統計学の数理―講座 情報をよむ統計学〈3〉 (講座情報をよむ統計学 3)

講座情報をよむ統計学３

統計学の数理 上 田 尚 一・著

朝倉書店

講座 「 情 報 を よむ統計 学」  刊 行 の 辞

  情 報 の 流 通 ル ー トが 多様 化 し,ア

情 報化 社会 への 対応

な り ま し た.誰

クセ ス しや す く

もが簡単 に情 報 を利用 で き るよ うに

な っ た … こ の こ とは 歓 迎 し て よ い で し ょ う.た だ し,玉 石 混 交 状 態 の 情 報 か ら玉 を選 び,そ は,玉

の 意 味 を 正 し くよ み と る能 力 が 必 要 で す.現

と石 を 識 別 せ ず に 誤 用 し て い る,あ

る い は,意

実に

図 を カ ム フ ラー

ジ ュ した 情 報 に 誘 導 され る結 果 に な っ て い る … そ う い うお そ れ が あ る よ う で す.   特 に,数

字 で 表 わ され た 情 報 につ い て は,数

うだ け で,正

値 で表 現 され てい る とい

確 な 情 報 だ と思 い 込 ん で し ま う人 が み られ る よ うで す ね.   ど う い う観 点 で,ど

情 報 の よみか き 能力が 必要

え ず に,結

ん な 方 法 で 計 測 した の か を考

果 と して 数 字 に な っ た 部 分 だ け を み て い

る と,「 簡 単 に ア ク セ ス で き る」 こ と か ら 「簡 単 に 使 え る」 と勘 違 い し て,イ

ー ジ ィ に 考 え て し ま う … こ うい う危 険 な 側 面 が あ る こ と に 注 意

し ま し ょ う.   数 値 を 求 め る 手 続 き を考 え る と,「 た ま た ま そ う な っ た の だ 」 と い う 以 上 に ふ み こ ん だ 言 い 方 は で き な い こ とが あ り ます.ま

た,そ

の数 字 が

正 しい と して も,そ の 数 字 が 「一 般 化 で き る傾 向 性 と解 釈 で き る場 合 」 と,「 調 査 し た そ の ケ ー ス に 関 す る こ とだ と い う 以 上 に は 一 般 化 で き な い 場 合 」 と を,識 別 し な け れ ば な ら な い の で す.   こ う い う 「情 報 の よ み か き 能 力 」を もつ こ と が 必

その基 礎 をなす 統計 学

要 で す.ま

た,情

報 の う ち 数 値 部 分 を 扱 う に は,

「統 計 的 な 見 方 」 と 「それ に 立 脚 した 統 計 手 法 」を 学 ぶ こ とが 必 要 で す.   こ の 講 座 は,こ

うい う観 点 で 統 計 学 を学 ん で い た だ くこ と を期 待 して

ま と め た もの で す.   当 面 す る問 題 分 野 に よ っ て,扱

う デ ー タ も,必 要 と さ れ る 手 法 も ち が

い ま す か ら,そ の こ とを 考 慮 に 入 れ る …

しか し,で

き る だ け 広 く,体

系づ け て 説 明 す る … こ の 相 反 す る条 件 を み た す た め に,い 冊 に わ け て い ます.

くつ か の 分

ま え が き

この テ キ ス ト の主題

  この テ キ ス トでは,デ

ー タ解 析 の 手 法 と して広 く使 わ れ て

い る 「回 帰 分 析 」 を例 に とっ て解 説 しま す．

  まず ， 回帰 分 析 の 原 理 とそ の 数 理構 成 を,第

１章,第

２章 で説 明 し ま す・ こ

の部 分 は 多 くの テ キ ス トで取 り上 げ られ て い ます が,そ

れ だ け で は実 際 の 問 題

を 扱 え ませ ん．  数 理 は,あ

る モ デ ル を想 定 で き る こ と を前 提 と して 展 開 され て い ます か ら,

そ れ を適 用 す る に は,ま

ず どん な モ デ ル を想 定 す る か とい う問 題 が あ り ます.

こ の よ う な,適 用 上 の 問 題 に つ い て くわ し く解 説 す る のが この テ キ ス トの ね ら い で す. このテ キス ト の構成 ３章).ま

  適 用 前 の 問 題 と して は,説 の 問題 につ い て,種

明 変 数 の 選 び方 が あ り ます.こ

々 の 注 意 点 を体 系 づ け て説 明 し ます(第

た,ど ん な デー タ に も 多数 部 分 と一 緒 に は 扱 え な い 外 れ 値 が 混 在 し

て い る可 能 性 が あ ります か ら,そ れ らが 混 在 して い る ときの 影 響 の 評 価 法,あ る い は,そ れ らの 影 響 を受 け に くい方 法 に つ い て,第

８章 で説 明 し ます.

  ま た,計 算 に よ って ど ん な こ とが わか っ た か を 説 明 す る場 面 … い わ ば 数 理 を適 用 した後 の 問 題 に つ い て も,各 説 明 変 数 の 影 響 度 を計 測 す る な ど,数 理 的 な 手 法 を適 用 で き る こ とを説 明 し ます(第 ４章).   適 用 とい う意 味 で は,当 然,扱

うデ ー タ の タ イプ に 応 じて 考 え るべ き注 意 点

が あ り,そ れ を くわ し く説 明 して い るの が こ の テ キ ス トの特 徴 で し ょ う.   第 ５章 で は,統 計 調査 の 結 果 な どの 集 計 デ ー タ を扱 う場 合 に つ い て,そ れ ぞ れ の デ ー タの サ イ ズ が 異 な る こ とへ の 対 応 な ど,い

くつ か の 見過 ご され て い る

問 題 を取 り上 げ て い ます.   第 ６章 では,時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に,あ

る時 点 に お け る状 態 を表 わ す 変

数 と,あ る期 間 に お け る変 化 を表 わす 変 数 を 区別 して 現 象 を説 明 で き る こ と を 示 し,次 の 第 ７章 で は,そ の 見 方 を入 れ た 「時 間 的 推 移 の 分 析 」の 典 型例 と し

て,成

長 現 象 に 関 す る ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ に つ い て 説 明 し ま す.

この テ キ ス ト の説明方法

  この テ キ ス トで は,実 際 の 問 題 解 決 に 直 結 す る よ うに,適 当 な実 例 を取 り上 げ て 説 明 して い ます.数

す が,そ の 数 理 が な ぜ 必 要 とな る の か,そ

理 を解 説 す るの で

う して,数 理 で ど こ ま で 対 応 で き,

ど こ に 限 界 が あ る の か … そ こ をは っ き りさせ る た め に 選 ん だ 実 例 で す.  実 際 の 問題 を扱 い ます か ら,コ ン ピ ュー タ を使 う こ と を 前提 と して い ます. 学 習を助 ける ソフ ト

  こ の シ リー ズ で は,そ 『統 計 ソ フ トUEDAの

うい う学 習 を助 け る た め に,第

９巻

使 い 方』に デ ー タ解 析 学 習 用 と し て 筆

者 が 開 発 した 統 計 ソ フ トUEDA(Windows版CD-ROM)を

添 付 し,そ の 解 説

を用 意 して あ ります.   分 析 を実 行 す るた め の プ ロ グ ラ ム ば か りで な く,手 法 の 意 味 や 使 い方 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す るプ ロ グ ラ ム や,適

当な実例 用の デー タ をお さめ たデー タ

ベ ー ス も含 ま れ て い ます .   こ れ ら を使 っ て,   テ キ ス ト本 文 を よ む → 説 明 用 プ ロ グ ラム を使 っ て理 解 を確 認 す る → 分 析 用 プ ロ グ ラム を使 っ て テ キ ス トの 問 題 を解 い て み る → 手 法 を活 用 す る力 をつ け る →...

と い う学 び 方 を サ ポ ー トす る 「学 習 シ ス テ ム 」に な っ て い る の で す.   こ の テ キ ス ト と 一 体 を な す もの と し て,利

用 して い た だ くこ と を期 待 して い

ま す. 2002年10月   上

田 尚 一

次

目

１. 回 帰 分 析 

１

1.1  傾 向性 と個 別 性 

１

1.2  傾 向 線 の 求 め 方  

２

1.3  傾 向 線 の 有 意 性 判 定 1.4  回 帰 分 析 とは  問

題

 ２

３

１  ６

２. 回 帰 分 析 の 基 本 

８

2.1  回 帰 分 析 の 構 成  

８

2.2  最 小 ２乗 法 の 数 理   2.3  適 用 上 の 問 題  

16

19

2.4  一 般 線 形 モ デ ル  

21

2.5  回 帰 分 析 の 計 算 手 順   2.6  回 帰 分 析 の 進 め 方   2.7 

残 差 プ ロ ッ ト 

24 30

34

2.8  補 足 ：回 帰 推 定 値 の 確 率 論 的 性 質   問

題

２ 

３. 分 析 の 進 め 方― 3.0 

問 題 例 

説 明変 数 の取 り上 げ方  46

3.1  説 明 変 数 選 択 と分 散 分 析   3.2  ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響   3.3  説 明 変 数 の 変 換  

56

3.4  説 明 変 数 の 追 加,変

更 

3.5  説 明 変 数 の 細 分  

60

3.6  質 的 変 数 の 扱 い(数 量 化) 

49 54

57

62

3.7  数 量 デ ー タ の再 表 現(数 量 化)  問

題

３ 

38

41

71

66

46

75

４. 回 帰 分 析 の 応 用  4.1  被 説 明 変 数 に 対 す る寄 与 度 ・寄 与 率 の 計 算   4.2  平 均 値 対 比 に お け る混 同 効 果 の 補 正  

78

4.3  回帰 推 定 値 に お け る混 同 効 果 の 補 正  

81

4.4  相 関 係 数 に お け る混 同効 果 の 補 正   4.5 

問

分

題

析

４ 

例 

75

82

84

88

５. 集 計 デ ー タ の 利 用 

91

5.0  こ の 章 の 問 題  

91

5.1  集 計 デ ー タ とそ の タ イ プ   5.2  決 定 係 数 の 解 釈  

92

94

5.3  値 域 区 分 の 仕 方 と ウエ イ トづ け   5.4  第 三 の 変 数 の 影 響 へ の 考 慮   問

題

５ 

97

101

106

108

６. 時 系 列 デ ー タ の 見 方  6.1  季 節 性 と トレ ン ドの 分 離   タ イ ム ラ グ 

119

6.3  変 化 の 説 明 

124

6.2 

6.4 

レ ベ ル レ ー ト図 

130

6.5  レベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線   問

題

６ 

108

134

139

142

７. 時 間 的 推 移 の 分 析  7.1  成 長 曲 線 の モ デ ル― 7.2 

ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ     142

ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(一

般 型) 

7.3  成 長 曲 線 の パ ラ メー タ推 定  

7.4  ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の適 用 例   7.5  モ デ ル 選 定 の 考 え方   問

題

７ 

145

147 149

160

163

８. ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処  8.1  観 察 単 位 の 異 質 性   166 8.2 

ハ ツ ト行 列   168

8.3 

残 差 プ ロ ッ ト  170

166

175

8.4  補 足:影

響 分 析 

8.5  補 足:回

帰 推 定 値 に 対 す る影 響 分 析  

8.6  加 重 回 帰(ロ バ ス ト回帰) 問

題

８

176

178

184

186

９. ２変 数 の 関 係 要 約 9.1  平 均 的 傾 向 を 表 わ す 線 の 求 め 方(１ 線 要 約)  9.2

傾 向 を拾 い 上 げ る

188

9.3  ひ ろ が り幅 を示 す(３ 線 要 約) 問

付

録

題

193

９

  194

A.

分析 例 とその資料 源

B.

付 表:図

C.

統 計 ソ フ トUEDA

索

引

◎

ス ポ ッ 卜

  196

217

 219

EDAとCDA 

 

予

 

dirty  dataのcleaning 

◎

  194

・表 ・問 題 の 基 礎 デ ー タ

 

 

190

測  

５ 109 157

シス テ ム ダ イナ ミッ ク ス  

165

プログラム DATAIPTの DATAEDITの

使 い 方 

44

使 い 方(キ イ ワー ドの 挿 入) 

VARCONVの

使 い 方(１) 

73

VARCONVの

使 い 方(２) 

140

45

186

《シ リー ズ 構 成 》 １. 統 計 学 の 基 礎 

どん な場 面 で も必要 な基本概 念.

２. 統 計 学 の 論 理 

種 々 の 手 法 を広 く取 り上 げ る.

３. 統 計 学 の 数 理 

よ く使 わ れ る手 法 を くわ し く説 明.

４.  統 計 グ ラ フ 

情 報 を 表 現 し,説 明 す る た め に.

５. 統 計 の 活 用 ・誤 用 

気 づ か な い で 誤 用 し て い ませ ん か.

６. 質 的 デ ー タ の解 析 

意 識 調 査 な どの 数 字 を 扱 うた め に.

７. ク ラ ス タ ー 分 析 

多次 元 デー タ解析 とよばれ る 

８. 主 成 分 分 析  ９. 統 計 ソ フ トUEDAの

手 法 の う ち よ く使 わ れ る もの. 使 い 方 

１∼ ８に 共 通 で す .

１ 回

帰

分

析

  この テ キ ス トで 説 明 しよ う とす る こと,お よび,説 明 の ス タン スの あ らま しを示 して お き ます.く わ し くは次 章 以 降 で 解 説 してい き ます が, 要 は,回 帰 分析 な どの統 計 手 法 を 「現象 を説 明 す る手 段 と し て考 え てい く」とい う こ とです ．

1.1  傾 向性 と個 別 性  ①  ２つ の 変 数 Ｘ,Ｙ が 次 の よ う にl0個 と し ま し ょ う.Ｘ,Ｙ

の 観 察 値 が 対 に な っ て い る こ と に 注 意 して くだ さ い.

表1.1.1(Ｘ,Ｙ)の

 ②  こ の 例 の よ う に,Ｘ,Ｙ 1.1.2の は,点

の 観 察 単 位 に つ い て 観 察 さ れ て い る もの

観 察 値

の 情 報 が 対 の 形 に な っ て い る 場 合,次

よ う に 平 面 上 の 点 の 位 置 で 図 示 す る こ とが で き ま す.ま

た,こ

ページの 図 の例 に つ い て

の 分 布 が ほ ぼ 直 線 に 沿 っ て い る こ とか ら,こ の 傾 向 性 を 表 わ す 線 を え が い て よ

い で し ょ う.い

いか え る と,傾

向 性 を 傾 向 線 で 表 わ す こ とが で き るの で す.

  そ う し て,点

の分 布 が 「 左 下 か ら右 上 方 向 に 散 布 し て い る 」こ とか ら,「 Ｘ が 大 き

くな る と Ｙ が 大 き くな る」 と い う傾 向 を 見 出 す こ と が で き ま す.   当 然 の こ と を い っ て い る よ う で す が,基 礎 デ ー タ の 情 報 の う ち の 「傾 向 性 」に 注 目 し て い る の だ と い う こ と を,は   ま た,傾

っ き り意 識 して くだ さ い.

向 線 で は 表 現 さ れ な い 部 分 が あ る こ と に 注 意 し ま し ょ う.そ

性 」 と よぶ こ とに し ま し ょ う.

れ を 「 個別

図1.1.2 

  図1.1.3の

XYプ

ロ ッ ト

図1.1.3 

傾 向 性 と個 別 性 を識 別

よ うに 傾 向 線 を 書 き込 む こ と は,デ ー タ の もつ 情 報 を

 

デ ー タ全 体 を通 して み た と きに 検 出 さ れ る 「傾 向 性 」

 

そ れ に よ っ て は 説 明 さ れ な い 「個 別 性 」

と わ け て み る こ と を意 味 しま す.そ

の こ と を 目的 と し て,傾

線 以 外 の 線 で も よ い)を 求 め るの で す.個 て よ い の で す が,個

向 線(場 合 に よ っ て は 直

別 性 の 小 さ い 問 題 分 野 な ら傾 向 線 に 注 目 し

別 性 の 大 き い 問 題 分 野 が あ り ま す か ら,ま ず,プ

ロ ッ ト して,傾

向 性 ・個 別 性 の 大 き さ を把 握 す る の で す.

1.2  傾 向 線の 求 め 方  ①  「傾 向 線 の 求 め 方 」に つ い て は ま だ 言 及 して い ま せ ん.デ じて 考 え る べ き こ と で す が,よ 線 の へ だ た り(DI)を と い う原 理 で す.こ

く採 用 さ れ る の は,図1.2.1に

測 る もの と し,そ の 分 散(1/N)ΣDI2が

ー タの見 方 な どに応 示 す よ うに 各 点 と傾 向

最小 に な るよ うに定め る

れ を 「最 小 ２乗 法 」 とよ び ます.

  た だ し,こ れ が 唯 一 で は あ り ませ ん.ま

た,そ

れ を

適 用 す る に あ た っ て 必 要 な 前 提 が あ り ま す か ら,順

図1.2.1 

傾向線の求め方

を

追 っ て 説 明 して い き ます.  ②  ま た,Ｙ

の 値 の 大 小 を ｌつ の 変 数 Ｘ で 説 明 で

き る と は 限 り ませ ん.最

小 ２乗 法 の 数 理 は,２ つ 以 上

の 変 数(説 明 変 数)を 組 み 合 わ せ て 使 う 方 向 に 拡 張 で き ます が,ど

ん な 変 数 を い くつ 使 う か は,数

で決 ま る こ と で は あ りま せ ん.個

理 の枠 内

々 の 問 題 ご とに,考

え るべ き こ とで す.

1.3  傾 向 線 の 有意 性 判 定  ①  ど ん な方 法 を 採 用 し た と き に も,傾

向 線 を 使 う こ との 有 意 性 を 測 る こ とが 必 要

で す.そ

の た め に は,上

掲 の分散 が

「傾 向値 を 基 準 と した 分 散 」… … 残 差 分 散 と よば れ る で あ る こ とか ら,傾

向 線 を使 わ な か っ た 場 合 の 分 散,す

なわ ち

「全 体 で の 平 均 値 を 基 準 と し た分 散 」… … 全 分 散 と よ ば れ る と 比 べ た 減 少 率 に 注 目 し ます.こ

れ を 「決 定 係 数 」 と よ び ます,す

な わち

残差 分散 全分 散

決 定 係 数=1で す.

 ②  こ の 値 が 大 き け れ ば,そ

の傾 向 線 を使 っ て デ ー タ の 変 動 を 十 分 説 明 で き る と了

解 で き ます.   こ の 値 が 小 さ い と きに は,そ

の 傾 向 線 で は 十 分 説 明 で き な い と い う こ と です か ら,

傾 向 線 の 求 め 方 を さ らに 工 夫 し ま し ょ う.た だ し,個 別 性 が 大 き い の で 「どん な 方 法 で傾 向 線 を求 め て も傾 向 性 を見 出 せ な い 場 合 」が あ り う る こ と に 注 意 し ま し ょ う.そ うい う場 合 に は,決   以 上 が,回

定 係 数 は 大 き くな りえ ませ ん.

帰 分 析 の 数 理(第 ２章)で す.

1.4  回帰 分 析 とは  ①  回 帰 分 析 の 数 理 とこ と わ っ た の は,そ

れ を現 実 の 問 題 に 適 用 す る場 面 に 関 し て

種 々 の 考 え るべ き点 が あ る か ら で す.   こ の テ キ ス トで は,こ の 接 点 に 関 して,く

れ ら の 点 を含 め て,傾

向 線 を求 め る 数 理 と実 際 問 題 へ の適 用

わ し く説 明 し て い き ま す.

 ②  Ｙ(被 説 明 変 数)の 値 の 変 動 を 説 明 す る た め に,そ 別 の 説 明 変 数(XI,I=1,…,K)を

れ と関 連 を もつ と み られ る

使 っ て 関 係 式Y=A+ΣBIXIを

め の 手 法 が 回 帰 分 析 で す が,現

見 出す … その た

実 の 問 題 に 適 用 し よ う とす る と,説

明変 数 の 選 び 方 と

観 察 単 位 の 選 び 方 な ど 「運 用 の仕 方 」 と して 考 え る べ き 問 題 が あ り ま す.そ

う して,

そ れ が 結 果 を左 右 し ます.   し た が っ て,候

補 と な る変 数 と観 察 単 位 の 範 囲 を広 く取 り上 げ,デ

(I=1,…,K,n=1,…,N)か

ら 「説 明 変 数 を ど う 選 ぶ か,ま

るい は,「 観 察 単 位 を ど う選 ぶ か,ま こ む こ と が 必 要 で す(第

ー タ セ ッ トXIn

た は ど れ を 外 す か 」,あ

た は ど れ を 外 す か 」 を検 討 す る ス テ ップ を お り

３章).

  こ の 検 討 な しに 多 くの変 数 を 含 め た 場 合,推

定 精 度 が 落 ち る な ど推 定 上 の 問 題 が 発

生 し ます が,問 題 は そ れ だ け で は あ りませ ん.計

算 上 解 が 得 ら れ て も,そ れ を ど う解

釈 す るか とい う難 問 が あ りま す.  ③  基 礎 デ ー タ の タ イ プ も考 慮 しな け れ ば な り ませ ん.   た と え ば,基 礎 デ ー タが 「す べ て が 同 じ条 件 下 で 求 め ら れ た 情 報 」だ とい い に くい た め,す

べ て を 使 う よ り も 「あ る 範 囲 に 限 定 す る方 が よ り よ く説 明 で き る」場 合 が あ

る も の です ．   ま た,ひ

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る個 別 デ ー タ で は な く,そ れ を集 計 す る 手

順 を経 て 求 め ら れ た集 計 デ ー タや,年

次 区分 に 対 応 す る デー タ な ど,タ

イプ に応 じて

適 用 の 仕 方 を考 え る こ とが 必 要 で す.

表1.4.1 

区別 すべ きデ ー タ タ イプ

い くつかの観察単位か らなる

集 計区分が系列に対 応す る 場合

集 計区分に対応す る場合

  多 くの 手 法 で は 「個 別 デ ー タ を 使 え る こ と を 暗 黙 の 前 提 」 と し て い ま す が,集 デ ー タや 時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に は そ れ ぞ れ 特 有 な手 法 が,種 す(第 ５章,第   特 に,時

々,展

計

開 され て い ま

６章).

系 列 デ ー タ に つ い て は,「 時 間 的 変 化 を 説 明 す る」 と い う観 点 で モ デ ル を

想 定 す る こ とが 必 要 で す(第

７章).

 ④  観 察 値 の 性 質 に つ い て 「あ る 前 提 を お け ば 」数 理 と し て は きれ い な 形 に ま とめ られ る 「 最 小 ２乗 法 」で す が,適 い る とは い い に くい の で,そ 法 を 組 み 立 て る と か,対

用 す る 問 題 分 野 に よ っ て は,そ

の 前 提 が 成 り立 っ て

の 前 提 を ゆ るめ た状 態 で 適 用 で き る 「頑 健 性 」の あ る 手

象 デ ー タ 中 に 含 ま れ る 「ア ウ トラ イ ヤ ー 」,す な わ ち 傾 向 性

か ら外 れ た デ ー タ を検 出 す る機 能 を お りこ む な ど,種 々 の 対 応策 が 提 唱 され て い ます .  ⑤  説 明 変 数 や 観 察 単 位 の 範 囲 を ど う決 め るか は,手 の適 用 上 の 問 題 と し て考 え よ …

法 の 数 理 の 枠 外 で あ り,手 法

こ う い う言 い 方 は,不 適 当 で す.

  「手 法 を適 用 し て 現 実 の 問 題 を 解 決 し よ う」 とす る な ら,数 理 と適 用 を わ け て 考 え る こ と は で き ませ ん.数 拡 張 す る 試 み が,た

理 の 方 も,こ

う い う問 題 を 「数 理 の 枠 内 に 取 り込 む 」方 向 で

と え ば 「回 帰 診 断 」 とか 「影 響 分 析 」 と して 展 開 され て い ます(第

８章).   こ うい う話 題 は,入

門 書 で は 取 り上 げ な い の が 普 通 で す が,手

法の適 用 とい う意味

で は 必要 か つ 重 要 な点 で す.  ⑥  た だ し,ど ん な場 合 に も 通 用 す る 形 に は な っ て い ませ ん か ら,ま ず,   あ りの ま ま図 示 す る こ とに よ っ て デ ー タ の特 性 を 客 観 的 に把 握 す る … こ う い う原 則 に た っ た 手 法 に 注 目 し ま し ょ う(第 ９章).  ⑦  こ の テ キ ス トで は,広

い 観 点 を と っ て い る に して も,回 帰 分 析 に 焦 点 を あ て て

い き ます.現

象 を説 明 す る た め の 手 法 と い う意 味 で は,回

あ り ます.そ

れ ら の 手 法 を幅 広 く取 り上 げ て 解 説 し た テ キ ス ト(本 シ リー ズ 第 ２巻

帰分析 以外 に種 々 の手 法が

『統 計 学 の 論 理 』)を別 に 用 意 して あ り ま す か ら,そ れ も参 照 す る と よ い で し ょ う.

EDAとCDA   回 帰 分 析 に 関 す る解 説 で 「デ ー タ の あ て は め 」と い う表 現 や 「 傾 向 線 を求 め る」 と い う 表 現 を使 う こ とが あ り ます.わ そ れ で よ い の で す が,回

か りや す く説 明 す る と い う趣 旨 で 使 う …

帰 分 析 を適 用 す る場 面 や 適 用 方 針 に 立 ち 入 っ て 考 え る 場

合 に は,区 別 した くな る点 が あ りま す.   ど ん な場 合 に も 「基 礎 デ ー タ と合 致 し て い る か 否 か 」を み る と と も に,そ

れに

よ っ て 「現 象 を説 明 す る」こ と を 考 え るの で す が,   ａ.説 明 は 後 の こ と と し,  

ま ず 「基 礎 デ ー タ をあ りの ま ま 把 握 す る 」こ と を 考 え る

と い う使 い 方 をす る場 合 と  

ｂ.ま

ず 説 明 の 仕 方 を 考 え て 傾 向 線 の タ イ プ に 関 す る 「モ デ ル を 想 定 し」

 デ ー タ を 使 っ て 「想 定 され た タ イ プ に 属 す る傾 向 線 を特 定 す る」 と い う使 い 方 をす る場 合 を 区別 し ま し ょ う.   た と え ば,ア

ウ トラ イ ヤ ー(外 れ 値)の 扱 い方 で ち が い が 出 て き ます.

  ａの 立 場 で は,ア

ウ トラ イ ヤ ー が 他 と離 れ て い る,よ

っ て,そ

の理 由 を調べ よ

う と,他 の 多 数 部 分 と 同 等 の 注 意 を向 け ま す.   ｂの 立 場 で は,(そ

れ が 少 数 な ら,)想 定 さ れ た 傾 向 か ら外 れ た 例 外 値 だ か ら,

そ れ を除 外 して傾 向 線 を 求 め よ う とい う方 向 に 進 み ます.   こ れ らの 立 場 を,そ

れ ぞ れ 「デ ー タ 主 導 型 」,「仮 説 主 導 型 」 と よ ぶ こ と に し ま

し ょ う.手 法 の 組 み 立 て 方 や 適 用 の 仕 方 で も, 「探 索 的 デ ー タ解 析 」(exploratory  「 検 証 的 デ ー タ解 析 」(confirmatory  と区 別 され ます.

data analysis…EDAと data analysis…CDAと

略 称) 略 称)

問題 １

問 １ プ ロ グ ラ ムREG00は,こ

の テ キ ス トの 主 題 で あ る 回 帰 分 析 の あ ら ま しの 説 明

を パ ソ コ ン の 画 面 に 表 示 し ます.よ  

注:UEDAの

ん で くだ さ い.

使 い方 は シ リー ズ第 ９巻 に詳 述 して い ます が,こ の プ ロ グ ラ ムに つ い

ては,ア イ コ ン を ク リ ック して メニ ュー を表 示 し,ま ず ４(区分 番 号),次 に １(プ ロ グ ラムREG00の  

番号)を 入 力 す る だけ です .

説 明文 が 自動 的 に表 示 され ます.区 切 りで 静 止状 態 に な った ときに はEnterキ イ をお します.

問 ２ 手 元 に あ る(ま

た は 利 用 で き る)統

計 学 の テ キ ス トに つ い て,次

の語 の解 説が 含

ま れ て い る か 調 べ よ.  

ａ.最

小 ２乗 法,ｂ.変

た は 外 れ 値,ｅ.仮

数 選 択,ｃ.回 説 検 定,ｆ.確

帰 診 断,ｄ 率,ｇ.行

． ア ウ トライ ヤー ま

列,ｈ.ロ

ジ ス テ ィッ ク

カー ブ  

注:こ の テ キ ス トで は,ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｈ を 解 説 し て い ま す.こ の う ち ｃ は,初 級 の テ キ ス トで は 取 り上 げ な い の が 普 通 で す が,こ の テ キ ス トで は,そ の 意 義 を解 説 して い ま す.ｆ,ｇ は,必

ず し も必 要 で は な い の で,こ

の テ キ ス トで は(一

部 の 箇 所 を除

き)使 っ て い ませ ん.

問 ３ 問 ２の テ キ ス トで 「回 帰 分 析 の 例 題 」を示 して い る場 合,次    

の タ イプ の デ ー タ を

取 り上 げ て い る か 調 べ よ. ａ.ひ

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る 「個 別 デ ー タ」

  ｂ.一 連 の 区 分 に 対 応 す る平 均 値 の 「系 列 デ ー タ」   ｃ.年 あ るい は 月 な ど の 区 分 に 対 応 す る 「時 系 列 デ ー タ 」  

注:扱 うデー タの タイプ に よっ て,手 法 の適 用 の 仕 方 に 特別 な 注 意 が 必 要 と な り ま す か ら,種 々 の タ イプ の デ ー タ を取 り上 げ て学 習す る こ とが 必 要 です.こ の テ キ ス トで は,こ の こ とを重視 して い ます .ま た,UEDAに

は 種 々 の タ イプ の デ ー タ

を収 録 した デー タベ ー ス を添 付 してあ ります. 問 ４ 統 計 計 算 の た め に 利 用 で き る ソ フ トが あ る 場 合,次 る か 調 べ よ.   ａ.回 帰 式 の 適 合 度 を示 す 決 定 係 数   ｂ.説

明 変 数 の 自動 選 択

  ｃ.２ 変 数 の 関 係 を示 す グ ラ フ   ｄ.残 差 と推 定 値 の 関 係 を 示 す グ ラ フ

の プ ロ グ ラ ム が 含 まれ て い

ｅ.非 線 形 モ デ ル に つ い て の 逐 次 近 似 計 算 ｆ .ハ

ッ ト行 列

注:こ の テ キ ス トに 沿 った 学 習 をす るた め に は,ａ,ｃ,ｄの 機 能 を もつ 統 計 ソ フ トを 使 う と有 効 です.こ の シ リー ズ に は,そ うい う学 習 用 ソフ トUEDAが

用 意 され

て い ます,ま た,各 章 末 の 問題 には この ソフ トを使 うこ とを想 定 した もの が 含 ま れ てい ます.

問 題 につ いて  (１) 問題 の 中に は,UEDAの

プ ロ グ ラ ム を使 って,テ キ ス ト本 文 での 説 明 を確

認 す るた めの 問題 や,テ キ ス トで使 った 説 明例 を コ ン ピュー タ上 で 再 現 す る も の な どが含 まれ て い ます.  

したが って,UEDAの

プ ロ グラ ム を使 うこ と を想 定 して い ます.

  (2) UEDAの 使 い 方 に つ い て は,本 シ リー ズ の 第９ 巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの い方 』を参 照 して くだ さい.  (３) 問題 文 中 でプ ロ グ ラム ○ ○ とい う場 合,UEDAの (４) 多 くの デー タは,UEDAの

使

プ ロ グラ ム を指 します. 

デー タベ ー ス 中 に 収 録 され て い ま す.そ の ファ

イ ル名 は,そ れ ぞれ の付 表 に付 記 され てい ます が,そ れ をそ の ま ま使 うの で な く,い くつ か の キ イ ワー ドを付 加 し た もの を使 うこ とが あ ります か ら,問 題 文 中 に示 す フ ァ イル名 を指 定 して くだ さ い.   (５) 付 表 には,収 録 した デー タ を識別 す るため にX1,X2,…,な どの変 数 記 号 を つけ た場 合 が あ ります.問 題 文 で も同様 な記 号 を使 って い ます が,そ れ は,適 用 す る方法 や プ ロ グ ラム との 関 係 を考 えた 記 号 です か ら,付 表 の 記号 と一 致 す る とは 限 りませ ん.し たが って,付 表 の デ ー タ を参 照 す る と きに は,変 数 記 号 では な く,変 数 名 に よっ て照合 して くだ さい.  (６) プ ログ ラム 中 の説 明文 や 処 理 手順 の 展 開 が,本 文 での 説 明 とい くぶ ん ち が っ てい る こ とが あ りますが,判 断 で き る範 囲の ちが い です.  (７) コ ン ピュー タ で出 力 され る結 果 の桁 数 な どが 本文 中に 表示 され る もの とちが うこ とが あ ります.

２ 回帰分析 の基本

  回帰 分析 の 適 用 に あた っ て必 要 な手 順 は,計 算 部 分 だ け で な く,モ デ ルの 想 定,結 果 の解 釈 を含 め て考 え る こ とが 必要 で す.こ の章 で は,こ の手 順 の あ ら ま しを説 明 します.

 回帰分析の構成  ①  Ｙ(被 説 明 変 数)の 値 の 変 動 を説 明 す る た め に,そ 別 の 変 数 Ｘ(説 明 変 数)を 使 っ て,傾 た め の 手 法 が 回 帰 分 析 で す が,も 限 定 を ゆ る め て,も

向 線,た

ち ろ ん,説

れ と関 連 を もつ と み られ る

と え ばY=A+BXを

見 出 す … その

明変数 の数 や傾 向線 の タイプ につ いての

っ と広 い場 面 で も適 用 で き ま す.一

般 化 し て い う と,そ の た め に

必 要 な 手 続 き は,  

ａ.Ｘ,Ｙ

の 関 係 を調 べ,ど

 

ｂ.想 定 さ れ た 型 の 傾 向 線 を,デ

 

ｃ.デ ー タ との 合 致 度 に よ っ て そ の 傾 向 線 の 有 効 度 を評 価 す る こ と.

 

ｄ.そ の 傾 向 線 で 事 態 を 説 明 す る こ と.

を 含 ん で い ま す.こ

ん な 型 の 傾 向 線 を想 定 し う る か 判 断 す る こ と. ー タ に 合 致 す る よ う特 定 す る こ と.

の う ち ｂ と ｃが 数 理 的 な 手 法 と して 取 り扱 わ れ る 部 分 で,そ

れ

を 説 明 す る の が こ の 節 で す.   た だ し,こ の テ キ ス トで 回 帰 分 析 とい う場 合 は,ａ,ｄ の 部 分 を含 む もの と 了 解 し て くだ さ い.ｂ,ｃ の 部 分 だ け を指 す と き に は 回 帰 分 析 の 数 理 とい う こ とに し ます.   数 理 の 前 後 に あ るa,dは,数

理 と して 抽 象 化 さ れ る 部 分b,cと,問

題 ご とに具 体

的 に 扱 う部 分 との 接 点 に あ た り,そ れ ぞ れ の 問 題 分 野 に お け る理 論 や 知 識 を参 照 して 考 察 を進 め ます.ま

た,た

とえ ば 傾 向 線 の 型 や 説 明 変 数 を しぼ っ て い く手 続 きや デ ー

タの 中 に 含 ま れ る ア ウ トラ イ ヤ ー を検 出 す る 手 続 きな ど,数 理 と密 接 に つ な が る重 要 な 問 題 点 が あ り ます か ら,後 の 節 で ふ れ ます.   ②  回 帰 分 析 の 数 理 の部 分 は,

  "デ ー タ と照 合 し,そ と い う形 で,数

れ と最 も よ く合 致 す る よ うに 定 め る"

学 の 問 題 と し て 扱 うこ とが で き ます,す

(Ｘ,Ｙ)の 値 が(X1,Y1),(X2,Y2),… これ らの 情 報 に も とづ い て,関 と い う問 題 です.た  

だ し,た

と し て,Ｎ 係 式Y=f(X)を

い て い の 場 合f(X)と

な わ ち, 組 得 ら れ て い る と き, 定め る

して

い くつ か の パ ラ メー タ を 含 む 関 数 形(モ デ ル)を 想 定 し, そ の パ ラ メ ー タ を定 め る 問 題

に お きか え て 扱 い ま す.た

と え ば モ デ ル と してY=a+bXを

想 定 す る場 合 はａ,ｂ が

パ ラ メー タ で す .   求 め た 関 係 式 に よ っ て Ｙ と Ｘ の 関 係(傾 向)を 説 明 し よ う と い う 意 図 で す か ら, Ｙ を被 説 明 変 数,Ｘ

を説 明 変 数 と よ び ます.

  ③  こ の 意 図 か ら い う と  

Ｙ の 観 察 値Ynと,傾

と い え ま す.し て,そ

た が って,傾

向 値Yn*と

が で き るだ け 近 い 方 が よ い

向 値Yn*を

基 準 と し て 測 っ た 偏 差Yn-Yn*に

の一種 の平 均 であ る分散

の 大 き さ(小 さ い 方 が よ い)を み る の で す.Ｙ Ｙ を 基 準 と し て 測 っ た 偏 差Yn-Yに

を 使 うこ と に な り ます が,こ す.当

注 目 し

然,Ｘ

の 値 だ け し か 使 え な い 場 合 は,平

の 節 の 問 題 は,Ｙ

の ほ か に Ｘ の 観 察 値 を 使 え る場 合 で

を使 わ な い 場 合 よ り も よ い 基 準 を見 出 せ る は ず で す.た

Ｘ の 関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を探 究 し,そ の 傾 向 値Yn*を よ っ て,想

均値

注 目 し,そ の 分 散

と え ば,Ｙ

と

基 準 値 と した場 合 の分 散 に

定 した 基 準 の 有 効 度 を測 る の で す.

◇ 注 １ 分 散Vr￨xあ

るい はVYの

定 義 式 の 分 子 を偏 差 平 方 和 とよ び,Ｓ

分 散 の定 義 で偏 差 平 方 和 Ｓ を Ｎ で わ る こ とに 関 して,N-1やN-K-1(Ｋ でわ るこ とが考 え られ ます.2.2節

と表 わ し ます. は説 明 変 数)

で説 明 します.

◇ 注 ２  この テ キ ス トで は,上 下 に添 字 をつ け た記 号 を使 い ます が,そ の 記 号 に はあ る意 味 を もた せ て い ます.た す.ま た,Ｙ

と えば,添 字 中 の 「￨」は そ の 後 ろ が 条 件 で あ る こ と を表 わ し ま

の 上 の 線 は 平 均値 を表 わ し,Y*の

上 つ きの 「＊」は,あ

る意 味 で の標 準 値

を表 わ します.  ④  「説 明 変 数 Ｘ を 使 わ な い 場 合 と 比 べ て Ｘ を 使 う 方 が よ い 」の は 当 然 で す が, ど の程 度 の 改 善 か が 問 題 に な り ます.ま 効 度 に 差 が 生 じ ます.し

た が っ て,ま

た,Ｘ

を 検 討 す る こ と が 必 要 と な る の で す が,そ は,被

を使 うに し て も,使

い 方 に よ って 有

ず Ｙ と Ｘ の 関 係 を観 察 し,想 定 す べ き関 数 型 れ は 後 の 節 で考 え る こ と と し,こ の 節 で

説 明変 数 Ｙ と説 明 変 数 Ｘ との 関 数 関 係Y=f(X)が

与 え られ た後 の数 理 を説

明 し ま す.  ⑤  想 定 し た 傾 向 線 をY=f(X)と f(X)に

表 わ し ま し ょ う.し

た が っ て,こ

の関係 式

よ る"Ｙ の 計 算 値"を 基 準 と し て 残 差 を測 り,分 散(残 差 分 散)

(1) を求 め ます.そ

の 値 は,Ｙ

とVr￨x≦VYが

成 り立 ち ます か ら,減 少 率

の 平 均 値 を 基 準 と し た 場 合 の 分 散VY(全

分 散)と 比 べ る

(2) す な わ ち,決 い は,有

定 係 数 を指 標 と し て,想 定 した 関 係 式 の 有 効 性 を評 価 す る の で す.あ

効 な 関 係 式 を探 索 して い くの で す.た

い て い の 場 合 は,関

係 式 と して,い

る く

つ か の パ ラ メ ー タ を含 む 型 を 想 定 し,そ の 範 囲 で 最 適 な パ ラ メー タ を み つ け る こ と を 考 え ます. ◇ 注  (2)式 は,R2=1−SY￨x/SYと して も同 じです.た だ し,分 散 の 見積 も りで あ り,前 ペ ー ジ注 １で付 記 し た 「自 由 度 で わ る扱 い」を採 用 して い る場 合 に は,ち が っ て き ます. この 扱 い を した場合 を"自由度調 整ず み の 決定 係 数"と よ び ます.  

この こ とに関 して は,2.8節

で さ らに補 足 します.

 ⑥  関 係 式 の 想 定 基 準 と して は,式  "で き る だ け 簡 単 な 形 で,し

の 形 の 簡 明 さ も大 切 な 要 件 で す. か も,分 散 が 小 さ く な る"

も の を探 索 す る 方 針 を と る の です. 簡 明 さ と い う 意 味 で は,直 Y=α が,第

線 で 表 わ され る関 係

(3)

十bX

一 候 補 で す.ま

ず こ の 範 囲 で 考 え ま し ょ う.

  こ の 範 囲 で も,ａ，ｂ の 選 び 方 に 応 じて 種 々 の 直 線 が あ りえ ます.そ

の 中 で,デ

ータ

に 最 も よ く合 致 す る もの を選 び ます.   た だ し,デ ー タ(XI,YI)の 自 然 で す.こ

平 均 値(Ｘ,Ｙ)の

の 条 件 下 で は,Y=α+bXが

位 置 を通 る とい う条 件 下 で考 え るの が

成 り立 ち ま す か ら,関 係 式

(4)

Y=Y十b(X-X) を 想 定 し,そ

の 範 囲 で,ｂ の 選 び 方 を考 え る問 題 に 帰 着 し ま す.

 ⑦  Ｙ の 残 差 分 散 を表 わ す(1)式

と な り ま す が,さ  

ら に 書 き 換 え て,

VY￨x=VYY-2bVXY十b2Vxx

と 表 わ す こ と が で き ま す.   こ こ で,Vxx,VxY,VYYは,  

Vxx=Sxx/N,Sxx=Σ(XI-X)(XI-X)

に こ の 関 係 を代 入 す る と,

 

VXY=SXY/N,SXY=Σ(XI-X)(ＹI−Y)   VYY=SYY/N,SXX=Σ(YI-Y)(YI-Y)

と 定 義 さ れ る 指 標 で す.Ｘ

の 偏 差,Ｙ 図2.1.1 

の 偏 差 を 測 るVxx,VYYす

な わ ち分 散 に対 し

回帰分析の計算手順

 ｂ の 算 式 は次 の よ うに理 解 す る こ とが で き ます.   傾 向 線 と し て(Ｘ,Ｙ)を  Yn-Y=b(Xn-X) い い か え る と,傾

通 る もの の 範 囲 で考 え る こ とか ら

向 線 上 で は,傾

斜6n=(Yn-Y)/(Xn-X)は

一定

で す.   し たが って,ｂ

は,bnの

平 均 と し て求 め ます.た

だ し,(Ｘ,Ｙ)に

近 い もの は 直 線 の傾 斜 を定 め るた め に 大 きい 誤 差 を も た ら しま す か ら,そ

の 影 響 が 小 さ く な る よ う に,Wn=(Xn-X)2を

る加 重 平 均 を使 う もの と します.   し たが って,

ウ エ イ トと す

て,VXYは,「Xの

偏 差 とYの

の 」に な っ て い るの で,共

偏 差 の 関 係 を み る た め 両 方 を 同 時 に 取 り上 げ た も

分 散 と よ ば れ て い ま す.２ 変 数 を 同 時 に 扱 うこ とに と も な

う分 散 の 定 義 の 拡 張 だ と受 け とれ ば よ い で し ょ う.   こ の 関 係 か ら,VXYを

最 小 に す る に は,ｂ

を

(5) とす れ ば よ い こ とが わ か り ます.  回 帰 式 を(３)式 の 形 に 表 わ す に は,こ

のbを

使 っ てaを

求 め ます.

(6)

α=Y-bx    こ う し て 求 め たa,ｂ  ⑧  図2.1.1の

を 回 帰 係 数 と よ び ま し ょ う.

フ ロ ー チ ャ ー トは,以

  こ う し て定 め た 回 帰 係 数ａ,ｂ が,デ の 範 囲 で)関 係 を 表 わ す も の で す.ま

上 の 展 開 の ま とめ で す. ー タ か ら み て 最 適 な(も ち ろ ん 想 定 し た(３)式

た,そ

の場合 の残 差分散 は

 VY￨X=VYY-bVXY 

(７)

と な り ます.   な お,決

定 係 数R2の

の 観 察 値YnとYの

平 方 根Rは,重

計 算 値Yn*と

相 関 係 数 と よ ば れ ます.そ

 「 重 」が つ く理 由 は 後 の 節 の こ と と し ます.こ に 限 れ ば,こ

れ は,さ

らに,YnとXnの

の 節 の 場 合(説 明 変 数 が １つ の 場 合)

相 関 係 数 と一 致 し ます.

 ⑨  以 上 の 説 明 に 対 応 す る 計 算 手 順 を,表2.1.3に   図2.1.1と

れ は,Rが,Y

の 相 関 係 数 に な っ て い る か ら で す.

例 示 しま し ょ う.

対 照 しつ つ み て い っ て くだ さ い.

  計 算 過 程 は,「 後 で 必 要 と さ れ る 情 報 も含 め て 記 録 す る こ と」を 考 え た フ ォ ー ム に よ っ て 進 め ま し ょ う.ひ

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る 残 差 を記 録 して い る こ とに

注 意 して くだ さ い.残 差 の 大 きい 観 察 単 位 は ど れ か を 探 索 す る場 面 を 予 想 し て,そ して あ る の で す.   表 示 桁 数 は,例

示 程 度 で 十 分 で し ょ う.計 算 は,パ 表2.1.2 

ソ コ ン ま た は 電 卓 を使 っ て,そ

この 節 の 説 明 に 使 うデ ー タ

例 示 に 使 って い る デー タ は Y=雑

費 支 出,X=支

出総 額 の観 察値

10世 帯 分 で す 。 基 礎 デ ー タ を,説

明 変 数X,被

説 明 変 数Y

の 順 に リス トした こ と は意 味 が あ ります. 後 で わ か るで し ょ う.

う

表2.1.3 

計 算 手 順 例(計 算 フォ ー ムの 設 計例)

れ ぞ れ の 標 準 の 桁 数 で 進 め て い ます.   フ ォ ー ム は, ス テ ッ プ １:平 均 の 計 算 

1∼3列

ス テ ップ ２:分 散 共 分 散 の 計 算 

４,５ 列

ス テ ッ プ ３:回 帰 係 数 の 計 算 

枠外

ス テ ップ ４:残 差 と残 差 分 散 の 計 算 

６,７ 列

に わ か れ て い る こ と を確 認 して くだ さ い.  ⑩  ス テ ップ ３の とこ ろ で,回  

帰 式 の 係 数 が 求 め られ て い ます.す

  こ れ が 結 果 の 核 心 部 分 で す が,求

め られ た 関 係 式 が,デ

説 明 す る も の か を 評 価 し て お くべ き で す.そ 0.0235が

の た め に,ス

テ ップ ４で 残 差 分 散

均 値 を 基 準 と し た 分 散(全 分 散)と 比 べ て 小 さ く な っ て い る は ず で す

の 程 度 の 減 少 率 か が 問 題 です.よ

  こ の 評 価 を示 す 部 分 を 通 常 は 図2.1.5の き ます.こ

ー タの 変 動 を どの 程 度 ま で

求 め られ て い ま す.

  そ の 値 は,平 が,ど

なわ ち

Y=-0.02245十0.4613X

れ に か わ っ て 図2.1.4の

っ て,決 定 係 数 を 使 っ て 評 価 し ます. よ う な"分 散 分 析 表"の 形 式 に 要 約 し て お

形 式 も考 え ら れ ま す.

 ⑪  残 差 分 散 や 決 定 係 数 で 評 価 され る の は 「デ ー タ全 体 を と お して み た適 合 度 」で す か ら,傾

向 線 の 適 合 度 は,こ

観 察 値 Ｙ に つ い て,傾

れ らの 指 標 値 で 評 価 す る だ け で な く,ひ

向値 か らの 差(残 差)を み て お く こ とが 必 要 で す.

とつ ひ とつ の

図2.1.4 

表2.1.5 

分 析 の フ ロ ー

図2.1.6 

した が って,計 ま た,そ

残 差 対 推 定値 プ ロ ッ ト

算 の ス テ ッ プ ４ を お き,残 差DYを

の 結 果 を 示 す 図,た

分散 分析表

とえ ば 図2.1.6も

求 め て い ます.

必 要 で す.

◇ 注  図の 横 軸 は,回 帰 式 に よ る推 定 値,縦 軸 は残差 です が,い ず れ も偏 差 値 に お きか え て図示 してい ます.   こ れ に よ っ て,た  

と え ば,

Ｘ の す べ て の 範 囲 に わ た っ て 一 様 に 適 合 して い るか, 特 別 な 事 情 を もつ とみ ら れ る デ ー タが 混 在 して い る こ とは な い か

を チ ェ ッ ク で き る で し ょ う.   推 定 値 か ら の 差 は,Ｙ か りま す.ま

た,↑

の 値 が 大 き い と こ ろ で も小 さ い と こ ろ で も ほ ぼ 一 様 だ と わ

で 示 し た １点 を除 い て,±

て は 事 情 を調 べ ま し ょ う.他

３σの 範 囲 で す.↑

で示 した 点 に つ い

と 同 一 に は 論 じ に くい事 情 が あ る と わ か れ ば,そ

れ を除

い て 再 計 算 す る な どの 処 置 を と り ます.   観 察 値 の 散 布 図 に 傾 向 線 を 書 き込 ん だ もの が 図2.1.7で は,横

軸 が 説 明 変 数 Ｘ で あ る こ と で す.そ

す.図2.1.6と

の ちが い

の こ と に と も な っ て傾 向 線 を 書 き込 ん で

あ るの で す が,「 説 明 変 数 が １つ だ か ら そ うで き る」 こ とに 注 意 して くだ さ い.説

明

図2.1.7 

回 帰 推 定値 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト

  図 の 横 軸 縦 軸 と も,「 平 均 値 ±K× 標 準 偏 差 」の Ｋ に あ た る箇 所 に 目盛 りを と り,K=-3∼3の

範 囲 を 図示.

  この 範 囲 外 の 値 に つ い て は,K=￨３￨の

図2.1.8 

箇 所 に 矢 印 で 図 示.

残差対観察単位番号 プロ ッ ト

横軸は観察単位番号.縦 軸 は残差.

変 数 が ２つ 以 上 の と きは,図 い う コ トバ を,よ

  こ の 例 に 関 して は,図   左 上 の↑ は,Ｙ

示 の 仕 方 を 考 え な お す こ とが 必 要 で す.ま

た,傾

向線 と

り精 密 に 考 え なけ れ ば な ら な くな り ます. の 枠 外 に 出 た 点 が ３つ あ りま す.

の 値 も,傾 向 値 か らの は ず れ も大 き い も の で す.右

の 値 は ３σ外 で あ っ た が,傾

上 の ↑は,Ｙ

向 線 を考 慮 に 入 れ る こ と に よ り,そ れ が 大 き い こ とが あ

る程 度 説 明 で きた ケ ー ス で す.   右 の 方 の → は,説

明 変 数 Ｘ が 他 と大 き く離 れ た ケ ー ス で す,説

明 変 数 は,説

明 を

考 え る範 囲 を ど う と るか とい う観 点 で 決 め る こ とで す か ら,被 説 明 変 数 の 範 囲 とは ち が っ た 見 方 をす べ き で す.Ｘ

の位 置(作 用 点 とい う)が 離 れ て い る こ とに よ る Ｙ の ち

が い と して,他 は,8.3節

の ケ ー ス と 区 別 し て 考 え る こ と に な り ま す.こ

の た め の 図 示 法 など

で 説 明 し ま す.

  図2.1.8は,デ

ー タ番 号 順 に プ ロ ッ トし た もの で す.

  た と え ば デ ー タ を求 め る 順 に 対 応 し て,系 統 的 な誤 差 が 発 生 す る場 合 が あ り ま す. ま た,デ

ー タ が 年 次 に 対 応 し て い る場 合 に は,導

す る た め に 参 照 し ます.こ

う い う場 合 に,こ

  こ の よ う な 図 の 意 義 に つ い て は,2.7節

出 した 傾 向 線 が 適 合 す る 範囲 を判断

の 図 が 必 要 で す.

お よ び8.3節

で,く

わ し く説 明 し ます.

2.2  最 小 ２ 乗法 の数 理  ①  前 節 で 説 明 した 最 小 ２乗 法 に よ る計 算 手 順 に つ い て,数

理 的 な根拠 を説明 しま

し ょ う.な ぜ そ うす るの か … そ うす るの が よ い とい う こ とが,ど

う い う条 件 下 で保

証 さ れ て い るの か … そ れ を知 っ て お く こ とが 必 要 で す.  ②  モ デ ル   

２つ の 変 数 Ｘ,Ｙ に つ い て,観 察 値

(Xn,Yn)

が 求 め られ て い る もの と し ます.こ  

れ を 使 っ て,Ｙ

と Ｘ の 間 に,モ

デル

Y=α+βX 

(１)

で 表 わ さ れ る傾 向 性 が 存 在 す る もの と し て,モ

デ ル に 含 ま れ る ２つ の パ ラ メー タａ,

β を推 定 せ よ と い う 問 題 を扱 うの で す.   そ の た め に,観

察 値(Xn,Yn)を

使 うの で す が,観

察 作 業 に お け る 誤 差,観

察単位

そ の もの の 条 件 の ち が い な どに よ っ て も変 動 し ます か ら,そ の こ と を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.よ

っ て,モ

デ ル に 「誤 差 項 」ε を付 加 し ま す.

 Y=α+βX+ε   そ う し て,こ

 (1a)

の誤 差項 につ い ては

「そ の 値 が 観 察 を く りか え す ご と に 異 な る 」と み な さ れ る 確 率 変 数 だ と想 定 し ます.   想 定 さ れ た モ デ ル に 含 ま れ る パ ラ メー タ α,βを 定 め る の が 問 題 で す が,誤 関 与 して き ます の で,そ

差項が

の 扱 い を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.

◇ 注 ｌ 慣 用 に した が って,誤 差 とい う呼称 を使 い ま した が,問 題 領 域 に よ って は,個 人 差,企 業 間格 差 … な どで あ り,そ の 大 きさ 自体 が 重要 な分 析 対 象 とさ れ る場 合 が あ りま す.  

した が って,前 節 の ⑪ で は,デ ー タの もつ傾 向 線Y=α+βXを 求 め,そ れ で説 明 され な い部 分 を残 差 と呼 ん で い ま した.そ れ が(1a)式 の εに あた る もの です が,モ デ ル と し ては,そ れ が 「誤差 項 」とみ な され る場 合 を想 定 して い るの です. ◇ 注 ２ この 節 では,モ デ ル に含 まれ るパ ラ メー タ,す な わ ちデ ー タに も とづ く推 定 の 対 象 と され る量 をギ リシャ文 字 で表 わ します.

 

誤差 項 εにつ い て も,注 １に述 べ たよ うに 推定 の 対 象 と され ます が,そ の 平 均 値 は ０だ と想定 し,標 準 偏 差 σを推 定 し ます.

  ③  最 小 ２乗 法 の 数 理 で は,   Ｘ は 確 定 変 数,す   εは,あ

な わ ち,確 定 値 を もつ 変 数

る確 率 分 布 を もつ 確 率 変 数

とみ な し て,組 み 立 て られ て い る の で す.   εは,「 そ の 値enが

観 察 さ れ る が,そ

れ らの 値 と して どん な値 が 起 こ り う る か を示

す 確 率 法 則 が 想 定 され る」確 率 変 数 だ と い う仮 定 で す.Ｘ を もつ 」確 定 変 数 だ と 想 定 さ れ て い る の で す が,そ

は 「未 知 だ が あ る 特 定 の 値

の 観 察 値Xnは,ε

の影 響 が 加

わ っ て,確 率 変 数 と同 じ タ イ プ の デ ー タ と な りま す.  ④  こ の 確 率 変 数 に つ い て,   a.E(en)=0…  

b.V(en)=σ2…

 

c.enは

… 不偏 性 … 分散 の一 様性

相互 に独立 … … 独 立性

が み た され て い る もの と仮 定 し ます.   ま た,場 合 に よ っ て は,さ  

d.enの

らに

確率 分布 は正 規分 布

が 適 合 す る もの と し ます. ◇ 注 １ enの 確率 分 布 に対 応 す る残差 が得 られ た ときに,enの

平均 値 あ るい は 分 散 が 「ど

うい う値 に な る と期 待 さ れ る か」を示 す もの が,E(eη),V(en)で す.そ れ ぞ れ を期 待 値, バ リア ン ス と よび ます .現 実 にenが 求 め られ た段 階 では それ らの 平 均値,分 散 を計 算 で きます が,方 法 の性 質 を論 じる段 階 で は,こ うい う値 が得 られ る はず だ と い う形 で考 え る の で,平 均 値,分 散 と よばず,期 待 値,バ

リア ン ス と よぶ の で す.

◇ 注 ２ 傾 向 線 を求 め る問 題 で は,YNは 与 え られ た デー タ,す な わ ち確 定 変 数 で す が, YN*は ,YNの もつ個 別 変 動 な ど を考慮 に 入れ て 誘導 され た結 果 です か ら,確 率 変 数 です.  ⑤  実 際 の 観 察 値 は  Yn=A十BXn十en  と な っ て い ま す.観 に,個

(２)

察 単 位 全 体 を と お し て 見 出 さ れ る傾 向 を 表 わ すYn*=A+BXn

々 の 観 察 単 位 に 対 応 す る誤 差enが

加 わ つ た 形 で す.

  モ デ ル を あ て は め る とい う意 味 で は,こ 方 が よ い とい え ます.よ

れ ら のen≡Yn-Yn*が

って が 最 小 に な る よ う にＡ,Ｂ

もの と し ます.こ

で き るだけ 小 さい

れ が,最 小 ２乗 法 です.誤

を定め る

差 項 εを 「 傾 向性 を表 わす部 分 を差 し引

い た残 り と み なす 」こ と を意 味 し て い る の で す.そ

の 意 味 で,enを

「残 差 」 と よ び ま

す.  ⑥  最 小 ２乗 法 を適 用 す る と,前 節 に 示 した よ う に,α,β の 推 定 値 は

 

A=Y-BX

とせ よ とい う こ とに な りま す.こ

れ ら の 推 定 値 が,観

察 値Ynの

線 形 結合 に な って い

る こ と に 注 意 し ま し ょ う.  誤 差 項 に 関 して は

と推 定 さ れ ま す.こ

れ は,観

 ⑦  最 小 ２乗 法 の 前 提 

察 値Ynの

線 形 結 合 に な っ て い ませ ん.

最 小 ２乗 法 に よ る推 計 値Ａ,Ｂ

は

仮 定 ａ,ｂ,ｃの も とで"最 良 線 形 不 偏 推 定 値" で あ る こ とが 証 明 さ れ て い ま す.   観 察 値YIの

線 形 結 合,す

推 定 精 度 が よ く,か つ,不

な わ ち ΣWIYIの

形 式 で 求 め られ る 推 定 値 の 範 囲 で 最 も

偏 性 を もつ 推 定 値 だ と い う こ と で す.

  ま た, 仮 定 ｄ を つ け 加 え る と"最 小 分 散 推 定 値" で あ る こ とが 証 明 さ れ て い ま す.観 み て も,最

察 値 の 線 形 結 合 と い う範 囲 限 定 を は ず し た 範 囲 で

も精 度 の よ い 推 定 値 だ とい う こ と で す.

 ⑧  こ の よ うな 理 論 づ け を もつ 最 小 ２乗 法 で す が,そ の 問 題 ご とに,使

うデ ー タ な ど を検 討 して,こ

れ を 使 うた め に は,そ

れぞれ

の 理 論 づ け の 前 提 が み た さ れ て い るか

ど うか を チ ェ ッ ク しな け れ ば な りませ ん. ◇ 注 ｌ 最小 ２乗 法 は,推 定値 を求 め る手順 の ひ とつ です.こ れ に 対 して,最 良 線 形 不 偏 推定 値 や 最小 分 散 推定 値 な どは,求 め られ た推 定 値 の性 質 で す.  最 小 ２乗 法 で 求 め られ た推 定 値 は,あ る仮 定 の も とで 「よい 推 定 値 」で す が,前 提 を み た して い な い場 合 が あ ります か ら,そ の範 囲 で考 え れ ばす む とは い え ない の です. ◇ 注 ２ 推 定値 を求 め る手 順 と しては,「 最 尤 法」と よばれ る方 法 が あ り ます が,こ の テ キ ス トでは 取 り上 げ ませ ん.  ⑨  まず 注 意 し な け れ ば な ら な い の は,観   実 験 を 行 な え る 問 題 分 野 で は,こ タ を 求 め ます.し

た が っ て,こ

れ ら の 前 提 を受 け 入 れ て よ い ケ ー ス が 多 い の で す が,

実 験 を行 な え な い 問 題 分 野 で は,受   ま ず,デ

察 値 に 関 す る 前 提 ｂ,ｃで す.

れ らの 前 提 を み た す よ う に 実 験 計 画 を た て て デ ー

け 入 れ に くい 前 提 で す.

ー タの 散 布 図 をか くな ど して,前 提 を み た して い る か 否 か を検 討 す る こ と

が 必 要 で す.  ⑩  も ち ろ ん,"こ り ませ ん."前

うい う前 提 を み た し て い な い か ら使 え な い"と い う わ け で は あ

提 が み た され て い な い と きに どの 程 度 結 果 に ひ び くか"が 問 題 で す.

  い ず れ に し て も,分 散 に よ っ て適 合 度 が 評 価 で き る の で す か ら,試

してみ るこ とで

よ い で し ょ う.   ま た,最

小 ２乗 法 の 適 用 前 の 問 題(た と え ば 説 明 変 数 や モ デ ル の 選 び 方 や 基 礎 デ ー

タ 自体 の 精 度),あ

る い は 結 果 が 得 られ た 後 で 検 討 す べ き 問 題(た と え ば 残 差 の 検 討)

が 多 々 あ り,そ れ らの 影 響 の 方 が よ り大 きい も の で す.   した が って,こ

れ らの 点 も含 め た,よ

り広 い 観 点 で"分 析 手 法 の 適 用 の 仕 方"を 選

ぶ べ き で す.  ⑪  手 法 の 研 究 も必 要 で あ り,種 々 の 点 で 改 善 案 が 提 唱 さ れ て い ます.   正 規 性 の 仮 定 は,推

定 結 果 の 有 意 性 検 定 の段 階 で Ｆ 検 定 を使 う た め に 必 要 で す が,

この Ｆ 検 定 は 正 規 性 の 仮 定 に 対 して 頑 健 性 が あ る と指 摘 さ れ て い ま す.   不 偏 性 に つ い て は,不

偏 で な くて も,平 均 ２乗 誤 差 が 小 さ け れ ば よ い … そ う い う

観 点 で 組 み 立 て られ た 手 法 が あ り ます.   誤差 を 「 残 差 の ２乗 」で な く,「 残 差 の 絶 対 値 」で 測 ろ う と い う提 唱 が あ りま す.こ れ は,偏 差 の 大 き い デ ー タの 影 響 を受 け に く くす る と い う趣 旨 で す.   こ の考 え 方 を よ り一 般 化 して 扱 う た め に 観 察 値 に ウ エ イ トを つ け て 扱 う加 重 回 帰 法 (8.6節 参 照)が 提 唱 さ れ て い ま す.   モ デ ル 自体 が 線 形 で な い 場 合 に は,推 い の で,必

 ⑫  モ デ ル の 想 定 と い う意 味 で は,モ す.ま

定 値 も線 形 の 範 囲 外 で 探 索 しな け れ ば な らな

然 的 に 別 の 方 法 が 必 要 で す.

