Инновационные технологии - транспорту и промышленности. Труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки 7-9 ноября 2007 г

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Правительство Хабаровского края ОАО «Российские железные дороги» Дальневосточная железная дорога – филиал ОАО «РЖД» Ассоциация вузов железнодорожного транспорта Дальневосточное отделение Российской академии наук Дальневосточное отделение Российской академии транспорта Хабаровское отделение Российской инженерной академии Дальневосточный государственный университет путей сообщения Посвящается 70-летию университета The conference is devoted to the 70th anniversary of the university

ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ – ТРАНСПОРТУ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ INNOVATION TECHNOLOGIES FOR TRANSPORT AND INDUSTRY Труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки 7–9 ноября 2007 г. Том 3 Proceedings the 45th International research-practical conference will be held in the Far Eastern state Transport University 7–9 november 2007 Vol. 3

Хабаровск Издательство ДВГУПС 2007

УДК 330.341.1:06.053 ББК У9(2Рос) О-55я54 Д 186

Редакционная коллегия: Ю.А. Давыдов, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электроподвижной состав» (ответственный редактор) О.Л. Рудых, кандидат технических наук, профессор кафедры «Строительная механика» (заместитель ответственного редактора) О.В. Скоблецкая, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Оптические системы связи» (член редколлегии) Д 186 Инновационные технологии – транспорту и промышленности: труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки, 7–9 ноября 2007 г.; под ред. Ю.А. Давыдова. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2007. – Т. 3. – 287 с. ISBN 978-5262-00354-9 Труды конференции содержат результаты последних исследований учёных транспортных вузов, вузов Минобрнауки России, инженерных работников предприятий железнодорожного транспорта, строительства, промышленности, представителей академической науки России и зарубежных стран. Третий том трудов содержит доклады и сообщения, заслушанные на секциях: «Прикладная физика»; «Прикладная математика и информатика»; «Химия, проблемы экологии и безопасности жизнедеятельности». Сборник трудов конференции предназначен для широкого круга научных и инженерно-технических работников, а также студентов вузов и аспирантов.

Конференция проводится в рамках инновационно-образовательной программы «Инновационный научно-образовательный транспортный комплекс на Дальнем Востоке России». УДК 330.341.1:06.053 ББК У9(2Рос) О-55я54

ISBN 978-5262-00354-9 2

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2007

ВВЕДЕНИЕ В работе 45-й Международной научно-практической конференции «Инновационные технологии – транспорту и промышленности» приняли участие учёные транспортных вузов России, вузов Министерства образования и науки Российской Федерации, инженерные работники железных дорог ОАО «Российские железные дороги», предприятий и организаций, представители академической науки и зарубежные учёные. Данная конференция проводилась 7–9 ноября 2007 г. на пленарном заседании и 23 секциях конференции. По решению Оргкомитета труды конференции издаются в восьми томах со следующим распределением секций по томам: Том 1 – пленарные доклады и сообщения; секции: «Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации пути и транспортных сооружений»; «Новые технологии в области промышленного и гражданского строительства». Том 2 – секции: «Электроэнергетика: проблемы и решения»; «Транспортнологистические технологии»; «Современные информационно-телекоммуникационные технологии и автоматизация в управлении перевозочным процессом». Том 3 – секции: «Прикладная физика»; «Прикладная математика и информатика»; «Химия, проблемы экологии и безопасности жизнедеятельности». Том 4 – секции: «Финансы, бухгалтерский учет и аудит в условиях корпоративного управления»; «Проблемы современной экономики транспорта и менеджмента»; «Современные подходы к управлению: мировой и российский опыт»; «Туризм и культура». Том 5 – секции: «Современные подходы к воспитанию в высшей школе»; «Коммуникативная педагогика»; «Проблемы межкультурной коммуникации». Том 6 – секции: «Образовательное пространство ДВГУПС»; «Историкофилософское образование в техническом вузе»; «Актуальные проблемы правосознания, частного права и правоприменительной практики»; «Теория и практика социальной работы». Том 7 – секция «Личность и профессия». Труды секций: «Проблемы развития, эксплуатации и ремонта тягового подвижного состава», «Новые технологии в области эксплуатации и ремонта вагонов», «Проблемы развития, эксплуатации и ремонта путевых и строительных машин» публикуются в Вестнике института тяги и подвижного состава, выпуск 4.

3

УДК 530.18.535

М.И. Войтюк, Г.В. Костина, А.И. Ливашвили Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКЛИКА СИНГУЛЯРНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА НА ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВОГО ИМПУЛЬСА ИЗ НЕСКОЛЬКИХ КОЛЕБАНИЙ Исследуется отклик классического сингулярного осциллятора при воздействии импульса фемтосекундной длительности. Получено решение в линейном по малому параметру приближении.

Среди ярких достижений лазерной физики последнего времени стала разработка методов генерации и формирование световых импульсов длительностью ∼ 10–15 с, содержащих несколько (2–3) колебаний светового поля. Такие импульсы получили название фемтосекундных импульсов. Под огибающей таких импульсов укладывается всего лишь несколько периодов колебаний. Очевидно, для таких сигналов понятие огибающей импульса теряет смысл. Поэтому метод медленно меняющей огибающей не описывает корректно динамику таких импульсов. Таким образом, приближение квазимонохроматического излучения неприменимо для импульсов с широким спектром. Следовательно, уравнения, которые описывают эту ситуацию должны содержать сами поля, а не их огибающие. В данной этой работе мы исследуем распространение и взаимодействие коротких импульсов линейно поляризованного электромагнитного излучения, состоящего из нескольких колебаний напряженности электрического поля, в среде, которая моделируется множеством невзаимодействующих, так называемых, сингулярных осцилляторов. Под сингулярным осциллятором будем понимать систему свободные одномерные колебания которой совершается в поле с потенциальной энергией [1]:

где k > 0, b > 0 , х ∈ ( 0, +∞ ) .

x2 b U ( x) = k + 2 , 2 2x

(1)

Будем исследовать отклик сингулярного осциллятора на воздействие светового импульса из нескольких колебаний вектора электрический напряженности E (t ) . Традиционно в подобных задачах малыми считают не внешнее возмущение, а степень отклонения системы от линейности. В нашем случае мы считаем, что изначально осциллятор совершает нелинейные колебания, а внешнее возмущение небольшое. Этот подход моделирует систему, которая до возмущения была возбуждена таким образом, что её колебания изначально можно считать нелинейными.

4

Запишем уравнение движения с учетом воздействия внешнего светового поля E (t )

&& x + ω02 x −

β e = ε E (t ) , x3 mef

(2)

где ε − малый безразмерный параметр, ω02 = k m – собственная частота осциллятора, mef =

3m – эффективная масса, где ε 0 – диэлектрическая прониε0 + 2

цаемость среды. Затуханием пренебрегаем, считая длительность взаимодействия импульса на много меньше времени релаксации системы. При выборе аналитического представления сигнала E (t ) мы, следуя работе [2] представим его в виде линейной комбинации полиномов Лагерра Lm (x) :

exp( x ) d m t m 2 ⋅ x = Lm ( x) = (exp( − x ) ⋅ x ) , , t0 m! dx m

(3)

где t 0 – длительность импульса. Используя (3), запишем E (t ) в виде (рис. 1)

3 1 E (t ) = E0 ⎡⎣ L1 (τ ) − L3 (τ )⎤⎦ = E0e −τ 2 (2τ − τ 2 − τ 3 ) , 2 6 где τ =

(4)

t . t0

Реалистический характер импульсов вида (4) выражается в его свойствах: а) можно менять крутизну фронта (при τ = 0 крутизна задается в виде

dE (τ) dτ

τ=0 =

E0 ; б) расстояние между

точками пересечения неодинаковы; в) передние и задние фронты несимметричны. Перепишем уравнение (6) с начальными условиями q (0) = 1, q& (0) = v% 0 в виде

Рис. 1. Форма воздействующего импульса

1 (5) ) = εФ( L1 (τ) − L3 (τ)) , q3 x , α = ω0 t 0 , x0 – характегде введены новые безразмерные переменные q = x0 q&& + α 2 (q −

ристическая длина, Ф =

et02 E0 . x0 mef 5

Решение уравнения (5) будем искать в виде разложения:

q (τ) = q0 + εq1 + ε 2 q2 + ... .

(6)

Решение для нулевого приближения имеет вид. 1

c q0 = (1 + δ sin(2ατ + τ0 )) 2 . α

(7)

Оно описывает колебания свободного сингулярного осциллятора Рассмотрим уравнение движения для 1-го (по ε ) приближения:

q&&1 + (4α 2 + 3

q&&0 )q1 = Ф( L3 (η) − L5 (η)) q0

(8)

q&&0 периодичного (по t ) показывает, что это уравнеq0 ние типа Хилла. Если ограничиться членами линейными по параметру δ , то Наличие слагаемого 3

можно получить неоднородное уравнение Матье:

q&&1 + α 2 (4 − 6δ sin 2θ)q1 = Ф( L1 (η) − L3 (η))

(9)

Найдем его решения в виде (1) q12Ф( L1 − L3 ) 2 q1 Ф ( L1 − L3 ) q1 (θ) = qо.н. + q ∫ d θ + q1 ∫ dθ , w ∗ (θ) w ∗ (θ) (1) 1

(10)

где θ = ατ , qо.н. – общее решение однородного уравнения Матье, w ∗ (θ) – вронскиан, q1(1) , q1(2) − два линейно независимых решения однородного уравнения Матье для получения которых следуя автору монографии [3] введем новую неизвестную функцию w( θ ) : 2 w( θ )dθ q1( w( θ )) = e ∫ ,

тогда

dq1 d 2 q1 dw = 2 w( θ )q1( θ ) , =2 q1 + 4 w2 q1 . 2 dθ dθ dθ

(11)

Получим уравнение Риккати:

1 dw 3 + w2 + ( 1 − δ sin 2θ ) = 0 . 2 dθ 2

6

(12)

3 2

Полагаем 1 − δ sin 2θ = ρ 2 , тогда

3 3 w = ±i 1 − δ sin 2θ = ±i( 1 − δ sin 2θ ) . 2 4 3 ±2 i( θ + δ cos 2θ )+ c1 8

3 ±2 i ( 1− δ sin 2θ )dθ 4

=e Подставим w в (12): q1( w( θ )) = e , полагаем для дальнейших вычислений c1 = 0 . Таким образом, окончательно получим два линейно независимых решения однородного уравнения Матье: ∫

q1(1) = cos 2(θ −

3δ 3δ cos 2θ) , q1(2) = sin 2(θ − cos 2θ) . 8 8

(13)

Составим вронскиан:

w ∗ (θ) = q1(1) q&1(2) − q&1(1) q1(2) = 2 +

3δ sin 2θ . 2

Частное решение для q1 (τ) можно представить в виде τ

τ

3 3 1 − 1 − q1 (τ) = −2Фα(sin8ατ(1 + δ) − δ cos 4ατ)(− e 2 τ 2 + e 2 τ3 ) . 32 4 8 48

(14) 1 2

На рис. 2 приведен график решения уравнения q = q0 + εq1 при α = 1, δ = , ε = 0.1 .

Рис. 2. Эволюция отклика осциллятора

Из рисунка (2) видно, что отклик носит негармонический характер, широкополостность спектра сохраняется. В промежутке длительности τ0 = 10 число колебаний увеличивается. В дальнейшем при t > τ0 колебания нарастают и спустя время t порядка τ0 (см. рис. 2) устанавливается режим затухания. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Малкин И.М. , Манко В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. – М.: Наука, 1979.– 320 с.

7

2. Шварцбург А.Б. Видеоимпульсы и непериодические волны в диспергирующих средах (точно решаемые модели) // УФН. 168, ном.1, 1998, 85. – 103 с. 3. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функции Матье. – М.: Издательство иностранной литературы 1953. – 480 с.

УДК 535:628.953.2

М.Р. Прокопович, Е.В. Резак Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ИЗГИБЕ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА Проведено исследование зависимости затухания света в оптическом волокне при изгибе в зависимости от радиуса кривизны и угла изгиба. Рассмотрено влияние радиуса кривизны и угла изгиба оптического волокна на характер изменения поля моды. Обнаружены изменения диаграммы направленности выходного излучения в зависимости от угла изгиба и радиуса кривизны изгиба.

При эксплуатации оптического кабеля в реальных условиях в оптическом волокне может происходить неизбежное затухание сигнала. Это связано с воздействиями на оптический кабель различных условий, как-то длительного действия нагрузки приводит к микроповреждениям, или при прокладке оптического кабеля, прилагающаяся к нему нагрузка, может передаваться на оптическое волокно и привести к его растяжению, так же к растяжению приводит перепады температур [1–3]. В зависимости от внешних воздействий в оптическом волокне могут появляться как удлинение, так и изгиб. Оптическое волокно в свою очередь, как направляющая среда предназначено для передачи сигнала не только на прямолинейных участках, но и на криволинейных. В силу различных оптических явлений, на криволинейных участках возникают некоторые особенности распространения света, учет которых необходим для эффективной передачи информационных сигналов. При распространении света по криволинейным участкам необходимо обратить внимание на следующие явления: 1) изменение направления среды распространения; 2) полное внутреннее отражение; 3) возникновение оптической анизотропии как следствие изгиба, а так же фотоупругости; 4) возникновение градиента показателя преломления, приводящее к изменениям в распространении света. Данные явления есть важный момент, который необходимо учитывать, так как в результате прохождения сигнала по такому оптическому волокну он будет затухать [2]. В силу нерешенности ряда вопросов связанных с распространением света по изогнутому (деформированному) волокну проводились [1] и проводятся в настоящее время [2–3] различные исследования данного явления. 8

В статье описаны результаты исследований оптического волокна при изгибе, которые проводились аналогично [3] с требованием МЭК 60794-1-2, метод Е18 с учетом снятия нагрузки. Схема испытания приведена на рис. 1. В экспериментальной схеме использовался лазерный источник излучения на λ1 = 1310 нм и λ2 = 1550 нм. Измерения проводились в одномодовом режиме. Впервые проводились исследования при разрыве оптических наконечников.

Приемник Источник

оправка

ОВ

розетка

Rкр

Рис. 1. Схема испытания оптического волокна при изгибе для различных радиусов кривизны

Измерения затухания сигнала в оптическом волокне проводилось следующим образом. Волокно перемещалось вокруг оправки до создания U-образного изгиба, то есть угол изгиба волокна менялся в пределах от 0° до 180°, при этом проводились замеры затухания сигнала в зависимости от угла изгиба.

Рис. 2. Потери в изгибе и соединении (λ1 = 1310 нм) для трех расстояний между торцами оптических наконечников A – 0 мм, B – 2,2 мм, C – 4,9 мм

На длине волны λ1 = 1310 нм проводились измерения затухания при изменении угла изгиба и расстояния между торцами оптических наконечников. Измерения проводились для трех радиусов оправки Rкр1 = 4,8 мм, Rкр2 = 2,9 мм и Rкр3 = 2,3 мм (радиусов кривизны). 9

Для изменения расстояния между торцами оптических наконечников в розетке дополнительно устанавливались вставки толщиной 2,2 мм и 4,9 мм. Для каждой были проведены серии измерений при изменении угла изгиба от 0° до 180° для трех радиусов кривизны. Данные, полученные в результате измерений представленные на рис. 2. Сплошной линией в каждой серии графиков показано затухание при наибольшем радиусе кривизны Rкр1 = 4,8 мм, пунктирной при Rкр2 = 2,9 мм, штрих пунктирной при Rкр3 = 2,3 мм. Для λ2 = 1550 нм измерения затухания при изменении угла изгиба проводились для шести радиусов кривизны Rкр1= 6 мм, Rкр2 = 5,5 мм, Rкр3 = 5,4 мм, Rкр4 = 3 мм, Rкр5 = 2,2 мм, Rкр6 = 1,5 мм, Rкр7 = 1,4 мм. Данные, полученные в результате измерений представленные на рис. 3. 50

Rкр6

45

Rкр5

40

Потери, дБ

35

Rкр4

30 25

Rкр3

20 15

Rкр2

10 5

Rкр1

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Угол изгиба волокна, градус Рис. 3. Потери в волокне при изгибе (λ2 = 1550 нм) для шести радиусов кривизны

Из рис. 2 и 3 видно, во-первых, при прохождении сигнала по изогнутому волокну происходит затухание сигнала на выходе, во-вторых, затухание растет при уменьшении радиуса кривизны, в-третьих, с увеличением расстояния между торцами оптических наконечников оптический сигнал затухает сильнее, то есть угол искривления, или угол при котором становятся заметны различия в затуханиях сигнала, уменьшается (см. рис. 2), в-четвертых, с ростом длины волны угол поворота, при котором возникают заметные потери, уменьшается. В результате обобщения полученных данные можно отметить следующую тенденцию: разность вносимых потерь при различных расстояниях между торцами оптических наконечников с увеличением угла изгиба увеличивается быстрее для малых радиусов кривизны. 10

Последнее говорит о том что, происходит изменение направления максимума диаграммы направленности из торца оптического наконечника или (и) возможно поперечное смещение диаграммы направленности, вызванное сдвигом максимума поля моды, как результат отсутствия перпендикулярности волнового фронта и оси волокна вблизи торца наконечника коннектора (рис. 4).

Рис. 4. Изменение диаграммы направленности при изгибе оптического волокна

Помимо этого, при малых углах, отклонение волнового фронта от оси сердечника не превышается предельный угол скольжения и тем самым обеспечивается полное внутреннее отражение и связанные с ним малые потери, характерные для углов поворота меньших 70° (рис.2, рис.3). Следует также учитывать возникновение поляризационной модовой дисперсии, изменение показателя преломления вследствие эффекта фотоупругости, приводящее к погрешностям в определении длины оптического волокна рефлектометрическими методами, локальное изменение поля моды, приводящее к увеличению плотности потока энергии и возникновению нелинейных эффектов. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Окоси Т. Волоконно-оптические датчики / Т.Окоси, К Окамото, М.Оцу, Х. Нисихара, К. Кюма, К. Хататэ; Под ред. Т. Окоси: пер. с япон. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. 2. Измерение удлинения оптического волокна при испытании оптического кабеля на стойкость к растягивающей нагрузке / А.А. Марьенков, М.Л. Гринштейн, Е.А. Каменская, В.Н. Деков. – LIGHTWAVE: Russian edition № 2, 2003. 3. Иоргачев Д.В., Бондаренко О.В.. Волоконно-оптические кабели и линии связи. – М.: Эко-Трендз, 2002.

11

УДК 535.135, 620.179.16

А.И. Кондратьев, Е.Н. Мурая, Е.П. Суляндзига

Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ АКУСТИЧЕСКОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБЪЕКТОВ КОНТРОЛЯ Рассматриваются возможности применения оптических методов возбуждения и приема звука при акустической аттестации объектов контроля.

Метод акустической эмиссии (АЭ), основанный на регистрации и обработке волн напряжений, возникающих в результате формирования, изменения и разрушения структур различных материалов, является в настоящее время наиболее эффективным для изучения процессов и стадий развития их дефектной структуры и создания систем непрерывного мониторинга ответственных объектов промышленности. Особенностью акустико-эмиссионных исследований является их экспериментальная направленность. АЭ – метод позволяет оперативно, дистанционно выявлять технологические дефекты при изготовлении и эксплуатационные дефекты при работе оборудования (крупногабаритные и высоконагруженные объекты повышенной опасности, объекты с ограниченным доступом к поверхности контроля, сосуды давления, трубопроводы, котлы, агрегаты, резервуары, шахтные сооружения и др.) [1, 2]. С точки зрения АЭ растущий дефект (или течь – истечение жидкости или газа через сквозной дефект в стенке «сосуда») производит свой собственный сигнал, который проходит метры, а иногда и десятки метров, пока не достигнет датчиков. Дефект не только может быть обнаружен дистанционно; часто представляется возможным найти его местоположение путем обработки разницы времен прихода волн к различным датчикам [2, 3]. Полагая, что источник сигнала (дефект) имеет круговую диаграмму направленности на излучение, сигнал на выходе приемного преобразователя можно представить в виде

(

)

u rп , rд , t =

u0

∫ f (rп , rд ,ω)K пп (ω)K y (ω)U (ω)exp (− α(ω) rп − rд )e

∞

j ωt

dω , (1)

2 π −∞

где rп , rд – координаты приемника (ПП) ультразвуковых (УЗ) колебаний и дефекта (источник сигнала) относительно какой-либо точки объекта контроля (ОК) соответственно; t – время прихода сигнала на ПП; u0 – амплитуда сигнала в источнике; f rп , rд , ω – функция «передачи» ОК; K пп (ω) – коэффициент передачи ПП; K y (ω) – коэффициент усиления регистрирующей аппаратуры;

(

)

U(ω) – спектр сигнала, излучаемого дефектом; α(ω) – коэффициент затухания УЗ колебаний в материале ОК. Для «точного» определения координат дефекта r д и энергии, выделив-

шейся в источнике, (∼ (u0 ) ) необходимо знать все функции, входящие в выражение (1). С точки зрения практики, наиболее надежно и просто можно оп2

12

ределить K пп (ω) и K y (ω) . Спектр сигнала в источнике U(ω) определяется многими факторами и можно лишь предположить, что он является сплошным и достаточно широкополосным (до 1 МГц и выше). Функции f rп , rд , ω , α(ω) определяются материалом и конструкцией ОК и как правило они и определяют качество и возможность проведения контроля. Таблица 1 Сравнительная характеристика различных методов возбуждения звука

(

Требования

Полоса частот

Метод возбуждения звука

до 1 МГц и выше

Метод хрупкого разрушения Лазерное возбуждение

до 1 МГц и выше до 1000 МГц

Локализация Дистанци- СтабильАмплитуда зоны возбуонность ность УЗ колебаний ждения Не хуже Менее желательна 10-14÷10-7 м 60 % 1 мм2

до 10-7 м до 10-9 м* до 10-7 м**

Пезопреобразователи до 25 МГц

до 10-8 м

Магнитострикционные преобразователи

до 10-7 м

Возбуждение звука искрой

до 100 кГц до 100 кГц

)

-9

до 10

Менее 1 мм2

нет

50 %

до 0,01 мм2

До 100 м

80 %

нет

95 %

нет

95 %

Менее 1 мм2 Менее 1 мм2 Менее 1 мм2 *** Менее 5 мм2 ****

Нет 60 % до 10 м

* при возбуждении в «термоупругом» режиме; ** при возбуждении через слой жидкости; *** когда ОК является одним из электродов разрядника; **** разряд осуществляется между электродами, не связанными с ОК.

(

)

Для определения f rп , rд , ω и α(ω) можно использовать математические модели, но проведенные экспериментальные исследования показали, что даже для простых объектов (например, труба, заполненная жидкостью) могут проявиться особенности не «предсказываемые» теорией [4]. В связи с этим достаточно часто применяется метод акустической аттестации ОК. Суть метода заключается в том, что на поверхности ОК располагается «сетка» приемных преобразователей с фиксированным положением (координаты ⎯rпi), а излучатель УЗ колебаний, имитирующий дефект, помещается поочередно в различных точках ОК, т.е. задаются координаты дефекта ⎯rдj (как правило, особое внимание уделяется местам, где наиболее часто возникают дефекты). Таким образом, экспериментально определяется передаточная характеристика ОК с учетом ослабления сигнала вследствие затухания и Кпп приемника. Для «качественной» аттестации ОК имитатор должен удовлетворять определенным требованиям. В таблице 1 приведены эти требования и так же приведены характеристики различных источников звука [5–7]. 13

По физической сути наиболее близким к реальному источнику сигнала АЭ является метод «хрупкого излома», при котором генерация звука как раз и происходит в процессе разрушения. По простоте реализации наиболее пригоден искровой метод. Однако наиболее полно всем необходимым требованиям удовлетворяет лазерный метод генерации звука. При аттестации ОК можно предложить следующую схему (на рис. 1 представлена схема для плоского случая). запуск

7 5

1 4

6 (xп1,yп1) 3.1

(xп2,yп2) 3.2

(xд,yд) (xп3,yп3) y

3.3

(xп4,yп4) 3.4 2

x Рис. 1. «Схема» акустической аттестации с применением лазера. 1 – измерительный блок АЭ системы; 2 – объект контроля; 3.1–3.4 – приемные преобразователи; 4 – импульсный лазер типа ОГМ-20; 5 – система наведения; 6 – стеклянная пластина; 7 – фотодиод запуска

Система работает следующим образом. Импульс света, генерируемый лазером 4, возбуждает в точке с координатами (хд,уд) звуковой сигнал. В это же время (задержка не превышает 0,3 мкс на базах до 100 м) происходит запуск регистрирующей аппаратуры 1 посредством светового импульса лазера. АЭ аппаратура, обработав сигнал, «выдает» координаты «дефекта». Сравнивая их с истинными координатами источника, вводятся соответствующие поправки. Применяя систему наведения 5, изменяют положение координат источника сигнала и анализируют корректировки для всего объекта. Причем в зависимости от типа ОК и свойств материала, из которого он сделан эти поправки могут зависеть от (хд,уд). С точки зрения близости физических процессов при оптическом (лазерном) возбуждении звука процессам происходящем при реальном разрушении, следует выбирать «термоупругий» механизм возбуждения. Однако при атте14

стации крупногабаритных объектов может оказать, что энергии сигнала генерируемых этим методом недостаточно. В этих случаях, обычно применяют метод нанесения поглощающих покрытий (слой туши, воды, масла и др.) на «точку» возбуждения звука [7]. При этом, эффективность преобразования оптической энергии в акустическую возрастает в сотни раз. Правда необходимо иметь ввиду то, что механизмы генерации звука перестают быть линейными и возможно изменение спектральных характеристик сигнала. Анализ этих явлений предстоит более детально исследовать в дальнейшем. Рассмотренная установка использовалась нами ранее для определения волноводных свойств различных объектов. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Акустическая эмиссия и ее применение в атомной энергетике. Монография / Под ред. К.Б. Вакара. – М.: Атомиздат, 1980. – 216 с. 2. Болотин Ю.И., Дробот Ю.Б. Акустическая локация хрупких микроразрушений. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2003. – 164 с. 3. Дробот Ю.Б. Акустическое контактное течеискание / Ю.Б. Дробот, В.А. Грнешников, В.Н. Бачегов.– М.: Машиностроение, 1989. – 121 с. 4. Кондратьев А.И., Мурая Е.Н. Исследование акустических волноводных свойств объектов контроля. Препринт № 66.– Хабаровск. Изд. ДВГУПС, 2006. – 18 с. 5. Грешников В.А., Дробот Ю.Б. Акустическая эмиссия. – М.: Изд. Стандартов, 1976. – 272 с. 6. Неразрушающий контроль. Справочник Т7 / Под ред. В.В. Клюева.- М.: Машиностроение, 2003. – 703 с. 7. Кондратьев А.И. Прецизионные методы измерения акустических величин твердых сред. Ч. 1. – Хабаровск: Изд. ДВГУПС, 2006. – 152 с.

УДК 620.179.16

А.И. Кондратьев, А.А. Кондратьев Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ УЗ КОЛЕБАНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХИ В работе рассматриваются возможные алгоритмы измерения акустических характеристик сред при наличии синфазной помехи.

Применение емкостных преобразователей при измерении скорости (С) и коэффициента затухания ультразвуковых колебаний (α) резонансным методом позволяет существенно упростить методики и повысить точность определения этих параметров. Однако, в силу относительно низкой эффективности преобразователей (ЕП) на частотах выше 20÷30 МГц и при затухании за один проход более 5 дБ, возможно сложение полезного сигнала с помехой. При этом для плоскопараллельного образца сигнал на выходе приемного ЕП можно представить в виде [1]

15

U ( ψ ) = Aexp( j θ )+

By exp( j ψ ) 1− y exp(2 j ψ ) 2

{

= A2 +

⎫ 2 AyB[cos (ψ − θ )− y 2 cos (ψ + θ ) ] ⎪ + ⎬ 4 2 4 2 ⎪⎭ 1+ y − 2 y cos 2ψ 1+ y − 2 y cos 2ψ By U (ψ )= 1+ y 4 − 2 y 2 cos 2ψ

(By )2

1

(1) 2

, (2)

где А и θ – амплитуда и фаза помехи соответственно; B – параметр, учитывающий амплитуду УЗ волны на входе в образец и коэффициент усиления приемного тракта; y = exp(-αd), d – толщина образца; ψ = kd, k = 2πf/C, f – частота УЗ колебаний. При А = 0 выражение (1) переходит в традиционное соотношение (2), описывающее акустические спектральные линии (АСЛ) плоскопараллельного образца [2]. На рис. 1 (слева) показаны формы спектральных линий при различных значениях параметра А/В при y = 0,76, θ = = -11°, рассчитанные с помощью выражения (1) и измеренные на образце из стали 12Х18Н10Т толщиной 0,03 м при f ≈ 12,5 МГц (α = 77,6 дБ/м). На рисунке видно, что АСЛ с увеличением параметра А/В подтверждены сильным искажениям (согласие с экспериментом достаточно хорошее). Причем при /θ/ ≤ π/2 это нечетные линии, а при π/2 < θ < 3π/2 – четные. Номер линии n определяется соотношением n = fn /∆f, а ψn = πfn /∆f ,где fn – частота УЗ колебаний, соответстРис. 1. Картина акустических спектральных линий при вующая максимуму n-ой АСЛ и различных значениях параметра А/В: a – А/В = 0; б – ∆f – интервал частот между А/В = 0,22; в – А/В = 0,7; г – А/В = 1,6; 1 – (n-1)-я соседними спектральными лиАСЛ; 2 – n-я АСЛ; 3 – (n+1)-я АСЛ. Слева – расчет, ниями. справа эксперимент 16

При А ≠ 0 методика измерения скорости не изменяется, необходимо лишь выбрать участки АСЛ, удобные для измерений (причем для повышения точности можно применить и метод «свертки» сигнала). Такими участками обычно выбираются участки, для которых имеется ярко выраженная особая точка, например максимум или минимум. Рассмотрим следующие варианты. 1. By > 2A, ∆F < 0,1∆f (∆F – ширина АСЛ на заданном уровне) (рис. 1, б, в). В этом случае методика измерения и расчетные соотношения для С и α не изменяются. При этом выбираются АСЛ, для которых третий член в выражении (1) имеет знак “+”. 2. By > 2A, ∆F ≥ 0,1∆f расчетные соотношения для α и погрешности измерения ∆α можно представить в виде (для скорости расчетные соотношения не меняются) 2 ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎢U n + U n+1 + ⎜U n+ 1 + U n− 1 ⎟ − (U n + U n+1 )2 ⎥ ⎝ 2 2⎠ ⎪α = 10 lg ⎢ ⎥; ⎪ ⎢ ⎥ 2 ⎞ − (U + U )2 ⎥ d ⎢U + U − ⎛ U ⎪ + U ⎜ n+ 1 n n+1 n n+1 n− 1 ⎟ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ 2 2⎠ (3) ⎨ ⎞⎛ ⎞ ⎛U ⎪ ⎜ n+ 1 + U n− 1 ⎟⎜U n + U n+1 −U n+ 1 −U n− 1 ⎟∆U ⎪ 20 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2⎠ , ⎪∆α = 2⎤ 2 ⎡ ⎪ ⎛U ⎞ − (U + U )2 ⎞ d lg10 4U U − ⎛U + U U + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ n n n n+1 1 1 1 1 1 + n n n n + − + − ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 ⎦ ⎣ ⎩

где U n+ 1 ,U n− 1 – минимумы функции U(ψ) справа и слева от спектральной 2

линии . При

А

2

=

0

выражение

(2)

переходит

в

исходное

соотношение

⎞ ⎛ ⎜ U n + U n± 1 ⎟ 10 2 ⎟ α = lg ⎜ . ⎟ ⎜ d ⎜ U n −U n± 1 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3. By < 2A, в этом случае спектральные линии с номерами 2m+1 при /θ/ ≤ π/2 или 2m при π/2 < θ < 3π/2 трансформируются в соответствии с рис. 1, г. Для определения α в этом случае можно предположить следующие методики. Метод 1. Сравнении экспериментальной зависимости сигнала Uэ(ψ) с расчетной U(ψ). Значения параметров А0, В0, ϕ0, y0 подбираются, таким образом, чтобы функция S(А,В,ψ,y)= ∑[U э ( ψ i ) −U ( A,B ,θ ,ψ i , y )]

2

принимала минималь-

i

ное значение при А = А0, В = В0, θ = θ0, y = y0 (реализация метода наименьших квадратов). После этого коэффициент затухания α и погрешность ∆α рассчитываются по формулам 17

α=−

20 d

lg y0 , ∆α =

20

∆U

,

(4)

dy0 ln10 B0

где ∆U – погрешность измерения сигнала. Метод 1 позволяет определять α при y ≥ 0,05 и A < 10yB при погрешности менее 10 %. Метод 2 основан на выделении из спектра сигнала кратных гармоник. Представим функцию |U(ψ)|2 в виде ряда Фурье: 2

U ( ψ) =

c0 2

∞

+ ∑ c j cos( j ψ − θ j )

(5)

j =1

С учетом выражения (1) для cj и θj получаем

2 ⎧ c0 2 ( yB ) ; ⎪ =А + 4 ⎪2 1− y ⎪ 1 ⎪c = 2 ABy 1+ y 4 − 2 y 2 cos 2ψ 1+ y 4 − 2 y 2 cos 2 γ 2 , tg θ = tg θ; 1 ⎪1 2 y + 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪c2 = 2( yB ) , tg θ 2 = 0; ⎪ 1− y 4 ⎪ ⎨ 3 ⎪c = 2 ABy 1+ y 4 − 2 y 2 cos 2ψ 1+ y 4 − 2 y 2 cos 2 γ 12 , tg θ = tg θ; 3 ⎪ 3 2 1+ y ⎪ ⎪ 2 2 ⎪c4 = 2( y B ) , tgθ 4 = 0; ⎪ 1− y 4 ⎪ ⎪ 1+ y 2 tg tg θ γ = ⎪ 2 ⎪⎩ 1− y

[(

)]

)(

[(

)(

)]

Отсюда находим

с3 с4 10 с 10 с = = y 2 , α = − lg 3 = − lg 4 с1 с2 d с1 d с2

(6)

Метод 2 позволяет определять α так же при y≥ 0,05, однако его погрешность несколько выше, чем погрешность метода 1. На рис. 2 приведены результаты измерений С и α методами 1 и 2 для различных образцов. Во всех экспериментах проводились серии из 11 наблюдений. Оба метода, как видно на рис. 2, дают значения α, совпадающие в пределах погрешностей. 18

При измерении скорости распространения было отмечено (пунктирные линии на рис. 2), что с уменьшением параметра y погрешность определения C возрастает за счет увеличения погрешности Sf измерения интервала частот между спектральными линиями. Для ее уменьшения необходимо повышать чувствительность ∆U/U и увеличивать число измерений. а

С , м/с

, дБ/м 9 4

б

5975 60

80

5970

100

200 100

в

5665 60

80

5660

100

900 500

г

6400 60

80

6390

100

5930

800 300

50

д

5925 90

70

1200 5760 200

50

70

90

5750

Рис. 2. Зависимость параметров α и C от частоты: а – кварц; б – стекло марки К8; в – Д16Т; г – 40Х13; д – Х18Н10Т; + – метод 1; Ο – метод 2; –α; – C.

