Курс лекций по математическому анализу, 3 семестр

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Курс лекций по математическому анализу Лектор — Валериан Иванович Гаврилов

II курс, 3 семестр, поток механиков

Москва, 2006 г.

2

Конспект лекций курса математического анализа, прочитанного В. И. Гавриловым в 2005–2007 гг. на отделении механики, разбит на четыре части по семестрам. Представленная часть соответствует материалу третьего семестра. Лектор с большой благодарностью отмечает, что конспект набран и свёрстан студентом Кудашевым Евгением на основе его записей.

Оглавление 1.

Числовые ряды 1.1. Нижний и верхний пределы числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности . . . . . . 1.1.2. Определение нижнего и верхнего предела числовой последовательности . . . . . . . . . 1.1.3. Эквивалентные определения нижнего и верхнего предела числовой последовательности 1.1.4. Критерий сходящейся последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Некоторые свойства нижнего и верхнего предела последовательности . . . . . . . . . . . 1.2. Начальные сведения о числовых рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Суммирование монотонной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Гармонический ряд P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Эталонный ряд np . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Интегральный признак (Коши–Маклорена) сходимости положительного ряда . . . . . . 1.2.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Знакопостоянные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Критерий сходимости положительного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Общий признак сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Основной признак сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Признак Даламбера сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Алгебраический признак Коши сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Признак Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Признак Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Понятие абсолютно сходящегося ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Линейное свойство абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Признаки абсолютной сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Условно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5. Признак Дирихле сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6. Признак Абеля сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7. Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Действия над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Сочетательное свойство сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Свойства членов условно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Последовательности и ряды с комплексными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Предел последовательности комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Критерий Коши сходимости комплексной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Ряды с комплексными членами (комплекснозначные ряды) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Абсолютная сходимость ряда с комплексными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами . 1.7. Произведение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Теорема Коши о произведении абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Произведение рядов по Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Остаточные произведения. Необходимый признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Бесконечные произведения с положительными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 8 8 9 10 10 10 10 12 13 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20 20 21 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28

1.8.4. 1.8.5. 1.8.6. 1.8.7. 1.8.8. 2.

Абсолютная сходимость бесконечного произведения Гамма–функция Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . Функциональное уравнение для гамма-функции . . Формула Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

28 29 29 30 30

Функциональные последовательности и функциональные ряды 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов . . . . . . . . . . . 2.1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности . . . . . . 2.1.4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности . . . . . . . . . 2.1.5. Неравномерно сходящиеся последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Сходимость функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Равномерно сходящиеся функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8. Линейное свойство равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9. Свойство аддитивности равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.10. Важное замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Признак Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Признак Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Признак Дини равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Признак Дини равномерной сходимости функциональных последовательностей . . . . . . 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда . . . . . . . . . . 2.3.2. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Предел по базе суммы равномерно сходящегося функционального ряда . . . . . . . . . . . 2.3.4. Предел по базе предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Почленное интегрирование функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Интегрирование предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7. Почленное дифференцирование функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8. Дифференцируемость гамма-функции Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Область абсолютной сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Степенные ряды в действительной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Равномерная сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Непрерывность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Вторая теорема Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Единственность разложения в степенной ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Сходимость ряда Тейлора к производящей функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Ряды Тейлора элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Экспоненциальная функция комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Разложение синуса в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-функций . . . . 2.6.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n) 2.6.3. Оценка Vk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Формула дополнения для гамма-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 31 31 31 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 35 36 36 36

4

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 42 42 42 43 43 44 44 44 45 47 48 48 48 49 49 49

3.

Несобственные интегралы 3.1. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Некоторые воспоминания о втором семестре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Интегральные синус и косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Интегралы Фруллани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Аналогия с рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Главное значение несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Функции, интегрируемые по Коши на (−∞, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Главное значение по Коши на промежутке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Интегральный логарифм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Равномерное стремление к предельной функции по базе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Понятие равномерного стремления к предельной функции по базе . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Сведение к равномерно сходящимся последовательностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Интегрируемость (непрерывность) предельной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Перестановка двух предельных переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Собственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Признак непрерывности собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Дифференцирование собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Интегрирование собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Остаток несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . 3.5.5. Неравномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . 3.5.6. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.7. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . 3.5.8. Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . 3.5.9. Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . 3.5.10. Связь с рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Предельный переход под знак интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Непрерывность несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Интегрирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Теорема Дини для несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Интеграл Эйлера первого рода (по Лежандру); бета–функция . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Непрерывность бета–функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Симметричность бета–функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4. Функциональное уравнение для B(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5. Частный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6. Интеграл Эйлера второго рода; гамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.7. Дифференцируемость гамма-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.8. График функции Γ(s) на интервале (0, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.9. Интеграл Эйлера–Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Некоторые способы вычисления несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Интеграл Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Разрывный множитель Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

50 50 50 51 52 52 54 55 55 56 56 56 56 57 57 58 58 58 59 59 60 60 61 62 63 63 64 64 64 65 66 66 66 67 68 69 69 69 70 71 71 72 72 72 73 73 73 74 74 75 75 75 75 76 77

4.

5.

Приближение функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 4.1. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Модуль непрерывности функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Классы непрерывных функций по модулю непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Положительные тригонометрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Некоторые тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Приближение функций тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Свёртка тригонометрического многочлена и интегрируемой функции . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Свёртка с периодической функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Оценка приближения непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Равномерное приближение непрерывных функций многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Теорема Фейера о равномерной аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Две теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Наилучшее приближение функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ряды Фурье 5.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Частные суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Частные суммы ряда Фурье и многочлены Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Необходимое условие сходимости ряда Фурье непрерывной и 2π–периодической 5.1.6. Примеры. Коэффициенты Фурье чётных и нечётных функций . . . . . . . . . . 5.2. Равномерная сходимость рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Константы Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Оценка констант Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Теорема Дини–Липшица о равномерной сходимости ряда Фурье . . . . . . . . . 5.3. Сходимость в среднем ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Сходимость в среднем функциональной последовательности . . . . . . . . . . . 5.3.2. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Свойство минимальности частных сумм ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Формула Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. Неравенство Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Свойство коэффициентов Фурье интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . 5.3.7. Уравнение замкнутости А.М. Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.8. Единственность разложения в ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Теория Римана рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Лемма Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Свойство коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемых функций . . . . . . 5.4.3. Частные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемых функций . . . . . . . . 5.4.4. Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Признак Дини сходимости ряда Фурье в точке и его следствия . . . . . . . . . . 5.5. Теория Дирихле рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Лемма Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Признак Дирихле–Жордана сходимости ряда Фурье в точке . . . . . . . . . . . 5.5.3. Кусочно–монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4. Взаимоотношение признаков Дини и Дирихле–Жордана . . . . . . . . . . . . . 5.6. Ряды Фурье гладких функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Связь между коэффициентами Фурье функции и её производных . . . . . . . . 5.6.2. Почленное дифференцирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Почленное интегрирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4. Поведение коэффициентов ряда Фурье функции ограниченной вариации . . . . 5.6.5. Оценка остатка ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 78 79 79 79 80 81 81 81 82 83 84 84 84 85 85 87 87 87 88 88 88 89 89 90 90 90 91 91 91 92 92 93 93 93 93 94 94 94 96 96 97 97 99 99 100 101 101 102 102 102 103 104 104

5.7.

Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Определение интеграла Фурье . . . . . . . . 5.7.2. Предварительная формула . . . . . . . . . . 5.7.3. Признаки сходимости интеграла Фурье . . . 5.7.4. Различные виды формулы Фурье . . . . . . 5.7.5. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . 5.7.6. Некоторые свойства преобразования Фурье

7

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

105 105 106 106 108 109 109

Часть 5.

Ряды 1. Числовые ряды

1.1. Нижний и верхний пределы числовой последовательности 1.1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности Рассмотрим произвольную ограниченную числовую последовательность (an ) и множество A = {an n ∈ N} её значений. Множество A ограничено и, следовательно, имеет точную нижнюю грань inf A = m и точную верхнюю грань sup A = M , m 6 an 6 M, n ∈ N. По теореме Больцано, ограниченная последовательность (an ) содержит сходящуюся подпоследовательность (ank ), lim ank = l1 . Так как m 6 ank 6 M, k ∈ N, то в k→+∞

силу свойства монотонности предела последовательности, m 6

lim ank = l1 6 M . Обозначим символом L

k→+∞

множество всех частичных пределов последовательности (an ), L = 6 ∅ (l1 ∈ L). Тогда, множество L ограничено и L ⊂ [m, M ]. Поэтому существуют inf L = p и sup L = q : m 6 p 6 q 6 M .
Замечание. Числа m, p, q, M — различные. У последовательности (an ) : an = (−1)n · 1 + n1 , n ∈ N, множество L = {−1, 1}, и m = −2, p = −1, q = 1, M = 3/2.

Теорема 1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности обладает наименьшим и наибольшим элементами.  Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность (an ) и L = 6 ∅. По определению, существует q = sup L, p = inf L. Покажем, что q, p ∈ L. Докажем, что q ∈ L. Рассмотрим произвольное ε > 0, так как q−ε < q = sup L, то, по критерию точной верхней грани, существует lε ∈ L : q−ε < lε 6 q. Пусть δ = lε −(q−ε) > 0. Так как lε = lim anν для некоторой подпоследовательности (anν ) ⊂ (an ), то для δ > 0 ∃ N ∈ N : |anν − lε | < δ ν→+∞

для всех ν > N , или (q − ε) = lε − δ < anν < lε + δ = 2lε − (q − ε) 6 q + ε, ν > N . Таким образом, каждый интервал (q − ε, q + ε) содержит элементы последовательности (an ) с бесконечным множеством индексов. Выберем εk =
1 1 1 > 0, k ∈ N. Для каждого числа k ∈ N интервал q − , q + содержит элементы последовательности (an )
с k k k бесконечным множеством индексов, следовательно, для каждого k ∈ N выбираем ank ∈ (an ) : ank ∈ q − k1 , q + k1 и nk > nk−1 , k > 2. Получим подпоследовательность (ank ) : lim ank = q, так как |ank − q| < k1 , ∀k ∈ N. k→+∞

Поэтому q ∈ L, и следовательно, q = sup L = max L. Аналогичное доказательство для числа p = inf L = min L. 

1.1.2. Определение нижнего и верхнего предела числовой последовательности Анализируя доказательство теоремы 1, заключаем, что доказано более сильное утверждение: Теорема 1.1’. Если числовая последовательность ограничена сверху, и множество её частичных пределов не пусто, то оно содержит наибольший элемент. Если числовая последовательность ограничена снизу, и множество её частичных пределов не пусто, то оно содержит наименьший элемент. Замечание. Условие непустоты множества частичных пределовсущественно! Действительно, отрицатель ная бесконечно большая последовательность (an ) lim an = −∞ ограничена сверху, но не имеет верхнего n→+∞   предела, так как L = ∅. Аналогично, положительная бесконечно большая последовательность (an ) lim an = +∞ n→+∞

ограничена снизу, но не имеет нижнего предела, так как L = ∅. На основании теоремы 1.1’ и замечания, введём определение. Определение. Если последовательность (an ) ограничена сверху и множество L её частичных пределов не пусто, то q = sup L = max L — верхний предел последовательности (an ). Обозначение: q = lim an . n→+∞

Если последовательность (an ) ограничена снизу и множество L = 6 ∅, то p = inf L = min L — нижний предел последовательности (an ). Обозначение: p = lim an . n→+∞

Условимся об обозначениях: lim an = q < +∞ — ограниченная сверху последовательность (an ) с верхним пределом q.

n→+∞

lim an = +∞ — неограниченная сверху последовательность.

n→+∞

lim an = p > −∞ — ограниченная снизу последовательность (an ) с нижним пределом p.

n→+∞

8

lim an = −∞ — неограниченная снизу последовательность.

n→+∞

1.1.3. Эквивалентные определения нижнего и верхнего предела числовой последовательности

Рассмотрим произвольную последовательность (an ), имеющую непустые числовые множества Ak = {an n > k}, k ∈ N, A1 = A. По определению, Ak+1 ⊂ Ak ⊂ A1 = A, ∀k ∈ N. Если последовательность (an ) ограничена сверху, то ограничены сверху все Ak , k ∈ N, и существует Mk = sup Ak , k ∈ N. Так как Ak+1 ⊂ Ak , то Mk+1 6 Mk и последовательность (Mk ) убывает. По теореме Вейерштрасса, либо существует lim Mk = q ∗ (если (Mk ) ограничена снизу), либо lim Mk = −∞ (если (Mk ) неограничена k→+∞

k→+∞

снизу). В последнем случае сама (an ) обязана быть отрицательной бесконечно большой последовательностью, то есть lim an = −∞. Действительно, так как lim Mk = −∞, то для любого E > 0 ∃N ∈ N, N = NE , что n→+∞

k→+∞

Mk < −E для k = N и, следовательно, an 6 Mk = sup Ak < −E для любого n > k = N , то есть lim an = −∞. n→+∞

Если (an ) ограничена снизу, то ограничены снизу все Ak , k ∈ N, и, следовательно, существуют точные нижние грани mk = inf Ak , k ∈ N. Так как Ak+1 ⊂ Ak , то mk+1 > mk . Так что последовательность (mk ) возрастает. По теореме Вейерштрасса, либо существует lim mk = p∗ (если (mk ) ограничена сверху), либо k→+∞

lim mk = +∞ ((mk ) — положительная бесконечно большая последовательность) (если (mk ) неограничена

k→+∞

сверху). В последнем случае, сама последовательность (an ) обязана быть положительной бесконечно большой последовательностью, то есть lim an = +∞. Действительно, для любого E > 0 ∃N ∈ N : mk > E для k = N , n→+∞

N = NE , и an > mk > E для всех n > k = N , то есть lim an = +∞. n→+∞

Теорема 1.2. Для произвольной последовательности (an ), ограниченной сверху и имеющей непустое множество частичных пределов, справедливо q ∗ = q = lim an . Для произвольной последовательности (an ), n→+∞

ограниченной снизу и имеющей непустое множество частичных пределов, справедливо p∗ = p = lim an . n→+∞

Лемма 1. Если (an ) ограничена сверху, и множество её частичных пределов L = 6 ∅, то для любого ε > 0 ∃N ∈ N N = Nε : an < q ∗ + ε для всех n > N . Если (an ) ограничена снизу, и множество её частичных пределов L = 6 ∅, то для любого ε > 0 ∃N ∈ N N = Nε : an > p∗ + ε для всех n > N .  (Для q ∗ ). Так как, по определению и по теореме Вейерштрасса, q ∗ = lim Mk = inf{Mk k ∈ N}, и k→+∞

q ∗ + ε > q ∗ , то, по критерию точной нижней грани, существует некий элемент MN такой, что q ∗ 6 MN < q ∗ + ε. Так как MN = sup AN , то an 6 MN < q ∗ + ε для любого n > N .  Лемма 2. Если (an ) ограничена сверху и множество L = 6 ∅, то для любого ε > 0 и любого N ∈ N ∃ n′ ∈ N, n′ > N : an′ > q ∗ − ε. Если (an ) ограничена снизу, и множество L = 6 ∅, то для любого ε > 0 и любого N ∈ N существует n′ > N ∈ N : an′ < p∗ + ε.  (Для q ∗ ). Так как Mk > q ∗ = inf{Mk k ∈ N} > q ∗ − ε для любого k ∈ N и Mk = sup Ak > q ∗ − ε, то существует an′ ∈ Ak , n′ > k, для которого q ∗ − ε < an′ . Полагаем k = N + 1 > N и находим n′ > k > N , для которого an′ > q ∗ − ε. Аналогично проверяется утверждение для p∗ .   Переходим непосредственно к доказательству теоремы 1.2 и покажем, что q ∗ = q = lim an . Проверим n→+∞

сначала, что q ∗ ∈ L. Рассмотрим последовательность (εk ), εk > 0, lim εk = 0, в которой считаем ε1 > 0 и ε1 > k→+∞

2 |q ∗ − an1 | с каким-либо индексом n1 ∈ N, так что |q ∗ − an1 | < ε1 . Остальные числа подпоследовательности (ank ) выберем по индукции. Считаем, что выбраны an1 , an2 , . . . , ank−1 , n1 < n2 < . . . < nk−1 , такие, что |q ∗ − anν | < εν , ν = 1, k − 1. Для числа εk > 0, по лемме 1, существует такой индекс Nk1 ∈ N, что an < q ∗ + εk для всех n > Nk1 . Рассмотрим Nk = max(nk−1 , Nk1 ). Согласно лемме 2, существует n′ > Nk > nk−1 , что an′ > q ∗ − εk . Полагаем nk = n′ , так что nk > nk−1 и ank > q ∗ − εk . С другой стороны, nk = n′ > Nk > Nk1 , и следовательно, ank < q ∗ + εk . Таким образом, |q ∗ − ank | < εk для всех k ∈ N и q ∗ = lim ank , q ∗ ∈ L. k→+∞

Рассмотрим теперь ε > 0 и произвольное l1 ∈ L, так что l1 = lim anν для некоторой подпоследовательности ν→+∞

(anν ) последовательности (an ). Согласно лемме 1, существует Nε ∈ N, что anν < q ∗ + ε для всех nν > Nε . По свойству сохранения неравенства для предела сходящейся последовательности, l1 = lim anν 6 q ∗ + ε. Итак, ν→+∞

любой элемент l1 ∈ L удовлетворяет неравенству l1 6 q ∗ + ε для всех ε > 0, и значит, l1 6 q ∗ для всех l1 ∈ L. Поэтому q ∗ = max L = q. Аналогично проверяется, что p∗ = min L = p.  Объединяя утверждения теоремы 1.2 и леммы 1, получим основное свойство верхнего и нижнего пределов.

9

Теорема 1.3. Если последовательность (an ) имеет конечный верхний предел

lim an = q < +∞, то для

n→+∞

любого ε > 0 существует такой индекс N ∈ N, N = Nε , что an < q + ε справедливо для всех n ∈ N, n > N . Если последовательность (an ) имеет конечный нижний предел lim an = p > −∞, то для любого ε > 0 n→+∞

существует такой индекс N ∈ N, N = Nε , что an > p − ε справедливо для всех n ∈ N, n > N . В математической литературе встречаются обозначения lim an = lim sup an и lim an = n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim inf an ,

n→+∞

объяснение которых содержится в теореме 1.2. 1.1.4. Критерий сходящейся последовательности Теорема 1.4. Числовая последовательность (an ) сходится и имеет когда 1) (an ) ограничена и 2) 

lim an = l тогда и только тогда,

n→+∞

lim an = lim an = l.

n→+∞

n→+∞

Необходимость. По условию, существует lim an = l. Тогда (an ) ограничена и множество L всех её n→+∞

частичных пределов состоит из единственного числа l, L = {l}. Поэтому, p = min L = l = max L = q. Достаточность. Согласно условиям 1) и 2) и теоремам 1.1, 1.2, множество L = 6 ∅, lim an = p = min L, n→+∞

lim an = q = max L и p = q = l. Рассмотрим произвольное число ε > 0. По теореме 1.3, существуют Nεi ∈ N,

n→+∞

i = 1, 2, что an > p − ε = l − ε для всех n > Nε1 и an < q + ε = l + ε для всех n > Nε2 . Обозначим N = Nε = max(Nε1 , Nε2 ). Тогда l − ε < an < l + ε для всех n > N , то есть l = lim an .  n→+∞

1.1.5. Некоторые свойства нижнего и верхнего предела последовательности   lim an = p > −∞ , Теорема 1.5. Если числовая последовательность (an ) имеет конечный lim an = q < +∞ n→+∞

то для произвольной сходящейся последовательности (bn ), предел которой   lim (an bn ) = b lim an lim (an bn ) = b lim an .

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim bn = b > 0, справедливо

n→+∞

n→+∞

 Доказательство проведём для верхнего предела. Рассмотрим множество L всех частичных пределов последовательности (an ); L = 6 ∅ — по условию. Если через L1 обозначить множество всех частичных пределов последовательности (an bn ), то L1 = {l1 ∈ R l1 = l′ · b, l′ ∈ L}, так как все частичные пределы сходящейся последовательности (bn ) совпадают с b. Так как число b > 0, то max L1 = b max L, так что lim (an bn ) = n→+∞

b lim an . Аналогично, min L1 = b min L и lim (an bn ) = b lim an .  n→+∞

n→+∞

n→+∞



 lim an = q < +∞ lim an = p > −∞ , то для произвольного b > 0 n→+∞ n→+∞   справедливо lim (an b) = b lim an lim (ban ) = b lim an . Следствие. Если существует n→+∞

n→+∞

Теорема 1.6. Если существует

n→+∞

n→+∞

lim an < +∞ и

n→+∞

an 6 bn для всех n > N и некоторого N ∈ N, то

lim bn < +∞ ( lim an > −∞ и

n→+∞

n→+∞

lim bn > −∞) и

n→+∞

lim an 6 lim bn ( lim an 6 lim bn ).

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

 Доказательство приведём для верхних пределов. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно основному свойству верхнего предела (теорема 1.3), существует Nε ∈ N такое, что bn < lim bn + ε для n→+∞

всех n > Nε . Считая Nε выбранным Nε > N , где число N фигурирует в условии теоремы, заключаем, что an 6 bn < lim bn + ε для всех n > Nε , откуда lim an 6 lim bn + ε для любого ε > 0, и следовательно, n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim an 6 lim bn . 

n→+∞

n→+∞

1.2. Начальные сведения о числовых рядах 1.2.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды Рассмотрим произвольную числовую последовательность (an ). Складывая один за другим её члены, получаn P ем последовательность сумм s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + . . . + an = ak , . . . , так что sn = sn−1 + an для k=1

всех n > 1. Поэтому процесс образования этих сумм можно представить в виде «бесконечно развертывающейся суммы» a1 + a2 + . . . + an + . . .. Это не алгебраическая сумма (в алгебре определены лишь суммы конечного числа слагаемых), а запись процесса образования последовательности сумм (sn ). 10

Формальное выражение (1)

a1 + a2 + . . . + an + . . . ,

порождаемое числовой последовательностью (an ), называют числовым рядом, a1 , a2 , . . . — его членами: первым, вторым; an — n–ым или общимPчленом ряда; s1 , s2 ,. . . — частными (или частичными) суммами ряда. Будем ряд (1) обозначать символом an . Иногда нумерацию членов ряда начинают не с 1, а с 0. P Если последовательность (sn ) частных сумм ряда an сходится к некоторому числу s, то этот ряд называют ∞ P сходящимся, а s — его суммой, и пишут s = an , или (допуская вольность в обозначениях) s = a1 + a2 + . . . + an + . . .. Часто символом

∞ P

n=1

an обозначают сам ряд (1). Если последовательность (sn ) не имеет предела,

n=1

ряд (1) называют расходящимся. По определению, для произвольных n, p ∈ N справедливо sn+p =

n+p X k=1

ak =

n X

ak +

k=1

n+p X

(2)

ak = sn + (an+1 + . . . + an+p ).

k=n+1

Теорема 1.7. (Критерий Коши сходимости числового ряда). Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для произвольного ε > 0 существует Nε ∈ N, что (3)

|an+1 + . . . + an+p | < ε

справедливо для всех n, p ∈ N, n > Nε .  Согласно (2), |an+1 + . . . + an+p | = |sn+p − sn | и свойство (3) равносильно критерию Коши сходимости последовательности (sn ), что, в свою очередь, равносильно свойству сходимости ряда (1).  Следствие. (Необходимое условие сходимости P ряда). У сходящегося ряда его члены образуют бесконечно малую последовательность; то есть, если ряд an сходится, то lim an = 0. n→+∞

 В условии (3) выбираем p = 1. Тогда |an+1 | < ε для любого ε > 0 и всех n ∈ N, n > Nε ; то есть, lim an = 0. 

n→+∞

∞ √ P √ 1 √ 1 √ √ Пример 2.1. Ряд имеет an = √n+1+ = n + 1 − n, n ∈ N, и sn = a1 + a2 + . . . + an = n+1+ n n n=1 √ √ √ √ √ √ 2 − 1 + 3 − 2 + . . . + n + 1 − n = n + 1 − 1, n ∈ N. Ряд расходится, поскольку lim sn = +∞, но n→+∞

lim an = 0.

n→+∞

Поэтому, необходимое условие сходимости ряда не является достаточным. ∞ ∞ P P Числовой ряд a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + aq n + . . . = aq n−1 = aq n , a 6= 0, и 00 = 1, если q = 0, называют n=1

n=0

бесконечной геометрической прогрессией. Его частные суммы  1−qn n X a 1−q , если q 6= 1, n−1 sn = aq = an, если q = 1. k=1 Так как lim q n = 0, если |q| < 1, то lim sn = n→+∞

n→+∞

a 1−q

при |q| < 1. Если |q|>1, то (q n ) — бесконечно большая

последовательность, и следовательно, ряд расходится. Если |q| = 1, то общий член ряда  a для q = 1, an = aq n = (−1)n a для q = −1,

и так как a 6= 0, последовательность (an ) не является бесконечно малой, и ряд расходится, согласно необходимому условию сходимости ряда. P P Теорема 1.8. (Линейное свойство сходящихсяPрядов). Если ряды an и bn сходятся кP суммам sP и t, соответственно, то для любых λ1 , λ2 ∈ R ряд (λ1 an + λ2 bn ) — линейная комбинация λ1 an + λ2 bn исходных рядов — сходится к сумме λ1 s + λ2 t. m n n P P P  Рассмотрим частные суммы sn = a k , tn = bk и σn = (λ1 ak + λ2 bk ), n ∈ N. Тогда σn = k=1

k=1

k=1

n→+∞

n→+∞

λ1 sn + λ2 tn , n ∈ N, и так как , по условию, существует lim sn = s и

lim tn = t, то по свойству линейности

предела последовательности, существует lim σn = λ1 lim sn + λ2 lim tn = λ1 s + λ2 t = σ и число σ есть n→+∞ n→+∞ n→+∞ P P P сумма ряда (λ1 an + λ2 bn ) = λ1 an + λ2 bn .  11

Для k ∈ N, k–ым остаточным рядом (k–ым остатком) ряда ak+1 + ak+2 + . . . =

∞ X

P

an называют числовой ряд (4)

ak+n .

n=1

Теорема 1.9. Каждый остаточный ряд сходится или расходится одновременно с исходным рядом и в случае сходимости ∞ ∞ X X ak+n = an − sk . (5) n=1

 n P

n=1

(k)

(k)

Обозначим sn , tn — частные n–ые суммы рядов (1) и (4), соответственно. Тогда tn = ak+1 +. . .+ak+n =

ak+l и

l=1

sk+n = a1 + a2 + . . . + ak + ak+1 + . . . + ak+n = sk + t(k) n , n ∈ N.

(6)

Числа sk+n , n ∈ N, k — фиксированное, образуют подпоследовательность (sk+n ) последовательности (sn ). Если сходится ряд (1), то существует lim sn = s и s = lim sn+k для любой подпоследовательности (sn+k ). n→+∞

Согласно (6), существует lim

(k) tn

формула (5). Числа rk = lim

(k) tn ,

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= s − sk , k ∈ N; то есть сходится любой остаток (4) ряда (1) и справедлива k ∈ N, называют суммами остатков ряда (1) и формула (5) принимает вид

s − sk = rk , k ∈ N. (k) Обратно, если сходится некоторый k–ый остаток (4) ряда (1). то есть, существует lim tn = rk , то в силу n→+∞

формулы (6) существует lim sn+k = sk + rk , так что для произвольного ε > 0 существует такой индекс N ∈ N, n→+∞

что |sn+k − (sk + rk )| < ε для всех n > N . Но последнее означает, что |sn − (sk + rk )| < ε для всех n > N + k, то P есть, что существует lim sn = s = sk + rk и ряд an сходится.  n→+∞

Следствие 1.1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда суммы его остатков образуют бесконечно малую последовательность.  Выше отмечено, что формула (5) имеет эквивалентный вид s = sk + rk , k ∈ N. Поэтому lim sk = s ⇔ k→+∞

lim rk = 0. 

k→+∞

Следствие 1.2. (Свойство локальности для рядов). Изменение или отбрасывание любого конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости или расходимости. P  Поскольку изменилось или отброшено лишь конечное число членов исходного ряда an , то некоторый P остаточный ряд ряда a является остаточным (может быть, с другим номером) и для полученного ряда n P bn . Поэтому сходимость (расходимость) этого остаточного ряда в силу теоремы равносильна сходимости P P (расходимости) и ряда an и ряда bn .  1.2.2. Суммирование монотонной последовательности

Теорема 1.10. Если неотрицательная функция f (x) > 0 убывает на промежутке [a, +∞) и имеет lim f (x) = x→+∞

0, то для любого n ∈ N числа sn = f (a) + f (a + 1) + . . . + f (a + n − 1) и σn = sn = σn + c − αn , n ∈ N,

a+n R

f (x) dx связаны отношением

a

(7)

в котором 0 6 c 6 f (a) и αn — бесконечно малая последовательность, 0 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N. Если, дополнительно, функция f выпукла вниз, то 12 f (a) 6 c 6 f (a) и 12 f (a + n) 6 αn 6 f (a + n).  Нарисуем чертёж.

12

f (a)

f (a + k − 1) f (a + k)

f (a + n)

1

a

a+1

a+k−1 a+k a+n−1 a+n

Так как функция f убывает на [a, +∞), то f интегрируема на каждом [a, a + n], и следовательно числа a+n R σn = f (x) dx существуют. Так как f > 0 на [a, +∞), то σn — площадь криволинейного трапеции (подграфика) a

функции f над отрезком [a, a + n]. Число f (a + k − 1), k ∈ N, равно площади прямоугольника со стороной [a + k − 1, a + k] на оси OX и высотой f (a + k − 1), и потому число sn = f (a) + f (a + 1) + . . . + f (a + n − 1) равно площади прямоугольной ступенчатой фигуры, описывающей подграфик функции f над [a, a + n]. Так что sn > σn и cn = sn − σn > 0, n ∈ N. Число cn равно сумме площадей заштрихованных "криволинейных" прямоугольников (как на рисунке). Совершим параллельный перенос их вдоль оси OX влево в прямоугольник Π со стороной [0, 1] и высотой f (a) и получим оценку 0 6 cn 6 f (a) = площадь Π. Далее, cn+1  > cn , n ∈ N, то есть (cn ) ↑ и ограничена сверху. Она имеет lim cn = c и 0 6 c 6 f (a). Так как c = sup cn n ∈ N , то n→+∞

c > cn , n ∈ N, и cn = c − αn , n ∈ N, где (αn ) ↓ и

lim αn = 0. Более того, 0 6 αn 6 площадь Πn , где Πn —

n→+∞

прямоугольник со стороной [0, 1] на оси OX и высотой f (a + n), так что 0 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N, и формула (7) доказана. Если, дополнительно, функция f выпукла вниз (как на рисунке), то заштрихованного в прямоугольниках Π и Πn не меньше, чем незаштрихованного, и следовательно, справедливы противоположные равенства 12 f (a) 6 c 6 f (a) и 12 f (a + n) 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N.  1.2.3. Гармонический ряд ∞ P1 P 1 Так называют ряд 1 + 12 + 13 + . . .+ n1 + . . . = n = n . Его общий член an = n=1

1 n

= f (n), n ∈ N, где f (x) = x1 ,

x > 1, и согласно формуле (7),

1 1 sn = 1 + + . . . + = 2 n

n+1 Z 1

dx + c − αn = ln(n + 1) + c − αn , n ∈ N, x

(8)

1 1 = 12 f (1) < c < f (1) = 1 и 2(n+1) < 12 f (n + 1) < αn < f (n + 1) = n+1 , n ∈ N. 1 Число c, 2 < c < 1, в формуле (8), называется константой Эйлера (до настоящего времени не известна её природа: является ли число c рациональным, иррациональным, трансцендентным и т.п.). Так как lim ln(n +

где

1 2

n→+∞

1) = +∞, то на основании (8) заключаем, что гармонический ряд расходится. С другой стороны, lim 1 n→+∞ n

lim an =

n→+∞

= 0. 1.2.4. Эталонный ряд

P

1 np

Если p = 0, то an = n1p = 1, n ∈ N, так что последовательность (an ) — постоянная и не бесконечно малая, и следовательно, ряд расходится. Если p < 0, то an = n1p → +∞ при n → +∞ и ряд расходится (в силу необходимого признака сходимости ряда). Если p > 0, то по теореме пункта 2.2, в которой an = n1p = f (n), n ∈ N,

13

и f (x) =

1 xp ,

p > 0, x > 1, имеем

1 1 1 sn = 1 + p + p + . . . + p = 2 3 n

n+1 Z 1

где lim αn = 0. Отсюда n→+∞

  p−1  1 1 1 dx + p−1 + cp − αn , p 6= 1, p−1 n+1 + cp − αn = ln(n + 1) + c − α , p = 1. xp n

lim sn =

n→+∞

(

,

1 p−1

+ cp , если p > 1, +∞, если 0 < p 6 1.

