Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 3. Интерполяция кубическими сплайнами

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф акультетп рикладной математики, информатикиимеханики

Гудович Н .Н . И ЗБРА Н Н Ы Е

В О ПРО СЫ

К У РСА Ч И СЛ Е Н Н Ы Х

М ЕТ О Д О В

В ы п ус к 3. И нтерп оляц ия кубичес кимис п лайнами.

В оронеж 2002

10. Понятиес п лайна. В ведё нны е ввы п ус ке 1 локальны е интерп олянты pnN(f) неп реры вной на отрезке [a,b] функции f п ри N→∞ с ходятс я к f равномерно на [a,b]. О днако, каким бы чис лом неп реры вны х п роизводны х наотрезке [a,b] функция f ни обладала, т.е. к какому бы класс у Cm[a,b], m ≥ 1 ни п ринадлеж ала, э ти её п риближ ения как функции, расс матриваемы е навсё м отрезке [a,b], всего лиш ь неп реры вны е: во всехточках xi разбиения отрезка[a,b] a= x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < xi+1 < ... < xN =b ,

(1.1)

за ис ключением крайних точек x0 , xN , локальны й интерп олянт не имеет п роизводны х. Д ейс твительно, ес либы вточке xi э тап роизводная с ущ ес твовала, то с ней с овп адали бы , а значит, бы ли бы равны п роизводны е в точке xi многочленов pi,n , pi+1,n , отвечающ их с ос едним отрезкам разбиения [xi-1,xi] , [xi,xi+1] ; но э то, вообщ е говоря, мес тане имеет: p′i,n(xi) ≠ p′i+1,n(xi) .Е с ли э тот недос таток с ущ ес твенен, исп ользуютдругиеп риближ ения – с п лайны . Т ермин «с п лайн» ( spline ) имееттехничес коеп роис хож дение: э тим с ловом английс кие чертё ж ники-кораблес троители п рош лы х веков назы вали длинную гибкую рейку для вы черчивания деталей кораблей внатуральную величину, т.е. чертё ж ны й инс трумент для п роведения гладких кривы х. В с овременной ж е математике п од с п лайном п онимают функцию ϕ, которая локально - на частичны х отрезках разбиения – тож е задаётс я многочленами ϕi , но п ри э том п одобранны митак, чтобы вточке xi п роизводны ес ос едних многочленовϕi , ϕi+1 до п орядка m включительно с овп адали, т.е. так, чтобы глобально – навсё м отрезке [a,b] – э то п риближ ениеоказалос ь функц ией класс аCm[a,b]. О п ределение 1.1. Сп лайном п орядка m с теп ени n на отрезке [a,b] назы вают функц ию ϕ класс а Cm[a,b], которая накаж дом частичном отрезке разбиения [xi-1,xi] с овп адаетс некоторы м многочленом с теп ениневы ш е n : ϕ(x) = ϕ i (x) = a0(i) + a1(i) x + ... + an(i) x n ,

x i-1 ≤ x ≤ x i , i = 1, 2, ... , N

(1.2)

(с изменением i коэ ффициенты многочлена, вообщ е говоря, меняютс я, что и отмечено верхним с имволом (i) вобозначениикоэ ффициентов). Приэ том, ес лив точках (1.1) значения ϕ с овп адаютсо значениямизаданной на[a,b] функц ии f ϕ(x i) = f(x i)

,

i = 0, 1, ... , N ,

(1.3)

то с п лайн назы ваютинтерп оляционны м для f. Замечание 1.2. Ч ащ е всего ис п ользуют с п лайны 2-го п орядка3-й с теп ени; такие с п лайны назы вают кубичес кими. В ы бор значения m=2 объ яс няетс я втом чис ле и тем, что п ри движ ении обрабаты вающ его инс трумента в с танках с чис ловы м п рограммны м уп равлением (Ч ПУ ) п о дваж ды неп реры вно дифференцируемой кривой удаётс я избеж ать ударны хнагрузок, которы евс илу 22

го законаН ьютонавозникалибы вс лучае разры вов2-й п роизводной икоторы е могли бы п ривес ти к разруш ению обрабаты вающ его инс трумента или обрабаты ваемой п оверхнос ти. Значение ж е n=3 - минимальное значение, обес п ечивающ ее с ущ ес твование интерп оляционного с п лайнакласс а C2[a,b] п ри любом наборе {f(x i)} значений функции f вузлах(1.1). Л окальноеп редс тавление (1.2) кубичес кого с п лайнаимеетвид: ϕ i (x) = a0(i) + a1(i) x + a2(i) x2 + a3(i) x3

,

x i-1 ≤ x ≤ x i ,

i = 1, 2, ... , N , (1.4)

п оэ тому для задания кубичес кого с п лайнас ледуетзадать 4N коэ ффициентовa j(i). В ы бор э тих коэ ффиц иентов долж ен бы ть п одчинё н, во-п ервы х, ус ловиям интерп оляционнос ти (1.3) , которы е вданном с лучае могут бы ть зап ис аны ( с м. рис . 1.1 ) ввидес ис темы линейны х алгебраичес ких уравнений a0(1) + a1(1) x0 + a2(1) x02 + a3(1) x03 = f(x0) ,

(1.5)

a0( i ) + a1( i ) x i + a2( i ) x i2 + a3( i ) x i3 = f(xi) ,

i = 1, 2, ... , N-1

,

(1.6)

a0(i+1)+a1(i+1)x i+ a2(i+1)xi2 + a3(i+1)xi3 = f(xi+1) ,

i = 1, 2, ... , N-1

,

(1.7)

a0(N) + a1(N) x i+ a2( N )xi2 + a3( N )xi3 = f(xN) ,

(1.8)

и, во-вторы х, ус ловиям гладкос ти, для вы вода которы х с ледует дваж ды п родифференцировать (1.4) : ϕ i′ (x) = a1(i) + 2a2(i) x +3a3(i) x2 ,

x i-1 ≤ x ≤ x i

ϕ i″(x) = 2a2(i) + 6a3(i) x

x i-1 ≤ x ≤ x i

,

азатем п риравнять во всех внутренних узлах x п роизводны хс ос едних многочленовϕ i , ϕ i+1 :

i

, ,

значения п ервы х и вторы х

a1( i ) + 2a2( i ) x i + 3a3( i ) x i 2 = a1(i+1) + 2a2(i+1) x i + 3a3(i+1) x i 2 , i = 1, 2, ... , N-1 , (1.9) 2a2( i ) + 6a3( i ) x i = 2a2(i+1) + 6a3(i+1) x i

, i = 1, 2, ... , N-1 . (1.10) 3

Замечание1.3. Сис тема (1.5)-(1.10) ес ть с ис темалинейны х алгебраичес ких уравнений относ ительно неизвес тны х a j(i) , п ричё м чис ло неизвес тны х 4N п ревос ходит чис ло уравнений 4N-2 . Д ля того, чтобы чис ло уравнений с тало равны м числу неизвес тны х, нуж но добавить двадоп олнительны х ус ловия. М ы не с танем здес ь вы п ис ы вать э ти доп олнительны е уравнения, п ос кольку вы бор коэ ффициентов aj(i) вкачес твеп араметровс п лайна, ес тес твенны й инаглядны й с теоретичес кой точки зрения, на п рактике оказы ваетс я нерациональны м: п ри вы боревкачес твеп араметровдругих характерис тик с п лайна, аименно значений s i = ϕ″(x i)

,

i = 0, 1, ... , N

(1.11)

вторы х п роизводны х с п лайнавузлах x i , задачап ос троения интерп оляционного кубичес кого с п лайнап ос ле п рос ты х аналитичес ких п реобразований с ведё тс я к реш ению линейной с ис темы с с ущ ес твенно меньш им количес твом неизвес тны х и болееп рос той матриц ей. 20. В ы вод с ис темы уравнений для нахож дения п араметровs i . О бозначим через h i длину i-го отрезкаразбиения hi = x i - x i-1 .