た,そ

デ ル 自 体 が 変 化 し て し ま う可 能 性 が あ り ま

れ が 適 合 す る と み な し うる 範 囲 が あ り ます.

 し た が っ て, どの 範 囲 で そ の モ デ ル を適 用 し う るか を調 べ る た め の ス テ ッ プ を お くこ とが 必 要 と な りま す.   因 果 関 係 は,一 般 に 多 くの 変 数 が 網 の 目状 に つ な が っ て い ま す.ま

た,ル

に な っ て い る こ と も あ り ま す.そ

うい う場 面 で は,複

う こ とが 必 要 と な っ て き ま す.そ

の 一 局 面 だ け を切 り出 して 扱 う の で は,お

限 界 が あ りま す が,視

ー プ状 態

数 の 式 で 表 現 さ れ る モ デ ル を扱 の ずか ら

点 を ひ ろ げ る と,観 察 値 が 得 られ る か 否 か が 問 題 と な っ て き ま

す.  ⑬  ま た,最

も基 本 の と こ ろ で,結

果 の 評 価 に 分 散 を使 う こ と に 関 して,モ

デル の

適 合 度 を１ つ の 指 標 値 で 評 価 す る こ とに な るが そ れ で よい の か … こ うい う問 題 が あ り ま す.た

と え ば,説

明 変 数 値 の 値 域 で(大 きい と こ ろ,小

さ い と こ ろ な ど で)一 様

に フ ィ ッ トし て い る か ど う か を評 価 し う る 形 に 改 め る こ とが 必 要 で し ょ う.   この よ う な理 由 で,残

差 を1つ の 指 標 で 評 価 す る の で な く,種 々 の 残 差 プ ロ ッ トを

か い て 検 討 す べ き で す.  ⑭  こ の テ キ ス トで は,こ

れ ら の 点 の い くつ か を2.8節

お よ び 第８ 章 で 概 説 し ま

す.

2.3  適 用 上 の 問題  ①

回 帰 分 析 を適 用 す る際 に 最 も重 要 な こ と は,モ

種 々 の 観 点 が か らん で き ます か ら,い

デ ル の 選 択 で す.選

択 の仕 方は

くつ か の 章 に わ け て 解 説 す る こ と と し,こ

こで

は,そ

れ に 先 立 つ"基 本 的 な 注 意"を 述 べ て お き ま す .

 ②  2.1節 で 扱 っ た の は,２ つ の 変 数(Ｘ,Ｙ)の  

Y=α

関 係 を直 線

十bX

で 表 わ す 場 合,す

な わ ち,２ つ の変 数 の 関 係 を 表 現 す る モ デ ル と し て,最

で した.(Ｘ,Ｙ)の

も簡 単 な 形

関 係 を どの 程 度 ま で 代 表 す る も の か 評 価 して あ り ます か ら,そ の

評 価 に パ ス した もの で あ れ ば,そ

れ を採 用 す れ ば よ い と一 応 は い え ます が,さ

らに考

え るべ き点 が 残 っ て い る の で す.   は じめ か ら あ る １つ の モ デ ル に 限 っ て 考 え,そ

の 範 囲 だ け で 結 論 を下 し た の で は,

仮 に そ の モ デ ル が か な り の 適 合 度 を もつ こ と が わ か っ た と し て も,説 得 力 が 弱 い で し ょ う.他 に も っ とよ い モ デ ル が あ る か も し れ ませ ん か ら,最 初 の トラ イ で 高 い 適 合 度 を もつ 解 が 得 られ た と して も,そ れ で 終 わ りに せ ず,い べ き で す .１ と お りの 分 析 で の 結 論 よ り も,何

くつ か の 代 案 を 試 し て み る

とお りか の 分 析 を行 な っ た上 で の 結 論

の 方 が 強 い の は 当 然 です.   ま た,多

くの モ デ ル に つ い て 検 討 し た 上 で 下 した 結 論 で あ れ ば,

「適 合 度 が低 くて も,こ れ 以 上 の もの は 得 に く い」 こ と を実 証 し た結 果 と な り,そ の 意 味 で,説 け で,棄

得 力 を もつ こ とに な り ま す .適 合 度 が 低 い とい う だ

て て し ま っ て は い け ませ ん.

  い ず れ に し て も,デ ー タ に も とづ く判 断 で す.し 「当 面 の デ ー タか ら見 出 され た 結 論 に,ど

た が っ て, こ まで一般 性 を認め て よいか」

と い う 問 題 が 残 っ て い ます.   た と え,当

面 の デ ー タ に 対 し て適 合 度 が よ くて も,条 件 が か わ る と全 くだ め に な っ

て し ま う も ろ い モ デ ル よ りも, 「若 干 適 合 度 が 落 ち て も広 い 範 囲 で 説 明 で き る モ デ ル を選 び た い 」 で し ょ う.そ

うい うモ デ ル を見 出 す に は,時

して み る こ とが 必 要 で す.ま あ るか も しれ ませ ん.し

点 をか え,地

点 を か え て 分 析 を く りか え

た,外 見 上 適 合 度 が 高 くて も現 象 を 説 明 す る に は 問題 が

た が っ て,問

題 に 関 与 し て くる要 因 を的 確 に 把 握 して ,そ の

観 点 か ら もモ デ ル を検 討 す る こ とが 必 要 で す.   以 上 の よ うに 考 え る と,次 の よ う な結 論 に達 し ます.   第 一 段 階 で 想 定 し た 直 線 関 係 が 適 合 しな い場 合 は もち ろ ん,適 合 して い る場 合 に も,視 点 を か え て,あ を つ づ け る こ と が 必 要 で す.前 め,後

る い は,視

点 をひ ろげて分析

者 の 場 合 は 適 合 す る 関 係 を見 出 す た

者 の 場 合 は結 果 の 説 得 力 を 増 強 す る た め と,意 図 は ち が い ま

す が,第

一 段 階 で とめ て は い け な い の で す.

 ③  も ち ろ ん,直

線 関 係(１ 次 式)の 次 は 放 物 線(２ 次 式)だ と簡 単 に は 扱 え ませ ん .

直 線 と い う最 も簡 明 な モ デ ル か ら一 歩 ふ み だ そ う とす る と さ ま ざ ま な 方 向 が あ りま す か ら,①

に 述 べ た モ デ ル の 選 択 原 理 に た ち も ど っ て 考 え る こ とが 必 要 と な るの で す .

  大 き くわ け る と,  

現 象 の 説 明 の 仕 方 を考 慮 しつ つ モ デ ル 選 定 を考 え る 場 面 使 うデ ー タ の タ イプ に 応 じて モ デ ル 選 定 を 考 え る場 面

が あ り ます.第 で,時

３章 で,具

体 的 な例 を使 って,順

を 追 っ て 説 明 し ま す.ま

た,第

７章

系 列 デ ー タ の 場 合 を取 り上 げ ます.

  この 章 の 以 下 の 節 で は,回 う る(し た が っ て,ど

帰 分 析 の 数 理 の 枠 内 で 対 処 で き る 範 囲 で 自 然 に一 般 化 し

ん な 場 面 で も対 応 で き る数 理 的 な 枠 組 み とみ な し う る)"線 形 モ

デ ル"に つ い て 説 明 して お き ま し ょ う.  ④  な お,ど

ん な モ デ ル を採 用 す る に して も,そ れ が 適 合 す る範 囲 に 限 りが あ る こ

とに 注 意 し ま し ょ う.広 な い の で す が,観

い 範 囲 で 適 合 す るモ デ ル が 得 ら れ る な らそ れ に こ し た こ とは

察 単 位 の 中 に は ア ウ トラ イ ヤ ー,す

な わ ち,"他

と同 一 に は 扱 い に

くい もの"が あ り,そ れ を除 い て 考 え る と よ り説 明 力 の 高 い モ デ ル が 見 出 され る … そ うい う こ とが よ くあ り ます.   した が っ て,観

察 単 位 を 分 析 範 囲 に 含 め るか ど うか も,重 要 な検 討 点 で す.

2.4  一 般 線 形 モ デ ル  ①  モ デ ル の 選 択 に 関 して 数 理 の 側 で 提 供 し う る対 処 策 は,で ル,い

い か え る と,多

きるだけ 広範 なモ デ

くの モ デ ル を そ の 特 別 の ケ ー ス と し て含 む 形 の モ デ ル を採 用 す

る こ と で す.   そ う して お け ば,条

件 を 限 定 し た と きの 解 と,条 件 を ゆ るめ た と き の 解 を体 系づ け

て 対 比 で き る か ら で す.た  

と え ば,

関 係 式Y=a+bX1+cX2を

想 定 し,

そ の 範 囲 で 最 善 のａ,ｂ,ｃ を定 め る 問 題 を 扱 う と, 関 係 式(部 分 モ デ ル)Y=α+bX1を

想定 し

そ の 範 囲 で 最 善 のａ,ｂ を 定 め る問 題 の 解 も,一

緒に 出せ る

そ うい う 方 法 を 採 用 す る こ とが で き ま す.   した が っ て,モ

デ ル 選 択 の た め に た い へ ん 有 効 な 手 段 と な り え ま す.

 ②  こ の よ うな 方 向 の １つ は,X,X2,X3,…

と高 次 の 項 を考 慮 に 入 れ た モ デ ル

  Y=b0+b1X+b2X2+…+bKXK  を想 定 す る こ とで す.こ

の 方 向 が有 効 な 場 面 も あ り ま す が,説

(1) 明 変 数 と し て は １つ の

変 数 Ｘ だ け を使 っ て い ま す か ら,そ の 意 味 で は 限 界 が あ り ま す. ◇ 注   た とえ ば モ デ ル(１)式 で Ｋ を大 き くす れ ば どん な 関数 型 で も近 似 で き ます.し か し,そ うい うモデ ル で どん な場合 も説 明 で き る … と誤 解 しな い で くだ さ い.細 か く上 下 す る曲 線 を誘 導 で き た と して も,そ う して,そ れ が 与 え ら れ た デ ー タの す べ て を とお る (したが って残 差 分 散 は ０)と して も,そ れ で現 象 を 説明 で きる わけ で は あ りませ ん.   現象 の 説 明 につ なが るか ど うか とい う,計 算 の枠 外 です が,現 象 の 分析 手 段 と して は き

わめ て 重要 な点 です.こ の 章 で は,そ こ を外 して 数理 の枠 組 み だけ を論 じて い ます が,後 の 章 で は,こ の点 を含め て考 え ます.   した が っ て,他 な わ ち,説

の 方 向 … 説 明 変 数 の 数 を 増 や す 方 向 で 考 え る こ とが 必 要 で す.す

明 変 数X1,X2,…,XKを

使 っ て,モ

デル

  Y=b0+b1X1+b2X2+…+bKXK 

(2)

を想 定 す る の で す.   モ デ ル(１)式 は,XK=XKと

お く こ と に よ って モ デ ル(２)式 と 同 じ形 に な り,数 理

と し て は 同 じ扱 い に な り ます.し

た が っ て,(２)式

を,一 般 線 形 モ デ ル と よ ん で い ま

す.  ③  ま た,考 察 範 囲 全 体 に 対 して １つ の モ デ ル を あ て は め よ う とす る の で な く,い くつ か の 部 分 に わ け,そ

れ ぞ れ 別 の モ デ ル を あ て は め る の も,当

然,考

え られ る方 向

で す. Y=b01十b11X1十b21X2＋

…

Y=b02十b12X1+b22X2十… Y=b03十b13X1十b23X2十

  こ の 場 合,各

… 

for部

分 １

for部

分 ２

for部

分 ３

(3)

部 分 の モ デ ル が 全 く無 関 係 と い う こ と は な い で し ょ うか ら,た

とえ

ば, Y=a1十bX

for

グルー プ １

Y=a2十bX

for

グルー プ ２

す な わ ち,Ｘ

(4)

の 係 数ｂ は 共 通 で 定 数 項ａ の 方 だ け が ち が う … な ど の 折 衷 案 もあ り

え ま す.   こ う い うモ デ ル は,一 般 線 形 モ デ ル の 係 数 に,「 あ る制 約 条 件 が つ く」 もの と し て 扱 う こ と を意 味 し ま す.  ④  ③ に あ げ た モ デ ル(３)式 あ る い は(４)式 も,ち させ る こ とが で き ます.モ

Z=[1/ 0

ょっ とした工 夫 で一般 形 に帰着

デ ル(４)式 に つ い て い う と,

for 

グループ １

for 

グループ ２

と定 義 した 特 殊 な 変 数 Ｚ を 使 い ま す.い

わ ば グ ル ー プ 区 分(定 性 的 な 情 報)の か わ り

に 使 う変 数(量 的 な 扱 い をす る た め の 変 数)で す か ら,"ダ   これ を使 う と,モ  

の 形 に す れ ば,説

な って い ま す.   した が っ て,

よび ます.

デ ル(４)式 は,

Y=a2十(a1-a2)Z十bX 

(5)

と １つ の 式 で 表 現 され ます.(４)式 だ さ い.こ

ミー 変 数"と

⇔(５)式

と一 意 的 に 対 応 す る こ と を確 認 し て く

明 変 数 Ｘ と Ｚ を 使 っ た 一 般 線 形 モ デ ル(２)式 の 範 囲 に

図2.4.1 

 

ダ ミー 変 数 の 例

Y=b0+b1Z+b2X

と し て 係 数b0,b1,b2を

求 め た 上, Z=0ま

た はZ=1と

お く こ と に よ っ て(４)式 の ２

つ の 式 を 誘 導 で き ます.   上 の 例 示 は,１ つ の デ ー タ(項 目)で ２つ の 区 分 に わ け た 場 合 で す.１ つ の 項 目 で ３ つ 以 上 の 区 分 に わ け る場 合 に つ い て も同 様 に 扱 う こ と が で き ます.区

分 数 Ｋ が ３以

上 の ときは

区分Ｉ に該 当す る

ZI =[1 

0 区分Ｉ に該 当 しない の 形 で 区 分 数 に 相 当 す る 数 の ダ ミー 変 数 を導 入 し ます.た   ΣZI=1が恒 た め,そ

だ し,

等 式 と して 成 り立 つ

の う ちK-1個

だ け を 使 っ て 計 算 す れ ば よ い の で す.く

わ し くは,3.5節

で

例 示 し ま す.   ダ ミー 変 数 の 与 え 方 を工 夫 す る と,た

と え ば(４)式 で 「ａ,ｂい ず れ も異 な る が,グ

ル ー プ の 区 切 り点 で 接 続 す る 」 とい っ た 条 件 つ きの モ デ ル を扱 う こ と もで き ます.   図2.4.1の

右 側 が そ の 場 合 で す.こ

れ ら の 扱 い 方 に つ い て は,3.6節,3.7節

で例

示 し ます.   Ｘ の 値 域 区 分 数 が ２つ 以 上 の 場 合 も同 じ形 の モ デ ル を 適 用 で き ます.   ダ ミー 変 数 は,こ

れ らの 例 に 限 らず,質

的 デ ー タ を説 明 変 数 と す る問 題 に 広 く採 用

で き ます.   数 量 化 Ｉ類 と よ ば れ て い る方 法 は,質

的 デ ー タ を 説 明 変 数 とす る 回帰 分 析 を指 し ま

す.  ⑤  線 形 と い う コ トバ は,普 通 は モ デ ル の 形 に つ い て,パ ま れ て い る と い う こ とで す.Y=f(X)の   た とえば   例 １   Y=ａ+βX+γX2 は 線 形 で す.  

例 ２ 

Y=αexp(βX)

は 線 形 で は あ りま せ ん.

ラ メー タが 線 形 の 形 で 含

形 が 線 形 だ と い う こ と で は あ り ませ ん.

  しか し,例  

２を

例 ３ 

1ogY=1ogα+βX

と書 き換 え て,logYを

被 説 明 変 数 と し て 扱 え ば,線

形 で す.こ

メー タ αの か わ りに1ogα を想 定 す る こ と を含 ん で い ます.変

の お き か え は,パ

ラ

換 前 の モ デ ル の αが 具

体 的 な 意 味 を も っ て い る の で そ れ を推 定 し た い … そ れ な らlogα を 推 定 し た 後 に, そ れ か ら,α の 推 定 値 を誘 導 す る こ とに な りま す.こ

の よ う な 扱 い は,間

接 最 小 ２乗

法 とよ ば れ て い ます.   例 ２ で はY=0の が あ っ て,そ  

と こ ろ か ら ス ター トす る 形 に な っ て い ま す が,あ

れ か ら ス タ ー トす る も の とす れ ば,モ

例 ４ 

と な り ま す.こ

る初期 水 準 γ

デル は

Y=αexp(βX)+γ の 例４ は 線 形 で は あ り ませ ん.ま

た,例

３の よ うに 変 数 変 換 を適 用 し

て 線 形 に お きか え る こ と もで き ませ ん.   そ の 意 味 で は,一 般 線 形 モ デ ル の 範 疇 に お さ め に くい モ デ ル で す が,初

期水 準や 飽

和 水 準(そ の レベ ル に 近 づ く に つ れ て 変 化 し な く な る)を も つ 現 象 が 多 い の で,例 例 ４,… の 方 向 で 一 連 の モ デ ル を想 定 す る こ と が考 え られ ま す.こ

２,

の テ キ ス トで は 第

７章 で 取 り上 げ ます. ◇ 注 １ 最 良 線 形 不 偏 推 定 値 と い うコ トバ で の 線 形 は,観 察 値YIの ΣWIYIの

線 形結合 す なわ ち

形 式 で求 め られ る推 定 値 の 範 囲 で最 良 とい う意味 で す.

◇ 注2  パ ラ メー タ αの か わ りに1ogα を推 定 す ると い う扱 い を した場 合,logα

について

よい推 定 値 が αに つ い て よい推 定 値 を与 え る もの に な って い る とは 限 りませ ん. ◇ 注 ３ 注 ２と同 じよ う な問題 は,回 帰分 析 の 場面 だけ とは限 りませ ん.た

とえば 分 散 σ2

を推定 す る場 合,「 偏 差 平 方 和 を デー タ数Ｎ で わ るの で な く,自 由度N-1で

わ れ 」とい

うの は,ぞ れ が 分散 σ2の不 偏 推 定値 に な る とい う理 由 で す.し か し,標 準 偏 差 σの推 定 を考 え る場合,σ2の 不偏 推 定 値 の平 方根 は σの不 偏 推定 値 で は あ りませ ん.

2.5  回帰 分 析 の 計 算 手 順  ①  こ の 節 で は,説 説 明 し ま す.例 ま す.行

明 変 数 を ２つ 以 上 と し た 場 合 に つ い て,回

示 を 使 っ て,計

算 手 順 の ス テ ップ を 追 いつ つ 説 明 す る 形 式 を とっ て い

列 記 号 に よ る表 示 を あ わせ て 示 して あ り ま す が,例

 ②  例 と して は,付

表A.1の

Y=食

費 支 出 の 世帯 間 変 動

 

X1=収

入,X2=世

を,

帯 人 員 数,X3=有 た が っ て,モ

  Y=α+βlX1+β2X2+β3X3 を想 定 す る こ とに な り ま す.

示 と対 照 して くだ さ い.

デ ー タ を使 って,

 

問 題 を取 り上 げ ます.し

帰 分析 の 計算 手順 を

デル

業者 数

の ３変 数 で 説 明 す る

 ａ.デ

ータ準備 基礎デー タ

基礎 デー タを YI ,XKI,Ｋ

は説 明変数 の番 号

(Ｉは観 察 単 位 の 番 号) と表 わ し ま す. ◇ 注  例 示 の よ うに 単 位 を適 当 に選 ん で, 数 値 が １か ら10の 範 囲 に お さ ま る よ う調 整 して お くと計 算 しや す い で し ょ う.   有 効 数 字 の 桁数 は,デ ー タ の精 度 を考 え て決 め ま す.普 通 は ３桁 で 十 分 で し ょ う. 計 算 機 を使 う場 合 は 「標 準 精 度 」で 十 分 で す が,最 後 の結 果 で は,デ ー タ の精 度 を考 慮 し て,必 要 以 上 の桁 の 数 値 を 落 と し ま しょ う.計 算 機 か ら出 て きた数 値 の ど こ ま

  こ の 表 に お け る￨は,行

でが 意 味 を もつ か を判 断 し なけ れ ば,答

る演 算 です.行

え

を括 弧 書 き で添 え て あ り ます.

を出 した こ とに な りませ ん.  ｂ.平 均 値 の 計 算

平均値Ｍ

  ｃ.偏 差 の 計 算   説 明 変 数 を考 慮 に 入 れ な い 場 合 に は,

Ｉは,要 素 １を もつ 行 列

こ の 平 均 値 を基 準 と して デ ー タ の 格 差 を み る わ け で す.し

た が っ て,

DYn=Yn-Y 偏差値

DXKn=XKn-XK と し て,ひ

とつ ひ と つ の デ ー タ に つ い て

偏 差 を 計 算 して お き ます.   な お,こ

れ ら の 値 は,た

と え ば,他

と

同 一 に 扱 え ない ア ウ トライ ヤー か 否 か を 検 討 す る た め に 必 要 で す か ら,記 録 に 残 し て お くべ き 重 要 な 情 報 で す.  ｄ.分 散 ・共 分 散 の 計 算   デ ー タ 全 体 を とお し て み て,"偏

差 がお

よ そ どの 程 度 か"を 評 価 す る た め に,分

散

を計 算 し ま す.ま

プ

ラ ス な らDXIも

た,た

列 を結 合 す

列 記号 に は,行

と え ばDYが

プ ラ ス に な る傾 向 が あ る

数列数

分 散 ・共 分 散

な どの こ とが わ か る よ うに,２ つ の デ ー タ の"偏 差 の 相 互 関 係"を 評 価 す る 共 分 散, す なわ ち

以 下 で は,Ｖ

を 計 算 し ます.  ｅ.回

の部 分 行 列

を次 の よ うに 定 義 し ます.

帰 係 数 を定 め る条 件 式

  回 帰 係B1,B2,B3を

決 め る 条 件 式 は,

残 差 分 散 を最 小 に す る とい う 条 件 か ら誘 導

  また,B1,B2,B3を

さ れ 次 の よ うに な り ます.

す る1行3列

要素 と

の行列 をＢ と

し ます.

  連 立 一 次 方 程 式 で す.  σ11B1+σ12B2+σ13B3=σ10

回帰係数 を定め る条件式

 σ21B1+σ22B2+σ23B3=σ20  σ31B1+σ32B2+σ33B3=σ30   必 要 な 値 は す べ て右 表 に 求 め ら れ て い ま す が,１ ∼３列 目 を左 辺 に,４ 列 目 を右 辺 に わ け て お き ます.   ｆ.回 帰 係 数 の 計 算   ｅに 示 し た 条 件 式 は,未

に 関 す る連 立 一 次 方 程 式 で す.こ

れ を解 い

て,B1,B2,B3を

求 め る こ とが で き ます.

  ｇ.定

と残 差 分 散

数 項Ａ

  定 数 項 Ａ は,"説

回帰係 数の計算 知 数B1,B2,B3

明 変 数X1,X2,X3の

が それ ぞ れ の 平 均 値 に 等 し い と き,被

B-1は

Ｂ の逆 行 列

定数項 Ａ と残差分散

値 説明

変 数 Ｙ の 値 も そ の 平 均 値 に な る"と い う 条 件 か ら求 め る こ とが で き ま す. A=Y-B1X1-B2X2-B3X3 で す.ま

た,残 差 分 散 は σe2=σY2-B1σ10-B2σ20-B3σ30

で す.Ａ

の 算 式 と似 て い る こ と に 注 意 し て くだ さ い.

  こ の こ とか ら,Ａ

お よ び σY￨X2の 計 算 は,回

同 じ計 算 手 順 で求 め る こ とが で き ます.

帰 係 数BI,の

計 算 過 程 に お り こ ん で,

  すな わ ち   A＋X1B1+X2B2+X3B3=Y   σe2十σ10B1+σ20B2+σ30B3=σY2 の 形 に 書 き換 え た もの を 連 立 一 次 方 程 式 に つ け 足 して,対

角 線 上 の 要 素 を １に,非

角 線 上 の 要 素 を ０に す る 演 算(掃 き 出 し計 算 と よ ば れ,連

立 一 次 方 程 式 を解 くひ とつ

の 方 法)を 適 用 す る の です.以   ｈ.回

対

下 の 例 示 は こ の 形 に して あ りま す.

帰係 数 Ｂ の計 算 と定数項 お よび残差 分散 の計算

  回帰 係 数 の う ちBIの

計 算 は, ｅに 示 した 連 立 一 次 方 程 式 を解 け ば よ い の で す.

  た だ し,次 節 で 述 べ る理 由 で,逐

次 消 去 法(掃 き 出 し法),す

な わ ち,係

数 が １ま た

は ０に な る よ う逐 次 変 形 して い く方 法 を使 い ま す. 条件式  1.5000B1+0.3400B2十0.5000B3=0.4220 

(0.1)

 0.3400B1+0.8400B2+0.1600B3=0.1500 

(0.2)

 0.5000B1十0.1600B2十0.4400B3=0.1600 

(0.3)

 A十3.6000B1十3.4000B2十1.6000B3=1.5000 

(0.0)

 σe2十0.4220B1十0.1500B2+0.1600B3=0.1260 

(0.X)

  最 初 の ス テ ップ で は  

第 １式 のB1の

係 数 を1に

し,そ れ を使 って  

第 ２式 の Ｂ1の 係 数 を ０に,第

し ます.た

３式 のB1の

と え ば 第 ２式 の 計 算 は,(1.1)式

係 数 を ０に

に0.340を

か け た もの を(0.2)式

か らひ

け ば よ い の で す. ス テ ッ プ1   1B1十0.2267B2十0.3333B3=0.2813 

(1.1)

  OB1十0.7629B2十0.0467B3=0.0543 

(1.2)

  OB1十0.0467B2十0.2733B3=0.0193   

(1.0)

  σe2十0B1十0.0543B2十0.0193B3=0.0073 

(1.X)

次 の ス テ ップ ２で は,ま  

第 ２式 のB2の

(1.3)

A+0B1+2.5840B2十0.4000B3=0.4872 

ず

係 数 を １に

し,そ れ を使 っ て,  

第 １式 のB2の

係 数 を ０に,第

３式 のB2の

係 数 を ０に

し ます. 次 の 表 で は,式

の 対 応 順 に 示 して い ま す.計

算 の順 は,(2.2),(2.1),(2.3)で

す.

 ス テ ッ プ ２

 A

 1B1+0B2十0.3195B3=0.2652 

(2.1)

  0B1十1B2十0.0612B3=0.0712 

(2.2)

  0B1十0B2十0.2705B3=0.0160 

(2.3)

+0B1十0B2十0.2419B3=0.3031 

(2.0)

 σe2十0B1十0B2十0.0160B3=0.0034 

  ス テ ッ プ ３ で は,ま し ま す.計

ず 第 ３式,次

(2.X)

に 第 １ 式,第

算 順 は,(3.3),(3.1),(3.2)の

２式 の 順 に,B３

の 係 数 を1,0,0に

順 で す.

 以 上 で 連 立 一 次 方 程 式 の 解 が 得 ら れ ま し た.   ま た,そ

れ が,上

か ら 順 にB1,B2,B3,Ａ,σe2の

値 に な っ て い る の で す.す

  Y=0.2888+0.2463X1+0.0676X2+0.0592X3(残

なわ ち

差 分 散=0.0025).

ス テ ップ3

 A

  1B1十0B2+0B3=0.2463 

(3.1)

  OB1十1B2十0B3＝0.0676 

(3.2)

  OB,十0B2十1B3=0.0592 

(3.3)

+0B1+0B2+0B3=0.2888(3.0)

  σe2十0B1十0B2十0B3=0,0025 

(3.X)

  ｉ.回 帰 式 に よ る傾 向 値   こ う し て,回

帰 式 を定 め る こ と が で き ま した.こ

れ に よ っ て,ひ

とつ ひ とつ の 世 帯

に つ い て こ の 回 帰 式 に よ る傾 向 値 を 以 下 の よ うに 求 め る こ とが で き ます.   Y*=A+B1X1十B2X2+B3X3   ｊ.残

差

  回 帰 式 を使 っ て Ｙ の 変 動 を 説 明 し よ う とす るの で す か ら,Ｙ

の 観 察 値 と,回 帰 式 に よ る傾 向 値 との 差(残 差)   eY=Y-Y*

を 求 め て み る こ とが 必 要 で す.   デ ー タの 中 に は,他

と ち が う事 情 が 効 い て,大

差 を示 す も の が あ るか も しれ ま せ ん.必

きい残

要 に 応 じ て,そ

れ ら を別 に して み る な ど,分 析 を く りか え し ま す.  ｋ.残

差 分散 の計 算

  残 差 は,ひ に,デ

とつ ひ とつ の デ ー タ の レ ベ ル で み る と 同 時

ー タ全 体 を と お し て み た"全 体 と して の 適 合 度"を

評 価 す る た め に も 使 い ま す.そ 散)を 計 算 し ます.

の た め に,分

散(残 差 分

傾 向値 と残差

  ま た,説

 残差 分散

明 変 数 を考 慮 に 入 れ な か っ た と きの 分 散(全

分 散)か ら ど れ だ け 減 少 し た か を み る た め に,分

残 差2乗

散 の減

和

残差分散

少 率(決 定 係 数)を 計 算 し ます.

  0.0245  0.0025

 分散の減少   分 子 σY2-σe2は,回 れ た 部 分 で す か ら,回

帰 式 を使 う こ と に よ っ て 説 明 さ 帰 分 散 と よ ば れ ま す.

◇ 注 １  回帰 係 数 Ａ,BKの

推 定 精 度 の 計 算 な ど で,行 列V

11の逆 行 列 を使 い ます.し た が って,そ れ を計 算 す る こ とが 必 要 と な ります が,27ペ

ー ジの 条 件 式 の 右 辺 に 単 位

行 列 をつ け足 して掃 き出 し計 算 を適 用 す れ ば,回 帰 係 数 の 計 算 と一 緒 に実 行 で き ます.す 件 式 に,27∼28ペ

な わ ち,表2.5.1(ａ)の

条

ー ジ と 同様 な 計 算 をス テ ップ ３ま で 進

め る と,結 果(ｂ)が 得 られ ます. ◇ 注2 V（BI）=σe2SII

で す.こ

れ ら の 算 式 に お け るSII,SJKが

て い ま す.た

だ し,V（A）

れ て い ま す か ら,こ

逆 行 列 の 要 素 で す.上

の 算 式 に お け る ΣXKSJKの

３行 の 右 側 ３列 に 求 め ら れ

符 号 を逆 に し た 値 が4行

れ を 使 う と 計 算 を シ ョー トカ ッ トで き ま す.

 

V（B1）=0.0025×1.1113=0.0028

 

V（B2）=0.0025×1.3246=0.00333

 

V（B3）=0.0025×3.6971=0.0092

 

V（A）=0.0025×

（1/10＋3.60×1.3465+3.40×3.3322+1.60×0.8945)=0.0443

表2.5.1  (ａ)回

逆 行 列 計 算 手順 を お り こむ た め の 変 形

帰 係数B1とV11の

(ｂ)ス

逆 行 列 を求 め る条 件 式

テ ップ ３まで 進 め た 結 果

網掛けの部分がV11の 逆行列 です.

目に 求 め ら

2.6  回 帰 分 析 の進 め 方  ①  2.5節 の 計 算 例 で,回

帰 係 数 を定 め る条 件 式(連 立 １次 方 程 式)の 解 法 と して 掃

き出 し法 を 採 用 し ま し た が,そ  

れ に は 理 由 が あ り ます.た

と え ば,モ

デル

Y=A+B1X1+B2X2+B3X3 

の た め の 計 算 の過 程 で,そ

(１)

の部分 モデル

  Y=A+B1X1+B2X2 

(２)

  Y=A+B1X1 

(３)

の た め の 計 算 結 果 を,同 時 に 求 め ら れ る か ら で す.こ

表2.6.1  (ａ)モ

れ は,(２),(３)式 を あ て

は め る 問 題 を,は

デ ル(1)式

部 分 モデ ル の 解 の解 を 求め る た め の 方程 式

じめ か ら 同 じ手 順 で

扱 え ば わ か る こ と で す が,以

下のよ う

に 考 え る こ とが で き ま す.  ②  原 モ デ ル(１)式 に お け る 最 後 の 説 明 変X3の"値 す る と,そ

が す べ て 等 し い"と

れ を,モ

デ ル に含 め て も含

め な くて も 同 じ で す.だ

か ら,"含

か っ た と き に ど うな る か"を"す

(ｂ)モ

め な

デ ル(2)式 の解 を求 め るた め の 方 程 式

  斜 線部 分 が0と

な っ た もの とみ れ ば よ い.

べ ての

値 が 等 し い と き ど う な る か"と い う 形 に お きか え て考 え れ ば よ い の で す.   X3の 値 が す べ て 等 しい →X3の

偏 差 が す べ て ０だ

→X3の

値 の 分 散 が ０だ

と い う こ と に な り ま す.ま た が っ て,回

た,X3と

帰 係 数B1,B2,B3を

他 の 変 数 と の 共 分 散 も す べ て0と

な り ま す.し

決 め る 条 件 式 に お い て,表2.6.1(b)の

網 掛 け部 分

は ０ と な り ま す.   し た が っ て,28ペ

ー ジ の 計 算 表 の ス テ ッ プ ２ で,モ

デ ル(２)式

と に な り ま す.27ペ

ー ジ の 条 件 式 で は 斜 線 部 分 が0と

な っ て い ま せ ん が,

  モ デ ル(２)式 か ら で す.モ

の 計 算 で は,そ

デ ル(１)式

の 解 は,も

の 解 が 求 め られ る こ

こ が ０だ と み な せ る ち ろ ん,ス

テ ップ ３ま で 進 め な い と 求 ま り ま せ

ん.  ③  例 示 の 場 合,フ ス テ ッ プ ３,ス

ル モ デ ル(１)式

テ ッ プ ２,ス

お よ び 部 分 モ デ ル(２),(３)式

テ ッ プ １ の 結 果 か ら,

  Y=0.2888十0.2463X1十0.0676X2十0.0592X3 

σe2=0.0025

 

Y=0.3031十0.2652X1十0.0712X2 

σe2=0.0034

 

Y=0.4872十0.2813X1 

σｅ2=0.0073

の 解 は,そ

れ ぞれ

とな っ て い る こ とが わ か り ます.  ④  以 上 は,計

算 手 順 の 問 題 と して 説 明 し ま し た が,分

析 手 順 の 問題 と し て 重 要 な

意 義 を も っ て い ます.   た とえ ば,被

説 明 変 数 Ｙ の 変 動 を 説 明 す る た め に,

説 明 変 数(X1,X2,X3)を X3を

使 っ た モ デ ル(１)式 と,

除 外 し て(X1,X2)だ

モ デ ル にX3を

け を使 っ た モ デ ル(２)式 とを 対 比 し,

含 め る こ との 効 果

を 評 価 で き ます.   ま た,  

(X1,X2)を X2を

使 っ た モ デ ル(２)式 と

除 外 し てX1だ

モ デ ル にX2を

け を使 っ た モ デ ル(３)式 を 対 比 し て,

含 め る こ との 効 果

を 評 価 で き ます.   い い か え る と,被 説 明 変 数 Ｙ の 変 動 に つ い て,各

説 明 変 数 の効 き方 を,分 散 の 減

少 に よ っ て 計 測 で き るの で す.   こ の よ うな 分 析,す

な わ ち,"要

  次 の 図2.6.2は,こ

の 過 程 を要 約 し た もの で す.

因 分 析"が で き るの で す.

図2.6.2 

  ⑤  も ち ろ ん,回

要 因分 析 の 経 過 要 約

帰 係 数 の 推 定 値 も か わ っ て い ま す.た

と え ば 説 明 変 数X1の

回帰

係 数 は,  

モ デ ル(３)式 で は0.2813   モ デ ル(２)式 で は0.2652   モ デ ル(１)式 で は0,2463

で す.   モ デ ル(3)式

に よ る推 定 値0.2813は,X2,X3の

効 果 を考 慮 に 入 れ て い ませ ん か ら,

X1の

効 果 の 中 に そ れ が 混 同 さ れ て い る お そ れ が あ り ま す.そ

の 意 味 で,粗

い推 定 値

で す.   モ デ ル(２)式 で はX2の   さ ら に,モ

効 果 を分 離 して 計 測 して い ます.

デ ル(１)式 で は,X3の

効 果 も分 離 し て 計 測 し て い ます.し

モ デ ル(１)式 に よ る推 定 値0.2463で

はX1の

た が っ て,

効 果 が 純 粋 な 形 で 計 測 され て い る わ け で

す.   混 同 され て い る効 果 が 影 響 し な い よ う に した もの で す か ら,"標

準 化 推 定 値"と

よ

ぶ こ とが で き ます.  ⑥  回 帰 分 析 の 計 算 で は,以

上 の 理 由 で,イ

ンプ ッ トした デ ー タ に つ い て,

フ ル モ デ ル の 解 を求 め る過 程 で そ の 部 分 モ デ ル の解 も,自 動 的 に 求 め る よ うに し ま し ょ う.   た だ し,こ の 手 順 で 求 め られ る部 分 モ デ ル は,説

明変 数 の 順 を指 定 し,そ の 順 に 変

数 を １つ ず つ 含 め て い く形 の 部 分 モ デ ル に 限 りま す か ら, "あ ら ゆ る部 分 モ デ ル"の 解 を求 め る に は , モ デ ル に 取 り入 れ る順 を 指 定 しな お し て 計 算 を く りか え す こ とが 必 要 で す.   た と え ば 説 明 変 数 が ３つ の 場 合 に つ い て は  

１,２,３ の 順 に 適 用 して 

１,(１,２),(１,２,３)

 

２,３,１ の 順 に 適 用 して 

２,(２,３)

 

３,１,２ の 順 に 適 用 し て 

３,

と ３度 の 計 算 で,す べ て の 可 能 性 ６ とお り分 の 結 果 が 得 られ る こ とに な り ます.  ⑦  変 数 を 取 り上 げ る順 序 を"あ る ル ー ル で"コ ン ピュ ー タ に 判 定 させ る 方 法 も あ り ま す が,そ

れ に た よ り き る の は,不

適 当 で す.そ

う い う ル ー ル は,"よ

い"と い う

こ と を 分 散 の 小 さ さ で 評 価 し て い ま す か ら,分 散 が 大 き くて も(大 き す ぎ て は だ め で す が),実

態 の 説 明 に は,有 効 だ と み ら れ る解 を見 失 うお そ れ が あ る か ら で す.

  分 散 に 注 目す る に して も,採 用 さ れ て い る ル ー ル に 注 意 を 払 う こ とが 必 要 で す.   た と え ば 説 明 変 数 の 候 補 が3つ 場 合,X1だ

あ り,そ の2つ

け を 取 り上 げ た と き の 説 明 力,X2だ

だ け を取 り上 げ た と きの 説 明 力 を み て,"そ と い う案 は,ベ

て,そ

注

の

け を 取 り上 げ た と きの 説 明 力,X3

れ が 大 きい もの か ら順 に ２つ を採 用 す る"

ス トで は あ り ませ ん.

  こ の こ とは,次  ⑧  補

を 採 用 す る もの と し ま し ょ う.そ

章 で 取 り上 げ る分 析 例 で 実 際 に 出 て き ま す.

  説 明 変 数 の 数 を増 や す と残 差 分 散 σe2=Se/Nが

減 少 す る,し

たが っ

の 減 少 率(決 定 係 数)を 参 照 し て 説 明 変 数 の 選 び 方 を 決 め よ と説 明 し ま し た.

  こ れ に 対 し て,「 最 も望 ま し い 数 を定 め る 基 準 」が ほ しい とい う コ メ ン トが 出 て く る で し ょ う. "説 明 変 数 の 選 択 を こ うい う数 理 的 な 基 準 だ け で 決 め る こ と"は

,

  必 ず し も適 当 で は な い の で す が,数

理 的 な 基 準 の 枠 内 で こ うい う コ メ ン トへ の 対 応 を考 え る こ と は で き ま

す.  ⑨  残 差 分 散 あ る い は 決 定 係 数 の 定 義 に お い て

す な わ ち 「自 由 度 」で わ れ とい う説 が あ り,そ れ は,残 い う考 え方 だ と説 明 し ま し た が,決

差 分散 の 不偏 推定 を求め る と

定 係 数 の 計 算 で こ れ を使 う と,自 由 度 調 整 ず み の

決 定係 数

と な り,Seの

減 少 がN-K−1の

  し た が っ て,説 の です.い

減 少 に 応 じ る分 だ け 相 殺 さ れ る 形 に な っ て い ま す.

明変 数 を増 や し た 場 合 に はR2が

い か え る とR2を

か え っ て 増 加 す る こ とが あ り う る

最 小 な ら しめ るP(K0≦K)を

定 め る こ とが で き ます.

  も ち ろ ん 現 実 に 使 え る デ ー タ数 の 範 囲 で は す べ て を使 え と い う結 果(K0=K)に

な

る場 合 も あ りえ ます.   ⑩  同 様 な場 面 で採 用 され る基 準 と して,マ 準(AIC)な

ロ ー ズ のCP基

準 や,赤

池の 情報 量 基

ど が あ り ます.

  こ れ ら の 定 義 中 のSeに

付 記 した 括 弧 は,説

説 明 変 数 を 使 っ た 場 合,K*は

明 変 数 の 数 を示 し ます.Ｋ

はすべ て の

そ の 一 部 を使 っ た 場 合 に対 応 し ま す.

  どち らの式 も 残 差 分 散 の 大 き さ を 測 る 第 １項(説 明 変 数 の 数 に 応 じて 小 さ くな る)と 説 明 変 数 の数 に 応 じて 大 き くな る第 ２項 の 和 と な っ て い ま す. ◇ 注  AICの

定義 の 第 １項 は計 測 単 位 に よっ て か わ る 形 に な って い ます. CPの 第 １項 の

よ うに,あ る標 準 と比 べ る形 に 改め る こ とが 必 要 で す が,こ の こ とにつ い て は 専 門 書(た とえ ば早 川 毅 『回帰 分析 の基礎 』)を参 照 して くだ さ い.   そ の 意 味 で,定

義 を与 え る理 論 構 成 に ちが い は あ る も の の,同

じ意 図 で 使 う こ との

で き る指 標 で す.  ⑪  こ の テ キ ス トで は,⑧

で 述 べ た とお り,数 理 的 な 基 準 だ け で 決 め て し ま う の

で な く,現 象 説 明 を考 え て 決 め よ とい う立 場 を と っ て い ま す.第 うす る こ との 必 要 性 と有 効 性 を 説 明 し ま す.⑨,⑩ の 流 れ の 中 で 例 示 し ます.

３章 の 問題 例 で,そ

に 述 べ た 指 標 に つ い て も,説

明

2.7  残 差 プ 口 ッ ト  ①  観 察 値 と傾 向 線 と の へ だ た り を残 差 分 散 あ る い は 決 定 係 数 で 計 測 す る こ と を説 明 し て き ま した が,こ   で す.当

れ ら の 指 標 で 計 測 され るの は

１セ ッ トの 観 察 単 位 で み た 残 差 全 体 で み た 「平 均 的 な 評 価 値 」 然,ひ

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に つ い て み る と,残 差 が σeの数 倍 の 大 き さ に

達 す る もの が あ りえ ます.   し た が っ て,「 各 観 察 単 位 の 観 察 値 が 同 一 条 件 下 で 求 め ら れ た 値 」だ と仮 定 で き る な ら と もか く,一 般 に は １セ ッ トと は み な し が た い 観 察 値 が 混 在 し て い る 可 能 性 を考 慮 し て, そ うい うものが あれ ば検 出 で きる ようにす る こ とが 必 要 で す.そ

の た め に,分

散 の 計 算 過 程 で個 々 の 残 差 を 記 録 し,以 下 に 説 明 す

る 残 差 プ ロ ッ トを か い て み る の で す.そ す る とか,そ

れ を み た上,た

とえば観 察単 位 の一部 を除外

れ ら を タ イ プ わ け す る ため の 説 明 変 数 を追 加 す る な ど,分 析 の 進 め 方 を

改 め る こ と が 必 要 と な るか も しれ ませ ん.  ②  残 差 ｅnと傾 向 線 に よ る推 定 値Ynの

関 係 を プ ロ ッ ト した もの を 「残 差 対 推 定 値

プ ロ ッ ト」 とよ び ま し ょ う.   図2.7.1,2.7.2が

そ の 一 例 で す.

  こ の プ ロ ッ トに よ っ て,「Yの を確 認 で き ます.図2.7.1で

大 小 に か か わ らず ほ ぼ 一 様 に 適 合 し て い る か 否 か 」

は,そ

うな っ て い る とみ な して よ い で し ょ う.

  ↑で 示 した １点 を 除 く と,す べ て ３σ の 範 囲 内 で す.↑ 事 情 を 調 べ て み ま し ょ う.そ

う して,他

図2.7.1 

図 の 縦 軸,横

で 示 し た １点 に つ い て は,

とち が う事 情 が 効 い て い る と わ か れ ば,そ

家 計 に お け る食 費 支 出 と収 入

軸 と も,「 平 均 値 ±Kｘ 標 準 偏 差 」に あ た る箇

所 に 目盛 りを と り,Kを

表 示 して い ます.

れ

図2.7.2 

こ の 図 で は 縦 軸,横

賃 金 月額 と年 齢

軸 の き ざみ を 観 察 値 そ の もの で 示 し

て い ます.

を除 外 して再 計 算 す る こ とが 考 え られ ま す.   こ れ に 対 し て 図2.7.2で な っ て い る」よ う で す.こ

は 「Ｙ が 大 き く な る に つ れ て 残 差(の 絶 対 値)も 大 き く うい う場 合 は よ くみ ら れ ます.回

の 一 様 性 」を前 提 と して い ます が,こ  Ｙ の 分 散 がＹ な ら,Ｙ

帰 分 析 の 数 理 で は 「残 差

の 前 提 を み た し て い な い の で す.

の 値 に 比 例 す る … そ う仮 定 で き る ケ ー ス が 多 く,そ う 仮 定 で き る

の か わ りにlogYと

変 換 し た もの を使 う こ とが 考 え ら れ ま す.

  た だ し,い つ も そ う と は 限 り ませ ん.こ

の 例 で は,Ｙ

が 賃 金 で す か ら,観 察 対 象

の 属 性(た とえ ば 就 労 条 件 や 職 種)の ち が い が 効 い て い る の か も し れ ませ ん.  ③  被 説 明 変 数Ynと,説

明 変数XKの

観 察 値XKnと

の 関 係 を プ ロ ッ トし た 図 に 傾

向 線 を 書 き込 ん だ もの を,「 残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト」 と よ び ま し ょ う.   縦 軸 が 残 差enで 味 を 汲 ん で,ま

な く,Yn=Yn*+enで

た,他

す が,残

差enを

み る た め の 図 だ と い う意

の 残 差 プ ロ ッ ト と の 共 通 性 も考 え て,「 残 差 」と い う呼 称 を お

もて に 出 し ま し た.   図2.7.3,2.7.4が   図2.7.3の

そ の 一 例 で す.

よ う に 残 差 に あ る 傾 向 性 が 見 出 さ れ た と き に は,Ｙ

線 だ と 想 定 した こ とが 問 題 とな り ます.し

とXKの

関係 が 直

た が っ て,図

に は ２次 曲 線 を想 定 して 求 め

差 が た い へ ん 大 きい の で,直

線 関係 で十分 だ とみ て もよい

た傾 向 線 も併 記 し て あ り ます.   た だ し,こ の 例 で は,残

で し ょ う.傾 向 線 の 形 を 考 え る 前 に,図2.7.2で

注 意 した 「 観 察 単位 の 異 質 性 」を 探

る方 が 先 で す.  ④  残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ トに は,「 平 面 に 図 示 す る」こ とか ら くる 基 本 的 な 問 題 が あ りま す.   説 明 変 数 を １つ と限 定 で き る と は 限 り ませ ん.２ つ 以 上 の 説 明 変 数 がＹ る と き に は,そ

の１ つ だ け を取 り上 げ たＹ 対X1プ

ロ ッ トで はX1以

に影 響 す

外 の 説 明変数 の

図2.7.3 

図2.7.2の

残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト

実線 は直線 関係 を想定,点 線 は放物 線 を想定.

影 響 に よ っ て,「 Ｙ 対X1の   し た が っ て,他

関 係 」が ゆ が め られ て い る 可 能 性 が あ り ま す.

の 説 明 変 数 も一 緒 に 取 り上 げ て 求 め た傾 向 線

Y=A十B1X1十B2X2 に つ い て,X2=X2を

(１)

代 入 した

Y=A十B1X1十B2X2

(２)

を あ わ せ て 図 示 し て お く と よ い で し ょ う.  X2を

無 視 し た傾 向 線   Y=A+B1X1

(３)

との 差 の 大 小 に よ っ てX2を

考 慮 に 入 れ る こ と の 要 否 を判 断 で き ます.

  (2)式 と(3)式 は 同 じ関 数 形 に な ります が,係 数A,B1の Ａ,B1がX2を 考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て(２)式 のＡ,B1に  ⑤  図2.7,4の   左 上 の ↑は,Ｙ

例 で は,図

値 は ち が い ま す.(３)式 の な るの です.

の 枠 外(３σ外)に 落 ち た 点 が ３つ あ り ます.

も ｅ も大 き い もの で す.右

向 線 を考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て,そ

上 の ↑はYが

３σ外 で あ っ た も の が 傾

の 大 き い こ とが あ る程 度 説 明 で きた こ と を示 し

ます.   右 の 方 の → は,説

明 変 数X1の

値 が 他 と 大 き く離 れ た ケ ー ス で す.説

「説 明 を 与 え る範 囲 を ど うす る か 」と い う観 点 で 決 め る こ と で す .し

明 変 数 は,

た が っ て,被

説

明 変 数 の 範 囲 で み た 外 れ 値 と ち が っ た 見 方 を す べ き で す.   「Ｘ の値 が ち が う こ とに よ る Ｙ の ち が い 」を Ｙ の ち が い の 中 か ら分 離 す る た め の 残 差 プ ロ ッ トに つ い て は8.3節

で 説 明 し ます.

 ⑥  残 差 対 観 察 単 位 番 号 プ ロ ッ ト   残 差 を デ ー タ 番 号 順 に プ ロ ッ ト し た も の を 「残 差 対 デ ー タ 番 号 プ ロ ッ ト」 と よぶ こ と に し ま し ょ う.   こ れ は,デ

ー タ番 号 が あ る 意 味 を もつ 場 合,た

と え ば,年

次 区分や 地 域 区分 に対応

図2.7.4 

実 線 はX2の

図2.7.1の

残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト

影 響 を考 慮 に 入 れ て 求 め た もの,点

線 はX2の

影響

を考 慮 に 入 れ て い ない もの. 図2.7.5 

家 計 に お け るウ イ ス キ ー 購 入 量

基 礎 デ ー タ の定 義 な どの 変 遷 を検 討 す る こ とが 必 要 です.

す る場 合 に 有 効 で す.   図2.7.5は

年 次 区 分 の 場 合 で す.

  ど ち らの 場 合 に も,す べ て の 地 域,す 限 り ませ ん か ら,プ

べ て の 年 次 に 同 一 の 傾 向 線 を想 定 で き る とは

ロ ッ トを参 照 して,同

一 セ ッ トと して 扱 う範 囲 を ど う定 め るか を

考 え な け れ ば な ら な い の で す.   例 示 の 場 合 に つ い て は,1979年 うに み え ま す が,1980年

ま で 増 加 傾 向 を つ づ け て い た 「特 級 」が 急 減 し た よ

か ら別 掲 さ れ て い る 「一 級 」を あ わ せ て 考 え ま し ょ う.

  それ ま で 「特 級 」と 「一 級 」 と を一 括 して 調 査 し て い た の か も し れ ませ ん.酒

税 での

扱 い が 改 定 さ れ た の か も し れ ませ ん.デ

ー タ に 不 連 続 が み られ た と き に は,「 現 象 自

体 」で は な く,「 調 査 の 実 施 過 程 」な ど に よ っ て つ く ら れ た 可 能 性 が あ り ます.原 に は,こ

資料

うい う点 に 関 す る 注 記 が つ い て い る と思 い ます.

2.8  補 足:回 帰推 定 値 の 確 率論 的性 質  ①  2.2節

で 説 明 した 「最 小 ２乗 法 の 数 理 」に つ い て 補 足 し ま す.2.2節

と 同 様 に,

モデル  

Y=α+βX+ε

を推 定 す る もの と し て 説 明 し ま す が,大 部 分 の 箇 所 は,パ

ラ メ ー タ の 数 を Ｋ と表 わ

し,説 明 変 数 の 数 が 多 い 場 合 に も適 用 で き る よ うに して あ りま す.  ②  自 由 度 調 整 ず み の 決 定 係 数 に,決

最 小 ２乗 法 で 求 め た傾 向 線 の 有 効 性 を測 る た め

定 係 数 す な わ ち分 散 の 減 少 率

(1) を 使 い ます が,全 を デ ー タ数Ｎ て,自

分 散 σY2,残 差 分 散 σY￨X2の推 定 値 と して,そ

れ ぞれ の偏 差 平 方和

で わ っ た もの(∂Y2,∂2Y￨X)を 使 う と説 明 し て い ま した.こ

の こ とにつ い

由 度 で わ っ た もの(σY2,σY￨X2)を 使 え と され る場 合 が あ り ま す.す

の(1a)式

の か わ りに(1b)式

な わ ち,次

を使 うの で す.

(1a) (1b)   単 に 決 定 係 数 と よ ぶ 場 合 は(1a)式 数 」 と よ ば れ ます.表2.1.5に

を 指 し,(1b)式

は 「自 由 度 調 整 ず み の 決 定 係

あ げ た 例 σY2(表 の 記 号 で はＶ)に

つ い て,２ つ の 場 合

を 区 別 し た の が 次 の 表 で す. 表2.8.1 

  「級 間 分 散=全 ち ま せ ん か ら,決

分 散 分 析 表(１)

分 散 −残 差 分 散 」 と い う関 係 が,自

表2.8.2 

分 散 分 析 表(２)

由 度 を 調 整 し た 場 合 に は 成 り立

定 係 数 は,「 残 差 分 散/全 分 散 」 を計 算(例 で は60.0%)し

た 後,そ

れ を １か ら引 く形 で 求 め ます(例 で は40%).   こ れ は,次

に 述 べ る仮 説 検 定 を適 用 す る場 合 に 級 間 分 散 を,「 残 差 平 方 和/(K−1)」

とす る こ とに 関 係 し ます.

 ③  傾 向線 の有意 性検 定

表2.8.3 

  Ｙ の変

分 散 分 析 表(２)

動 を説 明 す るた め に Ｘ との 関 係 を表 わ す モデ ル を使 うの です が,そ うす る こ との効 果 を判 定 す る ため に,以 下 の よ うな 「 仮 説検 定法 」を適用 します.   自由度 調整 ず み の分 散 の比 と して定   こ の 表 に お け る 全 分 散0.049お

義 され る Ｆ 比

0.0294に が,級

よび残差 分散

つ い て は す で に 説 明 し た とお り で す

内 分 散 に つ い て は,Ｆ

検 定 を適 用 す る た

め 「パ ラ メ ー タ数-1」 で わ る形 に しま す,

が,モ  

デ ル の パ ラ メ ー タ β が ０だ と し た場 合 自由 度(K-1,N-K)の

Ｆ 分布 に したが う

こ と を利 用 し て,「 β が ０だ 」 とい う仮 説 を検 定 で き ます.   表2.8.3に

示 す 分 散 分 析 表 は,こ

の仮 説検 定 を適 用 す る場 合 に 慣 用 され る形 式 で

す.   こ れ ら を利 用 し て Ｆ 比 を計 算 し,そ の 値 を 判 定 基 準 値(統 計 数 値 表 に 掲 載 さ れ て い る)と 比 べ て,基

準 値 よ り大 き け れ ば β は ０で な い(す な わ ち 回 帰 式 を使 う こ と は有

効)と 判 定 し,基 準 値 よ り小 さ け れ ば β は ０ で な い と は い え な い(す な わ ち 回 帰 式 を 使 うこ と は有 効 とは い え な い)と 判 定 す る の で す.   こ の 検 定 法 は,誤

差 項 の 確 率 分 布 に つ い て 正 規 分 布 を 想 定 で き る 場 合(2.2節

定 ｄ を想 定 した 場 合)に 適 用 で き ます.い

で仮

い か え る と,正 規 分 布 を 想 定 で き な い 場 合

に は 適 用 で き な い の で す か ら,注 意 して くだ さ い.   仮 説検 定 法 に つ い て は,本

シ リー ズ の 第 ２巻 『統 計 学 の 論 理 』 を 参 照 し て くだ さ い.

  ④  回 帰 係 数 な ど の 推 定 精 度 

最 小 ２乗 法 に よ る 回 帰 係

値 を使 っ て計 算 し ま す か ら,誤 差 の 影 響 を 受 け ます.そ

こ こ でU2は,残

差 分 散 の 推 定 値SY￨X/（N-K)で

  回 帰 式 に よ る推 定 値Y*=A+BXの

  この場合,Xnは

誤 差 は,次

の 誤 差 は,次

の 式 で 評 価 さ れます

す. の 式 で 評 価 され ます.

推 定値 の計 算 に用 いた Ｘ の観 察値 の いず れか です.

 観 察値 以外 の Ｘ を使 っ て計算 した推 定値Y#=A+BX(予 す)の 誤差 は

α,βの 推 定 値 は 観 察

測値 とよん で 区別 しま

で す.括

弧 の 中 に １が 加 わ る の が,観

察 値 以 外 の Ｘ を使 う こ と に と もな う変 更 で す.

 ⑤  モ デ ル の 誤 差 項 に つ い て 正 規 分 布 を仮 定 で き る 場 合 に は,こ を偏 差 値 に お きか え たｔ 統 計 量 の 確 率 分 布 が 自 由 度n-kのt分

れ らの誤差 推定 量

布 に な るこ とが証 明

され て い ます.   した が っ て, Ａ,Ｂ,Y*,Y#の す.

推 定 値 に つ い て,信

頼 区 間 を 計 算 す る こ とが で き ま

 問 題 ２

【 分析 の進 め 方】 問 １ (１) 付 表A.1の  (２) XとYの

う ち食 費 支 出(Ｙ)と

収 入(Ｘ)の

関 係 を 表 わ す 直 線Y=A+BXを

方 は 問 わ な い.デ

関 係 を示 す グ ラ フ をか け. 求 め よ.こ

ー タ の 傾 向 を表 わ す と判 断 さ れ るＡ,Ｂ

こで は直線 の 定め

の 値 を選 べ ば よ い.

 (３) 想 定 した 式 に よ る計 算 値 を 基 準 と し た 分 散(残 差 分 散)を 計 算せ よ.  (４) 平 均 値 を 基 準 と した 分 散(全 分 散)を 計 算 し,残 差 分 散 と比 較 せ よ.  

注:問

問 ２ 付 表C.2に

ｌ∼ ４につ いて は,計 算 は電 卓,グ ラフ は手 書 きに よっ て くだ さい. 示 す 食 費 支 出(Ｙ)と

と 同様 な 計 算 を し て み よ.基 帯 の 情 報 で は な く,い は,後

収 入 総 額(Ｘ)の

デ ー タ を 使 っ て,問

１(１)∼(４)

礎 デ ー タ が 問 １の 場 合 の よ うに ひ とつ ひ とつ の 世

くつ か の 世 帯 の 平 均 値 に な っ て い る.こ

の 章 で 問 題 とす るが,こ

こ で は,問

問 ３ 問 ２ と 同 じデ ー タ に つ い て,表2.1.3に

の こ とに つ い て

１と 同 様 に 扱 え ば よ い. 示 す 計 算 手 順 を適 用 し て,回

帰 式,残

差 分 散 お よ び決 定 係 数 を計 算 せ よ. 問 ４ (１) 問 １と 同 じ デ ー タ に つ い て,表2.1.3に 式,残

示 す 計 算 手 順 を 適 用 し て,回

帰

差 分 散 お よ び 決 定 係 数 を計 算 せ よ.

 (２) ま た,テ

キ ス トの 図2.1.4お

 (３) ま た,テ

キ ス トの 図2.1.6,2.1.7お

よ び 表2.1.5の

形 式 で 分 散 の 変 化 を示 せ.

よ び 図2.1.8の

形 式 で,適

合 度 をみ

る た め の グ ラ フ を か け. 【回 帰 分 析 の 計 算 手 順 】 問 ５  2.5節 で 説 明 した 「回 帰 式 の 計 算 手 順 」を,次

の 順 に 計 算 して 確 認 せ よ.

 (１) 25ペ ー ジ に 示 す 「基 礎 デ ー タ」に つ い て,平 均 値,偏 ペ ー ジ)を 計 算 す る.こ の 計 算 に は,電 卓 を使 う こ と.  (２) 「 ｅ.回 帰 係 数 を定 め る条 件 式 」(26ペ ー ジ)に 示 す3つ ペ ー ジ に 示 す ５つ の 式 の う ち(0 .1)式,(0.2)式,(0.3)式 を 計 算 す る.こ  

の 計 算 に は,プ

注:プ ロ グ ラムREGXXを を入力 す る と,2.5節

ロ グ ラ ムREGXXを

差,分

散 ・共 分 散(26

の 式,す

な わ ち,27

を み た すB1,B2,B3

使 う.

呼 び 出 し,条 件 式 の 係 数1.5000,0.3400,0.5000な

ど

の 説 明 と同 じ計算過 程 を みせ なが ら進 行 す る.

こ の計 算 を電卓 で進め て も よい.そ の 場 合,電 卓の 計 算 精 度 と計 算 機 の 計 算 精 度 の ちが い な どに よ って,結 果が い くぶ ん ちが うで あ ろ う.  (３) 26ペ ー ジ ｇ に 示 す 式 を 使 っ て,定

数 項 Ａ と,残 差 分 散 σe2を 計 算 す る.

以 下 の 計 算 に は 電 卓 を 使 う こ と.  (４) 得 られ た 回 帰 式 を 使 っ て,傾 残 差 分 散 を 計 算 す る(29ペ

向 値 と残 差 を 計 算 す る(28ペ

ー ジ ｊ).ま た,

ー ジ ｋ).

  (５) こ の 手順 の 組 み 立 て が 次 の 点 を考 慮 して い る こ と を確 認せ よ.  ○

ひ とつ ひ とつ の デ ー タ に つ い て 残 差 を求 め る よ う に し て あ る.

 ○

回 帰 係 数B1,B2,B3を た 場 合 のB1,B2な

 

求 め る過 程 に お い て,説

明 変 数 をX1だ

けに し

どが 求 め られ る よ うに して あ る.

注:残 差 分散 σe2は,計 算 手順 の ｇで も,ｋ で も計 算 して い るが,計 算 手 順 の ｈで 「ひ とつ ひ とつの 観 察値 の 残差 」を求 め,つ づ い て残 差 分 散 を計 算 す るの が 「 考え 方 と して 自然 な順 序 」で あ る.

【プ ロ グ ラ ム 】 問 ６ プ ロ グ ラ ムREGO1Eを

使 っ て,回

帰 分 析 の 計 算 が11ペ

ー ジ の フ ロ ー チ ャー ト

に よ っ て 進 め ら れ る こ と を 確 認 せ よ. 間 ７ プ ロ グ ラ ムREGO2Eを (X1)お

使 っ て,付

よ び世 帯 人 員(X2)に

表A.1に

示 す 食 費 支 出(Ｙ)の

変 動 を収 入

よ っ て 説 明 す る 回 帰 式 の 計 算 が 問 ５の 計 算 手 順 ど

お りに 進 行 す る こ と を 確 認 せ よ.  

付 表A.1の

数 字 はREGO2Eの

間 ８ (１) REGO2Aで

例 示 用 と し て,セ

はREGO2Eと

ッ トさ れ て い る.