P 1 Таким образом, ряд np сходится при p > 1 и расходится при p 6 1. 1 1 1 Если p > 1, то по теореме пункта 2.2, 2(n+1) p < αn < (n+1)p и сумма ряда s = p−1 + cp . Поэтому для сумм rn , n ∈ N, остатков ряда имеем оценки   1 1 1 1 1 1 1 p 1 rn = s−sn = +αn и < rn < + < , n ∈ N, p−1 p−1 p−1 p − 1 (n + 1) p − 1 (n + 1) (n + 1) p−1 n+1 p − 1 (n + 1)p−1 P 1 являющиеся оценками скорости сходимости эталонного ряда np . 1.2.5. Интегральный признак (Коши–Маклорена) сходимости положительного ряда Теорема 1.11. Если неотрицательная функция f (x) убывает на [a, +∞) и ряд

∞ P

n=1



lim f (x) = 0, то числовой

n→+∞

f (a + n − 1) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом Согласно теореме пункта 2.2, частные суммы ряда sn =

a+n R a

этому, ряд

P

+∞ R

f (x) dx.

a

f (x) dx + c − αn , n ∈ N, где lim αn = 0. Поn→+∞ a+n R

f (a + n − 1) сходится тогда и только тогда, когда существует lim bn = b, где bn = n→+∞

a

f (x) dx, n ∈

N. Так как f (x) > 0, x ∈ [a, +∞), то все bn > 0 и bn+1 > bn , n ∈ N. По теореме Вейерштрасса, возрастающая последовательность (bn ) сходится тогда и только тогда, когда (bn ) ограничена сверху. Rt На [a, +∞) определена функция F (t) = f (x) dx и F (t) > 0. F ↑ на [0, +∞). Согласно обозначениям, bn =

F (n + a), n ∈ N. Несобственный интеграл

a +∞ R a

f (x) dx сходится ⇔ существует lim F (t) = l ⇔ F (x) ограничена t→+∞

сверху на [a, +∞) ⇔ (bn ), bn = F (a + n), n ∈ N, ограничена сверху. Действительно, пусть F ограничена сверху, то есть существует C > 0, что 0 6 F (t) 6 C для всех t ∈ [a, +∞). Рассмотрим произвольное n ∈ N, ∃ t, t > a + n и F (t) > F (a + n) = bn или bn 6 F (t) 6 C, n ∈ N, то есть, (bn ) ограничена сверху. Если (bn ) ограничена сверху, то есть, 0 6 bn 6 C, n ∈ N, то для произвольного t ∈ [a, +∞) существует n ∈ N, что n + a > t и F (t) 6 F (a + n) = bn 6 C, то есть, F ограничена сверху на [a, +∞). +∞ R Итак, несобственный интеграл f (x) dx сходится ⇔ функция F (t) ограничена сверху на [a, +∞) ⇔ (bn ) a P ограничена сверху ⇔ сходится ряд f (a + n − 1).  1.2.6. Примеры

Ряд

∞ P

n=2



1 n lnq n

сходится при q > 1 и расходится при q 6 1.

Общий член an = n ln1q n , n ∈ N, порождён функцией f (x) = x ln1q x , x ∈ [2, +∞). Так как f ′ (x) = < 0, если x > e−q , то f ↓↓ на [2, +∞) ∩ (e−q , +∞), причём lim x ln1q x = 0 для любого q ∈ R.

− x2 ln1q+1 x (ln x + q)

x→+∞

Следовательно, по теореме предыдущего пункта,(ряд сходится или расходится одновременно с несобственным 2)1−q 1 1−q +∞ R Rt dx − (ln1−q , q 6= 1, dx 1−q (ln t) интегралом . Функция F (t) = = имеет lim F (t) = +∞, если x lnq x x lnq x t→+∞ ln ln t − ln ln 2, q = 1 2 2 q 6 1, и lim F (t) = t→+∞

(ln 2)1−q q−1 ,

если q > 1. 

1.3. Знакопостоянные ряды P

P Числовой P ряд un называется знакопостоянным, если его члены сохраняют постоянный знак. Так как ряды un и − un сходятся или расходятся одновременно, то достаточно рассматривать только ряды с un > 0, n ∈ N. 14

Определение. Числовой ряд

P

un называется положительным, если все его члены неотрицательны.

1.3.1. Критерий сходимости положительного ряда P Теорема 1.12. Положительный ряд un , un > 0, сходится тогда и только тогда, когда последовательn P ность (sn ) его частных сумм, sn = uk , k ∈ N, ограничена сверху. k=1



sn+1 = sn +un+1 > sn > 0, n ∈ N, то есть, (sn ) ↑ и, следовательно, по теореме Вейерштрасса, lim sn = s n→+∞

существует (то ряд  есть, сходится) тогда и только тогда, когда (sn ) ограничена сверху. В случае сходимости, sn 6 s = sup sn n ∈ N , n ∈ N.  Поскольку ограниченность сверху любой возрастающей последовательности равносильна ограниченности сверху некоторой её подпоследовательности, то теорема 1.12 равносильна следующей теореме. Теорема 1.13. Положительный ряд сходится в том и только в том случае, когда некоторая подпоследовательность его частных сумм ограничена сверху. 1.3.2. Общий признак сравнения положительных рядов P P Теорема 1.14. Если положительные ряды un иP vn обладают свойством, что P un 6 vn для всех n, начиная с некоторого индекса, то из сходимости ряда v следует сходимость ряда un (и, следовательно, P Pn из расходимости ряда un следует расходимость ряда vn ). (k)

(k)

 По условию, существует такой номер k ∈ N, что uk+n 6 vk+n для всех n ∈ N. Пусть (sn ) и (tn ) P P (k) (k) — последовательности частных сумм рядов uk+n и vk+nP , соответственно, так что sn 6 tn для всех P n ∈ N. Если ряд vn сходится, то его k–ый остаточный ряд vk+n тоже сходится, так что, по теореме 1.12, (k) (k) последовательность (tn ) его частных суммPограничена сверху. Но тогда и последовательность (sn ) ограничена, P и значит, на основании теоремы 1.12, ряд uk+n сходится. Следовательно, и ряд un сходится.  Эта теорема позволяет иногда устанавливать сходимость или расходимость положительного ряда путём подбора надлежащего «ряда сравнения», в качестве которого часто выступают эталонный ряд и бесконечная геометрическая прогрессия. P Следствие 1.3. Если положительный ряд un сходится и vn = an un , n ∈ N, где 0 6 an 6 A для всех P n ∈ N, начиная с некоторого номера, то сходится и ряд vn . P Следствие 1.4. Если положительный ряд un расходится и vn = bn un , n ∈ N, где bn > b > 0 для всех P n ∈ N, начиная с некоторого номера, то расходится и ряд vn . P общего признака сравнения рядов). Если положительные ряды un и P Следствие 1.5. (Предельная форма vn обладают свойством lim uvnn = l, 0 < l < +∞, то ряды сходятся или расходятся одновременно. n→+∞ l  Рассмотрим ε = 2 > 0 и найдём N ∈ N, N = Nε , что uvnn − l < ε для всех n > N , или 2l = l − ε < uvnn < l+ε=

3l 2,

n > N , и воспользуемся следствиями 1.3 и 1.4. 

1.3.3. Основной признак сравнения положительных рядов P P un+1 vn+1 Теорема 1.15. Если положительные ряды P un и vn обладают свойством P un 6 vn для всех n > n0 сPнекоторого n0 ∈ N, то из сходимости ряда vn следует сходимость ряда un (и из расходимости ряда P un следует расходимость ряда vn ). u u +n n+1  По условию, un > 0, vn > 0 для всех n > n0 и uvnn > uvn+1 для всех n > n0 , или vnn0 > vnn0+n для 0

u

0

всех n ∈ N. Полагая vnn0 = ρ > 0, получим un0 +n 6 ρvn0 +n и vn0 +n > ρ1 un0 +n для всех n ∈ N. Доказательство 0 завершается применением следствий 1.3 и 1.4 и теоремы предыдущего пункта 3.2.  1.3.4. Признак Даламбера сходимости положительных рядов P Теорема 1.16. Если положительный ряд un обладает свойством, что числовая последовательность (dn ), dn = uun+1 , имеет d = lim d и d = lim dn , то ряд сходится, когда d < 1 и расходится, когда d > 1. n n n→+∞

n→+∞

Случай, когда d 6 1 и d > 1, требует дополнительных исследований. 

Предположим сначала, что d < 1, и рассмотрим ε1 =

предела, существует n1 ∈ N, что dn < d + ε1 = P n P т.к. ряд q сходится, то сходится и un .

1+d 2

1−d 2

> 0. Согласно основному свойству верхнего

= q < 1 для всех n > n1 . Тогда

15

un+1 un


n1 , и

Если теперь d > 1 и ε2 = d−1 2 > 0, то согласно основному свойству нижнего предела, существует n2 ∈ N, что dn > d − ε2 = d+1 > 1 для всех n > n2 , или uun+1 > 1, un+1 > un > 0, n > nP 2 , так что (un ) не может быть 2 n бесконечно малой последовательностью. Согласно необходимому признаку, ряд un расходится. Приводимые ниже примеры иллюстрируют последнее утверждение теоремы.  P Следствие 1.6. (Предельная форма признака Даламбера). Если положительный ряд un обладает свойством, что числовая последовательность (dn ), dn = uun+1 , n ∈ N, имеет lim d = d, то ряд сходится, когда n n n→+∞

d < 1, и расходится, когда d > 1. Случай d = 1 требует дополнительного исследования.  Так как существует lim dn = d, то d = d = d.  n→+∞ P1 1 un+1 n Пример 3.1. n расходится. un = n , un = n+1 → 1, n → +∞. P 1 un+1 1 n2 Пример 3.2. n2 сходится, un = n2 , un = (n+1)2 → 1, n → +∞.

Пример 3.3. a + b2 + a3 + b4 + . . . , 0 < a < b < 1, сходится как сумма двух бесконечных геометрических
2k
2k+1 u u прогрессий. Так как u2k = b2k , u2k−1 = a2k−1 , k ∈ N, то u2k+1 = a ab → 0 при k → +∞ и u2k+2 = b ab → 2k 2k+1 +∞ при k → +∞, и следовательно, d = 0 и d = +∞. ( √1 , если n = k 2 , k ∈ N, Пример 3.4. Рассмотрим un = 1 n 2 n , если n ∈ N, n 6= k . при k → +∞,

uk2 uk2 −1

=

k2 −1 k

Тогда ряд

P

un расходится и

uk2 +1 uk2

=

k k2 +1

→0

→ +∞ при k → +∞. Таким образом, d = 0 и d = +∞.

1.3.5. Алгебраический признак Коши сходимости положительных рядов P √ Теорема 1.17. Рассмотрим положительный ряд un и для последовательности (cn ), cn = n un , n ∈ N, обозначим c = lim cn (возможно, c = +∞). Если c < 1, ряд сходится; если c > 1 (в частности, c = +∞), n→+∞

ряд расходится. Случай c = 1 требует дополнительных исследований.  Пусть сначала c < 1, 0 6 c < 1. Для числа ε = 1−c 2 > 0, согласно основному свойству верхнего предела, 1

n n существует nε ∈ N, что cn < c + ε = 1+c 2 = q < 1 для всех n > nε . Таким образом, un = cn < q, un < q для P n всех n > nε . Так q сходится и, по общему признаку сравнения положительных рядов, P как 0 6 q < 1, то ряд сходится ряд un . Пусть теперь c > 1 (в частности, c = +∞). Так как c — частичный предел числовой последовательности (cn ), то c = lim cnk для некоторой подпоследовательности (cnk ) последовательности (cn ) ( lim cnk = +∞, k→+∞

k→+∞

если c = +∞). Поскольку c > 1, существует K ∈ N, что cnk > 1 для всех k > K (неравенство сохранится и в 1 n

случае lim cnk = +∞). Следовательно, unkk = cnk > 1, unk > 1 для всех k > K. Таким образом, подпоследоk→+∞

вательность (unk ) и сама последовательность (un ) не могут быть бесконечно малыми, и ряд расходится в силу необходимого признака сходимости ряда. Последнее утверждение теоремы иллюстрируется примерами ниже.  P Следствие 1.7. (Предельная форма признака Коши). Если положительный ряд un обладает свойством, √ что последовательность (cn ), cn = n un , n ∈ N имеет lim cn = c, то ряд сходится, когда c < 1, и расхоn→+∞

дится, когда c > 1. Случай c = 1 требует дополнительных исследований.  Так как существует lim cn = c, то c = c.  n→+∞ P1 √ 1 n u Пример 3.5. n → 1, n → +∞. n расходится; un = n , cn = P 1 √ 1 1 n Пример 3.6. un = √ n 2 → 1, n → +∞. n2 сходится, un = n2 , cn = n

1.3.6. Признак Раабе P Теорема 1.18. un существует последовательность (pn ),   Предположим, что для положительного ряда un pn = n un+1 − 1 , n ∈ N. Если существуют число p > 1 и индекс n0 ∈ N, что pn > p для всех n > n0 , то ряд сходится. Если pn 6 1 для всех n > n1 и некоторого n1 ∈ N, то ряд расходится.  Пусть, сначала, pn > p > 1, n > n0 . Тогда un p > 1 + , n > n0 . un+1 n

16

(1)

Выберем α, 0 < α < p − 1, так что ряд vn vn+1

=



n+1 n

P

1+α

vn , vn = =

1 n1+α ,

n ∈ N, сходится. Имеем

 1+α   1 1+α 1 1+ =1+ +o , n → +∞. n n n

(2)

  1 p−α−1 = [1 + o(1)] , n → +∞, n n

(3)

Поэтому, на основании (1) и (2), un vn p−α−1 − > +o un+1 vn+1 n и так как p − α − 1 > 0 и

lim [1 + o(1)] = 1 > 0, то (по свойству сохранения знака предела) правая часть в

n→+∞

vn n − vn+1 > 0, n > N , и (3) положительна для всех n > N и некоторого N ∈ N (выбираем N > n0 ). Итак, uun+1 P un+1 vn+1 < для всех n > N , и следовательно, ряд u сходится по основному признаку сравнения рядов. n un vn 1

un+1 n n+1 n Пусть теперь pn 6 1 для всех n > n1 . Тогда uun+1 6 1 + n1 = n+1 для всех 1 n , n > n1 , и un > n+1 = n P1 P un .  n > n1 . Так как ряд n расходится, то расходится и ряд P Следствие 1.8. Если (pn ) в теореме имеет lim pn = p > 1, то ряд un сходится. Если lim pn = p < 1, n→+∞ n→+∞ P то ряд un расходится.



1+p 2

Для ε1 =

p−1 2

> 0, согласно основному свойству нижнего предела, существует n1 ∈ N, что pn > p − ε1 =

> 1 для всех n > n1 , и ряд сходится по теореме. Для ε2 = 1−p 2 > 0, согласно основному свойству верхнего < 1 для всех n > n2 , и ряд расходится по теореме.  предела, существует n2 ∈ N, что pn < p + ε2 = 1+p 2 P Следствие 1.9.(Предельная форма признака Раабе). Если для положительного ряда un последователь un ность (pn ), pn = n un+1 − 1 , n ∈ N, имеет lim pn = p, то ряд сходится, когда p > 1, и расходится, когда n→+∞

p < 1; случай p = 1 требует дополнительных исследований.  По критерию существования предела последовательности, p = lim pn = p = lim pn = p = lim pn , n→+∞

и применяем предыдущее следствие.  P1 Пример 3.7. Ряд n расходится, un =

n→+∞

 − 1 = 1, n ∈ N, и lim pn = 1. n→+∞   P 1 un Пример 3.8. Ряд сходится, но lim pn = 1, где pn = n un+1 − 1 , un = n ln12 n , n > 2. n2 ln2 n n→+∞   n Замечание. Если существует lim pn = lim n uun+1 − 1 = p и так как последовательность (n) — бесn→+∞ n→+∞   un − 1 = 0, и следовательно, lim uun+1 = 1. Поэтому, в случае p 6= 1 признак конечно большая, то lim n n→+∞ n→+∞ un+1 P Раабе даёт ответ о сходимости или расходимости ряда un . 1 n,

pn = n



n→+∞

un un+1

1.3.7. Признак Гаусса P Теорема 1.19. Предположим, что положительный ряд un обладает свойством un µ θn = λ + + 1+σ , n ∈ N, un+1 n n

(4)

где λ, µ, σ ∈ R и σ > 0, а последовательность (θn ) ограничена. Тогда 1. если λ > 1, ряд сходится, и если λ < 1 — расходится; 2. если λ = 1, то ряд сходится при µ > 1 и расходится при µ < 1; 3. при λ = µ = 1 ряд расходится. 

un n→+∞ un+1

Так как (θn ) ограничена, то lim

= λ, и утверждение 1 — предельная форма признака Даламбера.

Если λ = 1, то (4) принимает вид

и следовательно, lim n n→+∞



un µ θn = 1 + + 1+σ , n ∈ N, un+1 n n

un un+1

(5)

 − 1 = µ, так что утверждение 2 — предельная форма признака Раабе. Пусть,

наконец, λ = µ = 1, то есть (5) переходит в

un 1 θn = 1 + + 1+σ , n ∈ N. un+1 n n 17

(6)

Рассмотрим расходящийся ряд

P

1 n ln n

и обозначим vn =

1 n ln n ,

n > 2. Тогда



   n + 1 ln(n + 1) 1 ln n + ln 1 + n1 1 ln n + n1 + o n1 = = 1+ = 1+ = vn+1 n ln n n ln n n ln n         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ 1+ +o = 1+ + + +o = 1+ + +o , n → +∞. n n ln n n ln n n n ln n n2 ln n n ln n n n ln n n ln n (7) vn

На основании (6) и (7), имеем

Так как

    un vn 1 θn 1 1 θn ln n − =− + 1+σ + o =− 1− + o(1) , n → +∞. (8) un+1 vn+1 n ln n n n ln n n ln n nσ   n n lim 1 − θnnln + o(1) = 1 > 0 (последовательность (θn ) ограничена, а lim ln σ nσ = 0, σ > 0), то

n→+∞

n→+∞ un un+1

правая часть в (8) отрицательна для всех n > nε с некоторым nε ∈ N. Таким образом, P un+1 vn+1 un расходится.  un > vn , n > nε , и следовательно, ряд


nε , или

1.4. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды

1.4.1. Понятие абсолютно сходящегося ряда P P Определение 1. Числовой ряд an называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд |an | из абсолютных величин |an | членов an ряда. Любой сходящийся знакопостоянный ряд сходится абсолютно. Теорема 1.20. Любой абсолютно сходящийся ряд сходится. P P  Рассмотрим произвольный абсолютно сходящийся рядP an , то есть, сходящийся ряд |an |, и произвольное число ε > 0. По критерию Коши для сходящегося ряда |an |, существует nε ∈ N, что ||an+1 | + . . . + |an+p || < ε для всех n, p ∈ N, n > nε . Но тогда |an+1 + . . . + an+p | 6 |an+1P | + . . . + |an+p | = ||an+1 | + . . . + |an+p || < ε для всех n, p ∈ N, n > nε , и согласно критерию Коши, сходится ряд an .  1.4.2. Линейное свойство абсолютно сходящихся рядов

Теорема 1.21. Сумма абсолютно сходящихся рядов образует абсолютно сходящийся ряд. P P  Пусть ряды an и bn сходятся абсолютно и число ε > 0 — произвольное. Так как сходятся ряды P P |an | и |bn |, то по критерию Коши, существует nε ∈ N, что |an+1 |+. . .+|an+p | < ε2 и |bn+1 |+. . .+|bn+p | < 2ε для ε ε всех n, p ∈ N, n > nε . Поэтому, |an+1 + bn+1 |+ . . .+ |an+p + bn+p | 6 |an+1 |+ P|bn+1 |+ . . .+ |an+p |+ |bn+p P| < 2 + 2 = ε для всех n, p P ∈ N, n P > nε , так что, по критерию Коши, сходится ряд |an + bn |, то есть, ряд (an + bn ) — сумма рядов an и bn — сходится абсолютно.  P P Теорема 1.22. Если ряд an абсолютно сходится и последовательность (Mn ) ограничена, то ряд Mn an сходится абсолютно.  По условию теоремы, существует такое число C > 0, что |Mn | 6 C справедливо для всех n ∈ N0 . Поэтому, |Mn+1 an+1 |+. . .+|Mn+p an+p | = |Mn+1 | |an+1 |+. . .+|Mn+p | |an+p | 6 C (|an+1 | + . . . + |aP n+p |) справедливо для всех n, p ∈ N. Рассмотрим произвольное ε > 0. Так как по условию теоремы сходится ряд |an |, то существует такое nε ∈ N, что |an+1 | + . . . + |an+p | < Cε для всех n, p ∈ N, n > nε . Следовательно, |M a | + . .P . + |Mn+p an+p | < n+1 n+1 P C Cε = ε для всех n, p ∈ N, n > nε , и по критерию Коши, сходится ряд |Mn an |, то есть, ряд Mn an сходится абсолютно.  1.4.3. Признаки абсолютной сходимости числовых рядов P Теорема 1.23. (Признак Даламбера). Если числовой ряд an обладает свойством, что существует lim aan+1 = n n→+∞ λ и lim aan+1 = λ, то ряд сходится абсолютно, когда λ < 1, и ряд расходится, когда λ > 1. n n→+∞ |a |  Так как aan+1 , n ∈ N, то из условия λ < 1, по признаку Даламбера следует, что сходится = |an+1 n P P n| ряд |an |, то есть ряд an сходится абсолютно. Если λ > 1, то в доказательстве признака Даламбера было установлено, что |an+1 | > |an | для всех n ∈ N, n > n1 и некоторого P Pn1 ∈ N, так что последовательности (|an |) и (an ) не могут быть бесконечно малыми, и поэтому ряды |an | и an расходятся.  p P Теорема 1.24. (Признак Коши). Если для числового ряда an рассмотреть lim n |an | = µ, то ряд n→+∞

абсолютно сходится, когда µ < 1, и ряд расходится, когда µ > 1 (в частности, если µ = +∞). 18

P  Рассмотрим положительный ряд |an |. Согласно признаку Коши, этот ряд сходится, если µ < 1, то P есть, ряд an абсолютно сходится при µ < 1. Если µ > 1 (в частности, если µ = +∞), то в доказательстве признака Коши было отмечено, что последовательность (|an |) не может быть бесконечно малой, а вместе P с ней и (an ) не является бесконечно малой последовательностью, так что по необходимому признаку, ряд an расходится.  P Следствие. (Предельная форма признаков Даламбера и Коши). Если у числового ряда an существуют p n lim an+1 = λ или lim |a | = µ, то ряд абсолютно сходится, когда λ < 1 или µ < 1, и ряд расходится, n an

n→+∞

n→+∞

когда λ > 1 или µ > 1; случай λ = 1 или µ = 1 требует дополнительных исследований.

Согласно условию и критерию существования предела последовательности, λ = λ = λ = lim aan+1 = n n→+∞ p n lim an+1 |an |. Применяем предыдущие теоремы.  an и µ = µ = lim 

n→+∞

n→+∞

1.4.4. Условно сходящиеся ряды P Так называютPчисловые ряды an , которые сходятся, но не сходятся абсолютно; то есть, расходится положительный ряд |an |. Теорема 1.25. (Тождество Абеля). Рассмотрим последовательности (an ), (αn ) и (sn ), s0 = 0, s1 = n P a1 , . . . , sn = ak , n ∈ N. Тогда для произвольных m, n ∈ N, m > n, справедливо тождество k=1

m X

αk ak =

k=n

m−1 X k=n

sk (αk − αk+1 ) + αm sm − αn sn−1 .

 m X

αk ak =

k=n

m X

k=n

αk (sk − sk−1 ) = αn (sn − sn−1 ) + αn+1 (sn+1 − sn ) + . . . + αm (sm − sm−1 ) = sn (αn − αn+1 )+

+ sn+1 (αn+1 − αn+2 ) + . . . + sm−1 (αm−1 − αm ) + αm sm − αn sn−1 =

m−1 X k=n

sk (αk − αk+1 ) + αm sm − αn sn−1 .

 1.4.5. Признак Дирихле сходимости числового ряда Теорема 1.26. Если P 1. последовательность (sn ) частных сумм ряда an ограничена; 2. последовательность (αn ) убывает и бесконечно мала, то есть lim αn = 0, n→+∞

P

то ряд αn an сходится. P  Проверим выполнение критерия Коши для ряда αn an . Рассмотрим произвольное ε > 0 и произвольные m, n ∈ N, m > n. Согласно тождеству Абеля, m X m−1 X αk ak 6 |sk | |αk − αk+1 | + |sm | |αm | + |sn−1 | |αn | . k=n

k=n

По условию 1 теоремы, существует такое M > 0, что |sk | 6 M для всех k ∈ N, и поэтому, m "m−1 # X X αk ak 6 M |αk − αk+1 | + |αm | + |αn | . k=n

(1)

k=n

Так как последовательность (αn ) убывает, то |αk − αk+1 | = αk − αk+1 > 0, k ∈ N, и неравенство (1) принимает вид m "m−1 # X X αk ak 6 M (αk − ak+1 ) + |αm | + |αn | = M [αn − αn+1 + αn+1 − αn+2 + . . . + αm−1 − αm + |αm | + |αn |] = k=n

k=n

= M (αn + |αn | − αm + |αm |) 6 2M (|αn | + |αm |). (2)

19

ε Так как lim αn = 0, то для ε > 0 существует такой nε ∈ N, что |αn | < 4M для всех n ∈ N, n > nε . Поэтому, n→+∞ m P ε ε |αm | < 4M для всех m > n > nε , и, согласно (2), αk ak < 4M · 4M = ε для всех m, n > nε , что является k=n P критерием Коши сходимости ряда αn an . 

1.4.6. Признак Абеля сходимости числового ряда

Теорема 1.27. Если P 1. ряд an сходится и 2. последовательность (αn ) монотонна и ограничена, P то ряд αn an сходится. P  Согласно условию 1 теоремы, последовательность an ограничена (как сходяP(sn ) частных сумм ряда щаяся последовательность, lim sn = s — сумма ряда an ). Пусть, для определенности, последовательность n→+∞

(αn ) возрастает. Согласно теореме Вейерштрасса, существует

lim αn = α и αn 6 αn+1 6 α для всех n ∈ N.

n→+∞

Следовательно, βn = α − αn > 0, βn+1 = α − αn+1 6 α − αn = βn , n ∈ N, и lim βn = 0. Согласно признаку Диn→+∞ P P P рихле, сходится ряд βn an = (α− αn )an . Согласно условиюP1 теоремы, P сходится рядP αan , и следовательно, в силу свойства линейности сходящихся рядов, сходится ряд αan − (α − αn )an = αn an .  P

1.4.7. Знакочередующиеся ряды

Так называют ряды вида (−1)n+1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + . . ., у которых un > 0, n ∈ N. P Теорема 1.28. (Признак Бернулли–Лейбница). Знакочередующийся ряд (−1)n+1 un сходится, если последовательность (un ) убывает и бесконечно мала. При этом, сумма каждого остатка ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого своего члена и совпадает с ним по знаку; то есть P |rn | 6 un+1 , n ∈ N, и sgn rn = (−1)n+1 . В частности, для суммы s ряда (−1)n+1 un справедлива оценка 0 6 s 6 u1 . P  Ряд P(−1)n+1 un сходится по признаку Дирихле, в котором αn = un и an = (−1)n+1 , n ∈ N (частные суммы ряда (−1)n+1 равны 1 или 0; то есть, образуют ограниченную последовательность). Обозначим его ∞ P сумму через s = (−1)n+1 un и докажем неравенство 0 6 s 6 u1 . На рисунке видно, что числа u1 − u2 , u3 − n=1

u4 , . . . , u2n−1 − u2n равны длинам отрезков, взаимно друг на друга не налагаемых и содержащихся в отрезке [0, u1 ] длины u1 . Поэтому, 0 6 s2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + u2n−1 − u2n 6 u1 и так как s = lim sn = lim s2n , n→+∞

n→+∞

то 0 6 s 6 u1 . P Каждый n–ый остаток ряда (−1)n+1 un является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям теоремы, и по доказанному модуль |rn | его суммы удовлетворяет неравенству |rn | 6 (−1)n+1 un+1 = un+1 .  P Пример 4.1. Найдём сумму ряда Лейбница (−1)n+1 n1 = 1 − 12 + 31 − 41 + . . . .  Ряд сходится по признаку Бернулли–Лейбница. Кроме того, имеем     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + ...+ − = 1 + + + ...+ −2 + + ... + = ln(2n + 1) + c− 2 3 4 2n − 1 2n 2 3 2n 2 4 2n   1 1 2n + 1 − α2n − 1 + + . . . + = ln(2n + 1) + c − α2n − ln(n + 1) − c + αn = ln + βn , βn = αn − α2n , 2 n n+1

s2n = 1 −

где использована формула суммирования из теоремы 1.10. Поскольку lim βn = n→+∞   ∞ P 2n+1 n+1 1 s = lim sn = lim s2n = lim ln n+1 + βn = ln 2. Итак, (−1) n = ln 2.  n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim (αn − α2n ) = 0, то

n→+∞

n=1

Отметим, P 1 что ряд Лейбница сходится условно, он не сходится абсолютно, поскольку расходится гармонический ряд n.

1.5. Действия над рядами

Напомним, что ряд

P

an сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды

20

P

λan для любого λ 6= 0.

1.5.1. Сочетательное свойство сходящихся рядов Теорема 1.29. Если числовой ряд X

(1)

an = a1 + a2 + . . . + an + . . .

сходится к сумме s, то для произвольной возрастающей последовательности (nk ), nk ∈ N, k ∈ N, ряд (2)

(a1 + a2 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + . . . + (ank +1 + . . . + ank+1 ) + . . .

сходится к сумме s. Если для возрастающей последовательности (nk ) все слагаемые в каждой из скобок ряда (2) имеют одинаковые знаки; то есть, am · al > 0, nk + 1 6 m, l 6 nk+1 , k ∈ N, и ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится к сумме ряда (2). n P  Рассмотрим sn = ak , n ∈ N; тогда s = lim sn . Обозначим σk = (a1 + a2 + . . . + an1 ) + . . . + (ank−1 +1 + n→+∞

k=1

. . . + ank ), k ∈ N. Тогда σk = snk , k ∈ N, и следовательно, s = lim sn = lim snk = lim σk ; то есть, ряд (2) n→+∞ k→+∞ k→+∞ сходится к сумме s. Предположим теперь, что сходится ряд (2); то есть, существует lim σk = σ. Рассмотрим произвольное k→+∞

n ∈ N, n > n1 . Тогда существует единственное число k ∈ N такое, что nk 6 n 6 nk+1 . Поэтому, sn = σk + (ank +1 + . . . + an ) и am · al > 0 для всех nk + 1 6 m, l 6 n 6 nk+1 . Следовательно, (3)

|sn − σk | = |ank +1 + . . . + an | 6 |ank +1 + . . . + ank +1 | = |σk+1 − σk | .

Так как lim σk = lim σk+1 = σ, то lim |σk+1 − σk | = 0 и для произвольного ε > 0 существует kε ∈ N, что k→+∞

k→+∞

k→+∞

|σk − σ| < ε2 и |σk+1 − σk | < 2ε для всех k > kε , то есть всех k + 1 > kε . Положим Nε = nkε . Тогда для любого n > Nε и такого k ∈ N, что nk 6 n 6 nk+1 , имеем nk+1 > n > Nε = nkε и k + 1 > kε . Поэтому, с учётом (3), |sn − σ| = |sn − σk + σk − σ| 6 |sn − σk | + |σk − σ| 6 |σk+1 − σk | + |σk − σ|
Nε , так что σ = lim sn .  n→+∞

1.5.2. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов P Теорема 1.30. (О. Коши) Если ряд an абсолютно сходится к сумме s, то любая перестановка его членов приводит к ряду, абсолютно сходящемуся к s.  Рассмотрим вначале случай, когда все an > 0, и рассмотрим произвольную перестановку (1, 2, . . . , n, . . .) → k P P (n1 , n2 , . . . , nk , . . .), которая приводит к ряду ank . Рассмотрим произвольное k ∈ N и частную сумму anj . j=1

Положим m = max(n1 , . . . , nk ). Тогда

k P

anj 6

j=1

m P

l=1

al 6

∞ P

an = s на основании неотрицательности членов an

n=1

∞ P и критерия сходимости положительных рядов. На том же основании сходится ряд anj и его сумма s′ < s j=1 P P (то есть, при перестановке слагаемых сумма не увеличивается). Но ряд an получается из ank обратной перестановкой и поэтому s 6 s′ , так что s′ = s. В общем случае заметим, что an = (|an | + an ) − |an |, и так как 0 6 |an | + an 6 2 |an |, то по признаку сравнения P P из сходимости ряда |an | (по условию теоремы) следует сходимость положительного ряда (|an | + an ). Тогда ∞ X

n=1



an =

∞ X

(|an | + an ) −

n=1

∞ X

n=1

∞ ∞ ∞ X X X |an | = ( anj + anj ) − anj = anj . j=1

j=1

j=1

1.5.3. Свойства членов условно сходящихся рядов Теорема 1.31. Всякий условно сходящийся ряд содержит бесконечно много положительных и отрицательных членов. P P P  Рассмотрим произвольный условно сходящийся ряд an , так что an сходится, а |an | расходится. Если ряд содержит конечное множество отрицательных членов, то все an > 0, начиная с некоторого N ∈ N, и ∞ ∞ P P P поэтому an = |an | для всех n > N . Так как ряд an сходится, то сходится его остаток an = |an |, что n=N

21

n=N

P P противоречит расходимости ряда |an |. Далее, ряд (−an ) сходится условно, так как |−an | = |an | , n ∈ N, и по доказанному имеет P бесконечное множество отрицательных членов, которые являются положительными членами исходного ряда an .  P Пусть ряд an сходится условно. Обозначим uk = ank > 0 и vl = anl < 0. Согласно теореме 1.31, последовательности (uk ) и (vl ) содержат бесконечно много различных членов. P P P Теорема 1.32. Если ряд an сходится условно, то знакопостоянные ряды uk и vl расходятся. n n P P  По условию теоремы, lim sn = s и lim σn = +∞, где sn = ak , σn = |ak | , n ∈ N. Рассмотрим n→+∞

n→+∞

k=1

k=1

pn = 12 (σn + sn ), qn = 12 (s Pn − σn ), n ∈ N. Тогда pn , n ∈ N — сумма всех неотрицательных членов ak , входящих в частную сумму sn ряда an , а qn , n ∈ N — сумма всех отрицательных членов ak , входящих в sn . Таким P образом, P последовательности (pn ) и (qn ) будут некоторыми подпоследовательностями частныхPсумм рядов uk и vl , P соответственно. Так как, по определению, lim pn = +∞, lim qn = −∞, то ряды uk и vl расходятся.  n→+∞

n→+∞

Теорема 1.33. (Риман). Если числовой ряд сходится условно, то изменяя порядок его членов, можно заставить ряд иметь своей суммой любое действительное число или расходиться. P  Рассмотрим произвольный условно сходящийся ряд an и последовательности (pn ) и (qn ) его неотрицательных и отрицательных членов, которые бесконечны по теореме 1.31. Рассмотрим сначала произвольное число C, для определённости, P C > 0. По теореме 1.32, последовательность (An ), An = p1 + p2 + . . . + pn , n ∈ N, частных сумм ряда pn — положительная бесконечно большая; lim An = +∞. Следовательn→+∞

но, найдётся такой номер n1 ∈ N, что будут верны неравенства An1 > C > An1 − pn1 . Последовательность (Bm ), Bm = An1 + q1 + q2 + . . . + qm , m ∈ N, по той же теореме 1.32, является отрицательной бесконечно большой, lim Bm = −∞. Следовательно, найдётся такой номер m1 ∈ N, что Bm1 < C 6 Bm1 − qm1 . Поm→+∞

следовательность (An1 +n ), An1 +n = Bm1 + pn1 +1 + . . . + pn1 +n , n ∈ N, как и выше по теореме 1.32, является положительной бесконечно большой; lim An1 +n = +∞, и следовательно, найдётся такой номер n2 ∈ N, что n→+∞

будут верны неравенства An2 > C > An2 − pn2 . Продолжая этот процесс поочерёдного присоединения групп неотрицательных и отрицательных слагаемых, получим ряд (p1 + p2 + . . . + pn1 ) + (q1 + q2 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + . . . .

(3)

Покажем, что его сумма равна C. Для частных сумм ряда (3) имеем: s1 = (p1 + p2 + pn1 ) = An1 , |An1 − C| 6 pn1 , s2 = Bm1 , |Bm1 − C| 6 −qm1 , Так как ряд

P

s3 = An2 , |An2 − C| 6 pn2 , . . . .

an сходится, то lim an = 0, и поэтому lim pnk = 0 и lim qnk = 0. Отсюда и из предыдуn→+∞

k→+∞

k→+∞

щих соотношений следует, что lim sk = C. Поскольку слагаемые в каждой скобке ряда (3) либо положительны, k→+∞

либо отрицательны, то скобки P можно открыть. Ряд p1 + p2 + . . . + pn1 + q1 + q2 + . . . + qm1 + pn1 +1 + . . . получен перестановкой исходного ряда an и его сумма равна C. Случай, когда перестановочный ряд расходится, доказывается проще. Действительно, рассмотрим сначала сумму p1 +p2 +pn1 > 1; далее — сумму (p1 +p2 +. . .+pn1 )+(q1 +q2 +. . .+qm1 ) < −1, затем — (p1 +. . .+pn1 )+(q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) > 2, (p1 + . . . + pn1 ) + (q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + (qm1 +1 + . . . + qm2 ) < −2, .... Частные суммы (sk ) ряда (p1 + . . . + pn1 ) + (q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + . . . .

(4)

удовлетворяют неравенствам s2n−1 > n и s2n < −n, n ∈ N, и следовательно, ряд (4) расходится. Числа sk , k ∈ N, образуют подпоследовательность в последовательности частных сумм ряда p1 + . . . + pn1 + q1 + . . . + qm1 + pn1 +1 + . . . + pn2 + qm1 +1 + . . . qm2 + . . . ,

(5)

P полученного из ряда (4) после раскрытия скобок и являющегося перестановкой исходного ряда an . Так как подпоследовательность не имеет предела, то не имеет предела и вся последовательность частных сумм ряда (5), то есть ряд (5) расходится. 

22

1.6. Последовательности и ряды с комплексными членами 1.6.1. Поле комплексных чисел Множество всех упорядоченных пар (x, y) ∈ R2 обозначим символом C и введём на C операции сложения и умножения в форме (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), (1) (2)

(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ),

так что пары 0 = (0, 0) и 1 = (1, 0) являются нейтральными элементами относительно введённых операций, соответственно. Непосредственно проверяется, что обе операции обладают свойствами (аксиомами) соответствующих операций для R, и, следовательно, C образует поле. Поскольку (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) и (x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 x2 , 0), то отображение R ∋ x 7−→ C = {(x, y) | x, y ∈ R} является вложением поля R в поле C, и поэтому считаем (x, 0) = x ∈ R. Пара (0,1) имеет обозначение i = (0, 1), и i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. (2′ )

Так как iy = (0, 1) · (y, 0) = (0, y) и (x, y) = (x, 0) + (0, y), то (x, y) = x + iy, x, y ∈ R. Если обозначить x + iy = z ∈ C, то x = Re z, y = Im z. Если y = 0, то комплексное число z называют вещественным (или действительным) числом; если y 6= 0, то z называют мнимым комплексным числом; если x = 0, y 6= 0, то z = iy называют чисто мнимым числом. Согласно формулам (1), (2) и (2’), z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).

Для√z = x + iypкомплексное число x − iy = z называют комплексно сопряжённым для z и z · z = x2 + y 2 > 0. z 2 + y 2 = |z| — модуль комплексного числа z; если z = x (то есть, y = 0), то z = x и Число√ z · z = 2 |z| = x = |x|. Из определения модуля непосредственно вытекают следующие свойства. 1. |z| = 0 ⇔ z = 0; 2. |z1 z2 | = |z1 | |z2 | ; 3. (неравенство треугольника) |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |. Понятно также, что max(Re z, Im z) 6 |z| 6 |Re z| + |Im z| .

(3)

С помощью модуля комплексного числа на множестве C вводится метрика ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | , zi ∈ C, i = 1, 2 — расстояние между z1 и z2 . Действительно, оба свойства метрики ρ(z1 , z2 ) — 1. ρ(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 ; 2. ρ(z1 , z2 ) 6 ρ(z1 , z3 ) + ρ(z2 , z3 ) (неравенство треугольника) — имеют вид 1. |z1 − z2 | = 0 ⇔ z1 = z2 ; 2. |z1 − z2 | = |z1 − z3 + z3 − z2 | 6 |z1 − z3 | + |z3 − z2 | = |z1 − z3 | + |z2 − z3 |,

и непосредственно следуют из свойств модуля комплексного числа. Таким образом, поле C с метрикой ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | образует метрическое пространство, в котором, в частности, можно изучать процесс сходимости последовательностей. Отметим ещё, что в отличии от линейно упорядоченного поля R поле C упорядочить нельзя. 1.6.2. Предел последовательности комплексных чисел Любое отображение f : N → C порождает в C последовательность (zn ), zn = f (n) ∈ C, n ∈ N, которую называют комплексной последовательностью. Определение. Комплексное число z называют пределом комплексной последовательности (zn ), если числовая последовательность (ρ(z, zn )), ρ(z, zn ) = |z − zn | , n ∈ N — бесконечно малая, то есть, lim |z − zn | = 0. n→+∞

Обозначение: z = lim zn (как и в метрическом пространстве). n→+∞

Рисунок иллюстрирует расположение точек комплексной последовательности (zn ) и её предела z = lim zn . n→+∞

Теорема 1.34. Пусть z = x + iy, zn = xn + iyn , n ∈ N. Тогда z = lim zn ⇔ x = lim xn , y = lim yn . n→+∞

n→+∞

n→+∞

 Согласно (3), max(|x − xn | , |y − yn |) 6 |z − zn | 6 |x − xn | + |y − yn | , n ∈ N, и используем свойства бесконечно малых числовых последовательностей.  Следствие. 23

1. сходящаяся комплексная последовательность (zn ) ограничена, то есть, |zn | 6 C для всех n ∈ N и некоторого C > 0; 2. сходящаяся комплексная последовательность (zn ) обладает свойством локальности; то есть, изменение или отбрасывание любого конечного множества элементов последовательности не влияет на её сходимость и величину предела. Следствие предыдущей теоремы и аналогичных свойств числовых последовательностей. 



Теорема 1.35. (Дальнейшие свойства сходящихся комплексных последовательностей). Предположим, что последовательности (zn ) и (wn ), zn = xn + iyn , wn = un + ivn , n ∈ N, имеют lim zn = z, lim wn = w, где n→+∞

n→+∞

z = x + iy, w = u + iv. Тогда

1. для любых λ1 , λ2 ∈ C последовательность (ωn ), ωn = λ1 zn + λ2 wn , n ∈ N, имеет lim ωn = λ1 lim zn + n→+∞

n→+∞

λ2 lim wn ; n→+∞

2. последовательность (zn wn ) имеет lim zn wn = lim zn · lim wn = zw; n→+∞

n→+∞

n→+∞

3. если w = 6 0, то существует N ∈ N, что wn 6= 0 для всех n > N ; 4. если w = 6 0, то существует lim wznn = wz . n→+∞

 Докажем, для примера, утверждение 2. Имеем zn · wn = (xn + iyn )(un + ivn ) = xn un − yn vn + i(xn vn + yn un ), n ∈ N. Так как существует lim zn = z = x + iy, lim wn = w = u + iv, то согласно теореме 1.34, n→+∞

существуют

lim xn = x, lim = y,

n→+∞

yn

lim un = u,

n→+∞

n→+∞

lim vn = v, и поэтому, существуют

n→+∞

lim (xn un − yn vn ) =

n→+∞

xu−yv, lim (xn vn +yn un ) = xv+yu. Согласно теореме 1.34, существует lim zn wn = (xu−yv)+i(xv+yu) = zw. n→+∞

n→+∞

 1.6.3. Критерий Коши сходимости комплексной последовательности Теорема 1.36. Комплексная последовательность (zn ) сходится тогда и только тогда, когда (zn ) — фундаментальная последовательность; то есть, для любого числа ε > 0 существует такое индекс nε ∈ N, что |zn − zm | < ε для всех m, n > nε .  Согласно (3), для zn = xn + iyn , n ∈ N, имеем (4)

max(|xm − xn | , |ym − yn |) 6 |zm − zn | 6 |xm − xn | + |ym − yn | , m, n ∈ N.

Поэтому, на основании (4): (zn ) — фундаментальная ⇔ (xn ) и (yn ) — сходящиеся последовательности, lim xn = x, lim yn = y ⇔ (теорема 1.34) существует lim zn = x + iy = z. 

n→+∞

n→+∞

n→+∞

1.6.4. Ряды с комплексными членами (комплекснозначные ряды) Рассмотрим ряд z1 + z2 + . . . + zn + . . . = и его частные суммы sn =

n P

k=1

X

(5)

zn , zn ∈ C, n ∈ N,

zk , n ∈ N. Ряд (5) называют сходящимся к сумме s ∈ C, если s = lim sn ; ряд n→+∞

(5) называют расходящимся, если (sn ) не имеет предела (не сходится). Если zn = xn + iyn , n ∈ N, то sn = n n n n P P P P P P xk + i yk , n ∈ N, и xk , yk , n ∈ N — частные суммы числовых рядов xn и yn , соответственно. k=1 k=1 k=1 k=1 P На основании вышеизложенного, ряд (5) сходится тогда и только тогда, когда сходятся числовые ряды xn и ∞ ∞ ∞ P P P P yn и s = zn = xn + i yn . n=1

n=1

n=1

1.6.5. Абсолютная сходимость ряда с комплексными членами P Ряд (5) называют абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд |zn |. P Теорема 1.37. Ряд P zn , zn =Pxn +iyn , n ∈ N, абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся числовые ряды xn и yn . P P  Предположим сначала, что абсолютно сходится ряд zn , то есть сходится числовой ряд |zn |. P Так как 0P6 |xn | 6 |zn | , 0 6 |ynP | 6 |zn |P , n ∈ N, то по признаку сравнения положительных рядов, сходятся ряды |x P Pn | и |yn |, то есть, ряды P xn и yP сходятся абсолютно. Обратно, пусть абсолютно сходятся ряды x и yn ; n n P то есть, сходятся ряды |x | и |y |. Поскольку 0 6 |z | 6 |x | + |y | , n ∈ N и сходится ряд (|x | + |y |), то n n n n n n P Pn сходится ряд |zn |, то есть, ряд zn сходится абсолютно.  24

Следствие. Всякий абсолютно сходящийся комплексный ряд сходится. P  Рассмотрим сходящийся ряд zn , zn = xn + iyn , n ∈ N. По предыдущей теореме, абсолютно P абсолютно P P сходятся ряды x и y , и следовательно, оба ряда сходятся. Но тогда обязан сходиться и ряд zn = n n P P xn + i yn .  1.6.6. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами

Теорема 1.38. (Коши–Абель). Любая перестановка членов абсолютно сходящегося ряда с комплексными членами приводит к абсолютно сходящемуся ряду, сумма которого равна сумме исходного ряда. P  Рассмотрим произвольный абсолютно сходящийся ряд zn , zn = xn + iyn , n ∈ N, и произвольный P перестановочный ряд z , z = x + iy , k ∈ N. По теореме предыдущего пункта к ней, n n n n k k k k P P P P P P и следствия P zn = Pxn + i P yn и числовые ряды xn и yn абсолютно сходятся. Так как ряды xnk и ynk получены из рядов xn и yn некоторой перестановкой членов, по по теореме Коши для абсолютно сходящихся числовых ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P P P рядов, ряды xnk и ynk абсолютно сходятся и их суммы xnk = xn , ynk = yn . Следовательно, по теореме предыдущего пункта, абсолютно сходится ряд i

∞ P

ynk =

k=1

∞ P

xn + i

n=1

∞ P

n=1

yn =

∞ P

zn . 

P

k=1

znk =

P

n=1

xnk + i

P

n=1

k=1

ynk и его сумма

∞ P

k=1

znk =

∞ P

xnk +

k=1

n=1

1.7. Произведение рядов 1.7.1. Рассмотрим ряды с комплексными членами X an = a1 + a2 + . . . + an + . . . , X

(1) (2)

bn = b1 + b2 + . . . + bn + . . . ,

и образуем бесконечную матрицу из элементов  a1 b 1 a2 b 1  a1 b 2 a2 b 2   a1 b 3 a2 b 3   ... ...   a1 b k a2 b k ... ...

ai , bk , i, k ∈ N, вида a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3 ... a3 b k ...

. . . . . . ai b1 . . . . . . ai b2 . . . . . . ai b3 ...... ... . . . . . . ai bk ...... ...

...... ...... ...... ...... ...... ......



   .   

(3)

Так как множество элементов матрицы (3) не более, чем счётно, то её элементы можно перенумеровать в одну последовательность бесконечно многими способами aip bkp , p ∈ N, и получить бесконечно много произведений P aip bkp исходных рядов. Из них выделяют два произведения. I. a1 b1 ; a1 b2 , a2 b1 ; a1 b3 , a2 b2 , a3 b1 ; . . . (нумерация и суммирование идут по диагоналям в матрице (3)). Образованный после этого ряд X a1 b1 + (a1 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b2 + a3 b1 ) + . . . = ck , (4) в котором ck =

k P

j=1

II.

aj bk+1−j , k ∈ N, называют произведением по Коши рядов 

a1 b 1  a1 b 2   a1 b 3   ...  a1 bn ...

a2 b 1 a2 b 2 a2 b 3 ... a2 b n ...

a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3 ... a3 b n ...

. . . . . . an b1 . . . . . . an b2 . . . . . . an b3 ...... ... . . . . . . an bn ...... ...

...... ...... ...... ...... ...... ......

P



an и

P

bn .

   .   

(3)

Нумерация и суммирование идут по квадратам в матрице (3) и образовавшийся после этого ряд имеет вид a1 b1 + (a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 ) + . . . .

25

(5)

1.7.2. Теорема Коши о произведении абсолютно сходящихся рядов P P Теорема 1.39. Если ряды an и bn сходятся абсолютно к суммам A и B, соответственно, то их произведение, состоящее из элементов матрицы (3) в любом порядке, также абсолютно сходится и имеет своей суммой число AB. ∞ ∞ P P P P  По условию, A = an , B = bn и сходятся ряды |an | , |bn | к суммам A∗ , B ∗ , соответственно. n=1

Рассмотрим произвольный ряд

P

n=1

aip bkp и ряд

p P P P aip bkp = aip · bkp . Обозначим σp = |ail bkl | , p ∈ N, и ν = l=1

max(i1 , . . . , ip , k1 , . . . , kp ). Последовательность (σp ) возрастает, и в силу критерия сходимости положительных рядов, σp = |ai1 | |bk1 | + |ai2 | |bk2 | + . . . + aip bkp 6 (|a1 | + |a2 | + . . . + |aν |) · (|b1 | + |b2 | + . . . + |bν |) 6 A∗ B ∗ , p ∈ N. P По тому же критерию, существует lim σp = σ 6 A∗ B ∗ и ряд aip bkp сходится абсолютно. По теореме Коши– p→+∞ P Абеля, его сумма s не зависит от перестановок его членов. Поэтому представим ряд aip bkp в виде произведения типа II по квадратам, частные суммы которого обозначим s′n , n ∈ N, так что s′n = (a1 + a2 + . . . + an )(b1 + b2 + . . . + bn ) = An Bn , n ∈ N, P P где An и Bn — частные суммы рядов an и bn , соответственно. Так как lim An = A, lim Bn = B, то n→+∞ n→+∞ ∞ P P ′ ′ ′ lim sn = AB = s и число s равно сумме s ряда aip bkp по теореме Коши–Абеля. Поэтому, aip bkp = AB. n→+∞

p=1



1.7.3. Произведение рядов по Коши Ряды вида (4)

P

c n , cn =

n P

j=1

aj bn+1−j , n ∈ N, широко и плодотворно используются в случае степенных

рядов (для которых Коши и ввёл понятие произведения рядов). Ряды вида ...,

∞ P

∞ P

an z n = a0 + a1 z + . . . + an z n +

n=0

n=0

bn z n = b0 + b1 z + . . . + bn z n + . . . , z ∈ C, называются степенными рядами. Их произведение по Коши

имеет вид

∞ P

c n z n , cn =

n=0

n P

j=0

aj bn−j , n ∈ N0 = N ∪ {0}. Подробно степенные ряды будут изучены в следующей

главе. Теорема 1.40. (Мертенс). Произведение по Коши (4) рядов (1) и (2) сходится, если сходятся оба ряда и один из них сходится абсолютно. При этом, сумма произведения равна произведению сумм сомножителей. P P an сходится абсолютно к сумме A, а ряд bn сходится к сумме B. Тогда ряд P  Предположим, что ряд |an | сходится к некоторой сумме A∗ > 0. Рассмотрим Cn =

n X

ck = c1 + c2 + . . . + cn = a1 b1 + (a1 b2 + a2 b1 ) + . . . + (a1 bn + a2 bn−1 + . . . + an−1 b2 + an b1 ) =

k=1

= a1 (b1 + b2 + . . . + bn ) + a2 (b1 + b2 + . . . + bn−1 ) + . . . + an b1 = a1 Bn + a2 Bn−1 + . . . + an B1 =

n X

ak Bn+1−k ,

k=1

где Bk =

k P

j=1

bj , k ∈ N, и lim Bk = B. Следовательно,

Cn − An B =

k→+∞ n X

k=1

ak Bn+1−k −

n X

k=1

ak B =

n X

k=1

ak (Bn+1−k − B) =

где βn = Bn − B, n ∈ N, и lim βn = 0.

n X

k=1

ak βn+1−k = γn , n ∈ N,

(6)

n→+∞

Последовательность (γn ) есть преобразование Тёплица последовательности (βn ), в котором последовательность (an ) обладает свойствами P 1. lim an = 0 (так как ряд an сходится); n→+∞ P 2. существует c > 0, что |a1 | + . . . + |an | 6 c, n ∈ N (число c = A∗ , так как ряд |an | сходится). 26

Так как lim βn = 0, то по теореме Тёплица, последовательность (γn ) бесконечно малая, lim γn = 0. Согласно n→+∞

n→+∞

(6), 0 = lim γn = lim (Cn − An B) = lim Cn − lim An B = lim Cn − AB, n→+∞

n→+∞

n→+β

n→+∞

n→+∞

откуда AB = lim Cn .  n→+∞

1.8. Бесконечные произведения 1.8.1. Основные определения и обозначения Рассмотрим произвольную последовательность (bn ), bn ∈ C, n ∈ N, и образуем новую последовательность n Q (pn ), p1 = b1 , p2 = b1 · b2 , . . . , pn = b1 · b2 · . . . · bn , pn = bk , n ∈ N, которую называют последовательностью ∞ Q

частичных произведений бесконечного произведения

k=1

bn , числа bn — члены бесконечного произведения

p 6= 0. Обозначение: p =

∞ Q

bn называют сходящимся к числу p, если p =

n=1

∞ Q

bn .

n=1

n=1

Определение. Бесконечное произведение

∞ Q

bn , p — значение бесконечного произведения

n=1 ∞ Q

∞ Q

lim pn и

n→+∞

bn . Если (pn ) не имеет предела, то

n=1

∞ Q бесконечное произведение bn называют расходящимся; если lim pn = 0, то bn называют расходящимся n→+∞ n=1 n=1 к нулю. ∞ Q Итак, у сходящегося бесконечного произведения bn все члены bn отличны от нуля. n=1

Пример 8.1. (Эйлер).

∞ Q

1

n=1

en 1 1+ n

c

= e , где c — константа Эйлера.

1 n n n+1 e , n ∈ N, то, с учётом формулы суммирования 1 1 1+ 12 +...+ n = n+1 eln(n+1)+c−αn = ec e−αn , где lim αn = 0. bn = 1·2·3·...·(n−1)n 2·3·...·n(n+1) e n→+∞ lim ec e−αn = ec .  n→+∞

Так как bn =



(теорема 1.10), pn = b1 · b2 · . . . · Поэтому, существует

1.8.2. Остаточные произведения. Необходимый признак сходимости ∞ Q Отбросив в бесконечном произведении bn первые m членов, получим остаточное произведение n=1

которое вполне аналогично остатку ряда. ∞ Q Теорема 1.41. Если сходится bn , то при любом m > 1 сходится ∞ Q

тором m > 1 сходится

Пусть сходится



n=1

bn , то сходится

n=m+1 ∞ Q

m Q

k=1

(m)

bn =

lim pn =

m Q

k=1

bn сходится

n=m+1 ∞ Q

Обратно, пусть сходится

(m)

bn = πm 6= 0, так что πm = lim pn . Так как pn = n→+∞

bk · πm 6= 0; то есть, сходится

∞ Q

n=1

bn



m Q

k=1

bk 6= 0, то существует lim pn = p n→+∞  m −1 ! Q к числу πm = p bk . k=1

(m)

n=m+1

Так как πm =

m Q

= 

n Q

bk , k=m+1 −1 m Q bk

так что

, то есть,

k=1

k=1

Следствие 1.10. Если сходится 

bn , и обратно, если при неко-

lim pn = p 6= 0. Для любого n > m рассмотрим pn

n→+∞ ∞ Q

bn ,

n=m+1

n=m+1

n→+∞

bk · pn . Так как lim pn = p 6= 0 и число

остаточное произведение

n→+∞

bn .

∞ Q

n=1

n=1

pn =

∞ Q

∞ Q

lim pn =

n→+∞

bk

∞ Q

n=1 −1

∞ Q

bn = p и опять p =

n=1

k=1

= p 6= 0, то

, m > 1, и

m Q

bk · πm . 

m Q

k=1

(m)

bk ·pn , то существует

lim πm = 1.

m→+∞ m Q

lim

m→+∞ k=1

bk =

∞ Q

n=1

bn 6= −, то

lim πm = 1. 

m→+∞

Следствие 1.11. Последовательность членов любого сходящегося бесконечного произведения сходится к 1.

27

Рассмотрим произвольное сходящееся бесконечное произведения



n Q

ет lim pn = p 6= 0, где pn = n→+∞

то lim bn = lim n→+∞

pn

n→+∞ pn−1

∞ Q

n=1

bk , и следовательно, bn =

k=1

pn pn−1 ,

bn , bn ∈ C, n ∈ N, так что существу-

n > 2. Так как lim pn−1 = lim pn = p 6= 0, n→+∞

n→+∞

= 1. 

1.8.3. Бесконечные произведения с положительными членами P

Теорема 1.42. Если все числа an > 0, n ∈ N, то

∞ Q

an сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

n=1

ln an . В случае сходимости, если p и s суть значение бесконечного произведение и сумма ряда, то p = es .  n  n P Q  Рассмотрим sn = ln ak = ln ak = ln pn , n ∈ N, откуда pn = esn , n ∈ N. В силу непрерывности k=1

функций exp и ln, пределы

k=1

lim pn = p 6= 0,

n→+∞

s

lim sn = s существуют или не существуют одновременно, и в

n→+∞

случае существования справедливо p = e . 

Теорема 1.43. Если an = a + un , −1 < un 6= 0, n ∈ N, и все числа un знакопостоянны (то есть, все ∞ ∞ Q Q un > 0 или все un < 0), то an = (1 + un ) сходится тогда и только тогда, когда сходится один из n=1 P P P P n=1 рядов un , |un | , ln(1 + un ), |ln(1 + un )| (и сходимость каждого из рядов влечёт сходимость трёх остальных).  Поскольку, согласно необходимым признакам, бесконечное произведение и ряды сходятся при условии lim un = 0, считаем, что lim un = 0. n→+∞

n→+∞

Так как все un знакопостоянные, то sgn ln(1 + un ) = sgn un , n ∈ N, а так как un 6= 0, n ∈ N, то существует lim

n→+∞

ln(1 + un ) |ln(1 + un )| = 1 = lim . n→+∞ un |un |

(1)

НаPосновании (1) P Pи предельной P формы общего признака сравнения положительных рядов заключаем, P что ряды un , |un |, ln(1+un ), |ln(1 + un )| сходятся или расходятся одновременно. Сходимость ряда ln(1+ ∞ ∞ Q Q un ), по теореме 1.42, равносильна сходимости бесконечного произведения an = (1 + un ).  n=1

n=1

Теорема 1.44. Если an = 1 + un , −1 < un 6= 0, n ∈ N, и последовательность (un ) не знакопостоянная, то ∞ Q P P 2 бесконечное произведение (1 + un ) сходится, если сходятся ряды un и un . n=1 P  Так как сходится ряд un , то lim un = 0. Согласно локальной формуле Тейлора, ln(1 + un ) = u2n 2

o(u2n ),

1 2

> 0. В силу предельной формы общего признака P 2 P сравнения положительных рядов и условия сходимости ряда un , заключаем, что сходится (un − ln(1 + un )), P откуда по линейному свойству следует, что сходится ряд ln(1 + un ). Последнее, по теореме 1.42, равносильно ∞ Q сходимости бесконечного произведения (1 + un ). 

un −

+

n → +∞, откуда

n→+∞ n) lim un −ln(1+u u2n n→+∞

=

n=1

1.8.4. Абсолютная сходимость бесконечного произведения

Определение. Бесконечное произведение ся, если сходится

∞ Q

n=1

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, называют абсолютно сходящим-

n=1

(1 + |un |), где |un | — модуль числа un .

Согласно теореме 1.43,

∞ Q

(1+|un |) сходится тогда и только тогда, когда сходится один из рядов

n=1

|un |). Если lim |un | = lim un = 0 и un 6= 0, n ∈ N, то n→+∞

n→+∞

P

|un | ,

P

ln(1+

ln(1 + un ) ln(1 + |un |) = lim |ln(1 + un )| = 1, lim = lim (2) n→+∞ n→+∞ n→+∞ |un | un |un | P P P и на основании (2) заключаем, что ряды |un | , ln(1 + |un |), |ln(1 + un )| сходятся или расходятся одно∞ ∞ Q Q P временно. Таким образом, (1 + un ) сходится абсолютно ⇔ (1 + |un |) сходится ⇔ ln(1 + |un |) сходится n=1 n=1 P P ⇔ |ln(1 + un )| сходится ⇔ ln(1 + un ) сходится абсолютно. 28

Теорема 1.45. Любое абсолютно сходящееся

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, сходится.

n=1



Так как

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, сходится абсолютно, то абсолютно сходится ряд

n=1

по теореме 1.42, сходится

∞ Q

(1 + un ); сумма s =

n=1

p = es . 

∞ P

ln(1 + un ) связана со значением p =

n=1

∞ Q

P

ln(1 + un ) и

(1 + un ) равенством

n=1

Теорема 1.46. Значение абсолютно сходящегося бесконечного произведения не зависит от порядка его сомножителей. ∞ ∞ Q P  Если абсолютно сходится (1 + un ) = p, то абсолютно сходится ряд ln(1 + un ) = s и p = es . Так как n=1 n=1 P сумма s не зависит от перестановки членов ряда ln(1 + un ), то и число p не зависит от перестановки членов ∞ Q бесконечного произведения (1 + un ).  n=1

1.8.5. Гамма–функция Эйлера


x ∞ 1 Y 1 + n1 Γ(x) = , x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} . x n=1 1 + nx

(3)

По локальной формуле Тейлора при фиксированном x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0}, имеем
x 1 + n1 = 1 + nx           x −1 x x(x − 1) 1 x x2 1 x x(x − 1) 1 = 1+ 1+ + +o = 1− + 2 +o 1+ + +o = n n 2n2 n2 n n n2 n 2n2 n2       1 x(x − 1) 1 x(x − 1) 1 1 = 1 + 2 x2 + − x2 + o =1+ +o , n → +∞. n 2 n2 2 n2 n2
i P h x(x−1) 1 1 Ряд + o абсолютно сходится при всех x ∈ R. Поэтому, на основании результатов преды2 2 2 n n дущего пункта, бесконечное произведение (3) абсолютно сходится для всех x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0}. В частности, Γ(1) = 1. Рассмотрим частичные произведения
x n n 1 Y 1 + k1 1 Y k (k + 1)x 1 · 2 · . . . · n · 2x · 3x · . . . · nx · (n + 1)x n!(n + 1)x pn (x) = = = = . x 1 + xk x k + x kx x(x + 1) · . . . · (x + n) · 1x · 2x · . . . · nx x(x + 1) · . . . · (x + n) k=1

Так как

k=1

x lim (n+1) nx n→+∞

= lim

n→+∞

1+


1 x n

= 1, x ∈ R, то

(n + 1)x n!nx n!nx = lim , x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} n→+∞ n→+∞ nx x(x + 1) · . . . · (x + n) n→+∞ x(x + 1) · . . . · (x + n) (4) — формула Эйлера–Гаусса. Γ(x) = lim pn (x) = lim

1.8.6. Функциональное уравнение для гамма-функции Записав формулу (4) для Γ(x + 1), имеем Γ(x + 1) n!nx+1 x(x + 1) · . . . · (x + n) nx = lim · = lim = x. n→+∞ (x + 1) · . . . · (x + n)(x + n + 1) n→+∞ x + n + 1 Γ(x) n!nx

Итак,

Γ(x + 1) = xΓ(x), x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} .

(5)

Полагая в (5) x = n ∈ N, получим

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n(n − 1) · . . . · 1 · Γ(1) = n! (так как Γ(1) = 1). Поэтому, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.

(5′ )

Заметим, что Γ(n + 1) имеет смысл и при n = 0, Γ(1) = 1. Поэтому из (5’) следует, что 0! = 1 (формула, принятая нами за аксиому в первом семестре). 29

c

Так как e = то ecx Γ(x + 1) =

∞ Q

n=1 ∞ Q

n=1

1

en 1 1+ n x

en x 1+ n

1.8.7. Формула Вейерштрасса ∞ ∞ 1+ 1 x x Q Q ( n) en , c — константа Эйлера, то ecx = , x 1 x . Поскольку Γ(x + 1) = xΓ(x) = 1+ n 1+ n ) ( n=1 n=1 и

∞  Y 1 x −x = ecx 1+ e n , x ∈ R, x 6= −in, n ∈ N. Γ(x + 1) n n=1

(6)

(формула Вейерштрасса). 1.8.8. n Теорема 1.47. Если последовательность (an ), an > 0, обладает свойством, что aan+1 = 1+ ns + nθ1+σ , n ∈ N, n s где s, σ ∈ R, σ > 0, и последовательность (θn ) ограничена, то существует c > 0, что an = cn [1 + o(1)] , n → +∞.  Рассмотрим bn = anns , n ∈ N. Тогда

  −s     bn+1 an+1 ns s θn 1 s θn s (−s)(−s − 1) 1 1 = = 1 + + 1+σ 1+ = 1 + + 1+σ 1 − + +o = bn an (n + 1)s n n n n n n 2 n2 n2     θn s(s + 1) 1 s2 1 θn s(s − 1) 1 1 = 1 + 1+σ + − +o = 1 + 1+σ − +o , n → +∞. n 2 n2 n2 n2 n 2 n2 n2
i P h θn s(s−1) 1 Ряд сходится абсолютно, так как σ > 0 и |θn | 6 M, n ∈ N, с некоторой M > 0. n1+σ + 2n2 + o n2 ∞ Q bn+1 Следовательно, абсолютно сходится бесконечное произведение bn = p и n=1

n n Y Y ak+1 ks a2 · a3 · . . . · an · an+1 1 s · 2 s · . . . · ns bk+1 = lim = lim · = n→+∞ n→+∞ n→+∞ bk ak (k + 1)s a1 · a2 · . . . · an 2s · . . . · ns · (n + 1)s

p = lim

k=1

k=1

= lim

n→+∞

an s n→+∞ n

Итак, существует lim 

= a1 p = c и поэтому

an ns

an+1 1 an = lim . a1 · (n + 1)s a1 n→+∞ ns

= c [1 + o(1)] , n → +∞, откуда an = cns [1 + o(1)] , n → +∞.

