. .
§¡à ë¥ âàã¤ë ®¬ 2 Ǒ
®¢®á¨¡¨à᪠ý 㪠þ 2007
â¤...
14 downloads
239 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
. .
§¡à ë¥ âàã¤ë ®¬ 2 Ǒ
®¢®á¨¡¨à᪠ý 㪠þ 2007
⤥«¥¨¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å 㪠¨¡¨à᪮¥ ®â¤¥«¥¨¥ áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ¨¬. . . ®¡®«¥¢
51(01) + 514 22.1 46 ¥à¨ï ®á®¢ ¢ 1932 £.
¥¤ ªæ¨® ï ª®««¥£¨ï ⮬ . . ¤ë¥áª ï (®â¢¥âáâ¢¥ë© à¥¤ ªâ®à), . . ¥è¥âïª (®â¢¥âáâ¢¥ë© à¥¤ ªâ®à),
. . «¥ªá ¤à®¢, . . ãà £®, . . ãâ ⥫ ¤§¥, . . à «ì楢
«¥ªá ¤à®¢ . . ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ / . . «¥ªá ¤à®¢. | ®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 2007. | iv + 492 á. | (§¡à ë¥ âàã¤ë; . 2).
ISBN 978{5{02{023184{9 (â. 2). ISBN 5{02{032427{2. ª ¤¥¬¨ª . . «¥ªá ¤à®¢ (1912{1999) | ®¤¨ ¨§ ªà㯥©è¨å £¥®¬¥â஢ ¢¥ª . ®¬ 2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¥à¥¨§¤ ¨¥ ¥£® § ¬¥¨â®© ª¨£¨ ýë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨þ, ¢¯¥à¢ë¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ ®© ¢ 1950 £. ¨ ¢®è¥¤è¥© ¢ §®«®â®© 䮤 ¤®á⨥¨© ®â¥ç¥á⢥®© 㪨. áâ®ï饥 ¨§¤ ¨¥ ᮤ¥à¨â ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ª®¬¬¥â ਨ ¨ à áè¨à¥ë© ᯨ᮪ «¨â¥à âãàë, ¯®¤£®â®¢«¥ë¥ . . «£ ««¥à®¬ ¨ ®âà î騥 ᮢ६¥®¥ á®áâ®ï¨¥ ¤ ®© ®¡« á⨠£¥®¬¥âਨ. §¤ ¨¥ ¯à¥¤ § 祮 ¤«ï ãçëå à ¡®â¨ª®¢ ¢ ®¡« á⨠¬ ⥬ ⨪¨ ¨ ¨áâ®à¨¨ 㪨, ᯨà ⮢ ¨ áâ㤥⮢ áâ àè¨å ªãàᮢ 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å á¯¥æ¨ «ì®á⥩. «. 161. ¨¡«¨®£à.: 377 §¢. Alexandrov A. D. Convex Polyhedra / A. D. Alexandrov. | Novosibirsk: Nauka, 2007. | iv + 492 p. | (Sele ted Works; Vol. 2).
A ademi ian A. D. Alexandrov (1912{1999) is one of the greatest geometers of the XXth
entury. Volume 2 is a reprint of his famous book \Convex polyhedra", rst published in 1950 and re koned among the best ontributions of the Russian s ien e. The present edition
ontains the numerous omments and supplementary referen es by Professor V. A. Zalgaller whi h re e t the modern state of this bran h of geometry. The book is aimed at the s ientists in mathemati s and history of s ien e, as well as the graduate and postgraduate students of physi s and mathemati s departments. ⢥थ® ª ¯¥ç ⨠ç¥ë¬ ᮢ¥â®¬ áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ¨¬. . . ®¡®«¥¢
ZZ
X
§¤ ¨¥ ®áãé¥á⢫¥® ¯à¨ ä¨ á®¢®© ¯®¤¤¥àª¥ ®áᨩ᪮£® 䮤 ä㤠¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© ¯® ¯à®¥ªâã ü 07{01{02008
Ǒ{07{II{ü 134
ISBN 978{5{02{023184{9 (â. 2) ISBN 5{02{032427{2
¨¬. . . ®¡®«¥¢ , 2007
ä®à¬«¥¨¥. ý 㪠þ. ¨¡¨à᪠ï
. . «¥ªá ¤à®¢, 2007
®áá¨©áª ï ª ¤¥¬¨ï ãª, 2007
áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨
¨§¤ ⥫ì᪠ï ä¨à¬ , 2007
â ।ª®««¥£¨¨
ª®æ¥ 2003 £. ®áá¨©áª ï ª ¤¥¬¨ï 㪠¯à¨ï« à¥è¥¨¥ ¨§¤ âì ¢ âà¥å ⮬ å ¨§¡à ë¥ âàã¤ë «¥ªá ¤à ¨«®¢¨ç «¥ªá ¤à®¢ . ¢®àç¥á⢮ ª ¤¥¬¨ª . . «¥ªá ¤à®¢ ¨áª«îç¨â¥«ì® ¬®£®£à ®. ¥£® âàã¤ å ¯® ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¨ ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ, ⥮ਨ ¬®£®®¡à §¨© ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§ë ¨ ⥮ਨ ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à , ¢ à ¡®â å ¯® ¯à¨æ¨¯ã ¬ ªá¨¬ã¬ ¤«ï í««¨¯â¨ç¥áª¨å ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ®á®¢ ¨ï¬ ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì®á⨠à¥è¥ë ä㤠¬¥â «ìë¥ ¯à®¡«¥¬ë ¨ ¯®áâ ¢«¥ë ®¢ë¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ìë¥ ¢®¯à®áë, ¢ë§¢ ¢è¨¥ ª ¨§¨ ®£à®¬®¥ ç¨á«® ¯ã¡«¨ª 権. . . «¥ªá ¤à®¢ áâ « ®¤¨¬ ¨§ ®á®¢ ⥫¥© ®â¥ç¥á⢥®© 誮«ë £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ. ⮬ 1 ¨§¡à ëå âà㤮¢, 㢨¤¥¢è¨© ᢥ⠢ 2006 £., ¢®è«¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ áâ âì¨ . . «¥ªá ¤à®¢ , ®¯ã¡«¨ª®¢ ë¥ ¨¬ àãá᪮¬ ï§ëª¥, â ª¥ ¡¨¡«¨®£à ä¨ï ¥£® âà㤮¢ ¨ ®ç¥àª ¥£® ¨§¨ ¨ ⢮àç¥á⢠. ®¬ 2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¥à¥¨§¤ ¨¥ ¥£® § ¬¥¨â®© ª¨£¨ ýë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨þ. ⮬ 3 ¢®©¤ãâ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ áâ âì¨ «¥ªá ¤à ¨«®¢¨ç , ¨§¤ ë¥ ¨¬ ¨®áâà ëå ï§ëª å, â ª¥ áâ âì¨ ¯® 䨫®á®ä¨¨, í⨪¥ ¨ ®¡é¨¬ ¢®¯à®á ¬ à §¢¨â¨ï 㪨. ¨£ . . «¥ªá ¤à®¢ ýë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨þ [19℄ ¢¯¥à¢ë¥ ¢ëè« ¢ 1950 £. ¨ ®ª § « áãé¥á⢥®¥ ¢«¨ï¨¥ ª ª ⥮à¨î ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, â ª ¨ á¬¥ë¥ á ¥© ⥮à¨î ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¨ ⥮à¨î àã | ¨ª®¢áª®£®. ⮬, çâ® ® ¥ ãâà ⨫ ᢮¥£® § ç¥¨ï ¤® á¨å ¯®à, ¬®® á㤨âì, ¯à¨¬¥à, ¯® áà ¢¨â¥«ì® ¥¤ ¢¨¬ ¤®¡à®âë¬ ã祡¨ª ¬ . àî¡ ã¬ [289℄ ¨ . ¨£«¥à [377℄ ¯® ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, â ª¥ ¯® ¨áç¥à¯ë¢ î饩 ¬®®£à 䨨 . ©¤¥à [343℄ ¨ ®¡§®àã . थà [280℄ ¯® ⥮ਨ àã | ¨ª®¢áª®£®. ¥®à¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ᥩç á ªâ¨¢® à §¢¨¢ ¥âáï. ¥ ¢å®¤ï ¢ ¤¥â «¨, 㪠¥¬ «¨èì ¥ª®â®àë¥ ¢ ¥©è¨¥ १ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¡« £®¤ àï ¨¤¥ï¬ ¨ ¬¥â®¤ ¬, ¯à¥¤«®¥ë¬ . . «¥ªá ¤à®¢ë¬ ¢ í⮩ ª¨£¥.
iv
1. ᯮ«ì§ãï ¬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï, ¯à¥¤«®¥ë© . . «¥ªá ¤à®¢ë¬ ¢ ýë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª åþ, ¢ 1970 £.
. .¤à¥¥¢ [54, 55℄ 㪠§ « ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ®áâà®ã£®«ì®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á § ¤ 묨 ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨ ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£®. ⨠ãá«®¢¨ï ®ª § «¨áì ç१¢ëç ©® ¯®«¥§ë¬ ¨áâà㬥⮬ ¤«ï ¯®áâ஥¨ï âà¥å¬¥àëå £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å ¬®£®®¡à §¨© ¨ ¢ ¯®á«¥¤ãî饬 ¡ë«¨ ¯®¤¢¥à£ãâë ¢á¥áâ®à®¥¬ã ¨§ã票î [295, 296, 332℄. 2. 1976 £. . ®¥««¨ ¯®áâந« § ¬ªãâë© ¨§£¨¡ ¥¬ë© ¬®£®£à ¨ª ¡¥§ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨© [258℄. ¯®á«¥¤ãî騥 £®¤ë ã ¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡ë«¨ ®âªàëâë â ª¨¥ £«ã¡®ª¨¥ ᢮©á⢠, ª ª á®åà ¥¨¥ ¨â¥£à «ì®© á।¥© ªà¨¢¨§ë [231℄ ¨ ®¡ê¥¬ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¨§£¨¡ ¨ï [195{198, 266, 335, 340℄. ¥®à¨ï ¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ªâ¨¢® à §¢¨¢ ¥âáï ¢ è¨ ¤¨. 3. ¥®à¥¬ã ¨ª®¢áª®£® ¨ àï¤ â¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï, ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ¥á⪮áâ¨, ®¡á㤠¥¬ëå ¢ í⮩ ª¨£¥, 㤠«®áì ¯¥à¥¥á⨠¥¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ [161, 333, 354℄. ®® ¯à¨¢®¤¨âì ¨ ¤à㣨¥ ä ªâë, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî騥 ®¡ ªâã «ì®á⨠¤ ®© ª¨£¨, ® ¬ë ¯¥à¥©¤¥¬ ª ®¡á㤥¨î ®á®¡¥®á⥩ áâ®ï饣® ¨§¤ ¨ï. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ ë ᮢ६¥ë¥ áâ ¤ àâë ¯à ¢®¯¨á ¨ï, ®ä®à¬«¥¨ï ¡¨¡«¨®£à 䨨 ¨, ¯® ¬¥à¥ ¢®§¬®®áâ¨, ᮢ६¥ë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®¡®§ 票ï. ¯à¨¬¥à: ¢¬¥áâ® ý¨ââ¨þ ¬ë ¯¨è¥¬ ý¨¤â¨þ, ýä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ à¥§ã«ìâ âëþ | ýáä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ à¥§ã«ìâ âëþ, ýí¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮þ | ý¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮þ, ý¤¢ã嬥஥ ¬®£®®¡à §¨¥þ | ý¤¢ã¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥þ. ¯à®æ¥áᥠ। ªâ¨à®¢ ¨ï ¡ë«¨ ãáâà ¥ë â ª¥ § ¬¥ç¥ë¥ ®¯¥ç ⪨, ®ç¥¢¨¤ë¥ ®¯¨áª¨ ¨ á⨫¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¯®£à¥è®áâ¨. ç¨â¥«ìë© ¢ª« ¤ ¢ ¯®¤£®â®¢ªã áâ®ï饣® ⮬ ¢¥á ¨ªâ®à ¡à ¬®¢¨ç «£ ««¥à, ¯¨á ¢è¨© ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ¯®¤áâà®çë¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï, ®âà î騥 ᮢ६¥®¥ á®áâ®ï¨¥ í⮩ ®¡« á⨠£¥®¬¥âਨ, ¨ à áè¨à¨¢è¨© ¡¨¡«¨®£à ä¨î § áç¥â ª¨£ ¨ áâ ⥩, ¢ë襤è¨å ¯®á«¥ 1950 £. ¥¤ª®««¥£¨ï ¢ëà ¥â ¥¬ã á¢®î ¨áªà¥îî ¯à¨§ ⥫ì®áâì. ë ¡« £®¤ ਬ ¢á¥å, ªâ® ᮤ¥©á⢮¢ « ¯®¤£®â®¢ª¥ ¤ ®© ª¨£¨ ª ¯¥ç â¨, ¨ ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì á®âà㤨ª®¢ ®â¤¥« «¨§ ¨ £¥®¬¥âਨ áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ¨¬. . . ®¡®«¥¢ ¨¡¨à᪮£® ®â¤¥«¥¨ï ®áᨩ᪮© ª ¤¥¬¨¨ ãª. ã箥 á«¥¤¨¥ . . «¥ªá ¤à®¢ ¢®è«® ¢ §®«®â®© 䮤 ®â¥ç¥á⢥®© 㪨, áâ «® ¥®âꥬ«¥¬®© ç áâìî ᮢ६¥®© ¬ ⥬ ⨪¨. ë ¤¥¥¬áï, çâ® ¨§¤ ¨¥ âà㤮¢ ¯¥à¢®£® £¥®¬¥âà ®áᨨ XX ¢. ¡ã¤¥â ᯮᮡá⢮¢ âì á®åà ¥¨î ¨ à §¢¨â¨î 㪨 ¢ 襩 áâà ¥. . . «¥ªá ¤à®¢, . . ãâ ⥫ ¤§¥, . . ¥è¥âïª
Ǒ।¨á«®¢¨¥
1. ᮤ¥à ¨¨ ¨ 楫ïå ª¨£¨. áâ®ïé ï ª¨£ ¥ ¨¬¥¥â 楫ìî ®å¢ â¨âì ¢á¥ ã票¥ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å. ¯®á¢ïé¥ ¢ ®á®¢®¬ ¢®¯à®áã ® ⮬, ª ª¨¥ ¤ ë¥ ¨ ¢ ª ª®© á⥯¥¨ ¬®£ãâ ®¯à¥¤¥«ïâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. «ï ¢áïª¨å ¤ ëå, ®â®áïé¨åáï ª ¬®£®£à ¨ªã, ª ª ¤«¨ë ॡ¥à, ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¨ â. ¯., 㪠§ ë© ¢®¯à®á à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ . ®-¯¥à¢ëå, ¬ë á¯à 訢 ¥¬, ®¯à¥¤¥«ïîâ «¨ í⨠¤ ë¥ ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¨®£® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (®âà ¥¨ï, ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á , ¯®¤®¡¨ï), ¯®¤®¡® ⮬㠪 ª ¤«¨ë áâ®à® ®¯à¥¤¥«ïîâ âà¥ã£®«ì¨ª á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï, 㣫ë | á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡¨ï. â ª®© ¢®¯à®á ®â¢¥ç îâ ®¡é¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¥¤¨á⢥®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ⥬¨ ¨«¨ ¨ë¬¨ ¤ 묨, ¥¤¨á⢥®á⨠á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¨®£® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. ®-¢â®àëå, ¬ë á¯à 訢 ¥¬ ® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨ïå, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ⥠¨«¨ ¨ë¥ ¤ ë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢®®¡é¥ áãé¥á⢮¢ « ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á â ª¨¬¨ ¤ 묨, ¯®¤®¡® ⮬㠪 ª ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®çë¬ ãá«®¢¨¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï âà¥ã£®«ì¨ª á® áâ®à® ¬¨ a, b, c ï¥âáï ¢ë¯®«¥¨¥ âà¥å ¥à ¢¥á⢠¢¨¤ : á㬬 ¤¢ãå áâ®à® ¡®«ìè¥ âà¥â쥩, â. ¥. a + b > c, b + c > a, c + a > b. ª ª ª ¥®¡å®¤¨¬®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ãá«®¢¨© ¡ã¤¥â ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¯®«ãç âìáï ®ç¥ì ¯à®áâ®, â® ï¤à® ¢®¯à®á ¡ã¤¥â ¢á¥£¤ á®áâ®ïâì ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¤®áâ â®ç®áâ¨, â. ¥. ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⮣®, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ âॡ㥬ëå ãá«®¢¨© ¬®£®£à ¨ª á â ª¨¬¨ ¤ 묨 áãé¥áâ¢ã¥â. ¥çì ¨¤¥â, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡ ®¡é¨å ⥮६ å áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ⥬¨ ¨«¨ ¨ë¬¨ ¤ 묨. Ǒਠí⮬ à áᬠâਢ îâáï ¤ ë¥, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¬®£®£à ¨ª, â. ¥. â ª¨¥, ¤«ï ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨, «®£¨ç® ⮬ã, ª ª § ¤ ¨¥ ¤«¨ áâ®à® a, b, c ®¯à¥¤¥«ï¥â âà¥ã£®«ì¨ª.
2
. .
Ǒ¥à¢ ï ®¡é ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¡ë« ¤®ª § . ®è¨ ¢ 1813 £. [254℄ . £« á¨â: ¤¢ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª , ®¤¨ ª®¢® 1)
á®áâ ¢«¥ëå ¨§ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ëå £à ¥©, à ¢ë; ¨«¨ ¢ ä®à¬¥ ⥮à¥-
¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠: § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¤ ë¬ ®¡à §®¬ á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ¤ ëå £à ¥©, | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï
. 1897£. . ¨ª®¢áª¨© ¤®ª § « áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì (á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ) § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© [321℄ . í⮬ ªà㣠®¡é¨å ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ᮡá⢥® £®¢®àï, ¨áç¥à¯ë¢ «áï . ¥ 㤠«®áì ¤®¯®«¨âì ¥£® ®¢ë¬¨ ⥮६ ¬¨ ¨ ®å¢ â¨âì ¢á¥ í⨠⥮६ë, ¢ª«îç ï â¥®à¥¬ë ®è¨ ¨ ¨ª®¢áª®£®, ¥¤¨ë¬ ¬¥â®¤®¬. «ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠íâ® ¡ë« ¬¥â®¤ ®è¨, ª®â®àë¬ ® ¤®ª § « ᢮î ⥮६ã. «ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï íâ® ¡ë« ®¢ë© ¢ ⥮ਨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬¥â®¤, ®á®¢ ë© ¯à¨¬¥¥¨¨ ⮯®«®£¨¨ ¢ «¨æ¥ â ª §ë¢ ¥¬®© â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« áâ¨. ¢¥ ®¢ë¥ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠¡ë«¨ ®âªàëâë . Ǒ. «®¢ï¨è¨ª®¢ë¬ [156℄ ⮬ ¥ ¯ãâ¨. १ã«ìâ ⥠®¡« áâì à áᬠâਢ ¥¬ëå ⥮६ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å ¯à¨®¡à¥« ®¡ê¥¬ ¨ áâன®áâì, ¤¥« î騥 ¥¥, ª ª ¬ ª ¥âáï, § á«ã¨¢ î饩 á ¬®áâ®ï⥫쮣® á¨á⥬ â¨ç¥áª®£® ¨§«®¥¨ï. Ǒ¥à¢ ï æ¥«ì ª¨£¨ ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ®áãé¥á⢨âì â ª®¥ ¨§«®¥¨¥. «ï ⮣® ç⮡ë ᤥ« âì ª¨£ã ¤®áâ㯮© ¨ ¨â¥à¥á®© ¢®§¬®® ¡®«ì襬㠪àã£ã ç¨â ⥫¥©, ï ¢ª«î稫 ¢ ¥¥ ¨§«®¥¨¥ ¯¥à¢® ç «ìëå ᢥ¤¥¨© ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å; íâ® ª § «®áì ⥬ ¡®«¥¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¬, ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï 2)
3)
4)
1) ¤®ª § ⥫ìá⢥ ®è¨, ï¢è¥¬ ᮡ®î ®¡à §¥æ ®áâà®ã¬¨ï, ¡ë«¨, ®¤ ª®, ®è¨¡ª¨, ¨á¯à ¢«¥ë¥ ¯®â®¬ ¤à㣨¬¨ £¥®¬¥âà ¬¨. ¥§ã¯à¥ç®¥ ¨ ïᮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ ® ¢ ª¨£¥ . ¤ ¬ à [1, á. 534{543℄. ®¢®àï ® ⥮६¥ ®è¨ ª ª ¯¥à¢®© ®¡é¥© ⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ¬ë ¥ ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã â ª¨å ¯® áãé¥áâ¢ã âਢ¨ «ìëå ⥮६, ª ª, ¯à¨¬¥à, ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¢¥àè¨ ¬¨. 2) ¢ ¬®£®£à ¨ª ý¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥þ, ¥á«¨ ¨å £à ¨, à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì â ª, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨ (ॡà ) ¡ã¤ãâ á室¨âìáï ¯® ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ à¥¡à ¬ (¢¥àè¨ ¬).
᫨ ª ⮬㠥 ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ à¥¡à à ¢ë ¨ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå â ª¥ à ¢ë, â® ¬®£®£à ¨ª¨ ý®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë ¨§ à ¢ëå £à ¥©þ. 3) ®ç ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ¢¬¥á⥠á ãá«®¢¨ï¬¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© ¤ ¥âáï ¤ «ìè¥ ¢ ᢮¥¬ ¬¥áâ¥. 4) ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã â¥®à¥¬ë ®¯¨á ®£® ¢ëè¥ â¨¯ . § ¨å ªà㣠¢ë¯ ¤ ¥â ¢ ï ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¯¥à¥¤ § ¤ ®© á奬®© áâ஥¨ï, ãáâ ®¢«¥ ï . ⥩¨æ¥¬ ¢ 1915 £. ¥ ¢å®¤¨â ¢ èã áä¥àã, ¯®â®¬ã çâ® á奬 áâ஥¨ï, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç®. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥® ¢ ª¨£¥ . . îáâ¥à¨ª [130℄.
3
Ǒ
çâ® á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨ ¤®áâ â®ç® ¯®«®¥ ¨§«®¥¨¥ ¨å ¢ 襩 «¨â¥à âãॠ®âáãâáâ¢ã¥â. ®¯®«®£¨ï, ª®â®àãî ¬ë 㥠á®á« «¨áì, ¢ë§ë¢ ¥â ç á⮠㠫©, á ¥© ¥ § ª®¬ëå, ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® 祬-â® ç१¢ëç ©® âà㤮¬ ¨ ¡áâà ªâ®¬. ¤ ª® ¢ ¥¥ ®á®¢ ¨¨ «¥¨â, ¯® áãé¥áâ¢ã, ®¯¨á ¨¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¬ ï§ëª®¬ £«ï¤ëå ¯à®áâà á⢥ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨©. í⮬ á¬ëá«¥ ⮯®«®£¨ï ¥áâì ç áâì ®¡é¥© £¥®¬¥âਨ ¨ ¯®â®¬ã ®á®¢ ë¥ ¥© ¬¥â®¤ë ¤®«ë à áᬠâਢ âìáï ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, å®âï ¨ ¡áâà ªâë¥. «ï ⮣® ç⮡ë ᤥ« âì ¯à¨¬¥¥¨¥ ⮯®«®£¨¨ ¢®§¬®® ¡®«¥¥ ¤®áâã¯ë¬, ¬ë ¢ª«îç ¥¬ ¨§«®¥¨¥ â¥å ¥¥ í«¥¬¥â®¢, ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë ¤«ï è¨å 楫¥©. ¯à®ç¥¬, ¡áâà ªâë¥ ¥¥ ¯®ïâ¨ï ¨£à îâ ஫ì ⮫쪮 ¢ ç á⨠ª¨£¨. «¥¥, ¯®¬¨¬® ®á®¢ëå १ã«ìâ ⮢, ¢ ª¨£ã ¢ª«îç¥ë â¥á® ¯à¨¬ëª î騥 ª ¨¬, ª ª, ¯à¨¬¥à, ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª¥ ¨¡®«ì襣® ®¡ê¥¬ ¯à¨ ¤ ®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ýâ¥®à¥¬ë ¥á⪮áâ¨þ . ª®¥æ, ªà®¬¥ ®á®¢ëå ¯à¨¬¥ï¥¬ëå ¬¥â®¤®¢ ®á¢¥é îâáï â ª¥ ¤à㣨¥ ¬¥â®¤ë. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稫®áì ¯®ç⨠¨áç¥à¯ë¢ î饥 ¨§«®¥¨¥ ¯à¥¤¬¥â , ¥á«¨ £®¢®à¨âì ® ᥣ®¤ï襬 ¥£® á®áâ®ï¨¨ . ¥®à¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ á¢ï§ ë¥ á ¥î £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨â¥à¥áë ¥ ⮫쪮 á ¬¨ ¯® ᥡ¥. ¨ ¨¬¥îâ è¨à®ª¨© ¢ë室 ¢ ®¡éãî ⥮à¨î ¯®¢¥àå®á⥩. ¥á«¨ ¤ «¥ª® ¥ ¢á¥£¤ ¨§ â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å ¬®® ¨§¢«¥çì ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६㠮 ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®áâïå, â® ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å ¤ îâ ¯à ¢«¥¨¥ ¤«ï ¯®¨áª®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ⥮६ ®â®á¨â¥«ì® ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ⮬㠥 ¢ á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ à áªàë¢ ¥âáï í«¥¬¥â ண¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ®á®¢ ¡®«¥¥ ®¡é¨å १ã«ìâ ⮢. «ï ¤¥¬®áâà 樨 íâ¨å á¢ï§¥© ï ¯à¨á®¥¤¨¨« ¯®ç⨠ª ª ¤®© £« ¢¥ ¯ à £à ä, ¯®á¢ïé¥ë© ®¡®¡é¥¨ï¬ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¥© ¢®¯à®á®¢. ¤¥áì ¨¬¥îâáï ¢ ¢¨¤ã ¥ ⮫쪮 ®¡®¡é¥¨ï ªà¨¢ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ® â ª¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨ ¤à. ⨠®¡®¡é¥¨ï ¨§« £ îâáï ¢ ¯®à浪¥ à¥ä¥à â ¨ ¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ®á®¢®¬ ¬ â¥à¨ «¥. ᥠ¨§«®¥®¥ ¢ëïáï¥â ¢â®àãî æ¥«ì ª¨£¨: ¯®ª § âì ¡®£ âá⢮ ᮤ¥à ¨ï ¨ á¢ï§¥©, § ª«îç¥ëå ¢ ⥮ਨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¥¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤ å. 2. ¯®à浪¥ ¨ å à ªâ¥à¥ ¨§«®¥¨ï. ¯¥à¢®© £« ¢¥, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á ¬® ¥¥ §¢ ¨¥, ¢¢®¤ïâáï ¢á¥ ®á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ¨ ᢮©á⢠¢ë¯ãª«ëå 5)
6)
5) ¡é¥¥ ¯®ï⨥ ® ⥮६ å ¥á⪮áâ¨ à §êïáï¥âáï ¢ § 6 £«. II. 6) § ¢á¥£® ¨§¢¥á⮣® ¬¥ ¬ â¥à¨ « ï ®¯ãá⨫ «¨èì ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥á⪮á⨠§ ¬-
ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¯® ¬¥â®¤ã ¥ [270℄. ¤ ª® ¢ £«. X ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¨ë¬ ¯ã⥬ ¡®«¥¥ ᨫìë¥ à¥§ã«ìâ âë. (®¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥ á¬. ¢ ¥¤ ¢¥© áâ âì¥ . . Ǒ ª [159℄. | Ǒਬ. ।.)
4
. .
¬®£®£à ¨ª®¢, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¨§«®¥¨¨. ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥â ¨ª ª¨å ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìëå § ¨©, ªà®¬¥ í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ. â®à ï £« ¢ , ý¥â®¤ ¨ १ã«ìâ âëþ, ᮤ¥à¨â ¨§«®¥¨¥ ®á®¢ ¯à¨¬¥ï¥¬®£® ¬¥â®¤ (§ 1 ¨ 2) ¨ ®¡§®à £« ¢ëå १ã«ìâ ⮢ (§ 3{6), ª®â®àë¥ ¢ë¢®¤ïâáï ¢ á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å. â®â ®¡§®à (¥ ¨£à î騩 ஫¨ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¨§«®¥¨¨) ¢¢¥¤¥ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ç¨â ⥫ì, ¯®§ ª®¬¨¢è¨áì á ¨¬, ¬®£ ®à¨¥â¨à®¢ âìáï ¢ ᮤ¥à ¨¨ ¤ «ì¥©è¨å £« ¢ ¨ ¢ë¡à âì ¨§ ¥£® â®, çâ® ¯®ª ¥âáï ¥¬ã ¡®«¥¥ ¨â¥à¥áë¬. â® ª á ¥âáï ¬¥â®¤ , â® ¢ § 1 £« ¢ë II ¨§« £ ¥âáï ¬¥â®¤ ®è¨ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ª®â®àë¬ ¯®á¢ïé¥ë £« ¢ë III ¨ VI. ¥â®¤ íâ®â | ᮢ¥à襮 í«¥¬¥â àë©. § 2 £« ¢ë II ¨§« £ ¥âáï ®á®¢ ¬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï, ª®â®àë¬ ¯®á¢ïé¥ë £« ¢ë IV, V, VII ¨ IX. â®â ¬¥â®¤ ®á®¢ áãé¥á⢥®¬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¥ª®â®àëå ¯®ï⨩ ¨ १ã«ìâ ⮢ ⮯®«®£¨¨. «ï 㤮¡á⢠ç¨â ⥫ï, ¥ ®á¢¥¤®¬«¥®£® ¢ íâ¨å ¢®¯à®á å, ¢¥áì ¥®¡å®¤¨¬ë© ⮯®«®£¨ç¥áª¨© ¬ â¥à¨ « ¨§« £ ¥âáï ¢ ¤®¯®«¨â¥«ìëå § 8 ¨ 9 £« ¢ë II. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¨ª ª¨å ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìëå § ¨© ¯® ⮯®«®£¨¨ ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï ª¨£¨ ¥ âॡã¥âáï. ¯à®ç¥¬, ¢á¥ £« ¢ë, ªà®¬¥ £« ¢ IV, VII ¨ IX, ®¡å®¤ïâáï ¨ ¡¥§ íâ¨å í«¥¬¥â®¢ ⮯®«®£¨¨. ¡é ï § ¢¨á¨¬®áâì £« ¢ ¤ ¥âáï á«¥¤ãî饩 á奬®©, ¨§ ª®â®à®© ¢¨¤®, ¯à¨¬¥à, çâ® £« ¢ë III, VI ¨ IX ᮢ¥à襮 ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. I
II
III
IV
V
VI
X
XI
IX
VII
VIII
Ǒ
5
᫨ ¥ áç¨â âì í«¥¬¥â®¢ ⮯®«®£¨¨, ª®â®àë¥, ª ª 㥠᪠§ ®, ¨§« £ îâáï ¢ § 8 ¨ 9 £« ¢ë II ¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ⮫쪮 ¢ £« ¢ å IV, VII ¨ IX, â® ¢ ®á⠫쮬 ¬ë ®¡å®¤¨¬áï á ¬ë¬¨ ¯à®áâ묨 á।á⢠¬¨ (í«¥¬¥â à ï £¥®¬¥âà¨ï, á«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢, ¢ £« ¢ å X, XI | ¯à®¨§¢®¤ ï). ᪫î票¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ⮫쪮 § 2 £« ¢ë VII ¨ § 2 ¨ 3 £« ¢ë VIII, £¤¥ ¯à¨¬¥ïîâáï í«¥¬¥âë «¨§ (íªáâ६㬠äãªæ¨¨ ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥). ᥠíâ® ¥ ®â®á¨âáï ª ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ¯ à £à ä ¬ ý¡®¡é¥¨ïþ, ¯®¬¥é ¥¬ë¬ ¢ ª®æ¥ ¯®ç⨠ª ¤®© £« ¢ë. â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ ®á®¢®¬ ⥪á⥠¨§«®¥¨¥ ¢¥¤¥âáï á® ¢á¥© ¢®§¬®®© ®¡áâ®ï⥫ì®áâìî, ¢ íâ¨å ¯ à £à ä å ¤ ¥âáï ⮫쪮 ®¡§®à ®¡®¡é¥¨©, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨¬¥ïîâáï á ¬ë¥ à §®®¡à §ë¥ á।á⢠¢¯«®âì ¤® ¤¤¨â¨¢ëå äãªæ¨© ¬®¥á⢠, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ â. ¯. ⨠¯ à £à äë ¥ ¨£à îâ ஫¨ ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï ®á®¢®£® ᮤ¥à ¨ï ª¨£¨ ¨ â ª ¥, ª ª ¤à㣨¥ ¬¥áâ ⥪áâ , ®áï騥 å à ªâ¥à ¤®¯®«¥¨©, ¯¥ç â îâáï ¬¥«ª¨¬ èà¨ä⮬. Ǒ® 室㠨§«®¥¨ï ï áä®à¬ã«¨à®¢ « àï¤ § ¤ ç, ¡®«ìè¨á⢮ ¨§ ª®â®àëå á«ã¨â ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¥¨©, ¥ª®â®àë¥ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¥à¥è¥ë¥ ¯à®¡«¥¬ë, ¬®£ã騥 á«ã¨âì ⥬®© ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©. 3. ¬¥ç ¨ï ¤«ï á¯¥æ¨ «¨á⮢. ¥ áç¨â ï ¨§¬¥¥¨© ¨ ãᮢ¥àè¥á⢮¢ ¨© ¢ â¥å ⥮६ å ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠å, ª®â®àë¥ ã¥ ¨§¢¥áâë ¨§ à ¥¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ ëå à ¡®â , ¢ ª¨£¥ ᮤ¥à¨âáï æ¥«ë© àï¤ à¥§ã«ìâ ⮢, ¯ã¡«¨ªã¥¬ëå ¢¯¥à¢ë¥. â® | ¢á¥ â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å, ¨¬¥îé¨å £à ¨æã (£« ¢ III, § 5, £« ¢ V, £« ¢ VI, § 5, £« ¢ IX, § 1), â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å (£« ¢ VI, § 4 ¨ 5, £« ¢ VII, § 3 ¨ 4) ¨, ª®¥æ, â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠(£« ¢ë X ¨ XI) . ®£¨¥ ¨§ íâ¨å १ã«ìâ ⮢ ¥ ª ãâáï ¬¥ ®á®¡¥® § ç¨â¥«ì묨, ® á।¨ ¨å ¥áâì, ¥á®¬¥®, ¤®áâ®©ë¥ ¢¨¬ ¨ï. ®ç® â ª ¥ ¢ ¯ à £à ä å ý¡®¡é¥¨ïþ á¯¥æ¨ «¨áâ ©¤¥â ª®¥-çâ® ®¢®¥. å®â¥« ¡ë ¥é¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ¨§ã票¥ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤® ¯®á«¥¤¥£® ¢à¥¬¥¨ ¢®¢á¥ ¥ ¯à®¢®¤¨«®áì. á«¥¤ § ¯¥à¢ë¬¨ à ¡®â ¬¨, ¬®¥© ¨ . Ǒ. «®¢ï¨è¨ª®¢ , íâ ª¨£ , ï ¤¥îáì, ¤®ª §ë¢ ¥â ¤®áâ â®çë© ¨â¥à¥á ¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨ï àï¤ã á § ¬ªãâ묨 ¬®£®£à ¨ª ¬¨, ⥬ ¡®«¥¥, çâ® à¥çì ¬®¥â ¨¤â¨ ¥ ® ä ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, ® ª®¥ç®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, ¤®¯ã᪠î饬 ¥®£à ¨ç¥®¥ ¯à®¤®«¥¨¥, ¤«ï ¢®§¬®®á⨠ª®â®à®£® ¬®® ¤ âì ᮢ¥à襮 ¯à®áâë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï (£« ¢ I, § 1, ¯◦ 6). ®£®£à ¨ª¨ á £à ¨æ¥©, ¢¢¨¤ã ¥áâ¥á⢥® ¡®«ì襣® à §®®¡à §¨ï ¢®§¬®®á⥩, ¬¥¥¥ ¨§ãç¥ë, ¨, ᪮«ìª® ¬¥ ¨§¢¥áâ®, â®, çâ® ¤ ¥âáï 7)
8)
7) Ǒ®¬¨¬® 㥠æ¨â¨à®¢ ëå à ¡®â . ®è¨ [254℄, . ¨ª®¢áª®£® [321℄ ¨ . Ǒ. «®-
¢ï¨è¨ª®¢ [156℄, à¥çì ¨¤¥â ® ¬®¨å à ¡®â å [3, 10, 12, 13℄. 8) ᪫î票¥ á®áâ ¢«ï¥â ®¡é ï ⥮६ ® ¥á⪮á⨠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¤à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®â®à®© ®¯ã¡«¨ª®¢ ® ¢ ¬®¥© ª¨£¥ [18℄.
6
. .
¢ í⮩ ª¨£¥, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢®®¡é¥ ¯¥à¢ë¥ ®â®áï騥áï ª ¨¬ १ã«ìâ âë. ®¯à®á ®¡ ¨§£¨¡ ¨¨ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®ç⨠¯®«®áâìî à¥è¥ë© ¢ § 2 £« ¢ë V, ª ¥âáï ¬ ®á®¡¥® ¨â¥à¥áë¬. § 5 £« ¢ë VI ¨ § 4 £« ¢ë VII ï ¢®á¯à®¨§¢®ã ¨§ïéë¥ ¢ë¢®¤ë . . Ǒ®£®à¥«®¢ , ª®â®àë¥ ® á®®¡é¨« ¬¥ ¤® ¨å ®¯ã¡«¨ª®¢ ¨ï. à拉 ¬¥áâ ï ¢®á¯®«ì§®¢ «áï ¤à㣨¬¨ ¥£® § ¬¥ç ¨ï¬¨, â ª¥ § ¬¥ç ¨ï¬¨ . . «£ ««¥à . . . «£ ««¥à ¨ . . ®à¨á®¢ ¯à®ç«¨ ¢áî à㪮¯¨áì ¨ ¯®¬®£«¨ ¨á¯à ¢¨âì ¥ª®â®àë¥ ¤®¯ãé¥ë¥ ¬®î ®è¨¡ª¨ ¨ ¥â®ç®áâ¨. . . ®à¨á®¢ ¯¨á « § 9 £« ¢ë II ¨ ¯◦ 9 § 7 £« ¢ë I. ᥬ ¨¬ ï ¢ëà î ¨áªà¥îî ¡« £®¤ à®áâì § ¯®¬®éì ¢ ¬®¥© à ¡®â¥.
« ¢ I á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ¨ ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
§ 1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
1. ®£®£à ¨ª®¬ §ë¢ îâ ¨«¨ ⥫®, ®£à ¨ç¥®¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¨«¨ ¯®¢¥àå®áâì, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ë, ¯à¥¨¬ãé¥á⢥®, ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¯®¤ ¬®£®£à ¨ª®¬ ¨¬¥® ¬®£®£à ãî ¯®¢¥àå®áâì, â. ¥. 䨣ãàã, ®¡à §®¢ ãî ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, å®âï ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå 㤮¡¥¥ à áᬠâਢ âì ¬®£®£à ¨ª ª ª ⥫®: ¯à¨¬¥à, ⮣¤ , ª®£¤ £®¢®àïâ ® â®çª¥ ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª ¨«¨ ® ⮬, çâ® ®¤¨ ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤à㣮¬. â ª¨å á«ãç ïå ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡ëç® ®£®¢ ਢ âì, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ⥫¥á®¬ ¬®£®£à ¨ª¥. ¯à®ç¥¬, ¢§ ¨¬ ï á¢ï§ì ¨ à §«¨ç¨¥ ®¡®¨å ¯®ï⨩ á⮫쪮 ¯à®áâë, çâ® ¢®§¬®®¥ ¨å ᬥ襨¥ ¢ â¥à¬¨®«®£¨¨ ¥ ¬®¥â ¯®¢«¥çì ¨ª ª¨å ¥¤®à §ã¬¥¨© ¯® áãé¥áâ¢ã; ⥬ ¡®«¥¥, çâ® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ á ¬®£®£à ¨ª ¬¨, ®¡à §ãî騬¨ æ¥«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠⥫¥áëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®¤®¡® ¯®«®© ¯®¢¥àå®á⨠ªã¡ . â ª®¬ á«ãç ¥, ¯à¨¬¥à, á¬ëá« ¢ëà ¥¨ï ý¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª þ ®ç¥¢¨¤¥ ¨ ¡¥§ 㪠§ ¨ï â®, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ⥫¥á®¬ ¬®£®£à ¨ª¥. ®£®ã£®«ì¨ª¨, ®¡à §ãî騥 ¬®£®£à ¨ª (¨«¨ ®£à ¨ç¨¢ î騥 ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª), §ë¢ îâáï ¥£® £à ﬨ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, «¥ 騥 ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠¨ ¨¬¥î騥 ®¡é¨¥ áâ®à®ë ¨«¨ ®â१ª¨ áâ®à®, ®¡ê¥¤¨ïîâáï ¢ ®¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ ®¡à §ãîâ ⥬ á ¬ë¬ ®¤ã £à ì. â®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë £à ¥© §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® à¥¡à ¬¨ ¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ §¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥, ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ «î¡ãî ®¡« áâì ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¥ãî ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ®â१ª®¢ ¨«¨ ®â१ª®¢ ¨ ¯®«ã¯àï¬ëå, ¯à¨ç¥¬ á ¬ £à ¨æ ®¡« á⨠⠪¥ áç¨â ¥âáï ¢ª«î祮© ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª. ( ¯®ï⨥ ý®¡« áâ¨þ ¢å®¤¨â á¢ï§®áâì, â.¥. ¢®§¬®®áâì ᮥ¤¨¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ®¡« á⨠«®¬ ®©, ¯à®å®¤ï饩 ¢ãâà¨
8
. .
®¡« áâ¨. Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥à, ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª , ¯à¨«®¥ë¥ ¤à㣠ª ¤àã£ã ¢ ¢¥à訥, ¬ë áç¨â ¥¬ ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬, ¤¢ã¬ï ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨.) § ¤ ®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã ¥ ⮫쪮, ª ª ®¡ëç®, ª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ® â ª¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, á ⥬, ®¤ ª®, ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨¬¥¥â ®¡ï§ â¥«ì® «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® áâ®à® ¨ ¢¥àè¨. ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª®¥ç®£® ¨¬¥îâáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë, ïî騥áï ¯®«ã¯àï¬ë¬¨ ¨«¨ ¯àï¬ë¬¨, ¨«¨ áâ®à® , ïîé ïáï ¯àאַ©. ®£®£à ¨ª §ë¢ ¥âáï, ᮮ⢥âá⢥®, ¡¥áª®¥çë¬ ¨«¨ ª®¥çë¬ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¨¬¥îâáï ã ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¨«¨ ¥â. ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ç¨á«® £à ¥© ¬®£®£à ¨ª ª®¥ç® ¨ ç¨á«® áâ®à® ¨ ¢¥àè¨ ã ª ¤®© £à ¨ â ª¥ ª®¥ç®, â® ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª, â ª ¥ ª ª ª®¥çë©, ¨¬¥¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® £à ¥©, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨; ⮫쪮 á।¨ ¥£® £à ¥© ¨ ॡ¥à § ¢¥¤®¬® ¨¬¥îâáï ¡¥áª®¥çë¥. Ǒà®á⥩訩 ¯à¨¬¥à ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¬®£®£à ë© ã£®« á ¡¥áª®¥ç® ¯à®¤®«¥ë¬¨ £à ﬨ. Ǒ¥à¥á¥ª ï ¥£® ¯«®áª®áâﬨ, «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ¤à㣨¥ ¯à¨¬¥àë ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ (à¨á. 1). (®® §ë¢ âì ¡¥áª®¥çë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ â ª¥ ¯®¢¥àå®áâì, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ® â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬ë ᮢ¥à襮 ¥ ¡ã¨á. 1 ¤¥¬ à áᬠâਢ âì; ®¨ ¢ë¯ ¤ îâ ¨§ 襣® à áᬮâà¥¨ï ¯®â®¬ã, çâ® § ¤ îâáï ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¤ ëå.) 2. ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¤¨¬ ⥯¥àì ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¥¤¬¥â í⮩ ª¨£¨, â.¥. ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . 1)
ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ §ë¢ ¥âáï 䨣ãà , á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ â ª, çâ®
1) ®â ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ª ¤à㣮¬ã ¬®® ¯¥à¥©â¨, ¨¤ï ¯® ¬®£®-
㣮«ì¨ª ¬, ¨¬¥î騬 ®¡é¨¥ áâ®à®ë ¨«¨ ®â१ª¨ áâ®à® 2) ;
2)
¢áï 䨣ãà «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®£® ¨§ á®áâ ¢«ïîé¨å ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
.
1) . ¥. ¥®£à ¨ç¥ë¥ | ¥ 㬥é î騥áï ¨ ¢ ª ª®¬ ªà㣥 ª®¥ç®£® à ¤¨ãá . 2) à¨á. 3 ã ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¤¢¥ £à ¨, ¨§ ª®â®àëå ®¤ ¨¬¥¥â á ¤à㣮© ®¡é¨©
®â१®ª áâ®à®ë, ® ¥ 楫ãî áâ®à®ã. â® ¢®§¬®® «¨èì ¤«ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¥ ®£à ¨ç¨¢ î饣® ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª.
. I:
§ 1.
Ǒ
Ǒ
9
â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ¨ ¥áâì ãá«®¢¨¥ ¢ë¯ãª«®áâ¨; ¯¥à¢®¥ ¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¥ à ᯠ¤ ¥âáï ç áâ¨, ¢áâà¥ç î騥áï «¨èì ¢ ¢¥àè¨ å ¨«¨ ¤ ¥ ¥ ¨¬¥î騥 ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¨ç¥£® ®¡é¥£®.
¥«¥áë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ §ë¢ ¥âáï ⥫®, ®£à ¨ç¥®¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ â ª, çâ® ®® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®£® ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ 3) ¢áï ¯®¢¥àå®áâì, à ¢® ª ª ¨ «î¡ ï ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
. § áà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¤ ëå ®¯à¥¤¥«¥¨© ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¯à¨ ⮬, ª®¥ç®, ãá«®¢¨¨, çâ® ¢§ïâ ï ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠á®á⮨⠨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¥ à ᯠ¤ ¥âáï ªã᪨, ¥ ¨¬¥î騥 ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ᬥëå ¯® áâ®à® ¬. ®® ¤®ª § âì ¨ ®¡à ⮥: ¢á直© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¯®« ï ¯®¢¥àå®áâì ¨«¨ ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ᥡ¥ ª ª®©-¨¡ã¤ì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P. Ǒ஢¥¤¥¬ ¯«®áª®á⨠¢á¥å ¥£® £à ¥©; ¬®£®£à ¨ª ¯® ãá«®¢¨î «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ª ¤®© ¨§ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ Qi . ®§ì¬¥¬ ⥠¯®«ã¯à®áâà á⢠, ®£à ¨ç¥ë¥ ¯«®áª®áâﬨ Qi, ª®â®àë¥ á®¤¥à â ¬®£®£à ¨ª P . ¡é ï ç áâì íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà á⢠¡ã¤¥â ⥫¥áë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¯®â®¬ã çâ® ¯® á ¬®¬ã ¯®áâ஥¨î ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ª ¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩ Qi ¨ ®£à ¨ç¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨, ¢ë१ 묨 íâ¨å ¯«®áª®áâïå ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï¬¨ ¤àã£ á ¤à㣮¬. áå®¤ë© ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ç áâìî ¯®¢¥àå®á⨠¨«¨ ¯®«®© ¯®¢¥àå®áâìî ¯®áâ஥®£® ⥫¥á®£® ¬®£®£à ¨ª . ®£®£à ¨ª¨ à¨á. 1 ¨ 2, ¢ë¯ãª«ë¥, à¨á. 2, ¡, ¢ | ¥¢ë¯ãª«ë¥. «ï ¢ëïᥨï ᮤ¥à ¨ï ⥮६ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å, ¤®ª §ë¢ ¥¬ëå ¢ í⮩ £« ¢¥, ¯®«¥§® ®¡à é âìáï ª ¬®£®£à ¨ª ¬ à¨á. 2, ¡, ¢: ¨ ®¤ ¨§ íâ¨å ⥮६ ¥ ¡ã¤¥â ¢¥à®© å®âï ¡ë ¤«ï ®¤®£® ¨§ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢. 3. ®£®£à ¨ª¨ á £à ¨æ¥©, § ¬ªãâë¥, ¡¥áª®¥çë¥. § ãá«®¢¨ï, çâ® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© ᢮¥© £à ¨, «¥£ª® § ª«îç¨âì, çâ® ¢ ª ¤®¬ ¥£® ॡॠá室¨âáï á ¬®¥ ¡®«ì襥 ¯® ¤¢¥ £à ¨ ¨ çâ® ¨ª ª ï ¢ãâà¥ïï â®çª ®¤®© £à ¨ ¥ ¬®¥â ¯à¨ ¤«¥ âì â ª¥ ¤à㣮© £à ¨. ®£®£à ¨ª, ïî騩áï ⮫쪮 ç áâìî ¯®¢¥àå®á⨠⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ã ¥£® ¨¬¥îâáï ॡà , ¯à¨ ¤«¥ 騥 ª ¤®¥ «¨èì ®¤®© £à ¨. â® | ॡà , ª®â®àë¥ ®£à ¨ç¨¢ îâ ç áâì ¯®«®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ãî ¤ ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â £à ¨æã: ¥¥ 3) ¥«® ¢ ¯¥à¥¢®¤¥ ⥮à¥â¨ª®-¬®¥áâ¢¥ë© ï§ëª ®¡®§ ç ¥â § ¬ëª ¨¥ ®¡« áâ¨, â.¥. ®¡« áâì á ¯à¨á®¥¤¨¥®© £à ¨æ¥©. Ǒ®¢¥àå®áâì ⥫ ¥áâì ¥£® £à ¨æ . Ǒ®¤ 䨣ãன ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯®¨¬ ¥âáï ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¬®¥á⢮ â®ç¥ª.
10
. .
®¡à §ãîâ ý£à ¨çë¥þ ॡà , â.¥. ॡà , ¯à¨ ¤«¥ 騥 ª ¤®¥ ⮫쪮 ®¤®© £à ¨ (à¨á. 3). â१®ª áâ®à®ë £à ¨, ¢å®¤ï騩 ¢ £à ¨æã, ª ª à¨á. 3, â ª¥ áç¨â ¥âáï £à ¨çë¬ à¥¡à®¬.
a)
b)
v)
¨á. 2
ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¡¥§ £à ¨æë ®¡à §ãîâ ¯®«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠⥫¥áëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨ ¯®â®¬ã ¨å ¥áâ¥á⢥® §¢ âì ¯®«ë¬¨. ®¥çë© ¯®«ë© ¬®£®£à ¨ª, â.¥. ®£à ¨ç¨¢ î騩 ª®¥çë© â¥«¥áë© ¬®£®£à ¨ª, §ë¢ ¥âáï § ¬ªãâë¬. ¥áª®¥çë¥ ¯®«ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à §¤¥«ïîâáï â¥, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¥àè¨ë, ¨ â¥, ª®â®àë¥ ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥îâ ¢¥àè¨. áïª ï ¡¥áª®¥ç ï ¢ ®¡¥ áâ®à®ë ¯à¨§¬ , ª ª, ¯à¨¬¥à, ¡¥áª®¥ç ï ¯àאַ㣮«ì ï âàã¡ , ï¥âáï ¬®£®£à ¨ª®¬ ¡¥§ ¢¥àè¨. ¡à â®, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ ¨¬¥¥â ¢¥àè¨, â® ® ¥áâì ¡¥áª®¥ç ï ¢ ®¡¥ áâ®à®ë ¯à¨§¬ . ¥©á⢨⥫ì®, ã ¬®£®£à ¨ª ¡¥§ ¢¥àè¨ ¨ ®¤® ॡ஠¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ª®æ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¤®¥ ॡ஠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â 楫ãî ¯àï¬ãî. ª ª ª ¢¥àè¨ ¥â, â® í⨠¯àï¬ë¥ ¥ ¯¥à¥á¥ª îâ¨á. 3 áï, ¨ £à ¨ â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ®ª §ë¢ îâáï ¯®í⮬㠯®«®á ¬¨ ¬¥¤ã ¯ à ¬¨ ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå, ¨«¨ ¯®«ã¯«®áª®áâﬨ (ª ª £à ¨ ¤¢ã£à ®£® 㣫 ). âáî¤ ïá®, çâ® â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¡¥áª®¥ç ï ¯à¨§¬ (¡ëâì ¬®¥â, á ¥§ ¬ªãâë¬ ¯®¯¥à¥çë¬ á¥ç¥¨¥¬, ¯®¤®¡® ¤¢ã£à ®¬ã 㣫ã).
. I:
§ 1.
Ǒ
Ǒ
11
ª¨¬ ®¡à §®¬, ®âáãâá⢨¥ ¢¥àè¨ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¡¥áª®¥çë¥ ¯à¨§¬ë. § ¯®«ëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯à¨§¬ë ¢ë¤¥«ïîâáï ¥é¥ â¥¬ ᢮©á⢮¬, çâ® ®¨ ᮤ¥à â ¯àï¬ë¥, â.¥. ¯®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ᮤ¥à 騩 楫ãî ¯àï¬ãî, ¥áâì ¯à¨§¬ . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì ¯®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â ¯àï¬ãî L. ®£¤ , â ª ª ª ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© ᢮¥© £à ¨, â® ¨ ®¤ ¨§ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì ¯àï¬ãî L, â. ¥. ¯«®áª®á⨠¢á¥å £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ¯ à ««¥«ìë ¯àאַ© L. âáî¤ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ¯à¨§¬®© á à¥¡à ¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 ¯àאַ© L. ¥áª®¥ç ï ¯à¨§¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ á¥ç¥¨¥¬, â ª ç⮠᢮©á⢠¯à¨§¬ ᢮¤ïâáï ª ᢮©á⢠¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢; ¯®íâ®¬ã ¬ë ¨áª«îç ¥¬ ¨å ¨§ à áᬮâ२ï, ªà®¬¥ ¥¬®£¨å á«ãç ¥¢, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ®£®¢®à¥ë ®á®¡®. ë ¡ã¤¥¬ § ¨¬ âìáï ¢á¥£¤ ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì § ¬ªãâ묨 ¨ § ⥬ ¡¥áª®¥ç묨 ¯®«ë¬¨ ¬®£®£à ¨ª ¬¨, ¨¬¥î騬¨ ¢¥àè¨ë; ¨å ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à®áâ® ¡¥áª®¥ç묨, ®¯ã᪠ï 㪠§ ¨¥ ¯®«®âã ¨ «¨ç¨¥ ¢¥àè¨, ªà®¬¥ â¥å á«ãç ¥¢, ª®£¤ ã® ¡ã¤¥â ¢® ¨§¡¥ ¨¥ á¬¥è¥¨ï ¯®ï⨩ ¯à®â¨¢®¯®áâ ¢¨âì â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¡¥áª®¥ç®¬ã ¬®£®£à ¨ªã á £à ¨æ¥© ¨«¨ ¯à¨§¬¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ý¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ªþ ®§ ç ¥â, ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¯®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥ ïî騩áï ¯à¨§¬®©. 4. à㣮¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®áâ¨. ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª ¬ë ¢§ï«¨ ⮠᢮©á⢮, çâ® ¬®£®£à ¨ª «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© ᢮¥© £à ¨. ¤ ª® ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ⥫ ¬ ¯®«ì§ãîâáï ®¡ëç® ¤à㣨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®áâ¨, ¡®«¥¥ ®¡é¨¬, ¯®áª®«ìªã ®® ¯à¨¬¥¨¬® ¥ ⮫쪮 ª ¬®£®£à ¨ª ¬. ®£« á® í⮬㠮¯à¥¤¥«¥¨î, ⥫® ¨«¨ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬, ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ᢮¨¬¨ â®çª ¬¨ ®® ᮤ¥à¨â ¨ ¢¥áì ᮥ¤¨ïî騩 ¨å ®â१®ª. ã¡, è à, ªà㣮¢®© 樫¨¤à ¯à¥¤áâ ¢«ïî⠯ਬ¥àë ¢ë¯ãª«ëå ⥫. àã£, ®â१®ª, 楫 ï ¯«®áª®áâì ¯à¥¤áâ ¢«ïî⠯ਬ¥àë ¯«®áª¨å ¢ë¯ãª«ëå 䨣ãà. «ï ⥫¥áëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¡ ¯®ïâ¨ï ¢ë¯ãª«®áâ¨ à ¢®á¨«ìë. ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® á«¥¤ãî饬 ¯à®á⮬, ® ¢ ®¬ § ¬¥ç ¨¨, ª®â®à®¥ ¬ë §®¢¥¬ «¥¬¬®© ®¡ ®â¤¥«¨¬®áâ¨. áïª ï â®çª , ¥ ¯à¨ ¤«¥ é ï ¤ ®¬ã ⥫¥á®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, ¢ë-
¯ãª«®¬ã ¢ á¬ëá«¥ 襣® ¨á室®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ®â¤¥«ï¥âáï ®â í⮣® ¬®-
(¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¤ ï â®çª ¨ ¢á¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª «¥ â ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â í⮩ ¯«®áª®áâ¨). ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ â®çª A ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®£®£à ¨ªã P , â® ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 ¥¥ á «î¡®© ¢ãâ॥© ¥£® â®çª®© B , ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®¢¥àå-
£®£à ¨ª ¯«®áª®áâìî ª ª®©-«¨¡® ¥£® £à ¨
12
. .
®áâì ¬®£®£à ¨ª ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¨¬¥¥â ®¡éãî â®çªã å®âï ¡ë á ®¤®© ¥£® £à ìî Q. Ǒਠí⮬ ®â१®ª AB ¥ ¬®¥â «¥ âì ¢ ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q: ¨ ç¥ ¯®«ãç «®áì ¡ë, çâ® íâ ¯«®áª®áâì ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¢ãâà¥îî â®çªã B ¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ «¥ « ¡ë ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®â१®ª AB ¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯«®áª®áâì £à ¨ Q. ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ë¯ãª«ë©, â® ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q, ¨¬¥® ¯® âã ¥¥ áâ®à®ã, £¤¥ «¥¨â ¥£® â®çª B . Ǒ®í⮬㠯«®áª®áâì £à ¨ Q ®â¤¥«ï¥â ¥£® 楫¨ª®¬ ®â â®çª¨ A, ¨ ý«¥¬¬ ®¡ ®â¤¥«¨¬®áâ¨þ ¤®ª § . ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¥á«¨ ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë© ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© £à ¨, â® ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¥£® â®çª¨ ᮥ¤¨ïîâáï «¥ 騬 ¢ ¥¬ ®â१ª®¬. ®¯ãá⨬, ¢®¯à¥ª¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¬ã, A çâ® ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¨¬¥îâáï ¤¢¥ â ª¨¥ â®çª¨ A, B , çâ® ®â१ª¥ AB ¥áâì â®çª C , ¥ ¯à¨ ¤«¥ é ï ¬®£®£à ¨ªã. ®£¤ ¯® ý«¥¬¬¥ ®¡ ®â¤¥«¨¬®áâ¨þ â®çª C ®â¤¥«ï¥âáï ®â ¬®£®£à ¨ª ¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâìî, íâ® ¥¢®§¬®®, â ª ª ª â ª ï ¯«®áª®áâì, X Q ¯¥à¥á¥ª ï ®â१®ª AB , à §¤¥«ï« ¡ë â®çª¨ A ¨ B . ®ª ¥¬, ª®¥æ, ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë© ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¥£® â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë ¢ ¥¬ ®â१ª®¬. B ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¨á. 4 ¥ «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠¥ª®â®à®© ᢮¥© £à ¨ Q, â ª çâ® ¢ ¥¬ ¨¬¥îâáï â®çª¨ A ¨ B , «¥ 騥 ¯® à §ë¥ ®â ¥¥ áâ®à®ë (à¨á. 4). ®£¤ , ᮥ¤¨ïï ¨å á® ¢á¥¬¨ â®çª ¬¨ X £à ¨ Q, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë ¤¢¥ ¯¨à ¬¨¤ë á ®¡é¨¬ ®á®¢ ¨¥¬ Q, ª®â®à®¥ ⥬ á ¬ë¬ ®ª § «®áì ¡ë ¢ãâਠá®áâ ¢«¥®£® ¨§ ¨å ¬®£®£à ¨ª . ® â ª ª ª «î¡®© ®â१®ª AX ¨ BX ¤®«¥ «¥ âì ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® Q ®ª § «®áì ¡ë â ª¥ ¢ãâਠP ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥ ¬®£«® ¡ë ¡ëâì £à ìî. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¤® ᢮©á⢮ ¢ë¯ãª«®á⨠᫥¤ã¥â ¨§ ¤à㣮£®, â ª çâ® à ¢®á¨«ì®áâì ¨å ¤®ª § . ¥«¥áë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ®ª §ë¢ îâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¢ë¯ãª«ëå ⥫: íâ® ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ , ®£à ¨ç¥ë¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. «®£¨ç® ý¯®¢¥àå®áâë¥þ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ®ª §ë¢ îâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩, ¥á«¨ ¯®¤ ¢ë¯ãª«®©
. I:
§ 1.
Ǒ
Ǒ
13
¯®¢¥àå®áâìî ¯®¨¬ âì ¢áî ¯®¢¥àå®áâì ¨«¨ «î¡®© ªã᮪ ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯ãª«®£® ⥫ . ¥ ¥ ¢ë¢®¤ë ¯à¨¬¥¨¬ë ª ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ á § ¬¥®© £à ¥© ¨ ¨å ¯«®áª®á⥩ áâ®à® ¬¨ ¨ ¥áã騬¨ ¨å ¯àï¬ë¬¨. ®¢¥à襮 â ª ¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤«ï ¨å à ¢®á¨«ì®áâì ¤¢ãå ¯®ï⨩ ¢ë¯ãª«®áâ¨: 1) ¬®£®ã£®«ì¨ª | ¢ë¯ãª«ë©, ¥á«¨ ® «¥¨â ( ¯«®áª®áâ¨!) ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ª ¤®© ¯àאַ©, ᮤ¥à 饩 ¥£® áâ®à®ã; 2) ¬®£®ã£®«ì¨ª | ¢ë¯ãª«ë©, ¥á«¨ ® ¤«ï ª ¤®© ¯ àë ᢮¨å â®ç¥ª ᮤ¥à¨â ᮥ¤¨ïî騩 ¨å ®â१®ª. ®® ¤®ª § âì, çâ® ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨ï à ¢®á¨«ìë á«¥¤ãî饬ã: 3) ¬®£®ã£®«ì¨ª | ¢ë¯ãª«ë©, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® 㣫ë | ¢ë¯ãª«ë¥, â. ¥. ¬¥ìè¥ 180◦. (®ª § ⥫ìá⢮ ®¯ã᪠¥¬, â ª ª ª íâ®â १ã«ìâ â ¥ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ; ®® ¬®¥â á«ã¨âì ¢ ª ç¥á⢥ § ¤ ç¨. ¤ 祩 ¬®¥â á«ã¨âì â ª¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ «®£¨ç®£® १ã«ìâ â ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢: ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª | ¢ë¯ãª«ë©, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë | ¢ë¯ãª«ë¥.) ⬥⨬ ¥é¥ ¤¢ ¯à®áâëå ᢮©á⢠¢ë¯ãª«ëå 䨣ãà (â.¥. ¬®¥áâ¢), ª®â®à묨 ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®áâ®ï® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¬®£®£à ¨ª ¬, áç¨â ï ¨å ¨§¢¥áâ묨. 1) ¡é ï ç áâì F «î¡®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå 䨣ãà Fs á ¬ ¥áâì ¢ë¯ãª« ï 䨣ãà . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ â®çª¨ A ¨ B ¯à¨ ¤«¥ â F , â® ®¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯à¨ ¤«¥ â ª ¤®© 䨣ãॠFs. Ǒ® ¢ë¯ãª«®á⨠íâ¨å ¯®á«¥¤¨å ¢ ª ¤®© ¨§ ¨å ᮤ¥à¨âáï ®â१®ª AB , ⮣¤ ® ᮤ¥à¨âáï ¢ ¨å ®¡é¥© ç áâ¨, 祬 ¥¥ ¢ë¯ãª«®áâì ¤®ª § . Ǒ®í⮬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, ®¡é ï ç áâì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯«®áª®á⨠¢ë¯ãª« ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â «¨¡® â®çªã, «¨¡® ®â१®ª (¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ãî), «¨¡® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª.
᫨ ¤ ï ¯«®áª®áâì ¥áâì ¯«®áª®áâì £à ¨, â® ® ¥ ¬®¥â § 室¨âì ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥¥ ®¡é ï ç áâì á ¬®£®£à ¨ª®¬ ᢮¤¨âáï ⮣¤ ª ¢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ª®â®àë© ¨ ¥áâì ¤ ï £à ì. Ǒ®í⮬㠢ᥠ£à ¨ ¯®«®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¢ë¯ãª«ë. 2) â१®ª, ¨¤ã騩 ¨§ «î¡®© ¢ãâ॥© â®çª¨ O ¢ë¯ãª«®£® ⥫ , ¯¥à¥á¥ª ¥â ¥£® ¯®¢¥àå®áâì ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ ®¤®© â®çª¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ãâà¥ïï â®çª O å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¢®ªà㣠¥¥ ¬®® ®¯¨á âì è à S , 楫¨ª®¬ «¥ 騩 ¢ ⥫¥. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ®â१®ª, ¨¤ã騩 ¨§ O, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®¢¥àå®áâì ⥫ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢ ¤¢ãå â®çª å B ¨ A, â®, ¯® ¢ë¯ãª«®áâ¨, ¢ ⥫¥ «¥ ⠢ᥠ®â१ª¨, ᮥ¤¨ïî騥 â®çªã A á â®çª ¬¨ è à S (à¨á. 5). ⨠®â१ª¨ § ¯®«ïîâ æ¥«ë© ª®ãá, ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥ â®çª¨ ®â१ª OA, ªà®¬¥ â®çª¨ A, â ª¥ ¤®«ë ¡ëâì ¢ãâ२¬¨, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î, çâ® â®çª B «¥¨â ¯®¢¥àå®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®£® ⥫ .
14
. .
5. ®£®£à ë¥ ã£«ë ¨ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. ®£®£à ë© ã£®« ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¬®£®£à ¨ª á ®¤®© ¥¤¨á⢥®© ¢¥à訮© ¨ ¡¥§ £à ¨çëå ॡ¥à. à ¨ ¥£® ¬ë ¬ë᫨¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¡¥§£à ¨ç® ¯à®¤®« ¥¬ë¬¨.
᫨ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¬®£®£à ®£® 㣫 ®¯¨á âì áä¥àã à ¤¨ãá ¥¤¨¨æ , â® ® ¢ë॥⠥© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ¤ã£ ¬¨ ¡®«ìè¨å ªà㣮¢. ¡à â®, ¥á«¨ áä¥à¥ ¤ â ª®© A ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® «ãç¨, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¨§ æ¥âà ç¥à¥§ ¥£® â®çª¨, ®¡à §ãîâ ¬®£®£à ë© ã£®«. B Ǒ®ï⨥ ¢ë¯ãª«®á⨠¤«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª ¥, ª ª S ¤«ï ¯«®áª®£®, á § ¬¥®© ¯àï¬ëå ¡®«ì訬¨ O ªà㣠¬¨ ¨ ¯àאַ«¨¥©ëå ®â१ª®¢ | ¤ã£ ¬¨ ¡®«ìè¨å ªà㣮¢, ¥ ¯à¥¢®á室ï騬¨ ¯®«ã®ªàã®áâ¨. «ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®® ¤ âì ⥠¥ âਠ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠. ¢®á¨«ì®áâì ¨á. 5 ¯¥à¢ëå ¤¢ãå ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯®¤®¡® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ëè¥ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢. ¢®á¨«ì®áâì ¨¬ âà¥â쥣® ( ¨¬¥®, çâ® ¢á¥ ã£«ë ¬¥ìè¥ 180◦) ¡ã¤¥â, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, ¤®ª § ¢ ¯◦ 2 § 1 £« ¢ë III. ¥£ª®, ¤ «¥¥, ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ᮯ®áâ ¢«¥¨¨ ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ª®â®à®¥ ¤ ¥âáï ¨§«®¥ë¬ ¢ëè¥ ¯®áâ஥¨¥¬, ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ë¬ ã£« ¬ ®â¢¥ç îâ ¢ë¯ãª«ë¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¨ ®¡à â®. ¯à¨¬¥à, ¨§ à¨á. 6 ¥¯®á।á⢥® ïá®, çâ® à ᯮ«®¥¨¥ ¬®£®£à ®£® 㣫 ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q à ¢®á¨«ì® à ᯮ«®¥¨î áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¡®«ì讣® ªà㣠q, ¯® ª®â®à®¬ã ¯«®áª®áâì Q ¯¥à¥á¥ª ¥â áä¥àã. ¢ë¯ãª«ë¬ áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ ®â®áïâáï ¤¢ã㣮«ì¨ª¨, ®£à ¨ç¥ë¥ ¤¢ã¬ï ¡®«ì訬¨ ¯®«ã®ªàã®áâﬨ, ᮥ¤¨ïî騬¨ ¤¨ ¬¥âà «ì® ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ â®çª¨, â ª¥ ¢áïª ï ¯®«ãáä¥à . ¢ã㣮«ì¨ª ¬ ®â¢¥ç îâ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë, ¢ëத¨¢è¨¥áï ¢ ¤¢ã£à ë¥, ¯®«ãáä¥à ¬ | ¢ëத¨¢è¨¥áï ¢ ¯«®áª®áâì. 4)
4) Ǒ®áª®«ìªã áä¥à¥ ¤¢¥ ¤¨ ¬¥âà «ì® ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë ¬®£¨¬¨ ªà âç ©è¨¬¨ ¤ã£ ¬¨ (¢á¥ ¬¥à¨¤¨ ë), â® ¢â®à®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¡ã¤¥â §¢ãç âì â ª: ¬®£®ã£®«ì¨ª áä¥à¥ ¢ë¯ãª«ë©, ¥á«¨ ® á ª ¤®© ¯ ன ᢮¨å â®ç¥ª ᮤ¥à¨â å®âì ®¤ã ªà âç ©èãî ¤ã£ã. á¢ï§¨ á í⨬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ áä¥à¥ ¬®¥â ¡ëâì ¥¢ë¯ãª«ë¬: ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¤¢ãå ¤¢ã㣮«ì¨ª®¢ ¬®¥â ®ª § âìáï ¯ à ¨å ¢¥àè¨. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. I:
§ 1.
15
Ǒ
Ǒ
6. ¬¥ç ¨¥ ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å. áᬮâ२¥ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬®£«® ¡ë ¯®ª § âìáï ¨¬¥î騬 ¬¥ì訩 £«ï¤ë© ¨ ¬¥ì訩 ॠ«ìë© á¬ëá«, 祬 à áᬮâ२¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ ª®¥çëå. Q
A
B
q
¨á. 6
¨á. 7
¤ ª® íâ® ¢®§à ¥¨¥ ¬®® ¯®«®áâìî ãáâà ¨âì, â ª ª ª ¢¬¥áâ® ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¬®® ¢á¥£¤ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥©, ®¡« ¤ î騩 ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¯à¨ ¡¥§£à ¨ç®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¥£® ªà ©¨å £à ¥© ®¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¥ áç¨â ï ¯ à ᬥëå £à ¥©, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¡¥áª®¥ç® ¯à®¤®« ¥¬®¥ ®¡é¥¥ ॡà®. ®® ¤ âì ãá«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¤®¯ã᪠« ¥®£à ¨ç¥®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ªà ©¨å £à ¥© ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¯¥à¥á¥ç¥¨©, â. ¥. çâ®¡ë ® ¬®£ à áᬠâਢ âìáï ª ª ýª®¥çë©þ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á® ¢á¥¬¨ ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨, à¥¡à ¬¨ ¨ £à ﬨ. ä®à¬ã«¨à㥬 ®¤® â ª®¥ ãá«®¢¨¥; ®® á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩. 1) ¢¥àè¨ å £à ¨æ¥ á室ïâáï ⮫쪮 ¯® ¤¢¥ ªà ©¨¥ £à ¨, á¬¥ë¥ ¯® ॡàã, ® ¥ ¯®¤å®¤¨â ¨§ãâਠ¨ª ª ï £à ì (â.¥. â ª, ª ª ¢ ¢¥à訥 A, ® ¥ B à¨á. 7). 2) ª ¤®© ªà ©¥© £à ¨ à¥¡à ¯à¨ ¯à®¤®«¥¨¨ § £à ¨æã à á室ïâáï ¨«¨ ¯ à ««¥«ìë, ® ¥ á室ïâáï. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ®¡¥¨å ç á⥩ í⮣® ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤ . ®ª § ⥫ìá⢮ ¤®áâ â®ç®á⨠¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¢ ª ç¥á⢥ § ¤ ç¨; ®® ¬ ¥ ¡ã¤¥â ã®.
16
. .
à㣮¥ ãá«®¢¨¥ á®á⮨⠢ ¢ë¯ãª«®á⨠áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®ï⨥ ® áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¨ ¥®¡å®¤¨¬®áâì í⮣® ãá«®¢¨ï ¡ã¤ãâ ãáâ ®¢«¥ë ¢ § 5 í⮩ £« ¢ë, ¤®áâ â®ç®áâì ¡ã¤¥â ¢ëïᥠ¯®§¥, ¢ § 5 £« ¢ë VII.
7. ¤ ç¨. áä®à¬ã«¨à®¢ ë¬ ¯® 室㠨§«®¥¨ï § ¤ ç ¬ ¯à¨¡ ¢¨¬ ¥é¥ ¤¢¥: 1. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ª®¥çë© â¥«¥áë© ¬®£®£à ¨ª ¥ ¨¬¥¥â ¯ãáâ®â ¢ãâਠ¨ ®¡é ï ¥£® ç áâì á® ¢á类© ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®áâìî 5) ¬®¥â ¡ëâì áâïãâ ¢ ᥡ¥ ¢ â®çªã, â® â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¢ë¯ãª«ë©. (¨£ãà áâ¢ ¥âáï ¢ ᥡ¥ ¢ â®çªã, ¥á«¨ ¥¥ ¬®® ¥¯à¥à뢮 ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì, ¥ ¢ëå®¤ï § ¥¥ ¯à¥¤¥«ë, â ª, çâ® ® áâï¥âáï ¢ â®çªã. ª¨¥ 䨣ãàë, ª ª ¤¢¥ â®çª¨, § ¬ªãâ ï «®¬ ï, ¬®£®ã£®«ì¨ª á ý¤ëà ¬¨þ, ¥áâ¢ ¥¬ë ¢ ᥡ¥ ¢ â®çªã.) 2. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ª®¥çë© ý¯®¢¥àå®áâë©þ ¬®£®£à ¨ª ®¡« ¤ ¥â ⥬ ¥ ᢮©á⢮¬, â® ® | § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë©. (Ǒਠí⮬ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® £à ¨ ¢áâà¥ç îâáï ⮫쪮 ¯® à¥¡à ¬ ¯®¯ à®, ® «¨ç¨¥ £à ¨æë § à ¥¥ ¥ ¨áª«îç ¥âáï.) § 2. ¤ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© 6)
1. ¯®à ï ¯«®áª®áâì. ¯®à®© ¯«®áª®áâìî 䨣ãàë §ë¢ ¥âáï ¯«®áª®áâì, ¨¬¥îé ï á 䨣ãன å®âï ¡ë ®¤ã ®¡éãî â®çªã, ® â ª ï, çâ® ¢áï 䨣ãà «¥¨â 楫¨ª®¬ ¢ ®¤®¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, ®£à ¨ç¥®¬ í⮩ ¯«®áª®áâìî n (à¨á. 8). ¯®«ã¯à®áâà áâ¢ã ¬ë ¯à¨á®¥¤¨ï¥¬ ®£à ¨ç¨¢ îéãî ¥£® ¯«®áª®áâì; íâ® ãá«®¢¨¥ ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã ¢á¥£¤ , ªà®¬¥ ¥¬®£¨å á«ãç ¥¢, ª®â®àë¥ ®£®¢ ਢ îâáï Q ®á®¡®, ¨ ⮣¤ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ §ë¢ M îâ ý®âªàëâë¬þ. § í⮣® ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â, çâ®, ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯«®áª®© 䨣ãàë á ¬ § ª«îç îé ï ¥¥ ¯«®áª®áâì ¡ã¤¥â ¤«ï ¥¥ ®¯®à®© ¢® ¢á¥å â®çª å 䨣ãàë. ¨á. 8 Ǒ®«ì§ãïáì ¯®ï⨥¬ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¬®® ᪠§ âì, çâ® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬, çâ® ¯«®áª®áâì ª ¤®© ¥£® £à ¨ ï¥âáï ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®áâìî. ¤ ª® ã ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥îâáï, ª®¥ç®, ¨ ¤à㣨¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ª á î騥áï ¥£® ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å ¨«¨ ¯® à¥¡à ¬. «ï ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ¯à®áâ ï ⥮६ . ¥®à¥¬ 1.
¡é ï ç áâì ⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥£® ®¯®à-
®© ¯«®áª®á⨠¥áâì «¨¡® ®¤ â®çª | ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª , «¨¡® ®âà¥-
(
)
§®ª ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ ï | ॡ஠¬®£®£à ¨ª , «¨¡® ®¤ £à ì. ¥à¥§ ¢áï-
5) Ǒ® ¯®¢®¤ã ¯®ïâ¨ï ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠á¬. ¯◦ 1 § 2. 6) â ª¨¬ § ¤ ¨¥¬ á¢ï§ ¨â¥à¥áë© ¯à¨¥¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¯® ¢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, ¢ ç áâ®á⨠| 室¥¨ï ¥£® ®¡ê¥¬ , ¯à¥¤«®¥ë© . . ¥è¥â类¬ [182℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. I:
§ 2.
Ǒ
17
ªãî ¢¥àè¨ã ¯à®å®¤¨â â ª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ª®â®à ï ¥ ¨¬¥¥â á ¬®£®£à ¨ª®¬ ¤àã£¨å ®¡é¨å â®ç¥ª. ¥à¥§ ¢á类¥ ॡ஠⠪¥ ¯à®å®¤¨â ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ¥ ¨¬¥îé ï á ¬®£®£à ¨ª®¬ ¤àã£¨å ®¡é¨å â®ç¥ª, ªà®¬¥ â®ç¥ª í⮣® ॡà . Ǒ«®áª®áâì ¢á类© £à ¨ | ®¯®à ï ¨ ¥ ¨¬¥¥â á ¬®£®£à ¨ª®¬ ¤àã£¨å ®¡é¨å â®ç¥ª, ªà®¬¥ â®ç¥ª £à ¨.
¡é ï ç áâì ¯«®áª®á⨠¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¢ë¯ãª« , ª ª ®¡é ï ç áâì ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå 䨣ãà. Ǒ®í⮬㠮 ¬®¥â ¡ëâì «¨¡® â®çª®©, «¨¡® ®â१ª®¬ (¨«¨ ¯®«ã¯àאַ©), «¨¡® ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬. (¥«ë¥ ¯àï¬ë¥ ¨áª«îç¥ë ¯à¨ïâë¬ ¢ ¯◦ 3 § 1 ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¥ ᮤ¥à¨â ¯àï¬ëå.)
᫨ ¯«®áª®áâì ¨¬¥¥â á ¬®£®£à ¨ª®¬ ⮫쪮 ®¤ã ®¡éãî â®çªã, â® íâ â®çª ï¥âáï ¢¥à訮©, ¯®â®¬ã çâ® ¯«®áª®áâì, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬®¥â ª á âìáï ¬®£®£à ¨ª ⮫쪮 ¢ ®¤®© â®çª¥ ¢ãâà¨ à¥¡à ¨«¨ £à ¨. Ǒ® «®£¨ç®© ¯à¨ç¨¥ ¥¤¨áâ¢¥ë© ®â१®ª, ®¡é¨© ã ¯«®áª®á⨠¨ ¬®£®a £à ¨ª , ¤®«¥ ¡ëâì ॡ஬. ⨬ ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § Q1 ®. Q2 Ǒ«®áª®áâì ¢á类© £à ¨ | ®¯®à ï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª .
¥ ®¡é ï ç áâì á ¬®£®£à ¨ª®¬ ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ª®â®àë© â¥¬ á ¬ë¬ ¨ ®ª §ë¢ ¥âáï ¨á. 9 £à ìî.
᫨ ¯® ॡàã a á室ïâáï £à ¨ Q ¨ Q , â® ¬®£®£à ¨ª «¥¨â ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ íâ¨å £à ¥©, â. ¥. ¢ ¤¢ã£à ®¬ 㣫¥ ¬¥¤ã ¨¬¨. Ǒ®í⮬㠢áïª ï ¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïé ï ¢ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ 㣫¥, ¡ã¤¥â ®¯®à®© ¢¤®«ì ॡà a (à¨á. 9). ¢¥à訥 A á室ïâáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ âਠ£à ¨, ¯®í⮬㠬®£®£à ¨ª § ª«îç¥ ¢ âà¥å£à ®¬ ¨«¨ ¬®£®£à ®¬ 㣫¥, ®£à ¨ç¥®¬ ¯«®áª®áâﬨ â ª¨å £à ¥©. ® ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã ¬®£®£à ®£® 㣫 § ¢¥¤®¬® ¬®® ¯à®¢¥á⨠¯«®áª®áâì, ¥ ¨¬¥îéãî á ¨¬ ¤àã£¨å ®¡é¨å â®ç¥ª. ®áâ â®ç® ¢§ïâì ¯«®áª®áâì, ®¯®àãî ¢¤®«ì ॡà , ¨ ¥¬®£® ¯®¢¥àãâì ¥¥ ¢®ªà㣠¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ¢ ¥© ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª í⮬ã ॡàã (à¨á. 10). â ¯«®áª®áâì ¡ã¤¥â ®¯®à®© ¨ ª ¬®£®£à ¨ªã ¢ ®¤®© ¢¥à訥 A. 2. ¥èïï ®à¬ «ì. ¯®à®¥ ç¨á«®.
᫨ ª ª ï-«¨¡® 䨣ãà M (¬®¥á⢮ â®ç¥ª) «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠Q, â® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯«®áª®á⨠Q, ¯à ¢«¥ë© ¢ãâàì ⮣® (®âªàë⮣®) ¯®«ã¯à®áâà á⢠, £¤¥ ¥â â®ç¥ª 䨣ãàë M , ¬ë §ë¢ ¥¬ ¢¥è¥© ®à¬ «ìî ª ¯«®áª®á⨠Q ¯® ®â®è¥¨î ª 䨣ãॠM . ª ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥èïï ®à¬ «ì ª ®¯®à®© ®ª § ⥫ìá⢮.
1
2
18
. .
¯«®áª®áâ¨. ¥èîî ®à¬ «ì ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡ëç® ¨§®¡à âì ¥¤¨¨çë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ®¡®§ ç ï ¥£® ç¥à¥§ n (à¨á. 8). ®¢®àï ® ¯à ¢«¥¨¨ «î¡®© ¯«®áª®áâ¨, ¬ë ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ¯à ¢«¥¨¥ ¥ª®â®à®£® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïண® ª ¥© ¢¥ªâ®à .
᫨ à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, â® ¯à ¢«¥¨¥ ¢á¥£¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¥® ¢¥è¥© ®à¬ «ìî ª ¥©.
᫨ íâ® ¥áâì ¯«®áª®áâì £à ¨ ª ª®£®-«¨¡® ¬®£®£à ¨ª , â® ¬ë £®¢®à¨¬ ® ¯à ¢«¥¨¨ £à ¨, ¯®¨¬ ï ¯®¤ í⨬ ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª £à ¨. n
A h< 0
h>0 O n
¨á. 10
¨á. 11
᫨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢ë¡à âì â®çªã O | ç «® ª®®à¤¨ â, â® ¯®«®¥¨¥ ¢á类© ý ¯à ¢«¥®©þ ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìî n ¨ à ááâ®ï¨¥¬ h ®â ç « O, ¯à¨ç¥¬ íâ® à ááâ®ï¨¥ ¢á¥£¤ áç¨â ¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë¬, ¥á«¨ ç «® «¥¨â ¢ ⮩ áâ®à®¥ ®â ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯à®â¨¢®¯®«® ¯à ¢«¥¨î ®à¬ «¨ n, ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¬ | ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ (à¨á. 11). ª ®¯à¥¤¥«¥®¥ à ááâ®ï¨¥ á® § ª®¬ ¬ë §ë¢ ¥¬ ®¯®àë¬ ç¨á«®¬ ¯«®áª®áâ¨, ¨«¨ £à ¨, ¥á«¨ à¥çì ¨¤¥â ® ¯«®áª®á⨠£à ¨ ¥ª®â®à®£® ¬®£®£à ¨ª . ®à®âª®, ¬ë £®¢®à¨¬ ®¡ ®¯®àëå ç¨á« å ¬®£®£à ¨ª , ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ®¯®àë¥ ç¨á« ¢á¥å ¥£® £à ¥©. ®ª ¥¬, çâ® ¢á直© ¯®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯«®áª®áâﬨ ᢮¨å £à ¥© á 㪠§ ¨¥¬ ¨å ¢¥è¨å ®à¬ «¥©. 묨 á«®¢ ¬¨, ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨. ¥®à¥¬ 2.
¥«¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ®¡é ï ç áâì ¯®-
«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥©.
( ª ª ª ª ¤ ï
¯«®áª®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢠, â® à¥çì ¨¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ® â¥å
)
¯®«ã¯à®áâà á⢠å, ª®â®àë¥ á®¤¥à â ¬®£®£à ¨ª.
. I:
§ 2.
Ǒ
19
®ª § ⥫ìá⢮. ®-¯¥à¢ëå, ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© £à ¨, â. ¥. ¢á¥£¤ ¢ ®¤®¬ ¨§ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¥î ¯®«ã¯à®áâà áâ¢. Ǒ®í⮬㠮 ᮤ¥à¨âáï â ª¥ ¢ ®¡é¥© ç á⨠¢á¥å íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢. ®-¢â®àëå, ¯® ¤®ª § ®© ¢ ¯◦ 4 § 1 «¥¬¬¥ ®¡ ®â¤¥«¨¬®á⨠¢áïª ï â®çª ¢¥ ¬®£®£à ¨ª ®â¤¥«ï¥âáï ®â ¥£® ¯«®áª®áâìî ª ª®©-«¨¡® £à ¨, â. ¥. ¥ ¯®¯ ¤ ¥â å®âï ¡ë ¢ ®¤® ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢. Ǒ®í⮬㠮¡é ï ç áâì íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ᮤ¥à ¬®£®£à ¨ª, ¥ ᮤ¥à¨â ¨ª ª¨å «¨è¨å â®ç¥ª, â. ¥. ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®£®£à ¨ª®¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¥®à¥¬ 3.
Ǒ®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬
. ¥©á⢨⥫ì®, à § 㪠§ ë ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨, ⮠⥬ á ¬ë¬ ãª § ë ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ᮤ¥à 騥 ¬®£®£à ¨ª. Ǒ® ⥮६¥ 2 ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ¤ ë¬ ¯®«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P , ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ â ª¨å ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¨ ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï. ¬¥áâ¥ á ¨¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨ ¥£® ¯®¢¥àå®áâì P , ¨ ⥮६ ¤®ª § . ¥§ 㪠§ ¨ï ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ®¡®©â¨áì ¥«ì§ï, â ª ª ª ¬®® ¯®áâநâì ¥á®¢¯ ¤ î騥 ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ã ª®â®àëå ¯«®áª®á⨠¢á¥å £à ¥© ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒਬ¥à ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¤¢ ¬®£®£à ¨ª , ª®â®àë¥ ¤¥«¨â â¥âà í¤à ª ª 﫨¡® ¯¥à¥á¥ª îé ï ¢á¥ ¥£® £à ¨ ¨á. 12 ¯«®áª®áâì (à¨á. 12). ¤ ç . ©â¨ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¤ ®£® ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ®£à ¨ç¨¢ îâ ¤à㣮© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¥è¨âì â®â ¥ ¢®¯à®á, ¤®¯ãáª ï ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. «ï ç « à¥è¨âì «®£¨çãî § ¤ çã ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. 3. ®ª ¥¬ ¥é¥ ⥮६ã, ¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥ ®¡à âãî ⥮६¥ 2. ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© á 㪠§ ¨¥¬ ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ª ¨¬
¥®à¥¬ 4.
¡é ï ç áâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¯®«ã¯à®áâà á⢠¥áâì ⥫¥á-
ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ⮬ ¥®¡å®¤¨¬®¬ ãá«®¢¨¨, çâ® ® ¨¬¥¥â
¢ãâ२¥ â®çª¨ 7) .
᫨ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¯«®áª®áâï¬, ®£à ¨ç¨¢ î-
7) ¡é ï ç áâì ¤ ëå ¯®«ã¯à®áâà á⢠¬®¥â, ª®¥ç®, ¥ ¨¬¥âì ¢ãâ२å â®ç¥ª;
â ª, ¯à¨¬¥à, ã ¤¢ãå ¯à®â¨¢®¯®«®ëå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢ á ®¡é¥© £à ¨ç®© ¯«®áª®áâìî ®¡é ï ç áâì ᢮¤¨âáï ª ¯«®áª®áâ¨. à ¥¥ ¤ ë¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¬®£ãâ ¨ ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥âì ®¡é¨å â®ç¥ª, ⮣¤ ¨å ý®¡é ï ç áâìþ | ¯ãáâ ï.
20
. .
騬 í⨠¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ 8) , â®
. Ǒãáâì ®¡é ï ç áâì ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯«®áª®áâﬨ Q , Q , . . . , Qm , ¨¬¥¥â ¢ãâ२¥ â®çª¨. ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ⮣¤ ⥫®, ®£à ¨ç¥®¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨, ¢ë१ ¥¬ë¬¨ ¯«®áª®áâïå Qi ⥬¨ ¯àï¬ë¬¨, ¯® ª®â®àë¬ í⨠¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâ ¤à㣠¤à㣠. ஬¥ ⮣®, ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ª ¤®© ¯«®áª®á⨠Qi . «¥¤®¢ ⥫ì®, ® ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª; ®¡®§ 稬 ¥£® P . ¬®£®£à ¨ª ª®¥çë©; ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ® | ¡¥áª®¥çë©
1
2
n1
n1 n4
n5
n4 n3
n3
n5
R
n2
n2
m
¨á. 13
᫨ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¯«®áª®áâï¬ Qi ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R (à¨á. 13), â® ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ m ª í⮬㠯®«ã¯à®áâà áâ¢ã ¥ ®¡à §ã¥â ¨ á ®¤®© ¨§ ¨å ®áâண® 㣫 . Ǒ®í⮬㠯®«ã¯àï¬ ï, ¯à®¢¥¤¥ ï ¢ í⮬ ¯à ¢«¥¨¨ ¨§ «î¡®© â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¨ ®¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩ Qi ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®ª §ë¢ ¥âáï «¥ 饩 ¢ P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â ¯®«ã¯àï¬ãî ¨ ⥬ á ¬ë¬ ® | ¡¥áª®¥çë©.
᫨ ¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¯«®áª®áâï¬ Qi ¥ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡¥áª®¥çë¬.
᫨ ¡ë ® ¡ë« ¡¥áª®¥çë¬, â® ¢ ¥¬ ᮤ¥à « áì ¡ë ¯®«ã¯àï¬ ï, ¯à¨¬¥à ¡¥áª®¥ç®¥ ॡà®. 8) ®à¬ «¨ n1 , . . . , nm ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R, ¥á«¨, ¡ã¤ãç¨ ®â«®¥ë ¨§ «î¡®© â®çª¨ ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¥£® ¯«®áª®áâ¨, ®¨ ®ª §ë¢ îâáï «¥ 騬¨ ¢ í⮬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥. Ǒਠí⮬ ¥ ¨áª«î祮, çâ® ç áâì ¨§ ¨å ¬®¥â «¥ âì ¢ ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¯«®áª®áâ¨.
᫨ í⮣® ¥â, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ®à¬ «¨ ¨¤ãâ ¢ãâàì ¯®«ã¯à®áâà á⢠R.
᫨ ¨ ®¤ ®à¬ «ì ¥ ¨¤¥â ¢ãâàì, â® ¢á¥ ®¨ «¥ â ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¨ ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ¯à¨§¬®©.
. I:
§ 3.
1
2
21
£à ¨ç¨¢ î騥 ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®á⨠¥ ¬®£«¨ ¡ë ¯¥à¥á¥ª âì ¥¥, ¯®â®¬ã ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¨¬ ¢á¥ ¡ë«¨ ¡ë ¯à ¢«¥ë ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ®£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª í⮩ ¯®«ã¯àאַ©. ¥®à¥¬ ¤®ª § ¯®«®áâìî. 4. ë ãáâ ®¢¨«¨, çâ® ®¡é ï ç áâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¯®«ã¯à®áâà á⢠¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª, ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â ¢ãâ२¥ â®çª¨. ¤ ª® á।¨ ¯«®áª®á⥩, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å í⨠¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¬®£ãâ ¡ëâì ý«¨è¨¥þ, ¥ ïî騥áï ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª , ª á î騥áï ¥£® «¨èì ¯® à¥¡à ¬ ¨ ¢¥àè¨ ¬ ¨«¨ ¤ ¥ ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥î騥 á ¨¬ ®¡é¨å â®ç¥ª. Ǒ®í⮬㠢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á, ª ª®¢ë ⥠¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¯«®áª®áâ¨ á ¤ 묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ n , n , . . . , nm ¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ h , h , . . . , hm ¡ã¤ãâ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ¥ª®â®à®£® ⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ¥®à¥¬ , ¤ îé ï ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á, ¡ã¤¥â áä®à¬ã«¨à®¢ ¢ ¯◦ 6 § 4 £« ¢ë II. Ǒ®¢â®àïï ®¡é¨¥ 㪠§ ¨ï, ᤥ« ë¥ ¢® ¢¢¥¤¥¨¨, ¬®® ᪠§ âì, çâ® ¢®¯à®á á⮨⠮ ⥮६¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ (ᮮ⢥âá⢥® ¤®ª § ®© 㥠⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ã⢥ठî饩, çâ® í⨬¨ ¤ 묨 ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®«®áâìî). 1
2
§ 3. ¤ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨
ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ª ª®£®-«¨¡® ¬®¥á⢠â®ç¥ª ¬ë §ë¢ ¥¬ ®¡éãî ç áâì ¢á¥å ᮤ¥à é¨å ¥£® ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¢á类£® ¬®¥á⢠â®ç¥ª M ¢ë¯ãª« , ¯®â®¬ã çâ®, ª ª ¡ë«® ¤®ª § ® ¢ ¯◦ 4 § 1, ®¡é ï ç áâì «î¡®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥á⢠¥áâì ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮. ª ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠M á ¬ ¢ë¯ãª« ¨ ᮤ¥à¨âáï ¢® ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å, ᮤ¥à é¨å M , ª ª ¨å ®¡é ï ç áâì, â® ® ï¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ¨¬¥ì訬 ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®¥á⢮¬, § ª«îç î騬 M . ¢¬¥á⥠á ⥬ ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¬¨¬ M , ¯®áª®«ìªã ¨¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ᮤ¥à é¨å ¥£® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¤¥ï ¯®ïâ¨ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ª ª à § ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ® ¥áâì ¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥ ¨¬¥ì襥 § ¬ªã⮥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮, ᮤ¥à 饥 ¤ ®¥ ¬®¥á⢮ M . 1. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª .
9)
9) ë¯ãª« ï ®¡®«®çª , ª ª ¬ë ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨«¨, ¢á¥£¤ ¥áâì § ¬ªã⮥ ¬®¥á⢮.
â® | á«¥¤á⢨¥ ⮩ ®¡é¥© ⥮६ë, çâ® ®¡é ï ç áâì § ¬ªãâëå ¬®¥á⢠¥áâì § ¬ªã⮥ ¬®¥á⢮. ®®¡é¥, ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì â ªãî ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ª ª ®¡éãî ç áâì «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå § ¬ªãâëå ¬®¥áâ¢, ᮤ¥à é¨å ¤ ®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª M . (¥-
22
. .
2. ¥®à¥¬ 1.
®¥çë© â¥«¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ï¥âáï
. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢ë¡¥à¥¬ ª ªãî-«¨¡® ¢¥àè¨ã A ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ à §®¡ì¥¬ ¢á¥ £à ¨, ¥ ¯®¤å®¤ï騥 ª A, ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª . ®¥¤¨ïï â®çªã A á â®çª ¬¨ «î¡®£® â ª®£® âà¥ã£®«ì¨ª , ¬ë ¯®«ã稬 âà¥å£à ãî ¯¨à ¬¨A ¤ã, â. ¥. â¥âà í¤à (à¨á. 14). ᥠ⠪¨¥ â¥âà D í¤àë ᮤ¥à âáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥, â ª ª ª ® C ¢ë¯ãª«ë©, ¨ ¬®£®£à ¨ª á« £ ¥âáï ¨§ íâ¨å X â¥âà í¤à®¢. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠¢¥àè¨ á®¤¥à¨â ¢á¥ ᮥ¤¨ïî騥 ¨å ®â१ª¨, â ª ª ª ® ¢ë¯ãª« ï. ® ¢¬¥áâ¥ á ®â१ª®¬ BC ¨ â®çB ª®© D ® ᮤ¥à¨â âà¥ã£®«ì¨ª BCD, ¯®áª®«ì¨á. 14 ªã ® § ¯®«ï¥âáï ®â१ª ¬¨ DX , ¨¤ã騬¨ ¨§ D ¢ â®çª¨ ®â१ª BC . ª®¥æ, ¢¬¥á⥠á âà¥ã£®«ì¨ª®¬ BCD ¨ â®çª®© A ® ᮤ¥à¨â â ª¥ â¥âà í¤à ABCD, ¯®áª®«ìªã ® § ¯®«ï¥âáï ®â१ª ¬¨, ¨¤ã騬¨ ¨§ A ¢ â®çª¨ âà¥ã£®«ì¨ª BCD. âáî¤ ïá®, çâ® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨â ¢á¥ â¥âà í¤àë, ª®â®àë¥ ® à §¡¨â, â. ¥. ᮤ¥à¨â á ¬ë© ¬®£®£à ¨ª. ¤à㣮© áâ®à®ë, è ¬®£®£à ¨ª § ¢¥¤®¬® ᮤ¥à¨â ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ¬®¥á⢠᢮¨å ¢¥àè¨, â ª ª ª ¯® á ¬®¬ã ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î ® § ª«îç ¥âáï ¢® ¢á类¬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, ᮤ¥à 饬 í⨠¢¥àè¨ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ª ¨ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠¥£® ¢¥àè¨ á®¢¯ ¤ îâ, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ª ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠M ¨¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, â® ¨§ ⥮६ë 1 á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¥çë© â¥«¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, § ç¨â, ¨ ¥£® ¯®¢¥àå®áâì, â. ¥. § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨. ë £®¢®à¨¬, çâ® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç® ý â¢ ¥âáïþ ᢮¨ ¢¥àè¨ë. â® ¥áâì ⥮६ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬®¥á⢠᢮¨å ¢¥àè¨
¯¥àì è¨à®ª® ¯à¨ïâ® §ë¢ âì íâ® , ® ¤«ï ¯à®áâ®âë á«®¢® ý§ ¬ªãâ ïþ ®¯ã᪠¥¬, ¯®áª®«ìªã ý¥§ ¬ªãâ ïþ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥áâ¢, ᮤ¥à é¨å M , ¬ ¥ ¯® ¤®¡¨âáï. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .) í⮬ ®¡é¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ «ãçè¥ à áªàë¢ ¥âáï ¨¤¥ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ª ª ¨¬¥ì襣® § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®¥á⢠, ᮤ¥à 饣® M . â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï à ¢®á¨«ìë¬ è¥¬ã. âண® £®¢®àï, ã® ¯à¨ç¨á«ïâì ª ¬®£®£à ¨ª ¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨ ¢á¥ ¯à®áâà á⢮, ¯®áª®«ìªã ¬®® à áᬠâਢ âì ¬®¥á⢠, ¥ 㬥é î騥áï ¨ ¢ ª ª®¬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥. ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï 訬 ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª ª ¡®«¥¥ í«¥¬¥â àë¬ ¨ ¢¯®«¥ ¤®áâ â®çë¬ ¤«ï è¨å 楫¥©, â ª ª ª ¬ë § ¨¬ ¥¬áï ⮫쪮 ¢ë¯ãª«ë¬¨ ¬®£®£à ¨ª ¬¨. § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®©
¢á¥å
. I:
§ 3.
23
¥¤¨á⢥®á⨠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¢¥àè¨ ¬¨. ª«îç ï ¢ à áᬮâ२¥ ¥¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¬ë ¥ ¯®«ã稬 â ª®© ⥮६ë: à¨á. 15 ¨§®¡à ¥ë ¤¢ ¬®£®£à ¨ª ; ®¤¨ ¨§ ¨å á ॡ஬ AB ¨ £à ﬨ ABC , ABD | ¢ë¯ãª«ë©, ¤à㣮© | á ॡ஬ CD | ¥¢ë¯ãª«ë©; ª ª ¢¨¤®, ¨å ¬®® à ᯮ«®¨âì â ª, çâ®¡ë ¢¥àè¨ë ᮢ¯ «¨. A
B
C
A
B
C
D
D
¨á. 15
3. ¥®à¥¬ 2. A2 , . . . , Am ,
ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®¥ç®£® ¬®¥á⢠â®ç¥ª
A1 ,
¥ «¥ é¨å ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®-
£®£à ¨ª; ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª, «¥ é¨å ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, ¥áâì «¨¡® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¨¡® ®â१®ª, «¨¡® ®¤ â®çª .
¥àè¨ ¬¨ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨
)
(â. ¥.
í⮣® ¬®£®£à ¨ª , «¨¡®
¬®£®ã£®«ì¨ª , «¨¡® ®â१ª ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 ¤ ë¥ â®çª¨ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢á¥. î¡ ï ¤ ï ¨§ ¨å
Ak
Ai , ®¤ ª®
¡ã¤¥â ¢¥à訮© ⮣¤ ¨ ⮫쪮
⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ¬®¥á⢠®áâ «ìëå
. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¤ ⮫쪮 ®¤ â®çª A , â® ® ¨ ¥áâì á¢®ï ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª .
᫨ â®ç¥ª ¤¢¥ ¨«¨ ¡®«ìè¥, ® ¢á¥ ®¨ «¥ â ®¤®© ¯àאַ©, â® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¨å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ®â१®ª á ª®æ ¬¨ ¢ ªà ©¨å â®çª å. Ǒ®í⮬㠬®® áç¨â âì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, çâ® â®çª¨ ¥ «¥ â ®¤®© ¯àאַ©. ®¯ãá⨬, ç⮠⥮६ ¢¥à ¤«ï m − 1 â®ç¥ª ¨ ¤®ª ¥¬ ¥¥ ¤«ï m â®ç¥ª. Ǒãáâì ¤ ® m à §ëå â®ç¥ª A , A , . . . , Am ; ¢ë¡¥à¥¬ «î¡ãî ¨§ ¨å, ᪠¥¬ Am . Ǒãáâì P ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠®áâ «ìëå â®ç¥ª A , A , . . . , Am− ; ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ® ¥áâì «¨¡® ¬®£®£à ¨ª ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å Ai , «¨¡® ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¨¡® ®â१®ª. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¤®¯ãá⨬, çâ® P ¥áâì ¬®£®£à ¨ª. ®áâ «ìëå á«ãç ïå à áá㤥¨ï ¬®£ãâ ⮫쪮 ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ã¯à®áâ¨âìáï.
᫨ â®çª Am ᮤ¥à¨âáï â®ç¥ª
1
1
1
2
1
2
24
. .
¢ P , â® ¥¥ ¯à¨á®¥¤¨¥¨¥ ¥ ¬¥ï¥â ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¨ ¯®â®¬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, ® § ¢¥¤®¬® ¥ ¬®¥â ®ª § âìáï ¢¥à訮©. ®¯ãá⨬ ¯®í⮬ã, çâ® â®çª Am ¥ «¥¨â ¢ P (à¨á. 16). Ǒ஢¥¤ï ¨§ ¥¥ ®â१ª¨ ¢® ¢á¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P , á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ¯¨à ¬¨¤ á ¢¥à訮© Am ¨ á ®á®¢ ¨ï¬¨ £à ïå ¬®£®£à ¨ª P . ®£®£à ¨ª P § ¢¥¤®¬® ᮤ¥à¨âáï ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ¬®¥á⢠¢á¥å â®ç¥ª A , A , . . . , Am , ¯®â®¬ã çâ® ¢ ¥© ¤®«¥ ᮤ¥à âìáï ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¢á直© ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 «î¡ãî ¥£® â®çªã á â®çª®© Am . Am 1
1
1
2
Am C
B B0
C0
P
P
¨á. 16
¨á. 17
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë©. Ǒãáâì B , C | ¤¢¥ ¥£® â®çª¨; ¯® ¥£® ¯®áâ஥¨î ®¨ «¥ â ®â१ª å Am B , Am C , ᮥ¤¨ïîé¨å Am á â®çª ¬¨ B , C ¨§ ¬®£®£à ¨ª P (à¨á. 17). ® íâ®â ¯®á«¥¤¨© | ¢ë¯ãª«ë© ¨ ¯®â®¬ã ᮤ¥à¨â ®â१®ª B C . ⮣¤ P ¤®«¥ ᮤ¥à âì ¢¥áì âà¥ã£®«ì¨ª Am B C , ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ¨ ®â१®ª BC . ⨬ ¢ë¯ãª«®áâì ¬®£®£à ¨ª P ¤®ª § . ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë© ¨ ᮤ¥à¨â â®çª¨ A , . . . , Am , â® ® § ¢¥¤®¬® § ª«îç ¥â ¢ ᥡ¥ ¨å ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã. â ª ª ª ¬ë 㥠ãáâ ®¢¨«¨, çâ® ® ¤®«¥ â ª¥ § ª«îç âìáï ¢ ¥©, â® ® á ¥© ᮢ¯ ¤ ¥â. áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® â®çª Am ï¥âáï ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P . ◦ â® ®ç¥¢¨¤® ¨§ ⮣®, çâ® ¯® ý«¥¬¬¥ ®¡ ®â¤¥«¨¬®áâ¨þ (¯ 4 § 1) ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¬®® ®â¤¥«¨âì ¯«®áª®áâìî ®â â®çª¨ Am , â ª çâ® ®â१ª¨, ¨¤ã騥 ¨§ Am ¢ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¤®«ë íâã ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ª âì. Ǒ®í⮬ã â®çª Am ¥ ¬®¥â ®ª § âìáï ¨ ¢ãâਠॡà , ¨ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¢ãâਠ¥£®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ ¯®«®áâìî ¤®ª § . ᮥ¤¨¥¨¨ á ⥮६®© 1 ⥮६ 2 ¯à¨¢®¤¨â, ®ç¥¢¨¤®, ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã: 1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
¥®à¥¬ 3.
«ï ⮣® ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®-
£à ¨ª á ¤ 묨 ¢¥àè¨ ¬¨ A1 , . . .
, Am , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë
. I:
â®çª¨
Ai
§ 3.
25
¥ «¥ «¨ ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠¨ çâ®¡ë ¨ ®¤ ¨§ ¨å ¥ ¯®¯ ¤ «
¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ¬®¥á⢠¤à㣨å. Ǒਠí⮬ â ª®© ¬®£®£à ¨ª á
. ¤¥áì ᮤ¥à¨âáï, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®â¢¥â ¢®¯à®áë ⮣® ⨯ , ª ª ¯®áâ ¢«¥ë¥ ¢® ¢¢¥¤¥¨¨: ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ¨ ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå â ª¨¥ ¤ ë¥, ª ª § ¤ ¨¥ ¢¥àè¨, ®¯à¥¤¥«ïîâ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¥àè¨ë ¬®® § ¤ ¢ âì ¨å ª®®à¤¨ â ¬¨, ¨ ⮣¤ ãá«®¢¨ï, « £ ¥¬ë¥ ¨å ¢ ⥮६¥, ¬®® ¢ëà §¨âì «¨â¨ç¥áª¨. 4. ®¯®«¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¤® § ¬ªã⮣®. § ⥮६ë 1 ¨ 2 ¢ë⥪ ¥â ¥é¥ ®¤ ⥮६ , ª®â®à®© ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì á«ãç © ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. ¤ 묨 ¢¥àè¨ ¬¨ | ¥¤¨á⢥ë©
¥®à¥¬ 4.
á直© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¬®®
¤®¯®«¨âì ¤® § ¬ªã⮣®, ¥ ¯à¨¡ ¢«ïï ®¢ëå ¢¥àè¨, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥-
. 묨 á«®¢ ¬¨, ¤«ï ¢á类£® ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P â ª®©, çâ® P ¥áâì ç áâì P ¨ P ¥ ¨¬¥¥â ¨ëå ¢¥àè¨, ªà®¬¥ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P . (Ǒਠí⮬ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤ãâ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P . ¢á类£® ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¢¥àè¨ë | ¤¢ãå ⨯®¢: ¢ãâ२¥, â.¥. ¥ «¥ 騥 £à ¨æ¥, ¨ £à ¨çë¥. ᥠ¢ãâ२¥ ¢¥àè¨ë ®áâ îâáï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P , ® £à ¨çë¥ | ¥ ®¡ï§ ⥫ì®. ª ¡ã¤¥â, ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ P ¥áâì ªã¡, ¨§ £à ¨ ª®â®à®£® ¢ë१ ª ª®©-«¨¡® ¬®£®ã£®«ì¨ª.) ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì P | ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥©, R | ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¥£® ¢¥àè¨. ®¤¥à ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , R ᮤ¥à¨â ¨ ᮥ¤¨ïî騥 ¨å ®â१ª¨, â. ¥. à¥¡à ¨ ¤¨ £® «¨ £à ¥©; ⮣¤ R ᮤ¥à¨â ¨ ¢á¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , â ª çâ® P § ¢¥¤®¬® ᮤ¥à¨âáï ¢ R. ¤à㣮© áâ®à®ë, ᮣ« á® ¯◦ 2 § 1 ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠¥ª®â®à®£® ⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª Q. Ǒ®á«¥¤¨© ᮤ¥à¨â ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , § ç¨â, ¨ ¨å ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã R. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ â® ¢à¥¬ï, ª ª P ᮤ¥à¨âáï ¢ R, R ¢ Q, á ¬ P ¢¬¥á⥠á ⥬ «¥¨â ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª Q. «¥¤®¢ ⥫ì®, P ¥áâì ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª R, â. ¥. ç áâì § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . (¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ â®çª X ¬®£®£à ¨ª P ¥ «¥¨â ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª R, â® ® «¥¨â ¢ãâਠR, â ª ª ª R ᮤ¥à¨â P . ® ⮣¤ à § Q ᮤ¥à¨â R, â® X «¥¨â ¨ ¢ãâਠQ. íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® P ¥áâì ç áâì ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª Q.) ®£« ᮠ⥮६¥ 2, R ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ¨ª ª®£® ¤à㣮£® ⥫¥á®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ⥬¨ ¥ ¢¥àè¨ ¬¨ ë¬ ®¡à §®¬
26
. .
¥ áãé¥áâ¢ã¥â. «¥¤®¢ ⥫ì®, â® ¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª , ®¡à §ãî饣® ¯®¢¥àå®áâì ®¡®«®çª¨ R, â ª ç⮠⥮६ ¤®ª § .
5. ¤ ç¨. 1. âì ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¤ ï £à ¨ç ï ¢¥àè¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ®áâ ¥âáï ¢¥à訮© ¯à¨ ¤®¯®«¥¨¨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª ¤® § ¬ªã⮣® ᮣ« ᮠ⥮६¥ 4. 2. ®ª § âì, çâ® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª «î¡®£® ¬®¥á⢠â®ç¥ª M ¥áâì ®¡é ï ç áâì ¢á¥å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ᮤ¥à é¨å M (¥á«¨ ⮫쪮 M «¥¨â å®âï ¡ë ¢ ®¤®¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥). áå®¤ï ¨§ â ª®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨, ¤®ª § âì ⥮६ë 1 ¨ 2 áâ®ï饣® ¯ à £à ä . 3. ®ª § âì, çâ® ®¡é ï ç áâì ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥áâ¢, ᮤ¥à é¨å ¤ ®¥ ¬®¥á⢮ M , ¥áâì á㬬 â¥âà í¤à®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å í⮣® ¬®¥á⢠M . (®¥á⢮ M ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï á®áâ®ï騬 «¨èì ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª. ¥âà í¤àë ¬®£ãâ ¯¥à¥ªàë¢ âìáï. â¥âà í¤à ¬ ¯à¨á®¥¤¨ïîâáï ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¥«ìëå á«ãç ¥¢ âà¥ã£®«ì¨ª¨, ®â१ª¨, â®çª¨.) → 4. Ǒãáâì ¤ ë â®çª¨ A1 , A2 , . . . , An ¨ ¨¤ã騥 ª ¨¬ ¨§ ç « O ¢¥ªâ®àë ai = −OA i. Ǒãáâì â®çª ¬ Ai ®â¥á¥ë ç¨á« mi ≥ 0 (¬ ááë). ¥â஬ âï¥á⨠íâ¨å ¬ áá §ë¢ ¥âáï → â®çª A, ïîé ïáï ª®æ®¬ ¢¥ªâ®à a = −OA , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®£® à ¢¥á⢮¬ P m1 a1 + m2 a2 + . . . + mn an mi ai a= = P m1 + m2 + · · · + mn mi P (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® mi > 0, â ª çâ® ¥ ¢á¥ mi à ¢ë ã«î). ®ª § âì, çâ® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠â®ç¥ª Ai ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥â஢ âï¥á⨠¢á¥¢®§¬®ëå ¬ áá, ¯®¬¥é ¥¬ëå ¢ í⨠â®çª¨. ®ª § âì, çâ® ®¡é ï ç áâì ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥áâ¢, ᮤ¥à é¨å ¤ ®¥ ¬®¥á⢮ M , ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥â஢ âï¥á⨠¬ áá, ¯®¬¥é ¥¬ëå ¢® ¢á¥¢®§¬®ë¥ ç¥â¢¥àª¨ â®ç¥ª ¨§ M . (M ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï á®áâ®ï騬 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª. à ¢¨âì íâã § ¤ çã á § ¤ 祩 3.) 5. Ǒ®«ã¯à®áâà á⢮, ®£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî á ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮¬ Ax + By + Cz + D ≤ 0 (¨«¨, ¯à®â¨¢, ≥ 0). Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª ª ª ®¡é ï ç áâì ¯®«ã¯à®áâà á⢠§ ¤ ¥âáï á¨á⥬®© «¨¥©ëå ¥à ¢¥áâ¢. ë â®çª¨ A1 , . . . , Am á ª®®à¤¨ â ¬¨ x1 , y1 , z1 ¨ â. ¤. ª § âì á¨á⥬㠫¨¥©ëå ¥à ¢¥áâ¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã í⮣® ¬®¥á⢠â®ç¥ª. ®íää¨æ¨¥âë ¤®«ë ¡ëâì ¢ëà ¥ë ç¥à¥§ ª®®à¤¨ âë § ¤ ëå â®ç¥ª. § 4. ¤ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬
1. Ǒ।¥«ìë© ã£®«. ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â § ¬ªã⮣® § ¢¥¤®¬® ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨. ª, ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« ¨¬¥¥â ¢á¥£® ®¤ã ¢¥àè¨ã ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ ⮫쪮 ¥¥ § ¤ ¨¥¬, ® ¥é¥ § ¤ ¨¥¬ ¯à ¢«¥¨© ¥£® ॡ¥à. 襩 楫ìî ¡ã¤¥â ¤®ª § âì, çâ® ¢á直© ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª â ª¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ¤ ª® ®ª §ë¢ ¥âáï £®à §¤® ¡®«¥¥ 㤮¡ë¬ à áᬠâਢ âì ¢¬¥áâ® ¯à ¢«¥¨© ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¬®£®£à ë© ã£®«, à¥¡à ª®â®à®£® ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª . â®â ¬®£®£à ë© ã£®« ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ á«¥¤ãî騬 ¯®áâ஥¨¥¬.
. I:
§ 4.
27
Ǒãáâì P | ¤ ë© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª. ®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã O ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ¥¥ ¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ìë¥ (¨ ®¤¨ ª®¢® ¯à ¢«¥ë¥) ¯®«ã¯àï¬ë¬, «¥ 騬 ¬®£®£à ¨ª¥ P . ⨠¯®«ã¯àï¬ë¥ § ¯®«ïâ ¥ª®â®àãî ª®¨ç¥áªãî ¯®¢¥àå®áâì á ¢¥à訮© ¢ â®çª¥ O. âã ¯®¢¥àå®áâì ¬ë §ë¢ ¥¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¬®£®£à ¨ª P . § í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ïá®, çâ® ¯à¨ § ¬¥¥ â®çª¨ O ¤à㣮© ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ⮫쪮 ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¢á¥£¤ áç¨â ¥¬ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« § ¤ ë¬ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . ®ª ¥¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¥ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®£à ë© ã£®« á à¥¡à ¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P . O O
Q
Q2
Q1
VQ
Q
q2
q1
VQ1 VQ2
p V
P ¨á. 18
¨á. 19
Ǒãáâì Q | ¡¥áª®¥ç ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¨ q , q | ¥¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à . î¡ ï ¯®«ã¯àï¬ ï p, «¥ é ï £à ¨ Q, ¤®« ¡ëâì ¯à ¢«¥ ¢ 㣮« ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ q ¨ q (à¨á. 18). âáî¤ ïá®, çâ® ¥á«¨ ¨§ â®çª¨ O ¯à®¢¥á⨠¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ìë¥ ¯®«ã¯àï¬ë¬, «¥ 騥 £à ¨ Q, â® ®¨ § ¯®«ïâ 㣮« VQ ¬¥¤ã ¯®«ã¯àï¬ë¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬ q ¨ q . â®â 㣮« ¬®® §¢ âì ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ £à ¨ Q. 祢¨¤®, çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª á« £ ¥âáï ¨§ ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, ¯à¨ç¥¬ ¥á«¨ £à ¨ Q′ , Q′′ á¬¥ë ¯® ¡¥áª®¥ç®¬ã ॡàã q, â® ¨å ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë VQ , VQ á¬¥ë ¯® ¯ à ««¥«ì®1
1
2
2
1
10)
′
10) ª
2
′′
ª ª ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, â® £à ì Q ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¨ ⮣¤ ¨§«®¥®¥ ®ç¥¢¨¤® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ®ç¥ì ¯à®áâ®. ¤ ª® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¯à¨¬¥¨¬® ¨ ª ¥¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬, ⮣¤ ª à⨠¬®¥â ãá«®¨âìáï, å®âï è¨ ¢ë¢®¤ë ¢á¥ à ¢® ®áâ ãâáï ¯® áãé¥áâ¢ã ¢¥à묨.
28
. .
¬ã ¥¬ã ॡàã. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥áâì ¬®£®£à ï¬ ¬®£®£à ¨ª (à¨á. 19).
᫨ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à £à ¨ Q ¯ à ««¥«ìë, â® ¥© ¥â ¯®«ã¯àï¬ëå ¨®£® ¯à ¢«¥¨ï ¨ ¯®â®¬ã ¥¥ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᢮¤¨âáï ª ®¤®© ¯®«ã¯àאַ©. ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥ ¬®£®£à ¨ª ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ý£à ìþ, ¢ëத¨¢è ïáï ¢ ॡà®.
᫨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ìë, â® ¨ ¢¥áì ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¢ëத ¥âáï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî (à¨á. 20, ). £à ë© ã£®«, à¥¡à ¨ £à ¨ ª®â®à®£® ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¨
O O
V P a)
b) ¨á. 20
᫨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ìë ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, â® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© 㣮« (à¨á. 20, ¡). ᥣ¤ , ª®£¤ ¬ë £®¢®à¨¬ ® ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥, í⨠á«ãç ¨ ¥ áç¨â îâáï § à ¥¥ ¨áª«îç¥ë¬¨.
᫨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¥®£à ¨ç¥® ¯®¤®¡® ᨬ âì ª ª ª®©-«¨¡® â®çª¥ O, â® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ® ¯¥à¥©¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¢ ᢮© ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« (à¨á. 21). Ǒ®í⮬㠯ਠ¥®£à ¨ç¥®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª P ª ª ª®©-«¨¡® â®çª¥ ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¨å ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë, ® á ¬ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ᢮© ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®¥â ¡ëâì â ª¥ ®¯à¥¤¥«¥ ª ª १ã«ìâ â ¡¥áª®¥ç®£® ¯®¤®¡®£® á â¨ï ¬®£®£à ¨ª . âáî¤ «¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ª®£¤ ¢¥àè¨ O ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 «¥¨â ¢ ¬®£®£à ¨ª¥, â® ¨ á ¬ ® ᮤ¥à¨âáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ (¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ë¯ãª«ë©). ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª P ª â®çª¥ O ¢á¥ ¥£® â®çª¨ X ¤¢¨ãâáï ¯® ®â१ª ¬ OX . Ǒ® ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª ®â१ª¨ OX ᮤ¥à âáï ¢ ¥¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª
. I:
§ 4.
29
¥ ¢ëáâ㯠¥â ¨§ ¯à¥¤¥«®¢ ᢮¥£® ¯¥à¢® ç «ì®£® ¯®«®¥¨ï. Ǒ®í⮬㠨 ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥¬. «¥¥, «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª | á ¬ ¢ë¯ãª«ë©. ¥©á⢨⥫ì®, ¢®§ì¬¥¬ O â®çªã O ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ Q ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¡ã¤¥¬ ¥£® ᨬ âì ª â®çª¥ O. Ǒ® ¢ë¯ãª«®á⨠® ¢á¥ ¢à¥¬ï ®áâ ¥âáï á ®¤®© áâ®à®ë ®â ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q. ¯à¥¤¥«¥ ¯®«ã稬 ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V , ª®â®àë© VQ X â ª¥ ®ª ¥âáï «¥ 騬 ¯® âã ¥ áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠£à ¨ Q. ® ® ¡ã¤¥â ⥯¥àì ¯«®áª®áâìî ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ VQ á ¬®£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ë ¤®ª Q § «¨ ⥬ á ¬ë¬, çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠ª ¤®© ᢮¥© £à ¨, â.¥. çâ® ® | ¢ë¯ãª«ë©. ᥠ¯®«ãç¥ë¥ ¢ë¢®¤ë ¬ë १à㥬 ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 â¥®à¥¬ë ® ¯à¥¤¥«ì¨á. 21 ®¬ 㣫¥: ¥®à¥¬ 1.
Ǒãáâì
ª ª®©-«¨¡® â®çª¨ «¥ 騬
O
P
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª.
᫨ ¨§
¯à®¢¥á⨠¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ìë¥ ¯®«ã¯àï¬ë¬,
P , â® ¯®«ã稬 ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« Vp
(
¬®£®£à ¨ª
P.
â® ¥áâì
)
¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« ¨«¨ ¯«®áª¨© 㣮«, ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ ï , à¥¡à ¨ £à ¨ ª®â®à®£® ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¨ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª
(¯à¨ç¥¬ ⮫쪮 ⥬ £à ï¬ P ®â¢¥ç îâ £à ¨ Vp , ¥ ¢ëத¨¢è¨¥áï ¢ ॡà , ã ª®â®àëå ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¥ ¯ à ««¥«ìë).
᫨ â®çª O «¥¨â ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® ¨ 㣮« Vp «¥¨â ¢ P (à¨á. 22). â®â 㣮« Vp ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ â ª ¥, ª ª १ã«ìâ â (â. ¥. ¯à¥¤¥«) ¡¥áª®¥ç®£® ¯®¤®¡®£® á â¨ï ¬®£®£à ¨ª P . § ¯®á«¥¤¥£® ®á®¡¥® ïá áãé®áâì ¯®ïâ¨ï ® ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥, ª ª â ª®¬ ¬®£®£à ®¬ 㣫¥, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥â ᢮©á⢠¬®£®£à ¨ª ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© ¥£® ç á⨠⠪, çâ® ª®¥ç묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨ ¯à¥¥¡à¥£ îâ. ®£®£à ¨ª, à áᬠâਢ ¥¬ë© á ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì讣® à ááâ®ï¨ï, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . 2. ¥®à¥¬ 2.
ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« ï¥âáï ¯®¢¥àå®áâìî
¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬®¥á⢠᢮¨å ॡ¥à ¨ ¯®â®¬ã ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ᢮¥© ¢¥àè¨ë ¨ ¯à ¢«¥¨© ॡ¥à. ë £®¢®à¨¬, çâ® ®
. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ⥫¥áë© ã£®« | ¢ë¯ãª«ë©, â® ¢¬¥áâ¥ á ¤¢ã¬ï «ãç ¬¨ p, q, ¨¤ã騬¨ ¨§ ¢¥àè¨ë, ® ¥®¡å®¤¨¬® ᮤ¥à¨â ¯«®áª¨© 㣮« ¬¥¤ã â¢ ¥âáï ᢮¨ ॡà
30
. .
¨¬¨, ¯®â®¬ã çâ® íâ®â 㣮« § ¯®«ï¥âáï ®â१ª ¬¨, ᮥ¤¨ïî騬¨ â®çª¨ p ¨ q. Ǒ® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥ ¢¬¥á⥠á âà¥¬ï «ãç ¬¨ p, q, r ® ᮤ¥à¨â ¨ âà¥å£à ë© â¥«¥áë© ã£®« á à¥¡à ¬¨ p, q, r. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¥á⢠ॡ¥à ¬®£®£à ®£® 㣫 ᮤ¥à¨â ¢á¥ ⥫¥áë¥ âà¥å£à ë¥ ã£«ë á à¥¡à ¬¨ íâ¨å «ãç å. ¬¥á⥠á ⥬ ⥫¥áë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¬ á®áâ ¢«ï¥âáï ¨§ â ª¨å âà¥å£à ëå 㣫®¢. Ǒ®í⮬㠮 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬®¥á⢠᢮¨å ॡ¥à, 祬 ⥮६ ¤®ª § . § ⥮६ 1 ¨ 2 ¢ë⥪ ¥â ¥®à¥¬ 3.
¤ ¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¡¥áª®-
¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª à ¢®á¨«ì® § ¤ ¨î ¯à ¢«¥¨© ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à í⮣® ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ®¯à¥¤¥«ï¥â í⨠¯à ¢«¥¨ï ¨ á ¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¨ ª ª ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠¯®«ã¯àï¬ëå, ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ ®¤®© ª ª®©-«¨¡® â®çª¨ ¢ -
. â ⥮६ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® à¥¡à ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¨ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ìë ¨ çâ® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« § ¤ ¥âáï ᢮¥© ¢¥à訮© ¨ ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ॡ¥à. § ⥮६ë 3 á«¥¤ã¥â, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¬®® ¥é¥ ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ¬®£®£à ë© ã£®«, âïãâë© ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¨§ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ ¢ ¯à ¢«¥¨ïå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ª ª ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠⠪¨å ¯®«ã¯àï¬ëå. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P ¬®® ¯®«ãç¨âì ¥é¥ ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨. ®-¯¥à¢ëå, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¨«¨ ¢ãâਠ¥£® ¢§ïâì «î¡ãî â®çªã O ¨ ¯à®¢¥á⨠¨§ ¥¥ ¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ᮤ¥à 騥áï ¢ ⥫¥, ®£à ¨ç¥®¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P , â® ®¨ § ¯®«ïâ ⥫¥áë© ã£®«, ¯®¢¥àå®áâì ª®â®à®£® ¨ ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¬®£®£à ¨ª P . ®-¢â®àëå, ¥á«¨ ç¥à¥§ ª ªãî-«¨¡® â®çªã O ¯à®¢¥á⨠¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ ¯«®áª®áâï¬ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P , â® ®¨ ®£à ¨ç â ⥫¥áë© ã£®«, ¯®¢¥àå®áâì ª®â®à®£® ¨ ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬. ®¢®àï â®ç®, à¥çì ¨¤¥â ® ⮬ ⥫¥á®¬ 㣫¥, ª®â®àë© ¯®«ãç ¥âáï ª ª ®¡é ï ç áâì â¥å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯à®¢¥¤¥ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ, ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ª®â®àë¬ ¯ à ««¥«ìë ¢¥è¨¬ ®à¬ «ï¬ ª ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª . (¥§ í⮣® ãá«®¢¨ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥ ®¤®§ ç®, â ª ª ª, ¯à ¢«¥¨ïå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª
¨á. 22
. I:
§ 4.
31
¯à¨¬¥à, âਠ¯«®áª®á⨠®£à ¨ç¨¢ îâ ®¤®¢à¥¬¥® ¢®á¥¬ì âà¥å£à ëå 㣫®¢.) ®, çâ® ®¡ 㪠§ ëå ¯®áâ஥¨ï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤ î⠯।¥«ìë© ã£®«, ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì, â ª ª ª íâ® ¬ ¥ ¯® ¤®¡¨âáï. ¯à®ç¥¬, १ã«ìâ ⠯।áâ ¢«ï¥âáï ¤®áâ â®ç® ®ç¥¢¨¤ë¬, â®ç®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¬®¥â á«ã¨âì å®à®è¥© § ¤ 祩. 3. «ï ¤ «ì¥©è¥£® ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãîé ï «¥¬¬ : ¥¬¬ .
¬ãî
a,
᫨ ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P
ᮤ¥à¨â ¯®«ã¯àï-
â® ® ᮤ¥à¨â ¨ ¢áïªãî ¯ à ««¥«ìãî ¥© ¨ â ª ¥ ¯à ¢«¥ãî
B. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì R | ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ®£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî ª ª®©-«¨¡® £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ᮤ¥à 饥 P . Ǒ®«ã¯àï¬ ï a «¥¨â ¢ í⮬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ ¨ ¢ ¥¬ ¥ «¥¨â â®çª B . ® ⮣¤ ¨á室ïé ï ¨§ B ¯®«ã¯àï¬ ï b, ¯ à ««¥«ì ï a, â ª¥ «¥¨â ¢ R. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã¯àï¬ ï b «¥¨â ¢® ¢á类¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, ®£à ¨ç¥®¬ ¯«®áª®áâìî ª ª®©«¨¡® £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ᮤ¥à 饬 P . â ª ª ª ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ®¡é ï ç áâì â ª¨å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, â® ¯®«ã¯àï¬ ï b ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¯®«ã¯àï¬ãî b, ¨á室ïéãî ¨§ «î¡®© ¥£® â®çª¨
¥®à¥¬ 4.
¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥-
«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ᢮¨å ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ¥áâì ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£-
. ª ª ª ᮣ« ᮠ⥮६¥ 3 § ¤ ¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 à ¢®á¨«ì® 㪠§ ¨î ¯à ¢«¥¨© ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª , ⮠⥮६ã 4 ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ â ª: «®¬, ¥á«¨ ⮫쪮 ¢¥àè¨ í⮣® ¯®á«¥¤¥£® 室¨âáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥
¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ᢮¨å ¢¥à-
è¨ ¨ ¯à ¢«¥¨© ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ¥áâì ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯®«ã¯àï¬ë¬¨, ¯à®¢¥¤¥ë¬¨
. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, a R | ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V . ë áç¨â ¥¬ ¢¥àè¨ã 㣫 V 室ï饩áï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P , ⮣¤ ¨ á ¬ 㣮« V ᮤ¥à¨âáï ¢ P , ¢¥à¥¥, ¢ ⥫¥á®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P , ®£à ¨ç¥®¬ ¬®£®£à ®© ¯®¢¥àå®áâìî P . ª ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª R ¢¥àè¨ ¨ 㣫 V ¥áâì ®¡é ï ç áâì ¢á¥å ᮤ¥à é¨å ¨å ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, â® ® ᮤ¥à¨âáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P . ®ª ¥¬, çâ®, ¨ ®¡à â®, P ᮤ¥à¨âáï ¢ R. ª ª ª ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à âáï ¢ R, â® ¯® ¢ë¯ãª«®á⨠⥫ R ¢ ¥¬ ᮤ¥à âáï â ª¥ ¢á¥ ª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P . «¥¥, R ᮤ¥à¨â 㣮« V ¨ ⥬ á ¬ë¬ á®¤¥à¨â ¥£® ॡà , â.¥. ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P . ® ⮣¤ ¯® ¤®ª § ®© ¢ëè¥ «¥¬¬¥ R ᮤ¥à¨â
¨§ «î¡®© ¥£® â®çª¨ ¢ ¯à ¢«¥¨ïå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à
32
. .
â ª¥ ¯ à ««¥«ìë¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ¨¤ã騥 ¨§ «î¡ëå ¥£® â®ç¥ª. Ǒਨ¬ ï § í⨠â®çª¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , ¬ë ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® R ᮤ¥à¨â â ª¥ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à í⮣® ¬®£®£à ¨ª . ª¨¬ ®¡à §®¬, R ᮤ¥à¨â ¢á¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P . ® ¥á«¨ ¢ë¯ãª« ï 䨣ãà ᮤ¥à¨â ¢á¥ áâ®à®ë ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , â® ® , ®ç¥¢¨¤®, ᮤ¥à¨â ¨ á ¬ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª . Ǒ®í⮬ã R ¢¬¥á⥠á à¥¡à ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â ¨ ¢á¥ ¥£® £à ¨, â.¥. ¢áî ¥£® ¯®¢¥àå®áâì. ¬¥áâ¥ á ¥© R ᮤ¥à¨â ¨ á ¬ë© ¬®£®£à ¨ª. (âண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ¯®á«¥¤¥£®, ®ç¥¢¨¤®£® ã⢥थ¨ï ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. Ǒãáâì X | «î¡ ï â®çª ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ஢¥¤¥¬ ¯«®áª®áâì ç¥à¥§ â®çªã X ¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª P . â ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ç¥â P ¯® ¢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, áâ®à®ë ª®â®à®£® «¥ â ¯®¢¥àå®á⨠P ¨ ¯®â®¬ã ᮤ¥à âáï ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ R.
᫨ ¥ ¢á¥ áâ®à®ë ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ᮤ¥à âáï ¢ ª ª®©-«¨¡® ¢ë¯ãª«®© 䨣ãॠR, â® ® ¢¥áì ¢ ¥© ᮤ¥à¨âáï. ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï â®çª X ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ ¥âáï «¥ 饩 ¢ R, â. ¥. ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨âáï ¢ R.) â ª, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® ª ª P ᮤ¥à¨â R, â ª ¨ R ᮤ¥à¨â P , â. ¥. ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ¬¥á⥠á ⥬ ᮢ¯ ¤ îâ ¨å ¯®¢¥àå®áâ¨, â ª çâ® ¬®£®£à ¨ª P ï¥âáï ¯®¢¥àå®áâìî ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ R ¥£® ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 4. à ¢¨¬ ¤®ª § ãî ⮫쪮 ç⮠⥮६ã 4 á ⥮६®© 1 § 3 ® ⮬, çâ® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ᢮¨å ¢¥àè¨. ®® áç¨â âì, çâ® ¯à ¢«¥¨ï ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ª ª ¡ë § ¤ îâ ý¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ë¥ ¢¥àè¨ëþ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . â® áâ ®¢¨âáï ®á®¡¥® ïáë¬, ¥á«¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª ª ª ¯à¥¤¥« ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ç áâ®áâ¨, ॡà , á室ï騥áï ¢ ®¤®© ¢¥à訥, ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¥¥ 㤠«¥¨¨ áâ ®¢ïâáï ¯ à ««¥«ì묨, ¨ ¯®â®¬ã ïá®, çâ® ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à § ¤ îâ ®¤ã ý¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ãî ¢¥àè¨ãþ ¢ ᮣ« ᨨ á ⥬, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤® ¯à ¢«¥¨¥. 11)
11) ®ª § ⥫ìá⢮ (à¨á.
23). Ǒãáâì Q | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ A | ª ª 﫨¡® ¥£® ¢¥àè¨ . ®£®ã£®«ì¨ª Q ᮤ¥à¨âáï ¢ 㣫¥ ¬¥¤ã ¯®«ã¯àï¬ë¬¨ p, q, ¨¤ã騬¨ ¨§ ¢¥àè¨ë A ¢¤®«ì á室ïé¨åáï ¢ ¥© áâ®à®. Ǒãáâì X | A «î¡ ï â®çª ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. Ǒ஢¥¤¥¬ ç¥à¥§ ¥¥ ¯àï¬ãî, ¯¥à¥á¥ª îéãî ¯®«ã¯àï¬ë¥ p ¨ q. â ¯àï¬ ï ¯¥à¥á¥ç¥â ¯¥à¨¬¥âà p Y X Z q ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ ¤¢ãå â®çª å Y , Z . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢ë¯ãª« ï 䨣ãà ᮤ¥à¨â ¢á¥ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, â® ® ᮤ¥à¨â ®â१®ª Y Z , ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ â®çªã X . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ â®çª¨ X Q ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ᮤ¥à âáï ¢ í⮩ 䨣ãà¥. (â® § ¬¥ç ¨¥ ¨á¯®«ì§ã¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢¥àè¨. ¥§ í⮣® ®® ¬®¥â ¡ëâì ¥¢¥àë¬, ¯®â®¬ã çâ® ¯®«ã¯«®áª®áâì ¬®¥â ᮤ¥à âì ¯àï¬ãî, ®£à ¨ç¨¢ îéãî ¤àã£ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì, ¥ ᮤ¥à éãîáï ¢ ¤ ®©.) ¨á. 23
. I:
§ 4.
33
â® § ¬¥ç ¨¥ ¬®£«® ¡ë ¡ëâì ¯®«®¥® ¢ ®á®¢ã ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 4, ¨ ¬ë ᥩç á ¬¥â¨¬ ¥£® ®á®¢¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ® ⮬, çâ® ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ â®ç¥ª ¨ ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬ V , ¥áâì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª A1 Ak á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V . Ǒãáâì A , A2 A , . . . , Am | ¤ ë¥ â®çª¨ ¨ V | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«, ¢¥àè¨ã ª®â®à®£® ¬ë áç¨â ¥¬ ®¤®© ¨§ â®ç¥ª A , . . . , Am (à¨á. 24). Ǒ஢¥¤¥¬ ¯«®áª®áâì Q, ¯¥à¥á¥ª îéãî ¢á¥ V′ Q ॡà 㣫 V , â ª çâ® ®â ¥£® ®âá¥Bj ª ¥âáï ¯¨à ¬¨¤ V ′. Ǒ«®áª®áâì Q ¢®§ì¬¥¬ â ª ¤ «¥ª® ®â ¢¥àè¨ë 㣫 V , çâ®¡ë ¢á¥ â®çª¨ Ai «¥ «¨ ®â ¥¥ ¯® âã ¥ áâ®à®ã, çâ® ¨ ¥£® ¢¥àè¨ . Ǒ«®áª®áâì Q ¯¥à¥á¥ª ¥â ॡà bj b , b , . . . , bn 㣫 V ¢ â®çª å B , B , . . . , Bn . Ǒ® ⥮६¥ 2 § 3 ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠¢á¥å â®ç¥ª Ai ¨ Bj ¡ã¤¥â ¥ª®â®àë¬ ¢ë¯ãª¨á. 24 «ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P ′, ᮤ¥à 騬 ¯¨à ¬¨¤ã V ′. ( à¨á. 24 à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ′ ®¡®§ ç¥ë èâà¨å ¬¨.)
᫨ ¯«®áª®áâì Q ®â®¤¢¨£ âì ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, â® ¬®£®£à ¨ª P ′ ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï ¨ ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¤ áâ ¬®£®£à ¨ª P , ᮤ¥à 騩 ¢¥áì ¤ ë© ã£®« V . â®â ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© â®ç¥ª A , . . . , Am ¨ 㣫 V . ®£¤ â®çª Bj 㤠«ï¥âáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¯® ॡàã bj 㣫 V , â® ¢á直© ®â१®ª Ak Bj , ¨¤ã騩 ¨§ ¤ ®© â®çª¨ Ak , áâ६¨âáï ª ¯ à ««¥«ì®á⨠ॡàã bj . âáî¤ ¬®® § ª«îç¨âì, çâ® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ¯ à ««¥«ìë à¥¡à ¬ 㣫 V , â ª çâ® V ¨ ¥áâì ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«, ¯®áª®«ìªã ᮣ« ᮠ⥮६¥ 3 ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¥® ¯ à ««¥«ì®áâìî ¥£® ॡ¥à ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª . ¬¥ç¥®¥ à áá㤥¨¥ 㤠¥âáï ¢ ãâ®ç¥¨¨ ¢ à拉 ¯ãªâ®¢. ã® ¤®ª § âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ª ª ¯à¥¤¥« ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¬ ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬. ã® â ª¥ ¤®ª § âì, çâ® ® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , ¯ à ««¥«ìë¥, ᮮ⢥âá⢥®, ¢á¥¬ à¥¡à ¬ 㣫 V , ¥ ⮫쪮 ¥ª®â®àë¬ ¨§ ¨å, ¨ ¤à. áâ ¢«ïï ãâ®ç¥¨¥ ¬¥ç¥®£® à áá㤥¨ï ç¨â ⥫î, ¬ë ¤ ¤¨¬ ᥩç á ¨áç¥à¯ë¢ î饥 ¤®ª § ⥫ìá⢮ 㪠§ ®© ⥮६ë, ®á®¢ ®¥ ¤à㣨å á®®¡à ¥¨ïå, ¡¥§ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®â ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 1
2
1
1
2
1
2
1
34
. .
5. ¥®à¥¬ 5.
Ǒ®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®©
ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ â®ç¥ª
A1 , . . . , Am ¨ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬ V , P , ¤«ï ª®â®à®£® V ï¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£-
¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
. (
᫨ 㣮« V ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© 㣮« ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ãî, â®çª¨ A , . . . , Am «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠á V , â® ¬®£®£à ¨ª P ¢ëத ¥âáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª. â®¡ë ®¡®©â¨áì ¡¥§ ®£®¢®à®ª, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¬®«ç «¨¢® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® íâ®â á«ãç © ¥ ¨áª«îç ¥âáï. ¯®¬¨¬ ¥é¥, çâ® ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬ë áç¨â ¥¬ ¥ ᮤ¥à 騬¨ ¯àï¬ëå ᮣ« á® ãá«®¢¨î, ¯à¨ï⮬㠢 ¯◦ 3 § 1.) ¥àè¨ã 㣫 V ¬®® áç¨â âì ®¤®© ¨§ â®ç¥ª Ai , á⮨⠫¨èì ¯à¨á®¥¤¨¨âì ¥¥ ª í⨬ â®çª ¬. «ï 㤮¡á⢠¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¯®¤ ¬®£®£à ¨ª ¬¨ ¨ 㣫 ¬¨ ⥫¥áë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨ 㣫ë. ®ª § ⥫ìá⢮ ¡ã¤¥¬ ¢¥á⨠¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ॡ¥à 㣫 V . Ǒãáâì 㣮« V ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ© a. Ǒ®áâந¬ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠¤ ëå â®ç¥ª A , . . . , Am . ®£« ᮠ⥮६¥ 2 § 3, ® ¡ã¤¥â ¥ª®â®àë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P . 㤥¬ ¯¥à¥®á¨âì ¯®«ã¯àï¬ãî a ¯ à ««¥«ì® ᥡ¥ â ª, çâ®¡ë ¥¥ ç «® § ç¥à稢 «® ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª P . § ç¥àâ¨â ¥ª®â®à®¥ ⥫® P (à¨á. 25). Ǒãáâì â®çª X «¥¨â ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª P . á室ïé ï ¨§ ¥¥ ¯®«ã¯àï¬ ï aX , ¯ à ««¥«ì ï a, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®¢¥àå®áâì ¬®£®£à ¨ª P . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® â® ¥ ⥫® ¯®«ãç¨âáï, ¥á«¨ ¯¥à¥®á¨âì ç «® ¯®«ã¯àאַ© a ⮫쪮 ¯® £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P . ® ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¯® £à ¨ Q ¯®«ã¯àï¬ ï a § ç¥àâ¨â ¡¥áª®¥çãî ¢ ®¤ã áâ®à®ã ¯à¨§¬ã á ®á®¢ ¨¥¬ Q ¨ ¡®ª®¢ë¬¨ à¥¡à ¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 a. ᥠ⥫® P á®áâ ¢«ï¥âáï ¨§ â ª¨å ¯à¨§¬ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®í⮬㠬®£®£à ¨ª. ®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë©. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ X ¨ Y | ¤¢¥ ¥£® â®çª¨, â® ¯® ¯®áâ஥¨î ®¨ «¥ â ¯®«ã¯àï¬ëå aX , aY , ¨¤ãé¨å ¨§ ¥ª®â®àëå â®ç¥ª X , Y ¬®£®£à ¨ª P ¯ à ««¥«ì® ¯®«ã¯àאַ© a (à¨á. 26). â१®ª X Y ᮤ¥à¨âáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P , â ª ª ª ® | ¢ë¯ãª«ë©. Ǒ®í⮬㠯®«ã¯àï¬ë¥, ¨¤ã騥 ¨§ â®ç¥ª í⮣® ®â१ª ¯ à ««¥«ì® a, ᮤ¥à âáï ¢ P . ® ®¨ ®¡à §ãîâ ¯®«®áã ¬¥¤ã aX , aY , ¯®â®¬ã ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢¬¥á⥠á â®çª ¬¨ X , Y ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â ®â१®ª XY , 祬 ¥£® ¢ë¯ãª«®áâì ¤®ª § . ®£®£à ¨ª P | ¢ë¯ãª«ë© ¨ ᮤ¥à¨â â®çª¨ Ai ¨ ¯®«ã¯àï¬ãî a; ¯®í⮬㠮 ᮤ¥à¨â ¨ ¨å ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã R. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª R, ®ç¥¢¨¤®, ᮤ¥à¨â ¬®£®£à ¨ª P ª ª ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ®¤¨å â®ç¥ª A , . . . , Am . ஬¥ ⮣®, ◦ ᮣ« á® ¤®ª § ®© ¢ ¯ 3 «¥¬¬¥, ¥á«¨ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨â P ¨ ¯®«ã¯àï¬ãî a, â® ® ᮤ¥à¨â ¢áïªãî ¯ à ««¥«ìãî ¥© ¯®«ã¯àï¬ãî, ¨¤ãéãî ¨§ â®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª P . ë¯ãª« ï ®¡®«®çª R ª ª ®¡é ï ç áâì «®¬ 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
1
0
0
. I:
§ 4.
35
â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¡« ¤ ¥â ⥬ ¥ ᢮©á⢮¬, â. ¥. ᮤ¥à¨â ¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥ a, ¨¤ã騥 ¨§ â®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª P . ® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ® ᮤ¥à¨â ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª P . 0
X0
Q
P0
P0
Y0
a
Y
a P
X aX ¨á. 25
aY ¨á. 26
â ª, ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª R ᮤ¥à¨â ¬®£®£à ¨ª P ¨ á ¬ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¥áâì íâ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª . ᥠ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P , ª ª ïá® ¨§ ¥£® ¯®áâ஥¨ï, ¯ à ««¥«ìë ¯®«ã¯àאַ© a. Ǒ®í⮬㠥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¨ ¥áâì íâ ¯®«ã¯àï¬ ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ 㣮« V ᢮¤¨âáï ª ®¤®© ¯®«ã¯àאַ© a, ⥮६ ¤®ª § .
᫨ ¤ 㣮« V á n à¥¡à ¬¨ a , a , . . . , an , â® ¨áª®¬ë© ¬®£®£à ¨ª P áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®. ç « , ¯¥à¥®áï ç «ìãî â®çªã ॡà a ¯® ¬®£®£à ¨ªã P , ¯®«ãç ¥¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¯®â®¬, ¯¥à¥®áï ç «® ॡà a ¯® P , ¯®«ãç ¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ¨ â. ¤. ®¯ãá⨬, ç⮠⥮६ ¢¥à ¢ á«ãç ¥ 㣫 á n − 1 ॡ஬, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥¥ ¤«ï 㣫 V á n à¥¡à ¬¨ a , . . . , an .
᫨ ¯à®¢¥á⨠¯«®áª®áâì ç¥à¥§ ॡ′ à a ¨ an− , â® ® ®â¤¥«¨â ॡ஠an , ¨ ¬ë ¯®«ã稬 㣮« V á n − 1 ॡ஬ a , a , . . . , an− (à¨á. 27, ). Ǒãáâì P ′ | ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ¤ 묨 â®çª ¬¨ A , . . . , Am ¨ 㣫®¬ V ′ . Ǒ® ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ® ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V ′. Ǒ¥à¥®áï ¯® ¢á¥¬ â®çª ¬ ¬®£®£à ¨ª P ′ ç «® ¯®«ã¯àאַ© an , ïî饩áï n-¬ ॡ஬ ¤ ®£® 㣫 V ,′ ¯®«ã稬 ⥫® P . Ǒ®¢â®àïï ¯à¥¤ë¤ã騥 à áá㤥¨ï á § ¬¥®© P P ¨ a an , ã¡¥¤¨¬áï ¢ ⮬, ç⮠⥫® P ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 ᮡ®© ¢ë¯ãª«ãî ®¡®1
2
1
0
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
0
36
. .
«®çªã 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ¬®£®£à ¨ª®¬ P ′ ¨ ¯®«ã¯àאַ© an . ® P ′ á ¬ ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© â®çª ¬¨ A , . . . , Am ¨ 㣫®¬ V ′, 㣮« V ′ (¯® ⥮६¥ 2) ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠᢮¨å ॡ¥à a , a , . . . , an− . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª A , . . . , Am ¨ ¢á¥å ¯®«ã¯àï¬ëå a , . . . , an , â.¥. ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© â®çª ¬¨ A , . . . , Am ¨ 㣫®¬ V . 12)
1
1
2
1
1
1
1
O O
S
Q
a1 an
an-1
an
a)
b) ¨á. 27
⨠§ ª«îç¥¨ï ®á®¢ ë ®ç¥¢¨¤®¬ § ¬¥ç ¨¨: ¥á«¨ G | ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë F , a G′ ′ | 䨣ãàë F ∪ F ′, â® G′ | â ª¥ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë G ∪ F . ®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ á ¬®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨. áâ ¥âáï ¤®ª § âì, ç⮠㣮« V ¡ã¤¥â ¥£® ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬. ª ª ª V ′ ¥áâì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª P ′, â® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ã V ′ ¨ P ′ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë. Ǒਠ¯¥à¥¥á¥¨¨ ¯®«ã¯àאַ© an ¯® â®çª ¬ ¬®£®£à ¨ª P ′ ®¢ëå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à, ªà®¬¥ ¯ à ««¥«ìëå an , ¥ ¯à¨¡ ¢¨âáï, ¯®â®¬ã çâ® ª P ′ ¯à¨¡ ¢«ïîâáï ⮫쪮 ¯à¨§¬ë á ®á®¢ ¨ï¬¨ ¥£® £à ïå ¨ á ¡®ª®¢ë¬¨ à¥¡à ¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 an . 13)
12) ®£®£à ¨ª P ′ ⥯¥àì ¡¥áª®¥çë©, ¯®â®¬ã ¯®«ã¯àï¬ ï, ¨¤ãé ï ¨§ãâਠ¬®£®£à ¨ª P ′ , ¬®¥â ¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª âì ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨. ® ⮣¤ ® ¯¥à¥á¥ª ¥â ¥£® ¯®¢¥àå®áâì ¯à¨ ¯à®¤®«¥¨¨ ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®ãî áâ®à®ã, â ª ª ª ¨ ç¥ P ′ ᮤ¥à « ¡ë 楫ãî ¯àï¬ãî, çâ® ¨áª«î祮 ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î. Ǒ®í⮬㠢ᥠ¯à¥¨¥ ¢ë¢®¤ë ¯®¢â®àïîâáï ¤®á«®¢®. 13) ®£®£à ¨ª P á« £ ¥âáï ¨§ â ª¨å ¯à¨§¬ á ®á®¢ ¨ï¬¨ £à ïå P ′ , ® ⥯¥àì í⨠¯à¨§¬ë ¬®£ãâ ¨¬¥âì ¡¥áª®¥çë¥ ®á®¢ ¨ï | ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ .
. I:
§ 4.
37
âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ¬®£ãâ ¡ëâì ¯ à ««¥«ìë ⮫쪮 ¯®«ã¯àï¬ë¬ a , . . . , an , â. ¥. à¥¡à ¬¨ 㣫 V . ¤ ª® ®áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ª ¤®© ¯®«ã¯àאַ© aj ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®â¢¥ç ¥â å®âï ¡ë ®¤® ॡ஠¬®£®£à ¨ª P . ®¯ãá⨬, çâ®, ¯à¨¬¥à, ¯®«ã¯àאַ© ak ¥ ®â¢¥ç ¥â ¨ª ª®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P . ®£®£à ¨ª P ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª A , A , . . . , Am ¨ ¯®«ã¯àï¬ëå a , a , . . . , an ¯®«®áâìî ¨¬¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï. Ǒ®í⮬㠢 ¥£® ¯®áâ஥¨¨ ¯®à冷ª ¯®«ã¯àï¬ëå aj ¥ ¬®¥â ¨£à âì ஫¨, ¨ ¬ë ¬®¥¬ áç¨â âì, çâ® ¨¬¥® ¯®«ã¯àï¬ ï ak ¡ë« ¯®á«¥¤¥© an . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¨¬¥® ¯®«ã¯àאַ© an ¥ ®â¢¥ç ¥â P ¨ª ª®¥ ॡà®. Ǒãáâì V ′′ | ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª P .
£® à¥¡à ¯ à ««¥«ìë à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¯®â®¬ã ¢á¥ ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯®«ã¯àï¬ë¥ aj , ªà®¬¥ ¥ª®â®àëå ¨ ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ (ᮣ« ᮠᤥ« ®¬ã ¯à¥¤¯®«®¥¨î) ªà®¬¥ an . Ǒ®í⮬ã V ′′ ¥áâì ⮫쪮 ç áâì 㣫 V á® ¢á¥¬¨ à¥¡à ¬¨ a , . . . , an . ¥¡à® an ®â¤¥«ï¥âáï ®â 㣫 V ′′ ¯«®áª®áâìî ¥£® £à ¨ S á à¥¡à ¬¨ a ′′, an− (¨«¨ ¤à㣨¬¨, ¥á«¨, ᪠¥¬, a ¨«¨ an− ¥ ïîâáï à¥¡à ¬¨ 㣫 V ). Ǒ® ⥮६¥ 1 ® ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥ ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â £à ì Q, ¯ à ««¥«ìãî S (à¨á. 27, ¡). Ǒ¥à¥®áï ¢¥àè¨ã 㣫 V ′′ £à ì Q, ¬ë ã¡¥¤¨¬áï ⮣¤ , ç⮠ॡ஠an ®ª ¥âáï ¢¥ ¬®£®£à ¨ª P . â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â á ¬®¬ã ¯®áâ஥¨î ¬®£®£à ¨ª P ª ª § ç¥à稢 ¥¬®£® ¯®«ã¯àï¬ë¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 an . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ®, çâ® ¢á¥¬ à¥¡à ¬ 㣫 V ®â¢¥ç îâ ¯ à ««¥«ìë¥ ¨¬ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P , â ª çâ® V ¨ ¥áâì ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. ¥®à¥¬ ¤®ª § ¯®«®áâìî. ¥®à¥¬ 5 . Ǒਠãá«®¢¨ïå ⥮६ë 5 ¬®£®£à ¨ª P ¬®¥â ¨¬¥âì 1
1
2
1
2
1
1
1
¢¥àè¨ë ⮫쪮 ¢ ¤ ëå â®çª å
1
1
A1 , A2 , . . . , Am .
î¡ ï ¨§ ¨å ¡ã¤¥â ¢¥à-
訮© ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ® ¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© ®áâ «ì묨 â®çª ¬¨ ⮬, ª®¥ç®, ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥àè¨ ã£«
V
Ai
¨ 㣫®¬
(¯à¨
V
室¨âáï ¢ ®¤®© ¨§ ®áâ «ì-
). ®, çâ® ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ¬®£ãâ «¥ âì ⮫쪮 ¢ â®çª å A , . . . , Am , ¢¨¤® ¨§ á ¬®£® ¥£® ¯®áâ஥¨ï. ¥©á⢨⥫ì®, ¬ë ç¨ «¨ ¯®á«¥¤¥¥ á ¯®áâ஥¨ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ P ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª A , . . . , Am . ®£« ᮠ⥮६¥ 2 § 3, ¥¥ ¢¥àè¨ë «¥ â ⮫쪮 ¢ íâ¨å â®çª å, ¯à¨ ¯à®¢¥¤¥¨¨ ¯®«ã¯àï¬ëå, ¯à¨¢®¤ï饬 ª ¯®áâ஥¨î ¬®£®£à ¨ª P , ®¢ë¥ ¢¥àè¨ë ¥ ¬®£ã⠯ਡ ¢¨âìáï. Ǒãáâì P ′ | ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª 䨣ãàë, ®¡à §®¢ ®© 㣫®¬ V ¨ ¢á¥¬¨ â®çª ¬¨ Ai , ªà®¬¥ Am . ®£« á® ¨§«®¥®¬ã, ® ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ⮫쪮 ¢ â®çª å A , . . . , Am− .
᫨ â®çª Am ᮤ¥àëå â®ç¥ª
1
0
1
1
1
38
. .
¨âáï ¢ P ′, â® ¥¥ ¯à¨á®¥¤¨¥¨¥ ¨ç¥£® ¥ ¬¥ï¥â, ¯®â®¬ã P ′ ᮢ¯ ¤ ¥â á P , â ª çâ® ¨ P ¥ ¨¬¥¥â ¢¥àè¨ë Am . ¡à â®, ¥á«¨ Am ¥ ï¥âáï ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P , â® ® «¥¨â ¢ P ′. ¥©á⢨⥫ì®, ᮣ« ᮠ⥮६¥ 4, P ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᢮¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V ¨ ¢¥àè¨. ª ª ª á।¨ ¨å ¥â Am, â® P ᮢ¯ ¤ ¥â á P ′, â ª çâ® ¨ P ′ ᮤ¥à¨â â®çªã Am. ¥®à¥¬ ¤®ª § . ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ⥮६¥ 4 ¬®£®£à ¨ª ï¥âáï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᢮¨å ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, £¤¥ ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ «¥¨â ¢¥àè¨ ã£« V . ¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ⥮६ë 5 «¥ â ¢ â®çª å Ai , ¨§ ᤥ« ®£® ᥩç á § ¬¥ç ¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥àè¨ã 㣫 V ¬®® ¡à âì £¤¥ 㣮¤® ¢ P , ¢ ç áâ®á⨠¥¥ ¬®® ¡à âì ¢ «î¡®© â®çª¥ ¬®£®£à ¨ª P , ®¡à §ãî饣® ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª Ai . 0
6. ¥®à¥¬ 6.
ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®¥ç®© ᮢ®ªã¯®á⨠¯®«ã¯àï¬ëå,
¨á室ïé¨å ¨§ ®¤®© â®çª¨ ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«.
£® à¥¡à ¬¨ á«ã â ¤ ë¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, ® ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢á¥. î¡ ï ¨§ ¨å ¡ã¤¥â ¥£® ॡ஬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå ¯®«ã-
(
᫨ ¯®«ã¯àï¬ë¥ «¥ â ¢ ¯«®áª®áâ¨, â® ¨å ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¡ã¤¥â ¯«®áª¨¬ 㣫®¬.) Ǒãáâì ¯®«ã¯àï¬ë¥ a , . . . , am ¨¤ãâ ¨§ â®çª¨ O ¢ãâàì ¯®«ã¯à®áâà á⢠R, ®£à ¨ç¥®£® ¯«®áª®áâìî Q, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã O. ®£¤ ¢áïª ï ¯«®áª®áâì Q′ , ¯à®å®¤ïé ï ¢ãâਠ¯®«ã¯à®áâà á⢠R ¯ à ««¥«ì® Q, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯®«ã¯àï¬ë¥ a , . . . , am ¢ ¥ª®â®àëå â®çª å A , . . . , Am . ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª O, A , . . . , Am , ᮣ« ᮠ⥮६¥ 2 § 3, ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. â®â ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¨à ¬¨¤ã á ¢¥à訮© O ¨ á ®á®¢ ¨¥¬ ¯«®áª®á⨠Q′ . 祢¨¤® â ª¥, çâ® íâ ¯¨à ¬¨¤ P ï¥âáï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᮢ®ªã¯®á⨠®â१ª®¢ OA , . . . , OAm.
᫨ ⥯¥àì ®â®¤¢¨£ âì ¯«®áª®áâì Q′ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, â® ¯¨à ¬¨¤ P ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¯à¥¢à â¨âáï ¢ ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« V , ª®â®àë© ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 a , . . . , am . (â® ïá® ¨§ ⮣®, çâ® â ª ï ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¤®« ᮤ¥à âì ¢á¥ ®â१ª¨ OAi ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢á¥ ¯¨à ¬¨¤ë P .) Ǒ® ⥮६¥ 2 § 3 â®çª Ak ¡ã¤¥â ¢¥à訮© ¯¨à ¬¨¤ë P ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå â®ç¥ª O, A , . . . , Ak− , Ak , . . . , Am . Ǒ®í⮬㠨 ®â१®ª OAk ¡ã¤¥â ॡ஬ ¯¨à ¬¨¤ë P ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå ®â१ª®¢ OAi. ¯à¥¤¥«¥ ¬ë ¯®«ã稬 â®â ¥ १ã«ìâ â ¤«ï ¯®«ã¯àאַ© ak . â® áâ ®¢¨âáï ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤ë¬, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ¯à¨ ᬥ饨¨ ¯«®áª®á⨠Q′ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¯¨à ¬¨¤ P ¯àï¬ëå.
1
1
1
1
1
1
1
1
+1
. I:
§ 5.
39
⮫쪮 ¯®¤®¡® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¨§ â®çª¨ O, â ª çâ® ¢á类¥ ¥¥ ॡ஠®áâ ¥âáï ¥¥ ॡ஬ ¨ ¢á直© ®â१®ª OAk , ¥ ïî騩áï ॡ஬, ¥ áâ ®¢¨âáï ॡ஬. ¥®à¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤®ª § . (
᫨ ¯®«ã¯àï¬ë¥ a , a , . . . , an ¥ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® ¨å ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¡ã¤¥â ¢á¥ ¯à®áâà á⢮.
᫨ ¥ ®¨ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R, ® ¥ ¨¤ãâ ¢ãâàì ¨ª ª®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠, â® ¨å ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¡ã¤¥â «¨¡® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R, «¨¡® ¤¢ã£à ë© ã£®« á ॡ஬ ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î饩 R.) 1
2
1. ®ª § âì á«¥¤ãî饥 ®¡®¡é¥¨¥ ⥮६ 5 ¨ 6. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®¥ç®© ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª Ai ¨ ¯®«ã¯àï¬ëå aj , ¨¤ãé¨å ¨§ ¥ª®â®àëå ¨§ íâ¨å â®ç¥ª ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª.
£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠¯®«ã¯àï¬ëå aj , ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ ®¤®© â®çª¨. ¥àè¨ë ¥£® «¥ â ⮫쪮 ¢ â®çª å Ai , ® «î¡ ï ¨§ ¨å ¡ã¤¥â ¢¥à訮© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ãâàì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå â®ç¥ª ¨ ¯®«ã¯àï¬ëå aj . Ǒ®«ã¯àï¬ë¥ aj ¬®® ¯¥à¥®á¨âì ¯ à ««¥«ì® ᥡ¥ â ª, ç⮡ë ç « ¨å ¥ ¯®ª¨¤ «¨ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª Ai , ¨ ¬®£®£à ¨ª ®â í⮣® ¥ ¬¥ï¥âáï. 2. ®ª § âì ⥮६ë 2{6, ¨áå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ª ª ®¡é¥© ç á⨠¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ᮤ¥à é¨å ¤ ®¥ ¬®¥á⢮. (à. á § ¤ 祩 2 § 3.) 3. ®ª § âì ⥮६ë 5 ¨ 5 ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã â®ç¥ª A1 , A2 , . . . , Am . 4. ®ª § âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , ¤®¯®«¨â¥«ì® 㪠§ ë¥ ¢ ¯◦ 2, à ¢®á¨«ìë ®á®¢®¬ã (¢ á«ãç ¥ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢). 5. ®ª § âì, çâ® ¢á直© ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¬®¥â ¡ëâì ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¤®¯®«¥ ¤® ¯®«®£® ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¢¥àè¨. ©â¨ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¤ ï £à ¨ç ï ¢¥àè¨ ¨á室®£® ¬®£®£à ¨ª ¥ ¡ã¤¥â ¢¥à訮© ¯®áâ஥®£® ¯®«®£® ¬®£®£à ¨ª . (à. á ⥮६®© 4 § 3 ¨ § ¤ 祩 1 § 3.) 6. Ǒãáâì V | ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¢¥à訮© A. Ǒãáâì a1 , a2 , . . . , an | ¢¥ªâ®àë ¢¤®«ì ¥£® ॡ¥à. ®ª § âì, çâ® V ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® ª®n −→ → 殢 X ¢¥ªâ®à®¢ x = −OX = a + P αi ai , £¤¥ a = −OA | ¢¥ªâ®à ¨§ ç « O ¢ ¢¥àè¨ã A i=1 ¨ αi | «î¡ë¥ ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ç¨á« . 7. Ǒãáâì ¤ ë â®çª¨ A1 , . . . , An ¨ ¯®«ã¯àï¬ë¥ b1 , b2 , . . . , bk , ¨á室ï騥 ¨§ íâ¨å â®ç¥ª. → Ǒãáâì ai = −OA | ¢¥ªâ®àë ¨§ ç « ¢ â®çª¨ Ai , a bi | ¢¥ªâ®àë ¢¤®«ì ¯®«ã¯àï¬ëå bi . i ®ª § âì, çâ® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª Ai ¨ ¯®«ã¯àï¬ëå bi ¥áâì £¥®¬¥âà¨n k n −→ ç¥áª®¥ ¬¥áâ® ª®æ®¢ ¢¥ªâ®à®¢ x = −OX = P αi ai + P βibi , £¤¥ ¢á¥ αi , βi ≥ 0 ¨ P αi = 1. i=1 i=1 i=1 (à. á § ¤ 祩 4 § 3.) 7. ¤ ç¨.
§ 5. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥
Ǒãáâì F | ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì ¨ | ª ª ï-«¨¡® ¥¤¨¨ç ï áä¥à , â.¥. áä¥à à ¤¨ãá ¥¤¨¨æ . ®§ì¬¥¬ F ¥ª®â®à®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª M ¨ ç¥à¥§ ª ¤ãî â®çªã í⮣® ¬®¥á⢠¯à®¢¥¤¥¬ ¢á¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠ª F .
᫨ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª í⨬ ¯«®áª®áâï¬ ®â«®¨âì ¨§ æ¥âà áä¥àë E , â® ª®æë ¨å § ¯®«ïâ ¥© ¥ª®â®à®¥ ¬®¥á⢮, ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¬®¥á⢠M . 1. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥.
E
40
. .
â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¨«®¨¬®, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬, ¯à¨ç¥¬, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â £à ¨æã, â® ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, 㯨à î騥áï ¢ ¥£® ⮫쪮 ¢ £à ¨çëå â®çª å, ¨áª«îç îâáï.
᫨ ¬®¥á⢮ M ¬®£®£à ¨ª¥ P ¥áâì ¢ãâ८áâì £à ¨, â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ á®á⮨⠨§ ®¤®© â®çª¨.
᫨ M ¥áâì à¥¡à® á ¨áª«îç¥ë¬¨ ª®æ ¬¨ , â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¥áâì ¤ã£ ¡®«ì讣® ªàã£ á ª®æ ¬¨ ¢ â®çª å, ïîé¨åáï áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ £à ¥©, á室ïé¨åáï ¢ ॡॠM , ª ª íâ® ïá® ¨§ ⮣®, çâ® ¢áïª ï ¯à®¬¥ãâ®ç ï ¯«®áª®áâì ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ £à ¥©, á室ïé¨åáï ¢ ॡà¥, ¡ã¤¥â ®¯®à®©. 14)
N
N1
β
N2
W
A
A
α
Q Q2
Q1
¨á. 28
¨á. 29
᫨ M á®á⮨⠨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë A, â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¥áâì ç áâì áä¥àë E , ¢ë१ ¥¬ ï ⥫¥áë¬ ã£«®¬, ®¡à §®¢ ë¬ ®à¬ «ï¬¨ ª® ¢á¥¬ ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¢ ¢¥à訥 A. â®â ⥫¥áë© ã£®« W ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á à¥¡à ¬¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª , á室ï騬áï ¢ A (à¨á. 28).
᫨ Q ¨ Q | ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¢ ¢¥à訥 A, â® ¬®£®£à ¨ª § ª«îç¥ ¢ ¤¢ã£à ®¬ 㣫¥ ¬¥¤ã ¨¬¨, ¨ ¯®â®¬ã ¢áïª ï ý¯à®¬¥ãâ®ç ïþ ¯«®áª®áâì Q â ª¥ ¡ã¤¥â ®¯®à®© ¢ ¢¥à訥 A. ®à¬ «¨ N ª â ª¨¬ ¯«®áª®áâï¬ Q § ¯®«ïîâ 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ N ¨ N ª ¯«®áª®áâï¬ Q ¨ Q (à¨á. 29). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¬¥áâ¥ á «ãç ¬¨ N ¨ N 㣮« W ᮤ¥à¨â ¯«®áª¨© 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨. Ǒ®í⮬ã 㣮« W | ¢ë¯ãª«ë©. 1
2
1
2
1
14) ®æë
1
2
2
ã® ¨áª«îç¨âì, â ª ª ª ®¨ ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª ¨ ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¡ã¤ãâ áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨. Ǒ® «®£¨ç®© ¯à¨ç¨¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ã⢥थ¨¨ £®¢®à¨âáï ® ¢ãâ८á⨠£à ¨, â.¥. £à ¨ á ¨áª«î票¥¬ ¥¥ ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨.
. I:
§ 5.
41
à ¨ 㣫 W ®¡à §®¢ ë ®à¬ «ï¬¨ ª ¯«®áª®áâï¬, ª á î騬áï ¬®£®£à ¨ª ¯® à¥¡à ¬, á室ï騬áï ¢ ¢¥à訥 A. ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯®í⮬㠯«®áª¨¥ 㣫ë, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ª í⨬ à¥¡à ¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¤ë© ¤¢ã£à ë© ã£®« βi ⥫¥á®£® 㣫 W ¤®¯®«ï¥â ¤® π 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ à¥¡à ¬¨ ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ¯«®áª¨© 㣮« αi £à ¨ ¯à¨ ¢¥à訥 A: αi = π − βi . (1) ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë ¥áâì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯ãª«ë© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª á 㣫 ¬¨ βi. ¥àè¨ë í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ᮮ⢥âá⢥® à¥¡à ¬ 㣫 W , ïîâáï áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ ¢ãâ८á⥩ £à ¥©, áâ®à®ë, ᮮ⢥âá⢥® £à ï¬ ã£« W , ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ॡ¥à á ¨áª«îç¥ë¬¨ ª®æ ¬¨. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë ¥áâì, ª®¥ç®, â® ¥, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ®£® 㣫 , ®¡à §®¢ ®£® á室ï騬¨áï ¢ ¥© £à ﬨ. á¥ è¨ ¢ë¢®¤ë ¢¥àë ¤«ï «î¡®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 .
᫨ ⥯¥àì M ¥áâì «î¡ ï ç áâì ¤ ®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P , â® ¥¥ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ á« £ ¥âáï ¨§ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¯®¯ ¤ îé¨å ¢ ¥¥ ¢¥àè¨, ®â१ª®¢ ॡ¥à ¨ ªã᪮¢ ¢ãâ८á⥩ £à ¥©. ª ª ª áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ॡ¥à ¨ £à ¥© ¢ª«îç îâáï ¢ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨, ª ª®â®àë¬ ®¨ ¯®¤å®¤ïâ, â® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª á« £ ¥âáï ¨§ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¥£® ¢¥àè¨ ¨ â¥å ॡ¥à, ®¡ ª®æ ª®â®àëå «¥ â £à ¨æ¥ . Ǒਠí⮬ ᮣ« á® ãá«®¢¨î £à ¨çë¥ ¢¥àè¨ë ¨ à¥¡à ¨áª«îç îâáï. ¯à¨¬¥à, ¡®ª®¢ ï ¯®¢¥àå®áâì ¯à¨§¬ë ¥ ¨¬¥¥â ¢¥àè¨ ¢ãâà¨, ¨ ¥¥ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª ¡®«ì讬㠪àã£ã. áïª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ª á îé ïáï ¬®£®£à ¨ª ¢ ¢¥à訥, ¥ ª á ¥âáï ¤àã£¨å ¥£® ¢¥àè¨, ¥á«¨ ⮫쪮 ® ¥ ª á ¥âáï ¥£® ¯® ॡàã ¨«¨ £à ¨. Ǒ®í⮬㠬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨, ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ¢ãâ२å â®ç¥ª ¨ ¬®£ã⠯ਫ¥£ âì «¨èì ¯® áâ®à® ¬ ¨ ¢¥àè¨ ¬, ᮮ⢥âá⢥® à¥¡à ¬ ¨ £à ï¬, ª®â®àëå «¥ â ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢á¥£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, á®áâ ¢«¥ë© ¨§ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª . 15)
15)
᫨ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â £à ¨æã, â® £à ¨çë¥ ¢¥àè¨ë ¨áª«îç îâáï. ® ¬®£®£à ¨ª¥ á £à ¨æ¥© ¬®£ãâ ¨¬¥âìáï ¥£à ¨çë¥ à¥¡à á ®¡®¨¬¨ ª®æ ¬¨ £à ¨æ¥. ®£¤ ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¥ ¢å®¤ïâ ¢ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨, ¨ ¨å ã® ¢ª«îç âì ¢ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ®á®¡®. Ǒਠí⮬ ¬®¥â á«ãç¨âìáï, çâ® áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¥ª®â®àëå ¢¥àè¨ á®¥¤¨ïîâáï ¤ã£ ¬¨ ¡®«ìè¨å ªà㣮¢, ïî騬¨áï áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ â ª¨å ॡ¥à.
42
. .
᫨ ¬®£®£à ¨ª § ¬ªãâë©, â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯®ªàë¢ ¥â ¢áî áä¥àã ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â à §¡¨¥¨¥ ¥¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥àè¨ ¬ ¬®£®£à ¨ª . ¥§î¬¨à㥬 ¢á¥ ¯®«ãç¥ë¥ ¢ë¢®¤ë ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: ¥®à¥¬ 1.
ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á« £ -
¥âáï ¨§ ¢ë¯ãª«ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
S1 , . . . , Sm ,
ïîé¨åáï
áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ ¥£® ¢¥àè¨. ⨠¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ¢ãâ२å â®ç¥ª. ¡é ï áâ®à® ¤¢ãå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
(
)
Sk , Sl
¥áâì
áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ॡà á ¨áª«î票¥¬ ª®æ®¢ , ᮥ¤¨ïî饣® ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥àè¨ë. ¡é ï ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
Sk , . . . , Sq
¥áâì
áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢ãâ८á⨠⮩ £à ¨, ª®â®à®© ¯à¨ ¤«¥ â ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í⨬ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬. £«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
Si
à ¢ë ¤®¯®«¥¨ï¬ ¤®
π
¯«®áª¨å 㣫®¢ ¯à¨ ᮮ⢥â-
. 2. Ǒ«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. Ǒãáâì V | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á n £à ﬨ, ¯«®áª¨¥ ã£«ë ª®â®àëå à ¢ë α , . . . , αn .
£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¥áâì áä¥à¨ç¥áª¨© n-㣮«ì¨ª á 㣫 ¬¨ βi = = π − αi . ® ¯«®é ¤ì ω áä¥à¨ç¥áª®£® n-㣮«ì¨ª ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¥£® ã£«ë ¯® ä®à¬ã«¥ n X ω= βi − (n − 2)π, (2)
áâ¢ãîé¨å ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª
1
i=1
â. ¥. à ¢ ¨§¡ëâªã áã¬¬ë ¥£® 㣫®¢ ¤ á㬬®© 㣫®¢ ¯«®áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª á ⥬ ¥ ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ n . â ª ª ª βi = π − αi , â® 16)
ω
= 2π −
n X i=1
αi .
(3)
ª ª ª ¯«®é ¤ì ω ¯®«®¨â¥«ì , â® ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ᮤ¥à¨âáï, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, â®â ¨§¢¥áâë© ä ªâ, çâ® á㬬 ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 ¢á¥£¤ ¬¥ìè¥ 2π. 㬬ã 㣫®¢ αi ¬ë §ë¢ ¥¬ ¯®«ë¬ 㣫®¬ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¨ ®¡®§ ç ¥¬ ç¥à¥§ θ, à §®áâì 2π − θ §ë¢ ¥¬ ªà¨¢¨§®© ¢¥àè¨ë. Ǒ®í⮬ã ä®à¬ã« (3) ®§ ç ¥â, çâ® ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ë ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 à ¢ ¯«®é ¤¨ ¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. 16) ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¥¬ íâã ä®à¬ã«ã á ç « ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®£® âà¥ã£®«ì¨ª B1 B2 B3 á 㣫 ¬¨ β1 , β2 , β3 (à¨á. 30). Ǒத®« ï áâ®à®ë âà¥ã£®«ì¨ª , ¯®«ã稬 âਠ¡®«ìè¨å ªà㣠, ª®â®àë¥ ¢ ᢮¥¬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ®¡à §ãîâ ¥é¥ âà¥ã£®«ì¨ª B1′ B2′ B3′ , ᨬ¬¥âà¨çë© âà¥ã£®«ì¨ªã B1 B2 B3 ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà áä¥àë. ¤ë¥ ¤¢ ¡®«ìè¨å ªà㣠®£à ¨ç¨¢ îâ ¤¢ ¤¢ã㣮«ì¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ B1 B1′ , B2 B2′ , B3 B3′ . £«ë íâ¨å ¤¢ã㣮«ì¨ª®¢ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢥® β1 , β2 , β3 . â®è¥¨¥ ¯«®é ¤¨ ª ¤®£® ¤¢ã㣮«ì¨ª ª ¯«®é ¤¨ ¢á¥© áä¥àë à ¢®, ®ç¥¢¨¤®, ®â®è¥¨î ¥£® 㣫 ª 2π. Ǒ®í⮬ã á㬬 ¯«®-
. I:
§ 5.
43
ਢ¨§ «î¡®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª á㬬 ªà¨¢¨§ § ª«îç îé¨åáï ¢ ¥© ¢¥àè¨, ¥ «¥ é¨å ¥£® £à ¨æ¥. ¬¥á⥠á ⥬ ᮣ« ᮠ⥮६¥ 1 áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ «î¡®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª á« £ ¥âáï ¨§ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© § ª«îç îé¨åáï ¢ ¥© ¢¥àè¨. Ǒ®í⮬㠨 ¤«ï «î¡®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï à ¢ ªà¨¢¨§¥.
᫨ ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì ¬®£®£à ¨ª, ¥ ¬¥ïï ¤«¨ ªà¨¢ëå ¥¬, â® ã£«ë ¥¬ â ª¥ ¥ ¡ã¤ãâ ¬¥ïâìáï, ¯®â®¬ã çâ® ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¤«¨ ¬¨; ¯à¨¬¥à, ¤«¨ ªà¨¢®©, ¯à®¢¥¤¥®© ¬®£®£à ¨ª¥ ¯®áâ®ï®¬ ¬ «®¬ à ááâ®ï¨¨ r ®â ¢¥àè¨ë A, à ¢ , ®ç¥¢¨¤®, θr, £¤¥ θ | ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠A. «¨ë ªà¨¢ëå ¬®£®£à ¨ª¥ ®¯à¥¤¥«ïîâ, ª ª £®¢®àïâ, ¥£® ý¢ãâà¥îî ¬¥âਪãþ, ¨ ¯®â®¬ã ªà¨¢¨§ ¨ ¢¬¥áâ¥ á ¥© ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¬®£®£à ¨ª . (®«¥¥ ¤¥â «ì® ¯®ï⨥ ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥® ◦ ¢ ¯ 2 § 6.) Ǒ®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë १à㥬 ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë:
¥®à¥¬ 2.
Ǒ«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï «î¡®© ç á⨠¢ë¯ãª«®-
£® ¬®£®£à ¨ª à ¢ ¥¥ ªà¨¢¨§¥, â ª ª ª ªà¨¢¨§ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¬®£®£à ¨ª , â® íâ® ¥ ¢¥à® ¤«ï ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. Ǒ®í⮬㠯ਠ¢á类© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª ,
( ) ¥¨§¬¥®©. â® ¥áâì í«¥¬¥â àë© «®£ § ¬¥¨â®© ⥮६ë ãáá ® ⮬, çâ® ã ¢á类© ¥¯à¥à뢮 ¨§®£ã⮩ ¯®¢¥àå®á⨠¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©, ¥á«¨ ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì ¯®¢¥àå®áâì, ¥ ¬¥ïï ¤«¨ ªà¨¢ëå ¥©. 3. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠«î¡®£® ¯à ¢¥ àãè î饩 ¥£® ¢ë¯ãª«®á⨠¨ ¥ ¬¥ïî饩 ¤«¨ ªà¨¢ëå ¥¬ â. ¥.
¥ ¬¥ïî饩 ¥£® ¬¥âਪ¨ , ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ®áâ ¥âáï
é ¤¥© ¢á¥å è¥á⨠à áᬠâਢ ¥¬ëå ¤¢ã㣮«ì¨ª®¢ ¡ã¤¥â 2(β1 + β2 + β3 ) 4π = 4(β1 + β2 + β3 ). 2𠬥á⥠á ⥬ ¥¯®á।á⢥® ¢¨¤®, çâ® è¨ ¤¢ã㣮«ì¨ª¨ ¯®ªàë¢ îâ ′¢áî′ áä¥àã ¨ âà¨¤ë ®¡ âà¥ã£®«ì¨ª B1 B2 B3 ¨ B1 B2 B3′ . Ǒ®í⮬ã á㬬 ¨å ¯«®é ¤¥© à ¢ 4π + 4ω, £¤¥ ω | ¯«®é ¤ì âà¥ã£®«ì¨ª B1 B2 B3 . âáî¤ 4(β1 + β2 + β3 ) = 4π + 4ω, â.¥. ω = β1 + β2 + β3 − π , ª ª ⮣® ¨ âॡã¥â ä®à¬ã« (2).
᫨ ⥯¥àì ¤ áä¥à¨ç¥áª¨© n-㣮«ì¨ª, â® à §¡¨¢ ¥¬ ¥£® ¤¨ £® «ï¬¨ n − 2 âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ®£¤ á«®¥¨¥ ¯«®é ¤¥© íâ¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ®¤®¢à¥¬¥® 㣫®¢ áà §ã ¤ ¥â ä®à¬ã«ã (2) ¤«ï 襣® n-㣮«ì¨ª .
B3′
B1′
B2 β2 β1 β3
B1
B3
¨á. 30
B2′
44
. .
«¥¨ï, ¯®í⮬㠥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯®ªàë¢ ¥â ¢áî áä¥àã ¨ ¯«®é ¤ì ¥£® à ¢ 4π. ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¢á¥£¤ ᮤ¥à¨â ¯®«ã¯àï¬ãî. Ǒ®í⮬㠤«ï ¢á类© ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠Q ©¤¥âáï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ª í⮩ ¯®«ã¯àאַ© á ¯ à ««¥«ì®© ¢¥è¥© ®à¬ «ìî, á⮨⠫¨èì ¢¤¢¨ãâì ¯«®áª®áâì Q ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª â ª, çâ®¡ë ® 㯥ૠáì ¢ íâã ¯®«ã¯àï¬ãî. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¯®«ã¯àאַ©. ¥¯®á।á⢥® ¢¨¤®, çâ® íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¯®ªàë¢ ¥â ¯®«ãáä¥àã, ®£à ¨ç¥ãî íª¢ â®à®¬, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¬ ª ¯®«ã¯àאַ©. Ǒ®í⮬ã áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¢á¥£¤ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯«®é ¤ì ¥£® ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2π . ®ª ¥¬ ¡®«¥¥ â®çãî ⥮६ã: ¥®à¥¬ 3. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ᮢ¯ ¤ ¥â á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ V | ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. ¥àè¨ã 㣫 V ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª , ¨ ⮣¤ , ª ª ¯®ª § ® ¢ ¯◦ 1 § 4, 㣮« V ¡ã¤¥â ᮤ¥à âìáï ¢ ¬®£®£à ¨ª¥. â ª®¬ á«ãç ¥ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¤«ï ¢á类© ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠Q ¬®£®£à ¨ª ©¤¥âáï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì 㣫 V á ¯ à ««¥«ì®© ¢¥è¥© ®à¬ «ìî, á⮨⠫¨èì ¢¤¢¨ãâì ¯«®áª®áâì Q ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª â ª, çâ®¡ë ® 㯥ૠáì ¢ 㣮« V . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ®ª ¥¬, çâ®, ®¡à â®, áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ 㣫 V ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª ᮣ« ᮠ⥮६¥ 1 ®¡ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â® ¤®áâ â®ç®, ®ç¥¢¨¤®, ¤®ª § âì, çâ® ¢áïª ï ¢ãâà¥ïï â®çª N áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï 㣫 V ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ® ¤®ª § ®¬ã ¢ ¯◦ 1 £à ¨æ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ®£® 㣫 á« £ ¥âáï ¨§ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¥£® ॡ¥à. Ǒ®í⮬㠢ãâà¥ïï â®çª N áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï 㣫 V ®â¢¥ç ¥â ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠Q, ª á î饩áï 㣫 V ⮫쪮 ¢ ¥£® ¢¥à訥. ®£¤ ¢¥áì 㣮« V , ªà®¬¥ ¥£® ¢¥àè¨ë, ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ãâਠ¯®«ã¯à®áâà á⢠R, ®£à ¨ç¥®£® í⮩ ¯«®áª®áâìî. ª ª ª ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î 㣫 V ® á®á⮨⠨§ ¯®«ã¯àï¬ëå, ¯à ¢«¥ëå ¯ à ««¥«ì® ¯®«ã¯àï¬ë¬, «¥ 騬 ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® ¢á¥ ¯®«ã¯àï¬ë¥, «¥ 騥 P , ¡ã¤ãâ ¯à ¢«¥ë ¢ â® ¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®®¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ R ¬®¥â § ª«îç âìáï «¨èì ª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª P . ⮣¤ , ¢ë¤¢¨£ ï ¯«®áª®áâì Q ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ R , ¬ë ¤®©¤¥¬ ¤® â ª®£® ¥¥ ¯®«®¥¨ï, çâ® 1
1
. I:
§ 5.
45
¢¥áì ¬®£®£à ¨ª P ®ª ¥âáï ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¥¥, â.¥. ¬ë ¯®«ã稬 ¥£® ®¯®àãî ¯«®áª®áâì, ¯ à ««¥«ìãî Q. Ǒ®í⮬ã â®çª N , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï áä¥à¥ ¯«®áª®á⨠Q, ¢å®¤¨â â ª¥ ¢ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P . «¥¤®¢ ⥫ì®, áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ 㣫 V , â ª ª ª ¢ ç «¥ ¬ë ¤®ª § «¨ ®¡à ⮥ ¢ª«î票¥, â® ®¡ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨ï ᮢ¯ ¤ îâ, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢á类£® ¬®£®£à ®£® 㣫 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¢¥àè¨ë í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¢ãâ८á⥩ £à ¥© 㣫 V . à ¨ 㣫 V ¯ à ««¥«ìë ⥬ ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ª®â®àëå ¥¯ à ««¥«ìë. âáî¤ ¨ ¨§ ¤®ª § ®£® ᮢ¯ ¤¥¨ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¬®£®£à ¨ª P ¨ 㣫 V ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 ¢ë¢®¤: ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯®«®£® (¡¥§ £à ¨æë) ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¥áâì áä¥à¨ç¥áª¨ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª S , ¢¥àè¨ë ª®â®-
ண® ®â¢¥ç îâ ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ¥ ¨§®¡à ¥¨ï £à ¥© á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨
(ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à¥¡à ¬ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , ¯ à ««¥«ìë¬ í⨬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª ). ä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ª®¥çëå £à ¥© ¯®¯ ¤ îâ ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª S .
᫨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ©, â. ¥. ¥á«¨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ìë, â® ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ãáä¥àã.
᫨ ¥ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᢮¤¨âáï ª ¯«®áª®¬ã 㣫ã, â® ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¡ã¤¥â ¤¢ã㣮«ì¨ª®¬. ¬¥â¨¬, ç⮠⥮६ 3 ¯à¨¢®¤¨â ª ®¢®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ª ª ¬®£®£à ®£® 㣫 , áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ ¥â á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¬®£®£à ¨ª . â® ®á®¢ ® ⮬ ä ªâ¥, çâ® ¬®£®£à ë© ã£®« ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ V | ¤ ë© ¬®£®£à ë© ã£®«, a W | ¬®£®£à ë© ã£®«, § ¯®«¥ë© ®à¬ «ï¬¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ã£« V , â® à¥¡à ¨ £à ¨ 㣫 W ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ᮮ⢥âá⢥® ª £à ï¬ ¨ à¥¡à ¬ 㣫 V . Ǒ®í⮬㠮â®è¥¨¥ ¬¥¤ã 㣫 ¬¨ V ¨ W ¢§ ¨¬®¥ ¨ ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤à㣠¤à㣠. ¥¡à ®¤®£® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª £à ï¬ ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®. ¤ë© ¨§ ¨å § ¯®«ï¥âáï ®à¬ «ï¬¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¤à㣮£®. à¥¡à ¬¨ ¯®¯ ¤ îâ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª
S
4. Ǒ®«ïàë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. ª § ï ⮫쪮 çâ® ¢§ ¨¬®áâì ¬®£®£à ëå 㣫®¢ V ¨ W ®ª §ë¢ ¥âáï ¨â¥à¥áë¬ ®¡à §®¬ á¢ï§ ®© á áãé¥á⢮¢ ¨¥¬ ¢§ ¨¬ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢.
᫨ P | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ O | â®çª ¢ãâਠ¥£®, â®, ®ª §ë¢ ¥âáï, ¬®® ¯®áâநâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ′ , £à ¨ ª®â®à®£® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª «ãç ¬, ¨¤ã騬 ¨§ O ç¥à¥§ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , ¢¥àè¨ë «¥ â «ãç å, ¨¤ãé¨å ¨§ O
46
. .
¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P . § ¨¬®®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã £à ﬨ ¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢§ ¨¬ë¬. ¥¡à ¬ ®¤®£® ®â¢¥ç îâ à¥¡à ¤à㣮£® | ॡàã, ᮥ¤¨ïî饬㠢¥àè¨ë C1 ¨ C2 ¬®£®£à ¨ª P , ®â¢¥ç ¥â ॡà®, ¯® ª®â®à®¬ã á¬¥ë £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ , ®â¢¥ç î騥 ¢¥àè¨ ¬ C1 ¨ C2 .
¨á. 31
¨á. 32
室ï騥áï ¢ â ª®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ ¬®£®£à ¨ª¨ §ë¢ îâáï ¤à㣠¤àã£ã. Ǒà®á⥩訩 ¯à¨¬¥à ¯à¥¤áâ ¢«ïî⠪㡠¨ ®ªâ í¤à á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ æ¥âà å £à ¥© ªã¡ (à¨á. 31). ®®¡é¥, ¢á类¬ã ¬®£®£à ¨ªã P , ®¯¨á ®¬ã ®ª®«® è à , ®â¢¥ç ¥â ¢ ª ç¥á⢥ ¯®«ïண® ¬®£®£à ¨ª P1 , ¢¯¨á ë© ¢ è à, á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å ª á ¨ï è à á £à ﬨ ¬®£®£à ¨ª P . «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®«ïàë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨: ¢¥àè¨ë ®¤®£® «¥ â «ãç å, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ª áâ®à® ¬ ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â® (à¨á. 32). Ǒ®áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª , ¯®«ïண® ¤ ®¬ã, ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¯®«ïண® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, á®áâ®ï饣® ¢ ᮯ®áâ ¢«¥¨¨ â®çª ¬ ¯«®áª®á⥩, ¨ ®¡à â®. −¬¥®, ª ¤®© → â®çª¥ C áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª «ãçã OC ¨ 㤠«¥ ï ®â O à ááâ®ï¨¥, ®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ì®¥ à ááâ®ï¨î OC .
᫨ c | ¢¥ªâ®à, ¨¤ã騩 ¨§ ç « O ¢ â®çªã C , â® ãà ¢¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯«®áª®á⨠¡ã¤¥â cx = 1 (¨«¨ cx = r, £¤¥ r | à ¤¨ãá è à á æ¥â஬ O, ®â®á¨â¥«ì® ª®â®à®£® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯®«ï஥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥). Ǒ® íâ®¬ã ¯à ¢¨«ã ª ¤®© ¢¥à訥 C1 ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª á â®çª®© O ¢ãâਠᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¯«®áª®áâì £à ¨ ¤à㣮£® ¬®£®£à ¨ª .
᫨ â®çª B ¤¢¨¥âáï ¯® ¯«®áª®á⨠cx = 1, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥ C , â® ¥¨§¬¥® cb = 1. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯«®áª®á⨠bx = 1, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â®çª ¬ B , ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ â®çªã C . Ǒ®í⮬㠯«®áª®á⨠cx = 1 ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¬¥áâã â®ç¥ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®çª C ª ª æ¥âà á¢ï§ª¨ ¯«®áª®á⥩, ®â¢¥ç îé¨å â®çª ¬ ¯«®áª®á⨠cx = 1. 묨 á«®¢ ¬¨, ¨æ¨¤¥â®áâì â®çª¨ ¨ ¯«®áª®á⨠á®åà ï¥âáï, ¨ ⮫쪮 ¯«®áª®á⨠¨ â®çª¨ ¬¥ïîâáï ஫ﬨ 17) . ®¢¥à襮 «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®«ï஥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯«®áª®á⨠¬¥¤ã â®çª ¬¨ ¨ ¯àï¬ë¬¨. ë á ç « à áᬮâਬ ¯®«ï஥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ëïᨬ ¥£® ᢮©á⢠, ¯®â®¬ ¯® «®£¨¨ à áᬮâਬ ¯®«ïà®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥. 17) áᬠâਢ ¥¬®¥ ¯®«ï஥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥áâì ç áâë© á«ãç © ¯®«ïà®á⨠®â®á¨â¥«ì® «î¡®© ¯®¢¥àå®á⨠¢â®à®£® ¯®à浪 . ª¨¥ ®¡é¨¥ ¯®«ïà®á⨠à áᬠâਢ îâáï ¢ ¯à®¥ªâ¨¢®© £¥®¬¥âਨ. 襬 á«ãç ¥ à¥çì ¨¤¥â ® ¯®«ïà®á⨠®â®á¨â¥«ì® ¥¤¨¨ç®£® è à . ¯®«ïà묨
. I:
§ 5.
47
Ǒãáâì Q | ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¥ 騩 ¢ ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠R. ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠ¥£® â®çªã O ¨ ¢®ááâ ®¢¨¬ ¨§ ¥¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà OO′ ª ¯«®áª®á⨠R ¤«¨®©, à ¢®© ¥¤¨¨æ¥. Ǒ஢¥¤ï ¨§ O′ ¯®«ã¯àï¬ë¥ ¢® ¢á¥ â®çª¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« V (à¨á. 33). O1 Q1 O1
A′i
R1
e′i
O′ E
V′
O′
V O
R Q
O
¨á. 33
ei
ai
¨á. 34
Ǒ®áâந¬ ¬®£®£à ë© ã£®« V1 , ®¡à §®¢ ë© ®à¬ «ï¬¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ã£« V , ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¬ ¥£® ¯«®áª®áâìî R1 , ¯ à ««¥«ì®© R. á¥ç¥¨¨ ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 , ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® ¯®«ãç îâáï ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ॡ¥à 㣫 V ′ á ¯«®áª®áâìî R1 . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à®¤®«¥¨¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà OO′ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯«®áª®áâì R1 ¢ â®çª¥ O1 , «¥ 饩 ¢ãâਠ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 (¯®â®¬ã çâ® ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª OO1 ¢ â®çª¥ O′ , ¡ã¤¥â ®¯®à®© ª 㣫ã V ′ , ª á ïáì ¥£® ⮫쪮 ¢ ¢¥à訥 O′ ). Ǒãáâì ai | áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¨ ei | «ãç, ¨¤ã騩 ¨§ O ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ᮤ¥à 饩 ¥¥ ¯àאַ© (à¨á. 34). Ǒ«®áª®áâì E , ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã O′ ¨ «ãç ei , ¡ã¤¥â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª ¯«®áª®á⨠⮩ £à ¨ 㣫 V , ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ®à®¥ ai . ® £à ¨ 㣫 V ®â¢¥ç ¥â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஥ ॡ஠㣫 V1 ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®® ¡ã¤¥â «¥ âì ¢ ¯«®áª®á⨠E . Ǒ®í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢¥àè¨ A′i ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 ¡ã¤¥â «¥ âì ′ ¨¤ã饬 ¨§ â®çª¨ O1 «ãç¥ ei , ¯ à ««¥«ì®¬ ei (¯®áª®«ìªã ¯«®áª®áâì E ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯«®áª®á⨠R ¨ R1 ¯® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯àï¬ë¬).
᫨ á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 ¯«®áª®áâì R ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, â® ¨§ ᪠§ ®£® ïá®, çâ® ¯®«ãç¨âáï ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ , ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® «¥ â «ãç å, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ª áâ®à® ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. ®, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¢ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯◦ 3, ®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã ¬®£®£à 묨 㣫 ¬¨ V ¨ V ′ ¢§ ¨¬®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨ Q ¨ Q1 , § ç¨â, â ª¥ Q ¨ Q′ ⮥ ¢§ ¨¬®. Ǒ®í⮬㠪 ª ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ «¥ â «ãç å, ¨¤ãé¨å ¨§ O ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª áâ®à® ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, â ª ¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q «¥ â «ãç å, ¨¤ãé¨å ¨§ O ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª áâ®à® ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ . ª¨¬ ®¡à §®¬, í⨠¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ ¡ã¤ãâ ¯®«ïà묨 ¤à㣠¤«ï ¤à㣠.
48
. .
᫨ «ãç OX1 ¨¤¥â ç¥à¥§ ¢ãâà¥îî â®çªã X1 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 , â.¥. ¢ãâàì 㣫 V ′ , â® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª ¥¬ã ¯«®áª®áâì ¡ã¤¥â ®¯®à®© ª 㣫ã V . Ǒ®í⮬㠮 ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯«®áª®áâì R ¯® â ª®© ¯àאַ© x, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¥¥.
᫨ â®çª X1 «¥¨â ªà î ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯àï¬ ï x ¡ã¤¥â ®¯®à®© ª ¬®£®ã£®«ì¨ªã Q. ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 , § ç¨â, ¨ Q′ ᮯ®áâ ¢«ïîâáï ¯àï¬ë¥, ¥ ¯¥à¥á¥ª î騥 Q, â®çª ¬ £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ | ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. Ǒਬ¥¬ â®çªã O′ § ç «® ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥, â®çªã O | § ç «® ª®®à¤¨ â ¢ ¯«®áª®á⨠R. ᨠx1 , x2 ¯à ¢¨¬ ¯ à ««¥«ì® ¯«®áª®á⨠R, ®áì x3 | ¯® O′ O. Ǒ®«®¥¨¥ â®çª¨ X ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢¥ªâ®à®¬ (x1 , x2 , x3 ), ¯«®áª®á⨠R | ¢¥ªâ®à®¬ (x1 , x2 ). à ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ O′ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª «ãçã O′ C , ¡ã¤¥â c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 0, (1) £¤¥ c1 , c2 , c3 | ª®®à¤¨ âë â®çª¨ C (᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à (c1 , c2 , c3 ) â®çª¨ C ¨ ¢¥ªâ®à (x1 , x2 , x3 ) â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨ à ¢® ã«î).
᫨ â®çª C «¥¨â ¢ ¯«®áª®á⨠R, â® c3 = 1.