Приведенные результаты показывают, что использование предложенных методик позволяет существенно снизить влияние помех на результаты измерений коэффициента затухания резонансным методом. При этом могут быть расширены диапазоны исследуемых частот и коэффициентов затухания, кроме того, следует отметить, что современная измерительная техника в сочетании с ПЭВМ позволяет достаточно просто реализовать все рассмотренные алгоритмы.

19

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кондратьев А.И. Реализация резонансного метода измерения скорости и затухания ультразвуковых колебаний при наличии помехи // Акустический журнал. – 1992. – Т. – 38. – № 3. – С. 552-556. 2. Кондратьев А.И. Прецизионные методы измерения акустических величин твердых сред. Ч.2. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2006. – 156 с.

УДК 535.5:628.953.2

И.Н. Смеликова, А.В. Попова, М.Р. Прокопович Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ИЗМЕНЕНИЕ МОДОВОЙ СПЕКЛ-КАРТИНЫ СИГНАЛА ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СКРУТКЕ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА Статья содержит выявленные закономерности преобразования поля мод в маломодовом режиме при скручивании оптического волокна в спираль, а также причины изменения спекл-картины из-за деформации.

При воздействии на волокно физических полей: механических, температурных, электрических, магнитных, – поле мод изменяется. Аналогичное воздействие может оказываться как на одномодовое, так и многомодовое волокно с тем лишь отличием, что с торца последнего вытекает излучение, образующее множество модовых пятен. Оптическое волокно постоянно подвергается различным механическим воздействиям от производства и прокладки до последующей эксплуатации волоконно-оптических линий связи. Особенно интенсивно используется скрутка оптических волокон. Это и скрутка модулей в оптическом кабеле, и укладка технологического запаса в кассетах муфт и кроссов, и накручивание волокна на катушку, а кабеля на барабан, и применение нормализатора мод в измерительных устройствах для оптических линий связи. В связи с этим возникает производственная необходимость в изучении влияния скрутки на параметры распространения оптического сигнала. Из хорошо обработанного торца оптического волокна выходит конус излучения, ограниченный числовой апертурой оптического волокна. Внутри конуса интенсивность излучения распределена в соответствии с полем мод, распространяющихся в волокне. В идеальном случае, при одной распространяющейся моде, распределение интенсивности подчиняется нормальному закону:

Ι = Ι0e

−

r2 σ2

,

(1)

где r – расстояние от оси волокна; σ – расстояние от оси волокна, на котором интенсивность уменьшается в е раз. Для изучения изменения поля мод в волокне создается маломодовый режим при воздействии лазерного излучения видимого спектра (0,630 мкм) на одномодовое оптическое волокно с диаметром сердечника 9 мкм. При воздействии таких механических факторов как изгиб, кручение и вибрации поле 20

мод изменяется в соответствии с рис. 1, причем меняется не только форма поля, но и количество модовых пятен в волокне. Для наблюдения влияния скрутки на параметры оптических волокон был поставлен следующий эксперимент (Рис. 1). С лазерного источника света (1) длиной волны 0,63 мкм излучение (2) через короткофокусную линзу (3) попадает на хорошо обработанный торец одномодового оптического волокна (5), закрепленного на микропозиционерах (4). После прохождения оптического излучения по волокну, оно попадает на участок волокна, ограниченный измерительной линией, при этом в начале и в конце линии, волокно крепится специальными недеформирующими зажимами (6). Измерительная линия состоит из оптической скамьи (9), на которой нанесена разметка с делениями 0,5 см, подвижного крепления (8) с цилиндром (7), на котором сделан один виток оптического волокна (рис. 1). На экране (10) наблюдается спекл-картина модового поля, полученная при внесении возмущения в оптическое волокно в виде одного витка спирали, скрученной на цилиндре (7).

Рис. 1. Схема установки для исследования зависимости поля мод от воздействия деформации на оптическое волокно, где 1 – лазерный источник оптического излучения; 2 – излучение; 3 – линза; 4 – микропозиционер; 5 – оптическое волокно; 6 – крепления для фиксации оптического волокна; 7 – цилиндр; 8 – подвижное крепление; 9 – оптическая скамья; 10 – спекл-картина модового поля; 11 – экран

При перемещении возмущения вдоль волокна на участке измерительной линии происходит изменение спекл-картины, которое выражается в смещении и исчезновении модовых пятен, а также изменении их интенсивности. При этом изменяется и поляризация модового поля. При слабом изгибе или кручении волокна изображение, показанное на рисунке 2, а, меняется на изображение б, при большем изгибе или кручении одно и более модовых пятен вырождаются и превращаются последовательно в изображения в, г, д и е на рис. 2. 21

Изучение характера изменения поля мод может пролить свет на наличие или отсутствие воздействия внешних факторов на всей длине волокна. Прямое исследование распределения поля мод внутри оптического волокна сопряжено с немалыми трудностями, поскольку радиус поля мод (σ) мал и составляет около 4 мкм. Поле мод можно наблюдать, направив когерентное излучение, вытекающее из торца волокна, на экран, расположенный на расстоянии 8–10 см. Поскольку экран представляет собой шероховатую поверхность, то при проектировании наблюдаемой картины с него на сетчатку глаза или на ПЗС-матрицу наблюдается спекл. а

б

в

г

д

е

Рис. 2. Динамика поля мод при перемещении деформации вдоль оптического волокна

Оптическое волокно подвергалось деформации в виде витка волокна на цилиндре диаметром 21,5 мм и перемещении его вдоль оси волокна. При этом были обнаружены следующие закономерности: 1. Виток создает деформацию волокна, в результате которого высвечиваются 2 моды, которые далее не появляются. 2. При перемещении возмущения меняется распределение поля мод, количество распространяемых мод уменьшается, происходит вращение мод. 3. Изменение модового состава происходит периодически с периодом 175 мм. 4. Изображенные на экране моды являются поляризованными. Явление высвечивания мод хорошо известно и широко применяется. В невозмущенном волокне некоторые моды являются вырожденными по скорости распространения. Если волокно возмущено, то вырождение снимается, и те моды, которые имели одинаковую скорость будут иметь различные скорости в местах деформации. При этом образованная разность хода приводит к изменению картины интерференции мод, т.к. после деформации восстанавливается их вырождение. 22

Изменение картины мод на выходе волокна пока трудно поддается объяснению. Пространственный период повторения модовой картины в 175 мм не может быть объяснен интерференцией мод, т.к. при числовой апертуре волокна 0,12 на каждом метре длины волокна оптическая разность хода «быстрого» и «медленного» лучей составляет 3,5 мм. Указанное явление, возможно, объясняется вращением среды распространения. Полученные результаты объясняют изменение затухания сигнала в многомодовых световодах при незначительных механических и иных воздействиях на оптическое волокно. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смеликова И.Н., Богомолова Е.О. Динамика поля мод в процессе деформации оптического волокна, ВНКСФ-12. – Новосибирск, 2006. 2. Окоси Т., Окамото К., Оцу М., Нисихара Х., Кюма К., Хататэ К.. Волоконно-оптические датчики. Под ред. К. Окоси: пер. с японского. – Л.: Энергоатомиздат, 1990 г.

УДК 321.391.

Е.В. Азатская Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУР НА ОБОЛОЧКУ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО КАБЕЛЯ (ВОК) В статье рассматривается поведение буферного покрытия волоконно-оптического кабеля при увеличении либо снижении температуры окружающей среды, а также изменение характеристик оптического волокна.

Защитное покрытие оптических волокон часто вносит свои изменения в параметры волоконно-оптического кабеля, что затрудняет его использование в некоторых условиях. В первую очередь это можно отнести к такому параметру как допустимый диапазон температурных воздействий. Например, если волоконный световод работает в диапазоне температур от –150 °С до +150 °С, то оптическое волокно всего лишь от –60 °С до +85 °С. Это связано с тем, что допуск на геометрические размеры первичного покрытия составляет всего лишь несколько микрометров. Неконцентричность или разнотолщинность покрытия не допускается, так как при механических воздействиях может привести к изгибу оси оптического волокна и, следовательно, к дополнительным потерям на макроизгибах. Кроме того, в результате большой разницы температурных коэффициентов линейного расширения (ТКЛР) кварцевого стекла и полимерных материалов защитного покрытия термоусадка первичной оболочки оптического волокна при охлаждении или нагреве вызывает микроизгибы световода, и как следствие увеличение оптических потерь. Конечно, при применении специальных материалов защитных покрытий (например, некристаллизующихся кремнийорганических эластомеров) можно достичь температуры и –150 °С [1], однако эти материалы, в силу сложности переработки или дороговизны, в промышленном производстве оптического волокна распространения не получили. 23

Как уже хорошо известно, молекулы полимера (макромолекулы) состоят из многократно повторяющихся структурных единиц, соединенных друг с другом химическими связями десятки и даже сотни тысяч раз. Макромолекула полимера может быть линейной и разветвленной, т. е. иметь боковые ответвления от основной цепи. За счёт них происходит соединение макромолекул между собой химическими связями. С увеличением разветвленности макромолекулы полимера нарушается его регулярность, вследствие чего снижается жесткость и склонность к кристаллизации. Большая длина макромолекулы при возможности вращения сегментов макромолекул относительно валентных связей главной цепи обуславливает способность молекулы полимера принимать различные конформации. Реализуемые конформации носят флуктуационный характер, т.е. в принципе форма цепной молекулы может постоянно изменяться. С энергетической точки зрения наиболее выгодная форма цепной молекулы – свернутая глобула (молекулярный клубок), что и реализуется в случае, если межмолекулярное взаимодействие существенно слабее внутримолекулярного. Аморфные линейные полимеры могут в зависимости от температуры находиться в трех физических состояниях. При низких температурах – это стеклообразное состояние, когда возможны только колебательные движения атомов в цепи. При превышении температуры стеклования становится возможным колебательное движение звеньев цепи, такое состояние называют высокоэластическим. И, наконец, при превышении температуры плавления полимер переходит в вязкотекучее состояние, когда может проявиться подвижность всей макромолекулы (рис. 1). Практически то же самое происходит и при увеличении температуры окружающей среды, но в этом случае в первую очередь происходит увеличение длины поРис. 1. Виды термомеханических кривых крилимерных трубок оптических модусталлического полимера: 1 – после плавления полимер сразу переходит в вязкотекучее со- лей по всей длине оптического кастояние; 2 – после плавления полимер пере- беля из-за того, что ТКЛР полимера на несколько порядков больше ходит в высокоэластическое состояние ТКЛР металла и кварца. Полимерные оболочки оптических модулей, удлиняясь, прикладывают к оптическому волокну растягивающую нагрузку, прижимают оптическое волокно к внутренней поверхности оболочки оптических модулей. К чему приводит это соприкосновение описано выше. При снижении температуры окружающей среды длина оптического модуля, напротив, уменьшается. Оптическое волокно в этом случае перемещается к внутренней поверхности трубки оптического модуля. При превышении определённого порога снижения температуры, обусловленной конструкцией сердечника и применяемыми материалами, оптическое волокно опять коснётся внутренней поверхности трубки оптического модуля. И опять мы наблюдаем резкое увеличение затухания в оптическом волокне за счёт микроизгибов. 24

Не так давно было разработано оптическое волокно с УФ-отверждаемым покрытием для эксплуатации при высоких температурах [2].

Рис. 2. Изменение положения ОВ внутри модульного сердечника ВОК при циклической смене температур

Уникальное покрытие марки Galaxy, разработанное немецкой фирмой Coia GmbH, предназначено для оптического волокна специального назначения. Фирма утверждает, что она является единственным в мире производителем, предлагающим покрытие на основе УФ-отверждаемого акрилата, рассчитанное на эксплуатацию при температуре до +2000 °С. Волокна с покрытиями Galaxy предназначены для использования в медицинских и промышленных лазерах, в датчиках, применяемых в жестких условиях эксплуатации, в конструкциях автомобильных оптических кабелей из пластмассового волокна (ПОВ), в энерго- и нефтедобывающей отраслях. Вытяжку волокна с покрытием марки Galaxy можно производить со скоростью 2400 м/мин., используя технологию наложения слоев покрытия «влажный на влажный» или «влажный на сухой». Изготовленные по такой технологии волокна обладают повышенной стойкостью к микроизгибам, низким уровнем затухания, высокой стойкостью к образованию царапин, высокой стойкостью к воздействию химических веществ, повышенным сроком годности при хранении (2 года). Волокна с покрытием марки Galaxy от фирмы Coia подвергались испытаниям в жёстких условиях, включающих воздействие высокой температуры, пара и высокого давления. Проведенные испытания полностью подтвердили высокое качество покрытия. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Абрамов А. А., Полимерные покрытия волоконных световодов / А.А.Абрамов, В.А. Богатырёв , Г.Ю.Боркина // Труды ИОФАН. 1988 г. Т. 15. с. 98-127. 2 Авдеев Б.В., Об избыточной длине оптического волокна в оптическом кабеле [Электронный ресурс] / Б. В. Авдеев, Е. Н. Барышников, О. В. Длютров, И. И. Стародубцев // Проект русский кабель: аналитические статьи и обзоры. – М.,2005. Режим доступа: http//www. Ruscable.ru/.

25

УДК 535.211

В.И. Иванов, А.А. Кузин, К.Н. Окишев, А.И. Ливашвили Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ТЕРМОДИФФУЗИОННЫЙ МЕХАНИЗМ ПРОСВЕТЛЕНИЯ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ Проанализирован термодиффузионный механизм просветления жидкофазной среды с поглощающими частицами под действием лазерного излучения. Экспериментально исследовано просветление водной суспензии частиц углерода под действием излучения He-Ne лазера. Исследована эффективность записи амплитудных динамических голограмм в двухкомпонентных средах с термодиффузионным механизмом модуляции коэффициента поглощения.

Термодиффузионный механизм оптической нелинейности многокомпонентных жидкофазных средах обусловлен перераспределением концентрации компонент в неоднородном световом поле и соответствующем изменении показателя преломления среды. В некоторых случаях (например, в микроэмульсиях вблизи критической точки) данный механизм обеспечивает коэффициент кубичной нелинейности среды значительно больший, чем обычная тепловая нелинейность, основанная на явлении теплового расширения среды [1, 2]. Кроме экспериментальных работ по исследованию термодиффузионного самовоздействия излучения, известны применения данной нелинейности для записи фазовых динамических голограмм [3, 4]. В случае различающихся коэффициентов поглощения компонент изменение их концентрации приводит также к изменению коэффициента поглощения среды (просветлению или потемнению), что может быть использовано для записи амплитудных (пропускающих) динамических голограмм. Целью данной работы является теоретическое и экспериментальное исследование термодиффузионного механизма просветления двухкомпонентной среды в поле лазерного излучения, а также анализ эффективности записи амплитудных динамических голограмм на основе данного механизма. Рассмотрим двухкомпонентную жидкофазную среду, коэффициент поглощения которой α целиком определяется одним компонентом с концентрацией С ( α = βС , где β = (∂α ∂С ) – константа среды). Для гауссова пучка распределение интенсивности падающего излучения в плоскости слоя I = I 0 exp(−r 2 / ω 2 ) , где ω – радиус пучка, r – расстояние от оси пучка (рис. 1). Систему балансных уравнений для концентрации С и теплового потока запишем следующим образом: c p , ρ∂T / ∂t = − div J 1 + αI 0 exp(−r 2 / ω 2 ) ,

(1)

∂С / ∂t = − div J 2 ,

(2)

где c p , ρ – удельные теплоемкость и плотность среды, T – температура среды, J 1 и J 2 – тепловой и концентрационный потоки соответственно: 26

J 1 = − D11 gra∂T ,

(3)

J 2 = − D21 gra∂T − D22 gra∂C ,

(4)

где D11 – коэффициент теплопроводности среды; D22 – коэффициент диффузии поглощающих частиц; D21 – коэффициент термодиффузии. В стационарном режиме, считая, что для малых толщин слоя среды d и окна кюветы L ( d, L 0 ; G – модулярная группа дробно-линейных преобразований ╟╢→╟╢: z → gz =

az + b с целыми a, b, c, d , ad − bc = 1 (далее везде полагаем cz + d

z ∈ ╟╢). В качестве фундаментальной области D модулярной группы фиксиру⎧ ⎫ 1 1 ем внутреннюю часть множества ⎨ z ∈ Η − < Re( z ) ≤ , z ≥ 1⎬ . 2 2 ⎩ ⎭ Регулярную на ╟╢ функцию f ( z ) будем называть параболической формой положительного веса k , если ∀g ∈ G ⎛ az + b ⎞ k f ( gz ) ≡ f ⎜ ⎟ = (cz + d ) f ( z ) ⎝ cz + d ⎠

и G-инвариантная функция y k / 2 f ( z ) ограничена на ╟╢.

44

(1)

Обозначим через S k конечномерное пространство параболических форм веса k . Каждая параболическая форма имеет разложение Фурье вида f ( z ) = ∑ a f (n)e(nz ) , e( nz ) = e 2πinz .

(2)

n≥1

Введение скалярного произведения Петерсона ______

( f1 , f 2 )k = ∫ y k f1 ( z ) f 2 ( z )dµ ( z ) ,

(3)

D

превращает S k в конечномерное гильбертово пространство; dµ = y −2 dxdy – инвариантная относительно группы G гиперболическая мера. В пространстве S k действует кольцо операторов Гекке {Tk (n), n ∈ N } по правилу k −1

(Tk (n) f )( z ) = n 2 ∑ d −k ∑ ad = n

b (mod d )

⎛ az + b ⎞ f⎜ ⎟. ⎝ d ⎠

(4)

d >0

В S k фиксируем базис Петерсона-Гекке Bk {f j ,k }, то есть ортонормированный относительно скалярного произведения (3) набор параболических форм, каждая из которых является собственной функцией всех операторов Гекке. Формы базиса Bk представимы рядом Фурье f j ,k ( z ) = ∑ a j ,k e(nz ) , причем

(T (n) f )( z ) = t k

и t j ,k ( n) = n

1− k 2

⋅

a j ,k ( n) a j ,k (1)

j ,k

j ,k

(n) f j ,k ( z ) , ∀n ∈ N

(5)

. К тому же оценка собственных значений операторов Гекке

имеет вид t j ,k (n) ≤ d (n) = ∑1 , k ≡ 0(mod d ) .

n ≥1

n∈ N

для всех базисов Bk и натуральных

d n

Для случая k = 0 аналогом классических параболических форм являются вещественно-аналитические на ╟╢ автоморфные функции. Вещественноаналитическая функция f ( z ) оператора Лапласа ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ (6) L = − y 2 ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ , ∂y ⎠ ⎝ ∂x отвечающая собственному значению λ > 0 , называется параболической формой нулевого веса группы G, если ∀g ∈ G ⎛ az + b ⎞ f ( gz ) ≡ f ⎜ (7) ⎟ = f ( z) ⎝ cz + d ⎠ и f (z ) ограничена на ╟╢. Для λ > 0 множество решений уравнения Lf = λf

образует, относительно скалярного произведения Петерсона (3) с k = 0 , конечномерное гильбертово пространство N λ . Существует счетная последовательность 1 < λ1 ≤ λ2 ≤ L 4

(7) 45

спектрального параметра λ , для которого N λ не пусто. Каждое собственное значение λ встречается столько раз, какова размерность пространства N λ . Названная последовательность имеет точку сгущения лишь на ∞ . Ортогональную (относительно (3) с k = 0 ) сумму N λ ⊕ N λ ⊕ K обозначают через S 0 и называют пространством параболических форм нулевого веса. Каждую f ∈ S 0 будем считать либо четной, либо нечетной функцией x = Re(z ) . Кроме того, эти функции вещественнозначны и нормированы условием ( f , f ) = 1 . По аналогии с S k полагаем, что в пространстве S 0 действует кольцо операторов Гекке {T (n), n ∈ N } по правилу (4) с k = 0 . В S 0 фиксируем базис Петерсона-Гекке B0 = {f j ( z ), j ∈ N }. Как функции пространства S 0 1

f j (− z ) ≡ f j (− x + iy ) = ε j f j ( x + iy ) ,

ε j = ±1 .

2

(9)

По определению базиса B0 для j, n ∈ N

(T (n) f )( z ) = t j

j

(10)

( n) f j ( z )

На последовательности собственных значений оператора Гекке определим ряды Дирихле H j ,k ( s ) = ∑ n − s t j ,k (n) для Bk (11) n ≥1

и

H j ( s) = ∑ n − s t j (n) для B0 .

(12)

n ≥1

Указанные ряды Дирихле называются рядами Гекке, ассоциированными с формами f j ,k или f j соответственно. Они абсолютно сходятся в полуплоскости Re( s) > 1 , допускают аналитическое продолжение на всю s-плоскость и для каждого j ≥ 1 являются целыми функциями s . Ряд (12) является частным случаем (при x ∈ Z ) более общего ряда H j ( s, x) = ∑ n − s t j (n)e(nx) , x∈R , (13) n ≥1

называемого рядом Гекке с характером. Для x = d / c при d , c ∈ Z . c ≥ 1 , (d , c ) = 1 , имеет место функциональное уравнение ⎛ d ⎞ ⎛ 4π ⎞ H j ⎜ s, ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ c⎠ ⎝ c ⎠

2 s −1

⎛ ⎝

⎞⎛ ⎠⎝

1 2

⎛ ⎝

γ ⎜1 − s, + iκ j ⎟⎜⎜ − cos(πs )H j ⎜1 − s,−

d′ ⎞ d′ ⎞⎞ ⎛ ⎟ + ε j ch(πκ j )H j ⎜1 − s, ⎟ ⎟⎟ , (14) c⎠ c ⎠⎠ ⎝

где d ′ определено сравнением dd ′ ≡ 1(mod c ) , γ (z ,ν ) =

2 2 z −1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Γ⎜ z + ν − ⎟Γ⎜ z − ν + ⎟ , 2⎠ ⎝ 2⎠ π ⎝

(15)

ε j = 1 , если H j ассоциирован с четной формой f j и ε j = −1 , если H j ассоции-

рован с нечетной формой f j . 46

Возьмем в уравнении (14) c = d = d ′ = 1 и получим H j (s ) = (4π )

2 s −1

γ ⎜1 − s, + iκ j ⎟(− cos(πs ) + ε j ch(πκ j ))H j (1 − s ) . ⎛ ⎝

⎞ ⎠

1 2

(16)

Обозначив X j (s ) = (4π )2 s −1 γ ⎜1 − s, + iκ j ⎟(− cos(πs ) + ε j ch(πκ j )) , запишем (16) в виде ⎛ ⎝

1 ⎞ 2 ⎠ H j (s ) = X j ( s ) H j (1 − s ) .

(17) Функциональное уравнение (16) аналогично функциональному уравнению для дзета-функции Римана 2Γ(1 − s ) πs ς ( s) = sin ς (1 − s ) := χ ( s) ⋅ ς (1 − s ) . (18) 2 (2π )1−s Пусть ε j = 1 . Тогда ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ A j (s ) := (− cos(πs ) + ε j ch(πκ j )) = 2 sin ⎜ (s + iκ j )⎟ sin ⎜ (s − iκ j )⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

(19)

Из функционального уравнения (18) получается 2Γ(1 − s − iκ j ) π (s + iκ j ) ς ( s + iκ j ) = sin ς (1 − s − iκ j ) ; 2 (2π )1−s−iκ 2Γ(1 − s + iκ j ) π (s − iκ j ) ς ( s − iκ j ) = sin ς (1 − s + iκ j ) ; 2 (2π )1−s+iκ ς (s + iκ j )⋅ ς (s − iκ j ) 4 ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π = Γ(1 − s − iκ j )Γ(1 − s + iκ j )sin ⎜ (s + iκ j )⎟ sin ⎜ (s − iκ j )⎟ .(20) 2− 2 s ς (1 − s − iκ j )⋅ ς (1 − s + iκ j ) (2π ) ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2 j

j

из соотношений (15) – (18) следует X j (s ) =

4

(2π )

2− 2 s

⎞ ⎞ ⎛π ⎛π Γ(1 − s − iκ j )Γ(1 − s + iκ j )sin ⎜ (s + iκ j )⎟ sin ⎜ (s − iκ j )⎟ . ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2

(21)

В итоге, из (20), (21), (17) имеем Утверждение 1. При ∀j ∈ N с ε j = 1 ς (s + iκ j )⋅ ς (s − iκ j ) (22) H j (s ) = H j (1 − s ) . ς (1 − s − iκ j )⋅ ς (1 − s + iκ j ) Возьмем в этом уравнении s = 1 − iκ j , рассматривая предельный переход s → 1 − iκ j , тогда соотношение (22) примет вид: ς (1) ⋅ ς (s − 2iκ j ) H j (1 − iκ j ) = H j (iκ j ) . (23) ς (0) ⋅ ς (2iκ j ) Как известно из теории дзета-функции Римана ς (0) ≠ 0 , ς (1 − 2iκ j ) ≠ 0 , а значит, согласно функциональному уравнению (18), также ς (2iκ j ) ≠ 0 . К тому же в точке s = 1 функция ς (s ) имеет простой полюс. Поэтому из уравнения (23) вытекает Следствие 1. При ∀j ∈ N с ε j = 1 H j (iκ j ) = 0 . (24) Теперь в уравнении (16) возьмем для H k ( s) число ε k = −1 . Тогда, по аналогии с (19), получим 47

⎞ ⎞ ⎛π ⎛π Ak (s ) := (− cos(πs ) + ε k ch(πκ k )) = −2 cos⎜ (s + iκ j )⎟ cos⎜ (s − iκ j )⎟ , ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2 поэтому множитель X k ( s ) из (17) есть X k (s ) =

−4

(2π )

2− 2 s

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ Γ(1 − s − iκ k )Γ(1 − s + iκ k )cos⎜ (s + iκ k )⎟ cos⎜ (s − iκ k )⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

Если ⎛π

последнее выражение домножить и разделить ⎞ ⎞ ⎛π sin ⎜ (s + iκ k )⎟ sin ⎜ (s − iκ k )⎟ , то из (25), (20), (21) получаем: ⎝2

на

(25)

множитель

⎝2

⎠ ς (s + iκ k ) ⋅ ς (s − iκ k ) ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π X k (s) = − ⋅ ctg ⎜ (s + iκ k )⎟ ⋅ ctg ⎜ (s − iκ k )⎟ . ς (1 − s − iκ k ) ⋅ ς (1 − s + iκ k ) ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2 ⎠

Откуда

ς (s + iκ k ) ⋅ ς (s − iκ k ) ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π (26) ⋅ ctg ⎜ (s + iκ k )⎟ ⋅ ctg ⎜ (s − iκ k )⎟ ⋅ H k (1 − s ) ς (1 − s − iκ k ) ⋅ ς (1 − s + iκ k ) ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2 H k ( s ) = X k ( s ) ⋅ H k (1 − s ) . или (26') Вычисление X j ( s) и X k ( s ) при s = 1 / 2 показывают, что X j (1 / 2 ) = 1 для ε j = 1 и H k ( s) = −

X k (1 / 2) = −1 для ε k = −1 . Таким образом,

⎛1⎞ X j⎜ ⎟ =ε j , ⎝2⎠

∀j ∈ N .

(27)

поэтому из (17), (22), (26) вытекает Следствие 2. При ε k = −1 ⎛1⎞ Hk ⎜ ⎟ = 0. ⎝2⎠

(28)

Результат, аналогичный следствию 1, при ε k = −1 не получается. ⎛π s = 1 − iκ k в формуле (26) приводит к предельному переходу lim ς ( s ) ⋅ ctg ⎜ z →1

Замена

⎞ z ⎟ ≠ 0, ∞ , ⎝2 ⎠

что не позволяет записать результат в виде следствия 1. Формулы (21) и (25) для функционального множителя X j ,k уравнений (17) и (26') можно объединить в одну. Следствие 3. При ∀j ∈ N ⎛ π ⎛1− ε j 4ε j ⎞⎞ Π Γ(1 − s + iϖ )sin ⎜⎜ ⎜⎜ + s − iϖ ⎟⎟ ⎟⎟ , X j (s) = (29) 2 − 2 s ϖ ∈D 2 2 (2π ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ { } где D j = κ j ,−κ j . j

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кузнецов Н.В. Формулы следа и некоторые их приложения в аналитической теории чисел. – Владивосток, Дальнаука, 2003, 160 с. 2. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана: Перевод с англ., М.: Изд. Иностранная литература, 1953, 408 с. 3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. – 2-ое изд. М.: Наука, 1973, 296 с.

48

4. Заворотный Н.И., Марченко Л.В. Мероморфное продолжение и функциональные уравнения Риманова типа для рядов Ранкина. Препринт / ДВО РАН Хабаровское отделение Институт прикладной математики; № 6 – Владивосток: Дальнаука, 2005, 34 с. 5. Марченко Л.В. Билинейные формы рядов Ранкина и функциональное уравнение для этих форм. Препринт / ДВО РАН Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 12. – Владивосток: Дальнаука, 2004, 24 с.

