Математика. Часть 4: Учебное пособие для студентов по специальности ''Психология''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет Кафедра математического моделирования И. Г. Карелина

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 4 учебное пособие для студентов 1-го курса по специальности 020400 “Психология”

ВОРОНЕЖ 2002

Карелина И.Г. Математика.– Воронеж:ВГУ, 2002.– 32 с.

Вашему вниманию предлагается четвертая часть курса лекций по дисциплине "Математика", читаемого на факультете философии и психологии студентам, обучающимся по специальности Психология. Дисциплина "Математика"входит в блок естественно-научных и математических дисциплин ГОС ВПО по специальности 020400 Психология, читается студентам на первом курсе в течение двух семестров и рассчитана на 150 часов аудиторных занятий и 150 часов самостоятельной работы студентов. Об организации текста. Пособие представляет собой курс лекций. Каждая лекция имеет деление на пункты, которые могут быть взяты за основу экзаменационных и зачетных вопросов. Нумерация формул в каждой лекции автономна. Начало доказательств отмечено знаком ., окончание доказательства соответственно знаком J . В конце лекций имеются упражнения для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. Рецензенты: заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей, доктор физико-математических наук А.В.Глушко Печатается в соответствии с решением Научно-методического совета математического факультета протокол № 3 от 16 декабря 2002 года.

(с) Карелина И.Г., 2002 (с) Воронежский государственный университет, 2002 2

Содержание СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 4 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 4 Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 МАТРИЦЫ Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . Матричная форма системы линейных уравнений Преобразование векторов . . . . . . . . . . . . . Приложения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

23 23 25 27 28 29 31 32

Лекция 14. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 14.1. Системы линейных уравнений 14.2. Определитель 14.3. Матрица 14.4. Свойства определителя 14.5. Упражнения 14.1. Системы линейных уравнений Рассмотрим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными   a11 x + a12 y = b1 ,  a21 x + a22 y = b2 ,

(1)

здесь a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 , – действительные числа, x, y – неизвестные величины. Решением системы линейных уравнений называется упорядоченная пара чисел (x0 , y0 ), при подстановке которой каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство. Для нахождения решения этой системы воспользуемся методом исключения неизвестных. Для исключения переменной y умножим первое уравнение системы на a22 , второе - на −a12 , и сложим первое уравнение и второе; для исключения переменной x умножим первое уравнение системы на −a21 , второе - на a11 , и сложим первое уравнение и второе  a22 −a21 a x + a y = b  11 12 1    + +     a21 x + a22 y = b2 −a12 a11 получим систему уравнений, каждая строка которой содержит только одну неизвестную величину   (a11 a22 − a12 a21 )x = b1 a22 − b2 a12 , (2)  (a11 a22 − a12 a21 )y = b2 a11 − b1 a21 , перед которой стоит один и тот же коэффициент ∆ = a11 a22 − a12 a21 . 4

(3)

Возможно несколько случаев. 1. Если ∆ 6= 0, то, разделив обе части каждого из уравнений системы на число ∆ 6= 0, получим единственное решение системы  b1 a22 − b2 a12   , x =  0  ∆ (4) b2 a11 − b1 a21   .   y0 = ∆ Условие ∆ 6= 0 означает, что коэффициенты линейной системы обладают свойством a11 a12 6= . a21 a22

(5)

2. Если ∆ = 0, то левая часть каждого из уравнений системы (2) равна 0. Если, кроме того, хотя бы в одном из уравнений правая часть отлична от нуля b1 a22 − b2 a21 6= 0,

либо

b2 a11 − b1 a21 6= 0,

то исходная система не имеет решений. Таким образом, отсутствие решений у исходной системы означает, что ее коэффициенты обладают свойством a12 b1 a11 = 6= . a21 a22 b2

(6)

3. Если ∆ = 0, то левая часть каждого из уравнений системы (2) равна 0. Если, кроме того, правая часть каждого из уравнений равна нулю b1 a22 − b2 a21 = 0,

и b2 a11 − b1 a21 = 0,

то исходная система имеет бесконечно много решений. Таким образом, наличие у исходной системы бесконечного множества решений означает, что коэффициенты системы, стоящие в первом уравнении, пропорциональны коэффициентам системы, стоящим во втором уравнении a12 b1 a11 = = . a21 a22 b2

(7)

Проиллюстрируем полученные результаты графически. Графиком каждой из функций, стоящих в строках системы (1), является прямая линия. Решить систему (1) – значит найти координаты точек пересечения этих прямых.