᫨ ¥ ¯®áâ஥®© ¯«®áª®á⨠¢§ïâì â®çª¨ ¥¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á ¯«®áª®áâìî R′ , ª®â®à®© x3 = −1, â® ¢¬¥áâ® (1) ¯®«ã稬 c1 x1 + c2 x2 = 1. (2) â® ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© c, ª®â®à ï ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï â®çª¥ C , ¯®â®¬ã çâ® ¬ë ª ª à § ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ª ¤®© â®çª¥ C ¯àï¬ãî ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯«®áª®á⨠R′ á ¯«®áª®áâìî, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª «ãçã O′ C , ¨«¨ ¯à®¥ªæ¨î í⮩ ¯àאַ© ¯«®áª®áâì R. «¥¤®¢ ⥫ì®, «¨â¨ç¥áª¨ è¥ ¯®áâ஥¨¥ ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ª ¤®© â®çª¥ C (c1 , c2 ) ¯«®áª®á⨠R ¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ¯àï¬ãî á ãà ¢¥¨¥¬ (2). Ǒ® ¢§ ¨¬®á⨠¢¥à® â ª¥ ®¡à ⮥. ¬¥â¨¬, çâ® ª®£¤ â®çª C ¯à®¡¥£ ¥â ¯àï¬ãî c′ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥© ¯àï¬ë¥ ¢à é îâáï ¢®ªà㣠â®çª¨ C ′ , ª®â®à®© ®â¢¥ç ¥â ¯àï¬ ï c′ . ¥©á⢨⥫ì®, ′ ′ (O′ , c′ ), ¤¢¨¥¨î â®çª¨ C ¯® ¯àאַ© c ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢à 饨¥ «ãç O C ¢ ¯«®áª®á⨠⮣¤ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ª ¥¬ã ¯«®áª®á⨠¥¨§¬¥® ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ «ãç O′ C ′ , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© ª ¯«®áª®áâ¨′ (O′ , c′ ). ® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¯àï¬ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â®çª¥ C , ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ â®çªã C . ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¯àï¬ëå ¨ â®ç¥ª ¨ §ë¢ ¥âáï ¯®«ïà®áâìî (®â®á¨â¥«ì® ¥¤¨¨ç®© ®ªàã®á⨠á æ¥â஬ O). Ǒ®«ï஥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ¥à襮 «®£¨ç®: â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ c1 , c2 , c3 ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¯«®áª®áâì á ãà ¢¥¨¥¬ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 1, â.¥. ª®æ㠮⫮¥®£® ¨§ ç « O ¢¥ªâ®à C ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¯«®áª®áâì cx = 1. ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª c, ¨ à ááâ®ï¨¥ ¥¥ ®â ç « à ¢® ®¡à ⮩ ¢¥«¨ç¨¥ ¤«¨ë ¢¥ªâ®à c. «ï ¯®áâ஥¨ï í⮣® ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «®£¨çë¬ ¯à¨¥¬®¬. Ǒ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥ ¯à®áâà á⢮ ª ª âà¥å¬¥àãî ¯«®áª®áâì R ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. § ç « O, «¥ 饣® ¢ R′ , ¯à®¢¥¤¥¬ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà OO′′ ª ¯«®áª®á⨠R ¤«¨®© ¥¤¨¨æ ¨ ®áì X4 ¯à ¢¨¬ ¨§ O ª O. Ǒ® ¤àã£ãî áâ®à®ã ®â O ¯à®¢¥¤¥¬ âà¥å¬¥àãî ¯«®áª®áâì R1 , ¯ à ««¥«ìãî R, à ááâ®ï¨¨, à ¢®¬ ¥¤¨¨æ¥, ®â â®çª¨ O′ . ¤®© â®çª¥ C′ ý¯«®áª®áâ¨þ R ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «ãç O′ C , í⮬㠫ãçã ®â¢¥ç ¥â ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ O ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª ¥¬ã âà¥å¬¥à ï ¯«®áª®áâì. Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥¥ á ý¯«®áª®áâìîþ R1 ¤ ¥â ¤¢ã¬¥àãî ¯«®áª®áâì, ¯à®¥ªæ¨ï ª®â®à®© R ¨ ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥ C .
᫨ P | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª (¢ ý¯«®áª®áâ¨þ R), ᮤ¥à 騩 ¢ãâਠâ®çªã O, â® «ãç¨, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ ¥£® â®çª¨ ¨§ â®çª¨ O′ , § ¯®«ïîâ ¬®£®£à ë© ç¥âëà¥å¬¥àë© ã£®« V . ®à¬ «¨ ª ¥£® ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ § ¯®«ïâ 㣮« V ′ , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ª®â®à®£®
. I:
§ 6.
49
ý¯«®áª®áâìîþ R1 ¤ áâ ¬®£®£à ¨ª P ′ , ¯®«ïàë© P , á⮨⠫¨èì á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¥£® ý¯«®áª®áâìþ R. â®è¥¨ï ¬¥¤ã ¬®£®£à ¨ª ¬¨ P ¨ P ′ «®£¨çë ®â®è¥¨ï¬ ¬¥¤ã ¯®«ïà묨 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨ Q ¨ Q′ . ¥à訥 C ®¤®£® ®â¢¥ç ¥â ¯«®áª®áâì £à ¨ ¤à㣮£®, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª «ãçã OC , ¨ ®¡à â®. ¥¡àã C1 C2 , ᮥ¤¨ïî饬㠢¥àè¨ë C1 ¨ C2 , ®â¢¥ç ¥â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஥ ॡà®, ¯® ª®â®à®¬ã á¬¥ë £à ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í⨬ ¢¥àè¨ ¬. ᥠíâ® ¥¯®á।á⢥® ãᬠâਢ ¥âáï ¨§ ¢§ ¨¬ëå ®â®è¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¬®£®£à ëå (ç¥âëà¥å¬¥àëå) 㣫®¢ V ¨ V ′ . à¥å¬¥àë¬ £à ï¬, ¤¢ã¬¥àë¬ £à ï¬ ¨ à¥¡à ¬ ®¤®£® ®â¢¥ç îâ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ª ¨¬ ॡà , ¤¢ã¬¥àë¥ £à ¨ ¨ âà¥å¬¥àë¥ £à ¨ ¤à㣮£®. Ǒ®í⮬㠢 á¥ç¥¨ïå ¯«®áª®áâﬨ R ¨ R1 ¯®«ãç ¥¬ «®£¨ç®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ £à ¥©, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P ¢¥àè¨ ¬, à¥¡à ¬ ¨ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P ′ . ®£®£à ¨ª P , ®¯à¥¤¥«¥ë© ᢮¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ª ª ¨å ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª , áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬®£®£à ¨ªã P ′ , ®¯à¥¤¥«¥®¬ã ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥©. ¤ ç . Ǒãáâì P | § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, O | â®çª ¢ãâਠ¥£® ¨ S | ¥¤¨¨ç ï áä¥à á æ¥â஬ O. ®£®£à ¨ª P ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¢ à §¡¨¥¨ï áä¥àë S ¢ë¯ãª«ë¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. ¤® à §¡¨¥¨¥ | ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ïî騥áï áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª . à㣮¥ | ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ïî騥áï ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª áä¥àã S ¯à¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨ «ãç ¬¨ ¨§ æ¥âà O. ¡¥¤¨âìáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª, ¯®«ïàë© ¬®£®£à ¨ªã P (®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ O), ®¯à¥¤¥«ï¥â í⨠¥ à §¡¨¥¨ï, ® á ¯¥à¥¬¥®© ¨å ஫ﬨ. ç « ¬®® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï ¯®«ïàëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¢¥à® ᮢ¥à襮 «®£¨ç®¥ ã⢥थ¨¥. ®«ìª® §¤¥áì à¥çì ¨¤¥â ® à §¡¨¥¨ïå ¥¤¨¨ç®© ®ªàã®á⨠¤ã£¨. § 6. §¢¥àâª
¥çì ¨¤¥â ®¡ ®¡ëª®¢¥®¬ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¨§ १ ëå ¨§ ¡ã¬ £¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ®¢®ªã¯®áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á 㪠§ ¨¥¬ ¯à ¢¨« ᪫¥¨¢ ¨ï ¨å ¯® áâ®à® ¬ ¨ ¥áâì à §¢¥à⪠. Ǒà ¢¨«® ᪫¥¨¢ ¨ï ᮤ¥à¨â 㪠§ ¨¥, ª ª ï áâ®à® ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ᪫¥¨¢ ¥âáï á ª ª®© áâ®à®®© ¤à㣮£® ¨«¨ ⮣® ¥ á ¬®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ ¢ ª ª®¬ ¯à ¢«¥¨¨. ª § ¨¥ ¯à ¢«¥¨ï ¥®¡å®¤¨¬®, ¯®â®¬ã çâ® ¤¢ à ¢ëå ®â१ª AB ¨ CD ¬®® ª« ¤ë¢ âì ¤à㣠¤à㣠¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨: ¨«¨ â ª, ç⮠ᮢ¯ ¤ îâ ª®æë A á C ¨ B á D, ¨«¨ â ª, ç⮠ᮢ¯ ¤ îâ ª®æë A á D ¨ B á C . ª«¥¨¢ ¨¥ ¤àã£ á ¤à㣮¬ áâ®à® ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ë §ë¢ ¥¬ ýá ¬®áª«¥¨¢ ¨¥¬þ. ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¯à¨¬¥à, ¢ ¨§¢¥á⮩ ªà¥áâ®®¡à §®© à §¢¥à⪥ ªã¡ (à¨á. 35). ª ª ª ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨, ¬®® à §¡¨âì ¯à®áâë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â. ¥. ®£à ¨ç¥ë¥ ª ¤ë© ®¤®© «®¬ ®© ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª, â® ¬®® à áᬠâਢ âì à §¢¥à⪨, á®áâ®ï騥 ⮫쪮 ¨§ â ª¨å ¯à®áâëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. Ǒà®á⮩ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®¥â ¡ëâì ª®¥çë¬ ¨«¨ ¡¥áª®¥çë¬; ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ® ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª®¥çëå áâ®à® ¨ ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë. 1. §¢¥à⪠.
50
. .
î¡ãî â®çªã ¢ãâਠáâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®® ãá«®¢® áç¨â âì ¢¥à訮©, à §¡¨¢ ⥬ á ¬ë¬ áâ®à®ã ¤¢¥ áâ®à®ë (ª ª, ¯à¨¬¥à, ¢ à §¢¥à⪥ ªã¡ , à¨á. 35). Ǒ®í⮬㠥 ¡ã¤¥â ®£à ¨ç¥¨¥¬ áç¨â âì, ç⮠᪫¥¨¢ ¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢á¥£¤ ¯® æ¥«ë¬ áâ®à® ¬. ®¢®àï ⥯¥àì â®ç®, à §¢¥à⪮© ¬ë §ë¢ ¥¬ ᮢ®ªã¯®áâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¯à®áâëå, ª®¥çëå ¨«¨ ¡¥áª®¥çëå, ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á 㪠§ ë¬ ¯à ¢¨«®¬ ý᪫¥¨¢ ¨ïþ ¨å ¯® áâ®à® ¬. Ǒ®¤ ᪫¥¨¢ ¨¥¬ ¯®¨¬ ¥âáï ®â®¤¥á⢫¥¨¥; â. ¥. ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¤¢ãå ®â१ª®¢ ¬¥¤ã ¨å â®çª ¬¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 á®A a ®â¢¥âá⢨¥ ¨ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ â®çª¨ ®â®a ¤¥á⢫ïîâáï, áç¨â ïáì 㥠§ ®¤ã â®çªã à §¢¥à⪨. Ǒà ¢¨«® ᪫¥¨¢ ¨ï ®§ ç ¥â A ¯à®áâ® § ¤ ¨¥ â ª¨å ᮮ⢥âá⢨© ¬¥¤ã â®çª ¬¨ áâ®à®. Ǒਠí⮬, ª®¥ç®, ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ãá«®¢¨¥: ¥á«¨ â®çª A ®â®¤¥á⢫¥ á B , B á C , â® A ®â®¤¥á⢫¥ áC . ¨á. 35 ë ¡ã¤¥¬ ¥¨§¬¥® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¯à ¢¨«® ᪫¥¨¢ ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) î¡ë¥ ®â®¤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ®â१ª¨ áâ®à® ¢á¥£¤ ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ¤«¨ë. (묨 á«®¢ ¬¨, ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¤ã ®â®¤¥á⢫¥ë¬¨ â®çª ¬¨ ᪫¥¨¢ ¥¬ëå áâ®à® á®åà ï¥â ¤«¨ë.) 2) â ª ¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ª ¤à㣮¬ã ¬®® ¯¥à¥©â¨, ¨¤ï ¯® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬, ¨¬¥î騬 ᪫¥¥ë¥ áâ®à®ë. â® ãá«®¢¨¥ ®§ ç ¥â, çâ® à §¢¥à⪠¥ à ᯠ¤ ¥âáï ᮢ¥à襮 ¥ á¢ï§ ë¥ ¤àã£ á ¤à㣮¬ ç áâ¨. 3) ¤ ï áâ®à® ª ¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª «¨¡® ¥ ᪫¥¨¢ ¥âáï ¨ á ª ª®© áâ®à®®©, «¨¡® ᪫¥¨¢ ¥âáï ⮫쪮 á ®¤®© áâ®à®®©. â® ãá«®¢¨¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¥ ¤®«¥ ¯®«ãç âìáï ¢¥â¢ï騩áï ¬®£®£à ¨ª. â®à®ë, ¥ ᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ ¨ á ª ª¨¬¨ ¤à㣨¬¨, ®¡à §ãîâ ý£à ¨æãþ à §¢¥à⪨.
᫨ â ª¨å áâ®à® ¥â, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® à §¢¥à⪠¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë. 18)
18) ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ áâ®à® A1 B1 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q1 ᪫¥¥ á® áâ®à®®© A2 B2 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q2 (ª®¥æ A1 á ª®æ®¬ A2 ), áâ®à® A2 C2 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q2 ᪫¥¥ á® áâ®à®®© A3 C3 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q3 (ª®¥æ A2 á ª®æ®¬ A3 ), â® ¢¥àè¨ë A1 , A2 , A3
áç¨â îâáï § ®¤ã â®çªã à §¢¥à⪨.
. I:
§ 6.
51
â®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ ¬ë §ë¢ ¥¬ à¥¡à ¬¨ ¨ ¢¥àè¨ ¬¨ à §¢¥à⪨, áç¨â ï ¯à¨ í⮬ ®â®¤¥á⢫¥ë¥ áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë ᮮ⢥âá⢥® § ®¤® ॡ஠¨ ®¤ã ¢¥àè¨ã à §¢¥à⪨. ®£®£à ¨ª ¥áâì ¥ ¡®«¥¥ ª ª ç áâë© á«ãç © à §¢¥à⪨: ® á®áâ ¢«¥ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ | £à ¥©, ¨ ®â®¤¥á⢫¥¨ï, ¬ë᫨¬ë¥ ¢ à §¢¥à⪥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ⮫쪮 ¡áâà ªâ®, ¢ ¥¬ ॠ«¨§®¢ ë. Ǒ®í⮬ã, à áᬠâਢ ï à §¢¥à⪨, ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⥬ á ¬ë¬ ¨ ¬®£®£à ¨ª¨. ®, ª®¥ç®, £«ï¤ï ¬®£®£à ¨ª ª ª à §¢¥àâªã, ¬ë ¢®¢á¥ ¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ ¥£® ¯à®áâà á⢥®© ä®à¬®©. á ¥ ¡ã¤¥â â ª¥ ¨â¥à¥á®¢ âì áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¨«¨ à §¢¥à⪨. ë 䨪á¨à㥬 ᢮¥ ¢¨¬ ¨¥ ⮬, çâ® ¥áâì ®¡é¥£® ã ¢á¥å à §¢¥à⮪ ®¤®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¢®®¡é¥ ã ¢á¥å à §¢¥à⮪, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¤à㣠¨§ ¤à㣠¯ã⥬ ®¯¥à 権 à §à¥§ë¢ ¨ï ¨ ᪫¥¨¢ ¨ï. â® ®¡é¥¥ | ¨å ý¢ãâà¥ïï ¬¥âਪ þ. ë ¤ ¤¨¬ ᥩç á ¥¥ â®ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥. 2. ãâà¥ïï ¬¥âਪ . Ǒãáâì X , Y | ¤¢¥ â®çª¨ à §¢¥à⪨ R. å ¬®® ᮥ¤¨ïâì ¢ R «®¬ 묨, ¯¥à¥å®¤ï á ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¤à㣮© ç¥à¥§ ®â®¤¥á⢫¥ë¥ â®çª¨ ¨å £à ¨æ . ®ç ï ¨ïï £à ¨æ ¤«¨ â ª¨å «®¬ ëå §ë¢ ¥âáï à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ X , Y ¢ à §¢¥à⪥ R ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ρR (X, Y ). â® à ááâ®ï¨¥, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ª ª äãªæ¨ï ¯ àë â®ç¥ª X , Y , ¨ ¥áâì ¬¥âਪ à §¢¥à⪨ R.
᫨ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ à §¢¥à⮪ R ¨ R′ ãáâ ®¢«¥® ᮮ⢥âá⢨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¯ à ¬¨ ᮮ⢥âá⢥ëå â®ç¥ª à ¢ë 19)
(
ρR X, Y
) = ρR (X ′, Y ′ ),
â® â ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬, à §¢¥à⪨ §ë¢ îâáï ¨§®¬¥âà¨ç묨. (⮤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ¢ à §¢¥à⪥ â®çª¨ áç¨â îâáï, ª®¥ç®, § ®¤ã.) 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® à §¢¥à⪠R′ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ à §¢¥à⪨ R ¯ã⥬ à §à¥§ë¢ ¨ï ¨ ᪫¥¨¢ ¨ï, ¥á«¨ ¬®® à §à¥§ âì ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨ R ç áâ¨çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ â ª ¨å ᪫¥¨âì ¯® áâ®à® ¬, çâ® ¯®«ãç¨âáï à §¢¥à⪠, ᮢ¥à襮 ®¤¨ ª®¢ ï á R′ , â.¥. á®áâ ¢«¥ ï ¨§ â ª¨å ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á â ª¨¬ ¥ ¯à ¢¨«®¬ ᪫¥¨¢ ¨ï (¯à¨ç¥¬ ¯à ¢¨«® ᪫¥¨¢ ¨ï ¢ í⮩ à §¢¥à⪥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬: ᪫¥¨¢ ¨î ¯®¤«¥ â ¨«¨ áâ®à®ë, ¯®¤«¥ ¢è¨¥ ᪫¥¨¢ ¨î ¢ R, ¨«¨ áâ®à®ë à §à¥§®¢). 19) ®§¬®®áâì ¯¥à¥©â¨ â ª¨¬ ¯ã⥬ ®â ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ª «î¡®¬ã ¤à㣮¬ã ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮥ¤¨¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ X , Y ¨§ R ¯à¥¤ãᬮâॠ¢ á ¬®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ à §¢¥à⪨ | ãá«®¢¨¥ 2.
52
. .
§¢¥à⪨, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¤à㣠¨§ ¤àã£ à §à¥§ë¢ ¨ï¬¨ ¨ ᪫¥¨¢ ¨ï¬¨, ¨§®¬¥âà¨çë, ¯®â®¬ã çâ® í⨠®¯¥à 樨 ¯® áãé¥áâ¢ã ¥ ¬¥ïîâ «®¬ ëå, ¯à®¢®¤¨¬ëå ¢ à §¢¥à⪥, ⮫쪮 ᮥ¤¨ïî⠮⮤¥á⢫¥ë¥ â®çª¨ ¨«¨ à §ê¥¤¨ïîâ â®çª¨ à §à¥§ , ¯à¥¢à é ï ®¤ã â®çªã ¢ ¤¢¥, ¯®¤«¥ 騥 ®â®¤¥á⢫¥¨î. ®® ¤®ª § âì ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥:
§®¬¥âà¨çë¥ à §¢¥à⪨ ¯®«ãç îâáï ¤à㣠¨§ ¤à㣠¯ã⥬ à §à¥§ë¢ ¨ï
¨ ᪫¥¨¢ ¨ï.
ª ª ª ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ íâ® ã⢥थ¨¥ ¬ ¥ ¡ã¤¥â ã®, ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¥£® ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯à®¢¥á⨠ª®â®à®¥ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â, ¢¯à®ç¥¬, ¡®«ì讣® âà㤠. á¥ â¥ ä ªâë, ª®â®àë¥ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ à §¢¥à⪨ ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¬®£®£à ¨ª , ®¡à §ãîâ ¥¥ ¢ãâà¥îî £¥®¬¥âà¨î. §®¬¥âà¨çë¥ à §¢¥à⪨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¢ãâà¥îî £¥®¬¥âà¨î, â ª ¥ ª ª, ¢ ç áâ®áâ¨, à §¢¥à⪠¨ ᪫¥¥ë© ¨§ ¥¥ ¬®£®£à ¨ª. ¯®ïâ¨ï¬ ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ, ¯®¬¨¬® á ¬®£® à ááâ®ï¨ï, ¨«¨ ¬¥âਪ¨ ρk , ®â®áïâáï ¤«¨ë, 㣫ë, ¯«®é ¤¨. «¨ «®¬ ®© ¢ à §¢¥à⪥ ¥áâì á㬬 ¤«¨ ¥¥ §¢¥ì¥¢. ¤ë© ¥ ¤®áâ â®ç® ¬ «ë© ®â१®ª XY ¢ à §¢¥à⪥ ï¥âáï ªà âç ©è¥© «¨¨¥© ¬¥¤ã ¥£® ª®æ ¬¨ ¨ ¨¬¥¥â ¯®í⮬㠤«¨ã, à ¢ãî à ááâ®ï¨î ρk (X, Y ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ¬¥âਪã. ª ª ª ã£«ë ¯«®áª®£® âà¥ã£®«ì¨ª ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¤«¨ ¬¨ áâ®à®, ⮠㣫ë â ª¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ç¥à¥§ ¬¥âਪ㠨 á®åà ïîâáï ¯à¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨. «®£¨ç®¥ § ¬¥ç ¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¯«®é ¤¨. ®£®£à ¨ª, ª ª ¬ë 㥠㯮¬¨ «¨, ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à §¢¥à⪠, ¢ ª®â®à®© ᪫¥¨¢ ¨ï, ®¡ëç® â®«ìª® 㪠§ë¢ ¥¬ë¥ ¢ à §¢¥à⪥, ®áãé¥á⢫¥ë ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨. Ǒ®í⮬㠪 ¬®£®£à ¨ª ¬ ¯à¨¬¥¨¬® â® ¥ ¯®ï⨥ ® ¨å ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ááâ®ï¨ï¬¨, ¨§¬¥à¥ë¬¨ á ¬®¬ ¬®£®£à ¨ª¥.
᫨ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢ ãáâ ®¢«¥® ᮮ⢥âá⢨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ í⨠à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¯ à ¬¨ ᮮ⢥âá⢥ëå â®ç¥ª à ¢ë, â® í⮠ᮮ⢥âá⢨¥ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬, á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨, ¤®¯ã᪠î騥 â ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥, | ¨§®¬¥âà¨ç묨. ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ãâà¥ïï £¥®¬¥âà¨ï ®¤ ¨ â ¥. Ǒਬ¥à®¬ ¬®£ãâ á«ã¨âì ¡®ª®¢ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨§¬ á à ¢ë¬¨ ¯¥à¨¬¥âà ¬¨ ®á®¢ ¨ï ¨ à ¢ë¬¨ ¤«¨ ¬¨ ¡®ª®¢ëå ॡ¥à. ®«ì ¯àאַ«¨¥©ëå ®â१ª®¢ ¢® ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ ¨£à îâ ªà âç ©è¨¥ «¨¨¨, ᮥ¤¨ïî騥 ¤¢¥ ¤ ë¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª ¨«¨ à §¢¥à⪨ ¨ ¯à®å®¤ï騥 ¬®£®£à ¨ª¥ ¨«¨, ᮮ⢥âá⢥®, ¢ à §¢¥à⪥. ª¨¥ «¨¨¨ ¬ë §ë¢ ¥¬ ª®à®âª® ªà âç ©è¨¬¨. à âç ©è ï, ᮥ¤¨ïîé ï ¤¢¥ â®çª¨ ®¤®© £à ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª, á®-
. I:
§ 6.
53
¥¤¨ïîé ï â®çª¨ à §ëå £à ïå ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© «®¬ ãî ¨§ ®â१ª®¢ ¥áª®«ìª¨å £à ïå. Ǒਬ¥àë ªà âç ©è¨å ªã¡¥ ¤ ë à¨á. 36. ¢®©á⢠ªà âç ©è¨å ¢ à §¢¥àâª å ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¤ «ìè¥, ¢ § 8. 3. ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª . ë £®¢®à¨¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ᪫¥¥ ¨§ à §¢¥à⪨ R, ¥á«¨ ᪫¥¨¢ ¨ï (®â®¤¥á⢫¥¨ï), ⮫쪮 㪠§ ë¥ ¢ à §¢¥à⪥, ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®áãé¥á⢫¥ë ¬®£®£à ¨ª¥. ®¢®àï â®ç®, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥â â ª®¥ à §¡¨¥¨¥ R′ ªã᪨ | ý¬®£®ã£®«ì¨ª¨þ Q′ (¡ëâì ¬®¥â, ý¯¥à¥«®¬«¥ë¥þ), ®£à ¨ç¥ë¥ «¨¨ï¬¨ | ýà¥¡à ¬¨þ, á室ï騬¨áï ¢ ý¢¥àè¨ åþ à §¡¨¥¨ï R′, çâ® ¢ë¯®«¥ë ¤¢ ãá«®¢¨ï: 1) §¢¥à⪠R ¨ à §¡¨¥¨¥ R′ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥, â.¥. ª ¤®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨á. 36 ¨ªã, ॡàã ¨«¨ ¢¥à訥 à §¢¥à⪨ R ®â¢¥ç ¥â ý¬®£®ã£®«ì¨ªþ, ýॡà®þ ¨«¨ ý¢¥àè¨ þ à §¡¨¥¨ï R′ â ª, çâ® ¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢨¨ á®åà ï¥âáï ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥®á⨠(ॡà | ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ¢¥àè¨ë | ॡàã). 2)
᫨ ý¬®£®ã£®«ì¨ªþ Q′ ¨§ R′ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®£®ã£®«ì¨ªã Q ¨§ R, â® Q′ ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì â ª, çâ® ® ᮢ¯ ¤¥â á Q, ¯à¨ç¥¬ ¥£® à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ᮢ¯ ¤ãâ á ᮮ⢥âá⢥묨 à¥¡à ¬¨ ¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. £«ï¤® ¯®ïâ ï ®¯¥à æ¨ï à §¢®à 稢 ¨ï ¯«®áª®áâì ®§ ç ¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥, â.¥. â ª®¥ ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ â®ç¥ª ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ â®çª ¬ ¯«®áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¤«¨ë ªà¨¢ëå ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨ . ª ª ª ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¡¨¥¨ï R′ ¨ à §¢¥à⪨ R ᮮ⢥âá⢥® ¨§®¬¥âà¨çë ¨ ¯à¨«¥£ îâ ¯® ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ à¥¡à ¬ ¨ ¢¥àè¨ ¬, â® ¤«¨ë «î¡ëå «®¬ ëå ¢ R ¨ R′ ®ª §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¬¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¨§®¬¥âà¨ç¥ à §¢¥à⪥ R. Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª¨, ¤®¯ã᪠î騥 ®¤¨ ª®¢ë¥ à §¢¥à⪨, ¨«¨, çâ® â® ¥, ᪫¥¥ë¥ ¨§ ®¤¨ ª®¢ëå à §¢¥à⮪, ¡ã¤ãâ ¨§®¬¥âà¨ç묨 ¤à㣠¤àã£ã. ®®¡é¥, ᪫¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ¬®® ¡ë«® ¡ë ª®à®âª® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ª. 20)
20) ã ¥ ®¯¥à æ¨î ¬®® ®¯¨á âì ¥áª®«ìª® ¨ ç¥. ¤ë© ý¬®£®ã£®«ì¨ªþ Q′ á®á⮨â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¨§ ¥áª®«ìª¨å ¬®£®ã£®«ìëå ªã᪮¢ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . §¢®à 稢 ¨¥ ¯«®áª®áâì á®á⮨⠢ ⮬, çâ® í⨠ªã᪨ à ᪫ ¤ë¢ îâáï ¯«®áª®á⨠¨ ¯à¨ª« ¤ë¢ îâáï ¤à㣠ª ¤àã£ã â ª ¥, ª ª ®¨ ¯à¨«¥£ «¨ ¬®£®£à ¨ª¥. á«®¢¨¥, çâ® Q′ ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ®§ ç ¥â, çâ® â ª®¥ ¯à¨ª« ¤ë¢ ¨¥ ¥£® ªã᪮¢ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¯«®áª®áâ¨.
54
. .
§ ¤ ®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᪫¥¨¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ïá®, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ ॡà à §¢¥à⪨ ¬®£ãâ ¢®¢á¥ ¥ ᮮ⢥âá⢮¢ âì £à ï¬ ¨ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª . à¨á. 37 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¤¢¥ à §¢¥à⪨ ¯à ¢¨«ì®£® â¥âà í¤à ¢ ¢¨¤¥ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢, à §¡¨âëå âà¥B D B B D B 㣮«ì¨ª¨. ª«¥¨¢ ¥¬ë¥ ¢¥àè¨2 4 ë ®¡®§ ç¥ë ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¡ãª1 3 ¢ ¬¨. ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ âà¥ã£®«ìA C A C A C ¨ª¨ à §¢¥à⪨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ £à ï¬ â¥âà í¤à , ¢® ¢â®à®¬ | ¨á. 37 ¥â. ¡¥ à §¢¥à⪨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥ . â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¯¥à¢®©, ¥á«¨ ¯à¨«®¨âì ¯¥à¢ë© âà¥ã£®«ì¨ª ª ç¥â¢¥à⮬㠨 ¯à®¨§¢¥áâ¨ à §à¥§ë âà¥ã£®«ì¨ª®¢ 2, 3 ¯® «¨¨¨ BA, âà¥ã£®«ì¨ª®¢ 4, 1 ¯® «¨¨¨ DC ¨ ¨§ ¯®«ã稢è¨åáï ªã᪮¢ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ᪫¥¨âì ®¢ë¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨. Ǒਬ¥ïï ¯®¤®¡ãî ®¯¥à æ¨î ª® ¢â®à®© à §¢¥à⪥ ¨ â.¤., ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à §«¨çëå à §¢¥à⮪ ¯à ¢¨«ì®£® â¥âà í¤à , ª®â®àë¥, ®¤ ª®, ¢á¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥. à¨á. 38, ¨§®¡à ¥ à §¢¥à⪠â¥âà í¤à ; áâ®à®ë, ¯®¬¥ç¥ë¥ ®¤¨ ª®¢®, ¯®¤«¥ â ᪫¥¨¢ ¨î; à¨á. 38, ¡ èâà¨å ¬¨ ¯®ª § ®, ¯® ª ª¨¬ «¨¨ï¬ ¯®©¤ãâ ॡà â¥âà í¤à ; à¨á. 38, ¢ ¨§®¡à ¥ 㥠᪫¥¥ë© â¥âà í¤à á 㪠§ ¨¥¬ «¨¨©, ¯® ª®â®àë¬ ¥£® ã® à §à¥§ âì, çâ®¡ë ®¡à â® ¯®«ãç¨âì à §¢¥àâªã à¨á. 38, ; ªà®¬¥ ª ª ¯® èâà¨å®¢ë¬ «¨¨ï¬, ¥£® ã® à §à¥§ âì ¯® à¥¡à ¬, á室ï騬áï ¢ ¢¥à訥 A. ï à §¢¥à⪠«î¡®¯ëâ ¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, çâ® ¢ ¥© ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¤®¢®«ì® á«®ë¥ ýá ¬®áª«¥¨¢ ¨ïþ âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ¤ ç , ª®â®àãî ¬ë ¡ã¤¥¬ à¥è âì, á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë 㧠âì, ¢®¯¥à¢ëå, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ¨, ¢®-¢â®àëå, ª ª®¢ë ⥠¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì § à ¥¥ § ¤ ï à §¢¥à⪠¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨§ ¥¥ ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ᯮ¬¨ ï ¨§«®¥®¥ ¢ ¯à¥¤¨á«®¢¨¨, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¯¥à¢®© § ¤ 祩 ï¥âáï ¤®ª § âì â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©. â § ¤ ç à¥è ¥âáï ¢ £« ¢¥ III ¨ ®âç á⨠¢ § 2 £« ¢ë V. ¤® ¨§ ¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨©, ª®â®à®¥ ã® «®¨âì à §¢¥àâªã, ¬ë ãáâ ®¢¨¬ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ãªâ¥, ¤à㣨¥ ¥ ¡ã¤ãâ ¢ëïá¥ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥. Ǒ®á«¥ í⮣® ¢á⠥⠢®¯à®á ® ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¤®áâ â®ç®á⨠©¤¥ëå ãá«®¢¨©, â. ¥. à¥çì ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ® ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©. ¥è¥¨î 21)
21) §¢¥à⪨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥, ¥á«¨ ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ à¥¡à ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì â ª, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ᪫¥¨¢ îâáï ¯® ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ à¥¡à ¬.
. I:
§ 6.
55
í⮣® ¢®¯à®á ¯®á¢ïé¥ë £« ¢ IV ¨ § 1 £« ¢ë V. ®à¬ã«¨à®¢ª¨ ®á®¢ëå १ã«ìâ ⮢ £« ¢ III|V ¤ îâáï ¢ § 3 £« ¢ë II. A
A
a
a
b
a
b
b
a
A
b
b
a A
A c
c a)
A
A c
c b)
c v)
¨á. 38
4. ਢ¨§ . Ǒ®«ë¬ 㣫®¬ ¢®ªà㣠¢ãâ॥©, â.¥. ¥ «¥ 饩 £à ¨æ¥, â®çª¨ à §¢¥à⪨ ¬ë §ë¢ ¥¬ á㬬ã á室ïé¨åáï ¢ ¥© 㣫®¢.
᫨ íâ â®çª «¥¨â ¢ãâਠॡà , ¯® ª®â®à®¬ã á¬¥ë ¤¢¥ £à ¨, â® ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¥¥ á« £ ¥âáï ¨§ ¤¢ãå à §¢¥àãâëå 㣫®¢ ¨ ¯®â®¬ã à ¢¥ 2π. Ǒ®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠â®çª¨, «¥ 饩 ¢ãâਠ¬®£®ã£®«ì¨ª à §¢¥à⪨, ¬ë, ¥áâ¥á⢥®, ¯®« £ ¥¬ à ¢ë¬ 2π. ( «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®«ë© 㣮« ¯à¨ â®çª¥ £à ¨æ¥ à §¢¥à⪨; ® ¬®¥â ¥ à ¢ïâìáï π, ⮫쪮 ¥á«¨ â®çª ï¥âáï £à ¨ç®© ¢¥à訮©.)
᫨ ¬®£®ã£®«ì¨ª å, á室ïé¨åáï ¢ â®çª¥ A, ¯®áâநâì ªà㣮¢ë¥ ᥪâ®àë ¬ «®£® à ¤¨ãá r, â® ¢ á㬬¥ ®¨ ®¡à §ãîâ ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ A, ¨ ¥á«¨ ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠â®çª¨ A ¥áâì θ, â® ¤«¨ ®ªàã®á⨠í⮩ ®ªà¥áâ®á⨠¡ã¤¥â θr (à¨á. 39).
᫨ θ à ¢® 2π, â® â ª ï ®ªà¥áâ®áâì « £ ¥âáï ¯«®áª¨© ªàã£, ¨ ¯®â®¬ã â®çª á ¯®«ë¬ 㣫®¬ 2π ¢ á¬ëá«¥ ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¨ç¥¬ ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â â®çª¨ ¢ãâਠ£à ¨. ª ¡ã¤¥â § ¢¥¤®¬® ¤«ï â®ç¥ª, «¥ é¨å ¢ãâਠ¥£à ¨çëå ॡ¥à. ®çª¨, ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠ª®â®àëå ¥ à ¢¥ 2π, ¢á¥£¤ ¤®«ë ¡ëâì ¢¥àè¨ ¬¨ à §¢¥à⪨. å ¬®® §¢ âì ¨áâ¨ë¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨. §®áâì 2π−θ, £¤¥ θ | ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¢ãâ॥© â®çª¨ A à §¢¥à⪨, ¬ë §ë¢ ¥¬ ªà¨¢¨§®© â®çª¨ A. ª ª ª θ ¬®¥â ¡ëâì ®â«¨ç® ®â 2π ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å, â® ¨¬¥¥âáï «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® â®ç¥ª á ªà¨¢¨§®©, ®â«¨ç®© ®â ã«ï. Ǒ®áª®«ìªã ã£«ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ãâ॥© ¬¥âਪ®©, ªà¨¢¨§ â ª¥ ®â®á¨âáï ª ¯®ïâ¨ï¬ ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ. ਢ¨§®© «î¡®© ç áâ¨ à §¢¥à⪨ ¬ë §ë¢ ¥¬ á㬬㠪ਢ¨§ § ª«îç îé¨åáï ¢ ¥© ¨áâ¨ëå ¢¥àè¨.
56
. .
᫨ ªà¨¢¨§ ¢® ¢á¥å â®çª å à §¢¥à⪨ ≥ 0, â® ¬ë £®¢®à¨¬ ® à §¢¥à⪥ ¨«¨ ¬®£®£à ®© ¬¥âਪ¥ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë. ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 á㬬 ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¢á¥£¤ ¬¥ìè¥ 2π, â ª çâ® ªà¨¢¨§ ¥£® ¯®«®¨â¥«ì . Ǒ®í⮬㠢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¯®«®¨â¥«ìãî ªà¨¢¨§ã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë 諨 ®¤® ãá«®¢¨¥, ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª : á㬬ë 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ª ¤®© ¢¥à訥 à §¢¥à⪨, ¥ ¤®«ë ¯à¥¢®á室¨âì 2π .
A A A
¨á. 39
( ª ª ª ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¥áâì ç áâì ¯®«®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , â® á㬬 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ª ¤®© ¥£® £à ¨ç®© ¢¥à訥, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¢ ª ¤®© £à ¨ç®© ¢¥à訥 ¥£® à §¢¥à⪨, â ª¥ ¥ ¤®« ¯à¥¢®á室¨âì 2π.)
5. ¤ ç¨. 1. ®ª § âì, çâ®: ) ªà âç ©è ï ¬®£®£à ¨ª¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ॡ஠®¡à §ã¥â á ¨¬ à ¢ë¥ (¥ ᬥë¥) 㣫ë; ¡) ¯à¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮬 à §¢¥àâë¢ ¨¨ ¯«®áª®áâì â¥å £à ¥©, ¯® ª®â®àë¬ ¯à®å®¤¨â ªà âç ©è ï, ® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª; ¢) ªà âç ©è ï ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¥ ¬®¥â ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã. 2. áᬮâà¥âì ªà âç ©è¨¥ ¡®ª®¢ëå ¯®¢¥àå®áâïå ¯à¨§¬ë ¨ ¯¨à ¬¨¤. 3. ª § âì ¯à¨¬¥àë, ª®£¤ ¤¢¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª¥ ᮥ¤¨ïîâáï ¥ ®¤®©, ¥áª®«ìª¨¬¨ ªà âç ©è¨¬¨. 4. ª § âì ¯à¨¬¥àë ªà âç ©è¨å ¥¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ¥£® ¢¥àè¨ë. 5. ª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯à®¨§¢®«ì ï à §¢¥à⪠¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨§¬ë (¯¨à ¬¨¤ë), á®áâ®ïé ï ¨§ ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ? 6. ®ª § âì, çâ® ¢á直© § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥â à §¢¥àâªã, á®áâ®ïéãî ¨§ ®¤®£® §¢¥§¤ç ⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¯®¤®¡® ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪥ ¯¨à ¬¨¤ë. (ýáâà¨ïþ §¢¥§¤ë ¤®«ë á室¨âìáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥.) 7. ®ª § âì, çâ® ¢á直© ¤ ë© (ª®¥çë©) ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥â ¥ ¡®«¥¥ 祬 ª®¥ç®¥ ç¨á«® à §¢¥à⮪, ¢¥àè¨ë ª®â®àëå ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ⮫쪮 ¥£® ¢¥àè¨ ¬, à¥¡à ¨¬¥îâ ¤«¨ë ¥ ¡®«ìè¥ ¤ ®©.
. I:
§ 7.
Ǒ
57
§ 7. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ à §¢¥à⮪
1. ®¯®«®£¨ï ¨§ãç ¥â ᢮©á⢠䨣ãà, á®åà ïî騥áï ¯à¨ «î¡ëå ¢§ ¨¬® ®¤®§ çëå ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥àë¢ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå.
᫨ â®çª¨ ¤¢ãå 䨣ãà ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®áâ ¢«¥ë ¢® ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮¥ ᮮ⢥âá⢨¥ , ⮠䨣ãàë §ë¢ îâáï £®¬¥®¬®àä묨, á ¬® ᮮ⢥âá⢨¥ §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ ®¤®© 䨣ãàë ¤àã£ãî. 祢¨¤®, ¤¢¥ 䨣ãàë, £®¬¥®¬®àäë¥ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ âà¥â쥩, £®¬¥®¬®àäë ¤à㣠¤àã£ã: ¤®áâ â®ç® ᮯ®áâ ¢¨âì ⥠¨å â®çª¨, ª®â®àë¥ ®â¢¥ç îâ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ â®çª¥ âà¥â쥩 䨣ãàë. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¬ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ᢮©á⢮ 䨣ãàë, ª®â®à®¥ á®åà ï¥âáï ¯à¨ «î¡ëå ¥¥ £®¬¥®¬®àäëå ®â®¡à ¥¨ïå; íâ® ¥áâì â ª®¥ ᢮©á⢮, ª®â®à®¥, ¯à¨ ¤«¥ ¤ ®© 䨣ãà¥, ¯à¨ ¤«¥¨â ¨ ¢á¥¬ £®¬¥®¬®àäë¬ ¥© 䨣ãà ¬. í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë ãáâ ®¢¨¬ ®á®¢ë¥ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¨å à §¢¥à⮪. 2. ¥®à¥¬ 1. ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥. ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠ§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P â®çªã O ¨ ®¯¨è¥¬ ¢®ªà㣠¥¥ áä¥àã S . Ǒ஢®¤ï ¨§ O «ãç¨ ¢® ¢á¥å ¯à ¢«¥¨ïå, ᮯ®áâ ¢¨¬ ¤à㣠¤àã£ã â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ áä¥àë S , «¥ 騥 ®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å. ¤ë© «ãç ¯¥à¥á¥ª ¥â áä¥àã ¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ ®¤®© â®çª¥, ¯®â®¬ã ãáâ ®¢«¥®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¡ã¤¥â ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬. ® ¡ã¤¥â â ª¥ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥àë¢ë¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¤¢¨¥¨¨ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª¥ ¨¤ã騩 ¢ ¥¥ «ãç ¡ã¤¥â ¢à é âìáï ¢®ªà㣠â®çª¨ O ¥¯à¥à뢮, ¯®â®¬ã ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï â®çª áä¥à¥ ¡ã¤¥â ¤¢¨£ âìáï ¯® ¥© ¥¯à¥à뢮. ¡à â®, ¥á«¨ â®çª áä¥àë ¤¢¨¥âáï ¥¯à¥à뢮, â® ¨¤ã騩 ç¥à¥§ ¥¥ «ãç â ª¥ ¢à é ¥âáï ¥¯à¥à뢮, ¯®â®¬ã â®çª X , ¢ ª®â®à®© ® ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª P , ¡ã¤¥â ¤¢¨£ âìáï ¯® ¥¬ã ¥¯à¥à뢮 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ª ¯àאַ¥ ᮮ⢥âá⢨¥ â®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª â®çª ¬ áä¥àë, â ª ¨ ®¡à ⮥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥¯à¥àë¢ë, çâ® ¨ ®§ ç ¥â ¢§ ¨¬ãî ¥¯à¥à뢮áâì à áᬠâਢ ¥¬®£® ᮮ⢥âá⢨ï. á直© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ¥áâì ç áâì § ¬ªã⮣®, ¯®â®¬ã, ¯à®¥ªâ¨àãï ¥£® â ª¨¬ ¥ ᯮᮡ®¬ áä¥àã, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® 22)
23)
ϕ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ X ®¤®© 䨣ãàë ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ â®çª ¬¨ = ϕ(X ) ¤à㣮© §ë¢ ¥âáï ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬, ¥á«¨ ª ¤®© â®çª¥ X ®â¢¥ç ¥â ⮫쪮 ®¤ â®çª Y , ¨ ®¡à â®. ®®â¢¥âá⢨¥ ϕ ¥¯à¥à뢮, ¥á«¨ ¨§ ⮣®, çâ® â®çª¨ Xn á室ïâáï ª X , á«¥¤ã¥â, çâ® â®çª¨ Yn = ϕ(Xn) á室ïâáï ª Y = ϕ(X ). ® ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮, ¥á«¨ â® ¥ ¢¥à® ¤«ï ®¡à ⮣® ᮮ⢥âá⢨ï ϕ−1 â®ç¥ª X â®çª ¬ Y . 23) ⮠ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ â®çª X ¤¢¨¥âáï ¯® ®¤®© £à ¨, ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ¥¯à¥à뢮áâì ¥ àãè ¥âáï, ¯®áª®«ìªã ¢á直© «ãç, ¡«¨§ª¨© ª «ãçã, ¯¥à¥á¥ª î饬㠬®£®£à ¨ª ¢ â®çª¥ A ॡॠ¨«¨ ¢ ¢¥à訥 A, á ¬ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª ¢ â®çª¥ X , ¡«¨§ª®© ª â®çª¥ A. Y
22) ®®â¢¥âá⢨¥
58
. .
® £®¬¥®¬®àä¥ ¥ª®â®à®¬ã áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã.
᫨ £à ¨æ ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¥¤¨á⢥®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, â® íâ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª ¡ã¤¥â ⮥ ®£à ¨ç¥ ®¤®© § ¬ªã⮩ áä¥à¨ç¥áª®© «®¬ ®©. ª®© ¬®£®ã£®«ì¨ª £®¬¥®¬®àä¥ ªàã£ã. (â® ã⢥थ¨¥ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, áç¨â ï ¥£® ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤ë¬. âண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯® ¨¤¥¥ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â âà㤠, ® ¥áª®«ìª® ªà®¯®â«¨¢®.)
᫨ £à ¨æ ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¥áª®«ìª¨å § ¬ªãâëå «®¬ ëå, â® â ª ¥ ãáâ஥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª. £®¬¥®¬®àä¥ ªàã£ã á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ç¨á«®¬ ªà㣫ëå ¤ëà. (â® ã⢥थ¨¥ ¬ë ¥ ¤®ª §ë¢ ¥¬, ¯®áª®«ìªã ®® ¥ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ®.) 3. ¥®à¥¬ 2.
¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«
ª®â®à®£® ¥ ¢ëத ¥âáï ¨ ¢ ¯«®áª¨© 㣮«, ¨ ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ¬®® á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¯«®áª®áâì â ª, çâ® ª ¤®© â®çª¥ ¯«®áª®á⨠¡ã¤¥â ®â¢¥ç âì ®¤ ¨ ⮫쪮 ®¤ â®çª ¬®£®£à ¨ª . ¥¬ á ¬ë¬ â ª®© ¬®£®£à ¨ª
. Ǒãáâì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¥ ¢ëத ¥âáï. ®£¤ ¢ãâਠ¥£® ¬®® ¯à®¢¥á⨠¯®«ã¯àï¬ãî a.
᫨ â®çª A «¥¨â ¬®£®£à ¨ª¥, â® ¥¥ ¬®® ¯à¨ïâì § ¢¥àè¨ã 㣫 V , ¨ ⮣¤ ¢¥áì 㣮« V «¥¨â ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ (á¬. ⥮६ã 1 § 4). Ǒ®í⮬㠯®«ã¯àï¬ ï, ¨¤ãé ï ¨§ â®çª¨ A ¢ ¯à ¢«¥¨¨ a, ᮤ¥à¨âáï ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï b, ¯ à ««¥«ì ï a, ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì ¬®£®£à ¨ª ⮫쪮 ¢ ®¤®© â®çª¥ (¯®â®¬ã çâ® ç¨ îé ïáï ®â â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®«ã¯àï¬ ï, ¨¤ãé ï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ a, 㥠®ª §ë¢ ¥âáï ¢áï ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª ). ®ª ¥¬, çâ® ¢¬¥á⥠á ⥬ ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯ à ««¥«ì ï a, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª. ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥ ¨ ¯ãáâì ¯àï¬ ï b, ¯ à ««¥«ì ï a, ¬®£®£à ¨ª ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â. ãâਠ¥£® ® ¥ ¬®¥â «¥ âì, â ª ª ª ¬®£®£à ¨ª ¥ ᮤ¥à¨â ¨ª ª®© ¯àאַ©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ® «¥¨â ¢¥ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ¥à¥á¥ç¥¬ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâìî, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ª ªãî-«¨¡® ¥£® ¢ãâà¥îî â®çªã ¨ ¯àï¬ãî b. á¥ç¥¨¨ ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¥ 騩 ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯àאַ© b. ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®, çâ® â ª®© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨¬¥¥â ®¯®àãî ¯àï¬ãî b′ , ¯ à ««¥«ìãî b (à¨á. 40). ® ç áâì í⮩ ¯àאַ©, ¨¤ãé ï ®â â®çª¨ ª á ¨ï A ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¯®«ã¯àאַ© a, ¯® ¤®ª § ®¬ã ¤®« «¥ âì ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥ ¬®¥â ¡ëâì ç áâìî ®¯®à®© ¯àאַ© b′. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï b, ¯ à ««¥«ì ï a, ¤®« ¯¥à¥á¥ª âì ¬®£®£à ¨ª. â ª, ¢áïª ï â ª ï ¯àï¬ ï ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ¢ ®¤®© â®çª¥. Ǒ®í⮬ã, ¯à®¥ªâ¨àãï ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâì â ª¨¬¨
£®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®áâ¨
®ª § ⥫ìá⢮.
. I:
§ 7.
Ǒ
59
¯àï¬ë¬¨, ¯®«ã稬 ¯à®¥ªæ¨î, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®â®à®© ã⢥ठ¥â ⥮६ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ®£®£à ¨ª á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬, ¢ëத î騬áï ¢ ¯«®áª¨© 㣮« ¨«¨ ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ¥ ¬®¥â ¡ëâì á¯à®¥ªâ¨à®¢ ¢áî ¯«®áª®áâì ¨ ¨ª ª ï ¥£® b′ ¯à®¥ªæ¨ï ¥ ®¤®§ ç (â.¥. ¢ ¥ª®A â®àë¥ â®çª¨ ¯«®áª®á⨠¯à®¥ªâ¨àã¥âáï ¥áª®«ìª® ¨«¨ ¤ ¥ ¡¥áª®¥ç® ¬®£® â®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª ).
᫨ ¯à ¢«¥b ¨¥ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¯ à ««¥«ì® ¯®«ã- a ¯àאַ©, ¨¤ã饩 ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥, â® ¥ª®â®àë¥ ¯à®¥ªâ¨àãî騥 ¯àï¬ë¥ ¡ã¤ãâ ᪮«ì§¨âì ¯® ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬, ¤à㣨¥ ¥ ¢®¢á¥ ¥ ¡ã¤ãâ ¯¥à¥á¥ª âì ¬®£®£à ¨ª. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¯«®á¨á. 40 ª®£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V ¬®£®£à ¨ª ¬®® á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¢ ¯®«®áã ¬¥¤ã ¯ ன ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå; í⨠¯àï¬ë¥ ¡ã¤ã⠯஥ªæ¨ï¬¨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⨠㣫 V . á«ãç ¥ ¥ ¢ëத¥¨ï 㣫 V ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî a ¯à®¥ªæ¨ï ¢¤ «ì ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, áâ®à®ë ª®â®à®£® ¡ã¤ã⠯஥ªæ¨ï¬¨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©. ® ¢á类¬ á«ãç ¥, ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¥ ¥ ¤ ¥â §¤¥áì ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箣® ®â®¡à ¥¨ï ¢áî ¯«®áª®áâì, ¨ ¯®â®¬ã ¥®¡å®¤¨¬® ¤à㣮¥ ¯®áâ஥¨¥. áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ª®â®à®£® ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ©. ᥠ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¯ à ««¥«ìë. Ǒ¥à¥á¥ª ï ¨å ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ¯«®áª®áâìî, ®âá¥ç¥¬ ®â P ¡¥áª®¥çãî ¢ ®¤ã áâ®à®ã ¯à¨§¬ã P ′ (ª ª®â®à®© ¬ë ¯à¨á®¥¤¨¨¬ ¥¥ ®á®¢ ¨¥). ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠí⮩ ¯à¨§¬ë â®çªã O. á直© «ãç, ¨¤ã騩 ¨§ O ¨ ¯¥à¥á¥ª î騩 P ′, ¯¥à¥á¥ç¥â P , ¨ ®¡à â® (à¨á. 41). १ã«ìâ â¥, ᮯ®áâ ¢«ïï â®çª¨ ®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å, ¯®«ã稬 ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮¥ ᮮ⢥âá⢨¥ â®ç¥ª P ¨ P ′ (â®çª¨, ®¡é¨¥ ã P ¨ P ′, ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á ¬¨ ᥡ¥). ® ¯à¨§¬ã P ′, ®ç¥¢¨¤®, ¬®® ®â®¡à §¨âì ¯«®áª®áâì ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮. ®áâ â®ç® «®¨âì ¥¥ ¡®ª®¢ë¥ £à ¨ ¯«®áª®áâì ®á®¢ ¨ï ¨ à áâïãâì ¨å â ª, çâ®¡ë ®¨ ¯®ªà뫨 ¢áî ¯«®áª®áâì (à¨á. 42). ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¬®£®£à ¨ª P £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®áâ¨. áᬮâਬ ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ª®â®à®£® ¯«®áª¨©, ® ¥ ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ©. â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ ¯«®áª®á⨠㣫 V , á ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨,
60
. .
¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬ 㣫 V ; ã ¢á¥å ¤àã£¨å ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥© à¥¡à ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìë. Ǒ¥à¥á¥ç¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ¯«®áª®áâìî, ®âᥪ î饩 ¢á¥ ¥£® ª®¥çë¥ £à ¨ (à¨á. 43). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P ′ á ®¤®© ª®¥ç®© £à ìî, ᮤ¥à 騩áï ¢ P , ¨ á ¡¥áª®¥ç묨 £à ﬨ, «¥£ î騬¨ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P .
O
¨á. 41
O
¨á. 42
¨á. 43
®§ì¬¥¬ ¢ãâਠP ′ â®çªã O. ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¢á直© «ãç, ¨¤ã騩 ¨§ O ¨ ¯¥à¥á¥ª î騩 ®¤¨ ¬®£®£à ¨ª, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¨ ¤à㣮©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ª P ®â®¡à ¥âáï P ′ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮. «¥¥, «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬ã, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ′ ¬®® ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮 ®â®¡à §¨âì ¯«®áª®áâì. ⨬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª P â ª¥ £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®áâ¨. (â®â ¢ë¢®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ª® ¢á类¬ã ¡¥áª®¥ç®¬ã ¬®£®£à ¨ªã.) è¨ ¢ë¢®¤ë ¯à¨¢¥«¨ ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: ¥®à¥¬ 3.
.
áâ¨
¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®-
¯¥à æ¨ï ᪫¥¨¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ª, ª®â®à®¥, ª ª ïá® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï í⮣® ®â®¡à ¥¨ï (¯◦ 3 § 6), ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮 ¯à¨ ⮬ ¥¯à¥¬¥®¬ ãá«®¢¨¨, çâ® â®çª¨ à §¢¥à⪨, ®â®¤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ¢ ᨫã ý§ ª® ᪫¥¨¢ ¨ïþ, áç¨â îâáï § ®¤ã â®çªã à §¢¥à⪨. Ǒ®í⮬ã à §¢¥à⪠, ¨§ ª®â®à®© ¬®® ᪫¥¨âì ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥®¡å®¤¨¬® ¥¬ã £®¬¥®¬®àä . 4.
. I:
§ 7.
61
Ǒ
⢥ठï íâ®, ¬ë §¤¥áì ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥ ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã, ç⮠᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ â®çª¨ áç¨â îâáï § ®¤ã. ®á®¢ ¨¨ í⮣® § ¬¥ç ¨ï ¨§ ⥮६ 1 ¨ 3 á«¥¤ã¥â ¥®à¥¬ 4.
§¢¥à⪠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä-
áä¥à¥, à §¢¥à⪠¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä
. (®® â ª¥ § ª«îç¨âì, çâ® à §¢¥à⪠ª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© £®¬¥®¬®àä áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, à §¢¥à⪠¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© £®¬¥®¬®àä ¡¥áª®¥ç®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã.) ¤ ª® íâ® ãá«®¢¨¥, « £ ¥¬®¥ à §¢¥àâªã, ¥ã¤®¡® ¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, çâ® § à ¥¥ ¥ ¢¨¤® ¯à®á⮣® ᯮᮡ ¯à®¢¥à¨âì ¤«ï ¤ ®© à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®àä ® áä¥à¥ ¨«¨ ¥â. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë § ¬¥¨¬ íâ® ãá«®¢¨¥ ¤à㣨¬, ª®â®à®¥ ¤«ï «î¡®© à §¢¥à⪨ ¯à®¢¥àï¥âáï ᮢᥬ ¯à®áâ®. á«®¢¨¥ íâ® ¤ ¥âáï ⥮६®© ©«¥à , ª®â®àãî ¬ë ¨ ¤®ª ¥¬. 5. 㤥¬ §ë¢ âì á¥âìî «î¡ãî ᮢ®ªã¯®áâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¯à®áâëå (â.¥. ¥ ¨¬¥îé¨å á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨©), ¥§ ¬ªãâëå «®¬ ëå, «¥ é¨å ¬®£®£à ¨ª¥ ¨ ¥ ¨¬¥îé¨å ®¡é¨å â®ç¥ª, ªà®¬¥ ª®æ®¢. ¤ãî «®¬ ãî §®¢¥¬ ýॡ஬þ á¥â¨, ª®æë «®¬ ëå §®¢¥¬ ý¢¥àè¨ ¬¨þ á¥â¨. ®®¡é¥ £®¢®àï, â ª ï á¥âì ¡ã¤¥â à §¡¨¢ âì ¬®£®£à ¨ª ¥ª®â®àë¥ ®¡« á⨠.
᫨ ® ¥£® ¢®¢á¥ ¥ à §¡¨¢ ¥â, â® áç¨â ¥¬, çâ® ¨¬¥¥âáï ¢á¥£® ®¤ ®¡« áâì. Ǒà®á⥩訩 ¯à¨¬¥à á¥â¨ ¤ ¥â á¥âì ॡ¥à á ¬®£® ¬®£®£à ¨ª ; ®¡« áâﬨ §¤¥áì ¡ã¤ãâ ¥£® £à ¨. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ á¥âì ¬®¥â á« £ âìáï ¨§ ¥áª®«ìª¨å ç á⥩, ¥ ¨¬¥îé¨å ¯®¯ à® ®¡é¨å â®ç¥ª. ¤ãî â ªãî ç áâì, ¥ à ᯠ¤ îéãîáï ¤ «¥¥, ¬ë §ë¢ ¥¬ á¢ï§®© ª®¬¯®¥â®© á¥â¨. ¥®à¥¬ 5. (¡®¡é¥ ï ⥮६ ©«¥à .)
᫨ ¤ á¥âì § ¬ªã¯«®áª®áâ¨
24)
⮬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¨ ç¨á«® á¢ï§ëå ª®¬¯®¥â,
f
e
| ç¨á«® ¥¥ ¢¥àè¨,
k
| ç¨á«® ॡ¥à,
l
|
| ç¨á«® ®¡« á⥩, ª®â®àë¥ á¥âì à §¡¨¢ ¥â
¬®£®£à ¨ª, â®
e−k
+ f = l + 1.
(1)
(â. ¥. á®á⮨⠨§ ®¤®© ª®¬¯®¥âë), â® + f = 2. ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® á«¥¤ãî饩 ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®© ⥮६¥, ¨§¢¥á⮩ ¯®¤ ¨¬¥®¢ ¨¥¬ â¥®à¥¬ë ®à¤ : ¢áïª ï § ¬ªãâ ï «®¬ ï § ¬ªã⮬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ à §¡¨¢ ¥â ¥£®. Ǒਠ¢á¥© ®ç¥¢¨¤®á⨠í⮩ ⥮६ë áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ ᫨誮¬ ¯à®áâë¬; ®® ¡ã¤¥â ¤ ® ¤®¯®«¨â¥«ì® ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ¯ãªâ¥ áâ®ï饣® ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ á¥âì á¢ï§
e−k
24) ¤ã ®¡« áâì ¡ã¤ãâ ®¡à §®¢ë¢ âì ¢á¥ â®çª¨, ª®â®àë¥ ¬®® ᮥ¤¨¨âì ¤àã£ á ¤à㣮© «®¬ 묨, ¥ ¯¥à¥á¥ª ï á¥â¨.
62
. .
¯ à £à ä . ᥩç á, ¯à¨ï¢ ⥮६㠮ठ¢¥àã, ¤®ª ¥¬ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠩«¥à . «ï ý¯ãá⮩ á¥â¨þ, â. ¥. ª®£¤ ¨ª ª®© á¥â¨ ¬®£®£à ¨ª¥ ¥â, ⥮६ ¢¥à , ¯®â®¬ã çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ e = k = l = 0, a ®¡« áâì ®¤ , â ª çâ® f = 1 ¨ à ¢¥á⢮ (1) ¢ë¯®«ï¥âáï. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ®, ¥ ¬¥ïï ¢¥«¨ç¨ë e −k + f −l, ¬®®, ãáâà ïï à¥¡à ¯® ®¤®¬ã, ã¨ç⮨âì ¢áî á¥âì, ⮠⥮६ ¡ã¤¥â ¤®ª § . áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 âਠ®¯¥à 樨 ãáâà ¥¨ï ॡ¥à á¥â¨. 1) áâà ï¥âáï à¥¡à® á ®¤¨¬ ᢮¡®¤ë¬ ª®æ®¬. ®£¤ ç¨á« ॡ¥à k ¨ ¢¥àè¨ e 㬥ìè îâáï ¥¤¨¨æã, ç¨á«® ®¡« á⥩ f ¨ ç¨á«® ª®¬¯®¥â l, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬¥ïîâáï. Ǒ®í⮬㠢¥«¨ç¨ e − k + f − l ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©. 2) áâà ï¥âáï ॡà®, ïî饥áï ®¡é¥© £à ¨æ¥© (¨«¨ ç áâìî £à ¨æë) ¤¢ãå ®¡« á⥩. ®£¤ í⨠®¡« á⨠᫨¢ îâáï ¨ ç¨á«® ¨å f 㬥ìè ¥âáï ¥¤¨¨æã. ¨á«® ॡ¥à k â ª¥ 㬥ìè ¥âáï ¥¤¨¨æã. ¥¡à®, à §¤¥«ïî饥 ®¡« áâ¨, ¥ ¨¬¥¥â ᢮¡®¤ëå ª®æ®¢, ¯®â®¬ã ®¨ ®áâ îâáï, â ª çâ® ç¨á«® e ¥ ¨§¬¥ï¥âáï. ¨á«® ª®¬¯®¥â l â ª¥ ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥ë¬, ¯®â®¬ã çâ® ®¡« áâì ®£à ¨ç¥ § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ª®â®à ï ¯à¨ ¨§êï⨨ ®¤®£® à¥¡à ¥ ¬®¥â à ᯠáâìáï ¥á¢ï§ ë¥ ç áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥«¨ç¨ e − k + f − l ¥ ¬¥ï¥âáï. 3) áâà ï¥âáï à¥¡à® á ¤¢ã¬ï ᢮¡®¤ë¬¨ ª®æ ¬¨. ª®¥ ॡ஠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á ¬® ¯® ᥡ¥ á¢ï§ãî ª®¬¯®¥âã á¥â¨, ¯®â®¬ã ç¨á«® l 㬥ìè ¥âáï ¥¤¨¨æã. ¨á«® ॡ¥à k â ª¥ ã¡ë¢ ¥â ¥¤¨¨æã. ¨á«® ¢¥àè¨ e 㬥ìè ¥âáï ¤¢ , ç¨á«® ¥ ®¡« á⥩ f , ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬¥ï¥âáï. Ǒ®í⮬㠢¥«¨ç¨ e − k + f − l ᮢ ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©. Ǒãáâì ⥯¥àì ¬ ¤ «î¡ ï á¥âì. Ǒ®«ì§ãïáì ¯¥à¢®© ¨ âà¥â쥩 ®¯¥à æ¨ï¬¨, ãáâà 塞 ¢á¥ ॡà ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ª®æ ¬¨.
᫨ ¯®á«¥ í⮣® ¥é¥ ®áâ «¨áì ॡà , â® ®¨ ®¡à §ãîâ § ¬ªãâë¥ «®¬ ë¥ ¨ ¯®â®¬ã (¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ®à¤ !) à §¡¨¢ îâ ¬®£®£à ¨ª ®¡« áâ¨. â ª®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¬¥¨¬ ¢â®à ï ®¯¥à æ¨ï, ª®â®à ï à ® ¨«¨ ¯®§¤® ¯à¨¢®¤¨â, ®ç¥¢¨¤®, ª ¯®ï¢«¥¨î ᢮¡®¤ëå ª®æ®¢. ®£¤ ®¯ïâì ãáâà 塞 ॡà ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ª®æ ¬¨ ¨ â. ¤. ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ ã¨ç⮨¬ ¢áî á¥âì. Ǒਠ¢á¥å ®¯¥à æ¨ïå ç¨á«® e − k + f − l ¥ ¬¥ï¥âáï, ¢ ®âáãâá⢨¨ á¥â¨ ®® à ¢® 1. Ǒ®í⮬㠨 ¤«ï ¨á室®© á¥â¨ e − k + f − l = 1, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. Ǒãáâì ⥯¥àì R | à §¢¥à⪠, ¨§ ª®â®à®© ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ®£« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¬®® à §¡¨âì ®¡« áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ à §¢¥à⪨ â ª, çâ® ®¡é¨¥ ®â१ª¨ £à ¨æ ®¡« á⥩ ®â¢¥ç îâ ᪫¥¨¢ ¥¬ë¬ áâ®à® ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ⨠®â१ª¨ £à ¨æ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ «®¬ ë¥, ®¡à §ãî騥 á¥âì ¬®£®£à ¨ª¥ P . ¨á« ¢¥àè¨ e, ॡ¥à k ¨ ®¡« á⥩ f í⮩ á¥â¨ à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® ç¨á« ¬ ¢¥àè¨, ॡ¥à
. I:
§ 7.
63
Ǒ
¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ (¯à¨ ⮬ ¯à¨ï⮬ ¬¨ ãá«®¢¨¨, ç⮠᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë áç¨â îâáï § ®¤® ॡ஠¨ § ®¤ã ¢¥àè¨ã). ë ãá«®¢¨«¨áì â ª¥ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® à §¢¥à⪠á®á⮨⠨§ ¯à®áâëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ (â.¥. ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ëå ª ¤ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©). ®ª ¥¬, çâ® ¢ ᨫã í⮣® ãá«®¢¨ï á¥âì ¡ã¤¥â á¢ï§®©. Ǒãáâì A ¨ B | ª ª¨¥-«¨¡® ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨ (ᮮ⢥âá⢥® á¥â¨).
᫨ ®¨ ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ⮠ᮥ¤¨ïîâáï «®¬ ®©, ¯®â®¬ã çâ® ® ¯à®á⮩.
᫨ ¥ ®¨ ¯à¨ ¤«¥ â à §ë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ Q ¨ R, â® ®â Q ª R ¬®® ¯¥à¥©â¨, ¨¤ï ¯® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ á ®¡é¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¨«¨ áâ®à® ¬¨. Ǒ®í⮬ã, ¨¤ï ¯® £à ¨æ ¬ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¬ë ᮥ¤¨¨¬ ¢¥àè¨ë A ¨ B 楯ìî ॡ¥à. à § «î¡ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ᮥ¤¨ïîâáï 楯ìî ॡ¥à, â® á¥âì á¢ï§ . â ª, ç¨á«® ª®¬¯®¥â 襩 á¥â¨ l = 1, ¯®â®¬ã ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ©«¥à e − k + f = 2. ⨠à áᬮâà¥¨ï ¯à¨¢¥«¨ ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: ¥®à¥¬ 6.
᫨ ¨§ à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®-
£®£à ¨ª, â® ç¨á«®
f
¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ç¨á«®
k
ॡ¥à ¨ ç¨á«®
e
¢¥àè¨
+ f = 2. ¡®¡é¥ ï ⥮६ ©«¥à ¨¬¥¥â ⮯®«®£¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à; ¯à¨ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ «®¬ ë¥, ®¡à §ãî騥 á¥âì, ¬®£ãâ áâ âì ªà¨¢ë¬¨, ® ¨ ç¨á«® ¨å, ¨ ç¨á«® ¢¥àè¨, ¨ ç¨á«® ®¡« á⥩ ¥ ¨§¬¥ïâáï. Ǒ®í⮬ã â® ¥ á®®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï á¥â¥© ¢á类© ¯®¢¥àå®áâ¨, £®¬¥®¬®à䮩 § ¬ªã⮬㠢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢á类© ¯®¢¥àå®áâ¨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥. á¢ï§¨ á í⨬ ¨ ⥮६¥ 6 ¬®® ¯à¨¤ âì ⮯®«®£¨ç¥áª¨© ¢¨¤: ¤«ï ¢á类© à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, e − k + f = 2. Ǒਠí⮬ á ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨ ¬®® ¯®¤¢¥à£ âì «î¡ë¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬, â ª çâ® ¨å ¬®® ¬ë᫨âì ª ª úªà¨¢ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨û. 6 . ¥®à¥¬ 7. (¡à â ï ⥮६ ©«¥à .)
᫨ à §¢¥à⪠¡¥§ £à ¨æë, á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ©«¥à e − k + f = 2, â® ® £®¬¥®¬®àä áä¥à¥. ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, â ª çâ® ¨çâ®, ªà®¬¥ ç¨á« ¨å áâ®à® ¨ ¯à ¢¨« ᪫¥¨¢ ¨ï, ¥ ¡ã¤¥â ¨£à âì ஫¨.
᫨ à §¢¥à⪠á®á⮨⠡®«¥¥ 祬 ¨§ ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , â®, ý¯à¨ª«¥¨¢ ïþ ª ®¤®¬ã ¨§ ¨å ¤à㣮©, ª ¨¬ âà¥â¨© ¨ â. ¤., ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã, á®áâ®ïéãî ¨§ ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . Ǒਠí⮬ ᪫¥¨¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨¬ ª ¤ë© à § ¯® ®¤®© ¯ ॠáâ®à®, ¯®¤«¥ é¨å ᪫¥¨¢ ¨î, ª ª 㪠§ ® ¢ à §¢¥à⪥. Ǒ®í⮬㠯ਠª ¤®¬ ᪫¥¨¢ ¨¨ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¥®¡å®¤¨¬® á¢ï§ ë á®®â®è¥¨¥¬ ©«¥à
e−k
25)
25) ᥠ¤ «ì¥©è¨¥ ¢ë¢®¤ë ¯¯. 6{8 ¨¬¥îâ § 票¥ ⮫쪮 ¤«ï £«. IV.
64
. .
ç¨á«® ॡ¥à 㬥ìè îâáï 1, ç¨á«® ¢¥àè¨ ®áâ ¥âáï ¯à¥¨¬, â ª çâ® ¢¥«¨ç¨ e − k + f ¥ ¬¥ï¥âáï ¨ ®áâ ¥âáï à ¢®© 2. ¯®«ã祮© à §¢¥à⪥ f = 1 ¨ ¯®â®¬ã e = k + 1.
¤¨áâ¢¥ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯®«ã祮© à §¢¥à⪨ ¨¬¥¥â 2k áâ®à®, ¯®â®¬ã çâ® áâ®à®ë ᪫¥¨¢ îâáï ¯®¯ à® ¨ ª ¤ ï ¯ à ¨å ¤ ¥â ®¤® ॡà®. ¨á«® ¥ ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª | â ª®¥ ¥, ª ª ç¨á«® áâ®à®, â. ¥. ⮥ 2k. (He ¯ãâ âì ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ à §¢¥à⪨! Ǒ®¤«¥ 騥 ᪫¥¨¢ ¨î ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª áç¨â îâáï § ®¤ã ¢¥àè¨ã à §¢¥à⪨.) Ǒ®ª ¥¬, çâ® ã 襣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨¬¥¥âáï ¯ à ¯®¤«¥ é¨å ᪫¥¨¢ ¨î áâ®à® a, b á ®¡é¨¬ ª®æ®¬, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ a á b íâ®â ®¡é¨© ª®¥æ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á ¬ ᥡ¥ ¨ ¤ ¥â ⮫쪮 ®¤ã ¢¥àè¨ã à §¢¥à⪨. (
᫨ ®â¬¥â¨âì íâ¨å áâ®à® å ¯à ¢«¥¨ï, ᮢ¯ ¤ î騥 ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨, â® ®¨ ¡ã¤ãâ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬¨, à¨á. 44.) ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë â ª®© ¯ àë ᪫¥¨¢ ¥¬ëå áâ®à® ¥ ¡ë«®, â® ã ª ¤®© ¯ àë ᪫¥¨¢ ¥¬ëå áâ®à® ¨ª ª®© ª®¥æ ¥ ᮮ⢥âá⢮¢ « ¡ë á ¬ ᥡ¥ (í⨠áâ®à®ë «¨¡® ¥á®á¥¤¨¥, «¨¡® á®á¥¤¨¥, ® ®¤¨ ª®¢® ¯à ¢«¥ë, ª ª à¨á. 45 ). Ǒ®í⮬㠢ᥠª®æë áâ®à®, â.¥. ¢á¥ 2k ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª , ᪫¥¨¢ «¨áì ¡ë ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¯®¯ à®, ¤ ¢ ï ⥬ á ¬ë¬ ¥ ¡®«¥¥ 祬 k ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ç¨á«® ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ e 6 k . ¥¤ã ⥬ ¬ë ¨¬¥¥¬ e = k + 1. Ǒ®í⮬㠤®« ¨¬¥âìáï ¯ à á®á¥¤¨å ᪫¥¨¢ ¥¬ëå ¨ ¯à®â¨¢®¯®«®® ¯à ¢«¥ëå áâ®à®. áãé¥á⢨¬ ᪫¥¨¢ ¨¥ ¤¢ãå â ª¨å áâ®à® a, b (íâ® ¢®§¬®®, â ª ª ª ¬ë ¤®¯ã᪠¥¬ «î¡ë¥ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢). Ǒ®«ã稬 ®¢ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¬¥ì訬 ç¨á«®¬ áâ®à®. «ï í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ®ç¥¢¨¤®, ᮢ e′ = k′ + 1 ¨ ª ¥¬ã ¯à¨«®¨¬ë ⥠¥ à áá㤥¨ï. Ǒ®¢â®àïï íâã ®¯¥à æ¨î, ¬ë ¯à¨¤¥¬, ª®¥æ, ª ý¬®£®ã£®«ì¨ªãþ, ¨¬¥î饬ã ⮫쪮 ¤¢¥ áâ®à®ë a, b (à¨á. 46). ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®, ç⮠᪫¥¨¢ ¨¥ íâ¨å áâ®à® ¯à¥¢à é ¥â â ª®© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ ¯®¢¥àå®áâì, £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥ (à¨á. 46); íâ® «¥£ª® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ᪫¥¨¢ ¨¥ ªà ¥¢ à §à¥§ áä¥àë ¢¤®«ì ¥ª®â®à®© ¤ã£¨. ¥®à¥¬ , â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § . ®¥¤¨ïï ¥¥ á ⥮६®© ©«¥à ¢ ¥¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®© ä®à¬¥, ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ãªâ , ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: 26)
«ï ⮣® ç⮡ë à §¢¥à⪠¡¥§ £à ¨æë, á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ª®¥çëå ¬®£®-
㣮«ì¨ª®¢, ¡ë« £®¬¥®¬®àä áä¥à¥, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ®
e − k + f = 2. â® ãá«®¢¨¥, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ï¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¤«ï § ª® ᪫¥¨¢ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠⨯ áä¥àë ¨§ ¯à®áâëå ªã᪮¢. 㤮¢«¥â¢®àï« ãá«®¢¨î ©«¥à
26) ª®¥ ᪫¥¨¢ ¨¥ £«ï¤® ª ¥âáï ¥¢®§¬®ë¬, ® ã® ¯®¬¨âì, ç⮠᪫¥¨¢ ¨ï § ¤ ë § à ¥¥ ¨ ¯®â®¬ã â ª¨¥ ᪫¥¨¢ ¨ï ¥ ¬®£ãâ áç¨â âìáï § à ¥¥ ¨áª«îç¥ë¬¨.
. I:
§ 7.
65
Ǒ
¥®à¥¬ 7 ¬®¥â ¡ëâì ¤®¯®«¥ á«¥¤ã¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ç¨á«® ©«¥à e − k + f ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ 2. 7. §¢¥à⪨ á £à ¨æ¥©.
騬 ã⢥थ¨¥¬: a
¤«ï ¢á类© à §¢¥à⪨ ¡¥§ £à ¨æë, á®áâ ¢«¥®© ¨§
A b B
A
B
A
b
A
a A
A a
b
a b B
B ¨á. 44
¨á. 45
¨á. 46
᫨ ¤®¯ãáâ¨âì e − k + f > 2, â®, ¯®¢â®àïï à áá㤥¨¥, ¯à®¢¥¤¥®¥ ¢ ç «¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 7, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª à §¢¥à⪥ ¨§ ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , â ª çâ® ¤«ï ¥¥ ¡ã¤¥â f = 1 ¨ e > k +1. Ǒத®« ï íâ® à áá㤥¨¥, ¬ë ©¤¥¬ ¯ àã á®á¥¤¨å áâ®à® a, b, ᪫¥¨¢ ¥¬ëå ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®®¬ ¯à ¢«¥¨¨ (à¨á. 44). ª«¥¨¢ ï ¨å ¨ ¯®¢â®àïï â® ¥ à áá㤥¨¥, ¯à¨¤¥¬, ª®¥æ, ª ¬®£®ã£®«ì¨ªã á ¤¢ã¬ï áâ®à® ¬¨, ᪫¥¨¢ ¥¬ë¬¨ ¢ ®¤® ॡà®, ¨ ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨ ¬¨, â. ¥. ª à §¢¥à⪥ á f = 1, k = 1, e = 2. «ï ¥¥ e − k + f = 2, a â ª ª ª ¯à¨ ¢á¥å ®¯¥à æ¨ïå ç¨á«® ©«¥à ¥ ¬¥ï«®áì, â® ¨ ¢ ç «¥ ®® ¡ë«® à ¢® 2, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î. ®â ¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ ¨ ¤«ï à §¢¥à⮪ á £à ¨æ¥©. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®® ¢ë᪠§ âì â ªãî ⥮६ã: ¥®à¥¬ 8. «ï ¢á类© à §¢¥à⪨, á®áâ®ï饩 ¨§ ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, e − k + f 6 2 − h, £¤¥ e, k , f ¨¬¥îâ ®¡ëçë© á¬ëá«, a h ¥áâì ç¨á« § ¬ªãâëå «®¬ ëå, ®¡à §ãîé¨å £à ¨æã à §¢¥à⪨. Ǒਠí⮬, ¥á«¨ e − k + f = 2 − h, â® à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ®£à ¨ç¥®¬ã h «®¬ 묨; ¨ ®¡à â®, ¤«ï ¢á类© â ª®© à §¢¥à⪨ e − k + f = 2 − h. ç áâ®áâ¨, ¤«ï à §¢¥à⪨ ¡¥§ £à ¨æë h = 0, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì § ª«îç îâáï ¢á¥ ¯à¥¤ë¤ã騥 १ã«ìâ âë . 27)
27) ®,
çâ® £à ¨æ ª®¥ç®© à §¢¥à⪨ á« £ ¥âáï ¨§ § ¬ªãâëå «®¬ ëå, ¯®¨¬ ¥âáï ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ®, ¨¤ï ®â ®¤®£® £à ¨ç®£® à¥¡à ª á«¥¤ãî饬ã, ¨¬¥î饬ã á ¨¬ ®¡éãî ¢¥àè¨ã (® ¬®¥â ¡ëâì ®¡é¥© ¢ ᨫã ᪫¥¨¢ ¨ï ᬥëå á í⨬¨ à¥¡à ¬¨ áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨), ¨ â. ¤., ¯®«ã稬 § ¬ªãâãî «®¬ ãî. â® ®ç¥¢¨¤®, ¯®áª®«ìªã ç¨á«® ॡ¥à ª®¥ç® ¨ ¨å àï¤ ¤®«¥ § ¬ªãâìáï.
᫨ â ª¨å § ¬ªãâëå
66
. .
®ª § ⥫ìá⢮. «ï à §¢¥à⮪ ¡¥§ £à ¨æë (h = 0) ¤ ï ⥮६ 㥠ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤®ª § ëå ã⢥थ¨ïå. áᬮâਬ à §¢¥àâªã á £à ¨æ¥©. «î¡®© ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¥¥ § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¬®® ¯®¤ª«¥¨âì ¯à®á⮩ ¬®£®ã£®«ì¨ª á ⥬ ¥ ç¨á«®¬ áâ®à®. Ǒ®«ã稬 ®¢ãî à §¢¥àâªã, ã ª®â®à®© ç¨á« ¢¥àè¨ ¨ ॡ¥à | ¯à¥¨¥, ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ 㢥«¨ç¨«®áì ®¤¨, ç¨á«® ®£à ¨ç¨¢ îé¨å «®¬ ëå áâ «® ¬¥ìè¥ ®¤ã, â. ¥. ¤«ï ®¢®© à §¢¥à⪨ ç¨á«® e − k + f + h ®áâ «®áì ¯à¥¨¬. ®, § ª«¥¨¢ ï â ª¨¬ ¯ã⥬ £à ¨æã, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª à §¢¥à⪥ ¡¥§ £à ¨æë, ¤«ï ¥¥ e − k + f + h 6 2 (h = 0). ª ª ª íâ® ç¨á«® ¥ ¬¥ï¥âáï, â® â® ¥ ¢¥à® ¤«ï ¨á室®© à §¢¥à⪨.
᫨ ¤«ï ¨á室®© à §¢¥à⪨ ¡ë«® e − k + f = 2 − h, â® ¯ã⥬ § ª«¥¨¢ ¨ï £à ¨æ ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª à §¢¥à⪥ ¡¥§ £à ¨æ ¨ á e − k + f = 2. ª ï à §¢¥à⪠¯® ⥮६¥ 7 £®¬¥®¬®àä áä¥à¥, ¯®â®¬ã ¨á室 ï à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã. ¡à â®, ¢áïª ï à §¢¥à⪠, £®¬¥®¬®àä ï áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ¤®ª«¥¨¢ ¥âáï ¤® à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, ¯®â®¬ã ¤«ï ¥¥ e − k + f = 2 − h. ¥®à¥¬ ¤®ª § ¯®«®áâìî. 8. ¥áª®¥çë¥ à §¢¥à⪨. «ï ¡¥áª®¥çëå à §¢¥à⮪ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë «®£¨çë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¬¥¤ã ¨å ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ áâ஥¨¥¬ ¨ ç¨á«®¬ ©«¥à . ª ª ª ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, § ç¨â, ¨ ¨å à §¢¥à⪨ £®¬¥®¬®àäë ¯«®áª®áâ¨, â® ¬ë à áᬮâਬ á®®â®è¥¨¥ ©«¥à ¤«ï â ª¨å à §¢¥à⮪. ¥®à¥¬ 9.
«ï ⮣® ç⮡ë à §¢¥à⪠¡¥§ £à ¨æë, ᮤ¥à é ï ¡¥áª®-
¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¡ë« £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ -
e − k + f = 1. â®¡à §¨¬ à §¢¥àâªã ¯«®áª®áâì ¨ ¢ë॥¬ ¨§ ¥¥ ª®¥çãî ç áâì, ®£à ¨ç¥ãî ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©. â® ¬ë ᤥ« ¥¬ â ª, çâ®¡ë ¢ í⮩ ª®¥ç®© ç á⨠ᮤ¥à «¨áì ¢á¥ ¢¥àè¨ë, ¢á¥ ª®¥çë¥ à¥¡à ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ®â ª ¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® à¥¡à ¨¬¥«®áì ¡ë ¯® ®¤®¬ã ®â१ªã ¨ ®â ª ¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª | ¯® ®¤®¬ã ª®¥ç®¬ã ªãáªã (à¨á. 47). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ª®¥çãî à §¢¥àâªã á ⥬ ¥ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ f , ® ª ç¨á«ã ¢¥àè¨ e ¨ ç¨á«ã ॡ¥à k ¯à¨¡ ¢ïâáï ç¨á«® ¢¥àè¨ £à ¨ç®© «®¬ ®© ¨ ç¨á«® ¥¥ áâ®à®. ® ç¨á«® ¢¥àè¨ ¨ áâ®à® í⮩ «®¬ ®© | ®¤® ¨ â® ¥, ¯®â®¬ã ¤«ï 襩 ª®¥ç®© à §¢¥à⪨ ç¨á«® ©«¥à ¡ã¤¥â â® ¥ á ¬®¥ e − k + f , çâ® ¨ ¤«ï ¨á室®©. è ª®¥ç ï à §¢¥à⪠®£à ¨ç¥ ®¤®© «®¬ ®© ¨ £®¬¥®¬®àä ¬®£®ã£®«ì¨ªã. Ǒ®í⮬ã ᮣ« ᮠ⥮६¥ 8 e − k + f = 2 − 1 = 1, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. â®ç®, çâ®¡ë ¥¥ ç¨á«® ©«¥à à ¢ï«®áì ¥¤¨¨æ¥:
¥®¡å®¤¨¬®áâì.
«®¬ ëå ¥áª®«ìª®, â® ®¨ ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å â®ç¥ª, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ®¤®© £à ¨ç®© ¢¥à訥 á室ïâáï ⮫쪮 ¤¢ £à ¨çëå ॡà , § ç¨â, æ¥¯ì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® á¬¥ëå £à ¨çëå ॡ¥à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «î¡ë¬ ¨§ ¨å ®¤®§ ç®.
. I:
§ 7.
Ǒ
67
®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì ¤ ¡¥áª®¥ç ï à §¢¥à⪠¡¥§ £à ¨æë á ç¨á«®¬ ©«¥à e − k + f = 1. Ǒãáâì Q | ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª à §¢¥à⪨, Q | ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ᪫¥¨¢ ¥¬ë© á ¨¬ ¯® ¡¥áª®¥ç®© áâ®à®¥ L , ¨ â. ¤. ª ª ª ç¨á«® ¢á¥å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ª®¥ç® ¨ áâ®à®ë ᪫¥¨¢ îâáï ¯®¯ à®, â® ¯®«ãç¥ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ줮« § ¬ªãâìáï â ª, çâ® ¯®á«¥¤¨© ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Qn ᪫¥¨âáï á Q ¯® ¡¥áª®¥ç®© áâ®à®¥ Ln . १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥âáï 横«¨ç¥áª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q , Q , . . . , Qn , ᬥëå ¯® ¡¥áª®¥çë¬ áâ®à® ¬ L , L , . . . , Ln . ç áâ®áâ¨, ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬®¥â ᪫¥¨¢ âìáï á ¬ á ᮡ®©, ¨ ⮣¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì á®á⮨⠨á. 47 ¨§ ¥£® ®¤®£®.
᫨ ¢ à §¢¥à⪥ ®áâ îâáï ¥é¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â®, ¨áå®¤ï ¨§ «î¡®£® ¨§ ¨å, â®ç® â ª ¥ ¯®áâந¬ ¤àã£ãî 横«¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. Ǒ®¢â®àïï íâ® ¯®áâ஥¨¥, à §®¡ì¥¬ ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ â ª¨¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠R , R , . . . , Rm . ¤ ï ¨§ ¨å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ª ª ¡ë ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ª®¥æ à §¢¥à⪨. ®§ì¬¥¬ ॡà å L , L , . . . , Ln , ¯® ª®â®àë¬ á¬¥ë ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¯¥à¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠R , â®çª¨ A , A , . . . , An ¨ ᮥ¤¨¨¬ ¨å ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® «®¬ 묨 ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª å Q , Q , . . . , Qn . १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 § ¬ªãâãî «®¬ ãî M , ª®â®à ï ®â॥⠡¥áª®¥çë¥ ç á⨠íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ (à¨á. 48; ç¥à⥠¨¬¥¥â ãá«®¢ë© å à ªâ¥à, â ª ª ª ᪫¥¨¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ⮫쪮 ¡áâà ªâ®). Ǒத¥«ë¢ ï âã ¥ ®¯¥à æ¨î á® ¢á¥¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ Ri, ¯®«ã稬 ª®¥çãî à §¢¥àâªã á ⥬ ¥ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ f . ¨á«® ¥¥ ¢¥àè¨ e 㢥«¨ç¨âáï ç¨á«® ¢¥àè¨ «®¬ ëå M i, ç¨á«® ॡ¥à k | ç¨á«® áâ®à® «®¬ ëå M i. ® ã ª ¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ç¨á«® ¢¥àè¨ à ¢® ç¨á«ã áâ®à®, ¯®â®¬ã ç¨á«® ©«¥à ¯®«ã祮© ª®¥ç®© à §¢¥à⪨ ¡ã¤¥â â® ¥, çâ® ã ¨á室®©: e − k + f = 1. Ǒ® ⥮६¥ 8 ¤«ï à §¢¥à⪨ á £à ¨æ¥© íâ® ¢®§¬®®, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ®¡ëª®¢¥®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ®£à ¨ç¥®¬ã ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥âáï ⮫쪮 ®¤ «®¬ ï M ¨ ᮮ⢥âá⢥® «¨èì ®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨á室®© à §¢¥à⪨. â®¡à §¨¬ ⥯¥àì èã ª®¥çãî à §¢¥àâªã ¢ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª. § ¢¥àè¨ ¥£® ¯à®¢¥¤¥¬ ¯®«ã¯àï¬ë¥, à §¡¨¢ î騥 ¢¥èîî ®¡« áâì ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. ª ¤®© ¨§ ¨å ¬®® ®â®¡à §¨âì ¡¥áª®¥çãî ç áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨á室®© à §¢¥à⪨, ®â१ ãî ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ «®¬ ®© M . १ã«ìâ ⥠¯®«ãç¨âáï ®â®¡à ¥¨¥ 1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
68
. .
¢á¥© ¨á室®© à §¢¥à⪨ ¯«®áª®áâì. ¥¬ á ¬ë¬ ® £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. § ⮫쪮 çâ® ¯à®¢¥¤¥®£® à áᬮâà¥¨ï ¢¨¤®, çâ® ¢ë१ ï ç áâì à §¢¥à⪨ ¨¬¥¥â ç¨á«® ©«¥à e − k + f = 1 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ®£à ¨ç¥ ®¤®© «®¬ ®© M . ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® ¨á室 ï ¡¥áª®¥ç ï L3 à §¢¥à⪠¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤¨ ý¡¥áª®¥çë© ª®¥æþ. Ǒ® ¤®ª § ®¬ã, à ¢¥á⢮ e − k + L2 L1 Ln + f = 1 ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¤«ï â®A2 £®, çâ®¡ë ¡¥áª®¥ç ï à §¢¥à⪠¡ë« £®¬¥®A1 A3 Q2 An ¬®àä ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®í⮬㠫¨ç¨¥ ⮫쪮 ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ª®æ â ª¥ ¥®¡å®¤¨Qn Q1 ¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¤«ï í⮣®, â. ¥. ¬ë ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: ¥®à¥¬ 10.
¨á. 48
«ï ⮣® ç⮡ë à §¢¥àâª
¡¥§ £à ¨æë ¡ë« £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ¨¬¥«
(
®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ª®¥æ â. ¥. çâ®¡ë ® ᮤ¥à « å®âï ¡ë ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ çâ®¡ë ¢á¥ ¥¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ®¡à §®¢ë¢ «¨ ®¤ã 横«¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯à¨ ãª § ®¬ ¢ à §¢¥à⪥ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¨å ¯® ¡¥áª®¥çë¬ áâ®à® ¬ Mi Ri m
).
¬¥â¨¬, çâ® ¯®áâ஥¨¥ «®¬ ëå ᢮¤¨â § ¤ çã ® ¡¥áª®¥ç®© à §¢¥à⪥ á m ý¡¥áª®¥ç묨 ª®æ ¬¨þ ª § ¤ ç¥ ® à §¢¥à⪥ á £à ¨ç묨 «®¬ 묨. â® áà §ã ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¡¥áª®¥çëå à §¢¥à⮪ ⥮६ã, «®£¨çãî ⥮६¥ 8: «ï ¢á类© à §¢¥à⪨ ¡¥§ £à ¨æë, ¨¬¥î饩 ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, e−k + f 6 6 2 − m, £¤¥ m | ç¨á«® ýª®æ®¢þ; ¯à¨ í⮬ e − k + f = 1 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ¯«®áª®á⨠(®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ª®¥æ 28) ). ®®, ¤ «¥¥, ¯®«ãç¨âì ®¡éãî ⥮६ã: ¤«ï ¡¥áª®¥çëå à §¢¥à⮪ á £à ¨æ¥© e − k + f 6 2 − m − h, £¤¥ h | ç¨á«® § ¬ªãâëå ¨«¨ ¡¥áª®¥çëå «®¬ ëå, ®¡à §ãîé¨å £à ¨æã. ¯à®ç¥¬, í⨠१ã«ìâ âë ¬ ¥ ¯® ¤®¡ïâáï. 9. ¥®à¥¬ ®à¤ . â ⥮६ ã⢥ठ¥â, çâ® ¢áïª ï ¯à®áâ ï § ¬ªãâ ï ªà¨¢ ï, «¥ é ï ¯®¢¥àå®áâ¨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, à §¡¨¢ ¥â ¯®¢¥àå®áâì ¤¢¥ ®¡« áâ¨. ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì íâã £«ï¤® ®ç¥¢¨¤ãî ⥮६㠢® ¢á¥© ®¡é®áâ¨. ¬ ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì ¥¥ «¨èì ¤«ï ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ à áᬠâਢ ¥¬ ï ªà¨¢ ï ¥áâì ¯à®áâ ï § ¬ªãâ ï «®¬ ï § ¬ªã⮬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥. â ª, ¯ãáâì ¨¬¥¥âáï § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¥¬ § ¬ªãâ ï «®¬ ï C , ¥ ¨¬¥îé ï ªà âëå â®ç¥ª. ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª P ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã O ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ¥¥ «ãç L, ¥ ¯¥à¥á¥ª î騩 «®¬ ãî C . ®£¤ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ý¤®áâ â®ç® ®áâà ïþ âà¥ã£®«ì ï ¯¨à ¬¨¤ á ¢¥à訮© O, ᮤ¥à é ï ¢ãâਠªã᮪ 28) Ǒà¨á®¥¤¨ïï
ª ª ¤®¬ã ª®æã ®¤ã ¡áâà ªâãî ¢¥àè¨ã ¨ áç¨â ï, çâ® ¢ ¥© á室ïâáï ¢á¥ ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , ¯®«ã稬 ¡áâà ªâãî à §¢¥àâªã ¡¥§ £à ¨æë á m ¡áâà ªâ묨 ¢¥àè¨ ¬¨ ᮮ⢥âá⢥® m ª®æ ¬. â® § ¬¥ç ¨¥ ¤ ¥â â ª¥ ®¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 㪠§ ®£® ®¡®¡é¥¨ï ⥮६ë 9.
. I:
§ 7.
69
Ǒ
«ãç L, ¯¥à¥á¥ª ¥â P , â ª¥ ¥ § ¤¥¢ ï C . §ï¢ íâã ¯¨à ¬¨¤ã á⮫쪮 ¤«¨®©, çâ®¡ë ¥¥ ®á®¢ ¨¥ T «¥ «® ¢¥ P , ¬ë ¯®áâந¬ ãá¥ç¥ãî ¯¨à ¬¨¤ã P ′ á ®á®¢ ¨¥¬ T , ᮤ¥à éãî ¢ãâà¨ á¥¡ï ¬®£®£à ¨ª P (à¨á. 49, ).
O′ T L P′ O C
P
E b)
a) ¨á. 49
¯à®¥ªâ¨à㥬 P P ′ ¨§ â®çª¨ O. ®£¤ «®¬ ï C ¯¥à¥©¤¥â ¢ «®¬ ãî C ′ P ′ . Ǒਠí⮬ ¢ ᨫã 襣® ¯®áâ஥¨ï «®¬ ï C ′ ¥ ¡ã¤¥â § ¤¥¢ âì âà¥ã£®«ì¨ª T . 祢¨¤®, è ⥮६ ¡ã¤¥â ¤®ª § , ª ª ⮫쪮 ¬ë ãáâ ®¢¨¬, çâ® C ′ à §¡¨¢ ¥â ¤¢¥ ®¡« á⨠¬®£®£à ¨ª P ′ á ¢ëã⮩ £à ìî T (áç¨â ï ¯à¨ í⮬, çâ® £à ì T 㤠«¥ ¢¬¥áâ¥ á ¥¥ à¥¡à ¬¨). á¥ç¥ãî ¯¨à ¬¨¤ã P ′ á ¨áª«îç¥ë¬ ®á®¢ ¨¥¬ T ¯à®¥ªâ¨à㥬 ¯«®áª®áâì E ¥¥ ¢â®à®£® ®á®¢ ¨ï ¨§ ¥ª®â®à®© â®çª¨ O′ , «¥ 饩 ¢ãâਠT (áâ¥à¥®£à ä¨ç¥áª ï ¯à®¥ªæ¨ï, à¨á. 49, ). ª ª ª 㪠§ ®¥ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¥, ®ç¥¢¨¤®, ãáâ ¢«¨¢ ¥â ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ®â®¡à ¥¨¥ ¯à®¤ëà¥®£® ¬®£®£à ¨ª P ′ ¢áî ¯«®áª®áâì E , â® ®áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¯à®áâ ï § ¬ªãâ ï «®¬ ï C ′′ , ¢ ª®â®àãî ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï C ′ , à §¡¨¢ ¥â ¯«®áª®áâì E ¤¢¥ ®¡« áâ¨. «ï í⮣® ¬ë ¤®«ë 㪠§ âì â ª®¥ à §¡¨¥¨¥ â®ç¥ª ¯«®áª®á⨠E (ªà®¬¥ â®ç¥ª «®¬ ®© C ′′ ) ¤¢ ª« áá I ¨ II, çâ® â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥ 騥 ®¤®¬ã ª« ááã, ¢á¥£¤ ᮥ¤¨¨¬ë «®¬ ®©, ¥ ¨¬¥î饩 ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ , ¤«ï «î¡®© ¯ àë â®ç¥ª ¨§ à §ëå ª« áᮢ â ª®© «®¬ ®© ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. 롥६ ¯«®áª®á⨠¯à ¢«¥¨¥, ¥ ¯ à ««¥«ì®¥ ¨ ®¤®© ¨§ áâ®à® «®¬ ®© C ′′ , ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ª« ááë I ¨ II á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: â®çª ¯à¨ ¤«¥¨â ª« ááã I, ¥á«¨ «ãç, ¯à®¢¥¤¥ë© ¨§ ¥¥ ¢ ¢ë¡à ®¬ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¥á¥ª ¥â C ′′ ¢ ç¥â®¬ ç¨á«¥ â®ç¥ª (¥á«¨ ′′ «ãç ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã «®¬ ®© C , â® íâ ¢¥àè¨ áç¨â ¥âáï â®çª®© ¯¥à¥á¥ç¥¨ï «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® §¢¥ìï «®¬ ®© C ′′ , á室ï騥áï ¢ í⮩ ¢¥à訥, «¥ â ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â «ãç ); ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ â®çª ¯à¨ ¤«¥¨â ª« ááã II. ®ª ¥¬, çâ® ª« ááë I ¨ II ®¡« ¤ îâ âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬. Ǒ।¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®¡®¨å ª« áá å § ¢¥¤®¬® ¨¬¥îâáï â®çª¨. ⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥á⨠ç¥à¥§ ¢ãâà¥îî â®çªã m áâ®à®ë «®¬ ®© C ′ ¯àï¬ãî, ¯ à ««¥«ìãî ¤ ®¬ã ¯à ¢«¥¨î. ®£¤ â®çª¨ í⮩ ¯àאַ©, «¥ 騥 ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â â®çª¨ m ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª® ®â ¥¥, ¯à¨ ¤«¥ â à §ë¬ ª« áá ¬. ¡
70
. .
Ǒãáâì ⥯¥àì ¤¢¥ â®çª¨ p ¨ q ᮥ¤¨¨¬ë «®¬ ®©, ¥ ¨¬¥î饩 ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ . ®£¤ , ¤¢¨£ ïáì ¥¯à¥à뢮 ¯® í⮩ «®¬ ®©, ¬ë ¯¥à¥©¤¥¬ ®â â®çª¨ p ª â®çª¥ q, ¨ à §ã ¥ ¯®¯ ¢ C ′′ . ® ¯à¨ â ª®¬ ¤¢¨¥¨¨ â®çª¨ ç¨á«® ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¨á室ï饣® ¨§ ¥¥ «ãç ¤ ®£® ¯à ¢«¥¨ï á «®¬ ®© C ′′ ¬®¥â ¨§¬¥¨âìáï «¨èì ¢á«¥¤á⢨¥ ⮣®, çâ® «ãç â «ª¨¢ ¥âáï ®¢ë¥ ¢¥àè¨ë «®¬ ®© C ′′ ¨«¨ ¯¥à¥áâ ¥â C″ ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ ¯à¥¨¥ ¢¥àè¨ë. Ǒਠí⮬ «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ç¨á«® â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¨§¬¥ï¥âáï «¨èì § áç¥â â¥å ¢¥àè¨, ¢ ª®â®àëå §¢¥ìï «®¬ ®© «¥ â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â «ãç , ¨ ¯à¨ ¯à®å®¤¥¨¨ «ãç ç¥à¥§ ª ¤ãî â ªãî ¢¥àè¨ã ç¨á«® â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¨§¬¥ï¥âáï ±2 29) (à¨á. 50). ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¥â®áâì ç¨á« ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¥ ¬¥ï¥âáï, ¨ â®çª¨ p ¨ q ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®¬ã ª« ááã. ¥¬ á ¬ë¬ ¤®ª § ®, çâ® â®çª¨ ¨§ à §ëå ª« áᮢ ¥«ì§ï ᮥ¤¨¨âì «®¬ ®©, ¥ ¨¬¥î饩 ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ . áâ «®áì ¤®ª § âì, çâ® â®çª¨ ¨§ ®¤®£® ª« áá ¢á¥£¤ ᮥ¤¨¨¬ë «®¬ ®©, ¥ ¯¥à¥á¥ª î饩 C ′′ . Ǒãáâì â®çª¨ p ¨ q | ¨§ ®¤®£® ª« áá . ®¥¤¨¨¬ p ¨ q ®â१ª®¬ pq.
᫨ pq «¥ â ¢¥àè¨ë «®¬ ®© C ′′ , ¤«ï ª®â®àëå ¯®¤å®¤ï騥 ª ¨¬ §¢¥ìï «®¬ ®© «¥ â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ®â१ª pq, â® ¬ë § ¬¥¨¬ ¤®áâ â®ç® ¬ «ë© ãç á⮪ ®â१ª pq, ¯à®å®¤ï騩 ç¥à¥§ â ªãî ¢¥àè¨ã, ¤¢ã¬ï ®â१ª ¬¨, ¥ ¨¬¥î騬¨ ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ . «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ § ¬¥¨¬ ãç á⪨ ®â१ª pq, «¥ 騥 §¢¥ìïå «®¬ ®© C ′′ . १ã«ìâ ⥠¬ë ¯®«ã稬 «®¬ ãî R, ᮥ¤¨ïîéãî â®çª¨ p ¨ q ¨ ¥ ¨¬¥îéãî á «®¬ ®© C ′′ ¨ª ª¨å ®¡é¨å â®ç¥ª, ªà®¬¥′′ áâ®ïé¨å â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, ª®£¤ §¢¥® «®¬ ®© R, ¢áâà¥ç ïáì á® §¢¥®¬ «®¬ ®© C , ¯¥à¥å®¤¨â á ®¤®© ¥£® áâ®à®ë ¤àã£ãî (à¨á. 51, ). Ǒãáâì p′ | ¯¥à¢ ï, q′ | ¯®á«¥¤ïï ¨§ íâ¨å â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï. §ï¢ ãç á⪥ pp′ «®¬ ®© R â®çªã p′′ , ¡«¨§ªãî ª p′ , ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ¥¥ «®¬ ãî R′ , ¨¤ãéãî ý¢¤®«ì C ′′ þ ¢ ®¤®¬ ¨§ ¤¢ãå ¯à ¢«¥¨© (íâ «®¬ ï ¯®«ãç ¥âáï ¢ १ã«ìâ ⥠¬ «ëå ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© §¢¥ì¥¢ «®¬ ®© C ′′ ). ®¬ ï R′ ¯® ¯®áâ஥¨î ¥ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ ¨, ¡ã¤ãç¨ ¡«¨§ª®© ª C ′′ , ¯¥à¥á¥ç¥âáï á R ¢ â®çª¥ q′′ , ¡«¨§ª®© ª q′. áᬮâਬ «®¬ ãî R′′ , á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ãç á⪠pp′′ «®¬ ®© R, ãç á⪠p′′ q′′ «®¬ ®© R′ ¨ ãç á⪠q′′ q «®¬ ®© R (á¬. à¨á. 51, ). â «®¬ ï ¬®£« ¡ë ¨¬¥âì «¨èì ®¤ã â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á C ′′ , ¨¬¥® â®çªã q ′ , ¥á«¨ ¡ë ¯®á«¥¤ïï ®ª § « áì ¢ãâਠ®â१ª q′′ q 30) . ® ⮣¤ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â q′′ ª q ç¨á«® ¯¥à¥á¥ç¥¨© «ãç , ¨á室ï饣® ¨§ íâ¨å â®ç¥ª, á «®¬ ®© C ′′ ¬¥ï«® ¡ë ᢮î ç¥â®áâì ¨ â®çª¨ q′′ ¨ q ¯à¨ ¤«¥ «¨ ¨á. 50
29) í⮬ ¬¥á⥠¬ë ®¯¨à ¥¬áï â®â ä ªâ, çâ® ¨§ ª ¤®© ¢¥àè¨ë «®¬ ®© C ′′ ¨á室ïâ ஢® ¤¢ §¢¥ , â.¥. ¨á¯®«ì§ã¥¬ § ¬ªãâ®áâì í⮩ «®¬ ®©. 30) â®â á«ãç © ¬®¥â ¯®ª § âìáï ¥¢®®¡à §¨¬ë¬, ®¤ ª® â®â ä ªâ, çâ® ®â१®ª q ′′ q ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á «®¬ ®© C ′′ , ®ç¥¢¨¤¥ ¥ ¢ ¡®«ì襩 á⥯¥¨, 祬 á ¬ ⥮६ ®à¤ , ¢ëà îé ï ®¯à¥¤¥«¥®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ᢮©á⢮ áä¥àë. Ǒ®«¥§® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯®¢¥àå®áâïå ¤à㣮£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® áâ஥¨ï 㪠§ ë© ä ªâ ¬®¥â ¥ ¨¬¥âì ¬¥áâ . à¨á. 51, ¨§®¡à ¥ à §¢¥à⪠«¨áâ ¥¡¨ãá (¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ áâ®à®ë ¯àאַ㣮«ì¨ª ᪫¥¨¢ îâáï â ª, çâ® ¯à ¢«¥¨ï áâ५®ª ᮢ¯ ¤ îâ), ª®â®à®¬ è¥ ¯®áâ஥¨¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ®â१®ª q′′ q ¯¥à¥á¥ª ¥â § ¬ªãâãî «®¬ ãî C ′′ ¢ â®çª¥ q′ . ( ª ª ª áâ®à®ë ¯àאַ㣮«ì¨ª ᪫¥¨¢ îâáï â ª, çâ® áâ५ª¨ ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¯ãªâ¨à ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¡à §ã¥â ®¤ã «¨¨î.) ¡
. I:
§ 8.
71
¡ë à §ë¬ ª« áá ¬. ® q′′ ¨ p ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®¬ã ª« ááã, â ª ç⮠⮣¤ â ª¥ p ¨ q ¯à¨ ¤«¥ «¨ ¡ë à §ë¬ ª« áá ¬, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î. ç¨â, R′′ ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å â®ç¥ª á C ′′ , ¨ ⥮६ ¤®ª § . B
A p p″ p′
C″
q′ q q″
a p
p″
p′ q′ q″
q
A
B
a)
b) ¨á. 51
§ 8. ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë ¨§ ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ à §¢¥à⮪ 31)
ਢ ï ¢ à §¢¥à⪥ R, ¨¬¥îé ï ¨¬¥ìèãî ¤«¨ã á।¨ ¢á¥å ªà¨¢ëå ¢ ⮩ ¥ à §¢¥à⪥ á ⥬¨ ¥ ª®æ ¬¨, §ë¢ ¥âáï ªà âç ©è¥©. ) à âç ©è ï á« £ ¥âáï ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¯àאַ«¨¥©ëå ®â१ª®¢ ¢ 1. à âç ©è¨¥.
¬®£®ã£®«ì¨ª å à §¢¥à⪨. ¥à¥§ ¢ãâà¥îî â®çªã à¥¡à ® ¯¥à¥å®¤¨â
ú¡¥§ ¯à¥«®¬«¥¨ïû, â. ¥.
㣫ë, ®¡à §ã¥¬ë¥ ¥î á ॡ஬ á ®¡¥¨å áâ®à®,
(à¨á. 52). ¥à¥§ â®çªã á ¯®«ë¬ 㣫®¬ < 2π ªà âç ©è ï ¯à®å®¤¨âì ¥ ¬®¥â. (¥à¥§ â®çªã á ¯®«ë¬ 㣫®¬ > 2π ªà âç ©è ï ¬®¥â ¯à®å®¤¨âì ¢á¥£¤ , ª ª íâ® «¥£ª® ¢¨¤¥âì ¯à®á⥩è¨å ¯à¨¬¥à å. â®â á«ãç © á ¥ ¨â¥à¥áã¥â, ¯®â®¬ã çâ® ¬ë § ïâë à §¢¥à⪠¬¨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë.) ®ª § ⥫ìá⢮ íâ¨å ã⢥थ¨© ®á®¢ ® á«¥¤ãî饬 ®ç¥¢¨¤®¬ § ¬¥ç ¨¨: ¥á«¨ A | â®çª ªà âç ©è¥©, â® ¤®áâ â®ç® ¬ «®¬ ®â१ª¥ AB ªà âç ©è ï ᢮¤¨âáï ª ¯àאַ«¨¥©®¬ã ®â१ªã ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ à §¢¥à⪨. â® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â ª, ¯®â®¬ã çâ® ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ à §¢¥à⪨ á« £ ¥âáï ¨§ 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨«¨, çâ® ¥é¥ ¯à®é¥, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ç áâì ¢ãâ८á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª .
᫨ ¡ë ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠â®çª¨ A ¡ë« ¬¥ìè¥ 2π, â® á室ï騥áï ¢ ¥© ®â१ª¨ AX , AY ªà âç ©è¥© å®âï ¡ë á ®¤®© áâ®à®ë ®¡à §®¢ë¢ «¨ ¡ë 㣮«, ¬¥ì訩 π. ®£¤ â®çª¨ X , Y íâ¨å ®â१ª å, ¡«¨§ª¨¥ ª A, ¬®® ¡ë«® ¡ë ᮥ¤¨¨âì á í⮩ áâ®à®ë ®â१ª®¬ (à¨á. 53) ¨ ⥬ á ¬ë¬ ãª®à®â¨âì ªà âç ©èãî, çâ® ¥¢®§¬®® ¯® á ¬®¬ã ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î. â® ¯®áâ஥¨¥ ®â१ª X Y ¥áâ¥á⢥® §¢ âì á१ ¨¥¬ 㣫 ¢ â®çª¥ A. à ¢ë
1
1
1
1
31) â¨ â¥®à¥¬ë ¨á¯®«ì§ãîâáï ⮫쪮 ¢ £«. IV ¨ V.
72
. .
᫨ ¡ë, ¯¥à¥å®¤ï ç¥à¥§ ¢ãâà¥îî â®çªã A ॡà¥, ªà âç ©è ï ¯à¥«®¬«ï« áì, â® ¥¥ ®â१ª¨, á室ï騥áï ¢ A, ®¡à §®¢ë¢ «¨ ¡ë á ®¤®© áâ®à®ë 㣮«, ¬¥ì訩 π. १ ï ¥£®, ¬ë ®¯ïâì 㪮à®â¨«¨ ¡ë ªà âç ©èãî, çâ® ¥¢®§¬®®.
X
Y X1
Y1 A
¨á. 52
¨á. 53
Ǒãáâì ⥯¥àì L | ®â१®ª ªà âç ©è¥©, «¥ 騩 ¢ ¤ ®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ à §¢¥à⪨ . ¤ ï ¥£® â®çª ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, ¢ ª®â®à®© L ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬, ®âªã¤ ïá®, çâ® ¨ ¢ 楫®¬ L ¥áâì ®â१®ª. à âç ©è ï ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¤ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ª®¥ç®¥ ç¨á«® à §. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë ® ¯¥à¥á¥ª « ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à §, â® ¤«¨ë ¥¥ ®â१ª®¢, «¥ é¨å ¢ Q, ¤®«ë ¡ë«¨ ¡ë áâ६¨âìáï ª ã«î; ¨ ç¥ ® ¨¬¥« ¡ë ¡¥áª®¥çãî ¤«¨ã. ® ⮣¤ í⨠®â१ª¨ á£ãé «¨áì ¡ë ª ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. â ¢¥àè¨ , ¡ã¤ãç¨ ¨å ¯à¥¤¥«ì®© â®çª®©, ¤®« ¡ë« ¡ë ¯à¨ ¤«¥ âì ªà âç ©è¥©. ® ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¢¥àè¨ë ªà âç ©è ï ¤®« ¡ëâì ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬ ¨ ã ¨ª ª ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à §. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ç¨á«® ®â१ª®¢ ªà âç ©è¥© ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ ª®¥ç®. ¥®à¥¬ , â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«®áâìî ¤®ª § . 32)
32) ¥
¨áª«î祮, ª®¥ç®, çâ® ªà âç ©è ï ¯à®å®¤¨â ¯® ¬®£®ã£®«ì¨ªã à §¢¥à⪨ ¥®¤®ªà â® ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¨¬¥¥â ¢ ¥¬ ¥áª®«ìª® ®â१ª®¢. Ǒਬ¥à ¥®¤®ªà ⮣® ¯à®å®¤¥¨ï ªà âç ©è¥© ¯® ¬®£®ã£®«ì¨ªã à §¢¥à⪨ «¥£ª® ¯®áâநâì à §¢¥à⪥, á®áâ®ï饩 ¢á¥£® «¨èì ¨§ ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯®¤®¡® ªà¥áâ®®¡à §®© à §¢¥à⪥ ªã¡ (à¨á. 35).
. I:
§ 8.
73
B)
᫨ à §¢¥à⪠¨¬¥¥â £à ¨æã, â® ªà âç ©è ï ¬®¥â ç áâ¨ç® ¯à®(ª ª «¨¨ï CB à¨á. 54). Ǒਠí⮬ ¥¥ ®â१ª¨ ¬®£ãâ ®¡à §®¢ë¢ âì ã£«ë ¢ â¥å ¨ ⮫쪮 â¥å ¢¥àè¨ å £à ¨æë, 㣮« ¯à¨ ª®â®àëå ¡®«ìè¥ π . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì ¤¢ ®â१ª AX , AY ®¤®© ªà âç ©è¥© á室ïâáï ¢ â®çª¥ A £à ¨æ¥ à §¢¥à⪨, ®¡à §ãï ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¥ª®â®α àë© ã£®«.
᫨ ¡ë íâ®â 㣮« α á ¢ãâ॥© áâ®à®ë à §¢¥à⪨ ¡ë« A ¬¥ìè¥ π, â® ¥£® ¬®® ¡ë«® ¡ë áà¥B § âì (à¨á. 53). ®£¤ ¬ë § ¬¥¨«¨ C ¡ë ªà âç ©èãî ¡®«¥¥ ª®à®âª®© «¨¨¥©, çâ® ¥¢®§¬®®. «¥¤®¢ ⥫ì¨á. 54 ®, 㣮« α > π ¨ ¯®â®¬ã ⥬ ¡®«¥¥ ¯®«ë© 㣮« ¯à¨ â®çª¥ A ¡®«ìè¥ π. C) à §¢¥à⪥ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ã ª ¤®© ªà âç ©è¥©, ¨¤ã饩 ¢ãâà¨ à §¢¥à⪨, ¥áâì ®ªà¥áâ®áâì, ª®â®àãî ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ªà âç ©è ï ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª. (Ǒ®¤ à §¢®à 稢 ¨¥¬ ¯«®áª®áâì ¯®¨¬ ¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥.)
᫨ ª®¥æ ªà âç ©è¥© «¥¨â ¢ â®çª¥ O á ¯®«ë¬ 㣫®¬ < 2π, â® ¥£® ®ªà¥áâ®áâì ¥«ì§ï à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. ® ⮣¤ , ¯à®¢¥¤ï ¨§ â®çª¨ O ®â१®ª ¨ ¤à¥§ ¢ ¯® ¥¬ã ¥¥ ®ªà¥áâ®áâì, ¬®® ¡ã¤¥â ¤à¥§ ãî ®ªà¥áâ®áâì à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. ®§¬®®áâì à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì ®ªà¥áâ®á⨠ª®æ®¢ ªà âç ©è¥© ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ¨¬¥® ¢ í⮬ á¬ëá«¥. ¥®à¥¬ C á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë A. ¥©á⢨⥫ì®, ᮣ« ᮠ⥮६¥ A, ªà âç ©è ï ¥ ¬®¥â ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ â®çª¨ á ¯®«ë¬ 㣫®¬ < 2π. Ǒ®í⮬㠢 à §¢¥à⪥ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ª ¤ ï ¢ãâà¥ïï â®çª ªà âç ©è¥© ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, à §¢®à 稢 ¥¬ãî ¯«®áª®áâì. ®£« ᮠ⥮६¥ A, ¢ ª ¤®© â ª®© ®ªà¥áâ®á⨠ªà âç ©è ï ®ª §ë¢ ¥âáï ®â१ª®¬. 롨à ï ª®¥ç®¥ ç¨á«® â ª¨å ®ªà¥áâ®á⥩, ¯®ªàë¢ îé¨å ¢áî ªà âç ©èãî, ¯®«ã稬 ¥¥ ®ªà¥áâ®áâì, ª®â®àãî ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ªà âç ©è ï 㥠¢áï ¢ 楫®¬ ¯à¥¢à â¨âáï ¢ ®â१®ª. D) à §¢¥à⪥ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¤¢¥ ªà âç ©è¨¥ AB ¨ AC , ¨á室ï騥 ¨§ ®¤®© â®çª¨ A ¢ à §ë¥ â®çª¨ B ¨ C , «¨¡® ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å â®ç¥ª, ¯®¬¨¬® A, «¨¡® ®¤ ¨§ ¨å ¥áâì ¯à®áâ® ç áâì ¤à㣮©. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®¯ãá⨬, çâ® ªà âç ©è¨¥ AB ¨ AC ¨¬¥îâ ®¡éãî â®çªã D, ® ¥ ᮢ¯ ¤ îâ ãç á⪥ AD (à¨á. 55). Ǒਠí⮬ ¥ ¨áª«îç ¥âáï, çâ® D ¬®¥â ¡ëâì ª®æ®¬ ®¤®© ¨§ ¨å, ᪠¥¬ D = B . ®£¤ ãç á⪨ AD íâ¨å ªà âç ©è¨å ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ¤«¨ë, â ª ª ª ¨ ç¥, § ¬¥ïï ¡®«¥¥ ¤«¨ë© ¡®«¥¥ ª®à®âª¨¬, ¬ë ᮪à ⨫¨ ¡ë ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ªà âç ©èãî. 室¨âì ¯® £à ¨æ¥
74
. .
Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¤¢¥ ªà âç ©è¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ A ¨ C , ᮢ¯ ¤ î騥 ãç á⪥ CD ¨ ¤ «ìè¥ à á室ï騥áï ¢¤®«ì à §ëå ®â१ª®¢ AD. ® ⮣¤ ¨å ¢¥â¢¨ ®¡à §ãîâ âਠ㣫 , ¤¢ ¨§ ª®â®àëå, ª ª 㣮« ¬¥¤ã AD ¨ DC , à ¢ë π . Ǒ®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠â®çª¨ D , £¤¥ ®¨ à á室ïâáï, ¯®«ãç ¥âáï ¡®«ìè¥ 2π, çâ® ¨áª«î祮 ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ® ¯®«®¨â¥«ì®á⨠ªà¨¢¨§ë. Ǒ®í⮬ã ãç á⪥ AD ªà âç ©è¨¥ ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì. ® ¯® ᮢ¥à襮 ⥬ ¥ á®®¡à ¥¨ï¬ ®¨ ¨ ¤ «ìè¥ ¨£¤¥ ¥ ¬®£ãâ à §®©â¨áì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¨ ¯®«®áâìî «¥£ îâ â ª, çâ® ®¤ ¨§ ¨å ¥áâì ç áâì ¤à㣮©. B
A B
D A
C
C ¨á. 55
¨á. 56
) «î¡®© à §¢¥à⪥ ª ¤ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ¬®® ᮥ¤¨¨âì ªà âç ©è¥©. Ǒãáâì A ¨ B | ¤¢¥ ¤ ë¥ â®çª¨ à §¢¥à⪨ R. Ǒãáâì ¨å ᮥ¤¨ï¥â «®¬ ï ¥ª®â®à®© ¤«¨ë l. ®£¤ ªà âç ©èãî AB ã®, ®ç¥¢¨¤®, ¨áª âì ⮫쪮 á।¨ ¡®«¥¥ ª®à®âª¨å ªà¨¢ëå. Ǒãáâì G | ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª X à §¢¥à⪨ R, 㤠«¥ëå ®â A à ááâ®ï¨¥ ρR (A, X ) 6 l. 祢¨¤®, ª ¤ ï â®çª à §¢¥à⪨ ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ¤ ï â®çª ¬®¥á⢠G ¨¬¥îâ ®ªà¥áâ®áâì, ¢ ª®â®à®© ªà âç ©è ï § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®â१ª®¬. ¤ãî â ªãî ®ªà¥áâ®áâì ¬®® áç¨â âì á®áâ®ï饩 ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ïîé¨åáï ç áâﬨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨. ᨫ㠨§¢¥á⮩ «¥¬¬ë ®à¥«ï ¨§ ¤ ëå ®ªà¥áâ®á⥩ ¬®® ¢ë¡à âì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯®ªàë¢ îé¨å ¬®¥á⢮ G. ⮣¤ ¨å ¢á¥ ¬®® à §¡¨âì âà¥ã£®«ì¨ª¨, ª®â®àë¥ ®¡®§ 稬 Ti . १ã«ìâ ⥠¬®¥á⢮ G ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®ªàëâë¬ ¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï âà¥ã£®«ì¨ª ¬¨ Ti , ¢ ª ¤®¬ ¨§ ª®â®àëå ªà âç ©è ï § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®â१®ª. 祢¨¤®, çâ® ªà âç ©èãî AB ¤®áâ â®ç® ¨áª âì á।¨ «®¬ ëå á® §¢¥ìﬨ ¢ à §ëå âà¥ã£®«ì¨ª å Ti . (§ G ªà âç ©è ï AB ¢ë©â¨ ¥ ¬®¥â, â ª ª ª ⮣¤ ¥¥ ¤«¨ ¡ë« ¡ë ¡®«ìè¥ l, ¯®â®¬ã çâ® ¢á¥ â®çª¨, 㤠«¥ë¥ ®â A ¥ ¡®«¥¥ 祬 l, ¢ª«îç¥ë ¢ G.) «¨ «®¬ ®© á® §¢¥ìﬨ ¢ âà¥-
. I:
§ 8.
75
㣮«ì¨ª å ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, äãªæ¨ï ª®¥ç®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå, ¬¥ïîé¨åáï ¢ ª®¥ç®© § ¬ªã⮩ ®¡« á⨠. Ǒ®í⮬㠮 ¤®á⨣ ¥â ¬¨¨¬ã¬ , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ªà âç ©è ï AB . ᥠ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë A | E ¬®® १஢ âì ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: 33)
¥®à¥¬ 1.
«î¡®© à §¢¥à⪥ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ª ¤ë¥ ¤¢¥
â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë ªà âç ©è¥©. á« £ ¥âáï ¨§ ®â१ª®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª å à §¢¥à⪨.
ãâà¨ à §¢¥à⪨ ® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ॡà ú¡¥§ ¯à¥-
«®¬«¥¨ïû ¨ ã ¥¥ ¥áâì ®ªà¥áâ®áâì, à §¢®à 稢 ¥¬ ï ¯«®áª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ªà âç ©è ï ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª.
᫨ ¥ à §¢¥à⪠¨¬¥¥â £à ¨æã ¨ ªà âç ©è ï ¯®¤å®¤¨â ª £à ¨æ¥, â® ® ¬®¥â ¯à¥«®¬«ïâìáï
π. §®¢¥¬ £¥®¤¥§¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ «î¡ãî ç áâì à §¢¥à⪨, ®£à ¨ç¥ãî § ¬ªã⮩ «¨¨¥©, á®áâ ¢«¥®© ¨§ ªà âç ©è¨å, ¨ £®¬¥®¬®àäãî ªàã£ã, â.¥. ¤®¯ã᪠îéãî ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ¨ ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¥¨¥ ªà㣠¯®¤®¡® ¯à®á⮬㠯«®áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ª®¥ç®, á ãç¥â®¬ ®â®¤¥á⢫¥¨© (᪫¥¨¢ ¨©), § ¤ ëå ¢ à §¢¥à⪥. ª ª ª ªà âç ©è¨¥ á®áâ®ïâ ¨§ ®â१ª®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª å à §¢¥à⪨, â® £¥®¤¥§¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ë१ ¥âáï ¨§ à §¢¥à⪨ «®¬ ®©, á®áâ ¢«¥®© ¨§ â ª¨å ®â१ª®¢, ¨ ¯®â®¬ã, ¥áâ¥á⢥®, á ¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥ª®â®àãî à §¢¥àâªã, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ ªã᪮¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨á室®© à §¢¥à⪨. ¤ ª® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¡ëª®¢¥®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª £¥®¤¥§¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®¥â ᮤ¥à âì ¢ãâਠ¨áâ¨ë¥ ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨. Ǒਬ¥à®¬ ¬®¥â á«ã¨âì £¥®¤¥§¨ç¥áª¨© âà¥ã£®«ì¨ª ABC à¨á. 56, £¤¥ ஫ì à §¢¥à⪨ ¨£à ¥â ®¡ëª®¢¥ë© ªã¡. ⮫쪮 ¢ â¥å ¢¥àè¨ å £à ¨æ¥, 㣮« ¯à¨ ª®â®àëå ¡®«ìè¥
2. ਢ¨§ £¥®¤¥§¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª .
33) ®ç® ®¯à¥¤¥«¨âì íâã äãªæ¨î ¬®®, ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
ª ¤®© áâ®à®¥ aj âà¥ã£®«ì¨ª®¢ Ti ¡ã¤¥¬ ®¯à¥¤¥«ïâì ¯®«®¥¨¥ â®çª¨ à ááâ®ï¨¥¬ xj ®â ®¤®£® ¨§ ª®æ®¢. áᬮâਬ â ª¨¥ «®¬ ë¥, ᮥ¤¨ïî騥 â®çª¨ A ¨ B , ª®â®àë¥ ¯¥à¥á¥ª îâ áâ®à®ë âà¥ã£®«ì¨ª®¢ Ti ¢ ¥ª®â®à®¬ ¤ ®¬ ¯®à浪¥: aj1 , aj2 , aj3 , . . . (¯à¨ í⮬, ¥á«¨ «®¬ ï ¥ª®â®à®¬ ®â१ª¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á® áâ®à®®© ak , â® ¬ë ¥ áç¨â ¥¬, çâ® ® ¥¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â, ® áç¨â ¥¬, çâ® ® ¯¥à¥á¥ª ¥â áâ®à®ë, ¯®¤å®¤ï騥 ª ª®æ ¬ ak ). «¨ à áᬠâਢ ¥¬®© «®¬ ®© ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ ï ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¯¥à¥¬¥ëå xj1 , xj2 , . . . ¨ ¯®â®¬ã ¤®á⨣ ¥â ¬¨¨¬ã¬ . áᬠâਢ ¥¬ ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠áâ®à® aj1 , aj2 , . . . , ª ª ¨å ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥ª âì «®¬ ë¥ AB . ¤®© ¨§ íâ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ®â¢¥ç îâ ᢮ï äãªæ¨ï ¨ ᢮© ¬¨¨¬ã¬. ¨¬¥ì訩 ¨§ íâ¨å ¬¨¨¬ã¬®¢ ¨ ¤ áâ ªà âç ©èãî AB . ®, çâ® §¤¥áì à¥çì ¨¤¥â ® ¬®£¨å äãªæ¨ïå, ¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨§«®¥®¬ã ¢ ç «¥ ® ⮬, çâ® ¤«¨ «®¬ ®© AB ¥áâì ®¤ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, ¯®â®¬ã çâ® «î¡®¥ ç¨á«® äãªæ¨© ¬®® ®¡ê¥¤¨¨âì ¢ ®¤ã, ® ®â ¡®«ì襣® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå. ( ¯à¨¬¥à, f (x) (a 6 x 6 b) ¨ g(x) (c 6 x 6 d) ¬®® áç¨â âì äãªæ¨¥© ϕ(x, y) = fg((yx)) ((ac ≤≤ yx ≤≤ d,b, xy == xy0 2 ¬¥à¨¤¨ ®¢ ¨ ¯®¯¥à¥¬¥® ®â¬¥â¨âì ¨å § ª ¬¨ ¯«îá ¨ ¬¨ãá. ®® ¤ âì ¨ ¡®«¥¥ á«®ë¥ ¯à¨¬¥àë.
. II:
§ 1.
87
¥«® ¢ ⮬, çâ® ¢ á¥â¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ॡà , ¥ ®â¤¥«ïî騥 ®¡« áâì G ®â ¤à㣨å, ¯à¨¬¥à ¯®â®¬ã, çâ® à áᬠâਢ ¥¬®¥ ॡ஠¨¬¥¥â ¢ G ᢮¡®¤ë© ª®¥æ, ¨«¨ ¬®¥â, ¯à¨¬¥à, ᮥ¤¨ïâì ¤¢ ®£à ¨ç¨¢ îé¨å G § ¬ªãâëå ª®âãà (á¬. à¨á. 61). ¤®¥ â ª®¥ ॡ஠¡ã¤¥â ¯à®å®¤¨âìáï ¤¢ ¤ë: á ç « ¢ ®¤®¬, ¯®â®¬ ¢ ¤à㣮¬ ¯à ¢«¥¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®® áç¨â âì, çâ® ª ¤®¥ ॡ஠¢å®¤¨â ¢ £à ¨æã à §ëå ®¡« á⥩ ¨«¨ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ®¡« á⨠¤¢ ¤ë ¨ ¯à®å®¤¨âáï ¢ ¤¢ãå ¯à®â¨¢®¯®«®ëå ¯à ¢«¥¨ïå. Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¤¢ ॡà AB ¨ BC à §¤¥«ïîâ ®¡« á⨠G ¨ H , â® ¢ G ®¨ ¯à®å®¤ïâáï ®â AB ª BC , ¢ H ®â BC ª AB , çâ® ¤ ¥â ¯®«ë© ®¡å®¤ ¢®ªà㣠B .
᫨ ¢¥àè¨ D ¥áâì ᢮¡®¤ë© ª®¥æ ॡà DE , â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠G ¬ë ®£¨¡ ¥¬ ¢¥àè¨ã D ¨ ¢®§¢à é ¥¬áï ª ⮬㠥 ॡàã DE . ¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ®¡®©¤¥¬ â ª¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë D. ®¢®àï, çâ® ®¡« áâì ¨¬¥¥â n ॡ¥à, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, ç⮠ॡà®, ¥ ®â¤¥«ïî饥 ¥¥ ®â ¤à㣮© ®¡« áâ¨, áç¨â ¥âáï ¤¢ ¤ë. ¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠®¡« á⨠¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ ç¨á« n ¥¥ ॡ¥à, ªà®¬¥ ⮣®, ®® ç¥â®, â ª ª ª ¯à¨ ¯®«®¬ ®¡å®¤¥ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ª ¨á室®¬ã § ªã. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ Fn ¥áâì ç¨á«® ®¡« á⥩ á n à¥¡à ¬¨, â® ¤«ï ®¡é¥£® ç¨á« N ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥ªã N 6 2F + 4F + 4F + . . . . (2) 3
4
5
¤¥áì ¬ë ¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® ¯® ãá«®¢¨î ®¡« áâ¨ á ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨ ®âáãâáâ¢ãîâ, â. ¥. F = 0. ¥¯¥àì ¯à¥®¡à §ã¥¬ ®æ¥ªã (2), ¨á¯®«ì§ãï ®¡®¡é¥ãî ä®à¬ã«ã ©«¥à . 2
᫨
E, K , F
| ç¨á« ¢¥àè¨, ॡ¥à ¨ ®¡« á⥩ á¥â¨, â®
E−K
+ F > 2.
(3)
«ï á¢ï§®© á¥â¨, ᮣ« ᮠ⥮६¥ ©«¥à , E − K + F = 2, ¤«ï á¥â¨ ¨§ H á¢ï§ëå ª®¬¯®¥â E − K + F = 1 + H , ª ª íâ® ¤®ª § ® ¢ § 7 £« ¢ë I (⥮६ 5). ª ª ª ª ¤®¥ ॡ஠«¨¡® ¯à¨ ¤«¥¨â ¤¢ã¬ ®¡« áâï¬, «¨¡® áç¨â ¥âáï ¤¢ ¤ë ã ®¤®© ®¡« áâ¨, â® 2K =
X
nFn .
(4)
Fn
(5)
n
¡é¥¥ ç¨á«® ®¡« á⥩ F ¥áâì F
=
X n
88
. .
§ ä®à¬ã«ë (3) á«¥¤ã¥â, çâ® 4E − 8 > 4K − 4F, ¯®¤áâ ¢«ïï áî¤ K ¨ F ¨§ (4) ¨ (5), ¯®«ãç ¥¬ X 4E − 8 > 2(n − 2)Fn = 2F + 4F + 6F + . . . 3
4
5
(6)
n
Ǒà ¢ ï ç áâì í⮣® ¥à ¢¥á⢠¥ ¬¥ìè¥ ¯à ¢®© ç á⨠¥à ¢¥á⢠(2), ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ n > 3 ç¨á«® 2(n − 2) ¥ ¬¥ìè¥ ¡«¨ ©è¥£® ª n ᨧã ç¥â®£® ç¨á« . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§ (2) ¨ (6) á«¥¤ã¥â N 6 4E − 8, â. ¥. ä®à¬ã« (1), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. § ¥à ¢¥á⢠(1) ¬®® ¨§¢«¥çì ¥¡®«ì讥 ãᨫ¥¨¥ «¥¬¬ë ®è¨:
ãá«®¢¨ïå «¥¬¬ë ®è¨ ¥¢®§¬®®, çâ®¡ë ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥
§ ª ¡ë«® ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨, ªà®¬¥ âà¥å, ¢®ªà㣠ª®â®àëå ¨¬¥îâáï ¯® ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , «¨¡® ªà®¬¥ ¤¢ãå, ¢®ªà㣠®¤®© ¨§ ª®â®àëå ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª , ¢®ªà㣠¤à㣮© ¨å ⮫쪮 ¤¢¥, «¨¡® ªà®¬¥ ®¤®©, ¢®ªà㣠ª®â®à®©
. ç¥ ¡ë«® ¡ë N > 4E − 6, ¢®¯à¥ª¨ ¥à ¢¥áâ¢ã (1). ⮩ ãâ®ç¥®© «¥¬¬®© ®è¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì á«ãç © ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. 3. Ǒਢ¥¤¥®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë ®è¨ ¢¢¨¤ã ᢮¥£® ¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® å à ªâ¥à ª ¥âáï ¥áª®«ìª® â ¨áâ¢¥ë¬ ¨ ¥ à áªàë¢ ¥â £«ï¤®£® ®á®¢ ¨ï í⮩ «¥¬¬ë. Ǒ®í⮬㠡㤥â, ¯® «ã©, ¥ «¨è¨¬ ¤ âì ç¨áâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮. ®ª § ⥫ìá⢮ ¡ã¤¥¬ ¢¥á⨠®â ¯à®â¨¢®£®. ®¯ãá⨬, çâ® ¢ ¥ª®â®à®© á¥â¨ áä¥à¥ ¤ â ª ï à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¥¥ ॡà å, çâ® ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ®§ì¬¥¬ ª ª®¥-«¨¡® ॡ஠AB í⮩ á¥â¨, ¯®¬¥ç¥®¥ ¯«îᮬ. ¢¥à訥 B ¯®¤å®¤ï⠪஬¥ ¥£® ¤à㣨¥ ॡà â ª, çâ® ¢®ªà㣠B ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . Ǒ®í⮬㠨§ B ¢ë室¨â å®âï ¡ë ®¤® ॡ஠BC , ¯®¬¥ç¥®¥ ¯«îᮬ ¨ â ª®¥, çâ® ¢¬¥á⥠á ॡ஬ AB ®¨ à §¤¥«ïîâ ¯®¤å®¤ï騥 ª B ॡà , ®â¬¥ç¥ë¥ ¬¨ãá ¬¨. § ¢¥àè¨ë C ®¯ïâì ¨á室¨â ¯®¬¥ç¥®¥ ¯«îᮬ ॡ஠CD, ª®â®à®¥ ¢¬¥á⥠á BC à §¤¥«ï¥â ॡà , ®â¬¥ç¥ë¥ ¬¨ãá ¬¨. 㤥¬ ¨¤â¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â ॡà AB ¯® à¥¡à ¬ BC , CD ¨ â. ¤. ª ª ª ç¨á«® ॡ¥à ª®¥ç®, â® ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ¬ë ¢¥à¥¬áï ª 㥠¯à®©¤¥®© ¢¥à訥 O ¨ ¯®«ã稬 ¥ª®â®àë© § ¬ªãâë© ª®âãà L (à¨á. 62). ç á⮬ á«ãç ¥ O ¬®¥â ᮢ¯ ¤ âì á A. ®âãà L à §¡¨¢ ¥â áä¥àã ¤¢¥ ®¡« áâ¨; à áᬮâਬ ®¤ã ¨§ ¨å, G. «î¡®¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¬¥ì襥 ç¥âëà¥å
. II:
§ 1.
89
á¥ à¥¡à ª®âãà L ¯®¬¥ç¥ë ¯«îá ¬¨ ¨ ª ¤ ï ¯ à á®á¥¤¨å ॡ¥à à §¤¥«ï¥â ॡà , ®â¬¥ç¥ë¥ ¬¨ãá ¬¨, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, ॡ¥à, á室ïé¨åáï ¢ ¢¥à訥 O. Ǒ®í⮬㠢 ®¡« á⨠G ᮤ¥à âáï ॡà á ¬¨ãá ¬¨, ¨á室ï騬¨ ¨§ ¢á¥å ¥¥ ¢¥àè¨, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, O. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¢ãâਠ®¡« á⨠G á®_ _ ¤¥à âáï ¢¥àè¨ë á¥â¨.
᫨ ¡ë íâ® + ¡ë«® ¥ â ª, â® ª®æë ¢á¥å ᮤ¥à é¨å_ _ áï ¢ ¥© ॡ¥à «¥ «¨ ¡ë ¢ ¥¥ ¢¥àè¨ å. + + ® ¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, _ G ®¤®© O, ¢ãâàì ®¡« á⨠G ¨¤ãâ ॡà , _ _ O ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì ¤¢¥ á®á¥¤+ _ _ + ¨¥ ¢¥àè¨ë ¤®«ë ¡ëâì ᮥ¤¨¥ë â ª¨¬ ॡ஬. (⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, _ _ + ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ G ¢ ¢¨¤¥ _ B ¬®£®ã£®«ì¨ª ; à¥¡à ¢ãâਠG ¨§®¡à _ + + + D _ §ïâáï ¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï «¨¨ï¬¨, á®_ ¥¤¨ïî騬¨ ¥£® ¢¥àè¨ë. ® ¥¯¥à¥á¥- A _ C ª î騥áï ¤¨ £® «¨ ¬®® ¯à®¢¥á⨠¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨, ªà®¬¥ ¤¢ãå.
᫨ ¥ ॡ¨á. 62 à ¨¤ãâ ¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨, ªà®¬¥ ®¤®©, â® á।¨ ¨å ¥áâì ॡà®, ᮥ¤¨ïî饥 ¤¢¥ á®á¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë. âண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨.) ® ¥á«¨ ¤¢¥ á®á¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë X , Y ª®âãà L ᮥ¤¨¥ë ॡ஬ ¢ãâਠG, â® ¯®«ãç ¥âáï ¤¢ã㣮«ì ï ®¡« áâì, ®£à ¨ç¥ ï ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨ XY . ¥á«¨ ¢ãâਠG ¥â ¢¥àè¨, â® íâ® ¡ã¤¥â ¤¢ã㣮«ì ï ®¡« áâì ¢ á¥â¨. ª¨å ®¡« á⥩ ¢ á¥â¨ ¥â ¯® ãá«®¢¨î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ®¡ ®âáãâá⢨¨ ¢ãâਠG ¢¥àè¨ á¥â¨ ¥¢¥à®. Ǒãáâì A | ¢¥àè¨ ¢ãâਠG; ¨§ ¥¥ ¨á室¨â ¥ª®â®à®¥ ॡ஠A B , ®â¬¥ç¥®¥ ¯«îá ¬¨. ª ¥ ª ª ¨ à ìè¥, ¬ë § ª«îç ¥¬, çâ® ª ¢¥à訥 B ¯®¤å®¤¨â ¥é¥ ॡ஠B C , ⮥ ®â¬¥ç¥®¥ ¯«îᮬ ¨ à §¤¥«ïî饥 ¢¬¥á⥠á A B ॡà , ®â¬¥ç¥ë¥ ¬¨ãá ¬¨, ¯®¤å®¤ï騥 ª B . 㤥¬ ¨¤â¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® à¥¡à ¬ A B , B C , C D ¨ â. ¤. ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ á«ãç¨âáï ®¤® ¨§ ¤¢ãå: «¨¡® ¬ë ¢¥à¥¬áï ª 㥠¯à®©¤¥®© ¢¥à訥, ¨£¤¥ ¥ ¢ëå®¤ï § ¯à¥¤¥«ë G, «¨¡® ¬ë ¤®©¤¥¬ ¤® £à ¨æë ®¡« á⨠G ¢ ¥ª®â®à®© ¥¥ ¢¥à訥 N . ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ § ¬ªãâë© ª®âãà L , ª®â®àë© ¢ë¤¥«ï¥â ¨§ G ®¢ãî ®¤®á¢ï§ãî ®¡« áâì G . í⮩ ®¡« á⨠G ¯à¨«®¨¬ë ¢á¥ ⥠à áá㤥¨ï, ª ª¨¥ ¬ë ¯à¨¬¥¨«¨ ª G. ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¯®©¤¥¬ ®â ¢¥àè¨ë N ¢ ®¡à âãî áâ®à®ã ¤® ¨á室®© ¢¥àè¨ë A ¨ ¤ «ìè¥ § ¥¥.
᫨ ¯®«ãç¥ë© ¯à¨ í⮬ ¯ãâì § ¬ª¥âáï, â® ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ®¯ïâì ¯¥à¢ë© á«ãç ©.
᫨ ¥ ® ª®ç¨âáï ¢ ¥ª®â®à®© 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
90
. .
¢¥à訥 M ®¡« á⨠G, â® ¯®«ã稬 «¨¨î M N , ª®â®à ï à §®¡ì¥â G ¤¢¥ ®¤®á¢ï§ë¥ ç á⨠G′ ¨ G′′ .
᫨ ¢¥àè¨ë M ¨ N ®â«¨çë ®â O, â® ¨§ ª ¤®© ¨§ ¨å ¨¤ãâ ॡà á ¬¨ãá ¬¨′ ¢ãâàì G, â. ¥. ¢ãâàì G′ ¨«¨ G′′ . Ǒ®í⮬ã å®âï ¡ë ®¤ ′′ ¨§ ®¡« á⥩ G ¨ G | â ª ï, çâ® ¢ãâàì ¥¥ ¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, ®¤®©, ¨¤ãâ ॡà á ¬¨ãá ¬¨. (ਠ¢®§¬®ëå §¤¥áì á«ãç ï ¨§®¡à ¥ë à¨á. 63, , ¡, ¢; ¯®¤ ª ¤ë¬ ®â¤¥«ìë¬ à¨á㪮¬ 㪠§ ë ®¡« áâì, ®¡« ¤ îé ï âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬, ¨ ¥¥ ¨áª«îç¨â¥«ì ï ¢¥àè¨ .) ë ®¡®§ 稬 íâã ®¡« áâì G .
᫨, ᪠¥¬, N ᮢ¯ ¤ ¥â á O, â® § G ¡¥à¥¬ âã ¨§ ®¡« á⥩ G′ ¨«¨ G′′, ¢ ª®â®àãî ¨¤ãâ ¨§ ¢¥àè¨ë M ॡà á ¬¨ãá ¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¨§ ®¡« á⨠G ¬®® ¢ë¤¥«¨âì ®¡« áâì G , ®¡« ¤ îéãî ⥬¨ ¥ ᢮©á⢠¬¨, çâ® ¨ ®¡« áâì G. ® ⮣¤ , ¯®¢â®àïï è¥ à áá㤥¨¥, ¬ë ¬®¥¬ ¢ G ¢ë¤¥«¨âì ®¡« áâì G ¨ â. ¤. ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨. â®, ®¤ ª®, ¥¢®§¬®® ¢¢¨¤ã ª®¥ç®á⨠ç¨á« ॡ¥à á¥â¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢®®¡é¥ ¥ ¬®¥â ¡ëâì á¥â¨ á ¯à¥¤¯®« £ ¥¬®© à ááâ ®¢ª®© § ª®¢, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 1
1
1
1
N
N
+_ _ + G′ O
+
_
+ _
_ +
G′
G″
+ M a)
G = G′ ; O | ¥¥ ¨áª«îç¨â¥«ì ï â®çª
_
+
_
+
+ _
_
_
_ G″
O
+
N +
_
_
2
_
+
M b) G = G′′ ; N | ¥¥ ¨áª«îç¨â¥«ì ï â®çª
+
G′
G″
+
_
+ _
_ + + M v) G = G′′ ; M | ¥¥ ¨áª«îç¨â¥«ì ï â®çª
¨á. 63
4. ¥¯¥àì ¯®ª ¥¬, ª ª ¯à¨¬¥ï¥âáï «¥¬¬ ®è¨ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ¥£® â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ëå ¨§ à ¢ëå £à ¥©. . ®è¨ ¤®ª §ë¢ ¥â «¥¬¬ã: ¥á«¨ ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ëå 㣫 á®áâ ¢«¥ë ¨§ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ëå ¯«®áª¨å 㣫®¢, á«¥¤ãîé¨å ¤à㣠§ ¤àã-
£®¬ ¢ ®¤¨ ª®¢®¬ ¯®à浪¥, â® «¨¡® í⨠¬®£®£à ë¥ ã£«ë à ¢ë, «¨¡® à §-
. II:
§ 2.
91
®á⨠¨å ᮮ⢥âá⢥ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å
(â «¥¬¬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ § 1 £« ¢ë III.) Ǒãáâì ⥯¥àì P ¨ P | ¤¢ ¬®£®£à ¨ª , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ â¥®à¥¬ë ®è¨.
᫨ ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¨å à ¢ë, â® á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë.
᫨ ¥ ¥ ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë à ¢ë, â® ¯®¬¥â¨¬ ¯«îᮬ (¬¨ãᮬ) ª ¤®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P , ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¨ ª®â®à®¬ ¡®«ìè¥ (¬¥ìè¥), 祬 ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ॡॠ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ , ᮣ« á® ¯à¨¢¥¤¥®© ⮫쪮 çâ® «¥¬¬¥, ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢¥àè¨ë, ª ª®â®à®© ¯®¤å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤® ®â¬¥ç¥®¥ ॡà®, ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ® ¯® «¥¬¬¥ ®è¨ íâ® ¥¢®§¬®®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¥ ¬®¥â ¡ëâì ᮮ⢥âá⢥ëå ¥à ¢ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ¨ ⥮६ ®è¨ ¤®ª § . ®¥ç®, ¥ ¢® ¢á¥å á«ãç ïå «¥¬¬ ®è¨ ¯à¨¬¥ï¥âáï â ª ¥¯®á।á⢥®. ¤ ª® ¯à®áâë¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ à áá㤥¨ï, ¥á«¨ ®¨ ⮫쪮 ¥®¡å®¤¨¬ë, ¢á¥£¤ ¯à¨¢®¤ïâ ª 楫¨ ¯à¨ ⮬ ¥®¡å®¤¨¬®¬ ãá«®¢¨¨, çâ® § à ¥¥ ¤®ª § ë «¥¬¬ë, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騥 ãë¥ á¢®©á⢠à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¥â¨. Ǒ®í⮬㠣« ¢ë III ¨ VI, ¯®á¢ïé¥ë¥ ⥮६ ¬ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ç¨ îâáï ¨¬¥® á ¤®ª § ⥫ìá⢠⠪¨å «¥¬¬. à § ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë. 1
2
1
2
1
2
2)
§ 2. ¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ 3)
1. ᥠ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ª®â®àë¥ ä®à¬ã«¨à®¢ ë ¤ «ìè¥ ¢ § 3{5, ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë (¥ áç¨â ï ¤¢ãå-âà¥å á ¬ëå ¯à®áâëå ⥮६) ¥¤¨ë¬ ¬¥â®¤®¬, ®á®¢ ë¬ ®¤®© ⮯®«®£¨ç¥áª®© ⥮६¥, ãáâ ®¢«¥®© ¢¯¥à¢ë¥ . . . à ãí஬ ¢ 1912 £. ¨ ¨§¢¥á⮩ ¯®¤ §¢ ¨¥¬ â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« áâ¨: ¥á«¨ ®¡« áâì, G n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠, £®¬¥®¬®àäª ª®¥-«¨¡® ¯®¤¬®¥á⢮ G′ n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®-
â. ¥. ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ® ®â®¡à ¥âáï
. § í⮩ â¥®à¥¬ë ¬ë ¢ë¢®¤¨¬ «¥¬¬ã, ª®â®àãî §ë¢ ¥¬ ý«¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨þ; ¢ ¥¤¨®®¡à §®¬ áâà á⢠, â®
G′
2) áâ®à¨ç¥áª¨¥
â ª¥ ï¥âáï ®¡« áâìî 4)
ᢥ¤¥¨ï ® ⥮६¥ ®è¨ ¬®® ©â¨ ¢ [200, 278, 281℄. ਠâë ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë ® ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 á¬. [273, 344, 352℄. ¤¨ «®£, á¯®á®¡ë© § ¬¥ïâì íâã «¥¬¬ã, ¯à¥¤«®¥ . . Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ ¨ ¤®ª § ¢ [83℄, ¤à㣮© | ¢ [107℄. ⢥थ¨¥, ¬®£ã饥 § ¬¥ïâì «¥¬¬ã ®è¨ ® à ááâ ®¢ª¥ § ª®¢, á¬. ¢ [213℄. íâ¨å ®á®¢ å ¯à¥¤«®¥ àï¤ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ®è¨ [159, 170, 205, 213℄. Ǒà¨æ¨¯¨ «ì® ¨ë¬ ¯ã⥬ ® ¤®ª § ¢ [46℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 3) í⮬ ¯ à £à ä¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¥ª®â®àë¥ á¢¥¤¥¨ï ¨§ ⮯®«®£¨¨. ¨â ⥫ì, ¥ § ª®¬ë© á ¥©, ¤®«¥ ¡ã¤¥â ¯à®ç¥áâì á ç « § 8 í⮩ £« ¢ë, £¤¥ ¤ ¥âáï ¢ ¯à®á⥩襩 ä®à¬¥ ¢¥áì ¥®¡å®¤¨¬ë© ¬ â¥à¨ «. ¯à®ç¥¬, «¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï «¨èì ¢ £«. IV, VII ¨ IX. 4) ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¨§« £ ¥âáï ¢ § 9 í⮩ £« ¢ë. ¯à®ç¥¬, á ¬® ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥ ¨£à ¥â ¤«ï á ஫¨.
92
. .
¯à¨¬¥¥¨¨ í⮩ «¥¬¬ë ¨ á®á⮨⠬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï, ® ª®â®à®¬ ¨¤¥â à¥çì. ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì n-¬¥àë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ â ª®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, ª ¤ ï â®çª ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, £®¬¥®¬®àäãî ¢ãâ८á⨠n-¬¥à®£® ªã¡ ¨ ª ¤ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ª®â®à®£® ¬®® § ª«îç¨âì ¢ ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ®á⨠. ¯®¬¨¬, çâ® ¬®¥á⢮ M (¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥) §ë¢ ¥âáï á¢ï§ë¬, ¥á«¨ ¥£® ¥«ì§ï à §¡¨âì ¤¢ ¥¯ãáâëå § ¬ªãâëå ®â®á¨â¥«ì® ¥£® ¯®¤¬®¥á⢠(â.¥. â ª, çâ®¡ë ¢áïª ï â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï iª ¤®£® ¨§ íâ¨å ¯®¤¬®¥á⢠M i, ¯à¨ ¤«¥ é ï M , ᮤ¥à « áì ¡ë ¢ M ). ¢ï§®© ª®¬¯®¥â®© ¬®¥á⢠M §ë¢ ¥âáï ¢á类¥ á¢ï§®¥ ¯®¤¬®¥á⢮ M ′ ¬®¥á⢠M , ¥ ᮤ¥à 饥áï 㥠¨ ¢ ª ª®¬ ¥£® á¢ï§®¬ ¯®¤¬®¥á⢥, ¥ áç¨â ï, ª®¥ç®, á ¬®£® M ′. ®¥á⢮ M ¥áâì ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ᢮¨å ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ª®¬¯®¥â. 5)
2. ¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨.
¨ ⮣® ¥ ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© ¬®£®®¡à §¨¥
B,
n.
Ǒãáâì
A
¨
B
| ¤¢ ¬®£®®¡à §¨ï ®¤®£®
Ǒãáâì ¤ ® ®â®¡à ¥¨¥
ϕ
¬®£®®¡à §¨ï
A
¢
㤮¢«¥â¢®àïî饥 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
1) ª ¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï B ᮤ¥à âáï ®¡à §ë â®A. 2) ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. 3) ϕ ¥¯à¥à뢮. 4)
᫨ â®çª¨ Bm (m = 1, 2, . . . ) ¬®£®®¡à §¨ï B ïîâáï ®¡à § ¬¨
祪 ¨§
A ¨ Bm á室ïâáï ª â®çª¥ B , â® ¢ A áãé¥áâ¢ã¥â â®çB , â ª ï, çâ® ¨¬¥¥âáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Ami ¨§ â®ç¥ª Am , á室ïé ïáï ª A. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ϕ A B , â. ¥. ¢á¥ â®çª¨ ¬®£®®¡à §¨ï B ®ª §ë¢ îâáï ®¡à § ¬¨ â®ç¥ª ¬®£®®¡à §¨ï A ϕ Bm ϕ Am B ϕA Bm B m , ,... Am A A Am 6) Am1 , Am2 , . . . â®ç¥ª ª
A,
Am
¬®£®®¡à §¨ï
®â®¡à îé ïáï ¢
( )= . â®¡à ¥¨¥ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï 4 ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì = ( ), = ( ) ¨ á室ïâáï ª ( = 1 2 ). ®¯ãá⨬, çâ® â®çª¨ ¥ á室ïâáï ª . ®£¤ ¥áâì â ª ï ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ , ¢¥ ª®â®à®© «¥¨â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® â®ç¥ª ; ¯ãáâì íâ® ¡ã¤ãâ â®çª¨ . ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® Bmj
= ϕ(Am ); j
Bmj → B
;
B
= ϕ(A),
5) ®£¤
¢ ¯®ï⨥ ¬®£®®¡à §¨ï ¢ª«îç îâáï ¥é¥ âॡ®¢ ¨ï á¢ï§®á⨠¨ ¢®§¬®®áâ¨ à §¡¨¥¨ï ᨬ¯«¥ªáë; í⨠âॡ®¢ ¨ï ¬ë ®â¡à áë¢ ¥¬. 6) â५ª ®¡®§ ç ¥â á室¨¬®áâì: â®çª¨ Bm á室ïâáï ª B , â.¥. ¤«ï ¢á类© ý᪮«ì 㣮¤® ¬ «®©þ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ B ¬®® 㪠§ âì â ª®© ®¬¥à, çâ® â®çª¨ Bm á ¡®«ì訬¨ ®¬¥à ¬¨ j ¢á¥ ᮤ¥à âáï ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®áâ¨. j
j
. II:
§ 2.
93
¨ ¨ª ª ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª Am ¥ ¬®¥â á室¨âìáï ª A. ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î 4, â ª ª ª ¯® ¢§ ¨¬®© ®¤®§ ç®á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ ⮫쪮 ¤ ï â®çª A ®â®¡à ¥âáï ¢ B . «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª¨ Am ¤®«ë á室¨âìáï ª A, â.¥. ϕ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮. ª ª ª ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮, â® ®® ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬. âáî¤ ®á®¢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« á⨠᫥¤ã¥â, çâ® ®¡à § ¬®£®®¡à §¨ï a, â.¥. ϕ(A), ¥áâì ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ¢ B. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì B ∈ ϕ(A), â. ¥. ï¥âáï ®¡à §®¬ ¥ª®â®à®© â®çª¨ A ¨§ A; ¯ãáâì UB | ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ B ∈ B, £®¬¥®¬®àä ï ¢ãâ८á⨠ªã¡ , â. ¥. £®¬¥®¬®àä ï n-¬¥à®¬ã ¥¢ª«¨¤®¢ã ¯à®áâà áâ¢ã. Ǒ® ¥¯à¥à뢮á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ ã â®çª¨ A áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ®áâì VA , ®¡à § ª®â®à®© ᮤ¥à¨âáï ¢ UB . ®çª A ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, £®¬¥®¬®àäãî n-¬¥à®¬ã ªã¡ã; ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥¥ á VA â ª¥ ¥áâì ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ A ¨ ®â®¡à ¥âáï ¢ UB . â ®ªà¥áâ®áâì WA £®¬¥®¬®àä , ®ç¥¢¨¤®, ®âªàë⮬㠬®¥áâ¢ã n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« á⨠¥¥ ⮯®«®£¨ç¥áª¨© ®¡à § ϕ(WA ) ¢ UB ¥áâì ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮, â. ¥. ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî â®çª¨ B . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢áïª ï â®çª B ∈ ϕ(A) ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, ᮤ¥à éãîáï ¢ ϕ(A), íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ϕ(A) | ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. ¬¥á⥠á ⥬ ¨§ ãá«®¢¨ï 4 á«¥¤ã¥â, çâ® ϕ(A) â ª¥ § ¬ªãâ® ¢ B. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ â®çª¨ Bn = ϕ(An ) á室ïâáï ª B , â® ¯® ãá«®¢¨î 4 áãé¥áâ¢ã¥â â®çª A ¨§ A, ®â®¡à îé ïáï ¢ B , â.¥. B ¯à¨ ¤«¥¨â ϕ(A), ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ϕ(A) § ¬ªãâ®. ® ¥á«¨ ϕ(A) ¨ ®âªàëâ®, ¨ § ¬ªãâ® ¢ B, ¨ ¨¬¥¥â â®çª¨ ¢ ª ¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï B, â® ®® ¯à®áâ¨à ¥âáï ¢á¥ B. ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ϕ(A) ®âªàëâ®, â® ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ B ϕ(A) § ¬ªãâ®. Ǒ®í⮬㠯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬®¥á⢠ϕ(A) ¨ B ϕ(A) «î¡ë¬ ¬®¥á⢮¬ M ¨§ B § ¬ªãâë ®â®á¨â¥«ì® í⮣® M . ®§ì¬¥¬ ′¢ ª ç¥á⢥ M á¢ï§ãî ª®¬¯®¥âã B′ ¬®£®®¡à §¨ï B. ®£¤ ä®à¬ã« B = [ϕ(A) ∩ B ℄ ∪ [ B ϕ(A) ∩ B ′ ℄ ¤ ¥â ′ à §«®¥¨¥ ª®¬¯®¥âë B ¤¢ § ¬ªãâëå ®â®á¨â¥«ì® ¥¥ ¬®¥á⢠. Ǒ® á¢ï§®á⨠¬®¥á⢠B′ â ª®¥ à §«®¥¨¥ ¥¢®§¬®®, â ª çâ® ®¤® ¨§ ′ ¬®¥á⢠¤®«® ¡ëâì ¯ãáâë¬. ® ¯® ãá«®¢¨î 1 ¢ B ¥áâì â®çª¨ ¨§ ϕ(A), â. ¥. B′ ∩ ϕ(A) ¥ ¯ãáâ®. Ǒ®í⮬㠨¬¥® B ϕ(A) ∩ B′ ¯ãáâ®. «¥¤®¢ ⥫ì®, B′ = ϕ(A) ∩ B′. 㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ á¢ï§ë¬ ª®¬¯®¥â ¬, ¯®«ã稬 B = ϕ(A). ¥¬¬ ¤®ª § . 3. Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, ª ª «¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¯à¨¬¥ï¥âáï ª ¤®ª § ⥫ìá⢠¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï. ¬¥â¨¬, ¯à¨¬¥à, ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ j
7)
7) ¬ªã⮥ ¬®¥á⢮ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮤ¥à¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï. Ǒ®í⮬㠮¡é ï ç áâì, ¯à¨¬¥à, ¬®¥á⢠ϕ(A) ¨ M ᮤ¥à¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï, ᮤ¥à 騥áï ¢ M , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¬ªãâ ®â®á¨â¥«ì® M .
94
. .
묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. (¥â «ì®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ á¬. § 1 £« ¢ë VII.) ëïᨬ á ç « ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë ¢¥è¨å ®à¬ «¥© n , n , . . . , nn ¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© F , F , . . . , Fn . ⨠ãá«®¢¨ï á«¥¤ãî騥: 1) ¢¥ªâ®àë ni ¥ ª®¬¯« àë; Fi > 0; 2) ¢á¥ n P 3) niFi = 0. i ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯¥à¢ëå ¤¢ãå ãá«®¢¨© ®ç¥¢¨¤ . à¥âì¥ ãá«®¢¨¥ ®§ ç ¥â à ¢¥á⢮ ã«î ¢¥ªâ®à®© ¯«®é ¤¨ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª . ®ª §ë¢ ¥âáï ®® ¯à®áâ®. Ǒãáâì T | ª ª ï-«¨¡® ¯«®áª®áâì ¨ n | ®à¬ «ì ª ¥©. ®£¤ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ nni ¥áâì ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã n ¨ ®à¬ «ìî ni ª i-© £à ¨; ¯®í⮬ã (nni)Fi ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯«®é ¤ì ¯à®¥ªæ¨¨ í⮩ £à ¨ ¯«®áª®áâì T , ¢§ïâ ï á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § ª®¬ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â 㣫 ¬¥¤ã n ¨ ni .
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¯«®áª®áâì T , â® ¥£® ¯à®¥ªæ¨ï ¯®ªà®¥â ¥© ¥ª®â®àë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ ¯à¨â®¬ ¤¢ ¤ë: ®¤¨ à § ý¯®«®¨â¥«ì®þ ¨ ¤à㣮© à § ý®âà¨æ ⥫ì®þ. १ã«ìâ ⥠á㬬 ¯à®¥ªæ¨© £à ¥© á® § ª®¬ ¡ã¤¥â à ¢ ã«î, â.¥. 8)
1
1
2
2
=1
n X i=1
nni Fi
=n
n X i=1
ni Fi
= 0.
â ª ª ª ¯«®áª®áâì T , § ç¨â, ¨ ¢¥ªâ®à n ¬®® ¢ë¡à âì ¯à®¨§¢®«ì®, â® ¥®¡å®¤¨¬® n X ni Fi = 0. i=1
¥®à¥¬ ¨ª®¢áª®£® ã⢥ठ¥â, çâ® âਠ㪠§ ëå ãá«®¢¨ï ¥ ⮫쪮 ¥®¡å®¤¨¬ë, ® ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© Fi, â. ¥. ¥á«¨ ¤ ë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë
ni
¨ ç¨á«
Fi
㤮¢«¥â¢®àïîâ í⨬ ãá«®¢¨ï¬, â® áãé¥áâ¢ã¥â
§ ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨
ni
¨ ¯«®é ¤ï-
. Ǒãáâì | ¬®¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªá®¢ ç¨á¥« F , . . . , Fn (¯à¨ ¤ ëå ¥¨§¬¥ëå ¢¥ªâ®à å n , . . . , nn , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¯®áâ ¢«¥ë¬ ãá«®¢¨ï¬. B ¬®® ¨§®¡à §¨âì ª ª ¯®¤¬®¥á⢮ n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠Rn á Fi B
¬¨ £à ¥©
1
1
8) ¯à ¢«¥¨¥ £à ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥è¥© ®à¬ «ìî ª í⮩ £à ¨.
. II:
§ 2.
95
ª®®à¤¨ â ¬¨ F , . . . , Fn . ¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ P ni Fi = 0 íª¢¨¢ «¥â® i â६ ᪠«ïàë¬ à ¢¥á⢠¬ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢ Rn (n − 3)-¬¥àãî ¯«®áª®áâì | «¨¥©®¥ ¯à®áâà á⢮ Rn− . í⮬ «¨¥©®¬ ¯à®áâà á⢥ ¥à ¢¥á⢠Fi > 0 ®¯à¥¤¥«ïîâ ¥ª®â®à®¥ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. ® ¢ë¯ãª«® ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ Rn− á ®âªàëâ묨 ¯®«ã¯à®áâà á⢠¬¨ Fi > 0, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á¢ï§®. â® ¨ ¡ã¤¥â è¥ ¬®£®®¡à §¨¥ B. (Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® B ¥ ¯ãáâ®: ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï £®¢®à¨â, çâ® ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ Fi, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬, â.¥. ¥á«¨ B ¥ ¯ãáâ®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¬®£®£à ¨ª.) áᬮâਬ ⥯¥àì ¢á¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P á ¤ 묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni ª ¨å £à ï¬. ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®n ãá«®¢¨î ¢¥ªâ®àë ni ¥ ª®¬¯« àë, ¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ Fi > 0, çâ® P niFi = 0. Ǒ®í⮬㠢¥ªâ®àë ni ¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® i ¯®«ã¯à®áâà á⢮. â ª®¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®áâ¨, ª á î騥áï ª ª®£®-¨¡ã¤ì è à ¢ â®çª å á ®à¬ «ï¬¨ ni , ®£à ¨ç¨¢ îâ ª®¥çë© (⥫¥áë©) ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª.
£® £à ¨æ ¨ ¥áâì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni ª ¥£® £à ï¬. ¤ë© ¬®£®£à ¨ª P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ®¯®àëå ç¨á¥« h , h , . . . , hn (á¬. § 2 £« ¢ë I). Ǒ®í⮬㠬®¥á⢮ ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¯®¤¬®¥á⢮ n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠Rn á ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hn . ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® íâ® ¯®¤¬®¥á⢮ ®âªàëâ®, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¬ «ëå ᬥ饨ïå ¯«®áª®á⥩ £à ¥© £à ¨ ¥ ¨á祧 îâ. ¡ê¥¤¨¨¬ ¢ ®¤¨ ª« áá ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P , à ¢ë¥ ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ ¤à㣠¤àã£ã. ª ª ª ¯¥à¥®á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â६ï á®áâ ¢«ïî騬¨, â® ª ¤ë© ª« áá § ¤ ¥âáï n − 3 ¯¥à¥¬¥ë¬¨. (®®, ¯à¨¬¥à, ¢ë¡à âì ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï ª« áá ¬®£®£à ¨ª á æ¥â஬ âï¥á⨠¢ ç «¥.) ®¥á⢮ ¢á¥å íâ¨å ª« áᮢ A ®¡à §ã¥â (n − 3)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ A. â ª, ¬®£®®¡à §¨ï A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ç¨á«® ¨§¬¥à¥¨© n − 3. ª ª ª ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª ¢á¥£¤ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï A ¢ B.
᫨ ¬ë ¯®ª ¥¬, çâ® ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ⮠⥬ á ¬ë¬ ®ª ¥âáï, çâ® ¢áïª ï â®çª ¨§ B ¥áâì ®¡à § â®çª¨ ¨§ A, â.¥. çâ® ¤«ï ¢á类© ᮢ®ªã¯®á⨠ç¨á¥« F , . . . , Fn , 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª á â ª¨¬¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. ª ª ª B á¢ï§®, â® ãá«®¢¨¥ 1 «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. § ¨¬ ï ®¤®§ ç®áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ á«¥¤ã¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®áâ¨, â ª¥ ®âªàë⮩ ¨ª®¢áª¨¬ (¤®ª § ⥫ìá⢮ | ¢ § 3 £« ¢ë VI): ¯à¨ ¤ ëå ®à¬ «ïå ni ¨ ¯«®é ¤ïå £à ¥© Fi § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥¤¨á⢥ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . ï§ëª¥ ¬®£®®¡n
1
=1
3
3
=1
1
2
1
1
1
96
. .
à §¨© A ¨ B íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ª ¤®© ¤ ®© â®çª¥ B ∈ B ¬®¥â ®â¢¥ç âì ⮫쪮 ®¤¨ ª« áá A ∈ A. ¥¯à¥à뢮áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ ®ç¥¢¨¤ ¨§ ¥¯à¥à뢮© § ¢¨á¨¬®á⨠¯«®é ¤¥© £à ¥© ®â ¯®«®¥¨ï £à ¥©, â.¥. ®â ®¯®àëå ç¨á¥«. áâ ¥âáï ç¥â¢¥à⮥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë, ª®â®à®¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥§ ®á®¡®£® âà㤠(á¬. § 1 £« ¢ë VII). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥ë, ¨ ⥮६ ¤®ª § .
4. í⮬ ¯à¨¬¥à¥ ¢¨¤ë ®á®¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥¨¬®á⨠襣® ¬¥â®¤ . ¯à¨¬¥¨¬ ¢ â ª¨å á«ãç ïå, ª®£¤ ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨¬¥¥â ä®à¬ã: ý¤«ï ¢á类£® a áãé¥áâ¢ã¥â b ¨, ®¡à â®, ¤«ï ¢á类£® b áãé¥áâ¢ã¥â aþ 9) . 襬 ¯à¨¬¥à¥ a ®¡®§ ç ¥â § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, b | ᮢ®ªã¯®áâì ç¨á¥« Fi ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨¬ ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ ni , ¯à¨ç¥¬ Fi ¨ ni ¤®¯ã᪠îâáï ⮫쪮 â ª¨¥, ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«ïîâáï ãá«®¢¨ï ⥮६ë. ¥®à¥¬ ¨ª®¢áª®£® ã⢥ठ¥â, çâ® ª ª ¤«ï ¢á类£® ¬®£®£à ¨ª a áãé¥áâ¢ã¥â ᮢ®ªã¯®áâì b ¯«®é ¤¥© ¨ ®à¬ «¥© ¥£® £à ¥©, â ª ¨ ¤«ï ¢á类© ᮢ®ªã¯®á⨠b ç¨á¥« Fi ¨ ¢¥ªâ®à®¢ ni , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãë¬ ãá«®¢¨ï¬, áãé¥áâ¢ã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬®£®£à ¨ª a. ª®£® த ã⢥थ¨ï áãâì â¥®à¥¬ë ® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨ïå. ª, ¢ 襬 ¯à¨¬¥à¥ à¥çì ¨¤¥â ® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨ïå ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë¥ ç¨á« Fi ¨ ¢¥ªâ®àë ni ¬®£«¨ ¡ëâì ᮮ⢥âá⢥® ¯«®é ¤ï¬¨ ¨ ®à¬ «ï¬¨ £à ¥© § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨© ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ®ç¥¢¨¤®©, ¨ áãé¥áâ¢¥ë¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ⮫쪮 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨å ¤®áâ â®ç®áâ¨. ᥠ¤®ª §ë¢ ¥¬ë¥ ¢ í⮩ ª¨£¥ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨«¨ â¥®à¥¬ë ® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨ïå ¨¬¥îâ ¨¬¥® íâ®â å à ªâ¥à. «¥¥, ¢ ¯à¥¤« £ ¥¬®¬ ¬¥â®¤¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤®« ¯à¥¤è¥á⢮¢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨. ¬® ᮮ⢥âá⢨¥ ϕ ¥¯®á।á⢥® à áᬠâਢ ¥¬ëå ®¡ê¥ªâ®¢ ¡ë¢ ¥â ®¡ëç® ¥áâ¥á⢥® ®¯à¥¤¥«¥ë¬; ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ¥ ¢§ ¨¬®© ®¤®§ ç®á⨠®â®¡à ¥¨ï ¬®£®®¡à §¨¥ á¯¥æ¨ «ì® áâநâáï á ãç¥â®¬ ýâ®ç®áâ¨þ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®áâ¨, ¤«ï 祣® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ í«¥¬¥â®¢ ¬®£®®¡à §¨ï ¨â¥à¥áãî騥 á ®¡ê¥ªâë ®¡ê¥¤¨ïîâáï ¢ ª« ááë ¨«¨ á ¡ îâáï ¤®¯®«¨â¥«ì묨 à §«¨ç¨ï¬¨. ª, ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¬®£®®¡à §¨¥ A á®á⮨⠨§ ª« áᮢ ¬®£®£à ¨ª®¢, ®â«¨ç îé¨åáï «¨èì ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. «¨ ¤à㣮© ¯à¨¬¥à: ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ᮮ⢥âá⢨¥ à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ªã áâ ®¢¨âáï ¥áâ¥á⢥® ®¤®§ çë¬ ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ¬®£®£à ¨ª à áᬠâਢ ¥âáï ¢¬¥áâ¥ á ¥á¥®© ¥¬ á¥âìî ॡ¥à ¥ª®â®à®© à §¢¥à⪨. ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï § ⥬ à §¢¥à⪠¬¨ ¨ á¥âﬨ ¥ª®â®à®£® 䨪á¨à®¢ ®£® áâ஥¨ï. ª®¥æ, ¨¬¥ï 楫ìî ᤥ« âì ᮮ⢥âá⢨¥ ¨ ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬, ¬ë ®¡ê¥¤¨ï¥¬ ¢ ®¤¨ ª« áá ¬®£®£à ¨ª¨, ᮢ¬¥é î騥áï ¢¬¥áâ¥ á ¥á¥ë¬¨ ¨å á¥âﬨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. áᬠâਢ ¥¬®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ A á®á⮨⠨§ íâ¨å ª« áᮢ. Ǒਠí⮬ ¬®£«® ¡ë ¡ëâì, çâ® A ¯ãáâ®. ¤ ª® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯¥à¢®£® âॡ®¢ ¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ®ç¥¢¨¤®, 㥠ᮤ¥à¨âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¯ãáâ®âë ¬®£®®¡à §¨ï A. ¬¥á⥠á ⥬, £®¢®àï ä®à¬ «ì®, ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮ ⮥ ¥áâì n-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¬®£®®¡à §¨ï âॡ®¢ ¨¥ ¥¯ãáâ®âë ®âáãâáâ¢ã¥â. 5. â®â ®¡é¨© ¬¥â®¤ ¯à¨«®¨¬, ª®¥ç®, ¥ ⮫쪮 ª ¤®ª § ⥫ìá⢠¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢. ¯à¨¬¥à, ¯®«ì§ãïáì ¨¬, ¬®® ¤®ª § âì ý®á®¢ãî ⥮६㠫£¥¡àëþ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ n ª®à¥© ã ¬®£®ç«¥ n-© á⥯¥¨. ª ç¥á⢥ ¬®£®®¡à 9) â®â ä ªâ á ¬ ¯® ᥡ¥, ª®¥ç®, ¥ ®§ ç ¥â «¨ç¨ï ®¤®§ 箣® ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬¥¤ã ®¡ê¥ªâ ¬¨.
. II:
§ 3.
97
§¨ï B ¡¥à¥âáï ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®ç«¥®¢ n-© á⥯¥¨ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¥¤¨¨æ , ¨áª«îç ï ¬®£®ç«¥ë á ªà â묨 ª®àﬨ. ª ç¥á⢥ A ¡¥à¥âáï ¬®£®®¡à §¨¥ ᮢ®ªã¯®á⥩ A ¯® n à §«¨çëå ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¡¥§ 㪠§ ¨ï ¯®à浪 . ¡ ¬®£®®¡à §¨ï 2n-¬¥àë¥. ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ ® ¢ ¬®¥© à ¡®â¥ [10℄. ®® ¤ âì ¤à㣨¥ ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⮣® ¥ ¬¥â®¤ ª § ¤ ç ¬ «£¥¡àë. Ǒਫ®¥¨¥ ª ®¤®© ⥮६¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ ⥮ਨ äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© ¡ë«® ¤ ® . . ®«ã§¨ë¬ [94℄. ®§¬®®, ¨§¢¥áâë ¨ ¤à㣨¥, ¬®¥â ¡ëâì ¥é¥ ¡®«¥¥ à ¨¥, ¯à¨«®¥¨ï ⮣® ¥ ¬¥â®¤ 10) . â®¨â ¥é¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®ª ¥â ¨ª ª®£® ¤à㣮£® ¬¥â®¤ , ¥ áç¨â ï «®£¨ç®£® ¬¥â®¤ , ® ª®â®à®¬ à¥çì ¢ § 6 ¯◦ 7, 8, ª®â®àë© ¯®§¢®«ï« ¡ë ¤®ª § âì ¢á¥ ¯®«ãç¥ë¥ ¢ í⮩ ª¨£¥ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï. áâ ⨠᪠§ âì, íâ® áãâì ¢®®¡é¥ ¢á¥ ¯®ª ¨§¢¥áâë¥ ®¡é¨¥ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ⨯ ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ (â.¥. ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¤ ëå, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬®£®£à ¨ª). ®«ìª® ¤«ï â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¨ ¥© «®£¨çëå (⥮६ë 9 ¨ 11 § 4) ¨§¢¥áâë ¤à㣨¥ ¬¥â®¤ë ¤®ª § ⥫ìá⢠11) . § 3. ¤ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª à §¢¥à⪮© (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ III, IV ¨ V)
1. ¥çì ¨¤¥â ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ¢ ⮬ á¬ëá«¥, ª ª íâ® ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥® ¢ § 6 £« ¢ë I. § 6 ¨ 7 £« ¢ë I ¡ë«¨ ¢ëïá¥ë ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì à §¢¥à⪠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª : 1) ýá«®¢¨¥ ¯®«®¨â¥«ì®á⨠ªà¨¢¨§ëþ: á㬬 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¯à¨ áª«¥¨¢ ¨¨ ¢ ®¤®© ¢¥à訥 à §¢¥à⪨, ¤®« ¡ëâì ¥ ¡®«¥¥ 2π ¤«ï ª ¤®© ¢¥àè¨ë. 㬬 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥 ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¢á¥£¤ ¬¥ìè¥ 2π. ®¯ã᪠¥¬ ï ¢®§¬®®áâì à ¢¥á⢠á㬬ë 㣫®¢ 2𠮧 ç ¥â ⮫쪮, çâ® ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ ¬®¥â ¤ âì ¯à¨ áª«¥¨¢ ¨¨ ¥ ¢¥àè¨ã ¬®£®£à ¨ª , ® â®çªã ¢ãâਠ£à ¨ ¨«¨ ॡà . «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ® ãá«®¢¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï à §¢¥à⪨ ¢á类£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . 2) ýá«®¢¨¥ ©«¥à þ: ¥á«¨ f , k, e ®¡®§ ç îâ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ç¨á«® ॡ¥à ¨ ç¨á«® ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨, â® ¤®«® ¡ëâì f − k + e = 2. ¥®¡å®¤¨¬®áâì í⮣® ãá«®¢¨ï ¤«ï à §¢¥à⪨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¤®ª § ⥮६®© 6 § 7 £« ¢ë I. ( ¯®¬¨ ¥¬, ç⮠᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë áç¨â îâáï ᮮ⢥âá⢥® § ®¤® ॡ஠¨«¨ ®¤ã ¢¥àè¨ã à §¢¥à⪨ ¨ çâ® ¢á¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨ ¯à¥¤¯®« £ îâáï ¯® ãá«®¢¨î ¯à®áâ묨.) 10) ¯à¨¬¥à, ¢ á ¬®¬ ¯à¨¬¨â¨¢®¬ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¥¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥áâë©
¬¥â®¤ ¯à®¤®«¥¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã, ¯à¨¬¥ï¢è¨©áï ¥é¥ . . ¥àè⥩®¬ [66, á. 79℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 11) ¯®ï¢¨¢è¨¥áï ¯®§¥ «ìâ¥à â¨¢ë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠®â¤¥«ìëå ⥮६ ¡ã¤¥â 㪠§ ® ¢ ¯®¤áâà®çëå ¯à¨¬¥ç ¨ïå. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
98
. .
§ «®áì, ã® ¡ë«® ¡ë ¤®¡ ¢¨âì ¥é¥, çâ® à §¢¥à⪠¥ ᮤ¥à¨â ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë. ® ⥮६ ¬¨ 7 ¨ 8 § 7 £« ¢ë I ãáâ ®¢«¥®, çâ® ¤«ï â ª¨å à §¢¥à⮪ ¢á¥£¤ f − k + e < 2, ¯®â®¬ã ãá«®¢¨¥ ©«¥à 㥠®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ª®¥ç®áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ®âáãâá⢨¥ £à ¨æë. 2.
᫨ áç¨â âì § § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª «î¡®© ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â. ¥. ᪫¥¥ë© ¨§ ¤¢ãå «®¥ëå ¤à㣠¤àã£ à ¢ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, â® ¬®® ã⢥ठâì á«¥¤ãî饥: 1. ®à¬ã«¨à®¢ ë¥ ãá«®¢¨ï ¥ ⮫쪮 ¥®¡å®¤¨¬ë, ® ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. Ǒਠí⮬ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¤¢ : ®¤¨ ï¥âáï §¥àª «ìë¬ ®â®¡à ¥¨¥¬ ¤à㣮£® ¨«¨, çâ® â® ¥ á -
. (
᫨ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ, â® íâ® ¤ ¥â â®â ¥ ¬®£®£à ¨ª. ®£®£à ¨ª¨, à §«¨ç î騥áï ⮫쪮 ¯®«®¥¨¥¬ ¢ ¯à®áâà á⢥, ¥ áç¨â îâáï à §«¨ç묨.) «ãç © ¤¢ ¤ë ¯®ªàë⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ë ¥¨§¡¥® ¤®«ë ¯à¨ïâì ¢® ¢¨¬ ¨¥, ¯®â®¬ã çâ® à §¢¥à⪠¬®¥â, ¯à¨¬¥à, á®áâ®ïâì ¨§ ¤¢ãå ª¢ ¤à ⮢, ª®â®àë¥ ¯® § ¤ ¨î 㮠᪫¥¨¢ âì ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¯® áâ®à® ¬. 祢¨¤®, ¢á¥ ¯®áâ ¢«¥ë¥ ãá«®¢¨ï §¤¥áì ¢ë¯®«¥ë. ®âï ¤ ë© á«ãç © ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ëத¥¨¥, ⥬ ¥ ¬¥¥¥ ¬ë ¥ ¨áª«îç ¥¬ ¥£®, ¯®â®¬ã çâ® íâ® ãá«®¨«® ¡ë ä®à¬ã«¨à®¢ªã 襣® १ã«ìâ â . «¥¥, ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¨ ¢ £« ¢ å III ¨ IV, ¯®á¢ïé¥ëå ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã 㪠§ ®£® १ã«ìâ â ¨ ¤à㣨å, á ¨¬ á¢ï§ ëå, ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª áç¨â ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¥á«¨ ⮫쪮  ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥. ®¡á⢥® £®¢®àï, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¥¯®á।á⢥® ¤®ª §ë¢ âì ⥮६ã 1 ¢ ¥áª®«ìª® ¨®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥. ª ¡ë«® ¤®ª § ® ¢ § 7 £« ¢ë I (⥮६ 6), à §¢¥à⪠, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ©«¥à f − k + e = 2, £®¬¥®¬®àä áä¥à¥. Ǒ®í⮬ã ⥮६ã 1 ¬®® ä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: 1∗. § ¢á类© £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥ à §¢¥à⪨, ¨¬¥î饩 á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å 6 2π , ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤¨ á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. 3. Ǒ२¬ãé¥á⢮ ãá«®¢¨ï ©«¥à á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®®, â ª ¥ ª ª ¤à㣨¥ ãá«®¢¨ï, « £ ¥¬ë¥ à §¢¥àâªã ¯® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¢¥àï¥âáï ¡¥§ âà㤠¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨, ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥£¤ ¨¬¥¥âáï ä ªâ¨ç¥áª ï ¢®§¬®®áâì à¥è¨âì ¢®¯à®á, ¬®® «¨ ¨§ ¥¥ ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨«¨ ¥â. Ǒਠí⮬ ¢®¢á¥ ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï § à ¥¥, çâ® ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¢®®¡é¥ ¬®® ᪫¥¨âì ª ª®© ¡ë â® ¨ ¡ë«® ¬®£®£à ¨ª: â ª ï ¢®§¬®®áâì ¤®ª §ë¢ ¥âáï, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë 㪠§ ë¥ ãá«®¢¨ï. ª ª ª â ª®© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮
¬®¥, ®¤¨ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¤à㣮£® ¢ë¢®à 稢 ¨¥¬ «¥¢ãî áâ®à®ã
. II:
§ 3.
99
®¤¨ (á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨ ý¢ë¢®à 稢 ¨ï «¥¢ãî áâ®à®ãþ), â® ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ à §¢¥à⪨ ® ¯®«ãç ¥âáï ª ª ¡ë á ¬ ᮡ®© . ¤ ª® ¬ë ¥ ¬®¥¬ ᪠§ âì § à ¥¥, ª ª®© ¨¬¥® ® ¯®«ãç¨âáï. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ ॡà à §¢¥à⪨ ¬®£ãâ ¢®¢á¥ ¥ ᮮ⢥âá⢮¢ âì £à ï¬ ¨ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª ; § à ¥¥ ¨§¢¥á⮠⮫쪮, çâ® ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤ãâ ⥠¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨, á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠ª®â®àëå < 2π. Ǒਬ¥àë à §¢¥à⮪, à¥¡à ª®â®àëå ¥ ®â¢¥ç îâ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª , ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ § 6 £« ¢ë I (à¨á. 37 ¨ 38). 12)
A
E
B
E
E
B
A D
D
a)
C
b)
A
B
D
C v)
C
¨á. 64
¯à¥¤¥«¨âì ¯® à §¢¥à⪥ áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª , â.¥. ©â¨ ¢ à §¢¥à⪥ ¨áâ¨ë¥ ¥£® ॡà , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï § ¤ 祩, ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ª®â®à®©, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¡¥§ ¤¥® âà㤮. à¥è ¥âáï ᮢᥬ ¯à®áâ® «¨èì ¤«ï â¥âà í¤à . ¥«® ¢ ⮬, çâ® á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á« ¢¥àè¨ ç¨á«® à §«¨çëå áâ஥¨© ¬®£®£à ¨ª®¢ à áâ¥â ªà ©¥ ¡ëáâà®.
᫨ n(e) | ç¨á«® áâ஥¨© ¬®£®£à ¨ª á e ¢¥àè¨ ¬¨, â® n(4) = 1, n(5) = 2, n(6) = 7, 13)
12) §
à §¢¥à⪨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¬®®, ª®¥ç®, ᪫¥¨âì ᪮«ìª® 㣮¤® ¥¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ⮨⠫¨èì, ¯à¨¬¥à, ¯à®¤ ¢¨âì ¬®£®£à ¨ª ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ª ª®©-¨¡ã¤ì ¨§ ¢¥àè¨. Ǒ®í⮬ã á«®¢ ýá ¬ ᮡ®©þ á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ã® «¨èì á«¥¤¨âì § ¢ë¯ãª«®áâìî. 13) ¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¤®«ë ¡ëâì ªà âç ©è¨¬¨ «¨¨ï¬¨, ᮥ¤¨ïî騬¨ ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨, £¤¥ á㬬ë 㣫®¢ < 2π. ஬¥ ⮣®, ¬¥¤ã ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨ £à ¥© ¯à¨ ®¤®© ¢¥à訥 ¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï ¥à ¢¥á⢠: ª ¤ë© ¨§ 㣫®¢ ¥ ¡®«ìè¥ áã¬¬ë ®áâ «ìëå.
᫨ 㬥âì ¯à®¢®¤¨âì ¢ à §¢¥à⪥ ªà âç ©è¨¥, ¤«ï 祣® ¬®® 㪠§ âì íää¥ªâ¨¢ë© á¯®á®¡, â® ¯®«ãç ¥âáï ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢®§¬®®á⥩, ¨§ ª®â®àëå ã® ¢ë¡à âì ®¤ã, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî áâ஥¨î ¬®£®£à ¨ª . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥âáï ¯à¨æ¨¯¨ «ì ï ¢®§¬®®áâì à¥è¨âì § ¤ çã ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª íä䥪⨢®. ¯à®ç¥¬, ¬¥ ¤ã¬ ¥âáï, íä䥪⨢®áâì ¥ ¨â¥à¥á : ¡®«¥¥ ¢ ® â®, çâ® ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨ áª«¥¨¢ ¨¨ ýá ¬ ᮡ®©þ, ª ª®© ã®.
100
. .
(7) = 34, n(8) = 257 . ஬¥ ⮣®, ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¨§¬¥¥¨¨ à §¢¥à⪨ áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¬®¥â ¬¥ïâìáï. Ǒà®á⮩ ¯à¨¬¥à ⮬㠤 ¥âáï à¨á. 64, £¤¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¡ ¨ ¢ ¯®«ãç îâáï ¨§ ¯ã⥬ ¥¯à¥à뢮£® ®¯ã᪠¨ï ¢¥àè¨ A ¨ B . âà¨å®¢ ï «¨¨ï AB ¬®£®£à ¨ª å ¡ ¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॡàã ¥£® à §¢¥à⪨, ª®â®à ï ¨¬¥¥â â® ¥ áâ஥¨¥, çâ® ¨ ¥áâ¥á⢥ ï à §¢¥à⪠¬®£®£à ¨ª . 4. Ǒ®áª®«ìªã à §¢¥à⪠¥ á¢ï§ á ¬®£®£à ¨ª®¬ ®¤®§ ç®, ¥áâ¥á⢥® á¯à®á¨âì, ª ª¨¥ ®¤®§ ç® á¢ï§ ë¥ á ¬®£®£à ¨ª®¬ ¤ ë¥ § ª«îç îâáï ¢ à §¢¥à⪥. ª 㥠£®¢®à¨«®áì ¢ ¯◦ 2 § 6 £« ¢ë I, à §¢¥à⪠®¯à¥¤¥«ï¥â ý¢ãâà¥îî ¬¥âਪãþ ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì X ¨ Y | ¤¢¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P ; § à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯à¨¨¬ ¥âáï â®ç ï ¨ïï £à ¨æ ¤«¨ ᮥ¤¨ïîé¨å ¨å «®¬ ëå, «¥ é¨å P . â® à ááâ®ï¨¥ ρR (X, Y ) ª ª äãªæ¨ï ¯ àë â®ç¥ª X , Y ¨ §ë¢ ¥âáï ¢ãâ॥© ¬¥âਪ®© ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì R | à §¢¥à⪠¬®£®£à ¨ª P .
᫨ X ′ ¨ Y ′ | ¤¢¥ â®çª¨ à §¢¥à⪨, â® ¨å ¬®® ᮥ¤¨¨âì ¢ à §¢¥à⪥ R «®¬ 묨, á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§ ®â१ª®¢, «¥ é¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª å à §¢¥à⪨ ¨ ᮥ¤¨ïîé¨åáï ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¢ ®â®¤¥á⢫¥ëå â®çª å £à ¨æ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ®çãî ¨îî £à ¨æã ¤«¨ â ª¨å «®¬ ëå ¥áâ¥á⢥® áç¨â âì à ááâ®ï¨¥¬ ρR (X ′, Y ′ ) ¬¥¤ã â®çª ¬¨ X ′ ¨ Y ′ ¢ à §¢¥à⪥ R.
᫨ ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®£®£à ¨ª P â®çª¨ X ′, Y ′ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ â®çª¨ X , Y R, â®, ®ç¥¢¨¤®, ρR (X ′ , Y ′ ) = ρR (X, Y ). 묨 á«®¢ ¬¨, ᪫¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¨§ à §¢¥à⪨ R ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ R P , â. ¥. ®â®¡à ¥¨¥, á®åà ïî饥 à ááâ®ï¨ï. á¥ à §¢¥à⪨ ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª , ®ç¥¢¨¤®, ¨§®¬¥âà¨çë ¬¥¤ã ᮡ®© (â. ¥. ¤®¯ã᪠îâ ®â®¡à ¥¨ï ¤à㣠¤à㣠, á®åà ïî騥 à ááâ®ï¨ï). §¢¥àâªã ¬®® âà ªâ®¢ âì ª ª ª®ªà¥âë© á¯®á®¡ § ¤ ¨ï ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¬®£®£à ¨ª . ª 㥠¡ë«® 㪠§ ®, ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï ©«¥à à §¢¥à⪠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ®ª §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥. â®¡à §¨¢ à §¢¥àâªã R áä¥àã S , ¬ë ¯¥à¥¥á¥¬ S ¬¥âਪã ρR à §¢¥à⪨ R, â. ¥. ª ¤®© ¯ ॠâ®ç¥ª X , Y áä¥àë S ᮯ®áâ ¢¨¬ à ááâ®ï¨¥ ρR (X, Y ), à ¢®¥ à ááâ®ï¨î ᮮ⢥âá⢥ëå â®ç¥ª ¢ à §¢¥à⪥ R. (â® à ááâ®ï¨¥ áä¥à¥, ª®¥ç®, ¥ ¨¬¥¥â ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ᮡá⢥®© ¬¥âਪ®© áä¥àë; áä¥à ¬ë᫨âáï §¤¥áì ª ª ¡áâà ªâ®¥ ¬®£®®¡à §¨¥.) í⮩ ¬¥âਪ¥ ρR ª ¤ ï â®çª áä¥àë S ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì â ªãî ¥, ª ª â®çª ¢ à §¢¥à⪥, â. ¥. ¨§®¬¥âà¨çãî ¬®£®£à ®¬ã 㣫ã, ¢ ç áâ®á⨠ªãáªã ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®á«¥¤¨© á«ãç © § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï â®ç¥ª, «¥ é¨å ¢ãâਠ14)
n
14) n(9) = 2606; ® å à ªâ¥à¥ à®áâ á«¥¤ãîé¨å ç¨á¥« á¬.
«¥à .
[276℄. | Ǒਬ. . . «£ «-
. II:
§ 3.
101
¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ ¨«¨ ¢ãâਠ¥¥ ॡ¥à: ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ ¢â®à®£® ⨯ á« £ ¥âáï ¨§ ¤¢ãå ¯®«ã®ªà¥áâ®á⥩, «¥ é¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª å, ᪫¥¨¢ ¥¬ëå ¯® ¤ ®¬ã ॡàã.
᫨ ¢ ¢¥à訥 A à §¢¥à⪨ á㬬 㣫®¢ ¥ à ¢ 2π, â® ¥¥ ®ªà¥áâ®áâì ¨§®¬¥âà¨ç ¬®£®£à ®¬ã 㣫ã. â®çª¨ §à¥¨ï ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ® ¯®«®áâìî å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á㬬®© 㣫®¢ ¢®ªà㣠A ¨«¨, ª ª ¬ë £®¢®à¨¬, ¯®«ë¬ 㣫®¬ θ ¢®ªà㣠A. §®áâì 2π − θ ¬ë §¢ «¨ ªà¨¢¨§®© ¢¥àè¨ë A. á«®¢¨¥ ®¡ 㣫 å, « £ ¥¬®¥ à §¢¥àâªã ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ã⢥ठ¥â, çâ® ªà¨¢¨§ë ¢á¥å ¢¥àè¨ ¥ ®âà¨æ ⥫ìë . ¥âਪã, ª®â®àãî ¬®® § ¤ âì ¯®á।á⢮¬ à §¢¥à⪨, ¬ë §ë¢ ¥¬ ¬®£®£à ®© ¬¥âਪ®©, ¥á«¨ ªà¨¢¨§ë ¢á¥å ¢¥àè¨ > 0, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® íâ® | ¬¥âਪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë (¨áª«îç ï á«ãç ©, ª®£¤ ¢®¢á¥ ¥â ¢¥àè¨ á ªà¨¢¨§®© 6= 0; íâ®â á«ãç © § ¢¥¤®¬® ¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ ¤«ï à §¢¥à⮪, £®¬¥®¬®àäëå áä¥à¥). ä®à¬ã«¨à®¢ ãî ¢ëè¥ â¥®à¥¬ã ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬®® ¢ëà §¨âì ⥯¥àì â ª: 1∗∗ . «ï ¢á类© ¬®£®£à ®© ¬¥âਪ¨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë, § ¤ 15)
®© áä¥à¥, áãé¥áâ¢ã¥â ॠ«¨§ãî騩 íâã ¬¥âਪ㠧 ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨-
¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. (⢥थ¨¥, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ॠ«¨§ã¥â ¬¥âਪã ρR , § ¤ ãî S , ®§ ç ¥â, çâ® P ¤®¯ã᪠¥â ¨§®¬¥âà¨ç®¥ ¢ á¬ëá«¥ ¬¥âਪ¨ ρR ®â®¡à ¥¨¥ S .) í⮩ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¥â ¨ª ª®© ¬®£®§ ç®áâ¨: ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥£® ¬¥âਪ á¢ï§ ë ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, ¥á«¨ ¥ à §«¨ç âì à ¢ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ 1∗∗ ¤ ¥â ®â¢¥â ¢®¯à®á, ¯®áâ ¢«¥ë© ¢ ç «¥ í⮣® ¯ãªâ . ãâà¥ïï ¬¥âਪ ¨ ¥áâì â® ýᮤ¥à 饥áï ¢ à §¢¥à⪥þ, çâ® ®¤®§ ç® á¢ï§ ® á ¬®£®£à ¨ª®¬. 5. ⢥थ¨¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, § ª«î祮¥ ¢ ⥮६¥ 1∗ , ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ § 3 £« ¢ë III ¢ á«¥¤ãî饩 ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ᨫ쮩 ä®à¬¥. 2.
᫨ § ¤ ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¤à㣮©, â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ç áâ®áâ¨, à¥çì ¬®¥â, ª®¥ç®,
15) ¡à â®, ¥á«¨ áä¥à¥ S § ¤ ¬¥âਪ ρ â ª ï, çâ® ª ¤ ï â®çª áä¥àë S ¨¬¥-
¥â ®ªà¥áâ®áâì, ¨§®¬¥âà¨çãî ¬®£®£à ®¬ã 㣫ã, ¨ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ª ¤ë¬¨ ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ X ¨ Y ¢ ¬¥âਪ¥ ρ à ¢® â®ç®© ¨¥© £à ¨æ¥ ¤«¨ ªà¨¢ëå, ᮥ¤¨ïîé¨å â®çª¨ X ¨ Y , ¯à¨ç¥¬ ¤«¨ ¨§¬¥àï¥âáï ¢ á ¬®© ¬¥âਪ¥ ρ, â® â ªãî ¬¥âਪ㠬®® § ¤ âì ¯®á।á⢮¬ à §¢¥à⪨. ®áâ â®ç® ®ªàã¨âì ª ¤ãî â®çªã O ®ªà¥áâ®áâìî ¨§ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ á ¢¥à訮© O ¨ ¢ë¡à âì ª®¥ç®¥ ç¨á«® â ª¨å ®ªà¥áâ®á⥩, ¯®ªàë¢ îé¨å ¢áî áä¥àã S. Ǒ®«ãç¥ë¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨ ¤ ¤ãâ ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨ïå ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ª®â®àë¥ ®¡à §ãîâ âॡ㥬ãî à §¢¥àâªã.
102
. .
¨¤â¨ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª ᥡï . â® ¥áâì ¥ª®â®à®¥ ãᨫ¥¨¥ 㥠㯮¬¨ ¢è¥©áï ¢ § 1 â¥®à¥¬ë ®è¨: ¤¢ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª , ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¥ ¨§ à ¢ëå £à ¥©, à ¢ë. ®ª § ⥫ìá⢮ 襩 ⥮६ë ᢮¤¨âáï ª ⥮६¥ ®è¨ á ⥬ ®¡®¡é¥¨¥¬, çâ® à¥çì ¬®¥â ¨¤â¨ ¨ ¥ ®¡ ¨áâ¨ëå £à ïå, ® «î¡ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å, ¨§ ª®â®àëå ¬®£®£à ¨ª á®áâ ¢«ï¥âáï, å®âï ¡ë ¥ª®â®àë¥ ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï«¨ ᮡ®© ¥ æ¥«ë¥ £à ¨, ⮫쪮 ¨å ç áâ¨. â® ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ®è¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ª ª ¯àאַ¥ á«¥¤á⢨¥ â ª®© ⥮६ë: 3.
