シリーズ 数学の世界 3 社会科学の数学—線形代数と微積分

シリーズ…

数学の世界

３ 

 野 口 廣 監修

社会科学の 数学 一線 形 代数 と微 積 分 一 沢 田 賢 渡邊展也 安原  晃  著

朝倉書店

  ま

え

が

き

  社 会 科 学 系 の 学 部 に お い て 数 学 の 果 た す 役 割 は ます ます 大 き くな っ て ゆ く と 思 わ れ る が,数 学 を学 ぶ 上 で い ろ い ろ な 問 題 が あ る こ と も事 実 で あ る .１ つ は 多 くの 社 会 科 学 系 学 部 の 新 入 生 が 高 校 で あ ま り数 学 を学 習 して い な い とい うこ とで あ り,も う １つ は 学 部 の カ リキ ュ ラ ム の 都 合 上 ,数 学 を履 修 す る 時 間 が 十 分 で な い こ とで あ る.限 られ た 時 間 の 中で あ ま り数 学 に親 しんで い な い学 生 に, い か に して 数 学 ,特 に 基礎 的 数 学 を 学 習 して も ら うか を念 頭 にお い て こ の教 科 書 を書 い た.   あ ま り数 学 に親 しん で い な い 多 くの学 生 に とっ て,数 学 が 身 近 な もの に感 じ られ な い原 因 の １つ は,そ の 文 章 の 表 現 方 法 に あ る と思 わ れ る .使 わ れ て い る 言 葉 は も ち ろ ん 日本 語 で あ る が,そ の 表 現 は 客 観 性 に 重 点 をお くた め,独 特 の 言 い 回 しをす る こ とが 多 く,さ らに そ の 文章 の な か に 数 や 式 また文 字 な ど も入 っ て くる.こ の こ とが 数学 を学 習 す る と き に一 見 面 倒 な印 象 を与 え る理 由 で あ ろ う.し か し,文 字 の 使 用 の意 味 を学 び,そ の 使 い 方 に 慣 れ て お け ば,面 倒 な 思 い も解 消 す る と思 わ れ る.こ の 教 科 書 で は ,最 初 に この こ と に注 目 して 文 字 の 使 用 につ い て 紙 面 を割 い た.   次 に この 教 科 書 で 取 り上 げ る 内 容 で あ る が,や

は り社 会 科 学 系 の 学 部 に お い

て必 要 な 科 目の 線 形 代 数 と微 分 積 分 で あ る.こ の 教 科 書 は,こ の ２つ を １年 間 の 講 義 で 学べ る よ うに 作 られ た,た い へ ん欲 張 りな もの で あ る.項 目 と して は, 文 字 の 使 用 ・行 列 ・連 立 １次 方 程 式 ・集 合 ・写 像 ・関 数 ・ベ ク トル 空 間 ・１変 数 関 数 の 微 分 ・多 変 数 関 数 の 微 分 ・積 分 で あ る.も ち ろん 紙 面 の 制 限 もあ る の で , い くつ か の 内 容 も犠 牲 に して い る .例 え ば,行 列 式 や ２重 積 分 な どで あ る.ま た多 くの 場 合,厳

密 な 証 明 を避 け た.さ

らに,微 積 分 の と ころ で は ,複 雑 な 関

数 の 紹 介 や煩 雑 な計 算 は行 って い な い.関 数 と して は,す べ て多 項 式 を扱 っ た .

こ れ は,学 生 の 数 学 の 予 備 知 識 の 不 足 を考 慮 した こ と もあ るが,な

に よ りも 関

数 の 複雑 さが,微 分 な ど の概 念 を理 解 す る上 で 妨 げ に な る こ と を避 け る た め で あ る.い

ろい ろ な 関 数 につ い て の 理 解 と実 際 の 計 算 は,そ の 後 の 課 題 と して 各

自に 残 せ ば よ い と考 え た.本 書 が 数 学 を学 習 す る 端 緒 と な り,い ろ い ろ な数 学 を学 習 して い く上 で 役 立 つ こ とを 願 っ て い る.   終 わ りに本 書 出 版 の た め尽 力 さ れ た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に 心 か ら感 謝 の 意 を表 した い.    

2002年 ２月 著 者 しる す

 目

次

１. い くつ か の 注 意

 １

  1.1  文 字 の使 用

 １

  1.2  文 字 の作 成

 ４

  1.3  さ らな る 抽 象 化  

  ５

練 習 問題

 ７

列

  ８

２. 行

  2.1  行 列 の 定 義

 ８

  2.2  い くつ か の行 列

 ９

  2.3  ク ロ ネ ッカ ー の デ ル タ 

10

  2.4  行 列 の 演 算

 11

  2.5  ベ ク ト ル

  16

 

練 習 問 題

  19

３. 連 立 １ 次 方 程 式

  21

  3.1  連 立 １次 方 程 式 とは

 21

  3.2  連 立 １次 方 程 式 の 解 法

  24

  3.3  簡 約 な行 列

 28

  3.4  一般 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 法

  34

  3.5  逆  

行

列

練 習 問 題

 

41

  44

４. 集

合

 

  4.1  集

合

47  47

  4.2  集 合 の 表 し方

 48

  4.3  集 合 の 性 質

 50

 

練 習 問 題 

５. 写 像 ・関 数

52

  53

  5.1  写 像 ・関 数

 53

  5.2  関 数 の グ ラ フ  

練 習 問 題

  58  

６. ベ ク トル 空 間

 60

  6.1  ベ ク トル 空 間

  60

  6.2  １次 独 立 と １次 従 属   6.3  ベ ク トル の 最 大 独 立 個 数   6.4  ベ ク トル 空 間 の 基 底 と次 元   6.5  R2,R3の  

59

場合

練 習 問 題

 64  

  75   78  

７. 線 形 写 像

71

80

  84

  7.1  線 形 写 像

 84

  7.2  表 現 行 列

 89

  7.3  固 有 値,固  

有 ベ ク トル と 行 列 の 対 角 化

練 習 問 題

  93   101

８. １ 変 数 関 数 の 微 分

  103

  8.1  平 均 変 化 率

  103

  8.2  微

分

  104

  8.3  極 限 の 概 念

  105

  8.4 

関数 の連 続 性

  109

  8.5  関 数 の 微 分 可 能 性

 110

  8.6  関 数 の 極 値

 113

  8.7  関 数 の 近 似 と微 分

  115

 

 117

練 習 問 題

９. 多 変 数 関 数 の 微 分

  118

  9.1 ｎ 変 数 関 数

 118

  9.2 ｎ 変 数 関 数 の微 分   9.3  偏  

分

  120

練 習 問 題

  123

10.  積

微

  119

分

  10.1  定

積

  分

 

  10.2  原 始 関 数     10.3  定 積 分 と原 始 関 数 の 関 係  

練 習 問 題

付

録

124 124 127  128  130

  131

  A.1  連 立 １次 方 程 式 の 基 本 変 形

  131

  A.2  正 則 行 列

 134

参 考 文 献

  137

索

  139

引

１ い くつ か の注意

  数 学 の 本 を 読 む 上 で 是 非 覚 え て お か な け れ ば な ら な い の は,文 あ る.ど

の よ う に 文 字 を 用 い る か,ま

字 の使用 法で

た 文 字 に ど ん な役 割 を与 え て い る か を こ

の 章 で 述 べ て お く こ と に し よ う.

 

1.1  

文

字

の

使

用

  い く つ か の 数 が 並 ん で い る 表 を 変 形 し て 新 た な 表 を 作 成 す る と い う場 合 が あ る.そ

う い う と き,そ

の 変 形 の 仕 方 は ど の よ う に 表 し た ら よ い だ ろ う か.

  い ま ３つ の 数 の 組 が 次 の よ う に 与 え ら れ て い る と し よ う.

 

(1,2,-1) 

(1,2,3) 

(-1,0,1) 

こ れ ら の 組 を あ る １つ の 規 則 を 用 い て,そ

       

(1,2,-1) 

(4,8,2)

れ ぞ れ 次 の よ う に 変 形 し た と し よ う.

→  (2,1,-1)

(1,2,3)  →  (2,1,3) (-1,0,1)→ (4,8,2)→

（0,-1,1)  (8,4,2)

こ の 変 形 の 規 則 を文 章 で 表 せ ば,

 

と な る.こ

１番 左 の 数 と ２ 番 目 の数 を入 れ替 え る

の 例 は 扱 う組 の 数 も 少 な く,そ

の 変 形 の 仕 方 も 単 純 な の で,こ

の よ

う に文 章 で 表 して も誤 解 を生 じた り正 確 さを損 な う とい っ た こ とは な い だ ろ う. しか し,扱 う対 象 が 多 か った り変 形 の 仕 方 が 複 雑 な 場 合 は,こ の よ うな 文 章 以 外 の 表 現 方 法 も必 要 と な る.そ の １つ が 文 字 や式 を使 っ て 表 現 す る方 法 で あ る.   変 形 と い うの は １つ の 状 態 か ら新 た な状 態 に移 行 す る と い う こ と な の で,ま ず ３つ の 数 が 並 ん で い る状 態 を どの よ う に表 す か を考 え よ う.こ の 場 合,具 体 的 な 数 が ３つ 並 ん で い る とい う こ とで は な く 「３つ の 数 が 並 ん で い る」 とい う 状 態 を表 した い.そ

こで 各 数 を代 表 す る表 現 が 必 要 に な る.こ の よ う な と き,

各数 を代 表 す る もの と して ア ル フ ァベ ッ トの 小 文 字 が よ く用 い られ る.   例 え ば,３ つ の 数 を代 表 して １番 左 にあ る数 をａ,２ 番 目 に あ る 数 を ｂ,３ 番 目 に あ る 数 を ｃ とす る.そ

して,

 

(a,b,c)

とい う表 現 で ３つ の 数 が 並 んで い る とい う状 態 を表 す こ とに す る.   こ の と き,文 字 は数 を代 表 す る記 号 と い っ て もす べ て の 数 を １つ の 文 字ａ で 表 し,   と表 す こ と は しな い.こ

(a,a,a） れ で は 同 じ数 が ３つ 並 んで い る とい う状 態 と混 同 して

し ま う し,な に よ りも こ の場 合,異

な る ３つ の 文 字 を用 い た の は,そ

文 字 にそ れ ぞ れ の 役 割 を与 え た か らで あ る.つ

れぞれの

ま り,

  各 文 字 に は役 割 が あ っ て,文 字 の 違 い に よ っ て ど こ に置 か れ て い る の か を表 して い る とい うこ と な の で あ る.も ち ろ ん

 

(a,b,c)

とい う表 し方 に は,

 

(1,1,1)  とか  (0,0,0)

な ど の ３ つ の 同 じ 数 が 並 ん で い る と い う状 況 も 含 ん で い る.も

しす べ て 異 な る

３つ の 数 が 並 ん で い る と い う こ と を 強 調 し た い と き は

 

(a,b,c) 

と い う よ う に,注

  さ て,以

た だ しａ,ｂ,ｃ は す べ て 異 な る 数 で あ る

意 書 き を 入 れ る 必 要 が あ る だ ろ う.

上 の よ う な 表 現 を 用 い て,先

 

の 例 に お け る 変形 の 仕 方

１番 目 の 数 と ２ 番 目 の 数 を 入 れ 替 え る

を表 せ ば

 

(a,b,c)→

（b,a,c)

と な る こ と は 明 ら か で あ ろ う.

  例 題1.1.1 

変 形 の 規 則 が 次 の よ う に 与 え ら れ て い る と き,４

つの 各組 はど

の よ う な 組 に 変 形 さ れ る か.

 

(a,b,c)→

 

(1,2,-1)→?

 

（a,a+b,c)

(1,2,3)→?

 

(-1,0,1)→?

 

(4,8,2)→?

  解 答   こ の 変 形 の 規 則 は,１

番 目 の 数 と ３ 番 目 の 数 は そ の ま ま に し て,１

目 の 数 と ２ 番 目 の 数 の 和 を ２番 目 の 場 所 に 置 く と い う こ と な の で,

       

(1,2,-1)→(1,1+2,-1)=（1,3,-1) (1,2,3)→(1,1+2,3)=（1,3,3) (-1,0,1)→ (4,8,2)→

（-1,0+(-1),1)=（-1,-1,1)  (4,4+8,2)=（4,12,2)

番

 

1.2 

文 字 の 作 成

 次 に も う少 し文 字 の使 い 方 につ い て 述べ てお こ う.前 節 の 例 の よ う に数 を代 表 して ア ル フ ァベ ッ トの 小 文 字 を用 い て い く と き,最 大 で も26種 か使 え な い.ま

た,少

な い 数 を並 べ る と きで も,例 え ば10個

類 の文字 し

の 数 が 並 んで い

る とい う状 況 を表 す と き,

,b,c,d,e,f,g,h,i,j

と な る が,こ

れ で は"６ 番 目 に 並 ん で い る 数 を 表 す 文 字 は?"と

あ る が …)す

ぐ に は 答 え に く い.こ

１つ と し て,ア

れ で は 不 便 で あ る.そ

ル フ ァ ベ ッ トの 小 文 字 と 数 字(通

を 用 い て 新 し い 文 字 を 作 成 す る.例

聞 か れ る と(ｆ で

こ で,こ

常-1,0,1,2,…

の解 決 法 の な ど の 整 数)

え ば,

の よ うに 新 しい 文 字 を作 成 す れ ば,先

ほ どの よ うな10個

の数が並 んで いる状

況は

 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10

と 表 せ る.も

ち ろ ん ａ 以 外 の ア ル フ ァ ベ ッ トを 用 い て

  c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10

と して も よ い.こ

の場 合

 各 文 字 に つ い た 数 字 は,各 数 が 置 か れ て い る場 所 を表 して い る

とい う こ とは い う ま で もな い．   こ の よ う に新 しい 文 字 を作 る と き,文 字 に 数 字 を順 序 だ て て付 け る 必 要 は な い が,新

 a  a1,a1,a2,…

し く作 っ た 文 字 に どん な役 割 を与 え た か が わ か りや す い よ う に した ほ

うが 良 い.上 の例 で は ８番 目 に並 べ た数 は,a8と 列 の並 べ 替 え を した 後,例

す ぐに答 え られ る.ま た こ の

えば

a2,a6,a1,a4,a5,a3,a9,a8,a7,a10

とな った と きで も,先 頭 の 数a2が

最初 何 番 目に あ っ た 数 か,と い った こ と もす

ぐに わ か る利 点 が あ る.

 1.3 

  前 節 の例 で は10個 並 ん で い る,さ

さ らな る抽 象化

の 数 を並 べ る とい う状 況 を考 え た が,も

っ と多 くの 数 が

ら に は並 べ る数 の個 数 が 具体 的 に示 さ れ な い,と

した い.こ の 場 合,並

い う状 況 も表

べ る個 数 自体 も文 字 で 表 され る こ と と な る.多

,ｌ,ｍ,ｎ等 の 文 字 を用 い る(何 を用 い るか は,好 み の 問題).こ

くの場 合ｋ

の よ うな文 字 の

使 い 方 に よ り,ｎ 個 の 数 が 並 ん で い る状 況 は   a1,a2,…,an

と表 され る.こ の よ う に,ア ル フ ァベ ッ トの 右 下 に あ る 数 字 また は文 字 を添 え 字 と い う.   新 しい文 字 の 作 成 は,数

を縦 横 に 並 べ た 状 況 を表 す と き に も用 い られ る.数

を長 方 形 の 形 に縦 横 き ちん と並 べ た 表 につ い て考 え て み よ う.例 え ば  ０ １-1３   １

０

０

４

 - 2１-1０

の よ う に,数 が 縦 と横 に配 列 され た 状 況 を表 す と き に も文 字 と数 字 を用 い る こ とで,そ の 表 現 が 簡 潔 に な る.で

は,実 際 に は どの よ う に表 現 す る か.前 節 で

は横 一 列 に数 が 並 べ られ て い る とい う状 況 を表 す の に,文 字 の 置 か れ る 場 所 に 左 か ら順番 に番 号 を つ け て 新 しい 文 字 を作 成 した.だ か ら今 度 の 場 合 も各 数 の 置 か れ る場 所 に番 号 を つ け て い け ば よい.し さ れ て い る の で,各

か しこ の 場 合 は数 が 平 面 的 に 配 置

数 が 置 か れ て い る 場 所 の 番 号 とい う よ りは,番 地 とい っ た

ほ うが い い だ ろ う.そ こで,そ 行,…

の 表 の 各 行 を上 か ら順 に第 １行,第

２行 ,第

と名 前 を付 け て お き,ま た そ の表 の 各 列 を左 か ら順 に 第 １列,第

第 ３列,…

３

２列,

と名 前 を付 け てお く と,各 番 地 は,第 何 行 目 に あ り,第 何 列 目 に

あ る か で確 定 す る.  第 １列  第 ２列  第 ３列  …

第 １行 →   (1,1) 

(1,2) 

(1,3) 

…

第 ２ 行 →   (2,1) 

(2,2) 

(2,3) 

…

第 ３行 →   (3,1) 

(3,2) 

(3,3) 

…

上 の 表 で 番 地(2,1)は,そ

の 場 所 が 第 ２行,第

この よ う に して お け ば,番 地(1,1)に

 

１列 に あ る と い う こ と を 表 す .

配 置 され て い る 数 を代 表 す る文 字 と して

a1

,１

とい うよ うに 右 下 にそ の 番 地 を付 け た もの を新 し く作 れ ば よい.し た が っ て,数 が ３行,４ 列 に 配 列 され た状 態 は al a2

,1

a1,2

a1,3

a1,4

,1

a2,2

a2,3

a2,4a3,

1 a3,2 a3,3 a3,4

と表 され る.こ の 表 を も っ と一 般 的 に した状 態 は,そ の 行 の 個 数 を ｍ,列

の個

数 をｎ と して al,1

a2

am

と 表 せ ば よ い こ と は,す   上 の 表 で １行,１

,1

,1 am,2

al,2

...

a2,2

… a2,n

…

a1

,n

 am,n

ぐ に 想 像 で き る だ ろ う.

列 に あ る 文 字a1

,１に つ い て い る 添 え 字 を ２ 重 添 え 字 と い う.

こ こ で,例

え ば α1,1は,誤

解 の な い と き に は α11の よ う に,問

の カ ン マ","を

省 いて表す．つ ま り

αll

α12

α1n

α21

α22

α2n

αml

αm2

αmn

と 表 す こ と と す る.

練

習

問 題

1.1  ４つ の 数 が 並 ん で い る状 態 か ら,１ 番 左 の数 と ２番 目 の 数 を加 え,ま た ３ 番 目の 数 と ４番 目 の 数 を加 え た ２つ の数 を並 べ る とい う変 化 を,文 字 を用 い て 表 せ.

２ 行

  こ の 章 で は,表

列

を抽 象 化 し た 概 念 で あ る 行 列 につ い て 説 明す る.

 

2.1 

行 列

の 定 義

  前 の 章 で 扱 っ た 縦,横 に 配 置 され た表 を ［］また は（）で く くっ た もの を,行 列 とい う.こ の と き行 列 に お い て 行 の個 数 が ｍ,列 の 個 数がｎ の と き,ｍ 行ｎ 列 の行 列 また はm×n型 題 で あ る.本 書 で は()を

行 列 と い う.［ ］と（） の ど ち ら か を使 うか は 好 み の 問 用 い る こ とに す る.第

１章 の 方 法 を用 いて,行

列を

表せ ば

と な る.い

ま 左 の 行 列 の １行,１

の 行 列 の(1,1)成

分 と い う.ま

列 に 配 置 され た 数 はa11で た,(i,j)成

あ る が,a11を

分 は と 聞 か れ れ ば,そ

こ

れ はaijで

あ る.   い ろ い ろ な 行 列 を 扱 う と き,行 列 の 名 前 はＡ,Ｂ,Ｃ,…

列 に 名 前 を 付 け て お く こ と は 便 利 で あ る.行

な ど の ア ル フ ァ ベ ッ ト の 大 文 字 を 使 う こ と に す る.も

ち ろ ん 多 く の 行 列 を 扱 わ な け れ ば な ら な い と き は,ア 添 え 字 を 付 け てA1,A2,B1,B2,… 前 を付 け る と き

な ど と 表 す.ま

ル フ ァベ ッ トの 大 文 字 に た 行 列 にＡ

と かＢ

い う名

と表 す.つ

ま り等 号 を この よ う な意 味 で 用 い る こ とが あ る.ま た,上

記の表現

を簡 単 に  

A=（aij),A=(aij)m×n

と表 す こ と もあ る.も

ちろ ん ２つ の 行 列Ａ,Ｂ が 等 しい こ とを 等 号 を用 い て

 

A=B

とい う表 現 で 表 す が,こ

れ は,２ つ の行 列 の 型 が 等 し く,各 成 分 が 等 しい 場 合

を い う.

  2.2 

  例2.2.1(零

い くつ か の 行 列

行 列)  各 成 分 が す べ て ０の 行 列 を 零 行 列 とい う.m×n型

零 行 列 を,Om×nと

表 す が,特

の

に断 る必 要 が な い と きは 単 に Ｏ と表 す こ とが

あ る.

 例2.2.2(正

方 行 列)行

の個 数 と列 の 個 数 が 同 じ行 列,す

をｎ 次 正 方 行 列 とい う.ｎ 次 正 方 行 列

な わ ちn×n行

列

に 対 し て,a11,a22,…,annを   例2.2.3(単

位 行 列)正

こ の 正 方 行 列 の 対 角 成 分 と い う. 方 行 列 で 対 角 成 分 が す べ て １ で,他

０ と な る も の を 単 位 行 列 と い い,n×n型

  2.3 

の 単 位 行 列 をEnと

の成 分 が す べ て 表 す.

ク ロ ネ ッカ ー の デ ル タ

  こ こで,単 位 行 列 な どの 規 則 的 な成 分 を もつ 行 列 を表 現 す る と き に用 い られ る記 号 を紹 介 して お こ う.そ れ は,ク ロ ネ ッカ ー の デ ル タ と呼 ば れ る記 号 で,ギ リシ ャ文 字 の デ ル タ に ２つ の 数(主 に整 数)を て い る.例

２重 添 え字 と して 付 け て 作 ら れ

えば

 δ1 ,2 

と か 

δ2,2

とい う よ うに 表 す.一 般 的 に は ２つ の 数 を アル フ ァベ ッ ト,例 え ばｉ,ｊを用 い て

 

δi,ｊ   また は単 に   δij

と 表 す.こ

の 記 号 の 意 味 は,

で あ る.し

た が っ て,δ11=δ22=…=δnn=1を

等 は ０ を 意 味 す る.こ こ と に な る.す

の 記 号 を用 い れ ば,単

位 行 列 の(i,j)成

なわ ち

 

例 題2.3.13×3行

意 味 し,δ12 ,δ21,…

E=（

δij)

列A=（aij)の(i,j)成

aij=δi+1

分 が

,j

，δ36

分 は δijと い う

で 表 さ れ る と き 行 列 Ａ を 具 体 的 に 表 せ.   解 答   こ の 式 で は ク ロ ネ ッカ ー の デ ル タが

 

δi+1,j

と 表 さ れ て い る の で 戸 惑 い を 感 じ る か も し れ な い.し ど ん な 役 割 が 与 え ら れ て い る か を 考 え ば よ い.こ 列 の 番 地 を 表 す こ と で あ り,ク い.ク

あ る.具

つ の 数(こ

・

,jは,i+1=jの

の 場 合i+1とj)が

等 しい か 否 か

と き １,i+1≠jの

と き ０で

と き,a11=δ1+1,1=δ2,1=0 様 に して

  と な る.こ

役 割 は,行

体 的にい えば

 i=1,j=1の と な る.同

の 場 合 のi,jの

字i,jが

ロ ネ ッカ ーの デ ル タの ２重 添 え 字 の 役 割 で は な

ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ は,２

で そ の 値 が 決 ま る の で,δi+1

か し こ れ は,文

a12=δ1+1,2=δ2,2=1 れ を す べ て の 成 分 に つ い て 行 う と 行 列Ａ

は

と な る.

  2.4 

行 列 の 演 算

  実 数 の場 合 と 同様 に,行 列 ど う しの演 算 を考 え る こ とが で き る.こ

こで 演 算

とい うの は,２ つ の 行 列 ま た は行 列 と実 数 か ら新 しい行 列 を作 る 操 作 を意 味 す る.こ の よ う な操 作 は い ろ い ろ あ る が,次 の 演 算 が よ く用 い られ る.

  定 義2.4.1(行

列 の 和)同

じ型 の ２つ の 行 列 の 各 成 分 ど う しを加 え て で き る

行 列 をそ の ２つ の 行 列 の和 とい う.つ ま り,と もにm×n型

で あ る ２つ の 行 列

に 対 し Ａ と Ｂ の 和 を,

と 定 義 し,A+Bと

例

表 す.

2.4.2

定 義2.4.3(行

に 対 し,Ａ

列 の 実 数 倍)実

の λ 倍 を,

と 定 義 し,λAと

表 す.

数 λ と行 列

例2.4.4

  定 義2.4.5(行

列 の 積)  こ れ まで の 演 算 は,そ の 結 果 で き る行 列 が も との 行

列 と 同 じ型 に な っ て い た.し か し積 の 場 合 は 大 き く異 な る.も

と も と行 列 の 演

算 と い うの は 関 数 ・写 像 の 演 算 に 関係 して お り,特 に 積 は合 成 関 数 ・合 成 写 像 とい う概 念 に 対 応 し て い る.こ の こ と は 後 の 章 で 述 べ るが,い べ て お く こ と に し よ う.２ つ の 行 列Ａ,Ｂ に対 し そ の 積ABを

まは 定 義 だ け 述 定 義 す る の は,

 行列Ａ の列 の個 数 ＝ 行列 Ｂ の行の個 数

とな る場 合 で,す

と い うm×l型

l×n型

な わ ち行 列Ａ が

の と き,行

の と き に 限 る.こ

列 Ｂ は

の と き 積ABはm×n型

で 定 義 され る.こ の 式 は 一 見 複 雑 に 見 え るが,こ

 (ai1

ai2…ain)

の 行 列 で そ の(i,j） の 成 分は

れ は 行 列Ａ のｉ 行

の １列 成 分ail,２

列 成 分ai2,…,ｌ

列 成 分ailと,行

の １行 成 分blj,２

行 成 分b2j,…,l行

成 分bljを そ れぞ れ 掛 け た もの を す べ て

加 え た 形 で あ る.

