

を 無 視 し た 集 団 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ン の 主 要 部 分H(0)collは

(B.17a) (B.17b) (B.17c) (B.17d) と な る.回

転 の ハ ミル トニ ア ンHrotは(3.127b)ま

じ で あ る か ら,そ ル ト ニ ア ンHξ る か ら,そ

の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は(B.2)式

た は(B.1)式

の 通 りで あ る.ξ

は β 振 動 の ハ ミ ル ト ニ ア ン(3.127c)ま

の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は(B.4)式

β 振 動 そ の も の で あ る.残 注 意 す べ き は,振

振動のハ ミ と同等 で あ

な わ ち,ξ

振動 は

り の η振 動 が γ 振 動 に 対 応 す る 運 動 で あ る.た

た 表 示 で 表 し た こ と に な る.し

子 数 で あ る か ら,微

た は(B.3)式

の 通 りで あ る.す

動 を 記 述 す る 変 数 が 異 な っ て い て,同

ハ ミ ル トニ ア ン(B.17d)の

と ま っ た く同

だ し

一 の 振 動 運 動 を異 な っ

た が っ て γ 振 動 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は η振 動 の

固 有 値 を 求 め る こ と に よ っ て 得 ら れ る.Kが

良い量

分方程式

(B.18) の 固 有 値Eη が η振 動 の エ ネル ギ ー 固 有 値,す 値 と な る.さ

らに  

な わ ち γ振 動 の エ ネ ルギ ー 固 有

とお く と,(B.18)式

は

(B.19)

と 書 か れ る.し

た が っ てgK(η)の

漸近形 は

で あ る.gK(η)を

(B.20) とお き,

とす る と,関 数fの

み たす べ き方 程 式 は

(B.21) と な る.

 さ て こ こで 関 数f(ρ)を 次 の よ う に ρの べ き級 数 に展 開 し よ う:

(B.22) こ の べ き 級 数 を(B.21)式

に 代 入 し,ρ=0と

す る と,関

いて 発散 しない ために は

ρ=0に

お よ びa1=0で

ば な ら な い こ と が わ か る.ゆ

え に,(3.121)式

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,  L(ρ)が

数f(ρ)が

お

な けれ

で 示 した よ うに が 得 ら れ る.し

た が っ て,べ

き級 数

み た す べ き方 程 式 は

(B.23) と な る.た

だ しL',L"は

そ れ ぞ れLの1階

程 式 に べ き級 数(B.22)を

お よび2階

の 微 分 で あ る.こ

の方

代 入 す る と,

(B.24) が 得 ら れ る.こ る.た

れ に よ っ て 原 理 的 に は べ き級 数L(ρ)の

だ しa1=0で

あ る か ら,L(ρ)は"偶

数 べ き"の

すべ ての項が 決定で き み と な る.と

の と き

と な る か ら,L(ρ)が η=∞

無 限 級 数 と な れ ば ρ=∞

に お い て 波 動 関 数gK(η)が

数 と な る た め に は,あ ら な け れ ば な ら な い.す

るi(=偶

 (B.25)

でL(ρ)が

発 散 す る.L(ρ)が 数=2n2)に

こ ろが

発 散 し,そ

の結果

発 散 し ない よ うに有 限級

対 し て(B.24)式

の 分 子 が0に

な

な わ ち,

(B.26)

と な る.し

た が っ て,エ

ネ ル ギ ー 固 有 値Eη

は

(B.27a) と な る.た

だ し

(B.27b) で あ る.こ

のEη

が γ振 動 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 で あ る.

B.4 

  以 上 の 結 果 を ま と め る と,回

ま

と

め

転 ・振 動 の 結 合 ハ ミ ル トニ ア ンHrot-vibを

無視

す れ ば,回 転 ・振 動 模 型 の エ ネ ル ギ ー 固 有値E(0)collはハ ミル トニ ア ンH(0)collの 固 有 値 で あ り,

(B.28) と な る.た

だ し 

は そ れ ぞ れ(B.4b),(B.27b)式

で 与 え られ る.

付 録C 

ボ ソ ン写 像法 の 一般 論

  偶 数 フ ェ ル ミオ ン系 の 全 ヒ ル ベ ル ト空 間か ら イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 へ の 一 般 化 され た ボ ソ ン写 像 法 に つ い て,本 文 で 必 要 と され る最 小 限 の 説 明 を行 う.*1

C.1 

フ ェ ル ミ オ ン 空 間 と イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間

  以 下 で は 粒 子 数 が 偶 数 の フ ェ ル ミオ ン系 を扱 う も の と す る.a† α,aα を そ れ ぞ れ フ ェ ル ミオ ン の 生 成,消

滅 演 算 子 と す れ ば,系

の 状 態 ベ ク トル は,

(C.1) と 表 さ れ る.偶

数 粒 子 系 の 全 ヒ ル ベ ル ト空 間 は,す

張 ら れ る フ ェ ル ミ オ ン 空 間{￨m〉}で   一 方,イ

べ て の 可 能 な￨m〉

に よ って

あ る.

デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間{￨n)}は

(C.2) に よ っ て 張 られ る.こ

こで ボ ソ ン演 算 子 

は,交 換 関 係

(C.3) をみ た す もの とす る.イ デ ア ル ・ボ ソ ン空 間{￨n)}の る状 態￨m)は,フ

中 で,物 理 的 に 意 味 の あ

ェ ル ミオ ン の 状 態￨m〉 に対 応 して い な けれ ば な らな い の で,

反 対 称 化 され た ボ ソ ンの 状 態 ベ ク トル

(C.4) *1  こ の 付 録 のC.1-C R.

V.

Phys.

Jolos,

Nucl.

Rev.

C 38

.4の Phys. (1988)

内 容 の 多 A

172

2450に

く を,D.

(1971) よ る.

145に

Janssen,

F.

負 っ て い る.ま

Donau, た,C.5の

S.

Frauendorf 内 容 はK.

and Takada,

で 与 え ら れ る.た Pは

だ し,規

格 化 定 数 は 

添え字

に 関 す る 順 列 を 表 す.記

が 偶 順 列 な ら1,奇

順 列 な ら-1で

張 ら れ る 部 分 空 間{￨m)}と

の 間 に は 完 全 に1対1対

空 間 の 中 の 部 分 空 間{￨m)}は

応 が あ り,し

フ ェル ミオ ン

た が っ て イ デ ア ル ・ボ ソ ン

物 理 的 部 分 空 間(physical

そ れ 以 外 は 非 物 理 的 部 分 空 間(unphysical

C.2 

号(-1)PはP

あ る.

  反 対 称 化 さ れ た ボ ソ ン 状 態(C.4)で 空 間{￨m〉}と

で あ り,*2

subspace)と

subspace)と

呼 ば れ,

呼 ば れ る.

物理 的部分空 間への射影演算子

  われ われ が い ま 目標 とす るボ ソ ン写 像 法 は,元 に な るフ ェル ミオ ン空 間{￨m〉} か ら イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 内 の 物 理 的 部 分 空 間{￨m)}へ

の写 像 で あ る.そ の た

め に以 下 の 議 論 で しば しば 現 れ る,物 理 的部 分 空 間へ の射 影 演 算 子(projection operator)

Pに

つ い て 説 明 し て お こ う.