᫨ ¤¢ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë ¨§ ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¬¨ 㣫 ¬¨, â® ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë. ¨â ⥫ì, § ª®¬ë© á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ®è¨, á ¬ § ¬¥â¨â, çâ® ¨¬¥® â ªãî ⥮६㠤®ª § «, å®âï ¨ ¥ áä®à¬ã«¨à®¢ «, á ¬ . ®è¨ á ⥬ «¨èì ®£à ¨ç¥¨¥¬, çâ® ã ¥£® à¥çì ¨¤¥â ¨¬¥® ® £à ïå ¬®£®£à ¨ª . ¥®à¥¬ 3 ¨¬¥¥â á ¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á, ¯®â®¬ã çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ á à ¢ë¬¨ ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¤ «¥ª¨ ®â ¨§®¬¥âà¨ç®áâ¨; ¯à®á⮩ ¯à¨¬¥à ⮬㠤 î⠢ᥠ¯àאַ㣮«ìë¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ë . ¥®à¥¬ã áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬ë ¤®ª §ë¢ ¥¬ ¢ § 1{3 £« ¢ë IV, ®¯¨à ïáì, ¢ ç áâ®áâ¨, ⥮६ã 2. 6. §¢¥à⪠¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¯®¬¨¬® ®¡é¨å ¤«ï ¢á¥å à §¢¥à⮪ ãá«®¢¨©, 㪠§ ëå ¢ ¯◦ 1, ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥é¥ ¤¢ã¬ ãá«®¢¨ï¬: 1) à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨; 2) á㬬 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥, 6 2π ¤«ï ª ¤®© ¢¥àè¨ë. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï ïá ¨§ ⮣®, çâ® ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®áâ¨. â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¯® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥, ¯® ª ª®© ®® ¥®¡å®¤¨¬® ¢ á«ãç ¥ à §¢¥à⪨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª .
᫨ ª ¡¥áª®¥çë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ¯à¨á®¥¤¨¨âì â ª¥ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â® ¬®® ã⢥ठâì á«¥¤ãî饥: 16)
17)
16)
§ 5 £«. III ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® â® ¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¥ ⮫쪮 ¤«ï § ¬ªãâëå, ® ¨ ¤«ï «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯®«®© ªà¨¢¨§®©, à ¢®©, â ª ¥ ª ª ã § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª , 4π. ¯à¨¬¥à, ᪮«ì 㣮¤® ⮪¨© ¢ë१ ¨§ ¯®¢¥àå®á⨠ªã¡ , ᮤ¥à 騩 ¢á¥ ¢¥àè¨ë ªã¡ , ¥ ¨§£¨¡ ¥âáï á á®åà ¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®áâ¨! 17) . ⮪¥à [354℄ ¯à¥¤¯®« £ ¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ¨ ®¡à ⮣® ã⢥थ¨ï: ¤«ï ª®¬¡¨ â®à® ®¤¨ ª®¢ëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§ à ¢¥á⢠ᮮ⢥âá⢥ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ ᮮ⢥âá⢥ëå ¯«®áª¨å 㣫®¢. â® ¤®ª § ® ¤«ï ç áâëå á«ãç ¥¢ [56, 144, 301℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. II:
§ 3.
103
4. § ¢á类© à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 ¯«®áª®á⨠¨ ¨¬¥î饩 á㬬ë 㣫®¢ 2π, ¬®® ᪫¥¨âì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª . á«®¢¨¥ £®¬¥®¬®àä®á⨠¯«®áª®áâ¨ à ¢®á¨«ì® ¤¢ã¬ ãá«®¢¨ï¬, ª®â®àë¥ ¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¯à®¢¥àïîâáï ᮢᥬ ¯à®áâ®: 1 ) à §¢¥à⪠ᮤ¥à¨â å®âï ¡ë ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª; 1¡) ¥á«¨ f , k, e | ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨, â® f − k + e = 1. ¢®á¨«ì®áâì íâ¨å ãá«®¢¨© ⮬ã, çâ® à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨, ¡ë« ¤®ª § ¢ § 7 £« ¢ë I (⥮६ 9). ¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ®¤®§ ç®, ª ª ¢¨¤® 㥠¯à¨¬¥à¥ ¬®£®£à ®£® 㣫 , ª®â®àë© ¢á¥£¤ ¬®® ¨§£¨¡ âì, ¥ ¬¥ïï ¥£® £à ¥©, ¥á«¨ ¨å ¡®«¥¥ âà¥å.
¤¨áâ¢¥ë© á«ãç ©, ª®£¤ â ª ï ®¤®§ ç®áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ᮤ¥à¨âáï ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: 5.
᫨ ¯®« ï ªà¨¢¨§ , â. ¥. á㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ à ¢ 2π, â® ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì ⮫쪮 ®¤¨ (á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï) ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. «¨: ¥á«¨ ªà¨¢¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª à ¢ 2π , â® ¢á类¥ ¥£® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¢ë¯ãª«ë© ¥ ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î. Ǒ®« ï ªà¨¢¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¢®®¡é¥ ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2π. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯®«®© ªà¨¢¨§®© < 2𠨬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ⥮६ : 6. Ǒãáâì R | à §¢¥à⪠, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¨ ¨¬¥îé ï ¯®«ãî ªà¨¢¨§ã ω < 2π . à §¢¥à⪥ R § ¤ ¥âáï ¯à¨ ¢¥àè¨ å 6
18)
L | ¯®«ã¯àï¬ ï ®¤®¬ ¨§ ¥¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®V | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ªà¨¢¨§®© ω ¨ á ¤ ®© ®à¨¥â 樥©, â. ¥. ¤ ë¬ ®¡å®¤®¬ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë, a Ll | ª ª 﫨¡® ¥£® ®¡à §ãîé ï. ãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P , ᪫¥¥ë© ¨§ à §¢¥à⪨ R, ¨¬¥î騩 V ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¨ ¯à¨â®¬ â ª, çâ® ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ P ¢ V «¨¨ï P , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï L, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ L1 , ®à¨¥â æ¨ï P , ®¯à¥¤¥«¥ ï ®à¨¥â 樥© à §¢¥à⪨ R, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤ ãî ®à¨¥â æ¨î 㣫 V . ª®© ¬®£®£à ¨ª P | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á , ¥á«¨ 㣮« V § ªà¥¯«¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ § ®à¨¥â æ¨ï.
Ǒãáâì
㣮«ì¨ª®¢. Ǒãáâì
(®ª § ⥫ìá⢮ á¬. ¢ 5 £« ¢ë IV.)
.
18) ï§ëª¥ ¬¥âਪ¨ íâã ⥮६㠬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ¢áïª ï ¯®« ï ¬®£®£à ï ¬¥âਪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë, § ¤ ï ¯«®áª®áâ¨, ॠ«¨§ã¥¬ ¡¥áª®¥çë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, â. ¥. ¤®¯ã᪠¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¢«®¥¨¥ ¢ âà¥å¬¥à®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ ¢ ¢¨¤¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒਠí⮬ ¯®«®© §ë¢ ¥âáï ¬¥âਪ , ¢ ª®â®à®© ¢á类¥ ®£à ¨ç¥®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ¨¬¥¥â â®çªã á£ã饨ï. âã â¥®à¥¬ã ¬ë ¤®ª ¥¬ ¢ § 4 £«. IV.
104
. .
«ï ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª §¤¥áì ã®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª § ¤ ¨î à §¢¥à⪨ R ¯à¨á®¥¤¨¨âì § ¤ ¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V , ᮮ⢥âá⢥ëå ¯®«ã¯àï¬ëå L ¨ L R ¨ V , â ª¥ ᮮ⢥âá⢥ëå ®à¨¥â 権 R ¨ V . Ǒ¥à¥¬¥ ®à¨¥â 樨 ¯à¨ ¤ ®¬ V ¥ ¬®¥â ¡ëâì ®áãé¥á⢫¥ ¯à®áâë¬ ®âà ¥¨¥¬, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ®âà ¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« â ª¥ ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â ®âà ¥¨¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áâ ®¢¨âáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ®â«¨çë¬ ®â § ¤ ®£® 㣫 V .
᫨ ®áâ ¢«ïâì R, V , L ¥¨§¬¥ë¬¨ ¨ ¢à é âì L ¯® 㣫ã V , â® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ª ª ¡ë ®¡®à 稢 âìáï ¢®ªà㣠㣫 V , ¯à¨ç¥¬ áâ஥¨¥ ¥£® ¡ã¤¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬¥ïâìáï. ®ç® â ª ¥ ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¨§¬¥¥¨¨ 㣫 V ¬®£®£à ¨ª P ⮥ ¡ã¤¥â ¨§£¨¡ âìáï. ¢¥á⢮ ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ R ¨ 㣫 V ¥®¡å®¤¨¬®, ¯®â®¬ã çâ®, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â ⥮६ 3 § 5 £« ¢ë I, ªà¨¢¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª à ¢ ªà¨¢¨§¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ¥®à¥¬ë 5 ¨ 6 ¯à¨ ¤«¥ â . Ǒ. «®¢ï¨è¨ª®¢ã [156℄. ¥®à¥¬ã 5 ¨ ã⢥थ¨¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, § ª«îç î饥áï ¢ ⥮६¥ 6, ¬ë ¤®ª ¥¬ ¢ £« ¢¥ III (§ 3, 4). ¬ ¥ (§ 2) ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, «®£¨ç ï ⥮६¥ 3. 7.
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ®¤¨ ª®¢® á®1
1
áâ ¢«¥ëå ¨§ «î¡ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¬¨ 㣫 ¬¨, ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë à ¢ë, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª¥
à ¢ë. (
᫨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ®¤®£® ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ©, â® ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¨è¥¥, â ª ª ª ⮣¤ ¨§ ®¤®£® à ¢¥á⢠ᮮ⢥âá⢥ëå 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢.) ª®¥æ, ¬ë ãáâ ¢«¨¢ ¥¬ «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ëå ª ¤ë© ®¤®© «®¬ ®©. í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠ã⢥थ¨© ⥮६ 2 ¨ 3 ¤®áâ â®ç® «®¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ £à ¨æë ¬®£®£à ¨ª®¢: ã£«ë ¬¥¤ã ᬥ묨 £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤®«ë ¡ëâì ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë (á¬. § 5 £« ¢ë III). ¤ ª® ¨ª ª¨å íä䥪⨢ëå ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨©, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥©, ¬ë ¥ § ¥¬. ਢ¨ «ì®¥ ãá«®¢¨¥, çâ® à §¢¥àâªã ¬®® ¤®¯®«¨âì ¤® à §¢¥à⪨ § ¬ªã⮣® (¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£®) ¬®£®£à ¨ª , ¥ íä䥪⨢®. ¤ ª® ®® ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¯®§¢®«ï¥â ä®à¬ã«¨à®¢ âì «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥¬ë¥ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 १ã«ìâ âë ¡ã¤ãâ ¯®«ãç¥ë ¢ § 1 £« ¢ë V. ®¯à®á ® ⮬, ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© (¬¥âਪ®©) ¨ ª®£¤ ® ¤®¯ã᪠¥â (¯à¨ á®åà ¥¨¨ ¢ë¯ãª«®áâ¨) ¨§£¨¡ ¨ï (â.¥. ¥¯à¥àë¢ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 á á®åà ¥¨¥¬ ¬¥âਪ¨ ¨ á®åà ¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª ), à áᬠâਢ ¥âáï ¢ § 5 £« ¢ë III ¨ ¢ § 2
. II:
§ 4.
Ǒ
105
£« ¢ë V. ¤¥áì ¯®«ãç ¥âáï àï¤ ¨â¥à¥áëå १ã«ìâ ⮢, ® ¨áç¥à¯ë¢ î饣® à¥è¥¨ï í⮣® ¢®¯à®á ¬ë â ª¥ ¥ ¨¬¥¥¬ . 19)
§ 4. ®£®£à ¨ª¨ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥© (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ VI, VII ¨ VIII)
¯à ¢«¥¨¥ £à ¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª § ¤ ¥âáï ¢¥è¥© ®à¬ «ìî ª ¥©. ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì £à ¨ ¨ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ì묨 ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¯ à ««¥«ìë ¨å ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ . ¥âਢ¨ «ì®áâì § ¤ ç, ª á îé¨åáï ¬®£®£à ¨ª®¢ á § ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥©, ¢ëïáï¥âáï, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, ¨§ ⮣®, çâ® í⨠¯à ¢«¥¨ï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¢®¢á¥ ¥é¥ ¥ ®¯à¥¤¥«ïîâ áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª , ª ª íâ® ¢¨¤® ¯à®á⮬ ¯à¨¬¥à¥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨§®¡à ¥ëå à¨á. 65. ¯à¨¬¥¥¨¨ ¥ ª ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¤ «ìè¥ â¥®à¥¬ë «¨¡® ¯à®áâ® âਢ¨ «ìë, ª ª, ¯à¨¬¥à, è ®á®¢ ï ⥮६ 8, «¨¡® ¤®ª §ë¢ îâáï ᮢᥬ ¯à®áâ®; ¥ª®â®à®¥ ¨áª«î票¥ á®áâ ¢«ïîâ ⥮६ë 10 ¨ 11, ª®â®àë¥ ¨ ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¤®ª §ë¢ îâáï ¥ ®ç¥ì ã ¯à®áâ®. § 1{3 £« ¢ë VI ¬ë ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: 8.
᫨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë1.
20)
¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ¤®© £à ¨ ®¤®£® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ -
à ««¥«ì ï £à ì ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®, ¨ ¥á«¨ ¨å ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨ ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®¬¥é¥ë ®¤ ¢ ¤à㣮© ¯ à ««¥«ì-
(
묨 ¯¥à¥®á ¬¨ â. ¥. ®¨ «¨¡® ¢ëáâ㯠îâ ®¤ ¨§ ¤à㣮©,
¨á. 65 ) ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. ®® ¤ ¥ áç¨â âì, çâ® ¥á«¨ ®¤®¬ ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥â £à ¨ á ⮩ ¥ ¢¥è¥© ®à¬ «ìî, çâ® ¨ ¤à㣮¬, â® ® ª ª ¡ë ¥áâì, ® ¢ëத ¥âáï ¢ ॡà®, «¥ 饥 ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨. «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ , â® ¬®£®£à -
19) ¥¯¥àì íä䥪⨢® ¯à®¢¥àï¥¬ë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ®¤®© ¨«¨ ¥áª®«ìª¨¬¨ ª®¬¯®¥â ¬¨ ªà ï ¨§¢¥áâë. ¨ ¯®«ãç¥ë . . ®à®¬ [224, 227℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 20) ¤¥áì ¨ ¤ «¥¥, £®¢®àï ® ⮬, çâ® ¢¥ªâ®àë ¯ à ««¥«ìë, ¢á直© à § ¯®¨¬ ¥¬ ¯®¤ í⨬ ¨ â®, çâ® ®¨ ®¤¨ ª®¢® ¯à ¢«¥ë. ( í⮬ á¬ëá«¥, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ëத¨«áï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® ¥£® ¤¢¥ £à ¨ ¥ áç¨â îâáï ¯ à ««¥«ì묨: ã ¨å ¯à®â¨¢®¯®«®® ¯à ¢«¥ë ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .)
106
. .
⮠ॡ஠¤®«® ⮣¤ ¥ 㬥é âìáï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ ¤à㣮£® ¬®£®£à ¨ª . âã ¥ ⥮६㠬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¢ â ª®© ä®à¬¥: ¢ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª «¨¡® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à á-
¯®«®¥ë, «¨¡® ®¤®¬ ¨§ ¨å ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ â ª ï £à ì
(
Q,
çâ®
)
¢â®à®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ í«¥¬¥â ¥£® £à ¨æë £à ì, ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ , «¥ 騩 ¢ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®©
Q,
¬®® ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£®
Q, ¯à¨ç¥¬ ® ¥ ¡ã¤¥â ᮢ¯ ¤ âì á Q. áâë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ⥮६ë 8 ï¥âáï 㥠㯮¬¨ ¢è ïáï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¨ª®¢áª®£®: 9.
᫨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ £à ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë ¨ ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ¯«®é ¤¨, â® ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. 묨 á«®¢ ¬¨, § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ ᢮¨å £à ¥©. ¥©á⢨⥫ì®, à ¢®¢¥«¨ª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ®¤¨ ¢ ¤à㣮¬ (¥á«¨ ®¨ ¥ à ¢ë), ¨ ¯®â®¬ã íâ ⥮६ ᮤ¥à¨âáï ¢ ⥮६¥ 8. ª®£® த á«¥¤á⢨© ⥮६ë 8 ¬®® §¢ âì ᪮«ìª® 㣮¤®. ª, äãªæ¨î f (Q) ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¬®®â®®©, ¥á«¨ f (Q ) < f (Q ) ¢á直© à §, ª®£¤ Q ᮤ¥à¨âáï ¢ Q ¨ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á Q . ®£¤ , ¥á«¨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ £à ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë ¨ ¤«ï ª ¤®© ¯ àë ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© Qi ¨ Qi ¥áâì â ª ï ¬®®â® ï äãªæ¨ï fi , çâ® fi (Qi ) = fi (Qi ), â® ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. ¥©á⢨⥫ì®, ¢á«¥¤á⢨¥ ¬®®â®®á⨠äãªæ¨© fi ¨§ à ¢¥á⢠fi(Qi ) = fi(Qi ) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ Qi , Qi ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ®¤ã ¢ ¤à㣮©, ¯®â®¬ã à ¢¥á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 8. ¥àï § ¢á¥ fi ¯«®é ¤ì, ¯®«ãç ¥¬ ⥮६ã 9, ¡¥àï § ¢á¥ fi ¯¥à¨¬¥âà, ¯®«ãç ¥¬ ⥮६㠮¡ ®¤®§ 箩 ®¯à¥¤¥«ï¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯¥à¨¬¥âà ¬¨ £à ¥© ¨ â.¤., ¨ â.¤. ¥®à¥¬ 8 ¤®¯ã᪠¥â ¯à¨«®¥¨ï ¢ à¥è¥¨¨ ¥ª®â®àëå, å®âï ¨ ¡®«¥¥ ç áâëå, ® ¢ ëå § ¤ ç, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¢ £« ¢¥ VIII. ª, á ¯®¬®éìî ¥¥ ¡ã¤¥â ¤®ª § ⥮६ ¨¤¥«¥ä [312℄ . 10. ।¨ ¢á¥å § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥© ¨ ¤ ®© ¯«®é ¤ìî, ¨¡®«ì訩 ®¡ê¥¬ ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¬®£®£à ¨ª, ®¯¨á ë© ¢®ªà㣠è à . â ⥮६ ¯®«ãç¨âáï ª ª ç á⮥ á«¥¤á⢨¥ ®¤®© â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£®, ¨¬¥î饩 ¡®«ì让 á ¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á. ¥çì ¨¤¥â ® â ª §ë¢ ¥¬®¬ ᬥ襨¨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¨ ®¡ ¨å ᬥè ëå ®¡ê¥¬ å (á¬. § 2 £« ¢ë ¯¥à¥®á ¯®¬¥áâ¨âì ¢ £à ¨
1
2
1
2
2
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
21)
21) à㣮¥ ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ « . ¨ª®¢áª¨© ¢ ⮩ ¥ à ¡®â¥ [321℄, £¤¥ ® ¤®ª § « ⥮६ë 9 ¨ 11.
. II:
§ 4.
Ǒ
107
VI ¨ § 2 ¨ 3 £« ¢ë VII). à㣮¥ ¯à¨«®¥¨¥ ⥮६ë 8 ª á ¥âáï 室¥¨ï ¢á¥å ¢®§¬®ëå ¯ à ««¥«®í¤à®¢, â.¥. (⥫¥áëå) ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ª®â®à묨 ¬®® § ¯®«ïâì ¯à®áâà á⢮, ¯à¨ª« ¤ë¢ ï ¨å ¤à㣠ª ¤àã£ã ¯ à ««¥«ì® ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬, ¯®¤®¡® ï祩ª ¬ ¯ç¥«¨ëå á®â (á¬. § 1 £« ¢ë VIII). 2. . ¨ª®¢áª¨© ¤®ª § « ¥ ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®áâì, ® ¨ áãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. 11.
᫨ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë n , . . . , nm ¨ ç¨á« F , . . . , Fn 㤮¢«¥â¢®àï1
1
îâ ãá«®¢¨ï¬:
1) ¢¥ªâ®àë n , . . . , nm ¢á¥ à §«¨çë ¨ ¥ ª®¬¯« àë; 2) ¢á¥ ç¨á« Fi > 0; m 3) P ni Fi = 0, 1
i=1
â® áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£®
ni
¨
Fi
áãâì
. âã â¥®à¥¬ã ¬ë ¤®ª ¥¬ ¢ § 1 £« ¢ë VII ¬¥â®¤®¬, ®á®¢ ë¬ ý«¥¬¬¥ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨þ; ¢ § 2 £« ¢ë VII ¬ë ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥¬ â ª¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ á ¬®£® . ¨ª®¢áª®£®. ¨ª ª¨¥ ¤à㣨¥ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬¥ 11, ¥¨§¢¥áâë. ë, ¯à¨¬¥à, ¨¬¥¥¬ ⥮६㠥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯¥à¨¬¥âà ¬¨ £à ¥©, ® ¥ ¨¬¥¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯® ⮩ ¯à®á⮩ ¯à¨ç¨¥, çâ® ¥¨§¢¥áâë ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¯¥à¨¬¥âàë £à ¥© § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª .
᫨ ¡ë â ª¨¥ ãá«®¢¨ï 㤠«®áì ¢ëïá¨âì, â® è ¬¥â®¤ ¯®§¢®«¨« ¡ë, ¤® ¤ã¬ âì, ¤®ª § âì ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६ã áãé¥á⢮¢ ¨ï. â® § ¬¥ç ¨¥ ®â®á¨âáï ª «î¡ë¬ ¤à㣨¬ ¬®®â®ë¬ äãªæ¨ï¬ £à ¥©. á®, çâ® §¤¥áì ¢á¥£¤ ¤®«ë ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¥ª®â®àë¥ ¥âਢ¨ «ìë¥ ãá«®¢¨ï. ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á m £à ﬨ ¤ ëå ¯à ¢«¥¨© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï m à ááâ®ï¨ï¬¨ ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© ®â ª ª®©-¨¡ã¤ì ¥£® ¢ãâ॥© â®çª¨. ¤ ª® § ¤ ¨¥, ¯à¨¬¥à, m ¯¥à¨¬¥â஢ l , . . . , lm ¥£® £à ¥© ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥£® «¨èì á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á , çâ® ¤ ¥â ¥ m, ¢á¥£® m − 3 ¯¥à¥¬¥ëå, ¯®áª®«ìªã ¯¥à¥®á § ¤ ¥âáï â६ï á®áâ ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¯¥à¥®á . Ǒ®í⮬㠯¥à¨¬¥âàë ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬, ¢ë¤¥«ïî騬 ¢ m-¬¥à®© ®¡« á⨠¯®«®¨â¥«ìëå § 票© l , . . . , lm ¥ª®â®àãî (m − 3)-¬¥àãî ®¡« áâì § 票©, ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢®§¬®ëå ¤«ï ¯¥à¨¬¥â஢ £à ¥©. áï âà㤮áâì á®á⮨⠢ ®âë᪠¨¨ ãá«®¢¨©, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å íâã ®¡« áâì § 票© l , . . . , lm , ¤®¯ãá⨬ëå ¤«ï ¯¥à¨¬¥â஢ £à ¥©. ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ¨ ¯«®é ¤¨ ¥£® £à ¥©
1
1
1
108
. .
3. á«®¢¨¥ à ¢¥á⢠§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¤ ®¥ ¢ ⥮६¥ 8, ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¨å ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬; ®® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢ë¯®«¥®, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë, ¯®â®¬ã çâ® «î¡®© ¨§ ¤¢ãå à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ëå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ ¤à㣮¬, ª ª íâ® ¢¨¤® à¨á. 66. ॡ®¢ âì ¥ ¢ë¯®«¥¨ï í⮣® ãá«®¢¨ï ¤«ï ®¤¨å ª®¥çëå £à ¥©  ¥¤®áâ â®ç®, ª ª íâ® ¢¨¤® ¨§ ¯à®á⥩襣® ¯à¨¬¥à à¨á. 67. Ǒ®í⮬㠥®¡å®¤¨¬® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥, « £ ¥¬®¥ ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨: ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª ¤®«ë ¨¬¥âì à ¢ë¥ ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ ú¡¥áª®¥çë¥ ç áâ¨û, â.¥. ®â ª ¤®£® ¨§ ¨å ¬®® ®â१ âì (¤®áâ â®ç® ¡®«ìèãî) ª®¥çãî ç áâì â ª, çâ® ®á⠢訥áï ¡¥áª®¥çë¥ ç á⨠¬®® ¡ã¤¥â ᮢ¬¥áâ¨âì ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á .
¨á. 66
¨á. 67
â® ãá«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì®, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ⮬ã, çâ® ¬®® ᮢ¬¥áâ¨âì ®¤¨¬ ®¡é¨¬ ¯¥à¥®á®¬ ¯«®áª®á⨠¢á¥å ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢. ¢®¤ï íâ® ãá«®¢¨¥, ¯®«ãç ¥¬ ⥮६ã, ¤®ª §ë¢ ¥¬ãî ¢ § 4 £« ¢ë VI. 12.
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡¥áª®¥çë¥ ç -
áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ¨ ®¤ã ª®¥çãî £à ì ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢
¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬, â® ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì®
. á«ãç ¥ ª®¥çëå ¥§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬ë ¯®«ã稬 ¢ § 5 £« ¢ë VI «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë, ¢¢®¤ï ¥ª®â®àë¥ ãá«®¢¨ï, « £ ¥¬ë¥ ¨å ªà ©¨¥, â.¥. ¯à¨«¥£ î騥 ª £à ¨æ¥, £à ¨ ¨ £à ¨çë¥ à¥¡à . ¥®à¥¬ã 12 ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å «¥£ª® ¯¥à¥áª § âì ¤«ï ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¥á«¨ ¢á¯®¬¨âì § ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ë¥ ¢ ¯◦ 6 § 1 £« ¢ë I, ® § ¬¥¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ª®¥ç묨, ® ¤®¯ã᪠î騬¨ ¯à®¤®«¥¨¥ ªà ©¨å £à ¥©. í⮩ á¢ï§¨ á⮨⠧ ¬¥â¨âì, ç⮠⥮६ë â ª®£® த ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å, ªà © ª®â®àëå § ¤ , á ¬¨ ®¨ ¯®¤ç¨¥ë ⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ãá«®¢¨ï¬. â® ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ýªà ¥¢ ï § ¤ ç þ, ® ¯®áâ ¢«¥ ï ¢ à ¬ª å í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ. ®à ᯮ«®¥ë
. II:
§ 4.
Ǒ
109
®¡é¥ ¥ ¢ ªà ¥¢ëå § ¤ ç å à¥çì ¨¤¥â ® äãªæ¨¨ (¨«¨, ¥á«¨ 㣮¤®, ¯®¢¥àå®áâ¨), ª®â®à ï § ¤ ¥âáï ªà î ª ª®©-«¨¡® ¤ ®© ®¡« á⨠¨ ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ¢ á ¬®© ®¡« á⨠⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ãá«®¢¨ï¬ | ®¡ëç® âॡ®¢ ¨î 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥ª®â®à®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î. (¢ï§ì è¨å ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª å á â ª¨¬¨ ªà ¥¢ë¬¨ § ¤ ç ¬¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ëïá¨âáï ¡«¨¥ ¢ ¯ à £à ä å ý¡®¡é¥¨¥þ £« ¢ë VI ¨ VII.) 4. § ⥮६ë 12 ® à ¢¥á⢥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬®® ¨§¢«¥çì á«¥¤á⢨¥, «®£¨ç®¥ ⥮६¥ 9 ¨ª®¢áª®£®:
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡¥áª®¥çë¥ ç áâ¨
à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ª®¥çë¥ £à ¨ ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìë ¨ ¨¬¥îâ à ¢-
ë¥ ¯«®é ¤¨, â® ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. «®£¨çë© à¥§ã«ìâ â ¯®«ãç ¥¬, ¡¥àï ¢¬¥áâ® ¯«®é ¤¨ «î¡ë¥ ¬®®â®ë¥ äãªæ¨¨ £à ¥©; ¢ë¢®¤ ¡ã¤¥â â®â ¥, çâ® ¨ ¢ëè¥, ¢ ¯◦ 1. ¬¥á⥠á ⥬, ¯®¤®¡® ⥮६¥ 11 ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©, ¬®® ä®à¬ã«¨à®¢ âì «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. «ï í⮣® ¢ëïᨬ á ç « ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ®à¬ «¨ ¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. ni ¥áª®¥ç ï ç áâì â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¡¥áª®¥çãî ¢ ®¤ã áâ®à®ã ¢ë¯ãª«ãî ¯à¨§¬ã , ¨ ¥áFi «¨ n | ¢¥ªâ®à, ¯à ¢«¥ë© ¢¤®«ì ¥¥ n à¥¡à ¢ áâ®à®ã ª®¥ç®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª , â® ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ª®¥çë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª ¤®«ë ®¡à §®¢ë¢ âì á n ®áâàë¥ ã£«ë (à¨á. 68). F Q Ǒ஥ªæ¨¨ ª®¥çëå £à ¥© ¯«®áª®áâì Q, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ª n, ¯®ªàë¢ îâ á¥ç¥¨¥ ¯à¨§¬ë í⮩ ¯«®áª®áâìî. Π Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ni | ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ¨ Fi ¯«®é ¤¨ ª®¥çëå £à ¥©, a F | ¯«®é ¤ì 㪠§ ®£® á¥ç¥¨ï, â® X ¨á. 68 F = (nni) Fi, i
¯®â®¬ã çâ® (nni) Fi ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯«®é ¤ì ¯à®¥ªæ¨¨ i-© £à ¨ ¯«®áª®áâì Q. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® í⨠ãá«®¢¨ï ïîâáï â ª¥ ¤®áâ â®ç묨 ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¨ ¤ ë-
110
. .
¬¨ ¯«®é ¤ï¬¨ ¨ ®à¬ «ï¬¨ ª®¥çëå £à ¥©. ®à¬ã«¨à㥬 ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६ã, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®â®à®© ¤ ¥âáï ¢ § 3 £« ¢ë VII. 13. Ǒãáâì § ¤ ¡¥áª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ¯à¨§¬ ¨ ¯ãáâì n | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¢¤®«ì ¥¥ ॡà .
Ǒãáâì
¯«®áª®áâìî, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®¡à §ãî騥 á
n
n.
F
| ¯«®é ¤ì á¥ç¥¨ï í⮩ ¯à¨§¬ë
Ǒãáâì, ¤ «¥¥,
n1 , . . . , nm | ¥¤¨¨çF 1 , . . . , Fm |
®áâàë¥ ã£«ë. Ǒãáâì, ª®¥æ,
(nni) Fi = F. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî , ª®¥çë¥ £à ¨ ª®â®à®£® ¨¬¥îâ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ni ¨ ¯«®é ¤¨ Fi . ᨫ㠯ਢ¥¤¥®£® ¢ëè¥ á«¥¤á⢨ï ⥮६ë 12 â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¢¤®«ì ¢¥ªâ®à n, ¯®â®¬ã ç⮠⮫쪮 ¯à¨ â ª®¬ ¯¥à¥®á¥ ¯à¨§¬ ¯¥à¥å®¤¨â á ¬ ¢ ᥡï. «ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® £®à §¤® ¡®«¥¥ ®¡é¨© १ã«ìâ â: 14. Ǒãáâì Q | ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ª ª®£®-¨¡ã¤ì ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ (à¨á. 69). Ǒãáâì â ª¨¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , çâ®
S
Pm
i=1
| áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, âïãâë© áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï
£à ¥© ¨§ Q ¨ n1 , . . .
, nm | ¢¥ªâ®àë, ¨¤ã騥 ¨§ æ¥âà ¢® ¢ãâ२¥ â®çª¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª S . Ǒãáâì, ª®¥æ, f1 , . . . , fm | «î¡ë¥ ¬®®â®ë¥ ¥¯à¥àë¢ë¥ äãªæ¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª , ®¡à é î騥áï ¢ ã«ì ¨ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¢¬¥áâ¥ á ¯«®é ¤ìî ¬®£®ã£®«ì¨ª . ®£¤ , ª ª¨¥ ¡ë ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á«
a1 , . . . , am
¨ § ¤ âì, áãé¥áâ¢ã-
Q ¨ ª®¥çn1 , . . . , nm , ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨¨ § 票ï a1 , . . . , am , â ª çâ® fi ai
¥â ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî 묨 £à ﬨ, ¨¬¥î騬¨ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨
f 1 , . . . , fm
¯à¨¨¬ îâ ¤«ï íâ¨å £à ¥©
¤«ï £à ¨ á ®à¬ «ìî
ni
.
=
S n2 nG1 nG2 G1
G2
G3
n1 nG3
G4
Q ¨á. 69
§ á«¥¤á⢨ï ⥮६ë 12, ¯à¨¢¥¤¥®£® ¢ ç «¥ í⮣® ¯ãªâ , ¢ë⥪ ¥â, çâ® â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨á⢥ë©, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ § ªà¥¯«¥®© ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠Q ¯¥à¥®á ¥¢®§¬®¥.
. II:
§ 4.
Ǒ
111
¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨©, «®¥ëå ¢ ⥮६¥ 14 ®à¬ «¨, ¡ë« 㥠®â¬¥ç¥ ¢ § 2. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, âïãâë© áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¥£® ¢¥àè¨ë áãâì ª®æë ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ æ¥âà áä¥àë ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ª £à ï¬ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨, ª®æë ®à¬ «¥© ª £à ï¬ á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ «¥ â ¥£® áâ®à® å. ®æë ¥ ®à¬ «¥© ª ª®¥çë¬ £à ï¬ «¥ â ¢ãâਠí⮣® áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . ¤ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠Q à ¢®á¨«ì® § ¤ ¨î ¯«®áª®á⥩ ¥¥ £à ¥©. ¤ ª® ¥ ¢á直¥ ¯«®áª®á⨠¬®£ãâ á«ã¨âì ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ª ª®£®-«¨¡® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . «ï í⮣®, ᮣ« á® ¨§«®¥®¬ã, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ®à¬ «¨ ª ¨¬, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¨§ æ¥âà áä¥àë, 諨 ¢® ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¨ ¥é¥, ¬®¥â ¡ëâì, áâ®à®ë ¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . ¤ ª® í⮣® ¥é¥ ¥¤®áâ â®ç®: ãë ãá«®¢¨ï à ááâ®ï¨ï íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ®â ç « . ¨ ¡ã¤ãâ ¢ëïá¥ë ¤ «ìè¥ ¢ ¯◦ 7. ¥®à¥¬ 14 ª ¥âáï ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ 㤨¢¨â¥«ì®© ¯® ᢮¥© ®¡é®áâ¨. ¤ ª® á ¬®¬ ¤¥«¥ ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© £®à §¤® ¡®«¥¥ ¯®¢¥àå®áâë© ä ªâ, 祬 ⥮६ë 11 ¨ 13, å®âï ¢ ¨å 䨣ãà¨àã¥â ⮫쪮 ¯«®é ¤ì. â® ¡ã¤¥â ¢¨¤® ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 14, ¯à¥¤«®¥®£® . . Ǒ®£®à¥«®¢ë¬, ª®â®à®¥ ¢®á¯à®¨§¢®¤¨âáï ¢ § 4 £« ¢ë VII. Ǒਠí⮬ ¬ë ¯®«ã稬 ¤ ¥ ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¨© १ã«ìâ â, áï¢ ãá«®¢¨¥, ç⮡ë äãªæ¨¨ fi ®¡à é «¨áì ¢ ã«ì ¢¬¥áâ¥ á ¯«®é ¤ìî. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å £à ¨æã, ¬ ¥¨§¢¥áâë ¨ª ª¨¥ ¯®¤®¡ë¥ ⥮६ë, ¥ áç¨â ï ¤®¢®«ì® âਢ¨ «ìëå á«¥¤á⢨© á ¬¨å ⥮६ 8, 13 ¨ 14. à㤮áâì á®á⮨⠧¤¥áì ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ãá«®¢¨©, ª®â®àë¥ ã® ®¤®¢à¥¬¥® «®¨âì ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¨ £à ¨æã ¬®£®£à ¨ª , â ª ª ª ¬¥¤ã ¨¬¨, ®ç¥¢¨¤®, ¥áâì ¥ª®â®à ï § ¢¨á¨¬®áâì . 5. ᥠä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ ¢ëè¥ â¥®à¥¬ë 9{14 ¤®á«®¢® ®¡®¡é îâáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, å®âï ¬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢠¤«ï ⥮६ 9, 10 ¨ 12 ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨ í⮬ ¨§¬¥¨âì . ᪫î票¥ á®áâ ¢«ï¥â ⥮६ 8 ®¡ ®¡é¥¬ ãá«®¢¨¨ à ¢¥á⢠§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ®, çâ® ® ¥¢¥à ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ¢¨¤® á«¥¤ãî饬 ¯à®á⮬ ¯à¨¬¥à¥. ªã¡ á ॡ஬ 2 ¨ ¯àאַ㣮«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ (¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥) á à¥¡à ¬¨ 1, 1, 3, 3 £à ¨ ¥ ¯®¬¥é îâáï ®¤ ¢ ¤à㣮©, å®âï í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¨ ¥ à ¢ë. 22)
23)
22) â®â ¢®¯à®á ®áâ ¥âáï ¥à¥è¥ë¬. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 23) ª®¥ ®¡é¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ 9 ¨ 10 ¤ ® . ¨ª®¢áª¨¬
¨ ¨§« £ ¥âáï ¢ § 3 £«. VIII. ¡é¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 12 ¤ ® . . Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ ¨ ¨§« £ ¥âáï ¢ § 5 £«. VII.
112
. .
6. ¬ªãâë© ¨«¨ ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥©: ® ï¥âáï £à ¨æ¥© ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå í⨬¨ ¯«®áª®áâﬨ.
᫨ § ¤ ë ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë ni ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ª £à ï¬, â® ¯«®áª®á⨠£à ¥© ®¯à¥¤¥«ïîâáï, ¥á«¨ § ¤ ë ¥é¥ ¨å à ááâ®ï¨ï ®â ç « ª®®à¤¨ â, ¯à¨ç¥¬ í⨠à ááâ®ï¨ï áç¨â îâáï ¯®«®¨â¥«ì묨, ¥á«¨ ¯à ¢«¥¨¥ ®â ç « ª ¯«®áª®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢¥è¥© ®à¬ «¨, ¢ ¯à®â¨¢®¬ ¥ á«ãç ¥ ®¨ áç¨â îâáï ®âà¨æ ⥫ì묨. â ª¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ® § ª å í⨠à ááâ®ï¨ï ¬ë §ë¢ ¥¬ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . ¯®à®¥ ç¨á«® hi ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯à ¢ ï ç áâì ¢ ®à¬ «ì®¬ ãà ¢¥¨¨ ¯«®áª®á⨠£à ¨ ni x = hi , £¤¥ ni | ¥¤¨¨ç ï ¢¥èïï ®à¬ «ì, x | ¢¥ªâ®à, ¨¤ã騩 ¨§ ç « ¢ ¯¥à¥¬¥ãî â®çªã ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®«ã¯à®áâà á⢮, ᮤ¥à 饥 ¬®£®£à ¨ª, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮¬ 24)
ni x 6 hi
( ¥ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬, ¯®â®¬ã çâ® ®à¬ «ì ni | ¢¥èïï, â.¥. ¨¤¥â ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¥ ᮤ¥à 饥 ¬®£®£à ¨ª ). ¬ ¬®£®£à ¨ª ¥áâì £à ¨æ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà áâ¢. ¯®àë¥ ç¨á« ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì묨. Ǒãáâì ¢¥ªâ®àë ¢¥è¨å ®à¬ «¥© áãâì n , . . . , nm , ®¯®àë¥ ç¨á« h , . . . , hm . Ǒãáâì ¢¥ªâ®à nk ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¤àã£¨å ¢¥ªâ®à®¢ ni á ¥®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: X nk = νki ni (νki > 0). (1) 1
1
i6=k
᫨ x | ¢¥ªâ®à, ¨¤ã騩 ¨§ ç « ¢® ¢ãâà¥îî â®çªã X k-© £à ¨, â® nk x = hk . (2) ¬¥á⥠á ⥬ â ª ª ª â®çª X ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®£®£à ¨ªã ¨ ¥ «¥¨â ¨ ®¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩ ¤àã£¨å £à ¥©, â® ¯à¨ i 6= k ni x < hi .
24) ¨â ⥫ì, § ª®¬ë© á ⥮ਥ© ¢ë¯ãª«ëå ⥫, § ¬¥â¨â, çâ® ®¯®àë¥ ç¨á« áãâì ¥
çâ® ¨®¥, ª ª § ç¥¨ï ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¤«ï ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ª ¥£® £à ï¬. å § ¤ ¨¥ § ¬¥ï¥â § ¤ ¨¥ ®¯®à®© äãªæ¨¨. âáî¤ ¨å §¢ ¨¥. . ¨ª®¢áª¨© ¢ ᢮¥© à ¡®â¥ [321℄ §ë¢ ¥â ¨å â £¥æ¨ «ì묨 ¯ à ¬¥âà ¬¨. Ǒ®ï⨥ ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¢¢¥¤¥® . ¨ª®¢áª¨¬.
. II:
§ 4.
Ǒ
113
¬® ï í⨠¥à ¢¥á⢠ç¨á« νki > 0, ¯®«ã稬 X
¨«¨ ¢ ᨫã (1) ¨ (2)
νki ni x
X
0
i6=k
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, £à ¨ ª®â®à®£® ¨¬¥îâ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨
n1 , . . . , nm
¨ ᮮ⢥âá⢥® ®¯®àë¥ ç¨á«
h 1 , . . . , hm .
114
. .
᫨ ¢¥ªâ®àë
ni
¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® íâ®â ¬®£®-
. (Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ᮤ¥à¨â ®£à ¨ç¨¢ îéãî ¥£® ¯«®áª®áâì.) £à ¨ª | ¡¥áª®¥çë©. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ® § ¬ªãâë© 25)
®áâ â®ç® âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï ⮫쪮 â¥å ¥à ¢¥á⢠¤«ï ç¨á¥«
ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ à §«®¥¨ï¬ ª ¤®£® ¢¥ªâ®à
nk
hk ,
no â६ ¤à㣨¬
. Ǒ®á«¥¤¥¥ § ¬¥ç ¨¥ áãé¥á⢥® ¯® á«¥¤ãî饩 ¯à¨ç¨¥.
᫨ ¢¥ªâ®à nk ¤®¯ã᪠¥â à §«®¥¨¥ ¯® ç¥âë६ ¨«¨ ¡®«¥¥ ¤ ë¬ ¢¥ªâ®à ¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 (®âà¨æ ⥫ì묨) ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â® ® ¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® â ª¨å à §«®¥¨©. §«®¥¨¥ ¥ ¯® â६ ¢¥ªâ®à ¬ ¢®®¡é¥ ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ®¤®. Ǒ®í⮬㠯®á«¥¤¥¥ § ¬¥ç ¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ®£à ¨ç¨âìáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¥à ¢¥á⢠¤«ï ç¨á¥« hk ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¤¥« ¥â ãá«®¢¨ï ⥮६ë íä䥪⨢® ¯à®¢¥à塞묨. ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 15 ¬®¥â ¯®ª § âìáï ¯à®áâë¬: ý®§ì¬¥¬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni x 6 hi; ®® ¨ ¤ á⠨᪮¬ë© ¬®£®£à ¨ªþ. ¤ ª® íâ® § ª«î票¥ ᫨誮¬ ¯®á¯¥è®, ¯®â®¬ã çâ® ¥é¥ ¥ ¨§¢¥áâ®, ¥ ¡ã¤¥â «¨ â ª®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯ãáâë¬ . í⮬ ¨ á®á⮨⠯¥à¢ ï âà㤮áâì ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 15. 7. § ⥮६ë 15 «¥£ª® ¢ë¢¥á⨠ãá«®¢¨¥, ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç®¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë¥ ¯«®áª®á⨠¡ë«¨ ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ª ª®£®-«¨¡® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . 16. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯«®áª®á⨠P , . . . , Pm á ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm ¡ë«¨ ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ª ª®£®-«¨¡® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª (á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm ), ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë, ¢®¯¥à¢ëå, ®à¬ «¨ n , . . . , nm 諨 ¢ ¢¥àè¨ë ¨, ¡ëâì ¬®¥â, ¥é¥ ¢ â®çª¨ áâ®à® å ¥ª®â®à®£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ( ¨¬¥® ⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ª ª®© ¤®«® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢á¥£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¡¥áª®¥ç묨 £à ﬨ), ¨, ¢®-¢â®àëå, çâ®¡ë ®¯®àë¥ ç¨á« h , . . . , hm ¯«®áª®á⥩ P , . . . , Pm 㤮¢«¥â¢®à﫨 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 15. ¢¥ªâ®à ¬
ni
26)
1
1
1
1
1
1
§ ¡ëâë ¥à ¢¥á⢠¤«ï , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à §«®¥¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢ nk á ¥¯®«®¨â¥«ì묨 νki . ¤¨å ¥à ¢¥áâ¢ á ¥®âà¨æ ⥫ì묨 νki ¥¤®áâ â®ç®, ª ª ¢¨¤® ¨§ á«¥¤ãî饣® ¯à®á⮣® ¯à¨¬¥à . ®§ì¬¥¬ ¢¥ªâ®àë n1 , n2 , n3 , n4 ¢¥è¨å ®à¬ «¥© ª £à ï¬ ¯à ¢¨«ì®£® â¥âà í¤à . ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ à §« £ ¥âáï ¯® ¤à㣨¬ ¨ ç¥, ª ª á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨ï hk á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ νki ®â¯ ¤ îâ, ¨, ®â¡à áë¢ ï ãá«®¢¨ï á ®âà¨æ ⥫ì묨 νki , ¬ë ¥ ¯®«ã稬 ¨ª ª¨å ãá«®¢¨©. ¥¤ã ⥬ «¥£ª® ¯¥à¥¤¢¨ãâì ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¯à ¢¨«ì®£® â¥âà í¤à â ª, çâ®¡ë ®¨ ¥ ®£à ¨ç¨¢ «¨ ¨ª ª®£® ¬®£®£à ¨ª á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨. 26) â®â ¢®¯à®á áãé¥á⢥ ¥ ⮫쪮 ¢ £¥®¬¥âਨ. á®áâ ¢«ï¥â ¢ ë© íâ ¯ ¢ à¥è¥¨¨ ¬®£¨å § ¤ ç «¨¥©®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï. ¡®«¥¥ ¤¥â «ì®© ¯®áâ ®¢ª¥ ¬ë ¢¥à¥¬áï ª í⮬㠢®¯à®áã ¢ § 5 £«. VII. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . hk
25) ¬®¥© à ¡®â¥ [10℄ íâ ⥮६ áä®à¬ã«¨à®¢ ¥¢¥à®:
. II:
§ 4.
Ǒ
115
¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨© ¬ 㥠¨§¢¥áâ . ¨ â ª¥ ¤®áâ â®çë. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ ᨫã ⥮६ë 15 ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨ï ¥¥ ãá«®¢¨© áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª á ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ hi. ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥çë©, â ª ª ª ®à¬ «¨ ni ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¨ ¢á¥ ¥£® £à ¨ ¡ã¤ãâ ¡¥áª®¥ç묨, ¯®â®¬ã çâ® ®à¬ «ì ª ª®¥ç®© £à ¨ è« ¡ë ¢ãâàì áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , âïã⮣® ª®æë ®à¬ «¥© ª ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬, ¬¥¤ã ⥬ ¯® ãá«®¢¨î ¢á¥ ®à¬ «¨ ni «¥ â £à ¨æ¥ â ª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª .
᫨ ¢¥ªâ®àë ni ¨¤ãâ ª £à ¨æ¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, «¥ â ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 , â®, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ à §« £ ¥âáï ¯® ¤à㣨¬ á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒ®í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 15 ¯à®áâ® ®â¯ ¤ ¥â. ®â ä ªâ, çâ® ¢¥ªâ®à n à §« £ ¥âáï ¯® â६ ¢¥ªâ®à ¬ n , n , n á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ®§ ç ¥â, çâ® ® ¨¤¥â ¢ãâਠâà¥å£à ®£® 㣫 á à¥¡à ¬¨ n , n , n . Ǒ®í⮬ã, ª®£¤ ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ni à ᯮ«®¥ë ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 , â® ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ ¬®¥â à §« £ âìáï ¯® â६ (¨ ¡®«¥¥) ¤à㣨¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. áâ ¥âáï ®¤ ¢®§¬®®áâì, çâ® ¢¥ªâ®à nk «¥¨â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨ á ¤¢ã¬ï ¤à㣨¬¨ ni, nj , ¨ ¨¤¥â ¢ 㣫¥ ¬¥¤ã ¨¬¨. ®£¤ ® ¨ à §« £ ¥âáï ¯® ¨¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® ª®¥æ ¢¥ªâ®à nk «¥¨â ¢ãâਠáâ®à®ë áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , âïã⮩ ª®æë à áᬠâਢ ¥¬ëå âà¥å ¢¥ªâ®à®¢. ª®© ¢¥ªâ®à, ª ª ¬ë § ¥¬, ï¥âáï ®à¬ «ìî ª ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ãá«®¢¨ï ⥮६ë 15 ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ªà ©¥ ã¯à®é îâáï ¨ ¯®¤«¥ ⠯஢¥àª¥ «¨èì ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢, ¨¤ãé¨å ¢ãâàì áâ®à® áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª .
᫨ ¥ â ª¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¢®¢á¥ ¥â, â® ¨ª ª¨å à §«®¥¨©, 䨣ãà¨àãîé¨å ¢ ⥮६¥ 15, ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ni ¡ëâì ¥ ¬®¥â ¨ ¯®â®¬ã ¨ ãá«®¢¨© ¨ª ª¨å ¥â, â. ¥. «î¡ë¥ ¯«®áª®á⨠á â ª¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni ¡ã¤ãâ ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¥ª®â®à®£® ¬®£®£à ¨ª . á®¡ë© á«ãç © ¯®«ãç ¥âáï, ª®£¤ ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ni ª®¬¯« àë, â ª çâ® âïãâë© ¨å ª®æë áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«ãáä¥à®©. ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã á«ãç î, ª®£¤ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª ï¥âáï ¯à¨§¬®©. ¤¥áì ãá«®¢¨ï ç¨á« hi ¤®«ë ãç¨âë¢ âìáï ¯®«®áâìî. ® hi ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¯®«ãç î饣®áï ¢ á¥ç¥¨¨ ¯à¨§¬ë. ®£¤ ¢ ⥮६¥ 15 ¤®áâ â®ç® ¡à âì à §«®¥¨ï ¯® ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬. ¥®à¥¬ë 15 ¨ 16 ®¡®¡é îâáï ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© n á ⥬ «¨èì ¨§¬¥¥¨¥¬, çâ® ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ã® ¡à âì à §«®¥¨ï ¯® n ¢¥ªâ®à ¬. 1
1
2
3
2
3
116
. .
§ 5. ®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ë IX)
®§ì¬¥¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ª ªãî-«¨¡® â®çªã O ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ¥¥ «ãç¨ , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ íâ¨å «ãç å; ¯® ãá«®¢¨î â®çª O ¤®« «¥ âì ¢ãâਠ⠪®£® ¬®£®£à ¨ª . ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ: ¯à¨¬¥à, ¬®£®£à ¨ª, ¢¯¨á ë© ¢ è à á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ O. Ǒãáâì r , . . . , rm | à ááâ®ï¨ï ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ®â â®çª¨ O. ¨á« ri ¥ ¯à®¨§¢®«ìë, çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë: 17. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« r , . . . , rm ¡ë«¨ à ááâ®ï¨ï¬¨ 1.
l1 , . . . , lm
1
1
¤® ¢¥àè¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª «ãç å l1 , . . . ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥: ®â
O
᫨ ei ®¡®§ ç îâ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë ¢¤®«ì «ã祩 li ¨ ek
, lm ,
= P νkiei ¥áâì
à §«®¥¨¥ «î¡®£® ¨§ ¢¥ªâ®à®¢
ek
no ¤à㣨¬ ¢¥ªâ®à ¬ á ¥®âà¨æ ⥫ì묨
ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â®
1
0, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ ⥮६¥ 15 ¤®¯ã᪠îâáï hi < 0. 2. Ǒ®áâ ¢¨¬ á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á. Ǒãáâì l , . . . , lm | «ãç¨ ¨§ â®çª¨ O , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. ª®¢ë ãá«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë¥ ç¨á« ω , . . . , ωm ¡ë«¨ ªà¨¢¨§ ¬¨ (¯«®é ¤ï¬¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨©) ¢¥àè¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , «¥ é¨å ᮮ⢥âá⢥® «ãç å l , . . . , lm ? (Ǒ।¯®« £ ஢
1
1
1
. II:
§ 5.
117
¥âáï, çâ® ¤àã£¨å ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ ¨¬¥¥â.) ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨ï¬¨, çâ® ¥£® ¢¥àè¨ë «¥ â ¤ ëå «ãç å ¨ ¨¬¥îâ ¤ ë¥ ªà¨¢¨§ë? ⢥⠯¥à¢ë© ¢®¯à®á ¤ ¥âáï á«¥¤ãî饩 ⥮६®©: 18. Ǒãáâì ¨§ â®çª¨ O ¨á室ïâ «ãç¨ l , . . . , lm , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒãáâì i1 ,... ,i | ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥1
k
¨ï ⥫¥á®£® 㣫 , ïî饣®áï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩
li1 , . . . , lik .
«ï ⮣® ç⮡ë ç¨á«
ω 1 , . . . , ωm
¡ë«¨ ¯«®é ¤ï¬¨ áä¥à¨ç¥-
áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ «ãç å
l1 , . . . , lm , ¥®¡å®¤¨¬ë ¢á¥ ωi > ; m P ωi π;
¨ ¤®áâ â®çë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
1) 0 =4 2) i 3) ¤«ï ª ¤®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 li1 , . . . , li =1
X
ωjp >
k
i1 ,... ,i , k
£¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ «ãç ¬ ljp , ¥ ¯®¯ ¢è¨¬ ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 li1 , . . . , lik .
áᬠâਢ îâáï, ª®¥ç®, ⮫쪮 â ª¨¥ ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 li1 , . . . , li , ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®â®àëå ¥ ¥áâì ¢á¥ ¯à®áâà á⢮: ¨ ç¥ ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¨è¥® á¬ëá« . ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨© 1 ¨ 2 ®ç¥¢¨¤ : ãá«®¢¨¥ 2 ®§ ç ¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¯®ªàë¢ ¥â ¢áî áä¥àã. ®ª P ¥¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì âà¥â쥣® ãá«®¢¨ï. Ǒãáâì P | § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ «ãç å l , . . . , lm . ¥à¥¬ «ãç¨ li1 , . . . , li ¨ ¯ãáâì V | ¨å ¢ëli ¯ãª« ï ®¡®«®çª , ¯à¨ç¥¬ V ¥ ¯à®áâ¨à ¥âáï ¢á¥ ¯à®áâà á⢮. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ª®¥ç®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩, ¨á室ï- li V é¨å ¨§ ®¤®© â®çª¨ O, ¥áâì ⥫¥áë© ¢ëli ¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¢¥à訮© O. Ǒãáâì «ãç¨ lj1 , . . . , lj , ᮮ⢥âá⢥¨á. 70 ® ¨ ¢¥àè¨ë Aj1 , . . . , Aj ®ª §ë¢ îâáï ¢¥ V . Ǒ«®áª®áâì, ®¯®à ï ª V , ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨ ¯ à ««¥«ì®¬ ¤¢¨¥¨¨ ®â â®çª¨ O ® áâ ®¢¨âáï ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ®¯®à®© ¢ ¥ª®â®à®© ¢¥à訥, ¥ ¯®¯ ¢è¥© ¢ V . ( à¨á. 70 ¨§®¡à ¥ «®£¨ç ï ª à⨠¢ á«ãç ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª .) «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢áïª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ª V ¨¬¥¥â ¯ à ««¥«ìãî ¥© ®¯®àãî ¯«®áª®áâì ª P ¢ ®¤®© ¨§ k
1
k
3
1
2
l
l
118
. .
¢¥àè¨ Aj1 , . . . , Aj . ஬¥ ⮣®, ¢ íâ¨å ¢¥àè¨ å ¨¬¥îâáï ¨ ¤à㣨¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à¨¬¥à ¯«®áª®á⨠£à ¥©, ¥ ¯¥à¥á¥ª îé¨å V . Ǒ®í⮬ã áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ 㣫 V ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¢¥àè¨ Aj1 , . . . , Aj ¨ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨¬. âáî¤ ¨ á«¥¤ã¥â ¥à ¢¥á⢮ l
l
l X
i1 ,... ,i . ®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨© ⥮६ë 18 ¡ã¤¥â ¤®ª § ¢ § 1 £« ¢ë IX, â.¥. ¬ë ¤®ª ¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® «¥ â ¤ ëå «ãç å ¨ ¨¬¥îâ ¤ ë¥ ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨©. Ǒਠ¯®«®¨â¥«ì®© £®¬®â¥â¨¨ (¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯®¤®¡¨ï) á æ¥â஬ ¢ O ¢¥àè¨ë ®áâ îâáï â¥å ¥ «ãç å ¨ ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬¥ïîâáï. à㣨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥¢®§¬®ë, â. ¥. ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «ãç ¬¨ li, ª®â®àëå «¥ â ¥£® ¢¥àè¨ë, ¨ ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ωi ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á æ¥â஬ ¢ ®¡é¥¬ ç «¥ «ã祩. â® ¢ë⥪ ¥â ¨§ á«¥¤ãî饩 ®¡é¥© ⥮६ë: 19.
᫨ ¢¥àè¨ë ª®¥çëå ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ «¥ â ωjp >
k
p=1
®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ¢ãâ॥© â®çª¨
O íâ¨å ¬®£®£à -
¨ª®¢, â® «¨¡® í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¯®«®¨â¥«ì® £®¬®â¥â¨çë á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¢ â®çª¥
O,
«¨¡® ã ¨å ¥áâì â ª ï ¯ à ¢¥àè¨, «¥ é¨å ®¤®¬
«ãç¥, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ®¤®© ¨§ ¨å ᮤ¥à¨âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬
.
᫨ ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© à ¢ë, â® ¢â®à ï ¢®§¬®®áâì ¨áª«îç¥ , ¨ ¬®£®£à ¨ª¨ ¤®«ë ¡ëâì ¯®¤®¡ë. ¬¥áâ® ¯«®é ¤¨ ¬®® ¢§ïâì «î¡ãî ¬®®â®ãî äãªæ¨î áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª (¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, ¬®£®£à ®£® 㣫 ). ®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ 19 ®ç¥ì ¯à®áâ®. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨¬¥îâ ¢¥àè¨ë ®¡é¨å «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ¨å ®¡é¥© ¢ãâ॥© â®çª¨ O. ®¬¥¬ P ¯®¤®¡® ª â®çª¥ O â ª, çâ®¡ë ® ®ª § «áï ¢ãâਠP . ä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¯à¨ í⮬ ¥ ¨§¬¥ïâáï. 㤥¬ ⥯¥àì 㢥«¨ç¨¢ âì ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤®¡® ¨§ â®çª¨ O. ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ® ª®á¥âáï ¬®£®£à ¨ª P ¢ ª ª®©-¨¡ã¤ì â®çª¥.
᫨ íâ â®çª ¥ ¥áâì ¢¥àè¨ , â® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ª á îâáï ¯® £à ¨ ¨«¨ ¯® ॡàã (¯¥à¥á¥ª âìáï ®¨ ¥ ¬®£ãâ, â ª ª ª P ¢á¥ ¥é¥ ¥ ¢ë室¨â ¨§ P ). â ª ª ª ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P «¥ â ®¡é¨å «ãç å, â® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ã ¨å ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ ®¡é ï ¢¥àè¨ , ¯à¨ ¤«¥ é ï £à ¨ ¨«¨ ॡàã, ¯® ª®â®àë¬ ®¨ ª á îâáï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¬®¬¥â ª á ¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ª ª¨¥-â® ¨å ¢¥àè¨ë A ¨ A ᮢ¯ ¤ îâ. ® â ª ª ª P «¥¨â ¢ P , â® ¬®£®£à ë© ã£®« V ¯à¨ A § ª«îç¥ ¢ ¬®£®£à ®¬ 㣫¥ V ¯à¨ A . Ǒ®í⮬㠯«®áª®áâì, ®¯®à ï ª V , ¡ã¤¥â ¨§®¡à ¥¨¨ ¤à㣮©, ¥ ᮢ¯ ¤ ï á ¨¬
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
. II:
§ 5.
119
®¯®à®© â ª¥ ª V , â.¥. áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë A ᮤ¥à¨â áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë A .
᫨ ¯«®é ¤¨ ¢á¥å áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¯® ãá«®¢¨î à ¢ë, â®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨ A ¨ A ᮢ¯ ¤ îâ. ¥¬ á ¬ë¬ á®¢¯ ¤ îâ â ª¥ 㣫ë V ¨ V , â. ¥. à¥¡à ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P , á室ï騥áï ¢ ¨å ®¡é¥© ¢¥à訥 A = A , «¥£ îâ ¤à㣠¤à㣠. ª ª ª ¢á¥ ¨å ¢¥àè¨ë «¥ â ®¡é¨å «ãç å, â® ª®æë «¥£ îé¨å ॡ¥à â ª¥ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒਬ¥ïï ª ¨¬ â® ¥ à áá㤥¨¥ ¨ â.¤., ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ᮢ¯ ¤ îâ, â ª çâ® ¤® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®¨ ¡ë«¨ ¯®¤®¡ë á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¢ O, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 3. ¥¯¥àì ®¡à ⨬áï ª ¡¥áª®¥çë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬, ¯à¨ç¥¬ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ⥫¥áë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. ®® ¡ë«® ¡ë à áᬠâਢ âì ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ â®çª¨ O, ® ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå ¯ à ««¥«ìëå «ãç å, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ O. ¯à®ç¥¬, १ã«ìâ âë, ª®â®àë¥ ¬ë ¯®«ã稬, ¥âà㤮 ¯¥à¥¤¥« âì á«ãç © ¥ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ O. ® âॡ®¢ ¨¥, ç⮡ë â®çª O «¥ « ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª , ᢮¤¨âáï ¤«ï ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ ª ⮬ã, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯ à ««¥«ì ï ¤ ë¬ «ãç ¬, «¨¡® ¢®¢á¥ ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª, «¨¡® ¨¬¥¥â á ¨¬ ®¡éãî ¯®«ã¯àï¬ãî. ¤ ¨¥ ¯ à ««¥«ìëå «ã祩, ª®â®àëå ¤®«ë «¥ âì ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª , íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î ¯«®áª®á⨠T , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª í⨬ «ãç ¬, ¨ ¯à®¥ªæ¨© A , . . . , Am ¢¥àè¨ íâã ¯«®áª®áâì. ®£®£à ¨ª ¤®«¥ ¡ëâì à ᯮ«®¥ â ª, çâ®¡ë ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª ¯«®áª®á⨠T , «¨¡® ¢®¢á¥ ¥£® ¥ ¯¥à¥á¥ª « , «¨¡® ¨¬¥« á ¨¬ ®¡éãî ¯®«ã¯àï¬ãî. ®£¤ ¯à®¥ªæ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâì T «¨¡® ¯®ªàë¢ ¥â ¥¥ ¢áî ®¤¨ à §, «¨¡® ¯®ªàë¢ ¥â ¥© ¥ª®â®àë© ¢ë¯ãª«ë©, ª®¥çë© ¨«¨ ¡¥áª®¥çë©, ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¯à¨ç¥¬ ¢ãâ८áâì í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯®ªàë¢ ¥âáï ®¤¨ à §, ¥£® áâ®à®ë ïîâáï ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ £à ¥©, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ª ¯«®áª®á⨠T . ª ª ª ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ ®¤¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨, ¥é¥ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬, â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå § ¤ ¨ïå ¡ã¤¥â 䨣ãà¨à®¢ âì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«, ª®â®àë© ¬ë áç¨â ¥¬ §¤¥áì ⥫¥áë¬ ã£«®¬. ( ª 㥠㪠§ë¢ «®áì, ® ¬®¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¢ëத âìáï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî ¨«¨ ¯«®áª¨© 㣮«.) Ǒ।¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¥£® ¢¥àè¨ á®¢¯ ¤ ¥â á ¢¥à訮© O ¬®£®£à ¨ª , ¯à®¥ªâ¨àãî饩áï ¢ ¤ ãî â®çªã A . Ǒ।¥«ìë© ã£®« à ᯮ« £ ¥âáï ¯® ®â®è¥¨î ª ¯«®áª®á⨠T â ª ¥, ª ª á ¬ ¬®£®£à ¨ª: ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª T , «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¥£®, 2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
120
. .
«¨¡® ¨¬¥¥â á ¨¬ ®¡éãî ¯®«ã¯àï¬ãî. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì ¯àï¬ ï L ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯«®áª®á⨠T ¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª ¢¥àè¨ O ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®£®£à ¨ªã, â® ¯à¨ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª ª ¢¥à訥 O ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì ′ ¬®£®£à ¨ª¨ P , ᮤ¥à 騥áï ¢ P ¨ ᮤ¥à 騥 㣮« V ; ¢ ¯à¥¤¥«¥ ®¨ ¡ã¤ãâ á室¨âìáï ª V . ª ª ª ¯àï¬ ï L ¯¥à¥á¥ª ¥â V , â® ® ¯¥à¥á¥ª ¥â P ′ ¨ ¨¬¥¥â á ¨¬¨ ®¡éãî ¯®«ã¯àï¬ãî. ( ç¥, ¨ ¢á¥ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ 㢥«¨ç¨¢ ï P ′ ¤® P ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯¥à¥¬¥é ï ¯àï¬ãî L, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë ¯àï¬ãî L , ª®â®à ï ¯¥à¥á¥ª ¥â P ¥ ¯® ¯®«ã¯àאַ©, ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î, «®¥®¬ã à ᯮ«®¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P .) Ǒ।¥« ¥ íâ¨å ¯®«ã¯àï¬ëå ¡ã¤¥â ¯®«ã¯àאַ©, ®¡é¥© ã 㣫 V ¨ ¯àאַ© L. «¥¥, ãá«®¢¨ï, «®¥ë¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠T , ¡ã¤ã⠯।¯®« £ âìáï ¢ë¯®«¥ë¬¨. ä®à¬ã«¨à㥬 ⥯¥àì ⥮६ã, «®£¨çãî ⥮६¥ 18: 20. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠T § ¤ ë â®çª¨ A , . . . , Am ¨ í⨬ â®çª ¬ Ai 1
1
1
1
®â¥á¥ë ç¨á«
ω 1 , . . . , ωm .
«ï ⮣® ç⮡ë í⨠ç¨á« ¡ë«¨ ¯«®é ¤ï¬¨
áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¢¥àè¨ ¢ â®çª å
A1 , . . . , Am ,
¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë á«¥-
¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
1) ¢á¥ ωi > 0 ¨ < 2π; m 2) P ωi 6 2π. i ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤ ; ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢â®à®£® ¡ë« ◦ ¤®ª § ¢ ¯ 3 § 5 £« ¢ë I: áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¨âáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥â ¯«®é ¤ì 6 2π. â¥à¥á ⥮६ë 20 ¢ ⮬, çâ® ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ ®ª §ë¢ îâáï ¥¯®¤ç¨¥ë¬¨ ¨ª ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, ªà®¬¥ íâ¨å âਢ¨ «ìëå. Ǒਠ¯ à ««¥«ì®¬ ¯¥à¥®á¥ ¬®£®£à ¨ª ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®á⨠T , ¯à®¥ªæ¨¨ ¥£® ¢¥àè¨ ¨ ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨. ¤ ª®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬®£®£à ¨ª ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï í⨬¨ ¤ 묨 ®¤®§ ç®, á â®ç®áâìî ¤® â ª®£® ¯¥à¥®á , çâ® ¢¨¤® ¨§ ⥮६ë: 21. ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ¤ ëå A , . . . , Am ¨ =1
1
ω 1 , . . . , ωm
¡ã¤¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® â ª®£® ¯¥à¥®á ⮣¤ ¨
⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
m P
ωi
= 2π, â. ¥. ª®£¤ ¯«®é ¤ì ¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡-
2π . ¯ 3 § 5 £« ¢ë I ¤®ª § ®, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ᮢ¯ ¤ ¥â á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬ã m P ¯à¨ ωi = 2π ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ© ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,
à ¥¨ï à ¢ ◦
i=1
i=1
§ 5.
. II:
121
®¯à¥¤¥«¥ § à ¥¥.
᫨ ¥ ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª , § ç¨â, ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 < 2π, â® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®¥â ¥é¥ ¬¥ïâìáï. â® ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 ®¡é¥© ⥮६¥, ¢ª«îç î饩 ⥮६ë 20 ¨ 21: 22. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠T § ¤ ë â®çª¨ A , . . . , Am ¨m¨¬ ®â¥á¥ë â ª¨¥ P ç¨á« ω , . . . , ωm , çâ® 1) 0 < ωi < 2π ¯à¨ ¢á¥å i, 2) ωi 6 2π . Ǒãáâì, 1
1
¤ «¥¥,
V
i=1
| ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¯«®é ¤ìî áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡-
à ¥¨ï, à ¢®©
m P
i=1
ωi ,
ªã«ïà ï ª ¯«®áª®á⨠¯®«ã¯àï¬ãî
27)
à ᯮ«®¥ë© â ª, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨-
T,
«¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¥£®, «¨¡® ¨¬¥¥â á ¨¬ ®¡éãî
. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª,
1) â®çª¨ Ai áãâì ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥àè¨, 2) ç¨á« ωi áãâì ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥àè¨ ¨ 3) 㣮« V ¥áâì ¥£®
¤«ï ª®â®à®£®
¯à¥¤¥«ìë© ã£®«.
ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨á⢥ë©, á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¢ ¯à ¢-
T. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 22 ¤ ¥âáï ¢ § 2 £« ¢ë IX. ⢥थ¨¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, § ª«î祮¥ ¢ í⮩ ⥮६¥, ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ®¡é¥© ⥮६ë, «®£¨ç®© ⥮६¥ 19 ¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®© áâ®«ì ¥ ¯à®áâ® (á¬. § 2 £« ¢ë IX). «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© â ª ¥ ¯®«ãç îâáï «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®áâ¨. 4.
᫨ § ¤ ë ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¨ ¯à®¥ªæ¨¨ A , . . . , Am ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâì T , â® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¬®£®£à ¨ª ¡ë« ®¯à¥¤¥«¥, ®áâ ¥âáï § ¤ âì ¢ëá®âë p , . . . , pm ¢¥àè¨ ¤ ¯«®áª®áâìî T , ¯à¨ç¥¬ ®¨ áç¨â îâáï ¯®«®¨â¥«ì묨 ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â T ¨ ®âà¨æ ⥫ì묨 ¯® ¤àã£ãî áâ®à®ã. á«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à¨ ¤ ëå ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥ V ¨ ¯à®¥ªæ¨ïå A , . . . , Am ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ç¨á« p , . . . , pm ¡ë«¨ ¡ë ¢ëá®â ¬¨ ¢¥àè¨, ä®à¬ã«¨àãîâáï ¥áª®«ìª® £à®¬®§¤ª®, ¨ ¬ë ¨å ¥ ¡ã¤¥¬ §¤¥áì ¯à¨¢®¤¨âì. ¤ ª® ®¨ «¥£ª® ¢ë¢®¤ïâáï ¨§ ⮣® ä ªâ , çâ® â®çª Bk á ¢ëá®â®© pk ¤ Ak ¡ã¤¥â ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¨ ¤àã£¨å ¢¥àè¨ Bi. 5. ᥠ⥮६ë, áä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥, ¢¬¥áâ¥ á ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠¬¨ ¤®á«®¢® ®¡®¡é îâáï ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©: ã® «¨èì ¢áî¤ã ¢¬¥áâ® 4𠨫¨ 2π ¡à âì ᮮ⢥âá⢥® ¯«®é ¤ì ¢á¥© áä¥àë ¨«¨ ¯®«ãáä¥àë à ¤¨ãá ¥¤¨¨æ ¢ â ª®¬ ¯à®áâà á⢥. ç áâ®áâ¨, ¢á¥ ®¨ ¢¥àë ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á § ¬¥®© 4π ¨ 2π 2π ¨ π ᮮ⢥âá⢥®. ¥®à¥¬ë 20, 21 «¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®áâ¨
1
1
1
1
27) V
¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã¯àאַ© ¨«¨ ¯«®áª¨¬ 㣫®¬.
122
. .
¨ 22 ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¤®ª §ë¢ îâáï ᮢ¥à襮 ¯à®áâ®. Ǒ।¥«ìë© ã£®« § ¤ ¥â ¯à ¢«¥¨ï ¡¥áª®¥çëå áâ®à® ¨ ¯®â®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ª áâநâáï ¥¯®á।á⢥®, ¥á«¨ § ¤ ë 㣫ë αi ¯à¨ ¥£® ¢¥àè¨ å ¨ ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥àè¨ ¯àï¬ãî T . (®«ì ªà¨¢¨§ ωi ¨£à îâ §¤¥áì, ®ç¥¢¨¤®, ¢¥«¨ç¨ë π − αi .) ¥®à¥¬ 18 ¤«ï ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¤ «¥ª® ¥ â ª ®ç¥¢¨¤ , ¨ ¬ë ¥ § ¥¬ ¨ª ª®£® ¤à㣮£® ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ªà®¬¥ ¯à®á⮣® ¯¥à¥áª § ⮣®, ª®â®à®¥ ¤ ¥âáï ¢ á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª®¢. 6. ¥à¥¬áï, ª®¥æ, ª § ¬¥ç ¨î, ᤥ« ®¬ã ¢ ç «¥ í⮣® ¯ à £à ä ¯® ¯®¢®¤ã ¯®«ïண® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®«ï஥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¥¤¨¨ç®© áä¥àë á æ¥â஬ ¢® ¢ãâ॥© â®çª¥ O ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¥¬ã â ª¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ′. Ǒਠí⮬ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª «ãç ¬, ¨¤ã騬 ¨§′O ç¥à¥§ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ®¡à â®, ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P «¥ â «ãç å, ¨¤ãé¨å ¨§ O, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P . (¬. ¯◦ 4 § 5 £« ¢ë I.) ¥¤ã £à ﬨ ¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ®¡®¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨¬¥¥âáï ¯®« ï ¢§ ¨¬®áâì: ª ¤®© £à ¨ ®¤®£® ®â¢¥ç ¥â ¢¥àè¨ ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®, ¯à¨ç¥¬ ¢¥àè¨ ¬, ¯à¨ ¤«¥ 騬 ¤ ®© £à ¨, ®â¢¥ç îâ £à ¨, á室ï騥áï ¢ ᮮ⢥âá⢥®© ¢¥à訥. ¯à®¥ªâ¨à㥬 ¬®£®£à ¨ª P ¨§ â®çª¨ O áä¥àã E . ä¥à à §®¡ì¥âáï ¢ë¯ãª«ë¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Si′ , ïî騥áï ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ £à ¥© Q′ ¬®£®£à ¨ª P ′′. ¥àè¨ë íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ áãâì ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P (á¬. à¨á. 32 á. 46, £¤¥ ¤«ï ¯à®áâ®âë ¨§®¡à ¥ë ¯®«ïàë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. «ï ¨å ¢¬¥áâ® áä¥àë ã® ¡à âì ¥¤¨¨çãî ®ªàã®áâì á æ¥â஬ O). ãç¨, ¨¤ã騥 ¨§ O ç¥à¥§ ¢¥àè¨ë ª ª®©-«¨¡® £à ¨ Q′i ¬®£®£à ¨ª P ′, ïîâáï ®à¬ «ï¬¨ ª £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , á室ï騬¨áï ¢ ¥£® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訥 Ai . Ǒ®í⮬㠬®£®ã£®«ì¨ª Si ®ª §ë¢ ¥âáï áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬, âïãâë¬ ª®æë ®à¬ «¥© ª £à ï¬, á室ï騬áï ¢ ¢¥à訥 Ai . 묨 á«®¢ ¬¨, íâ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë Ai . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¥ªæ¨ï £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ áä¥àã S ¥áâì áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P . ¢¨¤ã ¯®«®© ¢§ ¨¬®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ¨å ¬®® ¯®¬¥ïâì §¤¥áì ஫ﬨ. Ǒ®«ì§ãïáì í⨬¨ § ¬¥ç ¨ï¬¨, ª ¤®© ⥮६¥ ® ¬®£®£à ¨ª å á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ⥮६㠮 ¬®£®£à ¨ª å á £à ﬨ, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª ⥬ ¥ «ãç ¬. ª, ¯à¨¬¥à, ⥮६ 18 ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: 23. Ǒãáâì ¨§ â®çª¨ O ¨á室ïâ «ãç¨ l , . . . , lm , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒãáâì i1 ,... ,i | ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥1
k
¨ï ⥫¥á®£® 㣫 , ïî饣®áï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩
li1 , . . . , lik .
«ï ⮣® ç⮡ë á।¨ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á
. II:
â®çª®©
O
§ 6.
123
¢ãâਠ¨ á £à ﬨ, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª «ãç ¬ li , áãé¥á⢮ωi , . . . , ωm æ¥âà «ìëå ¯à®¥ªæ¨©
¢ « ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨
¥£® £à ¥© ¥¤¨¨çãî áä¥àã á æ¥â஬
1) ¢á¥ ωi > 0; 2)
O,
¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë
= 4π; 3) ¤«ï ª ¤®© ᮢ®ªã¯P ®á⨠«ã祩 li1 , . . . , li , ¨¤ãé¨å ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ωj > i1 ,... ,i , á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
k
m P
i=1
ωi
k
j
£¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬
j,
ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 «ãç ¬ lj , ¥ ¯®¯ ¢è¨¬ ¢ , lik .
¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 li1 , . . .
¥®à¥¬ 19 ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥: 24.
᫨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å ®¡é¨¥
¢ãâ२¥ â®çª¨, £à ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë, â® «¨¡® ¬®£®£à ë¥ ã£«ë, ¯à®¥ªâ¨àãî騥 ¨å ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ ¨§ ¥ª®â®à®© ®¡é¥© ¢ãâ॥© â®çª¨ ¤®¡¨ï ¢
O,
O,
ᮢ¯ ¤ îâ, â ª çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ ¯®¤®¡ë á æ¥â஬ ¯®-
«¨¡® á।¨ íâ¨å 㣫®¢, ¯à®¥ªâ¨àãîé¨å £à ¨ «î¡®£® ¨§ ¤¢ãå
¬®£®£à ¨ª®¢, ¥áâì å®âï ¡ë ®¤¨, ᮤ¥à 騩 ¢ ᥡ¥ 㣮«, ¯à®¥ªâ¨àãî-
( ). Ǒ®í⮬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤ 묨 ⥮६ë 23 ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡¨ï. ¥®à¥¬ë 23 ¨ 24 ¬®£ãâ ¡ëâì, ª®¥ç®, ¤®ª § ë ¨ ¥¯®á।á⢥®, ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⥮६ ¬ 18 ¨ 19. ¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå ¯ à ««¥«ìëå «ãç å ¥ ¤®¯ã᪠îâ â ª®£® ¯®«ïண® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ¨å æ¥âà O «¥¨â ¡¥áª®¥ç®áâ¨.
᫨ ¥ â®çªã O ¢§ïâì ¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, â® ¨ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯®«ãç âáï ⥮६ë, ¤®¯ã᪠î騥 ¯®«ï஥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ . 騩 ¯ à ««¥«ìãî £à ì ¤à㣮£® ® ¥ ᮢ¯ ¤ î騩 á ¨¬
28)
§ 6. ¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠(¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ X ¨ XI)
1. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¥ª®â®à®© ¤¥ä®à¬ 樨, â. ¥. ¤ ® ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt, § ¢¨áï饥 ®â ¯ à ¬¥âà t, ¯à¨ç¥¬ § 票î t = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨áå®¤ë© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ à ¬¥âà t 㤮¡® ¬ë᫨âì ª ª ¢à¥¬ï, ¢ á¢ï§¨ á 祬 ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ® ¤¢¨¥¨¨ 0
0
28) ¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå ¯ à ««¥«ìëå «ãç å ¬®® § ¤ âì ãà ¢¥¨¥¬ z = f (x, y) ¤ ¯«®áª®áâìî (x, y), ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன í⨬ «ãç ¬. ¬¥áâ® ¯®«ïண® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®â®á¨â¥«ì® áä¥àë ª â ª®¬ã ¬®£®£à ¨ªã ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥ ¤à (â.¥. ¯®«ïà¨â¥â ®â®á¨â¥«ì® í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ). Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥ ¤à áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯«®áª®á⨠z − z0 = p(x − x0 )+ +q(y − y0 ) ¨ ¥¥ â®çª¥ u0 = p, v0 = q, w0 = px0 + qy0 − z0 , â®çªã (x0 , y0 , z0 ) ¨ ¯«®áª®áâì w − w0 = x0 (u − u0 )+ y0 (v − v0 ). Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥ ¤à , ª ª ¨ ¢á¥ ¯®«ïà¨â¥âë, ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¨ ª ¤®© ⥮६¥ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å, § ¤ ëå ãà ¢¥¨¥¬ z = f (x, y), ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥ª®â®à ï ý¤¢®©á⢥ ïþ ¥© ⥮६ ¤«ï ¯®«ïண® ¬®£®£à ¨ª . | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
124
. .
í«¥¬¥â®¢ ¬®£®£à ¨ª , ¢ë§ë¢ î饬 ¥£® ¤¥ä®à¬ æ¨î: ® ¤¢¨¥¨¨ ¢¥àè¨, ¢à 饨¨ £à ¥© ¨ â.¯.
᫨ x ¥áâì ª ª ï-«¨¡® ¢¥«¨ç¨ , ®â®áïé ïáï ª ¬®£®£à ¨ªã, ª ª, ¯à¨¬¥à, ¯«®é ¤ì £à ¨, ¤«¨ à¥¡à ¨dxâ. ¯., â® ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ® ¡ã¤¥â äãªæ¨¥© ¯ à ¬¥âà t. Ǒந§¢®¤ãî dt ¬ë ¡ã¤¥¬ ç áâ® §ë¢ âì ᪮à®áâìî ¨§¬¥¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë x. ¥«¨ç¨ã x ¬ë §ë¢ ¥¬ áâ 樮 ன, ¥á«¨ ç «ì ï ᪮à®áâì ¥¥ ¨§¬¥¥¨ï à ¢ ã«î: dxdt t = 0. Ǒ।¬¥â®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¡ã¤ãâ ¥ ª®¥çë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª®¢, ý ç «ìë¥ ¤¥ä®à¬ 樨þ, â. ¥. ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â. 묨 á«®¢ ¬¨, á ¡ã¤ãâ ¨â¥à¥á®¢ âì ¥ á ¬ë¥ ¨§¬¥¥¨ï â¥å ¨«¨ ¨ëå í«¥¬¥â®¢ ¬®£®£à ¨ª ¨«¨ á¢ï§ ëå á ¨¬ ¢¥«¨ç¨, ⮫쪮 £« ¢ë¥ ç á⨠¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t; ¥ ¯à¨à 饨ï x, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ë dx ¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, ç «ìë¥ dx ᪮à®á⨠dt t . ®£®£à ¨ª P §ë¢ ¥âáï ¥á⪨¬ ¯à¨ â¥å ¨«¨ ¨ëå ãá«®¢¨ïå, ¥á«¨ ¢áïª ï ¥£® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï, ¯®¤ç¨¥ ï í⨬ ãá«®¢¨ï¬, ᢮¤¨âáï ¯® ᢮¨¬ ᪮à®áâï¬ ª ¥£® ¤¢¨¥¨î ª ª ⢥म£® ⥫ (¨«¨ ¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ | ª ¥ª®â®à®¬ã ¤à㣮¬ã § ¢¥¤®¬® âਢ¨ «ì®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨î). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ íâ¨å ãá«®¢¨ïå ¢á¥ í«¥¬¥âë ¬®£®£à ¨ª ®ª §ë¢ îâáï áâ 樮 à묨, ¥á«¨ ⮫쪮 ¨áª«îç¨âì ¥£® ¤¢¨¥¨¥, § ªà¥¯¨¢, ¯à¨¬¥à, ®¤ã ¢¥àè¨ã, ¯à ¢«¥¨¥ ¨á室ï饣® ¨§ ¥¥ à¥¡à ¨ ¯à ¢«¥¨¥ ¯«®áª®á⨠£à ¨, ¯à¨«¥£ î饩 ª í⮬ã ॡàã. ¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠᢮¤ïâáï ª ã⢥थ¨ï¬ â ª®£® ⨯ : ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©, ¥á«¨ ¯à¨ ¥£® ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ª ª®£®-¨¡ã¤ì ¢¨¤ ¥ª®â®àë¥ ¤ ë¥ ®â®áï騥áï ª ¥¬ã ¢¥«¨ç¨ë áâ 樮 àë. ¯à¨¬¥à, ¥é¥ . ®è¨ ¯® áãé¥áâ¢ã ¤®ª § «, å®âï ¨ ¥ ä®à¬ã«¨à®¢ « , â ªãî ⥮६ã : ¥á«¨ ¢á¥ £à ¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¥á⪨¥, â® ¨ á ¬ ® ¥á⪨©. ® ¥áâì ¤®¯ãá⨬, çâ® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® áâ஥¨¥ ¥£® ¥ ¬¥ï¥âáï, ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¤¢¨ãâáï (¯¥à¥®áïâáï ¨ ¯®¢®à 稢 îâáï) á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. ®£¤ , ¥á«¨ £à ¨ ¥á⪨¥, â.¥. ¤«¨ë ॡ¥à ¨ ã£«ë £à ïå áâ 樮 àë, â® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ¯® ᢮¨¬ ᪮à®áâï¬ ª ᪮à®áâï¬ ¥ª®â®à®£® ¥£® ¤¢¨¥¨ï ª ª ⢥म£® 楫®£®. â ⥮६ «®£¨ç ⥮६¥ ®è¨ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ëå ¨§ à ¢ëå £à ¥©. «®£¨ï áâ ®¢¨âáï ®á®¡¥® ïᮩ, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥á⪮á⨠¬®® ¯à¨¤ âì á«¥¤ãîéãî =0
=0
0
29)
29) â ⥮६ ¢¯¥à¢ë¥  ¢ë᪠§ ¨ ¤®ª § . ¥®¬ [270℄.
¥ § ¬¥â¨«, çâ® ¡ãª¢ «ì®¥ ¯®¢â®à¥¨¥ à áá㤥¨© ®è¨, ¯à¨¢¥¤è¨å ¥£® ª ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á à ¢ë¬¨ £à ﬨ, ¤ ¥â â ª¥ ¨ íâã ⥮६㠮 ¥á⪮áâ¨. ¥â®¤ ¥ ᮢ¥à襮 ®â«¨ç¥ ®â ¬¥â®¤ ®è¨. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ « . ¥©«ì [363℄. (
é¥ ®¤® ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥ á¬. ¢ áâ âì¥ . . Ǒ ª [159℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .)
. II:
§ 6.
125
ä®à¬ã: ¬®£®£à ¨ª P | ¥á⪨©, ¥á«¨ ¯à¨ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå ¢á直© ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª Pt à ¢¥ P á â®ç®áâìî ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t. â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® ¯à¥¤ë¤ã饬ã. ¬¥á⥠á ⥬ ®® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠ïîâáï ⥮६ ¬¨ ® à ¢¥á⢥ á â®ç®áâìî ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . â® § ¬¥ç ¨¥ ¢®¤¨â ¬ëá«ì ¨áª âì ¤«ï ª ¤®© â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६㠥á⪮áâ¨. ®¥ç®, â ª®© ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤¨å ⥮६ ª ¤à㣨¬ ¥ ¡ã¤¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, âਢ¨ «ìë¬, ¯®â®¬ã çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå, â¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠áãâì â¥®à¥¬ë ¥ ® â®ç®¬ à ¢¥á⢥, ® ⮫쪮 ® à ¢¥á⢥ á â®ç®áâìî ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¢®-¢â®àëå, ¨å ãá«®¢¨ï á®áâ®ïâ ¥ ¢ â®ç®¬ à ¢¥á⢥ â¥å ¨«¨ ¨ëå í«¥¬¥â®¢ ¬®£®£à ¨ª®¢, ⮫쪮 ¢ ¨å áâ 樮 à®áâ¨, â. ¥. ¢ à ¢¥á⢥ í«¥¬¥â®¢ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ Pt á â®ç®áâìî ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ª ¤®© ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ (¨«¨, çâ® â® ¥, ⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨), ¢ë᪠§ ®© ¢ § 3{5, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «®£¨ç ï ⥮६ ¥á⪮áâ¨ á ¥¡®«ì訬¨ ¨§¬¥¥¨ï¬¨ ãá«®¢¨© ¨«¨ १ã«ìâ â . «ìè¥ ¬ë ä®à¬ã«¨à㥬 ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à®¢ ¥áª®«ìª® ⥮६ ¥á⪮á⨠¨§ ¤®ª §ë¢ ¥¬ëå ¢ £« ¢ å X ¨ XI. 2. ®®â¢¥âá⢥® ⥮६¥ 2 § 4 ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ⥮६ : 25.
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® 0
30)
0
0
¢ãâ२¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨ áâ 樮 àë, â® ¥£® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î. ®à®ç¥, § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®-
. â®â १ã«ìâ â
£à ¨ª á® áâ 樮 ன ¢ãâ॥© ¬¥âਪ®© | ¥á⪨©
¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ¥áª®«ìª® ¨®© ä®à¬¥. 25∗. Ǒãáâì § ¬ªã⮬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P
0
§ ¤ ¥ª®â®à ï
R0 , ¢á¥ ¢¥àè¨ë ª®â®à®© «¥ â ¢ ¢¥àè¨ å ¨«¨ ¬®£®£à ¨ª P0 .
᫨ ¬®£®£à ¨ª P0 ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ®
¥£® à §¢¥àâª
ॡà å ¥¬
¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ®¢ëå ¢¥àè¨, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨
R0 ,
«¥ é¨å ¥£® úáâ àëåû ॡà å, â® à §¢¥à⪠R0 â ª¥ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï 31) , ¨ ¥á«¨ ¯à¨ í⮬ ¤«¨ë ¥¥ ॡ¥à ¨ ã£«ë ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ áâ 樮 àë,
â® ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©, â. ¥.
. ®à®âª®:
᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î
¥£® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥¨§¡¥® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á®
.
áâ 樮 ன à §¢¥à⪮© | ¥á⪨©
30) ® ¥áâì áãé¥áâ¢ãîâ à ¢ë¥ P0
¬®£®£à ¨ª¨ P0t â ª¨¥, çâ® ¬ ªá¨¬ã¬ à ááâ®ï¨© ¨å ¢¥àè¨ ®â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥àè¨ Pt ¯à¨ ¬ «ëå t ¥áâì ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 , 祬 t. 31) ë ¤®ª ¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¥ Pt , ¡«¨§ª®¬ ª P0 , ¢á¥£¤ ¥áâì à §¢¥à⪠, ¡«¨§ª ï ª R0 , ¢á«¥¤á⢨¥ 祣® ¨ ¬®® £®¢®à¨âì ® ¤¥ä®à¬ 樨 à §¢¥à⪨. ¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª P0 ¯®¤ç¨ï¥âáï ¥ª®â®àë¬ ®¡é¨¬ ãá«®¢¨ï¬, ª®â®àë¥ ¬ë §¤¥áì ¥ ä®à¬ã«¨à㥬. ®à®âª®, ®¨ ᢮¤ïâáï ª ⮬ã, çâ® ®¢ëå ¢¥àè¨, ªà®¬¥ ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨, ¥¬ ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï.
126
. .
⥮६ å 25 ¨ 25∗ § à ¥¥ ¥ ¨áª«îç ¥âáï ¨ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨¥ £à ¥© ¨ ॡ¥à, ¨ ¤ ¥ àã襨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª . ¤ ª® ¯®ï¢«¥¨¥ ®¢ëå ¢¥àè¨ ¤®¯ã᪠¥âáï ⮫쪮 ¢ãâਠýáâ àëåþ ॡ¥à.
᫨ â ª¨¥ ý®¢ë¥þ ¢¥àè¨ë ¨¬¥îâáï, â® ¢ ⥮६¥ 25 ¨ ®¨ ãç¨âë¢ îâáï á।¨ ¢á¥å ¢¥àè¨. àã襨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª ¬®¥â ¡ëâì ¢ë§¢ ® ý¯à®« ¬ë¢ ¨¥¬ ¥£® ¢ãâàìþ ¢ ®¢®© ¢¥à訥. ¥®à¥¬ 25∗ ¨«¨ 25 ᮤ¥à¨â ª ª á«¥¤á⢨¥ ¯à¨¢¥¤¥ãî ¢ëè¥ â¥®à¥¬ã ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á ¥á⪨¬¨ £à ﬨ. ® , ª®¥ç®, ¡®«¥¥ ®¡é ï, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ¥© ¤®¯ã᪠¥âáï ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨¥ £à ¥©. ¯à¨¬¥à, ªã¡ á ®¤®© ¢ëã⮩ £à ìî | ¥á⪨©, ¥á«¨ £à ¨ ¥á⪨¥, ® ® ¥¥á⪨©, ¥á«¨ ¤®¯ãáâ¨âì ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨¥ £à ¥© ¯® ¤¨ £® «ï¬. (Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ®ç¥¢¨¤®© ¥á⪮á⨠âà¥å£à ëå 㣫®¢ á® áâ 樮 à묨 ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨; ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ¯à®¢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®.) ⫨ç¨ï ⥮६ë 25∗ ®â â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ à §¢¥à⪠¬¨, ¥ áç¨â ï ®¡é¥£® ®â«¨ç¨ï ¢á类© â¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠®â ⥮६ ® à ¢¥á⢥, á®áâ®ïâ ¢ á«¥¤ãî饬: 1) ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ ¥â ãá«®¢¨ï, çâ® ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨ «¥ â ¢ ¢¥àè¨ å ¨«¨ ॡà å ¬®£®£à ¨ª : ®¨ ¬®£ã⠯ਠ᪫¥¨¢ ¨¨ ¯®¯ ¤ âì ¢ãâàì £à ¥©. ® ¢ ⥮६¥ 25∗ íâ® ®£à ¨ç¥¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬: ¡¥§ ¥£® ® ¥¢¥à , ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ® ¢ § 1 £« ¢ë X. 2) ¥®à¥¬ ® à ¢¥á⢥ ¢¥à ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ëத îé¨åáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ® ⥮६ 25∗ ¤«ï ¨å ¥¢¥à . [
᫨ ¤®¯ãáâ¨âì àã襨¥ ¢ë¯ãª«®áâ¨, â® íâ® âਢ¨ «ì®: á⮨⠫¨èì á«®¬ âì ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯® ¤¨ £® «¨. ® ¨ ¡¥§ àãè¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¬®£®ã£®«ì¨ª (ªà®¬¥ âà¥ã£®«ì¨ª ) | ¥¥á⪨©. ®§ì¬¥¬, ¯à¨¬¥à, ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ª¢ ¤à â ABCD á® áâ®à®®©, à ¢®© a, ¨ ¢ë¤¢¨¥¬ ¢¥àè¨ã D ¨§ ¥£® ¯«®áª®á⨠¢ëá®âã h = vt, £¤¥ v | ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ¢¥àè¨ë D . Ǒ®«ã稬 â¥âà í¤à á ॡ஬ CD = √a + h ≈ a + va2 t . âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ à ááâ®ï¨© ¬¥¤ã ¢¥àè¨ ¬¨ ¡ã¤¥â ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t, â. ¥. í⨠à ááâ®ï¨ï áâ 樮 àë, å®âï ¢¥àè¨ D ¤¢¨¥âáï á ¯®«®¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî. «®£¨çë¥ á®®¡à ¥¨ï ¯à¨¬¥¨¬ë, ª®¥ç®, ª ¬®£®ã£®«ì¨ªã á «î¡ë¬ ç¨á«®¬ áâ®à® > 3.℄ 3) ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¯à¥¤¯®« £ îâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨, ¢ ⥮६¥ ¥ 25 ¨«¨ 25∗ àã襨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 § à ¥¥ ¥ ¨áª«îç ¥âáï: ®® ¬®¥â ¡ëâì ¢ë§¢ ® ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨¥¬ £à ¥© á ¢®§¨ª®¢¥¨¥¬ ®¢ëå ¢¥àè¨ à¥¡à å. (¥®à¥¬ , ®¤ ª®, ã⢥ठ¥â, çâ® ¯à¨ áâ 樮 ன à §¢¥à⪥ íâ® ¤¢¨¥¨¥ â®çª¨ ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ç «ìãî ᪮à®áâì.) í⮬ ®â®è¥¨¨ ⥮६ 25 ®ª §ë¢ ¥âáï ¡®«¥¥ ®¡é¥©, 祬 ⥮६ 2. «®£¨ç® ⥮६¥ 3 § 3 ® à ¢¥á⢥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ⥮६ : 2
2
1 2
2
. II:
§ 6.
127
26.
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® . Ǒਠí⮬ ¯®¤ £à ﬨ ¬®® ¯®¨¬ âì ¥ ¨áâ¨ë¥ £à ¨, «î¡ë¥ ¨å ç áâ¨, ª®â®àë¥ ®¨ à §¡¨¢ îâáï ®â१ª ¬¨, ¥ ¯¥à¥á¥ª î騬¨áï, ®¤ ª®, ¢ãâਠ¨áâ¨ëå £à ¥©. ¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠢ ¤¢¨¥¨¨ ¯«®áª®á⥩ íâ¨å ªã᪮¢ £à ¥©. «ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® â¥®à¥¬ë ¥á⪮áâ¨, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ ® à ¢¥á⢥, ¨§«®¥ë¬ ¢ § 3. å ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¯®«ãç îâáï, £àã¡® £®¢®àï, ¯à®á⮩ ¯®¤áâ ®¢ª®© ¯®ïâ¨ï áâ 樮 à®á⨠¬¥áâ® à ¢¥á⢠. ¨ ¡ã¤ãâ â®ç® áä®à¬ã«¨à®¢ ë ¨ ¤®ª § ë ¢ £« ¢¥ X. 3. ¥®à¥¬ 26 ¤®¯ã᪠¥â ¨â¥à¥áãî ¬¥å ¨ç¥áªãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î. 27. Ǒãáâì ¤ á¨á⥬ áâ¥à¥©, áªà¥¯«¥ëå è à¨à å ¢ ª®æ å ã£«ë ¥£® £à ïå áâ 樮 àë, â® ¨ ¤¢ã£à ë¥ ¥£® 㣫ë áâ 樮 àë
â ª, çâ® ®¨ ®¡à §ãîâ á¨á⥬ã ॡ¥à § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª .
áâ¥àïå â ª®© á¨áâ¥¬ë ¥¢®§¬®ë ¯à泌ï, ¥á«¨ ¨å ¥
¤¥©áâ¢ãîâ ¢¥è¨¥ á¨«ë ¨ ¥á«¨ áâ¥à¨ ¥ ¨§®£ãâë ¨ 室ïâáï ¢ à ¢®-
. Ǒਬ¥à á¨á⥬ë á ¯à泌ﬨ ¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ âà¥å ᯨ祪 ¨ âà¥å १¨®¢ëå ¨â¥© (à¨á. 71). ¯¨çª¨ à ᯮ« £ îâáï ¯® áâ®à® ¬ ¯à ¢¨«ì®£® âà¥ã£®«ì¨ª , १¨®¢ë¥ ¨â¨ ¨¤ãâ ¨§ ¢¥àè¨ ª æ¥âàã âà¥ã£®«ì¨ª . æ¥âॠ®¨ ᮥ¤¨¥ë ¨ âïãâë. Ǒ®í⮬㠢 í⮩ á¨á⥬¥ ¨¬¥îâáï ¯à泌ï, å®âï ® 室¨âáï ¢ à ¢®¢¥á¨¨ ¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ. ¥®à¥¬ 27 ã⢥ठ¥â, çâ® ¤«ï á¨á⥬ë ॡ¥à § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®¨á. 71 £à ¨ª ¯®¤®¡®¥ á®áâ®ï¨¥ à ¢®¢¥á¨ï á ¯à泌ﬨ ¥¢®§¬®®. ¢ï§ì ⥮६ 26 ¨ 27 ¡ã¤¥â ¯®«®áâìî ¢ëïᥠ¢ § 4 £« ¢ë X; â ¬ ¥ ¡ã¤ãâ ãáâ ®¢«¥ë «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï ¥ª®â®àëå ¤à㣨å áâ¥à¥¢ëå á¨á⥬. 4. § 4 ¡ë«¨ 㪠§ ë ®¡é¨¥ â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ. ⨬ ⥮६ ¬ â ª¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮áâ¨. «ï ¨å ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¢¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ áãé¥á⢥® ¬®®â®®© äãªæ¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª . 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® äãªæ¨ï f (Q) ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q áãé¥á⢥® ¬®®â® , ¥á«¨ ¯à¨ ¯ à ««¥«ì®¬ ¤¢¨¥¨¨ «î¡®© ¥£® áâ®à®ë àãã äãªæ¨ï f ¬¥ï¥âáï ᮠ᪮à®áâìî, ¡®«ì襩 ã«ï, â. ¥. ¥á«¨ hi | à ááâ®ï¨¥ ®â ¤ ®© â®çª¨ ¢ãâਠQ ∂f ¤® ¯àאַ©, ᮤ¥à 饩 i-î áâ®à®ã, â® ∂h > 0. Ǒਬ¥à®¬ ¬®£ãâ á«ã¨âì ¯«®é ¤ì ¨ ¯¥à¨¬¥âà ¬®£®ã£®«ì¨ª . ¢¥á¨¨
i
128
. .
ä®à¬ã«¨à㥬 ⥮६㠥á⪮áâ¨, «®£¨çãî ⥮६¥ 8 § 4 ® à ¢¥á⢥ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢: 28.
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© â ª, çâ® ¤«ï ª ¤®© £à ¨ ¥ª®â®à ï (¢®®¡é¥ £®¢®àï, á¢®ï ¤«ï ª ¤®© £à ¨) áãé¥á⢥® ¬®®â® ï ¥¥ äãªæ¨ï áâ 樮 à , â® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¥£® ¯ à ««¥«ì®¬ã ¯¥à¥®áã. ®â«¨ç¨¥ ®â á«¥¤á⢨ï ⥮६ë 8, 㪠§ ®£® ¢ § 4, §¤¥áì äãªæ¨¨ £à ¥© «®¥® ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢥®©, ¥ ¯à®á⮩ ¬®®â®®áâ¨. ¥§ í⮣® ãá«®¢¨ï ⥮६ 28 ¥¢¥à . ¯à¨¬¥à, ¯®«®¨¬ f (Q) = F (Q) − 1 , £¤¥ F (Q) | ¯«®é ¤ì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. â äãªæ¨ï, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¬®®â® ï: ¥á«¨ Q ᮤ¥à¨â Q , â® F (Q ) > F (Q ) ¨ ¯®â®¬ã f (Q ) > > f (Q ). ¤ ª® ¯à¨ F (Q) = 1 ® ¥ áãé¥á⢥® ¬®®â® ï, â ª ª ª ∂f ∂F = 3F (Q)−1 ∂h , â ª çâ® ∂h∂f = 0 ¯à¨ F = 1. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢§ïâì ªã¡ á ∂h ॡ஬ ¥¤¨¨æ ¨ ¢ë¤¢¨£ âì ®¤ã ¨§ ¥£® £à ¥© á ¯à®¨§¢®«ì®© ᪮à®áâìî, â® äãªæ¨ï f ¤«ï ¢á¥å ¥£® £à ¥© ¡ã¤¥â áâ 樮 ன, å®âï ¤¥ä®à¬ æ¨ï  ¥ ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã ¤ ¥ á â®ç®áâìî ⮫쪮 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . «ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª¥ ¨¬¥îâáï â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮áâ¨, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬¥ 28; ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¨å á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¯«®áª®á⨠¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¢®®¡é¥ ¤®«ë ¡ëâì ¥¯®¤¢¨ë (¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ áâ 樮 àë), § â® ãá«®¢¨¥ ® áâ 樮 à®á⨠ª ª¨å-¨¡ã¤ì áãé¥á⢥® ¬®®â®ëå äãªæ¨© « £ ¥âáï ⮫쪮 ª®¥çë¥ £à ¨. â¨ â¥®à¥¬ë ¡ã¤ãâ â®ç® áä®à¬ã«¨à®¢ ë ¨ ¤®ª § ë ¢ £« ¢¥ XI. 5. ¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥, ¨§«®¥ë¥ ¢ § 3 ¨ 4, ¤®ª §ë¢ îâáï, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, á ¯®¬®éìî «¥¬¬ë ®è¨. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ á«ãç ¥ ⥮६ ¥á⪮á⨠¢ ¨å ®¡é¨å ä®à¬ã«¨à®¢ª å, ¢ ª®â®àëå ¬ë ¨å ¤®ª §ë¢ ¥¬, íâ «¥¬¬ ¥¯à¨¬¥¨¬ , ¯®â®¬ã çâ® ®á®¢®¥ ¥¥ ãá«®¢¨¥ ® ¥¢®§¬®®á⨠⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¥«ì§ï ®¡¥á¯¥ç¨âì § à ¥¥. ¯à¨¬¥à, ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¥£® ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®¥â à ¢ïâìáï ¤¢ã¬, ¥á«¨ ⮫쪮 ¨¬¥îâáï ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë, à ¢ë¥ π. â® ª ª à § ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® ¬ë ¤®¯ã᪠¥¬ à §¡¨¥¨¥ ¨á⨮© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ®â¤¥«ìë¥ ç áâ¨. ®§¬®®áâì «¨ç¨ï ⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ «¥£ª® ¬®¥â ¡ëâì ãáâ ®¢«¥ ¯à¨¬¥à å (á¬. § 1 £« ¢ë X). ¤ ª® ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ § ª®¢ ¯®¤ç¨¥® ¥ª®â®à®¬ã ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ã ãá«®¢¨î, ª®â®à®¥ ¢á¥ ¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â १ã«ìâ â «¥¬¬ë ®è¨: ¥¢®§¬®®, çâ®¡ë ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢¥àè¨ë, ª ª®â®à®© ¯®¤å®¤ï⠮⬥ç¥ë¥ ॡà , ¡ë«® ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , «¨¡® ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë á 㯮¬ïãâë¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨¥¬. â ýãᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨þ ¡ã¤¥â ¤®ª § ¢ § 2 £« ¢ë IX, ¨ á ¥¥ ¯®¬®éìî ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë ¢á¥ â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠£« ¢ X ¨ XI. 3
1
2
i
2
2
i
i
1
2
1
. II:
§ 6.
129
6. ¡é¥© ⥮६¥ 19 ® ¯®¤®¡¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¨ á ¥¯®¬¥é ¥¬ë¬¨ ¤à㣠¢ãâਠ¤à㣠áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ â ª¥ ®â¢¥ç ¥â ⥮६ ® ¥á⪮áâ¨. «ï ¥¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¢¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ ® áãé¥á⢥® ¬®®â®®© äãªæ¨¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , «®£¨ç® â ª®¬ã ¥ ¯®ïâ¨î ¤«ï ¯«®áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . ¬¥® ¢ë¯ãª«ë© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª ®£à ¨ç¥ ¡®«ì訬¨ ªà㣠¬¨, ¥áã騬¨ ¥£® áâ®à®ë. Ǒਠ¢à 饨¨ â ª®£® ¡®«ì讣® ªà㣠¢®ªà㣠¤¢ãå ¥£® ¤¨ ¬¥âà «ì® ¯à®â¨¢®¯®«®ëå â®ç¥ª, ¥ ¯à¨ ¤«¥ é¨å áâ®à®¥, ¬®£®ã£®«ì¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï. ãªæ¨î f áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ë §ë¢ ¥¬ áãé¥á⢥® ¬®®â®®©, ¥á«¨ ¯à¨ â ª®¬ ¢à 饨¨ «î¡®© ¤ ®© ¥£® áâ®à®ë á ¯®«®¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî àã㠮⠬®£®ã£®«ì¨ª äãªæ¨ï f ¢®§à áâ ¥â á ¯®«®¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî. ⨬ ᢮©á⢮¬, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ®¡« ¤ ¥â, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯«®é ¤ì. ¥®à¥¬ ® ¥á⪮áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६¥ 19, ã⢥ठ¥â: 29.
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¤¢¨¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨ ¯® ¤ ë¬ «ãç ¬, ¨á室ï騬 ¨§ ¥£® ¢ãâ॥© â®çª¨
O,
â ª, çâ® ¤«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ª ¤®© ¢¥àè¨ë áâ 樮 à-
ª ª ï-«¨¡® ¥£® áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï, â® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¯®¤®¡®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨î ®â®á¨â¥«ì®
O. â ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯®ç⨠⠪ ¥ ¯à®áâ®, ª ª ⥮६ 19 (á¬. § 1 £« ¢ë IX). å®¤ë¥ â¥®à¥¬ë ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨ áâ 樮 à®á⨠¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 (á¬. § 2 £« ¢ë IX). 7. ¥¯¥àì ¬ë ¢ëïᨬ £«ã¡®ªãî á¢ï§ì ¬¥¤ã ⥮६ ¬¨ ¥á⪮áâ¨, á ®¤®© áâ®à®ë, ¨ ⥮६ ¬¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠| á ¤à㣮©. ª ¥âáï, çâ® ¯à¨ ®ç¥ì ®¡é¨å ãá«®¢¨ïå ¨§ ⥮६ ¥á⪮á⨠¬®® ¢ë¢¥á⨠⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠.
æ¥âà
32)
32) ⬥⨬ ¥é¥ ®¤ã á¢ï§ì ¬¥¤ã ⥮६ ¬¨ ¥á⪮á⨠¨ ¥á⪮á⨠¢ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬. ¥ ¤«ï á«ãç ï ¥¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ..
䨬®¢ë¬ ¡ë«® ¯®ª § ® ¢ [105℄, çâ® ¥á«¨ ¯®¢¥àå®áâì ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ìëå ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 , â® ® ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¥¯à¥àë¢ëå ¨§£¨¡ ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ¯® ¯ à ¬¥âàã. §¢¥áâ® á«¥¤ãî饥 ®¡®¡é¥¨¥ í⮣® ä ªâ : «ï ¯®¢¥àå®á⥩, ¤®¯ã᪠î-
é¨å ⮫쪮 ®¤® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¯®«¥ ¥âਢ¨ «ìëå ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¥áª®áâì âà¥â쥣® ¯®à浪 ¢«¥ç¥â ®âáãâá⢨¥ ¥¯à¥àë¢ëå ¨§£¨¡ ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ¯® ¯ à ¬¥âàã [105℄; á¬. [162, 163, 193, 235, 236℄ ¤«ï á«ãç ï ¨§£¨¡ ¨© ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ¯®à浪®¢. á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨§£¨¡ ¨ï, ¥¯à¥à뢮£® ¯® ¯ à ¬¥âàã, ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢«¥ç¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨§£¨¡ ¨ï, «¨â¨ç¥áª®£® ¯® ¯ à ¬¥âàã. â®â «£¥¡à¨ ç¥áª¨ ¥áâ¥áâ¢¥ë© à¥§ã«ìâ â, ª ¥âáï, ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« áä®à¬ã«¨à®¢ . «îª®¬ [283℄. âáî¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª, ¥ ¤®¯ã᪠î騩 ¥âਢ¨ «ìëå ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¥ ¤®¯ã᪠¥â â ª¥ ¨§£¨¡ ¨©, ¥¯à¥àë¢ëå ¯® ¯ à ¬¥âàã. ᯮ«ì§ãï íâ®â १ã«ìâ â, .®¥««¨
130
. .
Ǒãáâì a , . . . , an | ª ª¨¥-«¨¡® ¯ à ¬¥âàë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¬®£®£à ¨ª á â®ç®áâìî ¤® ¥ª®â®à®£® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, a b , . . . , bn | ¤à㣨¥ ¯ à ¬¥âàë, ®â®áï騥áï ª ¬®£®£à ¨ªã, ¤«ï ª®â®àëå ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® ®¨ â ª¥ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®£®£à ¨ª á â®ç®áâìî ¤® â ª®£® ¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, â. ¥. à¥çì ¨¤¥â ® ⥮६ å áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 b , . . . , bn . ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì § ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á n +1 ¢¥àè¨ ¬¨, «¥ 騬¨ ¤ ëå «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ®¡é¥© â®çª¨ O, â® ¯ à ¬¥âàë a , . . . , an ¬®£ãâ ¡ëâì ®â®è¥¨ï¬¨ à ááâ®ï¨© n ¢¥àè¨ ®â â®çª¨ O ª à ááâ®ï¨î ®â O ¤® (n + 1)-© ¢¥àè¨ë. ⨠®â®è¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®£®£à ¨ª á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡¨ï á æ¥â஬ O. ¯ à ¬¥âàë b , . . . , bn ¬®® ¢§ïâì ªà¨¢¨§ë (¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨©) n ¢¥àè¨; ªà¨¢¨§ (n+1)-© ¢¥àè¨ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï, çâ® ¯®« ï ªà¨¢¨§ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª à ¢ 4π. ª ª ª ¯ à ¬¥âàë ai ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®£®£à ¨ª, â® ¢¥«¨ç¨ë bi ¡ã¤ãâ ¨å äãªæ¨ï¬¨: bi = fi (a , . . . , an ) (i = 1, . . . , n). (1) ⨠äãªæ¨¨ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨, â ª çâ® ∂bi ∂bi dbi = da + · · · + dan (i = 1, . . . , n). (2) ∂a ∂an (â® ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ¢áïª¨å ¯ à ¬¥â஢ bi = = f (a , . . . , an ), ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ¥áâ¥áâ¢¥ë© ¨â¥à¥á. ç áâ®áâ¨, ¨ ¢ ¯à¨¢¥¤¥®¬ ¯à¨¬¥à¥ ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ ï¢«ïîâáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨 äãªæ¨ï¬¨ à ááâ®ï¨© ¢¥àè¨ ®â â®çª¨ O; ¢ í⮬ ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï.) ¥®à¥¬ ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª P ¯à¨ áâ 樮 àëå bi á®á⮨â, ®ç¥¢¨¤®, ¢ ⮬, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ d bi = 0, â® ¯à¨ § 票ïå ai = ai , ®â®áïé¨åáï ª P , ¢á¥ d ai = 0. 묨 á«®¢ ¬¨, ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ (2) ¥ ¨¬¥¥â ¨ëå à¥è¥¨©, ¯®¬¨¬® âਢ¨ «ì®£®. â® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (2), â.¥. 类¡¨ á¨á⥬ë äãªæ¨© (1), ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ª ª ¨§¢¥áâ®, äãªæ¨¨ (1) ®¡à â¨¬ë ¢ ®ªà¥áâ®á⨠§ 票© ai = ai ¨ bi = bi (i = 1, 2, . . . , n), ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P . «¥¤®¢ ⥫ì®, § ¤ ¢ bi, ¡«¨§ª¨¥ ª bi , ¬ë ¬®¥¬ ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ©â¨ ¯® ¨¬ ai , ¡«¨§ª¨¥ ª ai ; ⥬ á ¬ë¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª P , ¡«¨§ª¨© ª P (á â®ç®áâìî ¤® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï) ¨ ¨¬¥î騩 ¤ ë¥ bi , ¯à¨ç¥¬ â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[262℄ ¤®ª § «, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£® ¢á¥ ®¢ë¥ £à ¨ ¥á⪨¥, ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¥¯à¥à뢮£® ¯® ¯ à ¬¥âàã ¨§£¨¡ ¨ï ¢ ª« áᥠ¢á¥å (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢ë¯ãª«ëå) ¬®£®£à ¨ª®¢. . . ¡¨â®¢ë¬ ®â¬¥ç¥® ¢ [115, á. 153{154℄, çâ® íâ®â १ã«ìâ â ¬®¥â ¡ëâì ¢ë¢¥¤¥ ¨§ ⥮६ë Ǒ®£®à¥«®¢ ® ¥á⪮á⨠®¡é¥© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. II:
§ 6.
131
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§ â¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠᫥¤ãîâ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï P . 8. ¢¥ á«¥¤ãî騥 «¥¬¬ë ¤ îâ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå íâ®â १ã«ìâ â ¬®¥â ¡ëâì à áè¨à¥ ¤® ¯®«ëå ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®áâ¨. ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠¢ ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª
¥¬¬ .
Ǒãáâì
A
¨
0
B | ¤¢ ¬®£®®¡à §¨ï ¨ ¯ãáâì ¤ ® ®¤®§ 箥 ϕ ¬®£®®¡à §¨ï A ¢ B , 㤮¢«¥â¢®àïî饥 á«¥¤ã-
¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¥¨¥ î騬 ãá«®¢¨ï¬:
1) ¥á«¨ â®çª B ¨§ B ¥áâì ®¡à § â®çª¨ A ¨§ A: B = ϕ(A), â® áãé¥áâ¢ã¥â
®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ ¨§
B,
¤®¯ã᪠îé ï ®¡à ⮥ ®â®¡à ¥¨¥
ϕ−1
¢
A;
2) ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï B ᮤ¥à âáï ®¡à §ë â®ç¥ª A;
3) ϕ(A) § ¬ªãâ®, â. ¥.
®¡à § ¥ª®â®à®© â®çª¨ ¨§
¥á«¨ â®çª¨
A.
Bn
= ϕ(An) á室ïâáï ª B , â® B ¥áâì
®£¤ ϕ ¥áâì ®â®¡à ¥¨¥ A B . ᨫã ãá«®¢¨ï 1, ¥á«¨ B ∈ ϕ(A), â® B ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, ᮤ¥à éãîáï ¢ ϕ(A), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ϕ(A) | ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. ®¥¤¨ïï íâ®â १ã«ìâ â á âॡ®¢ ¨ï¬¨ 2 ¨ 3 ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¢ «¥¬¬¥ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ¯®«ã稬, çâ® ϕ(A) = B .
᫨ A ¥áâì ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢, à áᬠâਢ ¥¬ëå á â®ç®áâìî ¤® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, B ¥áâì ¬®£®®¡à §¨¥ ¤ ëå B (b , . . . , b ), ¤«ï ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ® ¥á⪮áâ¨, â®, ª ª ⮫쪮 çâ® ¯®ª § ®, ¨§ í⮩ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â ãá«®¢¨¥ 1 «¥¬¬ë A. Ǒ®í⮬ã, ª ª ⮫쪮 ¤¢ ¤à㣨å ãá«®¢¨ï ¢ë¯®«¥ë, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯®« ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï. ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1 áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¤ ¥âáï ¢ £« ¢¥ VI ¬®¥© ª¨£¨ [18℄. 33)
1
¥¬¬ B.
ϕ
Ǒãáâì
¥áâì ®â®¡à ¥¨¥
)
1
A, B , ϕ ¨¬¥îâ â® ¥ § 票¥, çâ® ¢ «¥¬¬¥ , ¯à¨ç¥¬ A B çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ãá«®¢¨ïå
(
«¥¬¬ë A . Ǒãáâì, ªà®¬¥ ⮣®, ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
1) e᫨ â®çª B ¨§ B ¥áâì ®¡à § â®çª¨ A ¨§ A, â® ¨¬¥¥âáï ®ªà¥áâ®áâì
â®çª¨
A,
®â®¡à ¥¨¥ ª®â®à®© ¢ ®ªà¥áâ®áâì
B
¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ -
¨¬® ¥¯à¥à뢮;
33) â®â
¬¥â®¤ ç é¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ª ª ¬¥â®¤ ¥¯à¥à뢮£® ¯à®¤®«¥¨ï. Ǒãáâì ( ) ¨ B1 | «î¡®¥ â ª®¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¯à¥àë¢ ï ªà¨¢ ï Bt (0 6 t 6 1), ᮥ¤¨ïîé ï B0 á B1 . ®£¤ ¨§ ãá«®¢¨ï 1 «¥¬¬ë A á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå t Bt ∈ ϕ(A). Ǒãáâì T | â®ç ï ¢¥àåïï £à ¨æ â¥å t, ¯à¨ ª®â®àëå Bt ∈ ϕ(A). ®£¤ ¯® ãá«®¢¨î 3 BT ∈ ϕ(A) ¨ ¯à¨ T < 1 ¯® ãá«®¢¨î 1 ¬®® ¡ë«® ¡ë ¢§ïâì t > T â ª®¥, çâ® Bt ∈ ϕ(A). «¥¤®¢ ⥫ì®, T = 1 ¨ B1 ∈ ϕ(A). á«®¢¨¥ 2 ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ᮥ¤¨¨¬®áâì «î¡®© â®çª¨ B ¨§ B á ª ª®©-¨¡ã¤ì â®çª®© ¨§ ϕ(A). B0 ∈ ϕ A
132
. .
2) ¬®£®®¡à §¨¥ A á¢ï§®, ¬®£®®¡à §¨¥ B ®¤®á¢ï§® , â. ¥. ¢áïªãî § ¬ªãâãî ªà¨¢ãî ¢ ¥¬ ¬®® áâïãâì ¢ â®çªã. ®£¤ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. â «¥¬¬ å®à®è® ¨§¢¥áâ ¢ ⮯®«®£¨¨. â®¡à ¥¨¥ ϕ, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë B , ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ®â®¡à ¥¨¥ ªàëâ¨ï ¬®£®®¡à §¨ï A B, ¨ ¥á«¨ B ®¤®á¢ï§®, â®, ª ª ¨§¢¥áâ®, â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¥áâì £®¬¥®¬®à䨧¬, â. ¥., ¢ ç áâ®áâ¨, ®® ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. ¥£ª®, ¢¯à®ç¥¬, ¤®ª § âì «¥¬¬ã B , ¥ ááë« ïáì ⥮à¨î ªàë¢ îé¨å ¬®£®®¡à §¨©, çâ® ¬ë ¨ ᤥ« ¥¬. ®¯ãá⨬, çâ® ϕ ¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. ®£¤ ¢ B ©¤¥âáï â®çª B , ïîé ïáï ®¡à §®¬ ¤¢ãå à §ëå â®ç¥ª A ¨ A ¨§ A. Ǒ® á¢ï§®á⨠¬®£®®¡à §¨ï A áãé¥áâ¢ã¥â ¥¯à¥àë¢ ï ªà¨¢ ï L, ᮥ¤¨ïîé ï A á A , â. ¥. ª ¤®¬ã t ¨§ ®â१ª (0, 1) ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì â®çªã A(t) â ª, çâ® A(t) § ¢¨á¨â ®â t ¥¯à¥à뢮 ¨ A(0) = A , A(1) = A . ¡à § í⮩ ªà¨¢®© ¥áâì ¥ª®â®à ï ªà¨¢ ï M = ϕ(L) á â®çª ¬¨ B (t) = = ϕ A(t); ªà¨¢ ï íâ | § ¬ªãâ ï, ¯®â®¬ã çâ® ϕ(A ) = ϕ(A ) = B . Ǒ® ãá«®¢¨î 2 ªà¨¢ãî M ¬®® áâïãâì ¢ ¥ª®â®àãî â®çªã B , â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮ ªà¨¢ëå M (s) (0 6 s 6 1), çâ® M (0) = M , M (1) = B ; ¯à¨ í⮬ ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã, çâ® â®çª¨ B (t, s) ªà¨¢ëå M (s) â ª®¢ë, çâ® 1) B (t, s) ¥¯à¥à뢮 § ¢¨á¨â ®â ®¡®¨å à£ã¬¥â®¢, 0 6 t 6 1, ¨ 2) ¯à¨ ¤ ®¬ s B (t, s) ¥áâì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ªà¨¢®© M (s). Ǒ® ¯¥à¢®¬ã ãá«®¢¨î «¥¬¬ë ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮 ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¢á类© â®çª¨ A ∈ A. Ǒ® «¥¬¬¥ ®à¥«ï ªà¨¢ãî L ¬®® ¯®ªàëâì ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ â ª¨å ®ªà¥áâ®á⥩ U , . . . , Um ¨ à §¡¨âì íâã ¥ ªà¨¢ãî L ®â१ª¨ L , . . . , Lm , ᮤ¥à 騥áï ᮮ⢥âá⢥® ¢ U , . . . , Um : ª ¤®¬ã ®â१ªã Li ®â¢¥ç ¥â ᥣ¬¥â τi = [ti− , ti ℄ ®â१ª¥ [0, 1℄ â ª®©, çâ® ¥á«¨ t ∈ τi , â® A(t) ∈ Ui . ®®â¢¥âá⢥® ªà¨¢ ï M ¡ã¤¥â ¯®ªàëâ ®ªà¥áâ®áâﬨ νi = ϕ(Ui) ¨ à §®¡ì¥âáï ®â१ª¨ Mi = ϕ(Li). Ǒãáâì s áâ®«ì ¬ «®, çâ® ªà¨¢ ï M (s t ) «¥¨â ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ν = Pi νi ªà¨¢®© M = M (0). ®§ì¬¥¬ «î¡®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà t. Ǒãáâì ®® ¯à¨ ¤«¥¨â ᥣ¬¥âã τi. ®£¤ â®çª B (t, s ) ∈ ∈ νi = ϕ(Ui ), ¨ ¬ë ¬®¥¬ ®¤®§ ç® ®â¥á⨠¥© ¥¥ ¯à®®¡à §, ª®â®àë© ®¡®§ 稬 A(t, s ). १ã«ìâ ⥠®â१ª ¬ ªà¨¢®© M (s ), ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᥣ¬¥â ¬ τi , ¡ã¤ãâ ᮯ®áâ ¢«¥ë ¥ª®â®àë¥ ªà¨¢ë¥ Li(s ) ¢ A. ⨠ªà¨¢ë¥ ¨¬¥îâ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ®¡é¨¥ ª®æë, ¯®â®¬ã çâ® ®â१ª¨ Mi ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ª®æë, ¯à¨ ¤«¥ 騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¥ ®ªà¥áâ®áâï¬, ¢ ª®â®àëå ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ªà¨¢ë¥ Li(s ) ®¡à §ã34)
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0 0
0
0
0
0
0
34) ®áâ â®ç®,
¯à¨¬¥à, ®âªàëâãî ¯àאַ㣮«ìãî ¯®«®áã A ý ¬®â âìþ ¡®ª®¢ãî ¯®¢¥àå®áâì 樫¨¤à B â ª, çâ®¡ë ª®æë ¯®«®áë «¥£ «¨ ¤à㣠¤à㣠, ª ª ¬ë ¯®«ã稬 㥠¥®¤®§ 箥 ®â®¡à ¥¨¥, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«¥ë ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë, ªà®¬¥ ®¤®á¢ï§®á⨠B .
. II:
§ 6.
133
îâ ¢ á㬬¥ ®¤ã ªà¨¢ãî L(s ), ª®æë ª®â®à®© «¥ â, ®ç¥¢¨¤®, ¢ â®çª å A ¨ A . ¡à § ªà¨¢®© L(s ) ¥áâì ªà¨¢ ï B (t, s ). ® ¥ à áá㤥¨¥ ¬®® ¯®¢â®à¨âì, ®â¯à ¢«ïïáì ⥯¥àì ¥ ®â ªà¨¢®© At , ®â ªà¨¢®© L(s ) ¨ â. ¤. १ã«ìâ ⥠¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ⮬ã, çâ® ª ¤®© ªà¨¢®© M (s) ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ªà¨¢ãî L(s), ᮥ¤¨ïîéãî â®çª¨ A ¨ A ¨ ®â®¡à îéãîáï M (s) . ® M (1) ¥áâì ®¤ â®çª B , L(1) | ªà¨¢ ï, ᮥ¤¨ïîé ï ¤¢¥ â®çª¨ A ¨ A . Ǒ®íâ®¬ã ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ªà¨¢®© L(1) M (1) = B ¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç® ¢ «î¡®© ®ªà¥áâ®á⨠ª ¤®© â®çª¨, ¯à¨¬¥à A . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® ¢ ®¤ã â®çªã B ®â®¡à îâáï ¤¢¥ â®çª¨ A ¨ A , ¥¢¥à®; ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¤®«® ¡ëâì ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 9. Ǒãáâì A | ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢, à áᬠâਢ ¥¬ëå á â®ç®áâìî ¤® ¥ª®â®à®£® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, B | ¬®£®®¡à §¨¥ ¤ ëå B (b , . . . , bn ), ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«ï¥âáï ⥮६ ¥á⪮áâ¨. ®£¤ , ª ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ¨§ í⮩ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë B . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ A á¢ï§®, B ®¤®á¢ï§®, â® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï A B ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, çâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠á â®ç®áâìî ¤® ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® âਢ¨ «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï.
᫨, ¯à¨¬¥à, A ¥áâì ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡¨ï, B | ¬®£®®¡à §¨¥ ¤®¯ãá⨬ëå § 票© ¯«®é ¤¥© áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ωi, â® A, ®ç¥¢¨¤®, á¢ï§®, B § ¢¥¤®¬® ®¤®á¢ï§®, ¯®â®¬ã çâ® ®® ¢ë¯ãª«®, ª ª ïá® ¨§ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¥£® ãá«®¢¨©, 㪠§ ëå ¢ ⥮६¥ 18. «®£¨ç®¥ ¯®«®¥¨¥ ¨¬¥¥âáï ¨ ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå; ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£® 11, £¤¥ A | ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥©, B | ¬®£®®¡à §¨¥ ¤®¯ãá⨬ëå § 票© ¯«®é ¤¥© £à ¥©; ¬®£®®¡à §¨¥ B ¢ í⮬ á«ãç ¥ ⮥ ¢ë¯ãª«® ¨ ¯®â®¬ã ®¤®á¢ï§®. (¤ ª® ¢ á«ãç ¥ ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ï ¥ ¬®£ã ãáâ ®¢¨âì ®¤®á¢ï§®áâì ¬®£®®¡à §¨ï ¤®¯ãá⨬ëå à §¢¥à⮪.) â ª, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騩 ®¡é¨© ¬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®áâ¨: 1. ®ª §ë¢ ¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६㠥á⪮á⨠¨ ¨§ ¥¥ ¢ë¢®¤¨¬ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ý¢ ¬ «ëå ®ªà¥áâ®áâïåþ. 2. ®ª §ë¢ ¥¬, çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë A, ¨ ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬ ¯®«ãî ⥮६ã áãé¥á⢮¢ ¨ï. 0
1
0
0
0
0
0
35)
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
35) âண®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ í⮣® § ª«îç¥¨ï ¯à®¢®¤¨âáï â ª:
¤«ï ¬ «ëå s ã⢥थ¨¥ ¢¥à®. Ǒãáâì S | â®ç ï ¢¥àåïï £à ¨æ â ª¨å s. ®£¤ , ¡¥àï s → S0 , ¯®«ã稬 ªà¨¢ãî L(S), ª ¥© ¯à¨¬¥¨¬ë ⥠¥ à áá㤥¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®«® ¡ëâì S = 1.
134
. .
3. ®ª §ë¢ ¥¬, çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ¥é¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë B , ¨ ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬ ⥮६㠥¤¨á⢥®áâ¨. ª®© ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â ᢮¨ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠: ®-¯¥à¢ëå, ⥮६ ¥á⪮á⨠᢮¤¨âáï, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ª «¨¥©®© § ¤ ç¥: ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î ãà ¢¥¨© (2), ¯®â®¬ã ¬®¥â «¥£ç¥ ¯®¤¤ ¢ âìáï à¥è¥¨î, ®á®¡¥® ¯à¨ «¨â¨ç¥áª®© âà ªâ®¢ª¥ ¢®¯à®á . Ǒ® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥ íâ®â ¬¥â®¤ «¥£ç¥ ®¡®¡é ¥âáï § ¤ ç¨, ª á î騥áï ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩, £¤¥ ¬®£®®¡à §¨ï A ¨ B áãâì ¡¥áª®¥ç®¬¥àë¥ äãªæ¨® «ìë¥ ¯à®áâà á⢠. ®-¢â®àëå, ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ã®© ¯®« ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ⮣®, çâ® âॡã¥â ¬¥â®¤, ®á®¢ ë© «¥¬¬¥ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. ¤ ª®, ¥á«¨ ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¬®¥â ¡ëâì ¤®ª § ¯àï¬ë¬ ¯ã⥬, â® «¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¤ ¥â ¡®«¥¥ ª®à®âª¨© ¯ãâì ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï. ஬¥ ⮣®, â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠á ç¨áâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¥áª®«ìª® ¨áªãáá⢥묨 ¢¢¨¤ã ¯à¨¢«¥ç¥¨ï ¯®ï⨩ ¨ ⥮६ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨áç¨á«¥¨ï. 10. ¥à¥¬áï ª ¢®¯à®áã ® àã襨ïå â¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ á® áâ 樮 ன à §¢¥à⪮©. ë ¯®ª § «¨, çâ® íâ ⥮६ ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ëத îé¨åáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¤ ¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ á®åà ¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª . ¥©ç á ¬ë ã¡¥¤¨¬áï ¢ í⮬ ®á®¢ ¨¨ ᮢᥬ ¤à㣨å á®®¡à ¥¨©. Ǒãáâì B | ¬®£®®¡à §¨¥ à §¢¥à⮪ á ¤ ë¬ ç¨á«®¬ ¢¥àè¨, A | ¬®£®®¡à §¨¥ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, à áᬠâਢ ¥¬ëå á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï, ® ¥ ®âà ¥¨ï. ª ª ª ¨§ ®¤®© à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì ¤¢ ¢§ ¨¬® ᨬ¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª , â® ®â®¡à ¥¨¥ A B ¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, ¤¢ã«¨áâ®. ¥®¤®§ ç®áâì, á¢ï§ ï á «¨ç¨¥¬ ã ª ª®£®-¨¡ã¤ì ¥¢ëத¥®£® ¬®£®£à ¨ª í«¥¬¥â®¢ ᨬ¬¥âਨ, ãáâà ï¥âáï ¨¬¥®¢ ¨¥¬ ¥£® ¢¥àè¨ á®®â¢¥âá⢥® ¢¥àè¨ ¬ à §¢¥à⪨ . â®, ®¤ ª®, ¥¢®§¬®® ¤«ï ¢ëத¥®£® ¬®£®£à ¨ª : ¯à¨ ®âà ¥¨¨ ¥£® ¢ ¥£® ¯«®áª®á⨠¢á¥ ¢¥àè¨ë ¯¥à¥å®¤ïâ á ¬¨ ¢ ᥡï. ª®«ì 㣮¤® ¬ «ë¥ á¬¥é¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨, ¯à®¨§¢¥¤¥ë¥ ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ¥£® ¯«®áª®áâ¨, ¯à¨¢®¤ïâ ª ᨬ¬¥âà¨çë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬, â.¥. ¤ îâ ¯¥à¥36)
37)
36) ¬¥®
í⨬ ¬¥â®¤®¬ ¢®á¯®«ì§®¢ «áï . ¥©«ì [362℄ ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ¬¥âਪ®©. 37)
᫨ ¬®£®£à ¨ª P0 ¨¬¥¥â ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ ¨ X , Y | ¤¢¥ ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¥£® ¢¥àè¨ë, ⮠ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¨å á¬¥é¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ¯ à ¬ ¢§ ¨¬® ᨬ¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¡«¨§ª¨å ª P0 . ¤ ª® ¯à¨ ᮢ¬¥é¥¨¨ ¨å ¯ã⥬ ®âà ¥¨ï ¢¥àè¨ X ¯®¯ ¤ ¥â ¢ Y , ¨ ®¡à â®; ¯®í⮬ã, ¥á«¨ ¤®¯ã᪠âì ᮢ¬¥é¥¨¥ «¨èì ®¤¨ ª®¢® ¯®¨¬¥®¢ ëå ¢¥àè¨, â® â ª¨¥ ᮢ¬¥é¥¨ï ¨áª«îç îâáï. «®£¨ç®¥ § ¬¥ç ¨¥ ¯à¨¬¥¨¬® ¢ á«ãç ¥ «¨ç¨ï ¤à㣨å í«¥¬¥â®¢ ᨬ¬¥âਨ. ¢ã«¨áâ®áâì ®â®¡à ¥¨ï A B ¬®® ãáâà ¨âì, ¢¢®¤ï ®à¨¥â æ¨î à §¢¥à⮪ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ã¤¢ ¨¢ ï B.
. II:
§ 7.
Ǒ
Ǒ
135
室 á ®¤®£® «¨áâ ¬®£®®¡à §¨ï A ¤à㣮©. ®¥á⢮ ¢ëத¥ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®â®¡à ¥âáï ¢ B ®¤®§ ç® ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®¥á⢮ à §¢¥â¢«¥¨ï ¬®£®®¡à §¨ï A ¯à¨ ¥£® ®â®¡à ¥¨¨ B, ¯®¤®¡® â®çª¥ à §¢¥â¢«¥¨ï äãªæ¨¨ √x + iy. Ǒ®íâ®¬ã ®â®¡à ¥¨¥ A B ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¢ëத¥ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®â®¬ã ¨ ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¤«ï ¨å ¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ . Ǒਠ¤®ª § ⥫ìá⢥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ®á®¢ ®¬ ⥮६¥ ¥á⪮áâ¨, ¯à¨å®¤¨âáï ¨áª«îç âì ¢ëத¥ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨ ¨å à §¢¥à⪨. 11. § ª«î票¥ ¥é¥ ®¤® ®¡é¥¥ § ¬¥ç ¨¥. Ǒãáâì A ¨ B , ª ª ¨ ¢ëè¥, | ¬®£®®¡à §¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ A, ®¯à¥¤¥«¥ëå ¯ à ¬¥âà ¬¨ a , . . . , an , ¨ ¥ª®â®àëå ¤ ëå B (b , . . . , bn ). Ǒãáâì ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï A B § ¤ ¥âáï ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨 äãªæ¨ï¬¨ (1). ®¥á⢮ â¥å A, £¤¥ àãè ¥âáï ⥮६ ¥á⪮áâ¨, ¥áâì ¬®¥á⢮ ã«¥© 类¡¨ í⮩ á¨á⥬ë äãªæ¨©. â® ¬®¥á⢮, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¬ªãâ®.
᫨ ®® ᮤ¥à¨â ¢ãâà¥îî â®çªã A, â® ¢ ®ªà¥áâ®á⨠í⮩ â®çª¨ äãªæ¨¨ (1) § ¢¨á¨¬ë, ¨ ¯®â®¬ã ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, â. ¥. ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨, â® ¬®¥á⢮, £¤¥ àãè ¥âáï ⥮६ ¥á⪮áâ¨, ¥áâì § ¬ªã⮥ ¨£¤¥ ¥ ¯«®â®¥ ¬®¥á⢮. 1
1
§ 7. Ǒ¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ªà¨¢ë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬
1. ¡é¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å, ® ª®â®àëå è« à¥çì ¢ § 3{6, ¨¬¥îâ § 票¥ ¥ ⮫쪮 á ¬¨ ¯® ᥡ¥, ® ¥é¥ á ⮩ â®çª¨ §à¥¨ï, çâ® ®¨ ¤®¯ã᪠îâ ®¡®¡é¥¨ï ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ § ¤ ç ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ®ª §ë¢ ¥âáï á ç « ¯®«¥§ë¬ ¯®áâ ¢¨âì ¨ à¥è¨âì í⨠§ ¤ ç¨ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢. ®¤¨å á«ãç ïå íâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ®¡é¨¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬ à¥è¨âì ¯®áâ ¢«¥ãî § ¤ çã ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. ¤à㣨å á«ãç ïå, ª®£¤ â ª®© ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ ¥ 㤠¥âáï, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®à¨¥â¨à®¢ªã ¢ ¢®¯à®á¥. « £®¤ àï £«ï¤®á⨠¨ ¯à®áâ®â¥ ᢮©á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ â ª®© ¯®¤å®¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ç áâ® ®ç¥ì ¯®«¥§ë¬, ®á®¡¥® ¢ ¢®¯à®á å £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ ¨«¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¥à¥£ã«ïàë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬, ª®£¤ ®¡ëçë¥ ¤«ï ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë â¥àïîâ ᢮© ¢â®¬ ⨧¬ 38) . ª ª ª 襩 ⥬®© ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, â® ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ⥬, çâ® ¢ ª®æ¥ ¯®ç⨠ª ¤®© £« ¢ë ¢ ¯ à £à ä¥ ý¡®¡é¥¨ïþ ¯à¨¢®¤¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â¥®à¥¬ë ¤«ï ¤àã£¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á 㪠§ ¨¥¬ ¨áâ®ç¨ª¨, £¤¥ íâ¨ â¥®à¥¬ë ¤®ª §ë¢ îâáï. ¤¥áì ¥ ¬ë ᤥ« ¥¬ ¥áª®«ìª® ®¡é¨å § ¬¥ç ¨© | ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ® ⮬, ª ª¨¥ § ¤ ¨ï ¤«ï ®¡é¥© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à áᬠâਢ ¥¬ë¬ § ¤ ¨ï¬ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢. 2. § 3 㥠¡ë«® ¢ëï᥮, çâ® § ¤ ¨¥ à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ª íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î ¥£® ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨. «ï ®¡é¥© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠à¥çì ¤®« ¨¤â¨ 38) Ǒ®á«¥¤®¢ ⥫쮥 ¯à®¢¥¤¥¨¥ ¬¥â®¤ ¯à¨¡«¨¥¨ï ¬®£®£à ¨ª ¬¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ ¯à®¨§¢®«ìëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¤ ® ¢ ¬®¥© ª¨£¥ [18℄.
136
. .
â ª¥ ® ¥¥ ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¥, â.¥. ® äãªæ¨¨ ¯ àë ¥¥ â®ç¥ª, ¤ î饩 à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã í⨬¨ â®çª ¬¨, ¨§¬¥à¥®¥ ¯®¢¥àå®áâ¨; ®® à ¢® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î â®ç®© ¨¥© £à ¨æ¥ ¤«¨ ªà¨¢ëå, «¥ é¨å ¯®¢¥àå®á⨠¨ ᮥ¤¨ïîé¨å ¤ ë¥ ¥¥ â®çª¨. Ǒãáâì áä¥à¥ S (¨«¨ ¤à㣮¬ ¬®£®®¡à §¨¨) § ¤ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ρ(X, Y ) ¯ àë ¥¥ â®ç¥ª; ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ρ(X, Y ) ¥áâì ¬¥âਪ ¯®¢¥àå®á⨠F ¨«¨ çâ® ¯®¢¥àå®áâì F ॠ«¨§ã¥â ¬¥âਪã ρ(X, Y ), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ h áä¥àë S ¯®¢¥àå®áâì F , çâ® ¤«ï ª ¤®© ¯ àë â®ç¥ª X , Y ρ(X, Y ) = ρF h(X ), h(Y ) , £¤¥ ρF | ¢ãâà¥ïï ¬¥âਪ ¯®¢¥àå®á⨠F . Ǒãáâì Fi ¨ ni | ¯«®é ¤¨ ¨ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . áᬮâਬ ¥¤¨¨çãî áä¥àã E , ª®â®àãî ¯à®¨§¢®¤¨âáï áä¥à¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥. ®£¤ , ¥á«¨ M ¥áâì ª ª®¥-«¨¡® ¬®¥á⢮ E , â® X FP (M ) = Fi ni ∈M
¥áâì ¯«®é ¤ì ⮣® ¬®¥á⢠P , ª®â®à®¥ ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯à®®¡à §®¬ ¬®¥á⢠M ¯à¨ áä¥à¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨. (㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ £à ï¬, ®à¬ «¨ ª ª®â®àë¬ ¯à ¢«¥ë ¢ M .) FP (M ) ¥áâì äãªæ¨ï ¬®¥á⢠áä¥à¥ E , §ë¢ ¥¬ ï ¬®£®£à ¨ª P . ¤ ¨¥ ¯«®é ¤¥© ¨ ®à¬ «¥© £à ¥©, ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¨. «ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â®ç® â ª ¥: F (M ) ¥áâì ¯«®é ¤ì ⮣® ¬®¥á⢠N , ª®â®à®¥ ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯à®®¡à §®¬ ¬®¥á⢠M ¯à¨ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨, â.¥. ç¥à¥§ ª ¤ãî â®çªã ¨§ N ¯à®å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤ ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ¢¥èïï ®à¬ «ì ª ª®â®à®© ¯à ¢«¥ ¢ M . (®® ¤®ª § âì, çâ® F (M ) ¥áâì ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ ï äãªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¤«ï ¢á¥å ¡®à¥«¥¢áª¨å ¬®¥á⢠M 39) .) Ǒãáâì ei | ¤ ë¥ «ãç¨, ¨á室ï騥 ¨§ â®çª¨ O, ¨«¨ ᮮ⢥âá⢥® â®çª¨ ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥ E á æ¥â஬ ¢ O. Ǒãáâì ωi | ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , «¥ é¨å «ãç å e.
᫨ M ¥áâì ¬®¥á⢮ E , â® X ωP,O (M ) = ωi ¯®¢¥àå-
®á⮩ äãªæ¨¥©
ei ∈M
¥áâì ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ⮣® ¬®¥á⢠P , æ¥âà «ì®© ¯à®¥ªæ¨¥© ª®â®à®£® ï¥âáï ¬®¥á⢮ M . ãªæ¨ï ¬®¥á⢠ωP,O (M ) § ¢¨á¨â ¥ ⮫쪮 ®â ¬®£®£à ¨ª , ® ¨ ®â ¢ë¡®à â®çª¨ O ¨«¨ áä¥àë E , ¯®íâ®¬ã ¬ë §ë¢ ¥¬ ¥¥ ¯«®é ¤ìî áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï, ®â¥á¥®© ª áä¥à¥ E . ¤ ¨¥ «ã祩 ei ¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ωi , ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î í⮩ äãªæ¨¨. «ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «®£¨ç®: ω,O (M ) ¥áâì ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ⮣® ¬®¥á⢠, æ¥âà «ì®© ¯à®¥ªæ¨¥© ª®â®à®£® ¨§ â®çª¨ O áä¥àã E ï¥âáï ¬®¥á⢮ M . (®® ¤®ª § âì, çâ® ω,O (M ) ¥áâì ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ ï äãªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¤«ï ¢á¥å ¡®à¥«¥¢áª¨å ¬®¥á⢠[18, § 2, 4 £«. V℄.) «®£¨ç® ¤«ï ¡¥áª®¥ç®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨ï ω,T (M ) | ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï, ®â¥á¥ ï ª ¯«®áª®á⨠T : ¤«ï ¤ ®£® ¬®¥á⢠M ¯«®áª®á⨠T ¨ ω,T (M ) ¥áâì ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ⮣® ¬®¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠, ¯à®¥ªæ¨¥© ª®â®à®£® á«ã¨â M . 39) ¬. . . «¥ªá ¤à®¢ [4℄. í⮩ à ¡®â¥ ¢¯¥à¢ë¥ ¢¢¥¤¥® ¨ á ¬® ¯®ï⨥ ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¨.
. II:
§ 7.
Ǒ
Ǒ
137
ª®¥æ, ¢¬¥áâ® ®¯®àëå ç¨á¥« ¤«ï ¬®£®£à ¨ª ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠㮠à áᬠâਢ âì ¥¥ ®¯®àãî äãªæ¨î H (u). «ï ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n § 票¥ H (n) ¥áâì à ááâ®ï¨¥ ®â ç « O ¤® ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠Q á ¢¥è¥© ®à¬ «ìî n, áç¨â î饥áï ¯®«®¨â¥«ìë¬, ¥á«¨ ¯à ¢«¥¨¥ ®â O ª Q ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à n, ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¬, ¥á«¨ íâ® ¯à ¢«¥¨¥ ¯à®â¨¢®¯®«®® n.
᫨ ¢¥ªâ®à u | ¥ ¥¤¨¨çë©, â® H (u) = |u|H (u/|u|). «¥¤ã¥â ¥é¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢¬¥áâ® ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 ¤«ï ®¡é¥© ¡¥áª®¥ç®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠᫥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ý¯à¥¤¥«ìë© ª®ãáþ, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ᮢ¥à襮 «®£¨ç®. Ǒ®«ì§ãïáì ¢¢¥¤¥ë¬¨ ®¡é¨¬¨ ¯®ïâ¨ï¬¨, «¥£ª® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ¥á⪮á⨠¤«ï ®¡é¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ᮮ⢥âá⢥® ¯à¨¢¥¤¥ë¬ ¢ëè¥ â¥®à¥¬ ¬ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢. «ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ãë ¥é¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ á«¥¤ã¥â «®¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤ ë¥. «ï äãªæ¨© H (u, F (M ), ω,E (M ), ω,T (M ) í⨠ãá«®¢¨ï «¥£ª® ¯®«ãç îâáï ¨§ ãá«®¢¨© ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª å. ¨ ä®à¬ã«¨àãîâáï ¢ ¯®á«¥¤¨å ¯ à £à ä å £« ¢ VII ¨ IX. ᪫î票¥ á®áâ ¢«ï¥â ¬¥âਪ ρ(X, Y ): ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï, « £ ¥¬ë¥ ¥¥, ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¯à®áâë¬ ¯¥à¥áª §®¬ ãá«®¢¨© ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª å 40) . 3. ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ¥á⪮á⨠¥ ¬®£ãâ ¡ëâì á ¬¨ ¯® ᥡ¥ ¯¥à¥¥á¥ë á ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤à㣨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ . «ï ⮣® ç⮡ë íâ® áâ «® ¢®§¬®ë¬, í⨠⥮६ë ã® ¤®¯®«¨âì ®æ¥ª ¬¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨§¬¥¥¨ï â¥å ¤ ëå, ª®â®àë¥ ä¨£ãà¨àãîâ ¢ íâ¨å ⥮६ å, ¯à¨ç¥¬ í⨠®æ¥ª¨ ¥ ¤®«ë § ¢¨á¥âì ®â ç¨á« ¢¥àè¨ ¨«¨ ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¥ ¤®«ë ¢ëத âìáï ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¢®§à áâ ¨¨ ç¨á« ¢¥àè¨. áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ⥮६ã 3 ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢.
© ¤®« ᮮ⢥âá⢮¢ âì ¤® á¨å ¯®à ¥ ¤®ª § ï ¢ 41) ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ⥮६ ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ . Ǒ®¤å®¤ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã í⮩ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬®© ⥮६ë ç¥à¥§ ®æ¥ª¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨§¬¥¥¨ï ¥£® ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¡ë«, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, 㪠§ . . ®-®á᥮¬ [126℄ ¨ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. Ǒãáâì rij ¨ ρij | à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã i-© ¨ j-© ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª , ¨§¬¥à¥ë¥ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¯à®áâà á⢥ ¨ á ¬®¬ ¢¥à¬®£®£à ¨ª¥. Ǒãáâì, ¤ «¥¥, P1 ¨ P2 | ¤¢ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª , (1) (2) è¨ë ª®â®àëå ¯®áâ ¢«¥ë ¢® ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ᮮ⢥âá⢨¥, ¨ rij(1) , rij(2) , ρij , ρij | ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¨å ¢¥àè¨ ¬¨. ¥«¨ç¨ r = max rij(1) − rij(2) å à ªâ¥à¨§ã¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¢¥«¨ç¨ã ¯à®áâà á⢥®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â P1 ª P2 , (2) | ¢¥«¨ç¨ã ¢ãâ॥© ¤¥ä®à¬ 樨. ॡã¥âáï ¤ âì ®æ¥ªã ρ = ρ(1) ij − ρij r 6 f (ρ), (1) £¤¥ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï f ¤®« ®¡à é âìáï ¢ ã«ì ¯à¨ ρ = 0 ¨ ¥ § ¢¨á¥âì ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 ¨«¨ § ¢¨á¥âì ®â á ¬ëå ®¡é¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¨å ä®à¬ë, ª ª, ¯à¨¬¥à, ®â à ¤¨ãᮢ è ஢, ᮤ¥à é¨å P1 ¨ P2 ¨ ᮤ¥à é¨åáï ¢ ¨å. ®¯ãá⨬, çâ® â ª ï ®æ¥ª ©¤¥ . Ǒãáâì F1 ¨ F2 | ¤¢¥ ¨§®¬¥âà¨çë¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ®§ì¬¥¬ ¨å ¤®áâ â®ç® £ãáâë¥ á¥â¨ â®ç¥ª A1i , A2i , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤à㣠¤àã£ã ¢ ᨫ㠨§®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®â®¡à ¥¨ï F1 F2 . ¯¨è¥¬ ¢ F1 ¨ F2 § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P1 ¨ P2 á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ íâ¨å â®çª å. ®£¤ , ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, 祬 40) ⨠ãá«®¢¨ï ¬®® ©â¨ ¢ [18℄ ¨«¨ ¢ ¤à㣮© ä®à¬¥ ¢ [15℄. 41) ¥¯¥àì íâ ®¡é ï ⥮६ ¤®ª § . . Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ [168℄ ¨, ¨ë¬ ¯ã⥬, . . ®«ª®¢ë¬ [88℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
138
. .
£ãé¥ á¥âì â®ç¥ª Ai , ⥬ ¡«¨¥ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨, ¨§¬¥à¥®¥ ¬®£®£à ¨ª¥, ¯®¤å®¤¨â ª à ááâ®ï¨î, ¨§¬¥à¥®¬ã ¯®¢¥àå®áâ¨. â ª ª ª ¯®¢¥àå®á⨠¨§®¬¥âà¨çë, ⮠⥬ á ¬ë¬ ¢¥«¨ç¨ ρ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 áâ६¨âáï ª ã«î ¯® ¬¥à¥ á£ã饨ï á¥â¨ â®ç¥ª Ai .
᫨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ®æ¥ªã (1) á âॡ㥬묨 ᢮©á⢠¬¨, â® ¯à¨ → 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì r → 0. ® r = max rij(1) − rij(2) ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¬ ªá¨¬ã¬ à §®á⨠¯à®áâà á⢥ëå à ááâ®ï¨© ¬¥¤ã ᮮ⢥âá⢥묨 â®çª ¬¨ Ai , Aj ¯®¢¥àå®á⥩ F1 ¨ F2 . Ǒ®í⮬㠤®«® ¡ëâì r = 0, â.¥. ¯®¢¥àå®á⨠F1 ¨ F2 à ¢ë 42) . «®£¨çë© ¯®¤å®¤ ¢®§¬®¥ ¯à¨®à¨ ª «î¡®© ¤à㣮© ⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨. ¤ ª®, ᪮«ìª® ï § î, ¨ ¤«ï ®¤®© ¨§ ¨å ¥ ¨§¢¥áâ ¨ ®¤ ®æ¥ª ¥« ¥¬®£® ⨯ , ¨ ¯®â®¬ã â ª®© ¯®¤å®¤ ª ¯¥à¥®áã ⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨ á ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¡é¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠®áâ ¥âáï ¯®ª ¢ ®¡« á⨠ç¨áâëå £¨¯®â¥§ 43) . ª ¥ ®¡á⮨⠤¥«® ¨ á ⥮६ ¬¨ ¥á⪮áâ¨. Ǒ®í⮬ã íâ¨ â¥®à¥¬ë ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¤®ª §ë¢ îâáï ¨ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. ®«¥¥ ⮣®, ¯à¨¬¥à, â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ¥á⪮á⨠§ ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© (áâ 樮 ன) ¢ãâ॥© ¬¥âਪ®© ¤® á¨å ¯®à ¢®®¡é¥ ¥ ¤®ª § ë ¡¥§ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¯à¥¤¯®«®¥¨© ® ¥ª®â®à®© ॣã«ïà®á⨠¯®¢¥àå®á⨠44) . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¢®¯à®á å ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ¥á⪮áâ¨ â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å ¬®£ãâ á«ã¨âì «¨èì 㪠§ ¨¥¬ १ã«ìâ â, ª ª®â®à®¬ã ¬®® áâ६¨âìáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª «î¡ë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬. 4. ⥮६ ¬¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¥«® ®¡á⮨⠣®à §¤® ¯à®é¥: ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ â¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯¥à¥®áïâáï ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®¡é¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. â®â ¯¥à¥å®¤ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢ ®¡é¨å ç¥àâ å á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. Ǒãáâì ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ 묨 B0 . Ǒãáâì ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ 㥠¨§¢¥áâ . ®£¤ ¤®ª §ë¢ ¥¬ ⥮६ã á室¨¬®áâ¨: ¥á«¨ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ Pn á室ïâáï ª ¯®¢¥àå®á⨠F , â® ¨å ¤ ë¥ PP á室ïâáï ¢ ⮬ ¨«¨ ¨®¬ á¬ëá«¥ ª ¤ ë¬ BF , ®â®áï騬áï ª F . â á室¨¬®á⨠¤ ëå B âॡã¥âáï «¨èì, çâ®¡ë ® ¡ë« ®¤®§ 箩, â.¥. Bn ¥ ¬®£ãâ ¨¬¥âì ¤¢ãå ¯à¥¤¥«®¢ ¢ á¬ëá«¥ í⮩ á室¨¬®áâ¨. ⥬ áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ ëå Bn , á室ïé¨åáï ª B0 ¨ ®â®áïé¨åáï ª ¬®£®£à ¨ª ¬. Ǒ® ⥮६¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ áãé¥áâ¢ãîâ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ Pn á ¤ 묨 Bn. § íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ë¡¨à ¥¬ á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pn , çâ®, ®ª §ë¢ ¥âáï, ¢á¥£¤ ¬®® ᤥ« âì. Ǒ।¥« í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¡ã¤¥â ¥ª®â®à®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâìî. Ǒ® ⥮६¥ á室¨¬®á⨠Bn á室ïâáï ª BF ¨ ¢¬¥á⥠á ⥬ ¯® § ¤ ¨î Bn á室ïâáï ª B0 , â ª ª ª ¯à¥¤¥« ¤ ëå Bn ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ®¤¨, â® BF = B0 , â.¥. ¯®¢¥àå®áâì F ¨¬¥¥â ¤ ë¥ B0 .
᫨ ¤ ë¥ B0 ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¯®àãî äãªæ¨î H (n), â® á室¨¬®áâì ¤ ëå Bm ª B0 ¥áâì ¯à®áâ® á室¨¬®áâì ®¯®àëå äãªæ¨©, ¨«¨ á室¨¬®áâì ®¯®àëå ç¨á¥« hi ª § ç¥¨ï¬ ®¯®à®© äãªæ¨¨ H (n) ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ni ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ni áä¥à¥ ¡¥á¯à¥¤¥«ì® á£ãé ¥âáï.
᫨ B0 ¥áâì ¬¥âਪ ρ(X, Y ), § ¤ ï áä¥à¥ S, â® ¥¥ ã® ¯à¨¡«¨ âì ¬®£®£à 묨 ¬¥âਪ ¬¨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë. ¥®à¥¬ ¥ ® á室¨¬®á⨠¬¥âਪ ¢ë£«ï¤¨â â ª: ¥á«¨ § ¬ªãâë¥ ¨«¨ ¡¥áª®¥çë¥ ¯®«ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠n á室ïâáï 42) ¬¥® íâ®â ¯ãâì ॠ«¨§®¢ ¢ à ¡®â¥ . . ®«ª®¢ [88℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 43) ¥¯¥àì ªà®¬¥ [88℄ á«¥¤ã¥â 㪠§ âì â ª¥ à ¡®âë [87, 98, 119℄ ¨ [173, £«. 7℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 44) ¥¯¥àì ®¨ ¤®ª § ë . . Ǒ®£®à¥«®¢ë¬, á¬. [173, £«. 4℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . n
i
i
i
i
. II:
§ 8.
139
Ǒ Ǒ
ª ¨ â®çª¨ Xn , Yn n á室ïâáï ᮮ⢥âá⢥® ª X , Y , â® ρ (Xn , Yn) á室ïâáï ª ρ (X, Y ).
᫨ B0 ¥áâì ®¤ ¨§ äãªæ¨© ¬®¥á⢠F (M ) ¨«¨ ω(M ) ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥ E , â® á室¨¬®áâì á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì ¢ á¬ëá«¥ á« ¡®© á室¨¬®áâ¨.
᫨ ϕn(M ) ¨ ϕ(M ) | ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ë¥ äãªæ¨¨ ¬®¥á⢠áä¥à¥ E , â® £®¢®àïâ, çâ® ϕn á« ¡® á室ïâáï ª ϕ, ¥á«¨ ¤«ï ¢á类© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f (X ) â®çª¨ X áä¥à¥ E n
lim n→∞
Z
E
( ) ( )=
f X ϕn dM
Z
( )( )
f X ϕ dM ,
E
£¤¥ ¨â¥£à « ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ ¤® 45) . ¤ ë¥ äãªæ¨¨ F (M ) ¨ ω(M ) ã® ¯à¨¡«¨ âì ¢ á¬ëá«¥ á« ¡®© á室¨¬®á⨠ý¤¨áªà¥â묨þ äãªæ¨ï¬¨ Fn(M ) ¨ ωn (M ), ¨¬¥î騬¨ ª®¥çë¥ £à㧪¨ ¢ ¤ ëå â®çª å ¨ ®¡à é î騬¨áï ¢ ã«ì ¤«ï ¢á¥å M , ¥ ᮤ¥à é¨å íâ¨å â®ç¥ª. ¥â®¤ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ¤à㣨¬ ¯®¢¥àå®áâï¬ ¡ë« ¢¯¥à¢ë¥ ¯à¨¬¥¥ ¨ª®¢áª¨¬ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§®© K (n), § ¤ ®© ª ª äãªæ¨ï ¢¥è¥© ®à¬ «¨.
᫨ M | ¬®¥á⢮ áä¥à¥ E , â® F (M ) = R Kdω(n) (£¤¥ dω | í«¥¬¥â ¯«®é ¤¨ E ) M ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯«®é ¤ì ⮣® ¬®¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠, áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ª®â®à®£® ï¥âáï M . «¥¤®¢ ⥫ì®, 㪠§ ï ⥮६ ¨ª®¢áª®£® | ç áâë© á«ãç © ®¡é¥© ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á § ¤ ®© ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¥© F (M ). § 8. á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ⮯®«®£¨¨
1. £«ï¤ë¥ ®á®¢ ¨ï. ®¯®«®£¨î ¬®® £«ï¤® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª âã ç áâì ®¡é¥© £¥®¬¥âਨ, £¤¥ ¯à¨ ¨§ã票¨ 䨣ãàë ¯à¨¨¬ ¥âáï ¢® ¢¨¬ ¨¥ ⮫쪮 ¢§ ¨¬®¥ ¯à¨«¥£ ¨¥ ¥¥ ç á⥩. ®á®¢¥ ®¡é¥£® ¯®ïâ¨ï ý¯à¨«¥£ ¨ïþ «¥¨â â® £«ï¤®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ª®â®à®¥ ¢ë§ë¢ ¥â á«¥¤ãî騥 ã⢥थ¨ï: ®ªàã®áâì ¯à¨«¥£ ¥â ª ¢ãâ८á⨠ªà㣠; ®¤® ¯®«ãè ਥ ¯à¨«¥£ ¥â ª ¤à㣮¬ã, â ª çâ® áä¥à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ¤¢ãå ¯à¨«¥£ îé¨å ¯®«ãè ਩; ® ¥á«¨ ¨áª«îç¨âì íª¢ â®à, â® ¯®«ãè à¨ï 㥠¥ ¡ã¤ã⠯ਫ¥£ âì ¤à㣠ª ¤àã£ã: ®¨ ®ª §ë¢ îâáï ª ª ¡ë ®â१ 묨 ®¤® ®â ¤à㣮£® à §à¥§®¬ ¯® íª¢ â®àã. ¢â®à ®â¤ « ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ¢¢¥¤¥¨î ⮯®«®£¨ç¥áª®© áâàãªâãàë ç¥à¥§ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¢¢¨¤ã £«ï¤®© ïá®á⨠¯®«ãç îé¨åáï ¯à¨ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥¨© ®á®¢ëå ¯®ï⨩: ¥¯à¥à뢮£® ®â®¡à ¥¨ï, £à ¨æë, á¢ï§®á⨠¨ ¤à.46) 45) â®
¯®ï⨥ á室¨¬®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯®ïâ¨î á« ¡®© á室¨¬®á⨠äãªæ¨® «®¢, ¬®® å à ªâ¥à¨§®¢ âì ¯à®áâ묨 £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ϕn (M ) > 0 ¤«ï ¢á¥å M (ª ª íâ® ¢¥à® ¤«ï è¨å äãªæ¨© F ¨ ω ), â® ϕn á« ¡® á室ïâáï ª ϕ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n→∞ lim ϕn (E ) = ϕ(E ) ¨ ¤«ï ¢á类£® § ¬ªã⮣® M lim ϕn (M ) 6 ϕ(M ). ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ¨ ¤à㣨å å à ªâ¥à¨á⨪ á« ¡®© á室¨¬®á⨠n→∞ äãªæ¨© ¬®¥á⢠¤ ® ¢ ¬®¥© à ¡®â¥ [232℄, १ ¨ § 15{17 í⮩ à ¡®âë. ®ª § ⥫ìá⢠⥮६ ® á« ¡®© á室¨¬®á⨠äãªæ¨© F ¨ ω ¤«ï á室ïé¨åáï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¤ ë ¢ à ¡®â å [9, 10℄; á¬. â ª¥ ª¨£ã [18℄. 46) ᯮ«ì§®¢ ï ¢â®à®¬ ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ â¥à¬¨®«®£¨ï á¨«ì® ãáâ ५ . ¨â â¥«ì ¬®¥â ®§ ª®¬¨âìáï á ¡®«¥¥ ᮢ६¥ë¬ ¨§«®¥¨¥¬ ç « ⮯®«®£¨¨ ¯® ç á⨠5 ª¨£¨ . . «¥ªá ¤à®¢ ¨ . . ¥æ¢¥â ¥¢ [43℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
140
. .
Ǒ®¯ëâ ¥¬áï ¥é¥ ¥¬®£® ¯à® «¨§¨à®¢ âì è¥ £«ï¤®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ¯à¨«¥£ ¨¨. áïª ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï 䨣ãà ¥áâì ¬®¥á⢮, ¨«¨, ª ª £®¢®àïâ ¢ í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ, ý£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ®þ â®ç¥ª, ¨ ¢ í⮬ ¬®¥á⢥ ¨¬¥¥âáï £«ï¤® ¯®¨¬ ¥¬®¥ ¯à¨«¥£ ¨¥ ¥£® ç á⥩ ¤à㣠ª ¤àã£ã. á®¢ë¬ ï¢«ï¥âáï ¯®ï⨥ ® ¯à¨«¥£ ¨¨ ®¤®© â®çª¨ ª ¬®¥áâ¢ã â®ç¥ª. 襬 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ â®çª ¯à¨«¥£ ¥â ª ¬®¥áâ¢ã, ¥á«¨ ® ¡¥áª®¥ç® ¡«¨§ª ª ¥¬ã, ª ª, ¯à¨¬¥à, ¢¥àè¨ ª¢ ¤à â ª ¥£® ¢ãâ८áâ¨; â®â ä ªâ, çâ® â®çª ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®¥áâ¢ã, ¬ë ⮥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª ª ¯à¨«¥£ ¨¥. ¤ã¬ë¢ ïáì, ¤ «¥¥, ¢ ¯®ï⨥ ¯à¨«¥£ ¨ï, ¬ë § ¬¥ç ¥¬, çâ® ¤¢ ¬®¥á⢠| ¤¢¥ 䨣ãàë (¨«¨ ¤¢¥ ç á⨠®¤®© 䨣ãàë) | ¯à¨«¥£ îâ ¤à㣠ª ¤àã£ã ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ å®âï ¡ë ¢ ®¤®© ¨§ ¨å ¥áâì â®çª , ¯à¨«¥£ îé ï ª ¤à㣮©. áᬠâਢ ï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ⮫쪮 çâ® ¯à¨¬¥àë, ¬ë £«ï¤® ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ¨¬¥® ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ®ªàã®áâì ¯à¨«¥£ ¥â ª ¢ãâ८á⨠ªà㣠, ¤¢ ¯®«ãè à¨ï ¯à¨ ¨áª«î祮¬ íª¢ â®à¥ ¥ ¯à¨«¥£ îâ ¤à㣠ª ¤àã£ã (¯®â®¬ã çâ® ¢áïª ï â®çª ®¤®£® ¯®«ãè à¨ï 㤠«¥ ®â â®ç¥ª ¤à㣮£® ¥ ¬¥ìè¥, 祬 à ááâ®ï¨¥ ¥¥ ¤® íª¢ â®à ). 2. ¡é¥¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮. ¡áâà ªâ®¥ ®¡®¡é¥¨¥ íâ¨å £«ï¤ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ïâ¨î ®¡é¥£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠. ¬¥®, ¯ãáâì ¨¬¥¥âáï ¥ª®â®à®¥ ¬®¥á⢮ ª ª¨å-«¨¡® í«¥¬¥â®¢, ª®â®àë¥ ¬ë §®¢¥¬ â®çª ¬¨. ®¥á⢮ §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬, ç áâ¨, â. ¥.
ª ¤®¬ã ᮤ¥à 饬ãáï ¢ ¥¬ ¬®¥áâ¢ã
«¨¡® ¯à ¢¨«ã â®çª¨, ¯à¨«¥£ î騥 ª ¥áâ¢
M.
M,
M,
¥á«¨ ª ¤®© ¥£®
®â®áïâáï ¯® ª ª®¬ã-
¨«¨, ª ª £®¢®àïâ, â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¬®-
Ǒਠí⮬ ¨ á ¬¨ â®çª¨ ¬®¥áâ¢
M
áç¨â îâáï ¥£® â®çª ¬¨ ¯à¨ª®á-
. ® ¬ë ¯à¨á®¥¤¨ï¥¬ ¥é¥ ¥áâ¥á⢥®¥ ãá«®¢¨¥, çâ® ýá 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¬®¥á⢠ç¨á«® â®ç¥ª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¥ ã¡ë¢ ¥âþ, â.¥., £®¢®àï áâண®, çâ® ¥á«¨ M1 ᮤ¥à¨âáï ¢ M2 , â® ¢áïª ï â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤«ï M1 ¡ã¤¥â â ª®¢®© ¨ ¤«ï M2 . ¢ ¬®¥á⢠¢ ®¡é¥¬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬ë §ë¢ ¥¬ ¯à¨«¥£ î騬¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã, ¥á«¨ å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ¨å ᮤ¥à¨â â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤à㣮£®. á®, çâ® í⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®¢â®àïîâ ¢ ¥áª®«ìª® ¨ëå á«®¢ å â®, çâ® £®¢®à¨«®áì ¢ëè¥ ® ¯à¨«¥£ ¨¨ 䨣ãà ¨ â®ç¥ª. ¬ë¬ ®á®¢ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ ®¡é¥£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠ï¥âáï n-¬¥à®¥ ýç¨á«®¢®¥þ ¨«¨ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ 47) .
£® â®çª ¬¨ ïîâáï ¢á¥¢®§¬®ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¯® n ç¨á¥« (x1 , x2 , . . . , xn ). ®çª a = (a1 , a2 , . . . , an ) áç¨â ¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¬®¥á⢠A, ¥á«¨ ¢ A ¨¬¥îâáï â®çª¨ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¥ ª a, â.¥. ¯à¨ ¢á类¬ ε > 0 ¢ A ©¤¥âáï â®çª x â ª ï, çâ® |x1 − a1 | < ε, . . . , |xn − an | < ε. í⮬ á«ãç ¥ «¨¡® â®çª a ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®¥áâ¢ã A, «¨¡® ¢ A ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª xi , á室ïé ïáï ª a, â.¥. â ª ï, çâ® à §®á⨠ª®®à¤¨ â â®ç¥ª xi ¨ â®çª¨ a áâ६ïâáï ª ã«î. ¨á«®¢ ï ¯àï¬ ï ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ®¤®¬¥à®¥ ç¨á«®¢®¥ ¯à®áâà á⢮. «®£¨ç® ç¨á«®¢ ï ¯«®áª®áâì (x, y) ¥áâì ¤¢ã¬¥à®¥ ç¨á«®¢®¥ ¯à®áâà á⢮.
᫨ ç¨á« xi «®¨âì ãá«®¢¨¥, çâ® ¢á¥ ®¨ § ª«îç¥ë ¢ ¤ ëå ¯à¥¤¥« å, ¯à¨¬¥à 0 < xi < 1 (i = 1, . . . , n), â® â ª®¥ ¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï n-¬¥àë¬ (ç¨á«®¢ë¬) ªã¡®¬, â®ç¥¥, ¢ãâ८áâìî ªã¡ , ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯®«®£® ªã¡ , ª®â®àë© ¢ª«îç ¥â â ª¥ £à ¨ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢠¬¨ 0 6 xi 6 1. à¥å¬¥à®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ â ª¥ ï¥âáï ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¢ ᨫã á«¥¤ãî饣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï â®ç¥ª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï: â®çª a ¥áâì â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¬®¥á⢠A, ¥á«¨ ¢ A ¨¬¥îâáï â®çª¨ x, ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¥ ª a. ®¢¥¨ï
47)
£® §ë¢ îâ ¥¢ª«¨¤®¢ë¬, ®â¢«¥ª ïáì, ®¤ ª®, ®â ¢á¥å ¥£® ᢮©áâ¢, ªà®¬¥ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å.
. II:
§ 8.
Ǒ Ǒ
141
Ǒਬ¥à®¬ ®¡é¥£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠¬®¥â á«ã¨âì â ª¥ «î¡ ï à §¢¥à⪠. Ǒਠí⮬ â®çª¨, ¯®¤«¥ 騥 ᪫¥¨¢ ¨î ¤àã£ á ¤à㣮¬, áç¨â îâáï § ®¤ã.
᫨ M | ¬®¥á⢮ â®ç¥ª à §¢¥à⪨, â® â®çª a à §¢¥à⪨ áç¨â ¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤«ï M , ª®£¤ ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ª a ¨«¨ ª ᪫¥¨¢ ¥¬®© á ¥© â®çª®© ¨¬¥îâáï â®çª¨ ¬®¥á⢠M . á类¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª A ¢ ®¡é¥¬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ R ¬®¥â á ¬® à áᬠâਢ âìáï ª ª ®¡é¥¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ¢ ᨫã á«¥¤ãî饣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï: ¥á«¨ ¬®¥á⢮ M ᮤ¥à¨âáï ¢ A, â® â®çª a, ¯à¨ ¤«¥ é ï A, áç¨â ¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¬®¥á⢠M ¢ A, ¥á«¨ ® ï¥âáï ¥£® â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¢® ¢á¥¬ R. ®¢®àïâ, çâ® A ¥áâì ¯à®áâà á⢠R. í⮬ á¬ëá«¥ ¢áïª ï 䨣ãà A ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ï¥âáï ®¡é¨¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬. ®çª a, ¯à¨ ¤«¥ é ï A, áç¨â ¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¬®¥á⢠M , ᮤ¥à 饣®áï ¢ A, ¥á«¨ ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ®â ¥¥ ¨¬¥îâáï â®çª¨ ¬®¥á⢠M . ®ç® â ª ¥ ¢áïª ï ç áâì n-¬¥à®£® ç¨á«®¢®£® ¯à®áâà á⢠®ª §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬. 3. ¬ªãâë¥ ¨ ®âªàëâë¥ ¬®¥á⢠; £à ¨æ . ¥çì ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ® ¬®¥áâ¢ å ¢ «î¡®¬ ®¡é¥¬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥. ®¥á⢮ §ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ®® ᮤ¥à¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï. ®¥á⢮ §ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ (â.¥. ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¥ ¯à¨ ¤«¥ é¨å ¥¬ã â®ç¥ª) § ¬ªãâ®. â® à ¢®á¨«ì® á«¥¤ãî饬㠮¯à¥¤¥«¥¨î: ¬®¥á⢮ ®âªàëâ®, ¥á«¨ ¨ ®¤ ¥£® â®çª ¥ ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¥£® ¤®¯®«¥¨ï; ¯®â®¬ã ç⮠⮣¤ á ¬® ¤®¯®«¥¨¥ ᮤ¥à¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï, â.¥. § ¬ªãâ®. ®çª §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¬®¥á⢠M , ¥á«¨ ® ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á¬®¥á⢠¥áâì ¬®¥á⢮ ¢á¥å ®¢¥¨ï ª ª ¤«ï M , â ª ¨ ¤«ï ¥£® ¤®¯®«¥¨ï. ¥£® £à ¨çëå â®ç¥ª. ®çª ¬®¥á⢠§ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ® ¥ «¥¨â ¥£® £à ¨æ¥, â.¥. ¥ ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤®¯®«¥¨ï. § í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ïá®, çâ® ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¢á¥ ¥£® â®çª¨ | ¢ãâ२¥. Ǒਬ¥àë. Ǒ®«ã¯à®áâà á⢮ ¢¬¥áâ¥ á ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¯«®áª®áâìî ¥áâì § ¬ªã⮥ ¬®¥á⢮; ¡¥§ ¥¥ ®® | ®âªàë⮥; 㪠§ ï ¯«®áª®áâì ¥áâì ¥£® £à ¨æ . ã¡ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢠¬¨ 0 6 xi 6 1 (i = 1, . . . , n).
£® ¢ãâ८áâì ®¡à §ãîâ â®çª¨, ¤«ï ª®â®àëå 0 < xi < 1. à ¨æ ¥£® á®á⮨⠨§ â®ç¥ª, ¤«ï ª®â®àëå 0 6 xi 6 1 (i = 1, . . . , n) ¨ å®âï ¡ë ¢ ®¤®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® § ª à ¢¥á⢠. â®çª¨ §ë¢ îâ, ª ª ¯à ¢¨«®, «î¡®¥ ᮤ¥à 饥 íâã â®çªã ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. ªà¥áâ®áâì ⥬ á ¬ë¬ â ª ®ªàã ¥â â®çªã, çâ® ¯®á«¥¤ïï ¥ ¡ã¤¥â â®çª®© ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤«ï ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¬®¥á⢠. â® ¢ëïáï¥â £«ï¤ë© á¬ëá« á«®¢ ý®ªà¥áâ®áâìþ. 4. ¢ï§®áâì. ®¥á⢮ §ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ®® ¥ ¬®¥â ¡ëâì à §«®¥® ¤¢¥ ¥ ¯à¨«¥£ î騥 ¤à㣠ª ¤àã£ã ç áâ¨. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨«¥£ ¨ï íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®¥á⢮ ¥ ¬®¥â ¡ëâì à §«®¥® â ª¨¥ ¤¢¥ ç áâ¨, çâ® ¨ ®¤ ¨§ ¨å ¥ ᮤ¥à¨â â®ç¥ª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤à㣮©.
᫨ á ¬®¥ ¬®¥á⢮ M à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®áâà á⢮ (¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢á¥£® ¤ ®£® ¯à®áâà á⢠), â® ¢ ¥¬ ¥áâ¥á⢥® ®¯à¥¤¥«ïîâáï M ; ª®à®âª®: § ¬ªãâë¥ ¨ ®âªàëâë¥ ¢ M . ¯®¤¯à®áâà á⢮
§ ¬ªãâë¬,
®âªàëâë¬,
£à ¨ç®©
à ¨æ
¢ãâ॥©,
ªà¥áâ®áâìî
á¢ï§ë¬,
§ ¬ªãâë¥ ¨ ®âªàëâë¥ ¬®-
¥á⢠®â®á¨â¥«ì® á ¬®£®
142
. .
¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ :
®¥á⢮ M á¢ï§® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® ¥ ¬®¥â ¡ëâì à §«®¥® ¤¢¥ ¥¯ãáâë¥ ç áâ¨, ïî騥áï § ¬ªãâ묨 (¨«¨ ®âªàëâ묨) M .
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì M ¥á¢ï§®, â.¥. ¤®¯ã᪠¥â à §«®¥¨¥ ¤¢¥ ¥¯ãáâë¥ ç á⨠¨ M2 â ª, çâ® ¨ ¢ ®¤®© ¨§ ¨å ¥â â®ç¥ª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤à㣮©. ®£¤ M1 ¨ M2 á ¬¨ ᮤ¥à ⠢ᥠ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¢ M ¨, § ç¨â, § ¬ªãâë ¢ M . â ª ª ª ®¨ ¤®¯®«ïîâ ¤à㣠¤à㣠, â® ®¨ ®¤®¢à¥¬¥® ®ª §ë¢ îâáï ®âªàëâ묨 ¢ M . Ǒãáâì ⥯¥àì M à §«®¥® ç á⨠M ′ ¨ M ′′ , § ¬ªãâë¥ ¢ M . â® ®§ ç ¥â, çâ® ′ M ¨ M ′′ á ¬¨ ᮤ¥à â ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¢ M , â.¥. ¥ ¯à¨«¥£ îâ, ¨ M ⥬ á ¬ë¬ ¥á¢ï§®. ª ª ª M ′ ¨ M ′′ ¤®¯®«ïîâ ¤à㣠¤à㣠¤® M , â®, ¯®áª®«ìªã M ′ § ¬ªãâ®, M ′′ ®âªàëâ® ¨ ¯® «®£¨ç®© ¯à¨ç¨¥ M ′ â ª¥ ®âªàëâ®. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §«®¥¨¥ ¤¢ § ¬ªãâëå ¬®¥á⢠ï¥âáï ¢á¥£¤ à §«®¥¨¥¬ ®âªàëâë¥ ¬®¥á⢠. ®¢¥à襮 â ª ¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ®¡à ⮥: çâ® à §«®¥¨¥ ®âªàëâë¥ ¬®¥á⢠®ª §ë¢ ¥âáï ¢á¥£¤ à §«®¥¨¥¬ § ¬ªãâë¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ ¯®«®áâìî ¤®ª § . ¥á«¨ M1 á¢ï§® ¨ ¥ áâì M1 ¬®¥á⢠M §ë¢ ¥âáï ¥£® ᮤ¥à¨âáï ¨ ¢ ª ª®© á¢ï§®© ç á⨠¬®¥á⢠M , ªà®¬¥ á ¬®£® ᥡï. á类¥ ¬®¥á⢮ «¨¡® á¢ï§®, «¨¡® à ᯠ¤ ¥âáï á¢ï§ë¥ ª®¬¯®¥âë, ¥ ¨¬¥î騥 ®¡é¨å â®ç¥ª. ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® á«¥¤ãî饩 ⥮६¥:
᫨ á¢ï§ë¥ ¬®¥á⢠Mξ ¨¬¥îâ å®âï ¡ë ®¤ã ®¡éãî â®çªã a, â® í⨠¬®¥á⢠¢ á㬬¥ ®¡à §ãîâ á¢ï§®¥ ¬®¥á⢮. ®ª ¥¬ á ç « íâã ¯®á«¥¤îî ⥮६ã. Ǒãáâì á¢ï§ë¥ ¬®¥á⢠Mξ ®¡à §ãîâ ¢ á㬬¥ ¬®¥á⢮ M .
᫨ ¡ë M ¡ë«® ¥á¢ï§®, â® ®® à ᯠ¤ «®áì ¡ë ¥¯à¨«¥£ î騥 ç á⨠M ′ ¨ M ′′ . ª ª ª M ′ ¨ M ′′ ®¡à §ãîâ ¢ á㬬¥ ¢á¥ M , â® ¤«ï ª ¤®£® ¬®¥á⢠Mξ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: «¨¡® ®® 楫¨ª®¬ ᮤ¥à¨âáï ¢ ®¤®¬ ¨§ ¬®¥á⢠M ′ , M ′′ , «¨¡® ®® ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ®¡®¨¬¨ í⨬¨ ¬®¥á⢠¬¨. â®à ï ¢®§¬®®áâì ¨áª«îç ¥âáï. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ Mξ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩ Mξ′ ¨ Mξ′′ , ¢å®¤ïé¨å ¢ M ′ ¨ M ′′ , â®, ¯®áª®«ìªã M ′ ¨ M ′′ ¥ ¯à¨«¥£ îâ, Mξ′ ¨ Mξ′′ â ª¥ ¥ ¯à¨«¥£ îâ. १ã«ìâ ⥠Mξ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥á¢ï§ë¬, ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î. ® ¥á«¨ ¢â®à ï ¢®§¬®®áâì ¨áª«îç¥ , â® ª ¤®¥ Mξ ᮤ¥à¨âáï 楫¨ª®¬ ¢ M ′ ¨«¨ ¢ M ′′ . ®£¤ , ¯®áª®«ìªã ¢á¥ Mξ ¨¬¥îâ ®¡éãî â®çªã, M ′ ¨ M ′′ â ª¥ ¤®«ë ¡ë«¨ ¡ë ¨¬¥âì ®¡éãî â®çªã, â.¥. ¯à¨«¥£ «¨ ¡ë ¤à㣠ª ¤àã£ã. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® à §«®¥¨¥ ¢á¥£® ¬®¥á⢠M ¥¯à¨«¥£ î騥 ç á⨠M ′ ¨ M ′′ ¥¢®§¬®® ¨ M á¢ï§®. ®ª ¥¬ ⥯¥àì áä®à¬ã«¨à®¢ ®¥ ¢ëè¥ ã⢥थ¨¥ ® à ᯠ¤¥¨¨ á¢ï§ë¥ ª®¬¯®¥âë. ¤ ï â®çª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¢ï§®¥ ¬®¥á⢮, ¯®áª®«ìªã ® ¢®¢á¥ ¥à §«®¨¬ . ®§ì¬¥¬ ª ªãî-¨¡ã¤ì â®çªã x ¤ ®£® ¬®¥á⢠M ¨ ®¡à §ã¥¬ á㬬㠢á¥å á¢ï§ëå ¬®¥áâ¢, ᮤ¥à é¨å x ¨ ᮤ¥à é¨åáï ¢ M . ª¨¥ ¬®¥á⢠¨¬¥îâáï, ¯®áª®«ìªã á ¬ â®çª x ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤® ¨§ ¨å. Ǒ®«ã祮¥ ¬®¥á⢮ | ®¡®§ 稬 ¥£® M (x) | ¡ã¤¥â á¢ï§ë¬ ¢ ᨫã ⮫쪮 çâ® ¤®ª § ®© ⥮६ë. Ǒ® á ¬®¬ã ¥£® ¯®áâ஥¨î ®® ¥ ᮤ¥à¨âáï 㥠¨ ¢ ª ª®¬ á¢ï§®¬ ¬®¥á⢥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ï¥âáï á¢ï§®© ª®¬¯®¥â®©.
᫨ M (y) | ¬®¥á⢮, ®¯à¥¤¥«¥®¥ â ª¨¬ ¥ ®¡à §®¬ ¤«ï ¤à㣮© â®çª¨ y, â® ®® â ª¥ á¢ï§®.
᫨ ®® ¨¬¥¥â á M (x) ®¡é¨¥ â®çª¨, â® ¢ ᨫã ⮩ ¥ â¥®à¥¬ë ®¡ê¥¤¨¥¨¥ M (x) ∪ M (y ) ¡ã¤¥â á¢ï§ë¬ ¬®¥á⢮¬. ® ᮤ¥à¨â â®çªã x, ¯®â®¬ã ¤®«® ᮤ¥à âìáï ¢ M (x), â ª ª ª ¯® ¯®áâ஥¨î ¬®¥á⢮ M (x) ᮤ¥à¨â ¢á¥ á¢ï§ë¥ ¬®¥á⢠, M1
á¢ï§®© ª®¬¯®¥â®©,
. II:
§ 8.
143
Ǒ Ǒ
¢ª«îç î騥 â®çªã x. ® ¥ ¢¥à® ¢ ®â®è¥¨¨ M (y). Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¬®¥á⢠M (x) ¨ M (y) ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ â®çª¨, â® ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ¯à¥¤¥«ïï ¤«ï ª ¤®© â®çª¨ x ¬®¥á⢮ M (x), ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® í⨠¬®¥á⢠«¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å â®ç¥ª. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ ¬®¥á⢮ M à ᯠ¤ ¥âáï ¥ ¨¬¥î騥 ®¡é¨å â®ç¥ª á¢ï§ë¥ ª®¬¯®¥âë M (x)), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ⬥⨬ ¥é¥ ¤¢ ¯à¥¤«®¥¨ï. 1.
᫨ ¢ ¬®¥á⢥ M ¤«ï ª ¤ëå ¤¢ãå â®ç¥ª áãé¥áâ¢ã¥â ᮤ¥à 饥 ¨å á¢ï§®¥ ¬®¥á⢮, â® á ¬® M á¢ï§®. 2. á¢ï§®¬ ®âªàë⮬ ¬®¥á⢥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(¨«¨ n-¬¥à®£® ç¨á«®¢®£® ¯à®áâà á⢠) ª ¤ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë «®¬ ®©. ë ¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬ í⨠¯à¥¤«®¥¨ï ¨ ®áâ ¢«ï¥¬ ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠ç¨â ⥫î. 5. â®¡à ¥¨ï. Ǒãáâì X ¨ Y | ¤¢ ¬®¥á⢠¢ ®¤®¬ ¨«¨ à §ëå ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢠å. ®¯®áâ ¢«¥¨¥ ª ¤®© â®çª¥ x ¨§ X ¥ª®â®à®© â®çª¨ y ¨§ Y §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢠X ¢ Y . ¡®§ ç ï á ¬®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ç¥à¥§ ϕ, ç á⨠X ′ ¬®¥á⢠X ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¯à¨ í⮬ ç áâì Y ′ ¯¨èãâ: y = ϕ(x′). ¤®© ¬®¥á⢠Y : Y = ϕ(X ′ ). ¤¥áì Y ′ §ë¢ ¥âáï X′ X′ | Y′ ãªæ¨ï y = f (x) ¢¥é¥á⢥®© ¯¥à¥¬¥®© x, ®¯à¥¤¥«¥ ï ®â१ª¥ X , ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ®â®¡à ¥¨¥ í⮣® ®â१ª ¢ ç¨á«®¢ãî ¯àï¬ãî. «®£¨ç® äãªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥ëå ¥áâì ®â®¡à ¥¨¥ ç á⨠n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠, £¤¥ ® ®¯à¥¤¥«¥ , ¢ ç¨á«®¢ãî ¯àï¬ãî. â®¡à ¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ®® ¥ àãè ¥â ¯à¨«¥£ ¨© (â ª®¥ àã襨¥ ¨ ¥áâì à §àë¢ ¢ £«ï¤®¬ á¬ëá«¥). 묨 á«®¢ ¬¨, ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¥¯à¥à뢮, ¥á«¨ ®® á®åà ï¥â â®çª¨ ¯à¨ª®á®¢¥¨ï; â.¥. ¥á«¨ x ¥áâì â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤«ï X ′ , â® ϕ(x) ¥áâì â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ¤«ï ϕ(X ′ ). ç¨á«®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ â®çª x ¯à¨«¥£ ¥â ª X ′ , ¥á«¨ ¢ X ′ ¨¬¥îâáï x′ á ª®®à¤¨ â ¬¨ x′1 , . . . , x′n , ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¬¨ ª ª®®à¤¨ â ¬ â®çª¨ x. â® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® ¢ X ′ ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª x(1) , x(2) , . . . , á室ïé ïáï ª x ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® à §®á⨠ª®®à¤¨ â x(ik) − xi â®ç¥ª x(k) ¨ â®çª¨ x áâ६ïâáï ª ã«î. Ǒ®í⮬㠤«ï ϕ ¨§ ®¤®£® ç¨á«®¢®£® ¯à®áâà á⢠¢ ¤à㣮¥ ¥¯à¥à뢮áâì ®§ ç ¥â, çâ® ®â®¡à ¥¨ï ¥á«¨ x(k) → x, â® ϕ x(k) → ϕ(x) ¢ «®£¨¨ á ®¡ëçë¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨©. â®¡à ¥¨¥ ϕ §ë¢ ¥âáï ¥á«¨ ¥ ⮫쪮 ª ¤®© â®çª¥ x ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¥¤¨á⢥ ï â®çª y = ϕ(x), ® à §ë¬ x ᮯ®áâ ¢«ïîâáï à §ë¥ y. 묨 á«®¢ ¬¨, ª ¤ ï y ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤®© x. â ª®¬ á«ãç ¥ ®¡à ⮥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ−1 , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ýy-¬ x-ëþ, ¡ã¤¥â ®¤®§ çë¬.
᫨ ª ª ¯àאַ¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ, â ª ¨ ®¡à ⮥ ϕ−1 ¥¯à¥àë¢ë, â® á ¬®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ §ë¢ ¥âáï § ¨¬® ®¤®§ 箥 ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¥¨¥ §ë¢ ¥âáï
᫨ ¬®¥á⢮ X ¤®¯ã᪠¥â â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®¥á⢮ Y , â® X §ë¢ ¥âáï Y â ª ª ª ¢ ᨫ㠢§ ¨¬®© ®¤®§ ç®á⨠¨ ¢§ ¨¬®© ¥¯à¥à뢮á⨠®¡ ¬®¥á⢠¨£à îâ §¤¥áì ®¤¨ ª®¢ãî ஫ì, â® ¬®® £®¢®à¨âì, çâ® ®¨ £®¬¥®¬®àäë ¤à㣠¤àã£ã. § ¨¬ ï ®¤®§ ç®áâì ®â®¡à ¥¨ï ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ â ª®¬ ®â®¡à ¥¨ï â®çª¨ ¥ à á饯«ïîâáï ¨ ¥ ᫨¢ îâáï. § ¨¬ ï ¥¯à¥à뢮áâì ®§ ç ¥â, çâ® ¨ª ª¨¥ ¯à¨«¥£ ¨ï ¥ ¨á祧 îâ ¨ ¥ ¯®ï¢«ïîâáï. Ǒ®í⮬ã á â®çª¨ §à¥¨ï ®¤¨å ¯à¨«¥£ ¨© (®â¢«¥ª ïáì ®â ¨ëå ᢮©áâ¢ í«¥¬¥â®¢ ¨ ¬®¥áâ¢) ¤¢ £®¬¥®¬®àäëå ¬®¥á⢠¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥. ®¯®«®£¨ç¥áª¨ ®¨ ᮢ¥à襮 íª¢¨¢ «¥âë. ᥠ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¢ë¢®¤ë, â.¥. ¢ë¢®¤ë, ®á®¢ ë¥ ¯à¨«¥£ ¨¨, ¢¥àë¥ ¤«ï ®¤®£® ¨§ ¨å, ¢¥àë â ª¥ ¤«ï ¤à㣮£®. ⮠ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⮬ã, çâ® ¤¢¥ à ¢ë¥ ä¨£ãàë (â.¥. ¤®¯ã᪠î騥 ®â®¡à ¥¨¥¬
®¡à §®¬
,
¯à®®¡à §®¬
.
¥¯à¥àë¢ë¬,
¢§ ¨¬® ®¤®§ çë¬,
¢§ ¨¬® ¥¯à¥àë¢ë¬.
£®¬¥®¬®à䨧-
¬®¬.
£®¬¥®¬®àäë¬
.
144
. .
®â®¡à ¥¨¥, ¥ ¬¥ïî饥 à ááâ®ï¨© ¬¥¤ã ¨å â®çª ¬¨) £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ®¤¨ ª®¢ë. ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠, ®á®¢ ë¥ ¯®ï⨨ à ááâ®ï¨ï, ®¤¨ ª®¢ë ã â ª¨å 䨣ãà, â ª ¨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠, ®á®¢ ë¥ ¯®ï⨨ ¯à¨«¥£ ¨ï, ®¤¨ ª®¢ë ã ¤¢ãå £®¬¥®¬®àäëå ¬®¥áâ¢. 6. ®£®®¡à §¨¥. Ǒ®¤ n-¬¥àë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ¢ í⮩ ª¨£¥ â ª®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, ª ¤ ï â®çª ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, £®¬¥®¬®àäãî ¢ãâ८á⨠n-¬¥à®£® ªã¡ . 묨 á«®¢ ¬¨, íâ® ¥áâì â ª®¥ ¯à®áâà á⢮, £¤¥ ¢®ªà㣠ª ¤®© â®çª¨ ¨¬¥¥âáï ®ªà¥áâ®áâì, ¢ ª®â®à®© ¬®® ¢¢¥á⨠ª®®à¤¨ âë x1 , . . . , xn, ¨§¬¥ïî騥áï ¢ ¥ª®â®àëå ¯à¥¤¥« å, ᪠¥¬ a − ε < a + ε (i = 1, 2, . . . , n); ¯à¨ í⮬ á¢ï§ì â®ç¥ª ¨ ᮢ®ªã¯®á⥩ (x1 , x2 , . . . , xn) ®â®á¨¬ëå ¨¬ ª®®à¤¨ â ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç ¨ ¢§ ¨¬® ¥¯à¥àë¢ . ஬¥ ⮣®, ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ª ¤ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ¬®® § ª«îç¨âì ¢ ¤¢¥ ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ®á⨠48) . á类¥ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ n-¬¥à®£® ç¨á«®¢®£® ¯à®áâà á⢠ï¥âáï n-¬¥àë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ â ª®¬ ¯à®áâà á⢥ 㥠¢¢¥¤¥ë ª®®à¤¨ âë. âªàë⮥ ¬®¥á⢮ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¨ª ª ï ¥£® â®çª a ¥ ¯à¨«¥£ ¥â ª ¥£® ¤®¯®«¥¨î. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ â®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨, ¡«¨§ª¨¬¨ ª ª®®à¤¨ â ¬ â®çª¨ a, â ª¥ ᮤ¥à âáï ¢ ¤ ®¬ ¬®¥á⢥. ® ¥áâì ¢¬¥á⥠á â®çª®© a(a1 , . . . , an ) ®® ᮤ¥à¨â ¢á¥ â®çª¨ x á â ª¨¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ x1 , x2 , . . . , xn , çâ® |ai − xi | < ε, â.¥. a − ε < xi < a + ε (i = 1, . . . , n). â®, ᮣ« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î, ¨ ®§ ç ¥â, çâ® â ª®¥ ¬®¥á⢮ ¥áâì n-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥. Ǒਬ¥à®¬ ¤¢ã¬¥à®£® ¬®£®®¡à §¨ï ¬®¥â á«ã¨âì «î¡ ï à §¢¥à⪠¡¥§ £à ¨æë. ¤ ï ¥¥ â®çª ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, £®¬¥®¬®àäãî ª¢ ¤à âã, ¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, ªàã£ã. «ï â®ç¥ª ¢ãâਠ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ íâ® ïá®; ¤ «¥¥, ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ ¢ãâਠॡà ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ¤¢ãå ý¯®«ã®ªà¥áâ®á⥩þ, «¥ é¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª å, ᪫¥¨¢ ¥¬ëå ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¯® ¤ ®¬ã ॡàã; ª®¥æ, ®ªà¥áâ®áâì ¢¥àè¨ë á« £ ¥âáï ¨§ 㣫®¢ëå ᥪâ®à®¢, á室ïé¨åáï ¢ ¥© ᮣ« á® ý§ ª®ã ᪫¥¨¢ ¨ïþ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. Ǒã⥬ ᪫¥¨¢ ¨ï, â.¥. ®â®¤¥á⢫¥¨ï, ¬®® áâநâì âà¥å¬¥àë¥ ¬®£®®¡à §¨ï. ®§ì¬¥¬, ¯à¨¬¥à, ªã¡ ¨ ®â®¤¥á⢨¬ ᨬ¬¥âà¨çë¥ â®çª¨ ¥£® ¯à®â¨¢®¯®«®ëå £à ¥©; ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¥ª®â®à®¥ âà¥å¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥. ª®© ¯à¨¥¬ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ n-¬¥àëå ¬®£®®¡à §¨©: ®¨ ᪫¥¨¢ îâáï ¨§ ýà §¢¥à⮪þ, ®¡à §®¢ ëå n-¬¥à묨 ¬®£®£à ¨ª ¬¨. ®¯®«®£¨ç¥áª®¥ áâ஥¨¥ ¬®£®®¡à §¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮣¤ § ª®®¬ ᪫¥¨¢ ¨ï à §¢¥à⪨. à ¢¨â¥ íâ® á ⥮६®© ©«¥à , ¢ëà î饩 å à ªâ¥à®¥ ᢮©á⢮ § ª® ᪫¥¨¢ ¨ï áä¥àë ¨§ à §¢¥à⪨. 襩 ª¨£¥ ¬®£®®¡à §¨ï ¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¥ â ª¨¬ ¯®áâ஥¨¥¬, ® ¢ ᮣ« ᨨ á ®¡é¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï ª®®à¤¨ â ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ª ¤®£® í«¥¬¥â | â®çª¨ ¬®£®®¡à §¨ï. ¯à¨¬¥à, ¢á¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á e ¢¥àè¨ ¬¨ ®¡à §ãîâ 3e-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥. ¤ ï ¢¥àè¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âà¥¬ï ª®®à¤¨ â ¬¨, ¢á¥ e ¢¥àè¨ 3e ª®®à¤¨ â ¬¨. ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨, ¯®â®¬ã ⥬¨ ¥ 3e ª®®à¤¨ â ¬¨.
᫨ ¤ ¬®£®£à ¨ª P0 , â® ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ᬥ饨ïå ¥£® ¢¥àè¨ ¨ ®¤ ¨§ ¨å ¥ ¯®¯ ¤¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ®áâ «ìëå. Ǒ®í⮬ã ᬥé¥ë¥ ¢¥àè¨ë ¡ã¤¥â â¢ âìáï ¬®£®£à ¨ª P â ª¥ á e ¢¥àè¨ ¬¨. ®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ ¬®®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬¥ïâì ¢ ®ªà¥áâ®á⨠§ 票©, ®â®áïé¨åáï ª ¬®£®£à ¨ªã P0 ¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ý®ªà¥áâ®áâìþ í⮣® ¬®£®£à ¨ª ®â®¡à ¥âáï 3e-¬¥àë© ªã¡. 48) ¡ëç®
¢ ¯®ï⨥ ¬®£®®¡à §¨ï ¢ª«îç îâ ¥é¥ âॡ®¢ ¨ï ¥£® á¢ï§®á⨠¨ ¢®§¬®®á⨠¯®ªàëâì ¥£® ¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥âë¬ ç¨á«®¬ ®ªà¥áâ®á⥩, £®¬¥®¬®àäëå ¢ãâ८á⨠ªã¡ ( â ª¥ âॡ®¢ ¨¥, çâ®¡ë ¥£® ¬®® ¡ë«® à §¡¨âì ᨬ¯«¥ªáë). ⨠âॡ®¢ ¨ï ¬ë ®â¡à áë¢ ¥¬.
