Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование

В О РО НЕ Ж СК И Й ГО СУ Д А РС ТВ Е ННЫ Й У НИ В Е РСИ Т Е Т Ф ак ультетприк ладно й математик и, инфо рматик и и механик и

ГУ Д О В И Ч Н.Н.

И ЗБРА ННЫ Е В О П РО С Ы К У РСА ЧИ СЛЕ ННЫ Х М Е ТО Д О В

В ыпус к 4. Чис ленно еинтегриро вание.

В О РО НЕ Ж 2002

2

10. И нтерпо ляц ио нныек вадратурныефо рмулы. П ус ть f – непрерывная на о трезк е [a,b] функ ц ия: f ∈ C[a,b]. Рас с мо трим о пределённый интеграл b

I ( f ) = ∫ f ( x )dx .

( 1.1 )

a

Е с ли f > 0 , то величина (1.1) ес ть пло щ адь к риво линейно й трапец ии, о граниченно й с верху график о м функ ц ии f ( р ис. 1.1). Напо мним, что по д к вадратуро й пло с к о й фигуры в узк о м с мыс ле по нимаю тзадачу по с тро ения к вадрата, пло щ адь к о торо го равна пло щ ади этой фигуры, а по д к вадратуро й фигуры в ш иро к о м с мыс ле – про с то задачу нахо ж дения пло щ ади фигуры. П о этому фо рмулы для приб лиж ённо го вычис ления интеграла (1.1) называю тк вадратурными фо рмулами.

Зачем нуж ны фо рмулы для приб лиж енно го вычис ления интеграла (1.1)? Д ело в том, что во с по льзо ватьс я фо рмуло й Нью тона-Лейб ниц а b

∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a )

( 1.2 )

a

невс егда во змо ж но . В о -первых, перво о б разная F(x) для заданно й по динтегрально й функ ц ии f(x) мо ж ето к азатьс я неизвес тно й для вычис лителя. В о -вторых, эта перво о б разная мо ж ето к азатьс я неэлементарно й функ ц ией, т.е. не принадлеж ать к лас с ам с тепенных функ ц ий, мно го члено в, рац ио нальных функ ц ий, триго но метричес к их и о б ратных триго но метричес к их функ ц ий, по к азательных и ло гарифмичес к их функ ц ий, гиперб о личес к их и о б ратных гиперб о личес к их функ ц ий, а так ж е функ ц ий, по лучаемых из перечисленных с

3

по мо щ ью четырёх арифметичес к их дейс твий и с уперпо зиц ий, взятых в к о нечно м чис ле. В этом с лучаенахо ж дениезначений перво о б разно й F(a), F(b) , фигурирую щ их в фо рмуле Нью тона-Лейб ниц а (1.2) , мо ж ето к азатьс я с ло ж но й задачей. О тметим по путно , что перво о б разная F мо ж ето к азатьс я неэлементарно й и в с лучае, к о гда с ама функ ц ия f – элементарна. К лас с ичес к ий пример так о го ро да даётфунк ц ия

f ( x ) = e− x

2

,

элементарная к ак с уперпо зиц ия по к азательно й и с тепенно й функ ц ий. Е ё перво о б разная – вс тречаю щ ийс я в тео рии веро ятно с тей “ интеграл о ш иб о к “ erf(x) – неэлементарная функ ц ия. В -третьих, ес ли функ ц ия f задана не аналитичес к и, а таб лиц ей с во их значений в нек о торых точк ах о трезк а [a,b] , то найти её перво о б разную и во с по льзо ватьс я фо рмуло й (1.2) непредс тавляется во змо ж ным. В о вс ех этих с лучаях интеграл (1.1) прихо дится вычис лять приб лиж ённо , заменяя по динтегральную функ ц ию f б лизк о й функ ц ией, интеграл о тк о торо й уж емо ж етб ыть вычис лен по фо рмуле Нью тона-Лейб ниц а; ес ли в к ачес тветак о й приб лиж аю щ ей функ ц ии б ерётся интерпо ляц ио нный мно го член, то фо рмулу для приб лиж ённо го значения интеграла называю тинтерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмуло й. И так , пус ть на о трезк е [a,b] выб раны по парно различныеточк и

x0 ,x1 , ... ,xn

,

(1.3)

и пус ть в этих точк ах заданы значения функ ц ии f :

f(x0 ), f(x1 ), ... , f(xn ) .

(1.4)

f(x) = pn (x) + rn (x) ,

(1.5)

И меем:

где

pn (x) = pn (x; {xi }; f ) - интерпо ляц ио нный мно го член, по с тро енный по значениям (1.4) функ ц ии f в узлах (1.3), а

rn (x) = rn (x; {xi }; f ) - по греш но с ть интерпо ляц ии в точк е x . П о дс тано вк а (1.5) в (1.1) даёт b

b

∫ f ( x )dx = ∫ pn ( x )dx

a

a

b

+

∫ rn ( x )dx a

.

4

П ерво ес лагаемо ев право й час ти по лученно го равенс тва b

I n ( f ) = ∫ pn ( x )dx

( 1.6 )

a

ес ть точно е значение о пределённо го интеграла о т интерпо ляц ио нно го мно го члена, вычис ляемо е по фо рмуле Нью тона-Лейб ниц а и принимаемо е в к ачес твеприб лиж ённо го значения о пределённо го интеграла о тис хо дно й функ ц ии f ; величина ж е b

Rn ( f ) = ∫ rn ( x )dx

( 1.7 )

a

ес ть по греш но с ть этого приб лиж ённо го значения. У с тано вим с трук туру выраж ения (1.6). Запис ывая интерпо ляц ио нный мно го член pn (x) в фо рме Лагранж а и по дс тавляя это предс тавление в (1.6), по лучим: n

∏( x − x j ) b

b

I n ( f ) = ∫ pn ( x )dx = ∫ ( a

a

j =0 j≠k n

n

∑ f ( xk )

)dx =

∏ ( xk − x j )

k =0

n

∑ f ( xk ) ⋅ Ak

,

k =0

j =0 j≠k

гдеис по льзо ваны о б о значения n

∏( x − x j ) b

Ak = ∫ a

j =0 j≠k n

dx

.

( 1.8 )

∏ ( xk − x j ) j =0 j≠k

Следо вательно , приб лиж енно е значение In ( f ) ис к о мо го интеграла I ( f ) ес ть линейная к о мб инац ия

In( f ) =

n

∑ f ( xk ) ⋅ Ak

k =0

( 1.9 )

5

значений функ ц ии f в точк ах (1.1) с к о эффиц иентами (1.8). О пределение 1.1. С умму в право й час ти равенс тва (1.9) называю т к вадратурно й с уммо й, а фигурирую щ ие в ней точк и xk и к о эффиц иенты Ak с о о тветственно к вадратурными узлами и к вадратурными к о эффиц иентами. Замечание 1.2. К вадратурные к о эффиц иенты (1.8) предс тавляю тс о б о й о пределённые интегралы о тмно го члено в. Т ак к ак нахо ж дение перво о б разно й о т мно го члена не предс тавляет труда, эти к о эффиц иенты легк о мо гут б ыть вычис лены по правилу Нью тона-Лейб ниц а. О тметим, что к вадратурные к о эффиц иенты, к ак это видно из фо рмулы (1.8), независ ято тзначений функ ц ии f в узлах интерпо ляц ии, а о пределяю тся ис к лю чительно рас по ло ж ением этих узло в на о трезк е [a,b]. Следо вательно , их до с таточно вычис лить лиш ь о дин раз, а затем ис по льзо вать для вычис ления о пределённых интеграло в о твс ех функ ц ий f , значения к о торых в этом наб о реузло в заданы. Замечание 1.3. К вадратурные к о эффиц иенты по лезно но рмиро вать, во с по льзо вавш ис ь линейно й замено й переменно го

x=a + (b –a)t

,

(1.10)

по ро ж даю щ ей взаимно о дно значно ео тоб раж ениео трезк а [0,1] о с и t на о трезо к [a,b] о с и x. О б о значая через tm про о б разы узло в xm , по дс тавляя в (1.8) вытек аю щ иеиз (1.10) равенс тва

x –xj = ( b –a )( t –tj ) , xk –xj = ( b –a )( tk –tj ) , dx = ( b –a )dt и перес читывая пределы интегриро вания, по лучим n

∏( t − t j )

1 j =0 j≠k Ak = ( b − a ) n 0 (t

∫

∏

j =0 j≠k

dt k

,

k = 0 , 1, ... , n.