(2.1)

Задача 2.1. Пос троить многочлен третьей с теп ени, значения которого в точках x i-1, x i равны f(x i-1), f(x i) ϕ i (x i-1) = f(x i-1) ,

ϕ i (x i) = f(x i)

,

(2.2)

азначения второй п роизводной – величинам s i-1, s i ϕ i″(x i-1) = s i-1

,

ϕ i″(x i ) = s i .

(2.3)

Реш ение. Сос тавим для функции f п о узлам x i-1, x i интерп оляционны й многочлен п ервой с теп ени

pi,1 ( x ) = f ( x i −1 )

x−x i x i −1 −x i

+ f (xi )

x−x i −1 x i −x i −1

= f ( x i −1 )

x i −x hi

+ f (xi )

x−x i −1 hi

,

значения которого вточках x i-1, x i равны f(x i-1), f(x i) , азначения второй п роизводной – нулю. Затем п рибавим к э тому многочлену многочлен третьей с теп ени (x i −x) 3 (x −x i −1) 3  1 + si  s i −1  , hi 6 hi   4

вторая п роизводная которого

s i −1

xi − x hi

+ si

x − x i −1 hi

п ринимает вточках x i-1 , x i требуемы е значения s i-1, s i . А так как п ритаком п рибавлениизначения конс труируемой функц иивточках x i-1, x i изменятс я на величины 1 s i −1 h i2 6

,

1 s i h i2 6

,

( 2. 4)

вы чтем из п олученной с уммы многочлен п ервой с теп ени

hi 6

s i −1 ( x i − x) +

hi 6

s i ( x − x i −1 ) ,

значения которого вточках x i-1, x i вточнос тиравны величинам (2.4). Полученная функция

ϕi ( x ) = f ( x i − 1 ) −

hi 6

[s

i −1

xi − x hi

+ f (x i )

x − x i −1

( x i − x ) + s i ( x − x i −1 )

hi

]

,

( x i − x) 3 ( x − x i −1 ) 3 1 +  s i −1 + si 6  hi hi

  − 

x i −1 ≤ x ≤ x i

( 2.5)

ибудетис комы м многочленом, удовлетворяющ им ус ловиям (2.2),(2.3). О бозначим через ϕ функцию, заданную наотрезке [a,b] локальны ми п редс тавлениями (2.5). Т ак как с ос едние многочлены ϕ i, ϕ i+1 вточке x i п ринимаютодно ито ж езначение f(x i) , функц ия ϕ неп реры внанаотрезке [a,b] п рилюбом наборезначений s0, s1, ... , sN . Д ифференцируемос ть ж еэ той функции вточках x i , i = 1, 2, ... , N-1 п рип роизвольном вы бореп араметров s i мес тане имеет; чтобы её обес п ечить, навы бор s i п риходитс я налагать ус ловия ϕ i′(x i) = ϕ i+1′(x i)

,

i = 1, 2, ... , N-1 ,

(2.6)

п редс тавляющ иес обой линейны еалгебраичес киеуравнения относ ительно s i . Д ля вы водаэ тих уравнений п родифференцируем (2.5) ϕ ' i (x) =

f ( xi ) − f ( xi − 1 ) hi

( x i − x) 2 ( x − x i −1 ) 2 1 + − s i − 1 + si 2  hi hi

 hi − s i −1 + s i  − 6 

[

]

( 2.7 )

ип олож им здес ь x = x i : 5

ϕ ' i (x i ) =

f ( x i ) − f ( x i −1 ) hi

+

[

hi 1 hi si − − s i −1 + s i 6 2

]

.

( 2.8)

Затем, увеличивая в(2.7) индекс i наединиц у иоп ять п олагая x = x i , п олучим ϕ 'i +1 ( x i ) =

f ( x i +1 ) − f ( x i ) h i +1

−

[

h i +1 1 h i +1 s i − − s i + s i +1 6 2

]

.

( 2.9)

Н аконец, п риравнивая вы раж ения (2.8), (2.9), п риходим к зап ис иус ловий (2.6) в видес ис темы уравнений h i s i-1 + 2 ( h i + h i+1 ) s i + h i+1 s i+1 = ν i ,

i = 1, 2, ... , N-1 ,

(2.10)

где ν i – заданны еп равы ечастивида

 f ( x i +1 ) − f ( x i ) f ( x i ) − f ( x i −1 )  νi = 6  −  h hi i +1  

.

( 2.11)

Н еп реры внос ть ж евторой п роизводной функции ϕ вточках x i с ледуетиз того, что п о п ос троению многочленов ϕ i вторы е п роизводны е ϕ′′i , ϕ′′i+1 с ос едних многочленовϕ i , ϕ i+1 п ринимаютвточке x i одно ито ж езначениеs i . И так, доказана Т еорема 2.2. Д ля того, чтобы формулы (2.5) давали локальны е п редс тавления интерп оляционного кубичес кого с п лайна для функции f , необходимо идос таточно, чтобы фигурирующ иевних величины s i , i = 0, 1, ... , N удовлетворялис ис теме(2.10) с п равы мичастями(2.11). Замечание 2.3. Сис тема (2.10) ес ть с ис тема N-1 уравнений с N+1 неизвес тны м. Д ля того, чтобы с делать чис ло уравнений равны м чис лу неизвес тны х, с ледует задать двадоп олнительны х ус ловия. Э ти ус ловия могут бы ть двух тип ов–начальны миикраевы ми. 30. К убичес кий сп лайн с начальны миус ловиями. Прос тейш ий с п ос об замкнуть с ис тему (2.10) – задать значения s0, s1 . В результатеп олучим с ис тему

s0 = γ , s1 = δ h i s i-1 + 2 ( h i + h i+1 ) s i + h i+1 s i+1 = ν i ,

(3.1) i = 1, 2, ... , N-1 .

(3.2) 6

А лгоритм реш ения такой с ис темы чрезвы чайно п рос т – он с водитс я к вы чис лениям п о рекуррентной формуле

s0 = γ , s1 = δ , s i+1 = (1/h i+1) ( ν i – h i s i-1 − 2( h i + h i+1 ) s i ) , i = 1, 2, ... , N-1. О днако п ри больш их N хорош их с п лайн-п риближ ений на э том п ути не п олучаетс я, п ос кольку задача(3.1) – (3.2) являетс я некорректно п ос тавленной. Н ап омним, что п од корректнос тью математичес кой задачи п онимают с итуацию, когда изменение реш ения, вы званное изменением данны х задачи, имееттотж еп орядок малос ти, что иизменениевходны х данны х. Покаж ем, что в с лучаес ис темы (3.1) – (3.2) э то как раз инеимеетмес та. Д адим п равой части γ в(3.1) п риращ ение ∆γ ивы яс ним, как э то с каж етс я нареш ениис ис темы . О бозначим новоереш ениечерез s = {s i } ; э то реш ение удовлетворяетс ис теме s0 = γ+∆γ , s1 = δ ,

(3.3)

h is i-1 + 2( h i + h i+1 )s i + h i+1s i+1 = ν i ,

i = 1, 2, ... , N-1 .

(3.4)

В ы читание уравнений (3.1), (3.2) из соответс твующ их уравнений с ис темы (3.3), (3.4) даётдля п риращ ения реш ения ε = { ε i } = {s i – s i } с ис тему уравнений ε0 = ∆γ , ε1 = 0 ,

(3.5)

h i ε i-1 + 2( h i + h i+1 ) ε i + h i+1 ε i+1 = 0 ,

i = 1, 2, ... , N-1 .