. II:
§ 9.
145
Ǒਪ®á®¢¥¨¥ ¢ â ª®¬ ¬®£®®¡à §¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬. ®£®£à ¨ª P0 ý¯à¨ª á ¥âáïþ ª ¬®¥áâ¢ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ¥á«¨ á।¨ íâ¨å ¯®á«¥¤¨å ¨¬¥îâáï â ª¨¥, ¢¥àè¨ë ª®â®àëå ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨ ª ¢¥àè¨ ¬ P0 . «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¬®£®®¡à §¨ï ¡ã¤ãâ 䨣ãà¨à®¢ âì ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ £« ¢ å IV, VII, IX. 1.
§ 9. ¥®à¥¬ ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« áâ¨
ë ¤®ª ¥¬ ⥮६ã, ª®â®à®© ®á®¢ «¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ¨¬¥®:
Ǒਠ£®¬¥®¬®à䮬 ®â®¡à ¥¨¨ n-¬¥à®£® ¬®£®®¡à §¨ï R1 ¯®¤¬®¥á⢮ n¬¥à®£® ¬®£®®¡à §¨ï R2 ¢á类¥ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ¬®£®®¡à §¨ï R1 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ¬®£®®¡à §¨ï R2 49) .
âªàë⮥ ¬®¥á⢮ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¢áïª ï ¥£® â®çª | ¢ãâà¥ïï, â.¥. ¬®¥â ¡ëâì ®ªà㥠®ªà¥áâ®áâìî, £®¬¥®¬®à䮩 n-¬¥à®¬ã è àã ¨ «¥ 饩 ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¬®¥á⢥. ª ç¥á⢥ â ª®© ®ªà¥áâ®á⨠¢á¥£¤ ¬®® ¢§ïâì ¢ë¯ãª«ë© n-¬¥àë© ¬®£®£à ¨ª á ¨¬¥ì訬 ¢®§¬®ë¬ ç¨á«®¬ ¢¥àè¨. ª®© ¬®£®£à ¨ª §ë¢ ¥âáï n-¬¥àë¬ á¨¬¯«¥ªá®¬. ¨¬¥¥â n+1 ¢¥àè¨ã. «ï n = 0, 1, 2, 3 ᨬ¯«¥ªá ¬¨ ïîâáï ᮮ⢥âá⢥® â®çª , ®â१®ª, âà¥ã£®«ì¨ª ¨ â¥âà í¤à. ¤ ï (n− 1)-¬¥à ï £à ì n-¬¥à®£® ᨬ¯«¥ªá , ®ç¥¢¨¤®, ¥áâì (n − 1)-¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá. ®¢¥à襮 ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥: Ǒਠ£®¬¥®¬®à䮬 ®â®¡à ¥¨¨ ϕ n-¬¥à®£® ᨬ¯«¥ªá T ¯®¤¬®¥á⢮ n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E ¢áïª ï ¢ãâà¥ïï â®çª p ᨬ¯«¥ªá T ¯¥à¥å®¤¨â ¢® ¢ãâà¥îî â®çªã ¬®¥á⢠= ϕ(T ) ¢ E .
®ª § ⥫ìá⢮ ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ¢ ⮬, çâ® ¬ë ®å à ªâ¥à¨§ã¥¬ ¢ãâ२¥ â®çª¨ ᨬ¯«¥ªá â ª¨¬ ᢮©á⢮¬, ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ á®åà ï¥âáï ¯à¨ £®¬¥®¬®àäëå ®â®¡à ¥¨ïå. Ǒ।¥ ¢á¥£® ¢¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ § ¬ªã⮣® ¯®ªàëâ¨ï § ¬ªã⮣® ¬®¥á⢠: A1 , A2 , . . . , As . k k Ai Ai .
᫨ ¤¨ ¬¥âàë 50) ¢á¥å ¬®¥á⢠Ai ¬¥ìè¥ ç¨á« ε > 0, â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ®¡ ýε þ. ª®¥çãî
ᮢ®ªã¯®áâì § ¬ªãâëå ¬®¥áâ¢
¬®¥á⢠¨á«®
§®¢¥¬
§ ¬ªãâë¬ ¯®ªàë⨥¬
, ¥á«¨ í⨠¬®¥á⢠¢ ᢮¥¬ ®¡ê¥¤¨¥¨¨ ¤ îâ ¬®¥á⢮
§®¢¥¬ ªà â®áâìî ¯®ªàëâ¨ï,
¯à¨ ¤«¥ é ï ®¤®¢à¥¬¥®
¬®¥á⢠¬
¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â®çª ¬®¥áâ¢
,
, ¨ ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ®¤ â®çª ¨§
¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ®¤®¢à¥¬¥® ¡®«ì襬ã ç¨á«ã ¬®¥áâ¢
-¯®ªàë⨨
49) ä®à¬ã«¨à®¢ ï ⥮६ ¬®¥â ¯®ª § âìáï âਢ¨ «ì®©, â ª ª ª ¯à¨ £®¬¥®¬®à䮬 ®â®¡à ¥¨¨ ®¤®£® ¯à®áâà á⢠¤à㣮¥ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®âªàë⮥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î £®¬¥®¬®à䮣® ®â®¡à ¥¨ï. ¤ ª® ¨§ í⮣® á«¥¤ã¥â «¨èì â®, çâ® ®¡à § ®âªàë⮣® ¬®¥á⢠¡ã¤¥â ®âªàëâë¬ ®â®á¨â¥«ì® ®¡à § ¯à®áâà á⢠R1 ¢ R2 ; ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ⮤¥á⢥®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ¯àאַ© ¢ ¯«®áª®áâì ®¡à § ¯àאַ©, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¡ã¤¥â ®âªàëâë¬ ¬®¥á⢮¬ ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®áâ¨, å®âï ®â®á¨â¥«ì® á ¬®£® á¥¡ï ®, ª®¥ç®, ¡ã¤¥â ®âªàëâë¬. ⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë ®¡à § ¢á类£® ®âªàë⮣® ¬®¥á⢠¥áâì ¬®¥á⢮, ®âªàë⮥ ®â®á¨â¥«ì® ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠R2 . ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® íâ® à ¢®á¨«ì® á«¥¤ãî饬ã ã⢥थ¨î, ¡®«¥¥ £«ï¤®¬ã ¯® ä®à¬¥: £®¬¥®¬®àäë© ®¡à § ¬®£®®¡à §¨ï R1 ¢ ¬®£®®¡à §¨¨ R2 ¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë. 50) ¨ ¬¥â஬ ¬®¥á⢠§ë¢ ¥âáï â®ç ï ¢¥àåïï £à ¨æ à ááâ®ï¨© ¬¥¤ã ¥£® â®çª ¬¨. Ǒ®¤ à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ ¯®¨¬ ¥âáï, ª ª ®¡ëç®, ª®à¥ì ª¢ ¤à âë© ¨§ áã¬¬ë ª¢ ¤à ⮢ à §®á⥩ ¨å ª®®à¤¨ â.
146
. .
Ǒ®«ì§ãïáì í⨬¨ ¯®ïâ¨ï¬¨, ¬ë ¤ ¤¨¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨ ¨¢ ਠâãî å à ªâ¥à¨á⨪㠢ãâ२å â®ç¥ª § ¬ªã⮣® ¬®¥á⢠, «¥ 饣® ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥: «ï ⮣® ç⮡ë â®çª p § ¬ªã⮣® ¬®¥á⢠¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¡ë« ¢ãâ॥©, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ áãé¥á⢮¢ «® § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ α = {A1 , . . . , As } ¬®¥á⢠ªà â®á⨠n + 1 â ª®¥, çâ® 1) p | ¥¤¨á⢥ ï â®çª ¨§ , ¯à¨ ¤«¥ é ï n + 1 ¬®¥áâ¢ã Ai ; 2) ¢á类¥ ¯®ªàë⨥ α′ ¬®¥á⢠, ®â«¨ç î饥áï ®â α «¨èì ¢ ¤®áâ â®ç® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠U (p) â®çª¨ p 51) , ¨¬¥¥â ªà â®áâì > n + 1 (§¤¥áì ¯®¤ U (p) ¯®¨¬ ¥âáï ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ p ®â®á¨â¥«ì® ¬®¥á⢠, â. ¥. ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ p ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á ¬®¥á⢮¬ ). â® ã⢥थ¨¥ à ¢®á¨«ì® ¤®ª §ë¢ ¥¬®© ⥮६¥. â®¡ë ¢ í⮬ ã¡¥¤¨âìáï, ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® ¢á¥ ãá«®¢¨ï, å à ªâ¥à¨§ãî騥 §¤¥áì ¢ãâà¥îî â®çªã n-¬¥à®£® ᨬ¯«¥ªá , á®åà ïîâáï ¯à¨ £®¬¥®¬®à䮬 ®â®¡à ¥¨¨. ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¯®ïâ¨ï ªà â®á⨠¯®ªàëâ¨ï ¨ ý¤®áâ â®ç® ¬ «®©þ ®ªà¥áâ®á⨠U (p) ⮯®«®£¨ç¥áª¨ ¨¢ ਠâë. áâ ¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ ᨬ¯«¥ªá T ¯à¨ £®¬¥®¬®à䮬 ®â®¡à ¥¨¨ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ ¥£® ®¡à § = ϕ(T ), ¨ ®¡à â®. ª ª ª í«¥¬¥âë § ¬ªã⮣® ¯®ªàëâ¨ï ᨬ¯«¥ªá , ª ª ¨ á ¬ ᨬ¯«¥ªá, áãâì § ¬ªãâë¥ ¨ ®£à ¨ç¥ë¥ ¬®¥á⢠¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠, â® ¢á¥ ᢮¤¨âáï ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ã⢥थ¨ï: £®¬¥®¬®àäë© ®¡à § § ¬ªã⮣® ®£à ¨ç¥®£® ¬®¥á⢠n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ï¥âáï § ¬ªãâë¬ ¨ ®£à ¨ç¥ë¬ ¬®¥á⢮¬. ®ª § ⥫ìá⢮ ᮢᥬ ¯à®áâ®: ®£à ¨ç¥®áâì ®¡à § ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ¥©¥àèâà áá ® ⮬, çâ® ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, § ¤ ï § ¬ªã⮬ ®£à ¨ç¥®¬ ¬®¥á⢥, ®£à ¨ç¥ ᢥàåã ¨ ᨧã: § ¬ªãâ®áâì ¢ë⥪ ¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ®«ìæ ® | ¥©¥àèâà áá . (Ǒãáâì M | â®çª á£ã饨ï 52) ®¡à § ; á室ï饩áï ª ¥© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª ¢ ¯à®®¡à §¥, ¨¬¥îé ï ¯® ⥮६¥ ®«ìæ ® | ¥©¥àèâà áá â®çªã á£ã饨ï; ¢ ᨫ㠥¯à¥à뢮á⨠£®¬¥®¬®à䮣® ®â®¡à ¥¨ï íâ â®çª á£ãé¥¨ï ®â®¡à ¥âáï ¢ à áᬠâਢ ¥¬ãî â®çªã M ¨ ¯®â®¬ã ¯®á«¥¤ïï ¯à¨ ¤«¥¨â ®¡à §ã; ⥬ á ¬ë¬ ®¡à § ᮤ¥à¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ á£ã饨ï, â.¥. § ¬ªãâ.) 2. ®§¢à é ïáì ª áä®à¬ã«¨à®¢ ®¬ã ᢮©áâ¢ã ¢ãâ२å â®ç¥ª, ¤®ª ¥¬ á ç « , çâ® ¢áïª ï â®çª ¬®¥á⢠, ¥ ïîé ïáï ¢ãâ॥©, í⨬ ᢮©á⢮¬ ¥ ®¡« ¤ ¥â. «ï í⮣® ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãîé ï ¥¬¬ 1. Ǒਠ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®¬ ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ªã⮥ ε-¯®ªàë⨥ £à ¨æë T n-¬¥à®£® ᨬ¯«¥ªá T , ¨¬¥î饥 ªà â®áâì 6 n. ç « 㪠¥¬ ε-¯®ªàë⨥ (ε ¯à®¨§¢®«ì® ¬ «®) n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠E , ¨¬¥î饥 ªà â®áâì n + 1. «ï n = 1 㮥 ¯®ªàë⨥ áâநâáï ¯ã⥬ à §¡¨¥¨ï ¯àאַ© à ¢ë¥ ®â१ª¨. «ï n > 1 ¨áª®¬®¥ ¯®ªàë⨥ áâநâáï ¯® ¨¤ãªæ¨¨: n-¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ à §¡¨¢ ¥âáï (n − 1)-¬¥à묨 ¯«®áª®áâﬨ ¤®áâ â®ç® ⮪¨¥ ¯ à ««¥«ìë¥ á«®¨. ¤ã ¨§ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ à §®¡ì¥¬ à ¢ë¥ (n − 1)-¬¥àë¥ ªã¡ë 㥠ãáâ ®¢«¥ë¬ ᯮᮡ®¬ ¨ íâ® à §¡¨¥¨¥ á¯à®¥ªâ¨à㥬 ®à⮣® «ì® ¢á¥ ®áâ «ìë¥ (n − 1)-¬¥àë¥ 51) Ǒãáâì ¯®ªàë⨥ α á®á⮨⠨§ ¬®¥á⢠A1 , . . . , As , ¯®ªàë⨥ α′ | ¨§ ¬®¥á⢠′ ′ A1 , . . . , A′t , ¯à¨ í⮬ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ s 6= t. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ Ai (ᮮ⢥âá⢥® Ai ) âã ç áâì ¬®¥á⢠Ai (ᮮ⢥âá⢥® A′i ), ª®â®à ï ¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å â®ç¥ª á U (p). ë £®¢®à¨¬, çâ®′ ¯®ªàë⨥ α′ ®â«¨ç ¥âáï ®â α «¨èì ¢ U (p), ¥á«¨ ¢á类¥ Ai ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥ª®â®àë¬ Aj , ¨ ®¡à â®. 52) ®çª m §ë¢ ¥âáï â®çª®© á£ãé¥¨ï ¬®¥á⢠M , ¥á«¨ ª ¤ ï ¥¥ ®ªà¥áâ®áâì ᮤ¥à¨â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ¨§ M , ®â«¨çëå ®â m.
. II:
§ 9.
147
¯«®áª®áâ¨. ®£¤ ª ¤ë© á«®© à §®¡ì¥âáï n-¬¥àë¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ë. ¤¢¨£ ï á®á¥¤¨¥ á«®¨ ¯ à ««¥«ì®, ¤®¡ì¥¬áï, çâ®¡ë ª ¤ ï ¢¥àè¨ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¯®¯ « ¢ãâàì (n − 1)-¬¥à®© £à ¨ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¨§ á®á¥¤¥£® á«®ï ( à¨á. 72 ¨§®¡à ¥ á«ãç © n = 2). ®£¤ , ®ç¥¢¨¤®, ªà â®áâì ¯®ªàëâ¨ï ¯à®áâà á⢠⠪¨¬¨ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¬¨ 1 ¡®«ìè¥ ªà â®á⨠¯®ªàëâ¨ï (n − 1)-¬¥àëå ¯«®áª®á⥩ ¨ ¯®â®¬ã à ¢ n + 1. ¥¯¥àì ¯ãáâì ¢ E ¨¬¥¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë© n-¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá T . Ǒ®áâந¬ ⮫쪮 ç⮠㪠§ ®¥ ε-¯®ªàë⨥ ¯à®áâà á⢠E . § ¯®áâ஥¨ï ïá®, çâ® â®çª¨ ¯à®áâà á⢠E , ¯à¨ ¤«¥ 騥 ®¤®¢à¥¬¥® n +1 ªã¡ã ¯®ªàëâ¨ï, à ᯮ«®¥ë â ª, çâ® ¨¬¥ì襥 à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï â ª¨¬¨ â®çª ¬¨ ¡®«ìè¥ ¥ª®â®à®£® ç¨á« δ < 0. Ǒãáâì £à ¨æ¥ Te ᨬ¯«¥ªá T ¨¬¥îâáï â ª¨¥ â®çª¨. 롥६ ¢ ¯à®áâà á⢥ E ¯à ¢«¥¨¥, ¥ ¯ à ««¥«ì®¥ ¨ ®¤®© ¨§ (n − 1)-¬¥àëå £à ¥© ᨬ¯«¥ªá T , ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¬ ¢ í⮬ ¯à ¢«¥¨¨ áâ®«ì ¬ «ë© ¯ à ««¥«ìë© á¤¢¨£ ᨬ¯«¥ªá T , çâ®¡ë ¯à¨ í⮬ ¨ ®¤ â®çª ¯à®áâà á⢠E , ¯à¨ ¤«¥ é ï n + 1 ªã¡ã ¯®ªàëâ¨ï ¨ ¥ «¥ ¢è ï Te, ¥ ¯®¯ « Te. (®çª¨, ¥ «¥ 騥 et ¨ ¯à¨ ¤«¥ 騥 N + 1 ªã¡ã ¯®ªàëâ¨ï, ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨ ª Te, â ª ª ª ¨ ç¥ ®¨ ¨¬¥«¨ ¡ë â®çªã á£ãé¥¨ï ¨ ⥬ á ¬ë¬ á।¨ ¨å 諨áì ¡ë â®çª¨, ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¥ ¤à㣠ª ¤àã£ã.) ª ª ª, ᢥàå ⮣®, ¯à ¢«¥¨¥ ᤢ¨£ ¢ë¡à ® â ª, çâ® ¢áïª ï â®çª , «¥ ¢è ï Te, ¯¥à¥á⠥⠯ਠ¤«¥ âì Te, â® ¢ १ã«ìâ ⥠ᤢ¨£ Te ¥ ®áâ ¥âáï â®ç¥ª, ¯à¨ ¤«¥ é¨å n +1 ªã¡ã ¯®ªàëâ¨ï ¯à®áâà á⢠E . ® ⮣¤ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ íâ¨å ªã¡®¢ á Te, ¡ã¤ãç¨ § ¬ªãâ묨 ¬®¥á⢠¬¨ (â ª ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡®£® ç¨á« § ¬ªãâëå ¬®¥áâ¢ á ¬® § ¬ªãâ®) ¤¨ ¬¥âà < ε, ®¡à §ãîâ âॡ㥬®¥ ¯®ªàë⨥ £à ¨æë Te. ¥¬¬ ¤®ª § . Ǒãáâì p ¥ ï¥âáï ¢ãâ॥© â®çª®© ¬®¥á⢠. áᬮâਬ § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ α = {A1 , . . . , As } ¬®¥á⢠, ¨¬¥î饥 ªà â®áâì n + 1. ®¯ãá⨬, çâ® p | ¥¤¨á⢥ ï â®çª ¨§ , ¯à¨ ¤«¥ é ï n + 1 ¬®¥áâ¢ã Ai , ¨ ¯®ª ¥¬, çâ® ¬®® ¯®áâநâì ¤à㣮¥ § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ α′ , ¨¬¥î饥 ªà â®áâì 6 n ¨ ᮢ¯ ¤ î饥 á ¯®ªàë⨥¬ α ¢áî¤ã, § ¨áª«î票¥¬ ¯à®¨§¢®«ì® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠U (p) â®çª¨ p (®ªà¥áâ®áâì U (p) ¡¥à¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¬®¥á⢠). Ǒ®áâந¬ n-¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá T , ᮤ¥à 騩 â®çªã p ¢ãâਠ¨ â ª®©, çâ® ¥£® ®¡é ï ç áâì á ᮤ¥à¨âáï ¢ U (p). ª ª ª p | ¥¤¨á⢥ ï â®çª ¬®¥á⢠, ¯à¨ ¤«¥ é ï n + 1 ¬®¥áâ¢ã Ai , â® ¨ ®¤ â®çª £à ¨æë Te ᨬ¯«¥ªá T ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ¡®«¥¥ 祬 n ¬®¥á⢠¬ Ai . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «®¬ ε > 0 ¢á类¥ ¬®¥á⢮ M ¤¨ ¬¥âà < ε, ᮤ¥à 饥áï ¢ Te, ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ ¥ ¡®«¥¥ 祬 á n ¬®¥á⢠¬¨ Ai . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ íâ® ¥ â ª, â® ¢ë¡¥à¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« εj (j = 1, 2, . . . ), áâ६ïéãîáï ª ã«î, ¨ ¤«ï ª ¤®£® εj ©¤¥¬ Te ¬®¥á⢮ Mj ¤¨ ¬¥âà < εj , ¨¬¥î饥 ®¡é¨¥ â®çª¨ á n + 1 ¬®¥á⢮¬ Ai1 , . . . , Aj +1 . ª ª ª à §«¨çëå ª®¬¡¨ 権 ¯® n + 1 ¬®¥áâ¢ã ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¬®¥á⢠Ai | «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«®, â® á।¨ íâ¨å ¬®¥á⢠©¤¥âáï n + 1 ¬®¥á⢠A1 , . . . , An+1 â ª¨å, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì訥 ®¬¥à j, ¤«ï ª®â®àëå ¢á¥ ¬®¥á⢠A1 , . . . , An+1 ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¬®¥á⢠¬¨ Mj ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ª ¤®£® â ª®£® ç¨á« j áãé¥áâ¢ã¥â â®çª bj , ¯à¨ ¤«¥ é ï Te ¨ 㤠«¥ ï ®â ª ¤®£® ¨§ ¬®¥á⢠A1 , . . . , An+1 ¥ ¡®«¥¥ 祬 εj 53) . ª ª ª â®çª¨ bj à ᯮ«®¥ë ¢á¥ ¢ ®£à ¨ç¥®© ç á⨠¯à®áâà á⢠(¨¬¥® | Te), â® ¯® ⥮६¥ ®«ìæ ® | ¥©¥àèâà áá ¬®¥¨á. 72
n
53) ááâ®ï¨¥¬ â®çª¨ ¤® ¬®¥á⢠§ë¢ ¥âáï â®ç ï ¨ïï £à ¨æ ¥¥ à ááâ®ï¨© ¤® â®ç¥ª í⮣® ¬®¥á⢠.
148
. .
á⢮ â®ç¥ª bj , ¨¬¥¥â â®çªã á£ã饨ï b Te. ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ b 室ïâáï â®çª¨ bj ᮠ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì訬¨ ®¬¥à ¬¨ ¨ ¯®â®¬ã ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¥ ª ª ¤®¬ã ¨§ ¬®¥á⢠A1 , . . . , An+1 . ç¨â, â®çª b ¥áâì â®çª ¯à¨ª®á®¢¥¨ï ª ¤®£® ¨§ ¬®¥á⢠A1 , . . . , An+1 ¨ ¢ á¨«ã ¨å § ¬ªãâ®á⨠¯à¨ ¤«¥¨â ¨¬ ¢á¥¬ ®¤®¢à¥¬¥®, çâ® ¨áª«î祮 ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î. â ª, ¢ë¡¥à¥¬ â ª®¥ ε > 0, çâ®¡ë ¬®¥á⢠¤¨ ¬¥â஢ < ε, «¥ 騥 Te, ¥ ¬®£«¨ ¯¥à¥á¥ª âìáï ®¤®¢à¥¬¥® ¡®«¥¥ 祬 á n ¬®¥á⢠¬¨ Ai . Ǒ® «¥¬¬¥ 1 ¯®áâந¬ ε/2-¯®ªàë⨥ β = {B1 , . . . , Bm } £à ¨æë Te ᨬ¯«¥ªá T . ª ª ª p ¥ ï¥âáï ¢ãâ॥© â®çª®© ¬®¥á⢠, â® ¢ãâਠᨬ¯«¥ªá T ©¤¥âáï â®çª O, ¥ ¯à¨ ¤«¥ é ï ¬®¥áâ¢ã . ¯à®¥ªâ¨à㥬 ¬®¥á⢠Bj (j = 1, . . . , m) ¨§ â®çª¨ O, â.¥. ¯®áâந¬ ¬®¥á⢠Bj′ , ª ¤®¥ ¨§ ª®â®àëå á®á⮨⠨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®¥á⢠Bj ¨ ¯àאַ«¨¥©ëå ®â१ª®¢ (¢¬¥áâ¥ á ¨å ª®æ ¬¨), ᮥ¤¨ïîé¨å â®çª¨ ¬®¥á⢠Bj á â®çª®© O. Ǒ®áâந¬ ⥯¥àì § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ αβ ¬®¥á⢠¨ ᨬ¯«¥ªá T . ¨¬¥®, á ç « ª ¤®¥ ¬®¥á⢮ Ai § ¬¥¨¬ ¥£® ç áâìî, ¥ ᮤ¥à 饩 ¢ãâ२å â®ç¥ª ᨬ¯«¥ªá T (¥á«¨ Ai «¥¨â 楫¨ª®¬ ¢ãâਠT , â® ¯à®áâ® ¢ë¡à®á¨¬ ¥£®); ¯à¨ í⮬ Ai § ¬¥¨âáï, ®ç¥¢¨¤®, ¥ª®â®àë¬ § ¬ªãâë¬ ¬®¥á⢮¬ A′′i . áâì ¯®ªàëâ¨ï ¢ãâਠᨬ¯«¥ªá T′ § ¬¥¨¬ ¯®ªàë⨥¬ Φ T ý¯¨à ¬¨¤ ¬¨þ Bj (à¨á. 73). ⥬ ¯¨á¨¬¯«¥ªá p A à ¬¨¤ë Bj′ ý¯à¨ª«¥¨¬þ ª ¬®¥á⢠¬ Ai ¯® â ª®¬ã ¯à ¢¨«ã: ¥á«¨ Bj′ ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¥ª®â®à묨 O ¬®¥á⢠¬¨ A′′i , â® Bj′ ¯à¨ª«¥¨¢ ¥¬ ª ®¤®¬ã ¨§ íâ¨å B′ T ¬®¥á⢠¨ ⮫쪮 ª ®¤®¬ã; ¥á«¨ Bj′ ¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å B â®ç¥ª ¨ á ª ª¨¬ ¬®¥á⢮¬ A′′j , â® ®áâ ¢«ï¥¬ ¥£® ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï. Ǒ®á«¥ í⮣® ¯®ªàë⨥ αβ ®¯à¥¤¥«¨¬ â ª: ¥£® í«¥¬¥â ¬¨ á«ã â ¬®¥á⢠, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ ¬®¥á⢠Ai ¯à¨á®¥¤¨¥¨¥¬ ª ª ¤®¬ã ¨§ ¨å ¢á¥å ¯à¨ª«¥¥ëå ª ¥¬ã ¬®¥á⢠Bj′ , (¥á«¨ ª ¬®¥áâ¢ã A′′i ¨ç¥£® ¥ ¯à¨ª«¥¥®, â® ®® ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ¢å®¤¨â ¢ á®áâ ¢ ¯®ªàëâ¨ï αβ ), â ª¥ ¬®¥á⢠Bj′ , ¨ ª 祬㠥 ¯à¨ª«¥¥ë¥ (à¨á. 73). ⢥ठ¥âáï, çâ® ¢áïª ï â®çª , ®â«¨ç ï ®â O, ¯à¨ ¤«¥¨â ¥ ¡®«¥¥ 祬 n ¬®¥á⢠¬ ¯®ªàëâ¨ï αβ . ¥©á⢨⥫ì®, ª ¤ ï â®çª , «¥ é ï ¢¥ T , ¬®¥â ¯à¨ ¤«¥ âì n +1 ¬®¥áâ¢ã ¨§ αβ «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ® ¯à¨ ¤«¥¨â n +1 ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠬®¥áâ¢ã ¨§ α, çâ® ¨áª«î祮, â ª ª ª â®çª p «¥¨â ¢ãâਠT .
᫨ ¡ë â ª ï â®çª b è« áì ¢ãâਠT , â® ¥¥ ¯à®¥ªæ¨ï ¨§ â®çª¨ O Te ¯à¨ ¤«¥ « ¡ë ®¤®¢à¥¬¥® n +1 ¬®¥áâ¢ã Bj , çâ® â ª¥ ¥¢®§¬®®. áâ ¥âáï ¨á¯ëâ âì â®çª¨, «¥ 騥 Te. Ǒãáâì a | ®¤ ¨§ â ª¨å â®ç¥ª. ª ª ª ª ¤®¥ ¬®¥á⢮ Bj ¨¬¥¥â ¤¨ ¬¥âà < ε/2, â® ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¢á¥å ¬®¥á⢠Bj , ᮤ¥à é¨å â®çªã a (¨å ¯® ¯®áâ஥¨î ¥ ¡®«¥¥ n), ¨¬¥¥â ¤¨ ¬¥âà < ε ¨ ¯®â®¬ã ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ ¥ ¡®«¥¥ 祬 á n ¬®¥á⢠¬¨ A′′i . ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ª ç¨á«® ¯¨à ¬¨¤ Bj′ , ᮤ¥à é¨å â®çªã a, â ª ¨ ç¨á«® ¬®¥á⢠A′′i , ª ª®â®àë¬ ®¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨ª«¥¥ë ¯à¨ ®¡à §®¢ ¨¨ ¯®ªàëâ¨ï αβ , ¬¥ìè¥ n. â ª ª ª ª ¤ ï ¯¨à ¬¨¤ Bj′ ¯à¨ª«¥¨¢ ¥âáï ¥ ¡®«¥¥ 祬 ª ®¤®¬ã ¬®¥áâ¢ã A′′i , â® ç¨á«® ¬®¥á⢠¯®ªàëâ¨ï αβ , ᮤ¥à é¨å â®çªã a, ⮥ ¥ ¡®«ìè¥ n. ⥯¥àì, § ¬¥¨¢ ª ¤®¥ ¬®¥á⢮ ¯®ªàëâ¨ï αβ ¥£® ®¡é¥© ç áâìî á ¬®¥á⢮¬ , ¯®«ã稬 ¯®ªàë⨥ α ¬®¥á⢠, ®â«¨ç î饥áï ®â ¨á室®£® ¯®ªàëâ¨ï α «¨èì ¢ãâਠU (p) ¨ ¨¬¥î饥 ªà â®áâì 6 n (â ª ª ª â®çª O «¥¨â ¢¥ ¨ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â αβ ª α′ ãáâà ï¥âáï ¨§ à áᬮâ२ï). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢ëïᨫ¨, ç⮠㪠§ ë© ¬¨ ¯à¨§ ª ¢ãâ२å â®ç¥ª ï¥âáï ¤®áâ â®çë¬, â ª ª ª ¤«ï ¥¢ãâ२å â®ç¥ª ® § ¢¥¤®¬® ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï. áâ ¥âáï i
j j
¨á. 73
. II:
§ 9.
149
¤®ª § âì, çâ® íâ®â ¯à¨§ ª ¥®¡å®¤¨¬, â.¥. ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¢á类© ¢ãâ॥© â®çª¨ ¬®¥á⢠. 3. â ª, ¯ãáâì p | ¢ãâà¥ïï â®çª . ®§ì¬¥¬ ᨬ¯«¥ªá T , ᮤ¥à 騩áï ¢ ¨ ᮤ¥à 騩 ¢ãâਠᥡï â®çªã p. ¥à¥§ â®çªã p ¯à®¢¥¤¥¬ (n − 1)-¬¥àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ (n − 1)-¬¥àë¬ £à ï¬ á¨¬¯«¥ªá T . ¤ ï â ª ï ¯«®áª®áâì à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà á⢮, ⥬ á ¬ë¬ ¨ ¬®¥á⢮ ¤¢¥ ç áâ¨. ¤ ¨§ íâ¨å ç á⥩ ᮤ¥à¨â «¨èì ®¤ã ¢¥àè¨ã ᨬ¯«¥ªá T , ¤à㣠ï | ¢á¥ ®áâ «ìë¥. áâ¨, ᮤ¥à 騥 ¯® ®¤®© ¢¥à訥 ᨬ¯«¥ªá , ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A1 , . . . , An+1 . ⨠¬®¥á⢠, ®ç¥¢¨¤®, ®¡à §ãîâ § ¬ªã⮥ ¯®ªàë⨥ α ¬®¥á⢠¨ ¯à¨ í⮬ p | ¥¤¨á⢥ ï â®çª ¨§ , ¯à¨ ¤«¥ é ï n + 1 ¬®¥áâ¢ã ¯®ªàëâ¨ï (à¨á. 74). Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¥á«¨ ®ªà¥áâ®áâì U (p) â®çª¨ p á⮫쪮 ¬ « , çâ® ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á £à ¨æ¥© ᨬ¯«¥ªá T , â®, ¨§¬¥ïï ¯®ªàë⨥ α ¢ ®ªà¥áâ®á⨠U (p), ¥¢®§¬®® ¯®«ãç¨âì ¯®ªàë⨥ ¬¥ì襩 ªà â®áâ¨. Ǒãáâì ¢ ®ªà¥áâ®á⨠U (p) ¯®ªàë⨥ α ¨§¬¥¨«®áì ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬. ª®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ¢ ®¡é¥¬ A á«ãç ¥ ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ¬®¥á⢠Ai § ¬¥ïîâáï ¤à㣨¬¨, ª®â®àë¥ á®¢¯ ¤ îâ á ¯¥à¢® ç «ì묨 ¢¥ U (p) ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¬®£ãâ ¯®ï¢«ïâìáï ®¢ë¥ ¬®¥á⢠, 楫¨ª®¬ «¥ 騥 ¢ U (p). ¤®¥ ¨§ íâ¨å ý®¢ëåþ ¬®¥á⢠¯à¨á®¥¤¨¨¬ ª ®¤®¬ã ¨§ ¤¥T p ä®à¬¨à®¢ ëå ¬®¥á⢠Ai ¨ ¯®«ã稢訥áï ¬®Φ ¥á⢠®¡®§ 稬 ç¥à¥§ Aei . ë ¯®ª ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª , ¯à¨ ¤«¥ é ï ®¤®¢à¥¬¥® ¢á¥¬ ¬®¥á⢠¬ Aei . «ï í⮣® ¬ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï á«¥¤ãî饩 «¥¬¬®©: i
¨á. 74 ¥¬¬ ¯¥à¥à . Ǒãáâì K | ¯à®¨§¢®«ì ï âਠ£ã«ïæ¨ï n-¬¥à®£® ᨬ¯«¥ªá T 54) á ¢¥àè¨ ¬¨ e1 , e2 , . . . , en+1 . Ǒãáâì ª ¤®© ¢¥à訥 e′k âਠ£ã«ï樨 K ′ ¯®áâ ¢«¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢¥àè¨ S (e′k ) = eik ᨬ¯«¥ªá T , ¯à¨ ¤«¥ é ï ⮩ ¥£® £à ¨ ¨¬¥ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ª®â®à®© «¥¨â e′k (á ¬ ᨬ¯«¥ªá áç¨â ¥âáï ᢮¥© n-¬¥à®© £à ìî ¨ ¯®â®¬ã ¢ãâ॥© â®çª¥ e′k ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì «î¡ãî ¢¥àè¨ã ᨬ¯«¥ªá ). ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© n-¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá Ti âਠ£ã«ï樨 K , çâ® ¥£® ¢¥àè¨ë ®â®¡à îâáï ¢ à §«¨çë¥ (¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢® ¢á¥) ¢¥àè¨ë ᨬ¯«¥ªá T .
¨¬¯«¥ªá Ti , ¢á¥ ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® ®â®¡à îâáï ¢ à §«¨çë¥ ¢¥àè¨ë ᨬ¯«¥ªá T , §®¢¥¬ ý®à¬ «ìë¬þ. ¥¬¬ ¡ã¤¥â ¤®ª § , ¥á«¨ ¬ë ãáâ ®¢¨¬, çâ® ç¨á«® ®à¬ «ìëå ᨬ¯«¥ªá®¢ ¥ç¥â®. â® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n. «ï n = 0 ã⢥थ¨¥ âਢ¨ «ì®. Ǒãáâì ®® ¢¥à® ¤«ï n − 1. 뤥«¨¬ ã ᨬ¯«¥ªá T £à ì |e1 . . . en | á ¢¥àè¨ ¬¨ e1 , . . . , en . (n − 1)-¬¥àãî £à ì ᨬ¯«¥ªá Ti , ¢¥àè¨ë ª®â®à®© ®â®¡à îâáï ¢ e1 , . . . , en , §®¢¥¬ ®â¬¥ç¥®©. 祢¨¤®, çâ® ¥á«¨ ᨬ¯«¥ªá Ti ¨¬¥¥â ®â¬¥ç¥ë¥ £à ¨, ¥ ¡ã¤ãç¨ ®à¬ «ìë¬, â® â ª¨å £à ¥© | ¤¢¥. Ǒ®í⮬㠥᫨ ¡ë ç¨á«® ®à¬ «ìëå ᨬ¯«¥ªá®¢ ¡ë«® ç¥âë¬, â® ®¡é¥¥ ç¨á«® ®â¬¥ç¥ëå £à ¥© ã ¢á¥å ᨬ¯«¥ªá®¢ Ti â ª¥ ¡ë«® ¡ë ç¥âë¬. ® â ª ª ª ¢áïª ï ®â¬¥ç¥ ï £à ì, «¥ é ï ¢ãâਠT , ¯à¨ ¤«¥¨â ¤¢ã¬ ᨬ¯«¥ªá ¬, â® ®¡é¥¥ ç¨á«® â ª¨å £à ¥© á ¬® ç¥â®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®«® ¡ëâì ç¥âë¬ ç¨á«® ®â¬¥ç¥ëå £à ¥©, «¥ é¨å (n − 1)-¬¥àëå £à ïå ᨬ¯«¥ªá T . ® 54) ਠ£ã«ï樥©
ᨬ¯«¥ªá T ¬ë §ë¢ ¥¬ â ª®¥ à §¡¨¥¨¥ T ᨬ¯«¥ªáë Ti , ¯à¨ ª®â®à®¬ ®¡é ï ç áâì ¤¢ãå ᨬ¯«¥ªá®¢ Ti ¨ Tj ï¥âáï £à ìî ª ¤®£® ¨§ ¨å (£à ìî «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©). ¥àè¨ë ᨬ¯«¥ªá®¢ Ti §ë¢ îâáï ¢¥àè¨ ¬¨ âਠ£ã«ï樨.
150
. .
¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®â®¡à ¥¨ï S â ª¨¥ £à ¨ ¬®£ãâ «¥ âì ⮫쪮 £à ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ e1 , . . . , en . í⮣® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨, â ª ª ª ®â¬¥ç¥ë¥ £à ¨, «¥ 騥 £à ¨ |e1 . . . en |, ¨£à îâ à®«ì ®à¬ «ìëå ᨬ¯«¥ªá®¢ ¢ ⮬ ®â®¡à ¥¨¨, ª®â®à®¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â âਠ£ã«ïæ¨ï £à ¨ |e1 . . . en | ¢ १ã«ìâ ⥠®â®¡à ¥¨ï S. ¥¬¬ ¤®ª § . ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬, çâ® ¬®¥á⢠Aei ¨¬¥îâ ®¡éãî â®çªã. «ï í⮣® ¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ìãî âਠ£ã«ïæ¨î K 襣® ᨬ¯«¥ªá T . ¯à¥¤¥«¨¬ ª ª®¥-¨¡ã¤ì ®â®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ âਠ£ã«ï樨 K ¢ ¢¥àè¨ë ᨬ¯«¥ªá T á ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¨ ¢¥àè¨ T ¨ ®â®¡à ¥¬ ï ¢ ¥¥ ¢¥àè¨ âਠ£ã«ï樨 ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®¬ã ¨ ⮬㠥 ¬®¥áâ¢ã Aei . ª ª ª ¯® ¯®áâ஥¨î ¬®¥á⢮ Aei , ᮤ¥à 饥 ¤ ãî ¢¥àè¨ã, ¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å â®ç¥ª á ¯à®â¨¢®¯®«®®© £à ìî, â® ®â®¡à ¥¨¥ S 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î «¥¬¬ë ¯¥à¥à ¨ ¯®â®¬ã ©¤¥âáï ᨬ¯«¥ªá, ¢¥àè¨ë ª®â®à®£®, ®â®¡à ïáì ¢ à §«¨çë¥ ¢¥àè¨ë ᨬ¯«¥ªá T , ¯à¨ ¤«¥ ⠢ᥬ ¬®¥á⢠¬ Ae1 , . . . , Aen+1 (â ª ª ª ª ¤ ï ¢¥àè¨ ei ). ª ª ª âਠ£ã«ïæ¨ï K ¬®¥â ¡ëâì T ¯à¨ ¤«¥¨â «¨èì ®¤®¬ã ¨§ ¬®¥á⢠A ¯à®¨§¢®«ì® ¬¥«ª®©, â® ¨§ § ¬ªãâ®á⨠¬®¥á⢠Aei «¥£ª® á«¥¤ã¥â, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¡éãî â®çªã. ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¬®¥á⢠¬ Aei ¬ë ¬®£«¨ «¨èì 㬥ìè¨âì ªà â®áâì ¯®ªàëâ¨ï. Ǒ®í⮬㠨á室®¥ ¯®ªàë⨥, ¯®«ã祮¥ ¨§ α ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠U (p), ¨¬¥«® ªà â®áâì > n + 1. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë ⥬ á ¬ë¬ § ¢¥à襮.
« ¢ III
¤¨á⢥®áâì ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©
§ 1. ¥áª®«ìª® «¥¬¬ ® ¬®£®£à ëå 㣫 å
1. ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¤®ª §ë¢ îâáï ®á®¢ ¨¨ «¥¬¬ë ®è¨ (§ 1 £« ¢ë II), ® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï í⮩ «¥¬¬®©, ã® á ç « ¤®ª § âì ¥ª®â®àë¥ «¥¬¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ëå 㣫 å.
᫨ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¬®£®£à ®£® 㣫 V ®¯¨á âì ¥¤¨¨çãî áä¥àã, â® ® ¢ë॥â í⮩ áä¥à¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ , áâ®à®ë ¨ ã£«ë ª®â®à®£® à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® ¯«®áª¨¬ ¨ ¤¢ã£à ë¬ ã£« ¬ ¬®£®£à ®£® 㣫 V .
᫨ ¬®£®£à ë© ã£®« V | ¢ë¯ãª«ë©, â® áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ | â ª¥ ¢ë¯ãª«ë©, â. ¥. à ᯮ«®¥ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ª ¤®£® ¡®«ì讣® ªà㣠, ᮤ¥à 饣® ®¤ã ¨§ ¥£® áâ®à®. ¡à â®, ¥á«¨ áä¥à¥ ¤ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â®, ¯à®¥ªâ¨àãï ¥£® ¨§ æ¥âà áä¥àë, ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«. Ǒ®í⮬㠢¬¥áâ® ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ë¯ãª«ë¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. Ǒਠí⮬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ 㣫®¢, à ¢ëå π, ¥ áç¨â ï, ®¤ ª®, ¤¢¥ áâ®à®ë, ®¡à §ãî騥 â ª®© 㣮«, § ®¤ã áâ®à®ã. ⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨ç¨¥ ã ¬®£®£à ®£® 㣫 ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, à ¢ëå π. ¤ ª® áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¨¬¥î騥 ⮫쪮 ¤¢ 㣫 , ®â«¨çëå ®â π ¨ â¥¬ á ¬ë¬ á¢®¤ïé¨åáï ª ¤¢ã㣮«ì¨ª ¬, ¨áª«îç îâáï ¨§ à áᬮâà¥¨ï ¢áî¤ã, ªà®¬¥ «¥¬¬ë 1. ⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨áª«î票¥ ¬®£®£à ëå 㣫®¢, ᢮¤ïé¨åáï ª ¤¢ã£à ë¬ ã£« ¬. «ìè¥ ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ç áâ® ¯à®áâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬. (⮠⥬ ¡®«¥¥ ¯®§¢®«¨â¥«ì®, çâ® ¢á¥ ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¢¥àë ¨ ¤«ï ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢.) 2. ¥¬¬ 1.
᫨ ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª
¯à¨«¥£ îâ ¤à㣠ª ¤àã£ã ¯® áâ®à®¥
AM
P
¨
P1
¨ áã¬¬ë ¨å 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A ¨
152 M
. .
¥ ¯à¥¢®á室ïâ
π,
â® ®¨ ®¡à §ãîâ ¢¬¥á⥠⠪¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì-
+P . Ǒãáâì AB ¨ M L | áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª P , á¬¥ë¥ á AM (à¨á.75). ¤ë© ¨§ âà¥å ¡®«ìè¨å ªà㣮¢ AM , AB , M L ®¯à¥¤¥«ï¥â è ॠ¥ª®â®à®¥ ¯®«ãè ਥ, ¢ ª®â®à®¬ «¥¨â ¬®£®ã£®«ì¨ª P . ¡é ï ç áâì íâ¨å ¯®«ãè ਩ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áä¥à¨ç¥áª¨© âà¥ã£®«ì¨ª T , ᮤ¥à 騩 ¬®£®ã£®«ì¨ª P . ®ç® â ª ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ᮤ¥à¨âáï ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥ T , ®£à ¨ç¥®¬ áâ®à®®© AM ¨ ¯à®¤®«¥¨¥¬ áâ®à® AB ¨ M L . ª ª ª á㬬ë 㣫®¢ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ T ¨ T ¯à¨ ¢¥àè¨ å A ¨ M ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π, â® âà¥ã£®«ì¨ª T , ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ᮤ¥à¨âáï ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥ T , ®£à ¨ç¥®¬ áâ®à®®© AM ¨ ¯à®¤®«¥¨ï¬¨ áâ®à® AB ¨ M L. à¥ã£®«ì¨ª¨ T ¨ T ®¡à §ãîâ ¢¬¥á⥠¤¢ã㣮«ì¨ª T + T , ᮤ¥à 騩 ¢ ᥡ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª P + P . Ǒ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¡®«ì让 ªàã£, á®T ¤¥à 騩 ª ªãî-¨¡ã¤ì áâ®à®ã ¬®£®ã£®«ì¨ª P , ®â«¨çãî ®â AM . ª B L ª ª ¬®£®ã£®«ì¨ª P | ¢ë¯ãª«ë©, P â® ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â í⮣® A M ¡®«ì讣® ªà㣠. â®â ¡®«ì让 ªà㣠P1 ¨¬¥¥â ®¡éãî â®çªã å®âï ¡ë á ®¤®© B1 ¨§ áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª T (®â«¨ç®© T1 L1 ®â AM ). ¨¤¥â ¨«¨ ¢¤®«ì ®¤®© ¨§ ¨å, ¨«¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¨å ®¡¥. Ǒ®íâ®T2 ¬ã ® ¥ ¬®¥â § 室¨âì ¢ãâàì âà¥ã£®«ì¨ª T . ¥©á⢨⥫ì®, ¨ ç¥ ¨á. 75 ® ¯¥à¥á¥ª « ¡ë ª ¤ãî ¨§ áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª T (®â«¨çãî ®â AM ), ¨ ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë ¡®«ì让 ªàã£, ª®â®àë© ¨¬¥¥â å®âï ¡ë á ®¤®© ¨§ áâ®à® ¤¢ã㣮«ì¨ª T + T ¤¢¥ ®¡é¨¥ â®çª¨, íâ® ¥¢®§¬®®, ¯®â®¬ã çâ® ¡®«ì让 ªà㣠¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì ¡®«ìèãî ¯®«ã®ªàã®áâì (áâ®à®ã ¤¢ã㣮«ì¨ª T + T ) ⮫쪮 ¢ ®¤®© â®çª¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, âà¥ã£®«ì¨ª T ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª P à ᯮ«®¥ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â â ª®£® ¡®«ì讣® ªà㣠, ¨ ¨¬¥® ¯® âã ¥ áâ®à®ã, ¯® ª ªãî «¥¨â ¬®£®ã£®«ì¨ª P . Ǒ® ⥬ ¥ á®®¡à ¥¨ï¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª P «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¡®«ì讣® ªà㣠, ᮤ¥à 饣® «î¡ãî áâ®à®ã ¬®£®ã£®«ì¨ª P , ®â«¨çãî ®â AM . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®ã£®«ì¨ª P + P «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¢á类£® ¡®«ì讣® ªà㣠, ᮤ¥à 饣® ®¤ã ¨§ ¥£® áâ®à®, íâ® ¨ ®§ ç ¥â, çâ® ® | ¢ë¯ãª«ë©. § ¤®ª § ®© «¥¬¬ë ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ : ¨ª
P
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
¥®à¥¬ 1.
π,
᫨ ¢á¥ 㣫ë áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥ ¯à¥¢®á室ïâ
â® ¬®£®ã£®«ì¨ª | ¢ë¯ãª«ë©.
. III:
§ 1.
153
®ª § ⥫ìá⢮ ¢¥¤¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã 㣫®¢. «ï âà¥ã£®«ì¨ª ã⢥थ¨¥ ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®. ®¯ãá⨬, çâ® ®® ¢¥à® ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á ç¨á«®¬ 㣫®¢, ¬¥ì訬 n (n > 3), ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï n㣮«ì¨ª . §®¡ì¥¬ ¤ ë© n-㣮«ì¨ª P ¤¨ £® «ìî ¤¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¨ P .
᫨ ã P ¢á¥ ã£«ë ¡ë«¨ ¥ ¡®«ìè¥ π , â® íâ® ¥ ¢¥à® ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ P ¨ P . ¬¥á⥠á ⥬ ç¨á«® 㣫®¢ ã ª ¤®£® ¨§ ¨å ¬¥ìè¥ n, ¯®â®¬ã ᮣ« á® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ®¨ ¢ë¯ãª«ë¥. ® ¬®£®ã£®«ì¨ª P á®áâ ¢«¥ ¨§ ¨å â ª, çâ® á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ¨å ®¡é¨å ¢¥àè¨ å ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π, â ª ª ª í⨠á㬬ë ïîâáï 㣫 ¬¨ á ¬®£® P . Ǒ®í⮬ã ᮣ« á® «¥¬¬¥ 1 ¬®£®ã£®«ì¨ª P | ¢ë¯ãª«ë©, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 2
1
1)
1
2
A′k-1
Ak-1
A′k Ak A′k+1
P′
A′2
P
A2
Ak+1 A1
A′n
A′1
An ¨á. 76
3. ¥®à¥¬ 2.
¨ ⥬ ¥ ç¨á«®¬
P ¨ P ′ | ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª á ®¤¨¬ ¢¥àè¨ A1 , A2 , . . . , An ¨ A1′ , A′2 , . . . , A′n ( 76). Ǒãáâì, Ǒãáâì
¤ «¥¥, ¢ë¯®«¥ë ¤¢ ãá«®¢¨ï: ¢á¥ ¨å áâ®à®ë, ªà®¬¥ An A1 ¨
1)
A1 A2
= A′ A′ , 1
2
à¨á.
A′n A′1 ,
ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, â. ¥.
. . . , An−1 An
= A′n− A′n ; 1
(1)
2) ã£«ë ¬¥¤ã í⨬¨ áâ®à® ¬¨ ã ¯¥à¢®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥ ¡®«ìè¥ ç¥¬ ∠A 6 ∠A′ , . . . , ∠An− 6 ∠A′n− , (2)
ã ¢â®à®£®, â. ¥.
1
2
1
1
¯à¨ç¥¬ å®âï ¡ë ¢ ®¤®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®â®è¥¨¥ ú¬¥ìè¥û.
1) ®§¬®®áâì à §¡¨âì ¬®£®ã£®«ì¨ª á 㣫 ¬¨, ¬¥ì訬¨ π , ¤¨ £® «ìî ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®áâ®. ®®, ¯à¨¬¥à, ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥬ à áá㤥¨¥¬, ¯®á।á⢮¬ ª®â®à®£® íâ® ¡ë«® ¤®ª § ® ¢ £«. I, ¯o 3 § 8 ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ à §¢¥à⪥. ë ¬®«ç «¨¢® ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¯à®áâë¬, ®£à ¨ç¥ë¬ ®¤®© «®¬ ®©, çâ® ¤«ï á ¤®áâ â®ç®. ®«ì楮¡à §ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®¥â ¥ à §¡¨¢ âìáï ®¤®© ¤¨ £® «ìî, ® ¥£® ¬®® à §¡¨âì ¥áª®«ìª¨¬¨ ¤¨ £® «ï¬¨ ¨ ¯à¨¬¥¨âì á«¥¤ãî饥 ¤ «¥¥ à áá㤥¨¥, ®á®¢ ®¥ «¥¬¬¥ 1.
154
. .
®£¤ ú¨áª«îç¨â¥«ì ïû áâ®à® ¯¥à¢®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¥ìè¥, 祬 ã ¢â®à®£®, â. ¥.
(3) ¥áª®«ìª® ¨®©, ¡ëâì ¬®¥â, ¡®«¥¥ £«ï¤®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ íâ ⥮६ £« á¨â: An A1 < A′n A′1 .
᫨ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª
¨ª
P
P′
¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì-
¯ã⥬ ¤¥ä®à¬ 樨, ¯à¨ ª®â®à®© ¢á¥ áâ®à®ë, ªà®¬¥ ®¤®© ú¨áª«î-
ç¨â¥«ì®©û, ¥ ¬¥ïîâ ᢮¨å ¤«¨, ã£«ë ¬¥¤ã í⨬¨ áâ®à® ¬¨ 㢥«¨ç¨¢ îâáï (¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ 㬥ìè ¥âáï ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï), â® ú¨áª«îç¨â¥«ì ïû áâ®à® 㤫¨ï¥âáï, â ª çâ® ã ¬®£®ã£®«ì¨ª
P′
® ¡®«ìè¥, 祬 ã
P.
®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. «ï âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ⥮६ ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ¥á«¨ ã ¤¢ãå âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¤¢¥ áâ®à®ë ®¤®£® à ¢ë ¤¢ã¬ áâ®à® ¬ ¤à㣮£® ( A A = A′ A′ ¨ A A = A′ A′ ), 㣫ë, § ª«îç¥ë¥ ¬¥¤ã ¨¬¨, ¥ à ¢ë (∠A < < ∠A′ ), â® âà¥âìï áâ®à® â ¬ ¬¥ìè¥, £¤¥ 㣮« ¬¥ìè¥ (A A < A′ A′ ). â ¨§¢¥áâ ï ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢® ¢á¥å í«¥¬¥â àëå ã祡¨ª å ¤«ï ¯«®áª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢; ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¥ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤®á«®¢® â ª ¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, è ⥮६ ¢¥à ¤«ï âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¨ ⥯¥àì, ¯à¥¤¯®«®¨¢ ¥¥ ¢¥à®© ¤«ï (n − 1)-㣮«ì¨ª®¢, ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì ¥¥ ¤«ï n㣮«ì¨ª®¢ (n > 3). â ª, ¯ãáâì n-㣮«ì¨ª¨ P ¨ P ′ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. ¬¥îâáï ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: 1. ¤ë© ¨§ 㣫®¢ A , . . . , An− áâண® ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî饣® 㣫 ′ A , . . . , A′n− . 2. ।¨ 㪠§ ëå 㣫®¢ ¨¬¥îâáï à ¢ë¥, ¯à¨¬¥à ∠Ak = ∠A′k . ®ª ¥¬ á ç « ′ ⥮६㠢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥. «ï í⮣® ¯à®¢¥¤¥¬ ¤¨ £®′ «¨ Ak− Ak ¨ Ak− Ak ¨ ®âá¥ç¥¬ ®â è¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¯® âà¥ã£®«ì¨ªã: T = Ak− Ak Ak ¨ T ′ = A′k− A′k A′k . ⨠âà¥ã£®«ì¨ª¨ à ¢ë (â ª ª ª ¨å 㣫ë Ak ¨ A′k à ¢ë ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î, § ª«îç î騥 ¨å áâ®à®ë′ à ¢ë ¯® ãá«®¢¨î ⥮६ë). âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q , ®á⠢訥áï ¯®á«¥ ®âá¥ç¥¨ï íâ¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¡ã¤ãâ ®¡« ¤ âì ⥬¨ ¥ ᢮©á⢠¬¨, çâ® ¨ ¨áå®¤ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨′ P ¨′ P ′. ¥©á⢨⥫ì®, ã ′ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q áâ®à®ë Ak− Ak ¨ Ak− Ak à ¢ë ¯® à ¢¥áâ¢ã âà¥ã£®«ì¨ª®¢ T ¨ T ′. £«ë ¯à¨ ¢¥àè¨ å Ak− ¨ Ak ã ¬®£®ã£®«ì¨ª ′ Q ¥ ¡®«ìè¥, 祬 ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å ¬®£®ã£®«ì¨ª Q , ¯®â®¬ã çâ® íâ¨ ã£«ë ¯®«ãç îâáï ¨§ 㣫®¢′ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ P ¨ P ′ ¢ëç¨â ¨¥¬ à ¢ëå 㣫®¢ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ T ¨ T . ᥠ¥ ¯à®ç¨¥ ã£«ë ¨ áâ®à®ë ã ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q′ ⥠¥, çâ® ã P ¨ P ′, § ç¨â, 室ïâáï ¢ â¥å ¥ ®â®è¥¨ïå. 1
2
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
+1
1
1
+1
+1
1
1
+1
+1
1
1
+1
+1
1
3
1
. III:
§ 1.
155
â ª, ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q′ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⥬ ¥ ãá«®¢¨ï¬. ® ã ¨å ®¤ã ¢¥àè¨ã ¬¥ìè¥, â ª çâ®, ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ⥮६ ¤«ï ¨å ¢¥à . «¥¤®¢ ⥫ì®, An A < A′n A′ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¥¯¥àì à áᬮâਬ â®â á«ãç ©, ª®£¤ ¢á¥ 㣫ë A , . . . , An− ¬®£®ã£®«ì¨ª P áâண® ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âá⢥ëå 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′. ®§ì¬¥¬ ª ªãî-«¨¡® ¢¥àè¨ã Ak ¬®£®ã£®«ìAk ¨ª P , ¥ «¥ éãî ¯à®¤®«¥¨¨ áâ®à®ë A An (â ª ª ª ¬ë ¥ ¨áª«îç ¥¬ «¨ç¨ï 㣫®¢, à ¢ëå π , â® ¬®£«® ¡ë ¡ëâì, çâ® ¢¥àè¨ A ¨«¨ An− «¥¨â ¯à®¤®«¥¨¨ áâ®à®ë A An ). Ǒ®áâந¬ R âà¥ã£®«ì¨ª T = Ak A An (à¨á. 77). Q ®£®ã£®«ì¨ª P à §®¡ì¥âáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, T âਠç áâ¨: âà¥ã£®«ì¨ª T ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q, R, á¬¥ë¥ á ¨¬ ¯® áâ®à® ¬ Ak A , Ak An . (He ¨áAn ª«îç ¥âáï, çâ® ®¤¨ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ R A1 ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª.) 㤥¬ ¥¯à¥à뢮 ¨§¬¥ïâì âà¥ã£®«ì¨ª T â ª, ¨á. 77 çâ®¡ë ¥£® 㣮« Ak 㢥«¨ç¨¢ «áï, ¤«¨ë áâ®à® Ak A , Ak An ®áâ ¢ «¨áì ¥¨§¬¥ë¬¨. ®£¤ ¯® 㯮¬ïã⮩ 㥠⥮६¥ ® âà¥ã£®«ì¨ª å áâ®à® A An ¡ã¤¥â 㤫¨ïâìáï, â ª çâ® ¯®á«¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¡ã¤¥â A An < A′′ A′′n . (3′) ¬¥á⥠á à §¤¢¨¥¨¥¬ áâ®à® Ak A , Ak An ¡ã¤¥¬ ¯¥à¥¬¥é âì ¯à¨«¥£ î騥 ª ¨¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ R. १ã«ìâ ⥠¢¥áì ¬®£®ã£®«ì¨ª P = Q + T + R ¡ã¤¥â ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï â ª, ç⮠⮫쪮 ¥£® 㣮« Ak ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï. ë ¬®¥¬, ®ç¥¢¨¤®, 㢥«¨ç¨âì 㣮« Ak ¤® «î¡®© ¢¥«¨ç¨ë 6 π ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ᤥ« âì ¥£® à ¢ë¬ ã£«ã A′k ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′. 1
1
2
1
1
2 2)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
2) Ǒ®ª ª®«¨ç¥á⢮ ¢¥àè¨ n > 4, â ª ï ¢¥àè¨ Ak
¢á¥£¤ ©¤¥âáï. ® ¯à¨ n = 3 ¨ = 4 ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£ãâ ®ª § âìáï «¥ 騬¨ ¯àאַ© A1 An , á¬. à¨á. . ª¨¥ A2
A3
A1
A2
A1
A3
a)
b)
, ¡, ¢
A2
A3 A1
A4 v)
¯®«®¥¨ï ¥áâ¥á⢥® ¢®§¨ª îâ ¯®á«¥ ®âá¥ç¥¨ï àï¤ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ á 㥠¢ëà ¢¥ë¬¨ 㣫 ¬¨. á«ãç ïå ¬ë 㥠¯à¨è«¨ ª ¡ §¥ ¨¤ãªæ¨¨ | âà¥ã£®«ì¨ªã, ¨ 㣮« A2 ¬®® ᢮¡®¤® 㢥«¨ç¨âì ¤® 㣫 A′2 . á«ãç ¥ ¬®® ®¤®¢à¥¬¥® ¯®¢®à 稢 âì ®â१®ª A2 A1 (¢®ªà㣠A2 , ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥) ¨ ®â१®ª A3 A4 (¢®ªà㣠A3 , ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨) â ª, çâ®¡ë ¤¢¨ã騥áï ª®æë A1 ¨ A4 ¢á¥ ¢à¥¬ï ¡ë«¨ à ¢®ã¤ «¥ë ®â ¯àאַ© A2 A3 . ¯à®¤®« âì íâ® ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª 㣮« A2 ¨«¨ 㣮« A3 ¤®á⨣¥â ᮮ⢥âá⢥® 㣫 A′2 ¨«¨ A′3 . | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . , ¡
¢
156
. .
᫨ ¯à¨ í⮬ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′′ , ¯®«ãç¥ë© ¤¥ä®à¬ 樥© ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª P , ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬, â® ª ¥¬ã ¯à¨«®¨¬ë ¢á¥ ⥠¥ à áá㤥¨ï. ® ⥯¥àì ã ¥£® ®¤¨ 㣮« A′′k à ¢¥ 㣫ã A′k , â. ¥. ¬ë ¨¬¥¥¬ 㥠à áᬮâà¥ë© á«ãç © «¨ç¨ï à ¢ëå 㣫®¢. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ ¤®ª § ®£® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®® ã⢥ठâì, çâ® (4)
A1′′ A′′n < A′1 A′n .
â® ¢¬¥á⥠á (3′) ¤ ¥â
A1 An < A′1 A′n ,
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ᥠíâ® ¢¥à®, ®¤ ª®, ⮫쪮 ¯à¨ ⮬ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′′ ®áâ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬. ¬¥¤ã ⥬ ¬®¥â á«ãç¨âìáï, çâ® ¯à¨ à áᬮâ८© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥£® ¢ë¯ãª«®áâì àãè¨âáï à ìè¥, 祬 㣮« Ak ¤®á⨣¥â ¥« ¥¬®© ¢¥«¨ç¨ë. ëïᨬ, ª ª â ª®¥ àã襨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®¥â ¯à®¨§®©â¨ . Ǒ® ⥮६¥ 1 ¬®£®ã£®«ì¨ª á 㣫 ¬¨, ¥ ¯à¥¢®á室ï騬¨ π, | ¢ë¯ãª«ë©. Ǒ®í⮬ã àã襨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®¥â ¡ëâì ¢ë§¢ ® ⮫쪮 ⥬, çâ® ¥ª®â®àë¥ ã£«ë, 㢥«¨ç¨¢ ïáì, áâ ®¢ïâáï ¡®«ì訬¨ π. ® ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬¥ïîâáï ⮫쪮 㣫ë Ak , A , An . £®« Ak ¥ ¡ã¤¥â áâ ®¢¨âìáï ¡®«ìè¥ π, â ª ª ª ® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï «¨èì ¤® à §¬¥à®¢ 㣫 A′k ¢ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ P ′. ® 㣮« A ¨«¨ An ¬®¥â â ª¥ 㢥«¨ç¨¢ âìáï ¨ áâ âì ¢ ®¤¨ ¬®¬¥â à ¢ë¬ π, ¤ «¥¥ ®ª § âìáï 㥠¡®«ì訬 π . (®, çâ® íâ® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢®§¬®®, ¢¨¤® ¨§ à¨á.78, £¤¥ ¤«ï ¯à®áâ®âë ¨§®¡à ¥ë ¯«®áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨; ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¯®«®¥¨¥ «®£¨ç®.) 㤥¬, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨, áç¨â âì, çâ® ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â áâ « à ¢ë¬ π ¨¬¥® 㣮« A . (®¥â á«ãç¨âìáï, ç⮠㣮« A ã á ¬®£® ¨á室®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª P à ¢¥ π. ®£¤ ¬ë áà §ã ¯à¨¬¥ï¥¬ á«¥¤ãî饥 ¤ «¥¥ ¯®áâ஥¨¥.) 3)
1
1
1
4)
1
3) î¡®¯ëâ® ®â¬¥â¨âì, çâ® . . ®è¨, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¨â ¤®ª §ë¢ ¥¬ ï ⥮६ , ¯à®á¬®â५ 㪠§ ãî ¢®§¬®®áâì ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¥ ¤ «, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë. â®â ¯à®¡¥« ¡ë« ¢®á¯®«¥ § ç¨â¥«ì® ¯®§¥ ¤à㣨¬¨ [352, á. 34℄. (à âª ï ¨áâ®à¨ï à §«¨çëå ¨á¯à ¢«¥¨© ®è¨¡ª¨ . . ®è¨ ᮤ¥à¨âáï ¢ áâ âì¥ . . ¡¨â®¢ [201℄, £¤¥ ¯à¥¤«®¥® â ª¥ ®¢®¥, ç¨áâ® «¨â¨ç¥áª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .) 4)
᫨ ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥ Ak A1 An 㣮« Ak 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯à¨ ¥¨§¬¥®á⨠¤«¨ áâ®à® Ak A1 , Ak An , ⮠㣮« A1 , (á®®â¢. An ) ã¡ë¢ ¥â ¨«¨ ¢®§à á⠥⠢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¡ã¤¥â «¨ 㣮« An (á®®â¢. A1 ) ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥ ®áâàë¬ ¨«¨ âã¯ë¬. â® ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤® ¨§ à¨á.78.
. III:
§ 1.
157
ë ¨¬¥¥¬ ⥯¥àì ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′′, ã ª®â®à®£® 㣮« A′′ à ¢¥ π ¨ ¯®â®¬ã A A′′ ¨ A′′ A′′n ®¡à §ãîâ ®¤ã áâ®à®ã . áᬮâਬ âà¥ã£®«ì¨ª A′′n− A′′ A′′n .
᫨ ¢ ¥¬ ∠A′′n 6 π , â® ¯®¢®à®â®¬ ®â१ª A′′ A′′ , ®áâ ¢«ïï ¢¥àè¨ã A′′n ¥¯®¤¢¨®©, 㢥«¨ç¨¢ ¥¬ 㣮« ∠A′′ ¤® 㮣® § 票ï ∠A , ¥ àãè ï ¢ë¯ãª«®áâ¨. ′′ 1
2
1
1
2
1
5)
2
2
1
2
2
A″k
Ak A″2
A2
A″1
An An−1 A″ A″n n−1
A1
A″n
A″n−1
¨á. 78
᫨ π < ∠A′′n < π, â® ç¨ ¥¬ ¥¯à¥à뢮 㢥«¨ç¨¢ âì 㣮« ∠A′′n− , ¢à é ï ®â१®ª A′′n− A′′n ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A′′n− ; ®â१®ª A′′ A′′ ®¤®¢à¥¬¥® ¯®¢®à 稢 ¥¬ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A′′ â ª, çâ®¡ë ¥£® ¯à®¤®«¥¨¥ ¢á¥ ¢à¥¬ï (¯®ª 㣮« ∠A′′n â㯮©) ¡ã¤¥â à á⨠㣮« ∠A′′, è«® ¢ â®çªã A′′n . Ǒà¨′′í⮬ ′′ 㤫¨ïâìáï ®â१®ª A An ¨ 㬥ìè âìáï â㯮© 㣮« ∠A′′n . Ǒ®í⮬㠯।áâ ¢¨âáï ®¤ ¨§ âà¥å ¢®§¬®®á⥩. 1. £®« ∠A′′n− 㤠áâáï ¤®¢¥á⨠¤® 㮣® § 票ï (â. ¥. ¤® 㣫 ∠A′n− ) ¡¥§ àã襨© ¢ë¯ãª«®áâ¨. 2. £®« ∠A′′ 㤠áâáï ¤®¢¥á⨠¤® 㮣® § 票ï (â.¥. ¤® 㣫 ∠A′ ) ¡¥§ àã襨© ¢ë¯ãª«®áâ¨. 3. Ǒ।¥ 祬 áâ㯨⠮¤ ¨§ ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¢®§¬®®á⥩, â㯮© 㣮« ∠A′′n 㬥ìè¨âáï ¤® π . í⮬ ¯®«®¥¨¨ ¯à¥ªà ⨬ 㢥«¨ç¥¨¥ 㣫 ∠A′′n− ¨ ¯®¢®à®â®¬ ®â१ª A′′ A′′ 㢥«¨ç¨¬ 㣮« ∠A′′ ¤® 㮣® § 票ï (â.¥. ¤® 㣫 ∠A′ ) ¡¥§ àã襨© ¢ë¯ãª«®áâ¨. ª®¥æ, ¥á«¨ ∠A′′n = π, â® ¯®áâ㯠¥¬ á âà¥ã£®«ì¨ª®¬ A′′ A′′n− A′′n â ª ¥, ª ª ¢ á«ãç ¥, ¨§®¡à ¥®¬ à¨á. 78. 1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
5) ¨§¤ ¨¨ 1950-£® £®¤ âà¥ã£®«ì¨ª A′′2 A′′n−1 A′′n ¡ë« á¯ãâ á âà¥ã£®«ì¨ª®¬ A′′2 A′′ A′′n k ¨ ¥ à §¤¥«¥ë á«ãç ¨, ª®£¤ ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ P π ′′ ′′ 2 , 2 < ∠An < π, ∠An = π. Ǒ®í⮬㠥᪮«ìª® á«¥¤ãîé¨å ¡§ 楢 ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ çãâì ¨§¬¥¥®© । ªæ¨¨, ¢®ááâ ¢«¨¢ î饩 â®ç®áâì ¤®ª § ⥫ìá⢠. | Ǒਬ. .. «£ ««¥à . ∠A′′ n 6
π
158
. .
â ª, ¬ë ¬®¥¬ ¯®áâநâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′′′, ã ª®â®à®£® å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ 㣫®¢ A′′′i ¡ã¤¥â à ¢¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã 㣫ã A′i . ®£¤ , ª ª 㥠¤®ª § ®, ¬®® § ª«îç¨âì, çâ® ′′ ′ ′ A′′′ 1 An < A1 An ,
â ª ª ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â P ª P ′′′ áâ®à® A An ¢á¥ ¢à¥¬ï 㤫¨ï« áì, â® A An < A′′′ A′′′ n ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 1
1
1
A1 An < A′1 A′n .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ⥫ìá⢮ 襩 â¥®à¥¬ë § ¢¥à襮. (ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤®ª § «¨, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¬®® ¥¯à¥à뢮 ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì â ª, çâ® ¢ë¯ãª«®áâì ¥ àãè ¥âáï, 㣫ë A , . . . , An− ¥ ã¡ë¢ îâ ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ¨å ¤®á⨣ ¥â 㮩 ¢¥«¨ç¨ë. Ǒ®¢â®à¥¨¥¬ â ª¨å ¤¥ä®à¬ 権 ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¬®® ¯à¥¢à â¨âì ¢ P ′. Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¨ª®£¤ ¥ ¡ã¤ãâ àãè âìáï, áâ®à®a A An ¡ã¤¥â ¯®á⥯¥® 㤫¨ïâìáï .) 2
1
6)
4. ¥¬¬ 2.
1
᫨ ã ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ áâ®-
à®ë ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, á।¨ ᮮ⢥âá⢥ëå 㣫®¢ ¨¬¥îâáï ¥à ¢ë¥, â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
, â.¥. ¥á«¨ A A = B B , . . ., An A = = Bn B , â® «¨¡® ¢á¥ à §®á⨠δi = ∠Ai − ∠Bi à ¢ë ã«î, «¨¡® ¢ àï¤ã ¨å δ , δ , . . . , δn , δ ¥áâì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª .
᫨ ¥ ¢á¥ à §®á⨠δi à ¢ë ã«î, â® ®¨ ¤®«ë ¬¥ïâì § ª. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, ∠A 6 ∠B , . . . , ∠An− 6 ∠Bn− ¨ å®âï ¡ë ¢ ®¤®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥âáï â®ç®¥ ¥à ¢¥á⢮, â® ¯® ⥮६¥ 2 ¤®«® ¡ëâì A An < B Bn ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î.
᫨ ¯¥à¥¬¥ë § ª ¨¬¥îâáï, â® ¨å ç¥â®¥ ç¨á«®, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ª ⮩ à §®áâ¨, á ª®â®à®© ç «¨ ®¡å®¤. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ® ¨¬¥¥âáï ஢® ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¨ ¯ãáâì, ¯à¨¬¥à, 㣫ë A , . . . , Am ¡®«ìè¥ ã£«®¢ B , . . . , Bm , 㣫ë Am , . . . , An ¬¥ìè¥ ã£«®¢ Bm , . . . , Bn (¥ ¨áª«îç ï, ª®¥ç®, çâ® á।¨ íâ¨å 㣫®¢ ¬®£ãâ ¡ëâì à ¢ë¥).
㣫®¢ ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à §
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
+1
+1
6) ⢥थ¨¥ í⮣® ¡§ æ ¥â®ç®. Ǒਢ¥¤¥®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¤ ¥â ¥¯à¥àë¢ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î P ¢ P ′ á ¥ã¡ë¢ ¨¥¬ 㣫®¢ «®¬ ®©. ¤ ª® ®® ¥ £ à â¨àã¥â á®åà ¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¥ä®à¬ 樨 㠢ᥣ® ¬®£®ã£®«ì¨ª , «¨èì ¤«ï ¢¯¨á ®£® ¢ ¥£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ᮥ¤¨ïî饣® ª®æë «®¬ ®© ¨ ¢¥àè¨ë, ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ¤ ®¬ è £¥ ¨¤ãªæ¨¨ ¥é¥ ®áâ ¢ «¨áì ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âá⢥ëå 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ′ . ¨è¥ ï 㪠§ ®£® ¥¤®áâ ⪠¤¥ä®à¬ æ¨ï ⮥ ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â. â® ¤®ª § ®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ áâ âì¥ . . ¡¨â®¢ [201℄. | Ǒਬ. .. «£ ««¥à .
. III:
§ 1.
159
§¤¥«¨¬ áâ®à®ë A An , Am Am , B Bn , BmBm ¯®¯®« ¬ â®çª ¬¨ K , , , ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ KL ¨ M N (à¨á. 79). à ¢¨¢ ï ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨ B . . . Bm N M , ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢á¥ ¨å áâ®à®ë, ªà®¬¥ LK ¨ , à ¢ë ¯® ãá«®¢¨î, 㣫ë A , . . . , Am ¡®«ìè¥ ã£«®¢ B , . . . , Bm . Ǒ®í⮬ã ᮣ« ᮠ⥮६¥ 2 ¤®«® ¡ëâì LK > N M . ® ¥á«¨ â ª ¥ áà ¢¨âì ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Am . . . An KL ¨ Bm . . . Bn M N , â® ¯® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥ ¤®«® ¡ëâì LK < N M . Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨å ¤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å. 1
L M N A1 . . . Am LK NM
+1
1
+1
1
1
1
+1
Am
L
A2 A1 K
+1
N
Bm
Am+1
B2
An
B1
Bm+1
M
Bn
¨á. 79
5. ¥¬¬ã 2 «¥£ª® ¯¥à¥áª § âì ¤«ï ¬®£®£à ëå 㣫®¢. Ǒਠí⮬ ¬ë ¯à¨á®¥¤¨¨¬ ª ¬®£®£à ë¬ ã£« ¬ â ª¥ ý¢ëத î騥áïþ, â. ¥. ᢮¤ï騥áï ª ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¬ ¯«®áª¨¬ 㣫 ¬, ¬¥ì訬 π. ¥¬¬ 2 .
᫨ ã ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ëå 㣫®¢, ¥ ᢮¤ïé¨åáï ª
¤¢ã£à ë¬ ã£« ¬, ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¢ëத îé¨åáï, ¯«®áª¨¥ 㣫ë ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, á।¨ ᮮ⢥âá⢥ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¨¬¥îâáï ¥à ¢ë¥, â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ ¤ ëå ¬®£®£à ëå 㣫®¢ à §®á⨠ᮮ⢥âá⢥ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à §.
( ª ®£®¢®à¥® ¢ ç «¥ ¯ à £à ä , ¤®¯ã᪠îâáï ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë, à ¢ë¥ π. ¥çì ¨¤¥â ® ¯«®áª¨å 㣫 å ¬¥¤ã á®á¥¤¨¬¨ à¥¡à ¬¨, ¢ª«îç ï ॡà íâ¨å ¤¢ã£à ëå 㣫®¢.) ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ®¡ ¬®£®£à ëå 㣫 ¥ ¢ëத îâáï, â®, ®¯¨áë¢ ï ¢®ªà㣠¨å ¢¥àè¨ à ¢ë¥ áä¥àë, ¯®«ã稬 íâ¨å áä¥à å ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë 2, â ª çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ «¥¬¬ 2 ¥áâì ¯à®á⮩ ¯¥à¥áª § «¥¬¬ë 2. Ǒãáâì å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ¤ ëå ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¢ëத ¥âáï. ¡®§ 稬 ¥£® V , ¤à㣮© ®¡®§ 稬 V . Ǒãáâì p , q | ⥠ॡà 㣫 V , ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå à ¢ë ã«î.
᫨ ¯à¨ ॡॠp 㣫 V , ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ॡàã p , ¤¢ã£à ë© ã£®« â ª¥ à ¢¥ ã«î, â® ® à ¢¥ ã«î ¨ ¯à¨ ॡॠq . ®£¤ 㣫ë V ¨ V ®ª §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨. ®¯ãá⨬ ¯®í⮬ã, ç⮠㣮« ¯à¨ ॡॠp ¥ à ¢¥ ã«î. ®£¤ ¨ ¯à¨ q ® ¥ à ¢¥ ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ã£«ë ¯à¨ à¥¡à å p , q ¡®«ìè¥, 祬 1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
160
. .
¯à¨ p , q . ¬¥á⥠á ⥬ áã¬¬ë ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¬®£®£à ®£® 㣫 V ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ p , q à ¢ë á ®¡¥¨å áâ®à®, â ª ª ª ®¨ à ¢ë 㣫¥ V . Ǒ®í⮬ã 㣫¥ V á ®¡¥¨å áâ®à® ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ p , q ¨¬¥îâáï ॡà , ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ¬¥ìè¥ π. ® â ª ª ª 㣮« V ¢ëத ¥âáï, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¥£® ᮮ⢥âá⢥ëå ॡà å à ¢ë π. ª¨¬ ®¡à §®¬, 㣫¥ V á ®¡¥¨å áâ®à® ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ p , q ¨¬¥îâáï ॡà , ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ¬¥ìè¥, 祬 ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ॡà å 㣫 V . â ª ª ª ã£«ë ¯à¨ á ¬¨å ॡà å p , q ¡®«ìè¥, 祬 ¯à¨ p , q , â® ¯®«ãç ¥¬ ª ª à § ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª .7) ¥¬¬ ¤®ª § . 1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
¯à ¥¨¥ . Ǒ।« £ ¥¬ ç¨â ⥫î á ¯®¬®éìî í⮩ «¥¬¬ë ®è¨ ¤®ª § âì ã⢥थ¨ï ® £®¬¥®¬®àäëå ªàã£ã ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å, ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ £à ¥© ª®â®àëå ¨§®¡à ¥® à¨á㪠å , ¡, ¢.
α
O B
a)
A
b)
v)
á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª ¥¨§£¨¡ ¥¬ ¯à¨ ⢥à¤ëå £à ïå ¨ á®åà ¥¨¨ ¢ë¯ãª«®áâ¨. á«ãç ¥ ¯à¨ ¨§£¨¡ ¨ïå 㪠§ ®£® ⨯ ¬¨¨¬ «ì®¥ § 票¥ 㣫 α ¤®á⨣ ¥âáï, ¥á«¨ ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¨ ॡॠAB áâ ®¢¨âáï à ¢ë¬ π. á«ãç ¥ , ¥á«¨ ¢á¥ £à ¨ ¯à ¢¨«ìë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â® ¬®£®£à ¨ª ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã O. (®£®ç¨á«¥ë¥ ¯®¤®¡ë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï «¥¬¬ë ®è¨ á¬. ¢ [108℄.)
¡
¢
§ 2. ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¯«®áª¨å 㣫®¢
1. ¤¥áì ª ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ¬ë ¯à¨ç¨á«ï¥¬ â ª¥ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â. ¥. ý¬®£®£à ¨ª¨þ, á®áâ ¢«¥ë¥ ¨§ ¤¢ãå «®¥ëå ¤à㣠¤àã£ à ¢ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ . 8)
7) ®¡ ¢«¥® . . «£ ««¥à®¬. 8) ®çª¨, «¥ 騥 ¢ãâਠíâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, å®âï ¨ ᮢ¯ ¤ îâ, ® áç¨â îâáï ª ª Y X ¨á. 80
¡ë à §«¨ç묨; ¨å 㤮¡® áç¨â âì «¥ 騬¨ á à §ëå áâ®à® ⮣® ý¤¢ ¤ë ¯®ªàë⮣®þ ¬®£®ã£®«ì¨ª , ª®â®àë© ®¡à §ãîâ ¤¢ «®¥ëå ¤à㣠¤à㣠¬®£®ã£®«ì¨ª . ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ý à §ëå áâ®à® åþ ¤¢ ¤ë ¯®ªàë⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨§¬¥àï¥âáï ¯® «¨¨¨, ý¯¥à¥å®¤ï饩þ ç¥à¥§ ªà © ¬®£®ã£®«ì¨ª (à¨á. 80).
áâ¥á⢥ ï à §¢¥à⪠⠪®£® ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå à ¢ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ᪫¥¨¢ ¥¬ëå ¯® ¢á¥¬ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ áâ®à® ¬.
. III:
§ 2.
161
஬¥ ⮣®, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì à §¡¨¥¨¥ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¡ã¤¥â áç¨â âìáï ý£à ìîþ. ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ã ¬®£®£à ¨ª ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢ á®àâ ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨: ý áâ®ï騥þ ¨ ý¥ áâ®ï騥þ. ¤®¥ ॡ஠ï¥âáï ®¡é¥© áâ®à®®© ¤¢ãå ý£à ¥©þ. ¥ áâ®ï騥 ॡà | â¥, ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå à ¢ë π, â.¥. ᢮¤ïâáï ª ¯«®áª®áâ¨. ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë | â¥, ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ᢮¤ïâáï ª ¤¢ã£à ë¬ ¨«¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ¯«®áª®áâ¨, çâ® ¡ã¤¥â, ¥á«¨ ¢¥àè¨ «¥¨â ¢ãâਠ¨á⨮© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª . ª®¥ à áè¨à¥¨¥ ¯®ï⨩ £à ¨, à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ®ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡ë¬ ¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤ «ìè¥ ¡¥§ ®á®¡ëå 㯮¬¨ ¨©. ë £®¢®à¨¬, çâ® ¤¢ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥, ¥á«¨ ¬¥¤ã ¨å í«¥¬¥â ¬¨: £à ﬨ, à¥¡à ¬¨, ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®® ãáâ ®¢¨âì ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箥 ᮮ⢥âá⢨¥, á®åà ïî饥 ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥®áâ¨. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ॡ஠a (¢¥àè¨ A) ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯à¨ ¤«¥¨â £à ¨ Q (ॡàã q), ⮠ᮮ⢥âá⢥®¥ ॡ஠a (¢¥àè¨ A ) ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯à¨ ¤«¥¨â ᮮ⢥âá⢥®© £à ¨ Q (ॡàã q ). 1
1
2. ¥®à¥¬ 1.
1
1
1
᫨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¤¨ -
ª®¢®£® áâ஥¨ï ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ã£«ë ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå à ¢ë, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å â ª¥ à ¢ë.
Ǒãáâì P ¨ P | ¤¢ ¬®£®£à ¨ª , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª P § ª + ¨«¨ − ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¡®«ìè¥ ¨«¨ ¬¥ìè¥ ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¨ í⮬ ॡà¥, 祬 ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥®¬ ॡॠ¬®£®£à ¨ª P . ¥¡à á à ¢ë¬¨ ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨ ®áâ îâáï ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. áᬮâਬ ¯¥à¥¬¥ë § ª®¢, ¯®«ãç î騥áï ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠®¤®© ¢¥àè¨ë. ¤¥áì á«¥¤ã¥â à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¡ã¤¥â «¨ ¤ ï ¢¥àè¨ áâ®ï饩 ¨«¨ ¥â. Ǒãáâì A , A | ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P . áâ®ïé ï ¢¥àè¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï, ª ª ¬ ¨§¢¥áâ®, ⥬, çâ® á㬬 á室ïé¨åáï ¢ ¥© ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¬¥ìè¥ 2π. â ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P à ¢ë, â® ¢¥àè¨ë A ¨ A ®¤®¢à¥¬¥® «¨¡® ®¡¥ áâ®ï騥, «¨¡® ®¡¥ ¥ áâ®ï騥.
᫨ ¢¥àè¨ë A ¨ A | áâ®ï騥, â® ¬ë ¬®¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 2 § 1, ᮣ« á® ª®â®à®© ¯à¨ ãá«®¢¨¨ à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢ à §®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ «¨¡® ¢á¥ à ¢ë ã«î, «¨¡® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ 4 à §.
᫨ ¥ ¢¥àè¨ë A ¨ A | ¥ áâ®ï騥, â® ¬ë ¡ã¤¥¬ à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï: 1) ª ®¡¥¨¬ ¢¥àè¨ ¬ ¯®¤å®¤ïâ áâ®ï騥 ॡà , ® áâ®ï饬ã ॡàã, ¯®¤å®¤ï饬㠪 A , ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥ áâ®ï饥 ॡà®, ¯®¤å®¤ï饥 ª A ; 2) ¢â®à®© á«ãç © ¢ª«îç ¥â ¢á¥ ¯à®ç¨¥ ¢®§¬®®áâ¨: «¨¡® å®âï ¡ë ¯à¨ ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ áâ®ïé¨å ॡ¥à ¥â, «¨¡® ®¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤à㣠1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
162
. .
¤àã£ã. ë ¯®ª ¥¬, çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A à ¢® ç¥âë६, ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¢¥àè¨ë A ¨ A ¬®® ¢®¢á¥ ¨áª«îç¨âì. 1) Ǒãáâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯¥à¢ë© á«ãç ©. Ǒãáâì a , a′ | áâ®ï騥 ॡ′ à , á室ï騥áï ¢ ¢¥à訥 A , ¨ b , b | áâ®ï騥 ॡà , á室ï騥áï ¢ ¢¥à訥 A (à¨á. 81). ª ª ª ¬®£®£à ë© ã£®« ¯à¨ ¥ áâ®ï饩 ¢¥à訥 ᢮¤¨âáï ª ¤¢ã£à ®¬ã, â® ¤¢ á室ïé¨åáï ¢ ¥© áâ®ïé¨å ॡà ïîâáï ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣠¤à㣠. Ǒ®í⮬㠥᫨ áâ®ï饬ã ॡàã a ¬®£®£à ¨ª P ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥ áâ®ï饥 ॡ஠a ¬®£®£à ¨ª P , ⮠ॡàã a′ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ª¥ ¥ áâ®ï饥 ॡ஠a′ . ⮣¤ áâ®ï騬 à¥¡à ¬ b , b′ ¬®£®£à ¨ª P ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥ áâ®ï騥 a2 ॡà b , b′ ¬®£®£à ¨ª P . A 2 a1 A1 Ǒਠáâ®ïé¨å ॡà å ¤¢ã£à b′2 b′1 b2 ë¥ ã£«ë ¬¥ìè¥ π, ¯à¨ ¥ b1 a′1 a′2 áâ®ïé¨å | à ¢ë π. Ǒ®í⮬㠧 ª¨ à §®á⥩ 㣫®¢ ¯à¨ ॡà å a ¨ a , b ¨ b , a′ ¨ a′ , ¨á. 81 b′ ¨ b′ ¡ã¤ãâ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® −, +, −, + , çâ® ¤ áâ ª ª à § ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . (àã£¨å ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¥â, â ª ª ª ¢á¥ ®¨, ª ª ¯à¨ ¢¥à訥 A , â ª ¨ ¯à¨ A , | ¥ áâ®ï騥, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ã£«ë ¯à¨ ¨å à ¢ë.) 2) ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¬®® à §«¨ç âì âਠ¢®§¬®®áâ¨: 2 ) ¨ ¯à¨ ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ A ¨ A ¥â áâ®ïé¨å ॡ¥à; A a2 2 b2 A1 b1 2¡) ®¨ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¯à¨ a1 ®¤®© ¨§ íâ¨å ¢¥àè¨; a′2 2¢) ®¨ ¨¬¥îâáï ¯à¨ ®¡¥¨å a′1 l2 l1 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤à㣠¤àã£ã (à¨á. 82). ¨á. 82 2 ) ®£¤ ¢á¥ à¥¡à ¯à¨ ¢¥àè¨ å A , A ¥ áâ®ï騥, â® ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¢®ªà㣠¢¥àè¨ A ¨ A à ¢ë π. Ǒ®íâ®¬ã ¢á¥ à¥¡à ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¡ã¤ãâ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨, â ª çâ® ¢¥àè¨ë A , A ¨ ¢á¥ á室ï騥áï ¢ ¨å à¥¡à ¬®® ¨áª«îç¨âì. 2¡) ¨ 2¢) Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ¢¥à訥 A ¥áâì áâ®ï饥 ॡ஠A ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª¥ áâ®ï饥 ॡ஠a′ , ïî饥áï ¯à®¤®«¥¨¥¬ a . Ǒãáâì a , a′ | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à¥¡à ¯à¨ ¢¥à訥 ′A . ®£¤ , ¥á«¨ ª ¢¥à訥 A ¯®¤å®¤ïâ áâ®ï騥 ॡà , â® ®¨ áãâì a , a (á«ãç © 2¢). áâ «ìë¥ à¥¡à b , . . . , l , ¯®¤å®¤ï騥 ª A , | ¥ áâ®ï騥, ¨ ¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥ áâ®ï騥 ॡà b , . . . , l . Ǒ®í⮬ã ॡà b , . . . , l ®ª §ë¢ îâáï ¥®â¬¥1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
. III:
§ 2.
163
ç¥ë¬¨, ¨ ¨å ¬®® ¨áª«îç¨âì. ¥¡à a ¨ a′ § ¢¥¤®¬® á«ã ⠯த®«¥¨¥¬ ¤à㣠′ ¤à㣠, ¯®â®¬ã çâ® ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¬¥¤ã ¨¬¨ â ª¨¥ ′ ¥, ª ª ¬¥¤ã a ¨ a , â.¥. à ¢ë¥ π. ¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ à¥¡à å a ¨ a à ¢ë, ¨ ¯®â®¬ã ॡà a , a′ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ § ª. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¬®¥¬ ¢®¢á¥ ¨áª«îç¨âì ¢¥àè¨ë A ¨ A , ᮯ®áâ ¢¨¢ ¤à㣠¤àã£ã ॡà a + a′ ¨ a + a′ ; ¯à¨ í⮬ ॡàã a + a′ ¡ã¤¥â ®â¥á¥, ª®¥ç®, â®â ¥ § ª, ª ª®© áâ®ï« ॡà å a ¨ a′ . â ª, ¢á¥ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë, ¢ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢â®à®© á«ãç ©, ¬®® ¨áª«îç¨âì ¢®¢á¥. ®£¤ ¨§ ¢á¥£® ¤®ª § ®£® ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥: ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢®®¡é¥ ¨¬¥îâáï ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® ¢®ªà㣠¢á类© ¢¥àè¨ë, ª ª®â®à®© ®¨ ¯®¤å®¤ïâ, ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ® ᮣ« á® «¥¬¬¥ ®è¨ (§ 1, £« ¢ë II), íâ® ¥¢®§¬®®. Ǒ®í⮬㠮⬥ç¥ëå ॡ¥à ¥â ¢®¢á¥. íâ® ®§ ç ¥â, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P à ¢ë ¨ ⥮६ ¤®ª § . 2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
3. ¥®à¥¬ 2.
1
Ǒãáâì
P1
2
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¨ ¨§
ª ª®© ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® ¥ ¨á室¨â ¡®«¥¥ ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ॡà , ¤ ¥ ¥á«¨ ¨áª«îç¨âì ¢á¥ ¨«¨ ¥ª®â®àë¥ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë (®¡ê¥¤¨ïï ¯à¨
í⮬ ¢ ®¤® ª ¤®¥ ॡà®, à §¤¥«¥®¥ â ª®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訮© 9) ). ®£¤ , ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª
P2
¨¬¥¥â â® ¥ áâ஥¨¥, çâ®
ë¥ ã£«ë ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå ¬®£®£à ¨ª®¢
P1 , ¨ ᮮ⢥âá⢥P1 ¨ P2 à ¢ë, â®
¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å ᮮ⢥âá⢥ëå ॡà å â ª¥ à ¢ë.
Ǒ।¥ 祬 ¯à¨áâ㯨âì ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã, ᤥ« ¥¬ ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï.
᫨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ¯ à ««¥«ìë, â® ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë § ¢¥¤®¬® ¬®¥â ¨á室¨âì ⮫쪮 ®¤® ¡¥áª®¥ç®¥ ॡà®. Ǒ®í⮬㠤«ï â ª¨å ¯ à ¬®£®£à ¨ª®¢ ⥮६ 2 ã⢥ठ¥â, çâ® à ¢¥á⢮ 㣫®¢ £à ïå ¢á¥£¤ ¢«¥ç¥â § ᮡ®© à ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢. ®£®£à ¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¥£® ¯®« ï ªà¨¢¨§ à ¢ 2π, ¯®â®¬ã ç⮠⮫쪮 ¯à¨ ¯ à ««¥«ì®á⨠¡¥áª®¥çëå ॡ¥à áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¯®ªàë¢ ¥â 楫ãî ¯®«ãáä¥àã. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ⥮६¥ 2 ᮤ¥à¨âáï á«¥¤ãîé ï ¥®à¥¬ 3.
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¤¨ ª®¢®£® áâ஥¨ï, ¨¬¥îé¨å ¯®«ãî ªà¨¢¨§ã 2π , ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ã£«ë 1
9) Ǒ®áª®«ìªã ¬ë ¤®¯ã᪠¥¬ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë, à §¡¨¢ î騥 ॡà , íâ ®£®¢®àª
¥®¡å®¤¨¬ . ¯à¨¬¥à, ¢®§ì¬¥¬ ¬®£®£à ë© ã£®« P , ® ¥á®¬¥® ¤®¯ã᪠¥â ¤¥ä®à¬ 樨, ¥ ¬¥ïî騥 ¯«®áª¨å 㣫®¢, ® ¬¥ïî騥 ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë. ª ¤®¬ ॡॠ㣫 P ¢®§ì¬¥¬ ¯® â®çª¥ ¨, ¯à¨ï¢ í⨠â®çª¨ § (¥ áâ®ï騥) ¢¥àè¨ë Ai , ᮥ¤¨¨¬ ¨å (¥ áâ®ï騬¨) à¥¡à ¬¨. Ǒ®á«¥ í⮣® ¨§ ª ¤®© ¢¥àè¨ë Ai ¡ã¤¥â ¨á室¨âì ¯® ®¤®¬ã ¡¥áª®¥ç®¬ã ॡàã, ¨§ áâ®ï饩 ¢¥àè¨ë O 㣫 V ¡ã¤ãâ ¨á室¨âì «¨èì ª®¥çë¥ à¥¡à OAi . ®«ìª® ¨áª«îç ï ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë Ai , ¬ë ¯®«ã稬, çâ® ¨§ ¢¥àè¨ë O ¨á室¨â ¡®«¥¥ ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ॡà .
164
. .
ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå à ¢ë, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å ᮮ⢥âá⢥ëå ॡà å â ª¥ à ¢ë.
᫨ ¥ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â ¯®«ãî ªà¨¢¨§ã < 2π, â® ã ¥£® ¨¬¥îâáï ¥¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¨ ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë ¬®¥â ¨á室¨âì ¥áª®«ìª® ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ⥮६ 2 ¥¯à¨¬¥¨¬ , ¨ ãë ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¢ § 4. ®, çâ® §¤¥áì ¨§ à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¥ á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à¨¬¥à ¬®£®£à ®£® 㣫 , ª®â®àë© ¬®® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ¥£® ¯«®áª¨å 㣫®¢. ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬ ⥮६ã 2. Ǒãáâì P ¨ P | ¬®£®£à ¨ª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 2. Ǒà¨á®¥¤¨¨¬ ª ª ¤®¬ã ¨§ ¨å ¯® ®¤®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訥 ¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ íâ¨å ¢¥àè¨ å á室ïâáï ¨å ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à . ®£¤ ¯®«ã稬 ¡áâà ªâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P , P ®¤¨ ª®¢®£® áâ஥¨ï ¨ £®¬¥®¬®àäë¥ áä¥à¥. ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢á直¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ᮥ¤¨ïîâáï ¥ ¡®«¥¥ 祬 ®¤¨¬ ॡ஬. ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï ᮡá⢥ëå ¢¥àè¨ íâ® ïá®.
᫨ ¥ ॡ஠AB ᮥ¤¨ï¥â ᮡá⢥ãî ¢¥àè¨ã A á ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訮© B , â® ®® ¥áâì ¯®¯à®áâã ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P . â ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë A ¬®£®£à ¨ª¥ P ¬®¥â ¨á室¨âì ⮫쪮 ®¤® ¡¥áª®¥ç®¥ ॡà®, â® ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ॡ஠AB | ¥¤¨á⢥®¥, ᮥ¤¨ïî饥 ¢¥àè¨ë A ¨ B . ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨ë ᮥ¤¨ïîâáï ¥ ¡®«¥¥ 祬 ®¤¨¬ ॡ஬, â® ª á¥â¨ ¥£® ॡ¥à ¯à¨¬¥¨¬ «¥¬¬ ®è¨. ááâ ¢¨¬ ॡà å ¬®£®£à ¨ª P § ª¨ à §®á⥩ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ P ¨ P . ®£¤ , à áá㤠ï â ª ¥, ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1, ã¡¥¤¨¬áï, çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå, ¢®ªà㣠ª ¤®© áâ®ï饩 ¢¥àè¨ë ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¥á«¨ ⮫쪮 ª ¢¥à訥 ¯®¤å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤® ®â¬¥ç¥®¥ ॡà®. ®-¢â®àëå, ¤«ï ¥ áâ®ïé¨å ¢¥àè¨ ¬®¥â ¡ëâì ¤¢ á«ãç ï: ¨«¨ ¢®ªà㣠⠪®© ¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ஢® ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¨«¨ â ªãî ¢¥àè¨ã ¬®® ¢®¢á¥ ¨áª«îç¨âì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®ªà㣠ª ¤®© ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ®â¬¥ç¥ëå ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ®£« á® ãá«®¢¨î ⥮६ë, ¨áª«î票¥ ¥ áâ®ïé¨å ¢¥àè¨ ¥ àãè ¥â ⮣®, çâ® ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ¨á室¨â ¬ ªá¨¬ã¬ ®¤® ¡¥áª®¥ç®¥ ॡà®. Ǒ®í⮬㠨 ¯®á«¥ â ª®£® ¨áª«îç¥¨ï ª ®á⠢襩áï á¥â¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P , ¯®«ã祮¬ ¨§ P ¯à¨á®¥¤¨¥¨¥¬ ¥á®¡á⢥®© ¢¥àè¨ë, «¥¬¬ ®è¨ ¡ã¤¥â ¯à¨¬¥¨¬ . ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢®ªà㣠ª ¤®© ¨§ ®áâ ¢è¨åáï (®â¬¥ç¥ëå) ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª ; ¥¤¨á⢥®¥ ¨áª«î票¥ ¬®¥â á®áâ ¢¨âì ⮫쪮 ¥á®¡á⢥ ï ¢¥àè¨ : ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢®ªà㣠¥¥ ¬®£«® ¡ë ¤ ¥ à ¢ïâìáï ã«î. ¤ ª®, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¢ § 1 £« ¢ë II, «¥¬¬ ®è¨ ¤®¯ã᪠¥â ãâ®ç¥¨¥: ¥¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ â ª¥ ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¤®© ¢¥àè¨1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
. III:
§ 3.
165
Ǒ
ë á ç¨á«®¬ ¯¥à¥¬¥ § ª®¢, ¬¥ì訬 ç¥âëà¥å. Ǒਬ¥ïï «¥¬¬ã ®è¨ á í⨬ ¤®¯®«¥¨¥¬, § ¬¥ç ¥¬, çâ® ¯®«ãç¥ ï à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¥¢®§¬® , â. ¥. ¢á¥ à¥¡à ¤®«ë ¡ëâì ¥®â¬¥ç¥ë¬¨ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢á¥ à §®á⨠ᮡá⢥ëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P à ¢ë ã«î. 4. ®¢¥à襮 «®£¨ç® ⥮६¥ 2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® 1
¥®à¥¬ 4.
Ǒãáâì
P1
2
| ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥-
ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¨ â ª®©, çâ® ¨ª ª ï ¥£® ¢ãâà¥ïï, â. ¥. ¥ «¥ é ï £à ¨æ¥, ¢¥àè¨ ¥ ᮥ¤¨ï¥âáï á £à ¨æ¥© ¡®«¥¥ 祬 ®¤¨¬ ॡ஬. ®£¤ , ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª
P2
¨¬¥¥â â® ¥ áâ஥¨¥, çâ®
P1 ,
¨ ã£-
«ë ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª®¢
P1
¨
P2
à ¢ë, â® à ¢ë â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å
ᮮ⢥âá⢥ëå ॡà å.
¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨á®¥¤¨¨¬ ª ¬®£®£à ¨ªã P ¥á®¡á⢥ãî ¢¥àè¨ã, ®â®¤¥á⢨¢ á ¥© ¢áî £à ¨æã ¬®£®£à ¨ª P ; ª í⮩ ¢¥à訥 ¡ã¤ãâ ¯®¤å®¤¨âì ¢á¥ à¥¡à , ¨¤ã騥 ¨§ãâਠª £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª . १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¡áâà ªâë© ý¬®£®£à ¨ªþ, £®¬¥®¬®àäë© áä¥à¥. ®£¤ ¡ãª¢ «ì®¥ ¯®¢â®à¥¨¥ à áá㤥¨©, ¯à¨¬¥¥ëå ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 2, ¯à¨¢®¤¨â ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 4 . ¬¥â¨¬, ç⮠⥮६ 4 ¢ª«îç ¥â ¢ á¥¡ï ª ª ⥮६ã 1, â ª ¨ ⥮६ã 2.
᫨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P | § ¬ªãâë¥ ¨ ¨å ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ã£«ë £à ïå à ¢ë, â®, á१ ï ã£«ë ¢®ªà㣠®¤®© ¢¥àè¨ë, ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª¨ P ′ , P ′ á £à ¨æ ¬¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 4.
᫨ ¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P | ¡¥áª®¥çë¥, â®, ®â१ ¢ ®â ¨å ¡¥áª®¥çë¥ ªã᪨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, ¥ § ¤¥¢ ï ¢¥àè¨, ¯®«ã稬 ®¯ïâì-â ª¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ′ , P ′ , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 4. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ëå ¥áª®«ìª¨¬¨ § ¬ªãâ묨 «®¬ 묨, ¯à¨è«®áì ¡ë ¢¢®¤¨âì ¥áª®«ìª® ¥á®¡á⢥ëå ¢¥àè¨, ⮣¤ ãâ®ç¥ ï «¥¬¬ ®è¨ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ¨ ª ª ª®¬ã १ã«ìâ âã. ¤¥áì ãë ¥é¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ãá«®¢¨ï, ® ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª¨¥ ¨¬¥®, ®áâ ¥âáï ᮢ¥à襮 ®âªàëâë¬. 1
1
10)
1
1
2
1
1
2
2
2
§ 3.
¤¨á⢥®áâì ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©
1. í⮬ ¯ à £à ä¥, â ª ¥ ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬, ª ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ¯à¨ç¨á«ïîâáï â ª¥ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨.
᫨ â®çª¨ X , Y «¥ â á à §ëå áâ®à® â ª®£® ¢ëத î饣®áï ¬®£®£à ¨ª P , â® à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨ ¨§¬¥àï¥âáï ¤«¨®© á ¬®© ª®à®âª®© 10) ¢ë¢®¤ å ® ç¨á«¥ ¯¥à¥¬¥ § ª ¨£à ¥â ஫ì ⮫쪮 ¢ë¯ãª«®áâì ¬®£®£à ëå 㣫®¢, ¯®â®¬ã ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì, ç⮡ë ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 , P2 ¡ë«¨ ¢ë¯ãª«ë¬¨ ¢á¥ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë; á ¬¨ ¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¥¢ë¯ãª«ë¬¨. ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬®® §¢ âì «®ª «ì® ¢ë¯ãª«ë¬¨. Ǒ®«ë© ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï «®ª «ì® ¢ë¯ãª«ë¬, | § ¢¥¤®¬® ¢ë¯ãª«ë©, ® ¥á«¨ ¥áâì £à ¨æ , â® ® ¬®¥â ¡ëâì ¨ ¥¢ë¯ãª«ë¬ ¢ 楫®¬.
166
. .
«®¬ ®©, ¯à®å®¤ï饩 ®â X ¤® ªà ï P ¨ ¤ «¥¥ ª Y (á¬. à¨á. 80). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ â®çª¨ X ¨ Y ᮢ¯ ¤ îâ, ® áç¨â îâáï «¥ 騬¨ á à §ëå áâ®à®, â® à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨ ¥ à ¢® ã«î. ®ª § ⥫ìáâ¢ã à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ à §¢¥à⪠¬¨ ¯à¥¤¯®è«¥¬ ¥ª®â®àë¥ «¥¬¬ë. ®â«¨ç¨¥ ®â ãá«®¢¨ï, ¯à¨ï⮣® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¢ íâ¨å «¥¬¬ å ¯®¤ £à ﬨ ¬®£®£à ¨ª ¯®¨¬ îâáï ⮫쪮 ¥£® ¨áâ¨ë¥ £à ¨. ëத¥ë© ¬®£®£à ¨ª á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ¤¢ãå ᮢ¯ ¤ îé¨å £à ¥©. ¥¬¬ 1.
᫨ «¨¨ï L ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P ï¥âáï ªà âç ©è¥© (â. ¥. á ¬®© ª®à®âª®© ¨§ ¢á¥å «¨¨©, ᮥ¤¨ïîé¨å ¤ ë¥ â®çª¨), â® ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© «®¬ ãî, ¨¬¥îéãî ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® ®â१ª ª ¤®© £à ¨ . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì â®çª¨ X , Y ªà âç ©è¥© L «¥ â £à ¨ Q. ®£¤ ¯® ¢ë¯ãª«®á⨠£à ¨ Q ¥© «¥¨â ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª XY . â®â ®â१®ª⌢§ ¢¥¤®¬® ¤ ¥â ªà âç ©è¥¥ ᮥ¤¨¥¨¥ â®ç¥ª X ¨ Y , ¨ ¥á«¨ ¡ë ãç á⮪ XY «¨¨¨ L ¥ ᮢ¯ ¤ « á ®â१ª®¬ XY , â®, § ¬¥ïï ¥£® í⨬ ®â१ª®¬, ¬ë ᮪à ⨫¨ ¡ë «¨¨î L ¢®¯à¥ª¨ ⮬ã, çâ® ® | ªà âç ©è ï. âáî¤ ïá®, çâ® ¢áï ç áâì «¨¨¨ L, «¥ é ï Q, ᢮¤¨âáï ª ®¤®¬ã ®â१ªã. 11)
¥¬¬ 2.
᫨ ¡¥áª®¥ç ï ¢ ®¤ã áâ®à®ã «¨¨ï
¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥
P
L
¡¥áª®¥ç®¬ ¢ë-
ï¥âáï ªà âç ©è¥© ¢á类¬ ᢮¥¬ ®â१ª¥, â®,
ç¨ ï á ¥ª®â®à®© â®çª¨, ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ã¯àï¬ãî, «¥ éãî ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª
P.
¥©á⢨⥫ì®, ¯® «¥¬¬¥ 1 ᪮«ì 㣮¤® ¤«¨ë© ãç á⮪ «¨¨¨ L ¬®¥â ¨¬¥âì ª ¤®© £à ¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ®¤¨ ®â१®ª. ª ª ª ç¨á«® £à ¥© ª®¥ç®, â®, ç¨ ï á ¥ª®â®à®© â®çª¨, «¨¨ï L ¤®« ®áâ âìáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®¤®© £à ¨ Q, â ª ª ª ® | ªà âç ©è ï ª ¤®¬ ®â१ª¥ ¨ ¡¥áª®¥ç , â® Q ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«ã¯àאַ©. ¥¬¬ 3.
¢¥à⪨
R,
᫨ ¬®£®£à ¨ª¨
P1
¨
P2
᪫¥¥ë ¨§ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ à §-
â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥, â. ¥. á®åà ïî饥 ¤«¨ë, ®â®¡-
à ¥¨¥ ®¤®£® ¨§ ¨å ¤à㣮©.
¥©á⢨⥫ì®, ª ¤®© â®çª¥ X à §¢¥à⪨ R ®â¢¥ç îâ â®çª¨ X , X ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , â ª çâ® ª ¤®© â®çª¥ X P ®â¢¥ç ¥â â®çª X P . ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¡ã¤¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬, ¯®â®¬ã çâ® ¢á直¥ ¤¢¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤à㣠¤àã£ã «¨¨¨ L ¨ L P ¨ P ®â¢¥ç îâ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ «¨¨¨ L à §¢¥à⪥ R ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¤«¨ã. ᨫ㠫¥¬¬ë 3 ¢®¯à®á ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ᪫¥¥ëå ¨§ ®¤®© à §¢¥à⪨, ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11) Ǒ®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¯®«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ® â ª®¬, ¢á¥ £à ¨ ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«ë¥. ç¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë ¬®¥â ®ª § âìáï ¥¢¥àë¬, ª ª ¬®® ã¡¥¤¨âìáï ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å.
. III:
¥¬¬ 4. £à ¨ª
P2 ,
P1 .
P1
§ 3.
167
Ǒ
Ǒãáâì ¤ ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥
P2
¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P1 ,
¡à §ë £à ¥© ¬®£®£à ¨ª
ϕ
¢ë¯ãª«®£® ¬®£®-
¨ ®¡à ⮥ ®â®¡à ¥¨¥
ϕ−1 P2
«¥£ ï £à ¨ ¬®£®£à ¨ª
à §¡¨¢ îâ ¨å ú®¢ë¥û £à ¨, ¨ ®¡à â®, ®¡à §ë £à ¥© ¬®£®£à -
¨ª
P2
P1
à §¡¨¢ îâ
â ª¥ ú®¢ë¥û £à ¨. ⢥ठ¥âáï, çâ® ¢ à¥-
§ã«ìâ ⥠¬®£®£à ¨ª¨
P1
¨
P2
®ª §ë¢ îâáï ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§
à ¢ëå ®¢ëå £à ¥©.
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì Q | £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¨ ϕ(Q ) | ¥¥ ®¡à § ¬®£®£à ¨ª¥ P . Ǒãáâì ϕ(Q ) å®âï ¡ë ®âç á⨠«¥£ ¥â £à ì R ¬®£®£à ¨ª P , â ª çâ® ¨¬¥¥âáï ¨å ®¡é ï ç áâì S = R ∩ ϕ(Q ). Ǒ®ª ¥¬, çâ® S ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª (à¨á. 83). Ǒãáâì X , Y | â®çª¨ ¨§ S , X , Y | ⥠â®çª¨ £à ¨ Q , ª®â®àë¥ ¯¥à¥å®¤ï⠯ਠ®â®¡à ¥¨¨ ϕ ᮮ⢥âá⢥® ¢ X ¨ S2 ϕ (Q1) Y . Ǒ® ¢ë¯ãª«®á⨠£à ¨ Q ®â१®ª X Y X2 Y2 ¯à¨ ¤«¥¨â ¥©, ¯®â®¬ã ¥£® ®¡à § ϕ(X Y ) ᮤ¥à¨âáï ¢ ϕ(Q ). ª ª ª ®â१®ª X Y ¥áâì ªà âç ©è ï P , â® ¢ ᨫ㠨§®¬¥âà¨çR2 ®á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ «¨¨ï ϕ(X Y ) ¡ã¤¥â ªà âç ©è¥© P ¬¥¤ã â®çª ¬¨ X , Y . ® í⨠â®çª¨ «¥ â ®¤®© £à ¨ R ; á«¥¨á. 83 ¤®¢ ⥫ì®, ªà âç ©è ï ¬¥¤ã ¨¬¨ P ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª X Y . ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â१®ª X Y ᮤ¥à¨âáï ®¤®¢à¥¬¥® ¢ ϕ(Q ) ¨ ¢ R , ⥬ á ¬ë¬ ¨ ¢ S , 祬 ¤®ª § ¢ë¯ãª«®áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª S . ¨£ãà S = R ∩ ϕ(Q ) ¢ë१ ¥âáï ¨§ £à ¨ R ®¡à § ¬¨ ॡ¥à, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å £à ì Q . ª ª ª à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ïîâáï ¥¬ ªà âç ©è¨¬¨ «¨¨ï¬¨, â® ¯® ¨§®¬¥âà¨ç®á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ ¨å ®¡à §ë â ª¥ ¡ã¤ãâ ªà âç ©è¨¬¨. ¡à §ë ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¡ã¤ãâ ¡¥áª®¥ç묨, ªà âç ©è¨¬¨ ¢á类¬ ãç á⪥. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ «¥¬¬ 1 ¨ 2 ç áâì ®¡à § ª ¤®£® ॡà , «¥ é ï £à ¨ R , ¥áâì ®â१®ª ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ ï (¥á«¨ ॡ஠¡¥áª®¥ç®). «¥¤®¢ ⥫ì®, 䨣ãà S ¢ë१ ¥âáï ¨§ R ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ®â१ª®¢ ¨, ¬®¥â ¡ëâì, ¥é¥ ¯®«ã¯àï¬ëå ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ª®¥çë© ¨«¨ ¡¥áª®¥çë©. ª ª ª £à ¥© ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P | ª®¥ç®¥ ç¨á«®, â® ç¨á«® ¢á¥å ¯¥à¥á¥ç¥¨© £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P á ®¡à § ¬¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ª®¥ç®. Ǒ® ¤®ª § ®¬ã ª ¤®¥ â ª®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®¤à §¤¥«¥ë¬ ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢ë¯ãª«ëå ®¢ëå £à ¥©. áᬠâਢ ï ®¡à ⮥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ− ¬®£®£à ¨ª P P , â®ç® â ª ¥ ¯®«ã稬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P à §¡¨¢ ¥âáï 1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
2
2
2
2
2
2 2
2 2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
168
. .
ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢ë¯ãª«ëå ®¢ëå £à ¥©. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¯¥à¥¢®¤¨â ®¢ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¢ ®¢ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì S | ®¢ ï £à ì ¬®£®£à ¨ª¥ P ; ® ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥ª®â®à®© ¥£® £à ¨ Q á ®¡à §®¬ ¥ª®â®à®© £à ¨ R ¬®£®£à ¨ª P ¯à¨ − ®¡à ⮬ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ : S = Q ∩ ϕ− (R ). ® ⮣¤ ϕ(S ) = ϕ(Q ) ∩ R , â. ¥. S ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¢ãî £à ì S ¬®£®£à ¨ª¥ P , ïîéãîáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¥£® £à ¨ R á ϕ(Q ). â ª, ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¯¥à¥¢®¤¨â ®¢ë¥ £à ¨ P ¢ ®¢ë¥ £à ¨ P , â ª ª ª íâ® ®â®¡à ¥¨¥ | ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥, ⮠⥬ á ¬ë¬ P ¨ P ®ª §ë¢ îâáï ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§ à ¢ëå £à ¥©. á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë 4 ¢®¯à®á ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ëå ¨§ à ¢ëå ý®¢ëåþ £à ¥©. 1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2. ¥®à¥¬ 1.
2
᫨ ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ®¤®£® § ¬ª-
ã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¤à㣮©, â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áã-
, â.¥. á ¯®¬®éìî â ª®£® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï á ®âà ¥¨¥¬ ᮢ¬¥é îâáï â®çª¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤à㣠¤àã£ã ¢ á¨«ã ®â®¡à ¥¨ï ϕ . (®£« á® «¥¬¬¥ 3, ¢ í⮩ ⥮६¥ 㥠ᮤ¥à¨âáï ⥮६ ® à ¢¥á⢥ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ à §¢¥à⪠¬¨.) Ǒãáâì ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ , ᮣ« á® «¥¬¬¥ 4, P ¨ P ®ª §ë¢ îâáï ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§ à ¢ëå ®¢ëå £à ¥©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ. ª ª ª í⨠®¢ë¥ £à ¨ à ¢ë, â®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¨å 㣫ë ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, ⮣¤ ¯® ⥮६¥ 1 § 2 ®ª §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨ â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå (ý®¢ëåþ) ॡà å. âáî¤ ã¥ «¥£ª® § ª«îç¨âì (á¬. ¨¥ «¥¬¬ã 5), çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¨å ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥âë (®¢ë¥ £à ¨, à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë) ᮢ¬¥é îâáï ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. ® ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥âë ¨å | â¥, ª®â®àë¥ á®¯®áâ ¢«ïîâáï ®â®¡à ¥¨¥¬ ϕ, ¯®â®¬ã çâ® ®® ª ª à § ¯¥à¥¢®¤¨â ®¢ë¥ £à ¨ P ¢ ®¢ë¥ £à ¨ P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. áç¥à¯ë¢ î饥 ®¡®á®¢ ¨¥ ¯®á«¥¤¥£® ¢ë¢®¤ ᮤ¥à¨âáï ¢ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬¥: é¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬ 12)
1
1
2
2
1
2
12) â ⥮६ ï¥âáï ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®áâன ¯® ä®à¬¥, 祬 ¯à®á⮥ ã⢥थ¨¥ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 , ¯®â®¬ã çâ® ¥á«¨ P1 ¨ P2 à ¢ë, â® ®¨ ᮢ¬¥é îâáï
¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï, ® ¯à¨®à¨ ¥é¥ ¥ ïá®, çâ® ¯à¨ í⮬ ¡ã¤ãâ ᮢ¬¥é âìáï ¨¬¥® ⥠¨å í«¥¬¥âë, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ¤ ®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ.
. III:
¥¬¬ 5.
§ 3.
169
Ǒ
᫨ ¨¬¥¥âáï â ª®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£®
¬®£®£à ¨ª
P1
¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P2 ,
çâ® ¯à¨ í⮬ ®â®¡à -
¥¨¨ ú®¢ë¥û £à ¨ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ú®¢ë¥û £à ¨ ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨
( ) ϕ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. Ǒãáâì Q | ª ª ï-«¨¡® ®¢ ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P , a Q | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© £à ì P . ª ª ª ®â®¡à ¥¨¥ ϕ | ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥, â® Q ¨ Q áãâì à ¢ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¨ ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï Q ¬®® «®¨âì Q â ª, çâ®¡ë ª ¤ ï â®çª Q ᮢ¯ « ¨¬¥® á ⮩ â®çª®© Q , ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥© ¯à¨ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ . १ã«ìâ â¥ à¥¡à £à ¨ Q ᮢ¯ ¤ãâ á ᮮ⢥âá⢥묨 à¥¡à ¬¨ £à ¨ Q .
᫨ ¯à¨ í⮬ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ®ª ãâáï ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ¯«®áª®á⨠¨å ®¡é¥© £à ¨ Q = Q , â® ®âà §¨¬ P ¢ í⮩ ¯«®áª®áâ¨. ®£¤ , â ª ª ª ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å à ¢ë, â® ¢á¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , á¬¥ë¥ á Q , «ï£ãâ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¤ ¥ ᮢ¯ ¤ãâ á ¨¬¨. ¥©á⢨⥫ì®, ã íâ¨å £à ¥© ᮢ¯ ¤ îâ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë, ®¡é¨¥ á £à ìî Q = Q , ¨ ®¨ «¥ â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â íâ¨å ॡ¥à. ⮣¤ ¨ ¢á¥ ¯à®ç¨¥ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥âë íâ¨å £à ¥© ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì ¢ ᨫ㠨§®¬¥âà¨ç®á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ. Ǒ¥à¥å®¤ï ®â íâ¨å £à ¥© ª á¬¥ë¬ ¨ â. ¤., ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢á¥ í«¥¬¥âë ¬®£®£à ¨ª P ᮢ¯ ¤ îâ á ᮮ⢥âá⢥묨 í«¥¬¥â ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P , â ª çâ® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ®ª §ë¢ ¥âáï ®áãé¥á⢫¥ë¬ ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. 3. ¥®à¥¬ 2.
᫨ ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P á ¯®«®© ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 2π , ¢ë¯ãª«ë© ᮮ⢥âá⢥ëå ®¢ëå ॡà å à ¢ë, â® 1
1
2
2
1
2
1
2
1
13)
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
¬®£®£à ¨ª
P2 ,
â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨
¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬.
ª ª ª ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¯à¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ¥ ¬¥ï¥âáï, â® ã ¬®£®£à ¨ª P ® â ª¥ à ¢ 2π. Ǒਬ¥ïï «¥¬¬ã 4, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë ¨§ à ¢ëå ®¢ëå £à ¥©. «¥¤®¢ ⥫ì®, 㣫ë íâ¨å £à ïå ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, ⮣¤ ¯® ⥮६¥ 3 § 2 à ¢ë â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å. Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥ïï «¥¬¬ã 5, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤ ®¥ ®â®¡à ¥¨¥ P P ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ¬¥â¨¬, çâ®, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ¢ ⥮६ å 1 ¨ 2 à¥çì ¬®¥â ¨¤â¨ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ¬®£® ᥡï, â ª çâ®, ¯à¨¬¥à, § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¤®¯ã᪠î騩 ¥â®¤¥á⢥®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ á ¬®£® ᥡï, ¥®¡å®¤¨¬® ®ª §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨çë¬. 2
1
2
1
2
13) â ®£®¢®àª | ¥ «¨èïï, ¥á«¨ £à ì Q1 ¤®¯ã᪠¥â ¤¢¨¥¨ï, ᮢ¬¥é î騥 ¥¥ á ¬®¥ á ᮡ®©.
170
. .
2 1. ª ª ª ªà¨¢¨§ ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨, â® ¨§ à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢ á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ ¨å ªà¨¢¨§, â ª çâ® ¥á«¨ ã ®¤®£® ¨§ ¨å ® < 2π, â® ¨ ã ¤à㣮£® â ª ¥. «ï à ¢¥á⢠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ®¤®£® à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥é¥ ¥¤®áâ â®ç®, ª ª íâ® ¢¨¤® ¯à¨¬¥à¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¬®£®£à ®£® 㣫 . ª ç¥á⢥ ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ãá«®¢¨ï ¬®® ¡ë«® ¡ë ¯®âॡ®¢ âì à ¢¥á⢠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥ëå ¡¥áª®¥çëå ॡà å. ¤ ª® íâ® ãá«®¢¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ᫨誮¬ ᨫìë¬, ¨ ¬®® âॡ®¢ âì ¥áª®«ìª® ¬¥ì襣®. «ï ¢ëïá¥¨ï ¡®«¥¥ á« ¡®£® ãá«®¢¨ï ᤥ« ¥¬ ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï. ª ¥ ª ª ¢ § 2, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¨áâ¨ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª à §¡¨âë ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ª®â®àë¥ ¨ áç¨â îâáï ý£à ﬨþ. ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ á।¨ ¢¥àè¨ ¨ ॡ¥à ¬®£ãâ ¡ëâì ¨ ý¥ áâ®ï騥þ. Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. §®¡ì¥¬ ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡P à ª« ááë, ®â®áï ¢ ®¤¨ ª« áá ª ¤ë¥ ¤¢ ¯ à ««¥«ìëå ॡà q ¨ r, ¥á«¨ ®¨ ¯à¨Q ¤«¥ â ®¤®© £à ¨ ¨«¨ ¬¥¤ã ¨¬¨ ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, ¨§ R ª®â®àëå «î¡ë¥ ¤¢ á®á¥¤¨å ¯à¨ ¤«¥ â q ¯®¯ à® ®¤®© £à ¨ (à¨á. 84).
᫨ ¥ â r ª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¥â, ⮠ॡà q ¨ r ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¢å®¤ï騬¨ ¢ à §«¨çë¥ ª« ááë, å®âï ¡ë íâ¨ à¥¡à ¨ ¡ë«¨ ¯ à ««¥«ìë ¤à㣠¤àã£ã. ®® ¯®ª § âì, çâ® íâ®â á«ã¨á. 84 ç © ¢®§¬®¥ ⮫쪮 ¤«ï ¥ áâ®ïé¨å ॡ¥à, «¥ é¨å ¯ à ««¥«ìëå £à ïå. ¤ ª® íâ® § ¬¥ç ¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¨ª ª®£® § 票ï. Ǒãáâì α , . . . , αn | ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¢á¥å ॡà å p , . . . , pn ®¤®£® ª« áá . ⮬㠪« ááã ¢ ª ç¥á⢥ ¥£® ý¤¢ã£à ®£® 㣫 þ ®â¥á¥¬ ç¨á«® § 4. ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 π
1
1
α
=π−
n X i=1
(π − αi ).
(1)
¤¥áì π − αi ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, ¥ çâ® ¨®¥, ª ª 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª £à ï¬, á室ï騬áï ¢ ॡॠpi, π − α | 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª £à ï¬, ¯à¨«¥£ î騬 ¨§¢¥ ª ªà ©¨¬ à¥¡à ¬ ¤ ®£® ª« áá (£à ¨ Q, R à¨á. 84). ¬ P¥ 㣮« α ¥áâì 㣮« ¬¥¤ã á ¬¨¬¨ í⨬¨ £à ﬨ. ¢¥á⢮ π − α = (π − αi ) á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® ¢á¥ ॡà pi ¯ à ««¥«ìë ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ 㪠§ ë¥ ®à¬ «¨ ª®¬¯« àë.
. III:
§ 4.
< 2π
171
᫨ ¬®£®£à ¨ª P ¡¥áª®¥ç® ¯®¤®¡® ᨬ âì ª ª ª®©-«¨¡® â®çª¥, â® ® ¯¥à¥©¤¥â ¢ ᢮© ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V . Ǒਠí⮬ ¯ à ««¥«ìë¥ à¥¡à ᮫ìîâáï ¨ à¥¡à ®¤®£® ª« áá ¤ ¤ãâ V ®¤® ॡ஠p. í⮬ ॡॠᮩ¤ãâáï £à ¨ 㣫 V , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª , ¯à¨«¥£ î騬 ¨§¢¥ ª ªà ©¨¬ à¥¡à ¬ ¤ ®£® ª« áá . ¢ã£à ë© ã£®« ¬¥¤ã ¨¬¨ ¡ã¤¥â â®â ¥ α. «¥¤®¢ ⥫ì®, ý¤¢ã£à ë© ã£®«þ ª« áá ॡ¥à ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V . £®« V ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ¯«®áª¨© 㣮«, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨. ®£¤ V á«¥¤ã¥â áç¨â âì ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¬ ¨ à §«¨ç âì à¥¡à ®¤®© ¨ ¤à㣮© ¥£® áâ®à®¥. (ë ¥ ¢¤ ¥¬áï ¢ áâண®¥ ®¡®á®¢ ¨¥ í⮣® § ¬¥ç ¨ï, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¤®áâ â®ç® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ä®à¬ «ì®¥ ¯®ï⨥ ¤¢ã£à ®£® 㣫 ª« áá ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à.)
᫨ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥ ¨ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¥ ¯«®áª¨¥ 㣫ë, â® ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¢å®¤ï騬 ¢ ®¤¨ ª« áá, ®â¢¥ç îâ P â ª¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ®¤®£® ª« áá , ¨ ®¡à â®. « ááë ॡ¥à, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬¨ à¥¡à ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ V ¨ V , ®ª §ë¢ îâáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢® ¢§ ¨¬® ®¤®§ 箬 ᮮ⢥âá⢨¨. ®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饥 à ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¯«®áª¨å 㣫®¢, ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ª« áá å ॡ¥à, â. ¥. ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥ëå pe¡pax ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢, ¤®«ë ¡ëâì à ¢ë .
᫨ ¬®£®£à ¨ª å ¥â ¯ à ««¥«ìëå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à, â® íâ® ãá«®¢¨¥ ᢮¤¨âáï, ª®¥ç®, ª ¯à®á⮬ã à ¢¥áâ¢ã ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ¢á¥å ᮮ⢥âá⢥ëå ¡¥áª®¥çëå ॡà å. 2. ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¢¢¥¤¥®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤®áâ â®ç®: 1
1
2
2
1
2
14)
¥®à¥¬ 1.
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¤¨ -
ª®¢®£® áâ஥¨ï ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¯«®áª¨¥ 㣫ë à ¢ë ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ª« áá å ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à â ª¥ à ¢ë, â® ¨ ¢á¥ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ à ¢ë.
®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨ ¬®£®£à ¨ª : ®¨ à ¢ë 㣫 ¬ ¬¥¤ã ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £à ¥© ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬㠨§ à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ ¯«®áª¨å 㣫®¢ £à ïå ¨å ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ V1 ¨ V2 . ®£¤ à ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ã V1 ¨ V2 ¯à¨¢®¤¨â ª à ¢¥áâ¢ã á ¬¨å V1 ¨ V2 . ¬¥á⥠á ⥬, ¯®áª®«ìªã ¯«®áª¨¥ 㣫ë ã V1 ¨ V2 | ®¤¨ ¨ ⥠¥, ¨å ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¥ ¢á¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë. «ï à ¢¥á⢠¢á¥å ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì à ¢¥á⢠¨å ¢á¥å, ªà®¬¥ âà¥å á®á¥¤¨å. (â® «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¢ë¯ãª«®áâì 㣫®¢ V1 ¨ V2 .) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®áâ ¢«¥®¥ ãá«®¢¨¥ ¬®® ®á« ¡¨âì; ¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï âà¥å£à ëå ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ ®® ¢®®¡é¥ ®ª §ë¢ ¥âáï «¨è¨¬. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 ¨¬¥îâáï ⮫쪮 âਠª« áá ॡ¥à, â® ¤«ï à ¢¥á⢠¢á¥å ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¤®áâ â®ç® ®¤®£® à ¢¥á⢠¢á¥å ¯«®áª¨å 㣫®¢. P
14) £«ë £à ïå ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V
172
. .
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. Ǒà¨á®¥¤¨¨¬ ª í⨬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë, áç¨â ï à¥¡à ®¤®£® ª« áá á室ï騬¨áï ¢ ®¤®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訥. ⨠¢¥àè¨ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì á®á¥¤¨¬¨, ¥á«¨ ®¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª« áá ¬ ॡ¥à, ®ª §ë¢ î騬áï á®á¥¤¨¬¨ ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¡¥áª®¥ç®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª . ®á¥¤¨¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ᮥ¤¨¨¬ ¥á®¡á⢥묨 à¥¡à ¬¨. ⬥⨬ à¥¡à § ª ¬¨ + ¨«¨ − ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ª à §®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢; ॡà á à ¢ë¬¨ ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨, â ª¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ à¥¡à ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ¥àè¨ë, ª ª®â®àë¬ ¯®¤å®¤ï⠮⬥ç¥ë¥ ॡà , ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®â¬¥ç¥ë¬¨. ª ¥ ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1 § 2, ¬®® à §«¨ç âì ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ¤¢ãå த®¢: áâ®ï騥 ¨ ¥ áâ®ï騥. Ǒ®¢â®àïï à áá㤥¨ï, ¯à¨¢¥¤è¨¥ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã 㯮¬ïã⮩ ⥮६ë, ¬®® ¨áª«îç¨âì ¢á¥ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë, ¯à¨ ª®â®àëå ¥â ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª®¢, â ª¥ ¢á¥ ý¥®â¬¥ç¥ë¥þ ¢¥àè¨ë. Ǒ®á«¥ í⮣® ¢®ªà㣠ª ¤®© ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ᮡá⢥ëå ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª®¢. ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë, ®á⠢訥áï ¥®â¬¥ç¥ë¬¨, â ª¥ ¬®® ¨áª«îç¨âì. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¯à¨ ý¯®«ã®¡å®¤¥þ ¢®ªà㣠®â¬¥ç¥®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥àè¨ë ®â ®¤®£® ¥á®¡á⢥®£® à¥¡à ª ¤à㣮¬ã ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ®¤®© ¯¥à¥¬¥ë § ª . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì α , . . . , αn | ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ â¥å ॡà å, ª®â®àë¥ á室ïâáï ¢ â ª®© ¢¥à訥 A ¬®£®£à ¨ª¥ P , α , . . . , αn | ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ® ä®à¬ã«¥ (1) ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª« áá å íâ¨å ॡ¥à ¡ã¤ãâ 1
2
(1) 1
(2) 1
(1) 1
(2)
1
2
α(1)
= π − (π − αi ), X
(1)
= π − (π − αi ).
α(2)
X
(2)
® ¯® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ®¨ à ¢ë α = α . âáî¤ X
(1)
αi
=
X
(1)
(2)
αi
(2)
¨«¨
X
(αi
(1)
(2)
− αi
) = 0.
«¥¤®¢ ⥫ì®, à §®á⨠αi − αi «¨¡® ¢á¥ à ¢ë ã«î, «¨¡® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ®¤®£® à § . ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′ ¬®£®£à ¨ª P . ¥£® ॡà å ¯®áâ ¢¨¬ § ª¨, ®¡à âë¥ § ª ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª P . ⮤¥á⢨¢′ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P , ¯®«ã稬 ¡áâà ªâë© ý¬®£®£à ¨ªþ P + P ′ , £®¬¥®¬®àäë© áä¥à¥. ¥¬ ¢®ªà㣠¢á类© ®â¬¥ç¥®© ᮡá⢥®© ¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¯®â®¬ã çâ® â ª ®¡á⮨⠤¥«® ¬®£®£à ¨ª¥ P . «¥¥, ¯à¨ ¢á类© ¥á®¡á⢥®© ®â¬¥ç¥®© ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ ¯¥à¥¬¥ § ª , P ′ § ª¨ ॡ¥à ®¡à âë¥. (1)
(2)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. III:
§ 4.
173
< 2π
Ǒ®í⮬㠯ਠ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¥á®¡á⢥®© ¢¥àè¨ë ý¬®£®£à ¨ª¥þ P + P ′ ¨¬¥¥âáï â ª¥ ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª : ¯® ®¤®© ¯à¨ ¯à®å®¤¥¨¨ ¯® P ¨ P ′ ¨ ¤¢¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â P ª P ′ , ¨ ®¡à â®. â ª, ¢®ªà㣠¢á类© ®â¬¥ç¥®© ¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ® ᮣ« á® «¥¬¬¥ ®è¨ íâ® ¥¢®§¬®®, â ª çâ® ®â¬¥ç¥ëå ¢¥àè¨ ¥ ¤®«® ¡ëâì ¢®¢á¥. ã® «¨èì ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª P + P ′ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠í⮩ «¥¬¬ë. ª¨å ãá«®¢¨© ¤¢ : ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨ë A, B ¥ ᮥ¤¨¥ë ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨. Ǒ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥®. â®à®¥ ãá«®¢¨¥, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë¯®«¥®, ¥á«¨ ¢¥àè¨ë A, B ®¡¥ ᮡáâ¢¥ë¥ ¨«¨ ®¡¥ ¥á®¡á⢥ë¥.
᫨ ¥ A ᮡá⢥ ï, B ¥á®¡á⢥ ï, ⮠ॡ஠AB ¥áâì ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P (¨«¨ P ′ ) ¨ ¢ ¢¥à訥 B ¬®£ãâ á室¨âìáï ⮫쪮 ॡà ⮣® ¥ ª« áá . ¤ ª® ¢á¥ ®¨ ¯ à ««¥«ìë, ¯®â®¬ã ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë A ¢ ®¤ã ¨ âã ¥ ¥á®¡á⢥ãî ¢¥àè¨ã ¥ ¬®£ãâ ¨á室¨âì ¤¢ à §ëå ॡà . «¥¤®¢ ⥫ì®, «¥¬¬ ®è¨ ¯à¨¬¥¨¬ ¨ ⥮६ ¤®ª § . 3. ¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ãá«®¢¨î à ¢¥á⢠¨§®¬¥âà¨çëå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà¨¢¨§®© < 2π. ® ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ãá«®¢¨î ⥮६ë 1. ( ¬¥â¨¬, çâ®, ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ® ¢ § 2 £« ¢ë V, ¢á直© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© < 2𠤮¯ã᪠¥â ¥¯à¥à뢮¥ ¨§£¨¡ ¨¥, â ª çâ® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï à ¢¥á⢠⠪¨å ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢á¥£¤ ¥®¡å®¤¨¬®.) Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ϕ | ¥£® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ®â®¡à §¨âì P P ¨ ®¡à â®, â® ®¡à §ë ( áâ®ïé¨å) £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P à §®¡ìîâ ( áâ®ï騥) £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ®¡à â®. १ã«ìâ ⥠ᮣ« á® «¥¬¬¥ 4 § 3 ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ®ª ãâáï ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§ à ¢ëå ®¢ëå £à ¥©. ç áâ®áâ¨, ¨å ¡¥áª®¥çë¥ (®¢ë¥) £à ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¡¥áª®¥çë¥ (®¢ë¥) à¥¡à ®ª ãâáï ¯®áâ ¢«¥ë¬¨ ¢ ¯®¯ ஥ ᮮ⢥âá⢨¥. § à ¢¥á⢠ᮮ⢥âá⢥ëå £à ¥© ïá®, çâ® £à ï¬ á ¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬¨ ¡ã¤ã⠮⢥ç âì £à ¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¥ à¥¡à ¬¨. Ǒ®í⮬㠪 ¤®¬ã ª« ááã ¯ à ««¥«ìëå ¤à㣠¤àã£ã ॡ¥à P ¡ã¤¥â ®â¢¥ç âì ª« áá ¯ à ««¥«ìëå ¤à㣠¤àã£ã ॡ¥à P . ¯®¬¨¬, çâ® ¤¢ã£à ë¬ ã£«®¬ ¯à¨ ª« áᥠ⠪¨å ॡ¥à ¬ë §ë¢ ¥¬ 㣮« ¬¥¤ã £à ﬨ, ¯à¨«¥£ î騬¨ ¨§¢¥ ª ªà ©¨¬ à¥¡à ¬ ª« áá (ª ª £à ¨ Q ¨ R à¨á.84). ®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥, ® ª®â®à®¬ ¨¤¥â à¥çì, á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬: ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ª« áá å ¡¥áª®¥çëå (®¢ëå) ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¤®«ë ¡ëâì à ¢ë. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
15)
1
2
1
2
15) ®¥ç®, á।¨ ®¢ëå £à ¥© ¬®£ãâ ¡ëâì ¨ áâ àë¥, ¥á«¨ ®¨ ¥ à §¡¨¢ îâáï ç áâ¨. ¤ ª® á।¨ ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï, ¥á«¨ ¥ á ¬¨ áâ àë¥, â® ¨å ¡¥áª®¥çë¥ ç áâ¨.
174
. .
ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P ¢®¢á¥ ¥â ¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, â® ãá«®¢¨¥ ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¤®«® ¯¥à¥¢®¤¨âì ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ¢ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ¡¥áª®¥çëå ॡà å ¤®«ë ¡ëâì à ¢ë. «ìè¥ ¬ë ¤ ¤¨¬ 㪠§ ®¬ã ãá«®¢¨î ¤àã£ãî, ¡®«¥¥ £«ï¤ãî ä®à¬ã, ᥩç á ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤®áâ â®ç®áâì: 1
2
1
2
¥®à¥¬ 2.
᫨ ¨¬¥¥âáï â ª®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® ¡¥á-
ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¤à㣮©, çâ® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ª« áá å ¡¥áª®¥çëå
(®¢ëå) ॡ¥à ®ª §ë¢ îâáï à ¢ë-
¬¨, â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨
. Ǒ® «¥¬¬¥ 4 § 3 ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® ¬®£®£à ¨ª ¤à㣮© ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ ®ª §ë¢ îâáï ®¤¨ ª®¢® á®áâ ¢«¥ë¬¨ ¨§ à ¢ëå ®¢ëå £à ¥©. ç áâ®áâ¨, ã£«ë ®¢ëå £à ïå ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, ⮣¤ ¢¢¨¤ã à ¢¥á⢠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥ëå ª« áá å ®¢ëå ॡ¥à ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 1, ¢ ᨫ㠪®â®à®© ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å ®ª §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ «¥¬¬ë 5 § 3 § ª«îç ¥¬, çâ® ¤ ®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. 4. ¥¯¥àì ¯à¨¤ ¤¨¬ ãá«®¢¨î ⥮६ë 2 ¤àã£ãî ä®à¬ã, ¤«ï 祣® à áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë V (P ) ¨ V (P ) ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . ¤®¬ã ª« ááã ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª Pi ®â¢¥ç ¥â ¯ à ««¥«ì®¥ ॡ஠p 㣫 V (Pi ), ¢ ª®â®à®¥ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢á¥ à¥¡à ¤ ®£® ª« áá ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª ¢ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. à ¨, ¯à¨«¥£ î騥 ¨§¢¥ ª ªà ©¨¬ à¥¡à ¬ ¤ ®£® ª« áá , ¯¥à¥å®¤ï⠯ਠí⮬ ¢ £à ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , á室ï騥áï ¢ ॡॠp, â ª çâ® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬¥¤ã ⥬¨ ¨ ¤à㣨¬¨ £à ﬨ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 2 ®§ ç ¥â, çâ® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ V (P ) ¨ V (P ) ¤®«ë ¡ëâì à ¢ë. ã®, ª®¥ç®, ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ®¢®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª Pi, ¯à®å®¤ï饬㠯® ¥£® ¡¥áª®¥ç®© £à ¨, ®â¢¥ç ¥â ¥ áâ®ï饥 ॡ஠㣫 V (Pi), ¥£® ®¡à §ãîé ï, ¯à®å®¤ïé ï ¯® ¥£® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨. ¤ ª® ¯à¨ ãá«®¢¨¨ à ¢¥á⢠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ª ¤®¬ã áâ®ï饬ã ॡàã 㣫 V (P ) ®â¢¥ç ¥â áâ®ï饥 ॡ஠㣫 V (P ), ¨ ®¡à â®. Ǒਠ¥ áâ®ïé¨å ¥ ॡà å ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¢á¥£¤ à ¢ë π. Ǒ®í⮬㠤®áâ â®ç® à áᬠâਢ âì ⮫쪮 áâ®ï騥 à¥¡à ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ V (P ) ¨ V (P ). áâ®ï饬 ॡॠ㣫 V (Pi) á室ïâáï ¥£® £à ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª Pi, ã ª®â®àëå ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¥ ¯ à ««¥«ìë. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ ® à ¢¥á⢥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ â ª¨å ॡà å ᢮¤¨âáï ®âà ¥¨¥¬
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
. III:
§ 4.
< 2π
175
¯à®áâ® ª ⮬ã, çâ® £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¤®«ë ᮮ⢥âá⢮¢ âì ¤à㣠¤àã£ã ¨ ®¡à §®¢ë¢ âì à ¢ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë
. ®®â¢¥âá⢨¥ £à ¥© ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¤ ë¬ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®â®¡à ¥¨¥¬ ϕ: ¡¥áª®¥ç ï £à ì Q á ¥¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬¨ P ®â¢¥ç ¥â £à ¨ Q P , ¥á«¨ ®¡à § £à ¨ Q ¯®ªàë¢ ¥â, å®âï ¡ë ¨ ¥ 楫¨ª®¬, £à ì Q . ¥¯®«®¥ ¯®ªàë⨥ £à ¨ Q ®¡à §®¬ £à ¨ Q ¬®¥â ¯à®¨á室¨âì ®â ⮣®, çâ® ç áâì Q ¬®¥â ¯à¨®à¨ ᮮ⢥âá⢮¢ âì £à ¨ Q′ , ¯à¨«¥£ î饩 ª Q ¨ ¨¬¥î饩 ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à . ¯à®ç¥¬, ¯®áª®«ìªã ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¬®£®£à ¨ª¨ ®ª §ë¢ îâáï ¯à®áâ® à ¢ë¬¨, á ¬®¬ ¤¥«¥ â ª®¥ ç áâ¨ç®¥ ¯®ªàë⨥ ¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ . 5. Ǒਤ ¤¨¬ ãá«®¢¨î ⥮६ë 2 ¥é¥ ®¢ãî ä®à¬ã, ¢ ª®â®à®© ®® ¡ã¤¥â 䨣ãà¨à®¢ âì ¤ «ìè¥, ¢ £« ¢¥ IV. «ï í⮣® á ç « ¢¢¥¤¥¬ ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï. Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. 㤥¬ §ë¢ âì «ã箬 P ¡¥áª®¥çãî ¢ ®¤ã áâ®à®ã «¨¨î, «¥ éãî ¬®£®£à ¨ª¥ P ¨ ïîéãîáï ªà âç ©è¥© ¢á类¬ ᢮¥¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥. 2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
L″ L′
L″ L′
¨á. 85
⨠«¨¨¨ 㥠à áᬠâਢ «¨áì ¢ § 3 ¨ â ¬ ¢ «¥¬¬¥ 2 ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ª ¤ ï â ª ï «¨¨ï, ç¨ ï á ¥ª®â®à®© â®çª¨, ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àï-′ ¬®©, «¥ 饩 ®¤®© ¨§ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì L ¨ L′′ | ¤¢ «ãç ¬®£®£à ¨ª¥ P . ¤ ¤¨¬ P ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ . 㤥¬ à §¢®à 稢 âì ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâì, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à¨ª« ¤ë¢ ï ¨å ¤à㣠ª ¤àã£ã, ¢ ¯®à浪¥ ®¡å®¤ ¬®£®£à ¨ª , ç¨ ï ®â £à ¨, ª®â®à®©′ «¥¨â «ãç L′ (¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¥£® ¡¥áª®¥ç ï ç áâì). ®£¤ «ãç¨ L ¨ L′′ ¤ ¤ãâ ¯«®áª®á⨠¤¢¥ ¯®«ã-′ ¯àï¬ë¥ (à¨á. 85). £®« ¬¥¤ã í⨬¨ ¯®«ã¯àï¬ë¬¨, ®âáç¨âë¢ ¥¬ë© ®â L ª L′′ ¢ 㪠§ ®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®¡å®¤ , ¬ë §®¢¥¬ 㣫®¬ ¬¥¤ã «ãç ¬¨ L′
176
. .
¨ L′′ (â®ç¥¥, íâ® ¡ã¤¥â 㣮« ®â L′ ¤® L′′ ¢ ¤ ®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®¡å®¤ ; ¯à¨ ¤à㣮¬ ¥ ¯à ¢«¥¨¨ ®¡å®¤ 㣮« ¡ã¤¥â ¤à㣨¬). 祢¨¤®, ¯®ïâ¨ï «ãç ¨ 㣫 ¬¥¤ã «ãç ¬¨ ¯à¨ ¤«¥ â ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬㠯ਠ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ®¤®£® ¬®£®£à ¨ª ¤à㣮© «ãç¨ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ «ãç¨ ¨ ã£«ë ¬¥¤ã «ãç ¬¨ á®åà ïîâáï. ®ª ¥¬ ⥯¥àì á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã: ¥¬¬ 1. Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, V (P ) | ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. 1) Ǒਠ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª P ¢ 㣮« V (P ) ª ¤ë© «ãç L ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¡à §ãîéãî 㣫 V (P ) (â.¥. ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, «¥ éãî 㣫¥ V (P ) ¨ ¨á室ïéãî ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ë). âã ®¡à §ãîéãî ¬ë §ë¢ ¥¬ ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩 «ãç L. 2) ª ¢á类¬ã «ãçã ®â¢¥ç ¥â ¯à¥¤¥«ì ï ®¡à §ãîé ï, â ª ¨ ®¡à â®, ¢áïª ï ®¡à §ãîé ï ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì®© ¤«ï ª ª®£®-«¨¡® «ãç (¨ ¤«ï ¢á¥å ¯ à ««¥«ìëå ¤à㣠¤àã£ã «ã祩). 3) £®« ¬¥¤ã «ãç ¬¨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ¨å ¯à¥¤¥«ì묨 ®¡à §ãî騬¨. ®ª § ⥫ìá⢮. ãç L, ç¨ ï á ¥ª®â®à®© â®çª¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®«ã¯àï¬ãî, «¥ éãî ®¤®© ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒਠ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ª ¢¥à訥 㣫 V (P ) «î¡ ï ª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª á室¨âáï ª ¢¥à訥 㣫 V (P ), ¢áïª ï ¯®«ã¯àï¬ ï á室¨âáï ª ¯ à ««¥«ì®© ¥© ¯®«ã¯àאַ©, ¨á室ï饩 ¨§ ¢¥àè¨ë. Ǒ®í⮬㠨 «ãç L á室¨âáï ª â ª®© ¯®«ã¯àאַ©, 祬 ¤®ª § ® ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë. ¤®© £à ¨ 㣫 V (P ) ®â¢¥ç ¥â ¯ à ««¥«ì ï ¥© ¡¥áª®¥ç ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ¢á类© ¯®«ã¯àאַ©, «¥ 饩 ®¤®© £à ¨, ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ¯ à ««¥«ìãî ¯®«ã¯àï¬ãî ¤à㣮©. Ǒ®í⮬㠪 ¤®© ®¡à §ãî饩 v 㣫 V (P ) ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ¯ à ««¥«ìãî ¯®«ã¯àï¬ãî L ¬®£®£à ¨ª¥ P . 祢¨¤®, çâ® v ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩 ¤«ï L. ⨬ ¤®ª § ® ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë | ®¡ ®¡à ⮬ ᮮ⢥âá⢨¨ ®¡à §ãîé¨å ¨ «ã祩. Ǒãáâì, ª®¥æ, L′ ¨ L′′ | ¤¢ «ãç ¬®£®£à ¨ª¥ P .
᫨ à §¢¥àãâì ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¯«®áª®áâì ¨ ᨬ âì ¨å ª ®¤®© â®çª¥, â® ª ¤ ï £à ì ¯¥à¥©¤¥â ¢ 㣮«, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 £à ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ¬¥á⥠á ⥬ «ãç¨ L′ ¨ L′′ ¯¥à¥©¤ãâ ¢ ¨å ¯à¥¤¥«ìë¥ ®¡à §ãî騥, ® 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¨§¬¥¨âáï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ã£«ë ¬¥¤ã «ãç ¬¨ à ¢ë 㣫 ¬ ¬¥¤ã ¨å ¯à¥¤¥«ì묨 ®¡à §ãî騬¨, ¯à¨ç¥¬ íâ¨ ã£«ë ¨§¬¥àïîâáï á ¬®¬ 㣫¥ V (¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, | ¢ ¥£® à §¢¥à⪥) ¯à¨ ⮬ ãá«®¢¨¨, çâ® ®¡å®¤, 㪠§ ë© ¬®£®£à ¨ª¥, ¯¥à¥®á¨âáï ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V . ¥¬¬ 1 ¤®ª § . âáî¤ «¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¥¨¥:
. III:
§ 4.
¥¬¬ 2.
177
< 2π
á类¬ã ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ®â®¡à ¥¨î ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£®
¬®£®£à ¨ª
P1
¤à㣮©
P2 ,
®â¢¥ç ¥â ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥-
( ) ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V (P ). ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨ «ãç¨ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ «ãç¨ ¨ ã£«ë ¬¥¤ã «ãç ¬¨ á®åà ïîâáï. ¬¥á⥠á ⥬ ¯® «¥¬¬¥ 1 «ãç ¬ ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P ®â¢¥ç îâ ¨å ¯à¥¤¥«ìë¥ ®¡à §ãî騥 㣫 å V (P ) ¨ V (P ). Ǒਠí⮬ ã£«ë ¬¥¤ã ®¡à §ãî騬¨ à ¢ë 㣫 ¬ ¬¥¤ã ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ «ãç ¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¬ë ᮯ®áâ ¢¨¬ ¤à㣠¤àã£ã ⥠®¡à §ãî騥 㣫®¢ V (P ) ¨ V (P ), ª®â®àë¥ ®â¢¥ç îâ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ ¯® ¨§®¬¥âਨ «ãç ¬ á ¬¨å ¬®£®£à ¨ª å, â® â ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ®¡à §ãîé¨å ¡ã¤¥â á®åà ïâì ã£«ë ¬¥¤ã ¨¬¨. âáî¤ ®ç¥¢¨¤®, ç⮠㪠§ ®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ®¡à §ãîé¨å ¤ ¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¤à㣮©. ¥¬¬ 2 ¤®ª § . ¯¨à ïáì ¯®á«¥¤¨© १ã«ìâ â, ⥮६ã 2 ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì áãé¥á⢥® ¯®-®¢®¬ã:
᪮¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫
1
1
V P1
2
2
2
1
¥®à¥¬ 3.
2
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® ¡¥áª®-
¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P1 ¤à㣮©
P2 ¬®® ¡ë«® ®áãé¥á⢨âì
¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ë§¢ ®¥ ®â®¡à ¥¨¥¬
ϕ
¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫
( ) V (P ) ®áãé¥á⢫﫮áì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤ , ¯®â®¬ã çâ® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V (P ) ¬®® ⢥म á¢ï§ âì á ¬®£®£à ¨ª®¬ P , ¨ ⮣¤ ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨, ᮢ¬¥é î饬 P á P , 㣮« V (P ) á⠥⠯।¥«ìë¬ ã£«®¬ ¤«ï P . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç®á⨠§ ¬¥â¨¬, çâ® ª ¤®¬ã ¡¥áª®¥ç®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª Pi ®â¢¥ç ¥â ¯ à ««¥«ì®¥ ॡ஠¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V (Pi ). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®£® ᮮ⢥âá⢨ï 㣫®¢ V (P ) ¨ V (P ) ïá®, çâ® ¨å ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ à¥¡à ¨«¨ ¢®®¡é¥ ®¡à §ãî騥 ®â¢¥ç îâ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ (¬®¥â ¡ëâì, ®¢ë¬) à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . ª ª ª 㣫ë V (P ) ¨ V (P ) ᮢ¬¥é îâáï ¤¢¨¥¨¥¬, â® ¨å ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ॡà å à ¢ë. ª 㥠®â¬¥ç «®áì, í⨠¤¢ã£à ë¥ ã£«ë à ¢ë ¤¢ã£à ë¬ ã£« ¬ ¯à¨ ª« áá å ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 2 ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯®«¥ë¬ ¨ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬ . «ï £«ï¤®á⨠¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢¥àè¨ë 㣫®¢ V (P ) ¨ V (P ) ¢ ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨V P1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
16)
1
2
16)
᫨ ᮢ¬¥é¥¨¥ 㣫®¢ V (P1 ) ¨ V (P2 ) ¯à®¨á室¨â ¡¥§ ®âà ¥¨ï, â® â ª ¥ ¯à®¨á室¨â ¨ ᮢ¬¥é¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 ¨ P2 , ¯®â®¬ã çâ® ®âà ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¢ë§ë¢ ¥â ®âà ¥¨¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 .
¤¨á⢥®¥ ¨áª«î票¥ ¬®£ã⠯।áâ ¢«ïâì ¬®£®£à ¨ª¨, ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë ª®â®àëå ¢ëத îâáï ¢ ¯«®áª¨¥. âà ¥¨¥ â ª®£® 㣫 ¢ ¥£® ¯«®áª®á⨠¥ ⮫쪮 ᮢ¬¥é ¥â ¥£® á á ¬¨¬ ᮡ®©, ® ¨ ¢®¢á¥ ¥ ¯¥à¥áâ ¢«ï¥â ¥£® ॡ¥à.
178
. .
å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¯¥à¥¥á⨠P â ª, ç⮡ë V (P ) ᮢ¯ « á V (P ); ⮣¤ ¨ á ¬ ¬®£®£à ¨ª P ᮢ¯ ¤¥â á ¬®£®£à ¨ª®¬ P . ⮨⠧ ¬¥â¨âì, ç⮠⥮६¥ 3 ¥«ì§ï ¯à¨¤ âì á«¥¤ãîéãî ¯à®áâãî ä®à¬ã: ¤¢ ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª P ¨ P à ¢ë, ¥á«¨ à ¢ë ¨å ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë. ª®¥ ã⢥थ¨¥ ¡ã¤¥â ¯®¯à®áâã ¥¢¥àë¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ § 2 £« ¢ë V ¡ã¤¥â ¤®ª § ®, çâ® «î¡®© ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¬®® ¥¯à¥à뢮 ¨§£¨¡ âì â ª, çâ® ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¡ã¤¥â ⮫쪮 ¯®¢®à 稢 âìáï, ® ¢®¢á¥ ¥ ¡ã¤¥â ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï. Ǒਠ⠪®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ ¯®«ãç ¥¬ ¬®£®£à ¨ª¨, ¨§®¬¥âà¨çë¥ ¨á室®¬ã ¨ ¨¬¥î騥 ⥠¥ ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë, ® ¥ à ¢ë¥ ¥¬ã.
¤¨á⢥®¥ ¨áª«î票¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¬®£®£à ¨ª¨, ᢮¤ï騥áï ª ¬®£®£à ë¬ ã£« ¬, ¯®â®¬ã çâ® ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ ᮠ᢮¨¬¨ ¯à¥¤¥«ì묨 㣫 ¬¨. § í⮣® § ¬¥ç ¨ï ïá®, çâ® è¨ ¯®áâ®ïë¥ ®£®¢®àª¨ ® ⮬, çâ® à¥çì ¨¤¥â ®¡ í«¥¬¥â å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤à㣠¤àã£ã ¨¬¥® ¢ ᨫ㠤 ®£® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®â®¡à ¥¨ï, ¨ ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ¥ ïîâáï «¨è¨¬¨. 6. § ª«î票¥ 㪠¥¬ ª®à®âª® ¥é¥ ®¤¨ ¢¨¤ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 2, ®á®¢ ë© à áᬮâ२¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 1
1
1
2
2
1
2
N1
p
N1 p
N2
N2
q
q
S
N3 N3 ¨á. 86
ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª. à ¨æ í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª S ®¡à §®¢ áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¤ã£¨ ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¡®«ì讣® ªà㣠¨ ¯®â®¬ã ®¡à §ãîâ ®¤ã áâ®à®ã ¬®£®ã£®«ì¨ª S (à¨á.86). ¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª S ïîâáï áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ £à ¥© á ¥¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬¨. ᥠíâ® áâ ®¢¨âáï ᮢ¥à襮
. III:
§ 5.
179
,
ïáë¬, ¥á«¨ ¢á¯®¬¨âì, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ᮢ¯ ¤ ¥â á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . «¨ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¨§¬¥àï¥â 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª á¬¥ë¬ £à ï¬ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , â.¥. 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª . ® 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ à ¢¥ ¤®¯®«¥¨î ¤¢ã£à ®£® 㣫 ¤® π. Ǒ®í⮬ã áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª S ®¯à¥¤¥«ïîâ â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬¥¤ã £à ﬨ. §®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®£à ¨ª P P ¥áâ¥á⢥® ¯®à®¤ ¥â ᮮ⢥âá⢨¥ ψ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢: áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¨§®¡à ¥¨î â®çª¨ X ¬®£®£à ¨ª P áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ â®çª¨ ϕ(X ) ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ â®çª¨ ¬®¥â ¥ ¡ëâì ®¤®© â®çª®©, â® í⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¥®¤®§ çë¬ ¢ ®¡¥ áâ®à®ë. ¤ ª® ®® á®åà ï¥â ¯«®é ¤¨, ¯®áª®«ìªã ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¯à¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ ¬¥ï¥âáï. ª ª ª ¤«¨ë áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ S ¨ S , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P , ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨ ¬¥¤ã £à ﬨ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨, â® ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 2 ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ S ¨ S ¤®«ë ¨¬¥âì ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¥ áâ®à®ë. Ǒਠí⮬ ᮮ⢥âá⢨¥ áâ®à® ®¯à¥¤¥«¥® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®â®¡à ¥¨¥¬ P P â ª, ª ª í⮠⮫쪮 ç⮠㪠§ ®. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ S ¬®£®£à ®£® 㣫 V ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â íâ®â 㣮« (ॡà 㣫 V ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª £à ï¬ ã£« S ′ , ¯à®¥ªâ¨àãî饣® S ¨§ æ¥âà áä¥àë, ¨ ®¡à â®: ॡà 㣫 S ′ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª £à ï¬ ã£« V ). Ǒ®í⮬ã à ¢¥á⢮ ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ íª¢¨¢ «¥â® à ¢¥áâ¢ã áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨ ⥮६¥ 3 ¬®® ¯à¨¤ âì á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: 1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
¥®à¥¬ 4.
2
2
Ǒãáâì ¤ ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥
®¤®£® ¡¥áª®-
P2 . ® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à¥S1 ¬®£®£à ¨ª P1 ¢ £à ¨æã áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï S2 ¬®£®£à ¨ª P2 . â®¡à ¥¨¥ ϕ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®â®¡à ¥¨¥ ψ ®áã¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ®¡à §®¢ ¨¥
ψ
P1
ϕ
¤à㣮©
£à ¨æë áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï
é¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬
.
§ 5. ®£®£à ¨ª¨, ¨¬¥î騥 £à ¨æã 17)
1. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬ ¥ª®â®àë¥ ¨â¥à¥áë¥ á«¥¤á⢨ï, ª®â®àë¥ ¬®® ¨§¢«¥çì ¨§ ⥮६ § 3 ¨ 4, ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å £à ¨æã. ¤ë© â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥áâì ç áâì § ¬ªã⮣® ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, 17) ¬.
â ª¥ £« ¢ã V. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
180
. .
¥£® ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ 4π, ¥á«¨ ® ¡¥áª®¥çë©, â® ® ¥ ¬®¥â ¯à¥¢®á室¨âì ¨ 2π. ¤ ª® ¯®«ãî ªà¨¢¨§ã 4𠬮¥â ¨¬¥âì ¨ ¥ ⮫쪮 § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¥áâì á㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨, ¯®â®¬ã, ¢ë१ ï ¨§ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª «î¡ãî ¥£® ç áâì, ¥ ᮤ¥à éãî ¢¥àè¨ ¨ ¢ãâà¨, ¨ £à ¨æ¥, ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ⮩ ¥ ¯®«®© ªà¨¢¨§®© 4π. 㮠⮫쪮, çâ®¡ë ®áâ ¢è ïáï ç áâì ¬®£®£à ¨ª ¡ë« á¢ï§®©, ¨ ç¥ ® ¥ áç¨â ¥âáï ¬®£®£à ¨ª®¬ ¯® á ¬®¬ã ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨î. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ª ª ¡ë ¢¥«¨ª ¨ ¡ë« ¢ë१ ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª , ¥ ᮤ¥à é ï ¢¥àè¨, ®áâ ¢è ïáï ç áâì ¬®£®£à ¨ª ¢á¥-â ª¨ ¡ã¤¥â ¥¨§£¨¡ ¥¬®© á á®åà ¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®áâ¨! ¨¬¥® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥®à¥¬ 1.
᫨ ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P à ¢ 4π, â® ¢á类¥ ¥£® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢ë¯ãª«ë© ¥ ¬®£®£à ¨ª P ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ®áâந¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¢§ï¢ ¥¥ ¯®¢¥àå®áâì, ¯®«ã稬 § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ¬®£®£à ¨ªã P ¤®¡ ¢«ï¥âáï 䨣ãà P P , ¬®£ãé ï á®áâ®ïâì ¨§ ®â¤¥«ìëå ªã᪮¢. ª ª ª ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ 4π, â® ¤®¡ ¢«¥ ï ª ¥¬ã ç áâì P P 㥠¥ ¬®¥â ᮤ¥à âì ¢¥àè¨ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¤ë© ¥¥ á¢ï§ë© ªã᮪ ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠(á¬. ¯ 3 § 8 £« ¢ë I) ¤®áâ â®ç® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à §¢®à 稢 âì ¯«®áª®áâì ç á⨠£à ¥©, ¯®¯ ¢è¨¥ ¢ ª ¤ãî á¢ï§ãî ç áâì 䨣ãàë P P (à¨á. 87). ª ª ª ¬®£®£à ¨ª P ¨§®¬¥âà¨ç¥ P , â® P ® ¨¬¥¥â â ªãî ¥ ¯®«ãî ªà¨¢¨§ã 4π, ¯®â®A ¬ã ª ¥¬ã ¯à¨¬¥¨¬ë ⥠¥ à áá㤥¨ï. ë ¤®¯®«ï¥¬ ¥£® ¤® § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª P , P \P ¯à¨ç¥¬ ª ¤ ï á¢ï§ ï ç áâì 䨣ãàë P P ¬®¥â ¡ëâì à §¢¥àãâ ¯«®áª®áâì. §®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®£à ¨ª P P ãáâ ¢«¨¢ ¥â ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¨å £à ¨æ. íâ® ®¯à¥¨á. 87 ¤¥«ï¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ £à ¨æ 䨣ãà P P ¨ P P , â. ¥. ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¨å ®â१ª¨ ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ¤«¨ë. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¨ ã£«ë £à ¨æ å íâ¨å 䨣ãà ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë, ¥á«¨, ª®¥ç®, ¨§¬¥àïâì ã£«ë ¥ ¢ ¯à®áâà á⢥, ¬®£®£à ¨ª å, ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, ¢ à §¢¥àãâëå 䨣ãà å P P , P P . áᬮâਬ ª ªãî-«¨¡® ¯ àã ᮮ⢥âá⢥ëå â®ç¥ª A , A £à ¨æ å ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P ¨ ®¤ ¨§ íâ¨å â®ç¥ª ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢¥à訮©, ¯®â®¬ã çâ® ¨ ç¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â P ª P (¨«¨ ®â P ª P ) ª ªà¨¢¨§¥ P ¤®¡ ¢«ï« áì ¡ë ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ë A , ¨ ¯®« ï 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
o
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
. III:
§ 5.
181
,
ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ « áì ¡ë ¡®«ìè¥ 4π. ® ¥á«¨ â®çª ¬®£®£à ¨ª¥ ¥ ¥áâì ¢¥àè¨ , â® ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¥¥ à ¢¥ 2π. Ǒ®«ë¥ ã£«ë ¢®ªà㣠â®ç¥ª A ¨ A ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P á« £ îâáï ¨§ 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P ¨ 㣫®¢ ¤®¯®«¥¨ïå P P ¨ P P . £«ë ¬®£®£à ¨ª å P ¨ P à ¢ë ¯® ¨§®¬¥âਨ. «¥¤®¢ ⥫ì®, à ¢ë â ª¥ 㣫ë P P ¨ P P . â ª, 䨣ãàë P P ¨ P P á®áâ®ïâ ¨§ ªã᪮¢, à §¢®à 稢 ¥¬ëå ¯«®áª®áâì ¨ ¨¬¥îé¨å ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¥ áâ®à®ë ¨ à ¢ë¥ ã£«ë. Ǒ®í⮬㠮¨ ¨§®¬¥âà¨çë, â ª ª ª P ¨ P ⮥ ¨§®¬¥âà¨çë, â® ¨ § ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨§®¬¥âà¨çë. Ǒ® ⥮६¥ 1 § 3 ¨å ¨§®¬¥âà¨ï ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬, ¯à¨ç¥¬ ᮢ¯ ¤ îâ ¨å í«¥¬¥âë, ᮮ⢥âá⢨¥ ª®â®àëå ãáâ ®¢«¥® ¨§®¬¥âਥ© ¬¥¤ã P ¨ P ¨ ¢¬¥áâ¥ á ¥© ¬¥¤ã P P ¨ P P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¨§®¬¥âà¨ï ¬¥¤ã P ¨ P ®ª §ë¢ ¥âáï ®áãé¥á⢫¥®© ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ®¢¥à襮 â ª ¥, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६ã 2 § 3, ¬®® ¤®ª § âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã. ¥®à¥¬ 2.
᫨ ¯®« ï ªà¨¢¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª , ¨¬¥î饣® £à ¨æã, à ¢ 2π , â® ¢á类¥ ¥£® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¢ë1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
¯ãª«ë© ¥ ¬®£®£à ¨ª ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨
®âà ¥¨¥¬.
ª®¥æ, ¨§ â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¨§®¬¥âà¨çëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ë⥪ ¥â ¥é¥ â ª®© १ã«ìâ â: ¥®à¥¬ 3.
§®¢¥¬ ¬®£®£à ®© è ¯®çª®© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª,
¨¬¥î騩 ¯«®áª¨© ªà © ¨ â ª®©, çâ® ¥£® ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï ¯«®á-
(â.¥. ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª í⮩ ¯«®áª®áâ¨, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª «¨èì ¢ ®¤®© â®çª¥ ¨«¨ ⮫쪮 ª á ¥âáï ¥£®). ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¨§®¬¥âà¨çë¥ ¬®£®£à ë¥ è ¯®çª¨ à ¢ë; ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®© ¨§ ¨å ¤àã£ãî ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¨«®¨¬ ª ªà ï¬ ¤ ëå è ¯®ç¥ª è ¯®çª¨, ¨¬ ᨬ¬¥âà¨çë¥. ®£¤ ¯®«ãç âáï § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¨ ¥á«¨ è ¯®çª¨ ¡ë«¨ ¨§®¬¥âà¨çë, â® ¨ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¡ã¤ãâ ¨§®¬¥âà¨ç묨. Ǒਬ¥ïï ⥯¥àì ⥮६ã 1 § 3 ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å, ¯®«ãç ¥¬ ⥮६ã 3. 2. ¥¯¥àì ãáâ ®¢¨¬ ¥ª®â®à®¥ ®¡é¥¥ ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å £à ¨æã, ¥ § ¢¨áï饥 ®â ¨å ¯®«®© ªà¨¢¨§ë. ª®áâì ªà ï ®¤®§ ç
¥®à¥¬ 4.
᫨ ã ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ëå ª -
¤ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¨ ¨¬¥îé¨å ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ã£«ë ᮮ⢥âá⢥ëå £à ïå à ¢ë ¨, ªà®¬¥ ⮣®, à ¢ë â ª¥ ã£«ë ¬¥¤ã £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¯à¨ ¢á¥å ᮮ⢥âá⢥ëå £à ¨çëå
182
. .
¢¥àè¨ å, ⮠ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª¥ ®ª §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨.
¤¥áì â ª ¥, ª ª ¢ ⥮६ å § 2, ¤®¯ã᪠¥âáï áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥ áâ®ïé¨å ¢¥àè¨ ¨ ॡ¥à, â ª çâ® ¨ ý£à ¨þ ¬®£ãâ ¡ëâì «¨èì ªã᪠¬¨ ¨áâ¨ëå £à ¥©. § í⮩ ⥮६ë ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¨ à ìè¥, ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã 4 § 3, ¬®® ¢ë¢¥áâ¨: ¥®à¥¬ 5.
᫨ ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®-
£®£à ¨ª , ®£à ¨ç¥®£® ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ¤à㣮© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥á«¨ íâ® ®â®¡à ¥¨¥ á®åà ï¥â ã£«ë ¬¥¤ã £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¯à¨ ¢á¥å £à ¨çëå ¢¥àè¨ å, â® â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬.
®áâ â®ç® ¤®ª § âì ⥮६ã 4. Ǒãáâì P ¨ P | ¤¢ ¬®£®£à ¨ª , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ í⮩ ⥮६ë. ááâ ¢«ï¥¬ ॡà å ¬®£®£à ¨ª P § ª¨ ᮣ« á® ¥®¤®ªà â® ¯à¨¬¥ï¢è¥¬ãáï ãá«®¢¨î. à ¨çë¥ à¥¡à ®áâ îâáï, ª®¥ç®, ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ª ¥ ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1 § 2, ¨áª«îç ¥¬ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë, £¤¥ ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª®¢, â ª¥ ¢á¥ ¢®®¡é¥ ¥®â¬¥ç¥ë¥ ¢¥àè¨ë. Ǒਠª ¤®© ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . Ǒãáâì A ¨ A | ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨çë¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . â塞 á室ï騥áï ¢ ¨å £à ¨çë¥ à¥¡à a , b ¨ a , b ¯«®áª¨¥ 㣫ë. ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ ¬ë ¯®«ã稬 ¯à¨ ¢¥àè¨ å A ¨ A ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë. ®®â¢¥âáâ¢¥ë¥ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¨å à ¢ë ¢ ᨫã ãá«®¢¨© ⥮६ë. à ¢¨¢ ï ¨å ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë, à ááâ ¢¨¬ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¯«îáë ¨ ¬¨ãáë ᮣ« á® è¥¬ã ¯à ¢¨«ã. ®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 2 § 1 ¢®ªà㣠í⮩ ¢¥àè¨ë A ¤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¥á«¨ ⮫쪮 ¢¥àè¨ A | ®â¬¥ç¥ ï. ¤ ª®, à ááâ ¢«ïï § ª¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P , ¬ë ¢®¢á¥ ¥ ®â¬¥ç «¨ £à ¨çëå ॡ¥à a , b . ᪫î票¥ § ª®¢ íâ¨å ॡ¥à 㬥ìè ¥â ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¡®«¥¥ 祬 ¤¢ . Ǒ®í⮬㠯ਠý¯®«ã®¡å®¤¥þ ¢¥àè¨ë A ¬®£®£à ¨ª¥ P ®â ॡà a ª ॡàã b ¤®« ¨¬¥âìáï å®âï ¡ë ®¤ ¯¥à¥¬¥ § ª . ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′ ¬®£®£à ¨ª P . ááâ ¢¨¬ ¥£® ॡà å § ª¨, ®¡à âë¥ § ª ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª P . ⮤¥á⢨¢ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ , ¯®«ã稬 ¡áâà ªâë© ý¬®£®£à ¨ªþ P + P ′ , £®¬¥®¬®àäë© áä¥à¥. ®ªà㣠ª ¤®© ¨§ ®â¬¥ç¥ëå ¢¥àè¨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . â ª, ॡà å ¬®£®£à ¨ª P + P ′ à ááâ ¢«¥ë § ª¨ + ¨ − â ª, çâ® ¢®ªà㣠¢á¥å ®â¬¥ç¥ëå ¢¥àè¨ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¥ ¬¥ìè¥ ç¥âëà¥å. 1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. III:
§ 6.
183
® ᮣ« á® «¥¬¬¥ ®è¨ íâ® ¥¢®§¬®®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢®¢á¥ ¥ ¤®«® ¡ëâì ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à, ¨ ⥮६ 4 ¤®ª § . ⥮६ å 4 ¨ 5 ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ ®£à ¨ç¥ë ª ¤ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, â. ¥. £®¬¥®¬®àäë ªàã£ã.
᫨ íâ® ¥ â ª, â® è¥ à áá㤥¨¥ ¥¯à¨¬¥¨¬®. á¢ï§¨ á í⨬ ¬®® ¯®áâ ¢¨âì § ¤ çã: ®¡®¡é¨âì ⥮६ë 4 ¨ 5 ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¤à㣮© ⮯®«®£¨ç¥áª®© áâàãªâãàë. 3. ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¥é¥ ¢ ¯ 6 § 1 £« ¢ë I, à áᬮâ२¥ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ íª¢¨¢ «¥â® à áᬮâà¥¨î ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©, ®¡« ¤ îé¨å ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¨å ªà ©¨¥ £à ¨ ¤®¯ã᪠îâ ¡¥§£à ¨çë¥ ¯à®¤®«¥¨ï ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ã ¨å ®¢ëå ¯¥à¥á¥ç¥¨©. ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï í⮣® ¡ë«¨ 㪠§ ë â ¬ ¥. á¢ï§¨ á í⨬ â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å, ¤®ª § ë¥ ¢ § 2{4, ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¯¥à¥®áïâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®£®£à ¨ª¨ á £à ¨æ¥©. ஬¥ ⮣®, ¨ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ® 㥠¥ ¯®«ëå, ®£à ¨ç¥ëå ª ¤ë© ®¤®© ¡¥áª®¥ç®© «®¬ ®© á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ áâ®à®, ¨¬¥îâ ¬¥á⮠⥮६ë, «®£¨çë¥ ¯®«ãç¥ë¬ §¤¥áì ⥮६ ¬ 3{5. ¤ ª® ¥á«¨ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¥ ¯ à ««¥«ìë, â® ¥®¡å®¤¨¬® ¥é¥ ¢¢¥á⨠ãá«®¢¨¥ ® ¤¢ã£à ëå 㣫 å ¬¥¤ã ¡¥áª®¥ç묨 £à ﬨ, ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¢ ⥮६ å 1 ¨ 2 § 4. ®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î. 18)
1
o
§ 6. ¡®¡é¥¨ï
¡®¡é¥¨¥ ⥮६, ¤®ª § ëå ¢ í⮩ £« ¢¥, ¢®§¬®® ¢ à拉 ¯à ¢«¥¨©: 1) ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨© ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¬®£®£à ¨ª¨, ® «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨; 1.
18) â ⥮६ ¬®¥â ¡ëâì ¥áª®«ìª® ®¡®¡é¥ ¢ ¤¢ãå ®â®è¥¨ïå.
®-¯¥à¢ëå, ¢¬¥áâ® ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ë¯ãª«ëå ¢ 楫®¬, ¬®® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ¬®£®£à ¨ª¨ ⮫쪮 «®ª «ì® ¢ë¯ãª«ë¥, â.¥. â ª¨¥, çâ® ¨å ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¢ë¯ãª«ë ª ª ¯à¨ ¢ãâ२å, â ª ¨ ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å (¥á«¨ ã£«ë ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å ¥é¥ ¤®¯®«¨âì ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨ ¬¥¤ã £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨). ®-¢â®àëå, ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì, ç⮡ë ãá«®¢¨¥ ® à ¢¥á⢥ 㣫®¢ ¬¥¤ã £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¢ë¯®«ï«®áì ¤«ï ¢á¥å £à ¨çëå ¢¥àè¨, . ª®¥ ãᨫ¥¨¥ १ã«ìâ â «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨¬¥¥¨¥¬ «¥¬¬ë ®è¨ ¢ ¥¥ ãâ®ç¥®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥. ® ¨¬¥¥â ®¯à¥¤¥«¥ë© á¬ëá«. ¬¥®, ¯®«ì§ãïáì ⥮६®© ©«¥à , «¥£ª® ¯®¤áç¨â âì, çâ® ¥á«¨ E , E ′ , K áãâì ç¨á« ¢á¥å ¢¥àè¨, £à ¨çëå ¢¥àè¨ ¨ ¢á¥å ॡ¥à, â® 3E − 3 = K + E ′ . ® ¬®£®£à ¨ª á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 3E − 6 ¯¥à¥¬¥ë¬¨ (3E ª®®à¤¨ â ¢¥àè¨ ¬¨ãá 6 ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯®«®¥¨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥). §¢¥à⪠¥ § ¤ ¥âáï K à¥¡à ¬¨. â ª ª ª 3E − 6 = K + E ′ − 3, â® ¤«ï § ¤ ¨ï ¬®£®£à ¨ª ã® ¥é¥ ¥ E ′ , E ′ − 3 ¯ à ¬¥âà , â.¥. ã® § ¤ ¢ âì ã£«ë ¥ ¯à¨ ¢á¥å E ′ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å, «¨èì ¯à¨ E ′ − 3 ¨§ ¨å. ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, âà¥å
184
. .
2) ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨© ®¤¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¤à㣨¥; 3) ¯¥à¥¥á¥¨¥ ¯®«ãç¥ëå ⥮६ ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà á⢠: ®¡ 祢᪮£® ¨ áä¥à¨ç¥áª®¥; 4) ®¡®¡é¥¨ï ¯à®áâà á⢠¡®«¥¥ 祬 âà¥å¬¥àë¥. ® ¢á¥å íâ¨å á«ãç ïå ¬ë á®åà 塞 âॡ®¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®áâ¨. ï¢ ¥£®, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë 㥠¢®¢á¥ ¥®¡®§à¨¬®¥ ¯®«¥ § ¤ ç. ®â¥«®áì ¡ë, ®¤ ª®, 㯮¬ïãâì ®¤ã ¨§ ¨å, ª®â®à ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¬ á ¬®© ¨â¥à¥á®© ¨§ ¢á¥å § ¤ ç ®¡ ¨§£¨¡ ¨¨: ãé¥áâ¢ãîâ «¨ § ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¤®¯ã᪠î騥 ¥¯à¥àë¢ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¡¥§ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥© ¨«¨ ¨ª ª®© § ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª ¥ ¤®¯ã᪠¥â â ª¨å
19) ? (ᥠ¨§¢¥áâë¥ à ¥¥ ¯à¨¬¥àë ¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥ ॠ«ìë: í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¨¬¥îâ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¡ã¤ãç¨ ¨§£®â®¢«¥ë, ¥ ¡ã¤ã⠢ᥠ¥ ¨§£¨¡ âìáï.) «ìè¥, ¢ ¯o 2{5, ¬ë ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à áᬮâਬ ®¡®¡é¥¨ï ⥮६ í⮩ £« ¢ë ¢ ç¥âëà¥å 㪠§ ëå §¤¥áì ¯à ¢«¥¨ïå. ¥¯à¥àë¢ëå ¨§£¨¡ ¨©
19) í⮬ ¢®¯à®á¥ ¤®á⨣ãâë áãé¥áâ¢¥ë¥ ¯à®¤¢¨¥¨ï, áãâì ª®â®àëå â ª®¢ .
..«¥ªá ¤à®¢ë¬ ¨ ..« ¤¨¬¨à®¢®© [41℄ ( ¯®§¥ ¤à㣨¬¨ ¢ [150, 299, 319, 370{376℄) ¯®áâà®¥ë ¬®£®£à ¨ª¨, ¨¬¥î騥 ¤¢¥ à §ë¥ ä®à¬ë, ¯à¨ ⮬, çâ® ¨å £à ¨ ¨§®¬¥âà¨çë, ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ®¤®¢à¥¬¥® ¡®«ìè¥ (¨«¨ ¬¥ìè¥) π. ¥¯à¥à뢮 ¨§£¨¡ ¥¬ë¥ á ¬®¯¥à¥á¥ª î騥áﮪâ í¤àë ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¡ë«¨ ®âªàëâë . ਪ ஬ [251℄ ¥é¥ ¢ 1897 £., ® § ⥬ § ¡ëâë ¬®£¨¥ £®¤ë. ¥ª®â®àë¥ ¨§ ®ªâ í¤à®¢ ਪ à ¢ 1976 £. ¯¥à¥®âªàë« .®¥««¨ [258℄, ª®â®à®¬ã ª ⮬㠥 㤠«®áì ¨§¡ ¢¨âìáï ®â á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨©. ®£®£à ¨ª ®¥««¨ ᮤ¥à « 18 ¢¥àè¨ [109, 305℄. ®«¥¥ ¯®§¤¨¥ ¯à¨¬¥àë á ¬¥ì訬 ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ [140, 199, 260℄ áâ «¨ ¨¬¥âì «¨èì ¨áâ®à¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á ¯®á«¥ 1980 £., ª®£¤ .â¥ää¥ ¯à¥¤«®¨« í«¥£ âë© ¨§£¨¡ ¥¬ë© ¬®£®£à ¨ª ¡¥§ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨© ¢á¥£® á ¤¥¢ïâìî ¢¥àè¨ ¬¨, ®¯¨á ë©, ¯à¨¬¥à, ¢ [50℄, [65, á. 516{517℄, [199℄. ¥§ã«ìâ âë .. ªá¨¬®¢ [134℄ ¯®§¢®«ïîâ ¤¥ïâìáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª â¥ää¥ ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ì®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¢¥àè¨. .«¥ªá ¤¥à®¬ [231℄ ¤®ª § ®, çâ® ¢á直© ®à¨¥â¨à®¢ ë© ¨§£¨¡ ¥¬ë© ¬®£®£à ¨ª ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á®åà ï¥â ¨â¥£à «ìãî ªà¨¢¨§ã ¢ ¯à®æ¥áᥠ¨§£¨¡ ¨ï. Ǒ®§¥ í⮠᢮©á⢮ ¡ë«® ¯¥à¥¤®ª § ® ¢® ¬®£¨å à ¡®â å ¨ ¡ë« ¢ëïᥠ¥£® á¢ï§ì á ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®© ä®à¬ã«®© «¥ä«¨ [238, 295, 296, 342, 347, 355℄. . . ¡¨â®¢ë¬ [195{198, 335℄ ãáâ ®¢«¥®, çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¨§£¨¡ ¨ï ¢á直© § ¬ªãâë© ®à¨¥â¨à®¢ ë© ¨§£¨¡ ¥¬ë© ¬®£®£à ¨ª ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á®åà ï¥â ᢮© ®à¨¥â¨à®¢ ë© ®¡ê¥¬. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¤ ® ¢ [266℄, á¬. â ª¥ ®¡§®à [340℄. áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¡ê¥¬ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® á®åà ï¥âáï [234℄. ¥ ¨§¢¥áâ® á®åà ï¥âáï «¨ ®¡ê¥¬ ¨§£¨¡ ¥¬®£® ¬®£®£à ¨ª ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨«¨ ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯à¨ n > 4. .â 奫¥¬ ¨§ãç¥ë ¨§£¨¡ ¥¬ë¥ ®ªâ í¤àë ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ [349℄ ¨ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® [351℄, ® á ¬® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢠å à §¬¥à®á⨠> 4 ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬ ¢®¯à®á®¬. ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¨¬¥îâáï १ã«ìâ âë ®¡ «£®à¨â¬ å ¤«ï à ᯮ§ ¢ ¨ï ¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ [190, 194, 200, 236℄ ¨ ® áâ஥¨¨ ª®ä¨£ãà 樮®£® ¯à®áâà á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, â.¥. ® ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ áâ஥¨¨ ¬®¥á⢠¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ [72, 152, 153, 189, 300℄. ª®¥æ, ¥áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® 室¥¨¨ ª« áᮢ ¥¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ ª®â®àëå ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬ë. ¥ª®â®àë¥ ¯à®¤¢¨¥¨ï ¢ í⮬ ¢®¯à®á¥ ç¨â â¥«ì ©¤¥â ¢ [191, 257℄. | Ǒਬ. ।.
. III:
§ 6.
185
2. ®¯à®á ®¡ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨ïå § ¬ªãâëå ¨ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¡ë« ¢¯¥à¢ë¥ ¯®«®áâìî à¥è¥ .Ǒ.«®¢ï¨è¨ª®¢ë¬ [156, 157℄. § ¥£® à ¡®â ¬®® ¢ë¢¥á⨠᫥¤ãî騥 १ã«ìâ âë: 1. P 4π F
᫨ ¤ ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
á ¯®«®© ªà¨¢¨§®©
¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì
¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î, â ª çâ® ¨ª, à ¢ë©
2.
á ¬ ¥¨§¡¥® ¥áâì ¬®£®£à -
P. P F , â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª çâ® F ¥¨§¡¥® ®ª §ë¢ ¥âáï ¬®£®-
᫨ ¤ ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
á ¯®«®© ªà¨¢¨§®©
2π
¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì
¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î, â ª £à ¨ª®¬, à ¢ë¬
3.
, â® íâ® ®â®¡à ¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª
F
Ǒãáâì
P
P.
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®©
¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«,
(
F
| ¡¥áª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, a
3. â®¡à §¨¬ à §¢¥àâªã R áä¥àã S . ®¥¤¨¨¢ ¢¥àè¨ã A ªà âç ©è¨¬¨ á ¯à®ç¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ A , . . . , Ae , à §à¥¥¬ áä¥àã S | ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, à §¢¥àâªã R | ¯® í⨬ ªà âç ©è¨¬ (á¬. à¨á. 88, , ª®â®àë© ¨¬¥¥â ãá«®¢ë© ý⮯®«®£¨ç¥áª¨©þ å à ªâ¥à). 1
1
2
A11
A21
A1
Aq T
A2 A 3
a)
Ap A4 A61
A31 Q
b)
A51
A41
¨á. 88
ª ª ª ªà âç ©è¨¥, ¨á室ï騥 ¨§ ®¤®© â®çª¨, ¥ ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥ª âìáï, â® ¢ १ã«ìâ ⥠⠪®£® à §à¥§ ¨ï ¯®«ã稬 (£¥®¤¥§¨ç¥áª¨©) ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã. ¥ ᮤ¥à¨â ¢¥àè¨ ¢ãâà¨, ¯®â®¬ã ᮣ« ᮠ⥮६¥ 5 § 8 £« ¢ë I ¥£® ¬®® à §¡¨âì ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨, ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå à §¢¥àâë¢ ¥âáï ¯«®áª®áâì. ¤ ª® ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬®® à §¡¨âì ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ â ª, çâ® ¢ ¯®«ã祮© à §¢¥à⪥ ¨ ã ª ª®£® âà¥ã£®«ì¨ª ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ¥ ¡ã¤ãâ ᪫¥¨¢ âìáï ¤àã£ á ¤à㣮¬, â. ¥. ¥ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ®¤®© ¢¥à訥 à §¢¥à⪨. ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¨¬¥îâáï ¢¥àè¨ë ¤¢ãå ⨯®¢: e − 1 ¢¥àè¨ ®â¢¥ç îâ ¢¥àè¨ ¬ A , A , . . . , Ae à §¢¥à⪨ ¨ ¤à㣨¥ e−1 ¢¥àè¨ ®â¢¥ç îâe−®¤®© ¢¥à訥 A (à¨á. 88, ¡). ⨠¢¥àè¨ë ý¢â®à®£® த þ A , A , . . . , A à ᯮ«®¥ë ¯¥à¨¬¥âॠ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ç¥à¥§ ®¤ã. ª ª ª ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¢¥à訥 à §¢¥à⪨ ®â¢¥ç îâ ⮫쪮 ¢¥àè¨ë ¢â®à®£® த , â® ¬ ã® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥: 2
3
1
¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
1 1
2 1
1
1
¬®® à §¡¨âì ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ â ª, çâ®
¢ ª ¤®¬ ¨§ ¨å ¬ ªá¨¬ã¬ ®¤ ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ¢¥à訮© ú¢â®à®£® த û.
192
. .
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠§ ¬¥â¨¬, çâ® á㬬 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å ý¢â®à®£® த þ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ãá«®¢¨î ® ¬¥ìè¥ 2π. Ǒ®í⮬ã á ¬®¥ ¡®«ì襥 ¯à¨ ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ ¢â®à®£® த 㣮« ¬®¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ π. Ǒãáâì ¯à¨ ¢¥à訥 A 㣮« ¬¥ìè¥ π. Ǒãáâì á ¥© á¬¥ë ¢¥àè¨ë Ap , Aq . Ǒ஢¥¤¥¬ ®â१®ª Ap Aq ¨ à áᬮâਬ âà¥ã£®«ì¨ª T = A Ap Aq (à¨á. 88, ¡). ª ª ª 㣮« ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯à¨ ¢¥à訥 A ¬¥ìè¥ π, â® ® ¡ã¤¥â â ª¥ 㣫®¬ âà¥ã£®«ì¨ª T , â ª çâ® ®¡é ï ç áâì T Q âà¥ã£®«ì¨ª T ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥ª®â®àë© ¬®£®ã£®«ì¨ª; ¢ ç áâ®áâ¨, ® ¬®¥â ᮢ¯ ¤ âì á âà¥ã£®«ì¨ª®¬ T . ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥, ®âᥪ ï ¥£® ®â Q, ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q − T , ã ª®â®à®£® ®¤ã ¢¥àè¨ã ¢â®à®£® த ¬¥ìè¥. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯à®¢¥¤¥¬ ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ T Q ªà âç ©èãî ¨§ «®¬ ëå, ᮥ¤¨ïîé¨å ¢¥àè¨ë Ap ¨ Aq (à¨á. 89); íâ ⌢ «®¬ ï Ap Aq , ®ç¥¢¨¤®, ª®à®ç¥ «®¬ ®©, A11 ®¡à §®¢ ®© áâ®à® ¬¨ ApA ¨ Aq A : 1
1 1
1 1
1 1
1 1
⌢ Ap Aq < Ap A11
TQ Ap
1 1
+ A Aq .
(1)
1 1
⌢
Aq
᫨ ¡ë «¨¨¨ Ap Aq «¥ « ª ª ï-«¨¡® ¢¥àè¨ ý¢â®à®£® த þ Aj , â® ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë Ap Aj + Aj Aq < Ap A + A Aq , 1
¨á. 89
1
1 1
1
⌢
1 1
⌢
¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ®â१ª®¢ Ap Aj , Aj Aq í⮩ «¨¨¨ ¡ë« ¡ë ª®à®ç¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®â१ª ApA ¨«¨ A Aq ; ¯à¨¬¥à, 1 1
1 1
1
1
⌢ Ap A1j < Ap A11 .
(2) ¤ ª® ¯® ¯¥à¢® ç «ì®¬ã ¯®áâ஥¨î áâ®à® Ap A ï¥âáï ªà âç ©⌢ 襩 ¢ ¤ ®© à §¢¥à⪥ ¬¥¤ã ¢¥àè¨ ¬¨ Ap ¨ A . ¨¨ï ¥ Ap Aj ⮥ ᮥ¤¨ï¥â ¢¥àè¨ã Ap á A . ¥ ¬®¥â ¡ëâì ª®à®ç¥ ªà âç ©è¥©, ¯®â®¬ã ¥à ¢¥á⢮ (2), ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ (1) ¥¢®§¬®®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ⌢ ¤®¯ã饨¥, çâ® «¨¨¨ Ap Aq «¥¨â ª ª ï-«¨¡® ¢¥àè¨ ¢â®à®£® த , ¥¢¥à®. ⌢ ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®âᥪ ¥¬ë© ®â Q «¨¨¥© ApAq , ᮤ¥à¨â ⮫쪮 ®¤ã ¢¥àè¨ã ¢â®à®£® த A . Ǒ®á«¥ ¥£® ®âá¥ç¥¨ï ®áâ ¥âáï ç áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, á®áâ®ïé ï ¨§ ¥áª®«ìª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á ¬¥ì訬 ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ ¢â®à®£® த . ª ¤®¬ã ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ 1 1
1
1
1 1
1
. IV:
§ 1.
193
¯à¨¬¥¨¬ë ¢á¥ ¯à¥¤ë¤ã騥 à áá㤥¨ï: ¬ë ¬®¥¬ ®âá¥çì ®â ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ á ®¤®© ¢¥à訮© ¢â®à®£® த ª ¤ë© ¨ â. ¤., ¯®ª ¥ à §®¡ì¥¬ ¢á¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¡ã¤¥â ᮤ¥à âì ⮫쪮 ®¤ã ¨«¨ ¨ ®¤®© ¢¥àè¨ë ¢â®à®£® த . Ǒ®á«¥ í⮣® ®áâ ¥âáï à §¡¨âì ª ¤ë© ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ âà¥ã£®«ì¨ª¨, ¨ ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª 㮬ã १ã«ìâ âã. ®ª § ë¥ «¥¬¬ë 1 ¨ 2 ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ à §¢¥à⮪, á®áâ®ïé¨å ¨§ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) ç¨á«® ¢¥àè¨ e > 3, 2) ¥â «¨è¨å ¢¥àè¨, 3) ¨ ã ª ª®£® âà¥ã£®«ì¨ª ¢¥àè¨ë ¥ ᪫¥¨¢ îâáï ¤àã£ á ¤à㣮¬. ¤ «ì¥©è¥¬ í⨠ãá«®¢¨ï ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï ¢ë¯®«¥ë¬¨ ¡¥§ ®á®¡ëå ®£®¢®à®ª. 3.
᫨ ¢ ¯®ï⨨ à §¢¥à⪨ ®â¢«¥çìáï ®â ¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¨ à áᬠâਢ âì ¥¥ ç¨áâ® ª®¬¡¨ â®à®, â.¥. ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ⮫쪮 ¤ ë¥ ¢ ¥© ®â®¤¥á⢫¥¨ï áâ®à® ¨ ¢¥àè¨ âà¥ã£®«ì¨ª®¢, â® à §¢¥à⪠¯à¥¢à é ¥âáï ¢ â®, çâ® ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ª®¬¯«¥ªá®¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ýª®¬¯«¥ªáþ ¥áâì ᮢ®ªã¯®áâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¡áâà ªâëå âà¥ã£®«ì¨ª®¢ á 㪠§ ë¬ ®â®¤¥á⢫¥¨¥¬ ¨å áâ®à® ¨ ¢¥àè¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ãá«®¢¨ï¬, ᮤ¥à 騬áï ¢ á ¬®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ à §¢¥à⪨. â® ¥áâì ¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ¯®ïâ¨ï ª®¬¯«¥ªá , ¯à¨ï⮣® ¢ ª®¬¡¨ â®à®© ⮯®«®£¨¨. ¬¥®, ¬ë ¥ âॡ㥬 ⮣®, ç⮡ë ã ¤¢ãå âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ®â®¤¥á⢫﫮áì ⮫쪮 ¯® ®¤®© áâ®à®¥ ¨«¨ ¯® ®¤®© ¢¥à訥. ® ᮣ« á® ãá«®¢¨î, ¯®áâ ¢«¥®¬ã ¢ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ãªâ , ᪫¥¨¢ ¨¥ âà¥ã£®«ì¨ª á ¬®£® á ᮡ®© ¥ ¤®¯ã᪠¥âáï. ª ª ª è à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä áä¥à¥, â® ¥á«¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ ¬ë᫨âì ª ª ¯à®¨§¢®«ìë¥ â®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ®¡à §ë ®¡ëçëå âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ª®¬¯«¥ªá ®ª §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®àäë¬ áä¥à¥. Ǒ®í⮬㠬®® ª®à®âª® ᪠§ âì, çâ® ª®¬¯«¥ªá ¥áâì ᮢ®ªã¯®áâì ⮯®«®£¨ç¥áª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ á â ª¨¬¨ ®â®¤¥á⢫¥¨ï¬¨ ¨å áâ®à® ¨ ¢¥àè¨, ¢ ᨫ㠪®â®àëå íâ ᮢ®ªã¯®áâì ®ª §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥.
᫨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ ¤ ®£® ª®¬¯«¥ªá K § ¤ ë ª ª ¯«®áª¨¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨ ¨ ®â®¤¥á⢫¥¨ï áâ®à® ¯à®¨á室ïâ á á®åà ¥¨¥¬ ¤«¨, â® ¬ë ¨ ¯®«ãç ¥¬ à §¢¥àâªã. ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ¢ í⮬ á«ãç ¥, çâ® ª®¬¯«¥ªá K ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ à §¢¥àâªã áâ஥¨ï K . Ǒãáâì K | ¤ ë© ª®¬¯«¥ªá, f , k, e | ç¨á« ¥£® âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨. ª ª ª ¯«®áª¨¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¤«¨ ¬¨ ¨å áâ®à®, â® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à¥¢à â¨âì ª®¬¯«¥ªá K ¢ ®¯à¥¤¥«¥ãî à §¢¥àâªã, ¤®áâ â®ç® ¯à¨¯¨á âì ¥£® à¥¡à ¬ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¤«¨ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §¢¥à⪠áâ஥¨ï K ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ k ¯ à ¬¥â஢ | ¤«¨ ॡ¥à r , . . . , rk .
᫨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï k-¬¥àë¬ ¯à®áâà á⢮¬, â® ¬®¥á⢮ ¢á¥å à §¢¥à⮪ áâ஥¨ï K ¨§®¡à §¨âáï ¢ ¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ¥ª®â®à®© ®¡« á⨠M .
¤¨1
0
194
. .
áâ¢¥ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¤«¨ë ॡ¥à, íâ® | ý¥à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª þ: á㬬 ¤«¨ ª ¤ëå ¤¢ãå áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª ¤®« ¡ëâì ¡®«ìè¥ ¤«¨ë âà¥â쥩 ¥£® áâ®à®ë : ri + rj > rl . ⨠¥à ¢¥á⢠| «¨¥©ë¥, ¨ ¯®â®¬ã ª ¤®¥ ¨§ ¨å ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥ª®â®à®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥ íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨ ®¡à §ã¥â ®¡« áâì M . (áâ ⨠¢¨¤®, çâ® ® ï¥âáï ¢ãâ८áâìî ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 á ¢¥à訮© ¢ ç «¥.) â ®¡« áâì § ¢¥¤®¬® ¥ ¯ãáâ : ¤®áâ â®ç® ¯à¨¯¨á âì ¢á¥¬ à¥¡à ¬ ®¤ã ¨ âã ¥ ¤«¨ã, çâ®¡ë ¢á¥ ¥à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª 㤮¢«¥â¢®à﫨áì. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá K áãé¥áâ¢ã¥â à §¢¥à⪠áâ஥¨ï K ¨§ à ¢®áâ®à®¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ®¢®ªã¯®áâì à §¢¥à⮪ áâண® ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¨§®¡à ¥âáï ¬®¥á⢮¬ M , ïî騬áï ç áâìî ®¡« á⨠M . 㬬 P ϕij 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ¢¥à訥 (i | ®¬¥à ¢¥àè¨ë, j | j ®¬¥à 㣫 ¯à¨ í⮩ ¢¥à訥), ¥áâì ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¤«¨ ॡ¥à. M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢠¬¨ X ϕij < 2π (i = 1, 2, . . . , e) 2)
0
0
j
¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. â® ¨ ¥áâì ¬®£®®¡à §¨¥ à §¢¥à⮪ áâண® ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë, ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤ «ìè¥ à áᬠâਢ âì. ®£«® ¡ë ®ª § âìáï, çâ® M ¯ãáâ®; ® ⮣¤ ¬ ¥ ® 祬 £®¢®à¨âì, â ª ª ª ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥îâáï à §¢¥à⪨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë áâ஥¨ï K , â® ¨§ ª ¤®© ¨§ ¨å ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® M ¥ ¯ãáâ® . 3)
4. ¥¬¬ 3.