−tj )

Следо вательно , к вадратурную с умму (1.9) мо ж но предс тавить в виде

In( f ) = ( b − a )

n

∑ f ( xk ) Bk

k =0

где Bk - но рмиро ванныек вадратурныек о эффиц иенты:

,

( 1.11 )

6

n

∏( t − t j )

1 j =0 j≠k n 0 (t

Bk = ∫

∏

j =0 j≠k

dt k

,

k = 0 , 1, ... , n.

( 1.12 )

−tj )

У к аж ем наиб о лее упо треб ительные интерпо ляц ио нные к вадратурные фо рмулы. П ри n=0 по динтегральная функ ц ия f заменяется интерпо ляц ио нным мно го члено м нулево й с тепени, т.е. к о нс тантой

p0 (x) = f(x0 ) . Гео метричес к и это с о о тветствует тому (с м. р ис.1.2 ), что пло щ адь к риво линейно й трапец ии, о граниченно й с верху график о м функ ц ии f , заменяется пло щ адью прямо уго льник а с длинами с торо н b – a, f(x0 ). П о этому по лученная приб лиж ённая фо рмула b

∫ f ( x )dx ≈ ( b − a ) f ( x0 )

( 1.13 )

a

называется фо рмуло й прямо уго льник а. Замечание 1.4. В к ачес тве к вадратурно го узла x0 о б ычно б ерутлевый к о нец о трезк а [a,b], правый к о нец этого о трезк а или его с ередину . Со о тветственно ( с м. р ис. 1.3 ) по лучаю т фо рмулу лево го , право го и ц ентрально го прямо уго льник а: b

∫

a

 ( b − a ) f ( a )  f ( x )dx ≈ ( b − a ) f ( b )  a+b ( b − a ) f ( )  2

.

( 1.14 )

7

П ри n=1 по динтегральная функ ц ия f заменяется интерпо ляц ио нным мно го члено м перво й с тепени, т.е. линейно й функ ц ией. Е с ли при этом в к ачес тве узло в интерпо ляц ии взяты к о нц ы о трезк а ( x0 = a , x1 =b ), то гео метричес к и это с о о тветствует тому ( р ис. 1.4 ), что в к ачес тве приб лиж ения к пло щ ади к риво линейно й трапец ии принимается пло щ адь прямо линейно й трапец ии с о с но ваниями f(a), f(b) и выс о той b – a. А так к ак пло щ адь прямо линейно й трапец ии равна про изведению по лус уммы о с но ваний на выс о ту, прихо дим к фо рмуле: b

∫ f ( x )dx ≈ ( b − a )

a

f (a )+ f (b) = ( b − a )( 21 f ( a ) + 12 f ( b )) 2

,

( 1.15 )

к о торую ес тес твенно назвать фо рмуло й трапец ии; к вадратурныек о эффиц иенты в этом с лучаеимею тзначения

B0 = B1 = 1/2 . Нак о нец , ес ли n=2 , то функ ц ия f заменяется мно го члено м второ й с тепени, график о м к о торо й является параб о ла; ес ли при этом в к ачес тве к вадратурных узло в приняты к о нц ы о трезк а и его с ередина ( x0 = a, x1 = (a+b)/2 , x2 = b ), то по лучается к вадратурная фо рмула, называемая фо рмуло й параб о лы, или фо рмуло й Симпс о на ( р ис. 1.5 ).

В ывес ти фо рмулу параб о лы из гео метричес к их с о о б раж ений, к ак это делало с ь для фо рмул прямо уго льник а и трапец ии, затруднительно , по этому нам придётся во с по льзо ватьс я фо рмулами (1.11), (1.12). В ычис ления по фо рмулам (1.12) с учётом равенс тв t0 =0, t1 =1/2 , t2 =1 даю т:

8

1

B0 = ∫ 0

1 1 )( t − 1 ) 3 1 1 2 dt = 2 ∫ ( t 2 − t + )dt = 1 2 2 6 ( − )( −1 ) 0 2

1(t

( t − t1 )( t − t2 ) dt = ∫ ( t0 − t1 )( t0 − t2 ) 0

1

−

1

1

( t − t0 )( t − t 2 ) t( t − 1 ) 2 B1 = ∫ dt = ∫ dt = −4 ∫ ( t 2 − t )dt = 1 1 ( t − t0 )( t1 − t2 ) 3 0 1 0 (− ) 0 2 2 1

B2 = ∫ 0

1

( t − t0 )( t − t1 ) dt = ∫ ( t 2 − t0 )( t 2 − t1 ) 0

,

1 1 ) 2 dt = 2 ( t 2 − 1 t )dt = 1 ∫ 1 2 6 1⋅( ) 0 2

,

t( t −

;

с ледо вательно , фо рмула Симпс о на имеетвид: b

∫

a

f ( x )dx ≈

b−a ( f ( a ) + 4 f (( a + b ) / 2 ) + f ( b )) . 6

( 1.16 )

О б ратимс я теперь к во про с у о по греш но с ти к вадратурно й фо рмулы. В с по миная фо рмулу для по греш но с ти интерпо ляц ио нно го мно го члена

f ( n + 1 ) ( ξ ( x )) n rn ( x ) = ∏( x − x j ) ( n + 1 )! j =0 и по дс тавляя это выраж ениев (1.7), по лучим

1 Rn ( f ) = ( n + 1 )!

b

∫f

( n +1 )

a

n

( ξ ( x )) ∏ ( x − x j ) dx ,

( 1.17 )

j =0

где ξ(x) – нек о торая точк а о трезк а [a,b]. Т ак к ак мо дуль интеграла не прево с хо дитинтеграла о тмо дуля, а мо дуль про изведения равен про изведению мо дулей с о мно ж ителей, имеем: b

n 1 ( n +1 ) Rn ( f ) ≤ f ( ξ ( x )) ⋅ ∏ ( x − x j ) dx . ( n + 1 )! ∫ j =0 a

9

Заменяя здес ь мо дуль (n+1) –в о й про изво дно й мак с имальным по о трезк у [a,b] значением и замечая, что рас с тояние ( x – xj ) меж ду точк ами x, xj о трезк а [a,b] не превыш аетдлины b – a о трезк а, прихо дим к выво ду о том, что для n+1 лю б о й функ ц ии f к лас с а C [a,b] с праведлива о ц енк а

Rn ( f ) ≤

1 ⋅ max f ( n +1 )( x ) ⋅ ( b − a )n + 2 ( n + 1 )! a ≤ x ≤ b

.

