Матричные элементы вещественных представлений групп О(3) и SO(3)

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1

УДК 512.547.212

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O(3) И SO(3) В. М. Гордиенко Аннотация: Для спинорных представлений групп O(3), SO(3) и SU (2) указаны базисы, в которых матрицы представлений вещественны. Вычислены матричные элементы в этих базисах. Описаны преобразования этими матричными элементами классических ортогональных гармонических полиномов в трехмерном пространстве. Библиогр. 4.

§ 1. Постановка задачи Мы будем вычислять матричные элементы вещественных неприводимых представлений группы O(3) ортогональных преобразований трехмерного пространства и ее подгруппы SO(3), состоящей из преобразований (3 × 3 матриц) с положительным определителем. Любой элемент Q ∈ O(3) представим либо в виде Q = P , либо в виде Q = −P , где P ∈ SO(3). Удобно параметризовать группу SO(3) при помощи комплексных параметров α и β таких, что αα ¯ + β β¯ = 1, параметризующих группу SU (2), состоящую из унитарных матриц   α β g= . −β¯ α ¯ Каждая такая матрица g задает вращение трехмерного пространства P ∈ SO(3):  0    x−1 x−1  x00  = P  x0  , x01 x1 с помощью формулы  x00 0 x1 − ix0−1

x01 + ix0−1 −x00



= g∗



x0 x1 − ix−1

x1 + ix−1 −x0

 g.

(1)

Более того, выписанная формула задает представление группы SU (2) в SO(3). Очевидно, что матрицы g и −g задают одно и то же вращение. Можно показать, что каждому вращению из SO(3) соответствует только одна пара матриц g и −g из SU (2). Понятно, что если мы имеем представление Tg группы SU (2) такое, что Tg = T−g , то это представление может рассматриваться как представление группы SO(3). Известно, что любое однозначное представление Tg группы SU (2) обладает свойством Tg = T−g и, значит, порождает представление группы SO(3). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01–01–00766).

c 2002 Гордиенко В. М.

52

В. М. Гордиенко

Для описания представлений группы SU (2) важно описать неприводимые представления, так как произвольное представление раскладывается в прямую сумму неприводимых. Известно [1–3], что однозначные неприводимые представления группы SU (2) существуют только в пространстве нечетной размерности 2N + 1. При этом любые два неприводимых представления в пространствах размерности 2N + 1 эквивалентны. Число N называется весом представления. Удобно реализовывать неприводимое представление веса N группы SU (2) в пространстве однородных полиномов h(N ) (ξ, η) степени 2N от двух формальных переменных ξ и η. Это пространство имеет размерность 2N + 1. Для таких полиномов установилось название «спинорные полиномы». Представление Tg (g ∈ SU (2)) в пространстве спинорных полиномов определим следующим образом: ¯ + αη), Tg h(ξ, η) = h(ξ 0 , η 0 ) = h(¯ αξ − βη, βξ где 

ξ0 η0



     ξ α ¯ −β ξ =g ≡ ¯ . η β α η ∗

Итак, мы описали неприводимые представления групп SU (2) и SO(3). Остановимся коротко на представлениях группы O(3). Мы уже отмечали, что любой элемент Q ∈ O(3) представим либо в виде Q = P , либо в виде Q = (−I3 )P , где Im — единичная матрица порядка m. Поэтому если задано неприводимое представление TP веса N группы SO(3), то для задания представления группы O(3) достаточно определить преобразование T(−I3 ) . Из общих соображений следует, что имеются две возможности T(−I3 ) = ±I2N +1 . Таким образом, для каждого N существуют два различных неприводимых представления веса N полной ортогональной группы O(3). Величину, преобразующуюся по неприводимому представлению веса N группы O(3), называют вектором, если T(−I3 ) = (−1)N I2N +1 , и псевдовектором, если T(−I3 ) = (−1)N +1 I2N +1 . Если в пространстве однородных спинорных полиномов степени выбран (N ) какой-либо базис hn (ξ, η), n = −N, . . . , 0, . . . , N , то представление Tg задается матрицей Ω(N ) (α, β), элементы которой определяются следующей производящей функцией: ) (N ) ¯ + αη) = Tg h(N αξ − βη, βξ n (ξ, η) = hn (¯

k=N X

(N )

(N )

Ωnk (α, β)hk (ξ, η).