5

Условие (5) означает, что прямые пересекаются в точке с координатами (x0 , y0 ), которые находятся с помощью (4).

a11 a12 a21 = a22

a21 x + a22 x = b2

y

a x+ a x = b 11

1

x

0

a11 a12 b a21 = a22 = b2

12

1

y

a x+ a x = b 11

0

12

1

Условие (6) означает, что прямые параллельны, а значит, не имеют точек пересечения.

x

a21 x + a22 x = b2

a11 a12 b a21 = a22 = b2 y 1

Условие (7) означает, что прямые совпадают, а значит, имеют бесконечно много общих точек.

a x+ a x = b a21 x + a22 x = b2 11

0

1

12

x

14.2. Определитель Число решений системы уравнений, как было показано в предыдущем пункте, зависит от числа ∆ = a11 a22 − a12 a21 , определяемого коэффициентами системы (1). Это число называют определителем второго порядка системы линейных уравнений (1) и записывают в виде

∆ = a11 a22 − a12 a21

a11 a12 = a21 a22

,

(8)

где элементами таблицы являются коэффициенты исходной линейной системы уравнений. 6

Рассмотрим определитель ∆x , полученный из определителя системы ∆ заменой его первого столбца на столбец свободных членов и определитель ∆y , полученный соответственно заменой второго столбца на столбец свободных членов b1 a12 a11 b1 , ∆y = ∆x = b a a b 2 22 21 2 С помощью определителя, если ∆ 6= 0, решение системы (1) можно записать в виде x0 =

∆x , ∆

y0 =

∆y . ∆

(9)

Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x0 ; y0 ), которое находят по формулам (9). Пример Для всех значений параметра a решить систему   ax − 4y = a + 1,  2x + (a + 6)y = a + 3. Вычислим определитель a −4 ∆ = 2 a+6

= a(a + 6) − (−4) · 2 = a2 + 6a + 8.

Найдем, при каких a определитель ∆ = 0, для этого решим уравнение a2 + 6a + 8 = 0, его корни a = −4, a = −2. Для нахождения решения (x0 ; y0 ) системы воспользуемся правилом Крамера, для этого вычислим определители a+1 −4 = (a + 1)(a + 6) − (−4)(a + 3) = a2 + 11a + 18, ∆x = a+3 a+6 a a+1 ∆y = 2 a+3

= a)(a + 3) − 2(a + 1) = a2 + a − 2.

Таким образом, при a 6= −4, a 6= −2 система имеет единственное решение a2 + 11a + 18 x0 = 2 , a + 6a + 8 7

a2 + a − 2 y0 = 2 . a + 6a + 8

При a = −4 система не имеет решений, так как ∆ = 0, ∆x 6= 0, ∆y 6= 0. Так как при a = −2 ∆ = 0, ∆x = 0, ∆y = 0, то система имеет бесконечно ax − a − 1 много решений вида (x; ). 4 Решая, аналогично предыдущему, систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (так называемую систему третьего порядка)  a11 x + a12 y + a13 z = b1 ,     a21 x + a22 y + a23 z = b2 ,     a31 x + a32 y + a33 z = b3 ,

(10)

мы получаем равенства, в левой части которых в качестве коэффициента перед переменными x, y, z стоит выражение ∆ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a12 a13 −(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 ) = a21 a22 a23 a31 a32 a33

,

(11)

его называют определителем третьего порядка. Обозначим через ∆x , ∆y , ∆z соответственно определители, полученные из определителя ∆ заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов a11 a12 b1 b1 a12 a13 a11 b1 a13 b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2 ∆x = . , ∆y = , ∆z = b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x0 ; y0 ; z0 ), где x0 =

∆x , ∆

y0 =

8

∆y , ∆

z0 =

∆z . ∆

Правило нахождения определителя третьего порядка графически можно проиллюстрировать следующим образом со знаком “+”

со знаком “-”

Пример Вычислить следующие определители 5 7 3 −1 = 5 · (−1) − 7 · 3 = −26, 5 7 0 3 −1 1 = 5 · (−1) · 1 + 0 · 1 · 1 + 0 · 3 · 1− 0 1 1 −0 · (−1) · 0 − 5 · 1 · 1 − 1 · 7 · 3 = −5 − 5 − 21 = −21. 14.3. Матрица Рассмотрим произвольную систему m линейных уравнений c n неизвестными.  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1        a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2 ...        am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm 9