( 1.18 )

В зак лю чение к о с нёмс я во про с а о с хо димо с ти при n → ∞ (т.е. при нео граниченно м увеличении чис ла к вадратурных узло в ) приб лиж ённо го значения интеграла In ( f ) к его точно му значению I( f ), т.е. во про с а о с хо димо с ти гло б ально -интерпо ляц ио нно го к вадратурно го про ц ес с а на к лас с е непрерывныхна о трезк е [a,b] функ ц ий. П ри ис с ледо вании гло б ально й интерпо ляц ии с тавилс я во про с о том, с ущ ес твуетли алго ритм задания узло в интерпо ляц ии

n ⇒ { xi( n ) } in=0

, (n)

при к о торо м по с ледо вательно с ть интерпо ляц ио нных мно го члено в pn ({xi };f ), (n=0,1,2, ... ) , о твечаю щ их про изво льно й непрерывно й на о трезк е [a,b] функ ц ии f, с хо дится при n → ∞ к ис хо дно й функ ц ии f равно мерно на этом о трезк е [a,b], т.е. с хо дится к f в метрик епро с транс тва C[a,b] :

f − pn ({ xi( n ) }, f )

C [ a ,b ]

→ 0 пр и

n → ∞ д л я ∀ f ∈ C [ a ,b ] .

О тветна этотво про с о триц ательный: при лю б о м с по с о б езадания узло в найдётся ( для к аж до го спо с о б а, во о б щ е го во ря, с во я ) функ ц ия f , для к о торо й так ая с хо димо с ть мес та не имеет. А так к ак рас с матриваемый в данно м пунк те с по с о б приб лиж ённо го вычис ления о пределённых интеграло в о с но ван на гло б ально й интерпо ляц ии, о тмеченный тольк о что фак т рас хо димо с ти гло б альных интерпо лянтов наво дит на мыс ль о во змо ж ных о с ло ж нениях и в задаче вычис ления интеграло в. Т ак ие с ло ж но с ти дейс твительно имею тмес то, хо тя и в б о лее с лаб о й фо рме: в о тличие о тпро ц ес с а гло б ально й интерпо ляц ии, где вс е с по с о б ы задания узло в, ус ло вно го во ря, «пло хие», в с лучае гло б ально интерпо ляц ио нно го к вадратурно го про ц ес с а имею тся и «хо ро ш ие» с по с о б ы задания узло в, при ис по льзо вании к о торых приб лиж ённые значения интеграла In (f) с хо дятся к точно му значению I(f) для лю б о й непрерывно й функ ц ии f :

In ( f ) → I( f )

пр и n → ∞

д л я ∀ f ∈ C[a,b] .

(1.19)

10

Д ля того , чтоб ы с о о тно ш ение (1.19) имело мес то, к вадратурныек о эффиц иенты, а о ни , к ак о тмечено выш е, о пределяю тся ис к лю чительно с по с о б о м задания к вадратурных узло в, до лж ны удо влетво рять нек о торо му ус ло вию ; это ус ло виемы с ейчас и с фо рмулируем. Заметим,что выраж ение (1.1) мо ж но рас с мат ривать к ак значение на элементе f∈ C[a,b] о ператора I, с о по с тавляю щ его функ ц ии f значение о пределённо го интеграла о тэтой функ ц ии по о трезк у [a,b]. В с илу извес тных с во йс тв о пределённо го интеграла ( интеграл о тс уммы двух функ ц ий равен с умме интеграло в о т с лагаемых, по с тоянный мно ж итель мо ж но выно с ить за знак интеграла ) этот о ператор – линейный. А нало гично , является линейным и о ператор In , с о по с тавляю щ ий функ ц ии f значениек вадратурно й с уммы (1.9). Напо мним, что о ператоры, о б лас тью значений к о торых является про с транс тво вещ ес твенных чис ел R , называю тся функ ц ио налами, так что I ,In линейныефунк ц ио налы на про с транс твенепрерывных функ ц ий C[a,b]. П о с к о льк у но рмо й вещ ес твенно го чис ла к ак элемента про с транс тва R является его аб с о лю тная величина, для функ ц ио нало в I , In с праведливы неравенс тва b

I =

∫ f ( x )dx

I( f ) = sup a max f C [ a ,b ] f

sup

f ∈C [ a ,b ]

a ≤ x ≤b

b

∫ amax ≤ x ≤b

sup a f

f ( x ) dx

max

a ≤ x≤b

I n = sup f

max

f

a≤ x≤b

∫

f ( x ) dx

≤ sup a f(x) max f

a≤ x≤b

f(x)

≤

b

= sup

f(x)

In( f ) = sup f f f(x) ⋅

∑

k =0

max

a ≤ x ≤b

a

max

f

n

f ( x ) ⋅ ∫ dx

max

a ≤ x ≤b

f(x)

a≤ x≤b n

sup

b

∑

k =0

f

n

f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n )

max

a ≤ x ≤b

f(x)

Ak( n )

f(x)

= sup ( b − a ) = b − a ,

= sup ( f

n

∑

k =0

≤ sup

∑

k =0

max

f

Ak( n )

f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n ) f(x)

a≤ x≤b

)=

n

∑

k =0

Ak( n )

≤

.

И з этих неравенс тв с ледует, что I , In – о граниченныефунк ц ио налы, причём

I ≤ b − a,

In ≤

n

∑

k =0

Ak( n )

.

( 1.20 )

11

Заметим, что на с амо м делездес ь имею тмес то равенс тва. Д ейс твительно , по лагая f0 (x) ≡ 1, по лучим неравенс тво

I = sup f

I( f ) I ( f0 ) b − a ≥ = =b−a , f f0 1

про тиво по ло ж но е лево му из неравенс тв (1.20). А нало гично , задавая функ ц ию f1 в к вадратурных узлах фо рмуло й

f 1( xk( n ) ) = sign Ak( n )

k = 0 ,1, ... , n

,

и до о пределяя её меж ду с о с едними узлами по линейно с ти, а меж ду к райними узлами и к о нц ами о трезк а к о нс тантами, равными значениям f1 в к райних узлах, по лучим непрерывную на [a,b] функ ц ию с но рмо й, равно й единиц е. С ис по льзо ванием этой функ ц ии по лучаем неравенс тво n

∑ ( sign Ak( n ) ) ⋅ Ak( n ) )

I (f) I (f ) ≥ n 1 = k =0 I n = sup n f f1 f

1

=

n

∑

k =0

Ak( n )

,

про тиво по ло ж но еправо му из неравенс тв (1.20). Следо вательно ,

In =

n

∑

k =0

Ak( n )

.

( 1.21 )

О тметим, что мы до б авили в о б о значения к вадратурных узло в и к вадратурных к о эффиц иентов верхний индек с n , чтоб ы по дчерк нуть тотфак т, что при к аж до м n о ни предс тавляю тс о б о й с во и наб о ры точек и чис ел. Т ео рема 1.5. Д ля с хо димо с ти гло б ально -интерпо ляц ио нно го к вадратурно го про ц ес с а на к лас се C[a,b], т.е. для с праведливо с ти с о о тно ш ения (1.19), нео б хо димо и до с таточно , чтоб ы величины (1.21) б ыли равно мерно по n о граничены: n

∑

k =0

Ak( n )

≤C = ∑ vi ⋅ wi

,

i =1

а по д о ртого нально стью этих век торо в по нимаю то б ращ ениеэтой с уммы в но ль: m

∑ vi ⋅ wi = 0

.

i =1

Е с ли ж е v,w - непрерывные на о трезк е [a,b] функ ц ии, то ро ль их к о о рдинат играю т значения v(x), w(x) этих функ ц ий в точк ах о трезк а, ро ль с уммы – интеграл по о трезк у, а ус ло виео ртого нально с ти принимаетвид: b

∫ v( x ) w( x )dx = 0

.

a

Т ео рема 3.2. Д ля того , чтоб ы интерпо ляц ио нная к вадратурная фо рмула с узлами (3.1) б ыла точна для вс ех мно го члено в f с тепени ≤ 2n+1, нео б хо димо и до с таточно , чтоб ы по ро ж дённый этими узлами мно го член (3.3) б ыл о ртого нален лю б о му мно го члену с тепени ≤ n : b

∫ v( x )ω n +1( x )dx = 0

д л я л юбо го м но го чл ена v ст епени ≤ n . ( 3.5 )

a

Д о к азательс тво . И с по льзуя (3.4), по лучим равенс тво b

b

∫ f ( x )dx = ∫ α ( x )ω n +1( x )dx

a

a

+

b

∫ β ( x ) dx

,

a

или в с илу леммы 3.1 и о пределения к вадратурно й с уммы к ак о пределённо го интеграла о тинтерпо ляц ио нно го мно го члена, равенс тво

20

b

b

b

b

n

a

a

a

a

k =0

∫ f ( x )dx = ∫ α ( x )ω n +1( x ) dx + ∫ pn ( x; f )dx = ∫ α ( x )ω n +1( x )dx + ∑ f ( xk ) Ak . Т ак им о б разо м, лю б о го мно го члена f b

b

n

∫ f ( x )dx = ∫ α ( x )ω n +1( x )dx + ∑ f ( xk ) Ak

a

.