k=−N

Излагая теорию представлений групп SU (2), SO(3), O(3), как правило, отмечают тот факт, что конечномерные представления этих групп в подходящем базисе описываются унитарными матрицами [1–3]. На самом деле справедливо более сильное утверждение: представления этих групп описываются в подходящем базисе вещественными ортогональными матрицами. Так как нам не удалось найти соответствующего изложения в широко доступной литературе, мы приводим в этой заметке описание базиса, в котором представления групп SU (2), SO(3) и O(3) вещественны, и вычисляем матричные элементы. ¯ η) обозначаем полином с комплексно-сопряженныКак обычно, через h(ξ, ˆ n(N ) (ξ, η) = h ¯ n(N ) (−η, ξ) ми коэффициентами. Нетрудно показать, что в базисе h b (N ) (α, β) оказываются комплексно-сопряэлементы матрицы представления Ω b (N ) (α, β) = Ω(N ) (α, β). женными элементам матрицы Ω(N ) (α, β), т. е. Ω nk

nk

Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 53 В самом деле, ˆ (N ) (¯ ¯ ¯ ¯ (N ) (−βξ−αη, ¯ h α(−η) − βξ, β(−η) + αξ) αξ−βη, βξ+αη) =h α ¯ ξ−βη) = h(N ) (¯ n =

k=N X

(N )

(N )

Ωnk (α, β)hk (−η, ξ) =

k=−N

k=N X

(N ) ˆ (N ) (ξ, η). Ωnk (α, β)h k

k=−N

Поэтому если выбранный базис в пространстве спинорных полиномов обладает свойством ¯ n (−η, ξ), hn(N ) (ξ, η) = h (2) то в этом базисе матричные элементы будут обладать свойством (N )

(N )

Ωnk (α, β) = Ωnk (α, β), т. е. будут вещественными. (N ) Выберем полиномы hn (ξ, η) обладающие свойством (2): s (2N + 1)! (N ) N +1 h−n (ξ, η) = i [ξ N +n η N −n − (−1)n ξ N −n η N +n ], 2(N + n)!(N − n)! p

(N )

h0 (ξ, η) = iN s ) N h(N n (ξ, η) = −i

n ≥ 1,

(2N + 1)! N N ξ η , N!

(2N + 1)! [ξ N +n η N −n + (−1)n ξ N −n η N +n ], 2(N + n)!(N − n)!

n ≥ 1.

Скалярное произведение в пространстве спинорных полиномов зададим так, чтобы выписанные полиномы были ортонормированны. В этом базисе матрица представления Ω(N ) (α, β) вещественна (и ортогональна). После того как выбран базис в пространстве спинорных полиномов, любой полином может быть записан в виде h(N ) (ξ, η) =

n=N X

) an(N ) h(N n (ξ, η).

n=−N (N )

Очевидно, что коэффициенты an можно рассматривать как координаты вектора a(N ) в пространстве размерности 2N + 1. При этом если преобразование базисных полиномов задается матрицей Ω(N ) (α, β)    (N )  (N ) Tg h−N (ξ, η) h−N (α, β)     (N ) .. ..   = Ω (α, β)  , . . (N )

(N )

Tg hN (ξ, η)

hN (α, β)

то и преобразование вектора (N )  a−N   =  ...  (N ) aN



a(N )

задается той же матрицей: a0(N ) = Ω(N ) (α, β)a(N ) .

54

В. М. Гордиенко

Покажем, что преобразование трехмерного  0  вектора   согласуется с правиξ ξ лом (1). В самом деле, если g ∈ SU (2) и = g∗ , то (−η 0 ξ 0 ) = (−η ξ)g. η0 η Заметим еще, что (1) (1)

(1) (1)

(1) (1)

a−1 h−1 (ξ, η) + a0 h0 (ξ, η) + a1 h1 (ξ, η) √ 6 i(−η ξ) =− 2

(1)

a0 (1) (1) a1 − ia−1

(1)

(1)

a1 + ia−1 (1) −a0

!  ξ . η

Поэтому (1) (1)

(1) (1)

(1) (1)

a−1 h−1 (ξ, η) + a0 h0 (ξ, η) + a1 h1 (ξ, η) !  √ (1) (1) (1) 6 a0 a1 + ia−1 ξ i(−η ξ) =− (1) (1) (1) η 2 a1 − ia−1 −a0 ! √   (1) (1) (1) 6 a0 a1 + ia−1 ξ ∗ ∗ =− i(−η ξ)gg gg (1) (1) (1) η 2 a1 − ia−1 −a0 !  √ 0(1) 0(1) 0(1) 6 a a + ia ξ0 0 1 −1 =− i(−η 0 ξ 0 ) 0(1) 0(1) 0(1) η0 2 a1 − ia−1 −a0 0(1) (1)