例 題2.4.6

の と き,積ABを

計 算 せ よ.

解 答   こ の 積 の(1,1)成

分 はＡ

列 Ｂ のｊ 列

の １行 と Ｂ の １列

で 計 算 さ れ,そ

れ は

 

1×0+0×(-1)+(-1)×3=-3

で あ る.同

様 に し て 各 成 分 を 求 め る と,

と な る.

  注 意   こ れ ら の 演 算 は,実   (１) A+B=B+A,

数 の 演 算 と 同 様 に 次 の 性 質 を も つ.

A+O=0+A=A

  (２) A+(B+C)=（A+B）+C   (３) AE=EA=A, 

A0=OA=0

  (４) (AB）C=A(BC)   (５) A(B+C)=AB+AC,    (６) 0A=0, 

(A+B)C=AC+BC

1A=A，

 (ab）A=a（bA), 

  (７) a(A+B)=aA+aB,

  上 記 の 性 質(２)(和 積 は,カ

(aA)B=A(aB）=a(AB）

(a+b)A=aA+bA

の 結 合 律),(４)(積

の 結 合 律)に

ッ コ の 付 き 方 に よ ら ず そ の 結 果 は 同 じで あ る.そ

てそれ ぞれ

 

A+B+C, 

と 表 す こ と が で き る.こ

  と表 す.特

よ り,３ つ の 行 列 の 和 や

れ を 一 般 化 し て,

A1+A2+…+An, にＡ が 正 方 行 列 の と き

と 表 す こ と と す る.

ABC

A1A2…An

こ で,カ

ッ コ を省 い

  しか し,異 な る性 質 もい くつ か あ る． 大 き く異 な るの は積 に 関 す る こ とで あ る.行 列 の 積 は そ れぞ れ の 行 列 の 型 に 制 限が あ るだ け で な く,次 の よ うな 特 徴 を もつ.   積ABが

定 義 され て も積BAが

して も必 ず し もAB＝BAと

定 義 され る と は限 ら な い.ま た定 義 され た と

な らな い. AB=BAと

で あ る と い う.ま た積ABが

な る 場 合 は特 に"可 換"

零 行 列 の と きで も, A≠0,B≠0と

い う場 合 が

あ る.

例2.4.7

 (１)

の と き,

 (２)

2.5 

  定 義2.5.1(行

ベ ク トル,列

とm×1行列

ク

ベ ク トル)１

み か ら な る 行 列 す な わ ち,1×n行

 

ベ

a=(al 

ト

ル

行 の み か ら な る 行 列,ま

列

a2…

  an)

た １列 の

を そ れ ぞ れ,行 き は,ｎ は,ア

ベ ク ト ル,列

次 行 ベ ク トル,ｍ

ベ ク トル と 呼 ぶ.特

に そ の 大 き さ を 表 現 した い と

次 列 ベ ク トル と い う.こ

れ ら の ベ ク トル を 表 す と き

ル フ ァベ ッ トの小 文 字 の 太 字

  を 用 い る.す

a,

b, x, y,

a1, a2,...

べ て の 成 分 が ０で あ る ベ ク トル を 零 ベ ク ト ル と 呼 び ０ で 表 す こ と

に す る.

  行 列 の 行 ベ ク トル ・列 ベ ク トル へ の 分 割   行 列 を 扱 う と き,そ こ の よ う な と き,行 あ る.   例 え ば,行

の と き

と す る と き,

列Ａ

の 行 列 の 行 に 注 目 し た り列 に 注 目 し た り す る こ とが あ る.

ベ ク トル ま た は 列 ベ ク トル を 用 い て 行 列 を 表 現 す る こ と が

が

 a

と表 さ れ る.   この 章 の 最 後 に,い

くつ か の 数 の 和 を 表 す 記 号 Σ(シ グマ)を 紹 介 して お こ

う.例 えば １か ら100ま

で の 数 をす べ て ２乗 して 加 え る こ と,つ

まり

を次 の よ うに 表 す.

こ の式 の 中 で Σ100の記 号 は,文 字ｉ を １か ら100ま に応 じて 右 に あ る式i2を

で 変 化 させ,さ

ら にｉ の 値

計 算 して す べ て を加 え る とい う こ と を意 味 して い る.

もち ろ ん こ こで 使 わ れ る 文 字 はｉ で あ る必 要 は な く,

と書 い て も同 じ こ と を意 味 す る.ま た この 表現 は,具 体 的 な 値 の 和 だ け で な く, 文 字 な どが 入 っ た式 に も使 わ れ る.例

とす れ ば,こ

えば

れ は

1+a2+…+an と い う こ と を 表 し て い る． こ の 表 現 方 法 を 用 い る と,定 の(i,j） 成 分

は,次

の よ う に 表 せ る.

義2.4.5の

行 列 の 積AB

 練 2.1 

習

問 題

次 の 行 列 の 計 算 を せ よ.

(１)

 (２)

(３)

(４)

2.2 

3×3行

列A=（aij)の(i,j)成

で 与 え られ る と き,Ａ 2.3 

を具 体 的 に 表 せ.

次 の 行 列 Ａ に 対 し,A2,A3,Anを

(１)

2.4 

分が

計 算 せ よ.

(２)

行 列 Ａ が ｎ 個 の ｍ 次 列 ベ ク ト ル に よ り, A=(a1 

と表 され て い る と き

a2…

  an)

と な る こ と を 示 せ.

 ＊

３ 連立 １次方程式

  多 くの 分 野 に お い て,い

ろ い ろ な 問 題 が 方 程 式 と して与 え ら れ る が,連 立 １

次 方 程 式 の 理 論 は そ の基 礎 と な る もの で あ る.

  3.1 

連 立 １次 方 程 式 と は

中学 ・高 校 で 連 立 １次 方 程 式 を習 うが,そ れ は次 の よ う な式 で あ る.

  こ れ を 解 け と か,解

を 求 め よ と 言 わ れ る わ け だ が,こ

の方 程 式 を解 く とか 解

を 求 め る と か い う の は,ど

の よ う な こ と を 意 味 す る の で あ ろ う か ＊1).

  こ の 方 程 式 の 解 と は,上

記 の ２ つ の 式 を 同 時 に 満 た す,ｘ

と を い う.こ

の 場 合ⅹ=1,y=1と

とｙ の 値 の 組 の こ

い う ２つ の 数 の 組 を 式 に 代 入 し た と き 各

式 の 等 式 が 成 立 す る の で,ⅹ=1,y=1は

解 と な る.で

は,次

の よ うな 連 立 １

次 方 程 式 ＊2)

で は,そ

の 解 は ど う だ ろ う.こ

y =0と

い う 組 と か は ,式

の 解 と な る.実

の 場 合,ⅹ=1, y=-1と

を 成 立 さ せ る の で こ の ２つ と も こ の 連 立 １次 方 程 式

は こ の 方 程 式 に は 無 限 個 の 解 が 存 在 す る .こ

１)中 学 ・高 校 でや っ た方 程 式 の 解 法 は 知 らな くて も よ い し  ＊ ２)式

い う 組 と かⅹ=2,

が １つ しか な い が

,む

,こ れ も連 立 １次 方 程 式 と考 え る.

の よ う に無 限 個 の

しろ忘 れ た ほ うが い い.

解 が 存 在 す る と き,そ れ ら の解 を どの よ うに表 す か?と とい う こ との,大

きな 課 題 とな る.さ

い う こ と も解 を解 く

ら に,次 の 連 立 １次 方 程 式 の よ う に解 が

存 在 しな い 場 合 もあ る.

  この よ う に連 立 １次 方程 式 に解 が 存 在 しな い とい う こ と を示 す の も,解

くこ

とに な る.以 上 の よ う に,方 程 式 を解 く とい うの は,   (１)解 が存 在 す る か ど うか  (２)解(特 に無 限個 の 解)が 存 在 す る と き,そ の 解 を どの よ う に表 現 す る か, とい う こ と を記 述 す る こ とで あ る.   こ こで 一 般 の 連 立 １次 方 程 式 を表 して お こ う.こ の 場 合,未 す 文 字 と してｎ,式

知 数 の個 数 を表

の個 数 を表 す 文 字 と してｍ を用 い

とな る.こ の 連 立 １次 方程 式 を別 の 表 し方 で 表 す こ と もで き る.ま ず 行 列 とベ ク トル を用 い て,

ま た,ベ

ク トル の み を 用 い て

な ど と表 す こ とが で き る.こ の と き行 列 お よ び ベ ク トル

を この 連 立 １次 方 程 式 の 係 数 行 列 お よ び定 数 項 ベ ク トル とい う.こ の 係 数行 列 の 右 側 に定 数 項 ベ ク トル を並 べ た行 列

を連 立 １次 方 程 式 の 拡 大 係 数 行 列 とい う.   連 立 １次 方 程 式 を一 般 的 に扱 う と き,い つ も この よ う な表 現 を して い る の で は た いへ ん な の で,各 行 列,ベ す こ と もあ る.例

ク トル に 名 前 を付 け て(文 字 で 表 す)簡 単 に 表

え ば,上 の 表 現 に お い て

そ し て,

とす る と,連 立 １次 方 程 式 は

 

 

Ax=b

 

x1a1+x2a2+…+xnan=b

な ど と 表 さ れ る. 例 題3.1.1 

次 の 連 立１ 次 方 程 式 の 係 数 行 列 ・拡 大 係 数 行 列 を 求 め よ.ま

た

こ の 連 立１ 次 方 程 式 を い ろ い ろ な 表 現 で 表 せ.

解答  係数行 列は

拡 大係数行列 は

(１)

(２)

  3.2  連 立１ 次 方 程 式 の解 法

  こ の 節 で は解 が た だ１ つ で あ る連 立１ 次 方 程 式 に つ い て,ま ず そ の 解 法 の方 法 を 解 説 す る.   次 の ５つ の 方 程 式 を見 て ほ しい.

 3x+y=-2  (１)  x

+2y=1  5y=-5

 (２)  x

+2y=1  y

 (３)  x  x  (４)

=1

+2y=1 +2y=1  y

=1

 x=-1  (５)

 y

=1

  こ れ らの 連 立 １次 方 程 式 か らす ぐわ か る こ とは,(１)か が 得 やす い形 を して い る とい う こ とで あ る.実

ら(５)と い う順 に 解

は,こ れ らの 連 立 １次 方 程 式 は

(１)か ら順 に あ る方 法 で 連 立 １次 方 程 式 を 変 形 して得 られ た もの で あ る.そ

れ

は,式 の 基 本 変 形 と呼 ば れ る 次 の ３つ の変 形 で あ る.   式 の 基 本 変 形  (Ⅰ) １つ の 式 を何 倍 か す る(た だ し ０倍 は しな い)  (Ⅱ) ２つ の 式 を入 れ 替 え る  (Ⅲ) １つ の 式 に,他 の 式 を何 倍 か した もの を加 え る   上 の 例 で い え ば,(1)→(2)は る.つ ま り基 本 変 形 の(Ⅲ)を の(Ⅲ)を

第 ２式 を-3倍 用 い て い る.(4)→

用 い て い る.ま た(2)→

した もの を 第 １式 に加 え て い （5)とい う変 形 で も基 本 変 形

（3)に お い て は,第

す な わ ち基 本 変 形 の(Ⅰ)を 用 い て い る.最 後 に(3)→

１式 に-1/5を

掛 け る,

（4)で あ る が,２ つ の 式

を入 れ替 え て い る の で 基 本 変 形 の(Ⅱ)を 用 い て 変 形 して い る.   こ れ らの 変 形 は付 録 の と こ ろ で 示 す よ う に

 

方 程 式 の 形 は変 え る けれ ど その 方 程 式 の 解 は変 え な い

とい う性 質 を もっ て い る.し た が って これ ら ５つ の 方 程 式 は す べ て 同 じ解 を も

 

つ.こ の 方 程 式 の 変 形 とい う操 作 は解 を求 め る た め の１ つ の 方 向 を示 して い る . つ ま りこ れ ら３ つ の 式 の 基 本 変 形 を用 い,解

を求 め や す い 方程 式 に変 形 して解

を求 め る とい う こ とで あ る.   この 変 形 は 各 未 知 数 に 対 す る係 数 と定 数項 の み しか 変 化 しな い の で,こ

の変

化 を拡 大 係 数行 列 で表 せ ば,

(１)

(２)

(３)

  (４)

(５)

  こ の よ う に連 立１ 次 方 程 式 の 解 は,拡 大 係 数 行 列 に次 の 行 に関 す る 行 列 の 基 本 変 形 を行 い,簡 単 な拡 大 係 数 行 列 を求 め る こ とに よ り得 られ る.明 らか に,行 に関 す る 行 列 の 基 本 変 形 は式 に 関 す る 基 本 変 形 に対 応 して い る.こ の場 合,拡 大 係 数行 列 の な か の 係 数 行 列 に あ た る 部 分 が 単 位 行 列 に 変 形 して い る.   行 に関 す る行 列 の 基 本 変 形  (Ⅰ) １つ の 行 を何 倍 か す る(た だ し０ 倍 は しな い)  (Ⅱ) ２つ の行 を入 れ替 え る  (Ⅲ) １つ の行 に,他 の 行 を何 倍 か した もの を加 え る   こ の よ う に,３ つ の 基 本 変 形 を用 い て 連 立１ 次 方 程 式 の解 を求 め る方 法 を掃 き出 し法 と い う.

 例 題3.2.1 

次 の連 立１ 次 方程 式 を掃 き出 し法 で解 け.

解答 拡大係 数行列 を変形 して，

 (１)

  ２行 に １行 を(-2)倍

し た も の を 加 え,３

行 に １行 を(-3)倍

え る.

 (２)

２ 行 に(-1/3)を

掛 け る．

 (３)

１行 に ２行 を(-1)倍

し た も の を 加 え,３

 (４)

３ 行 に(-3/11)を

掛 け る.

 (５)

行 に ２行 を 加 え る .

し た もの を 加

  １行 に ３行 を(-2/3)倍

し た も の を 加 え,２ 行 に ３行 を(-1/3)を

掛 け た もの

を 加 え る.

 (６)

とな るの で,(６)の 拡 大 係 数行 列 が 表 す 連 立 １次 方 程 式 は

と な り,よ

っ て,解

は た だ １ 組x1=1,x2=2,x3=3で

 

3.3

簡 約

あ る.

な 行 列

  前 節 で は 解 が た だ １つ だ け 存 在 す る 連 立 １次 方 程 式 を扱 い 係 数 行 列 が 単 位 行 列 と な る よ う に拡 大 係 数行 列 を変 形 した が,も つ い て も,同

っ と一 般 的 な連 立 １次 方 程 式 に

じ方 法 で解 を求 め る.し か し,こ の場 合 は係 数行 列 が 単 位 行 列 と

な る よ うな 単 純 な場 合 で は な い.そ こ で 拡 大 係 数 行 列 を どん な 形 に ま で 変形 す べ きか とい う問 題 が 起 こ る.つ ま り解 が 求 め や す い 形 とい うの は,ど ん な行 列 か とい う こ と を考 え な け れ ば な らな い.そ の 行 列 の 形 を次 の よ う に決 め て お こ う.そ れ を 簡 約 な行 列 と呼 ぶ.こ

の行 列 を定 義 す る前 に,ま ず 次 の 定 義 を与 え

て お こ う.   定 義3.3.1(行

列 の 主成 分)零

ベ ク トル で な い行 ベ ク トル にお い て,０ で な

い 成 分 の う ち １番 左 に あ る 成 分 を,そ の 行 の 主 成 分 と い う.   例 え ば,次

の行 列

に お い て,第

１行 の 主 成 分 は １,第 ２行 の 主 成 分 は-1,第

考 え な い,第

４行 の 主 成 分 は ３,と な る.

  定 義3.3.2(簡

３行 で は 主 成 分 は

約 な 行 列)  次 の ４つの 条 件 を満 たす 行 列 を簡 約 な 行 列 とい う.

  (１)  行 の 中 に 零 ベ ク トルが あ る と きは,零 ベ ク トル で な い 行 よ り下 に あ る.   (２)  各 主 成 分 は １で あ る．   (３)  ●第 １行 の 主 成 分 が お か れ て い る列 の 番 号 をj1  

●第 ２行 の 主 成 分 が お か れ て い る列 の 番 号 をj2

 

●…

 

とす る と き,j1＜j2＜

… で あ る.

  (４)各 行 の 主 成 分 を含 む列 に お い て,主   注意   条 件(３)は,各

成 分 以 外 の 成 分 は す べ て ０で あ る.

行 の 主 成 分 の 配 置 を規 定 して い る.第

１行,第

２行,…

と主 成 分 の 位 置 を 見 て い く と き,主 成 分 の位 置 は 右 に ず れ て い くこ と を意 味 し て い る(何 列 ず れ る か は 問 題 に し な い).

  単位 行 列 お よび 零 行 列 は 簡 約 な 行 列 で あ る こ とは,各 れ 以外 の 例 を少 し あ げ て お こ う

  例3.3.3(簡

 (１)

 (３)

約 な 行 列 の 例)

 (２)

自で 調 べ て ほ しい.そ

例3.3.4(簡

約 で な い 行 列 の 例)

 (１)

 (２)

上 記 の 簡 約 で な い 行 列 は次 の例 で 示 す よ う に何 回 か の 基 本 変 形 を繰 り返 し行 うこ と に よ り簡 約 な行 列 に変 形 され る. 例3.3.5(変

形 の 例)例3.3.4の(１)の

１行 と ３行 を 入 れ 替 え,さ

と な り,簡

行列 において

らに １行 と ２行 を入 れ替 え る と

約 な 行 列 が 得 ら れ る.

  例3.3.4の(２)の

行列 におい て

 ２ 行 に １行 の(-1)倍

を加える

  ２行 と ３行 を 入 れ 替 え る

  ２行 に ３行 の(-3)倍

を加え る

と な り,簡 約 な行 列 を得 る.   こ れ らの 行 列 は 基 本 変 形 に よ り簡 約 な行 列 に 変 形 さ れ た が,こ

の こ とは 一 般

の 行 列 に つ い て も成 り立 つ.次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理3.3.6 

ど ん な行 列 も基 本 変形 を繰 り返 し行 う こ とに よ り簡 約 な行 列 に

変 形 で きる.ま

た,こ の と き変 形 の 方 法 はい ろ い ろ あ る け れ ど,出 来 上 が った

簡 約 な行 列 は た だ １つ に 決 ま る.

  行 列Ａ に基 本 変 形 を 繰 り返 して 簡 約 な行 列 を求 め る こ と を,行 列Ａ を簡 約 化 す る とい う.そ の 結 果 と して で きる 簡約 な行 列 を行 列Ａ の 簡 約 行 列 とい う.

  定 義3.3.7(行

列 の 階 数)行

列Ａ の 簡 約 行 列 の 中 に あ る零 ベ ク トル で な い

行 の 個 数 を行 列Ａ の 階 数 とい い,rank（ Ａ）と表 す.

  定 理3.3.6の

簡 約 行 列 の 一 意 性 の 証 明 は 第 ６ 章 で 与 え る が,こ

こで は行 列

A =（aij)の 簡 約 化 の 方 法 を述 べ て お く.ま ず 行 列Ａ の ０で な い(i ,j） の 成分aij に対 して,(i,j） 成 分 に よる 掃 き 出 しを定 義 す る.   まず 第ｉ 行 に1/aijを

掛 け る.こ の結 果Ａ は

と 変 形 さ れ る.次

を 得 る.以

上 の 操 作 を(i,j)成

  さ て 行 列Ａ Step1:第

に 各k（ ≠i)に

対 し,ｋ 行 に(-aｋj)×(i行)を

分aijに

加 え る と,行

列

よ る 掃 き 出 し と呼 ぶ.

を 簡 約 化 し よ う. １列,第

２列,…

ル で な い 列 を 第k1列 な い 成 分 を 含 む.そ (1,k1)成

と 列 ベ ク トル を み て い き,最 と す る.k1列 こ で,そ

は 零 ベ ク トル で は な い の で 必 ず ０ で

の 成 分 を 含 む 行 と 第 １行 を 交 換 し た の ち,

分 に よ る 掃 き 出 し を 行 う こ と に よ り,Ａ

と 変 形 さ れ る.

初 に現 れ る零 ベ ク ト

は

Step2:第

１列,第

２列,…

と 列 ベ ク トル を み て い き,２

成 分 を 含 む 列 ベ ク トル の う ち,最

初 に 現 れ る もの を 第k2列

は ２行 目 以 降 に ０ で な い 成 分 を 含 む の で,そ 交 換 し た の ち,(2,k2)成

  以 下 同様 にp(〓3)に Stepp:第

行 目 以 降 に ０で な い

の 成 分 を 含 む 行 と 第 ２行 を

分 に よ る 掃 き 出 し を 行 う.こ

の 結 果,次

を得 る ．

対 し,

１列,第 ２列,…

と列 ベ ク トル をみ て い き,ｐ 行 目以 降 に ０で な い

成 分 を 含 む列 ベ ク トル の う ち,最 初 に 現 れ る もの を 第kp列 列 は ｐ行 目以 降 に ０で な い 成 分 を含 む ので,そ

とす る.kp

の 成 分 を 含 む行 と第 ｐ行

を交 換 し た の ち,(ｐ,kp)成 分 に よる 掃 き 出 し を行 う.   この 操 作 を く り返 す こ と に よ りＡ の 簡 約 行 列 が 得 られ る. 例 題3.3.8 

と す る.k2列

次 の 行列 を 簡 約 化 し,階 数 を 求 め よ.

解答

  １行 と ２行 を 入れ 替 え る

  ３ 行 に(-2)×

  ２行 に1/3を

（1行)を 加 え る

掛 ける

  １行 に2×(2行)を   ３ 行 に(-3)×(2行)を

 と な る の で,階

加 える 加 える

数 は ２ で あ る.

 3.4 

一 般 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 法

まず 次 の 例 題 を 考 え よ う. 例 題3.4.1 

次 の連 立 １次 方 程 式 を解 け.  ⅹ 1-ⅹ2+ⅹ3+3ⅹ4=-1   3ⅹ1-2ⅹ2+6ⅹ3+7ⅹ4=-3  -ⅹ1+3ⅹ2+5ⅹ3-7ⅹ4=1

解 答   まず,こ の 方程 式 の拡 大係 数 行 列 を簡 約 化 して み よ う.

  ２行 に(-3)×

（1行)を 加 え る

 ３ 行 に １行 を加 え る

  １行 に ２行 を 加 え る   ３行 に(-2)×

（2行)を 加 え る

この 行 列 を拡 大 係 数 行 列 とす る次 の 連 立 １次 方 程 式 は  ⅹ 1+4ⅹ3+ⅹ4=-1  ⅹ2+3ⅹ3-2ⅹ4=0  0x1+0x2+0x3+0x4=0 で あ る.ま

ず こ の 連 立 方 程 式 の 第 ３式 は,x1,x2,x3,x4の

る の で,こ

の 方 程 式 の 解 は 次 の 連 立 １次 方 程 式

値が何であれ成 立す

 ⅹ 1+4ⅹ3+ⅹ4=-1  ⅹ2+3ⅹ3-2ⅹ4=0

の 解 で あ る.さ

らに 主 成 分 に 対 応 す る変 数x1,x2を

左 辺 に残 し,他 の 変 数 を右

辺 に 移 行 す る と次 の 方 程 式  ⅹ 1=-1-4ⅹ3-ⅹ4  ⅹ2=-3ⅹ3+2ⅹ4

を得 る.で は こ の 方程 式 の 解 は どん な もの で あ ろ うか.こ の 方 程 式 の 具 体 的 な

解 を,１

組 で も よ い か ら 求 め た け れ ば,右

ばx3=0,x4=1を

代 入 し て み る.左

辺 の 未 知 数x3,x4に

辺 の 未 知 数x1,x2の

が 容 易 に 読 み 取 れ る よ う な 形 を し て お り,そ x3=0,x4=1が

勝 手 な 数,例

え

値x1=-2,x2=2

の 結 果 １つ の 解x1=-2,x2=2,

得 ら れ る.

  こ の よ う に し て 未 知 数x3,x4に 見 つ か る が,残

い ろい ろ な数 を代 入 して い け ばす べ て の 解 は

念 な こ と に 無 限 通 りの 代 入 の 方 法 が あ る の で,無

限 通 りの 解 が

存 在 す る.し

た が っ て 具 体 的 に 解 を す べ て 列 挙 す る こ と は で き な い.こ

な と き は,右

辺 の 主 成 分 に 対 応 し な い 未 知 数x3,x4に

代 表 し て 文 字 を 用 い,例

え ば x3=c1,x4=c2と

の よ う

代 入 す る い ろ い ろ な数 を

す る と,解

は

 x1=-1-4c1-c2  x 2=-3c1+2c2

 (c1,c2は

任 意 の 実 数)

 x 3=c1  x 4=c2

と表 され る.今 後,解

は ベ ク トルの 形 式 を用 い て次 の よ う に表 す こ と に す る ．

(c1,c2は

  で は,次 の連 立 １次 方 程 式 は ど うだ ろ うか.こ

の方 程 式 は 前 の例 題 にお け る

方 程 式 の定 数 項 が 異 な る だ け で あ る.