( 3.6 )

k =1

a

Д ля мно го члена f с тепени ≤ 2n+1 с тепень его час тно го α при делении на мно го член ω n с тепени n+1 не прево с хо дит чис ла (2n+1) – (n+1)=n; по этому, ес ли ус ло вие (3.5) выпо лнено , то перво е с лагаемо е в право й час ти фо рмулы (3.6) равно нулю , и имеетмес то равенство b

n

∫ f ( x )dx = ∑ f ( xk ) Ak

.

( 3.7 )

k =0

a

Т ак им о б разо м, ус ло вие (3.5) о б ес печиваетинтерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулеалгеб раичес к ий по рядо к точно с ти, равный 2n+1. Нао б о ро т, пус ть для вс ех мно го члено в f с тепени ≤ 2n+1 выпо лнено ус ло вие (3.7). Т о гда в с илу (3.6) час тные α о тделения так их мно го члено в на ω n+1 б удутудо влетво рять ус ло вию b

∫ α ( x )ω n +1( x ) dx = 0

.

a

Е с ли зас тавить мно го член f про б еж ать вс ё ук азанно емно ж ес тво мно го члено в, то о твечаю щ ее ему час тно е α по к ро ет, о чевидно , мно ж ес тво вс ех мно го члено в с тепени ≤ n. Следо вательно , б удетвыпо лнено и ус ло вие (3.5). Д о к азанная тео рема с во дитво про с о по с тро ении к вадратурно й фо рмулы алгеб раичес к о го по рядк а точно с ти 2n+1 с чис ло м узло в, равным n+1, к во про с у о нахо ж дении мно го члена с тепени n+1, о ртого нально го на [a,b] лю б о му мно го члену меньш ей с тепени; к о рни так о го мно го члена и даю тнуж ные к вадратурныеузлы. В с лучае о трезк а [-1,1] мно го члено м с тепени m , о ртого нальным вс ем мно го членам меньш ей с тепени, является мно го член Леж андра, заданный фо рмуло й:

X m( x ) =

dm

1 m! 2

m

dx

m

{( x 2 − 1 )m } ,

m = 1, 2 , ...

. ( 3.8 )

21

В тео рии о ртого нальных мно го члено в ус тано влено , что вс е к о рни этого мно го члена вещ ес твенны, различны и принадлеж ато трезк у [-1,1] ; эти к о рни и о твечаю щ иеим к ак узлам интерпо ляц ии к вадратурныек о эффиц иенты вычис лены с б о льш о й точно с тью и приво дятся в таб лиц ах. В с лучае о трезк а [a,b], о тлично го о тс тандартно го о трезк а [-1,1], для нахо ж дения к вадратурных узло в ис по льзуется линейная замена, перево дящ ая о трезо к [-1,1] на о трезо к [a,b]. И так , во про с о по с тро ении интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы алгеб раичес к о го по рядк а точно с ти 2n+1 с чис ло м узло в, равным n+1, в принц ипе реш ён. Спраш ивается, с ущ ес твую тли при том ж е к о личес тве узло в интерпо ляц ио нные к вадратурные фо рмулы б о лее выс о к о го алгеб раичес к о го по рядк а точно с ти? О тветна этотво про с – о триц ательный. Лемма 3.3. И нтерпо ляц ио нная к вадратурная фо рмула с чис ло м узло в, равным n+1, немо ж етб ыть точно й для вс ехмно го члено в с тепени 2n+2. Д о к азательс тво . В ыб ерем в к ачес тве f мно го член с тепени 2n+2 :

f(x) = ( ω n+1 (x) )2 = ( x –x0 )2( x –x1 )2 ... ( x –xn )2. Т ак к ак этотмно го член нео триц ательный и ненулево й, правая час ть равенс тва (3.7) для него с тро го б о льш е нуля. А так к ак в узлах xk о н о б ращ ается в нуль, левая час ть равенс тва для него равна нулю . Следо вательно , равенс тво (3.7) для этого мно го члена немо ж етиметь мес та. Замечание 3.4. В виду ус тано вленно го тольк о что фак та фо рмулы Гаус с а называю т так ж е интерпо ляц ио нными к вадратурными фо рмулами наивыс ш его алгеб раичес к о го по рядк а точно с ти. О тметим важ но ес во йс тво фо рмул Гаус с а. Лемма 3.5. К вадратурные к о эффиц иенты A k в фо рмулах Гаус с а по ло ж ительны. Д о к азательс тво . В ыб ерем фик с иро ванно е k ∗ и рас с мо трим мно го член

f ( x ) =(

n

∏ ( x − x j )2 )

.

j =0 j≠k∗

П о с к о льк у с тепень этого мно го члена, равная чис лу 2n, не прево с хо дит 2n+1, для него с праведливо равенс тво (3.7); при этом, по с к о льк у ук азанный мно го член о б ращ ается в нуль во вс ех узлах, к ро ме узла с но меро м k∗ , это равенс тво принимаетвид: Нуж ный результат вытек ает теперь из по ло ж ительно с ти интеграла с лева и по ло ж ительно с ти значения f в узлес но меро м k ∗. b

∫ f ( x )dx =

f(x

k∗

)A

k∗

.

22

П о ло ж ительно с ть к вадратурных к о эффиц иентов по зво ляет ус тано вить с хо димо с ть к вадратурно го про ц ес с а Гаус с а на к лас с енепрерывныхфунк ц ий. Т ео рема 3.6. Д ля лю б о й непрерывно й на о трезк е [a,b] функ ц ии значение интерпо ляц ио нно й к вадратурно й с уммы Гаус с а с хо дится при n → ∞ к точно му значению интеграла. Д о к азательс тво . Рас с мо трим функ ц ию f(x) ≡ 1. П ри лю б о м n = 0, 1, ... эта функ ц ия принадлеж итк лас с у мно го члено в с тепени ≤ 2n+1, по этому в с лучае к вадратурно й фо рмулы Гаус с а при лю б о м n с праведлива фо рмула (3.7), принимаю щ ая для этой функ ц ии вид:

b−a =

n

∑ Ak( n )

.

k =0

П ерепис ывая с учётом по с леднееравенс тво в виде

по ло ж ительно с ти к вадратурных к о эффиц иентов

b−a =

n

∑

k =0

Ak( n )