Здесь через aij обозначены коэффициенты, стоящие перед неизвестной xj в i-той строке, через bi обозначен свободный член в i-той строке. Прямоугольную таблицу чисел, содержащую m строк и n столбцов, называют матрицей системы линейных уравнений или просто матрицей   a11 a12 a13 . . . a1n    a21 a22 a23 . . . a2n     A=   . . .     am1 am2 am3 . . . amn Здесь через aij обозначены элементы, стоящие в i-той строке и j-том столбце. Матрицу, содержащую столбец свободных членов, называют расширенной матрицей   a11 a12 a13 . . . a1n b1    a21 a22 a23 . . . a2n b2     Aˆ =    . . .     am1 am2 am3 . . . amn bm Если число строк и столбцов матрицы совпадает,то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n, в противном случае – прямоугольной порядка m × n. Каждой квадратной матрице порядка n можно поставить в соответствие число, называемое ее определителем a11 a12 a21 a22 det A = an1 an2

a13 . . . a1n a23 . . . a2n ... an3 . . . ann

Для матриц второго и третьего порядка правило нахождения определителя мы установили выше. Сформулируем правило для вычисления определителя произвольного порядка. 10

Минором Mij элемента aij i-тая строка и j-тый столбец. a11 . . . a1j−1 ... ai−11 . . . ai−1j−1 . . . aij−1 Mij = ai1 ai+11 . . . ai+1j−1 ... an1 . . . anj−1

называют определитель, в котором вычеркнуты a1j . . . ai−1j aij ai+1j . . . anj

a1j+1

. . . a1n ...

ai−1j+1 . . . ai−1n aij+1 . . . ain ai+1j+1 . . . ai+1n ... anj+1

. . . ann



Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называют его минор Mij , взятый со знаком (−1)i+j Aij = (−1)i+j · Mij . Вычисление определителей выше третьего порядка сводится к вычислению определителей более низкого порядка, разложив его по i-той строке (j-тому столбцу) по правилу a11 a12 . . . a1j . . . a1n a21 a22 . . . a2j . . . a2n . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain = (12) . . . a a ... a ... a nj nn n1 n2

= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + aij Aij + · · · + ain Ain

Правило Крамера. Если определитель ∆ матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 , . . . xn отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x01 ; x02 ; . . . ; x0n ), которое находят по правилу x0i = 11

∆i , ∆

где определитель ∆i получается из определителя ∆ заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы. Пример Пользуясь правилом Крамера, решим систему линейных уравнений 4-го порядка  x2 +x4 =1       −3x3 +x4 =1  2x1       

3x2 x2

+x3 +2x4 −x3

=0 = −1

Матрица и расширенная матрица этой системы имеют вид    0 1 0 1 0 1 0     2 0 −3 1   2 0 −3    ˆ=  A= A 0 3 1 2  0 3 1       0 1 −1 0 0 1 −1

1 1 1 1 2 0 0 −1

       

Вычислим определитель матрицы A, разложив его по первому столбцу, так как из четырех элементов этого столбца три равны нулю, 0 1 0 1 0 −3 1 2 0 −3 1 3 1 2 1+1 ∆ = det A = + = (−1) · 0 · 0 3 1 2 1 −1 0 0 1 −1 0 1 0 1 1 0 1 0 −3 1 3 1 2 3+1 2+1 +(−1) · 2 · + + (−1) · 0 · 1 −1 0 1 −1 0 1 0 1 0 −3 1 4+1 +(−1) · 0 · = −2 · (0 + 0 − 3 − 1 − 0 + 2) = 4, 3 1 2 в силу правила Крамера, так как ∆ 6= 0, система имеет единственное решение. 12

Вычислим определители ∆i , i = 1, 2, 3, 4, которые получаются из определителя ∆ заменой его i-того столбца на столбец свободных членов. Для нахождения ∆1 разложим его по первой строке

∆1

1 1 = 0 −1

0 1 0 −3 1 0 −3 1 1+1 3 1 2 = (−1) · + 3 1 2 1 −1 0 1 −1 0 1

1 −3 1 1 0 −3 1+2 1+4 0 1 2 0 3 1 +(−1) · + (−1) · = −1 −1 0 −1 1 −1 = (−6 − 1) − (6 + 1 + 2) − (−3 − 9 − 1) = −3, поэтому x1 =

3 ∆1 = − = −0, 75. ∆ 4

Для нахождения определителя ∆2 разложим его по первому столбцу

∆2

=

0 1 1 0 1 2 1 −3 1 0 1 2 2+1 = (−1) · 2 · = 0 0 1 2 −1 −1 0 0 −1 −1 0 0

1

= −2 · (1 + 2) = −6, поэтому x2 =

6 ∆2 = − = −1, 5. ∆ 4 13

Для нахождения определителя ∆3 разложим его по первому столбцу

∆2

=

1 1 1 1 1 2 0 1 1 3 0 2 2+1 = (−1) · 2 · = 0 3 0 2 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1