(3.6)

Проанализируем э ту с ис тему, п редп олож ивдля п рос тоты , что узлы x i являютс я равноотс тоящ ими, а, значит, что величины h i независ ятот i : h i = h. Сис тема(3.5), (3.6) п риметп риэ том вид ε0 = ∆γ , ε1 = 0 ,

(3.7)

ε i-1 + 4ε i + ε i+1 = 0 ,

i = 1, 2, ... , N-1 .

(3.8)

Сначалавы п иш ем реш ениеп одс ис темы (3.8) . Будем ис кать его ввиде i

εi = q ,

i = 0, 1, ... , N ,

(3.9)

где q – п араметр, п одлеж ащ ий оп ределению. Подс тановка (3.9) в (3.8) и i-1 с окращ ениенаq даютдля нахож дения q уравнение 1 + 4q + q 2 = 0 .

(3.10) 7

У равнение(3.10) имеетдваразличны х корня

q1 = − 2 + 3

q2 =−2− 3

,

,

(3.11)

с оответс твенно п олучаем дваразличны х реш ения п одс ис темы (3.8)

{(q ) } i

1

N

{( q ) } i

,

i =0

N

.

i =0

2

А так как с ис тема(3.8) – линейная и однородная, ей удовлетворяет и любая линейная комбинация э тих реш ений

{

C1 (q 1 )

i

} + C {( q ) } = {C ( q ) i

2

2

1

1

i

+ C2 ( q 2 )

i

}

с независ ящ имиот i конс тантами C1, C2 , т.е. любой набор чис ел вида i

ε i = C1 q1 + C2 q2

i

,

i = 0, 1, .... , N i

(3.12)

i

( здес ь и далее с кобки вобозначении (q1) , (q2) i-ты х с теп еней чис ел q1, q2 оп ус каем ). Ф игурирующ ие вформуле (3.12) конс танты C1, C2 ищ ем из начальны х ус ловий (3.7). Подс тановкатудавеличин ε0, ε1 даёт C1 + C2 = ∆γ ,

C1q1 + C2q2 = 0 ,

откудадля э тих конс тантп олучаем значения q2 C1 = ∆γ , q 2 − q1

C2 =

q1 q1 − q 2

∆γ .

( 3.13)

И так, реш ениес ис темы (3.7), (3.8) имеетвид

 q2  q1 i i εi =  q1 + q 2  ∆γ ,  q 2 − q1  q1 − q 2  

i = 0 , 1 , ... , N ,

(3.14)

где q1, q2 - вещ ес твенны ечис ла, заданны еформулами(3.11). О ценим величину ε i п ри i = N = 100 . Согласно (3.11), (3.14) имеем

 −2− 3 100 100  −2 + 3 ε 100 =  −2 + 3 + −2 − 3  ∆ γ . 2 3  −2 3  Первое с лагаемое вквадратны х с кобках п ренебреж имо мало: его модуль равен 57 п римерно 6,9⋅10 – , тогдакак модуль второго п римерно равен 1,2⋅10 56. Т акой п орядок модулей объ яс няетс я тем, что вкачес тве множ ителей вэ тих с лагаемы х

(

)

(

)

8

фигурируютс оты ес теп еничис ел q1,q2 с модулем, с ущ ес твенно меньш им ( |q1| ≅ 0,268 ) ис ущ ес твенно больш им ( |q2| ≅ 3,732 ) единицы . И так, отнош ение абс олютной величины п риращ ения реш ения ∆sN = εN к абс олютной величинеп риращ ения п равой части ∆γ чрезвы чайно велико

∆sN ∆γ

> 1056 ,

п ричё м из формулы (3.14) яс но, что с рос том N э то отнош ение будет бы с тро увеличиватьс я. А э то иговорито том, что задачап ос троения интерп оляционного кубичес кого с п лайнавтом с лучае, когдадоп олнительны е ус ловия – начальны е, п ос тавленанекорректно. Н а п рактике э та некорректность п роявляетс я, п реж де всего, в вы с окой чувствительнос ти алгоритмак вы чис лительны м п огреш нос тям: доп ущ енная на некотором ш аге алгоритма п огреш нос ть округления ( нап ример, п ри вводе значения γ вп амять комп ьютера) расп рос траняетс я нап ос ледующ ие ш аги алгоритмас многократны м ус илением и п ри больш ом N с п ос обнап олнос тью ис казить реш ение. Н о дело не только вэ том. Н екорректнос ть математичес кой п ос тановки в задаче п риближ ения функций с абс трактной точки зрения с оответс твуеттому, что нормаоп ератора, с оп ос тавляющ его ис ходной функции f п риближ ающ ую функцию ( в наш ем с лучае – интерп оляционны й кубичес кий с п лайн ) п рибольш их значениях п араметразадачи( внаш ем с лучае – п араметра N ) вес ьмавелика. А что втаком с лучае п роис ходит, мы видели нап римере глобальной интерп оляц иип о равноотс тоящ ей с ис темеузлов( с м. задание10 вы п . 1 ): график п риближ ающ ей функции – интерп оляционного многочлена n-ой с теп ени – оказы ваетс я с ильно колеблющ ейс я кривой, п ричё м с увеличением n размах э тих колебаний увеличиваетс я, так что вмес то п риближ ения интерп оляционного многочлена к интерп олируемой функции f п роис ходит удаление от неё . А налогичны м образом обс тоит дело и в задаче п ос троения кубичес кого с п лайна, когдадоп олнительны еус ловия - начальны е. В заключение с ледует обратить внимание читателя на новы й математичес кий объ ект, с которы м мы встретилис ь вданном п ункте. Е с лис читать εi значением функц иицелочис ленного п еременного вточке i , то на (3.8) мож но с мотреть как на уравнение, с вязы вающ ее значения э той функции в с ос едних точках i-1, i, i+1 . У равнения такого тип а назы вают уравнениямивконечны хразнос тях. Сущ ес твуетглубокая аналогия меж ду уравнениямивконечны х разнос тях и обы кновенны мидифференциальны миуравнениями. В частнос ти, аналогом общ его линейного однородного уравнения в конечны х разнос тяхс п ос тоянны микоэ ффициентами d⋅ε i-1 + r⋅ε i + ε i+1 = 0 ,

9

частны м с лучаем которого являетс я уравнение(3.8), с луж итлинейноеоднородное дифференциальноеуравнение2-го п орядкас п ос тоянны микоэ ффиц иентами d⋅ε(x) + r⋅ε′(x) + ε′′(x) = 0 .

(3.15)

А налогом реш ений вида(3.9) вдифференциальном с лучаес луж атреш ения вида

ε( x ) = e λ X . λΧ

Пос леп одс тановки e вуравнение(3.15) ис окращ ения наe уравнениедля нахож дения п араметраλ:

λΧ

п олучают

d + r λ + λ2 = 0 ; ес ли п ос леднее уравнение имеет различны е корни λ1, λ2 , то общ ее реш ение дифференциального уравнения (3.15) ес ть линейная комбинац ия

C1 e

λ1 x

+ C2 e

λ2 x

,

аналогичная линейной комбинации(3.12), ит.п . Подробнееуказанная аналогия оп ис анав[1]. 40. К убичес кий сп лайн с краевы миус ловиями. Проведенны й вп реды дущ ем п унктеанализ п оказы вает, что п рип ос троении интерп оляционного кубичес кого с п лайнаодно из двух доп олнительны х ус ловий долж но задаватьс я на одном конце отрезка, а другое – на другом. Т акие доп олнительны е ус ловия назы вают краевы ми. При э том возмож ны нес колько вариантов. Первы й вариант с ос тоит в задании вторы х п роизводны х с п лайна в концевы х точках отрезка

s0 = γ , sN = δ .