,

прихо дим к выво ду, что ус ло вие (1.22) тео ремы 1.5 выпо лнено ; до к азываемый результато с хо димо с ти и вытек аетиз этой тео ремы. У с тано вленный тольк о что фак т с хо димо с ти к вадратурных с умм Гаус с а при нео граниченно м увеличении чис ла к вадратурных узло в о б ъяс няет, по чему к вадратурныес уммы Гаус с а ( в о тличиео тк вадратурных с умм Нью тона-К о тес а ) ш иро к о ис по льзую тся не тольк о в ло к ально интерпо ляц ио нно м варианте с малыми n, но и в гло б ально интерпо ляц ио нно м вариантес б о льш ими n. 40. О с таточныечлены к вадратурных фо рмул. Ф о рмулы (2.15 ) харак теризую тб ыс тро ту уб ывания по греш но с ти ло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й с уммы при увеличении чис ла N час тичных о трезк о в разб иения (или, что то ж е с амо е, при уменьш ении длины h этих о трезк о в ). О днак о о ни не даю тво змо ж но с ти реально о ц енить по греш но с ть при заданных значениях h. Д ля этого нуж ны б о лее детальные предс тавления по греш но с ти. П ро иллю с трируем выво д так их предс тавлений на примерефо рмулы лево го прямо уго льник а ( с м. (1.14) и Р ис. 1.3. ). П ус ть по динтегральная функ ц ия f принадлеж итк лас с у C 1[a,b]. П о лагая в равенс тве (1.17) n=0 и учитывая, что для этой к вадратурно й фо рмулы единс твенный к вадратурный узел x0 с о впадаетс левым к о нц о м о трезк а [a,b], прихо дим к с ледую щ ему выраж ению для по греш но с ти: b

R0 ( f ) = ∫ f ′( ξ ( x )) ( x − a )dx ,

ξ ( x ) ∈ [ a , b ] д л я л юбо го

x ∈ [ a , b ].

23

П о лученно е выраж ение предс тавляет с о б о й интеграл о т про изведения двух непрерывных на [a,b] функ ц ий (с м. упр аж нение 5), вторая из к о торых g(x)=(x – - a) не меняет знак а на про меж утке [a,b]. А в так о м с лучае применима о б о б щ ённая тео рема о с реднем из математичес к о го анализа, к о торая глас ит, что так о й интеграл равен про изведению значения перво й функ ц ии в нек о торо й точк е о трезк а [a,b] на интеграл о твторо й функ ц ии: ∗

b

ξ ( x∗ ) = ξ ∈ [ a ,b ] .

R0 ( f ) = f ′( ξ ( x )) ⋅ ∫ ( x − a )dx , a

О тсю да по слепро с тых вычис лений по лучаем:

R0 ( f ) = f ′( ξ ) ⋅

( b − a )2 2

ξ ∈ [ a ,b ] .

,

Следо вательно , для лю б о й непрерывно дифференц ируемо й на функ ц ии f верно с о о тно ш ение: b

∫

f ( x )dx = ( b − a ) f ( a ) + f ′( ξ ) ⋅

a

( b − a )2 2

,

( 4.1 ) [a,b]

ξ ∈ [ a ,b ] .

Э то – интерпо ляц ио нная к вадратурная фо рмула лево го прямо уго льник а с о с таточным члено м. Рас с мо трим теперь ло к ально интерпо ляц ио нную к вадратурную фо рмулу левыхпрямо уго льник о в: b

∫

a

f ( x )dx ≈ h ⋅

N −1

∑ f ( xi )

.

( 4.2 )

i =0

Э та фо рмула по лучена замено й функ ц ии f на час тично м о трезк е разб иения [xi ,xi+1 ] мно го члено м нулево й с тепени – к о нс тантой f(xi ). П о этому по греш но с ть имеетздес ь вид:

24

R0N ( =

b

N − 1 xi + 1

N − 1 xi + 1

N − 1 xi + 1

a

i =0

i =0

i =0

f ) = ∫ f ( x )dx −

∑ ∫ f ( xi )dx = ∑ ∫ f ( x )dx − ∑ ∫ f ( xi )dx = xi

xi

xi

N − 1 xi + 1

∑ ∫ ( f ( x ) − f ( xi ))dx

i =0

.

( 4.3 )

xi

В право й час ти равенс тва (4.3) по д знак о м интеграла с тоитразно с ть значений функ ц ии f в точк ах, рас с тояние меж ду к о торыми не прево с хо дит длины h час тично го о трезк а разб иения. Е с ли функ ц ия f непрерывна на о трезк е [a,b], то по тео ремеК антора о на равно мерно непрерывна на нём. Но тогда по лю б о му ε >0 найдётся h(ε) так о е ,что при h < h(ε) аб с о лю тные величины по динтегральных выраж ений в право й час ти равенс тва (4.3) непрево с хо дятε :

f ( x ) − f ( xi ) ≤ ε

д л я л юбо го x ∈ [ xi , xi +1 ]

и

л юбо го i = 0 ,1, ... , N − 1 ,

а значит, для по греш но с ти к вадратурно й фо рмулы б удем иметь:

R0N (

f) ≤

− xi ) = ε

N − 1 xi + 1

N − 1 xi + 1

i =0

i =0

∑

N −1

∫ ( f ( x ) − f ( xi ))dx ≤ ∑ ∫

xi

∑h = ε hN =ε

i =0

f ( x ) − f ( xi )) dx ≤ ε

xi

N −1

∑ ( xi +1 −

i =0

b−a N = ε (b − a ) . N

В виду про изво льно с ти ε по лученная о ц енк а о значает с тремление N по греш но с ти R0 ( f ) к нулю при h → 0. И с по льзуя для о б о значения б ес к о нечно мало й, с тремящ ейс я к нулю при h → 0 , с тандартно е о б о значение o(1), прихо дим к равенс тву: b

N −1

∫ f ( x )dx = h ∑ f ( xi ) + o( 1 )

a

,

( 4.4 )

i =0

с праведливо му для лю б о й непрерывно й на [a,b] функ ц ии f . Со о тно ш ение (4.4) называю тло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмуло й левыхпрямо уго льник о в с о с таточным члено м. П о к аж ем, что для функ ц ий f к лас с а C 1[a,b] о с таточный член o(1) фо рмулы (4.4) ес ть б ес к о нечно малая по рядк а O(h). П рименяя фо рмулу вида (4.1) к к аж до му из час тичных о трезк о в разб иения, по лучим для по греш но с ти к вадратурно й фо рмулы (4.2) предс тавление:

25

R0N (

N −1

( xi + 1 − xi )2 h 2 N −1 ⋅ f ′( ξ i ) = f )= ∑ ∑ f ′( ξ i ) , 2 2 i =0 i =0

ξ i ∈ [ xi , xi +1 ] .

Д алее, ис по льзуя тож дес тво

f ′( ξ i ) = f ′( xi ) + ( f ′( ξ i ) − f ′( xi )) , по лучим:

R0N (

h N −1 h N −1 ′ f ) = { h ∑ f ( xi ) } + ( h ∑ ( f ′( ξ i ) − f ′( xi )) ) , ξ i ∈ [ xi , xi +1 ] . ( 4.5 ) 2 2 i =0 i =0

М но ж итель в фигурных с к о б к ах ес ть ло к ально интерпо ляц ио нная к вадратурная с умма левых прямо уго льник о в для непрерывно й функ ц ии f ′ . Записывая для этой функ ц ии с о о тно ш ение (4.4) , выраж ая из него ук азанную к вадратурную с умму и по дс тавляя результат в (4.5), по лучим для перво го с лагаемо го в право й час ти равенс тва (4.5) предс тавление N −1 h { h ∑ f ′( xi )} = c ⋅ h + o( h ) , 2 i =0

( 4.6 )

гдес имво ло м c о б о значена независ ящ ая о тh по с тоянная

1 2

b

∫ f ′( x )dx

,

( 4.7 )

a

а с имво ло м o(h) – б ес к о нечно малая (-(1/2)⋅ o(1)⋅ h). Что ж е к ас ается второ го с лагаемо го , то о ц енивая разно с ти f ′ ( ξ i ) – f ′ ( xi ) по до б но тому, к ак ранее б ыли о ц енены разно с ти f ( x ) – f ( xi ) , и про во дя о чевидные прео б разо вания, прихо дим к выво ду, что о но имеетб о леевыс о к ий, чем h , по рядо к мало с ти:

h N −1 ( h ∑ ( f ′( ξ i ) − f ′( xi )) ) = o( h ) . 2 i =0

( 4.8 )

Со о тно ш ения (4.5), (4.6), (4.8) по зво ляю тпридать фо рмуле(4.4) вид

26

b

∫

a

b−a f ( x )dx = N

N −1

∑ f ( xi ) + ch + o( h )

,

( 4.9 )

i =0

где с ес ть к о нс танта (4.7). Заметим, что мы не тольк о по к азали, что в с лучае непрерывно дифференц ируемо й на [a,b] функ ц ии f по греш но с ть ло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы левых прямо уго льник о в имеет по рядо к O(h), но и выделили главный член ch этой по греш но с ти. П ро во дя анало гичные рас с уж дения, для по греш но с ти интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы трапец ии (1.15 ) в предпо ло ж ении f∈ C 2[a,b] по лучим

R1( f ) = −

1 f ′′( ξ ) ( b − a )3 12

,

ξ ∈ [ a ,b ] .