®¡à §¨¥
M0
M
.
K ¡®«ìè¥ âà¥å, â® ¬®£®M 0 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥â ¢
᫨ ç¨á«® ¢¥àè¨ ª®¬¯«¥ªá
á®áâ ¢«ï¥â ⮫쪮 ç áâì ®¡« áâ¨
£à ¨æã
2) Ǒ®«®¨â¥«ì®áâì ¤«¨ 㥠᫥¤ã¥â ¨§ íâ¨å ¥à ¢¥áâ¢: ri + rj > rl , ri + rl > rj ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 2ri + rj + rl > rj + rl , ®âªã¤ ri > 0. 3) ®, çâ® M ¯ãáâ®, ®§ ç ¥â, çâ® ª®¬¯«¥ªá K ¥«ì§ï ¯à¥¢à â¨âì ¢ à §¢¥àâªã á á㬬 ¬¨ 㣫®¢ ¯à¨ ¢á¥å ¢¥àè¨ å < 2π. ¥£ª® ¯®áâநâì ¯à¨¬¥àë â ª¨å ª®¬¯«¥ªá®¢, ¤®¯ã᪠ï 㠥᪮«ìª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ᪫¥¨¢ ¨¥ ¢¥àè¨ ¢ ®¤ã â®çªã. ¤ ª® â ª¨¥ ýá ¬®áª«¥¨¢ ¨ïþ ã á ¨áª«îç¥ë ¯® ãá«®¢¨î, ¯à¨ï⮬㠢 ª®æ¥ ¯o 2. «ï ª®¬¯«¥ªá ¥ ¡¥§ á ¬®áª«¥¨¢ ¨© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥à®ïâë¬, çâ® ® ¢á¥£¤ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¢à é¥ ¢ à §¢¥àâªã áâண® ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë, â ª çâ® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯à¨ 襬 ãá«®¢¨¨ ¬®¥á⢮ M ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯ãáâë¬. ¤ ª® ¬ë ¥ § ¥¬, ª ª íâ® ¤®ª § âì ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. «ï á«ãç ï, ª®£¤ ¢ ª®¬¯«¥ªá¥ K ª ¤ë¥ ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª ᪫¥¨¢ îâáï ¬ ªá¨¬ã¬ ¯® ®¤®© áâ®à®¥ ¨«¨ ¢¥à訥, íâ® ¤®ª § ®.
. IV:
§ 1.
195
®ª ¥¬ á ç « , çâ® ¢ ª®¬¯«¥ªá¥ á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨, ¡®«ì訬 âà¥å, ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ ¢¥àè¨ , ¢ ª®â®à®© á室¨âáï ¥ ¬¥¥¥ âà¥å âà¥ã£®«ì¨ª®¢. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¢ ª ¤®© ¢¥à訥 ª®¬¯«¥ªá á室¨âáï ¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå âà¥ã£®«ì¨ª®¢, â® ª®¬¯«¥ªá ¨¬¥¥â ¢á¥£® âਠ¢¥àè¨ë. Ǒãáâì ABC | âà¥ã£®«ì¨ª â ª®£® ª®¬¯«¥ªá . Ǒãáâì C ª ¥£® áâ®à®¥ AB ¯®¤ª«¥¨¢ ¥âáï âà¥ã£®«ì¨ª ABD (à¨á. 90). ®£¤ ¢ ¢¥àè¨ å A ¨ B 㥠á®è«¨áì ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª , ¨ ¥á«¨ ¨ª ª¨¥ ¤à㣨¥ ª ¨¬ ¯à¨«¥£ âì ¥ ¬®£ãâ, â®, ®ç¥¢¨¤®, áâ®à®ë AC ¨ BC ᪫¥¨¢ B îâáï á AD ¨ BD. (®£«® ¡ë ¡ëâì, çâ® BC ᪫¥¨¢ - A ¥âáï á AC , BD | á AD. ® ⮣¤ ã âà¥ã£®«ì¨ª ABC ®â®¤¥á⢫﫨áì ¡ë ¢¥àè¨ë A ¨ B , çâ® ¨áª«î祮 ¯® ãá«®¢¨î, ¯à¨ï⮬㠢 ¯ 2.) áâ îâáï ⮫쪮 âਠ¢¥àè¨ë, ¨ ¨ç¥£® ¡®«ìè¥ ª ª®¬¯«¥ªá㠯ਡ ¢¨âì D ¥«ì§ï, â ª ª ª ᢮¡®¤ëå áâ®à® ¥ ®áâ «®áì. ª¨¬ ¨á. 90 ®¡à §®¬, è¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª § ®. Ǒãáâì ⥯¥àì ª®¬¯«¥ªá K ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ âà¥å ¢¥àè¨. ®£¤ , ª ª ¬ë ᥩç á ¯®ª § «¨, ¢ ¥¬ ©¤¥âáï ¢¥àè¨ A, ¢ ª®â®à®© á室¨âáï ¥ ¬¥¥¥ âà¥å âà¥ã£®«ì¨ª®¢. Ǒਯ¨è¥¬ á ç « ¢á¥¬ à¥¡à ¬ ª®¬¯«¥ªá K à ¢ë¥ ¤«¨ë, â.¥. ¢®§ì¬¥¬ à §¢¥àâªã ¨§ ¯à ¢¨«ìëå âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ⥬ ¡ã¤¥¬ 㬥ìè âì ¢ ®¤® ¨ â® ¥ ç¨á«® à § ¤«¨ë ¢á¥å ॡ¥à, á室ïé¨åáï ¢ A, ®áâ ¢«ïï ¤«¨ë ®áâ «ìëå ॡ¥à ¥¨§¬¥ë¬¨. ®£¤ 㣫ë, ¯®¤å®¤ï騥 ª A, ¡ã¤ãâ ¢®§à áâ âì ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ᤥ« ë ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¬¨ ª π. â ª ª ª ¨å ¥ ¬¥¥¥ âà¥å, â® á㬬 ¨å ¡ã¤¥â áâ ®¢¨âìáï > 2π. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稬 à §¢¥à⪨, ¥ ¢å®¤ï騥 ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ M , ¨ «¥¬¬ ¤®ª § . o
à ¨æ ¬®£®®¡à §¨ï M á®á⮨⠨§ â®ç¥ª, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §¢¥à⪠¬, ã ª®â®àëå á㬬 㣫®¢ ¯à¨ ª ¤®© ¢¥à訥 ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢ π ¨ å®âï ¡ë ¯à¨ ®¤®© ¢¥à訥 à ¢ π
2 2. ¥©á⢨⥫ì®, ª ª ¡ë«® 㪠§ ®, ¬®£®®¡à §¨¥ M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï e ¥à ¢¥á⢠¬¨ X ϕij < 2π (i = 1, 2, . . . , e), (3) j
£¤¥ ϕij ®¡®§ ç ¥â j -© 㣮« ¯à¨ i-© ¢¥à訥. £®« ϕij ¥áâì ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¤«¨ ॡ¥à. Ǒ®íâ®¬ã £à ¨æ¥ ¬®£®®¡à §¨ï M ¨ ®¤® ¨§ íâ¨å ¥à ¢¥á⢠¥ ¬®¥â ®¡à é âìáï ¨ å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ¨å ¤®«® ¯¥à¥å®¤¨âì ¢ à ¢¥á⢮. âáî¤ á«¥¤ã¥â â ª¥, çâ® £à ¨æ ¬®£®®¡à §¨ï M á®á⮨⠨§ ªã᪮¢ e ¯®¢¥àå®á⥩ F1 , F2 , . . . , Fe , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ X ϕij π i , ,... ,e ,
=2 ( =1 2
j
)
(4)
196
. .
£¤¥ 㣫ë ϕij ã® à áᬠâਢ âì ª ª äãªæ¨¨ ¤«¨ ॡ¥à, â.¥. ª®®à¤¨ â ¢ 襬 k-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ . ¥¯¥àì ¬ë ¤®ª ¥¬ ¯®á«¥¤îî «¥¬¬ã, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¨£à âì peè îéãî à®«ì ¢ § 3 ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ 襩 â¥®à¥¬ë ® ॠ«¨§ã¥¬®áâ¨ à §¢¥à⮪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë. 4)
¥¬¬ 4.
£à ¨æ¥ ª ¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥âë ¬®£®®¡à §¨ï M ¥áâì
â ª ï â®çª , ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠ª®â®à®© ¥â â®ç¥ª ¤à㣨å á¢ï§ëå
. | ª ª ï-«¨¡® á¢ï§ ï ª®¬¯®¥â ¬®£®®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ®¡à §¨ï M . Ǒãáâì X | â®çª ¥¥ £à ¨æ¥, ¯à¨ ¤«¥ é ï ¨¬¥ì襬ã ç¨á«ã ¯®¢¥àå®á⥩ F , . . . , Fe | ᪠¥¬, ¯®¢¥àå®áâï¬ F , . . . , Fl . Ǒ®ª ¥¬, çâ® íâ â®çª 㤮¢«¥â¢®àï¥â âॡ®¢ ¨ï¬ «¥¬¬ë . ®çª X ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â à §¢¥àâªã R , ã ª®â®à®© á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A , . . . , Al à ¢ë 2π, ¯à¨ ¢á¥å ®áâ «ìëå ¢¥àè¨ å Ai | ¬¥ìè¥ 2π. 祢¨¤®, ¬®® 㪠§ âì â ª®¥ áâ®«ì ¬ «®¥ ε > 0, çâ® ¯à¨ «î¡®¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¤«¨ ॡ¥à à §¢¥à⪨ R , ¬¥ì襬 ε, ¨ ¯à¨ ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ Ai (i > l) á㬬 㣫®¢ ¥ áâ ®¢¨âáï à ¢®© 2π. ë ®£à ¨ç¨¬áï ⮫쪮 â ª¨¬¨ ¨§¬¥¥¨ï¬¨ ¤«¨ ॡ¥à. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï áâ®«ì ¬ «®© ®ªà¥áâ®áâìî W â®çª¨ X , çâ® ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®á⨠¥â â®ç¥ª ¤àã£¨å ¯®¢¥àå®á⥩ Fi, ªà®¬¥ F , . . . , Fl . áᬮâਬ âà¥ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨ R , ¯®¤å®¤ï騥 ª ¥¥ ¢¥à訥 A . Ǒãáâì r | ॡ஠®¤®£® ¨§ ¨å, ¯à®â¨¢®«¥ 饥 ¢¥à訥 A . ª ª ª 㣮« âà¥ã£®«ì¨ª ¥áâì ¢®§à áâ îé ï äãªæ¨ï ¯à®â¨¢®«¥ 饩 áâ®à®ë, P â® á㬬 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥à訥 A , â.¥. ϕ j , â ª¥ ¡ã¤¥â ¢®§à áâ î饩 äãªæ¨¥© ¤«¨ë ॡà r. (¥¡à® r ¬®¥â ¡ëâì ¯à®â¨¢®«¥ 騬 ¢¥à訥 A ¥é¥ ¢ ¤à㣮¬ âà¥ã£®«ì¨ª¥, ® ⮣¤ ¢ë¢®¤ ® á㬬¥ 㣫®¢ ⥬ ¡®«¥¥ ¢¥à¥. Ǒਫ¥ 騬 ª A ॡ஠r ¥ ¬®¥â ¡ëâì, â ª ª ª ⮣¤ ã ¯¥à¢®£® ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï
M 5) M′
0
1
6)
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
4) ®¥á⢠Fi , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ (4), ¬ë §ë¢ ¥¬ ¯®¢¥àå®áâﬨ ãá«®¢®. á ¬®¬ ¤¥«¥ ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¨å ¬®£ãâ ¡ëâì ¯ãáâ묨. ¬¥®, ¥á«¨ ¢ i-© ¢¥à訥 á室ïâáï «¨èì ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ⮫쪮 ¤¢ 㣫 , ¨å á㬬 , ª®¥ç®, ¢á¥£¤ ¬¥ìè¥ 2π. (® ¢á¥å ¤à㣨å á«ãç ïå ãà ¢¥¨¥ (4) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® (k − 1)-¬¥àãî ¯®¢¥àå®áâì ¢ 襬 k-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ® íâ® ¬ ¥ ã® ¨ ¥ ¡ã¤¥â ¯®í⮬㠤®ª §ë¢ âìáï.) 5) á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯®ç⨠¢á¥ â®çª¨ £à ¨æë § ¢¥¤®¬® ¤®«ë ®¡« ¤ âì í⨬ ᢮©á⢮¬. â® «¥£ª® ãᬮâà¥âì ¨§ «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨¨ P ϕij . ® ¬ë ®¡å®¤¨¬áï í«¥¬¥â à묨 á।á⢠¬¨ ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¤®áâ â®çë© ¤«ï á १ã«ìâ â. ¬¥â¨¬ ¥é¥, çâ® ¬ë ¥ § ¥¬, ¥ ¡ã¤¥â «¨ ¬®£®®¡à §¨¥ M ¢á¥£¤ á¢ï§ë¬.
᫨ ¡ë 㤠«®áì ¯à®áâ® ¤®ª § âì ¥£® á¢ï§®áâì, â® ¢á¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ã¯à®á⨫®áì ¡ë. 6) á ¬®¬ ¤¥«¥ íâ® ¨¬¥ì襥 ç¨á«® ¯®¢¥àå®á⥩ à ¢® ¥¤¨¨æ¥, ¯à¨ç¥¬ ¯®ç⨠¢á¥ â®çª¨ £à ¨æë «¥ â ª ¤ ï ®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠Fi . ® ¬ë í⮣® ¥ ¤®ª §ë¢ ¥¬, â ª ª ª ¬®¥¬ ®¡®©â¨áì ¨ ¡¥§ í⮣®.
. IV:
§ 1.
197
¢§ï⮣® âà¥ã£®«ì¨ª ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ¯®¯ ¤ «¨ ¡ë ¢ A ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î, «®¥®¬ã à áᬠâਢ ¥¬ë¥ à §¢¥à⪨.) ª®à 稢 ï ॡ஠r, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R á á㬬®© 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥à訥 A , ¬¥ì襩 2π , 㤫¨ïï ॡ஠r , ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R á á㬬®© 㣫®¢ ¯à¨ A , ¡®«ì襩 2π. §¢¥à⪠¬ R ¨ R ®â¢¥ç îâ P â®çª¨ X ¨ X . ®® ¢§ïâì ®ªà¥áâ®á⨠P U ¨ U íâ¨å â®ç¥ª â ª, çâ® ϕ j < 2π ¢® ¢á类© â®çª¥ ¨§ U ¨ ϕ j > 2π ¢® ¢á类© â®çª¥ ¨§ U . ªà¥áâ®á⨠U ¨ U ¬®®, ª®¥ç®, ¢§ïâì à ¢ë¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì묨 â ª, çâ®¡ë ¯à¨ ¯ à ««¥«ì®¬ ¯¥à¥¬¥é¥¨¨, ¯¥à¥¢®¤ï饬 â®çªã X ¢ X , ®ªà¥áâ®áâì U ᮢ¯ ¤ « á U . ( à¨á. 91, a U ¨ U ¤«ï ¯à®áâ®âë ¨§®¡à ¥ë ª¢ ¤à â ¬¨.) 1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
r
1
2
2
1
2
r
U2
V2
X2 F1 X0 X1
X0
W
Y
U1
Y1
a)
Z Z1
V1
b) ¨á. 91
¥¡àã r ®â¢¥ç ¥â ®áì ª®®à¤¨ âë r ¢ 襬 k-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, £¤¥ ª®®à¤¨ â ¬¨ á«ã â ¤«¨ë ॡ¥à. §¬¥¥¨¥ ®¤®£® «¨èì ॡà r ¨§®¡à ¥âáï ᬥ饨¥¬ ¢¤®«ì ®á¨ r. Ǒ® à ¢¥áâ¢ã ¨ ¯ à ««¥«ì®á⨠®ªà¥áâ®á⥩ U , U ¨å ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ â®çª¨ Y , Y ᮥ¤¨ïîâáï ®â१ª ¬¨, ¯ à ««¥«ì묨 ®á¨ r. ᥠ⠪¨¥ ®â१ª¨ § ¯®«ïîâ ¥ª®â®àãî ®ªà¥áâ®áâì V â®çª¨ X , ¨¬¥îéãî å à ªâ¥à ¯à¨§¬ë. ®ª ¥¬, çâ® ª ª à § ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®á⨠¨ ¥â â®ç¥ª ¤à㣨å á¢ï§ëå ′ ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï M , ªà®¬¥ M . â®çª å Y , Y á㬬 P ϕ j ᮮ⢥âá⢥® ¬¥ìè¥ ¨ ¡®«ìè¥ 2π ¨ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â Y ª Y ® ¬®®â®® ¢®§à áâ ¥â. PǑ®í⮬㠮â१ª¥ Y Y ¥áâì ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ ï â®çª Y , ¢ ª®â®à®© ϕ j = 2π. â® ®§ ç ¥â, 1
1
2
2
0
1
1
2
1
2
1
1
2
198
. .
çâ® ¢á直© â ª®© ®â१®ª Y Y á ª®æ ¬¨ ¢ ®ªà¥áâ®áâïå U ¨ U ¯¥à¥á¥ª ¥âáï ¯®¢¥àå®áâìî F ¢ ®¤®© â®çª¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨ ¢áï ý¯à¨§¬ þ V à §¡¨¢ ¥âáï ¯®¢¥àå®áâìî F ¤¢¥ ç áâ¨PV ¨ V . ®¡« á⨠V ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮ ϕ j > 2π, ¨ ¯®â®¬ã ¨ ®¤ ¥¥ â®çª ¥ ¬®¥â ¯à¨ ¤«¥ âì ¬®£®®¡à §¨î M . ® â®çª X «¥¨â £à ¨æ¥ á¢ï§®© ª®¬¯®¥âë M ′ ¬®£®®¡à §¨ï M . Ǒ®í⮬㠢¡«¨§¨ X ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ®¡« á⨠V ¨¬¥îâáï M ′ . ë ¤®ª ¥¬ ᥩç á, â®çª¨ ¨§ çâ® ¢áï ®¡« áâì V ᮤ¥à¨âáï ¢ M ′ . ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥, ¨ ¯ãáâì Y | â®çª ¨§ V , ¥ ¯à¨ ¤«¥ é ï M ′ (à¨á. 91, ¡). Ǒãáâì, ¤ «¥¥, Z | ª ª ï-«¨¡® â®çª ¨§ V , ¯à¨ ¤«¥ é ï M ′ . Ǒ® ¯®áâ஥¨î ý¯à¨§¬ëþ V â®çª¨ Y ¨ Z «¥ â ®â१ª å, ¨¤ãé¨å ¨§ ¥ª®â®àëå â®ç¥ª Y , Z ®¡« á⨠U . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¯à®¢¥á⨠®â१®ª Y Z , â® ¬ë ¯®«ã稬 ¥¯à¥àë¢ãî «®¬ ãî L = Y Y ∪ Y Z ∪ Z Z , ᮥ¤¨ïîéãî â®çª¨ Y ¨ Z ¨ ¥ ¢ë室ïéãî ¨§ V . ª ª ª â®çª Z «¥¨â ¢ ª®¬¯®¥â¥ M ′ , â®çª Y | ¢¥ M ′ , â® «®¬ ï L ¤®« ¯¥à¥á¥ª âì £à ¨æã ª®¬¯®¥âë M ′ . ®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, ª ª â®çª £à ¨æë, ¤®« «¥ âì ¥ª®â®àëå ¯®¢¥àå®áâïå Fi. ª ª ª ® «¥¨â ¢ ®¡« á⨠V , â® ¯®¢¥àå®á⨠F ® ¯à¨ ¤«¥ âì ¥ ¬®¥â. ஬¥ ⮣®, ¬ë § à ¥¥ ®£à ¨ç¨«¨áì ®¡« áâìî W , £¤¥ ¥â â®ç¥ª ¤àã£¨å ¯®¢¥àå®á⥩ Fi , ªà®¬¥ F , . . . , Fl . «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬®¥â «¥ âì «¨èì ¯®¢¥àå®áâïå F , . . . , Fl . ¤ ª® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î â®çª¨ X ¨ª ª ï â®çª £à ¨æë ª®¬¯®¥âë M ′ 㥠¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ¬¥¥¥ 祬 l ¯®¢¥àå®áâï¬ Fi. Ǒ®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ¨ íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®¡« áâì V ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® æ¥«¨ª®¬ ᮤ¥à¨âáï ¢ ª®¬¯®¥′ ⥠M . ® ¢¬¥á⥠á ⥬ ¢ ®¡« á⨠V ¢®¢á¥ ¥â â®ç¥ª ¬®£®®¡à §¨ï M , â ª çâ® ý¯à¨§¬ þ V ¨ ®ª §ë¢ ¥âáï â ª®© ®ªà¥áâ®áâìî â®çª¨ X , £¤¥ ¥â â®ç¥ª ¤àã£¨å ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï M , ªà®¬¥ M ′ . ¥¬¬ ¤®ª § . 1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1
2
0
§ 2. ®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢
ᮮ⢥âá⢨¨ á ⥬, çâ® ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¬®£®®¡à §¨¥ à §¢¥à⮪ ¤ ®£® áâ஥¨ï K , ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ª®â®àë¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¨§ à §¢¥à⮪ â ª®£® áâ஥¨ï. ®¥ç®, ¬ ¯®ª ¥ ¨§¢¥áâ®, áãé¥áâ¢ã¥â «¨ å®âï ¡ë ®¤¨ â ª®© ¬®£®£à ¨ª, ¤ ¥ ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ à §¢¥à⪨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë áâ஥¨ï K . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áá㤠âì â ª, ª ª ¥á«¨ ¡ë â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥á⢮¢ «¨; ¢ á«¥¤ãî饬 ¥ ¯ à £à ä¥ ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ®¨ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ãîâ. â ª, ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ª®â®àë¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¨§ à §¢¥à⮪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¤ ®£® áâ஥¨ï K . ®£« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î (¯ 3 § 8 £« ¢ë I), ¬®£®£à ¨ª P §ë¢ ¥âáï ᪫¥¥1.
o
. IV:
§ 2.
199
ë¬ ¨§ à §¢¥à⪨ R, ¥á«¨ ® ¤®¯ã᪠¥â â ª®¥ à §¡¨¥¨¥ (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯«®áª¨¥) âà¥ã£®«ì¨ª¨, çâ® 1) ª®¬¯«¥ªá íâ¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨¬¥¥â â® ¥ áâ஥¨¥, çâ® ¨ ª®¬¯«¥ªá K , ¨ 2) ª ¤ë© âà¥ã£®«ì¨ª à §¡¨¥¨ï ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ¥£® áâ®à®ë ®ª ãâáï ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¬¨ áâ®à® ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® âà¥ã£®«ì¨ª à §¢¥à⪨ R. ¬ ¥ ¢ ¯ 3 § 8 £« ¢ë I 㪠§ ®, ç⮠᪫¥¨¢ ¨¥ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ª. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨§ à §¢¥à⪨ R ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¥¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ⥬ á ¬ë¬ â ª¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¥£® ª®¬¯«¥ªá K . ®£®£à ¨ª P á § ¤ ë¬ ®â®¡à ¥¨¥¬ ¥£® ¥ª®â®à®© à §¢¥à⪨ R ¨ ⥬ á ¬ë¬ ª®¬¯«¥ªá K ¬ë §ë¢ ¥¬ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬. ®¬¯«¥ªá âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¯®«ãç îé¨åáï ¯à¨ í⮬ ¬®£®£à ¨ª¥ P , ¬ë §ë¢ ¥¬ ¥£® K -âਠ£ã«ï樥©. £«ï¤® ¬®® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª ª ª ¬®£®£à ¨ª á à¨á®¢ ®© ¥¬ K -âਠ£ã«ï樥©. ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 à §¢¥à⪨ áâண® ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë; ã ¨å á㬬ë 㣫®¢ ¢® ¢á¥å ¢¥àè¨ å < 2π, ¯®â®¬ã ¢¥àè¨ë K -âਠ£ã«ï樨 ¥¨§¡¥® ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . o
¢ K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª ¬ë áç¨â ¥¬ à ¢ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢¨¥¨¥ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥ á ®âà ¥¨¥¬, ¯à¨¢®¤ï饥 ¢ ᮢ¯ ¤¥¨¥ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨
, â.¥. â ª, çâ® ®â®¡à ¥¨ï ª®¬¯«¥ªá K í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ⮥ ᮢ¯ ¤ îâ . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ᯠ¤ îâáï ª« ááë à ¢ëå ¤à㣠¤àã£ã. 襩 § ¤ 祩 ï¥âáï ¯à¥¢à â¨âì ¬®¥á⢮ íâ¨å ª« áᮢ ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ ¯ã⥬ ¯®¤å®¤ï饣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®ªà¥áâ®á⥩. â® ¡ã¤¥â ý¬®£®®¡à §¨¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢þ P . 2. «¥¤ãîéãî «¥¬¬ã ¬ë ¤®ª ¥¬ ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® âਠ£ã«ïæ¨ï ¬®¥â ¨¬¥âì ¢¥àè¨ë, ¥ ïî騥áï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . ¤ ª® íâ® ãᨫ¥¨¥ ¯® ¤®¡¨âáï ¬ «¨èì ¢ § 3. áâ®ï饬 ¥ ¯ à £à ä¥ ¢áî¤ã, ªà®¬¥ «¥¬¬ë 1, áç¨â ¥âáï, çâ® ¢¥àè¨ë âਠ£ã«ï樨 ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . 7)
¥¬¬ 1.
æ¨ï
T0 ,
Ǒãáâì ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥
P0
¨¬¥¥âáï âਠ£ã«ï-
ª ¤ë© âà¥ã£®«ì¨ª ª®â®à®© ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. ®-
7)
᫨
¤ ï à §¢¥à⪠R ¤®¯ã᪠¥â à §ë¥ ®â®¡à ¥¨ï ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª, â® ª ¤®¬ã ®â®¡à ¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮© K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª. ¯à¨¬¥à, «î¡®© ¤ ë© ¯à ¢¨«ìë© â¥âà í¤à ¬®® ¯à¥¢à é âì ¢ à §ë¥ K âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ â¥âà í¤àë, ¬¥ïï ᮮ⢥âá⢨¥ ¥£® ¢¥àè¨ ¢¥àè¨ ¬ à §¢¥à⪨. ¤ ª® ¢á¥ í⨠K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ â¥âà í¤àë ¡ã¤ãâ à ¢ë ¤à㣠¤àã£ã. à¨á. 37 (á. 54) ¡ë«¨ ¤ ë à §ë¥ à §¢¥à⪨ ¯à ¢¨«ì®£® â¥âà í¤à , ¨¬¥î騥 ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥. ⨬ à §¢¥à⪠¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥ ⮫쪮 à §ë¥, ® ¨ ¥ à ¢ë¥ ¤à㣠¤àã£ã K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ â¥âà í¤àë.
200
. .
0
ε > , çâ® ¥á«¨ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P 㤠«¥ë T0 ¬¥ìè¥ ç¥¬ ε ¯à¨ç¥¬ ª ¤®© ¢¥à訥 âਠ£ã«ï樨 T0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤ ¨ ⮫쪮 ®¤ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , â® P ¬®® ¯®áâநâì, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, âਠ£ã«ïæ¨î, ¡«¨§ªãî ª T0 ¨ ¨¬¥îéãî â® ¥ áâ஥¨¥ P ®ª § ⥫ìá⢮. T0 £¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥
®â ¢¥àè¨ âਠ£ã«ï樨
(
)
. 㤥¬ à áᬠâਢ âì «î¡®© ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ª ¯®«ãç¥ë© ¯ã⥬ ¬ «®£® á¬¥é¥¨ï ¢¥àè¨ âਠ£ã«ï樨 (â.¥. ª ª ¯®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ íâ¨å ᬥé¥ëå ¢¥àè¨). Ǒਠᬥ饨ïå íâ¨å ¢¥àè¨ £à ¨ ¨á室®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡ã¤ãâ «®¬ âìáï. ¨á«® à §«¨çëå ᯮᮡ®¢, ª ª¨¬¨ ¬®£ãâ ¯¥à¥« ¬ë¢ âìáï £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¤ ¢ ï ¬®£®£à ¨ª¨ P à §ëå áâ஥¨©, ®ç¥¢¨¤®, ª®¥ç®, ¨ ¬ë à áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª¨ P ª ª®£®-«¨¡® ®¤®£® áâ஥¨ï. ਠ£ã«¨à㥬 ®¤¨ ª®¢® ¢á¥ £à ¨ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ¡¥àï § ¢¥àè¨ë âਠ£ã«ï樨 ¢¥àè¨ë íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨ «®£¨ç® âਠ£ã«¨à㥬 ¬®£®£à ¨ª P (¢¥àè¨ ¬¨ âਠ£ã«ï樨 ¡ã¤ãâ §¤¥áì ¢¥àè¨ë ¨§ T ). १ã«ìâ ⥠¬ë ᬮ¥¬ áç¨â âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ®¤¨ ª®¢® ¯®áâà®¥ë ¨§ âà¥ã£®«ìëå £à ¥©, ¥ª®A B â®àë¥ ¨§ ª®â®àëå ¬®£ãâ «¥ âì ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨. §¢¥à¥¬ ⥯¥àì ª ª®¥-¨¡ã¤ì ॡQ à® AB âਠ£ã«ï樨 T ¯«®áª®áâì ¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ £à ﬨ ¬®£®£à ¨¨á. 92 ª P , ¯® ª®â®àë¬ ®® ¯à®å®¤¨â; ¯®«ãç¥ãî à §¢¥àâªã ®¡®§ 稬 Q (à¨á. 92). ¬¥é¥¨¥ ¢¥àè¨ âਠ£ã«ï樨 T ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¬®£®£à ¨ªã P ¢ë§ë¢ ¥â ¨§¬¥¥¨¥ £à ¥©, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ í⮩ à §¢¥à⪥ Q. ® â ª ª ª ¨§¬¥¥¨¥ £à ¥© ¯à®¨á室¨â ¥¯à¥à뢮 á ¥¯à¥àë¢ë¬ ᬥ饨¥¬ ¢¥àè¨, â® ©¤¥âáï â ª®¥ δAB > 0, çâ® ¯à¨ ᬥ饨ïå, ¬¥ìè¨å δAB , ¨§¬¥¥¨¥ à §¢¥à⪨ Q ¡ã¤¥â áâ®«ì ¬ «ë¬, çâ® ®â१®ª AB ®áâ ¥âáï ¢ãâਠ¥¥.
᫨ ¬ë ¢®§ì¬¥¬ ε ¬¥ìè¥ ¢á¥å â ª¨å δ ¤«ï ¢á¥å ॡ¥à âਠ£ã«ï樨 T ¨ ¤«ï ¢á¥å ¢®§¬®ëå áâ஥¨© ¬®£®£à ¨ª®¢ P , â® ¯®«ã稬 ª ª à § ¨áª®¬®¥ ε. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®áª®«ìªã ¢¥àè¨ë âਠ£ã«ï樨 T ¯à¨ ᬥ饨ïå, ¬¥ìè¨å ε, ¥ ¡ã¤ãâ ¯¥à¥å®¤¨âì ç¥à¥§ ¥¥ ॡà (ª ª ®¨ ¥ ¯¥à¥å®¤ïâ ç¥à¥§ AB ¯à¨ ᬥ饨ïå < δAB ), ¯®á⮫ìªã ॡà , ®£à ¨ç¨¢ ¢è¨¥ ¢ T âà¥ã£®«ì¨ª, ¡ã¤ãâ ¯®-¯à¥¥¬ã ®£à ¨ç¨¢ âì ¥ª®â®àë© âà¥ã£®«ì¨ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áâ஥¨¥ âਠ£ã«ï樨 á®åà ¨âáï. ஬¥ ⮣®, ¨§¬¥¥ ï âਠ£ã«ïæ¨ï ¯®«ãç ¥âáï ⮫쪮 ®¤ , ¯®â®¬ã çâ®, ᪠¥¬, ¢ ¨§¬¥¥®© à §¢¥à⪥ Q ¥áâì ⮫쪮 ®¤¨ ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 ¢¥àè¨ë A ¨ B . ( ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢®§¬®ë â ª¥ ¤à㣨¥ £¥®¤¥§¨ç¥áª¨¥ ®â१ª¨ AB , 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
. IV:
§ 2.
201
® ®¨ 㥠¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¬¨ ª ¤ ®¬ã, â ª ª ª ¡ã¤ãâ 㤠«¥ë ®â ¥£® ¢á¥£¤ ª®¥ç®¥ à ááâ®ï¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ýè¨à¨ëþ à §¢¥à⪨ Q.) ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¤®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P á ¢¥àè¨ ¬¨, ¡«¨§ª¨¬¨ ª ¢¥àè¨ ¬ âਠ£ã«ï樨 T , áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ ï âਠ£ã«ïæ¨ï T ⮣® ¥ áâ஥¨ï ¨ ¡«¨§ª ï ª T ª ª ¢ á¬ëá«¥ ¥¥ à ᯮ«®¥¨ï, â ª ¨ ¢ á¬ëá«¥ ¤«¨ ¥¥ ॡ¥à. 3. ¥¯¥àì ¤ ¤¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®ªà¥áâ®á⥩ ¢ ¬®£®®¡à §¨¨ K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. Ǒãáâì P | K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯ãáâì A, B , C | âਠ¥£® ¢¥àè¨ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â६ ¤ ë¬ ¢¥àè¨ ¬ A, B , C ª®¬¯«¥ªá K . ®§ì¬¥¬ ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â x, y , z ¨ ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ¢ â ª®¥ ¯®«®¥¨¥, çâ®¡ë ¢¥àè¨ A ®ª § « áì ¢ ç «¥, B | ¯®«®¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨ x, C | ¢ ¯«®áª®á⨠xy ¯®«ã¯«®áª®á⨠y > 0.
᫨ ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¢ëத ¥âáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® ¢®§ì¬¥¬ ¥é¥ ¥£® ¢¥àè¨ã D , ¥ «¥ éãî ¢ ¯«®áª®á⨠xy , ¨, ¥á«¨ ã®, ¯ã⥬ ®âà ¥¨ï ¢ ¯«®áª®á⨠z = 0 ¯¥à¥¢¥¤¥¬ ¥¥ ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ z > 0. ®£¤ à ᯮ«®¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¯®¤ç¨¥® â ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, â® ¨ª ª¨¥ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï ¥¢®§¬®ë. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¬ë ¯à¨¢¥¤¥¬ ¢ â ª®¥ ¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤à㣮© K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª P , à ¢ë© P , â® ® ᮢ¯ ¤¥â á P ¢¬¥á⥠á âਠ£ã«ï樥©. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ K -âਠ£ã«ï樨, â® áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P P , ¯à¨¢®¤ï饥 ¢ ᮢ¯ ¤¥¨¥ ¨å K -âਠ£ã«ï樨. â® ¡ã¤¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ P P , ¯® ⥮६¥ 1 § 3 £« ¢ë III â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. ® ¤¢¨¥¨¥ ¨ ®âà ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¯à¨ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå, «®¥ëå ¢¥àè¨ë A, B , C , D, ¥¢®§¬®®. Ǒ®í⮬㠢 १ã«ìâ ⥠ᮢ¯ ¤¥¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¨å K -âਠ£ã«ï樨 ¥¨§¡¥® ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå, «®¥ëå ¢¥àè¨ë A, B , C , D , ª ¤ë© ª« áá à ¢ëå K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¤¨¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¨ ¬ë ¬®¥¬ ¯®í⮬㠣®¢®à¨âì ® ¬®£®®¡à §¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢¬¥áâ® ¬®£®®¡à §¨ï ¨å ª« áᮢ. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¢ëத ¥âáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª. ®£¤ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå, ® ¢ ®á⠫쮬 ¯à®¨§¢®«ìëå ᬥ饨ïå ¥£® ¢¥àè¨, á®åà ïîé¨å, ®¤ ª®, ãá«®¢¨ï, «®¥ë¥ ¢¥àè¨ë A, B , C , ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì ®¢ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P . ¤ë© ¨§ ¨å ¥áâì £à ¨æ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᬥé¥ëå ¢¥àè¨. ®£« á® «¥¬¬¥ 1, ¥á«¨ á¬¥é¥¨ï ¢¥àè¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «ë, ¬®£®£à ¨ª P ¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨á⢥ãî K -âਠ£ã«ïæ¨î, ¡«¨§ªãî ª K -âਠ£ã«ï樨 ¬®£®£à ¨ª P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ª¨ P , ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨¥ ª P , ®ª §ë¢ îâáï K -âਠ£ã«¨à®¢ 묨. ᥠ®¨ ¥ à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ 0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
202
. .
ãá«®¢¨¨, «®¥®¬ ¨å à ᯮ«®¥¨¥, ª ¤®¬ã ª« ááã à ¢ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®â¢¥ç ¥â ⮫쪮 ®¤¨ ¬®£®£à ¨ª. (ã® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå ᬥ饨ïå ¢¥àè¨ ¢¥àè¨ D ®áâ ¥âáï ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ z > 0.) ®¢®ªã¯®áâì íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¬ë ¯à¨¨¬ ¥¬ § ®ªà¥áâ®áâì ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P ¢ëத ¥âáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¬®£®ã£®«ì¨ª. «¥¨â ¢ ¯«®áª®á⨠z = 0, ¨ ¬ë à §«¨ç ¥¬ ¥¬ ¤¢¥ áâ®à®ë: ¢¥àåîî, ®¡à é¥ãî ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ z > 0, ¨ ¨îî, ®¡à é¥ãî ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ z < 0. ®¤ã áâ®à®ã ®â®¡à ¥âáï ®¤ ç áâì ª®¬¯«¥ªá K , ¤àã£ãî | ¤à㣠ï. ⨬ á ¬ë¬ áâ®à®ë ¢ëத¥®£® K -âਠ£ã«¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª à §«¨ç îâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨¬ ç áâﬨ ª®¬¯«¥ªá K . Ǒਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ᬥ饨ïå ¢¥àè¨, á®åà ïîé¨å ãá«®¢¨ï, «®¥ë¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¢¥àè¨ A, B , C , ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¯¥à¥å®¤¨âì ¢ ¡«¨§ª¨¥ ª ¥¬ã ¬®£®£à ¨ª¨ P .
᫨ á¬¥é¥¨ï ¢¥àè¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «ë, â® £à ¨ ¯®¢®à 稢 îâáï ¬ «®, ¨ ¨ ®¤ ¨§ ¨å ¥ áâ ®¢¨âáï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª ¯«®áª®á⨠z = 0. Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª å P ¬®® à §«¨ç âì ¤¢¥ ç áâ¨: ¢¥àåîî, ®¡à é¥ãî ¢ áâ®à®ã z > 0, ¨ ¨îî, ®¡à é¥ãî ¢ áâ®à®ã z < 0. Ǒ® «¥¬¬¥ 1 ¬®£®£à ¨ª¨ P ¤®¯ã᪠îâ K -âਠ£ã«ï樨, ¡«¨§ª¨¥ ª K -âਠ£ã«ï樨 ¬®£®£à ¨ª P . ë ¡ã¤¥¬ áâநâì í⨠âਠ£ã«ï樨 â ª, çâ®¡ë ¢¥àåîî (¨îî) áâ®à®ã ¬®£®£à ¨ª P ®â®¡à « áì ç áâì ª®¬¯«¥ªá K , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢¥à奩 (¨¥©) ç á⨠¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®«ãç ¥¬ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¡ã¤ãâ ¥ à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï, «®¥®£® à ᯮ«®¥¨¥ ¢¥àè¨ A, B , C , ¤¢ à ¢ëå K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª ¬®£«¨ ¡ë ¥ ᮢ¯ ¤ âì ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ®¤¨ ¡ë« ¡ë ᨬ¬¥âà¨ç¥ ¤à㣮¬ã ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠z = 0. ¤ ª® ¯à¨ ®âà ¥¨¨ ¢ í⮩ ¯«®áª®á⨠¢¥àåïï ¨ ¨ïï áâ®à®ë ¬¥ïîâáï ¬¥áâ ¬¨, ¨¬ ¯® ãá«®¢¨î ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à §ë¥ ç á⨠ª®¬¯«¥ªá K . «¥¤®¢ ⥫ì®, å®âï ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë, ®¤ ª® ®â®¡à ¥¨ï ª®¬¯«¥ªá K ¨å | à §ë¥, ¨ ⥬ á ¬ë¬ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¯à¨ ¤«¥ â à §ë¬ ª« áá ¬ à ¢ëå K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ¯®«ãç¥ëå 㪠§ ë¬ ¯ã⥬, ¬ë ¯à¨¨¬ ¥¬ § ®ªà¥áâ®áâì ¢ëத¥®£® ¬®£®£à ¨ª P . ®à®âª® ¬®® ᪠§ âì, çâ® ®ªà¥áâ®áâìî K -âਠ£ã«¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ¬ë áç¨â ¥¬ ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¡«¨§ª¨å ª P ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨. 4. ë ¯®ª § «¨, çâ® ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P á ¢¥àè¨ ¬¨, ¡«¨§ª¨¬¨ ª ¢¥àè¨ ¬ P , ¤®¯ã᪠îâ ¡«¨§ª¨¥ K -âਠ£ã«ï樨 ¨ ¥ à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©.
᫨ ç¨á«® ¢¥àè¨ ª®¬¯«¥ªá K , ⥬ á ¬ë¬ ¨ è¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, 0
0
0
0
0
0
0
0
0
. IV:
§ 2.
203
à ¢® e, â® ¨¬¥¥âáï ¢á¥£® 3e ¯¥à¥¬¥ëå ª®®à¤¨ â ¢¥àè¨. ® ã ¢¥àè¨ A, B , C ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯® 3, 2, 1 ª®®à¤¨ â¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢á¥£® 3e − 6 ¯¥à¥¬¥ëå ª®®à¤¨ â, ¯à¨ç¥¬ ¢ ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ¯à¥¤¥« å ¨å ¨§¬¥¥¨ï ¯à®¨§¢®«ìë ¨ ¯à¨¢®¤ïâ ª à §ë¬ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬. â® ®§ ç ¥â, çâ® ª ¤ë© K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â ®ªà¥áâ®áâì, £®¬¥®¬®àäãî (3e − 6)-¬¥à®¬ã ªã¡ã. ¥¬ á ¬ë¬ á®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ à §¬¥à®á⨠3e − 6. (Ǒ®¬ï, ª®¥ç®, ® ⮬, çâ® à ¢ë¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¥ à §«¨ç îâáï.) ¥¬¬ 2.
᫨ e | ç¨á«® ¢¥àè¨ ª®¬¯«¥ªá K , a k | ç¨á«® ¥£® ॡ¥à, â® 3e − 6 = k . ¥¬ á ¬ë¬ ç¨á«® ¨§¬¥à¥¨© ¬®£®®¡à §¨ï P à ¢® ç¨á«ã ¨§¬¥à¥¨© ¬®£®®¡à §¨ï à §¢¥à⮪ M . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì f | ç¨á«® âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ª®¬¯«¥ªá K . ª ¤®£® âà¥ã£®«ì¨ª âਠáâ®à®ë, ¨ áâ®à®ë ¯®¯ à® ®â®¤¥á⢫¥ë; ¯®í⮬ã 3f = 2k. ® ¯® ⥮६¥ ©«¥à f − k + e = 2, ¨«¨ 3f − 3k + 3e = 6; â ª ª ª 3f = 2k, â® 3e − 6 = k. 0
5. ¥¬¬ 3.
£à ¨ª®¢ ª¥
R 8) .
Pn
Ǒãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
â ª®¢ , çâ® ¨å à §¢¥à⪨
Rn
K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå
¬®£®-
á室ïâáï ª ¥ª®â®à®© à §¢¥àâ-
®£¤ ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn ¬®® ¢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
¬®£®£à ¨ª®¢
Pni , á室ïé¨åáï ª ¥ª®â®à®¬ã K -âਠ£ã«¨à®¢ ®¬ã ¬®K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨ K K Pni
(â.¥. -âਠ£ã«ïæ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯à¥¤¥« -âਠ£ã«ï権 ¬®£®£à ¨ª®¢ ). í⮩ «¥¬¬¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à áᬠâਢ îâáï á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï, â ª ª ª ¨ ç¥ ® ¥ ¢¥à : ¬®£®£à ¨ª¨ Pn ¬®® ¡ë«® ¡ë ¢§ïâì 㤠«ïî騬¨áï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì. á¢ï§¨ á í⨬ ¬®® ¯à¥¤¯®«®¨âì, çâ® ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ Pn ᮤ¥à â ç «® ª®®à¤¨ â. ª ª ª à §¢¥à⪨ ¨å á室ïâáï, â® à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¨å ¢¥àè¨ ¬¨ à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¨ á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ ®ª §ë¢ îâáï § ª«îç¥ë¬¨ ¢ ¥ª®â®à®¬ è ॠá æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. Ǒ¥à¥ã¬¥à㥬 ¢¥àè¨ë ª®¬¯«¥ªá K ; ⮣¤ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn (¨ ¨å à §¢¥à⮪ Rn ) ®ª ãâáï ᮮ⢥âá⢥® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ 묨. 롥६ ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¢ ª®â®à®© á室ïâáï ¯¥à¢ë¥ ¢¥àè¨ë, ¯®â®¬ ¨§ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢ë¡¥à¥¬ ¤àã£ãî, ¢ ª®â®à®© á宣®£à ¨ªã
P
¢¬¥áâ¥ á ¨å
8) 室¨¬®áâì à §¢¥à⮪ ¥áâì á室¨¬®áâì ¤«¨ ¨å ॡ¥à, ª ª íâ® ïá® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®£®®¡à §¨ï à §¢¥à⮪ M . §¢¥à⪨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë § ¢¥¤®¬® á室ïâáï ª à §¢¥à⪥ ¥®âà¨æ ⥫쮩 ªà¨¢¨§ë. ®®¡é¥ £®¢®àï, ¢ à §¢¥à⪥ R ¨ ¯à¥¤¥«ì®© K -âਠ£ã«ï樨 ¬®£®£à ¨ª P ¬®£«¨ ¡ë ¡ëâì ¨ ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë. ®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë ®â í⮣®, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¥ § ¢¨á¨â. ¤ ª® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï íâ «¥¬¬ «¨èì ¤«ï ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ ¨ ¯à¥¤¥«ì ï à §¢¥à⪠¨¬¥¥â ¯®«®¨â¥«ìãî ªà¨¢¨§ã.
204
. .
¤ïâáï ¢â®àë¥ ¢¥àè¨ë, ¨ â. ¤. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¢ ª®â®à®© á室ïâáï ¢á¥ ¢¥àè¨ë. «ï ªà ⪮á⨠®¡®§ 稬 ¬®£®£à ¨ª¨ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠⠪¥ ç¥à¥§ Pn , ¨å à §¢¥à⪨ | ç¥à¥§ Rn . ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P , âïãâë© ¯à¥¤¥«ë ¢¥àè¨ (â.¥. £à ¨æ ¨å ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨), ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«®¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn. ®ª ¥¬, çâ® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â âॡ®¢ ¨ï¬ «¥¬¬ë. «ï í⮣® ¤®ª ¥¬ á ç « , çâ® ¥á«¨ ª ª®¥-«¨¡® ॡ஠¬®£®£à ¨ª Pn ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ¨ á ®¤¨¬ ॡ஬ à §¢¥à⪨ Rn , â® ç¨á«® ¥£® ¯¥à¥á¥ç¥¨© á® ¢á¥¬¨ ¥¥ à¥¡à ¬¨ ¥ ¬®¥â ¯à¥¢®á室¨âì ¥ª®â®à®£® N , ®¡é¥£® ¤«ï ¢á¥å ॡ¥à ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn . (¤¥áì à §¢¥à⪠Rn à áᬠâਢ ¥âáï ®â®¡à ¥®© Pn ¨ ï¥âáï, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥£® K -âਠ£ã«ï樥© Rn .) Ǒãáâì L | ¢¥àåïï £à ¨æ ¤«¨ ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn, h | ¨ïï £à ¨æ ¢ëá®â âà¥ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⮪ Rn ; h > 0, ¯®â®¬ã çâ® à §¢¥à⪨ Rn á室ïâáï ª ¥ª®â®à®© à §¢¥à⪥ R. Ǒãáâì, ª®¥æ, m | ¨¡®«ì襥 ç¨á«® 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥 à §¢¥à⪨ Rn (®¤® ¨ â® ¥ ¤«ï ¢á¥å Rn , â ª ª ª ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥ K ). ã⢥ठî, çâ® ¬®® ¢§ïâì 2Lm + m. N = (1) h ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥. ®£¤ ¥ª®â®à®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ Pn ¥áâì ॡ஠a, ¨¬¥î饥 á à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨ Rn ç¨á«® ¯¥à¥á¥ç¥¨© 2Lm + m. N> (2) 0
0
h
⮠ॡ஠a à §¡¨¢ ¥âáï N â®çª ¬¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï N + 1 ®â१ª®¢. Ǒ®ª ¥¬, çâ® á।¨ íâ¨å ®â१ª®¢ ©¤¥âáï ¥ ¬¥¥¥ m ®â१ª®¢ ¯®¤àï¤, ¨¬¥îé¨å ¤«¨ã < h/2. ¥©á⢨⥫ì®, ¨ ç¥ ª ¤ë¥ m ¨¤ãé¨å ¯®¤àï¤ ®â१ª®¢ ¯à¨å®¤¨«áï å®âï ¡ë ®¤¨ á ¤«¨®© > h/2. ¨á«® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¨§ m ®â१ª®¢ ¯®¤àï¤ á।¨ ¢á¥å N +1 ®â१ª®¢ à ¢® Nm (楫 ï ç áâì ®â®è¥¨ï Nm ); ¢ á¨«ã ¥à ¢¥á⢠(2) N +1 N 2 L > > + 1 > 2L . +1
+1
m
m
h
h
Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ª ¤ãî â ªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯à¨å®¤¨«áï å®âï ¡ë ®¤¨ N®â१®ª h á ¤«¨®© > h/2, â® ®¡é ï ¤«¨ íâ¨å ®â१ª®¢ 㥠¡ã¤¥â > > L. íâ® ¥¢®§¬®®, ¯®â®¬ã çâ® ¢áï ¤«¨ ॡà a ¥ m ¡®«ìè¥ L. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ m ®â१ª®¢ ¤«¨ë < h/2 áãé¥áâ¢ã¥â. Ǒãáâì ¯¥à¢ë© ¨§ m ¨¤ãé¨å ¯®¤àï¤ ®â१ª®¢ ¤«¨ë < h/2 | ®â१®ª EF | «¥¨â ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥ ABC à §¢¥à⪨ Rn (à¨á. 93, ); ª®æë ¥£® +1
2
. IV:
§ 2.
205
㤠«¥ë ®â ¢¥àè¨ë A ¬¥ìè¥, 祬 ¯®«®¢¨ë áâ®à® AB ¨ AC , ¨ ⥬ á ¬ë¬ «¥ â ¡«¨¥ ª ¢¥à訥 A, 祬 ª ¢¥àè¨ ¬ B ¨ C . ⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¬ë ¯à®¢®¤¨¬ ¨§ â®çª¨ F ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà F H ª áâ®à®¥ AB ; â ª ª ª F H 6 EF , â® EF ⮫쪮 ⮣¤ ¬¥ìè¥ ¯®«®¢¨ë ¢ëá®âë, ®¯ã饮© ¨§ ¢¥àè¨ë C , ª®£¤ F A < AC ; «®£¨ç®¥ á®®¡à ¥¨¥ ¢¥à® ¤«ï â®çª¨ E . ë©¤ï ¨§ âà¥ã£®«ì¨ª ABC , ॡ஠a ¯®¯ ¤ ¥â ¢ á®á¥¤¨© âà¥ã£®«ì¨ª ACD , £¤¥ ®® ®¯ïâì ¨¬¥¥â ®â१®ª, ¬¥ì訩 h/2. Ǒ®í⮬㠨 ¢ í⮬ âà¥ã£®«ì¨ª¥ ®® ¯à®å®¤¨â ¡«¨¥ ª ¢¥à訥 A, 祬 ª ¤à㣨¬. ª ª ª ¬ë ¨¬¥¥¬ m â ª¨å ®â१ª®¢ ¯®¤àï¤, ¢ ¢¥à訥 A á室¨âáï ¥ ¡®«¥¥ m 㣫®¢, ⮠ॡ஠a, ®¡®©¤ï ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A, ¢®§¢à é ¥âáï ª áâ®à®¥ AB ¨ ¤ ¥ ᮢ ¥¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â (à¨á. 93, ¡). 1 2
a
A
E
A
b
H F
B
E
F
B
D
C
C
a)
b) ¨á. 93
â®, ®¤ ª®, ¥¢®§¬®®. ¥©á⢨⥫ì®, ¢¥àè¨ A ¥áâì ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ Rn , § ç¨â, â ª¥ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª Pn. Ǒ®í⮬㠨§ ¥¥ ¤®«® ¨á室¨âì ¢ ª ªãî-¨¡ã¤ì ¤àã£ãî ¢¥àè¨ã ॡ஠b ¬®£®£à ¨ª Pn . ® ¢ ᨫ㠯।ë¤ã饣® í⮠ॡ஠¤®«® ¡ã¤¥â ¯¥à¥á¥çì ॡ஠a, íâ® ¥¢®§¬®®, ¯®â®¬ã çâ® à¥¡à ¢áâà¥ç îâáï ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å. â ª, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® ç¨á«® ¯¥à¥á¥ç¥¨© «î¡®£® à¥¡à ª ¤®£® ¬®£®£à ¨ª Pn á à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨ Rn ¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á« N , ®¯à¥¤¥«¥®£® ä®à¬ã«®© (1). âáî¤ ïá®, çâ® ¨ ®¡à â®, ¢á类¥ à¥¡à® à §¢¥à⪨ Rn 0
206
. .
¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì à¥¡à ¬®£®£à ¨ª Pn ¡®«ìè¥ ç¥¬ ¥ª®â®à®¥ ç¨á«® à §, ®¡é¥¥ ¤«ï ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn . ¥¯¥àì ¯¥à¥ã¬¥à㥬 à¥¡à ª ¤®© à §¢¥à⪨ Rn , ¯à¨¯¨á ¢ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ à¥¡à ¬ ®¤¨ ¨ â®â ¥ ®¬¥à. ®§ì¬¥¬ ¯¥à¢ë¥ à¥¡à ¢á¥å íâ¨å à §¢¥à⮪.
᫨ á।¨ ¨å ¥áâì ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮢ¯ ¤ îé¨å á à¥¡à ¬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn, â® ¬®® ¢ë¡à âì â ªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pn , ¢ ª®â®à®© í⨠ॡà á室ïâáï.
᫨ ¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯¥à¢ëå ॡ¥à ⮫쪮 ¯¥à¥á¥ª ¥â à¥¡à ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn , â® ¢¢¨¤ã ®£à ¨ç¥®á⨠ç¨á« â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬®® ¢ë¡à âì â ªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pn , ¢ ª®â®à®© í⨠â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á室ïâáï ª ¥ª®â®àë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯®«®¥¨ï¬. ®£¤ ®â१ª¨ ¬¥¤ã á®á¥¤¨¬¨ â®çª ¬¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨© ⮥ ¡ã¤ãâ á室¨âìáï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯ïâì ¯¥à¢ë¥ ॡà à §¢¥à⮪ ¡ã¤ãâ á室¨âìáï. Ǒਬ¥ïï, ¤ «¥¥, â® ¥ à áá㤥¨¥ ª® ¢â®àë¬ à¥¡à ¬, § ⥬ ª âà¥â쨬 ¨ â.¤., ¯®«ã稬 ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ â ªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn , ¢ ª®â®à®© ¢á¥ ॡà à §¢¥à⮪ Rn á室ïâáï, ¯à¨ç¥¬ á室ïâáï ¨ ¨å ¤«¨ë. Ǒ।¥«ë íâ¨å ॡ¥à ®¡à §ãî⠯।¥«ì®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P á¥âì ⮣® ¥ áâ஥¨ï ¨ à §¡¨¢ îâ ¥£® âà¥ã£®«ì¨ª¨, ¥ ᮤ¥à 騥 ¢ãâà¨ á¥¡ï ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª . ¥©á⢨⥫ì®, âà¥ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⮪ Rn á®áâ ¢«¥ë ¨§ ªã᪮¢ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn , ¯à¨«¥£ îé¨å ¤à㣠ª ¤àã£ã ¯® ®â१ª ¬ ॡ¥à. ⨠ªã᪨ £à ¥© á室ïâáï ª ¥ª®â®àë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ (¡ëâì ¬®¥â, ¢ëத î騬áï) £à ïå ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ªã᪨ P , á®áâ ¢«¥ë¥ ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ë ¯à¥¤¥« ¬¨ ॡ¥à à §¢¥à⮪ Rn . Ǒà¨ à §¢®à 稢 ¨¨ ¯«®áª®áâì í⨠ªã᪨ ®ª §ë¢ îâáï ¯à¥¤¥« ¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⮪ Rn , â. ¥. á ¬¨ ïîâáï âà¥ã£®«ì¨ª ¬¨. ¥¬ á ¬ë¬ P ®ª §ë¢ ¥âáï ç¥à祮© ¥ª®â®à ï à §¢¥à⪠⮣® ¥ áâ஥¨ï, çâ® ¨ à §¢¥à⪨ Rn , ¨ ¨¬¥îé ï ¤«¨ë ॡ¥à, à ¢ë¥ ¯à¥¤¥« ¬ ¤«¨ ॡ¥à íâ¨å à §¢¥à⮪. «¥¤®¢ ⥫ì®, ® ¨ ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ì®© à §¢¥à⪮© R. «¥¬¥âë (¢¥àè¨ë, ॡà , âà¥ã£®«ì¨ª¨) à §¢¥à⮪ Rn , ç¥àç¥ëå ¬®£®£à ¨ª å Pn , á室ïâáï ª ᮮ⢥âáâ¢¥ë¬ í«¥¬¥â ¬ à §¢¥à⪨ R, ç¥à祮© ¬®£®£à ¨ª¥ P . â® ®§ ç ¥â, çâ® K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ Pn á室ïâáï ª K -âਠ£ã«¨à®¢ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨ Rn . ¥¬¬ ¤®ª § . 9)
i
i
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
9) ¥©á⢨⥫ì®, ç¨á«® ॡ¥à «î¡®£® ¬®£®£à ¨ª Pn ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¥ª®â®à®£® ç¨á« N1 , § ¢¨áï饣® «¨èì ®â ç¨á« ¢¥àè¨, ª®â®à®¥ ã ¢á¥å Pn ®¤® ¨ â® ¥. Ǒ®í⮬㠮¡é¥¥ ç¨á«® ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¢á¥å ॡ¥à ¥ ¡®«ìè¥ N0 N1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¤®¥ à¥¡à® à §¢¥à⪨ ¯à¨å®¤¨âáï § ¢¥¤®¬® ¥ ¡®«¥¥ N0 N1 ¯¥à¥á¥ç¥¨©.
. IV:
§ 3.
207
§ 3. ãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©
¥®à¥¬ .
§ ¢á类© à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥ ¨ ¨¬¥î饩 á㬬ë
6 2π , ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à . ®£« á® «¥¬¬¥ 2 § 1, ª ¤ ï â ª ï à §¢¥à⪠¨§®¬¥âà¨ç à §¢¥à⪥ ý¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ëþ, ã ª®â®à®© ¢® ¢á¥å ¢¥àè¨ å á㬬ë 㣫®¢ < 2π. Ǒ®í⮬㠤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ ⮫쪮 â ª¨å à §¢¥à⮪. «¥¥, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 1 § 1, à §¢¥à⪠⮫쪮 á âà¥¬ï ¢¥àè¨ ¬¨ ॠ«¨§ã¥¬ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¬ âà¥ã£®«ì¨ª®¬. Ǒ®í⮬㠤®ª § ⥫ìá⢮ ¬®® ¢¥á⨠¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨: áç¨â ï, ç⮠⥮६ ¤®ª § ¤«ï ¢á¥å à §¢¥à⮪ á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ < e (e > 3), ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì ¥¥ ¤«ï à §¢¥à⮪ á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨, à ¢ë¬ e. ª®¥æ, ¯à¨ ¤ ®¬ e, ®ç¥¢¨¤®, ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ à §¢¥à⮪ «î¡®£® ¤ ®£® áâ஥¨ï K . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ã® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥: Ǒãáâì K | ª®¬¯«¥ªá á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ e > 3, ¤®¯ã᪠î騩 ¯à¥¢à 饨¥
㣫®¢ ¢ ¢¥àè¨ å ¨ª 10)
¢ à §¢¥à⪨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë 11) .
᫨ ¢áïª ï à §¢¥à⪠¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ < e ॠ«¨§ã¥¬ , â® ¢áïª ï à §¢¥à⪠R ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë áâ஥¨ï K â ª¥ ॠ«¨§ã¥¬
. áᬮâਬ ¬®£®®¡à §¨¥ M à §¢¥à⮪ R ¨ ¬®£®®¡à §¨¥ K K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P . ª ª ª ª ¤®¬ã K -âਠ£ã«¨à®¢ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¥ ï ç¥àç¥ ï ¥¬ à §¢¥à⪠R, ⮠⥬ á ¬ë¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ M . ¬ ã® ¤®ª § âì, çâ® ϕ ¥áâì ®â®¡à ¥¨¥ ¢á¥ M ; í⨬ ¨ ¡ã¤¥â ¤®ª § ®, çâ® ª ¤®© à §¢¥à⪥ R ®â¢¥ç ¥â ᪫¥¥ë© ¨§ ¥¥ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ® «¥¬¬¥ 2 § 2 ¬®£®®¡à §¨ï M ¨ P ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ç¨á«® ¨§¬¥à¥¨©, ¯®â®¬ã ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ (§ 2 £« ¢ II). ®£« á® í⮩ «¥¬¬¥, ¤«ï ãáâ ®¢«¥¨ï âo£o, çâ® ϕ ®â®¡à ¥â P ¢á¥ M , ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠í⮣® ®â®¡à ¥¨ï: 1) ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï M ¨¬¥îâáï ®¡à §ë â®ç¥ª ¬®£®®¡à §¨ï P , â. ¥. ॠ«¨§ã¥¬ë¥ à §¢¥à⪨ R; 2) ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®; 10) [18℄ ¢â®à ¤®ª §ë¢ « íâã â¥®à¥¬ã ¨ë¬ ¬¥â®¤®¬. Ǒ®§¥ ¯à¥¤«®¥ë ¨ ¤à㣨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠. ¤® ¨§ ¨å ¯à¨ ¤«¥¨â . .îáâ¥à¨ªã ¨ á®á⮨⠢ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¬¥âਪ¨ ( áä¥à¥ S2 ), § ¤ ®© à §¢¥à⪮©, £« ¤ª¨¬¨ ਬ ®¢ë¬¨ ¬¥âਪ ¬¨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¨ ¨å ॠ«¨§ 樥© ¯® ¥©«î | ¥¢¨. ®«¥¥ ¨â¥à¥áë ¯àאַ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, ¯à¥¤«®¥®¥ ..®«ª®¢ë¬ [84, 91℄, ¨ ª®áâàãªâ¨¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, ¯à¥¤«®¥®¥ ..®¡¥ª® ¨ ..§¬¥áâì¥¢ë¬ ¢ 2006 £. [248℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 11) § 1 ¡ë«® ¯®ª § ® ¯à¨¬¥à¥, çâ® ¥ ¢á直© ª®¬¯«¥ªá ®¡« ¤ ¥â í⨬ ᢮©á⢮¬.
208
. .
3) ϕ ¥¯à¥à뢮; 4) ¥á«¨ â®çª¨ Rn ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï M ïîâáï ®¡à § ¬¨ â®ç¥ª Pn ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï P ¨ á室ïâáï ª â®çª¥ R (R ∈ M ), â® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª P ¨§ P , ®â®¡à îé ïáï ¢ R, ¨ ¨¬¥¥âáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pn , á室ïé ïáï ª P . 묨 á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ à §¢¥à⪨ Rn á室ïâáï ª R ¨ ¨§ ¨å ᪫¥¥ë ¬®£®£à ¨ª¨ Pn , â® áãé¥áâ¢ãîâ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª P ¨ â ª ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pn ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ Pn á室ïâáï ª P ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨ Rn . â® ¯®á«¥¤¥¥ ã⢥थ¨¥ ª ª à § á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à ¨¥ «¥¬¬ë 3 § 2, ¨ ¯®í⮬㠮áâ ¥âáï ¤®ª § âì ¯¥à¢ë¥ âਠ᢮©á⢠®â®¡à ¥¨ï ϕ. ¥ ¢ § 2 ¡ë«® ®£®¢®à¥®, çâ® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ¤®¯ã᪠îé¨å à §¢¥à⪨ áâ஥¨ï K , § à ¥¥ ¥ ¨§¢¥áâ®, â. ¥. ¬®£®®¡à §¨¥ P ¬®£«® ¡ë ¡ëâì ¯ãáâë¬, ¨ ⮣¤ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¡ë«® ¡ë «¨è¥® á¬ëá« . ¤ ª® ¯¥à¢®¥ ¨§ ¯¥à¥ç¨á«¥ëå âॡ®¢ ¨© á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï M ¨¬¥îâáï ॠ«¨§ã¥¬ë¥ à §¢¥à⪨. íâ®, ®ç¥¢¨¤®, ¢ª«îç ¥â ¢ ᥡï ã⢥थ¨¥, çâ® K -âਠ£ã«¨àã¥¬ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë¯®«¥¨ï ¯¥à¢®£® âॡ®¢ ¨ï ¡ã¤¥â ᮤ¥à âì ¢ ᥡ¥ â ª¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¯ãáâ®âë ¬®£®®¡à §¨ï P . ¤ ª® ¬ë ¤®ª ¥¬ á ç « ¢â®à®¥ ¨ âà¥âì¥ á¢®©á⢠®â®¡à ¥¨ï ϕ, ¯®â®¬ã çâ® ®¨ áà §ã á«¥¤ãîâ ¨§ 㥠¯®«ãç¥ëå १ã«ìâ ⮢. â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. ¥©á⢨⥫ì®, ®¤®§ ç®áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨¨, ¯®â®¬ã çâ® ®® ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¤®¬ã K -âਠ£ã«¨à®¢ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã à §¢¥àâªã, ïîéãîáï ¥£® K -âਠ£ã«ï樥©. ¬¥á⥠á ⥬, ¥á«¨ ¤¢ ¬®£®£à ¨ª P ¨ P ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ à §¢¥àâªã R, ⮠⥬ á ¬ë¬ ¬¥¤ã ¨¬¨ ãáâ ®¢«¥® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 à §¢¥àâªã R, ç¥àç¥ãî P , ¢ à §¢¥àâªã R, ç¥àç¥ãî P . Ǒ® ⥮६¥ 1 § 3 £« ¢ë III â ª®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P P ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î à ¢¥á⢠K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ íâ® ®§ ç ¥â, çâ® K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P à ¢ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥à ¢ë¬ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ®â¢¥ç îâ à §ë¥ à §¢¥à⪨, â ª çâ® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. â®¡à ¥¨¥ ϕ ¥¯à¥à뢮. ¥©á⢨⥫ì®, í⮠᢮©á⢮ ®â®¡à ¥¨ï ϕ ᮤ¥à¨âáï ¢ á ¬®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®ªà¥áâ®á⥩ ¢ ¬®£®®¡à §¨¨ P . ®£« á® í⮬㠮¯à¥¤¥«¥¨î, ®ªà¥áâ®áâì K -âਠ£ã«¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª P á®á⮨⠨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¡«¨§ª¨¬¨ K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¡«¨§ª¨¬ K -âਠ£ã«¨àã¥¬ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ®â¢¥ç îâ ¡«¨§ª¨¥ à §¢¥à⪨, â. ¥. ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¥¯à¥à뢮. áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï M ¨¬¥îâáï ॠ«¨§ã¥¬ë¥ à §¢¥à⪨. j
j
j
j
1
1
2
1
1
0
2
2
2
. IV:
§ 4.
209
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠à áᬮâਬ, â ª ¥ ª ª ¢ § 1, ¬®£®®¡à §¨¥ M ¢á¥å à §¢¥à⮪ áâ஥¨ï K . Ǒ® «¥¬¬¥ 3 § 1 ¬®£®®¡à §¨¥ M á®áâ ¢«ï¥â ç áâì ¬®£®®¡à §¨ï M ¨ ¨¬¥¥â ¢ ¥¬ £à ¨æã (¯®â®¬ã çâ®, ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ç¨á«® ¢¥àè¨ e ª®¬¯«¥ªá K ¡®«ìè¥ âà¥å). à ¨æ ¬®£®®¡à §¨ï M á®á⮨⠨§ à §¢¥à⮪, ã ª®â®àëå á㬬ë 㣫®¢ ¢® ¢á¥å ¢¥àè¨ å 6 2π ¨ ¢ ¥ª®â®àëå ¨§ ¨å = 2π. Ǒ® «¥¬¬¥ 2 § 1 ª ¤ ï â ª ï à §¢¥à⪠¨§®¬¥âà¨ç à §¢¥à⪥ á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨, ¬¥ì訬 e, ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ ¢á¥ â ª¨¥ à §¢¥à⪨ ॠ«¨§ã¥¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, £à ¨æ ¬®£®®¡à §¨ï M ¢ M á®á⮨⠨§ ॠ«¨§ã¥¬ëå à §¢¥à⮪. Ǒãáâì M ′ | ª ª ï-¨¡ã¤ì á¢ï§ ï ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï M . ®£« á® «¥¬¬¥ 5 § 1, ¥¥ £à ¨æ¥ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï â®çª , â.¥. à §¢¥à⪠R , ¢ ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠U ª®â®à®© ¥â â®ç¥ª, â. ¥. à §¢¥à⮪ ¨§ ¤à㣨å á¢ï§ëå ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï M . ª ª ª à §¢¥à⪠R «¥¨â £à ¨æ¥ ¬®£®®¡à §¨ï M , â® ® ॠ«¨§ã¥¬ ¯®á।á⢮¬ ¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P . ¤ ª® ¥ ¢á¥ ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨ R ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª , ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¥ª®â®àëå ¨§ ¨å á㬬ë 㣫®¢ à ¢ë 2π. ⨬ ¢¥àè¨ ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¬®£®£à ¨ª¥ P â®çª¨ A , . . . , Al , «¥ 騥 ¢ãâਠ¥£® ॡ¥à ¨«¨ £à ¥©. 뤢¨ã¢ í⨠â®çª¨ àãã ¤®áâ â®ç® ¬ «®¥ à ááâ®ï¨¥, ¯®áâந¬ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠íâ¨å ᬥé¥ëå â®ç¥ª ¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P . à ¨æ í⮩ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P á ¢¥àè¨ ¬¨, ¡«¨§ª¨¬¨ ª ¢¥àè¨ ¬ à §¢¥à⪨ R , ç¥à祮© P , ¯à¨ç¥¬ â®çª ¬ A , . . . , Al ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì 㥠¨áâ¨ë¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P . ®£« á® «¥¬¬¥ 1 § 2, ¬®£®£à ¨ª P ¤®¯ã᪠¥â K -âਠ£ã«ïæ¨î R, ¡«¨§ªãî ª à §¢¥à⪥ R . ® ¢á¥ ¢¥àè¨ë í⮩ K -âਠ£ã«ï樨 «¥ â ¢ ¨áâ¨ëå ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª P , ¯®â®¬ã á㬬ë 㣫®¢ ¢® ¢á¥å ¢¥àè¨ å à §¢¥à⪨ R áâண® ¬¥ìè¥ 2π. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §¢¥à⪠R ¯à¨ ¤«¥¨â ¬®£®®¡à §¨î M . â ª ª ª ® ¡«¨§ª ª à §¢¥à⪥ R ¨ ¢¡«¨§¨ à §¢¥à⪨ R ¥â ¨ëå à §¢¥à⮪ ¨§ M , ªà®¬¥ ¯à¨ ¤«¥ é¨å à áᬠâਢ ¥¬®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ M ′ , â® R ¯à¨ ¤«¥¨â í⮩ á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥. ® à §¢¥à⪠R ॠ«¨§®¢ ¬®£®£à ¨ª®¬ P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ «î¡®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï M ¨¬¥îâáï ॠ«¨§ã¥¬ë¥ à §¢¥à⪨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ®, çâ® ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨ïå ¢ë¯®«¥ë, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¤®ª § è ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©. 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
§ 4. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©
1. ª ¡ë«® ¤®ª § ® ¢ § 6 ¨ 7 £« ¢ë I, à §¢¥à⪠¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¥®¡å®¤¨¬® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¢ã¬ ãá«®¢¨ï¬: 1) ýãá«®¢¨¥ ¯®«®¨â¥«ì®á⨠ªà¨¢¨§ëþ, âॡãî饥, ç⮡ë á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢¥à-
210
. .
è¨ à §¢¥à⪨ ¥ ¯à¥¢®á室¨«¨ 2π, ¨ 2) à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨. ®£« ᮠ⥮६¥ 10 § 7 £« ¢ë I, íâ® ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì® á«¥¤ãî騬 ¤¢ã¬: 2 ) à §¢¥à⪠ᮤ¥à¨â å®âï ¡ë ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, 2¡) à §¢¥à⪠¨¬¥¥â ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ª®¥æ, â.¥. ¥á«¨ ¯¥à¥å®¤¨âì ®â ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ª ¤à㣮¬ã, ᪫¥¨¢ ¥¬®¬ã á ¯¥à¢ë¬ ¯® ¡¥áª®¥ç®© áâ®à®¥, ®â ¥£® ª á«¥¤ãî饬㠨 â. ¤., â® ¢¥à¥¬áï ª ¨á室®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ¨áç¥à¯ ¢ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨. ( ç áâ®áâ¨, à §¢¥à⪠¬®¥â ᮤ¥à âì ⮫쪮 ®¤¨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¨ ⮣¤ â ª ï 横«¨ç¥áª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì á®á⮨⠨§ ¥£® ®¤®£®: ® ᪫¥¨¢ ¥âáï á ¬ á ᮡ®©.) á«®¢¨ï 1, 2 ¨ 2¡ «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥¬ë ¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨. ¥¯¥àì ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ®¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨ ᪫¥¨¢ «áï ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¥®à¥¬ .
᫨ à §¢¥à⪠㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ 1, 2 ¨ 2¡, â® ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. 2. Ǒà¨áâ㯨¬ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ⥮६ë. Ǒãáâì R | ª ª ï-«¨¡® ¤ ï à §¢¥à⪠, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨ï¬ 1, 2 ¨ 2¡. áᬮâਬ ª ª®©-«¨¡® ¡¥áª®¥çë© ¬®α1 £®ã£®«ì¨ª Qi 襩 à §¢¥à⪨.
᫨ ¥£® Qi′ Qi″ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¥ ¯ à ««¥«ìë, â® ¨å ¬®® ¯à®¤®«¨âì ¤® ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¤àã£ á ¤à㣮¬, ¨ ⮣¤ 㣮«, ᮤ¥à 騩 ¡¥áª®¥çãî ç áâì Qi, ª®â®àë© ®¨ ®¡à §ãîâ, ¬ë §ë¢ ¥¬ 㣫®¬ αi ¬¥¤ã ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi.
᫨ ¡¥áª®¥ç¨á. 94 ë¥ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯ à ««¥«ìë, â® ¬ë áç¨â ¥¬ αi = 0.
᫨ αi > π, âo ¯à®¢¥¤¥¬ ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Qi ¨§ ¤«¥ 饩 ¢¥àè¨ë ¯®«ã¯àï¬ãî, ¤¥«ïéãî ¥£® ¤¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′i , Q′′i á 㣫 ¬¨ α′i , α′′i , à ¢ë¬¨ αi /2 (à¨á. 94). §¡¨¢ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢á¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Qi , ã ª®â®àëå αi > π, ¬ë ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã, ¢ ª®â®à®© ã ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ 㣫ë αi < π. Ǒ®í⮬㠬®® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ ï à §¢¥à⪠| ¨¬¥® â ª ï. 3. Ǒãáâì ã ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¯ à ««¥«ìë.
᫨ ®¨ ®â®¤¥á⢫ïîâáï ¥ ¤àã£ á ¤à㣮¬, á® áâ®à® ¬¨ ¤àã£¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, â®, ¯®¤ª«¥¨¢ Qi ª ®¤®¬ã ¨§ íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qj , ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi + Qj . £®« ¬¥¤ã ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi + Qj | â®â ¥ á ¬ë©, çâ® ã Qj . (Ǒਠ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¨ Qi ª Qj ª®¥çë¥ ç á⨠íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®£ãâ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯¥à¥ªàë¢ âìáï; ® í⮣®
. IV:
§ 4.
211
¬®® ¨§¡¥ âì, ®â१ ¢ í⨠ç á⨠¨ ¯à¨ï¢ ¨å § ®¢ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨.) Ǒந§¢®¤ï â ªãî ®¯¥à æ¨î ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï á® ¢á¥¬¨ ¡¥áª®¥ç묨 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨, ¯à¨¤¥¬ ª à §¢¥à⪥ R, ¢ ª®â®à®© ¥á«¨ ¨ ¥áâì ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 áâ®à® ¬¨, â® í⨠áâ®à®ë ®â®¤¥á⢫¥ë ¬¥¤ã ᮡ®©. ® â ª ª ª ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ®¡à §ãîâ ®¤ã 横«¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¥á«¨ ¨¤â¨ ç¥à¥§ ¨å ®â®¤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë, â® ¬®® áç¨â âì, çâ® ¢ à §¢¥à⪥ R «¨¡® ¢®¢á¥ ¥â ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 áâ®à® ¬¨, «¨¡® ¥áâì ®¤¨ â ª®© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¤àã£¨å ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¥â. áᬮâਬ ®¡ á«ãç ï ®â¤¥«ì®. 4. Ǒ।¢ à¨â¥«ì® ¤®ª ¥¬ ®¤ã ¯à®áâãî «¥¬¬ã, ª®â®à ï ¬ ¯® ¤®¡¨âáï â ª¥ ¢ § 1 £« ¢ë V. ¥¬¬ .
R, £®¬¥®¬®àä ï áä¥à¥, á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩ L, ¯à¨ç¥¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ à §¢¥à⪨ R ᥡï, ¬¥ïî饥 ¬¥áâ ¬¨ R1 ¨ R2 ¨ ®áâ ¢«ïî饥 ¥¨§¬¥®© ¨å £à ¨æã L. ®£¤ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P , ᪫¥¥ë© ¨§ à §¢¥à⪨ R, ¨¬¥¥â ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ, ᮤ¥à éãî «®¬ ãî L. P P1 P2 R1 R2 P R1
¨
R2 ,
Ǒãáâì à §¢¥àâª
¨¬¥îé¨å ®¡éãî £à ¨æã
¥©á⢨⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩ ¨ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §¢¥à⪠¬ ¨ . ®£« á® ãá«®¢¨î ⥮६ë, ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ᥡï, á®áâ®ï饥 ¢ ¯¥à¥¬¥¥ ¬¥áâ ¬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®ç¥ª ¥£® ç á⥩ P , P , ¯à¨ç¥¬ â®çª¨ ¨å ®¡é¥© £à ¨æë L ®áâ îâáï ¬¥áâ¥. á类¥ ¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î. ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¤¢¨¥¨¥ ¨áª«îç ¥âáï, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ â®çª¨ § ¬ªã⮩ «®¬ ®© L, à §¤¥«ïî饩 P ¨ P , ®áâ îâáï ¬¥áâ¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯¥à¥¬¥ ¬¥áâ ¬¨ ç á⥩ P ¨ P ®áãé¥á⢫ï¥âáï ®âà ¥¨¥¬ ¢ ¯«®áª®áâ¨, â ª ª ª ¯à¨ í⮬ ¥¯®¤¢¨ë¬¨ ®áâ îâáï ⮫쪮 â®çª¨ í⮩ ¯«®áª®áâ¨, â® «®¬ ï L «¥¨â ¢ ¥©, ¨ «¥¬¬ ¤®ª § . 5. Ǒãáâì ¢ à §¢¥à⪥ R ¨¬¥¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q á ¯ à ««¥«ì묨 áâ®à® ¬¨ a′ , a′′ ¨ ¯ãáâì A′ , A′′ | ¢¥àè¨ë, ¨§ ª®â®àëå ®¨ ¨á室ïâ. â«®¨¬ íâ¨å áâ®à® å à ¢ë¥ ®â१ª¨ A′ B ′, A′′ B ′′ ′ ′′ á⮫쪮 ¡®«ì让 ¤«¨ë, çâ®¡ë ®â१®ª B B ¯à®å®¤¨« ¢ãâà¨ à §¢¥àã⮣® ¯«®áª®á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª Q. â१ ¢ ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡¥áª®¥çãî ç áâì, ®âᥪ ¥¬ãî ®â१ª®¬ B ′ B ′′, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R ¨§ ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. í⮩ à §¢¥à⪥ ⮫쪮 áâ®à® B ′ B ′′ ¥ ®â®¤¥á⢫ï¥âáï ¨ á ª ª®© ¤à㣮© áâ®à®®©. ®§ì¬¥¬ ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà R â ª®©′ ¥′′ à §¢¥à⪨ ¨ ®â®¤¥á⢨¬ ã à §¢¥à⮪ R ¨ R ᢮¡®¤ë¥ áâ®à®ë B B , ᮢ¬¥é ï ®¤®¢à¥¬¥® ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥àè¨ë. ®£¤ ¯®«ãç¨âáï à §¢¥à⪠R + R , ᨬ¬¥âà¨ç ï ®â®á¨â¥«ì® «¨¨¨ B ′ B ′′ (à¨á. 95). 㬬 1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
212
. .
㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ¢¥à訥 B (= B ′ = B ′′), ¡ã¤¥â à ¢ 2π. ஬¥ ⮣®, à §¢¥à⪠R + R , ®ç¥¢¨¤®, £®¬¥®¬®àä áä¥à¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, R + R 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬, ª ª¨¬ ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì à §¢¥à⪠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¨ ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì â ª®© ¬®£®£à ¨ª. â®â ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩ P ¨ P ᮮ⢥âá⢥® ¤¢ã¬ ¯®«®¢¨ ¬ à §¢¥à⪨ R ¨ R . Ǒ® ¤®ª § ®© «¥¬¬¥ ¬®£®£à ¨ª P + P ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠T , ᮤ¥à 饩 § ¬ªãâãî «®¬ ãî L = B ′ B ′′ (â®çª¨ B ′ ¨ B ′′ ᪫¥¨¢ îâáï ¢ ®¤ã B ). § ⮣®, çâ® ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¢á类© â®çª¨ «®¬ ®© a′ B′ B′ L à ¢¥ 2π , á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ b ¯«®áª®á⨠T ¥â ¢¥àè¨ ¬®P + P ¨ çâ® T £®£à ¨ª c R2 R1 c ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âìáï «¨èì ®â¤¥«ì묨 à¥¡à ¬¨, ª®â®àë¥ b ¯® ᨬ¬¥âਨ ¬®£®£à ¨a″ B″ B″ ª P + P ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª T . â® ¯®§¢®«ï¥â ®â¡à®¨á. 95 á¨âì ç áâì P , P £à ¨, ¯®¤å®¤ï騥 ª T , ¯à®¤®«¨âì ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨. Ǒà¨á®¥¤¨ï¥¬ ï ¯à¨ í⮬ ª P ¡¥áª®¥ç ï ¯à¨§¬ , ª ª íâ® «¥£ª® ¯à®á«¥¤¨âì, ¡ã¤¥â ª ª à § ᪫¥¥ ¨§ ⮩ ¡¥áª®¥ç®© ¯®«®áë, ª®â®àãî ¬ë ®â१ «¨ à ìè¥ ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. Ǒ®«ãç¥ë© ¨§ P ¯à®¤®«¥¨¥¬ £à ¥© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ॠ«¨§ã¥â à §¢¥àâªã R. 6. Ǒãáâì ⥯¥àì ¢ à §¢¥à⪥ R ¥â ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 áâ®à® ¬¨. Ǒãáâì A , . . . , An | ¢¥àè¨ë, ¨§ ª®â®àëå ¨á室ïâ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë. â«®¨¬ ¨å à ¢ë¥ ®â१ª¨ Ai Bi áâ®«ì ¡®«ì让 ¤«¨ë l, çâ®¡ë ¢ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å Qi ®â१ª¨ BiBi ¯à®å®¤¨«¨ ª ¤ë© 楫¨ª®¬ ¢ãâਠ᢮¥£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi . â१ ¢ ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¨å ¡¥áª®¥çë¥ ç áâ¨, ®âᥪ ¥¬ë¥ ®â१ª ¬¨ Bi Bi , ¯®«ã稬 à §¢¥àâªãR ¨§ ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. í⮩ à §¢¥à⪥ ⮫쪮 áâ®à®ë Bi Bi ¥ ®â®¤¥á⢫ïîâáï ¨ á ª ª¨¬¨ ¤à㣨¬¨ (à¨á. 96). Ǒãáâì Q′i | ®â¤¥«¥ ï ®â१ª®¬ Bi Bi ª®¥ç ï ç áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi.
᫨ 㢥«¨ç¨¢ âì ¤«¨ã l áâ®à® Ai Bi ¨ Ai Bi ¨ ®¤®¢à¥¬¥® ¯®¤¢¥à£ âì Q′i ¯®¤®¡®¬ã á â¨î â ª, çâ®¡ë ¤«¨ë áâ®à® Ai Bi ¨ Ai Bi ®áâ ¢ «¨áì ¯®áâ®ï묨, â® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′i ¡ã¤¥â á室¨âìáï ª à ¢®¡¥¤à¥®¬ã âà¥ã£®«ì¨ªã. âáî¤ «¥£ª® § ª«îç¨âì, çâ® ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ¤«¨ë l ã£«ë ¯à¨ ¢¥àè¨ å Bi ¨ Bi ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Q′i á室ïâáï ª 㣫 ¬ â ª®£® à ¢®¡¥¤à¥®£® âà¥ã£®«ì¨ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áâ ®¢ïâáï ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬¥ìè¥ ¥ª®â®à®£® α < π/2. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢ë¡à âì l ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬, â® ¯à¨ ¢á¥å ¢¥àè¨ å Bi ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q′i ã£«ë ¡ã¤ãâ ¬¥ìè¥ 1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
. IV:
§ 4.
213
2 ¨ áã¬¬ë ¨å ¯à¨ ª ¤®© ®¡é¥© ¢¥à訥 Bi ¡ã¤ãâ ¬¥ìè¥ π. 롥६ á⮫쪮 ¡®«ì讥 l ¨ à áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî à §¢¥àâªã R . ®§ì¬¥¬ ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà R â ª®© ¥ à §¢¥à⪨ ¨ ®â®¤¥á⢨¬ ã B2 à §¢¥à⮪ R ¨ R ¨å ᢮¡®¤ë¥ ॡà Bi Bi . Ǒ®«ã稬 à §¢¥àâªã B1 B2 Q′1 R + R , ᨬ¬¥âà¨çãî ®â®á¨â¥«ìA1 ® «¨¨¨ B B . . . Bn , á®áâ ¢«¥®© Q′2 A2 ¨§ íâ¨å ॡ¥à. ª ª ª ¢ à §¢¥àâB1 A4 ª¥ R ã£«ë ¯à¨ ¢¥àè¨ å Bi ¡ë«¨ ¬¥ìè¥ π, â® ¢ à §¢¥à⪥ R + R B3 Q′4 A3 B3 ®¨ ¡ã¤ãâ ¬¥ìè¥ 2π. ª®¥æ, à §Q′3 ¢¥à⪠R + R , ®ç¥¢¨¤®, £®¬¥®¬®àä áä¥à¥ . B4 B4 «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. â®â ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩ P ¨ P ᮮ⢥âá⢥® ¨á. 96 ¤¢ã¬ ç áâï¬ R ¨ R ¥£® à §¢¥à⪨. ª ¥ ª ª ¨ ¢ëè¥, ¨§ ¢§ ¨¬®© ᨬ¬¥âਨ íâ¨å ç á⥩ à §¢¥à⪨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª P + P ¨¬¥¥â ¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì ᨬ¬¥âਨ T , à §¤¥«ïîéãî ¥£® ç á⨠P ¨ P . 㤥¬ ¯®¢â®àïâì íâ® ¯®áâ஥¨¥ ¯à¨ ¢á¥ ¡®«¥¥ 㢥«¨ç¨¢ îé¨åáï ¤«¨ å l (ª®â®àë¥ ¬ë ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ®âª« ¤ë¢ «¨ ¡¥áª®¥çëå ॡà å à §¢¥à⪨). ¯®«ãç ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª å P + P ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì «¨èì ç á⨠P . Ǒ®á«¥¤¨¥ ¯à¨ l → ∞, ª ª íâ® £«ï¤® ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤®, ¤ ¤ãâ ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¥ª®â®àë© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª, ª®â®àë© ¨ ¡ã¤¥â ॠ«¨§®¢ë¢ âì à §¢¥àâªã R. ¤® «¨èì ¯®ª § âì, çâ® ¨§ ¯®«ãç ¥¬ëå ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ l ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®® ¢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢, á室ïé¨åáï ª ¥ª®â®à®¬ã ¯à¥¤¥«ì®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P . (¥âਪ ¥£® § ¢¥¤®¬® ¡ã¤¥â ᮢ¯ ¤ âì á ¬¥âਪ®© à §¢¥à⪨ R, ¯®áª®«ìªã ¬¥âਪ¨ ¬®£®£à ¨ª å P ¤®«ë á室¨âìáï ¨ ª ¬¥âਪ¥ P ¨ ª ¬¥âਪ¥ ¢ R.) áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ ¢®§¬®ãî áâàãªâãàã ¬®£®£à ¨ª P + P . ãâਠç á⨠P ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ஢® á⮫쪮 ¢¥àè¨, ᪮«ìª® ¡ë«® áãé¥á⢥ëå ¢¥àè¨ Ai ã ¨á室®© à §¢¥à⪨ R; ®¡®§ 稬 ¨å ç¨á«® ç¥à¥§ e. à ¨æ ç á⨠P ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¥ 騩 ¢ π/
1
2
1
2
+1
1
2
1
2
1
1
1
2
2 12)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
12)
᫨ f , k, e | ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R, n | ç¨á«® ¥¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, â® ¢ à §¢¥à⪥ R1 + R2 ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ ¡ã¤ãâ f = 2f , k = 2k + n, e = 2e + n ¨ ¯®â®¬ã f − k + e = 2(f − k + e) = 2.
214
. .
¯«®áª®á⨠T . ¥àè¨ë í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢ãå á®à⮢. ®¯¥à¢ëå, â®çª¨ Di, ¥ ïî騥áï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P + P . ¥à¥§ ª ¤ãî â ªãî â®çªã ¯à®å®¤¨â ॡ஠¬®£®£à ¨ª P + P , ¯® ᨬ¬¥âਨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஥ ª T (à¨á. 97). ª®¥ ॡ஠¤®«® § ª 稢 âìáï ¢ ®¤®© ¨§ e ¢¥àè¨ Ai , ¯®â®¬ã â ª¨å ॡ¥à ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¥ ¡®«¥¥ 祬 e. ®-¢â®àëå, â®çª¨ Cj , ïî騥áï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P + P . ¤ ï ¨§ ¨å ¬®¥â ¯®«ãç âìáï «¨èì ¨§ ¥ª®â®à®© â®çª¨ Bi à §¢¥à⪨, ¯®â®¬ã íâ¨å ¢¥àè¨ ¥ ¡®«ìè¥ ç¥¬ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¢ à §¢¥à⪥ R; ¯ãáâì ¨å ¡ã¤¥â m èâãª. § ª ¤®© â ª®© ¢¥àè¨ë ¢ãâàì P ¬®£ãâ ¨¤â¨ ¥ª®â®àë¥ à¥¡à , ® ®¡é¥¥ ç¨á«® ¨å ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â em. Ǒãáâì ⥯¥àì P n | ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï ¢á¥n¡®«ìè¨å ln → ∞. Ǒ¥à¥¤¢¨¥¬ ¢á¥ P ¢ â ª®¥ ¯®«®¥¨¥, çâ®¡ë ®¤ ª ª ï-«¨¡® ¢¥àè¨ , ¯à¨¬¥à An , ã ¢á¥å ¨å ᮢ¯ « , ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¯«®áª®áâï¬ T n ¡ëP1 «¨ ®¤¨ ª®¢® ¯à ¢«¥ë. Ǒਠí⮬ T n C P ¢á¥ ¢ãâ२¥ ¤«ï ç á⨠¢¥àè¨2 D C1 ë ¬®£®£à ¨ª P n + P n à ᯮ«® âáï ¢ ®£à ¨ç¥®© ç á⨠¯à®áâà á⢠, ¨ ⥯¥àì 㥠®ç¥¢¨¤® áãé¥á⢮P2 ¢ ¨¥ ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P n (¬ë á®åà 塞 ¤«ï ¯à®¨á. 97 áâ®âë ¨å 㬥à æ¨î), ¤«ïn ª®â®àëå, ¢®¯¥à¢ëå, ¢á¥ ¢¥àè¨ë Ai á室ïâáï ª ¥ª®â®àë¬ â®çª ¬ Ai ; ¢®-¢â®àëå, ॡà Ani Din, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ª T n , ¥á«¨ ⮫쪮 â ª®¢ë¥ áãé¥áâ¢ãîâ, ¨á室ïâ ¨§ á室ïé¨åáï ¢¥àè¨ Ani , ¯®â®¬ã á室ïâáï ª ¯ à ««¥«ìë¬ ¤à㣠¤àã£ã «ãç ¬, ¨á室ï騬 ¨§ â®ç¥ª Ai ; n n ¢-âà¥âì¨å, ॡà Ai Cj áãé¥áâ¢ãîâ ¤«ï ®¤¨å ¨ â¥å ¥ ¯ à (i, j ) ¨ ¨å ¯à ¢«¥¨ï á室ïâáï ª ¥ª®â®àë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ «ãç ¬, ¨á室ï騬 ¨§ â®ç¥ª Ai . ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P n, ª ª íâ® ç¨â ⥫ì á ¬ ¬®¥â ¯à®á«¥¤¨âì, á室ïâáï ª ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠¯à¥¤¥«ìëå ¢¥àè¨ Ai ¨ ¨á室ïé¨å ¨§ ¨å ¯à¥¤¥«ìëå «ã祩. â ®¡®«®çª ¨ ¤ áâ ¬®£®£à ¨ª P , ॠ«¨§ãî騩 à §¢¥àâªã R. à¨á. 97 ¨§®¡à ¥ ¤«ï ¯à¨¬¥à , ¬®£®£à ¨ª, ¯®«ãç¥ë© ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ à¨á. 97. 1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
§ 5. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª
á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¨ ¤ ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬
1. § 3 £« ¢ë III ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 2π, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ®¤®§ ç® (á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï). Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨
§ 5.
. IV:
215
à §¢¥à⪠¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã 2π, â® ª ⥮६¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï, ¤®ª § ®© ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¥ç¥£® ¤®¡ ¢¨âì. ¬¥â¨¬, çâ® à §¢¥àâª á ªà¨¢¨§®© 2π å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¢ ¥© ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë; í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¢®¬ã á«ãç î, à áᬮâ८¬ã ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥. ® ¥á«¨ ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ ¬¥ìè¥ 2π, â® ¨§ ¥¥, ®ª §ë¢ ¥âáï, ¬®® ᪫¥¨âì ¥ ®¤¨, ¡¥áª®¥ç® ¬®£® ¥à ¢ëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á à §ë¬¨ ¯à¥¤¥«ì묨 㣫 ¬¨. Ǒ।¥ 祬 áä®à¬ã«¨à®¢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६ã, ¯®¬¨¬ ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï. ã箬 ¢ à §¢¥à⪥ R ¨«¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¬ë §ë¢ ¥¬ ¡¥áª®¥çãî ¢ ®¤ã áâ®à®ã «¨¨î, ïîéãîáï ªà âç ©è¥© ¢á类¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥. Ǒਠ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ª ª ª®©-¨¡ã¤ì â®çª¥ ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¬®£®£à ë© ã£®« | ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ 2π, â® V ¢ëத ¥âáï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ¨ íâ®â á«ãç © ¬ë §¤¥áì ¨áª«îç ¥¬; ¢®®¡é¥ ¥ V ¬®¥â ¡ëâì ¨ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¬ ¯«®áª¨¬ 㣫®¬. Ǒਠá ⨨ ¬®£®£à ¨ª P ¢ 㣮« V «î¡®© «ãç L P ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¤ã ¨§ ®¡à §ãîé¨å 㣫 V | ¯à¥¤¥«ìãî ®¡à §ãîéãî «ãç L.
᫨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¡ë« § ¤ ®à¨¥â æ¨ï, â® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ® ¯¥à¥®á¨âáï 㣮« V . (¬. £« ¢ III, § 4, ¯ 5, «¥¬¬ 1.) ¨á. 97 o
¥®à¥¬ .
Ǒãáâì à §¢¥àâª
R,
㤮¢«¥â¢®àï-
îé ï ãá«®¢¨ï¬, ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï à §¢¥à⪨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã ¥© § ¤ «ãç
L.
2
< π.
Ǒãáâì íâ à §¢¥à⪠®à¨¥â¨à®¢ ¨ ¢
( ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ¬¥áâ , ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®-
«ã¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ¯® ®¤®¬ã ¨§ ¥¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ 13) .) Ǒãáâì, ª®¥æ,
V
ªà¨¢¨§¥ à §¢¥à⪨
| ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ªà¨¢¨§®©, à ¢®©
R,
¨ á ¤ ë¬ ®¡å®¤®¬ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë, a
L
| ®¤
¨§ ¥£® ®¡à §ãîé¨å. ãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ᪫¥¥ë© ¨§ à §¢¥à⪨
R,
¨¬¥î騩
V
P,
᢮¨¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¨ â ª®©,
çâ® «¨¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥¬ «ãçã
L,
¨¬¥¥â
L
¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¥«ì-
®© ®¡à §ãî饩, ®à¨¥â æ¨ï ¬®£®£à ¨ª P , ®¯à¥¤¥«¥ ï ®à¨¥â 樥© à §¢¥à⪨
R,
ᮢ¯ ¤ ¥â á ®à¨¥â 樥© 㣫
V.
(ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ R ¡®«ìè¥ ã«ï; ¨ ç¥ ã⢥थ¨¥ ¥¤¨á⢥®á⨠¥ ¢¥à®.) ⢥थ¨¥ ® ¥¤¨á⢥®á⨠ᮤ¥à¨âáï ¢ ⥮६¥ 3 § 4 £« ¢ë III. ª®© ¬®£®£à ¨ª
13) ¬.
P
£«. III, § 3, «¥¬¬ 2.
| ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á .
216
. .
¥©á⢨⥫ì®, íâ ⥮६ £®¢®à¨â, çâ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ®¤®£® ¬®£®£à ¨ª P ¤à㣮©, ¨¤ãæ¨àãî饥 ª®£àãí⮥ ®â®¡à ¥¨¥ ¨å ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢, ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¤¢¨¥¨¥¬ ¨«¨ ¤¢¨¥¨¥¬ ¨ ®âà ¥¨¥¬. ¤ ®¬ á«ãç ¥, ¯®áª®«ìªã § ¤ ë à §¢¥à⪠, ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V , ®à¨¥â æ¨ï ¨ ¯à¥¤¥«ì ï ®¡à §ãîé ï ¥ª®â®à®£® «ãç L, | ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¤à㣮© ¬®£®£à ¨ª P á ⥬¨ ¥ ¤ 묨 ¥®¡å®¤¨¬® ï¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨ ¨¤ãæ¨àã¥â ⮤¥á⢥®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ 㣫 V . Ǒ®á«¥¤¥¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® ¯à¨ ®â®¡à ¥¨¨ P P 㣮« V , ¯à¥¤¥«ì ï ®¡à §ãîé ï ¨ ®à¨¥â æ¨ï ¤®«ë á®åà ïâìáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®â®¡à ¥¨¥ P P ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î; ®âà ¥¨¥, ®¤ ª®, ¨áª«îç ¥âáï ⥬ âॡ®¢ ¨¥¬, çâ® ®à¨¥â æ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ¤®« ᮢ¯ ¤ âì á ¤ ®© ®à¨¥â 樥© 㣫 V . à 饨¥ ¥ ¨áª«î祮 ¯®â®¬ã, çâ® ®® ¢ë§ë¢ ¥â ¢à 饨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . áâ ¥âáï ⮫쪮 ¯¥à¥®á, ¯®áª®«ìªã ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« á¢ï§ á ¬®£®£à ¨ª®¬ á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ⥮६¥ ¤ ¥âáï ¯®« ï á¨á⥬ ¤ ëå, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬®£®£à ¨ª P . ®® ¥é¥ § ¬¥â¨âì, çâ® § ¤ ¨¥ «ãç L ¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩 L, ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î ¤à㣮£® «ãç L ¨ ¤à㣮© ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩 L , ¥á«¨ ⮫쪮 ã£«ë ¬¥¤ã L ¨ L , L ¨ L , ®âáç¨â ë¥ ¢ ¯à ¢«¥¨ïå, § ¤ ëå ®à¨¥â 樥© à §¢¥à⪨ R ¨ 㣫 V , à ¢ë. 2. ª ª ª ¯à¨ ¤ ®© à §¢¥à⪥ R ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¨ ®¡à §ãîéãî L ¬®® ¢ë¡¨à âì ¤®áâ â®ç® ¯à®¨§¢®«ì®, â®, ¬¥ïï ¨å, ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì ®¢ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ⮩ ¥ à §¢¥à⪮©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ ®© ⥮६¥ ᮤ¥à¨âáï 㥠ã⢥थ¨¥ ® ¢®§¬®®á⨠¨§£¨¡ ¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© < 2π. â®â ¢®¯à®á ¬ë à áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ ¢ § 2 £« ¢ë V, ᥩç á ¤ ¤¨¬ ¨§ïéë© ¯à¨¬¥à ¨§£¨¡ ¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì ¤ ë ¯à ¢¨«ìë© n-㣮«ì¨ª Q ¨ ¯à ¢¨«ìë© n-£à ë© ã£®« V , ¢¥àè¨ã ª®â®à®£® ¯®¬¥á⨬ ¢ æ¥âॠ¬®£®ã£®«ì¨ª â ª, çâ®¡ë ®áì ᨬ¬¥âਨ 㣫 V ¡ë« ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯«®áª®á⨠Q (à¨á. 98). Ǒ®¢¥àå®áâì ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¯®«ã祮© â ª¨¬ ®¡à §®¬ 䨣ãàë Q + V ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥çë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å ¬®£®ã£®«ì¨ª Q (£« ¢ I, § 4, ⥮६ë 5 ¨ 5 ). ¨£ãà Q + V ¨¬¥¥â n-ªà âãî ®áì ᨬ¬¥âਨ, ¯®â®¬ã ¥¥ ¨¬¥¥â ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ª ª ¡ë ¨ ¯®¢®à 稢 âì 㣮« V ¢®ªà㣠¥£® ®á¨. 㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ ªà¨¢¨§¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V (£« ¢ I, § 5, ⥮६ 3). â ª ª ª ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª ¯¥à¥å®¤ïâ ¤à㣠¢ ¤à㣠¯à¨ ¢à 饨¨ ¢®ªà㣠®á¨ ᨬ¬¥âਨ, â® ªà¨¢¨§ë ¨å á®áâ ¢«ïî⠢ᥣ¤ ®¤ã n-î ªà¨¢¨§ë 㣫 V ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¯®¢®à®â 㣫 V . 1
1
1
1
1
1
1
1
. IV:
§ 5.
217
᫨ ¢à é âì 㣮« V ¢®ªà㣠®á¨, â® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¨§¬¥ïâìáï. ¤ ª® ¥£® £à ì Q ¡ã¤¥â ¥¨§¬¥®© ¨ ¯® ¤®ª § ®¬ã ¥¨§¬¥ë¬¨ ¡ã¤ã⠪ਢ¨§ë ¥£® ¢¥àè¨. Ǒ®í⮬㠯®«ë¥ ã£«ë ¥£® ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠¨ ª®¥çë¥ áâ®à®ë ¥¥ ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® å®âï ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¨ ¬¥ï¥â ᢮î ä®à¬ã, ® ¥¥ à §¢¥à⪠®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©. ⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç® à §à¥§ âì ¥¥ ¯® «ãçã ¨ à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì; ⮣¤ ¯®«ãç¨âáï ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¤ 묨 㣫 ¬¨ ¨ ¤ 묨 ª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨. Q
Q P
V
¨á. 98
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢à 饨î 㣫 V ¢®ªà㣠®á¨ ®â¢¥ç ¥â ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¥£® £à ì Q ®áâ ¥âáï ¢®¢á¥ ¥¯®¤¢¨®©. â¥à¥á® ¯à®á«¥¤¨âì íâ® ¨§£¨¡ ¨¥ £«ï¤®. ¤¥áì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¨ ®à¨¥â æ¨ï ¥ ¬¥ïîâáï, ® ¬¥ï¥âáï ᮮ⢥âá⢨¥ «ã祩 㣫¥ V ¨ ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠¬®£®£à ¨ª P . ®â ¥ १ã«ìâ â ¯®«ãç¨âáï, ¥á«¨ ¢¬¥áâ® Q ¢§ïâì ¢ë¯ãª«ãî è ¯ªã á ᨬ¬¥âà¨çë¬ ®á®¢ ¨¥¬, 㣮« V ¢§ïâì ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯à ¢¨«ìë¬, ® ¢á¥ ¥ â ª, çâ®¡ë ® ¨¬¥« â ªãî ¥ ®áì ᨬ¬¥âਨ, ª ª ®á®¢ ¨¥ è ¯ª¨. 3. ä®à¬ã«¨à®¢ ï ¢ëè¥ ®¡é ï ⥮६ ¯à¨ ¤«¥¨â . Ǒ. «®¢ï¨è¨ª®¢ã [156℄; ¤ ®¥ ¨¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨á¯®«ì§ã¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ¯®¤®¡® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã â¥®à¥¬ë ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä . ¤ ª® ¥£® ¬®® ®áãé¥á⢨âì ¯àאַ ®á®¢ ¨¨ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. ë ¤ ¤¨¬ §¤¥áì íâ® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, å®âï ¤®ª § ⥫ìá⢮ . Ǒ.«®¢ï¨è¨ª®¢ ¥áª®«ìª® ¯à®é¥, ¯®áª®«ìªã ®® 㥠¨á¯®«ì§ã¥â ⥮६㠮 § ¬ªã⮬ ¬®£®£à ¨ª¥. § ª«î票¥ ¬ë ¯®ª ¥¬, ª ª ⥬ ¥ ¯ã⥬ ¬®® ¤ âì ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ¨¬¥î饩 ªà¨¢¨§ã, à ¢ãî 2π. 4. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì à §¢¥à⪨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬, ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï à §¢¥à⮪ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© ω > 0 ¨ < 2π. â¨ à §¢¥à⪨ £®¬¥®¬®àäë ¯«®áª®áâ¨. â®¡à §¨¬
218
. .
â ªãî à §¢¥àâªã R (⮯®«®£¨ç¥áªãî) ¯«®áª®áâì E ¨«¨, ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢®®¡à §¨¬ à §¢¥àâªã R ᪫¥¥®©, ¨ ¯ãáâì A , . . . , Ae | â®çª¨ ¯«®áª®á⨠E , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ⥬ ¢¥àè¨ ¬ à §¢¥à⪨, £¤¥ á㬬ë 㣫®¢ < 2π .
᫨ â ª ï â®çª | ⮫쪮 ®¤ , â®, à §à¥§ ï ¯«®áª®áâì E , â.¥. ᪫¥¥ãî à §¢¥àâªã R, ¯® «ãçã, ¨á室ï饬㠨§ í⮩ â®çª¨, ¯®«ã稬 ¯«®áª¨© 㣮«, ¨§ ª®â®à®£® ¬®® ᪫¥¨âì «î¡®© ¬®£®£à ë© ã£®« ªà¨¢¨§ë ω. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ e = 1 ⥮६ ¢¥à , ¨ ¤ «ìè¥ ¥¥ ¬®® ¤®ª §ë¢ âì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨. 5. Ǒãáâì e > 1. Ǒ஢¥¤¥¬ ¨§ â®çª¨ A «ãç a, â ª¥ ªà âç ©è¨¥ A Ai ¢® ¢á¥ ¯à®ç¨¥ â®çª¨ A , . . . , Ae . §à¥§ ¢ ¯«®áª®áâì E ¯® í⨬ «¨¨ï¬, ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çë© ( ¡áâà ªâë©) ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. ¥£® ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¢¥àè¨ë A , ¨§ ª®â®àëå ¨á室ïâ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë a. ®¥¤¨¨¬ í⨠â®çª¨ «¨¨¥©, ªà âç ©è¥© ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Q (à¨á. 99). ®£« á® 1
1
1
2
1
A1
A1
A1
A′ A
a
a
a1
a
a1′
a′
Q
¨á. 99
¨á. 100
⥮६¥ 1 § 8 £« ¢ë I, ® ¡ã¤¥â £¥®¤¥§¨ç¥áª®© «®¬ ®© á ¢¥àè¨ ¬¨ ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨«¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢®¢á¥ ¡¥§ ¢¥àè¨, ¨ ®âá¥ç¥â ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ª®¥çãî ç áâì, á®áâ®ïéãî, ¬®¥â ¡ëâì, ¥ ¨§ ®¤®£®, ¨§ ¥áª®«ìª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ¤ãî ¨§ íâ¨å ç á⥩ ¬ë à §¡¨¢ ¥¬ ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ (çâ® ¢®§¬®® ¢ ᨫã ⥮६ë 5 § 8 £« ¢ë I). १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥âáï à §¢¥à⪠R , ¨§®¬¥âà¨ç ï R ¨ â ª ï, çâ® 1) ¢ ¥© ¥â ý«¨è¨åþ ¢¥àè¨, £¤¥ á㬬 㣫®¢ à ¢ 2π, 2) ® á®á⮨⠨§ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï à §¢¥à⪠¬¨, ¥ ¨¬¥î騬¨ ý«¨è¨åþ ¢¥àè¨. ⢫¥ª ïáì ®â ¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨©, ¬ë ¯à¥¢à é ¥¬ à §¢¥àâªã ¢ ýª®¬¯«¥ªáþ, £®¬¥®¬®àäë© ¯«®áª®áâ¨; íâ®â ª®¬¯«¥ªá á®á⮨⠨§ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ®¤®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ®âªàë⮣® á ®¤®© áâ®à®ë. ¡à ⮥ ¯à¥¢à 饨¥ â ª®£® ª®¬¯«¥ªá ¢ à §¢¥àâªã 1
. IV:
§ 5.
219
᢮¤¨âáï ª § ¤ ¨î 1) ¤«¨ áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ 2) 㣫®¢ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª (⮣¤ § ¤ ë ã£«ë ¨ áâ®à®ë í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ ®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥). ¤ ª® ¥á«¨ ¬¥ïâì ã£«ë ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯à¨ ¥£® ¢¥àè¨ å, ¨§ ª®â®àëå ¨á室ïâ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë, ®áâ ¢«ïï ¥¨§¬¥®© ⮫쪮 á㬬ã íâ¨å 㣫®¢, â® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì ¨§®¬¥âà¨çë¥ à §¢¥à⪨ . Ǒ®í⮬㠯।áâ ¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ 㤮¡ë¬ ᪫¥¨âì ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë; ⮣¤ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯à¥¢à â¨âáï ¢ 䨣ãàã, £®¬¥®¬®àäãî ¡¥áª®¥ç®¬ã ª®ãáã á ¨áª«î祮© ®ªà¥áâ®áâìî ¢¥àè¨ë; íâã 䨣ãàã ¬ë §®¢¥¬ ý¢®à®ª®©þ. ®à®ª ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ¥¥ áâ®à® ¨ 㣫®¢, ¯®â®¬ã çâ®, à §à¥§ ï ¢®à®ªã ¯® ª ª®¬ã¨¡ã¤ì «ãçã, ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª®¬¯«¥ªá K , £®¬¥®¬®àäë© ¯«®áª®á⨠¨ á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ®¤®© ⮯®«®£¨ç¥áª®© ¢®à®ª¨. Ǒॢà 饨¥ í⮣® ª®¬¯«¥ªá ¢ à §¢¥àâªã ᢮¤¨âáï ª § ¤ ¨î 1) k ¤«¨ ¥£® ॡ¥à, â.¥. áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª®¢ r , . . . , r, ¨ 2) n 㣫®¢ ¢®à®ª¨ α , . . . , αn , çâ® á®áâ ¢«ï¥â ¢á¥£® k + n ¯¥à¥¬¥ëå.
᫨ à §¢¥à⪠R | ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë, â.¥. á㬬ë 㣫®¢ ¢® ¢á¥å ¢¥àè¨ å < 2π, â® ¯à¨ ¬ «ëå ¨§¬¥¥¨ïå ¯¥à¥¬¥ëå ri ¨ αj íâ® ãá«®¢¨¥ ¥ àãè ¥âáï. ¬¥á⥠á ⥬ ¬ «ë¥ ¨§¬¥¥¨ï íâ¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì묨. «ï ¤«¨ ॡ¥à íâ® ®ç¥¢¨¤®. «ï ¨§¬¥¥¨ï 㣫 αj ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥àè¨ë ¢®à®ª¨ ª ª®©-«¨¡® «ãç ¨ à §à¥¥¬ ¯® ¥¬ã ¢®à®ªã. ®¡¥¨¬ áâ®à® ¬ à §à¥§ ¬®® ¯®¤ª«¥¨âì áâ®à®ë «î¡®£® ¯«®áª®£® 㣫 , ®âªã¤ ïá®, çâ® ã£«ë ¤®¯ã᪠îâ «î¡ë¥ ¯à¨à 饨ï.
᫨ à §à¥§ ãî ¢®à®ªã à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, â® ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª (¥ ¨áª«îç ï, ª®¥ç®, çâ® ® ¬®¥â ¯¥à¥ªàë¢ âìáï á ¬ á ᮡ®©). ¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¥£® ¥ ¯ à ««¥«ìë, â ª ª ª ¨ ç¥ ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ à ¢ï« áì ¡ë 2π. Ǒ®í⮬㠬®® ®â í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ®â१ âì ¡¥áª®¥çë© ã£«®¢®© ᥪâ®à ¨ ⥬ á ¬ë¬ ã¬¥ìè¨âì 㣮« αj ¢®à®ª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¥á⢮ ¢á¥å à §¢¥à⮪ R ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¨ ¤ ®£® áâ஥¨ï K ¥áâ¥á⢥® ®ª §ë¢ ¥âáï (k + n)-¬¥àë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ M . 6. ¤ ª® ª § ¤ ¨î à §¢¥à⪨ ¬ë ¤®«ë ¯à¨á®¥¤¨¨âì ¥é¥ § ¤ ¨¥ ¬®£®£à ®£® 㣫 V , ª®â®àë© ¤®«¥ á«ã¨âì ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®£®£à ¨ª . ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë á ¤ ë¬ ç¨á«®¬ h ॡ¥à, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¤¥©á⢨⥫ìë¥ à¥¡à , â. ¥. ॡà , ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå < π. Ǒਠ§ ¤ ®© ¢¥à訥 â ª®© 㣮« ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¥£® ॡ¥à, â. ¥. 14)
1
1
14) â® ®ç¥¢¨¤® ¨§ à¨á. 100.
§¬¥¥¨¥′ 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A ¨ A′ á á®åà ¥¨¥¬ ¨å ′ á㬬ë ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, ç⮠㣮« ¬¥¤ã a ¨ a1 ®â१ ¥âáï ¨ ¯à¨ª« ¤ë¢ ¥âáï ª áâ®à®¥ a; ¯®«ãç ¥¬ ¢¬¥áâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨ a, a′ ¬®£®ã£®«ì¨ª á® áâ®à® ¬¨ a1 , a′1 .
220
. .
2h ¯¥à¥¬¥ë¬¨, ¥á«¨ ¨áª«îç¨âì ¢à 饨¥ ¢á¥£® 㣫 ª ª 楫®£® ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë, â® ®áâ ¥âáï ¢á¥£® 2h − 3 ¯¥à¥¬¥ëå. ª®¥æ, á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬ë ¤®«ë á¢ï§ë¢ âì ¬®£®£à ë© ã£®«, ¨¬¥î騩 âã ¥ ªà¨¢¨§ã ω . ⨬ ¨áª«îç ¥âáï ¥é¥ ®¤® ¯¥à¥¬¥®¥ ¨ ®áâ ¥âáï 2h − 4 ¯¥à¥¬¥ëå. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ (2h − 4)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ V ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ëå 㣫®¢ á ¤ ®© ªà¨¢¨§®© ω. «¥¥, ¢ à §¢¥à⪥ R ¬ë ¤®«ë § ¤ âì ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ¥¥ ¢®à®ª¨, 㣫¥ V | ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë. ª®¬ã-¨¡ã¤ì «ãçã L ¢ à §¢¥à⪥ R ¬ë ¤®«ë ᮯ®áâ ¢¨âì ®¡à §ãîéãî L ¬®£®£à ®£® 㣫 V , ª®â®à ï ¤®« ¡ëâì ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩 ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® «ãç ¬®£®£à ¨ª¥ P , ᪫¥¥®¬ ¨§ à §¢¥à⪨ R. ®, ¢®-¯¥à¢ëå, § ¤ ¨ï «ã祩 L, ¯ à ««¥«ìëå ¬¥¤ã ᮡ®©, ®ç¥¢¨¤®, à ¢®á¨«ìë, ¢®-¢â®àëå, § ¤ ¨¥ «ãç L ¨ ®¡à §ãî饩 L íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î «î¡ëå ¤àã£¨å «ãç L ¨ ®¡à §ãî饩 L , ¥á«¨ ⮫쪮 ã£«ë ¬¥¤ã L ¨ L , L ¨ L à ¢ë, áç¨â ï, ª®¥ç®, ã£«ë ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®âáç¥â , § ¤ ®£® ®à¨¥â 樥© à §¢¥à⪨ R ¨ 㣫 V . Ǒ®í⮬㠬®® £®¢®à¨âì ¯à®áâ® ®¡ ãáâ ®¢«¥¨¨ ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¯à ¢«¥¨© «ã祩 ¢ à §¢¥à⪥ R ¨ 㣫¥ V ; ª®£¤ «ãç L § ¤ , ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢®§¬®®áâì ¢ë¡à âì «î¡ãî ®¡à §ãîéãî L, ¨å ¨¬¥¥âáï ®¤®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᥬ¥©á⢮. Ǒ®í⮬㠯ந§¢®« ¢ § ¤ ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¯à ¢«¥¨© ¢ à §¢¥à⪥ R ¨ 㣫¥ V ¯à¨¢®¤¨â ª ¥é¥ ®¤®¬ã ¯¥à¥¬¥®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¤®«ë à áᬠâਢ âì ¬®£®®¡à §¨¥ ®à¨¥â¨à®¢ ëå à §¢¥à⮪ R ¨ 㣫®¢ V á ¤ 묨 ᮮ⢥âá⢨ﬨ ¯à ¢«¥¨©. â® ¬®£®®¡à §¨¥ ®¡®§ 稬 M V ; ç¨á«® ¥£® ¨§¬¥à¥¨© à ¢®, ª ª ¬ë ¯®ª § «¨, (1) (k + n) + (2h − 4) + 1 = k + n + 2h − 3. 1
1
1
1
Ǒãáâì R ¨ V | ¤ ë¥ à §¢¥à⪠¨ 㣮« á ⮩ ¥ ªà¨¢¨§®©. Ǒãáâì L ¨ L | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 «ãç¨ ¢ à §¢¥à⪥ R ¨ 㣫¥ V . ë ¨¬¥¥¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ýâ®çªãþ (R , V ) 襣® ¬®£®®¡à §¨ï M V . ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, ¬®® áç¨â âì, çâ® «ãç L ¨á室¨â ¨§ ¥ª®â®à®© ¢¥àè¨ë A ¢®à®ª¨ à §¢¥à⪨ R . §à¥§ ¢ ¢®à®ªã ¯® í⮬㠫ãçã, ¡ã¤¥¬ ¢ª«¥¨¢ âì ¢ ¯®«ãç¥ë© à §à¥§ ᥪâ®àë S á ¥¯à¥à뢮 㢥«¨ç¨¢ î騬¨áï 㣫 ¬¨ ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª à §¢¥à⪠R ¥ ¯à¥¢à â¨âáï ¢ à §¢¥àâªã R , ã ª®â®à®© á㬬 㣫®¢ ¢ ¢¥à訥 A à ¢ 2π. ਢ¨§ à §¢¥à⪨ 㬥ìè¨âáï ¯à¨ í⮬ ¢¥«¨ç¨ã 2π − θ, £¤¥ θ | á㬬 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¢ ¨á室®© à §¢¥à⪥ R . ® ® ¥ áâ ¥â à ¢®© ã«î, â ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î ç¨á«® ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R ¡®«ìè¥ ¥¤¨¨æë. ¬¥á⥠á â ª¨¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ à §¢¥à⪨ R ¬®® ¥¯à¥à뢮 ¨§¬¥ïâì 㣮« V â ª, çâ®¡ë ¥£® ªà¨¢¨§ ª ¤ë© à § à ¢ï« áì ªà¨¢¨§¥ à §¢¥à⪨. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç®, ¯à¨¬¥à, ¥¯à¥à뢮 㢥«¨ç¨¢ âì ¥£® ¯«®áª¨¥ 㣫ë 7.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
. IV:
§ 5.
221
¢ ®¤® ¨ â® ¥ ç¨á«® à §. ª ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª 㣫ã V á ⮩ ¥ ªà¨¢¨§®©, çâ® ¨ à §¢¥à⪠R . ®®â¢¥âá⢨¥ «ã祩 L ¨ L ¬®® á®åà ¨âì: § «ãç L ¬®® ¡à âì ª ¤ë© à § ®¤ã ¨§ áâ®à® à §à¥§ , ᤥ« ®£® ¢ ¨á室®© à §¢¥à⪥ R , § «ãç L | «î¡ãî ¨§ ®¡à §ãîé¨å ¨§¬¥ï¥¬®¬ 㣫¥ V , «¨èì ¡ë ® ¬¥ï« áì ¥¯à¥à뢮. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â «î¡®© â®çª¨ (R , V ) ¬®£®®¡à §¨ï M V ¬®® ¤®©â¨ ¤® â®çª¨ (R , V ), ý«¥ 饩 ¥£® £à ¨æ¥þ, ¯à¨ç¥¬ ¢ à §¢¥à⪥ R 㣮« ⮫쪮 ¯à¨ ¤ ®© ¢¥à訥 ¢®à®ª¨ ¡ã¤¥â à ¢¥ 2π ¨ ¯®í⮬㠢¡«¨§¨ â®çª¨ (R , V ) ¥ ¡ã¤¥â â®ç¥ª ¨§ ¤à㣨å á¢ï§ëå ª®¬¯®¥â ¬®£®®¡à §¨ï M V ¯®¬¨¬® á¢ï§®© ª®¬¯®¥âë, ᮤ¥à 饩 ¤ ãî â®çªã (R , V ). «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¨§®¡à §¨¬ ýâ®çª¨þ (R, V ), ¡«¨§ª¨¥ ª (R , V ), â®çª ¬¨ ¢ (k + n + 2h − 3)-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, £¤¥ ®¤ ¨§ ª®®à¤¨ â ¥áâì 㣮« α ¢®à®ª¨ ¯à¨ ¢¥à訥 A, ¯à¨ç¥¬ à áᬠâਢ îâáï ¢á¥ à §¢¥à⪨ R, ¥ ⮫쪮 à §¢¥à⪨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë. à ¨æ ¬®£®®¡à §¨ï M V ¨§®¡à §¨âáï ãà ¢¥¨¥¬ α + Pi ϕi = 2π, £¤¥ ϕi | ®áâ «ìë¥ ã£«ë, á室ï騥áï ¢ ¢¥à訥 A. â ¯®¢¥àå®áâì à §¡¨¢ ¥â ®ªà¥áâ®áâì P P â®çª¨ (R , V ) ¤¢¥ ç áâ¨: ¢ ®¤®© α > 2π − ϕi, ¢ ¤à㣮© α < 2π − ϕi.
᫨ â®çª¨ (R′, V ′), (R′′, V ′′ ) «¥ â ¯® ®¤ã áâ®à®ã, â® ¨å ¬®® ᮥ¤¨¨âì ¢ ¤ ®© ®ªà¥áâ®á⨠¥¯à¥àë¢ë¬ ¯ã⥬, ¯à®å®¤ï騬 楫¨ª®¬ á ⮩ ¥ áâ®à®ë ®â ¯®¢¥àå®á⨠α + Pi ϕi = 2π.
᫨ ®ªà¥áâ®áâì ¬ « , â® á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ¢á¥å ¢¥àè¨ å, ªà®¬¥ ¢¥àè¨ë A, ®áâ îâáï ¬¥ìè¥ 2π, ¨ ãá«®¢¨ï, ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¯¥à¥¬¥ë¥, § ¤ î騥 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«, â ª¥ ¥ àãè îâáï. Ǒ®í⮬ã 㪠§ ë© ¯ãâì «¥¨â ¢ ¬®£®®¡à §¨¨ M V , íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ â®çª¨ í⮣® ¬®£®®¡à §¨ï, ¡«¨§ª¨¥ ª (R , V ), ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥. §¢¥àâªã R ¬®® § ¬¥¨âì à §¢¥à⪮©, ¥ ᮤ¥à 饩 ¡®«¥¥ «¨è¥© ¢¥àè¨ë A. Ǒ® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ ⥮६ ¢¥à ¤«ï à §¢¥à⮪ á ¬¥ì訬 ç¨á«®¬ ¢¥àè¨. Ǒ®í⮬㠨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P á ¤ ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V . ¥à訥 A ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª¥ P â®çª , «¥ é ï ¢ãâਠ£à ¨ ¨«¨ ॡà . 뤢¨¥¬ ¥¥ àãã ¤®áâ â®ç® ¬ «®¥ à ááâ®ï¨¥ ¨ ¯®áâந¬ ¬®£®£à ¨ª P á í⮩ ¢ë¤¢¨ã⮩ ¢¥à訮©, â ª¥ á® ¢á¥¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ á ⥬ ¥ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V . ¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª P , ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨© ª P , ¤®¯ã᪠¥â à §¢¥àâªã R, ¡«¨§ªãî ª R (íâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¥, ª ª «¥¬¬ 1 § 2). ® à §¢¥à⪨, ¡«¨§ª¨¥ ª R , ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ýâ®çª ¬þ (R, V ) ¨§ ¤ ®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥âë ¬®£®®¡à §¨ï M V . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ í⮣® ¬®£®®¡à §¨ï ¨¬¥îâáï ýॠ«¨§ã¥¬ë¥ â®çª¨þ (R, V ), â. ¥. à §¢¥à⪨ R, ¨§ ª®â®àëå ¬®® ᪫¥¨âì ¬®£®£à ¨ª¨ á 㣫®¬ V . 8. ¥¯¥àì à áᬮâਬ ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ª®â®àë¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¨§ à §¢¥à⮪ áâ஥¨ï K ¨ ¨¬¥îé¨å 1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
222
. .
¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë á h à¥¡à ¬¨. ª ¤®¬ â ª®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¬ë ç¥à稢 ¥¬ ¥£® à §¢¥àâªã ¨ ¯®«ãç ¥¬ ýK -âਠ£ã«¨à®¢ ë©þ ¬®£®£à ¨ª P . ¬¥á⥠á K -âਠ£ã«ï樥© ¬®£®£à ¨ª P ¯¥à¥®á¨âáï ®à¨¥â æ¨ï ¥£® à §¢¥à⪨, â ª çâ® à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ K -âਠ£ã«¨à®¢ ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥. ¢ K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª áç¨â îâáï à ¢ë¬¨, ¥á«¨ ¨å ¬®® ¯à¨¢¥á⨠¢ ᮢ¯ ¤¥¨¥ ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨ ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¨«¨ ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. ¢ë¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬ë ¯à®áâ® ¥ ¡ã¤¥¬ à §«¨ç âì. ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ¥£® ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , ¯à¨ç¥¬ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« § ¤ ¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á .
᫨ ã ¬®£®£à ¨ª e ¢¥àè¨, â® íâ® ¤ ¥â 3e ¨å ¯¥à¥¬¥ëå ª®®à¤¨ â; ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¨¬¥¥â h ॡ¥à, â® íâ® ¤ ¥â 2h ¯¥à¥¬¥ëå, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¨å ¯à ¢«¥¨ï; ® â ª ª ª ¬®£®£à ¨ª¨ à áᬠâਢ îâáï á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï (¨ ®âà ¥¨ï), â® 6 ¯¥à¥¬¥ëå á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ¨ ®áâ ¥âáï ¢á¥£® 3e + 2h − 6 ¯¥à¥¬¥ëå, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬®£®£à ¨ª P . ®¥á⢮ ¢á¥å K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P á h-£à 묨 ¯à¥¤¥«ì묨 㣫 ¬¨ ¬ë ¯à¥¢à é ¥¬ ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ P , ¢¢®¤ï á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®ªà¥áâ®á⥩: ®ªà¥áâ®áâì ¬®£®£à ¨ª P á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ¡«¨§ª¨å ª P , ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨. «¨§®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¡«¨§®áâìî ¨å ¢¥àè¨ ¨ ¯à ¢«¥¨© ॡ¥à ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢. á直© ¬®£®£à ¨ª P , ¡«¨§ª¨© ª ¤ ®¬ã P , ¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨á⢥ãî K -âਠ£ã«ïæ¨î, ¡«¨§ªãî ª K -âਠ£ã«ï樨 ¬®£®£à ¨ª P . â® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥬¨ ¥ ®ç¥¢¨¤ë¬¨ à áá㤥¨ï¬¨, ª ª¨¬¨ «®£¨ç®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª § ® ¢ § 2 ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ («¥¬¬ 1 § 2). Ǒਠí⮬ ¨§ ¡«¨§®á⨠¤«¨ ॡ¥à K âਠ£ã«ï権 ¡«¨§ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ®ç¥¢¨¤® 㥠᫥¤ã¥â ¡«¨§®áâì 㣫®¢ ¨å ¢®à®®ª. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ «® ¬¥ïï ¢á¥ 3e +2h − 6 ¯¥à¥¬¥ëå, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì K -âਠ£ã«¨à®¢ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¡«¨§ª¨¥ ª ¤ ®¬ã ¢¬¥áâ¥ á ¨å K -âਠ£ã«ïæ¨ï¬¨. ᥠí⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¡ã¤ãâ à §«¨çë â ª¥ ¨ ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª P ¢ëத ¥âáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¬®£®ã£®«ì¨ª. ª¨¥-¨¡ã¤ì ¤¢ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª ¬®£«¨ ¡ë ¡ëâì à ¢ë, ¥á«¨ ¡ë ¡ë«¨ ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® ¥£® ¯«®áª®áâ¨. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¨å ®à¨¥â 樨, ®ç¥¢¨¤®, ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á ãç¥â®¬ ®à¨¥â 樨 ®¨ ¥ à ¢ë . «¥¤®¢ ⥫ì®, P ¥áâì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®£®®¡à §¨¥ á ç¨á«®¬ ¨§¬¥à¥¨© 3e + 2h − 6. 0
0
0
0
0
15)
15) ਥâ æ¨ï ¯¥à¥®á¨âáï á ¬®£®£à ¨ª P0 ¡«¨§ª¨¥ ®ç¥¢¨¤ë¬ ¯ã⥬, ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ P0 ¢ëத ¥âáï, â® ã® ¯®¬¨âì ® «¨ç¨¨ ã ¥£® ¤¢ãå áâ®à®, ª®â®-
àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ áâ®à®ë ¡«¨§ª¨å ¥¬ã ¬®£®£à ¨ª®¢. ¯à®ç¥¬, â ª ¥, ª ª ¢ á«ãç ¥ § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¬®® ®¡®©â¨áì ¡¥§ ®à¨¥â 樨.
. IV:
§ 5.
223
9. ¤®¬ã ¬®£®£à ¨ªã ¨§ P ®¤®§ ç® á®®â¢¥âáâ¢ãîâ 1) ¥£® à §¢¥à⪠, ïîé ïáï ¥£® K -âਠ£ã«ï樥©, 2) ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V , 3) ᮮ⢥âá⢨¥ ¯à ¢«¥¨© ¥£® «ã祩 ¨ ®¡à §ãîé¨å 㣫 V , ãáâ ¢«¨¢ ¥¬®¥ ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª ¢ 㣮« V . ⨬ á ¬ë¬ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ®¤®§ 箥 ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ M V , ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®ª § âì èã ⥮६ã, ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ §¤¥áì ¢ë¯®«¥ë. Ǒ®ª ¥¬ ¯à¥¤¥ ¢á¥£®, çâ® à §¬¥à®á⨠¬®£®®¡à §¨© P ¨ M V à ¢ë. Ǒãáâì f , k, e | ç¨á« âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ ª®¬¯«¥ªá K . Ǒ® ä®à¬ã«¥ ©«¥à f − k + e = 1. (2) ®¬¯«¥ªá K ¨¬¥¥â ¢®à®ªã á n áâ®à® ¬¨, á ª®â®à묨 ®â®¤¥á⢫¥ë n áâ®à® ¥£® âà¥ã£®«ì¨ª®¢; ®áâ «ìë¥ ¨å áâ®à®ë ®â®¤¥á⢫¥ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¯®¯ à®. Ǒ®í⮬ã 3f = 2k − n. (3) § ä®à¬ã« (2) ¨ (3) á«¥¤ã¥â, çâ® k + n = 3e − 3. Ǒ®í⮬㠤«ï ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© ¬®£®®¡à §¨ï M V (ä®à¬ã« (1)) ¯®«ãç ¥¬ k + n + 2h − 3 = 3e + 2h − 6, â. ¥. ®® à ¢® ç¨á«ã ¨§¬¥à¥¨© ¬®£®®¡à §¨ï P . ë 㥠¯®ª § «¨, çâ® ¢® ¢á类© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï M V ᮤ¥à âáï ®¡à §ë â®ç¥ª ¨§ P . Ǒà®ç¨¥ ᢮©á⢠®â®¡à ¥¨ï ϕ ãáâ ¢«¨¢ îâáï ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⮬ã, ª ª í⮠ᤥ« ® ¢ § 3 ¤«ï á«ãç ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¥¯à¥à뢮áâì ¥£® ᮤ¥à¨âáï ¢ á ¬®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®ªà¥áâ®á⥩ ¢ ¬®£®®¡à §¨¨ P . § ¨¬ ï ®¤®§ ç®áâì á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 3 § 4 £« ¢ë III, ᮣ« á® ª®â®à®© ¤¢ ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª á à ¢ë¬¨ ¯à¥¤¥«ì묨 㣫 ¬¨ ¨ ®¤¨ ª®¢ë¬ ᮮ⢥âá⢨¥¬ ¯à ¢«¥¨© «ã祩 ¨ ®¡à §ãîé¨å ¨å ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ à ¢ë. ª®¥æ, ¯®á«¥¤¥¥ 㮥 ¬ ᢮©á⢮ ®â®¡à ¥¨ï ϕ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ «¥¬¬ë, ᮢ¥à襮 «®£¨ç®© «¥¬¬¥ 1 § 2. §¬¥¥¨ï ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¥¥ ¨ ¤®¯®«¥¨ï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥, á¢ï§ ë¥ á ⥬, çâ® ªà®¬¥ ¤«¨ ॡ¥à à §¢¥àâªã § ¤ îâ ¥é¥ ã£«ë ¢®à®ª¨, áâ®«ì ®ç¥¢¨¤ë, çâ® ¥â ¤®¡®á⨠¨å ®£®¢ ਢ âì. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥ë, ¨ ⥬ á ¬ë¬ è ⥮६ ¤®ª § . 10. ®â ¥ ¬¥â®¤ ¯à¨«®¨¬ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã áãé¥á⢮¢ ¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ¨¬¥î饩 ªà¨¢¨§ã 2π.
224
. .
¤¥áì ¬ë ¤®«ë à áᬠâਢ âì ⮫쪮 à §¢¥à⪨ á ªà¨¢¨§®© 2π; ã ¨å ¢®à®ª ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ýâà㡪ãþ, ¯®â®¬ã çâ® ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ â ª®© à §¢¥à⪨ ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ áâ®à®ë. Ǒ२¬ à áá㤥¨¥¬ ¬®® ¨áª«îç¨âì ¨§ à §¢¥à⪨ «¨è¨¥ ¢¥àè¨ë á á㬬 ¬¨ 㣫®¢, à ¢ë¬¨ 2π. §¢¥à⪠¤ ®£® áâ஥¨ï K ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ⥯¥àì k ¤«¨ ¬¨ ॡ¥à ¨ n 㣫 ¬¨ âà㡪¨, ¯à¨ç¥¬ í⨠㣫ë á¢ï§ ë á®®â®è¥¨¥¬ n X i=1
αi
= nπ.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ (k + n − 1)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ M à §¢¥à⮪ ¤ ®£® áâ஥¨ï ¨ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë. ¤¥áì à §¢¥à⮪ á ®¤®© ¢¥à訮© ¥ ¬®¥â ¡ëâì, ¯®â®¬ã çâ® ªà¨¢¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë < 2π. §¢¥à⪨ ¥ ⮫쪮 á ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨ ¬¨, ®ç¥¢¨¤®, ॠ«¨§ãîâáï ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâ묨 ¯«®áª¨¬¨ ¯®«®á ¬¨. Ǒ®í⮬ã áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬®® ®¯ïâì ¤®ª §ë¢ âì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨. ®£®®¡à §¨¥ P K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §¤¥áì â ª ¥, ª ª ¨ à ìè¥. ¨á«® ¯¥à¥¬¥ëå, § ¤ îé¨å ¬®£®£à ¨ª, ¡ã¤¥â 3e ª®®à¤¨ â ¢¥àè¨ ¯«îá 2 ¯¥à¥¬¥ë¥, § ¤ î騥 ¯à ¢«¥¨¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®© ¯®«ã¯àאַ©, ¬¨ãá 6 ¯¥à¥¬¥ëå, á¢ï§ ëå á ¤¢¨¥¨¥¬ ¬®£®£à ¨ª ª ª 楫®£®. ⮣® ¬®£®®¡à §¨¥ P ¡ã¤¥â (3e − 4)-¬¥àë¬. Ǒਬ¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë ©«¥à f − k + e = 1 ¯à¨¢®¤¨â ª á®®â®è¥¨î 3e − 4 = k + n − 1 , â. ¥. ¬®£®®¡à §¨ï M ¨ P ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ãî à §¬¥à®áâì. «¥¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ M .
£® ¢§ ¨¬ ï ®¤®§ ç®áâì á«¥¤ã¥â ¨§ ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ¨¬¥î饩 ªà¨¢¨§ã 2π (⥮६ 2 § 3 £« ¢ë III). áâ «ìë¥ á¢®©á⢠®â®¡à ¥¨ï ϕ, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¯à¨¬¥¥¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ¤®ª §ë¢ îâáï «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¤«ï á«ãç ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢. १ã«ìâ ⥠¢á¥ âॡ®¢ ¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ë¯®«¥ë¬¨, ¨ ¬ë § ª«îç ¥¬ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á «î¡®© à §¢¥à⪮©, ¨¬¥î饩 ªà¨¢¨§ã 2π.
« ¢ V ª«¥¨¢ ¨¥ ¨ ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©
§ 1. ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©
1. £« ¢¥ IV à¥çì è« ® à §¢¥à⪠å, ¢ ª®â®àëå áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ᪫¥¨¢ îâáï ¯®¯ à®, â ª çâ® à §¢¥à⪠¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë.
᫨ ¥ ã ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ ¥áâì áâ®à®ë, ¥ ᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ ¨ á ª ª¨¬¨ ¤à㣨¬¨ áâ®à® ¬¨, â® à §¢¥à⪠¨¬¥¥â £à ¨æã, ¨ â ª¨¥ ᢮¡®¤ë¥ áâ®à®ë ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬ë §ë¢ ¥¬ £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨. Ǒ।áâ ¢«ïï ᥡ¥ ᪫¥¨¢ ¥¬ë¥ áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë ®â®¤¥á⢫¥ë¬¨, ¬ë ¥áâ¥á⢥® ¯à¨å®¤¨¬ ª ⮬ã, çâ® £à ¨æ à §¢¥à⪨ á®á⮨⠨§ ª®¥ç®£® ç¨á« § ¬ªãâëå «®¬ ëå, ®¡à §ã¥¬ëå ¥¥ £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨; ¥á«¨ à §¢¥à⪠¢ª«îç ¥â ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, â® ¥¥ £à ¨æ ¬®¥â ᮤ¥à âì â ª¥ ¡¥áª®¥çë¥ «®¬ ë¥, ª ¤ ï ¨§ ª®â®àëå á« £ ¥âáï ¨§ ª®¥ç®£®, ç¨á« ª®¥çëå ¨ ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå £à ¨çëå ॡ¥à; ¢ ç áâ®áâ¨, ª®¥çë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ¬®£ãâ ®âáãâá⢮¢ âì. ®£®£à ¨ª, ª®â®àë© ¬®® ᪫¥¨âì ¨§ â ª®© à §¢¥à⪨, ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî £à ¨æã. ®¯à®á ®¡ ãá«®¢¨ïå, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ á £à ¨æ¥© ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¬ë ¥ ¬®¥¬ à¥è¨âì ¯®«®áâìî, ¯®â®¬ã ¢ëã¤¥ë ®£à ¨ç¨âìáï ®¡é¨¬¨ 㪠§ ¨ï¬¨ ¨ ®â¤¥«ì묨, ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ á¯¥æ¨ «ì묨 १ã«ìâ â ¬¨ . «ìè¥ ¡ã¤ãâ â ª¥ ¤ ë ¯à®áâë¥ ¯à¨¬¥àë à §¢¥à⮪, ¨§ ª®â®àëå ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , å®âï ®¨ ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥ª®â®àë¬ ®ç¥¢¨¤® ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬. Ǒ®¤å®¤ ª à¥è¥¨î ¯®áâ ¢«¥®£® ¢®¯à®á ¤ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ : 1)
¥®à¥¬ 1.
Ǒãáâì £à ¨æ à §¢¥à⪨
ª®¥çëå «®¬ ëå
L1 , . . . , Ln .
R
á®á⮨⠨§ § ¬ªãâëå ¨«¨ ¡¥á-
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨
R
¬®® ¡ë«®
1) ¥¯¥àì ¨§¢¥áâë íä䥪⨢® ¯à®¢¥àï¥¬ë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï. ¨ á®áâ®ïâ ¢ ®¯¨á ¨¨ ¯à¨§ ª®¢ áãé¥á⢮¢ ¨ï ý¯®¤ª«¥¥ªþ, ® ª®â®àëå ¨¤¥â à¥çì ¢ ⥮६ å 1 ¨ 7. ⨠ãá«®¢¨ï ¤ ë ¢ áâ âì¥ ..®à [224℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
226
. .
᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ «¨ â ª¨¥ à §¢¥à⪨
R1 , . . . , Rn , ®£à ¨ç¥ë¥ ª ¤ ï ®¤®© «®¬ ®©, L1 , . . . , Ln ¤ ¢ «® ¡ë à §¢¥àâ-
çâ® ®â®¤¥á⢫¥¨¥ ¨å £à ¨æ á «®¬ 묨
+ R + . . . + Rn , ¨§ ª®â®à®© ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. §¢¥à⪠R + R + . . . + Rn 㥠¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë, ¨ ¯®â®¬ã ¢®¯à®á ®¡ ãá«®¢¨ïå, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, à¥è ¥âáï ⥮६ ¬¨, ¤®ª § 묨 ¢ § 1{4 £« ¢ë IV. ®ª § ⥫ìá⢮ ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤®.
᫨ â ª¨¥ à §¢¥à⪨ R , . . . , Rn ¨¬¥îâáï, â®, ᪫¥¨¢ ï ¨§ à §¢¥à⪨ R + R + R + . . . + Rn ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¢ë¤¥«ïï ¨§ ¥£® ç áâì, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¤ ®© à §¢¥à⪥ R, ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á à §¢¥à⪮© R. «¥¤®¢ ⥫ì®, ãá«®¢¨¥ ¤®áâ â®ç®. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯ãáâì ¨§ à §¢¥à⪨ R ᪫¥¨¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ® ¥áâì ç áâì ¯®«®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P ¡¥§ £à ¨æë, § ¬ªã⮣® ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£®. ®£¤ à §®áâì P P á ¯à¨á®¥¤¨¥®© ¥¥ £à ¨æ¥© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤¨ ¨«¨ ¥áª®«ìª® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P , . . . , Pn . å à §¢¥à⪨ R , . . . , Rn ¢¬¥á⥠á R ®¡à §ãîâ à §¢¥àâªã R + R + . . . + Rn ¯®«®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï ¤®ª § . ¥®à¥¬ 1 ᢮¤¨â ¢®¯à®á ® ¢®§¬®®á⨠᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ á £à ¨æ¥© ª ¢®¯à®áã ® ¯®¤¡®à¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §¢¥à⮪ R , . . . , Rn . ¥ª®â®àëå á«ãç ïå â ª®© ¯®¤¡®à 㤠¥âáï ®áãé¥á⢨âì. «ï ⮣® çâ®¡ë ® ¡ë« ¢®§¬®¥, à §¢¥à⪠R ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì â६ § ¢¥¤®¬® ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬: 1) à §¢¥à⪠R ¤®« ¡ëâì £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ª®¥ç®¬ã ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®¬ã, ® ®£à ¨ç¥®¬ã, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨 ; 2) á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å, ª ª ¢ãâ२å, â ª ¨ £à ¨çëå, ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R ¤®«ë ¡ëâì 6 2π; 3) ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ R (â.¥. á㬬 ªà¨¢¨§ ¥¥ ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨) ¤®« ¡ëâì 6 4π, ¥á«¨ à §¢¥à⪠ª®¥ç , ¨ 6 2π, ¥á«¨ ® ¡¥áª®¥ç . ¥®¡å®¤¨¬®áâì íâ¨å ãá«®¢¨© ®ç¥¢¨¤ , ¯®â®¬ã çâ® â ª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ®¡« ¤ ¥â ¢á直© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥©. ¥áª®¥çë© ¯®«ë© ªã
R
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2)
2) ®
¥ ãá«®¢¨¥ ¬®® ¢ëà §¨âì ¨ ç¥, ¥ ¯à¨¢«¥ª ï ¯®ïâ¨ï £®¬¥®¬®à䨧¬ . ¨¬¥®, ¥á«¨ f , k, e | ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R, a n | ç¨á«® ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥¥ «®¬ ëå, â® ¢ á«ãç ¥ ª®¥ç®© à §¢¥à⪨ ¤®«® ¡ëâì f − k+ +e = 2 − n, ¢ á«ãç ¥ ¥ ¡¥áª®¥ç®© à §¢¥à⪨ ¤®«® ¡ëâì f − k + e = 1 − n. «ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ íª¢¨¢ «¥â®á⨠®¡®¨å ãá«®¢¨© ¤®áâ â®ç® § ¬¥â¨âì, çâ®, ¯®¤ª«¥¨¢ ï ª ª ¤®© «®¬ ®©, ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¤ ãî à §¢¥àâªã, ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ®¤®© «®¬ ®©, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R ¡¥§ £à ¨æë, ã ª®â®à®© ᮮ⢥âá⢥® ¡ã¤¥â f −k+ +e = 2 ¨ f − k + e = 1, â ª çâ® R ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä ᮮ⢥âá⢥® áä¥à¥ ¨«¨ ¯«®áª®áâ¨.
. V:
§ 1.
227
¬®£®£à ¨ª P £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®á⨠¨ ¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã 6 2π; ¯®í⮬㠬®£®£à ¨ª P , ïî騩áï ç áâìî P , £®¬¥®¬®àä¥ ¬®£®ã£®«ì¨ªã ¨ ¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã 6 2π. ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª P £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã 4π; ® áä¥àã á ®¤®© ¨áª«î祮© â®çª®© ¬®® ®â®¡à §¨âì ¯«®áª®áâì, ¯®â®¬ã ¬®£®£à ¨ª P , ïî騩áï ç áâìî P , ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ªà¨¢¨§ ¥ ¥£® ¥ ¡®«¥¥ 祬 ã P , â. ¥. 6 4π. á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ª ¤ ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬ ï ª R à §¢¥à⪠Ri ¤®« ®¡« ¤ âì ⥬¨ ¥ ᢮©á⢠¬¨ 2, 3 ¨ ¡ëâì £®¬¥®¬®à䮩 ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ®£à ¨ç¥®¬ã ®¤®© § ¬ªã⮩ ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®© «®¬ ®©. á«®¢¨¥ ⥮६ë 1 ᢮¤¨âáï ¢ १ã«ìâ ⥠ª ⮬ã, çâ® á㬬ë 㣫®¢ ¢ ®â®¤¥á⢫塞ëå â®çª å £à ¨æ à §¢¥à⮪ R ¨ Ri ¤®«ë ¡ëâì ¥ ¡®«ìè¥ 2π. ª ª ª ¤«ï ª ¤®© «®¬ ®© Li, ¢å®¤ï饩 ¢ £à ¨æã à §¢¥à⪨ R, ¨ ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 à §¢¥à⪨ Ri íâ® ãá«®¢¨¥ ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ¥§ ¢¨á¨¬®, â® ®á®¢ë¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢®¯à®á ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨, ®£à ¨ç¥®© ®¤®© «®¬ ®©. ª ï à §¢¥à⪠£®¬¥®¬®àä ªàã£ã ¨«¨ ¯®«ã¯«®áª®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ï¥âáï «¨ ® ª®¥ç®© ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®©. 2. ¤¥áì ¨ ¤ «ìè¥ ¨§« £ îâáï १ã«ìâ âë, ¯®«ãç î騥áï ý¬¥â®¤®¬ ᪫¥¨¢ ¨ïþ, ®á®¢ ë¬ â¥®à¥¬¥ 1. Ǒਠí⮬ ¡¥§ ®á®¡ëå ®£®¢®à®ª ¡ã¤¥â ¨¬¥âìáï ¢ ¢¨¤ã, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® à §¢¥à⪠å, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï¬ 1, 2, 3. Ǒ®¤ 㣫®¬ ¯à¨ £à ¨ç®© ¢¥à訥 à §¢¥à⪨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì á㬬ã 㣫®¢ ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¯à¨ í⮩ ¢¥à訥; £®¢®àï â ª, 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥ à §¢¥àâªã ᪫¥¥®© å®âï ¡ë ¡áâà ªâ®. ¯®¬¨¬, çâ® ýè ¯®çª®©þ §ë¢ ¥âáï â ª®© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ¯«®áª®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ¯à®¥ªæ¨ï ª®â®à®£® ¯«®áª®áâì í⮩ «®¬ ®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬, ®£à ¨ç¨¢ ¥¬ë¬ í⮩ «®¬ ®©. ¥®à¥¬ 2.
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ £®¬¥®¬®à䮩 ªàã£ã à §¢¥à⪨
R
¬®®
¡ë«® ᪫¥¨âì è ¯®çªã, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ã£«ë ¯à¨ ª ¤®©
. ®ª ¥¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì í⮣® ãá«®¢¨ï. Ǒãáâì P | è ¯®çª ; ¯à¨á®¥¤¨ïï ª ¥© è ¯®çªã P , ᨬ¬¥âà¨çãî ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¥¥ «®¬ ®©, ¯®«ã稬 § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ∪ P (ª ª à¨á. 97, a, á. 215). à ¨çë¥ ¢¥àè¨ë è ¯®çª¨ ¡ã¤ãâ «¨¡® ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨, «¨¡® â®çª ¬¨ ¢ãâਠॡ¥à. 㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¨å ¡ã¤ãâ 6 2π. ® ª ¤ ï ¨§ ¨å á« £ ¥âáï ¨§ 㣫®¢ P ¨ P , ¨ â ª ª ª ¯® ᨬ¬¥âਨ P ¨ P í⨠㣫ë à ¢ë, â® á㬬 㣫®¢ ¯à¨ ª ¤®© £à ¨ç®© ¢¥à訥 è ¯®çª¨ P ¥ ¯à¥¢®á室¨â π. ¥¥ £à ¨ç®© ¢¥à訥 ¥ ¯à¥¢®á室¨«¨
π 3)
1
1
1
3) à㣮¥ ¯àאַ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¤ ® . . ®«ª®¢ë¬ ¢ [86℄.
. . «£ ««¥à .
1
| Ǒਬ.
228
. .
Ǒãáâì ⥯¥àì R | à §¢¥à⪠, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë, ¨ | ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà â ª®© ¥ à §¢¥à⪨. ⮤¥á⢫ïï ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥âë £à ¨æ íâ¨å à §¢¥à⮪, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R + R , £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥, ¨ â ª ª ª á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å ã R ¨ R ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π, â® ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R + R á㬬ë 㣫®¢ ¡ã¤ãâ 6 2π. Ǒ®í⮬㠨§ í⮩ à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P , á®áâ®ï騩 ¨§ ¤¢ãå ç á⥩ P ¨ P , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §¢¥à⪠¬ R ¨ R . ®£« á® «¥¬¬¥ § 4 £« ¢ë IV, ¬®£®£à ¨ª P ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®áâ¨, ᮤ¥à 饩 ®¡éãî £à ¨æã ¥£® ç á⥩ P ¨ P . âáî¤ ïá®, çâ® P ¥áâì è ¯®çª . ᪫¥¥ ¨§ à §¢¥à⪨ R, ¨ ⥮६ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤®ª § . ¯®¬¨¬, çâ®, ᮣ« ᮠ⥮६¥ 3 § 5 £« ¢ë III, è ¯®çª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© | ¥¤¨á⢥ ï á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï, â ª çâ® ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ᪫¥¨âì, ¯® áãé¥áâ¢ã, ⮫쪮 ®¤ã è ¯®çªã «¨¡® ¥© ᨬ¬¥âà¨çãî.
᫨ ¡¥áª®¥ç®© è ¯®çª®© §¢ âì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, £à ¨æ ª®â®à®£® á®á⮨⠨§ ®¤®© ¡¥áª®¥ç®© ¯«®áª®© «®¬ ®©, â ª¥ ¯à®¥ªâ¨àãî騩áï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®£à ¨ç¥ë© í⮩ «®¬ ®©, â® ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: R1
1
1
1
1
1
1
¥®à¥¬ 3.
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨
R,
£®¬¥®¬®à䮩 ¯®«ã¯«®áª®-
áâ¨, ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¡¥áª®¥çãî è ¯®çªã, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ã£«ë ¯à¨ ¥¥ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å ¥ ¯à¥¢®á室¨«¨
π.
®ª § ⥫ìá⢮ ¯®ç⨠¡ãª¢ «ì® ¯®¢â®àï¥â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2. ¥ª®â®à®¥ à §«¨ç¨¥ ¢®§¨ª ¥â ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ¥£® ¯ãªâ¥, £¤¥ ¯à¨å®¤¨âáï ááë« âìáï ¥¤¨á⢥®áâì ¬®£®£à ¨ª P + P á ¤ ®© à §¢¥à⪮© R + R .
᫨ ªà¨¢¨§ í⮩ à §¢¥à⪨ ¬¥ìè¥ 2π, â®, ª ª ¬ë § ¥¬, â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¥ ¡ã¤¥â ¥¤¨á⢥ë¬. ª ¤®ª § ® ¢ § 5 £« ¢ë IV, ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®® ¢ë¡¨à âì ¯à®¨§¢®«ì®, «¨èì ¡ë ªà¨¢¨§ í⮣® 㣫 à ¢ï« áì ªà¨¢¨§¥ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬㠯।¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª P + P ¬®® ¢ë¡¨à âì § à ¥¥ â ª, çâ®¡ë ¥£® ç á⨠V ¨ V , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç áâï¬ P ¨ P ¬®£®£à ¨ª , ¡ë«¨ ¢§ ¨¬® ᨬ¬¥âà¨ç묨. ®£¤ ¯à¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª¥ P ¨ P ¯®«ã稬 ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P +P , ®áâ ¢«ïî饥 ¥¨§¬¥ë¬ ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V + V ¨ â ª¥ ¥£® ®¡à §ãî騥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¡é¨¬ ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ã P ¨ P . Ǒ®í⮬㠢 ᨫã ⥮६ë 3 § 4 £« ¢ë III ¯¥à¥áâ ®¢ª P ¨ P ¤®« ®áãé¥á⢫ïâìáï ®âà ¥¨¥¬; ®âáî¤ ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â, çâ® P ¥áâì ¡¥áª®¥ç ï è ¯®çª .
¤¨á⢥®áâì ¡¥áª®¥ç®© è ¯®çª¨ á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ . ¥è¥¨¥ ¢®¯à®á ® ⮬, ª®£¤ ¥¤¨á⢥®áâì ¢á¥ ¥ ¨¬¥¥âáï, ¨«¨ ® ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¤ ëå, ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¡¥áª®¥çãî è ¯®çªã, ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î; ®® ¬®¥â ¡ëâì «¥£ª® ¯®«ã祮 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. V:
§ 1.
229
®á®¢ ¨¨ ⥮६ ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å (§ 3, 4 £« ¢ë III ¨ § 5 £« ¢ë IV). ¥®à¥¬ë 2 ¨ 3 ¯®«®áâìî å à ªâ¥à¨§ãîâ à §¢¥à⪨ è ¯®ª ãá«®¢¨¥¬ ®¡ 㣫 å ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å. ª ¥¬ ¥é¥ ¤àã£ãî å à ªâ¥à¨§ æ¨î íâ¨å à §¢¥à⮪: ¥®à¥¬ 4.
«ï ⮣® ç⮡ë 㣫ë à §¢¥à⪨ ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å ¥
¯à¥¢®á室¨«¨ π , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨ à §¢¥à⪨ ᮥ¤¨ï«¨áì ¢ ¥© ªà âç ©è¥© «¨¨¥©, ¯à®å®¤ï饩 楫¨ª®¬
. (®® ᪠§ âì, çâ® â ª ï à §¢¥à⪠ý¢ë¯ãª« ¢ ᥡ¥þ.) ¤¥áì 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥ à §¢¥àâªã ᪫¥¥®© å®âï ¡ë ¡áâà ªâ®. à âç ©è ï «¨¨ï, ᮥ¤¨ïîé ï ¢ãâ२¥ â®çª¨ ¢ à §¢¥à⪥, ¬®¥â ¯®¤å®¤¨âì ª £à ¨æ¥ à §¢¥à⪨ ⮫쪮 ¢ â¥å ¢¥àè¨ å, £¤¥ 㣮« > π: ¨ ç¥ ¥¥ ¬®® ¡ë«® ¡ë § ¬¥¨âì «¨¨¥© ¡®«¥¥ ª®à®âª®©, á१ ï ®¡à §ã¥¬ë© ¥î 㣮« (⥮६ 1 § 8 £« ¢ë 1, à¨á. 53). âáî¤ ¨ á«¥¤ã¥â ⥮६ 4. á¢ï§¨ á ⥮६ ¬¨ 2{4 ¯à¥¤«®¨¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. §¢¥à⪠, ã ª®â®à®© ¢á¥ ã£«ë £à ¨æ¥ ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π, ¬®¥â ¨ ¥ ¡ëâì £®¬¥®¬®à䮩 ªàã£ã ¨«¨ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. £à ¨ç¨¢ ïáì à §¢¥à⪠¬¨, £®¬¥®¬®àä묨 ç á⨠¯«®áª®áâ¨, ¤®ª § âì, çâ® â ª¨¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 à §¢¥à⪨ ¡®ª®¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯àï¬ëå | § ¬ªãâëå ¨«¨ ®âªàëâëå | ¯à¨§¬; ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ (®âªàë⮩ ¯à¨§¬ë) à §¢¥à⪠¨§®¬¥âà¨ç ¯«®áª®© ¯®«®á¥ ¬¥¤ã ¯ ன ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå. 3. í⮬ ¯ãªâ¥ ¨ ¤ «ìè¥ ¢ ¯ãªâ å 5{7 ¬ë ¤ ¤¨¬ ¥ª®â®àë¥ ¤®áâ â®çë¥ ªà¨â¥à¨¨ ᪫¥¨¢ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨, ª®â®àë¥ ¢ ®¯à¥¤¥«¥ëå á«ãç ïå ®ª §ë¢ îâáï â ª¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨. à¨â¥à¨¨ í⨠⠪®¢ë, çâ® ¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨ «¥£ª® ¥¯®á।á⢥® ¯à®¢¥à¨âì, ¢ë¯®«ïîâáï ®¨ ¨«¨ ¥â. ᮢ ë ®¨ á«¥¤ãî饬 ¯®áâ஥¨¨. Ǒãáâì à §¢¥à⪠R ®£à ¨ç¥ ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© L á ¢¥àè¨ ¬¨ A , . . . , An ¨ 㣫 ¬¨ α , . . . , αn . Ǒ®áâந¬ ¯«®áª®á⨠«®¬ ãî L , §¢¥ìï ª®â®à®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à ¢ë ¯® ¤«¨¥ à¥¡à ¬ A A , . . . , An− An , An A , ã£«ë ¬¥¤ã §¢¥ìﬨ á ®¤®© áâ®à®ë à ¢ë α , . . . , αn (à¨á. 101). ¯à®â¨¢®¯®«®®© áâ®à®ë ã£«ë ¡ã¤ãâ βi = 2π − αi. âã áâ®à®ã ¬ë §®¢¥¬ ý¢¥è¥© áâ®à®®©þ «®¬ ®© L , ¯®â®¬ã çâ® ® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢¥è¥© áâ®à®¥ «®¬ ®© L ®â®á¨â¥«ì® à §¢¥à⪨ R. ( à¨á. 101, íâ ý¢¥èïï áâ®à® þ «®¬ ®© L ®¡à é¥ ¥ ª ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠¯«®áª®áâ¨.) ®®¡é¥ £®¢®àï, «®¬ ï L ¥ ¡ã¤¥â § ¬ªã⮩; ¥¥ ª®æë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®¤®© ¢¥à訥 A «®¬ ®© L. ¤ ª® ¥ ¨áª«î祮, çâ® «®¬ ï L ¬®¥â ¡ëâì § ¬ªã⮩ ¨«¨ çâ® ® á ¬ á¥¡ï ¯¥à¥á¥ª ¥â (à¨á. 101, ¡). ª § ®¥ ¯®áâ஥¨¥ «®¬ ®© L ¥áâ¥á⢥® §¢ âì à §¢®à 稢 ¨¥¬ «®¬ ®© L, à §®à¢ ®© ¢ ¢¥à訥 A . ®¢¥à襮 â ª ¥ ¬®® à §¢®à 稢 âì «®¬ ãî L, à §®à¢ ãî ¢ «î¡®© ¥¥ â®çª¥ A. ¢ãâà¨ à §¢¥à⪨
1
0
1
1
2
1
1
2
0
0
0
0
1
0
1
230
. .
᫨ à §¢¥à⪠R ®£à ¨ç¥ ¡¥áª®¥ç®© «®¬ ®©, â® à §¢®à 稢 ¨¥ í⮩ «®¬ ®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ¥à襮 «®£¨ç®, ⮫쪮 à §àë¢ âì ¥¥ ¥ ¯à¨å®¤¨âáï, ¯®áª®«ìªã ® ¥ § ¬ªãâ . A2
A1
A1
A1
A4
A1
A1 A3
2π-αn α2 A2
An
An
2π-α2
A2
A3
b)
a) ¨á. 101
¥®à¥¬ 5.
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ ª®¥ç®© à §¢¥à⪨
®£à ¨ç¥®© «®¬ 묨
L1 , . . . , Ln ,
R
á ªà¨¢¨§®©
4π,
᪫¥¨¢ «áï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª,
L01 , . . . , L0n ®ª §ë¢ «¨áì § ¬ªãâ묨 ¨ ®£à ¨ç¨¢ «¨ ¯«®áª®á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q1 , . . . , Qn ,
¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë à §¢¥àãâë¥ «®¬ ë¥
. (Ǒ®¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ §¤¥áì à §¢¥àâªã, ¥ ¨¬¥îéãî ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨. Ǒ®á«¥¤®¢ â¥«ì® à §¢®à 稢 ï ¯«®áª®áâì á®áâ ¢«ïî騥 ¥¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨, ¬ë à §¢¥à¥¬ ¯«®áª®áâì ¨ ¢áî à §¢¥àâªã. Ǒਠí⮬ ¢®§¬®®, çâ® ® ¡ã¤¥â ¯¥à¥ªàë¢ âìáï á ¬ á ᮡ®©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ý¬®£®ã£®«ì¨ªþ ¢ â ª®¬ ®¡®¡é¥®¬ á¬ëá«¥, ¤®¯ãáª ï ¯¥à¥ªàë¢ ¨ï ¥£® á ¬®£® á ᮡ®©.) ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 5 ®ç¥¢¨¤®. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì ãá«®¢¨¥ â¥®à¥¬ë ¢ë¯®«¥®. ®£¤ , ¯®¤ª«¥¨¢ ï ª à §¢¥à⪥ R ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Qi, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R = R + Q + . . . + Qn , £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥. £«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¤®¯®«ïîâ 㣫ë à §¢¥à⪨ R ¤® 2π, â ª çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå, ãá«®¢¨¥ ® á㬬 å 㣫®¢ ¢ë¯®«¥® ¨ ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ®-¢â®àëå, íâ® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¨ª ª ï â®çª ¬®£®£à ¨ª P , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï â®çª ¬ ¢ãâਠ¨«¨ £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi , ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¥£® ¢¥à訮©: ¨ ç¥ á㬬 㣫®¢ ¢®ªà㣠¥¥ ¡ë« ¡ë < 2π. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ ¢¥àè¨ë «¥ â ¢ãâਠ⮩ ç á⨠P ¬®£®£à ¨ª P , ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨á室®© à §¢¥à⪥ R. Ǒ®í⮬㠪ਢ¨§ P à ¢ ªà¨¢¨§¥ P , â.¥. à ¢ 4π. ⨬ ¤®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¤®ª § . «¥ 騥 á ú¢¥è¨åû áâ®à® íâ¨å «®¬ ëå
1
. V:
§ 1.
231
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥®¡å®¤¨¬®á⨠¤®¯ãá⨬, çâ® ¨§ à §¢¥à⪨ R ᪫¥¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P á ªà¨¢¨§®© 4π. ¥áâì ç áâì § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¨ â ª ª ª ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ 4π, â® P ¥ ¨¬¥¥â ¤àã£¨å ¢¥àè¨ ¯®¬¨¬® ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®¯®«¥¨¥ P P á®á⮨⠨§ ªã᪮¢ Qi , à §¢®à 稢 ¥¬ëå ¯«®áª®áâì. 㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ®¡é¨å ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Qi à ¢ë 2π, â ª ª ª ®¨ ¥ ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P . íâ® ª ª à § ¨ ®§ ç ¥â, ç⮠㣫ë β ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¤®¯®«ïîâ 㣫ë α P ¤® 2π, â. ¥. £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¯®«ãç îâáï à §¢®à 稢 ¨¥¬ «®¬ ëå, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å P . ¯®¬¨¬, çâ®, ᮣ« ᮠ⥮६¥ 1 § 5 £« ¢ë III, ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© 4π ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï. Ǒ®í⮬㠢 ãá«®¢¨ïå ⥮६ë 5 ¨§ à §¢¥à⪨ R ᪫¥¨¢ ¥âáï, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¥¤¨áâ¢¥ë© ¬®£®£à ¨ª («¨¡® ¥¬ã ᨬ¬¥âà¨çë©). 4)
¥®à¥¬ 6.
«®¬ 묨
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ ¡¥áª®¥ç®© à §¢¥à⪨
L1 , L2 , . . . , Ln ,
R,
®£à ¨ç¥®©
᪫¥¨¢ «áï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¤®áâ â®ç®,
2π | â® ¨ ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë à §¢¥àãâë¥ ¨ª¨, «¥ 騥 á ú¢¥è¨åû áâ®à® íâ¨å «®¬ ëå. ®ª § ⥫ìá⢮, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 5.
᫨ ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ à ¢ 2π, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ã⢥थ¨¥ ¥¤¨á⢥®á⨠⠪¥ ¢¥à® ¢ ᨫã ⥮६ë 2 § 5 £« ¢ë III. ®£¤ à §¢¥à⪠R § ¤ , â® à §¢®à 稢 ¨¥ ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥¥ «®¬ ëå ¯«®áª®áâì ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â âà㤠, ¯®â®¬ã ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨© ⥮६ 5 ¨ 6 ¢á¥£¤ «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï. 4. ¡é ï ⥮६ 1, «¥ é ï ¢ ®á®¢ ¨¨ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¢ë¢®¤®¢, ¤®¯ã᪠¥â ãâ®ç¥¨¥, ª®â®à®¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ®á®¡¥® ¯®«¥§ë¬ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¨§£¨¡ ¨© ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, 祬㠡㤥⠯®á¢ïé¥ á«¥¤ãî騩 ¯ à £à ä. ¥á«¨ ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨ à ¢ «®¬ ë¥
L01 , . . . , L0n
¥®à¥¬ 7.
L1 , . . . , Ln ,
®ª §ë¢ «¨áì § ¬ªãâ묨 ¨ ®£à ¨ç¨¢ «¨ ¬®£®ã£®«ì-
«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨
R,
®£à ¨ç¥®© «®¬ 묨
¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥®¡å®¤¨¬® ¨
¤®áâ â®ç®, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ «¨ ¯«®áª¨¥, ¬®¥â ¡ëâì, á ¬®¯¥à¥ªàë¢ î-
Q1 , . . . , Qn , áâ®à®ë ª®â®àëå L1 , . . . , Ln , ã£«ë ¥ ¯à¥¢®á室ïâ
騥áï ¬®£®ã£®«ì¨ª¨
à ¢ë ᮮ⢥âá⢥®
§¢¥ìï¬ «®¬ ëå
¤®¯®«¥¨© 㣫®¢ ¯à¨
ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å íâ¨å «®¬ ëå.
Ǒਠí⮬ «®¬ ëå
Li ¤®Li ¨
¯ã᪠¥âáï ¢¢¥¤¥¨¥ «î¡®£® ç¨á« ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¢¥àè¨. ®¬ ë¥
4) ᪫îç¨â¥«ìë© á«ãç © ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ ¥ª®â®àë¥ «®¬ ë¥ Li , ®£à ¨ç¨¢ î騥
P , ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢¥àè¨ë. ®£¤ ¨å ¬®® áç¨â âì § ®¤ã «®¬ ãî, ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤¥â á®áâ ¢«ïâìáï ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi . âண® £®¢®àï, íâ®â á«ãç © ã® ¡ë«® ¡ë ®á®¡® ®£®¢®à¨âì ¢ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë.
232
. .
Qi ¬®£ãâ ¡ëâì ¨ ¡¥áª®¥ç묨. (®£« á® ¯à¨ï⮬㠢ëè¥ ãá«®¢¨î ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® à §¢¥à⪠R £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®¬ã ¬®£®ã£®«ì¨ªã ¨ á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¥¥ ¢¥àè¨ 6 2π.) ®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤ , ¯®â®¬ã çâ®, ®â®¤¥á⢫ïï §¢¥ìï «®¬ ëå Li á® áâ®à® ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã, ã ª®â®à®© ¢á«¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨ï, «®¥®£® ã£«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi , á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨ ¡ã¤ãâ 6 2π. â à §¢¥à⪠R ¥ ¨¬¥¥â £à ¨æë ¨ ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª , ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ R ᪫¥¨âáï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥®¡å®¤¨¬®á⨠¤®¯ãá⨬, çâ® ¨§ à §¢¥à⪨ R ᪫¥¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì P | £à ¨æ ¥£® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨; P ¥áâì § ¬ªãâë© ¨«¨ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª ¡¥§ £à ¨æë, ç áâìî ª®â®à®£® ï¥âáï P . ª ª ª ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨, â® ¤®¯®«¥¨¨ P P ¥â ¨ª ª¨å ¢¥àè¨: ¢á¥ ®¨ «¥ â ¢ãâਠ¨«¨ £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P . P P à ᯠ¤ ¥âáï ç á⨠Q , . . . , Qn ᮮ⢥âá⢥® ª ¤®© «®¬ ®© L , . . . , Ln , ®£à ¨ç¨¢ î饩 à §¢¥àâªã R, ¨ â ª ª ª í⨠Qi ¥ ᮤ¥à â ¢¥àè¨ ¢ãâà¨, â® ¢á¥ ®¨ à §¢®à 稢 îâáï ¯«®áª®áâì.
᫨ A | ª ª ï-«¨¡® ¢¥àè¨ £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P , α ¨ β | ã£«ë ¯à¨ ¥© P ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Qi, â® ¯® ®á®¢®¬ã ᢮©áâ¢ã á㬬 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ α + β 6 2π. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §¢¥àãâë¥ ¯«®áª®áâì Qi ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ á® áâ®à® ¬¨, à ¢ë¬¨ §¢¥ìï¬ «®¬ ëå Li , ¨ á 㣫 ¬¨ β 6 2π − α, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ¥®à¥¬ 7 ᢮¤¨â ¢®¯à®á ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ª ¯« ¨¬¥âà¨ç¥áª®© § ¤ ç¥ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¤ 묨 áâ®à® ¬¨ ¨ á 㣫 ¬¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ®¡à §®¬ ®£à ¨ç¥ë¬¨ ᢥàåã. ¤ ª® ¬ë ¯®ª ¥ ¨¬¥¥¬ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨, ¥ áç¨â ï ç áâëå á«ãç ¥¢, 㥠§ ª«îç îé¨åáï ¢ ¤®ª § ëå ¢ëè¥ â¥®à¥¬ å. ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¤®áâ â®ç® ¨â¥à¥á®©, ®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, âà㤮© . ® ¢á类¬ á«ãç ¥ ⥮६ 7 ¯®ç⨠¨ç¥£® ¥ ¤ ¥â ¤«ï à¥è¥¨ï ¢®¯à®á ®¡ ãá«®¢¨ïå ᪫¥¨¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨. ¥çì ¨¤¥â, ª®¥ç®, ®¡ ãá«®¢¨ïå, ¤®¯ã᪠îé¨å ¤®áâ â®ç® íä䥪⨢ãî ¯à®¢¥àªã ¯ã⥬ ¯®áâ஥¨ï ¨«¨ ¢ëç¨á«¥¨© á ¢¥é¥á⢥묨 ç¨á« ¬¨. ᮮ⢥âá⢥® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨
5)
1
1
6)
5) â® ¬ ¨§¢¥áâ®, ¥á«¨ R £®¬¥®¬®àä áä¥à¥ ¨«¨ ¯«®áª®áâ¨.
᫨ à §¢¥à⪠R ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Qi ª®¥çë, â® à §¢¥à⪠R = R + Q1 + . . . + Qn £®¬¥®¬®àä áä¥à¥.
᫨ ¥ R ¡¥áª®¥ç ¨«¨ á।¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¨¬¥îâáï ¡¥áª®¥çë¥, â®, ª ª ¬®® ¯®ª § âì, à §¢¥à⪠R ¥®¡å®¤¨¬® £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®áâ¨, ªà®¬¥ ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© à §¢¥àâªã ¡¥áª®¥ç®© ¯à¨§¬ë. â® § ¬¥ç ¨¥ ®áâ ¢«ï¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠. 6) ¥¯¥àì íâ § ¤ ç à¥è¥ , á¬. [224℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. V:
§ 1.
233
⬥⨬ ⮫쪮 ®¤¨ १ã«ìâ â, ª®â®àë© ç¨â ⥫ì á ¬ ᬮ¥â ¯®«ãç¨âì, ¯®«ì§ãïáì ⥮६®© 7. Ǒãáâì à §¢¥à⪠R ®£à ¨ç¥ § ¬ªãâ묨 «®¬ 묨 Li . Ǒãáâì ¢á¥ ¥¥ 㣫ë 6 π, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, ¤¢ãå αi , βi ¤«ï ª ¤®© «®¬ ®© Li, ¯à¨ç¥¬ ¢¥àè¨ë Ai , Bi íâ¨å 㣫®¢ ¤¥«ïâ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî «®¬ ãî Li ç áâ¨ à ¢®© ¤«¨ë. ®£¤ ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. 5. ¥®à¥¬ 8.
Ǒãáâì
R
| ª®¥ç ï ¨«¨ ¡¥áª®¥ç ï à §¢¥à⪠, ®£à -
L1 , . . . , Lm . Ǒãáâì L01 , . . . , L0m | «®¬ ë¥, ¯®«ãç¥ë¥ à §¢®à 稢 ¨¥¬ «®¬ ëå Lk , à §à¥§ ëå ¢ ¯à®¨§¢®«ìëå ¢¥àè¨ å Ak , ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ®¡®§ 稬 δk . «ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¤®áâ â®ç®, ¥á«¨ ¢á¥ ã£«ë ¥¥ £à ¨æ¥ > π ¨ ã ª ¤®© «®¬ ®© Lk å®âï ¡ë ®¤¨ 㣮« > π , â® ¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ ¤«ï ª ¤®© «®¬ ®© Lk á«¥¤ãîé¨å ¨ç¥ ï § ¬ªãâ묨 «®¬ 묨
ãá«®¢¨©:
A) «®¬ ï Lk 0
¢¬¥áâ¥ á ®â१ª®¬
A′k A′′k ,
ᮥ¤¨ïî騬 ¥¥ ª®æë, ®£à -
¨ç¨¢ ¥â, ¡ëâì ¬®¥â, ¯¥à¥ªàë¢ î騩áï á ¬ á ᮡ®© ¬®£®ã£®«ì¨ª «¥ 騩 á ú¢¥è¥©û áâ®à®ë ®â
0
Q,
Lk ;
B) ®â१ª¥ A′k A′′k , ª ª ®á®¢ ¨¨, ¬®® ¯®áâநâì à ¢®¡¥¤à¥ë© âà¥ã£®«ì¨ª T , ᮤ¥à 騩áï ¢ Q, â ª, ç⮠㣫ë γ , γ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q − T ¯à¨ ª®æ å ®â१ª a 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥à ¢¥áâ¢ã γ + γ 6 2π − δk (à¨á. 102, ). 1
2
1
2
0
Lk
Q
Q γ1 A′k
T a
γ2
γ
A″k
A′k=A″k
a)
b) ¨á. 102
᫨ «®¬ ï Lk ®ª §ë¢ ¥âáï § ¬ªã⮩ ¨ ®â१®ª A′k A′′k ⥬ á ¬ë¬ ¨á祧 ¥â, â® ãá«®¢¨ï , ᢮¤ïâáï ª ⮬ã, çâ® ) «®¬ ï Lk ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, «¥ 騩 á ¢¥è¥© áâ®à®ë ®â ¥¥, ¨ ) 㣮« γ í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯à¨ ¢¥à訥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ᮢ¯ ¢è¨¬ ª®æ ¬ «®¬ ®© L 0
0
0
234
. .
(â.¥. ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訥 Ak «®¬ ®© Lk ), ¤®«¥ ¡ëâì 6 2π − δk (à¨á. 102, ¡ ). «ï ¯à®áâ®âë 䨪á¨à㥬 ᢮¥ ¢¨¬ ¨¥ á«ãç ¥ à §¢¥à⪨, ®£à ¨ç¥®© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© L. Ǒãáâì ¢¥àè¨ë ¥¥ ¡ã¤ãâ A , . . . , An , 㣫ë | α , . . . , αn ; ¯à¨ à §¢®à 稢 ¨¨ L à §àë¢ ¥âáï ¢ ¢¥à訥 A . ®¯ãá⨬, çâ® ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¢ë¯®«¥ë. Ǒ® á ¬®¬ã ¯®áâ஥¨î «®¬ ®© L ¥¥ 㣫ë á ¢¥è¥© áâ®à®ë ¡ã¤ãâ β = 2π − α , . . . , βn = 2π − αn . (1)
᫨ «®¬ ï L ¥ § ¬ªãâ , â® ¨¬¥¥¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ = Q − T á 㣫 ¬¨ γ , γ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A′ , A′′ , ¯à¨ç¥¬ ¯® ãá«®¢¨î γ = γ + γ 6 2π − α . (2) ⮤¥á⢫ïï ¤àã£ á ¤à㣮¬ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ , ïî騥áï ¡®ª®¢ë¬¨ áâ®à® ¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª T , ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã Q′′ á ®¤®© ¢ãâ॥© ¢¥à訮©, 㣮« ¢®ªà㣠ª®â®à®©, ®ç¥¢¨¤®, < 2π. á«¥¤á⢨¥ (1) ¨ (2) ã£«ë £à ¨æ¥ í⮩ à §¢¥à⪨ ¡ã¤ãâ γ 6 2π − α , β = 2π − α , . . . , βn = 2π − αn . Ǒ®í⮬ã, ®â®¤¥á⢫ïï £à ¨çë¥ à¥¡à í⮩ à §¢¥à⪨, â.¥. §¢¥ìï «®¬ ®© L , á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨ R, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R + Q′′ , £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥ ¨ ¨¬¥îéãî á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨ 6 2π. § â ª®© à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ⥬ á ¬ë¬ ¨ ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ R ᪫¥¨âáï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª.
᫨ «®¬ ï L § ¬ªãâ , â® á ¬ ®£à ¨ç¥ë© ¥î ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯à¨¨¬ ¥¬ § à §¢¥àâªã Q′′ , ¨ ⮣¤ â® ¥ ®â®¤¥á⢫¥¨¥ ¥£® áâ®à® á à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨ R ¯à¨¢®¤¨â ª 㮬ã १ã«ìâ âã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¤®ª § .
᫨ à §¢¥à⪠®£à ¨ç¥ ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨, â® ã® «¨èì ¯®¤ª«¥¨¢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¨á«® à §¢¥à⮪ Q′′i . ®ª ¥¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® £à ¨æ¥ à §¢¥à⪨ R ¢á¥ 㣫ë > π ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ > π. Ǒãáâì ¨§ à §¢¥à⪨ R ᪫¥¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ï¥âáï ç áâìî ¥ª®â®à®£® § ¬ªã⮣® ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P = P ∪ Q, £¤¥ Q | ¤®¯®«¥¨¥ P ¤® P á ¢ª«î祮© £à ¨æ¥©. Q â ª¥ ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª; ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ à áá㤥¨¨ ¬ë ¥ ®â«¨ç ¥¬ Q ®â ª ª®©¨¡ã¤ì ¥£® à §¢¥à⪨.
᫨ à §¢¥à⪠R ®£à ¨ç¥ ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨, â® P P à ᯠ¤ ¥âáï ¥áª®«ìª® ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ⮣¤ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ à áá㤥¨¨ ¯®¤ Q ã® ¯®¨¬ âì «î¡®© ¨§ ¨å. 1
1
1
2
0
2
0
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
0
0
. V:
§ 1.
235
Ǒ®ª ¥¬, çâ® á㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , «¥ é¨å ¢ãâਠ¨«¨ £à ¨æ¥ Q, ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2π. âã áã¬¬ã ¬ë ®¡®§ 稬 ω(Q) ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ªà¨¢¨§ë ω(Q) á ¬®£® Q, ª®â®à ï ¥áâì á㬬 ªà¨¢¨§ ¥£® ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨. (ω(Q) ¥áâì ªà¨¢¨§ § ¬ëª ¨ï Q P .)
᫨ β , . . . , βn | ã£«ë £à ¨æ¥ Q, â® ¤«ï ω(Q) ¨¬¥¥¬ 1
n X
( ) = 2π − (π − βi ).
ω Q
(3)
i=1
Ǒ®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠i-© ¢¥àè¨ë £à ¨æ¥ á« £ ¥âáï ¨§ 㣫 βi Q ¨ 㣫 αi P ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, à §¢¥à⪥ R. Ǒ®í⮬㠪ਢ¨§ â ª®© ¢¥àè¨ë ¥áâì ω = 2π − αi − βi, á㬬 íâ¨å ªà¨¢¨§ ¡ã¤¥â X
ωi
=
i
n X i=1
(2π − αi − βi).
(4)
ª« ¤ë¢ ï (3) ¨ (4), ¯®«ã稬 ¤«ï áã¬¬ë ªà¨¢¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨ ¢ëà ¥¨¥ ( ) = 2π −
ω Q
X
(π − β i ) +
X i
(2π − αi − βi) = 2π −
X i
(αi − π),
(5)
¨ â ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î ¢á¥ 㣫ë αi > π ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ¨å > π, â® ω (Q) < 2π. (6) ª ª ª ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¢á类© ¢¥àè¨ë ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2π , ã£«ë £à ¨æ¥ P ¥ ¬¥ìè¥ π , â® ã Q ¢á¥ 㣫ë, ¯à®â¨¢, ¥ ¡®«ìè¥ π. Ǒ®í⮬ã, ᮣ« ᮠ⥮६¥ 4, ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨ Q ᮥ¤¨¨¬ë «¨¨¥©, ªà âç ©è¥© ¢ Q ¨ ¯à®å®¤ï饩 ¢ãâਠQ. Ǒ®«ì§ãïáì ⥬ ¥ ¯à¨¥¬®¬ ýá१ ¨ïþ 㣫 , ¬¥ì襣® π, ª ª®© ¡ë« ¯à¨¬¥¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 4, «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ªà âç ©è ï ¢ Q «¨¨ï AB , ᮥ¤¨ïîé ï «î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ A, B ¨§ Q, «¨¡® 楫¨ª®¬ ¯à®å®¤¨â ¢ãâਠQ (¨áª«îç ï, ¬®¥â ¡ëâì, ¥¥ ª®æë, ¥á«¨ ®¨ «¥ â £à ¨æ¥), «¨¡® ᮢ¯ ¤ ¥â á ®â१ª®¬ £à ¨æë ¬®£®£à ¨ª Q. ª ¯®ª § ® ¢ ¯ 1 § 8 £« ¢ë I, ªà âç ©è ï, ¯à®å®¤ïé ï ¢ãâà¨ à §¢¥à⪨, ¥ ¬®¥â ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ â®çªã, £¤¥ á㬬 㣫®¢ < 2π.
᫨ ¥ ¢ãâà¥ïï â®çª X ªà âç ©è¥© AB «¥¨â £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª Q, â® á㬬 㣫®¢ ¢®ªà㣠¥¥ â ª¥ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¬¥ìè¥ 2π. ¥©á⢨⥫ì®, ¨ ç¥ ã£®« ¯à¨ X á® áâ®à®ë Q ¡ë« ¡ë ¬¥ìè¥ π , ¯®â®¬ã çâ® á® áâ®à®ë P ® ¯® ãá«®¢¨î > π; ⮣¤ 㣮« ¯à¨ X ¬®® ¡ë«® ¡ë á१ âì ¢ Q, ᮪à ⨢ ⥬ á ¬ë¬ ªà âç ©èãî AB , çâ® ¥¢®§¬®® ¯® á ¬®¬ã ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î. o
236
. .
â ª, ¢á¥ ã£«ë £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª Q ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π, ¨ ª ¤ãî ¯ àã â®ç¥ª ¨§ Q ¬®® ᮥ¤¨¨âì ¢ Q ªà âç ©è¥© «¨¨¥©, ¥ ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì ⥯¥àì A ¨ B | ¤¢¥ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª Q, ïî騥áï ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ¯ãáâì ¨å ªà¨¢¨§ë ¡ã¤ãâ ωA, ωB . ë ¤®ª § «¨, çâ® á㬬 ªà¨¢¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨, ¯à¨ ¤«¥ é¨å Q, ¬¥ìè¥ 2π, ¯®â®¬ã ωA + ωB (7) 2 < π. Ǒ஢¥¤¥¬ ªà âç ©èãî ¢ Q «¨¨î AB . Ǒ®áâந¬ ¯«®áª®á⨠¤¢ à ¢ëå âà¥ã£®«ì¨ª A′ B ′C ′ , A′′ B ′′C ′′ á ®á®¢ ¨ï¬¨ A′ B ′ = A′′ B ′′ = AB ¨ á 㣫 ¬¨ ωA ωB ′ ′′ ∠A′ = ∠A′′ = (8) 2 , ∠B = ∠B = 2 . ª ª ª (ωA + ωB ) < π, â® â ª¨¥ âà¥ã£®«ì¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ. §à¥§ ¢ P + Q ¯® «¨¨¨ AB , ¯®¤ª«¥¨¬ ª ®¡¥¨¬ áâ®à® ¬ à §à¥§ ®á®¢ ¨ï âà¥ã£®«ì¨ª®¢ A′ B ′C ′ , A′′ B ′′ C ′′ â ª, çâ®¡ë ¨å ¢¥àè¨ë A′ , A′′ ¨ B ′, B ′′ ᮢ¯ «¨ ᮮ⢥âá⢥® á â®çª ¬¨ A ¨ B . áâ «ìë¥ ¥ áâ®à®ë âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ᪫¥¨¬ ¤àã£ á ¤à㣮¬: A′ C ′ á A′′ C ′′ ¨ B ′ C ′ á B ′′ C ′′ . ª¨¬ ¯ã⥬ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢¬¥áâ® P + Q ®¢ãî à §¢¥àâªã P + Q′ ¨«¨ R + Q′ . Ǒਠí⮬ ª ¯®«ë¬ 㣫 ¬ ¢®ªà㣠â®ç¥ª A ¨ B ¤®¡ ¢«ïîâáï 㣫ë, à ¢ë¥ ¨å ªà¨¢¨§ ¬ ωA , ωB , â. ¥. ª ª à § á⮫쪮, ᪮«ìª® ¥ å¢ â «® ¤® 2π. Ǒ®í⮬ã â®çª¨ A ¨ B ¯¥à¥áâ îâ ¡ëâì ¢¥àè¨ ¬¨. ® ¯®ï¢«ï¥âáï ®¢ ï ¢¥àè¨ C = C ′ = C ′′ á ªà¨¢¨§®© ωC , à ¢®© á㬬¥ ªà¨¢¨§ ωA , ωB . ¥©á⢨⥫ì®, ¢á«¥¤á⢨¥ (8) ωA + ωB ∠C ′ = ∠C ′′ = π − 2 , á㬬 ¥ íâ¨å 㣫®¢ ¥áâì ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠C , â. ¥. 2π − ωC , ®âªã¤ ωC = ωA + ωB . (9) Ǒ®áª®«ìªã á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å ¢ãâ२å â®ç¥ª ªà âç ©è¥© AB à ¢ë 2π, â® ¯à¨ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¨ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ A′ B ′C ′ ¨ A′′B ′′ C ′′ ª à §à¥§ã ¯® AB ¨ª ª¨å ¢¥àè¨ í⮬ à §à¥§¥ ¥ ¯®ï¢¨âáï. â ª, á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å â®ç¥ª ¡ã¤ãâ 6 2π, â ª ª ª ã£«ë £à ¨æ¥ P > π, â® ã Q′ ®¨ 6 π. ª¨¬ ®¡à §®¬, ã à §¢¥à⪨ Q ®¤ã ¢¥àè¨ã ¬¥ìè¥, 祬 ã Q′ , ® ¢á«¥¤á⢨¥ (9) ªà¨¢¨§ ¥¥ â ¥, çâ® ã Q, ¨ ã£«ë £à ¨æ¥ â®¥ 6 π. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ã Q′ ¥áâì ¡®«¥¥ ®¤®© ¢¥àè¨ë, â®, ¯®¢â®àïï â® ¥ ¯®áâ஥¨¥, 1 2
. V:
§ 1.
237
¯à¨¤¥¬ ª à §¢¥à⪥ Q′′ ¨ â. ¤., ¯®ª ¥ ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã S , ã ª®â®à®© ⮫쪮 ®¤ â®çª O ¥áâì (áãé¥á⢥ ï) ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R + S (¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, ¢¥àè¨ áª«¥¥®£® ¨§ ¥¥ ¬®£®£à ¨ª ; â ª®© ¬®£®£à ¨ª áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ í⮩ à §¢¥à⪨ ¥ ¯à¥¢®á室ïâ 2π). §¢¥à⪠R ¯à¨ í⮬ ¯®áâ஥¨¨ ®áâ « áì ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï. Ǒãáâì â®çª O «¥¨â ¢ãâਠS . ®£¤ á㬬ë 㣫®¢ ¢ à §¢¥à⪥ R + S ¢®ªà㣠¢á¥å â®ç¥ª ®¡é¥© £à ¨æ¥ L à §¢¥à⮪ R ¨ S ¡ã¤ãâ à ¢ë 2π, ¯®â®¬ã 㣫ë S ¡ã¤ãâ β = 2π − α , . . . , βn = 2π − αn , (10) £¤¥ αi | 㣫ë R. Ǒ஢¥¤¥¬ ªà âç ©èãî OA , ᮥ¤¨ïîéãî â®çªã O á ¢¥à訮© A £à ¨æë à §¢¥à⪨ S . ª ª ª à §¢¥à⪠S ¥ ¨¬¥¥â áãé¥á⢥ëå ¢¥àè¨, 1
1
1
1
S′ O β′1
T
A′1
S′=S″ O
S″ β″1
A′1
A″1
T
A″1 a)
O
A′=A ″1 1
b)
v)
¨á. 103
¯®¬¨¬® O, â®, à §à¥§ ¢ S ¯® OA′ , ¥¥ ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ¯à¨ç¥¬ ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª S (à¨á. 103, ).
£® ã£«ë ¡ã¤ãâ β , . . . , βn ¨ 㣫ë β ′ , β ′′ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A′ , A′′ , ¯à¨ç¥¬ β ′ + β ′′ = β = 2π − α . (11) 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
⌢
§ á®®â®è¥¨© (10) á«¥¤ã¥â, çâ® «®¬ ï A′ A′′ ¨ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª «®¬ ï L , ¯®«ãç ¥¬ ï à §¢®à 稢 ¨¥¬ «®¬ ®© L, ®£à ¨ç¨¢ î饩 à §¢¥àâªã R. Ǒ®í⮬ã, ¯à®¢®¤ï ®â१®ª A′ A′′, ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª S ′′, ®£à ¨ç¥ë© í⨬ ®â१ª®¬ ¨ «®¬ ®© L . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ãá«®¢¨¥ 襩 â¥®à¥¬ë ¢ë¯®«¥®.′′
᫨ ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¯®«ãç ¥âáï ¨§ S ′ ¯à¨¡ ¢«¥¨¥¬ âà¥ã£®«ì¨ª T = OA′ A′′ (à¨á. 103, ), â® íâ® ®§ ç ¥â, ¢®-¯¥à¢ëå, çâ® S ′ = S ′′ − T , 1
0
1
1
1
0
1
1
238
. .
¢®-¢â®àëå, ä®à¬ã« (11) ®§ ç ¥â, çâ® ãá«®¢¨¥ 襩 â¥®à¥¬ë ® á㬬¥ 㣫®¢ γ = β ′ , γ = β ′′ ¬®£®ã£®«ì¨ª S ′ = S ′′ − T ¯à¨ ¢¥àè¨ å A′ , A′′ ¢ë¯®«¥®.
᫨ ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª S ′′ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ S ′ ¢ëç¨â ¨¥¬ âà¥ã£®«ì¨ª OA′ A′′ (à¨á. 103, ¡ ), ⮠㣫ë γ , γ ¯à¨ ¥£® ¢¥àè¨ å A′ , A′′ ¬¥ìè¥, 祬 ã S ′ ; ¢ ªà ©¥¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ âà¥ã£®«ì¨ª OA′ A′′ ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª (à¨á. 103, ¢), â® S ′′ ¨ S ′ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ®í⮬ã â ª ¨«¨ ¨ ç¥ 1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
γ1 6 β1′ ,
¨ ¢á«¥¤á⢨¥ (11)
1
1
1
γ2 6 β1′′
+ γ 6 2π − α . ®£¤ , ¤ ¥ ¥ ¢ë१ ï ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª S ′′ ¨ª ª®£® âà¥ã£®«ì¨ª T , ¯®«ãç ¥¬, çâ® ãá«®¢¨¥ 襩 â¥®à¥¬ë ¢ë¯®«¥®. (®®, ª®¥ç®, ¢ë१ âì ¨§ S ′′ ᪮«ì 㣮¤® 㧪¨© âà¥ã£®«ì¨ª, ¨ ⮣¤ 㣫ë γ , γ ⮫쪮 㬥ìè âáï.) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ®, çâ® ¥á«¨ áãé¥á⢥ ï ¢¥àè¨ O «¥¨â ¢ãâà¨ à §¢¥à⪨ S , â® ãá«®¢¨ï , ¢ë¯®«¥ë. Ǒãáâì ⥯¥àì O «¥¨â £à ¨æ¥ à §¢¥à⪨ S . ®£¤ ¢ãâਠS ¢®¢á¥ ¥â áãé¥á⢥ëå ¢¥àè¨, ¨ ¯®â®¬ã S á ¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¬®£®ã£®«ì¨ª á 㣫 ¬¨ βi = 2π − αi ¯à¨ ¢á¥å £à ¨çëå ¢¥àè¨ å, ªà®¬¥ A = O; 㣮« ¥ ¯à¨ A = O ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, γ 6 2π − α . «¥¤®¢ ⥫ì®, §¤¥áì ¯®«ãç ¥âáï ª ª à § â®â á«ãç ©, ª®£¤ «®¬ ï L § ¬ªãâ . ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¬®£®ã£®«ì¨ª S , 㣮« ¯à¨ ¥¥ ᮢ¯ ¤ îé¨å ª®æ å ¥áâì γ 6 2π − α . ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ ¯®«®áâìî ¤®ª § . ⮨⠧ ¬¥â¨âì, çâ® ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨© , í⮩ â¥®à¥¬ë «¥£ª® ¯à®¢¥à塞® ¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨ R. «ï ãá«®¢¨ï í⮠ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤®, ¯®â®¬ã çâ® ¯®áâ஥¨¥ «®¬ ®© L ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â âà㤠, ª®£¤ £à ¨çë¥ à¥¡à ¨ 㣫ë αi § ¤ ë. «ï ãá«®¢¨ï íâ® â ª¥ ¯à®áâ®. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ãá«®¢¨¥ 㥠¢ë¯®«¥®, ′â ª′′ çâ® ¨¬¥¥âáï ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ®£à ¨ç¥ë© «®¬ ®© L ¨ ®â१ª®¬ A A . Ǒ஢¥¤ï ¨§ γ1
2
1
1
2
1
1
1 0
1
7)
0
0
1
1
7) Ǒਥ¬ ᢥ¤¥¨ï ¤¢ãå ¢¥àè¨ ¢ ®¤ã ¯ã⥬ ᪫¥¨¢ ¨ï âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¯à¨¬¥¥ë© ¢ í⮬ ¤®ª § ⥫ìá⢥, ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§ë¬ ¨ ¢ ¤àã£¨å ¢®¯à®á å. ª, ¯à¨¬¥à, ¯®«ì§ãïáì ¨¬, ¬®® ¤®ª § âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: ¯ãáâì ¤ è ¯®çª á ªà¨¢¨§®© ω < 2π ; ¯ãáâì ¥¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ¡ã¤ãâ a1 , . . . , an ¨ 㣫ë α1 , . . . , αn ; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯¨à ¬¨¤ «ì ï è ¯®çª (â.¥. ¡®ª®¢ ï ¯®¢¥àå®áâì ¯¨à ¬¨¤ë) á ⥬¨ ¥ ¤ 묨 a1 , . . . , an ¨ α1 , . . . , αn , ¯à¨ç¥¬ ® ¨¬¥¥â ¨¡®«ìèãî ¯«®é ¤ì á।¨ ¢á¥å è ¯®ª á í⨬¨ ¤ 묨. «¥¥, ®âáî¤ ¬®® ¢ë¢¥á⨠¨ â ªãî ⥮६ã: á।¨ ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, £®¬¥®¬®àäëå ªàã£ã ¨ ¨¬¥îé¨å ¤ ãî ªà¨¢¨§ã ω < 2π, ¤ ë© ¯¥à¨¬¥âà ®£à ¨ç¨¢ î饩 «®¬ ®© ¨ ç¨á«® ¢¥àè¨, ¥ ¡®«ì襥 ¤ ®£® n, ¨¡®«ìèãî ¯«®é ¤ì ¨¬¥¥â ¡®ª®¢ ï ¯®¢¥àå®áâì ¯à ¢¨«ì®© (n − 1)-£à ®© ¯¨à ¬¨¤ë ¨ ⮫쪮 ® , ¥ áç¨â ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¥© ¨§®¬¥âà¨çëå. ®ª § ⥫ìá⢠¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î.
. V:
§ 1.
239
á¥à¥¤¨ë í⮣® ®â१ª ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ¢ãâàì Q, ¢®§ì¬¥¬ ¯¥à¢ãî â®çªã B ¥£® ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á «®¬ ®© L . Ǒ®áâந¬ âà¥ã£®«ì¨ª BA′ A′′; íâ® ¡ã¤¥â ¨¡®«ì訩 à ¢®¡¥¤à¥ë© âà¥ã£®«ì¨ª T , § ª«îç î騩áï ¢ Q.