例 題3.4.2 

任 意 の 実 数)

次 の 連 立 １次 方 程 式 を 解 け.  x1-x2+x3+3x4=-1  3x1-2x2+6x3+7x4=-3  -x1+3x2+5x3-7x4=2

解 答   前 の例 題 の よ うに,拡 大 係 数 行 列 を 簡約 化 す る と

簡 約 化 され た 拡 大 係 数 行 列 は,次 の 連 立 １次 方 程 式  ⅹ 1+4ⅹ3+ⅹ5=0  ⅹ2+3ⅹ3-2ⅹ4=0  0x1+0x2+0x3+0x4=1 を 表 す.こ

の と き 第 ３式 を 満 た すx1,x2,x3,x4の

ん な 値 を 第 ３式 のx1,x2,x3,x4に １に な ら な い か ら で あ る.し

代 入 し て も,左

た が っ て,こ

辺 の 計 算 結 果 は ０で 右 辺 の 値

の 連 立 １次 方 程 式 の 解 は 存 在 し な い .

  こ れ ら の 例 題 か ら わ か る よ う に 一 般 の 場 合,

の拡大係 数行 列 を

値 は 存 在 し な い .な ぜ な ら ど

簡 約 化 す る と,定 数 項 に 主 成 分 が な い 場 合

と そ うで な い 場 合

とい う ２通 りの 結 果 が 得 られ るが,前

者 の 場 合 は,こ の 方 程 式 の 主 成 分 に 対 応

しな い 未 知 数 に い ろ い ろ な値 を代 入 し て主 成 分 に対 応 して い る 未 知 数 の 値 を読 み取 るこ と に よ り解 が 得 られ,後

者 の 場 合 は,解 が 存 在 し な い.こ

理 を 得 る.

  定 理3.4.3(連

立 １次 方 程 式 の 解 の 個 数)

 (１)rank（A） ≠rank（A￨b）

の と き,解 な し

 (２)rank（A）=rank（A｜b）

≠ 未 知 数 の 個 数 と き,解 は 無 限 個

こで 次 の 定

  (３)rank（A）=rank（A￨b）=未   定 義3.4.4(同

知 数 の 個 数 の と き,解 は た だ １つ

次 連 立 １次 方 程 式)定

数 項が す べ て ０ とな って い る連 立 １次

方程 式 a11ⅹ1＋a12ⅹ2+…+a1nⅹn=0

a21ⅹ1+a22ⅹ2+…+a2nⅹn=0

a m1ⅹ1+am2ⅹ2+…+amnⅹn=0

を 同次 連 立 １次 方 程 式 とい う.こ の 場 合,各 未 知 数 に ０を代 入 す れ ば,す べ て の 式 が 成 立 す るの で 少 な くと も １つ の 解

が 存 在 す る.も

ち ろん 先 ほ ど の 定 理 を用 い て も そ の こ とが 証 明 され る.こ れ は

す ぐ得 られ る 解 とい う意 味 で 自明 な解 と呼 ば れ る. 例題3.4.5次の同

次 連 立１ 次方 程式を解 け.   3ⅹ1-6ⅹ4+9ⅹ5=0  

-2ⅹ3-8ⅹ4+2ⅹ5=0

 ⅹ 1+ⅹ3+2ⅹ4+2ⅹ5=0

解答 拡大係数列を次のよう

に 変形す る．

  １行 と ３行 を 入れ 替 え る

  ３行 に(-3)×

  (-1/2)×

（1行)を 加 え る

（2行)

  ３行 に3×(1行)を   １行 に(-1)×

と な り,こ

れは

と な る.し

た が っ て 未 知 数x2,x4,x5を

す る と,解

は 次 の よ う に な る.

加える

（2行)を 加 え る

そ れ ぞ れx2=c1,x4=c2,x5=c3と

(c1,c2,c3は   連 立 １次 方 程 式Ax=bと

同 次 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

お こ う.い

まAx=bの

１つ の 解 をａ と す る.こ

差y-aは

同 次 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

任 意 の 実 数)

解 の 関係 を述 べ て

の と き も う １ つ の 解ｙ

解 と な っ て い る.な

ぜ な ら,

との

  と な る か ら で あ る.こ 解y-aの

A(y-a)=Ay-Aa=b-b=0 の こ と か ら解ｙ

は,ａ

と 同 次 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

和 と し て 表 さ れ る.

  ま た 逆 にａ

と 同 次 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

任 意 の 解ｘ

と の 和ａ+xは

 A(ａ+x)=Aa+Ax=b+0=b とな る の で,連

立 １次 方 程 式Ax=bの

  以 上 よ り,連

立 １次 方 程 式Ax=bの

解 で あ る. １組 の 解ａ

が わ か っ て い た と す る と,

他のすべ ての解 は  ａ+x,た

だ しｘ は 同 次 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

任 意の解

と い う 形 に 表 現 さ れ る こ と に な る.

  3.5逆

行

列

  この 節 で 連 立 １次 方 程 式 の 解 法 の 応 用 の １つ と して,行 列 の 逆 行 列 に つ い て 話 をす る.こ

こで扱 う行 列 は,ｎ 次 の 正 方 行 列 で あ る.

  定 義3.5.1(正

則 行 列)  ｎ次 正 方 行 列Ａ に 対 し,ｎ 次 正 方 行 列 Ｂ で   (＊)

AB=BA=En

とな る 行 列 Ｂ が 存 在 す る と き,Ａ は 正 則 行 列 で あ る とい う.こ の と き,(＊)を 満 た す 行 列 は た だ １つ で あ る.な ぜ な ら,(＊)を 満 た す 行 列 が ２つ あ っ て そ れ ぞ れ をＢ,Ｃ とす る と,  

C=CE=C(AB）=（CA)B=EB=B

と な り,Ｂ と Ｃ は一 致 す る.以 上 よ り(＊)を 満 た す 行 列 は存 在 す る な ら １つ な の で,そ

の 行 列 を行 列Ａ の 逆 行 列 とい い,A-1と

表 す.

  次 の定 理 が 成 立 す る(こ の 証 明 に つ い て は付 録 を参 照).   定 理3.5.2 ｎ

次 正 方 行 列Ａ に対 して 次 の ３つ の条 件 は 同 値 で あ る.

  (１)AB=Eと

な る ｎ次 正 方 行 列 Ｂ が 存 在 す る

  (２)Ａ は 正 則 行 列   (３)rank(A)=n

  (１)に お け る 行 列 Ｂ は 行 列 Ａ の 逆 行 列 で あ る.実 則 行 列 で あ る の で,Ａ

の 逆 行 列A-1が

か ら 掛 け る こ と に よ り,B=A-1が   こ の こ と よ り,正

際,上

の 定 理 よ りＡ は 正

存 在 す る.A-1をAB=Eの

両 辺 に左

得 ら れ る．

則 行 列 の 逆 行 列 は 次 の よ う に し て 得 ら れ る.

  い ま Ａ の逆 行 列 を

 

  B=(b1b2…bn)

と 表 す こ と に し,単

位 行 列 の １列,２ 列,…,ｎ

列 を

と す る と き,

 

AB=A(b1b2…bn)=（Ab1Ab2…Abn)  = （e1e2…en)=En

とな る の で,逆

行 列 の 各 列 は ｎ 個 の 連 立 １次 方 程 式  Aⅹ=e1,Aⅹ=e2,…,Aⅹ=en

の解 を求 め て そ れ ら を並 べ た行 列 で あ る.こ れ らの 連 立 １次 万 程 式 を解 くに は 各連 立 １次 方 程 式 の 拡 大 係 数 行 列  (A￨e1),(A￨e2),…,(A￨en)

を 簡約 化 す れ ば よい が,こ

の 簡約 化 は行 列 Ａ が単 位 行 列 に な る よ う に行 え ば よ

い の で,す べ て同 じ基 本 変 形 の 仕 方 に な る.そ こで こ れ ら ｎ 個 の 簡 約 化 を 一 度 に行 うた め 次 の行 列

  （A￨e1e2…en)=（A￨En)

を作 り,そ の 行 列 を簡 約 化 して

 (En￨*） と な っ た と き,右

例 題3.5.3 

側 に で き る 行 列(＊)が

逆 行 列 と な る.

次 の 行 列 の逆 行 列 を 求 め よ.

解答

  １行 と ２行 を 入 れ 替 え る

  ２行 に(-2)×

 (-1)×(2行)

（1行)を 加 え る

  １行 に(-2)×

（２行)を 加 え る

  １行 に(-4)×

（３行)を 加 え る

  ２ 行 に ３ 行 を加 え る

と な る の で,Ａ

の 逆 行 列A-1は

で あ る.

 練

習

問

題

3.1  行 列 の 階 数 は 次 の よ う に記 述 す る こ と もで き る こ と を確 か め よ.  (１)簡 約 行 列 の 主 成 分 の個 数  (２)簡 約 行 列 の 主 成 分 を 含 む 列 ベ ク トル の 個 数 3.2  次 の 行 列 を簡 約 化 し階 数 を 求 め よ.

 (１)

 (２)

x x  x

 (３)

3.3  次 の行 列 の 階 数 を求 め よ.

3.4  次 の 連 立 １次 方 程 式 を解 け ． 1+x2+x3+x4=2 x1-2x2+x3=1  (１) 

 2x1+3x2+2x3+4x4=5 2+2x3=1

 (２) 

 2x2+x3+x4=1

 3x2-4x3=23

1+x2+x3=1  x 1+2x2+3x3+3x4=3 x1+2x2+3x4=1  (３)

 x 1+x3+x4=3  x 1+x2+x3+2x4=1

 3x1+x2+4x3-x4=-1  (４)

2x1-x2+3x3+3x4+2x5=1  x 1-2x2+3x4+x5=3

3.5  次 の 連 立 １次 方 程 式 が 解 を もつ よ うな α の値 を 求 め,そ の と きの解 を求 め よ. 1+x2+x3=5  x1-3x2-x3-10x4=α

  2x1-4x4=7

1+x2+x4=4

3.6  次 の 行 列 の 逆行 列 を求 め よ.

 (１)

3.7 

 (２)

行 列 Ａ,Ｂ が 正 則 行 列 の と き,次

 (１)行

列A-1は

 (２)行

列ABは

正 則 行 列 で,そ 正 則 行 列 で,そ

の 事 柄 を 示 せ.

の 逆 行 列(A-1)-1は

Ａ で あ る.

の 逆 行 列(AB）-1はB-1A-1で

あ る.

４ 集

合

  この 章 で は,数 学 的 記 述 の 基 礎 と な る 集 合 と い う考 え 方 に つ い て 説 明 す る. こ の 考 え 方 は,人 間 の物 事 に 対 す る認 識 に お い て,た

いへ ん素 朴 で 基 本 的 な も

の が も と に な っ て い る.

  4.1 

集

合

  世 の 中 に は 人 が 認 識 す る対 象 物 が非 常 に た くさ ん あ る わ け だ が,そ

れ らをよ

り良 く認 識 ・理 解 しよ う とす る と き,意 識 的 で あ れ 無 意 識 的 で あ れ,よ れ る考 え 方 と して,そ れ ら対 象物 の 中 の い くつ か を集 め て み る,ま

くとら

とめ て み る,

とい うこ と を行 っ て い る よ うに思 わ れ る.も ちろ ん 実際 に 一箇 所 に 集 め る とい う ので は な く,何 か 共 通 の 性 質 に着 目 して,リ ス トア ップ す る わ け で あ る,分 類 , ジ ャ ンル分 け と い う考 え方 もそ うだ し,も っ と素朴 に何 か し ら構 成 メ ンバ ー か ら な る もの を想 起 す る(自 分 の 家 族 をふ と思 う とか)と い うこ とは 日常 的 に行 っ て い る.も ち ろ ん,こ

の 集 め てみ る とい う操 作 は必 ず し も共 通 の 性 質 を もつ と

い う こ と に よ っ て の み 成 さな けれ ば な らな い わ けで は な い .例 え ば ア ンケ ー ト を と るた め に 任 意 に 選 ば れ た1000人 え て い え ば,ア

の 集 ま りの メ ンバ ー の 共 通 の性 質 は,あ

ンケ ー トを とる た め に選 ば れ た 人 で あ る とい う こ とそ れ のみ で

あ ろ う.   さ て 数 学 で は,こ

の 基 本 的 な考 え方 を"集 合"と い う概 念 で,理

想 化,形

式

化 して と り入 れ る.ま ず,集 め られ る"も の"は 数学 的(考 察 の)対 象物 で あ る. 例 え ば， 数 の ３ と か５ と か,行

列(2111),方

程 式x2+3x-1=0,半

径 １の

円 とか,い

ろ い ろあ る.

  次 に,集 め られ た もの た ち か ら成 る ひ と ま と ま りの もの で あ るが,こ れ を "集 合"と 呼 ぶ .こ の"集 合"を ど の よ うに定 義 す る のが よい の だ ろ うか.い ま 考 え た い 集 合 とは ど の よ うな もの が 集 め られ て い る の か,何 が 構 成 メンバ ー な の か が 命 で あ る と考 え られ る.し た が っ て,何

か １つ もの が 与 え られ た と き,

そ の もの が い ま考 え て い る １つ の 集 合 の 構 成 要 素 で あ る(属 し て い る)の か ど うか が 判 然 とす る必 要が あ る.   で は,集 合 の 定 義 を して み よ う.

  定 義4.1.1 

Ａ が 集 合 で あ る と は,任 意 に 与 え られ た ものａ に 対 して,ａ は

Ａ に"属 す"か ，ａ はＡ に"属 さな い"か が 明 確 に確 定 して い る と きに い う.

  明 確 に確 定 す る と書 い たが,こ と同 じで は な い.ど

れ は 必 ず し も速 や か に 判 断 で き る とい う こ と

ち らか で は あ る こ とが 保 証 で きれ ば,実 際 に ど ち らで あ る

か の 判 断 に は い くら 時 間が か か って もか まわ な い.

  集 合Ａ にａ が 属 す と き,ａ はＡ の 要 素 で あ るい い,ａ ∈Aと 合Ａ にａ が 属 さな い と き,a〓Aと

表 す.ま た,集

表 す.

  集 合 の 定 義 よ りす べ て の ものが 属 さ な い,つ

ま り要 素 を もた な い集 合 を 想 定

す べ きで あ る.こ の 集 合 を空 集 合 とい い φ と表 す.任 意 のａ に 対 し,ａ〓 φで あ る.

 

4.2 

集 合 の 表 し方

  次 に,具 体 的 な集 合 の 表 し方 を説 明 す る.  １. 集 め た い もの を呼 ぶ 呼 び 方が す で に 手 短 か に確 立 して い る と きは,そ れ を使 っ て,"○

○ ○ を要 素 とす る集 合"と 直 接 書 く.

 例 4.2.1  (１)自 然 数 全 体 の 集 合.こ れ は 通常 Ｎ で 表 す.自 然 数 で あ れ ば 要 素 で あ り,自 然 数 で な け れ ば 要 素 で は ない.例  (２)  整 数 全 体 の 集 合.こ

えば,1∈Nで

あ り,1/2〓Nで

あ る.

れ は 通 常 Ｚ で 表 す.

 (３)有 理 数 全 体 の 集 合.こ

れ は 通 常 Ｑ で 表 す.

 (４)実 数 全 体 の 集 合,こ れ は 通 常Ｒ で 表 す.  (５)複 素 数 全 体 の 集 合,こ れ は 通 常 Ｃ で 表 す.  (６)偶 数 全 体 の 集 合.  (７)実 数 係 数 ２次 方 程 式 全 体 の 集 合.  (８)平 面 上 の 円全 体 の 集 合.  次 の ２つ は 一 目見 て 集 合 とわ か る よ うに カ ッコ{}を

書 い て,{}の

中にど

うい う もの を要 素 とす るか が わか る よ うな 内容 を書 く.  ２. 要 素 を 指 し示 す 語 句(記 号)を{}の

中 に す べ て 列 挙 す る.

  例4.2.2   (１){1,2,3}  

例 え ば,1∈{1,2,3}で

あ り,5〓{1,2,3}で

あ る.

  (２){x2+x+1=0,x2+2x-1=0,2x2-x+3=0}  

こ の 例 で は,も

ち ろ ん 各 式 は ２次 方 程 式 を 書 い た つ も りで あ る.

  (３){a,b,c}   こ の 例 で は ａ,ｂ,ｃと 書 い た も の が 何 な の か 判 然 と し な い が,と が"も

の"で

あ っ て,何

か も の を 持 っ て き た と き に,そ

同 じ も の な の か ど う か が 確 定 す る 状 況 と考 え ら れ る な ら よ い.ま 中 に 同 じ も の が あ る か ど うか も,事 中 に 同 じ も の が あ っ て も,上 じ も の な ら{a,b,c}と{a,c}は

にか くそ れ ら

れ が ａ,ｂ,ｃの そ れ ぞ れ と た,ａ,ｂ,ｃ の

前 に 判 断 し に く い こ と も あ る か ら,ａ,ｂ,ｃ の

の よ う に 書 い て よ い と す る.も 同 じ 集 合 と 考 え ら れ る.そ

ち ろ んａ とｂ が 同 れ は 集 合 と して の機

能 は 何 ら 変 わ っ て い な い と い う こ と か ら 当 然 で あ ろ う.

  ３. 要 素 を す べ て 列 挙 し に くい こ と も 多 い.そ

こ で{}の

中 に ど うい う も の

 

を 要 素 と し た い の か を 文 章 で 書 く.そ た い も の を 仮 に 記 号(例 て,そ

の 後 に,記

号ｘ

え ばｘ)で

の と き の 書 き 方 の くせ と し て,要

表 す と し て,ま

ずｘ

を 用 い て 要 素 は こ う い う も の,と

と 書 き,次

素 とし

に￨を

書 い

い う 文 章 を 書 く.

  例4.2.3  (１){x￨xは

自 然 数 で,２

こ れ は,偶

で 割 り 切 れ る}

数 全 体 の 集 合 と 同 じ で あ る .も

で 割 り切 れ る}と 書 い て も,同 数 で あ る(つ

じ 集 合 を 表 し て い る.ま

ま り 自 然 数 全 体 の 集 合 の 要 素 で あ る)と

の 前 に 書 く こ と も あ る.す {x∈N￨ｘ

ち ろ ん,{k￨kは

自 然 数 で,２ た ,ｘ は ま ず 自 然

い う よ う な 前 提 を￨

なわ ち

は２ で 割 り 切 れ る}

ま た,ど

う い う も の を 要 素 と す る か と い う文 章 は 一 通 りで は な い.例

{x∈N｜

あ る 自 然 数ｙ が あ っ て,x=2y}

 (２)次 の ２ つ の 集 合 は ど ち ら も{1,2,3}と

えば

同 じ で あ る.

  {x∈N｜1〓x〓3}   {x∈R｜(x-1)(x-2)(x-3)=0}  (3)よ

く使 う集 合 と し て 区 間 が あ る.ａ,ｂ

∈R,a＜bと

 {x∈R｜a＜x＜b}を

開 区 間 と い い]a,ｂ ［で 表 す.

 {x∈R｜a〓x〓b}を

閉 区 間 と い い[a,b］ で 表 す.

  {x∈R￨a＜x〓b}を

す る と き,

左 半 開 区 間 と い い］a,b］ で 表 す.

{x∈R｜a〓x＜b}を

右 半 開 区 間 と い い[a,b［ で 表 す.

そ の 他 の 例 と して は (４){e｜eは 実 数 係 数 ２次 方 程 式 で,１ を 解 に も つ}  (５){c｜cは 平 面 上 の 円で,平

面 上 の 定 点 Ｐ を 内 部 に含 む}

  4.3集

  定 義4.3.1 

Ａ,Ｂ を 集 合 と す る.任

が 成 り立 つ と き,Ａ A⊂Bで

表 す.

合 の 性 質

は Ｂ に 含 ま れ る,ま

意 の ａ に 対 し て,a∈Aな

ら ばa∈B

た は Ａ は Ｂ の 部 分 集 合 で あ る と い い,

  例4.3.2   (１){1,2,3}⊂{1,2,3,4,5}⊂N   (２)[2,5[  ⊂[1,5］⊂R

  定 義4.3.3 

Ａ,Ｂ を 集 合 と す る. A⊂Bか

は 等 しい と い い,A=Bで

  定 義4.3.4 Ａ,Ｂ

つB⊂Aで

あ る と き, Ａ と Ｂ

表 す.

を集 合 とす る ．

  (１){x￨x∈Aか

つx∈B｝

を Ａ と Ｂ の 共 通 集 合 と い い,A∩Bで

  (２){x￨x∈Aま

た はx∈B｝

をＡ

表 す.

と Ｂ の 合 併 集 合 と い い,A∪Bで

表 す.

 例4.3.5   (１){1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}   (２)[1,2]∩[3,4]=φ   (３){1,2,3}∪{2,3,4}=｛1,2,3,4}   (４)]1,3[∪]2,4[=]1,4[

  定 義4.3.6 

Ａ,Ｂ を 集 合 とす る.{x￨x∈Aか

い た 差 集 合 と い い,A-Bで

つx￠B}をＡ

か らＢ

を引

表 す.

  例4．3.7   (１){1,2,3}-{2,3,4}=｛1}   (２)]1,3[  -  {2}= 

]1,2[∪

 ]2,3[

  定 義4.3.8 

２ つ の も の,ａ,ｂ を 考 え た と き,ａ,ｂ に 順 序 を 指 定 す る と い う 情

報 込 み でａ,bを

ま と め て 考 え た も の を,ａ

と ｂの順 序 対 と い い,(ａ,ｂ ）で 表 す.２

つ の 順 序 対(ａ,ｂ ）と(ｃ,ｄ）に 対 し て,(ａ,b)と(c,ｄ） の は,a=cか で あ れ ば,(a,b）   ２ つ の 集 合Ａ

 

つb=dの

と き に 限 る と い う こ と で あ る.ａ

と(b,a)は とＢ

が 等 しい((ａ,b）=（c,ｄ）

異 な る.

に 対 し て,

{x￨x=（a,b）, 

a∈A,b∈B｝

と ｂが 異 な る も の

をＡ

とＢ

の 直 積 集 合 とい い   A×B

で 表 す.A×AはA2と

も 書 く.

  一 般 に ｎ 個 の も のa1,a2,…，anを

順 序 を 考 えて ま と め た もの を

  (a1,a2,…,an) で 表 す.n個

の 集 合A1,A2,…,Anに

 ｛x￨x

対 し,

=（a1 ,a2,…,an),a1∈A1,a2∈A2,…,an∈An}

を,Al,A2,…Anの

直 積 集 合 と い い,

 

Al×A2×

で 表 す.集

合 Ａ に 対 し,ｎ 個 のＡ

…

×An

の 直 積 集 合A×A×

… ×AをAnで

表 す.

例4.3.9  (１){1,2}×{2,3}=｛(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}  (２)R2=R×R={x￨x=（a, 

b),a,  b∈R}

 (３)R3=R×R×R={x￨x=（a,b,c),a,b,c∈R}

  注 意   R3は,３

次 行 ベ ク トル 全 体 の 集 合 と 考 え る こ と で き る.さ

の 各 要 素 は ３つ の 数 の 組 で 決 ま な 差 は な い.し

の で,そ の 表 し方 を(abc)と 表 して も本 質 的

た が っ てR3は,場

考 え る こ と も で き る.も

合 に よ っ て は ３次 列 ベ ク トル 全 体 の 集 合 と

ち ろ んRnに

つ い て も 同 様 で あ る.

 練 習 4.1 

A={a,b.c}, 

B={c,d,e}と

問 題

す る と き,次

 (１)A∩B,(２)A∪B,(３)A-B,(４)A×B,(５)Aの す べ て. 4.2 

A,B,Cを

集 合 と す る と き,次

 (１)A∩(B∪C)=（A∩B)∪(A∩C)  (２)A∪(B∩C)=（A∪B)∩(A∪C)

ら に,]R3

の 等 式 を 示 せ.

を 求 め よ. 部分集合 を

５ 写

  写 像 と い う 考 え 方 も,集

5.1 

Ｘ,Ｙ

写

像

・関

本 的 な も の で あ る.

数

を ２ つ の 集 合 と す る. Ｘ の 各 要 素 に 対 し,Ｙ

つ 決 ま る よ う な 対 応 の 仕 方ｆ が あ る と き,こ か ら Ｙ へ の 写 像 と い う.Ｘ

の要 素 が １

の ３ つ を 合 わ せ た(X,Y,f)を

Ｘ

の 各 要 素 に 対 し Ｙ の あ る 要 素 を 対 応 させ て い る こ

と が わ か り や す い よ う に,Ｘ

か ら Ｙ へ の写 像 を

 f:Ｘ→

Ｙ

と表 す こ と に す る,こ

こ で Ｘ を 写 像f:X→Yの

の 値 域 と い う.x∈Xに と い い,ｆ(x）

数

合 の 考 え 方 に 勝 る と も 劣 ら ず,基

 

  定 義5.1.1 

像 ・関

対 し,ｆ

定 義 域,Ｙ

は 写 像f:X→Y

に よ っ て 決 ま る Ｙ の 要 素 を,xのfに

よる値

と表 す.

  定 義 域 の 各 要 素 に 対 し,値

域 の ど の 要 素 を対 応 さ せ る の か を は っ き り示 す こ

と に よ り １つ の 写 像 が 定 ま る.

  例5.1.2 

X=｛1,2,3},Y=｛2,3,4}と

す る.f:X→Yを

次で定 義

す る.

 f(1)=2, f(2)=3, f(3)=3

  上 の 例 か ら も わ か る よ う に,必

ず し も値 域 の 要 素 す べ て が 定 義 域 の 要 素 に対

応 す る必 要 は な い.