0(1) (1)

0(1) (1)

= a−1 h−1 (ξ 0 , η 0 ) + a0 h0 (ξ 0 , η 0 ) + a1 h1 (ξ 0 , η 0 ). Значит, выражение (1)

(1)

(1)

x−1 h−1 (ξ, η) + x0 h0 (ξ, η) + x1 h1 (ξ, η) является инвариантом. Обычно базис в пространстве спинорных полиномов выбирают следующим образом: s (2N + 1)! (N ) N +n en (ξ, η) = (−1) ξ N +n η N −n , n = −N, . . . , 0, . . . , N. (N + n)!(N − n)! Предлагаемый базис с этим базисом связан формулами (n ≥ 1) (N )

h−n (ξ, η) =

 (−i)N −1  (N ) ) √ (−1)n e(N n (ξ, η) − e−n (ξ, η) , 2 (N )

(N )

h0 (ξ, η) = (−i)N e0 (ξ, η),  (−i)N  (N ) ) ) h(N (−1)n e(N n (ξ, η) = − √ n (ξ, η) + e−n (ξ, η) . 2 Очевидно, что переход от одного базиса к другому осуществляется унитарным преобразованием. В группе SU (2) выделяют следующие три однопараметрические подгруппы:    −i ϕ  cos θ2 sin θ2 e 2 0 ϕ g−1 (θ) = , g0 (ϕ) = , 0 ei 2 − sin θ2 cos θ2   cos ω2 −i sin ω2 g1 (ω) = . −i sin ω2 cos ω2

Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 55 Инфинитезимальные операторы представления Tg этих подгрупп в пространd стве спинорных полиномов Gj = dω Tgj (ω) |ω=0 (j = −1, 0, 1) задаются формулами       1 ∂ ∂ i ∂ ∂ i ∂ ∂ G−1 = −η +ξ , G0 = −ξ +η , G1 = η +ξ , 2 ∂ξ ∂η 2 ∂ξ ∂η 2 ∂ξ ∂η при этом Tgj (ω) = eωGj . Приведем формулы, описывающие действие инфинитезимальных операторов на базисные полиномы: ! !   (N ) (N ) p h−n+1 (ξ, η) h−n (ξ, η) G−1 G1 = − (N + n)(N − n + 1) , n ≥ 2; (N ) (N ) −G1 G−1 hn (ξ, η) hn−1 (ξ, η) !     (N ) p h−1 (ξ, η) 0 G−1 G1 , = 2N (N + 1) (N ) (N ) h0 (ξ, η) −G1 G−1 h1 (ξ, η) ! !   (N ) (N ) p h−n−1 (ξ, η) h−n (ξ, η) G−1 −G1 = (N + n + 1)(N − n) , n ≥ 1; (N ) (N ) G1 G−1 hn (ξ, η) hn+1 (ξ, η) ! r    ) N (N + 1) h(N G−1 −G1 0 −1 (ξ, η) , =− (N ) (N ) G1 G−1 h0 (ξ, η) 2 h1 (ξ, η) ! !   (N ) (N ) h−n (ξ, η) h−n (ξ, η) 0 G0 , n ≥ 0. =n (N ) (N ) −G0 0 hn (ξ, η) hn (ξ, η) При описанном соответствии SU (2) → SO(3) выделенным однопараметрическим подгруппам gj (ω) в SU (2) соответствуют однопараметрические подгруппы в SO(3) — вращения вокруг координатных осей:   1 0 0 g−1 (ω) → P−1 (ω) =  0 cos ω − sin ω  , 0 sin ω cos ω   cos ω 0 sin ω g0 (ω) → P0 (ω) =  0 1 0 , − sin ω 0 cos ω   cos ω − sin ω 0 g1 (ω) → P1 (ω) =  sin ω cos ω 0  . 0 0 1 Любое g ∈ SU (2) можно представить в виде произведения трех матриц из указанных однопараметрических подгрупп, а именно   α β g= = g0 (ω) · g−1 (θ) · g0 (ϕ). −β¯ α ¯ При этом параметры Кэли — Клейна α, β оказываются выраженными через углы Эйлера i i θ θ α = e− 2 (ϕ+ω) cos , β = e 2 (ϕ−ω) sin . 2 2 По определению представления имеем разложение Tg = Tg0 (ω) · Tg−1 (θ) · Tg0 (ϕ) .