᫨ ã£«ë ¯à¨ ¢¥àè¨ å A′ , A′′ ¢ Q − T â ª®¢ë, çâ® ¨å á㬬 γ + γ 6 2π − α , â® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥®.
᫨ ¥ γ + γ > 2π − α , â® ®® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢ë¯®«¥®, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¢á类¬ ¬¥ì襬 âà¥ã£®«ì¨ª¥ T á㬬 㣫®¢ γ + γ ¡ã¤¥â ¥é¥ ¡®«ìè¥. 6. «¥¤ãîé ï ⥮६ ¤ ¥â ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï ç áâìî ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¨ ª®â®àë¥ ¢ ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥ ¯à®â¨¢®¯®«®ë ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë 8. 0
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
¥®à¥¬ 9.
Ǒãáâì
¢ îé ï ¥¥ «®¬ ï,
0
R
L
| à §¢¥à⪠, £®¬¥®¬®àä ï ªàã£ã,
L
| ®£à ¨ç¨-
| «®¬ ï, ¯®«ãç¥ ï à §¢®à 稢 ¨¥¬ «®¬ ®©
A1 ,
¯ãá⨬, çâ® ¨§ ª®æ®¢ «®¬ ®©
¬®® ¯à®¢¥á⨠¤¢ «ãç l1 , l2 â ª, çâ®:
L0
㣮« ¯à¨ ª®â®à®© ®¡®§ 稬
α1 .
L,
à §®à¢ ®© ¢ ª ª®©-«¨¡® ¢¥à訥
®-
) ¢¬¥áâ¥ á «®¬ ®© L ®¨ ®£à ¨ç¨¢ îâ ¡¥áª®¥çë© (¬®¥â ¡ëâì, á ¬®¯¥à¥ªàë¢ î騩áï) ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, «¥ 騩 á ¢¥è¥© áâ®à®ë L ; ) á㬬 㣫®¢ γ , γ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯à¨ ª®æ å «ã祩 l , l à ¢ (¨«¨ ¬¥ìè¥) 2π − α . ®£¤ ¨§ à §¢¥à⪨ R ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï ç áâìî ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì α , . . . , αn | 㣫ë à §¢¥à⪨ R ¯à¨ A3 ¢¥àè¨ å «®¬ ®© L. ¨ ¥ ¡ã¤ãâ 㣫 A′1 ¬¨ á ¢ãâ॥© áâ®à®ë «®¬ ®© L . £A2 β3 γ1 «ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢥® A″1 γ2 β = 2π − α , . . . , βn = 2π − αn ¨ γ , γ , ¯à¨= β2 2π − α2 祬 γ + γ 6 2π−α (à¨á. 104). ⮤¥á⢨¢ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë l , l ¬®£®ã£®«ì¨ª Q l1 l2 ¤àã£ á ¤à㣮¬, ª®¥çë¥ ¥£® áâ®à®ë á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ à §¢¥à⪨ R, ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã R + Q, £®¬¥®¬®àäãî ¯«®áª®áâ¨. ᨫã ãá«®¢¨©, «®¥ëå ã£«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¢ í⮩ à §¢¥à⪥ á㬬ë 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨ ¨á. 104 ¡ã¤ãâ 6 2π ¨ ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. áâì ¥£®, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¤ ®© à §¢¥à⪥ R, ¡ã¤¥â ᪫¥¥ë¬ ¨§ ¥¥ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¨ ⥮६ ¤®ª § . á«®¢¨¥ ⥮६ë 9 ¤«ï ª ¤®© ¤ ®© à §¢¥à⪨ ¤®¯ã᪠¥â ¯àï¬ãî ¯à®¢¥àªã. §¢¥à㢠«®¬ ãî L, ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ®¤®£® ¥¥ ª®æ «ãç l â ª, ç⮡ë 㣮« γ á ¢¥è¥© áâ®à®ë ®â L ¡ë« ¨¬¥ì訬, ¯à¨ ª®â®à®¬ l , ¢¥è-′′ ïï áâ®à® «®¬ ®© L ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ ª ª®©-¨¡ã¤ì «ãç l ¨§ â®çª¨ A ¬®£«¨ ®£à ¨ç¨¢ âì ¥ª®â®àãî ®¡« áâì, ¡ëâì ¬®¥â, ¨ «¥£ îéãî á ¬ã 0
0
1
2
1
2
1
1
0
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
0
0
1
1
1
240
. .
ᥡï. (®§¬®®áâì ¯à®¢¥á⨠⠪®© «ãç l ¯à®¢¥àï¥âáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¤¥©á⢨©, å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, çâ® ¯à®¢¥àªã ¤® ¯à®¢®¤¨âì «¨èì ¤«ï ª®¥ç®£® ç¨á« á®ç¥â ¨© «ã祩 l , l, ¨¤ãé¨å ¢ ¢¥àè¨ë «®¬ ®© L .) ⥬ ¯à®¢®¤¨¬ ¨§ â®çª¨ A′′ «ãç l , ®¡à §ãî騩 á ¢¥è¥© áâ®à®®© «®¬ ®© L 㣮« γ = 2π − α − γ .
᫨ ¯à¨ í⮬ «ãç¨ l , l ¨ «®¬ ï L ®£à ¨ç â «¥ 騩 á ¢¥è¥© áâ®à®ë ®â L ¡¥áª®¥çë©, ¢®§¬®® «¥£ î騩 ᥡï, ¬®£®ã£®«ì¨ª Q (à¨á. 105, ), â® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥®. ®§¬®®, ®¤ ª®, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¥ ¯®«ãç¨âáï. â® ¬®¥â ¯à®¨§®©â¨ ¯® ¥áª®«ìª¨¬ ¯à¨ç¨ ¬: 1) «ãç¨ l , l ¨ ¢¥èïï áâ®à® «®¬ ®© L ®£à ¨ç â ª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª (à¨á. 105, ¡ ); 2) «¨¨ï L ¯¥à¥á¥ª ¥â á ¬ ᥡï â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¥ ¬®¥â ®£à ¨ç¨¢ âì ¨ª ª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, «¥ 饣® á ¥¥ ¢¥è¥© áâ®à®ë (à¨á. 105, ¢); 3) «ãç l ¨«¨ l ¯¥à¥á¥ª ¥â «®¬ ãî L â ª, çâ® ¢¬¥á⥠á L ¥ ¬®¥â ®£à ¨ç¨¢ âì «¥ éãî á ¢¥è¥© áâ®à®ë ®â L ®¡« áâì (à¨á. 105, £). 1
0
1
2
1
0
2
1
1
1
1
0
0
2
0
2
0
1
L A′1
0
A″1
l2
0
0
A′1
A″1
A′1
γ2
γ1 l1
0
2
l2
l1
A″1
l1
l2
A″1
A′1 l1
l2
Q
a)
°)
¢)
£)
¨á. 105
® ¢á¥å á«ãç ïå 1{3 ãá«®¢¨ï ⥮६ë 9 ¥ ¡ã¤ã⠢믮«¥ë ¨ ¨ ¯à¨ ª ª®¬ ¤à㣮¬ ¢ë¡®à¥ «ãç l , ¨¤ã饣® ¨§ A′ . ¥©á⢨⥫ì®, 㬥ìè âì γ ¥«ì§ï, 㢥«¨ç¨¢ ï γ , ¤® 㬥ìè âì γ , çâ® ¥ ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ãáâà ¥¨î ª ª®£®-«¨¡® ¨§ á«ãç ¥¢ 1{3. Ǒ®áª®«ìªã ¯®«ãç ¥¬ë© ¢ ⥮६¥ 9 ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ç áâì ¡¥áª®¥ç®£®, â® ¥£® ªà¨¢¨§ ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2π. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ â¥®à¥¬ë § ¢¥¤®¬® ¯à¨«®¨¬® «¨èì ª à §¢¥à⪠¬ á ªà¨¢¨§®© 6 2π. ®¯à®á ® ⮬, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 9 ¢¬¥áâ¥ á ®£à ¨ç¥¨¥¬ ªà¨¢¨§ë ®ª §ë¢ îâáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨, ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬, ¥ áç¨â ï á«¥¤ãî饣® ¯à®á⮣® á«ãç ï. ®¯ãá⨬, çâ® ¢á¥ 㣫ë αi à §¢¥à⪨ R, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¥â, ®¤®£® αi , ¥ ¯à¥¢®á室ïâ π. í⮬ á«ãç ¥ «®¬ ï L ¡ã¤¥â ¯®«ãç âìáï ¢ë¯ãª«®© ¢® 1
1
1
1
2
0
. V:
§ 1.
241
¢¥èîî áâ®à®ã ¨ γ ¬®® ¢§ïâì à ¢ë¬ ã«î.
¤¨áâ¢¥ë¬ ¯à¥¯ïâá⢨¥¬ ª ¯®áâ஥¨î âॡ㥬®£® ⥮६®© 9 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬®¥â ¡ëâì «¨èì á«ãç © 1 ¢ à¨á. 105, ¡. ®£à ¨ç¥®¬ §¤¥áì «®¬ ®© L ¨ «ãç ¬¨ l , l ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ 㣫ë áãâì γ = 0, γ = 2π − α , ¤ «¥¥ 2π − α , . . . , 2π − αn ¨, ª®¥æ, 㣮« ϕ ¬¥¤ã l ¨ l . 㬬 ¢á¥å 㣫®¢ (n + 2)-㣮«ì¨ª à ¢ nπ ; ¯®í⮬ã n P (2π − αi) + ϕ = nπ, ¨ â ª ª ª ϕ > 0, â® 1
0
1
2
1
1
1
2
1
2
i=1
n X i=1
(π − αi) < 0.
(12)
¬¥á⥠á ⥬, ¥á«¨ ω ®¡®§ ç ¥â á㬬㠪ਢ¨§ ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R, â® ¯® ⥮६¥ 2 § 8 £« ¢ë I n X i=1
(π − αi ) = 2π − ω,
çâ® ¢¬¥á⥠á (12) ¤ ¥â ω > 2π. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®áâ஥¨¥ ¥¢®§¬®® «¨èì ¯à¨ ω > 2π. â® ¯à¨¢®¤¨â á ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: ¥®à¥¬ 10.
᫨ ã à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 ªàã£ã, ¢á¥ ã£«ë £à -
¨æ¥, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, ®¤®£®, ¥ ¯à¥¢®á室ïâ à¥¨å ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ ¥ ¯à¥¢®á室¨â
π
¨ á㬬 ªà¨¢¨§ ¢ãâ-
2π, â® ¨§ â ª®© à §¢¥à⪨ ¬®®
᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï ç áâìî ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª .
7. ¥®à¥¬ë 9 ¨ 10 ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡®¡é¥ë à §¢¥à⪨ R, ®£à ¨ç¥ë¥ ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨 Li , ¯®â®¬ã çâ® ¨ ç¥, ¯®¤ª«¥¨¢ ï ª ª ¤®© «®¬ ®© Li ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Qi, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë ¡¥áª®¥çãî à §¢¥àâªã, ¥ £®¬¥®¬®àäãî ¯«®áª®áâ¨. § â ª®© à §¢¥à⪨ § ¢¥¤®¬® ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ªà®¬¥ à §¢¥ ¡¥áª®¥ç®© ¯à¨§¬ë. ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ á ¬ à §¢¥à⪠R ¯à¥¤áâ ¢«ï« ¡ë ᮡ®© ⮫쪮 ç áâì â ª®© ¯à¨§¬ë ¨ ¨¬¥« ªà¨¢¨§ã, à ¢ãî ã«î. Ǒ® â ª®© ¥ ¯à¨ç¨¥ ⥮६ë 9 ¨ 10 ¥ ®¡®¡é îâáï ¡¥áª®¥çë¥ à §¢¥à⪨, ¥ áç¨â ï â¥å, ¨§ ª®â®àëå ᪫¥¨¢ ¥âáï ç áâì ¡¥áª®¥ç®© ¯à¨§¬ë. ®«¥¥ ⮣®, ¬®® ¤®ª § âì, çâ®, ¨áª«îç ï à §¢¥à⪨, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ᮡ®© ç áâì ¡¥áª®¥ç®© ¯à¨§¬ë, ¨ ¤«ï ª ª®© à §¢¥à⪨, ªà®¬¥ £®¬¥®¬®à䮩 ªàã£ã, ãá«®¢¨ï ⥮६ 9 ¨ 10 ¢®®¡é¥ ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë¯®«¥ë. â® ¢ á«ãç ¥ à §¢¥à⪨, ®£à ¨ç¥®© ¥áª®«ìª¨¬¨ § ¬ªãâ묨 ¨«¨ ¡¥áª®¥ç묨 «®¬ 묨 Li , ¤«ï ª ¤®© ¨§ íâ¨å «®¬ ëå ¬®® ¯à¨¬¥ïâì ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï ⥮६ 4{10 ¨ ¯®«ãç¨âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡éãî ⥮६ã, ®å¢ âë¢ îéãî ¢á¥ íâ¨ â¥®à¥¬ë ¢ ç á⨠¤®áâ â®ç®á⨠¨å ãá«®¢¨©.
242
. .
8. § ª«î票¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à®¢ à §¢¥à⮪, ¨§ ª®â®àëå ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª¨å ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, å®âï ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⥬ § ¢¥¤®¬® ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ 1{3, ª ª¨¥ ¡ë«¨ 㪠§ ë ¥é¥ ¢ ¯ 1. à¨á. 106 ¨§®¡à ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¯¥à¥ªàë¢ î騩áï á ¬ á ᮡ®©.
᫨ ¥£® à §à¥§ âì âà¥ã£®«ì¨ª¨, â® ¯®«ã稬 à §¢¥àâªã ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥, ¨§ ª®â®à®©, ®¤ ª®, ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¥á«¨ áâ®à® a ¤®áâ â®ç® ¬ « . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ᮠ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®© áâ®à®®© a ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, â® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¯à¨ ¨á祧 î饩 áâ®à®¥ a ¨§ ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯®«ãç « áì ¡ë ®¡« áâì ¥ª®â®à®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨, çâ® § ¢¥¤®¬® ¥¢®§¬®®, ¯®â®¬ã çâ® §¤¥áì á㬬 㣫®¢ ¯à¨ â®çª¥ a ¡®«ìè¥ 2π . o
8)
a
¨á. 106
a)
b)
¨á. 107
ਢ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q à ¢ ã«î, ¨ ¯®â®¬ã ¤ ë© ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤ ¥ ¨§ à §¢¥à⪨ ã«¥¢®© ªà¨¢¨§ë ¥ ¢á¥£¤ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ®¯à®á ® ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ãá«®¢¨ïå, ¯à¨ ª®â®àëå íâ® ¢®§¬®®, ®áâ ¥âáï ᮢ¥à襮 ®âªàëâë¬. à¨á. 107, ¨§®¡à ¥ ¯à ¢¨«ìë© â¥âà í¤à, ã ª®â®à®£® ®â ®¤®© £à ¨ ®â१ âà¥ã£®«ì¨ª T .
᫨ ª ªà ï¬ ¢ë१ ¯à¨áâ ¢¨âì ®¢ë¥ £à ¨, ª ª, ¯à¨¬¥à, à¨á. 107, ¡, â® ¯®«ã稬 ¥¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P , ª®â®àë© ¥«ì§ï ¨§®£ãâì ¢ ¢ë¯ãª«ë©. Ǒ®í⮬㠨§ à §¢¥à⪨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ®ª § ⥫ìá⢮ 8) â¥à¥á® ¥¯®á।á⢥® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q á ®â®á¨â¥«ì® ®ç¥ì ¬ «®© áâ®à®®© a ¥ ¬®¥â ¡ëâì «®¥ ¨ ª ª®© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. Ǒਠ᪮«ì ¬ «ëå a áâ㯠¥â â ª®¥ ¥¨¥?
. V:
§ 2.
Ǒ
243
®á®¢ ® ⮬, çâ® â¥âà í¤à á 㤠«¥ë¬ âà¥ã£®«ì¨ª®¬ T ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¨§£¨¡ ¨©, â. ¥. ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ª ª®£® ¨§®¬¥âà¨ç®£®, ® ¥ à ¢®£® ¥¬ã ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . â® «¥£ª® ¯à®¢¥à塞®¥ ã⢥थ¨¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ⥮६ë, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¤®ª § ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥ (⥮६ 3 § 2). ¬¥á⥠á ⥬, ¥á«¨ ¡ë áãé¥á⢮¢ « ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¨§®¬¥âà¨çë© ¬®£®£à ¨ªã P , â® ¥£® ç áâì, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï â¥âà í¤àã á ¢ë१®¬ T , ¡ë« ¡ë ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¨§®¬¥âà¨çë¬, ® ¥ à ¢ë¬ â¥âà í¤àã á ¢ë१®¬. ¥®à¥¬ 3 § 2 ¯®§¢®«ï¥â ¯®áâநâì ᪮«ìª® 㣮¤® ¯®¤®¡ëå ¯à¨¬¥à®¢ à §¢¥à⮪, ¨§ ª®â®àëå ¥«ì§ï ᪫¥¨âì ¨ª ª®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . § 2. §£¨¡ ¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
1. ®¢®àï, çâ® ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¨§£¨¡ ¨î, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt, ¨§®¬¥âà¨çëå, ® ¥ à ¢ëå P . ®ç¥¥, í⮠ᥬ¥©á⢮ ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨: 1) ª ¤®¬ã § ç¥¨î ¯ à ¬¥âà t ¨§ ¥ª®â®à®£® ¯à®¬¥ã⪠, ᪠¥¬ 0 6 t 6 1, ®â¢¥ç îâ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª Pt ¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕt ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P Pt, ¯à¨ç¥¬ P = P ¨ ϕ ¥áâì ⮤¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ P á ¬®£® ᥡï, a ϕt ¯à¨ t 6= 0 ¥ ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î; 2) ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt ¥¯à¥à뢮, â. ¥. ¯à¨ t → t â®çª¨ ϕt(X ) ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 «î¡®© ¤ ®© â®çª¥ X ¬®£®£à ¨ª P , á室ïâáï ¢ â®çª¥ ϕt0 (X ) ¬®£®£à ¨ª Pt0 . «ìè¥ â¥à¬¨ ý¨§£¨¡ ¨¥þ ¯®¨¬ ¥âáï ¨¬¥® ¢ í⮬ á¬ëá«¥, â ª çâ® ¨§£¨¡ ¨ï, àãè î騥 ¢ë¯ãª«®áâì ¨«¨ ¯à¥¢à é î騥 ¬®£®£à ¨ª ¢ ¥¬®£®£à ¨ª, ¨áª«îç îâáï. á直© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥â ¥¯à¥à뢮¥ ¨§£¨¡ ¨¥ á àã襨¥¬ ¢ë¯ãª«®áâ¨, ¤®áâ â®ç® ¥¯à¥à뢮 ¯à®¤ ¢«¨¢ âì ¥£® ¢ãâàì ¢ ®ªà¥áâ®áâì «î¡®© ¢¥àè¨ë . § 3 ¨ 5 £« ¢ë III ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ª®¥çë¥ á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 4π , ¨ ¡¥áª®¥çë¥ á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 2π , ¥ ¤®¯ã᪠îâ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨© ¯®¬¨¬® ¤¢¨¥¨© ¨ ®âà ¥¨©, ¯®â®¬ã ®¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¥¨§£¨¡ ¥¬ë. Ǒ®í⮬ã à¥çì ¬®¥â ¨¤â¨ ⮫쪮 ®¡ ¨§£¨¡ ¨ïå ¬®£®£à ¨ª®¢, ª®¥çëå á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 4π, ¨ ¡¥áª®¥çëå á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 2π. ë ¯®ª ¥¬, ®¤ ª®, çâ® á।¨ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª¥ ¨¬¥îâáï ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¥ ¨ ¤ ¥ ¥ ¤®¯ã᪠î騥 ¨ª ª¨å ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à 0
0
0
9)
¨ Q0 | ¥£® ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ª á îé ïáï ⮫쪮 ¢ â®çª¥ O. ¤¢¨£ ï íâã ¯«®áª®áâì ¯ à ««¥«ì® ¢®¢ãâàì, ¯®«ã稬 ¯«®áª®á⨠Qt , ®âᥪ î騥 ®â P0 ¯¨à ¬¨¤ë Rt .
᫨ ¯à¨ ª ¤®¬ t ®âà âì ¯¨à ¬¨¤ã Rt ¢ ¯«®áª®á⨠Qt , â® ¯®«ã稬 ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt , ¨§®¬¥âà¨çëå P0 ¨ ¥¢ë¯ãª«ëå. P0
9) Ǒãáâì O | ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P0
244
. .
¥¨© ¯®¬¨¬® âਢ¨ «ìëå, â. ¥. ¯®¬¨¬® ¤¢¨¥¨© ¨ ®âà ¥¨© (⥮६ë 3 ¨ 4). ¯ 2 § 5 £« ¢ë IV ¡ë«® 㪠§ ®, çâ® ¢á直© ¯®«ë© (â.¥. ¥ ¨¬¥î騩 £à ¨æë) ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© < 2𠤮¯ã᪠¥â ¥¯à¥à뢮¥ ¨§£¨¡ ¨¥. â®â १ã«ìâ â ¬ë ¥é¥ ãâ®ç¨¬ ¢ ¯ 6. ஬¥ ⮣®, ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ¢á直© ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï ç áâìî ¨§£¨¡ ¥¬®£®, á ¬ ¤®¯ã᪠¥â ¨§£¨¡ ¨ï. Ǒ®í⮬㠮ª ¥âáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª, ïî騩áï ç áâìî ¯®«®£® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© < 2π, ¡ã¤¥â ¨§£¨¡ ¥¬ë¬. (¥®à¥¬ 7 ®¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠ç á⨠¨§£¨¡ ¥¬®£® ¬®£®£à ¨ª ¬®¥â á ç « ¯®ª § âìáï ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤®©. ¤ ª® â ª®¥ § ª«î票¥ ¡ë«® ¡ë ¯®á¯¥èë¬, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¤ ®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥ª®â®à ï ¥£® ç áâì ¬®¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ®áâ ¢ âìáï ¥¨§¬¥®©. ¥£ª® ¯®¤®¡à âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨¬¥àë; ®¤¨ ¨§ ¨å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨§£¨¡ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª , à áᬮâ८¥ ¢ ¯ 2 § 5 £« ¢ë IV. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 7, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â §¤¥áì ¤ ®, ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ â ª¨¬ 㥠¯à®áâë¬.) ¤¥« ë¥ § ¬¥ç ¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® è § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 4π, ¨ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å ªà¨¢¨§ã, ¬¥ìèãî 2π, ® ïîé¨åáï ç áâﬨ ¯®«ëå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 2π. ª ª ª ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª á®á।®â®ç¥ ¢ ¥£® ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ å, â® à¥çì ¨¤¥â ® ¬®£®£à ¨ª å, ¯®«ãç îé¨åáï ¨§ ¯®«ëå ¯ã⥬ 㤠«¥¨ï ç á⥩, ᮤ¥à é¨å å®âï ¡ë ®¤ã ¢¥àè¨ã ¢ãâਠ¨«¨ £à ¨æ¥. ë ¥ § ¥¬ íä䥪⨢ëå ãá«®¢¨©, ¥®¡å®¤¨¬ëå ¨ ¤®áâ â®çëå ¤«ï ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , â ª çâ® ¯®áâ ¢«¥ ï § ¤ ç ¥ ¡ã¤¥â à¥è¥ ¯®«®áâìî, å®âï ¨§« £ ¥¬ë¥ ¤ «¥¥ १ã«ìâ âë ¯®¤¢®¤ïâ ª â ª®¬ã ¥¥ à¥è¥¨î, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¤®¢®«ì® ¡«¨§ª® . ¯¥à¢ëå ¯®à å ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, £®¬¥®¬®àäëå ªàã£ã, â. ¥. ª®¥çëå ¨ ®£à ¨ç¥ëå ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª. â®â á«ãç © ¥ ⮫쪮 ¨¡®«¥¥ ¨â¥à¥á¥ á £«ï¤®© â®çª¨ §à¥¨ï, ® ¨ á ¬ë© å à ªâ¥àë©, ¯®â®¬ã çâ®, ª ª ¬ë ¯®â®¬ ¯®ª ¥¬, ¢á¥ ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï ¥£® १ã«ìâ âë ¯¥à¥®áïâáï ¬®£®£à ¨ª¨ ¤à㣮£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® áâ஥¨ï. 2. Ǒãáâì P | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã, ¨ L | ®£à ¨ç¨¢ îé ï ¥£® § ¬ªãâ ï «®¬ ï. Ǒãáâì Q | â ª®© £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã ¬®£®ã£®«ì¨ª, çâ® ®£à ¨ç¨¢ îé ï ¥£® «®¬ ï ¤®¯ã᪠¥â ®â®¡à ¥¨¥ ψ «®¬ ãî L á á®åà ¥¨¥¬ ¤«¨. â®, ®ç¥¢¨¤®, ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ¢¢¥¤¥¨¨, ¥á«¨ íâ® ¥®¡å®¤¨¬®, «®¬ ®© L ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Q ¤®o
o
o
10)
10) ¥¯¥àì ®¨ ¨§¢¥áâë, á¬.
[224℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. V:
§ 2.
Ǒ
245
¯®«¨â¥«ìëå ¢¥àè¨ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª ®ª §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¬¨ §¢¥ìï¬ «®¬ ®© L. ¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥, ¯®¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ à §¢¥àâªã, ¥ ¨¬¥îéãî ¢¥àè¨ ¢ãâਠ¨ â ªãî, çâ®, ¡ã¤ãç¨ áª«¥¥®©, ® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¬®£ã騩, ®¤ ª®, ¯¥à¥ªàë¢ âìáï á ¬ á ᮡ®©. ⮤¥á⢫ïï â®çª¨ £à ¨æ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ®â®¡à ¥¨¨ ψ, ¯®«ã稬 £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥ à §¢¥àâªã P + Q; £®¢®àï â ª, ¬ë ¥ ®â«¨ç ¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ®â ª ª®©«¨¡® ¥£® à §¢¥à⪨. «ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ à §¢¥à⪨ P +Q ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¯®«ë¥ 㣫ë, â. ¥. á㬬ë 㣫®¢, ¢®ªà㣠¢á¥å ¥¥ ¢¥àè¨ ¡ë«¨ 6 2π. ª ª ª íâ® ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P § ¢¥¤®¬® ¢ë¯®«¥®, a Q ¥ ¨¬¥¥â ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨, â® ®áâ ¥âáï ¯®âॡ®¢ âì, ç⮡ë á㬬ë 㣫®¢ ¯à¨ ®â®¤¥á⢫塞ëå â®çª å £à ¨æ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¥ ¯à¥¢®á室¨«¨ 2π.
᫨ íâ® ýãá«®¢¨¥ ®¡ 㣫 åþ ¢ë¯®«¥®, â® ¯®«ãç ¥¬ § ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª P = P ′ ∪ Q′ , £¤¥ ç á⨠P ′ ¨ Q′ ᮮ⢥âá⢥® ¨§®¬¥âà¨çë ¬®£®£à ¨ªã P ¨ ¬®£®ã£®«ì¨ªã Q. â® ¯®áâ஥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ª £à ¨æ¥ ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª § ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ®¤®§ ç® (á â®ç®áâìî ¤® ¤¢¨¥¨ï ¨ ®âà ¥¨ï), â® ¯à¨ ¤ ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P ®¯¥à æ¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¨ ®â®¡à ¥¨¥¬ ψ ¥£® £à ¨æ £à ¨æã ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®¤ª«¥¨¢ ¨¥ ¢á¥£¤ ¢®§¬®®. ¥©á⢨⥫ì®, á⮨⠫¨èì ¯à¨ïâì § P £à ¨æã ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ P ¥ ¨¬¥¥â ¤àã£¨å ¢¥àè¨, ¯®¬¨¬® ¢¥àè¨ á ¬®£® P ; ¯®í⮬㠤®¯®«¥¨¥ P P ¬®¥â ¡ëâì à §¢¥àãâ® ¯«®áª®áâì, ¨, ¯à¨á®¥¤¨ïï ª ¥¬ã ¥£® £à ¨æã, ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. Ǒ®¤ª«¥¨¢ ¨¥¬ í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ª ¬®£®£à ¨ªã P ¨ ¯®«ãç ¥âáï P . Ǒ®¤ª«¥¨¢ ¨¥, ®áãé¥á⢫塞®¥ â ª¨¬ ¯®áâ஥¨¥¬, ¬®® §¢ âì âਢ¨ «ìë¬. Ǒ®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q′ á ®â®¡à ¥¨ï¬¨ ψ ¨ ψ′ ¨å £à ¨æ £à ¨æã ¬®£®£à ¨ª P áç¨â îâáï ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ à §¢¥à⪨ P + Q ¨ P + Q′ ¨§®¬¥âà¨çë ¨ ¯à¨â®¬ â ª, çâ® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ à §¢¥à⪨ P + Q P + Q′ ¯¥à¥¢®¤¨â P ¢ ᥡï, a Q | ¢ Q′ . â® ®§ ç ¥â, ¢®-¯¥à¢ëå, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q′ ¨§®¬¥âà¨çë ¨ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¤«ï ¨å ¬®® à áᬠâਢ âì ¯à®áâ® ª ª ¨å «®¥¨¥, ¢®-¢â®àëå, íâ® «®¥¨¥ á®åà ï¥â ᮮ⢥âá⢨¥ £à ¨æ ′ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P . (â® ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢥® ¯®â®¬ã, çâ® ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q′ á¯®á®¡ë ¨å ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ª ¬®£®£à ¨ªã P ¬®£ãâ ¡ëâì à §«¨ç묨, â.¥. «®¥¨¥
246
. .
¬®£®ã£®«ì¨ª Q Q′ ¬®¥â ¨ ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¢ ᮢ¯ ¤¥¨¥ ⥠â®çª¨ ¨å £à ¨æ, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ (¢ á¨«ã ®â®¡à ¥¨© ψ ¨ ψ′ ) ®¤®© ¨ ⮩ ¥ â®çª¥ X £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P .) ϕ
¥®à¥¬ 1.
¨ª
P
«ï ⮣® çâ®¡ë £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à -
¤®¯ã᪠« ¥âਢ¨ «ì®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥, ¥®¡å®¤¨¬® ¨
. (¥çì ¨¤¥â ®¡ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯ãª«ë© ¥ ¬®£®£à ¨ª, ¨ â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ áç¨â ¥âáï âਢ¨ «ìë¬, ¥á«¨ ®® ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î ¨«¨ ¤¢¨¥¨î ¨ ®âà ¥¨î.) á«®¢¨¥ ¥®¡å®¤¨¬®. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¤®¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®£à ¨ª P ′. Ǒãáâì P ¨ P ′ | £à ¨æë ¢ë¯ãª«ëå ®¡®«®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′, â ª çâ® P = P ∪ Q, ′ P = P ′ ∪ Q′ , £¤¥ Q ¨ Q′ ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. á«¥¤á⢨¥ ¨§®¬¥âਨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ¬®£®£à ¨ª P ′ ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª′ १ã«ìâ â ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ª ¤ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P ¬®£®ã£®«ì¨ª Q . ¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ®â®¤¥á⢫塞 â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ′ ¨ P , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ, ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¤¢¥ à §¢¥à⪨ P + Q ¨ P + Q′ , ®¡à §®¢ ë¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥¬ ª P ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q′ . ®¯ãá⨬ ¢®¯à¥ª¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¬ã, çâ® ®¡ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ®¤¨ ª®¢ë, â ª çâ® ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ à §¢¥à⪨ P + Q P + Q′ , ¯¥à¥¢®¤ï饥 P ¢ ᥡï. â®, ®ç¥¢¨¤®, à ¢®á¨«ì® ⮬ã,′ çâ® ¨¬¥¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥′ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P = P ∪ Q P = P ∪ Q′ , ¯¥à¥¢®¤ï饥 P ¢ P . ª ª ª í⨠¬®£®£à ¨ª¨ § ¬ªãâë, â® â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ®ª §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ìë¬, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ®ª §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ìë¬ â ª¥ ®â®¡à ¥¨¥ P P ′. ®, à áᬠâਢ ï P ¨ P ′ ª ª à §¢¥à⪨, ¬ë ®â®¤¥á⢨«¨ ¨å â®çª¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨ ¤ ®¬ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ®â®¡à ¥¨¨ ϕ ¬®£®£à ¨ª P P ′. Ǒ®í⮬ã íâ® ϕ ª ª à § ¨ ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã祮¬ã âਢ¨ «ì®¬ã ®â®¡à ¥¨î. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨á室®¬ã ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¤®ª § . Ǒãáâì ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P ¤®¯ã᪠¥â, ¯®¬¨¬® âਢ¨ «ì®£®, ¥é¥ ¤à㣮¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥, â ª çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¢ § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª ′ P = P ∪ Q ¨ P = P ′ ∪ Q′ , £¤¥ P ′ ¨§®¬¥âà¨ç¥ P , a Q ¨ Q′ à §¢®à 稢 îâáï ¯«®áª®áâì ¨ P ¥áâì £à ¨æ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P . ª ′ P ¥ ¨¬¥¥â ¤àã£¨å ª ª Q′ à §¢®à 稢 ¥âáï ¯«®áª®áâì, â® ¬®£®£à ¨ª ¢¥àè¨, ¯®¬¨¬® ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P ′, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª¥ 冷áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ¤®¯ã᪠« ¥âਢ¨ «ì®¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥
11)
11) ¤¥áì ®á®¡¥® á«¥¤ã¥â à §«¨ç âì ¥âਢ¨ «ì®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ ®â
¨å ¥à ¢¥á⢠, ¯®â®¬ã çâ® ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª P ¬®¥â ′ ¤®¯ã᪠âì ¥âਢ¨ «ìë¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®â®¡à ¥¨ï ᥡï; ⮣¤ ¬®£®£à ¨ª P ¬®£ ¡ë ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ âì á P , å®âï ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¥ ¡ë«® ¡ë ¨ ⮤¥á⢥ë¬, ¨ ª ª¨¬-«¨¡® ¤à㣨¬ ¨§ âਢ¨ «ìëå.
. V:
§ 2.
247
Ǒ
¥âáï £à ¨æ¥© ¥£® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨. ® ¢¢¨¤ã ⮣®, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï à §«¨çë, ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ¥ ¨§®¬¥âà¨çë ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¥ à ¢ë. â ª ª ª ¨§ à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ á«¥¤®¢ «® ¡ë à ¢¥á⢮ ¨å ¢ë¯ãª«ëå ®¡®«®ç¥ª, â® P ¨ P ′ â ª¥ ¥ à ¢ë, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 3. ¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¯®ï⨥ ® ý¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ïþ. ®£®£à ¨ª P ¢¬¥áâ¥ á ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬ë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ Q ®¡à §ãîâ à §¢¥àâªã P + Q, ¨ ¯®¤ ¤¥ä®à¬ 樥© ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ â ª®¥ ¥¯à¥à뢮¥ ¨§¬¥¥¨¥ í⮩ à §¢¥à⪨, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¬®£®£à ¨ª P ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥ë¬, ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥ Q ¬¥ï¥âáï (®áâ ¢ ïáì, ®¤ ª®, ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬) «¨¡® á ¬ Q ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥ë¬, ® ¬¥ï¥âáï ᯮᮡ ¥£® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ª ¬®£®£à ¨ªã P . ᮢ¥à襮 áâண¨å â¥à¬¨ å ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. Ǒãáâì ª ¤®¬ã § ç¥¨î ¯ à ¬¥âà t ¢ ¯à®¬¥ã⪥ [0, 1℄ ᮯ®áâ ¢«¥® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥ (Qt, ψt ) ¬®£®ã£®«ì¨ª Qt ª £à ¨æ¥ ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P , § ¤ ®¥ ®â®¡à ¥¨¥¬ ψt £à ¨æë Qt £à ¨æã P . Ǒãáâì ¯à¨ ¢á类¬ t ¨ t → t ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Qi á室ïâáï ª Qt0 â ª, çâ® ¤«ï ¢á类© − â®çª¨ X £à ¨æ¥ P ψt (X ) → ψt−0 (X ), â. ¥. ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â®çª¨ £à ¨æ å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qt á室ïâáï ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥ £à ¨æ¥ Qt0 .
᫨ ¥ ¢á¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï (Qt , ψt ) ®¤¨ ª®¢ë ¨ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥ (Q , ψ ) âਢ¨ «ì®, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ¨¬¥¥âáï ¤¥ä®à¬ æ¨ï âਢ¨ «ì®£® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï. 0
0
1
1
0
¥®à¥¬ 2.
¨ª
P
0
«ï ⮣® çâ®¡ë £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à -
¡ë« ¨§£¨¡ ¥¬ë¬, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « ¤¥-
. ®«¥¥ ⮣®, ª ¤®© ¤¥ä®à¬ 樨 âਢ¨ «ì®£® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ®¡à â®. ®ª § ⥫ìá⢮ ®ç¥¢¨¤® ¨§ ⥮६ë 1, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ᨫ㠥¥ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª , ¨ ®¡à â®. 㮠⮫쪮 ¤®ª § âì, çâ® ®¡¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¡ã¤ãâ ®¤®¢à¥¬¥® ¥¯à¥àë¢ë. ë ®£à ¨ç¨¬áï ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ⮣®, çâ® ¥¯à¥à뢮© ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª P ¢ á¬ëá«¥ â®ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¤ ®£® ¢ ç «¥ í⮣® ¯ à £à ä . ¡à ⮥ ã⢥थ¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤®¥ á«¥¤á⢨¥ á ¬¨å ®¯à¥¤¥«¥¨©; á⮨⠫¨èì à áᬮâà¥âì ¢ë¯ãª«ë¥ ®¡®«®çª¨ P t = Pt ∪Qt ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt, ¯®«ãç¥ëå ¨§ ¤ ®£® P ¯ã⥬ ¨§£¨¡ ¨ï. «ï ⮣® çâ®¡ë ¨áª«îç¨âì ¤¢¨¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P , ¢ë¡¥à¥¬ ¥¬ âਠ¢¥àè¨ë A, B , C , ¨, § ªà¥¯¨¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®á¨ ª®®à¤¨ â x, y, z, ¯¥à¥¥á¥¬ ¬®£®£à ¨ª P â ª, çâ®¡ë ¢¥àè¨ A ¯®¯ « ¢ ç «®, B | ¯®«®¨â¥«ìãî ¯®«ã®áì x ¨ C | ¯®«ã¯«®áª®áâì y > 0 ¯«®áª®á⨠x, y. ä®à¬ æ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¥¬ã âਢ¨ «ì®£® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï
248
. .
á直© ¬®£®£à ¨ª P ′, ¨§®¬¥âà¨çë© P , ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì à ᯮ«®¥ë¬ â ª, çâ® ¯®«®¥¨ï ¥£® ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ A′ , B ′ , C ′ ¯®¤ç¨¥ë ⥬ ¥ ãá«®¢¨ï¬. «ï ⮣® çâ®¡ë ¨áª«îç¨âì ®âà ¥¨¥, ®à¨¥â¨à㥬 ¬®£®£à ¨ª P , § ¤ ¢ ¥¬ ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ª ª®£®-«¨¡® ¬ «®£® ª®âãà , ¨ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ′, ¨§®¬¥âà¨çë¥ P , ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¨§ P ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ®â®¡à ¥¨ï¬¨, á®åà ïî騬¨ ®à¨¥â æ¨î ¢¨â , ®¯à¥¤¥«¥ãî ¤ ë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®¡å®¤ ¨ ¢¥è¥© ®à¬ «ìî. ª ª ª ¯à¨ ®âà ¥¨¨ ®à¨¥â æ¨ï â ª®£® ¢¨â ¬¥ï¥âáï ®¡à âãî, â® ¤ ®¥ ãá«®¢¨¥ ¨áª«îç ¥â ®âà ¥¨¥, ¥á«¨ ¤«ï ¤ ®£® P ′ ®® ¥ ¢ë¯®«¥®, â® ¡¥à¥¬ ¢¬¥áâ® ¥£® ᨬ¬¥âà¨çë© ¬®£®£à ¨ª. ®£¤ ¤¢¨¥¨¥ ¨ ®âà ¥¨¥ ¨áª«îç¥ë, ¬®® ᪠§ âì, çâ® ¨§£¨¡ ¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⮫쪮 ¨áâ¨ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î ¬®£®£à ¨ª . (¬¥® ® â ª¨å ¨§£¨¡ ¨ïå á ¨áª«îç¥ë¬ ¤¢¨¥¨¥¬ ã⢥ठ¥âáï, çâ® ®¨ ®¤®§ ç® á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï.) Ǒãáâì ª ¤®¬ã t ¨§ ¤ ®£® ¯à®¬¥ã⪠®â¢¥ç ¥â ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Qt ª ¬®£®£à ¨ªã P , â ª çâ® í⨠¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¥¯à¥àë¢ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î âਢ¨ «ì®£®. ®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮ à §¢¥à⮪ Rt = P + Qt ¨ ᥬ¥©á⢮ ᪫¥¥ëå ¨§ ¨å § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P t = Pt ∪Qt, £¤¥ Pt ¨§®¬¥âà¨çë P . ®ª ¥¬, çâ® ¯à¨ t → t ¬®£®£à ¨ª¨ Pt á室ïâáï ª Pt0 . ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥, ¨ ¯ãáâì ¬ë ¨¬¥¥¬ â ªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì tn → t , çâ® Pt ¥ á室ïâáï ª Pt0 . ¤ ª® ¢¢¨¤ã ¥¯à¥à뢮á⨠ᥬ¥©áâ¢ à §¢¥à⮪ Rt (¯® «¥¬¬¥ 3 § 2 £« ¢ë IV) ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ P t ¬®® ¢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, á室ïéãîáï ª ¬®£®£à ¨ªã P á ¯à¥¤¥«ì®© à §¢¥à⪮© Rt0 . ª ª ª § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ à §¢¥à⪠¬¨ à ¢ë, ¤¢¨¥¨¥ ¨ ®âà ¥¨¥ ¨áª«îç¥ë, â® íâ®â ¬®£®£à ¨ª P ᮢ¯ ¤ ¥â á P t0 . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P t ¤®«ë á室¨âìáï ª P t0 . ¬¥áâ¥ á ¨¬¨ â ª¥ Pt á室ïâáï ª Pt0 ¨, ¡®«¥¥ ⮣®, ¥á«¨ X | ª ª ï-«¨¡® â®çª ¬®£®£à ¨ª P , a ϕt | ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®â®¡à ¥¨ï P Pt, â® ϕt (X ) á室ïâáï ª ϕt0 (X ). ¥©á⢨⥫ì®, ¢¢¨¤ã «®¥®£® ¢ëè¥ ¢¥àè¨ë A, B , C ãá«®¢¨ï ¨ á室¨¬®á⨠P t ª P t0 , â®çª¨ ϕt (A), ϕt (B ), ϕt (C ) § ¢¥¤®¬® á室ïâáï ª ϕt0 (A), ϕt0 (B ), ϕt0 (C ). ® § ¤ ¨¥ âà¥å â®ç¥ª ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«®¥¨¥ ¢á¥å ®áâ «ìëå â®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª Pt0 , ¯®â®¬ã ϕt (X ) → ϕt (X ) ¨ ¯à¨ ¢á类© â®çª¥ X . ⮠ᮣ« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®§ ç ¥â, ç⮠ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â १ã«ìâ â ¨§£¨¡ ¨ï ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P . â®â ¢ë¢®¤ ¢®¢á¥ ¥ âਢ¨ «¥, ¯®â®¬ã çâ® ® ®á®¢ ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ®¡é¥© à §¢¥à⪮©. ¥§ ¥¥ ¥«ì§ï ¡ëâì 㢥à¥ë¬ ¢ á室¨¬®á⨠P t ª P t, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢ ¥¯à¥à뢮á⨠¯®«ã祮£® ᥬ¥©á⢠¬®£®£à ¨ª®¢. 0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. V:
§ 2.
Ǒ
249
4. ¥®à¥¬ 2 ᢮¤¨â ¢®¯à®á ®¡ ¨§£¨¡ ¨¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ª ç¨áâ® ¯« ¨¬¥âà¨ç¥áª®© § ¤ ç¥ ® ¢®§¬®®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ¤ ®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª á á®åà ¥¨¥¬ ãá«®¢¨© ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï, â. ¥. ¢ ®á®¢®¬ á á®åà ¥¨¥¬ ¤ ëå ¢¥àå¨å £à ¨æ ¥£® 㣫®¢. «ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ íâ § ¤ ç à¥è ¥âáï ¤® ª®æ , çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã: ¥®à¥¬ 3.
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª
£® ¬®£®£à ¨ª
P
P
¯®«ãç ¥âáï ¨§ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®-
¯ã⥬ 㤠«¥¨ï ¥ª®â®à®© ¥£® ç áâ¨, ª®â®à ï ¬®¥â
¡ëâì à §¢¥àãâ ¯«®áª®áâì ¨ ¯à¥¢à é ¥âáï ⮣¤ ¢ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®-
Q, ¥á«¨ ª ¢ë१ã Q ¯à¨á®¥¤¨¨âì ¥£® £à ¨æã. ( ª ª ª Q à §¢®à 稢 ¥âáï ¯«®áª®áâì, â® ¢ãâਠ¥£® ¥â ¢¥àè¨.) 1)
᫨ £à ¨æ¥ ¢ë१ P P «¥ â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , â® ¬®£®£à ¨ª P ¨§£¨¡ ¥¬. ( ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï ¤®¯ã᪠¥âáï ¯à®áâ® ¤à¥§ ¬®£®£à ¨ª P ¯® £¥®¤¥§¨ç¥áª®© «¨¨¨, ᮥ¤¨ïî饩 ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨ë.) 2)
᫨ £à ¨æ¥ ¢ë१ P P «¥ â ⮫쪮 ®¤ ¢¥àè¨ A ¬®£®ã£®«ì¨ª
£à ¨ª
P
¨
α, α0
| ã£«ë ¯à¨
A
¨§£¨¡ ¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ £¤ ¢ë१ ¥¬ë© ¢¬¥á⥠á
P P
㣮«
α
P P ¨ P , â® ¬®£®£à ¨ª P α > α0 , ¨«¨, ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ª®-
¥ ¬¥ìè¥ ¯®«®¢¨ë ¯®«®£® 㣫
+ α ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A. ®«¥¥ ⮣®, ¯à¨ α < α ¬®£®£à ¨ª ¢®®¡é¥ ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ìëå ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨©. 3)
᫨ £à ¨æ¥ ¢ë१ P P ¥â ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , â® ¬®£®£à ¨ª P ¥¨§£¨¡ ¥¬. Ǒ®á«¥¤¥¥ ã⢥थ¨¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ ⥮६¥ 1 § 5 £« ¢ë III, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¥£® ãá«®¢¨ïå ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ 4π. ¬¥â¨¬, çâ® â ª ª ª P ᮤ¥à¨â ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P , â® P ¥áâì £à ¨æ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ P ¯ã⥬ âਢ¨ «ì®£® ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. á¢ï§¨ á í⨬ ¬®£®£à ¨ª P ¬®® å à ªâ¥à¨§®¢ âì ª ª â ª®©, ª®â®àë© ¤®¯ã᪠¥â âਢ¨ «ì®¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª . ®ª ¥¬ ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë. Ǒãáâì A ¨ B | ⥠¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¢¥àè¨ ¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ α, β | ã£«ë ¯à¨ íâ¨å ¢¥àè¨ å Q (à¨á. 108, ). ®£¤ , ¥á«¨ α , β | ã£«ë ¯à¨ íâ¨å ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® α + α < 2π, β + β < 2π, â.¥. α < 2π − α , β < 2π − β . (1) ®§ì¬¥¬ £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¤¢¥ â®çª¨ C ¨ D, à §¤¥«ïî騥 â®çª¨ A ¨ B (à¨á. 108, ¡ ). Ǒ®áâந¬ ¢ë¯ãª«ë© ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª ACBD ¨ ¡ã¤¥¬ ¢ëâ¢ âì ¥£® ¤¨ £® «ì CD, ¥ ¬¥ïï ¥£® áâ®à® . Ǒਠí⮬ α0
0
0
0
0
0
0
0
12)
12) ¥ ¨áª«îç ¥âáï, çâ® íâ®â ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª ¡ã¤¥â á ¬®¬ ¤¥«¥ âà¥ã£®«ì¨ª®¬ (¥á«¨ A ¨ B | á®á¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë ¨ â®çª D | áâ®à®¥ AB ).
250
. .
ç á⨠AC , CB , BD, DA £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤¥¬ ¯¥à¥¬¥é âì ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ¨å ä®à¬ë. ®£¤ 㣫ë α, β ¯à¨ A ¨ B ¡ã¤ãâ 㢥«¨ç¨¢ âìáï, ¯à®ç¨¥ ¥ ã£«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤ãâ ®áâ ¢ âìáï ¥¨§¬¥ë¬¨. Ǒਠ¤®áâ â®ç® ¬ «®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¥à ¢¥á⢠(1) á®åà ïîâáï, â ª ª ª ¢á¥ ®áâ «ìë¥ ã£«ë ¥ ¢®§à áâ îâ, â® ãá«®¢¨¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¥ àãè¨âáï. â® ¢ ᮥ¤¨¥¨¨ á ⥮६®© 2 ¤®ª §ë¢ ¥â ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥. A α
α0
A
P C
Q
D
Q
β B
B b)
a) ¨á. 108
¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª AB , ¢ë¢®¤ ¡ã¤¥â â®â ¥ á ¬ë©; á⮨⠫¨èì áç¨â âì íâ®â ®â१®ª ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¬ ¨ ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì ¥£® ¢ ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë. Ǒãáâì A | â ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P , ¨ α | 㣮« ¢ Q ¯à¨ í⮩ ¢¥à訥 (à¨á. 109, , ¡). ®£¤ , ¥á«¨ α | 㣮« ¯à¨ ⮩ ¥ ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® α < 2π − α , (2) ® ¤«ï 㣫 ¯à¨ «î¡®© ¤à㣮© â®çª¥ B £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ᮮ⢥âá⢥® β = 2π − β . Ǒ®í⮬㠯ਠ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¥ àãè î饩 ãá«®¢¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¤«ï 㣫®¢, ¨ ®¤¨ ¨§ 㣫®¢ β ¥ ¬®¥â ¢®§à áâ âì. ¥¤ã ⥬ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¯à®¨á室ï饩 ¡¥§ àãè¥¨ï ¢ë¯ãª«®áâ¨, ¯à¨à 饨ï 㣫®¢ ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à § ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¬®£®ã£®«ì¨ª , â ª çâ® ¤®«® ¡ëâì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ 㢥«¨ç¨¢ îé¨åáï 㣫 . (¬. «¥¬¬ã 4 § 1 £« ¢ë III, ª®â®à ï ¢¬¥áâ¥ á ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¡ãª¢ «ì® ¯¥à¥®á¨âáï ¯«®áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨.) ¥ä®à¬ æ¨ï, àãè îé ï ¢ë¯ãª«®áâì, ¯à¨¢®¤¨â ª ¢¤ ¢«¨¢ ¨î å®âï ¡ë ®¤®© ¢¥àè¨ë ¢ãâàì, ¨ 㣮« ¯à¨ ¥© 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, â ª ª ª áâ ®¢¨âáï ¡®«ìè¥ π. Ǒ®í⮬㠨 ¤«ï ª ª®© ¢¥àè¨ë, ªà®¬¥ A, â ª®¥ ¯à®¤ ¢«¨¢ ¨¥ ¢ãâàì ¥¢®§¬®®. 0
0
0
. V:
§ 2.
251
Ǒ
§ï¢ áâ®à® å ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¨á室ïé¨å ¨§ ¢¥àè¨ë A, â®çª¨ X , ¨ ®âà §¨¢ «®¬ ãî XAY ¢ ¯àאַ© XY , ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ á ¢å®¤ï饩 ¢ãâàì ¢¥à訮© A′ ¨ ¤¢ã¬ï ®¢ë¬¨ ¢ëáâ㯠î騬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ X , Y (à¨á. 109, ¢). £«ë ¯à¨ ¨å ¡ã¤ãâ α′ = 2π − α; ξ, η < π. £«ë ξ , η ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯à¨ â®çª å, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å X ¨ Y , à ¢ë π, â ª ª ª í⨠â®çª¨ ¥ ïîâáï ¢¥àè¨ ¬¨ P . Ǒ®í⮬ã ξ + ξ < 2π, Y
0
0
0
P B
A
C
Q
A A′ Y ξ α′ η
A
X
α Q
B
D
B C
D
D v)
b)
a)
C
¨á. 109
+ 2 , â. ¥. ãá«®¢¨¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬®á⨠âãâ ¥ àãè ¥âáï. ¤«ï â®çª¨ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì α′ + α = 2π − α + α . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ α > α , â® α′ + α 6 2π, ¨ ãá«®¢¨¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬®á⨠¢ â®çª¥ A′ â ª¥ ¥ àãè ¥âáï.
᫨ ¥ α < α , â® α′ + α > 2π , â. ¥. íâ® ãá«®¢¨¥ àãè ¥âáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ α > α , â®, ¥¯à¥à뢮 ¯à®¤ ¢«¨¢ ï ¢¥àè¨ã A ¢ãâàì ¬®X Y B C £®ã£®«ì¨ª Q (祬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¯à¥à뢮¥ ¤¢¨¥¨¥ â®ç¥ª X , Y , ç¨ ï ®â A), A ¯®«ã稬 ¥£® ¤¥ä®à¬ æ¨î, ¥ àãè îéãî D ãá«®¢¨© ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï, ¨ ¢ ᨫã ⥮६ë 2 í⮬㠡㤥â ᮮ⢥âá⢮¢ â쥯à¥à뢮¥ ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒਠ⠪®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ P ¯®ï¢«ïîâáï ¤¢¥ ®¢ë¥ ¢¥à訨á. 110 ë X , Y , ¤¢¨ã騥áï ®â ¢¥àè¨ë A. ¯à¨¬¥à¥ à¨á. 109 íâ® ¨§£¨¡ ¨¥ á®á⮨⠢ ¤« ¬ë¢ ¨¨ ýª®§ëàìª þ ABC , ª®â®à®¥ ¬®® £«ï¤® ¯à®á«¥¤¨âì à¨á. 110. η η0 < π A′
0
0
0
0
0
0
0
252
. .
᫨ α < α , â® ãá«®¢¨¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï àãè ¥âáï, ¨ ¥£® ¥«ì§ï ¢®ááâ ®¢¨âì ¨ª ª®© ¤¥ä®à¬ 樥© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q′ . ¥©á⢨⥫ì®, ã£«ë ¯à¨ ¢á¥å ¢¥àè¨ å, ªà®¬¥ X ¨ Y , ¤®«ë ¯à¨ í⮬ ¥ ¢®§à áâ âì, ⮣¤ , ᮣ« á® «¥¬¬¥ 3 § 1 £« ¢ë III, ®â१®ª XY 㬥ìè ¥âáï, ¨ ¯®â®¬ã 㣮« α′ ¥é¥ ¡®«¥¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï. Ǒ®í⮬㠢 ᨫã ⥮६ë 1 ¯à¨ α < α ¬®£®£à ¨ª P ¢®®¡é¥ ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ìëå ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®â®¡à ¥¨©. 0
0
5. ¥®à¥¬ 4.
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª
¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
P
P
¯®«ãç ¥âáï ¨§ § ¬ªã⮣® ¢ë-
¯ã⥬ 㤠«¥¨ï ¥ª®â®à®© ¥£® ç áâ¨
P P ,
ª®-
â®à ï ¥ ᮤ¥à¨â ¢¥àè¨ ¢ãâਠ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¯®í⮬ã à §¢¥àãâ ¯«®áª®áâì. Ǒãáâì ¯®«ãç î騩áï ¨§ ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
| ¥¢ë¯ãª«ë©.
n ®§ ç ¥â ç¨á«® ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , «¥ é¨å £à ¨æ¥ ¢ëP P , ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ n > , â® ¬®£®£à ¨ª P ¬®¥â ¡ëâì ª ª ¨§£¨¡ ¥¬ë¬, â ª ¨
Ǒãáâì १
1) 2)
2
᫨ n = 1, ⮠P
¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬.
¬®¥â ¡ëâì ª ª ¨§£¨¡ ¥¬ë¬, â ª ¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬,
¯à¨ç¥¬ ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®¥â ¡ëâì ¨§£¨¡ ¥¬ë¬ ¨ ¯à¨
α < α0 ,
£¤¥
α
¨
α0
Q
Q
¨
¢¥àè¨ å, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥¤¨á⢥®© ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª 饩 £à ¨æ¥
P.
Ǒਠ¤ ®¬ ¯®«®¬ 㣫¥
¨§£¨¡ ¥¬ë¬ ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®¬
α.
α
+α
0
P P ¯à¨ P , «¥-
¬®£®£à ¨ª
| 㣫ë
P
¬®¥â ¡ëâì
3)
᫨ n = 0, â® P ¥¨§£¨¡ ¥¬. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 4π. áᬮâਬ ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¯à¨ n > 3. Ǒãáâì A, B , C | ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥àè¨ ¬ ¬®£®£à ¨ª P , «¥ 騬 £à ¨æ¥ P (à¨á. 111, ). ®£¤ ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¢ ⥮६¥ 3, 㣫ë α, β , γ ¯à¨ íâ¨å ¢¥àè¨ å ¬®£ãâ 㢥«¨ç¨¢ âìáï ¡¥§ àã襨ï ãá«®¢¨© ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï. áᬮâਬ ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª ABCD á ¢¥à訮© D, «¥ 饩 ¯¥à¨¬¥âॠ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬¥¤ã â®çª ¬¨ A ¨ C . 㤥¬ ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì íâ®â ⌢ ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¯¥à¥¬¥é ï «®¬ ë¥ AB , ⌢ ⌢ ⌢ BC , CD ¨ DA ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ä®à¬ë. ®£¤ ¢á¥ ã£«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª ¡ã¤ãâ ®áâ ¢ âìáï ¥¨§¬¥ë¬¨, ªà®¬¥ 㣫®¢ α, β , γ , δ ¯à¨ ¢¥àè¨ å A, B , C , D . ¨§¢¥áâëå ¯à¥¤¥« å ¤«ï 㣫®¢ α, β , γ ¤®¯ãáâ¨¬ë «î¡ë¥ ¨§¬¥¥¨ï, 㣮« ¥ δ ¬®¥â ⮫쪮 㬥ìè âìáï, çâ®¡ë ¥ àãè «®áì ãá«®¢¨¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï. ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï, 㬥ìè îé ï 㣮« δ, ¢á¥£¤ ¢®§¬® . ª, ¢ á«ãç ¥, ¨§®¡à ¥®¬ à¨á. 111, ¡, 㣮« δ 㬥ìè ¥âáï, ¥á«¨ 㪮à 稢 âì ¤¨ £® «ì AC . Ǒਠ¤à㣮¬ áâ஥¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¢®§¬®®, ç⮠㪮à®ç¥¨¥ ¤¨ £® «¨ AC ¯®¢¥¤¥â ª 㢥«¨ç¥¨î 㣫 δ, ® ⮣¤ , ®¡®à®â, 㮠㤫¨ïâì ¤¨ £® «ì AC , ¨ 㣮« δ ¡ã¤¥â ®¯ïâì 㬥ìè âìáï. (á®-
. V:
§ 2.
Ǒ
253
¡ë© á«ãç © ¢®§¨ª ¥â, ª®£¤ ¢á¥ âਠâ®çª¨ A, B , C à ᯮ«®¥ë ®¤®© ¯àאַ©, â ª çâ® ¯à¨ ¥¨§¬¥ëå ¤«¨ å ®â१ª®¢ AB ¨ BC ý¤¨ £® «ìþ AC ¬®¥â ⮫쪮 㬥ìè âìáï .) 13)
C
C D
γ
δ Q
Q α
β
A
A
B
B b)
a) ¨á. 111
® ¢á类¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ â®çª¨ A, B , C ¥ «¥ â ®¤®© ¯àאַ©, ¤®ª § ®, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï, ¥ àãè îé ï ãá«®¢¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï, ¢®§¬® . ¡à ⨬áï ⥯¥àì ª á«ãç î, ª®£¤ £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P . ®, ç⮠⮣¤ ¬®£®£à ¨ª P ¬®¥â ¡ëâì ¨§£¨¡ ¥¬ë¬, ¤®ª §ë¢ ¥âáï áà §ã, ¥á«¨ ã£«ë ¬®£®ã£®«ì¨ª Q E
B F
A
B
G C
α A
D
F
β γ G
G
F D
b)
C
B A
Q ϕ
E a)
C
E
D v)
¨á. 112
¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥àè¨ å áâ®«ì ¢¥«¨ª¨, çâ® ¯à®¤ ¢«¨¢ ¨¥ ¨å ¢ãâàì ¥ àãè ¥â ãá«®¢¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬®áâ¨, â ª ¥ ª ª ¢ á«ãç ¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. Ǒ®í⮬㠮áâ ¥âáï 㪠§ âì ¯à¨¬¥àë ¥¨§£¨¡ ¥¬®£® ¬®£®£à ¨ª P ¨«¨, ¯à®â¨¢, ¨§£¨¡ ¥¬®£®, ® ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 㣮« ¯à¨ 13) ¤¥áì ¨ áªàë¢ ¥âáï ¢®§¬®®áâì ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâ¨, á¬.
«¥à .
[224℄. | Ǒਬ. . . «£ «-
254
. .
¢¥à訥 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥¤¨á⢥®© ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P , «¥ 饩 £à ¨æ¥ P , ᪮«ì 㣮¤® ¬ «. ¡à ⨬áï ª à¨á. 112, , £¤¥ ¨§®¡à ¥ ªã¡ á ¢ë१ ë¬ ¥¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ Q, ®â¤¥«ì® ¨§®¡à ¥ë¬ à¨á. 112, ¡.
᫨, ¥ ¬¥ïï ¤«¨ áâ®à® Q, ¨§¬¥ïâì 㣫ë α, β , γ , ϕ â ª, ç⮡ë 㣮« β ã¡ë¢ «, â®, ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, 㣫ë γ ¨ ϕ ¡ã¤ãâ â ª¥ ã¡ë¢ âì, 㣮« α ¡ã¤¥â 㢥«¨ç¨¢ âìáï. §¬¥¥ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q (à¨á. 112, ¢) á®åà ï¥â ãá«®¢¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬®áâ¨, â ª çâ® ªã¡ á 㪠§ ë¬ ¢ë१®¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§£¨¡ ¥¬ë¬. ⬥⨬, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¯®¤å®¤¨â «¨èì ª ®¤®© ¢¥à訥 A ªã¡ ¨ ¬®¥â ¨¬¥âì ¯à¨ ¥© ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ë© 㣮« α. Ǒ®«ã祮¥ ¨§£¨¡ ¨¥, ª®¥ç®, ¤®¢®«ì® á«®® | ¯à¨ ¥¬ ªã¡¥ ¯®ï¢«ïîâáï âਠ®¢ë¥ ¢¥àè¨ë B , F , G. Ǒ।« £ ¥¬ ¤¢¥ § ¤ ç¨, ¢®§¨ª î騥 ¢ á¢ï§¨ á ⥮६®© 4. 1) áá«¥¤®¢ âì ãá«®¢¨ï ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª , ¯®«ãç î饣®áï ¨§ § ¬ªã⮣® ¯ã⥬ ¢ë१ ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª Q â ª®£® ¢¨¤ , ª ª à¨á. 113, , ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥àè¨ë A, B «¥ â ¢ A ¢¥àè¨ å § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª . (®«¥¥ ®¡é¨© á«ãç © ¬®£®ã£®«ì¨ª Q A «®£¨ç®£® áâ஥¨ï ¨áá«¥¤ã¥âáï â ª ¥.) ¤¥áì ¢®§¬® ª ª ¨§£¨¡ ¥¬®áâì, Q â ª ¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâì; íâ® ¬®¥â § ¢¨Q′ á¥âì ®â à §ëå ãá«®¢¨©. 2) ®ª § âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª, ¯®«ãç ¥¬ë© ¨§ § ¬ªã⮣® ¯ã⥬ ¢ëà¥§ë¢ ¨ï ¬®£®B a) b) 㣮«ì¨ª Q ¢¨¤ , ª ª à¨á. 113, ¡, ¨§£¨¡ ¥¬, ¥á«¨ A | ¢¥àè¨ § ¬ªã⮣® ¨á. 113 ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¯à®¤®«¥¨¥ å®âï ¡ë ®¤®© ¨§ áâ®à® 㣫 A ¯¥à¥á¥ª ¥â Q. ®«¥¥ ⮣®, ¤«ï ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¤®áâ â®ç®, ç⮡ë â ª®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ áâ®à®ë ¯¥à¥á¥ª «® Q ¯®á«¥ ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠A 㣮« α 6 min{2π − θ, π}, £¤¥ θ | ¯®«ë© 㣮« ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¬®£®£à ¨ª P . 1 2
6. ¥®à¥¬ 5.
᫨ £®¬¥®¬®àäë© ªàã£ã ¬®£®£à ¨ª
¨§ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
P0
P
¯®«ãç ¥âáï
㤠«¥¨¥¬ ¥£® ç áâ¨
¤¥à 饩 ¢ãâਠå®âï ¡ë ®¤ã ¢¥àè¨ã, â® ¬®£®£à ¨ª
P
P0 P ,
¨§£¨¡ ¥¬.
á®-
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¯®«ãç¥ ¨§ P 㪠§ ë¬ á¯®á®¡®¬ ¨ ¯ãáâì P | £à ¨æ ¥£® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨. Ǒ®ª ¥¬, çâ® P ¨¬¥¥â å®âï ¡ë ®¤ã £à ì, ¥ ïîéãîáï ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¨ª ª®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P . ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥. ®£¤ P ¯®«ãç ¥âáï, ®ç¥¢¨¤®, ¯à®áâë¬ ¯à®¤®«¥¨¥¬ ªà ©¨å £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª P ᮤ¥à¨â P ¨ ¯®â®¬ã § ¢¥¤®¬® ®å¢ âë¢ ¥â P , â® ¢áïª ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P , ïîé ïáï ¯à®¤®«¥¨¥¬ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¤®« ¯à¨ ¤«¥ âì â ª¥ P . ® 0
0
0
. V:
§ 2.
Ǒ
255
¯à®¤®«¥¨¥ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥â § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢á¥ £à ¨ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ¤«¥ â â ª¥ P , ®âªã¤ ïá®, çâ® P ¨ P ᮢ¯ ¤ îâ. ¤ ª® ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¨¬¥¥â ¤àã£¨å ¢¥àè¨, ¯®¬¨¬® ¢¥àè¨ á ¬®£® P , ¯®â®¬ã ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® P ¨ P ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¥ ¢¥àè¨ë; ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î, çâ® P ¯®«ãç ¥âáï ¨§ P 㤠«¥¨¥¬ ®¡« áâ¨, ᮤ¥à 饩 ¢ãâਠå®âï ¡ë ®¤ã ¢¥àè¨ã. «¥¤®¢ ⥫ì®, P ¨¬¥¥â ¯® ¬¥ì襩 ¬¥à¥ ®¤ã £à ì, ¥ ïîéãîáï ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¨ª ª®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª ã P ¨ P ¢¥àè¨ë ®¡é¨¥, â® ¢¥àè¨ë í⮩ £à ¨ «¥ â £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P . å, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬¥¥¥ âà¥å, ¯®â®¬ã P ¯®«ãç ¥âáï ¨§ P 㤠«¥¨¥¬ ç á⨠P P , £à ¨æ å ª®â®à®© «¥ â ¬¨¨¬ã¬ âਠ¢¥àè¨ë. ⮣¤ , ᮣ« ᮠ⥮६¥ 4, ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§£¨¡ ¥¬ë¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì . 7. Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® à áᬮâ२¥ ®¤¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, £®¬¥®¬®àäëå ªàã£ã, ¯® áãé¥áâ¢ã ¥ ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬. 0
0
0
0
14)
¥®à¥¬ 6.
®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ¥áª®«ì-
ª¨¬¨ «®¬ 묨, ¨§£¨¡ ¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥áâì ç áâì ¨§£¨¡ ¥¬®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ®£à ¨ç¥®£® ⮫쪮 ®¤®© ¨§ íâ¨å
. Ǒãáâì ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª P , ®£à ¨ç¥ë© «®¬ 묨 L , . . . , Ln , ¥¨§£¨¡ ¥¬. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P = P ∪ Q ∪ . . . ∪ Qn ¯®«ãç¥ ¨§ P § ª«¥¨¢ ¨¥¬ ¢á¥å «®¬ ëå Li ªà®¬¥ L . ¯à¨¬¥à, P ¬®¥â ¡ëâì £à ¨æ¥© ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬®£®£à ¨ª P § ¢ëç¥â®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª , § ª«¥¨¢ î饣® «®¬ ãî L . ¤ ª® ¬ë ¢®¢á¥ ¥ âॡ㥬, ç⮡ë Q , . . . , Qn ¡ë«¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨; ¢ ® ⮫쪮, çâ® ®¨ áãâì ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ®£à ¨ç¥ë¥ ª ¤ë© ®¤®© «®¬ ®© Li. ª ª ª ¬®£®£à ¨ª P ¥¨§£¨¡ ¥¬, â® ¥¤¨á⢥® ¢®§¬®ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ¤®«ë ᢮¤¨âìáï ª ¨§£¨¡ ¨ï¬ ª ¤®£® Qi ¯à¨ ¥¨§¬¥®á⨠¥£® £à ¨æë Li . ¤ ª® â ª®¥ ¨§£¨¡ ¨¥ ¥¢®§¬®®, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¥¨§¬¥®© £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª, ª®â®àë© ¬®® ¯®¤ª«¥¨âì ª Qi , ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®. ( ¥ ¡®«¥¥ ⮣®, ⥮६ 4 § 5 £« ¢ë III ã⢥ठ¥â, çâ® ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª Qi ¥¢®§¬®®, ¥á«¨ § ¤ ë ⮫쪮 ã£«ë ¬¥¤ã ¥£® £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨.) ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥¨§£¨¡ ¥¬, â® ¨ª ª®© ᮤ¥à 騩 ¥£® ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ⮫쪮 ®¤®© ¨§ «®¬ ëå L , L , . . . , Ln , ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¨§£¨¡ ¥¬ë¬.
«®¬ ëå
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
14) á®¡ë© á«ãç © ã⢥थ¨ï 1 ⥮६ë 4, ª®£¤ âਠ¢¥àè¨ë «¥ â ®¤®© ¯àï-
¬®©, §¤¥áì ¨áª«îç ¥âáï, â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ® âà¥å ¢¥àè¨ å, ¯à¨ ¤«¥ é¨å ®¤®© £à ¨ P P . Ǒà¨ à §¢¥àâë¢ ¨¨ £à ¨ ¯«®áª®áâì ®¨ ¥ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ®¤®© ¯àאַ©.
256
. .
Ǒãáâì ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P ¨§£¨¡ ¥¬. Ǒãáâì P = P ∪ Q ∪ . . . ∪ Qn | £à ¨æ ¥£® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨. §£¨¡ ¨î ¬®£®£à ¨ª P ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥£® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¨ ¢¬¥áâ¥ á ¥î ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¢á¥ «®¬ ë¥ L , . . . , Ln , ®£à ¨ç¨¢ î騥 P , ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ¢¥àè¨, â® ¢ ᨫ㠥§ ¢¨á¨¬®á⨠ãá«®¢¨© ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ª ª ¤®© «®¬ ®© á।¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Qi ¤®«¥ ¡ëâì å®âï ¡ë ®¤¨ â ª®©, ¯à¨¬¥à Q , ª®â®àë© ¬®® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì, ®áâ ¢«ïï ¤à㣨¥ ¥¨§¬¥ë¬¨. ®£¤ ¬®£®£à ¨ª P = P ∪ Q ∪ . . . ∪ Qn , ®£à ¨ç¥ë© ®¤®© «®¬ ®© L , ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§£¨¡ ¥¬ë¬.
᫨ ¥ª®â®àë¥ ¨§ «®¬ ëå L , . . . , Ln ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢¥àè¨ë, â® è¥ à áá㤥¨¥ ¥¯à¨¬¥¨¬®. í⮬ á«ãç ¥ ¬®® ¨¬¥âì ¤¢¥ â®çª¨ §à¥¨ï. ®-¯¥à¢ëå, ¬®® áç¨â âì ¤¢¥ «®¬ ë¥ á ®¡é¥© ¢¥à訮© § ®¤ã. ë१ ¥¬ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ý¯¥à¥âïãâþ ¢ í⮩ ¢¥à訥, ¨ ¥¥ á«¥¤ã¥â áç¨â âì § ¤¢¥ ᮢ¯ ¤ î騥 ¢¥àè¨ë. Ǒਠ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯à¨ ¨§£¨¡ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¤®¯ã᪠¥âáï à §¤¢¨¥¨¥ íâ¨å ¢¥àè¨. ®-¢â®àëå, ¬®® áç¨â âì ¤¢¥ «®¬ ë¥ á ®¡é¥© ¢¥à訮© § ¤¢¥ à §«¨çë¥ «®¬ ë¥. ®£¤ ¯à¨ ¨§£¨¡ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª à §¤¢¨¥¨¥ ¢ í⮩ ¢¥à訥 ¥ ¤®¯ã᪠¥âáï. Ǒ।áâ ¢«ï¥âáï ®ç¥ì ¢¥à®ïâë¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ⥮६ 6 â ª¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®; ®¤ ª® ¬ë ¥ ¨¬¥¥¬ ¤«ï í⮣® ¨áç¥à¯ë¢ î饣® ¤®ª § ⥫ìá⢠. Ǒ®«®¥ à¥è¥¨¥ í⮣® ¢®¯à®á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥áãî § ¤ çã . 1
15)
1
1
1
2
1
1
16)
8. ¥®à¥¬ 7.
᫨ ¬®£®£à ¨ª
P
¥áâì ç áâì ¨§£¨¡ ¥¬®£® ª®¥ç®£®
P , â® ¬®£®£à ¨ª P â ª¥ ¨§£¨¡ ¥¬. (â® ã⢥थ¨¥ ¬®¥â ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ¯®ª § âìáï ᮢ¥à襮 âਢ¨ «ìë¬. ¤ ª® íâ® ¥ ᮢᥬ â ª, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ¤ ®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥ª®â®à ï ¥£® ç áâì P ¬®¥â ®áâ ¢ âìáï ¥¨§¬¥®©. ¥£ª® ¯®¤®¡à âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨¬¥àë.) Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¨§£¨¡ ¥¬, â ª çâ® ¨¬¥¥¬ ᥬ¥©á⢮ ¨§®¬¥âà¨çëå ¥¬ã ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt. ®¯ãá⨬, ¢®¯à¥ª¨ ⥮६¥, çâ® P ᮤ¥à¨â ¥¨§£¨¡ ¥¬ãî ç áâì P , ª®â®à ï, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮤ¥à¨âáï â ª¥ ¢® ¢á¥å Pt . Ǒãáâì P ¨ P t | £à ¨æë ¢ë¯ãª«ëå ®¡®«®ç¥ª ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ Pt . ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥àè¨ ¬¨; ¯®í⮬㠥᫨ ¡ë P t ¯à¨ ª ª®¬-«¨¡® t ¥ ᮢ¯ ¤ « á P , â® ® ¨¬¥« ¡ë ¢¥àè¨ë, ¯®¬¨¬® ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P . ® ⮣¤ P ¯®«ãç «áï ¡ë ¨§ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª P t ¨áª«î票¥¬ ¥ª®â®à®© ®¡« áâ¨, ᮤ¥à 饩 ¢¥àè¨ã ¢ãâà¨, ¨ ¯® ⥮६¥ 5 ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ «áï ¡ë ¨§£¨¡ ¥¬ë¬ (¥á«¨ P ®£à ¨ç¥ ¥ ®¤®© «®¬ ®©, â® â® ¥ § ª«î票¥ ¢¥à® ¢ ᨫã ⥮६ë 6). â® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
0
0
0
0
15) ¤¥áì ¨ ¤ «ìè¥ ¬ë ¤«ï ¯à®áâ®âë £®¢®à¨¬ ® ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¢ á¬ëá«¥ â®ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¤ ®£® ¢ëè¥ ¢ ¯o 3. 16) ¬. áâ âìî [224℄ ¨ § ¬¥âªã [227℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. V:
§ 2.
Ǒ
257
¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î, ¯®â®¬ã P t ¨ P ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì ¯à¨ ¢á¥å t. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®© ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬®£®£à ¨ª P , ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ Pt ᮢ¯ ¤ îâ á P . â® § ª«î票¥ ®â®á¨âáï ª «î¡®¬ã ¨§£¨¡ ¨î ¬®£®£à ¨ª P , ⥬ á ¬ë¬, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î, ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬, ¨ ⥮६ ¤®ª § . Ǒ®«ãç¥ë© १ã«ìâ â ¢ ᮥ¤¨¥¨¨ á ¯¥à¢ë¬ ã⢥थ¨¥¬ ⥮६ë 3 ¯à¨¢®¤¨â ª § ª«î票î, çâ® ¥á«¨ ¨§ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª P ¢ë१ ç áâì Q, à §¢®à 稢 ¥¬ ï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® ®á⠢訩áï ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â § ¢¥¤®¬® ¨§£¨¡ ¥¬, ¥á«¨ Q ᮤ¥à¨â ®â१®ª (£¥®¤¥§¨ç¥áªãî), ᮥ¤¨ïîéãî ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ 㤠«¥¨¨ ¥¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ®á⠢訩áï ¬®£®£à ¨ª ¬®¥â ¡ëâì ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Q ¥ ᮤ¥à¨â ¨ª ª®£® â ª®£® ®â१ª . á«¥¤á⢨¥ ⥮६ 3{7 ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¨áá«¥¤®¢ âì ¢®¯à®á ®¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¨«¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª , ¯®«ã祮£® ¨§ § ¬ªã⮣® P 㤠«¥¨¥¬ ç áâ¨, à §¢®à 稢 ¥¬®© ¢ ¥¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¨ ᮤ¥à 饩 £à ¨æ¥ ¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨ç¥¬ ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ã® à áᬠâਢ âì «¨èì â ª¨¥ ¢ë१ë, ª®â®àë¥ ¥ ᮤ¥à â £¥®¤¥§¨ç¥áª®©, ᮥ¤¨ïî饩 í⨠¢¥àè¨ë. ®á®¢ ¨¨ ⥮६ë 2 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã ® ¢®§¬®®á⨠¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q á á®åà ¥¨¥¬ ãá«®¢¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¥¬®á⨠. 9. ¡à ⨬áï ª ¨§£¨¡ ¨ï¬ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ª ¤®ª § ® ¢ § 3 ¨ 5 £« ¢ë III, ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© 2𠥨§£¨¡ ¥¬, ¤ ¥ ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â £à ¨æã. Ǒ®í⮬ã à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ® ¬®£®£à ¨ª å á ªà¨¢¨§®© < 2π. Ǒਠí⮬ ã® à §«¨ç âì ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: 1) ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ç áâì ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© 2π; 2) ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¡¥áª®¥çë© ¯®«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 2π, ¨«¨ ç áâì â ª®£® ¯®«®£® ¬®£®£à ¨ª . ª ª ª ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© 2π, ¯®¤®¡® § ¬ªã⮬ã, ¥¨§£¨¡ ¥¬, â® ª ¬®£®£à ¨ª ¬ ¯¥à¢®£® ⨯ ¯à¨«®¨¬ë ¬¥â®¤ë ¨ ¢ë¢®¤ë ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ãªâ®¢. ¥áª®«ìª® ®¢ë¬ ¡ã¤¥â á«ãç ©, ª®£¤ ¤ ë© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¯®«®£® á ªà¨¢¨§®©, à ¢®© 2π, ¯ã⥬ ¨áª«îç¥¨ï ª ª®£®-â® ¡¥áª®¥ç®£® ªã᪠. ª ªà ©¨© á«ãç © ¬®® à áᬠâਢ âì ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¨§ ¯®«ëå á ¯®¬®éìî ¡¥áª®¥çëå à §à¥§®¢.
᫨ à §à¥§ âì ¬®£®£à ¨ª ¯® ¡¥áª®¥ç®¬ã «ãçã, ¨á室ï饬㠨§ ¢¥àè¨ë, â® ® áâ ®¢¨âáï ¨§£¨¡ ¥¬ë¬.
᫨ ¥ à §à¥§ ¤®áâ â®ç® á¨«ì® ¨áªà¨¢«¥ ¢ ç «¥ ¨ «¨èì ¯®â®¬ 0
0
0
0
0
0
0
17)
17) ¥¯¥àì íâ®â ¢®¯à®á ¯®«®áâìî à¥è¥, á¬.
[224℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
258
. .
à á¯àשׂï¥âáï, ãå®¤ï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, â® ¬®£®£à ¨ª ¬®¥â ¡ëâì ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬ . ë ¥ ¡ã¤¥¬, ®¤ ª®, ®áâ ¢«¨¢ âìáï ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ í⮣® á«ãç ï. Ǒ®ï⨥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï ¥áâ¥á⢥® ®¡®¡é ¥âáï ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ 㪠§ ë© á«ãç © ¯¥à¥®á¨âáï â ª¥ ®á®¢ ë© í⮩ ¤¥ä®à¬ 樨 ¬¥â®¤. áᬠâਢ ï ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¨§ ¯®«ëå á ªà¨¢¨§®© 2π 㤠«¥¨¥¬ ª®¥çëå ¨«¨ ¡¥áª®¥çëå ªã᪮¢, ¯à¨¬¥ïï á®®¡à ¥¨ï, ¢¯®«¥ «®£¨çë¥ ¯à¨¬¥¥ë¬ ¢ëè¥ ª ª®¥çë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬, ç¨â ⥫ì á ¬ ᬮ¥â áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¤®ª § âì â¥®à¥¬ë ®¡ ¨§£¨¡ ¨¨ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®¤®¡ë¥ ⥮६ ¬ 1{7. ç áâ®áâ¨, ¯®¤®¡® ᪠§ ®¬ã ¢ ⥮६ å 3 ¨ 4, â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ª ª ¨§£¨¡ ¥¬ë¬¨, â ª ¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¬¨. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢â®à®£® ⨯ ¢®¯à®á à¥è ¥âáï ®¤®§ ç®: ¢á¥ ®¨ ¨§£¨¡ ¥¬ë. «ï ¯®«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¨å ¨§£¨¡ ¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⥮६®©, ¢ë⥪ î饩 ¨§ â¥®à¥¬ë «®¢ï¨è¨ª®¢ , ¤®ª § ®© ¢ § 5 £« ¢ë IV. ¥®à¥¬ 8. Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¯®«ë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà¨¢¨§®© < 2π , V | ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¨ G | ®¡à §ãîé ï 㣫 V , ¯à¥18)
0
0
0
¤¥«ì ï ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¤ ®£® «ãç
㣮«, ¨§®¬¥âà¨çë©
V0 ,
¨
G1
L0
P0 .
0
Ǒãáâì
V1
| ¬®£®£à ë©
| ¥£® ®¡à §ãîé ï. ®£¤
1) 㣮« V ¬®¥â ¡ëâì ¨§®£ãâ ¢ V â ª, çâ® ®¡à §ãîé ï G ¯¥à¥©¤¥â ¢ G ; 2) íâ® ¨§£¨¡ ¨¥ 㣫 V ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨0
1
0
1
0
ª
P0
¢ ¬®£®£à ¨ª
P1
á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬
¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ì®© ¤«ï «ãç
P1 ,
V1 ,
¯à¨ç¥¬ ®¡à §ãîé ï
ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯® ¨§®¬¥âਨ «ãçã
G1 L0 .
. ®, çâ® ¨§£¨¡ ¨¥ V ¢ V ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¨§£¨¡ ¨¥ P ¢ P , ®§ ç ¥â, ç⮠ᥬ¥©áâ¢ã 㣫®¢ Vt á ®¡à §ãî騬¨ Gt ®â¢¥ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥®¥ ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt, ¥á«¨ ¯à¥¥¡à¥£ âì ¯¥à¥®á®¬, ª®â®àë© ¥ ¬¥ï¥â ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , ¨ ¯à¥¤¥«ì®© ®¡à §ãî饩. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ®¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®£à ®£® 㣫 ¤®áâ â®ç® ®ç¥¢¨¤® ¨ ¥£® áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â âà㤠. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì ᥬ¥©á⢮ ¬®£®£à ëå 㣫®¢ Vt á ®â¬¥ç¥ë¬¨ ®¡à §ãî騬¨ Gt ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§£¨¡ ¨¥ 㣫 V á ®¡à §ãî饩 G ¢ V , G . Ǒ® ⥮६¥ àã£¨å ¨§£¨¡ ¨© ¬®£®£à ¨ª 0
P0
¥â
1
0
0
0
1
18) ¥§ã«ìâ âë ® ¬®£®£à ¨ª å á à §à¥§®¬ ¯®«ãç¥ë ¢ [228℄.
1
1
19)
| Ǒਬ. . . «£ «19) ¥ ¨áª«îç ¥âáï, ç⮠㣫ë V0 , V1 à ¢ë, ® ®¡à §ãî騥 G0 , G1 § ¨¬ îâ ¨å à §®¥ ¯®«®¥¨¥. ®£¤ , áç¨â ï V1 ᮢ¯ ¤ î騬 á V0 , ᢮¤¨¬ ¨§£¨¡ ¨¥ V0 ¢ V1 ª â ª®¬ã ¨§£¨¡ ¨î V0 á ¬®£® ¢ ᥡï, ¯à¨ ª®â®à®¬ ®¡à §ãîé ï G0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ G1 . «¥à .
. V:
§ 2.
259
Ǒ
«®¢ï¨è¨ª®¢ (⥮६ § 5 £« ¢ë IV ¨ ⥮६ 3 § 4 £« ¢ë III) ª ¤®¬ã Vt á ®â¬¥ç¥®© ®¡à §ãî饩 Gt ®â¢¥ç ¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© ¬®£®£à ¨ª Pt, ¨§®¬¥âà¨çë© P , á ãá«®¢¨¥¬ ᮮ⢥âáâ¢¨ï «ãç L ®¡à §ãî饩 Gt ¨ â ª ¥ ®à¨¥â¨à®¢ ë©, ª ª P . (ਥâ æ¨ï ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¨§£¨¡ ¨¨ ¤®« , ª®¥ç®, á®åà ïâìáï.) ®, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ Pt ®¡à §ãîâ ¥¯à¥à뢮¥ ᥬ¥©á⢮, ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¥, ª ª «®£¨ç®¥ ã⢥थ¨¥ ¢ ⥮६¥ 2, ®á®¢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠(§ 4 £« ¢ë III). ª ª ª, ®¡à â®, ¢á类¥ ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¯®à®¤ ¥â ¨§£¨¡ ¨¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , â® ¨ª ª¨å ¤àã£¨å ¨§£¨¡ ¨© ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¤®¯ã᪠¥â. 10. ⬥⨬ ¥é¥ ¤¢ ¢®¯à®á . ®® ¤ âì ¯à®áâë¥ ¯à¨¬¥àë ¨§®¬¥âà¨çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà ¥¬, ¥ ¤®¯ã᪠îé¨å ¨§£¨¡ ¨ï ¤à㣠¢ ¤à㣠á á®åà ¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠( ©¤¨â¥ â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë) . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¬®® à ááç¨âë¢ âì, çâ® ¢¥à á«¥¤ãîé ï ⥮६ : ¤¢ ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨å ¨§®¬¥âà¨çëå ¬®£®£à ¨ª ¨§£¨¡ ¥¬ë ®¤¨ ¢ ¤à㣮©. ®ç¥¥, ¥á«¨ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ Pi, ¨§®¬¥âà¨çë¥ ¬®£®£à ¨ªã P , á室ïâáï ª P , â® P ¨§£¨¡ ¥¬ ¢ «î¡®© ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi á ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬 ®¬¥à®¬ . â®à®© ¢®¯à®á ®â®á¨âáï ª ¥¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬. ¥ ¨§¢¥áâ® ¨ ®¤®£® ¯à¨¬¥à § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª , ¤®¯ã᪠î饣® ¥¯à¥àë¢ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¡¥§ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥©. (§¢¥áâë¥ ¯à¨¬¥àë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¬®£®£à ¨ª¨ á á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨ï¬¨; ®¨, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¤®¯ã᪠îâ ¨§£¨¡ 0
0
0
0
20)
21)
20) áᬮâਬ ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨§¬ë, ¨§®¡à ¥®© à¨á. , ¯®ïá F0 á ý§ á⥣ã⮩ ¯à类©þ. â®â ¯®ïá ª ª ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ªà ¥¬ ¨§®¬¥âà¨ç¥ ¯«®áª®¬ã ¬®£®£à ¨ªã F1 (à¨á. ). ¤ ª® ¥«ì§ï ¯¥à¥¢¥á⨠F0 ¢ F1 ¯ã⥬ ¥¯à¥à뢮£® ¨§£¨¡ ¨ï ¢ ª« áᥠ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà ¥¬. (® íâ® ¬®® ᤥ« âì ¢
¡
F0
F1
a)
b)
ª« áᥠý«®ª «ì® ¢ë¯ãª«ëåþ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ªà ¥¬: ¤®áâ â®ç® ¥¯à¥à뢮 㢥«¨ç¨¢ âì ¯®¯¥à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ ¯à¨§¬ë, à §à¥è ï à á室ï騬áï ç áâï¬ ý¯à直þ ¢ 室¥ ¨§£¨¡ ¨ï «¥£ âì ¤à㣠¤à㣠.) | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 21) «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ íâ®, ¢¥à®ïâ®, ¢¥à®¥ ã⢥थ¨¥ ®áâ ¥âáï ¥¤®ª § ë¬. ® ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ªà ¥¬ «®£¨ç®¥ ã⢥थ¨¥ ¥¢¥à®, á¬. [225℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
260
. .
¨©, ॠ«ì® ®áãé¥á⢨¬ëå ¬®¤¥«ïå.) ¨¡®«¥¥ ¨â¥à¥á®© ¯à®¡«¥¬®© ⥮ਨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï à¥è¥¨¥ ¢®¯à®á : ¢á¥ «¨ § ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬ë ¡¥§ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥© ¨«¨ ¬®® 㪠§ âì ¯à¨¬¥àë ¨§£¨¡ ¥¬ëå ? 22)
§ 3. ¡®¡é¥¨ï ª £« ¢ ¬ IV ¨ V
1. Ǒਠ¯¥à¥¥á¥¨¨ ⥮६ £« ¢ IV ¨ V ¥¥¢ª«¨¤®¢ë âà¥å¬¥àë¥ ¯à®áâà á⢠®¡ 祢᪮£® ¨ áä¥à¨ç¥áª®¥ à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ® à §¢¥à⪠å, ®¡à §®¢ ëå ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¢ á¬ëá«¥ £¥®¬¥âਨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯à®áâà á⢠. ª, ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ íâ® ¡ã¤ãâ ®¡ëçë¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ áä¥à¥, à ¤¨ãá ª®â®à®© à ¢¥ à ¤¨ãáã ¤ ®£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠. ¬¥ï ¢ ¢¨¤ã íâ® ãá«®¢¨¥, . ®ª § ⥫ìá⢮ ¥¥ â ª¥ ®áâ ¥âáï ¯®ç⨠¥¨§¬¥ë¬, ¯®â®¬ã çâ® ¯® áãé¥áâ¢ã ®® ¥ á¢ï§ ® á ªá¨®¬®© ¯ à ««¥«ì®áâ¨. §¬¥¥¨ï, ª®â®àë¥ ã® ¢¥á⨠¢ ¤®ª § ⥫ìá⢮, ¨§«®¥®¥ ¢ § 1{3 £« ¢ë IV, ¬ë ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ ᤥ« âì ç¨â ⥫î. ¤¥áì ¥ ¬ë «¨èì 㪠¥¬ ⥠¯ãªâë ¤®ª § ⥫ìá⢠, ª®â®àë¥ ã¤ îâáï ¢ â ª®¬ ¨§¬¥¥¨¨. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ § ç¨â¥«ì® ¯à®é¥ ¯¥à¥®á¨âáï ¢ ¯à®áâà á⢮ ®¡ 祢᪮£®, 祬 ¢ áä¥à¨ç¥áª®¥. «ã¡®ª ï ¯à¨ç¨ í⮣® á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ªá¨®¬ ⨪ áä¥à¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¥¢ª«¨¤®¢®© ¥ ⮫쪮 ®âáãâá⢨¥¬ ªá¨®¬ë ¯ à ««¥«ì®áâ¨, ® â ª¥ ªá¨®¬ ¬¨ á®ç¥â ¨ï ¨ ¯®à浪 ; ¯à¨¬¥à, ¢ ¤¢ã嬥஬ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨«¨, ¯®¯à®áâã, áä¥à¥ ¤¢¥ ¤¨ ¬¥âà «ì® ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ à §«¨çëå ý¯àï¬ëåþ, à®«ì ª®â®àëå ¨£à î⠤㣨 ¡®«ìè¨å ªà㣮¢. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¯à¨¢®¤¨â, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ⮬ã, çâ® ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¥¢¥à® ã⢥थ¨¥ ® à §¡¨¢ ¥¬®á⨠¢á类£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¤¨ £® «ï¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª¨ (¢ í⮬ ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¯à¨¬¥à¥). ¡à é ïáì ª «¥¬¬¥ 1 § 1 £« ¢ë IV, § ¬¥ç ¥¬ á«¥¤ãî饥. ⢥थ¨¥, çâ® ç¨á«® ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ ¥ ¬¥¥¥ âà¥å, ¢¥à® ¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£®. ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ¯à®áâà á⢮ ®¡ 祢᪮£® ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ìãî ªà¨¢¨§ã, â® ¯®« ï (¨«¨ ¨â¥£à «ì ï) ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨, à ¢ ï ¯®-¯à¥¥¬ã 4π (â®â ä ªâ, çâ® ¯®« ï ªà¨¢¨§ à §¢¥à⪨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, à ¢ 4π, ¢®¢á¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ªà¨¢¨§ë ¯à®áâà á⢠), á« £ ¥âáï ¨§ ¯®«®¨â¥«ìëå ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¨ ®âà¨æ ⥫ìëå ªà¨¢¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨. Ǒ®í⮬ã á㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¡®«ìè¥ 4π, â ª ª ª ªà¨¢¨§ ª ¤®© ¢¥àè¨ë ¬¥ìè¥ 2π, â® ¢¥àè¨ ¥ ¬¥ìè¥ âà¥å. á«ãç ¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠⮠¥ à áá㤥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á㬬 ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¬¥ìè¥ 4π. í⮬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ãîâ à §¢¥à⪨, ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥î騥 ¢¥àè¨ (¬®£®£à ¨ª á â ª®© à §¢¥à⪮© ¥áâì ¯à®áâ® áä¥à ), â ª¥ à §¢¥à⪨ á ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨ ¬¨ (¢áïªãî â ªãî à §¢¥àâªã ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ã㣮«ì¨ª , ᪫¥¥®£® ¯® áâ®à® ¬); à §¢¥à⮪ á ®¤®© ¢¥à訮©, ª ª ¬®® ¯®ª § âì, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¥¯¥àì, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ã⢥थ¨¥, § ¬¥ïî饥 «¥¬¬ã 1, ¤®áâ â®ç® ¥¯®á।á⢥® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¢á¥ à §¢¥à⪨ á ç¨á«®¬ ¢¥àè¨, ¥ ¡®«ì訬 âà¥å, ॠ«¨§ã¥¬ë. Ǒਠ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë 2 á«¥¤ã¥â â ª¥ à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï. ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯®¢â®àï¥âáï ¤®á«®¢®. áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥, ª ª 㥠㯮¬¨ «®áì, ¥¢¥à ⥮६ ® âਠ£ã«¨à㥬®á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª . ¤ ª®, ¥á¬®âàï ⥮६ã áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à -
¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨«¨ ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¡¥§ ª ª¨å ¡ë â® ¨ ¡ë«® ¨§¬¥¥¨©
22) ¬.
¯à¨¬¥ç ¨¥ 19) ª § 6 £«. III á. 184. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. V:
§ 3.
261
íâ®, «¥¬¬ 2 ®ª §ë¢ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢®©, ® ¤«ï ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠㮠¯à¨¢«¥çì ¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®¡à ¥¨ï. Ǒ®¤à®¡® à §®¡à âìáï ¢® ¢á¥¬ í⮬ | ¨â¥à¥á ï § ¤ ç , ª®â®à ï ¯à¥¤« £ ¥âáï ç¨â ⥫î. ®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 3 âॡã¥â «¨èì ¥§ ç¨â¥«ìëå ¨§¬¥¥¨©. ®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 4 ®á®¢ ® ⮬ ä ªâ¥, ç⮠㣮« âà¥ã£®«ì¨ª ï¥âáï áãé¥á⢥® ¬®®â®®© äãªæ¨¥© ¯à®â¨¢®«¥ 饩 áâ®à®ë, çâ® ¢¥à® ¨ ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å. ª®¥æ, ¯à¨¬¥¥¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¥ ¢ë§ë¢ ¥â ᮬ¥¨©, ¯®áª®«ìªã ¢ ¯o 4 § 6 £« ¢ë III ®¡êï᥮, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯¥à¥®á¨âáï ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà á⢠¤®á«®¢®, ¥á«¨ ¨§ à áᬮâà¥¨ï ¨áª«îç îâáï ý¤¢ã墥à訨ª¨þ. ® ®¨ á ¥ ¨â¥à¥áãîâ ¯®â®¬ã, ç⮠⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à¨¬¥ï¥âáï «¨èì ª ¬®£®£à ¨ª ¬, ¨¬¥î騬 ¥ ¬¥¥¥ âà¥å ¢¥àè¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®á«¥¨¢ ï ¤®ª § ⥫ìá⢮ ®â ç « ¤® ª®æ ¨ ¢®áï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨§¬¥¥¨ï, ç¨â â¥«ì ¤®ª ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¨ ¤«ï ¥¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà áâ¢. ¬¥á⥠á 㪠§ ®© ⥮६®© í⨠¯à®áâà á⢠®¡®¡é îâáï ¥¥ á«¥¤á⢨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ § 1 áâ®ï饩 £« ¢ë ®â®á¨â¥«ì® ᪫¥¨¢ ¨ï ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© (®¡é¨¥ ⥮६ë 1 ¨ 7 § 1, ⥮६ 2 ® è ¯®çª¥) ¨ ¢ § 2 ®â®á¨â¥«ì® ¨§£¨¡ ¨© ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ (⥮६ë 1{7 § 2). ¤¥áì 㥠¨ç¥£® ¥ ã® ¬¥ïâì ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å. áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¥â ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¯®â®¬ã â ¬ ¥ ¬®¥â áâ®ïâì ¢®¯à®á ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¯à®áâà á⢥ ¥ ®¡ 祢᪮£®, ¯à®â¨¢, íâ®â ¢®¯à®á ®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¡®£ ç¥ ¯® ᮤ¥à ¨î, 祬 ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. í⮬ ¯®á«¥¤¥¬, ¥ áç¨â ï ¡¥áª®¥çëå ¯à¨§¬, ¢á直© ¯®«ë© ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª £®¬¥®¬®àä¥ ¯«®áª®áâ¨. ¯à®áâà á⢥ ¥ ®¡ 祢᪮£®, ª ª 㥠¡ë«® 㪠§ ® ¢ § 6 £« ¢ë III, áãé¥áâ¢ãîâ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, £®¬¥®¬®àäë¥ «î¡®© ¯«®áª®© ®¡« áâ¨, ®£à ¨ç¥®© ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ªà¨¢ëå. á¢ï§¨ á í⨬ ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¢ë£«ï¤¨â ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: § ¢á类© à §¢¥àâ-
ª¨, á®áâ ¢«¥®© ¨§ ª®¥çëå ¨ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¯«®áª®á⨠®¡ 祢᪮£®, ¥ ¨¬¥î饩 £à ¨æë ¨ £®¬¥®¬®à䮩 «î¡®© ¯«®áª®© ®¡« áâ¨
23) , ¬®® ᪫¥¨âì
. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ®áãé¥á⢫ï¥âáï ®á®¢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ® § ¬ªã⮬ ¬®£®£à ¨ª¥. ¬¥®, ¨§ à §¢¥à⪨ R ¢ë१ ¥âáï ª®¥ç ï ç áâì R′ â ª, çâ® ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª, ¯®á«¥ 祣®, à áè¨àïï íâã ç áâì R′ ¢áî à §¢¥àâªã R, ¯®«ãç ¥¬ ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª, ᪫¥¥ë© ¨§ à §¢¥à⪨ R 25) . ¥®à¥¬ «®¢ï¨è¨ª®¢ ¥ ¬®¥â ¡ëâì à á¯à®áâà ¥ ¢ ¯à®áâà á⢮ ®¡ 祢᪮£®, ¯®ª ®áâ ¥âáï ¥¨§ãç¥ë¬ ¯®ï⨥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¬®£®£à ¨ª ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥. ¡ í⮩ § ¤ ç¥ ¬ë £®¢®à¨«¨ 㥠¢ § 6 £« ¢ë III.
¥ à¥è¥¨¥ ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¯®«®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¨§£¨¡ ¨© ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ «î¡®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® áâ஥¨ï ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¤®áâ â®ç® ¨â¥à¥áãî ¯à®¡«¥¬ã 26) . ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬
24)
¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£®
23) ®, çâ® ®¡« áâì ®£à ¨ç¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ªà¨¢ëå, ¤®¡ ¢«ïâì ¥ ã®: í⮠㥠᫥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® à §¢¥à⪠¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮤ¥à¨â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. 24) ¤¥áì ã® ¯®¬¨âì, çâ® ¯à®áâà á⢠®¡ 祢᪮£® à §«¨ç îâáï ᢮¥© ªà¨¢¨§®©. 25) [14℄ íâ®â ¯à¨¥¬ ¯à¨¬¥¥ ª ®¡é¥¬ã á«ãç î ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¬®£®£à ®© ¬¥âਪ¨. 26) ¤ ç¨ ®¡ ¨§£¨¡ ¨¨ ¨ ¥á⪮á⨠¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¯®ª ¥é¥ ¥ à¥è¥ë ¤® ª®æ . áâë¥ à¥§ã«ìâ âë á¬. ¢ [51, 52, 75, 89, 95℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
262
. .
2. ®¡®¡é¥¨î ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ªà¨¢ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¬®® ¯®¤å®¤¨âì á ¤¢ãå â®ç¥ª §à¥¨ï. Ǒ¥à¢ ï, ¡®«¥¥ ª®ªà¥â ï, ® § â® ¨ ¬¥¥¥ ®¡é ï, â®çª §à¥¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢¬¥áâ® à §¢¥à⪨, á®áâ ¢«¥®© ¨§ ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¬®® à áᬠâਢ âì ýà §¢¥àâªãþ, ®¡à §®¢ ãî ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ªã᪮¢ ¯à®¨§¢®«ìëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. Ǒ®¤ ýà §¢¥à⪮©þ ¯®¨¬ ¥âáï ⮣¤ ᮢ®ªã¯®áâì ªã᪮¢ G1 , . . . , Gn ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á® á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨: 1) ¤ë© ªã᮪ Gi £®¬¥®¬®àä¥ ¬®£®ã£®«ì¨ªã, ª®¥ç®¬ã ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®¬ã, ¨ ®£à ¨ç¥ á¯àשׂ塞묨 ªà¨¢ë¬¨. à ¨æ ª ¤®£® ªã᪠¯à®¨§¢®«ì® à §¡¨¢ ¥âáï ®â१ª¨ | áâ®à®ë, â®çª¨ ¤¥«¥¨ï áç¨â îâáï ¢¥àè¨ ¬¨. 2) â®à®ë ªã᪮¢ Gi ý᪫¥¨¢ îâáïþ, â.¥. ®â®¤¥á⢫ïîâáï ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¯®¯ à® â ª, çâ® ®â®¤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ®â१ª¨ ¢á¥£¤ ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ¤«¨ë. ¥ª®â®àë¥ áâ®à®ë ¬®£ãâ ¥ ᪫¥¨¢ âìáï á ¤à㣨¬¨, ¨ ⮣¤ ®¨ ®¡à §ãîâ £à ¨æã ýà §¢¥à⪨þ. ç á⮬ á«ãç ¥ í⨠Gi ¬®£ãâ ¡ëâì ªã᪠¬¨ ¯«®áª®áâ¨. ë £®¢®à¨¬, çâ® ¯®¢¥àå®áâì F ᪫¥¥ ¨§ ªã᪮¢ Gi , ¥á«¨ ® ¬®¥â ¡ëâì à §¡¨â ç á⨠Fi â ª, çâ® 1) ª ¤ë© ªã᮪ Gi ¬®¥â ¡ëâì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ®â®¡à ¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ç áâì Fi ¯®¢¥àå®á⨠F (â.¥. â ª, çâ® ¯à¨ í⮬ ª ¤®© ªà¨¢®© Gi ®â¢¥ç ¥â F ªà¨¢ ï ⮩ ¥ ¤«¨ë); 2) ¯à¨ â ª¨å ®â®¡à ¥¨ïå ®â®¤¥áâ¢«ï¥¬ë¥ ®â१ª¨ £à ¨æ ªã᪮¢ Gi ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ®¡é¨¥ ®â१ª¨ £à ¨æ ç á⥩ Fi . ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¨§ à §¢¥à⪨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â «¨èì ç áâë© á«ãç © ᪫¥¨¢ ¨ï ¢ á¬ëá«¥ ¤ ®£® ᥩç á ®¡é¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï. à㣨¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ¬®£ãâ á«ã¨âì ᪫¥¨¢ ¨ï 樫¨¤à®¢ ¨ ª®ãᮢ ¨§ ¨§¢¥áâëå ªã᪮¢ ¯«®áª®á⨠¨«¨ ᪫¥¨¢ ¨¥ ¢¥à¥â¥®®¡à §®© ¯®¢¥àå®á⨠¨§ ¯®«ãáä¥àë. ¤ ç á®á⮨⠢ ®âë᪠¨¨ â¥å ãá«®¢¨©, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ ¤ ®© ýà §¢¥à⪨þ ¬®® ᪫¥¨âì ¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì ⮣® ¨«¨ ¨®£® ¢¨¤ , ¯à¨¬¥à § ¬ªãâãî. ¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¤ ¥âáï ⥮६®©, ª®â®àãî ï §ë¢ î ý⥮६®© ® ᪫¥¨¢ ¨¨þ. ®ç ï ®¡é ï ä®à¬ã«¨à®¢ª í⮩ â¥®à¥¬ë ¯®âॡ®¢ « ¡ë ¢¢¥¤¥¨ï àï¤ ®¯à¥¤¥«¥¨©. ë í⮣® ¤¥« âì ¥ ¡ã¤¥¬, ä®à¬ã«¨à㥬 ⥮६㠢 ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® ªà¨¢ë¥, ®£à ¨ç¨¢ î騥 ªã᪨ Gi , | ªãá®ç®-£« ¤ª¨¥ ¨ ¨¬¥îâ ªãá®ç®-¥¯à¥àë¢ãî £¥®¤¥§¨ç¥áªãî ªà¨¢¨§ã. Ǒ®á«¥¤ïï ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ªà¨¢¨§ (ª ª äãªæ¨ï ¬®¥á⢠), ¨§¬¥à¥ ï á ¬®¬ ªã᪥ Gi . áç¨â ¥âáï ¯®«®¨â¥«ì®©, ¥á«¨ ¢ ¤ ®© â®çª¥ £à ¨æ ®¡à é¥ ¢ë¯ãª«®áâìî àãã ®â Gi , ¨ ®âà¨æ ⥫쮩 | ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. «ï ⮣® çâ®¡ë ¨§ ýà §¢¥à⪨þ
R,
£®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì § ¬-
ªãâãî ¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©:
1) Gi 6 2π 2) Gi > 0.
᫨ áâ®à®ë ªã᪮¢ Gi | £¥®¤¥§¨ç¥áª¨¥, â® £¥®¤¥§¨ç¥áª ï ªà¨¢¨§ ¨å ¢áî¤ã à ¢ ã«î. á«®¢¨¥ 2 ¢ë¯®«ï¥âáï ⮣¤ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ ᪫¥¨¢ ¥¬®á⨠楫®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¨§ £¥®¤¥§¨ç¥áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¢ë१ ëå ¨§ ª ª¨å-â® ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩, ¨ç¥¬ ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ãá«®¢¨ï ᪫¥¨¢ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨§ ¯«®áª¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë ¬®£ãâ ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ë ¤«ï ýà §¢¥à⮪þ ¤à㣮£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® áâ஥¨ï; ãá«®¢¨ï 1, 2 ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨. á㬬 㣫®¢ ªã᪮¢
¢¥à訥, ¤®« ¡ëâì
, á室ïé¨åáï ¯à¨ ®â®¤¥á⢫¥¨¨ £à ¨æ ¢ ®¤®© â®çª¥ | ¤«ï ª ¤®© ¢¥àè¨ë;
á㬬 £¥®¤¥§¨ç¥áª¨å ªà¨¢¨§ ¢ ®â®¤¥á⢫塞ëå â®çª å £à ¨æ ªã᪮¢
¡ëâì ¢áî¤ã
¤®«-
. V:
§ 3.
263
â ⥮६ ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®ç¥ì ᨫìë© ¨áâà㬥⠨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩, ®á®¡¥® ¨å ¨§£¨¡ ¨ï 27) . ¤®ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, ®á®¢¥ ®¡®¡é¥¨ï ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª å ¢ ¤à㣮¬, ¡®«¥¥ ¡áâà ªâ®¬ ¯à ¢«¥¨¨. 3. â ¢â®à ï, ¡®«¥¥ ¡áâà ªâ ï, ® § â® ¨ ¡®«¥¥ ®¡é ï â®çª §à¥¨ï á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ª ¢ëï᥮ ¢ § 6 £« ¢ë I, § ¤ ¨¥ à §¢¥à⪨ íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ ¬®£®£à ¨ª . ¥âਪ ®¯à¥¤¥«ï¥â à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¥£® â®çª ¬¨, ¨§¬¥à¥ë¥ á ¬®¬ ¬®£®£à ¨ª¥.
᫨, ¯à¨¬¥à, à §¢¥à⪠R £®¬¥®¬®àä áä¥à¥, â®, ®â®¡à ï ¥¥ áä¥àã S, ¬ë ¯¥à¥®á¨¬ S ¬¥âਪã ρ, § ¤ ãî à §¢¥à⪮© R. ª«¥¨¢ ¨î ¬®£®£à ¨ª P ¨§ à §¢¥à⪨ R ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ áä¥àë S á ¬¥âਪ®© ρ ¬®£®£à ¨ª P . á¢ï§¨ á í⨬ ¤«ï «î¡ëå ¯®¢¥àå®á⥩ à¥çì â ª¥ ¬®¥â ¨¤â¨ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ á § ¤ ®© ¬¥âਪ®©. Ǒãáâì F | ¯®¢¥àå®áâì ¨ X , Y | ¤¢¥ ¥¥ â®çª¨. à ááâ®ï¨¥ ρF (X, Y ) â®ç¥ª X , Y F ¯à¨¨¬ îâ â®çãî ¨îî £à ¨æã ¤«¨ ªà¨¢ëå, «¥ é¨å F ¨ ᮥ¤¨ïîé¨å â®çª¨ X , Y . â® à ááâ®ï¨¥, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ª ª äãªæ¨ï ¯ àë â®ç¥ª X , Y , ¨ ¥áâì ¢ãâà¥ïï ¬¥âਪ ¯®¢¥àå®á⨠F 28) . íâ¨å â¥à¬¨ å § ¤ ç ®¡®¡é¥¨ï ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬®¥â ¡ëâì ¯®áâ ¢«¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. Ǒãáâì áä¥à¥ S § ¤ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¯ àë â®ç¥ª ρ(X, Y ) | ¡áâà ªâ ï ¬¥âਪ , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï â६ ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï ¢á类© ¬¥âਪ¨ ãá«®¢¨ï¬ 29) . ¯à 訢 ¥âáï, ª ª®¢ë ⥠¤®¯®«¨â¥«ìë¥, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå áä¥à S á ¬¥âਪ®© ρ ¬®¥â ¡ëâì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ®â®¡à ¥ ª ªãî-«¨¡® § ¬ªãâãî ¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì F . ® ¥áâì, ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ áä¥àë S ª ªãî-«¨¡® ¯®¢¥àå®áâì F , çâ® ρ(X, Y ) = ρF ϕ(X ), ϕ(Y ), £¤¥ ρF | ¢ãâà¥ïï ¬¥âਪ ¯®¢¥àå®á⨠F ? «®£¨çë© ¢®¯à®á ¬®® áâ ¢¨âì ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¯®¢¥àå®á⥩ F , § ¤ ¢ ï ¯à¨ í⮬ ¬¥âਪã ρ ¯«®áª®áâ¨. ⨠¢®¯à®áë ¯®«®áâìî à¥è¥ë ¤«ï ®¡é¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ª ª ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, â ª ¨ ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ®¡ 祢᪮£® ¨ áä¥à¨ç¥áª®¬. ¥ ¡ã¤ã, ®¤ ª®, ¨§« £ âì §¤¥áì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 १ã«ìâ âë, ®âáë« ï ç¨â â¥«ï ª ¬®¥© ª¨£¥ [18℄.
᫨ ®£à ¨ç¨¢ âìáï ॣã«ïà묨 ¯®¢¥àå®áâﬨ, â® ¨å ¬¥âਪ㠬®® § ¤ ¢ âì «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬ á ®¯à¥¤¥«¥®© £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§®© K . â ª®¬ ¯« ¥ ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ë¬ «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¡ë« 㪠§ ¥é¥ ¢ 1917£. . ¥©«¥¬ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¥ ¡ë«® § ¢¥à襮 . ¥¢¨ ¢ 1938£. 30) â á¯¥æ¨ «ì ï ¯à®¡«¥¬ ¨§¢¥áâ ¯®í⮬㠯®¤ ¨¬¥¥¬ ¯à®¡«¥¬ë ¥©«ï. ¯®¢¥àå®áâ¨, ¨¬¥î饩 ¤ ãî ¬¥âਪã, £®¢®àïâ, çâ® ® ॠ«¨§ã¥â íâã ¬¥âਪã. ä®à¬ã«¨à㥬 ®¡éãî ⥮६㠮 ॠ«¨§ã¥¬®á⨠¬¥âਪ¨, § ¤ ®© «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬, ¯®á।á⢮¬ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¯à®áâà á⢥ ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë K0 (â.¥. ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à¨ K0 = 0, ®¡ 祢᪮£®, ¥á«¨ K0 < 0, ¨ áä¥à¨ç¥áª®¬, ¥á«¨ K0 > 0). 27) ¬. [16℄, [18, £«. VIII, § 1 ¨ £«. IX, § 3℄. 28) ¥£« ¤ª®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ãâà¥ïï
¬¥âਪ ¥ ï¥âáï ਬ ®¢®©. ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, § ⥬ ¨ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¥¬ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¬®£®®¡à §¨© á ¥£« ¤ª®© ¬¥âਪ®©, ç¨ ï á ª¨£¨ [18℄, ¯®«ãç «¨ ¤ «¥ª® ¨¤ã饥 à §¢¨â¨¥, á¬. [42, 64, 180, 184℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 29) ¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ρF 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⨬ â६ ãá«®¢¨ï¬: 1) ρ(X, Y ) = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ X = Y , 2) ρ(X, Y ) = ρ(Y, X ) ¨ 3) ρ(X, Y ) + ρ(Y, Z ) > ρ(X, Z ). 30) ¬. ª¨£ã [104℄, £¤¥ ¤ ®¡§®à íâ¨å à ¡®â. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
264
. .
Ǒãáâì ¢ ®¡« á⨠G áä¥à¥ § ¤ ¬¥âਪ , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬, £ ãáᮢ ªà¨¢¨§ ª®â®à®£® ¢áî¤ã > K0 . Ǒãáâì ª ¤ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ ®¡« á⨠G ᮥ¤¨¨¬ë ªà âç ©è¥© «¨¨¥© ¢ á¬ëá«¥ ¤ ®© ¬¥âਪ¨. ( ç áâ®áâ¨, íâ® ãá«®¢¨¥ § ¢¥¤®¬® ¢ë¯®«¥®, ¥á«¨ G ¥áâì ¢áï áä¥à .) ®£¤ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë K0 áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì F , ॠ«¨§ãîé ï ¤ ãî ¬¥âਪã, â. ¥. ®¡« áâì G á ¤ ®© ¬¥âਪ®© ¤®¯ã᪠¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¯®¢¥àå®áâì F . (Ǒ®«®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮
í⮩ â¥®à¥¬ë ¯®ª ¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ ®.) ®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ¬¥âਪ®© ®á®¢ ë ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¤ ®© ¬¥âਪ¨ ý¬®£®£à 묨 ¬¥âਪ ¬¨þ Sn , â.¥. ¬¥âਪ ¬¨, § ¤ ¢ ¥¬ë¬¨ à §¢¥à⪠¬¨ ¨§ ¯«®áª¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ᨫã ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ ®© à §¢¥à⪮© | ¬¥âਪ®© ρn | ¬ë ã⢥ठ¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pn á ¬¥âਪ ¬¨ ρn . Ǒ।¥« á室ï饩áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, ¢ë¡à ®© ¨§ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¤ ¥â ¯®¢¥àå®áâì, ¨¬¥îéãî ¯à¥¤¥«ìãî, â.¥. ª ª à § § ¤ ãî ¬¥âਪã ρ 31) . ¤ ª® ¢ á«ãç ¥ ¬¥âਪ¨, § ¤ ¢ ¥¬®© «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬ á ¤®áâ â®ç® ॣã«ïà묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ¯à®¡«¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠á â ª®© ¬¥âਪ®© ¬®¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ª ª ¯à®¡«¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï à¥è¥¨ï ¥ª®â®à®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå 32) . ¬¥® ¢ í⮬ ¯« ¥ ¯à®¡«¥¬ à áᬠâਢ ¥âáï ã . ¥©«ï [362℄ ¨ . ¥¢¨ [310℄. 4. ¡ ¨§£¨¡ ¨ïå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¬®® ¤®ª § âì àï¤ â¥®à¥¬, «®£¨çëå ⥮६ ¬ § 2 áâ®ï饩 £« ¢ë. Ǒ।¥ ¢á¥£® 㪠¥¬, ç⮠⥮६ «®¢ï¨è¨ª®¢ § 5 £« ¢ë IV ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å ®¡®¡é ¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: Ǒãáâì F | ¡¥áª®¥ç ï ¯®« ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì á ¯®«®© ªà¨¢¨§®© ω (F ) < 2π . Ǒãáâì L | «ãç F , â. ¥. ¡¥áª®¥ç ï ¢ ®¤ã áâ®à®ã ªà¨¢ ï, ïîé ïáï ªà âç ©è¥© ¬¥¤ã «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ᢮¨¬¨ â®çª ¬¨. Ǒãáâì ¯®¢¥àå®áâì F ®à¨¥â¨à®¢ 㪠§ ¨¥¬ ®¡å®¤ ¥ª®â®à®£® ª®âãà . ¤ ¥¬ ¯à®¨§¢®«ìë© ¢ë¯ãª«ë© ª®ãá K á ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ãá«®¢¨¥¬, çâ®¡ë ¥£® ªà¨¢¨§ (¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï) à ¢ï« áì ω (F ). ª®ãᥠK § ¤ ¥¬ ¯à®¨§¢®«ìãî ®¡à §ãîéãî G.
31)
¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¯à®á⥩襬ã á«ãç î ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¬¥âਪ¨, § ¤ ®© «¨¥©ë¬ í«¥¬¥â®¬, íâ®â ¬¥â®¤ ¢® ¢á¥å ¤¥â «ïå ¨§«®¥ ¢ à ¡®â¥ [12℄; ¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï á¬. [18, £«. VII℄. 32) . ¥©«ï ¯à®¡«¥¬ ᢮¤¨« áì ª áãé¥á⢮¢ ¨î à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï à¡ã áä¥à¥, ª®â®à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãà ¢¥¨¥ ® | ¬¯¥à í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ . ®£« á® ¬¥â®¤ã ¯à®¤®«¥¨ï ¯® ¯ à ¬¥âàã [66℄, ¤«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ à §à¥è¨¬®á⨠í⮣® ãà ¢¥¨ï âॡãîâáï ¯à¨®àë¥ ®æ¥ª¨ à¥è¥¨ï ¢ ª« áᥠC 2 . ¨ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë . ¥©«¥¬ [362℄ ¨ ¢ ®ª®ç ⥫쮬 ¢¨¤¥ . ¥¢¨ [310℄; á¬. â ª¥ [326℄. ..Ǒ®£®à¥«®¢ ¤®ª § « ॣã«ïà®áâì ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠á ॣã«ïன ¬¥âਪ®© [173, £«. 2℄. á®ç¥â ¨¨ á ⥮६®© «¥ªá ¤à®¢ íâ® à¥è ¥â ¨ «¨â¨ç¥áªãî ¯à®¡«¥¬ã ¥©«ï. Ǒ®¤à®¡¥¥ ® á⥯¥¨ £« ¤ª®á⨠¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ £« ¤ª®á⨠¥¥ ¬¥âਪ¨ ¨«¨ ªà¨¢¨§ë á¬. ®¡§®à [68, £«. 2, § 3℄. ( ¨¡®«¥¥ § ª®ç¥ë¥ १ã«ìâ âë ᮤ¥à âáï ¢ à ¡®â å [154, 173, 188, 202, 222℄.) ¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á § ¤ ®© ¬¥âਪ®© ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë ¨ ¢ ਬ ®¢ëå ¬®£®®¡à §¨ïå á¬. ¢ [173, £«. 5, 6℄. â¥à¥áë© ¢®¯à®á ॠ«¨§ 樨 ¢ ¢¨¤¥ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠§ ¤ ®© ¤¢ã¬¥à®© ਬ ®¢®© ¬¥âਪ¨ ¢ ਬ ®¢®¬ ¬®£®®¡à §¨¨ (¯à®¨§¢®«ì®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® áâ஥¨ï) ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë −1 á¬. ¢ [306℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. V:
§ 3.
265
⢥ठ¥âáï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì F ′ , ¨§®¬¥âà¨ç ï F ¨ â ª ï, çâ® 1) K ¥áâì ¥¥ ¯à¥¤¥«ìë© ª®ãá, 2) G ¥áâì ¯à¥¤¥«ì ï ®¡à §ãîé ï «ãç L′ F ′ , ®â¢¥ç î饣® ¯® ¨§®¬¥âਨ «ãçã L, 3) ¯à¨ á ⨨ ¯®¢¥àå®á⨠F ′ ¢ ª®ãá K ®à¨¥â æ¨ï, ¨¤ãæ¨à®¢ ï ¥© ¢ ᨫ㠨§®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®â®¡à ¥¨ï ¨á室®© ¯®¢¥àå®á⨠F , ¤ ¥â ®à¨¥â æ¨î, § ¤ ãî ª®ãᥠK .
â ⥮६ ¤®ª § . Ǒ. «®¢ï¨è¨ª®¢ë¬ [156℄ ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢. ¥© § ª«îç ¥âáï ã⢥थ¨¥, çâ® ¢áïª ï ¡¥áª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì á ªà¨¢¨§®© < 2𠤮¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ìë¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®â®¡à ¥¨ï. ¤ ª® ¢®¯à®á ® ¢®§¬®®á⨠¥¥ ¥¯à¥à뢮£® ¨§£¨¡ ¨ï ®áâ ¥âáï ¯®ª ¥à¥è¥ë¬ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. ..Ǒ®£®à¥«®¢ ¤®ª § «, çâ® ¥á«¨ ¯®¢¥àå®áâì F ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥ãî 㤥«ìãî ªà¨¢¨§ã (á¬. ¯o 3 § 6 £«. III), â® ® ¤®¯ã᪠¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¨ ¢á¥ ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§£¨¡ ¨ï¬¨ ª®ãá K á ®â¬¥ç¥®© ®¡à §ãî饩 G. â® ¯®«ë© «®£ ⥮६ë 8 § 2. ã® ¤ã¬ âì, çâ® â®â ¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ ¨ ¡¥§ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ®¡ ®£à ¨ç¥®á⨠㤥«ì®© ªà¨¢¨§ë 33) . § ⥮६ ®¡ ¨§£¨¡ ¨ïå ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ 㪠¥¬:
᫨ ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, £®¬¥®¬®àä ï ªàã£ã, â ª®¢ , çâ® ª ¤ë¥ ¤¢¥ ¥¥ â®çª¨ ᮥ¤¨¨¬ë ¥© ªà âç ©è¥© «¨¨¥©, â® â ª ï ¯®¢¥àå®áâì ¨§®¬¥âà¨ç è ¯®çª¥ [18, £«. IX, § 4 ¨ £«. VIII, § 2℄. (¯à¥¤¥«¥¨¥ è ¯®çª¨ á¬. ¢ § 6 £«. III.) ¥à®ïâ®, â ª ï ¯®¢¥àå®áâì ¢á¥£¤ ¬®¥â ¡ëâì ¥¯à¥à뢮 ¨§®£ãâ ¢ è ¯®çªã. ¤ ª® íâ® ¥ ¤®ª § ® ¤ ¥ ¤«ï ᪮«ì 㣮¤® ॣã«ïàëå ¯®¢¥àå®á⥩ 34) .
᫨ ¨§ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ë१ âì £¥®¤¥§¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¢ãâ८áâì ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¨â¥£à «ìãî ªà¨¢¨§ã, ®â«¨çãî ®â ã«ï, â® ®áâ ¢è ïáï ¯®¢¥àå®áâì ¤®¯ã᪠¥â ¥âਢ¨ «ìë¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®â®¡à ¥¨ï.
¥à®ïâ®, â ª ï ¯®¢¥àå®áâì ¢á¥£¤ ¤®¯ã᪠¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï, ¤ ¥ ¥á«¨ ã ¥¥ ¢ë१ ¥âáï ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª, ª ª ï 㣮¤® ®¡« áâì ¥ã«¥¢®© ªà¨¢¨§ë. ¤ ª® íâ® ¤®ª § ® ¯®ª «¨èì ¤«ï âà¨¤ë ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ¯®¢¥àå®á⥩ 35) . ®ª § ⥫ìá⢠¯à¨¢¥¤¥ëå ⥮६ ®á®¢ ë ⥮६¥ ® ᪫¥¨¢ ¨¨, â.¥. ¯® áãé¥áâ¢ã, ⮬ ¥ ¬¥â®¤¥ ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï, ª®â®àë© ¯à¨¬¥ï«áï ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ § 2. 5. ¥¯¥àì à áᬮâਬ ¢®¯à®á ®¡ ®¡®¡é¥¨¨ è¨å ⥮६ ¯à®áâà á⢠á ç¨á«®¬ ¨§¬¥à¥¨© ¡®«ìè¥ âà¥å. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ® âà¥å¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª å ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ®®â¢¥âá⢥® à §¢¥à⪠¤®« á« £ âìáï ¨§ âà¥å¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢ Qi á ®â®¤¥á⢫塞묨 (ý᪫¥¨¢ ¥¬ë¬¨þ) £à ﬨ. ॡà å â ª®© à §¢¥à⪨ á室¨âáï ¯® ¥áª®«ìªã ¬®£®£à ¨ª®¢ Qi , ¨ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë à¥çì ¬®£« ¨¤â¨ ® à §¢¥à⪥ ¨¬¥® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë á㬬 ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ Qi ¢®ªà㣠ª ¤®£® à¥¡à ¥ ¯à¥¢®á室¨« 2π. â® ãá«®¢¨¥, ®¤ ª®, ¤«ï ⮣®, ¯à¨¬¥à, çâ®¡ë ¨§ 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ¥¬ã à §¢¥à⪨ (£®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥) ¬®® ¡ë«® ᪫¥¨âì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. Ǒà¨ç¨ã í⮣® ¬ë ᥩç á ¢ëïᨬ. ¢®¢á¥ ¥ ¤®áâ â®ç®
33) ¥¯¥àì íâ® ¤®ª § ®. ¬. [173, £«. 3, § 9℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 34) ¥¯¥àì íâ® ¤®ª § ®. ¬. [145℄. ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¢ [122, 123℄ «¨â¨ç¥áª¨¬¨
á।á⢠¬¨ ¤®ª § ¢®§¬®®áâì ¥¯à¥à뢮 ¯¥à¥å®¤¨âì ®â ®¤®© ª ¤à㣮© ¨§ ¤¢ãå ¨§®¬¥âà¨çëå £®¬¥®¬®àäëå ªàã£ã áâண® ¢ë¯ãª«ëå C 4,α -£« ¤ª¨å ¯®¢¥àå®á⥩, ®áâ ¢ ïáì ¢ ª« áᥠ¨§®¬¥âà¨çëå ¨¬ «®ª «ì® ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ® íâ® ¥ ®§ ç ¥â ¥¯à¥à뢮£® ¨§£¨¡ ¨ï ¢ ª« áᥠ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ¡ ¨§£¨¡ ¨ïå á¬. â ª¥ ®¡§®àë [191, 208℄, à ¡®âë [128, 220, 221℄ ¨ ¤à. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 35) ¥¯¥àì íâ® ¤®ª § ® [129℄ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. ¬. [173, £«. 3, § 6℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
266
. .
Ǒãáâì A | ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ R; ® ¤®« ¡ëâì ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P , ᪫¥¥®£® ¨§ R. ®çª¨ P , à ¢®ã¤ «¥ë¥ ®â A, ®¡à §ãîâ âà¥å¬¥à®© áä¥à¥ á æ¥â஬ A § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª QA . â®â ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬®£®£à ë© ã£®« ¯à¨ ¢¥à訥 A ¬®£®£à ¨ª P . §¢¥à⪠í⮣® ¬®£®£à ¨ª QA ®¡à §ã¥âáï ¢ à §¢¥à⪥ R â®çª ¬¨, à ¢®ã¤ «¥ë¬¨ ®â ¥¥ â®çª¨ A. ® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª QA ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¥© à §¢¥à⪮© ®¤®§ ç®. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã: ®¤¨ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ë¥ ®ªà¥áâ®á⨠¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª , ª®â®àë© ¨§ ¥¥ ¬®® ᪫¥¨âì.
᫨ ¢¥àè¨ë A ¨ B ᮥ¤¨¥ë ¯® à¥¡à ¬, â® ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ £à ¨ ¢®ªà㣠í⮣® ॡà . ®®â¢¥âá⢥® áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ QA , QB ¤®«ë ¨¬¥âì à ¢ë¥ ¯«®áª¨¥ ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å ¢¥àè¨ å, ®â¢¥ç îé¨å ॡàã AB . ¥¤ã ⥬ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¥£® à §¢¥à⪮© ¢ 楫®¬ ¨ ®¨ ¡ã¤ãâ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¬¥ïâìáï, ¥á«¨ ¨§¬¥ïâì ¥¥ ¤ ¥ ¢ ⮩ ç áâ¨, ª®â®à ï, â ª ᪠§ âì, ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® ®â®è¥¨ï ª ॡàã AB . â® ¯à¨¢®¤¨â ª § ª«î票î, çâ® ¤ ¥ à §¢¥àâª á £à ¨æ¥©, ¨¬¥îé ï ¢á¥£® «¨èì ¤¢¥ ¢¥àè¨ë, ¬®¥â ¥ ॠ«¨§®¢ âìáï ¢ ¢¨¤¥ ¬®£®£à ¨ª . í⮬ ¬®® ¥¯®á।á⢥® ã¡¥¤¨âìáï ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å. §¢¥àâª á ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨ ¬¨ ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ ¨§ «î¡®© à §¢¥à⪨ ¢ë१ âì ®ªà¥áâ®áâì ॡà . «¥¤®¢ ⥫ì®, . ¥¬ ¡®«¥¥ â® ¥ ¢¥à® ¢ á«ãç ¥ ¡®«ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. ¤à㣮© áâ®à®ë, «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ : «ï ⮣® ç⮡ë à §¢¥à⪠, £®¬¥®¬®àä ï âà¥å¬¥à®© áä¥à¥ ¨ á®áâ ¢«¥ ï ¨§ â¥âà í¤à®¢ (çâ® ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, ®¡é¨© á«ãç ©) ᪫¥¨¢ « áì ¢ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ᪫¥¨¢ « áì ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ª ¤®£® ᢮¥£® ॡà . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥áì ¢®¯à®á ᢮¤¨âáï ª ãá«®¢¨ï¬ ᪫¥¨¢ ¥¬®áâ¨ à §¢¥à⪨ ¢ ®ªà¥áâ®áâì ॡà . 室¥¨¥ â ª¨å ãá«®¢¨© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï âàã¤ë¬, ¥á«¨ ¥ ¡¥§ ¤¥ë¬ ¤¥«®¬. 6. «ï ॣã«ïàëå (n − 1)-¬¥àëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¤¥«® ®¡á⮨⠯à®é¥. á«®¢¨ï ॠ«¨§ã¥¬®á⨠¬ «®© ®¡« á⨠(n − 1)-¬¥à®£® ¡áâà ªâ®£® ਬ ®¢ ¬®£®®¡à §¨ï ¢ ¢¨¤¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ à áᬠâਢ «¨áì ¤ ¢® ¨ ¨áç¥à¯ë¢ î饥 ¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¡ë«® ¤ ® ¨®© ઠ¤ì¥¢®© ®§¥á® [185{187℄ 36) . §¢¥áâ®, ¤ «¥¥, çâ®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à¨ n > 3 (n − 1)-¬¥à ï ¯®¢¥àå®áâì ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢®¢á¥ ¥ ¨§£¨¡ ¥¬ ¤ ¥ ¢ ¬ «ëå ç áâïå. âáî¤ ¬®® ¢ë¢¥áâ¨: «ï ⮣® ç⮡ë ਬ ®¢ ¬¥âਪ á® ¢áî¤ã ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§®©, § ¤ ï (n − 1)-¬¥à®© áä¥à¥, ¢ 楫®¬ ॠ«¨§®¢ « áì ¯®¢¥àå®áâìî ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ॠ«¨§®¢ « áì ¢ ª ¤®© ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®© ®¡« áâ¨. á«®¢¨ï ¥ ॠ«¨§ã¥¬®á⨠¢ ¬ «®¬ ¨§¢¥áâë, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢®¯à®á à¥è ¥âáï ¯®«®áâìî. «ï ¬®£®®¡à §¨ï, ®â«¨ç®£® ®â áä¥àë, â ª®© १ã«ìâ â ¬®¥â ¨ ¥ ¨¬¥âì ¬¥áâ , ¯®â®¬ã çâ® ¥£® ¢ë¢®¤ ®á®¢ ®¤®á¢ï§®á⨠áä¥àë. ¤ ¥ ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨
ॡà âà¥å¬¥à ï à §¢¥à⪠¬®¥â ¥ ᪫¥¨¢ âìáï ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥
36) ç «ìë¥ á¢¥¤¥¨ï ¬®® ©â¨ ¢ ª¨£¥ [230℄.
« ¢ VI á«®¢¨ï à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ
§ 1. ¥¬¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å
1. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¯®¬¥é ¥âáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ P , ¥á«¨ ¢á¥ â®çª¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª P «¥ â ¢ P .
᫨ ¥, ªà®¬¥ ⮣®, ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á P , â® ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠP . Ǒ®¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ ¢áî¤ã ¡ã¤¥â ¯®¨¬ âìáï ª®¥çë© ¯«®áª¨© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ªà®¬¥ «¥¬¬ë 4 , £¤¥ à¥çì ¨¤¥â ® ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯ àë ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ áà ¢¨¢ âì ¤«¨ë ¨å áâ®à® á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨. «ï ªà ⪮á⨠í⨠áâ®à®ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à®áâ® ¯ à ««¥«ì묨. Ǒਠí⮬, ¥á«¨ ¤«ï áâ®à®ë l ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥â ¯ à ««¥«ì®© ¥© áâ®à®ë ¤à㣮£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , â® ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ® ¥áâì, ® ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¤«¨ã: ® ¢ëத ¥âáï ¢ âã ¢¥àè¨ã, £¤¥ ®¯®à ï ¯àï¬ ï ¯ à ««¥«ì l. ª ª ª ¬ë ¡ã¤¥¬ áà ¢¨¢ âì ⮫쪮 ¯ à ««¥«ìë¥ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, â® ç áâ® ¡ã¤¥¬ ®¯ã᪠âì 㪠§ ¨¥ íâ®. ª®¥æ, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¥é¥ £®-′ ′ ′ ′ ¢®à¨âì, çâ® áâ®à®ë l , . . ., ln ¡®«ìè¥ áâ®à® l , . . ., ln , ¥á«¨ l > l , . . ., ln > ln ¨ å®âï ¡ë ¤«ï ®¤®©′ ¯ àë′ li > li′ . Ǒਠ«®£¨çëå ãá«®¢¨ïå ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® áâ®à®ë l , . . ., ln ¬¥ìè¥ áâ®à® l , . . ., ln . ᥠ¯¥à¥ç¨á«¥ë¥ ãá«®¢¨ï ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¢® ¢á¥å ¯ à £à ä å ¤ ®© £« ¢ë. 1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2. ¥¬¬ 1.
1
P1 ¢á¥ áâ®à®ë, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¥â, P2 , â® P1 ¬®® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¯®¬¥áâ¨âì
᫨ ã ¬®£®ã£®«ì¨ª
®¤®© l0 , ¬¥ìè¥, 祬 ã ¢ãâਠP1
. ®§ì¬¥¬ P ¨ P ¢¥àè¨ë A ¨ A , ç¥à¥§ ª®â®àë¥ ¯à®å®¤ïâ ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨, ⨯ à ««¥«ì묨 ®à¬ «¨ ª l , ¨ ¯¥à¥1
2
1
2
0
268
. .
¥á¥¬ P ¯ à ««¥«ì® â ª, çâ®¡ë ¢¥àè¨ A ᮢ¯ « á A . Ǒ®ª ¥¬, ç⮠⮣¤ P ®ª ¥âáï ¢ãâਠP . ¥àè¨ A = A = A ¨ áâ®à® l ¤¥«¨â £à ¨æã ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¤¢¥ «®¬ ë¥ AB ¨ AC (à¨á. 114). ¬ ®â¢¥ç îâ £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¤¢¥ «®¬ ë¥ AB ¨ AC . ®ª ¥¬, çâ® «®¬ ï AB ¥ ¬®¥â ¢ë室¨âì ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª P , ¯¥à¥á¥ª ï «®¬ ãî AB . 1
1
1
2
1)
2
1
2
1
0
1
1
2
2
2
1
2
2
a
1
1
A
2
A
2
2 P1
3
3
3
B1 l0 C1 P2
4
4 B2
B2 B1
C2
D
5
5
4 D
5 5
a)
b)
¨á. 114
¨á. 115
Ǒãáâì l , l , . . . ¨ l , l , . . . | ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥áâ®à®ë «®¬ ëå AB ¨ AB ç¨ ï ®â ¢¥àè¨ë A. ª ª ª l 6 l ¨ â. ¤., â® ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¯¥à¢ë© ®â१®ª «®¬ ®© AB ¯à®å®¤¨â ¢ P . ®¯ãá⨬, çâ® «®¬ ï AB ¢ë室¨â ¨§ P , ¯¥à¥á¥ª ï AB ¢ â®çª¥ D (à¨á. 115, ). Ǒãáâì íâ â®çª ¯à¨ ¤«¥¨â áâ®à® ¬ lh ¨ lk . â®à®ë li ¨ li (i = 1, 2, . . . ) ¯ à ««¥«ìë, ¨ ¯¥à¥å®¤ ®â li ª li á¢ï§ á ¯®¢®à®â®¬ ¥ª®â®àë© ã£®«. Ǒ®í⮬ã lh ¬®¥â ¯¥à¥á¥çì lk ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ 㣮« ¥¥ ¯®¢®à®â ¬¥ìè¥, â. ¥. ¥á«¨ h < k. ¯à®¥ªâ¨à㥬 ⥯¥àì «®¬ ë¥ AB ¨ AB ¯àï¬ãî a, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ª áâ®à®¥ l . ª ª ª í⨠«®¬ ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ â®çª¥ D, â® ¯à®¥ªæ¨¨ ¨å ®â१ª®¢ AD à ¢ë. ¬¥á⥠á ⥬ h < k, ¨ ¯®â®¬ã ¯à®¥ªæ¨ï ®â१ª «®¬ ®© AB , á®áâ ¢«¥®£® ¨§ áâ®à® l , l , . . . , lk , ¡ã¤¥â (1) 1
(1) 2
(2) 1
(2) 2
(1) 1
2
1
2
(1)
(2)
1
(2) 1
2
2
(1)
1
(2)
(1)
+1 (2)
1
2
0
1
(1) 1
(1) 2
(1)
1)
᫨ â ª¨¥ ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ ¯à®å®¤ïâ ¢¤®«ì áâ®à®, â® ¡¥à¥¬ «î¡ãî ¯ àã ᮮ⢥âá⢥ëå ¨å ¢¥àè¨.
. VI:
§ 1.
269
Ǒ
¡®«ìè¥ ¯à®¥ªæ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®â१ª «®¬ ®© AB . ª ª ª áâ®à®ë ®¡¥¨å «®¬ ëå ¯ à ««¥«ìë, â® íâ® ¢®§¬®® ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ á।¨ áâ®à® li ¨¬¥îâáï ¡®«ì訥, 祬 li . íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î «¥¬¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, «®¬ ï AB ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì AB . á®¡ë© á«ãç © ¨§®¡à ¥ à¨á. 115, ¡. ᥠáâ®à®ë li ¨ li ᮢ¯ ¤ îâ ¢¯«®âì ¤® i = k − 1, áâ®à® lk ¢ë室¨â ¨§ P . â®â á«ãç © ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬㠥 ¯à®â¨¢®à¥ç¨î: lk ®ª §ë¢ ¥âáï ¡®«ìè¥ lk . ª¨¬ ®¡à §®¬, «®¬ ï AB ¥ ¬®¥â ¢ë室¨âì ¨§ P , ¯¥à¥á¥ª ï AB . ®ç® â ª ¥, ª®¥ç®, «®¬ ï AC ¥ ¬®¥â ¢ë室¨âì ¨§ P , ¯¥à¥á¥ª ï AC . ® áâ®à®ã B C (¯ à ««¥«ìãî l ) ®¨ â ª¥ ¥ ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥ª âì. ç¥, ¯à¨¬¥à, ¯à®¥ªæ¨ï «®¬ ®© AB ¯àï¬ãî a ¡ë« ¡ë ¡®«ìè¥ ¯à®¥ªæ¨¨ «®¬ ®© AB , ¢®¯à¥ª¨ ⮬ã, çâ® áâ®à®ë ã AB ¬¥ìè¥ áâ®à® ã AB . â ª, «®¬ ë¥ AB ¨ AC «¥ â ¢ P , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¢áï £à ¨æ ¬®£®ã£®«ì¨ª P «¥¨â ¢ P . à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ P ¨ P ¥ ¬®£ãâ ᮢ¯ ¤ âì, ¯®â®¬ã çâ® ã P ¨¬¥îâáï ¬¥ì訥 áâ®à®ë. Ǒ®í⮬ã P «¥¨â ¢ãâਠP , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 2
(1)
(2)
1
2 (2)
(1)
(1)
2
(1)
(2)
1
2
2
1
2
2
2
2
0
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
¥¬¬ 2.
訮©
O,
2
Ǒãáâì ¤¢¥ ¢ë¯ãª«ë¥ «®¬ ë¥
Q1
¨
Q2
«¥ â ¢ 㣫¥ á ¢¥à-
¨¬¥îâ ª®æë ¥£® áâ®à® å ¨ ®¡à é¥ë ¢ë¯ãª«®áâìî ª
O
(à¨á. 116). ®£¤ , ¥á«¨ ª ª®©-¨¡ã¤ì «ãç ¨§ O ¢áâà¥ç ¥â Q à ìè¥ Q , â® ã Q ¥áâì áâ®à® , ¬¥ìè ï, 祬 ã Q . (¥çì ¨¤¥â ® ¯ à ««¥«ìëå áâ®à® å, ¯à¨ç¥¬ ç¨â â¥«ì ¤®«¥ ¯®¬¨âì ãá«®¢¨¥ ® áâ®à® å ã«¥¢®© ¤«¨ë.) 1
1
2
2
O
O O
Q1
Q1
Q2
Q1 b)
a) ¨á. 116
¨á. 117
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¡ã¤¥¬ ¯®¤®¡® ᨬ âì Q ª â®çª¥ O. â®à®ë «®¬ ®© Q ¡ã¤ã⠯ਠí⮬ 㬥ìè âìáï. â®â ¬®¬¥â, ª®£¤ Q ®ª ¥âáï ¢ ç á⨠㣫 , ®£à ¨ç¥®© «®¬ ®© Q , ® ¡ã¤¥â ¥é¥ ᮯਪ á âìáï á Q , «î¡ ï áâ®à® , ¯® ª®â®à®© ª á îâáï Q ¨ Q , ¡ã¤¥â ã Q ¥ ¬¥ìè¥, 祬 ã Q (à¨á. 117, ). Ǒ®í⮬㠤® ¯®¤®¡®£® á â¨ï íâ áâ®à® «®¬ ®© Q ¡ë« ¡®«ìè¥, 祬 ã Q , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
270
. .
®¥â á«ãç¨âìáï, çâ® ¢ 㪠§ ë© ¬®¬¥â Q ¨ Q ᮯਪ á îâáï ⮫쪮 ¢ ®¤®© ¢¥à訥 (à¨á. 117, ¡). ® ⮣¤ , ª ª ®ç¥¢¨¤® ¨§ à¨á㪠, ¢ í⮩ ¢¥à訥 á室ïâáï â ª¨¥ áâ®à®ë «®¬ ®© Q , ª®â®àë¬ ¥â ¯ à ««¥«ìëå ã Q , â.¥. í⨬ áâ®à® ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ Q áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, í⨠áâ®à®ë ã Q ¡®«ìè¥ ¯ à ««¥«ìëå ¨¬ áâ®à® ã Q . 3. «¥¤ãîé ï «¥¬¬ ¡ã¤¥â ¥¯®á।á⢥® ¨á¯®«ì§®¢ ¯à¨ ãáâ ®¢«¥¨¨ ãá«®¢¨© à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ § 3 ¨ 4. 1
2
2
1
1
2
¥¬¬ 3.
1
᫨ ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ®¤¨ ¢
¤à㣮¬ ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á , â® à §®á⨠¤«¨ ¨å ¯ à ««¥«ìëå áâ®à® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à § ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠«î¡®£® ¨§ íâ¨å
. Ǒãáâì è¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¡ã¤ãâ P ¨ P (à¨á. 118). â¥á¥¬ áâ®à®¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª P § ª ¯«îá, ¥á«¨ ® ¡®«ìè¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî饩 áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª P , ¨ ¬¨ãá | ¢ ®¡à ⮬ á«ãç ¥ (¯®¬ï ãá«®¢¨¥ ® áâ®à® å ã«¥¢®© ¤«¨ë), ¢ á«ãç ¥ à ¢¥á⢠®¡¥¨å áâ®à® ®áâ ¢¨¬ áâ®à®ã P ¥®â¬¥ç¥®©. â®à® ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ᮯ®áâ ¢¨¬ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ § ª¨. ã® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠P (¨«¨ P ) ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
1
2
1
2
1
2
1
2
P1′
+
_
+
_
_
_
_
_
+
_ +
+ P1
_
P2
_
+
+ P1″
_
+ +
_ ¨á. 118
¨á. 119
®¯ãá⨬, çâ® ¯¥à¥¬¥ § ª ¥â ¢®¢á¥. ®£¤ , ᪠¥¬, ¢á¥ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢ë áâ®à® ¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¨ ¯® «¥¬¬¥ 1 P ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ P . â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î, 1
1
2
2)
2
2) Ǒ®¬¨¬, çâ® áà ¢¨¢ îâáï ⮫쪮 áâ®à®ë á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¨ çâ® ¬ë áç¨â ¥¬ áâ®à®ë l1 , . . . , ln ¬¥ìè¥ áâ®à® l1′ , . . . , ln′ , ¥á«¨ l1 6 l1′ , . . . , ln 6 ln′ ¨ å®âï ¡ë ¤«ï ®¤®© ¯ àë li < li′ .
. VI:
§ 1.
271
Ǒ
¯®â®¬ã ¯¥à¥¬¥ë § ª ¤®«ë ¡ëâì. ª ª ª ç¨á«® ¨å, ®ç¥¢¨¤®, ç¥â®¥, â® ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ® ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª . ®£¤ £à ¨æë′ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ P ¨ P à §¡¨¢ îâáï ª ¤ ï ¤¢¥ «®¬ ë¥ P ′ , P ′′ ¨ P , P ′′ : ã P ′ áâ®à®ë ¬¥ìè¥, 祬 ã P ′ , ã P ′′ áâ®à®ë ¡®«ìè¥, 祬 ã P ′′ , â. ¥. áâ®à® ¬ P ′ ®â¥á¥ë ¬¨ãáë, áâ®à® ¬ P ′′ | ¯«îáë (à¨á. 119). 㬬 㣫®¢ ¬¥¤ã ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ª á¬¥ë¬ áâ®à® ¬ ¢ë¯ãª-′ «®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª à ¢ 360 . ®£¤ P à §¡¨¢ ¥âáï ¤¢¥ «®¬ ë¥ P ã íâ¨å ¨ P ′′ , â® ¨áª«îç îâáï ã£«ë ¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª áâ®à® ¬, á¬¥ë¬ «®¬ ëå. Ǒ®í⮬㠯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤«ï ®¤®© ¨§ «®¬ ëå P ′ ¨ P ′′ á㬬 㣫®¢ ¬¥¤ã′′¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¬¥ìè¥ 180 . ®¯ãá⨬, çâ® íâ® ¨¬¥¥â ′′ ¬¥áâ® ¤«ï P , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¤«ï P , â ª ª ª ¨å áâ®à®ë ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨. â ª®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¯à®¢¥á⨠¤¢¥ ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ ª P ′′ , â® P ′′ ¡ã¤¥â ®¡à é¥ ¢ë¯ãª«®áâìî ª ¢¥à訥 㣫 , ®¡à §®¢ ®£® í⨬¨ ¯àï¬ë¬¨ (à¨á. 119).
᫨ ¡ë á㬬 㣫®¢ ¬¥¤ã ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ª áâ®à® ¬ «®¬ ®© P ′′ ¡ë« ¡®«ìè¥ 180 , â® ® ¡ë« ¡ë ¬¥ìè¥ 180 ¤«ï P ′ . ®£¤ , ¯¥à¥¬¥¨¢ ®¡®§ ç¥¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë ¢á¥-â ª¨, çâ® á㬬 㣫®¢ ¬¥¤ã ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ã P ′′ ¬¥ìè¥ 180 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®® áç¨â âì, çâ® íâ á㬬 㣫®¢ ¬¥ìè¥ 180 ¨¬¥® ã P ′′ . ¬ ¢ ® §¤¥áì, çâ® áâ®à®ë ã P ′′ ¡®«ìè¥, 祬 ã P ′′. â®à®ë ã P ′ ¬¥ìè¥, 祬 ã P ′ . ®¥¤¨¨¢ ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬ ª®æë «®¬ ®© P ′ ¨ â®ç® â ª ¥ ª®æë «®¬ ®© P ′ , ¯®«ã稬 ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª . Ǒ® «¥¬¬¥ 1 ¯¥à¢ë© ¨§ ¨å ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢® ¢â®à®¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®® â ª ¯ à ««¥«ì® ¯¥à¥¥á⨠P , çâ® «®¬ ï P ′ ®ª ¥âáï ¢ãâਠP . ®£¤ «®¬ ï P ′′ ¤®« ¡ã¤¥â ¢ëáâ㯠âì ¨§ P , â ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î P ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ P . ¥¯¥àì P ′′ ©¤¥âáï â®çª A, ç¥à¥§ ª®â®àãî ¯à®å®¤¨â ®¯®à ï ¯àï¬ ï a ª P , ¥ ¯¥à¥á¥ª îé ï P . Ǒ¥à¥¬¥′′ é ï íâã â®çªã ¯® P á ç « ¢ ®¤ã, ¯®â®¬ ¢ ¤àã£ãî áâ®à®ã ¨ ¢à é ï ¢¬¥á⥠á ⥬ ®¯®àãî ¯àï¬ãî, ¬ë ¯®«ã稬 ¤¢¥ ¯àï¬ë¥ b ¨ c, ®¯®àë¥ ª ª ¤«ï P , â ª ¨ ¤«ï P′′ (à¨á. 120). â¨′ ¯àï¬ë¥ ª á îâáï P ¢ ¢¥àè¨ å B , C , ¯à¨ ¤«¥ é¨å P , ¯®â®¬ã çâ® P «¥¨â ¢ãâਠP . â ª ª ª áâ®à®ë, ⥬ á ¬ë¬ ¨ ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ ª P ′′ ¨ P ′′ ᮮ⢥âá⢥®′ ¯ à ««¥«ìë, â® b ¨ c ª á îâáï P ¢ ¢¥àè¨ å B , C , ¯à¨ ¤«¥ é¨å P . â ª, ¬ë ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯®«®¥¨¥: «®¬ ë¥ B C ¨ B C , ïî騥áï ç áâﬨ «®¬ ëå P ′′ ¨ P ′′, «¥ â ª®æ ¬¨ ¯àï¬ëå b ¨ c, ®¡à §ãîé¨å 㣮« á ¢¥à訮© O. ¡¥ «®¬ ë¥ ®¡à é¥ë ¢ë¯ãª«®áâìî ª O, â ª ª ª á㬬ë 㣫®¢ ¬¥¤ã ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ª P ′′, â ª¥ ª P ′′ ¬¥ìè¥ 180 , 1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
o
1
1
1
1
o
1
1
2
1
1
o
1
o
o
1
1
1
o
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
3)
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
o
3) ª ª ª P1 ¢ëáâ㯠¥â ¨§ P2 , â® ©¤¥âáï ¯àï¬ ï d, ®¯®à ï ª P2 ¨ ¯¥à¥á¥ª îé ï . Ǒ஢¥¤¥¬ ¯àï¬ãî a, ®¯®àãî ª P1 , ¯ à ««¥«ìãî d ¨ «¥ éãî ¯® âã áâ®à®ã ®â d, ¯® ª®â®àãî ¥ «¥¨â P2 . â ¯àï¬ ï a ¨ ¡ã¤¥â â ª ï, ª ª ï ¬ ã .
P1
272
. .
¨ ¯®â®¬ã 㣮« ¯®¢®à®â ®¯®à®© ¯àאַ© a ®â ¯®«®¥¨ï b ¤® ¯®«®¥¨ï c ¬¥ìè¥ 180 . «®¬ ®© B C ¥áâì â®çª A, ç¥à¥§ ª®â®àãî ¯à®å®¤¨â ®¯®à ï ¯àï¬ ï a, ¥ ¯¥à¥á¥ª îé ï P . Ǒ®í⮬㠫ãç, ¨¤ã騩 ¨§ O ¢ â®çªã A, ¢áâà¥ç ¥â B C à ìè¥, 祬 B C . P2 Ǒਬ¥ïï ⥯¥àì «¥¬¬ã 2, § ª«îç ¥¬, çâ® ã «®¬ ®© B C ¨¬¥îâáï áâ®à®ë, ¬¥ì訥, 祬 ã B C . ç¨â, ã P ′′ ¨¬¥îâáï áâ®à®ë, P1′ ¬¥ì訥, 祬 ã P ′′. â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¥¨î ® ⮬, çâ® áâ®à®ë «®¬ c b ®© P ′′ ¡®«ìè¥ áâ®à® «®¬ ®© P ′′ . «¥¤®C2 B2 ¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ P ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¥¢®§¬®®, ¨ «¥¬¬ ¤®ª § . C1 P1″ 4. «¥¤ãîé ï «¥¬¬ ¯® ¤®¡¨âáï ¬ ¢ B1 A § 4 ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®a £à ¨ª®¢. o
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
¥¬¬ 4.
Ǒãáâì ¤¢¥ ¢ë¯ãª«ë¥ «®¬ ë¥
¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ª®æë ¨ ¯ãáâì ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¨å áâ®à® ¬ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤ã ¯®«ã¯«®áª®áâì 4)
O ¨á. 120
(à¨á. 121).
®£¤ , ¥á«¨ í⨠«®¬ ë¥
¥ ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¯à¨ ¯à®å®¤¥¨¨ ®â ®¤®£® ª®æ «®¬ ëå ª ¤à㣮¬ã à §®á⨠¤«¨ ¨å ¯ à ««¥«ìëå áâ®à® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå à §, ªà®¬¥ ®¤®£® ¨áª«îç¨â¥«ì®£® á«ãç ï, ª®£¤ ªà ©¨¥ áâ®à®ë ¯ à ««¥«ìë,
(à¨á. 121, ¢). (¤¥áì, ª ª ¨ à ìè¥, ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ãá«®¢¨¥: ¥á«¨ ®¤®© «®¬ ®© ¥â áâ®à®ë, ¯ à ««¥«ì®© áâ®à®¥ ¤à㣮© «®¬ ®©, â® áç¨â ¥âáï, çâ® ® ¥áâì, ® ¨¬¥¥â ¤«¨ã ã«ì; ¯ à ««¥«ì묨 ¤¢ãå «®¬ ëå áç¨â îâáï áâ®à®ë á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨.) áᬮâਬ ¤¢¥ ¥á®¢¯ ¤ î騥 «®¬ ë¥ L , L , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë. Ǒ஢¥¤ï ®â१®ª AB , ᮥ¤¨ïî騩 ¨å ª®æë, ¯®«ã稬 ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª P , P á ®¡é¥© áâ®à®®© AB . Ǒ®áª®«ìªã «®¬ ë¥ L , L ¥ ᮢ¯ ¤ îâ, ¤«ï íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: 1) ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ ¤à㣮¬ (à¨á. 121, ); 2) ®¤¨ ¨§ ¨å ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ¤à㣮£® (à¨á. 121, ¡, ¢). ¯à®ç¨¥ áâ®à®ë «®¬ ëå ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë
1
1
1
2
2
2
4) Ǒ®«ã¯«®áª®áâì ᮤ¥à¨â ®£à ¨ç¨¢ îéãî ¯àï¬ãî. ®¬ ë¥ ¬®£ãâ ¨¬¥âì áâ®à®ë á ⨯ à ««¥«ì묨 ®à¬ «ï¬¨, ¯à ¢«¥ë¬¨ ª ª à § ¢¤®«ì í⮩ ¯àאַ©.
. VI:
§ 1.
273
Ǒ
¯¥à¢®¬ á«ãç ¥, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ¨ª ª®© ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á ¥ ¯®§¢®«¨â ¯®¬¥áâ¨âì ®¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ãâਠ¤à㣮£®. Ǒ®í⮬ã ᮣ« á® «¥¬¬¥ 3 à §®á⨠¤«¨ áâ®à® íâ¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à §. â®à® AB ã ¨å ®¡é ï ¨ ¥© ¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨ª ª®© § ª. Ǒ®í⮬ã, ¨áª«î稢 ¥¥, ¬ë ¨áª«î稬 á ¬®¥ ¡®«ì襥 ®¤ã ¯¥à¥¬¥ã § ª , ¬®£ãéãî ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ íâã áâ®à®ã. áâ ¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ âਠ¯¥à¥¬¥ë § ª , ®â®áï騥áï 㥠ª á ¬¨¬ ¤ ë¬ «®¬ ë¬. _
+
L1
_
L1
+
L2
+ +_ _ _ + + _
+
_ A
A′
L2
l1
B′
A=A′
B
B
a)
B′
l1 A
l1′
B
b)
v)
¨á. 121
®¯ãá⨬ ⥯¥àì, çâ® ®¤¨ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ᪠¥¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª, ®£à ¨ç¥ë© «®¬ ®© L , ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ¤à㣮£® | P . ®£¤ , ¨¤ï ¯® «®¬ ®© L ç¨ ï á ¥¥ ª®æ A, ¬ë ©¤¥¬ â ªãî ¥¥ â®çªã A′ , £¤¥ ® ¢å®¤¨â ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª P (à¨á. 121, ¢). ¥ ¨áª«î祮, ª®¥ç®, çâ® íâ® ¯à®¨á室¨â ¢ á ¬®© â®çª¥ A, â ª çâ® A′ = A (à¨á. 121, ¡). «®¬ ®© L â®çª A′ «¨¡® «¥¨â ¢ãâਠ¥ª®â®à®© áâ®à®ë l , «¨¡® ï¥âáï ç «®¬ ¥ª®â®à®© áâ®à®ë l . ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï áâ®à® l «®¬ ®© L ª®à®ç¥ l . ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ «®¬ ®© L ¢®¢á¥ ¥â áâ®à®ë, ¯ à ««¥«ì®© l ; ® ⮣¤ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ® ¥áâì, ® ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¤«¨ã. «¥¤®¢ ⥫ì®, â ª ¨«¨ ¨ ç¥ l > l . Ǒà®å®¤ï «®¬ ãî L ç¨ ï á ¤à㣮£® ¥¥ ª®æ B , ¬ë â®ç® â ª ¥ ©¤¥¬ â®çªã B ′ ¨ ¯ àã ¯ à ««¥«ìëå áâ®à®, ¨§ ª®â®àëå áâ®à® «®¬ ®© L ¡®«ìè¥ áâ®à®ë «®¬ ®© L : l′ > l′ . «¥¤®¢ ⥫ì®, á ®¡®¨å ª®æ®¢ «®¬ ®© L ¬ë ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¯®¤å®¤¨¬ ª áâ®à® ¬, ®â¬¥ç¥ë¬ ¥© § ª®¬ ¬¨ãá, ᮣ« á® § ªã à §®á⨠l − l ¨ l′ − l′ . â®à®ë l , l′ ( § ç¨â, ¨ l , l′ ) à §«¨çë; ¨ ç¥ â®çª¨ A′ , B ′ ¯à¨ ¤«¥ «¨ ¡ë ®¤®© áâ®à®¥, ¨ «®¬ ï L ¨ª ª ¥ ¬®£« ¡ë § 室¨âì ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¢ ®¡¥¨å íâ¨å â®çª å, ¡ã¤ãç¨ ¢¬¥á⥠á ⥬ ¢ë¯ãª«®©. ¥¯¥àì ¡ã¤¥¬ à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï: 1) áâ®à®ë l , l′ , § ç¨â, ¨ l , l′ ¥ ¯ à ««¥«ìë; 2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
274
. .
2) í⨠áâ®à®ë ¯ à ««¥«ìë, â. ¥. ¨å ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ⨯ à ««¥«ìë. ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¯à®¤®« ¥¬ áâ®à®ë l , l′ ¤® ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï (à¨á. 122). ⌢ ®£¤ ®â१ª¨ A′ B ′ è¨å «®¬ ëå L , L ®ª ãâáï «¥ 騬¨ ¢ 㣫¥ á ¢¥à訮© O, ¯à¨ç¥¬ «®¬ ï L ¡ã¤¥â ¯à®å®¤¨âì ¡«¨¥ ª ¢¥à訥 O, 祬 «®¬ ï L . ⌢ â ª®¬ á«ãç ¥, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 2, ®â१ª¥ A′ B ′ «®¬ ®© L ¨¬¥îâáï áâ®à®ë O ¡®«¥¥ ¤«¨ë¥, 祬 ¯ à ««¥«ìë¥ ¨¬ áâ®à®ë L . ⨬ áâ®à® ¬ L , o£« á® è¥¬ã ¯à ¢¨«ã, ®â®á¨âáï § ª ¯«îá. â ª, ®ª §ë¢ L1 ¥âáï, çâ® ′«®¬ ®© L ¬¥¤ã ªà ©¨¬¨ áâ®à® ¬¨ l , l , ®â¬¥ç¥ë¬¨ ¬¨ãá ¬¨, ¨¬¥¥âl1′ áï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ áâ®à® , ®â¬¥ç¥ ï L2 ¯«îᮬ, çâ® ¤ ¥â ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . B′ ¥¯¥àì ®áâ ¥âáï à áᬮâà¥âì â®â á«ãç ©, ª®l1 A′ £¤ áâ®à®ë l , l′ , ¢¬¥áâ¥ á ¨¬¨ ¨ l , l′ B ¯ à ««¥«ìë. ®£¤ , â ª ª ª ¢¥è¨¥ ®à¬ A «¨ ª áâ®à® ¬ è¨å «®¬ ëå ¨¤ãâ ¯® ãá«®¢¨î ¢ ®¤ã ¯®«ã¯«®áª®áâì, â® áâ®à®ë l , l′ ¨á. 122 (l , l′ ) ïîâáï ªà ©¨¬¨ áâ®à® ¬¨ «®¬ ®© L (L ). â®à®ë l , l ¨á室ïâ ¨§ ®¡é¥© â®çª¨ A, ® â ª ª ª l > l , â®′ l ′ á®áâ ¢«ï¥â «¨èì ç áâì l . «®£¨ç®¥ ¯®«®¥¨¥ ¨¬¥¥¬ ¤«ï áâ®à® l , l . Ǒਡ ¢¨¬ ª áâ®à® ¬ l , l′ ¬¥ìèãî ¨§ à §®á⥩ l − l , l′ − l′ . ®£¤ «®¬ ï L § ¬¥¨âáï ®¢®© L , ã ª®â®à®© å®âï ¡ë ®¤ ªà ©ïï áâ®à® ᮢ¯ ¤ ¥â á ªà ©¥© áâ®à®®© «®¬ ®© L . ¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ à §®á⥩ áâ®à® «®¬ ëå L , L ¯à¨ í⮬, ®ç¥¢¨¤®, ¥ 㢥«¨ç¨âáï. Ǒ®á«¥ í⮣® ®áâ îâáï ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: 1) «®¬ ë¥ L , L ᮢ¯ ¤ãâ, íâ® ¨ ¡ã¤¥â â®â ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç ©, ª®â®àë© ®£®¢®à¥ ¢ «¥¬¬¥; 2) «®¬ ë¥ L , L ¥ ᮢ¯ ¤ãâ. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ¨áª«îç ï ¨å ᮢ¯ ¢è¨¥ ªà ©¨¥ áâ®à®ë, ¬ë ¯®«ã稬 ¤¢¥ «®¬ ë¥, ã ª®â®àëå ªà ©¨¥ áâ®à®ë ¥ ¯ à ««¥«ìë. ⮣¤ ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¢á¥ ¯à¥¤ë¤ã騥 à áá㤥¨ï, â ª çâ® ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¤«ï «®¬ ëå L , L ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ ¬¥ìè¥ ¤¢ãå . â ª ª ª ¤«ï «®¬ ëå L , L ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¬¥ìè¥, 祬 ¤«ï L , L , â® ®® ⥬ ¡®«¥¥ ¥ ¬¥ìè¥ ¤¢ãå. ª¨¬ ®¡à §®¬, «¥¬¬ ¤®ª § . 1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
5)
1
1
2
2
2
5) «ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ®£à ¨ç¥ëå «®¬ 묨 L1 , L2 ¨ ®â१ª®¬, ᮥ¤¨ïî騬 ¨å ª®æë, à áᬠâਢ ¥¬ ⥠¥ ¤¢ á«ãç ï, çâ® ¨ ¢ëè¥: 1) ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¥ 㬥é îâáï ®¤¨ ¢ ¤à㣮¬, 2) ®¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª «¥¨â ¢ãâਠ¤à㣮£®.
. VI:
§ 1.
275
Ǒ
⮩ «¥¬¬¥ ¬ë ¯à¨¤ ¤¨¬ ¥é¥ ¤àã£ãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã, ª ª à § âã, ¢ ª®â®à®© ® ¡ã¤¥â ¯à¨¬¥¥ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¤¥áì à¥çì ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å á «¥£ î騬¨ ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨. Ǒਠí⮬ ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ®¤ã ¡¥áª®¥çãî áâ®à®ã ª®à®ç¥ ¤à㣮©, ¥á«¨ ® ï¥âáï ⮫쪮 ¥¥ ç áâìî (à¨á. 123). _ ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ª à §®á⨠¡¥áª®¥çëå áâ®à®. _ ¥¬¬ 4 .
Ǒãáâì ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª-
+
«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë á®®â-
+
¢¥âá⢥® «¥£ îâ ¤à㣠¤à㣠⠪, çâ® ¢
+
¤ «¥ª¨å ç áâïå ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¯®«®áâìî «¥£ îâ ®¤¨ ¤à㣮©
(à¨á. 123).
®£¤ , ¥á«¨
+
_
í⨠¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ¥ ᮢ¯ ¤ îâ, â® à §®á⨠¨å ¯ à ««¥«ìëå áâ®à® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥
_
¤¢ãå à §, ªà®¬¥ ®¤®£® ¨áª«îç¨â¥«ì®£® á«ãç ï, ª®£¤ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¯ à ««¥«ìë, ¯à®ç¨¥ áâ®à®ë ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë; ¢ í⮬ á«ã-
¨á. 123
ç ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ᮢ¬¥é îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¢¤®«ì ¡¥áª®¥çëå áâ®à®.
⮡ë ᢥá⨠íâã «¥¬¬ã ª ¯à¥¤ë¤ã饩, ¤®áâ â®ç® ¢§ïâì ¡¥áª®¥çëå áâ®à® å ª ª¨¥-¨¡ã¤ì â®çª¨ A, B ¨ ¯à¨ïâì ¨å § ª®æë «®¬ ëå L , L . (¥£ª® § ¬¥â¨âì, çâ®, ¨ ®¡à â®, «¥¬¬ 4 á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 4 : á⮨⠫¨èì ¯à®¤®«¨âì ¤® ¡¥áª®¥ç®á⨠ªà ©¨¥ áâ®à®ë «®¬ ëå L , L . ¬¥â¨¬ ¥é¥, çâ® ¥á«¨ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ®¤®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥ ¯ à ««¥«ìë ¤à㣠¤àã£ã, ® ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ áâ®à® ¬ ¤à㣮£®, â® ¨å ¢á¥£¤ ¬®® «®¨âì ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á .
᫨ ¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¯ à ««¥«ìë, â® ¤«ï ¢®§¬®®á⨠¨å «®¥¨ï ã®, ç⮡ë à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¨¬¨ ¡ë«¨ à ¢ë ¢ ®¡®¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª å. ®®â¢¥âá⢥® á í⨬ ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì «¥¬¬ã 4 , âॡãï, ç⮡ë áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¥ «¥£ «¨, ⮫쪮 ¤®¯ã᪠«¨ «®¥¨¥ ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á .) 5. ¬¥ç ¨¥. ¥¬¬ 3 ¢¬¥áâ¥ á ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ªà¨¢ë¥. Ǒãáâì P | § ¬ªãâ ï ¢ë¯ãª« ï ªà¨¢ ï ¨ l(ϕ) | ¤«¨ ¤ã£¨ ªà¨¢®© P , á®áâ®ï饩 ¨§ â®ç¥ª, ç¥à¥§ ª®â®àë¥ ¯à®å®¤ïâ ®¯®àë¥ ¯àï¬ë¥ á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨, ¯à ¢«¥ë¬¨ ¢ ¤ã£ã ϕ ¥¤¨¨ç®© ®ªàã®á⨠E , ¥á«¨ ¨å ®â«®¨âì ¨§ æ¥âà ¯®á«¥¤¥©. l(ϕ) ¥áâì äãªæ¨ï ¤ã£¨ E . ¥®à¥¬ , ®¡®¡é îé ï «¥¬¬ã 3, £« á¨â: 1
1
᫨ ¤¢¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ªà¨¢ë¥
P1
¨
P2
2
2
¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®¬¥é¥ë
®¤ ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ì묨 ¯¥à¥®á ¬¨, â® ¥¤¨¨çãî ®ªàã®áâì ¬®® à §¡¨âì ¬¨¨¬ã¬ ç¥âëॠ⠪¨¥ ¤ã£¨ ϕk , çâ® l1 § ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¤®© ¤ã£¨ ª á®á¥¤¥©.
(ϕk )−l (ϕk ) ¬¥ï¥â 2
276
. .
á«ãç ¥ ¤¢ ¤ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ªà¨¢ëå l(ϕ) ¥áâì ¨â¥£à « ®â à ¤¨ãá ªà¨¢¨§ë ¯® dϕ. Ǒ®í⮬㠨§ 㪠§ ®© ⥮६ë áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§¢¥áâ ï ý⥮६ ® ç¥âëà¥å ¢¥àè¨ å ®¢ « þ: ¢á类¬ ®¢ «¥ (â.¥. § ¬ªã⮩ ¤¢ ¤ë ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ë¯ãª«®© ªà¨¢®©) ¨¬¥îâáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨ ¤¢ ¬¨¨¬ã¬ ªà¨¢¨§ë. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç® § P ¢§ïâì ®¢ «, § P | ®ªàã®áâì ⮩ ¥ ¤«¨ë . «®£¨ç® «¥¬¬¥ 3 ¬®® ¤®ª § âì ⥮६㠮 2n ¢¥àè¨ å ®¢ « : ¥á«¨ ®¢ « P ¯¥à¥á¥ª ¥âáï ®ªàã®áâìî ¢ 2n â®çª å, â® ¥¬ ¨¬¥¥âáï 2n ý¢¥àè¨þ, â. ¥. 2n â®ç¥ª, £¤¥ ªà¨¢¨§ ¨¬¥¥â íªáâ६ã¬. ®ç® â ª ¥, ¯®«ì§ãïáì äãªæ¨¥© l(ϕ), ¬®® ¯®«ãç¨âì â¥®à¥¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ªà¨¢ëå, ¢¯®«¥ «®£¨çë¥ ®áâ «ìë¬ ¤®ª § ë¬ ¢ëè¥ «¥¬¬ ¬. «ï ¡¥áª®¥çëå ªà¨¢ëå (¢ «®£¥ «¥¬¬ë 4 ) ¥â ¤®¡®á⨠âॡ®¢ âì ᮢ¯ ¤¥¨ï ¨å ¡¥áª®¥çëå ¤ã£. ®«¥¥ á« ¡®¥ ¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¬ë ¯à¥¤®áâ ¢¨¬ ©â¨ ç¨â ⥫î. 1
6)
2
§ 2. «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¬®£®£à ¨ª®¢
롥६ ¢ ¯à®áâà á⢥ ç «® ª®®à¤¨ â O ¨ ¡ã¤¥¬ ®¯à¥¤¥«ïâì ¯®−→ «®¥¨¥ «î¡®© â®çª¨ X ¢¥ªâ®à®¬ x = −OX , ¯à®¢¥¤¥ë¬ ¢ ¥¥ ¨§ ç « O. î¡®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª M § ¤ ¥âáï ª ª ¬®¥á⢮ ª®æ®¢ ¢¥ªâ®à®¢ x = −→ = −OX , ¨¤ãé¨å ¨§ O ¢ ¥£® â®çª¨ X .
᫨ ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ x ¯à¨¡ ¢¨âì ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¢¥ªâ®à a, â® ¬®¥á⢮ M ¯à¥â¥à¯¨â ¯¥à¥®á íâ®â ¢¥ªâ®à.
᫨ ¢á¥ ¢¥ªâ®àë x 㬮¨âì ®¤® ¨ â® ¥ ¯®«®¨â¥«ì®¥ ç¨á«® λ, â® ®¨ 㤫¨ïâáï ¢ λ à §. १ã«ìâ ⥠¬®¥á⢮ M ¯®¤¢¥à£¥âáï ¯®¤®¡®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨î á ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¯®¤®¡¨ï λ ¨ á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï O. ®¢®¥ ¬®¥á⢮ ¬ë ®¡®§ 稬 λM . Ǒãáâì ⥯¥àì M , M | ¤¢ ª ª¨å-«¨¡® ¬®¥á⢠â®ç¥ª, λ , λ | ¤¢ «î¡ëå ¤ ëå ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á« . 㤥¬ ¯à®¢®¤¨âì ¢¥ªâ®àë x , x ¨§ ç « ¢ â®çª¨ ¬®¥á⢠M , M ¨ ®¡à §®¢ë¢ âì ª ¤ë© à § ¢¥ªâ®à x=λ x +λ x . ®£¤ ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ x , x ¡ã¤ã⠯஡¥£ âì ¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠¬®¥á⢠M , M , â® ª®¥æ ¢¥ªâ®à x ¡ã¤¥â § ç¥à稢 âì ¥ª®â®à®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª M . â® ¬®¥á⢮ §ë¢ ¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¬®¥á⢠M , M á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ λ , λ ¨ ®¡®§ ç ¥âáï M =λ M +λ M . 1.
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
6) ¬. ª¨£ã . «ï誥 [245, § 12℄. ¬ ¥ 㪠§ «¨â¥à âãà ®¡ í⮩ ⥮६¥, § ¨¬ ¢è¥© ¢ ᢮¥ ¢à¥¬ï ¬®£¨å £¥®¬¥â஢.
§ 2.
. VI:
277
ᮡ¥® ¯à®á⮩ á«ãç © ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ λ + λ = 1. ®£¤ , ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ «¨â¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ, ª®¥æ ¢¥ªâ®à x = λ x + λ x = = (1 − λ )x + λ x ¤¥«¨â ®â१®ª ¬¥¤ã ª®æ ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ x , x ¢ ®â®è¥¨¨ λ : (1 − λ ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¥á⢮ ®¡à §ã¥âáï â®çª ¬¨, ¤¥«ï騬¨ ¢ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨ λ : (1 − λ) ®â१ª¨, ª®æë ª®â®àëå «¥ â ¢ ¬®¥á⢠å M , M . ç áâ®áâ¨, ¯à¨ λ = 1/2 ¯®«ãç ¥¬ ý¯®«ãá㬬ãþ ¬®¥á⢠M , M ; ® ®¡à §ã¥âáï á¥à¥¤¨ ¬¨ ®â१ª®¢, ª®æë ª®â®àëå «¥ â ¢ M ¨ M (á¬. ¨¥ à¨á. 125). á«¥¤ãîé¨å ¯ à £à ä å í⮩ £« ¢ë ¬ ¯® ¤®¡ïâáï ⮫쪮 ý¯®«ãá㬬ëþ ¢ë¯ãª«ëå (⥫¥áëå) ¬®£®£à ¨ª®¢; ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ®, â ª ï ¯®«ãá㬬 á ¬ ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¡é¨¥ «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¡ã¤ã⠯ਬ¥ïâìáï ¢ § 3 £« ¢ë VIII. ¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥ë ¢ à áᬮâ२¥ ¨ ¨áá«¥¤®¢ ë . à㮬 ¨ . ¨ª®¢áª¨¬ ®ª®«® ¯ï⨤¥áï⨠«¥â § ¤; ã票¥ ® ¨å ¢ëà®á«® ¢ ®¡è¨àãî ⥮à¨î. á®¢ë¥ ¥¥ í«¥¬¥âë á®áâ ¢«ïîâ ᮤ¥à ¨¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä ¨ § 3 £« ¢ë VIII. ®¢¥à襮 «®£¨ç® «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¤¢ãå ¬®¥á⢠¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î «î¡®£® ç¨á« ¬®¥á⢠Mi á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ λi : M = λ M + . . . + λn Mn . â® M ¥áâì ¬®¥á⢮ ª®æ®¢ ¢¥ªâ®à®¢ x = λ x + . . . + λn xn , ¯®«ãç îé¨åáï, ª®£¤ ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ xi § ç¥à稢 îâ ¥§ ¢¨á¨¬® ª ¤ë© ᢮¥ ¬®¥á⢮ Mi. ¢¨¤ã áá®æ¨ ⨢®á⨠᫮¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¬®¥á⢮ M ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡à §ãï «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î λ M + λ M = = M ′, ¯®â®¬ M ′ + λ M ¨ â.¤. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¬®¥¬ ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ ª®¬¡¨ 樨 ¤¢ãå ¬®¥á⢠. 1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2. ¥¬¬ 1. M1 , M2
.
2
2
1
¥áâ¢
2
2
1
2
2
7)
Ǒਠ¯¥à¥®á¥ ç « ¨ ¯à¨ ¯ à ««¥«ìëå ¯¥à¥®á å ¬®-
¨å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¨á¯ëâë¢ ¥â ⮫쪮 ¯ à ««¥«ìë©
¯¥à¥®á
᫨ ¯¥à¥¥áâ¨ ç «® ¨§ O −¢−→O′, â® ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ x , x ¯à¨¡ ¢¨âáï ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¢¥ªâ®à a = O′O. Ǒ®í⮬㠪 ¢¥ªâ®àã x = λ x + λ x ¯à¨¡ ¢¨âáï ¢¥ªâ®à (λ + λ )a. ® ⥯¥àì ¢¥ªâ®à x + (λ + λ )a ®âª« ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ®¢®£® ç « O′, ¢ âã ¥ â®çªã ¨§ áâ ண® ç « O ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ¢¥ªâ®à x + (λ + λ )a − a. Ǒ®í⮬㠢ᥠ¬®¥á⢮ M = λ M + λ M , ®¡à §®¢ ®¥ ª®æ ¬¨ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, ¯¥à¥®á¨âáï ¢¥ªâ®à (λ + λ − 1)a. 1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
7) ®® à áᬠâਢ âì «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨, ¤®¯ãáª ï ®âà¨æ ⥫ìë¥ λi . ®¥á⢮ −M § ¯®«ï¥âáï ª®æ ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ −x, ®¡à âëå ¢¥ªâ®à ¬ x, ¨¤ã騬 ¨§ O ¢ â®çª¨ ¬®¥á⢠M . Ǒ®í⮬ã −M ᨬ¬¥âà¨ç® M ®â®á¨â¥«ì® ç « . ¬®¥¨¥ ®âà¨æ ⥫쮥 λi á®á⮨⠢ ¯®¤®¡®¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¢ |λi | à § ¨ ®âà ¥¨¨ ¢ ç «¥ O. ¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï á ®âà¨æ ⥫ì묨 λi ᢮¤¨âáï ª «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ |λi |, ® ¤«ï ¬®¥áâ¢, ᨬ¬¥âà¨çëå ¤ ë¬ ®â®á¨â¥«ì® ç « .
278
. .
ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ λ + λ = 1, â® M ¢®¢á¥ ¥ ¬¥ï¥âáï. (â®, ¢¯à®ç¥¬, ®ç¥¢¨¤® ¨§ ⮣®, çâ®, ª ª ¡ë«® ¢ëï᥮ ¢ëè¥, ®® ®¡à §ã¥âáï ¢ í⮬ á«ãç ¥ â®çª ¬¨, ¤¥«ï騬¨ ¢ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨ ®â१ª¨ á ª®æ ¬¨ ¢ M ¨ M .)
᫨ ¬®¥á⢮ M ¯¥à¥®á¨âáï ¢¥ªâ®à a , â® ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ x ¯à¨¡ ¢«ï¥âáï ¢¥ªâ®à a , ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ x = λ x + λ x ¯à¨¡ ¢«ï¥âáï ¢¥ªâ®à λ a . Ǒ®í⮬㠬®¥á⢮ M = λ M + λ M ¯¥à¥®á¨âáï ¢¥ªâ®à λ a . Ǒਠ¯¥à¥®á å ¬®¥á⢠M ¨ M ¢¥ªâ®àë a ¨ a ¬®¥á⢮ M ¯¥à¥®á¨âáï ¢¥ªâ®à λ a + λ a . (¥ ¥ १ã«ìâ âë ¢¥àë, ª®¥ç®, ¤«ï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 «î¡®£® ç¨á« ¬®¥á⢠Mi.) Ǒਠà áᬮâ२¨ «¨¥©ëå ª®¬¡¨ 権 ¬®¥á⢠, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¤à㣠¨§ ¤à㣠¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬, ¬®® ¥ áç¨â âì áãé¥á⢥® à §«¨ç묨. Ǒ®í⮬㠪 ª ýá« £ ¥¬ë¥þ M , M , â ª ¨ ¨å ª®¬¡¨ æ¨î M = = λ M + λ M ¬®® à áᬠâਢ âì á â®ç®áâìî ¤® «î¡ëå ¯¥à¥®á®¢. ¥¬¬ 1 ª ª à § ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯¥à¥®áë ç « ¨ ýá« £ ¥¬ëåþ ¥ ¢«¨ïîâ ¬®¥á⢮ M , ¥á«¨ ¯à¥¥¡à¥£ âì ¯¥à¥®á®¬. â® § ¬¥ç ¨¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠣«ï¤®¬ã ¯®¨¬ ¨î «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 M = λ M + λ M . Ǒ®¤¢¥à£ã¢ ¬®¥á⢠M , M ¯®¤®¡ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬, ¯®«ã稬 ¬®¥á⢠λ M , λ M . ⥬ ¢®§ì¬¥¬ ¢ ¬®¥á⢥ λ M «î¡ãî â®çªã A ¨ 1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
λ 2M2 λ
λ
2x 2
1
2x 2
2x 2
0
λ
A=X
x1 0 +λ
λ1 x 0 1
A=O
λ1M1
λ 2 M2 ¨á. 124
¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á ¬®¥á⢠λ M ¡ã¤¥¬ ¯®¬¥é âì â®çªã A ¢® ¢á¥ â®çª¨ ¬®¥á⢠λ M . ®£¤ ¬®¥á⢮ M , § ç¥à祮¥ ¬®¥á⢮¬ λ M , ¨ ¡ã¤¥â λ M + λ M (à¨á. 124). ¥©á⢨⥫ì®, ¬ë ¬®¥¬ ¯à¨ïâì â®çªã A § ç «®. ®£¤ , ¥á«¨ ¯¥à¥¥á⨠â®çªã A ¢ â®çªã X 2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
0
. VI:
§ 2.
279
¬®¥á⢠λ M , â® ¯¥à¥¥á¥®¥ ¬®¥á⢮ λ M ¡ã¤¥â § ¯®«ïâìáï ª®æ ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ λ x + λ x . Ǒ¥à¥¬¥é ï â®çªã A = X ¯® ¬®¥áâ¢ã λ M , ¯®«ã稬 ¢á¥ ¬®¥á⢮ M = λ M + λ M . ®¯à¥¤¥«¥¨¨ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¯®à冷ª á« £ ¥¬ëå ¥ ¨£à ¥â ஫¨ (¢¢¨¤ã ¯¥à¥¬¥áâ¨â¥«ì®£® § ª® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢). Ǒ®í⮬㠢 ¨§«®¥®¬ ¯®áâ஥¨¨ ¬®¥á⢠M ¨ M ¬®® ¯®¬¥ïâì ஫ﬨ. (â® ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠⮫쪮 ª ¯¥à¥®áã ¯®áâ஥®© â ª¨¬ ¯ã⥬ ¨å ª®¬¡¨ 樨.) ®á®¢ ¨¨ ¤ ®£® ¯®áâ஥¨ï «¥£ª® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî騩 ¯à®á⮩ ¢ë¢®¤. ¥¬¬ 2.
᫨ M ¨ M | ¥¯ à ««¥«ìë¥ ®â१ª¨, â® λ M + λ M 1
1
1
0 1
2
0 2
2
0
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
¥áâì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ á® áâ®à® ¬¨, à ¢ë¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì묨 ®â१ª ¬
λ1 M1
λ2 M2 .
᫨ M1 ¨ M2 ¨
| ¯ à ««¥«ìë¥ ®â१ª¨, â®
λ1 M1
+λ M 2
¥áâì ¯ à «-
2
«¥«ìë© ¨¬ ®â१®ª; ¤«¨ ¥£® ¥áâì â ª ï ¥ «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¨å ¤«¨:
=λ l +λ l . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç® ¯®¤®¡® ¯à¥®¡à §®¢ âì ®â१ª¨ M , M ¨ ¯¥à¥¥á⨠®â१®ª λ M ¥£® ª®æ®¬ ¯® ®â१ªã λ M . 3. ¥¬¬ 3. ¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥á⢠¥áâì ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮ (à¨á. 125). l
1 1
2 2
1
1
1
2
X1
X
Y1
X2
Y2
Y
M1
1_ 2
2
2
( M1+M2)
M2
¨á. 125
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì X ¨ Y | ¤¢¥ â®çª¨ ¬®¥á⢠M = λ M + λ M . ¨ ¯®«ãç îâáï ª ª ª®¬¡¨ 樨 ¥ª®â®àëå â®ç¥ª X , X ¨ Y , Y ¨§ ¬®−−→ −−→ −−→ ¥á⢠M ¨ M (â.¥. OX = λ OX + λ OX ¨ â® ¥ ¤«ï Y ).
᫨ ¬®¥á⢠M ¨ M ¢ë¯ãª«ë, â® ®¨ ᮤ¥à â ®â१ª¨ X Y ¨ X Y . ®£¤ ¬®¥á⢮ M ᮤ¥à¨â, ®ç¥¢¨¤®, ª®¬¡¨ æ¨î íâ¨å ®â१ª®¢, á ¬ íâ ª®¬¡¨ æ¨ï ᮤ¥à¨â â®çª¨ X ¨ Y . ®, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 2, ª®¬¡¨ æ¨ï ®â१ª®¢ ¥áâì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¨«¨ ®â१®ª, ¯®â®¬ã ® ¢¬¥á⥠á â®çª ¬¨ X ¨ Y ᮤ¥à¨â ¨ ᮥ¤¨ïî騩 ¨å ®â१®ª. 1
1
2
1
1
2 2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
280
. .
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ ¢ë¯ãª«ëå M , M ¬®¥á⢮ M = λ M + λ M ᮤ¥à¨â ¢¬¥áâ¥ á «î¡®© ¯ ன â®ç¥ª X , Y â ª¥ ᮥ¤¨ïî騩 ¨å ®â१®ª, â. ¥. ®® â ª¥ ¢ë¯ãª«®. (âà®ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î «î¡®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ¬®¥áâ¢, ¯à¨¤¥¬ ª ⮬㠥 ¢ë¢®¤ã ® ¢ë¯ãª«®á⨠«¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 λ M + λ M + . . . + λn Mn .) 4. 㤥¬ §ë¢ âì ý£à ìîþ (¢ ª ¢ëçª å) ¬®¥á⢠M ®¡éãî ç áâì ¥£® á ®¯®à®© ¯«®áª®áâìî. ¯à¨¬¥à, ã ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ® ¬®¥â ¡ëâì £à ìî ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥, ॡ஬ ¨«¨ ¢¥à訮©. 1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
¥¬¬ 4.
Ǒãáâì
Q1
¨
Q2
| ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®¥áâ¢
à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨, íâ¨å ¬®¥áâ¢. ®£¤
Q
1
¨
M2
á ¯ -
G1 ¨ G2 | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ú£à ¨û
= λ Q +λ Q 1
M1
2
2
¥áâì ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ¬®¥-
= λ M + λ M á ⮩ ¥ ¢¥è¥© ®à¬ «ìî, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© ú£à ìû G ¬®¥á⢠M ¥áâì â ª ï ¥ ª®¬¡¨ æ¨ï ú£à ¥©û G ¨ G , â. e. G = λ G + λ G . ¡à â®, ¢áïª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ¨ ú£à ìû ¬®¥á⢠¯®«ãç ¥âáï ¨¬¥® â ª¨¬ ®¡à §®¬. (âண® £®¢®àï, ã® ¤®¡ ¢¨âì, çâ® ¨¬¥îâáï ¢ ¢¨¤ã § ¬ªãâë¥ ¬®¥á⢠.) ª ª ª ¯à¨ ¯¥à¥®á å ¬®¥á⢠M ¨ M ¬®¥á⢮ M ¨á¯ëâë¢ ¥â «¨èì ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á, â® ¬®® ¯¥à¥¥á⨠M ¢ M â ª, çâ®¡ë ¯«®áª®á⨠Q ¨ Q ᮢ¯ «¨. ஬¥ ⮣®, ç «® ¬®® ¯¥à¥¥á⨠¯«®áª®áâì Q = Q = Q . ®£¤ ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë áâ ®¢¨âáï ®ç¥¢¨¤ë¬. ®¥á⢮ M = λ M + λ M ¡ã¤¥â «¥ âì ¯® âã ¥ áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠Q, çâ® ¨ á ¬¨ ¬®¥á⢠M ¨ M . ¡é ï ç áâì ¬®¥á⢠M á ¯«®áª®áâìî Q, â.¥. ý£à ìþ G, ¡ã¤¥â ¯®«ãç âìáï ª ª ª®¬¡¨ æ¨ï ý£à ¥©þ G ¨ G . ¯à¨¬¥à, à¨á. 127 (á. 282) ¨ïï £à ì á।¥£® ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¨¨å ॡ¥à ýá« £ ¥¬ëåþ ¬®£®£à ¨ª®¢. (
᫨ ¥ ¯¥à¥¥á⨠¬®¥á⢠M ¨ M ¨áå®¤ë¥ ¬¥áâ , â® ¨ ¬®¥á⢮ M , ¨ ¯«®áª®áâì Q, ¨ ý£à ìþ G ¨á¯ëâ îâ ⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯¥à¥®á.) «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡à ⮣® ã⢥थ¨ï ¢®§ì¬¥¬ ª ªãî-«¨¡® ®¯®àãî ¯«®áª®áâì Q ¬®¥á⢠M ¨ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠Q , Q ¬®¥á⢠M ¨ M á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ . Ǒ¥à¥¥á¥¬ M ¨ M â ª, çâ®¡ë ¯«®áª®á⨠Q, Q ¨ Q ᮢ¯ «¨. ®£¤ ᮢ¥à襮 â ª ¥ ïá®, çâ® ¯«®áª®áâì Q ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© ý£à ìþ G ¡ã¤ãâ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ¯«®áª®á⥩ Q ¨ Q ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨¬ £à ¥© G ¨ G . ®¢¥à襮 â®â ¥ ¢ë¢®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ª ¯«®áª¨¬ 䨣ãà ¬ á § ¬¥®© ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠®¯®àãî ¯àï¬ãî ¨ ý£à ¨þ | ýáâ®à®ãþ, â. ¥. ®¡éãî M
áâ¢
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
8)
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
8) M1 ¨ M2 ¨¬¥îâáï â ª¨¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨.
᫨ ¡ë, ¯à¨¬¥à, ã M1 ¥ ¡ë«® â ª®© ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, â® M1 ᮤ¥à «® ¡ë â®çª¨, ᪮«ì 㣮¤® ¤ «¥ª¨¥ ®â ¯«®áª®á⨠Q
¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¥¥ ¢¥è¥© ®à¬ «¨. ® ⮣¤ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¨ ¢ ¬®¥á⢥ M ¡ë«¨ ¡ë â ª¨¥ ᪮«ì 㣮¤® ¤ «¥ª¨¥ â®çª¨, ¢®¯à¥ª¨ ⮬ã, çâ® ®® ¨¬¥¥â ®¯®àãî ¯«®áª®áâì Q.
§ 2.
. VI:
281
ç áâì 䨣ãàë á ¥¥ ®¯®à®© ¯àאַ©. ( ¯à¨¬¥à, à¨á. 126 áâ®à® a′ ¥áâì ª®¬¡¨ æ¨ï ¢¥àè¨ë A ¨ áâ®à®ë a.) 5. ¥¬¬ 5.
¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, «¥ é¨å ¢ ¯ à «-
«¥«ìëå ¯«®áª®áâïå, ¥áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¥ 騩 ¢ ¯ à ««¥«ì®© ¯«®áª®-
. ( ç áâ®áâ¨, ®¤¨ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ®â१®ª ¨«¨ ¤ ¥ â®çªã.) ®® áç¨â âì, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, â ª λ1 T1+λ2 T2 ª ª ¨å ¯¥à¥®á ¬®¥â ¢ë§¢ âì «¨èì ¯¥à¥®á ¨å «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨. Ǒãáâì ¤ ë ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª T , λ1 T1 T . ¨£ãàë λ T , λ T ¡ã¤ãâ ¯®a′ a ¤®¡ë¬¨ ¨¬ âà¥ã£®«ì¨ª ¬¨. å λ2 T2 ª®¬¡¨ æ¨î λ T +λ T ¬®® áâà®A ¨âì, ®¡®áï ª ªãî-«¨¡® ¢¥àè¨ã âà¥ã£®«ì¨ª λ T ¯® ¢á¥¬ â®çª ¬ â२á. 126 㣮«ì¨ª λ T . ¥¯®á।á⢥® ¨§ à¨á. 126 ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¢ १ã«ìâ ⥠§ ç¥àâ¨âáï è¥áâ¨ã£®«ì¨ª. ç áâëå á«ãç ïå ® ¬®¥â ¢ëத¨âìáï ¢ ¯ïâ¨ã£®«ì¨ª, ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª ¨«¨ âà¥ã£®«ì¨ª (¯®á«¥¤¥¥ | ¥á«¨ T ¨ T ¯®¤®¡ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë). ®ª § ⥫ìá⢮ ¬®® ®¡®á®¢ âì ¯®á«¥¤¥¬ § ¬¥ç ¨¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ãªâ¥. ýâ®à®ëþ ¬®¥á⢠λ T + λ T ¡ã¤ãâ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ áâ®à® ¨«¨ ¢¥àè¨ âà¥ã£®«ì¨ª®¢ T ¨ T . ª ª ª â¥å ¨ ¤à㣨å | «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«®, â® ã ¬®¥á⢠λ T + λ T ¡ã¤¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ýáâ®à®þ, â ª çâ® ®® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ã£®«ì¨ª. ª ª ª áâ®ïé ï áâ®à® ¬®¥â ¯®«ãç¨âìáï «¨èì ®â ª®¬¡¨¨à®¢ ¨ï áâ®à®ë á ¢¥à訮© ¨«¨ á® áâ®à®®©, «¥ 饩 ¢ ¯ à ««¥«ì®© ®¯®à®© ¯àאַ©, â® ¨¬¥¥âáï ¬ ªá¨¬ã¬ è¥áâì ¢®§¬®ëå ª®¬¡¨ 権, ¯à¨¢®¤ïé¨å ª áâ®à® ¬ λ T + λ T . Ǒãáâì ⥯¥àì M j¨ M | «î¡ë¥ ¤¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª . §®¡ì¥¬ ¨å âà¥ã£®«ì¨ª¨ T i ¨ T . ®¬¡¨ æ¨ï λ M + λ M ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, á« £ âìáï ¨§ ª®¬¡¨ 権 ¢á¥å ¢®§¬®ëå ¯ à âà¥ã£®«ì¨ª®¢: λ T i + λ T j . (⨠ª®¬¡¨ 樨, ª®¥ç®, ¯¥à¥ªàë¢ îâáï.) Ǒ® ¤®ª § ®¬ã í⨠ª®¬¡¨ 樨 áãâì ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. Ǒ®í⮬ã λ M + λ M á« £ ¥âáï ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª¥ ï¥âáï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. áâ¨
1
2
1
1
1
2 2
1
2
2
1 1 2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
¥¬¬ 6.
1
1
2
1
2 2
2
¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ⥫¥áëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥áâì ⥫¥á-
ë© ¬®£®£à ¨ª.
®ª § ⥫ìá⢮ | â® ¥, çâ® ¤«ï «¥¬¬ë 5. ç « ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ª®¬¡¨ æ¨ï â¥âà í¤à®¢ ¥áâì ¬®£®£à ¨ª (à¨á. 127). Ǒ®á«¥ í⮣®, à §¡¨¢ ï «î¡ë¥ ¤ ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ â¥âà í¤àë, ¢¨¤¨¬, çâ® ¨å ª®¬¡¨ æ¨ï
282
. .
á« £ ¥âáï ¨§ ª®¬¡¨ 権 íâ¨å â¥âà í¤à®¢ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª¥ ï¥âáï ¬®£®£à ¨ª®¬. £«ï¤®¥ à áᬮâ२¥ ª®¬¡¨ 樨 ¤¢ãå â¥âà í¤à®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥ª®â®à®¥ § âà㤥¨¥. Ǒ®í⮬㠬®® ¯à¨¡¥£ãâì ª «¥¬¬¥ 4, â ª ¥ ª ª í⮠ᤥ« ® ¢ ¢ë¢®¤¥ «¥¬¬ë 5.
᫨ T ¨ T | ¤¢ â¥âà í¤à , â® ¬®¥á⢮ λ T + λ T ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ᮣ« á® «¥¬¬¥ 3. Ǒ® «¥¬¬¥ 4 ¥£® ý£à ¨þ 1
1
1
2
2
2
q1
T1
1 _ 2
(q1 +q2)
1 _ 2
(T1 +T2)
q2
T2
¨á. 127
¡ã¤ãâ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ý£à ¥©þ â¥âà í¤à®¢ T ¨ T , â. ¥. ¨å áâ®ïé¨å £à ¥©, ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨. ª ª ª ¢á¥å íâ¨å í«¥¬¥â®¢ | «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«®, â® ¨ ¨å ª®¬¡¨ 権 | ª®¥ç®¥ ç¨á«®. Ǒ®í⮬ã λ T + λ T ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ý£à ¥©þ ¨, § ç¨â, ®ª §ë¢ ¥âáï ¬®£®£à ¨ª®¬. ( áâ®ïé ï £à ì ã λ T + λ T ¬®¥â ¯®«ãç âìáï ª ª ª®¬¡¨ æ¨ï £à ¨ T (¨«¨ T ) á £à ìî, ॡ஬ ¨«¨ ¢¥à訮© T (¨«¨ T ) «¨¡® ª ª ª®¬¡¨ æ¨ï ¤¢ãå ¥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, «¥ é¨å ¢ ¯ à ««¥«ìëå ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå. ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 2, ® ¡ã¤¥â ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¬. Ǒਠý®¡é¥¬þ à ᯮ«®¥¨¨ â¥âà í¤à®¢ T ¨ T £à ¨ ®¤®£® ¥ ¯ à ««¥«ìë ¨ £à ï¬, ¨ à¥¡à ¬ ¤à㣮£®; ॡà , «¥ 騥 ¢ ¯ à ««¥«ìëå ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå, â ª¥ ¥ ¯ à ««¥«ìë. Ǒ®íâ®¬ã £à ¨ λ T + λ T ¯®«ãç îâáï ®â ª®¬¡¨¨à®¢ ¨ï £à ¥© á ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ॡ¥à á à¥¡à ¬¨ (á¬. à¨á. 127). áᬮâ२¥ ª®¬¡¨ 樨 λ T + λ T ¢ í⮬ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢á¥å ¢®§¬®ëå ¥¥ ¢ëத¥¨© ¬®¥â á«ã¨âì å®à®è¨¬ ã¯à ¥¨¥¬ ¢ £«ï¤®© £¥®¬¥âਨ.) 6. ¥¯¥àì ¬®® ¯®«ãç¨âì १ã«ìâ â, ïî騩áï ª®¥ç®© 楫ìî ¢ë¢®¤®¢ í⮣® ¯ à £à ä . ¥®à¥¬ . ¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥áâì ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª: P = λ P + λ P .