(4.1)

Е с лип риэ том вкачес тве γ, δ п риняты нулевы е значения, то с п лайн назы вают ес тес твенны м. Пос ледние ус ловия являютс я математичес ким аналогом с итуации, когдавточкеп лос кос ти ( x0, f(x0) ), ( ( xN, f(xN) ) ) рейказакреп ленаш арнирно, и, значит, мож ет с вободно п оворачиватьс я вокруг э той точки. В э том с лучае конец рейки, расп олож енны й левее x0 ( п равее xN ) , оказы ваетс я п рямолинейны м, и п отому нанё м ϕ′′(x) ≡ 0. Проанализируем корректнос ть задачинахож дения п араметров s i вс лучае ус ловий (4.1), п редп олож ивузлы равноотс тоящ ими: h i = h. 10

Зап иш ем с ис тему (2.10) ввиде

s i-1 + 4s i + s i+1 = κ i ,

i = 1, 2, ... , N-1 ,

(4.2)

введя обозначение

νi

κi =

h

f ( x i −1 ) − 2f ( x i ) + f ( x i +1 )

=6

.

h2

Д адим, как ип реж де, п равой части γ п риращ ение ∆γ ивы яс ним, как э то с каж етс я нареш ениис ис темы (4.1), (4.2). Расс уж дая как вп реды дущ ем п ункте, п олучим для п риращ ений реш ения ε i с ис тему уравнений

ε 0 = ∆γ ,

εN = 0 ,

(4.3)

ε i-1 + 4ε i + ε i+1 = 0 ,

i = 1, 2, ... , N-1 .

(4.4)

Реш ение э той с ис темы п оп реж нему имеет вид (3.12) с величинами q1, q2 , заданны миформулами(3.11). Д ля нахож дения независ ящ их от i коэ ффициентов C1, C2 п олагаем вформулах (3.12) i = 0, i = N и, п одс тавляя п олученны е вы раж ения ε0, εN в(4.3), п риходим к с ис теме C1 + C2 = ∆γ ,

C1q1N + C2q2N = 0 .

Подс тановканайденны х отс юдазначений

C1 =

q2

N

N

q 2 − q1 N

N

∆γ

C2 =

,

в формулы (3.12) даёт для п риращ ений п редс тавление N N  q2 q1 i i  q + q εi =  q 2 N − q1 N 1 q1 N − q 2 N 2 

ε

q1 − q 2 N

N

∆γ

( 4.5)

реш ения с ис темы (4.1), (4.2)

i

  ∆γ  

q1

i = 0, 1, ... , N

,

,

или, что то ж ес амое, п редс тавление

εi =

q2

N

q 2 − q1 N

N

q1

i

  q  N−i  1−  1    q    2

  ∆γ  

,

i = 0, 1, ..., N .

( 4.6)

В с илу (3.11) отнош ение q1/q2 п олож ительно и с трого меньш е единицы . Поэ тому п олож ителен имнож итель 11

q2

N

q 2 − q1 N

N

=

1  q1  1−  q   2

N

,

N = 1, 2, ...

,

п ричё м его макс имальное значение, п ринимаемое, очевидно, п ри N = 1 удовлетворяетнеравенс тву

q2 q 2 − q1

=

2+ 3 2 3

,

i

(5.7) 14

и п роизводят п ерекрё с тное умнож ение уравнений (5.6),(5.7) накоэ ффициенты п ринеизвес тном x i : уравнение(5.6) умнож аютнакоэ ффициент am i(i) п ри x i в вуравнении(5.7)

a (mi )i a i( ii ) x i + a (mi )i a i( ii +) 1 x i +1 + ... + a (mi )i a i( in) x n = a (mi )i b i( i )

,

(∗)

ауравнение(5.7) – накоэ ффициент a i i(i) п ри x i вуравнении(5.6)

a (i ii ) a (mi )i x i + a (i ii ) a (mi )i +1 x i +1 + ... + a (i ii ) a (mi )n x n = a (i ii ) b (mi ) .

(∗ ∗)

Затем вп олученной п аре уравнений ( ∗ ), ( ∗∗ ) вы читаютиз ниж него уравнения верхнееиврезультатеп риходятк уравнению

a (mi +i1+)1 x i +1 + a (mi +i1+)2 x i + 2 + ... + a (mi +n1 ) x n = b (mi +1 )

,

m > i

(5.8)

с коэ ффициентамиип равой частью

a (mi +j1 ) = a (i ii ) a (mi )j − a (mi )i a (i ij) , j = i+1, i +2, ... , n , b (mi +1 ) = a (i ii ) b (mi ) − a (mi )i b (i i ) , (5.9) нес одерж ащ ему неизвес тного x i . О п ис анная п роцедураназы ваетс я ис ключением неизвес тного x i из mтого уравнения п одс ис темы (5.5). Пос летого, как такое ис ключение п роизведено для всех m = i+1, i+2, ... , n , расс матриваемы й i-ты й ш аг п рямого ходас читаетс я заверш ё нны м. В результатеп одс ис тема(5.5) с веденак п одс ис теме

a (i ii ) x i + a (i ii )+1 x i +1 + a (i ii )+ 2 x i + 2 + ... + a (i in) x n = b (i i )

,

a (mi +i1+)1 x i +1 + a (mi +i1+)2 x i + 2 + ... + a (mi +n1) x n = b (mi +1) ,

a (i ii ) ≠ 0 ,

(5.10)

m = i+1, ... , n ,

(5.11)

с ос тоящ ей из оп орного уравнения i-го ш ага (5.6) и уравнений (5.8) с коэ ффициентамиип равы мичастями(5.9), нес одерж ащ их неизвес тного x i , ався ис ходная с ис темауравнений (5.1) – к с ис теме

A (i +1) x = b (i +1)

,

(5.12)

1-е, 2-е, ... , i-тое уравнения которой, как яс но из п риведенного вы ш еоп ис ания iтого ш ага, ес ть оп орны е уравнения 1-го, 2-го, ... , i-того ш агов, аос тальны е уравнения образуют п одс ис тему (5.11) уравнений, не с одерж ащ их неизвес тны х x1, x2, ... , x i . Пос левы п олнения всех n–1 ш аговп рямого ходап олучаем с ис тему (5.2) с верхней треугольной матрицей, п ервы е n-1 уравнений которой ес ть оп орны е уравнения 1-го, 2-го, ... , (n-1)-го ш аговп рямого хода.