  写 像f:X→Yに

お い て そ の値 域 Ｙ が実 数全 体 の 集 合 Ｒ また はそ の部 分 集

合 で あ る ときf:X→Yを

関 数 とい う.以 後,し

場 合,つ

い う場 合 を 考 え る.

ま りf:R→Rと

  例5.1.3 

 

関数f:R→Rの

ば ら くはX=R,Y=Rの

対 応 の 仕 方 を次 の よ う に決 め る．

各 実 数 に 対 して,そ の 実 数 を ２倍 した 実 数 を対 応 させ る

  上 の 文 章 は 対 応 の仕 方 を表 して い るの で こ れで 関数 の例 を １つ 与 え た こ と に な る.し か し,こ の場 合,対 応 の 仕 方 を も っ と簡 潔 に表 す こ とが で き る.   各 実 数 を表 す 記 号 と して,例

えばｘ を用 い,ど の 実 数 に対 して もそ の実 数 を

２倍 す る の だか ら,ｘ のｆ に よ る値f（x） は  f(x)=2x と表 さ れ る.こ の よ うに,記 号ｘ で 表 さ れ て い る実 数 に 対 応 す る 関 数 の 値 を式 で 表 し,そ の 関 数 の 対 応 の 仕 方 を表 す こ とが で き る こ とが あ る.こ の と き,実 数 を表 す 記 号 と して,も

ち ろ んｘ 以 外 の 文 字 も使 え る.

  例 え ば,次 の 等 式  f(a)=2a も同 じ関 数f:R→Rの

  例5.1.4(定

対 応 の仕 方 を表 して い る.

数 関 数)

 f:R→R,f(x)=3 この よ うにx∈Rに

対 し,そ の 関数 の値 が 常 にあ る定 数 で 与 え られ る関 数 を定

数 関 数 とい う.一 般 に,α ∈Rと  f:R→R,f（x）=a

す る と き,

  例5.1.5(恒

等 関 数)

 f:R→R,f（x）=x こ の よ う にx∈Rに

対 し,そ

の 関 数 の 値 が 常 にxで

あ る 関 数 を恒 等 関 数 と い

う.

  例5.1.6(１

次 関 数)

 f:R→R,f(x)=-2x+1 こ の よ う にx∈Rに

対 し,そ

関 数 を １ 次 関 数 と い う.一

の 関 数 の 値 が 常 にxに

般 に,a,b∈Rと

 f:R→

  例5.1.7(２

関 す る １次 式 で 与 え ら れ る

す る と き,

Ｒ,f(x)=ax+b

次 関 数)a,b,c∈Rと

す る と き,

 f:R→R,f(x)=ax2+bx+c

  例5.1.8(多

項 式 関 数)a0,a1,a2,…,an∈Rと

す る と き,

 f:R→R,f(x)=a0+a1x+a2xn+…+anxn

  関 数 は 値 域 が 実 数 で あ る か ら,実

数 の 和 ・差 ・積 ・商 を 用 い て ２つ の 関 数 か

ら １ つ 関 数 を 指 定 す る 操 作 が 定 義 さ れ る.

  定 義5.1.9(関 :R→Rを

数 の 実 数 倍) a∈R,関

数f:R→Rに

対 し て,関

数af

対 し て,関

数

次 で 定 義 す る.

(af)（x）=a・f(x)

  定 義5.1.10(関

数 の 和)関

数f:R→R,関

数g:R→Rに

f+g:R→Rを

次 で 定 義 す る.

 

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

  定 義5.1.11(関 fg:R→Rを

数 の 積)  関 数f:R→R,関

数g:R→Rに

対 し て,関

数

次 で 定 義 す る.

  (fg)(x)=f(x)・g(x)

  定 義5.1.12(関

数 の 商)  関 数f:R→R,関

=｛x∈R￨g(x)≠0}と

す る と き,関

数g:R→Rに

対 し て,Ｘ

数

を次 で 定 義 す る.

  対 応 を ２ 度 続 け て 行 う こ と に よ っ て,２

つ の 関 数 か ら １つ 関 数 を 指 定 で き る

場 合 が あ る.

  定 義5.1.13(関

数 の 合 成)  関 数f:R→R,関

数gof:R→Rを

数g:R→Rに

次 で 定 義 す る.

 gof(x)=g(f(x))

  例5.1.14  2x+3に

２ つ の 関 数f:R→R,f(x)=2x2+1と,g:R→R,g(x)=

対 し て,

 (１)(3f)(x)=3f(x)=3(2x2+1)=6x2+3  (２)(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x2+1)+(2x+3)=2x2+2x+4  (３)(fg）(x)=f(x)g(x)=（2x2+1)(2x+3)=4x3+6x2+2x+3

対 し て,関

 (４)

  (５)gof(x)=g(f(x))=g(2x2+1)=2(2x2+1)+3=4x2+5   こ こ ま で は 主 に Ｒ か ら Ｒ へ の 写 像 を 考 え て き た が,こ な るRnか

らRmへ

  例5.1.15(行

こ で,後

に も重 要 と

の 写 像 の 例 を 与 え よ う.

列 の 積 を 用 い て 定 義 さ れ るRnか

  こ こ で は,Rn,Rmを

らRmへ

の 写 像)

そ れ ぞ れ ｎ 次 列 ベ ク ト ル 全 体 の 集 合,ｍ

次 列 ベ ク トル

全 体 の 集 合 と す る.

  Ａ をm×n行

列 と す る.Rnか

る.x∈Rnに

らRmへ

の 写 像f:Rn→Rmを

次で定義 す

対 し,

 

f(x)=Ax

こ こ で 右 辺 は 行 列 の 積 で あ る.こ

の 写 像 に は 線 形 性 と呼 ば れ る次 の顕 著 な 性 質

が あ る.x,y∈Rn,a∈Rに

対 し て,

 (１)f(x+y)=f(x)+f(y)   (２)f(ax)=af(x) (１),(２)を 示 そ う.  

f(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=f(x)+f(y)

 

f(ax)=A(ax)=aAx=af(x)

  次 に 具 体 例 を あ げ よ う.  (１)A=（1 

2  3)と

す る.f:R3→Rを

次 で 定 義 す る.

と す る, f:R3→R3を

(２) 

 ∈R3に

次 で 定 義 す る.

対 し,

 

5.2 

関 数 の グ ラ フ

  関数 の性 質 ・値 の 変 化 の 様 子 を調 べ る場 合 に便 利 な もの と して,グ

ラ フが あ

る.

  定 義5.2.1  あ っ た.２

関 数f:R→Rと

対 す る 値 はfx)と

記すので

つの実 数の組

 

(x,f(x))

は,R2の R2の

す る.x∈Rに

要 素 と 考 え ら れ,ｆ

要 素 が 得 ら れ る.こ

フ と い う.す

の 定 義 域 の 値 を い ろ い ろ と 考 え る と,い

の よ う に し て 得 ら れ るR2の

ろい ろ な

要素の全体 を ｆの グラ

な わ ち,

 ｆの グ ラ フ={a∈R2｜a=(x,y),y=f(x)}

と な る.   R2は 座標 平 面 と同 一 視 で きる か ら,こ の 関 数 の グ ラ フは 座 標 平 面 上 の 図 形 と も考 え られ る.

 f

例5.2.2

(１)ｆ:R→R,f(x)=2x+1と

 fグ

する と

ラ フ={α これ は,平

∈R2｜a=(x,y),y=2x+1}

面 内 の 図 形 と し て み る と,(0,1)を

(２)f:R→R,f(x)=x2と

 fの

通 り,傾

き2の

直 線 で あ る.

す る と

グ ラ フ={a∈R2｜a=(x,y),y=x2}

これ は,平 面 内 の 図 形 と して み る と き,放 物 線 と呼 ば れ る 図形 に な る.

 練 5.1  X=｛a,b,c},Y=｛d,e}と

習

問 題

す る と き,Ｘ

か ら Ｙ へ の写像 をすべ て求

め よ. 5.2  2つ の 関 数 :R→R,f(x)=3x2+x-2   g:R→R,g(x)=2x-1

に 対 し て,次

の 関 数 を 求 め よ.

 (１)f+g,(２)fg,  5.3 

例5.2.2の

(３)f/g, 

(４)fog, 

(５)gof

関 数 の グ ラ フ の 概 形 を 座 標 平 面 上 に 描 け.

６ べ ク トル 空 間

  ベ ク トル 空 間 と は和 と実 数 倍 が うま く定義 され た 集 合 の こ とで あ り,現 代 数 学 で は 欠か せ ない 概 念 の１ つ で あ る.し か し通 常 の ベ ク トル 空 間 の 定 義 は抽 象 的 で 少 々 理 解 しづ らい の で,こ

こで は 特 殊 な 場 合 の み を扱 うこ とに す る.

  6.1ベ

ク ト ル 空 間

  第２ 章 で 述 べ た とお り,ｎ 行１ 列 の 行 列 をｎ 次(列)ベ

ク トル と呼 ぶ.ま た

ｎ次 ベ ク トル 全 体 か ら な る 集 合

をRnを

用 い て表 す.こ こ で Ｒnの 要素 は行 列 な の で,行 列 に 定 義 した 演 算(和,

実 数 倍)が そ の ま ま適 用 で き る.つ

に対 し,和a+bは

ま り Ｒnの ベ ク トル

で定 義 され,実 数 λ に対 して,ベ

ク トルａ の実 数 倍 は

で 定 義 さ れ て い る.   行 列 の 演 算 で 確 か め た よ う に,Rnの の(1)∼

ベ ク トルu,υ,wと

実 数ａ,bに

対 し,次

（8)が 成 立 す る.

  (１) u+υ=υ+u, 

(２) (u+υ)+w=u+(υ+w)

  (３) u+0=0+u=u, 

(４) a(bu)=（ab)u

  (５) (a+b)u=au+bu, 

(６) a(u+υ)=au+aυ

  (７) 1u=u, 

  定 義6.1.1(部

(8) 0u=0

分 空 間)Rnの

部 分 集 合 Ｗ が次 の 条 件

 (１) 0∈W  (２) u,υ ∈Wな

ら ばu+υ

 (３) u∈W,c∈Rな

∈W

らばcu∈W

を満 たす と き,Wを(Rnの)部 部 分 集 合{0}({0}≠〓

分 空 間 と呼 ぶ.特

に零 ベ ク トル だ け か ら な る

で あ る こ と に注 意)は 部 分 空 間 で あ り,こ れ を 零 ベ ク

トル 空 間 と呼 ぶ.

  定 義6.1.2(ベ ぶ.ベ

ク トル 空 間)Rnあ

る い は そ の 部 分 空 間 を ベ ク トル 空 間 と 呼

ク トル 空 間 は Ｖ,Ｗ 等 で 表 す.

 注 意   本 来,ベ

ク トル 空 間 は上 記 の(1)∼ （8)の性 質 を備 え た もの と して 定 義

され,そ Rnあ

の 定 義 を満 た す もの を す べ て ベ ク トル空 間 と呼 ぶ.し

か し,こ こで は

る い は そ の 部 分 空 間 以 外 の ベ ク トル 空 間 は扱 わ な い の で,あ

定 義 を避 け た.Rnを

えて本来の

数 学 的 に抽 象 化 した もの が ベ ク トル 空 間 で あ る の で,あ

く まで も イ メー ジ はRnで

あ り,  Rnあ

る い は そ の 部 分 空 間 と思 っ て 本 質 的 に 差

し支 え な い. 例 題6.1.3 

次 の 部 分 集 合 Ｗ はR3の

部 分 空 間 と な る か ど う か 判 定 せ よ.

 (1)

 (2)

  注 意  上 の 例 題 に お い て Ｗ 全 体 の 集 合 で あ る.例 x2=-3,x3=-3は

は と もに Ｗ は 連 立

はR3の

え ば(１)に

元 で 条 件 の 連 立 １次 方 程 式 を 満 た す も の

お い てx1=-2,x2=2,x3=2やx1=3,

連 立 ｌ次 方 程 式 を 満 た す の で

に 属 す る.ま

たx1=1,x2=1,x3=2やx1=0,x2=1,x3=3

１次 方 程 式 を 満 た さ な い の で

は ど ち ら も Ｗ に属 さな い.

解 答(１)Ｗ

はR3の

部 分 空 間 で あ る.以 下 Ｗ が 定 義6.1．1の

を 満 た す こ と を 確 か め る.

条 件(１),(２),(３)

 2×0+3×0-0=0,0-2×0+3×0=0 し た が っ て0∈W（

条 件(１)).

と す る.

が 条 件 の 連 立 １次 方 程 式 を 満 た す こ と を 確 か め る.   2(a1+b1)+3(a2+b2)-(a3+b3)=（2a1+3a2-a3)+(2b1+3b2-b3)=0  (al+b1)-2(a2+b2)+3(a3+b3)=（al-2a2+3a3)+(b1-2b2+3b3)=0 し た が っ てa+b∈W（

条 件(２)).

 

2(cal)+3(ca2)-(ca3)=c(2a1+3a2-a3)=0

 

(cal)-2(ca2)+3(ca3)=ｃ(a1-2a2+3a3)=0

し た が っ てca∈W（

条 件(３)).

  (２)x1=x2=x3=0は ベ ク トル0を

  例 題6.1.3(1)の   命 題6.1.4 

条 件 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 で は な い の で,Ｗ

含 ま な い.し

Ｗ はR3の m×n行

は 部 分 空 間 で は な い. 

部 分 空 間 で あ っ た が,一

列 Ａ に 対 し,Rnの

  は,Rnの

た が っ て,Ｗ

般 に 次 が 成 立 す る.

部分集合

W=｛x∈Rn￨Ax=0}

部 分 空 間 に な る.

 上 の 命 題 に お い て,Ｗ

を連 立 １次 方程 式Ax=0の

解 空 間 と呼 ぶ.

 証 明   Ｗ が 条 件(１),(２),(３)を 満 た す こ とを確 か め れ ば よい.

は零 □

 (１) A0=0な

の で,0∈Wで

あ る.

 a,b∈W,c∈Rと

す る.

 (２) Aa=0,Ab=0な

の で,  A(a+b)=Aa+Ab=0+0=0.し

た が っ

て,a+b∈W.  (３) A(ca)=c(Aa)=cO=0.し

た が っ て,ca∈W. 

  6.2 

  定 義6.2.1(1次 空 間)の

結 合,1次

１次 独 立 と １次 従 属

関 係 式)ベ

ベ ク トルa1,a2,…,amに

ク トル 空 間Ｖ(Rnあ

対 し,ベ

 c1a1+c2a2+…+cmam 

mamも

１次 結 合 と 呼 ぶ.(Ｖ Ｖ の ベ ク トル に な る.)特

  の と き,ｂ

はa1,a2,…,amの

１次 結 合 で 表 せ る と い う.ま

た

の 式 を １ 次 関 係 式 と 呼 ぶ.

独 立,1次

従 属)ベ

 xla1+x2a2+…+xmam=0 

ク トルa1,a2,…,amに

対 し,方 程 式

(x1,x2,…   ,xm∈R)

明 な 解x1=x2=…=xm=0に

独 立 で あ る と い う.定

義 か ら1個

と が わ か る.a1,a2,…,amが と い う.

に

cla1+c2a2+…+cmam=0

  定 義6.2.2(1次

の 解 が,自

は ベ ク トル 空 間 な の で,c1a1+c2a2+

b=cla1+c2a2+…+cmam

  の と き,こ

るい はそ の 部 分

ク トル

(c1,c2,…,cm∈R)

をa1,a2,…,amの …+c

□

限 る と きa1,a2,…,amは1次 の ベ ク トル α(≠0)∈Vは1次 １次 独 立 で な い と き,そ

独立で ある こ

れ らは １次 従 属 で あ る

例6.2.3 

をRnの

Rnの

ベ ク トル

基 本 ベ ク トル と 呼 ぶ が,こ

れ ら は １次 独 立 で あ る.

  実 際x1e1+x2e2+…+xnen=0と

す る と,

し た が っ て 解 はx1=x2=…=xn=0の

み と な り,１ 次 独 立 で あ る こ と が わ

か る.

例 題6.2.4 

次 のR4の

解 答   実 数x1,x2,x3に

ベ ク トル が １次 独 立 か 否 か を 調 べ よ.

対 し,以 下

が 成 立 す る.右

側 の 連 立1次

方 程 式 の 解 を 求 め る と,自

が わ か る の で,a1,a2,a3は1次

明 な解 の み に限 る こ と

独 立 で あ る. 

□

  上 の 例 題 か ら 次 の よ う な 一 般 的 な 解 釈 が 導 き 出 せ る.   Rη の ベ ク トル α1,α2,…,am,実 お よ びIRmの

数x1,x2,…,xmに

対 し, n×m行

列Ａ

ベ ク トルxを

で 定 め る と,

し た が っ て,ベ

ク トルa1,a2,…,amが

Ax=0が,唯

一 の 解x=0を

  命 題6.2.5 u1,u2,…,unが c1u1+c2u2+…+cnunで

１次 独 立 で あ る と は,連

も つ こ と で あ る と い え る.

１次 独 立 で,ベ 表 せ る な ら ば,そ

ク トル ｕ が そ れ ら の １次 結 合

の 係 数c1,c2,…,cnは

り に 決 ま る.

 証 明   uが 以 下 の ２通 りの表 し方 u=c1u1+c2u2+…+cnun, 

立 １次 方 程 式

u=c'1u1+c'2u2+…+c'nun

た だ １通

で 表 せ る と す る と,等

 

を 得 る.こ

式

(c1-c'1)u1+(c2-c'2)u2+…+（cn-c'n)un=0

こ で,u1,u2,…unが

cn-4=0で

あ る.し

  命 題6.2.6 

１ 次 独 立 な の で,c1-c'1=c2-c'2=…=

た が っ てc1=ci,c2=c2,…,cn=c'nが

ベ ク トルu1,u2,…,unが

次 従 属 な ら ば,ｕ

１ 次 独 立 で,u,u1,u2,…,unが

はu1,u2,…,unの

  証 明   ｕ,u1,u2,…,unが

 

得 ら れ る. □

１ 次 結 合 で 表 せ る.

１ 次 従 属 な の で,方

程 式

xu+x1u1+x2u2+…+xnun=0

は 非 自 明 な 解x=c,x1=c1,x2=c2,…,xn=cnを

 

と 書 け る.さ

１

も つ.つ

ま り

cu+c1u1+c2u2+…+cnun=0

ら にu１，u2,…,unが

(練 習 問 題6.7).し

 

た が っ て,ｕ

１次 独 立 な の でc≠0で

あ る こ とが わ か る

は

u=-(c1/c)u1-(c2/c)u2-…-(cn/c)un

と表 せ る. □

  命 題6.2.7 

ベ ク トルu1,u2，

はu1,u2,…,unの

……,unが

１次 従 属 で あ る た め の 必 要十 分 条 件

う ち 少 な く と も １個 の ベ ク トル が 残 り の ベ ク トル の １次 結

合 で 表 せ る こ と で あ る ． □

  証 明   u1,u2,…,unが

１次 従 属 で あ る と す る と,あ

る 実 数c1,c2,…,cnで

  clu1+c2u2+…+cnun=0

 (c1,c2,…,cn)≠

と な る も の が 存 在 す る.そ

（0,0,…,0)

こ で,c1,c2,…,cnの

う ち0で

な い も の をckと

す

る と,ukは

  uk=-（c1/ck)u1-…-（ｃｋ-1/ck)uk-1(ck+1/ck)uk+1-…-(cn/ck)un

と 表 せ る.   逆 にu1,u2,…,unの

う ち 少 な く と も １個,例

え ばu1が

残 り の ベ ク トル の

１次 結 合 で

u1=c2u2+c3u3+…+cnun

と 表 せ る と す る と,１ 次 関 係 式

 

が 成 立 す る.こ

u1-c2u2-c3u3-…-cnun=0

れ はu1,u2,…,unが

  命 題6.2.8 

１次 従 属 で あ る こ と に ほ か な ら な い. □

２ つ の ベ ク ト ル の 組υ1,υ2,…,υlとu1,u2,…,um（l＞m)

に 対 し,υ1,υ2,…,υ1の

各 ベ ク ト ル はu1,u2,…,umの

ら ば,υ1,υ2,…υlは

１ 次 従 属 で あ る.

  証 明   仮 定 よ り,あ

る 実 数a11,…,a1l,a21,…,a2l,…,am1,…,amlが

在 し て,

 υ l=a11u1+a21u2+…+am1um  υ2=a12u1+a22u2+…＋am2um

 υ 1=a1u1+a21u2+…+amlum

と 表 せ る.つ

ま り

１次 結 合 で 表 せ る な

存

こ こで

な の で 定 理3.4.3(2)よ

り,連

立 １次 方 程 式

は 自 明 で な い 解x1=c1,x2=c2,…,xl=clを

と な り,υ1,υ2,…,ulが

  系6.2.9 

も つ.し

た が って

１次 従 属 で あ る こ と が わ か る. □

Rnのm個(m＞n)の

ベ ク トルu1,u2,…,umは1次

従属 で

あ る.

  証 明   u1,…,umの で 表 せ る の で,命

各 ベ ク トル は,基 題 か らu1,…,umは

本 ベ ク トルe1,e2,…,enの1次 １次 従 属 と な る. □

結合

  例 題6.2.10 

１次 独 立 な ベ ク トルu1,u2,u3,u4と

そ の １次 結 合 で 書 か れ た

ベ ク トル

 υ 1=u1-u2+u3,υ2=2u1-u2+6u3+u4  υ3=2u1-2u2+u3-u4,υ4=u1-u3+3u4

に つ い て,υ1,υ2,υ3,υ4が

１次 独 立 か 否 か を 判 定 せ よ ．

  解 答   方 程 式x1υ1+x2υ2+x3υ3+x4υ4=0の はu1,u2,u3,u4の

解 を 調 べ る.υ1,υ2.υ3,υ4

１ 次 結 合 で 書 け て い る の で,

  0=x1υ1+x2υ2+x3υ3+x4υ4

と な る.こ

こ でu1,u2,u3,u4は

で あ る.こ の 連 立1次

方 程 式 は 自 明 な 解 しか も た な い.し

は １ 次 独 立 で あ る.(も υ3,υ4は

１ 次 独 立 な の で, 

た が っ て ,υ1,υ2,υ3,υ4

し こ の 連 立 １次 方 程 式 が 非 自 明 な 解 を も て ば ,υ1,υ2,

１次 従 属 で あ る.) 

□

 6. 3  ベ ク トル の最 大独 立 個 数

  定 義6.3.1(最

大 独 立 個 数)ベ

ク トル が あ り,r+1個

大 独 立 個 数 と呼 び,r(S)で   命 題6.3．2 

ク トル の 集 合Ｓ の 中 に ｒ個 の １次 独 立 な ベ

の １次 独 立 な ベ ク トル が 存 在 し ない 場 合,ｒ をＳ の 最 表す．

以 下 の(１),(２)は

同 値 で あ る.

 (１)ベ

ク トル の 集 合Ｓ

の 最 大 独 立 個 数 が ｒ で あ る.

 (２)ベ

ク ト ル の 集 合Ｓ

の 中 に ｒ個 の １次 独 立 な ベ ク トル が あ り,ほ

か のベ ク

トル は こ れ ら ｒ 個 の ベ ク トル の １次 結 合 で 表 せ る.

  証 明(1)⇒(2)１ υrと

お く.υ

次 独 立 な ベ ク トル が ｒ個 あ る の で,そ ∈Sをυ1,υ2,…,υr以

,υ1,υ2,…,υrは

ｌ次 従 属.し

れ ら をυ1,υ2,…,

外 の ベ ク ト ル だ と す る と,定

た が っ て,命

題6.2.6よ

義 よ り,υ

り,ｖ はυ1,υ2,…,υr

の １次 結 合 で 表 せ る.   (2)⇒(1)ｒ

よ り大 き い 数 ｓ に 対 し て,ｓ

Ｓ の 中 か ら と っ て く る.こ

の と き,仮

定 よ りu1,u2,…,usの

個 の １ 次 独 立 ベ ク トル なυ1,υ2,…,υrの u1,u2,…,usは

１次 従 属 と な る.よ

個 の ベ ク ト ルu1,u2,…,usを

１次 結 合 で 表 せ る.命

っ て,(r+1)個

各 ベ ク トル は ｒ 題6.2.8よ

り

以 上 の １次 独 立 な ベ ク ト

ル は 存 在 し な い. □

  例 題6.3.3  ｌ組 求 め,他

次 の ベ ク トル の 最 大 独 立 個 数 ｒ と ｒ 個 の １次 独 立 な ベ ク トル を の ベ ク トル を こ れ ら の １次 結 合 で 表 せ.

  解 答   A=(a1a2a3a4a5)と

お き,そ

の 簡 約 行 列 をB=（b1b2b3b4b5)

と す る.未

知 数x1,x2,x3,x4,x5に

が 成 立 す る.つ

対 し て,以

下

ま り

 x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0  

が 成 立 す る.こ

⇔ x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0

こ で,

な の で,b1,b2,…,b5の

成 分 を 比 較 す る と,bl,b2,b4は

- b1+2b2,b5=2b1-b2+b4と こ と を 示 す.こ

書 け る.ま

こ で,a1,a2,a4が

ずa1,a2,a4も

１ 次 独 立 で,b3= １次 独 立 で あ る

１次 関 係 式

 c1a1+c2a2+c4a4=c1a1+c2a2+0a3+c4a4+0as=0

を 満 た す と す る と,b1,b2,b4も

  c1b1+c2b2+c4b4=c1b1+c2b2+0b3+c4b4+0b5=0

を 満 た す.b1,b2,b4は

１ 次 独 立 な の で,c1=c2=c4=0と

a3=-a1+2a2,a5=2a1-a2+a4で b5=2b1-b2+b4か

あ る こ と を 示 す.b3=-bl+2b2, ら １次 関 係 式

 

-b1+2b2-b3+0b4+0b5=0

 

2b1-b2+0b3+b4-b5=0

な る.次

に

が 得 ら れ る の で,

 

-a1+2a2-a3-Oa4+Oa5=0

 -a1-a2+Oa3+b4-b5=0 が 成 立 す る.a1,a2,a4が る の で,命

１ 次 独 立 で,a3,a5はa1,a2,a4の

題6.3.2よ

りr=3を

得 る. 