УДК 517.994+551.465.7

П.В. Виноградова

Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ ПРИДОННОГО ТРЕНИЯ В работе исследуется трехслойная схема приближенного решения модельной задачи течения жидкости с учетом придонного трения. Получены оценки скорости сходимости.

Пусть Ω -ограниченная область с достаточно гладкой границей ∂Ω в R 2 , QT = Ω × (0, T ) – цилиндрическая область, точки которой обозначим через

( x, t ) = ( x1 , x 2 , t ); x ∈ Ω, t ∈ (0, T ), S T = ∂Ω × [0, T ]. В QT исследуем начально-краевую задачу ∂u − ν∆u + ρ 0−1∇p + r u u = f ( x, t ), ∂t

(1)

divu = 0, u ( x, t ) = 0, ( x, t ) ∈ S T , u ( x,0) = 0, при x ∈ Ω ,

(2) (3) (4)

где u = (u1 ,u 2 ) – вектор-функция, координаты которой являются компонентами скорости течения; r – коэффициент придонного трения. Известно (см.[1]), что пространство вектор-функций L2 (Ω ) однозначно o

o

представляется в виде ортогональной суммы L2 (Ω ) = G (Ω ) ⊕ J (Ω ) , где J (Ω ) – замыкание множества бесконечно дифференцируемых финитных в Ω соленоидальных векторов в норме L2 (Ω ) . Пространство L2 (QT ) представимо в виде o

( )

o

o

L2 (QT ) = G (QT ) ⊕ J QT , где элементы J (QT ) для почти всех t принадлежат J (Ω ) , а элементы G (QT ) – пространству G (Ω ) . o

Пусть PJ – проектор L2 (Ω ) на J (Ω ) . Тогда задачу (1)–(4) в пространстве o

J (QT ) можно записать в виде

49

∂u − νPJ ∆u + rPJ u u = PJ f ( x,t ), ∂t u ( x, t ) = 0, ( x, t ) ∈ S T , u ( x,0) = 0, при x ∈ Ω.

(5) (6)

На отрезке [0, T ] введем равномерную сетку

ϖ = {t s = sτ , s = 0,1,K, N , τN = T }. Вектор-функцию V

N

{

= v 1 (x ), v 2 ( x ),K, v N

} назовем приближенным решениo

ем задачи (1)-(4), если каждая компонента v s +1 (x ) принадлежит J (Ω ) и является решением следующей краевой задачи v s +1 ( x ) − v s −1 ( x ) v s +1 ( x ) + v s −1 ( x ) v s +1 ( x ) + v s −1 ( x ) − νPJ ∆ + rPJ v s (x ) = PJ f ( x, t s ), 2τ 2 2

v s +1 ( x ) = 0, при x ∈ ∂Ω, s = 1,2, K, N − 1,

(8) o

v 0 ( x ) = 0, v 1 (x ) = τ 2ϕ ( x ) при x ∈ Ω , ϕ ( x ) ∈ J (Ω ).

В дальнейшем нам потребуются пространства Гельдера H k = 0,1, K , определения и свойства которых можно найти в [2]. ра H

α,

2

(Q ) и T

(9) 2 k +α , k +

α 2

(Q ), T

где

f (x, t ) принадлежит пространству Гельде-

Лемма 1.1. Пусть функция α

(7)

PJ f ( x,0 ) x∈∂Ω = 0. Тогда задача (5)-(6) имеет единственное решеα

2 (QT ) ∩ J (QT ). ние u ( x, t ) из пространства H Ниже будем предполагать, что вектор-функция f (x, t ) принадлежит про2 +α ,1+

странству Гельдера H второго порядка

4 +α , 2 +

α 2

(Q ) T

o

и удовлетворяет условиям согласования

∂f ( x,0) ∂ 2 f ( x ,0 ) = 0 при x ∈ ∂Ω. PJ f ( x,0) = 0, PJ = 0, PJ ∂t ∂t 2

(10)

Лемма 1.2. Пусть функция f (x, t ) принадлежит пространству Гельдера H

4 +α , 2 +

α 2

(Q ) T

и выполнены условия (10).

Тогда задача (5)-(6) имеет единстα

2 (QT ) ∩ J (QT ). венное решение u (x, t ) из пространства H Теорема. Пусть выполнены условия леммы 1.2. Тогда справедлива оценка 6 +α , 3+

v s ( x ) − u ( x, t s )

50

L2 (Ω )

o

≤ Mτ 2 , s = 0,1, K N ,

(11)

( )

где v x – решение задачи (7)-(9), u ( x, t ) -решение задачи (5)-(6); M – положительная постоянная, независящая от τ и s. Доказательство. В дальнейшем через M i (i = 1,2, K) будем обозначать положительные постоянные, независящие от s и τ . Обозначим s

Ψ s +1 =

u ( x , t s + 1 ) − u ( x , t s −1 ) u ( x , t s + 1 ) + u ( x , t s −1 ) − ν PJ ∆ + 2τ 2 u ( x, t s +1 ) + u ( x, t s −1 ) + rPJ u ( x, t s ) − PJ f ( x, t s ), 2

(12)

z s +1 = v s +1 ( x ) − u ( x, t s +1 ).

Так как решение u ( x, t ) принадлежит пространству H

6 +α , 3+

α 2

(Q ), T

то исполь-

зуя разложение функции u ( x, t ) по формуле Тейлора в точке (x, t s ), ограничиваясь тремя слагаемыми, получим ~ ⎛ ∂ 2 u (x, ζ s ) ∂ 2 u x, ζ s ⎞ τ2 ⎜ ⎟+ Ψs +1 = −ν + PJ ∆⎜ 2 2 ⎟ 4 ∂ ∂ t t ⎝ ⎠

(

+ rPJ u ( x, t s )

~

(

)

)

~ ~ τ 2 ⎛⎜ ∂ 2 u (x, ζ s ) ∂ 2 u x, ζ s ⎞⎟ τ 2 ⎛ ∂ 3 u ( x, t s ) ∂ 3 u (x, ts ) ⎞

~

4 ⎜⎝

∂t

2

+

∂t

2

⎜ ⎟ + 12 ⎜ ⎝ ⎠

∂t 3

+

∂t 3

⎟, ⎟ ⎠

здесь ζ s , ζ s , t s , ts – некоторые точки из интервала (0, T ). Теперь вычитая из уравнения (7) равенство (12), приходим к соотношению

z s +1 − z s −1 z s +1 + z s −1 v s +1 (x ) + v s −1 ( x ) s − νPJ ∆ + rPJ v ( x ) − 2τ 2 2

− rPJ u ( x, t s ) где s = 1,2, K , N − 1.

(

u ( x, t s +1 ) + u ( x, t s −1 ) = − Ψs +1 , 2

(13)

)

s +1 s −1 Умножим (13) на 2τ z + z скалярно в L2 (Ω ), тогда

⎛ s z s +1 + z s −1 z s +1 + z s −1 ⎞ ⎟⎟ + − z + ντ ∇ z + z + 4τr ⎜⎜ v ( x ) , z L2 (Ω ) L2 (Ω ) L2 (Ω ) 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ u ( x, t s +1 ) + u ( x, t s −1 ) z s +1 + z s −1 ⎞ ⎟⎟ = −2τ (Ψ s +1 , z s +1 + z s −1 ). 4τr ⎜⎜ v s ( x ) − u ( x, t s ) , (14) 2 2 ⎠ ⎝ s +1 2

(

s −1 2

(

s +1

s −1

)

2

)

Из (14), используя принадлежность u (x, t ) пространству Гельдера, а также неравенств Коши-Буняковского, Фридрихса и ε -неравенство, находим

51

z

s +1 2 L2 (Ω )

− z

(

s −1 2

+ ντ ∇ z

L2 (Ω )

s +1

+z

s −1

⎛ 1 zs 4τM 2 ⎜ ⎜ 2ε 1 ⎝

)

2 L2 (Ω )

⎛ 1 ≤ 4τM 1 ⎜ Ψ ⎜ 2ε s +1 ⎝

⎛ z s +1 + z s −1 ⎞ ⎜ ⎟⎟ + ∇ L2 (Ω ) 2 ⎜⎝ 2 ⎠

ε1

⎛ z s +1 + z s −1 ⎞ ⎟⎟ + ∇⎜ L2 (Ω ) 2 ⎜⎝ 2 ⎠

2

Выбираем ε и ε 1 так, чтобы νM 1

ε 2

− M2

ε1

ε

2

⎞ ⎟+ ⎟ L2 (Ω ) ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟. L2 (Ω ) ⎠

2

> 0, тогда из последнего нера-

2

венства следует

z s +1

2

− z s −1

L2 ( Ω )

2 L2 (Ω )

≤ τM 3 Ψs +1

2 L2 ( Ω )

+ τM 4 z s

2 L2 ( Ω )

.

Так как

Ψs +1

L2 ( Ω )

≤ M 5τ 2 ,

то

z s +1

2 L2 (Ω )

− z s −1

2 L2 (Ω )

≤ M 6τ 5 + τM 4 z s

2 L2 (Ω )

.

Суммируя неравенство (16) по s от 1 до k и используя

z1

2

(16) оценку

≤ M 7τ 4 , получим

z

k +1 2 L2 (Ω )

k

≤ M 8τ + τM 4 ∑ z s 4

s =1

2 L2 (Ω )

.

Отсюда и из разностного аналога неравенства Гронуолла (см., напр., [3]) вытекает оценка

z k +1

L2 (Ω )

≤ M 9τ 2 .

Из полученного неравенства следует оценка (11). Теорема доказана. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. М.: Наука, 1970.- 203 с. 2. Ладыженская, О.А., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. – М.: Наука, 1967.-736 с. 3. Демидович, В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений / В.Б. Демидович. Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т. 10. – № 12. – С. 2267-2278.

52

УДК 519.6

А.В. Рукавишников Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН Хабаровск, Россия

ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ ЖИДКОСТИ1 В работе, рассмотрена задача течения двухфазной жидкости с непрерывно изменяющимся интерфейсом и разрывными коэффициентами вязкости и плотности. Предложен метод численного решения.

1. Постановка задачи. Пусть Ω ⊂ R 2 – выпуклая область с границей ∂Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω. В каждый момент времени t область Ω t = Ω представляет собой объединение

двух

односвязных

подобластей

Ω1t

и

Ω 2t

таких,

что

Ω1t ∪ Ω2t = Ω t , Ω1t ∩ Ω2t = Γt , где Γt (интерфейс) – достаточно гладкая (незамкнутая, несамопересекающаяся) кривая, концы которой принадлежат ∂Ω . Следуя [1], поставим следующую задачу: найти вектор скоростей u( x, t ) = (u1( x, t ), u2 ( x, t )) и полное давление P( x, t ) , удовлетворяющие следующей системе уравнений, граничных и начальных условий

⎛ ∂u ⎞ ρ⎜ + ((rot U) × u) − f ⎟ = div σ(u, P) + ρg в Ω × (0, T] , ⎝ ∂t ⎠

div u = 0 [ u ] |Γ t = 0,

в

Ω × (0, T] ,

[ σ ( u, P) ⋅ n ] | Γ t = σ 0 k 0 n на Γt ,

u( x, 0) = u0 ( x ), u |∂Ω×( 0,T ] = 0, и

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

∂φ + u ⋅ ∇φ = 0 в Ω × (0, T] , φ( x,0) = φ0 ( x ), ∂t ∂φ |∂Ω×( 0,T ] = 0, ∂n0

(1.5)

где u0 , f – заданные функции, n, n0 – внешние нормали к Γt , ∂Ω соответственно, а n – внешняя нормаль к Γt из Ω 2t в Ω1t ; [⋅] |Γt – скачок функции на Γt ,

σ(u, P) = {σij (u, P)} i, j =1,2 = {2 µ εij (u) − δijP} i, j =1,2 – тензор напряжений, а 1 ∂u j ∂ui ε(u) = {εij (u)} i, j =1,2 = { ( )} i, j =1,2 – тензор деформаций, δij – символ + 2 ∂x i ∂x j 1

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН (проект № 06-IIIА-01-001), РФФИ (код проекта 07-01-00210) и гранта Президента РФ МК-2092.2007.1.

53

Кронекера; g = (0,−g) – ускорение свободного падения, σ 0 – коэффициент поверхностного натяжения, k 0 = div(

∇φ ) |φ = 0 , U – подходящая к u аппрок| ∇φ |

симация. Особенностью задачи (1.1)-(1.4) и (1.5), помимо изменяющегося во времени интерфейса между подобластями, является присутствие в (1.1) разрывных, постоянных на Ω kt , k = 1,2, положительных коэффициентов вязкости µ и плотности – ρ :

⎧ µ1, x ∈ Ω1t , ⎧ ρ1, x ∈ Ω1t , µ=⎨ ρ=⎨ t t µ ∈ Ω , x ; ⎩ 2 ⎩ρ 2 , x ∈ Ω 2 . 2

(1.6)

Гладкая функция φ(x ) определяет движение интерфейса Γt во времени

φ0 ( x ) =

⎧ < 0, x ∈ Ω1t , ⎪ φ( x ) = ⎨ = 0, x ∈ Γt , ⎪> 0, x ∈ Ω t . 2 ⎩

⎧− dist {x, Γt }, x ∈ Ω1t , ⎨ t ⎩ dist {x, Γt }, x ∈ Ω 2 ;

Пусть t 0 = 0, t1, t 2 ,..., t N = T – точки, а τi = t i − t i −1 – шаги разбиения отрезка [0, T], i = 1,..., N. Перейдём от системы (1.1)-(1.4) и (1.5) к следующей

ρ) ρ u - div (µ ε (u)) + ρ(( rot U ) × u) + ∇P = u + ρ f + ρ g , τ τ div u = 0 , [ u ] |Γ = 0, и

(1.8)

[σ(u, P) ⋅ n] |Γ = σ 0 k 0 n , u 0 = u0 ,

(1.7)

u |∂Ω = 0,

(1.9) (1.10)

) ∂φ φ−φ ) ) + u ⋅ ∇φ = 0 , φ 0 = φ 0 , |∂Ω = 0, τ ∂n0

(1.11)

где крышка над функциями, пространствами и т.д. обозначает принадлежность объекта n-му слою, а без – (n+1)-му.

)

2. Определение обобщённого решения. Через zk ( zk ) обозначим функ) ) цию, которая совпадает на Ω k (Ω k ) с определённой на всей области Ω (Ω ) ) функцией z ( z ), k = 1, 2. Уточним определение функции [ z] |Γ , введённой в (1.3): [ z] |Γ = z1 |Γ ∩ Ω − z 2 |Γ ∩ Ω , где z k |Γ ∩ Ω – след функции zk на Γ . Далее 1

2

k

определим пространства (пр-ва) обобщённых функций с нормами на (n+1)-м временном слое: 54

H1∗ (Ω k ) = {v k ∈ H1 (Ω k ); v k |∂Ω ∩ ∂Ω k = 0} с нормой пр-ва Соболева H1 (Ωk ) ;

V(Ω) = {v | v k ∈ H1∗ (Ωk ); [ v] |Γ ∈ H1002 (Γ )} : v

⋅

H1002 ( Γ )

2 V(Ω)

2

= ∑ k2 =1 v H1 ( Ω

2

k

)

+ [ v] H1 2 ( Γ ) , 00

– норма Соболева – Слободецкого (см. [1]); Y(Ω ) = {v ∈ V(Ω );

∫Γ [v] |Γ ⋅ θ dΓ = 0, ∀θ ∈ M(Γ )} с нормой V(Ω) , M(Γ ) – сопряжённое пр-во к H1002 (Γ ) (относительно L 2 (Γ ) ≡ H0 (Γ ) ); X(Ω ) = {Q | Qk ∈ L 2 (Ω k )} с нормой Q

2 X( Ω )

2

= ∑ k2 =1 Q L

2 (Ωk

)

. Аналогично определяются пр-ва на n-м слое.

)

Замечание. Имеет место вложение пр-ва Y(Ω ) в V(Ω ) . Определим билинейные и линейные формы:

a(u, v ) = ∑ k2 =1 ak (u, v ), ⎡ρ ⎤ ak (u, v ) = ∫ ⎢ k uk ⋅ v k + 2µ k ε(uk ) : ε( v k ) − ρk (uk ⋅ ((rot Uk ) × v k )⎥ dx ; ⎦ Ωk ⎣ τ b( v , P) = ∑ k2 =1bk ( v , P) , bk ( v , P) = − ∫ Pk div v k dx ; Ωk

c( v , λ ) = ∑ k2 =1 c k ( v , λ ) ; c k ( v , λ ) = ∫ ( −1)k +1 χ λ ⋅ v k |Γ ∩ Ωk dΓ ; Γ

⎛ρ ) ⎞ ~ l ( v ) = ∑ k2 =1lk ( v ) + l ( v ) , lk ( v ) = ∫ ⎜ k u + ρk f k + ρk g ⎟ ⋅ v k dx ; ⎠ Ωk ⎝ τ ~ l ( v ) = ∫ σ 0 k 0 ( n i1 v 1i | Γ ∩ Ω 1 d Γ . Γ

Определение. Назовём тройку (u , P, λ ) ∈ V(Ω ) × X(Ω) × M(Γ ) обобщённым решением задачи (1.7)-(1.10), если для любых ( v, Q, θ ) ∈ V(Ω) × X(Ω) × M(Γ ) выполнены соотношения

a(u , v ) + b( v , P) + c( v , λ ) = l ( v ), b(u , Q) = 0, ) ) ) ) где (σ 0 k 0 n , U, u , f ) ∈ M(Γ ) × Y(Ω ) × Y(Ω ) × L 2 (Ω ).

c(u , θ ) = 0,

(2.1)

Для согласования решения, на (n+1)-м слое в (2.1) на Γ использованы условия: 2 2 2 1 1 1 1 ∫ (σij (u , P ) (n ) j ) ϕ i d Γ = − ∫ (σij (u , P ) (n ) j + σ0 k 0 ( n )i ) ϕ i d Γ ;

Γ

Γ

12 1 2 ∫ χ(u − u ) i θi d Γ = 0 ∀θ = (θ1, θ2 ) ∈ M(Γ ), ∀ϕ = (ϕ1, ϕ2 ) ∈ H00 (Γ ),

Γ

55

где (n 2 ) j = −(n1 ) j , (n s ) j – j-я компонента внешней нормали ns к Γ относительно Ω s ; весовая функция χ определена равенством χ = γ ′ o γ −1

−1

, где γ па-

~

раметризация кривой Γ : γ ≡ γ t ≡ γ( y, t ) ∈ C 2 ( J, R 2 ),

~ ∀t ∈ [0, T ], J – отрезок. В (2.1) введена вектор-функция λ = (λ1, λ 2 ) , опреде1 лённая из соотношения: ∫ λ i ϕ i d Γ = ∫ (σij (u2 , P 2 ) (n2 ) j ) ϕ i d Γ . Γ Γχ Итак, чтобы решить задачу в обобщённой постановке (2.1) на (n+1)-м слое необходимо: ) ) 1) знать решение u ∈ Y(Ω ) с предыдущего слоя; 2) построить подходящую аппроксимацию U к u ; ) ) 3) зная расположение Γ , а значит и φ , найти φ и определить Γ . 3. Метод конечных элементов. В данной работе не будем подробно излагать построение схемы метода конечных элементов, а лишь отметим основные особенности: – для конечно-элементного разбиения Ωkh не справедливо: Ωkh ⊂ Ωk ; – подмножества узлов аппроксимации каждой из подобластей не стыкуются на общем интерфейсе Γ ; ~ – введённая весовая функция χ позволяет нам склеивать решения на J , а не на Γ , что в сочетании с использованием мортарных конечных элементов даёт существенное преимущество при численном решении; – построение проектора Pk и «снос» известных значений с n-го временного слоя на (n+1)-й. В результате дискретизации задачи приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

⎛ A BT ⎜ ⎜B 0 ⎜⎜ ⎝C 0

C T ⎞⎟⎛ uh ⎞ ⎛ F ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ Ph ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . ⎟ 0 ⎟⎠⎜⎝ λ h ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠

(3.1)

Решение системы (3.1) имеет вид:

uh = A −1 (F − B TPh − C T λ h ), Ph = (B A −1 B T ) −1(B A −1 F − B A −1 C T λ h ) ,

λ h = (C A −1 B T (B A −1 B T )−1 B A −1 C T − C A −1 C T )−1 × × (C A −1 B T (B A −1 B T ) −1 B A −1 − C A −1 )F . Для его нахождения построим итерационный процесс с переобуславливанием матрицы системы, состоящий из семи этапов: 56

1) находим решение системы A u h = F по формуле

uh

( m m = uh + α1m A −1(F − A uh );

m +1

2) вычисляем Ph : S1 Ph = B uh с помощью

Ph

m +1

( −1 m m 2 = Ph + α m S1 (B uh − S1Ph ) ;

3) ищем решение системы H λ h = S 2 Ph − C u h :

λh

m +1

( m m 3 −1 = λh + αm H (S 2 Ph − C u h − H λ h );

4) вычисляем поправку P h к P h , с помощью вектора λ h , S1 P h = S 3 λ h :

Ph

m +1

( −1 m m 4 = P h + αm S1 (S 3 λ h − S1P h );

5) находим вектор Ph :

P h = Ph − Ph ; 6) вычисляем поправку u h к

u h с помощью определённых Ph и λ h :

A u h = B T P h + C T λ h по формуле

uh

m +1

( m m 5 = u h + αm A −1(B T P h + C T λ h − A u h );

7) находим вектор uh :

uh = u h − uh . Здесь α im , i = 1,K,5 – параметры процессов; S1 = B A −1 B T , S 2 = C A −1 B T ,

( ( ( ( S 3 = B A −1 C T и H = S 2 (S1 )−1 S 3 − C A −1 C T , а S1, S 2 , S3 и H их переобусловливающие матрицы соответственно. Более подробно о построение переобусловливающих матриц и методе решения системы с ними (см. [2]). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Рукавишников А.В. Обобщённая постановка задачи течения двухфазной жидкости с непрерывно изменяющимся криволинейным интерфейсом // Математическое моделирование. 2007. 2. Рукавишников А.В. Построение и исследование неконформного метода конечных элементов для решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Хабаровск: ТОГУ, 2005.

57

УДК 532.511

Ю.Г. Крат Дальневосточный государственный университет путей сообщения Россия, Хабаровск

ОБЗОР АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В данной статье приводится обзор алгоритмов численного решения задачи о движении вязкоупругой жидкости типа Олдройда-В.

Рассмотрим изотермическое течение несжимаемой вязкоупругой жидкости типа Олдройда-В в области Ω ⊂ R n . В основу математического описания рассматриваемой краевой задачи положим: – уравнение неразрывности

∇ ⋅ u = 0 в Ω × ( О, Т ] ;

(1.1)

– уравнения движения

ρ

Du ⎛∂u ⎞ ≡ ρ⎜ + u ⋅ ∇ u ⎟ = −∇ ρ + ∇ ⋅ τ + f в Ω × (0, T ]; Dt ⎝ ∂t ⎠

– реологические уравнения

τ ≡ 2η 2 e + τ 1 , ∇

τ 1 ≡ 2η1e + τ 1 в Ω × (0, T ],

(1.2)

(1.3) (1.4)

где ρ – плотность, u – вектор скорости, р – давление, f – вектор объемных сил, е ≡

1 2

(∇ u + (∇ u ) ) – тензор скоростей деформаций, τ Т

– тензор экстра–

∇

напряжений; τ 1 – верхняя конвективная производная, t – время, λ – время релаксации, η1 , η 2 – коэффициенты вязкости. Уравнения (1.1)–(1.4) решаем при следующих начальных и граничных условиях:

u ( x, 0) = u 0 ( x ), ∇ ⋅ u 0 = 0 в Ω ,

⎫ ⎪ u ( x, t ) = β ( x ), ∫ β ⋅ n d Г = 0 на x ∈ S u × (0, T ], ⎪ Su (1.5) ⎬ ⎪ σ ( x, t ) n = g ( x, t ) на x ∈ Sτ × (0, T ], ⎪ τ ( x, 0) = g 0 ( x ) на x ∈ Sτ* × (0, T ], ⎭ где σ = − ρδ + τ , n – единичный вектор нормали к границе S ; S u – часть границы S , где известны значения компонент вектора скорости; Sτ – часть границы S , где заданы напряжения. 58

Численное решение краевой задачи (1.1) – (1.5) будем производить методом конечных элементов в слабой формулировке: Найти u h , p h , τ h ∈ V h × Q h × T h , удовлетворяющих уравнениям

{

}

T ∂u h h + u h ⋅ ∇ u h − ∇ ⋅ υ h ; p h + (∇υ h ) ; 2η 2 е h + τ 1 − ρ υ ; ∂t h

− υ ; f − ∫ g ⋅υ d Г = 0 h

h

Sτ

h

q h ; ∇ ⋅ u h = 0 ∀q h ∈ Q h , ∇ h

(1.7)

s h ; λ τ 1 + τ 1 − 2η 1 e h = 0 ∀ s h ∈ T h ,

[

(1.6)

∀υ ∈V , h

h

]

(

(1.8)

)

где q h ∈ Q h ⊂ Q ⊂ L2 0, T ; L20 (Ω ) , υ h ∈ V h ⊂ V ⊂ L2 0, T ; H 01 ( Ω ) ∩ L∞ (0, T ; H ),

s h ∈ T h ⊂ T ⊂ L2 ( 0, T ; H 01 ( Ω ) ) , H = {υ ∈ L2 ( Ω ) : div υ = 0 в Ω;υ = 0 на Su ,

f ∈ L2 ( 0, T ; H −1 ( Ω ) ) ,

; – скалярное произведение в L2 (Ω ) .

Основные проблемы в получении устойчивых численных решений проекционно-сеточной задачи (1.6)–(1.8) заключаются в следующем: 1. Необходим согласованный выбор сеточных пространств V h , Q h , T h , приводящий к выполнению LBB-условия. 2. Для аппроксимации конвективных членов υ h ; u h ⋅ ∇ u h и s h ; u h ⋅ ∇ τ h уравнений (1.6), (1.8) необходимо использовать противопоточные схемы. 3. В выборе устойчивой схемы интегрирования уравнений (1.6), (1.8) по времени. 4. Для решения нелинейных алгебраических уравнений ( N > 20000 ) необходимо использовать устойчивый численный метод. Для решения первой проблемы предложены конечно–элементные аппроксимации смешанного типа приводящие к удовлетворению LBB-условий:

sup υ ∈V

∫ q∇ ⋅ υdΩ

Ω

υ

1

∫ τ ∇ ⋅υdΩ

≥ β1 q 0 , sup Ω τ ∈T

τ

≥ β2 υ 0 ,

(1.9)

T

где β 1 > 0, β 2 > 0 – константы. Одна из аппроксимаций, удовлетворяющая (1.9), основана на четырехугольном изопараметрическом элементе второго порядка L9D4, где компоненты вектора скорости аппроксимируются полиномами Лагранжа второго порядка (в 9-ти узлах), давление в узлах интегрирования квадратурной формулы Гаусса (2×2) с использованием билинейного базиса, а компоненты тензора 59

напряжений τ аппроксимируются на 16-ти билинейных четырех-угольных изопараметрических элементах, включенных в L9D4-элемент. Для повышения устойчивости численного решения рассматриваемой задачи её можно свести к следующим смешанным формулировкам: а) EVSS-метод [2]. Найти ∑ h , u h , p h , e h , которые для всех весовых функций E h , s h ,υ h , q h , удовлетворяющих условиям (1.9), приводят к выполнению уравнений:

∂u h ρ υ ; + u h ⋅ ∇ u h − ∇ ⋅υ h ; ph + ∂t h

+ (∇υ h ) ; 2(η a + η 2 )e h + τ 1 T

− υ h ; f − ∫υ h ⋅ g d Г = 0 ,

h

Sτ

qh ;∇ ⋅ uh = 0, ∇

∇ h

s ; λ ∑ + Σ + 2η1 λ e h

h

где

h

(1.10)

(

= 0 , Е h ; 2е h − ∇u h + (∇u h )

Σ h = τ 1h − 2ηa e h , ηa = h

τ ij

max

ui

max

T

) = 0,

,

(1.11)

max

h – характерный размер конечного элемента, η a – параметр устойчивости решения задачи. h б) DEVSS-метод [2]. Найти D h , τ 1 , u h , p h , которые для всех весовых функций E h , s h ,υ h , q h , удовлетворяющих условиям (1.9), приводят к выполнению уравнений:

ρ υh;

+ (∇υ h ) ; 2η 2 (е h − D h ) + τ 1 T

q h ; ∇ ⋅ u h = 0, ∇ h

s ; λ τ 1 + τ 1 − 2η1e h = 0, h

h

E h ; e h − D h = 0, где e h =

1 2

(∇ u

h

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ h h − υ ; f − ∫ υ g d Г = 0 ,⎪ Sτ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

∂u h + u h ⋅ ∇ u h − ∇ ⋅υ h ; p h + ∂t

)

+ (∇ u h ) . T

h

(1.12)

в) DEVSS-G-метод. Найти G h , τ h , u h , p h , которые для всех весовых функций E h , s h , υ h , q h , удовлетворяющих условиям (1.9), приводят к выполнению уравнений: 60

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ − υ h ; f − ∫υ h ⋅ g d Г = 0 , ⎪ Sτ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ h h h h T − τ 1 ⋅ G − η1 G + (G ) = 0,⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

∂u h ρ υ ; + u h ⋅ ∇ u h − ∇ ⋅υ h ; p h + ∂t h

(

+ ∇ η (υ h ) ; ∇ u T

)

T

− G h + τ1

h

q h ; ∇ ⋅ u h = 0, ∂u h h h + u h ⋅ ∇τ 1 − G h ⋅ τ 1 s ; ∂t h

E h ; (∇u h ) − G h = 0. T

(

(1.13)

)

г) EEME-метод для установившегося течения жидкости Максвелла (UCM-модель). Изменение типа уравнений рассматриваемой краевой задачи (1.1)–(1.5) (из эллиптических в гиперболические) характеризуется тензором

χ = Deτ 1 + I − Re De uu

(1.14)

таким образом, что при det[ χ ] > 0 имеем уравнения смешанного типа эллиптически–гиперболические, а при det[ χ ] < 0 – гиперболические. В (1.14) I –

ρUL – число Рейнольдса, De = λγ& – число Деборы, η U , L – характерные скорость и размер области Ω , γ& – характерная скорость деформации. Идея ЕЕМЕ-метода основана на использовании тензора χ для

единичный тензор, Re =

уравнений движения (1.2). Так для верхней конвективной модели Максвелла (η e = 0) , представленной в виде

(

) (

)

τ 1 + De[u ⋅ ∇τ 1 − (∇u )T ⋅ τ 1 + τ 1 ⋅ ∇u ] = − ∇u + (∇u )T ,

(1.15)

с учетом несжимаемости ∇ ⋅ u = 0 они примут вид

∇ ⋅ [χ ⋅ (∇u )] + De (∇ u ) ⋅ (∇ ⋅ τ 1 ) + Re u ⋅ ∇u + ∇q = 0 ,

(1.16)

q – модифицированное давление, определяемое из уравнения q = p + De u ⋅ ∇p , De – число Деборы.

где

Для аппроксимации конвективных членов уравнений (1.2), (1.4) наиболее используемыми методами, приводящими к устойчивым численным решениям задачи, являются: SUPG-метод. Этот метод заключается в модификации весовых функций h υ и s h в виде

υ h = υ h + α u ⋅ ∇υ h ,

(1.17) 61

s h = s h + αu ⋅ ∇s h ,

(1.18)

где s h – весовые функции, состоящие из полиномов большего порядка, чем s h . В этом случае проекционно-сеточное уравнение, например (1.8), приобретает вид ∧h

∇ h 1

s + α u ⋅ ∇ s ; λτ + τ 1h − 2η1e h = 0 , h

где α = h / U , h – характерный размер конечного элемента, U – характерная скорость в области Ω . SU-метод. Этот метод является модификацией SUPG-метода и заключается в том, что весовая функция s (1.18) действует только на конвективный член ∇ h 1

s ; λτ + τ 1h − 2η1e h + kw ⋅ ∇sˆ; λ u h ⋅ ∇τ 1h = 0 , h

(

где k = uξ2 + uη2

)

12

r r r 2 , w = u (u ⋅ u ) .