同 じ計 算 を行 な うが,2.6節

に 示 し た よ う に,

説 明 変 数 の 一 部 を使 っ た と き の 解 もあ わせ て 求 め られ る こ と を確 認 せ よ.  (２) 図2.6.2(32ペ

ー ジ)の 様 式 で 説 明 変 数 の 追 加 に と も な う分 散 の 変 化 を図 示

せ よ.  

注:他 の統 計 ソフ トを使 っ た場 合,計 算手 順 や 結 果 の 表示 形 式 が 異 な るか も しれ な い.ま た,問 ８で要 求 した よ うな 図 が出 力 され な い か も しれ ない.

問 ９ テ キ ス トの2.5節 よ.プ

の 説 明 に 使 っ た デ ー タ を使 っ て,問

ロ グ ラ ム はREGO3を

DATAIPTを

使 う こ と.ま

た,基

８ と同 様 の 計 算 を して み 礎 デー タ は,プ

ロ グ ラム

使 っ て 用 意 す る こ と(44ペ ー ジ参 照).

【ア ウ トラ イ ヤ ー の 検 討 】 問10  (１) 付 表Bに

示 す デ ー タの う ち 食 費 支 出(Ｙ)と

し た プ ロ グ ラ ム の うちREGO3を  (２) REGO3を 2.1.8)が  

使 う と,残

使 っ て,回

収 入 総 額(Ｘ)に

つ い て,添 付

帰 式 の 計 算 を行 な え.

差 を 検 討 す る た め の 図(図2.1.6,図2.1.7,図

出 力 さ れ る こ と を確 認 せ よ.

注:付 表 Ｂ の デ ー タ は,REGO3の

例 示 用 フ ァ イ ル と して用 意 され て い る の で,そ

れ を使 うと指 定 す れ ば よ い. 問11  (１) プ ロ グ ラ ムXYPLOT1を 方 は,こ

使 っ て,図2.1.7を

か け.XYPLOT1の

の シ リー ズ の う ち 第 ９巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの

使 い

使 い 方 』ま た は 第 ２

巻 『 統 計 学 の 論 理 』を 参 照 す る こ と.基 礎 デ ー タ は 例 示 用 デ ー タ フ ァ イ ル と し て 用 意 さ れ て い る.

 (２) XYPLOT1の が60で

機 能 を使 っ て,図2.1.7の

左 側 の ↑の デ ー タ の デ ー タ 番 号

あ る こ と を確 認 せ よ.

 (３) プ ロ グ ラ ムREGO3を  (４) デ ー タ番 号60を 比 べ て,回

使 っ て,図2.1.7に

示 す 回 帰 式 を求 め よ.

除 外 し て(注 １),回 帰 係 数 の 計 算 を 行 な い,(３)の 結 果 と

帰 式 が ど うか わ る か,ま

た,残 差 分 散 が ど うか わ るか を調 べ よ,

 (５) (３)で 出 力 し た 図2.1.7と(４)で

出 力 し た 場 合 の 図2.1.7を

比較 す るた め

に,２ つ の 図 を １枚 に 重 ね る こ と を 考 え よ(注 ２).  注 １:「デ ー タの一 部 を除 いて 計 算せ よ」とい うこ とを指 示 す るた め の 指 定 文 を デー タに付 加 す るこ とが 必要 で あ る.こ うい う指 定文 を付 加 す る ため には,プ ロ グ ラ ムDATAEDITを

使 う.使 い 方 は 本 シ り一 ズ 第 ９巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの

方 』に 説明 して あ るが,こ の 問題 の場 合 に 限れ ば,45ペ  注2:2つ

使い

ー ジ を参 照 す れ ば よ い.

の 図 の ス ケー ル は,そ れ ぞれ の デー タ で計 算 した 標 準 偏 差 を使 っ て い る

の でREGO3の

出 力 を重 ね る こ とは で き な い.REGO3の

オ プ シ ョン を指 定 す る

と,他 の デ ー タ,あ るい は 他 の 方 法 で 求 め た傾 向線 を重 ね 書 き す る こ とが で き る. 【説 明 変 数 の 加 除 】 問12  (１) 付 表 Ｂ の デ ー タ に つ い て,食 世 帯 人 員 数(X2)に グ ラ ムREGO3を

費 支 出(Ｙ)の

変 動 を 収 入 総 額(X1)お

よ っ て 説 明 す る 回 帰 式 を 計 算 せ よ.た

だ し,UEDAの

よび プ ロ

使 うこ と.

 (２) 図2.6.2の

様 式 で,説

 (３) 残 差 を 図2.7.1の 問13  (１) デ ー タ番 号60を

明 変 数 の 追 加 に と もな う分 散 の 変 化 を 図 示 せ よ.

形 式 で 図 示 せ よ. 除 外 し て,問12(１)∼(３)の

計 算 を行 な い,そ

れ ぞれの結

果 が ど うか わ る か を 調 べ よ.  (２) 説 明 変 数 を 加 除 す る こ と に よ る影 響 と,ア ウ トラ イ ヤ ー を 除 去 す る こ と の 影 響 とで は,ど

ち らが 大 き い か.一

般 論 で は な く,こ の例 に 関 して ど う な っ

て い るか を答 え れ ば よ い. 【 対 象範 囲 の限定 】 問14  (１) 付 表E.1に 表E.1の

示 す エ ネ ル ギー 需 要 量(Ｙ)と

記 号 で い う と Ｘ とＵ)に

を求 め よ.た

つ い て,Ｙ

だ し,直 線 関係Y=A+BXを

 (２) (１)で求 め た 回 帰 式 に よ っ て,Ｙ か.取

鉱 工 業 生 産 指 数(Ｘ)の

関 係(付

の 変化 を Ｘ で 説明 す る回 帰 式 想 定 して 扱 う もの と す る,

と Ｘ の 関 係 を 十 分 説 明 で き る とい え る

り上 げ た デ ー タ の 範 囲 に 「オ イ ル シ ョ ッ クの 年 が 入 っ て い る 」こ と を 考

慮 に 入 れ た 扱 い 方 を考 え よ. 問15  (１) 問14の

計 算 を1965∼70年

の デ ー タ に 適 用 して み よ.

 (２) 問14の

計 算 を1976∼83年

の デ ー タ に 適 用 して み よ.

 

注:問14の

基礎 デ ー タは フ ァイルDT10か

ら選 ん でDT11に

記録 され て い る.

  DATAIPTの

使 い方

  DATAIPTは,UEDA用

の 形 式 で

デ ー タ フ ァ イ ル を用 意 す る プ ロ グ ラ ム で す.   a.DATAIPTを

呼 び 出 す と,ま

ず,

入 力 す るデー タの タ イプ を指 定 す る よ う求 め て き ま す.回 に は,Ｖ

帰 分析 で 使 う場 合

を指 定 し ます.

  そ の 指 定 に 応 じ て,デ

ー タの 略 称 や

数 を入 力 す る画 面 が 現 わ れ ま す.   こ の 問 題 の 場 合 は,右

の例 示 の よ う

に 入 力 し ま す(イ タ リ ッ クが 入 力 で す).   ｂ.こ

こ ま で 指 定 す る と,デ ー タ 本

体 を入 力 す る画 面 に な り ます.   その 画 面 の 左 上 に,入

力 箇 所 に 緑 の/

印(カ ー ソ ル)が 点 滅 し て い ま す.   そ の 箇 所 に 値 を 入 力 す る と,カ ー ソ ル が 右 に(右 端 に い く と 次 の 行 に)う つ り ます か ら,順 に 入 力 し て い き ま す.   入 力 ミス に 気 づ い た ら,矢

印の キイ

で カ ー ソ ル を そ の 箇 所 に 動 か し,入

力

し なお し ま す.   ｃ.入 力 が 終 わ っ た らEscキ す と,確 Enterキ

イをお

認 を 求 め て き ま す.そ

こで

イ を お す と,出

力 作 業 に進 み

 ｄ.記 録 す る 前 に,出

力 桁 数 を調 整

ま す.

す る こ と が で き ま す が,一

般 にはプ ロ

グ ラム に ま かせ て お き ます.   出 力 フ ァ イ ル の 記 録 場 所 と 名 前 は, 標 準 ど お りに し て くだ さ い.  ｅ.出

力 が 実 行 さ れ,指

定文付加 に

関 す る メ ッ セ ー ジ が 表 示 さ れ ます.   こ こ で は,１ と入 力 し てMENUに  使 うプ ロ グ ラ ム を指 定 し,デ に つ い て 処 理 で き ます.

も ど りま す. ー タ と してWORK.DATを

指 定 す る と,そ

の デー タ

  DATAEDITの

使 い 方(キ イ ワー ドの 挿 入)

  こ の 問 題 で は,今 使 っ て い る作 業 用 フ ァ イ ル(WORK.DAT)に デ ー タ を 除 け 」 と 指 定 し ま す.こ DATAEDITを

つ い て 「番 号60の

の よ う な 指 定 を 行 な う に は,プ

ロ グ ラ ム

使 い ま す.

  ａ.DATAEDITで

は,ま

ず,対

象

フ ァ イ ル を 指 定 す る 画 面 に な り ま す が, こ の 問 題 で は, WORK.DATを

指 定 し

ま す.   ｂ.す

る と,そ の フ ァ イ ル の 内 容 が 表

示 さ れ ま す(右 の 例 示 で は,一

部 を省

略).   デ ー タ 数68(NOBS=68)で の う ち60番

す が,そ

目 を 除 い て 分 析 し た い.そ

の た め の 指 定 文 を 挿 入 す る の で す.   ｃ.最 す.そ

初 は １行 目 が 緑 に な っ て い ま の位 置 は,矢

印 の キイで移 動 し ま

す.   挿 入 し た い 位 置 で 「Insキ イ」 を お す と そ の 行 の 前 に 空 白 行 が 挿 入 さ れ ます.   こ の 問 題 で は 図 の位 置 が 自 然 な 場 所 で す.   ｄ.そ

の 行 に,指

定 文 を 入 力 し ま す.

本 体 は 「DROP=/60/」 と文 字dataも

で す が,文

入 力 し ま す.キ

番号

イ ワー ド

の 本 体 中 の 英 字 は 大 文 字(半 角 の 大 文 字) に し ます.   入 力 ミス 訂 正 な ど の た め に は,矢 イ, Insキ イ, Delキ

印キ

イ も使 え ま す.

  入 力 を確 認 した らEscキ

イ を お し ます.こ

れ で 挿 入 完 了 で す.

  ｅ.必 要 な 指 定 文 をす べ て 書 き込 ん だ らEscキ

イ を お す と, WORK.DATに,指

定 文 を付 加 し た デ ー タ フ ァ イ ル が 出 力 さ れ ま す.   ｆ.UEDAの

メ ニ ュ ー に も ど りま す.

  そ の デ ー タ を使 うプ ロ グ ラ ム(こ の 問 題 で はREGO3)を WORKを

指 定 し,対 象 デ ー タ と し て

指 定 し ます.

  注:例 示 中 のOBSIDは

観 察 単位 に対 応 す る記号 で す が,60番

は,プ ロ グ ラム で行 な われ ます.

目を 除 い た こ とに よ る調 整

3 分 析 の 進 め 方 ―説明変 数の取 り上 げ方

 前 章 で 説明 した回帰 分 析 の手 順 を,実 際 の デ ー タ に適 用 して み ま し ょ う.説 明 変数 の選 び 方 や組 み合 わ せ方 な ど,機 械 的 には 決 め られな い 点 が あ ります か ら,実 例 を取 り上 げ て考 え る こ とが必 要 で す.

3.0 

問

題

 ①  表3.0.1(付

例

表 Ｂ)は,あ

る 市 の68世

帯 に つ い て 調査 し た家 計 収 支 の 情 報 で

す.   各 世 帯 ご とに,世

帯 人 貝,月

収,消

費 支 出総 額,食

費 支 出 な ど の デ ー タ が 求 め られ

て い ま す,   この 章 で は,こ

の う ち の 食 費 支 出 の 世 帯 間 差 異 を 説 明 す る 問 題 を取 り上 げ て,分

の 仕 方 を例 示 し ま し ょ う.   ②  デ ー タ数 は68で

あ り,電 卓 で 計 算 す る に はや や 荷 が 重 い で し ょ う.UEDAを

使 って 学 習 す る こ と を 期 待 して い ます. 表3.0.1 

68世 帯 の 家 計 収 支(1954年

U1:世

帯 人 貝,U6:収

U2:有

業 者数 は付 表 で は 省 略 して い ま すが,デ

入 総 額,U7:実

支 出,U8:消

平 均)(単

位:百

費 支 出,U9:食

円/月)

費 支 出,な

ー タ フ ァ イ ル に は 入 って い ます.

ど

析

  回 帰 分 析 の プ ロ グ ラ ム は 種 々 の もの が あ りま す.ど

れ で もか ま い ませ ん が,こ

のテ

キ ス トの レベ ル を こ え た 高 度 の 機 能 を も っ て い て も,こ の テ キ ス トで 解 説 し た範 囲 で 使 っ て くだ さ い.は

じめ か ら 高 度 の 機 能 を 使 お う とす る と,理 解 しに くい こ とが 出 て

くる で し ょ う.  ③  分 析 をは じめ る前 に,ま  た と え ば,デ ち ま す.慣

ず,対

象 デ ー タ を よ くみ て お き ます.

ー タ の 相 互 関 係 を 示 す 相 関 係 数 を 計 算 し て お く と,い

れ れ ば,そ

ろ い ろ と役 に 立

れ をみ る だ け で 「ど ん な結 果 が 得 ら れ る か お よ そ の 見 当 づ け が

で き る」よ うに な る で し ょ う.   相 関 係 数 の 計 算 は,コ

ン ピ ュ ー タが 使 え る環 境 下 で は 簡 単 な こ と で す.

  表3.0.2は,表3.0.1の

う ち,X6(=食

費 支 出)を 分 析 対 象 とす る場 合 を 想 定 して

 

X1:世

帯 人 員 数,X2:有

業 者 数,X3:収

入 総 額,

 

X4:実

支 出,X5:消

費 支 出 総 額,X6:食

費支 出

に つ い て 計 算 し た 相 関 係 数 行 列 で す.

表3.0.2 

  まず(X4,X5）

が0.9を

0.7台 が な く,0.6台 箇 所 を選 ん で,そ   図3.0.3で   ま た,変

食 費 支 出 と関 連 デ ー タの 相 関 行 列

こ え る 高 い相 関 を も っ て い る こ と が 目 に つ き ま す.0.8台,

と し て(X1,X6),(X3,X4),(X5,X6）

の つ な が り を 図3.0.3の

は 以 上 の 対 の ほ か,相

の ３対 が あ り ま す.こ

関 が0.5台

ま で の 対 を線 で む す ん で い ます.

動 を 説 明 し よ う とす る 食 費 を Ｙ と表 わ して い ます.

  Ｙ の 変 動 を 説 明 す る た め に は そ れ と相 関 の 高 い も の を選 ぶ べ き で す か ら,ま X1とX5が

候 補 と さ れ る で しよ う が,

,次 の よ うな コ メ ン トも あ り そ う で す.   ・X4はX5と

図3.0.3 

高 い 相 関 を も つ の で,

両 方 を 使 う必 要 は な い.   ・X5の か わ りにX4を

使 っ て も よ い.

  ・も う ひ とつ を追 加 す る な ら,X4以 外 か ら選 ぶ 方 が よ い.   ・残 っ た も の はX3,X2だ X3,X2の

うい う

よ うに 示 して お く と よ い で し ょ う.

ど ち らか.

が,次

は

相 関 関係 の 要 約 図

ずは

 

・客 観 的 な選 択 基 準 を使 っ て 決 め る よ うに す べ き だ .  ・相 関 の 高 さ だ け で 決 め るの は よ く な い .  ・変 数 の 意 味 を考 え る な ら, X3(=収 入)を 使 うの が 自然 だ.  ・こ うい う予 断 を もた ず に 進 め るべ き だ

  もち ろ ん,こ

の 段 階 だ け で 結 論 は 出せ とい うの で は あ りませ ん.予

う,客 観 的 に 進 め な け れ ば な ら な い の で す が,こ

の よ うに,相

断 に ならな い よ

関 係 数 の 情 報 を参 照 し

て 見 当づ け を して お く と,適 正 に 進 ん で い る こ とが 確 認 で き ま す.   以 下 順 を追 っ て,こ

れ らの コ メ ン トに つ い て 当 否 を考 え て い き ま す.こ

の よ う な選

択 に 関 す る指 針 を体 系 づ け て 考 え て い くこ と を例 示 し た も の と 了解 して くだ さ い.  ④  も う一 歩 進 め て,図3.0.4の

よ う に 各 変 数 対 の 相 関 図 をか い て お く と,相 関 係 図3.0.4 

変数対の相関 図

数 で は わ か ら な い 「ア ウ トラ イ ヤ ー 」や 「関 係 の 非 直 線 性 」の 有 無 を調 べ る こ とが で き ま す.   た とえ ば,(X4,X5)の

相 関 が 高 く,(X1,X5)の

た とお りで す が,(X3,X6)の

図 をみ る と,傾

見 出 さ れ ます.(X4,X6),(X5,X6)の

相 関 が 低 い こ と は相 関 表 で も み ら れ

向 線 か ら左 上 に 大 き く離 れ た 観 察 単 位 が

図 を あ わ せ て み る と,そ の 観 察 単 位 はX4,X5の

値 も高 い こ とが わ か り ます.   この 観 察 単 位 の 番 号 を調 べ ま し ょ う.後 の 分 析 で,こ

れ ら の 観 察 単 位 の 扱 い 方 を考

え ます.

3.1  説 明 変 数 選 択 と分 散 分析  ①  ま ず,食 (X1),有

費 支 出(Ｙ)の

業 者 数(X2)に

世 帯 間 差 異 を,世

帯 の 収 入 総 額(X3),世

帯 人 員数

よ っ て 説 明 す る 回帰 式 を 計 算 して み ま し ょ う.

  説 明 変 数 の 取 り上 げ 方 は特 定 せ ず,あ

らゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 す る と,次

の

結 果 が 得 られ るは ず です.

(6098)

 モ デ ル ０

Y=220.65

 モ デ ル １

Y=44.96十45.60X1

 モ デ ル ２

Y=133.25

 モ デ ル ３

Y=149.55

 モ デ ル12 

Y=23.59十39.88X1十29.52X2

 モ デ ル13 

Y=12.97十41.61X1

 モ デ ル23 

Y=116.55

 モ デ ル123 

Y= 

  括 弧 内 は,そ

(3147) (4803)

十59.43X2

+0.088X3

(5041) (2874)

+0.059X3

(2700) (4553) (2652)

十43.05X2十0.051X3 8.64十39.58X1十14．30X2十0.048X3

れ ぞ れ の モ デ ル を 採 用 し た と き の残 差 分 散 で す.

  どの 説 明 変 数 も使 わ な か っ た と き の 分 散(全 分 散)が6098で と3147に

な り,X1,X2を

使 う と2874に

あ り,X1だ

け を使 う

な る … こ うい う結 果 で す.

  そ の 他 さ ま ざ ま な 組 み 合 わ せ が あ り ま す か ら,残 差 分 散 を 図 示 して お き ま し ょ う. 図3.1.1で

す.

  これ に よって  

各 説 明 変 数 の 説 明 力(他 との 関 係 を考 え ず に み た 場 合)の 大 きい 順 は?   ２つ を組 み 合 わせ て使 う と き,高   ３つ と も使 う と い う案 は,ど

い 方 の ２つ を 用 い る こ とは 妥 当 か?

うか?

を調 べ て くだ さ い. ◇ 注 ｌ  ここ では 解 説 を進 め る都 合 を考 えて 説 明変 数 を選 ん で い ます.48ペ

ー ジ に 述べ た

よ うに考 える と,こ の選 び方 に 異論 が 出 るか も しれ ませ ん.ま た,も っ とよ い選 び 方 が あ るの です が,説 明 の進 展 を追 って くだ さい. ◇ 注 ２ UEDAの

デ ー タフ ァイル で はX6以

下 の変 数値 に10-2を か け て桁 数 を調 整 した場

図3.1.1 

 合 が あ り ま す.そ

変 数 選 択 と残 差 分 散 変 化

れ を 使 っ た 出 力 に は102を

か け て くだ さ い.

 ②  各 説 明 変 数 を単 独 で 取 り上 げ た と きの 説 明 力 は,分 て,X1,X2,X3の

  ２つ の 変 数 を 組 み 合 わ せ る な ら,大

き さ の 順 に １位 と ２位,す

よ う … こ う し た 場 合 に は,残 差 分 散 は2874ま

と ３の 組 み 合 わせ で あ り,残 差 分 散 は2700ま

  変 数X2の

な わ ちX1,X2に

し

れ で は あ り ませ ん.変

数 １

で減 少 し ま す.

  しか し,２ 変 数 の 組 み 合 わ せ の う ちベ ス トな も の は,こ

こ れ が,ベ

散 を減 少 させ る度 合 い をみ

順 だ と わ か り ます.

で 減 少 して い ま す.２ 変 数 を 扱 う場 合,

ス トで す 。 単独 で み た と き の 説 明 力 が ２位 で あ っ て も,す で にX1を

り,そ れ に どれ を付 加 す る か を考 え る と きに は,X1と 変 数 を選 ぶ べ き だ … そ れ な ら,２ 位 のX2は,X1と ら,３ 位 のX3を

取 り上 げ て お

異 な った面 で効 果 を発揮 す る 似 た 側 面 を説 明 す る もの だ か

採 用 す る こ と に な る … こ うい う結 果 に な った の で す.

  あ ら ゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 し て あ る た め,こ

の よ うな変数選 択 を的確 に行 な

う こ とが で き た の で す.   ３変 数 と も使 う と,2652ま され て い る2700と   こ の よ うに,説

で 減 少 し ま す が,変

数 １ と ３の 組 み 合 わせ で す で に 達 成

の ちが い は わ ず か で す. 明 変 数 の効 果 を よ む こ とが で き ます.

 ③  説 明 変 数 の 数 が 多 い 場 合 に あ ら ゆ る 組 み 合 わ せ に つ い て チ ェ ッ クす る こ とは, コ ン ピュ ー タ を使 うに し て も,簡 単 で は あ りま せ ん.た で す ん だ の で あ り,10変

数 だ と1024と

と え ば ３変 数 だ か ら ８ とお り

お りに な り ます.

そ こ で,   １番 目 の 変 数 の 取 り上 げ 方 に つ い て 比 較 し,ベ ⇒ その選 択 を前提 として

ス トな も の を選 ぶ

  ２番 目 に 追 加 す る変 数 の 取 り上 げ 方 を 比 較 し,そ の 範 囲 で ベ ス トな も の を選 ぶ ⇒ そ れ ま で の 選 択 を前 提 と して   次 に 追 加 す る変 数 の 取 り上 げ 方 を 比 較 し,そ

の 範 囲 で ベ ス トな もの

を選 ぶ

と,順 次 追 加 して い く案 が 考 え ら れ ます.  

X4,X5を

含 め た ５変 数 に つ い て,こ

  図3.1.2は

の 案 を 試 して み ま し ょ う.

５変 数 の 場 合 を例 と して お り,変 数 １,５,３,２,４ の 順 に 取 り込 ん で い け ば

よ い … こ う い う結 果 に な っ て い ます. 図3.1.2 

説 明変 数 の 逐 次 追 加

  た だ し,こ の 手 順 に よ っ て チ ェ ッ ク され な か っ た ケ ー ス が あ り ま す.例 番 目の 変 数 取 り込 み に お い て １,５が 選 択 され て い ま す が,１,４ も,あ ん.変 数 の 相 関 表 で み て お い た よ うに,変 ら,両

数 ４ と変 数 ５が 高 い 相 関 を も っ て い ます か

方 を 使 う 必 要 は な い で し ょ うが,４ か ５か は 検 討 す べ き で し ょ う.よ っ て,１,

４の ル ー トも追 っ て み ま し ょ う.こ す.し

示 で は,２

ま り ち が い ませ

の 例 で は １,４,３ の 組 み 合 わ せ で は2317と

なりま

た が っ て,１,５,３ で よ い こ と が 確 認 され ます.

  な お,こ ａ.ほ

う い う チ ェ ッ クが 必要 とな る の は と ん ど 同 等 な 変 数 が 含 まれ て い る と き(多 重 共 線 性)

ｂ.観 察 値 に ア ウ トラ イ ヤ ー が 含 ま れ て い る と き で す.こ

れ ら につ い て は 後 で 例 示 し ます.

 ④  図3.1.2で を み ま し ょ う.

た ど っ た ル ー トに 沿 っ て 説 明 変 数 を付 加 した 場 合 の 残 差 分 散 の 変 化

全分散 

6098

⇒ 変数 １の場 合 の残差 分 散 は 

3147 

⇒ 変 数(１,５)の 場 合 は 

は 2315  }こ こまでは

⇒ 変 数(１,５,３)の

2269  }こ こ で も少 し減 少

場 合 は 

⇒ 変 数(１,５,３,２)の

場 合 は 

2258 

⇒ 変 数(１ ,５,３,２,４)の 場 合 は 

  変 数1,５,３ は世 帯 人 貝,消

っきり減少 している

2249  }以降の減 少はご くわずか

費 支 出 総 額,収

入 総 額 で す.こ

の こ とを考 慮 に 入 れ る

と, は っ き り した 候 補 は 世 帯 人 員,消

費 支 出 総 額 で あ り,

も う １つ つ け 加 え る と した ら収 入 総 額 だ と い う こ と で す か ら,問 題 の 意 味 か ら も,納 得 で き る結 果 で す.   有 業 者 数 は,所 得 と 関 連 を もつ に し て も,食 ⇒ 食 費,と,問

費 に 対 す る影 響 は,有

に 所 得 を お く形 で 説 明 され る の で,食

業者数 ⇒ 所得

費 の 分 析 で は 取 り上 げ る 必 要

性 は うす い と い う こ とで す.  ⑤  説 明 変 数 を 逐 次 増 や して い くの で な く,逐 次 減 ら し て い く案 も あ りえ ま す.す な わ ち,候 補 全 部 を採 用 した 状 態 か ら は じ め て,「 落 と し た こ とに よ る 残 差 分 散 の 増 加 の 小 さ い もの 」 を選 ぶ 過 程 を た ど っ て い くの で す.こ

の例 で は

  全 部 を使 っ た と きの 残 差 分 散 が2249   １つ を落 と し た と き の 残 差 分 散 は,変

数 ４を 落 と し た場 合 が2258で

落 と した こ との 影 響 が 最 も少 な い  よ っ て １,２,３,５ を使 う こ とに し よ う

と,た

ど っ て い け ば,４,２,３,５,１

の 順 に 落 と して い け とい う結 果 とな り ます .

図3.1.3 

説 明 変 数 の逐 次 除 外

１:世 帯 人 貝 ２:有 業 者 数 ３:収 入 総 額 ４:実 支 出 ５:消 費 支 出総 額

  こ の 例 で は,逐

次 追 加 す る過 程 を た ど っ て 決 め た 順 と,逐 次 落 とす 過 程 を た ど っ て

決 め た 順 が 一 致 し ま し た が,い

つ も そ うだ と は 限 り ませ ん.

  逐 次 追 加(逐 次 除 外)を 適 用 す る と,残 差 分 散 が 一 様 に 減 少(増 加)し て い き ま す か ら,説 明 変 数 の 数 を 決 め て お き,そ の 数 の と こ ろ で 打 ち 切 る案 が 考 え られ ます.  ⑥  ま た,残

差 分 散 の 「変 化 の 大 き さ」 を測 る指 標 値 を使 っ て 「打 ち切 り点 」 を決 め

る こ とに す れ ば,客 観 的 に 説 明 変 数 を選 び う る … こ う い う発 想 が あ りえ ます.   こ の た め に 使 う指 標 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます.   自由 度 調 整 ず み の 決 定 係 数R2 

あ る と こ ろ で最 大 と な る

  マ ロー ズ のCP 

あ る と こ ろ で最 小 と な る

 

赤 池 のAIC 

あ る と こ ろ で最 小 と な る

な ど で す.  33ペ ー ジ に 示 し た とお り,い ず れ も決 定 係 数 をべ ー ス に し て お り,   説 明 変 数 の 増 加 に よ る 「説 明 力 の 増 加 」を示 す 項 と  係数 推 定に用 い うる 「 実 質 デ ー タ数 の 減 少 」を示 す 項 が 加 わ っ た 形 に な っ て い ま す.  第 ２項 は 推 定 精 度 の低 下 を示 す 項 だ と解 釈 す る こ と もで き ます(33ペ  表3.1.4に

表3.1.4 

  R2基

ー ジ 注 参 照).

こ れ ら の指 標 値 を示 し て あ り ます.

準 で は(１,５,３),CP基

  こ れ らの 基 準 は,説

説 明 変 数 追 加 過 程 の打 ち 切 り基 準

準 とAIC基

準 で は(１,５)を採 用 せ よ とい う結 果 で す.

明 変 数 選 択 に 関 し て 「客 観 的 な解 を与 え う る」 と い う 意 味 で,

よ く採 用 され て い ま す.し

か し,本 来 「説 明 変 数 選 択 」は そ う簡 単 に 扱 え る 問 題 で は

あ り ませ ん.   た とえば  ａ.選

ば れ た 説 明 変 数 群 の 範 囲 で考 え て い ます か ら,説

明変数 群 の選 び 方 に関連

し ま す.  ｂ.決 定 係 数 で 計 測 さ れ て い な い 「個 別 変 動 」の 部 分 が 大 き い と き に は,大

きい

部 分 を 考 慮 外 に お い て,「 小 さ い 部 分 の わ ず か な ち が い を論 じ る」結 果 に な り ます.   ｃ.説 明 変 数 の 選 択 と並 ん で 重 要 な 「 観 察 単 位 の 選 択 」問 題 が あ り ま す.た

とえ

 ば ア ウ トラ イヤ ー が 混 在 し て い る と き,そ れ を 除 くか 否 か で 結 果 が ち が っ て き ます.   し た が っ て,こ

れ らの 基 準 だ け で す べ て終 わ り と安 易 に 考 え て は い け ま せ ん.ひ

つ の 参 考 と受 け と っ て,以

と

下 の 節 で 説 明す る 「 残 差 プ ロ ッ トに よ る 検 討 」や 「個 々 の

問 題 に 即 した 解 釈 」を考 え に 入 れ て 結 論 を 出 す よ うに し ま し ょ う. ◇ 注 １ マ ロー ズのCpとAICは,モ

デ ル に 含 め た 説 明変 数 の 影 響 度 を測 る もの で す が,

その計 測 に お いて は,他 の 説 明変 数 も考慮 に入 れ た計 算 に な って い ます.  したが って,ど の範 囲 の デー タ を使 うか に よっ て ちが う値 に な ります. ◇ 注 ２ 説 明 変 数 の追 加 に よ る残 差 分 散 の 変 化 の 有 意 性 を検 定(Ｆ 検 定)し て,た と え ば 5%水 準 で有 意 であ れ ば追 加 し,そ の水 準 に達 しな い な ら打 ち 切 る とい う手 法 もあ り ます. 残 差 に 関 して正 規 分 布 を仮 定 す る こ とに な り ます か ら,い つ も適 用 で き る とは い え ませ ん. 表3.1.5 

説 明 変数 追 加 に よ る Ｆ 値 の変 化

  そ れ ぞれ の モ デ ルの 分 散 分 析 表(表2.8.3の の で す.

形 式)を1表

に ま とめ た も

3.2  ア ウ トラ イ ヤ ー の影 響  ①  前 節 で 種 々 の 「 変 数 選 択 基 準 」を 説 明 し ま し た が,現 は,変

実 の デ ー タ を扱 う場 合 に

数 だ け で な く,「 観 察 単 位 」に つ い て も選 択 を考 え る こ とが 必 要 で す.

  観 察 値 が 得 られ て い て も,観 察 単 位 が 他 と条 件 が 異 な る の で,同

一 枠 に ま とめ て 扱

うの は ど うだ ろ うか … そ う い う場 合 で す.   こ の 章 で 取 り上 げ て い る例 の 場 合,図3.0.4を

み る と,い

60が 他 と ち が っ た 位 置 に プ ロ ッ トさ れ て い る よ う で す.特 費 支 出 額 が 大 きす ぎ る こ とが 気 に な り ます が,そ す か ら,こ の 観 察 単 位 を 除 い た 上 で,そ る こ と を考 え て み ま し ょ う.

れ は,観

くつ か の 図 で,観 に,収

察単 位

入 総 額 と比 べ,消

察 単 位60に

特 有 の事 情 で

れ 以 外 の 観 察 単 位 で み ら れ る傾 向 性 を 説 明 す

図3.2.1 

 ②  図3.2.1は,そ

説 明 変 数 の逐 次 追加(観 察 単 位60を

の 結 果 を,図3.1.2と

除 い て分 析)

同 じ形 式 に 示 した もの で す.

こ れ に よ る と, X1:世 帯 人 員,X3:収

入 総 額,X5:消

費 支 出 総 額,X4:実

支 出,X2:有

業者数

の 順 に 取 り入 れ よ と い う結 果 で す.   す べ て の デ ー タ を 使 っ た 場 合 はX1,X5,X3,X2,X4だ に な っ た の で す か ら,た

っ た 順 が,X1,X3,X5,X4,X2

とえ ば ２変 数 を選 択 す る場 合 ち が っ た 結 果 に な り ます.

 ③  残 差 分 散 の 減 少 を 目指 す 場 合, 「 変 数 選 択 の 方 を精 密 化 す れ ば そ れ で す べ て が 解 決 す る わ け で は な い 」 とい う こ とで す.観

察 単 位 の 方 に も 注 意 し ま し ょ う.

観 察 単 位 の 選 択(ア ウ トラ イ ヤ ー の 検 出)に 関 す る 判 断 基 準 が 種 々 提 唱 さ れ て い ま

説明 変数 の選 び方   ａ.説

明 変 数 の 数 を 増 や す と,決 定 係 数 は 改 善 され る.

す で に 取 り上 げ られ て い る 変 数 と 異 な る側 面 を代 表 す る変 数 を 選 ぶ と よ い. 相 関 の 高 い変 数 を追 加 す る と,問 題 が 起 き る 可 能 性 が あ る.   数 量 デ ー タ を階 級 区 分 し て 扱 う こ と も有 効.  ｂ.ア

ウ トラ イ ヤ ー の 疑 い の あ る デ ー タ を除 く と大 き くか わ る可 能

性 が あ るの で,た

と え ば 一 様 に適 合 し て い る か 否 か をみ る た め

に 残 差 プ ロ ッ トを み る こ と.  ｃ.決

定 係 数 だ け で な く,各 説 明 変 数 の 意 味 を考 え て 選 ぶ こ と.

最 適 な選 び 方 は コ ン ピ ュ ー タ を使 っ て 決 め る … そ ん な こ と は で き ませ ん.

す.ま

た,除

ます.こ

く ・除 か な い と二 分 す る の で な く,ウ エ イ トをつ け て 扱 う方 法 も あ りえ

れ ら に つ い て は,第

８章 で説 明 し ます.

 ④  ま た,「 残 差 分 散 の 減 少 」だ け で な く,「 各 説 明 変 数 の もつ 意 味 」 を 考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.次

節 以 降 で は,こ

の こ とに つ い て 説 明 をつ づ け ます.

3.3  説 明変 数 の変 換   ①  説 明 変 数 の 扱 い に も ど り ま し ょ う.こ れ ま で の 分 析 の 範 囲 で ベ ス トな組 み 合 わ せ を使 っ て も,決 定 係 数 は55%程 る い は,55%で

は,傾

度 で し た.も

っ と工 夫 す る 余 地 は な い の か …,あ

向 線 は 有 意 と い え な い …,こ

うい っ た 疑 念 を も た れ る か も し

れ ませ ん.   これ に 対 して,今

の 段 階 で はYes,  Noを

  工 夫 の 余 地 は あ りま す.そ ば,問

保 留 して お き ま し ょ う.

れ に よ っ て どの 程 度 決 定 係 数 が 改 善 され るか を確 認 す れ

い に 答 え ら れ る か も し れ ませ ん.

  た とえば  

説 明 変 数 を追 加 した ら ど うか, これ ま で 取 り上 げ て い る変 数 に つ い て も,直 線 関 係 と い う想 定 は 妥 当 か,

な ど を試 して み ま し ょ う.  ②  食 費 支 出 と収 入 との 関 係 を グ ラ フ に か く と,図3.3.1の   世 帯 に よ るバ ラ ツ キ は あ る も の の,傾

よ うに な りま す.

向 と し て は,「 収 入 が 大 き くな る と 食 費 支 出

も 多 く な る 」 とい う傾 向 が 「あ た ま うち に な って い る」 よ うに み え ま す.   実 態 と して も,そ   した が っ て,モ   に,Ｘ

う な る と考 え る こ とが で き ま す.

デル

Y=A十BX の 増 大 に 応 じて 低 減 す る こ と を 説 明 す る項CX2(Ｃ 図3.3.1 

食 費 支 出 と所 得 との 関係

は 負 に な る と予 想 し て)を

図3.3.2 

食 費支 出 と収 入 との 関係

回帰分析 で誘導 した傾 向線2種

つけ加 えたモデ ル  

Y=A+BX+CX2

を適 用 し て み ま し ょ う.   次 の結 果 が 得 られ ま す.  

Y=149.55+0.0882X1 

(5041)

  Y=117.38+0.1660X1-0.00389X12 

(4987)

  ２乗 の 項 を加 え た こ とに よ る効 果 は わ ず か で す.残 い う と0.9%の   R2の

差 分 散 の 減 少 は54,決

定 係数 で

増 加 に 過 ぎ ませ ん.

増 加 は わ ず か で あ っ て も,現

と低 収 入 層 と の 差 を把 握 で き る)X2の そ の こ と よ り も,あ

る い は,そ

象 の 説 明 上 有 用 と判 断 し て(た と え ば 高 収 入 層 項 を取 り入 れ る こ とは 考 え られ ま す.た

れ と と も に,Ｘ

だ し,

以外 の変数 の 範 囲 で説 明 力 の 大 きい

もの を探 る 方 が 先 だ と い う こ と で す.   そ こ で 別 の 説 明 変 数 と し て,世 つ い て も,X12を

帯 人 貝X3も

含 め て み ま し ょ う.ま

た,そ

の場合 に

つ け 加 え て み ま し ょ う.

  Y=12.97+41.61X3+0.0588X1 

(2700)

  Y=-90.9+41.42X3+0.1138X1-0.0027X12    X12の 項 の 効 果 が 小 さ い こ と は,こ

(2674)

の 場 合 も 同 じ で す が,X3の

効 果 の方 が は るか

に大 き い の です.   な お,X1の 変 化 はX12の

係 数 はX12を

つ け 加 え た と き大 き くか わ りま す が,傾

向 線 そ の もの の

係 数 と一 緒 に して み るべ き で す.

3.4  説 明 変数 の追 加,変 更   ①  表3.0.1に

示 し た 基 礎 デ ー タ に は,収

入 総 額(X1)の

ほ か に,実

支 出(X12)と

消 費 支 出 総 額(Xl3)が

あ りま す ．

  こ れ ら を モ デ ル に 取 り入 れ る こ と を考 え ま し ょ う.３ 変 数 は 家 計 支 出 の た め に 使 え るパ イ の 大 き さ とい う意 味 で 共 通 性 が あ り ます が,後 り ま す.し

た が っ て,X1,X12,X13の

に 示 す よ うに 定 義 上 ち が い が あ

扱 い に 関 して

 

ａ.X1,X12,X13を

す べ て モ デ ル に 入 れ る,

 

ｂ.X1,X12,X13の

い ず れ か １つ を選 ん で モ デ ル に 入 れ る,

の 両 案 が あ りえ ま す.   こ れ ま で の 説 明 の 範 囲 で い え ば,す

べ て を 取 り入 れ て 計 算 し た 上,決

定係 数 をみ て

最 終 判 断 し よ う とい う趣 旨 で,ａ 案 を採 用 す る こ とが まず 考 え られ ます.   な お,世

帯 人 貝X3も

一 緒 に使 う場 合 と,そ れ を 考 慮 し な い 場 合 と を計 算 して い ま

す.  ②  最 終 判 断 は 後 の こ とに して,ａ 案 を 適 用 し て み ま し ょ う.ａ 案 を 採 用 す れ ば, ｂ案 の 結 果 は 部 分 モ デ ル と し て 計 算 され る結 果 と な る の で す か ら,ａ 案 に せ よ ｂ案 に せ よ,と

に か く試 し て み る … そ れ で よ い の で す ．

  た だ し,試

して み る と い う こ とに つ い て 注 意 し ま し ょ う.「 こ う な る は ず だ 」 と い

う予 想 を も つ こ と は 大 切 で す が,予 り ま す.予

想 ⇒ 検 証 ⇒ 結 論,と

  収 入 総 額,実

支 出,消

い に 対 して は,相

想 ⇒ 予 断 ⇒ 検 証 ぬ きで そ れ を 押 す … こ れ は 困

い う運 び を し ま し ょ う.

費 支 出 総 額 の ３つ の う ち ど れ が 最 も説 明 力 が 高 い か と い う問

関 係 数 の 数 値 だ け で な く,そ れ ぞ れ の 項 目 の 定 義 を 調 べ,そ

の 意味

上 の ち が い を把 握 し な け れ ば な り ませ ん.   収 入 総 額 と支 出総 額 とは 一 致 し ます(そ う定 義 され て い る).支 投 資 な ど を除 い た部 分 が 実 支 出 で す.実 い ま す.非

消 費 支 出 に含 ま れ る もの は,税

  こ う い う意 味 の ち が い と と も に,い れ る こ と が 必 要 です.家

  そ う し て,図 り高 い ….し を使 う方 が,決   た だ し,す ば,収

金 や 社 会 保 障 費 で す.

ま問 題 と して い る 食 費 支 出 との 関 係 も考 慮 に 入

計 で の お 金 の 流 れ で い う と 図 の よ うに な り ま す.

の 上 で近 い 位 置 に あ る変 数 間 の 相 関 は 遠 い位 置 に あ る変 数 間 の 相 関 よ た が っ て,食

費 支 出 の 分 析 で は,収

入 総 額 を 使 う よ り も消 費 支 出 総 額

定 係 数 を 高 くで き る と予 想 で き ま す. で に 指 摘 し た よ う に,そ

入 と消 費 支 出 の ち が い,た

必 要 が あ れ ば,収 か ら,そ

出 総 額 の う ち貯 蓄 や

支 出 は 消 費 支 出 と非 消 費 支 出 とに 区 分 さ れ て

れ だ け で 決 め るべ き で は あ り ませ ん.た

とえ

と え ば ロー ン 返 済 の 負 担 が ど う影 響 す るか を考 え る

入 総 額 も(あ る い は 非 消 費 支 出 も)取 り上 げ る べ き で す が,食

こ ま で 考 え る 必 要 は な さ そ うで す.

費だ

 ③  い ず れ に して も,計 算 で は す べ て の 変 数 を使 い ま し ょ う.以 下 の 結 果 が 得 ら れ ま す.ま

ず,３ 変 数 に つ い て は,そ

の １つ を選 ん だ 場 合 に つ い て み ま し ょ う.

  Y=149.55+0.088X1 

(17%)

  Y=122.73+0.136X12

(34%) (37%)

 

Y=121.12+0.156X13

 

Y=12.97+0.059X1+41.61X3

 

Y=12.95+0.091X12+36.90X3

 

Y=18.82+0.103X13+35.42X3

(56%) (61.7%) (62.0%)

  ３つ の 変 数 の 効 果 に つ い て は 予 想 どお りX13,X12,X1の

順 に な っ て い ま す.X12と

X13の 効 果 の ち が い が 予 想 ほ ど大 き くな か っ た とい う印 象 が あ るか も し れ ま せ ん.古 い 年 次 の デ ー タ で す か ら今 の 感 触 と ち が う の か も し れ ませ ん .   ④  次 に,３ 変 数 を １つ 以 上 使 っ た場 合 の結 果 をみ ま し ょ う. 結 果 は 次 の よ う に な っ て い ます. Y=111.24+0.0467X1-0.1854X12+0.3221X13

 

Y=118.78+0.0138X1+0.1261X12

(40%)

 

-0 .0752X12+0.2364X13

  Y=124.11   Y=112.95+0.0221X1

  た と え ばX13ひ 加 し て も38%に が い,そ

+0.1411X13 

(38.0%)

とつ を取 り上 げ た と き達 成 さ れ て い た 決 定 係 数37%が,２ な る だ け で す.X12に

れ １つ で は 十 分 で な くX12ま

が,X1とX13を

(34%) (37.7%)

併 用 し て38%に

X13だ け に して も よ い,い

つ い て も 同様 で す.X1に た はX13を

な っ た,し

い か え れ ば,X1を

つ 目 を追

つ い て は,状

況が ち

加 え た い と い う結 果 に な っ て い ます

か し,X13だ

け に 限 っ て も37%だ

使 うか わ りにX13を

か ら

使 っ た ら ど うか と

い うこ とに な り ます.   定 義 上 ち が い が あ る に し て も,家 計 支 出 の 枠 の 大 き さ だ と い う意 味 で ３つ の う ち の １つ を とれ ば 十 分 … こ う結 論 す れ ば よ い で し ょ う.  ⑤  これ に 対 して,た  

と え ばX12,X13を

使 っ た 式 を書 き換 え て

Y=124.11-0.0752(X12-X13)+0.1614X13

と し,２ 番 目の 項 を “ロー ン な ど の 非 消 費 支 出 が 多 い こ とが 食 費 支 出 を お さ え る ” と い った 説 明 を し た い とい う意 見 が 出 るか も し れ ませ ん .こ

う い う結 果 の 解 釈 は 重 要 で

す が,慎

りあ え ず

重 に 考 え ま し ょ う.後 の 節 で 問 題 と し ます が,と

  ロー ンが 多 い ⇒ そ の 年 齢 層 は 比 較 的 高 い ⇒ 食 費 に お 金 を か け な い と い う因 果 序 列 が 考 え られ る の で,「 年 齢 もあ わ せ て 考 え る必 要 が あ る 」こ と を 指 摘 し て お き ま し ょ う.(X12-X13)を か くな る の で,ま

ず,大

 ⑥  も うひ とつ,X12の

取 り上 げ る こ と を否 定 す る わ け で は な く,扱 い が 細

き い 要 因 を取 り上 げ る方 が 先 だ とい う こ とで す. 係 数 の 符 号 が正 の ケ ー ス と 負 の ケ ー ス が あ る こ と に つ い て

コ メ ン ト して お き ま し ょ う.   符 号 が 正 に な っ て い る の は,X13を

取 り 上 げ て い な い ケ ー ス で す.し

た が っ て,

X12に 含 ま れ て い る消 費 支 出 の 効 果 を わ け て計 測 して い な い た め に,非 果 と一 緒 に(混 同 さ れ て)計 測 さ れ た 結 果 に な っ て い るの で す.そ の 効 果(プ ラ ス の 効 果)の 方 が 大 き い た め,そ る と,支

出 総 額 の 効 果 と解 釈 せ ず,消

消 費支 出の効

う し て,消

費支出

の 方 の 符 号 に な っ た の で す.い

いか え

費 支 出 の 効 果 と解 釈 す べ き だ と い う こ と で す.

そ う い う ま ぎ らわ しい 説 明 が 必 要 に な る の な ら,X12を

使 わ ず,X13を

使 え … その 方

が よ い で し ょ う.

3.5  説明変数の細分  ①  説 明 変 数 の 取 り上 げ 方 に つ い て,説 世 帯 人 員(X3)を

明 をつ づ け ま し ょ う.

す で に 取 り上 げ て い ま す が,伸

び ざか りの 子 供 と,食 べ る の を お

さ え て い る 大 人 と を一 緒 に 扱 っ て よ い で し ょ うか.   デ ー タ フ ァ イ ル に は,世

帯 人 員(X3)を

て カ ウ ン トし て あ りま す か ら,試

大 人(X31),子

供(X32),乳

児(X33と

わけ

して み ま し ょ う.

  この 場 合  X3=X31+X32+X33 が 成 り立 っ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.定 義 上 そ う な っ て い る の で す.も

ち ろ ん,

実 際 の デ ー タ で も そ うな っ て い ます.   この こ と が 分 析 を進 め る上 で 重 要 な 注 意 点 な の で す が,と

りあ え ず そ の こ と を無 視

して   Y=Ａ+BX3+CX31+DX32＋EX33 を あ て は め て み ま し ょ う.使

うプ ロ グ ラ ム に よ っ て 多分 ち が う で し ょ うが,た

とえば

次 の よ う な結 果 が 得 ら れ ま す.  

(3147)

Y=44.96+45.60X1

(3096) (3005)

  Y=33.88+40.80X1+11.75X31   Y=42.786+28.076X3+22.001X31+15.601X32

(3005)

  Y=42.786-21.524X3+71.601X31+65.201X32+49.600X33   変 数 をX3,X31,X32,X33の

順 に 指 定 し,X32ま

で を 含 め た 部 分 モ デ ル の 結 果 と,最

後 ま で 含 め た フ ル モ デ ル の 結 果 を 示 し て い ま す.   ４ 番 目 の 変 数X33を ま せ ん.ま す.こ  ② 

た,正

つ け 加 え た 場 合,残

差 が そ の 前 の 状 態 に お け る 値 とか わ っ て い

で あ る と 予 想 さ れ る 世 帯 人 貝X3の

の よ う な 予 想 に 反 す る 結 果 が み ら れ ま す.な 説 明 を つ づ け る 前 に,説

係 数 が マ イナ ス とな って い ま ぜ で し ょ う か.

明 変 数 をX31,X32,X33,X3の

順 に 取 り上 げ た と き の 結

果 も 示 し て お き ま し ょ う.   Y=94.123 

+50.610X31 

(4554)

  Y=70.855 

+46.150X31+36.567X32 

(3273)

  Y=42.786 

+50.077X31+43.677X32+28.077X33 

(3005)

  Y=42.786-16.000X3+66.077X32+59.677X32+44.076X33  で す.最

後 ま で 進 め た と きの 結 果 は,説

(3005)

明 変 数 の 順 序 に か か わ らず 一 致 す る は ず で す

(こ れ まで の 例 示 は す べ て そ うな っ て い ま し た)が,こ

の 例 で は 一 致 し て い ませ ん.

  ③  この こ と も含 め て,な ぜ こ うい う状 態 に な っ た か を考 え ま し ょ う.   問 題 の 原 因 は,モ で す.い

デ ル に 含 め た変 数 の 間 に,前

掲 の よ うな 恒 等 関 係 が 存 在 す る た め

い か え る と,４ つ の 変 数 の どれ か ３つ を 取 り込 ん だ 段 階 で ４つ 目の 変 数 は,

不 必 要 と な っ て い る の で す.た

と え ば 恒 等 式X3=X31+X32+X33をX3に

代 入す る

と,４ 番 目の 式 が ３番 目の 式 と一 致 す る こ と を 確 認 して く だ さ い.４ 番 目 の 式 の 説 明 変 数 は事 実 上 ３つ だ と い うべ き です.   それ に もか か わ らず 計 算 を 続 行 す る と,数 学 的 に は 「計 算 の 続 行 不 能 」 と な る は ず で す(数 学 的 に は ０で の 割 り算 が 起 き る).   は っ き りそ うな れ ば 事態 が わ か るの で す が,都

合 が 悪 い こ とに,コ

ン ピ ュー タ は 計

算 誤 差 を もつ た め,「 続 行 不 能 」 と な ら ず 「計 算 を 進 行 し て し ま う」の で す.そ て,計

算 誤 差 が 大 き くひ び い て,た

を出 した りす る の で す.ま

うし

と え ば プ ラ ス で あ るべ き とこ ろ に マ イナ ス の 答 え

た,事 実 上 同 じだ が 外 見 上 異 な る よ うに み え る結 果 が 出 力

さ れ る の で す. ◇ 注   説 明 変数 の 間 に例 示 の よ うな恒 等式 が 成 り立 って い る ときの 対処 を組 み 込 ん で い な い プ ロ グ ラム が あ る よ うです.   気 を つ け て 結 果 を み れ ば わ か る こ と で す が,計

算 機 は 正 し い 答 え を 出 す も の と思 い

こ ん で い る と見 逃 す か も しれ ませ ん.   説 明 変 数 を選 ぶ と き に恒 等 関 係 に あ る こ と に 気 づ くは ず で す か ら,モ

デル に含め な

い よ うに し ま し ょ う.   こ の 例 で い え ば,X3の

か わ り に(X3を

除 い て),そ

の 内 訳 で あ るX31,X32,X33を

使 っ た と き は 問題 は起 こ りませ ん で し た が,X3=X31+X32+X33の た か らで す.た

タで は恒 等 式 に な っ て お らず,問  ④  ま た,恒

関 係 が恒 等 式 だ っ

だ し,定 義 上 そ う で あ っ て も,観 察 値 で は 観 察 エ ラー が あ っ て,デ

ー

題 を起 こ す 可 能 性 が あ りま す.

等 関 係 が な い の に か か わ らず,同

じ よ う な こ と が 発 生 す る可 能 性 が あ

り ます.   X3=X31+X32+X33の

よ う な 関係 が 正 確 に は 成 り立 っ て い な くて も,恒 等 式 に 近 い

形 の 関 係 で あ れ ば,例

示 の 場 合 と 同 じ よ うに 計 算 誤 差 が 大 き くな っ て,異

常 な結果 に

な る可 能 性 が あ る の で す.   た と え ば,食

費 Ｙ と収 入 Ｘ の 関 係 をみ る 問 題 に お い て,Ｘ

数 Ｚ(相 関 係 数0.9998を

もつ 仮 想 デ ー タ)が あ る と き,説

と高 い相 関 を もつ変

明 変 数 と し て Ｘ,Ｚ を 同 時

に 取 り上 げ て み ま し ょ う.次 の 結 果 が 得 られ ま す.  

モ デ ル12

 

モ デ ル １  Y=149.55+0.0882X 

Y=148.46+0.7427X-0.6529Z 

残 差 分 散   5017 残 差 分 散   5041

  モ デ ル ２  Y=149.94 

+0.08772Z 

残 差 分 散   5047

  Ｘ,Ｚ は ほ とん ど １に 近 い 相 関 関 係 を も ち ます か ら,モ デ ル １と モ デ ル ２が ほ と ん ど 一 致 す る の は 当 然 です.と  

こ ろ が,

両 方 を使 う と Ｘ の 係 数 も Ｚ の 係 数 も著 し くか わ っ て し ま う

の で す.   こ うい う状 態 を 「多重 共 線 性 」 と よ び ま す.   特 に 時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に起 こ る こ との 多 い状 態 で す が,そ

れ以外 の場 合 もた

く さん の 説 明 変 数 を整 理 せ ず に 取 り上 げ る と起 こ りえ ます.  ⑤  多 重 共 線 性 は,あ ず で す が,客 VIF(分

らか じめ 基 礎 デ ー タ を み て い れ ば,た

い て い は避 け られ る は

観 的 な 判 断 用 の 指 標 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます.そ

の ひ とつ が,次

の

散 拡 大 要 因)で す.

  こ れ は,説

明 変 数 の 相 関 行 列RJKの

逆 行 列RJKの

対 角 要 素 で す.こ

表 わ し,変 数XJを

それ以 外の 説 明変数 に よ って説明 す る回帰式

の 決 定 係 数 をRJ2と

か くと

れ をVIFJ,と

と な り ま す.   した が っ て,VIFJが ち,「Xjを

大 き い こ とは,R2が

１に近 い こ と に 対 応 し て い ま す.す

他 の 説 明 変 数 とお き か え う る 度 合 い が 高 い 」こ と を 意 味 し ます.た

VIFJ が20以

上 の と き(決 定 係 数 が0.95以

上 の と き)は,多

なわ とえば

重 共 線 性 に 注 意 せ よ と指

摘 す る の で す.   前 掲 の 仮 想例 で は,VIF2が5000と

い う極 端 に 大 き い値 に な り ます.

  実 例 で は こ こ ま で 大 き い ケ ー ス は まず 起 こ ら な い で し ょ うが,こ 上 げ て い る例(図3.1.2の  

VIF4=33, 

れ まで の節 で取 り

５変 数 を取 り上 げ た場 合)で は VIF5=30

と な り ます.   し た が っ て,VIF基 取 り上 げ れ ば,他

準 で は 「変 数 ４(実支 出)と ５(消費 支 出 総 額)の い ず れ か 一 方 を

方 は 避 け よ」 とい う こ とに な り ます が,現

方 を取 り上 げ た い … そ う して も よ い の で す が,計

象 を説 明す るため に は両

算 誤 差 な ど に 注 意 しま し ょ う.

◇ 注  一 群 の 説 明変 数 の共 通 部 分 を代 表 す る主 成 分 ス コア を誘 導 し,そ れ を説 明 変 数 とす る … こ うい う扱 いが考 え られ ます.多 重 共線 性 を避 け られ る とい うこ とだ け で な く,説 明 変 数群 を概 念整 理 した上 各 成分 を代 表 す る新 説 明変 数 を使 う とい う考 え方 です.

3.6  質 的 変数 の 扱 い(数 量 化)  ①  前節 の分析 で世 帯 人員の効 果 を大 人,子 供,乳 児 とわけ て計測 し,

 

Y=42.786+50.077X31+43.677X32+28.077X33

が 得 ら れ ま し た.   この 結 果 は,同

じ １人 で も

 

大 人 は50.077千

円

 

子 供 は43.677千

円

 

乳 児 は28.077千

円

と み れ ば よ い と い う こ と です.ま

た,こ

れ らの 数 値 の 比 を使 っ て,食

費支 出 を計 測 す

る とい う観 点 か ら   大 人 １人 に 対 して,子

供 は0.87人,乳

児 は0.56人

の割合 で換 算

す るの だ と解 釈 す る こ とが で き ま す.   こ の 考 え 方 は,「 食 費 支 出 の 変 動 を 説 明 す る 」 とい う分 析 意 図 に 応 じ て,そ に 適 し た 数 値,す

な わ ち,「 大 人 １人 に 対 し て,子

の意図

供 あ る い は 乳 児 ｌ人 は 何 人 分 に あ

た る か 」 と い う数 値 を誘 導 す るの だ と考 え れ ば よ い の で す.   基 礎 デ ー タ が 数 量 で表 現 さ れ て い な い と き に そ れ を 数 量 的 分 析 の 枠 内 に 取 り込 む た め に 適 用 され る こ とが 多 い の で す が,基

礎 デ ー タ が 数 量 で 表 現 さ れ て い る場 合 に も,

分 析 意 図 に 応 じた 新 し い 数 量 評 価 値 に お きか え る た め に も適 用 で き ます.  ②  こ れ は,「 数 量 化 の 方 法 」 と よば れ る一 群 の 手 法 の 考 え 方 で す.  こ の テ キ ス トで 扱 っ て い る 回 帰 分 析 も,被 説 明 変 数 の 観 察 値 の か わ りに,説

明変数

を使 っ て 説 明 で き る 推 定 値 を求 め る の で す が,   各 説 明 変 数 の 値 を"説 明 変 数 値 ×回 帰 係 数"と お きか え る もの と考 え れ ば,数   そ の場 合 に,被

量 化 の 手 法 の ひ とつ と 了解 で き ま す.

説 明 変 数 の 観 察 値 を参 照 し ま す か ら,「 外 的 基 準 が 与 え ら れ て い る

場 合 の 数 量 化 の 方 法 」と よ ば れ ます.  ③  食 費支 出 の 分 析 に お け る世 帯 人 員 の 情 報 の 扱 い に 関 して,ひ

き つづ い て 考 え て

い き ま し ょ う.   同 じ １人 で も,２ 人 世 帯 の メ ンバ ー の １人 と   ４人世 帯 の メ ンバ ー の １人 とは ち が う だ ろ う,そ の ち が い が 食 費 の世 帯 間 格 差 に 影 響 して い る 可 能 性 が あ る,そ

れ を把 握 し

よ う と い う問 題 意 識 で す.   こ の 観 点 に た つ と, 世 帯 人 員 の 情 報 を,数 量 と して 扱 うの で な く 質 的 情 報 とみ な して 分 析 対 象 に 取 り入 れ る こ と を 意 味 し ます.①

で み た よ うに,分

析 結 果 と し て,食

費支 出 に何 人分 の影 響 を

も た らす か を 計 測 し て,結 果 と して 数 量 を導 入 す る こ と に な り ま す が,４ 人 は ２人 の ２倍 と い っ た数 量 的 な 関係 を考 慮 せ ず に 使 うの で す か ら,質

的 情 報 と同 じ扱 い と な る

の で す.  ④  質 的 な情 報 を 分 析 に 取 り入 れ る基 本 的 な 手 順 は,そ

の 情 報 に よ っ て観 察 単位 を

区 分 して み る こ と で す.   世 帯 人 貝 を ２∼ ３人,４ 人,５ 人 以 上 に ３区 分 して(こ う 区 分 す る と世 帯 数 が ほ ぼ １/ ３ず つ に な る),そ

れ ぞ れ の 区 分 で,食

費 Ｙ と収 入 総 額X1の

関係 を求 め る と次 の結

果 が 得 られ ます.   Y=127.20+0.0675X1 

for  X3=2or3

  Y=159.58+0.0618X1 

for  X3=4 

  Y=250.83+0.0503X1 

for  X3=5or6or7

R2=49%

  X1の 係 数 が 所 得 の 効 果 で あ り,世 帯 人 員 の 効 果 は,定

数 項1.272,1.596,2.508

に よ っ て 計 測 され て い るの で す.   世 帯 人 員 の 効 果 を も っ と精 密 に 計 測 した け れ ば,区

分 を細 か くす れ ば よ い の で す.

２人,３ 人,４ 人,５ 人,６ 人 以 上 と ５区 分 に して み ま し ょ う.  

Y=160.51-0.0211X1

for  X3=2

 

Y= 

for  X3=3

 

Y=159.58+0.0618X1 

for  X3=4

 

Y=259.02+0.0209X1 

for  X3=5

 

Y=206.83+0.1526X1

for 

80.21+0.1635X1 

R2=68%

X3=6or7

  世 帯 人 貝 ３,４,５ の 区 分 に つ い て は 受 け 入 れ う る 結 果 に な っ て い ま す が,世

帯人貝 ２

の 区 分 で は世 帯 数 が ９,世 帯 人 貝 ６以 上 の 区 分 で は 世 帯 数 が ５ で す か ら,十

分 な精 度

を もつ と は い え ませ ん.   デ ー タ総 数 が68と

少 な い 場 合 に は,区

分 す る こ と で 計 測 値 の 精 度 が 悪 く な る可 能

性 が あ り ます.  ⑤  ま た,わ け て 計 測 して もた い し て か わ ら な い な ら,説   ま た,わ け て 扱 う に し て も,あ   この 例 で は,た

明 を簡 単 化 で き ま す.

る 条 件 をつ け て 扱 う方 法 が 考 え られ ま す.

とえ ば ３区 分 した 計 測 値 で み る と,X1の

係 数 は ど の 区 分 で もほ ぼ

そろ ってい るので  区 分 １で は  Y=A1+BX1   区 分 ２で は  Y=A2+BX1 

(１)

 区 分 ３で は   Y=A3+BX1 の 形 の モ デ ル を 想 定 し て 計 測 す る こ とに し ま し ょ う.各 区 分 ご とに わ け て 扱 うが,係 数 Ｂ は ど の 区 分 で も同 じだ とい う条 件 をつ け る こ と を 意 味 し ます.   こ うい う扱 い を す る場 合 の 定 石 は,ダ す べ て の 区 分 に 対 す る計 算 を,形

式 上,一

ミー 変 数 と よ ば れ る特 殊 の 変 数 を 定 義 して, 本 化 す る 方 法 で す.

  こ の例 に つ い て い う と

の よ うに 定 義 し ま す.い

わ ば 「区 分 Ｋ に 属 す る か 否 か とい う定 性 的 情 報 の 身 が わ り」

に 使 う変 数 に な っ て い る の で,ダ

ミー 変 数 と よ び ま す.