  上 の 例 題 か ら 推 測 で き る よ う に,行 行 列B=（b1b2…bn)が

１次 結 合 で 表 せ □

列A=（a1a2…an)を

得 ら れ た と き,任

基 本 変 形 して

意 の 実 数c1,c2,…,cnに

対 して

次 が 成 立 す る.

 

c1a1+c2a2+…+cnan=0⇔c1b1+c2b2+…+cnbn=0

こ の と き,a1,a2,…,anとb1,b2,…,bnは 特 に{1,2,…,n}の

同 じ １ 次 関 係 式 を 満 た す と い う.

任 意 の 部 分 集 合{l1,12,…,lm｝

に 対 し,次

の(1),(2)を

満

た す.   (１)  al1,al2,…,almが

１次 独 立 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,bl1,bl2,…,blm

が １次 独 立 で あ る こ と で あ る.   (２)  al1,al2,…,almとbl1,bl2,…,blmは し た が っ て,次

の 命 題 が 得 ら れ る.

  命 題6.3.4 

行 列A=（a1a2…an)を

bn)が

得 ら れ る と き,次

 

同 じ １次 関 係 式 を 満 た す.

基 本 変 形 し て 行 列B=（b1b2…

が 成 立 す る.

r({a1,a2,…,an})=r({b1,b2,…bn})

  第 ３章 で は 行 列 の 簡 約 行 列 の 存 在 の み を 確 か め て,そ か っ た.こ

こ で は そ の 一 意 性 の 証 明 を 与 え る.す

  定 理6.3.5 

 

な わ ち,以

行 列 の 簡 約 化 は た だ １通 り に 決 ま る.

  証 明   あ る 行 列 に 対 し,異

なる簡約行列

(b1b2…bn),(b'1b'2…b'n)

の 一 意 性 まで は示 さ な 下 の 定 理 を 示 す.

が 得 ら れ た と す る ．bi≠b'iと

な る も の の 中 で,最

小 のiをkと

  r({b1,b2,…,bk-1})=r({b1,b2…,bk-1,bk})と c2b2+…+ck-1bk-1と

す る とbk=c1b1+

表 せ る.任

は 行 列(b'1b'2…b'm)を b'1,b'2,…,b'mは

意 のm(〓n)に

基 本 変 形

対 し,行

列(b1b2…bm)

し て 得 ら れ る の で,  b1,b2,…,bmと

同 じ １ 次 関 係 式 を 満 た す.つ

 

お く.

ま り

b'k=c1b'1+c2b'2+…+ck-1b'k-1

と 表 せ る,と

こ ろ がb1=b'1,b2=b'2,…,bk-1=b'k

な りｋ の 選 び 方 に 矛 盾.し

 

-1な

の で,  bk=b'kと

た が っ て

r({b1,b2,…,bk-1｝)≠r({b1,b2,…,bk-1,bk})

を 得 る.行

列(b1b2…bk-1bk）

含 む こ と を 意 味 す る.つ が 成 立 す る.仮

 

の

も 簡 約 行 列 な の で,こ

の 式 はbkが

ま りr({b1,b2,…,bk-1,bk})=rと

主 成 分 を

す る と,bk=er

定 よ り

r（{b1,b2,…,bk-1})=r({b'1,b'2,…b'k-1})

命 題6.3.4よ

り

 

r（{b1,b2,…,bk-1,bk})=r({b'1,b'2,…,b'k-1,b'k})

な の で,同

様 にb'k=erを

  命 題6.3.6  {a1,a2,…,an}の

得 る が,bk=b'kと

な り 矛 盾. 

行 列A=（a1a2…an)に

対 し,行

最 大 独 立 個 数r({a1,a2,…,an})は

列Ａ 等

□

の 階数rank（A） し い.つ

と

ま り

  rank（A）=r({a1,a2,…,an}) □

  ま た,ｎ

次 正 方 行 列Ａ

rank（A）=nで

  命 題6.3.7 ｎ

あ っ た(定

に 対 し て,Ａ 理3.5.2)の

が 正 則 行 列 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は で,上

次 正 方 行 列A=（a1a2…an)に

の 命 題 か ら以 下 が 得 ら れ る.

る た め の 必 要 十 分 条 件 はa1,a2,…anが

対 し,Ａ が 正 則 行 列 で あ １次 独 立 で あ る こ と で あ る. □

 6.4 

ベ ク トル 空 間 の 基 底 と次 元

  定 義6.4.1  ベ ク.トル 空 間 Ｖ(Rmあ る い は そ の 部 分 空 間)の ベ ク トルu1,u2, … ,unが Ｖ を 生 成 す る と は, Ｖ の 任 意 の ベ ク トル がu1,u2,…,u1の １次 結 合 で 表 せ る と き を い う.

  定 義6.4.2(基

底)  ベ ク トル 空 間 Ｖ の ベ ク トル の 集 合{u1,u2,…un}が

Ｖ の 基 底 で あ る と は,次

の ２ つ の 条 件 を 満 た す と き を い う.

  (１)u1,u2,…,unは

１次 独 立 で あ る.

  (２)u1,u2,…,unは

Ｖ を 生 成 す る.

  条 件(１)よ 表 せ,条

り,Ｖ

件(２)が

数c1,c2,…,cnに る.つ

の 任 意 の ベ ク トル ｕ はu=c1ul+c2u2+…+cnunと

そ の 係 数c1,c2,…,cnの

一 意 性 を 保 証 し て い る.ま

対 し, Ｖ の ベ ク トルclu1+c2u2+…+cnunが

ま り Ｖ の 任 意 の ベ ク トル ｕ に 対 し,実

て い る.実 合Rnへ

数 の 組(c1,c2,…,cn)を

の 対 応 と 見 な せ る.特

(0,1,0,…,0,0),(0,0,0,…,0,1)と ぶ と い う こ と は,Ｖ

１つ 決 ま

数 の 組(c1

,c2,…,cn)が

座 標 だ と 思 え ば ,こ にu1,u2,…,unは

対応 し

の 対 応 は Ｖ と直 積 集

そ れ ぞ れ(1,0,0,…,0

対 応 して い る.し

た逆 に 実

,0),

た が っ て Ｖ の基 底 を選

の 中 に座 標 軸 の よ うな もの を 定 め る こ とで あ る と い え る .

  例6.4.3 

Rnの

基 本 ベ ク トル の 集 合{e1,e2,…,en}はRnの

こ れ をRnの

標 準 基 底 と呼 ぶ .

基 底 で あ る.

  ベ ク トル空 間 の 基 底 は 一 意 的 に定 ま る わ け で は な い が,命 題6.2.8か

ら次 の

命 題 が 成 立 す る こ とが わ か る.

  命 題6.4.4(練 個 数 は,基

習 問 題6.10) 

ベ ク トル 空 間 Ｖ の 基 底 に 含 ま れ る ベ ク トル の

底 の 選 び 方 に よ ら ず 一 定 で あ る. 

  定 義6.4.5(次

元)  ベ ク トル 空 間Ｖ

の 次 元 と 呼 び,dim（V）

で 表 す.た

□

の 基 底 に 含 ま れ る ベ ク トル の 個 数 を Ｖ

だ し零 ベ ク トル 空 間 の 次 元 は ０ と 定 め る .

  例6.4.6 

Rnの

で,dim（Rn)=nで

 例 題6.4.7 

基 本 ベ ク トル の 集 合{e1,e2,…,en}はRnの

基底 で あ る の

あ る.

次 の 解 空 間 の 次 元 と １組 の基 底 を求 め よ.

 解 答   連 立 １次 方 程 式 を解 い て,解

を求める と

(c1,c2,c3∈R)

と な る.３

つ の ベ ク トル

が 解 空 間 を生 成 す る の は 明 らか で あ り,１ 次 独 立 で あ る こ と も容 易 に確 か め ら

れ る の で,こ れ ら は Ｖ の基 底 で あ り,dim（V）=3で

あ る.

 □  上 の例 題 か ら容 易 に推 測 で き る よ う に次 の 命 題 が 成 立 す る.

  命 題6.4.8 

mxn行

列Ａ

と,連

立 １次 方 程 式4x=0の

解 空 間Ｖ

に 対 し,

次 式 が 成 立 す る,

 

 

dim(V)=n-rank（A） □

ベ ク ト ル 空 間 Ｖ の ベ ク ト ルul,u2,…,umの

 

W={c1u1+c2u2+…+cmum￨c1,c2,…,cm∈R}

は Ｖ の 部 分 空 間 で あ る.こ ら れ る)Ｖ

１次 結 合 全 体 の 集 合

の Ｗ

をu1,u2,…,umで

の 部 分 空 間 と い い,〈u1,u2,…,um〉

生 成 さ れ る(ま で 表 す.命

題6.2.6か

た は ,張 ら次 の命

題 を 得 る.

  命 題6.4.9(練

習 問 題6.11)ベ

ク ト ルu1,u2,…,umに

対 し以 下 が 成 立

す る.

 

 □   系6.4.10 

dim（

〈u1,u2,…,um〉)=r({u1,u2,…um｝)

１ 次 独 立 な ベ ク ト ルu1,u2,...,umに

 

  例 題6.4.11 

dim（

例 題6.3.3の

部 分 空 間 Ｖ=〈a1,a2,a3,a4,a5〉

  解 答  a1,a2,a3,a4,a5の dim（V）=3. 

〈u1,u2,…um〉

対 し 以 下 が 成 立 す る.

）=m □

ベ ク ト ルma1,a2,a3,a4,a5で

生 成 さ れ るR4の

の

の 次 元 を 求 め よ.

最 大 独 立 個 数 は

３ な の で,命

題6.4.9か

ら, □

  6.5 R2,R3の

場

合

  こ こ で は,座 標 平 面 を ２次 元 座 標 空 間,座 標 空 間 を ３次 元 座 標 空 間 と呼 ぶ こ と にす る.   ｎ 次 元 座 標 空 間(n=2,3)の を終 点 とす るRn内 い,￨OA￨で

原 点 Ｏ を始 点 と し,ｎ 次 元 座 標 空 間 内 の 点 Ａ

の 矢 印 をOAと

表 す.ま た,OAの

方 向*1)をOAの

集 合{OP￨P∈Rn}をVnと   OA, OB∈Vnと 動 してOBの

か く.線 分OAの

長 さ をOAの

大 き さ とい

向 き とい う.こ の 矢 印 全 体 の

書 くこ とに す る. 実 数 λ に対 し,和 と実 数倍 を次 で定 義 す る.OBを

平 行移

始 点 を点 Ａ に重 ね た と きの 終 点 を Ｃ と した と き

 

OA+OB=OC

と定 義 す る.λ〓0な し,λ ＜0な

らば,λOAをOAと

らば,λOAをOAと

同 じ向 きで 大 き さ λ｜0A｜の矢 印 と

反 対 の 向 きで 大 き さ￨λ￨￨OA￨の 矢 印 と して

定 義 す る.   以 下n=3の

場 合 に 限 って 話 を進 め る.

  考 察6.5.1 

ベ ク トル 空 間R3とV3は

座 標 を 介 し て 同 じ も の と 見 な せ る.

  解 説   ３ 次 元 座 標 空 間 上 の 点 Ａ の 座 標 が(a1,a2,a3)の しベ ク トル a=(abc) じ も の と見 な せ る.実

を 対 応 させ る こ と に よ り,ベ

の 終 点 の 座 標 は(λa1,λa2,λa3)に

R3の

 * 1)こ

同

数 λ に 対 し λOA

な る こ と が 確 認 で き る. □

そ れ ぞ れV3の

矢 印OU1,OU2,OU3

の と き

れ は,少 々 厳 密 性 に 欠 け る 表 現 で あ るが,こ い.

対

対 しOA+OB

な る こ と と,実

ベ ク トルu1,u2,u3に

が 対 応 し て い る と す る.こ

印OAに

ク トル 空 間R3とV3は

際,A=(a1,a2,a3),B=(ｂ1,b2,b3)に

の 終 点 の 座 標 は(a1+bl,a2+b2,a3+b3)に

  考 察6.5.2 

と き,矢

こ で は細 か い こ と を気 にせ ず 先 に進 ん で も らい た

 (１)〈u1〉 は 矢 印OU1を

含 む 直 線 に 対 応 し て い る.

 (２)u1,u2が

１次 独 立 な ら ば,OU1,OU2は

 (３)u1,u2が

１次 独 立 な ら ば,〈u1,u2〉

同 一 直 線 上 に な い. は 矢 印OU1,OU2を

含 む平 面 に対 応

し て い る.  (４)u1,u2,u3が

１次 独 立 な ら ば,OU1,OU2,OU3は

  解 説   (１)u1の め にa1＞0と

１次 結 合alu1に

す る と,)原

が Ａ で あ り,ま

す る ベ ク トル はu1の1次

対 応 す る 矢 印 をOAと

点 を 出 発 しOU1方

た 矢 印OU1を

同 一 平 面 上 に な い.

向 にa1｜OU1￨進

れ は,u1,u2が

１次 従 属 と な り 矛 盾. １次 独 立 で あ る と 仮 定 す る.ベ す る と,(簡

方 向 にa1｜OU1￨進

向 にa2｜OU2｜

対 応す る

す る と,)原 点 を 出 発 しOU1

進 ん だ と き の 終 点 が Ａ で あ る.し

１次 結 合 に 対 応 す る 矢 印 の 終 点 は 矢 印OU1,OU2を

に 含 ま れ る.逆

に,矢

印OU1,OU2を

がu1,u2の1次

同 一 平 面 上 に あ る と仮 定 す る と,(3)の っ てu1,u2,u3は1次

が 〈u1,u2,…,un〉

こ れ は 感 覚 的 に は ｕ が ベ ク トルu1,u2,…,unで

議 論 よ り,例

え ばu3

従 属 と な り 矛 盾.

ベ ク ト ル 空 間 の ベ ク トルu1,u2,…,unが

え て も １次 独 立 で あ る と は,ｕ

含 む平面

１次 結 合 で 書 け る.

結 合 で 表 せ る,よ

  考 察6.5.3 

た

含 む 平 面 上 の 任 意 の 点 Ａ の 対 し て,OA

に 対 応 す る ベ ク トル はu1,u2の   (４)u1,u2,u3が

対応

実 数 倍 で 表 さ れ る.こ

ク トルa1u1+a2u2の

単 の た め にa1,a2＞0と

みOU2方

が っ てu1,u2の

ん だ と きの 終 点

結 合 で 書 け る.

同 一 直 線 上 に あ る と す る と,u2はu1の

矢 印 をOAと

単の た

含 む 直 線 上 の 任 意 の 点 Ａ に 対 し て,OAに

  (２)u1,u2が

  (３)u1,u2が

す る と,(簡

１次 独 立 で ｕ を 加 に 含 ま れ な い こ と で あ る.

は “作 れ な い ” 方 向 を も っ て

い る と い え る. 

□

 ベ ク トル 空 間 にお い て基 底 を １組 求 め る とは,座 標 軸 を １組 決 め る こ とで あ る と い え る と前 に述 べ た が,R3を

  考 察6.5.4  OU2,OU3が

ベ ク トル 空 間R3の

例 に とっ て 具 体 的 に見 て み よ う.

基 底u1,u2,u3に

対 し,V3の

対 応 し て い る とす る.こ の と き,基 底u1,u2,u3はOU1,OU2,OU3

矢 印OU1,

を含 む直線 をそ れ ぞれ 軸 と し,そ れ ぞれ の大 きさ を １目盛 りに した と きに得 られ る 座 標 に対 応 す る.こ の座 標 軸 は直 交 して い る とは限 らない し,目 盛 りも軸 に よって 異 な るか も しれ な い．OU1,OU2,OU3が

互 い に垂 直 で｜OUI｜=｜OU2｜=｜OU3｜

で あ る と き は,通 常 の(直 交)座 標 が 得 られ る.

  解 説   任 意 の ベ ク ト ル ａ ∈R3はu1,u2,u3の で 書 け,u1，u2,u3の と が で き る.特

係 数 は 一 意 的 な の で,座 にu1,u2,u3は

１ 次 結 合alu1+a2u2+a3u3 標(a1,a2,a3)を

対 応 させ る こ

そ れ ぞ れ(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)に

対 応 す る.   □

 練 6.1  次 の 各 部 分 集 合Ｗ

(１)

(２)

(３)

(４)

(５)

がR3の

習 問

題

部 分 空 間 と な るか ど うか を判 定 せ よ.

6.2 

W1,W2がRnの

部 分 空 間 で あ る と き,次

の 命 題 が 成 立 す る か 否 か を判

定 せ よ.  

(１)W1∪W2はRnの

部 分 空 間 で あ る.

 

(２)W1∩W2はRnの

部 分 空 間 で あ る.

6.3 

{0}⊂RnがRnの

部 分 空 間 に な る こ と を 示 せ.

6.4 

次 の 各 ベ ク トル の 組 が １次 独 立 か 否 か を 判 定 せ よ.

(１)

(２)

(３)

(４)

6．5  u1,u2,u3,u4が

１次 独 立 の と き,以

下 の 各 ベ ク トル の 組 が １次 独 立 か

否 か を 判 定 せ よ.   （１）-3u1+u2+2u3, 

u1-u2+u3, 

  （２）-u1-u2+u3+2u4, 

4u1+2u2+u3

u1+2u2-u3+u4

- u1+u2-u3+2u4,  -3u1-2u2+u3+2u4 6.6 

ベ ク トル 空 間 Ｖ の １ 個 の ベ ク ト ルa(≠0)は

6.7 

ベ ク ト ルu1,u2,…,unが

ら ば,あ

１ 次 独 立 で あ る こ と を 示 せ.

１次 独 立 で,u,u1,u2,…,unが

る 実 数c(≠0),c1,c2,…,cnが

１次 従 属 な

存 在 し

  cu+clu1+c2u2+…+cnun=0

を満 た す こ と を示 せ. 6．8  次 の 各 組 の ベ ク トル の 最 大 独 立 個 数 ｒ と ｒ個 の １次 独 立 なベ ク トル を １ 組 求 め,他

の ベ ク トル を これ ら の １次 結 合 で 表 せ.

(ｌ)

(２)

(３)

6.9  次 の 各 解 空 間 の次 元 と １組 の 基 底 を 求 め よ.

(１)

(２)

(３)

6.10 

命 題6.2.8を

用 い て 命 題6.4.4を

証 明 せ よ.

6.11 

命 題62.6を

用 い て 命 題6.4.9を

証 明 せ よ．

6.12 

ベ ク トル 空 間 Ｖ の ｌ組 の 基 底 を{u1,u2,…,un}と

含関係が成立することを示せ

 {0}〓

〈u1〉〓

〈u1,u2〉〓

…〓

〈u1,u2,…,un〉=V

す る と き,次

の包

７ 線

形

写

像

  ベ ク トル 空 間 は 演 算 が 定 義 され た 集 合 で あ る.し た が って ベ ク トル 空 間 の 間 の 写 像 を考 え る 際 に は,そ の 演 算 に顔 を た て るの が 筋 で あ ろ う.そ う して 考 え られ た もの が,線 形 写 像 と呼 ば れ る もの で あ る.

 7.1線

定 義7.1.1(線

形 写 像)ベ

形

写

像

ク トル 空 間 Ｖ か ら Ｗ へ の 写 像T:V→Ｗ

が

次 の条件   (１)T(x+y)=T(x)+T(y)    (2)T(cx)=CT(x) 

(x∈

を 満 た す と き,Ｔ

  Ｖ,Ｗ

(x,y∈V) Ｖ,c∈R)

を線 形 写 像 と 呼 ぶ ．

の 零 ベ ク トル を そ れ ぞ れOv,OWと

す る と,条

件(２)よ

り以 下 が 成 立

す る.

  し た が っ て,線

T(Ov)=T(Ov)=OT(Ov）=Ow 形 写 像 は 零 ベ ク トル を 零 ベ ク トル に 移 す.

  注 意  前 章 で 述 べ た よ う に本 来 の 定 義 で は,和

と実 数 倍 が(8つ

た す よ う に)う ま く定 義 さ れ た 集 合 をベ ク トル空 間 と呼 ぶ.つ

の 条 件 を満

ま り,和 と実 数

倍 は ベ ク トル 空 間 の もつ 本 質 的 な構造 で あ る.線 形 写 像 は 条 件(１),(２)に よ り 和 と実 数倍 を"保 存"す る の で,線 形 写 像 は ベ ク トル 空 間 の"構 造 を保 存 す る写

像"で

あ る と い え る.

  例7.1.2 n×m行

列Ａ

に 対 し,写

像TA:Rn→Rmを

以下

 TA(x)=Ax(x∈Rn) で 定 義 す る と,TAは

 

線 形 写 像 に な る.実

際x,y∈Rn,C∈Rに

対 し

TA(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=TA(x)+TA(y)

 

TA(cx)=A(cx)=cAx=cTA(x)

と な り,条

件(１),(２)を 満 た す.

  例7.1.3(練

習 問 題7.1) 

線 形 写 像T1:U→VとT2:V→Wに

対 し,

写像

 

T2oT1:U→W,T2oT1(x)=T2(T1(x)) 

(x∈U)

は 線 形 写 像 に な る.

  定 義7.1.4(像,核) 

線 形 写 像T:V→W対

し,Ｗ

の部分集合

  im（T）={T(x)｜x∈V｝

を Ｔ の 像,Ｖ

の部分 集合

 

ker(T)=｛x｜T（x)=0}

を Ｔ の 核 と呼 ぶ ．

  命 題7.1.5(練

習 問 題7.2) 

im（T）,ker(T)は

そ れ ぞ れ Ｗ,Ｖ

の部分空 間 に

な る.

  例7.1.6 

ベ ク トル 空 間 Ｖ の 基 底 を{υ1,υ2,…,un}と

ク トルυ はυ=c1υ1+c2υ2+…+cnυnと

す る.Ｖ

の任 意 の ベ

一 意 的 に 書 け る の で,写

像

 

を 定 義 す る こ と が で き る.Ｔ im（T）=Rnと

な る.

  注 意   一 般 に,線 た す と き,Ｔ と き,Ｖ

は 明 ら か に 線 形 写 像 で あ り,ker(T)=｛0},

形 写 像T:V→Wがker(T)=｛0},im（T）=Wを

を 同 型 写 像 と 呼 ぶ.ベ

は¥Ｗ に 同 型 で あ る と 呼 ぶ.こ

い う概 念 を 定 義 し た も の で あ る.し ル 空 間 はRnと

満

ク トル 空 間 Ｖ か ら Ｗ へ の 同 型 写 像 が あ る れ は ２つ の ベ ク トル 空 間 が “等 し い ” と

た が っ て 上 の 例 か ら ,任

意 のn次

元 ベ ク ト

“等 し い ” と い え る.

  定 理7.1.7*1)線

形 写 像T:V→Wに

対 し,以

下 が 成 立 す る.

  dim（ker(T))+dim(im(T）)=dim（V）

  証 明   dim（ker(T))=r,dim（im（T）)=sと ker(T)の

底 に な る Ｖ の ベ ク トル の 集 合 とす る.こ us}が

お く.{υ1,υ2,…,υr}を

基 底,{ul,u2,…,us}を{T(u1),T（u2),…,T（us)}がim（T） の と き 集 合{υ1,υ2,…,υr,u1,u2,…,

Ｖ の 基 底 に な る こ と を 示 せ ばr+s=dim（V）

  まず 生 成 す る こ と を示 す.ｖ

の基

と な る.

を Ｖ の 任 意 の ベ ク トル と す る と, T(υ)∈im（T）

よ り

 

T（υ）=b1・T(u1）+b2T(u2)+…+bsT(us)

と 書 け る.こ

こ で,

  0=T（υ

）-(b1T(u1）+b2T（u2)+…+bsT(us))

  =T(υ-(b1u1+b2u2+…+bsus)) *1)  こ の定 理 は後 で必 要 に な る こ とは な い 上 に証 明 がや や 面 倒 な の で ま わ な い.

,読 み 飛 ば して 先 に進 ん で もか

な の で,υ-(b1u1+b2u2+…+bsus)∈ker(T).し

たが っ て

 υ-(b1u1+b2u2+…+bsus)=a1υ1+a2υ2+…+arυr

と 表 せ る.つ

ま り

 υ=a1υ1+a2υ2+…+arυr+b1ul+b2u2+…+bsus

と 表 せ る の で,υ1,υ2,…,υr,u1,u2,…,usは

Ｖ

を 生 成 す る.

  次 に １ 次 独 立 で あ る こ と を 示 す.

 x1υ1+x2υ2+…+xrυr+y1u1+y2u2+…+ysus=0

とす る と

 

0=T（x1υ1+x2υ2+…+xrυr+y1u1+y2u2+…+ysus)

 

=T(y1u1+y2u2+…+ysus)

 

=y1T（

ｕ1)+y2T（u2)+…+ysT(us)

こ こ でT(u1),T（u2),…,T（us)は を 得 る,し

 

１ 次 独 立 な の で,y1=y2=…=ys=0

た が っ て

0=x1υ1+x2υ2+…+xrυr+y1u1+y2u2+…+ysus

 

=x1υ1+x2υ2+…+xrυr

 υ 1,υ2,…,υrは

１ 次 独 立 な の で,x1=x2=…=xr=0を

,υ2,…υr,u1,u2,…usは

  例 題7.1.8 

１ 次 独 立 で あ る.