= −2 · (2 − 3 + 2) = −2, поэтому x3 =

2 ∆3 = − = −0, 5. ∆ 4

Для нахождения определителя ∆4 разложим его по первому столбцу

∆2

=

1 1 0 1 2 0 −3 1 3 1 0 2+1 = (−1) · 2 · = 0 3 1 0 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 1

0

= −2 · (−3 − 1 − 1) = 10, поэтому x4 =

10 ∆4 = = 2, 5. ∆ 4

Решением системы линейных уравнений является вектор с координатами (−0, 75; −1, 5; −0, 5; 2, 5).

14

14.4. Свойства определителей В силу формулы (12) вычисление определителя произвольного порядка может быть сведено к вычислению определителей третьего порядка. Поэтому, сформулировав свойства для определителей произвольного порядка, их доказательство приведем для определителей третьего порядка. 1. Общий множитель строки (или столбца) можно выносить за знак определителя a11 a12 kai1 kai2 an1 an2

. . . a1j ... . . . kaij ... . . . anj

a11 a12 . . . a1n . . . kain = k ai1 ai2 an1 an2 . . . ann

. . . a1j . . . a1n ... . . . aij . . . ain ... . . . anj . . . ann

. Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какойнибудь строки, например второй, имеют один и тот же множитель k a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 = a11 ka22 a33 + a12 ka23 a31 + a13 ka21 a32 − a31 a32 a33 −(a13 ka22 a31 + a12 ka21 a33 + a11 ka23 a32 ) = = k [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a12 a13 −(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 )] = k a21 a22 a23 a31 a32 a33



J 2. Если некоторая строка (столбец) определителя представляет собой сумму двух строк (столбцов), то определитель равен сумме определителей, у которых указанная строка (столбец) равна соответствую15

щему слагаемому, а остальные стоки (столбцы) такие же, как у исходного определителя a11 a12 ai1 + i1 ai2 + i2 an1 an2 a11 a12 = ai1 ai2 an1 an2

. . . a1j

. . . a1n

... . . . aij + cij . . . ain + cin ... . . . anj

. . . ann

. . . a1j . . . a1n a11 a12 ... . . . aij . . . ain + ci1 ci2 ... . . . anj . . . ann an1 an2

= . . . a1j . . . a1n ... . . . cij . . . cin ... . . . anj . . . ann

. Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какойнибудь строки, например второй, представляют собой сумму некоторых чисел a2j + c2j a11 a a 12 13 a21 + c21 a22 + 22 a23 + 23 = a31 a a 32 33 = a11 (a22 + 22 )a33 + a12 (a23 + 23 )a31 + a13 (a21 + c21 )a32 − −a13 (a22 + c22 )a31 − a12 (a21 + c21 )a33 − a11 (a23 + c23 )a32 ) = = [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ] + + [a1122 a33 + a1223 a31 + a1321 a32 − a1322 a31 − a1221 a33 − a1123 a32 ] = a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 21 22 23 = + a31 a32 a33 a31 a32 a33 J 16

3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то определитель изменит знак на противоположный

a11 a12 . . . a1j . . . a1n ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain ... = − ak1 ak2 . . . akj . . . akn ... an1 an2 . . . anj . . . ann

a11 a12 . . . a1j . . . a1n ... ak1 ak2 . . . akj . . . akn ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain ... an1 an2 . . . anj . . . ann

. Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого третья и вторая строки поменялись местами a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23

= a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 − −(a13 a21 a32 + a11 a22 a33 + a12 a23 a31 ) =

= − [a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a12 a13 −(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 )] = − a21 a22 a23 a31 a32 a33 J

17



4. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . =0 ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . a a ... a ... a nj nn n1 n2 . Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого вторая и третья строки одинаковые a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a23 + a12 a21 a23 + a13 a21 a22 − a21 a22 a23 −(a13 a22 a21 + a11 a22 a23 + a12 a21 a23 ) = 0 J 5. Определитель, имеющий строку (столбец), состоящую из нулей, равен нулю i − ая строка

a11

a12

. . . a1j

. . . a1n

... ai−11 ai−12 . . . ai−1j . . . ai−1n 0

0

... 0

... 0

ai+11 ai+12 . . . ai+1j . . . ai+1n ... an1

an2

. . . anj

18

. . . ann

=0

. Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого вторая строка состоит только из нулевых элементов a11 a12 a13 0 0 0 a31 a32 a33