  反 対 称 化 され た ボ ソ ン状 態 ベ ク トル￨m)は

次 の よ う に表 す こ とが で き る:

(C.5) で あ る.容

た だ し 

が 成 り 立 つ か ら,こ

れ ら を(C.5)式

易 に 確 か め ら れ る よ う に,

に適 用 す る と

(C.6) が 得 ら れ る.た

だ し

(C.7) *2

で あ る.こ の操 作 をn回

繰 り返 す と,結 局

(C.8) が 得 ら れ る.こ れ が 反 対 称 化 さ れ た ボ ソ ン 状 態 ベ ク トル の 別 の 表 現 で あ る.(C.8) 式 に お い て,例

え ば2ボ

ソ ン 状 態 を と っ て み る と,

(C.9) と な り,確 か に 反 対 称 化 され た ボ ソ ン状 態 とな って い る.   ボ ソ ン状 態(C.2)で

作 られ る イデ ア ル ・ボ ソ ン空 間{￨n)}は,反

対 称 化 され た

物 理 的 部 分 空 間 の み な らず,反 対 称 で な い非 物 理 的部 分 空 間 も含 ん で い る.イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の 中 の 物 理 的 部 分 空 間へ の 射 影 演 算 子Pは

(C.10) で 定 義 さ れ る.も

ち ろ ん￨m)は(C.4)ま

れ た ボ ソ ン 状 態 ベ ク トル で あ る.い

た は(C.8)式 う ま で も な くPは

で 与 え られ る 反 対 称 化 さ エ ル ミ ー トで あ り,

(C.11) を み た す.ま

た,容

易 に わ か る よ うに

(C.12) お よび

(C.13)

が 成 り立 つ の で,

(C.14) と な る.こ れ らの 結 果 を用 い る と,重 要 な 関係 式

(C.15a) (C.15b) が 成 り立 つ.た

だ し,

(C.16) で あ る.

C.3 

  Usuiに

Dyson型

よ っ て 提 唱 され たUsui演

ボ ソ ン写 像

算 子*3

(C.17a) (C.17b) を 導 入 す る.こ

れ らがDyson型

の 写 像 演 算 子 で あ る.ま

ボ ソ ン 写 像(Dyson-type

た,イ

boson

mapping)*4

デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 内 の 物 理 的 部 分 空 間{￨m)}

の 双 直 交 基 底 ベ ク トル を

(C.18) *3  T *4  F

. Usui, . J.

Prog.

Dyson,

Theor. Phys.

Phys. Rev.

102

23

(1960)

(1956)

787. 1217,

1230.

と す る.こ

れ ら は 双 直 交 規 格 化 さ れ て い て,

を み た す.こ

れ ら の イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の ブ ラ 基 底 ベ ク トル{L(m￨}と ル{￨m)R}と

を ま と め てDyson型

ケ ッ ト基 底 ベ ク ト

基 底 ベ ク ト ル(Dyson-type

basis vectors)

と 呼 ぶ こ と に す る.   (C.17)式

のDyson型

ボ ソ ン 写 像 演 算 子 を 使 え ば,フ

ク ト ル￨m〉

がDyson型

ボ ソ ン 基 底 ベ ク ト ル(C.18)へ

ェ ル ミオ ン空 間の 基底 ベ 次 の よ う に 変 換 され る:

(C.19a) つ ま り,U1は

フ ェ ル ミオ ン空 間 の 基

底 ベ ク トル￨m〉

を イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空

間 の ケ ッ ト基 底 ベ ク ト ル￨m)Rへ し,U†2は

変換

フ ェ ル ミオ ン空 間の 基 底 ベ

ク ト ル 〈m￨を イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 の ブ ラ 基 底 ベ ク トルL(m￨へ 像 演 算 子 で あ る.こ

変換 す る写

れ らの 逆 写 像 は

図C.1 

Dyson型 ボ ソ ン 写 像 法 に お け る フェ ル ミオ ン 空 間 の 基 底 ベ ク トル と イデ ア ル ボ ソ ン 空 間 に お け るDyson型

基底ベ ク

トル の対 応 関 係

(C.19b) で あ る.フ Dyson型

ェ ル ミ オ ン 空 間 の 基 底 ベ ク ト ル と イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に お け る 基 底 ベ ク トル の 間 の 対 応 関 係 が 図C.1に

  (C.19a)式

示 され て い る.

か ら 直 ち に わ か る よ う に,

(C.20) と な る の で,フ

ェ ル ミオ ン 空 間 に お い てU†2U1は

  次 に 任 意 の 演 算 子 の ボ ソ ン 写 像 を 考 え る.い Oと

す る.(C.19)式

と な る か ら,Dyson型

単 位 演 算 子(=1)で ま,あ

あ る.

る フ ェル ミオ ン演 算 子 を

を 用 い れ ば,

ボ ソ ン 演 算 子(Dyson-type

boson

operator)

ODを

(C.21)

で 定 義 す れ ば,フ

ェ ル ミオ ン空 間 に お け る行 列 要 素 と イデ ア ル ・ボ ソ ン空 間 に

お け る 行 列 要 素 が 等 し くな り,

(C.22) と な る.し Dyson型

た が っ て,フ

ェ ル ミ オ ン 空 間 内 の"物

理"の

す べ て が(C.17)式

の

ボ ソ ン 写 像 に よ っ て イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 変 換 さ れ た こ と に な る.

  容 易 に 確 認 さ れ る よ う に,

(C.23) が 成 り立 ち,そ の 結 果

(C.24) が 得 ら れ る.す

な わ ち,Dyson型

ボ ソ ン演 算 子 を 非 物 理 的 状 態 に 作 用 させ る と

0と な る.   フ ェ ル ミオ ン 空 間 内 の"物

理"の

す べ て がDyson型

ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 変 換 さ れ る と い っ て も,こ い の で,フ

ボ ソ ン写 像 に よっ て イデ

の 変 換 はユ ニ タ リ ー変 換 で は な

ェ ル ミ オ ン 空 間 内 で の エ ル ミ ー ト演 算 子 で も,変

換 後 のDyson型

ソ ン 演 算 子 が エ ル ミー トで あ る と は 限 ら な い.例

え ば,系

フ ェ ル ミ オ ン 空 間 内 で は エ ル ミー トで あ る が,変

換 後 のDyson型

ボ

の ハ ミル トニ ア ン は, ボ ソ ン ・ハ ミ

ル ト ニ ア ン は 非 エ ル ミ ー トで あ る.   さ て,最

も基 本 的 な フ ェ ル ミ オ ン の 対 演 算 子a†αa† β,aαaβ,a†αaβ のDyson型

ボ ソ ン 写 像 の 具 体 形 を示 す と,

(C.25a) (C.25b) (C.25c) と 表 さ れ る.ρ

の 定 義 は(C.16)式

に 与 え ら れ て い る.