行 列

で 定 義 さ れ る 線 形 写 像TA:R5→R3,TA（x）=Axに im（TA)の

得 る.つ

１組 の 基 底 を そ れ ぞ れ 求 め よ.

対 し,ker(TA)と

ま りυ1

  解 答   A=(a1a2a3a4a5)と

す る と,

し た が っ て 前 章 の 例 題6.4.10(例

と な る の で,im（T）

題6.3.3)と

同 様 に で き る.Ａ

の 基 底 と し て{a1,a2}が

  ker(TA)=｛x∈R5￨TA（x）=0}=｛x∈R5」Ax=0}な は 連 立１ 次 方 程 式Ax=0の 様 に で き る.こ

解 空 間 で あ る.し

を 簡約 化 す る と

と れ る. の で, ker(TA) た が っ て 前 章 の 例 題6.4.7と

の 連 立 １次 方 程 式 を 解 く と

 (c1,c2,c3∈

な の で,ker(TA)の

が と れ る.

基 底 と して

Ｒ)

同

  7.2 

  定 義7.2.1(表

現 行 列)ベ

υ n},{w1,w2,…,wm}と

ｊ〓n)が

現

行

ク トル 空 間 Ｖ,Ｗ す る と,線

T（υi)はw1,w2,…,wmの1次 m,1〓

表

列

の 基 底 を そ れ ぞ れ{υ1,υ2,…,

形 写 像T:V→Wに

結 合 で 表 せ る.つ

よ る 各υiの

ま り,あ

像

る 実 数aij(1〓i〓

存在 し   T（υ1)=a11w1+a21w2+…+am1wm   T（υ2)=a12w1+a22w2+…+am2wm

  T（υn)=a1nw1+a2nw2+…+amnwm と表 す こ と が で き る.こ

の と き行 列

を 基 底{υ1,υ2,…,υn},{w1,w2,…,wm}に

関 す る Ｔ の 表 現 行 列 と呼 ぶ.表

現 行 列 は 各 基 底 の 組 に 対 して た だ １通 り に 定 ま る.上

の 等 式 は次 の よ う に書 き

直 せ る こ と に 注 意 す る.

 (T（υ1)T（υ2)…T（υn))=（w1w2…wm）A

Ｖ の 任 意 の ベ ク トルx=x1υ1+x2υ2+…+xnυnに

対 し

が 成 立 す る.つ T(x)は

ま り 基 底{υ1,υ2,…,υn},{w1,w2,…,wm}に

対

し,ｘ

と

そ れ ぞ れ

に 対 応 す る.

  例7.2.2  に 対 し,Ａ

例7.1.2の

線 形 写 像TA:Rn→Rm,TA(x)=Ax(x∈Rn)

は 標 準 基 底{e1,e2,…,en},{e'1,e'2,…,e'm}に

関 す る 表 現 行 列 で

あ る.

  定 理7.2.3 

線 形 写 像T1:U→Vの

基 底{υ1,υ2,…υm}に {υ1,υ2,…,υm},  る.こ

の と き,行

るT2ｏTlの

Ｗ の 基 底{w1,w2,…,wn}に 列A2A1は

表 現 行 列 と な る.

 (T1（u1）T1(u2)…T1（ul))=（υ1υ2…υm)A1  (T2(υ1)T2(υ2)...T2(υm）)=（w1w2...wn)A2

A1=(aij)と

す る と

の Ｖ の基 底

関 す る 表 現 行 列 をA2と

基 底{u1,u2,…,ul},{w1,w2,…

 証 明   仮 定 よ り

 

Ｕ の 基 底{u1,u2,…ul},Ｖ

関 す る 表 現 行 列 をAl,T2:V→Wの

,ωn}に

す 関す

 

T1(u1)=a11υ1+a21υ2+…+am1υm

 

Ti(u2)=a12υ1+a22υ2+…+am2υm

 

T1(ul)=a1lυ1+a2lυ2+…+amlυm

なので  

T2(T1（u1）)=a11T2（υ1）+a21T2（υ2)+…+am1T2（υm)

  T2(T1（u2))=a12T2（υ1）+a22T2（υ2)+…+am2T2（υm）

  T2(T1（ul))=a1lT2（υ1)+a2lT2（υ2)+…+amlT2（υm) し た が っ て,

 (T2(T1(u1))T2(T1(u2))…T2(T1(ul))=（T2(υ1)T2（υ2)…T2（υm))Al  =(w1w2…wn)A2A1 □

  定 義7.2.4(基

底 の 変 換 行 列)ベ

→V,Iv(x)=xを

ク トル 空 間 Ｖ に 対 し,線

形 写 像IV:V

恒 等 写 像 と 呼 ぶ. Ｖ の ２ つ の 基 底{u1,u2,…

{υ1,υ2,…,υn}に

関 す るIVの

表 現 行 列 を 基 底 の 変 換 行 列 と 呼 ぶ.基

,un}, 底の変換

行 列 は 正 則 行 列 に な る.

  系7.2.5  wm

,}に

線 形 写 像T:V→Wの

基 底{υ1,υ2,…,υn},{w1,w2,…,

関 す る 表 現 行 列 を Ａ,基

す る 表 現 行 列 を Ｂ,基

底{υ'1,υ'2,…,υ'n},{w'1,w'2,…w'm}に

底{υ'1,υ'2,…,υ'n},{υ1,υ2,…,υn}の

底{w'1,w'2,…,w'm｝,{w1,w2,…,wm}の

変 換 行 列 を Ｑ

成 立 す る.

 

 証 明   仮 定 よ り

B=Q-1AP

関

変 換 行 列 を Ｐ,基 と す る と,以

下 が

 

(ω1w2…

ωn)=（w'1

w'2…w'n)Q

なので  

(w'1w'2…w'n)Q-1=(w1w2…wn)

つ ま り,恒 等 写 像IW:W→Wの に 関 す る 表 現 行 列 はQ-1で

基 底{w1,w2,…,ωn},{w'1,w'2,…,wn} 得 ら れ る.し

た が っ て 定 理7.2.3よ

り結 論 が 導 か

れ る.

 例 題7.2.6 

線 形 写 像T:R3→R2を

で 定 義 した と き,R3とR2の

以 下 の基 底 に関 す る Ｔ の 表 現 行 列 を求 め よ.

 R3の 基 底

  R2の

  解 答   R3の

現行列 は

基底

標 準 基 底{e1,e2,e3},R2の

標 準 基 底{e'1,e'2}に

関す る Ｔ の表

で あ る

（例7.2.2).基

b2},{e'1,e'2}の

底{a1,a2,a3},{e1,e2,e3}の

変 換 行 列 を Ｑ

変 換 行 列 を Ｐ,基

底{b1,

とす る と

(b1b2)=（e'1e'2)Q=Q

  (a1a2a3)=（ele2e3)P=P, 

した が っ て

求 め る 表 現 行 列 を Ｂ とす る と,系7.2.5よ

 

  定 義7.3.1(線

7.3 

固 有 値,固

り

有 ベ ク トル と 行 列 の 対 角 化

形 変 換)  ベ ク トル 空 間 Ｖ か ら Ｖ 自 身 へ の 線 形 写 像 を 特 に 線

形 変 換 と呼 ぶ.

  こ の 節 で は 線 形 変 換 の み を 扱 う.ベ 線 形 変 換T:V→Vに

対 し,Ｔ

ク トル 空 間 Ｖ の 基 底{υ1,υ2,…,υn}と

の{υ1,υ2,…,υn},{υ1,υ2,…,υn｝

に関 す

る 表 現 行 列 を Ｔ の{υ1,υ2,…,υn｝

  定 義7.3.2(固 し,ベ

有 値,固

に 関 す る 表 現 行 列 と呼 ぶ こ と に す る.

有 ベ ク トル,固

ク トルυ(≠0)と

有 空 間)線

形 変 換T=V→Vに

対

実 数 λが 存 在 し ．

 

T(υ)=λυ

を 満 た す と き,λ

を Ｔ の 固 有 値,υ

を Ｔ の(λ に 属 す る)固 有 ベ ク トル と 呼 ぶ.

固有 値 λ に対 し

 

W(λ;T）=｛υ

は Ｖ の 部 分 空 間 に な る.こ

  定 理7.3.3  w（ λi;T)の

 

∈V｜T(υ)=λv}

れ を λ の 固 有 空 間 と 呼 ぶ.

線 形 変 換T:V→Vの

異 な る 固 有 値 λ1,λ2,…,λrに

基 底{υ ｉ1,υi2,…υili}の

対 し,

和 集合

{υ11,υ12,…,υ1l1,υ21,υ22,…,υ2l2,…

…,υrl,υr2,…,υrlr}

は １次 独 立 で あ る.

  証 明   W（λi;T)の

基 底 の 和 集 合 が １次 独 立 で な い と仮 定 す る.W（

の 基 底{υ11,υ12,…,υ1l1}は し て 次 の(１),(２)を

１次 独 立 な の で,あ

λn;T)の

  (２)W(λ1;T）,…,W（

λn;T),W（

   

り,連

存在

満 た す.

  (１)W(λ1;T）,…,W（

条 件(２)よ

λ1;T）

る 自 然 数n(〓r-1)が

基 底 の 和 集 合 は １次 独 立． λn+1;T）

の 基 底 の 和 集 合 は １次 従 属.

立 １次 方 程 式

ｘ11υ11+…+x1l1υ1l1+……+ｘn1υn1+…+xnlnυnln +x(n+1)1υ

（n+1)1+…+x(n+1)ln+1υ(n+1)ln+1=0

は 非 自 明 解xij=cｉj(i=1,2,…,n+1,j=1,2,…li)を

も つ.そ

こで

と お く と,こ

れ ら の ベ ク トル の 作

り 方 よ り(c1…cncn+1)≠

（0…00)

.

また 明 らか に

 

c1+…+cn+cn+1=0

こ の 式 に λn+1を

掛 け る と

 

λｎ+1c1+…+λn+1cn+λn+1cn+1=0

ま たci∈w（λi;T）

 

よ りT(ci)=λiciな

の で

T(c1+…+cn+cn+1)=λ1c1+…+λncn+λn+1cn+1=0

した が っ て

 

(λn+1-λ1）c1+…+（

条 件(１)よ

 

り,W(λ1;T),…,W（

λn;T)の

(λn+1-λn)c11=…=（

 

λn+1-λn)cn=0

基 底 の 和 集 合 は １次 独 立 な の で

λn+-λ1)c1l1=

ま た λ1≠

=（ λn+1-λn)c1n=…=(λn+1-λn)cnln=0

 

λn+1,…,λn≠

λn+1な

の で

c11=…=c1l1=…=cn1=…=cnln=0

つ ま りc1=c2=…=cn=0.さ cn+1=0と

  定 理7.3.3よ

な る が,こ

り,線

ら にc1+…+cn+cｎ+1=0な れ は(c1…cncn+1)≠

形 変 換T:V→Vの

（0…00)に

異 な る 固 有 値

の で 矛 盾 す る. □

λ1,λ2,…,λrに対

対

し,W（λi;T）

の 基 底{υi1,υi2,…υili}の

  dim（V）〓dim（W（ が 成 立 す る.等

   

λ1;T）)十dim（W（

号 が 成 立 す る と き,こ

λ2;T）)+…+dim（W(λr;T)) の 和 集 合 は Ｖ の 基 底 に な る.さ

(T(υ11)T(υ12)…T(υ1l1)… =（ λ1υ11λ1υ12…

な の で,こ

和 集 合 は １次 独 立 な の で,

らに

…T(υr1)T(wr2)…T(υrlr) λ1υ1l1…

…

λrυr1λrυr2…

の 基 底 に 関 す る Ｔ の 表 現 行 列 はl1個

の λ1,l2個

λrυrlr) の λ2,…lr個

の

λr が 対 角 線 上 に 並 ん だ 対 角 行 列

に な る.し

た が っ て 以 下 の 定 理 を 得 る.

  定 理7.3.4 

線 形 変 換T:V→Vの

異 な る 固 有 値 λ1,λ2,…,λrに

対 し

  dim（V）=dim（W（

λ1;T）)+dim（W（

λ2;T）)+…+ｄ

ｉm（w（ λr;T))

が 成 立 す る とす る.こ

の と きW(λi;T）

の基底 の和 集合 は Ｖ の 基底 に な り

こ の 基 底 に 関 す る Ｔ の 表 現 行 列 は,固

有 値 が 対 角 線 上 に並 ん だ 対 角 行 列 に な

る.

 定 理7.3.4か

ら,線 形 変 換 は 固有 ベ ク トル の 集 合 を基 底 と して と る こ とが て

きれ ば,対 角 行 列 と い う"綺 麗 な"行 列 を 表 現 行 列 に もつ こ とが わ か る.以 下 で は,行 列 Ａ で定 義 され る線 形 変 換TA:Rn→Rnの

固有 値,固 有 ベ ク トル,

固 有 空 間 の 求 め 方 を考 察 す る.   定 理7.3.5  TA(x)=Ax 

ｎ 次 正 方 行 列 Ａ で 定 義 さ れ る 線 形 変 換TA:Rn→Rn, x∈Rn)と,実

 

λ がTAの

数 λ に 対 し,以

固有 値

⇔rank（

下 が 成 立 す る.

λE-A)＜n

  証 明  ⇒)固 有 値 λの 固 有 ベ ク トル を ｖ とす る とTA（υ)=λυ よ りAυ=λυ. こ こでλυ=λEυ

な の で, ｖは 連 立 １次 方 程 式  (λE-A）x=0

の 自 明 で な い 解 と な り,定 理3.4.3よ 〓 ） 定 理3.4.3よ

りrank（ λE-A)＜n.

りrank（ λE-A)＜nな

ら ば 連 立 １次 方 程 式

 (λE-A)x=0 は 非 自 明 な 解υ

を も つ.つ

 

ま り

TA（υ)=Aυ=λEυ=λυ

と な り λ が 固 有 値 で あ る こ と に な る.

  例 題7.3.6 

行列

で 定 義 さ れ る線 形 変 換TA:R3→R3に 固 有 値 に 関 す る 固 有 空 間 を求 め よ.

 解答  行列

対 し,TAの

固 有 値 をす べ て 求 め,各

を基 本 変 形 を用 い て変 形 す る と

を 得 る.こ

こで

な の で,定

理7.3.5よ

り ２ はTAの

固 有 値 で あ る.そ

こ でx≠2と

仮 定 して さ

り ３ はTAの

固 有 値 で あ る.そ

こ でx≠3と

す る と,こ

ら に 変 形 す る と,

を得 る.

な の で,定

理7.3.5よ

の 行 列 は 単 位 行 列 に 簡 約 化 で き る.し

た が っ て,TAの

固 有 値 は λ=2,３

の み

で あ る ．

 次 に 固有 空 間 を も とめ る.   な の で,固 る.し

W（ λ;TA)=｛x￨Ax=λx}=｛x｜(λE-A)x=0} 有 空 間W(λ;TA)は

た が っ て,前

連 立 １次 方 程 式(λE-A)x=0の

章 の 例 題6.4.7と

解空 間であ

同 様 の 議 論 に よ り以 下 を 得 る.

  例7.3.7 

上の例題 におい て

 

dimR3=3=dim（W（2;TA))+dim（W（2;TA))

な の で,定

理7.3.4か

に 関 す るTAの

に な る.基

ら,W（2;TA)の

基 底 とW(3;TA)の

基底 の和集 合

表現行列 は

底{υ1,υ2,υ3},標

な る の で,系7.2.5よ

準 基 底{e1,e2,e3}の

変 換 行 列 は(υ1υ2υ3)と

り

B=(υ1υ2υ3)-1A(υ1υ2υ3)

を 得 る.

  定 義7.3.8(対

角化)  正 方 行 列 Ａ に対 して,正 則 行 列 Ｐ が存 在 してP-1AP

が 対 角 行 列 に な る と き,Ａ し,B=P-1APが

は対 角化 可 能 で あ る とい う.対 角 化 可 能 な 行 列 に対

対 角 行 列 と な る 正 則 行 列 Ｐ と対 角 行 列 Ｂ を求 め る こ とを

Ａの対 角化 と い う.   正 方 行 列 が 対 角 化 可 能 か 否 か の 必 要 十 分 条 件 は以 下 で 与 え られ る．

  定 理7.3.9 ｎ

次 正方 行 列Ａ で 定 義 さ れ る線 形 変換TA:Rn→Rnの

る 固有 値 の 全 体 を λ1,λ2,…λrと

異な

す る.こ の と き以 下 が 成 立 す る.

 Ａ が対 角 化 可 能 で あ る ⇔   n=dim（W（

  証 明   例7.3.7で

λ1;TA))+dim（w（

み た よ う に 系7.2.5と

下“ ⇒” を 示 す.P-1APが

λ2;TA))+…+dim（W（λr;TA))

定 理7.3.4か

対 角 行 列 に な る 正 則 行 列Ｐ

ら“〓” が 得 ら れ る,以 が 存 在 す る と す る.

と お く と.

し た が っ て,p1,p2,…,pnは

  こ こ でp1,p2,…,pnは

固 有 ベ ク トル で あ る.Ｐ

dim（ 〈p1,p2,…,pn〉)=n 固 有 ベ ク トル な の で

が 正 則 で あ る こ とか ら

  n〓dim（W（

λ1;TA))+dim（W（

λ2;TA))+…+dim（W（λr;TA))

λ1;TA))+dim（W（

λ2;TA))+…+dim（W（

一方

 

n〓dim（W（

λr;TA))

な の で 結 論 を 得 る.

 練 7.1  例7.1.3のT2oT1が 7.2  命 題7.1．5を 7.3 

習

問 題

線 形 写 像 で あ る こ と を 示 せ.

証 明 せ よ.

次 の(１),(２),(３)の 各 線 形 写 像 Ｔ に つ い てker(T),im（T）

の １組 の 基 底

を そ れ ぞ れ 求 め よ.

 (１)

 (２)

 (３)

7.4  次 の(１),(２)の各 線 形 写 像 Ｔ の与 え られ た基 底 に関 す る表 現 行 列 を求 め よ.

 (1)

  R3の

基底

  R2の

基底

 (２)T:R4→R3,

  R4の 基 底

  R3の

基底

7.5  次 の(１)∼ （ ４)の 各行 列 Ａ で定 義 され る線 形 変 換TAの

固 有 値 をす べ て求

め,各 固 有 値 に 関 す る固 有 空 間 を求 め よ.さ ら に Ａ が 対 角 化 可 能 か 否 か を判 定 し可 能 な ら ば対 角 化 せ よ.

(１)

(４)

 (２)

 (５)

 (３)

 (６)

８  １変 数 関数 の微 分

  関 数 の 値 の変 化 の様 子 を捉 え る た め に,微 分 は この うえ な く役 に 立 つ もの で あ る.

 8.1 

定 義8.1.1 

を,ｘ

関 数f:R→Rに

か らx'に

お い て,次

の値

変 化 し た と き の ｆ の 平 均 変 化 率 と い う.ｘ か らx'ま

と き と い う 表 現 を 用 い た が,場 い う 言 い 方 を す る こ とが あ る.変 化 した と き と い う.ｘ か らx'に で あ る.ｘ

平 均 変 化 率

で変 化 した

合 に よっ て は ｘ か ら あ る量 だ け変 化 した と き と 化 す る 量 をｈ で 表 す とす る と,ｘ か らｈ だ け 変 変 化 した と き の 変 化 量 を ｈ と す る と, h=x'-x

か ら ｈ だ け 変 化 した と きの ｆ の 平均 変 化 率 は

と な る.

例8.1.2 

f:R→R,f（x)=3x2-4の

と き,ｆ

のａ か ら ｈ だ け 変 化 した

と きの 平 均 変 化 率 は,

で あ る.こ の場 合 ａ と ｈ に 具体 的 な値 が 指 定 され れ ば ,そ の 平 均 変 化 率 は 具 体 的 に計 算 さ れ る.例

えば

  ●a=3,h=4で

あ れ ば,3(2×3+4)=30

  ●a=3,h=-2で

あ れ ば,3(2×3-2)=12

これ は   ●３ か ら ７ へ 変 化 す る と き,平

均 変 化 率 は30

  ●３ か ら １へ 変 化 す る と き,平

均 変 化 率 は12

で あ る こ と を 示 し て い る.こ は,ａ

の よ うに ａ か ら ｈだ け 変 化 した と きの 平 均 変 化 率

と ｈ の 値 に よ っ て 決 ま る 数 で あ る.

 

8.2 

  f:R→Rと

す る.い

微

分

ま ｈ が 非 常 に 小 さ い 実 数 で あ る と き を 考 え よ う.こ

の

と き ｆ のａ か らｈ だ け 変 化 した と き の 平 均 変 化 率 を 表 す 式 の 中 に あ る ｈ に ０ を 代 入 して 得 ら れ る 値 が あ れ ば,そ う の は,無

の 値 を平 均 変 化 率 の近 似 値 と して用 い る とい

理 の な い こ と だ と 思 わ れ る.前

  f:R→R,f(x)=3x2-4に

の 例 で は,

対 し,

だ っ た の で,ｈ が 非 常 に小 さい と き,平 均 変 化 率 の近 似 値 と して  

6a

を用 い た い と い うこ とで あ る.実 際 こ の場 合 は,ｈ が 小 さけ れ ば小 さい ほ ど,平 均 変 化 率 と6aの

は6aに

とか

差 は小 さい.つ

近 づ い て い く.こ

ま りｈ を ０ に近 づ け て い く と,

の こ とを

と 表 す.こ

の よ う な と き,6aを

と い う.   一 般 に は,必 ず し も上 の よ うな極 限 が 存 在 す る とは 限 ら な い が,存 在 す る 場 合 そ の極 限 を考 え る こ と は有 効 で あ る．

  定 義8.2.1 

関 数f:R→Rとa∈Rに

対し

が 存 在 す る と き,そ の極 限 をａ に お け る ｆの 微 分 係 数 と い い,f'(a)と

表 す.

  注 意  ａ に お け る 微 分 係 数 は，平 均 変 化 率 にお い て 定 義 域 にお け る ａ か ら の 変 化 の 量 ｈ を ０に近 づ け た 極 限 な の で,ａ に お け る 瞬 間 的 変 化 率 を表 す と考 え られ る.

  例8.2.2 

f:R→R,f（x)=3x2-4の

 8.3  極

と き,f'(a)=6a

限 の 概 念

  前 節 で 極 限 と い う 考 え 方 を 導 入 し た が,こ し て み よ う.例

え ば,関

 

こ で 少 し極 限 の 概 念 に つ い て 検 討

数f:R→R,f（x)=3x対

x→2の

して

と きf(x)→6

とか

と い う 言 い 回 し を し た.こ

 ｘ

れ は,

が ２ に 近 づ い て い く と き,f(x)は

６ に近 づ い て い く

と か,も

う少 し静 的 にい え ば

 ｘ

が ２に近 い と き,f(x)は

６に近 い

と い う よ う な意 味 だ っ た.こ の 文 章 が 主 張 して い る こ とが 正 しそ う な こ と は, 次 の よ うな 考 察 に よ って 納 得 さ れ る の だ ろ う.

  …

例 え ば,2+1/10,2+1/100,2+1/1000,2+1/10000に

み る と,そ

  も ち ろ ん,直

  …

の 値 を求 め て

3/10000にな っ て,確

ｆ の 値 の 差 は,3/10,3/100,3/1000,3/10000と

し,あ

対 し て,ｆ

れ ぞ れ6+3/10,6+3/100,6+3/1000,6+ 

か に６

小 さ く な っ て い く よ う だ.…

感 的 に は 上 の よ う な 考 察 で 十 分 満 足 で き る も の で あ ろ う.し

え て い え ば,次

と

か

の よ う な 反 論 も考 え ら れ る.

４ つ の 数 で ｆ の 値 を 計 算 し た だ け の よ う だ が,も

っ と ２ に近 い数 は た く

さ ん あ る の だ か ら そ れ ら の 数 に 対 し て も ｆ の 値 を 求 め て み な け れ ば 本 当 にｆ の 値 が ６ に 近 づ い て い くの か わ か ら な い の で は な い か.…

  こ れ に 対 し て は,次

  …

い や そ れ で は,６

対 し て,次

の よ う な"あ

 ｘ の 値 が"あ

る 数"よ

の よ う な 言 い 方 が で き る か も し れ な い.

に 非 常 に 近 い 数 を 何 で も １つ 言 っ て くれ."そ る 数"を

の 数"に

示 せ ま す よ．

り も ２ に 近 け れ ば, f(x)の

値 は"そ

の 数"よ

り ６ に近

く な る.   例 え ば,６ 2+1/100000000よ

に 非 常 に 近 い6+3/10000000な

ど と い う 数 を 考 え た と き,ｘ

り ２ に 近 くす れ ば ｆ の 値 は6+3/10000000よ

の値 を

り も６ に 近 い で し ょ

う.…

  い ず れ に し て も,近

づ い て い くや 近 い な どの 表 現 に無 限 の プ ロ セ ス が 内 包 さ

れ て い る こ と に 難 し さ の ひ と つ が あ る よ う だ.人 遂 行 す る こ と は で き な い の だ か ら.し

か し,上

の 萌 芽 が 見 ら れ る の で は な い だ ろ う か.