56

В. М. Гордиенко

Поэтому матричные элементы представления Tg будут вычислены, если мы вычислим матричные элементы представлений Tg−1 (θ) и Tg0 (ϕ) двух однопараметрических подгрупп. (N ) (N ) Матрицы этих представлений обозначим через Ω−1 (θ) и Ω0 (ϕ) соответ(N ) (N ) ственно, а их элементы — через Ω−1,n,k (θ) и Ω0,n,k (ϕ). В следующем параграфе мы вычислим эти матричные элементы, а здесь приведем результаты вычислений. (N ) Для матрицы Ω0 (ϕ) имеем (N )

Ω0,0,0 (ϕ) = 1,

(N )

Ω0,n,n (ϕ) = cos nϕ,

(N )

Ω0,−n,n = sin nϕ

(N )

при n = ±1, ±2, ±N и Ω0,n,k (ϕ) = 0 в остальных случаях. (N )

Для матрицы Ω−1 (θ) s (N + k)! (−1)N −k = N 2 (1 − µ2 )k/2 (N − k)!(N − n)!(N + n)!  n 1 − µ 2 dN −k × [(1 + µ)N +n (1 − µ)N −n ] 1+µ dµN −k  n2 N −k   d N −n N +n n 1+µ [(1 + µ) (1 − µ) ] при n, k ≥ 1; ± (−1) 1−µ dµN −k

(N ) Ω−1,±n,±k (θ)

(−1)N dN (N ) Ω−1,0,0 (θ) = N (1 − µ2 )N , 2 · N ! dµN s (−1)N −k 2 · (N + k)! 1 dN −k (N ) Ω−1,0,k (θ) = − N (1 − µ2 )N при k ≥ 1, 2 · N! (N − k)! (1 − µ2 )k/2 dµN −k s (−1)N 2 · (N + n)! 1 dN −n (N ) Ω−1,n,0 (θ) = − N (1 − µ2 )N при n ≥ 1, 2 n/2 2 · N! (N − n)! (1 − µ ) dµN −n В частности, в § 3 описаны преобразования этими матричными элементами классических ортогональных гармонических полиномов в трехмерном пространстве. Как это ни удивительно, соответствующих формул для тессеральных полиномов найти не удалось. (Преобразование для полиномов с цилиндрической симметрией приводится в учебниках и справочниках.) Формулы сложения в [2, 4] используют комплексный базис, в котором выделение ортогональных представлений из унитарных затруднительно. § 2. Вычисление матричных элементов (N )

Вычислим матричные элементы представления Tg0 (ϕ) , т. е. Ω0,n,k (ϕ) — эле(N )

менты матрицы Ω0 (ϕ). Для спинорного полинома h(ξ, η) имеем Tg0 (ϕ) h(ξ, η) = h(e

iϕ 2

ξ, e

−iϕ 2

η). (N )

Проводя несложные вычисления для базисных полиномов hn (ξ, η), получим (n ≥ 1) (N ) (N ) ) Tg0 (ϕ) h−n (ξ, η) = cos nϕ · h−n (ξ, η) + sin nϕ · h(N n (ξ, η), (N )

(N )

Tg0 (ϕ) h0 (ξ, η) = h0 (ξ, η), (N )

) (N ) Tg0 (ϕ) h(N n (ξ, η) = − sin nϕ · h−n (ξ, η) + cos nϕ · hn (ξ, η),

(3)

Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 57 (N )

(N )

(N )

т. е. Ω0,0,0 (ϕ) = 1, Ω0,n,n (ϕ) = cos nϕ, Ω0,−n,+n = sin nϕ при n = ±1, ±2, ±N и (N )

Ω0,n,k (ϕ) = 0 в остальных случаях. Переходим к вычислению матричных элементов представления Tg−1 (θ) однопараметрической подгруппы g−1 (θ). Матрицу этого представления обозначим (N ) (N ) через Ω−1 (θ). Сначала выявим блочную структуру матрицы Ω−1 (θ) и свойства симметрии ее элементов. В силу того, что любая однопараметрическая подгруппа коммутативна, справедливы тождества g−1 (π)g−1 (θ) = g−1 (θ)g−1 (π), (N ) (N ) Ω−1 (π)Ω−1 (θ)

Tg−1 (π) · Tg−1 (θ) = Tg−1 (θ) · Tg−1 (π) , (N )

(4)

(N )

= Ω−1 (θ)Ω−1 (π).