  相 互 作 用 ハ ミル ト ニ ア ン の よ う に フ ェ ル ミ オ ン の 演 算 子a† やaの4次 で 書 か れ て い る よ う な 演 算 子 のDyson型 対 演 算 子 の 積 と 考 え,そ よ い.例

え ば,4次

ボ ソ ン 写 像 は,2つ

れ ぞ れ を 上 記(C.25)式

の 演 算 子a†αa† βaδaγ のDyson型

形式

の フ ェ ル ミオ ンの

の ボ ソ ン 写 像 で 置 き換 え れ ば ボ ソ ン写 像 は

(C.26)

と な る.最

後 の 関 係 式 は(C.15a)式

を 使 っ て 得 ら れ る.

  以 上 の 結 果 か ら 明 ら か な よ う に,任

意 の フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子OのDyson型

ボ ソ ン 写 像ODは,

(C.27) の 形 に表 す こ とが で きる.た だ しODは あ る.こ の よ うにODが

ボ ソ ン 演 算 子 の 有 限 級 数(多 項 式)で

ボ ソ ンの 有 限 級 数 で 表 され る 点 がDyson型

の特徴 で

あ る.

C.4 

  も う1つ

Holstein-Primakoff型

の 有 用 な ボ ソ ン 写 像 法 はMarumoriら

がHolstein-Primakoff型 ping)*6で

ボ ソ ン写 像

に よ っ て 提 唱 さ れ た.*5こ

あ る.そ

ボ ソ ン 写 像(Holstein-Primakoff-type

boson

れ

map

の 写 像 演 算 子Uは

(C.28) で 定 義 さ れ,Marumori演

算 子*5と

  こ の 変 換Uに

ェ ル ミ オ ン 空 間 の 基 底 ベ ク トル￨m〉

よ っ て,フ

呼 ば れ る. は反対 称化 さ

れ た ボ ソ ン の 基 底 状 態￨m)へ,

(C.29) と変 換 され る.  容 易 に わか る よ う に

(C.30) と な る か ら,フ

ェ ル ミオ ン 空 間 に お い てU†Uは

単 位 演 算 子(=1)で

あ る.ま

た

(C.31) が 成 り立 つ. *5  T *6  T

. Marumori, . Holstein

M. and

Yamamura H.

Primakoff,

and

A.

Phys.

Tokunaga, Rev.

58

Prog. (1940)

Theor. 1098.

Phys.

31

(1964)

1009.

  任 意 の フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子Oを,演 し たHolstein-Primakoff型 operator)

算 子Uで

イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 変 換

ボ ソ ン 演 算 子(Holstein-Primakoff-type

boson

OHPを (C.32)

で 定 義 す れ ば,フ

ェ ル ミオ ン 空 間 に お け る 行 列 要 素 と イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に

お け る 行 列 要 素 が 等 し く な り,

(C.33) と な る.し

た が っ て,フ

Holstein-Primakoff型 こ と に な る.こ

ェ ル ミ オ ン 空 間 内 の"物

理"の

す べ て が(C.28)式

ボ ソ ン 写 像 に よ っ て イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 変 換 さ れ た

の 変 換 は ユ ニ タ リ ー 型 の 変 換 で あ る か ら,フ

お け る エ ル ミ ー ト性 は ボ ソ ン 空 間 に お い て も保 存 さ れ る.す Primakoff型

の

ェル ミオ ン 空 間 に な わ ち,Holstein-

ボ ソ ン ・ハ ミ ル トニ ア ン は エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ る.ま

た,

(C.34) が 得 ら れ る か ら,Holstein-Primakoff型 せ る と0と

ボ ソ ン演 算 子 を非 物 理 的状 態 に作 用 さ

な る.

 最 も基 本 的 な フ ェ ル ミ オ ン の 対 演 算 子 makoff型

のHolstein-Pri

ボ ソ ン 写 像 の 具 体 形 を 示 す と,

(C.35a) (C.35b) (C.35c) と 表 さ れ る.ρ

の 定 義 は(C.16)に

与 え ら れ て い る.

  相 互 作 用 ハ ミ ル トニ ア ン の よ う に フ ェ ル ミ オ ン の 演 算 子a† やaの4次

形式で

書 か れ て い る よ う な 演 算 子 のHolstein-Primakoff型

の フェ

ル ミ オ ン の 対 演 算 子 の 積 と 考 え,そ き換 え れ ば よ い.た ボ ソ ン写 像 は

と え ば,4次

ボ ソ ン 写 像 は,2つ

れ ぞ れ を 上 記(C.35)式

のボ ソン写像で置

の 演 算 子a†αa† βaδaγ のHolstein-Primakoff型

(C.36) と な る.   以 上 の 結 果 か ら 明 ら か な よ う に,任 Primakoff型

意 の フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子OのHolstein-

ボ ソ ン 写 像OHPは (C.37)

の 形 に 書 く こ と が で き る.OHPは,(C.36)式 含 む の で,こ

れ を2項

で わ か る よ う に平 方 根 演 算 子 を

展 開 す る と 無 限 級 数 と な る.こ

の 点 がDyson型

像 の 場 合 と 大 き く異 な る 点 で あ り,Holstein-Primakoff型

ボソン写

ボ ソ ン写 像 の不 利 な

点 で あ る.

  フ ェ ル ミオ ン の 対 演 算 子 作 る.こ

れ はN次

の 間 の 交 換 関係 は 閉 じ た代 数 を

元 特 殊 直 交 群(SO(2N))のLie代

数 で あ る.Nは1粒

態 α の 数 で あ る.BelyaevとZelevinskiは,フ

子状

ェル ミオ ン の対 演 算子 に対 応 す

る ボ ソ ン の 無 限 級 数 で 表 され る 演 算 子 を 考 え,そ

の 各 次 数 ご と に この 交 換 関 係

(Lie代 数)を み た す よ う に 級 数 展 開 を きめ れ ば,フ ェ ル ミオ ン空 間 の す べ て の "物 理"が イ デ ア ル ・ボ ソ ン 空 間 に 変 換 で き る は ず で あ る ,と い う ア イデ ア に よ る ボ ソ ン 展 開 法 を 提 唱 し た.*7Holstein-Primakoff型

ボ ソ ン 写 像(C.35)に

い て,射

を 級 数 展 開 し,正

影 演 算 子Pを

除 い て,平

方根演算子

形 に ア レ ン ジ し 直 し た もの が ま さ にBelyaev-Zelevinskiの

お

規積 の

ボ ソ ン展 開 にな っ て

い る.

C.5 

ボ ソ ン 空 間 に お け るSchrodinger方

 フ ェ ル ミ オ ン 空 間 の ハ ミル トニ ア ン をHと

程式

し,Schrodinger方

程 式 を

(C.38) と 書 く.Holstein-Primakoff型 に よ っ て,こ

ボ ソ ン写 像Uお

のSchrodinger方

程 式 は,そ

よ びDyson型

ボ ソ ン写 像U1,U†2

れぞ れ

(C.39) *7  S

. T.

Belyaev

and

V.

G.

Zelevinski,

Nucl.

Phys.

39

(1962)

582.