間 は 実 際 に は無 限 プ ロセ ス を の 会 話 の 中 に ひ とつ の ア イデ ア

こ こ で 定 義 をす る.   定義8.3.1 

定義 域 が 実 数ａ を含 む 開 区 間 か ら ａを 除 い た 集 合 を含 む 関 数 ｆ

と実 数 ｂに 対 し て,  

x→aの

と きf(x)→b

が 成 り立 つ と は,次 の こ とが 成 り立 つ こ とで あ る.   任 意 の 正 の 実 数 εに対 して,あ 実 数 ｘ に 対 し て,￨x-a￨＜

る 正 の 実 数 δが 存 在 し て,ａ を 除 い た 任 意 の

δな らば￨f(x)-b￨＜

ε とな る.

 注意  (１) こ の 定 義 で,ａ を 除 い たａ の 近 くの 様 子 を気 に して い る の で あ ってａ 自 身 のｆ に よる 値 は不 問 に して い る.ａ は必 ず し もｆ の 定 義 域 に 属 さな く て も よい.  (２) こ の と き ｂ をx→aに

お け るf(x)の

極 限 と い いlim x→af(x)と 表 す.

 (３) 定 義 域 の 数 を 表 す 記 号 にｘ 以 外 の 記 号 を 使 っ て も,も

ち ろ ん よ い.

例 え ば,

 

x→aの

と きf(x)→b

t→aの

と き ｆ(t)→b

とい う文 章 と

 

と い う 文 章 は 同 じ こ と を 言 っ て い る.   こ の 定 義 で 使 わ れ て い る 論 法 は,ε-δ 論 法 と い う 名 前 が 付 い て い る. そ れ で は,関

数f:R→R,f(x)=3x対

 

し て,

x→2の

と きf(x)→6

で あ る こ と を 示 し て み よ う.

ε を 任 意 の 正 の 数 と す る.そ 数 ｘ に 対 し て,￨x-2￨＜

れ に 対 し て δを ε/3と

δ=ε/3な

す る.す

る と,２ で な い 実

ら ば,￨f(x)-6￨=￨3x-6￨=3￨x-2￨＜

3・(ε/3)=ε

と な っ て 示 さ れ た.

  例8.3.2 

次 の 関 数 ｆ は,ど

f(x)→bと

の よ う な 実 数 ｂに 対 し て も,x→0の

とき

は な ら な い.

0 （x＜0)  f(x)=  な ぜ な ら,例

え ば ε=1/2と

(x＞0)

す る と,￨x-0￨=￨x￨を

 ￨ f（x)-b￨=  だ が,1〓￨b￨+￨1-b￨よ

 1 

どん な小 さい 値 に して も

￨1-b￨ 

x＞0)

 ￨ b￨ 

(x＜0)

り￨ｂ￨か￨1-b￨の

ど ち ら か 一 方 は1/2未

満 にな らな

い か ら で あ る.

  こ こ で,後

で 必 要 と な る 極 限 に 関 す る 性 質 を い く つ か 述 べ て お く.

  定 理8.3.3  (１) 関 数

ｆ:R→R,g:R→Rに

対

し て,ａ,ｂ,ｃ

∈R,lim f(x)=b

 (ａ)  (ｂ)  (ｃ)  (２) 関 数f:R→R,g:R→Rに

対 し て,a,ｂ,ｃ

∈R,lim f(x)=b

 証 明   (１)の(ａ)を 示 して お こ う(残 りは 練 習 問 題). εを任意 の正 の実 数 とす る. が存 在 して,

正 の 実 数 δ1,δ2

と な る.δ1と ￨ x-a￨＜

δ2の 小 さ い 方 を δ とす る.

δ な ら ば￨(f(x)±g(x))-(b±c)￨=￨(f(x)-b)±(g(x)-c)￨〓

￨f（x)-b￨+￨g（x)-c￨＜

ε/2+ε/2=ε

 

8.4 

  定 義8.3.1の

と な っ て 示 さ れ た. 

□

関 数 の 連 続 性

注 意 に お い て,

 lim  f(x)=b

と な る と き,こ

れ はａ を 除 い た ａ の 近 くの 数 に 対 す る ｆ の 値 を 気 に し て い る

の で あ っ て,ａ

に お け る の ｆ の 値 は 不 問 に し て い る と い っ た が,こ

f(a)と

の 関 係 に 注 目 す る こ と は 自 然 な こ と で あ る.こ

等 し い と 期 待 し た い と こ ろ で あ る が,必

の 極 限 ｂと

れ ら ２つ の 値 ｂ,f(a)が

ず し も 成 立 し て い る と は 限 ら な い.そ

こ で 次 の 定 義 を す る.

  定 義8.4.1 

関 数f:R→Rがa∈Rに

し た と き のf(x)の し い と き,つ

極 限 が 存 在 して,か

お い て 連 続 で あ る と は,x→aと つ そ れ が ａ に お け る 関 数 の 値f(a)に

等

ま り

 limf(x)=f(a)

と な る こ と で あ る.上

の 式 は,

 lim(f(x)-f(a))=0

と して も同 じで あ る.任 意 の 実 数 にお い て連 続 とな る と き,単 に ｆ は連 続 で あ る とい う.

 例8.4.2(連

続 な関 数)  高 校 まで に習 った 関 数 は,多

くの も のが 連 続 な関 数

で あ る が,代 表 的 な関 数,多 項 式 関 数 は連 続 で あ る こ と を示 そ う.

 a∈Rと

す る.ま ず 関 数f:R→R,f（x)=xnがａ

で 連 続 で あ る こ と を示

す こ と は 各 自 に ま か せ る.多

 

項式 関数

Q:R→R,Q(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

に 対 し て,定

理8.3.3に

よ り

 limQ(x)=lim（a0xn)+lim（a1xn-1)+…+lim(an) =a0an+a1an-1+…+an=Q(a)

とな りａ で 連 続 で あ る.

例8.4.3(連

続 で な い 関 数)

 (１)関 数f:Ｒ

→ Ｒ を 次 で 定 義 す る.

 f(x)=

   こ の 関 数 は,x→0と

x+1 

(x＞0)

  x-1 

(x〓0)

した と きのf(x)の

極 限 が 存 在 しな い の で ０ に お

い て連 続 で な い.  (２)関 数f:R→Rを

次 で定 義 す る. x+1  f（x)= 

(x≠0)

  0（x=0)

この 関 数 は  limx→0  f(x)=1 

な の で,０

お よ びf(0)=0

に お い て 連 続 で な い.

  8.5  関数 の 微 分 可 能性

関 数f:R→Rの

微 分 可 能 性 の 定 義 を してお く.

  定 義8.5.1(微

分 可 能 性)関

数f:R→Rがa∈Rに

お い て微 分 可 能 で あ

る と は,

が 存 在 す る こ とで あ る.   この 式 は

と表 して も 同 じで あ る.こ の と き,こ の 極 限 の 値 を ｆのａ にお け る微 分係 数 と い いf'(a),Df(a)な

ど と表 す の で あ っ た.さ

ら に,任 意 の 実 数 にお い て ｆ の

微 分 係 数 が 存 在 す る と き,単 に微 分 可 能 で あ る とい う.ま た,ｆ が 微 分 可 能 で あ る と き,

 

各x∈Rに

対 して,ｘ に お ける ｆ の 微 分 係 数 を対 応 させ る関 数

が 考 え られ る.こ の 関 数 を  

f'と

かDf

とい う記 号 で 表 し,ｆ の 導 関 数 とい う.   関 数 の 連 続 性 と微 分 可 能性 と は,密 接 な 関 係 が あ る.  定 理8.5.2 

関 数 ｆ:R→Rは,a∈Rに

お い て微 分 可 能 で あ る な らば,ａ

に お い て 連 続 で あ る.

 証 明   関 数f:R→Rがa∈Rに

が 存 在 す る と き を い い,こ

お い て 微 分 可 能 で あ る とは,

の 極 限 をf'(a)と

表 し た.

で あ り,ｆ のａ にお け る微 分 可 能 性 よ り

ま た,

 lim（x-a)=0

だ か ら,定

理8.3.3よ

り,

と な り,こ

れ は ｆ がａ で 連 続 で あ る こ と を 示 し て い る.□

  こ の 定 理 の 逆 は 成 立 し な い.

  例8.5.3(微

分 可 能 で な い 関 数)次

の 関 数 は,２

に お い て 連 続 で あ るが ２に

お い て 微 分 可 能 と な ら な い,

 

f:R→R,f(x)=￨x-2￨+1

  例8.5.4(微

分 可 能 な 関 数)関

数f:R→R,f（x)=xnと

す る.

  微 分 に 関 す る い くつ か の 性 質 を あ げ て お く.

  定 理8.5.5  して,次

a∈Rと

微 分 可 能 な ２ つ の 関 数f:R→Rとg:R→Rに

の 関 数 も微 分 可 能 で,そ

 (１)  (af)'(x)=af'(x)

の 微 分 係 数 は,

対

 (２)  (３)  (４)  (５) と な る.

 8.6 

関 数

の 極 値

  微 分 係 数 の 定 義 か ら 察 せ ら れ る よ う に,関 様 子 と は 密 接 な 関 係 が あ る.そ

  定 義8.6.1 

れ を 整 理 し よ う.

関 数f:R→Rとa∈Rに

意 のx∈]a,a+c[に

数 の微 分 係 数 と関数 の値 の 変 化 の

対 し,あ

るc＞0が

対 し,

 f(a)＜f(x) か つ 任 意 のx∈]a-c,a[に

 

f(x)＜f(a)

が 成 立 す る と き,ｆ

  ま た,任

対 し,

はａ に お い て 増 加 し て い る と い う.

意 のx∈]a,a+c［

 

に 対 し,

f(a)＞f(x)

か つ 任 意 のx∈]a-c,a[に

 

対 し,

f(x)＞f(a)

が 成 立 す る と き,ｆ

は ａ に お い て 減 少 して い る と い う.

  次 の 定 理 が 成 立 す る.

  定 理8.6.2 

微 分 可 能 な 関 数f:R→Rと,a∈Rに

対 し,

存 在 し て,任

 (１)  f'(a)＞0な

ら ば,ｆ

は ａ に お い て 増 加 し て い る.

 (２)  f'(a)＜0な

ら ば,ｆ

は ａ に お い て 減 少 し て い る.

  証 明   (１)を 示 す.f'(a)＞0で

で あ る.よ

あ る か ら,十

分ａ に 近 いｘ に 対 し

っ て,

  定 義8.6.3 

  x＞aな

らばf(x)＞f(a)

 x＜aな

らばf(x)＜f(a)

関 数f:R→Rと,a∈Rに

のx∈]a-c,a+c[一{a}に い て 極 大 値f(a)を お い て 極 小 値f(a)を

対 し,あ

対 し, fx)〓f(a)が と る と い う.ま

た,fx)〓f(a)が

と る と い う.極

るc＞0が

あ っ て,任

成 り立 つ と き,fはaに

意 お

成 り 立 つ と き,fはaに

大 値 と極 小 値 を 総 称 し て,極

値 と い う.

  関 数 の 極 値 と 関 数 の 微 分 係 数 に は 密 接 な 関 係 が あ る.

  定 理8.6.4 

微 分 可 能 な 関 数f:R→Rがa∈Rに

お い て,極

値 をとるな

ら ば,

 

f'(a)=0

で あ る.

  証 明   前 定 理 よ り,f'(a)＞0の 極 値 を と れ な い.し

 □  例8.6.5 

場 合 もf'(a)＜0の

た が っ てf'(a)=0で

f:R→R,f（x)=x3-xと

場合 も ｆは ａにおい て

な け れ ば な ら な い.

す る と,

 ＊

よ り,ｆ が極 値 を と る可 能 性 の あ る の は1/√3と-1/√3に

  例8.6.6(応

用)あ

お い て の み で あ る.

る 企 業 が ひ とつ の 製 品 を生 産 して い る とす る.生 産 量 Ｑ

に対 す る コス トが Ｑ の微 分 可 能 な 関数C(Q)で

表 され て い る と仮 定 して,こ の

製 品 の価 格 Ｐ が 一 定 で あ る と い う条 件 の も とで,利 益 が 最 大 に な る よ うな 生 産 量 は い くら にす れ ば よい だ ろ うか? 

この 場 合,生 産 量 Ｑ に対 す る 利 益 は

  R(Q)=PQ-C(Q) と表 せ る.い

ま こ の 関 数 のQ0に

に お け る微 分R'(Q0)が

正 とす る.十 分 小 さ

な数 △Ｑ に対 して

した が っ て,△Q＞0な

らば

  R(Q0+△Q)-R(Q0)＞0⇒R(Q0+△Q)＞R(Q0) と な る の で,さ R'(Q0）

＜0と

ら に 生 産 量 を 増 や す こ と に よ り,よ き も 同 様 に し て,生

り 利 益 が 上 が る.ま

た

産 量 を 減 ら し た ほ う が よ り利 益 が 上 が る.

以 上 よ り,そ の 生 産 量 はR'(Q0）=0と

な るQ0の

値 が 候 補 と な る.こ

のQ0に

おいて

  R'(Q0)=P-C'(Q0）=0⇔P=C'(Q0) とい う こ と を表 して お り,こ れ はQ0に

お け る 限 界 費 用 が 価 格 に等 しい と い う

こ と を意 味 す る.

  8.7 

関数 の 近 似 と微 分

  関数f:R→Rに

対 し,ｆ の 値 は 定 義 域 の 数 がａ か らa+hま

とf(a+h)-f(a)だ

け 変 化 す る.こ こ で,各h∈Rに

１)A〓Bと

い う表 記 は

,Ａ

で変 化す る

対 し,f(a+h)-f(a)

と Ｂ が ほ とん ど 同 じと い う こ と を意 味 す る.

を 対 応 さ せ る 関 数 を 考 え る こ と が で き る.こ g:R→R,g（h）=khで

の 関 数 をａ の 近 くで １次 関 数

近 似 す る と して,ど

ん な ｋ に 対 して 最 も よ い 近 似

とな る か を考 え よ う.そ の た め に は"最 も よい近 似"と い うこ と を定 義 して お く 必 要 が あ る.こ

こで は,ａ か らa+hに

変 化 す る と き,ｈ の 絶 対 値 に対 す る誤

差 の割 合 が 小 さ い ほ ど よ い近 似 と考 え よ う.   １次 関 数 で 近 似 した と きの 誤 差 は  ￨f(a+h)-f(a)-kh￨ なの で,よ

い近似 であるた めには

の 値 が 小 さい もの ほ ど よい.と

ころ で,ｆ が ａで微 分 可 能 な ら ば,ｈ が 十 分 小

さい と き

な の で,ｋ

の 値 がf'(a)で

あ る と き が よ い 近 似 と 考 え ら れ る.し

た が っ て,

  f(a+h)-f(a+h)-f(a)〓f'(a)h で あ る.

  例8.7.1 

f:R→R,f(x)=x2-3に

変 化 し た と き を 考 え よ う,fの

 

対 し,定

義 域 の 数 が １か ら1+hに

値 の変化量 は

f(1+h）-f(1)=（(1+h)2-3)-(12-3)=h2+2h

し た が っ て,こ

の 変 化 量 を １次 関 数f'(1)h=2hで

近 似 した と き の誤 差 は

 ￨h2+2h-2h￨=￨h2￨=h2 と な り,￨ｈ￨が1/100の

小 さ さ な ら ば,誤

以 下 に 押 さ え た け れ ば,￨ｈ￨は1/10以

差 は1/10000.逆

に そ の 誤 差 を1/100

下 の 範 囲 で と れ ば よ い こ と に な る.

 練 8.1 

f:R→R,f(x)=x3+xに

習

問 題

対 し,

 

(１)１ か ら ３ に 変 化 し た と き の 平 均 変 化 率

 

(２)１ か ら ｈ だ け 変 化 し た と き の 平 均 変 化 率 を 求 め よ.

8.2 

f:R→R,f(x)=x3+xに

 

(１)  １に お け る 微 分 係 数

 

(２)ａ に お け る 微 分 係 数

対 し,次

8.3

を 求 め よ.

に 対 し,

を 求 め よ.

8.4 

定 理8.3.3の(１)の(ｂ)を

示 せ.

8.5 

連 続 で な い 関 数 の 例 を １つ あ げ よ.

8.6 

連 続 で あ る が 微 分 可 能 で な い 例 を １つ あ げ よ.

8.7 

定 理8.5.5を

8.8 

次 の 関 数 の 導 関 数 を 求 め よ.

証 明 せ よ.

 (１) f:R→R,f(x)=3x2  (２) f:R→R,f(x)=x4+x3-3x2+2x+2  (３) f:R→R,f(x)=（x3+x2-1)(x4+3x+2)

 (4)  

(5) f:R→R,f(x)=(x3+x2+x+1)10

8.9 

次 の 関 数 の 極 値 を 調 べ よ.

 

(１)  f:R→R,f(x)=x2+x

 

(２)  f:R→R,f(x)=x3-2x2+x+1  (３)

8.10 

関 数f:R→R,f(x)=3x2+xに

よ く近 似 す る １次 関 数 と,そ

対 し,２

におけ る ｆの変化量 を最 も

れ ら の 誤 差 を 求 め よ.

９ 多変数関数の微分

  この 章 で は,１ 変 数 関 数 を一 般 化 した 関 数,多 変 数 関 数 と そ の微 分 を考 え る. 多 変 数 関数 は,自 然 現 象,社 会 現 象 等 の 数 学 的記 述 に欠 かせ な い もの で あ る.

 9.1  ｎ 変 数

 ｎ 変 数 関 数 と はそ の定 義 域 がRn(ま あ る写 像f:Rn→Rの

で,こ

と表 さ れ る が,後

た は, Rnの

こ とで あ る,Rnの

の ベ ク トルｘ

関 数

に 対 す る ｆ に よ る 値 は,

者 の 表 現 は ス ペ ー ス を と る の で,

  と 表 す こ と に す る.

f(x1,x2,…,xn)

部 分 集 合)で,値

域 がＲ で

ベ ク トルｘ は ｎ 個 の 実 数 の 組

 例

9.1.1

  f:R2→R,f(x1,x2)=x21-x1x2+3x2+1   f：R3→R,f(x1,x2,x3)=x1+x1x2x3+3x2x32

 9.2 ｎ

  さ て,ｎ に,関

変 数 関数 の微 分

変 数 関 数 に つ い て も 微 分 可 能 性 が 定 義 さ れ る.8.7節

数 が,あ

る 実 数 に お い て 微 分 可 能 で あ る と き,そ

関 数 の 値 の 変 化 量 は,あ

る １次 関 数 で 近 似 さ れ た.こ

で述 べ た よう

の 実 数 の 付 近 にお い て

の 考 え 方 を,ｎ

変数 関数

の 場 合 に も 適 用 す る.

  以 下 簡 単 の た め にn=2の

  定 義 域R2お

と き,つ

(a1,a2)→

で あ る と き,２ 変 数 関 数f:R2→Rの

 

似 す る.こ

考 え る.

ける変化が

 

f(a1+h, 

で 表 さ れ る.こ

ま り ２変 数 関 数f:R2→Rを

（a1+h,a2+k） 値 の 変 化 量 は,

a2+k)-f(al,a2)

の 変 化 を あ る １次 関 数L:R2→R,L(h,k)=Ah+Bkで

の と き,誤

近

差 は

 ￨f(a1十h,a2＋k)-f(a1,a2)-（Ah十Bk)￨ と な る.近

似 の 良 し悪 しは,定

義 域 に お け る 変 化 の 大 き さ に 対 し て,誤

の く ら い の 割 合 で 変 化 す る か で 評 価 す る.こ き さ を 表 す も の と し て,(a1,a2)か

の 場 合,定

ら(a1+h,a2+k)ま

差 が ど

義域 における変化 の大 での距 離

 √h2+k2

を用 い る の は 自然 だ ろ う.し た が って,変 化 の 大 き さ に対 す る 誤 差 の 割 合 は

で 表 さ れ る.8.7節 １次 関 数 を,最

と 同 様 に,h,k→0と

した と きの この 値 の 極 限 が ０で あ る

も よ い 近 似 と考 え る.

  １変 数 関 数 の 場 合 は,微 分 の 定 義 を し,そ れ が １次 関 数 に よ る近 似 と関 連 が あ る と い うこ と を考 え た が,ｎ 変 数 関 数 の 場 合 は,最 初 か ら １次 関 数 に よ る近 似 とい う観 点 か ら微 分 を定 義 す る.

  定 義9.2.1(微 あ る と は,次

分 可 能 性)関

数f:R2→Rが(a1,a2)に

の 式 を 満 た す １次 関 数L:R2→Rが

こ の と き,１ 次 関 数Ｌ

を ｆ の(a1,a2)に

ま た,ｆ:R2→RがR2の

お い て微 分可 能 で 存 在 す る こ と で あ る.

お け る 微 分 と い い,Df(a1,a2)と

書 く.

す べ て の 点 に お い て微 分 可 能 で あ る と き,f:R2→R

は 微 分 可 能 で あ る と い う.

  例9.2.2  (1,2)に

２ 変 数 関 数 をf:R2→R,f(x1,x2)=x21+x22と

お け る 微 分 は,Df(1,2)(h,k)=2h+4kで

  9.3 

偏

す る.ｆ

の

あ る こ と を 示 す.

微

分

関 数 が微 分 可 能 で あ る と き,関 数 の微 分 で あ る １次 関 数 の 係 数 Ａ,Ｂ は,ど の よ う に決 定 す れ ば よい の だ ろ うか?  この 係 数 を決 定 す る便 利 な方 法 が あ る.

 f:R2→Rを(a1,a2)に

お い て微 分 可 能 と し,Df(a1,a2)(h,k)=Ah+Bk

と す る.微

分 の 定 義 式 に お い て,k=0と

し て ｈ を ０ に 近 づ け る と,

し た が っ て,

と な る.こ

の 値 を 点(a1,a2)に

お け る ｆ の 第 １成 分 方 向 の 偏 微 分 と い い ,記  

号

D1f(a1,a2)

で 表 す.同 様 に して

と な る.こ

の 値 を 点(a1,a2)に

お け る ｆ の 第 ２成 分 方 向 の 偏 微 分 と い い,記

  で 表 す.偏

D2f(a1,a2) 微 分 を 用 い て ｆ の(a1,a2)に

お け る微 分 を 表 せ ば

 D f(a1,a2)(ｈ,k)=D1f(a1,a2)h+D2f(a1,a2)k と な る.

  例9.3.1 

f:R2→R,fx（x1,x2)=x1x2と

に お け る微 分 を 求 め る.

す る.こ

の

２ 変 数 関 数 の(1,2)

号

と な る の で,

 

Df(1,2)(h,k)=2h+k

で あ る.

  例9.3.2(応 x1,x2所

用)２

つ の 財 が あ っ て,あ

有 し て い る と き,こ

る とす る.い

ま,こ

に 変 化 し た と き,効

る 人 が 第 １財,第

２財 をそ れ ぞ れ

の 人 の 効 用 が ２変 数 関 数U(x1,x2)で

の 人 の 所 有 し て い る 財 の 量 が(a1,a2)か 用 は ど の く ら い 変 化 す る だ ろ う か.微

表 され て い

ら(a1+h,a2+k) 分 の 定 義 よ り,ｈ,ｋ

が小 さい ときは

 U(a1+h,a2+k)-U(a1,a2)〓D1U(a1,a2)h十D2U(a1,a2)k で あ る.こ

こ で,効

用 の 値 を あ る 量 ε だ け 増 加 さ せ る こ と を 考 え よ う.こ

加 分 を 第 １財 だ け の 増 加 量ｈ*で

得 る た め に は,k=0を

の増

上 の 式 に代 入 す れ ば

よ い の で,

で あ り,第

２財 だ け な ら

この と き,第

１財 の 増 加 量h*と

第 ２財 の増 加 量k*は,同

じ効 用 の 増 加 を もた

らす の で,こ の 人 に とっ て,そ れ ら2つ の量 は 同 等 の価 値 を もつ と考 え ら れ る. した が っ て,第

２財 の １単 位 当 た りの 価 値 に 匹敵 す る 第 １財 の 量 は

で あ る.こ の値 を(a1,a2)に また この 値 は,第

お け る第 １財 の 第 ２財 に対 す る限 界 代 替 率 とい う.

２財 を １単 位 減 ら した と き,効 用 が変 化 しな い た め の 第 １財

の増 加 量 と見 る こ と もで きる.

 練

習

問 題

9.1 

多 変 数 関 数 の 例 を ２つ あ げ よ.

9.2 

２ 変 数 関 数f:R2→R,f（x1,x2)=3x1+x1x2と

お け る 微 分 は,Df(0,1)(ｈ,k）=4hで 9.3 

 

次 の 関 数 の(1,2)に

す る.ｆ あ る こ と を 示 せ.

お け る 微 分 を 求 め よ.

f:R2→R,f(x1,x2)=x1x2+x21

の(0,1)に

10 積

分

  こ の 章 で は,微

分 と 並 び,関

積 分 を 考 え る.積

分 は 微 分 の 逆 の 操 作 で あ る と 考 え る こ と が で き る.

 

数 の性 質 を考 え る 上 で 非 常 に大 切 な概 念 で あ る

10.1 

  定 積 分 の 考 え 方 は,ひ

定

積

分

とつ に は 平 面 上 の 曲 線 で 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 を 求 め た

い と い う こ と か ら発 し て い る.

  関 数f:R→Rと

  定 義10.1.1 

す る.

閉 区 間[ａ,b］ に 対 し,次

を 満 た すx0,x1,…,xn-1,xn∈Rを,

[a,b］ の 分 割 と い う.  a=x0＜x1＜

…

ま た,xk-xk-1(k=1,2,…,n)の

  定 義10.1.2  [xk-1,xk]で

を考 え る.こ

＜xn-1＜xn=b

中 の 最 大 値 を 分 割 の 幅 と い う.

x0,x1,…,xn-1,xn∈Rを

あ る 任 意 の 実 数ck(k=1,2,…,n)に

閉 区 間[a, b]の 分 割 と す る.ck∈ 対 し て,実

数

こで,分 割 を分 割 の 幅 が ０ に近 づ い て い くよ うな もの に取 り替 え

て い くか ぎ り,ど の よ う な分 割 に対 して も上 の 実 数 が 一 定 の 実 数 に近 づ く と き,

ｆ は,[a,b］

で 積 分 可 能 と い う.ま

た,そ

の 一 定 の 実 数 を,ｆ

の[a,b］ で の 定 積

分 と い い,

と書 く.こ

の と き,[a,b］

を 積 分 区 間 とい う.