= a11 · 0 · a33 + a12 · 0 · a31 + a13 · 0 · a32 − −(a13 · 0 · a31 + a11 · 0 · a32 + a12 · 0 · a33 ) = 0

J 6. Если к каждому элементу некоторой строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то получим определитель, равный данному a a . . . a . . . a 11 12 1j 1n . . . ai−11 ai−12 ... ai−1j ... ai−1n ai1 + αak1 ai2 + αak2 . . . aij + αakj . . . ain + αakn a a . . . a . . . a i+11 i+12 i+1j i+1n = . . . ak1 ak2 ... akj ... akn ... an1 an2 ... anj ... ann =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n ... ai1 ai2 . . . aij . . . ain ... ak1 ak2 . . . akj . . . akn ... an1 an2 . . . anj . . . ann 19

. Доказательство. Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какойнибудь строки, например второй, представляют собой сумму a2j + αa3j a11 a a 12 13 a21 + αa31 a22 + αa32 a23 + αa33 = a31 a32 a33 В силу свойств 1 и 2 исходный определитель равен сумме определителей a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = +α a31 a32 a33 a31 a32 a33 Последний определитель равен 0, так он имеет две одинаковых строки. J 14.5. Упражнения Задание 14.1. Для всех значений параметра a решить систему уравнений ( ( ax + y = 1 ax + (a − 1)y = 1 1) 2) 4x − 2y = b (a + 1)x + (3a − 5)y = a ( ( ax + 2y = a + 2 x + 2y = 2 − a 3) 4) 2ax + (a + 1)y = 2a + 4 −x + ay = a − 2a2 ( 5)

a2 x + (2 − a)y = a2 + 4

( 6)

ax + (2a − 1)y = a5 − 2

2x + (9a2 − 2)y = 6a − 2 x+y =1

Задание 14.2. Найдите определитель матрицы A и алгебраическое дополнение Aij к элементу aij матрицы A  1) A =   3) A = 

1 −2

 ;

−1

2

2 −3



0

;

5

A21

A12

20



3 0



2) A = 

−2 4

;



−3 4



4) A = 

2 1

;

A11

A22



1 1 −2

  5) A =  −1 2  0 2 

0

 0 ;  3

3 −2

  7) A =  1 −4 −3  2 0 −1    9) A =      11) A =      13) A =  

4 1 −2

  ; 

A11

 A13

 A22





 1 −2 4  ;  −1 2 1 1 −1

0

A12



 3 −1  ;  0 −1 3

0

2

0 2

3

  12) A =  −1 4 −2  −2 0 −3

A31



 2 −4 1  ;  −2 −2 0

3 0

A21



   −1 −4 −3  10) A =  ;   −2 1 0



 0 ;  −1 0 −2

0

  8) A =  2  2



0 1

1 −3 4

  6) A =  



 2 0 −1  ;  −1 1 1 2 3 −2





   14) A =  

A33

−1 −3 2 4 −2

A23

   ; 

A32



 0 3 ;  1 4

A12

Задание 14.3. Вычислите определитель матрицы A с помощью его разложения по строке (столбцу) 

1 −2 −1

 0  1) A =  0   1

0





1 0 −1 0



   2 3 −2 1     2) A =   −1 0 2 3      0 1 −1 1

 1   2 0 −1    3 −2 2 1 −3

21

1



  −1 1 0 2  3) A =   0 −2 0 3   4 −3 0 −1

      





1

2 3





  0 3 0 0    5) A =   2 −2 2 −2      1 3 2 4

   6) A =    

4 1 −1

2 1 0



   −1 2 3 1     4) A =   0 4 2 0     1 −1 1 0



1

1

1

2

2

1



 1   1 2 2 2   −1 −2 −2 −1 0

3

2

Задание 14.4. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера

1)

 x1 +2x2 +x3 +4x4 = 1       −x2 −2x3 +x4 = 3         x1

3)

5)

3x2

−x3

−x2

 x1 +x2       x2 

+x4 = 1 −2x4 = 2

−x3

+x4 = 1 =2

x1 −x2 +2x3 +x4 = −2        4x1 +x2 +3x3 +2x4 = −1  x2 +2x3        x1 +2x2 +x3 x1       

−x2 −2x3 x2

2)

4)

+x4 = 3 −x4 = 1 −x4 = −2

6)