15

Замечание 5.1. Пос кольку всякий набор неизвес тны х, удовлетворяющ ий п ареуравнений (5.6), (5.7), удовлетворяетп аре(5.6), (5.8) инаоборот, п рямой ход методане изменяет реш ение с ис темы . Поэ тому вы чис ленны е п о формулам (5.3) значения неизвес тны хдаютреш ениеис ходной с ис темы (5.1). Замечание5.2. О бы чно во избеж аниенеж елательного рос та(илиубы вания ) абс олютны х величин коэ ффиц иентов в результате п ерекрё с тного умнож ения уравнений вы бранное оп орное уравнение (5.6) нормируют, т.е. делят наоп орны й (i) коэ ффициент i-того ш ага a i i

xi +

a (i ii +) 1 a (iii)

x i +1 + ... +

a (i in) a (i ii )

xn =

b (i i )

,

a (i ii )

(5.13)

и именно втаком виде ис п ользуют для ис ключения x i из уравнения (5.7). Пос кольку коэ ффициент п ри x i вуравнении (5.13) равен единице, оп ис анны й вы ш е п роцес с ис ключения x i с ведё тся к умнож ению нормированного оп орного (i) уравнения (5.13) накоэ ффициент a m i ивы читанию результатаиз уравнения (5.7) В результате m-тое уравнение п одс ис темы (5.5) ( m > i ) заменитс я уравнением (5.8) с коэ ффиц иентамиип равой частью

a (mi +j1 )

=

a (mi )j

−

a (mi )i

a (i ij) a (i ii )

b (mi +1 )

, j = i+1, ... , n ,

=

b (mi )

− a (mi )i

b (i i ) a (i ii )

. (5.14)

И с ключения такого тип а назы вают ис ключениями Гаус с а, а вариант метода п ос ледовательного ис ключения неизвес тны х, п рямой ход которого ис п ользуетэ ти ис ключения – методом Гаус с а. Замечание 5.3. Е с ли в формулах (5.14) вы делить независ ящ ие от j величины

l m i = a (mi )i / a (i ii )

,

(5.15)

то формулы (5.14) п римутвид

a (mi +j1 ) = a (mi )j − l m i a (i ij)

,

j = i +1, ... , n ,

b (mi +1 ) = b (mi ) − l m i b (i i ) . (5.16) (

)

В с илу э тих формул m-тая с трока ( m > i ) матрицы A i+1 с ис темы (5.12) (i) находитс я п утем п рибавления к m-той с троке матрицы A п редш ес твующ ей с ис темы (5.4) её i-той с троки, умнож енной начис ло l m i . А так как такие п реобразования ос тавляют оп ределитель матрицы неизменны м, с п раведлив вы вод: ис ключения Гаус с а не меняют оп ределителя матрицы . В с илу э того с войс твавс итуации, когдап ри вы боре оп орны х уравнений (5.6) п ерес тавлять уравнения не п риходилос ь ( такой п одвариант методаГаус с аназы вают с хемой 16

единс твенного деления ), для нахож дения оп ределителя матрицы ис ходной с ис темы (5.1) дос таточно п еремнож ить диагональны е коэ ффициенты с ис темы (5.2):

det A = a (111) a (222) ... a (nn−−11n)−1 a (nnn) =

n

∏ a (i ii)

;

i =1

ес ли ж е такие п ерес тановки имели мес то, то указанное п роизведение с ледует k домнож ить на(- 1 ) , где k – чис ло п ерес тановок. Прибольш их n такой с п ос об вы чис ления оп ределителей требуетс ущ ес твенно меньш его чис лаарифметичес ких оп ераций, чем вы чис ления п о общ им формулам для оп ределителя, которы е даютс я вкурс ах алгебры . Замечание 5.4. При п рактичес кой реализации метода Гаус с а п роцес с ис ключения неизвес тны х на i-том ш аге п рямого ходаначинаетс я с вы чис ления величин (5.15) для m = i+1, i+2, ... , n . Э тивеличины – множ ителиi-того ш ага– зап ис ы ваютс я в i-ты й с толбец двумерного масс ивакоэ ффиц иентови п равы х частей с ис темы намес тас оответс твующ их коэ ффициентовa m i ( i ), m = i+1, ... , n. (i+1) ( i+1) ,bm изап ис ы ваютс я Затем п о формулам (5.16) вы чис ляютс я величины am j (i) (i) намес та am j , b m . В результатеп ос левы п олнения п рямого ходавуказанном двумерном масс иве окаж утс я коэ ффициенты и п равы е части с ис темы (5.2) и множ ители l m i . Зап оминание э тих множ ителей п олезно втом с лучае, ес ли в дальнейш ем п ридё тс я реш ать с ис тему (5.1) с темиж екоэ ффициентами a i j , но с другимип равы мичастями b i . В э том с лучае п ривторичном реш ениис ис темы п ридё тс я лиш ь п ерес читать п равы е части п о формулам (5.16), а затем найти новы езначения неизвес тны хп о формулам (5.3). Замечание 5.5. О п орное уравнение (5.10) в с ис теме (5.10)-(5.11) мож но заменить нормированны м оп орны м уравнением (5.13); диагональны е коэ ффициенты п ри неизвес тны х в с ис теме (5.2) окаж утс я п ри э том равны ми единице. 60. М етод п рогонкиреш ения трё хдиагональны х с ис тем. Применим оп ис анны й в п реды дущ ем п ункте метод реш ения линейны х с ис тем для нахож дения п араметров s i интерп оляционного кубичес кого с п лайна. Заметим, что с ис тема (2.9) с краевы ми ус ловиями указанны х ранее тип ов п ринадлеж иткласс у с ис тем вида

17

a 00 s 0 + a 01 s 1

= κ0

a 1 0 s 0 + a 11 s 1 + a 1 2 s 2

= κ1

a 21 s 1 + a 2 2 s 2 + a 23 s 3

= κ2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(6.1)

a N −1 N − 2 s N − 2 + a N −1 N −1 s N −1 + a N −1 N s N = κ N −1 a

N N −1

s N −1 + a

N N

s

N

= κN

М атрица такой сис темы трё хдиагональна в том с мы с ле, что все ненулевы е э лементы э той матрицы расп олож ены натрё х её диагоналях – главной идвух с ней с меж ны х (с м. рис . 6.1, гдеизображ ены левы й верхний ип равы й ниж ний углы э той матрицы ).

При такой с труктуре матрицы п роцес с ис ключения неизвес тны х оказы ваетс я вес ьмабы с тры м: п риис ключениинеизвес тного s i на i-том ш аге п рямого хода п риходитс я фактичес киис ключать э то неизвес тноелиш ь из (i+1)-вого уравнения, так как во всеп ос ледующ иеуравнения оно невходит. И так, берё м нулевое уравнение с ис темы (6.1) ( ввиду с п ецифики задачи нумерацию неизвес тны х и уравнений ес тес твенно начинать с нуля, а не с единицы , как э то п ринято влинейной алгебре и как мы делали вп реды дущ ем п ункте), делим его на a00 , зап ис ы ваем результатввиде

s 0 − L1 s1 = M1 , L1 = −

a01 a00

,

(6.2) M1 =

κ0 a00

(6.3)

и п ринимаем э то уравнение в качес тве нормированного оп орного уравнения нулевого ш ага. В ы читая из п ервого уравнения с ис темы (6.1) оп орное уравнение (6.2), умнож енноена a 10 , п олучаем уравнение, нес одерж ащ ее s 0

( a 11 + a 1 0 L 1 ) s 1 + a 1 2 s 2 = κ 1 − a 1 0 M 1 ;

(6.4)

18

ис ключать s 0 из 2-го, 3-го, ... , N-го уравнений с ис темы (6.1) нетнеобходимос ти, п ос кольку вэ тиуравнения s 0 невходит. В результате нулевого ш агап рямого ходанулевое уравнение с ис темы (6.1) оказы ваетс я заменё нны м оп орны м уравнением (6.2), п ервое уравнение – уравнением (6.4), аос тальны еуравнения ос таютс я п реж ними. А налогично, на i-том ш аге ( i = 1, 2, ... , N-2 ) п рямого хода делим уравнение

( a i i + a i i −1 L i ) s i + a i i +1 s i +1 = κ i − a i i −1 M i наa i i + a i

i -1

(6.5)

L i , зап ис ы ваем результатввиде

s i − L i +1 s i +1 = M i +1 , L i +1 = −

a i i +1 a i i + a i i −1 L i

,

M i +1 =

(6.6) κ i − a i i −1 M i a i i + a i i −1 L i

,

(6.7)

иис ключаем неизвес тное s i из (i+1)-го уравнения с ис темы (6.1)

a i +1 i s i + a i +1 i +1 s i +1 + a i +1 i + 2 s i + 2 = κ i +1 ,

(6.8)

вы читая из него оп орноеуравнение(6.6), умнож енноенаa i+1 i :

( a i +1 i + 1 + a i +1 i L i +1 ) s i +1 + a i + 1 i + 2 s i + 2 = κ i +1 − a i + 1 i M i + 1 .