2. Функциональные последовательности и функциональные ряды 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов 2.1.1. Основные определения Определение 1. Функция F (x, n), (x, n) ∈ R × N, порождает функциональную последовательность (fn (x)), fn (x) = F (x, n), n ∈ N. При этом область определения D(fn ) = проекцияR DF . Обозначим D(fn ) = E ⊂ R.

Определение 2. Функциональная последовательность (fn (x)), x ∈ E, называется сходящейся на множестве E, если для каждого x ∈ E сходится числовая последовательность (fn (x)), то есть, существует lim fn (x) = n→+∞

f (x), x ∈ E. Таким образом, на E определена новая числовая функция f (x), называемая предельной функцией функциональной последовательности (fn (x)). Обозначение: f (x) = lim fn (x), x ∈ E, или fn → f на E. n→+∞

Определение 1’. Функция F (z, n), (z, n) ∈ C × N, порождает комплексную функциональную последовательность (fn (z)), fn (z) = F (z, n), z ∈ E ⊂ C, n ∈ N. Определение 2’. Если для каждого z ∈ E ⊂ C существует

lim fn (z) = f (z), то на E определена новая

n→+∞

комплексная функция f (z), называемая предельной функцией комплексной функциональной последовательности (fn (z)).

30

Итак, f (z) =

lim fn (z), z ∈ E тогда и только тогда, когда для произвольной z ∈ E и любого ε > 0

n→+∞

существует N ∈ N, N = N (ε; z), что |fn (z) − f (z)| < ε для всех n > N . Обозначение: fn → f на E.

2.1.2. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности Определение 3. Комплексная функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C, если 1◦ она сходится на E к некоторой предельной функции f (z), f (z) = lim fn (z), z ∈ E, n→+∞

2◦ для произвольного ε > 0 существует N ∈ N (N = N (ε), выбор числа N не зависит от точек z ∈ E), что (1)

|fn (z) − f (z)| < ε

для всех n > N и всех z ∈ E. Обозначение: fn ⇉ f на E. Если E = {z1 , . . . , zk } ⊂ C — конечное множество и fn → f на E, то понятно, что fn ⇉ f на E, поскольку для любого ε > 0 и каждого zj ∈ E, j = 1, k, согласно определению 2’, существует Nj ∈ N, Nj = N (ε, zj ), 1 6 j 6 k, что |fn (zj ) − f (zj )| < ε для всех n > N (ε, zj ), 1 6 j 6 k, и выбирая N = max(N1 , N2 , . . . , Nk ), N = N (ε), заключаем, что (1) выполнено для всех n > N и всех z ∈ E. Пример 1.1. fn (x) = 1+nx2 x2 , x ∈ E = R, n ∈ N. Тогда lim fn (x) = 0 = f (x), x ∈ R, и для любого x ∈ R n→+∞ имеем 1 2nx 1 |x| = 6 , x ∈ R, n ∈ N. |fn (x) − f (x)| = 2 2 2 2 1+n x 2n 1 + n x 2n 1 1 1 Поэтому неравенство (1) справедливо для всех n > Nε = 2ε + 1 > 2ε (тогда 2n < ε) и всех x ∈ R, то есть, fn ⇉ f на R. 2.1.3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности Теорема 2.1. Функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что (2)

|fn+p (z) − fn (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε);

(2′ )

|fm (z) − fn (z)| < ε

для всех z ∈ E и всех m, n > N = N (ε).  Необходимость. Пусть fn ⇉ f на E и ε > 0 — произвольное. Согласно определению 3, существует N ∈ N, N = N (ε), что неравенство |f (z) − fn (z)| < 2ε справедливо для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Тогда |fn (z) − fn+p (z)| 6 |f (z) − fn (z)| + |f (z) − fn+p (z)| < 2ε + 2ε = ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Достаточность. Пусть для произвольного ε > 0 существует N = N (ε), что неравенство (2) справедливо для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Неравенство (2) есть критерий Коши сходимости последовательности (fn (z)) в каждой точке z ∈ E к некоторой предельной функции f (z) = lim fn (z), z ∈ E. В силу свойства n→+∞

локальности предела комплексной последовательности, f (z) = lim fn+p (z), z ∈ E, для любого n ∈ N. Переходя p→+∞

в неравенстве (2) к пределу при p → +∞, получим |f (z) − fn (z)| 6 ε для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Согласно определению 3, fn ⇉ f на E. Случай с неравенством (2’) рассматривается аналогично.  2.1.4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 2.2. Функциональная последовательность fn ⇉ f на E тогда и только тогда, когда положительная числовая последовательность (αn ), αn = sup |f (z) − fn (z)| , n ∈ N — бесконечно малая, то есть z∈E

lim αn = 0.

n→+∞

 Если fn ⇉ f на E, то по определению 3, для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что неравенство |f (z) − fn (z)| < ε справедливо для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Тогда αn = sup |f (z) − fn (z)| 6 ε z∈E

31

для всех n > N = N (ε); то есть, lim αn = 0. Если теперь n→+∞

lim = 0, то для произвольного ε > 0 существует

n→+∞

N ∈ N, N = N (ε), что 0 6 αn < ε для всех n > N = N (ε). Тогда |f (z) − fn (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε), и по определению 3, fn ⇉ f на E.  2.1.5. Неравномерно сходящиеся последовательности Сходящуюся на множестве E функциональную последовательность, не сходящуюся при этом на E равномерно, называют неравномерно сходящейся функциональной последовательностью на E. Это равносильно нижеследующему определению. Определение 4. Функциональная последовательность (fn (z)) неравномерно сходится на множестве E ⊂ C, если 1◦ она сходится на E к некоторой предельной функции f (z); 2◦ существует число ε0 > 0, обладающее свойством: для произвольного N ∈ N найдётся n ∈ N, n > N , и найдётся точка zn ∈ E, чтобы справедливо неравенство |f (zn ) − fn (zn )| > ε0 . Пример 1.2. fn (x) = lim 1 n→+∞ n

1 n2

x +x2

nx 1+n2 x2 ,

x ∈ [0, 1], n ∈ N. Тогда fn (0) = 0,

nx lim 2 2 n→+∞ 1+n x точках xn = n1

lim fn (0) = 0, и f (x) =

n→+∞

= 0 для всех x ∈ (0, 1]. Таким образом, fn → f на [0, 1] и f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. В 1 2

= ∈

(0, 1], n ∈ N, имеем |f (xn ) − fn (xn )| = fn (xn ) = = ε0 > 0, n ∈ N. Таким образом, последовательность (fn (x)) не сходится равномерно на [0, 1], то есть, сходится неравномерно. 2.1.6. Сходимость функциональных рядов Рассмотрим произвольную функциональную последовательность (an (z)) на множестве E из C и образуем n P новую функциональную последовательность (sn (z)), s1 (z) = a1 (z), s2 (z) = a1 (z) + a2 (z), . . . , sn (z) = ak (z), k=1

n ∈ N. Функции sn (z), n ∈ N, называют частными суммами функционального ряда X a1 (z) + a2 (z)+, . . . , +an (z) + . . . = an (z).

(3)

Если в каждой точке z ∈ E ⊂ C комплексная последовательность (sn (z)) сходится; то есть, (sn (z)) поточечно сходится на E к некоторой предельной функции s(z) = lim sn (z), z ∈ E, то s(z) называют суммой ряда (3), n→+∞

а множестве E — областью сходимости ряда (3). ∞ P Обозначение: s(z) = an (z), z ∈ E. n=1

Теорема 2.3. (Критерий Коши). Ряд (3) сходится на множестве E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного z ∈ E и произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (z; ε), что неравенство |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε справедливо для всех n, p ∈ N, n > N = N (z; ε) (неравенство |an (z) + . . . + am (z)| < ε справедливо для всех n, m > N = N (z; ε)).  |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| = |sn+p (z) − sn (z)| < ε для всех n, p ∈ N, n > N = N (z; ε) — критерий Коши сходимости функциональной последовательности (sn (z)) на E, то есть sn (z) → s(z) на E и s(z) — сумма ряда (3).  Определение 5. Функциональный ряд

an+1 (z) + . . . =

∞ X

k=1

(4)

an+k (z), z ∈ E,

называется n–ым остаточным рядом ряда (3). Для его суммы rn (z) =

∞ P

an+m (z) справедлива формула

m=1

rn (z) = s(z) − sn (z), z ∈ E, n ∈ N,

(5)

тогда и только тогда, когда ряд (3) сходится. Утверждение. Ряд (3) сходится на E тогда и только тогда, когда функциональная последовательность (rn (z)) поточечно сходится на множестве E к нулевой функции; то есть, rn (z) → 0 на E.

Определение P 6. Ряд (3) называют абсолютно сходящимся на некотором множестве E1 ⊂ C, если на E1 сходится ряд |an (z)|. Так как всякий абсолютно сходящийся ряд сходится, то E1 ⊂ E. 32

2.1.7. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение 7. Ряд (3) называют равномерно сходящимся на множестве E ⊂ C, если на E равномерно сходится последовательность (sn (z)) его частных сумм; то есть, sn (z) ⇉ s(z) на E; s(z) — сумма ряда (3). Утверждение. Ряд (3) равномерно сходится на множестве E тогда и только тогда, когда последовательность (rn (z)) сумм его остатков равномерно сходится на E к нулевой функции.  Согласно определению 7 и формуле (5), sn (z) ⇉ s(z) на E тогда и только тогда, когда rn (z) ⇉ 0 на E.  P (−1)n+1 Пример 1.3. Ряд x2 +n равномерно сходится на E = R и ряд сходится условно на R.  ∞ X (−1)k+1 1 1 |rn (x)| = 6 , x ∈ R, n ∈ N 6 x2 + k x2 + n + 1 n+1 k=n+1

(по признаку P Бернулли–Лейбница), так что rn (x) ⇉ 0 на R; то есть, ряд равномерно сходится на R. Положи1 x ∈ R, так как для любого x ∈ R существует m ∈ N, что m > x2 , и тельный ряд x2 +n расходится при любом P 1 1 1 следовательно, x2 +n > m+n , n ∈ N, и m+n есть m–ый остаточный ряд расходящегося гармонического ряда. 

Теорема 2.4. Ряд (3) равномерно сходится на E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε) (выбор N зависит только от ε > 0 и не зависит от точек z ∈ E), что неравенство |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε (6) an(z) + . . . + am (z) < ε (6′ ) справедливо одновременно для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε) (всех m, n ∈ N, m, n > N = N (ε)).  |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| = |sn+p (z) − sn (z)| и неравенство (6) [(6’)] есть критерий Коши равномерной сходимости последовательности (sn (z)) на множестве E. 

2.1.8. Линейное свойство равномерно сходящихся рядов P P an (z) и bn (z) равномерно сходятся на множестве E ⊂ C, то их сумма P Теорема 2.5. Если ряды (an (z) + bn (z)) равномерно сходится на E.  Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно (6), существует N1 ∈ N, N1 = N1 (ε), что |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N1 = N1 (ε), и существует N2 ∈ N, N2 = N2 (ε), что |bn+1 (z) + . . . + bn+p (z)| < 2 ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N2 = N2 (ε). Обозначим N = max(N1 , N2 ), N = N (ε). Тогда 2 |an+1 (z) + bn+1 (z) + . . . + an+p (z) + bn+p (z)| 6 |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| + |bn+1 (z) + . . . + bn+p (z)|
N = N (ε). Согласно (6), ряд (an (z) + bn (z)) равномерно сходится на E.  P Теорема 2.6. Если ряд an (z) равномерно сходится на множестве E ⊂ C, а функция v(z) ограничена на P E, то v(z)an (z) равномерно сходится на E.  По условию, существует M > 0, что |v(z)| 6 M для всех z ∈ E. Пусть ε > 0 — произвольное. Согласно (6), ε существует N ∈ N, N = N (ε), что |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < M для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Тогда |v(z)an+1 (z) + . . . + v(z)an+p (z)| = |v(z)| |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| 6 M |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε), так что ряд

P

ε M =ε M

v(z)an (z) равномерно сходится на E. 

2.1.9. Свойство аддитивности равномерно сходящихся рядов P Теорема 2.7. Если ряд an (z) равномерно сходится на множествах E1 и E2 , то он равномерно сходится на множестве E = E1 ∪ E2 .  Критерий Коши применяем отдельно на E1 и E2 , и следовательно, он справедлив и на E = E1 ∪ E2 .  2.1.10. Важное замечание Всякую функциональную P последовательность (fn (z)) можно рассматривать как последовательность частных сумм функционального ряда an (z), если a1 (z) = f1 (z), a2 (z) = f2 (z)−f1(z), . . . , an (z) = fn (z)−fn−1(z), n > 2. 33

2.2. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов 2.2.1. Признак Вейерштрасса Теорема 2.8. Если функции an (z), n ∈ N, определены на множестве E ⊂ C и cn = sup |an (z)| , n ∈ N, то z∈E P P P из сходимости положительного ряда cn следует равномерная сходимость на E рядов an (z) и |an (z)|.  Проверим P выполнение критерия Коши равномерной сходимости рядов. Рассмотрим произвольное ε > 0. Так как сходится cn , то существует N ∈ N, N = N (ε), что cn+1 + . . . + cn+p = |cn+1 + . . . + cn+p | < ε для всех n, p ∈ N, n > N . Поэтому, |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| 6 |an+1 (z)| + . . . + |an+p (z)| 6 cn+1 + . . . + cn+p < ε P P для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε); то есть, ряды an (z) и |an (z)| равномерно сходятся на множестве E.  2.2.2. Признак Дирихле Теорема 2.9. Если функции an (x), bn (x), n ∈ N, определены на множестве E ⊂ R и обладают свойствами 1◦ частные суммы Bn (x) =

n P

k=1

bk (x), n ∈ N, равномерно ограничены на E (то есть, существует M > 0,

что |Bn (x)| 6 M для всех x ∈ E и всех n ∈ N); 2 для каждого x ∈ E числовая последовательность (an (x)) убывает, а функциональная последовательность (an (x)) равномерно сходится на E к нулевой функции, P то ряд an (x)bn (x) равномерно сходится на E.  Рассмотрим произвольные m, n ∈ N, m > n. Совершая преобразование Абеля, имеем ◦

m X

k=n

ak (x)bk (x) =

m−1 X k=n

Bk (x)(ak (x) − ak+1 (x)) + Bm (x)am (x) − Bn−1 (x)an (x),

где B0 (x) = 0, и откуда, с учётом условия 1 и свойства убывания числовых последовательностей (an (x)) для каждого x ∈ E, получим оценку m X m−1 X ak (x)bk (x) 6 |Bk (x)| |ak (x) − ak+1 (x)| + |Bm (x)| |am (x)| + |Bn−1 (x)| |an (x)| 6 k=n k=n "m−1 # X 6M (ak (x) − ak+1 (x)) + |am (x)| + |an (x)| = k=n

= M [an (x) − an+1 (x) + an+1 (x) − an+2 + . . . + am−1 − am (x) + |am (x)| + an (x)] =

= M [an (x) + |an (x)| − am (x) + |am (x)|] 6 2M [|an (x)| + |am (x)|] , (1)

справедливо для всех x ∈ E и всех m, n ∈ N, m > n. ε Так как an (x) ⇉ 0 на E, то для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что |an (x)| < 4M ε для всех x ∈ E и всех n ∈ N, n > N = N (ε). Тогда |am (x)| < 4M для всех x ∈ E и всех m ∈ N, m > n > N = N (ε). Поэтому, на основании (1) заключаем, что m X  ε ε  ak (x)bk (x) < 2M + =ε 4M 4M k=n

для всех x ∈ E и всех m > n > N = N (ε); то есть, справедлив критерий Коши равномерной сходимости ряда P an (x)bn (x) на множестве E. 

2.2.3. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда P Теорема 2.10. Если функциональный ряд bn (x) равномерно сходится на множестве E ⊂ R, а функции an (x), x ∈ E, n ∈ N, обладают свойствами

1◦ для каждого x ∈ E числовая последовательность (an (x)) монотонна и 2◦ функциональная последовательность (an (x)) равномерно ограничена на множестве E (то есть, существует M > 0, что |an (x)| 6 M для всех x ∈ E и всех n ∈ N), 34

P то ряд an (x)bn (x) равномерно сходится на E. P  Рассмотрим произвольное число ε > 0. В силу равномерной сходимости на E ряда bn (x), существует N ∈ N, N = N (ε), что |bn+1 (x) + . . . + bn+p (x)| < ε (2) для всех x ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N . Рассмотрим B0 (x) = 0, B1 (x) = bn+1 (x), B2 (x) = bn+1 (x) + bn+2 (x), . . . , Bj (x) = bn+1 (x) + . . . + bn+j (x), j = 1, p, p ∈ N. Тогда bn+j (x) = Bj (x) − Bj−1 (x), n, j ∈ N, и в силу преобразования Абеля n+p X

ak (x)bk (x) =

k=n+1

p X

an+j (x)bn+j (x) =

j=1

p X j=1

=

p−1 X j=1

an+j (x) [Bj (x) − Bj−1 (x)] =

Bj (x) [an+j (x) − an+j+1 (x)] + an+p (x)Bp (x) − an+1 (x)B0 (x), x ∈ E. (3)

Согласно (2), |Bj (x)| < ε для всех x ∈ E и всех j = 1, p, p ∈ N, и B0 (x) = 0, x ∈ E. Не ограничивая общности, считаем, что (an (x)) убывает в каждой x ∈ E; тогда, на основании (3), с учётом условия 2 теоремы, получим   n+p p−1 p−1 X X X ak (x)bk (x) 6 |Bj (x)| |an+j (x) − an+j+1 (x)|+|an+p (x)| |Bp (x)| < ε  (an+j (x) − an+j+1 (x)) + |an+p (x)| < k=n+1

j=1

j=1

< ε [an+1 (x) − an+2 (x) + an+2 (x) − an+3 (x) + . . . + an+p−1 (x) − an+p (x) + |an+p (x)|] =

= ε [an+1 (x) − an+p (x) + |an+p (x)|] < ε (|an+1 (x)| + 2 |an+p (x)|) 6 ε · 3M

(4)

для всех P x ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Утверждение (4) есть критерий Коши равномерной сходимости ряда an (x)bn (x) на множестве E.  2.2.4. Признак Дини равномерной сходимости функциональных рядов

Теорема 2.11. Если непрерывные и неотрицательные на отрезке P [a, b] функции an (x), n ∈ N, образуют P ряд an (x), сходящийся на [a, b] к непрерывной функции s(x), то ряд an (x) равномерно сходится на [a, b]. n P P  Рассмотри частные суммы sn (x) = ak (x), n ∈ N, и суммы rn (x), n ∈ N, остатков ряда an (x). Так k=1

как ak (x) > 0, x ∈ [a, b], k ∈ N, то 0 6 sn (x) 6 sn+1 (x) 6 s(x), x ∈ [a, b], n ∈ N, и rn (x) = s(x) − sn (x), n ∈ N, удовлетворяют неравенствам 0 6 rn+1 (x) 6 rn (x), x ∈ [a, b], n ∈ N, и все rn (x) непрерывны на [a, b], поскольку непрерывны на [a, b] все sn (x), n ∈ N, и сумма s(x). Кроме того, lim rn (x) = 0 для всех x ∈ [a, b]. Утверждение n→+∞

теоремы будет доказано, если установим, что rn (x) ⇉ 0 на [a, b]. Предположим, напротив, что (rn (x)) сходится на [a, b] к нулевой функции неравномерно. Это значит, что существует число ε0 > 0 и для произвольного ν ∈ N существует число nν ∈ N, nν > ν, и точка xnν ∈ [a, b], для которых |rnν (xnν )| = rnν (xnν ) > ε0 , ν ∈ N.

Не ограничивая общности, считаем nν = ν = n, ν ∈ N, так что на [a, b] существует последовательность точек (xn ), в которых rn (xn ) > ε0 , n ∈ N. По теореме Больцано, ограниченная последовательность (xn ) содержит сходящуюся подпоследовательность (xnk ), lim xnk = x0 , и так как a 6 xnk 6 b, k ∈ N, то a 6 x0 6 b; то есть, k→+∞

x0 ∈ [a, b]. При этом, rnk (xnk ) > ε0 , k ∈ N. Для произвольного фиксированного m ∈ N существует nk > m, и поэтому, rm (x) > rnk (x), x ∈ [a, b]; в частности, rm (xnk ) > rnk (xnk ) > ε0 , k ∈ N, nk > m. (5)

Так как функция rm (x) непрерывна на [a, b] и lim xnk = x0 ∈ [a, b], то lim rm (xnk ) = rm (x0 ), и, с учётом k→+∞

k→+∞

(5), rm (x0 ) > ε0 для всех m ∈ N. Последнее противоречит свойству lim rn (x) = 0 для любого x ∈ [a, b]. n→+∞ P Таким образом, предположение неверно и rn (x) ⇉ 0 на [a, b]; то есть, ряд an (x) равномерно сходится на [a, b]. 

35

2.2.5. Признак Дини равномерной сходимости функциональных последовательностей Теорема 2.12. Если функции fn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b] и в точках x ∈ [a, b] функциональная последовательность (fn (x)) монотонная одинаковой направленности (то есть, (fn (x)) возрастает в каждой x ∈ [a, b], либо (fn (x)) убывает в каждой точке x ∈ [a, b]) и (fn (x)) сходится на [a, b] к функции f (x), непрерывной на [a, b], то (fn (x)) равномерно сходится к f (x) на [a, b].  Рассмотрим функции a1 (x) = f1 (x), a2 (x) = f2 (x) P − f1 (x), . . . , an (x) = fn (x) − fn−1 (x), n > 2, все непрерывные на [a, b]. Частные суммы sn (x), n ∈ N, ряда an (x) имеют вид sn (xn ) = a1 (x) + a2 (xx) + . . . + an (x) = f1 (x) + f2 (x) − f1 (x) + . . . + fn (x) − fn−1 (x) = fn (x), n ∈ N, x ∈ [a, b],

и поэтому, сумма s(x) ряда, s(x) =

lim fn (x) = f (x) непрерывна на [a, b]. В силу свойства P P монотонности, фигурирующего в условии теоремы, либо ряд an (x), либо ряд (−an (x)) удовлетворяет всем условиям теоремы Дини для рядов, согласно которой ряд равномерно сходится на [a, b]. Это означает, что sn (x) ⇉ s(x) на [a, b], или fn (x) ⇉ f (x) на [a, b].  lim sn (x) =

n→+∞

n→+∞

Замечание. В двух последних теоремах отрезок можно заменить произвольным компактом на R.

2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 2.3.1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда P Теорема 2.13. Если функции an (z), n ∈ N, определены на некотором множестве E ⊂ C и ряд an (z) равномерно сходится на E к сумме s(z), то функция s(z) будет непрерывной в каждой точке z0 ∈ E, в которой непрерывны все функции an (z), n ∈ N. n P  Рассмотрим произвольные ε > 0 и sn (z) = ak (z), z ∈ E, n ∈ N, так что s(z) = sn (z) + rn (z), z ∈ k=1 P E, n ∈ N, где rn (z) — сумма n–ого остаточного ряда для an (z). Так как ряд равномерно сходится на E, то rn (z) ⇉ 0 на E, и поэтому существует такое N ∈ N, N = N (ε), что |rn (z)| < 3ε для всех z, z0 ∈ E. Поскольку также s(z) = sN (z) + rN (z), z ∈ E, то оценка |s(z) − s(z0 )| = |sN (z) + rN (z) − sN (z0 ) − rN (z0 )| 6 |sN (z) − sN (z0 )| + + |rN (z)| + |rN (z0 )| < |sN (z) − sN (z0 )| + справедлива для всех z, z0 ∈ E. Функция sN (z) =

N P

k=1

2ε 3

(1)

ak (z) непрерывна в точке z0 ∈ E, как сумма непрерывных

функций ak (z), k = 1, N , и следовательно, для ε > 0 существует δ > 0, что ε |sN (z) − sN (z0 )| < (2) 3 для всех z ∈ E, |z − z0 | < δ. На основании (1) и (2), получаем оценку |s(z) − s(z0 )| < 3ε + 2ε 3 = ε для всех z ∈ E, |z − z0 | < δ, которая означает непрерывность функции s(z) в точке z0 ∈ E.  Следствие. Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций имеет своей суммой непрерывную функцию. 2.3.2. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности Теорема 2.14. Если функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C к предельной функции f (z) и каждая fn (z), n ∈ N, непрерывна в точке z0 ∈ E, то предельная функция f (z) непрерывна в z0 .  Рассмотрим функции a1 (z) = f1 (z), an (z) = fn (z) − fn−1 (z), n > 2, z ∈ E, непрерывные в точке z0 ∈ E. P Функциональный ряд an (z) имеет частные суммы sn (z) =

n X

k=1

ak (z) = f1 (z) + f2 (z) − f1 (z) + . . . + fn (z) − fn−1 (z) = fn (z), z ∈ E, n ∈ N.

Поэтому, условиеPfn (z) ⇉ f (z) на E равносильно свойству sn (z) ⇉ f (z) на E; то есть, свойству равномерной сходимости ряда an (z) к сумме s(z) = f (z). По теореме предыдущего пункта, функция f (z) = s(z) непрерывна в точке z0 ∈ E.  36

2.3.3. Предел по базе суммы равномерно сходящегося функционального ряда P Теорема 2.15. Если функциональный ряд an (x) равномерно сходится на множестве E ⊂ R и B — база P на E, по которой существуют lim an (x) = cn для всех n ∈ N, то числовой ряд cn сходится и его сумма B

равна пределу суммы функционального ряда по базе B; то есть, lim B



∞ P

Обозначим s(x) =

n=1

∞ X

an (x) =

n=1

∞ X

lim an (x).

n=1

B

an (x), x ∈ E, и рассмотрим произвольное ε > 0. Так как ряд

сходится на E к s(x), то по критерию Коши, существует N ∈ N, N = N (ε), что |an+1 (x) + . . . + an+p (x)|
N . Опираясь на свойства линейности и монотонности предела функции по базе, а также на свойство непрерывности функции |t| , t ∈ R, на основании (3) получим, что |cn+1 + . . . + cn+p | = lim an+1 (x) + . . . + lim an+p (x) = lim(an+1 (x) + . . . + an+p (x)) = B

B

B

ε N = N (ε), что является критерием Коши сходимости числового ряда cn к некоторой сумме c. P Так как ряд an (x) равномерно сходится на E к функции s(x), то для ε > 0 существует N1 ∈ N, N1 = N1 (ε), ∞ P что |s(x) − sn (x)| < ε3 для всех n > N1 . Так как cn = c, то существует N2 ∈ N, N2 = N2 (ε), что |c − sn | < 3ε для = lim |an+1 (x) + . . . + an+p (x)| 6 B

всех n > N2 , где sn =

n P

k=1

n=1

ck , n ∈ N. Обозначая N = max(N1 , N2 ), N = N (ε), заключаем, что |s(x) − sN (x)|
0 существует такой элемент Bε базы B, на котором |sN (x) − sN |
0. Так как rn (x) ⇉ 0 на [a, b], то существует N ∈ ε N, N = N (ε), что |rn (x)| < 2(b−a) для всех x ∈ [a, b] и всех n > N . Поэтому, справедлива оценка b Z Zb ε rn (x) dx 6 |rn (x)| dx 6 (b − a) < ε 2(b − a) a

a

для всех n > N, N = N (ε), из которой следует (8). 

2.3.6. Интегрирование предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности Теорема 2.18. Если функциональная последовательность (fn (x)) равномерно сходится на [a, b] ⊂ R к предельной функции f (x) и все fn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b], то справедлива формула Zb

f (x) dx = lim

n→+∞

a

Zb

(6′ )

fn (x) dx.

a

 Доказать самостоятельно, используя ряд x ∈ [a, b]. 

P

an (x), a1 (x) = f1 (x), an (x) = fn (x) − fn−1 (x), n > 2,

Пример 3.1. Рассмотрим последовательность (fn (x)), x ∈ [0, 1], n ∈ N,  1   , 4n2 x, 0 6 x 6   2n   1 1 fn (x) = −4n2 x + 4n, 6x6 ,  2n n    1   0, 6 x 6 1. n

и график функции fn (x) изображен на рисунке. Тогда fn (0), n ∈ N, и 1 x,

lim fn (0) = 0 = f (0). Для любого

n→+∞

1 N.

x ∈ (0, 1] рассмотрим такое N ∈ N, чтобы N > или x > Для всех n > N имеем x > N1 > n1 , и следовательно, на основании рисунка, fn (x) = 0 для всех n > N , так что lim fn (x) = 0. Итак, fn (x) → f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. n→+∞

Эта сходимость не является равномерной, поскольку для любого n ∈ N выберем xn = 38

1 2n

∈ [0, 1], в которой

|fn (xn ) − f (xn )| = fn (xn ) = 2n, и lim |fn (x) − f (x)| = +∞. При этом, на основании геометрического свойства n→+∞ интеграла, Z1 Z1 Z1/n f (x) dx = 0 6= 1 = fn (x) dx = fn (x) dx 0

0

0

для всех n ∈ N. 2.3.7. Почленное дифференцирование функциональных рядов P Теорема 2.19. Если все функции anP (x), n ∈ N, непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], ряд an (x) сходится на [a, b] к сумме s(x) и ряд a′n (x) равномерно сходится на [a, b] к сумме s∗ (x), то функция s(x) дифференцируема на [a, b] и её производная s′ (x) = s∗ (x), x ∈ [a, b]; то есть, ∞ X

!′

an (x)

n=1

=

∞ X

n=1

a′n (x), x ∈ [a, b].

Поскольку все производные a′n (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b], то по теореме предыдущего пункта ∞ P функция s∗ (x) = a′n (x) непрерывна на [a, b] и для любого x ∈ [a, b] справедлива формула 

n=1

Zx a

x

∗

s (t) dt =

∞ Z X

n=1 a

a′n (t) dt

=

∞ X

(an (x) − an (a)) = s(x) − s(a), x ∈ [a, b].

(9)

n=1

Так как функция s∗ непрерывна на [a, b], то существует

x R a

s∗ (t) dt

′

= s∗ (x), x ∈ [a, b], и, согласно (9),

s∗ (x) = (s(x) − s(a))′ , x ∈ [a, b]. Так как (s(a))′ = 0, то, по свойству линейности операции дифференцирования, существует s′ (x) и s′ (x) = s∗ (x), x ∈ [a, b].  2.3.8. Дифференцируемость гамма-функции Эйлера Согласно формуле Вейерштрасса, ∞  Y x −x 1 / −N, = ecx 1+ e n, x ∈ Γ(x + 1) n n=1

и бесконечное произведение абсолютно сходится для всех x ∈ / −N. Поскольку Γ(x + 1) = xΓ(x), x ∈ / −N0 , N0 = N ∪ {0}, то ∞ Y 1 x x cx =e / −N0 , 1 + e− n , x ∈ |x| |Γ(x)| n n=1 и

− ln |x| − ln |Γ(x)| = cx + ln |Γ(x)| = − ln |x| − cx +

∞ h X x x i ln 1 + − , x∈ / −N0 , n n n=1

x i − ln 1 + , x ∈ / −N0 . n n

∞ h X x

n=1

(10)

Формальное дифференцирование левой и правой частей в формуле (10) приводит к  ∞  X Γ′ (x) 1 1 1 =− −c+ − , x∈ / −N0 , Γ(x) x n n+x n=1

(11)

и формула (11) будет иметь место, если мы докажем, что ряд в её правой части равномерно сходится на каждом отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 (по теореме предыдущего пункта). На отрезке ∆ справедлива оценка |x| 6 M для всех x ∈ ∆ и некоторого числа M > 0. Поэтому 1 |x| M − 1 = n n + x n |n + x| 6 n(n − M ) 39

P M для всех x ∈ ∆ и всех n ∈ N, n > M . Так как положительный ряд n(n−M) сходится, то по признаку n>M i Ph1 1 Вейерштрасса на ∆ равномерно сходится ряд n − n+x , и следовательно, формула (11) справедлива для

всех x ∈ / −N0 . Итак, функция Γ(x) дифференцируема всюду в своей области определения и справедлива формула (11). По определению, ∞  X

n=1

1 1 − n+1 n



= lim

n→+∞

n  X

k=1

1 1 − k+1 k



= lim

n→+∞



1 1 1 1 1 − 1 + − + ...+ − 2 3 2 n+1 n



= lim

=

n→+∞

или 1+

∞  X

n=1

На основании (11) и (12) имеем

1 1 − n+1 n





1 −1 n+1



= −1, (12)

= 0.

  ∞  ∞  X Γ′ (x) 1 X 1 1 1 1 = −c + 1 − + − = −c + − , x∈ / −N0 . Γ(x) x n=1 n + 1 n + x n+1 n+x n=0

(13)

Формальное дифференцирование формулы (13) приводит к ′ X  ′ ∞ 1 Γ (x) = , x∈ / −N0 Γ(x) (n + x)2 n=0

(14)

и равенство (14) справедливо, если будет доказано, что ряд в его правой части равномерно сходится на каждом 1 отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 . Как и выше, для всех x ∈ ∆ справедлива оценка (n+x) 2 < P 1 1 (n−M)2 при всех n ∈ N, n > M , и так как положительный ряд (n−M)2 сходится, по признаку Вейерштрасса ряд

∞ P

n=0

n>M

1 (n+x)2

равномерно сходится на ∆, и следовательно, (14) справедливо всюду на R, кроме x ∈ −N0 .