−x3 +2x4 = 1

22

 2x1 −x2 +4x3 +3x4 = −1       +x3 −x4 = 1  x1 −2x3

3x1        x1  2x1        x1

−x4 = −1

−2x3 +2x4 = −1 +x2

−x3 +4x4 = 1

+x2

−x3 −3x4 = 2

x4 = 1        2x1 −2x2 −2x3 −2x4 = −2  x1 +2x2       −x2 +x3 

−x4 = 1 +x4 = 3

2x1 −x3 +x4 = −1        x1 −2x2 +2x4 = 2

Лекция 15. МАТРИЦЫ 15.1. Основные понятия 15.2. Действия над матрицами 15.3. Обратная матрица 15.4. Матричная форма системы линейных уравнений 15.5. Преобразование векторов 15.6. Приложения матриц 15.7. Упражнения 15.1. Основные понятия Прямоугольную таблицу, составленную из чисел – коэффициентов линейной системы уравнений (в общем случае, любого порядка) –   a11 a12 . . . a1n−1 a1n    a21 a22 . . . a2n−1 a2n    , A=   . . .     am1 am2 . . . amn−1 amn называют матрицей. Элементы матрицы – числа aij , где i означает номер строки, в которой находится элемент, а j - соответственно номер столбца; m – число строк, n – число столбцов. Иногда для матриц используют обозначение A = ||aij ||i=1,n, j=1,m . Если m = n, то есть число строк и столбцов совпадает, то матрицу называют квадратной порядка n, в противном случае – прямоугольной порядка m × n.. ˆ которая поВместе с матрицей A рассматривают расширенную матрицу A, лучается из матрицы A добавлением столбца свободных членов системы   a11 a12 a13 . . . a1n b1    a21 a22 a23 . . . a2n b2    .  Aˆ =    . . .     am1 am2 am3 . . . amn bm

23

Строки матрицы называют вектор-строками, столбцы – векторстолбцами. Матрица, у которой все элементы – нули, называется нулевой матрицей. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов aii , i = 1, . . . , n, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называют диагональной матрицей.   a11 0 0 . . . 0 0    0 a22 0 . . . 0  0       . . . Adiag =  .    0 0 0 . . . an−1n−1 0      0 0 0 ... 0 ann Определитель произвольной диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов det Adiag = a11 aa22 . . . ann . Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей   1 0 0 ... 0 0    0 1 0 ... 0 0        . . . I= .    0 0 0 ... 1 0      0 0 0 ... 0 1 Отметим, что определитель единичной матрицы равен 1. Матрица AT , полученная из исходной матрицы A переменой ее строк и столбцов, называется транспонированной матрицей   a11 a21 . . . am−11 am1    a12 a22 . . . am−12 am2    , A=   . . .     a1n a2n . . . am−1n amn то есть элементы матриц AT и A связаны соотношением aTij = aji . Если матрица A совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть A = AT , ее называют симметрической.

24

Если определитель квадратной матрицы равен нулю, ее называют вырожденной, в противном случае, если определитель матрицы отличен от нуля, ее называют невырожденной.

15.2. Действия над матрицами Рассмотрим матрицы A и B, имеющие одинаковый порядок m × n. Суммой двух матриц A и B называют матрицу C, имеющую тот же порядок, что и матрицы A и B, элементы которой получаются по правилу cij = aij + bij , то есть 

a11 a12 . . . a1n−1 a1n

  a21 a22 . . . a2n−1 a2n  A+B =  ...   am1 am2 . . . amn−1 amn



a11 + b11

a12 + b12





b11 b12 . . . b1n−1 b1n

    b21 b22 . . . b2n−1 b2n   +   ...     bm1 bm2 . . . bmn−1 bmn

. . . a1n−1 + b1n−1

a1n + b1n

  a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n−1 + b2n−1 a2n + b2n  =  ...   am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn−1 + bmn−1 amn + bmn

    =   

    .   

Отметим, что в общем случае det (A + B) 6= det A + det B. Например,        

5 3

2

4

0





−4 −3 −2 −4

   1 −2 −2    −2 −1 −1 +  1 3 −3 0 0    −1 −3 4   7 −2 −1 −7 2 1 −1 5 2 2

25

0





1 0 0 0 0



   0 1 0 0 0 2    . =   0 0 0 0 1 0 0     0 0 0 1 0 2 −5 2

Произведением матрицы A на число k называют матрицу C, элементы которой получены умножением элементов матрицы A на число k, то есть cij = kaij , то есть 

a11 a12 . . . a1n−1 a1n

  a21 a22 . . . a2n−1 a2n  kA = k ·   ...   am1 am2 . . . amn−1 amn



ka11 ka12 . . . ka1n−1 ka1n



    ka21 ka22 . . . ka2n−1 ka2n   =   ...     kam1 kam2 . . . kamn−1 kamn

      



Из определения умножения матрицы на число следует, что det (kA) = k det A, где n – порядок матрицы A. n

Например,     2·   

5 3

2

4

0





10 6

4

8

0



     1 −2 −2  4 4 2 −4 −4    = .   1 3 −3 0 0  1 6 −6 0 0       −7 2 1 −1 5 −14 4 2 −2 10 2 2

Из определения транспонированной матрицы, очевидно, следует, что (A + B)T = AT + B T ,

(kA)T = kAT .