( 4.10 )

Д алее, применяя эту фо рмулу к час тично му о трезк у разб иения [xi ,xi+1], для по греш но с ти ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы трапец ий б удем иметь

R1N ( f ) = − =−

1 2 h {h 12

1 12

N −1

∑

i =0 N −1

∑

i =0

f ′′( ξ i )( xi + 1 − xi )3 = −

f ′′( xi ) } −

N −1 1 2 h ( h ∑ f ′′( ξ i ) ) = 12 i =0

1 2 N −1 h ( h ∑ ( f ′′( ξ i ) − f ′′( xi ) ) ) , ξ i ∈ [ xi , xi + 1 ] . ( 4.11 ) 12 i =0

П о льзуяс ь равно мерно й непрерывно с тью второ й про изво дно й функ ц ии f и о ц енивая разно с ти значений этой про изво дно й в точк ах ξ i , xi по до б но тому, к ак выш ео ц енивалис ь по до б ныеразно с ти для функ ц ии f , легк о ус тано вить, что второ ес лагаемо ев право й час ти (4.11) ес ть величина по рядк а h 2 ⋅ o(1) = o(h2). М но ж итель ж ев фигурных с к о б к ах в перво м с лагаемо м ес ть к вадратурная с умма левыхпрямо уго льник о в для интеграла b

∫ f ′′( x )dx ;

a

запис ывая для этого интеграла равенс тво вида (4.4), выраж ая из него ук азанную к вадратурную с умму и по дс тавляя результатв (4.11), по лучим

R1N (

f ) = ch + o( h ) , 2

2

1 c=− 12

b

∫ f ′′( x )dx

a

.

( 4.12 ).

27

И так , имею т мес то фо рмулы с о с таточными членами: b

∫ f ( x )dx = ( b − a )

a

b

∫

a

f (a )+ f (b) 1 − f ′′( ξ )( b − a )3 2 12

, ξ ∈ [ a ,b ]

N −1 b−a f ( x )dx = ( f ( x0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( x N ) ) + ch 2 + o( h 2 ) . 2N i =0

, ( 4.13 )

( 4.14 )

Здес ь c –к о нс танта из (4.12). В ыделение главных члено в по греш но с ти ло к ально интерпо ляц ио нных к вадратурных фо рмул левых прямо уго льник о в и трапец ий про ведено нами для того , чтоб ы применительно к эти фо рмулам о б о с но вать ш иро к о ис по льзуемый приём – правило Рунгепрак тичес к о й о ц енк и по греш но с ти. И менно , пус ть приб лиж ённо е значение интеграла вычис лено по фо рмуле левых прямо уго льник о в дваж ды: о дин раз с ш аго м h ( c чис ло м час тичных о трезк о в разб иения N ), а друго й раз – с ш аго м h/2 ( т.е. с чис ло м о трезк о в 2N ). О б о значим точно е значение интеграла, к ак о б ычно , через I(f), приб лиж ённые значения - с о о тветственно через I0 N ( f ), I0 2N ( f ) , и запиш ем равенс тва (4.9) для этих двух с лучаев в виде:

I ( f ) = I 0N ( f ) + ch + o( h ) I ( f ) = I 02 N ( f ) + c

,

h + o1( h ) , 2

( 4.15 ) ( 4.16 )

о б о значив величину o ( h/2) с имво ло м o1 ( h ), по с к о льк у деление на к о нс танту неменяетпо рядо к б ес к о нечно мало й. У равнения (4.15), (4.16) б удем рас с матривать к ак с ис тему линейных алгеб раичес к их уравнений о тно с ительно неизвес тных I ( f ), ch/2. Нахо дя о тсю да ch/2 ( для этого до с таточно вычес ть уравнение (4.16) из уравнения (4.15) и разреш ить о тно с ительно ch/2 по лученно еравенс тво ) и по дс тавляя результат

h c = I 02 N ( f ) − I 0N ( f ) + o2 ( h ) 2

( 4.17 )

в (4.16) , б удем иметь:

I ( f ) − I 02 N ( f ) = I 02 N ( f ) − I 0N ( f ) + o2 ( h ) ; о тбрас ывание здесь б ес к о нечно мало й величинам даётс о о тно ш ение

o2 ( h )

и перехо д к аб с о лю тным

28

I ( f ) − I 02 N ( f ) ≈ I 02 N ( f ) − I 0N ( f )

,

( 4.18 )

по зво ляю щ ее о риентиро во чно о ц енить по греш но с ть вычис ленно го 2N N приб лиж енно го значения интеграла I0 ( f ) на о с но везнания значений I0 ( f ),

I0

2N

( f ).

Заметим, что ес ли по дс тавить значение (4.17) величины ch/2 в фо рмулу (4.16) и в по лученно м равенс тве

I ( f ) = I 02 N ( f ) + [ I 02 N ( f ) − I 0N ( f )] + o3 ( h )

( 4.19 )

рас с матривать величину

~ I 02 N ( f ) = I 02 N ( f ) + [ I 02 N ( f ) − I 02 N ( f )] = 2 ⋅ I 02 N ( f ) − I 0N ( f )

( 4.20 )

к ак но во е приб лиж ение к ис к о мо му значению I( f ) интеграла, то по греш но с ть этого но во го приб лиж ения, к ак видно из (4.19), о к аж ется величино й по рядк а o(h), т.е. б удетиметь б о лее выс о к ий по рядо к мало с ти по h, чем по греш но с ть приб лиж ения I0 2N( f ) ( по с ледняя в с илу (4.16) имеетпо рядо к O(h) ). Т ак о й с по с о б уточнения приб лиж ённых значений интеграла называю т эк с трапо ляц ией по Ричардс о ну. А нало гичные вык ладк и в с лучае фо рмулы трапец ий приво дят к с о о тно ш ениям:

I ( f ) − I 12 N ( f ) ≈ ( I 12 N ( f ) − I 1N ( f )) / 3 ,

( 4.21 )

~ I 12 N ( f ) = ( 4 I 12 N ( f ) − I 1N ( f )) / 3 ,

( 4.22 )

перво е из к о торых по зво ляет о риентиро во чно о ц енить по греш но с ть 2N приб лиж ённо го значения интеграла I1 ( f ), а второ е даёт уточнённо е по Ричардс о ну приб лиж ениес по греш но с тью по рядк а o(h2). Рас с мо тренные выш е к вадратурные фо рмулы лево го прямо уго льник а и трапец ии о б ладаю ттой о б щ ей о с о б енно с тью , что их к вадратурныеузлы леж атна границ е о трезк а [a,b]. Благо даря этому фигурирую щ ие в о б щ ем выраж ении для по греш но с ти интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы b

b

a

a

1 1 f ( n + 1 ) ( ξ ( x ))ω n + 1( x )dx = f ( n + 1 ) ( ξ ( x ))( x − x0 ) ... ( x − xn ) dx ∫ ∫ ( n + 1 )! ( n + 1 )!