お よび

(C.40) と 変 換 さ れ る.た

だ し,固

有 ベ ク トル の 変 換 は

(C.41) で あ り,Holstein-Primakoff型

お よ びDyson型

ボ ソ ン ・ハ ミ ル ト ニ ア ン は,そ

れ ぞ れ

(C.42) で あ る.   (C.39)式 り,固

はHolstein-Primakoff型

ボ ソ ン写 像 法 に お け る固 有 値 方 程 式 で あ

有 ベ ク トル の 規 格 直 交 条 件 は

(C.43) で あ る.他 方,(C.40)の2つ

の 式 はDyson型

ボ ソ ン 写 像 法 に お け る右 固 有 値

方 程 式 お よび 左 固有 値 方 程 式 で あ る.Dyson型

ボ ソ ン写 像 法 に お い て は,ボ

ン ・ハ ミル トニ ア ンHDは

たが っ て左 右 の 固有 値 方 程 式 が

非 エ ル ミー トで,し

ソ

必 要 と な る.こ の 場 合 の規 格 直 交 条 件 は

(C.44) と書 か れ る.規

格 直 交 条 件(C.44)だ

を 決 定 す る こ と は で き な い.な 定 数 を か け,後

け で は 左 右 の 固 有 ベ ク トル

ぜ な ら ば,た

と え ば 前 者 に あ る0で

者 を そ の 定 数 で 割 っ て 得 ら れ る1組

な い任 意 の

の 左 右 のベ ク トル も また 固

有 ベ ク トル に な っ て い る か ら で あ る.   ボ ソ ン ・ハ ミル トニ ア ン の 行 列 要 素 の 計 算 は,Dyson型 方 がHolstein-Primakoff型 し,Dyson型

ボ ソ ン写 像 法 のHHPよ

ボ ソ ン 写 像 法 に お い て は,上

ボ ソ ン 写 像 法 のHDの

り は る か に 容 易 で あ る.し

か

述 の よ うに 固 有 関 数 の 規 格 化 が 確 定 し

な い こ とが 決 定 的 に 不 利 な 点 で あ る と 考 え られ て き た.し

た が っ て,Dyson型

ボ

ソ ン 写 像 法 の 有 利 な 点 を 生 か し な が ら計 算 し た 行 列 要 素 を,Holstein-Primakoff 型 ボ ソ ン 写 像 法 の 行 列 要 素 に"転 換"(convert)す る.こ

れ を 以 下 で 説 明 し よ う.

る こ と が で きれ ば 理 想 的 で あ

  {￨i)}を イデ ア ル ・ボ ソ ン空 間 内 の 物 理 的 部 分 空 間の 基 底 ベ ク トル と し,そ の 規 格 直 交性 を

とす る.さ ら に,こ れ ら の基 底 ベ ク トル は(C.16)式

で 定 義 され るボ ソ ン の 個 数 演 算 子Nの

固 有 状 態 とす る.す な わ ち,そ れ ぞ れ の

基 底 ベ ク トル は き ま っ た ボ ソ ン数Niを 基 底 ベ ク トル は,ボ

ソ ン数Niと

持 つ もの とす る.一 般 的 に は これ らの

と もに,た

と え ば 角 運 動 量 の 大 き さや そ のz

成 分 の よ うな量 子 数 で 指 定 され る はず で あ る.こ れ らの 量 子 数 はNと 能 な い くつ か の エ ル ミー ト演 算 子 こ こで,Kは

交換 可

の 固有 値 で あ る.

基 底 ベ ク トル{￨i)}を 指 定 す るた め に必 要 な量 子 数 の 個 数 で あ る.

  ボ ソ ンの 基 底 ベ ク トル￨i)は(C.28)式 ク トル￨i〉に逆 変換 され,さ ク トル￨i)R,L(i￨に

のUに

ら に(C.27)式

よ って フ ェ ル ミオ ン の 基 底 ベ

のU1,U†2を

使 っ てDyson型

基底ベ

変 換 され る.す な わ ち

(C.45) と な る.ま

た 演 算 子CHP(k)に

型 ボ ソ ン 演 算 子 をCD(k)と

対 応 す る フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子 をCF(k), す れ ば,そ

Dyson

れ らの 間 の 関 係 は

(C.46) で あ る.フ

ェ ル ミオ ン 演 算 子CF(k)は

あ る こ と は 明 ら か で あ る.こ

の よ う な 演 算 子 は フ ェ ル ミ オ ン 対 演 算 子a†αbβ ま

た は そ れ ら の 積 で 構 成 さ れ る.と う に 

フ ェル ミオ ン数 を変 化 させ な い 演 算 子 で

こ ろ が,(C.25c)と(C.35c)式

で あ り,し

か らわか るよ

たが っ て

(C.47) で あ る.   Dyson型

基 底 ベ ク トル￨i)Rお

有 ベ ク ト ル で あ り,(C.47)式 し た が っ て,そ

れ ら は￨i)ま

よ びL(i￨は,そ

れ ぞ れCD(k)の

か ら そ れ ら はCHP(k)の た は(i￨に

右 お よび 左 固

固 有 ベ ク ト ル で も あ る.

比 例 し て い る は ず で あ る.す

な わ ち,

(C.48) で あ る.こ   Oを

こ で,kiは0で

な い 定 数 で,正

の 実 数 と 考 え て よ い.

任 意 の フ ェ ル ミ オ ン 演 算 子 と し,そ

Holstein-Primakoff型

のDyson型

ボ ソ ン 写 像 を そ れ ぞ れODお

ボ ソ ン写 像 お よび

よ びOHPと

す ると

(C.49)

が 成 り立 ち,し たが っ て エ ル ミー ト共 役 の 性 質 か ら

(C.50) と な る.OD≠(OD)†

に 注 意 す べ き で あ る.(C.48)式

を 用 い る と,

(C.51) と な る か ら,

(C.52) と な る.こ の式 に よ り,Dyson型

ボ ソ ン写 像 の 行 列 要 素 をHolstein-Primakoff

型 へ 転 換 す る こ とが で き る.   (C.52)式 に お い て,フ

ェル ミオ ン 演 算 子Oと

と る と, 

して 系 の ハ ミル トニ ア ンHを

で あ る か ら,

(C.53) が 得 ら れ る.こ

の 結 果 を 用 い る と,Dyson型

問 題 がHolstein-Prirnakoff型

ボ ソ ン 写 像 の 非 エ ル ミー ト 固 有 値

の エ ル ミ ー ト固 有 値 問 題 に 転 換 さ れ た こ と に な る.

参

考

図

書

  本 文 中 で 参 考 に した 文 献 は そ の都 度 脚 注 にあ げ た の で,引 用 し た 原 著 論 文 を あ ら た め て リス トア ップ す る こ と は しな い.こ

こで は,本 書 の 多 くの 章 や 節 の

広 い 範 囲 に わ た っ て,執 筆 の 際 に特 に 参 考 に させ て い た だ い た 図 書 を あ げ て, 読 者 の 便 宜 に 資 す る と と も に,感 謝 の 意 を表 した い と思 う.   本 書 全 体 を 通 じ て 参 考 に した 図 書 は,以 下 の(1)-(5)で  (1) 高 木 修 二,丸 森 寿夫,河 理 学 の基 礎 」 第9巻),岩  (2) 野 上 茂 吉 郎:原

 (3) 市 村 宗 武,坂

子 核,裳

and

合 光 路:原 子 核 論(第2版,岩

波 講 座 「現 代 物

波 書 店(1978). 華 房(1973).