Проверьте (!), что множество всех матриц одинакового порядка с введенными операциями умножения матрицы на число и сложения матриц образует линейное пространство, то есть на множестве всех матриц одинакового порядка выполняются все аксиомы линейного пространства. Введем операцию умножения двух матриц. Пусть даны матрица A, имеющая порядок m × k и матрица B, имеющая порядок k × n, то есть число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Произведением матриц A и B называют матрицу C порядка m × n, каждый элемент cij которой представляет собой сумму произведений каждого элемента i-той строки матрицы A на соответственные элементы j-того столбца матрицы B, то есть cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aik bkj =

k X l=1

26

ail blj .

Например,    3 −1 5 1 1 3 0     2 1 1   −1 2 0 1 ·     0 1 0 −2 0 −1 1





0

5

5

4

    5 1 10 1 =   1 −1 0 −3

   . 

Отметим сразу, что результат умножения матриц зависит от порядка матриц, то есть в общем случае AB 6= BA. Покажем это на простом примере 

1 0

 

0 0





0 0





0 0

 

1 0





0 0





0 0

·

1 0

=

0 0

,



1 0

·

0 0

=

1 0

.

Непосредственно можно проверить свойство (AB)T = B T AT . 15.3. Обратная матрица Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу A, то есть det A 6= 0. Каждой невырожденной матрице A можно поставить в соответствие матрицу −1 A такую, что выполняется равенство AA−1 = A−1 A = I. Матрицу A−1 называют обратной матрице A. Из последнего равенства следует, что det A · det(A−1 ) = det I = 1,

det(A−1 ) =

1 . det A

Обозначим через Aij алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A. Тогда обратную матрицу можно найти по правилу   A11 A12 . . . A1n−1 A1n    A21 A22 . . . A2n−1 A2n    1 . A−1 = ·   . . . det A     An1 An2 . . . Ann−1 Ann Проверьте (!), используя правило умножения матриц, последнее равенство.

27

15.4. Матричная форма системы линейных уравнений Рассмотрим систему n линейных уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , . . . , xn  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1        a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2 (1) ...        an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + ann xn = bn Обозначим через A матрицу системы уравнений (1), через B – векторстолбец свобоных членов, через X – искомый вектор       x1 b1 a11 a12 . . . a13 a1n        x2   b2   a21 a22 . . . a23 a2n         , X =  , B =  A=       ...  ...    ...         xn bn an1 an2 . . . an3 ann Тогда система линейных уравнений (1) может быть записана в виде AX = B. Такая запись системы уравнений называется матричной формой системы уравнений (1). Если столбец свободных членов – нулевой вектор, то есть   0   0     B=Θ=  ... ,     0 то система уравнений является однородной. Если матрица A системы является невырожденной (то есть det A 6= 0), то существует обратная матрица A−1 . Умножим матричное уравнение AX = B слева на матрицу A−1 , получим A−1 AX = A−1 B,

28

так как A−1 A = I, IX = X, то из последнего равенства находим искомый вектор X = A−1 B.

(2)

Утверждение 1. Если матрица системы линейных уравнений (1) невырождена, то система имеет единственное решение X = A−1 B. . Доказательство. В предположении противного существуют два различных решения X 0 , X 00 системы линейных уравнений (1). То есть выполняются тождества AX 0 = B и AX 00 = B. Вычитая из первого равенства второе, получим A(X 0 − X 00 ) = B − B = Θ. Умножим последнее равенство слева на матрицу A−1 , получим A−1 A(X 0 − X 00 ) = A−1 Θ = Θ, то есть X 0 − X 00 = Θ, откуда X 0 = X 00 , что и означает единственность найденного решения. J Замечание 1. Если подробно расшифровать формулу (2), то получим то же правило Крамера, которое было сформулировано в лекции "Определитель". Последнее утверждение позволило установить единственность найденного решения. Замечание 2. Матричную запись линейной системы (1) можно использовать и в случае, когда матрица A не является квадратной. Однако при этом нельзя перейти к формуле (2), поскольку в этом случае матрица A не имеет обратной. 15.5. Преобразование векторов Пусть X – вектор пространства Rn , A – матрица размерности m × n. Тогда в результате умножения матрицы A на вектор X, получим вектор Y = AX, который лежит в пространстве Rm . Таким образом, с помощью матрицы A осуществляется отображение пространства Rn в пространство Rm . Пусть матрица A является квадратной порядка n. Если матрица A невырожденная, то есть существует обратная матрица A−1 , то матрица A определяет взаимно-однозначное соответствие пространства Rn в пространство Rn .