  積 分 区 間上 ｆ の 値 が 常 に 正 で あ れ ば,定 積 分 は,座 標 平 面 で,積

分 区 間上,

積 分 区 間 と ｆの グ ラ フで は さ ま れ た部 分 の 面 積 を表 して い る と考 え る こ とが で きる.

 注意 定積 分 の記号

でｘ を他 の 記 号 で 書 い て も同 じ もの で あ る.

例 え ば,

  関 数 や 積 分 区 間 に よ っ て積 分 可 能 な と きや,積 分 可 能 で な い と きが あ る が, 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理10.1.3 

関 数f:R→Rが

閉 区 間[a,b］ で 連 続 な ら ば,ｆ

は[a,b］ で 積

分 可 能 で あ る.

 証 明 は 略 す.

  例10.1.4 

定 理10.1.3の

逆 は 成 立 し な い.つ

ま り不 連 続 で 積 分 可 能 な 関 数

が 存 在 す る．

1   関 数 ｆ:R→R, 

 2  とす る.ｆ

は １ に お い て 不 連 続 で あ る が,例

え ば,１

可 能 で あ る.

  0=x0＜x1＜x2＜…

(x＜1)

f(x)= 

＜xn=2

(x〓1) を 含 む 閉 区 間[0,2]で

積分

を[0,2]の

分 割 と し,ck∈[xk-1,xk](k=1,2,…,n)と

る 区 間 を]xi-1,xi]と

す る.す

す る.ま

た,１

が 属 す

る と,

こ こ で 分 割 の 幅 を ０に 近 づ け る と,   xi-1-0→1,(xi-xi-1)f(ci)→0,(2-xi)×2→1×2=2

で あ る か ら,〓

は ３ に 近 づ く.

よ っ て ｆ は[0,2］ で 積 分 可 能 で あ り,

と な る.

  例10.1.5  ら,定

f:R→R,f（x)=xと

理10.1.3よ

  fの[0,1]で

を と る.ｎ

り ｆ は[0,1]で

す る.ｆ

は 閉 区 間[0,1]で

連続で あるか

積 分 可 能 で あ る.

の 定 積 分 の 値 を 求 め て み よ う.[0,1]の

を 大 き く し て し て い く と,こ

分 割 と して

の 分 割 の 幅 は ０ に 近 づ い て い く.

ｎを 大 き く し て い く と こ の 数 は1/2に 近 づ い て い く.し

た が っ て,

で あ る.

  f:R→Rは

積 分 可 能 と す る.

  定 義10.1.6

〓と定 義 す る.

 (１)

〓と定 義 す る.

 (２)

 定 積 分 の 性 質 をい くつ か あ げ て お く.

  定 理10.1.7

〓が 成 立 す る.

 (１)

〓が 成 立 す る.

 (２)

 (３)  閉 区 間[a,b]で のｆ の 最 大 値 と最 小 値 を そ れ ぞ れ Ｍ,ｍ とす る と,以 下 が 成 立 す る.

10.2 

  定 義10.2.1(原 で,そ

原

始

始 関 数)  関 数f:R→Rと

の 導 関 数F':R→Rが

あ る か ら,F'=fで

数

す る.微 分 可 能 な 関 数F:R→R

ｆ に 等 し い も の を,ｆ

  例10.2.2 f:R→R,f（x）=xと F'(x)=xで

関

の 原 始 関 数 と い う.

し,F:R→R,F(x)=x2/2と あ る.し

た が っ て,Ｆ

す る.

は ｆ の 原 始 関 数 で あ る.

ま た,G:R→R,G(x)=(x2/2)+1と で あ る.し

た が っ て,Ｇ

し て も, G'(x)=xで もｆ の 原 始 関 数 で あ る.

  上 の 例 か ら も わ か る よ う に,１ ば,た

く さ ん あ る.一

ｃに 対 し,関

数F+cは

なc∈RでF+cと

あ る か ら,G'=f

般 に,関

つ の 関 数 に 対 し,そ

数Ｆ

の 原 始 関 数 はあ る とす れ

が 関 数ｆ の 原 始 関 数 で あ れ ば,任

ｆ の 原 始 関 数 で あ り,逆

意の定数

に 任 意 のｆ の 原 始 関 数 は 適 当

表 さ れ る.

  例10.2.3

 (ｃは任 意 の 定 数) と す る と,F'(x)=xnで

あ る か ら,Fはf:R→R,f(x)=xnの

原 始 関数

で あ る.

  関 数ｆ の 原 始 関 数 の こ と をｆ の 不 定 積 分 と呼 ぶ こ と が あ り,

と 表 す こ と が あ る.

 10.3 

定 積 分 と原始 関数 の 関係

 定 積 分 と原 始 関 数 に は 密 接 な 関係 が あ る.

  定 理10.3.1(微

積 分 学 の 基 本 定 理)  関 数F:R→Rを

連 続 関 数f:R→R

の 原 始 関 数 とす る.こ の と き,

が 成 立 す る.

 証 明

〓と お く.h＞0と

す る.

で あ り,[x,x+h]に

お け る ｆ の 最 大 値 と 最 小 値 を そ れ ぞ れ Ｍ ,ｍ と す る と,

し た が っ て,

同 様 に,h＜0の   こ こ で,ｆ

と き も 上 の 不 等 式 が 成 り立 つ. は 連 続 よ りh→0の

と きm→f(x),M→f(x)で

あ る.よ

っ て,

  G'(x)=f(x) で あ り,Ｇ

も ｆ の 原 始 関 数 で あ る,よ

 

っ て ,あ

る 定 数 ｃで

G(x)=F(x)+c

と な る． した が っ て

  例10.3.2 

f:R→R,f(x)=xと

Ｆ は ｆ の原 始 関 数 で あ る か ら,

で あ る.

し,F:R→R,F(x)=x2/2と

すれば,

 練 10.1 

習

関 数f:R→R,f(x)=x2に

を 求 め よ. 10.2 

次 の 関 数 の 原 始 関 数 を 求 め よ.

 

(１)  f:R→R,f(x)=2

 

(２)  f:R→R,f(x)=x3+2x2-x+1

10.3 

次 の 定 積 分 の 値 を 求 め よ.

 (１)

 (２)

問

対 し,

題

 付

録

  A.1  連 立 １次 方程 式 の基 本 変 形

  連 立 １次 方 程 式 に ３つ の 式 の 基 本 変 形 を行 って で きる新 しい 連 立 １次 方 程 式 に お い て,解

が変 わ ら ない こ と を示 す.ま ず ３つ の 基 本 変 形 とは

  式 の基 本 変 形  (Ⅰ)１ つ の 式 を何 倍 か す る(た だ し ０倍 は しな い)  (Ⅱ)２ つ の 式 を入 れ 替 え る  (Ⅲ)１ つ の 式 に,他 の式 を何 倍 か した もの を加 え る で あ っ た.こ の 中 で変 形(Ⅰ),(Ⅱ)に よ り解 が 変 わ らな い こ とは す ぐわ か る の で, 変 形(Ⅲ)の

み につ い て説 明 しよ う.

  簡 単 の た め に ２つ の 式 か らな る連 立 １次 方 程 式  a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

(１)  a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 

に つ い て 説 明 す る.こ の 連 立 １次 方程 式 に基 本 変 形(Ⅲ),例

え ば １行 を ｃ倍 し

て ２行 に 加 え る と い う操 作 を行 う と,連 立 １次 方 程 式   al1x1+a12x2+…+alnxn=b1   (a21+ca11）x1+(a22+ca12)x2+…+（a2n+ca1n）xn=b2+cb1 

(２)

を得 る.こ の と き,逆 に(２)の 連 立 １次 方 程 式 に,基 本 変 形:１ 行 を-c倍 もの を ２行 に加 え る と連 立 １次 方 程 式(１)と な る.   さて 連 立 １次 方 程 式(１)の 解 を

した

と す る と,

 (３)

が 成 立 して い る.こ

の 解 が 連 立 １次 方 程 式(２)の 解 で あ る こ と を 示 す た め に,こ

の 解 を(２)の 未 知 数 に 代 入 し て 各 式 が 成 立 す る こ と を調 べ れ ば よ い.第 成 立 す る こ と は 明 ら か で,第

 

１式 は

２式 は

(a21+ca11)α1+（a22+ca12)α2+…+（a2n+ca1n)αn

 

=（a21α1+a22α2+…+a2nαn)+c(a11α1+a12α2+…+a1nαn）

 

=b2+cb1

と な り,成

立 す る.し

たが って

は 連 立 １次 方 程 式(２)の 解 で もあ る.同 様 の 万 法 で連 立 １次方程 式(２)の 解 は 連 立 １次 方 程 式(１)の 解 で あ る こ とが わ か る の で,２ つ の 連 立 １次 方 程 式 の解 は 同 じで あ る.   基 本 変 形 と行 列   行 列 Ａ の(行 に 関 す る)各 基 本 変 形 は,次 の 形 の 行 列 を左 か ら行 列 Ａ に掛 け る こ とで得 られ る.

 (１)基 本 変 形(Ⅰ)ｉ 行 を ｃ倍 す るS(i:c)は

 (２)基 本 変 形(Ⅱ)２

つ の 行,ｉ 行 とｊ 行 を入 れ 替 え る行 列R(i,j)は

 (３)基 本 変 形(Ⅲ)ｉ

行 にc×

（j行)を 加 え る行 列Q(i,j:c)は

で あ る.

  問 題  上 記 の行 列 と基 本 変 形 と の 関連 を確 か め よ.

 

A.2 

正

則

行

列

  3.5節 で 正 則 行 列 の話 を した が,こ こ で は残 さ れ た証 明 を与 え る.ｎ 次 正 方 行 列 Ａ が 正 則行 列 で あ る と は,  

AＢ=BA=E

と な る ｎ 次 正 方 行 列 Ｂ が 存 在 す る こ とで あ っ た.ま ず 正 則 行 列 の 例 を 与 え て お こ う.

 例   前 の 節 で 定 義 した行 列S(i:c),R(i,j),Q(i,j:c)は ぜ な ら,   (１) S(i:c)Ｓ(i:1/c)=S(i:1/ｃ)Si(i:c)=E⇒(S(i:c))-1=Si(i:1/ｃ)   (２) Ｒ(i,j)R(i,j)=E⇒R-1(i,j)=R(i,j)

正 則 行 列 で あ る.な

  (３)  Q(i,j  :c)Q(i,ｊ:-c)=Q(i,j:-c)Q(i,j:c)=E⇒Q(i,j:c)-1= Q（i,j:-c) と な る か らで あ る.ま

た 第 ３章 の 練 習 問 題3.5に

  定 理   行 列 Ａ,Ｂ か 正 則 行 列 の と き,そ

  行 列 の 簡 約 化 は,何

の 積ABも

正 則 行 列 で あ る.

回 か の 基 本 変 形 を 繰 り返 し行 う こ と(こ

類 の 正 則 行 列 を 掛 け る こ と)に

  定 理   任 意 の 行 列 Ａ は,あ よ り 簡 約 化 さ れ る.行

  定 理3.5.2 

あ る よ う に 次 の 定 理 が 成 立 す る.

よ り得 ら れ る の で,上

れ は左 か ら ３種

記 の 定 理 を用 い る と

る正 則 行 列 Ｐ を左 か らそ の行 列 に掛 け る こ と に

列 Ａ の 簡 約 行 列 はPAで

あ る.

ｎ 次 正 方 行 列 Ａ に 対 して 次 の ３つ の 条 件 は 同 値 で あ る.

  (１)  AB=Eと

な る ｎ 次 正 方 行 列 Ｂ が 存 在 す る.

  (２)  Ａ は正則行列   (３)  rank（A）=n

  証 明   (2)⇒(1)は rank（A） ＜nと ク トル,つ

明 ら か.ま

す る.こ

示 す. 少 な く と も １つ の 行 は 零 ベ

ま り

と な っ て い る.ま

た 前 の 定 理 に よ り,あ

  と なる．

ず(1)⇒(3)を

の と き Ａ の 簡 約 行 列A'の

る正則行列 Ｐ があ り

PA=A' と こ ろ で 仮 定 よ りAB=Eと

  と な る が,第

な る 行 列 Ｂ が 存 在 す る.こ

の とき

E=PP-1=PABP-1=A'(BP-1) ｎ 行 が 零 ベ ク トル で あ る 行 列 に 右 か ら ど ん な 行 列 を 掛 け て も,そ

の 積 の 第 ｎ 行 は 依 然 と し て 零 ベ ク トル と な っ て い る.よ

っ て 矛 盾.

  次 に(3)⇒(2)を て,あ

示 す.rank（A）=nな

る正 則 行 列 Ｐ が 存 在 して

 

PA=E

で あ る.こ の Ｐ に 対 して

 

AP=（P-1P)AP=P-1(PA)P=P-1EP=P-1P=E

と な る の で,Ａ

は 正 則 行 列 で あ る. □

の で Ａ の簡 約 行 列 は Ｅ で あ る.よ っ

 参 考 文 献

  本 書 を書 くに あ た って 参 考 に した 本,お

よび 本 書 で 省 い た 内 容 に つ い て 参 照

で き る本 を以 下 に 挙 げ て お く.   [１]  三 宅 敏 恒:入

門 線 形 代 数,培 風 館,1991

  [２]  Ｈ．ア ン トン ほ か(山 下 純 一 訳):や

さ しい 線 型 代 数,現

  [３]  飯 高  茂:線 形 代 数− 基 礎 と応 用,朝 倉 書 店,2001   [４]  志 賀 浩 二:微 分 ・積 分30講,朝  [５]  入江 昭 二 ほ か:微

倉 書 店,1988

分 積 分(上,下),内

田 老 鶴 圃,1985

代 数 学 社,1979

 索

引

■ ア行

基 底  75,89

１次 関 数  55,116,119

基 底 の変 換行 列   91

１次 結 合   64,71,799

基本 ベ ク トル  65

１次 従 属   64,799

逆行 列  41

１次 独 立   64,79

共通 集 合  51

ε-δ論 法   107

行 ベ ク トル  17

im（T）  85

行列 ８  ―

の 階数  31

ｎ次 元 座 標 空 間   78

 ―

の可 換 性   16

ｎ次 ベ ク トル   60

 ―

の簡 約 化  31,73

ｎ変 数 関 数   118

 ―

の基 本 変形   132

 ―

の実 数倍  12

 ―

の主 成 分  28

■ カ行

 ―

の成 分  ８

解 空 間   63,88

 ―

の積   13

開 区 間   50

 ―

の 対 角化  100

核   85

 ―

の分 割   17

拡 大 係 数 行 列   23

 ―

の和   11

演 算   11

合 併 集 合   51 ker(T) 

85

極限   105,108 極小 値   114

関 数   54

極 大 値   114

 ―

の 減 少   113

極 値   114

 ―

の 合 成   56

近 似   116,119

 ―

の 実 数 倍   55

近 似 値  104

 ―

の 商   56

 ―

の 積   56

空 集 合(φ)  48

 ―

の 増 加   113

偶 数  49

 ―

の 和   55

区 間  50

簡 約 化   135

グラ フ  58,125

簡 約 行 列   31,73

クロネ ッカ ーの デ ル タ  10

簡 約 な 行 列   28

係 数 行 列  23

限 界代 替 率   122

像  85

限 界 費 用  115

添 え字   ５

原 始 関 数  127 ■ タ行 恒 等 関 数  55

対 角 化可 能   99

恒 等 写像   91

対 角行 列   96

誤 差  116

対 角 成分   10

固有 空 間  94

多 項式 関数   55,109

固有値  94

多 変 数 関数   118

固有 ベ ク トル  94

単 位行 列   10,26,29

■ サ行

値 域  53

財   122

直 積 集合  52

最 大 独立 個 数   71,74

直 線  59

差 集 合  51 定 義 域  53

座 標 平 面  58

定 数 関数   54 式 の 基 本 変形  25 シ グマ 記号(Σ)  18

定 数 項 ベ ク トル  23

自然 数  49

dim（V） 75

定 積 分   124,125

実 数  49 自明 な 解  39,64

導関数   111,127

写 像   53

同型 写像   86

 ―

同次 連 立 １次 方 程 式  39

の線 形 性   57

集合  47,48  ―

に 属す   48

■ ナ行

 ―

の 要素   48

２次 関数   55

  等 しい―

  51

瞬 間的 変 化率  105

２重 添 え字  ６ ２変 数 関数  119

順 序 対   51   等 しい―

  51

■ ハ行 掃 き出 し法  26

正則 行 列  41,74,91,100,134 正方 行 列  ９

非 自明 な解  67

積 分 可 能  125

左 半 開 区 間  50

積 分 区 間  125

微 分 可 能  111,119,120

零行列  ９,29

微 分 係 数  105,111,114

零 ベ ク トル   17,84

表 現 行列   89,94,96

零 ベ ク トル空 間  61,75

標 準 基底  75,90

線 形 写 像  84 線 形 変 換  93

複 素 数  49 不 定 積分   128

■ マ行

部 分空 間  61   生成 され る―   張 られ る―

  77

右 半 開 区 間   50

  77

部分 集 合  50

文字 １

分割   124  ―

の幅   124

■ ヤ行 矢 印   78

平 均 変 化率   103 閉 区 間  50 ベ ク トル  60

有 理 数   49

 ―

の大 き さ  78

■ ラ行

 ―

の実 数 倍  60,84

rank（A）   31,38,42,135

 ―

の生 成  75

 ―

の 向 き  78

零行列  ９,29

 ― の和   60,84 ベ ク トル空 間  61

零 ベ ク トル   17,84

 ―

列 ベ ク トル   17

の次 元  75

  同 型 の― 偏 微 分   121 放 物 線  59

  86

零 ベ ク トル 空 間   61,75

連 続   125  ―

で な い 関 数   110

 ―

な 関 数   109

連 立 １次 方 程 式   21  ―

の 基 本 変 形   131

著 者略 歴   沢 田

賢 （さわだ,け ん ）

  1953年  東 京都 に生 まれ る   1981年  早稲 田 大学大 学院理 工学研 究科博 士課程 修了   現 在 早稲 田大 学商 学部助教 授 理学 博士

  渡 邊 展

也(わ たなべ.の ぶや)

  1959年   岩手 県に生 まれ る   1984年   早稲 田大学 大学 院理工学 研究科 修士課程 修 了   現 在 早稲 田大学 商学 部助教授 理 学博 士

 安

原 

晃(や すはら ・あきら）

  1966  年 徳 島県 に生 まれ る   1991年  早稲 田大 学大 学院理 工学研究 科修士 課程修 了  現 在 東京 学芸 大学教 育学 部助教授 理学博 士

シ リーズ[数

学 の 世 界]３

社 会 科 学 の 数 学 −線形代数 と微積分− 2002年

４ 月 １ 日  初 版 第 １刷

2004年

４ 月20日

 

定価 は カバ ー に表示

第 ４刷

著 者 沢

田

 渡

邊

 安

原

発行者 朝

倉

発行所 株式 会社 

朝

賢 展

也 晃

邦

倉

造

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 番 号   電 FAX 

〈検 印 省 略 〉

4-254-11563-6

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〓2002〈 無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 ISBN

162-8707

話  03(3260)0141

C3341Printed

三 美 印 刷･渡

辺製 本

in Japan

理科大 戸 川 美 郎 著 シ リー ズ〈数 学 の世 界 〉１

ゼ ロ か ら わ か る 数 学

０ ,２,３,… と四 則 演 算 だけ を予 備 知 識 と して 数 学 に お け る 感 性 を会 得 させ る数 学 入 門 書 。 集 合 ・写 像 な どは 丁 寧 に 説 明 して使 え る道 具 と して

 -数 11561-x

し ま う。 最 終 目的 地 は イ ン ター ネ ッ ト向 き の 暗 号 方 式 と して最 もエ レガ ン トなRSA公 開鍵 暗号

論 とそ の 応 用A5判  144頁 本 体2500円

C3341 

早大 鈴 木 晋 一 著 シ リー ズ〈数 学 の世 界 〉６

幾 11566-0

何

の

Ｃ3341 

A5判 

世

界

数学オリンピック財団 野 口

152頁  本 体2500円

廣著

ユー ク リッ ドの平面幾何 を中心に して,図 形 を数 学的 に扱 う楽 しさを読者に伝 える。 多数の 図 と例 題,練 習 問題 を添え,談 話室で興味深い話題 を提 供す る。 〔 内容〕幾何 学の歴史／基礎的 な事項／ ３ 角 形／ 円周 と円盤／ 比例 と相似／ 多辺形 と円周

シ リー ズ 〈数 学 の世 界〉７

数 学 オ リン ピ ッ クに 挑 戦 し よ う と思 う読 者 は,第 一 歩 と して何 を ど う学 ん だ ら よ いの か 。 挑 戦 者 に

数 学 オ リ ン ピ ッ ク 教 室

必 要 な数 学 を丁 寧 に解 説 しな が ら,問 題 を解 くア イデ ア と道 筋 を具 体 的 に 示 す 。 〔内容 〕集合 と写 像

11567−9

／ 代 数 ／ 数 論 ／ 組 み合 せ 論 と グ ラ フ／ 幾何

C3341 

A5判 

140頁  本 体2500円

前東工大志賀 浩二著

〔内容〕数直線／ 関数 とグラフ／有理関数 と簡単 な 無理 関数の微分／三角 関数／ 指数 関数／対 数関数 ／ 合成関数の微分 と逆 関数 の微分 ／不定積 分／定 積分 ／円の面積 と球 の体積／極 限について／平均 値 の定理／テ イラー展 開／ ウォ リスの公 式／他

数学30講 シ リーズ １

微

分

11476−1

C3341 

・ 積

分30講

A5判 

208頁  本 体3200円

前東工大志賀浩 二著

〔内容〕ツル ・ カ メ算 と連立方程式／方程式,関 数, 写像／ ２次元の数ベ ク トル空間／ 線形写像 と行列 ／ベ ク トル空間／基底 と次 元／正 則行列 と基底変

数学30講 シ リー ズ ２

線 11477−x

形

代

C3341 

学習院大飯高

数30講

A5判 

換／正 則行 列 と基本行列／行列式 の性質／ 基底変 換 か ら固有値問題へ／ 固有値 と固有ベ ク トル／他

216頁  本 体3200円

茂著

２次 の 行 列 と行 列 式 の 丁 寧 な 説 明 か ら始 め て,３

線 形 代 数   基 礎 と応 用

次,ｎ 次 と レベ ル が 上 が る た び に 説 明 を 繰 り返 す ス パ イ ラル 方 式 を採 り,抽 象 ベ ク トル空 間 に 至 る 一 般 論 を 学 習 者 の 心 理 を考 え なが ら展 開 す る。 理

11583−0

解 を深 め るた め 興 味 深 い応 用 例 を 多数 取 り上 げ た

講座  数学の考 え方3

東大岡

C3341 

A5  判256頁 

本 体3200円

"五感 を動員 して読 む"ことの重要性 を前面 に押 し

和夫 著

す うが くぶ っ くす15

微

分

11491-5  C 3341 

積

分

A5変

読

本

判 304頁  本 体3900円

前東工大 志 賀 浩 二 著 は じめ か らの 数 学 １

数 11531−8

に C3341 

つ

い

B5判 

て

152頁  本 体3500円

前東工大 志 賀 浩 二 著 は じめ か らの 数 学 ２

式

に

つ

C3391 

J.-P.ド

ゥ ラ ェ著   京大 畑  政 義 訳

π− 11086−3

B5判 

い

11532−6

魅 Ｃ3041 

B5判 

て

200頁  本 体3500円

惑 208頁

の 本 体4600円

数

出 した著者 渾身の教科書。自由な案 内人に従 って, 散歩 しなが ら埋 もれた宝 ものに 出会 う風情。 〔 内容 〕 座標／連 続関数 の定積分／ テイラー展 開／ 微分法／整 級数 ／積分 法／微分積分 の応用 数 学 を も う一 度 初 め か ら学 ぶ と き"数"の 理 解 が一 番 重 要 で あ る。 本 書 は 自然 数,整 数,分 数,小 数 さ らに は 実 数 ま で を述 べ,楽 し く読 み 進 む うち に 十 分 深 い理 解 が得 られ る よ うに 配 慮 した 数 学 再 生 の 一 歩 と な る話 題 の 書 。 【 各 巻 本 文 二 色刷 】

点 を示す等式か ら,範 囲を示 す不等式へ,そ して 関数の世界へ導 く「 式」の世界 を展開。〔内容 〕 文字 と式／二項定理／数学 的帰納 法／恒 等式 と方程式 ／ ２次方程式／ 多項式 と方程 式／ 連立方程 式／不 等式／数列 と級数／式 の世 界か ら関数の世 界へ 「πの 探 求,そ れ は 宇 宙 の 探 検 だ 」古 代 か ら 現 代 ま で,人 々 を魅 了 して き た神 秘 の数 の 世 界 を探 る。 〔内容 〕πと の 出 会 い／ πマ ニ ア／ 幾 何 の 時 代 ／ 解 析 の 時代 ／ 手 計 算 か ら コ ン ピ ュー タへ ／ πを 計 算 しよ う／ πは 超 越 的 か ／ πは 乱 数 列 か ／ 付 録 ／ 他  上 記 価 格(税 別)は2004年

３ 月現 在