田文 彦,松 柳 研 一:原 子 核 の 理 論(岩 波 講 座 「現 代 の 物 理

学 」 第9巻),岩  (4)  P.Ring

あ る.

波 書 店(1993).

P.Schuck:The

Nuclear

Many-Body

Problem,Springer-

Verlag(1980).

 (5) A

Bohr

and

B.R.Mottelson:Nuclear Structure,Benjamin,Vol.I

(1969);Vol.Ⅱ(1975)[中 寺 国 晴 訳:原 朗 人,寺 巻,講

  また,本

村 誠 太 郎 監 修,有

子 核 構造

沢 徳 雄,市

第1巻,講

村 宗 武,矢

馬 朗 人,市

談 社(1979);中 崎 紘 一,大

村 宗 武,久

保

村 誠 太 郎 監 修,有

馬

西 直 毅 訳:原

子 核 構 造 第2

談 社(1980)].

書 の そ れ ぞ れ の 部 分 で 特 に 参 考 に した 図 書 は,以 下 の(6)-(14)で

あ る.  (6)  A.de-Shalit

and

I.Talmi:Nuclear

Shell

Theory,Academic

Press

(1963).  (7)  M.G.Mayer Shell

and

Structure,John

殻 模 型 入 門,三

J.H.D.Jensen:Elementary Wiley

省 堂(1973)].

&

Sons(1955)[寺

Theory

of

沢 徳 雄 訳:原

Nuclear 子 核 の

 (8)  J.M.Eisenberg

and

W.Greiner:Nuclear

Models(Nuclear

Theory)

Vol.1,North-Holland(1987).

 (9) 大 塚 孝 治:相 互 作用 す るボ ソン模 型(物 理 学 最 前 線20),共 立 出版(1988).  (10)  F.Iachello University

and

A.Arima:The

interacting

boson

model,Cambridge

Press(1987).

 (11) 鈴 木敏 男:原 子 核 の 巨 大 共 鳴 状 態(物 理 学 最 前 線19),共  (12)  K.Wildermuth Springer

and Tracts

W.McClure:Cluster

in Modern

 (13)  K.Wildermuth

and

Representation

立 出 版(1988). of Nuclei,

Physics,Vol.41(1966).

Y.C.Tang:A

Unified

Theory

of the Nucleus,

Vieweg.Braunschweig(1977).  (14)  Y.C.Tang:Microscopic ory,Lecture

Notes

Description in Physics

of

the

Vol.145,Springer

Nuclear

Cluster

Verlag(1981).

The

索

引

α ク ラ ス タ ー   297

Brueckner-Hartree-Fock法

α ク ラ ス タ ー   287, 306,

289,

291,

293,

294,

354

Casimir演

α 粒 子 模 型   3

cfp  27,

Alagaの

規 則   139,

Arima 

45,

143

算 子   248-250 28,

30-32,

Chadwick 

251

34,

Clebsch-Gordan係

135,

β バ ン ド   136,

158,

138,

220,

109

数   9, 25,

 149,

109

159,

162,

262,

― エ ネ ル ギ ー   68,

104,

105

267

Coulomb

377

140

β 崩 壊   284

― 力   63,

Bardeen-Cooper-Schrieffer理

35,

1

Coriolis力 β 振 動   134,

  81

300,

論   188

69

― 励 起  139,

140,

157

Bartlett ― 演 算 子   315

δ 関 数 型 の ポ テ ン シ ャ ル   22

― 力   315

D型 

BCS

D関 ― 基 底 状 態   188-190, 209,

214,

193-198,

205,

208,

215 196-199,

204,

205

Bethe 

223,

268,

71

定 理   200,

Bogoliubov-Valatin変 Bogoliubov変

367,

372,

375

, 244 237,

241,

244,

246,

386,

130,

132,

369,

換   188, 201,

370,

87

204 Eulcr角

換   191

205,

一 般 化 され た ―

191,

206,

A. 

3, 100, 127,

Bohr,

N. 

2

193,

194,

198,

212

  199

Bohr,

, 200,

―

372,

373,

224,

125,

127,

363,

365,

129, 366,

375

の 時 間 微 分   125

Fermi ― 運 動 量   70,

― の 集 団 模 型   148, 173,177,

184,

150, 205,

Breit-Wignerの

153,

158,

164,

209,

230,

251,

共 鳴 公 式  270

Brink-Margenau波

71,

― エ ネ ル ギ ー   165, ― ガ ス 模 型   69-72

270

―

73,

86

177,

194,

253,

面   74

Feshbach理

論   90

Feynman図

  74

動 関 数   300

型  300

―理 論

190,

143

― の 強 結 合 ハ ミル ト ニ ア ン   148

Brueckner 

 118-120,

148,

202

Bohr-Mottelson

Brink模

244

224,

392 程 式   83-85,

Bloch-Messiahの

170,

イ メ ー ジ   243

391 ― 型 写 像   233,

Bethe-Goldstone方

199,

241,

122,

ソ ン   246

― 230,

238,

Dyson

― 理 論   188 Belyaev 

235,

― の 時 間 変 化   375 dボ

― 近 似   191,

234,

数  118-120,

γ 振 動   134,

71  67,

135,

γ バ ン ド   136, 71,

Brueckner-Bethe-Goldstone理

76,

81-83,

94-96 論   71

g因

子   52

軌 道 ―

  51

158,

138-140,

159, 143,

220, 260

378

256

ス ピ ン ―   G行

51

列  78,

Gauss型 

44,

Gaussの

K射

46

L2力

超 幾 何 関 数   368

GCM 

332,

―

334,

338,

71,

344,

, 339,

353

340,

353

Laguerre多

Lipkin模

Hamada-Johnstonポ

テ ン シ ャ ル   64,

Hamilton関

124

数   123,

189,

193,

 165,

65,

型

199,

205,

近 似   165,

―

場 

―

法   81 , 164-166,

67

168,

224,

181,

226,

183-186,

229,

274

方 程 式   166,

167,

185,

197,

199,

170

ポ テ ン シ ャ ル   157,

167,

186,

198,

―

基 底 状 態  201

―

法 

―

方 程 式   201,

198,

演 算 子  315 力  315

228,

297

Mottelson 

3,

new

― ダ イ ア グ ラ ム   154-157, ―

―

基 底 状 態   201

―

法  198

―

方 程 式   201

, 202,

イ メ ー ジ   243 型 写 像   233,

350,

p殻 

245, 241,

389, 244,

392

45,

245

Janssen  Jensen  jj結

353,

型   212-214,

― の 量 子 化   124

合殻 模 型  7

256,

356

345,

225 42,

45,

46

Q空

間   89, 92

Qボ

ッ ク ス   93, 94

QQ力 

211,

347,

349-352,

294,

350

360

, 74, 84, 86-88, ス ピ ン 行 列   64

―

Peierls 

383

254,

220

343,

356,

標   315 252,

355,

350

― 原 理   19 290

268

2, 7, 8

222,

355

― 禁 止 状 態   341,

251

イ ア グ ラ ム   288,

352,

― 許 容 状 態   349,

pf殻  Jacobi座

221,

291

355,

1

268

Pauli

281

221,

222,

間   89, 92

P+QQ模 237,

238,

157,

方 程 式   350-352,

P空

―

Iwanenko 

209

250

― 204

, 204

―

Inglis 

184,

257

Holstein-Primakoff

247,

183,

ポ テ ン シ ャ ル   157 ― 模 型   153-155,

204

HFB

246,

似   181,

253

OCM 

Ikedaダ

143

Tamm-Dancoff近

O(6) 