DG-метод. Альтернативой SUPG и SU-методам является DG-метод. В этом методе тензор напряжений τ аппроксимируется на гранях двух соседних элементов по схеме ∇ h

s ; λτ + τ 1h − 2η1e h − ∑ ∫ s : u ⋅ n (τ 1 − τ 1ext )d Γ = 0 , in h

N

e =1 Γ

e

где n – единичный вектор внешней нормали на грани e -го конечного элемента, Γein – часть границы e -го элемента, где u ⋅ n < 0 , τ 1

ext

– значение тензора

напряжений τ 1 в соседнем противопоточном элементе. Численное решение нелинейных проекционно-сеточных уравнений для большинства краевых задач о движении вязкоупругой жидкости эффективнее проводить с использованием квазиньютоновского GMRES-метода Сада-Шульца (GMRES Generalized Minimal RESidual method). Кратко опишем его. Пусть нелинейная система проекционно-сеточных уравнений рассматриваемой задачи (1.1)–(1.5) имеет вид

F (u ) = 0 , u ∈ R N . В этом случае итерационную схему квазиньютоновского алгоритма можно представить

u n + 1 = u n − ( J n ) F (u n ) , −1

где J n – аппроксимация F ′(un )

62

F ′(u )υ ≅

F (u + δ υ ) − F (u ) ≡

δ

Dδ F (u,υ ).

Решение системы J υ = − F производим методом сопряженных градиентов

min r 0 − J (υ − υ 0 ) , r 0 = − F − J υ 0 , K n = S p {r 0 , J r 0 ,..., J n −1 r 0 } путем выполнеv∈K n

ния следующих вычислительных операций: 1. Вычисляем rn1 = − S −1 (Fn + J n u n ) , w1n = rn1 / rn1 , где Fn = F (un ) , J n (υ ) = Dδ F (un ;υ ) , S ∈ R N × R N – матрица предобусловливания. 2. Для j = 2,..., k вычисляем rnj , wnj j =1 rnj ⎡ j −1 n i ⎤ j rn = S ⎢ Dδ F ( un ; wn ` ) − ∑ hi , j −1wn ⎥ , wn = j , i =1 rn ⎣ ⎦ j

(

−1

где hin, j = wni T S −1 Dδ F u n ; wnj

).

3. Находим u n + 1 путем решения 2

k ⎡ ⎤ ( ) ( ) min S F υ ≅ min S ⎢ F un + ∑ a j Dδ F (un ; wnj )⎥ . a1 , a2 ,...,ak j =1 ⎣ ⎦ −8 −12 4. Проверяем условия сходимости F (un + 1 ) < ε , ε ≈ 10 − 10 , при выпол−1

2

−1

нении которого итерационный процесс прекращается. УДК 534.2

А.Н. Иванов, А.А. Кондратьев Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ФОРМИРОВАНИЕ СИГНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ В ОБРАЗЦЕ СЛОЕВ С НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫМИ ОТЛИЧИЯМИ ПО АКУСТИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ В работе приводится вывод формулы расчета амплитуды ультразвукового сигнала, прошедшего образец со слоистой структурой с учетом однократного переотражения.

Картина формирования сигнала представлена на рисунке. Луч 1 формирует n лучей отраженных «вверх», формирующих группу лучей u1верх и n лучей отраженных «вниз», формирующих группу лучей u1низ . В итоге луч 1 даст следующий вклад в выходной сигнал

u1 = u10 + u1верх + u1низ ,

63

⎛

n +1

⎞

⎛

n +1

⎞

⎝

l =1

⎠

⎝

l =1

⎠

где u10 = u0 W exp⎜ − нала; W =

∑ α l ∆xl ⎟ exp⎜ j ∑ k l ∆xl ⎟ ; u0 – амплитуда входного сиг-

n −1

∏ Wl l +1 , Wl l +1 – коэффициент прохождения границы между слоя-

l =1

ми l и l + 1 ;

u1верх

«вверх»; u1низ =

n

= ∑ uiверх , uiверх – вклад отражения луча 1 от i-го слоя 1 1 i =1

n

низ – вклад отражения луча 1 от i-го слоя «вниз»; ∑ uiниз 1 , u i1

i =1

⎛ i −1

i i ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ u iверх u W W V exp 2 x exp 2 j k x ∆ = − α ∆ ⎜ ⎟ ⎟B ; ⎟ ⎜ ⎜ ∑ ∑ ∏ + + + 0 l l 1 l 1 l i i 1 l l l l 1 ⎠ ⎠ ⎝ l =1 ⎝ l =1 ⎝ l =0 ⎠ W01 = W10 = 1 ; Vi i +1 – коэффициент отражения от границы раздела слоев i +1 и i ; ⎞ ⎛ n +1 ⎞ ⎛ n +1 W exp⎜ − ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ j ∑ k l ∆x l ⎟ n −1 ⎠ ⎝ l =1 ⎠ ⎝ l =1 B= ; W = ∏ Wl +1 l ; ⎛ n +1 ⎞ ⎛ n +1 ⎞ l =1 1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ l =1 ⎝ l =1 ⎠ ⎝ ⎠ n +1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n +1 ⎞⎛ n +1 u iниз u W W exp 2 x exp 2 j k x = − α ∆ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ l l ∑ l l ⎟⎜ ∏ Wl +1 l Wl l +1 ⎟ × 1 0 ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠⎝ l = i +1 l =1 ⎠ n + 1 n + 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ × Vi +1 i exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ ⋅ B. l = i +1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ l = i +1

u1верх uiниз

uiверх

Слой 1 Слой 2 Слой i − 1

Слой i

Слой n Слой n + 1

∆x1 ∆x 2

1

∆x i

∆x n

∆x n −1 Рисунок. Формирования сигнала

64

u1низ

Вклад луча m (um ) в формировании результирующего сигнала отличается от вклада луча 1 только ослаблением сигнала при переходах слоев, затуханием и набегам фаз. um можно представить в виде n +1 n +1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u m = (W W )m −1 exp⎜ − 2 m ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 jm ∑ k l ∆x l ⎟ u1 . l =1 l =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Окончательно результирующий сигнал можно представить в виде ∞ ∞ n +1 n +1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u = ∑ u m = u1 ∑ (W W )m −1 exp⎜ − 2 m ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 jm ∑ k l ∆x l ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m =1 l =1 m =1 l =1 1 = ⋅ u1 = ⎛ n +1 ⎞ ⎛ n +1 ⎞ 1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ l =1 ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠ 1 ⋅ u10 + u1верх + u1низ = = n 1 + + n 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ l =1 ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠ 1 × = n +1 ⎞ ⎛ n +1 ⎞ ⎛ 1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ l =1 l =1 + + n 1 n 1 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × ⎜⎜ u 0 W exp⎜ − ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ j ∑ k l ∆x l ⎟ + ⎠ ⎝ l =1 ⎠ ⎝ l =1 ⎝ n ⎧⎛ i −1 i i ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ + u0 ∑ ⎨⎜ ∏ Wl l +1Wl +1 l ⎟Vi i +1 exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟B ⎬ + i =1⎩⎝ l = 0 l =1 ⎠ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠ + n 1 + + n ⎧ n 1 n 1 ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎞ + u0 ∑ ⎨W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟⎜ ∏ Wl +1 l Wl l +1 ⎟ × ⎝ l =1 ⎠⎝ l = i +1 ⎝ ⎠ i =1⎩ l =1 ⎠ n +1 ⎛ ⎞ ⎛ n +1 ⎞ ⎫⎞ × Vi +1 i exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ ⋅ B ⎬ ⎟⎟ = ⎝ l = i +1 ⎠ ⎭⎠ ⎝ ⎠ l = i +1

(

)

65

u0 B

=

× n +1 ⎛ ⎞ ⎛ n +1 ⎞ 1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ l =1 l =1 + + n 1 n 1 ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × ⎨1 − W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ + l =1 ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠ ⎩ n ⎡⎛ i −1 i i ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ + ∑ ⎢⎜ ∏ Wl l +1Wl +1 l ⎟Vi i +1 exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟⎥ + ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠⎦ i =1⎣⎝ l = 0 l =1 ⎠ n +1 ⎞ ⎞ ⎛ n +1 ⎞ n ⎡⎛ n +1 ⎛ + W W exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟ ⋅ ∑ ⎢⎜ ∏ Wl +1 l Wl l +1 ⎟ × l =1 ⎝ ⎠ ⎝ l =1 ⎠ i =1⎣⎝ l = i +1 ⎠ n +1 ⎛ ⎞ ⎛ n +1 ⎞⎤ ⎫ × Vi +1 i ⋅ exp⎜ − 2 ∑ α l ∆x l ⎟ exp⎜ 2 j ∑ k l ∆x l ⎟⎥ ⎬. l = i +1 ⎝ ⎠ ⎝ l = i +1 ⎠⎦ ⎭ Параметры Vij , Wij рассчитываются по формулам

Vij = где Z =

Zi − Z j 2 Zi ; Wij = 1 − Vij = , Zi + Z j Zi + Z j

ρc – акустические импедансы слоев; ρ – плотность слоя; с – скоcos θ

рость звука. При нормальном падении волны импеданс рассчитывается по формуле Z = ρc . УДК 517. 944

Н.В. Кузнецов ДВО РАН ИПМ Владивосток, Россия

РАСШИРЕНИЕ СПИСКА УРАВНЕНИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ ФУНКЦИЮ РИМАНА МОЖНО ПОЛУЧИТЬ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ Приведены новые примеры уравнений, для которых функция Римана дается в явной форме.

§ 1. Первый пример. Одна из проблем теории автоморфных функций приводит к задаче Коши: найти решение u (ξ ,τ ; ϕ ) уравнения ∂ 2u (k − 1) − 1 / 4 ∂ 2u u − = , ξ > 0, τ ≥ 0, sh 2ξ ∂ξ 2 ∂τ 2 2

с начальными условиями 66

(1.1)

u (ξ ,0) = ϕ (ξ ),

∂u (ξ ,0) = 0, ∂τ

(1.2)

где ϕ – гладкая финитная функция и k > 3 / 2. Решение можно найти методом Римана (об этом методе см. [1], § 5 гл.V), поскольку удается найти явный вид функции Римана для уравнения (1.1). Этот явный вид содержится в препринте автора [2], но в журналах и сборниках не публиковался (и в справочниках его нет). Перед формулировкой результата сформулируем лемму, которая проверяется прямым дифференцированием. Лемма. Положим для x, ξ > 0 и τ ∈ R z (ξ , x;τ ) =

ch τ − ch( x − ξ ) ; 2sh x sh ξ

(1.3)

Тогда для z = z (ξ , x; t − τ ) справедливы уравнения ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ z (1 − z ) ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ z (1 − z ) ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ = − , ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = − , 2 sh ξ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂t ⎠ sh 2 x ⎝ ∂ξ ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ∂ 2 z ∂ 2 z 2z − 1 ∂ 2 z ∂ 2 z 2z − 1 − = 2 , − = . ∂ξ 2 ∂τ 2 sh ξ ∂x 2 ∂t 2 sh 2ξ 2

2

2

2

(1.4) (1.5)

Отметим, что для фиксированных ξ ,τ функция z (ξ , x; t − τ ) обращается в нуль на характеристиках x ± t = ξ ± τ ; для τ > ξ имеем z = 1, если x + t = τ − ξ . Прямым следствием леммы является Теорема 1. Определим функцию R(z ) равенствами R ( z ) = F (3 / 2 − k , k − 1 / 2; 1; z ),

R(z ) =

0 ≤ z < 1,

1 lim(F (3 / 2 − k , k − 1 / 2; 1; z + iε ) + F (3 / 2 − k , k − 1 / 2; 1; z − iε )), z > 1 2 ε →0

(1.6) (1.7)

(здесь через F обозначается как сама гипергеометрическая функция, так и ее продолжение). Тогда R(z (ξ , x; t − τ )) есть функция Римана для уравнения (1.1) и поэтому решение задачи Коши имеет вид ξ +τ

sh τ 1 1 1 u (ξ ,τ ; ϕ ) = ϕ (ξ + τ ) + ϕ (ξ − τ ) + ∫ R ' ( z (ξ , x; τ )) ϕ ( x )dx, 2 2 4 ξ −τ sh x sh ξ

(1.8)

если ξ ≥ τ ≥ 0 , а для случая τ ≥ ξ > 0 1 1 u (ξ ,τ ; ϕ ) = ϕ (ξ + τ ) + 2 4

где

∫

ξ +τ

sh τ ∫ R (z (ξ , x;τ )) sh x sh ξ ϕ (x )dx, '

(1.9)

0

означает интеграл в смысле главного значения.

67

⎛ τ −ξ −ε τ +ξ ⎞ ∫0 = lim ε →0 ⎜⎜ ∫0 + τ −ξ∫+ε ⎟⎟. ⎝ ⎠

ξ +τ

(1.10)

Действительно, в силу равенств (1.4) и (1.5) ⎛ ∂ 2 (k − 1)2 − 1 / 4 ∂ 2 ⎞ ⎜ 2 − − 2 ⎟⎟ R( z (ξ , x; t − τ )) = 2 ⎜ ∂x ∂t ⎠ sh x ⎝ d 1 2 − 2 z (1 − z )R " + (1 − 2 z )R ' + (n − 1) − 1 / 4 R }, ' = . dz sh x

(

{

)

(1.11)

При определении (1.6) и (1.7) обе части одновременно обращаются в нуль. Кроме того, на характеристиках x ± t = ξ ± τ z = 0 и R(z (ξ , x; t − τ )) = 1. Таким образом, R есть функция Римана, а равенства (1.8) и (1.9) получаются из общих формул, приведенных в [1]. § 2. Второй пример. Положим для ξ > 0, τ ∈ R τ 2 − ( x − ξ )2 v(ξ , x;τ ) = . 4x ξ

(2.1)

Тогда, если R(z ) определена равенствами (1.6), (1.7), то ~ R = R(v(ξ , x; t − τ ))

(2.2)

есть функция Римана для уравнения ∂ 2u ∂ 2 u (k − 1) − 1 / 4 − u = . ∂ξ 2 ξ2 ∂τ 2

(2.3)

Отметим, что этот пример замкнутой формы функции Римана в замкнутой форме нигде не опубликован. Формальное доказательство получается заменой в (1.1) ξ и τ на εξ и ετ и последующим предельным переходом ε → 0. В результате получаем, что z (εξ , εx; ετ ) = v(ξ , x;τ ) + ∂ (ε 2 ) ; это приводит к идее искать решение уравнения (2.3) ~ в виде R (v(ξ , x; t − τ )) . После этого прямым дифференцированием проверяется аналог уравнений (1.4), (1.5): ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ v(v − 1) ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ = , ξ2 ⎝ ∂ξ ⎠ ⎝ ∂τ ⎠ 2

2

∂ 2 v ∂ 2 v 2v − 1 − = . ξ2 ∂ξ 2 ∂τ 2

(2.4)

~

Поэтому R снова выражается через гипергеометрическую функцию и на ~ характеристиках R = 1. В заключение отметим, что в частном случае, когда k ≥ 2 в (1.1) целое, определение (1.7) для z > 1 сводится к равенству R(z ) = 68

Γ 2 (k − 1 / 2 ) − k +1 / 2 ⎛ 1⎞ z F ⎜ k − 1 / 2, k − 1 / 2; 2k − 1; ⎟ π Γ(2k − 1) z⎠ ⎝

(2.5)

Надо еще сказать, что, в отличие от [1], в «Математической энциклопедии» (том 4, с. 994) вместо «метод Римана" использовано название «метод Римана-Вольтерра». СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Р.Курант, Уравнения с частными производными, "Мир", Москва, 1964. 2. N.V.Kuznetsov, On the Lehmer-Serre conjecture, preprint MPI/91-9, Bonn.

УДК 532.5.031

О.П. Ткаченко Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

О СУЩЕСТВОВАНИИ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ТРУБОПРОВОДЕ Доказано, что в бесконечной цилиндрической трубе, заполненной идеальной жидкостью, могут возникать уединенные волны. Установлено расширение класса задач нелинейной гидродинамики, описываемых уравнением Кортевега-де Фриза. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00210) и Президиума ДВО РАН (грант № 06-III-A-01-001).

Введение. Задача о распространении гидроупругих колебаний в трубах давно привлекает внимание исследователей. Основополагающей работой в этой области принято считать [1]. Обширный список литературы по данной тематике есть в [2]. В [3] для слабых одномерных волн в смеси несжимаемой жидкости с пузырьками газа представлен теоретический метод волновой динамики, основанный на сведении анализа процесса к решению уравнений Буссинеска и Бюргерса – Кортевега-де Фриза. Наиболее логичным выглядит приложение этого метода к волнам в трубе с жесткими стенками. В [4] изучено распространение квазилинейных волн в изогнутом подземном трубопроводе. Нелинейным эффектам было уделено относительно мало внимания. В [5] исследовано нелинейное изгибание криволинейного трубопровода как оболочки во внешней вязкой среде. Внутренняя задача о распространении волн считалась решенной. В данной работе на основе модели несжимаемой жидкости, движущейся в полностью заполненной цилиндрической металлической трубе, и фундаментальных физических и математических фактов, изложенных в [1, 6], показано, как в такой системе может возникнуть уединенная волна скорости (солитон). Это возможно при условии взаимной компенсации нелинейности и дисперсии. 1. Уравнения движения жидкости и трубы Рассмотрим бесконечную металлическую цилиндрическую трубу радиусом R0 и толщиной δ , заполненную несжимаемой жидкостью плотностью ρ f . Влиянием силы тяжести и трением пренебрегаем. Введем цилиндрическую систему координат с осью Oz , направленной вдоль оси трубы, радиальной координатой R и угловой координатой θ . Обозначим единичные координатные векторы e z , er и eθ соответственно. 69

t0 в точке z0 = 0 возникает осесимметричное возмущение высотой a и длиной l , см. рис. 1. Уравнение срединной поверхности Пусть в момент времени

трубы имеет вид:

R = R0 + W ( z , t )

(1)

R R = R 0 + W(z,t)

n d

a l

R0

z 0

Рис. 1. Деформация стенки трубы под действием волны давления

В работе [1] выведена ключевая формула связи возникающего в трубе избыточного давления P = p − p0 с прогибом стенки W :

P=

Eδ W ( z, t ) , R02

(2)

E – модуль Юнга материала трубы. Далее мы изучаем возмущение движения жидкости, вызванное избыточным давлением (2). Пусть Φ – возмущенный потенциал скорости жидкости, тогда u = gradΦ – скорость возмущенного движения жидкости. Аналогично [6] введем следующие безразмерные величины:

где

R0 1 ⋅ Φ – безразмерный потенциал; a ϖ l2 R02 a ε = 2 2. Тогда Rν – обобщенное решение задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных принадлежит множеству W2,2ν + β / 2+1 (Ω, δ ) и имеет место ∗

∗

неравенство коэрцитивности uν ∗ ( x)

W2

2,ν ∗ + β / 2+1

( Ω ,δ )

≤ c10 f ( x)

L2,µ ( Ω ,δ )

,

где c10 – положительная постоянная, не зависящая от uν ( x) . ∗

77

3. Построение схемы МКЭ. Построим схему МКЭ, опираясь на определение Rν – обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных. С этой целью произведем квазиравномерную триангуляцию области Ω и введем специальную систему базисных функций. Впишем в область Ω многоугольную область Ω h . Проведем триангуляцию Ω h так, чтобы выполнялись следующие свойства: N

{K } = {K1 , K 2 ,..., K N } – множество

1. Многоугольная область Ω h = ∪ K i , где i =1

замкнутых треугольников, называемых конечными элементами, h – наибольшая из длин сторон треугольников K i , i = 1, N , ∂Ωh – граница области Ωh . 2. Общими для треугольников K i , i = 1, N , могут быть только стороны или вершины. 3. Все вершины треугольников K i , i = 1, N , расположенные на границе ∂Ω , принадлежат также ∂Ω h . Точки τ i , i = 1, n , являются подмножеством множества вершин треугольников, принадлежащих ∂Ω h . При этом один треугольник n

K i , i = 1, N , содержит не более одной из точек ∪τ i . Очевидно, что в этом случае i =1

h 0 , не зависит от h . Вершины Pi , i = 1, N h , треугольников K i , i = 1, N будем называть узлами триангуляции. Представим число N h в виде суммы: N h = N h + n + m , где N h – число узлов триангуляции, не принадлежащих ломанной ∂Ω h , а m – число узлов,

{ } n

принадлежащих ∂Ω h \ ∪τ i . i =1

Через Ω '' обозначим множество сегментов, образованных кусками границы ∂Ω и отрезками ломанной ∂Ω h , т.е. Ω '' = Ω \ Ω h . Из свойств триангуляции следует, что каждому сегменту принадлежит не более одной точки τ i , i = 1, n . Каждому узлу Pi , i = 1, N h , поставим в соответствие функцию ψ i ( x) = ρ − (ν

∗

+ β / 2 +1)

( x) ⋅ φi ( x), i = 1, N h , ⎧1, i = j при ⎩0, i ≠ j

где φi ( x) линейна на каждом треугольнике K i , i = 1, N , и ϕi ( Pj ) = ⎨ i, j = 1, N h .

78

Зададим на Ω h множество V h (Ω h ) как линейную оболочку, натянутую на систему базисных функций {ψ i ( x)}i =1 . Продолжим функции v h ∈ V h (Ω h ) на Ω '' тождественным нулем. Тем самым будет построено множество Nh

V h (Ω) = {v h ( x) ∈ V h (Ω h ), v h ( x) = 0, если x ∈ Ω '' } .

Очевидно, o 1

W

2,ν + β / 2

множество

V h (Ω)

является

подмножеством

множества

( Ω, δ ) .

Определение 3. Функцию uνh ( x) из множества V h (Ω) будем называть приближенным Rν – обобщенным решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (3), (4) по методу конечных элементов, если она удовлетворяет тождеству a ( uνh ( x), v h ( x) ) = l ( v h ( x) )

для любой функции v h ( x) из множества V h (Ω) . Приближенное решение будем искать в виде Nh

uν ( x) = ∑ ai ⋅ψ i ( x), h

i =1

ν ∗ + β / 2 +1

где ai = ρ ( Pi ) ⋅ bi . Коэффициенты ai определяются из системы линейных алгебраических

уравнений a ( uνh ,ψ i ) = l (ψ i ) , i = 1, N h .

4. Оценка скорости сходимости МКЭ во множестве W2,1ν

∗

+ β / 2 +1

(Ω, δ ) . Ис-

пользуя знание базисных функций {ψ i ( x)}i =1 , построим интерполянт uν , I ( x) , который в области Ωh определяется равенством Nh

Nh

uν , I ( x) = ∑ ρ ν

∗

+ β / 2 +1

i =1

( Pi ) ⋅ uν ( Pi ) ⋅ψ i ( x),

а в точках множества Ω '' тождественно равен нулю. Лемма. Пусть uν ( x) – Rν - обобщенное решение задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных и uνh ( x) - приближенное Rν - обобщенное решение по МКЭ. Тогда существует положительная постоянная c11 , не зависящая от множества V h (Ω) такая, что справедливо неравенство uν ( x) − uνh ( x)

W1

2,ν ∗ + β / 2

( Ω ,δ )

≤ c11 ⋅ inf uν ( x) − v h ( x) h h v ∈V

W1

2,ν ∗ + β / 2

( Ω ,δ )

.

Теорема 3. Если выполняются условия теоремы 2, тогда существует постоянная с12 , не зависящая от uν ( x), uνh ( x) и h такая, что для проведенной триангуляции области Ω имеет место оценка uν ( x) − uνh ( x)

W1

2,ν ∗ + β / 2+1

( Ω ,δ )

≤ c12 ⋅ h ⋅ f ( x)

L2,µ ( Ω ,δ )

.

79

ЛИТЕРАТУРА 1. Рукавишников В.А., Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 4. – С. 533-543.

УДК 519.6

Г.П. Кузнецова Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ИММУНОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Г.И. МАРЧУКА В КРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ В настоящей работе исследуется поведение решений модели Г.И. Марчука в условиях, когда доля пораженного органа достигает максимума и равна единице. В этом случае эквивалентность двух моделей исчезает.

Математическая модель иммунных заболеваний, полученная Г.И. Марчуком [2], представляет собой систему дифференциальных уравнений. Как было показано в [1] простейшая математическая модель, которая в начальный период заболевания задается системой четырех дифференциальных уравнений, эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению модели В.А. Костицына. Получившая международную известность и высокую оценку иммунологов за хорошее соответствие качественного описания модели и клинических исследований модель Г.И. Марчука представляется в виде системы четырех нелинейных дифференциальных уравнений (1)–(4): dV = ( β − γF )V , dt dC = αξ (m)V (t − τ ) F (t − τ ) − µ c (C − C ∗ ), dt dF = ρC − ( µ f + ηγV ) F , dt dm = σV − µ m m. dt

(1) (2) (3) (4)

Здесь V , F , C – соответственно концентрация вирусов, антител и плазмоклеток, C ∗ – уровень плазмоклеток в здоровом организме. Характеристикой поражения органа является величина m (доля поражения) m = 1−

M' , M

где M – масса всего органа; M ′ – его здоровая часть. Очевидно, что доля поражения органа 0 ≤ m ≤ 1. Все параметры модели положительны, а функция ξ (m) характеризует защитные свойства организма: ξ (m) ≡ 1 для m ≤ m∗ < 1 (начальный период заболевания) и для m ≥ m∗ линейно убывает от 1 до 0.

80

Будем считать, что t ≥ 0 и при t = 0 V (0) = V0 , C (0) = C0 ≥ C ∗ , m(0) = 0, F (0) = 0, причем V (t ) = 0, F (t ) = 0 для − τ ≤ t < 0. Основной результат данной работы заключается в выводе уравнения для функции V (t ) при условии, что ξ (m) ≡ 0. Теорема. Пусть существует такое t0 > 0 , что для t ≥ t0 функция ξ (m) ≡ 0 . Тогда для t ≥ t0 система уравнений (1)-(3) модели Марчука эквивалентна одному обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению (5): f " + µf f ' f + µf f '

= β − η ( f ' + µ f f )( f ' − βf + A(t )) .

(5)

При этом, если f является решением уравнения (5), то решение системы (1) –(3) дается равенствами (6) –(8): V = f ' + µf f , (6) F = η (V − ( β + µ f ) f ) + A(t )

(7)

C (t ) = C ∗ + (C (t0 ) − C ∗ )l − µ c (t − t 0 ) ,

(8)

где в формулах (5) и (7) A(t ) имеет вид A(t ) = l

µ f t0

ρC ∗ −µ ( F (t0 ) − ηV (t0 )) + (1 − l µf

f

(t −t 0 )

)+

ρ (C (t0 ) − C ∗ ) − µ (t − t ) − µ (t − t ) (l −l ). (9) µ f − µc Равенство (8) очевидно, потому, что при ξ (m) ≡ 0 уравнение (2) принимает вид (10) C ' = − µc (C − C ∗ ) и его можно проинтегрировать. Чтобы получить (6) и (7) сначала исключим из (1) и (3) члены с произведением FV. Для этого умножим (1) на η и вычтем из полученного равенства (3), получаем ηV ' − F ' = ηβV − ρC (t ) + µ f F . (11) +

Умножая (11) на l

µft

c

0

f

0

, придем к равенству (l

µft

µ t

F )' = ηl f l βt (Vl − βt )'+ ρC (t )l

µft

;

(12)

здесь C(t) известна и определяется равенством (8). Интегрируя (12) в преде−µ t лах от t0 до t и умножая затем на l , получим f

81

F (t ) − l

− µ f (t − t0 )

t

− η(β + µ f )∫ l

F (t0 ) = η (V (t ) − l

− µ f (t −t 0 )

t

− µ f (t − s )

V ( s )ds + ρ ∫ l

t0

V (t0 )) −

− µ f (t − s )

C ( s )ds

(13)

t0

Положим t

f (t ) = ∫ l

− µ f (t − s )

V ( s)ds. .

(14)

t0

После дифференцирования (14) по t , получим V (t ) = f ' + µ f f .

(15)

Это приводит к равенствам (6) и (7), а подстановка выражений для V и F в уравнение (1) даёт уравнение (5). Тем самым теорема доказана. Следствием из уравнения (5) является важное утверждение: существование стационарных решений для V(t) возможно даже при ξ (т) ≡ 0 , если С ∗ достаточно велико. Для доказательства сначала заметим, что при больших t ρC ∗ µ t (16) A(t ) ≈ A0 = l ( F (t0 ) − ηV (t0 )) + µf Если V (t ) → V∞ при t → ∞ , то из (14) получим f 0

f →

и уравнение (5) принимает вид 0=β +

1

µf

V∞

ηβ 2 V − ηV∞ A0 . µf ∞

(17)

(18)

ηµ f 2 A0 > 0 ,то уравнение (18) не имеет вещественных корней; ста4β ционарных состояний нет. 4β 2 Но если A02 > ,то уравнение (18) имеет по меньшей мере одно полоηµ f жительное решение V∞ . Это означает, что даже при полном поражении жизненно важного органа в организме (ξ (m) ≡ 0) не обязателен летальный исход, а возможен переход в хроническое состояние. Это можно ожидать, если уровень С ∗ плазмоклеток в начальный момент достаточно велик.

Если β −

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кузнецова Г.П. Прямые и обратные задачи для математических моделей биосистем с учетом последействия. Диссертация. – Хабаровск, 1988- 79с. 2. Марчук Г.И., Математические модели в иммунологии, Москва, «Наука»,1980.

82

УДК 519.632

Е.И. Рукавишникова Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

О СХОДИМОСТИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В данной работе для решения краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка со слабым вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области построен метод конечных элементов, сходящийся по норме весового пространства С.Л. Соболева.

1. Пусть Ω ⊂ R 2 – ограниченная область с дважды непрерывно дифференцируемой границей ∂Ω , Ω – замыкание области, т.е. Ω = Ω ∪ ∂Ω , ∂Ω ∈ C 2 . Введём весовое пространство С.Л. Соболева o

W

s 2,γ

(Ω ) = {u (x ) u (x ) ∈ W

s 2,γ

(Ω ), u (x ) = 0, x ∈ ∂Ω},

конечной нормой

u

W

s 2 ,γ

(Ω )

= u

L2 ( Ω )

+ uWs

2 ,γ

0 < s +γ − (Ω )

1 < s , s = 1,2 с 2

, 1

1 2

2 s ⎛ ⎞2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ u ∂ 2 γ 2 − ⎜ ⎟ dx ⎟ , ⎜ где u L (Ω ) = ⎜⎜ ∫ u (x ) dx ⎟⎟ , u W s (Ω ) = ∫ ρ (x ) ∑ s1 s2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ,γ 2 s = s1 + s 2 ⎝ ∂x 1 ∂x 2 ⎝Ω ⎠ ⎠ ⎝Ω ⎠ ρ (x ) – расстояние от любой точки x = (x1 , x 2 ) ∈ Ω до границы ∂Ω . Определим класс L2,−1−γ (Ω ) функций F (x ) , x ∈ Ω с конечной нормой

F

1 2

L2 , −1− γ (Ω )

⎛ ⎞ 1+ γ 2 dx ⎟⎟ . = ⎜⎜ ∫ F (x )ρ (x ) ⎝Ω ⎠

2. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения

−

2

∂ ⎛ ∂u (x ) ⎞ ⎜⎜ a kl (x ) ⎟⎟ + a(x )u (x ) = F (x ), x ∈ Ω x ∂ k ⎝ l ⎠

∑ ∂x

k ,l =1

с граничным условием Предположим, что

u (x ) = 0, x ∈ ∂Ω ∈ C 2 .