(6.9)

В результате i-того ш агап риходим к с ис теме, уравнения которой с номерами 0, 1, ... , i ес ть нормированны е оп орны е уравнения (6.2), (6.6), а уравнение с номером i+1 имеетвид(6.9); ос тальны еуравнения теж е, что ивс ис теме(6.1). Н ап ос леднем (N-1)-вом ш агеп рямого ходаделим уравнение

( a N −1 N −1 + a N −1 N − 2 L N −1 ) s N −1 + a N −1 N s N = κ N −1 − a N −1 N − 2 M N −1 накоэ ффициентп ри s N-1 , зап ис ы ваем п олученноеуравнениеввиде

s N −1 − L N s N = M N LN = −

a N −1 N a N −1 N −1 + a N −1 N − 2 L N −1

,

MN =

,

(6.10)

κ N −1 − a N −1 N − 2 M N −1 a N −1 N −1 + a N −1 N − 2 L N −1

(6.11)

иис п ользуем его для ис ключения s N-1 из п ос леднего уравнения с ис темы (6.1):

( a N N + a N N −1 L N ) s N = κ N − a N N −1 M N

.

(6.12) 19

Прямой ход методазакончен, иис ходная с ис тема(6.1) замененасис темой с верхней треугольной матрицей, п ос леднее уравнение которой имеет вид (6.12), а ос тальны еуравнения (6.2), (6.6), (6.10) – вид

s i − L i +1 s i +1 = M i +1 ,

i = 0,1, ... , N − 1 .

(6.13)

Н аобратном ходе методанаходим из уравнения (6.12) неизвес тное s N , а затем, ис п ользуя п ереп ис анны еввиде

s i = L i +1 s i +1 + M i +1 ,

i = N − 1, N − 2, ... ,1, 0

уравнения (6.13), п ос ледовательно оп ределяем s N-1, s N-2 , ... , s 1 , s 0 . Замечание 6.1. Н ап рактике п рямой ход методас водитс я к вы чис лению величин L i , M i ( их назы вают п рогоночны микоэ ффиц иентами) п о формулам (6.3), (6.7), (6.11), т.е. с п омощ ью рекуррентны хформул

L1 = −

a 01 a 00

M1 =

κ0 a 00

L i +1 = −

,

,

M i +1 =

a i i +1 a i i + a i i −1 L i κ i − a i i −1 M i a i i + a i i −1 L i

,

i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

(6.14)

,

i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

(6.15)

аобратны й ход – к вы чис лениям п о рекуррентны м формулам

sN =

κ N − a N N −1 M N a N N + a N N −1 L N

, s i = L i +1 s i +1 + M i +1 , i = N − 1, N − 2, ... , 1 , 0 . (6.16)

Приэ том, ес лидля обозначения ненулевы х коэ ффициентовп ринеизвес тны х в iтом уравнениис ис темы (6.1)

a i i −1 s i −1 + a i i s i + a i i +1 s i +1 = κ i п ринять болееп рос ты еобозначения

a i i −1 = c i

,

aii = di

,

a i i +1 = e i

,

(6.17)

то болееп рос той вид п римутирасчё тны еформулы (6.14)-(6.16)

20

L1 = −

M1 =

sN =

e0 d0 κ0 d0

,

L i +1 = −

,

M i +1 =

κN − cN MN dN + cN LN

ei di + ci Li

κi − ci Mi di + ci Li

, i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

(6.18)

, i = 1 , 2 , ... , N − 1 ,

(6.19)

, s i = L i +1 s i +1 + M i +1 , i = N − 1, N − 2 , ... ,1, 0 . (6.20)

Замечание 6.1. И злож енны й метод реш ения с ис тем линейны х алгебраичес ких уравнений с трё хдиагональной матрицей – метод п рогонки – обладает вы с окой с теп енью э ффективнос ти как с точки зрения требуемой оп еративной п амяти Э В М , так и с точки зрения необходимого чис ла арифметичес ких оп ераций. С точки зрения объ ё ма оп еративной п амяти его э ффективнос ть объ яс няетс я тем, что п ривы чис лениях п о формулам (6.18)-(6.20) обрабаты вать п риходитс я масс ив коэ ффициентов (6.17) и п равы х частей κi размернос ти (N+1)×4, ане масс ивкоэ ффиц иентов a i j и п равы х частей κ i размернос ти (N+1)×(N+2), как вс лучае п роизвольной квадратной с ис темы из N+1 уравнений. С точки ж е зрения чис ла арифметичес ких оп ераций э ффективнос ть методап рогонкиявляетс я с ледс твием двух п ричин. В о-п ервы х, на i-том ш аге п рямого ходаис ключать п еременное s i п риходитс я лиш ь из одного (i+1)-вого уравнения, ане из всех уравнений с номерами m > i. Т аким образом, п рямой ход требует лиш ь N, ане O(N2) ис ключений, как вс лучае методаГаус с а для с ис темы (N+1)-вого п орядкас п роизвольной матрицей. В о-вторы х, вс лучае методап рогонкикаж дое ис ключение требует конечного ( не завис ящ его от N ) чис лаарифметичес ких оп ераций, п ос кольку у ис п ользуемы х п риис ключении si уравнений (6.5), (6.6), (6.8) чис ловы е наборы , с ос тоящ ие из коэ ффициентовп ри неизвес тны х и п равой части уравнения, с одерж ат не более четы рё х э лементов, тогда как в с лучае с ис тем общ его вида аналоги уп омянуты х вы ш е чис ловы х наборов с одерж ат в с реднем п орядка N/2 э лементов, а значит, чис ло арифметичес ких оп ераций п ри ис ключении si из одного уравнения с ис темы имеет п орядок O(N). В результате п рямой ход метода п рогонки – п рямая п рогонка– требует O(N) арифметичес ких оп ераций, вто время как п рямой ход метода Гаус с а для с ис тем общ его вида той ж е размернос ти – O(N3) арифметичес ких оп ераций. О братны й ж е ход метода п рогонки – обратная п рогонка– как видно из формул (6.20), такж е требует O(N) арифметичес ких оп ераций, тогдакак для методаГаус с авс лучае общ их с ис тем э тот э тап требует O(N2) оп ераций. 21

По указанны м только что п ричинам метод п рогонки п озволяет вес ьма бы с тро реш ать трё хдиагональны есис темы с больш им чис лом неизвес тны х. 70. У с тойчивос ть п рогонкик вы чис лительны м п огреш нос тям. При вы числении п рогоночны х коэ ффициентовп о формулам (6.18),(6.19) вы п олнение арифметичес ких оп ераций будет неизбеж но с оп ровож датьс я п огреш нос тямиокруглений. В ы яс ним, как влияют э ти п огреш нос ти, к п римеру, нап олученны езначения коэ ффициентовL i . У с ловимс я далее обозначать через Li теоретичес кие значения э тих коэ ффициентов, через L i - п рактичес кип олученны енаЭ В М их п риближ ё нны е значения, ачерез

ε i = L i - L i

(7.1)

- ош ибкип олученны х значений. Погреш нос ть п ри вы чис лении коэ ффициента Li+1 возникает п о двум п ричинам. В о-п ервы х, п ри вы чис лении Li+1 п о формуле (6.18) в знаменатель фигурирующ ей там дроби вмес то теоретичес кого значения п редш ес твующ его коэ ффициента Li п риходитс я п одс тавлять реально вы чис ленное наЭ В М его п риближ ё нноезначение Li . Погреш нос ть п олученной дроби