Итак, доказано, что функция Γ(x) обладает второй производной Γ′′ (x) всюду в своей области определения. Дальнейшее дифференцирование формулы (14) (ряда в её правой части) также приводит к рядам, равномерно сходящимся на каждом отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 (по признаку Вейерштрасса). Это показывает, что функция Γ(x) бесконечно дифференцируема в своей области определения x ∈ / −N0 .

2.4. Степенные ряды 2.4.1. Область абсолютной сходимости степенного ряда Рассмотрим произвольную последовательность (cn ) комплексных чисел cn ∈ C, n ∈ N, комплексное число c0 и произвольное комплексное число z0 ∈ C. Функциональный ряд c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . . . + cn (z − z0 )n + . . . =

∞ X

n=0

cn (z − z0 )n , z ∈ C,

(1)

называют степенным рядом с центром в точке z0 ; числа cn , n ∈ N0 = N ∪ {0}, называют коэффициентами степенного ряда (1). Изучение свойств степенного ряда (1) сводят к случаю, когда z0 = 0; то есть, изучают степенной ряд ∞ X c0 + c1 z + c2 z 2 + . . . + cn z n + . . . = cn z n , z ∈ C. (2) n=0

Теорема 2.20. Пусть (cn ) — последовательность комплексных чисел и p 1 n |cn | = ρ и R = , (3) n→+∞ ρ p p где в левой части последнего равенства считаем R = 0, если lim n |cn | = +∞, и R = +∞, если lim n |cn | = lim

n→+∞

n→+∞

0. Тогда ряд (2) абсолютно сходится, если |z| < R, и расходится, если |z| > R; в случае R = +∞ ряд (2) абсолютно сходится для всех z ∈ C, в случае R = 0 ряд (2) сходится только в своём центре z0 = 0. 40

p p p Обозначим an (z) = cn z n , n ∈ N0 . Тогда lim n |an (z)| = lim |z| n |cn |. Если lim n |cn | = +∞ (и n→+∞ n→+∞ n→+∞ p R = 0), то lim n |an (z)| существует и равен 0 только когда z = 0, |z| = 0, а для любого z ∈ C, z 6= 0, имеем n→+∞ p |z| > 0 и lim |z| n |cn | = +∞, так что по радикальному признаку Коши ряд (2) сходится в точке z = 0 и n→+∞ ∞ P для z 6= 0 положительный ряд |an (z)| расходится, а последовательность его членов (|an (z)|) не является 

n=0

бесконечно малой; то есть, не является бесконечно малой последовательность (an (z)) для любого z 6= 0 и ряд p (2) расходится при всех z 6= 0. Если lim n |cn | = 0 (и R = +∞), то по свойствам верхнего предела (глава 1, n→+∞

пункт 1.1.1),

lim

n→+∞

p p p n |an (z)| = lim |z| n |cn | = |z| lim n |cn | = 0 n→+∞

n→+∞

для всех z ∈ C, так что по радикальному признаку Коши положительный ряд z ∈ C; то есть, ряд

∞ P

n=0

an (z) абсолютно сходится для всех z ∈ C.

∞ P

n=0

|an (z)| сходится для всех

p p Пусть теперь lim = ρ, 0 < ρ < +∞. Тогда, как и выше, lim n |an (z)| = |z| lim n |cn | = |z| ρ. Согласно n→+∞ n→+∞ n→+∞ ∞ P радикальному признаку Коши, положительный ряд |an (z)| сходится, если |z| ρ < 1, или |z| < 1ρ = R, и расходится, если |z| ρ > 1, или |z| >

n=0

1 ρ

= R, причём последовательность его членов (|an (z)|) в этом случае не ∞ P является бесконечно малой, равно как и последовательность (an (z)). Другими словами, ряд an (z) абсолютно n=0

сходится для всех z, |z| < R, и ряд расходится для всех z, |z| > R. Итак, областью абсолютной сходимости ряда (2) служит круг |z| < R на C и ряд (2) расходится при |z| > R, где R определяется формулой (3).  Формулу (3) называют формулой Коши–Адамара, а величину R в ней — радиусом сходимости степенного ряда (2). Следствие 2.1. (Первая теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке z1 ∈ C, z1 6= 0, то ряд (2) абсолютно сходится в круге |z| < |z1 |.  Так как ряд (2) сходится в z1 , то по теореме |z1 | 6 R и R > |z1 | > 0. Так как z1 6= 0, то для всех z, |z| < |z1 |, справедливо |z| < |z1 | 6 R, |z| < R, и по теореме ряд (2) абсолютно сходится в z.  p Следствие 2.2. Если существует lim n |cn | = l > 0, то ряд (2) абсолютно сходится при |z| < 1l и n→+∞

расходится при |z| > 1l . 

В нашем случае число l = ρ = lim

n→+∞

p n |cn |. 

Следствие 2.3. Если коэффициенты ряда (2) отличны от нуля, начиная с некоторого индекса, и суще ствует lim cn+1 = l1 > 0, то ряд (2) абсолютно сходится в круге |z| < l11 и расходится при |z| > l11 . n→+∞ cn  Задача 4 в списке обязательных задач коллоквиума утверждает, что если существует lim cn+1 cn = l1 , n→+∞ p то l1 = lim n |cn |, и применяем следствие 2.  n→+∞

2.4.2. Степенные ряды в действительной области

В этом пункте рассмотрим степенной ряд ∞ X

n=0

cn xn = c0 + c1 x + . . . + cn xn + . . . , cn , x ∈ R, n ∈ N0 .

(2′ )

Его областью абсолютной сходимости служит интервал (−R, R), который может быть всей числовой прямой (−∞, +∞) или вырождаться в точку x = 0, а R вычисляется по формуле (3). Областью сходимости ряда (2’) будет промежуток h−R, Ri. ∞ p P nn xn сходится только при x = 0, так как cn = nn , n ∈ N, и lim n |cn | = lim n = Пример 4.1. Ряд n→+∞

n=1

+∞.

n→+∞

∞ P xn x2 xn Пример 4.2. Ряд n! = 1 + x + 2 + . . . + n! + . . . абсолютно сходится на всей числовой прямой, так как n=0 cn+1 1 n! 1 cn = n! и lim cn = lim (n+1)! = lim n+1 = 0 и R = +∞. n→+∞

n→+∞

n→+∞

41

∞ n+1 P (−1)n+1 xn Пример 4.3. Ряд абсолютно сходится в интервале (-1,1), так как cn = (−1)n , |cn | = n1 , n ∈ N, n n=1 p P (−1)n+1 P (−1)n+1 1 сходится; при x = −1 ряд (−1)n = и lim n |cn | = lim √ = 1, R = 1. При x = 1 ряд n n n n n→+∞ n→+∞ P1 − n расходится, и областью сходимости ряда служит промежуток (−1, 1]. p P xn 1 1 lim n |cn | = lim √ Пример 4.4. Ряд n 2 = 1, так что областью абсолютной n2 имеет cn = n2 , n ∈ N, и n→+∞ n n→+∞ P (±1)n P 1 (±1)n и сходимости служит интервал (−1, 1). При x = ±1 имеем = n12 , ряд 2 2 n n n2 сходится. Таким

образом, областью сходимости и абсолютной сходимости будет отрезок [−1, 1]. ∞ P 1 Пример 4.5. (−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)n x2n + . . . = 1+x 2 , |x| < 1. Заметим, что c2k = n=0 p p (−1)k , c2k−1 = 0, k ∈ N, |c2k | = 1, |c2k−1 | = 0 и lim n |cn | = 1, lim n |cn | = 0; следовательно, R = 1 и ряд n→+∞

n→+∞

абсолютно сходится в интервале (−1, 1). В точках x1,2 = ±1 ряд расходится, хотя его сумма ∞ P 1 определена и равна 21 . Если вместо x взять z ∈ C, то (−1)n z n = 1+z 2 , |z| < 1, и функция n=0

1 1+x2

в этих точках

1 1+z 2

не существует

в точках z1,2 = ±i, (±i)2 = −1, лежащих на границе круга |z| < 1 абсолютной сходимости ряда, |z1,2 | = |±i| = 1. 2.4.3. Равномерная сходимость степенных рядов

Теорема 2.21. Если степенной ряд (2) имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то он равномерно сходится на каждом замкнутом круге |z| 6 r для всех r, 0 < r < R.  Точка z = r лежит в круге |z| < R и в ней ряд (2), по теореме пункта 4.1, сходится абсолютно; то ∞ P n есть, сходится положительный ряд |cn | rn . Для любого z, |z| 6 r, справедливо |an (z)| = |cn z n | = |cn | |z| 6 n=0

n

|cn | r , n ∈ N0 , и по признаку Вейерштрасса ряд

∞ P

an (z) =

n=0

∞ P

n=0

cn z n равномерно сходится на |z| 6 r. 

2.4.4. Непрерывность суммы степенного ряда Теорема 2.22. Если степенной ряд (2) имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то его сумма s(z) непрерывна в круге |z| < R.  Рассмотрим произвольную точку z, |z| < R. Существует r, 0 < r < R, что |z| < r < R. По теореме предыдущего пункта, ряд (2) равномерно сходится на |z| 6 r. Так как каждая функция an (z) = cn z n непрерывна на C, то по теореме пункта 3.1, его сумма s(z) непрерывна в круге |z| 6 r; в частности, она непрерывна в точке z, |z| < r.  2.4.5. Вторая теорема Абеля ∞ P Теорема 2.23. Если степенной ряд (2′ ) cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и ряд сходитn=0

ся в x = R (в x = −R), то он равномерно сходится на отрезке [0, R] (на [−R, 0]) и его сумма s(x) непрерывна на [0, R] (на [−R, 0]), и в частности, она непрерывна слева в x = R (непрерывна справа в x =−R); то есть,  ∞ ∞ P P существует lim s(x) = s(R) = cn Rn существует lim s(x) = s(−R) = (−1)n cn Rn . x→R−0



x→−R+0 ∞ P

n=0

Рассмотрим вначале случай x = R. Тогда s(x) =

cn x =

n=0

∞ P

n=0

n

∞ P

cn R

n=0

n


x n R

, x ∈ [0, R]. Числовой ряд

cn Rn сходится, и его можно считать равномерно сходящимся на [0, R] функциональным рядом с постоянными n=0
x n членами, а функции fn (x) = R , n ∈ N, образуют на [0, R] убывающую последовательность в каждой точке

x x 2 x n x ∈ [0, R], равномерно ограниченную на [0, R]; так как 1 > R > R > ... > R > . . .. Согласно признаку ∞ P Абеля, функциональный ряд cn xn равномерно сходится на [0, R]. Так как каждая функция cn xn непрерывна n=0

на R, то и сумма ряда s(x) непрерывна на [0, R]; в частности, s(x) непрерывна слева в точке x = R. ∞ P Пусть теперь ряд (2′ ) сходится в x = −R, то есть, сходится числовой ряд (−1)n cn Rn . Степенной ряд ∞ P

n

n

(−1) cn y имеет радиус сходимости R1 =

n=0

1 ρ1 ,

ρ1 =

p lim n |(−1)n cn | =

n→+∞ ∗

n=0

lim

n→+∞

p n |cn | = ρ и R1 = R, и ряд

сходится в точке y = R. По доказанному, его сумма s (y) непрерывна на [0, R]. Так как для s(x) =

∞ P

n=0

42

cn xn

справедливо s(x) = s∗ (−y), то s(x) непрерывна на [−R, 0].  2.4.6. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов ∞ P

Теорема 2.24. Если степенной ряд сумме f (x) =

∞ P

n=0

cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и сходится к

n=0

cn xn , x ∈ (−R, R), то в интервале (−R, R) справедливы формулы Zx

f (t) dt =

0

∞ X cn n+1 c1 cn n+1 x = c0 x + x2 + . . . + x + ..., n+1 2 n+1 n=0

и

∞ X

f ′ (x) =

ncn xn−1 = c1 + 2c2 x + . . . + ncn xn−1 + . . . .

(4)

(5)

n=1



Заметим, что степенные ряды

∞ P

bn xn ,

n=0

∞ P

bn xn−1 ,

n=1

∞ P

bn xn+1 имеют один и тот же интервал (и радиус)

n=0

сходимости, поскольку каждый получается из другого умножением или делением на функцию ϕ(x) = x. Поэтому ∞ ∞ P P ряды ncn xn−1 и ncn xn имеют одинаковые радиусы сходимости, а радиус сходимости R1 последнего, n=1 n=0 p p √ p √ вычисляемый по формуле (3). равен R1 = ρ11 , ρ1 = lim n |ncn | = lim n n· n |cn | = lim n n· lim n |cn | = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ ∞ ∞ p P P cn cn n n+1 n lim |cn | = ρ, и R1 = R. Аналогично, ряды и n+1 x n+1 x имеют одинаковые радиусы сходимости, n→+∞ n=0 n=0 q p |cn | 1 n = lim √ · lim |cn | = и радиус сходимости R2 последнего ряда равен R2 = ρ12 , где ρ2 = lim n n+1 n n+1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ p n lim |cn | = ρ, так что R2 = R. n→+∞

Итак, радиусы сходимости рядов (2’), (4) и (5) одинаковые и совпадают с радиусом сходимости R ряда (2’). Тогда ряды (2’), (4) и (5) равномерно сходятся на каждом отрезке [−r, r], 0 < r < R, и так как их члены непрерывны на [−r, r], то на каждом [−r, r] выполнены все условия теорем о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов, согласно которым справедливы формулы (4) и (5).  ∞ P Следствие 2.4. Если степенной ряд cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то его сумма n=0

f (x) бесконечно дифференцируема в интервале (−R, R) и для каждого k ∈ N справедлива формула f (k) (x) =

∞ X

n=k

n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)cn xn−k , x ∈ (−R, R).

(6)

2.4.7. Единственность разложения в степенной ряд Теорема 2.25. Если степенной ряд

∞ P

cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и сумму f (x),

n=0 (k)

то c0 = f (0), ck = f k!(0) , k ∈ N.  Поскольку f (x) = c0 + c1 x + . . . + cn xn + . . . , x ∈ (−R, R), то f (0) = c0 . Согласно (5), f ′ (x) = c1 + 2c2 (x) + . . . + ncn xn−1 + . . . , x ∈ (−R, R), и f ′ (0) = c1 или c1 =

f ′ (0) 1! .

Согласно (6),

f (k) (x) = k(k − 1) · . . . · (k − k + 1)ck + (k + 1)k · . . . · (k + 1 − k + 1)ck+1 x + . . . , x ∈ (−R, R), и f (k) (0) = k!ck , или ck =

f (k) (0) k! ,

k ∈ N. 

Теорема 2.26. Если степенной ряд

∞ P

n=0

cn (x − x0 )n имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то в

интервале его абсолютной сходимости (−R + x0 , R + x0 ) его сумма f (x) представима в виде f (x) =

∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n , x ∈ (−R + x0 , R + x0 ). n! n=0

43

(7)

∞ P

Положив t = x − x0 , переведём ряд



cn (x − x0 )n в ряд

n=0 (n) g(n) (0) = f n!(x0 ) , n!

∞ P

n=0

cn tn = g(t), t ∈ (−R, R), и g(x − x0 ) = f (x).

Согласно предыдущей теореме, cn = n ∈ N0 = N ∪ {0}, так что справедлива формула (7).  Ряд (7) называют рядом Тейлора функции f (x). Итак, любой степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора своей суммы.

2.5. Ряды Тейлора 2.5.1. Предварительные сведения Рассмотрим обратную задачу: всегда ли функция f , порождающая ряд Тейлора

∞ P

n=0

f (n) (x0 ) (x−x0 )n , n!

является

его суммой? Оказывается, нет. Во–первых, может случиться, что ряд Тейлора сходится только в своём центре.  Французский математик Э. Борель показал, что существуют бесконечно дифференцируемые функции с любыми произвольно заданными значениями последовательных производных в фиксированной точке. Таким образом, каждый степенной ряд, в частности и ряд с нулевым радиусом сходимости, есть ряд Тейлора некоторой функции.  Во–вторых, даже если ряд Тейлора функции f сходится, он может иметь другую сумму.  Рассмотрим функцию f0 (x) ( 1 − e (x−x0 )2 , если x 6= x0 , f0 (x) = 0, если x = x0 , и положим t = x − x0 . Функция g(t), g(t) =

(

1

e− t2 , если t 6= 0, 0, если t = 0,

имеет   1 − 12 , t 6= 0, g (t) = P3n e e t , t 6= 0, t √ где P3n (y) — некоторый многочлен от y степени 3n. Так как lim g (n) (t) = lim P3n (± y)e−y = 0, n ∈ N, то 1 2 2·3 1 2·2 1 g (t) = 3 e− t2 , t 6= 0, g ′′ (t) = − 4 e− t2 + 6 e− t2 = t t t

′



4 6 − 4 t6 t



− t12

t→0

0=g

(n)

(0) =

(n) f0 (x0 ),

n ∈ N. Поэтому,

∞ P

(n)

f0

n=0

(x0 ) (x n!

Последний пример показывает также, что если

(n)

y→+∞

n

− x0 ) = 0, x ∈ R.  ∞ P

n=0

cn (x − x0 )n — ряд Тейлора функции f , то он же яв-

ляется рядом Тейлора бесконечного множества других функций вида f +cf0 , c ∈ R — произвольная (n) постоянная (здесь (f + cf0 )(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) + cf0 (x0 ) = f (n) (x0 ), n ∈ N0 = N ∪ {0}). 2.5.2. Сходимость ряда Тейлора к производящей функции Предположим, что функция f бесконечно дифференцируема в интервале I и существует точка x0 ∈ I, что ∞ P f (n) (x0 ) промежуток J сходимости её ряда Тейлора (x−x0 )n накрывает I (названные условия необходимы для n! n=0

решения задачи, сформулированной в заголовке пункта, в силу доказанных в предыдущем параграфе свойств степенных рядов). Частные суммы ряда sn (x) = Pn (x; x0 , f ), x ∈ J, n ∈ N — многочлены Тейлора функции f в точке x0 . Поэтому, сумма ряда s(x) = lim sn (x) = lim Pn (x; x0 , f ) для всех x ∈ J и s(x) = f (x) для x ∈ I ⊂ J n→+∞

тогда и только тогда, когда

n→+∞

lim [f (x) − Pn (x; x0 , f )] = 0 для каждого x ∈ I. Поскольку в интервале I для

n→+bes

функции f справедлива формула Тейлора, то f (x) − Pn (x; x0 , f ) = rn (x; x0 , f ), x ∈ I, n ∈ N, где rn (x; x0 , f ) — n–ый остаточный член в формуле Тейлора функции f на интервале I. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение. Если функция f бесконечно дифференцируема в интервале I и точка x0 ∈ I, то f (x) =

∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n , x ∈ I, n! n=0

тогда и только тогда, когда последовательность (rn (x)) остаточных членов rn (x) = rn (x; x0 , f ), n ∈ N, в её формуле Тейлора на I сходится к нулевой функции для всех x ∈ I. 44

Теорема 2.27. (Достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f бесконечно дифференцируема на отрезке между x0 и x (на R) и все её производные f (n) (t), n ∈ N, равномерно ограничены на ∞ P f (n) (x0 ) этом отрезке, то f (x) = (x − x0 )n , то есть ряд Тейлора функции f сходится в точке x к сумме n! n=0

f (x). 

Рассмотрим остаточные члены rn (x; x0 , f ) в форме Лагранжа.

f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (x − x0 )(n+1) , 0 < θ < 1. (n + 1)! По условию теоремы, существует число M > 0, что f (n) (t) 6 M для всех t между x0 и x и всех n ∈ N. Поэтому, rn (x; x0 , f ) =

|rn (x; x0 , f )| 6

M n+1 |x − x0 | , x 6= x0 . (n + 1)!

(1)

0| |x − x0 |n , x 6= x0 , n ∈ N. Тогда uun+1 = |x−x lim uun+1 = 0. Согласно n+1 , n ∈ N, и n→+∞ n n P признаку Даламбера, ряд un сходится, и следовательно, lim un = 0. На основании (1), lim rn (x; x0 , f ) = 0

Обозначим un =

M n!

n→+∞

n→+∞

и применяем предыдущее утверждение. 

2.5.3. Ряды Тейлора элементарных функций x

I. Функция f (x) = e , f (n) (x) = ex , x ∈ R, n ∈ N, и f (n) (0) = f (0) = 1, n ∈ N. Для произвольного фиксированного x ∈ R справедливо f (n) (t) = et 6 e|x| для всех t между 0 и x и всех n ∈ N. Согласно теореме предыдущего пункта, ∞ X x2 xn xn ex = 1 + x + + ...+ + ... = 1 + , x ∈ R. (2) 2! n! n! n=1 Для сумм rn (x) остатков ряда (2) справедлива оценка (1), в которой M = e|x| и x0 = 0, так что |rn (x)| 6 n+1 e|x| , x ∈ R, n ∈ N, и последняя оценка указывает на скорость сходимости ряда (2) в точках x ∈ R. (n+1)! |x|
II. Функция f (x) = sin x, x ∈ R, имеет f (k) (x) = sin x + π k , f (k) (x) 6 1, x ∈ R, k ∈ N, и следовательно, 2

sin x = x −

∞ X x3 (−1)n−1 2n−1 (−1)n−1 2n−1 + ...+ x + ... = x , x ∈ R. 3! (2n − 1)! (2n − 1)! n=1

(3)

2n

1 |x| , x ∈ R, n ∈ N. Для сумм rn (x) остатков ряда (3) в силу (1) справедливы оценки |r2n (x)| 6 (2n)!
π (k) (k) III. Функция f (x) = cos x, x ∈ R, имеет f (x) = cos x + k 2 , f (x) 6 1, x ∈ R, k ∈ N, и следовательно,

cos x = 1 −

∞ X x2 (−1)n 2n (−1)n 2n + ...+ x + ... = x , x ∈ R. 2! (2n)! (2n)! n=0

Для сумм rn (x) остатков ряда (4), на основании (1), справедливы оценки |r2n+1 (x)| 6 n ∈ N. IV. Функция f (x) = ln(1 + x), x > −1, имеет f ′ (x) =

(4)

1 (2n+1)!

|x|2n+1 , x ∈ R,

1 = 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn + . . . , |x| < 1, 1+x

и поэтому f (x) − f (0) =

Zx 0

f ′ (t) dt = x −

откуда ln(1 + x) = x −

∞ X x2 x3 x4 (−1)n n+1 (−1)n−1 n + − + ...+ x + ... = x , x ∈ (−1, 1), 2 3 4 n+1 n n=1

∞ X x2 (−1)n−1 n (−1)n−1 n + ... + x + ... = x , x ∈ (−1, 1), 2 n n n=1

(5)

поскольку f (0) = ln 1 = 0. Для 0 < x < 1 суммы rn (x) остатков знакочередующегося ряда (5) имеют оценки n+1 |rn (x)| 6 |x| n+1 , 0 < x < 1, n ∈ N. Для −1 < x < 0 равенства 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn =

1 (−1)(n+1) xn+1 − , |x| < 1, n ∈ N, 1+x 1+x 45

ведут к оценкам x x Z Z n+2 (−1)n+1 tn+1 1 |x| n+1 6 |rn+1 (x)| = dt 6 |t| dt (n + 2)(1 − |x|) , |x| < 1, n ∈ N, 1+t 1 − |x| 0

откуда

0

|rn (x)| 6 В x = 1 имеем ряд Лейбница

∞ P

n=1

1 n+1 |x| , −1 < x < 0, n ∈ N. (n + 1)(1 − |x|)

(−1)n−1 n

= ln 2; в x = −1 — расходящийся ряд −

V. Биномиальный ряд Разложим в степенной ряд функцию f (x) = (1 + x)α , α ∈ R. Если α ∈ N, то

P

1 n.

α

(1 + x)α = 1 + αx +

X α(α − 1) 2 x + . . . + xα = Cαk xk , x ∈ R. 2! k=0

Если α = 0, то f (x) = 1, x ∈ R. Пусть теперь α ∈ R\N0 , N0 = N ∪ {0}. Тогда f ′ (x) = α(1 + x)α−1 · . . . · f (n) (x) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)(1 + x)α−n и при n > α функция f (n) не существует в точке x = −1. Отсюда следует, что радиус сходимости R ряда для f удовлетворяет условию R 6 1. Покажем, что f (x) = (1 + x)α , α ∈ R\N0 , разлагается в степенной ряд в интервале (−1, 1). Для этого оценим остаточный член rn (x; 0; f ) = rn (x) в формуле Тейлора функции f , записав его в интегральной форме: 1 rn (x) = n!

Zx 0

Имеем 0 < |x| < 1 и

f (n+1) (t)(x − t)n dt.

α(α − 1) · . . . · (α − n) rn (x) = n!

Zx 0

откуда

(1 + t)α−n−1 (x − t)n dt,

x Z |α(α − 1) · . . . · (α − n)(α − n − 1)| n α−n−1 |x − t| . |rn+1 (x)| = |x − t| (1 + t) · dt (n + 1)! 1 + t

(6)

(7)

0

Замечая, что

|x−t| 1+t

=

|x|−|t| 1+t

6

|x|−|t| 1−t

6 |x|, на основании (6) и (7), получим |rn+1 (x)| 6

и

|n + 1 − α| |x| |rn (x)| n+1

|n + 1 − α| = 1. n→+∞ n+1 lim

Следовательно, при фиксированном x, 0 < |x| < 1, и достаточно малом ε > 0 существует nε ∈ N, что |rn+1 (x)| α 6 1 − |x| 6 (1 + ε) |x| = q < 1 |rn (x)| n + 1

для всех n > nε . Последнее означает, что |rn (x)| → 0 при n → +∞ не медленнее, чем геометрическая прогрессия, и поэтому ∞ X α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x , x ∈ (−1, 1). (8) n! n=1 В точке x = −1 имеем ряд

1+

∞ X

(−1)n

n=1

в точке x = 1 — ряд

1+

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) ; n!

∞ X α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) . n! n=1

46

(9)

(10)

Отметим, что ряд (9) знакопостоянный, а ряд (10) — знакочередующийся. Так как (−1)n α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) , n! n!

то ряды (9) и (10) абсолютно сходятся для одних и тех же значений α ∈ R\N0 . Обозначим un = n−α N. Тогда uun+1 = |α−n| n+1 = n+1 для всех n > α. Согласно локальной формуле Тейлора, n

|α(α−1)·...·(α−n+1)| , n!

 −1       un+1  α 1 α 1 1 1 α+1 α+1 1 = 1− 1+ = 1− 1− + 2 +o = 1− + +o , n → +∞. (11) un n n n n n n2 n n2 n2 На основании (11) и теоремы из пункта ?, параграфа ?, главы 1, заключаем, что существует число c > 0 и справедливо un = c · n−(1+α) (1 + o(1)), n → +∞. (12) P Поэтому, ряд un сходится, если 1 + α > 1, α < 0, и расходится, если 1 + α 6 1, α 6 0. Поскольку, по предположению, α 6= 0, окончательно заключаем, что ряды (9) и (10) абсолютно сходятся при α > 0 и знакопостоянный ряд (9) расходится при α < 0. un+1 Так как uun+1 = n−α 6 1, когда n−α n+1 , n > α, то un n+1 6 1 и n > α; то есть, когда α > −1 и n > α. n Следовательно, последовательность (un ) убывает для всех n ∈ N при α > −1. На основании (12) заключаем, что lim un = 0, если 1 + α > 0, α > −1. Поэтому, в силу признака Бернулли–Лейбница, знакочередующийся n→+∞

ряд (10) сходится при α > −1. Если α 6 −1, то есть, 1 + α 6 0, то из (12) следует, что последовательность (un ) не бесконечно малая, и следовательно, ряд (10) расходится. Окончательный вывод: x = −1; ряд абсолютно сходится при α > 0 и расходится при α < 0; x = 1; ряд абсолютно сходится при α > 0, сходится условно при −1 < α < 0 и расходится при α 6 −1.

2.5.4. Экспоненциальная функция комплексного переменного ∞ P 2 n zn Степенной ряд 1 + z + z2! + . . . + zn! + . . . = n! абсолютно сходится для всех z ∈ C, поскольку для его

общего члена an (z) =

zn n!

n=0

при z 6= 0 имеем

an+1 (z) |z| = lim lim =0 |x| и на основании (2) для любого n ∈ N, n > k, получим (n) (n) sin x = Uk · Vk , (3) где

(n) Uk

k sin2 x Y = (2n + 1) sin 1− 2n + 1 j=1 sin2 ! n x Y sin2 2n+1 (n) Vk = 1− . jπ sin2 2n+1 j=k+1

x Так как lim (2n + 1) sin 2n+1 = x и lim

sin2

n→+∞ sin2

n→+∞

Uk =

(n) lim U n→+∞ k

=x

x 2n+1 jπ 2n+1

=

k  Y

j=1

x2 j2 π2 ,



(n)

На основании (3) и (4) заключаем, что существует lim Vk 48

!

,

j = 1, k, то существует

x2 1− 2 2 j π

n→+∞

x 2n+1 jπ 2n+1

, (k + 1)π > |x| . = Vk , (k + 1)π > |x|.