233-235,

230

2, 7, 8

Morinaga 

1

―

220,

Nilsson

Hartree-Fock-Bogoliubov

―

177,

Mayer  168,

229

Heisenberg 

Marumori 

― 演 算 子   389

186

197,

― 力   315 167-170

205

IBM 

 232

Majorana

166,

―

IAS 

318

―演 算 子   315

基 底 状 態

HP型 

267,

  65

Hartree-Fock

―

217,

― 方 程 式   102

LS力

―

215,

項 式   8

― の 展 開 定 理   317,

86

283

―

202,

Laplace 直 交 化 法   35

数  85,

未 定 乗 数   191,

332

76

Gram-Schmidtの

GTR 

327

  65

Lagrangeの

339,

方 程 式   332-334

Goldstone 

Green関

影   326,

80, 94

212

Racah 

24

―

係 数   29

Rainwater  RGM 

 ア

294, 353,

334,

335,

338,

339,

341,

343,

351,

355

ア イ ソ ス カ ラ ー 型   278, ア イ ソ ス ピ ン   20,

― 方 程 式   334, RPA 

行

116

174,

176,

336,

177,

338,

339,

181-184,

207

ア イ ソ ベ ク トル 型   273,

―フ ォ ノ ン   230

安 定 性 条 件   185,

― 方 程 式   177-180, モ ー ド  177 , 181, ― 励 起 モ ー ド  176 ―

Rutherford 

183,

185,

205,

207

186,

281

64

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態   281

349-354

205,

280,

43,

281

186

208 位 相 の ず れ   294 1重 状 態   64

1

1粒

子1空

孔 モ ー ド  176,

205

1粒 子 ポ テ ン シ ャ ル   77, 80 一 般 化 さ れ た 準 粒 子   198 , 199

sバ

ン ド   262

sボ

ソ ン  246

イデ ア ル ・ボ ソ ン 空 間   232-237,

Schmidt

383

―

井 戸 型 ポ テ ン シ ャ ル   11 線   53

イラ ス ト

― 値   53 SDI 

― 状 態   139,

44

sd殻 

42,

45,

Skyrme力

46,

295

―・

  253

Slater行 185,

列 式  18,

165,

274,

301-303,

275,

166,

169-171, 307,

262,

, 263, レ ベ ル   260

268,

269

312,

  252,

253,

257,

, 262

渦 な し   102,

114

液 滴 模 型   2,

249

260,

― 殻 模 型   305,

323,

331,

347

67,

Tamura 

似   181,

182,

184,

209

―

定 理   171,

 

173,

203,

215

対 称 ―

  68

体 積 ―

198,

  68

に 依 存 す る 有 効 相 互 作 用   90

―

248

表 面 ―

算 子   386

  68

ペ ア リ ン グ ・― 遠 心 力   136,

Weisskopf単

位   111

Weizsacker 

2

  16

267

オ ー プ ン 殻  15

Weizsacker-Betheの

質 量 公 式   16, 67, 99, 277

197,

オ ブ レ ー ト 型  121 折 れ 線 ダ イ ア グ ラ ム   96

定 理  166

Wigner-Eckartの Wigner力 

定 理  59

 カ

行

315

Woods-Saxon型

ポ テ ン シ ャ ル   11

回 転 ―

2

― 型   44

ス キ ー ム   263, ― 整 列

, 46,

63

255,

205,

に 依 存 し な い 有 効 相 互 作 用   91

248

Yukawa 

, 197,

―

U(6) 

Wickの

253,

68

・ギ ャッ プ   194

U(5) 

275,

252,

― ・シ フ ト  72, 81

  170

253,

99,

エ ネ ル ギ ー

245

Thoulessの

69,

270

Coulomb― Tamm-Dancoff近

Usui演

266

269

型   232

TDHF法

263,

運 動 エ ネ ル ギ ー   121

Strutinsky法

SU(3) 

259,

173,

308,

314-316

SU(2)模

258,

― 線   258-260 ― 領 域   259

―

 262,

体   363

264,

264, 266,

266 268

223

257,

―

対 称   134,

―

対 称 性   229,

149,

―

楕 円 体   116,

150,

154,

221,

基 底 状 態 相 関   184,

224

基 底 バ ン ド  136,

263 117,

120,

121,

134,

268,

255,

266

209

138,

139,

143,

260,

262,

既 約 球 面 テ ン ソ ル   100

―

バ ン ド  135

ギ ャ ッ プ 方 程 式   191-193,

―

領 域   144

9j-記

回 転 運 動   123,

377

高 ス ピ ン ―

257,

263

の 運 動 エ ネ ル ギ ー   126 の 波 動 関 数   127

―

ハ ミ ル ト ニ ア ン   133

回 転 座 標 系   148,

266,

149

相 互 作 用   133

―

模 型   133 , 136, 377,

回 復 距 離

146

―

的 描 像   3, 99

―

模 型   146,

150,

267

139-141,

143,

144,

382

―

エ ネ ル ギ ー   271

―

状 態   292

―

幅   271

分子 ―

 86-88

化 学 ポ テ ン シ ャ ル   194

334,

338

曲 線 座 標   124

角 運 動 量   105

巨 大 共 鳴   269-271,

―

射 影   323-325,

―

の 交 換 関 係   24,

277,

Gamow-Teller―

殻 効 果   252-254,

  285

  297

共 鳴 群 法   294,

合 成   22

158

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ ―

137,

―

153,

共 鳴

・振 動

―

数  86

強 結 合   2, 69,

, 134,

196

号   41

球Bessel関

  252,

― ―

回転

141,

269

327, 231,

329,

330,

365,

371

358

4重

 