 0 1 , имеем Tg−1 (π) h(ξ, η) = h(−η, ξ). −1 0 Вычисляя действие представления на базисные полиномы, получаем

Так как g−1 (π) =

(N )

(N )

Tg−1 (π)h−n (ξ, η) = (−1)N +1 h−n (ξ, η), (N )

(N )

Tg−1 (π)h0 (ξ, η) = (−1)N h0 (ξ, η), (N )

) N Tg−1 (π)h(N n (ξ, η) = (−1) h0 (ξ, η).   −IN 0 (N ) Таким образом, Ω−1 (π) = (−1)N . Поэтому из равенства (4) 0 IN +1 (N ) вытекает следующая блочно-диагональная структура матрицы Ω−1 (θ):   AN 0 Ω−1 (θ) = , 0 AN +1 (N )

т. е. отличными от нуля могут быть только элементы Ω−1,−m,−k (θ) при n, k ≥ 1 (N )

и элементы Ω−1,n,k (θ) при n, k ≥ 0. (N )

Докажем еще одно свойство симметрии для элементов матрицы Ω−1 (θ). Легко убедиться в справедливости тождества g0 (π) · g−1 (−θ) = g−1 (θ) · g0 (π). Следовательно, для представлений выполнено равенство Tg0 (π) · Tg−1 (−θ) = Tg−1 (θ) · Tg0 (π) , или Tg0 (π) [Tg−1 (θ) ]−1 = Tg−1 (θ) · Tg0 (π) . Значит, аналогичное тождество выполнено и для матриц представления  (N ) −1 (N ) (N ) (N ) = Ω−1 (θ) · Ω0 (π). Ω0 (π) Ω−1 (θ)  (N ) −1  (N ) T В силу ортогональности нашего представления Ω−1 (θ) = Ω−1 (θ) . Поэтому  (N ) T (N ) (N ) (N ) Ω0 (π) Ω−1 (θ) = Ω−1 (θ)Ω0 (π). (5) Из формул (3) следует, что ) n (N ) Tg0 (π) h(N n (ξ, η) = (−1) hn (ξ, η),

58

В. М. Гордиенко (N )

(N )

т. е. Ω0,n,k (π) = (−1)n δnk . Поэтому из (5) для элементов матрицы Ω−1 (θ) вытекает, что (N ) (N ) Ω−1,n,k (θ) = (−1)n+k Ω−1,k,n (θ). (6) (N )

Теперь переходим к вычислению ненулевых элементов матрицы Ω−1 (θ). Сначала вычислим элементы с отрицательными номерами. Они определяются следующей производящей функцией (n ≥ 1):  X  N θ θ θ θ (N ) (N ) (N ) Ω−1,−n,−k (θ)h−k (ξ, η). (7) h−n cos · ξ − sin · η, sin · ξ + cos · η = 2 2 2 2 k=1

(N ) Ω−1,−n,k (θ)

Мы уже учли то, что cos θ = µ, − sin θ · η = t. Тогда cos

= 0 при n ≥ 1, k ≥ 0. Положим ξ = 1,

θ 1 + (µ + t) θ θ 1 − (µ + t) θ − sin · η = , sin + cos · η = , θ 2 2 2 2 2 cos 2 2 sin θ2 t t η=− = −p . sin θ 1 − µ2

(8)

Подставляя соотношения (8) в (7), получим s  (2N + 1)! [1 + (µ + t)]N +n [1 − (µ + t)]N −n N +1 i 2(N + n)!(N − n)! 22N cosN +n θ2 · sinN −n θ2  N −n [1 − (µ + t)]N +n n [1 + (µ + t)] − (−1) 22N cosN −n θ2 · sinN +n θ2 s   N X (−1)N −k tN −k (2N + 1)! (−1)N tN +k (N ) = iN +1 Ω−1,−n,−k (θ) − 2(N + k)!(N − k)! sinN −k θ sinN +k θ k=1 или после сокращений [1 + (µ + t)]N +n [1 − (µ + t)]N −n cosn θ2 sin−n θ2 (N + n)!(N − n)! 1