(4)

(n)

Для 0 < ϕ
2n + 1 2

2j 2n + 1

так что (n)

1 > Vk ∞  Q

x2 4j 2

>

2

=




(n) lim V n→+∞ k

= Vk > lim

n→+∞

 n Y

j=k+1

и 1 > lim Vk > lim k→+∞

k→+∞

x2 1− 2 4j



 ∞  Y x2 = 1− 2 4j j=k+1

 ∞  Y x2 1 − 2 = 1, 4j

j=k+1

так что

lim Vk = 1.

k→+∞

(6)

На основании (3), (6) и (4) заключаем, что sin x = lim Uk и k→+∞

sin x = x

 ∞  Y x2 1 − 2 2 , x 6= nπ, n ∈ Z. n π n=1

(7)

Но (7) справедлива и при x = nπ, n ∈ Z, так как sin nπ = 0. 2.6.4. Итак, доказана формула Эйлера sin x = x

 ∞  Y x2 1 − 2 2 , x ∈ R. n π n=1

(8)

2.6.5. Формула дополнения для гамма-функции Заменяя в (8) аргумент x на πx, получим  ∞  Y x2 sin πx = πx 1 − 2 , x ∈ R. n n=1 Так как Γ(x) =

1 x

∞ 1+ 1 x Q ( n)

n=1

x 1+ n

, Γ(x + 1) = xΓ(x), x ∈ R\N0 , то

Γ(1 − x) = −xΓ(−x) = (−x)


−x
−x ∞ ∞ Y 1 + n1 1 Y 1 + n1 = (−x) n=1 1 − nx 1 − nx n=1

для всех x ∈ R\(−N0 ). Поэтому, с учётом (9), для всех x ∈ R\ [N0 ∪ (−N0 )] = R\Z справедливо Γ(x)Γ(1 − x) = Формула Γ(x)Γ(1 − x) =

π sin πx ,

∞ 1 Y 1 π
= , x∈ / Z. x n=1 1 − nx22 sin πx

x∈ / Z, носит название формулы дополнения для гамма-функции. 49

(9)

3. Несобственные интегралы 3.1. Признаки сходимости несобственных интегралов 3.1.1. Некоторые воспоминания о втором семестре Пусть функция f определена на промежутке [a, b), −∞ < a < b 6 +∞, и f ∈ R[a, t] для любого t, a < t < b. Rt Если функция F (t) = f (x) dx, F (a) = 0, непрерывная на [a, b), имеет lim F (t) = l1 , где t → b− обозначает t→b−

a

либо базу t → b − 0 (если b ∈ R), либо базу t → +∞ (если b = +∞), то число l1 называют несобственным Rb интегралом функции f по промежутку [a, b) и обозначают l1 = f (x) dx. Итак, a

Zb

f (x) dx = lim

t→b−0

a

Zt

f (x) dx = lim F (t),

(1)

Zt

+∞ Z f (x) dx = f (x) dx,

(1′ )

t→b−0

a

если b ∈ R, и lim F (t) = lim

t→+∞

t→+∞

a

a

если b = +∞. Пусть теперь функция f определена на промежутке (a, b], −∞ 6 a < b < +∞, и f ∈ R[t, b] для любого t, Rb a < t < b. Если функция Φ(t) = f (x) dx, Φ(b) = 0, непрерывная на (a, b], имеет lim Φ(t) = l2 , где t → a+ t→a+

t

обозначает либо базу t → a + 0 (если a ∈ R), либо базу t → −∞ (если a = −∞), то число l2 называют Rb несобственным интегралом функции f по промежутке (a, b] и обозначают l2 = f (x) dx. Итак, a

Zb

f (x) dx = lim

t→a+0

a

Zb

(2)

f (x) dx = lim Φ(t), t→a+0

t

если a ∈ R, и lim Φ(t) = lim

t→−∞

t→−∞

Zb

f (x) dx =

t

Zb

(2′ )

f (x) dx,

−∞

если a = −∞. В случае существования пределов (1), (1’), (2), (2’), соответствующие несобственные интегралы называют сходящимися; в случае несуществования пределов — расходящимися. Сходящиеся несобственные интегралы#облада" Rb Rb ют свойством аддитивности; то есть, существование предела lim F (t) = f (x) dx lim Φ(t) = f (x) dx равноt→b−

сильно сходимости несобственных интегралов

Rb t

f (x) dx = ′lim

a

f (x) dx =

Zt

Rt

t →b− t

для всех t, a < t < b, и справедливости равенств Zb

t→a+

a

′

f (x) dx +

a

Zb

f (x) dx = r(t)

t R a

a

f (x) dx = ′′lim

Rt

t →a+ t′′

 f (x) dx = r(t)

(3)

f (x) dx, a < t < b.

t

Несобственные интегралы r(t), a < t < b, называются остатками несобственного интеграла

Rb

f (x) dx. На

a

основании (1), (1’), (2), (2’) и (3) заключаем, что несобственный интеграл   Rt Rb тогда, когда lim r(t) = lim f (x) dx = 0 lim r(t) = lim f (x) dx = 0 . t→b−

t→b− t

t→a+

t→a+ a

50

Rb a

f (x) dx сходится тогда и только

3.1.2. Признаки сходимости несобственных интегралов Теорема 3.1. (Признак Абеля). Если функции f и g определены на промежутке [a, b) (на (a, b]) и обладают свойствами: Rb 1. сходится несобственный интеграл f (x) dx; a

2. функция g монотонна и ограничена на [a, b) (на (a, b]),

то сходится несобственный интеграл

Rb

f (x)g(x) dx.

a

 Согласно условию 2, существует L > 0, что |g(x)| 6 L, x ∈ [a, b) (x ∈ (a, b]). Проверим выполнение критерия Коши сходимости несобственного интеграла. Для этого рассмотрим произвольное число ε > 0 и произвольные точки ti , a < ti < b, i = 1, 2. Так как f, g ∈ R[t1 , t2 ] и g монотонна на [t1 , t2 ], то согласно второй теореме о среднем значении для интеграла Римана, Zt2

f (x)g(x) dx = g(t1 )

t1

Zξ

f (x) dx + g(t2 )

t1

Zt2

f (x) dx,

(4)

ξ

где ξ лежит между t1 и t2 . На основании (4) справедливы оценки   t ξ t Zt2 Z 2 Z Zξ Z 2  f (x)g(x) dx 6 |g(t1 )| f (x) dx + |g(t2 )| f (x) dx 6 L  f (x) dx + f (x) dx   , ti ∈ (a, b), i = 1, 2. t1

t1

t1

ξ

ξ

(5) Согласно условию 1, по критерию Коши сходимости несобственного интеграла, для ε > 0 существует такое ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ bε , a < bε < b (существует такое ′′ aε , a < aε < b), что для всех t , t , bε < t , t < b (всех t , t , a < t , t < aε ) Rt ε . Выбирая ti , bε < ti < b [a < ti < aε ] , i = 1, 2, и отмечая, что ξ расположена справедлива оценка f (x) dx < 2L t′ между t1 и t2 , получим оценки ξ Zt2 Z ε ε f (x) dx < (6) 2L и f (x) dx < 2L ξ t1 для всех выбранных ti , i = 1, 2. На основании (5) и (6), имеем оценку t Z 2   f (x)g(x) dx < L ε + ε = ε, 2L 2L t1

справедливую для всех ti , bε < ti < b [всех ti , a < ti < aε ], i = 1, 2, что является критерием Коши сходимости Rb несобственного интеграла f (x)g(x) dx.  a

Теорема 3.2. (Признак Дирихле). Если функции f и g определены на промежутке [a, b), −∞ < a < b < +∞, и обладают свойствами: 1. функция F (t) =

Rt

f (x) dx ограничена на [a, b);

a

2. функция g монотонна на [a, b) и имеет lim g(x) = 0, x→b−

то несобственный интеграл

Rb

f (x)g(x) dx сходится.

a

 Из условию 2 теоремы следует, что g ∈ R[a, t] для любого t, a < t < b. Проверим выполнение критерия Коши. Для произвольных ti , a < ti < b, i = 1, 2, справедливо (4). Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно условию 1, существует такое C > 0, что |F (t)| 6 C для всех t ∈ [a, b). Поэтому, с учётом свойства аддитивности определённых интегралов, ξ ξ Z Z Zt1 f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = |F (ξ) − F (t1 )| 6 2C t1

a

a

51

и

Zt2 Zt2 Zξ f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = |F (t2 ) − F (ξ)| 6 2C ξ a a

и равенство (4) ведёт к оценке

ξ t Zt2 Z 2 Z f (x)g(x) dx 6 |g(t1 )| f (x) dx + |g(t2 )| f (x) dx 6 2C(|g(t1 )| + |g(t2 )|), t1

t1

(7)

ξ

справедливой для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2. Так как lim g(x) = 0, то для любого ε > 0 существует такое bε , a < bε < b, что |g(x)|
0; кроме того, существует si0 = − +∞ R 1

cos t t

dt, x > 0, то (si)′ x =

sin x x ,

(ci)′ x =

+∞ R

cos x x ,

0

sin t t

x

Rx sin t

dt. Так как six =

t

1

x > 0.

dt −

+∞ R 1

sin t t

dt, cix =

Rx cos t 1

t

dt −

3.1.4. Интегралы Фруллани

Теорема 3.3. Если функция f ∈ C[0, +∞) и существует lim f (x) = f (+∞), то для любых положительx→+∞

ных чисел a, b > 0 справедлива формула +∞ Z 0

 Z∆ δ

f (ax) − f (bx) b dx = [f (0) − f (+∞)] ln . x a

Рассмотрим произвольные 0 < δ < ∆ < +∞. Так как f ∈ R[δ, ∆], то f (ax) − f (bx) dx = x

Z∆

f (ax) dx − x

δ

Z∆

f (bx) dx = x

δ

=

Zbδ

f (t) dt − t

aδ

f (t) dt + t

aδ

Za∆

Za∆

Zb∆

f (t) dt = t

bδ

f (t) dt − t

bδ

Za∆

f (t) dt − t

bδ

Zb∆

a∆

f (t) dt = t

Zbδ

aδ

f (t) dt − t

Zb∆

f (t) dt. (8) t

a∆

Согласно первой теореме о среднем значении для интегралов, Zbδ

f (t) dt = f (ξ) t

Zb∆

f (t) dt = f (η) t

aδ

Zbδ

dt b = f (ξ) ln , t a

(9)

Zb∆

dt b = f (η) ln , t a

(10)

aδ

где ξ = aδ + θ1 (b − a)δ, 0 < θ1 < 1, и

a∆

a∆

52

где η = a∆ + θ2 (b − a)∆, 0 < θ2 < 1. Подставляя (9) и (10) в (8), получим Z∆

f (ax) − f (bx) b dx = [f (ξ) − f (η)] ln . x a

(11)

δ

Так как lim f (ξ) = lim f (x) = f (0) (в силу непрерывности функции f в точке x = 0) и x→+0

δ→+0

lim f (η) =

∆→+∞

lim f (x) = f (+∞), то существует предел при δ → +0 и ∆ → +∞ правой части формулы (11), и следовательно,

x→+∞

её левой части; то есть, сходится несобственный интеграл +∞ Z

f (ax) − f (bx) dx = lim δ→0,∆→+∞ x

0

Z∆

f (ax) − f (bx) b dx = [f (0) − f (+∞)] ln . x a

δ

 Теорема 3.4. Если функция f ∈ C[0, +∞) и сходится положительных чисел a, b > 0 +∞ Z

+∞ R c

f (x) x

dx для некоторого c > 0, то для любых

f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln . x a

(12)

0

Как и выше, справедливы формулы (8) и (9). Согласно критерию Коши сходимости несобственного +∞ R f (t) интеграла t dx, имеем 

c

Zb∆

lim

∆→+∞ a∆

f (x) dx = 0, x

а в силу непрерывности функции f в точке x = 0 имеем lim f (ξ) = lim f (x) = f (0). Поэтому, переходя в (8) δ→+0

x→+0

к пределам по базам δ → +0 и ∆ → +∞, с учётом (9), получим формулу (12).  Теорема 3.5. Если функция f непрерывна в интервале (0, +∞), сходится несобственный интеграл

Rc 0

f (x) x

dx

для некоторого c > 0 и существует lim f (x) = f (+∞), то для любых чисел a, b > 0 справедлива формула x→+∞ +∞ Z

f (ax) − f (bx) a dx = f (+∞) ln . x b

0

Как и выше, справедливы формулы (8) и (10). Согласно критерию Коши сходимости несобственного Rc интеграла f (x) x dx, имеем 

0

lim

δ→+0

Zbδ

f (t) dt = 0, t

aδ

а согласно условия существования предела f (+∞) и формуле (10), имеем f (+∞) =

lim

Zb∆

∆→+∞ a∆

f (t) b dt = f (+∞) ln . t a

Поэтому, переходя в (8) к пределам по базам δ → +0 и ∆ → +∞, получим +∞ Z 0

f (ax) − f (bx) b a dx = −f (+∞) ln = f (+∞) ln . x a b

 53

lim f (η) и

∆→+∞

3.1.5. Аналогия с рядами Теорема 3.6. Если функция f определена на [a, b), −∞ < a < b 6 +∞, функция f ∈ R[a, t] для всех t, a < t < b, и t → b− обозначает базу t → b−0, если b ∈ R, и базу t → +∞, если b = +∞, то несобственный интеграл Rb f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности (tn ), a = t0 , a < tn < b, n ∈ N, a

и

lim tn = b, сходится ряд

n→+∞

P

Rtn

an , в котором an =

f (x) dx, n ∈ N.

tn−1

Rtn Рассмотрим произвольную (tn ), a = t0 , a < tn < b, n ∈ N, lim tn = b и an = f (x) dx, n ∈ N. n→+∞ tn−1 P Частные суммы sn , n ∈ N, ряда an в силу свойства аддитивности определённого интеграла, вычисляются по формулам 

sn =

n X

k=1

ak =

n Ztk X

f (x) dx =

k=1t k−1

Zt1

+...+

t0

Ztn

f (x) dx =

tn−1

Rt a

Rb

R, то, по определению Гейне, l =

lim F (tn ) =

n→+∞

a

f (x) dx =

t0

Так как на [a, b) определена непрерывная функция F (t) = ⇒ По условию, сходится несобственный интеграл

Ztn

Ztn a

f (x) dx, n ∈ N.

f (x) dx, то sn = F (tn ), n ∈ N.

f (x) dx; то есть, существует lim F (t) = l. Если b ∈ t→b−

lim sn , так что l =

n→+∞

∞ P

an . Пусть теперь b = +∞ и l =

n=1

lim F (t). Рассмотрим произвольное число ε > 0 и произвольную (tn ), a 6 tn < +∞,

t→+∞

lim tn = +∞. Тогда,

n→+∞

по определению, существует такое tε , a < tε < +∞, что |F (t) − l| < ε для всех t, tε < t < +∞. Так как lim tn = +∞, то существует такое N ∈ N, N = Nε , что tε < tn < +∞ для всех n > N , и следовательно,

n→+∞

|F (tn ) − l| < ε для всех n > N ; то есть, l = lim F (tn ), так что и в этом случае l = lim F (tn ) = lim sn и n→+∞ n→+∞ n→+∞ P ряд an сходится. Rtn P ⇐ Пусть сходятся все ряды an , an = f (x) dx, для всех (tn ), a = t0 , a < tn < b, lim tn = b, и n→+∞

tn−1

предположим, что расходится несобственный интеграл

Rb

f (x) dx. Тогда, согласно критерию Коши, существует

a

некоторое ε0 > 0 и для любого b′ , a < b′ < b, существуют t1b′ , t2b′ , b′ < t1b′ < t2b′ < b, что 2 Ztb′ f (x) dx > ε0 ; t1 b′

то есть,

2 Ztb′ ε0 6 f (x) dx = F (t2b′ ) − F (t1b′ ) . t1 b′ h i 1 Рассмотрим b′n = b − n1 , n > N = b−a + 1, если b ∈ R, и b′n = n, n > N = [|a|] + 1, если b = +∞ (в обоих

случаях условие n > N обеспечивает свойство a < b′n < b). Тогда для каждого n ∈ N, n > N , существуют точки tin , i = 1, 2, b′n < tin < b, в которых F (t2n ) − F (t1n ) > ε0 , n > N . Числа t1N , t2N , t1N +1 , t2N +1 , . . . перенумеруем в одну последовательность (tm ), положив t0 = a, t1 = t1N , t2 = t2N , . . . . Тогда lim tm = b, так как lim tin = b m→+∞

для каждого i = 1, 2, и по условию сходится ряд

P

am , где am =

tRm

tm−1

n→+∞

f (x) dx, m ∈ N. С другой стороны, для

любого n ∈ N, n > N , существует единственное k ∈ N, что t1n = t2k−1 и t2n = t2k ; и обратно, для любого k ∈ N существует единственной n ∈ N, что t2k−1 = t1n и t2k = t2n . Поэтому, ε0 6 F (t2n ) − F (t1n ) = |F (t2k ) − F (t2k−1 )| = |s2k − s2k−1 | = |a2k | , k ∈ N,

так что подпоследовательность (a2k ) последовательностиP (am ) не является бесконечно малой, и вместе с ней вся последовательность (am ) не бесконечно малая и ряд am обязан расходиться. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.  54

Аналогичное утверждение справедливо для несобственных интегралов по промежутке (a, b], −∞ 6 a < b < +∞ (сформулируйте и докажите его). +∞ R Задача 1. Если f (x) dx сходится и существует lim (xf (x)), то lim xf (x) = 0. x→+∞

a

n→+∞

Замечание. В доказанной теореме можно рассматривать только возрастающие последовательности (tn ).

Замечание. Если в условиях теоремы дополнительно f (x) > 0, то её справедливость достаточно проверить только для одной последовательности (tn ). Rt  В этом случае функция F (t) = f (x) dx неотрицательна и возрастает на [a, b) и lim F (t) = l ⇔ l = t→b−0

a

lim F (tn ) для некоторой последовательности (tn ), a 6 tn < b, lim tn = b. 

n→+∞

n→+∞

3.2. Главное значение несобственного интеграла 3.2.1. Функции, интегрируемые по Коши на (−∞, +∞) Определение 1. Функция f называется интегрируемой по Коши на (−∞, +∞), если она определена на RA (−∞, +∞), интегрируема на каждом [a, b], −∞ < a < b < +∞, и существует lim f (x) dx = l. Число l A→+∞ −A

называют главным значением несобственного интеграла по (−∞, +∞) и обозначают +∞ Z ZA l = v. p. f (x) dx = lim f (x) dx. A→+∞ −A

−∞

Теорема 3.7. Если функция f ∈ R[a, b], −∞ < a < b < +∞, и нечетная, то v. p. функция f ∈ R[a, b], −∞ < a < b < +∞, и чётная, то v. p. когда сходится несобственный интеграл

+∞ R

f (x) dx и v. p.

Для любого A > 0 справедливо

RA

−∞ +∞ R

+∞ R

f (x) dx.

0

f (x) dx = 0, если f — нечётная, и

−A

f (x) dx = 0. Если

−∞

f (x) dx существует тогда и только тогда,

f (x) dx = 2

−∞

0



+∞ R

+∞ R

RA

−A

RA f (x) dx = 2 f (x) dx, если f — 0

чётная; затем используем определение 1 и определение несобственного интеграла.  Для любой функции f , определённой на (−∞, +∞), справедливо разложение f (x) = ϕ(x) + ψ(x), в котором (−x) (−x) — чётная, а функция ψ(x) = f (x)−f — нечётная. Поэтому, функция ϕ(x) = f (x)+f 2 2 v. p.

+∞ +∞ +∞ Z Z Z f (x) dx = 2 ϕ(x) dx = [f (x) + f (−x)] dx,

−∞

0

0

если последний несобственный интеграл сходится. +∞ R 1+x Пример 2.1. Вычислим v. p. 1+x2 dx. −∞



f (x) =

1+x 1 x = + , x ∈ (−∞, +∞), 1 + x2 1 + x2 1 + x2

и следовательно, v. p.

+∞ Z

−∞

1+x dx = 2 1 + x2

+∞ Z 0

dx = 2 lim t→+∞ 1 + x2

Zt 0

dx π = 2 lim (arctg t − arctg 0) = 2 · = π. t→+∞ 1 + x2 2

 Отметим, что сам несобственный интеграл расходится.

55

3.2.2. Главное значение по Коши на промежутке Пусть функция f определена на [a, b]\ {c} , a < c < b, f интегрируема на каждом отрезке [a, c − α], [c + α, b], 0 < α < max {c − a, b − c}. Определение 2. Функцию f называют интегрируемой по Коши на [a, b], если существует  c−α  Z Zb Zb lim  f (x) dx + f (x) dx = v. p. f (x) dx. α→0

a

Пример 2.2. Вычислим v. p.

Rb a

dx x−c ,

c+α

a

a < c < b.

По определению 2,  c−α  Zb Z Zb dx dx dx  = lim [ln |α| − ln(c − a) + ln(b − c) − ln |α|] = lim ln b − c = ln b − c . = lim  + v. p. α→0 α→0 x − c α→0 x−c x−c c−a c−a 

a

a

c+α



Отметим, что сам несобственный интеграл

Rb a

dx x−c

=

Rc a

dx x−c

+

Rb c

dx x−c

не существует (расходится).

3.2.3. Интегральный логарифм Теорема 3.8. Если функция f непрерывна на [a, b], дважды дифференцируема в точке c ∈ (a, b) и f (c) = 0, Rb f ′ (c) 6= 0, то существует v. p. fdx (x) . a



Так как f ∈ D(2) (c), то по локальной формуле Тейлора, с учётом f (c) = 0, имеем 1 f (x) = f ′ (c)(x − c) + [f ′′ (c) + α(x)](x − c)2 , x → c, 2

где lim α(x) = 0. Функция ϕ(x) = x→c

1 f (x)

−

1 f ′ (c)(x−c)

(1)

непрерывна на [a, b]\ {c} и, на основании (1), имеет

− 12 [f ′′ (c) + α(x)](x − c)2 1 f ′′ (c)   = − ′2 . 1 x→c f ′ (c)(x − c)2 f ′ (c) + (f ′′ (c) + α(x))(x − c) 2 f (c) 2

lim ϕ(x) = lim

x→c

Поэтому, несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx =

a

Rc

ϕ(x) dx +

a

Rb

ϕ(x) dx не только сходится, но и является инте-

c

гралом Римана для ϕ(x) на [a, b]. Как и в примере 2, существует v. p.

Zb a

dx 1 b−c = ′ ln f ′ (c)(x − c) f (c) c − a

. 1 1 Таким образом, на основании представления f (x) = f ′ (c)(x−c) + ϕ(x), x ∈ [a, b]\ {c}, заключаем, что сущеRb dx Rb dx ствует v. p. f (x) , в то время как несобственный интеграл f (x) расходится, так как расходится несобственный a

a

интеграл

Rb a

dx f ′ (c)(x−c) .



Пример 2.3. Интегральный логарифм li x определяется формулой li x =

Rx 0

dt ln t ,

в которой несобственный

интеграл сходится только для 0 < x < 1, а для x > 1 он понимается в смысле своего главного значения (которое существует по теореме 3.8.

3.3. Равномерное стремление к предельной функции по базе 3.3.1. Понятие равномерного стремления к предельной функции по базе Рассмотрим функцию F (x, y), определённую на множестве D = X × Y , X, Y ⊂ R, и произвольную базу B на Y . Предположим, что для любого x ∈ X существует lim F (x, y) = f (x); то есть, для произвольных ε > 0 и B

56

x ∈ X существует элемент B(ε; x) базы B (выбор множества B(ε; x) зависит от ε > 0 и от x ∈ X), на котором |F (x, y) − f (x)| < ε для всех y ∈ B(ε; x). Определение 1. Функцию F (x, y) называют равномерно стремящейся к предельной функции f (x) на множестве X по базе B из множества Y , если 1. f (x) = lim F (x, y) для всех x ∈ x; B

2. для любого ε > 0 существует такой элемент Bε базы B (выбор которого зависит только от ε > 0 и не зависит от точек x ∈ X), что |F (x, y) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε . Обозначение: F (x, y) ⇉ f (x) на множестве X по базе B из Y . Если Y = N, то F (x, y) = F (x, n) = fn (x), x ∈ X, n ∈ N, и (fn (x)) — функциональная последовательность на X. Поэтому, F (x, y) ⇉ f (x) на множестве X по базе n → +∞ ⇔ fn ⇉ f на X. 3.3.2. Критерий Коши Теорема 3.9. Для того, чтобы функция F (x, y), определённая на D = X × Y , X, Y ⊂ R, равномерно стремилась на множестве X к предельной функции f (x) по базе B из Y , необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой элемент Bε базы B, выбор которого не зависит от точек x ∈ X и на котором |F (x, y ′ ) − F (x, y ′′ )| < ε

(1)

для всех x ∈ X и всех y ′ , y ′′ ∈ Bε .  Необходимость. Пусть F (x, y) ⇉ f (x) на X по базе B из Y . Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно определению 1, существует элемент Bε ∈ B (выбор которого не зависит от x ∈ X), что |F (x, y) − f (x)| < 2ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε . Тогда |F (x, y ′ ) − F (x, y ′′ )| 6 |F (x, y ′ ) − f (x)| + |F (x, y ′′ ) − f (x)| < 2ε + 2ε = ε для всех x ∈ X и всех y ′ , y ′′ ∈ Bε . Достаточность. По условию, для произвольного ε > 0 существует Bε ∈ B (выбор которого не зависит от x ∈ X), что |F (x, y) − F (x, y ′ )| < 2ε для всех x ∈ X и всех y, y ′ ∈ Bε . Таким образом, для любого x ∈ X выполнен критерий Коши существования lim F (x, y) = f (x), x ∈ x; в частности, f (x) = lim F (x, y ′ ), x ∈ X. B

B

Фиксируя y ∈ Bε и используя свойства монотонности предела функции по базе и непрерывности функции |t|, t ∈ R, получим ε |F (x, y) − f (x)| = F (x, y) − lim F (x, y ′ ) = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 < ε B B 2 для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε ; то есть, получим справедливость определения 1.  3.3.3. Сведение к равномерно сходящимся последовательностям

Пусть F (x, y) определена на D = X × Y ⊂ R2 . В приложениях наиболее употребительны следующие базы B в Y: 1. 2. 3. 4.

Y ∋ y → y0 ; y → +∞; y → −∞; y → y0 ± 0.

Этим обстоятельством объясняется выбор формулировок остальных результатов этого параграфа, хотя они справедливы и в общем случае. Теорема 3.10. Функция F (x, y) равномерно стремится на X к предельной функции f (x) по базе Y ∋ y → y0 [по базе y → +∞] тогда и только тогда, когда для любой последовательности (yn ), yn ∈ Y , yn 6= y0 , n ∈ N, lim yn = y0 [любой (yn ), yn ∈ Y, n ∈ N, lim yn = +∞] функциональная последовательность (F (x, yn )) n→+∞

n→+∞

равномерно сходится к функции f (x) на X.  Необходимость. По условию, F (x, y) ⇉ f (x) на X по Y ∋ y → y0 [y → +∞]. Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно определению 1, существует δ > 0 [∆ > 0], что |F (x, y) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Y , y 6= y0 , |y − y0 | < δ [всех y ∈ Y, y > ∆]. Рассмотрим произвольную (yn ), yn ∈ Y, yn 6= y0 , n ∈ N, lim yn = y0 n→+∞

[произвольную (yn ), (yn ) ∈ Y, n ∈ N,

lim yn = +∞]. Для числа δ > 0 [∆ > 0] существует N ∈ N, что

n→+∞

|y − yn | < δ [yn > ∆] для всех n > N , и следовательно, |F (x, yn ) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех n > N , так что F (x, yn ) ⇉ f (x) на X. Достаточность. Пусть выполнено утверждение теоремы, но F (x, y) стремится к f (x) на X неравномерно по базе Y ∋ y → y0 [y → +∞]. Согласно определению 1, существует такое ε0 > 0, что для любого δ > 0 57

[любого ∆ > 0] можно указать такие точки xδ ∈ X [x∆ ∈ X] и yδ ∈ Y, yδ 6= y0 [y∆ ∈ Y ], что 0 < |y0 − yδ | < δ [yδ > ∆] и |F (xδ , yδ − f (xδ ))| > ε0 [|F (x∆ , y∆ ) − f (x∆ )| > ε0 ]. Выбирая δn = n1 [∆n = n], n ∈ N, получим последовательность (xn ) в X и последовательность (yn ) в Y , что yn 6= y0 , 0 < |yn − y0 | < n1 [yn > n], n ∈ N, и |F (xn , yn ) − f (xn )| > ε0 , n ∈ N. Последнее означает, что функциональная последовательность (F (x, yn )) не сходится равномерно к f (x) на X. Полученное противоречие заканчивается доказательство теоремы.  3.3.4. Интегрируемость (непрерывность) предельной функции Теорема 3.11. Если функция F (x, y)), определённая на D = X × Y ⊂ R2 , непрерывна в точке x0 ∈ X при каждом y ∈ Y и F (x, y) равномерно стремится на X к предельной функции f (x) по базе B из Y , то функция f (x) непрерывна в x0 ∈ X.

Теорема 3.12. Если функция F (x, y) определена на D = [a, b] × Y ⊂ R2 , интегрируема на [a, b] для каждого y ∈ Y и F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе B из Y , то f (x) интегрируема на [a, b].  В качестве базы B в обеих теоремах рассмотрим базы из теоремы 3.10, и рассмотрим произвольную последовательность (yn ) в Y , удовлетворяющую условиям этой теоремы. Тогда F (x, yn ) = fn (x), x ∈ X (x ∈ [a, b]), n ∈ N, и F (x, yn ) = fn (x) ⇉ f (x) на X (на [a, b]). Поскольку каждая fn (x), n ∈ N либо непрерывна в x0 ∈ X (условие теоремы 3.11), либо интегрируема на [a, b] (условие теоремы 3.12), то утверждения теорем следуют теперь на основании соответствующих свойств равномерно сходящихся последовательностей.  3.3.5. Теорема Дини Теорема 3.13. Пусть множество Y ⊂ R является промежутком [c, y0 ), −∞ < c < y0 6 +∞, а база B — базой y → y0 −. Пусть функция F (x, y) определена на D = [a, b] × [c, y0 ) и стремится к предельной функции f (x) на [a, b] по базе y → y0 −; то есть, f (x) = lim F (x, y), x ∈ [a, b]. Если y→y0 −

1. F (x, y) непрерывна на [a, b] по x при каждом y ∈ Y = [c, y0 ); 2. при каждом x ∈ [a, b] функция F (x, y) возрастает по y ∈ [c, y0 ); 3. f (x) непрерывна на [a, b], то F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе y → y0 −.  Рассмотрим некоторую строго возрастающую последовательность (yn ), yn ∈ Y, c < yn < y0 (< +∞), имеющую lim yn = y0 ( lim yn = +∞). Функциональная последовательность F ((x, yn )) удовлетворяет на n→+∞

n→+∞

[a, b] условиям теоремы Дини для функциональных последовательностей, и следовательно, F (x, yn ) ⇉ f (x) на [a, b]. Поэтому, для произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что −ε < F (x, yn ) − f (x) < ε для всех x ∈ [a, b] и всех n > N . Рассмотрим теперь произвольное y ∈ Y, y > yN . Согласно условию 2 теоремы, F (x, y) > F (x, yN ) для любого x ∈ [a, b], так что −ε < F (x, yN ) − f (x) 6 F (x, y) − f (x) для всех x ∈ [a, b]. Так как (yn ) ↑↑ и lim yn = y0 , то существует m ∈ N, что y < ym , и так как yN 6 y < ym , то m > N . Поэтому, с учётом n→+∞

условия 2 теоремы, F (x, y) − f (x) 6 F (x, ym ) − f (x) < ε. Итак, −ε < F (x, y) − f (x) < ε для всех x ∈ [a, b] и всех y > yN , N = N (ε); то есть, по определению 1, F (x, y) ⇉ f (x) на [a, b] по базе B (вида y → y0 − 0 или y → +∞).  Теорема Дини для других баз

Теорема 3.14. Пусть функция F (x, y) определена на множестве D = [a, b] × Y ⊂ R2 , где Y = (y0 , c], −∞ 6 y0 < c < +∞, и F (x, y) стремится к предельной функции f (x) по базе B = y → y0 + (y → y0 + 0, если y0 ∈ R, и y → −∞, если y0 = −∞). Если 1. F (x, y) при каждом y ∈ Y непрерывна по x на [a, b]; 2. F (x, y) при каждом x ∈ [a, b] убывает на Y = (y0 , c]; 3. f (x) непрерывна на [a, b], то F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе y → y0 +. 3.3.6. Перестановка двух предельных переходов Теорема 3.15. Пусть функция F (x, y) определена на множестве D = X × Y ⊂ R2 , и на базах BX из X и BY из Y выполнены условия: 1◦ существует lim F (x, y) = ϕ(x), x ∈ X; BY

58

2◦ существует lim F (x, y) = ψ(y), y ∈ Y ; BX

3◦ F (x, y) ⇉ ϕ(x) на множестве X по базе BY . Тогда:   1. существует lim ϕ(x) = lim lim F (x, y) ; BX BX BY   2. существует lim ψ(y) = lim lim F (x, y) ; BY BY BX     3. lim lim F (x, y) = lim lim F (x, y) . BX

BY

BY

BX

 Рассмотрим произвольное число ε > 0. На основании условия 3◦ , существует такой элемент BεY базы BY , что ε |F (x, y) − F (x, y ′ )| < (2) 3 для всех x ∈ X и всех y, y ′ ∈ BεY (критерий Коши равномерного стремления функции по базе). Поэтому, на основании условия 2◦ , свойства монотонности предела функции по базе и свойства непрерывности функции |t|, t ∈ R, имеем ε |ψ(y) − ψ(y ′ )| = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 < ε (3) BX 3 для всех y, y ′ ∈ BεY . Неравенство (3) есть критерий Коши существования lim ψ(y) = l, и lim ψ(y ′ ) = l. Фиксируя BY

BY

y ∈ BεY в (3), как и для (2), получим

|ψ(y) − l| = lim |ψ(y) − ψ(y ′ )| 6 BY

ε 3

(4)

для любого y ∈ BεY . Так как, согласно условию 1◦ , lim F (x, y ′ ) = ϕ(x), x ∈ X, то переходя в обеих частях BY

неравенства (2) к пределу по базе BY при фиксированном y ∈ BεY , получим |F (x, y) − ϕ(x)| = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 BY

ε 3

(5)

для всех x ∈ X и всех y ∈ BεY . Так как lim F (x, y) = ψ(y), y ∈ Y , то для ε > 0 существует элемент BεX базы BX BX

(выбор множества BεX зависит, вообще говоря, и от y ∈ Y ), что |F (x, y) − ψ(y)|
0 существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что |f (x′ , y ′ ) − f (x′′ , y ′′ )| < ε для всех M ′ (x′ , y ′ ), M ′′ (x′′ , y ′′ ) ∈ P , у которых |x′ − x′′ | < δ и |y ′ − y ′′ | < δ. Рассмотрим произвольное x ∈ [a, b] и фиксируем произвольное y0 ∈ [c, d]. Выбирая x′ = x′′ = x, y ′ = y ∈ [a, b] и y ′′ = y0 , получим |f (x, y) − f (x, y0 )| < ε для всех y ∈ [c, d] = ∆, |y − y0 | < δ и всех x ∈ [a, b], так что f (x, y) ⇉ f (x, y0 ) на [a, b] по базе ∆ ∋ y → y0 . Согласно теореме 3.16, существует lim

∆∋y→y0

I(y) =

Zb 

lim

∆∋y→y0

a

 Zb f (x, y) dx = f (x, y0 ) dx = I(y0 ); a

то есть, функция I(y) непрерывна в любой точке y0 ∈ [c, d] и непрерывна на отрезке [c, d].  3.4.3. Дифференцирование собственного интеграла по параметру Теорема 3.18. (Лейбниц). Если функция f (x, y), определённая на P = [a, b] × [c, d], непрерывна по x на [a, b] при каждом y ∈ [c, d] и частная производная fy′ (x, y) непрерывна на P как функция двух переменных, то Rb функция I(y) = f (x, y) dx дифференцируема на [a, b] и её производная Iy′ вычисляется по формуле a

′

I (y) =

Zb a



fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d].

(2)

Рассмотрим вначале случай y0 ∈ (c, d). Выбираем h 6= 0 таким, чтобы (y0 + h) ∈ (c, d), так что h ◦

принадлежит некоторой проколотой окрестности O(0) нуля, и I(y0 + h) − I(y0 ) = h

Zb a

f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) dx. h 60

(3)

◦

(x,y0) Функция F (x, h) = f (x,y0 +h)−f определена на множестве D = [a, b] × O(0) и, по формуле Лагранжа о h конечном приращении, F (x, h) = fy′ (x, y0 + θh), 0 < θ < 1 (выбор θ зависит от x). Покажем, что F (x, h) ⇉ fy′ (x, y0 ) на [a, b] по базе h → 0. Так как функция fy′ (x, y) равномерно на P = ′ непрерывна [a, b] × [c, d], то для ′ ′ ′ ′′ ′′ произвольного числа ε > 0 существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что fy (x , y ) − fy (x , y ) < ε для всех точек M ′ (x′ , y ′ ), M ′′ (x′′ , y ′′ ) ∈ P , у которых |x′ − x′′ | < δ и |y ′ − y ′′ | < δ. Рассмотрим произвольное x ∈ [a, b] и положим x′ = x′′ = x и y ′ = y0 , y ′′ = y0 + θh. Тогда |x′ − x′′ | = 0 < δ ◦ ′ ′ и |y ′ − y ′′ | = |θh| < |h| < δ для любого ′ h ∈ O(0), 0 < |h| < δ. Таким образом fy (x, y0 ) − fy (x, y0 + θh) < ε для всех x ∈ [a, b] и 0 < |h| < δ; то есть, fy (x, y0 ) − F (x, h) < ε для всех x ∈ [a, b] и 0 < |h| < δ. Другими словами, F (x, h) ⇉ fy′ (x, y0 ) на [a, b] по базе h → 0. Согласно теореме пункта 3.4.1, существует

lim

h→0

Zb a

f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) dx = h

Zb  a

 Zb f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) lim dx = fy′ (x, y0 ) dx. h→0 h a

На основании (3) заключаем, что существует lim

h→0

Rb a

I(y0 +h)−I(y0 ) h

=

Rb a

fy′ (x, y0 ) dx; то есть, существует I ′ (y0 ) =

fy′ (x, y) dx и формула (2) доказана для любого y ∈ (c, d). В концевых точках отрезка [c, d] аналогичным образом

рассматриваются односторонние производные.  Замечание. Производная I ′ (y) в утверждении теоремы является непрерывной функцией на (c, d) по теореме пункта 3.4.2. 3.4.4. Интегрирование собственного интеграла по параметру

Теорема 3.19. Если функция f (x, y) непрерывна на P = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 как функция двух переменных, то справедлива формула Zd Zd Zb Zb Zd I(y) dy = dy f (x, y) dx = dx f (x, y) dy. (4) c



c

a

Zη c

dy

Zb

Zb

f (x, y) dx =

a

a

для любого η ∈ [c, d]. Согласно теореме пункта 3.4.2, функция I(y) = Rη

a

c

Будет доказана более общая формула

Rb

dx

Zη

(5)

f (x, y) dy

c

f (x, y) dx непрерывна на [c, d]. Поэтому, функция

a

Rη c

I(y) dy непрерывна на [c, d] и дифференцируема в (c, d), причём

dy

Rb

f (x, y) dx =

a

c

Функция ϕ(x, η) =

 Rη c



Zη

dy

c

Zb a

′



f (x, y) dy  =  η

Zη c

′

I(y) dy  = I(η), η ∈ (c, d).