  値 は １か ０か と い う意 味 で特 殊 で す が,回

帰 分 析 の 計 算 は 一 般 の 変 数 と同 じ扱 い が

で き ます.  こ れ ら を使 っ て  

Y=A1Z1+A2Z2+A3Z3+BX1

(２)

と 表 わ す と,こ れ が(１)式 と 同 等 に な っ て い ま す.た く と(１)式 の 第 １式 に な り,Z1=0,Z2=1,Z3=0と

と え ばZ1=1,Z2=0,Z3=0と

お

お くと 第 ２式 に な り ま す.

  こ う して,３ つ の 式 を １つ の 式 の 形 に 表 現 で き ま した.   た だ し,回 帰 分 析 の 計 算 で は,モ

デ ル に 定 数 項 が 含 まれ て い る 場 合 を想 定 して 進 め

る よ うに な っ て い ます か ら,恒 等 式Z1+Z2+Z3=1を

使 っ て(Z3を

消 去 して)

Y=A3+(A1-A3)Z1+(A2-A3)Z2+BX1 と書 き換 え た(３)式 に つ い て 計 算 し ます.こ

(３)

うす る こ とに よ っ て,

Y=A+BX1+CZ１+DZ2 

(４)

の 係 数 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ が 得 られ ます か ら,(３)式 の 係 数A1,A2,A3,Ｂ 式 の 形,あ

に お き か え て,(２)

る い は(１)式 の 形 に 表 わ す こ とが で き ます.

  ⑥  計 算 結 果 は 次 の よ うに な り ま す.  

Y=132.70Z1   +161.08Z2  

R2=31.33%

+241.90Z3+0.0599X1

  ２∼ ３人 世 帯 と ４人 世 帯 の 係 数 が 近 く,５ 人 以 上 の世 帯 で の 係 数 は 大 き く離 れ て い ま す.同

じ く １人 と い っ て も,大

人,子

供,乳

幼 児 で ち が う と い う計 算 結 果(63ベ

ー

ジ)に 対 応 して い る こ とが わ か り ます.  ⑦  世 帯 人 貝X2と

Ｙ の 関 係 を み る と い う意 味 で は,世

帯 人 員 区 分 を も っ と細 か

くす る 方 が よ い で し ょ う.２ 人,３ 人,４ 人,５ 人,６ 人 以 上 と ５区 分 に し て 計 算 す る と,次  

の 結 果 が 得 られ ま す. Y=92.88Z1  +148.68Z2  +158.19Z3  +219.47Z4   +291.81Z5+0.0599X1

R2=58%

  ３人 以 下 と一 括 し て あ っ た 部 分 を わ け た こ と に よ り,「 ３人 世 帯 と ４人 世 帯 の 係 数 が 近 く,２ 人 世 帯 と ３人 世 帯 の 係 数 は 離 れ て い る」 こ と が よ み と れ る よ う に な り ま し た.   こ の よ うに 「よ り くわ し い 説 明 に つ な が る」反 面,各

区 分 に 属 す る世 帯 数 が 少 な く

な る た め,「 推 定 精 度 が 低 下 す る 」こ と が 問 題 と な り ま す.し

た が っ て,ど

細 か くで き る とは 限 り ませ ん.  ⑧  世 帯 人 貝 を 数 量 扱 い し た と き の 結 果 と 比 べ て お き ま し ょ う.   57ぺ ー ジ に,世

帯 人 員 と収 入 を使 っ た モ デ ル に つ い て

こ まで も

  Y=12.97+41.61X3+0.059X1,  が 得 られ て い ます.こ

R2=56%

れ に よ っ て 計 算 す る と,Ｚ の 係 数 は

  世 帯 人 員 ２に 対 して96(93)   ３に 対 して138(149)   ４に 対 して179(158)   ５に 対 して222(219)   ６に 対 して263(292) と な り ま す.区

分 別 に わ け て 計 算 し た値(括 弧 書 き し た 値)と 比 べ る こ と に よ っ て,

世 帯 人 員 を 「１人 は １人 」と い う仮 定 を外 し て 「同 じ １人 で も効 果 が 異 な る 」こ と を よ め る よ う に な っ た の で す.   こ の こ と を考 え て,世

帯 人 貝 の情 報 を 「区 分 け の 基 礎 と して 使 う」か,「 数 量 デ ー タ

と して 使 う」か を決 め ま し ょ う.決 定 係 数 で は わ ず か な 増 加 で し た か ら,結 果 の 解 釈 が 難 しけ れ ば,世

帯 人 貝 を数 量 扱 い し た 結 果 の 方 を採 用 し て お く と い う い わ ば 無 難 な

選 択 もあ りえ ま す.結

果 の 解 釈 が 可 能 とみ ら れ れ ば,決

定 係 数 の 増 加 は わ ず か で も区

分 け す る扱 い を採 用 し ま し ょ う.   説 明変 数 の 扱 い 方 に 関 す るガ イ ド 説 明 変 数 の 数 と種 類 は 同 じで も,そ の 扱 い 方 に よ っ て,決 改 善 さ れ る.た  

と え ば,

ａ.変 数 の 定 義 を考 慮 して 細 分 す る,    ｂ.変 数 変 換 を 適 用 して,直

3.5節

線 と い う限 定 を 落 と し

て み る,   

定 係数 は

3.3節

ｃ.変 数 値 を い くつ か の 階 級 区 分 に わ け,区

分ごと

に 異 な る関 係 を 想 定 す る,    ｄ.ｃ に お い て,各

3.6節

区 分 で の 関 係 に 関 して あ る 条 件

を 想 定 し て 扱 う. 

3.7節

これ らの 扱 い を適 用 す る と きに は,  

決 定 係 数 だ け で な く,各 説 明 変 数 の 意 味 を考 え る こ と

が 必 要 で あ る.

3.7  数量 デ ー タ の 再表 現(数量 化)  ①  3.3節 の 図3.3.2を   Y(=食

費 支 出)とX(=収

再 掲 し ま し ょ う(図3.7.1). 入 総 額)の 関 係 を表 わ す 傾 向 線 と して,直

線 を 想 定 した

場 合 と,放 物 線 を想 定 した と場 合 と を 比 較 した も の で す.   こ の例 で は,放 し た.

物 線 とい う想 定 が 妥 当 だ っ た た め,次

の よ う に 適 合 度 が 改 善 され ま

図3.7.1 

食 費 支 出 と収 入 の 関 係(２ 種 の傾 向 線)

  Y=149.55+0.0882X,   

残 差 分 散=5041(17.3%)

Y=117.38+0.1660X-0.3884X2, 

残 差 分 散=4982(18.2%)

  しか し,い つ も そ うだ と は 限 り ませ ん.関 数 形 の 想 定 が 不 適 当 だ と,か

えっ て悪 く

な る こ と が あ りえ ま す.   た と え ば,  

Y=190.02+0.3901X2,残

差 分 散=5216(14.5%)

と な り ます.X2を

使 っ て い ま す か ら放 物 線 に は ち が い あ り ませ ん が,１ 次 の 項 を も

た な い 形(X=0の

とこ ろ で 水 平 に な る 形)を 想 定 して い る た め に 適 合 度 が 悪 く な っ た

の で す.   ま た,「 所 得 の 増 加 に 対 応 す る 食 費 増 加 」が 逓 減 す る と予 想 さ れ る と こ ろ が,逓

増

す る とい う結 果 に な っ て い る こ と も問 題 です.   ②  基 本 的 に は,ど

ん な 関 数 形 を想 定 す る か は 簡 単 に は 扱 え な い 問 題 で す.

  直 線 とい う範 囲 か ら ふ み だ そ う とす る と き,「 直 線,次

は,放

物 線 」 と い うの は 多

くの 可 能 性 の うち の ひ とつ に 過 ぎ ませ ん.   した が っ て,関 数 の 形 を特 定 した モ デ ル を 想 定 す る か わ りに  

い くつ か の 区 間 を想 定 して 各 区 間 ご と に別 々 の 直 線 を定 め る

こ と が考 え られ ます.   ③  以 下 で は 例 示 と し て,値 して 説 明 し ます.も は,そ

域 を 四 分 位 値Q1,Q2,Q3に

よ って,４ 区 分 す る もの と

っ と細 か く区 分 す る 場 合 も同 様 に 扱 う こ とが で き ます が,こ

こで

う特 定 して お き ます(注).

  したが って 区 間1(-∞∼Q1)に

お いて

区 間2(Q1∼Q2)に

お いて 

区 間3(Q2∼Q3)に

お いて

  Y=A1+B1X  Y=A2+B2X    Y=A3+B3X 

(５)

  区 間4(Q3∼

∞)  に お い て

を想 定 す る の で す が,基

  Y=A4+B4X

礎 デ ー タ は 連 続 性 を も っ て い ます か ら,区

間 ご とに 直 線 の 位

置 と傾 斜 を か え るに して も,  

区 切 り点 で は つ な が る

と い う条 件 を つ け ま し ょ う.   す な わ ち,(５)式 に 示 す モ デ ル を, 条 件   A1+B1Q1=A2+B2Q1 条 件   A2+B2Q2=A3+B3Q2

(６)

条 件   A3+B3Q3=A4+B4Q3 をつ け て 扱 うこ とを 意 味 し ま す.   こ の 扱 い は,「 折 れ 線 」を想 定 す る こ と に あ た り ま す.区 分 精 密 に,デ

ー タ の傾 向 を くみ と る傾 向 線 が 得 られ ま す.し

  関 数 形 を特 定 せ ず に,観

切 り方 を細 か くす る と十 た が っ て,

察値 の示す傾 向性 を要約 す る

とい う観 点 で 採 用 し う る 方 向 で す.   ④  この よ う な形 の傾 向 線 を 定 め る こ とは,前

節 と同 様， ダ ミー 変 数 を使 っ て 回 帰

分 析 を適 用 す る こ と と一 致 し ま す.   た だ し,こ の 場 合 の ダ ミー 変 数 は,次  

直 線Z=Xを

 

の よ うに,

分 解 した ４つ の 折 れ 線 を 表 わ す も の

義 さ れ ます.  

D1(X)=Ｘ  

D3(X)=0 

 D2(X)=0 

D4(X)=0 

for区 間 １

=Q1 

=Ｘ-Q1 

=0 

=0 

for区 間 ２

  =Q1 

=Q2-Q1 

=X-Q2 

=0 

for区 間 ３

  =Q1 

=Q2一Q1 

=Q3-Q2 

=X-Q3 

for区

  こ れ らの ダ ミー 変 数 の 定 義 と 意 味 は,次

ペ ー ジ の 図3.7.2を

間 ４

参 照 して 説 明 で き ま

す.   ◇ 注  「関 数 形 を特 定せ ず に扱 え る」だ け で な く,区 間 の 定 め 方 で も自由 度 が 大 き くな り ます が,実 際 の 問題 へ の適 用 で は,区 間 の区 切り 点 を,た とえば 現 象に 変 化 が 生 じた と予 想 され る点 と して定 め るの が普 通 です.関 数 形 す な わ ち傾 向 を 表 わ す モ デ ル,区 切 り点 す な わ ち傾 向 が か わ った点 とい う観 点 を採 用 す るの です.   図3.7.2(a)は,f(X)=Xす

な わ ち,基

礎 デ ー タ そ の もの を 使 う 形 に な っ て い ま

す.   こ の 図 に お い て,Ｘ=Q1,Ｘ=Q2,Ｘ=Q3の 線 を ４本 え が き ま す.そ

と こ ろ で 区 切 っ て,破

れ ら の 折 れ 線 を 別 々 に わ け て,図3.7.2(b)の

関 数D1(X),D2(X),D3(X),D4(X)を

線 の よ う な折 れ よ う に ４つ の

え が く と,

 f(X)=D1(X)+D2(X)+D3(X)+D4(X) と な っ て い ま す.い D2(X),D3(X),D4(X)を

い か え る と,１

つ の 変 数 Ｘ の か わ り に,４

使 う も の と し て よ い こ と を 意 味 し ま す.

つ の 変数D1(X),

  問 題 は,そ

うす る こ との 効 用 で す.そ

  任 意 の 定 数C1,C2,C3,C4を  

れ は…

図3.7.2 

使 っ た線 形 結 合

g(X)=C1×D1(X)+C2×D2(X)+C3×D3(X)   +C4×D4(X)

に よ って,任

意 の 折 れ 線 を 表 わ す こ とが で き る か ら で

す. ◇ 注  Ｘ をg(X)に

対 応 させ る関 数 を スプ ラ イ ン関 数

と よび ます.   し た が っ て,ダ D4(X)を

ミー 変数D１(X),D2(X),D3(X),

結 合 す る 係 数 を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ っ て,

基礎 デ ー タ との 差 の 分 散 を最 小 に す る折 れ 線 を定 め る こ と が で き ます.   す な わ ち,回

帰 分 析 を適 用 し て最 適 な折 れ 線 を 見 出

す こ とが で き ま す.   区 切 り方(区 切 り の 位 置 と 数)を 特 定 し て 説 明 し ま し た が,区

切 り方 もか え る も の と し て 一 般 化 で き ま

す.   ま た, 観 察 値 の Ｋ 分 位 値 を使 っ て Ｋ 区 分 とす る とい う形 に 限 定 す る扱 い 方 も考 え ら れ ます.  ⑤  ① に あ げ た デ ー タ に つ い て,四 切 っ て折 れ 線 を定 め る と,次    

分 位値 で 区

の 結 果 が 得 られ ま す.

Y=130.93+0.1193D1(X) +0.1501D2(X)

図3.7.3 

食 費 支 出 と収 入 の 関 係(値 域 区分 ご とに定 め た 傾 向 線)

ダ ミー 変 数

  +0.0328D3(X)   +0.0883D4(X)  残 差 分 散=0.501,決 図3.7.3は

定 係 数=17.8%

この 折 れ 線 を図 示 した も の で す.図3.7.1と

比 べ て くだ さ い.

  収 入 Ｘ との 関 係 を 直 線 と し た場 合 の 決 定 係 数 は17.3%で の 決 定 係 数 は18.2%で

あ り,放 物 線 と し た 場 合

す か ら,わ ず か な ちが い で す.

  決 定 係 数 で み た 差 は わ ず か で す か ら,説 明 の 仕 方 を考 え て 選 び ま し ょ う.   た とえ ば  

直 線 で よ し と し て,直 線 を選 ぶ

 

両 端 で の傾 向 を重 視 し て 放 物 線 を 選 ぶ

 

中 央 付 近 で の 傾 向 を重 視 し て 折 れ 線 を 選 ぶ

とい っ た 選 択 で す.

 問題 ３

【説 明 変 数 の選 択 】 間 １  (１) 食 費 支 出 の 世 帯 間 差 異 を 説 明 す る ８ とお りの モ デ ル(3.1節

の ① に 示す も

の)の 計 算 結 果 を確 認 せ よ.   UEDAの

プ ロ グ ラ ムREGO3と,セ

フ ァ イ ルDH10V)を

ッ ト し て あ る デ ー タ 例(ま た は デ ー タ

使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る が, REGO3を

使 う回数 を減

ら す こ と を 考 え よ.  (２) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を使 っ て,(１)と 3.1.1の  

同 じ計 算 をせ よ.結

果は図

形 式 に ま とめ よ.

注 １:問 １∼９に つ いて は,付 表 Ｂ(フ ァ イルDH10)の

デ ー タ を使 い ます が,各 問 で

使 うため に 記録 形 式 をか え た り,デ ー タ をつ け加 え た り した フ ァ イル を用 意 して あ ります か ら,各 問 で指 定 した デー タフ ァ イル を使 っ て くだ さい.  

注 ２:デ ー タ フ ァイ ル では,デ ー タの 小数 点 の位 置 をか え た もの もあ りま す.し た が つ て,本 文 の 結 果 と比 べ る場 合,小 数 点 の位 置 が ず れ て い る こ とが あ りえ ま す.

 

注 ３:こ の 後 の章 の 問題 で も同 じよ うな こ とが あ りえ ます.７ ペ ー ジの 「 問題につ い て」を参 照 して くだ さ い.

問 ２ (１) 図3.1.2が

得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.

  問 １(１)と同 じプ ロ グ ラ ム,同 るが,REGO4を

じデ ー タ フ ァ イ ル を使 っ て 計 算 で き る は ず で あ

使 え.

 (２) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(１)と 3.1.2の

同 じ計 算 を せ よ.結 果 は 図

形 式 に ま とめ よ.

問 ３ (１) 図3.1.3が

得 られ る こ と を確 認 せ よ.

 問 ２(１)と同 じ プ ロ グ ラム とデ ー タ フ ァ イ ル を使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る.  (２) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(１)と 3.1.3の

同 じ計 算 をせ よ.結

果は図

形 式 に ま とめ よ.

問 ４  (１) 図3.1.2で

は 取 り上 げ た ５つ の 変 数 の す べ て を 計 算 し て い な い.５ つ の 変

数 の あ ら ゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 し,そ の 結 果 を 図3.1.2に  変 数 の 数 を １ と し た 範 囲 でベ ス トな 場 合,変 な 場 合,変

書 き足 せ.

数 の 数 を ２ と した 範 囲 で ベ ス ト

数 の 数 を ３と し た 範 囲 で ベ ス トな 場 合 な どが,図3.1.2の

ま れ て い る こ と を確 認 せ よ.

範 囲に含

 (２) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(１)と 同 じ こ と を確 認 せ よ. 間 ５ (１) 図3.2.1が

得 られ る こ と を確 認 せ よ.こ

帯 の デ ー タか ら,デ ー タ 番 号60の で,そ

の 図 で は,問

デ ー タ を除 い た もの を使 っ て 計 算 し て い る の

うす る た め の 手 順 を 経 る こ と が 必 要 で あ る.そ

ペ ー ジ)で 説 明 し たDATAEDITを

２(１)で使 っ た68世

使 うの で,そ

の た め に は,問

題 ２(45

こ を 参 照 す る こ と.

 (２) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を使 っ て,(１)と 同 じ計 算 を せ よ.結

果は図

3.2.1の 形 式 に ま とめ よ. 【 変数 変換 】 間 ６ (１) 図3.3.2が

得 ら れ る こ と を 確 認 せ よ.こ

計 算 す る こ とが 必 要 で あ る.そ 変 換 プ ロ グ ラ ムVARCONVを  (２) デ ー タ番 号60を

の 計 算 に は,実

収 入X1の

２乗 を

の た め に は,次 ペ ー ジ に 注 記 す る 要 領 で,変

数

使 う こ と.

除 い て 図3.3.2を

か け.

【 質的 変数 の扱 い】 問 ７ (１) 3.6節 ④ の 計 算 結 果 を確 認 せ よ.基 礎 デ ー タ を 世 帯 人 員 区 分 別 に わ け て 記 録 し た デ ー タ フ ァ イ ルDH10VSを

用 意 し て あ る の で,そ

れ を指 定 す れ ば計 算

で き るは ず で あ る.  (２) デ ー タ番 号60を 問 ８ (１) 3.6節 ⑥,⑦  

除 い て(１)と 同 じ計 算 をせ よ.

の 計 算 結 果 を確 認 せ よ.

世 帯 人 員 区 分 に 対 応 す る ダ ミー 変 数(64ペ

し た デ ー タ フ ァ イ ルDH10VDを

ー ジ ⑤ に 示 すZ1,Z2,Z3)を

用 意 し て あ る の で,そ

記録

れ を指 定 す れ ば 計算 で

き る は ず で あ る.  (２) デ ー タ番 号60を

除 い て(１)と 同 じ計 算 をせ よ.

間 ９ (１) 3.7節 ⑤ の 計 算:結果 を確 認 せ よ.こ スプ ラ イ ン 関 数(68ペ タ フ ア イ ルDH11VDに  (２) デ ー タ番 号60を

の 計 算 に は,世

ー ジ ④ に 示 すD1,D2,D3,D4)を

帯人員 区分 に対応 す る

使 う こ と に な る が,デ

ー

プ ロ グ ラ ムREGO8中

の

は そ れ を記 録 して あ る. 除 い て(１)と 同 じ計 算 をせ よ.

【回 帰 診 断 】 問10  (１) 表3.1.4が

得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.UEDAの

選 択 機 能 「回 帰 診 断 」 を 使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る.デ DH10Vを

指 定 す る こ と.

 (２) 番 号60の 問11  (１) 表3.1.5が 和SSが

ータ と して は

デ ー タ を 除 い て 表3.1.4を

求 め よ.

得 られ る こ と を確 認 せ よ.問2(１)の

計 算結 果 と して残 差平 方

得 られ て い るか ら,そ れ を利 用 して 計 算 す れ ば よ い.

 (2)  番 号60の

デ ー タ を 除 い て 表3.1.5を

求 め よ.

【分 析 例 】 問12  (１) 付 表Jに

示 す 「県 別 交 通 事 故 発 生 数 」の 差 異 を 分 析 せ よ.た

に 示 す 範 囲 で 適 当 な 説 明 変 数 を選 ぶ こ と.

だ し,付

表 Ｊ

 (２） （ １）の 分 析 に お い て,地

域 に よ る差 異 を 把 握 す る た め に,た

とえば大都 市

周 辺 の 県 とそ れ 以 外 の 県 を 区 別 す る ダ ミー 変 数 を 使 っ て み よ.  (３） 被 説 明 変 数 を 「人 口 あ た り交 通 事 故 発 生 数 」 と し て 分 析 して み よ.こ 合,説

の場

明 変 数 の 方 も,比 率 の 形 に お きか え る こ と を考 え よ.

問13  （ １) 図3.0.4に

お い て,番 号60の

デ ー タ が ど こ に あ る か を調 べ よ.

  相 関 係 数 を 計 算 し,相 関 図 を か くプ ロ グ ラ ムRMAT01を そ の 中 に,特

用 意 し て あ る が,

定 の デ ー タの 位 置 を 調 べ る機 能 が あ る.デ ー タ フ ァ イ ルDH10A

を指 定 せ よ.  (２) 番 号60の

  VARCONVの

デ ー タ を 除 い て,表3.0.2を

使 い 方(１)(変

計 算 し な お せ.

数 変 換)

  デ ー タ フ ァ イル に 記 録 され て い るデ ー タ に 対 し変 数 変 換 を適 用 した い と きに は,プ ロ グ ラ ムVARCONVを 使 い ます .   ａ.VARCONVが ３)と,対

呼 び 出 さ れ る と,適 用 す る 機 能(例 示 で は 変 数 変 換 Ｃ で す か ら

象 フ ァ イ ル(例 示 で はDH10V)を

この プ ログ ラム で は,次

指 定 し ま す.

の 処 理 を行 な い ま す

Ａ  デ ー タ セ ッ トの 形 式 変 換 Ｂ  変 数 や観 察単 位 の 加 除 Ｃ  変 数 変換  Ａ だ け を適 用 す る と き   Ｂだ け ま たはABを

  １

適 用 す る と き 

２

 Ｃ だ け ま た は それ 以 外 と併 用 す る と き … …３ 対 象 フ ァイ ル 名 を指 定  

作 業 用 フ ァイ ルWORK.DAT…

…Ｗ

 

例 示 用 サ ンプ ル デ ー タ

 Ｒ

 

そ の 他 の 場 合 フ ァイ ル 名 を入 力 …

処 理 指定 文 を 用 意 して あ り ますか

DHI0V

Y/N

  ｂ.指 定 した フ ァ イ ル の 内 容 が 画 面 に 表 示 さ れ ま す か ら,↓ て,こ

Ｎ

キ イ で ス ク ロー ル さ せ

の 問 題 で 使 う変 数 「 世 帯 人 員 」が １番 目,「 収 入 」が ２番 目,「 食 費 」が ５番 目に

記録 さ れ て い る こ と を確 認 し ま す.   最 後 ま で ス ク ロ ー ル す る と,デ ー タ の 最 後 を 示 すENDの を指 定 す る た め の キ イ ワ ー ド*USE,*DERIVE,*CONVERTが す.こ

の 部 分 に,使

う変 数,誘

  指 定 文 の 入 力 要 領 はDATAEDITの

導 す る変 数,変

後 ろ に,「 変 換 ル ー ル 」 付 加 され て い ま

換 ル ー ル を挿 入 し ます .

場 合 と 同 じで す.

  指 定 文 を用 意 した らEscキ

イ を お す と,次 の処 理 へ 進 み ます.

  ｃ.変 換 の た め の 計 算 が 終 わ る と,記 録 形 式 に 関 す る指 定 を し ま す.   デ ー タ記 録 形 式 を指 定 す る.回

帰 分 析 で 使 う と きは Ｖ タ イ プ.

 小 数 点 の 位 置 を調 整 で き る が,こ 変 換 結 果 はwork.datに

こ で は 適 用 し な い.

出 力 さ れ ます.

  ｄ.メ ニ ュー に も ど る の で,そ

れ を 使 うプ ロ グ ラ ム を 指 定 し ます.

4 回帰分 析 の 応 用

  この 章 の主 題 は,回 帰 分 析 の応 用で す が,こ れ まで の 章 で扱 っ て きた "傾 向 線 を導 出す る"と い う域 か ら も う一 歩,現 象 を説 明 す る場 面 に 立 ち入 った 形の 応 用例 を扱 い ます.   求 め られ た回 帰 係数 の 情 報 を使 っ て,現 象 の変 化 の 要 因 を分 析 す る方 法,あ る い は,推 計値 や 相 関 係数 な どの計 測 値 につ い て,条 件 の ちが い に よ る影響 を補正 す る方 法 な ど を取 り上 げ ます.

4.1  被 説 明変 数 に対 す る 寄 与 度 ・寄 与 率 の 計算  ①  こ の 節 で 扱 うの は,２ つ の 時 点 間 に お け るＹ の 変 化 に 対 し て,そ 与 す る で あ ろ う と予 想 さ れ る変 数Ｕ，Ｖ した い,そ

う い う 問 題 で す.た

が あ る と き に,Ｕ,Ｖ

と も効 い て い る …,そ

の影 響度 をわ け て計 測

と え ば,「 食 費 支 出 が 去 年 と比 べ て10%増

家 族 構 成 か ら い っ て 消 費 量 が 増 え て い る こ と もあ る が,食 れ ぞ れ の 効 果 が5%,5%だ

の変動に寄

え た 」が,

品の価格 が上 が っ てい る こ

とい っ た 計 測 を し よ う と い う 問 題

で す.   一 般 化 し て 説 明 し ま し ょ う.   Y=f(U,V)だ

とす る と,Ｙ

の 変 化⊿Yは (１)

と表 わ さ れ ます か ら,⊿YをUの

変 化 と し て 説 明 さ れ る 部 分(右 辺 の 第１ 項)と,Ｖ

の 変 化 と して 説 明 さ れ る部 分(第２ 項)と に わ け る こ とが で き ま す.   この分解 につ い て

〓に対 す るＵ の寄 与度 〓に対す るＶ の寄 与度

と よ び ます. ま た,⊿Yに

対 す る構 成 比 に し た もの,す

なわ ち

〓 を⊿Yに 対す る Ｕ の寄 与率 〓 を⊿Yに 対す るVの

寄 与率

と よ び ます.   こ う い う指 標 を使 っ て 被 説 明 変 数 の 変 動 要 因 の 効 果 を計 測 す る 分 析 が 「要 因 分 析 」 で す.  ◇ 注 １ 統 計 学 で は,実 験 計 画 の 立 て方 を論 ず る場 面 に 「 要 因分 析 」と よ ば れ る手 法 が あ ります が,そ れ とは ちが い ます.  ◇ 注 ２ 基礎 の式(１)は,⊿U,⊿Vの

２乗 の項 を省略 した近 似 式 です.し

たが って,「⊿U,

 ⊿Vの 微 小 変 化 に 対応 す る Ｙ の変 化 をみ る」とい う観 点 で使 い ます.  ②  回 帰 式 を 求 め て あ れ ば,そ

れ に簡 単 な 計 算 をつ け 加 え るだ け で す.

 求め られた 回帰 式が  Y*=A+BU+CV だ と し ま し ょ う.   こ の 関 係 が 考 察 範 囲 の 各 時 点 に 対 して 適 用 で き ます か ら  

YT*=A+BUT+CVT

で あ り,⊿YT*=YT*-YT-1*な  ⊿

ど と表 わ す と,そ れ ぞ れ の 変 数 の 変 化 に 関 して

YT*=B⊿UT+C⊿VT

と な り ま す.ま

(２)

た (３)

で す.   (２)式の 各 項 が 寄 与 度,(３)式

の 各 項 が 寄 与 率 で す.

  ③  例 を あ げ て お き ま し ょ う.   表4.1.1は

ビー ル の 出 荷 量 と気 温 の 関 係 をみ る た

め に取 り上 げ た デ ー タ で す.気 気 温 で す.東

表4.1.1 

ビールの出荷

温は東 京の 夏の平 均

京 で の 消 費 が 多 い こ と も あ り ま す が,

気 温 の 地 域 差 が効 くほ ど精 密 な議 論 は で き ませ ん か ら,東 京 で 代 表 させ た の だ と考 え て くだ さ い.気 の ほか に,所

温.

得 水 準 の 向 上 に 応 じて 増 加 す る趨 勢 が

あ る とみ られ ます か ら,そ   ④  Ｙ を Ｕ,Vで

れ も取 り上 げ て い ま す.

説 明す る回帰式 は

 

Y*=-4766+5.084U+120.44V

 

R2=92.7%

Ｙ:億

キ ロ リ ッ トル

Ｕ:家

計 最 終 消 費V

:東 京 の 夏 の 気 温

表4.1.2 

と計 算 され ます.気

ビー ル 出 荷 量 に 対 す る要 因分 析

温 １度 の 上 昇 が178.53億

キ ロ リッ トル の 出 荷 増 に な る と い う結

果 で す.   ま た,こ

れ を 使 っ て,各

年 次 の 対 前 年 変 化 に 対 す るＵ,Ｖ

の 寄 与 度 が 表4.1.2の

よ

う に評 価 さ れ ま す.   1976年,1980年

に 冷 夏 の 影 響 で 出 荷 が 減 っ た こ と が 確 認 で き ま す.

  寄 与 率 も計 算 で き ま す が,こ

の 例 で は,⊿U,⊿Vが

正 に な っ た り負 に な っ た りす

る ため に⊿Yが

０ に近 く な る 可 能 性 が あ り ます,し

す な わ ち⊿Yに

対 す る 比 で み る こ とは 適 当 で は あ り ませ ん.寄

⑤  別 の 例 と し て,国

の 例 で は,寄

与率

与 度 で み ま し ょ う.

内 総 生 産 Ｙ に 対 す る 資 本 蓄 積 Ｋ と労 働 投 入 量Ｌ の 影 響 を

計 測 す る 問 題 を取 り上 げ ま し ょ う.経 済 学 で は,こ  

た が っ て,こ

れ らの関係 を

Y=aKBLc

の 形(コ ブ ダ グ ラ ス モ デ ル)に 想 定 して い ま す .対 数 を と る と logY=A+BlogK+ClogL と表 わ さ れ ます か ら,こ

の 形 に して 回 帰 分 析 を 適 用 し ます.1965∼80年

の デー タ を

使 って計算 す る と  

logY=-1.7138+0.4795logK+1.4708logL, 

R2=0.99

が 得 ら れ ます.   寄 与 率 の 計 算 に は,Y=aKBLcか

を使 い ま す.す

ら誘 導 さ れ る関 係

なわち

の 各 項 が 寄 与 率 で す.   た だ し,基 礎 式 が 近 似 式 で す か ら,Ｋ に す る た め に,分 母⊿Yの

に よ り ま す.

の 寄 与 率 とＬ の 寄 与 率 の 和 が １に な る よ う

か わ りにB⊿K/K+C⊿L/Lを

使 った式

表4.1.3 

国 内 総 生 産 の要 因 分 析

Ｙ:国 内総生産(国 民経済計算年報) Ｋ:資 本蓄積(国 民経済計算年報) Ｌ:年 間労働時 間数(厚 生省)

  表4.1.3が

こ の 計 算 で す.

  傾 向 線 は1965∼80年

の 各 年 の 観 察 値 を 使 っ て 求 め ま し た が,寄

オ イ ル シ ョ ッ ク の 年 次 を 除 き,1965∼68,1969∼73,1976∼80の

与 率 の 計 算 で は, ３期 間 に つ い て 計

算 して い ます.   国 内 総 生 産 の 伸 び 率 に 対 して,資

本 蓄 積 の 効 果,労

働 投 入 量の効 果 が

65対35,70対30,53対47 と,オ

イ ル シ ョ ッ クの 前 後 で か わ っ て い た こ と が 計 測 さ れ ま す.

◇ 注 １  回帰 式 の係 数 は期 間 中一定 と仮 定 して 計 算 して い ます.し たが って,要 因分 析 で 検 出 され る効 果 は,説 明 変数 の 値 の ちが い に対 応 す る変 化 です.  

現 象 自体 が 大 きい変 化 を示 して い る場合 に は,回 帰係 数 が 変化 して い る こ とが あ りえ ま す か ら,回 帰 式 を適 用 で きる範 囲(年 次 の 範囲)を 確 認 し,必 要 な ら,期 間 ご とに 異 な る回 帰 係数 を求 め て,回 帰 係 数 の変 化 に対 応 す る変 化 と説 明 変 数 の値 の ちが い に対 応 す る変 化 をわ け て計 測 す るこ とを考 え ます.   要 因 分析 は,そ

うい う計 測に も使 え ます.問 題 ４の 問 ３を参 照 して くだ さい.

◇ 注 ２ 寄 与 率 あ る いは 寄 与 度 に つ い て は,本 シ リー ズ 第 ２巻 『統 計 学 の 論 理 』で くわ し く解 説 され て い ます.

4.2  平 均値 対 比 にお け る 混 同効 果 の 補 正  ①  あ る変 数 Ｘ に よ っ て 観 察 対 象 が い くつ か の 区 分 に わ け ら れ て お り,そ れ ぞ れ の 区分 Ｋ に お い て,変 数 Ｙ の 平 均 値YKが   こ のYxに

つ い て,そ

計 算 さ れ て い る も の と し ます.

の 大 小 を 比 べ る こ とに よ っ てYに

対 す る Ｘ の 効 き方(こ の

場 合 は Ｘ の 区 分 に よ る差)の 区分 別 差 異 を 把 握 す る 問 題 が,こ   こ う い う と,シ の で す が,ど

の 節 の テ ー マ で す.

ンプ ソ ン の パ ラ ドッ ク ス の 問 題 だ な と気 づ く人 が 多 くな っ て ほ し い

う で し ょ う か.

  一 見 す る と簡 単 な 問題 の よ うで す が,問 題 点 に 気 づ か ず,結 こ とに な る,見 過 ご さ れ て い る こ とが 多 い 問 題 で す.

果 的 に誤読 して しま う

図4.2.1 

シ ンプ ソ ンの パ ラ ドッ クス

 ②  Ｙ に 対 し て 別 の 変 数 Ｚ が 効 くの に か か わ らず,そ 区分 け さ れ,平

の 影響 に関 す る配慮 な しに

均 値 が 計 算 され て い る場 合 に

 区 分 間 に 差 が あ る こ とが 観 察 され た と して も  そ れ が,区

分 の 基 準 とさ れ た Ｘ の ちが い に よ る もの か

 区 分 に あ た っ て考 慮 され て い な い Ｚ の ちが い に よ る もの か を判 別 で き な い こ とに な り ま す.   た と え ば,賃

金 の 年 齢 別 推 移 の 男 女 差 を 比べ る と き に,女

が 多 い こ と を考 慮 に 入 れ な い と 比較 で き ませ ん か ら,た

性 の 場 合 パ ー トタ イ マ ー

とえ ば,学

校 卒 業 後 ず っ とつ

づ い て 勤 務 す る もの に 限 っ て 比 較 し ます.   ま た,賃

金 水 準 の 企 業 間 格 差 を み る と き に,各 企 業 の 雇 用 者 の 年 齢 構 成 の ち が い を

考 慮 せ ず に 比 較 す る と,適 正 な 比 較 に な りませ ん.   こ の よ うな 混 同 効 果 に 気 づ か ず,誤

っ た 結 論 を誘 導 し た た め に起 き る 誤 読 を 「シ ン

プ ソ ン の パ ラ ドッ ク ス 」 と よ ん で い ます.  ③  こ の よ う な 場 合,Ｚ

を 混 同 要 因,Ｚ

の 効 果 を混 同 効 果 と よ び ま す.Ｘ

の効果

を計 測 す る た め に は  Ｚ に 関 し て 差 が な い よ うに 区分 の 仕 方 を工 夫 す る とか,そ

れが で きない な ら  Ｚ の 効 果 を 補 正 す る

こ と を考 え な け れ ば な り ませ ん.  ④  混 同 効 果 の補 正 に は さ ま ざ ま な 方 法 が あ り ます が,こ

こ で は,回

帰 式 を使 う方

法 を説 明 し ま す 。   Ｙ に 対 す る Ｚ の 効 果 を 表 わ す 回 帰 式Y=A+BZが 帰係

求 め ら れ て い る とす れ ば,回

Ｂ が"Ｚ の 変 化 １単 位 に よ っ て もた ら さ れ る Ｙ の 変 化"を 表 わ す こ とか ら,

Ｚ に つ い て 差⊿Zが

あ っ た 場 合,そ

この 値 を差 し 引 け ば,Ｚ

の 影 響 をB×⊿Zと

の 影 響 を補 正 で き ます.

評 価 で き ま す.し

た が っ て,

図4.2,2 

表4.2.3 

回 帰 式 に も とつ く混 同効 果 補正

標準化の計算例 一

平 均 値 の場 合

  Ｚ の 値 が 各 区 分 と も異 な る(ＺKと す る)の で,そ とす れ ば,各

区 分 に お け るYKの

ます.す

な わ ち,

 

YK*=YK-B×(2Ｋ-2)

値 か らB×

の平均 値 Ｚ 並 み に そ ろ え る もの

（ ＺK-Ｚ)を

差 し引 け ば よ い こ と に な り

と して 補 正 し た値 を 比較 す るの で す.   こ うい う補 正 を 要 す る場 合,YKを   図4.2.2は,以

粗 平 均 値,YK*を

標 準 化 平 均 値 と よ び ます.

上 の考 え 方 を 説 明 す る もの で す 。

  この 図 を参 照 しな が ら,計 算 例 を み れ ば 計 算 手 順 を把 握 で き る で し ょ う.   この 補 正 計 算 で は,同

種 の 企 業 に つ い て 求 め た 「平 均 給 与 と年 齢 の 関 係 に 関 す る 回

帰 式 」Y=90+3×(Z-40)が

求 め ら れ て い る も の と し て,そ

の 係 数3を

利 用 して い

ま す.   こ の 補 正 で は 年 齢40前

後 に 注 目 して い ま す か ら,回

帰 式 も,そ の 前 後 の 年 齢 範 囲

に 適 合 す る もの で あ れ ば 十 分 と い っ て よ い で し ょ う.   精 密 に 扱 うた め に は,年

齢 区 分 別 平 均 値 を使 う方 法(注)が

採 用 さ れ ま す.

  ま た,「 平 均 給 与 を比 較 す る」 と い う問 題 設 定 自体 が 問 題 と な り ま す.少

な くとも

「年 齢 と と も に ど うか わ る か 」 を比 較 した い で し ょ う.  「 平 均 給 与 を 比 較 す る」 と い う粗 い 問 題 設 定 下 で 扱 う な ら,た

とえば 「 給 与が 年 齢に

対 して 直 線 的 に か わ る」 とい う粗 い 回 帰 式 を 根 拠 とす れ ば 十 分 だ とす る の で す.   ◇ 注  各 社 の雇 用 者 の年 齢 構 成 と年 齢 別平 均 値 が わ か って い る場 合 に,平 均値 を補 正 す る   ため に,次 表 の よ うに,各 社 の年 齢 構 成 と して 「あ る標 準 を想定 して平 均 を計算 しな お す」

こ と が 考 え ら れ ま す.標

準 化 と い う と,こ

表4.2.4 

の 方 法 を 指 し ます,

標 準 化 の 計 算例 一

各 セ ル の 数 字 は,平

構成比の場合

均 給 与 額 と人 数 の 構 成 比.

この 方 法の 詳 細 につ いて は,本 シ リー ズ第 ２巻 『 統 計 学 の論 理 』を参 照 して くだ さい.

4.3  回 帰 推 定 値 に お ける 混 同 効 果 の 補 正  ①  被 説 明 変 数 Ｙ と説 明 変 数 Ｘ の 関 係 を把 握 し た い の だ が,別

の 要 因 Ｚ が 関係

を も っ て い る 場 合 に は(問 題 の 目的 と して 取 り上 げ られ て い な い に して も),そ れ も 説 明 変 数 に 組 み 入 れ る こ と が 必 要 で す.   Ｚ が 関 与 し て い るの に か か わ ら ず,そ  

れ を無視 して求 めた 回帰式

Y=A+BX

の 係 数 Ｂ を"粗 回 帰 係 数"(Ｙ

に 対 す る Ｘ の)と よ び ま す.Ｚ

の効 果 が 混在 してい る

可 能 性 の あ る 粗 い 回 帰 係 数 だ とい う趣 旨 の 呼 び 名 で す.   こ れ に 対 し,Ｚ  

を含 め た場 合 の 回 帰 式

Y=A+BX+CZ

の 係 数 Ｂ は,"偏

回帰 係 数"(Ｙ

に 対 す る Ｘ の)と よば れ ま す.Ｚ

の 効 果 を補 正 し た,

い い か え る と,  

Ｚ が 一 定 だ と い う条 件 下 で 求 め た もの

とい う趣 旨 の 呼 称 で す.偏 微 分 を連 想 し て く だ さ い.   た だ し,推 定 値 Ｙ に つ い て は,Ｘ

の 影 響 と Ｚ の 影 響 が 重 な っ て い る こ とに 注 意

し ま し ょ う.   ②  Ｚ を含 め て Ｙ の変 動 を分 析 し た い か ら そ う した の で す.し の は Ｙ と Ｘ の 関 係 だ … そ の 場 合 は,Ｙ の"に 改 め て お き ま す.   そ の た め に は,求  Yn=A+BXn+CZn

め られた 回帰式

か し,議 論 した い

の 推 定 値 自 体 を"Ｚ の 影 響 を 補 正 し た も

表4.3.1 

に お け る 変 数 Ｚ に,あ

ビー ル 出荷 量 に お け る気 温 の 影 響 補 正

る標 準 値Z0を

代 入 し て,Ｚ

の 影 響 を消 去 し て お け ば よ い の で

す.   した が っ て,  

Ｃ(Zn-Z0)を

差 し引 く

の です. ③  4.1節 で 取 り上 げ た ビー ル 消 費 量 の 問 題 に お い て,各 た 趨 勢 を み る た め に,こ 年 は3640で の で す.冷

し た が,も

年 の 気 温 の 影 響 を補 正 し

の 補 正 を 適 用 し た 結 果 を示 し て お き ま す.た し気 温 が25.0度

だ っ た と した ら3797に

と え ば,1976

な った はず だ とよむ

夏 の 影 響 で 出 荷 が4％ 減 っ た の です .

4.4  相 関係 数 にお ける 混 同 効 果 の補 正(相 関 分 析) ①  変 数 Ｘ,Ｙ の 相 関 関 係 に つ い て そ の 強 さ を 測 る 指 標 と し て 相 関 係 数RXYが い ら れ ま す が,Ｘ,Ｙ の 相 関 関 係 を,"み

に 関 連 す る 第 三 の 変 数 Ｚ が あ る と き に は,Ｚ

か け 上"強 め る,ま

した が って,Ｘ,Ｙ

た は,弱 め る こ と に な る お そ れ が あ り ま す .

の 関 連 度 を適 正 に 評 価 す る た め に は,Ｚ

の 混同 効果 を補 正 した

相 関 係 数(そ れ を 偏 相 関 係 数 と い う)を 用 い な け れ ば な ら な い の で す.こ を考 慮 し な い で 求 め た 相 関 係 数 は,粗 ②  粗 相 関 係 数 の 補 正,い

用

の 効 果 が Ｘ ,Ｙ

の 場 合,Ｚ

相 関 係 数 と よば れ ます.

い か え る と,偏 相 関 係 数 を 求 め るに は,次

に示す 方 法が

便 利 で す.   ・   相 関 関 係 を 計 測 し た い ２つ の 変 数 を左 辺,右

辺 に お き,混

同 要 因 を右 辺 に 追 加

した ２つ の 回帰 式      

Y=A+BX+CZ X=A'+B'Y+C'Z を求 め る.

  ・   こ れ ら の 回 帰 係 数 Ｂ,Ｂ'の 幾 何 平 均√BB'が,偏   ・   こ の 場 合,偏 致 す る).

相 関 係 数 の 符 号 は,B,B'の

相 関 係 数 を与 え る.

符 号 と一 致 させ る(B,B'の

符号 は一

 

  混 同 要 因 が ２つ 以 上 あ る と き も,そ

れ ら を右 辺 に 追 加 す る こ とに よ っ て,同

じよ う

に 扱 う こ とが で き ま す.   な お,相

関 係 数(通 常 の)も,２

 

Y=A+BX

 

X=A'+B'Y

つ の 回帰 式

に お け る Ｂ,B'の 幾 何 平 均 と し て求 め る こ とが で き ます.偏 て 計 算 で き る の で,こ  ③  例 と して,家

の 項 の 問 題 を扱 う と き に は,こ

相 関 係 数 の 計 算 とあ わせ

れ に よ る と手 数 が は ぶ け ま す.

計 に お け る 食 費 支 出 と雑 費 支 出 の 関 係 を求 め て み ま し ょ う.

  限 ら れ た所 得 を 配 分 す る の で す か ら,マ

イナ スの 相 関 を もつ と予 想 さ れ る の で は な

い で し ょ うか.   基 礎 デ ー タ と し て は,第 正 に な り ます.相 い た め,Ｘ

３章 の 表3.0.1を

関 係 数 の 計 算 で は,家

使 い ま す.予

想 に 反 し て(？),相

も Ｙ も 大 き くな る と い う可 能 性 が あ り,そ の こ とが,Ｘ,Ｙ

を も た らす の で す.こ

関 は,

計 支 出 を制 約 す るパ イ の 大 き さ が 考 慮 さ れ な に正 の相 関

の 混 同効 果 を補 正 す べ きだ と気 づ くで し ょ う.

  し た が っ て,「 偏 相 関 係 数 」を求 め るの で す.   回 帰 分 析 の プ ロ グ ラ ム を使 っ て,次

の 回 帰 式 を求 め る こ とが で き ます. R2=5.9

 Y1=1.954+0.094Y2  Y1

=1

.153-0.162Y2+0.234X1

R2=45.6

 Y1

=0

.184-0.138Y2+0.171X1+0.338X2

R2=68.0

=1

.310+0.627Y1 

R2=5.9

 Y2

R2=58.8

 Y2=0.634-0.821Y1+0.608X1

R2=60.3

 Y2=0.188-1.145Y1+0.614X1+0.290Xz

Y1 =食 費 支 出,Y2=雑

費 支 出,X1=消

費 支 出 総 額,X2=世

帯 人員

こ れ ら を使 っ て ρY1Y2=√0.094×0.627=+0.243  ρX1Y2￨X1=-√0.162×0.821=-0.365   pX1Y2￨X1X2=-√0.138×1.145=-0.397

が 求 め られ ま す.  ④  X1,X2を

考 慮 に 入 れ な い 場 合 に は,Y1,Y2の

相 関 係 数 は0.24と

正 に なっ てい

ます.   こ れ に 対 して,消 り(?)-0.365と

費 支 出 総 額X1の

負 に な りま し た.こ

影 響 を 除 去 し た 偏 相 関 係 数 で み る と,予 想 ど お う い う結 果 を予 想 した 人 は,予

測 す る た め に 偏 相 関 係 数 を使 っ て予 想 を確 認 で き ま す.こ

想 した 関 係 を 計

う い う結 果 を予 想 で き な い

人 は 誤 読 に 気 づ か ず 正 の 相 関 だ と思 っ て し ま うお そ れ が あ りま す.   な お,世

帯 人 員 数X2の

影 響 も混 じ っ て い る と気 に な るか も しれ ませ ん が,そ

響 の 補 正 をつ づ け て も-0.397と,わ

ず か しか か わ りませ ん 。

の影

4.5  分

析

例

 ①  ひ とつ の 問 題 を 取 り上 げ る と き,そ こ と の で き る場 合 もあ れ ば,種 り ます.こ

の 節 で は,後

 ②  図4.5.1は,毎 で す.決

れ に 適 し た 分 析 方 法 を 「こ れ だ 」 と決 め る

々 の 見 方 に 立 つ 方 法 を併 用 す る こ とが 有 効 な場 合 も あ

の 例 を あ げ て お き ま し ょ う.

年 春 季 に 行 な わ れ た 「賃 金 ア ップ 」の 折 衝 結 果 を示 した グ ラ フ

着 し た平 均 賃 上 げ 率 と,そ の 値 の 企 業 間 格 差 を 示 して あ りま す.

  オ イ ル シ ョ ッ ク 時 に 大 き くア ップ し た後,平

均 値 は も との 水 準 に も ど っ て い る が,

企 業 間格 差 が ひ ろ が っ て い る こ と に 注 目 し ま し ょ う.   こ の こ と に 限 らず,オ

イ ル シ ョ ッ ク前 の 高 度 成 長 時 とそ れ 以 降 で は,賃

上 げ率 の決

ま り方 に ち が い が あ る と い わ れ て い ます.   ③  よ っ て,賃 て,そ

上 げ 率 決 定 に あ た っ て 考 慮 さ れ る と思 わ れ る 次 の 要 因 を 取 り上 げ

れ との 関 係 を調 べ て み ま し ょ う.

 

U1=有

効求 人倍 率

 U2=物

価 指 数上 昇率

 U3=企

業 の 業 績(売 上 げ 高 経 常 利 益 率)

  こ れ らの 情 報 の1960∼83年 こ れ を 使 っ て,モ  

値 を付 表 Ｈ に 示 して あ りま す.

デル

Y=A+B1U1+B2U2+B3U3

を 想 定 して 回 帰 分 析 を適 用 す る と,次 の 結 果 が 得 ら れ ます.  

Y=-5.22+8.29U1+0.814U2+0.990U3

  こ れ に よ って,Ｙ

の 年 次 変 化 を 表 現 で き ま す が,提

化 」 をみ る と い う問 題 意 識 で は,も

起 し た 「各 要 因 の 効 き 方 の 変

う一 歩 進 め る こ とが 必 要 で す.

 ④  賃 上 げ を 折 衝 す る過 程 で どん な 点 が 考 慮 さ れ る か が 問 題 で す.   U1,U2,U3の

水準 を考慮 して Ｙ を

決 め る に して も,あ

る い は,そ

変 化⊿U1,⊿U2,⊿U3(⊿ を考 慮 し て⊿Yを

れ らの

は 前 年 との 差)

決 め る に し て も,３

つ の要 因 の どれ を重 視 す るか は か わ る で し ょ う.い い か え る と,「 対 象 と し た 期 間 で の 平 均 的 な 傾 向 で み る と, B1,B2,B3で

表 わ さ れ る ウ エ イ トに

な っ て い た 」 とい う こ と で あ り,実 際 の 折 衝 で は,U1を

考 慮 して 決 ま っ た

年 も あ れ ば,U2を

重視 して 決 まった

年 も あ る で し ょ う.

図4.5.1 

平均 賃上げ率の推移

表4.5.2 

  し た が っ て,各

平均 賃上げ率の要因分析

年 の 賃 上 げ 率 の 変 化 に 各 要 因 が どの 程 度 効 い て い る か を み ま し ょ

う.  ⑤  そ の た め に,4.2節   表4.5.2は,賃

の 寄 与 度 を使 う こ とが 考 え られ ま す.

上 げ 率 Ｙ お よ び そ の傾 向 値Y*の

変 化 と各 要 因U1,U2,U3の

寄与

度 βI⊿U1を 示 して い ます.   こ れ に も とづ い て 各 年 ご と に 寄 与 度 を 計 算 で き ま す が,年 は,そ

々 の傾 向 を よ む ため に

れ ら を 通 覧 で き る よ う な グ ラ フ を か き ま し ょ う.

  す なわ ち Ｙ の 変 化 に 効 い て い る⇔ とお きか え て 考 え る こ と とす れ ば,各 な ど を １枚 に 重 ね た 図4.5.3の   これ で み る と,1960∼69年

「Ｙ の 変 化 」 と同 じ よ うに 変 化 して い る 年 の 「Ｙ の 変 化⊿Y」

よ うな グ ラ フ が よ い で し ょ う. と1975年

以 降 とで 傾 向 が 異 な っ て い る よ う で す.

  特 に,物 価 指 数 と賃 上 げ 率 の 関 係 が 「1960∼69年 とが 注 目 さ れ ま す.こ

れ に 対 して,有

の 方 が 高 か っ た よ う で す.企

と 「U1の 寄 与 度 β1⊿U1」

と比 べ て1975年

以 降 は強 い」こ

効 求 人 倍 率 と 賃 上 げ 率 の 関 係 は,1960∼69年

業 業 績 の 影 響 の 寄 与 が 低 い の は,個

々の企 業べ ー ス でな

く,い わ ば 「 世 間相 場 」と して 決 ま っ て い る た め で し ょ う.  ⑥  こ れ ら の こ と を確 認 す る た め に,⊿Yと⊿U1の し ょ う.表4.5.4の  ⊿Yと⊿Eの   こ れ か ら,グ

よ う に な っ て い ます.図4.5.3に

相 関 係 数 な ど を 計 算 して み ま も 書 き込 ん で あ り ま す.

相 関 係 数 に つ い て は ⑦ で 説 明 し ま す. ラ フ で よ み と っ た こ と が 確 認 さ れ ま す が,1960∼69年

に つ い て は,

各 説 明 変 数 の 変 化 が 考 慮 さ れ るに し て も ど の 要 因 と も相 関 が 低 く,「3つ の 要 因 だ け で 説 明 で き る と は い い に くい 」よ う で す.   1975年 以 降 に つ い て は,物

価 上 昇 率 との 相 関 が 高 く,そ の 変 化 に よ っ て 賃 上 率 の

変 化 を 説 明 で き る状 態 に な っ た こ と が 確 認 さ れ ます.  ⑦  次 に,傾

向値 Ｙ*と そ の 観 察 値 Ｙ と の 差 Ｅ をみ ま し ょ う.

図4.5.3 

賃 上 げ 率 と各 要 因 との 関 係

1.賃

上 げ 率 （⊿Y）と有 効 求 人 倍 率(β1⊿U1)

2.賃

上 げ率(⊿Y)と

物 価 指 数 変 化 率(β2⊿U2）

3.賃

上 げ 率(⊿Y)と

企 業 の 業 績(β3⊿U3)

  図4.5.3と   Ｅ は,そ て,⊿Eは,符

同 じ形 式 で,⊿Yと⊿Eの

関 係 を図 示 す る と,次 の よ う に な り ます.

の 定 義 か ら,「 ３つ の 要 因 で 説 明 さ れ な い 変 動 」 を 表 わ し ま す.し 号 を か え て 図 示 して い ます.

たが っ

表4.5.4 

賃 上 げ率 と名 要 因 との 相 関 関 係

図4.5.5 

賃 上 げ 率 の 実 績 と傾 向値

賃 上 げ率(⊿Y)と

傾 向値 との差(⊿E)

実績 値 の 変 化 は 「傾 向値 との 差 」の 変 化 を縮 め る 方 向 に は た らい て い る.

 ⊿Eの

符 号 をか え て 図 示 して い ま す か ら, 2つ の 線 が 重 な る ⇔⊿Eが

正(負)の

場 合,⊿Yが

負(正)と

なる

と よ む こ とに な り ま す.   こ うい う関 係 が,図 1960∼69年  

か ら検 出 さ れ て い ます.ま

た,相

関係数 を計算 す る と

で は0.16

1975年 以 降 で は0.80

と な っ て い ます.  ⑧  こ こ ま で 分 析 し た 上,高

度 成 長,春

期 共 同 闘 争,企

業 間 格 差,経

済 情 勢,企

業

経 営 な ど の キ イ ワ ー ドを勘 案 す る と,賃 上 げ 率 の 変 化 とそ の 決 定 過 程 に 関 し て 説 明 で き る で し ょ う.労 働 白書 な ど を参 照 し て くだ さ い.

問 題 4

問 ｌ 表4.1.2の

計 算 を確 認 せ よ.

問 ２  表4.1.2の

計 算 に つ い て,ビ

ー ル の出荷 量 Ｙ を夏期 に おけ る出荷 量に 限 ってみ

る もの と し て 計 算 し な お せ.た は,付

表F.1か

問 ３ (１) 付 表E.1に 産 指 数(U)と DT11中

だ し,年 次 は1975∼83年

ら 拾 っ て 入 力 す る(プ ロ グ ラムDATAIPTを 示 す エ ネ ル ギー 需 要(Ｘ)の 家 計 最 終 消 費支 出(V)の

の1965∼83年

と す る.基 礎 デ ー タ 使 う)こ と.

時 系 列 デ ー タ に つ い て,鉱

工業生

関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め よ.フ

ァ イル

の デ ー タ を使 え.付

表E.1の

数 値 と小 数 点 の 位 置 が ち が

う の で調 整 して,  

X=-5.63+1.45U+0.765V が 得 られ るは ず で あ る  (２) こ れ を使 って,Ｘ

の 変 化 に 対 す る Ｕ の 寄 与 度, Vの

次 に よ る ち が い を調 べ よ.た わ け て,各

と えば,1965∼71年,1978∼83年

期 間 で の 平 均 値 を計 算 して 比 べ て

 (３) 1965∼71年,1978∼83年 の 計 算 を 行 な え.DT11を

寄 与 度 を 計 算 し,年 の ２つ の期 間 に

よ.

の ２つ の 期 間 に わ け て 求 め た 傾 向 線 を 使 っ て(２) 使 う と,こ

の期 間別 にわ け たデー タが収 録 され て い

る.  (４) (２)の結 果 と(３)の 結 果 の ち が い を ど う説 明 す るか. 問 ４ (１) 付 表C.1(DK31V)に 食 費 支 出(Ｙ)と,年

示 す 家 計 収 支 の 年 間 収 入 階 級 別 系 列 デ ー タ に つ い て, 間 収 入(Ｘ)の

 

Y=41.33+0.0560X

 

が 得 られ る は ず で あ る.

関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め よ.

 (２) Ｘ,Ｙ の 関 係 を示 す グ ラ フ に こ の 傾 向 線 を書 き込 め.  (３) こ の 式 の 係 数0.0560は,食

費 支 出 の 増 加(単 位 千 円)に 対 す る年 間 収 入 の

変 化(単 位 万 円)の 効 果 を 表 わ す 寄 与 度(Ｘ る が,図

で み る と,Ｘ

の 範 囲 全 体 で の 平 均 で み た 値)で あ

の 値 の 大 き い と こ ろ,小

さ い ところ で 異 な る よ うで あ

る.  

Ｘ,Ｙ の 観 察 値 を 用 い て,階

級 区 分 が １ラ ン ク 上 が っ た 場 合 の Ｘ の 変 化,

Ｙ の 変 化 を使 っ て 寄 与 度 を 計 算 し,そ の 変 化 を 調 べ よ. 問 ５ (１) 付 表C.2(DK31AV)は,家 み た もの で あ る.こ

計 収 支 の年 間収 入階 級 を十分 位 階 級 に よって

れ を使 っ て,問

４ と同 じ分 析 を行 な え.

 (２) 問 ４の 結 果 と問 ５の 結 果 の ち が い を ど う解 釈 す る か. 問 ６  (１) 問 ５に つ い て,以 下 の よ う に,傾 とが 考 え ら れ る.こ 化,Ｙ

の 考 え 方 で,階

向 線 を使 わ ず に 寄 与 度 を 計 算 し て み る こ 級 区 分 が １ ラ ン ク上 が っ た 場 合 の Ｘ の 変

の 変 化 を使 っ て寄 与 度 を計 算 し(電 卓 で 可 能),そ

 (２) 問 ５の 結 果 と 問 ６の 結 果 の ちが い は,ど 問 ７ 問6の

の 変 化 を 調 べ よ.

う説明 され るか

よ うに 変 数 間 に 成 り立 つ 定 義 式 を用 い て 寄 与 率 を 計 算 す る 方 法 は,実

分 析 の 方 法 と して 頻 繁 に 使 わ れ て い る.本 理 』で 解 説 して あ る が,プ

シ リー ズ で は,第

ロ グ ラ ムGUIDEを

証

３巻 『 統 計 学 の論

呼 び 出 して,用

意 され てい る説

明 文 フ ァ イ ル(統 計 ３「 寄 与 率 の 分 析 」の 中 の ２∼ ５)を よ み,寄

与 率 の 意 味 と計

算 手 順 の 説 明 を よ め. 問 ８  付 表C.6は,消

費 支 出 総 額(Ｙ)と,そ

デ ー タ で あ る.こ  

れ に つ い て は,定

の10大

費 目 区 分 別 内 訳(XI)の

時系列

義上

Y=ΣX1   が 成 り立 っ て い る.い

いか える と

 ⊿Y=E⊿X1    

が 成 り立 っ て い る. よ っ て,Yに  (１) 1970年

対 す るX1の

寄 与 度 を観 察 値 を用 い て 計 算 で き る.

と1975年

の 間 の 変 化 に つ い て,Ｙ

に 対 す るXIの

寄 与度 を計算 せ

と1985年

の 間 の 変 化 に つ い て,Ｙ

に 対 す るXIの

寄 与 度 を計 算 せ

よ.  (２) 1980年 よ. 問9  付 表C.7は,物

価 指 数(総 合)と,そ

タ で あ る.こ れ に つ い て は,定    

Y=ΣW1X1(W1は が 成 り立 っ て い る.い

の10大

費 目区 分 別 内 訳(X1)の

時 系列 デー

義上 ウエ イ ト)

いか え る と

 ⊿Y=ΣW1⊿X1    

が 成 り立 っ て い る. よ っ て,Ｙ  (１) 1970年

に 対 す るXIの

寄 与 度 を観 察 値 を用 い て 計 算 で き る.

と1975年

の 間 の 変 化 に つ い て,Ｙ

に 対 す るX1の

寄 与 度 を計 算せ

と1985年

の 間 の 変 化 に つ い て,Ｙ

に 対 す るX1の

寄 与度 を計 算せ

よ.  (２) 1980年 よ.  (３) (１)の計 算 結 果 と(２)の 計 算 結 果 を 比 べ る と き に は,ウ い る こ と の 影 響 に 注 意 し な け れ ば な ら な い.そ

エ イ トが 変 更 さ れ て

の 影 響 を 除 去 す る た め に(１)の

計 算 で 用 い た ウ エ イ トを 用 い て(ウ エ イ トは か わ ら な い と仮 定 し て)(２)の 計 算 を行 な え.  (４) 年 齢45∼49歳

の 世 帯 で み た ウ エ イ トを使 っ て 計 算 せ よ.

  注:問

８で使 った 説 明プ ロ グラ ムの 中 に含 まれ る例 示 を参 照 す るこ と.

問10  プ ロ グ ラ ムRATECOMPを 習 せ よ.本

使 っ て,4.2節

シ リー ズ で は,第

使 っ たGUIDEと

の 相 関 係数Ruvを

相 関 係 数Rxu,Ｘ

とVの

れ ぞ れ に つ い て,第

とV

三 の 変 数 の 影 響 を補 正 した 偏 相 関 係 数

求 め よ.

4.5節 で 取 り上 げ た 変 数 Ｙ,U1,U2,U3の

相 関 係 数RrU1な

説 明 変 数 の 影 響 を 補 正 し た 偏 相 関 係 数RγU1￨U2U3な 1960∼69年

相 関 係 数Rxv,Ｕ

求 め よ.

RXU￨V,RXV￨U,Ruv￨Xを 問12 

７で

こ の プ ロ グ ラ ム に よ っ て,概 要 は 把 握 で き る だ ろ う.

問11  (１) 問 ３で 使 っ たXとUの

 (２) ま た,そ

の 「標 準 化 」の 意 味 と計 算 手 順 を 学

２巻 『 統 計 学 の 論 理 』で 解 説 し て あ る が,問

と1975年

以 降 とせ よ.