2N



p

 [1 + (µ + t)]N −n [1 − (µ + t)]N +n cos−n θ2 sinn θ2   (N ) n X Ω−1,−n,−k (θ) (−1)N −k tN −k (−1)N tN +k p = − . sin−k θ sink θ (N + k)!(N − k)! k=1

− (−1)n

Перепишем еще раз, используя замены sin θ =

sin θ2 cos θ2

r =

1−µ , 1+µ

(9)

n 1−µ 2 [1 + (µ + t)]N +n [1 − (µ + t)]N −n 1 + µ (N + n)!(N − n)!   n2  n 1+µ N −n N +n − (−1) [1 + (µ + t)] [1 − (µ + t)] 1−µ   (N ) N X Ω−1,−n,−k (θ) (−1)N tN +k N −k 2 k/2 N −k p = (−1) (1 − µ ) t − . (10) (1 − µ2 )k/2 (N + k)!(N − k)! k=1 1

2N

p 1 − µ2 ,

p



Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 59 Выпишем формулу Тейлора в нужной нам форме. Пусть f (z) — полином степени 2N , тогда f (µ + t) =

k=N X k=−N

dN −k tN −k f (µ) (N − k)! dµN −k

 N  X tN d N tN +k tN −k dN −k dN +k ≡ f (µ) + f (µ) + f (µ) . N ! dµN (N − k)! dµN −k (N + k)! dµN +k k=1

Используя эту формулу для разложения левой части (10) по степеням t и приравнивая слева и справа коэффициенты при степени tN −k , получим s (−1)N −k (N + k)! (N ) Ω−1,−n,−k (θ) = N 2 (1 − µ2 )k/2 (N − k)!(N − n)!(N + n)!  n 1 − µ 2 dN −k × [(1 + µ)N +n (1 − µ)N −n ] 1+µ dµN −k  n  1 + µ 2 dN −k N −n N +n − (−1)n [(1 + µ) (1 − µ) ] . 1−µ dµN −k (N )

Вычислим ненулевые элементы матрицы Ω−1 (θ), стоящие на центральной строке. Они определяются следующей производящей функцией: (N ) h0



θ θ θ θ cos · ξ − sin · η, sin · ξ + cos · η 2 2 2 2

 =

N X

(N )

(N )

Ω−1,0,k (θ)hk (ξ, η).

k=0

Подставляя соотношения (8) в это тождество, имеем p iN (2N + 1)! [1 + (µ + t)]N [1 − (µ + t)]N N! 2N cosN θ2 · 2N sinN θ2 p (2N + 1)! (−1)N tN N (N ) = i Ω−1,0,0 (θ) N! sinN θ s   N X (N ) (2N + 1)! (−1)N −k tN −k (−1)N tN +k N −i Ω−1,0,k (θ) + 2(N + k)!(N − k)! sinN −k θ sinN +k θ k=1 или после упрощений 1

(−1)N tN N!   (N ) N X Ω−1,0,k (θ) (−1)N tN +k N −k 2 k/2 N −k p − (−1) (1 − µ ) t + . (1 − µ2 )k/2 2(N + k)!(N − k)! k=1 (N )

2N N !

[1 − (µ + t)2 ]N = Ω−1,0,0 (θ)

Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при tN и tN −k , находим (N )

Ω−1,0,0 (θ) = (−1)N −k (N ) Ω−1,0,k (θ) = − N 2 · N!

s

(−1)N dN (1 − µ2 )N , 2N · N ! dµN

2 · (N + k)! 1 dN −k (1 − µ2 )N . (N − k)! (1 − µ2 )k/2 dµN −k

60

В. М. Гордиенко

В силу равенства (6) имеем (−1)N (N ) Ω−1,n,0 (θ) = − N 2 · N!

s

dN −n 2 · (N + n)! 1 (1 − µ2 )N . (N − n)! (1 − µ2 )n/2 dµN −n N)

Теперь вычислим элементы матрицы Ω−1 (θ) с положительными номерами (n ≥ 1):  X  N θ θ θ θ (N ) (N ) (N ) hn cos · ξ − sin · η, sin · ξ + cos · η = Ω−1,n,k (θ)hk (ξ, η). 2 2 2 2 k=0