(6)

η

f (x, y) dy ограничена на P = [a, b] × [c, d], непрерывна по x на [a, b] в силу теоремы пункта

3.4.2 и дифференцируема по аргументу η на (c, d) (как интеграл с переменным верхним пределом), причём ϕ′η (x, η) = f (x, η), x ∈ [a, b], η ∈ [c, d]. Таким образом, функция ϕ′η (x, η) непрерывна на P = [a, b] × [c, d] как Rb функция двух переменных. Согласно теореме Лейбница (пункт 3.4.3), функция ϕ(x, η) dx дифференцируема по параметру η и

a

 b ′ Z Zb Zb  ϕ(x, η) dx = ϕ′η (x, η) dx = f (x, η) dx = I(η), η ∈ (c, d). a

Поэтому,

 

η

Zb a

dx

Zη c

a

a

′



f (x, y) dy  =  η

Zb a

′

ϕ(x, η) dx = I(η), η ∈ (c, d).

61

η

(7)

По теореме из второго семестра, две непрерывные на отрезке функции, имеющие внутри отрезка равные производные, отличаются на постоянную. Поэтому, на основании (6) и (7) заключаем, что Zη c

dy

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb

dx

a

Zη c

(8)

f (x, y) dy + C, η ∈ [c, d].

Полагая в формуле (8) η = c, получим 0 = 0 + C, откуда C = 0 и формула (8) переходит в (5).  3.4.5. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра Пусть функция f (x, y) определена на P = [a, b] × [c, d] и на [c, d] определены функции a(y) и b(y), a 6 a(y) < b(y) 6 b для всех y ∈ [c, d]. В этом случае интеграл принимает вид b(y) Z I(y) = f (x, y) dx.

(9)

a(y)

Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и дифференцируемости интеграла (9) по параметру y. Теорема 3.20. Если функция f (x, y) непрерывна на P (как функция двух переменных) и функции a(y), b(y) непрерывны на [c, d], то интеграл (9) представляет собой непрерывную функцию на [c, d].  Обозначим M = max |f (x, y)| и рассмотрим произвольное y0 ∈ [c, d]. Тогда интеграл (9) можно напи(x,y)∈P сать в виде b(y b(y) a(y) Z 0) Z Z I(y) = f (x) dx + f (x, y) dx − f (x, y) dx. (10) a(y0 )

b(y0 )

a(y0 )

Первый интеграл, в котором пределы уже постоянные, при y → y0 стремится к I(y0 ) =

b(y R 0)

f (x, y) dx, по теореме

a(y0 )

пункта 4.2. Остальные два интеграла допускают оценки Z a(y) b(y) Z f (x, y) dx 6 M |b(y) − b(y0 )| , f (x, y) dx 6 M |a(y) − a(y0 )| b(y0 ) a(y0 )

и в силу непрерывности функций a(y), b(y) стремятся к нулю при y → y0 . Таким образом, окончательно lim I(y) = I(y0 ), что доказывает теорему.  y→y0

Теорема 3.21. Если, наряду с условиями предыдущей теоремы, функция f (x, y) допускает в прямоугольнике P = [a, b] × [c, d] непрерывную производную fy′ (x, y), а также существуют и производные a′ (y), b′ (y), то интеграл (9) имеет производную по параметру, которая выражается формулой b(y) Z I (y) = fy′ (x, y) dx + b′ (y)f (b(y), y) − a′ (y)f (a(y), y). ′

(11)

a(y)

 И здесь мы будем исходить из равенства (10). Первый интеграл при y = y0 имеет производную, представляемую интегралом от производной b(y Z 0) fy′ (x, y) dx a(y0 )

— по теореме Лейбница пункта 4.3. Для второго интеграла (значение которого при y = y0 равно нулю) имеем, по теореме о среднем, b(y) Z 1 b(y) − b(y0 ) f (x, y) dx = f (x, y), (12) y − y0 y − y0 b(y0 )

где x содержится между b(y0 ) и b(y). Отсюда производная второго интеграла при y = y0 , которая совпадает с пределом выражения (12) при y → y0 , будет b′ (y0 )f (b(y0 ), y0 ). Аналогично, для производной третьего интеграла 62

при y = y0 получим число −a′ (y0 )f (a(y0 ), y0 ). Объединяя все эти результаты, убеждаемся в том, что производная I ′ (y0 ) существует и даётся формулой (11).  Замечание. Заключения обеих теорем сохраняются свою силу и в предположении, что функция f (x, y) задана (и обладает указанными свойствами) лишь в области, содержащейся между кривыми x = a(y) и x = b(y). Возможность рассматривать функцию и вне этой области использована была для упрощения рассуждений. Поучительно взглянуть на установленные результаты и с такой точки зрения. Интеграл (9) I(y) получается из интеграла Zv I(y, u, v) = f (x, y) dx, u

зависящего от трёх параметров y, u, v, подстановкой u = a(y), v = b(y). Вопрос исчерпывается применением общих теорем о непрерывности и о дифференцировании сложной функции. В частности, формула (11) написана по классической схеме: dI ∂I ′ ∂I ′ = a (y) + b (y). dy ∂u ∂v

3.5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 3.5.1. Определения и обозначения Рассмотрим функцию f (x, y), определённую на множестве D1 = [a, b) × Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируемую по аргумента x на каждом отрезке [a, t], a < t < b. Функция F (y, t), F (y, t) =

Zt

(1)

f (x, y) dx

a

определена на множестве E1 = Y × [a, b) и непрерывна по t на [a, b) для каждого y ∈ Y . Определение 1. Если для любого y ∈ Y существует lim F (y, t) = I(y), где t → b− есть база t → b − 0, если t→b−

b ∈ R, и база t → +∞, если b = +∞, то функцию I(y) называют несобственным интегралом функции f (x, y) по промежутку [a, b), зависящим от параметра y ∈ Y . Обозначение: I(y) =

Zb

f (x, y) dx = lim

t→b−

a

Zt a

f (x, y) dx = lim F (y, t), y ∈ Y. t→b−

(2)

Рассмотрим теперь функцию f (x, y), определённую на множестве D2 = (a, b] × Y , −∞ 6 a < b < +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируемую по аргументу x на каждом отрезке [t, b], a < t < b. Функция Φ(y, t), Φ(y, t) =

Zb

(1′ )

f (x, y) dx

t

определена на множестве E2 = Y × (a, b] и непрерывна по t на (a, b] для любого y ∈ Y . Определение 1’. Если для любого y ∈ Y существует lim Φ(y, t) = I(y), где t → a+ есть база t → a + 0, если t→a+

a ∈ R, и база t → −∞, если a = −∞, то функцию I(y) называют несобственным интегралом функции f (x, y) по промежутку (a, b], зависящим от параметра y ∈ Y , и обозначают I(y) =

Zb

f (x, y) dx = lim

t→a+

a

Zb t

f (x, y) dx = lim Φ(y, t), y ∈ Y. t→a+

(2′ )

Отметим, что для обоих несобственных интегралов, зависящих от параметра, имеет место формула Zb a

f (x, y) dx =

Zc

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx, a < c < b,

(3)

c

в правой части которой один из интегралов есть собственный интеграл, зависящий от параметра y ∈ Y , а другой — несобственный интеграл, зависящий от параметра y ∈ Y , и значение несобственного интеграла в левой части формулы (3) не зависит от выбора c, a < c < b. 63

3.5.2. Абсолютная сходимость Несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx по промежутку [a, b) или (a, b] называют абсолютно сходящимся на

a

◦

◦

множестве Y ⊂ R, если в каждой точке y ∈ Y сходится несобственный интеграл ◦

абсолютной сходимости несобственного интеграла следует его сходимость, то Y ⊂ Y .

Rb a

|f (x, y)| dx. Так как из

3.5.3. Остаток несобственного интеграла, зависящего от параметра Рассмотрим вначале случай −∞ < a < b 6 +∞ и функцию f (x, y), определённую на D1 = [a, b) × Y и удовлетворяющую определению 1. Тогда, в силу формул (3) и (1), имеем представление I(y) =

Zb

f (x, y) dx =

a

Zt

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx = F (y, t) + R(y, t),

(4)

t

в котором функции F (y, t) и R(y, t) определены на множестве E1 = Y × [a, b). Несобственный интеграл R(y, t) =

Zb t

f (x, y) dx, y ∈ Y, a 6 t < b,

зависящий от параметра y ∈ Y , называют остатком несобственного интеграла (2). Аналогично, в случае −∞ 6 a < b < +∞ и функции f (x, y), определённой на множестве D2 = (a, b] × Y и удовлетворяющей определению 1’, справедлива формула I(y) =

Zb a

f (x, y) dx =

Zt

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx = R(y, t) + Φ(y, t),

(4′ )

t

в которой функции Φ(y, t) и R(y, t) определены на множестве E2 = Y × (a, b] и несобственный интеграл R(y, t) =

Zt a

f (x, y) dx, y ∈ Y, a < t 6 b

называют остатком несобственного интеграла (2’). На основании определений 1 и 1’ и формул (4) и (4’) заключаем, что несобственный интеграл (2) [(2’)] сходится тогда и только тогда, когда его остаток R(y, t), определённый на множестве E1 = Y ×[a, b) [на множестве E2 = Y × (a, b]], стремится по базе t → b− [по   базе t → a+] к нулевой предельной функции на Y ; то есть, lim R(y, t) = 0, y ∈ Y

t→b−

lim R(y, t) = 0, y ∈ Y .

t→a+

3.5.4. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра Определение 2. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b)×Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и на множестве E1 = Y × [a, b) определена функция F (y, t), задаваемая формулой (1). Несобственный интеграл (2) называют равномерно сходящимся на множестве Y , если 1. интеграл (2) сходится на Y к функции I(y) в смысле определения 1; 2. функция F (y, t) равномерно стремится к функции I(y) на множестве Y по базе t → b−. Определение 2’. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D2 = (a, b] × Y , −∞ 6< b < +∞, Y ⊂ R, и на множестве E2 = Y × (a, b] определена функция Φ(y, t), задаваемая формулой (1’). Несобственный интеграл (2’) называют равномерно сходящимся на множестве Y , если 1. несобственный интеграл (2’) сходится на Y к функции I(y) в смысле определения 1’; 2. функция Φ(y, t) равномерно стремится к функции I(y) на множестве Y по базе t → a+. На основании этих определений, формул (4) и (4’) и критерия из пункта 3.5.3, заключаем, что несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда функция R(y, t) равномерно 64

стремится к нулевой предельной функции на множестве Y по базе t → b− [t → a+]; то есть, R(y, t) ⇉ 0 на Y по базе t → b− [по базе t → a+]. В терминах неравенств этот критерий имеет вид: несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует число bε , a < bε < b [существует число aε , a < aε < b] (выбор числа bε [aε ] зависит только от ε > 0), что для всех y ∈ Y и всех t, bε < t < b [всех t, a < t < aε ] справедлива оценка b  t  Z Z f (x, y) dx < ε  f (x, y) dx < ε . (5) t

a

Отметим, как просто следствие определений 2 и 2’ и приведённого выше критерия, что равномерно сходящиеся несобственные интегралы также обладают свойством аддитивности:

1. если несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y , то он равномерно сходится на каждом его подмножество Y ′ , Y ′ ⊂ Y ; 2. если несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множествах Y1 и Y2 , то он равномерно сходится на их объединении Y = Y1 ∪ Y2 . Действительно, оценки вида (5) справедливы для множеств Y1 и Y2 с некоторыми числами biε , a < biε < b, i = 1, 2 [числами aiε , a < aiε < b, i = 1, 2], и следовательно, эти оценки останутся справедливыми для множества Y = Y1 ∪ Y2 с числами bε = max(b1ε , b2ε ) [aε = min(a1ε , a2ε )]. 3.5.5. Неравномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра Определение 3. Несобственный интеграл (2) [(2’)] называют сходящимся неравномерно на множестве Y , если он сходится на Y в смысле определения 1 [1’], но не имеет места свойство 2 в определении 2 [2’]. Утверждение. Несобственный интеграл I(y) =

Rb

f (x, y) dx по промежутку [a, b) (по промежутку (a, b])

a

неравномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда найдётся некоторое ε0 > 0 и для произвольного b′ , a < b′ < b (для произвольного a′ , a < a′ < b) существуют точка tb′ , b′ < tb′ < b (ta′ , a < ta′ < a′ ) и точка yb′ ∈ Y (ya′ ∈ Y ), в которых b   t ′ Z Za f (x, yb′ ) dx > ε0  f (x, ya′ ) dx > ε0  . (6) a

tb′



Определение 3 есть отрицание определения 2, а утверждение (6) — отрицание утверждения (5). 

Пример 5.1. Исследуем на сходимость, абсолютную сходимость и равномерную сходимость несобственный +∞ R интеграл ye−xy dx, y ∈ R. 0

 Подинтегральная функция f (x, y) = ye−xy определена для всех (x, y) ∈ D = [0, +∞) × R. Так как f (x, y) = 0 при y = 0 для всех x ∈ [0, +∞), то несобственный интеграл сходится и равен нулю при y = 0. Пусть y 6= 0. Тогда остаток (при t > 0) +∞ Z +∞  R(y, t) = ye−xy dx = −e−xy t = lim

A→+∞

t

−e

−Ay

+e

−yt




=

(

e−yt , если y > 0, −∞, если y < 0.

Таким образом, интеграл сходится при y > 0 и расходится при y < 0. Так как |f (x, y)| = |y| e−xy для всех (x, y) ∈ D и |f (x, y)| = f (x, y) для y > 0, x ∈ [0, +∞), то исследуемый интеграл абсолютно сходится при всех y > 0; то есть, области его сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Если c > 0 и y ∈ [c, +∞), то |R(y, t)| = e−yt 6 e−ct , t > 0, и lim e−ct = 0. Следовательно, R(y, t) ⇉ 0 на t→+∞

[c, +∞) по базе t → +∞, и несобственный интеграл равномерно сходится на каждом промежутке [c, +∞), c > 0.
Если y ∈ [0, c], c > 0, то для произвольного b′ , 0 < b′ < +∞, выбираем tb′ > 0 таким, чтобы tb′ > max b′ , 1c ; то есть, tb′ > b′ и tb′ > 1c , 0 < t1′ < c, и полагаем yb′ = t1′ , 0 < yb′ < c. Тогда |R(yb′ , tb′ )| = e−1 = ε0 > 0, и b b следовательно, несобственный интеграл сходится неравномерно на [0, c], c > 0, и по свойству аддитивности он сходится неравномерно на всём промежутке [0, +∞). 65

3.5.6. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Теорема 3.22. Несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) (по (a, b]) равномерно

a

сходится на множестве Y ⊂ R в том и только в том случае, когда для любого числа ε > 0 существует такое число bε , a < bε < b (существует aε , a < aε < b), что для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2) справедливо неравенство t Z 2 f (x, y) dx < ε. (7) t1



Согласно свойству аддитивности определённого интеграла, для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, имеем Zt2

 

t1

Zt2

Zt2

Zb

f (x, y) dx =

a

f (x, y) dx =

t1

t1

f (x, y) dx −

Zt1

f (x, y) dx −

Zb

a

t2

f (x, y) dx = F (y, t2 ) − F (y, t1 ) 

f (x, y) dx = Φ(y, t1 ) − Φ(y, t2 ) .

Поэтому, условие (7) равносильно условию |F (y, t2 ) − F (y, t1 )| < ε для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (условию |Φ(y, t2 ) − Φ(y, t1 )| < ε для всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2) и всех y ∈ Y ; то есть, равносильно критерию Коши равномерного стремления функции F (y, t) (функции Φ(y, t)) к предельной функции на множестве Y по базе t → b− (по базе t → a+). Последнее равносильно свойству равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру (определения 2 и 2’).  3.5.7. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла Теорема 3.23. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и на множестве E1 = Y × [a, b) (на множестве E2 = Y × (a, b]) определена функция F (y, t) (функция Φ(y, t)), задаваемая формулой (1) ((1’)). Если |f (x, y)| 6 ϕ(x) для всех (x, y) ∈ D1 (всех (x, y) ∈ D2 ) и сходится Rb Rb Rb несобственный интеграл ϕ(x) dx по [a, b) (по (a, b]), то несобственные интегралы f (x, y) dx и |f (x, y)| dx a

a

a

сходятся равномерно на множестве Y .  Пусть, для определённости, функция f (x, y) определена на D1 = [a, b) × Y . Рассмотрим произвольное Rb ε > 0. Согласно критерию Коши сходимости несобственного интеграла ϕ(x) dx, существует такое bε , a < bε < b, a Rt2 что для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2, справедливо неравенство ϕ(x) dx < ε. Для простоты считаем bε < t1 < t1 t2 < b. Тогда t t Z 2 Zt2 Z 2 Zt2 f (x, y) dx 6 |f (x, y)| dx 6 ϕ(x) dx = ϕ(x) dx < ε t1

t1

t1

t1

для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2. Согласно критерию Коши, несобственные интегралы Rb a

|f (x, y)| dx по промежутку [a, b) равномерно сходятся на множестве Y .

Rb

f (x, y) dx и

a

Аналогично рассматривается случай промежутка (a, b].  3.5.8. Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема 3.24. Если функции f (x, y), g(x, y) определены на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и обладают свойствами: 1. несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx равномерно сходится на множестве Y ;

a

2. функция g(x, y) ограничена на D1 (на D2 ) и для каждого y ∈ Y монотонна по x на [a, b) (на (a, b]), 66

то несобственный интеграл

Rb

f (x, y)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y .

a

 Доказательство приведём для случая [a, b) и D1 = [a, b) × Y . Согласно условию 2, существует такое M > 0, что |g(x, y)| 6 M для всех (x, y) ∈ D1 . Кроме того, для любого y ∈ Y и любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, на [t1 , t2 ] выполнены условия второй теоремы о среднем значении для определённых интегралов (функция f (x, y) интегрируема на [t1 , t2 ] для любого y ∈ Y в силу условия 1 теоремы и определения 1 сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра), так что Zt2

f (x, y)g(x, y) dx = g(t1 , y)

Zξ

f (x, y) dx + g(t2 , y)

t1

t1

Zt2

(8)

f (x, y) dx,

ξ

где ξ ∈ [t1 , t2 ] (и выбор ξ зависит от y ∈ Y ). Из (8) следует оценка   t t Z 2 Zξ Z 2  f (x, y)g(x, y) dx 6 M  f (x, y) dx + f (x, y) dx   , ξ ∈ [t1 , t2 ]. t1 t1 ξ

(9)

Рассмотрим теперь произвольное число ε > 0. На основании условия 1 и критерия Коши, для ε > 0 суще ′′ Rt ε ствует такое bε , a < bε < b, что f (x, y) dx < 2M для всех y ∈ Y и всех tj , bε < tj < b, j = 1, 2. Поэтому, t′ ξ Zt2 Z f (x, y) dx < ε и f (x, y) dx < ε 2M 2M ξ t1

(10)

для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (заметим, что также bε < ξ < b). Объединяя неравенства (9) и (10), получим оценку t Z 2  ε ε  f (x, y)g(x, y) dx < M + = ε, 2M 2M t1

справедливую для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2, и которая есть критерий Коши равномерной сходимости на множестве Y исследуемого несобственного интеграла.  Rb Следствие. Если функция f (x) определена на [a, b) (на (a, b]) и сходится несобственный интеграл f (x) dx, a

а функция g(x, y) определена и ограничена на D1 = [a, b)×Y (на D2 = (a, b]×Y ) и для каждого y ∈ Y монотонна Rb на [a, b) (на (a, b]), то несобственный интеграл f (x)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y . a

Частный случай предыдущей теоремы.  +∞ +∞ +∞ R R R 2 f (x)e−xy dx и f (x)e−x y dx сходятся равномерно на Y = Пример 5.2. Если сходится f (x) dx, то 

0

0

0

[0, +∞).

2

 Функции g1 (x, y) = e−xy и g2 (x, y) = e−x y ограничены на множестве D = [0, +∞) × [0, +∞) и для каждого y ∈ [0, +∞) монотонны по x на [0, +∞).  3.5.9. Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов Теорема 3.25. Если функции f (x, y), g(x, y) определены на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и обладают свойствами: 1. на множестве E1 = Y × [a, b) (на E2 = Y × (a, b]) формулой (1) (формулой (1’)) определена и ограничена функция F (x, y) (функция Φ(x, y)); 2. для каждого y ∈ Y функция g(x, y) монотонна по x ∈ [a, b) (по x ∈ (a, b]) и g(x, y) ⇉ 0 на Y по базе x → b− (по базе x → a+), то несобственный интеграл

Rb

f (x, y)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y .

a

67

 Как и в доказательстве признака Абеля, замечаем, что для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, справедлива формула (8). Согласно условию 1 теоремы, существует такое число L > 0, что |F (y, t)| 6 L (|Φ(y, t)| 6 L) для всех (y, t) ∈ E1 (всех (y, t) ∈ E2 ). С учётом свойства аддитивности определённого интеграла, как и в доказательстве критерия Коши, заключаем, что ξ Z f (x, y) dx = |F (ξ, y) − F (t1 , y)| = |Φ(t1 , y) − Φ(ξ, y)| 6 2L t1

и

Zt2 f (x, y) dx = |F (t2 , y) − F (ξ, y)| = |Φ(ξ, y) − Φ(t2 , y)| 6 2L, ξ

и следовательно, на основании формулы (8) имеем оценку t Z 2 f (x, y)g(x, y) dx 6 (|g(t1 , y)| + |g(t2 , y)|) 2L,

(11)

t1

справедливую для любого y ∈ Y и любых ti , a < ti < b, i = 1, 2. Рассмотрим произвольное число ε > 0. По определению свойства равномерного стремления функции g(x, y) по базе x → b− (по базе x → a+), для числа ε > 0 существует такое число bε , a < bε < b (такое число aε , ε для всех y ∈ Y и всех x, bε < x < b (всех x, a < x < aε ). Поэтому, на основании a < aε < b), что |g(x, y)| < 4L (11), неравенство t Z 2 f (x, y)g(x, y) dx < 2L · ε + 2L · ε = ε 4L 4L t1

справедливо для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2). Последнее есть критерий Коши равномерной сходимости на множестве Y исследуемого несобственного интеграла.  3.5.10. Связь с рядами

Выше, в параграфе 1 обсуждалась связь между несобственными интегралами и порождаемыми ими числовыми рядами. Здесь изучение этой связи будет углублено. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируема по аргументу x на каждом отрезке [a, t], a < t < b, так что на множестве E1 = Y × [a, b) определена функция F (y, t), задаваемая формулой (1). Рассмотрим произвольную последовательность (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b (возможно, b = +∞), и n→+∞

образуем функциональный ряд

∞ X

n=1

с общим членом an (y), n ∈ N, an (y) =

Ztn

tn−1

an (y), y ∈ Y,

f (x, y) dx, y ∈ Y, n ∈ N.

(12)

(13)

Частные суммы sn (y), n ∈ N, ряда (12) имеют вид, с учётом (13), sn (y) =

n X

k=1

ak (y) =

n Ztn X

f (x, y) dx =

k=1tn−1

Ztn a

f (x, y) dx = F (y, tn ), y ∈ Y, n ∈ N.

(14)

Таким же способом, как и в пункте 1.5 параграфа 1 доказывается (на основании формулы (14)), что несобRb ственный интеграл f (x, y) dx = I(y) сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда для любой послеa

довательности (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b, функциональный ряд (12) сходится на множестве Y . n→+∞

Поскольку, на основании теоремы пункта 3.3 параграфа 3, функция F (y, t) ⇉ I(y) на множестве Y по базе t → b− тогда и только тогда, когда F (y, tn ) ⇉ I(y) на множестве Y для любой последовательности (tn ), t0 = a, 68

a < tn < b,

lim tn = b, то несобственный интеграл

n→+∞

Rb

f (x, y) dx = I по промежутку [a, b) равномерно сходится

a

на множестве Y ⊂ R тогда и только тогда, когда F (y, tn ) ⇉ I(y) на Y для любой последовательности (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b. n→+∞

Rb a

Аналогичные рассуждения можно провести для зависимого от параметра y ∈ Y несобственного интеграла f (x, y) dx по промежутку (a, b], −∞ 6 a < b < +∞.

3.6. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов 3.6.1. Предельный переход под знак интеграла Теорема 3.26. Пусть функция f (x, y), определённая на множестве D1 = [a, b)×Y , и база B на Y обладают свойствами: 1. несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) равномерно сходится на множестве

a

Y; 2. для каждого x ∈ [a, b) существует lim f (x, y) = ϕ(x); B

3. для любого t, a < t < b, f (x, y) ⇉ ϕ(x) на отрезке [a, t] по базе B. Тогда сходится несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx и справедлива формула

a

lim B

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb h Zb i lim f (x, y) dx = ϕ(x) dx.

(1)

B

a

a

 Согласно условию 1 теоремы, f (x, y) интегрируема по x на каждом отрезке [a, t], a < t < b, для любого y ∈ Y . Так как f (x, y) ⇉ ϕ(x) по базе B на [a, t], то ϕ(x) интегрируема на [a, t] (параграф 3, пункт 3.4). Поэтому, для функции F (y, t), Zt F (y, t) = f (x, y) dx, y ∈ Y, t ∈ [a, b) a

существует lim F (y, t) = lim B

B

Zt a

Zt h Zt i f (x, y) dx = lim f (x, y) dx = ϕ(x) dx, t ∈ [a, b) B

a

a

(параграф 4, пункт 4.1). Так как, согласно условию 1 теоремы, F (y, t) ⇉ I(y) на Y по базе t → b−, то, по теореме о перестановке двух предельных переходов, существует lim B



 Zt Zb h i lim F (y, t) = lim lim F (y, t) = lim ϕ(x) dx = ϕ(x) dx,

t→b−

t→b−

t→b−

B

a

a

так что доказаны сходимость несобственного интеграла от функции ϕ(x) и формула (1), поскольку lim F (y, t) = t→b−

Rb a

f (x, y) dx, y ∈ Y.  3.6.2. Непрерывность несобственного интеграла по параметру

Теорема 3.27. Если функция f (x, y) непрерывна как функция двух переменных на множестве D1 = [a, b) × Rb [c, d] и несобственный интеграл f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) равномерно сходится на [c, d], то a

функция I(y) непрерывна на [c, d].  Рассмотрим произвольное t, a < t < b. Так как f (x, y) непрерывна на Pt = [a, t] × [c, d], то f (x, y) равномерно непрерывна на Pt и для любого y0 ∈ [c, d] = ∆ функция f (x, y) ⇉ f (x, y0 ) на [a, t] по базе ∆ ∋ y →

69

y0 (см. доказательство теоремы из пункта 4.2, параграф 4). Таким образом, по теореме предыдущего пункта существует lim

∆∋y→y0

I(y) =

lim

∆∋y→y0

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb 

lim

∆∋y→y0

a

 Zb f (x, y) dx = f (x, y0 ) dx = I(y0 ). a

 Замечание. Если, дополнительно, непрерывная на D1 функция f (x, y) > 0, то справедлива обратная теореRb ма: из непрерывности несобственного интеграла I(y) = f (x, y) dx на [c, d] следует его равномерная сходимость a

на [c, d].

Функция F (y, t) =



Rt a

на [c, d] по базе t → b−. 

f (x, y) dx, y ∈ [c, d], t ∈ [a, b) непрерывна по y. Согласно теореме Дини, F (y, t) ⇉ I(y)

3.6.3. Интегрирование несобственного интеграла по параметру Теорема 3.28. Если функция f (x, y) непрерывна на множестве D1 = [a, b) × [c, d], и несобственный интеRb грал I(y) = f (x, y) dx равномерно сходится на [c, d], то справедлива формула a

Zd

I(y) dy =

c

Zd

dy

c

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb

dx

a

Zd

(1)

f (x, y) dy,

c

в которой последний интеграл — несобственный по [a, b).  По теореме предыдущего пункта, функция I(y) непрерывна на [c, d], а следовательно, интегрируема на [c, d] и первое равенство в формуле (1) доказано. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность (tn ), t0 = a 6 tn < b, lim tn = b, и образуем ряд n→+∞

I(y) =

Zb

f (x, y) dx =

∞ Ztn X

f (x, y) dx =

n=1

n=1t n−1

a

∞ X

(2)

an (y), y ∈ [c, d],

который, согласно условиям теоремы и редукции несобственных интегралов к функциональным рядом (пункт 5.10, параграф 5), равномерно сходится на [c, d]. На каждом прямоугольнике Pn = [tn−1 , tn ] × [c, d] ⊂ D1 , n ∈ N, выполнены все условия теоремы пунктов 4.3 и 4.4 параграфа 4, о непрерывности и интегрируемости собственных интегралов, зависящих от параметра, согласно которым каждая функция an (y) непрерывна на [c, d] и справедливы формулы Zd

an (y) dy =

c

Zd

dy

c

Ztn

f (x, y) dx =

tn−1

Ztn

tn−1

dx

Zd c

(3)

f (x, y) dy, n ∈ N.

Поскольку ряд (2) равномерно сходится на [c, d] и все an (y), n ∈ N, непрерывны на [c, d], он почленно интегрируем на [c, d] и, с учётом формул (3), справедливо равенство Zd

d

I(y) dy =

∞ Z X

n=1 c

c

an (y) dy =

∞ Ztn X

n=1t n−1

dx

Zd

f (x, y) dy = lim

n→+∞

c

n Ztk X

k=1k−1

dx

Zd

f (x, y) dy = lim

n→+∞

c

Ztn a

dx

Zd

f (x, y) dy,

c

(4)

в котором использовано также свойство аддитивности определённого интеграла. В силу редукции несобственRd ных интегралов к функциональным рядам (пункт 5.10, параграф 5), формула (4) означает, что I(y) dy = c

Rb a

dx

Rd

f (x, y) dy, то есть, что справедливо второе равенство в утверждении (1) теоремы. 

c

70

3.6.4. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру Теорема 3.29. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × [c, d] ⊂ R2 , −∞ < a < b 6 +∞ [на множестве D2 = (a, b] × [c, d] ⊂ R2 , −∞ 6 a < b < +∞] и обладает свойствами: 1. функция f непрерывна по аргументу x для каждого y ∈ [c, d]; 2. частная производная fy′ (x, y) непрерывна как функция двух переменных на множестве D1 [на множестве D2 ]; Rb 3. несобственный интеграл f (x, y) dx = I(y) сходится на [c, d]; a

4. несобственный интеграл

Rb a

Тогда функция I(y) =

Rb

fy′ (x, y) dx равномерно сходится на [c, d].

f (x, y) dx дифференцируема на [c, d] и справедлива формула

a

′

I (y) =

Zb a

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d].

(5)

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность (tn ), t0 = a 6 tn < b,



функциональный ряд (2), который, в силу условию 3 теоремы, сходится к функции I(y) =

Rb

lim tn = b, и

n→+∞

f (x, y) dx на [c, d].

a

Функция f (x, y) на каждом прямоугольнике Pn = [tn−1 , tn ] × [c, d] ⊂ D1 , n ∈ N, удовлетворяет теореме Лейбница о дифференцировании собственного интеграла по параметру, согласно которой a′n (y)

=

Ztn

tn−1

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d], n ∈ N,

и следовательно, с учётом условия 4 теоремы, равномерно сходится ряд ∞ X

a′n (y)

=

n=1

lim

n→+∞

n X

a′k (y)

=

k=1

lim

n→+∞

n Ztk X

fy′ (x, y) dx

=

lim

n→+∞

k=1t k−1

Ztn

fy′ (x, y) dx

a

=

Zb a

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d]

(использованы также свойство аддитивности определённого интеграла и редукция несобственного интеграла ∞ Rb P к функциональным последовательностям). Так как ряд an (y) = f (x, y) dx = I(y) сходится на [c, d], а n=1

ряд

∞ P

n=1

a′n (y)

=

Rb a

fy′ (x, y) dx

a

равномерно сходится на [c, d], то по теореме о почленном дифференцировании

функциональных рядов Zb a

fy′ (x, y) dx

=

∞ X

!′

an (y)

n=1

y

= I ′ (y), y ∈ [c, d].