F (x ) ∈ L 2,−1−α (Ω ) , т.е. ρ (x )

1+α

F (x ) ∈ L2 (Ω ) ,

(1)

(2) (3)

⎛ 1 1⎞ ⎝ 2 2⎠

α ∈ ⎜ − , ⎟ , коэффициенты уравнения a kl (x ) = a lk (x ) , k , l = 1,2 – функции, дифференцируемые на Ω , удовлетворяют неравенствам

83

akl (x ) ≤ C0 ρ (x )

−2α

;

∂a kl (x ) ∂a kl (x ) − 2α −1 , ≤ C1 ρ ( x ) , ∂x 1 ∂x 2

(4)

функция a(x ) – положительная и подчиняется неравенству

a (x ) ≤ C 2 ρ (x )

−2α − 2

,

(5)

где C 0 , C1 , C 2 – константы, не зависящие от x , а также выполнено условие ультраэллиптичности 2

∑ akl (x )ξ k ξ l

≥

k ,l =1

ℵ

2

∑ξ ρ (x ) 2α

k =1

2 k

, x∈Ω

(6)

с константой ℵ > 0 , не зависящей от x и ξ = (ξ 1 , ξ 2 ) .

Поскольку по условию ∂Ω ∈ C 2 , то функция ρ (x ) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности границы ∂Ω . Считается, что она подправлена вне окрестности границы так, что ρ (x ) ∈ C 2 (Ω ) . Задача (1), (2) равносильна следующей вариационной задаче [1]: найти o

функцию u (x ) ∈ W

(Ω ), удовлетворяющую равенству E (u, v ) = (F , v ) o для любой функции v (x ) из W 12,α (Ω ) . Здесь

1 2,α

(7)

(F, v ) = ∫ F (x )v (x )dx , Ω

⎛ 2 ⎞ ∂u (x ) ∂v (x ) E (u, v ) = ∫ ⎜⎜ ∑ a kl (x ) + a(x )u (x )v (x )⎟⎟dx . ∂x k ∂x l ⎠ Ω ⎝ k ,l =1 o

o

Отметим, что билинейная форма E (u, v ) непрерывна на W 12,α (Ω ) и W 12,α (Ω ) – o

эллиптична, линейная форма (F, v ) непрерывна на W 12,α (Ω ) . В [1, 2] доказаны при сделанных предположениях (3)-(6) существование и единственность обобщённого решения задачи (1), (2) в классе o

W

2 2,α −1

o

(Ω ) ⊂ W 12,α (Ω ).

3. Построим схему метода конечных элементов (МКЭ). Полагая, что область определения решения Ω выпуклая, произведём её триангуляцию τ h . Для этого через точки, находящиеся от ∂Ω на расстояниях, r

δ ⎛j⎞ равных b⎜ ⎟ , j = 0,..., n; r > 1 ( b < Ω , δ Ω – диаметр вписанной в Ω окруж2 ⎝n⎠ ности, r – параметр сжатия, характеризующий степень сгущения точек) проводятся кривые Γ j , j = 0,..., n , разделяющие область Ω на слои Q j , j = 1,..., n . Линия Γn при этом делит Ω на две подобласти: внутреннюю и внешнюю (приграничную полосу). На каждой кривой Γ j ( j = 0,..., n ) фиксиру84

ются M j равноотстоящих узла. Число M j

ψ (j) =

lj r

⎛ j − 1⎞ ⎛j⎞ b⎜ ⎟ − b⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝n⎠

r

(j

= 1,..., n ) определяется функцией

+ 1 , где l j – длина j -ой кривой, M 0 = 2M 1 . Соедине-

нием сначала последовательно всех точек кривых Γ j ломаными линиями, а затем каждого из узлов, принадлежащих Γ j −1 , с ближайшей из узловых точек

= 1,..., n ) внешняя подобласть разбивается на элементы треугольного типа со сгущением к границе ∂Ω . Во внутренней подобласти провокривой Γ j

(j

дится квазиравномерная триангуляция, в результате которой имеем конечное число регулярных треугольников с наибольшей стороной порядка

1 . n

Полученное, таким образом, разбиение области Ω на элементы удовлетворяет следующим свойствам: 1. Ω = Ω h ∪ Ω ′ , где Ω h =

N

UK

m

, N – число треугольных элементов, Ω ′ –

m =1

объединение сегментов, отсекаемых треугольниками K m , хотя бы одна вершина которых принадлежит границе ∂Ω . 2. Общими для конечных элементов K m являются только стороны или вершины.

1 , где n – число слоёв в n

3. Наибольшая сторона h в K m имеет порядок приграничной полосе. 4. sup K ∈τ h

hmax (K ) ≤ σ , где σ не зависит от h . hmin (K )

Отметим также, что узловыми точками в τ h являются вершины T0 ,...,TN h треугольников K m . o

Обозначим через V h ⊂ W

1 2,α

(Ω )

пространство непрерывных функций, ли-

нейных на каждом K m из τ h и равных нулю на Ω \ Ω h . Для функции u (x ) из o

W

(Ω ) определим интерполянт

2 2,α −1

u I (x ) =

Nh

∑ u (T )ϕ (x ), где ϕ (x ) – базисная i =0

i

i

i

функция, равная в точке Ti единице, а в остальных узлах – нулю и линейная на каждом треугольнике K из τ h . o

Построенному конечномерному пространству V h ⊂ W 12,α (Ω ) сопоставим

следующую дискретную задачу: найти функцию u h (x ) из V h , удовлетворяющую равенству

85

E (u h , v h ) = (F , v h )

(8)

для любой функции v h (x ) из V h . Здесь E (u h , v h ) и (F , v h ) – билинейная и линейная формы из задачи (7). Из леммы Лакса-Мильграма [3] следует, что задача (8) имеет единственное решение u h (x ) , которое будем называть приближённым решением МКЭ. 4. Исследуем вопрос о сходимости метода конечных элементов по норме o

W 12,α (Ω ) . o

u I (x ) ∈ V h – интерполянт, построенный по проведённой триангуляции τ h области Ω , то Теорема 1. Если

u (x ) ∈ W

2 2,α −1

(Ω ) ,

lim u − u I h →0

o

W 12 ,α (Ω )

= 0.

На основании этой теоремы и неравенства

u − uh

o

W 12,α (Ω )

≤ C3 inf h u − v h v h ∈V

o

W 12 ,α (Ω )

с постоянной C 3 , не зависящей от V h , которое справедливо при наличии условий (4)-(6) на коэффициенты a kl (x ) = a lk (x ) (k , l = 1,2 ) и a(x ) > 0 уравнения (1), устанавливается основной результат. Теорема 2. Пусть коэффициенты a kl (x ) = a lk (x ) (k, l = 1,2 ) и a(x ) > 0 удов-

⎛ 1 1⎞ , ⎟ . То⎝ 2 2⎠

летворяют неравенствам (4)-(6), функция F (x ) ∈ L 2,−1−α (Ω ) , α ∈ ⎜ −

гда приближённое решение u h (x ) МКЭ сходится при h → 0 в пространстве o

W 12,α (Ω ) к обобщённому решению u (x ) задачи (1), (2). Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН (код проекта 06-III-A-01-001). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лизоркин, П.И. Эллиптическое уравнение с вырождением. Вариационный метод / Лизоркин П.И., Никольский С.М. // ДАН СССР. – 1981. – Т.257, №1. – С. 42-45. 2. Лизоркин, П.И. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений / Лизоркин П.И., Никольский С.М. // ДАН СССР. – 1981. – Т.257, №2. – С. 278-282. 3. Съярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Съярле. – М.: Мир, 1980. – 512 с.

86

УДК 517.518.85

Г.А. Ушакова Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ Кубические сплайны можно использовать при трассировании железных дорог, бикубические сплайны – при математическом моделировании рельефа местности

Пусть [a, b] ⊂ R, ∆: a = x1 < …< xm = b – сетка на [a, b], {P3(x)} – множество многочленов третьей степени, определенных на [a, b]. Тогда кубическим сплайном c узлами x1, x2, …, xm назовем функцию S(x), удовлетворяющую следующим двум свойствам: 1) S(x) ∈ {P3(x)} ∀ x ∈ [ xi, xi+1], i=1,…, m-1; 2) S(x) ∈ C2[a, b]. Геометрическая интерпретация: кубический сплайн состоит из арок много-

членов третьей степени гладко состыкованных в узлах {x i }2 . Гладкость заключается в непрерывности S(x), S’(x), S”(x). S’’’(x) в каждой точке xi, i=1,…, m может терпеть конечный разрыв. Кубический многозвенник можно представить различными способами [1, 2]: m −1

3

m

1) S(x) = ∑ α i x + ∑ β i (x − i

i =0

i =1

Здесь слагаемое

(x

)

x i 3+ , где

)

− x i 3+

⎧⎪(x − x i )3 , x ≥ x i , = ⎨ ⎪⎩ 0, x < xi .

m

3 ∑ β i (x − x i )+ нарушает непрерывность третьей произ-

i=1

водной в каждом узле (если β i ≠0); m+ 4

2) S(x) = ∑ c i M 4i (x), где M 4i (x) = D 4i , i =0

(

D 0j = x j − x

)+n −1 , j = i − n,..., i; D rj =

D r −1, j − D r −1, j−1 x j − x j− r

, j = i - n + r,..., i;

r = 1,2,..., n, m+4

3) S(x) = ∑ c i M 4i (x) , где M 4i (x) находятся из рекуррентного соотношеi =0

ния

M rj (x) =

(x − x j−r ) M r −1, j−1 + (x j − x ) M r −1, j x j − x j− r

, r = 2, ..., n;

j = i − n + r; i - n + r + 1, ..., i. ⎧⎪(x i − x i −1 )−1 , x ∈ [x i-1 , x i ), M1i = ⎨ ⎪⎩0, x ∉ [x i-1 , x i ) 87

В нашем случае полагаем n=4, поскольку рассматриваем кубические сплайны. Сплайны были введены Шёнбергом [3] в 1946 г. Он дал определение фундаментальных сплайнов, которые позже были названы базисными, или Всплайнами. Надо отметить, что полиномиальные сплайны первой степени (ломаные) с успехом применялись и применяются в качестве промежуточного приближения. Эта идея восходит к Лебегу, который использовал промежуточное приближение для доказательства теоремы Вейерштрасса о полноте множества алгебраических многочленов в пространстве С[0,1]. Однако внутренняя структура сплайнов оказалась хорошо замаскированной. Прошло более 10 лет прежде, чем было установлено первое их внутреннее свойство Холлидеем (1957 г.) [4]. Это свойство минимальной нормы. Публикации в отечественной литературе, касающиеся интерполирования кусочно-полиномиальными функциями относятся к 1969 г. Теорема Холлидея утверждает: если на плоскости xOy заданы точки (xi, yi) (i =1,…n), x1=a, xn=b, то среди всех функций f(x), имеющих на [a,b] непрерывные первую и вторую производные, и таких, что f(xi)= yi (i=1,…,n),кубический сплайн S(x) c точками соединения в xi, для которых S”(a) = S”(b)=0, минимиb

зирует функционал

2

∫ f" (x) dx . Можно говорить о минимизации функционала

a

2

∫ K(s) ds , где K(s) – кривизна кривой G.

G

Kубические сплайны достаточно просто позволяют разрешить такие проблемы, как интерполирование, решение задач краевой и Коши. Рассмотрим интерполирование. Когда возникает задача построения функции непрерывного аргумента по заданному дискретному набору значений, то при небольшом числе узлов удобно использовать интерполяционные многочлены. С увеличением числа узлов процедура интерполирования неустойчива: малые изменения значений функции в узлах вызывают большие изменения интерполяционного многочлена (коэффициентов). Таким образом, увеличение числа узлов, а значит и повышение степени многочлена, не всегда приводит к тому, что интерполяционный многочлен будет близок к искомой функции. Рассмотрим проблему интерполирования с помощью кубических сплайнов, которые сконструированы из кубических парабол и имеют непрерывные первую и вторую производные, третья же производная может претерпевать разрыв с конечным скачком в точках соединения. Предположим, [a, b] ⊂ R, ∆: a = x0 < x1 < …< xn = b – произвольная сетка на [a, b]. В узлах сетки известны значения функции y i = f(x i ), i = 0,1,..., n . Функцию f(x) будем искать в виде кубического сплайна S(x), удовлетворяющего условиям: 3 k (i ) 1. S(x) = P3i (x − x i ) = ∑ a k (x − x i ) ∀x ∈ [x i ; x i +1 ], i = 0,..., n - 1; k =0

2.

S(x) ∈ C [2a,b ] ;

3. S(x i ) = y i в узлах сетки {x i }0 ; n

88

(1)

и одному из дополнительных условий: 1) S' (x i ) = f' (x i ) , i = 0,…, n; 2) S" (x i ) = f" (x i ) , i = 0,…, n; 3) на одном из концов выполняется условие 1), а на другом – 2); 4) функция f(x) – периодическая с периодом T=b-a,следовательно, S(x) должна

быть

тоже

периодической,

а

это

значит

S' (x 0 ) = S' (x n ),

S" (x 0 ) = S" (x n ),

Заметим, что дополнительные условия типа 4) появляются в связи с тем, (i)

что неизвестных параметров a k (k = 0,1,2,3) − 4n, а число уравнений – 4n-2. Чтобы построить единственный кубический многозвенник, и вводят два дополнительных условия, исходя из условия задачи. Получим систему уравнений для определения коэффициентов полиномов (1). Во внутренних точках xi, i=1, …,n-1 из условия 2) имеем

⎧a (0i −1) + a 1(i −1) h i −1 + a (2i −1) h i2−1 + a 3(i −1) h 3i −1 = a (0i ) , (I) ⎪⎪ (i −1) + 2a (i −1) h + 3 a (i −1) h 2 = a (i ) , (II) ⎨a 1 i −1 i −1 2 3 1 ⎪ (i −1) (i −1) (i ) (III) ⎪⎩ a 2 + 3 a 3 h i −1 = a 2 ,

(2)

где hi-1=xi-xi-1. Преобразовывая уравнения (2) с учетом условия 3) интерполяционного (i)

(i)

сплайна, получим систему линейных уравнений относительно a 1 , либо a 2 , (i)

либо a 3 в зависимости от того, какие параметры исключаются. Рассмотрим один из случаев: систему линейных уравнений относительно

a (i) 2 . Из условия 3) ∀ i=0,1,…, n-1 имеем a (i) 0 = f(x i ) .

(3)

Из (2,III) выразим

a 3(i −1)

=

(i −1) a (i) 2 − a2

(i −1)

Из (2, I), (3), (4) найдем a 1

a 1(i −1) = −

(

3h i −1

, i = 1,..., n − 1.

(4)

:

(

)

f(x i ) − f(x i −1 ) h i −1 − 2a (i2 −1) + a (i) 2 = f(x i −1 ; x i ) − x i − x i −1 3

h i −1 2a (i2 −1) + a (i) 2 3

)

(5)

89

Из (2, II), получим

a 1(i) =

(

)

(

)

(

)

h i −1 f(x i ) − f(x i −1 ) h i −1 (i-1) (i-1) 2a (i) . (6) 2a (i) a f(x ; x ) − + = − i −1 i 2 2 2 + a2 3 x i − x i −1 3 (i)

Найдем a 1 из (5):

a 1(i) =

(

)

hi f(x i +1 ) − f(x i ) h i (i +1) (i +1) − + = − 2a (i) . (7) 2a (i) a f(x ; x ) i i +1 2 2 2 + a2 3 x i +1 − x i 3

Сравнивая (6) и (7), имеем

a (i2 +1)

h i −1 hi (i −1) + 2a (i) + = 3f(x i −1 ; x i ; x i +1 ) , a 2 2 h i + h i −1 h i + h i −1

(8)

где

f(x i −1 ; x i ; x i +1 ) =

f(x i ; x i +1 ) − f(x i −1 ; x i ) . x i +1 − x i −1

(9)

Таким образом, имеем (i +1) α i a (i2 −1) + 2a (i) = Fi +1 , i=1, 2, …, n-1, 2 + βia 2

(10) Здесь

αi =

hi h i −1 , α i + β i = 1, Fi +1 = 3f(x i −1 , x i , x i +1 ) . (11) , βi = h i + h i −1 h i + h i −1 (i)

Всего уравнений вида (10) – (n-1), а неизвестных a 2 – (n+1), следовательно, необходимо учесть граничные условия типа 4). Полученная система имеет трехдиагональную матрицу со строгим диагональным преобладанием. (i)

(i +1)

Решать ее целесообразно методом прогонки: a 2 = X i a 2 + Yi , i=0,1,…,n-1. Определяем коэффициенты Xi, Yi – прямая прогонка, а затем находим все (i) (i) (i) a (i) 2 , (i=0,1,…,n) – обратная прогонка. Зная a 2 , вычисляем a 1 , a 3 . Таким

образом, для каждого отрезка [x i ; x i +1 ] имеем набор коэффициентов a 0 , (i)

(i) a 1(i) , a (i) 2 , a 3 , которые однозначно определяют сплайн (1)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир, 1972. – 316 с. 2. С.Б.Стечкин, Ю.Н. Субботин. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Мир, 1976. – 284 с. 90

3. I.J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function. Quart. Appl. Math., 1946, 4 (pp 45-99, 112-141). 4. М.Б. Аксень, А.Х. Турецкий. Наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций. Весцi АН БССР, сер. физ.-матем., 1 (1966), 15-27.

УДК 517.958

В.И. Жукова Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ПЕРЕНОСА В данной работе исследуются спектральные свойства оператора переноса и выводится оценка резольвенты оператора.

В работе изучаются спектральные свойства оператора, возникающего в уравнении переноса нейтронов [1]. В двумерном случае этот оператор имеет вид: An(x, y; u,v) = a(u,v)

∂n(x, y; u,v) ∂n(x, y; u,v) + b(u,v) . ∂x ∂x

(1)

Здесь n(x, y; u, v) – функция распределения нейтронов; (x, y) ∈ R2 – пространственные координаты; (u, v) – точки единичного шара W (W – пространство всевозможных направлений движения нейтронов); a(u, v), b(u, v) – направляющие косинусы вектора (u, v)\ ∈ W. Все результаты данной работы доказаны для пространства C(W, C(R2)) непрерывных на W функций со значениями в банаховом пространстве C(R2) – равномерно непрерывных и ограниченных на R2 функций. Норма в этом пространстве задается формулой ⎛ ⎞ Φ(x, y; u,v) = max ⎜ sup Φ(x, y; u,v) ⎟ . (u,v) ⎝ (x, y) ⎠

(2)

Для неограниченного объема Rn, n ≥ 2 в настоящей работе показано, что оператор переноса является производящим оператором группы операторов класса (C0), а не полугруппы, как было установлено в работах [1-5] для ограниченного объема. Для исследования спектральных свойств оператора A (1) в пространстве С(W, C(R2)) построим его замыкание,так как в этом пространстве оператор A незамкнутый [6]. Определим оператор A в пространстве С(W, C(R2)) , исследуем его спектральные свойства и покажем, что он является замыканием оператора A. Для этого зададим параметрически произвольное направление в R2. ⎧ x = x1 + a ( u , v ) l , ⎪ ⎨ y = y1 + b( u , v ) l , ⎪− ∞ < l < ∞. ⎩

(3)

91

Здесь a(u, v), b(u, v) ∈C(W). Считаем, что функция Φ(x, y; u, v) имеет в точке (x, y)∈R2 производную по направлению, заданному (3), если существует предел Φ ( x + a ( u, v )h, y + b( u, v )h; u, v ) − Φ ( x , y; u, v ) dΦ ( x , y; u, v ) . = lim h→0 dl h

(4)

Определение 1. В область определения D( A ) оператора A включим

dΦ ( x , y; u, v ) ∈ С(W, C(R2)). Для dl dΦ ( x , y; u, v ) Φ(x,y;u,v) ∈ D( A ) положим A Φ(x,y;u,v) = . dl Для оператора A справедливы следующие спектральные свойства.

функции Φ(x,y;u,v) ∈ С(W, C(R2)) такие, что

Теорема 1. Точки λ, ⏐Re λ⏐ > 0 являются регулярными точками оператора A , заданного в определении 1, и для любой функции f(x, y; u, v) ∈ C(W, C(R2) его резольвента имеет вид: ⎧ ∞ − λs ⎪⎪ ∫0 e f ( x + a ( u, v ) s , y + b( u , v ) s ) ds, Re λ > 0, R (λ; A) f ( x , y; u , v ) = ⎨ 0 ⎪− e −λs f ( x + a (u , v ) s, y + b( u, v ) s ) ds , Re λ < 0. ⎪⎩ −∫∞

(5)

Доказательство формулы (5) следует из решения резольвентного уравнения

λФ –

dΦ =f. dl

Теорема 2. Пусть A – оператор, заданный в определении 1. Тогда для резольвенты оператора A в пространстве C(W, C(R2) справедливо R( λ; A)

C ( R2 )→C ( R2 )

≤

1 ; Re λ

Re λ > 0.

Re λ > 0. Из (5) имеем ∞

∞

0

0

( λI − A) −1 f ( x , y ) = ∫ e −λs f ( x + as, y + bs ) ds ≤ ∫ e − s Re λ f ( x + as, y + bs ) ds ≤ ∞

≤ sup f ( x , y ) ∫ e − s Re λ ds = ( x , y )∈R2

0

1 f ( x, y ) C ( R ) . 2 Re λ

Тогда ( λI − A) −1 f ( x , y )

C ( R2 )

= sup ( λI − A) −1 f ( x , y ) ≤ ( x , y ) ∈ R2

1 f ( x, y ) C ( R ) . 2 Re λ

Следовательно, ( λI − A) −1

92

C ( R2 )→C ( R2 )

≤

1 , Re λ > 0. Re λ

Аналогично доказывается для Re λ < 0. Таким образом, получили R( λ; A)

C ( R2 )→C ( R2 )

≤

1 ; Re λ

Re λ > 0.

Замечание 1. Так как в C(R2) существует резольвента оператора A при Re λ ≠ 0, то оператор A – замкнутый. Замечание 2. D( A ) плотно в C(W, C(R2). Это утверждение следует из того, что пространство C1(R2) плотно в пространстве C(R2), где C1(R2) – пространство функций Φ(x, y) ∈ C(R2) таких, что существуют ∂Φ ( x , y ) ∂Φ ( x , y ) ∈ C ( R2 ) и ∈ C ( R2 ) . ∂x ∂y

Известно, что если Φ(x, y) ∈ C(R2), то ∂Φ ( x , y ) ∂Φ ( x , y ) ∂Φ ( x , y ) =a +b , ∂l ∂x ∂y

a, b – направляющие косинусы направления l (3). Поэтому D( A ) плотно в C(R2), так как C1(R2) ⊆ D( A ) ⊂ C(R2) Теорема 3. Пусть A – оператор, заданный в определении 1. Тогда оператор A является производящим оператором сильно непрерывной группы операторов. Доказательство. Из замечаний 1 и 2, теоремы 2 следует, что для оператора A выполняются все условия теоремы Хилле–Иосиды [7], согласно которой оператор A является производящим оператором сильно непрерывной группы операторов в пространстве C(W, C(R2)). Теорема 4. Пусть A оператор, заданный в определении 1. Тогда вся мнимая ось комплексной плоскости есть точечный спектр оператора A . Каждая точка точечного спектра имеет континуальную кратность. Доказательство. Покажем, что λ = iβ, β ∈ R являются собственными значениями оператора A , т.е. уравнение λ Φ ( x , y; u , v ) −

∂Φ ( x, y u, v ) =0 ∂x

(6)

имеет в C(W, C(R2) ненулевые решения при λ = iβ, β ∈ R. Покажем, что решение (6) имеет вид ⎛ ⎛ x y ⎞⎞ Φ ( x , y; u, v ) = exp⎜⎜ λ⎜ α + (1 − α ) ⎟ ⎟⎟ , a ( u , v ) b ( u , v ) ⎠⎠ ⎝ ⎝

(7)

0 ≤ α ≤ 1; α ∈ R .

Действительно, при λ = iβ, β ∈ R имеем Φ(x, y;u,v) ∈ C(W, C1(R2). Найдем

93

⎛ ⎛ ∂Φ ( x , y; u, v ) 1 x y ⎞⎞ exp⎜⎜ λ ⎜ α + (1 − α ) = a ( u, v )λα ⎟⎟ + ∂l a (u, v ) b( u, v ) ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ a (u, v ) + b( u, v )λ (1 − α )

⎛ ⎛ 1 x y ⎞⎞ exp⎜⎜ λ ⎜ α + (1 − α ) ⎟⎟ = b( u, v ) b( u, v ) ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ a (u, v )

⎛ ⎛ x y ⎞⎞ λ exp⎜⎜ λ⎜ α + (1 − α ) ⎟⎟ . b( u, v ) ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ a (u, v )

Следовательно, ∂Φ ( x , y; u, v ) = λ Φ ( x , y; u , v ) . ∂l

(8)

Из (8) следует, что (7) есть отличное от нуля решение (6). Таким образом, λ = iβ, β ∈ R, есть точечный спектр оператора A . Покажем, что при различных α соответствующие им решения (7) будут линейно независимые. Пусть α1 ≠ α2, тогда линейная комбинация с1Ф(x, y, α1)+с2Ф(x, y, α2) = 0, с1, с2 ∈ R только при условии c1 = 0 и c2 = 0. Действительно, предполагая обратное, например, c1 ≠ 0, приходим к противоречию с2 = с2(x, y) , т.е. с2 ∉ R. Следовательно, c1 = 0, тогда из линейной комбинации следует, что и c2 = 0, т.к. Ф(x, y, α2) ≠ 0. Таким образом, кратность каждого собственного значения не меньше континуальной т.к. α имеет мощность континуума. Теорема 4 доказана. Определим незамкнутый в C(W, C(R2) оператор переноса A. Определение 2. В область определения D(A) оператора A включим функции Φ(x, y;u,v) ∈ C(W, C1(R2). Для Φ(x, y;u,v) ∈ D(A), справедливо (1). Тогда для Замечание 3. Легко показать, что D(A) ⊂ D( A ). Ф(x, y) ∈ D(A) ⇒ A Ф(x, y) = AФ(x, y). Таким образом, оператор A есть замкнутое расширение незамкнутого оператора A. Теорема 5. Пусть A и А операторы, заданные в определении 1 и 2 соответственно. Тогда A есть замыкание A. Доказательство этого утверждения основано на понятии наименьшего замкнутого расширения. Пусть оператор B допускает замкнутое расширение, тогда наименьшее замкнутое расширение B – замыкание оператора B в [8] определяется следующим образом: пусть любая последовательность функций un(x, y) ∈ D(B) такая, что un(x, y) → u(x, y), Bun(x, y) → ψ(x, y), тогда полагаем B u(x, y) = ψ(x, y), u(x, y) ∈ D(B). Покажем, что оператор A есть наименьшее замкнутое расширение оператора A. Обозначим через M множество функций fn(x, y), таких, что Φn(x, y) ∈ D(A), где ⎧ ∞ −λ s ⎪⎪ ∫0 e f n ( x + as , y + bs ) ds, Re λ > 0, Φ n ( x, y ) = ⎨ 0 ⎪− e −λs f ( x + as, y + bs ) ds , Re λ < 0. n ⎪⎩ −∫∞

94

Очевидно C1(R) ⊆ M ⊂ C(R2), т.е. M плотно в C(R2) (см замечание 2). Следовательно fn(x,y) → f(x,y), f(x,y) ∈ C(R2). Тогда можно перейти к пределу под знаком интеграла, например, для случая Re λ > 0: ∞

∞

0

0

− λs Φ n ( x , y ) = ∫ e −λs f n ( x + as, y + bs ) ds ⎯n⎯ ⎯ f ( x + as, y + bs ) ds = Φ ( x , y ) →∞ → ∫ e

(aналогично для Re λ < 0). Таким образом, Фn(x, y) → Ф(x, y), где Φ(x, y) ∈ D( A ), если f(x,y) ∈ C(R2). Так как все функции Φn(x, y) ∈ D(A) ⊂ D( A ), то они удовлетворяют уравнению (6), которое согласно определению 1 и замечанию 3 можно записать в виде: AФn(x, y) = λФn(x, y) – fn(x, y), fn(x, y) ∈ M. Перейдем к пределу, получим AФn(x, y) → λФ(x, y) – f(x, y) = ψ(x, y).

(9)

Но для Φ(x, y) ∈ D( A ) из уравнения (6), определения 1 и (9) следует A Ф(x, y) = λФ(x, y) – f(x, y) = ψ(x, y).

Таким образом, показали, что для любой последовательности Φn(x, y) ∈ D(A) такой, что Фn(x, y) → Ф(x, y), AФ(x, y) → ψ(x, y) следует Φ(x, y) ∈ D( A ) и A Ф(x, y) = ψ(x, y). Следовательно A есть замыкание A. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М: Атомиздат. 1973. -375 с. 2. Lehner J., Wing G. On the spectrum of an unsymmetric operator arising in transport theory of neytrons // Comm. Pure Appl. Math. 1955. V. 8. P. 217-234. 3. Lehner J., Wing G. Solution of the linearized Boltzmann equation for the slab geometry // Dukem. Math. J. 1956. V. 23. P. 125-142. 4. Винг Дж. М. Кинетическая теория и спектральные проблемы // Теория ядерных реакторовю Под ред. Г. Биркхофа, Э. Вигнераю М., 1963. С. 160. 5. Шихов С.Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора // Ж. вычисл. математики и матем. физ. 1967. Т. 7. №1. С. 113-127. 6. Жукова В.И. Спектральные свойства оператора переноса. Труды всероссийской научно-практической конференции. Т. 5. Чита. 2000. С. 170-174. 7. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. // М.: ИЛ. 1962. -829с. 8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. -624с.

95

УДК 517.929

Э.Д. Кононенко Дальневосточный государственный университет путей сообщения Хабаровск, Россия

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В данной работе рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с несколькими старшими членами. Рассмотрено обобщенное решение этой задачи (в смысле работ Г.А. Каменского и А.Д. Мышкиса). Решение произведено приближенным методом коллокации. В качестве решения выбран кортеж полиномов с Чебышевскими узлами интерполяции

Система с распределенными параметрами может быть приближенно представлена системой с сосредоченными параметрами. Для одномерного упругого тела, сводимого к трем сосредоточенным точкам x, x + 1, x − 1 , подпружиненного в точке X, может быть использовано, в частном случае, уравнение

2 y′′( x) + y′′( x + 1) + y′′( x − 1) + y ( x) = r ( x) ; x ∈ [ 0;3] y ( x) = 0 при x ≤ 0 и при x ≥ 3 ,

(1) (2)

⎧1 2 3 ⎪ 4 x − 4 x + 1, x ∈ [0;1] ⎪ ⎪1 x ∈ [1;2] где r ( x ) = ⎨ , 2 ⎪ ⎪1 2 3 ⎪⎩ 4 x − 4 x + 1, x ∈ [2;3] Здесь всюду y′′( x) – кривизна, y ( x) -перемещение, r ( x) – внешнее моментное воздействие в точке x . В точках υ0 = 0, υ1 = 1, υ2 = 2, υ3 = 3 возможен разрыв первой производной. Данная краевая задача в классе обобщенных решений (См.[1]) эквивалентна краевой задаче для уравнения x 1⎡ ⎤ 13 13 y′( x) = ⎢ − y′( x − 1) − y′( x + 1) + ∫ y ( s ) ds + ∫ y′( x −1) dx + ∫ y ′( x +1) dx ⎥ + 30 30 2⎣ 0 ⎦ 13 x x ∈ [0; 3] + ∫ dx ∫ y ( s ) ds + f ( x ), 60 0

при краевом условии (2), где

96

(3)

1 3 3 2 x 23 ⎧ 0 = f ( x ) x − x + − , x ∈ [0;1] ⎪ 24 16 2 48 ⎪ 1 9 ⎪ x ∈[1;2] f ( x) = ⎨ f 1 ( x) = x − , 4 24 ⎪ 1 3 3 2 x 11 ⎪ 2 f ( x ) x − x + − , x ∈ [2;3] = ⎪ 24 16 2 24 ⎩ x

С помощью замены y′( x) = z ( x); y ( x) = ∫ z ( s ) ds , сведем задачу (3), (2) к урав0

{

}

нению в пространстве Е, причем z ( x) = z 0 ( x ), z1 ( x ), z 2 ( x) , где Е – банохово пространство кортежей кусочно непрерывных функций с фиксированными точками υ0 = 0, υ1 = 1, υ2 = 2, υ3 = 3 возможных разрывов первого рода z ( x) . x t 1⎡ ⎤ 13 13 z ( x) ⎢ − z ( x − 1) − z ( x + 1) − ∫ dt ∫ z ( s ) ds + ∫ z ( x +1) dx + ∫ z ( x −1) dx ⎥ + 30 30 2⎣ 0 0 ⎦ 13 x t + ∫ dx ∫ dt ∫ z ( s ) ds + f ( x ), 60 0 0

где

z ( x) = 0 при x 3.