ど に つ い て,他

ど を 求 め よ.対

の

象 期 間 は,

5 集 計 デ ー タの 利 用

  統 計 調 査 の報 告書 には,種 々 の統 計 デ ー タが 掲載 され て い ます.い ず れ も,大 規 模 な 調 査 を行 な い,そ の 結 果 を集 計 して ま とめ られ た 情報 で す.広 く利用 し うる情 報 源 です が,利 用 す るに は,い くつか の 注 意が 必 要 です.   集 計 デ ー 夕で あ る こ とを意 識 しな いで 使 う と,誤 りを おか す お それ が あ ります.   この章 で は,正 し く使 うため の 注意 点 を説明 します.

5.0  この 章 の 問題  ①  こ れ ま で の 多 くの 箇 所 で 使 っ て き た 家 計 調 査 の デ ー タ(付 表 Ａ)に つ い て,食 費支 出 Ｙ と収 入 Ｘ の 関 係 を表 わ す 回 帰 線   Y=149.55+0.088X,  が 求 め られ て い ます が,

R2=0.17 

(１)

 

収 入 Ｘ を十 分 位 階 級 に 区 分 して,

 

各 区 分 で の 平 均 値(XK,YK)を

 

こ の 系 列 に つ い て 回帰 分 析 を適 用 す る

求 め,

こ と も考 え ら れ ます.  こ の 扱 い を採 用 す る と,次 の 回 帰 式 が 得 ら れ ま す .  

Y=138.71+0.0983X, 

R2=0.53 

  回 帰 式 の 係 数 も ち が い ま す が,決 うか.基

礎 デ ー タは 同 じ で す.ち

(２)

定 係 数 が 大 き く ち が い ま す.こ

が い は,次

の よ うに,ひ

れ は,な

ぜ で しょ

とつ ひ とつ の 世 帯 別 の デ ー

タ を 収 入 階 級 区 分 の デ ー タ に 集 計 す る過 程 を入 れ て い る か 否 か で す .

基礎 デー タ ⇒ 集計 ⇒ 平均 値 系列 回 帰 式(１)  この 節 で は,こ

回 帰 式(２)

の こ と に 関 連 し た 種 々 の 問 題 点 に つ い て 考 え て い き ま し ょ う.

5.1  集 計 デ ー タ と その タ イ プ  ①  こ れ ま で の 各 章 の 例 題 で は,各 た が,実

際 に は,個

世 帯 に 対 応 す る 「個 別 デ ー タ 」を 使 っ て き ま し

別 デ ー タ が 使 え る とは 限 りませ ん.調 査 の 結 果 報 告 書 に掲 載 さ れ

て い る 「集 計 デ ー タ 」を 利 用 す る の が 普 通 です.種

々 の 利 用 場 面 を 想 定 し て くわ し い

統 計 表 が 集 計 さ れ て い ま す か ら,そ れ を利 用 し ま し ょ う. ◇ 注   こ うい う情 報 は,簡 単 に は求 め られ ませ ん.  大規 模 な調 査 が 必要 です か ら,国 の 統 計組 織 の行 な う統 計 調 査 の 結 果 を利 用 す る こ と に な り ます.国 が行 な う調査 であ って も,統 計調 査(重 要 な統 計 調 査 と して 指 定 され た もの) につ い ては,被 調 査 者 に 答 申の 義務 を課 す と と もに,そ の調 査 結 果 を 公表 し,誰 で も 自由 に利用 で き るこ とに な っ て い ます(統 計 法).  た だ し,自 分 で調査 を計画 し,必 要 な集 計 表 を設 計 し集 計 す る場 合 と比 べ る と,種 々の 不 便 が あ る こ とは事 実 で す.  

また,個 別 デー タ を利 用す る場合 とちが う注 意点 が あ ります.集 計 デー タ で あ る こ とを は っ き り意 識 して使 わ な い と,誤 用 の お それ が あ り ます.

 

しか し,数 千 とい った 多数 の 世 帯 の情 報 が使 え る とい う利 点 が あ りま す か ら,貴 重 な情 報 源 で す.

 

やや 使 いに くい,し か し,貴 重 な情 報 源 だ とい うこ とで す.

 ②  巻 末 の 付 表 Ｃ は,家 た と えば,付

表C.1を

い て 見 に くい で し ょ う が,た 思 わ れ る),表5.1.1の 収 入 の 関 係 を,こ

計 調 査 の 報 告 書 に 掲 載 さ れ て い る 集 計 表 の 典 型 例 で す.

み て くだ さ い.１ つ の 大 き な 表 に,さ とえ ば,食

まざ まな情報 が含 まれ て

費 支 出 と収 入 の 関 係 を み る た め に 使 え る(と

情 報 が 含 ま れ て い ます.こ

れ ま で の 章 と 同 様 に,食

き ます.  ③  こ れ に つ い て 回 帰 分 析 を適 用 す る と,次 の 式 が得 られ ま す.  

費支出 と

の よ う な 「集 計 表 」を 使 っ て 分 析 す る 問 題 を例 に と っ て 説 明 して い

Y=41.41十0.0558X, 

R2=0.89

  ま た,こ れ を図 示 す る と,図5.1.2が

表5.1.1 

得 ら れ ます.

年 間 収 入 と食 費支 出(年 間 収 入 階 級 区 分 別)

  決 定 係 数 が0.89で

す か ら,十 分 に 適 合 して い る と判 断 で き そ う で す が,結

論 は保

留 し ま し ょ う.   集 計 デ ー タ を 利 用 す る と き に 必 要 な 注 意 点 が い くつ か あ り ます か ら,こ

の 章 で,順

を追 っ て解 説 して い き ま す.   ④  まず,こ

の 計 算 の 基礎 と した 表5.1.1の

図5.1.2 

表5.1.1を

デ ー タ に つ い て 説 明 し ま し ょ う.

使 っ て 求 め た 傾 向 線

5.3 節 で別 の 計 算 結 果 を示 し ます.

表5.1.3 

B=0.05580 A=41.412 VX=304.691,100.00 VR=271.465,89.09 VE=33.227,10.91

表5.1.1に

よ る 回帰 式 の 計 算(後 の 説 明 を よ む こ と)

  これ は,全

国 の 世 帯 を代 表 す る サ ンプ ル に つ い て 調 査 し た 結 果 で す が,ひ

つ の 数 字 は,そ

とつ ひ と

の サ ン プ ル(集 団)を 年 間 収 入 に よ っ て 区 分 し た部 分(部 分 集 団 に 対 応

して い ます.   「集 団 を 区 切 っ た 部 分 集 団 」に 対 応 す る 系 列 デ ー タに な っ て い る の で す.   こ うい う構 造 の デ ー タ を 「ク ロ ス セ ク シ ョン デ ー タ」 ま た は 「時 断 面 デ ー タ 」 とよ び ます.   表5.1.1の

区 分 番 号 の と こ ろが 時 点 区 分(た と え ば 年 次)に な っ て い る デ ー タ で は,

ひ とつ ひ と つ の 数 字 が 同 じ集 団 に つ い て の 観 察 値,す

な わ ち 「年 次 を か え て く りか え

して 観 察 」 した もの で す か ら,「 時 断 面 デ ー タ 」と は 異 な る構 造 を も って い ま す.   これ を 「時 系 列 デ ー タ 」 と よ び ます.   この 章 で は 時 断 面 デ ー タ を 扱 い,次  ⑤  表5.1.1の

の 章 で は 時 系 列 デ ー タ を 扱 い ます.

デ ー タ を使 っ て 図5.1.2の

し て お き ま す.13ペ

傾 向線 を求 め る 計 算 手 順 を 表5.1.3に

ー ジ の 計 算 例 と 同 じ手 順 で す か ら,こ

題 点 が ひ そ ん で い ます.次

示

れ で よ い よ う で す が,問

の 節 以 降 で 説 明 を つ づ け ます.

5.2  決 定 係 数 の 解 釈  ①  5.0節 で例 示 し た よ うに,食 は,決

定 係 数 は17%程

度 で し た.こ

タ を使 っ た(２)式 で は,決   ま ず,こ

費 支 出 の 「世 帯 間 変 動 」 を説 明 す る モ デ ル(１)式 で れ に 対 し て,「 平 均 値 系 列 」の 形 に 集 計 し た デ ー

定 係 数 は53%と

い う大 き い値 に な り ま した.

の ち が い に つ い て 考 え ま し ょ う.

 ②  ヒ ン トは,①

の 文 で 下 線 をつ け た 「 世 帯 間 」 とい う こ と と,基 礎 デ ー タが 「平

均 値 系 列 」だ とい う こ と で す.   図5.1.2で

み る よ う に,基

よ く合 致 して い ます.こ

礎 デ ー タ を表 わ す × 印 と,回 帰 分 析 で 誘 導 し た傾 向 線 は

れ ま で の 章 で は,基 礎 デ ー タ の ×印 は,傾

向線 の上 下 に大 き

くば らつ い て い ま した.   図5.1.2の 値 です.し は,世

×印 は,ひ た が っ て,世

と つ ひ とつ の世 帯 の 情 報 で は な く,い 帯 間 変 動 が 消 され て い ま す.こ

くつ か の 世 帯 で の平 均

れ ら と比 較 され て い る傾 向 線

帯 全 体 で み た 傾 向 を示 す もの で す か ら,世 帯 間変 動 は 消 され て い ま す.

  こ の こ とか ら,   「 世 帯 間 変 動 を 含 む 基 礎 デ ー タ」 と傾 向 線 との 差 よ り も   「 世 帯 間 変 動 が 消 去 さ れ た 集 計 デ ー タ」 と傾 向 線 との 差 の 方 が 小 さ い の で す.  ③  こ の こ と は,こ

れ ま で の 各 章 で 示 して い た 「分 析 の フ ロー 図 」 を使 っ て 説 明 す

る こ と もで き ます.   統 計 調 査 の 結 果 は,集

計 の過程 す なわ ち

調 査単 位 ｌつ 

種 々 の 区 分 の世 帯 に

⇒ 集計 ⇒  1つ の調査 結果  つ いて の集計 デー タ

の 過 程 を 経 て 編 集 さ れ て い ま す.そ

う し て,集 計 デ ー タは,種

々の 区分 につ い て計算

され た 「平 均 値 」で す.   形 式 的 に は そ れ ら が 集 計 デ ー タ で あ る こ と を考 慮 外 に お い て,い ぞ れ が １つ の 観 察 単 位 の 情 報 で あ る とみ な して,こ き ます(そ う し た の が 表5.1.3の  

世 帯 間 格 差 が,集

計 算 で す)が,注

い か え る と,そ れ

れ ま で の 方 法 を適 用 す る こ とが で 意 を要 す る の は

計 の 過 程 で 消 され て い る

こ と です.   こ うい う性 格 の 基 礎 デ ー タ を使 っ て い る の で す か ら,そ

の計 算 で求 め られ る分 散

は,「 平 均 値 間 の 分 散 」で す.  ④  観 察 単 位 ご との 情 報 を 使 え る場 面 に お い て,観

察 単 位 を い くつ か の 階 級 に わ け

た場 合 の 「級 間 分 散 」 と 「残 差 分 散 」を 計 算 で き ます.図5.2.1の   しか し,こ の 章 で は,平   した が っ て,集

Ａ,Ｂ です.

均 値 系 列 か ら ス ター トし て い ま す.

計 デ ー タ を視 点 に お く場 合 に は,Ａ

か ら Ｃ を求 め る 「 集 計 の 段 階 」,

Ｃにつづ く 「 分 析 の段 階 」 とわ か れ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.こ の 章 で は,「 左 側 の フ ロ ー を含 め て 計 測 で きな い 」 とい う特 殊 の 条 件 下 で 問 題 を扱 っ て い る の で す .   い い か え る と,  集 計 デ ー タ を 基 礎 と して 分 析 した 場 合 に は,  分 析 経 過 図(図5.2.1)の

Ａ,Ｂ

の部 分 が 計 測 され て い な い

の で す. ◇ 注

付 表C.5の

よ うな 「 分 布 表」が 集 計 され て い る変 数 につ い て は,Ａ,Ｂ

の 箇 所 も計

測 で き ます.章 末の 問題 ５の問 ６を参 照.  ⑤  こ の こ とに と も な っ て,決 定 係 数 の 分 母 と し て は,世

帯 間格差 を評価 す る全分

散 Ａ で な く,平 均 値 間 の 差 異 を評 価 す る 級 間 分 散 Ｃ を 使 う こ と に な り ま す.し

図5.2.1 

集 計 の過 程 を 含 め た 分析 経 過 図

た

図5.2.2 

が つ て,分

変動 の成分

子 Ｅ が 同 じで あ る の に か か わ らず,小

さ い 値 Ｃ を分 母 とす る が ゆ え に,

決 定 係 数 が 大 き く な るの で す.   決 定 係 数 の 分 母 は,本

来 は 図 の Ａ で す.変

動 を 説 明 す る傾 向 線 を 使 っ た と して も

Ｂ の 部 分 が 残 り ます か ら,そ れ に よ っ て 説 明 で き る部 分 を 測 る 決 定 係 数 は,Ｅ/Ａ あ り,説 明 で き ず に 残 る部 分 は(B+D)/Ａ 提 下 で い う な ら,E/(A-B)す

で す.Ｂ

な わ ちE/Cに

う 説 明 を し て か ま い ませ ん が,分

で

の 部 分 を考 慮 外 に お く と い う 前

よ っ て 「あ て は ま りの よ さ」を 測 る とい

母 が Ａ か ら Ｃ に か え られ て い る こ と に注 意 し ま

し ょ う.   こ れ らの ち が い が あ るの に か か わ ら ず,ど

ち らにつ いて も 「 決 定 係 数 」 と い う用 語

が 使 わ れ て い ま す(用 語 を か え た い と こ ろ で す).  ⑥  ま た,こ

の こ とか ら,決 定 係 数 の 大 き さ に つ い て,ど

う工 夫 して も 「100%に

は ほ ど遠 い 値 に しか な ら な い 」場 合 が あ り え ま す.   傾 向 線 の 想 定 あ る い は 誘 導 を上 手 に 行 な え ば 「E/Cを す か ら,E/Cを

１に 近 くす る こ と」は で き ま

「あ て は ま りの よ さ」を 測 る 基 準 と い う こ とは で き る に して も,「 回

帰 式 の 有 効 性 」を 測 る指 標 と解 釈 す る こ とに は 問 題 が あ る の で す.   基礎 デ ー タ と し て,た

と え ば い くつ か の 観 察 単 位 か ら な る集 団 区 分 の 平 均 値 を使 う

場 合 な ど,デ ー タ 自体 が 個 別 性 を 消 去 され た も の を 使 う … そ れ は,「 個 別 性 を は じ め か ら考 察 外 に お い て い る た め 」で す.い

い か え る と,「 問 題 を 限 定 し て 扱 っ て い る

た め 」で す.   傾 向 性 を み る の だ か ら,個 別 変 動 を消 去 す る た め に平 均 値 を 計 算 し た の だ,平 系 列 か ら ス ター トす れ ば よ い … そ う して よ い 問 題 分 野 もあ り ます が,一

均値

般 に は,個

別 変 動 も考 慮 す べ き で す.  ⑦  「決 定 係 数 は あ て は ま り の よ さ」を 測 る 指 標 だ と い う理 解 は,そ 印 象 づ け る 説 明 で す.い

の 一面 のみ を

い か え る と,「 現 象 自体 が もつ 個 別 性 」 を計 測 す る と い う も

うひ とつ の 面 を 見 逃 す お そ れ の あ る 説 明 で す.   た と え ば,「 決 定 係 数 が90%以

上 に な ら な い と ダ メ だ 」と い う説 明 は,人

る 説 明 で す.「 問 題 分 野 に よ っ て は,決 扱 う現 象,あ

定 係 数50%で

を迷 わせ

よ し」 と さ れ る で し ょ う.取

る い は取 り扱 い 方 に よ っ て 異 な る の で す.

決定係 数 は,傾 向性 と個別 性 との相 対 的大小 を測 る指標  

想定 した傾 向線 の有効 性 を測 る指標 だ とい う解 釈 は

 

個 別性 を除去 したデ ー タ を扱 う場合

り

5.3  値 域 区分 の 仕 方 と ウエ イ トづ け  ①  5.1節

で は,付

録 の 付 表 Ｃ.1中 の 食 費 支 出 と収 入 総 額 の デ ー タ を使 い ま し た

が,付 表 Ｃ.2に も,同 様 の デ ー タ が 含 ま れ て い ます.す   こ れ は,表5.1.1と ち が っ て い ま す.す りに,各

な わ ち,表5.3.1で

同 様 に 年 間 収 入 で階 級 わ け さ れ て い ま す が,階 な わ ち,金

額 そ の もの で 「○ ○ 円 以 上 ○ ○ 円 以 下 」と 区 切 る か わ

区 分 の 世 帯 数 が 等 し く な る よ うに 区 切 っ て い ま す.異

較 す る と きに は,上

位1/10,次

す.

級 区分 の仕 方が

の1/10,の

な る年 次 の デ ー タ を比

よ うに し て お け ば,貨

も そ れ に 影 響 され な い 区 切 り方 に な っ て い る,と

幣 価値 がか わ って

い う理 由 で 採 用 さ れ て い る 「 年収十

分 位 階 級 」で す.  ②  そ こ が ち が い ま す が,表5.1.1も ら,同

よ っ て 得 ら れ た 回 帰 式 は 図5.3.2の

よ っ た 場 合 の 図5.1.2と,か

 ③

各 階級 区 分 での平 均値 系列 です か

じ計 算 を 適 用 で き ま す(後 で か え ます).

  しか し,表5.3.1に

 

表5.3.1も

よ う に な り,表5.1.1に

な りち が って い ます.

  Y=41.41+0.0558X, 

R2=89.1%(表5.1.1の

場 合) 

(１)

Y=47.87+0.0484X, 

R2=90.4%(表5.3.1の

場 合) 

(２)

こ の ちが い は,基 礎 デ ー タの ち が い に よ っ て 起 き た の で す が,「 基 礎 デ ー タ の

表5.3.1 

年 間収 入 と食 費支 出(年 間 収 入 十 分 位 階 級 別)

図5.3.2 

図5.1.2と

表5.3.1を

使 って 求 め た回 帰 線

比 べ る こ と.基 礎 デ ー タ が ち が う な ら結 果 が ち

が うの は 当 然.し

か し,基 礎 デ ー タは ちが うだ ろ うか.

図5.3.3 

２つ の 図 の 基 礎 デー タ は 同 じ

も と も と同 じデー タだ が,値 いはBに

域 の 区 切 り方 の 相 違 で Ａ あ る

な る．

ど こ が ち が うの か 」 をは っ き り させ ま し ょ う.   ２つ の 図 の 基 礎 デ ー タ を 重 ね て み れ ば 図5.3.3の

よ うに,同

じ線上 に並 ん で い ま

す.   こ の こ とか ら,２ つ の デ ー タ か ら得 ら れ る傾 向 線 は 同 じ に な る は ず だ と期 待 さ れ ま す.そ

れ に もか か わ らず,計

に並 ん で い るが,線 す.す

算 結 果 で み る と ち が う結 果 に な っ て い る の は,同

一 線上

上 の 点 の位 置 の 分 布 が ちが っ て い る こ と に よ る もの と判 断 さ れ ま

な わ ち,「 平 均 値 系 列 に 集 約 す る と き に 採 用 し た 区 切 り方 」の ち が い に よ る の

で す.   も う一 度,表5.1.1(付 ち が っ て い ます.そ

表 Ｃ.1)と 表5.3.1(付

う して,そ

表 Ｃ.2)を み て くだ さ い.区 切 り方 が

の こ とか ら,

 

各 区 分 に 含 まれ る 世 帯 数 が 表5.3.1で

は 同 数 で あ る の に 対 して,

 

各 区 分 に 含 まれ る世 帯 数 が 表5.1.1で

は 同数 で な い

とい うち が い が 生 じ て い ま す.   こ の こ とが 食 い ち が い の 原 因 です.  ④  表5.1.3の

計 算 で は,世

帯 数 の ち が い を考 慮 外 に お い て,系

(グ ラ フ の × 印)を 同 等 に 扱 っ て い ます.す

列 のす べ て の値

な わ ち,少 数 の デ ー タ の 平 均 値 も 多数 の

デ ー タの 平 均 値 も 同 等 に 扱 っ て い る … 問 題 点 は,こ

こ に しぼ られ ます .２ つ の 図 で

「×印 の 位 置 が か わ っ て い る 」の も こ の た め で す .   図5.1.2で は 世 帯 数 の 少 な い左 側 の 部 分 に た く さ ん の 点 が と られ て い ま す か ら(そ の 部 分 を 細 か く区 切 った た め そ う な る),そ の 部 分 で の 傾 向 に ひ か れ て ,傾 斜 が 大 き くな っ た の だ と理 解 で き ます.  ⑤  各 区 切 りの 「 世 帯 数 が 異 な る の に 同 等 に 扱 う」こ とか ら ち が い が 発 生 し た の な ら,「 同 等 に 扱 う」こ と を 考 え な お せ ば よ い こ と に な り ま す.各

点 が そ れ ぞれ の 区分

に 属 す る デ ー タ 数 を 代 表 して い る集 計 デ ー タ で は,そ

うす る の が 自然 で す.す

なわ

ち,表5.1.2を,  

"世 帯 数 の ち が い を考 慮 に 入 れ る"形

に 改 め て み ま し ょ う.   回 帰 式 の 計 算 に つ い て,表5.1.3の

計 算 を 「世 帯 数 を 考 慮 に 入 れ る 形 」に 改 め る の

で す.  す な わ ち,表5.3.5の

よ うに,計

 

ΣXI/Nな

 

ΣWKXK/ΣWK(Ｋ

ま た は 積 和 を計 算 す る と きに

ど の か わ りに は 区分 番 号,WKは

各 区 分 に 属 す る世 帯 数)な ど

とす れ ば よ い の で す.  この計 算 に よって

表5.3.4 

注:抽

表5.1.1に

世 帯 数 の 情 報 を追 加

出 率 調 整 ず み の 世 帯 数 を使 う こ と.

表5.3.5 

表5.3.4に

B=0.04726 A=48.459 VX=135.430, 

100.00

VR=121.410, 

89.65

VE=14.020, 

10.35

よ る 回帰 式 の 計 算(ウ エ イ トづ け す る場 合)

図5.3.6 

図5.3.4で

  Y=48.46+0.0473X,  が 得 られ ま した.こ

求 め た 回 帰 線(図5.1.2の

R2=89.6% 

(３)

れ を 図 示 し た の が,図5.3.6で

  こ れ を,図5.1.2お

改 定)

よ び 図5.3.2と

す.

重 ね て み て くだ さ い.図5.3.2と

ほ とん ど 同 じ

結 果 に な っ て い ます.  

表5.1.1を

使 い,ウ

エ イ トづ け せ ず に 計 算

 

表5.1.1を

使 い,ウ

エ イ トづ け し て 計 算

 

表5.3.1を   ⑥  これ で,問

  Y=41.41+0.0558X  

Y=48.46+0.0473X

使 っ て 計 算(等 ウ エ イ トに な っ て い る) 

Y=47.87+0.0484X

題 点 が 解 消 し ま し た.表5.1.1を

使 って も,表5.3.1を

使 っ て も,

平 均 値 を計 算 す る た め に 使 わ れ た 世 帯 数 を考 慮 に 入 れ て 計 算 す れ ば 同 じ結 果 とな る の で す.い

い か えれ ば,階

差 が 残 っ て い ます が,こ

級 区 分 の仕 方 を か え て も,結 果 に 影 響 し な い の で す.小

さい

れ は,基 礎 デ ー タ の 数(区 分 の 数)の ち が い に よ る差 です.   こ の 節 の ま とめ

  同 じデ ー タだ か ら,同

じ傾 向 線 が 得 られ る は ず.

  階 級 区 分 し て 平 均 値 系 列 に お き か え て い る が,各

階級 に 属 す る

デ ー タ数 に 応 じ た ウ エ イ トを考 慮 に 入 れ て ウ エ イ トづ け し て 計 算 す れ ば 同 じ結 果 に な る.   た だ し,以 下 に 注 記 す る よ うに,ウ

エ イ トづ け しな い とい う考 え

方 もあ りえ ます. ◇ 注   この 節 で 行 な っ た変 更 では,す べ て の世 帯 の情 報 を対 等 に 扱 っ た こ と に な ります． 一般 に は そ うすべ きだ とい え ます が ,こ れ に対 す る異論 もあ りえ ます.   表5.1.2の て い ます.

計算 では,各 世 帯 を対 等 に 扱 うの では な く,「各 区分 を対 等 に 扱 う」形 に な っ

  ウエ イ トづ けせ ず,各 値 域 区分 を対 等 に扱 う …   傾 向線 を求め る問題 を扱 う ときに は,個 々 の世 帯 レベ ル での 変 動 で は な く,対 比 しよ う

とす る区分 の レベ ル でみ た変 化 に視 点 をあ わせ るこ とが あ ります.そ

う考 え る な ら,世 帯

数 の 大小 にか か わ らず,区 分 を対 等に 扱 うべ きだ とい う考 え方 も,一 理 あ ります.   求 め られ た平均 値 系 列 を,「そ れ を求 め るため に 使 ったデ ー タ と切 り離 した形 で使 う」… そ うい う使 い方 を考 え よ う とい うこ とです.   ど ち らに す るか は,分 析 目的 か ら決 め る こ と です が,そ こ ま で考 え て 「 特別 の使い方」 を した場 合 は,そ の こ と をは っ き り注 記 す べ きです.

5.4  第 三 の 変 数 の影 響 へ の 考 慮  ①  5.3節 で は 食 費 支 出 Ｙ と所 得 Ｘ の 関 係 をみ て き ま し た が,「 Ｙ の 変 動 を 説 明 す る」 と い う 問 題 意 識 に た つ と,説 明 の た め に は Ｘ だ け で は 十 分 で な く,そ れ 以 外 の 変 数,た

と え ば,世 帯 人 員 Ｚ を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で し ょ う.

  個 別 デ ー タ を利 用 で き る場 合 に は,そ す が,集

れ を説 明 変 数 と して 追 加 す れ ば よか っ た の で

計 デ ー タ を 利 用 す る と き に は,集

計 表 で Ｚ が ど う扱 わ れ て い る か が 問 題 と

な り ます.   ②   こ の 節 で は,こ

の こ とに 関 連 して い くつ か の 注 意 を説 明 し ま す が,説

を 明確 に す る た め に,集

明の論理

計 デー タ の 構 造 を 表 わ す 記 号 を使 い ま す.

 前 節 で使 った デー タは

と表 わ す べ き も の で す.   次 の 表5.4.1は,こ

の 形 式 の デー タ例 で す.説

そ の 一 部 と して 表5.4.1の   こ の 形 式 で は,各 よ っ て,Y1の

 

世 帯 の デ ー タXn∈XIを

値 とX1の

使 っ て(XI,YI)の

明 の 関 係 上 付 表C.4を

そ の 区 分 の 代 表 値XIだ

値 を 対 応 づ け て い ま す.し

た が っ て,こ

とみ な す こ とに の 系 列 デー タ を

関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を 誘 導 で き るの で す.

Y=76.64+0.0464(X-551.3),R2=95.4% 

  た だ し,ひ

使 い ます が,

情 報 が 含 ま れ て い る こ と を確 認 して くだ さ い.

とつ ひ とつ の 観 察 単 位 をべ ー ス に し た 対 応 で は な く,Ｘ

を単 位 と し た 対 応 で あ る こ と,い い か え る と,  

２系 統 の 情 報 を リン クす る単 位 が 観 察 単 位 で な く,

 

集 計 区 分 で あ る こ とか ら,問 題 が 発 生 す る 表5.4.1 

Xの

区 分 別 に集 計 したXI,YI

付 表 Ｃ.4(a)の 情 報 区分 は Ｘ に よ る階 級 区分.

(１) の 階 級 区 分XI

表5.4.2 

付 表 Ｃ.4(a)の

Ｘ の 区 分別 に 集 計 したYI,ZI

一 部.区

分 は Ｘ に よ る階 級 区 分.

の で す.  ③

次 に,表5.4.2に

例 示 す る 集 計 デ ー タ を 使 っ てY(=食

費 支 出)とZ(=世

帯

人 貝)と の 関 係 をみ る こ と を考 え ま し ょ う.   こ の 表 は 形 式 的 に は 表5.4.1と

同 じ で す が,そ

の 構 造 に 重 要 な ち が い が あ り ま す.

す な わ ち,階 級 区 分 の 区 切 りに 用 い た 変 数 は,Ｙ で す.し

た が っ て,こ

で も Ｚ で も な く,X(=収

入 総 額)

の 表 に お け るYI,ZIは

で 表 わ さ れ ます が,YI,ZIを

セ ッ トに して 使 う場 合 に,リ

分 と して 定 義 さ れ て い ま す.こ

ン クの 単 位 が Ｘ の 値 域 区

の こ とが 問 題 点 です.

  そ こ で,「 こ の 表 に よ っ て,Y(Z)の

関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を 求 め られ る か 」 を 考 え

ま し ょ う.   YI,ZIと

が 対 応 す る形 に 集 計 さ れ て い ます が,い

単 位 と して 集 計 さ れ た平 均 値 の 系 列 で す.し し た 系 列 値Y(X),Z(X)で

ず れ も Ｘ に よ る 階 級 区 分XIを

た が っ て,そ

れ ぞ れ が 異 な るXIに

対応

す か ら,こ の 系 列 値 か ら 誘 導 さ れ た 傾 向 線Y(Z)に

は,

Ｘ の 影 響 が 混 在 す る結 果 と な り ます.  ④  混 同効果 (YI,ZI)に

 前項 の結論 をい いか える と よ っ て傾 向 線Y(Z)を

求 め た場 合

 

そ の 傾 向 線 に は Ｘ の効 果 が 混 在 し て い る

こ とに な り ま す.こ   した が っ て,な

う い う形 で 混 在 して い る効 果 を 「混 同 効 果 」 と よび ます.

ん ら か の 方 法 で,こ

の 混 同 効 果 を 補 正 し な け れ ば,YとZの

関係

に つ い て 言 及 で き な いの で す.

  表5.4.2のY,Ｚ

は い ず れ もXに

よ って 傾 向 線Y=f(X),Z=g(X)を

対 応 す る 系 列 デー タ.こ

  これ らの 図 を書 き換 え る と(Y,Z)の

系 列 を示 す 図 に な る が,こ

列 の 各 点 は 異 な るXに 対 応 して い る た め,Y=φ(Z)を →Yだ とは解 釈 で きな い.   し たが って,Z→Yだ

れらに

求 め る こ とが で き る, の系

求 め て も,Z

と解 釈 で き る よ うにす る た め に は,Ｘ

の影響

を補 正 す る こ と を考 え なけ れ ば な らな い． ◇ 注   問 題 が あ る の で す が,そ 表5.4.2の  

の こ と を 確 認 す る た め に,計

数 字 を 使 っ て 表5.1.3と

同 様 に 計 算 す る と,回

算 し て み ま し ょ う.

帰式

Y=76.66+44.54(Z-3.87),R2=94.8% 

(２)

が 得 ら れ ます.   Z=2と

す る とY=-7,Z=3と

ち が っ て い ませ ん.し

す る とY=38,Z=4と

か し,Ｚ

す る とY=82で

す.計

に 対 応 す る Ｙ の 変 化 が 大 きす ぎ る よ う で す.ど

算は ま こかに問

題 が あ り そ う で す.

 ⑤  ② で 求 め たX→Yの

関 係 に つ い て も,回 帰 式 で考 慮 さ れ て い な い Ｚ の 値 が

各 対 ご とに 異 な る こ とか ら,そ れ が,混  ⑥  混 同 効 果 の 影 響 を 避 け る に は,そ が,そ

の 前 に,表5.4.1と

表5.4.2を

同 効 果 を もた ら して い るの で す. れ を組 み 合 わ せ た デ ー タ を使 うの が 基 本 で す １つ の 表 に ま とめ た 表5.4.3を

使 っ てみ ま し ょ

う.   こ の 形 に す る と,Ｙ,Ｚ

の 系 列(YI,ZI)の

き ます か ら,デ ー タ セ ッ ト(X,Y,Z)に に 対 応 す る傾 向 線Y=h(X,Z)を   求 め られ たY=h(X,Z)に  

各 点に 対応 す る Ｘ の値 を使 うこ とが で

対 して 回 帰分 析 を適 用 し て,２ つ の 説 明 変 数

計 算 で き ま す. お い てZ=Zと

お いた式 が

Ｙ と Ｘ の 関 係 を Ｚ の 影 響 を補 正 した 上 で み た傾 向 線

を表 わ す もの に な っ て い るの で す.   また,X=Xと  

おい た式が

Ｙ と Ｚ の 関 係 を Ｘ の 影 響 を補 正 した 上 で み た傾 向 線

表5.4.3 

表5.4.1に

世 帯 人 員 の 情 報 を追 加

区 分 は Ｘ に よ る階 級 区 分.

に な っ て い る の で す. ◇ 注   表5.4.3の  

数 字 を 使 っ て 計 算 す る と,回

帰式 R2=99.7% 

Y=76.66+0.0250(X-551.3)+22.68(Z-3.87), 

(３)

が 得 ら れ ま す.   こ れ に つ い て Ｚ を そ の 平 均 値3.87に  

お き か え る と,Ｘ

の効 果 を補 正 した

Y=76.66+0.0250(X-55.63)

が 得 ら れ ま す.ま  

た,Ｘ

を そ の 平 均 値 とお き か え る と,Ｚ

の効 果 を補正 した

Y=76.66+22.68(Z-3.87)

が 得 ら れ ま す.

 ⑦  も う ひ と つ 問 題 が あ り ます.補 わ す 式 に な っ て い る よ う です が,そ

正 の 基 礎 式(３)式 は,(X,Y)→Zの

関 係 を表

う 了 解 して よ い で し ょ うか.

  こ の傾 向 線 に お け るZ→Yが  

(XI)に

 

そ の Ｚ に 対 応 す る Ｙ の 変 化 を示 す

対 応す る Ｚ の平 均値 と

もの に な っ て い る こ と に 注 意 し ま し ょ う.   Ｚ の 値 域 を 制 限 し て,そ   し た が っ て,Ｚ

の 範 囲 で み たZ→Yの

関 係 に な っ て い るの で す.

が 広 い 範 囲 で か わ っ た 場 合 の Ｙ の 変 化 を 表 現 し て い る とは い え な

い の で す.  ⑧  ２つ の 説 明 変 数 を 取 り上 げ た モ デ ル を 適 用 す る た め に は,２ つ の 要 因 の 組 み 合 わせ を含 む 集 計 表 を 探 し ま し ょ う.   こ こ で 取 り上 げ て い る例 題 で は,年 る 食 費 支 出 Ｙ の 平 均 値 が,付

収 Ｘ と世 帯 人 員 Ｚ の 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す

表 Ｃ.4の よ うに 集 計 さ れ て い ま す.次

の 表5.4.4は,

そ の 一 部 です.   こ れ を 使 う と,回  

帰式

Y=a+bX+cZ

を求 め る こ とが で き ま す.   計 算 を 実 行 す る と,次    ⑨

の結 果 が得 られ ま す.

Y=76.68+0.0409(X-559.3)+7.71(Z-3.87),R2=93.0%  説 明 変 数 を さ らに 増 や した い … そ こ ま で 考 え を進 め る に は,そ

(４) れ らの 説 明 変

数 の 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す る Ｙ の 値 が 必 要 だ とい う こ とに な る の で す が,そ

うい

表5.4.4 ２

う集 計 表 は,用

変 数 に よ る組 み 合 わせ 区 分 に対 応 す る デー タ

意 さ れ て い な い で し ょ う.こ の 節 で 例 示 した 扱 い 方 を 適 用 す る に は,

この こ と が ネ ッ ク とな る の で す.

問題 ５

問 ｌ 図5.1.2の

基 礎 デ ー タDK31Vに

対 し て プ ロ グ ラ ムREGO3を

に 示 す 傾 向 線Y=41.33+0.0560Xが  

注:問l∼3に

適 用 す る と,図

得 られ る こ と を確 認 せ よ.

つ いて,本 文 に示 した 計 算 結 果 は 計 算過 程 で 四捨 五 入 して い るの で,

プ ロ グ ラム に よ る計算 結 果 と完 全 に は一 致 し ませ ん. 問 ２ 図5.3.2の

基 礎 デ ー タDK31AVに

対 して プ ロ グ ラ ムREGO3を

適 用 す る と,図

に 示 す 傾 向 線 が 得 ら れ る こ と を確 認 せ よ. 問 ３ (ｌ) 表5.3.5に

示 す デ ー タ(DK31V)に

つ い て,基

礎 デー タが平 均 値 系列 で あ

る こ と を 考 慮 し,観 察 単 位 数 を ウ エ イ トと し て 計 算 す る と100ペ が 得 ら れ る こ と を確 認せ よ.こ

の 扱 い を す る に はREGO5を

ー ジ の(３)式

使 う こ と.

 (２) 観 察 値 数 の ちが い を考 慮 せ ず に 各 平 均 値 を 対 等 に 扱 う と,問

１と 同 じ傾 向

線 が 得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.  (３) 前 節 で 扱 っ た 「寄 与 率 の 見 方 」を適 用 す る場 合,(１),(２)の 結 果 の ど ち ら を 使 うか.  注:表5.3.1を

使 う と,各 区 分 の世 帯数 が 同 じだ か ら(３)の問 題 を考 え な くて す む

こ とに な る.  

注:REGO5を

使 う場合,被 説 明変 数 Ｙ,説 明 変 数 Ｘ を指 定 した後,ウ エ イ トを指

定 す る よ うに求 め て き ます.付 表C.1の 問 ４ (１) 表5.3.1の

年 間 収 入 十 分 位 階 級 の う ち最 下 位 の 区 分 と最 上 位 の 区 分 を 除 い

た ８区 分 の デ ー タ を使 っ て 計 算 し,問  

場 合 は,世 帯 数 Ｎ を指定 し ます.

注:デ ー タフ ァ イ ルDK31AVに

２の 結 果 と比 べ よ.

キ イ ワー ドDROP=/1/10/を

挿 入 して お け ば,第

１区分 と第10区 分 のデ ー タを除外 して計 算 され る.キ イワー ドの 挿 入 に つ い て は プ ロ グ ラムDATAEDITを  (２) 表5.1.1の

使 うこ と.

年 間 収 入 階 級 の う ち世 帯 数 の 少 な い 区 分 ３つ を 除 い て 計 算 し

(世帯 数 を ウ エ イ トとす る計 算 で),問

３(ｌ)の結 果 と比 べ よ.

 (３) (１),(２)の結 果 を 比較 せ よ. 問 ５ (１) 表5.3.1を

使 っ て 図5.3.2を

か い た 計 算 に お い て,X2を

つ け加 え て傾 向

線 を改 善 す る計 算 を試 み て み よ.  (２) こ の 改 善 の 有 効 性 を評 価 せ よ.  

注:問

３で示 した よ うに,種 々の ウエ イ トづ け に よ って影 響 す る こ とを考 慮 に 入 れ

て考 え る こ と.

問 ６ (１) 付 表 Ｂ を使 っ て,食 A+BX6を

計 算 せ よ(91ペ

費 支 出 Ｙ と収 入 総 額X6の

関 係 を 表 わ す 回 帰 式Y=

ー ジ の(１)が 得 ら れ る).

 (２) 付 表 Ｂ を使 っ て 集 計 し た 「収 入 十 分 位 階 級 別 平 均 値 」が フ ァ イ ルDH20V に 記 録 さ れ て い る.こ れ を使 っ て Ｙ,X6(そ 回 帰 式Y=A+BX6を

計 算 せ よ(91ペ

れ ぞ れ 平 均 値 系 列)の 関 係 を 表 わ す

ー ジの(2)が 得 られ る).

 (３) こ れ ら の 計 算 結 果 に つ い て,図5.2.1の

形 式 に 分 散 を 書 き込 め.Ｄ

の 欄,

Ｅ の 欄 に 書 き 込 む分 散 は,(１)の 結 果 か,(２)の 結 果 か を考 え る こ と. 問 ７ 時 系 列 デ ー タ を 使 う場 合 に 「決 定 係 数 が90%以 る よ うだ が,そ

の 理 由 を 説 明 せ よ.こ

上 で なけ れ ば な らない」とされ

れ に 対 し て,時

断 面 デ ー タ を 使 う場 合 に

は 決 定 係 数 は そ れ ほ ど大 き くは な りえ な い理 由 を 説 明 せ よ. 問 ８ (１) 付 表K.1(DI30)を

使 っ て体 重 と身 長 の 関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を求 め よ.

 (２) 付 表K.2(DI41)を

使 っ て 体 重 と身 長 の 関 係 を表 わ す 回 帰 線 を 次 の 手 順 で

求 め よ.  

プ ロ グ ラ ムPXYPLOTで

身 長(Ｘ)と

σXYの 計 算 結 果 が 表 示 さ れ る.そ

体 重(Ｙ)の

れ を 使 っ て,回

集 中 楕 円 を か く と σX,σY,

帰 式Y=A+BXの

係 数 Ａ,

Ｂ を計 算 で き る.  (３) 付 表K.2を

使 っ て,身

が フ ァ イ ルDI40Xに

長 の 階 級 区 分 ご と に 体 重 の 平 均 値 を計 算 し た 結 果

記 録 さ れ て い る.こ の 平 均 値 系 列 に つ い て,体

重 と身 長 の

関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を 求 め よ.  (４) (１),(２),(３)の 結 果 と して 得 ら れ る傾 向 線 の ち が い お よ び 決 定 係 数 の ち が い は ど う説 明 さ れ るか. 問 ９ (１) 表5.4.1を

使 っ て101ペ

ー ジ(１)式 に 示 す Ｙ,Ｘ の 回 帰 式 が 得 ら れ る こ と

を確 認 せ よ.  (２) 表5.4.3を

使 っ て,104ペ

ー ジの(３)式 に 示 し た Ｙ,Ｚ,Ｘ の 関 係 式 を 計 算

して み よ.  注:(１),(２)の 基礎 デ ー タは,デ ー タフ ァ イルDK41Vに  (３) (２)で求 め た 関 係 を使 っ て,表5.4.3の

記 録 され て い る.

各 区 分 に お け る Ｙ の 値 を世 帯 人 員

Ｚ が ３人 に 対 応 す る 値 に 換 算 せ よ.  (４) (３)で求 め た換 算 値Y*を

使 っ て,Y*と

Ｘ の 関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を計 算

せ よ. 問10  (１) 最 新 の 「家 計 調 査 年 報 」を み て,「 食 費 支 出 」 と 「世 帯 属 性 」の 関 係 を 分 析 す るの に ど ん な デ ー タ が 使 え る か を調 べ よ.  (２) 最 新 の 「全 国 消 費 実 態 調 査 報 告 書 」 を み て,同

じ こ と を調 べ よ.

6 時 系 列 デ ー タの 見 方

  この章 では,時 系 列 デ ー タの 扱 い に関 す る トピ ッ ク ス を取 り上 げ ま す.多

くの 現 象 が 共 通 の 「時 の 流 れ」に乗 って 変化 し ますか ら,種 々の

情 報 を 組 み合 わ せ て使 うこ と が で き る反 面,関 連 を もつ よ う に み え て も,適 正 に解 釈 につ な が るか ど うか な ど,注 意 す べ き点 が ひ そ んで い ま す.

6.1  季 節 性 と ト レン ドの 分 離  ①  こ の 節 で は,ビ

ー ル 出荷 量 の 時 系 列 デ ー タ(付 表E.1)を

例 示 に使 い ます.

た と え ば 「暑 くな っ た の で ビ ー ル の 消 費 が 増 え る だ ろ う」 とい う表 現 に は, 暑 い 季 節 に な っ た の で 例 年 ど お り増 え るだ ろ う と い う意 味 で 使 わ れ る場 合 もあ れ ば  

例 年 以 上 に 暑 くな っ た の で 例 年 以 上 に 増 え るだ ろ う

と い う意 味 で 使 わ れ る場 合 も あ りま す.論 す る と き に も,そ

理 上 区 別 す べ き表 現 で あ り,デ ー タ を参 照

れ ぞ れ に 応 じた 扱 い を 要 す る こ と に な り ます.

  い ず れ に し て も,ま ず,グ   次 ペ ー ジ の 図6.1.1で

ラ フ を か い て み ま し ょ う.

す.

◇ 注   この 章 では,時 の 区分 に 対 応 す る 「時 系列 デー タ」を 扱 い ます.年 齢 区分 に 対応 す る一 連 の デー タ も 「系列 デー タ」で す が,基 礎 デ ー タ が 特 定 の 時 点 に 対 応 して い ます.時 系 列 デー タの場 合,「 それ が 時の 流 れ に 沿 っ て次 々 と観 察 され る」こ とか ら,特 別 の 見 方 が 必 要 とな って きます.  ②  成 分 分 解(１) 

１年 を周 期 とす る変 化(四 半 期 デ ー タ で す か ら ４点 で １年)が

存 在 す る こ と は は っ き り して い ます.し る よ うで す.た で は 難 し く,

か し,変 化 の 大 き さや 形 に 微 妙 な ち が い が あ

とえば 「 例 年 以 上 に 増 え た 」 とい う発 言 を 裏 づ け る た め に は,こ

の図

  季 節 性 に 対 応 す る変 化   季 節 に か か わ らな い 変 化 を わ け て よ め る よ うに,情 た とえ ば,次

報 を分 解 す る こ と を考 え る の で す,

ペ ー ジの 表6.1.2の

よ うに す るの で す.

  表 の ｌ番 目 の ブ ロ ッ ク の 数 字(基 礎 デ ー タ)に つ い て,２ 番 目の ブ ロ ッ クが 季 節 性 に 対 応 す る 差,３ 番 目 の ブ ロ ッ クが 季 節 に か か わ ら な い 差 を 求 め て い ます(４ 番 目の ブ ロ ッ ク に つ い て は 後 で 説 明)．   い ず れ も 「差 」の 計 算 で す が,差

の と りか た が ち が い ます か ら,以 下 で は,次

の記

号 を 使 っ て 区 別 し ま し ょ う.  

基礎 デー タ

 

前 期 との 差  ⊿mX（n,m）=X（n,m）-X(n,m-1)

  X（n,m）

 

前 年 同 期 との 差

 ⊿nX（n,m）=X（n,m）-X（n-1,m）

  差 を と る 演 算 記 号⊿ に,差 次,mが

を と る 方 向 を 表 わ す 添 字 を つ け て い る の で す. nが

月(こ の例 で は 四 半 期 デ ー タ で す が)を 示 す と了 解 して くだ さ い. 図6.1.1 

デ ー タ は,蓑

ビー ル 出荷 量 の 時 系 列 デ ー タ

谷 千 鳳 彦 『回 帰 分 析 の は な し』(東京 図 書,

1985)か ら 引用.生

産 者 か ら販 売 者 へ の 出 荷 に 関 す る

数 字 で あ ろ う.

予 測   時 系 列 デ ー タ の 分 析 で は,新 報 に も とづ き,た

し い 時 点 の デ ー タ が 得 られ た つ ど,そ の 新 し い 情

とえ ば 経 済 情 勢 や 景 気 動 向 を 判 断 し ま す.そ

の 場 面 で は,過

去

の 傾 向 を 参 考 に す る に して も,関 心 は 「将 来 の 動 向 の 予 想 」で す .過 去 の あ る期 間 の 情 報 を そ の 範 囲 で 分 析 す る 場 合 も あ り ま す が,時 は,将

系 列 デー タ の分 析 の 主題

来 の 予 測 に つ な げ る た め に,最 近 の 情 報 に ウ エ イ トを お い た 分 析 です.

  そ の 意 味 で,一 般 の 「系 列 デ ー タ 」 と異 な っ た 扱 い が 考 え られ る の で す.

年

表6.1.2 

  原 系 列 の 各 行 は 年 次,各 応 し ます.四

時 系 列 デ ー タの 分 解(１)

列 は四半 期 区分に 対

半 期 別 に 大 き い 差 が あ る こ とが わ

か り ま す が,問

題 は,そ

の 差 が 大 き い 年,小

さ

い年 が あ る こ とで す.

#１ の数 字 が 出 た 時点 で は  例 年 どお り減 って い る(対 前 期 差),   前 年 と比 べ て 大 き い傾 向(対 前 年 差)は,こ

れ

まで と同 様 だ …

 新 しい 数 字 が 出 た と き,今 年 は … と よ む 場 面

この よ うに よめ ます.

を 想定 しま し ょ う.

  こ の よ う に 「差 」が ど う か わ っ た か を み ま す.

 #２ の 数 字 が 出 た 時 点 で は  

例 年 以 上 に 減 っ た(対 前 期 差 の 差),前

 

差 が プ ラ ス か らマ イナ ス に か わ っ た(対 前 年

  差 の 差)… この よ うに よめ ま す.

年 との

す なわ ち 「差 の 差 」を み る の で す.   「差 の 差 」が ＃２で 大 き くち が うこ と に 注 目 し ま し ょ う.   #１ で は,差

の 符 号 が か わ っ た こ とに 注 目 さ れ

るで し ょ う. 注:た

とえ ば ＃１の デ ー タが 得 られ た 時 点 で は 「そ れ 以 前 の ３期 間 に 正 で あ っ た も の が 負 に か わ っ た 」

と い え ます が,そ

の変 化 が 「さ ら に つ づ くか 」ど うか は 「予 測 の 問 題 」に な り ます.新

タが 得 られ た とき に確 認 す る に して も,そ れ を待 た ず に 判 断 した い … そ れ が,予

しい時点の デー

測 の 問題 で す.

 ③  表 で取 り上 げ てい る指 標 は いずれ も,時 系列 デー タの差 を表 わす もの です が, 季節 変動 をみ るための 差

…… 対前期 差

 季節 にか か わ らない趨 勢 をみ るため の差 …… 対前年 同期 差

と使 い わ け て い る の で す が,表

の4番

目に 例 示 した よ う に,こ

が ど っか わ っ た か を よむ こ と が 考 え ら れ ます.い 差 を 測 る の で す が,差 比 べ るの で す.記

れ ら の 差 に つ い て,差

い か え る と,こ の 表 の 情 報 に よ っ て

が 例 年 どお りか 否 か を み る た め に,た

と え ば,前

年 の指標 値 と

号 で い うと

対前期差 の変 化 をみ るため に 対 前年 同期差 の変化 をみ るため に を 使 い ま す.い

わ ば 「差 の 差 を み る こ と で 変 化 を検 出 す る」の だ と い っ て よ い で し ょ

う.論 理 的 に は,「 差 を計 測 す る指 標 に つ い て そ の 値 の 差 を み る」 と い う こ とで す.   そ れ ぞ れ 見 方 の ち が う指 標 で す が,数

値 と して は,こ

れ ら は 等 し くな りま す.す

な

わち

が 成 り立 っ て い る の で す.   こ れ を⊿2X(n,m)と

表 わ す こ と に し ま し ょ う.

  対 前 期 差 の 変 化 を み る た め の 差,対

前 年 同期 差 の 変 化 を み る た め の 差 とい う呼 び 方

をす る必 要 は な い の で す.   ④  こ の 「 差 の 差 」の 大 き い 箇 所 に 注 目す る こ と に よ っ て,季 か わ っ た と こ ろ,あ   表6.1.2の

るい は,趨

場 合 に つ い て は,#1,#2の

ば⊿2X(n,m)の

節 変 化 の パ ター ン が

勢 が か わ っ た と こ ろ を検 出 で き ま す. 箇 所 を ピ ッ ク ア ッ プ し て い ます が,た

標 準 偏 差 を計 算 し て そ の3倍

を こ え る と こ ろ と か,ボ

トに よ っ て ア ウ トラ イ ヤ ー と指 摘 さ れ る と こ ろ と い う形 で,客

とえ

ッ クスプ ロ ッ

観 的 な 手順 に す る こ と

も考 え られ ます.   ⑤  こ の 成 分 分 解 で,前

月 ま た は 前 年 の 値 と 比 べ る の は,「 最 近 の 情 報 を 使 っ て 」

変 化 を み よ う と い う趣 旨 で す.し

た が っ て,そ

の 変 化 を 比 較 す る た め の 基 準 も,な

る

べ く新 し い デ ー タ を使 お う … こ うい う意 図 に た っ て組 み 立 て て い る の で す .   ⑥  成 分 分 解(2) 

こ れ に 対 し て,あ

る 期 間 に 注 目 して そ の 期 間 中 の 変 化 を 把 握

し,説 明 し た い と い う問 題 設 定 も あ りえ ます.   そ れ な ら,「 前 期 ま た は 前 年 同 期 と比 較 す る」 と し た と こ ろ を,「 期 間 中 の 平 均 値 と 比 較 す る 」形 に お き か え る こ とが 考 え ら れ ま す.

図6.1.3 

分 解1に

お け る差 の 差⊿2X(n,  m)の 分 布

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト に よ る 表 現 で す.シ リー ズ第1巻

『統 計学 の 基礎 』を参 照.

基礎 デー タ 前期 との差 前年 同期 との差 に よ っ て 差 を 測 り,こ れ らの 差 が 例 年 どお りか 否 か をみ る た め に は,

対前 期差 の変 化 対前 年 同期差 の変 化 を使 う の で す.こ

れ ら の 表 現 に お け る*は

均 を と っ た も の を 意 味 し ま す.た 四 半 期 デ ー タ な ら4)の

そ の 箇 所 の 区 分 番 号 の あ る範 囲 に つ い て 平

と え ばX（n,*）

は,1年

分(月 別 デ ー タ な ら12,

デ ー タ の 平 均 で す.

 「 差 の 差 」に つ い て,

が 成 り立 っ て い ま す.   こ れ らの 量 を 計 算 す る た め に は,各 X（*,m）

年 別 の 平 均 値X(n,*）

と各 四 半 期 別 の 平 均 値

お よ び デ ー タ全 体 で の 平 均 値 が 必 要 で す.

  表6.1.4は,基   表6.1.5は,こ   表6.1.2と

礎 デ ー タ に,こ

れ ら の 平 均 値 を 計 算 し付 記 した もの で す.

れ ら の 平 均 値 を 使 っ て 計 算 した 成 分 分 解 表 で す. ほ ぼ 同 様 な 見 方 が で き ま す が,変

化 を検 出 す る た め の 基 準 が ち が って い

ます.   基 準 の 選 択 に お い て,表6.1.2の の 値 を 使 う,表6.1.5の

場 合 は最 近 の 情 報 に 重 き を お い て 先 月 ま た は 前 年

場 合 は 取 り上 げ た範 囲 全 体 に 同 じウ エ イ トを お い て 計 算 し た

平 均 値 を使 う … こ う い う考 え 方 で す.   い わ ば,「 昔 と 比 べ れ ば か わ っ た の は 当 然,最

近 の 変 化 をみ よ う」 と い う時 系 列 の

見 方 に も とつ く発 想 と,「 か わ っ て い る ・い な い の 判 断 基 準 と して 平 均 値 を使 う」 と い う一 般 的 な 見 方 に も とつ く発 想 の ちが い で す. 表6.1.4 

変 化 を検 出す る ため の基 準

表6.1.5 

  こ の部 分 は,す

べ て,同

時 系 列 デ ー タの 分 解(2)

じ平 均 値 を 基 準 と して

  列 方 向 に 並 ん だ4つ ます.そ

もち ませ ん.

半 期 別 差 異 が どの 年 も同 じか ど うか を み ます.

  行 方 向 に並 ん だ9つ す.四

の数字が 各年次 に対応 しま

半 期 の影 響 は 消 去 され て い ます か ら,そ れ

の 差 は,明

の数 字が各 四半期 に対応 し

み て い ます か ら,各 部 分 の 差 を み る とい う意 味 を

  年 次別 傾 向,四

らか で す.こ

こ で は,そ

の四

半期別傾 向のいず れで も説明 で

きな い 変動 を 測 っ た もの に な っ てい ます.

に か か わ ら な い年 次 傾 向 の 有 無 を み る ため に 使 い

  一 般 に は0に

近 い値 に な る で し ょ うが,特

別 な

ます.

事 態 が 発生 した と き大 き くな り ます か ら,そ

うい

う事 態 の発 生 を検 出 す る 手 が か りに な りま す.

  ⑦  分 散 分 析    成 分 分 解(2)で

は,変

化 を み る 指 標 値 の 分 散 を 使 って 分 散 分 析

(差 の 大 き さ を 測 る 指 標)の 形 に 組 み 立 て る こ とが で き ます.   す な わ ち,表

の 各 ブ ロ ッ クの 数 字 が 「平 均 値 か らの 偏 差 」に な っ て い ま す.さ

らに

くわ し くい う と,「 ブ ロ ッ ク全 体 で の 平 均 値 を基 準 と した 偏 差 」,「行 方 向 の 平 均 値 を 基 準 と した 偏 差 」,「列 方 向 の 平 均 値 を 基 準 と した 偏 差 」に な っ て い ま す.   し たが って,そ か,い

れ ぞれ の 偏 差 の大 き さ を 評 価 す る分 散 を 使 っ て,ど

の偏 差 が大 きい

い か え る と,ど の 基 準 が 「デ ー タ の 変 化 の 説 明 要 因 」 と し て 有 効 か を 判 断 す る

手 順 を 組 み 立 て る こ と が で き ます.   ⑧   これ が 「分 散 分 析 表 」(表6.1.6(ａ))で   これ に よ っ て,そ

す.

れ ぞ れ の 成 分 の 寄 与 度 を 測 る こ と が で き る の で す.

  た と え ば,表6.1.5の3番

目 の ブ ロ ッ ク は,各

年 ご とに 求 め た 「4つ の 四 半 期 デ ー

タ の 平 均 」を 基 準 と した 偏 差 で す.   し た が っ て,そ 散 が104080か

う い う 「基 準 」を採 用 す る こ と に よ っ て,デ

ら15108に

減 少 した こ とが わ か り ます.こ

用 した 基 準 の 有 効 度 を 測 る 」こ とが で き る の で す.こ 効 度 を 測 る も の に な っ て い ま す.こ

ー タ の 変 動 を表 わ す 分

の 減 少88972に

の 場 合 は,四

よ っ て,「 採

半期 別 平均 値 の有

れ を減 少 率 の 形 で 表 わ し た85.4%が

「決 定 係 数 」

です.   ま た,各

四 半 期 ご と に 求 め た 「9つ の 年 別 デ ー タ の 平 均 値 」を 基 準 と し た 偏 差 を

使 っ た 場 合 の 分 散 の 減 少104080―94856＝9224に

よ っ て,そ

の 有 効 度 を 測 る こ とが で

き ま す.   4番 目 の ブ ロ ッ クの 数 字 は,年 次 区 分 別 平 均 値 お よ び 四 半 期 区 分 別 平 均 値 を組 み 合 わ せ た 基 準 値 か ら の 偏 差 です.し

た が っ て,こ

れ ら2つ の 要 因 の い ず れ で も 説 明 さ れ

ず に 残 っ た 変 動 で す.   この よ うな 分 析 結 果 を ま とめ た の が,表6.1.6(ａ)で  例 示 の 場 合,四 明 され る の は85%に

す.

半 期 別 平 均 値(年 別 デ ー タ の 平 均 値)を 基 準 と す る こ と に よ っ て 説 達 す る の に 対 して,年

とす る こ と に よ っ て 説 明 さ れ るの は9%,い

平 均 値(四 半 期 別 デ ー タ の 平 均 値)を 基 準 ず れ で も 説 明 さ れ ず に 残 る 部 分 は6%だ

とい う こ と で す.   こ の 分 散 分 析 表 は,こ

の よ うな 形 で 「デ ー タ の もつ 変 動 を,要

表6.1.6(ａ) 

分 散 分 析 表   for  要 因 分 析

表6.1.6(ｂ)分

散 分 析 表   for  仮 説検 定

因別 に わけ て評価 す

図6.1.7 

ビ ー ル の 消 費 量(平 均 的 季 節 変 動 との差)

る」機 能 を もつ もの で す.  ⑨  こ こ で,「 い ず れ で も 説 明 さ れ ず に 残 っ た 部 分 」を 誤 差 だ と み な す な ら,あ 確 率 分 布(普 通 は 正 規 分 布)を もつ 変 動 だ と仮 定 で き る場 合 に は,そ とに よ っ て,他

の 成 分 が 「誤 差 範 囲 を こ え て い る 」こ と を検 定 で き ます.そ

方 を す る と き に は,表6.1.6(ａ)の

る

れ と対 比 す る こ

分 散 分 析 表 の か わ り に,表6.1.6(b)の

う い う見 形式 の分

散 分 析 表 を使 い ます(本 シ リー ズ 第 １巻 『統 計 学 の 基 礎 』 を参 照).   こ の例 で は,年

次 間 変 動 も 「誤 差 範 囲 」を こ え て い る と判 定 さ れ ます．

 ⑩  時 系 列 解 析

  時 系 列 デ ー タ の 変 動 に つ い て,説

明 変 数 を 入 れ ず,そ

の 「時 間

的 推 移 を 表 わ す 傾 向 線 を 見 出 す 」扱 い 方 を採 用 す る こ と も あ り ます.   こ の 節 の デ ー タの 場 合 に つ い て は,次  

の よ う な 傾 向 線 が 計 算 され ます.

Y(T)=549.01D1

 

+1194.40D2

 

+1253.55D3

 

+756.54D4+8.7340T, 

  こ こ で,D1,D2,D3,D4は,そ

R2=93%

れ ぞ れ1∼3月,4∼6月,7∼9月,10∼12月

す る ダ ミー 変 数 です.図6.1.7は,こ   1983年 の7∼9月,10∼12月 れ を ど う説 明 す る か,あ

に対 応

の 傾 向 線 を書 き込 ん だ もの で す.

の 値 が 傾 向 と大 き く外 れ て い る こ とが わ か り ます.そ

る い は,さ

か の ぼ っ て,傾

向 線 を ど う説 明 す るか を考 え る た

め に は な ん ら か の 説 明 変 数 を入 れ る 方 向 で 分 析 をつ づ け る こ とが 必 要 で す.  ⑪

季 節 性 を説 明 す る 変 数 の 導 入

  こ れ ま で の 説 明 で は,「 季 節 性 を 四 半 期 区 分

に 対 応 す る差 」 とみ な し て い ま し た が,現 は な い」 と い う観 点 で は,な

象 は 「時 計 の 動 き に よ っ て 変 化 す る もの で

ん らか の 説 明 変 数 を導 入 す る方 向 へ 進 む べ き で す.た

え ば,「 季 節 差 す な わ ち気 温 の 差 」 と説 明 で き る よ うに,変 こ と も考 え ら れ ま す.   例 示 の 場 合 に は,

と

動 の 説 明変 数 を導 入 す る

  気 温 を 説 明 変 数 と す る 回 帰 式 を使 う こ とが 考 え られ ま す が,必

ず し も簡 単 で は あ り ませ ん.

  人 が 感 じ る 季 節 性 は,気

温 の 差 だ け で は な い.ビ ー ル を 飲 む の は ど ん な と きか を 考

え れ ば,「 気 温 だ け で 説 明 で き る は ず は な い 」と い う コ メ ン トが 出 る で し ょ う.   多 分 そ う で し ょ うが,ま

ずは

  「気 温 で ど の 程 度 説 明 で き るか を計 測 しよ う」 と い う進 め 方 を採 用 し ま し ょ う.   図6.1.8

は 気 温 の 季 節 変 動(実 線)で す.ビ

  こ れ で み る と,う

ー ル の 消 費 量(点 線)と 重 ね て あ り ます.

ま く説 明 で き そ う で す が,図6.1.9の

よ うに,横

軸 に 気 温,縦

軸

に ビー ル 出荷 量 を と って そ れ ら の 関 係 を プ ロ ッ ト し て み る と,両 者 の 関 係 が 「直 線 関 係 で な い 」 こ とが わ か りま す.   し た が っ て 直 線 を想 定 した 回帰 式 で は 十 分 な 説 明 力 は 得 られ な い と予 想 され ま す.   実 際 に 計 算 して み る と,次 の よ うに な っ て い ます.  