Подставляя соотношения (8) в это тождество, получим s  (2N + 1)! [1 + (µ + t)]N +n [1 − (µ + t)]N −n N −i 2(N + n)!(N − n)! 2N cosN +n θ2 · 2N sinN −n θ2 p  N −n (2N + 1)! (−1)N tN [1 − (µ + t)]N +n n [1 + (µ + t)] N (N ) + (−1) = i Ω (θ) −1,n,0 N! 2N cosN −n θ2 · 2N sinN +n θ2 sinN θ s   N X (−1)N −k tN −k (2N + 1)! (−1)N tN +k (N ) − iN Ω−1,n,k (θ) + 2(N + k)!(N − k)! sinN −k θ sinN +k θ k=1 или после упрощений  1−µ n ( ) 2 [1 + (µ + t)]N +n [1 − (µ + t)]N −n 2N 2(N + n)!(N − n)! 1 + µ   n (−1)N tN (N ) 1+µ 2 [1 + (µ + t)]N −n [1 − (µ + t)]N +n = − Ω−1,n,0, (θ) + (−1)n 1−µ N!   (N ) N X Ω−1,n,k, (θ) (−1)N tN +k p + (−1)N −k (1 − µ2 )k/2 tN −k + . (1 − µ2 )k/2 2(N + k)!(N − k)! k=1 1

p

Приравнивая коэффициенты при степени tN −k , приходим к равенству s (−1)N −k (N + k)! (N ) Ω−1,n,k, (θ) = N 2 k/2 (N − k)!(N + n)!(N − n)! 2 (1 − µ )   n2 N −k 1−µ d (1 + µ)N +n (1 − µ)N −n 1+µ dµN −k   n2 N −k  d n 1+µ N −n N +n + (−1) (1 + µ) (1 − µ) . 1−µ dµN −k § 3. Классическое представление в пространстве ортогональных полиномов Как мы уже отмечали, выражение (1)

(1)

(1)

x−1 h−1 (ξ, η) + x0 h0 (ξ, η) + x1 h1 (ξ, η) является инвариантом. Обозначим x−1 x0 Φ−1 Φ01 (x−1 , x0 , x1 ) = √ , 1 (x−1 , x0 , x1 ) = √ , 6 6

x1 Φ11 (x−1 , x0 , x1 ) = √ . 6

Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 61 Выражение  −1 N (1) (1) (1) Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h−1 (ξ, η) + Φ01 (x−1 , x0 , x1 )h0 (ξ, η) + Φ11 (x−1 , x0 , x1 )h1 (ξ, η) тоже является инвариантом. Определим полиномы ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) с помощью следующей производящей функции:  −1 N (1) (1) (1) Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h−1 (ξ, η) + Φ01 (x−1 , x0 , x1 )h0 (ξ, η) + Φ11 (x−1 , x0 , x1 )h1 (ξ, η) = N!

n=N X

ΦnN (x−1 , x0 , x1 )hN n (ξ, η). (11)

n=−N

Полиномы ΦnN (x−1 , x0 , x1 ), n = −N, . . . , N , являются однородными гармоническими, образуют базис в пространстве однородных гармонических полиномов и преобразуются по неприводимому представлению веса N . Получим явные формулы для этих полиномов. Напомним, что √ √ √ 6 2 6 2 (1) (1) (1) (ξ + η 2 ), h0 (ξ, η) = i 6ξη, h1 (ξ, η) = i (η − ξ 2 ). h−1 (ξ, η) = − 2 2 Мы будем использовать сферическую систему координат x−1 = r sin θ sin ϕ

x0 = r cos θ

x1 = r sin θ cos ϕ.

Преобразуем левую часть производящей функции (11): (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

0 1 Φ−1 1 (x−1 , x0 , x1 )h−1 (ξ, η) + Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h0 (ξ, η) + Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h1 (ξ, η) x−1 2 x1 i =− (ξ + η 2 ) + ix0 ξη + i (η 2 − ξ 2 ) = [(x1 + ix−1 )η 2 + 2x0 ηξ − (x1 − ix−1 )ξ 2 ] 2 2 2 ir = [sin θeiϕ η 2 + 2 cos θξη − sin θe−iϕ ξ 2 ]. 2

Положим ξ = 1, t = sin θeiϕ η. Тогда (1)

0 1 Φ−1 1 (x−1 , x0 , x1 )h−1 (1, η) + Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h0 (1, η) + Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h1 (1, η)   ir sin2 θ · η irη 2 = ηt + 2 cos θ · η − = [t + 2 cos θ · t + cos2 θ − 1] 2 t 2t irη 2 irη = [t + 2µt + µ2 − 1] = − [1 − (t + µ)2 ]. 2t 2t