(4)

(5)

В работе [2] задача (4), (5) решалась методом Бубнова-Галеркина. В данной работе будем её решать методом коллокации. Пусть приближенное решение системы (4), (5) zn = zn0 , z1n , zn2 – кортеж полиномов на ⎡⎣ υ j , υ j +1 ⎤⎦ , j = 0,1,2 с коорди-

{

}

натной системой ϕkj ( x) = x k

(k = 0,1,...n) при x ∈ ⎡⎣ υ j , υ j +1 ⎤⎦ .

За узлы интерполяции выберем Чебышевские узлы

xknj =

υ j +1 + υ j 2

−

υ j +1 − υ j 2

cos

2k + 1 π 2n + 1

( k = 0,1,...n;

j = 0,1, 2 ) .

Тогда n n ⎧ n ⎫ zn = yn′ ( x) = ⎨ ∑ ξ0k xk ; ∑ ξ1k x k ; ∑ ξ2k xk ⎬ , k =0 k =0 ⎩k =0 ⎭ 0 1⎤ 0 k +1 −1)ξ1 − 2k +1 ξ 2 ⎤ ⎫ ⎡ ⎡ ⎧⎪ n x k +1 n ⎢ 1 x k +1 ξk −ξk ⎥ n ⎢ 2 x k +1 ξk + (2 0 k k ⎥⎪ . ; ∑ ξ + ; ∑ ξ + yn ( x ) = ⎨ ∑ ξ k k k ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬ k +1 k = 0 k +1 k +1 k +1 k +1 = 0 = 0 k k ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎭ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎩⎪

Коэффициенты ξ kj (k = 0,1,...., n; j = 0,1,2) находятся из линейной системы алгебраических уравнений.

97

⎡ ( x0 )k + 2 ⎤ 2 n 0 )k − 3k +17 k + 25 ⎥ in ∑ ξ2 ⎢ + ( xin k 6( k +1)( k + 2)( k + 3) ⎥ k = 0 ⎢⎣ 2( k +1)( k + 2) ⎦ ⎡ ( x0 +1)k ⎤ n 2k (5k 2 + 29 k + 50) − (4 k 2 + 22 k + 31) ⎥ + ∑ ξ1 ⎢ in − + k ⎥ 2 6( k +1)( k + 2)( k + 3) k = 0 ⎢⎣ ⎦ n ⎡ 3k (3k 2 +15 k + 45) − 2k (3k 2 +19 k + 38) ⎤ 1 0 3 3 0 2 1 0 23 ⎥= + ∑ ξ2 ⎢ − ( xin ) − ( xin ) + xin − k⎢ 24 16 2 48 k + k + k + 6( 1)( 2)( 3) k =0 ⎣ ⎦⎥ ⎡ ( x1 −1)k x1 −1 ⎤ n 3k 2 +14 k +16 ⎥ ∑ ξ0 ⎢ in + in − + k 2 2( k +1) 6( k +1)( k + 2)( k + 3) ⎥ k = 0 ⎢⎣ ⎦ ⎡ ( x1 )k + 2 ⎤ n x1 2k (5 k 2 + 29 k + 50) − (7 k 2 + 37 k + 49) ⎥ in + ∑ ξ1 ⎢ + ( x1in )k − in − + k ⎥ 2( k +1) 6( k +1)( k + 2)( k + 3) k = 0 ⎢⎣ 2( k +1)( k + 2) ⎦ ⎡ ( x1 +1)k k ⎤ n 3 3 (3k 2 +15k + 45) − 2k (3k 2 +19 k + 38) ⎥ 1 1 + ∑ ξ2 ⎢ in − = x − in k⎢ 8 ⎥ 4 6( k +1)( k + 2)( k + 3) 2 k =0 ⎣ ⎦ ⎡ x2 − 2 ⎤ n k +2 ⎥+ ∑ ξ0 ⎢ in + k k = 0 ⎢⎣ 2( k +1) 6( k +1)( k + 2)( k + 3) ⎥⎦ ⎡ ( x 2 −1)k ⎤ n 2k +1 −1 2 2k (11k 2 + 59 k +86) − (7 k 2 + 37 k + 49) ⎥ 1 ∑ + ξ ⎢ in + + ( xin −1) − k ⎥ 2 2( k +1) 6( k +1)( k + 2)( k + 3) k = 0 ⎢⎣ ⎦ ⎡ ( x 2 )k + 2 k +1 k 2 2 k k +1 ⎤ n 2 2 )k − 2 2 − 3 ( k +15 k + 45) − 2 (3k +19 k + 38) + 2 in ⎥= + ∑ ξ ⎢ + ( xin xin k 2( k +1) 6( k +1)( k + 2)( k + 3) k +2 ⎥ k = 0 ⎢⎣ 2( k +1)( k + 2) ⎦ =

1 2 3 3 2 2 1 2 11 (x ) − (x ) + x − 24 in 16 in 2 in 24

(i = 0,1,..., n)

Вычисления производились при n = 2 . Получены следующие результаты

{

}

ξ = ξ00 ; ξ10 ; ξ02 ; ξ10 ; ξ11; ξ12 ; ξ02 ; ξ12 ; ξ 22 = ⎧0.066987;0.500000;0.933013;1.066987;1.500000;⎫ =⎨ ⎬ ⎩1.933013;2.066987;2.000000;2.933013 ⎭ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами. Дифференциальные уравнения, т.10, №3, 1974. стр. 409-418 2. Кононенко Э.Д. Применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевой задачи для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Проблемы теоретической и прикладной математики. Сборник научных трудов. ДВГУПС, 2006. стр.32-35.

98

УДК 330.43

Е.Д. Николаева Сахалинский институт железнодорожного транспортафилиал Дальневосточного государственного университета путей сообщения Южно-Сахалинск, Россия

СОВРЕМЕННЫЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В работе проанализированы и предложены эконометрические методы статистических испытаний. Также в работе рассмотрен метод имитации Монте-Карло, изучено его пошаговое использование.

Эконометрика – наука методическая, посвящена методам, которые могут применяться в различных предметных областях. Массовое внедрение программных продуктов, включающих современные эконометрические инструменты анализа конкретных экономических данных, можно рассматривать как один из эффективных способов ускорения научнотехнического прогресса. Многие эконометрические информационные технологии опираются на использование методов статистических испытаний. Этот термин применяется для обозначения компьютерных технологий. Необходимость в методе статистических испытаний возникает потому, что чисто теоретические методы лишь в исключительных случаях дают точное решение. Не только в эконометрических задачах обработки статистических данных возникает необходимость в методе статистических испытаний. Она не менее актуальна и при технико-математическом моделировании экономических и торговых процессов. Методы статистических испытаний стали развиваться после Второй Мировой войны с появлением компьютеров. Второе название – методы МонтеКарло – они получили по наиболее известному городу, где в игорном доме играют на рулетке, поскольку исходный материал для получения случайных чисел с произвольным распределением- это случайные натуральные числа. В методах статистических испытаний можно выделить две составляющие. База – датчики случайных чисел. Результатом работы таких датчиков являются последовательности чисел, которые обладают некоторыми свойствами последовательностей случайных величин. Настройкой служат различные алгоритмы, использующие последовательности псевдослучайных чисел. За последние 50 лет обсуждались в основном три принципиально разных варианта получения последовательностей чисел, которые в дальнейшем использовались в методах статистических испытаний. Первый – таблица случайных чисел. К сожалению, объем любой таблицы конечен, и сколько-нибудь сложные расчеты с ее помощью невозможны. Второй – физические датчики случайных чисел. Основной недостаток- нестабильность, непредсказуемые отклонения от заданного распределения. Третий – расчетный. В простейшем случае каждый следующий член последовательности рассчитывается по предыдущему. 99

В настоящее время применяется именно третий вариант. Совершенно ясно, что он не соответствует интуитивному представлению о случайности. В центре любого эконометрического анализа лежит модель. В общем смысле, модель – это создаваемый с целью получения и хранения информации специфический объект, который отражает свойства, характеристики и связи объекта-оригинала. Согласно академику РАН Н.Н. Моисееву, имитационная система – это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. При имитационном моделировании часто используется метод статистических испытаний. Имитационное моделирование по методу Монте-Карло позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров. Применение метода имитации Монте-Карло требует использования специальных математических пакетов, в то время, как метод сценариев может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора. Программный пакет Risk-Master позволяет в диалоговом режиме осуществить процедуру подготовки информации к анализу рисков инвестиционного проекта по методу Монте-Карло и провести сами расчеты. Первый шаг при применении метода имитации состоит в определении функции распределения каждой переменной, которая оказывает влияние на формирование потока наличности. Для этого необходимо определить математическое ожидание и дисперсию. Как только функция распределения будет определена, можно применять процедуру Монте-Карло. Шаг 1. Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности. Шаг 2. На ряду со значениями переменных, которые являются экзогенными, выбранное значение случайной величины используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта. Шаг 1 и 2 повторяются большое количество раз, и полученные значения чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением. Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта и затем оценить индивидуальный риск проекта. Теперь необходимо определить минимальное и максимальное значения критической переменной. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. И через единственную итерацию расчетов мы получим однозначно определенный результат. В рамках модели анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель. 100

Проведение расчетных итераций является полностью компьютизированной частью анализа рисков проекта. 200–500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. Завершающая стадия анализа проектных рисков – интерпретация результатов, собранных в процессе имитационных расчетов. Результаты анализа рисков можно представить в виде профиля рисков. На нем графически показывается вероятность каждого возможного случая. Метод Монте-Карло также используется для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (биологических, экономических, автоматического управления и т.д.). Метод Монте-Карло широко используется для оценки качества функционирования систем массового обслуживания (СМО). Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входящего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований). Для решения задачи статистического моделирования функционирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные: • описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы системы); • параметры закона распределения периодичности поступления требований в систему; • параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием); • параметры закона распределения времени обслуживания требований в системе. Решение задачи статистического моделирования функционирования СМО складывается из следующих этапов. 1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число ξi. 2. Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения: • интервал времени между поступлениями требований в систему (∆tTi); • время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной очереди); • длительность времени обслуживания требования каналами (∆tOi). 3. Определяют моменты наступления событий: • поступление требования на обслуживание; • уход требования из очереди; • окончание обслуживания требования в каналах системы. 4. Моделируют функционирование СМО в целом и накапливают статистические данные о процессе обслуживания. 5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным. 6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математической статистики. 101

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирования СМО с отказами. Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с отказами, причем моменты времени окончания обслуживания на первом канале обозначим через t1i, на втором канале – через t2i. Закон распределения интервала времени между смежными поступающими требованиями задан плотностью распределения f1(tT). Продолжительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f2(t0). Процедура решения задачи будет выглядеть следующим образом: 1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число ξi. 2. Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулу. Определяют реализацию случайного интервала времени (∆tTi) между поступлениями требований в систему. 3. Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание: ti=ti-1+∆tTi. 4. Сравнивают моменты окончания обслуживания предыдущих заявок на первом t1(i-1) и на втором t2(i-1) каналах. 5. Сравнивают момент поступления заявки ti с минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что t1(i-1)30 с. Наиболее перспективным способом интенсификации рабочих органов заглаживающих машин в том числе и брусовых является использование вибрации. 2. Брусовой рабочий орган конструкции авторов не передает вредное вибрационное воздействие на портал машины и конструкцию рабочего органа. 3. Брусовой рабочий орган для обеспечения качественной обработки смесей умеренной и средней жесткости, должен иметь частоту колебаний в диапазоне 50–100 Гц. 4. В наибольшей степени качество обработки бетонной поверхности зависит от ее эффективной вязкости. 5. Другие параметры процесса заглаживания должны иметь следующие значения: частота вращения приводного вала n = 5 об/с; радиус кривошипа R = 40–60 мм; давление на обрабатываемую смесь ∆P = 2.5 кПа .

148

УДК 656.00

С.В. Елисеев, Р.Ю. Упырь, А.О. Московских Иркутский государственный университет путей сообщения Иркутск, Россия

ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕДАЧИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕПНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Авторами рассматривается задача передачи возмущения в линейной системе при возмущении в виде начального смещения. Исходная система представляет собой линейную систему в абсолютной системе координат и состоит из масс, соединенных между собой пружинами. Рассмотрены продольные перемещения в цепных структурах в виде одиночной волны и группового перемещения волн, характер взаимодействия между элементами системы, ввиду его значительного влияния на процесс перемещения возмущения в данных структурах.

І. Рассмотрим задачу передачи возмущения механического воздействия (волны) в линейной системе при возмущении в виде начального смещения. Исходную схему можно представить цепочной линейной механической системой в абсолютной системе координат, состоящей из пяти масс, соединенных между собой пружинами, закрепленными также в точках А и В (рис. 1) с неподвижной базой z

c1

x1

x2

(1)

(2)

m1

c2

m2

x3

x4

(3)

c3

m3

x5

(4)

c4

m4

А

z1

(5)

c5

m5

c6 В

Рис. 1. Линейная цепочная система

При изучении особенностей системы и определении в ней движения «распространения» или «передачи сообщения», то целесообразно сделать ряд предположений: 1. В момент t = 0 будем полагать, что через основание А, либо через смещение точки (1) в систему вводится начальное возмущение X 10 (например, точка 1 отводиться влево на величину X 10 ). 2. После того, как пружина с жёсткостью С1 окажется отпущенной, будем полагать, что массы m2 , m3 , m 4 , m5 «как бы » приобретают нулевое значение и выполняют функцию только связующих точек в последовательном соединении звеньев. Согласно начальным условиям масса m1 начинает движение вправо, проходит положение равновесия и перемещается на величину X 10 вправо, а затем начинает возвращаться к положению равновесия. При этом, в отношении системы со многими степенями свободы, делается предположение о том, что жесткость левой пружины “как бы реализуется” в полной мере, а с правой стороны имеется цепочка из масс и пружин, однако, правая часть реагирует как 5 149

последовательно соединённых пружин. Такое предположение вполне приемлемо, если полагать, что возмущение не приходит во все точки сразу, а «распространяется». Тогда окажется, что при движении вправо за счет начального возмущения X 10 , нужно рассмотреть массу m1 , с левой стороны у которой расположена пружина с жесткостью С1 , и с правой стороны, где находятся последовательно соединенные 5 пружин С 2 ÷ С 6 . Если принять эти предположения, которые носят достаточно реальный характер, то можно предложить в связи с этим определенную последовательность решения задачи, которая более подробно рассмотрена в работе [1] . Общее время движения (передачи возмущения в цепочке из масс m1 ÷ m5 ) определиться через сумму полупериодов Т общ =

1 (T1 + T2 + T3 + T4 + T5 ) 2

(1)

или

.

(2)

Если система из n степеней свободы, то при отсутствии сил сопротивления и сделанных предположениях, общее время распространения волны будет соответствовать сумме n полупериодов

Тобщ

1 ( 2

Ti

1 2

2 С1

| пр1

С m1

....

2 n-1 пр

С

mn

Сn

.

(3)

Последний объект в данной системе переместиться на величину X max , при достижении которого скорость последнего элемента mn будет равна 0. Если же скорость определять по перемещению какой-либо точки, взятой для фиксации движения в виде метки (или заметной точки), то скорость передачи воздействия будет зависеть от того, какое расстояние будет заложено между этими массами, на котором пружина может обжаться полностью. Длина обжатой пружины, как «паразитирующий» фактор, входит в величину смещения относительно неподвижной системы координат, то есть скорость распростране150

ния «возмущения» относительно наблюдателя будет зависеть от суммарной длины «паразитных» участков. Средняя скорость распространения «возмущения», очевидно, будет определяться как Vср =

2X 0 . Т общ

(4)

Для данной системы (рис. 3) эта формула имеет вид 2 X0

Vср 1 С1

| Спр1 m1

1 || Спр

1 ||| Спр

Спр

m2

1 Спр

С пр

m3

1 Спр

m4

Спр С6 m5

.

(5)

То есть, чем больше X 0 , тем больше скорость распространения возмущения. На рис. 2 представлен график изменения времени прохождения возмущения в зависимости от изменения жесткостей пружин, входящих в систему.

20 10 Из

ме

не

ни

еж

ес

0 т ко

сти

с1

с2

с3

с4

с5

Время прохождения возмущения

30

с6

Рис. 2. График изменения времени прохождения возмущения в зависимости от изменения жесткостей пружин, входящих в систему

ІІ. Если один конец пружины жестко закрепить и в эту систему привнести некоторое внешнее возмущение, большее в несколько раз, чем X 10 , то произойдет смещение нескольких витков, как показано на рис. 3, а. В конечном итоге сформируется своеобразный комплект, состоящий из нескольких витков пружины (условно назовем его «пакетом»). В следующий момент времени пакет начнет перемещаться вдоль тела пружины (рис. 3, б) и можно наблюдать одиночную уединенную волну, состоящую из нескольких витков пружины и распространяющуюся вдоль тела пружины. Характер формирования пакета и перемещения его вдоль тела пружины носит весьма сложный характер. Для рассмотрения данного вида движения сделаем ряд предположений. 151

Рис. 3. Формирование и перемещение «пакета»

Пусть при начале движении пакета происходит следующее: с левой стороны при отделении витков от пакета (отталкивание массы от этого пакета) выброс массы носит реактивный характер, а с правой стороны осуществляется присоединение витков и возникает неупругий удар с коэффициентом восстановления скорости, равном нулю. Для обеспечения постоянства пакета и скорости движения предположим, необходимо, что скорость, получаемая пакетом за счет реактивной потери массы m1 , будет равна потере скорости, возникающей из-за соударения с массой m 2 . Используя теорему импульса силы и произведя некоторые преобразования, более подробно рассмотренные в [2], получим некоторые соотношения. Скорость, получаемая пакетом за счет реактивной потери массы m1 , будет равна V0 =

M0 с1 . × ( h2 − h1 ) × m1 M 0 − m1

(6)

Суммарная скорость движения пакета будет определяться выражением: V = V н + V0 = V н +

M0 с1 . × (h2 − h1 ) × m1 M 0 − m1

(7)

Определим потерю скорости, возникающую вследствие соударения пакета c массой m 2 . После некоторых преобразований конечная формула будет выглядеть следующим образом VП = V ×

( M 0 − m1 ) , ( M 0 − m1 ) + m 2

(8)

где V – скорость движения пакета до соударения с массой m2 . Для того чтобы средняя скорость движения пакета оставалась постоянной, должно выполняться следующее условие M0 ( M 0 − m1 ) с1 . × (h2 − h1 ) × =V × M 0 − m1 ( M 0 − m1 ) + m 2 m1

152

(9)

Таким образом, скорость, получаемая пакетом за счет реактивной потери массы m1 , должна равняться потери скорости, возникающей вследствие неупругого соударения пакета c массой m 2 . Причем, потеря скорости, возникающая в следствии соударения пакета c массой m2 , существенно зависит от скорости движения пакета V . Конечная скорость движения пакета будет определяться формулой V К = V н + V0 − V П = V н +

( M 0 − m1 ) M0 с1 . × (h2 − h1 ) × −V × ( M 0 − m1 ) + m2 M 0 − m1 m1

(10)

Приведем некоторые графические зависимости, характеризующие поведение пакета при изменении параметров данной системы (табл. 1). Таблица 1 Характеристики системы

ІІІ. Заключение 1. Скорость передачи возмущения, зависит от упругих свойств системы, точнее от количества элементов и их собственных частот. При этом во внимание должны быть приняты конструктивные особенности сжатых пружин (степень их обжатия). Величина же выходного смещения определяется величиной начального смещения с учетом упругих свойств цепочной системы. 153

2. В рамках сделанных предположений, можно говорить о том, что время распространения смещения зависит от размерности самой системы, чем больше элементов, тем больше время передачи «сообщения». 3. В системах данного типа, состоящих из n-степеней свободы, при одинаковых массах и жесткостях пружин возможно формирование пакета с последующим движением с постоянной скоростью (это подтверждается экспериментом). 4. Скорость реактивного движения зависит от параметров элементов, входящих в данную систему. При этом существует определенное значение n – набора числа элементов, дальнейшее увеличение которого не приводит к адекватному росту параметров движения. По данным примера такое значение n соответствует приблизительно 20 виткам. 5. Начальная скорость движения данного пакета будет оказывать существенное воздействие на параметры движения самого пакета. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. Об одном подходе определения скорости передачи возмущения в линейных цепных структурах // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС. – 2006. – № 12. – С. 70-77. 2. Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. Особенности волновых процессов в упругих механических цепных системах // Вестник Норильского Индустриального института. – Норильск, 2007. – Вып. 1. – С. 45-57.

УДК 693.546.4

С.В. Белокобыльский, В.Б. Кошуба Иркутский государственный университет путей сообщения Иркутск, Россия

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ МАШИН ДЛЯ ЗАГЛАЖИВАНИЯ БЕТОННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ При наложении вибраций на рабочий орган заглаживающего устройства в виде вращающегося диска решение, как правило, выбирается с учетом большего качества заглаживания поверхности. Показано, что наложение возвратно-поступательных вибраций на движение диска не дает особых преимуществ. Предлагаемый подход в математическом моделировании взаимодействия может быть распространен на другие виды вибраций.

Для обработки бетонных поверхностей с целью получения требуемой шероховатости используются заглаживающие машины с рабочими органами в виде бруса, валка, диска, ленты или их комбинации. Область применения машин зависит от состава бетонных смесей, требуемого качества поверхности, производительности работ, а также технологии производства на данном предприятии. Дисковый рабочий орган заглаживающей машины является наиболее распространенным в различных областях строительства и имеет ряд преимуществ: ввиду большой заглаживающей способности обрабатывает поверхности изделий, отформованные из всех видов строительных материалов, до высокого класса шероховатости ( 4 Ш − R П = 0,3 ÷ 0, 6 мм ); имеет возможность обработки изделий 154

сложной конфигурации в плане с выходом на поверхности закладных и монтажных деталей; имеет простую конструкцию и удобен в эксплуатации. Большинство машин с дисковыми рабочими органами производят заглаживание без применения вибрации или же с применением вибрационного воздействия, но преимущественно с горизонтально направленными колебаниями. Отсутствие дисковых заглаживающих машин с вертикально направленными колебаниями определило направление исследований: изучение влияния вертикальных вибраций на процессы, происходящие в обрабатываемой среде, и разработка научно обоснованных методов для проектирования таких рабочих органов. Использование вибрационного воздействия приведёт к повышению прочности поверхностного слоя бетона, процесс заглаживания проходит интенсивней, и, как следствие, поверхность изготавливаемых изделий получает улучшенные физико-механические характеристики [1]. Создание высокоэффективных вибрационных дисковых заглаживающих машин, позволяющих повысить качество железобетонных изделий, снизить затраты на строительство и увеличить срок его службы, является важной и актуальной задачей, делающей моделирование режимов работы необходимым условием оценки степени рациональности в выборе конструктивного решения и технологических режимов. I. Проведем изучение особенностей взаимодействия диска с бетонной поверхностью. Движение материала под рабочим органом (рис. 1) рассматривается как комбинация двух типов течений. Первое из них – это течение в градиентном слое, образующееся под действием вращения и поступательного перемещения диска в силу сцепления его с материалом. При этом направление скоростей движения частиц этого слоя, увлекаемых дисковым рабочим органом, совпадает с направлением движения рабочего органа. Второе – это течение материала в плоской щели под воздействием колебаний рабочего органа в вертикальном направлении. Оно аналогично движению жидкости, находящейся между двумя пластинами, при их сближении; в этом случае материал как бы выдавливается во все стороны. Введём систему координат Oxyz с началом на оси вращения диска таким образом, чтобы ось Ох была направлена по поступательной скорости диска, а ось Оу направлена вертикально вниз; ось Oz образует с ними правую тройку. В плоскости Oxz введём ещё полярную систему координат, причём за полярную ось, от которой ведётся отсчёт полярного угла ϕ примем ось Ох.

155

Рис. 1. Рабочий орган и система координат для расчетов параметров движения

Зависимость касательного напряжения от скорости деформации принимаn

⎛ dv ⎞ ем в форме: τ = k ⎜ ⎟ , где k и n – реологические константы, а τ и ν – компо⎝ dy ⎠

ненты тензора напряжений и вектора скорости соответственно. Принимая распределение скоростей в градиентном слое, удовлетворяющим уровням ∂P dτ yx ∂P dτ yz − = = ;− и переходя к полярным координатам в плоскости Охz, ∂x

dy

∂z

dy

получим при начальных условиях vr = 0, vϕ = 0 ⎫ ⎪ dvϕ dvr ⎬ при y = y0 = 0, = 0⎪ dy dy ⎭

систему уравнений 1

n +1 ⎛ ∂P 1 ⎞ n n vr = ⎜ ( y0 − y ) n ; ⎟ ⎝ ∂r k ⎠ n + 1 1

n +1 ⎛ ∂P 1 ⎞ n n vϕ = ⎜ ( y0 − y ) n . ⎟ ⎝ ∂ϕ kr ⎠ n + 1

(1)

Здесь y0 – толщина градиентного слоя, переменная по r и ϕ. Скорости эти при y=0 достигают на поверхности диска максимальных значений, откуда общее распределение скоростей в градиентном слое для потока первого типа определится соотношением: v1 = v

2 r max

v

v

+ vϕ max 2

⎛ y⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ y0 ⎠

n +1 n

.

(2)

Величины r max и ϕ max представляют собой скорости соответствующих точек диска и могут быть представлены в виде

156

vr max = v3 cos ϕ , vϕ max = rω Д − v3 sin ϕ ,

(3)

vr2max + vϕ2 max = r 2ω Д2 + v32 − 2 rω Д v3 sin ϕ ,

где v3 – скорость поступательного перемещения диска, а ω Д – угловая скорость диска. Из выражений (2), (3), обозначая ⎧ r 2ω 2 + v 2 − 2rω v ⎫ ⎪ ⎪ Д 3 Д 3 A=k⎨ sin ϕ ⎬ y0 ⎩⎪ ⎭⎪

n −1

,

(4)

найдем выражение для вязкости ⎛

η = A ⎜1 − ⎝

y⎞ ⎟ y0 ⎠

n −1 n

.

(5)

В этом случае ⎛ y⎞ τ = A ⎜1 − ⎟ ⎝ y0 ⎠

n −1 n

dv2 dy

(6)

и для потока второго типа получим dv2 r ⎛ y⎞ = ⎜1 − ⎟ dy ⎝ y0 ⎠

1− n n

dP вy0 − y ⋅ dr A .

(7)

Здесь в y0 – значение координаты y, при которой радиальная составляющая скорости потока второго типа достигает максимума. Учитывая, что v2r =0 при

b = n ( n + 1) . Таким образом, y=0 и при y = y0 , находим v2 r =

n +1 1 ∂P y02 n ⎡ ⎤ n − (1 − y y ) n y y 1 − ( ) 0 0 ⎢ ⎥⎦ , ∂r A n + 1 ⎣

(8)

при этом 1

2

v2 r max

∂P y02 ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ n = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂r A ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠ .

(9) Введя обозначение

B=

1 n

n ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ n + 1 ⎝ n + 1 ⎠ , находим

v2 r = v2 r max

1 n

1⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎜1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ B ⎝ y0 ⎠ ⎝ y0 ⎠

n +1 n

,

(10)

а суммарная радиальная компонента скорости потока материала под диском составляет 157

vrобщ

⎛ y⎞ = v3 cos ϕ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎝ y0 ⎠

n +1 n

+ vr max

1 n +1 ⎡ ⎤ 1 ⎢⎛ y ⎞n ⎛ y⎞n ⎥ ⎜1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ B ⎢⎝ y0 ⎠ ⎝ y0 ⎠ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ .

(11)

Заметим, что в силу симметрии окружная составляющая скорости потока второго типа равна нулю. Расход материала под диском можно определить выражением Qr =

y0 2π

∫

∫ v2r max (ϕ )

0 0

1 n +1 1⎡ ⎤ n − (1 − y y ) n 1 y y − ( ) 0 0 ⎢ ⎥⎦ dϕ dy B⎣ .

(13)

В этом случае удельный расход набегающего потока будет равен Q = υ3 ⋅ h,

(13)

где υ3 – скорость поступательного движения рабочего органа (скорость заглаживания), h – средняя толщина градиентного слоя. Сопоставляя выражения (12) и (13), можно получить условие, выполнение которого позволяет обеспечить неразрывность потока материала в пограничном слое и, тем самым, процесс бездефектного заглаживания: 0.95υ3 h Qr =

y0 2π

∫

∫ v2r max (ϕ )

0 0

1 n +1 1⎡ ⎤ n − (1 − y y ) n 1 y y − ( ) 0 0 ⎢ ⎥⎦ dϕ dy 1.05υ3 h . B⎣

(14)

По данным исследований [1] , [ 2] для жестких мелкозернистых бетонных смесей, заглаживание которых осуществляется дисковыми рабочими органами, величина h может быть принята равной 0,005…0,025 м. II. Определим заглаживающую способность дискового рабочего органа Sд как длину следа, оставленного некоторой точкой М заглаживаемой поверхности на поверхности рабочего органа (РО). В дальнейшем используются следующие обозначения: R – радиус РО; V3 – линейная скорость центра РО, V3∗ = = V3/R – приведенная скорость центра РО; Vд – линейная скорость края РО во вращательном движении; ω – собственная угловая скорость диска РО. Построение следа произвольной точки М на поверхности РО эквивалентно перепроектированию точки М из неподвижной системы координат в систему, жёстко связанную с диском РО. Рассмотрим две системы координат: неподвижную Ox( 0) y ( 0) и подвижную с началом в центре диска О1, связанную с диском О1х(1)у(1) (рис. 2). Если координаты точки М в неподвижной системе координат суть xM( 0) = x0 , yM( 0) = y0

, то в подвижной системе координат координаты этой точки оп-

ределятся:

xM(1) = (x0 − xO(01) )cos ϕ + ( y0 − yO(01) )sin ϕ ;

y M(1) = −(x0 − xO(01) )sin ϕ + (y0 − yO(01) )cos ϕ

(15) Здесь xO1 , yO1 координаты точки O1, центра РО, в неподвижной системе, а φ – угол поворота подвижной системы относительно неподвижной. (0 )

158

(0 )

Рис. 2. Системы координат для определения параметров следа

Рассмотрим более сложное движение дискового РО, при котором он, кроме вращательного вокруг центра диска и поступательного вдоль оси Ох (0) ,совершает ещё гармонические колебания в направлении оси Oy(0). В этом случае yO0 1 = a sin vt , a уравнения (15) записываются в форме: xM(1) = ( x0 − Vз t ) cos ωt + ( y0 − a sin vt ) sin ωt ;

y M(1) = −( x0 − Vз t ) sin ωt + ( y0 − a sin vt ) cos ωt .

(16)

След, оставленный на совершающем такое движение диском РО, изображён на рис. 3. При построении графика было принято: Vз* = 1c −1 , y0* = −0,5 , a * =

a = 0,1 , ω = 8c −1 и v = 50с −1 . R

На рис. 3 представлена графическая картина взаимодействия: кривая 1 – контур дискового РО, кривая 2 – след, оставленный на диске точкой М, А и С – точки начала и конца траектории. Поскольку dxM(1) = [( y0 − a sin vt )ω − Vз ] cos ωt − [( x0 − Vз t )ω + av cos vt ]sin ωt ; dt

dyM(1) = −[( y0 − a sin vt )ω − Vз ]sin ωt − [( x0 − Vз t )ω + av cos vt] cosωt , dt то T

S ДВП = ∫

0

[( y0 − a sin vt )ω − Vз ]2 + [(x0 − Vз t )ω + av cos vt ]2 dt .