 3.6.5. Теорема Дини для несобственных интегралов Теорема 3.30. Пусть Y = [c, y0 ), −∞ < c < y0 6 +∞, и символ B обозначает базу y → y0 − 0, если y0 ∈ R, и базу y → +∞, если y0 = +∞. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y и обладает свойствами: 1. 2. 3. 4.

f (x, y) > 0 на D1 ; f (x, y) непрерывна по x на [a, b); для каждого x ∈ [a, b) функция f (x, y) возрастает по y ∈ Y ; функция f (x, y) стремится к некоторой предельной функции ϕ(x) на [a, b) по базе B; то есть, ϕ(x) = lim f (x, y), x ∈ [a, b); B

71

5. функция ϕ(x) непрерывна на [a, b). Если сходится несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx, то несобственный интеграл I(y) =

a

сходится на Y = [c, y0 ), и поэтому,

Rb

f (x, y) dx равномерно

a

lim I(y) = B

Zb

(6)

ϕ(x) dx.

a

 На основании условий 2–5 и теоремы Дини из пункта 3.5, параграф 3, функция f (x, y) равномерно стремится к предельной функции ϕ(x) на [a, b) по базе B. В силу условий 1 и 3, для каждого x ∈ [a, b) и каждого y ∈ Y справедливо 0 6 f (x, y) 6 ϕ(x) = sup f (x, y) (теорема Вейерштрасса о пределе возрастающей B

функции). Поэтому, с учётом сходимости несобственного интеграла

Rb

ϕ(x) dx и признака Вейерштрасса (пункт

a

5.7, параграф 5) заключаем, что несобственных интеграл I(y) =

Rb

f (x, y) dx равномерно сходится на множестве

a

Y , а соотношение (6) справедливо на основании теоремы пункта 6.1.  Аналогичная теорема справедлива для множестве Y = (y0 , c], −∞ 6 y0 < c < +∞, с заменой в условии 3 предыдущей теоремы свойства возрастания функции f (x, y) на множестве Y на свойство её убывания на Y .

3.7. Эйлеровы интегралы 3.7.1. Интеграл Эйлера первого рода (по Лежандру); бета–функция Рассмотрим несобственный интеграл B(p, q) =

Z1 0

xp−1 (1 − x)q−1 dx,

(1)

зависящий от параметров p, q ∈ R, и представим его в виде 1

B(p, q) =

Z2 0

p−1

x

q−1

(1 − x)

dx +

Z1

xp−1 (1 − x)q−1 dx = I1 (p, q) + I2 (p, q),

(2)

1 2

где I1 (p, q) имеет особенность только в точке x = 0, а I2 (p, q) — только в точке x = 1. Так как для любого q ∈ R функция (1 − x)q−1 положительна, непрерывна и ограничена на отрезке [0, 12 ], то существуют C1q > 0 и C2q , что C1q xp−1 6 xp−1 (1 − x)q−1 6 C2q xp−1 для всех x ∈ (0, 12 ] и всех p ∈ R. Так как 1 R2 несобственный интеграл xp−1 dx сходится для всех p > 0 и расходится для всех p 6 0, то по признаку сравнения 0

несобственных интегралов, заключаем, что несобственный интеграл I1 (p, q) сходится только при p > 0 и всех q ∈ R. Аналогично, функция xp−1 положительна, непрерывна и ограничена на отрезке [ 12 , 1] для любого p ∈ R, и следовательно, существуют C1p > 0, C2p > 0, что C1p (1 − x)q−1 6 xp−1 (1 − x)q−1 6 C2p (1 − x)q−1 для всех x ∈ [ 21 , 1) R1 и всех q ∈ R. Так как несобственный интеграл (1 − x)q−1 dx сходится при q > 0 и расходится при q 6 0, то как 1 2

и выше, заключаем, что несобственный интеграл I2 (p, q) сходится только при q > 0 и всех p ∈ R. Окончательно, в силу (2), бета–функция Эйлера B(p, q) определена только для p > 0 и q > 0. 3.7.2. Непрерывность бета–функции

Теорема 3.31. Функция B(p, q), задаваемая интегралом (1), непрерывна по каждому аргументу p и q в своей области определения.  Подинтегральная функция f (x, p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 непрерывна как функция трёх переменных (x, p, q) на множестве E = (0, 1)× (0, +∞)× (0, +∞) и f (x, p, q) > 0. Для произвольного p0 > 0 и q0 > 0 интеграл B(p0 , q0 ) сходится (функция существует) и для всех p > p0 > 0 и q > q0 > 0 справедливы оценки 0 < xp−1 (1 − x)q−1 6 xp0 −1 (1 − x)q0 −1 , x ∈ (0, 1). 72

Согласно признаку Вейерштрасса, несобственный интеграл (1) равномерно сходится при p > p0 > 0, q > q0 > 0. Поэтому (по теореме пункта 6.2, параграф 6) функция B(p, q) непрерывна при всех p > p0 > 0 и при всех q > q0 > 0. Рассмотрим теперь произвольные p > 0 и q > 0 и выберем такие p0 > 0 и q0 > 0, чтобы p > p0 > 0 и q > q0 > 0. По предыдущему, B(p, q) непрерывна в точке p > 0 и в точке q > 0.  3.7.3. Симметричность бета–функции Теорема 3.32. B(p, q) = B(q, p), p > 0, q > 0.  В несобственном интеграле (1) для B(p, q) совершим замену переменной интегрирования x = 1 − t, t = 1 − x, dx = −dt. Получим B(p, q) =

Z1

p−1

x

0

q−1

(1 − x)

dx = −

Z1 0

p−1 q−1

(1 − t)

t

dt =

Z1 0

tq−1 (1 − t)p−1 dt = B(q, p).

 3.7.4. Функциональное уравнение для B(p, q) Интегрируя (1) по частям, получим

B(p, q + 1) =

Z1 0

p−1

x



xp (1 − x)q (1 − x) dx = p q

Z1

q =0+ p

1

p−1

x

0

q + p 0

Z1 0

  xp (1 − x)q−1 dx = xp ≡ xp−1 − xp−1 (1 − x) =

q−1

(1 − x)

откуда

q dx − p

Z1 0

xp−1 (1 − x)q dx =

q q B(p, q) − B(p, q + 1), p p

q B(p, q), p > 0, q > 0. p+q

B(p, q + 1) =

(2)

В силу симметричности функции B(p, q) имеем также p B(p, q), p > 0, q > 0. p+q

B(p + 1, q) =

(2′ )

3.7.5. Частный случай Пусть q = n ∈ N; согласно (2), B(p, n) =

n−1 n−2 (n − 1)(n − 2) · . . . · 2 · 1 n−1 B(p, n − 1) = · B(p, n − 2) = . . . = B(p, 1). p+n−1 p+n−1 p+n−2 (p + n − 1)(p + n − 2) · . . . · (p + 1)

Но B(p, 1) =

Z1

xp−1 dx =

0

так что B(p, n) = Пусть p = m ∈ N. Тогда B(m, n) =



xp p

1

=

0

1 , p

(n − 1)! , p > 0, n ∈ N. p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)

(n − 1)!1 · 2 · . . . · (m − 1) (m − 1)!(n − 1)! (n − 1)! = = . m(m + 1) · . . . · (m + n − 1) 1 · 2 · . . . · (m − 1)m(m + 1) · . . . · (m + n − 1) (m + n − 1)!

Ранее доказано, что (n − 1)! = Γ(n), (m − 1)! = Γ(m), m, n ∈ N, так что B(m, n) =

Γ(m)Γ(n) , m, n ∈ N. Γ(m + n)

В четвёртом семестре мы докажем замечательную формулу Эйлера B(p, q) =

Γ(p)Γ(q) , p > 0, q > 0. Γ(p + q) 73

(3)

3.7.6. Интеграл Эйлера второго рода; гамма-функция Рассмотрим несобственный интеграл +∞ +∞ Z Z1 Z s−1 −x s−1 −x I(s) = x e dx = x e dx + xs−1 e−x dx = I1 (s) + I2 (s). 0

−1 s−1

0

s−1 −x

1

s−1

Так как e x 6x e 6x для x ∈ (0, 1] и всех s ∈ R, то несобственный интеграл I1 (s) сходится при s − 1 > −1, или s > 0, и расходится при s − 1 6 −1, или s 6 0; то есть, I1 (s) сходится только при s > 0. +∞ R dx s−1 −x s+1 Так как lim x 1e = lim xex = 0 для любого s ∈ R и x2 сходится, то, согласно предельной форме x→+∞

x→+∞

x2

1

признака сравнения несобственных интегралов, интеграл I2 (s) сходится при всех s ∈ R. Окончательно, I(s) сходится только при s > 0. Полагая x = ln z1 , z = e−x , dx = − z1 dz = −ex dz, 0 < z < 1, в интеграле I(s) получим s−1 s−1 Z0  Z1  1 1 −x x I(s) = − ln e e dz = ln dz, s > 0. z z 1

Известно, что 0 6 ln

1 z

0

1 n

= lim n(1 − z ), 0 < z 6 1. n→+∞

α

Рассмотрим выражение 1−z α , z ∈ (0, 1] — фиксировано, как функцию аргумента α, α > 0, производная которой равна ′  1 − zα −αz α ln z − (1 − z α ) z α (1 − α ln z) − 1 = = . α α2 α2 α

Функция ϕ(a) = z α (1 − α ln z) − 1 определена и непрерывна по переменной α для α > 0 и ϕ(0) = 0. Производная ϕ′ (α) = z α ln z(1 − α ln z) − z α ln z = −αz α (ln z)2 < 0 для всех α > 0. Таким образом, функция ϕ(α) строго убывает при α > 0 и ϕ(α) < ϕ(0) = 0 для α > 0. α Итак, функция F (z, α) = 1−z строго убывает по аргументу α > 0. Если α = n1 , n ∈ N, то функция α 1 F (z, n) = n(1 − z n ) определена на множестве E = (0, 1] × N, непрерывна на E (как функция двух переменных) и F (z, n) > 0, и F (z, n) строго возрастает по аргументу n. Таким образом, функция F (z, n) удовлетворяет на множестве E всем условиям теоремы Дини из пункта 6.5, параграфа 6, согласно которой (с учётом свойства непрерывности степенной функции) s−1 s−1 Z1  Z1 Z1 Z1   s−1 1 1 1 1 I(s) = ln dz = lim n(1 − z n ) dz = lim ns−1 (1−z n )s−1 dz. dz = lim n(1 − z n ) n→+∞ n→+∞ n→+∞ z 0

0

0

Полагая z

1 n

0

= y, z = y n , dz = ny n−1 dy, 0 < y < 1, получим

I(s) = lim n n→+∞

s

Z1 0

ns (n − 1)! = Γ(s), n→+∞ s(s + 1) · . . . · (s + n − 1)

y n−1 (1 − y)s−1 dy = lim ns B(n, s) = lim n→+∞

где использованы формула (3) и формула Эйлера–Гаусса для Γ(s). Итак, +∞ Z Γ(s) = xs−1 e−x dx, s > 0. 0

3.7.7. Дифференцируемость гамма-функции В главе 2, параграф 3, пункт 3.5, доказано, что Γ(s) бесконечно дифференцируема в своей области определения DΓ = R\(−N0 ), N0 = N ∪ {0}. В частности, Γ(s) — бесконечно дифференцируемая функция для s > 0. Поэтому, +∞ Z ′ Γ (s) = xs−1 ln xe−x dx, s > 0 0

и

+∞ Z Γ (s) = xs−1 e−x (ln x)2 dx > 0, s > 0, ′′

0

так что функция Γ(s) выпукла вниз в интервале (0, +∞) и производная Γ′ (s) строго возрастает в (0, +∞). 74

3.7.8. График функции Γ(s) на интервале (0, +∞) По определению, Γ(1) =

+∞ Z Zt  t e−x dx = lim e−x dx = lim −e−x 0 = lim (−e−t + 1) = 1, t→+∞

0

t→+∞

t→+∞

0

и Γ(2) = Γ(1) = 1. По теореме Ролля, в интервале (1, 2) существует s0 , 1 < s0 < 2, в которой Γ′ (s0 ) = 0. Так как Γ′ (s) строго возрастает в интервале (0, +∞), то s0 — единственный ноль производной Γ′ (s) и s0 — точка строгого минимума выпуклой вниз функции Γ(s). Так как Γ(s + 1) = sΓ(s), s > 0, то Γ(s) = Γ(s+1) , s s > 0, и lim Γ(s) = lim Γ(s+1) = +∞ (поскольку lim Γ(s + 1) = Γ(1) = 1). Для всех s > n + 1, n ∈ N, s s→+0

s→+0

s→+0

Γ′ (s) > Γ′ (s0 ) = 0, и следовательно, функция Γ(s) строго возрастает при s > s0 , так что Γ(s) > Γ(n + 1) = n!, и поэтому lim Γ(s) = +∞. График функции Γ(s) изображён на рисунке. s→+∞

3.7.9. Интеграл Эйлера–Пуассона По формуле дополнения для гамма-функции, Γ(x)Γ(1 − x) = как Γ(s) > 0, s > 0. С другой стороны, по определению

π sin πx ,

x∈ / Z. При x =

1 2

имеем Γ( 12 ) =

+∞ +∞ 1   Z Z x 2 = t dx = 2t dt 2 1 − 12 −x = x e dx = Γ 2e−t dt, = x = t2 2 0

откуда

0

+∞ √ Z π −x2 e dx = 2 0

— интеграл Эйлера–Пуассона. Кроме того, +∞ +∞ +∞ +∞ Z Z0 Z Z Z √ 2 −x2 −x2 −x2 −t2 e dx = e dx + e dx = e dt + e−x dx = π, −∞

−∞

0

0

0

где t = −x в первом слагаемом последней суммы.

3.8. Некоторые способы вычисления несобственных интегралов 3.8.1. Интеграл Эйлера π

I=

Z2

ln sin x dx

0

вычисляется заменой переменной интегрирования x = 2t, 0 6 t 6 π 4

I=2

Z

π 4

ln sin 2t dt = 2

0

Z

π 4,

dx = 2 dt, и π

π [ln 2 + ln sin t + ln cos t] dt = ln 2 + 2 2

0

π 2

− u,

π 4

6u6

π 4

2

0

π 2,

π 4

ln cos t dt = −2

Z

π

ln cos

π 2

π 2



− u du = 2

Z2

ln sin u du,

π 4

π

π I = ln 2 + 2 2

Z2

ln sin t dt =

π ln 2 + 2I, 2

0

π

откуда I =

ln sin t dt + 2

dt = −du, и приводим к виду

так что, в силу свойства аддитивности определённого интеграла,

− π2

π

0

В последнем интеграле полагаем t = Z

Z4

ln 2. К числу I сводятся интегралы

R2 0

π

x tg x

dx и

75

R2 0

arcsin x x

dx.

Z4 0

ln cos t dt.

√ π, так

3.8.2. Интеграл Дирихле +∞ R sin x Доказана сходимость интеграла I = x dx. Для вычисления его значения рассмотрим интеграл 0

I(y) =

+∞ Z

sin x −xy e dx. x

(1)

0

Функция F (x, y) = sinx x e−xy = f (x)e−xy непрерывна, как функция двух переменных, на множестве D = [0, +∞) × [0, +∞), если считать f (0) = 1 = lim sinx x . Согласно следствию к признаку Абеля равномерной сходиx→0

мости несобственного интеграла, зависящего от параметра (см. пункт 5.8, параграф 5, примеры), несобственный интеграл (1) равномерно сходится по y ∈ [0, +∞), а по теореме о непрерывности несобственного интеграла по параметру (пункт 6.2, параграф 6), функция I(y) непрерывна в точке y = 0 и I = lim I(y) = I(0). y→+0

Формальное дифференцирование по y интеграла в правой части формулы (1) приводит к несобственному интегралу +∞ +∞ Z Z sin x −xy · xe dx = − e−xy sin x dx. (2) − x 0

0

Рассмотрим несобственный интеграл +∞ Z J(y) = e−xy sin x dx.

(3)

0

Для каждого y > 0 существует

lim g(x, y) =

x→+∞ −xy

lim e−xy = 0. Для произвольного y0 > 0 и произвольного

x→+∞

x ∈ [0, +∞) оценки 6 e−xy0 справедливы для всех y > y0 . Поэтому, для любого числа ε > 0, 016 g(x, y) = e 1 выбирая bε = y0 ln ε , заключаем, что 0 6 g(x, y) 6 e−xy0 6 ε одновременно для всех y > y0 > 0 и всех образом, функция g(x, y) ⇉ 0 на множестве Y0 = [y0 , +∞), y0 > 0, по базе x + ∞, и поскольку x t> bε . Таким R sin x dx = |− cos t + 1| 6 2 для всех t ∈ [0, +∞), то по признаку Дирихле интеграл (3) равномерно сходится на 0

Y0 = [y0 , +∞) для всякого y0 > 0. Следовательно, на каждом множестве Y0 = [y0 , +∞), y0 > 0, с учётом (1)–(3), справедливо I ′ (y) = −J(y), y ∈ Y0 . Для любого y > 0 существует y0 > 0, что y > y0 > 0, и на промежутке [y0 , +∞) справедлива формула I ′ (y) = −J(y); в частности, она справедлива в точке y > y0 . Окончательно, имеем формулу I ′ (y) = −J(y), y > 0.

(4)

Интегрируя по частям дважды, получим 

+∞

−

+∞

1 J(y) = − sin xe−xy y 

1 cos xe−xy y2

0

0

1 + y −

1 y2

+∞ +∞     Z Z 1 1 1 −xy −ty cos x · e dx = lim − sin xe +0+ cos x − de−xy = t→+∞ y y y 0 +∞ Z

0

sin xe−xy dx = lim

t→+∞

0

откуда J(y) =



−



1 1 1 1 1 cos xe−ty + 2 − 2 J(y) = 2 − 2 J(y), y > 0, y2 y y y y

1 , y > 0, 1 + y2

и согласно (4), имеем I ′ (y) = −

1 , y > 0. 1 + y2

(4′ )

Поэтому, I(y) = − arctg y + C, y > 0.

Оценка

+∞ +∞  t   Z Z sin x −xy 1 −xy 1 −ty 1 1 −xy |I(y)| 6 dx 6 e dx = lim − e = lim − e + = , y > 0, x e t→+∞ t→+∞ y y y y 0 0

0

76

(5)

показывает, что lim I(y) = 0. Поэтому, согласно (5), y→+∞

0 = lim I(y) = lim [− arctg y + C] = − y→+∞

откуда C =

π 2

y→+∞

π + C, 2

и справедлива формула

π − arctg y, y > 0. 2 Согласно (6), lim I(y) = π2 . Но lim I(y) = I(0) = I, и поэтому I = π2 ; то есть, I(y) =

y→+0

(6)

y→+0

+∞ Z

sin x π dx = . x 2

0

3.8.3. Разрывный множитель Дирихле Рассмотрим несобственный интеграл I(a) =

+∞ Z 0

sin ax dx, a ∈ R. x

Если a = 0, то sin ax = 0, x ∈ [0, +∞), и I(0) = 0. Если a > 0, то подстановка ax = t приводит к интегралу I(a) =

+∞ Z

sin ax dx = x

0

+∞ Z

sin t

0

t a

a dt =

+∞ Z

sin t π dt = , a > 0. t 2

0

Если a < 0, то −a > 0 и I(−a) = −I(a), поскольку sin(−ax) = − sin(ax), x > 0. По предыдущему, I(−a) = π2 , и следовательно, I(a) = − π2 , a < 0. Окончательно,  π +∞  Z  2 , если a > 0, sin ax dx = 0, если a = 0, (7)  x  π 0 − 2 , если a < 0. или

+∞ Z

π sin ax dx = sgn a, x 2

0

так что 2 sgn a = π

+∞ Z

sin ax dx. x

0

Несобственный интеграл

+∞ R 0

гласно (7), +∞ Z 0

sin αx cos βx x

dx, α > 0, β > 0, называют разрывным множителем Дирихле. Со-

 +∞  π +∞  , если α > β, Z Z 1 sin(α + β)x sin(α − β)x   π2 sin αx cos βx dx =  dx + dx = 4 , если α = β,  x 2 x x  0 0 0, если α < β.

4. Приближение функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 4.1. Классы интегрируемых функций 4.1.1. Модуль непрерывности функций Рассмотрим произвольную функцию f на промежутке ha, bi и произвольное число δ > 0. Вели непрерывную чина ωf (δ) = ω(δ; f ) = sup |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ ha, bi , |x′ − x′′ | 6 δ называется модулем непрерывности 77

функции f на ha, > 0 для всех δ > 0. С увеличением числа δ расширяется множество bi. По определению, ω(δ)  |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ ha, bi , |x′ − x′′ | 6 δ и поэтому его sup не может уменьшаться; то есть, ω(δ) — возрастающая функция аргумента δ. Отсюда следует существование одностороннего предела функции ωf (δ) при δ → +0 : λ = lim ωf (δ). δ→+0

Если λ = 0, то f равномерно непрерывна на ha, bi, поскольку для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x′ ) − f (x′′ )| 6 ωf (δ) < ε для всех x′ , x′′ ∈ ha, bi, |x′ − x′′ | 6 δ. Пример. Функция f (x) = cos πx , x ∈ (0, 1), непрерывна в своей области определения и для неё λ > 2. 1 1 1 интервала (0, 1) и положим δn = n1 − n+1 = n(n+1) . Последова Возьмём две точки xn = n1 , xn+1 = n+1 тельность (δn ) стремится к нулю,но |f (xn ) − f (xn+1 )| = |cos πn − cos(n + 1)π| = 2,

и следовательно, и λ = lim ωf (δ) > 2.  δ→+0

 ωf (δn ) = sup |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ (0, 1), |x′ − x′′ | < δn > 2

Согласно теореме Гейне–Кантора, всякая непрерывна на отрезке функция равномерно непрерывна на нём и для неё λ = 0. Теорема 4.1. ωf (nδ) 6 nωf (δ) для всех δ > 0 и всех n ∈ N.  Пусть f непрерывна на ha, bi и x, y ∈ ha, bi, |x − y| 6 nδ и x < y. Рассмотрим xk = x + k y−x n , k = 0, n. 6 δ, k = Тогда |xk+1 − xk | = y−x 0, n, и n n n X X |f (xk ) − f (xk−1 )| 6 nω(δ). |f (y) − f (x)| = (f (xk ) − f (xk−1 )) 6 k=1

k=1

Поэтом, ωf (nδ) 6 nωf (δ). 

Следствие. ωf (cδ) 6 (c + 1)ωf (δ) для всех δ > 0 и всех c > 0.  Рассмотрим целую часть [c] = n > 0, n + 1 ∈ N. Тогда n 6 c < n + 1 и так как ω(δ) возрастает, то ωf (cδ) 6 ωf ((n + 1)δ) 6 (n + 1)ωf (δ) 6 (c + 1)ωf (δ).  4.1.2. Классы непрерывных функций по модулю непрерывности Теорема 4.2. Если функция f непрерывна на ha, bi, дифференцируема в (a, b) за исключением некоторого конечного множества K и производная f ′ ограничена в своей Df ′ ; то есть, |f ′ (x)| 6 M , M > 0, для всех x ∈ (a, b) ⊂ K, то ωf (δ) 6 M δ, δ > 0.  Рассмотрим произвольные x, y ∈ ha, bi, x < y, и предположим, что интервал (x, y) содержит l точек xj ∈ K, j = 1, l. На каждом отрезке [x, x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xl−1 , xl ], [xl , y] выполнены все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, согласно которой |f (y) − f (x)| 6 |f (y) − f (xl )| + |f (xl ) − f (xl−1 )| + . . . + |f (x2 ) − f (x1 )| + |f (x1 ) − f (x)| = |f ′ (ξl )| (y − xl )+

+ |f ′ (ξl−1 )| (xl − xl−1 ) + . . . + |f ′ (ξ1 )| (x2 − x1 ) + |f ′ (ξ)| (x1 − x) 6 M |y − xl + xl − xl−1 + . . . + x2 − x1 + x1 − x| = = M |y − x| 6 M δ, и следовательно ωf (δ) 6 M δ, δ > 0.  Определение 1. Функция f принадлежит классу Липшица на промежутке ha, bi, если существует такое число M > 0, что ωf (δ) 6 M δ, δ > 0. Из этого определения непосредственно следует, что если функция f на ha, bi классу Липшица с константой M > 0, то в любой точке x ∈ (a, b), в которой существует производная f ′ (x), справедлива оценка |f ′ (x)| 6 M . f (y)−f (x) Действительно, для любого y ∈ (a, b), y 6= x, справедливо неравенство y−x 6 M , переходя в котором к пределу при y → x, получим |f ′ (x)| 6 M . √ Пример. Функция f (x) = 3 x не принадлежит классу Липшица на [−1, 1], поскольку её производная функ √ 1 √ ция не ограничена в своей области определения Df ′ ⊂ [−1, 1]. Но можно доказать, что 3 x − 3 y 6 2 |x − y| 3 для любых x, y ∈ [−1, 1] (проверьте это!). Определение 2. Функция f принадлежит классу Гёльдера порядка α, 0 < α < 1, на промежутке ha, bi, если существует такое число M > 0, что ωf (δ) 6 M δ α , δ > 0.

78

0.

Определение 3. Функция f принадлежит классу Дини–Липшица на промежутке ha, bi, если lim ωf (δ) ln 1δ = δ→0

Если ωf (δ) 6 M δ α , 0 < α 6 1, то lim ωf (δ) ln δ1 = 0, поскольку lim ωf (δ) ln δ1 6 lim M δ α ln 1δ = 0. Однако и δ→0

δ→0

δ]ra0

самый широкий из определённых классов — класс Дини–Липшица — не содержит всех непрерывных функций на промежутке. 4.1.3. Ортогональные системы функций Определение 4. Функции f и g называют ортогональными на отрезке [a, b], если f, g ∈ R[a, b] и 0,

Rb a

f 2 (x) dx 6= 0,

Rb a

g 2 (x) dx 6= 0.

Rb

f (x)g(x) dx =

a

Определение 5. Функциональная последовательность (fn (x)) образует ортогональную систему функций на [a, b], если fn ∈ R[a, b], n ∈ N, и fi , fj ортогональны для всех i 6= j.

Утверждение. Тригонометрическая система, то есть система функций 1, cos x, sin x, cos 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . , n ∈ N, ортогональна на отрезке [0, 2π] (на [−π, π]).  π Rπ 1 · cos kx dx = k1 sin kx −π = k1 (sin kπ − sin(−kπ)) = 0, k ∈ N. −π

Rπ

−π



π  1 · sin kx dx = − k1 cos kπ −π = − k1 (cos kπ − cos(−kπ)) = 0, k ∈ N,

Rπ

−π Rπ

1 2

cos kx · cos lx dx = sin kx sin lx dx =

−π Rπ

sin kx cos lx dx =

−π

1 2 1 2

Rπ

−π Rπ

−π Rπ

−π

[cos(k + l)π + cos(k − l)x] dx = 0, k 6= l.



[cos(k − l)x − cos(k + l)x] dx = 0, k 6= l.

[sin(k + l)x + sin(k − l)x] dx = 0, k, l ∈ N.

4.2. Положительные тригонометрические многочлены 4.2.1. Определения Для произвольных действительных чисел A0 , A1 , B1 , . . . , An , Bn , . . . , n ∈ N T (x) = A0 +

n X

(Ak cos kx + Bk sin kx)

k=1

называют тригонометрическим многочленом (полиномом) степени (порядка) n ∈ N, если A2n + Bn2 6= 0. Если T (x) > 0 для всех x ∈ R, то T (x) называют положительным многочленом. Многочлен T (x) называют чётным, если все Bk = 0. В дальнейшем нас будут интересовать положительные многочлены вида 1 (n) (n) + ρ1 cos x + ρ2 cos 2x + . . . + ρ(n) n cos nx. 2

un (x) =

(1) (n)

Теорема 4.3. Для любого положительного многочлена вида (1) справедливо ρ1 < 1, и существуют по(n) следовательности положительных многочленов вида (1), для которых lim ρ1 = 1. n→+∞



Так как многочлены un (x) и 1 − cos x положительны и непрерывны, то 0 < In =

Zπ

−π

(1 − cos x)



 1 (n) (n) + ρ1 cos x + . . . + ρn cos nx dx. 2

Для вычисления интеграла In заметим, что тригонометрические функции ортогональны и поэтому In =

Zπ

−π (n)

(n)

Таким образом, π(1 − ρ1 ) > 0, ρ1

1 (n) dx − ρ1 2

Zπ

−π

(n)

cos2 x dx = π(1 − ρ1 ).

< 1. 79

Чтобы доказать существование последовательности положительных многочленов вида (1), для которых (n) 2 ρ1 → 1, n → +∞ напомним, что |z| = z · z для любого z ∈ C и cos α = 12 (eiα + e−iα ), α ∈ R, согласно формуле Эйлера. Рассмотрим положительную ϕn (z), 2 ϕn (x) = a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix , x ∈ R,

у которой a0 , a1 , a2 , . . . , an — действительные числа, и покажем, что ϕn (x) — чётный тригонометрический многочлен, вычислив при этом его коэффициенты. Вспомнив, что квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряжённое и eikx = cos kx − i sin kx = e−ikx , получим ϕn (x) = (a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix )(a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix ) = (a20 + a21 + . . . + a2n ) + (eix + e−ix )× × (a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ) + (e2ix + e−2ix )(a0 a2 + a1 a3 + . . . + an−2 an ) + . . . + (enix + e−nix )a0 an . Пользуясь формулой Эйлера, найдём ϕn (x) = (a20 + a21 + . . . + a2n ) + 2(a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ) cos x + 2(a0 a2 + a1 a3 + . . . + + an−2 an ) cos 2x + . . . + 2a0 an cos nx. (2) Положим в равенстве (2) a0 = a1 = a2 = . . . an = 1, получим ϕn (x) = (n + 1) + 2n cos x + 2(n − 1) cos 2x + . . . + 2 cos nx, откуда n

βn (x) =

ϕn (x) 1 n n−1 1 1 X n−k+1 = + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = + cos kx. 2(n + 1) 2 n+1 n+1 n+1 2 n+1

(3)

k=1

(n)

Многочлены βn (x) имеют такой же вид, как и многочлены (1), и для них β1

=

n n+1

→ 1, n → +∞. 

4.2.2. Некоторые тождества Утверждение 1.
sin n + 12 x 1 + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = , x ∈ R, n ∈ N. 2 2 sin x2 

(4)

Пусть C(x) — сумма левой части в (1). Тогда

  x x x x x x 3x x 2C(x) sin = sin + 2 sin cos x + 2 sin cos 2x + . . . + 2 sin cos nx = sin + sin − sin + ...+ 2 2 2 2 2 2 2 2         1 1 1 + sin n + x − sin n − x = sin n + x 2 2 2 и равенство (4) доказано для всех x ∈ R, n ∈ N, и sin x2 6= 0. sin(n+ 12 )x (n+ 12 )x Если sin x2 = 0, то x = 2kπ, k ∈ Z, и lim = lim = n + 12 и C(2kπ) = n + 12 . Таким образом, 2 sin x x x→2kπ

x→2kπ

2

равенство (4) доказано полностью.  Утверждение 2.

cos 3x + cos 5x + . . . + cos(2n + 1)x = cos(n + 2)x 

sin nx , x ∈ R, n ∈ N. sin x

(5)

Обозначим s(x) сумму в левой части (5). Тогда

2s(x) sin x = 2 cos 3x sin x+2 cos 5x sin x+. . .+2 cos(2n+1)x sin x = (sin 4x−sin 2x)+. . .+(sin(2n+2)x−sin 2nx) = = sin(2n + 2)x − sin 2x = 2 cos(n + 2)x sin nx, x ∈ R, n ∈ N.  80

4.2.3. В формуле (2) для ϕn (x) положим ak = sin

k+1 n+2 π,

k = 0, n. Тогда, с учётом утверждения 1,

π n+1 1 1 2π 1 2(n + 1) + . . . + sin2 π = − cos + . . . + − cos π= n+2 n+2 2 2 n+2 2 n+2 " #
  1 2π 1 1 1 2π 2π 1 n + 1 1 sin n + 1 + 2 n+2 1 + cos + . . . + cos(n + 1) − = − − = = (n + 1) − π 2 2 2 n+2 n+2 2 2 2 2 sin n+2 2     π sin 2π − n+2 n+1 1  1 n + 1 1 n+2 − − = + = . = π 2 2 2 sin n+2 2 2 2 2

A0 = a20 + a21 + . . . + a2n = sin2

Вычислим A1 = 2(a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ), используя утверждение 2. Имеем

π 2π 2π 3π n n+1 π π sin + 2 sin sin + . . . + 2 sin π sin π = cos − cos 3 + n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 π nπ cos(n + 2) n+2 sin n+2 π π π π π π + cos − cos 5 + . . . + cos − cos(2n + 1) = n cos − = n cos + π n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 sin n+2 n+2   2π sin π − n+2 π π π = n cos + + 2 cos = (n + 2) cos . π sin n+2 n+2 n+2 n+2 A1 = 2 sin

Таким образом, ϕn (x) =

π n+2 + (n + 2) cos cos x + A2 cos 2x + . . . + An cos nx 2 n+2

и чётный положительный многочлен αn (x) =

1 π ϕn (x) (n) = + cos cos x + ρ2 cos 2x + . . . + ρ(n) n cos nx n+2 2 n+2

(6)

имеет такой же вид, как и многочлен (1). (n) (n) π У положительных многочленов αn (x) последовательность (ρ1 ), ρ1 = cos n+2 , стремится к единице быстрее, чем такая же последовательность у многочленов βn (x). Действительно, в случае многочленов βn (x) (n)

1 − ρ1

=1−

n 1 = , n+1 n+1

а в случае многочленов αn (x), (n)

1 − ρ1

= 1 − cos

π π2 5 π = 2 sin2