Y=420.7+42.650U,残

差 分 散=21065,決

図6.1.8 

図6.1.9 

定 係 数=80%

ビー ル 消 費 量 と気 温 の 季 節 変 動

ビー ル 消 費 量 と気 温 の 関係

  気 温 を 考 慮 せ ず に 「ビ ー ル 出荷 量 の 四半 期 別 平 均 」を 基 準 と した 決 定 係 数 が85%で した.「 せ っ か く気 温 を考 慮 に 入 れ て も,直 線 性 を仮 定 し た の で は 効 果 が な い 」 と い う こ とで す.   そ こ で,決

定 係 数 を改 善 す る ため に,

  「 非 直 線 の モ デ ル を考 え る 」 こ と が 考 え られ ま す.し

か し,同

じ15度

で も春 の15度

と秋 の15度

では ビー ル出荷

量 が ち が い ま す か ら,「 気 温 」の 数 値 に こ だ わ らず,「 春 夏 秋 冬 」に よ る ちが い と い う 説 明 で80%と

い う大 き い 値 に な る の で す か ら,そ れ で 十 分 だ と し て よ い で し ょ う.

個 人 差 が 関 与 す る問 題 に お い て は,こ   試 して み る とい う こ と な ら,た

れ 以 上 を期 待 す るの は 無 理 で し ょ う.

と え ば春 す な わ ち 気 温 上 昇 期 と,秋 す な わ ち 気 温低

下期 を区 別 す る ため に  

各 期 の 気 温 の ほ か に,前 期 と の 差 を 説 明 変 数 に 入 れ た ら ど うか

と い う案 も あ り え ま す.   ま た,基

礎 デ ー タ の 方 に も注 意 を向 け ま し ょ う.デ ー タ の 性 格 に よ っ て は,気

変 化 に 即 応 し て 出荷 量 が か わ る もの とは 限 らな い,予 し ょ うか ら,タ

温の

報 を参 考 に して 生 産 出荷 す る で

イ ム ラ グ を考 慮 せ よ … と,話 が 難 し くな り ます.

 ⑫  春 夏 秋 冬 とい っ た 大 きい 変 化 は 自明 だ,   「 今 年 の 夏 は 例 年 以 上 に 暑 い」 と い っ た こ とが 効 い て い る そ うい う 問 題 提 起 な ら,  

夏 の 消 費 の 年 次 系 列 を 夏 の 気 温 と対 照 す る形 で み た ら ど うか

これ も,有 力 な 提 案 で す.   こ の 案 を試 し て み ま し ょ う.   図6.1.8に

お け る4∼6月

の 部 分 に 注 目す る と,こ

の 扱 い で も気 温 の 効 果 と し て は

説 明 され な い よ うで す.   回帰式 は  

Y=-327.7+91.066U,決

と計 算 さ れ,ビ

定 係 数 は22%

ー ル 消 費 量 の 分 散 が14754だ

基 準 と して も11583と

っ た もの が,こ

  他 の 季 節 に つ い て も,同 様 に 計 算 し た結 果 を表6.1.10に   7∼9月

につ い て は,他

くな っ て い ま す.こ

の回帰 式 に よる計算値 を

わ ず か に か わ る だ け で す． 決 定 係 数 は22%で

の 年 次 と著 し くち が う1983年

す.

あ げ て お き ま し ょ う.

の値 の 影 響 で 残 差 分 散 が 大 き

れ ら の値 に何 か 特 有 の事 情 が 効 い て い る の で は な い で し ょ うか.

  1∼3月 に つ い て は,気

温 と ビ ー ル 消 費 の 関 係 が 負 に な っ て い ま す.

  要 約 す る と … 気 温 との 関 係 と し て 説 明 さ れ る の は,  

春 夏 秋 冬 に 対 応 す る大 きい 変 化 ま で

で し ょ う.そ れ 以 上 に 細 か く立 ち入 っ た説 明 は 難 し い よ うで す.  ⑬  季 節 性 と トレ ン ドを 分 離 す る

  関 心 は トレ ン ドの 方 だ,そ

  季 節 性 の 説 明 は 省 略 して 季 節 の 影 響 を 除 去 す る

れ な ら,

表6.1.10 

図6.1.11 

ビー ル 出荷 量 と気 温 の 関 係 を示 す 傾 向 線

ビ ー ル 出 荷 量(移 動 平 均 に よ る長 期 トレ ン ド)

こ と を 考 え ます.   た とえ ば,こ

れ ま で の 分 析 例 の よ う に 「同 じ季 節 の 値 を抜 き 出 して 比 較 す る」 こ と

に よ っ て 「季 節 に か か わ ら な い 見 方 」が で き ま す が,平

均 値 を計 算 す る た め に 過 去 数

年 の 情 報 を使 う形 に な っ て い ます.   新 しい 情 報 を使 っ て 最 近 の 変 化 を す ぐ に 探 知 す る(変 化 が あ れ ば そ れ を探 知 す る) とい う 目的 に対 応 す る に は  

１年 分 の 平 均 値 を使 え ば 春 夏 秋 冬 の 影 響 が 消 去 さ れ る

こ と を利 用 し ます.   こ の 平 均 値 は,毎

月 新 し い 月 の 情 報 を使 っ て 計 算 し な おせ ます か ら,変

化 を探知 す

る た め の指 標 に な りえ ます.   平 均 を と る範 囲 を ず らす こ とか ら,移 動 平 均 と よば れ て い ます.   こ の 場 合,１ 月 か ら12月(ま の 中 央 に対 応 させ る と,6.5月(ま か ら,次 の よ う に13か

た は 第 １四 半 期 か ら 第4四 た は 第2.5四

月 分(ま た は ５四 半 期 分)の デ ー タ を使 っ て,６ 月 の 情 報(ま

た は 第 ２四 半 期 の 情 報)だ と解 釈 で き る よ う に し ます.  

半 期)ま で の 平 均 値 を 期 間

半 期)の 情 報 だ とい う こ とに な り ます

1/12[X(I-6)/2+X(I-5)+…+X(I)+…+X(I+5)+X(I+6)/2]

  1/4[X(I-2)/2+X(I-1)+X(I)+X(I+1)+X(I+2)/2]   図6.1.11は,ビ

ー ル の 消 費 量 に つ い て,こ

の 移 動 平 均 を 適 用 し た結 果 を 図 示 し た

もの で す.   消 費 量 が 漸 増 し て い る傾 向 が よみ とれ ま す. 季 節 変 動 と 比 べ て 変 動 幅 は 小 さ い も の の,変

化 の パ タ ー ン は は っ き り して お り,

ビー ル の 消 費 量 を増 や す 要 因 が 存 在 して い る よ う です, ◇ 注   この移 動 平均 法 をべ ー スに して  

長期 トレ ン ド,１ 年 以 外 の周 期 を もつ 循 環 変動,季 節 変化

  な どを分 解 す る 「季 節変 動 調 整 法 」が提 唱 さ れて い ます.ま た,多

くの 経 済 統 計 につ い て

は,そ れ を適 用 した結 果 が公 表 され てい ます,

6.2  タ イ ム ラ グ  ①  例

題

  図6.2.1は,離

婚 率 の 推 移 を1947年

か ら1980年

までの期 間につ い

て み た も の です.   最 近(今 は1980年

と思 っ て くだ さ い)の 増 加 傾 向 は 今 後 もつ づ くで し ょ うか.

  こ の 問 い に 答 え る の が,こ   な お,離

の 節 の テ ー マ で す.

婚 率 の 分 母 は,結 婚 件 数 と して い ます.

  人 口の 今 後 を決 め る有 配偶 者 数 を 増 や す 要 因 と,減

らす 要 因 を 対 比 し よ う とい う趣

旨 で す.

図6.2.1 

離婚率の推移

図6.2.2 

結 婚 数 と離 婚 数

  ②  予

測

  Y=f(t)の

い う形 で の 予 想 は,一 せ ん.ま

形 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め て,そ

れ を先 に 延 ば す … そ う

般 に は あ た り ま せ ん .あ た っ て も 「変 化 の 説 明 」に つ な が りま

た,変 化 の 要 因 を 表 わ す 変 数X(t)を

て い る と い う こ とだ け で は 不 十 分 で す.因

探 り,Y(t)とX(t)と

が 同 じ形 で 動 い

果 関 係 が な くて も同 じ傾 向 を 示 す 場 合 が あ

る か ら で す. 「現 象 の 予 測 」に つ な ぐた め に は,  原 因 の 発 生 が あ っ て,あ

る期 間 た っ て 結 果 が 発 生 す る

そ うい う関 係 を もつ 変 数 対 を見 出 す こ と を考 え な け れ ば な ら な い の で す.  ③

例 題 で は,結

婚 ⇒ 離 婚,と

い う順 に 発 生 し ます.統

計的 な対 応 関係 をみ よ う

と い う こ と で す か ら,因 果 関 係 と い う コ トバ を厳 密 に 考 え る必 要 は あ り ませ ん.こ ら の イベ ン トの 発 生 に 関 して,Ｘ

が 増 え た ／減 っ た,数

れ

年 し て Ｙ が 増 え た ／減 っ た と

い う対 応 関 係 に 注 目す れ ば よ い の で す.   結 婚 ⇒ 出産 ⇒ 結 婚 適 齢 期 の 人 口 ⇒ 結 婚,と を と も な う変 化 で す が,そ

い う序 列 も考 え ら れ ま す.長

れ ゆ え に 長 い 先 の 予 想 に 役 立 つ わ け で す.だ

い間 隔

か ら,こ れ も

探 求 して み る と よ い で し ょ う.  ④

傾 向 性 の 把 握(定 性 的 予 測) 

図6.2.1で

形 に 表 わ して い ます か ら,結 婚 ⇒ 離 婚,あ

は,離

婚 数 と 結 婚 数 と を 「比 率 」の

る い は 結 婚 ⇒ 次 の 世 代 の 結 婚,の

関連性

を よみ とれ ませ ん.   図6.2.2の

よ うに 改 め て み ま し ょ う.こ の 図 な ら,提 起 した 見 方 が 可 能 と な り ます.

  結 婚 ⇒ 離 婚,の

関 連 に つ い て は,た

とえば

 

1955年

ご ろか ら の 結 婚 数 増 加 ⇒1965年

ご ろか らの 離 婚 数 の 増 加

 

1965年

ご ろ か らの 結 婚 数 増 加 ⇒1973年

ご ろか らの 離 婚 数 の 増 加

と対 応 して い ます か ら,  

1973年

が1980年

ご ろ か らの 結 婚 数 減 少

以 降 の 近 い 時 期 に,離 婚 数 の 減 少 に つ な が る と予 想 で き る で し ょ う.

  ま た,結

婚 件 数 に つ い て は,1947年

し て い る よ う で す.そ  

1955年

か ら数 年 間 の 減 少 が1973年

か らの 減 少 に 対 応

の こ とか ら,

ご ろ か ら の 結 婚 件 数 の 増 加 が,1980年

以 降 に結婚 件 数 の 増加 につ な

がる と予 想 で き る で し ょ う.1980年

か ら だ とは い え ませ ん が,1980年

以 降 の近 い時期 に

そ う な る だ ろ う と い う予 想 で す.   よ っ て,図6.2.3お

よ び 図6.2.4に

  も ち ろ ん 定 性 的 な 説 明 で す か ら,こ す も の で は あ り ませ ん.し

書 き込 ん だ 矢 印 の 方 向 が 予 想 さ れ ます. れ ら の 図 の 矢 印 の 長 さ は,変

た が っ て,図6.2.3の

化 の 大 き さを表 わ

矢 印 も右 下 方 向 と い う程 度 に 受 け

と って くだ さ い.  ⑤

計 量化 のた めの手 順

 形 式的 に いえば

  以 上 の 予 想 を 計 量 化 す る こ と を 考 え ま し ょ う.

図6.2.3 

離婚 率 の推 移 と予 想 され る

図6.2.4 

   

ａ.X(t-d)⇒Y(t)の ｂ.相   ｃ.こ

離 婚 数 と結 婚 数 の推 移 と予

想 され る変化

変化

相 関 関 係 を み る た め に 相 関 係 数 を 計 算 して み る.

関 が 高 い な ら,Y(t)をX(t-d)で

説 明 す る傾 向 線(回 帰)を 求 め る,

の 傾 向 線 で 表 わ さ れ る 関 係 が 今 後 もつ づ く と想 定 し て,X(t0)ま

(今 がt0)に 対 応 す るY(t0)以

での 値

降 の 値 を計 算 す る.

とい う手 順 を採 用 す るの で す.   時 系 列 デ ー タ の 場 合,何 係 数 と よ び ます.時

期 か の 時 点 を サ ン プ ル とみ て 計 算 した 相 関 係 数 を系 列 相 関

点 をず ら し て 対 応 づ け す る こ とが あ りえ ます か ら,次

の よ うに ラ

グ をつ け る場 合 を含 め た 定 義 に な り ます. 〓XI,YIは

い ず れ も標 準 化 され て い る もの とす る.

  こ の 定 義 で ２つ の 変 数 Ｘ,Ｙ が 同 じ も の の 場 合 を,自  ⑥  例 示 の 場 合

  X(=結

算 した 結 果 が 表6.2.5で   ラ グ の 幅,計

婚 件 数),Y(=離

己相 関 係 数 と よ び ま す.

婚 件 数)に つ い て 系 列 相 関 係 数 を 計

す.

算 に 用 い る範 囲 を か え て い く とお りか の 計 算 を し て い ま す.

  範 囲 は,1980年

ま で の デ ー タ を 使 う もの と し て 決 め て い ます.た

す み の0.36は,定

義 式 のnを1958年

か ら1977年

と したXnとYn+3の

  で き る だ け 新 し い期 間 に つ い て 計 算 し た値 をみ る た め に は,右 い くこ とに な り ます .こ

とえ ば表 の左 下 相 関 係 数 で す.

下 か ら斜 め 上 に み て

の例 の 場 合 そ れ らが 最 も高 い値 に な っ て い ます か ら,そ

囲 で選 択 し ま し ょ う.ラ グ の 長 さ が ８,９,10,11の あ た りが 有 力 な候 補 で す.相 は,0.95に

達 して い ま す.

の範

関係 数

表6.2.5 

表6.2.6 

結婚 件数 と １世 代 前 の 結 婚 件 数 との 系 列 相 関係 数

  結 婚 件 数 に つ い て は,図 し た.相

結 婚 件 数 と離 婚 件 数 との 系列 相 関 係 数

の よ う に 「１世 代 前 の 結 婚 件 数 」 と を 結 び つ け て 説 明 し ま

関 係 数 も,結 婚 件 数 の 時 系 列 デ ー タに つ い て タ イ ム ラ グ を考 慮 に 入 れ た 系 列

相 関 係 数 を計 算 して い ます.   そ れ が,表6.2.6で

す.

  長 い ラ グ を と る 関 係 で 計 算 対 象 期 の 選 択 が 限 ら れ ます が,期 24年 とす る こ と に よ っ て 相 関 係 数0.95が   こ れ ら の 候 補 に つ い て,回

間 幅 を23年

あ るいは

達 成 さ れ て い ま す.

帰 係 数 を 計 算 して 比 較 し,次 の 回 帰 式 を採 用 す る こ とに

し ま し た.  

「結 婚 ⇒ 離 婚 」の 関 係:Y(t)=-59953+0.18865X(t-9)

 

「結 婚 ⇒ 結 婚 」の 関 係:Y(t)=283375+0.31384X(t-23)

  「結 婚 ⇒ 結 婚 」に お い て,相

関 係 数 最 大 の と こ ろ を避 け た の は,対

象 期 間 に1947

年 を 含 め る と 異 常 な 結 果 とな る た め で す.   こ れ ら の 式 に よ る予 測 値 を書 き込 ん だ の が,次  ⑦  予 測 の 評 価 つ き予 測 で す.

の 図6.2.7,6.2.8で

す.

  予 測 は,「 過 去 の 傾 向 が そ の ま ま つ づ く とす れ ば 」 と い う条 件

図6.2.7 

注:回

図6.2.8 

離婚率の推移予 測

帰式 に よ る計 算 値 は,1980年

離 婚 数 と結 婚 数 の推 移 予 測

の 計 算値 と観 察 値 が 一 致 す る よ う に

調 整 して あ り ます

  した が っ て,過 去 の 傾 向 が か わ る と,予 測 ど お りに 動 か な い こ と が,当

然,あ

りえ

ます.   そ の 場 合 も,「 予 測 が あ た ら な か っ た か ら,予 測 は 無 意 味 だ 」 と い う こ と で は あ り ませ ん.   「状 態 が 変 化 した の で は な い か 」 と い う感 触 が あ っ た が ゆ え に 「予 測 した い 」 と い う 問 題 提 起 が な さ れ た の で し ょ う.   よ っ て,予

測 どお りに 動 か な か っ た 場 合,

  「過 去 の 傾 向 と ちが っ た 状 態 に な っ た 」と い う事 実 を確 認 で き た こ と に な り ます か ら,そ の 意 味 で,有

効 だ っ た と評 価 す べ き で す.

  た だ し,い ず れ に して も,  予 測値 と実 績 値 を 比 べ る フ ォ ロー ア ップ が 必 要 で す.   例 示 の 場 合,1980年

以 降 の 実 績 値 を 図 示 す る と次 の 図6.2.9,6.2.10の

よ うに

な っ て い ます.   こ れ らの 図 か ら,「 離婚 件 数 が 減 少 に 転 ず る時 期 が 予 想 よ り遅 れ た 」 こ と が よ み と れ ます が,新

し い 時 点 の デ ー タ に つ い て 系 列 相 関 を 計 算 す る(こ の 結 果 は 省 略)と,

「結 婚 件 数 が 予 想 よ り も減 っ た こ と」,ま た は 「ラ グ が 長 くな っ た こ と」が,そ

の もと

に あ る と判 定 さ れ ます.  ⑧

ま とめ

 「 傾 向 を見 出 す 」 と い う 意 味 で は 共 通 性 を も つ に し て も,適 用 す る

手 法 と し て 次 の 場 合 を は っ き り区 別 し ま し ょ う.ど の 場 合 も,変 化 に 影 響 す る 説 明 要

図6.2.9 

因 を取 り上 げ て,そ

図6.2.10 

離婚率の推移予測

れ との 関 係 を 求 め ます が,こ

に 例 示 す る よ う に,扱

離婚 数 と結 婚 数 の 推移 予 測

の 節 で 例 示 し た よ うに,ま

た,次 節

い 方 を 考 え るべ き点 が い くつ か あ り ま す.

 

観 察 値 の 範 囲 で,傾

 

観 察 値 の 範 囲 で 見 出 され た 傾 向 が そ の ま まつ づ く と仮 定 し て,予

向 性 と個 別 性 を見 出 す

 

条 件 との 変 化 を考 慮 に 入 れ て,予

測す る

測す る

6.3  変 化 の 説 明   ①  こ れ ま で の 節 で は,観

察 値 に も とづ い て定 め た 回 帰 係 数 を 手 が か りに して,現

象 の 説 明 を 展 開 して い ます.い

い か え る と,回 帰 分 析 を適 用 す る た め に 使 っ た観 察 値

の 範 囲(時 系 列 デ ー タ の 場 合 で い え ば 期 間)で 求 め た 情 報 が,そ

の 範 囲 で適 合 す る と

仮 定 して い る こ と を意 味 し ます.   一 般 に は 認 め て よ い仮 定 で し ょ うが,時 い 問 題 場 面 が あ り ます.た

と えば,状

系 列 デ ー タ を 扱 う場 合 に は,そ

態 が か わ っ た と い う前 提 の も とで,そ

ういいに く の 変化 を

表 現 す る モ デ ル を 組 み 立 て た い … そ うい う場 合 で す.   そ う い う場 合 の 典 型 的 な対 処 策 は  

あ る 時 点 ま で の 状 態 を記 述 す る傾 向 線 を 求 め,

 

そ れ が そ の 時 点 以 降 に も適 合 す る か ど うか を み る

と い う こ と で す が,モ

デ ル の 中 で 状 態 変 化 を 把 握 で き る よ うに す る … そ こ に 工 夫 を

要 す るの で す.  ②  一 例 と して,「 鉱 工 業 生 産 活 動 とエ ネ ル ギ ー 需 要 との 関 係 」が オ イ ル シ ョ ッ ク

を契 機 と す る 「省 エ ネ ル ギー に よ っ て ど うか わ っ た か 」を分 析 して み ま し ょ う.な 家 庭 の 電 化 製 品 に よ るエ ネ ル ギー 使 用 も相 当 量 に 達 し ます か ら,そ

お,

れ もあ わせ て み る

こ とが 必 要 で す.   した が って  

X=エ

ネ ル ギー 需 要

 U=鉱

工業 生産 指数

 V=最

終 消 費 支 出 ／世 帯 数

表6.3.1(ａ) 

エ ネ ル ギー 需 要

を使 う も の と し ます.   表6.3.1が   1965年

こ れ ら の デ ー タ で す.

か ら1983年

の 全 期 間 に つ い て 計 算 す る と,次

の 傾 向 線 が 求 め られ ます．  

Y=-5.631+0.14514U+0.7647V,

 

R2=90% 

(１)

  しか し,こ れ を使 う こ とは 不 適 当 です.傾 る に して も,オ

向 線 を求 め

イ ル シ ョ ッ ク前 と後 と は ち が うで し ょ

う.そ の ち が い を,計 測 し な け れ ば な ら な い の で す.  ③  前 の 章 で ダ ミー 変 数 を使 っ て 状 態 の 変 化 を含 む 形 で 傾 向 線 を誘 導 で き る こ と を 説 明 して あ りま す.ま れ を 適 用 し て み ま し ょ う.そ の 方 法 で は,結

ずそ

果 的 に は,

い くつ か の期 間 ご と に 別 の傾 向 線 を誘 導 す る こ とに な り ます．   た とえ ば  

Y=A1+BU+CV 

for  196∼71

 

Y=A2+BU+CV 

for  1971∼77（2a）

 

Y=A3+BU+CV 

for  1977∼83

の 形 を 想 定 して み ま し ょ う.

図6.3.1(ｂ) 

Ｘ:エ

ネ ル ギー 需 要

Ｕ:鉱

工業生産指数

Ｖ :最 終 消 費 支 出／世 帯 数

表6.3.1を

説 明 す る モ デ ル(１)

 ④  こ れ に 最 小 ２乗 法 を適 用 して,次  

の 結 果 が 得 られ ます.

(2)

Y=A+0.22512U+0.5686V

  こ れ に よ っ て,オ

イ ル シ ョ ッ ク前 と比 べ る と,年

あ た り23.75(1978∼83年

の平 均

で)の エ ネ ル ギ ー 需 要 減 を達 成 で きた こ とが わ か る よ う で す.   た だ し,定 数 項Ａ

の 変 化 で需 要 減 を み る こ とは 妥 当 で し ょ う か. 図6.3.2 

  ⑤  問 題 は,Ｙ 果 は,Ｕ

表6.3.1を

とＵ あ る い はＶ

説 明 す る モ デ ル(２)

と の 関 係 で す.し

た が っ て,省

エ ネ ル ギー の 効

の 係 数 の 変 化 と し て 計 測 され る と考 え る の が 自 然 な代 案 で す.

  こ の 代 案 を採 用 す る な ら,次 の 方 法 を と り ます.   ３つ の 期 間 に 対 応 す る モ デ ル を

(3a) の 形,す

な わ ち Ｕ の 係 数 が 期 間 ご とに 異 な る と 想 定 し ます.た

の 期 間 も 同 じ と想 定 し て い ます か ら,そ で き ませ ん.ま

た,1971年

お よ び1977年

だ し,Ｖ

の係 数 は ど

れ ぞれの期 間 につ いて別 々 に計算 す るこ とは で 傾 向 線 が 「ギ ャ ップ な し に 接 続 す る」 と

い う条 件 を み た す よ うに 定 め ま す.   そ の た め に は,次 くだ さ い.

の よ う な ダ ミー 変 数 を 使 い ます.図6.3.3と

そ の 説 明 を参 照 し て

こ こ で 取 り上 げ て い る例 で は  U0=32.9, 

U1=69.1,U2=84.5

こ れ に よ っ て,(3a)式

は 次 の １つ の 式 に 表 わ す こ と が で き ま す.

(3b)

Y=A+B1D1+B2D2+B3D3+CV   こ れ に 最 小 ２乗 法 を 適 用 し て    

Y=-6.560+０.226721)1+0.25004Ｄ2-0.16000D3+0.8913V, R2=97.8%

が 得 ら れ ま す.ダ

ミー 変 数 の 定 義 に し た が っ て 期 間 別 に わ け て か く と,こ

図6.3.3 

ダ ミー 変 数

Z=Uす Uを

な わ ち, その ま ま の 形

で 使 うか わ りに 図 の よ うに 区 切 り…

変 数D1,D2,D3を 定 義 す る と, Z=D1+D2+D3 と分 解 さ れ る.

D1,D2,D3に 適 当なウエイ ト をつ け る と 任 意 の折 れ 線 を 表 現 で き る.

れ は

図6.3.4 

表6.3.1を

説 明 す る モ デ ル(３)

(3) と な りま す.図6.3.4が

これ を 図 示 した もの で す.

  説 明 変 数 の う ち鉱 工 業 生 産 指 数Ｕ  

に よ る効 果 に つ い て は

B1=0.23,B2=0.25,B3=-0.16

と1978∼83年

の 期 間 に お い て 減 少 し て お り ます.

  こ こ で Ｂ が 負 に な っ た こ とは,鉱 る こ と を 意 味 し ま す が,こ

工 業 生産 指 数 が上 昇 すれ ば エ ネル ギー消 費が 減

の こ と に つ い て は 補 足 が 必 要 で し ょ う.省 エ ネ で Ｂ が 小

さ くな る に して も,負 に な る とい うの は ….   通 常 は 正 に な るべ き係 数 で す が,省 こ と に な りえ ま す.い

ス)が 重 な っ て 観 察 さ れ て い る た め,一 す.も

エ ネ ル ギー が 進 行 中 で あ る が ゆ え に,こ

時 的 に,負

う少 し期 間 を ひ ろ げ て観 察 す る と,正(し

値)に な る か も しれ ませ ん.問  ⑥  別 法 と し て,オ

うい う

いか え る と,生 産 の た め の 消 費(プ ラ ス)と 省 エ ネ効 果(マ イ ナ に な っ た とい う こ と も考 え ら れ ま

か し,オ

イ ル シ ョ ッ ク前 よ り小 さ い

題 と して 残 し て お き ま し ょ う.

イル シ ョ ッ ク前 の 状 態 を表 わ す 傾 向 線 を求 め て,そ の 傾 向 が そ

の ま ま つ づ い た と し た ら ど う な っ たか を 計 測 し,そ れ と,実 際 の 観 察 値 と比 べ る こ と が 考 え られ ます.   1965∼71年  

の デ ー タ に も とづ く傾 向 線 は

Y=7.756+0.4958U-0.4289V, 

と 計 算 され て い ま す.図6.35が   こ の 式 に よ る 計 算 を1972年 仮 定 し た 条 件 つ き 予 測 値)と,観   表6.3.6の

傾 向 値,予

R2=99% 

(４)

こ れ を図 示 し た も の です. 以 降 に 適 用 し て 得 た 予 測 値(条 件 が か わ ら な か っ た と 察 値 と予 測値 の 差 を,表6.3.6に

測 値 は,い

示 し て あ り ま す.

ず れ も上 記 の 回 帰 式 に よ る 計 算 値 で す が,回

の 誘 導 で そ の 基礎 に 使 っ た 期 間 と そ れ 以 外 の 期 間 で 意 味 が ち が い ま す か ら,欄

帰式 をわけ

図6.3.5 

表6.3.6 

て 示 し て い ます.残   こ れ か ら,状 で50だ

表6．3．1を

表6.3.1を

説 明 す る モ デ ル(４)

説 明 す る モ デ ル と予 測 値

差 と節 減 量 を わ け た の も,同

じ理 由 で す.

態 変 化(省 エ ネ ル ギ ー)に よ る減 少 が,1980∼83年

と計 測 さ れ ま す.予

 ⑦  以 上 の 計 算 で は1980年 な し ま した が,そ こ とが 必 要 で す.

測 さ れ た 需 要 の 約13%の

で200,１

年 あた り

節 減 に な っ て い ます.

以 降 に み ら れ る変 化 を 「省 エ ネ ル ギ ー に よ る節 減 」 とみ

の 解 釈 を確 認 す る に は,も

う少 し年 次 範 囲 を ひ ろ げ て 計 算 し て み る

章 末 の 問 題 に 含 め て あ り ます か ら,試

して み て くだ さ い.

6.4  レベ ル レー ト図  ①  こ の 章 で は,現

象 の 時 間 的 変 化 を表 現 し分 析 す る 問 題 を取 り上 げ て い ま す が,

この 節 で は,変 化 の 大 き さが 時 と と もに か わ る 現 象 の 一 般 的 な 見 方 を助 け る グ ラ フ に つ い て 説 明 し ます.   図6.4.1は

カ ラー テ レ ビ の 「普 及 率 」の 推 移 を 表 わ し ま す.ま

ラ ー テ レ ビ に つ い て,工

た,図6.4.2は,カ

場 に お け る 「各 月 末 在 庫 」の 推 移 を 表 わ し ま す.

  同 じ くカ ラー テ レ ビ に 関 す る 情 報 で あ っ て も着 目点 が ち が い ま す か ら,当 的 推 移 の 型 が ちが い ま す.そ

こ ま で は,は

っ き り して い ます.し

然,時

た が っ て,た

間

とえ ば

そ の 推 移 を表 わ す カ ー ブ を定 め る問 題 の 扱 い 方 に も ちが っ た 点 が 出 て くる と予 想 さ れ ま す が,本

当 に そ う で し ょ うか.

  こ れ ら を扱 う上 で の 共 通 な フ レー ム ワ ー ク は な い で し ょ う か.   も し共 通 面 が あ る もの とす れ ば,そ

こ に 注 目す る こ と に よ っ て,問

題 の 扱 い方 に対

す る 有 効 なガ イ ドが 得 ら れ る で し ょ う.   生 産 者 在 庫 ⇔ 出 荷 ⇔ 購 入 ⇔ 保 有 率,と,実 え られ ま す が,そ

態 に 関 係 づ け た 分 析 に 進 む こ と も考

れ は 次 節 以 降 と し,こ の 節 で は

時 系 列 デ ー タの 変 化 の 表 現 形 式 に 焦 点 を しぼ り ます.  ②  「推 移 の 型 が 直 線 で な い」 と い うこ と は,  値 が 大 きい と こ ろ で の 変 化 と値 が 小 さ い と こ ろ で の 変 化 とが 異 な る こ と を 意 味 し ます.   同 じこ とで す が,  

値 の レベ ル が 大 き く な って あ る 限 度 に 近 づ く と, 値 の 変 化 が 小 さ くな る

図6.4.1 

普及率の推移

図6.4.2 

各月末在庫の推移

と い う 言 い方 に して も よ い で し ょ う,   一 般 化 す る と,変 数X(t)の 値 に つ い て, "こ の レベ ル に な っ て い る"と い う観 点 で の 計 測 値(レ ベ ル値) と  

"レ ベ ル の 変 化 が 大 きい ・小 さ い"と い う観 点 で の 計 測 値(レ ー ト値)

の ２と お りの 計 測 値 を組 み 合 わ せ て 説 明 す る こ と を 意 味 し ます.   後 者 に つ い て は,変 化 量 で み る こ と も変 化 率 で 考 え る こ と もで き ます.ど

ち ら を使

うか は 問 題 ご と に考 え る も の と し,「 レー ト」 とい う言 葉 で 一 般 化 して お き ま し ょ う. 記号 で表現 す る と   変 化 量=X(t)-X(t-1)  

変 化 率=(X(t)-X(t-1))/X(t-1)

で す が,そ

れ ぞ れDX,RXと

略 記 す る こ とに し ま し ょ う.

◇ 注 １  レベ ル の計 測値 は 「時 点」に対 応 し,フ ロー の計 測 値 は 「 期 間」に 対 応 す る こ とに よ って 区別 され ます. ◇ 注 ２  これ らの表 現 に お け るDXは,Xに つ い て差 を とる演 算 記号 だ と考 えて くだ さ い.⊿Xと か く方 が 一般 的 で す が,変 化 率 を とる 演 算 記 号RXと あ わせ て使 うの で,D, Ｒ を使 う記 法 とし ま した. こ れ らの 演算 子 につ いて 時間 間 隔 を短 くと った 極 限 と して微 分 に お きか え るこ と も考 え られ ます.そ の 場合 には  

RX=DIogX

  に相 当 し ます.  ③

レ ベ ル と レー トを わ け る こ と は,例 示 の 問 題 に 限 らず,現

象 の実態 にか か わ る

説 明 をす る と き に有 効 で す.   普 及 率(レ ベ ル)ア ップ に 関 係 す る 要 因 と,そ の 普 及 率 の 変 化(レ ー ト)に 影 響 を も た らす 要 因 は,同

じ で は あ り ませ ん.し

た が っ て,推

移 を 説 明 す る に は,両

面 をわけ

て 考 え ね ば な りませ ん.   図6.4.1の

よ うに 上 限 が 存 在 す る と予 想 され る カー ブ に つ い て は,レ ベ ル が 上 昇

す る につ れ て,レ ー トが 減 少 す る で し ょ う.図6.4.2の つ い て は,レ し ょ う.し

よ うに 循 環 性 を示 す カ ー ブ に

ベ ル を あ る範 囲 に お さ め る 要 因 が 働 い て レー トを か え る こ と に な る で

た が っ て,

 

レベ ル と レー トと を わ け て み る と と も に,

 

レベ ル と レー トとの 間 に 存 在 す る相 互 関 係 を 考 慮 に 入 れ る

こ とが 必 要 で す.  ④

そ こ で,変 数X(t)の

推移 をX-T平

面 上 に プ ロ ッ トす る か わ り に,

レベ ル 値X(t)と  

レー ト値DX(t)ま

をか い て み ま し ょ う.

た はRX(t)の

関 係 を示 す 図

図6.4.3 

レ ベ ル レ ー ト図(図6.4.1に

対 応)

図6.4.4 

横軸が Ｘ,縦 軸がDX

レベ ル レー

ト図(図6.4.2に

対 応)

縦軸 が Ｘ,横 軸がDX

  カ ラー テ レ ビ の 普 及 率 が 上 昇 す る に つ れ て,多

くの 人 が 買 う よ う に な

  毎 年12月

り,普 及 率 の上 昇 が加 速 した.

に は 年 末 需 要 が あ り大 量

に 出荷 す る.

  し か し,普 及 率 が あ る限 度 を こ え

  そ の こ と を み こ して,春

る と上 昇 率 は低 下 傾 向 に か わ った.

を つづ け,在

夏 に生 産

庫 を増 や して い る.

  こ れ を 「レベ ル レー ト図 」 と よ び ま す.   レ ー ト値 と し てDXを

使 っ た 場 合 とRXを

レベ ル レー ト図(X,DX),レ   図6.4.3は,図6.4.1を

使 っ た 場 合 と を 区 別 し た い と き に は,

ベ ル レー ト図(X,RX)と

よぶ こ とに し ま し ょ う.

レ ベ ル レー ト図(X,DX)に

お き か え た もの で す.

  こ の グ ラ フ 上 で み た 推 移 曲 線 は,放 物 線 と想 定 し て よ い よ うで す.   こ れ に 対 し て,図6.4.4,す で は,推

な わ ち,図6.4.2に

移 曲 線 が 円 を え が き つ つ,上

対 応 す る レベ ル レー ト図(X,DX)

の 方 へ 位 置 を うつ し て い る よ うで す.

  ⑤   レベ ル レー ト図 上 の 点 の位 置 に 関 して,図6.4.5に 念 頭 に お け ば,図6.4.3お

よ び 図6.4.4上

示 す読 み方 が で きる こ とを

の 動 き に つ い て,そ

れ ぞ れ の 図 に 付 記 した

よ う な 説 明 を 導 く こ とが で き ま す.   また,こ

の よ うな 説 明 を一 般 化 す る ため に

 

レベ ル レ ー ト図 上 で の 推 移 と,

 

XTプ

図6.4.5 

レベ ル レー ト図 の 読 み 方

ロ ッ ト上 で の 推 移 曲 線 の 形

に 関 す る対 応 関 係 を表 わ す モ デ ル を 想定 で き ま す.   た と え ば レベ ル レ ー ト図(X,DX)上  

直 線DX=A+BXは,

 

XTプ

 

の

ロ ッ ト上 の 指 数 曲 線 に 対 応 し

て い る こ と,  

２次 曲 線DX=A+BX+CX2は 図6.4.1  の よ う な 成 長 曲 線 に 対 応 す る モ デ ル に な っ て い る こ と

を,次 節 以 降,説

明 し ま す.

 ⑥  こ の 節 で は,  レベ ル と レー トの 両 面 に わ け  か つ,両 面 を 関 連 づ け る とい う見 方 が 多 くの 現 象 を一 般 的 に 説 明 で き る グ ラ フ 表 示 で あ る こ と を示 す た め に, も う ひ とつ 例 示 して お き ま し ょ う.  ⑦  東 京 都 心 を 中 心 と す る 距 離 が10km以 km,50km以

遠,の

内,10∼20km,20∼30km,30∼40

距 離 帯 区 分 を想 定 し て,そ

れ ぞ れ の 距 離 帯 に お け る 人 口数 の 推

移 を レ ベ ル レ ー ト図 の 形 で 示 し た も の が 図6.4.6で

す.対

象 期 間 は,1950年

か ら

1980年 の ５年 間 隔 で す.   数 字 が 距 離 帯 区 分 を 表 わ し,線 は,そ の 変 化,1955年

か ら1960年

れ ぞ れ の 距 離 帯 で の1950年

の 間 の 変 化,…

  距 離 帯 ３お よ び ４ をみ る と,推 移 説 明 図(図6.4.5)の 移 し よ う と し て い ます.距 離 帯 １で は,状

離 帯 ２で は,状

か ら1955年

の間

を表 わ し ま す. 状 態 ａか ら ｂ を 経 て ｃに 遷

態 ｂか ら ｃに 遷 移 し て い ま す.ま

た,距

態 ｂ→ ｃ→ ｄ で す.

  した が っ て,  

一 般 に ａ→ ｂ→ ｃ→ ｄ とい う状 態 遷 移 を た ど っ て い る が,   都 心 に近 い 距 離 帯 ほ ど 先 行 し て い る

と説 明 で き ます.   な お,次

節 で,こ

れ ら の 推 移 を表 わ す傾 向 線 を 求 め ます.

  ど ん な現 象 も状 態 変 化 を 起 こ す の に 時 間 経 過 を と も な い ます が,そ が ひ ろ が っ て い く もの で す.し

の変化 の発生 地

た が っ て,

「時 間 的 推 移 」と 「そ の 推 移 の 地 域 的 拡 散 」と を 包 含 す る モ デ ル に よ って 説 明 す る こ と を考 え る こ とが 必 要 と な る で し ょ う.   しか し,そ こ ま で 進 め な くて も,こ の 図 で も十 分 に,事

図6.4.6 

態 を説 明 で き ま す.

東 京 集 辺 の 人 口推 移 の レベ ル レー ト図

6.5  レベ ル レー ト図 上 で の 直線  ①  前 節 で 例 示 した よ うに,レ の 形 を知 る こ とが で き ます.よ

ベ ル レー ト図上 で の 推 移 を み る と,実 っ て,レ

ベ ル レー ト図 で の 推 移 とXTプ

デー タX(T) ロ ッ ト上 で

の 推 移 の 関 係 を体 系 づ け て み て い き ま し ょ う.   こ の 節 で は,レ

ベ ル レー ト図 上 で の 直 線 を取 り上 げ ます.

  それ を  

DX=β(X-α) 

(１)

と表 わ し ま し ょ う.２ つ の パ ラ メー タの 意 味 に つ い て は 以 下 に 述 べ ます .  ②  こ の モ デ ル(１)式 に 対 応 す るX=〓(T)の れ ば 誘 導 で き ま す.次    ③

の よ うに な り ます(注

形 は,DXをdX/dTと １,２).

X=α+exp(β(T-T0))  これ は,図6.5.2の

が,XTプ

み て積 分 す

(２)

よ うな 指 数 曲 線 で す.β

ロ ッ トで は,X(T)の

は,レ ベ ル レー ト図 で の 傾 斜 で す

変 化 の 方 向 と速 度 を 表 わ す パ ラ メー タ に な っ て い

ま す.   αは,レ は,指

ベ ル レー ト図 で のDX=0に

対 応 す る レベ ル 値 で す が,XTプ

ロ ッ トで

数 曲 線 の 漸 近 線 に あ た り ま す.β ＞0の 場 合 に は こ の 漸 近 線 か ら 次 第 に 離 れ て

い く指 数 曲 線 に な り,β0す

の 変 域 と そ の 範 囲 で の 状 況 を ま とめ て お き ま し ょ う.

なわ ち初期 水準が 正 の場合

期 水 準 が マ イ ナ ス に な り ま す.負

場 合 と同 じ よ うに 説 明 で き ま す. よ る計 測 が で き ませ ん か ら,RY*を

な わ ち初 期 水 準 が 負 とみ ら れ るが,負

  こ の場 合 に は,Y=0に

た が っ て,Y=0以

解 釈 で き ます.い

降 の 動 き はY＜0の

い か え る と,Ｙ

Ｔ:あ

 

Y:０

る しきい値か ら ∞ まで か らL/2を

の レベ ル 値 は観 察 され な い 場 合 在 的 に は(３)式

達 す る ま で は そ の 動 きが 隠 さ れ て い 部 分 の 動 き とつ な が っ て い る … こ う

お よ び Ｔ の 変 域 を 次 の よ う に 制 約 して 適 用 す れ ば

よ い の で す.  

使 い ま し ょ う(注).

達 す る ま で は 現 実 に は 観 察 さ れ な い が,潜

で 表 わ され る メ カ ニ ズ ム が 働 い て お り,Y=0に る,し

の レ ベ ル値 を考 え る こ と

経 てK1ま

で

  DY:βK1K2か  

ら最 大 に な り０ に な る

RY＊:βK1か

ら漸 減 し０ に な る

◇ 注  この モ デ ルの 場合,変 化 率 はRY*=DY/(K2+Y)を   Y＜0と

使 うこ とに な ります.

な りう るた め分 母 が 正 とな る よ う原 点 をか え てK2+Yと

す る と い う理 由 の ほ

か に,こ の指 標 を使 う方 が モ デ ルの 性質 の 表 現 に即 して い る とい う理 由が あ ります.  ③

ま た,次

の よ うに モ デ ル の パ ラ メ ー タ を お きか え て み ま し ょ う.

 

K1-K2=L

 

βK1K2/L=α

す ると  DY=βY(L-Y)+αL  

RY=β(L-Y)+αL/Y

と か け ま す.   こ れ を 前 節 の 場 合 と比 べ る こ と に よ っ て,こ  

Y=0の

 

DY＞0,RY＞0の

 

Y=Lの

の モ デ ル に よ る動 き を

と こ ろで す で に"ス ター トダ ッ シ ュ"が か か っ て お り, 状 態 に な って い る

と こ ろ で もDY＞0,  RY＞0だ

か ら

飽 和 水 準 が モ デ ル で 想 定 さ れ る Ｌ を こ え るの だ と い う形 で,  

初 期 水 準０,飽

和水 準 Ｌの場 合 の拡張 に な って い る

もの と説 明 で き ま す. ◇ 注   現 実 の 問 題 で は,「 レ ベ ル 値 に 応 じ て レ ー トが 調 整 さ れ る が,そ

図7.2.2 

の 調 整 に 若 干 の タ イ ム ラ グが と も な

タ イ ム ラ グ を考 慮 に 入 れ た ロ ジス テ ィ ッ ク カー ブ

う 」 と み な さ れ る場 合 が あ る で し ょ う.   この 場 合 も含 む よ うに この モ デ ル を変 形 で き ま す が,こ

の テ キ ス トで は,ふ

DY=βY(1-Y)に

れ ま せ ん.た

お い て,(1-Y)の

グ を 入 れ る と,図7.2.2の

と え ば(１ ）式 項 に タイ ム ラ

よ う に 上 限値 に 振 動 し つ つ

漸 近 す る 形 に な り ま す.

7.3  成長 曲 線 の パ ラ メ ー タ推 定  ①

前 節 で 説 明 した 一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ を適 用 す る に は,モ

れ て い る パ ラ メー タ β,K1,K2を 場 合 も,K1=1,K2=0と た上,想

推 定 す る こ と が 必 要 で す.ロ

デル 式に含 ま

ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の

い う想 定 の 妥 当性 を検 討 す る た め に,K1,K2も

含 め て推 定 し

定 を受 け 入 れ る か 否 か を決 め る と よ い で し ょ う.

  ②   これ ら の 推 定 に は,こ

れ までの章 と同様 に 「 最 小２ 乗 法 」 を 適 用 す れ ば よ い …

そ う簡 単 に考 え られ な い 問 題 が あ り ます.

  成 長 曲 線Y=f(X)に

つ い て 最 小２ 乗 法 を適 用 し よ う と考 え る場 合,関

が 複 雑 な 形 を して い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.パ 母 数 の 入 り方 が 線 形 で は あ りま せ ん.最 ます.線

小2乗

数 型f(X)

ラ メ ー タ す な わ ち推 定 し よ う とす る

法 は,線

形 で あ る こ と を前 提 と して い

形 で な い 場 合 に 適 用 す る こ と もで き る の で す が(逐 次 近 似 法),そ

うす る こ と

は 必 ず し もベ ス トだ とは い え ませ ん.   以 下,順

を追 って,そ

の こ と を説 明 し ます.

 ③  ま ず 考 え る こ と は,(X,Y)平 め 」を す る こ との 必 然 性 で す.前 る と,放 物 線DY＝

面 で み たY=f(X)に 節 で 述 べ た よ う に,レ

β(K1-Y)(Y+K2)で

つ い て 「デ ー タ の あ て は ベ ル レ ー ト図(Y,DY)で

み

す.

  し た が っ て,レ ベ ル レー ト図 の 上 で 放 物 線 の あ て は め を 行 な っ て パ ラ メー タ β,K1, K2を 推 定 す れ ばY=f(X)を

え が く こ とが で き ます.

  こ こ で,「 あ て は め 」 と い う言 葉 と 「パ ラ メー タ の推 定 」 とい う語 を わ け て 考 え て い る こ とに 注 意 し て くだ さ い.   こ こ の例 で は,  

モ デ ル の 原 形 の 変 換Y=f(X)の

 

そ れ か ら誘 導 さ れ るDY=g(Y)に

形 で な く, 対 し て 最 小２ 乗 法 を適 用 す る

こ とに あ た り ます.   原 形 は 線 形 で な い が,そ

れ か ら誘 導 さ れ たDY=ｇ(Y)は

線 形 で す.だ

か ら,そ

れ

につ い て 最 小２ 乗 法 を適 用 す る とい う考 え 方 で す ◇ 注  経 済現 象 で は 「多 くの 式 か ら構 成 され る モデ ル」を扱 う こ とか ら,最 小２ 乗 法 の 適 用 に 関 して いろ い ろの 工 夫 が な され て い ます.そ の ひ とつ と して,モ デル の 原 形 で最 小２ 乗 法 を適 用 しに くいの で,そ の か わ りに,パ ラ メー タに関 して解 い た形 に 変 形 した 式(誘 導 型)に つ いて 最小２ 乗 法 を適 用 す るこ とが あ ります.  この扱 い を 「間接 最小２ 乗 法 」とよん でい ます.  ④  こ こ で 問 題 を提 起 し ま す.Y=f(X),DY=g(Y)の あ り,ど ち らが 誘 導 型 で し ょ うか.こ

どち らが モ デ ル の原 形 で

の 問 い か け は,問

題 を,「 成 長 曲 線 の あ て は め 」

だ と受 け と る か,「 成 長 曲 線 を特 徴 づ け る パ ラ メ ー タ 推 計 」だ と受 け と るか に よ り ま す.   結 果 と し て 成 長 曲 線 が 定 ま る に し て も,初 期 水 準,飽

和 水 準 を 表 わ すK1,K2と,

変 化 の 速 度 を表 わ す β を 計 測 す る こ と を ま ず 考 え る とい う意 味 で は,そ め ら れ るDY=g(Y)が  ⑤  呼 称 は,ど

原 形 で あ り,Y=f(X)が

れが直接求

誘 導 型 だ と い っ て よ い で し ょ う.

ち らで も よ し と し ま し ょ う.も っ と重 要 な 点 が あ りま す.

  レベ ル レー ト図 の 方 で 考 え る と  

パ ラ メ ー タK1,K2の

 

一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ と を識 別 で き る

ち が い と して,ロ

ジステ ィ ックカー ブ と

こ と を 指 摘 して お き ま し た.   ま た,レ ベ ル レー ト図 上 の 放 物 線 で２ 乗 の 項 を 落 とす こ と が で き れ ば(最 小２ 乗 法

を適 用 す る と きに １乗 の 項 ま で で 打 ち 切 っ て よ い な ら),  

DY=A+BY

の 形 に 対 応 す る成 長 曲 線(指 数 曲 線 な ど)を,特 ま す.い

別 の ケ ー ス と して 含 め る こ と が で き

い か え る と,初 期 水 準 と飽 和 水 準 の 両 方 が 想 定 さ れ る場 合(２ 乗 の 項 を 含 め

る),ど

ち らか 一 方 だ け と想 定 す る場 合(２ 乗 の 項 を 含 め な い)と して,分

析 過程 で識

別 で き る こ とに 注 意 しま し ょ う.   種 々 の 場 合 を そ の 特 別 の 場 合 と し て 包 含 で き る … そ う い う 意 義 を もつ た め に, DY=g(Y)に

つ い て最 小 ２乗 法 を適 用 す る の で す.

  次 節 で例 示 す る と と もに,そ

の ほ か に も利 点 が あ る こ と を 説 明 し ます.

  ◇ 注 １  ロジス テ ィ ッ クカー ブ の あ て はめ に 関 しては, の 形 に変 換 して扱 う方 法

被 説 明変 数 Ｙ を  が 採 用 さ れ て い ます.こ   こ の 変 換 をLogit変

れ に よ っ て,モ

デ ル を線 形 化 で き る か ら で す.

換 と よ ん で い ま し た.

ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ の 場 合 は,こ カ ー ブ の 場 合 のLogit変

とな り ます.K1,K2が

の 方 法 で,線

形 化 で き ま す が,一

般 化 ロ ジス テ ィッ ク

換は

未 知 の 場 合 は 非線 形 の ま ま です.し

た が って,線 形 化 で き る か ら

Logit変 換 を適 用 す る とい う根 拠づ け は で き ませ ん. ◇ 注 ２ モ デル が 非線 形 の場 合 で も次 の 手 順 を適 用 で き ます.  

K1K2の

 

最 小2乗 法 を適 用 す る,

値 を想 定 す る,

 

成長 曲 線 をえが い てK1,K2の

 

必要 な ら想定 をか え て再 計算 す る.

想定 が 適正 だ っ たか チ ェ ッ クす る,

  こ うい う計 算 手 順 を 「 逐 次 近 似 法 」とよ び ます.こ の 方 法 を適 用 し た結 果 を158ペ ー ジ の ⑪ に 示 してあ ります. ◇ 注 ３ Logit変 換 を採 用 す る と

の 形 で 説 明 変数X1,X2,…

を取 り入 れ る こ と が で き ま す.そ

う い う 意 味 で は,こ

の変換 は

重 要 で す.

7.4  ロジ ス テ ィ ック カー ブ の 適 用 例  ①  図7.1.1に 表7.4.1が   1968年

示 した カ ラ ー テ レ ビの 普 及 率 の 推 移 を 例 に 取 り上 げ ま し ょ う.

図 の 基 礎 デ ー タ で す.

ご ろ5%だ

っ た 普 及 率 が1977年

に は95%に

達 し ま し た.こ

ス テ ィ ッ クカ ー ブ と よ ば れ る曲 線 で 表 わ さ れ る も の と して,よ

の 推 移 は,ロ

ジ

く引 用 され て い ます.

 ②  こ の カー ブ を 表 わ す 式 を 求 め る方 法 が,こ

の節 の問題

表7.4.1 

カ ラー テ レ

ビ普及率

です.   想 定 さ れ る モ デ ル が 非 線 形 で あ る こ とか ら,前 節 で示 し た よ うに,レ

ベ ル レー ト図上 に うつ し て 扱 う 方 法 の 他 に も種 々

の 方 法 が 考 え ら れ ま す が,そ て,こ

こ で は,ま

ず,前

の こ と は後 で 補 足 す る も の と し

節 の 方 法 の 適 用 例 と して 取 り上 げ ま

す.   た だ し,計 算 例 と い う範 囲 を こ え た 問題 点 が あ り ます.そ うい う問 題 点 を含 め て 説 明 し て い き ます.   た とえ ば …   「推 移 曲 線 が １に 収 束 す る 」 と想 定 す る な ら,そ 件 を つ け て 扱 う こ とに な り ます が,そ

うい う条

う い う条 件 をつ け ず に

扱 うこ とに よって 「 収 束 値 が １だ 」 と い う想 定 の 当 否 を 調 べ る とい う扱 い も考 え ら れ ます.   基 礎 デ ー タ と して 「ど の 年 次 範 囲 の 数 字 を使 うか 」 と い う こ と も含 め て 考 え ま し ょ う.た

とえ ば,普

及率 の推 移 をみ る

と き に 「95%を こ え た 状 態 に 達 し た1978年

以 降 の 数 字 」 をつ

け 加 え る こ とは 必 要 で し ょ うか.   1978年 以 降 は98%と

か わ ら な い状 態 に な っ て い ま す か ら,

そ れ 以 降 の デ ー タ を使 う こ と は 不 要 で は な い か,そ

れ らを含

め る こ とは そ の 部 分 で の 適 合 度 に ひ きず られ て,成 長 過 程 の 肝 心 の 部 分 に つ い て の 適 合 度 を落 とす 結 果 に な るの で は な い か ….   こ う い う問 題 意 識 で す.  ③  ま ず,1968∼78年

間 の デ ー タ を 使 っ て 計 算 し て み ま し ょ う.

  前 節 で 説 明 した とお り,レ ベ ル レー ト図(Y,DY)上

で,２ 次 曲 線

D Y=β(L-Y)(Y+K)  を,L=1,K=0の

(1)

条 件 を つ け て あ て は め て み ま し ょ う.

す る と, L=1, 

K=0,β=0.6374,R2=89.8%

(USE  1968∼78年)

(2)

が 得 ら れ ます.   この 結 果 を 書 き 換 え て,推   次 の 図7.4.2が,そ   ４種 の 図 は,7.2節  

左 上:YT平

 

左 下:ロ

移 曲 線Y=f(t)を

え が く こ とが で き ます.

の 結 果 で す. の 図7.2.1と

配 置 をか え て

面上 で の推移 曲線 ジ ッ トカー ブ

 右 上:レ

ベ ル レー ト図(Y,  DY)

 右 下:レ ベ ル レー ト図(Y,RY)

と して い ま す.   ま ず左 上 の 推 移 曲 線 を み る と,ロ

ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ が よ く合 致 して い る こ とが わ

図7.4.2 

1968∼78年

の 推移(モ デ ル(２)式,上

限１,下

限０ と仮 定)

か ります.  Y

T平

面 上 で は よ くあ っ て い る よ う に み え ます が,レ

適 合 度 は,89.8%で か ら,も

す((２)式 に 示 し たR2はDY対Ｙ

ベ ル レー ト図(Y,DY)で

の

カ ー ブ に つ い て の 決 定 係 数)

う少 し考 え て み ま し ょ う.

 ４ と お りの 図 は,同

じ基 礎 デ ー タ,同

み る と よ く合 致 し て い る,い

じ モ デ ル を使 っ た もの で す か ら,「 ど の 図 で

な い 」 とい う言 い 方 は で き ませ ん.適

合 度 を検 討 す る と

い う 目 的 か ら い う と,「 一 致 して い な い こ とが は っ き りわ か る」 レ ベ ル レー ト図 が 有 効 だ と い え ます. 上 限Ｌ,下

限 Ｋ に 関 す る想 定 を お い て い る た め 観 察 値

とモ デ ル の 差 が 「レベ ル レー ト図 」を 使 う と は っ き り よ み とれ る   注:決 定 係 数 だけ で判 断 して はい け な い.   ④ L=1,K=0と

お い た の は,初

期 水 準０ か ら ス タ ー トし,飽 和 水 準１ に 漸 近 す

る も の と仮 定 した た め で す.   実 際 に そ う な る と は 限 り ませ ん か ら,こ の 仮 定 を 外 して み ま し ょ う.レ ベ ル レ ー ト 図(Y,DY)を ま す が,そ   K,Lに

使 っ た の は,初

期 水 準 や 飽 和 水 準 を 図 の 上 で よ め る と い う理 由 も あ り

の 図 の 上 で傾 向 線 を 求 め よ う と い う意 図 を もち こ ん だ の で す. 関 す る条 件 を つ け ず,放

物 線DY=A+BY+CY2を

式 の 形 に か き なお せ ば よ い の で す.  L=0.976,K=0.037,β=0.6851,R2=98.0%(USE1968∼78年)(３)

あ て は め て 結 果 を(１)

図7.4.3 

1968∼78年

の 推 移(モ デ ル(３)式,上

限 ・下 限 も推 定)

が 得 られ ます.   こ の 結 果 を 図 示 した もの が,図7.4.3で   決 定 係 数 が90%か

ら98%に

す.

増 加 し て い る こ とか ち,L=1,K=0の

とが 妥 当 だ っ た と確 認 で き ま す.レ

ベ ル レー ト図 を図7.4.2と

制 約 を外 し た こ 比 べ て,適

合 度の 改善

が確 認 で き ます.   ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ の 拡 張 型 を 採 用 せ よ と い う結 果 で す.   K=0.037と

い うこ とは,-0.037の

い る こ と(観 察 さ れ る の はY＞0の

初 期 水 準 か ら動 き は じめ た 形 の 推 移 に な っ て 部 分 だ け)を 意 味 し ま す.ま

た,L＜1で

す か ら,

飽 和 水 準 が１ よ りや や 小 さ い こ とを 意 味 し ま す.   条 件 を 外 し て 計 算 す る と,「 広 い 範 囲 で の ベ ス ト」を 求 め る こ と に な るか ら,当 然,決

定 係 数 は 改 善 さ れ る.

「改 善 度 」の 大 小 に よ って 「条 件 の 当 否 」が わ か る.  

注:決 定 係 数 の変 化 に 注 目す れ ば,こ の よ うな言 い方 が で き ます,た だ し ….

 ⑤  も っ と新 し い デ ー タ が あ り ます か ら,対 象 年 次 を1984年

ま で 増 や して 計 算 し

て み ま し ょ う.   デ ー タ 数 を増 や し て 精 度 を あ げ よ う とい う こ と もあ り ます が,そ   に,新

れ よ り も,

飽 和 水 準 が１ に 達 し な い と い う結 果 を確 認 す る た め しい 情 報 を 付 加 し て み よ う とい う趣 旨 で す か ら,L=1と

い う制 約 を外 し た 場 合 に つ い て 計 算 し ま し ょ う.  Ｋ,Ｌ の 制 約 を お か ず に 計 算 し た 場 合 に つ い て 比 較 す る と

お い た 場 合 と,そ

う

図7.4.4 

 L

=0

1968∼84年

の推 移(モ デ ル(４)式,上

限 ・下 限 も推 定)

.976,K=0.037,β=0.6851,R2=98.0%

(USE1968∼78年) (３)

だった ものが  L

=0

.984,K=0.045,β=0.6854,R2=98.2%

(USE1968∼84年) (４)

とか わ り ます(図7.4.4).  1978年

まで の デ ー タ で 求 め ら れ た 結 果 が 確 認 さ れ た とい っ て よ い で し ょ う.

  デ ー タ数 を11か

ら17に

増 や した の に,決 定 係 数 は ほ とん どか わ っ て い ませ ん.こ

の こ とか ら,デ ー タ数 を増 や す 必 要 は な い と い え そ う で す が,も た 後,こ

う少 し例 示 を 増 や し

の 節 の 終 わ りで 結 論 を 示 し ます.  デ ー タ数 を 増 や す と,決 定 係 数 は よ く な る.  そ う い う ケ ー ス が 多 い に して も,  い つ も そ う だ と は い え な い.  注:「 デ ー タ を増 や す と当然 改善 され るはず 」と思 い こん でい る人 は要 注 意.  同 じ条件 で く りか え して 観 察 した場 合 には そ うい え ます が,考 察 範 囲 を ひ ろ げて デー タ を数 を増 や した場 合 は そ うは い え ない の です.

  ⑥ L=1,K=0と

い う制 約 下 で 計 算 し た 場 合 に つ い て も,同 様 に 対 象 期 間 を ひ ろ

げ て み ま し ょ う.  L

=1 ,K=0,β=0.6374,R2=89.8% 

(USE1968∼78年) 

(１)

図7.4.5 

1968∼84年

の 推 移(モ

デ ル(５)式,上

限 １,下

限 ０ と 仮 定)

だ っ た もの が  L=1,K=0,β=0.4598,R2=74.3%  と な りま す.図7.4.5を

(USE1968∼84年) 

(５)

一 見 し て わ か る よ う に,適 合 度 が 大 幅 に低 下 して い ます.

「デ ー タ数 を増 や した の に か か わ らず,決

定 係 数 が 減 少 した 」…

 ⑤ の 場 合 に は,「 デ ー タ数 を増 や し て も ほ とん ど か わ ら な か っ た 」の に 対 し て,こ の 項 の 場 合 に は,「 デー タ を 増 や す と か え っ て 悪 くな る 」 と い う結 果 で す.こ か し い … とい い た く な るか も しれ ませ ん.し や し た部 分 が,「L=1,K=0と の で す.簡

か し,そ

れはお

うい う こ と は あ り え ます.増

い う仮 定 に 合 致 し な い もの だ っ た 」た め に そ う な っ た

単 に い え ば 「よ く な い デ ー タ を 増 や し た か ら,結

  デ ー タの 質 を 考 慮 に 入 れ ず に,数

果 が 悪 くな っ た 」の で す.

だ け を 増 や す … そ の 危 険 を は っ き り認 識 して お

き ま し ょ う.   よ くな い デ ー タ を 増 や す と,そ

の部 分 に ひか れ て決 定 係

数 が低 くな る.   デ ー タ の 数 だ け で な く,質  

を検 討 す る こ と.

注:こ こ でい うよい デー タ,よ くない デ ー タは,現 象 の傾 向 を説明 す るの に 有 効 か 否か で判 断 され ます.158ペ

ー ジの ま とめ を参 照.

正 し くい え ば,「 不 適 当 な 想 定 を お い た場 合,そ

の 不 適 当 さが,観

とに よ っ て は っ き りわ か る よ うに な っ た 」と い う こ と で す.  ⑦  対 象 年 次 を減 ら し て み ま し ょ う. 1968∼73年

の デ ー タ を使 う と

察値 を増や す こ

図7.4.6 

1968∼73年

の推 移(モ デ ル(６)式,上

  L=0.998,K=0.039,β=0.701,R2=96.5% 

限 ・下 限 も推 定)

(USE1968∼73年) (６)

が 得 られ ます.1968∼78年

の場合 の結 果 は

  L=0.976,K=0.037,β=0.685,R2=98.0% 

(USE1968∼78年) (３)

で した.こ

れ と比 べ て,デ

ー タ数 を減 ら した こ とに よ っ て 決 定 係 数 が や や 低 下 して い

ます が， Ｋ，Ｌ，β の 推 計 値 もか わ っ て い ま す.   こ れ は,「 デー タ 数 を 少 な くし た ため だ 」 とは い え な い の で す.   図7.4.6で

み る よ う に,「 成 長 曲 線 の 推 移 の ほ ぼ 半 ば 」ま で で デ ー タ を 打 ち 切 って

い る た め に 推 定 精 度 が 落 ち た の で す.   した が っ て,数

の 問 題 で は な く,成 長 曲 線 の 形 を み る た め に 重 要 な 部 分 の デ ー タが

欠 け て い る と い う,「 デ ー タ の 質 の 問 題 」です.   しか し,こ の 種 の 問 題 で は 「 推 移 曲 線 の 全 貌 が わ か っ て か ら考 え る」べ き こ とで は な く, 「 推 移 の 途 中 で,そ

の 後 の 推 移 を予 測 す る 」こ と を考 え る

こ と が要 求 され る もの で す.   し た が っ て, 「1973年 ま で の デ ー タ で も,ほ ぼ 同 じ飽 和 水 準 値 を 予 測 で き た 」 こ と を評 価 し ま し ょ う.