Таким образом, для левой части производящей функции (11) при ξ = 1 имеем N  −1 (1) (1) (1) Φ1 (x−1 , x0 , x1 )h−1 (1, η)+Φ01 (x−1 , x0 , x1 )h0 (1, η)+Φ11 (x−1 , x0 , x1 )h1 (1, η)  N  N n=N X irη irη 1 dN +n = − [1 − (t + µ)2 ]N = − (1 − µ2 )N tN +n 2t 2t (N + n)! dµN +n n=−N

 =

N n=N X (1 − µ2 ) n2 −ir dN +n einϕ N +n (1 − µ2 )N η N +n 2 (N + n)! dµ n=−N

= iN rN N !

N X n=−N

(−1)n PNn (µ)einϕ p η N +n . (2N + 1)(N + n)!(N − n)!

62

В. М. Гордиенко

Мы обозначили (−1)N +n PNn (µ) = N 2 · N!

s

N +n n d (2N + 1)(N − n)! (1 − µ) 2 N +n (1 − µ2 )N . (N + n)! dµ

Разложим правую часть равенства (11) при ξ = 1 по степеням η: (N X  (N ) n (N ) N! Φ−n N (x−1 , x0 , x1 )h−n (1, η) + ΦN (x−1 , x0 , x1 )hn (1, η) n=1

) + N X

(N ) Φ0N (x−1 , x0 , x1 )h0 (1, η)

s

 −n (2N + 1)! ΦN (x−1 , x0 , x1 )i(η N −n − (−1)n η N +n ) 2(N + n)!(N − n)! n=1 p  − ΦnN (x−1 , x0 , x1 )(η N −n + (−1)n η N +n ) + iN (2N + 1)!Φ0N (x−1 , x0 , x1 )η N s N X  (2N + 1)! N −n = iN N ! (−ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) + iΦ−n N (x−1 , x0 , x1 ))η 2(N + n)!(N − n)! n=1  N +n − (−1)n (ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) + Φ−n N (x−1 , x0 , x1 ))η p + iN (2N + 1)!Φ0N (x−1 , x0 , x1 )η N . = iN N !

Таким образом, мы получили следующее разложение по степеням η левой и правой частей равенства (11): rN

N X

(−1)n PNn (µ)einϕ p η N +n (2N + 1)(N + n)!(N − n)! n=−N s N X 
N −n (2N + 1)! = −ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) + iΦ−n N (x−1 , x0 , x1 ) η 2(N + n)!(N − n)! n=1
N +n  − (−1)n ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) + iΦ−n N (x−1 , x0 , x1 ) η p (2N + 1)! 0 ΦN (x−1 , x0 , x1 )η N . + N!

Приравнивая коэффициенты при степенях η N +n и η N , получим √ N 2r sin nϕ −n ΦN (x−1 , x0 , x1 ) = − p PNn (cos θ), (2N + 1)(2N + 1)! Φ0N (x−1 , x0 , x1 ) = p

rN

PN0 (cos θ), (2N + 1)(2N + 1)! √ N 2r cos nϕ n p ΦN (x−1 , x0 , x1 ) = − PNn (cos θ). (2N + 1)(2N + 1)! Построенные полиномы ΦnN (x−1 , x0 , x1 ), n = −N, . . . , N , как было указано, образуют базис в пространстве однородных гармонических полиномов и преобразуются по неприводимому представлению веса N по тем же формулам, что и базисные спинорные полиномы h(N ) (ξ, η). В частности, если координаты

Матричные элементы вещественных представлений групп O(3) и SO(3) 63 (x−1 , x0 , x1 ) повернуть вокруг оси x−1 на угол θ, то полиномы ΦnN (x−1 , x0 , x1 ) (N ) преобразуются с помощью матрицы Ω−1 (θ), а именно ΦnN (x−1 , x0 cos θ + x1 sin θ, −x0 sin θ + x1 cos θ) =

k=N X

(N )

Ω−1,n,k (θ)ΦkN (x−1 , x0 , x1 ).

k=−N

Выписанная формула является обобщением теоремы сложения [2, 4]. ЛИТЕРАТУРА 1. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: Физматгиз, 1958. 2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 3. Годунов С. К., Михайлова Т. Ю. Представления группы вращений и сферические функции. Новосибирск: Научная книга, 1998. 4. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. Статья поступила 14 сентября 2001 г. Гордиенко Валерий Михайлович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск 630090 [email protected]