極 共 鳴   280,

双 極 共 鳴   270,

269

281,

285

283

281 273,

274,

277,

363,

365-367

281

単 極 共 鳴   280

核 子   1 核 磁 子   51,

112,

162 空 間 固 定 系   118,

核 種   5

空 間 固 定 座 標 系   363

核 図 表   4, 5

空 間 反 転   324,

核 物 質   69

殻 補 正   253,

255,

空 孔   165, ―

計 算   43

核 力   15,

63 317,

319-321,

333,

340,

344,

核  333,

340,

86,

341,

343,

345,

94

・ス ピ ン 飽 和 配 位   318,

319,

173,

181

165-168,

208,

222

291,

293,

294,

293,

331,

353

  297

換 算 遷 移 確 率   58,

59,

換 算 幅   354,

359

355,

振 幅   354-358,

慣 性 モ ー メ ン ト 

123,

287,

289,

354 ―

構 造   287,

―

模 型   62,

291 287,

ク ラ ンキ ン グ

321

荷 電 独 立 性   43

―

α―

356

荷 電 交 換   281 荷 電

166,

状 態   74,

α― 

350

固 い 芯   76,

205

ク ラ ス タ ー   287

重 な り積 分   316,

―

196-198,

偶 々 核   15

256

殻 模 型   2, 7, 99 ―

327

偶 奇 質 量 差   68,

核 分 裂   2, 99

111

―

項   267

―

公 式   218,

219,

221-223,

ク ラ ン ク し た 殻 模 型   266-269 360 127,

222,

224,

260-262,

269

結 合 エ ネ ル ギ ー   67 ―

の 飽 和 性  6, 69

完 全 対 称 関 数   18

結 合 チ ャ ン ネ ル 方 程 式   336

完 全 反 対 称 関 数   18

原 子 核   1 ―

奇 核   15,

148,

153,

159-161,

163,

204

の 半 径  5

原 子 的 描 像   287,

290

268

300,

306,

光学模型  2

―

変 形 核   116,

交 換 力   315, 320

―

高 スピン 異 性 体   266 回 転 運 動   252 , 257, 263

―

状 態  252, 259, 263, 269

モ ー メ ン ト の1粒

射 影 演 算 子   73, 324-326, 弱

高 速 回転 状 態   252, 259, 260 後方

89,

349,

結合   2, 69,

的 描 像   3

―

模 型   145

重 イ オ ン 反 応   257,

―

歪 曲   262, 269

重 心 座 標   306,

215,

116

固 有 座 標   151 ― 系   151 , 152, 154 固 有4重 極 モ ー メ ン ト  117, 137, 139 固 有 励 起   158, 159