L ∗i +1 = −

ei di + ci Li

(7.2)

ес тес твенно назвать накоп ленной п огреш нос тью

ε i∗+1 = L i∗+1 − L i +1 ,

(7.3)

п ос кольку онахарактеризует влияние п огреш нос тей округлений, доп ущ енны х на п редш ес твующ их ш агах алгоритмаип риведш их к отличию Li от Li . В о-вторы х, п ри вы чис лении с амой дроби (7.2) оп ерации умнож ения, с лож ения иделения такж еп роизводятс я с округлениями, врезультатечего вмес то (7.2) п олучаетс я величина

L i +1 = L i∗+1 + ω i +1 ;

(7.4)

22

фигурирующ ее здес ь с лагаемое ωi+1 ,как раз и учиты вающ ее э ти доп олнительны е п огреш нос ти округления, ес тес твенно назвать добавленной п огреш нос тью. В с илу (7.3), (7.4) п огреш нос ть (7.1) значения Li+1 ес ть с умма накоп ленной идобавленной п огреш нос тей

ε i +1 = L i +1 − L i +1 = L i +1 − L ∗i +1 + L ∗i +1 − L i +1 = ω i +1 + ε i∗+1 .

(7.5)

Заметим, что с абс трактной точкизрения накоп ленная п огреш нос ть

    ei ei  − −  ε i∗+1 =  −  d i + ci Li   d i + ci Li      ес ть п риращ ениефункции

g (z) = −

ei di + c i z

,

отвечающ ее п риращ ению аргумента ∆z = Li − Li = εi . Поэ тому, п рименяя формулу конечны хп риращ ений Л агранж а

g( z + ∆z) − g( z) = g ' ( z ∗ ∗) ∆z , где z∗∗ -п ромеж уточноемеж ду z , z+∆z значение, п риходим с учё том формулы

 ci    ei    g' (z) = c i = 2     (d i + c i z )  ei   d i + ci z  ei

2

к с ледующ ему вы раж ению для накоп ленной п огреш нос ти

 c i   ei  ε i∗+1 = L ∗i +1 − L i =   e i   d + c L∗ ∗ i i   i

2

  ε  i 

,

где Li∗∗ леж итмеж ду Li , Li . Подс тановкаэ того вы раж ения в(7.5) даётп редс тавление

23

2

  c i   ei  ε + ω   ε i +1 = i +1 ∗ ∗  ei   d + c L  i i i    i

(7.6)

п огреш нос ти εi+1 коэ ффиц иента Li+1 через п огреш нос ть εi п редш ес твующ его коэ ффициентаLi идобавленную п огреш нос ть ωi+1 . В ведё м врасс мотрениевеличины

 c i   ei k i +1 =    e i   d + c L∗ ∗ i i   i

   

2

,

i = 1, 2 , ... , N − 1

(7.7)

ип ереп иш ем с их п омощ ью с оотнош ения (7.6) ввиде

ε i +1 = k i +1 ε i + ω i +1 , i = 1 , 2 , ... , N − 1 .

(7.8)

М ногократноеис п ользованиеравенс тв(7.8) даёт

ε i +1 = k i +1 ε i + ω i +1 = k i +1 ( k i ε i −1 + ω i ) + ω i +1 = k i +1 k i ε i −1 + k i +1 ω i + ω i +1 = = k i +1 k i ( k i −1 ε i − 2 + ω i −1 ) + k i +1 ω i + ω i +1 = k i +1 k i k i −1 ε i − 2 + k i +1 k i ω i −1 + + k i +1 ω i + ω i +1 = ...

.

(7.9)

И з э тих вы кладок следует, что п огреш нос ть округлений ωm , добавленная п ри вы чис лении коэ ффициента Lm ( m < i +1 ) , войдет в вы раж ение для п огреш нос ти εi+1 ввидес лагаемого

k i +1 k i ... k m +1 ω m

(7.10)

с множ ителем

k i +1 k i ... k m +1 . Пос ледний множ итель характеризует влияние п огреш ности ωm на п роцес с вы чис ления коэ ффициента Li+1 ; ввиду э того входящ ие в э тот множ итель с омнож ители (7.7) ес тес твенно назвать коэ ффициентами расп рос транения добавленной п огреш нос ти. Е с лиабс олютны е величины э тих коэ ффициентовменьш е единицы , то п ри увеличении i с лагаемое (7.10) п о абс олютной величине убы вает и, с ледовательно, влияниеп огреш нос ти ωm уменьш аетс я. Болеетого, вэ том с лучае 24

и с уммарное влияние п огреш нос тей ωm оказы ваетс я ограниченны м вс мы с ле с ледующ его утверж дения. Т еорема7.1. Пус ть величины εi удовлетворяютс оотнош ениям

ε 1 = ω1 ,

(7.11)

ε i +1 = k i +1 ε i + ω i +1 ,

i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

(7.12)

и п ус ть абс олютны е величины фигурирующ их в (7.12) коэ ффициентов ki+1 квалифицированно меньш еединицы :

k i +1 ≤ q < 1 ,

i = 1 , 2 , ... , N − 1 ,

(7.13)

где q – конс танта, независ ящ ая от i и N. Т огдас п раведливаоценка

max ε i ≤

1≤ i ≤ N

1 max ω i 1 − q 1≤ i ≤ N

.

(7.14)

Д оказательс тво. Продолж ивп реобразования (7.9), окончательно п олучим i

∑ k i +1 k i ... k m + 2 k m +1 ω m + ω i +1

ε i +1 = k i +1 k i ... k 2 ε 1 +

, i = 1, 2 , ... , N − 1 .

m=2

Заменяя здес ь величину ε1 равной ей вс илу (7.11) величиной ω1 ип ереходя к оценкеп о модулю, п риходим с учё том (7.13) к неравенс тву

ε i +1 ≤ q i ω1 +

i

∑

m=2

q i − m +1 ω m + ω i +1

,

ап отому инеравенс тву

ε i +1 ≤ ( q i + q i −1 + ... + q + 1 ) max ω j 1≤ j ≤ N

,

i = 1, 2 , ... , N − 1 .

Н аконец, ус иливая п ос леднее неравенство заменой с уммы конечной п рогрес с ии с уммой бес конечной, будем иметь

ε i +1 ≤

1 1− q

max ω j

1≤ j ≤ N

,

i = 1, 2 , ... , N − 1 .

25

О тс юда

max

2≤i≤N

1 max ω i 1− q 1≤ i ≤ N

εi ≤

.

(7.15)

В то ж евремя

ε 1 = ω1 ≤

1 1 ω1 ≤ max ω i 1− q 1− q 1≤ i ≤ N

.

(7.16)

О бъ единениеоц енок (7.15), (7.16) идаётнуж ноенеравенс тво (7.14). Замечание7.2. У с ловие(7.11) вы п олнено всегда, п ос кольку п ривы чис лении L1 накоп ленная п огреш нос ть отс утс твует, а значит, п огреш нос ть ε1 коэ ффициента L1 с овп адаетс добавленной п огреш нос тью ω1 .Ч то ж е касаетс я ус ловия (7.13), то его с п раведливос ть завис ит, во-п ервы х, от коэ ффициентов ci , di , ei расс матриваемой с ис темы уравнений и, во-вторы х, от доп ус каемы х нами п редельны хзначений добавленны х п огреш нос тей ωm . О п ределение7.3. Процес с вы чис ления с калярны х величин ri , i = 1, 2, ... , N назовём чис ленно ус тойчивы м ( или ус тойчивы м относ ительно ош ибок округления п ри вы п олнении арифметичес ких дейс твий ), ес ли с ущ ес твуют независ ящ ие N конс танты ρ, K ( K < ∞ ) , такиечто п ривы п олненииус ловия

max

1≤ i ≤ N

ωi < ρ

(7.17)

п огреш нос ти εi вы чис ляемы х величин удовлетворяютоценке

max

1≤ i ≤ N

ε i ≤ K max

1≤ i ≤ N

ωi

.