29

функ ц ии ω1 (x)=(x-a), ω2 (x)=(x-a)(x-b) не меняю т знак а на [a,b], и упо мянутую выш е тео рему о с реднем мо ж но применять с разу на вс ём о трезк е. П ри наличии ж ек вадратурных узло в внутри о трезк а функ ц ия ωn+1 при перехо де x через так о й узел меняетзнак на про тиво по ло ж ный; в этом случае прихо дится предварительно разб ивать о трезо к [a,b] на по до трезк и знак о по с тоянс тва ωn+1 , и применять эту тео рему о тдельно на к аж до м так о м по до трезк е. Например, для фо рмулы ц ентрально го прямо уго льник а ( см. (1.14), третья с тро к а ) функ ц ия ω1 (x)=(x-(a+b)/2) с о храняетзнак на о трезк ах [a,(a+b)/2], [(a+b)/2, b], и по тому для по греш но с ти так о й фо рмулы б удем иметь: ( a +b ) / 2

b

a+b f ′( ξ ( x ))( x − )dx = 2

R0 ( f ) = ∫ a

+

a

a+b )dx + 2

( a +b ) / 2

b

∫

( a +b ) / 2

+ f ′( ξ ( x

∫

f ′( ξ ( x ))( x −

a+b f ′( ξ ( x ))( x − )dx = f ′( ξ ( x∗ )) 2

∗∗

b

))

∫

( a +b ) / 2

(x−

∫

a

(x−

a+b )dx + 2

a+b 1 )dx = ( b − a )2 ( f ( ξ 1 ) − f ( ξ 2 )) . 2 8

Здес ь

ξ1 = ξ ( x∗ ) ,ξ 2 = ξ ( x∗∗ ) - нек о торые точк и о трезк а [a,b] ( по к аж ите, что ξ1 принадлеж ит лево й по ло винеэтого о трезк а, а ξ2 –право й ). П рименение этой фо рмулы к о трезк у [xi , xi+1 ] приво дитк с ледую щ ему предс тавлению по греш но с ти ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы ц ентральных прямо уго льник о в:

R0N (

N −1 1 f ) = h{ h ∑ ( f ′( ξ i ,1 ) − f ′( ξ i ,2 )) } , ξ 1,i , ξ 2 ,i ∈ [ xi , xi + 1 ] ; 8 i =0

о тсю да, по с к о льк у в с илу равно мерно й на о трезк е [a,b] непрерывно с ти про изво дно й f ′ функ ц ии f к лас с а C 1[a,b] разно с ти f ′( ξ i,1 ) – f ′( ξ i,2 ) с тремятся равно мерно по i к нулю при h → 0 , вытек ает, что для функ ц ий ук азанно го к лас с а по греш но с ть ес ть величина по рядк а o(h) , т.е. имеетб о лее выс о к ий по рядо к мало с ти, чем по греш но с ть фо рмулы левыхпрямо уго льник о в. Е с ли до по лнительно предпо ло ж ить, что функ ц ия f о б ладает и второ й про изво дно й, непрерывно й на о трезк е [a,b] , то мо ж но до к азать равенс тво

30

b

N −1

∫ f ( x )dx = h ∑ f ( xi + 1 2 ) + ch

a

b

2

+ o( h ) , 2

i =0

1 c= f ′′( x )dx , 24 ∫

( 4.23 )

a

о значаю щ ее, что по греш но с ть ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы ц ентральных прямо уго льник о в на функ ц иях к лас с а C 2[a,b] ес ть величина 2 по рядк а O(h ). Ф о рмулы (4.21), (4.22) с о храняю тс илу и в с лучаефо рмулы ц ентральных прямо уго льник о в, ес ли заменить в них величины I1N, I12N приб лиж ёнными N 2N значениями I0 , I0 интеграла, вычис ленными по этой фо рмуле. Замечание 4.1. Д ля выво да выраж ений для о с таточных члено в к вадратурных фо рмул час то ис по льзую тфо рмально -аналитичес к ий приём, с уть к о торо го мы по яс ним на примерефо рмулы лево го прямо уго льник а. Запиш ем по греш но с ть ук азанно й к вадратурно й фо рмулы в виде b

R0 ( b ) = ∫ f ( x )dx − f ( a ) ( b − a ) ,

( 4.24 )

a

и б удем рас с матривать её к ак функ ц ию переменно й b . Д вук ратно едифференц иро ваниевыраж ения (4.24) по b даётс о о тно ш ения

R0′ ( b ) = f ( b ) − f ( a ) ,

( 4.25 )

R0′′ ( b ) = f ′( b ) . В виду про изво льно с ти b с праведливо и равенс тво

R0′′ ( x ) = f ′( x ) , a ≤ x ≤ b , интегриро вание к о торо го по о трезк у [a,b] с учетом вытек аю щ его из (4.25) равенс тва R0′ (a)=0 приво дитк с о о тно ш ению b

R0′ ( b ) = ∫ f ′( x )dx ; a

о тсю да, применяя тео рему о с реднем, по лучаем:

R0′ ( b ) = f ′( x∗ ) ( b − a ) ,

31

∗

где через x о б о значена нек о торая точк а о трезк а ∗ ∗ ∗ о чевидно , о тb: x ∈ [a,b], x =x (b). В виду про изво льно с ти b с праведливо и равенс тво

[a,b] , завис ящ ая,

R0′ ( x ) = f ′( x ∗( x ))( x − a ) , a ≤ x ≤ b ,

( 4.26 )

∗

где x (x) – нек о торая точк а о трезк а [a,x], завис ящ ая, о чевидно о т x. И нтегриро вание равенс тва (4.26) по о трезк у [a,b] с учётом вытек аю щ его из (4.24) с о о тно ш ения R0 (a)=0 даётравенс тво b

R0 ( b ) = ∫ f ′( x∗ ( x ))( x − a )dx , a

к о торо епо с леприменения к интегралу тео ремы о с реднем перехо дитв равенс тво b

R0 ( b ) = f ′( ξ )∫ ( x − a )dx , a

где ξ - нек о торая точк а о трезк а [a,b] : ξ=x∗(x∗∗), x∗∗∈[a,b]. В ычис ляя интеграл с права, о к о нчательно по лучаем для по греш но с ти фо рмулы лево го прямо уго льник а ранеевыведенно епредс тавление (4.1) :

R0 ( b; f ) = f ′( ξ )

( b − a )2 2

.