(17)

159

1

2 т.А

т.В

Рис. 3. След, оставленный на колеблющемся дисковом рабочем органе точкой M

а

б

Рис. 4. Зависимость приведенной заглаживающей способности РО, совершающего колебательное движение, от приведенной координаты точки М; здесь (Y0,V,a,v) – приведенная заглаживающая способность; Y0 – приведенная координата точки М; V=l – приведенная скорость центра диска; а = 0,005 (рис. 4, а) и а=0,01 (рис. 4,б) – приведенная амплитуда колебаний диска; v – частота колебаний диска (500 и 250 1/с)

160

Определение площади контакта по (17) не сводится к элементарным функциям, но его численное определение не вызывает затруднений. При достаточно малых а* пределы интегрирования, принятые нами в выражении (17), хотя и не точны, но на точности определения заглаживающей способности сказываются мало. На рис. 4, а, б приведены графики зависимости приведённой заглаживающей способности S ДВП* = S ДВП / R от приведённой координаты точки М y 0* при Vз* = 1c −1 ; ω = 250c −1 ; а*=0,005 и а*=0,01. Для сравнения в том же масштабе при-

веден график зависимости S *Д ( y0* ) в отсутствие колебательного движения. Из графиков следует, что даже при сравнительно большой амплитуде и высокой частоте колебаний ( v = 500c −1 ) выигрыш в заглаживающей способности не превышает 20 %. При а = 0,01 м и при v = 500c −1 максимальное ускорение составляет 2500 м/с2, т.е. более 250g. При снижении частоты колебаний ( v = 250c −1 ) и амплитуды колебаний до 0,005 м выигрыш в заглаживающей способности становится несущественным, а амплитуда ускорения составляет 312,5 м/с2. В случае больших амплитуд возвратно-поступательного движения ошибка при определении заглаживающей способности по формуле (17) становится недопустимо большой. В этом случае можно пользоваться соотношением S ДВП = ∫

t∈Θ

[( y0 − a sin vt )ω − Vз ]2 + [(x0 − Vз t )ω + av cos vt ]2 dt ,

(18)

где Θ – множество моментов времени контакта точки М с дисковым РО. Для того чтобы определить такой интеграл, построим функцию ⎧⎪1, если( xM(1) ) 2 + ( yM(1) ) 2 ≤ R 2 ⎪⎩0, если( xM(1) ) 2 + ( yM(1) ) 2 > R 2

η (t ) = ⎨

(19)

Теперь уравнение (18) можно записать в виде: ∞

S

ВП Д

=

∫ [( y

− a sin vt )ω − Vз ] + [( x0 − Vз t )ω + av cos vt ] η (t )dt . 2

0

2

(20)

−∞

При численном определении этого интеграла нижний предел можно положить равным 0, а верхний равным T=

2

(R + a )2 − y02 Vз

.

(21)

Результаты вычислений по формуле (20) и сопоставление результатов по степени заглаживания показали, что введение дополнительного возвратнопоступательного движения к имеющемуся вращательному не дает заметного увеличения заглаживающих способностей, но серьезным образом усложняет конструкцию. Хотя автором не учтен ряд особенностей контакта, заключающихся в возможном наложении упругих колебаний корпуса рабочего органа, однако, математическое моделирование, в целом, обеспечивает вполне определенную базу для сравнения возможных технологических приемов заглаживания. 161

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Герасимов С.Н. Определение рациональных параметров и режимов работы вибрационного дискового рабочего органа для обработки бетонных поверхностей // Автореф. Кандидатской диссертации. ХабГТУ. – Хабаровск, 2003. – 23 с. 2. Мамаев А.А., Зайцев А.И., Кононов А.А., Герасимов С.Н. Процессы взаимодействия рабочего органа машин с упругой средой //механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия. Материалы международного научного симпозиума. – Орел. орелГТУ. 2000. С.90-94.

УДК 656.001

А.П. Хоменко, Н.В. Банина, Д.Н. Насников Иркутский государственный университет путей сообщения Иркутск, Россия

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЯЗИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ На основе анализа постановок задач виброзащиты и виброизоляции и методов их решения, предложен подход к исследованию задач динамики машин, основанный на структурных методах и введении дополнительных обратных связей в базовую расчетную схему, позволяющую учитывать взаимодействие между отдельными элементами машин. Разработана классификация возможных физических реализаций дополнительных связей, определены две основные формы реализации – в виде кинематических цепей (механизмов) и колебательных структур.

В последнее время для анализа колебательных процессов в динамических системах наряду с частотными, матричными методами, методами теории оптимального управления, методом диакоптики получили широкое развитие и применение структурные методы [1]. Представление исследуемой системы в виде структурной схемы эквивалентной системы автоматического регулирования дает возможность использовать ее для анализа методов теории автоматического управления. Особое значение такой подход имеет при проектировании активных виброзащитных систем, так как он позволяет применить математический аппарат теории автоматического управления для синтеза цепей активных связей из условий заданных показателей качества и требований, предъявляемых к виброзащитной системе. Соответствие расчетных схем в виде механических колебательных систем и структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении САУ, можно проследить на рис. 1. Введение дополнительных связей предполагает изменение структуры системы. Так, введение в структурную схему системы согласно законам преобразования структурных схем тех или иных звеньев – усилительных, дифференцирующих, соответствует тому, что в расчетной схеме – механической колебательной системе – появятся пружины и демпферы, определенным образом соединенные между собой. Используя понятие передаточной функции, можно построить новый класс колебательных механических систем, выходящих за рамки классического набора механических элементов [2].

162

Дополнительные связи физически реализуются в виде различных механизмов, представляющих собой механические цепи, состоящие из звеньев (твердых тел), соединённых кинематическими парами. Изучение процессов передачи внешних воздействий к объекту, сопоставление результатов теоретических расчетов и экспериментов показывает необходимость учета упругих свойств локальных мест опирания, что вовлекает в динамический процесс приведенные массы основания. а

б

Рис. 1. Схемы активной виброзащитной системы: а – принципиальная расчетная схема; б – эквивалентная структурная схема. ДСВ – датчик силового воздействия; ДКВ – датчик кинематического воздействия; L – механизм преобразования движения; ИУ – исполнительное устройство

В такой ситуации расчетная схема на рис. 1, а естественным образом превращается в систему с двумя степенями свободы, то есть между исполнительным устройством ИУ (рис. 1, а) и основанием, а также объектом защиты – появляются упругие связи. Особенность такого подхода позволяет ввести в рассмотрение динамические процессы взаимодействия инерционных элементов. При этом спектр динамических свойств колебательной системы существенно расширяется, в том числе, благодаря возможностям, приобретенным при введении дополнительных связей. Усложнение расчетных схем с дополнительными связями показано на рис. 2. Авторами предлагается классификация расчетных схем, в основе которых лежит колебательная механическая система с двумя степенями свободы, а одним из классификационных признаков является характер взаимодействия между инерционными элементами системы, формы физической реализации этих связей (табл. 1). Структурные методы позволяют получать эффективные результаты в задачах моделирования цепочных структур (механических цепей). Построение таких структур позволяет подойти к решению более сложных задач в области динамики транспортных систем, в частности, это относится к динамике подвижного состава. Структуры цепочного вида приводят к достаточно сложным расчетным схемам, которые используются в строительной механике, динамике инженерно-технических сооружений. При определенных условиях и соответствующем выборе системы обобщенных координат эти модели могут быть представлены в виде комбинаций более простых систем с одной степенью свободы, совершающих либо вращательные, либо колебательные движения. 163

Характерным для подобного рода систем является необходимость рассмотрения динамики взаимодействия парциальных подсистем, вида их связанности, что имеет особое значение при рассмотрении условий возникновения волновых процессов. а

б

в

Рис. 2. Возможности введения дополнительных связей при усложнении расчетных схем задач динамики машин: а – модель виброзащитной системы с одной степенью свободы; б – модель балочного типа с двумя степенями свободы; в – модель взаимодействия инерционных элементов с тремя степенями свободы

Таблица 1 Расчетные схемы колебательных систем с двумя степенями свободы и различными формами дополнительных связей № п/п

1

Расчетная схема

Вид устройства, реализующего дополнительные связи

Базовая система Все связи считаются естественными

164

Продолжение табл. 1 № п/п

2

Расчетная схема

Общий вид системы с дополнительными связями

Вид устройства, реализующего дополнительные связи

Обобщенный механизм преобразования движения с передаточной функцией a0 + a1 p + ... + am p m Wäî ï ( p) = d 0 + d1 p + ... + d n p n

Рассмотрено в работах [2, 3]

3

а)

б) Классические механические элементы: а) пружина с коэффициентом жесткости с; б) демпфер с коэффициентом сопротивления b

4

а)

б) Устройства, формирующие силы, зависящие от относительного ускорения: а) винтовой механизм; б) рычажный механизм с дополнительными массами; Рассмотрено в работе [4].

в)

г) в) механизм с зубчатой передачей; г) механизм преобразования движения с Lp2 Рассмотрено в работе [1].

165

Окончание табл. 1 № п/п

Расчетная схема

5

Устройство, создающее дополнительные центробежные силы Рассмотрено в работе [4]

6

Устройство, помещаемое в зону взаимодействия двух тел с массами m1 и m2 , является стержневой системой с изменяемой длиной стержней

7

Недетерминированный механизм – упругая балка

8

9

166

Вид устройства, реализующего дополнительные связи

а)

а)

б)

б)

Пневматические механизмы: а) с постоянным объемом; б) с изменяемым объемом Рассмотрено в работе [5]

Устройство с изменяемой структурой: а) без использования внешних источников энергии; б) с использованием внешних источников энергии (активные связи) Рассмотрено в работах [1, 5, 6]

С целью унификации метоа дических приемов расчета, применяемых в транспортной динамике, предложена обобщенная базовая модель с двумя степенями свободы (рис. 3, а) и её структурный аналог (рис. 3, б), в которой внимание акцентируется на динамике взаимодействия инерционных элементов с массами m и m1 . б Основными отличиями развиваемого подхода к моделированию виброзащитных систем от рассматриваемых выше являются: 1) основная (базовая) колебательная система имеет не Рис. 3. Виброзащитная система с двумя одну, а две степени свободы, степенями свободы и дополнительной связью: а – расчетная схема; б – структурная схема при этом возникает упругая связь с коэффициентом c0 и парциальные подсистемы становятся связанными; 2) дополнительные связи вводятся в рабочую зону взаимодействия двух инерционных элементов с массами m и m1 , что приводит к появлению дополнительной (помимо упругой) связанности парциальных подсистем, которая в свою очередь влияет на динамические свойства системы в целом; 3) система в общем случае имеет две точки опирания, причем оба основания совершают перемещения. Кроме того, модели с двумя степенями свободы позволяют исследовать не только динамику колебательного процесса, но и перейти к задачам оценки взаимодействия инерционных элементов виброзащитной системы. Для характеристики межмассового взаимодействия предлагается использовать величину равную A3 (ω ) = A1 (ω ) − A2 (ω ) , где A1 (ω ) – амлитудно-частотная характеристика материального объекта с массой m , а A2 (ω ) – с массой m1 , при условии, что на систему оказывает воздействие только одно возмущение y = h sin ω t и Wäî ï ( p) = 0 (рис. 4). Анализ рис. 4 показывает, что в точках ω =

c + 2c0 c1 иω= 1 значения амm1 m1

плитудно-частотных характеристик связанных осцилляторов будут одинаковыми, а в точках ω =

c1 − c0 c + 3c0 и ω= 1 величина A1 (ω ) будет в два раза m1 m1

больше величины A2 (ω ) .

167

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики связанных колебательных систем при

c c1 > , m < m1 , y1 = 0 : а) A1 (ω ) ; б) A2 (ω ) ; в) A3 (ω ) = A1 (ω ) − A2 (ω ) ; m m1 c(c0 + c1 ) cc0 c1c k1 = ; k2 = ;k= 2 2 (c0 + c1 )(c0 + c) − c0 (c0 + c1 )(c0 + c) − c0 (c0 + c1 )(c0 + c) − c02

Wäî ï ( p ) = 0 ,

Если дополнительная связь имеет передаточную функцию Wäî ï ( p ) = Lp 2 и y1 = 0 , то в этом случае кроме упругой связанности парциальных подсистем появляется также инерционная связанность, что сказывается на динамических свойствах системы в целом. В частности, появляется режим динамического гашения правого осциллятора, которого не существует при наличии в системе только упругой связанности подсистем. Основные динамические характеристики системы в данном случае состоят в следующем: 1) если частота внешней силы совпадает с одной из собственных нормальных частот системы, то наступает резонанс, и амплитуды в обоих осцилляторах неограниченно растут; 2) если частота внешней силы, действующей на левый осциллятор, совпадает с парциальной частотой правого осциллятора, то левый осциллятор не колеблется ( x = 0 ), это явление называется динамическим гашением колебаний; 3) при частоте внешней силы ω1 =

c0 правый осциллятор не колеблется; L

это явление имеет место только в том случае, если связь носит комбинированный характер, то есть имеется как упругая, так и инерционная связь (L ≠ 0). В работах [1, 5, 6] рассмотрены возможности активного гашения колебаний механических систем посредством введения дополнительных колебательных структур с активными элементами. В частности, авторами предложено устройство гашения колебаний объекта защиты (массы M ), использующее дополнительное внешнее воздействие, создаваемое каким-либо инерционным возбудителем и прикладываемое к дополнительной массе m (рис. 5, патент на полезную модель № 56858 РФ) [7]. Получены необходимые соотношения, 168

зависимости и условия, позволяющие реализовать два режима динамического гашения при гармоническом возмущении со стороны основания, аналитические выражения которых зависят от амплитуды данного возмущения. Как правило, введение в колебательную систему дополнительного вибрационного воздействия производится с целью изменения динамических характеристик механической системы через снижение амплитуды при определенных значениях частот внешнего воздействия, либо через Рис. 5. Расчетная схема виброзащитной системы с дополсоздание определенных частотных диапазонов нительным вибрационным гашения колебаний. воздействием F = H sin ω t и Анализ установившихся вынужденных коле- внешним воздействием баний массы M и дополнительной массы m поy = h sin ω t казал, что: 1) масса M имеет режим динамического гашения

ωã =

c1 + c2 +

c1c2 c2 H + c ch ; m

(1)

2) дополнительная масса m имеет режим динамического гашения

c1ch c2 h + H ω 1ã = ; (2) M 3) масса M и дополнительная масса m имеют одни и те же режимы резоc + c1 +

нанса, которые равны ω 1,2 ð =

m(c + c2 ) + M (c1 + c2 ) m (m(c + c2 ) + M (c1 + c2 )) 2 − 4 Mm((c + c2 )c1 + c2 c) . 2Mm

(3)

На рис. 6 показан характер зависимости амплитуды вынужденных колебаний объекта защиты от частоты внешних воздействий при наличии дополнительного вибрационного воздействия F и при его отсутствии. Из рис. 6 видно, что если ω > ω ∗ , то D(ω ) − D (ω ) H =0 < 0 . Таким образом наличие дополнительного вибрационного воздействия в системе приводит к снижению амплитуды колебаний массы M в частотной области ω ∗ < ω < +∞ . Кроме того, частота динамического гашения колебаний смещается в сторону второй резонансной частоты, а это позволяет говорить о том, что вводимая в простейшую механическую модель виброзащитной системы дополнительная колебательная цепь является эффективным виброизолятором в определенной частотной области. 169

Рис. 6. Амплитуда вынужденных колебаний объекта защиты D(ω ) : а – при H = 0 ; б – при H ≠ 0

k0 =

ch(c1 + c2 ) + c1c2 h ch(c1 + c2 ) + c2 (c1h + H ) ∗ ; k1 = ;ω = c1 (c + c2 ) + c2 c c1 (c + c2 ) + c2 c

c1 + c2 +

c1c2 c2 H cc c1 + c2 + 1 2 + c c 2ch ; ω 0 = ã m m

Другим фактором эффективности вводимой механической цепи с дополнительным усилием является наличие фазового сдвига между имеющимися возмущающими воздействиями, то есть когда F = H sin(ω t + ε ) . На рис. 7 приведены графики зависимостей амплитуды B(ω , ε ) вынужденных колебаний объекта защиты от частоты внешних воздействий ω и различных значений фазового сдвига ε между ними, т. е. когда фазовый сдвиг между внешними воздействиями отсутствует, и при ε ≠ 0 . Анализ зависимостей показал, что B (ω , ε ) − B(ω , ε ) H =0 < 0 при 0 < ω < ω ∗∗ , т. е. механическая цепь с дополнительным активным элементом в виде гармонической силы F = H sin(ω t + ε ) создает

режимы эффективной виброизоляции в частотном диапазоне 0 < ω < ω ∗∗ . Кроме того, если фазовый сдвиг ε между внешними возмущениями равен π , то режим динамического гашения колебаний объекта защиты определяется частотой

ω = ω ã′ =

ñ1 + ñ2 +

ñ1ñ2 ñ2 H − ñ ch . m

(4)

При ε ∈ (0,π ) ∪ (π ,2π ) режим динамического гашения обеспечивается на частоте ω min , при которой амплитуда колебаний объекта защиты B(ω , ε ) принимает минимальное значение. Установлено, что ω ã′ < ω min < ω ã , и, следова-

тельно, можно говорить о диапазоне частот динамического гашения [ω ã′ ;ω ã ] , в граничных точках которого происходит полное гашение колебаний объекта защиты [8, 9, 10]. 170

Рис. 7. Амплитуда колебаний объекта защиты B (ω , ε ) при фазовом сдвиге ε между внешними возмущениями: а – при ε = 0 ; б – при ε ≠ 0, ε ≠ π ; в – при ε = π

ω ∗∗ =

c2 H + ch(c1 + c2 ) ch(c1 + c2 ) + c2 (c1h − H ) ; k0 = ; chm c1 (c + c2 ) + c2 c

ch(c1 + c2 ) + c2 (c1h + H ) ; k2 = k1 = c1 (c + c2 ) + c2 c

( ch(c2 + c1 ) + c2 ( H cos ε + c1h) )

Рис. 8. Структурная схема системы с дополнительным вибрационным усилием

W ( p) = где

W1äî ï ( p ) =

2

+ (c2 H sin ε ) 2

( (c + c )(c + c ) − c ) 2

1

2

2 2 2

.

С позиций структурных интерпретаций, в системе с дополнительным вибрационным воздействием (рис. 5) наряду с управлением по относительному отклонению, реализуется управление по возмущению – W3äî ï ( p ) (рис. 8). Передаточная функция системы на рис. 5 определяется выражением:

c + W1äî ï ( p ) + W3äî ï ( p ) , Mp 2 + c + W1äî ï ( p ) + W2äî ï ( p )

(5)

c1c2 c2 mp 2 e −ε p c2 H äî ï äî ï , ( ) ; = . (6) W p = W 3 2 mp 2 + c2 + c1 mp 2 + c2 + c1 h(mp 2 + c2 + c1 )

Активные связи, вводимые как средства формирования дополнительных управляемых воздействий с целью обеспечения качества виброзащиты и виброизоляции, чаще всего реализуются в виде сервоприводов. На основе теоретических исследований разработана схема активного гашения колебаний объекта защиты с учетом конструктивных особенностей сервопривода, в 171

которой реализуется такое силовое взаимодействие, создаваемое вводимым устройством, при котором силы приложения сервопривода в точках контакта с системой находятся в противофазе. Другим примером включения активного элемента в структуру виброзащитной системы является расположение его в зоне взаимодействия инерционных элементов системы. Рассмотрены изменения динамических характеристик колебательной механической системы при введении в неё между инерционными элементами с массами m и m1 активного элемента, формирующего два F = H sin(ω t + π ) и внешних усилия F1 = H1 sin ω t , прикладываемых к этим элементам в противофазе (рис. 9). При этом конструктивные особенности активного элемента не учитываются. В частности установлено, что если ch ≠ H , то каждый из связанных осцилляторов будет иметь по одному режиму динамического гашения колебаний и по два режима резонанса. Если ch = H , то в этом случае левый осциллятор не будет Рис. 9. Расчетная схема механичеиметь частотных режимов полного гашеской колебательной системы с двумя ния колебаний, а для правого осциллятодополнительными вибрационными ра частота гашения его колебаний будет воздействиями равна парциальной частоте левого. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. – Новосибирск. – Наука. – 1990. – 214 с. 2. Насников Д.Н., Логунов А.С. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – №4(12) 2006. – Иркутск. ИрГУПС. С. 78-93. 3. Елисеев С.В., Хоменко А.П., Ермошенко Ю.В. и др. Основы методов управления виброзащитным состоянием объектов транспортных систем в задачах виброзащиты и виброизоляции // Москва. ОИТЭИ (деп.) рег. №03309019. – 2003. – 162 с. 4. Димов А.В. Моделирование и динамические процессы в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов // Автореф. канд. диссертации. – ИрГУПС. – 2005. – 18 с. 5. Хоменко А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. – ИГУ. Иркутск. – 2000. – 295 с. 6. Елисеев С.В., Засядко А.А. Методы виброзащиты технических объектов // Управляемые механические системы. – Иркутск. ИПУ. – 1986. – С.3-32. 7. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Банина Н.В. Устройство для управления состоянием объекта защиты. Патент на полезную модель №. 56858 Российской Федерации. Бюллетень № 27. 8. Банина Н.В. Исследование вынужденных колебаний механической системы с упругой связью цепочной структуры // Проблемы механики современных машин: Материалы 2-ой международной конференции. – Т.2. – Улан-Удэ: ВСГТУ, 2003. – С.182 – 186. 9. Хоменко А.П., Банина Н.В. Особенности амплитудно-частотной характеристики с введением фазового сдвига // Современные технологии. Системный анализ и моделирование. – Иркутск: ИрГУПС, 2004. – № 4. – С.14-17

172

10. Банина Н.В. Особенности поведения двумерной механической колебательной системы при фазовом сдвиге возмущений // Моделирование технических и природных систем: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 2005 г. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. – Том 5. – С.31-37. 11. Банина Н.В. Особенности в динамике систем при фазовом сдвиге возмущения // Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте: Материалы Всероссийской научно-технической конференции с международным участием: В 2 т. Т. 2 / Отв. ред. В. П. Суров. – Красноярск: Изд-во «Гротекс», 2005. – С. 601-605. 12. Банина Н.В. Возможности использования динамических свойств вибрационных систем с дополнительными инерционными связями в задачах уменьшения сил трения // ТРИБОФАТИКА: Сборник трудов 5-го Международного симпозиума по трибофатике. ISTF – 2005. – Иркутск: ИрГУПС, 2005. – Том. 2.- С.321-329. 13. Банина Н.В. Введение дополнительных связей инерционных связей в математических моделях задач виброзащиты и виброизоляции // Математика, её приложения и математическое образование: Материалы всероссийской конференции с международным участием. – Улан–Удэ: ВСГТУ, 2005. – С. 18-24. 14. Банина Н.В. Математическое моделирование механической колебательной системы балочного типа с дополнительными связями // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. – Иркутск: БГУЭП, 2004. – С.175 – 183.

УДК 656.001

С.В. Елисеев, Д.Н. Насников, А.С. Логунов, Р.Ю. Упырь Иркутский государственный университет путей сообщения Иркутск, Россия

СИСТЕМА НОВЫХ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ В СТРУКТУРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В данной статье рассмотрена возможность ввода типовых элемента первого уровня в количестве 6 позиций, что существенно больше, чем число позиций в известных подходах теории колебаний, а так же рассмотрено последовательно-параллельные соединения типовых элементов первого уровня, что формируют типовые элементы второго уровня.

Если в теории автоматического управления, набор типовых звеньев определяется структурой частотных уравнений числителя и знаменателя передаточной функции систем и значениями корней уравнений, то в теории виброзащитных систем ситуация выглядит иначе [1]. Механические колебательные системы, в классической постановке, состоят из типовых звеньев, которые могут быть представлены пружинами, демпферами и массоинерционными элементами. Их передаточные функции соответственно определяются следующим образом: • пружина – усилительное звено – W ( p) = k ( k – коэффициент жесткости пружины); • демпфер – дифференциальное звено первого порядка – W ( p ) = bp ( b – коэффициент демпфирования);

173

• массоинерционное звено – интегрирующее звено второго порядка – W ( p) =

1 ( m – масса элемента). mp 2

Отметим, что набор типовых звеньев в обычной постановке задач виброзащиты и виброизоляции ограничивается вышеприведенным перечнем. Передаточные функции звеньев типового набора могут быть получены путем «зануления» соответствующих коэффициентов передаточной функции системы [2]. На рис. 1 а, б приведены расчетная и структурная схемы виброзащитной системы, имеющей в своем составе дополнительные связи W 1 ( p) и W 2 ( p ) , соответственно по относительному и абсолютному отклонениям объекта защиты. Полагая, что W 1 ( p) и W 2 ( p ) имеют структуру дробно-рационального выражения, можно вводить на расчетной (рис. 1, а) и структурной схемах (Рис. 1б) дополнительные элементы в виде параллельного включения. В работах [3, 4] показано, что в механических системах набор типовых элементов может быть расширен добавлением к вышеупомянутым еще ряда звеньев с передаточными функциями: • W1 ( p) = Lp 2 – звено двойного дифференцирования; A – интегрирующее звено первого порядка; p A • W1 ( p) = 2 – интегрирующее звено второго порядка; p • W1 ( p) = Ae − ap – звено чистого запаздывания. • W1 ( p) =

а

б

Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схема виброзащитной системы с одной степенью свободы: m0 – масса объекта защиты; C – жесткость базового упругого элемента

По сравнению с подходами в теории автоматического регулирования [1] предлагаемый набор типовых элементов представляет собой своеобразную группу типовых элементов первого уровня. Более сложные элементы, которые также можно отнести к типовым, могут быть получены путем последующего применения процедур последовательного или параллельного их соединения. 1. Рассмотрим особенности соединений типовых звеньев первого уровня. I. Усилительное звено (пружина жесткостью k). При последовательном соединении суммарная жесткость пружин определяется по формуле 174

k пр =

k1k 2 . k1 + k 2

(1)

При параллельном соединении суммарная жесткость пружин определяется k пр = k1 + k 2 .

(2)

Передаточная функция пружин или блока из пружин имеет, таким образом, вид W1 ( p ) = k пр . II. Дифференцирующее звено первого порядка имеет передаточную функцию W 1 ( p ) = Ap . Физически – это соответствует демпферу вязкого трения. При последовательном соединении элементов имеем: W 1( p ) =

A1 A2 p 2 AA p = 1 2 = Aпр p , A1 p + A2 p A1 + A2

(3)

т.е. последовательное соединение двух демпферов представляет собой демпфер с приведенным коэффициентом сопротивления или параметром При параллельном соединении имеем W 1 ( p) = A1 p + A2 p = p( A1 + A2 ) = Aпр p ,

Aпр

.

(4)

что соответствует вышеприведенному параллельному соединению пружин. III. Дифференцирующее звено второго порядка имеет передаточную функцию W 1 ( p) = Lp 2 . Если оно входит в последовательное соединение с другим таким же звеном, то получаем – W 1 ( p) =

L1 p 2 L2 p 2 = Lпр p 2 2 2 L1 p + L2 p .

(5)

При параллельном соединении соответственно W 1 ( p) = L1 p 2 + L2 p 2 = p 2 ( L1 + L2 ) = Lпр p 2 .

(6)

Физически реализация такого типового элемента может быть представлена несамотормозящей винтовой парой [5] или рычажным механизмом. IV. Звено интегрирования первого порядка имеет передаточную функцию – W 1 ( p) =

A . При последовательном соединении двух элементов имеет – p Aпр A1 A2 / p 2 A1 A2 W 1 ( p) = = = , ( A1 p + A2 ) / p ( A1 + A2 ) p p

(7)

т.е. структура сложного звена сохраняет структуру исходных звеньев. Аналогично, при параллельном соединении имеем W 1 ( p) =

A1 A2 A1 + A2 Aпр + = = . p p p p

(8) 175

Звено двойного интегрирования (или интегрирующее звено второго по-

рядка) имеет передаточную функцию W 1 ( p) =

A и при последовательном соp2

единении дает W 1 ( p) =

Aпр A1 A2 = . ( A1 + A2 ) p 2 p2

(9)

Соответственно при параллельном соединении звеньев получим W 1 ( p) =

A1 + A2 Aпр = 2 . p2 p

(10)

В рассмотренных случаях (IV, V) физическая реализация типовых звеньев W 1 ( p) , как вводимых в систему на рис. 1 дополнительных связей, пока не известна. Хотя, можно предположить, что это могут быть механические устройства, осуществляющие механическое интегрирование при заданном законе относительного движения элементов (рис. 1, а) или активные устройства. Отметим также, что речь идет о возможностях включения элементов IV и V в соединения не классического набора. Последним является объединение элементов I, II, V в схеме колебательной системы с одной степенью свободы. VI. Звено чистого запаздывания имеет передаточную функцию вида: W 1 ( p ) = Ae − ap .

(11)

Тогда при последовательном соединении двух таких звеньев получим W 1 ( p) =

A1e − a1 p ⋅ A2 e − a2 p A1 A2 e − ( a1 + a2 ) p A1 A2 e − a2 p = = A1e −a1 p + A2 e −a2 p e −a1 p ( A1 + A2 e ( a1 − a2 ) p ) A1 + A2 e ( a1 −a2 ) p )

(12)

или A1 A2 e − ( a1 + a2 ) p A1 A2 e − a1 p W 1 ( p ) = − a2 p . = e ( A1e ( − a1 + a2 ) p + A2 ) A1 + A2 e ( − a1 + a2 ) p )

Отметим, что в этом случае последовательное соединение уже дает передаточную функцию элемента другой структуры (это очень важно, поскольку является исключением из правил). Если a1 = a2 = a , то W 1 ( p) =

A1e − ap A2 e − ap A1 A2 e − ap = = Aпр e −ap , e − ap ( A1 + A2 ) A1 + A2

(13)

(т.е. свойства, отмеченные для соединения элементов I, II, III, IV, V сохраняются). Параллельное соединение элементов дает передаточную функцию W 1 ( p ) = A1 e − a1 p + A 2 e − a 2 p = e − a1 p ( A1 + A 2 e ( − a 2 + a1 ) p )

или W 1 ( p) = e − a2 p ( A1e ( − a1 + a2 ) p + A2 ) . 176

(14)

Также, как и при последовательном соединении элементов, в общем случае, при параллельном соединении наблюдается несоответствие структуры сложного звена к структуре исходных звеньев. Если a1 = a2 = a , то получим совпадение результатов для случаев параллельного соединения элементов типа I, II, III, IV и V. W 1 ( p) = A1e − ap + A2 e − ap = Aпр e − ap .

(15)

Таким образом из типовых динамических звеньев можно выделить шесть, которые имеют простейшую форму передаточной функции (состоят из одного символа). Однако при соединении элементов чистого запаздывания наблюдаются некоторые особенности: изменение ранга сложного элемента по сравнению с исходными. Если звенья имеют одинаковые параметры затухания, то отмеченные особенности не проявляются. В работах [2, 4] было показано, что, если при рассмотрении процессов в базовой расчетной схеме (рис. 1, а) дополнительная связь вводится параллельно основой пружине структурой, то типовые звенья дополнительной связи могут комбинироваться по правилам последовательного или параллельного соединения пружин. Исключение, как мы видим, получается для случая, когда соединяются два звена чистого запаздывания. Если параметры таких звеньев разные, то результирующая комбинация представляет собой отличное от исходного более сложное звено. Если параметры звеньев чистого запаздывания имеют одинаковые параметры (по запаздыванию), то результаты объединения не отличаются от предыдущих пяти случаев. 2. Рассмотрим некоторые особенности формирования дополнительной цепи в виде W 1 ( p) , если она формируется последовательно-параллельными комбинациями типовых звеньев первого уровня (или класса). Представим структуру и число имеющихся комбинаций в виде схемы: (I) ⋅ (I) (I) ⋅ (II) (I) ⋅ (III) (I) ⋅ (IV) (I) ⋅ (V) (I) ⋅ (VI) , , , , , ; (I) + (I) (I) + (II) (I) + (III) (I) + (IV) (I) + (V) (I) + (VI) (II) ⋅ (II) (II) ⋅ (III) (II) ⋅ (IV) (II) ⋅ (V) (II) ⋅ (VI) , , , , ; (II) + (II) (II) + (III) (II) + (IV) (II) + (V) (II) + (VI) (III) ⋅ (III) (III) ⋅ (IV) (III) ⋅ (V) (III) ⋅ (VI) , , , ; (III) + (III) (III) + (IV) (III) + (V) (III) + (VI) (IV) ⋅ (IV) (IV) ⋅ (V) (IV) ⋅ (VI) , , ; (IV) + (IV) (IV) + (V) (IV) + (VI) (V) ⋅ (V) (V) ⋅ (VI) , ; (V) + (V) (V) + (VI) (VI) ⋅ (VI) . (VI) + (VI)

(16)

Вышеприведенное дает представление о том, какое число соединений мы получаем (а стало быть и число видов дополнительных связей), если выделенные шесть типовых звеньев первого уровня (класса) будут входить в по177

следовательные соединения между собой и формировать передаточную функцию W 1 ( p) (см. рис. 1, а). Представим передаточные функции звеньев второго уровня, используя информацию о возможных комбинациях при последовательно-параллельном соединении между собой типовых элементов первого уровня. При объединении усилительного звена (пружины) с дифференциальным звеном первого порядка (демпфером) получим: при последовательном соединении W 1 ( p) =

k ⋅ Ap , k + Ap

(17)

а при параллельном W 1 ( p ) = k + Ap .