(7.18)

Замечание 7.4. С теоретичес кой точки зрения оценка(7.18) означает, что п ри ус ловии (7.17) п огреш нос ти вы чис ленны х величин имеют тот ж е п орядок малос ти, что и доп ус каемы е п ри вы чис лениях п огреш нос ти округлений. В п рактичес ком ж еп лане, конечно, важ но, чтобы конс танта K внеравенс тве(7.18) бы лабы нес лиш ком велика, аконс танта ρ из (7.17) – нес лиш ком мала. У каж ем конс танты K и ρ п рименительно к задаче п ос троения интерп оляционного кубичес кого с п лайна с равноотс тоящ ими узлами и доп олнительны микраевы миус ловиями, т.е. вс лучаес ис темы уравнений

s i −1 + 4 s i + s i +1 = κ i

,

i = 1 , 2 , ... , N − 1

(7.19)

26

с доп олнительны м ус ловием одного из с ледующ их трё х тип ов

s0 = κ0

s 0 − s1 = 0 ,

,

2 s 0 + s1 = κ0

(7.20)

( краевы е ус ловия на п равом конц е отрезка не вы п ис ы ваем, п ос кольку на вы чис лениеп рогоночны х коэ ффициентовониневлияют; конкретны й вид п равы х частей κ0 п риизучениикоэ ффициентов Li так ж енес ущ ес твенен ). Пос кольку для уравнений (7.19)

ci = ei = 1 , di = 4 ,

i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

рекуррентная формула (6.18) для коэ ффициентов Li и формула (7.7) для коэ ффициентовki расп рос транения п огреш нос тип ринимаютвид

L i +1 = −

1 4 + Li

,

 1   k i +1 =  4 + L ∗∗  i  

i = 1, 2 , ... , N − 1 ,

(7.21)

i = 1, 2 , ... , N − 1 .

(7.22)

2

,

Т ак как Li∗∗ ес ть п ромеж уточное меж ду Li , Li значение, для оц енки э той величины необходимо сначалаоценить Li ,Li . Л емма7.5. Пус ть

−

1 ≤ L1 . 2

(7.23)

Т огда

Li


4−

1 2 = 3 , 3 3

азначит,

L i +1

=

1 4 + Li

=

1 4 + Li




11 , 3

величина Li∗∗

удовлетворяет

i = 2 , 3 , ... , N .

Следовательно

0
2 интерп оляционны й с п лайн второго п орядкавторой с теп ени п ри п роизвольном наборезначений f0, f1, ... , fN , вообщ еговоря, нес ущ ес твует. У казание. Сравнить чис ло ус ловий накоэ ффиц иенты с п лайнаaj( i ) , j = 0,1, 2 , i = 1, 2, ... , N с количес твом э тих коэ ффиц иентов. У п раж нение5. В ы вес тиус ловиеназначения f – 3, f –1, f 1, f 3 функц ии f в точках x0 = - 3, x1 = - 1, x2 = 1, x3 = 3 , гарантирующ ее с ущ ес твование интерп оляционного с п лайнавторого п орядкавторой с теп ени. Задача 6. Д оказать с п раведливос ть гип отезы , с формулированной в уп раж нении4. У п раж нение 7. Расс матриваетс я ес тес твенны й кубичес кий с п лайн, п ринимающ ий вузлах x0 = - 1, x1 = 0, x2 = 1 значения f - 1 , f 0 , f 1 . В ы разить значениес п лайнавточке x ∈ [-1,1] как функцию п еременны х f –1 , f 0 , f 1 . У п раж нение 8. Расс матриваетс я кубичес кий с п лайн с п араболичес кими концевы миотрезками, п ринимающ ий вузлах x0 = - 2 , x1 = - 1 , x2 = 1 , x3 = 2 значения f – 2 , f –1 , f 1 , f 2 . В ы разить значениес п лайнавточке x ∈ [-2, 2] как функцию f – 2 , f – 1 , f 1 , f 2 . Задача 9.И с с ледовать п рименительно к задаче п ос троения интерп оляционного кубичес кого с п лайна с равноотс тоящ ими узлами и доп олнительны микраевы миус ловиямивоп рос об ус тойчивос тик п огреш нос тям округлений п роцес с авы чис ления п рогоночны х коэ ффициентов M i , с читая для п рос тоты коэ ффициенты L i заданны миточно. Задача10. И с с ледовать п рименительно к той ж езадачеп ос троения с п лайна воп рос о чис ленной ус тойчивос ти обратной п рогонки , с читая для п рос тоты п рогоночны екоэ ффициенты заданны миточно. Задание 11. Сос тавить п рограмму п риближ ения функции интерп оляционны м кубичес ким с п лайном с начальны ми ус ловиями и равноотс тоящ ими узлами. Предус мотреть возмож нос ть одновременного вы вода наэ кран графиковп риближ аемой функции и п риближ ающ его её с п лайна. Д ля отладкип рограммы вкачес твеп риближ аемой функциивзять функцию Рунге

34

f (x) =

1 1 + 25 x 2

,

−1 ≤ x ≤ 1 ,

вы браввкачес тве s0 , s1 вторы е п роизводны е э той функции вузлах x0 , x1 . И с с ледовать визуально на п римере э той функции п оведение с п лайна п ри увеличениичис лачастичны хотрезковразбиения N . Задание 12. Сос тавить п рограмму п риближ ения функции интерп оляционны м кубичес ким с п лайном с равноотс тоящ имиузламиикраевы ми ус ловиямип ервого тип а, ис п ользуя вкачес твеалгоритмовреш ения с ис тем: а) метод п рогонки; б) алгоритм, оп ис анны й вп ункте80. Применительно к функц ииРунге ис с ледовать визуально п оведение с п лайнап ри увеличении N в с лучаях а) и б), п ринимая в качес тве s0 , sN вторы е п роизводны ефункц ииРунгевточках x0 , xN . Задание 13. М одифицировать п рограмму из задания 12 п рименительно к с п лайнам с п араболичес кими концевы ми отрезками и с ж ё с тко заделанны ми концами, ис п ользуя для реш ения линейны хс ис тем метод п рогонки.

100. Л итература. 1. Бахвалов Н .С. , Ж идков Н .П. , К обельков Г.М . Ч ис ленны е методы : У чебноеп ос обие,- М . : Н аука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1987. – 600с . 2. В олковЕ .А . Ч ис ленны е методы . - М . : Н аука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1982. – 256 с .

35

Содерж ание. 10. Понятиес п лайна.............................................................................................2 20. В ы вод с ис темы уравнений для нахож дения п араметровsi .......................4 30. К убичес кий с п лайн с начальны миус ловиями.............................................6 40. К убичес кий с п лайн с краевы миус ловиями ...............................................10 50. М етод Гаус с ареш ения линейны хс ис тем ...................................................13 60. М етод п рогонкиреш ения трё хдиагональны х с ис тем ...............................17 70. У с тойчивос ть п рогонкик вы чис лительны м п огреш нос тям .....................22 80. Примерчис ленно неус тойчивого алгоритма.............................................30 90. Задачииуп раж нения ..................................................................................33 100. Л итература.....................................................................................................35

36