サ

 99

形 配 置   326,

3重

状 態   64

329,

330,

―

の 波 動 関 数   128,

―

の ハ ミル ト ニ ア ン   127,

―

の 微 視 的 理 論   164,

186,

―

パ ラ メ ー タ ー   214,

220

117, 118,

  170,

173,

174

磁 気 遷 移   59

―

双 極 遷 移   58

―

双 極 モ ー メ ン ト  50,

51,

163 ―

292,

55,

294,

296,

60,

112

297,

337

177,

215

239,

269

268

149,

試 行 関 数   165,

144 257,

259

150,

170,

154,

221,

224

191,

196,

205,

207-210,

167,

168,

204,

221,

269

, 207, 208,   198 , 199

演 算 子   211,

215-217,

―

振 動   100

―

相 関 力   211

―

フ ォ ノ ン  114

―

変 形   116,

247,

279

166,

189,

215,

219,

196,

199,

231,

233

105,

107,

―

の 運 動 エ ネ ル ギ ー   127

―

の 波 動 関 数   127,

―

の ハ ミ ル ト ニ ア ン   133,

132,

201-203,

123

133, 149

侵 入 者 準 位   14 芯 半 径   86

123,

ス ピ ン 軌 道 ス プ リ ッ ティ 124,

127,

215

213

36-40

真 空   18,

振 動 領 域   144

極

―

201

芯   63

振 動 運 動   99-101,

自 己 無 撞 着

199, 213

法   191

208,

297

198,

消 滅 演 算 子   18

224

  289,

235

程 式   205

新 型CFP 

則   288-290

 81,

209,

143, 256,

一般 化 され た ―

モ ー メ ン ト  51-53,

し き い 値   289,

法   81

185,

準 粒 子   186-189,

―RPA方

極 遷 移   58

的

135

210,

124

演 算 子   24, 231, ・テ ン ソ ル   189

―RPA  ―

―

128,

120

178,

準 位 密 度   254,

― ―

―

133

準 ス ピ ン  23

時 間 依 存Hartree-Fock法

自 己 共 役4n核

, 143

集 団 模 型   3, 99, 358

残 留 相 互 作 用   15

軸 対 称   134,

333

集 団 ハ ミ ル トニ ア ン   127 63

3角

―2重

243,

116

集 団 的 回 転 ス キ ー ム   264,

状 態   25

238,

391

的 描 像

集 団 性   114,

作 用 半 径   44,

385,

―

集 団 座 標   100,

最 高 セ ニ ョ リ テ ィ  32, 34

218

237,

309-313,

99,

変 形 核 の ― 

行

214,

224,

259

307,

集 団 運 動   3, 62,

個 数 演 算 子   19

4重

144,

146

―

振 幅   181, 209

呼 吸 モ ー ド  100, 280

114,

92,

356,

―

―

134,

子 見 積 も り  56,

質 量 パ ラ メ ー タ ー   101,

構 造 的 斥 力 芯   294, 361

―

133,

実 験 室 系   118

― ―

―

117,

220

交 換 関係   19

ス ピ ン 軌 道 力   8, 13,

ン グ   9, 10

14,

16

153

205,

正 規 積   166,

176,

203,

204,

207,

212

―

的   144

正 準 運 動 量   106 正 常 状 態   193,

194,

205

チ ャ ン ネ ル   334-336,

生 成 演 算 子   18

結 合 ―

生 成 座 標   332, ―

法

 224,

333,

339

300,

331,

― 332,

338

芯   294

摂 動 展 開   72,

75,

76, 93

セ ニ ョ リ テ ィ   23-25,

187,

188,

196,

249

  354,

359

―

のCompton波

―

理 論   63

長   63

197,

320

超 伝 導 状 態   188,

195,

205,

267

超 微 細 構 造   51

最 高 ―  ―

半 径

中 心 力   65, 315,

31,

345

中 間 子

生 成 子   248 斥 力

341,

方 程 式   336

25,

32, 34

・ス キ ー ム   31,

低 い ―

超 変 形 回 転 バ ン ド  266, 32

調 和 振 動 子

 35

遷 移 確 率   50,

―

58

遷 移 領 域   226,

269

 8

パ ラ メ ー タ ー 

11,

301,

303,

307,

313

229,

230,

244

選 択 則   111

直 接 ポ テ ン シ ャ ル   337,

351,

352

直 角 座 標   124

前 方 振 幅   181,

209

直 交 条 件 模 型   349,

350,

352

占 有 確 率   193 線 要 素   124

対 演 算 子   21 対 振 動

相 関 振 幅   176,

181,

207,

208

相 互 作 用 す る ボ ソ ン 模 型   246 相 互 作 用 半 径   87,

88

双 直 交 系   91 相 転 移  186,

243-245 186

―

ハ ミ ル ト ニ ア ン   23,

―

力

 15, 22,

23,

27

強 い 相 互 作 用   63

タ

デ カ ッ プ リ ン グ ・パ ラ メ ー タ ー   160,

行

対称 エ ネルギ ー   68

―4重

極 遷 移   58,

―4重

極 モ ー メ ン ト  50,

136-138 56,

57,

163

267,

268

遷 移   59

電磁 気

体積 要 素  124, 127

―

遷 移

第2量

―

的 性 質   50

―

モ ー メ ン ト  43

子 化   17, 18

楕 円体   117 多重 極 遷 移演 算 子   58, 110

 58,

110

テ ン ソ ル 力   65 転 置 行 列   199

多準 位   36, 187 多 中心 模 型   298-300, 脱 励 起   258

161

電 気

―

 128

体 積 エ ネ ルギ ー  68

314, 331

多 フ ォノ ン ―

26,

186

227-230

速 度 ポ テ ン シ ャ ル   102

対称性

 214,

対 相 関   14,

空 間   239, 243

― 状 態  109, 110 単 極 相 関力   214

統 一模 型

 3, 99,

到 達 距 離  44,

143,

独 立 粒 子 ―

運 動   88,

―

的 描 像   143

弾 性 パ ラ メー ター  101, 114, 214, 215

―

描 像   82,

断熱

―

モ ー ド  264

―

模 型   69

近 似   215, 218, 221

―

摂 動 法   218

252

特 異 パ リ テ ィ 準 位   14

弾 性 的過 程   336

―

144,

63

144,

99

252,

263,

309,

表 面 振 動   100

ナ

行 フ ェ ル

内 部 座 標   306,

307,

309,

内 部

355,

361

振動  350,

310,

313

フ

ミ オ

ン   18

ォ ノ ン   107-109, 213-215,

滑 ら か さ   12

245,

111,

閉 殻   14

2体

散

2中心 模 322,

227,

210,

211,

230,

243,

269

36,

39,

109

複 合 核模 型   2

乱  79

型

146,

226,

付 加 量 子 数   24, 27, 2重

144,

217-219,

物 体 固 定 系   118,

 300,

324,

303-307,

312,

315,

319,

330

ハ

221,

321,

行

363,

120,

125,

365-367,

物 体 固 定 座 標 系   117,

363

物 理 的 部 分 空 間   237,

240,

プ ロ パ ゲ ー タ  73,

129,

131,

243,

384

148,

154,

374

77-80

プ ロ レ ー ト 型  121 配位

分 散 式   178

 17, 308

荷電 ―

・ス ピ ン 飽 和 ― 混 合   16

, 17,

 

318,

43, 45,

319,

分 子 軌 道   304,

321

は し ご 型 ダ イ ア グ ラ ム   78-80 8重

305

分 子 的 構 造   287

309

分 子 的 描 像   287,

288,

290,

297

極 振 動   100

バ ブ ル 型 ダ イ ア グ ラ ム   79

ペ ア リン グ

ハ ミ ル ト ニ ア ン 積 分 核   333,

352

パ リテ ィ ―

射 影

 323-325,

―2重

項   296,

327, 331,

329,

330,

358

353

―

・エ ネ ル ギ ー   16

―

・テ ン ソ ル   201,

―

・ポ テ ン シ ャ ル   198,

2重

―

反 交 換 関 係   19

―

領 域   144

321,

333,

反 転2重

334,

299,

300,

340,343,

302,

306,

347

平 均 ポ テ ン シ ャ ル   76, 168,

135,

262,

―

138,

 136,

基 底 ― 

―

  14

平均 核 子 間 距 離   5

バ ン ド  135

γ ―

135, 268,

228,

140

138-140, 138,

260

139,

141,

186,

230,

143,

260,

144,

269

121,

147,

偏 極   275, ―

80

149,

139,

141,

143,

276

変 形 球Bessel関 272,

273,

148,

124 150,

151,

153,

221-223,

変 形 パ ラ メ ー タ ー   141, 224,

微 視 的 ク ラ ス タ ー 模 型  293,

331,

353

非 集 団 的 回 転 ス キ ー ム   264,

266,

269

  226,

227,

229,

230

230

飽 和性

254,

104,

384 105

154,

155,

157,

218,

255

 6, 67

結 合 エ ネ ル ギ ー の― 密 度 の―

非 物 理 的 部 分 空 間   237, 表 面 エ ネ ル ギ ー   68,

数   334

変 形 整 列   264

277

状 態   35

非 調 和 性   227,

134,

167, 224,

256

低 い セ ニ ョ リ テ ィ   35

果

133,

147, 221,

度   275

 100

光 吸 収 反 応   270,

非調和効

144,

220

変 形 核 の 集 団 運 動   117,

非 圧 縮 率   281

―

116,

203-205,

263

変 形 殻 模 型   147, 非 圧 縮 性

80,

198,

並 進 不 変 性   82 262,

・ヘ ッ ド   159

反 応 行 列   78,

170,

平 衡 変 形   117,

143,

269

交 差   260,

204

平均 場 近 似   2

項   296

β ― 

203,

閉 殻   14, 308

パ リ ・ポ テ ン シ ャ ル   64

反 対 称 化 の 演 算 子   294,

202

  6, 69

  5, 68

ボ ソ ン  18 ― 写 像 法   230

, 238,

241,

244,

245,

383

― 展 開   233

, 391

ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー   103,

121,

ラ

131

行

ボ ン ・ポ テ ン シ ャ ル   64 乱 雑 位 相 近 似 

マ

174,

177,

205,

207,

213

行 粒 子   165,

マ ジ ック ナ ンバ ー  2, 7, 12

166,

173,

177,

粒 子 運 動   144-152,

181,

158-161,

183 163,

164,

221,

266

密 度 行 列   168, 202

粒 子 ・空 孔   166, ― 対   181,

密 度 の 飽 和 性   5, 68

180,

181,

183,

205-207,

183

― 励 起   177

模 型 空 間  88-90,

95

模 型 ハ ミル トニ ア ン  89

ヤ

臨 界 値   178,

184

臨 界 点   180,

184-186,

リ ン グ(環)状

の グ ラ フ  77, 78

207,

228

行 ル ー シ ア ン   268,

柔 らか い 芯  65

―

有核原子模型  1

励 起 モ ー ド  174,

有 効 質量   84

連 結 ク ラ ス ター

有 効 相 互 作 用   17, 21, 43, 88, 93, 95 エ ネル ギ ーに 依 存 し な い―   91 エ ネル ギ ーに 依 存 す る―   90 ― の 全 角 運 動 量 展 開  21

269

・ダ イ ア グ ラ ム   268

176,

182,

― 図   75 ― 展 開   71

, 76

連 鎖   248 連 続 の 方 程 式   102

― の 強 さ  43 ―理 論   88

ワ

有 効 電 荷   58, 59 有 効 ハ ミル トニ ア ン  88-90

和則   271-275,

277,

280

行

183,

263

209

著 者 略歴 高 田健次郎

池

1935年   山口県 に生 まれ る 1958年   京 都大 学理 学部卒 業 1989年  九州大 学教授 現 在  九州大 学名 誉教授 理 学博 士

1934年  大 阪府 に生 まれる 1957年   京 都大学 理学 部卒業 1977年   新 潟大学 教授 現 在  新 潟大学 名誉 教授 理 学博士

田 清 美

朝倉物理学大系18  定価は カバー に表示

原 子 核 構 造 論 2002年4月20日

  初 版 第1刷

著

者  高

田

健 田

清

美

発 行 者  朝

倉

邦

造

ISBN

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 4-254-13688-9

倉

書

店

東京 都新 宿 区新 小 川町6-29 郵 便 番 号 162-8707 電 話 03(3260)0141 FAX 03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

〈検 印 省 略 〉 2002〈

郎

池

発 行 所  株式 会社  朝

C

次

C

3342

三 美 印 刷 ・渡 辺 製 本 Printed

in Japan