  あ るデ ー タ を 落 とす と,そ れ を含 め た 場 合 と比 べ て モ デ ル に 含 ま れ る係 数 の 推 定 値 が 大 き くか わ る こ とが あ る.   決 定 係 数 で は あ ま りか わ ら な くて も,そ 要 注 意.重

う い うデ ー タ は

要 な 意 味 を も っ て い る可 能 性 が あ る.

 ⑧  も う １年 分 減 ら して み ま し ょ う.1968∼72年

の デ ー タ で み るの で す.

この場 合 には  L

=0

(USE1968∼73年)(６)

.998,K=0.039,β=0.701,R2=96.5%

だ っ た もの が  L

=1

.377,K=0.089,β=0.534, 

と な り ま す.図7.4.7で

  ま ず,決

定 係 数 の 大 き さが,こ

て い ます が,そ は,決

R2=99.8% 

れ ま で の 計 算 の ど れ よ り も大 き い と い り結 果 に な っ

れ ゆ え に 「よ い 結 果 だ 」 と速 断 で き ませ ん.デ

定 係 数 の 推 定 値 が 極 端 に 大 き く,あ

  そ れ よ り も 問 題 な の は,飽 使 っ た 場 合0.998で た の で す.現

(USE  1968∼72年)(７)

す.

和 水 準 の 推 定 値1.377で

し た.1973の

す.1973年

まで の デ ー タ を

年 の デ ー タ を 加 え た こ と で,こ

れ だ け ちが って き

象 の 説 明 上 そ れ が １か,１ を こ え るか は 重 要 な 着 眼 点 です か ら,こ

ち ら を採 用 す る か は,決

の ど

定 係 数 の 大 き さ だ け で判 断 で き る こ とで は あ り ませ ん.

  「1973年 デ ー タ を 加 え た こ と に よ っ て 下 が っ た 」の は,加 1972年

ー タ数が 少 な い と きに

る い は 小 さ くな る こ と が あ りえ ま す.

え た1973年

のデータが

ま で の デ ー タ と な ん ら か の 意 味 で 異 な っ て い た ため だ と解 釈 で き ます.   「モ デ ル を 特 定 す る上 で キ イ に な る デ ー タ 」が あ る,ま た,「 そ れ を加 え て も効 果 の 少 な い デ ー タ」が あ る.   特 に,時

系 列 デ ー タの 分 析 で は こ の こ と を考 え て,対

象

期 間 を 決 め る.   変 化 が 発 生 し た こ と を把 握 す る た め に も,そ

うい うデ ー

タ を認 知 す る こ とが 必 要.   こ の 例 で は,  

1973年 の デ ー タ が,ロ

で す か ら,そ   そ う して,そ  

ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の 変 極 点 を過 ぎた とこ ろ の 情 報

うい うこ と が起 きた もの と考 え られ ま す. の 新 しい デ ー タ が

将 来 落 ちつ くで あ ろ う上 限 の 推 定 に 重 要 な 意義 を も っ て い る

と判 断 で き ます.   こ の よ うに,  

同 じ く １つ の デ ー タ で あ っ て も,情 報 と し て の 価 値 は均 等 で は な い

の です.  ⑨  1973年 の 情 報 は,飽

和 水 準 の 推 定 に 大 き く貢 献 す る こ と が わ か りま し た.

図7.4.7 

1968∼72年

  そ の 情 報 が 使 え な い1972年 べ き で す .ま

の 推 移(モ デ ル(７)式,上

の 段 階 で は,飽

限 ・下 限 も推 定)

和 水 準 を 推 定 す る こ とは 無 理 と判 断 す

た,「 飽 和 水 準 の 推 定 」の 良 否 を 判 断 す る に は,決

定 係 数 で は な く,

「デ ー タ の もつ 意 味 」 を考 え に 入 れ る こ と が 必 要 で す.  ⑩  こ こ で,こ

の 節 で 計 算 した 結 果 を ま とめ た 表 を示 し て お き ま し ょ う(表7.4.8).

  新 し い 年 次 の デ ー タ が 得 られ る に つ れ て,推

定 結 果,特

に飽和水 準 に関 す る推定値

が どの よ う に か わ る か を も う一 度 み て,「 デ ー タ 数 を増 や せ ば 増 や す ほ ど よ い 」 と い う わ け で は な い こ と を確 認 して くだ さ い.

  dirty

data

の cleaning

  Ｘ と Ｙ の 関 係 を把 握 す る た め に は,そ

の関 係 に影響 を もた らす他 の 条件 を一

定 に た も っ て 観 察 す る こ と を考 え ます.「 実 験 す る 」 と き の 基 本 的 な 考 え 方 で す. しか し,そ の よ うに 「条 件 を 制 御 して 観 察 す る」こ との で き な い 問 題 分 野 で は, 観 察 値 に,条

件 の ち が い が 混 同 さ れ る こ とに な り ます.

  そ う い う観 察 値 をdirtyな

デ ー タ とよ び ます.

  Ｘ,Ｙ の 関 係 を把 握 す る た め に は, dirtyな 状 態 を ク リー ニ ン グす る た め の 手 順 を 適 用 し な け れ ば な ら な い の で す.   そ の 手 順 を 経 ず に,ク

リー ン な デ ー タ を想 定 し て い る 手 法 を適 用 す る と,き れ

い に み え る結 果 が 得 ら れ た と し て も,条 件 の ち が い,す れ て し ま い,誤

読 に お ち い る の で す.

な わ ち,よ

ご れ が か くさ

表7.4.8 

 ⑪  補 注:Logit変

この 節 の結 果 の ま とめ

換 して 回 帰 分 析 を適 用

  一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ ク曲 線 を求 め る た め に,成 長 曲 線Y(T)を

次 のZ(T)に

図7.4.9 

逐次近似計 算

変 換 し,Z(T)に

関 し て 最 小 ２乗 法 を 適 用 す る 方 法 が 考 え ら れ ま す。

モ デ ル 

Z(T)=β(K1+K2)(T-T0)

  K1=1K2=0の 場 合 に 慣 用 さ れ る 方 法 で す が, 一 般化 ロジス テ ィッ クカー ブの場合 に は変換 式 の 中 にK1,K2を

含 ん で い る た め に,図7.4.9の

よ

う な逐 次 近 似 計 算 を適 用 す る こ とに な り ま す.同 じ計 算 を何 回 も く りか え して 実 行 し ま す か ら,コ ン ピ ュ ー タ を使 い ます.   1968∼75年 結 果 は,次

の デー タ に つ い て こ れ を 適 用 し た

の よ うに な りま す

 

Kl=0.95554,K2=0.02724,R2=99.9564%

 

(K1=0.957,K2=0.024,R2=99.9528%)

  括 弧 書 き は,レ ベ ル レー ト図 上 で 回 帰 分 析 を適 用 して 得 た 結 果 で す.Logit変 適 用 し た 場 合,こ   な お,決

定 係 数 は,(Z,T)平

ま す か ら,(Z,T)平

換 を

れ と ほ ぼ 一 致 し た 結 果 に な って い る こ と を確 認 で き ま す. 面 で み た 場 合 と レベ ル レー ト図 で み た 場 合 で ち が い

面 で み た値 に 換 算 し た 結 果 を示 して あ りま す.

◇ 注   レベ ル レー ト図 で 扱 う場 合 に は,成 長経 路 の中 央 部 で の値 を 重視 した 結 果 に な り, Logit変 換 して 扱 う場 合 には,成 長 経 路 の 端 の 方 の値 を重 視 した 結 果 に な ります.こ の こ とが,決 定 係 数 に影 響 し ます.  ⑫  成 長 曲 線 に つ い て Ｋ1=1,K2=0と タ を含 ま な い 形 に な り ます.し

想 定 す る と,Logit変

た が っ て,変

換 値Z(T)に

換 の 変 換 式 は パ ラ メー

対 して Ｔ 以 外 の 説 明 変 数

を含 む モ デ ル を扱 う こ とが 簡 単 に な り ま す.   付 表I.3に

示 す 「ホ ー ム エ ア コ ン の 普 及 率 」に つ い て,所

て 回帰 分 析 を適 用 して み ま し ょ う.次 の 結 果 が 得 ら れ ます.

得 階 層 区 分X(k)を

含め

図7.4.10 

ホ ー ム エ ア コ ン普 及 率 推 移

図7.4.11 

の所得階層別比較(１)

図7.4.

値の推移

12  ホー ム エ ア コ ン普 及 率 推 移

図7.4.13 

の所得階層別比較(２)

 

ホ ー ム エ ア コ ン普 及 率 観 察

Logit変

換 した値 を図

示 した場合

Z=-5.3867+0.8774T+0.3551X,R2=93.2%

  図7.4.10は,こ す が,1979年

の 結 果 をXT平

面 に うつ し て,実

績 値 と推 計 値 を比 較 した も の で

の 値 が 傾 向 線 か ら外 れ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.

  こ の デ ー タ の よ うに,長

い期 間 を カバ ー す る デ ー タの 場 合 に は,必

ず,デ

ー タの定

義 を確 認 す る こ と が 必 要 で す.   報 告 書 をみ る と,「 ホ ー ム エ ア コ ン」の 定 義 を か え て い る こ とが わ か り ます.   観 察 値 の 動 き を プ ロ ッ ト し た 図7.4.11

に よ っ て も,1974

ギ ャ ッ プ が 認 め ら れ ます.   1974年

ま で の デ ー タ を 使 う と次 の 結 果 が 得 ら れ ま す.

年 と1979年

の 間 に

  Z=-6.5766+1.3244T+0.3990X,R2=97.2%   図7.4.12

で は,こ

の 傾 向 線 が1975年

以 降 もつ づ く と し た と き の 動 き を 図 示 し て い

ま す.   計 算 に 使 っ た1974年 して,傾

ま で は よ く合 致 して お り,1979年

以 降 は,定

義 の 変 更 を反 映

向 線 と外 れ た 動 き を示 し て い ま す.

  定 義 変 更 が あ っ た の で,基

礎 デ ー タは ４年 分 しか な い,こ

れ だけ では デー タ数が 少

な い の で 時 間 的 推 移 を推 定 で き な い … 一 般 に は そ うで す が,こ 別 に わ け,ど

こ で は,「 所 得 階 層

の 階 層 も平 行 に 動 く」 とい うモ デ ル を想 定 して い る た め に,４ 年 分 で も,

十 分 な 精 度 を もつ 結 果 が 得 られ た の で す.   ４年×5区 分 あ わ せ て20の

デ ー タ を使 え る よ う に な っ た た め だ と み れ ば よ い の で

す.

7.5  モ デ ル選 定 の 考 え方  ①  "成 長 曲 線"を 求 め る 問 題 は,7.4節 う.一 連 の モ デ ル に つ い て,そ た と思 い ま す が,こ

ま で の 範 囲 で 考 え れ ば,ま

ず 十分 で し ょ

れ ぞ れ の 位 置づ け を一 貫 して 説 明 で き る こ とが わ か っ

の 節 で は,こ

れ ま で の 展 開 の ま とめ を 兼 ね て,モ

デル の選定 あ る

い は パ ラ メ ー タ推 定 に 関 す る 考 え 方 を一 般 化 し て 述 べ て お き ま し ょ う.  ②  モ デ ル 想 定 の 基 本 的 な考 え 方

  モ デ ル の 表 現 式 は 非 線 形 で す が,モ

デ ルの表

現 式 に 含 ま れ る パ ラ メー タ は "現 象 の あ る 面 を 記 述 す る も の" に な っ て い ます.   ま た,そ

れ ら は,

レベ ル レー ト図 上 で の 直 線 あ る い は放 物 線 の 位 置 と対 応 づ け る こ とが で き ます か ら,デ

ー タ をプ ロ ッ トす る こ と に よ っ て,パ

ラ メー タの値 につ いて

お よ そ の 見 当 をつ け る こ とが で き ます.   こ うい う体 系 化 が  

現 象 の 動 き を"XT平

 

そ う な る こ と を 説 明 した い

面 で み る と非 線 形 だ"

 

そ の 説 明 に 対 応 す るパ ラ メ ー タ(複 数)を 導 入 す る

 

そ の パ ラ メー タ の位 置 を 図 上 で よめ る 形 に プ ロ ッ トす る

とい う考 え方 に よ っ て な さ れ た こ とが 重 要 で す. 「 被 説 明 変 数 の 動 き を み る」こ とか ら,「 現 象 の 動 き を 説 明 す る」 こ と に 一 歩 ふ み こ む … そ れ を 自然 な 形 で 進 め る こ とが で き ます.  ③  線 形 モ デ ル と い う ニ と

  回 帰 分 析 の 数 理 は,線

適 用 で き な い と教 え て い ま す が,線

形 と い う こ と は,現

形 モ デ ル で な い と(厳 密 に は) 象 を 記 述 す る 関 数 式f(t)で

は な く,関 数 式 に 含 ま れ るパ ラ メー タ(そ の 値 を推 定 す る こ と に な る)と の 関 係 が 線

形 だ と い う こ とで す.   した が っ て,ロ

ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(拡 張 形 を 含 む)に つ い て は,レ

で み る こ とに よ っ て,パ

 ④  ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ に 関 し て は,被 線 形 化 す る方 法 が 慣 用 さ れ て い ま す が,こ ま で 論 を 進 め よ う と し た場 合 に は,変 ため に,線

ベ ル レー ト図

ラ メ ー タ に 関 し て は 線 形 化 され て い る の で す. 説 明 変 数 をLogit変

の 方 法 で は,ロ

換 す る こ とに よ っ て

ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ 拡 張 型

換 ル ー ル の 中 に パ ラ メ ー タ Ｋ,Ｌ を 含 ん で い る

形 化 され な い こ とに な りま す.

  した が っ て,線

形 化 す る別 の 方 法(レ ベ ル レ ー ト図 を 使 う方 法)が あ っ て,そ

自然 な 拡 張 方 向 に な っ て い る な ら,そ

れが

れ を採 用 す べ きで す.

  た だ し,２ つ 以 上 の 説 明 変 数 を含 む 場 合 へ の 対 処 が 簡 明 だ とい う利 点 が あ り ま す か ら(158ペ

ー ジ の 補 注),Logit変

換 に よ る 方 法 も,選 択 肢 の ひ と つ と して お き ま し ょ

う.  ⑤  モ デ ル の 良 否 の 評 価 め に,デ

  モ デ ル選 定 ま た は パ ラ メー タ推 定 の 良 否 を判 定 す る た

ー タ との 適 合 度 を測 る こ とが 必 要 で す が,デ

ー タ と して 観 察 さ れ た 範 囲 外 の

こ と まで 言 及 しよ う とす るに は(そ れ が 成 長 曲 線 を求 め る 問 題 の ポ イ ン トで す), "モ デ ル の 意 味 を考 え る こ と" が 必 要 で す.そ

の た め に は,デ

ー タ(Y,T)をYT平

面 に プ ロ ッ トして傾 向 線 を あ

て は め る とい う機 械 的 な 扱 い で な く, "種 々 の モ デ ル の ち が い を 図 の 上 で 識 別 し

,説 明 で き る レベ ル レ ー ト図"

を使 い ま し ょ う.   レベ ル レー ト図 を使 う と,そ の 図 の 上 で,パ す.ま

た,新

  ⑥  も うひ とつ,重

要 な 注 意 をつ け 加 え て お き ま し ょ う.

  回 帰 分 析 を 使 う と,計 す.し

ラ メー タ の 予 測 値 をみ る こ とが で き ま

し い観 察 値 が 加 わ っ た 場 合 の 予 測 値 の 変 化 を み る こ と もで き ます.

算 され た関 係 式 につ い て推 定 誤差 を見 積 も るこ とが で き ま

か し,

 

分 散 を最 小 化 す る と い う基 準 だ け で決 め て し ま う の は,き

わめ て危険

で す.   特 に 時 系 列 デ ー タの 場 合,デ な わ ち,大 意 は,重

ー タ ひ とつ ひ とつ が ちが っ た 時 点 に 対 応 して い る,す

な り小 な り,事 態 の 変 化 に と も な う異 質 性 を も っ て い る こ とか ら,こ

の注

要 で す.

 ⑦  あ る前 提 下 で の 最 適

  条 件 つ き最 適 性 で す か ら,前 提 が か わ っ た ら最 適 とは

い え な く な り ます.   成 長 経 路 を 求 め る 問 題 で は,成

長 曲 線 が 限 界 に 近 づ い た 場 合,関

係 す る要 因 に 対 し

そ れ をか え よ う とす る動 き が 発 生 す るで し ょ う.予 測 は,す べ て "そ れ ま で の 条 件 が か わ ら な い もの とす れ ば" ,と い う条 件 つ き予 測 で す.ま

た,

 

デ ー タ と の 適 合 度 も,条 件 が か わ ら な い と み られ る範 囲 で,

  それ を測 って いる の で す.   状 態 変 化 が 想 定 さ れ る場 合,た

と え ば 対 象 期 間 を 区 切 っ て,そ

モ デ ル ま た は パ ラ メー タ を か え る こ と を考 え ます.問

れ ぞれの期 間 ご とに

題 に 関 連 す る情 報 を,こ

うい う

形 で … 回 帰 分 析 の 計 算 へ の 入 力 と して で な く,モ デ ル の 適 合 範 囲 を考 え,範

囲 を区

切 る判 断 の ため に 使 うこ と が 必 要 と な るの で す.  ⑧   デ ー タ に も とづ く推 測 で デ ー タ との 適 合 度 に 注 目 す るの は 当 然 で す が,"適

合

度 を分 散 で 計 測 す る"こ とは 必 ず し も適 当 で は な い の で す.   基 本 は,"モ

デ ル との 適 合 度"で す.そ

れ を み る た め に は,あ

る １つ の 指 標 で 測 る

よ り も,  

種 々 の モ デ ル を 図 の 上 で 識 別 で き る"レ ベ ル レ ー ト図"を 使 う と有 効

で あ る … こ れ が,重

要 な結 論 で す.

 ⑨  統 計 手 法 の 適 用 に つ い て,基 本 的 な考 え方 を ま とめ て お き ま し ょ う.

  統 計手法 の適 用 情報 に潜 在す る意 味 を くみ とるこ と   統 計 手 法 は,観

察 値 の もつ 情 報 を,現 象 に 関 す る推 論 に 利 用 す る 方 法 だ と了 解 で き

ます.   し た が っ て,情 う し て,そ

報 の もつ 意 味 を失 う こ と な く,忠 実 に 要 約 す る こ と を考 え ます.そ

の た め に は,量

的 指 標 に よ る 要 約 よ り も,図 的 表 現 に よ る要 約 の 方 が 有 効

な 場 合 が 多 い で し ょ う.こ の た め に,種 で す.そ

々 の モ デ ル を識 別 で き る 図 的 表 現 を考 え る の

れ に よ っ て,観 察 値 の側 か ら示 唆 され る モ デ ル を しぼ っ て い くの で す.

  手 法 の 数 理 が 想 定 す る モ デ ル を もち だ す の は,そ な ま ま数 理 的 手 法 を先 行 させ,機

の 後 で す.デ

械 的 に そ れ を適 用 す る と,ミ

ー タの観 察が不 十分 ス リー デ ィ ン グ す る可

能 性 が あ りま す.   デ ー タ との 適 合 度 に 注 目 す る こ と は 当 然 必 要 で す が,そ

れ を,分 散 や 決 定 係 数 だ け

で み て い る と,実 態 を 見 誤 る お そ れ が あ りま す.ま

象 とす る 期 間 の と りか た を

十 分 に 考 え な い と,"形

た,対

の 上 で 合 致 して い て も,事 態 を 説 明 で き な い"結 果 に な っ て

し ま い ま す.   この 章 で 取 り上 げ た"成 長 曲 線 の 推 計"は,こ

う い う注 意 の 必 要 な 典 型 的 な 問 題 分

野 で す.   デ ー タ主 導 型 で 問 題 を 考 え て い く,こ れ が,探 ま した)の 基 本 理 念 で す が,そ 理 解 し ま し ょ う.

索 的 デ ー タ解 析(５ ペ ー ジ で 説 明 し

の 立 場 で 問 題 を 扱 う と,こ

うい う 筋 書 き に な る こ と を

問題 7

間 １ プ ロ グ ラ ムLOGISTHを

呼 び 出 して,ロ

ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の 位 置 づ け な ど に

関 す る説 明 を よ め. 問 ２ レベ ル レー ト図(Y,DY)上 成 長 曲 線 が142ペ

で の推 移 が143ペ

ー ジ の(５)式 で 表 わ さ れ る 場 合 の

ー ジ の(１)式 で 表 わ さ れ る こ と を示 せ.

問 ３ レベ ル レー ト図(Y,DY)上

で の推 移 が145ペ

ー ジ の(１)式 で 表 わ さ れ る 場 合 の

成 長 曲 線 が 同 じペ ー ジ の(２)式 で 表 わ され る こ と を示 せ. 問 ４ (１) レベ ル レー ト図(Y,DY)上

で の 推 移 が 図7.A.1の

よ うな直 線 で表 わ され

る場 合 の 成 長 曲 線 が 「 指 数 型 漸 近 モ デ ル 」に あ た る こ と を 示 せ.  (２) レベ ル レー ト図(Y,DlogY)上

で の 推 移 が 図7.A.2の

よ うな直 線 で 表 わ

され る場 合 の 成 長 曲 線 が 「ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ 」に あ た る こ と を 示 せ.  (３) レベ ル レ ー ト図(logY,DlogY)上

で の 推 移 が 図7.A.3の

よ うな 直 線 で

表 わ され る場 合 の 成 長 曲 線 が 次 の 式 で 表 わ さ れ る こ と を示 せ.    

Y=Lexp[-exp{-β(T-T0)}] こ れ は,ゴ

ンペ ル ツ カー ブ と よば れ る もの で あ る.

図7.A.1

図7.A.2

問 ５ 本 文7.4節 1966年 7.4.8の

の 分 析 例 で は 付 表I.1中

図7.A.3

の1968年

以 降 の デ ー タ を 使 っ て い た が,

以 降 の デ ー タ を 使 う と結 果 が ど う か わ る か.結 形 に 示 せ.プ

ロ グ ラ ムLOGISTICと

果 は158ペ

デ ー タ フ ァ イ ルDT20aを

ー ジの表 使 うこ

と. 問 ６  付 表I･1(DT20)は,種

々の 耐 久消 費 財 につ いて 普 及率 の推 移 をみ た もの で あ

る.こ れ を,レ ベ ル レー ト図(Y,DY)に

プ ロ ッ ト して,ど

ん な成長 曲線 で表 わ

お い て,変 数 Ｙ の 変 化DYを

計 算 し,Ｙ を 横 軸,

され るか を 調 べ よ.  

注:プ ロ グ ラムXTPLOTに

D Yを 縦 軸 に とって 図示 す る と,レ ベ ル レー ト図 に な る. 問 ７ (１) 付 表I.1の う ち ホ ー ム エ ア コ ン に つ い て,ロ 一 般 形 の 範 囲 で)を あ て は め て み よ .  (２) 表 に 示 す 年 次 の 全 部 を使 う の で な く,1980年

ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(7.4節

の

ま で の デ ー タ を使 っ て 計 算 す

る と結 果 は ど うか わ る か.  (３) 1970年

か ら1980年

ま で の デ ー タ を使 う と ど うか わ るか.

問 ８ (１) 付 表I.2(DT23)は,ル

ー ム クー ラー の 普 及 率 の 推 移 を 県 別 に 示 し て い る.

各 県 で の 推 移 の 型 の ち が い を レベ ル レ ー ト図 を使 っ て 調 べ よ.い

くつ か の 代 表

的 な 県 を 選 ん で 調 べ れ ば よ い.  (２) ま た,ロ

ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ を あ て は め て,調

べ よ.(１)と 同 じ 県 を 対 象

とす る こ と. 問 ９  (１) 付 表I.3(DT22)は,ホ

ー ム エ ア コ ン の 普 及 率 の 推 移 を所 得 階 層(五 分 位 階

級)別 に わ け て み た も の で あ る.こ

れ を レベ ル レ ー ト図 上 に プ ロ ッ トし て,そ

れ ぞ れ の 所 得 階 層 で の 推 移 が,同

じ推 移 曲 線 に 沿 っ て 動 く(時 間 お くれ を も つ

に して も 同 じ 曲 線 上 を動 く)か,異

な る推 移 曲 線 を動 くか を 識 別 せ よ.

 こ の 場 合,そ

れ ぞ れ の 所 得 階 層 区 分 に 属 す る世 帯 が,５ 年 後 に は 別 の 階 層 区

分 に うつ っ て い る 可 能 性 が あ る が,そ

の こ と は 無 視 して 扱 う こ と とす る.

 (２) 同 一 年 次 の 階 層 区 分 別 の 数 字 に ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ を あ て は め て,階

層

区 分 に よ る ち が い を調 べ よ.  この 場 合 の ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ は,「 所 得 が 上 昇 す る こ とに よ る普 及 率 の 変 化 」だ と解 釈 して よ い だ ろ う. 問 １0 各 所 得 階 層 に お け る ルー ム クー ラー 普 及 率 をLogit変 し た もの を Ｚ と表 わ し,こ れ に つ い て,モ

換(K=0,L=1と

デ ルZ(T)=A+BTを

仮 定) 各階 層 ご と

に 求 め て 普 及 率 推 移 の 階 層 に よ る ち が い を分 析 せ よ.  注:Y(T)をZ(T)=log(Y/(1-Y))と

変 換 した 結果 もDT22に

収 録 され て い る.

 シ ステ ムダ イナ ミ ックス   社 会 現 象 や 自 然 現 象 の 動 き を表 わ す モ デ ル と し て,シ

ス テ ム ダ イ ミッ ク ス と よ

ば れ る タ イ プ の も の が あ る.   この モデ ル で は,事

象 の 関 係 を,ス

トッ ク とフ ロ ー と して と ら え,ス

トッ クの

推 移 を表 わ す 「レベ ル 変 数 」,そ れ に 変 化 を も た ら す 「フ ロ ー 変 数 」,フ ロ ー の 量 を コ ン トロー ル す る 係 数(レ ー ト)の 関 係 を 表 わ す 一 群 の 式 に よ っ て,シ

ス テム

の 動 き を表 現 し,レ ベ ル や レ ー トの 変 化 に 応 じ る シ ス テ ム の 変 化 を分 析 し よ う と す る もの で あ る.さ

ら に,事

象 の 発 生 に 関 す る タ イ ム ラ グや,し

きい値 な どを考

慮に 入 れ る の が 普 通 で あ る.   この 章 で 取 り上 げ た 成 長 曲 線 の モ デ ル で も こ れ らの 概 念 を 使 っ て モ デ リ ン グ し て い る が,シ

ス テ ム ダ イ ミッ クス で は,自

然 現 象 ・社 会 現 象 を た と え ば 地 球 規 模

で と ら え,数 百 に 達 す る 関 係 式 を含 む 大 き な モ デ ル を扱 う場 面 で 採 用 さ れ る.   広 範 な現 象 を 扱 お う とす る と,基 礎 変 数 に 関 し て 観 察 値 が 得 られ て い な い もの も取 り上 げ る こ とが 必 要 と な る.観 察 値 が 得 られ て い な い とい う理 由 で 範 囲 を し ぼ る よ り も,観 察 値 に 関 して フ レ ク シ ブ ル に 考 え,た

と え ば 「類 似 デ ー タ に 基 づ

く想 定 」,「関 連 す る とみ られ る現 象 の 動 き を参 考 に し た 想 定 」,「技 術 的 な 視 点 に も とづ く判 断 」,「こ れ 以 上 あ るい は これ 以 下 に は な ら な い と い う判 断 」な ど を 取 り入 れ る こ と に よ っ て,考

察 範 囲 の 広 さ を確 保 す る こ と を重 視 す る.

  この こ とに 関 連 して,い

くつ か の 手 段 の効 果 を対 比 した り,因 果 序 列 を 把 握 す

る と い っ た使 い 方 をす る こ とが 多 い,計

量 的 な 予 測 を下 す に して も,「 こ う い う

前 提 を お け ば こ う な る」 とい っ た 条 件 つ き予 測 を複 数 提 示 す る.   『成 長 の 限 界 』で 使 わ れ た こ とは よ く知 られ て い る.

８ ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処

  こ の章 で は,① ア ウ トライ ヤ ー に つ い て,同 じ条 件 下 で も 他 と離 れ た値 を示 す 場合 と,条 件が 異 なる た め に他 と離 れ た値 を もつ 場合 を識 別 す る 方 法,②

あ る説 明 変 数 を追 加 した と き に期 待 され る効 果 や 回 帰 係

数 推 定値 の変 化 を 計 測 す る 方 法,お よび ③ ア ウ トライ ヤ ー の 影 響 を避 け るた め に,離 れ た度 合い に応 じた ウエ イ トづ け を して傾 向線 を求 め る 方法 を説 明 します.

8.1  観 察 単 位 の 異 質 性  ①  回 帰 分 析 は,(X,Y)の

関 係 を 表 わ す 図 をか き,そ れ に 傾 向 線 を あ て は め る も

の だ と説 明 さ れ て い ま す が,実

際 の 問 題 に 適 用 して み る と,"こ

疑 問 に 思 わ れ る 結 果 が 出 て く る こ とが よ くあ り ます.た

と え ば,デ

ラ イ ヤ ー(外 れ 値)と み られ る も の が 含 まれ て い る と,そ き ず られ て,他 す.こ

れ が 傾 向 線 か な"と ー タの 中に ア ウ ト

れ(全 体 の 中 の 少 数 例)に ひ

の 多数 例 を 代 表 し て い る と は い い に くい 結 果 に な る 可 能 性 が あ る の で

の 章 で は,そ

うい う場 合 へ の 対 応 を考 え ま し ょ う.

 ②  次 ペ ー ジ の 表8.1.1に

示 す"セ ー ル ス マ ン の 増 員 と売 上 げ 増 加 の 関 係"を 分 析

し て み ま し ょ う.基 礎 デ ー タ(付 表 Ｌ)に 付 記 し た 資 料 か ら 引 用 し た デ ー タ で す.両 方 と も 「比 尺 度 」の 形 で 計 測 さ れ て い ます か ら,対 数 変 換 して 扱 い ます.  ③  図8.1.2は,こ

の 関 係 を示 した もの で す.

  図 を み る と,デ ー タ Ｐ は 他 と離 れ て い る よ う で す.ま る こ とが 考 え られ ます.し

か し … 結 論 を保 留 し,も

ず,こ

れ を 除 外 して 分 析 す

う少 し考 え て み ま し ょ う.

  まず 質 問.「 Ｐ を除 く」こ と に 賛 成 で き る で し ょ うか.   そ れ を 除 外 す る とい う考 え 方 を採 用 し た場 合,次 え ば,次

に,デ

々 と問 題 が 派 生 し て き ま す.た

と

ー タ Ｉ,Ｊ,Ｍが 問 題 視 さ れ る で し ょ う.上 に ず れ て い る よ う で す が,３

つ が 一 群 を な して い る上,そ

れ ら を 除 外 す る と,ほ ぼ 同 じ よ うに 離 れ て い る Ｄ,Ｅ,Ｈ

を ど うす るか …

表8.1.1 

セー ル ス マ ン増 員 率 と売 上 げ 増 加

図8.1.2 

セー ル ス マ ン 増 員率 と売 上 げ 増 加

こ れ が 問 題 に な っ て き ま す.

  答 え に くい 問 題 で す.   基 本 的 に,セ わ ち,注

ー ル ス マ ン の働 き を評 価 す る問 題 だ か ら,上

の 方 に 外 れ た もの,す

な

目す べ き もの を除 く と分 析 す る 意 味 が な く な る … こ う い う有 力 な 反 論 が 出

て き ます.   ま た,左

の 方 ２つ(デ ー タ Ａ,Ｂ)が 離 れ て い る,そ

連 を もた な い ….こ

れ も,も

れ を 除 い て み る と,Ｘ,Ｙ

と 「 左 右 に 離 れ て い る ケ ー ス」 と を 同 じ よ う に 扱 っ て よ い も の で し ょ う か.Ｘ は,「 こ の 範 囲 で Ｘ と Ｙ の 関 係 をみ よ う」 と,い 条 件 で す.条

は関

っ と も ら し い 説 明 で す が,「 上 下 に 離 れ て い る ケー ス」 の方

わば議 論 の 前提 と して提起 され た

件 の ち が い か ら Ｙ が 離 れ た 場 合 が Ａ,Ｂ で あ り,条 件 が 同 じ で も結 果

と して 観 察 さ れ る Ｙ が 離 れ た 場 合 が Ｐ な の で す か ら,ち

が った見 方 をすべ きで しょ

う.  ④  こ う い う問 題 を ど う扱 うべ きで し ょ うか.   こ れ ま で の 各 章 で,「 ア ウ トラ イヤ ー の 存 在 を 探 る に は,残 こ とが 必 要 だ 」 と 強 調 して き ま し た が,そ

差 を プ ロ ッ トし て み る

れ に も問 題 が あ り ます.

  ア ウ トラ イ ヤ ー が 存 在 す る の に そ れ を 含 め て 計 算 す る と,そ れ に ひ か れ て,そ に 近 い 回 帰 線 が 求 ま っ て し ま い,残

の値

差 プ ロ ッ トで み る と 「よ く あ っ て い る 」と判 定 さ

れ て し ま い ます.ア

ウ トラ イ ヤ ー に よ る 「よ ご れ 」が 除 去 さ れ な い ま ま 「 平 均 化 」 され

た た め,「 一 見 き れ い に み え る 」が,実

は 「灰 色 に な っ て い る 」の で す.

  ア ウ トラ イ ヤ ー が 混 在 して い る デ ー タ を,dirty す.そ

う い うデ ー タ を 扱 う場 合,ま

ず,そ

data(よ

ご れ た デ ー タ)と よ び ま

れ を ク リー ニ ン グ す る こ とが 必 要 と さ れ る

とい うこ と で す.   ⑤  こ の テ キ ス トの 主 題 で あ る 「 傾 向 線 の 誘 導 」を 扱 う と き に も,説 明 変 数 Ｘ の値 が 大 き く離 れ て い るた め に 被 説 明 変 数 Ｙ の 値 が 離 れ た 場 合 と,Ｘ あ っ て も Ｙ が 大 き く離 れ た 場 合 を 区 別 し て 論 ず る た め に,ア

の値 が 標 準 なみ で

ウ トラ イ ヤ ー と い う言

葉 を 次 の よ うに 精 密 化 す る こ と に な り ま す. 説 明 変 数 値 セ ッ トの ち が い に よ っ て 残 差 が 大 き くな っ た もの(作 用 点 効 果) 広 義 の ア ウ トラ イヤ ー  説明 変 数 値 セ ッ トが 同 じ で あ る の に 他 と離 れ て い る もの(狭 義 の ア ウ トラ イ ヤ ー ）   こ の た め に 必 要 とな る ハ ッ ト行 列 に つ い て,8.2節 方,あ

る い は,回

帰 分 析 に お け る 扱 い 方 を,8.3節

  ⑥  8.3節 で は,ま   次 に,8.4節

ず,2.7節

で は,ア

で 説 明 し た 後,こ

れ らの み わ け

以 降 で 説 明 し ま す.

で 説 明 し た 「残 差 プ ロ ッ ト」に 関 して 再 論 し ます.

ウ ト ラ イ ヤ ー と み ら れ る デ ー タ が 存 在 す る場 合,「 そ れ を 除

外 し て 分 析 し た ら結 果 に どの 程 度 ひ び くか を 評 価 す る」指 標 や 手 段 を 説 明 し ます.   また,ア

ウ トラ イヤ ー だ と断 定 しに く い た め 「除 外 す る」,「除 外 し な い 」 と一 概 に

は い い に くい ケー ス に 対 処 す る た め,ア

ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を受 け る こ との 少 な い 推

定 法 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます か ら,そ れ ら を紹 介 し ます(8.6節).

8.2  ハ ッ ト行 列  ①  前 節 で 指 摘 した よ うに,回 ヤ ー を 扱 う と きに,説

帰 分 析 を 適 用 す る場 面 で は,変

数 Ｙ の ア ウ トラ イ

明 変 数 Ｘ と の 関 係 を視 野 に 入 れ る こ とが 必 要 と な っ て き ま す.

  この た め に 使 わ れ る 基 本 概 念 が,ハ

ッ ト行 列 Ｈ で す.

  まず そ の 定 義 を 説 明 し ま し ょ う.   モ デ ル と して,

を想 定 して 説 明 し ま す.定 X0を 使 っ てb0X0と   こ の 節 で は,行 を Ｙ,XInを

数 項 を 他 の 項 と同 じ形 式 で 表 わ す た め に,値

列 記 号 を使 い ま す.し

た が っ て,Ynを

要 素 とす る １列Ｎ

要 素 とす る Ｋ 列 Ｎ 行 の 行 列 を Ｘ と表 わ す こ とに し ます.

  ②  回 帰 分 析 の 数 理 か ら Ｙ の 推 定 値Y*に  

１を もつ 変 数

し て い ま す.

モ デ ル   Y*=XB

対 して

行 の行 列

に お け る 回帰 係 数 は  B=(X'X)-1X'Y に よ っ て 求 め られ ます.し

たが って

  Y*=X(X'X)-1X'Y と表 わ す こ と が で き ます.   よって  

H=X(X'X)-1X'

とお く と   Y＊=HY とな り ます.こ

の Ｈ が,ハ

ッ ト行 列 で す.

 行 列要 素 でか くと  

Hab=Xa(x/x)-1Xb'

で す.  ③  こ の 関 係 か ら,回 帰 分 析 を,  

"イ ンプ ッ トYbを

ア ウ トプ ッ トYa*に

対 応 さ せ る 手 続 き"

だ と み る と,  

Habは,YbのY*aに

対 す る影 響 度 を表 わ す 量

だ と解 釈 で き ます.  ④  ま た,ハ

ッ ト行 列 の 表 現 式 を,積 和 行 列X'Xの

か わ り に 偏 差 積 和 行 列D'D

を使 っ て か く と,次 の よ う に な り ます.

(1)   こ の 右 辺 の 第 ２項 は,各

説 明 変 数Xnの

位 置 関 係 を表 わ す 指 標 で す が,複

変 数 の 相 互 関 係 を表 わ す 偏 差 積 和 行 列D'Dを ラ ー 化 し た もの に な っ て い ます.す

使 っ て(Dn1,Dn2,…,Dnk)の

数 の 説明

情 報 をス カ

な わ ち,

他 の説明 変数 との 関係 を考慮 外 にお いた場合 の

を

 すべ ての 説明変数 対 の相互 関係 を考 慮 に入 れ るため に Hnnと お きか え た もの と考 え れ ば よ い の で す.   ⑤  こ れ に つ い て,  

0≦Hab≦1

が 成 り立 ち ます.Ｋ

は 説 明 変 数 の 数 で す.い

い か え る と, K+1は,推

る係 数 の数 で す.  ⑥  作 用 点  

  こ の ハ ッ ト行 列 の 対 角 線 要 素

Hnn=Xn(X'X)-1Xn'

定 しよ う とす

をleverageと

よ び ます.日

本 語 に 直 訳 す る と 「て こ比 」で す が,意

と し て 「作 用 点 」 と い う こ と も あ り ま す.こ

の テ キ ス トで は,作

味 を とら えた呼称

用 点 と よ ぶ こ とに し

ま す.   この 場 合 に 限 れ ば,  

観 察 単 位ｎ の 値Ynの

変 化１ 単位 が,

 

そ の 観 察 単 位 に つ い て の 予 測 値Y*nに

 

Hnn単 位 の 変 化 を もた らす

と い う意 味 で の 「 影 響 度 を 計 測 す る指 標 」に な っ て い ます. ◇ 注   観察 単 位ｎ の 観 察値 につ い て,そ の残 差enを  

en=Hnnen+(1-Hnn)en

 す なわ ち,当 該観 察 単 位 の値 に よ る効 果 と,当 該 観 察単 位 以 外 の 値 に よ る効 果 に分 解 で き る こ と を意味 し ます.   した が っ て,そ

の 値 に つ い て 

(１) ア ウ トラ イ ヤ ー が な い な ら,Hnnの 様 に な る.し

た が っ て,(K+1)/Nに

(２) (K+1)/Nと

著 し く離 れ た 値(Hnnの

値 は,す

べ て の デ ー タ に つ い て,ほ

ぼ一

近 い 値 を と る  値 が 大)を もつ 観 察 単 位 は,他

の観 察 単

位 とな ん らか の 意 味 で 異 な る も の とみ られ る と予 想 さ れ ます.こ

の こ とか ら,

 (3)  Hnnが(K+1)/Nの２

倍 以 上 の デ ー タ は 他 と 同 一 バ ッ ジ と は み な し に くい か

ら 注 意 せ よ, と い うの が,Hoaglin&Welschの   図8.1.2の 2/18の２

例 で は,デ

提 唱 で す.

ー タＡ とＢ の 作 用 点 は そ れ ぞ れ0.3330,0.2865で,平

倍 以 上 の 大 き さ に な っ て い ます(172ペ

て 平 均 の1.1倍

ー ジの 表8.3.1).そ

均

れ 以 外 は,す べ

以 下 で す.

8.3  残差 プ ロ ッ ト  ①  この 節 の 問 題 

回 帰 分 析 に よ っ て 誘 導 され た 傾 向 線 と デ ー タ との 適 合 度 は,

残 差 分 散 や 決 定 係 数 で 計 測 さ れ ます が,そ

れ は,観 察 単 位 全 体 で み た"平 均 的 な 適 合

度"で す.   し た が っ て,観

察 値 の 中 に,他

と同 一 に は 論 じ に く い も の が 混 在 し て い る と き に

は,  

"ひ とつ ひ と つ の 観 察 単 位 ご と に,そ れ ぞ れ の 適 合 度 を み る"

こ とが 必 要 で す.   そ の た め に,2.7節

で 説 明 した よ うに,

  残 差  en=Yn-Yn*

を プ ロ ッ ト して み る こ とが 必 要 で す.た   en対Y*プ  

en対XI,プ

 

en対

に よ っ て,残

とえば

ロット ロット

デー タ番号 プ ロ ッ ト 差 がY*やXIの

大 き い と こ ろ,小

さ い と こ ろ で 一 様 か,他

と著 し く離

れ た残 差 を もつ 観 察 単 位 は な い か な ど を チ ェ ッ クで き ます.  ②  こ の 節 で は,こ

れ らの 残 差 プ ロ ッ トに つ い て 補 足 しま し ょ う.

2.7節 で は ふ れ な か っ た 次 の よ うな 問題 点 が あ り ま す.   ａ.残 差 の 標 準 化  

モ デ ル   Y=A十B１X１+B2X2十

に お い て,V(ε)=σ2が  

ε

一 定 で あ っ て も,残 差en=Yn-Yn*の

分散 は

V(ｅn)=σ2(1−Hnn)

とな り,説 明 変 数X1やX2に つ くた め,一

か か わ る 量Hnn(て

定 と は な り ませ ん .た

とえ ば,残

こ 比 ま た は 作 用 点 と よ ば れ る 量)が 差 の 大 小 を論 ず る た め に は,こ

のこと

に 対 応 す る補 正(標 準 化)を 考 え る こ と.   ｂ.残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト   残 差 に つ い て,説 る)と,説

明 変 数 値 セ ッ トX１,X2,…

の ち が い に よ る影 響(Hnnで

明 変 数 セ ッ トの 値 が 同 じだ と し て も,起

計 測 され

き て い る 差 を み わ け る(8.1節

で指

摘 した 問 題)た め の プ ロ ッ トを 使 う こ と.   ｃ.偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ ト   す で に モ デ ル に 組 み 込 ん で あ る説 明 変 数 セ ッ トの う ち の １つ(た と え ばＸ１)を 除 い た と き に 結 果 が ど うか わ る か を 判 断 す る た め の プ ロ ッ トを使 う こ と,   こ の う ち ａに つ い て は ③,bに

つ い て は ⑥ で 説 明 し,cに

つ い て は,次

節 で説 明

し ます.  ③  標 準 化 残 差

  モ デ ル に 含 ま れ る εの 分 布 に つ い て,正

規 分 布N(0,σ)を

仮定

すると  

enはN(0,σ√1-Hnn)

で す.   す な わ ち,残 差 分 散 は 一 定 で は あ り ませ ん.１ 変 数 の 場 合 に つ い て い う と Ｘ の 位 置,２ 変 数 以 上 の 場 合 に つ い て い う と作 用 点 の 位 置 に よ っ て ちが う の で す.   した が っ て,② か わ りに,標

に あ げ た 種 々 の プ ロ ッ トに お い て,残

差un=en/σ

を プ ロ ッ トす る

準化 残差

 tn=en/(σ√1-Hnn) を 使 うこ とが 考 え られ ます.   ま た， ど ち らの 場 合 も,σ

と して そ の 推 定 値 を使 う こ と に な りま す が,そ

デー タ数 で わ っ た 「推 定 値」σ,自 よ っ て,さ

ら に わか れ ま す.

の 場 合,

由 度 で わ っ た 「不 偏 推 定 値 」∂の ど ち ら を使 うか に

し た が っ て,残

差 の 標 準 化 に つ い て,次 の ４ とお りが 考 え られ る こ とに な り ます. … … 慣 用 され て い る標 準 化 残 差

… … 仮 説検定 を適 用す る場 面 では これ を使 う … … あ ま り使 わ れ な い … … 作 用 点 の 考 え 方 を 入 れ る と こ れ を使 う   一 般 に は 標 準 化 とい う と,観 察 単 位 数 の 効 果 を補 正 す る た め にσ の か わ りに ∂ を 使 う場 合 を指 し ま す が,こ √1Hnnで

の 節 で 扱 う問 題 意 識 で は,作

用 点 の 効 果 を補 正 す る た め に

わ る場 合 を 指 し ます.

  上 に 使 っ た 記 号 で は,前

者 の 意 味 で の 標 準 化 に つ い て 記 号 の 上 に つ け た∼

区 別 し,作 用 点 に 関 す る 補 正 に つ い て 記 号uとtで

区 別 し て い ま す.こ

と〓 で

の 節 で は,

こ の 記 号 を使 い ま す.   記 号 で 区 別 で き る に し て も,標 準 化 と い う コ トバ は,場 わ れ ます か ら,混 乱 を 避 け る ため に は,長

合 に よ っ て ち が う意 味 で 使

い 表 現 に な り ます が,次

と よ い で し ょ う.  

第 一 の 場 合un…

標準化 残差

 

第 二 の 場 合un…

自由 度 効 果 を補 正 した 標 準 化 残 差

表8.3.1 

種々の標準化残差

の よ うに 区別 す る

  第三 の 場 合tn…

作 用 点 効 果 を補 正 し た 標 準 化 残 差

  第 四 の 場 合tn…

自由 度 効 果 お よ び 作 用 点 効 果 を補 正 し た 標 準 化 残 差

 ④  表8.1.1に

例 示 した デ ー タ に つ い て,上 掲 の 種 々 の 標 準 化 残 差 を 表8.3.1に

表

示 して お き ます.   この 例 の 場 合,uで

み た 残 差 の 大 き い観 察 単 位 は Ｐ,Ｍ,Ⅰで す が,uで

み た場合 と

tで み た 場 合 の ち が い が Ａ,Ｂ,Ｐ で 大 きい こ とが よ み とれ ま す.   この よ う な ちが い を よ み と りや す くす る た め の 図 示 法 に つ い て は ⑥ で 説 明 し ます 。  ⑤  こ れ ま で 説 明 した 標 準 化 残 差 は,い す る参 考 と して 使 う もの で す.除

ず れ も,あ

る デ ー タ を 除 くか ど う か を 判 断

くか ど うか を 決 め る前 に 使 う指 標 で す か ら,標

準化

残 差 の 計 算 で は す べ て の 値 を使 っ て 計 算 して い ます.   した が って,こ

れ ま で の標 準 化 と ちが っ た 観 点 で す が,

 

ア ウ トラ イ ヤ ー とみ ら れ る もの を 除 い た 場 合 に 予 想 され る残 差en(I)

 

そ れ を 除 か な か っ た 場 合 の 残 差en

を比 較 した い で し ょ う. ◇ 注   en(I)は,ア ウ トラ イヤ ー を除 い て 計 算 す れ ば 得 られ ます が,あ en/(1-Hnn)と

る仮 定 を お く と

推 定 され ます.こ れ をPress残 差 とよん で い ます,

  そ の 場 合 に も,標 準 化 残 差 を使 い ま す.自

由 度 効 果 お よ び 作 用 点 効 果 を補 正 し た標

準 化残 差 を  

ア ウ トラ イ ヤ ー を除 い て 計 算 し た もの を外 的 標 準 化 残 差

  tn(I)

 

ア ウ トラ イ ヤ ー を含 め て 計 算 した も の を 内 的 標 準 化 残 差

  tn

と よ び ます.   表8.1.1に

つ い て の 計 算 結 果 を表8,3.1に

示 して あ り ます.

  こ れ ら の ち が い が 大 き い観 察 単位 が Ａ,Ｂ,Ｐ で あ る こ と を 確 認 し て く だ さ い.「 除 い た こ とに よ る 影 響 」 と い う 意 味 で は Ａ,Ｂ も Ｐ も 同 じで す が,影

響 が 起 き る理 由 と

して は ④ で 述 べ た よ うに 区 別 さ れ ます.  ⑥  残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト   同 じ く残 差 を み る プ ロ ッ トで す が,8.1節 考 え 方 に 沿 っ て,説

に 示 した

明 変 数 セ ッ トの 位 置 の ち が い と し て 説 明 さ れ る 差 と,説

明 変数

セ ッ トの 位 置 の ちが い を 補 正 した 後 に 残 る偏 差 と を 図 上 で 識 別 し よ う とい う趣 旨 の プ ロ ッ トで す.こ  

れを

残 差対作 用 点プ ロッ ト

と よ び ます.   一 般 に はLRプ トで は,6.4節

plot)と よ ば れ て い ます が,こ

の テ キス

で 説 明 し た 「レベ ル レー ト図 」 と の 混 同 を 避 け る た め に,残

ロ ッ ト(leverage-residual 

差対 作 用

点 プ ロ ッ トと よぶ こ と と し ま す.  ⑦  8,2節 で 説 明 し た ハ ッ ト行 列 を使 い ま す.す 式 と そ の 説 明 か ら わ か る よ う に,

な わ ち,169ペ

ー ジ に 示 し た(1)

 

説 明 変 数 の 値 が 平 均 の 位 置 か ら離 れ て い る こ とが

 Ｙ

の推 定 値 に もた らす 効 果

に あ た る もの で す.   説 明 変 数 が３ つ 以 上 に な っ た こ とか ら,Ｘ うの だ と解 釈 す れ ば よ い で し ょ う.こ   HnnYnが,作

の 位 置 に 相 当 す る指 標 と してHnnを

の 観 点 で,Hnnを

使

作 用 点 と よ ん で い た の で す.

用 点 の ち が い が も た らす 効 果 で す.

  そ れ 以 外 にYn自

体 が もつ 変 動 が あ り ます.し

た が っ て,

 

被 説 明 変 数 自体 が もつ 変 動 と,

 

説 明 変 数 の 作 用 点 の ち が い が もた ら す 変 動 と を わ け て み る

とい う考 え 方 を採 用 で き る こ とに な り ま す.   い い か え る と,8.1節

に 注 記 し た 「広 義 の ア ウ トラ イ ヤ ー 」 と 「狭 義 の ア ウ ト ラ イ

ヤ ー 」 と を 識 別 で き ま す.   これ が,残

差 対 作 用 点 プ ロ ッ トの 効 用 で す.

 ⑧  表8.1.1の

デ ー タに つ い て こ の 図 を か い て み ま し ょ う.

  図 の 基 礎 デ ー タ す な わ ち 残 差enと が,こ

に 」換 算 して お き ます.す  

ハ ッ ト行 列Hnnは

れ ら の 数 値 を 比 較 しや す くす る た め に,次

Hnnに

図8.3.1に

示 して あ ります

の よ う に 「標 準 値 を1と

す るよ う

な わ ち,

つ い て は,そ

れ らが す べ て 等 し い と き に 期 待 され る平 均 値(K+1)/N

に 対 す る倍 率 に し た もの(表 で はＨ/平 均 と表 示),

表8.3.2 

残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ トの 基 礎 デ ー タ

図8.3.3 

 

残 差 に つ い て は,残

残差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト

差 の ２乗en2を

Σen2/Nに

対 す る 倍 率 に し た も の(表 で

は 残 差 寄 与 度) と し ます.   した が って,そ

れ ぞ れ,１ を標 準 と して 大 小 を よめ ば よ い こ と に な り ます.

  図8.3.3は,表8.3.2の

数 字 を 図 示 し た もの で す.こ

の 図 か ら,次

の こ とが よ み と

れ ま す.  

点 Ａ,Ｂ  作 用 点 の ち が い に よ っ て 他 と離 れ た もの で あ る こ と

 

点 Ｐ

 

点 Ｍ,Ｉ  ア ウ トラ イ ヤ ー の 可 能 性 あ り と み ら れ る こ と

  ア ウ トラ イ ヤ ー だ と判 断 さ れ る こ と

8.4  補 足:影 響 分 析  ①  偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ ト

  8.3節 の プ ロ ッ トで は,観

え る 場 面 を想 定 して い ま した.こ て い るの が,こ

れ に対 して,説

察 単 位 の 情 報 の 加 除 を考

明 変 数 の 加 除 を考 え る場 面 を想 定 し

の 節 で 説 明 す る偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ トで す.

 ②  被 説 明 変 数 Ｙ の 説 明 要 因 と し て 説 明 変 数 セ ッ トX1,X2,…,Xκ ます が,そ

の 説 明 変 数 の す べ て を 使 う とは 決 め て お らず,説

を想 定 して い

明 力 の 低 い もの が あ れ ば

落 とす こ と を考 え て い る もの と し ま し ょ う.   説 明 変 数ＸＪ に つ い て 検 討 す る た め に は  

XJ以

外 のXIを

説 明 変 数 とす る Ｙ の 回 帰 推 定 値Y(-J)と

 

XJ以

外 のXIを

説 明 変 数 とす るXJの

を求 め,eY(-J)を

縦 軸,eXI(-J)を

回 帰 推 定 値XJ(-J)と

残 差eY(-J) 残 差eXI(-J)

横 軸 に と っ た グ ラ フ を使 い ま す.

  こ れ を偏 回 帰 プ ロ ッ ト とよ び ま す. ◇ 注  回帰 推 定値 お よび 残差 を表 わす 記号 にお け る-Ｊ は,説 明 変数XJを た もの で あ る こ とを示 し ます.

除 い て計 算 し

図8.4.1 

偏 回帰 プ ロ ッ ト

 ③  この プ ロ ッ トに つ い て  

バ ラ ツ キ が 大 きけ れ ば,説

明変数 を追加 す るこ とは有効 で ない

と判 断 され,  

傾 斜 Ｂ を もつ 直 線 関 係 が 見 出 さ れ れ ば 説 明 変 数XJを

追 加 す る こ とが 有 効

と 判 断 され ま す.   図8．4．1は,こ

の 章 で 取 り上 げ て い る例 に つ い て,説

マ ン増 員 率)の 他 に も う ひ と つX2(＝ が あ る もの と して,X1の   変 数X2の

明 変 数 と してX1(=セ

効 果 お よ びX2の

効 果 をみ る た め の 偏 回 帰 プ ロ ッ トで す.

効 果 をみ る た め の 偏 回 帰 プ ロ ッ トで は,点

い る よ う で す.こ

の こ と か ら,説

ールス

仮 想 デ ー タ(Ｙ と の 相 関 の 低 い デ ー タ を 仮 想))

明 変 数X2を

の位 置が ラ ンダム に分 布 して

追 加 して も効 果 が な い と判 断 で き ま

す.

8. 5  補足:回 帰推定値に対する影響分析  ①  他 と離 れ た 観 察 値 の 影 響 を み る た め の 手 段 は,8.3節 た く さ ん あ りま す が,こ

こ で は,そ

に 解 説 した 方 法 以 外 に も

の ひ と つ で あ るAtkinsonのCに

て お き ます.  ②  観 察 値(XIn,Yn)の

全 部 を使 っ た 回 帰 推 定 値

 Yn=A+ΣBIXIn と,(XIn,Yn)の

うち(XIL,YL)を

除 い て求め た 回帰推定値

 Yn(L)=A(L)+ΣBI(L)XIn と を比 べ ま し ょ う.観 察 単 位Lを

除 外 し た こ とに よ る 変 化 を

 ΔYn(L)=Yn-Yn(L) の よ うに 記 号Δ

を使 っ て 表 わ す こ と と し ます.

つ い て補 足 し

  en=Yn-Y とハ ッ ト行 列Hnnと

を使 うと

と表 わ す こ と が で き ます.   こ れ を 標 準 化 す る た め にYnの 合 σの 推 定 値 が 必 要 で す が,こ もの と し ま し ょ う.す

で す.こ

標 準 偏 差 σ√Hnnで わ る こ とに し ま し ょ う.こ れ も,観 察 単 位Lを

の場

除 外 して 計 算 し た σ(L)を 使 う

なわ ち

れを

 ⊿sYn(L) とか くこ とに しま し ょ う.⊿sの

Ｓ は 標 準 化 し た も の を指 す 記 号 で す.

  これ につ いて  ￨⊿

ｓYn(L)1≦1⊿sYL(L)￨

for

all n

が 成 り立 っ て い ま す か ら,  

観 察 単 位 Ｌ を 除 い た こ との 影 響 を す べ て の η に つ い て 調 べ な く て もYLに

 

対 す る影 響 だ け を調 べ れ ば 十 分 だ

と い う こ とに な りま す.   こ こ で,n＝Lと

お いた

に 注 目 し ま す.

は,標

準 化 残 差 を,観 察 単 位 Ｌ を 除 い て 計 算 した もの に な っ て い ます.

  こ れ が,8.3節

で 述 べ た 外 的 標 準 化 残 差 で す.こ

れ をt(L)と

表 わ し ま し ょ う.す

ると

が 得 られ ます.こ る式 で,DFFITSと   ③ HLLが

れ が 観 察 単 位Lを

除 外 し た と きのYLに

均 等 に な っ て い る と き に はHLL=(K+1)/Nと

に お け るt(L)=1の

対 す る影響 評 価 値 を与 え

よば れ て い ます. な り ま す か ら,そ

状 態 を 基 準 と み な す こ と が で き ま す.⊿sYL(L)を

倍 率 で 表 わ した もの が,次

の値 で す.

こ の 指 標 値 が ２以 上 な ら,影 響 あ り とみ な す こ と が で き る で し ょ う.

の場 合

それ に対 す る

表8.5.1 

  な お,こ

影 響 分 析 の ため の指 標 値

れ を ２乗 した もの がAtkinsonの

  こ の他CookやWelshが   表8.5.1に,こ

Ｃ と よば れ て い る指 標 で す.

同 様 の 指 標 を提 唱 して い ます が,説

れ ら の 指 標 値 を示 し て お き ます.基

様 に 表8.1.1で

明 を 省 略 し ます.

礎 デ ー タ は,こ

れ ま で の 節 と同

す.

8.6  加 重 回 帰(ロ バ ス ト回 帰)  ①  回 帰 分 析 の 適 用 が,図

た と え ば 図8.6.1は,通

示 さ れ た傾 向 線 が,全

体(も

常 の 回帰 分析 を適 用 した結 果 で す

し くは 多数 部 分)で の 傾 向 を代 表 して い る と い え

る で し ょ うか.   こ れ が,こ

の 章 の は じめ に 掲 げ た 問題 で し た.問 題 は,ア

ウ トラ イヤ ー か 否 か の 判

断 に か か わ っ て い ま す.  ②  ア ウ トラ イ ヤ ー と 断 定 で き れ ば,そ

れ を 除 い て 分 析 す れ ば よ い の で す が,

 

"そ う も断 定 で き な い,だ

 

"そ う ら し い も の は 除 い て 分 析 す る 方 が よ い"と い う説

か ら,含 め て 分 析 せ よ"と い う説 と,

が 対 立 す る こ とに な り ま す.   た だ し い ず れ に し て も ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処 を 要 す る こ とは 同 じで す.よ  

っ て,

ア ウ トラ イヤ ー が あ っ て も,ど れ が ア ウ トラ イ ヤ ー な の か 断 定 しに くい

図8.6.1 

 

⇒ 除 き に くい の で,他

 

⇒ し た が っ て,そ

通 常 の 回帰 式

と一 緒 に 扱 う こ とは や む を え な い

の 影 響 を受 け に くい 方 法 を採 用 す る

こ と を考 え る の です.   「ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を受 け に くい 」… そ う い う性 質 を,"ロ よ び ま す.そ

バ ス ト(頑 健 性)"と

うい う性 質 を も つ 方 法 は 種 々 の 場 面 で 提 唱 さ れ て い ま す が,こ

の章 で

扱 っ て い る回 帰 分 析 に つ い て 提 唱 さ れ て い る 「ロ バ ス トな 方 法 」 を説 明 す る の が こ の 節 で す. ◇ 注  一 般 に は,方 法 を適 用 す る と きに 「 必 要 な前 提 条 件 」に 関 して,前 提 が み た され な か った こ とに よ る影 響 が 少 な い … そ うい う性 質 を ロバ ス トと よん で い ま す が,こ こ で は,ア ウ トライヤ ー の混 在 に 関 す る ロバ ス トを問題 に してい るの です.  ③  こ の 間 題 へ の 対 処 と し て,8.3節

で は 残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ トに つ い て 説 明 し,

8.5節 で は ア ウ トラ イ ヤ ー と判 断 して 分 析 範 囲 か ら除 外 し た 場 合 の 影 響 を 計 測 す る指 標 に つ い て 説 明 し ま した.し

か し,「 ア ウ ト ラ イ ヤ ー ら し い 」 とい え る に して も,「 ア

ウ トラ イ ヤ ー 」 と断 定 で き る わ け で は あ りま せ ん.し

た が っ て,こ

の 問題 が 解 消 す る

とは 限 り ませ ん.   そ こ で,除

く ・除 か ぬ と,二

者 択 一 的 に 考 え る か わ りに,"全

外 れ て い る程 度"を 考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て,ア

体 と しての傾 向か ら

ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 小 さ く し よ

う とい う扱 い を採 用 す る の で す.  ④  加 重 回 帰

  こ れ が,加

重 回 帰(ま た は,ロ

バ ス ト回 帰)と よ ば れ る 一 群 の 方

法 で す.   回 帰 分 析 に お け る 回 帰 係 数 推 定 の 基 準 は,

す な わ ち,偏 こ と は,第 に,ウ

差 を"そ の ２乗 で 評 価 す る"形 の 基 準 で す.こ ４章 で述 べ て あ り ま す.そ

エ イ トＷ

をつけ加 え た

の 形の 基準 に問題 が あ る

の 問 題 を 解 消 す る ひ とつ の 方 向 は,こ

の評 価 式

を 基 準 とす れ ば,ウ

エ イ トと し て,偏

ラこ とに よ っ て,enの

差enが

大 きい もの,す

大 き い デ ー タ ほ ど小 さ くな る もの を使

な わ ち,ア

ウ トラ イヤー の 可能 性 の 高 い もの

の 影 響 を お さ え る こ と が で き る は ず だ … こ う い う発 想 で す . ◇ 注  デ ー タの 分 散 が一 様 で ない場 合,分 散 の 大 きい もの,す な わ ち,精 度 の 劣 る もの は ウエ イ トを小 さ くして 扱 うため に も,同 じ方 法 が適 用 され ます が,ウ エ イ トを導 入 す る動 機 が ちが い ます.  ⑤  ウ エ イ トの 与 え 方 に つ い て い くつ もの 案 が 提 唱 さ れ て い ま す.主

な も の を紹 介

し ま し ょ う.  以 下 で は,回

帰 式 に よ る 計 算 値 か らの 偏 差 を シ グマ で わ っ たen,す

な わ ち,

を使 っ て 説 明 し ます. (1)  卜 リ ミ ン グ を適 用 す る方 法

と す る 案 で す.す 除 外 し,残 く,よ

な わ ち,偏

差 が シ グ マ の ｃ倍 以 上(た

と え ば ２倍 以 上)の

り に つ い て 通 常 の 最 小 ２乗 法 を 適 用 す る 案 に あ た り ま す."理

く 採 用 さ れ て い る"方

法 で す が,ｃ

そ れ を 除 く 」の だ と 了 解 し ま し ょ う.そ の フ ェ ン ス と あ わ せ て2.7と ◇ 注   中 位 値Q2,四

倍 以 上 の デ ー タ を 「ア ウ ト ラ イ ヤ ー と み て の 観 点 に た つ な ら,cを

「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」

します.