᫨ Q ¥áâì ú£à ìû ¬®£®£à ¨ª P (â. ¥. £à ì, ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ ), â® Q = λ Q + λ Q , £¤¥ Q ¨ Q | ú£à ¨û P ¨ P , «¥ 騥 ¢ ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨. Q ¡ã¤¥â áâ®ï饩 £à ìî, ª®£¤ Q ¨ Q áãâì: 1) ¤¢¥ £à ¨, «¨¡® 2) £à ì ¨ ॡà®, «¨¡® 3) 1
2
1
1 1
1
2
1
2 2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
. VI:
§ 3.
283
4) ¯ à ¥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à. Q ¡ã¤¥â ॡ஬, ¥á«¨ ®ª § ⥫ìá⢮ ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤ë¤ãé¨å «¥¬¬. Ǒ® «¥¬¬¥ 6 P ¡ã¤¥â ¬®£®£à ¨ª®¬, ¯® «¥¬¬¥ 3 | ¢ë¯ãª«ë¬. «¥¥, ¯® «¥¬¬¥ 4 ª ¤ ï ý£à ìþ Q ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ª®¬¡¨ 樥© ý£à ¥©þ Q ¨ Q , «¥ é¨å P ¨ P ¢ ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå á ¯ à ««¥«ì묨 ®à¬ «ï¬¨.
᫨ ¯à¨ í⮬ Q ¨ Q | ¯ à ««¥«ìë¥ à¥¡à ¨«¨ ॡ஠¨ ¢¥àè¨ , â® ®¨ ¤ îâ ¢ ª®¬¡¨ 樨 ¯ à ««¥«ì®¥ ॡ஠λ Q + λ Q .
᫨ Q ¨ Q | ¢¥àè¨ë, â® ®¨ ¤ îâ ¢¥àè¨ã λ Q + λ Q . ® ¢á¥å ®áâ «ìëå á«ãç ïå λ Q + λ Q ¡ã¤¥â áâ®ï饩 £à ìî (ª ª ¢¨¤® ¨§ «¥¬¬ 2 ¨ 5). ⨠®áâ «ìë¥ á«ãç ¨ ¨áç¥à¯ ë ç¥âëàì¬ï ¢®§¬®®áâﬨ, 㪠§ 묨 ¢ ⥮६¥. ( à¨á. 127 âà¥ã£®«ìë¥ £à ¨ á।¥£® ¬®£®£à ¨ª áãâì ª®¬¡¨ 樨 £à ¥© ¨ ¢¥àè¨ â¥âà í¤à®¢ T ¨ T , ç¥âëà¥å㣮«ìë¥ £à ¨ | ª®¬¡¨ 樨 ॡ¥à.) âà®ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î ¥áª®«ìª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®«ã稬 «®£¨çë© à¥§ã«ìâ â ¤«ï «î¡®£® ç¨á« ¨å. £à ì ¨ ¢¥àè¨ , «¨¡®
Q1
¨
Q2
| ¯ à ««¥«ìë¥ à¥¡à «¨¡® ॡ஠¨ ¢¥àè¨ .
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
§ 3. á«®¢¨¥ à ¢¥á⢠§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢
1. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯ àë § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, ¯ àë ª®¥çëå ⥫¥áëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ( í⮬ ¯ à £à ä¥ ý¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ªþ ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ®§ ç âì ¨¬¥® ⥫¥áë© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª.) ¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠ª ¨¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯ à ««¥«ì묨 ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª í⨬ ¯«®áª®áâï¬ ¯ à ««¥«ìë. Ǒãáâì P ¨ P | ¤¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì Q | £à ì ¬®£®£à ¨ª P , a Q | ý£à ìþ, â. ¥. £à ì, ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , «¥ é ï ¢ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®© ¯«®áª®á⨠Q . âã ý£à ìþ Q ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì £à ìî ¬®£®£à ¨ª P , ¯ à ««¥«ì®© £à ¨ Q . ®®â¢¥âá⢥® ®¯à¥¤¥«ïîâáï £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¯ à ««¥«ìë¥ £à ï¬ P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢¥ ý¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨þ «¥ â ¢ ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¨ å®âï ¡ë ®¤ ¨§ ¨å ï¥âáï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® £à ìî, ¤àã£ ï ¥ ¬®¥â ¡ëâì ॡ஬ ¨«¨ ¢¥à訮©. 1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
¥®à¥¬ 1.
᫨ ã ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢á¥ ¯ àë ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© â ª®¢ë, çâ® ¨ ®¤ã £à ì ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥¥á¥¨¥¬, â® â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë
. (묨 á«®¢ ¬¨, ¥¢®§¬®®, çâ®¡ë ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ ¥«ì§ï ¡ë«® ᮢ¬¥áâ¨âì ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬, ¥á«¨ ¨ ¤«ï ®¤®© ¯ àë ¨å ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ®¤ã ¢ãâਠ¤à㣮©.) ª ª ª ¢¥àè¨ã ¢á¥£¤ ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ£à ¨, â® ¯à¨ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì «¨¡® ®¡¥ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® £à ﬨ, «¨¡® ®¤ | ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® £à ìî, ¤à㣠ï | ॡ஬.
284
. .
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë; à áᬮâਬ ¨å ¯®«ãá㬬ã 1 P = (P + P ). 2 1
2
1
2
Ǒ® ¤®ª § ®¬ã ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥ P ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, £à ¨ ª®â®à®£® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ®¤® ¨§ âà¥å: 1) ¯®«ãá㬬㠯 à ««¥«ìëå ¤¥©á⢨⥫ìëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨P ; 2) ¯®«ãá㬬㠯 à ««¥«ìëå £à ¥©, ¨§ ª®â®àëå ®¤ | ¤¥©á⢨⥫ì ï £à ì, ¤à㣠ï | ॡà®; 3) ¯®«ãá㬬㠥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à. (Ǒ®«ãá㬬 £à ¨ ¨ ¢¥àè¨ë ®âáãâáâ¢ã¥â, ª ª í⮠⮫쪮 çâ® ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, ¢ ᨫã ãá«®¢¨© ⥮६ë.) ¤®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, «¥ é¨å P ¨ P ¢ ¯ à ««¥«ìëå ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå, «¨¡® ¯®«ãá㬬 à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë. í⮬ á«ãç ¥ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ®® â ª¥ ¥áâì ¯®«ãá㬬 ॡ¥à, ® ®¤® ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¤«¨ã. (â® ãá«®¢¨¥ ® ॡà å ã«¥¢®© ¤«¨ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «®£¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ® áâ®à® å ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¯à¨ï⮬㠢 § 1.) ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¤®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª P ®â¢¥ç ¥â ¯® ॡàã P ¨ P . â¥á¥¬ ॡàã ¬®£®£à ¨ª P § ª ¯«îá ¨«¨ ¬¨ãá ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¤«¨¥¥ ¨«¨ ª®à®ç¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ॡ஠P , 祬 P ; ¢ á«ãç ¥ à ¢¥á⢠ॡ¥à P ¨ P ®áâ ¢«ï¥¬ ॡ஠P ¥®â¬¥ç¥ë¬. ®ª ¥¬, çâ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠ª ¤®© £à ¨ Q ¬®£®£à ¨ª P ¤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¥á«¨ ⮫쪮 í⮩ £à ¨ ¨¬¥îâáï ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà . áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ª ¤ë© ¨§ âà¥å ⨯®¢ £à ¥©, 㪠§ ëå ¢ëè¥. 1) à ì Q ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¤¢ãå ¤¥©á⢨⥫ìëå £à ¥© Q ¨ Q . Ǒ® ãá«®¢¨î ⥮६ë Q ¨ Q ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤ ¢ãâਠ¤à㣮©. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ «¥¬¬ë 3 § 1 ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠«î¡®© ¨§ ¨å, § ç¨â, ¨ ¢®ªà㣠Q, ¤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥ìè¥ ç¥âëà¥å. ᪫î票¥ á®áâ ¢«ï¥â á«ãç ©, ª®£¤ áâ®à®ë £à ¥© Q ¨ Q à ¢ë, â.¥. Q ¨ Q à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. 2) à ì Q ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¤¥©á⢨⥫쮩 £à ¨ Q ¨ ॡà Q (¨«¨ ®¡®à®â). ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î Q ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ Q , â® Q áâ®à®ë, ¯ à ««¥«ìë¥ Q , ¤®«ë ¡ëâì ª®à®ç¥ Q . ¬¥á⥠á ⥬ Q ¨¬¥îâáï, ª®¥ç®, áâ®à®ë, ¥ ¯ à ««¥«ìë¥ Q : ¨¬ Q ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ýáâ®à®ëþ ã«¥¢®© ¤«¨ë. âáî¤ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠Q ¡ã¤¥â ஢® ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . 1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
§ 3.
. VI:
285
3) à ì Q ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à Q ¨ Q . ®£¤ Q ¥áâì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ á® áâ®à® ¬¨, à ¢ë¬¨ Q ¨ Q . â®à®¥ Q ᮮ⢥âáâ¢ãîâ Q ¨ ª®¥æ Q , â. ¥. ýáâ®à® þ ã«¥¢®© ¤«¨ë. «®£¨ç®¥ ¢¥à® ¤«ï Q . «¥¤®¢ ⥫ì®, áâ®à®ë ¯ à ««¥«®£à ¬¬ Q ®â¬¥ç¥ë ¯®¯¥à¥¬¥® ¯«îá ¬¨ ¨ ¬¨ãá ¬¨, çâ® ¤ ¥â ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . â ª, ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠ª ¤®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¨¬¥î饩 ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , ¯®«ãç ¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠª ¤®© £à ¨ ¯® â®çª¥ ¨ ᮥ¤¨¨¬ í⨠â®çª¨ «¨¨ï¬¨, ¥á«¨ ®¨ ¯à¨ ¤«¥ â £à ï¬, á¬¥ë¬ ¯® ॡàã. ®£¤ ¯®«ã稬 á¥âì P , ¤¢®©á⢥ãî ¬®£®£à ¨ªã P (à¨á. 128). à ¨ Q P ®â¢¥ç ¥â ¢¥àè¨ Q P ;′ ॡàã′′ P , ¯® Q Q ª®â®à®¬ã á¬¥ë £à ¨ Q ¨ Q , ®â¢¥ç ¥â ′ ′′ P ॡ஠Q Q ; ¢¥à訥 A P ®â¢¥ç A ¥â £à ì P , ®£à ¨ç¥ ï à¥¡à ¬¨ P , ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ à¥¡à ¬ P , á室ï騬áï ¢ A. ¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨ ¤«¥ 騬 ®¤®© £à ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ॡà á¥â¨ P , á室ï騥áï ¢ ¢¥à訥. â¥áï í⨬ Q′ Q″ à¥¡à ¬ ⥠¥ § ª¨, ¯®«ã稬, çâ® ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢¥àè¨ë á¥â¨ P ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¥á«¨ ⮫쪮 ª í⮩ ¢¥à訥 ¨á. 128 ¯®¤å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤® ®â¬¥ç¥®¥ ॡà®. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¨§ «¥¬¬ë ®è¨ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢®¢á¥ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¥â ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à. âáî¤ á«¥¤ã¥â:
᫨ £à ì Q P ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¤¢ãå ¤¥©á⢨⥫ìëå £à ¥©, â® í⨠£à ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë; £à ¥© P , ïîé¨åáï ¯®«ãá㬬 ¬¨ £à ¨ ¨ à¥¡à ¨«¨ ¤¢ãå ॡ¥à, ¥â ¢®¢á¥, ¯®â®¬ã çâ®, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ¢®ªà㣠⠪®© £à ¨ ¤®«® ¡ëâì ஢® ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨¬¥îâ ¯®¯ à® à ¢ë¥ ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨, â ª çâ® ®¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. 2. § ⥮६ë 1 ¬®® ¢ë¢¥á⨠⠪®¥ á«¥¤á⢨¥: ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì f (Q) | ¬®®â® ï äãªæ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, â. ¥. f (Q) ¥áâì â ª®¥ ç¨á«®, çâ® f (Q ) > f (Q ), ¥á«¨ Q ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠQ . ®£¤ , ¥á«¨ ã ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ f (Q ) = = f (Q ) ¤«ï ª ¤®© ¯ àë ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© Q ¨ Q , â® â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. «¨ ¢ ¥é¥ ¡®«¥¥ ®¡é¥© ä®à¬¥: 1 2
1 2
1
1 2
1
1
2
2
1 2
1
2
2
9)
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
9) á«®¢¨ï «¥¬¬ë ®è¨ (§ 1 £«. II) §¤¥áì ¢ë¯®«¥ë, ¯®â®¬ã çâ® ¢ á¥â¨ P ¥â ¤¢ã㣮«ìëå ®¡« á⥩, ¯®áª®«ìªã ¬®£®£à ¨ª¥ P ¥â ¢¥àè¨, £¤¥ á室¨âáï ⮫쪮 ¤¢ ॡà .
286
. .
P1 ¨ P2 ¨¬¥îâ ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìë¥ Q11 , Q12 ; . . . ; Qn1 , Qn2 .
᫨ f1 , . . . , fn | ¬®®â®ë¥ äãªæ¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ fi Qi1 fi Qi2 (i , , . . . , n), â® ¬®£®£à ¨ª¨ P1 ¨ P2 Ǒãáâì ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨
£à ¨
( )= ( ) =12 . ¥©á⢨⥫ì®, ¢ ᨫ㠬®®â®®á⨠äãªæ¨© fi £à ¨ Qi ¨ Qi ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤ ¢ ¤à㣮©; ¯®í⮬㠤 ï ⥮६ ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 1. Ǒਬ¥à ¬¨ ¬®®â®ëå äãªæ¨© ¬®£ãâ á«ã¨âì ¯«®é ¤ì, ¯¥à¨¬¥âà, ¬®¬¥â ¨¥à樨 ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà âï¥á⨠¨ â.¤. ¨ â.¯. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ f (Q) | ¯«®é ¤ì, â® ¯®«ãç ¥¬ ⥮६㠨ª®¢áª®£®: ¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª á ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ì묨 ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë.
é¥ ¢ ¯ 5 § 4 £« ¢ë II ¯à®á⮬ ¯à¨¬¥à¥ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® è ⥮६ 1, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ⥮६ 2 ¥ ®¡®¡é îâáï ¢ ¡®«¥¥ 祬 âà¥å¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ . â® | ¯à¨¬¥à ç¥âëà¥å¬¥à®£® ªã¡ á ॡ஬ 2 ¨ ç¥âëà¥å¬¥à®£® ¯àאַ㣮«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ á à¥¡à ¬¨ 1, 1, 3, 3. ¥¤ã ⥬ ¨ª®¢áª¨© ¤®ª § « ᢮î ⥮६㠢 ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. â® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨ª®¢áª®£® ®á®¢ ® ᮢ¥à襮 ¨ëå á®®¡à ¥¨ïå ¨ ¡ã¤¥â ¨§«®¥® ¢ § 2 £« ¢ë VII. ¬¥â¨¬ ¥é¥, çâ® ¢á«¥¤á⢨¥ ý§ ¯ á þ, à ¢®£® 8, ¨¬¥î饣®áï ¢ ®æ¥ª¥ ç¨á« ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¯® «¥¬¬¥ ®è¨, ¢ ⥮६¥ 1 ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï ¥¥ ãá«®¢¨© ¤«ï ¢á¥å ¯ à ¯ à ««¥«ìëå £à ¥©, ªà®¬¥ ®¤®©. âáî¤ «¥£ª® § ª«îç¨âì, ç⮠⥮६ã 1 ¬®® ¢ë᪠§ âì ¢ á«¥¤ãî饩 ¥áª®«ìª® ãᨫ¥®© ä®à¬¥. «ï «î¡ëå ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨¬¥îâáï «¨èì ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: «¨¡® ®¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë, «¨¡® ¨å ¥áâì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢¥ ¯ àë â ª¨å ¯ à ««¥«ìëå £à ¥©, çâ® ®¤ ¨§ £à ¥© ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. Ǒਠí⮬ ®¤ ¨§ £à ¥© ¢á¥£¤ ¥áâì áâ®ïé ï £à ì, ¤àã£ ï ¥ ¬®¥â ¡ëâì áâ®ï饩 £à ìî, ॡ஬ ¨«¨ ¢¥à訮©. à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë
1
2
o
10)
§ 4. á«®¢¨ï à ¢¥á⢠¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢
1. á«®¢¨¥ à ¢¥á⢠§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ãáâ ®¢«¥®¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ «¨è ¥âáï á¬ëá« . ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¨å ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬ ®®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à®áâ® ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢ë¯®«¥®, ¯®â®¬ã çâ® ¨§ ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ®¤¨ ¢á¥£¤ ¬®¥â ¡ëâì ¯®¬¥é¥ ¢ãâਠ¤à㣮£®, ª ª ¢ í⮬ «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¯à¨¬¥ïï íâ® ãá«®¢¨¥ «¨èì ª ª®¥çë¬ £à ï¬, 10) à ¢¥á⢥ n-¬¥àëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯à¨ ¥¢¬¥é ¥¬®á⨠¨å ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© á¬. [139℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . ¤¢ã¬¥àëå
. VI:
§ 4.
287
¬®® ¢¢¥á⨠⠪®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, çâ® ®¡ í⨠ãá«®¢¨ï ¢¬¥á⥠®¡¥á¯¥ç â à ¢¥á⢮ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. â® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬: ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¤®«ë ¨¬¥âì à ¢ë¥ ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ ç á⨠, â.¥. ®â ª ¤®£® ¨§ ¨å ¬®® ®â१ âì ª®¥çãî ç áâì â ª, çâ® ®á⠢訥áï ¡¥áª®¥çë¥ ç á⨠¡ã¤ãâ ᮢ¬¥é âìáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. â® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á ¬®® ¯à¨¢¥á⨠¢ ᮢ¯ ¤¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¡¥áª®¥çëå £à ¥© ®¡®¨å ¬®£®£à ¨ª®¢. â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå £à ¥© ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ⥠¥ ãá«®¢¨ï, çâ® ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥. ¢¥ £à ¨ áç¨â îâáï ¯ à ««¥«ì묨 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¯ à ««¥«ìë ¨å ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨.
᫨ ®¤®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¥â £à ¨, ¯ à ««¥«ì®© £à ¨ ¤à㣮£®, â® ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ® ¥áâì, ® ⮫쪮 ¢ëத ¥âáï ¢ ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ã, «¥ 騥 ¢ ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠á ⮩ ¥ ¢¥è¥© ®à¬ «ìî. ¥à¬¨ ý¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨þ¯®¨¬ ¥âáï ¤ «ìè¥ ¨¬¥® ¢ í⮬ á¬ëá«¥. 2. ¥¯¥àì áä®à¬ã«¨à㥬 ⥮६㠮 à ¢¥á⢥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 11)
¥®à¥¬ 1.
Ǒãáâì ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡¥á-
ª®¥çë¥ ç áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ¢á¥ ¯ àë ª®¥çëå ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© â ª®¢ë, çâ® ¨ ®¤ã £à ì ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á . ®£¤ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì®
. ¥à¬¨ ý¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâà¨þ ¯®¨¬ ¥âáï â ª ¥, ª ª ¢ § 1 ¨ 3, â. ¥. â ª, çâ® ®¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤à㣮¬ ¨ á ¨¬ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â. ª ª ª â®çªã ¢á¥£¤ ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ£à ¨, â® ¯à¨ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì «¨¡® ®¡¥ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® £à ﬨ, «¨¡® ®¤ | ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® £à ìî, ¤à㣠ï | ॡ஬. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. ᨫ㠯¥à¢®£® ¨§ íâ¨å ãá«®¢¨© ¬®® áç¨â âì, çâ® ¡¥áª®¥çë¥ ç á⨠íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ᮢ¯ ¤ îâ. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨å ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¨ £à ¨ «¥£ îâ ᮮ⢥âá⢥® ¤à㣠¤à㣠. Ǒ।áâ ¢«ïï ᥡ¥ P ¨ P ª ª ⥫¥áë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®áâந¬ ¨å ¯®«ãá㬬ã 1 P = (P + P ). 2
à ᯮ«®¥ë
1
1
2
2
1
11) ª
2
㪠§ë¢ «®áì ¥é¥ ¢ § 1 £«. I, à áᬮâ२¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ à ¢®á¨«ì® à áᬮâà¥¨î ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ªà ©¨¥ £à ¨ ª®â®àëå ¤®¯ã᪠îâ ¡¥áª®¥ç®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¯¥à¥á¥ç¥¨©. Ǒ®í⮬㠤 ®¥ ãá«®¢¨¥ ¨ ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ á«¥¤ãîé ï ¤ «¥¥ ⥮६ 1 «¥£ª® ¯¥à¥áª §ë¢ îâáï ¤«ï â ª¨å ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢.
288
. .
ª ª ª ¡¥áª®¥çë¥ ç á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¨å ¯®«ãá㬬 P ¨¬¥¥â âã ¥ ¡¥áª®¥çãî ç áâì; ¨ª ª¨å ®¢ëå ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¨ ॡ¥à §¤¥áì ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï, ¨ ä®à¬ £à ¥© ¬®¥â ¨§¬¥¨âìáï ⮫쪮 ¢ ª®¥ç®© ç áâ¨. ª®¥ç®© ¥ ç á⨠¬®£®£à ¨ª P ¯à¨¬¥¨¬ë ¢á¥ ⥠¥ á®®¡à ¥¨ï, ª ª¨¥ ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ë ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥. Ǒ®í⮬㠬ë áà §ã ¬®¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨å १ã«ìâ â.
᫨ ॡàã ¬®£®£à ¨ª P ¯à¨¯¨áë¢ âì § ª à §®á⨠l − l ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ॡ¥à l ¨ l ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P , â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠ª ¤®© ª®¥ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª , ¥á«¨ ⮫쪮 å®âï ¡ë ®¤® ॡ஠í⮩ £à ¨ ¥ ®áâ ¥âáï ¥®â¬¥ç¥ë¬ (¥®â¬¥ç¥ë¥ ॡà | â¥, ¤«ï ª®â®àëå l − l = 0). 3. ¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬. Ǒ® ãá«®¢¨î à ᯮ«®¥¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¨å ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ᮮ⢥âá⢥® «¥£ îâ ¤à㣠¤à㣠. ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠l ¬®£®£à ¨ª P ¤«¨¥¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ॡà l ¬®£®£à ¨ª P , ¥á«¨ l ¥áâì ⮫쪮 ç áâì l . «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¡à ⮥ ¥à ¢¥á⢮, à ¢ë¬¨ ¥ í⨠ॡà áç¨â îâáï ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ®£« á® í⮬ã ãá«®¢¨î ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ª à §®á⨠¡¥áª®¥çëå ॡ¥à l − l ¨ íâ®â § ª ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ॡàã ýá।¥£®þ ¬®£®£à ¨ª P . ¥®â¬¥ç¥ë¬¨ ®áâ ãâáï ⮫쪮 ॡà , ª®â®àë¬ ®â¢¥ç îâ ᮢ¯ ¤ î騥 ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à P ¨ P . Ǒà¨ï⮥ ãá«®¢¨¥ ® § ª¥ à §®á⨠¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ᮢ¯ ¤ ¥â á ãá«®¢¨¥¬ ® § ª¥ à §®á⨠¡¥áª®¥çëå áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¯à¨ïâë¬ ¢ «¥¬¬¥ 4 § 1. ª ª ª, ªà®¬¥ ⮣®, ã «¥£ îé¨å ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à «¥£ îâ, â® ¬ë 室¨¬áï ª ª à § ¢ ãá«®¢¨ïå í⮩ «¥¬¬ë. Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥ïï ¥¥, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠧 ª«îç¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¢®§¬®ëå à ááâ ®¢®ª § ª®¢ ª®âãॠ«î¡®© ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ Q á।¥£® ¬®£®£à ¨ª P : 1) ¨ ®¤® ॡ஠í⮩ £à ¨ ¥ ®â¬¥ç¥®, ¨ ⮣¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥© £à ¨ Q ¨ Q P ¨ P ᮢ¯ ¤ îâ; 2) ª®âãॠ£à ¨ Q ¨¬¥îâáï ¬¨¨¬ã¬ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª ; 3) ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à £à ¥© Q ¨ Q ¯ à ««¥«ìë, ª®¥çë¥ ¨å ॡà ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë. ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ã á«ãç î, ®£®¢®à¥®¬ã ¢ «¥¬¬¥ 4 § 1. 4. áᬮâਬ ¡«¨¥ íâ®â ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç ©. Ǒãáâì ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ¯ àë £à ¥© Q , Q ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P . à ¨ Q , Q à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ¯®â®¬ã çâ® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë ¨å ॡà . Ǒ®í⮬㠤«ï íâ¨å £à ¥© ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: 3 ) £à ¨ Q , Q ᮢ¯ ¤ îâ, â.¥. ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯¥à¢ë© ¨§ âà¥å 㪠§ ëå ⮫쪮 çâ® á«ãç ¥¢; 3¡) ®¤ ¨§ íâ¨å £à ¥©, ᪠¥¬ Q , á¬¥é¥ ¢ãâàì ¤à㣮©. 1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
. VI:
§ 4.
289
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¥á«¨ £à ¨ Q ¨ Q ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à á ª®¥ç묨 £à ﬨ ᢮¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, â® ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ¥©á⢨⥫ì®, ®¡é¨¥ à¥¡à ¡¥áª®¥çëå £à ¥© «¥ â ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨ïå ¯«®áª®á⥩ íâ¨å £à ¥©. ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P ¯® ãá«®¢¨î ¨å à ᯮ«®¥¨ï ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ᮮ⢥âá⢥® «¥£ îâ, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮢ¯ ¤ îâ ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯«®áª®á⥩ íâ¨å £à ¥©. Ǒ®í⮬㠥᫨ £à ¨ Q , Q ®£à ¨ç¥ë ⮫쪮 ¯¥à¥á¥ç¥¨ï¬¨ á ¯«®áª®áâﬨ ¤àã£¨å ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, â® ®¨ ¥®¡å®¤¨¬® ᮢ¯ ¤ îâ. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨áª«î稢 ¨§ à áᬮâ२ï á«ãç © ᮢ¯ ¤¥¨ï £à ¥© Q ¨ Q , ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤«ï ¨å á«¥¤ãî饥 ¯®«®¥¨¥: ®¤ ¨§ ¨å, ᪠¥¬ Q , ᤢ¨ãâ ¢ãâàì ¤à㣮© ¨ å®âï ¡ë ®¤ ¨§ íâ¨å £à ¥© ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ ॡà á ª®¥ç묨 £à ﬨ ᢮¥£® ¬®£®£à ¨ª . ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï £à ì Q á।¥£® ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯®«ãá㬬 £à ¥© Q , Q (⥮६ ¯ 6 § 2), ¨ â ª ª ª Q , Q à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, â® Q ⮥ à ¢ ¨ ¯ à ««¥«ì ¨¬. ª ª ª £à ì Q ᤢ¨ãâ ¢ãâàì Q , â®, ᮣ« á® ãá«®¢¨î, ¥¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à áç¨â îâáï ª®à®ç¥ ॡ¥à £à ¨ Q , ¨ ¯®â®¬ã ®¡®¨¬ ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ £à ¨ Q ®â¥á¥ § ª ¬¨ãá. ¬¥á⥠á ⥬ ¨ ®¤® ª®¥ç®¥ ॡ஠£à ¨ Q ¥ ®â¬¥ç¥®, ¯®â®¬ã çâ® ª®¥çë¥ à¥¡à £à ¥© Q , Q à ¢ë. Ǒ® ãá«®¢¨î å®âï ¡ë ã ®¤®© ¨§ £à ¥© Q , Q , ᪠¥¬ ã Q , ¥áâì ॡ஠l , ¯à¨ ¤«¥ 饥 â ª¥ ª®¥ç®© £à ¨ R . ®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ॡ஠l £à ¨ Q â ª¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ª®¥ç®© £à ¨, ¨¬¥® ⮩ £à ¨ R, ª®â®à ï ï¥âáï ý¯®«ãá㬬®©þ £à ¨ R ¨ ¯ à ««¥«ì®© ¥© £à ¨ R ¬®£®£à ¨ª P . ¥¡à® l ¥ ®â¬¥ç¥®, ¨ ¬ë ®â¥á¥¬ ¥¬ã § ª ¯«îá. ®£¤ â ª ª ª ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à £à ¨ Q ®â¬¥ç¥ë ¬¨ãá ¬¨, â® ¥¥ ª®âãॠ¯®«ãç¨âáï ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª . ¨á«® ¥ ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ª®¥çëå £à ïå, ®ç¥¢¨¤®, ¥ 㬥ìè¨âáï . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ âà¥â쥬 á«ãç ¥ (¥á«¨ ® ¥ ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¢®¬ã) ¢á¥£¤ ¬®® ¢¢¥á⨠¥é¥ «¨è¨¥ § ª¨ â ª, çâ® ª®âãॠ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ ¡ã¤¥â ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª . ë ¯à¨¬¥¬ â ªãî à ááâ ®¢ªã § ª®¢ ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå £à ïå, £¤¥ íâ® ã®. 5. ¥¯¥àì, á㬬¨àãï ¢á¥ è¨ ¢ë¢®¤ë ®â®á¨â¥«ì® à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ ª®¥çëå ¨ ¡¥áª®¥çëå £à ïå, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã:
᫨ ¬®£®£à ¨ª¥ P ª®¥ç ï £à ì ¨¬¥¥â ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® ¥¥ ª®âãॠ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª ; ¥á«¨ ¥ ¡¥áª®¥ç ï £à ì ¨¬¥¥â ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® ¥¥ ª®âãॠ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . ®¯ãá⨬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¥ P ¨¬¥îâáï ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà . Ǒ஢¥¤¥¬ ¡¥áª®¥çëå ¥£® £à ïå § ¬ªãâãî «®¬ ãî á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ãâਠ1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
o
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
12)
12) £®¢®àª , çâ® £à ì R, ᬥ ï á Q ¯® ॡàã l, | ª®¥ç ï, áãé¥á⢥ , ¯®â®¬ã çâ® ¨ ç¥ ¬®£«® ¡ë ®ª § âìáï, çâ®, ¯à¨¬¥ïï ª ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ R ⥠¥ à áá㤥¨ï, ¬ë ¤®«ë ¡ë«¨ ¡ë ®â¥á⨠ॡàã l § ª ¬¨ãá.
290
. .
¡¥áª®¥çëå ॡ¥à, ®â¤¥«ïîéãî ¡¥áª®¥çãî ç áâì ¬®£®£à ¨ª . áâ ¥âáï ª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª P ′. ®§ì¬¥¬ ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′′ ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª P ′ á ⮩ ¥ à ááâ ®¢ª®© § ª®¢ ¥£® ॡà å ¨ ®â®¤¥P′ á⢨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë «®¬ ëå, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¨ P ′′ . Ǒ®á«¥ í⮣® ¨áª«î稬 í⨠«®¬ ë¥ ¨ â ª¥ ¨áª«î稬 ¨å ¢¥àè¨ë. ®£¤ ¯®«ã稬 ¡áâà ªâë© ¬®£®£à ¨ª P ′ + P ′′ , ª®â®àë©, ®ç¥¢¨¤®, £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ¥ ¨¬¥¥â ¢¥àè¨, ®¡é¨å ⮫쪮 ¤¢ã¬ à¥¡à ¬. í⮬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¨¬¥îâáï ®â¬¥ç¥ë¥ à¥¡à ¨ ¥á«¨ ª ª ï-â® ¥£® £à ì ¨¬¥¥â ®â¬¥ç¥®¥ ॡà®, â® ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¢®ªà㣠¥¥ ¥ ¬¥ìè¥ ç¥âëà¥å. ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï £à ¥©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª®¥çë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , íâ® ®ç¥¢¨¤® ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣®.
᫨ ¥ £à ì ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , â® ¥¥ ª®âãà á« £ ¥âáï ¨§ ¤¢ãå ®¤¨ ª®¢ëå ç á⥩, ª ¤®© ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . á㬬¥ íâ® ¤ ¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ® â®ç® â ª ¥, ª ª ¢ § 3, ¯¥à¥å®¤ï ª ¤¢®©á⢥®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, ¬ë ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® â ª ï à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¥¬¬¥ ®è¨. Ǒ®í⮬㠤®¯ã饨¥ ® «¨ç¨¨ ã á।¥£® ¬®£®£à ¨ª P ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¥¢®§¬®®: ¢á¥ ¥£® à¥¡à ¤®«ë ¡ëâì ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ª ¥, ª ª ¢ § 3, ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® £à ¨ è¨å ¨á室ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¥ ⮫쪮 ¯ à ««¥«ìë, ® ¨ à ¢ë, â. ¥. á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 6. § ¤®ª § ®© ⥮६ë, ¯®¤®¡® ⥮६¥ 2 § 3, ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â â ª®¥ á«¥¤á⢨¥: ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì f (Q),f (Q), . . . | â ª¨¥ äãªæ¨¨ ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , çâ® fi (Q′ ) > fi (Q′′ ), ¥á«¨ Q′′ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠQ′ . 13)
1
2
1
2
®£¤ ¥á«¨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
Q′i , Q′′i
¡¥áª®¥ç-
ë¥ ç áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ¤«ï ª ¤®© ¯ àë ¨å ª®¥çëå ¯ à ««¥«ìëå £à ¥©
Q′i , Q′′i
( ) = fi(Q′′i ), â® â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨
fi Q′i
.
¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë
ç áâ®áâ¨, ¯à¨¬¥à, ¯à¨¨¬ ï ¢ ª ç¥á⢥ ¢á¥å fi ¯«®é ¤ì, ¯®«ã稬:
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡¥áª®¥çë¥ ç áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ª®¥çë¥ £à ¨ ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìë ¨ à ¢®¢¥-
. ® ¬®® ¤«ï ®¤¨å £à ¥© âॡ®¢ âì à ¢¥á⢠¯«®é ¤¥©, ¤«ï ¤à㣨å | à ¢¥á⢠¯¥à¨¬¥â஢ ¨ â. ¤. «¨ª¨, â® â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë
13) â® ®â®¤¥á⢫¥¨¥ ¬ë᫨âáï ¡áâà ªâ®. ¤ ª® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ′ ¬®® ®âá¥çì ®â P ¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâìî ¨ ⮣¤ P ′′ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ P ′ ¯à®áâë¬ ®âà ¥¨¥¬ ¢ í⮩ ¯«®áª®áâ¨.
. VI:
§ 5.
291
§ 5. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨ ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å. ¬®£®£à ¨ª å á £à ¨æ¥©
1. . . Ǒ®£®à¥«®¢ [164℄ ¯à¥¤«®¨« ¤à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1 ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä , ®¡« ¤ î饥 ¢ 묨 ¯à¥¨¬ãé¥á⢠¬¨. ® à á¯à®áâà ï¥âáï ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© ¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¡®«¥¥ ®¡é¨© १ã«ìâ â: ¥®à¥¬ 1.
Ǒãáâì ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯«®áª®á⨠¡¥áª®-
¥çëå £à ¥© ᮢ¯ ¤ îâ, ª ¤ ï ¯ à ¨å ¯ à ««¥«ìëå ª®¥çëå £à ¥© ®¡« ¤ ¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨¬ ¨§ ¤¢ãå ᢮©áâ¢: «¨¡® ¨å ¯«®áª®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ¨ ®¤ã ¨§ íâ¨å £à ¥© ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮©
. (
᫨ à¥çì ¨¤¥â ® n-¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª å, â®, £®¢®àï ® ¯ ॠ¯ à ««¥«ìëå £à ¥©, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã, çâ® å®âï ¡ë ®¤ ¨§ ¨å (n − 1)-¬¥à ï, ¤àã£ ï ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¨ ¬¥ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ® «¥¨â ¢ ¯ à ««¥«ì®© ®¯®à®© (n − 1)-¬¥à®© ¯«®áª®áâ¨. n-¬¥à®¬ á«ãç ¥ â¥à¬¨ ý¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâà¨þ ¯®¨¬ ¥âáï â ª ¥, ª ª ¨ à ìè¥.) ¡®¡é¥¨¥ ¢ áà ¢¥¨¨ á ⥮६®© 1 ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä á®á⮨⠥ ⮫쪮 ¢ ¯¥à¥å®¤¥ ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ® ¥é¥ ¢ ⮬, çâ® ¤«ï ª®¥çëå £à ¥© ¤®¯ã᪠îâáï ¤¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï. á¢ï§¨ á í⨬ âã ¥ ⥮६㠬®® ¯¥à¥áª § âì ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©. ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬®£®£à ¨ª¨ ᮢ¯ ¤ îâ
¥®à¥¬ 1 .
Ǒãáâì ¤¢ ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª , ®£à ¨ç¥-
ë¥ ª ¤ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ¨¬¥îâ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï, ᮤ¥à 騥áï ¢ ¯®«ãáä¥à¥. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠¨å ªà ©¨å £à ¥© ᮢ¯ ¤ îâ, ¤«ï ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¢ãâ२å, â. ¥. ¥ ¯®¤å®¤ïé¨å ª ªà î, £à ¥© ¨¬¥¥â ¬¥áâ® å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ¤¢ãå: «¨¡® ¨å ¯«®áª®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ¨ ®¤ã ¨§ íâ¨å £à ¥© ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. ®£¤ ¯«®áª®á⨠¢á¥å £à ¥© ᮢ¯ ¤ îâ, ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ãâ२¥ £à ¨ ᮢ¯ ¤ îâ ¯®«®áâìî, ªà ©¨¥ £à ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤®«¥ë ¤®
. ¥®à¥¬ 1 ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å, ®ç¥¢¨¤®, ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤ ®¬ ã⢥थ¨¨; á⮨⠫¨èì, ®â१ ¢ ®â ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤®áâ â®ç® ¤ «¥ª¨¥ ç áâ¨, ¯¥à¥©â¨ ª ¬®£®£à ¨ª ¬ á £à ¨æ¥©. «ï ⮣® ç⮡ë ã¡¥¤¨âìáï, çâ®, ¨ ®¡à â®, ¤ ®¥ ã⢥थ¨¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 1, ¤®áâ â®ç® ¯à®¤®«¨âì ªà ©¨¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ â ª, çâ® ¯®«ãç âáï ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. â® ¢®§¬®® ¯®â®¬ã, çâ® ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ᮤ¥à âáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥. ¥áª®¥ç®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ¬®¥â ®ª § âìáï ¢®§¬®ë¬ ¥ ¤«ï ¢á¥å ªà ©¨å £à ¥©; ® íâ® ¥ ¨£à ¥â ¨ª ª®© ஫¨. 祢¨¤®, ¤«ï ¯®«ãç¥ëå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ãá«®¢¨ï ¯à¥¤ë¤ã饩 â¥®à¥¬ë ¡ã¤ã⠢믮«¥ë. ᮢ¯ ¤¥¨ï
292
. .
¬¥â¨¬, çâ®, ª ª ¬®® ã¡¥¤¨âìáï ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å, 㪠§ ë© à¥§ã«ìâ â ¥ à á¯à®áâà ï¥âáï â ª¨¥ ª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á £à ¨æ¥©, ã ª®â®àëå áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¥ ¯®¬¥é îâáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥. Ǒ®í⮬ã áãé®áâì १ã«ìâ â á®á⮨⠢ ⥮६¥ 1 ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å. 2. ë ¤®ª ¥¬ ⥮६ã 1 ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ã ª®â®àëå áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë. (⨬ ¢ âà¥å¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¨áª«îç îâáï ¥ ⮫쪮 ¬®£®£à ¨ª¨, ã ª®â®àëå ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¯ à ««¥«ìë, ® ¨ â ª¨¥, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨.) í⮬ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ®ª §ë¢ ¥âáï ®á®¡¥® ¯à®áâë¬. ¡é¨© á«ãç © ¡ã¤¥â ª®à®âª® à áᬮâॠ¤®¯®«¨â¥«ì®. ®¯ãá⨬, ¢®¯à¥ª¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¬ã, çâ® ¨¬¥îâáï ¤¢ ¥á®¢¯ ¤ îé¨å ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª P ¨ P á® áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¨§®¡à ¥¨ï¬¨ ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. § íâ¨å ãá«®¢¨© ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¨å áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ᮢ¯ ¤ îâ ¨ ®à¬ «¨ ª ¨å ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬, ¡ã¤ãç¨ ®â«®¥ë ¨§ ®¤®© â®çª¨, § ¯®«ïîâ ¢ë¯ãª«ë© ⥫¥áë© ã£®« V . ¡®§ 稬 h (n), h (n) ®¯®àë¥ äãªæ¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , â. ¥. à ááâ®ï¨ï ¨å ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩ ®â ç « , ¢§ïâë¥ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § ª®¬, ª ª äãªæ¨¨ ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à ¢¥è¥© ®à¬ «¨ n.
᫨ ¡ë ¡ë«® h (n) = h (n) ¯à¨ ¢á¥å n, â® ¬®£®£à ¨ª¨ ᮢ¯ ¤ «¨ ¡ë. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥âáï ¬®¥á⢮ W ¢¥ªâ®à®¢ n ¨§ 㣫 V , ¤«ï ª®â®àëå h (n) − h (n) > 0 (¨«¨ < 0). ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¢ 㣫¥ V ©¤ãâáï ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ¤«ï ª®â®àëå h (n) − h (n) > 0. áᬮâਬ äãªæ¨î ϕ(n), ®¯à¥¤¥«¥ãî ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ n ¨§ W à ¢¥á⢮¬ 1 ϕ(n) = . (1) h (n) − h (n) â¥à¯à¥â¨à㥬 íâã äãªæ¨î £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨, ¯®áâ ¢¨¢ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª ¤®¬ã n ª®¥æ ¢¥ªâ®à ϕ(n)n, ®â«®¥®£® ¨§ ç « . ¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® íâ¨å â®ç¥ª ¥áâì ¥ª®â®àë© ¬®£®£à ¨ª R á ªà ¥¬ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, à ᯮ«®¥ë© ¢ãâਠ㣫 V ¢¥ è à à ¤¨ãá 1 r= sup [h (n) − h (n)℄ . 1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
n∈W
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠§ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ A | ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P (¨«¨ P ) ¨ a | ¨¤ã騩 ¢ ¥¥ ¢¥ªâ®à, â® ¤«ï ®à¬ «¥© n ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¢ ¢¥à訥 A h (n) = an. ®à¬ «¨ ¢ ¢¥à訥 ®¡à §ãîâ ¢ë¯ãª«ë© ⥫¥áë© ã£®«. ¥áì 㣮« V à §¡¨¢ ¥âáï â ª¨¥ 㣫ë V i ¤«ï ¬®£®£à ¨ª P ¨ V i ¤«ï P . áᬮâਬ à §¡¨¥¨¥ 㣫 V 㣫ë V k , ïî騥áï 1
2
1
1
1
2
2
. VI:
§ 5.
293
¯¥à¥á¥ç¥¨ï¬¨ 㣫®¢ V i ¨ V j . ª ¤®¬ 㣫¥ V i h (n) = ai n ¨ ¢ 㣫¥ V j h (n) = aj n. Ǒ®í⮬㠢 V k = V i ∩ V j h (n) − h (n) = ak n, £¤¥ ak = ai − aj .
᫨ h (n) − h (n) 6= 0, ⮠ᮮ⢥âá⢥® ϕ(n) = 1/(ak n) ¨ ak nϕ(n) = 1, â. ¥. ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ ϕ(n)n, ¨¤ãé¨å ¢ 㣫¥ V k , ¯à¨ ¤«¥ â ¯«®áª®á⨠a k x = 1. (*) «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¥á⢮ ª®æ®¢ ¢á¥å íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâì ¬®£®£à ¨ª á £à ﬨ ¯«®áª®áâïå (*). ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ¥£® ç áâìî R, «¥ 饩 ¢ 㣫¥ W , £¤¥ h (n) − h (n) = 0. £à ¨æ¥ 㣫 W ¨¬¥¥¬ h (n) − h (n) = 0 ( £à ¨æ¥ 㣫 V íâ® à ¢¥á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ᮢ¯ ¤¥¨ï ¯«®áª®á⥩ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©). Ǒ®í⮬㠯ਠ¯à¨¡«¨¥¨¨ ª £à ¨æ¥ 㣫 W ϕ(n) → ∞, â. ¥. ªà © ¬®R £®£à ¨ª R «¥¨â ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ®, çâ® R «¥¨â ¢¥ ¥ª®â®à®£® è à , ïá® ¨§ ⮣®, çâ® ¢¢¨¤ã ®£à ¨ç¥®á⨠äãªæ¨© h (n) ¨ T V h (n) äãªæ¨ï ϕ(n) = 1/(h (n) − h (n)) ¯à¨ h − h > 0 ®£à ¨ç¥ ᨧ㠯®«®¨â¥«ìë¬ ç¨á«®¬. « £®¤ àï â ª®¬ã à ᯮ«®¥¨î ¬®£®£à ¨ª R áãé¥áâ¢ã¥â ¯«®áª®áâì T , ¥ ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «®, ᮤ¥à é ï ⮫쪮 ®¤ã O ¢¥àè¨ã ¬®£®£à ¨ª , ¯à¨ç¥¬ ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â í⮩ ¯«®á¨á. 129 ª®áâ¨, ¨¬¥® | ¯® âã, £¤¥ ¥ «¥¨â ç «® ª®®à¤¨ â (à¨á. 129). ( ª ï ¯«®áª®áâì § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â. ¥©á⢨⥫ì®, ᮣ« ᮠᤥ« ®¬ã ¢ ç «¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨î, áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ᮤ¥à âáï ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë. Ǒ®í⮬ã ⥫¥áë© ã£®« V , ®¡à §®¢ ë© ®à¬ «ï¬¨, ¨¬¥¥â ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï騥 ⮫쪮 ç¥à¥§ ¥£® ¢¥àè¨ã. Ǒ«®áª®áâì, ¯ à ««¥«ì ï â ª®© ¯«®áª®á⨠¨ 㯨à îé ïáï ¢ ¬®£®£à ¨ª R, ª á ¥âáï ¥£® ¯® ª®¥ç®© ý£à ¨þ.
᫨ íâ ý£à ìþ ¥ ᢮¤¨âáï ª ¢¥à訥, â® ¬ «ë¬ ¯®¢®à®â®¬ ¯«®áª®á⨠¬®® ¤®¡¨âìáï ⮣®, çâ® ® ¡ã¤¥â ª á âìáï R 㥠⮫쪮 ¢ ¢¥à訥.) Ǒãáâì m | ®à¬ «ì ª ¯«®áª®á⨠T , p | à ááâ®ï¨¥ í⮩ ¯«®áª®á⨠®â ç « . ®£¤ à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ¯«®áª®á⨠T ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¤ ®£® ¢¥ªâ®à n ¡ã¤¥â 1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2 1
1
2
2
1
2
p ( ) = nm .
r n
(2)
294
. .
ª ª ª ¬®£®£à ¨ª R «¥¨â § ¯«®áª®áâìî T , â® ϕ(n) > r(n) ¨«¨ ¢á«¥¤á⢨¥ (1) ¨ (2) m h (n) − h (n) 6 n . (3) p 1
2
â ª ª ª ⮫쪮 ®¤ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª «¥¨â ¢ ¯«®áª®á⨠T , â® à ¢¥á⢮ ¤®á⨣ ¥âáï §¤¥áì ⮫쪮 ¤«ï ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n , ¯à ¢«¥®£® ¢ íâã ¢¥àè¨ã. Ǒ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¬®£®£à ¨ª P ¬®® ¤®¡¨âìáï ⮣®, çâ® ¥à ¢¥á⢮ (3) ¯¥à¥©¤¥â ¢ 0
2
( )
( ) 0
(4)
h1 n − h2′ n 6 ,
£¤¥ h′ (n) | ®¯®à ï äãªæ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ¯®á«¥ ¯¥à¥®á . ª ª ª ¤«ï n ¤®á⨣ ¥âáï à ¢¥á⢮ h (n) = h′ (n), â® ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî n ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ⥯¥àì ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒãáâì G , G | £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , «¥ 騥 ¢ í⮩ ®¡é¥© ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨; § à ¥¥ ¥ ¨áª«î祮, çâ® ®¨ ¬®£ãâ ¡ëâì «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© ®â 0 ¤® n − 1. Ǒ® ¥à ¢¥áâ¢ã (4) h (n) < h′ (n) ¯à¨ n =6 n , â. ¥. ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª P ᤢ¨ãâë ¢ãâàì P . âáî¤ , ®ç¥¢¨¤®, á«¥¤ã¥â, ¢®¯¥à¢ëå, çâ® £à ì G ᮤ¥à¨âáï ¢ãâਠG . ®-¢â®àëå, ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® £à ì G ¤®« ¡ëâì (n− 1)-¬¥à®©: ¨ ç¥, ᤢ¨£ ï ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª P ¢á¥ ¯®¤å®¤ï騥 ª ¥© ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¬ë ¥¬¥¤«¥® ¯à¨¢¥«¨ ¡ë ¥¥ ª ¨á祧®¢¥¨î. ᤢ¨£ îâáï ¢á¥ í⨠®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¯®â®¬ã, çâ® h (n) < h′ (n) ¤«ï ¢á¥å n 6= n (¨ ¡«¨§ª¨å n , ¯®áª®«ìªã ¢á¥ n, ¤«ï ª®â®àëå ¢¥à® (4), «¥ â ¢ãâਠ㣫 W ). ¤ ª® ãá«®¢¨¥ ⥮६ë á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¨ª ª ï (n − 1)-¬¥à ï £à ì G ¥ ¬®¥â ᮤ¥à âì ¢ãâà¨ á¥¡ï £à ì G , «¥ éãî ¢ ¯ à ««¥«ì®© ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â ª¨å ¢¥ªâ®à®¢ n, ¤«ï ª®â®àëå h (n) 6= h (n), ¥â. Ǒ®í⮬㠢ᥠ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì, â. ¥. ᮢ¯ ¤ îâ á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨. ¥¬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ ¤®ª § . 14)
2
2
0
1
0
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
0
15)
1
2
2
2
1
0
2
0
2
1
1
1
2
2
14) ¥©á⢨⥫ì®, ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ «¨â¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ¨ «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®-
á।á⢥®, ®¯®à®¥ ç¨á«® ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî n ¥áâì h(n) = nx, £¤¥ x | ¢¥ªâ®à ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¢ «î¡ãî â®çªã ¤ ®© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì ¯¥à¥®á¨âáï ¢¥ªâ®à a, â® ®¢®¥ ®¯®à®¥ ç¨á«® ¡ã¤¥â h′ (n) = nx + na. Ǒ¥à¥®áï ¬®£®£à ¨ª P2 ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®à p−1 m, ¯®«ã稬 h′2 (n) = h2 (n)+ p−1 nm ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, h1 (n) − h′2 (n) = h1 (n) − h2 (n) − p−1 nm 6 0 (¢ á¨«ã ¥à ¢¥á⢠(3)). 15) ¤¥áì, ª®¥ç®, n ¢å®¤¨â ¢ W . ®, çâ® n0 | ¢ãâਠW , ¨ ¯®â®¬ã è¥ § ª«î票¥ ¢¥à® ¤«ï ¢á¥å ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩, ¡«¨§ª¨å ª ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî n0 .
. VI:
§ 5.
295
3. ¥¯¥àì ¤ ¤¨¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1 ¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ®¢ ¤®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ à §«¨çëå ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª P ¨ P , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. ®£¤ ¨å ®¯®àë¥ äãªæ¨¨ ¥ ᮢ¯ ¤ îâ, ¨ ¬ë à áᬮâਬ ⥠¢¥ªâ®àë n, ¤«ï ª®â®àëå h (n) − h (n) > 0 (¨«¨ h − h < 0, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à®¢ á h − h > 0 ¥â). ¯ïâì áâந¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® R ª®æ®¢ ¢¥ªâ®à®¢ ϕ(n)n, £¤¥ 1 ϕ(n) = . h (n) − h (n) â® ¡ã¤¥â ¬®£®£à ¨ª, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, ª ª ¨ ¢ëè¥. ª ª ª h − h > 0 ¨ ¢¥ªâ®àë n ¨¤ãâ ¢ ®¤® (§ ¬ªã⮥) ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® ¬®£®£à ¨ª R à ᯮ«®¥ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠T , ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ç «® ¨ ¯ à ««¥«ì®© ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î饩 §¢ ®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª R ¨¬¥¥â ®¯®àãî ¯«®áª®áâì T , ¯ à ««¥«ìãî T . Ǒãáâì H | ®¡é ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª R ¨ ¯«®áª®á⨠T . áá㤠ï, ª ª ¨ à ìè¥ (ä®à¬ã«ë (2) { (4)), ¯à¨¤¥¬ ª ⮬ã, çâ® ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ n, ¡«¨§ª¨å ª ¢¥ªâ®à ¬, ¯à ¢«¥ë¬ ¢ H h (n) − h′ (n) 6 0, (4′) £¤¥ h′ (n) | ®¯®à ï äãªæ¨ï ¬®£®£à ¨ª P , ¯¥à¥¥á¥®£® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬, ¯à¨ç¥¬ à ¢¥á⢮ ¤®á⨣ ¥âáï ⮫쪮 ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢, ¯à ¢«¥ëå ¢ H .
᫨ H | â®çª (¨«¨ å®âï ¡ë ᮤ¥à¨â ¨§®«¨à®¢ ãî â®çªã), â® ¯®¢â®àï¥âáï ¯à¥¤ë¤ã饥 à áá㤥¨¥, ¨ ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ®¯ãá⨬ ¯®í⮬ã, çâ® H ᮤ¥à¨â ॡ஠¨«¨ £à ì ¬®£®£à ¨ª R. ¡« áâì H ¥ ¬®¥â ¯à®áâ¨à âìáï ¢áî ¯«®áª®áâì T , ¯®â®¬ã ç⮠⮣¤ ¤«ï ¢á¥å n ¡ë«® ¡ë h (n) = h′ (n) , â.¥. ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ᮢ¯ ¤ «¨ ¡ë, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡« áâì H ¨¬¥¥â £à ¨æã. «ì¥©è¥¥ á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë íâ® â ª¥ ¯à¨¢¥á⨠ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. Ǒãáâì A | â®çª £à ¨æ¥ ®¡« á⨠H ¨ n | ¢¥ªâ®à, ¯à ¢«¥ë© ¢ íâã â®çªã. Ǒãáâì L , L | ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P , P á ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ®à¬ «ìî n . ®£¤ ¬®£ã⠯।áâ ¢¨âìáï á«¥¤ãî騥 ¢®§¬®®áâ¨: 1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
0
0
1
2
2
2
1
2
16)
1
2
0
1
2
1
2
0
16) ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë ¡ë«® H = T , â® ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª R ᢮¤¨«áï ¡ë ª ¯«®áª®á⨠T , ¨ ⮣¤ äãªæ¨ï nϕ(n) 㤮¢«¥â¢®àï« ¡ë ãà ¢¥¨î ¯«®áª®á⨠aa(h1 (n)− −h2 (n))−1 = p, £¤¥ a | ¥ª®â®àë© ¢¥ªâ®à, p | ¥ª®â®à®¥ ¯®áâ®ï®¥ ç¨á«®. ç¥ £®¢®àï, äãªæ¨ï h1 (n) − h2 (n), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ h1 (n) − h′2 (n) ¡ë« ¡ë «¨¥©®©. ® ¯à¨ «¨ç¨¨ ¥à ¢¥á⢠h1 (n) − h′2 (n) 6 0 íâ® ¢®§¬®® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ h1 (n) = h′2 (n).
296
. .
a) ¯«®áª®á⨠L , L ᮤ¥à â ⮫쪮 ¢¥àè¨ë B , B ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ; b) ¯«®áª®áâì L ᮤ¥à¨â ॡ஠K ¬®£®£à ¨ª P , L | ॡ஠K (¨«¨ ¢¥àè¨ã) ¬®£®£à ¨ª P ;
) ¯«®áª®áâì L ᮤ¥à¨â £à ì G ¬®£®£à ¨ª P , a L | £à ì G (¨«¨ ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ã) ¬®£®£à ¨ª P . ᥠ¤à㣨¥ ¢®§¬®®á⨠¯®«ãç îâáï ¨§ b ¨ á, ¥á«¨ ¯®¬¥ïâì ஫ﬨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P . A) á«ãç ¥ ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª¥ R ¡ã¤¥â ¯«®áª®©. (¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¢ ¢¥àè¨ã B ¨¤¥â ¢¥ªâ®à a , â® ¢ í⮩ ¢¥à訥 h (n) = a n. Ǒ®í⮬ã h (n) − h (n) = (a − a )n = an ¨ anϕ(n) = 1, â. ¥. ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ ϕ(n)n «¥ â ¢ ¯«®áª®áâ¨.) ª ª ª â®çª A «¥¨â £à ¨æ¥ ®¡« á⨠H , â®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á«ãç © ¨áª«îç ¥âáï. ) á«ãç ¥ á § ¬¥ç ¥¬, çâ® ¥à ¢¥á⢮ (4) ®§ ç ¥â, çâ® ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª P ¨«¨ ᮢ¯ ¤ îâ á ®¯®à묨 ¯«®áª®áâﬨ P ¨«¨ ᤢ¨ãâë ¢ãâàì P , ¯®â®¬ã £à ì G ᮤ¥à¨âáï ¢ G . ® (â ª ª ª ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¢¥ªâ®àë n, ¤«ï ª®â®àëå h (n) 6= h (n)) ¯® ãá«®¢¨î ⥮६ë íâ® ¢®§¬®® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ £à ¨ G ¨ G ᮢ¯ ¤ îâ. ®£¤ , ®ç¥¢¨¤®, ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢, ¡«¨§ª¨å ª n , h (n) = h′ (n). â ª ª ª h′ (n) ®â«¨ç ¥âáï ®â h (n) á« £ ¥¬®¥ ¢¨¤ an, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯à®¨§¢¥¤¥®¬ã ¯¥à¥®áã ¬®£®£à ¨ª P , â® h (n) − h (n) = an. â®, â ª ¥ ª ª ¢ á«ãç ¥ , ®§ ç ¥â, çâ® ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ A ¬®£®£à ¨ª R | ¯«®áª ï, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î, çâ® A «¥¨â £à ¨æ¥ ®¡« á⨠H . B) «ãç © b ¢®§¬®¥ «¨èì ⮣¤ , ª®£¤ ॡà K , K ¯ à ««¥«ìë «¨¡® ®¤® ¨§ ¨å ¥áâì â®çª . ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª h (n ) − h′ (n ) = 0, ⮠ॡà K , K «¥ â ¢ ®¡é¥© ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨.
᫨ ®¨ ¥ ¯ à ««¥«ìë, â® ¬®£®£à ¨ª¨ P , P ¯¥à¥á¥ª îâáï ¨ à §®áâì h (n) − h (n), ®ç¥¢¨¤®, ¬¥ï¥â § ª ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ n, ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨å ª n . Ǒ®íâ®¬ã ¥à ¢¥á⢮ (4) ®ª §ë¢ ¥âáï ¥¢®§¬®ë¬. ® ¥á«¨ ॡà K , K ¯ à ««¥«ìë (¨«¨ ®¤® ¨§ ¨å ¥áâì â®çª ), â® ®¨ ¨¬¥îâ ®¡é¨© ¯ã箪 ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩. ®à¬ «¨ n ª í⨬ ¯«®áª®áâï¬ «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨. ®®â¢¥âá⢥® ¨ ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ ϕ(n)n, ¨¤ãé¨å ¢ â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª R, «¥ â ¢ â ª®© ¥ ¯«®áª®á⨠S . Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯«®áª®á⥩ S ¨ T ¥áâì ¯àï¬ ï, ¨ ¯®â®¬ã ¬®£®£à ¨ª¥ R ¬ë ¨¬¥¥¬ ॡ஠r. ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª A £à ¨æ¥ ®¡« á⨠H ¤®« «¥ âì ¢ãâਠॡà r ¬®£®£à ¨ª R. ® A | «î¡ ï â®çª £à ¨æ¥ ®¡« á⨠H , ¨ ¯®â®¬ã ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® í⮩ £à ¨æ¥ ¢®¢á¥ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢¥àè¨. à ¨æ íâ á®á⮨⠨§ ¯àï¬ëå. 1
2
1
2
1
P2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
0
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
. VI:
§ 5.
297
묨 á«®¢ ¬¨, ॡ஠r ¬®£®£à ¨ª R ¤®«® ¡ëâì ¡¥áª®¥çë¬ ¢ ®¡¥ áâ®à®ë. ¥ªâ®àë n, ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ¥£® â®çª¨, ®¯¨áë¢ îâ ¯®«ã®ªàã®áâì. â® ®§ ç ¥â, çâ® ®à¬ «¨ n ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ ¨å ॡà K , K , ®¯¨áë¢ îâ ¯®«ã®ªàã®áâì. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ëத îâáï ¢ ¯«®áª¨¥ 䨣ãàë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ §¤¥áì ¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ¥¬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ ¤®ª § . n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ã®, ¯®«ì§ãïáì «®£¨ç묨 á®®¡à ¥¨ï¬¨, à áᬠâਢ âì n ¢®§¬®®á⥩, «®£¨çëå á«ãç ï¬ , b, á. 4. § 3 ¯à®á⮬ ¯à¨¬¥à¥ ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¬®£®¬¥à®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ¤®ª § ®© â ¬ â¥®à¥¬ë ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å ¥¢®§¬®®. Ǒ®í⮬㠨 ¤®ª § ⥫ìá⢮, «®£¨ç®¥ ⮫쪮 çâ® ¨§«®¥®¬ã, ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥® ¤«ï 㪠§ ®© ⥮६ë, ¥á«¨ ⮫쪮 ¥ ¯à¨¢«¥çì ª ª¨å-â® ¤®¯®«¨â¥«ìëå á®®¡à ¥¨©, ¤¥©á⢨⥫ìëå «¨èì ¤«ï âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠. ¨§«®¥®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¡ë«® áãé¥á⢥®, çâ® ¢¥ªâ®àë n, ¤«ï ª®â®àëå h (n) − h (n) > 0 (¨«¨ < 0), ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ¨ ¯®â®¬ã ¬®£®£à ¨ª R § ¢¥¤®¬® ¨¬¥« ®¯®àãî ¯«®áª®áâì. á«ãç ¥ ¥ § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P ¢¥ªâ®àë n á h (n) − h (n) > 0 ¬®£ãâ ¥ ¨¤â¨ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¨ à áá㤥¨¥ ®â¯ ¤ ¥â ¢ á ¬®¬ ç «¥. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¬®® ¡ëâì 㢥à¥ë¬, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮, ®á®¢ ®¥ à áᬮâ२¨ à §®á⨠®¯®àëå äãªæ¨© h (n) − h (n), ¢®§¬®® ¨ ¤«ï â¥®à¥¬ë ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å. â 㢥८áâì ®á®¢ , ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, ⮬, çâ® ¨¬¥® â ª¨¬ ¯ã⥬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç ï ⥮६ ¤«ï ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ¬ íâ ⥮६ ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¢ § 6. áãé¥á⢫¥¨¥ â ª®£® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥áãî § ¤ çã. â¥à¥á ¥¥ á®á⮨⠢ ãᮢ¥àè¥á⢮¢ ¨¨ ¬¥â®¤ . ¡é ï ¥£® ¨¤¥ï: ¯® ¤¢ã¬ ¤ ë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬ ®¡à §®¢ âì âà¥âìî, ¨§®¡à îéãî ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ¨å à §®áâì, ¨, ãáâ ®¢¨¢ ã í⮩ ¯®¢¥àå®á⨠áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩, ¯à¨¢¥á⨠íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. í⮬ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥ï¥âáï â ª¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å ⥮६ ® ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¯®¢¥àå®á⥩, ç¨ ï á ¯¥à¢®© à ¡®âë . ¨¡¬ 1900£. [311℄, £¤¥ ¡ë« ¢¯¥à¢ë¥ ¤®ª § ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâì áä¥àë. ᮡ®© ᨫë íâ®â ¬¥â®¤ ¤®á⨣ ¢ à㪠å .. Ǒ®£®à¥«®¢ : ¨¬¥® í⨬ ¬¥â®¤®¬ ® ¤®ª § « ᢮¨ â¥®à¥¬ë ® ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩, 㯮¬ïãâë¥ ¢ § 6 £« ¢ë III. í⮩ á¢ï§¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï«® ¡ë â ª¥ § ç¨â¥«ìë© ¨â¥à¥á ©â¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©, «®£¨ç®¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã, ¤ ®¬ã .. Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â¥®à¥¬ë ® ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®áâïå á ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§®©. 1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
298
. .
5. Ǒਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤ã ⥮६㠮 ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å á £à ¨æ¥© ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® £à ¨æ ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤ã § ¬ªãâãî «®¬ ãî ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª. ¥®à¥¬ 2.
Ǒãáâì ¤ ë ¤¢ ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª , ®£à -
¨ç¥ëå ª ¤ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©.
Ǒãáâì ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ
1) ª ¤®© £à ¨ ®¤®£® ¨§ ¨å ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ì ï £à ì ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®, ¯à¨ç¥¬ ¨ ®¤ã ¨§ íâ¨å £à ¥© ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬, 2) ã ª ¤®© ªà ©¥© á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
£à ¨
Q
«î¡®£® ¨§ ¤ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢á¥ ¥¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ®¡à §ã-
îâ ®¤ã «®¬ ãî, ¯ à ««¥«ì®© ¥© £à ¨
Q′
¤à㣮£® ¬®£®£à ¨ª
«¨¡® ¢®¢á¥ ¥â £à ¨çëå ॡ¥à, «¨¡® ¢á¥ ®¨ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë £à ¨çë¬ à¥¡à ¬ £à ¨
Q.
Ǒਠí⮬ ¢á¥ £à ¨çë¥ à¥¡à £à ¨
¡®«ìè¥ ¨«¨, ¯à®â¨¢, ¥ ¬¥ìè¥ ¯ à ««¥«ìëå ¨¬ ॡ¥à £à ¨
Q
¥
Q′ .
. ¤¥áì, ª ª ¢á¥£¤ , ¯ à ««¥«ì묨 áç¨â îâáï £à ¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨, ¨ ®¤ ¨§ ¯ à ««¥«ìëå ¤à㣠¤àã£ã £à ¥© ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ॡà®. ëத¥¨¥ ¢ ¢¥àè¨ã ¨áª«î祮, â ª ª ª ®¤ã â®çªã ¢á¥£¤ ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ£à ¨. ® ¢â®à®¬ ãá«®P1 P2 ¢¨¨ ¯®¤ ¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬¨ ¯®¨¬ îâáï ॡà â ª¥ á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨Q1 ¬¨ ®à¬ «ï¬¨, ® à¥çì ¨¤¥â Q2 ® ®à¬ «ïå ¢ ¯«®áª®áâïå £à ¥© Q, Q′ . Ǒਠí⮬, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¢ëè¥, áç¨â ¥âáï, çâ® ¥á¨á. 130 «¨ £à ¨ Q′ (¨«¨ Q) ¥â ॡà , ¯ à ««¥«ì®£® ¤ ®¬ã ॡàã £à ¨ Q (¨«¨ Q′ ), â® ®® ¥áâì, ® ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¤«¨ã. ® ¢â®à®¬ ′ ãá«®¢¨¨ â ª¥ ¤®¯ã᪠¥âáï, çâ® £à ì Q , ¯ à ««¥«ì ï £à ¨ Q, ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ॡà®. à¨á. 130 ¢á¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¯ à ««¥«ìë¥ ªà ©¨¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , ¢ëத îâáï ¢ ॡà . à ì Q ¬®£®£à ¨ª P , ¯ à ««¥«ì ï ªà ©¥© £à ¨ Q ¬®£®£à ¨ª P , ¥ ¨¬¥¥â á £à ¨æ¥© P ®¡é¨å â®ç¥ª. í⮬ à¨á㪥 ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ â¥®à¥¬ë ¢ë¯®«¥®; ¥ ¢ë¯®«¥®, ®ç¥¢¨¤®, ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥. ¯à®á⥩襬 á«ãç ¥ ªà ©¨¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë, ¥ ¢ëத îâáï ¨ ¨¬¥îâ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à . ®, çâ® ®¤®© £à ¨ ¢á¥ íâ¨ à¥¡à ¥ ¡®«ìè¥ (¨«¨ ¥ ¬¥ìè¥), 祬 ¤à㣮©. ç áâ®áâ¨, íâ® ãá«®¢¨¥ § ¢¥¤®¬® ¢ë¯®«¥®, ¥á«¨ ª ¤®© ªà ©¥© £à ¨ ¥áâì ⮫쪮 ®¤® £à ¨ç®¥ ॡ஠¨ ¯ à ««¥«ìëå ªà ©¨å £à ïå íâ¨ à¥¡à ¯ à ««¥«ìë. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë
2
1
1
1
2
1
2
. VI:
§ 5.
299
6. ¬¥â¨¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ⥮६ë, ®¯ãáª ï ¥£® ¤¥â «¨, ª®â®àë¥, ¢¯à®ç¥¬, ¬®® ¢®á¯®«¨âì ¡¥§ ®á®¡®£® âà㤠. Ǒãáâì P , P | ¬®£®£à ¨ª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. Ǒ®áâந¬ ¨å ¢ë¯ãª«ë¥ ®¡®«®çª¨ P , P . â® ¡ã¤ãâ ⥫¥áë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨ P , P ¡ã¤ãâ ç áâﬨ ¨å £à ¨æ. Ǒ®áâந¬ ¯®«ãá㬬ã P ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P : 1 P = (P + P ). 2 á ¡ã¤¥â § ¨¬ âì ¥ ¢¥áì ¬®£®£à ¨ª P , ⮫쪮 ç áâì P ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨, á®áâ ¢«¥ ï £à ﬨ, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯®«ãá㬬 ¬¨ £à ¥© ¨«¨ ॡ¥à ¨á室ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P . ®® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® P ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, â ª¥ ®£à ¨ç¥ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©. ᥠ¥£® £à ¨çë¥ à¥¡à áãâì ¯®«ãáã¬¬ë ¯ à ««¥«ìëå £à ¨çëå ॡ¥à (¨«¨ ॡ¥à ¨ ¢¥àè¨) ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P . à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¬®£ãâ ¡ëâì â¥å ¥ âà¥å ⨯®¢, çâ® ¢ á«ãç ¥ ⥮६ë 1 § 3: 1) ¯®«ãáã¬¬ë ¯ à ««¥«ìëå áâ®ïé¨å £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ; 2) ¯®«ãá㬬ë áâ®ï饩 £à ¨ Q ®¤®£® ¨§ ¨å ¨ à¥¡à ¤à㣮£®, ¯à¨ç¥¬ í⮠ॡ஠«¥¨â ¢ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®© £à ¨ Q; 3) ¯®«ãáã¬¬ë ¥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, «¥ é¨å ¢ ¯ à ««¥«ìëå ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå ( ¯à¨¬¥à, ॡ¥à q , q à¨á. 127, á. 282). ⨠£à ¨ áãâì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë. ¤®¥ ॡ஠p ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯®«ãá㬬 ¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à p ¨ p ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P , ¯à¨ç¥¬ ®¤® ¨§ íâ¨å ॡ¥à ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ¢¥àè¨ã. â¥á¥¬ ª ¤®¬ã ॡàã p ¬®£®£à ¨ª P § ª à §®á⨠p − p ; ¥á«¨ ¥ p − p = 0, â® ®áâ ¢¨¬ ॡ஠p ¥®â¬¥ç¥ë¬. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã 3 § 1 ¡ãª¢ «ì® â ª ¥, ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1 § 3, ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ¥á«¨ ª ª ï-¨¡ã¤ì £à ì P ¨¬¥¥â ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ ¨å § ª®¢ ¯à¨ ®¡å®¤¥ í⮩ £à ¨ ¥ ¬¥ìè¥ ç¥âëà¥å. ç áâ®áâ¨, ¢®ªà㣠ª ¤®© £à ¨ âà¥â쥣® ⨯ ¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . á«¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨ï 2 â¥®à¥¬ë £à ¨çë¥ à¥¡à «î¡®© ªà ©¥© £à ¨ Q ¬®£®£à ¨ª P ®¡à §ãîâ ®¤ã «®¬ ãî. Ǒ® ⮬㠥 ãá«®¢¨î ¢á¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ®¤®© ªà ©¥© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¡®«ìè¥ ¨«¨ ¥ ¬¥ìè¥ à¥¡¥à ¯ à ««¥«ì®© ªà ©¥© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬㠢 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠£à ¨çëå ॡ¥à £à ¨ Q ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª . ⮠⥬ ¡®«¥¥ ¢¥à®, ¥á«¨ Q ¥áâì £à ì âà¥â쥣® ⨯ : ¢ í⮬ á«ãç ¥ ® | ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¨ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤® £à ¨ç®¥ ॡà®. ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′ ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª P , á ⮩ ¥ à ááâ ®¢ª®© § ª®¢ ¥£® ॡà å. ⮤¥á⢨¬ ¥£® £à ¨çë¥ à¥¡à á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®á«¥ í⮣® 1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
300
. .
¨áª«î稬 ®â®¤¥á⢫¥ë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à , â ª¥ ¨å ª®æë, â ª çâ® ¯ àë ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′, ¯®¤å®¤¨¢è¨å ª ¨å £à ¨æ ¬, ᮫ìîâáï ¢ ®¤® ॡà®, ¥á«¨ ⮫쪮 ¨å ª®æë | ᢮¡®¤ë¥, â. ¥. ¯à¨ ¤«¥ â «¨èì ®¤®¬ã ¥®£à ¨ç¥®¬ã ॡàã. Ǒ®«ãç¥ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¡áâà ªâë© ′ ¬®£®£à ¨ª P + P , ®ç¥¢¨¤®, £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ¥ ¨¬¥¥â ¢¥àè¨, ¢ ª®â®àëå á室¨«®áì ¡ë ⮫쪮 ¯® ¤¢ ॡà . ¬®£®£à ¨ª ′ P + P ′ ¨¬¥îâáï £à ¨ ¤¢ãå ¢¨¤®¢: ®¤¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ £à ï¬ P ¨«¨ P , ¥ ¨¬¥¢è¨¬ £à ¨çëå ॡ¥à; ¤à㣨¥ ®¡à §®¢ ë ª ¤ ï ¨§ ¤¢ãå íª§¥¬¯«ï஢ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ £à ¨ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P : ®¤¨ íª§¥¬¯«ïà ¯à¨ ¤«¥¨â P , ¤à㣮© | P ′; ®¨ ᫨«¨áì ¢ ®¤ã £à ì ¢á«¥¤á⢨¥ ®â®¤¥á⢫¥¨ï ¨ ¯®á«¥¤ãî饣® ¨áª«îç¥¨ï £à ¨çëå ॡ¥à. ®¯ãá⨬, çâ® P + P ′ ¥áâì £à ì á ®â¬¥ç¥ë¬¨ à¥¡à ¬¨.
᫨ íâ® | £à ì ¯¥à¢®£® ¢¨¤ , â® ¢®ªà㣠¥¥ ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . Ǒãáâì ⥯¥àì ® ¡ã¤¥â £à ìî ¢â®à®£® ¢¨¤ ; ⮣¤ ¥¥ ¬®® ®¡®§ ç¨âì Q + Q′ , £¤¥ Q ¨ Q′ | ®¡à §ãî騥 ¥¥ £à ¨çë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ . Ǒਠ®¡à §®¢ ¨¨ Q + Q′ ¡ë«¨ ¨áª«îç¥ë £à ¨çë¥ à¥¡à £à ¨ Q. ®, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, íâ¨å ॡà å ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª , ¯®â®¬ã, ¨áª«î稢 ¨å, ¬ë ¨áª«î稫¨ á ¬®¥ ¡®«ì襥 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª : ®¤ã ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª í⨬ à¥¡à ¬, ¤àã£ãî | ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ¨å ª á«¥¤ãî騬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ®áâ î饩áï ç á⨠ª®âãà £à ¨ Q ®áâ ¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . â ª ª ª £à ì Q′ ¥áâì «¨èì ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà ⮩ ¥ £à ¨ Q, â® ¤«ï ¥¥ ¢¥à® â® ¥ á ¬®¥. १ã«ìâ ⥠¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠Q + Q′ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®ªà㣠ª ¤®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P + P ′, ¨¬¥î饩 ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , ¤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ® â ª ¥ ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1 § 3, ¯¥à¥å®¤ï ª ¤¢®©á⢥®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë ®è¨ ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¥ ¤®«® ¡ëâì ¢®¢á¥, â. ¥. ¢á¥ à¥¡à ¨á室ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ¤®«ë ¡ëâì ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë. ( ç áâ®áâ¨, £à ¥© âà¥â쥣® ⨯ , ®¡à §®¢ ëå ¯®«ãá㬬®© ¥¯ à ««¥«ìëå ॡ¥à, ¥â ¢®¢á¥.) âáî¤ ¥¬¥¤«¥® á«¥¤ã¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¨ª ª¨¥ ¤à㣨¥ â¥®à¥¬ë ¯®¤®¡®£® த ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©, ªà®¬¥ ⥮६ 1 , 2, ¬ ¥ ¨§¢¥áâë. 1
1
2
2
§ 6. ¡®¡é¥¨ï
1. ¥®à¥¬¥ § 3 ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ á«ãç ¥ £« ¤ª¨å ¯®¢¥àå®á⥩ á«¥¤ãîé ï ⥮६ :
᫨ ¤¢¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ § ¬ªãâë¥ ¯®¢¥àå®á⨠ᮠ¢áî¤ã ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§®© ®¡« ¤ îâ ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¨å ¨¤¨ª âà¨áë  ¢ «î¡®© ¯ ॠâ®ç¥ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¥«ì§ï ¯®¬¥áâ¨âì ®¤ã ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á , â® ¯®¢¥àå®áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë.
. VI:
§ 6.
301
ç¥ £®¢®àï, ¤¢¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ § ¬ªãâë¥ ¯®¢¥àå®á⨠ᮠ¢áî¤ã ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§®© «¨¡® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë, «¨¡® ᮤ¥à â â ª¨¥ â®çª¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ®à¬ «ï¬¨, ¢ ª®â®àëå ¨¤¨ª âà¨áë  ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®¬¥é¥ë ®¤ ¢ãâਠ¤à㣮© ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬. ¤¨ª âà¨á  ¢ â®çª¥ A ¯®¢¥àå®á⨠F ¥áâì, £®¢®àï ¥áª®«ìª® ¥â®ç®, 䨣ãà , ¯®«ãç ¥¬ ï ¢ á¥ç¥¨¨ ¯®¢¥àå®á⨠F ¯«®áª®áâìî, ¯ à ««¥«ì®© ¨ ¡¥áª®¥ç® ¡«¨§ª®© ª ª á ⥫쮩 ¯«®áª®á⨠¢ â®çª¥ A. ¥ç¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâìî, ¯ à ««¥«ì®© ¨ ¡¥áª®¥ç® ¡«¨§ª®© ª ¯«®áª®á⨠£à ¨, ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, á ¬ íâ £à ì. § í⮣® ᮯ®áâ ¢«¥¨ï «®£¨ï â¥®à¥¬ë ® ¯®¢¥àå®áâïå á ⥮६®© ® ¬®£®£à ¨ª å áâ ®¢¨âáï ®á®¡¥® ïᮩ. ®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¨á室¨â ¨§ à áᬮâ२ï à §®á⨠®¯®àëå äãªæ¨© ¤¢ãå ¯®¢¥àå®á⥩ ¨ ®á®¢ ®, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¯à®áâëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®¡à ¥¨ïå, ª®â®àë¥, ®¤ ª®,17)¯à¨¢®¤ïâ ª १ã«ìâ âã ⮫쪮 ¡« £®¤ àï ¯à¥¤¯®«®¥¨î «¨â¨ç®á⨠¯®¢¥àå®á⥩ . ¤ ç ®á¢®¡®¤¥¨ï ®â í⮣® â參®£® âॡ®¢ ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ®©, ® ¨ âà㤮© 18) . ¥¬ ¡®«¥¥ ¡ë«® ¡ë § ¬¥ç â¥«ì® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¤®ª § âì â ªãî ⥮६ã, ª®â®à ï, ¡ã¤ãç¨ ¢¥à®© ¤«ï «î¡ëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¡¥§ ª ª¨å ¡ë â® ¨ ¡ë«® ãá«®¢¨© ॣã«ïà®áâ¨, ᮤ¥à « ¡ë ª ª ç áâë¥ á«ãç ¨ ¤ ãî ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå®áâïå, ¨ ⥮६㠧 3 ® ¬®£®£à ¨ª å. ¥®à¥¬¥ ® ¯®¢¥àå®áâïå ¬®® ¤ âì ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ á« ¡ãî «¨â¨ç¥áªãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã. Ǒãáâì f (x, y; n) | äãªæ¨ï ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n ¨ ¤¢ãå ç¨á«¥ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ ®¡« á⨠x > y ¨ ¬®®â® ï, â. ¥. ¯à¨ ¢á类¬ n f (x1 , y1 ; n) > f (x2 , y2 ; n), ¥á«¨ x1 > x2 , y1 > y2 ¨«¨ x1 > x2 , y1 > y2 . Ǒãáâì F1 , F2 | ¤¢¥ ॣã«ïàë¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¨ R1 > R′1 , R2 > R′2 | ¨å £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë ¢ â®çª å á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ n.
᫨ ¯à¨ ¢á类¬ n, â. ¥. ¤«ï ª ¤®© ¯ àë â ª¨å â®ç¥ª, f (R1 , R′1 ; n) = f (R2 , R′2 ; n), â® ¯®¢¥àå®áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë 19) .
묨 á«®¢ ¬¨, ¯®¢¥àå®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ f (R, R′ ; n) ª ª äãªæ¨¨ ®à¬ «¨ (â.¥. f = g(n), ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ). ¢ï§ì í⮩ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ á ¯¥à¢® ç «ì®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¢ëïáï¥âáï ¨§ á«¥¤ãî饣® á®®¡à ¥¨ï.
᫨ f (R1 , R′1 ; n) = f (R2 , R′2 ; n) ¨, ᪠¥¬, R1 > R2 , â® ¢¢¨¤ã ¬®®â®-
17) ¬. [11℄. í⮩ à ¡®â¥ ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ¨®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, íª¢¨¢ «¥â®©, ®¤ ª®, ¤ ®© §¤¥áì. 18) . . Ǒ®£®à¥«®¢ ¯ëâ «áï áïâì ãá«®¢¨¥ «¨â¨ç®áâ¨. ¤ ¥ ¤ã¬ «, çâ® ¥¬ã í⮠㤠«®áì ¨ ®¯ã¡«¨ª®¢ « ¤¢¥ § ¬¥âª¨ [176, 177℄, ®è¨¡®ç®áâì ª®â®àëå ¡ë« § ¬¥ç¥ ¥ áà §ã. ¨ç¥£® ¥ § ï ®¡ íâ¨å § ¬¥âª å, . à⨥á-®à ¯®áâந« C 2 -£« ¤ª¨© ª®âà¯à¨¬¥à [318℄. . . Ǒ ¨ [329℄, à ¡®â ï á® á¯¥æ¨ «ì묨 ¬®£®£à ¨ª ¬¨ ¨ ¨å ᣫ ¨¢ ¨ï¬¨, ¯®áâந« C ∞ -£« ¤ª¨¥ ª®âà¯à¨¬¥àë ¨ è« ®è¨¡ªã ¢ à áá㤥¨ïå . . Ǒ®£®à¥«®¢ , ¯à®¯ãá⨢襣® ¢®§¬®ãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 ᥤ«®¢®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¥¥ ª á ⥫쮩 ¯«®áª®áâìî. ¡®âë . . Ǒ ¨®© ¯à¨¢¥«¨ ª ᮧ¤ ¨î ¯®ïâ¨ï ý¢¨àâ㠫쮣® ¬®£®£à ¨ª þ, ®¡ê¥¤¨¨¢è¥£® ¯®¤å®¤ë à §«¨çëå ¢â®à®¢ ª § ¤ ç¥ ¯à¥¢à é¥¨ï ¯®«ã£àã¯¯ë ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á® á«®¥¨¥¬ ¯® ¨ª®¢áª®¬ã ¢ £à㯯ã. | Ǒਬ. ।. 19) ¤¥áì ¬®® à áᬠâਢ âì ¨ ¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ® â ª¨¥, çâ® ª ¤ ï ¨§ ¨å ¥áâì ®£¨¡ îé ï ᥬ¥©á⢠¯«®áª®á⥩ nx = h(n), £¤¥ h(n) ¥áâì äãªæ¨ï ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¤«ï ¢á¥å n, ®¤®§ ç ï ¨ «¨â¨ç¥áª ï. â ª®© ¯®¢¥àå®á⨠®à¬ «¨ n ª ¥¥ ª á ⥫ìë¬ ¯«®áª®áâï¬ ®¤®§ ç® ¯®ªàë¢ îâ ¢áî áä¥àã. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ® | ¥ ¢ë¯ãª« ï, â® ¨¬¥¥â à¥¡à ¢®§¢à â . â® ¥ ¨áª«îç ¥âáï; ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®çª å à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë áãé¥áâ¢ãîâ, ® xoâï ¡ë ®¤¨ ¨§ ¨å ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì.
302
. .
®á⨠äãªæ¨¨ f ¤®«® ¡ëâì R′1 < R′2 . ®, ª ª ¨§¢¥áâ®, £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë à ¢ë ª¢ ¤à â ¬ ¯®«ã®á¥© ⮣® í««¨¯á , ª ª¨¬ ï¥âáï ¨¤¨ª âà¨á  .
᫨ ¥ ã ¤¢ãå í««¨¯á®¢ à §®á⨠®á¥© | à §ëå § ª®¢, â® íâ¨ í««¨¯áë ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤¨ ¢ ¤à㣮¬ ¯ã⥬ ¯¥à¥®á . ( ®, çâ® áà ¢¨¢ îâáï ¡®«ìè ï ®áì á ¡®«ì让 ¨ ¬ « ï ®áì á ¬ «®©, ¯®â®¬ã çâ® ¯® ãá«®¢¨î R > R′ .) ¡à ⮥ § ª«î票¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥¢¥à®, ¨ ¯®â®¬ã £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª | áãé¥á⢥® ¡®«¥¥ ®¡é ï, 祬 «¨â¨ç¥áª ï. ï ⥮६ ᮤ¥à¨â ¥®£à ¨ç¥®¥ ¬®¥á⢮ ç áâëå ⥮६, ¯®«ãç îé¨åáï ¯à¨ á¯¥æ¨ «ì®¬ ¢ë¡®à¥ äãªæ¨¨ f (x, y; n). Ǒ¥à¢ ï ¨§ â ª¨å ç áâëå ⥮६ ¡ë« ¤®ª § . . à¨áâ®ä䥫¥¬ ¢ 1865£. [256℄; ¢ ¥© f = x + y, â.¥. à¥çì ¨¤¥â ® à ¢¥á⢥ ¯®¢¥àå®á⥩ á à ¢ë¬¨ á㬬 ¬¨ £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë. «¥¤ãî騩 १ã«ìâ â | ⥮६ ¨ª®¢áª®£® 1899 £., £¤¥ f = xy, â.¥. à¥çì ¨¤¥â ® à ¢¥á⢥ ¯®¢¥àå®á⥩ á à ¢ë¬¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï¬¨ £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë, ¨«¨, çâ® à ¢®á¨«ì®, á à ¢ë¬¨ £ ãáᮢ묨 ªà¨¢¨§ ¬¨. â ⥮६ ¯à¨¬ëª ¥â ª ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£® ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ, ¯®â®¬ã çâ® £ ãáᮢ ªà¨¢¨§ à ¢ ®â®è¥¨î ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¯«®é ¤®ª áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¨ ¯®¢¥àå®áâ¨, â.¥. ® ®¯à¥¤¥«ï¥â § ¢¨á¨¬®áâì ¯«®é ¤¥© ¯®¢¥àå®á⨠®â áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï; í⨬ ¥¥ § ¤ ¨¥ ¢ë¯®«ï¥â âã ¥ ஫ì, ª ªãî ¨£à ¥â § ¤ ¨¥ ¯«®é ¤¨ £à ¨ ª ª äãªæ¨¨ ®à¬ «¨. ®® §¢ âì ¥é¥ ¥ª®â®àë¥ ¡®«¥¥ ¯®§¤¨¥ ç áâë¥ à¥§ã«ìâ âë, â ª ᪠§ âì ¯®£«®é¥ë¥ 襩 ⥮६®©. ï «¨â¨ç¥áª ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¤®¯ã᪠¥â àï¤ ¢ ਠ⮢ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ãá«®¢¨© ॣã«ïà®áâ¨, « £ ¥¬ëå äãªæ¨î f ¨ ¯®¢¥àå®á⨠F1 , F2 .
᫨ âॡ®¢ âì «¨â¨ç®áâì ¯®¢¥àå®á⥩ F1 , F2 , â® äãªæ¨ï f (x, y; n) ¬®¥â ¡ëâì ᮢ¥à襮 ¯à®¨§¢®«ì®©, ¥ áç¨â ï, ª®¥ç®, ®¡ï§ ⥫쮣® ãá«®¢¨ï ¬®®â®®á⨠¯® x, y ; ¯à¨¬¥à, ® ¬®¥â ¡ëâì ¤ ¥ ¥¨§¬¥à¨¬®© ¯® n.
᫨ ¯®âॡ®¢ âì, ç⮡ë äãªæ¨ï f ¡ë« âà¨¤ë ¥¯à¥à뢮∂f ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¨ 㤮¢«¥â¢®àï« âॡ®¢ ¨î ýáãé¥á⢥®©þ ¬®®â®®áâ¨: ∂f , > 0, â® ®â ¯®¢¥àå®∂x ∂y á⥩ F1 , F2 ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì ç¥âëà¥åªà ⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠20) . á®åà ïî ã¡¥¤¥¨¥, çâ® äãªæ¨ï f ¬®¥â ¡ëâì ᮢ¥à襮 ¯à®¨§¢®«ì®©, ®â ¯®¢¥àå®á⥩ ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì ¤¢ãªà ⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨, «¨èì ¡ë áãé¥á⢮¢ «¨ £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë. ¤ ª® ¯®¯ë⪨ ¤®ª § âì ⥮६㠢 â ª®¬ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ®áâ «¨áì ¯®ª ¡¥§à¥§ã«ìâ â묨 21) . ¥®à¥¬ ¢ ¥¥ «¨â¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢®¯à®áã ® ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå. ª ç¥á⢥ äãªæ¨¨, § ¤ î饩 ¯®¢¥àå®áâì, ¡¥à¥¬ ®¯®àãî äãªæ¨î ¤«ï ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ h(n) = h(ξ, η), â.¥. à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ª á ⥫쮩 ¯«®áª®áâ¨, ª ª äãªæ¨î ®à¬ «¨ n ¨«¨ ª®®à¤¨ â ξ, η ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥. « ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë ¢ëà îâáï ç¥à¥§ h(ξ, η) ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¤® ¢â®à®£® ¯®à浪 (á¬., ¯à¨¬¥à, [245, § 94℄). Ǒ®í⮬㠧 ¤ ¨¥ f (R, R′ ; n) ª ª äãªæ¨¨ ®à¬ «¨, â.¥. f (R, R′ ; n) = h(n), à ¢®á¨«ì® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 : (hξξ , . . . , h; ξ, η) = g(ξ, η). 20) â® | ¨¡®«ì襥 ¤®á⨣ã⮥ ¯®ª ®á« ¡«¥¨¥ ãá«®¢¨©, « £ ¥¬ëå ¯®¢¥àå®-
áâ¨, ãáâ ®¢«¥® .. Ǒ®£®à¥«®¢ë¬; á¬. ¥£® § ¬¥âªã [165℄. ¥§ã«ìâ â á ¡®«¥¥ ᨫì묨 âॡ®¢ ¨ï¬¨ ¯®«ãç¥ ¢¯¥à¢ë¥ ¬®© ¢ à ¡®â¥ [8℄. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ ® ¬®© ¢ áâ âì¥ [17℄. 21) ¬. ¨¥ ¯. 5. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. VI:
§ 6.
303
¥çì ¨¤¥â ® ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï í⮣® ãà ¢¥¨ï ¢á¥© áä¥à¥ á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬®£® an, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯¥à¥®áã. â® | ãà ¢¥¨¥ ¤®áâ â®ç® ®¡é¥£®∂f¢¨¤ , ¯®áª®«ìªã äãªæ¨ï f ¯®¤ç¨¥ «¨èì ãá«®¢¨î áãé¥á⢥®© ¬®®â®®á⨠∂f , > 0. ∂x ∂y § í⮣® ãá«®¢¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ãà ¢¥¨¥ ¡ã¤¥â í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ (á¬. [165℄). 2. «ï ¯®¢¥àå®á⥩ á £à ¨æ¥© ¨ ¡¥áª®¥çëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६ë, ¢¯®«¥ «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ 1 ¨ 1 § 5. ª, «®£¨ç® ⥮६¥ 1 ¨¬¥¥¬:
Ǒãáâì F1 ¨ F2 | ¤¢¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ á ®¡é¨¬ áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬, ᮤ¥à 騬áï ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë. Ǒãáâì ã íâ¨å ¯®¢¥àå®á⥩ 1) ª á ⥫ìë¥ ¯«®áª®á⨠¢ â®çª å £à ¨æë ᮢ¯ ¤ îâ, 2) ¢® ¢ãâ२å â®çª å á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¨¤¨ª âà¨áë  ¥ ¯®¬¥é îâáï ®¤ ¢ãâਠ¤à㣮©. ®£¤ ¯®¢¥àå®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ (á â®ç®áâìî ¤® ¨å ç á⥩, «¥ é¨å ¢ ¯«®áª®áâïå, ª á ⥫ìëå ¢ â®çª å £à ¨æë).
®ª § ⥫ìá⢮ «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 1 § 5. ¡®§ ç ï h1 (n), h2 (n) ®¯®àë¥ äãªæ¨¨ ¯®¢¥àå®á⥩ F1 , F2 , áâந¬ ¤«ï ª ¤®£® ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n â®çªã, ïîéãîáï ª®æ®¬ ¢¥ªâ®à ϕ(n)n, £¤¥ ϕ(n) = = 1/(h1 (n) − h2 (n)). ¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® R íâ¨å â®ç¥ª á ϕ(n) > 0 (¨«¨ < 0) ¤®«® ¨¬¥âì ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨. ® ®ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, ¯®¢¥àå®áâìî ¥¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¨ ¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩, ªà®¬¥ ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ á ¬® ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª®áâì. ⮣¤ h1 (n) = h2 (n), ¨ ¯®¢¥àå®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ. ¥®à¥¬ ¢¬¥áâ¥ á ¬¥ç¥ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¡ãª¢ «ì® ®¡®¡é ¥âáï ¯®¢¥àå®á⨠¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï § ¬ªã⮩ ¯®¢¥àå®á⨠¯à¥¤¯®«®¥¨ï ॣã«ïà®á⨠¥ ¨£à îâ §¤¥áì ¨ª ª®© ஫¨. á¯à®áâà ï¥âáï «¨ ¤ ï ⥮६ â ª¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ª®â®àëå ᮤ¥à¨âáï ¢ § ¬ªã⮩ ¯®«ãáä¥à¥, ® ¥ ¢ãâਠ¥¥, | ¥ ¨§¢¥áâ®. «ï ¯®¢¥àå®á⥩ á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬, ¥ «¥ 騬 ¢ ¯®«ãáä¥à¥, ® , ¤® ¤ã¬ âì, ¥ ¢¥à ; ¢¯à®ç¥¬, ¤«ï ¯®¤â¢¥à¤¥¨ï í⮣® ã® ©â¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à¨¬¥à. 3. ¥®à¥¬ë ® § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®áâïå, ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ¯o 1, ¥ 㤠¥âáï ®¡®¡é¨âì ¬®£®¬¥àë¥ ¯à®áâà á⢠. 맢 ® «¨ íâ® ¥¤®áâ ⪮¬ ¬¥â®¤ ¨«¨ á ¬®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ¥¢®§¬®®, | ®áâ ¥âáï ¥¨§¢¥áâë¬ 22) . ¥¢®§¬®®áâì ®¡®¡é¥¨ï â¥®à¥¬ë § 3 ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å ¡ë« ã¥ ãáâ ®¢«¥ ¯à¨¬¥à¥ ¢ § 3. ¬ ¥ ¡ë«® 㪠§ ®, ç⮠⥬ ¥ ¬¥¥¥ ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ì묨 ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ ¢¥à ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. ¨ª ª¨å ¤à㣨å ⥮६ â ª®£® த á ¤à㣨¬¨ ¬®®â®ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ (n − 1)-¬¥àëå £à ¥© ¢¬¥áâ® ¯«®é ¤¨ ¥ ¨§¢¥áâ® 23) . 22) Ǒਬ¥à í««¨¯á®¨¤ ¨ £¨¯¥àáä¥àë ¢ R4 á ¥¢¬¥é ¥¬ë¬¨ ¨¤¨ª âà¨á ¬¨
¯à¨¢¥¤¥ ¢ [136℄. ® ¢ [138℄ ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ âॡ®¢ ¨¨ ª ¥¢¬¥é ¥¬®á⨠¨¤¨ª âà¨á ⥮६ ® à ¢¥á⢥ á â®ç®áâìî ¤® ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á ¢¥à ¢ Rn . | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 23) ¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¬®® ¯®«ãç¨âì, ¥á«¨ ¯à¥¤¯®« £ âì § à ¥¥, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ áâ஥¨¥. ¤ ª® íâ®â १ã«ìâ â ¥ ª ¥âáï ¬ ¨â¥à¥áë¬. á«®¢¨¥ à ¢¥á⢠á®á⮨⠧¤¥áì ¢ à ¢¥á⢥ ᬥè ëå ¯«®é ¤¥© £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P ′ ¨ ¤ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 , . . . , Pm ⮣® ¥ áâ஥¨ï: Fj (P . . . P P1 . . . Pm ) = Fj (P ′ . . . P ′ P1 . . . Pm ) | {z } | {z } ¡®«¥¥ áâண®¬
n−m−
1
n−m−
1
(á¬. § 2 £«. VII). ¥§ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ®¡ ®¤¨ ª®¢®á⨠áâ஥¨ï ⥮६ ¥ ¢¥à .
304
. .
«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¤®áâ â®ç® ®¡éãî ⥮६ã. «ï ॣã«ïàëå ¯®¢¥àå®á⥩ ® ᢮¤¨âáï ª ã⢥थ¨î:
᫨ ã ¤¢ãå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ â®çª å á ¯ à ««¥«ì묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¤ ë¥ í«¥¬¥â àë¥ á¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë à ¢ë, â® ¯®¢¥àå®áâ¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. («¥¬¥â à ï ᨬ-
¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ®â R1 , R2 , . . . , Rn−1 ¥áâì ª®íää¨æ¨¥â ¬®£®ç«¥ á ª®àﬨ R1 , .) ¢®¤ï ¢¬¥áâ® äãªæ¨© à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 äãªæ¨¨ ¬®¥á⢠áä¥à¥, íâã ⥮६㠬®® ®¡®¡é¨âì ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ¥ ¯®¤ç¨¥ë¥ ¨ª ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬ ॣã«ïà®áâ¨. ¬¥® ¢ â ª®© ®¡é¥© ä®à¬¥ íâ ⥮६ ¡ë« ¢¯¥à¢ë¥ ãáâ ®¢«¥ ¬®© ¢ [5℄ 24) . ç áâ®áâ¨, ¨â¥£à « ®â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë ¯®¢¥àå®á⨠¯® ¬®¥áâ¢ã ®à¬ «¥©, â.¥. ¯® ¬®¥áâ¢ã ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥, ¥áâì ¯«®é ¤ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®¥á⢠¯®¢¥àå®áâ¨. áᬠâਢ ¥¬ ï ª ª äãªæ¨ï ¬®¥á⢠áä¥à¥, ® ¡ã¤¥â ý¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¥©þ F (M ). ¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í⮩ äãªæ¨¨ ¤ ® ¢ ¯o 2 § 7 £« ¢ë II. ¯®¬ïãâ ï ⮫쪮 ç⮠⥮६ ᮤ¥à¨â ã⢥थ¨¥, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠á à ¢ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâ묨 äãªæ¨ï¬¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. â® ¥áâì ¯àאַ¥ ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ® ¬®£®£à ¨ª å ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. ®ª § ⥫ìá⢠㯮¬ïãâëå ⥮६ ®á®¢ ë â ª §ë¢ ¥¬®© ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢, ¯¥à¢® ç «ì®¥ ¯®ï⨥ ® ª®â®à®© ¤ ¥âáï ¢ § 3 £« ¢ë VIII. 4. ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ®¡®¡é¥¨¥ ⥮६ í⮩ £« ¢ë ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®¥â ¯®ª § âìáï ¢®¢á¥ ¡¥áá¬ëá«¥ë¬ ¢¢¨¤ã ®âáãâáâ¢¨ï ¢ â ª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á . ¤ ª®, ¥á«¨ ¯®ï⨥ ¯ à ««¥«ì®á⨠®¯à¥¤¥«¨âì ¢ ¯à®¥ªâ¨¢ëå â¥à¬¨ å, â® § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢¨âáï ¥ á⮫ì ã ¥«¥¯®©. ¬¥® ¯à®¥ªâ¨¢®¬ ï§ëª¥ ¯®¯ à ï ¯ à ««¥«ì®áâì £à ¥© ®§ ç ¥â, çâ® ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¯®¯ à® ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯® ¯àï¬ë¬, «¥ 騬 ¢ ®¤®© (¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®©) ¯«®áª®áâ¨. â® ãá«®¢¨¥ ¬®® 㥠¯¥à¥®á¨âì ¢ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ¨ ¯à®áâà á⢮ ®¡ 祢᪮£®. ®£¤ ¬®® ¯®áâ ¢¨âì, ¯à¨¬¥à, â ª®© ¢®¯à®á. Ǒãáâì ã ¤¢ãå áä¥à¨ç¥áª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ £à ¨ ¯®¤ç¨¥ë ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ãá«®¢¨î à ᯮ«®¥¨ï ¨ ¨¬¥îâ ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë¥ ¯«®é ¤¨. ¬¥¥âáï «¨ ⮣¤ ¥ª®â®à®¥ ¯à®á⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ®¤¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ ¤à㣮©, â ª ¥ ª ª íâ® ®áãé¥á⢫ï¥â ¯¥à¥®á ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥? â®â ¢®¯à®á 㥠¥ ª ¥âáï ¡¥áá¬ëá«¥ë¬. ¤ ª® ¬®¥â ®ª § âìáï, çâ® â ª®£® ¯à®á⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥ ¡ë¢ ¥â, ¨ ⮣¤ ¢®¯à®á ᤥ« ¥âáï ¥¨â¥à¥áë¬. 5. 25) ¥â®¤, 㪠§ ë© ¢ ª®æ¥ ¯. 1 á. 302, ¡ë« à §¢¨â ¢ á¥à¨¨ à ¡®â ¢â®à [22{28℄.
£® ®¡®á®¢ ¨¥ ¢ ®á®¢®¬ ᮤ¥à¨âáï ¢ [23℄. Ǒãáâì (k1 , . . . , kn , z, x) ¥áâì C 1 £« ¤ª ï äãªæ¨ï ®â ′k1 > k2 ′> . . . >′′kn > 0, ′′z, x = (x1 , . . . , xn), ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¢á¥å i ¢¥§¤¥ ∂ /∂ki > 0. Ǒãáâì S : z = z (x) ¨ S : z = z (x) | ¤¢¥ ¢ë¯ãª«ë¥ C 2 -£« ¤ª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢å®¤ï騥 ¢ ¥ª®â®à®¥ (§ ¢¨áï饥 ®â § ¤ ç¨) ᥬ¥©á⢮ {S} ¯®¢¥àå®á⥩, ¢ë¯ãª«®¥ ¯® z. ®£¤ à §®áâì = (k1′ , . . . , kn′ , z′ , x) − (k1′′ , . . . , kn′′ , z′′ , x), £¤¥ ki′ ¨ ki′′ | £« ¢ë¥ ªà¨¢¨§ë ¯®¢¥àå®á⥩ S′ ¨ S′′ ¢ â®çª å x, z′ (x) ¨ x, z′′ (x) , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© R2 , . . . , Rn−1
24) [6℄ ãáâ ®¢«¥ ¤ ¥ áãé¥á⢥® ¡®«¥¥ ®¡é¨© १ã«ìâ â. 25) Ǒãªâë 5{9 ¤®¡ ¢«¥ë .. «£ ««¥à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥ç ¨ï.
. VI:
§ 6.
305
®â®á¨â¥«ì® z = z′ − z′′ «¨¥©®¥ í««¨¯â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¥¨¥ =
n X
i,j
=1
aij
(z)ij +
n X
=1
bi
(z)i + cz.
i
᫨ § 票ï S′ ¨ S′′ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯® x â®çª å ®¤¨ ª®¢ë, â® z á«ã¨â à¥è¥¨¥¬ «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ . «ï â ª¨å ãà ¢¥¨© ..«¥ªá ¤à®¢ë¬ [21, 22, 30{40℄ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë à §«¨çë¥ ®¡®¡é¥¨ï ¯à¨æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®áâ¨, á¬. â ª¥ [290℄.
᫨ ª ª¨¬-«¨¡® ®¡à §®¬ 㤠¥âáï á ¯®¬®éìî âਢ¨ «ì®£® ¤«ï ¤ ®© § ¤ ç¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (¯¥à¥®á, ¯®¤®¡¨¥ ¨ â.¯.), ¥ ¬¥ïï , ¯à¨¢¥á⨠¯®¢¥àå®áâ¨′ S′ ′′¨ S′′ ¢ â ª®¥ ¯®«®¥¨¥, çâ® ®¤ ¨§ ¨å ª®á¥âáï ¤à㣮© ¨§¢¥, â® ¯®á«¥ í⮣® S ¨ S ᮢ¯ ¤ãâ ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï = 0. á¥ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¢ [22{28℄ ¢ ⮩ ¨«¨ ¨®© á⥯¥¨ ®á®¢ ë í⮬ á®®¡à ¥¨¨. ç áâ®áâ¨, ¢ [22, 24℄ ¤®ª § ⥮६ , áä®à¬ã«¨à®¢ ï ¢ ª®æ¥ á. 300. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢ ª« áᥠC 3 á¬. ¢ [173, £«. VII℄ ¨ [291℄.
᫨ äãªæ¨ï ᨬ¬¥âà¨ç ¯® n, â.¥. (R1 , R2 , n) = (R1 , R2 , −n), ⮠⥮६ ¢¥à ¡¥§ ª ª¨å-«¨¡® ¯à¥¤¯®«®¥¨© ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠, á¬. [137℄. 6. «ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ªà ¥¬ ¨«¨ ¡¥áª®¥çëå á ¯à¥¤¯¨á ë¬ ¯®¢¥¤¥¨¥¬ ¡¥áª®¥ç®á⨠¢á¥ ⥮६ë [22{28℄ ¬®£®¬¥àë¥, ¯à¨ç¥¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¥ ⮫쪮 ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å [24℄. 7. «ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⥩ ¢ E n+1 ¯à¨ n > 2 â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®áâ¨, «®£¨ç®© áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ¢ ª®æ¥ á. 300 ¤«ï áâ®«ì ¯à®¨§¢®«ìëå äãªæ¨© , ¥â. ¤ ª®, ¥á«¨ | í«¥¬¥â à ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë R1 , . . . , Rn , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¢¥à . ¡ë« ¤®ª § ..«¥ªá ¤à®¢ë¬ [5℄ ¢ 1937 £., ¤«ï = R1 + . . . + Rn (§ ¤ ç à¨áâ®ä䥫ï) ¨ = R1 · · · Rn (§ ¤ ç ¨ª®¢áª®£®) ¥é¥ ¢ ç «¥ ¢¥ª ᮮ⢥âá⢥® . ãࢨ楬 ¨ . ¨ª®¢áª¨¬. 8. §¢¥á⥠ª« áá¨ç¥áª¨© ¢®¯à®á ý® ¬ë«ì®¬ ¯ã§ëà¥þ: ®¡ï§ «¨ ¡ëâì áä¥à®© C 2 £« ¤ª ï § ¬ªãâ ï £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâì, ¥á«¨ ã ¥¥ ¢® ¢á¥å â®çª å ®¤¨ ª®¢ á।ïï ªà¨¢¨§ ? ¨¡®«¥¥ á« ¡ë¥ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ®â¢¥â 26)íâ®â ¢®¯à®á ¯®«®¨â¥«¥, ᮤ¥à âáï ¨¬¥® ¢ à ¡®â å . .«¥ªá ¤à®¢ [26, 233℄ . â® ¥ ¢à¥¬ï ⥯¥àì ¨§¢¥áâ®, çâ® ¡¥§ ª ª¨å-«¨¡® ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨© ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á ®âà¨æ ⥫¥. Ǒ¥à¢ë© ¨§ ¯®¤®¡ëå ¯à¨¬¥à®¢ ¡ë« ¯®áâ஥ ¢ 1982 £. [297, 298℄. 9. §¢¨â¨¥¬ ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠á«ã â ⥮६ë ãá⮩稢®áâ¨, ¤ î騥 ®æ¥ªã ¡«¨§®á⨠¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⥩ ¢ Rn ¯à¨ ¡«¨§®á⨠â¥å ¨«¨ ¨ëå, ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¨å äãªæ¨©. à ¡®â ¬ í⮣® ¯à ¢«¥¨ï ®â®á¨âáï à ïï à ¡®â . . ®«ª®¢ [87℄ ¯® ¯à®¡«¥¬¥ ¨ª®¢áª®£®. ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®ç¥ç®¬ã § ¤ ¨î (n − 1)-© äãªæ¨¨ ªà¨¢¨§ë Fn−1 ¤«ï ॣã«ïàëå £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⥩. â®â १ã«ìâ â, ¨ë¬¨ á।á⢠¬¨, ®¡®¡é¥ ..¨áª ⮬ [98, á. 110℄ ®¡é¨© á«ãç ©, ª®£¤ Fn−1 | ý¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ïþ ï¥âáï äãªæ¨¥© ¬®¥á⢠áä¥à¥. ¬. â ª¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢ [173, £«. 7℄. á⮩稢®áâì ¢ ¯à®¡«¥¬¥ à¨áâ®ä䥫ï (í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â äãªæ¨¨ F1 ) ¢¯¥à¢ë¥ ¤®ª § ..Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ [173, £«. 7℄; á¬. â ª¥ à ¡®âë [90, 207℄. á⮩稢®áâì ¯à¨ § ¤ ¨¨ Fn−2 ¤®ª § .. ¨áª ⮬ [98, á. 130℄. ¡ ãá⮩稢®á⨠(⮫쪮 ¤«ï áä¥àë) ¯à¨ ¤à㣨å Fk á¬. [98, á. 130℄. Ǒ®¤à®¡ ï «¨â¥à âãà ¥áâì ¢ [98℄. ⥮६ ¬ ãá⮩稢®á⨠®â®áïâáï â ª¥ १ã«ìâ âë ïનå à ¡®â [88, 119℄. 26) ⨬ § ¨¬ «¨áì ¬®£¨¥ ¢â®àë. Ǒà®á⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¨ ᨫìëå ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨ïå á¬., ¯à¨¬¥à, ¢ [239℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
« ¢ VII ¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥©
§ 1. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©
1. ë ¤®ª ¥¬ §¤¥áì ⥮६㠨ª®¢áª®£®. ¥®à¥¬ .
᫨ n1 , . . . , nm | ¥ª®¬¯« àë¥ F 1 , . . . , Fm
| â ª¨¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , çâ®
m P
i=1
¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë ¨
Fi ni
¥â § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£®
ni
= 0, â® áãé¥áâ¢ã-
¨
Fi
áãâì ¢¥è¨¥
. ( ᨫã ⥮६ë 1 § 3 £« ¢ë VI â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á .) ¤¥áì ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥ ¡¥§ ®á®¡ëå ®£®¢®à®ª ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ni à §«¨çë. ª 㥠¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¢ ¯ 3 § 2 £« ¢ë II, ãá«®¢¨ï, «®¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ni ¨ ç¨á« Fi, ®ç¥¢¨¤®, ¥®¡å®¤¨¬ë ¤«ï ⮣®, ç⮡ë í⨠¢¥ªâ®àë ¨ ç¨á« ¬®£«¨ á«ã¨âì ᮮ⢥âá⢥® ®à¬ «ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© § ¬m P ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ç áâ®áâ¨, ãá«®¢¨¥ Fi ni ®§ ç ¥â i à ¢¥á⢮ ã«î ¢¥ªâ®à®© ¯«®é ¤¨ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª . ¥®à¥¬ ¨ª®¢áª®£® ã⢥ठ¥â ¢¬¥á⥠á ⥬ ¤®áâ â®ç®áâì íâ¨å ãá«®¢¨©. ¬¥â¨¬ ¢ ®¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮: ¨§ ãá«®¢¨©, «®¥®à¬ «¨ ¨ ¯«®é ¤¨ ¥£® £à ¥©
o
=1
ëå ni ¨ Fi , á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë
ni ¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà -
. ç¥ ¢¥ªâ®à Fi ni ¥ ¬®£ ¡ë à ¢ïâìáï ã«î, â. ª. ¢á¥ Fi > 0. i ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ¢ ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£® ¬®® § à ¥¥ ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¢¥ªâ®àë ni ¥ ¡ë«¨ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® (§ ¬ªã⮥) ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ⮣¤ ®¨ ¥ ¡ã¤ãâ â ª¥ ª®¬¯« à묨. 2. Ǒ।¥ 祬 ¯à¨áâ㯨âì ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£®, ¤®ª ¥¬ ¤¢¥ «¥¬¬ë. á⢮
m P
=1
. VII:
¥¬¬ 1.
§ 1.
ª®¢ë ¡ë ¨ ¡ë«¨ ¥ª®¬¯« àë¥ ¢¥ªâ®àë
ni ,
307 áãé¥áâ¢ã¥â
¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£® í⨠¢¥ªâ®àë ïîâáï ®à¬ «ï¬¨ ¥£® £à ¥©.
᫨ ¢¥ªâ®àë
ni
¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® § ¬ªã⮥ ¯®«ã¯à®áâà -
á⢮, â® ¢á直© â ª®© ¬®£®£à ¨ª | § ¬ªãâë©, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ® |
. Ǒ஢¥¤¥¬ ¨§ ¥ª®â®à®© â®çª¨ «ãç¨ li ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à®¢ ni ¨ ª ¤ë© «ãç li ¯¥à¥á¥ç¥¬ ¯«®áª®áâìî Qi, ¥¬ã ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன. ⨠¯«®áª®á⨠®£à ¨ç â ¥ª®â®àë© â¥«¥áë© ¬®£®£à ¨ª. ¤ ª® ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¢ë¡®à¥ ¯«®áª®á⥩ Qi ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¨å ¬®£ãâ ¨ ¥ ª á âìáï ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ¥ ¯«®áª®á⨠Qi ¢ë¡à âì â ª, çâ®¡ë ®¨ ª á «¨áì ª ª®£®«¨¡® è à á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ O, â®, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ª ¤ ï ¯«®áª®áâì Qi ¤ áâ ¬®£®£à ¨ª¥ P £à ì, â ª çâ® â ª®© ¬®£®£à ¨ª, ®¯¨á ë© ®ª®«® è à , ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢á¥ £à ¨ á ®à¬ «ï¬¨ ni. ª ª ª ¢¥ªâ®àë ni ¥ ª®¬¯« àë, â® íâ®â ¬®£®£à ¨ª ¥ ᢮¤¨âáï ª ¡¥áª®¥ç®© ¯à¨§¬¥.
᫨ ¢¥ªâ®àë ni , ⥬ á ¬ë¬ ¨ «ãç¨ li ¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® § ¬ªã⮥ ¯à®áâà á⢮, â® ¤«ï ¢á类£® «ãç l, ¯à®¢¥¤¥®£® ¨§ â®çª¨ O, ©¤¥âáï «ãç li, ®¡à §ãî騩 á l ®áâàë© ã£®«. â ª®¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®áâì Qi ¯¥à¥á¥ª ¥â «ãç l. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª P , ®£à ¨ç¥ë© í⨬¨ ¯«®áª®áâﬨ, ¥ ᮤ¥à¨â ¨ª ª®£® «ãç ¨ ⥬ á ¬ë¬ ® | ª®¥çë©.
᫨ ¥ «ãç¨ li ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® «ãç l, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© ª ®£à ¨ç¥®© ¯«®áª®á⨠í⮣® ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨ ¯à ¢«¥ë© ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ®¡à §ã¥â á® ¢á¥¬¨ li âã¯ë¥ ¨«¨ ¯àï¬ë¥ 㣫ë. Ǒ®í⮬㠨ª ª ï ¯«®áª®áâì Q ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥çì â ª®© «ãç l. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª P ᮤ¥à¨â «ãç l ¨ ⥬ á ¬ë¬ íâ®â ¬®£®£à ¨ª | ¡¥áª®¥çë©. ¡¥áª®¥çë©
0
¥¬¬ 2.
¢á类£® § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¯«®é ¤ì ª®-
â®à®£® ¥ ¡®«ìè¥ ¤ ®£®
F,
¯«®é ¤ì ª ¤®© £à ¨ ¥ ¬¥ìè¥ ¤ ®£®
0, ®¯®àë¥ ç¨á« ®£à ¨ç¥ë ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠⮫쪮 ®â F ¨ f , ¥á«¨ ç «® ¢§ïâ® ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª . â «¥¬¬ ¬®¥â ¡ëâì ¤®ª § à §ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨; ® , ¢ ç áâ®áâ¨, «¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ¬ ªá¨¬ «ì®£® ᢮©á⢠è à ¨¬¥âì ¯à¨ § ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¬¥ìèãî ¯«®é ¤ì . ¤ ª®, ¢®-¯¥à¢ëå, 㪠§ ®¥ ᢮©á⢮ è à ¤®ª §ë¢ ¥âáï á«®® ¨, ¢®-¢â®àëå, ¨§ ¥£® ¢ë¢®¤¨âáï £àã¡ ï ®æ¥ª ¤«ï f >
1)
1) ᨫã í⮣® ᢮©á⢠è à ¤«ï ¢á类£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨§¢¥á⮥ ¥à ¢¥á⢮ ¬¥¤ã ¯«®é ¤ìî F ¨ ®¡ê¥¬®¬ V :
36πV 2 6 F 3 .
(*)
Ǒãáâì ç «® «¥¨â ¢ãâਠ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¯ãáâì Fi | ¯«®é ¤ì, hi | ®¯®à®¥ ç¨á«® ª ª®©-«¨¡® £à ¨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª . ®£¤ ® ᮤ¥à¨â ¯¨à ¬¨¤ã á ¢ëá®â®© hi ¨ ®á®¢ ¨¥¬ Fi ; ¨ ¯®â®¬ã ¥£® ®¡ê¥¬ V > hiFi /3. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯®
308
. .
®¯®àëå ç¨á¥« ¬®£®£à ¨ª ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â F ¨ f . Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¯®«ã稬 «¥¬¬ã 2 ª ª á«¥¤á⢨¥ ⥮६ë, ª®â®à ï ¯à¨ í«¥¬¥â à®á⨠¤®ª § ⥫ìá⢠¤ ¥â â®çãî ®æ¥ªã ¤«ï ®¯®àëå ç¨á¥« (¢¥à¥¥, è¨à¨ë) ¬®£®£à ¨ª . ¥®à¥¬ .
§®¢¥¬ è¨à¨®© ¬®£®£à ¨ª ¢ ¤ ®¬ ¯à ¢«¥¨¨ à á-
áâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¥£® ®¯®à묨 ¯«®áª®áâﬨ, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª íâ®¬ã ¯à ¢«¥¨î. Ǒãáâì
F
| ¯«®é ¤ì § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª
é ¤ì ª ª®©-«¨¡® ¥£® £à ¨,
Bi
P , Fi
| ¯«®-
| ¥£® è¨à¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã-
«ï஬ ª í⮩ £à ¨. ¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮
(1)
F − Fi Bi < √ πFi
(¯à¨ç¥¬ íâ® ¥à ¢¥á⢮ | â®ç®¥ ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¬®£®£à ¨ª¨, ¤«ï ª®â®àëå ¤à®¡ì √π Bi √Fi/(F − Fi) ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª ª ¥¤¨¨æ¥). Ǒãáâì Gi | ¢ë¡à ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì A | â®çª , ¢ ª®â®à®© ¥£® ª á ¥âáï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì, ¯ à ««¥«ì ï, ® ¯à®â¨¢®¯®«® ï Gi . Ǒ®áâந¬ ¯¨à ¬¨¤ã P ′ á ®á®¢ ¨¥¬ Gi ¨ ¢¥à訮© A (à¨á. 131).
¥ è¨à¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª £à ¨ Gi , ®ç¥¢¨¤®, | â ¥ á ¬ ï Bi , çâ® ¨ ã ¨á室®£® ¬®£®£à ¨ª P ; £à ì Gi ã P ¨ P ′ | ®¡é ï, ® ¢áï ¯«®é ¤ì F ′ ¯¨à ¬¨¤ë P ′ ¥ ¡®«ìè¥, 祬 ¯«®é ¤ì ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ¬ë ãáâ ®¢¨¬ ¥à ¢¥á⢮ (1) ¤«ï ¯¨à ¬¨¤ë P ′, â® ®® ⥬ ¡®«¥¥ ¡ã¤¥â ¢¥à® ¤«ï ¬®£®£à ¨ª P . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¥à ¢¥á⢮ (1) ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì ¤«ï ¯¨à ¬¨¤ë, ¯à¨ç¥¬ ¯®¤ Fi ¨ Bi ã® ¯®¨¬ âì ᮮ⢥âá⢥® ¯«®é ¤ì S ¥¥ ®á®¢ ¨ï Gi ¨ ¢ëá®âã H . 1
¥à ¢¥áâ¢ã (*) V 6 F 3/2 /(6√π). Ǒ®í⮬ã hi 6 F 3/2 /(2√π Fi ), â ª çâ® ¥á«¨ Fi > f , â® F 3/2 hi < √ nf
(**) 2 ¯à¨ «î¡®¬ i, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¤ ª® ¨§ á«¥¤ãî饩 ¤ «¥¥ â¥®à¥¬ë ¬ë ¯®«ã稬 ®æ¥ªã hi < F/(√πFi) ¯à¨ «î¡®¬ i ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, hi < F/(√πf ) ¨«¨ √ F f hi < √ . πf
(***)
® f < F/4, ¯®â®¬ã çâ® ç¨á«® £à ¥© ¥ ¬¥ìè¥ ç¥âëà¥å; ¯®í⮬㠮楪 (***) â®ç¥¥, 祬 (**); ¥á«¨ ¥ f ¬ «® ¢ áà ¢¥¨¨ á F , çâ® § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ª®£¤ ç¨á«® £à ¥© ¢¥«¨ª®, â® ®æ¥ª (***) ¡ã¤¥â £®à §¤® ¡®«¥¥ â®ç®©, 祬 (**).
. VII:
§ 1.
309
â ª, à áᬮâਬ ¯¨à ¬¨¤ã P ′. Ǒãáâì a , . . . , an | áâ®à®ë ¥¥ ®á®¢ ¨ï, p , . . . , pn | ¨å à ááâ®ï¨ï ®â ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥àè¨ëp¯¨à ¬¨¤ë ¯«®áª®áâì ®á®¢ ¨ï. ®£¤ ¢ëá®â i-© ¡®ª®¢®© £à ¨ à ¢ H + pi , ¥¥ 1
1
2
2
A
A P′
P Bi =H
H
Gi
Pi
ai
¨á. 131
¯«®é ¤ì ai H + pi /2. Ǒ®í⮬㠯«®é ¤ì ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠¯¨à ¬¨¤ë (¯®« ï ¯«®é ¤ì F § ¢ëç¥â®¬ ®á®¢ ¨ï S ) ¡ã¤¥â p
2
2
n q X 1 F −S = 2 i ai H + pi ,
(2)
2
2
=1
®âªã¤ F −S √ H S
=
n P
i=1
ai
p
H2 √ H S
=1
p
2
2
®, ®ç¥¢¨¤®, P ai 1 + (pi/H ) i ¯¨à ¬¨¤ë. Ǒ®í⮬ã (3) ¤ ¥â n
+ pi
2
>
n P
i=1
n P
ai
1 + (pi/H ) √ 2 S
p
2
=
i=1
ai
= L, £¤¥ L | ¯¥à¨¬¥âà ®á®¢ ¨ï
.
(3)
(4) 2 â ª ª ª ¯à¨ ¤ ®¬ ¯¥à¨¬¥âॠ¨¡®«ìèãî ¯«®é ¤ì ¨¬¥¥â ªàã£, ¤«ï F −S L √ > √ . H S S
310
. .
ª®â®à®£® L = 4πS , â® ¢á¥£¤ 2
¨ ¨§ (4) á«¥¤ã¥â, çâ®
2)
√ L √ > π, S
(5)
√ F −S √ > π. H S
(6)
2
â® ¨ ¥áâì âॡ㥬®¥ ¥à ¢¥á⢮ (1) ¤«ï S = Fi ¨ H = Bi. § í⮣® ¢ë¢®¤ ïá®, çâ® ¢ ª ¤®¬ ¨§ ¥à ¢¥á⢠(4), (5), (6) ¬®® ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ¯®¤®©â¨ ª à ¢¥áâ¢ã, á⮨⠫¨èì ¢§ïâì ¯à ¢¨«ìãî ¯¨à ¬¨¤ã á ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬 ç¨á«®¬ áâ®à® ¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì让 ¢ëá®â®©. ¥¬ á ¬ë¬ ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ã⢥थ¨¥ ® â®ç®á⨠¥à ¢¥á⢠(1) â ª¥ ¤®ª § ®. ä®à¬ã«¨à®¢ ï ¢ëè¥ «¥¬¬ 2 㥠§ ª«îç ¥âáï ¢ ¥à ¢¥á⢥ (1). ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ç «® «¥¨â ¢ ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® ®¯®à®¥ ç¨á«® hi £à ¨ Gi ¡ã¤¥â ¥ ¡®«ìè¥ è¨à¨ë ¬®£®£à ¨ª ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥√ ¤¨ªã«ï஬ ª £à ¨ Gi , â ª ª ª ¢ ᨫã (1) Bi < F/ πFi , ⮠⥬ ¡®«¥¥ √ hi < F/ πFi .
᫨ ¥ ¯«®é ¤¨ ¢á¥å £à ¥© ¥ ¬¥ìè¥ f , â® § ª«îç ¥¬, çâ® ®¯®àë¥ ç¨á« ¢á¥å £à ¥© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤®¬ã ¨ ⮬㠥 ¥à ¢¥áâ¢ã F hi < √ , πf
ª ª â® ¨ ã⢥ठ¥â «¥¬¬ 2. 3. ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬ ⥮६㠨ª®¢áª®£®, ¯®«ì§ãïáì «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ (£« ¢ II, § 2). Ǒãáâì n , . . . , nm | ¤ ë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® § ¬ªã⮥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒ® «¥¬¬¥ 1 áãé¥áâ¢ãîâ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¤«ï ª®â®àëå í⨠¢¥ªâ®àë áãâì ®à¬ «¨ ª £à ï¬. ¤ë© â ª®© ¬®£®£à ¨ª § ¤ ¥âáï m ᢮¨¬¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ h , . . . m, hm , ¨ ¯®â®¬ã ¥£® ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì â®çª®© ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ R á ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hm . Ǒਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯¥à¥¬¥é¥¨ïå ¯«®áª®á⥩, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¬®£®£à ¨ª, ¨ ®¤ ¨§ ¥£® £à ¥©, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¨á祧 ¥â. 1
1
1
2) «ï ¯®«ãç¥¨ï ¡®«¥¥ £àã¡®© ®æ¥ª¨ ¬®® ®¡®©â¨áì ¨ ¡¥§ 㪠§ ®£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® ᢮©á⢠ªà㣠. ®£®ã£®«ì¨ª á ¯¥à¨¬¥â஬ L § ¢¥¤®¬® ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ ª¢ ¤à ⥠ᮠáâ®à®®© L/2, ¯®â®¬ã çâ® ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì ï è¨à¨ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ ¯®«®¢¨ë ¯¥à¨¬¥âà . Ǒ®í⮬㠤«ï ¥£® ¯«®é ¤¨ ¨¬¥¥¬: S < L2 /4 ¨«¨√ L > 2√S. ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ®â 㥠ᮢ¥à襮 í«¥¬¥â àë© ¢ë¢®¤ ¤ ¥â F − S > H S . «®£¨ç® ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯®«ã稬 F − S > HS 21 . n− n−
. VII:
§ 1.
311
Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ h , . . . , hm | ®¯®àë¥ ç¨á« ª ª®£®-¨¡ã¤ì ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª , â® ç¨á« h , . . . , hm , ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨¥ ª í⨬ h , . . . , hm , â ª¥ ¡ã¤ãâ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ ¥ª®â®à®£® ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§®¡à ¥âáï ®âªàëâë¬ ¬®¥á⢮¬ P ¢ 襬 m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ Rm. ¤ ª® ¬ë ¥ ¤®«ë à §«¨ç âì ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç î騥áï ®¤¨ ¨§ ¤à㣮£® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥¥á¥¨¥¬, ¯®â®¬ã çâ® ®à¬ «¨ ¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© § ¤ îâ ¬®£®£à ¨ª «¨èì á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¤®«ë à áᬠâਢ âì ¥ á ¬®¥ ¬®¥á⢮ P , ¬®£®®¡à §¨¥ P ª« áᮢ à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¯à¥¤¥«¨¬ íâ® ¬®£®®¡à §¨¥.
᫨ ¯«®áª®áâì á ®à¬ «ìî n ¯¥à¥¥á⨠¢¥ªâ®à a, â® ¥¥ à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¯®«ãç ¥â á« £ ¥¬®¥ an. Ǒ®í⮬㠯ਠ¯¥à¥®á¥ ¬®£®£à ¨ª ¢¥ªâ®à a ª ¤®¥ ¥£® ®¯®à®¥ ç¨á«® hi ¯®«ãç ¥â á« £ ¥¬®¥ ani. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª« áá à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¨å ®¯®àë¥ ç¨á« ¨¬¥îâ ¢¨¤ hi + xni , £¤¥ hi (i = 1, . . . , m) | ®¯®àë¥ ç¨á« ®¤®£® ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ í⮣® ª« áá , x | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à. ¢¥á⢠0 1
0
0 1
1
0
0
0
0
hi
0
= hi + xni = hi + xni + yni + zni (i = 1, . . . , m) 0
0
x
y
z
¯à¨ ¤ ëå hi ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢ ¯à®áâà á⢥ Rm âà¥å¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮. ᥠRm ¬®¥â ¡ëâì à §«®¥® â ª¨¥ âà¥å¬¥àë¥ ¯à®áâà á⢠; ¢á¥ ®¨ ¯ à ««¥«ìë ¬¥¤ã ᮡ®© ¨ ®¡à §ãîâ (m − 3)-¬¥à®¥m−¬®£®®¡à §¨¥ Rm− . m ®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥, çâ® R ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï ¢ R ¢¤®«ì íâ¨å âà¥å¬¥àëå ¯à®áâà á⢠. ®£¤ ¬®¥á⢮ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï ¢ ¬®¥á⢮ P ª« áᮢ à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ª ª ª P ®âªàëâ®, â® P â ª¥ ®âªàëâ® ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© (m − 3)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ ¢ á¬ëá«¥ ¯à¨ï⮣® ¬¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (¯ 6 § 8 £« ¢ë II). â® ¬®£®®¡à §¨¥ P ¬ë ¨ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì. ®¥ç®, ¢¬¥á⮠⮣®, ç⮡ë à áᬠâਢ âì ª« ááë ¬®£®£à ¨ª®¢, ¬®® ¢ë¡¨à âì ¯® ¬®£®£à ¨ªã ¨§ ª ¤®£® ª« áá ¨ ¨¬¥âì ¤¥«® á í⨬¨ ¬®£®£à ¨ª ¬¨. áᬮâਬ ⥯¥àì ¬®¥á⢮ ¢á¥å ᮢ®ªã¯®á⥩ ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« F , . . . , Fm â ª¨å, çâ® m X Fi ni = 0. (7) 0
3
3
3)
0
0
o
1
i=1
3) â® ¯®¤®¡® ⮬ã, ª ª âà¥å¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ à §« £ ¥âáï ¯ à ««¥«ìë¥ ¯«®áª®áâ¨, ®¡à §ãî騥 ®¤®¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥. ¤®«ì íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ¯à®áâà á⢮ ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï ¢ ¯àï¬ãî.
312
. .
â® ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ ¥â âਠ«¨¥©ëå ãà ¢¥¨ï ¨ ¯®â®¬ã ¢ë¤¥«ï¥â ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ Fi (m − 3)-¬¥à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮. ãá«®¢¨¥, çâ® ¢á¥ Fi > 0, ¢ë¤¥«ï¥â ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯®«®¨â¥«ìë© ª®®à¤¨ âë© ã£®«. Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥£® á 㪠§ ë¬ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, ®ç¥¢¨¤®, ®âªàë⮥ ¢ë¯ãª«®¥ (m − 3)¬¥à®¥ ¬®¥á⢮. â® ¬®¥á⢮ ¨ ¡ã¤¥â ¬®£®®¡à §¨¥¬ F ¤®¯ãá⨬ëå § 票© ç¨á¥« F , . . . , Fm. ª ª ª áãé¥áâ¢ãîâ ¬®£®£à ¨ª¨ á ®à¬ «ï¬¨ ni , ¯«®é ¤¨ ¨å £à ¥© ¯®«®¨â¥«ìë ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (7), ⮠⥬ á ¬ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥ F ¥ ¯ãáâ®. â ª ª ª F ¥áâì ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮, â® ®® ª ⮬㠥 ¨ á¢ï§®. 4. ®£®®¡à §¨ï P ¨ F ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ç¨á«® ¨§¬¥à¥¨©. «¥¥, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ F . ¬¥® ª ¤®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P (¨«¨ ª« ááã) ¨§ P áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ᮢ®ªã¯®áâì ¯«®é ¤¥© ¥£® £à ¥© (F , . . . , Fm ).
᫨ ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ϕ ¥áâì ®â®¡à ¥¨¥ P ¢á¥ F , ⮠⥮६ ¨ª®¢áª®£® ¡ã¤¥â ¤®ª § . ¤«ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ãáâ ®¢¨âì, çâ® ϕ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ (§ 2 £« ¢ë II). Ǒ஢¥à¨¬ ¢ë¯®«¥¨¥ íâ¨å ãá«®¢¨© ¯® ¯®à浪ã. á«®¢¨¥ ¯¥à¢®¥ âॡã¥â, çâ®¡ë ¢ ª ¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ ¬®£®®¡à §¨ï F ¡ë«¨ ®¡à §ë â®ç¥ª ¨§ P . ¤ ®¬ á«ãç ¥ F á¢ï§®, â. ¥. á®á⮨⠨§ ®¤®© ª®¬¯®¥âë, ¨ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥®, ¯®â®¬ã çâ® ¢ F ᮤ¥à¨âáï ®¡à § ¬®£®®¡à §¨ï P . â®à®¥ ãá«®¢¨¥ âॡã¥â ¢§ ¨¬®© ®¤®§ ç®á⨠®â®¡à ¥¨ï ϕ. ® ¯® ¤®ª § ®¬ã ¢ § 3 £« ¢ë VI § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à ¢«¥¨¥¬ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ ᢮¨å £à ¥© ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á . íâ® ¨ ®§ ç ¥â, ç⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ϕ ¬¥¤ã ª« áá ¬¨ à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ni, á ®¤®© áâ®à®ë, ¨ ᮢ®ªã¯®áâﬨ ¯«®é ¤¥© ¨å £à ¥© (F , . . . , Fm), á ¤à㣮© áâ®à®ë, ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. à¥âì¥ ãá«®¢¨¥ | ¥¯à¥à뢮áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ | ¢ë¯®«ï¥âáï ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬: ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¯ã⥬ á¬¥é¥¨ï ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© ¯«®é ¤¨ ¨å ¬¥ïîâáï k¥¯à¥à뢮. áâ ¥âáï ç¥â¢¥à⮥ ãá«®¢¨¥: ¥á«¨ â®çª¨ F = (F k , . . . , Fmk ) (k = 1, 2, . . . ) ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï F ïîâáï ®¡à § ¬¨ â®ç¥ª P k ¨§ P ¨ F k á室ïâáï ª â®çª¥ F = (F , . . . , Fm ), â® ¢ P áãé¥áâ¢ã¥âkâ®çª P , ª®â®à ï ®â®¡à ¥âáï ¢ F , ¨ ¨¬¥¥âáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì P ¨§ â®ç¥ª P k , á室ïé ïáï ª P . 묨 á«®¢ ¬¨: ¥á«¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© F k , . . . , Fmk ¥ª®â®àëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P k á室ïâáï ª ¥ª®â®àë¬ ¯®«®¨â¥«ìë¬ ç¨á« ¬ F , . . . , Fm , â® 1
1
1
1
1
i
1
1
4) Ǒ®
4)
ãá«®¢¨î ᮢ®ªã¯®áâì (F1 , . . . , Fm ) ¤®« m ¯à¨ ¤«¥ âì F ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ Fi ¤®«ë ¡ëâì ¯®«®¨â¥«ìë, à ¢¥á⢮ P ni Fi = 0 ¤«ï ç¨á¥« Fi á«¥¤ã¥â ¨§ i=1 ⮣®, çâ® í⮬ã à ¢¥áâ¢ã 㤮¢«¥â¢®àïîâ ç¨á« Fik , á室ï騥áï ª Fi .
. VII:
§ 2.
Ǒ
313
¨¬¥¥âáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì P k ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ P k , á室ïé ïáï ª ¬®£®£à ¨ªã P , ª®â®àë© ª ª à § ¨¬¥¥â ¯«®é ¤¨ £à ¥© F , . . . , Fm . ®, çâ® íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï, ¥¬¥¤«¥® á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 2. ¥©á⢨⥫ì®, à § ç¨á« Fik á室ïâáï ª ¯®«®¨â¥«ìë¬ ç¨á« ¬ Fi, â® ¢á¥ ®¨ § ª«îç¥ë ¢ ¥ª®â®àëå ¯®«®¨â¥«ìëå £à ¨æ å. Ǒ®í⮬㠯«®é ¤¨ ¬®m P £®£à ¨ª®¢ P k , à ¢ë¥ Fik , ¥ ¯à¥¢®á室ïâ ¥ª®â®à®£® F , ¯«®é ¤¨ i Fik ª ¤®© £à ¨ ¥ ¬¥ìè¥ ¥ª®â®à®£® f > 0. ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ¯¥à¥¥áï ¬®£®£à ¨ª¨ P k â ª, ç⮡ë ç «® «¥ «® ¢ãâਠ¨å ¢á¥å, ¯®«ã稬 ¢á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë 2, çâ® ¨å ®¯®àë¥ ç¨á« ®£à ¨ç¥ë ¢ ᮢ®ªã¯®áâ¨. ª ª ª ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¬®£®£à ¨ª¨ «¨èì á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á , ⮠㪠§ ë© ¢ë¡®à ¨å ¯®«®¥¨ï ¢¯®«¥ ¢®§¬®¥. ® ª®£¤ ¢á¥ ®¯®àë¥ ç¨á« ®£à ¨ç¥ë, â® ¨§ ¨å ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ¥¬ á ¬ë¬ ¡ã¤ãâ á室¨âìáï ¯«®áª®á⨠£à ¥© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ P k , â. ¥. ¡ã¤ãâ á室¨âìáï á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨. Ǒ।¥«ìë© ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¨¬¥âì, ®ç¥¢¨¤®, ¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ¯«®é ¤¥© £à ¥© Fi. â ª, ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ â ª¥ ¢ë¯®«¥®, ¨, ¯à¨¬¥ïï íâã «¥¬¬ã, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¤®© ¤®¯ãá⨬®© ᮢ®ªã¯®á⨠ç¨á¥« F , . . . , Fm ®â¢¥ç ¥â ¬®£®£à ¨ª á â ª¨¬¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©; ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ¤®ª § . 5. ¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥ è¨ à áá㤥¨ï ¤®á«®¢® ¯®¢â®àïîâáï ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© ®¡ ®¯à¥¤¥«ï¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© ¢ n-¬¥à®¬ á«ãç ¥. â n-¬¥à ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¡ã¤¥â ¤®ª § ¢ § 3 £« ¢ë VIII. i
1
=1
i
1
§ 2. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© ¯® ¨ª®¢áª®¬ã
¤¥áì ¬ë ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮩ ¥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©, ¯à¥¤«®¥®¥ á ¬¨¬ ¨ª®¢áª¨¬. ® § ¬¥ç â¥«ì® á¢®¥© ¯à®áâ®â®© ¨ ¢ë£®¤® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¤ ®£® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ⥬, çâ® ¥ ®¯¨à ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⥮६㠥¤¨á⢥®áâ¨. ® ¯à®¢®¤¨âáï ᮢ¥à襮 ®¤¨ ª®¢® ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. ¤ ª® ¬¥â®¤ ¨ª®¢áª®£® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â 襣® ¬¥â®¤ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¯à¨á¯®á®¡«¥ ¨¬¥® ª ¤ ®© ⥮६¥, ¨ ¯à¨¬¥¥¨¥ «®£¨ç®© ¨¤¥¨ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ¤à㣨å ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮢ¥à襮 ®âªàëâãî ¯à®¡«¥¬ã. ¥© ¬ë ¥é¥ ᪠¥¬ ¥áª®«ìª® á«®¢ ¢ § ª«î票¥ í⮣® ¯ à £à ä . 1.
314
. .
2. 祬 á ¥ª®â®àëå ¯à®áâëå § ¬¥ç ¨©. ç «¥ § 1 ¡ë«® 㪠§ ®, çâ® ¢ ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£® ¬®® § à ¥¥ âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¤ ë¥ ¢¥ªâ®àë ni ¥ ¡ë«¨ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® § ¬ªã⮥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒ®í⮬㠡㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ ¤ ë ¯®¯ à® à §«¨çë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë n , . . . , nm , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 í⮬ã ãá«®¢¨î. Ǒ஢¥¤¥¬ ¨§ ç « ª®®à¤¨ â O «ãç¨ li ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¤ ëå ¢¥ªâ®à®¢ ni ¨ ª ¤ë© «ãç ¯¥à¥á¥ç¥¬ ¯«®áª®áâìî Qi , ¥¬ã ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ¨ 㤠«¥®© ®â O ¯®«®¨â¥«ì®¥ à ááâ®ï¨¥ hi. ª ¯®ª § ® ¢ «¥¬¬¥ 1 § 1, í⨠¯«®áª®á⨠®£à ¨ç¨¢ îâ ¥ª®â®àë© ª®¥çë© â¥«¥áë© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®áª®«ìªã «ãç¨ li § ¤ ë, ¬®£®£à ¨ª P ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ááâ®ï¨ï¬¨ hi ¯«®áª®á⥩ Qi ®â ç « O. ®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ìëå hi ¥ ª ¤ ï ¯«®áª®áâì Qi ¡ã¤¥â ª á âìáï ¬®£®£à ¨ª P , â ª çâ® ® ¬®¥â ¨ ¥ ¨¬¥âì ¢á¥å £à ¥© á ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm . 㤥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¥§ ¢¨á¨¬® ®â «¨ç¨ï ã ¨å ¢á¥å £à ¥© á ®à¬ «ï¬¨ ni. ¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì äãªæ¨ï à ááâ®ï¨© hi ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥£® ¯«®áª®á⥩ ®â ç « O. ¥¬¬ . ¡ê¥¬ V ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ç¨á¥« hi , ¯à¨ç¥¬ ∂V /∂hi = Fi , £¤¥ Fi | ¯«®é ¤ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ 1
1
¬®£®£à ¨ª
P
¨«¨ ã«ì, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì
Qi
¥ ¤ ¥â ¬®£®£à ¨ª¥
P
¨ª ª®© £à ¨.
Ǒãáâì ¯«®áª®áâì Qi ¤ ¥â ¬®£®£à ¨ª¥ P £à ì á ¯«®é ¤ìî Fi. ¬¥á⨬ íâã ¯«®áª®áâì ¯ à ««¥«ì® ¬ «®¥ à ááâ®ï¨¥ hi, â. ¥. ¤ ¤¨¬ ç¨á«ã hi ¯à¨à 饨¥ hi. ®£¤ , ¥á«¨ hi > 0, â® ª ¬®£®£à ¨ªã ¯à¨¡ ¢¨âáï ¥ª®â®à ï ç áâì á ¢ëá®â®© hi, ª®â®à ï á â®ç®áâìî ¤® ¬ «ëå ¢ëá襣® ¯®à浪 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¨§¬ã á ®á®¢ ¨¥¬ Fi. Ǒ®í⮬㠣« ¢ ï ç áâì ¯à¨à é¥¨ï ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â dV = Fihi. «®£¨ç®, ¯à¨ hi < 0 ®â ¬®£®£à ¨ª ®â¨¬ ¥âáï ç áâì, ¬ «® ®â«¨ç îé ïáï ®â ¯à¨§¬ë. Ǒ®í⮬㠢®®¡é¥ dV = Fihi ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ∂V ∂hi
= Fi .
᫨ ¯«®áª®áâì Qi ¢®¢á¥ ¥ ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª P , â® ¬ «®¥ ¥¥ ᬥ饨¥ ¥ ¬¥ï¥â ¥£®, ¯®â®¬ã ¢ í⮬ á«ãç ¥ ∂V /∂hi = 0. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì Qi ¢®¢á¥ ¥ ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª ¯® ॡàã L. ®£¤ ¯à¨ ᬥ饨¨ ¥¥ ®â ¬®£®£à ¨ª , â.¥. ¯à¨ hi > 0, ¬®£®£à ¨ª ¥ ¬¥ï¥âáï ¨ V = 0.
᫨ ¥ ¯«®áª®áâì Qi ᬥé âì ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ¢§ïâì hi < 0, â® ®â ¬®£®£à ¨ª ®â¨¬¥âáï ¡àã᮪ á ¤«¨®©, à ¢®© ¤«¨¥ ॡà L, ¨ á ¯®¯¥à¥çë¬ á¥ç¥¨¥¬, ¯«®é ¤ì ª®â®à®£® ¡ã¤¥â, ª ª ®ç¥¢¨¤®, ¢¥«¨ç¨®© ¯®à浪 (hi) (à¨á. 132). Ǒ®í⮬㠮¡ê¥¬ ¡àã᪠, â. ¥. ã¡ë«ì ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª , ¡ã¤¥â ¯®à浪 (hi) , â ª çâ® dV = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â § ª hi ¯®«ãç ¥¬, çâ® ∂V /∂hi = 0. 2
2
. VII:
§ 2.
Ǒ
315
᫨, ª®¥æ, ¯«®áª®áâì Qi ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª P ¢ ¢¥à訥, â® ®¯ïâì-â ª¨ ¯à¨ hi > 0 ¡ã¤¥â dV = 0, ¯à¨ hi < 0 ®â ¬®£®£à ¨ª ®â¨¬¥âáï ¯¨à ¬¨¤ ¢ëá®â®© |hi| ¨ ®¡ê¥¬ ¥¥ |V | ¡ã¤¥â ¯®à浪 |hi | . Ǒ®í⮬㠨 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ∂V /∂hi = 0.
᫨ ¯«®áª®áâì Qi ¥ ¤ ¥â ¬®£®£à ¨ª¥ P ¨ª ª®© £à ¨, â® ¥áâ¥á⢥® áç¨â âì, çâ® â ª ï £à ì ¢á¥ ¥ ¥áâì, ® ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¯«®é ¤ì. Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨¨ ä®à¬ã« ∂V /∂hi = Fi ¢¥à ¡¥§ ®£®¢®à®ª. 3. ¥¯¥àì ®¡à ⨬áï ¥¯®á।á⢥®ª ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£®. Ǒãáâì n , . . . , nm | ¤ ë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¨ F , . . . , Fm | ¤ ë¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î m X Fi ni = 0. (1) 3
1
0 1
0
0
i=1
áᬮâਬ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P , ®£à ¨ç¥ë¥ ¯«®áª®áâﬨ Qi, â ª ¥ ª ª ¢ ¯ 2. ááâ®ï¨ï hi íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ®â ç « ¯®¨á. 132 «®¨â¥«ìë. ।¨ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ë¤¥«¨¬ â¥, ª®â®àë¥ ®£à ¨ç¥ë ¯«®áª®áâﬨ Qi á à ááâ®ï¨ï¬¨ ®â ç « hi, ¯®¤ç¨¥ë¬¨ ãá«®¢¨î o
m X
hi Fi0
i=1
= 1.
(2)
Ǒ®ª ¥¬, çâ® á।¨ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥áâì ¬®£®£à ¨ª ¨¡®«ì襣® ®¡ê¥¬ . m
᫨ ç¨á« hi ¤®áâ â®ç® ¬ «ë, â® P hiFi < 1, ¥á«¨ ¥ ®¨ ¢¥«¨ª¨, i m P â®, ¯® ¯®«®¨â¥«ì®á⨠¢á¥å Fi , hiFi > 1. âáî¤ ïá®, çâ® á ¥¯à¥i àë¢ë¬ 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á¥« hi, ç¨ ï ®â ¬ «ëå § 票©, ¯®«ã稬 â ª¨¥ ç¨á« , çâ® ãá«®¢¨¥ (2) ¡ã¤¥â ¢ë¯®«¥®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª¨ á ãá«®¢¨¥¬ (2) áãé¥áâ¢ãîâ. 票ï ç¨á¥« hi, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î (2), ®£à ¨ç¥ë, ¯®â®¬ã çâ® ¢á¥ ®¨ ¯®«®¨â¥«ìë, â ª¥ ¢á¥ Fi > 0, â ª çâ® ª ¤®¥ hi < 1/Fi . Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª¨ P á ãá«®¢¨¥¬ (2) ®£à ¨ç¥ë ¢ ᮢ®ªã¯®á⨠¨ ¤«ï ¨å áãé¥áâ¢ã¥â â®ç ï ¢¥àåïï £à ¨æ ®¡ê¥¬®¢. ª ª ª ®¡ê¥¬ § ¢¨á¨â ®â ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ®â ç¨á¥« hi, ¥¯à¥à뢮, â® íâ ¢¥àåïï £à ¨æ ¤®á⨣ ¥âáï ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¬®£®£à ¨ª P . ¤ ª® íâ®â ¬®£®£à ¨ª 0
=1
0
0
=1
0
0
0
0
316
. .
¬®£ ¡ë ¨¬¥âì ¥ ¢á¥ hi > 0, â. ¥. ¥ª®â®àë¥ hi ¬®£«¨ ¡ë à ¢ïâìáï ã«î; ⮣¤ ® ¥ ¯à¨ ¤«¥ « ¡ë à áᬠâਢ ¥¬®© ᮢ®ªã¯®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¢á¥ ¥ ¬ ªá¨¬ã¬ ®¡ê¥¬ ¤®á⨣ ¥âáï â ª¥ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ã ª®â®àëå ¢á¥ hi > 0. «ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ᬥáâ¨âì ¯«®áª®á⨠Qi , ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¬®£®£à ¨ª P , ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¢¥ªâ®à a, â® ¬®£®£à ¨ª P â ª¥ ᬥáâ¨âáï ¢¥ªâ®à a ¨ ®¡ê¥¬ ¥£® ¥ ¨§¬¥¨âáï. Ǒ®í⮬ã, ¢ë¡à ¢ ᬥ饨¥ â ª, ç⮡ë ç «® ®ª § «®áì ¢ãâਠᬥ饮£® ¬®£®£à ¨ª , ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P á ⥬ ¥ ®¡ê¥¬®¬ ¨ á® ¢á¥¬¨ hi > 0. Ǒ®ª ¥¬, çâ® íâ®â ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ¤«¥¨â à áᬠâਢ ¥¬®© ᮢ®ªã¯®áâ¨, â.¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (2). ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì Qi á ®à¬ «ìî ni ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¥ª®â®àë© ¢¥ªâ®à a, â® ¥¥ à ááâ®ï¨¥ ®â ç « hi § ¬¥ï¥âáï hi + nia. Ǒ®í⮬㠯®á«¥ ᬥ饨ï á㬬 (2) § ¬¥¨âáï 0
0
0
0
0
1
1
0
0
X i=1
(hi + ni a) Fi = 0
0
X
h0i Fi0
+a
i
0
X
ni Fi0 .
i
® ¯® ãá«®¢¨î (1), «®¥®¬ã ç¨á« Fi , ni Fi = 0, ¬®£®£à i ¨ª P 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (2), â ª çâ® P hi Fi = 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, 0
0
0
P
0
0
i
X
(hi + ni a) Fi = 1, 0
i
â. ¥. ¤«ï ᬥ饮£® ¬®£®£à ¨ª P ãá«®¢¨¥ (2) â ª¥ ¢ë¯®«¥®. â ª, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® á।¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P á ãá«®¢¨¥¬ (2) ¨ á® ¢á¥¬¨ hi > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª ¨¡®«ì襣® ®¡ê¥¬ . ª ª ª ¯® «¥¬¬¥, ¤®ª § ®© ¢ ¯ 2, ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ç¨á¥« h , . . . , hm , â® à¥çì ¨¤¥â ® ¬ ªá¨¬ã¬¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© äãªæ¨¨ V (h , . . . , hm ) ¯à¨ ãá«®¢¨¨ (2). ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ᮣ« á® ¨§¢¥áâ®¬ã ¯à ¢¨«ã £à , ¯à¨ ¬ ªá¨¬ã¬¥ ¤®«® ¡ëâì 0
o
1
1
" ∂ V h 1 , . . . , hm ∂hi
#
( ) + λ Fi hi = 0 (i = 1, 2, . . . , m), (3) i £¤¥ λ | ¥ª®â®àë© ç¨á«¥ë© ¬®¨â¥«ì (á¬., ¯à¨¬¥à, [217, ¯ 202℄).
᫨ Fi | ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P á ¨¡®«ì訬 ®¡ê¥¬®¬, ⮠ᮣ« á® «¥¬¬¥ ∂V /∂hi = Fi (¯®¬ï ãá«®¢¨¥ ® £à ïå ã«¥¢®© ¯«®é ¤¨). Ǒ®í⮬㠨§ (3) µFi = Fi (i = 1, . . . , m), (4) £¤¥ µ = −1/λ. X
1
0
o
1
1
1
0
. VII:
§ 2.
Ǒ
317
¢¥á⢠(4) ®§ ç îâ, çâ® ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ¯à®¯®à樮 «ìë ¤ ë¬ ç¨á« ¬ F√i ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥ ¯®«®¨â¥«ìë.
᫨ 㢥«¨ç¨âì ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤®¡® ¢ √µ à §, â® ¯«®é ¤¨ ¥£® £à ¥© áâ ãâ à ¢ë¬¨ µFi = Fi . ¥¬ á ¬ë¬ ¢ µ à § 㢥«¨ç¥ë© ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â ¤ ë¥ ¯«®é ¤¨ £à ¥© Fi , ¨ ⥮६ ¤®ª § . ᥠíâ® à áá㤥¨¥ ¢¥à®, ª®¥ç®, ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© n, á⮨⠫¨èì § ¬¥¨âì ª®íää¨æ¨¥â ¯®¤®¡¨ï √µ √1 µ. 4. ¤¥ï ¨§«®¥®£® ¤®ª § ⥫ìá⢠¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢® ¬®£¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠å áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨, ¯à¨¬¥à, ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ® ¡ë« ¯à¥¤«®¥ ¥é¥ . ¨¬ ®¬. Ǒãáâì âॡã¥âáï ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª ª®£®-«¨¡® ®¡ê¥ªâ A, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ¤ ë¬ ãá«®¢¨ï¬ B . Ǒ®¤¡¨à ¥âáï â ª ï äãªæ¨ï f ®¡ê¥ªâ A, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠ª®â®à®© ¯à¨¢®¤ïâ ç¨áâ® ä®à¬ «ìë¬ ¯ã⥬ ª ⮬ã, çâ® ¥á«¨ f (A) ¨¬¥¥â ¯à¨ A = A íªáâ६ã¬, â® A 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ B , ¨«¨, ª ª ¢ ⥮६¥ ¨ª®¢áª®£®, | ãá«®¢¨ï¬, ¯à®áâ® á¢ï§ ë¬ á B (à ¢¥á⢠(4)). ®£¤ § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⮣®, çâ® äãªæ¨ï f (A) ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ (¬¨¨¬ã¬ ) ¨ çâ® ª ¥© ¯à¨«®¨¬ë ä®à¬ «ìë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠. ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ®¡ê¥ªâ A § ¤ ¥âáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¯ à ¬¥â஢, ª ª, ¯à¨¬¥à, ¬®£®£à ¨ª, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬ (¬¨¨¬ã¬ ) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮áâìî äãªæ¨¨ f , ¯à¨«®¨¬®áâì ãá«®¢¨© íªáâ६㬠| ¥¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâìî.
᫨ ¥ ®¡ê¥ªâ A § ¤ ¥âáï ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¯ à ¬¥â஢ (¨«¨ äãªæ¨©), ª ª, ¯à¨¬¥à, ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¢ë¯ãª«®¥ ⥫®, â® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ®¡®¨å íâ¨å ¯ãªâ®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤¥«®¬ £®à §¤® ¡®«¥¥ á«®ë¬. ¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¡ë«® ¤®ª § ® ¬®© ¢ [6℄ ®á®¢ ¨¨ í⮩ ¨¤¥¨. ®à¬ã«¨à®¢ª í⮣® ®¡®¡é¥¨ï ¤ ¥âáï ¤ «ìè¥ ¢ ¯ 2 § 6. . «ï誥 ¨ . ¥à£«®âæ ¢ [246℄ ¬¥â¨«¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¥©«ï (á¬. ¯ 3 § 3 £« ¢ë V), ®á®¢ ®¥ ⮩ ¥ ¨¤¥¥ íªáâ६㬠, ® ®áãé¥á⢨âì ¥£® ¨¬ ¥ 㤠«®áì: ®¡ ®â¬¥ç¥ëå ¬¨ ¯ãªâ ®áâ «¨áì ã ¨å ¥¤®ª § 묨 . áâà®ã¬¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ⥫ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¤«ï ¤ ®© ®¡« á⨠®¡ê¥ªâ®¢ A ¨ ãá«®¢¨© B ¯®¤®¡à âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî äãªæ¨î f (A). â¥à¥á®©, ®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, âà㤮© § ¤ 祩 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ©â¨ í⮬ ¯ã⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤à㣨å ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢, â.¥. ¯®¤®¡à âì ¤«ï ª ¤®© ¨§ ¨å ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî äãªæ¨î ¬®£®£à ¨ª f (A).
᫨ ¡ë í⮠㤠«®áì, â® ¬¥â®¤ ¬ ªá¨¬ã¬ ®ª § «áï ¡ë áâ®«ì ¥ ®¡é¨¬, ª ª ¨ è ¬¥â®¤ ®â®¡à ¥¨©. ¥ ¬®£ã §¤¥áì ¢ë᪠§ âì ¨ª ª¨å £¨¯®â¥§ ¯® ¯®¢®¤ã ¢®§¬®®£® à¥è¥¨ï ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨; ¥¤¨1
0
1
1
0
1
0
n−
0
0
0
0
0
o
o
5)
5) ¥¯¥àì í⮠ᤥ« ® ..®«ª®¢ë¬ [84, 86℄ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬, ¯® áãé¥áâ¢ã, í«¥¬¥â àëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨¤¥©. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
318
. .
áâ¢¥ë¬ ãª § ¨¥¬ ¤«ï á«ãç ï ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¬®¥â á«ã¨âì à ¡®â . «ï誥 ¨ . ¥à£«®âæ . ® ¢ ¥© ¨¤¥â à¥çì ®¡ «¨â¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå®áâïå ¨ ¯¯ à ⥠ਬ ®¢®© £¥®¬¥âਨ. Ǒ®ïâ¨ï, «®£¨çë¥ ¯®ïâ¨ï¬ í⮩ £¥®¬¥âਨ, ¢®®¡é¥ ¯®ª ¥é¥ ¥ ¯¥à¥¥á¥ë ¬®£®£à ¨ª¨. ¬ ¯® ᥡ¥ § ¤ ç â ª®£® ¯¥à¥¥á¥¨ï ¨¬¥¥â ç१¢ëç ©®¥ § 票¥. § 3. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©
í⮬ ¨ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä å ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ ª®¥çëå £à ¥© ¨ ¤ 묨 ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©. ¤ ¨¥ íâ¨å ¯®á«¥¤¨å à ¢®á¨«ì® § ¤ ¨î ⮣®, çâ® ¢ëè¥, ¢ § 4 £« ¢ë VI ¡ë«® §¢ ® ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¬®£®£à ¨ª , â. ¥. ®áâ ⪠¬®£®£à ¨ª ¯®á«¥ ¨áª«îç¥¨ï ¢á¥å ¥£® ª®¥çëå £à ¥© ¨ ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ìè¨å ªã᪮¢ ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥©. ¢ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¡¥áª®¥çãî ç áâì, ¥á«¨ ¨å ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¢ ¤®áâ â®ç® ¤ «¥ª®© ®¡« á⨠¯®«®áâìî ᮢ¯ ¤ îâ, íâ®, ®ç¥¢¨¤®, ¡ã¤¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ᮢ¯ ¤ îâ ¯«®áª®á⨠íâ¨å £à ¥©. á«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå § ¤ ë¥ ¯«®áª®á⨠¡ã¤ãâ ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ª ª®£® ¡ë â® ¨ ¡ë«® ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¡ã¤ãâ ¢ëïá¥ë ¢ § 5 (⥮६ 4 § 5; ®¨ áä®à¬ã«¨à®¢ ë â ª¥ ¢ § 4 £« ¢ë II). ¤¥áì ¥ ¡ã¤¥â § à ¥¥ ¯à¥¤¯®« £ âìáï, çâ® ¤ ë¥ ¯«®áª®á⨠¤ îâ ¡¥áª®¥çãî ç áâì ª ª®£®-¨¡ã¤ì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®í⮬㠣®¢®à¨âì ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ ª®¥çëå £à ¥© ¨ á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî. ª ¡ë«® ¯®ª § ® ¥é¥ ¢ § 5 £« ¢ë I, áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ë¯ãª«ë© áä¥à¨ç¥áª¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¯à¨ç¥¬ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥© «¥ â £à ¨æ¥ í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª . ¥àè¨ë í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª áãâì áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï £à ¥© á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨.
᫨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¯ à ««¥«ìë, â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ãáä¥àã. § í⮣® § ¬¥ç ¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ § ¤ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª , â® § ¤ £à ¨æ ¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¨ ⥬ á ¬ë¬ § ¤ ® â ª¥ á ¬® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥. ᪫î票¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«ãç ©, ª®£¤ £à ¨æ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¥áâì ¡®«ì让 ªàã£, ¯®â®¬ã çâ® ® ¤¥«¨â áä¥àã ¤¢¥ ¯®«ãáä¥àë, ª®â®àë¥ ®¡¥ ¢ë¯ãª«ë. ¤ ª®, ¥á«¨ § ¤ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨, â® ®¯à¥¤¥«¥® ¯à ¢«¥¨¥ íâ¨å ॡ¥à ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¨ 1.
§ 3.
. VII:
319
áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¤®«® ᮢ¯ ¤ âì á ⮩ ¯®«ãáä¥à®©, ¢ ª®â®àãî ¨¤¥â ¢¥ªâ®à, ¯à®â¨¢®¯®«®ë© ¯à ¢«¥¨î ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. â ª, ¥á«¨ § ¤ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª , â® § ¤ ® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®¯à¥¤¥«¥®, ¢ãâàì ª ª®© ç á⨠áä¥àë ¬®£ãâ ¯à ¢«ïâìáï ®à¬ «¨ ¥£® ª®¥çëå £à ¥©. ¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥, ¨¬¥îâáï ¢ ¢¨¤ã ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨. ¥¬¬ .
£à ¨ª ¨
Ǒãáâì
S
Q
| ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ª ª®£®-«¨¡® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®-
| ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥. Ǒãáâì
n1 , . . . , nm
| «î¡ë¥
¯®¯ à® à §«¨çë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ¯à ¢«¥ë¥ ¢ãâàì áä¥à¨ç¥áª®-
S . ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¢ë¯ãª«ë¥ Q, ª®¥çë¥ £à ¨ ª®â®àëå ¨¬¥îâ
£® ¬®£®ã£®«ì¨ª
¬®£®£à ¨ª¨ á ¡¥á-
ª®¥ç®© ç áâìî
¢¥è¨¥ ®à¬ «¨
.
n1 ,
n2 , . . . , nm P0
Ǒãáâì | «î¡®© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî Q. ª ª ª ¢¥ªâ®àë n , . . . , nm ¨¤ãâ ¢ãâàì ¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï S , ⮠⥬ á ¬ë¬ ® ¨¬¥¥â ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠R , R , . . . , Rm á ®à¬ «ï¬¨ n , n , . . . , nm , ¯à¨ç¥¬ í⨠¯«®áª®á⨠¥ ª á îâáï P ¢¤®«ì ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¨«¨ ॡ¥à: ¨ ç¥ ni «¥ «¨ ¡ë £à ¨æ¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª S . Ǒ®í⮬㠯«®áª®áâì R ¬®® ¢¤¢¨ãâì ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª P áâ®«ì ¤ «¥ª®, çâ® ® ®âá¥ç¥â ®â ¥£® ¢á¥ ¥£® ª®¥çë¥ £à ¨. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P á ⮩ ¥ ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî Q ¨ á ¥¤¨á⢥®© ª®¥ç®© £à ìî G , ¨¬¥î饩 ®à¬ «ì n . ª ª ª P ¨¬¥¥â âã ¥ ¡¥áª®¥çãî ç áâì Q, â® ¥£® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¥áâì ⮥ S ¨ ¯®â®¬ã ® ¨¬¥¥â ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠R , . . . , Rm á ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm . ¤¢¨£ ï ¯«®áª®áâì R ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª P â ª, çâ®¡ë ¥ ®âá¥çì ¯®«®áâìî ¥£® £à ì G , ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P , ã ª®â®à®£® ¥áâì ¥é¥ £à ì G á ®à¬ «ìî n . Ǒ®¢â®àïï íâã ®¯¥à æ¨î, ¯à¨¤¥¬ ª ¬®£®£à ¨ªã, ã ª®â®à®£® ¡ã¤ã⠢ᥠª®¥çë¥ £à ¨ á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm ¨ ¨ª ª¨å ¤à㣨å. 2. í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë à áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨; ¬®£®£à ¨ª¨ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¡ã¤ãâ à áᬠâਢ âìáï ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥. ¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¤«ï â¥å ¨ ¤à㣨å, ¯à¨æ¨¯¨ «ì® à §«¨çë. 1
0 1
0 2
2
0
1
0
0 1
0
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
¥®à¥¬ .
Ǒãáâì § ¤ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á
¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥ç®© ¢ ®¤ã áâ®à®ã ¯à¨§¬®©
. Ǒãáâì n | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, ¯à®â¨¢®¯®«®ë© ¯à ¢-
«¥¨î íâ¨å ॡ¥à ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ®¡à §ãî騥 á
n
n1 , . . . , nm
| «î¡ë¥ à §«¨çë¥ ¥¤¨-
®áâàë¥ ã£«ë; ⥬ á ¬ë¬ ®¨ ¯à ¢«¥ë
¢ãâàì ⮩ ¯®«ãáä¥àë, ®£à ¨ç¥®© íª¢ â®à®¬, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¬ ª ª ªãî ¯à ¢«¥
n.
Ǒãáâì, ª®¥æ,
F 1 , . . . , Fm
n,
¢
| â ª¨¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥
320
. .
ç¨á« , çâ® m X i=1
£¤¥
F
(n ni)Fi = F,
| ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¯à¨§¬ë
ª®¥çë¬ à¥¡à ¬.
(1) , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïண® ª ¡¥á, ª®(á¬. à¨á. 68,
®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¥çë¥ £à ¨ ª®â®à®£® ¨¬¥îâ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ni ¨ ¯«®é ¤¨ Fi
á. 109). ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï, «®¥®£® ¢¥ªâ®àë ni , ¡ë« ⮫쪮 çâ® ¢ëïᥠ. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï (1) ¤«ï ç¨á¥« Fi ®ç¥¢¨¤ : ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ n ni ¥áâì ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¯«®áª®áâìî £à ¨ á ®à¬ «ìî ni ¨ ¯«®áª®áâìî ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¯à¨§¬ë , ¯®í⮬ã à ¢¥á⢮ (1) ¢ëà ¥â â®â ä ªâ, çâ® ¯«®é ¤ì F í⮣® á¥ç¥¨ï à ¢ á㬬¥ ¯«®é ¤¥© ¯à®¥ªæ¨© ª®¥çëå £à ¥© ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®£®£à ¨ª . ¬¥â¨¬ ¥é¥, çâ®, ᮣ« á® ¤®ª § ®¬ã ¢ § 4 £« ¢ë VI, ¬®£®£à ¨ª á 㪠§ 묨 ¢ ⥮६¥ ¤ 묨: , ni, Fi | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¢¤®«ì ¥£® ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ®ª ¥¬ èã ⥮६ã, ¯®«ì§ãïáì «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. Ǒ।¥ ¢á¥£® à áᬮâਬ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¨ á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ni . ®£« á® ¤®ª § ®© ¢ëè¥ «¥¬¬¥, â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ. ¤ë© â ª®© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ h , . . . , hm ¥£® ª®¥çëå £à ¥©. â ª ª ª ¯à¨ ¬ «ëå ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨ïå £à ¥© ¨ ®¤ ¨§ ¨å ¥ ¨á祧 ¥â, â® ç¨á« h , . . . , hm ¤®¯ã᪠î⠯ந§¢®«ìë¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ ¤®áâ â®ç® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠¨å § 票©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å «î¡®¬ã ¤ ®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¢®§¬®ëå § 票© ®¯®àëå ç¨á¥« h , . . . , hm, ¢¬¥áâ¥ á ¥© ¨ ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ P , ¨§®¡à §¨âáï ®âªàëâë¬ ¬®¥á⢮¬ P ¢ m-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hm. ¤ ª® ¬ë ¥ ¤®«ë à §«¨ç âì ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç î騥áï ®¤¨ ¨§ ¤à㣮£® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¢¤®«ì ॡ¥à ¯à¨§¬ë , ¯®â®¬ã çâ® ¨ ®¤® ¨§ ¤ ëå: , ni , Fi ¯à¨ í⮬ ¥ ¨§¬¥ï¥âáï. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¤®«ë à áᬠâਢ âì ¥ á ¬® ¬®¥á⢮ P , ¬®£®®¡à §¨¥ P ª« áᮢ ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®«ãç îé¨åáï ¤à㣠¨§ ¤à㣠㪠§ 묨 ¯¥à¥®á ¬¨. ª ª ª ¯¥à¥®á ¢ ¤ ®¬ ¯à ¢«¥¨¨ § ¢¨á¨â ®â ®¤®£® ¯ à ¬¥âà | ¢¥«¨ç¨ë ¯¥à¥®á , â®, ®â®¤¥á⢫ïï ¬®£®£à ¨ª¨, ᮢ¬¥é ¥¬ë¥ â ª¨¬ ¯¥à¥®á®¬, ¬ë ¨áª«îç ¥¬ ®¤ã ¯¥à¥¬¥ãî. Ǒ®í⮬㠬®£®®¡à §¨¥ P ¡ã¤¥â (m − 1)¬¥àë¬. ®ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í⮣® ¬®£®®¡à §¨ï ¯®¢â®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 1
1
1
0
1
0
. VII:
§ 3.
321
ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬®£®®¡à §¨ï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¢ §1 . áᬮâਬ ⥯¥àì ¬®¥á⢮ ¢á¥å ᮢ®ªã¯®á⥩ ¯® m ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« F , . . . , Fm , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ⥮६ë 6)
1
m X i=1
(n ni)Fi = F.
(1)
â® ãá«®¢¨¥ | «¨¥©®¥, ¯®â®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ F , . . . , Fm (m − 1)-¬¥àãî ¯«®áª®áâì. á«®¢¨¥, çâ® ¢á¥ Fi > 0, ¢ë¤¥«ï¥â ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯®«®¨â¥«ìë© ª®®à¤¨ âë© ã£®«.
£® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ á 㪠§ ®© ¯«®áª®áâìî ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë¯ãª«ë¬ (m − 1)-¬¥àë¬ ¬®¥á⢮¬. ® ¨ ¥áâì ¬®£®®¡à §¨¥ F ¤®¯ãá⨬ëå § 票© ç¨á¥« F , . . . , Fm . ª ª ª ¯® ¤®ª § ®© ¢ëè¥ «¥¬¬¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ®à¬ «ï¬¨ ni áãé¥áâ¢ãîâ ¨, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ¯«®é ¤¨ ¨å £à ¥© ¥®¡å®¤¨¬® 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (1), ⮠⥬ á ¬ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥ F ¥ ¯ãáâ®. â ª ª ª ®® ¥áâì ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮, â® ®® ª ⮬㠥 á¢ï§®. â ª, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¬®£®®¡à §¨ï P ¨ F ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© m − 1. ®¯®áâ ¢«ïï ª ¤®¬ã ¬®£®£à ¨ªã, â®ç¥¥, ª« ááã ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§ P ¯«®é ¤¨ ¥£® £à ¥© F , . . . , Fm , ¯®«ãç ¥¬ ®¤®§ 箥 ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ F . áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ϕ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. 1) ª ª ª F á¢ï§®, â® ãá«®¢¨¥, çâ® ¢ ª ¤®© á¢ï§®© ª®¬¯®¥â¥ F ᮤ¥à âáï ®¡à §ë í«¥¬¥â®¢ ¨§ P , ¢ë¯®«ï¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. 2) ª ª ª ¯® ¤®ª § ®¬ã ¢ § 4 £« ¢ë VI ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç® ç áâìî ¨ á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¢¤®«ì ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à, â® ª ¤®© ᮢ®ªã¯®á⨠ç¨á¥« (F , . . . , Fm) ¨§ F ®â¢¥ç ¥â ®¤¨ ª« áá ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§ P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. 1
1
1
1
6)
᫨
a | ¢¥ªâ®à ¯¥à¥®á , â® à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî ni ¯®«ãç ¥â ¯à¨ â ª®¬ ¯¥à¥®á¥ á« £ ¥¬®¥ ni a. Ǒ®í⮬㠮¯®àë¥ ç¨á« h0i § ¬¥ïîâáï hi = h0i + ni a. ª ª ª ¯¥à¥®á ¢®§¬®¥ «¨èì ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¤ ®£® ¢¥ªâ®à n, â® a = an. «¥¤®¢ ⥫ì®, hi = h0i + (ni n)a (i = 1, . . . , m). Ǒਠ¤ ëå hi ¨ ¯¥à¥¬¥®¬ a í⨠ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ hi ¯àï¬ãî. ª ª ª ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ a ¯®áâ®ïë, â® ¢á¥ í⨠¯àï¬ë¥ ¯ à ««¥«ìë. ®çª¨ í⮩ ¯àאַ©, ¯®¯ ¤ î騥 ¢ ®¡« áâì P 0 , ¨§®¡à îâ ¬®£®£à ¨ª¨, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¤à㣠¨§ ¤à㣠¯¥à¥®á ¬¨ ¢¤®«ì n, ¨ ¯®â®¬ã ¯®¤«¥ ⠮⮤¥á⢫¥¨î. â® ®â®¤¥á⢫¥¨¥ ᢮¤¨âáï, ®ç¥¢¨¤®, ª ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨î ®¡« á⨠P 0 (m − 1)-¬¥àãî ¯«®áª®áâì ¢¤®«ì 㪠§ ëå ¯àï¬ëå. Ǒ஥ªæ¨ï ®âªàë⮣® ¬®¥á⢠¥áâì ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮. «¥¤®¢ ⥫ì®, 㪠§ ®¥ ®â®¤¥á⢫¥¨¥ ¤ ¥â ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ P (m − 1)-¬¥à®© ¯«®áª®áâ¨, â.¥. (m − 1)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥.
322
. .
3) ¥¯à¥à뢮áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ ®ç¥¢¨¤ , ¯®â®¬ã çâ® ® ᢮¤¨âáï ª ã⢥थ¨î, çâ® ¯à¨ ¥¯à¥à뢮¬ ¨§¬¥¥¨¨ ®¯®àëå ç¨á¥« ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¨§¬¥ïîâáï ¥¯à¥à뢮. 4) áâ ¥âáï ç¥â¢¥à⮥ ãá«®¢¨¥: ¥á«¨ í«¥¬¥âë F i = (F i, . . . , Fmi ), ïîi 騥áï ®¡à § ¬¨ í«¥¬¥â®¢ P ¨§ P , á室ïâáï ª í«¥¬¥âã F = (F , . . . , Fm ), ¯à¨ ¤«¥ 饬ã F , â® ¨§ P ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â ª, çâ® ¯à¥¤¥« ¥¥ ¡ã¤¥â í«¥¬¥â®¬ P , ®â®¡à î騬áï ¢ F , â.¥. ¥á«¨ ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P i ¯«®é ¤¨ £à ¥© F i, . . . , Fmi á室ïâáï ª ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à¥¤¥« ¬, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ P i, á室ïé ïáï ª ¬®£®£à ¨ªã á ¯à¥¤¥«ì묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. áᬮâਬ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¨ ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm . Ǒ¥à¥¤¢¨¥¬ ¢á¥ í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¢¤®«ì ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à â ª, çâ®¡ë ®¨ ¨¬¥«¨ ®¡éãî ®¯®àãî ¯«®áª®áâì R, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ª ¨å ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬. ®£¤ ¢á¥ ®¨ ®ª ãâáï § ª«îç¥ë¬¨ ¢ ¡¥áª®¥ç®© ¢ ®¤ã áâ®à®ã ¯à¨§¬¥ , ª á ïáì ¥¥ ®á®¢ ¨ï G ¯«®áª®á⨠R. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¢á¥ ¨å ®¯®àë¥ ç¨á« ®£à ¨ç¥ë ¢ ᮢ®ªã¯®áâ¨. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P ᮤ¥à âáï ¢ ¯à¨§¬¥ , ¯«®áª®á⨠¨å £à ¥© ¥¥ ¯¥à¥á¥ª îâ. ¬¥á⥠á ⥬, ¥á«¨ ®¤ ¨§ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ Rk ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯à¨§¬ã ®ç¥ì ¤ «¥ª®, â® ® ¯®«®áâìî ®âᥪ ¥â ®â ¥¥ ®á®¢ ¨¥ G (à¨á. 133). ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª á â ª®© ¯«®áª®áâìî k-© £à ¨ ¥ ¬®¥â ª á âìáï ®á®¢ ¨ï G. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ G ®¤ ¨§ ¯«®áª®á⥩ Rk ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì ¯à¨§¬ã k ®ç¥ì ¤ «¥ª®, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® à ááâ®ï¨ï íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ®â ç « ª®®à¤¨ â, â. ¥. ®¯®àë¥ ç¨á« , ®£à ¨ç¥ë. ® à § ®¯®àë¥ ç¨á« ®£à ¨ç¥ë, â® i¨§ «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï Rk ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. Ǒ«®é ¤¨ £à ¥© íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ á室ïâáï, ¨ ¯à¥¤¥«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ª ª à § ¯à¥¤¥«ìë¥ ¯«®é ¤¨ £à ¥©. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥®. â ª, ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥ë, ⮣¤ ¢¥à¥ ¨ ¥¥ १ã«ìâ â: ¢áïª ï ᮨá. 133 ¢®ªã¯®áâì ç¨á¥« F , . . . , Fm, ¢å®¤ïé ï ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ F , ®â¢¥ç ¥â ¥ª®â®à®¬ã ª« ááã ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï P . ¥¬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ ¤®ª § . 3. ¬¥â¨¬ ¥é¥ ®¤® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮩ ¥ ⥮६ë, ®¯¨à î饥áï áãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. 1
0
0
0 1
0
0
1
1
1
. VII:
§ 3.
323
Ǒãáâì, ª ª ¨ à ìè¥ (á¬. à¨á. 68 á. 109), | ¡¥áª®¥ç ï ¯à¨§¬ , | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, ®¡à â® ¯ à ««¥«ìë© ¥¥ à¥¡à ¬, n , . . . , nm | ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, ®¡à §ãî騥 á n ®áâàë¥ ã£«ë, F | ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¯à¨§¬ë ¨, ª®¥æ, F , . . . , Fm | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î n
1
1
m X i=1
(n ni)Fi = F.
(1)
Ǒãáâì ¥é¥ m , m , . . . , mk | ®à¬ «¨ ª £à ï¬ ¯à¨§¬ë , l , . . . , lk | è¨à¨ ¥¥ £à ¥©, â.¥. ¤«¨ë áâ®à® ¥¥ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï. ®£¤ ¨§ § ¬ªãâ®á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª á® áâ®à® ¬¨ l , . . . , lk á«¥¤ã¥â, çâ® 1
2
1
1
k X
mj lj
j =1
= 0.
(2)
¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ¢®§¬®®á⨠¯®¤®¡à âì â ª¨¥ ç¨á« g , . . . , gk , çâ® ¡ã¤¥â ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ 1
7)
m X i=1
®£¤ , ¥á«¨ ¯®«®¨âì
ni Fi
+
k X j =1
mj gj − nF
= 0.
(3)
= gj + ej M (j = 1, . . . , k), (4) £¤¥ M | «î¡®¥ ¯®«®¨â¥«ì®¥ ç¨á«®, â® ¢ ᨫã à ¢¥á⢠(2) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì Hj
m X i=1
ni Fi −
k X j =1
mj Hj − nF
= 0.
(5)
®§ì¬¥¬ M áâ®«ì ¡®«ì訬, çâ®¡ë ¢á¥ Hj ¡ë«¨ ¯®«®¨â¥«ì묨. ®£¤ , ¯®áª®«ìªã ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ni , mi, −n ¥ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª PM á ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm , 1
7) 롨à ï
®á¨ ¯àאַ㣮«ìëå ª®®à¤¨ â á ®á®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ n, a, bP, ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï (1) 㮠㤮¢«¥â¢®à¨âì ⮫쪮 ¤¢ã¬ à ¢¥á⢠¬: ani Fi + + P ami gi = 0 ¨ â® ¥ á b ¢¬¥áâ® a. ª ª ª ç¨á«® £à ¥© ¯à¨§¬ë ¥áâì k > 3, â® ¨¬¥¥¬ ¤¢ ãà ¢¥¨ï á ¥ ¬¥¥¥ 祬 âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨 g1 , . . . , gk , â ª ç⮠㤮¢«¥â¢®à¨âì ¨¬ ¢á¥£¤ ¢®§¬®®.
324
. .
, ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© F , . . . , Fm , H , . . . , Hk , F . ª ¡ã¤¥â ¯à¨ «î¡®¬ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讬 M > 0. â®â ¬®£®£à ¨ª á®á⮨⠨§ ýè ¯®çª¨þ á ®à¬ «ï¬¨ n , . . . , nm , ý®á®¢ ¨ïþ á ®à¬ «ìî −n ¨ ý¡®ª®¢ëåþ £à ¥© á ®à¬ «ï¬¨ m , . . . , mk ; í⨠£à ¨ ¯ à ««¥«ìë £à ï¬ ¯à¨§¬ë .
᫨ M ¡¥áª®¥ç® 㢥«¨ç¨¢ âì, â® ý¡®ª®¢ë¥þ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤ãâ 㢥«¨ç¨¢ âìáï, â ª ª ª ¯«®é ¤¨ ¤àã£¨å £à ¥© § ¤ ë, â® í⨠£à ¨ ¬®£ãâ ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç® ¢ëâ¢ âìáï. â®á¨â¥«ìë¥ à §®á⨠¨å ¤«¨ ¡ã¤ãâ áâ६¨âìáï ª ã«î, ¯®â®¬ã ¨å ¯«®é ¤¨ Hi ¡ã¤ãâ ®â®á¨âìáï ¯à¨¬¥à®, ª ª ¨å è¨à¨ë. ® ¨§ (4) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¡®«ì讬 M ®â®è¥¨ï ¯«®é ¤¥© Hi ¡«¨§ª¨ ª ®â®è¥¨ï¬ è¨à¨ li £à ¥© ¯à¨§¬ë . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ M → ∞ ¡®ª®¢ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª PM á室ïâáï ª ¡®ª®¢ë¬ £à ï¬ ¯à¨§¬ë . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á« M ý®á®¢ ¨¥þ ¬®£®£à ¨ª PM ®â®¤¢¨£ âì ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, â® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª P∞ á ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî ¨ á ¤ 묨 ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ Fi ª®¥çëå £à ¥©. ¬¥ç¥®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨â¥à¥á® ⥬, çâ® ®® ¥ § ¢¨á¨â ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ®¡®¡é ¥âáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© ¢¬¥áâ¥ á ®¡®¡é¥¨¥¬ ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª . áãé¥á⢫¥¨¥ â ª®£® ®¡®¡é¥¨ï ¬ë ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î, áç¨â ï â¥®à¥¬ë ® § ¬ªã⮬ ¬®£®£à ¨ª¥ 㥠¨§¢¥áâ묨. m, . . . , mk −n
1
1
1
1
§ 4. ¡é ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª
í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ îâáï ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ã ª®â®àëå ¨¬¥îâáï ¥¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à . «ï ¨å ¬®® ¤®ª § âì ⥮६㠣®à §¤® ¡®«¥¥ ®¡éãî, 祬 ¯à®á⮠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ ª®¥çëå £à ¥© ¨ ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî. ¬¥® ¢¬¥áâ® ¯«®é ¤¨ ¬®® à áᬠâਢ âì «î¡ãî äãªæ¨î f (Q) ¬®£®ã£®«ì¨ª , 㤮¢«¥â¢®àïîéãî á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) f (Q) ®¯à¥¤¥«¥ ¤«ï ¢á¥å ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¢ª«îç ï ¯à¥¤¥«ìë¥ á«ãç ¨ ®â१ª ¨ â®çª¨, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ® ¯à¨¨¬ ¥â à ¢ë¥ § 票ï; 2) f (Q) ¬®®â® , â.¥. ¥á«¨ Q ᮤ¥à¨âáï ¢ Q , â® f (Q ) 6 f (Q ) ; 3) f (Q) ¥¯à¥àë¢ , â.¥. ¥á«¨ Qn → Q, â® f (Qn) → f (Q); 4) ¥á«¨ ¯«®é ¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q , Q , . . . , Qn , . . . ¡¥§£à ¨ç® ¢®§à áâ îâ, â® ¨ f (Qn) → ∞. 1.
1
2
1
8) ®®â®®áâì
1
2
8)
2
¢ í⮬ á¬ëá«¥ á« ¡¥¥, 祬 ¢ ⮬ á¬ëá«¥, ¢ ª ª®¬ ® ¯®¨¬ ¥âáï ¢ £«. VI: â ¬ âॡ®¢ «®áì, ç⮡ë f (Q1 ) < f (Q2 ), ¥á«¨ Q1 ᮤ¥à¨âáï ¢ Q2 ¨ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á Q2 . ¯à¨¬¥à, ¤¨ ¬¥âà ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥ ¡ã¤¥â ¬®®â®®© äãªæ¨¥© ¢ â ª®¬ ¡®«¥¥ ᨫ쮬 á¬ëá«¥ (¬®® ®â१ âì ®â ¬®£®ã£®«ì¨ª ç áâì, ¥ 㬥ìè ï ¤¨ ¬¥âà ), ® ¡ã¤¥â ¬®®â®®© äãªæ¨¥© ¢ á¬ëá«¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ®£® ᥩç á ãá«®¢¨ï 2.
. VII:
§ 4.
325
Ǒਬ¥à ¬¨ â ª¨å äãªæ¨© ¬®£ãâ á«ã¨âì ¯«®é ¤ì, ¯¥à¨¬¥âà, ¤¨ ¬¥âà (â.¥. ¨¡®«ì襥 à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ), à ¤¨ãá ¨¬¥ì襣® ᮤ¥à 饣® ¬®£®ã£®«ì¨ª ªà㣠¨ â. ¤. Ǒ®á«¥¤¨¥ âਠ¨§ §¢ ëå äãªæ¨© ¥ ®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¢ëத¨¢è¥£®áï ¢ ®â१®ª. Ǒ¥à¨¬¥âà, ¯à¨¬¥à, à ¢¥ ⮣¤ 㤢®¥®© ¤«¨¥ ®â१ª . á¢ï§¨ á í⨬ ãá«®¢¨¬áï, çâ® ¥á«¨ ã ¬®£®£à ¨ª ¥â £à ¨ á ¤ ®© ®à¬ «ìî n, â® ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ® ¥áâì, ® ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª ¨«¨ â®çªã. ¯à®ç¥¬, ¢ëத¥¨¥ ¢ â®çªã ¬®® ¨áª«îç¨âì, ¯®â®¬ã çâ® «î¡ ï äãªæ¨ï f (Q) ¨¬¥¥â ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª ®¤® ¨ â® ¥ § 票¥, ª®â®à®¥ ¬®® ¯à¨ïâì à ¢ë¬ ã«î, á⮨⠫¨èì ¢ëç¥áâì ¥£® ¨§ äãªæ¨¨ f . Ǒãáâì Q | ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ª ª®£®-«¨¡® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. Ǒத®« ï ¥¥ £à ¨, ¬ë ¥áâ¥á⢥® ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥ ¨¬¥î騩 ª®¥çëå £à ¥©. 祢¨¤®, § ¤ ¨¥ Q íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î â ª®£® ¬®£®£à ¨ª Q. Ǒãáâì R | ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ¬®£®£à ¨ª Q á ®à¬ «ìî n, 㯨à îé ïáï ¢ Q ¥ ¢¤®«ì ¡¥áª®¥ç®£® à¥¡à ¨«¨ £à ¨. ¬®¥â ª á âìáï ¬®£®£à ¨ª Q «¨¡® ¢ ¢¥à訥, «¨¡® ¯® ª®¥ç®¬ã ॡàã. 票¥ äãªæ¨¨ f ¤«ï í⮩ ®¡é¥© ç á⨠RQ ¬ë §®¢¥¬ ¥¥ § 票¥¬ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª Q, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®à¬ «¨ n.
᫨ f | ¯«®é ¤ì, â® íâ® § 票¥ § ¢¥¤®¬® à ¢® ã«î, ª®£¤ RQ | ¢¥àè¨ , ¥á«¨ RQ | ॡà®, â® f (RQ) ¥áâì 㤢®¥ ï ¤«¨ í⮣® ॡà . 0
0
¥®à¥¬ .
Ǒãáâì
Q
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥ ¨¬¥î-
騩 ª®¥çëå £à ¥©. Ǒãáâì
n1 , . . . , nm
| ¢¥ªâ®àë, ¯à ¢«¥ë¥ ¢ãâàì
¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. Ǒãáâì, ¤ «¥¥,
f 1 , . . . , fm
| äãªæ¨¨ ¬®£®-
㣮«ì¨ª , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 áä®à¬ã«¨à®¢ ë¬ ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï¬. ¯ãáâì, ª®¥æ,
a1 , . . . , am
| § 票ï íâ¨å äãªæ¨© ¤«ï ¬®£®£à ¨ª
Q,
®â¢¥-
(äãªæ¨¨ fi ®à¬ «¥© ni). ®£¤ , ª ª®¢ë ¡ë ¨ ¡ë«¨ â ª¨¥, çâ® a < b , . . . , am < < bm , áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£® 1) ¡¥áª®¥ç ï ç áâì â ¥, çâ® ã Q; 2) ª®¥çë¥ £à ¨ ¨¬¥î⠮ଠ«¨ n , . . . , nm ; 3) ¯à¨ ª ¤®¬ i (i = 1, . . . , m) äãªæ¨ï fi ¯à¨¨¬ ¥â ¤«ï £à ¨ á ®à¬ «ìî ni § 票¥ bi . ®£« á® ¯à¨ï⮬ã ãá«®¢¨î, §¤¥áì ¤®¯ã᪠¥âáï, çâ® ¥ª®â®àë¥ £à ¨ ¬®£ãâ ¢ëத âìáï ¢ ॡà . n1 , . . . , nm ç¨á« b1 , . . . , bm ,
ç î騥 ᮮ⢥âá⢥® ®à¬ «ï¬
1
1
1
9)
9) Ǒਬ¥à. Ǒãáâì ¢á¥ äãªæ¨¨ fi ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯¥à¨¬¥âà. (®£¤ ¯® ⥮६¥ 2 4 £«. VI ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 Q, ni , fi (Qi ) = bi | ¥¤¨á⢥ë©.) ®§ì¬¥¬ «î¡®© ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¤®¡ ¢¨¬ ª ¥£® ®à¬ «ï¬ ¥é¥ ®à¬ «ì n ª ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ®¤® ¨§ ¥£® ॡ¥à. ç¨â ï í⮠ॡ஠£à ìî, ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª á ¥ª®â®à묨 Q, ni , f (Qi ). Ǒ® ⥮६¥ 2 § 4 £«. VI ¬®£®£à ¨ª á â ª¨¬¨ ¤ 묨 | ¥¤¨á⢥ë©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤à㣮£® á â ª¨¬¨ ¥ ¤ 묨, ® á ¥¢ëத î饩áï £à ìî á ®à¬ «ìî n ¥â. §
326
. .
¥®à¥¬ í⠯ਠ¤«¥¨â . . Ǒ®£®à¥«®¢ã ¨ ¤ ®¥ ¨¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¥ ®ç¥ì ¯à®áâ®. Ǒãáâì ®¡®§ 票ï Q, ni , fi , ai ¨¬¥îâ á¬ëá«, 㪠§ ë© ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë. Ǒ஢¥¤¥¬ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠ª ¬®£®£à ¨ªã Q á ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ ¢¤¢¨¥¬ ¨å ¢ãâàì Q. ®£¤ ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª, ª®¥çë¥ £à ¨ ª®â®à®£® ¨¬¥î⠮ଠ«¨ ni (á¬. «¥¬¬ã ¯ 1 § 3). Ǒਠ¬ «ëå ᬥ饨ïå 㪠§ ëå ¯«®áª®á⥩ § 票ï äãªæ¨¨ fi ¤«ï íâ¨å £à ¥© ¡ã¤ãâ ¡«¨§ª¨ ª ç¨á« ¬ ai, ª ª íâ® ïá® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï íâ¨å ç¨á¥« ¨ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© fi. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®, ª ª®¢ë ¡ë ¨ ¡ë«¨ ç¨á« bi > ai (i = 1, . . . , m), áãé¥áâ¢ãîâ ¬®£®£à ¨ª¨ á ⮩ ¥ ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî Q ¨ ª®¥ç묨 £à ﬨ Qi á ®à¬ «ï¬¨ ni , ¯à¨ç¥¬ fi (Qi ) 6 bi (i = 1, . . . , m). (1) áᬮâਬ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 í⨬ ãá«®¢¨ï¬. ¤ë© ¨§ ¨å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ hi ¥£® ª®¥çëå £à ¥©. Ǒ®í⮬ã ᮢ®ªã¯®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨§®¡à §¨âáï ¬®¥á⢮¬ P ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hm. § ¥à ¢¥á⢠(1) ¨ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© fi á«¥¤ã¥â, çâ® íâ® ¬®¥á⢮ § ¬ªãâ®. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ®® â ª¥ ®£à ¨ç¥®. ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª¨ P n, ã ª®â®àëå ¯«®áª®á⨠£à ¥© Qni ¯¥à¥á¥ª îâ ¬®£®£à ¨ª Q ¢ ᪮«ì 㣮¤® ¤ «¥ª¨å ç áâïå. ® ¬®£®£à ¨ª Q à áè¨àï¥âáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¨ ¯®â®¬ã ã â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ P n ¯«®é ¤¨ å®âï ¡ë ¥ª®â®àëå £à ¥© Qni ¤®«ë ¯à¨¨¬ âì ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì訥 § 票ï. ⮣¤ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï 4, «®¥®£® äãªæ¨¨ fi, ¡ã¤¥â fi (Qni) → ∞. ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥à ¢¥á⢠¬ (1), ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®£à ¨ç¥®áâì ¬®¥á⢠P ¤®ª § . Ǒ®áª®«ìªã ¬®¥á⢮ P § ¬ªãâ® ¨ ®£à ¨ç¥®, á।¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª P á ¬¨¨¬ «ì묨 ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨, â. ¥. â ª®©, çâ® ¨ ¤«ï ª ª®£® P á ãá«®¢¨ï¬¨ (1) ¥ ¬®¥â ¡ëâì hi 6 hi ¤«ï ¢á¥å i ¨ hi < hi å®âï ¡ë ¤«ï ®¤®£® i . 묨 á«®¢ ¬¨, ¯«®áª®áâì ¨ ®¤®© ¨§ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ¥«ì§ï ¢¤¢¨ãâì ¢ãâàì ¥£®, ¥ àãè ï ãá«®¢¨© (1). í⮣® ¬®£®£à ¨ª äãªæ¨¨ fi ¨¬¥îâ ª ª à § âà¥¡ã¥¬ë¥ § 票ï bi. ¥©á⢨⥫ì®, ¤®¯ãá⨬, ¯à¨¬¥à, çâ® f (Q ) < b . ®£¤ ¯à¨ ¬ «®¬ ᬥ饨¨ £à ¨ Q íâ® ¥à ¢¥á⢮ ¥ àãè¨âáï; ¥á«¨ £à ì Q ᤢ¨ãâì ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª , â® £à ¨, á¬¥ë¥ á Q , 㬥ìè âáï ¨ ¯® ¬®®â®®á⨠äãªæ¨© fi ãá«®¢¨¥ (1) ¤«ï ¨å ¥ àãè¨âáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ ¬ «®¬ ᬥ饨¨ £à ¨ Q ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª P ¬ë ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P á ⥬¨ ¥ ãá«®¢¨ï¬¨ (1). â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«ïî饬㠬¨¨¬ «ì®¬ã ᢮©áâ¢ã ¬®£®£à ¨ª P . o
1
0
0
0
10)
1
1
1
1
1
1
0
1
0
10) 祢¨¤®, ® ¥ ®¡ï§ ¡ëâì ¥¤¨á⢥ë¬.
. VII:
§ 4.
327
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ª P á ¨¬¥ì訬¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ ¤ ¥â âà¥¡ã¥¬ë¥ § 票ï fi(Qi) = bi , ¨ ⥮६ ¤®ª § . § ¤®ª § ⥫ìá⢠ïá®, çâ® ®® ¤®á«®¢® ®¡®¡é ¥âáï ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. 2. áᬮâॠï ⥮६ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¤®ª § á ¯®¬®éìî «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨, ¯®â®¬ã çâ® ¥© ¥ ®â¢¥ç ¥â ⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨. ®¡é¥© ⥮६¥ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ãáâ ®¢«¥®© ¢ § 4 £« ¢ë VI, äãªæ¨¨ fi ¤®«ë ¡ëâì áâண® ¬®®â®ë¬¨ (â.¥. f (Q ) < f (Q ), ¥á«¨ Q ᮤ¥à¨âáï ¢ Q , ® ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á Q ), ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª §¤¥áì âॡã¥âáï «¨èì ¨å ®¡ëç ï ¬®®â®®áâì. ®, çâ® ¯à¨ í⮬ ¡®«¥¥ á« ¡®¬ ãá«®¢¨¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¬®¥â ¥ ¨¬¥âì ¬¥áâ , ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 âਢ¨ «ìë© ¯à¨¬¥à. ¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨î f (Q) ãá«®¢¨ï¬¨: f (Q) = 1, ¥á«¨ ¯«®é ¤ì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬¥ìè¥ ¥¤¨¨æë, ¨ f (Q) à ¢® ¯«®é ¤¨ ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ª ï äãªæ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¢á¥¬ âà¥¡ã¥¬ë¬ ¢ ⥮६¥ ãá«®¢¨ï¬, ® â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠á â ª®© äãªæ¨¥©, â. ¥. ª®£¤ ¢á¥ fi áãâì â ª¨¥ f , ¥â: ã ¢á¥å ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©, ¬¥ì訬¨ ¥¤¨¨æë, § 票ï äãªæ¨¨ f ¤«ï £à ¥© ®¤¨ ¨ ⥠¥: f (Q) = 1. Ǒ®âॡ㥬, ç⮡ë äãªæ¨¨ fi, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ⥮६¥, 㤮¢«¥â¢®à﫨 ¤¢ã¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨ï¬: ) fi áâண® ¬®®â®ë; ¡) ¥á«¨ Q | ®â१®ª, â® fi(Q) = 0. ᨫã ãá«®¢¨ï ¡ ¢á¥ ç¨á« ai , 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ⥮६¥ 1, à ¢ë ã«î; ¯®í⮬㠯ਯ¨áë¢ ¥¬ë¥ äãªæ¨ï¬ fi § 票ï bi ¯®¤ç¨ïîâáï ãá«®¢¨î ¡ëâì ¯®«®¨â¥«ì묨 ¨ ¢á¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ ¢ëத îâáï. Ǒਠ⠪¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨ïå è ⥮६ ¬®¥â ¡ëâì ¤®ª § á ¯®¬®éìî «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. Ǒãáâì P | ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî Q ¨ á ®à¬ «ï¬¨ ni ª ª®¥çë¬ £à ï¬. ® ¨§®¡à ¥âáï ®âªàëâë¬ ¬®¥á⢮¬ ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hm, £¤¥ hi | ®¯®àë¥ ç¨á« ª®¥çëå £à ¥©. (®£®£à ¨ª¨ á £à ﬨ, ¢ëத î騬¨áï ¢ ॡà , ¨áª«îç îâáï, ¨ ⮫쪮 ¢ ᨫã í⮣® 㪠§ ®¥ ¬®¥á⢮ ®ª §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬.) ᥠᮢ®ªã¯®á⨠¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« b , . . . , bm ®¡à §ãîâ ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ b , . . . , bm ¯®«®¨â¥«ìë© ª®®à¤¨ âë© ã£®«, â. ¥. ®âªàë⮥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮. ®£®®¡à §¨¥ B ¢á¥å â ª¨å ᮢ®ªã¯®á⥩ B = (b , . . . , bm ) m-¬¥à® ¨ ¢á«¥¤á⢨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠á¢ï§®. ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P ᮢ®ªã¯®áâì ç¨á¥« (b , . . . , bm ) ¯® ¯à ¢¨«ã: ç¨á«® bi ¥áâì § 票¥ äãªæ¨¨ fi ¤«ï £à ¨ á ®à¬ «ìî ni. ®£¤ ¯®«ã稬 ®¤®§ 箥 ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ B. Ǒਠí⮬ ¢ ᨫã á¢ï§®á⨠¬®£®®¡à §¨ï B ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥® ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. «¥¥, ¢§ ¨¬ ï ®¤®§ ç®áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ 0
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
328
. .