29

1. Ортогональное преобразование векторов. Пусть квадратная матрица A невырожденная, а обратная матрица совпадает с транспонированной, то есть A−1 = AT , то преобразование, задаваемое матрицей A, называют ортогональным преобразованием. Утверждение 2. Ортогональное преобразование не меняет длину вектора. Ортогональные преобразования не меняют длину вектора, меняя лишь его направление. . Доказательство. Вначале покажем, что из равенства A−1 = AT следует, что (AX)T = X T AT . (AX)T = 

a11 . . . a1n

  a21 . . . a2n   =  ...   an1 . . . ann



x1

T



a11 x1 + . . . +a1n xn

    a21 x1 + . . . +a2n xn   x 2      =      . . .  ...       an1 x1 + . . . +ann xn xn

T     =   

= (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , . . . , an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn ) = 

a11 a21 . . . an1

  a12 a22 . . . an2  = (x1 x2 . . . xn )   ...   a1n a2n . . . ann

     = X T AT   

Используя полученное равенство (AX)T = X T AT и свойство матрицы A−1 = AT , задающей ортогональное преобразование векторов, покажем, что ортогональное преобразование вектора не меняет его длину. |Y 2 | = (Y ; Y ) = Y T Y = (AX)T AX = X T AT AX = =

X T A−1 AX = X T IX = X T X = (X; X)

что и означает требуемое. J

30

= |X|2 ,

2. Преобразование векторов, не меняющее направление вектора. Рассмотрим преобразование векторов в пространстве R2 с помощью матрицы 

k 0



A=

0 k

,

k > 0.

Пусть вектор X ∈ R2 , тогда      k 0 x1 kx1  =  = kX. AX =  0 k x2 kx2 Таким образом, в результате преобразования вектора X с помощью матрицы A получили вектор kX, сонаправленный с вектором X и отличающийся от исходного только длиной. В общем случае преобразованный вектор с помощью матрицы может отличаться от исходного вектора как длиной, так и направлением.

15.6. Приложения матриц Теория матриц широко используется при построении различных математических моделей. Приведем пример построения матрицы рационов. Так, матрица рациона человека может быть использована при расчете потребительской корзины, а матрица рациона животного может быть использована в проиводстве кормов. Рассмотрим следущую задачу. В различных продуктах питания содержатся витамины и минералы, а также белки, жиры, углеводы, необходимые для нормальной жизнедеятельности организма (животного или человека). Известно их содержание в различных продуктах питания. Пусть, например, в единицу времени (в день, в месяц, в год) организм потребляет первого продукта x1 единиц, второго – x2 единиц, ..., m-го продукта – xm единиц. Пусть i-тое вещество (из n веществ, среди которых – витамины, минералы, белки, жиры, углеводы) содержится в единице первого продукта - ai1 единиц, второго – ai2 единиц, ..., m-го продукта – aim единиц. Тогда в m продуктах i-тое вещество содержится в количестве ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + aim xm .

31

Количество каждого из n веществ в каждом из m продуктов можно представить в виде   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm вещество 1    вещество 2  a x + a x + a x + · · · + a x 22 2 23 3 2m m   21 1  =  ...  ...     вещество n an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm 

a11 . . . a1m

  a21 . . . a2m  =  ...   an1 . . . anm



x1



    x2        . . .  = AX.     xm

Матрицу A, первый столбец которой – содержание веществ (витаминов, минералов, белков, жиров, углеводов) в первом продукте, второй столбец – во втором продукте и т.д., называют матрицей рационов. Если, кроме того, имеются ограничения на потребления перечисленных веществ, то есть j-го вещества организм должен получить не менее bj единиц (j = 1, . . . , m), то приходим к системе линейных неравенств, которая может быть записана в матричной форме AX ≥ B, где B – вектор ограничений. Последняя задача решается методами теории линейного программирования.

15.7. Упражнения Задание 15.1. В Задании 3 к предыдущей лекции найдите транспонированную и обратную матрице A. Задание 15.2. В Задании 4 к предыдущей лекции найдите решите систему линейных уравнений в матричном виде.

Составитель Ирина Георгиевна Карелина, кандидат физико-математических наук, доцент Редактор О.А. Тихомирова 32