( 4.27 )

Замечание 4.2.С ущ ес твуетприём, по зво ляю щ ий предс тавить по греш но с ть ло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы в виде про изведения про изво дно й с о о тветствую щ его по рядк а в нек о торо й про меж уточно й точк е о трезк а [a,b] на мно ж итель, с о держ ащ ий длину h час тичных о трезк о в разб иения в нек о торо й с тепени. С уть этого приёма мы так ж епо яс ним на примере фо рмулы левыхпрямо уго льник о в. Запиш ем ранее выведенно е ( с м. ст р .24 ) предс тавление для по греш но с ти этой фо рмулы в с лучае f ∈ C 1 [a,b] :

R0N (

h 2 N −1 ( b − a )2 1 N − 1 f )= ∑ f ′( ξ i ) = 2 N { N ∑ f ′( ξ i ) } , ξ i ∈ [ xi , xi +1 ] 2 i =0 i =0

( 4.28 )

(напо мним, что это предс тавление выво дится применением с о о тно ш ения типа (4.27) к час тичным о трезк ам разб иения [xi ,xi+1] ). В ыпиш ем о чевидныенеравенс тва

32

min

x∈[ a ,b ]

f ′( x ) ≤ f ′( ξ i ) ≤ max

x∈[ a ,b ]

f ′( x ) ,

i = 0 ,1, ... , N − 1 ,

про с уммируем их по i и разделим результат на чис ло час тичных о трезк о в разб иения N. Т о гда по лучим:

min

x∈[ a ,b ]

1 f ′( x ) ≤ { N

N −1

∑ f ( ξi ) } ≤ x∈max [ a ,b ]

f ′( x ) .

i =0

А так к ак непрерывная на о трезк е [a,b] функ ц ия f ′ принимаетна этом о трезк е вс е про меж уточные меж ду минимальным и мак с имальным значения, найдётся точк а ξ о трезк а [a,b], так ая что

1 N −1 ∑ f ′( ξ i ) = f ′( ξ ) ; N i =0 по дс тано вк а этого выраж ения в фо рмулу выраж ению для по греш но с ти:

R0N ( f ) =

(4.28)

и приво дит к нуж но му

( b − a )2 b−a f ′( ξ ) = f ′( ξ ) h . 2N 2

Т ак им о б разо м, наряду с равенс тво м (4.9), по зво ляю щ им вывес ти фо рмулу (4.18) для прак тичес к о й о ц енк и по греш но с ти и фо рмулу (4.20) для уточнённо го приб лиж ённо го значения интеграла, с праведливо и равенс тво

b − a N −1 b−a ∫ f ( x )dx = N ∑ f ( xi ) + f ′( ξ ) 2 h , i =0 a

b

( 4.29 )

по зво ляю щ еев с илу вытек аю щ его из него неравенс тва

b − a N −1 b−a f ′( x ) h ∫ f ( x )dx − N ∑ f ( xi ) ≤ x∈max 2 [ a , b ] i =0 a b

( 4.30 )

о ц енить по греш но с ть вычис ленно го по фо рмуле левых прямо уго льник о в приб лиж енно го значения интеграла, если извес тна о ц енк а мо дуля про изво дно й по динтегрально й функ ц ии на о трезк е [a,b].

33

50. Задачи и упраж нения. 1. В ывес ти интерпо ляц ио нную к вадратурную фо рмулу « трех во с ьмых ». 2. В ывес ти ло к ально интерпо ляц ио нную к вадратурную фо рмулу «трёх во с ьмых». 3. В ыпис ать мно го члены Леж андра (3.8) при m = 1, 2, 3 , изо б разить их график и на о трезк е [-1,1] и найти к о рни этих мно го члено в. 4. В ывес ти интерпо ляц ио нные к вадратурные фо рмулы Гаус с а с о дним, двумя и тремя узлами. (n+1) 5. Д о к азать, что выраж ение f (ξ(x)) из фо рмулы для по греш но с ти интерпо ляц ио нно го мно го члена

f ( x ) − pn ( x ) =

1 f ( n + 1 ) ( ξ ( x ))( x − x0 ) ... ( n + 1 )! ... ( x − xi −1 )( x − xi + 1 ) ... ( x − xn )

мо ж ет б ыть до о пределено в узлах интерпо ляц ии до непрерывно й на о трезк е [a,b] функ ц ии переменно й x. У к азание: предс тавить это выраж ениев виде

f ( n +1 ) ( ξ ( x )) = ⋅

6. 7. 8.

9.

( n + 1 )! ⋅ ( x − x0 ) ...( x − xi −1 )( x − xi + 1 ) ...( x − xn )

( f ( x ) − pn ( x )) − ( f ( xi ) − pn ( xi )) x − xi

и перейти к пределу при x → xi . В ывес ти с о о тно ш ение (4.21) для прак тичес к о й о ц енк и по греш но с ти ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы трапец ий. В ывес ти выраж ение (4.22) для уточнённо го по Ричардс о ну приб лиж ённо го значения интеграла. П о к азать, что в с лучае, к о гда в к ачес тве узло в ло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы прямо уго льник о в взяты не с ередины час тичных о трезк о в разб иения, а точк и, делящ ие эти о трезк и в к ак о м-либ о ино м о тно ш ении, по греш но с ть фо рмулы на 1 к лас с е C [a,b] ес ть величина по рядк а O(h). Считая по динтегральную функ ц ию f принадлеж ащ ей к лас с у C 2[a,b], на о с но ве равенс тва (4.23) вывес ти для ло к ально интерпо ляц ио нно й к вадратурно й фо рмулы ц ентральных прямо уго льник о в фо рмулу Рунге для прак тичес к о й о ц енк и по греш но с ти и фо рмулу Ричардс о на для уто чненно го значения интеграла.

34

10. И с по льзуя методик и из зам ечаний 4.1 и 4.2 , вывес ти анало ги фо рмул (4.27), (4.29) для интерпо ляц ио нно й фо рмулы ц ентрально го прямо уго льник а и ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы ц ентральных прямо уго льник о в. 11. П о к азать, что для по динтегральных функ ц ий f к лас с а C 2[a,b] о с таточный член ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы трапец ий мо ж ет б ыть предс тавлен в виде

1 1 ( b − a )3 2 ′′ R1 ( f ) = − ( b − a )h f ( ξ ) = − f ′′( ξ ) , ξ ∈ [ a , b ] . 12 12 N 2 N

У к азание: применить фо рмулу типа (4.10) к час тичным о трезк ам разб иения [xi , xi+1 ] и во с по льзо ватьс я методик о й из зам ечания 4.2. 12. О ц енить аб с о лю тную величину по греш но с ти приб лиж енно го значения интеграла по о трезк у [0,1] о тфунк ц ии exp(-x2 ) , ес ли по с леднее вычис лено по ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмуле трапец ий с ш аго м

h=0.01. 13. У к азать чис ло N час тичных о трезк о в разб иения , при к о торо м в с лучае приб лиж ённо го вычисления интеграла о т функ ц ии exp( - x2 ) по о трезк у [0,1] с по мо щ ью ло к ально интерпо ляц ио нно й фо рмулы трапец ий аб с о лю тная величина по греш но с ти о к аж ется меньш е 0,0001. 14. В ывес ти фо рмулу С импс о на с о с таточным члено м b

∫

a

(b − a ) a+b ( b − a )5 f ( x )dx = ( f(a)+ 4 f( )+ f (b) )− f 6 2 2880

IV

( ξ ) , ξ ∈ [ a ,b ].

У к азание: с о с тавить для функ ц ии f интерпо ляц ио нный мно го член Э рмита p3 (x) с узлами x0 = a, x1 = b к ратно с ти 1 и узло м x2 = (a+b)/2 к ратно с ти 2, и затем про интегриро вать по о трезк у [a,b] равенс тво

f ( x ) = p3 ( x ) + f ( x , a , b ,

a+b a+b a+b 2 , )( x − a )( x − b )( x − ) 2 2 2

.

50. Литература. 1. В о лк о в Е .А . Чис ленныеметоды. М .: Наук а. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.256 с . 2. Бахвало в Н.С., Ж идк о в Н.П ., К о б ельк о в Г.М . Чис ленные методы: У чеб . по с о б ие. – М .: Наук а. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 600 с .

35

3. Д емидо вич Б.П ., М аро н И .А . О с но вы математик и. М .: Ф изматгиз, 1963. – 660 с .

вычис лительно й

36

Со держ ание.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

И нтерпо ляц ио нныек вадратурныефо рмулы ................................................2 Ло к ально интерпо ляц ио нныек вадратурныефо рмулы .............................12 К вадратурныефо рмулы Гаус с а ...................................................................17 О с таточныечлены к вадратурных фо рмул ..................................................22 Задачи и упраж нения ....................................................................................33 Литература .....................................................................................................34