分 位 値Q1,Q3を

LF＝Q,一1.5(Q3-Q1)以

デー タ を

屈 は と もか

使 っ て,UF=Q3+1,5(Q3-Q1)を

下 の デ ー タ を ア ウ トラ イ ヤ ー とせ よ

こ え る デ ー タ, …

こ れ がTukeyの

提唱 し

た ボ ツ ク ス プ ロ ッ トの 考 え 方 で す 。 正 規 分 布 の 場 合 に はQ1=-0.674,Q2=0,Q3=0 を4×Q3と (2)  Huberの

.674で

あ る こ と を参 考 に し て,本

文 のC

し て い ま す. 方法

と す る方 法 で す.(1)の

方 法 で,除

く,除 か な い と二 者 択 一 す るか わ りに,除

く範 囲

と除 か な い 範 囲 の 間 の デ ー タ に 対 し て ０ と １の 間 の ウ エ イ トを つ け る形 に な っ て い ま す.こ

の こ と か らa,bを,(1)の

す.関 数 形f(￨en￨,a,b)は

方 法 に お け る 区 切 り値2.7を

後 述 す るLAR法

に す る た め の 項 を付 加 し た も の です.

は さ む 値 に して い ま

の 場 合 の 関 数 形 に,e=aで1,e=bで0

(３)  Andrewsの

方法

と と る 方 法 で す.｜en｜が πCを こ え る デ ー タ は 除 外 し,そ れ 以 外 の デ ー タ に つ い ては, 関 数sin(u)/uで

表 わ さ れ る ウ エ イ トを つ け て 扱 う こ と に な り ま す.ｃ は(1)の

に お け るｃ,(2)の

方 法 に お け るbと

方法

ほ ぼ あ わせ る た め に１ と し ます.

(４)LAR法

を ウ エ イ ト と して 使 う 案 で す.こ

の 案 の ウ エ イ トは,こ

に よ る ち が い を極 端 に 誇 張 した 形 に な っ て い ます が,分

れ ま で の 方 法 と比 べ て,｜en｜ 散 の 定 義 式 に こ のWnを

代 入

すると

とな りま す.よ って,こ の 基 準 は,平 均 偏 差 を "偏 差 の絶 対 値 の 平 均"で 測 る 案 に あ た り ます.し

た が っ て,す

で に 述 べ たLAR(least

absolute residual)法

に相 当

し ます.   ⑥  図8.6.2は,以 に よ っ て,各

上４ つ の 方 法 に お け る ウエ イ トの 形 を 対 比 し た もの で す.こ

れ

方 法 の お よ そ の 特 徴 を つ か む こ とが で き ま す.

  ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 受 け や す い の はLSQ基

準,受

け に く い の はLAR基

準,

他 は そ の 中 間 とみ て お け ば よ い で し ょ う.も ち ろ ん,一 般 的 に そ うい え る と は 限 り ま

図8.6.2 

各 方 法 で 想定 され る ウ エ イ ト

図8.6.3 

図8.6.5 

LAR基

Andrews基

準 による結果

準 に よ る結果

図8.6.4 

TRIM基

準 に よ る結 果

図8.6.6 

Huber基

準 に よ る結 果

せ ん か ら,問 題 ご と に検 討 す る こ とが 必 要 で す.  ⑦  こ の 章 の は じめ に あ げ た 例 題 に つ い て,こ

れ ら ４ とお りの ウ エ イ トづ け を適 用

し て み ま し ょ う.   図8.6.3∼8.6.6が

そ の 結 果 で す が,図

の 上 で は ほ とん ど差 は み られ ませ ん.

  誘 導 さ れ た傾 向 線 の 係 数 を 比 べ る と,

  LSQ基

準

  Trim基

準

 

Huber基

 

Andrews基

  LAR基

Y=0.134十0.509X

準

Y=0.134+0.509X 

Trimさ

Y=0.140+0.526X 

デ ー タPが

準   Y=0.114+0.547X

準

Y=0.089+0.541X 

れ た デ ー タ な し. ウ エ イ トづ け さ れ て い る.

偏 差 の 小 さ い デ ー タ に も ウ エ イ トづ け . 同 上.こ

の た め 他 と の ち が い が 大 き い.

と な っ て お り, ○  偏 差 の 大 き い デ ー タＰ の ウ エ イ ト変 更 の 範 囲 に 入 っ た こ とに よ りHuber基

準

に お け る係 数ｂ の 値 が そ の 前 の ２つ の 方 法 と か わ っ た こ と. ○  偏 差 の 小 さ い 部 分 で ウ エ イ トを か え るAndrews基

準,LAR基

準 で 他 と離 れ

た デ ー タ Ａ,Ｂ の 影 響 に よ っ て 係 数 αが 小 さ くな っ て い る こ と. が わ か り ます.  ⑧  こ の 差 は,傾

向 か らの 差 に 応 じた ウエ イ トづ け に よ っ て 生 じ るの で す か ら,各

図8.6.7 

各 基 準 で決 ま っ た ウエ イ ト

規 準 で 定 め られ た ウ エ イ トを比 較 し て お き ま し ょ う.図8.6.7が

そ の 結 果 で す.

  こ の 例 の 場 合 に つ い て 導 入 さ れ た 程 度 の ウ エ イ トの 差 で は,結

果 は た い して か わ り

ませ ん で した が,問

題 ご と に 事 態 は ち が っ て くる で し ょ う.

  ア ウ トラ イヤ ー を 識 別 す る 方 法 は,結 です.ど

局,個

々 の 問 題 ご とに 考 え ね ば な ら な い こ と

ん な場 合 に も有 効 な 方 法 は な い とみ るべ きで す.

  参 考 書:こ

の 章 に 関 す る くわ しい 説 明 は,蓑

(多賀 出 版,1992)を

参 照 す る と よ い.

谷 千凰 彦 『計 量 経 済 学 の 新 し い 展 開 』

問題 ８

問１  プ ロ グ ラ ムREGO7を

使 っ て,表8.1.1の

デ ー タ(DU80)に

つ い て 計 算 し,次

の

表 ま た は 図 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.  

ａ.図8.1.2に

回 帰 線 を書 き込 ん だ 図.

  ｂ.図8.1.2に

書 き込 ん だ 回帰 線 を 使 っ た 場 合 の 残 差 プ ロ ッ ト.

  ｃ.表8.3.1に

示 す 残 差 と作 用 点 お よ び 種 々 の標 準 化 残 差.

  ｄ.図8.3.3に

示 す 残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト(表8.3.2が

  ｅ.表8.5.1に

示 す 影 響 分 析 の た め の 指 標 値.

問２ プ ロ グ ラ ムREG08を

使 っ て,表8.1.1の

そ の 基 礎 数 字).

デ ー タ(DU80)に

つ い て 計 算 し,次 の

表 ま た は 図 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.  

ａ.被 説 明 変 数 お よ び 説 明 変 数 と あ ら ゆ る 組 み 合 わ せ に つ い て,そ

れ ぞれ の 回

帰 式 お よ び 残 差 分 散 な ど.  

ｂ.表3.1.4に

示 した 適 合 度 を示 す 決 定 係 数,マ

ロ ー ズ のCP,AICな

どの指標

値.  

ｃ.図8.4.1に

問 ３ UEDA以

示 す 偏 回 帰 プ ロ ッ ト.

外 の 統 計 ソ フ トを 利 用 で き る 場 合,そ

れ を 使 っ て,問

１お よ び 問 ２

と同 じ出 力 が得 られ る か 否 か を確 認 せ よ.  

注:SASを

使 った場 合 との 比較 に つ い ては,次 の 資料 を参 照 して くだ さい.

川 瀬徳 彦 ・上 田尚一:残 差分 析 及 び影 響 分 析 での 各 指 標 の 有効 性,龍 谷 大 学 経 営 学論 集 第35号 第 ２号(1996年 問 ４ 付 表 Ｈ は,賃

金 上 昇 率(Ｙ)と

企 業 の 収 益 率(X3)の  (ｌ) こ れ に つ い て,モ  (２) 1974年

１月) 有 効 求 人 倍 率(X1),物

価 指 数 変 化 率(X2)お

よび

時 系 列 デ ー タ で あ る. デ ルY=A+B1X1+B2X2+B3X3を

あ て は め て み よ.

の デ ー タ は ア ウ トラ イ ヤ ー と み ら れ る よ う だ が,説

X2も 他 の 年 次 と大 き く離 れ て い る の で,ハ

明 変 数X1,や

ッ ト行 列 を使 っ て そ の 影 響 を補 正 し

た 標 準 化 残 差 を 計 算 し,残 差 プ ロ ッ ト(標 準 化 残 差 対 推 定 値 の グ ラ フ)を か け .  (３) ま た,こ

の プ ロ ッ トで 大 き い 偏 差 を 示 し た 年 次 に つ い て,そ

数 値 の ちが い に よ る も の か,そ か 」を 識 別 す る た め に,残

差 対 作 用 点 プ ロ ッ トをか い て み よ.

 (４) モ デ ル で 取 り上 げ て い る説 明 変 数 の 効 果 を み る た め に,そ き,残

れ が 「説 明 変

の 影 響 を補 正 し て も 残 る ア ウ トラ イ ヤ ー で あ る

の 説 明変数 を除

りの 説 明 変 数 だ け を使 っ た 場 合 の 「 偏 回 帰 プ ロ ッ ト」を か い て み よ.

問 ５ プ ロ グ ラ ムREG07を 8.6.3∼8.6.6に 問 ６ 付 表B(DH10V)に

使 っ て,表8.1.1の

デ ー タ に つ い て 図8.6.1お

よび図

示 す 加 重 回 帰 式 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ . 示 すY(＝

食 費 支 出額)とX(＝

実 収 入)に つ い て,

 (１) こ れ ま で の 章 で 説 明 し て き た 通 常 の 回 帰 式 と,8.6節

で 説 明 し た ４ とお り

の 「 加 重 回 帰 」に よ る 回 帰 式 を求 め よ.  (２) (１)の結 果 を み て,ア

ウ ト ラ イ ヤ ー とみ ら れ る デ ー タ を特 定 し,そ の デ ー

タ を 除 くこ と に よ る効 果 を み る ため に,そ

れ を 除 い た こ とに よ る 標 準 化 残 差 の

変 化 を 調 べ よ.外 的 標 準 化 残 差 と(内 的)標 準 化 残 差 を比 べ て み れ ば よ い .

9  ２変 数 の 関係 要 約

 傾 向 線の タイ プ を想 定 しに くい 場 合 もあ りえ ます.   この章 で は,そ

うい う場 合 につ い て,傾 向 線 を求 め る とと もに,傾 向

性 で は 表 わせ な い個 別 変 動 の 大 き さを示 す た めの 線 もあ わせ て示 す 方 法 を説 明 します.   デー タが 示 唆 す る傾 向 性 を拾 い 出 す とい う観 点 で 組 み立 て られ る た め,広 く適 用 で きる こ と にな ります.

9.1  平均的傾向を表わす線の求め方(１線要約)  ①  これ まで の 各 章 の 方 法 で は,傾 か ず,デ

向 線 の タ イ プ を想 定 して い ま した が,想

定 をお

ー タ が 示 す 傾 向 を あ りの ま ま 浮 か び 上 が らせ る … こ う い う 「探 索 的 な 手

法 」を 適 用 す べ き場 合 が あ り え ます.   こ の 章 で は,そ

う い う場 合 に 適 用 さ れ る方 法 を 取 り上 げ ま し ょ う.

 ②  説 明 変 数 Ｘ と被 説 明 変 数 Ｙ の 関 係 を 示 す グ ラ フ の 上 で"傾 向 線 を え が く"こ と を考 え る の で す.そ 定 せ ず,デ

こ ま で は,こ

れ まで と同 じで す が,傾

向 線 の タ イ プ を事 前 に 想

ー タ の 処 理 手 順 を経 る こ と に よ っ て 見 出 そ う とす るの で す.

  た と え ば,  

ａ.Ｘ

の値 域 をい くつ か の 区 分 に 区 切 り,

  ｂ.各 値 域 に 属 す る 観 察 値(Xn,Yn)の  

平 均 値(Ｘ,Ｙ)を

求 め,

ｃ.そ れ ら を つ ら ね る 折 れ 線 を ひ く

の が ひ と つ の 方 法 で す.   こ う し て 得 ら れ た折 れ 線 を 「平 均 値 の トレ ー ス ラ イ ン 」 と よぶ こ と に し ま し ょ う.   た と え ば 図9.1.1の

よ う に 値 域 を 区 切 っ て 各 区 切 りに お け る 平 均 値 を 求 め,図

9.1.2を か くの で す.  ③  こ の 場 合,区

切 りの 数 を い くつ に す るか が 問 題 と な り ます.少

なす ぎ る と 細 か

図9.1.1 

値 域 を 区切 る

い 動 きが 表 現 され ず,多

図9.1.2 

平 均 値 の トレー ス ラ イ ン

す ぎ る と各 区 分 の デ ー タ 数 が

図9.1.3

ス ム ー ジ ン グ

図9.1.4 

傾 向性 と個 別 性

少 な い こ とか ら偶 然 的 な 変 化 が 入 っ て き ます.   そ こ で,い  

ｄ.折

くぶ ん 多 め に とっ て お き,

れ 線 を ス ムー ジ ン グ す る

ス テ ップ を つ け加 え る こ とが 考 え られ ま す.   そ の た め に,た

と え ば,点(Xk,YK)のYKを,そ

の 前 後 の １点 ず つ を 含 め た ３点 の 平 均(YK-1+YK +YK+1)/3と

お きか え る 方 法 を 採 用 し ま す.３ 項 移 動

平 均 と よ ば れ る 方 法 で す.   い い か え る と,各 区 切 りに 前 後 の 区 切 り を接 続 させ た 上,そ

の 範 囲 で の 平 均 値 の 位 置 を み る の だ と 了解 で き ま す.

  し た が っ て,各

平 均 値 の 基 礎 デ ー タ数 が 平 均N/P個

で は １点 あ た り3N/P個

と な る と こ ろ を,移 動 平 均 値

の デ ー タ を 使 う こ と に な り ま す か ら,デ ー タ 数 が 少 な い こ

と か ら発 生 す る不 規 則 な 凹 凸 を 消 す こ とが で き ます.   た だ し,  

意 味 の あ る細 か い上 下 も消 して し ま う

と い う副 作 用 を もち ます か ら,図9.1.4の し(図9.1.2に

図9.1.1を

よ う に ひ とつ ひ とつ の 観 察 値 を一 緒 に 図 示

重 ね て 図 示 して)傾 向 線 が"点 の 分 布 を代 表 し て い る"こ と

を確 認 す べ きで す.   ３点 の か わ りに ５点 を使 え ば ス ム ー ジ ン グ の 効 果 は 上 が りま す.た

だ し,副 作 用 の

方 が 問 題 と な り ます か ら,５ 点 以 上 に ひ ろ げ る こ と は 避 け ま し ょ う.  ◇ 注 １ 移 動平 均 では両 端 の 情報 が 計 算 され ませ ん か ら,た と えば ３点 移 動 平 均 で は,両   端 につ い ては,そ の 区 間 での 平均 値 を使 い ます. ◇ 注 ２ 移 動 平均 法 は,時 系 列 デー タで 採 用 され る こ とが 多 い もの です が,そ れ 以外 の場  合 に も,広 く使 い うる もの です.次 節 に例 示 し ます. ◇ 注 ３ 時 系列 デー タの場 合 に は,12か

月の 周期 を もつ 成 分 をそれ 以外 の変 動 と分 離 す る

 手 順 と して用 い られ ます.偶 然 的 な変動 を消す 場 合 とは ちが う使 い方 です.こ の 場 合 は 季

節 性 を除 去す る ため に12項 移 動 平 均 を適 用 し,さ らに,中 心 位 置 を調 整 す る ため に ２項 移 動平 均 を適用 します.し たが って,  (1/2Y-6+Y-5+Y-4+Y-3+Y-2+Y-1+Y0+Y1+Y2＋Y3+Y4+Y5+1/2Y6)/12 をY0の

か わ り に 使 う こ と に な り ま す.

 ④  上 記 の 手 順 に お い て,平 な わ ち,186ペ

均 値 の か わ りに 中位 値 を 使 う こ とが 考 え ら れ ま す.す

ー ジ の ａ,ｂ,ｃの か わ りに 次 の 手 順 ａ,b',ｃ を 適 用 し て 傾 向 線 を求 め る

の です.  

ａ.Ｘ

 

b'.各 値 域 に属 す る観 察 値(XN,YN)の

の値 域 を い くつ か の 区 分 に 区 切 り,

 

ｃ.そ れ ら をつ ら ね る 折 れ 線 を ひ く

中 位 値(X,Y)を

求 め,

  こ う し て 求 め た 傾 向 線 を,「 中位 値 の ト レー ス ラ イ ン 」 と よぶ こ とに し ま し ょ う.   平 均 値 を 使 う場 合 と比 べ て,  

ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 受 け に くい

と い う利 点 を もち ま す.ま  

た,

代 表 値 か らの 外 れ が 対 称 性 を も た な い デ ー タ に も対 応 で き る

も の に な っ て い ます.

9.2  傾 向 を 拾 い 上 げ る  ①  6.5節 の ⑧ で 取 り上 げ た オ リ ン ピ ッ ク 記 録 の 例(付 表 Ｈ)に つ い て 再 考 し ま し ょ う.   記 録 の 推 移 を示 す 図9.2.1(図6.5.5の

再 掲)で は,年

々 記 録 が 向 上 し て い る よ うに

み え るが,  

上 下 の バ ラ ツ キ が 大 き くて,今

後 ど うな る か を よ み と りに くい

だ け で な く,  

今後 の推移 に 関 して 「 下 限 が あ る 」と想 定 で き る か

を 判 定 せ よ … と い う 問題 で し た.   上 下 の バ ラ ツ キ を誤 差 と み な す な ら,「 傾 向 線 に 注 目す れ ば よ い｣と い え る の で す が,下

限 の 有 無 に 答 え る た め に,傾

向 線 の 型 を 想 定 す る と こ ろ に 問 題 が あ る の で す.

  た と え ば 「レベ ル レー ト図 の 形 に プ ロ ッ ト」す る と い う扱 い 方 で,こ で き る こ と を 説 明 し ま し た が,図9.2.1を

の問題 に対 応

そ の ま ま の 形 で 扱 うか わ りに,前

節 に あげ

た移 動 平 均 を 使 う こ と が 考 え られ ま す.  ②  図9.2.2は,図9.2.1の

デ ー タ に ５項 移 動 平 均 を適 用 し た結 果 で す.

  傾 向 が １線 で 表 わ せ ます か ら,そ れ を 延 長 して,将   そ の 上 で,図9.2.3の  

来 の 動 き を よみ とれ ます.

よ う に レベ ル レ ー ト図 の 形 に 表 わ す と,ま ず

点 が 左 に動 い て い る こ と,す

な わ ち,

図9.2.1 

オ リ ン ピ ッ ク の200m走 記 録(図6.5.5の

 

図9.2.2 

の

図9.2.1に

移 動 平 均 を適 用

した 結 果

再 掲)

記録 が 更新 され てい る こ と

図9.2.3 

図9.2.2の

レ ベ ル レ ー ト図

が よ み と れ ます.   ま た,  

点 が 左 上 に 動 い て い る こ とか ら, 更 新 幅 が 小 さ くな っ て い る

こ と も よみ とれ ます.  ③  最 も 古 い デ ー タ Ａ,Ｂ を 除 く と,図9.2.2 に 対 して 回帰 式  

DX=1.3823-0.0748X

傾 向線 は,図

の 点A,Bを

除 い て 計 算.

が 得 られ ます.   これ か ら,Ｘ

の 下 限 す な わ ちDX=0に

対 応 す る Ｘ は18.5秒

だ と推 定 さ れ ま す.

た だ し,    

レベ ル レ ー ト図 の 縦 軸DXが

０の 線 に 近 づ く

→ 横 軸 す な わ ち Ｘ の 動 きが 小 さ くな る

こ とに 注 意 し ま し ょ う.   この こ と は,  

DX=0に

近 づ くに して も,

そ れ が 実 現 す る とい う わ け で は な い こ と を意 味 し ます.  ④  現 在 ま で の デ ー タ に も とづ く傾 向 で あ り,そ れ が 今 後 もつ づ く とい う仮 定 を お い た 上 で の 発 言 で す か ら,こ

こ に例 示 し た 扱 い を した と し て も,

 記 録 の 上 限 値 に つ い て 発 言 す る の は 無 理 だ とい う コ メ ン トが あ り え ます.   頑 張 れ ば,こ

の 上 限 を破 れ るで し ょ う.

  統 計 手 法 に よ る予 測 は,「 あ る想 定 を お い て 求 め ら れ た もの 」で す か ら,ひ

とつ の

参 考 値 と気 軽 に 受 け と り ま し ょ う.

9.3  ひ ろ が り幅 を 示 す(３ 線 要 約)  ①  5.2節 で は  

１本 の 傾 向 線 で デ ー タ を代 表 す る こ とが 「現 実 に 存 在 す る個 人 差 」の 情 報 を無 視 す る こ とに な るが, それ でよ いのか

とい う問 題 を あ げ て お き ま した.   この 節 で は,こ

の 問 題 へ の 対 応 を 考 え ま し ょ う.

 ②  １本 の 線 を ひ く こ と で 終 わ りに せ ず,そ ば よ い の で す が,こ

の 章 で は,デ

の 上 下 に 幅 を つ け よ う … こ う考 え れ

ー タ の 分 布 形 な ど に 関 す る 仮 定 を お く こ と な く,

「デ ー タ が もつ 傾 向 を 拾 い 上 げ る」 とい う扱 い 方 を考 え て い る の で す.   し た が っ て,9．1節 す 幅 」の 求 め 方,さ

の 「平 均 的 傾 向 を表 わ す 線 」の 求 め 方 を,「 平 均 的 な 傾 向 を 表 わ らに い い か え る と,「 ひ ろ が り幅 の 上 限,下

限 を 表 わ す １対 の 線 」

の 求 め 方 を考 え れ ば よ い の で す.  ③  平 均 値 と と もに 標 準 偏 差 を使 うの が 一 案 で す.   し た が っ て,  ａ.Ｘ

の 値 域 を い くつ か に 区 切 り,

 ｂ.各 値 域 のYKと   ｃ.YK 

 

標 準 偏 差 σKを 使 い,

の トレー ス ラ イ ン

 YK+σKの

トレー ス ラ イ ン

 YK-σKの

トレー ス ラ イ ン

の ３本 を あ わせ 示 す

と よ い で し ょ う.   こ う し た もの を 平 均 ± 標 準 偏 差 の ト レー ス ラ イ ン と よぶ こ とに し ま し ょ う.   この 場 合 σ も,値 域 ご と に 求 め るべ き で す. ひ ろが り幅 が 一 定 と仮 定 す る こ と を 避 け よ う と い う趣 旨 で す. ◇ 注   こ こ で考 え て い る ひ ろが りは,「 平 均値 の 見積 も りの精 度 」を表 わす た め の ひ ろが りで は あ り ませ ん.現 実 の デー タ が もつ ひ ろ が りで す.

図9.3.1 

平 均 と標 準 偏 差 の トレー ス

したが って,大 きい 方へ の ひ ろ が り,小 さい方 へ の ひ ろが りを同 一値 で 表 現 す る こ と と な る標 準 偏 差 は採 用 しに くいの で す.   ④  「分 布 の 形 に 関 す る仮 定 を避 け る 」 とい う意 味 で は,ひ

ろ が り幅 の 指 標 と し て

標 準 偏 差 を使 う こ と を 問 題 視 しな け れ ば な り ませ ん.   大 き い 方 へ の 変 動 と小 さ い 方 へ の 変 動 とは,大 が う … 当 然,わ

き さが ちが い,現

象 の もつ 意 味 も ち

け て 評 価 す べ き だ と い う こ とで す.

  この た め に は,平

均 値 の か わ りに 中 位 値,標

準 偏 差 の か わ り に 四 分 位 偏 差 値 を使 う

こ とが 妥 当 で し ょ う.  ⑤  そ こ で,9.1節  

の情 報要約 手順 中の ｂを

平 均 値 − 標 準 偏 差 ⇒ 第 １四 分 位 値  平均値

⇒ 中位値

  平 均 値 −標 準 偏 差 ⇒ 第 ３四 分 位 値 とお き か え ま し ょ う.そ

う し て ｃを,こ

れ ら ３本 の トレ ー ス を使 う こ と に 改 め ます.

  こ れ を,３ 線 ト レー ス あ る い は ３線 要 約 と よ ぶ こ と に し ま し ょ う(提 唱 者 の 名 を と ってHartwigの  ⑥  図9.3.2が

方 法 と よ ば れ て い ます). そ の 例 で す.

  この 図 で は 第 ７章 と 同 じデ ー タ を使 っ て い ま す か ら,図5.2.1な い

ど と比 べ て くだ さ

.

  個 別 変 動 の 情 報 を要 約 表 示 して い る こ と,一 般 化 し た 言 い 方 をす れ ば 基 礎 情 報 の再 表 現 と い う観 点 で,有 効 な表 現 で す.   ま た,傾

向性 を み る場 合 に つ い て も,Ｘ,Ｙ

して い な い こ と,そ

う し て,傾

の 関 係 を表 わ す 傾 向 線 の タ イ プ を特 定

向 線 の 上 下 へ の ひ ろ が り方 に 関 す る傾 向 性 も よ み とれ

る こ と に 注 意 し ま し ょ う.

図9.3.2 

中 位 値 ・四分 位 値 の ３線 トレー ス に よ る表 現

図9.3.3 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト形 式 に よ る

表現

  この 表 現 は,Tukeyの い ます.そ

の 意 味 で は,各

提 唱 した ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 考 え 方 を 適 用 し た 形 に な っ て 区 切 りの 情 報 を(Q1,Q2,Q3)に

こ と も考 え られ ます.図9.3.3で

対 応 す るボ ッ クスで表 わ す

す.

  まず 各 値 域 区分 ご とに ボ ッ クス プ ロ ッ トを え が き,そ れ らが 系 列 を な して い る こ と を考 慮 し て,「 ３点 を ３線 に す る 」 と了 解 す れ ば よ い の で す.そ

の際 に 「 移 動 平均 に よ

る ス ム ー ジ ン グ を適 用 し て い る 」の で す.  ⑦  こ の 方 法 を意 識 し て い た か ど うか は わ か り ませ ん が,統

計調査 の結 果表 現で は

か な り前 か ら採 用 さ れ て い ま した.   た と え ば 家 計 調 査 や 賃 金 セ ン サ ス に お い て,分

布 の 特 性 値 と して,中

位 値 と ２つ の

四 分 位 値 が 集 計 さ れ て い ます.   た と え ば,貯

蓄 現 在 高 と年 収 の 関 係 を み よ う とす る と き,年 収 の 区 分 の そ れ ぞ れ に

つ い て 貯 蓄 現 在 高 の 分 布 表 を求 め て も両 者 の 関 係 を 簡 単 に は よ み と れ ませ ん か ら,分 布 の 情 報 を ３点 表 示(Q1,Q2,Q3)に

お き か え,Q1,Q2,Q3が

年 収 に よって どう動 くか

を み よ う … こ う い う意 図 で 使 わ れ て き た もの で す.   一 例 と し て,世

帯 の 支 出総 額 と食 費 支 出 の 関 係,世

を示 す 図(図9.3.4,9.3.5)を

帯 の 支 出 総 額 と雑 費 支 出 の 関 係

あ げ て お き ま し ょ う.

  傾 向 線 が 直 線 だ と い う仮 定 をお い て い な い た め,食

費 で は 次 第 に 傾 斜 が 低 くな り,

雑 費 で は 次 第 に 大 き くな る と い っ た傾 向 が よみ とれ る こ と に 注 目 し ま し ょ う.   集 計 デ ー タ で は ひ とつ ひ とつ の 観 察 単 位 の 情 報 は 利 用 で き ませ ん.し れ らの 図 で は,値

の 分 布 を示 す 点 を(図9.1.4の

た が っ て,こ

よ うに)図 示 で き ませ ん.そ

の 欠点

が ３本 の 線 を 使 う こ とに よ り カ バ ー さ れ て い る の で す.

図9.3.4 

３線

ト レ ー ス の 適 用 例(１ ）

図9.3.5 

３ 線 ト レ ー ス の 適 用 例(２)

問題 ９

問 １  付 表C.5(DK80K)を

使 っ て,食

費 支 出 額 と年 間 収 入 との 関 係 を 示 す 「中 位 値 ・

四 分 位 値 の ト レー ス ラ イ ン」お よ び 「ボ ッ クス プ ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ 」をか け.  こ の 問 題 で は,中 の とす る.ま

た,各

位 値 ・四分 位 値 が 計 算 さ れ て い る の で,そ 世 帯 の 値 は 使 え な い の で,そ

問 ２ (１) 付 表B(DH10V)の

食 費 支 出 額(Ｙ)と

収 入 総 額(Ｘ)を

使 っ て,本

で 説 明 した 「中位 値 ・四 分 位 値 の トレー ス ラ イ ン 」(図9.3.2)お ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ 」(図9.3.3)を

れ を使 えば よい も

れ は 表 示 しな い もの とす る. 文9.3節

よ び 「ボ ッ クス プ

か け.

 (２) 平 均 値 と標 準 偏 差 を 使 っ て,図9.3.1の

形 式 の グ ラ フ を か い て,(１)の

グ

ラ フ と比 較 して み よ．  (３) 前 章 の 問 ６で え が い た 加 重 回 帰 の 結 果 を示 す グ ラ フ と比 較 して み よ. (１),(２)はXYPLOT2,(３)はREGO7を 問 ３ (１) 付 表G.1は80人

429人 分 の デ ー タ が 記 録 さ れ て い る.こ 男女 別 区 分 ご と に,年

使 うこ と

の デ ー タ で あ るが,UEDAの

デ ー タ フ ァ イ ルDE12に

れ を 使 っ て,製

は

造 業 の 規模 階 級 お よび

齢 別 変 化 をみ る ため の 「中 位 値 ・四 分 位 値 の トレー ス ラ イ

ン」お よ び 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ」を か け.  (２) 平 均 値 と標 準 偏 差 を 使 っ て,図9.3.1の

形 式 の グ ラ フ を か い て,(１)の

グ

ラ フ と比 較 し て み よ.  (３) (１)の グ ラ フ と(２)の グ ラ フ を 比 べ,「(１)の グ ラ フ の 方 が よ い 」 と さ れ る理 由 を述 べ よ.

 

付録 Ａ ● 分析例 とその資 料源

 

分析例

  参照箇所

例 １  回 帰 分 析 の 手 順 例

  表2.1.2∼2.1.5 

   

図2.1.6∼2.1.8  分散分析表

  表2.8.1∼2.8.3 

例 ２  回 帰 分 析 の 計 算 手 順 例

  2.5節,2.6節

例 ３  残 差 プ ロ ッ トの例

  図2.7.1,図2.7.4    図2.7.2,図2.7.3    図2.7.5 

例 ４  説 明変 数 と取 り上 げ 方

 3.1∼3.7節

例 ５  ビ ー ル の 出荷 量変 動 の 要 因 分 析

  表4.1.1,表4.1.2 

例 ６  国 内総 生 産 の要 因分 析

  表4.1.3 

例 ７  平 均 賃 金 比較 に お け る 年 齢 の効 果 補 正

 表4.2.3,表4.2.4 

例 ８  ビー ル 出荷 量 に おけ る 気 温 の 影 響 補 正   表4.3.1  例 ９  家 計 消 費の 費 目間 相 関 係 数 の分 析 例10  平 均 賃 上 げ 率 の 要 因分 析

ビー ル 出 荷 量 の 要 因 分 析

例13  離 婚 率 の 推 移 の 分 析 と予 測 例14  エ ネ ル ギー 需 要 の 変 動 要 因

 付 表名

仮 想 例   付 表A.2 資 料 １  仮想例

付表 Ｂ  付 表A.2

  仮 想 例   付 表A.1 資 料1 

付表 Ｂ

資 料 ６  付 表G.1 資料 ２   資料 １  付 表 Ｂ 資料 ５  付 表F.1 資料 ４  付 表E.2 仮 想例 資料 ５  付 表F.1

  4.4節

  資 料 １ 

付表 Ｂ

  4.5節

 資料12 

付表 Ｈ

例11  食 費 支 出 の 分 析(集 計 表 の 利 用)  例12 

  資料 源

5.1∼5.9節   6.1節

 資 料 ２ 

付表 Ｃ

  資 料 ５  付 表F.1

  6.2節   6.3節  

  資 料 ７ 

付 表D.3

資 料 ８ 

付 表E.1

例15 

カ ラー テ レ ビ普 及 率 の レベ ル レー ト図  図6.4.1,図6.4.3 

資 料 ９ 

例16 

カ ラー テ レ ビの 生 産 出 荷 在 庫 の 循 環 図   図6.4.2,図6.4.4 

付 表I.1

例17 

東 京 周 辺 の 人 口推移

例18 

横 須 賀 市 の 人 口 推移

例19 

オ リン ピ ッ クの 記録

例20 

カ ラ ー テ レ ビ普 及率 の 推 移

例21 

ホー ム エ ア コン普 及率 推 移 の 比 較

  図7.4.10∼7.9.13 

例22 

セー ル スマ ン 増員 率 と売 り上 げ 増 加

  8.1∼8.6節

  資 料14 

付表 Ｌ

例23 

回帰 診断 の ため の 諸 指 標

  8.3∼8.6節

  資 料14 

付表 Ｌ

  資 料10 

付 表I.4

 図6.4.6 

資 料11 

付 表D.1

  図6.5.3 

資 料12 

付 表D.2

  資 料13 

付表 Ｍ

 

図6.5.4∼6.5.6と9.2節

 7.4節

資 料 源:基

礎 デ ー タ が掲 載 され て い る資 料 名.

付 表 名:基

礎 デ ー タ を付 録 Ｂ に掲 載 して い る場 合,そ

  資料 ９  付 表I.1

の 表 名.

資料 ３  付 表I.3

資

料

資料１  家計 調査 モデ ルデー タ1954年 

非 公開

資料 ２  総務庁 統 計局 「家計 調査年 報」 

毎年

資料 ３  総務 庁 統 計局 「全 国消 費実 態調査 報 告」 

毎 ５年

資料 ４  経 済企 画庁 「国民経 済計算 年報 」 

毎年 毎年

資料 ５  国税庁 「国税統 計年報 」 

毎年 毎年

資料 ６  労働 省 「賃 金構 造基本 調査 報告」  資料 ７  厚 生省 「人 口動 態統計 調査年 報」  資料 ８ 

資 源 エ ネ ル ギー 庁 「 総 合 エ ネ ル ギ ー 統 計 」 毎年

毎年

資料 ９  経 済企 画庁 「消 費動 向調査年 報」  資料10  通 商産 業省 「工 業生産 動態調 査報 告」 

毎月

資料11  総務 庁統 計 局 「国勢調査 報告 書」 

毎 ５年

資料12 

蓑 谷 千 鳳 彦 「回 帰 分 析 の は な し」,東 京 図 書,1985

資 料13 

S. Chhatterjee, Times

資 料14

V. Mahajan Present

  注:政

New

in Olympic et

Lamps

for Old:An

Games:Appl.

Statist.

al.,Parameter

of Influential

府 刊 行 物 に つ い て は,省

Data:J.

Exploratory Vol.

Estimation of

Marketting

Analysis

of Running

31(1982) in

Marketing

Reseach,

庁 再 編 前 の 組 織 名 で 示 し て い る.

Vol.

Models XXI(1984)

in

付 録 Ｂ● 付 表:図

・表 ・問 題 の基 礎 デ ー タ

付 表 Ａ  仮想例 付表 Ｂ 

68世 帯の 家計収 支

付表 Ｃ  典 型 的 な集 計表 付 表D.1 

東 京50km圏

付 表D.2 

横 須賀 市の 人 口推移

の 距 離 帯 別 人 口推 移

付 表D.3  結 婚件数 ・離婚件 数 の推移 付 表E.1 

エ ネ ル ギー 需 要 と関 連 指 標

付 表E.2 

生産 関数 推定 の 基礎 デー タ

付 表F.1 

ビ ー ル 販 売 量 と関 連 指 標

付 表F.2 

家 計 に お け る ビー ル 購 入 量

付 表G.1 

賃金 月額

付 表G.2  平均 賃金 の年 齢別 推移 付表 Ｈ

 賃金上 昇率 と関連要 因

付 表I.1  耐久 消費財 普 及率 の推移 付 表I.2 

ル ー ム クー ラ ー 普 及 率 の 推 移 の 県 別 比較

付表I.3  年間収 入階 級別 耐久 消 費財普 及率 の推移 付 表I.4 

カ ラー テ レ ビ の 生 産 ・出 庫 ・在 庫

付 表 Ｊ 

交通事 故発生 件数 の県別 比較

付 表K.1 

身 長 ・体 重 の 年 齢 別 推 移

付 表K.2 

身 長 ・体 重 の ク ロ ス 表

付 表 Ｌ   セール スマ ン増員 率 と売上 げ増 加 付表 Ｍ

 オ リン ピッ クの記 録(男 子 陸上)

＊  それ ぞれ の 表 に 記 し た 資料 か らの 引 用 で す.数

字 の 定 義 な ど に つ い て は,そ

れ ぞ れ の 資 料 を参

照 して くだ さ い. ＊  数 字 の 表 示 桁 数 な ど をか え た もの もあ り ます. ＊  数 字 は,そ

れ ぞ れ に 付 記 し た フ ァ イ ル 名 で,UEDAの

＊  フ ァ イル に は,表

デ ー タベ ー ス に 収 録 され て い ます .

示 した 範 囲以 外 の数 字 を掲 載 して い る場 合 も あ ります .

付表 Ａ 付 表A.1 

Ｙ:食 費 支 出,X1:収 X3:有

業 者 数,を

仮 想 例(１)

入,X2:世

付 表A.2 

帯 人員,

想 定.

Ｙ:食

入,X2:世

人員 を想 定 。   [フ ァ イ ルXX03]

付 表A.3 

UEDAの

費 支 出,X1:収

仮 想例(２)

デー タ 記録 形 式 で あ る.文 番 号 とDATAは

  [フ ァ イルXX03]

仮 想例(３)

省 略 可. 

[フ ァ イ ルXX03]

帯

付 表 Ｂ 68世 帯 の 家計 収 支(1954年 平 均)

X1:世

帯 人員,X6:収

費,X11:住

居 費,X12:光

デ ー タフ ァイ ル に は,X2:有

入 総 額,X7:実

支 出,X8:消

熱 費,X13:雑 業 者 数,X3∼X5:大

費 支 出 総 額,X9:食

費,X10:被

費 人,子

供,乳

幼 児数 も記録 され て い る   [フ ァ イ ルDH10]

服

付 表 Ｃ  典 型 的 な集 計 表 付表C.1  勤労者世帯の年間収入階級別

Ｎ:世 帯 数，X1:年 Y2:実

間 収 入(万 円),X2:世

支 出(千 円),Y3:消

育 費 支 出(円),Y7:教

帯 人 員,X3:世

費 支 出(千 円),Y4:食

帯 主 の 年 齢,Y1:収

費 支 出(円),Y5:被

入 総 額(千 円),

服 費 支 出(円),Y6:教

養 娯 楽 費 支 出(円).  

家 計 調 査 年 報(1984年)   [フ ァ イルDK31]

付表C.2  勤労者世帯の年間収入十分位階級別

 家 計 調 査 年 報(1984年)  

[フ ァ イ ルDK31A]

付 表C.4(a) 

勤 労 者 世 帯 の 年 間 収 入別

 各 変 数 値 は,年 収 階 級 区 分 の世 帯 の 平 均 値.た 間収 入 平均 値 は 集 計 され て い な い の で,各

だ し,年

区分 の 中 央値

な ど と想 定.  全 国 消 費 実 態 調 査 報 告(1984年)   [フ ァ イルDK41]

付 表C.4(b) 

勤労 者世 帯 の 年 間 収 入 お よ び世 帯 人員 別

 全 国 消 費 実 態 調 査 報 告(1984年)  

[フ ァ イ ルDK45X]

付表C.3  勤労者世帯の世帯人員別

 家 計 調 査 年 報(1984年)   [フ ァ イ ルDK33]

付表C.5  食費支 出額 の分布 および分布特性値(勤 労者世帯)

 全 国 消 費実 態 調 査(1984年)   [フ ァ イルDK80,DK80X]

付表C.6  区分別家計 支出の推移

 

家計調査年報

 [フ ァ イ ルDK30]

付表C.7  消費者物価指数の推移

 消費者物価指数統計年報  

[ファイルDU10]

付表 Ｄ 付 表D.l 

東 京50km圏

付 表D.2 

の 距離 帯 別 人 口推 移

横 須 賀 市 の 人 口推 移

付表D.3  結婚件数 ・離婚件 数の推移

付表 Ｅ 付 表E.1 

エ ネ ル ギ ー 需要 と関 連 指 標

Ｘ:最 終 エ ネ ル ギー 消 費(単 位1010kcal) Ｘ*:同

上 の 新 推 計 値(資 源 エ ネ ル ギ ー 庁 「総 合 エ ネ ル ギ ー 統 計 」)

Ｕ:鉱 工 業 生 産 指 数(1980年 Ｕ*:同

上(1990年

基 準)

基 準)(通 商 産 業 省 「工 業 生 産 動 態 調 査 報告 」)

Ｖ:家 計 最 終 消 費支 出(1980年 Ｖ*＝ 同 上(1990年

Ｈ:世 帯数(各 前 年 度 末1000世 ()を

基 準 価 格10億

基 準 価 格10億

円)

円)(経 済 企 画 庁 「国 民 経 済 計 算 年 報 」) 帯)(自 治 省 「住 民 基 本 台 帳 人 口要 覧 」)

つ け た 数 字 は リ ン ク係 数 を使 っ て計 算 した もの.   ［フ ァ イ ルDT10,DT10NEW］

付 表E.2 

生 産 関 数 推 定 の 基礎 デ ー タ

付表 Ｆ 付 表F.1 

ビー ル 販 売 量 と関 連 指 標

付 表F.2 

家 計 に おけ る ビー ル 購 入 量(月 別)

付表 Ｇ 付 表G.1 

賃 金 月額(疑 似 個 別 デ ー タ)

付表G.2  平均賃 金の年齢別 推移

X1:製

造 業 ・男 ・高 卒,X2:製

X5:商

業 ・男

・高 卒,X6:商

造 業 ・男 ・大 卒,X3:製 業 ・男

・大 卒,X7:商

造 業 ・女 ・高 卒,X4:製 業

・女

・高 卒,X8:商

造 業 ・女 ・大 卒, 業

・女

・大 卒

  [フ ァ イ ルDE40]

付 表 Ｈ  賃金 上 昇率 と関 連 要 因

付表 Ｉ 付表Ｉ.1 耐 久消費財普 及率 の推移

  X1:ガ ス 湯沸 し器普 及率(66∼95年),X2:電 気 冷蔵庫普 及 率(64∼95年),X3:電 子 レ ン ジ 普 及 率(70∼95年), X4:ホ

ー ム エ ア コ ン普 及 率(64∼90年),X5:カ

普 及 率(66∼95年),X6:カ    

ラーテ レビ

ラー テ レ ビ保 有率(66∼95年) 消 費 動 向 調 査 年 報(平 成 ７年 版) [フ ァ イ ルDT20]

付 表I.2 

ルー ム クー ラー 普 及率 の推 移 の 県別 比較

  「民 力 」朝 日新 聞 社  [フ ァ イ ルDT24]

付表I.3  年 間収 入階級別 耐久消費財普 及率 の推移

 全 国 消 費 実 態 調 査  [フ ァ イ ルDT22] 原 資料 で 十 分 位 階 級 別 に な って い る とこ ろ は,五 位 階 級 別 に 編 成 替 え.

付 表Ｉ.4  カ ラ ー テ レ ビの 生 産 ・出庫 ・在 庫

分

付 表 Ｊ  交通 事 故 発 生 件 数 の 県別 比 較

付表 Ｋ 付表K.1 

付 表K.2 

身長 ・体 重 の年 齢 別 推 移

身 長 ・体 重 の ク ロ ス 表

付 表 Ｌ セ ー ル スマ ン増 員 率 と売 上 げ増 加

付 表 Ｍ   オ リン ピッ クの 記 録(男 子 陸上)

 [フ ァ イ ルDU90]

付 録 Ｃ● 統 計 ソ フ トUEDA

 ①  ま ず 明 らか な こ とは  

統 計 手 法 を適 用 す る た め に は,コ

だ と い うこ と で す.計

ン ピュー タが必要

算 機 な しで は 実 行 で き な い複 雑 な 計 算,何

か え して 最 適 解 を見 出 す た め の く りか え し計 算,多 機 能 な ど,コ も,コ

回 も試 行 錯 誤 を く り

種 多 様 な デ ー タ を 管 理 し利 用 す る

ン ピ ュー タ が 果 た す 役 割 は 大 き い の で す.ま

た,統

計学 の学 習に お いて

ン ピ ュ ー タ の 利 用 を視 点 に 入 れ て 進 め る こ とが 必 要 で す .

  し た が っ て,こ

の シ リー ズ に つ い て も,各

テ キ ス トで 説 明 し た手 法 を 適 用 す る た め

に 必 要 な プ ロ グ ラ ム を用 意 して あ りま す.  ②  た だ し,  

「それ が あ れ ば 何 で もで き る」 とい うわ け で は な い

こ とに 注 意 し ま し ょ う.   道 具 と い う意 味 で は,「 使 い や す い もの で あ れ 」 と期 待 さ れ ま す.当 が,広

然 の要 求 で す

範 囲 の 手 法 や 選 択 機 能 が あ り ます か ら,当 面 して い る問 題 に 対 し て,   「どの 手 法 を選 ぶ か,ど

の 機 能 を指 定 す る か 」

とい う 「コ ン ピ ュー タ に は 任 せ ら れ な い 」ス テ ッ プ が あ り ま す .そ

こ が 難 し く,学 習

と経 験 が 必 要 で す.「 誰 で もで き ます 」 と気 軽 に 使 え る も の で は あ りま せ ん .「 統 計 学 を知 ら な くて も使 え る」 よ うに は で き ませ ん.こ

れ が本質 です.

 ③  こ の た め 「 統 計 パ ッ ケー ジ」は,「 知 っ て い る 人 で な い と使 え な い 」 とい う側 面 を もっ て い る の です が,そ え ま し ょ う.た

うい う側 面 を考 慮 に 入 れ て 使 い や す くす る … こ れ は,考

と え ば,「 使 い 方 の ガ イ ドを お り こ ん だ ソ フ ト」に す る こ と を 考 え る

の で す.   特 に,学  

習 用 の テ キ ス トで は

「 学 習 用 と い う側 面 を考 慮 に 入 れ た 設 計 が 必 要 」

で す.   UEDAは,こ

の こ と を考 慮 に 入 れ た 「 学 習 用 の ソ フ ト」で す.

  UEDAは,著

者 の名 前 で あ る と と もに, Utility for Educating  Data Analysis

称 で す.  ④  教 育 用 と い う こ と を意 図 し て,  ○ 手 法 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す る ソ フ ト  ○処 理 の 過 程 を説 明 つ きで 示 す ソ フ ト

の略

  ○典 型 的 な使 い 方 を体 験 で き る よ う に 組 み 立 て た ソ フ ト を,学

習 の 順 を 追 っ て 使 え る よ う に な っ て い ま す.た

とえ ば 「回 帰 分 析 」の プ ロ グ ラ

ム が い くつ か に わ け て あ る の も,こ の こ と を考 え た ため で す.は ム で は,何

じめ に 使 うプ ロ グ ラ

で も で き る よ うに せ ず 基 本 的 な機 能 に 限 定 して お く,次 に 進 む と,機 能 を

選 択 で き る よ うに す る …

こ うい う設 計 に して あ るの で す.

  ⑤  学 習 と い う意 味 で は,そ とが 必 要 で す.し

の ため に適 した 「デ ー タ」 を使 え る よ う に し て お くこ

た が っ て,UEDAに

は,デ ー タ を 入 力 す る機 能 だ け で な く,

 

学 習 用 とい う こ と を考 え て 選 ん だ デ ー タ フ ァ イ ル を 収 録 し た

 

「デー タベ ー ス 」が 用 意 さ れ て い る

の で す.収

録 され た デ ー タ は 必 ず し も最 新 の 情 報 で は あ りませ ん.そ

れ を使 っ た 場 合

に,「 学 習 の観 点 で 有 効 な 結 果 が 得 ら れ る」こ と を優 先 して 選 択 し て い る の で す.   ⑥   以 上 の よ う な意 味 で,UEDAは,テ

キ ス ト と一 体 を な す 「学 習 用 シ ス テ ム 」だ

と位 置 づ け る べ き もの で す.   ⑦  この シ ス テ ム は,10年 して い た もの のWindows版 用 経 験 を考 慮 に 入 れ て,手 改 定 した の が,本

ほ ど 前 にD0S版 で す.い

法 の 選 択 や 画 面 上 で の 説 明 の 展 開 を工 夫 す る な ど,大

シ リー ズ で 扱 うVersion6で

  ⑧  次 は,UEDAを

と し て 開 発 し,朝 倉 書 店 を 通 じ て 市 販

くつ か の 大 学 や 社 会 人 を 対 象 とす る研 修 で の 利 幅に

す(第 ９巻 に 添 付).

使 う と き に 最 初 に 現 わ れ る メ ニ ュ ー 画 面 で す.こ

の シ リー ズ

の す べ て の テ キ ス トに 対 応 す る 内容 に な っ て い る の で す.   くわ しい 内 容 お よ び 使 い 方 は 第 ９巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの

使 い方』を参 照 して く

だ さ い. UEDAの

メ ニ ュ ー画 面

Utilityfor Educating Data Analysis

注:プ

１… デ ー タ の 統 計 的 表 現(基 本)

８… 多 次 元 デ ー タ 解 析

２… デ ー タ の 統 計 的 表 現(分 布)

９… 地 域 メ ッ シ ュ デ ー タ

３… 分 散 分 析 と仮 説 検 定

10… ア ン ケ ー ト処 理

４… ２変 教 の 関 係

11… 統 計 グ ラ フ と 統 計 地 図

５… 回 帰 分 析

12… デ ー タ ベ ー ス

６… 時 系 列 分 析

13… 共 通 ル ー テ ィ ン

７… 構 成 比 の 比 較 ・分 析

14…GUIDE

ロ グラ ム は,富

士 通 の BASIC

言 語 コ ンパ イ ラー Ｆ-BASIC97を

た プ ロ グ ラム の 実行 時 に 必 要 な モ ジュ ー ル は,添  

Windows

は,95,98, 

NT,2000の

付 され て い ます.

い ず れ で も動 き ます.

使 って 開 発 し ま し た． 開 発 し

索

ア  行

欧  文

AIC 

引

ア ウ トラ イヤー  49,166

33,53

Andrews

の 方 法   181

Atkinsonの

Ｃ  178

  狭義 の―    広義 の―

168  168

―の 影響   54 CDA 

赤 池 の情 報 量基 準  33

５

Cookの

Ｄ  178

一 様性   17 DATAEDIT 

45

DATAIPT  DFFITS 

44

１線 要約   186 一 般化 ロ ジス テ ィック カー ブ  145 一 般線 形 モ デル  21 ,22

177

dirty  data  157

移 動平 均  187

EDA 

ウエ イ トづ け  97

５

影 響分 析   175

Ｆ 検 定   19 Ｆ 比   39

カ  行 Hartwigの Huberの

方 法   191 方 法   180

回 帰係 数   12 回 帰係 数 な どの 推 定精 度  39

LAR法

回 帰推 定 値 対説 明 変数 プ ロ ッ ト  15

  181

Logit変 換   149

回 帰推 定 値 に対 す る影 響 分析   176

LRプ

回 帰分 散   14

ロ ッ ト  173

回 帰分 析  ３ VARCONV  VIF 

73,140

 ―  ―

Welshの

の 応 用  75

 ―の 計 算手順  24

62

Ｗ   178

の 構 成  ８

 ―

の数 理  ３

 ―

の 進 め方  30

外 的標 準 化残 差   173

確 定 変数   17

作 用 点効 果   168

確 率 変数   17

３項 移動 平 均   187

加 重 回帰   19,178

残 差  17

頑健 性   19,178

 ―

観 察単 位   166

残 差対 観 察 単位 番 号 プ ロ ッ ト  15,36

 ―

の 異 質性   166

残 差対 作 用 点 プ ロ ッ ト  171

 ―

の 選択   53

残 差対 推 定値 プ ロ ッ ト  14,34

の 標 準化  171

観 察値  ９

残 差対 説 明 変数 プ ロ ッ ト  35

間接 最小 ２乗 法  24,148

残差 プ ロ ッ ト  34,170 残差 分散  ３,10  ―の計 算   28

季節 性   108,115 期待 値   17

 ―

寄与 度  75

３線 トレー ス  191

の不 偏 推 定  33

３線 要約  191

寄与 率  75

散布 図  14 傾 向性   １  ―

の把 握   120

時 間的推 移   115

傾 向線   １

時系 列解 析   115

 ―

の有 意 性検 定   39

時系 列 デ ー タ  ４,108

 ―

の有 意 性 判定   ２

自 己相 関係 数   121

傾 向 値  ９

指 数 曲線  134

系 列 相関   121

シ ステ ム ダ イナ ミ ックス   165

決 定係 数   ３,10   自由度 調 整 ずみ の―    ―

の 解 釈  94

検 証 的 デ ー タ解析   ５

質的 デ ー タ  23 10,33,38

質的 変数   62 集 計 デ ー タ  ４,92 集 計 表  92 重 相 関係 数   12

誤 差項   16

自由度 調 整 ず みの 決 定係 数   10,33,38

個 別性   １

12項 移 動 平均   188

個 別 デー タ  ４

条件 つ き最適 性   161

混 同効 果  79,102

初期 水 準  135,145

 ―

シ ンプ ソ ンの パ ラ ドック ス  79

の補 正  78,79

混 同 要因  79 推定 値 の確 率 論 的 性 質  38

サ

行

数量 化   62,66 数量 化Ⅰ 類   23

最小 ２乗法   ２,16

数量 デー タの再 表 現  66

最小 分 散推 定 値   18

ス ム ージ ン グ  187

最 尤 法  18 最 良線 形不 偏 推定 値   18

正規 性 の仮 定   19

作 用 点  169

成 長 曲線   142

 ―

のパ ラメ ー タ  147

 ―

の タイ プ ３

成分 分解   108,111 制約 条件   22

統 計 調査  92

説明 変 数

統 計 法  92

９

 ―

の扱 い 方  66

 ―

の選 び方  55

トリ ミング  180

 ―

の細 分  60

トレン ド  108

 ―

の逐 次 除外   52

 ―

の逐 次 追加   51

 ―

の追 加  57

 ―

の取 り上 げ方  46

 ―

の変 換  56  ― の変 更  57

独 立 性   17

ナ

行

内的 標準 化 残 差  173 ハ

行

説明 変数 選択   49,53 線 形 モ デル  21,160 全 分散

３,10

掃 き出 し計 算  27 ハ ッ ト行列  168 パ ラ メー タ  16

相 関 関係 の 要 約図   47

バ リア ンス  17

相 関係 数  47 相 関係 数 行 列  47

被 説 明変 数  ９

粗 回 帰係 数  81

非 直 線性   49

粗 相 関係 数  82

標 準 化残 差   171

粗 平均 値  80

標 準 化平 均 値  80

タ

部 分 モ デ ル 30

行

不 偏 性  17 タ イ ム ラ グ  119

分 散 拡大 要 因  62

多 重 共 線 性   51,62

分 散 分析  49,113

ダ ミー 変 数   22,64,68

分 散 分析 表   14

探 索 的 デ ー タ解 析   ５,162

分 析 経過 図  95 分 析 の フ ロー  14

値 域 区分  97 逐 次近 似 法   149

平 均値 の トレー ス ラ イ ン  186

中位値 の トレース ラ イン  188

平 均 的傾 向  186 偏 回 帰係 数   81

定 性 的予 測  120

偏 回帰 作 用 点 プ ロ ッ ト  171,175

適 用上 の 問題  19

偏 回帰 プ ロ ッ ト  175

て こ比   170

変 化 の説 明   124

デー タ

偏 差  ９

 ―

の 質  155

偏 相 関係 数  82

 ―

の 精度   25

飽 和 水 準   135,145

 ―

の 経 過 要 約   31

予 測   109,120

マ

行

マ ロ ー ズ のCP 

 ―

33,53

ラ

の 評 価   122

行

モ デル  16

レ ー ト  131

 ―

の原 形   148

レベ ル   131

 ―

の選 択  21

レベ ル レ ー ト図   132

 ―

の誘 導 型  148

レベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線   134

 ―

の良 否   161

レベ ル レ ー ト図 上 で の 放 物 線   143

モ デ ル選 定 の考 え方   160 ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ   142

ヤ

行

ロ バ ス ト  179 ロ バ ス ト回 帰   178

要 因分析   31,76

著者 略歴 上

田

尚

一(う

えだ・ しょうい ち)

1927年  広 島県 に生 まれる 1950年  東 京大 学第一 工学部応 用数学 科卒 業 総 務庁統 計局,厚 生省,外 務 省,統 計研 修所 などに て 統 計 ・電 子計算 機関係 の職務 に従事 1982年  龍 谷大学 経済学 部教授 主 著   『パ ソ コ ンで 学 ぶ デ ー タ解 析 の 方 法』Ⅰ,Ⅱ(朝

倉 書 店,1990,1991)

『 統 計 デ ー タの 見 方 ・使 い 方』(朝 倉 書 店,1981)

講座 〈情 報 をよむ統計 学 〉３

統 計 学 の 数理 2002年11月25日

定価 は カバー に表示

  初 版 第１ 刷

著

者  上

田

尚

一

発行  者 朝

倉

邦

造

発行所 

株式 会社

 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号   162‐8707

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

ISBN  4‐254‐12773‐1

  03(3260)0141

FAX 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〈検 印 省 略 〉 〓 2002〈

電話

C3341

平 河工業社 ・渡辺 製本

Printed in Japan

講座 〈 情 報 を よむ 統 計 学〉 情報 を正 し く読み取 るため の統計 学 の基礎 を解 説 前龍谷大 上 田尚 一 著 講座 〈情 報 を よ む統 計 学 〉１

統 12771-5

計

学

C3341 

の

A5判 

基

礎

224頁  本 体3400円

前龍谷大 上 田 尚 一著

統計学の種 々の手法 を広 く取上げ解 説。 〔 内容〕デ ー タ解析 の進 め方／傾 向線の求め方／ ２変数 の関

講座 〈情 報 を よ む統 計 学 〉２

統

計

学

12772‐3 C3341 

の

A5判 

論

理

240頁  本体3400円

前龍谷大 上 田 尚一 著 講座 〈情 報 を よむ 統 計 学 〉９

統 計 ソ フ トUEDAの   12779‐0 C3341 

情報 が錯綜 す る中で正 しい情報 をよみ とるために は「 情報の よみか き能 力」 が必要。すべ ての場で必 要 な基本概 念 を解説。 〔 内容〕統計的 な見方 ／情報 の統計的表 現／新 しい表現法／デー タの対 比／有 意性 の検定／ 混同要因への対応／分布形 の比較

使 い方

[CD‐ROM付] A5判  200頁 本 体3400円

係の表 し方／ 主成分／傾 向性 と個別 性／集計 デー タの利用／ 時間的変化 をみ るための指標／ ス トッ クとフロー／ 時間的推移 の見方一 レベル レー ト図 統 計 計 算 や 分 析 が簡 単 に行 え,統 計 手 法 の 「意 味 」 が わ か る ソ フ ト とそ の使 い 方 。 シ リー ズ 全巻 共 通 〔内容 〕イ ン ス トー ル/プ ロ グ ラ ム構 成/内 容 と使 い 方:デ ー タ の表 現 ・分 散 分 析 ・検 定 ・回 帰 ・時 系 列 ・多 次 元 ・グ ラ フ他/デ

ー タ形 式 と管 理/他

シ リー ズ 〈デ ー タ の 科 学 〉 林 知己夫 編集 元統数研 林 知 己夫 著

21世 紀 の新 しい 科 学 「デ ー タ の科 学 」の 思 想 と こ こ ろ と方 法 を第 一 人 者 が 明 快 に 語 る。 〔内 容 〕科 学 方

シ リー ズ〈デ ー タの科 学 〉１

デ

ー

タ

12724‐3 C3391 

の

A5判 

科

学

144頁 本 体2600円

東洋英和大 林  文 ・帝京大 山 岡 和 枝 著 シ リー ズ 〈デ ー タ の科 学 〉２

調

査

の

良 い デ ー タ を ど う集 め るか?不

実

際

―不 完全 な デ ー タか ら何 を読 み と るか― 12725‐1 C3341  A5判  232頁 本  体3500円 日大 羽 生 和 紀 ・東大 岸 野 洋 久 著 シ リー ズ 〈デー タ の科 学 〉３

複

雑

現

象

を

量

る

―紙 リサ イ クル 社 会 の 調 査― 12727‐8 C3341  A5判  176頁 本 体2800円 統数研 吉 野 諒 三著 シ リー ズ 〈デ ー タの 科 学 〉４

心

を C3341 

測る

A5判 

168頁 本 体2800円

統数研 村 上 征 勝 著 シ リー ズ〈デ ー タの科 学 〉５

文

化

を

計

―文化計 量学序説― 12729‐4

C3341 

A5判 

144頁 本 体2800円

完 全 なデ ー タ か ら

何 が わ か る か?デ ー タ の 本 質 を捉 え る方 法 を解 説 〔内容 〕〈デ ー タの 獲 得 〉ど う調 査 す るか ／ 質 問 票／ 精 度 。 〈デ ー タか ら情 報 を読 み とる〉デ ー タ の特 性 に 基 づ い た解 析 ／ デ ー タ構 造 か らの 情 報 把 握 ／ 他

複雑 なシステムに対 し,複 数 のアプ ローチ を用 い て生の デー タを収 集 ・分析 ・解釈す る方 法を解 説。 〔内容〕紙 リサ イクル社会／ 背景／文献調査／世 界 の リサ イクル／業 界紙 に見 る／ 関係 者／資源 回収 と消費／消費者 と製紙産業／ 静脈 を担 う主体／他 個 と集団 とは?意 識 とは?複 雑な現象の様 々 な構 造 をデー タ分析 によって明 らかにする方法 を解説 〔内容〕国際比較調査／標本抽 出／調査 の実施／調 査 票の翻訳 ・ 再翻 訳／分析 の実際(方法,社 会調査 の危機,「 計量的文 明論 」 他)／調査 票の洗練／他

―個 と集 団の意識 の科 学― 12728‐6

法 論 と して の デ ー タの 科 学 ／ デ ー タ を とる こ と一 計 画 と実施 ／ デ ー タ を分 析 す る こ と一 質 の検 討 ・ 簡 単 な統 計 量分 析 か らデ ー タの 構 造 発 見 へ

る

人々の心の在 り様 ＝文化 をデー タを用 いて数量的 に分析 ・解明す る。 〔 内容 〕 文化 を計 る／現 象解析 の ためのデー タ／現象理解の ため のデー タ分 析法 ／文 を計 る／美 を計 る(美術 と文化,形態美 を計 る ―浮世絵 の分 析／色彩美 を計 る)／古代 を計 る他 上 記 価 格(税 別)は2002年10月

現在