(18)

Отметим, что последовательное соединение пружины и демпфера дает звено с передаточной функцией реального форсирующего звена [4] или амортизатора (звена, объединяющего в себе функции упругости и демпфирования). При соединении пружины (жесткостью k) и дифференцирующего звена второго порядка имеем: при последовательном соединении W 1 ( p) =

k ⋅ Lp 2 , k + Lp 2

(19)

а при параллельном W 1 ( p ) = k + Lp 2 .

(20)

Динамические свойства виброзащитных систем с введением дополнительной связи, определяемой выражением (20), рассмотрены, например, в работах [2, 4, 5]. При последовательном соединении пружины и типового элемента с передаточной функцией звена интегрирования первого порядка получим W 1 ( p) =

что соответствует комбинации

A⋅k , A + kp

(21)

(I) ⋅ (IV) из (16); а при параллельном соедине(I) + (IV)

нии элементов W 1 ( p) =

A + kp . p

(22)

Отметим, что пока такая связь не соотносится с конкретным физическим воплощением на основе обычных для теории колебаний средств, однако, можно предположить, что такая связь может быть реализована механическим интегратором (механизмом интегрирования) или активными устройствами.

178

При реализации соединения элементов, соответствующей комбинации

(I) ⋅ (V) из (16), имеем (I) + (V)

W 1 ( p) =

A⋅k , A + kp 2

(23)

а при параллельном соединении элементов (I) и (V) получим: W 1 ( p) =

p 2k + A . p2

(24)

Передаточная функция, определяемая выражением (23), соответствует передаточной функции вырожденного колебательного звена (после некоторых преобразований), занимающего место среди типовых звеньев САУ [1]. Однако, можно также предполагать, что существует механический аналог типового звена в виде механизма двойного интегрирования. При рассмотрении соединений со звеном чистого запаздывания (VI) передаточные функции звеньев второго уровня имеют свою специфику. Если рассмотреть комбинацию последовательного соединения (VI) и (I), то получим (при W 1 ( p ) = Be − ap ) W 1 ( p) =

Bk , ke + B ap

(25)

а при параллельном соединении (VI) и (I) соответственно имеем W 1 ( p) = k + Be − ap .

(26)

Продолжая исследование возможных сочетаний, рассмотрим возможные соединения, комбинаций дифференцирующего звена первого порядка. Комбинация (III) и (II) дает при последовательном соединении W 1 ( p) =

B ⋅ Lp 2 , Lp + B

(27)

а при параллельном соединении (III) и (II) W 1 ( p) = Bp + Lp 2 = p( B + Lp ) .

(28)

Передаточная функция, определяемая выражением (27), соответствует передаточной функции блока двух последовательно соединенных демпфера и устройства для преобразования движения. Что касается комбинаций и выражением (28), то эта передаточная функция относится к системе из двух параллельных элементов: демпфера и устройства с преобразованием движения. Если рассматривается комбинация (IV) и (II), то при последовательном соединении получим

179

W 1 ( p) =

A ⋅ Bp , Bp 2 + A

(29)

а при параллельном соединении (IV) и (II) W 1 ( p) =

Bp 2 + A . p

(30)

Комбинация (V) и (II) при последовательном соединении дает: ABp , Bp 3 + A

W 1 ( p) =

(31)

а при параллельном W 1 ( p) =

A + Bp 3 . p2

(32)

Последовательное соединение демпфера (II) и звена чистого запаздывания (VI) определяется передаточной функцией W 1 ( p) =

Bp ⋅ B0 e − ap , Bp + B0 e − ap

(33)

(здесь передаточной функции звена чистого запаздывания – соответствует B0 e − ap ), а при параллельном W 1 ( p ) = Bp + B0 e − ap .

(34)

Введение дифференцирующего звена второго порядка (устройства с преобразованием движения) при последовательном соединении с интегрирующим звеном первого порядка приводит к W 1 ( p) =

A ⋅ Lp 2 , Lp 3 + A

(35)

а при параллельном соединении Lp 3 + A . W 1 ( p) = p

(36)

При последовательном соединении интегрирующего звена второго порядка (IV) со звеном (III) получим W 1 ( p) =

ALp 2 , Lp 4 + A

(37)

а при параллельном соединении W 1 ( p) =

A + Lp 4 . p2

(38)

Последовательное соединение звена (III) со звеном чистого запаздывания дает 180

Lp 2 ⋅ B0 e − ap , Lp 2 + B0 e − ap

(39)

W 1 ( p ) = Lp 2 + B0 e − ap .

(40)

W 1 ( p) =

а параллельное соединение При последовательном соединении интегрирующего звена первого порядка (

A1 A ) и интегрирующего звена второго порядка ( 22 ) получим: p p W 1 ( p) =

A1 A2 , p ( A1 p + A2 )

(41)

а при параллельном соединении соответственно W 1 ( p) =

A1 p + A2 . p2

(42)

Последовательное соединение интегрального звена первого порядка (

A1 ) p

со звеном чистого запаздывания ( B0 e − ap ) позволяет получить W 1 ( p) =

AB0 , Ae + B0 p

(43)

A + B0 pe − ap . p

(44)

ap

а при параллельном W 1 ( p) =

Последовательное соединение интегрального звена второго порядка (

A2 ) p2

со звеном чистого запаздывания ( B0 e − ap ) позволяет получить W 1 ( p) =

A ⋅ B0 , A ⋅ B0 e ap + p 2

(45)

а при параллельном A + B0 p 2 e − ap W 1 ( p) = . p2

(46)

Таким образом, комбинируя между собой последовательные и параллельные соединения типовых элементов из набора первого уровня, можно получить передаточные функции типовых элементов второго уровня. При этом передаточные функции всех типов элементов, за исключением типового элемента чистого запаздывания (и его соединений), могут быть получены, как частные случаи, путем «зануления» коэффициентов в частотных уравнениях знаменателя и числителя передаточной функции дополнительной связи общего вида [6]. 181

Что касается передаточной функции звена чистого запаздывания, то ее упрощение можно произвести путем разложения экспоненциальной функции в ряд, что позволяет ввести этот типовой элемент в число известных. В работе [6] представлена заполнения матрица возможных вариантов получения передаточных функций типовых элементов второго уровня (или класса). Часть из них имеет физическую интерпретацию, остальные – могут быть, по всей видимости, реализованы, однако возможные пути реализации потребуют введения, так называемых активных связей [5] и использования энергии внешних источников. Таким образом, можно сделать следующие выводы: 1. В структурных интерпретациях механических колебательных систем, в которых дополнительная связь формируется и вводится в соответствие с рис. 1 и имеет вид дробно-рациональной функции, представляется возможным ввести типовые элементы первого уровня в количестве 6 позиций, что существенно больше, чем число позиций в известных подходах теории колебаний. 2. Типовые элементы первого уровня (или класса) входят в параллельные и последовательные соединения по тем же правилам, что и упругие элементы (см. (16)). 3. Последовательно-параллельные соединения типовых элементов первого уровня формируют типовые элементы второго уровня, передаточные функции которых, также как и передаточные функции типовых элементов первого уровня могут быть получены путем упрощения (зануления соответствующих коэффициентов в выражении передаточной функции). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. – М.: Машиностроение. 1972.-736с. 2. Димов А.В., Елисеев С.В., Хоменко А.П. Обобщение задач виброзащиты и виброизоляции на основе структурных методов математического моделирования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2(10) ИрГУПС. – Иркутск, 2006. С.6-12 3. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Математическое моделирование в задачах управления колебаниями механических систем // Труды X Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании». – Иркутск, 2005. часть 1. С.131-138 4. Драч М.А., Логунов А.С. Структурные подходы в динамике крутильных колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2(10) ИрГУПС. – Иркутск, 2006. – С. 30-41 5. Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Наука. Сиб. Отделение. – Новосибирск. 1991. – 312 с. 6. Насников Д.Н., Логунов А.С. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 4(12) ИрГУПС. – Иркутск. 2006. С.78-93

182

УДК 656.001

С.В. Елисеев, С.К. Каргапольцев, Ю.В. Ермошенко, А.С. Логунов Иркутский Государственный университет путей сообщения Иркутск, Россия

ДИНАМИКА УПРУГО-КРУТИЛЬНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ СТРУКТУРНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ Рассматриваются колебания упругих вращательных систем (силовые передачи, коробки скоростей), в структуру которых вводятся дополнительные связи в виде механических цепей. Предлагаются методы исследования, основанные на структурных представлениях. Обсуждаются вопросы физической реализации вводимых связей.

Представленная работа в определенной мере отражает те позиции в разработке средств защиты от вибраций и ударов, которые опираются на использование структурных подходов [1]. С физических позиций дополнительные связи приобретают форму различных механизмов преобразования движения. Поскольку механизмы различаются между собой с учетом конкретного вида звеньев, кинематических пар и возможностей их соединения, то актуальным представляется направление исследований в плане поиска некоторых общих свойств, особенностей, что позволяет на обобщенной основе оценить предельные возможности в изменении спектра динамических свойств систем. В настоящей статье представлены разработка и развитие методов математического моделирования в задачах оценки и изменения динамического состояния крутильных колебательных систем, имеющих в своем составе специально вводимые дополнительные связи. Особенность подхода авторов заключается в разработке и научном обосновании методов построения нового класса крутильных колебательных систем с применением дополнительных связей в виде механизмов или механических цепей общего вида. Предлагаемый подход реализуется оригинальными конструктивно-техническими решениями, представлен методами математического моделирования, позволяющим определить динамические нагрузки на элементы системы [2]. Уменьшение интенсивности колебаний объекта может быть достигнуто: – уменьшением уровня механических взаимодействий, возбуждаемых источником; – изменением конструкции объекта (при котором заданные механические воздействия будут вызывать минимальные колебания объекта или отдельных его частей); – присоединением к объекту дополнительной механической системы (изменяющей характер колебаний); – установкой между объектом и источником возмущений упругих и демпфирующих элементов. Демпферы, динамические гасители, виброизоляторы и специальные устройства образуют в совокупности систему виброзащитных средств. Пассивными называют устройства, состоящие из инерционных, упругих или диссипативных элементов. Активные устройства могут, кроме того, соединять элементы немеханической природы и, как правило, обладают независимым источником энергии [3]. 183

В приложении к крутильным системам метод динамического гашения колебаний состоит в присоединении к объекту виброзащиты дополнительных устройств с целью изменения его вибрационного состояния путем формирования силовых взаимодействий, передаваемых на объект. Изменение вибрационного состояния может осуществляться как путем перераспределения энергии от объекта к гасителю, так и в направлении увеличения рассеяния энергии колебаний. 1. Рассмотрим систему крутильных колебаний (рис. 1, а), в которой имеет место преобразование движения в зубчатой передаче с числами зубьев z1 и z2 и, соответственно, передаточным отношением i = z1/z2. Структурная схема такой системы приведена на рис. 1, б, откуда может быть найдена передаточная функция,

W ( p) =

ϕ2 K1K 2i , = 2 ϕ1 p J 2 K1 + K 2i 2 + K1K 2

(

)

(1)

в которой принято, что J'1= J'2 = 0. а аааа

б

Рис. 1. Расчетная схема упругой зубчатой передачи (а) и структурная схема системы при кинематическом возмущении (б)

Частота собственных колебаний системы определится выражением 2 ωсоб =

(

K1K 2

J 2 K1 + K 2i 2

)

.

(2)

При i = 1 выражение (2) соответствует известной формуле с последовательным соединением пружин.

184

В более общем случае при каскадном последовательном соединении упругих элементов с жесткостями К1 и К2 с промежуточной точкой, в которой угол поворота определяется через передаточное отношение i, можно записать

M M M , = + K пр K1 K 2i

(3)

K1K 2i . K1 + K 2i

(4)

откуда

K пр =

В этом случае можно отметить, что появляется новый элемент – последовательно соединенные упругие элементы с жесткостями К1 и К2 при промежуточной точке соединения, в которой смещение соответствующих точек пружин осуществляется через соотношение i. Таким образом, приведенная жесткость Кпр определяется по формуле (4), при i = 1, как частный случай, мы получаем известную формулу для последовательного соединения пружин. Аналогия системы крутильных колебаний с зубчатой передачей (рис. 1, а) может быть представлена системой возвратно-поступательных колебаний, показанная на рис. 2.

Рис. 2. Расчетная схема системы, аналогичная схеме на рис. 1, а

Продолжая предлагаемый авторами подход для составления математических моделей крутильных систем с планетарными динамическими гасителями колебаний, рассмотрим для примера расчетную структурную схему (рис. 3), в которой используется наружное зацепление, а "вход" определяется через солнечную шестерню. Передаточная функция системы определится из

p 2 nJ ci ( i + 1) + K ϕ2 W ( p) = , = ϕ1 p 2 ⎡ J 2 + nmcl 2 + nJ c ( i + 1)2 ⎤ + K ⎣ ⎦

(5)

откуда можно найти значения частот собственных колебаний и динамического гашения. 185

Авторами рассмотрены возможные варианты построения динамических гасителей с внутренним зацеплением и "входом", реализованном через водило. На рис. 4 показаны различные варианты введения дополнительных связей, в которых относительные перемещения связаны с крутильными колебаниями. Ряд решений авторов закреплен заявками и патентами на полезные устройства [4, 5, 6, 7]. Для варианта на рис. 4, г структурная схема показана на рис. 5, а передаточная функция будет иметь вид 2 ⎡J nJ 2 (1 + i ) ⎤ 2 1 p ⎢ 2 + nmc (1 + i ) + ⎥+c 2 r r ⎢⎣ 1 ⎥⎦ 2 , W ( p) = 2 ⎡ ⎤ nJ (1 + i ) J 2 p 2 ⎢ M + 21 + nmc (1 + i ) + 2 2 ⎥+c r r 1 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 2

где i = r2/r1. а

б

Рис. 3. Расчетная (а) и структурная (б) схемы системы крутильных колебаний с динамическим гасителем колебаний

а

б

в

г

Рис. 4. Варианты расчетных схем виброзащитных систем с дополнительными связями: а – наружное зацепление; б – внутреннее зацепление; в – эпициклическая передача; г – передача через зубчатую рейку

186

(6)

Оценивая приведенные результаты, отметим, что в крутильных колебательных системах, также как и в задачах виброзащиты и виброизоляции в приложении к системам с возвратно-поступательными колебаниями, можно вводить различного рода дополнительные связи. Последние создают эффекты преобразования относительного движения и, связанного с этим, появления дополнительных инерционных сил и динамических режимов [1]. 2. Введение дополнительной связи может быть реализовано по принципу управления по относительному отклонению (если возмущение носит кинематический характер) или по принципу управления по абсолютному отклонению объекта (если возмущение силовое). В первом случае передаточная функция имеет вид

W ( p) =

ϕ2 K + Wдоп , = 2 ϕ1 Jp + K + Wдоп

(7)

W ( p) =

ϕ2 1 = 2 . M Jp + K + Wдоп

(8)

а для второго случая

В теории виброзащитных систем известно достаточно много вариантов физических интерпретаций дополнительных связей, которые можно привести в определенную систему, используя то обстоятельство, что частные случаи введения связей могут быть получены редукцией передаточной функции

Wдоп

a0 + a1 p + a2 p 2 + ... + am p m . = b0 + b1 p + b2 p 2 + ... + bn p n

(9)

Авторами построена классификация, представленная в табл. 1. Использование обобщенного подхода позволяет получать математические модели различных крутильных систем, прогнозировать возможности создания новых устройств, введения связок упругодемпфирующих звеньев, дающих в совокупности действий новые динамические эффекты. Рассматриваются различные варианты введения и формы дополнительных связей, реализующих принцип управления по относительному отклонению (кинематическое возмущение). На поз. 13 в качестве примера приведено последовательное соединение каскадов, в которое можно ввести упругодемпфирующее звено. Приведенные параметры в нем определяются формализмом последовательного соединения. Вопрос о физической реализуемости дополнительных связей по абсолютному отклонению представляет интерес в том плане, что связь должна одним своим концом быть связанной с неподвижной (или условно неподвижной) базой. Если для систем с возвратно-поступательными колебаниями это решается достаточно просто, поскольку абсолютные колебания рассматриваются относительно положения статического равновесия, то в крутильных колебательных системах чаще всего колебания или вибрации валов рассматриваются относительно установившегося вращения. Так, схема введения дополнительной связи по абсолютному отклонению требует измерения ϕ1(t), 187

преобразования информации и формирования соответствующего воздействия, прикладываемого через зубчатую передачу z2, z3 (z2, z3 – число зубьев). Такой подход может быть реализован и через силовые поля (электромагнитное поле) или другие конструктивно-технические схемы, но они сложны, поскольку, так или иначе, привносится энергия внешних источников.

Рис. 5. Структурная схема виброзащитной системы с дополнительной связью по расчетной схеме рис. 4

Одна из форм введения дополнительных связей представляет собой систему передачи вращения, в которой дополнительные связи (рис. 6) выполнены в виде двух рычагов длиной l1 и l3, соединенных между собой шарниром и массой m (получен приоритет на полезную модель). На схеме приняты следующие обозначения: J – момент инерции приводного устройства; J1 – момент инерции рабочего органа; К – крутильная жесткость передачи; К1 – жесткость пружины; l1, l2, l3 – длины рычагов; М – силовое возмущение. Дифференциальные уравнения движения системы, полученные автором, имеют вид

⎛ ma 2 ma 2 ctg 2 α1 ⎞ 1 &&1 + ⎜⎛ K + a 2 K1 − mω02 a22 ⎟⎞ ϕ1 = + ⎜ J1 + ⎟ϕ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ma 2 ma 2 ctg 2 α1 ⎞ 1 && + ⎛⎜ K + a 2 K1 + mω02 a22 ⎞⎟ ϕ + a1a2 mω02 , =⎜ − ⎟ϕ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ где a1 = l1 sin α0, a2 = a ctg α1.

Рис. 6. Расчетная схема колебательной системы с передачей вращения через рычаги

188

(10)

Таблица 1 Структурные интерпретации крутильных колебательных систем, реализующих принцип управления по относительному отклонению № п/п

Вид дополнительной связи

Передаточная функция системы W=

1

W=

2

ϕ1 K = 2 ϕ Jp + K

Резонанс (разрыв 1-го рода в АЧХ)

K + K1 Jp 2 + K + K1

Резонанс, сдвиг в сторону более высоких частот

K + K1 + bp W= ( J + L) p2 + bp + K + K1

3 b – коэффициент демпфирования в относительном движении

W=

4

L – приведенный момент инерции механизма преобразования (рис. 2.13)

Эффекты

K + K1 + bp + Lp2 ( J + L) p2 + bp + K + K1

L – определяется в зависимости от конкретного вида зубчатого механизма

Резонанс с ограничением макс. амплитуды колебаний Резонанс, режим динамического гашения, ограничение амплитуды колебаний при резонансе, "запирание" на высоких частотах

Структурная схема

Примечание ω рез =

K , J

p → 0, |W|→1

ω рез =

K + K1 J

p → 0, |W|→1

– определяется из частотного уравнения. p → 0, |W|→1 рез

при p → 0, |W|→1 | W |=

L J +L

при b = 0 ωдин =

K + K1 L

ωдин =

K + K1 J +L

189

Продолжение табл. 1 № п/п

5

Вид дополнительной связи

Передаточная функция системы

W=

K + Wдоп Jp 2 + K + Wдоп

Эффекты

Возможно обобщение подхода и получение результатов по поз. 1-4 редукцией

Структурная схема

Примечание

Общий вид W=

a0 + a1 p + ...am p m b0 + b1 p + ...bm p m

p = iω, i = −1

Wдоп

6

7

8

190

b0 K + a0 W= Jb0 p 2 + a0 + b0 K

W=

b0 K + a1 p + a0 Jb0 p 2 + a1 p + b0 K

(a + b K) p + b0 K W = 3 1 12 b1 p + Jb0 p + p(Kb1 + a1 )

Wдоп =

a0 b0

K1 =

a0 b0

K1 =

a0 b0

b=

a1 b0

Wдоп

a1 p = b0 + b1 p

a0 ≠ 0, a1 = a2 = … = am = 0, b0 ≠ 0, b1 = b2 = … = bn = 0 a0 ≠ 0, a1 ≠ 0, a2 = …= am = 0, b0 ≠ 0, b1 ≠ 0, b2 = b3 =…= bn = 0, a0 = 0, a1 ≠ 0, b0 ≠ 0, b1 ≠ 0, K np =

K1bp K1 + bp

Продолжение табл. 1 № п/п

Вид дополнительной связи

Передаточная функция системы

Эффекты

Структурная схема

a2 = L (поз. 4) W=

9

b0 K + a2 p 2 ( Jb0 + a2 ) p 2 + b0 K

Wдоп =

L=

Схема А.

10

Возможно использование центробежных сил для изменения приведенной жесткости. (приоритет патента на полезную модель, заявка № 2006101309)

a0 = 0, a1 = 0, a2 ≠ 0, a3 = …= am = 0, b0 ≠ 0, b1 ≠ 0, b3 = …= bn = 0

a2 p 2 b0

a2 b0

Схема В. Устройства для преобразования движения реализуют дополнительную связь, зависящую от конструкции механизма. Заявка № 2005109657

Примечание

Авт. св-во № 529315 автор Елисеев и др.

Для преобразования движения могут быть использованы различные механизмы. Схемы поз. 9 являются вариантами поз. 8 и частными случаями по поз. 4 (рис. 2.13, рис. 2.15, рис. 2.18, рис. 2.20, рис. 2.21) (см. диссертацию)

191

Окончание табл. 1 № п/п

Вид дополнительной связи

Передаточная функция системы

Эффекты

Структурная схема

Примечание

a0 = 0, a1 = 0, a2 ≠ 0, a3 = …= am = 0, b0 ≠ 0, b1 = 0, b2 ≠ 0, b3 = …= bn = 0 11

W=

p2 ( a2 + Kb2 ) + Kb0

Jb2 p4 + p2 ( Jb0 + Kb2 + a2 ) + Kb0

K np = Wдоп =

a2 p2 b0 + b2 p2

K1 Lp 2 K1 + Lp 2

в отличие от поз. 4 на высоких частотах система не запирается. Режим динамического гашения определяется выра2 жением ωдин =

12

13

192

W – определяется (3.14)

W=

Kb0 a2 + Kb2

a0 + a1 p + a2 p 2 b0 + b1 p + b2 p 2

W=

a1 p b0 + b1 p

a0 = 0, a1 ≠ 0, a2 = 0, b0 ≠ 0, b1 ≠ 0, b2 = 0. K np =

K1b '1 b '2 p K ( b '1 + b '2 ) + b '1 b '2 p

193

Характерной особенностью системы является то обстоятельство, что приведенная жесткость системы зависит от угловой скорости установившегося движения. Выражение для определения частоты собственных колебаний имеет вид 2 ωсоб

1 K + a 2 K1 − mω02 a22 2 . = ma 2 J1 + 2sin 2 α1

(11)

Введение дополнительной связи в виде несамотормозящегося винтового механизма позволяет создавать определенные условия для создания режимов динамического гашения, выбора оптимальных параметров настройки гасителя, определения зоны его эффективной работы и улучшения динамических свойств в зарезонансной области. В работе [4] рассмотрены особенности использования центробежных сил в планетарных гасителях рычажного типа и введения дополнительных связей вращательного типа между парциальными подсистемами в системах балочного типа с двумя степенями свободы. В конечном итоге можно отметить, что: • введение дополнительных связей в системах с несколькими степенями свободы позволяет реализовать дополнительные режимы динамического гашения, по сравнению с известными схемами; • частота динамического гашения зависит от параметров устройства для преобразования движения (это массоинерционные параметры, а также геометрические характеристики); • в системе с двумя степенями свободы и дополнительными связями появляется новый режим – при одном и том же наборе параметров становится возможным режим динамического гашения колебаний одновременно по двум степеням свободы; • дополнительные связи при высоких частотах обеспечивают "запирание" системы или ее отдельных контуров, что может быть использовано при реализации идей управления динамическими свойствами путем изменения структуры. Эффект "запирания" может быть использован как элемент типа "ключ". СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Соболев В.И., Драч М.А. и др. Особенности моделирования динамических процессов в задачах управления колебаниями сложных технических объектов // Монография. Деп. ВИНИТИ 22.02.2005 №255-В2005. – 218 с. 2. Елисеев С.В., Драч М.А. Крутильные колебания в передачах как задачи виброзащиты и виброизоляции. // Сборник трудов V Международного симпозиума по трибофатике. ISTF – 2005. – Иркутск: ИрГУПС. 2005. – Том 2. С. 289-305. 3. Драч М.А. Динамические эффекты в передачах с крутильными колебаниями // Ресурсосберегающие технологии на ЖД транспорте: Материалы Всероссийской научнотехнической конференции с международным участием. – Красноярск: Изд-во «Гротеск». Том 2. – 2005. C.561-565. 4. Елисеев С.В., Димов А.В., Драч М.А. Устройство гашения крутильных колебаний. Заявка на изобретение № 2004125425. Приоритет от 17.08.04.

193

5. Драч М.А., Димов А.В. Динамический гаситель колебаний. Патент на полезную модель. №48604 от 25.10.05. 6. Драч М.А., Димов А.В. Гаситель крутильных колебаний. Заявка на полезную модель №2006101309. Приоритет от 17.01.06 7. Драч М.А., Димов А.В. Динамический гаситель колебаний. Патент на полезную модель. №49937 от 10.12.05. 8. Драч М.А., Димов А.В. Об учете центробежных сил в крутильных системах виброзащиты // Проблемы механики современных машин. – Материалы II международной конференции. – Улан-Удэ. Том 2. – 2003. – C. 30-33.

УДК 517.958:532.542

О.В. Рыбкина Дальневосточный государственный гуманитарный университет Хабаровск, Россия

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Рассмотрена задача о движении двух несмешивающихся жидкостей в трубе со свободной поверхностью разделяющей движущиеся жидкости.

Описание проблемы Рассмотрим задачу о движении двух несмешивающихся жидкостей в трубе, реализующееся при заданном градиенте давления (или расходе). Структура потока следующая: в центре потока движется ньютоновская жидкость Ω1 окруженная вязкопластической жидкостью с реологической моделью Шведова-Бингама Ω2. Следует отметить, что рассматриваемое течение часто встречается при переработке полимерных материалов, пищевых продуктов, ядерного топлива и т.д. Цель настоящей работы заключается в определении режимов течения и значений реологических параметров нелинейной вязкопластической жидкости приводящим к устойчивым течениям, а также в разработке устойчивых алгоритмов их численного решения. Математическая постановка задачи а

б

Рис. 1. Структура потока движения двух жидкостей: a – жидкость Ньютона, окруженная жидкостью Шведова-Бингама Ω2; б – сечение потока; в – профиль аксиальный скорости

194

в

Рассмотрим движение двух несжимаемых, несмешивающихся жидкостей в области, представленной на рис. 1. Считаем, что жидкости имеют одинакоˆ [1] и µ ˆ [2 ] . Более того, жидкость 2 имеет вую плотность ˆρ , но разную вязкость µ [2 ]

предел текучести ˆτ0 . Следовательно, с учетом принятых предположений, математическая постановка задачи будет включать: – уравнения движения [k ] ⎡ ∂u ˆi ˆi ⎤ ∂u ∂ˆp ∂ˆτ ij ; ˆ ˆρ⎢ + uj + ⎥=− ˆ ∂ˆx j ⎦ ∂ˆxi ∂ˆx j ⎣ ∂t

(1)

– уравнение неразрывности

ˆj ∂u = 0, (2) ∂ ˆx j где к – индекс жидкости (1 – Ньютона жидкость, расположенная в области Ω1, 2 – жидкость Шведова-Бингама, расположенная в области Ω2)

[

ˆ)=µ ˆ ); ˆτ[ij1] (u ˆ [1]ˆγ& ij (u

(3)

ˆ ∂u ˆ ∂u ˆγ& ij ( u ˆ)= i + j ; ∂ˆx j ∂ˆxi

(4)

]

1

2 2⎤ ⎡1 3 ⎡1 3 2⎤ ˆγ& ( u ˆ ) = ⎢ ∑ ˆγ& ij ( u ˆ ) ⎥ , ˆτ [2 ] ( u ) = ⎢ ∑ [ˆτ [ij2 ] ( u ˆ )] ⎥ ⎣ 2 i , j =1 ⎦ ⎣ 2 i , j =1 ⎦

1 2

(5)

интенсивность скоростей деформации и интенсивность напряжений по Мизесу, соответственно,

ˆγ& ( u ) = 0 ⇔ ˆτ[2 ] ( u ) ≤ ˆτ Υ

(6)

⎡ [2 ] ˆτ Υ ⎤ [2 ] ˆτ [ij2 ] ( u ) = ⎢µ ˆ + ⎥ γ& ij ( u ) ⇔ ˆτ ( u ) > ˆτ Υ . & γ ( u ) ⎣ ⎦

(7)

Уравнения (1), (2) решаем при следующих граничных условиях: На входе в область течения задаем давления ∆p (или заданный расход Q), на твердых границах области условия не протекания и прилипания, на выходе из области течения условия установления. На свободной поверхности раздела r dx r = u , задаем непрежидкостей, движущихся с кинематическим условием dt рывность скоростей и напряжений. Задачу решаем в безразмерном виде (1)–(7) x=

ˆ ˆ ˆt U ˆτ ij R ˆp ˆ ˆx u . , , t = 0 , u= , p= τ = ij ˆ ˆ ˆ0 ˆ 02 ˆ0 ˆρU R R U µ [2 ]U

(8)

Следовательно с учетом принятых масштабов основных переменных уравнений (1), (2) [k ] 1 ∂τ ij ∂p ∂u ∂ui (9) + [2 ] + uj i = − ∂xi Re ∂x j ∂x j ∂t

195

∂u ∂x

j

= 0 ,

(10)

j

r где p(x,t) – раздела давление, u(x, t) вектор скорости, и τ[ijk ] ( x, t ) касательные напряжения. Безразмерная форма реологического уравнения для жидкости Шведова-Бингама γ& ( u ) = 0 ⇔ τ [2 ] ( u ) ≤ B, (11) ⎡ B ⎤ τ [ij2 ] ( u ) = ⎢1 + ⎥ γ& ij ( u ) ⇔ & ⎣ γ( u ) ⎦

τ [2 ] ( u ) > B,

(12)

[1]

и для жидкости Ньютона: τ ij = mγ& ij . Безразмерные параметры, имеют вид Re[2 ] =

2] ˆU ˆ0 ˆτ [yield ˆρR ˆ [1] µ , B = , m = [2 ] [2 ] [ ] 2 ˆ 0µ ˆ ˆ µ µ ˆ U

.

(13)

Численное решение осисимметричного потока Вариационная постановка задачи Для вариационной постановки задачи воспользуемся методом. Для ползущего движения Re