á«¥¤ã¥â ¨§ ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâìî Q, ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ § 票ﬨ äãªæ¨© fi (⥮६ 2 § 4 £« ¢ë VI). ¥¯à¥à뢮áâì ®â®¡à ¥¨ï ϕ ®ç¥¢¨¤ , ¯®â®¬ã çâ® á ¥¯à¥àë¢ë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ®¯®àëå ç¨á¥« £à ¨ ¬¥ïîâáï ¥¯à¥à뢮, äãªæ¨¨ fi ¯® ãá«®¢¨î ¥¯à¥àë¢ë. áâ ¥âáï ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. ¤ ®¬ á«ãç ¥ j j ®® ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. Ǒãáâì ç¨á« b , . . . , bm (j = 1, 2, . . . ) ïîâáï § 票ﬨ äãªæ¨© f , . . . , fm ¤«ï £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P j ¨ á室ïâáï ᮮ⢥âá⢥® ª ¯®«®¨â¥«ìë¬ ç¨á« ¬ b , . . . , bm . ®£¤ ¨§ ¯®á«¥¤®¢ j ⥫ì®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ P ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì P i â ª, çâ® £à ï¬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤ã⠮⢥ç âì § 票ï äãªæ¨© fk , à ¢ë¥ b , . . . , bm . Ǒ®áª®«ìªã ç¨á« bi , . . . , bjm á室ïâáï, ®¨ ®£à ¨ç¥ë ¢ ᮢ®ªã¯®áâ¨. ®âáî¤ , ª ª 㥠¯®ª § ® ¢ ¯à®¢¥¤¥®¬ ¢ëè¥ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë, á«¥¤ã¥â ®£à ¨ç¥®áâì ®¯®àëå ç¨á¥« ¬®£®£à ¨ª®¢ P j . Ǒ®í⮬㠨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ P i ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. á«¥¤á⢨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© fk ¯à¥¤¥«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ¤ ¢ âì ¯à¥¤¥«ìë¥ § 票ï íâ¨å äãªæ¨© fk = bk . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ â ª¥ ¢ë¯®«¥®, ¨, ¯à¨¬¥ïï íâã «¥¬¬ã, ¯®«ãç ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë. 3. Ǒ¥à¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 襩 ⥮६ë, ª®¥ç®, «ãçè¥: ¢®-¯¥à¢ëå, ®® ¥ âॡã¥â § ¨ï â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®áâ¨, ¢®-¢â®àëå, ®® ¥ ¨á¯®«ì§ã¥â ¨ç¥£®, ªà®¬¥ í«¥¬¥â àëå á®®¡à ¥¨© ¨ ®á®¢ëå ᢮©á⢠¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©. Ǒ®í⮬ã á ¬ ⥮६ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®ç⨠áâ®«ì ¥ ¡ «ì®©, ª ª ⥮६ ® ⮬, çâ® ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ¢á¥ ¯à®¬¥ãâ®çë¥ § 票ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ í⮬ ¯ãªâ¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ áãé¥á⢥® ®â«¨ç îâáï ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ § ¬ªãâëå ¨ ¡¥áª®¥çëå á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. «ï íâ¨å ¯®á«¥¤¨å ¬ë ¯®«ã稫¨ £®à §¤® ¡®«¥¥ ç áâë¥ â¥®à¥¬ë, ¢ ª®â®àëå äãªæ¨¨ fi ®§ ç îâ ¯«®é ¤ì, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å ⥮६ ¯à¨æ¨¯¨ «ì® á«®¥¥. ª ï १ª ï à §¨æ ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç® ïáãî ¯à¨ç¨ã. á«ãç ¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¥¤¨á⢥®¥ ãá«®¢¨¥, « £ ¥¬®¥ ¯à¥¤¯¨áë¢ ¥¬ë¥ § ç¥¨ï ¯«®é ¤¨, | íâ® ãá«®¢¨¥ ¯®«®¨â¥«ì®áâ¨. ¤¢ãå ¥ ¤à㣨å á«ãç ïå ¨¬¥îâáï ¥é¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ãá«®¢¨ï; â ª, ¢ á«ãç ¥ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª | ãá«®¢¨¥ § ¬ªãâ®á⨠m X Fi ni = 0. (2) 1
1
0 1
0 1
0
1
0
i=1
0
. VII:
§ 5.
Ǒ
329
ᨫã í⮣® ãá«®¢¨ï ç¨á«® ¯à®¨§¢®«ì® § ¤ ¢ ¥¬ëå ç¨á¥« Fi ®ª §ë¢ ¥âáï ¥ m, m − 3. ª ®® ¨ ¤®«® ¡ëâì, ¯®â®¬ã çâ® ¬®£®£à ¨ª á m £à ﬨ, à áᬠâਢ ¥¬ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á , § ¤ ¥âáï m − 3 ¯ à ¬¥âà ¬¨! «¥¤®¢ ⥫ì®, § ¬ªã⮬㠬®£®£à ¨ªã ¬®® ¯à¨¯¨áë¢ âì ᪮«ìª®¨¡ã¤ì ¯à®¨§¢®«ì® § ç¥¨ï ª ª®©-«¨¡® äãªæ¨¨ f «¨èì ¤«ï m− 3 £à ¥©. «ï âà¥å ®áâ «ìëå £à ¥© § 票ï äãªæ¨© f ¤®«ë ®¯à¥¤¥«ïâìáï ç¥à¥§ í⨠m − 3. ®, ¯à¨¬¥à, ¡¥àï § f ¯¥à¨¬¥âà, ¬ë ¥ ¢¨¤¨¬ ¨ª ª®£® ãá«®¢¨ï, ª®â®à®¥ ¯®¤®¡® (2), ¯®§¢®«¨«® ¡ë ¯® ¯¥à¨¬¥âà ¬ ¥ª®â®àëå m− 3 £à ¥© ©â¨ ¯¥à¨¬¥âàë âà¥å ¤à㣨å. ¥¢®§¬®®á⨠©â¨ â ª¨¥ ãá«®¢¨ï ¨ § ª«îç ¥âáï ¯à¨ç¨ ⮣®, ç⮠⥮६ ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å ¥ ¬®¥â ¡ëâì ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ®¡®¡é¥ . ®¥ç®, ¬®® ¡ë«® ¡ë «¨ç¨¥ â ª®£® ãá«®¢¨ï ¯®âॡ®¢ âì ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ®¡®¡é¥®© ⥮६ë, ¨ ⮣¤ ® ¤®ª §ë¢ « áì ¡ë ¡ãª¢ «ì® â ª ¥, ª ª ¤®ª § ¢ § 1 ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©. ® ¬ë ¥ ¬®¥¬ ¤ âì ¨ ®¤®£® ª®ªà¥â®£® ¯à¨¬¥à äãªæ¨¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª , ª®â®à ï, ¥ ¡ã¤ãç¨ äãªæ¨¥© ⮫쪮 ¯«®é ¤¨, ®¡« ¤ « ¡ë âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬, â.¥. çâ®¡ë ¡ë« ãª § ᯮᮡ ¯® ¥¥ § ç¥¨ï¬ ¤«ï ¢á¥å £à ¥©, ªà®¬¥ âà¥å, ¢ëç¨á«¨âì ¥¥ § 票ï â ª¥ ¨ ¤«ï íâ¨å âà¥å £à ¥©. ¡¥§ í⮣® ¯à¨¬¥à ®¡é ï ⥮६ ®ª §ë¢ ¥âáï ª ª ¡ë ¯ãá⮩, å®âï ¬ë ¬®¥¬ ¨ áä®à¬ã«¨à®¢ âì, ¨ ¤®ª § âì ¥¥. ®¢¥à襮 «®£¨çë¥ § ¬¥ç ¨ï ¬®® ᤥ« âì ¯® ¯®¢®¤ã ®¡®¡é¥¨ï â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. ᥠ¨§«®¥®¥, ¥áâ¥á⢥®, ¯à¨¢®¤¨â ª § ¤ ç¥: ©â¨ ¯à¨¬¥àë äãªæ¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¥ ïîé¨åáï äãªæ¨ï¬¨ ®¤®© ¯«®é ¤¨, ¤«ï ª®â®àëå ¬®® ¡ë«® ¡ë  ®¯à¥¤¥«¨âì (m − 3)-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ ¤®¯ãá⨬ëå § 票© ¢ á«ãç ¥ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª á m £à ﬨ ¨ (m − 1)¬¥à®¥ | ¢ á«ãç ¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¨ m ª®¥ç묨 £à ﬨ. Ǒਧ âìáï, ¬ë ¥ ¢¨¤¨¬ ¨ª ª®£® ¯®¤å®¤ ª à¥è¥¨î í⮩ § ¤ ç¨. ¬®¥â ¡ëâì, ⮫쪮 äãªæ¨¨ ¯«®é ¤¨ ¤®¯ã᪠îâ ¥ «¨â¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 㪠§ ëå ¬®£®®¡à §¨©, ¥á«¨ ¥é¥ «®¨âì íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì ¥áâ¥áâ¢¥ë¥ ¯à®áâë¥ ãá«®¢¨ï? § 5. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨
᫨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢ë¡à ® ç «® ª®®à¤¨ â, â® ¯®«®¥¨¥ «î¡®© ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨¨çë¬ ¢¥ªâ®à®¬ n ¥¥ ®à¬ «¨ ¨ ®¯®àë¬ ç¨á«®¬ h. à ¢¥¨¥ â ª®© ¯«®áª®á⨠Q ¡ã¤¥â nx = h, £¤¥ x | ¢¥ªâ®à ¨§ ç « ¢ ¯¥à¥¬¥ãî â®çªã ¯«®áª®áâ¨. 1.
330
. .
£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¤«ï ª®â®à®£® n á«ã¨â ¢¥è¥© ®à¬ «ìî, § ¤ ¥âáï ¥à ¢¥á⢮¬ nx 6 h, â. ¥. ®® ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® ª®æ®¢ ¢¥ªâ®à®¢ x, ®â«®¥ëå ®â ç « ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å íâ®¬ã ¥à ¢¥áâ¢ã. ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ®£à ¨ç¥® ¯«®áª®áâìî Q, ¢á¥£¤ ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¨¬¥® â® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¤«ï ª®â®à®£® n ï¥âáï ¢¥è¥© ®à¬ «ìî. á直© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ®¡é ï ç áâì ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥© (⥮६ 2 § 2 £« ¢ë I). ¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥, ¯®¤ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ⥫¥áë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¥ ¨áª«îç ï § à ¥¥, çâ® ® ¬®¥â ¡ëâì ¡¥áª®¥ç®© ¢ ®¡¥ áâ®à®ë ¯à¨§¬®© (ª ¯à¨§¬ ¬ ¯à¨á®¥¤¨ïîâáï â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë, á«®¨ ¬¥¤ã ¯ à ¬¨ ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩ ¨ ¯à®áâ® ¯®«ã¯à®áâà á⢠). « ¢®© 楫ìî ¤ ®£® ¯ à £à ä ï¥âáï ¢ëïᥨ¥ ãá«®¢¨©, ¯à¨ ª®â®àëå ®¡é ï ç áâì ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®£à ¨ç¥ëå ¯¥à¥¤ § ¤ 묨 ¯«®áª®áâﬨ Qi, ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬, ¤«ï ª®â®à®£® ¯«®áª®á⨠Qi ¡ã¤ãâ ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥©. 묨 á«®¢ ¬¨, à¥çì ¨¤¥â ®¡ ãá«®¢¨ïå, ª®â®àë¥ ã® «®¨âì ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ni ¨ ®¯®àë¥ ç¨á« hi, ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ®¨ ¡ë«¨ ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ £à ¥© ¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . ¨ª ª¨å ãá«®¢¨© á ¬¨ ®à¬ «¨ ni ¥ ã® ª« ¤ë¢ âì, â ª ª ª, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 1 § 1, ¯à¨ «î¡ëå ni áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á § ¤ 묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni .
᫨ ¢¥ªâ®àë ni ª®¬¯« àë, â® íâ®â ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¡¥áª®¥ç®© ¢ ®¡¥ áâ®à®ë ¯à¨§¬®©.
᫨ ®¨ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® ¬®£®£à ¨ª | ¡¥áª®¥çë©, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ® | ª®¥çë©. ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ®¡ ãá«®¢¨ïå, « £ ¥¬ëå ®¯®àë¥ ç¨á« hi ¯à¨ § ¤ ëå ¢¥è¨å ®à¬ «ïå ni . ¯¥à¥¤ § ¤ ë¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¬®£ãâ ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥âì ®¡é¥© ç áâ¨.
᫨ ¥ ®¨ ¨¬¥îâ ®¡éãî ç áâì, ᮤ¥à éãî ¢ãâ२¥ â®çª¨, â® ® ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª (⥮६ 4 § 2 £« ¢ë I). ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¥â ¥é¥ ®ª § âìáï, çâ® ¥ ¢á¥ ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¤ ë¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¡ã¤ãâ ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© í⮣® ¬®£®£à ¨ª : ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¨å ¬®£ãâ ¢®¢á¥ ¥£® ¥ ª á âìáï ¨«¨ ª á âìáï «¨èì ¯® ॡàã ¨«¨ ¢ ¢¥à訥. á¢ï§¨ á í⨬ è § ¤ ç à §¤¥«ï¥âáï ¤¢¥: 1) ©â¨ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¤ ë¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨¬¥îâ ®¡éãî ç áâì P á ¢ãâ२¬¨ â®çª ¬¨; 2) ©â¨ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¢á¥ ¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ î騥 í⨠¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¡ã¤ãâ ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P .
. VII:
§ 5.
Ǒ
331
⢥⠤ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ¤ «¥¥ ¤¢ã¬ï ⥮६ ¬¨. íâ¨å ⥮६ å à¥çì ¨¤¥â ® à §«®¥¨¨ «î¡®£® ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ®à¬ «¥© nk ¯® ¥ª®â®àë¬ ¤à㣨¬ ¨§ ¨å: X nk = (1) νki ni . i
Ǒਠí⮬ à áᬠâਢ îâáï ⮫쪮 â ª¨¥ à §«®¥¨ï, ¢ ª®â®àëå 1) ¢¥ªâ®àë ni «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¨ 2) ª®íää¨æ¨¥âë νki «¨¡® ¢á¥ ¯®«®¨â¥«ìë, «¨¡® ¢á¥ ®âà¨æ ⥫ìë. ( §«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à ¯® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¢®§¬®® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬. â ª ª ª ç¨á«® ¢á¥å § ¤ ¢ ¥¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ nj ª®¥ç®, â® ¨ ç¨á«® ¯®¤«¥ é¨å à áᬮâ२î à §«®¥¨© â ª¥ ª®¥ç®. ¯à®áâà á⢥ ¬ ªá¨¬ã¬ âਠ¢¥ªâ®à ¬®£ãâ ¡ëâì «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨. Ǒ®í⮬ã à¥çì ¨¤¥â ® à §«®¥¨¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯® â६ ¢¥ªâ®à ¬. ª ª ª ç¨á«® à §«®¥¨© (1), ¯à¨¨¬ ¥¬ëå ¢® ¢¨¬ ¨¥ ¢ á«¥¤ãîé¨å ¤ «¥¥ ⥮६ å 1 ¨ 2, ª®¥ç®, â® ¨ ç¨á«® ãá«®¢¨©, ¢ ¨å 䨣ãà¨àãîé¨å, ¢á¥£¤ ª®¥ç®, â ª çâ® ®¨ ¢á¥£¤ ¤®áâã¯ë ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯à®¢¥àª¥.) ¥®à¥¬ 1. «ï ⮣® çâ®¡ë ®¡é ï ç áâì ¤ ëå ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni x 6 hi (i = 1, . . . , m) ¨¬¥« ¢ãâ२¥ â®çª¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ãî饣® ãá«®¢¨ï: ¤«ï ¢á类© ®à¬ «¨ nk , ¤®¯ã᪠î饩 à §«®¥¨¥ (1) ¯® ¤à㣨¬ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ®à¬ «ï¬ ni á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ νki < 0, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯®àë¥ ç¨á« ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥à ¢¥áâ¢ã
hk >
X
(2)
νki hi .
i
(
᫨ ¨ ®¤¨ ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ nk ¥ ¤®¯ã᪠¥â à §«®¥¨ï ¯® ¤à㣨¬ á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â® ãá«®¢¨¥ áâ ®¢¨âáï ¡¥á¯à¥¤¬¥âë¬, â. ¥. ®® ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢ë¯®«ï¥âáï. ®£¤ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¢¥à®¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨. â®, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¡ã¤¥â § ¢¥¤®¬® ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ni ¯à ¢«¥ë ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠. ¬¥á⥠á ⥬ ¬®® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¥á«¨ ®¨ ¥ ¨¤ãâ ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠, â® ¢á¥£¤ ©¤¥âáï á।¨ ¨å ¢¥ªâ®à, ¤®¯ã᪠î騩 à §«®¥¨¥ ¯® ¤à㣨¬ á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ªà ©¥¬ á«ãç ¥ ¢®§¬®® ýà §«®¥¨¥þ ¯® ®¤®¬ã ¢¥ªâ®àã, â. ¥. nk = −nj .) ¥®à¥¬ 2.
¯«®áª®áâﬨ
᫨ ®¡é ï ç áâì ¯®«ã¯à®áâà áâ¢
Qi ,
ni x 6 hi , ®£à ¨ç¥ëå
¨¬¥¥â ¢ãâ२¥ â®çª¨ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©
¥ª®â®àë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P , â® ¤«ï ⮣®,
çâ®¡ë ¢á¥ ¯«®áª®áâ¨
Qi
¡ë«¨ ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© í⮣® ¬®£®£à ¨ª , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ãî饣® ãá«®¢¨ï: ¤«ï ¢á类© ®à¬ «¨
nk , ¤®¯ã᪠î饩 à §ni á ¯®«®¨â¥«ì-
«®¥¨¥ (1) ¯® ¤à㣨¬ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ®à¬ «ï¬
332
. .
묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
νki >
㤮¢«¥â¢®àïâì ¥à ¢¥áâ¢ã
0, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯®àë¥ ç¨á« ¤®«ë
hk
i
11)
νki hi ,
i
⥮६¥ 1 ¬®® áç¨â âì, çâ® á।¨ ¢¥ªâ®à®¢ nj (j = 1, . . . , m) ¨¬¥îâáï ®¤¨ ª®¢ë¥ (¯«®áª®áâ¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ®à¬ «ï¬¨). ⥮६¥ 2 íâ® ¨áª«îç ¥âáï.
᫨, ¯à¨¬¥à, n1 = n2 , â® íâ® à ¢¥á⢮ ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª à §«®¥¨¥ n1 ¯® n2 , ¨ ⮣¤ , ᮣ« á® (3), ¤®«® ¡ëâì â ª¥ h2 < h1 . Ǒ®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
. VII:
§ 5.
Ǒ
¨«¨ ¢ ᨫã à ¢¥á⢠(5) nk a >
X
333
(6)
νki hi .
i
® ¯à¨ i = k ¥à ¢¥á⢮ (4) ¤ ¥â nk a < hk . Ǒ®í⮬㠨§ (6) á«¥¤ã¥â hk >
X
νki hi ,
i
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¥®à¥¬ 2a.
᫨ ¯«®áª®áâ¨
Qi
á ®à¬ «ï¬¨
ni
¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨
hi
ïîâáï ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , â® ¤«ï ¢á类£® à §«®¥¨ï ®¤®£® ¨§ ¢¥ªâ®à®¢
nk
¯® ¤à㣨¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨-
¥â ¬¨ νki ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯®àë¥ ç¨á« 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥à ¢¥áâ¢ã (3),
. (â ⥮६ , «®£¨ç® ⥮६¥ 1a, â ª¥ ᮤ¥à¨â ¥áª®«ìª® ¡®«ìè¥, 祬 ¯à®áâ® ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï ⥮६ë 2: §¤¥áì ¥â ®£à ¨ç¥¨ï à §«®¥¨ï¬¨ ¯® ¥ ¡®«¥¥ 祬 â६ ¢¥ªâ®à ¬ ni .) ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¢¥ªâ®à a ¨¤¥â ¨§ ç « ¢® ¢ãâà¥îî â®çªã k -© £à ¨ ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P . ®¥æ ¥£® «¥¨â ¯®í⮬㠯«®áª®á⨠Qk , â ª çâ® nk a = hk . (7) ¬¥á⥠á ⥬, ¯®áª®«ìªã ª®¥æ ¢¥ªâ®à a «¥¨â ¢ãâਠ£à ¨, ® ¥ «¥¨â ¨ ®¤®© ¨§ ¤àã£¨å ¯«®áª®á⥩ Qi , â.¥. ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ãâਠ®£à ¨ç¥ëå ¨¬¨ ¯®«ã¯à®áâà áâ¢. Ǒ®í⮬ã ni a < hi ¯à¨ ¢á¥å i 6= k. (8) Ǒãáâì ¢¥ªâ®à nk à §« £ ¥âáï ¯® ¥ª®â®àë¬ ¤à㣨¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: X νki ni nk = (νki > 0). (9) â. ¥.
hk
hj ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë ¢ë¯®«ï¥âáï; ⮫쪮 ç¨á«® ®à¬ «¥© nj , ¯® ª®â®àë¬ à §« £ ¥âáï n, ᢮¤¨âáï §¤¥áì ª ¥¤¨¨æ¥. áᬮâਬ ®¡é¨© á«ãç ©. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì Q ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª ¢ ª ª®©-â® â®çª¥ A, ¢ ¢¥à訥, ॡॠ¨«¨ £à ¨ | ¡¥§à §«¨ç®. Ǒãáâì W | ⥫¥áë© ã£®«, § ¯®«ï¥¬ë© «ãç ¬¨, ¨¤ã騬¨ ¨§ A ¯® ¢¥è¨¬ ®à¬ «ï¬ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¢ â®çª¥ A. ª ¡ë«® 㪠§ ® ¥é¥ ¢ § 5 £« ¢ë I, W ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á à¥¡à ¬¨, ¨¤ã騬¨ ¯® ®à¬ «ï¬ ª £à ï¬, á室ï騬áï ¢ â®çª¥ A.
᫨ â®çª A «¥¨â ¢ãâਠॡà , â® W ᢮¤¨âáï ª ¯«®áª®¬ã 㣫ã, ¥á«¨ A | ¢ãâਠ£à ¨, â® W ᢮¤¨âáï ª ®¤®¬ã «ãçã. ®à¬ «ì n ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠Q ¨¤¥â ¢ 㣫¥ W .
᫨ íâ®â 㣮« | ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â¥«¥áë©, â®, à §¡¨¢ ï ¥£® âà¥å£à ë¥ ã£«ë ¤¨ £® «ì묨 ¯«®áª®áâﬨ, ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® n ¨¤¥â ¢ ª ª®¬-â® âà¥å£à ®¬ 㣫¥ á à¥¡à ¬¨ ¯® ®à¬ «ï¬ nj1 , nj2 , nj3 ª £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª . ¥ªâ®à ¥, ¨¤ã騩 â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ç¥¢¨¤®, à §« £ ¥âáï ¯® ¢¥ªâ®à ¬ nj1 , nj2 , nj3 á ¥®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: n = νj1 nj1 + νj2 nj2 + νj3 nj3 (νj1 , νj2 , νj3 > 0). (12)
᫨ ¥ W ¢ëத ¥âáï ¢ ¯«®áª¨© 㣮« ¨«¨ «ãç, â® â ª®¥ ¥ à §«®¥¨¥ ¯®«ãç ¥¬ ¯® ¤¢ã¬ ¨«¨ ®¤®¬ã ¢¥ªâ®àã. ®¯ãáª ï § ç¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ νj , à ¢ë¥ ã«î, í⨠á«ãç ¨ ¬®® ¢ª«îç¨âì ¢ ä®à¬ã«ã (12). â ª, âॡ㥬®¥ ⥮६®© à §«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à n ©¤¥® ¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¤®ª § âì ¥à ¢¥á⢮ h > νj1 hj1 + νj2 hj2 + νj3 hj3 . (13) Ǒãáâì a | ¢¥ªâ®à, ¯à®¢¥¤¥ë© ¨§ ç « ¢ â®çªã A, ¢ ª®â®à®© ¯«®áª®áâì Q ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª P . â â®çª «¥¨â ¯«®áª®áâïå á室ïé¨åáï ¢ ¥© £à ¥© ¨ ¯«®áª®á⨠Q; ¯®í⮬ã a 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨ï¬ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ nmj1 a = hj1 , nj2 a = hj2 , nj3 a = hj3 ¨ na = h. (14) ¬® ï ¯¥à¢ë¥ âਠãà ¢¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 νj ¨ ᪫ ¤ë¢ ï, ¯®«ã稬 ¢á«¥¤á⢨¥ à ¢¥á⢠(12) X X hj νj = a νj nj = an = h. (15) 0
i
0
p
p
p
p
p
p
p
â ª ª ª h 6 h , â® ®âáî¤ á«¥¤ã¥â ¥à ¢¥á⢮ (13), ¨ «¥¬¬ ¤®ª § . (Ǒ®á«¥¤¥¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë, ᤥ« ®¥ ¢ ᪮¡ª å, ᮤ¥à¨âáï ¢ ä®à¬ã«¥ (15), ¯®â®¬ã çâ®, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì nx = h | ®¯®à ï, â® ® ¨ ¥áâì Q, â. ¥. h = h .) 0
0
0
336
. .
4. ¥¯¥àì ¯®ª ¥¬, çâ® «¥¬¬ 2 㥠ᮤ¥à¨â ¤®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨© ⥮६ë 2, â. ¥. ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¥¨¥: ¥®à¥¬ 2¡.
᫨ ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni x P6 h (i = 1, . . . , m), â® ¯à¨ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë 2 (â. ¥. ¥á«¨ ¯à¨ P nk = = νkini, £¤¥ ni «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¨ ¢á¥ νki > 0, ¡ã¤¥â hk < νkihi) i i ª ¤ ï ¯«®áª®áâì ni x = hi ¤ ¥â P 楫ãî £à ì. ®¯ãá⨬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¨¬¥¥â £à ¨ á ®à¬ «ìî nk . ª ª ª ¯® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ® «¥¨â ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ nk x 6 hk , â® ¯® «¥¬¬¥ 2 ©¤ãâáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¢¥ªâ®àë nj , ïî騥áï ®à¬ «ï¬¨ £à ¥© P , â ª¨¥, çâ® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë nk
=
X
νkj nj
(νj > 0)
(16)
j
¨
hk >
X
νkj hj 12) .
(17)
j
® ¯à¨ à ¢¥á⢥ (16) ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 2 âॡã¥â ª ª à § ®¡à ⮣®: hk
νki hi ), â® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®i áâà á⢠ni x 6 hi ¨¬¥¥â ¢ãâ२¥ â®çª¨.
᫨ ¬ ¤ ⮫쪮 ®¤¨ ¢¥ªâ®à ni, ⮠⥮६ ᢮¤¨âáï ª âਢ¨ «ì®áâ¨. Ǒ®í⮬㠡㤥¬ ¤®ª §ë¢ âì ¥¥ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢ ni ¨ ¤®¯ãá⨬, çâ® ® ¢¥à ¤«ï m − 1 ¢¥ªâ®à®¢. Ǒãáâì n , . . . , nm ¨ h , . . . , hm | ¢¥ªâ®àë ¨ ç¨á« , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. ®£¤ ¯® ᤥ« ®¬ã ¯à¥¤¯®«®¥¨î ® ¢¥à®áâ¨ â¥®à¥¬ë ¤«ï m − 1 ¢¥ªâ®à®¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ m − 1 ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni x 6 hi (i = 1, . . . , m − 1) 1
1
12) á®¡ë© á«ãç © «¥¬¬ë 2, ª®£¤ ¢¥ªâ®à n = nk ýà §« £ ¥âáïþ ¯® ®¤®© ®à¬ «¨, §¤¥áì ®â¯ ¤ ¥â, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¥¤¯®«®¥®, çâ® nk ¥ ¥áâì ®à¬ «ì ª £à ¨.
. VII:
§ 5.
337
Ǒ
¨¬¥¥â ¢ãâà¥îî â®çªã. ® ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ⥫¥áë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ P , ª®â®àë© ¬®¥â ®ª § âìáï ¯à¨§¬®© ¨«¨ ¤ ¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮¬. ®¯ãá⨬, çâ® ¢¬¥á⥠á ⥬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å m ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni x 6 hi, â. ¥. ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P á m-¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢮¬ nm x 6 hm, ¥ ¨¬¥¥â ¢ãâ२å â®ç¥ª ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¤ ¥ ¯ãáâ®. â®, ®ç¥¢¨¤®, ®¡®§ ç ¥â, çâ® P ¥ ¨¬¥¥â â®ç¥ª ¢ãâਠm-£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠nm x 6 hm. Ǒ®áª®«ìªã ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¨¬¥¥â â®ç¥ª ¢ãâਠ¯®«ã¯à®áâà á⢠nm x 6 hm , ® ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ nm x > hm ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, −nm x 6 −hm .
â® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ¨¬¥¥â ¢¥èîî ®à¬ «ì −nm, à ááâ®ï¨¥ ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¥£® ¯«®áª®á⨠®â ç « à ¢® −hm. ª ª ª ®® ᮤ¥à¨â ¬®£®£à ¨ª P , â® ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 2. Ǒ® í⮩ «¥¬¬¥ ©¤¥âáï ¥ ¡®«¥¥ âà¥å â ª¨å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ nj , çâ® X −nm = νmj nj (νmj > 0) (18) j ¨ X −hm > νmj hj . (19) j
® â ª ª ª ¢á¥ νmj > 0, â® (18) ¤ ¥â ¢¬¥á⥠á ⥬ à §«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à nm ¯® nj á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ −νmj . ⮣¤ ¯® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ¤®«® ¡ëâì X hm > −νmj hj . (20) j
® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥à ¢¥áâ¢ã (19). ¥¬ á ¬ë¬ ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å m ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni xi 6 hi ¥ ¨¬¥¥â ¢ãâ२å â®ç¥ª, ¥¢®§¬®®, ¨ ⥮६ 1¡ ¤®ª § . 6. § ⥮६ 1 ¨ 2 áà §ã ¢ë⥪ îâ ãá«®¢¨ï, å à ªâ¥à¨§ãî騥 ¡¥áª®¥çãî ç áâì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª : ¥®à¥¬ 4. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯«®áª®á⨠ni xi = hi ¡ë«¨ ¯«®áª®áâﬨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©: 1) ç¨á« hi 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ 1 ¨ 2, 2) ¢¥ªâ®àë ni ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ¨ â ª®¢ë, çâ® ¥á«¨ ®â«®¨âì ¨å ¨§ ®¤®© â®çª¨, â® ¨ ®¤¨
¨§ ¨å ¥ ¨¤¥â ¢ãâàì âïã⮣® ¨å ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 , ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, ¢á¥ ¨å ª®æë ¤®«ë «¥ âì £à ¨æ¥ âïã⮣® ¨å ¢ë¯ãª«®£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ; ¢¥ªâ®à®¢
(
ni
¤®«® ¡ëâì
¥ ¬¥¥¥ âà¥å, ¯®â®¬ã çâ® ã ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¥ ᢮¤ï饣®áï ª
)
.
¤¢ã£à ®¬ã 㣫㠤®«® ¡ëâì ¥ ¬¥¥¥ âà¥å ¡¥áª®¥çëå £à ¥©
338
. .
¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï 1 ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠ãá«®¢¨© ⥮६ 1 ¨ 2, ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï 2 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ᢮©á⢠áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª (£« ¢ I, § 5, ¯ 3). ®ç® â ª ¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç®áâì íâ¨å ãá«®¢¨©. ¬¥® ¯à¨ ãá«®¢¨¨ 1 ⥮६ 3 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª P , ã ª®â®à®£® ¯«®áª®á⨠ni x = hi áãâì ¯«®áª®á⨠£à ¥©. ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î 2 ¢¥ªâ®àë ni ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥çë¬. ¨ ®¤ ¥£® £à ì ¥ ¡ã¤¥â ª®¥ç®©, ¯®â®¬ã çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ª®¥ç®© £à ¨ «¥¨â ¢ãâਠáä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª . á«®¢¨ï¬ ⥮६ë 4 ¬®® ¯à¨¤ âì ä®à¬ã, ¢ ª®â®à®© ®¨ ¤®¯ã᪠î⠮ᮡ¥® ¯à®áâãî ¯à®¢¥àªã, ª®£¤ ¢¥ªâ®àë ni ¨ ç¨á« hi ä ªâ¨ç¥áª¨ § ¤ ë. 1) «ï ⮣® çâ®¡ë ¢¥ªâ®àë ni ¡ë«¨ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ à §« £ «áï ¯® ¥ª®¬¯« àë¬ â६ ¤à㣨¬ á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. («ï o
⮣® ¥, çâ®¡ë ®¨ ¡ë«¨ ¯à ¢«¥ë ¢ãâàì ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¨ ®¤¨ ¥ à §« £ «áï ¯® ¤à㣨¬ ¢ «î¡®¬ ç¨á«¥ á
.) 2) «ï ⮣® çâ®¡ë ¨ ®¤¨ ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ni, ¨¤ãé¨å ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà -
®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
á⢮, ¥ 襫 ¢ãâਠ¬®£®£à ®£® 㣫 , âïã⮣® ®áâ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¨ ®¤¨ ¨§ ¢¥ªâ®à®¢
ni
¥ ¤®¯ã᪠«
à §«®¥¨ï ¯® ¥ª®¬¯« àë¬ â६ ¤à㣨¬ á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨-
. 3) § 1 ¨ 2 á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ⥮६¥ 4 ãá«®¢¨ï ⥮६ 1 ¨ 2 ¤«ï ç¨á¥« hi ã® ¯à®¢¥àïâì ⮫쪮 ¤«ï à §«®¥¨© ¢¥ªâ®à®¢ ni ¯® ¥ ¡®«¥¥ 祬 ¤¢ã¬ ¤à㣨¬. ⢥थ¨¥ 1 ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢ ni. ⢥थ¨¥ 2 ®ç¥¢¨¤®, ¯®â®¬ã çâ®, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à n ¨¤¥â ¢ãâਠ¬®£®£à ®£® 㣫 V , â® ® ¨¤¥â ¢ãâਠ®¤®£® ¨§ âà¥å£à ëå 㣫®¢, ª®â®àë¥ ¬®® à §¡¨âì V , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, à §« £ ¥âáï ¯® ¢¥ªâ®à ¬ ¢¤®«ì ॡ¥à í⮣® âà¥å£à ®£® 㣫 á ¯®«®¨â¥«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. 7. ¬¥ç ¨ï ¨ § ¤ ç¨. 1) ᥠ¢ë¢®¤ë í⮣® ¯ à £à ä ¡ãª¢ «ì® à á¯à®áâà ïîâáï ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. §¨æ á®á⮨⠫¨èì ¢ ⮬, çâ® ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®¥â ¨¬¥âìáï n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢. áãé¥á⢨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨§¬¥¥¨ï ¢ ¢ë¢®¤ å ¤ ®£® ¯ à £à ä ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â âà㤠. 2) «ï ¯¥à¥á¥ç¥¨ï P § ¤ ëå ¯®«ã¯à®áâà á⢠nixi 6 hi ¢®§¬®ë ç¥âëॠá«ãç ï: ) P ¯ãáâ®; ¡) P ¥ ¯ãáâ®, ® ¥ ¨¬¥¥â ¢ãâ२å â®ç¥ª; 樥⠬¨
. VII:
§ 5.
Ǒ
339
¢) P ¨¬¥¥â ¢ãâ२¥ â®çª¨ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ® ¥ ¢á¥ ¯«®áª®á⨠Qi, ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¤ ë¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ïîâáï ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥©; £) P ¥áâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¨ ¢á¥ ¯«®áª®á⨠Qi áãâì ¯«®áª®á⨠¥£® £à ¥©. ¥®à¥¬ë 1 ¨ 2 ¤ îâ ãá«®¢¨ï, å à ªâ¥à¨§ãî騥 á«ãç ¨ ¢ ¨ £. ®ª § âì, çâ® á«ãç ¨ ¨ ¡ å à ªâ¥à¨§ãîâáï á«¥¤ãî騬¨ ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ¨ ¤®áâ â®ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨, ¨ ¢ëïá¨âì £«ï¤ë© á¬ëá« íâ¨å ãá«®¢¨©: ) ।¨ ¢¥ªâ®à®¢ ni ¥áâì â ª®© nk , ª®â®àë© ¤®¯ã᪠¥â à §«®¥¨¥ P ¯® ¥ª®â®àë¬ ¤à㣨¬ á ®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ nk = νkini i (νki < 0), ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯®àë¥ ç¨á« 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥à ¢¥áâ¢ã hk
P νkihi, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç¥âëॠ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨. 1
1
1
1
340
. .
¬¥á⥠á ⥬ ¯® ⥮६¥ 1 ¢ë¯®«¥¨¥ â ª¨å ãá«®¢¨© ¤®áâ â®ç® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë «î¡®¥ ç¨á«® ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨¬¥«® ®¡é¨¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨. âáî¤ ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â ⥮६ :
᫨ á।¨ ª®¥ç®£® ç¨á« ¤ ëå ¯®«ã¯à®áâà á⢠ª ¤ë¥ ç¥âëॠ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨, â® ¨ ¢á¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨¬¥îâ ®¡é¨¥
. ª ª ª ¢á直© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ª®¥ç®£® ç¨á« ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, â® ®âáî¤ á«¥¤ã¥â ⥮६ : ¢ãâ२¥ â®çª¨
᫨ á।¨ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ¤ë¥ ç¥âëॠ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢ãâ२¥ â®çª¨, â® ¨ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢ãâ-
. ® ¥ ¢¥à® ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© n á § ¬¥®© ç¨á« ç¥âëॠn + 1. § ¨§«®¥®£® «¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¥á«¨ ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ¤ë¥ ç¥âëà¥, ¨«¨ (n + 1), ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ â®çª¨ (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢ãâ२¥), â® ¨ ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨¬¥îâ å®âï ¡ë ®¤ã ®¡éãî â®çªã. «¥¥, ¥á«¨ ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ª ¤ë¥ ç¥âëà¥, ¨«¨ (n+1), ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ â®çª¨, â® ¨ ¢á¥ í⨠⥫ ¨¬¥îâ å®âï ¡ë ®¤ã ®¡éãî â®çªã. (®áâ â®ç® ¯à¨¡«¨ âìáï ª ¤ ë¬ â¥« ¬ ᮤ¥à 騬¨ ¨å ¢ë¯ãª«ë¬¨ ¬®£®£à ¨ª ¬¨, ¨ ⮣¤ íâ ⥮६ ¡ã¤¥â á«¥¤®¢ âì ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饩.) ®® ¤®ª § âì, çâ® â®â ¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ â ª¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¥á⢠ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫: ¥á«¨ ª ¤ë¥ ç¥âëà¥, ¨«¨ (n +1), ¨§ ¨å ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ â®çª¨, â® ¨ ¢á¥ ®¨ ¨¬¥îâ å®âï ¡ë ®¤ã ®¡éãî â®çªã. â® ¨ ¥áâì ⥮६ ¥««¨.
¥ ᮢᥬ ¯à®á⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¬®® ©â¨ ¢ áâ âì¥ ¥««¨ [293℄ . ¯à®ç¥¬, æ¥âà âï¥á⨠¢ë¢®¤ «¥¨â ¨¬¥® ¢ á«ãç ¥ ª®¥ç®£® ç¨á« ⥫. ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫ â ª ï ®¡é ï ⥮६ 㥠¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ . 6) ¥®à¥¬ã 3 ¬®® ¤®ª § âì, ¯®«ì§ãïáì «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¤ ®¬ã á«ãç î «¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬㠯à®á⮬ã ã⢥थ¨î: ¥á«¨ ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ P m-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤à㣮¬ ®âªàë⮬ ¨ á¢ï§®¬ ¬®¥á⢥ H ⮣® ¥ ¯à®áâà á⢠¨ ¯à¨â®¬ â ª, çâ® P § ¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® H , â® P = H . â® á«¥¤ã¥â ¨§ á ¬®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï á¢ï§®á⨠(£« ¢ II, § 8, ¯ 4). ª ç¥á⢥ ¬®¥á⢠H á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ¢ m-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå h , . . . , hm 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ 1 ¨ 2, ª®£¤ ¢¥ªâ®àë n , . . . , nm § ¤ ë. § ¬®¥á⢮ P ã®
२¥ â®çª¨
13)
o
1
1
13) ¬.
â ª¥ [269℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. VII:
§ 6.
341
¯à¨ïâì ¬®¥á⢮ â¥å â®ç¥ª (h , . . . , hm ), ¤«ï ª®â®àëå ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠ni xi 6 hi ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬. Ǒ।« £ ¥¬ ®áãé¥á⢨âì â ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3. ® ¥ ᮤ¥à¨â ¨ª ª¨å ¯à¨æ¨¯¨ «ìëå âà㤮á⥩, å®âï áâண®¥ ¥£® ¯à®¢¥¤¥¨¥ âॡã¥â ¥ª®â®àëå ¤¥â «¥©, ¥ «¨è¥ëå ¨§¢¥á⮣® ¨â¥à¥á . 1
§ 6. ¡®¡é¥¨ï
1. ᥠ⥮६ë í⮩ £« ¢ë ¢¬¥áâ¥ á ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠¬¨ ¯¥à¥®áïâáï ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. ᥠ®¨, ¤ «¥¥, ®¡®¡é îâáï ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ , â ª¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. ª®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥â, ®¤ ª®, ¢¢¥¤¥¨¥ ®¡é¨å ¯®ï⨩ ¤«ï «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫, § ¬¥ïîé¨å ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥â àë¥ ¯®ïâ¨ï, ®â®áï騥áï ª ¬®£®£à ¨ª ¬. ë¯ãª«®¥ ⥫® § ¤ ¥âáï 㥠¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ®¯®àëå ç¨á¥«, ý®¯®à®© äãªæ¨¥©þ, ¢¢¥¤¥®© ¨ ¨áá«¥¤®¢ ®© . ¨ª®¢áª¨¬ ¢ [322℄ (á¬. â ª¥ [250℄). Ǒãáâì ux = H (u) ¥áâì ãà ¢¥¨¥ ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠¢ë¯ãª«®£® ⥫ H , ¨¬¥î饩 ¢¥èîî ®à¬ «ì u, ¯à¨ç¥¬ u ¥ ®¡ï§ ¡ëâì ¥¤¨¨ç®©.
᫨ u = n | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, â® H (u) = h(u) ¥áâì à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® à áᬠâਢ ¥¬®© ¯«®áª®áâ¨, ¢§ï⮥ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § ª®¬. ®®¡é¥, ®ç¥¢¨¤®, çâ® u H (u) = |u|H , |u| £¤¥ u/|u| | 㥠¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à. ãªæ¨ï H (u), ®¯à¥¤¥«¥ ï ¤«ï ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ u, ¨ §ë¢ ¥¬ ï ⥫ H . (âண® £®¢®àï, H (u) ¥ ®¯à¥¤¥«¥ ¤«ï u = 0, ® ¥áâ¥á⢥® áç¨â ¥âáï H (0) = 0.) , ª®¥ç®, ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ § 票ﬨ ¤«ï ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ n (¨«¨, ª ª ç áâ® ¡ë¢ ¥â 㤮¡® áç¨â âì, | â®ç¥ª ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥). ¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ : «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï H (u) ¡ë« ®¯®à®© äãªæ¨¥© ¢ë¯ãª«®£® ⥫ (¬®¥â ¡ëâì, ¢ëத î饣®áï ¢ ¯«®áªãî ®¡« áâì, ®â१®ª ¨«¨ â®çªã), ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ ¤¢ãå ãá«®¢¨©: 1) H (λu) = λH (u) ¯à¨ ¢á类¬ λ > 0 (ýãá«®¢¨¥ ¯®«®¨â¥«ì®© ®¤®à®¤®á⨠¯¥à¢®© á⥯¥¨þ); 2) H (u + v) 6 H (u) + H (v) ¯à¨ «î¡ëå u ¨ v (ãá«®¢¨¥ ¢ë¯ãª«®áâ¨). á«®¢¨¥ ¥¢ëத ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«®£® ⥫ á ®¯®à®© äãªæ¨¥© H (u) ¡ã¤¥â: 3) ¯à¨ ¢áïª¨å ¥ª®¬¯« àëå u1 , u2 , u3 ®¯®à®© äãªæ¨-
¥©
X
X H ui > −H − ui .
( )
â® «®£¨ç® ãá«®¢¨î ⥮६ë 1 § 5 14) . â ⥮६ ¢¯¥à¢ë¥ ¤®ª § . ¨ª®¢áª¨¬ ¨ ¯®â®¬ ¤®ª §ë¢ « áì à §ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ¬®£¨¬¨ ¢â®à ¬¨.
¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ¨§ ⥮६ë 1 § 5. ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⥮६¥ 3 § 5 ®¡ ®¯®àëå ç¨á« å, ¯®â®¬ã çâ® ®¯®à®¥ ç¨á«® ¥áâì § 票¥ ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¤«ï ®à¬ «¨ ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨. ¯®à ï äãªæ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ªãá®ç® «¨¥© ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®í⮬㠥¥ § 票ﬨ ¤«ï 14) ¬.
á®áªã 16) ¨¥. ®áâ â®ç® § ¬¥¨âì − P ui n ¨ ui νi ni á νi < 0. i
342
. .
íâ¨å ®à¬ «¥©. ¬¥® ® «¨¥© ¢ ⥫¥á®¬ 㣫¥, § ¯®«ï¥¬®¬ ®à¬ «ï¬¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¢ ®¤®© ¢¥à訥. (
᫨ a | ¢¥ªâ®à, ¨¤ã騩 ¢ â®çªã A, â® ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã A ¨ ¨¬¥î饩 ®à¬ «ì u, ¡ã¤¥â ux = ua ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯®à ï äãªæ¨ï â®çª¨ A ¥áâì H (u) = au, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â è¥ ã⢥थ¨¥ ®¡ ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¬®£®£à ¨ª 15) .) á«®¢¨ï ⥮६ë 3 § 5, â.¥. ®¡ê¥¤¨¥ë¥ ãá«®¢¨ï ⥮६ 1 ¨ 2 (á ¤®¯ã饨¥¬ ¢ ¥à ¢¥áâ¢ å § ª à ¢¥á⢠), «¥£ª® ¢ë¢®¤ïâáï ¨§ ãá«®¢¨© ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ â¥®à¥¬ë ®¡ ®¯®à®© äãªæ¨¨ 16) . ¤ ª® ⥮६ã 3 § 5 ¥«ì§ï à áᬠâਢ âì ª ª ç áâë© á«ãç © í⮩ ¯®á«¥¤¥©, å®âï ¡ë 㥠¯®â®¬ã, çâ® ¯® ¤ ë¬ ç¨á« ¬ hi, ®â¥á¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬ ni , ¬®® ¯®áâநâì, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ®¤ã ªãá®ç®-«¨¥©ãî äãªæ¨î H (u) â ªãî, çâ® H (ni ) = hi . ( ª ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à §¡¨¥¨¥¬ ¯à®áâà á⢠âà¥å£à ë¥ ã£«ë á à¥¡à ¬¨ ¢¤®«ì ¢¥ªâ®à®¢ ni . ᨫ㠪ãá®ç®© «¨¥©®á⨠® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ª ¤®¬ â ª®¬ 㣫¥ ¥¥ § 票ﬨ ॡà å. ¤ ª® à §¡¨¥¨¥ ¯à®áâà á⢠âà¥å£à ë¥ ã£«ë á à¥¡à ¬¨ ¢¤®«ì ni , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¢®¢á¥ ¥ ®¤®§ ç®. ®£¤ ¢®¯à®á ¢á⠥⠮ ¢ë¤¥«¥¨¨ à §¡¨¥¨ï, ¤«ï ª®â®à®£® ¯®áâ஥ ï äãªæ¨ï ¢ë¯ãª« .) 2. ¡®¡é¥¨ï ⥮६ § 1{4 «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ä®à¬ã«¨àãîâáï á ¯®¬®éìîo ¯®ïâ¨ï ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¨ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®â®à®© ¤ ® ¢ ¯ 2 § 7 £« ¢ë II. ¯®¬¨¬, çâ® ¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï ¥áâì äãªæ¨ï ¬®¥á⢠¥¤¨¨ç®© áä¥à¥ E . ®¯à¥¤¥«¥ ¤«ï ¢á¥å (¡®à¥«¥¢áª¨å) ¯®¤¬®¥á⢠E , ª®â®àë¥ á®¤¥à âáï ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¤ ®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨.
᫨ ¯®¢¥àå®áâì § ¬ªãâ , íâ® ¡ã¤¥â «î¡®¥ ¬®¥á⢮ áä¥à¥ E .
᫨ ¥ ¯®¢¥àå®áâì ¡¥áª®¥ç , â® ¥¥ áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ S ᮤ¥à¨âáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥, ¥¥ ¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â § ¢¥¤®¬® ª®¥çë¥ § ç¥¨ï «¨èì ¤«ï ¬®¥áâ¢, § ¬ëª ¨¥ ª®â®àëå «¥¨â ¢ãâਠS; ¤«ï ¤àã£¨å ® ¬®¥â ¡ëâì ¡¥áª®¥ç®©. ¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£®. «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï F (M ) ¬®¥á⢠¥¤¨¨ç®© áä¥à¥ E (®¯à¥¤¥«¥ ï ¤«ï «î¡®£® ¡®à¥«¥¢áª®£® ¬®¥á⢠E ) ¡ë« ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¥© ª ª®£®-«¨¡® ª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® 㤮¢«¥â¢®àï« á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) F (M ) ª®¥ç , ¥®âà¨æ â¥«ì ¨ ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ . 2) R nF (dM ) = 0, £¤¥ n | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 â®çª¥ áä¥à¥ E .
3) Ǒਠ¢á类¬ ¥¤¨¨ç®¬ ¢¥ªâ®à¥ n0 R (n0 n)F (dM ) > 0. E â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ¥áâì ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠ã«î ¢¥ªâ®à®© ¯«®é ¤¨ § ¬ªã⮩ ¯®¢¥àå®áâ¨; âà¥âì¥ | ®§ ç ¥â, çâ® ¯«®é ¤ì ¯à®¥ªæ¨¨ ¢ë¯ãª«®£® ⥫ ¢ «î¡®¬ ¯à ¢«¥¨¨ n0 ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. 15) § ¤ ¨¨ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠®¯®à®© äãªæ¨¥© ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® á¬. [80℄. | Ǒਬ.P. . «£ ««¥à . 16) Ǒãáâì n = νi ni , £¤¥ ¢á¥ νi < 0. ®£¤ ¯® ãá«®¢¨î 2 H (−n) = H − P νi ni 6 i P 6 H (−νi ni ), ¯® ãá«®¢¨î 1, â ª ª ª −νi > 0, H (−νi ni ) = −νi H (ni ), â ª çâ® E
( )
H −n 6
X i
( )
−νi H ni .
(*)
® ¯® ãá«®¢¨î 2 H (−n) + H (n) > H (0), H (0) = 0 (¢ ᨫã ãá«®¢¨ï 1), £¤¥ ã® ¢§ïâì λ = 0. Ǒ®í⮬ã H (−n) > −H (n), çâ® ¢¬¥á⥠á (*) ¤ ¥â H (n) > P νi H (ni ), ¨«¨ ¢ i ®¡®§ 票ïå § 5 h > P νi hi, íâ® ¨ ¥áâì ãá«®¢¨¥ (2 ) ⥮६ë 1 § 5. á«®¢¨¥ ⥮६ë 2 ¢ë¢®¤¨âáï ¥é¥ ¯à®é¥.
. VII:
§ 6.
343
᫨ äãªæ¨ï F (M ) á®á⮨⠨§ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥çëå £à㧮ª 17) , â® íâ ®¡é ï ⥮६ ᢮¤¨âáï ª ⥮६¥ ® ¬®£®£à ¨ª å. ®à¬ «¨ ª £à ï¬ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ⥬ â®çª ¬ áä¥à¥, £¤¥ ¤ ë ý £à㧪¨þ äãªæ¨¨ F (M ). í⮬ á«ãç ¥ âà¥âì¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¤¨âáï ª âॡ®¢ ¨î ¥ª®¬¯« à®á⨠®à¬ «¥©. ®ª § ⥫ìá⢮ ¤ ®© ®¡é¥© â¥®à¥¬ë ¯à®é¥ ¢á¥£® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ (á¬. [9℄; ¤à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, ¯àאַ ¤ î饥 ⥮६㠢 ¥¥ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, ¢ª«îç ï ¬®£®£à ¨ª¨, ¤ ® ¢ [4℄). ¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë § 3. Ǒãáâì G | ª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ®¡« áâì (á ¨áª«î祮© £à ¨æ¥©) ¯«®áª®á⨠T , n0 | ®à¬ «ì ª ¯«®áª®á⨠T , F | ¯«®é ¤ì ®¡« á⨠G. «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï F (M ) ¬®¥á⢠áä¥à¥ E , ®¯à¥¤¥«¥ ï ¤«ï «î¡®£® ¡®à¥«¥¢áª®£® ¬®¥á⢠, § ª«îç î饣®áï ¢ ®âªàë⮩ ¯®«ãáä¥à¥ E (n0 ) á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ n0 , ¡ë« ¯®-
¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¥© ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ , ¯à®¥ªæ¨ï ª®â®à®£® ¯«®áª®áâì T ¯®ªàë¢ ¥â ®¡« áâì G, ¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1) F (M ) ¥®âà¨æ ⥫ì , ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ ¨ ª®¥ç ¤«ï ¢á类£® M , § ¬ëª ¨¥ ª®â®à®£®R ᮤ¥à¨âáï ¢ E (n0 );
2)
( 0)
E n
(n0 n)F (dM ) = F .
¤¥áì ¢ë¯ãª«®¥ ⥫® H ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«ìë¬ ª®ãᮬ «ãç ¢ ¯à ¢«¥¨¨ n0 . Ǒ஥ªæ¨ï ⥫ H , ¯®ªàë¢ ï ®¡« áâì G, ᮤ¥à¨âáï ¢ § ¬ëª ¨¨ í⮩ ®¡« áâ¨.
ª ª ª äãªæ¨ï F (M ) ®¯à¥¤¥«¥ «¨èì ¢ ®âªàë⮩ áä¥à¥ E (n0 ), â® ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ n0 ¨áª«îç îâáï ¨§ à áᬮâ२ï, å®âï ⥫® H ¬®¥â ¨¬¥âì â ª¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª ª, ¯à¨¬¥à, ¡¥áª®¥çë© ¢ ®¤ã áâ®à®ã 樫¨¤à. 票¥ äãªæ¨¨ F (M ) ¤«ï ¢á¥© ¯®«ãáä¥àë E (n0 ) ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯«®é ¤ì ⮩ ç á⨠¯®¢¥àå®á⨠⥫ H , ª®â®à ï ¥ ¨¬¥¥â ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩, ¯ à ««¥«ìëå n0 .
᫨ äãªæ¨ï F (M ) á®á⮨⠨§ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥çëå £à㧮ª, íâ ®¡é ï ⥮६ ᢮¤¨âáï ª ⥮६¥ § 3 ® ¬®£®£à ¨ª å. ¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë § 4. Ǒãáâì M0 | (®âªàëâ ï) ¢ë¯ãª« ï ®¡« áâì áä¥à¥, ®â«¨ç ï ®â ¯®«ãáä¥àë. Ǒãáâì £à ¨æ¥ ®¡« á⨠M0 § ¤ äãªæ¨ï h0 (n), ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï à ááâ®ï¨¥ ®¯®àëå ¯«®áª®á⥩ ¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ H0 ®â ç « ª®®à¤¨ â (§ 票¥ ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¤«ï â®ç¥ª £à ¨æ¥ ®¡« á⨠M0 ). Ǒãáâì, ª®¥æ, F (M ) | ¥®âà¨æ ⥫ì ï ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ ï äãªæ¨ï ¬®¥á⢠, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¤«ï ¡®à¥«¥¢áª¨å ¯®¤¬®¥á⢠®¡« á⨠M0 ¨ ª®¥ç ï ¤«ï ¢á类£® M , § ¬ëª ¨¥ ª®â®à®£® ᮤ¥à¨âáï ¢ M0 . ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç® ¢ë¯ãª«®¥ ⥫® H , ã ª®â®à®£®: 1) áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯®ªàë¢ ¥â M0 ¨ ᮤ¥à¨âáï ¢ § ¬ëª ¨¨ M0 ; 2) § ç¥¨ï ®¯®à®© äãªæ¨¨ h(ni ) á室ïâáï ª h0 (n), ¥á«¨ â®çª¨ ni á室ïâáï ª â®çª¥ n £à ¨æë ®¡« á⨠M0 ; 3) F (M ) ¥áâì ¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï í⮣® ⥫ H (¨áª«îç ï, ®¤ ª®, ®¡« áâì â®ç¥ª ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨, £¤¥ ®à¬ «¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ¨¤ãâ ª £à ¨æ¥ ®¡« á⨠M0 ).
¤¥áì ⥫® H0 ¨£à ¥â à®«ì ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠⥫ H . ¥«® H ¬®¥â á®áâ®ïâì ¨§ ª®¥ç®© ç áâ¨, ª ª ¡ë ¤¥â®© ¡¥áª®¥çãî ç áâì, ®¡éãî á H0 ; áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ í⮩ ¡¥áª®¥ç®© ç á⨠¤ ¥â ⮣¤ £à ¨æã ®¡« á⨠M0 . í⮬ á«ãç ¥ äãªæ¨ï F (M ) ¨¬¥¥â ¤«ï ¢á¥© ®¡« á⨠M0 § ¢¥¤®¬® ª®¥ç®¥ § 票¥. ¤ ª® ⥫® H ¬®¥â ¨ ¥ ¨¬¥âì â ª®© ¡¥áª®¥ç®© ç áâ¨, ⮫쪮 ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ¯à¨¡«¨ ¥âáï ª ¥©. ®ª § ⥫ìá⢮ ®¡®¡é¥¨© ⥮६ § 3 ¨ 4 ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ (í⨠¤®ª § ⥫ìá⢠¯®ª ¨£¤¥ ¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ ë). 17) ® ¥áâì áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ â®çª¨ n1 , . . . , nm áä¥àë, çâ® F (M ) = 0, ¥á«¨ M ¥ ᮤ¥à¨â ¨ ®¤®© ¨§ íâ¨å â®ç¥ª, ¨ F (M ) > 0, ¥á«¨ M ᮤ¥à¨â å®âï ¡ë ®¤ã ¨§ ¨å.
344
. .
3. Ǒ®á«¥¤ïï ⥮६ ¬¥¥¥ ®¡é , 祬 ⥮६ § 4, ¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, çâ® §¤¥áì F (M ) ¥áâì ¯«®é ¤ì, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ ⥮६¥ § 4 䨣ãà¨à®¢ «¨ «î¡ë¥ ¬®®â®ë¥ äãªæ¨¨. Ǒ®«®¥ ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë § 4 «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¬ ¥ ¨§¢¥áâ®. ª ç¥á⢥ £¨¯®â¥§ë ¤«ï á«ãç ï ¢ë¯ãª«ëå ⥫ á ॣã«ïன ¯®¢¥àå®áâìî ¬®® ¢ë᪠§ âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã. Ǒãáâì M0 | ¢ë¯ãª« ï ®¡« áâì áä¥à¥, ®â«¨ç ï ®â ¯®«ãáä¥àë. Ǒãáâì h0 (n) | § ç¥¨ï ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ H0 ¤«ï â®ç¥ª n £à ¨æ¥ ®¡« á⨠M0 . Ǒãáâì, ¤ «¥¥, f (x, y; n) | äãªæ¨ï â®çª¨ n ¢ ®¡« á⨠M0 ¨ ¤¢ãå ç¨á«¥ëå ¯¥à¥¬¥ëå x, y, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ ®¡« á⨠x > y ¨ ¬®®â® ï (â.¥. f (x1 , y1 ; n) > f (x2 , y2 ; n), ¥á«¨ x1 > y1 , x2 > y2 ¨ å®âï ¡ë ¢ ®¤®¬ á«ãç ¥ à ¢¥á⢮ ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ ). Ǒਠí⮬ äãªæ¨ï f | ý¤®áâ â®ç® ॣã«ïà ïþ (¥¯à¥àë¢ ï ¨«¨ ¤ ¥ «¨â¨ç¥áª ï). ®£¤ ¯à¨ ¢á类© ý¤®áâ â®ç® ॣã«ïனþ äãªæ¨¨ g(n), ®¯à¥¤¥«¥®© ¢ M0 , áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì H , ã ª®â®à®©: 1) áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯®ªàë¢ ¥â ®¡« áâì M0 ¨ ᮤ¥à¨âáï ¢ § ¬ëª ¨¨ í⮩ ®¡« áâ¨; 2) ¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¯®¢¥àå®á⨠H £à ¨æ¥ ®¡« á⨠M0 ¤ îâ § ¤ ãî äãªæ¨î h0 (n); 3) ¥á«¨ n ¥áâì ®à¬ «ì ¢ â®çª¥ X ¯®¢¥àå®á⨠H , R1 > R2 | £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë ¥¥ ¢ í⮩ â®çª¥, â® f (R1 , R2 ; n) = g(n). â ⥮६ áä®à¬ã«¨à®¢ ¬¨ ¤«ï ¯®¢¥àå®á⨠¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥; ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ äãªæ¨ï f ¤®« § ¢¨á¥âì ®â n − 1 ç¨á«¥®© ¯¥à¥¬¥®© ᮮ⢥âá⢥® n − 1 £« ¢®¬ã à ¤¨ãá㠪ਢ¨§ë. â ⥮६ à ¢®á¨«ì ã⢥थ¨î ® à §à¥è¨¬®á⨠¥ª®â®à®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ¥©á⢨⥫ì®, £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë ¢ëà îâáï ç¥à¥§ ®¯®àãî äãªæ¨î h(n) ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ 3 à ¢®á¨«ì® ¢ë¯®«¥¨î ¥ª®â®à®£® ¤ ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 . ⢥थ¨¥ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® â ª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ ý¢ë¯ãª«®© äãªæ¨¨þ h(n), ¯à¨¨¬ î饩 £à ¨æ¥ ¤ ®© ®¡« á⨠M0 ¯¥à¥¤ § ¤ ë¥ § 票ï h0 (n), 㤮¢«¥â¢®àïî騥, ª®¥ç®, ¥®¡å®¤¨¬®¬ã ãá«®¢¨î ¢ë¯ãª«®áâ¨. «¨ç¨¥ ®¡é¥© â¥®à¥¬ë § 4 ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¬¥â®¤ ¯à¨¡«¨¥¨ï ¬®£®£à ¨ª ¬¨ ¢ãè îâ ¤¥¤ã, çâ® â ª ï ⥮६ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®. ¤ ª® ¬ë ¥ § ¥¬ ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠.
᫨ ¨¤â¨ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢, â® âà㤮áâì á®á⮨⠢ ý¯à¨¡«¨¥¨¨þ äãªæ¨¨ f (x, y; n) ¥ª®â®à묨 äãªæ¨ï¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ | £à ¥© ¬®£®£à ¨ª . «ãç î ¯«®é ¤¨ ®â¢¥ç ¥â f (x, y; n) = xy, ¯®â®¬ã çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ R1 R2 ¥áâì ª ª à § ¯à¥¤¥« ®â®è¥¨ï ¯«®é ¤¨ ®¡« á⨠¯®¢¥àå®á⨠ª ¯«®é ¤¨ ¥¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. ® ⮣¤ ý¯à¨¡«¨¥¨¥þ ¤¥« ¥âáï ®ç¥¢¨¤ë¬. ë«® ¡ë ç१¢ëç ©® ¨â¥à¥á® ¤®ª § âì ¢ë᪠§ ãî ®¡éãî ⥮६ã å®âï ¡ë ¢ ¥ª®â®àëå ç áâëå ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ® äãªæ¨¨ f (x, y; n), ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ ® ¢®¢á¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â n. 4. ¨ª ª¨å १ã«ìâ ⮢ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨«¨ ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥, «®£¨çëå ⥮६ ¬ áâ®ï饩 £« ¢ë, ¥ ¨§¢¥áâ®. Ǒ®¨áª¨ â ª¨å १ã«ìâ ⮢ ¬®® ¢¥á⨠¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¬¥ç¥®¬ ¢ á ¬®¬ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢ë, § ¬¥ïï ¯®ï⨥ ¤ ®£® ¯à ¢«¥¨ï £à ¨ ª ª¨¬-«¨¡® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®ï⨥¬, ®¡å®¤ï騬áï ¡¥§ ¯ à ««¥«ì®á⨠¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ á¬ëá«¥. Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¤ ë â®çª O ¨ ¯àï¬ë¥ l1 , . . . , ln , ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ O. Ǒãáâì íâ¨å ¯àï¬ëå ®â¬¥ç¥ë ¯®«®¨â¥«ìë¥ ¯à ¢«¥¨ï, ¥ ¨¤ã騥 ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª¨ P , ®£à ¨ç¨¢ ¥¬ë¥ ¯«®áª®áâﬨ Qi , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª ¯àï¬ë¬ li , â ª, çâ® ¯®«®¨â¥«ìë¥ ¯à ¢«¥¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå ®ª §ë¢ îâáï ¨¤ã騬¨ ®â ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ᮤ¥à é¨å ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ ¯® «®£¨¨ á ⥮६ ¬¨ § 5 ¨ 1 ¢áâ îâ ¤¢ ¢®¯à®á :
. VII:
§ 6.
345
1) Ǒãáâì h1 , . . . , hn | à ááâ®ï¨ï ¯«®áª®á⥩ Q1 , . . . , Qn ®â â®çª¨ O. ª®¢ë ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ç¨á« hi ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯«®áª®á⨠Qi ¡ë«¨ ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P ? ( ááâ®ï¨¥ hi ¡¥à¥âáï, ª®¥ç®, á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § ª®¬.) 2) ª®¢ë ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ç¨á« F1 , . . . , Fn ¤«ï ⮣®, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « ¬®£®£à ¨ª P á ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© Fi ? Ǒ¥à¢ë© ¢®¯à®á ¬®® à¥è¨âì, ¢¥à®ïâ®, ¡¥§ ®á®¡®£® âà㤠, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢â®à®© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¬ ®ç¥ì âàã¤ë¬. «®£¨çë¥ § ¤ ç¨ ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ®¢®¥ ãá«®¥¨¥ ¢®§¨ª ¥â ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¬®£®£à ¨ª®¢, ¨¬¥îé¨å ¥áª®«ìª® ¡¥áª®¥çëå ç á⥩. ®, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® â ª¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ, ¡ë«® ¯®ª § ® ¢ ¯o 4 § 6 £« ¢ë III. 5 18) . ¢¨¤ã ⥮६ë ãáá ¤«ï £« ¤ª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, § ¤ ¨¥ ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¨ à ¢®á¨«ì® § ¤ ¨î £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§ë ª ª äãªæ¨¨ ®à¬ «¨ n. Ǒ஡«¥¬ ¨ª®¢áª®£® ¢ ¯¥à¢® ç «ì®© ¯®áâ ®¢ª¥ ¨ á®á⮨⠢ à¥è¥¨¨ ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á § ¤ ®© £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§®© K (n) ª ª äãªæ¨¥© ®à¬ «¨. Ǒ®«¥§® § ¬¥â¨âì, çâ® ã á ¬®£® . . ãáá ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¡ë« ¯¥à¢¨ç . ªà¨¢¨§ ¡ë« ý㤥«ì®©þ, â.¥. ®¯à¥¤¥«ï« áì ª ª äãªæ¨ï â®çª¨, ¥ ¬®¥á⢠. ëè¥ ¡ë«® à áᬮâ८ ®¡®¡é¥®¥ à¥è¥¨¥ ¯à®¡«¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¨ 㪠§ ë ¯à ¢«¥¨ï ¤ «ì¥©è¨å ®¡®¡é¥¨©.
᫨ ¥ K (n) | § ¤ ï £« ¤ª ï äãªæ¨ï â®çª¨, â® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¤®áâ â®ç® £« ¤ª®£® à¥è¥¨ï ¯à®¡«¥¬ë ¨ª®¢áª®£®. ª ï § ¤ ç à¥è « áì ¤¢ã¬ï à §ë¬¨ ¯ãâﬨ. ¨¡® ¨áá«¥¤ã¥âáï á⥯¥ì £« ¤ª®á⨠®¡®¡é¥®£® à¥è¥¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â £« ¤ª®á⨠K (n), «¨¡® § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¯à®¡«¥¬¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ª« áá¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ã ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ãà ¢¥¨ï ® { ¬¯¥à . ¢ ⮬ ¨ ¢ ¤à㣮¬ á«ãç ¥ ý£« ¤ªãîþ ¯à®¡«¥¬ã ¨ª®¢áª®£® ᢮¤ïâ ª ¯®«ãç¥¨î ¯à¨®àëå ®æ¥®ª à¥è¥¨© 㯮¬ïãâëå ãà ¢¥¨©, á¬. ª¨£¨ [173, £«. 7℄, [174℄3 ¨ áâ âì¨ [223, 255, 326℄. [173℄ £« ¤ª ï ¯à®¡«¥¬ ¨ª®¢áª®£® ¢ E ®¡®¡é¥ á«ãç © f (R1 , R2 ) = ϕ(n), £¤¥ ϕ | § ¤ ï äãªæ¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ f ¤®¢®«ì® ®¡é¥£® ¢¨¤ . î¤ ¯à¨¬ëª îâ â ª¥ १ã«ìâ âë à ¡®â [141, 142, 324℄. ¯à®¡«¥¬¥ ¨ª®¢áª®£® ¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á¬. [92, 209, 210℄. 6. « ¤ª ï ¯à®¡«¥¬ ¨ª®¢áª®£® ¢ En+1 ¤®¯ã᪠¥â ®¡®¡é¥¨¥ á«ãç © § ¤ ¨ï ¢¬¥áâ® (R1 · · · Rn )−1 = ϕ(n) ¤à㣮© ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ Sk = P Ri1 · · · Ri i 6=i £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë, â.¥. áâ ¢¨âáï ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¢ E n+1 ¢ë¯ãª«®© £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨, ¤«ï ª®â®à®© ¢ â®çª¥ á ¢¥è¥© ®à¬ «ìî n äãªæ¨ï Sk (n) = ϕ(n), £¤¥ ϕ(n) > 0 | ¯¥à¥¤ § ¤ ï äãªæ¨ï ¥¤¨¨ç®© £¨¯¥àáä¥à¥ Sn . â § ¤ ç ¤«ï ª ¤®£® k > 1 ᢮¤¨âáï ª ¯®¨áª ¬ à¥è¥¨ï ¥«¨¥©®£® í««¨¯â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï Sn ®â®á¨â¥«ì® ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¨áª®¬®© £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒਠk = 1 íâ® | ¨§¢¥áâ ï ¯à®¡«¥¬ à¨áâ®ä䥫ï.
¥ à¥è¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª «¨¥©®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î n 2 p + np = f (n), £¤¥ p(n) | ¨áª®¬ ï ®¯®à ï äãªæ¨ï, 2 | ®¯¥à â®à ¥«ìâà ¬¨ S . à¥è¥¨¨ ¯à®¡«¥¬ë à¨áâ®ää¥«ï ¨ ¥¥ ®¡®¡é¥¨ïå á¬. [173, £«. 7℄, [99, 155, 203, 204℄. ᥠáä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ § ¤ ç¨ ¤®¯ã᪠îâ ®¡®¡é¥¨ï á«ãç © í«¥¬¥â àëå ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨© ®â â ª §ë¢ ¥¬ëå ý®â®á¨â¥«ìëåþ (ãá«®¢ëå) £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë, á¬. [63, 124, 125℄. k
α
18) Ǒãªâë 5 ¨ 6 ¤®¡ ¢«¥ë . . «£ ««¥à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥ç ¨©.
β
« ¢ VIII ¢ï§ì ãá«®¢¨ï à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ á ¤à㣨¬¨ § ¤ ç ¬¨
í⮩ £« ¢¥ ¯®¤ ¬®£®£à ¨ª®¬ ¢á¥£¤ ¯®¨¬ ¥âáï ⥫¥áë© ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª. ¡é¥¥ ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ, ¢ë¢¥¤¥®¥ ¢ § 3 £« ¢ë VI, ¨¬¥¥â áãé¥áâ¢¥ë¥ ¯à¨«®¥¨ï ¢ ¥ª®â®àëå § ¤ ç å, ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ¨ª ª á ¨¬ ¥ á¢ï§ ëå. ®¡á⢥® £®¢®àï, £« ¢ë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ¯®«ãç ¥â ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ . Ǒ¥à¢ë© ¯ à £à ä í⮩ £« ¢ë, ¯®á¢ïé¥ë© à §¡¨¥¨î ¯à®áâà áâ¢ à ¢ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¨ª ª ¥ á¢ï§ á® á«¥¤ãî騬¨. Ǒ à £à äë ¥ 2 ¨ 3, ¯à®â¨¢, ®â®áïâáï ª ®¤®¬ã ªàã£ã ¢®¯à®á®¢, ª®â®àë© ¢ ®¡é¥© ¯®áâ ®¢ª¥ ¤«ï «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫ á«ã¨â ¯à¥¤¬¥â®¬ ¨§ï鮩 ¨ ¡®£ ⮩ á«¥¤á⢨ﬨ ⥮ਨ, §ë¢ ¥¬®© ý⥮ਥ© ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢þ. 1)
§ 1. Ǒ à ««¥«®í¤àë
1. Ǒ à ««¥«®í¤à®¬ §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®¡« ¤ î騩 ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ®, ¯à¨ª« ¤ë¢ ï ¥£® íª§¥¬¯«ïàë ¤à㣠ª ¤àã£ã ¢ ¯ à ««¥«ì®¬ à ᯮ«®¥¨¨ ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬, ¬®® § ¯®«¨âì ¡¥§ ¯à®¬¥ã⪮¢ ¢á¥ ¯à®áâà á⢮. Ǒà®á⥩訥 ¯à¨¬¥àë ¯à¥¤áâ ¢«ïî⠪㡠¨ ¯à ¢¨«ì ï è¥á⨣à ï ¯à¨§¬ . ¤ ç á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ©â¨ ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¯ à ««¥«®í¤àë. â® ®§ ç ¥â, ¢®-¯¥à¢ëå, ©â¨ ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¨å ⨯ë á â®çª¨ §à¥¨ï áâ஥¨ï, ¢®-¢â®àëå, 㪠§ âì ¤«ï ª ¤®£® â ª®£® ⨯ ⥠¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¤ ë¥, ¯à¨ ª®â®àëå ¬®£®£à ¨ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® áâ஥¨ï ¡ã¤¥â ¯ à ««¥«®í¤à®¬, â. ¥. ¡ã¤¥â ¤®¯ã᪠âì § ¯®«¥¨¥ ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯à¨ª« ¤ë¢ ¨ï ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬. 1) â® § ¬¥ç ¨¥ áãé¥á⢥® ¢ ⮬ ®â®è¥¨¨, ç⮠⥮६ ¨ª®¢áª®£® ¢¥à ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ¯®â®¬ã ¨ á«¥¤áâ¢¨ï ¥¥, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ¯®«ãç¥ë, ®¡« ¤ îâ ⮩ ¥ á⥯¥ìî ®¡é®áâ¨.
. VIII:
§ 1.
347
Ǒ
â § ¤ ç ¨â¥à¥á ¥ ⮫쪮 á ¬ ¯® ᥡ¥, ® â ª¥ ¢¢¨¤ã ¥¥ á¢ï§¨ á ªà¨áâ ««®£à 䨥© ¨ ⥮ਥ© ç¨á¥«. ¤ ç ¡ë« à¥è¥ ¢¯¥à¢ë¥ ¢¥«¨ª¨¬ àãá᪨¬ ªà¨áâ ««®£à 䮬
. . ñ¤®à®¢ë¬ ¢ 1890 £. [215℄. ¤ ª® ¢ ¥£® à¥è¥¨¨ ¡ë« áãé¥áâ¢¥ë© ¯à®¡¥«:
. . ñ¤®à®¢ ¥ ¤®ª § « ⮣®, çâ® ¢á直© ¯ à ««¥«®í¤à ¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ, å®âï ¨ ¯®«ì§®¢ «áï í⨬ ä ªâ®¬. â®â ¯à®¡¥« ¡ë« ¢®á¯®«¥ . ¨ª®¢áª¨¬ ®á®¢ ¨¨ ¥£® â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ. §¢¥áâ®, çâ® . ¨ª®¢áª¨© ¯à¨è¥« ª í⮩ ®¡é¥© ⥮६¥ ¢ ¯®¨áª å ¤®ª § ⥫ì- n á⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï æ¥âà ã ¯ à ««¥«®í¤à®¢. G G ®ª § ¢ áãé¥á⢮¢ ¨¥ æ¥âà , ¬ë ¤ ¤¨¬ ¯®â®¬ X ¢ë¢®¤ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¯® . . ¥«®¥. â®â ¢ë¢®¤ . . ¥«®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¡à §æ®¬ ªà ᨢ®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯®áâ஥¨ï . 1
2)
2. ¥®à¥¬ 1.
᫨ £à ¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à -
¨ª ¯®¯ à® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, â. ¥.
O
ᮢ¬¥-
é îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬, â® ª ª á ¬ ¬®£®£à ¨ª, â ª ¨ ¢á¥ ¥£® £à ¨ ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ.
X′
G′ Ǒãáâì P | ¬®£®£à ¨ª, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 G′ ′ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë, P | ¬®£®£à ¨ª, ᨬ¬¥âà¨çë© á P ®â®á¨â¥«ì® ª ª®©-«¨¡® â®çª¨ O. Ǒãáâì G, G | à ¢ë¥ ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ P , G′ , G′ | ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¨¬ £à ¨ P ′. 祢¨¤¨á. 134 ®, £à ¨ G ¨ G′ ( â ª¥ G ¨ G′ ) ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ (à¨á. 134). ஬¥ ⮣®, ®¨ à ¢®¢¥«¨ª¨. ª ª ª íâ® ¢¥à® ¤«ï «î¡®© £à ¨ G ¬®£®£à ¨ª P , â® ®á®¢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® § ª«îç ¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. ® «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï: n
1
1
1
1
1
᫨ ª ª ï-«¨¡® 䨣ãà
F
à ¢ ¨ ¯ à ««¥«ì 䨣ãà¥
F ′ , ᨬ¬¥âà¨ç®©
. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ. Ǒ®í⮬㠥£® £à ¨ G
á
F
®â®á¨â¥«ì® ª ª®©-«¨¡® â®çª¨, â®
F
¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ 3)
2) á¢ï§¨ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ á £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ªà¨áâ ««®£à 䨥© á¬. [97, £«. III℄. 3) ®ª § ⥫ìá⢮ ®ç¥¢¨¤® ¨§ à¨á. 135. Ǒãáâì 䨣ãàë F ¨ F ′ ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨-
â¥«ì® â®çª¨ O ¨ ªà®¬¥−−⮣® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, a | ¢¥ªâ®à ¯¥à¥®á ®â F ª F ′ ¨ → ′ ′ ′ O | â ª ï â®çª , çâ® O O = a 2 . Ǒãáâì X | «î¡ ï â®çª 䨣ãàë ′ F , X | ᨬ¬¥â′ à¨ç ï ¥© â®çª 䨣ãàë F , X | â â®çª 䨣ãàë F , ª®â®à®© X ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯® ¯ à ««¥«ì®¬ã ¯¥à¥®áã. ®£¤ O′ O = 21 XX ′ , ¨ ¯®â®¬ã O′ O ¥áâì á।ïï «¨¨ï âà¥ã£®«ì¨ª XX ′X . «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª¨ X ¨ X ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® O′ . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¢ 䨣ãॠF ª ¤®© â®çª¥ X ®â¢¥ç ¥â â®çª X , ᨬ¬¥âà¨ç ï á X ®â®á¨â¥«ì® O′ . «¥¤®¢ ⥫ì®, O′ ¥áâì æ¥âà ᨬ¬¥âਨ 䨣ãàë F .
348
. .
¨ G′ ¥ ⮫쪮 à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ® â ª¥ ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà ᨬ¬¥âਨ ¬®£®£à ¨ª . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ⮩ ¥ ®¡é¥© ¯à¨ç¨¥ ¨ ª ¤ ï £à ì G ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ. § ⥮६ë 1 «¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï ¥®à¥¬ 2.
á直© ¯ à ««¥«®í¤à ¨ ¢á¥ ¥£® £à ¨ ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ-
¬¥âਨ.
¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬª ª®¥-«¨¡® § ¯®«¥¨¥¯à®áâà á⢠¯ à ««¥«®í¤à ¬¨. Ǒãáâì G | £à ì ¯ à ««¥«®í¤à P ; ¯® ¥© ª P ¯à¨«¥£ ¥â á«¥¤ãî騩 ¯ à ««¥«®í¤à P . Ǒਠ¯ à ««¥«ì®¬ ¯¥à¥®á¥, ¯¥à¥¢®¤ï饬 P ¢ P , £à ì G ¯¥à¥å®¤¨â ¢ £à ì G ⮣® ¥ ¯ à ««¥«®í¤à P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¤®© £à ¨ ¯ à ««¥«®í¤à ®â¢¥ç ¥â ¥¬ ¥ à ¢ ï ¨ ¯ à ««¥«ì ï ¥© £à ì, ®âªã¤ ®á®¢ ¨¨ ⥮६ë 1 á«¥¤ã¥â, çâ® á ¬ ¯ à ««¥«®í¤à ¨ ¢á¥ ¥£® F £à ¨ ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ. O′ ( ª ª ª ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ¢¥à X X ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ⮠⥬ ¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ îâ ⥮६ë 1, 2.) 3. «ï ⮣® çâ®¡ë ¢ë¢¥á⨠¢á¥ ⨯ë O ¯ à ««¥«®í¤à®¢ âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà F′ á⢠, ¬ ã® à¥è¨âì á ç « «®a £¨çãî § ¤ çã ¤«ï ¯«®áª®áâ¨, â. ¥. ©â¨ ¢á¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ª®â®X′ à묨 ¬®® § ¯®«ïâì ¯«®áª®áâì, ¯à¨ª« ¤ë¢ ï ¨å ¯ à ««¥«ì® ¤à㣠¤àã£ã ¯® ¨á. 135 æ¥«ë¬ áâ®à® ¬. ª¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ §ë¢ îâáï ¯ à ««¥«®£® ¬¨ (à¨á. 136). 0
0
0
1
1
0
0
1
¥®à¥¬ 3.
1
Ǒ à ««¥«®£® ¬¨ ïîâáï ¢á直© ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¨ ¢áï-
ª¨© è¥áâ¨ã£®«ì¨ª á æ¥â஬ ᨬ¬¥âਨ; ¤àã£¨å ¯ à ««¥«®£®®¢ ¥â.
®, çâ® ¢á直© ¯ à ««¥«®£® ¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ, ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¥, ª ª ⥮६ 2, á ⥬ ã¯à®é¥¨¥¬, çâ® §¤¥áì ¥â ¤®¡®á⨠ááë« âìáï ®¡éãî ⥮६ã 1. ¡¥§ ⮣® ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯®¯ à® à ¢ë¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì묨 áâ®à® ¬¨ ¨¬¥¥â æ¥âà. áᬮâਬ ª ª®¥-«¨¡® § ¯®«¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«®£® ¬¨. Ǒãáâì P | ®¤¨ ¨§ ¯ à ««¥«®£®®¢ ¨ P | ¯ à ««¥«®£®, á¬¥ë© á P ¯® áâ®à®¥ AB (à¨á. 137). ª ª ª ã P ¥áâì à ¢ ï ¨ ¯ à ««¥«ì ï áâ®à® A B ¨ P | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® ® ᮤ¥à¨â æ¥«ë© ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ABB A .
᫨ P ᢮¤¨âáï ª í⮬㠯 à ««¥«®£à ¬¬ã, â® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯¥à¢ ï ¢®§¬®®áâì, 㪠§ ï ¢ ⥮६¥. áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«®£® ¡ã¤¥â è¥áâ¨ã£®«ì¨ª®¬. 0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
. VIII:
§ 1.
349
Ǒ
᫨ P , § ç¨â, ¨ P ¥ ᢮¤ïâáï ª ¯ à ««¥«®£à ¬¬ã, â® ¨§ ¢¥àè¨ë A ã ¨å ¨á室ïâ áâ®à®ë AC , AD, ¥ ïî騥áï ®¤ ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣮© . Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ¢¥à訥 A ¬®¥â ¯à¨«¥£ âì ¥é¥ â®«ìª® ®¤¨ ¯ à ««¥«®£®. 1
0
4)
¨á. 136
®¯ãá⨬, çâ® íâ® ¥ â ª; ⮣¤ ª P ¯® áâ®à®¥ AC ¯à¨«¥£ ¥â ¯ à ««¥«®£® P á® áâ®à®®© AE , ®â«¨ç®© ®â AD (á¬. à¨á. 137). Ǒ஢¥¤¥¬ ¯à®¤®«¥¨¥ a áâ®à®ë AB . â®à® AE ¥ ¬®¥â «¥ âì í⮬ ¯à®¤®«¥¨¨, â ª ª ª ⮣¤ ¯ à ««¥«®£® P ¥ ¬®£ ¡ë ᮤ¥à âì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , à ¢®£® ¨ ¯ à ««¥«ì®£® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ã ABB A . «¥¥, áâ®à® AE ¥ ¬®¥â «¥ âì ¯® âã ¥ áâ®à®ã ®â «¨¨¨ a, çâ® ¨ áâ®à® AC , ¨¡® ⮣¤ ã ¯ à ««¥«®£® P ¥ ¬®£«® ¡ë ¡ëâì áâ®à®ë, ¯ à ««¥«ì®© AB (¨ ç¥ ® ®ª § «áï ¡ë ¥¢ë¯ãª«ë¬). â ª, áâ®à® AE «¥¨â ¯® ¤àã£ãî áâ®à®ã ®â «¨¨¨ a. ® ª ¯ à ««¥«®£®ã P ¯® áâ®à®¥ AD ¯à¨«¥£ ¥â ¯ à ««¥«®£® P , ¤«ï ª®â®à®£® ¢¥à® â® ¥ à áá㤥¨¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ««¥«®£®ë P ¨ P ¯¥à¥ªàë¢ îâáï, íâ® ¢®§¬®® «¨èì, ¥á«¨ ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ, â.¥. ¥á«¨ AE ᮢ¯ ¤ ¥â á AD. â ª, ¯ à ««¥«®£® P ¥¨§¡¥® ¯à¨«¥£ ¥â ª P ¨ P ¯® áâ®à® ¬ AC ¨ AD. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ¯®«ì§ãïáì ⥬, çâ® ¢á¥ í⨠¯ à ««¥«®£®ë à ¢ë, ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë ¨ ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ, ¬ë ¥¬¥¤«¥® ã¡¥¤ ¥¬áï ¢ ⮬, çâ® ®¨ ïîâáï è¥áâ¨ã£®«ì¨ª ¬¨. ( ª ª ª P à ¢¥ ¨ ¯ à ««¥«¥ P ¨ P , â® ã ¥£® ¥áâì 㣫ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨å 㣫 ¬ A. ª ª ª P ¨¬¥¥â æ¥âà, â® í⨬ 㣫 ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ᨬ¬¥âà¨çë¥. ®£¤ ¨§ ¢ë¯ãª«®á⨠ïá®, çâ® P ¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ¨ª ª¨å ¤à㣨å 㣫®¢, ªà®¬¥ ¯®«ãç¥ëå è¥áâ¨.) ®, çâ® ¢á直© ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¨ ¢á直© è¥áâ¨ã£®«ì¨ª á æ¥â஬ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®£ãâ § ¯®«ïâì ¯«®áª®áâì, ¯à®¢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®. 0
2
2
1
1
2
1
3
2
2
3
0
1
2
0
1
2
2
4) â®
áâ ®¢¨âáï ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤ë¬, ¥á«¨ ¢á¯®¬¨âì, çâ® ¯ à ««¥«®£®ë P0 ¨ ᮤ¥à â ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë, ¯à¨«¥£ î騥 ¯® áâ®à®¥ AB , ¢ ᨫã 祣® áâ®à®ë AC ¨ ¬®£ãâ á«ã¨âì ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣠¤à㣠«¨èì ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ á ¬¨ ïîâáï áâ®à® ¬¨ íâ¨å ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢. P1 AD
350
. .
¡à ⨬áï ⥯¥àì ¥¯®á।á⢥® ª ¢ë¢®¤ã ¯ à ««¥«®í¤à®¢. A) ᥠ£à ¨ ®¤®£® ¯ à ««¥«®í¤à , ¯ à ««¥«ìë¥ «î¡®¬ã ¤ ®¬ã ¥£®
4.
ॡàã
L,
®¡à §ãîâ ú§ ¬ªãâãî §®ãû, â. ¥.
横«¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-
®áâì £à ¥©, ¯à¨«¥£ îé¨å ®¤ ª ¤à㣮© ¯® à¥¡à ¬, ¯ à ««¥«ìë¬
L.
L
C
P0
P2
a
A
B
E D
P1 A1
B1
¨á. 137
¨á. 138
Ǒ஥ªæ¨ï ¯ à ««¥«®í¤à ¢¤®«ì ॡà
L
¥áâì ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¢á¥ áâ®à®ë
¥¡à® L §ë¢ ¥âáï ॡ஬ (à¨á. 138). Ǒãáâì L | ॡ஠¯ à ««¥«®í¤à P ¨ G | £à ì á í⨬ ॡ஬. ª ª ª £à ì G ¨¬¥¥â æ¥âà ᨬ¬¥âਨ, â® ã ¥¥ ¥áâì ¥é¥ à¥¡à® L , à ¢®¥ ¨ ¯ à ««¥«ì®¥ L . £à ¨ G ¯® ॡàã L ¯à¨«¥£ ¥â ¥é¥ £à ì G , ã ª®â®à®© ®¯ïâì-â ª¨ ¥áâì ॡ஠L , à ¢®¥ ¨ ¯ à ««¥«ì®¥ L , ¨ â. ¤. ¢¨¤ã ª®¥ç®á⨠ç¨á« £à ¥©, ¯®«ãç îé¨åáï â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì £à ¥© G , G , . . . ¤®« § ¬ªãâìáï.
᫨ á¯à®¥ªâ¨à®¢ âì ¯ à ««¥«®í¤à ¯«®áª®áâì ¢¤®«ì ॡà L, â® ¢á¥ £à ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ í⮬ã ॡàã, á¯à®¥ªâ¨àãîâáï ¢ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®â१ª¨, ¨ ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ¥ ¡ã¤¥â «¥ âì ¢ãâਠ¯à®¥ªæ¨¨ : ¨ ç¥ ¯ à ««¥«®í¤à ¥ «¥ « ¡ë ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨, ¢®¯à¥ª¨ ¥£® ¢ë¯ãª«®áâ¨. Ǒ®í⮬㠯஥ªæ¨¨ ¢á¥å £à ¥© §®ë ¤®«ë «¥ âì £à ¨æ¥ ¯à®¥ªæ¨¨ ¯ à ««¥«®í¤à , ¨ â ª ª ª §® § ¬ëª ¥âáï, â® ¢á¥ áâ®à®ë ¯à®¥ªæ¨¨ áãâì ¯à®¥ªæ¨¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå £à ¥© §®ë. ª®â®à®£® ïîâáï ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ £à ¥© §®ë.
§®ë
1
1
1
2
1
1
2
2
3
1
2
2
5)
5) ¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥, ¥ ®¡ï§ ⥫ì®, çâ®¡ë ¯«®áª®áâì ¯à®¥ªæ¨¨ ¡ë« ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯à ¢«¥¨î ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï.
. VIII:
§ 1.
351
Ǒ
B) § ¯®«¥¨¨ ¯à®áâà á⢠¯ à ««¥«®í¤àë, á¬¥ë¥ ¯® £à ï¬ ®¤®©
§®ë ¨ ¥¥ ¥áâ¥á⢥ëå ¯à®¤®«¥¨©, ®¡à §ãîâ ¥¯à®¨æ ¥¬ë© á«®©, â. ¥. á«®©, à §¡¨¢ î騩 ¯à®áâà á⢮. Ǒ஥ªæ¨ï í⮣® á«®ï ¢¤®«ì à¥¡à §®ë ¤ ¥â à §¡¨¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«®£®ë.
áᬮâਬ à §¡¨¥¨¥ ¯à®áâà á⢠¯ à ««¥«®í¤àë. ®§ì¬¥¬ ¢ ¥¬ ª ª®©-«¨¡® ¯ à ««¥«®í¤à P ¨ ª ª®¥-«¨¡® ¥£® ॡ஠L . Ǒ® ¤®ª § ®¬ã, ॡàã L ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¬ªãâ ï §® £à ¥©. ¥áª®¥çãî ¯à¨§¬ã, ®£à ¨ç¥ãî ¯«®áª®áâﬨ íâ¨å £à ¥©, §®¢¥¬ §® «ì®© ¯à¨§¬®©. ¥ç¥¨¥ §® «ì®© ¯à¨§¬ë ¯«®áª®áâìî ¨ ¥áâì ¯à®¥ªæ¨ï ¯ à ««¥«®í¤à ¢¤®«ì ॡà L ¤ ãî ¯«®áª®áâì. Ǒ® £à ¨ G, ᮤ¥à 饩 ॡ஠L , ª ¯ à ««¥«®í¤àã P ¯à¨«¥£ ¥â ¯ à ««¥«®í¤à P , ¯® £à ¨, ¯ à ««¥«ì®© G, ª P ¯à¨«¥£ ¥â ¯ à ««¥«®í¤à P− ; ¤ «¥¥, ª P ¨ P− ¯® £à ï¬, ¯ à «R0 «¥«ìë¬ G, ¯à¨«¥£ îâ ¯ à ««¥«®í¤àë P ¨ P− ¨ â. ¤. ª¨¬ ¯ã⥬ ¯®«ãç ¥¬ «¨¥©ë© àï¤ ¯ à ««¥«®G P1 P0 P2 í¤à®¢ ¨ ¢¬¥á⥠á ⥬ àï¤ R ¨å §®- P−2 P−1 L 0 «ìëå ¯à¨§¬ i . â®â àï¤ §® «ìG′ ëå ¯à¨§¬ à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà á⢮. (¬. à¨á. 139, £¤¥ ¨§®¡à ¥ë ¯à®P0′ ¥ªæ¨¨ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¢¤®«ì ॡà L .) R1 Ǒ® ¤à㣮© £à ¨ G′ , ᮤ¥à 饩 ॡ஠L , ª ¯ à ««¥«®í¤àã P ¯à¨«¥¨á. 139 £ ¥â ¯ à ««¥«®í¤à P ′ . ¯à¨«¥£ ¥â â ª¥ ª P ¯® ॡàã L . ª ª ª ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ®¡é¥¬ ॡॠL ¯ à ««¥«®í¤à®¢ P , P , P ′ ¥ ¢å®¤ïâ ¤à㣠¢ ¤à㣠, â® ¨ §® «ìë¥ ¯à¨§¬ë â ª¥ ¥ ¢å®¤ïâ ¤à㣠¢ ¤à㣠. Ǒਪ« ¤ë¢ ï ª ¯ à ««¥«®í¤àã P ′ ¯ à ««¥«®í¤àë P ′ , P−′ ¯® £à ï¬, ¯ à ««¥«ìë¬ £à ¨ G, ¨ â.¤., ¯®«ã稬 ®¢ë© «¨¥©ë© àï¤ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¨ ᮮ⢥âá⢥® àï¤ R ¨å §® «ìëå ¯à¨§¬. ® «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® àï¤ë R ¨ R §® «ìëå ¯à¨§¬ ¯à¨«¥£ îâ ¤à㣠ª ¤àã£ã ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨©. «ï í⮣® à áᬮâਬ ¢á¥ ¯ à ««¥«®í¤àë, á室ï騥áï ¢ ॡॠL . ¤ë© ¨§ ¨å ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤¢ã£à ®¬ 㣫¥ á ॡ஬, ᮤ¥à 騬 L . í⮬ ¥ ¤¢ã£à ®¬ 㣫¥ ᮤ¥à¨âáï ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï §® «ì ï ¯à¨§¬ , ¨ ¯«®áª®á⨠£à ¥© í⮩ ¯à¨§¬ë, á室ï騥áï ¢ L , ᮢ¯ ¤ îâ á £à ﬨ 㪠§ ®£® ¤¢ã£à ®£® 㣫 . Ǒ®í⮬㠧® «ìë¥ ¯à¨§¬ë à ᯮ« £ îâáï ¢®ªà㣠ॡà , ᮤ¥à 饣® L , ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨©. ª ª ª ¯ à ««¥«®í¤àë ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ, â® §® «ìë¥ ¯à¨§¬ë â ª¥ ¨¬¥îâ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ á¥ç¥¨¨ ¯à¨§¬ ¯«®áª®áâìî, ¥ ¯ à ««¥«ì®© ॡàã L , ¯®«ãç îâáï æ¥âà «ì®-ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, 0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
2
2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
352
. .
à ᯮ« £ î騥áï ¢®ªà㣠®¡é¥© ¢¥àè¨ë ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨©. ஬¥ ⮣®, í⨠¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ®ç¥¢¨¤®, à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ª ª ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ¯ à ««¥«®£®®¢, ¨¬¥îâáï «¨èì ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨: ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ ïîâáï «¨¡® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¬¨, «¨¡® è¥áâ¨ã£®«ì¨ª ¬¨. ®âáî¤ ¥¯®á।á⢥® ¢¨¤®, çâ® àï¤ë ¯à¨§¬ R ¨ R ¯à¨«¥£ îâ ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨©. Ǒத®« ï ⥯¥àì ¯à¨ª« ¤ë¢ ¨¥ á«¥¤ãîé¨å à冷¢ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¢ ®¡¥ áâ®à®ë ®â ¨á室®£® àï¤ R , ¯®«ã稬 æ¥«ë© á«®© ¯ à ««¥«®í¤à®¢. Ǒਠí⮬ ¯® ¤®ª § ®¬ã §® «ìë¥ ¯à¨§¬ë ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨© § ¯®«ï⠢ᥠ¯à®áâà á⢮, â ª ª ª ¯à¨«¥£ ¨î ¯à¨§¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨«¥£ ¨¥ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¯® £à ï¬ §®, â® ¯®áâà®¥ë© ¬¨ á«®© ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¡ã¤¥â ¥¯à®¨æ ¥¬ë¬. ஬¥ ⮣®, ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì ¢ ⮬, çâ®, ¯à®¥ªâ¨àãï íâ®â á«®© ¯«®áª®áâì ¢¤®«ì à¥¡à §®ë, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ à §¡¨¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«®£®ë. C)
᫨ ¯ à ««¥«®í¤àë P ¨ P ′ «¥ â ¢ á®á¥¤¨å á«®ïå ¨ ¨å §® «ìë¥ 0
1
0
¯à®¥ªæ¨¨, â. ¥. ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¤®«ì à¥¡à §®ë, ¯¥à¥ªàë¢ îâáï, â® ®¡é ï ç áâì
¯à®¥ªæ¨© ¥áâì ¯à®¥ªæ¨ï ¨å ®¡é¥© £à ¨.
§ ¯à¥¤ë¤ã饣® á«¥¤ã¥â, çâ® ¢áï á¨á⥬ ¯ à ««¥«®í¤à®¢, § ¯®«ïîé¨å ¯à®áâà á⢮, à ᯠ¤ ¥âáï á«®¨, ®¡à §ã¥¬ë¥ ¯ à ««¥«®í¤à ¬¨, ᬥ묨 ¯® £à ï¬ ¤ ®© §®ë ¨ ¥¥ ¥áâ¥á⢥ëå ¯à®¤®«¥¨©. ¢ á«®ï S ¨ S ′ , ¨¬¥î騥 ®¡é¨¥ â®çª¨, ¤®«ë ¯®«®áâìî ¯à¨«¥£ âì ¤à㣠ª ¤àã£ã, â ª çâ® ¬¥¤ã ¨¬¨ 㥠¥â ¯ãáâ®â: ¨ ç¥ â ª ï ¯ãáâ®â § ¯®«ï« áì ¡ë ª ª¨¬-â® ¯ à ««¥«®í¤à®¬, ¨áå®¤ï ¨§ ª®â®à®£® ¬ë ¯®áâந«¨ ¡ë á«®©, ª®â®àë© ¢¢¨¤ã ¥£® ¥¯à®¨æ ¥¬®áâ¨ à §¤¥«¨« ¡ë á«®¨ S ¨ S ′ . Ǒãáâì §® «ìë¥ ¯à®¥ªæ¨¨ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ P ¨ P ′ ¨§ á®á¥¤¨å á«®¥¢ S ′ ¨ S ¯¥à¥ªàë¢ îâáï ¨ ¯ãáâì A | «î¡ ï ¨å ®¡é ï ¢ãâà¥ïï â®çª . Ǒàï¬ ï l, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ A ¯ à ««¥«ì® ॡàã §®ë, ¯¥à¥á¥ª ¥â ®¡ ¯ à ««¥«®í¤à ¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¤àã£¨å ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¨§ â¥å ¥ á«®¥¢, ¯®â®¬ã çâ® ¯à®¥ªæ¨¨ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ®¤®£® á«®ï ¥ ¯¥à¥ªàë¢ îâáï. â ª ª ª á«®¨ ¯®«®áâìî ¯à¨«¥£ îâ ¤à㣠ª ¤àã£ã, â® íâ ¯àï¬ ï, ¢ëå®¤ï ¨§ P ¢ ¯à ¢«¥¨¨ P ′, áà §ã ¢å®¤¨â ¢ P ′, â ª çâ® P ¨ P ′ ¨¬¥îâ ®¡éãî â®çªã, ¯à®¥ªæ¨¥© ª®â®à®© ï¥âáï ¤ ï â®çª A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢áï ®¡é ï ç áâì ¯à®¥ªæ¨¨ íâ¨å ¯ à ««¥«®í¤à®¢ á®á⮨⠨§ ¯à®¥ªæ¨© ¨å ®¡é¨å â®ç¥ª. ¥¬ á ¬ë¬ ® ï¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© ¨å ®¡é¥© £à ¨, ¯®â®¬ã çâ® ¯ à ««¥«®í¤àë ¯à¨«¥£ îâ ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬. D) á¥ â¨¯ë ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¬®£ãâ ¡ëâì ©¤¥ë ¯®á।á⢮¬ úá«®¥¢®£® ¯®áâ஥¨ïû, á®áâ®ï饣® ¢ á«¥¤ãî饬: 롥६ ª ªãî-«¨¡® § ¬ªãâãî §®ã ¯ à ««¥«®í¤à (ॡ஠í⮩ §®ë ¡ã¤¥¬ ¤«ï 㤮¡á⢠áç¨â âì ¢¥à⨪ «ìë¬). ®£¤ ¢á¥ ¥£® £à ¨ à ᯠ¤ îâáï âਠç áâ¨: §®ã ¨ ¤¢¥ ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¤à㣠¤àã£ã ýè ¯®çª¨þ | ý¢¥àåîîþ ¨ ý¨îîþ.
. VIII:
§ 1.
353
Ǒ
Ǒãáâì S ¨ S ′ | ¤¢ á®á¥¤¨å á«®ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ë¡à ®© §®¥, ¯à¨ç¥¬ áç¨â ¥¬, çâ® S ′ «¥¨â ¤ S . Ǒãáâì S ¨ S ′ | §® «ìë¥ ¯à®¥ªæ¨¨ íâ¨å á«®¥¢ ®¤ã ¨ âã ¥ ¯«®áª®áâì. á«¥¤á⢨¥ B í⨠¯à®¥ªæ¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¤¢ § ¯®«¥¨ï ¯«®áª®á⨠®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¯ à ««¥«®£® ¬¨. A1 A′1
P S′
A2
A′3 Q1 B
Q3 Q2
A3
A′2
¨á. 140
¨á. 141
Ǒãáâì P | ¯ à ««¥«®í¤à ¨§ á«®ï S ¨ P | ¥£® ¯à®¥ªæ¨ï. ¯®ªàë⠯஥ªæ¨ï¬¨ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¨§ á«®ï S ′ ¨, ᮣ« á® C, ®¡é ï ¥¥ ç áâì á «î¡®© ¨§ íâ¨å ¯à®¥ªæ¨© ¥áâì ¯à®¥ªæ¨ï ¥ª®â®à®© £à ¨ ¯ à ««¥«®í¤à P (à¨á. 140). âáî¤ ¨ á«¥¤ã¥â á«®¥¢®¥ ¯®áâ஥¨¥ : «ï ⮣® çâ®¡ë ©â¨ ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ¯ à ««¥«®í¤àë, ¤®áâ â®ç® à á-
ᬮâà¥âì ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ «¥£ ¨ï ¤à㣠¤à㣠®¤¨ ª®¢ëå à §¡¨¥¨©
¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«®£®ë (íâ® ®¯à¥¤¥«¨â áâ஥¨¥ è ¯®çª¨, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ¨ áâ஥¨¥ §®ë). 5. ¥¯¥àì, çâ®¡ë § ¢¥àè¨âì ¢ë¢®¤, ®áâ ¥âáï ®áãé¥á⢨âì íâ® á«®¥¢®¥ ¯®áâ஥¨¥. ãâ ã® à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï ᮮ⢥âá⢥® ¤¢ã¬ ¢®§¬®ë¬ ¢¨¤ ¬ ¯ à ««¥«®£®®¢. Ǒ¥à¢ë©á«ãç ©: ¯ à ««¥«®£®ëáãâìè¥áâ¨ã£®«ì¨ª¨. Ǒਠ«®¥¨¨®¤®£® à §¡¨¥¨ï S ′ ¤à㣮¥ ¬®£ã⠯।áâ ¢¨âìáï ç¥âëॠ¢®§¬®®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ªã¤ ¯®¯ ¤ ¥â ¤ ï ¢¥àè¨ A à §¡¨¥¨ï S ′ (à¨á. 141): I) ¢ãâàì ®¤®£® ¨§ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢ Ql , Q , Q ; II) ¢ãâàì ®¤®© ¨§ áâ®à® BAi íâ¨å ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢ ; III) ¢ â®çªã B ; IV) ¢ ®¤ã ¨§ â®ç¥ª A , A , A . ⨬ ç¥âë६ á«ãç ï¬ ®â¢¥ç îâ ç¥âëॠ¯à®¥ªæ¨¨ è ¯®ç¥ª ¯ à ««¥«®í¤à®¢, ¨§®¡à ¥ë¥ à¨á. 142, ¨ ᮮ⢥âá⢥® ç¥âëॠ⨯ ¯ à ««¥«®í¤à®¢, ª®â®àë¥ ¨§®¡à ¥ë â ª, ç⮠ॡ஠§®ë ¢¥à⨪ «ì®. â®à®© á«ãç ©: ¯ à ««¥«®£®ë áãâì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë. ¤¥áì ¤«ï «®¥¨ï ®¤®£® à §¡¨¥¨ï ¤à㣮¥ ¨¬¥îâáï, ®ç¥¢¨¤®, «¨èì âਠ¢®§¬®®áâ¨, ¨§®¡à ¥ë¥ à¨á. 142 ¨ ®¡®§ ç¥ë¥ II′, IV′ , V. ¡®§ 票¥ II′ 2
1
2
3
6)
3
6) ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ A ¯ ¤ ¥â, ¯à¨¬¥à, áâ®à®ã A1 A′1 , â® íâ® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® ® ¯ ¤ ¥â A2 B .
354
. .
¨ IV′ 㪠§ë¢ ¥â â®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®£®£à ¨ª¨ ¨¬¥îâ â® ¥ áâ஥¨¥, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ II ¨ IV. §¨æ «¨èì ¢ ⮬, çâ® ¡¥àãâáï ¨å ¯à®¥ªæ¨¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 §® ¬, ¨£à î騬 à §ãî à®«ì ¢ ¨å ª®¬¡¨ â®à®¬ áâ஥¨¨. A I
A II
A A III
IV
II′
IV′
V
¨á. 142
Ǒ®«ãç ¥âáï ¢á¥£® ¯ïâì à §«¨çëå ⨯®¢ ¯ à ««¥«®í¤à®¢ (à¨á. 143): (I) ¥âëà ¤æ â¨£à ¨ª; 8 £à ¥© è¥áâ¨ã£®«ìë¥, 6 | ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë. (II) ¢¥ ¤æ â¨£à ¨ª; 4 £à ¨ è¥áâ¨ã£®«ìë¥, 8 | ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë. (III) ¢¥ ¤æ â¨£à ¨ª, ã ª®â®à®£® ¢á¥ £à ¨ | ¯ à ««¥«®£à ¬¬ë. (IV) ¥á⨣à ï ¯à¨§¬ . (V) Ǒ à ««¥«¥¯¨¯¥¤. ¨¡®«¥¥ ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¢¨¤ ç¥âëà ¤æ ⨣à ë© ¯ à ««¥«®í¤à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤¨ ¨§ 13 ¯®«ã¯à ¢¨«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ à娬¥¤ , §ë¢ ¥¬ë© ýãá¥ç¥ë¬ ®ªâ í¤à®¬þ. â®â ¬®£®à ¨ª ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ªã¡ á ®ªâ í¤à®¬, ®á¨ ª®â®à®£® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë £à ï¬ ªã¡ , ¯à¨ç¥¬ è¥áâ¨ã£®«ì¨ª¨, ¢ë१ ¥¬ë¥ £à ïå ®ªâ í¤à , ¤®«ë ¨¬¥âì æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ. ¥¯¥àì ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®ª®ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â: ¥®à¥¬ 4.
«ï ⮣® çâ®¡ë ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¡ë« ¯ à ««¥«®-
í¤à®¬, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ¨¬¥« áâ஥¨¥ ®¤®£® ¨§ ¯ï⨠㪠§ ëå ⨯®¢ ¨ çâ®¡ë ª ª ® á ¬, â ª ¨ ¢á¥ ¥£® £à ¨ ¨¬¥«¨ æ¥âàë ᨬ¬¥âਨ.
(®® ¯®ª § âì, çâ® âॡ®¢ ¨¥ «¨ç¨ï æ¥âà ᨬ¬¥âਨ ã á ¬®£® ¬®£®£à ¨ª «¨è¥¥: ®® á«¥¤ã¥â ¨§ «¨ç¨ï æ¥â஢ ᨬ¬¥âਨ ã £à ¥©.) ¥®¡å®¤¨¬®áâì íâ¨å ãá«®¢¨© ¤®ª § ¯à¥¤ë¤ã騬¨ à áá㤥¨ï¬¨; ¤®áâ â®ç®áâì ¨å ¯®«ãç ¥âáï ¥¯®á।á⢥®. áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ¬®£®£à ¨ª ¯¥à¢®£® ⨯ . ë¡à ¢ ®¤ã ¥£® §®ã, ¯®áâந¬ á«®© â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯à¨«¥£ îé¨å ¯® £à ï¬ §®ë. ª®¥ ¯®áâ஥¨¥ ¢®§¬®®, â ª ª ª §® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© è¥áâ¨ã£®«ì¨ª á æ¥â஬, â. ¥. ¯ à ««¥«®£®. Ǒ®áâந¬ § ⥬ ¤à㣮© â ª®© ¥ ¯ à ««¥«ìë© á«®© ¨ ¯®«®¨¬ ¥£® ¯à¥¤ë¤ã騩 â ª, çâ®¡ë ª ª ï-¨¡ã¤ì £à ì ¨¥© è ¯®çª¨ ®¤®£® ¨§ ¥£® ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ᮢ¯ « á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ìî ¢¥à奩
. VIII:
§ 1.
355
Ǒ
è ¯®çª¨ ¯ à ««¥«®í¤à ¨§ ¯¥à¢®£® á«®ï. ®£¤ á«®¨ ¯®«®áâìî «ï£ãâ ¤à㣠¤à㣠, ª ª íâ® «¥£ª® ¢¨¤¥âì ®á®¢ ¨¨ áâ஥¨ï è ¯®ç¥ª. Ǒத®« ï íâ® «®¥¨¥ á«®¥¢, ¯®«ã稬 § ¯®«¥¨¥ ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠. 7)
I
II
III
IV
V
¨á. 143
ᮢ®© ¯à®¢¥¤¥®£® ¢ë¢®¤ ï¥âáï áãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮩ §®ë, ª®â®à®¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ áãé¥á⢮¢ ¨ï æ¥âà ã ¯ à ««¥«®í¤à ¨ ¥£® £à ¥©. ® ¢ ¡®«¥¥ 祬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ â ª®¥ ¥ ¯à®á⮥ § ª«î票¥ ¥¢®§¬®®, ¨ â ¬ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢á¥ £à ¨, ¯ à ««¥«ìë¥ ª ª®¬ã-«¨¡® ॡàã, ®¡à §ãîâ § ¬ªãâãî §®ã. ® ¥áâì £à ¨ (n − 1)-¬¥à®© ¯à®¥ªæ¨¨ n-¬¥à®£® ¯ à ««¥«®í¤à ¢¤®«ì à¥¡à ¬®£ãâ ¨ ¥ ¡ëâì ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¥£® (n − 1)-¬¥àëå £à ¥©. ᥠ¥ ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ . . ¥«®¥ 㤠«®áì ¯à®¢¥á⨠᫮¥¢®¥ ¯®áâ஥¨¥ ¨ ©â¨ ¢á¥ ç¥âëà¥å¬¥àë¥ ¯ à ««¥«®í¤àë. å ®ª § «®áì 52 ⨯ . ¯à®áâà áâ¢ å ¡®«ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© á«®¥¢®¥ ¯®áâ஥¨¥ ¥ ¬®¥â ¤ âì ¢á¥å ¯ à ««¥«®í¤à®¢. ¨¡®«¥¥ £«ã¡®ª®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥, ª á î饥áï n-¬¥àëå ¯ à ««¥«®í¤à®¢, ¯à¨ ¤«¥¨â . . ®à®®¬ã (1868{1908) . Ǒãáâì E | ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ «ì ï á¨á⥬ â®ç¥ª, ¨«¨, ª ª £®¢®àïâ, à¥è¥âª (â.¥. á¨á⥬ ª®æ®¢ n P ¢¥ªâ®à®¢ xiai , £¤¥ ai | ¤ ë¥ ¢¥ªâ®àë, xi | «î¡ë¥ æ¥«ë¥ ç¨á« ). i Ǒ®áâந¬ ¢®ªà㣠ª ¤®© â®çª¨ A à¥è¥âª¨ E ®¡« áâì ¡«¨ ©è¨å â®ç¥ª, â. ¥. ¬®¥á⢮ â ª¨å â®ç¥ª X , çâ® à ááâ®ï¨¥ AX ¥ ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ®â X ¤® «î¡®© ¤à㣮© â®çª¨ à¥è¥âª¨ E . ¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® í⨠®¡« á⨠| ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, á¬¥ë¥ ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬ . ¨ 6.
8)
=1
9)
7) ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï § ¯®«¥¨ï n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠¡¥§ ¯à®á¢¥-
⮢ ¨ «¥£ ¨© ¬®£®£à ¨ª ¬¨, ª®â®àë¥ ¯à¨«¥£ îâ ¯® æ¥«ë¬ £à ï¬, ¤ ë ¢ à ¡®â å [20℄ ¨ [73℄; í⨠ãá«®¢¨ï á®áâ®ïâ ¢ «®ª «ì®¬ âॡ®¢ ¨¨ § ¯®«¥¨ï ¡¥§ ¯à®á¢¥â®¢ ¨ «¥£ ¨© ®ªà¥áâ®á⨠ª ¤®© (n − 2)-¬¥à®© £à ¨. ª ¯®ª § ® ¢ [22{28℄, ®¨ ¢¥àë ¤«ï ¢á¥å ®¤®á¢ï§ëå n-¬¥àëå ¯à®áâà áâ¢. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 8) §«®¥¨¥ à ¡®â ..®à®®£® á¬. ¢ [96, á. 268{321℄. ¬ ¥ (á. 295{297) 㪠§ ë ¤ «ì¥©è¨¥ à ¡®âë ® ¯ à ««¥«®í¤à å. 9) ¨ ®£à ¨ç¨¢ îâáï ¯«®áª®áâﬨ, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª ®â१ª ¬, ᮥ¤¨ïî騬 ¤ ãî â®çªã á ¤à㣨¬¨ â®çª ¬¨ à¥è¥âª¨, ¢ á¥à¥¤¨ å íâ¨å ®â१ª®¢.
356
. .
§ë¢ îâáï ®¡« áâﬨ ®à®®£® . § ⮣®, çâ® à¥è¥âª ®¡« ¤ ¥â ¯ à ««¥«ì®© ¯®¢â®à塞®áâìî, á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á¥ ¥¥ ®¡« á⨠®à®®£® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯ à ««¥«®í¤àë. ¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯ à ««¥«®í¤à ¡ë« ®¡« áâìî ®à®®£® ª ª®©-«¨¡® à¥è¥âª¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¯àï¬ë¥ ¨§ ¥£® æ¥âà ¢ æ¥âàë £à ¥© ¡ë«¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ª £à ï¬. . . ®à®®© ¢ë᪠§ « £¨¯®â¥§ã, çâ® ¢á直© ¯ à ««¥«®í¤à ¬®® ¯ã⥬ 䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à¥¢à â¨âì ¢ ý®¡« áâì ®à®®£®þ. á ¬ ¤®ª § « íâ® ¤«ï ý¯à¨¬¨â¨¢ëåþ ¯ à ««¥«®í¤à®¢, â. ¥. â ª¨å, ª®â®àë¥ ¢ § ¯®«¥¨¨ ¯à®áâà á⢠á室ïâáï ¢ ¢¥àè¨ å ¢ ¨¬¥ì襬 ¢®§¬®®¬ ç¨á«¥, ¨¬¥® (n + 1). Ǒਠn = 3 ¯à¨¬¨â¨¢¥ ¯ à ««¥«®í¤à «¨èì ®¤®£® ⨯ I | ç¥âëà ¤æ â¨£à ¨ª. Ǒਠn = 4 ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯ à ««¥«®í¤à®¢ ¨¬¥¥âáï âਠ⨯ . ¥®à¥¬ ®à®®£® ¡ë« ¤®ª § ¤«ï ¢á¥å âà¥å¬¥àëå ¨ ç¥âëà¥å¬¥àëå ¯ à ««¥«®í¤à®¢ .. ¥«®¥ ¨ ®¡®¡é¥ ¡®«¥¥ è¨à®ª¨© ª« áá n-¬¥àëå ¯ à ««¥«®í¤à®¢, 祬 ¯à¨¬¨â¨¢ë¥, . .¨â®¬¨à᪨¬ [106℄. ¤ ª® ¢ ¯®«®¬ ®¡ê¥¬¥ ® ¤® á¨å ¯®à ®áâ ¥âáï ¥¤®ª § ®©. ®ª § ¢ ¥¥, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë â ª¥ ᯮᮡ 室¨âì ¯ à ««¥«®í¤àë n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠, ¯®â®¬ã çâ® . . ®à®ë¬ ¤ ᯮᮡ 室¥¨ï ý®¡« á⥩ ®à®®£®þ. 10)
§ 2. ®£®£à ¨ª ¨¬¥ì襩 ¯«®é ¤¨ ¯à¨ § ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥
1. ¥çì ¨¤¥â ® á«¥¤ãî饩 ⥮६¥, ¤®ª § ®© ¢¯¥à¢ë¥ . ¨¤¥«ñ䮬 ¢ 1870 £. [312℄. ¥®à¥¬ 1.
।¨ ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥-
¨ï¬¨ £à ¥© ¨ á ¤ ë¬ ®¡ê¥¬®¬ ¨¬¥ìèãî ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¨¬¥¥â ¬®£®£à ¨ª, ®¯¨á ë© ¢®ªà㣠è à .
â ⥮६ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¤à㣮©, ¡®«¥¥ ®¡é¥©, ⥮६ë, ¯à¨ ¤«¥ 饩 . ¨ª®¢áª®¬ã. «ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ í⮩ ¯®á«¥¤¥© ᤥ« ¥¬ àï¤ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìëå § ¬¥ç ¨©. ¡®¡é ï ¢¢¥¤¥®¥ à ìè¥ ¯®ï⨥ ®¯®à®£® ç¨á« (§ 2 £« ¢ë I), ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®¯®àë¬ ç¨á«®¬ h(n) ¬®£®£à ¨ª à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ®¯®à®© ¯«®áª®á⨠¬®£®£à ¨ª á ¢¥è¥© ®à¬ «ìî n; ¯à¨ç¥¬, ª ª ¢á¥£¤ , íâ® à ááâ®ï¨¥ áç¨â ¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë¬, ¥á«¨ ®à¬ «ì n, ®â«®¥ ï ¨§ ç « , ¯à ¢«¥ ª ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¬, | ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. Ǒ®¤ n ¬ë ¢á¥£¤ ¯®¨¬ ¥¬ ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à. Ǒ®í⮬㠬®® 10) å â ª¥ §ë¢ îâ , ¯®áª®«ìªã Ǒ. . ¨à¨å«¥ à ¥¥ à áᬠâਢ « ¨å ¢ âà¥å¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¢ á¢ï§¨ á ¢®¯à®á ¬¨ ⥮ਨ ç¨á¥«. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . ®¡« áâﬨ ¨à¨å«¥
. VIII:
§ 2.
Ǒ
357
᪠§ âì, çâ® h(n) ¥áâì ¯à ¢ ï ç áâì ¢ ®à¬ «ì®¬ ãà ¢¥¨¨ ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨ á ¢¥è¥© ®à¬ «ìî n: nx = h(n). (1) ¡®¡é¥¨¥ ¢ áà ¢¥¨¨ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬, ¤ ë¬ ¢ § 2 £« ¢ë I, á®á⮨⠢ ⮬, ç⮠⥯¥àì ®¯®à ï ¯«®áª®áâì á ®à¬ «ìî n ¬®¥â ¨ ¥ ¡ëâì ¯«®áª®áâìî £à ¨. â® ®¡®¡é¥®¥ ¯®ï⨥ ®¯®à®£® ç¨á« ¡ã¤¥â ¨¬¥âìáï ¢ ¢¨¤ã ¯à®â泌¨ ¢á¥£® ¤ ®£® ¯ à £à ä ¨ á«¥¤ãîé¨å. ¤ë© à § ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¤ ëå ¯®¯ à® à §«¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ ni, á।¨ ª®â®àëå ᮤ¥à âáï ®à¬ «¨ ª® ¢á¥¬ £à ï¬ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. «ï ªà ⪮á⨠¢¬¥áâ® h(ni) ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì hi. ¡éãî ç áâì ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî ni ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì i-© £à ìî, å®âï ® ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ॡ஠¨«¨ ¢¥àè¨ã.
᫨ â ª®£® ¢ëத¥¨ï ¥â, â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ®¡ ¨á⨮© £à ¨. Ǒ«®é ¤ì i-© £à ¨ ®¡®§ ç ¥âáï Fi; ® ¡ã¤¥â ã«¥¬ ¢ á«ãç ¥ ¢ëத¥¨ï £à ¨. ¥¬¬ 1.
᫨ ç «® ¯¥à¥¥á⨠¢¥ªâ®à a, â® ®¯®à®¥ ç¨á«® h(n) ¯à¨®¡à¥â ¥â á« £ ¥¬®¥ −an. ¥©á⢨⥫ì®, ᮣ« á® ä®à¬ã«¥ (1), h(n) = nx.
᫨ h′ (n) | ®¯®à®¥ ç¨á«® ¯à¨ ®¢®¬ ¢ë¡®à¥ ç « O′, â® h′ (n) = nx′ , £¤¥ ¢¥ªâ®à x′ ¨¤¥â−−¨§→ O′ ¢ «î¡ãî−â®çªã X ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨.
᫨ O | −−→ −−→ áâ ஥ ç «®, â® OO′ = a ¨ x′ = O−′→ X = O ′ O + OX = −a + x, ¯®â®¬ã h′ (n) = nx − na = h(n) − na. ¥¬¬ 2.
¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®©
V
= 13
X
h i Fi .
i
â ä®à¬ã« ®ç¥¢¨¤ : ® ¢ëà ¥â ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª ª ª «£¥¡à ¨ç¥áªãî á㬬㠮¡ê¥¬®¢ ¯¨à ¬¨¤ á ®¡é¥© ¢¥à訮© ¢ ç «¥ ¨ á ®á®¢ ¨ï¬¨ £à ïå ¬®£®£à ¨ª . Ǒਠí⮬ ¥á«¨ ç «® ¥ ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª , â® ®¡ê¥¬ ¯¨à ¬¨¤ë, «¥ 饩 ¢¥ ¥£®, ¤®«¥ ¢ëç¨â âìáï. ª ®® ¨ ¡ã¤¥â, ¯®â®¬ã çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®¯®à®¥ P ç¨á«® hi ®âà¨æ ⥫ì®. ¥¬¬ 3. «ï ¢á类£® ¬®£®£à ¨ª ni Fi = 0. i
358
. .
â ä®à¬ã« ¬ ¨§¢¥áâ . ¥¤ã ¯à®ç¨¬, ® ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ 1 ¨ 2. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ ¯¥à¥®á¥ ç « «î¡®© ¢¥ªâ®à a ®¡ê¥¬, ª®¥ç®, ¥ ¬¥ï¥âáï, ¯®â®¬ã X
=
h i Fi
X
(hi − ani ) Fi =
X
h i Fi − a
X
ni Fi .
â ª ª ª íâ® ¢¥à® ¯à¨ «î¡®¬ ¢¥ªâ®à¥ a, â® P ni Fi = 0. ¥¬¬ 4.
P 0, P 1
Ǒãáâì
| ¤¢ ¬®£®£à ¨ª ,
n1 , . . . , nr
| ¢¥ªâ®àë,
h0i , ¬®£®£à ¨ª P 0
á।¨ ª®â®àëå ᮤ¥à âáï ®à¬ «¨ ª® ¢á¥¬ ¨å ¨áâ¨ë¬ £à ï¬.
᫨ 1
Fi | ®¯®àë¥ ç¨á« ¨ P 1 , â® á㬬
¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© ᮮ⢥âá⢥®
(
V011 ≡ V P 0 P 1 P 1
X ) = 13 hi Fi 0
(2)
1
¥ ¬¥ï¥âáï ¨ ¯à¨ ¯¥à¥®á¥ ç « , ¨ ¯à¨ ¯ à ««¥«ìëå ¯¥à¥®á å ¬®£® ¥ ¬¥ï¥âáï â ª¥ ¯à¨ ¢¢¥¤¥¨¨ ®¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ni .
᫨ ç «® ¯¥à¥¥á⨠¢¥ªâ®à a, â®, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 1, 㪠§ ï á㬬 ¤®« § ¬¥¨âìáï â ª®©: £à ¨ª®¢
P 0, P 1.
X i
(hi − ani)Fi = 0
1
X i
h0i Fi1 − a
X
nFi1 .
i
® ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 3 ¯®á«¥¤ïï á㬬 ¨á祧 ¥â, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë. Ǒਠ¯¥à¥®á¥ ¬®£®£à ¨ª P ¯«®é ¤¨ ¨ ¯à ¢«¥¨ï ¥£® £à ¥© ¥ ¬¥ïîâáï, ¯®â®¬ã á㬬 V ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©. Ǒ¥à¥®á ¥ ¬®£®£à ¨ª P ¢«¨ï¥â ¨§¬¥¥¨¥ ¥£® ®¯®àëå ç¨á¥« ª ª ¯à®â¨¢®¯®«®ë© ¯¥à¥®á ç « . Ǒ®í⮬ã á㬬 V ¥ ¬¥ï¥âáï â ª¥ ¯à¨ ¯¥à¥®á å ¬®£®£à ¨ª P . ®, çâ® á㬬 V (P P P ) ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¢¢¥¤¥¨¨ ®¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ni, ®ç¥¢¨¤® ¨§ ⮣®, çâ® ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠á í⨬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ 㯨à îâáï ¢ ¬®£®£à ¨ª P 㥠¯® ý£à ï¬þ, ¤«ï ª®â®àëå Fi = 0. ¯¨à ïáì ®ç¥¢¨¤ãî «®£¨î ¬¥¤ã ¢ëà ¥¨ï¬¨ ¢¥«¨ç¨ë V ¨ ®¡ê¥¬ , §®¢¥¬ ¢¥«¨ç¨ã V ᬥè ë¬ ®¡ê¥¬®¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P .
᫨ P à ¢¥ ¨ ¯ à ««¥«¥ P , â®, ®ç¥¢¨¤®, V à ¢® ®¡ê¥¬ã ¬®£®£à ¨ª P . à㣮¥ § 票¥ ¢¥«¨ç¨ë V (P P P ) ¡ã¤¥â ¢ëï᥮ ¢ § 3, ¨ â ¬ ¥ ¡ã¤¥â à áªàëâ á¬ëá« ¢¢¥¤¥®£® ¥¥ ®¡®§ 票ï. Ǒ®ª ¤«ï ¥£® ®¡êïá¥¨ï ¬®® ⮫쪮 § ¬¥â¨âì, çâ® ¯à¨ ¯®¤®¡®¬ 㢥«¨ç¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¢ λ à § V (P P P ) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¬®¨â¥«ì λ, ¯à¨ â ª®¬ ¥ 㢥«¨ç¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P | ¬®¨â¥«ì λ ; â ª ª ª ¯à¨ P , à ¢®¬ ¨ ¯ à ««¥«ì®¬ P , V (P P P ) à ¢® ®¡ê¥¬ã ¬®£®£à ¨ª P , â® íâ®â ®¡ê¥¬ ¥áâ¥á⢥® ®¡®§ ç âì V (P P P ). ¥¯¥àì áä®à¬ã«¨à㥬 ⥮६㠨ª®¢áª®£®: 1
011
0
011 0 1
0
1
1
1
011 0
011
0
1
0
0
0
0
1
0
1
011 1
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
. VIII:
¥®à¥¬ 2.
§ 2.
359
Ǒ
«ï ¢áïª¨å ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
(
(
)
)
(
P 0, P 1
)
V 3 P 0P 1P 1 > V P 0P 0P 0 · V 2 P 1P 1P 1 . Ǒਠí⮬ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®£®-
£®¬®â¥â¨çë (â.¥. ¯®«ãç îâáï ®¤¨ ¨§ ¤à㣮£® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¨ ¯®¤®¡ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¨§ ¥ª®â®à®£® æ¥âà ). 2. ¥®à¥¬ 1 ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ⥮६ë 2 ¡« £®¤ àï á«¥¤ãî饬㠧 ¬¥ç ¨î:
£à ¨ª¨
P0
¨
P1
᫨ ¬®£®£à ¨ª¨
P0
P1
¨
¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª
¨áâ¨ë¬ £à ï¬ ¨ ¬®£®£à ¨ª
P0
®¯¨á ¢®ªà㣠¥¤¨¨ç®£® è à , â®
3V (P P P ) ¥áâì ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª P . ¥©á⢨⥫ì®, ¡¥àï ç «® ¢ æ¥âॠè à , ¢®ªà㣠ª®â®à®£® ®¯¨á ¬®£®£à ¨ª P , ¯®«ã稬, çâ® ¢á¥ ¥£® ®¯®àë¥ ç¨á« hi = 1. ®£¤ , ᮣ« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ V (P P P ), ¯® ä®à¬ã«¥ (2) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì V (P P P ) = P = Fi = F (P ), £¤¥ F (P ) | ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¬®£®£à ¨ª P . ®£« á® í⮬㠧 票î, ¨§ ⥮६ë 2 á«¥¤ã¥â, çâ® (¯¥à¥å®¤ï ª ᮪à 饮¬ã ®¡®§ ç¥¨î ®¡ê¥¬®¢) F (P ) > 27V (P )V (P ) ¨ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤®¡¥ ¬®£®£à ¨ªã P . â®, ®ç¥¢¨¤®, ®§ ç ¥â, çâ® ¯«®é ¤ì F (P ) ¤®á⨣ ¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥ V (P ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤®¡¥ P , â. ¥. ª®£¤ ¨ ® ®¯¨á ¢®ªà㣠¥ª®â®à®£® è à . ¢ í⮬ ¨ á®á⮨â ã⢥थ¨¥ ⥮६ë 1. 3. ¡à ⨬áï ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 2. Ǒãáâì P | ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ n , . . . , n | ¯®¯ à® à §«¨çë¥ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, á।¨ ª®â®àëå ᮤ¥à âáï ¢á¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¨áâ¨ë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì P | ¯¥à¥¬¥ë© ¬®£®£à ¨ª, ¢ë१ ¥¬ë© ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯«®áª®áâﬨ á ®à¬ «ï¬¨ ni . ।¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ᮤ¥à¨âáï ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª P . ®£®£à ¨ª P ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢠nix 6 hi, £¤¥ hi | à ááâ®ï¨ï ®â ç « ¤® i-© ¯«®áª®á⨠Qi , ¢§ïâë¥ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 § ª®¬. Ǒ«®áª®áâì Qi ¬®¥â ¨ ¥ ª á âìáï ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ hi ¥ ¡ã¤¥â ¥£® ®¯®àë¬ ç¨á«®¬. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ª®£¤ ¢á¥ hi § ¤ ë, ¬®£®£à ¨ª P ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ ¨ ¬®® ç¨á« hi §¢ âì ¥£® ý®¯®à묨 ç¨á« ¬¨þ ¢ ª ¢ëçª å. (
᫨ i-ï ¯«®áª®áâì ¥ ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª P , â® ç¨á«® hi 㥠¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®£®£à ¨ª®¬.) 0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
3
1
0
2
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
¥¬¬ 5.
¡ê¥¬
¥£® ú®¯®àëå ç¨á¥«û
V ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì hi ¨ ∂V Fi , ∂hi
=
¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï
360
. .
£¤¥ Fi | ¯«®é ¤ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨. (
᫨ i-ï ¯«®áª®áâì ¥ ª á ¥âáï ¬®£®£à ¨ª , â® i-© £à ¨ ¥â, ¨ áç¨â ¥âáï, çâ® Fi = 0.) â «¥¬¬ ¤®áâ â®ç® ®ç¥¢¨¤ ¨ ¤®ª § ¢ § 2 £« ¢ë VII. 祢¨¤®, çâ® ¯«®é ¤¨ £à ¥© Fi § ¢¨áïâ ®â ý®¯®àëå ç¨á¥«þ hi ¥¯à¥à뢮, â ª çâ® ®¡ê¥¬ V ¨¬¥¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥. ®ª ¥¬ ⥯¥àì á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ¨§ ª®â®à®£® ⥮६ 2 ¯®«ãç¨âáï ¯à®áâë¬ ä®à¬ «ìë¬ à áá㤥¨¥¬: ¥®à¥¬ 2a. Ǒãáâì P | ¯¥à¥¬¥ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¨¢ ¥¬ë© ¯«®áª®áâﬨ ni x = hi á ¤ 묨 ¢¥è¨¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ni , P | ®¤¨ ¨§ 1
íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢. ®£¤ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ®
(h , . . . , hr ) ≡ 1
¬®£®£à ¨ª
P
r X
hi Fi1
i=1
=
r X i=1
h1i Fi1
= 3V (P ),
(3)
1
¨¬¥¥â ¨¡®«ì訩 ®¡ê¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®
. (Fi | ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¢ë¡à ®£® ¬®£®£à ¨ª P , V (P ) | ¥£® ®¡ê¥¬.) ¨¥© ï ä®à¬ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ç « ¨ ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥®á å ¬®£®£à ¨ª®¢, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ì® â ª ¥, ª ª «¥¬¬ 4. §¨æ «¨èì ¢ ⮬, çâ® hi 㥠¬®£ãâ ¥ ¡ëâì áâ®ï騬¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ ¨ ¯®â®¬ã ¥áâì äãªæ¨ï ¥ ¬®£®£à ¨ª P , ⮫쪮 ç¨á¥« hi. á¢ï§¨ á í⨬ § ¬¥ç ¨¥¬ ¬®® áç¨â âì, çâ® ç «® 室¨âáï ¢ãâਠ¢á¥å à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ P . ®£¤ ¢á¥ hi ¯®«®¨â¥«ìë, ¨ á㬬 á®á⮨⠫¨èì ¨§ ¥®âà¨æ ⥫ìëå ç«¥®¢. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ i-ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¢ëத ¥âáï, â. ¥. Fi > 0, â® ¨§ (3) á«¥¤ã¥â, çâ® hi 6 3V (P )/Fi . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ ý®¯®àë¥ ç¨á« þ ¯¥à¥¬¥®£® ¬®£®£à ¨ª P , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥¢ëத î騬áï £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , ®£à ¨ç¥ë. Ǒãáâì ⥯¥àì i-ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¢ëத ¥âáï, â ª çâ® Fi = 0. ®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á« £ ¥¬®¥ ¢ «¨¥©®© ä®à¬¥ ¨á祧 ¥â ¨ ç¨á«® hi ¥ « £ îâáï ¨ª ª¨¥ ®£à ¨ç¥¨ï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¨á⨮¥ i-¥ ®¯®à®¥ ç¨á«® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ®£à ¨ç¥®. ¥©á⢨⥫ì®, ¤®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥. ®£¤ ª ª ¡ë ¤ «¥ª® ¨ ®â®¤¢¨£ âì i-î ¯«®áª®áâì Qi , ® ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ª á âìáï ¯¥à¥¬¥®£® ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ®â®¤¢¨ãâì ¥¥ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¬®£®£à ¨ª P á⠥⠡¥áª®¥çë¬. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ ¯«®áª®áâ¨, ªà®¬¥ Qi, ®£à ¨ç¨¢ îâ ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª, ¨ ¨å ®à¬ «¨ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ í⨠¯«®áª®á⨠¨ ¯à¨ ª ª®¬ ¨å à ᯮ«®¥¨¨ ®â®á¨â¥«ì® ç « ¥ ¬®£ãâ ®£à ¨ç¨âì ª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª. ¥¤ã ⥬, ¯®áª®«ìªã i-ï £à ì ¬®£®£à ¨ª¥ P ¢ëத ¥âáï, â® ¯«®áª®áâì Qi à ¢¥ ¨ ¯ à ««¥«¥ ¬®£®£à ¨ªã 1
1
1
P1
1
1
1
1
1
1
. VIII:
§ 2.
Ǒ
361
¥ ãç áâ¢ã¥â ¢ ®£à ¨ç¥¨¨ í⮣® ¬®£®£à ¨ª : ® ®£à ¨ç¥ 㥠¢á¥¬¨ ®áâ «ì묨 ¯«®áª®áâﬨ. Ǒ®«ãç î饥áï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¨á⨮¥ i-¥ ®¯®à®¥ ç¨á«® ¬®£®£à ¨ª P ¤®«® ¡ëâì ®£à ¨ç¥®. § ¤®ª § ®£® á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á¥ ¨áâ¨ë¥ ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®£à ¨ª®¢ P á ãá«®¢¨¥¬ (3) ®£à ¨ç¥ë, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ ®£à ¨ç¥ë. Ǒ®í⮬ã á।¨ ¨å áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª P ¨¡®«ì襣® ®¡ê¥¬ . ¥çì ¨¤¥â ® ¬ ªá¨¬ã¬¥ ®¡ê¥¬ V ¯à¨ ãá«®¢¨¨ (3), â.¥. ®¡ ®â®á¨â¥«ì®¬ íªáâ६㬥. ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ 5 ®¡ê¥¬ ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ç¨á¥« hi, â®, ᮣ« á® ¨§¢¥áâ®¬ã ¯à ¢¨«ã £à , ¯à¨ ¬ ªá¨¬ã¬¥ ¤®«® ¡ëâì ∂ ∂V = λ ∂h (i = 1, . . . , r) ∂hi i ¨«¨ â ª ª ª ∂V /∂hi = Fi ¨ ∂/∂hi = Fi , â® Fi = λFi (i = 1, . . . , r). (4) â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¬ ªá¨¬ «ì®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¤ ®£® P√ ¯à®¯®à樮 «ìë. ® ¯à¨ √¯®¤®¡®¬ 㢥«¨ç¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ¢ λ à § ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª λ P á ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©, à ¢ë¬¨ λFi . Ǒ®í⮬ã à ¢¥á⢠(4) ®§ ç îâ, çâ® ¬ ªá¨¬ «ìë© ¬®£®£à ¨ª P √ ¨ ¬®£®£à ¨ª λ P ¨¬¥îâ ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìë¥ ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¥ £à ¨. â ª®¬ á«ãç ¥, ᮣ« ᮠ⥮६¥ 2 § 3 £« ¢ë VI, í⨠¬®£®£à ¨ª¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. Ǒਢ®¤ï ¨å ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ª ᮢ¯ ¤¥¨î, ¯®«ã稬, çâ® ¨å ®¯®àë¥ ç¨á« à ¢ë. Ǒ®í⮬㠥᫨ hi | √ ®¯®àë¥ ç¨á« ¬ ªá¨¬ «ì®£® ¬®£®£à ¨ª , â® hi = λ hi . Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠§ ç¥¨ï ¢ (3), ¯®«ã稬 λ = 1, â.¥. ¬ ªá¨¬ «ìë© ¬®£®£à ¨ª à ¢¥ ¤ ®¬ã P , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 4. ®ª ¥¬ ⥯¥àì á ¬ã ⥮६ã 2: 0
1
1
1
1
1
1
1
1
«ï ¢áïª¨å ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢
(
)
P 0, P 1
(
) (
V 3 P 0 P 1 P 1 > V P 0 P 0 P 0 V 2 P 1P 1 P 1
)
¨ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª¨ £®¬®â¥â¨çë.
Ǒãáâì n , . . . , nr | ¢á¥ ¯®¯ à® à §«¨çë¥ ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨ ª ¨áâ¨ë¬ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P . áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª¨ P , ®£à ¨ç¨¢ ¥¬ë¥ ¯«®áª®áâﬨ á ®à¬ «ï¬¨ ni ¨ â ª¨¥, çâ® 1
0
r X i=1
1
1
h i Fi
=
r X i=1
h1i Fi1
= 3V (P ). 1
(5)
362
. .
(¤¥áì ¨ ¤ «ìè¥ á㬬¨à®¢ ¨¥ à á¯à®áâà ï¥âáï ¯® ¢á¥¬ i ®â 1 ¤® r, ¯®â®¬ã çâ® ¢¢¥¤¥¨¥ «¨è¨å ¢¥ªâ®à®¢ ni ¥ ¬¥ï¥â á㬬: ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ £à ¨ ¢ëத îâáï, â. ¥. Fi = 0.) Ǒ®«®¨¬ µV (P P P ) = V (P ), â. ¥. ¯® ä®à¬ã« ¬ (2) ¨ (5) ¤«ï V (P P P ) ¨ V (P ) 1
0
0
1
1
µ
=
1
1
1
1
P 1 1 h F P i0 i1 . h i Fi
(6)
᫨ ¯®¤¢¥à£ãâì ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤®¡®¬ã 㢥«¨ç¥¨î ¢ µ à § á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¢ ç «¥, â® ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª µP á ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ µhi . § ®¯à¥¤¥«¥¨ï µ ¯® ä®à¬ã«¥ (6) á«¥¤ã¥â 0
0
0
X
µh0i Fi1
=
X
h1i Fi1 ,
â. ¥. ¬®£®£à ¨ª µP ᮤ¥à¨âáï á।¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P . ª ª ª ¯® ⥮६¥ 2a á।¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨¡®«ì訩 ®¡ê¥¬ ¨¬¥¥â ¬®£®£à ¨ª P , â® V (µP ) 6 V (P ) (7) ¨ V (µP ) = V (P ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª µP à ¢¥ ¨ ¯ à ««¥«¥ P . Ǒਠ¯®¤®¡®¬ 㢥«¨ç¥¨¨ ¬®£®£à ¨ª ¢ µ à § ¥£® ®¡ê¥¬ 㬮 ¥âáï µ . Ǒ®í⮬㠨§ (7), ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ®¯à¥¤¥«¥¨¥ µ, ¯®«ãç ¥¬ V (P ) V (P ) > µ V (P ) = V (P ), V (P P P ) ¨«¨ V (P P P ) > V (P )V (P ), ¨, ᮣ« á® ãá«®¢¨î à ¢¥á⢠¢ ä®à¬ã«¥ (7), §¤¥áì à ¢¥á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ µP = P , â.¥. ª®£¤ P ¨ P £®¬®â¥â¨çë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ 2 ¤®ª § , â ª ª ª ¢ ¯ 2 ¡ë«® ¢ëï᥮, çâ® ¢ ¥© ᮤ¥à¨âáï ⥮६ 1, â® íâ ¯®á«¥¤ïï â ª¥ ¤®ª § . 5. ®¥â ¯®ª § âìáï, çâ® â ª®© ¯ãâì ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 ᫨誮¬ á«®¥. ¥ ¯à®é¥ «¨ ¡ë«® ¡ë áà §ã ¨áª âì ¬¨¨¬ã¬ ¯«®é ¤¨ ¯à¨ § ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥ V ¨ ¯à¨ ¤ ëå ¯à ¢«¥¨ïå £à ¥©? à ¢¨â¥«ì® ¥âà㤮 ¤®ª § âì, çâ® 1) íâ®â ¬¨¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¨ ¯à¨â®¬ ¤«ï â ª®£® ¬®£®£à ¨ª , ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¢á¥ ¥¢ëத î騥áï £à ¨ ¤ ëå ¯à ¢«¥¨©, ¨ 2) ¤«ï ¬®£®£à ¨ª , ã ª®â®à®£® ¢á¥ £à ¨ ¥ ¢ëத îâáï, ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠F ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ®¯®àëå ç¨á¥« hi. ®£¤ , 0
1
0
0
1
1
0
1
3
1
3
3
0
3
0
1
1
0
1
3
0
2
1
1
0
1
0
1
0
o
1
. VIII:
§ 3.
363
¯à¨¬¥ïï ª ¬®£®£à ¨ªã ¨¬¥ì襩 ¯«®é ¤¨ ¯à ¢¨«® £à , ¯®«ã稬 ∂F ∂V = λ = λFi (i = 1, . . . , r), ∂hi ∂hi £¤¥ Fi | ¯«®é ¤ì ¥£® i-© £à ¨. ¤ ª® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® í⨬ ãà ¢¥¨ï¬ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮫쪮 ¬®£®£à ¨ª, ®¯¨á ë© ®ª®«® è à , ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®¢®«ì® á«®ë¬. Ǒ®í⮬ã, ¤®ª §ë¢ ï ¡®«¥¥ ®¡éãî ⥮६ã 2, ¬ë ¢ë¨£àë¢ ¥¬ ¢ ¯à®áâ®â¥, ¥ £®¢®àï 㥠® ⮬, ç⮠⥮६ 2 ᮤ¥à¨â, ¯®¬¨¬® ⥮६ë 1, â ª¥ ¤à㣨¥ ¨â¥à¥áë¥ á«¥¤á⢨ï, ® ª®â®àëå à¥çì ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ¢ § 3. 6. ᥠ१ã«ìâ âë í⮣® ¯ à £à ä ®¡®¡é îâáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ᬥè ë© ®¡ê¥¬ V (P P . . . P ) ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ä®à¬ã«®© 1 Xh F , V (P |P .{z ..P}) = i i n 0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
i
n−1
£¤¥ hi | ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®£à ¨ª P , a Fi | ý¯«®é ¤¨þ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . ¥®à¥¬ 2 ä®à¬ã«¨àã¥âáï ⮣¤ â ª: ¤«ï ¢áïª¨å ¤¢ãå n-¬¥àëå ¢ë¯ãª0
0
1
1
«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
(
)
(
)
(
)
(8)
V n P 0 P 1 . . . P 1 > V P 0 . . . P 0 V n−1 P 1 . . . P 1 , ¯à¨ç¥¬ § ª à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ £®¬®â¥â¨çë.
P
0
¨
P1
§ í⮩ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£®, â ª ¥ ª ª ¢ ¯ 2, áà §ã á«¥¤ã¥â ¬¨¨¬ «ì®¥ ᢮©á⢮ ¬®£®£à ¨ª , ®¯¨á ®£® ®ª®«® è à . ¤ ª® ®¡®¡é¥¨¥ ¯à¨¢¥¤¥®£® ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2 ¢ n-¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¯à¥¤áâ ¢«ï«® ¡ë ᮡ®© ¯ãáâãî ä®à¬ «ì®áâì! ¥«® ¢ ⮬, ç⮠⥮६ ¨ª®¢áª®£® ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢, ª®â®à®© ¬ë â ¬ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®á®¢ ¨¨ n¬¥à®© ⥮६ë 2. à㣮£® ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¯®ª ¥ ¨§¢¥áâ®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ n-¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¢§ ¨¬®á¢ï§ì íâ¨å ⥮६ ®ª §ë¢ ¥âáï ®¡à ⮩, ¯®ª , ª®¥ç®, ¥ ©¤¥® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢. Ǒ®«®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ á¢ï§¥© ¬¥¤ã 㪠§ 묨 ⥮६ ¬¨ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ n-¬¥à®© ⥮६ë 2 (¥à ¢¥á⢮ (8)) ¤ îâáï ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥. o
§ 3. ¬¥è ë¥ ®¡ê¥¬ë ¨ ¥à ¢¥á⢮ àã
1. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¢ë¯ãª«ëå ⥫ ¨ ¯à¥¤¥ ¢á¥£® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ (á¬. § 2 £« ¢ë VI). ¥§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï ¨å ¢ § 2 £« ¢ë VI, ¡ãª¢ «ì® ®¡®¡é -
364
. .
îâáï á«ãç © «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©, ¨ í⮬ ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ®áâ ¢«¨¢ âìáï. ¯®¬¨¬ ⮫쪮, çâ® ¥á«¨ Pi | ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, â® P = λ P + . . . + λn Pn â ª¥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¢áïª ï ¥£® £à ì G ¥áâì â ª ï ¥ «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï â¥å £à ¥© Gi ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi, ª®â®àë¥ «¥ â ¢ ¯«®áª®áâïå, ¯ à ««¥«ìëå G. ¤¥áì, ª ª ¨ ¢áî¤ã ¤ «ìè¥, ¤®¯ã᪠îâáï ⮫쪮 ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë λi . Ǒ à ««¥«ì®áâì ¯«®áª®á⥩ £à ¥© ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ ¯ à ««¥«ì®á⨠¢¥è¨å ®à¬ «¥©. à ¨ Gi, ¤ î騥 áâ®ïéãî (n− 1)-¬¥àãî £à ì G, ¬®£ãâ ¢ëத âìáï ¢ (n − 2)-¬¥àë¥ ¨ â. ¤. ¯à¨¬¥à, ¢ âà¥å¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¥¯ à ««¥«ìë¥ à¥¡à , «¥ 騥 ¢ ¯ à ««¥«ìëå ®¯®àëå ¯«®áª®áâïå ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , ¤ îâ P + P £à ì ¢ ¢¨¤¥ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . ⬥⨬ ¥é¥ ®¤¨ ¯à®á⮩ ä ªâ:
᫨ h | ®¯®à®¥ ç¨á«® £à ¨ G, a hi | ®¯®àë¥ ç¨á« £à ¥© Gi, â® h = λ h + . . . + λm hm . (1) ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ x , . . . , xm | ¢¥ªâ®àë, ¨¤ã騥 ¢ â®çª¨ £à ïå G , . . . , Gm , â® ¢¥ªâ®à x = λ x + . . . + λm xm (2) ¨¤¥â ¢ â®çªã £à ¨ G. Ǒ® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ®¯®àëå ç¨á¥« h = nx, hi = nxi . Ǒ®í⮬ã, 㬮 ï (2) ®à¬ «ì n, ¯®«ã稬 (1). ¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì P , . . . , P m | ¤ ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ P = λ P + . . . + λm P m , £¤¥ λi | ¯¥à¥¬¥ë¥ ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ç¨á« . ¡ê¥¬ V (P ) ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ®¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥ n-© á⥯¥¨ ®â®á¨â¥«ì® λi . ¤¥áì ¤®¯ã᪠îâáï ¬®£®£à ¨ª¨ Pi, ¢ëத î騥áï ¢ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬¥ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¬®¥â ¡ëâì n-¬¥à®©, ª ª, ¯à¨¬¥à, «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¥ª®¬¯« àëå ®â१ª®¢. ®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¨§¬¥à¥¨© n. Ǒਠn = 1 ⥮६ P ®ç¥¢¨¤ , â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ P i áãâì ®â१ª¨ ¯àאַ© ¨ ¤«¨ i ®â१ª λi P à ¢ â ª®© ¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¨å ¤«¨. ®¯ãá⨬, çâ®i ⥮६ ¢¥à ¢ (n − 1)-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P «¥ â ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨P i ª P = λi P ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¥£® ®¯®àë¥ ç¨á« ¨ ¯«®é ¤¨ £à ¥© ä®à¬ã«®© 1 X h j Fj . V (P ) = (3) n 1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
j
. VIII:
§ 3.
365
à ¨ ¬®£®£à ¨ª P áãâì â ª¨¥ ¥ «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¯ à ««¥«ìëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P i. ª ª ª ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á ýá« £ ¥¬ëåþ ¢ë§ë¢ ¥â â ª¥ «¨èì ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨, â® ¬®® áç¨â âì, çâ® ª ¤ ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ (n − 1)-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. Ǒ®í⮬㠯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ ¥¥ (n − 1)-¬¥àë© ®¡ê¥¬, â.¥. ¯«®é ¤ì Fj , ¥áâì ®¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥ (n − 1)-© á⥯¥¨ ®â®á¨â¥«ì® λj . ® ᮣ« á® ä®à¬ã«¥ (1), ®¯®àë¥ ç¨á« hj ¬®£®£à ¨ª P ïîâáï «¨¥©ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ®â λi . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à ¢ ï ç áâì ä®à¬ã«ë (3) ¥áâì ®¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥ n-© á⥯¥¨ ®â®á¨â¥«ì® λi ¨ ⥮६ ¤®ª § . ¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥, ª ª¨¬ ï¥âáï ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª m P i P = λi P , ¯à¨ïâ® § ¯¨áë¢ âì ¢ ä®à¬¥ i=1
( )=
n X
V P
i1 ,... ,im =1
(3′)
λi1 λi2 . . . λin Vi1 i2 ...in ,
£¤¥ ª ¤ë© ¨¤¥ªá ij ¯à®¡¥£ ¥â ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤àã£¨å ¢á¥ § ç¥¨ï ®â 1 ¤® m. Ǒ®í⮬㠢 â ª®© § ¯¨á¨ ®¤® ¨ â® ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ λi1 . . . λi ¢áâà¥ç ¥âáï á⮫쪮 à §, ᪮«ìª® ¢®§¬®® ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¨¤¥ªá®¢ i , . . . , in . ®íää¨æ¨¥âë Vi1 i2 ...i ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à¨ í⮬ â ª, çâ® ®¨ ¥ § ¢¨áï⠮⠯®à浪 ¨¤¥ªá®¢. ®§ì¬¥¬ ª ª®¥-«¨¡® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ λi1 λi2 . . . λi . Ǒ®«®¨¬ ¢ ä®à¬ã«¥ P = = P λiP i ¢á¥ λi à ¢ë¬¨ ã«î, ªà®¬¥ â¥å, ª®â®àë¥ ¢å®¤ïâ ¢ ¨§¡à ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥. ®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®£®£à ¨ª¨ P i ¥ ¡ã¤ãâ ¢®¢á¥ ¢å®¤¨âì ¢ ª®¬¡¨ æ¨î. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â: ª®íää¨æ¨¥â Vi1 ...i ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ λi1 . . . λi § ¢¨á¨â «¨èì ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi1 , . . . , Pi . ª ª ª ¥ ¢á¥ i , . . . , in ®¡ï§ ë ¡ëâì à §«¨ç묨, â® ¨ á।¨ íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¤¨ ª®¢ë¥, â. ¥. ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¬®£®£à ¨ª ¯®¢â®àï¥âáï ¥áª®«ìª® à §. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¢§ïâì λ = l, ¢á¥ ¯à®ç¨¥ λi = 0, â® P = P , ¨ ¨§ (3′) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥â V ··· ¥áâì ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª P . ®®¡é¥ ª®íää¨æ¨¥â Vi1 ...i §ë¢ ¥âáï ᬥè ë¬ ®¡ê¥¬®¬ ¬®£®£à ¨ª®¢ P i1 , . . . , P i ¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï V (P i1 . . . P i ). Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ® ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ¨¤¥ªá®¢ ij , â. ¥. ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¬®£®£à ¨ª®¢ P i . ë ®£à ¨ç¨¬áï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢. í⮬ á«ãç ¥ ä®à¬ã« (3′) ¬®¥â ¡ëâì ¯¨á ¢ ¢¨¤¥ n X V (λ P + λ P ) = λn−k λk Cnk V ( |P .{z .. P} P . . P } ). (4) | .{z n
1
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
n
n
n
j
1
1
2
2
1
k =1
2
1
1
n−k
2
2
k
366
. .
Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, ç⮠ᬥè ë© ®¡ê¥¬ V (P P . . . P ) ᮢ¯ ¤ ¥â ᮠᬥè ë¬ ®¡ê¥¬®¬, ¢¢¥¤¥ë¬ ¢ § 2. â® ã⢥थ¨¥ § ª«î祮 ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: ¥®à¥¬ 2.
᫨ V (P P . . . P ) | ᬥè ë© ®¡ê¥¬ ¢ á¬ëá«¥ ä®à¬ã«ë (4), Fi | ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P , a hi | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 2.
1
0
1
2
2
1
1
1
®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®£à ¨ª
P
0
0
, â®
(
V P 0P 1 . . . P 1
X ) = n1 hi Fi . 0
(5)
1
i
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠§ ¬¥â¨¬, çâ® ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª P = P + λP ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¥£® ®¯®àëå ç¨á¥« hi ¨ çâ® ∂V (P ) = Fi , 1
0
∂hi
£¤¥ Fi | ¯«®é ¤ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ («¥¬¬ 5 § 2). ¬¥á⥠á ⥬ ᮣ« á® (1) hi = hi + λhi . Ǒ®í⮬㠯ந§¢®¤ ï ®¡ê¥¬ V (P ) ¯® λ ¡ã¤¥â ∂V (P ) X ∂V dhi X = = h Fi . 1
0
0
∂λ
i
∂hi dλ
® P = P + λP ¯à¨ λ → 0 á室¨âáï ª P , â ª çâ® Fi → Fi . Ǒ®í⮬ã 1
0
1
∂V ∂λ
λ=0
=
X
1
(6)
h0i Fi1 .
¬¥á⥠á ⥬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ (ä®à¬ã« (4)) V (P ) = V (P . . . P ) + nλV (P P . . . P ) + . . . , £¤¥ â®çª ¬¨ ®¡®§ ç¥ë ç«¥ë á λ ¢® ¢â®à®© á⥯¥¨ ¨ ¢ëè¥. § í⮩ ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â, çâ® 1
∂V ∂λ
1
λ=0
0
= nV (P
0
1
1
)
P1 ...P1 .
íâ® ¢¬¥á⥠á (6) ¤®ª §ë¢ ¥â ⥮६ã. 3. ¥®à¥¬ 1 ® ⮬, çâ® ®¡ê¥¬ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¥áâì ®¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥, «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï á ¬®£®£à ¨ª®¢ «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ .
. VIII:
§ 3.
367
Ǒãáâì H , . . . , Hm | ¤ ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¨ H = λ H + . . . + λmHm | ¨å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï á ¥®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P , . . . , Pm á室ïâáï ᮮ⢥âá⢥® ª ⥫ ¬ H , . . . , Hm , â® ¨å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï P = λ P + . . . + λm Pm á室¨âáï ª H . â® § ç¨â, çâ® ¯à¨ ¢á直å λi ®¡ê¥¬ V (P ) á室¨âáï ª ®¡ê¥¬ã V (H ). â ª ª ª V (P ) ¥áâì ¬®£®ç«¥ ¤ ®© á⥯¥¨, â® ¨ V (H ) ¥áâì ¬®£®ç«¥ ⮩ ¥ á⥯¥¨. ⨬ ¤®ª § 1
1
1
1
1
1
¥®à¥¬ 1a.
1
¡ê¥¬ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢ë¯ãª«ëå ⥫ á ¥®âà¨æ -
⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¥áâì ®¤®à®¤ë© ¬®£®ç«¥
n-©
á⥯¥¨ ®â®-
á¨â¥«ì® íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢.
®íää¨æ¨¥âë í⮣® ¬®£®ç«¥ â ªn ¬ ¥ §ë¢ îâáï ᬥè 묨 ®¡ê¥¬ ¬¨ √V(Ht) ¨ § ¯¨áë¢ îâáï ᮢ¥à襮 â ª ¥. á¢ï§¨ á í⨬ ¢® ¬®£¨å ¢®¯à®á å, n ¬ ª á îé¨åáï ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢, ¥â √V(H1) ¤®¡®á⨠¢ë¤¥«ïâì ¬®£®£à ¨ª¨ áà¥- n√ ¬ V(H0) ¤¨ ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ⥫. (¥®à¥¬ 2 â ª¥ ®¡®¡é ¥âáï «îO 1 t ¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ á § ¬¥®© ¢ ä®à¬ã«¥ (5) áã¬¬ë ¨â¥£à «.) ¨á. 144 4. ¥¬¥æª¨© £¥®¬¥âà . àã ¢ 1887£. [252℄ ¤®ª § « á«¥¤ãîéãî ⥮६ã, ª®â®à ï ¢ ᮥ¤¨¥¨¨ á ⥮६ ¬¨ 1, 2 ¨ ¯®á«ã¨« ç «®¬ ¢á¥© ý⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢þ: ¥®à¥¬ 3.
᫨ H , H | «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ , Ht = (1 − t) H + tH ¨ 0 < t < 1, â® ¤«ï ®¡ê¥¬®¢ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ¥à ¢¥á⢮ (ú¥à ¢¥á⢮ àã û): 0
1
0
( ) (1 − t)
p n V Ht >
( )+t
p n V H0
p n
( )
V H1 ,
1
(7)
¯à¨ç¥¬, ª ª ¯®§¥ ãâ®ç¨« . ¨ª®¢áª¨©, § ª à ¢¥á⢠á⮨⠧¤¥áì ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ⥫ H ¨ H £®¬®â¥â¨çë (¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨ ⥫® Hi £®¬®â¥â¨ç® ¨¬ ¯à¨ «î¡®¬ t). ¯®¬¨¬, ç⮠⥫® H ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª, ¤¥«ïé¨å ®â१ª¨ á ª®æ ¬¨ ¢ «î¡ëå â®çª å ⥫pH , H ¢ ®â®è¥¨¨ t : (1 − t). Ǒਠ¤ ëå H , H ¢¥«¨ç¨ V (Ht) ¥áâì äãªæ¨ï ®â t. §®¡à §¨¢ ¥¥ £à ä¨ç¥áª¨ (à¨á. p 144), ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥à ¢¥á⢮ (7) ®§ ç ¥â, çâ® £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) ¯à®å®¤¨â ¤ å®à¤®©, ᮥ¤¨ïî饩 ¥£® ª®æë. Ǒਠ«î¡ëå t , t, t á ãá«®¢¨¥¬ 0 < t < t < t < 1 0
1
1
0
0
1
n
1
n
1
2
1
Ht
2
= tt −−tt 2
2
1
Ht 1
+ tt −−tt
1
2
1
Ht 2 ,
(8)
368
. .
çâ® ¯à®¢¥àï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¢ëç¨á«¥¨¥¬ ®á®¢ ¨¨ ¯à®áâëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠«¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ⥫. Ǒ®í⮬㠮ᮢ ¨¨ ⮣® ¥ ¥à ¢¥á⢠(7), ¯à¨¬¥¥®£® ⥯¥àì ª Ht1 , Ht2 ¨ Ht, ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® p £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) «¥¨â â ª¥ ¤ å®à¤®©, ᮥ¤¨ïî饩 â®çª¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢§ïâë¬ t ¨ t , â. ¥. ® «¥¨â ¤ «î¡®© ᢮¥© å®à¤®© ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ë¯ãª«ãî ªà¨¢ãî. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ àã ¬®¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ â ª: p V (Ht ), £¤¥ Ht = (1 −t)H + tH ¨ 0 6 t 6 1, ¥áâì ¢ë¯ãª« ï äãªæ¨ï ®â t, ᢮¤ïé ïáï ª «¨¥©®© «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ⥫ H ¨ H £®¬®â¥â¨çë. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ § ¬¥ç ⥫쮩 â¥®à¥¬ë ¬ë ¬¥â¨¬ ¯®â®¬; ®®, ªáâ â¨, ¥ ®ç¥ì á«®®. ¥©ç á ¥ ¢ëïᨬ ¥¥ á¢ï§ì á ¥à ¢¥á⢮¬ ¨ª®¢áª®£®, ¢¢¥¤¥ë¬ ¢ § 2. 5. ®ª ¥¬, çâ® ¨§ ⥮६ë àã á«¥¤ã¥â ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® V n (H H . . . H ) > V (H . . . H ) · V n− (H . . . H ), (9) n
1
n
2
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
¯à¨ç¥¬ § ª à ¢¥á⢠á⮨⠧¤¥áì ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
H0
¨
H1
£®-
¤¥áì V (H . . . H ) = V (H ), V (H , . . . H ) = V (H ) | ®¡ê¥¬ë ⥫ H , H . p ª ª ª £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) «¥¨â ¤ å®à¤®©, â® p p p f (t) = V (Ht ) − (1 − t) V (H ) − t V (H ) > 0. â ª ª ª ′f (0) = 0, â® ¯à®¨§¢®¤ ï f ′(0) > 0 ¨ ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠äãªæ¨¨ f (t), f (0) = 0 «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ f (t) ≡ 0, â. ¥. ª®£¤ ⥫ H ¨ H £®¬®â¥â¨çë. Ǒ®ª ¥¬, çâ® íâ® ¥à ¢¥á⢮ f ′(0) > 0 ¨ ¥áâì ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® (9). ®£« á® ä®à¬ã«¥ (4), ª®â®à ï, ª ª ¯®ª § ®, ¢¥à ¤«ï «î¡ëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫, ®¡ê¥¬ ⥫ Ht = (1 − t)H + tH ¡ã¤¥â ¬®â¥â¨çë. 0
0
0
0
1
1
1
1
n
n
n
n
0
1
0
1
0
( )=
V Ht
£¤¥
n X
1
(1 − t)n−k tk Cnk Vk ,
k =1
Vk
= V ( H|
)
. . . H0 H 1 . . . H1 . {z } | {z }
0
n−k
k
Ǒ®«ì§ãïáì í⮩ ä®à¬ã«®©, «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì f ′(0); ¯à¨ í⮬ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® 1 1 V −V f ′ (0) = 1 + V − Vn . 1
0
n− n
V0
n
0
n
. VIII:
§ 3.
369
1
1
Ǒ®í⮬ãn−¥à ¢¥á⢮ f ′ (0) > 0 à ¢®á¨«ì® ¥à ¢¥áâ¢ã V > V Vn ¨«¨ Vn >V Vnn , çâ® ¢ ¯à¨ïâëå ¬¨ ®¡®§ 票ïå ¨ ¥áâì ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£®. ª à ¢¥á⢠á⮨⠢ ¥¬ ⮣¤ , ª®£¤ f ′(0) = 0, â. ¥. ª®£¤ H ¨ H £®¬®â¥â¨çë. ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¨ ®¡à â®, ¥à ¢¥á⢮ àã á«¥¤ã¥â ¨§ ¥à ¢¥1
0
n− n
1
1
n
0
0
1
á⢠¨ª®¢áª®£®.
§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¢ë¢®¤ ïá®, çâ® ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® íª¢¨¢ «¥â® ãá«®¢¨î f ′(0) > 0, £¤¥ äãªæ¨ï f (t) ¥áâì à §®áâì ®¡¥¨å pç á⥩ ¥à ¢¥á⢠àã . â® ãá«®¢¨¥ ®§ ç ¥â, çâ® £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) å®âï ¡ë ¢ ç «ì®© â®çª¥ ¨¤¥â ¤ å®à¤®©. ® ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (8) ¯à¨ «î¡ëå t < t ⥫® Ht á t < t < t ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ª ª ª®¬¡¨ æ¨ï ⥫ Ht1 , Ht2 á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ¢ á㬬¥ à ¢ë¬¨ ¥¤¨¨æ¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥î騬¨ ¢¨¤ 1 − s, s. Ǒ®í⮬㠢á类¥ t ¬®¥â ¨£à âì ஫ì ç «ì®© â®çª¨ s = 0, â. ¥. ¯à¥¤ë¤ã饥p§ ¬¥ç ¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨¬¥¨¬ë¬ ¢ «î¡®© â®çª¥ £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht), ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¥à ¢¥á⢮¬ ¨ª®¢áª®£® p ¤«ï ⥫ Ht1 , Ht2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, £à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) ¢áî¤ã ¨¤¥â ¤ å®à¤®©. ¢ í⮬ ¨ á®áâ®¨â ¥à ¢¥á⢮ àã . § ª à
᫨ ¢ ¥à ¢¥á⢥ ¨ª®¢áª®£® (9) ¨¬¥® ¤«ï ⥫ H , H á⮨â p ¢¥á⢠, â® f ′(0) = 0 ¨ ⮣¤ ¢¢¨¤ã ¢ë¯ãª«®á⨠£à 䨪 äãªæ¨¨ V (Ht) ® ¥¨§¡¥® ᢮¤¨âáï ª ®â१ªã, â.¥. ¨ ¢ ¥à ¢¥á⢥ àã á⮨⠧ ª à ¢¥á⢠. § 2 ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ¡ë«® ¤®ª § ® ¤«ï âà¥å¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¥¯¥àì ¢ ᨫ㠯®«ã祮£® १ã«ìâ â ¬ë ¬®¥¬ ¢ë¢¥á⨠®âáî¤ ¥à ¢¥á⢮ àã ¤«ï íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, ®ç¥¢¨¤ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ¨ ¤«ï «î¡ëå âà¥å¬¥àëå ¢ë¯ãª«ëå ⥫. ¤ ª® ãá«®¢¨¥ ® § ª¥ à ¢¥á⢠¥ ¬®¥â ¡ëâì ¤®ª § ® ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬. 6. ¥¯¥àì ¢ëïᨬ ¥é¥ á¢ï§ì ¬¥¤ã ¥à ¢¥á⢮¬ ¨ª®¢áª®£® ¨ ¥£® ¥ ⥮६®© ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ. § 2 ¬ë ¯®«ã稫¨ ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ¤«ï âà¥å¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯®«ì§ãïáì ¯à®áâ묨 á®®¡à ¥¨ï¬¨ ® ¬ ªá¨¬ã¬¥ ¨ áãé¥á⢥® ¨á¯®«ì§ãï §¢ ãî ⥮६㠮 à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ â ¬ ¢ë¢®¤ë ¯à¨¬¥¨¬ë ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. â® ¯®§¢®«ï¥â ã⢥ठâì, çâ® ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ¤«ï n-¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢ (¢¬¥á⥠á ãá«®¢¨¥¬ ®¡à é¥¨ï ¥£® ¢ à ¢¥á⢮) n
1
2
1
2
1
n
n
0
1
n
¢ë⥪ ¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥
n-¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ìë-
¬¨ ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ £à ﬨ.
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¨ ®¡à â®, ¯®á«¥¤ïï ⥮६ á«¥¤ã¥â ¨§ ¥à ¢¥á⢠¨-
ª®¢áª®£® ¨ ãá«®¢¨ï ®¡à é¥¨ï ¥£® ¢ à ¢¥á⢮.
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P , P ¨¬¥îâ ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë¥ ¨ à ¢®¢¥«¨ª¨¥ £à ¨, â ª çâ® Fi = Fi . ®£¤ ¤«ï á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ 0
1
0
1
370
. .
(
) ¨¬¥¥¬ (⥮६ 2) 1 X h F = 1 X h F = V (P V (P P . . . P ) = i i i i n n
V P 0P 1 . . . P 1
0
1
1
0
1
0
i
0
0
(10)
)
...P0 .
i
Ǒ® ¥à ¢¥áâ¢ã ¨ª®¢áª®£® V n (P P . . . P ) > V (P . . . P )V n− (P . . . P ), (11) ®âáî¤ ¢á«¥¤á⢨¥ (10) V (P . . . P ) > V (P . . . P ). (12) ®, ¬¥ïï ஫ﬨ P ¨ P , ¬ë â®ç® â ª ¥ ¯®«ã稬, çâ® V (P . . . P ) > > V (P . . . P ). «¥¤®¢ ⥫ì®, V (P . . . P ) = V (P . . . P ). ⮣¤ , ª ª ïá® ¨§ ¢ë¢®¤ ¥à ¢¥á⢠(12), § ª à ¢¥á⢠¤®«¥ áâ®ïâì â ª¥ ¢ ¥à ¢¥á⢥ ¨ª®¢áª®£® (11). Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª¨ P , P ¤®«ë ¡ëâì £®¬®â¥â¨çë. ® â ª ª ª ª ⮬㠥 ¯«®é ¤¨ ¨å £à ¥© à ¢ë, â® P ¨ P à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. â ª, ¥à ¢¥á⢮ àã ç¥à¥§ ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ¢¥¤¥â ª ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á à ¢®¢¥«¨ª¨¬¨ ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ . ¥à¥§ â® ¥ ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ®® ¯à¨¢®¤¨â ª ¬ ªá¨¬ «ì®¬ã ᢮©áâ¢ã ¬®£®£à ¨ª®¢, ®¯¨á ëå ®ª®«® è à , ª ª ¯®ª § ® ¢ § 2. áâ ¥âáï ¤®ª § âì ¥à ¢¥á⢮ àã . 7. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3 | ¥à ¢¥á⢠àã á ¤®¯®«¥¨¥¬ ¨ª®¢áª®£® | ª®à®ç¥ ¢á¥£® ¢¥á⨠¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¨§¬¥à¥¨©. ®¤®¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, â.¥. ¯àאַ©, ⥮६ âਢ¨ «ì : §¤¥áì ¥à ¢¥á⢮ ¢á¥£¤ ᢮¤¨âáï ª à ¢¥áâ¢ã, ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤® ¨§ á ¬®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ®â१ª®¢. ®¯ãá⨬, ç⮠⥮६ ¢¥à ¢ (n−1)-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥¥ ¤«ï n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠. «ï í⮣® ¯®ª ¥¬ á ç « , çâ® ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥: 0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
11)
11) «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨¢¥¤¥ ï ¢ § 6 £«. VI ®¡é ï ⥮६ ® à ¢¥á⢥ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ á à ¢ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâ묨 äãªæ¨ï¬¨.
᫨ F1i (RM ) | ¯®¢¥àå®áâ ï äãªæ¨ï ⥫ Hi, â® «®£¨ç® ⥮६¥ 2 V (H0 H1 . . . H1 ) = h0 (n)F1 (dM ). Ǒ®í⮬㠨§ à ¢¥á⢠F0 (M ) = F1 (M ) á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ V0 (H0 H1 . . .nH1 ) = V (H0 . . . H0 ), ¢ á¨«ã ¥à ¢¥á⢠¨ª®¢áª®£® V (H0 . . . H0 ) > V (H1 . . . H1 ), ¨ ¯®¢â®àï¥âáï â® ¥ à áá㤥¨¥, çâ® ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢.
§ 3.
. VIII:
¥®à¥¬ 3*. ¯à¨ «î¡®¬
t >
Ht
¨
H1
¨¬¥îâ à ¢ë¥ ®¡ê¥¬ë, â®
0 ¨ < 1 ⥫® Ht = (1 − t)H + tH 0
H0
ªà®¬¥ ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ ⥫ â ª çâ®
H0
᫨ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¨
H1
371
¨¬¥¥â ¡®«ì訩 ®¡ê¥¬,
1
à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë,
â ª¥ à ¢® ¨¬.
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ®¡é ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ë 3 ¢ë⥪ ¥â ¨§ í⮩ ç á⮩. Ǒãáâì H ¨ H | «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ; ⮣¤ ⥫ 1 1 K = √ H ¨ K = √ H 0
1
0
n
0
V0
1
n
1
V1
¨¬¥îâ ®¡ê¥¬, à ¢ë© ¥¤¨¨æ¥. Ǒ®í⮬ã, ᮣ« á® ç á⮩ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë àã , ¤®«® ¡ëâì V (Ks ) > 1, (13) £¤¥ Ks = (1 − s)K + sK , 0 < s < 1. Ǒ®«®¨¬ 0
1
s
1 tV1n 1 − t V0n
=
(1 )
®£¤
+ tV
1.
n
1
Ht = (1 − t)H1 + tH 1 = 1 1. (1 − t)V + tV (1 − t)V + tV Ǒ®í⮬ã (13) à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® 0
Ks
1
n
n
0
( )
V Ht >
n
1
n
0
1
(1 − t) V + tV
h
n
0
1 in
n
1
1
,
íâ® ¨ ¥áâì ®¡é¥¥ ¥à ¢¥á⢮ àã . Ǒਠí⮬ § ª à ¢¥á⢠á⮨⠧¤¥áì ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® á⮨⠢ (13), â. ¥. ª®£¤ K ¨ K à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, § ç¨â, H ¨ H £®¬®â¥â¨çë. 8. ¥¯¥àì, ¯à¥¤¯®« £ ï, ç⮠⥮६ 3 ¢¥à ¤«ï (n − 1)-¬¥àëå ⥫, ¤®ª ¥¬ ¤«ï n-¬¥àëå ⥫ ⥮६ã 3*. Ǒãáâì H , H | ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ¨¬¥î騥 à ¢ë¥ ®¡ê¥¬ë; ¡ã¤¥¬ áç¨â âì í⨠®¡ê¥¬ë à ¢ë¬¨ ¥¤¨¨æ¥. Ǒ஢¥¤¥¬ ª ªã¡® ¯«®áª®áâì T ¨ ¯¥à¥¥á¥¬ ⥫ H , H â ª, çâ®¡ë ¯«®áª®áâì T áâ « ®¯®à®© ª ¨¬ ®¡®¨¬. (â® ¥ ¬¥ï¥â ®¡ê¥¬ ⥫ (1 − t)H + tH .) ¢¥¤¥¬ ¯¥à¥¬¥ãî v, 0 6 v 6 1, ¨ ¡ã¤¥¬ ᮯ®áâ ¢«ïâì ¤à㣠¤àã£ã á¥ç¥¨ï ⥫ H , H ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 T ¨ ®âᥪ î騬¨ ®â ⥫ H , H à ¢ë¥ ®¡ê¥¬ë v. ááâ®ï¨ï íâ¨å á¥ç¥¨© G , G ⥫ H , H ®â ¯«®áª®á⨠T ¡ã¤ãâ 0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
372
. .
äãªæ¨ï¬¨ ®â v. ë ¨å ®¡®§ 稬 x (v), xl (v). Ǒ«®é ¤¨ á¥ç¥¨© ®¡®§ 稬 F (v), F (v). § ⮣®, çâ® v ¥áâì ®¡ê¥¬, ®âᥪ ¥¬ë© ᮮ⢥âá⢥® G ¨ G , á«¥¤ã¥â, çâ® F dx = dv, F dx = dv ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, dx = 1 , dx = 1 . (14) 0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
dv
F0
dv
F1
¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï á¥ç¥¨© G , G : Gt = (1 − t)G + tG , ®ç¥¢¨¤®, ᮤ¥à¨âáï ¢ ⥫¥ Ht. ¡ã¤¥â «¥ âì ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®© ®á®¢®© ¯«®áª®á⨠T , à ááâ®ï¨¨ xt(v) ®â ¥¥, ¯à¨ç¥¬ xt (v) = (1 − t)x (v) + tx (v). (15)
᫨ Ft(v) | ¯«®é ¤ì 䨣ãàë Gt, â® ¤«ï ®¡ê¥¬ ⥫ Ht ¨¬¥¥¬ ¥à ¢¥á⢮ 0
1
0
1
0
( )
V Ht >
Z1
1
( ) ( )=
Ft v dxt v
0
Z1
() ()
(16)
Ft v x′t v dv.
0
Ǒ® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ ¥à ¢¥á⢮ à㠯ਬ¥¨¬® ª á¥ç¥¨ï¬ G , G ¨ ¯®â®¬ã h in− 1 1 Ft (v) > (1 − t) F 1 (v) + t F 1 (v) . (17) ஬¥ ⮣®, ¢ ᨫã ä®à¬ã« (14) ¨ (15) dxt = 1−t + t . (18) 0
1
n−
0
dv
1
n−
1
F0
F1
®á®¢ ¨¨ (17), (18) ¨§ (16) ¯®«ãç ¥¬, çâ® ( )
V Ht >
Z1 h 0
(1 − t) F
11
n−
0
+
1
1 1 in−1 − t t F1 F0 n−
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¢á¥£¤ F , F > 0 ¨ ¯à¨ 0 < t < 1 h 11 1 1 in− 1 − t (1 − t) F + t F + 0
>
+
t dv. F1
(19)
1, â.¥. ¯à¨ «î¡ëå
1
n−
0
n−
1
1
F0
¯à¨ç¥¬ à ¢¥á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, «¨èì ¥á«¨ F = F . 0
1
t > , F1
1
(20)
. VIII:
§ 3.
373
¥«ï ¨ 㬮 ï F ¨ ¯®« £ ï F /F = ξ, ¯®«ã稬, çâ® «¥¢ ï ç áâì í⮣® ¥à ¢¥á⢠¥áâì 0
1
( ) = 1 − t + tξ
f ξ
h
0
1 1 in−1
n−
1 − t + ξt
.
Ǒਠξ = 0 ¨ ¯à¨ ξ = ∞ f (ξ) = ∞. Ǒ®í⮬㠯ਠξ > 0 f (ξ) ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬. ëç¨á«ïï ¯à®¨§¢®¤ãî, ¯®«ãç ¥¬ n− t(1 − t) f ′ (ξ ) = 1 − t + tξ 11 ξ 1 −1 , 2
n n−
n−
ξ2
â ª çâ® ¯à¨ 0 < t < 1 ¨ ξ > 0 ¯à®¨§¢®¤ ï ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì «¨èì ¯à¨ ξ = 1. ⮬㠧 票î ξ , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ®â¢¥ç ¥â ¬¨¨¬ã¬ f (ξ ), à ¢ë© f (1) = 1. Ǒ®í⮬ã f (ξ ) > 1, ¯à¨ç¥¬ f (ξ ) = 1, «¨èì ¥á«¨ ξ = 1. íâ® ¨ ¥áâì ¥à ¢¥á⢮ (20) á ᮯ஢®¤ î騬 ¥£® ãá«®¢¨¥¬. § í⮣® ¥à ¢¥á⢠᫥¤ã¥â, çâ® ¨â¥£à « (19) ¥ ¬¥ìè¥ ¥¤¨¨æë ¨ ⥬ á ¬ë¬ V (Ht) > 1, íâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® V (Ht) = 1 «¨èì ⮣¤ , ª®£¤ ⥫ H , H à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. «ï í⮣® ¯à®á«¥¤¨¬ æ¥¯ì ¥à ¢¥áâ¢, ¯à¨¢¥¤èãî á ª ⮬ã, çâ® V (Ht ) > 1.
᫨ V (Ht ) = 1, â® ¢ ª ¤®¬ ¨§ ¨å ¤®«¥ áâ®ïâì § ª à ¢¥á⢠. Ǒ®í⮬㠤®«® ¡ëâì f (ξ) = 1, â. ¥. ξ = 1, ¨«¨, ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, F (v) = F (v). (21) ® ⮣¤ ¨§ ä®à¬ã« (14) ¯à¨ ãá«®¢¨¨ x (0) = x (0) = 0 (â. ¥. ¯à¨ ãá«®¢¨¨, ç⮠⥫ H ¨ H 㯨à îâáï ¢ ®¤ã ¨ âã ¥ ¯«®áª®áâì T ) ¢ë⥪ ¥â, çâ® x (v) = x (v), (22) â. ¥. ¯«®áª®áâ¨, ®âᥪ î騥 ®â ⥫ H , H à ¢ë¥ ®¡ê¥¬ë, ᮢ¯ ¤ îâ. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® æ¥âàë âï¥á⨠®¡®¨å ⥫ 室ïâáï ®¤®© ¢ëá®â¥ ¤ ¯«®áª®áâìî T . Ǒ®í⮬ã, ¯¥à¥®áï ⥫® H â ª, ç⮡ë æ¥âàë âï¥á⨠®¡®¨å ⥫ ᮢ¯ «¨, ¬ë ®áâ ¢¨¬ ¯«®áª®áâì T ®¯®à®© ª ®¡®¨¬. ® ¯«®áª®áâì T ¡ë« ¢ë¡à ¯à®¨§¢®«ì®! Ǒ®í⮬ã, ª®£¤ æ¥âàë âï¥á⨠ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¨ ¢á¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠⥫ H , H ¤®«ë ᮢ¯ ¤ âì, § ç¨â, ᮢ¯ ¤ îâ ¨ á ¬¨ í⨠⥫ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤® ¯¥à¥®á ®¨ ¡ë«¨ à ¢ë¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë¬¨. â ª, ⥮६ àã á ¤®¯®«¥¨¥¬ ¨ª®¢áª®£® ¤®ª § . ¥¬ á ¬ë¬ ¤®ª § ë ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£®, ⥮६ ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á 0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
12)
0
0
12) â® ®ç¥¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã«ë X = 1 V
R
xF dx
1
¤«ï ª®®à¤¨ âë æ¥âà âï¥áâ¨.
374
. .
®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¯«®é ¤ï¬¨ ¨ ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥©, â ª¥ ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ᢮©á⢮ ¬®£®£à ¨ª , ®¯¨á ®£® ®ª®«® è à , ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ í⮠⥯¥àì 㥠¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. 9. 뢥¤¥¬ ¥é¥ ®¡é¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ ¥áª®«ìª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢, «®£¨ç®¥ ¢ëà ¥¨î (5) ¤«ï á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ V (P P . . . P ). ¥®à¥¬ 4. Ǒãáâì P , . . . , P n | ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨ V (P , P , . . . , P n ) | ¨å ᬥè ë© ®¡ê¥¬, â. ¥. ¤¥«¥ë© n! ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ λ λ . . . λn ¢ ¢ëà ¥¨¨ ®¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª P = = λ P + . . . + λn P n. Ǒãáâì Qi , Qi , . . . , Qni | £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P , P , . . . , P n , ¤ î騥 ¢ ᢮¥© ª®¬¡¨ 樨 (n − 1)-¬¥àãî £à ì Qi = = λ Qi + . . . + λn Qni ¬®£®£à ¨ª P . ®£¤ , ¥á«¨ F (Qi . . . Qni ) ®¡®§ ç ¥â ᬥè ãî ¯«®é ¤ì (ᬥè ë© (n − 1)-¬¥àë© ®¡ê¥¬) £à ¥© Qi , . . . , Qn i, â® 1 X h F (Q . . . Qn ). V (P . . . P n ) = (23) 0
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
n
2
i
i
i
i
Ǒ®«®¨¬ λ P + . . . + λn P n = P ∗, ⮣¤ P = λ P + P ∗ ¨ V (P ) = V (P ∗ . . . P ∗ ) + nλ V (P P ∗ . . . P ∗ ) + . . . . (24) Ǒ® ⥮६¥ 2 1 X h F (Q∗ . . . Q∗ ), V (P P ∗ . . . P ∗ ) = i i i n â ª ª ª £à ì Q∗i ¥áâì «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï £à ¥© Qi , . . . , Qni , â® n X 1 X h F (Qj1 . . . Qj 1 ). (25) ∗ ∗ V (P P . . . P ) = λj1 . . . λj 1 i i i n 2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
n−
n−
j1 ,... ,jn−1 =2
i
¥«¥ë© (n − 1)! ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ λ à ¢¥ 1 X h F (Q . . . Qn ). i i i n
1
1
. . . λn
¡ã¤¥â §¤¥áì
2
i
® ¢á«¥¤á⢨¥ (24) íâ® ¥ ¡ã¤¥â ¤¥«¥ë© n! ª®íää¨æ¨¥â ¢ ¬®£®ç«¥¥ P j1 j V (P ) = λj1 λj2 . . . λj V (P . . . P ) ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ λ . . . λn . ¥¬ á ¬ë¬ ä®à¬ã« (23) ¤®ª § . ç áâ®áâ¨, ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ P j ¬®£ãâ ᮢ¯ ¤ âì, â ª çâ® ä®à¬ã« (23) ¯à¨¬¥¨¬ ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥. ª, ¤«ï ¯à®á⥩襣® á¬¥è ®£® ®¡ê¥¬ V (P P . . . P ) ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¥¨ï 1 X h F (Q . . . Q ) = 1 X h F (Q Q . . . Q ). (26) V (P P . . . P ) = i i i i i i i n n n
1
n
0
0
1
1
1
1
0
i
1
1
1
i
0
1
1
. VIII:
§ 3.
375
10. ý¥®à¨ï ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢þ ¡ë« ¯®áâ஥ . ¨ª®¢áª¨¬ ¢ ¥£® à ¡®â¥ [323℄. ¬ ᮤ¥à âáï, ¯®¬¨¬® ¨§«®¥ëå ¬¨ १ã«ìâ ⮢, ¥é¥ ¤à㣨¥ ¥à ¢¥á⢠¬¥¤ã ᬥè 묨 ®¡ê¥¬ ¬¨ ¨ ¨å ¯à¨¬¥¥¨ï ª íªáâ६ «ìë¬ § ¤ ç ¬ ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫, â ª¥ ª ⥮६ ¬ ¥¤¨á⢥®á⨠¢ë¯ãª«ëå ⥫ á ¤ 묨 äãªæ¨ï¬¨ ªà¨¢¨§ë. §®®¡à §¨¥ ¨ ®à¨£¨ «ì®áâì ãáâ ¢«¨¢ ¥¬ëå §¤¥áì á¢ï§¥© ¬¥¤ã ®â¤¥«ì묨 âàã¤ë¬¨ § ¤ ç ¬¨ ¤¥« îâ íâã ⥮à¨î ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ®¤®© ¨§ ¨â¥à¥á¥©è¨å £« ¢ £¥®¬¥âਨ. ¡§®à ¥¥ १ã«ìâ ⮢, ¯®«ãç¥ëå ¤® 1934£., ¤ ¢ ª¨£¥ [250℄. «ì¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥ ⥮ਨ ®áãé¥á⢫¥® ¢ ¬®¥© à ¡®â¥ [4{7℄. (¤®¢à¥¬¥® ç áâì â¥å ¥ १ã«ìâ ⮢ ¡ë« ¯®«ãç¥ . ¥å¥«¥¬ [277℄ .) ¡®âë ¢ ¯« ¥ í⮩ ⥮ਨ ¢à¥¬ï ®â ¢à¥¬¥¨ ¯®ï¢«ïîâáï ¨ ⥯¥àì . § 3 £« ¢ë XI ¡ã¤¥â ¨§«®¥® ¯à¨¬¥¥¨¥ ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ . 13)
14)
15)
13) §«¨çë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¥à ¢¥á⢠«¥ªá ¤à®¢ | ¥å¥«ï ¤«ï ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ⥯¥àì ¬®® ©â¨ â ª¥ ¢ [70, 288, 309, 343℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 14) à¥¬ï ¯®¤â¢¥à¤¨«® ®¡è¨à®áâì á¢ï§¥© ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ á ¤à㣨¬¨ à §¤¥« ¬¨ ¬ ⥬ ⨪¨, á¬. [274, 280, 288, 343℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 15) áá«¥¤®¢ ¨ï ãá⮩稢®á⨠¥ª®â®àëå ¥à ¢¥á⢠[98, 287℄ ¤ îâ ¨®£¤ ¨ ®¢ë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ãá⮩稢®á⨠¢ ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. ¬. ¯®¤à®¡¥¥ ¢ [98℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
« ¢ IX ®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å
§ 1. ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨
1. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ᮤ¥à 騥 ¢ãâਠ¤ ãî â®çªã O ¨ â ª¨¥, çâ® ¢á¥ ¨å ¢¥àè¨ë «¥ â ¤ ëå «ãç å e , . . . , en , ¨á室ïé¨å ¨§ O ¯® ®¤®© ¢¥à訥 ª ¤®¬ «ãç¥. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯à¨ ¤ ëå O ¨ e , . . . , en â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥á⢮¢ «¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë «ãç¨ e , . . . , en ¥ ¡ë«¨ ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® (§ ¬ªã⮥) ¯®«ã¯à®áâà á⢮. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¢á¥ «ãç¨ ei ¨¤ãâ ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ®£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî Q, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã O, â® ¨ ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ íâ¨å «ãç å ®ª §ë¢ ¥âáï á ®¤®© áâ®à®ë ®â ¯«®áª®á⨠Q, â ª çâ® â®çª O ¥ «¥¨â ¢ãâਠ¥£®.
᫨ ¥ «ãç¨ ei ¥ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â®, ¢§ï¢ ¨å â®çª¨ Ai à ¢ëå à ááâ®ï¨ïå ®â O ¨ ¯®áâந¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠íâ¨å â®ç¥ª, ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P á ¢¥àè¨ ¬¨ Ai , ¢¯¨á ë© ¢ è à. ®çª O ¡ã¤¥â «¥ âì ¢ãâਠ¥£®, ¯®â®¬ã çâ® ¨ ç¥ ç¥à¥§ ¥¥ ¯à®å®¤¨« ¡ë ¯«®áª®áâì, ®£à ¨ç¨¢ îé ï ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ᮤ¥à 饥 ¢ ᥡ¥ ¬®£®£à ¨ª P . íâ® ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ¡ë«¨ ¡ë ⮣¤ ¯à ¢«¥ë ¢á¥ «ãç¨ ei, ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î. á¢ï§¨ á í⨬ § ¬¥ç ¨¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¥¨§¬¥® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¤ ë¥ «ãç¨ e , . . . , en ¥ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. 2.
᫨ «ãç¨ ei § ¤ ë, â® ¬®£®£à ¨ª P ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ááâ®ï¨ï¬¨ ri ¥£® ¢¥àè¨ ®â â®çª¨ O. ⨠ç¨á« ri ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì묨; ¤«ï ⮣® ç⮡ë â®çª Ak «ãç¥ ek ¡ë« ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ® ¥ «¥ « ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå â®ç¥ª Ai . â® âॡ®¢ ¨¥ « £ ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ç¨á« ri. «ï ¢ë¢®¤ íâ¨å ãá«®¢¨© ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® e , . . . , en ®¡®§ ç îâ ¥ ⮫쪮 á ¬¨ «ãç¨, 1
1
1
1
1
. IX:
§ 1.
377
® ¨ ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë, 㪠§ë¢ î騥 ¨å ¯à ¢«¥¨ï. ãî â®çªã O ¬ë áç¨â ¥¬ ç «®¬ ª®®à¤¨ â. ¥®à¥¬ 1.
«ï ⮣® çâ®¡ë ¤ ë¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« r1 , . . .
, rn
¬®£-
«¨ á«ã¨âì à ááâ®ï¨ï¬¨ ¢¥àè¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , «¥ é¨å ¤ ëå «ãç å
e1 , . . . , en
®â ç « ª®®à¤¨ â, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë-
¯®«¥¨¥ á«¥¤ãî饣® ãá«®¢¨ï: ¥á«¨
ek
= αki1 ei1 + αki2 ei2 + αki3 ei3
¥áâì à §«®¥¨¥ ®¤®£® ¨§ ¢¥ªâ®à®¢
ei
(1)
¯® â६ ¤à㣨¬ á ¥®âà¨æ ⥫ì묨
ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮
1 rk
p. (4) Ǒ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ¢¬¥áâ® ek ¥£® à §«®¥¨¥ (1), ¯®«ã稬 p αki1 (ei1 n) + αki2 (ei2 n) + αki3 (ei3 n) > . (5) r ¥®¡å®¤¨¬®áâì.
1
1
1
k
→ ª ª ª â®çª Ai «¥¨â ¯«®áª®á⨠Q, â® ¢¥ªâ®à −OA i = ri ei 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î (3). Ǒ®í⮬ã (nei ) ri = p ¨«¨ nei = rp . (6) j
j
j
j
j
j
j
ij
Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥¨ï ᪠«ïàëå ¯à®¨§¢¥¤¥¨© nei ¢ ¥à ¢¥á⢮ (5) ¨ ᮪à é ï p, ¯®«ã稬 ¥à ¢¥á⢮ (2). ®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« r , . . . , rn 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ⥮६ë. §ï¢ â®çª¨ A , . . . , An «ãç å e , . . . , en ¨ ¯®áâந¢ j
1
1
1
378
. .
¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠íâ¨å â®ç¥ª, ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P . ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ®, ¯à¨¬¥à, â®çª A ¥ ¡ã¤¥â ¥£® ¢¥à訮©. ®£¤ ® «¥¨â ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå â®ç¥ª A , . . . , An . Ǒãáâì Ai1 , . . . , Ai (k 6 n − 1) | ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î «ãç¨ ei ¥ ¨¤ãâ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, â® â®çª O «¥¨â ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¯®â®¬ã ® ¬®¥â ¡ëâì à §«®¥ â¥âà í¤àë á ®¡é¥© ¢¥à訮© O ¨ á ®áâ «ì묨 ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å Ai1 , . . . , Ai . ®çª A ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ®¤®¬ ¨§ íâ¨å â¥âà í¤à®¢, ¯à¨¬¥à ¢ â¥âà í¤à¥ OA A A . ®£¤ ® «¥¨â ¯® âã ¥ áâ®à®ã ®â−→¯«®áª®á⨠¥£® ®á®¢ ¨ï A A A , çâ® ¨ â®çª O, ¯®â®¬ã ¤«ï ¢¥ªâ®à OA = r e ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮, ®¡à ⮥ (4), â.¥. ne r 6 p. (7) ¬¥á⥠á ⥬ «ãç e ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ âà¥å£à ®¬ 㣫¥, âïã⮬ «ãç¨ e , e , e , ¯®â®¬ã ¥£® ¢¥ªâ®à e à §« £ ¥âáï ¯® ¢¥ªâ®à ¬ e , e , e á ¥®âà¨æ ⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥ïï ¯à¥¤ë¤ã騩 ¢ë¢®¤, ¨áå®¤ï ¨§ ¥à ¢¥á⢠(7), ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ¥à ¢¥áâ¢ã, ®¡à ⮬ã (2), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î. «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª A ¥ ¬®¥â «¥ âì ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠®áâ «ìëå â®ç¥ª Ai ¨ ⥬ á ¬ë¬ ï¢«ï¥âáï ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P . ®ª § ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ⥮६ 1 ¢ëïáï¥â, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, áâ஥¨¥ ¬®£®®¡à §¨ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å. ¬¥® à áᬮâਬ n-¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮, ¢ ª®â®à®¬ § ª®®à¤¨ âë ¯à¨¬¥¬ ç¨á« xi = 1/ri, ®¡à âë¥ à ááâ®ï¨ï¬ ¢¥àè¨ ®â ç « O. ®£¤ ¥à ¢¥á⢠(2) ®ª §ë¢ îâáï «¨¥©ë¬¨ ¨ ¢¬¥á⥠á ãá«®¢¨ï¬¨ ¯®«®¨â¥«ì®á⨠xi > 0 ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¢¥à訮© ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ¤®© â®çª¥ ¢ãâਠ¥£® ®â¢¥ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë© ¬®£®£à ¨ª. Ǒ®¤®¡ë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¢ O ®â¢¥ç îâ â®çª¨ ®¤®© ¯®«ã¯àאַ©, ¨á室ï饩 ¨§ ç « ¢ 襬 n-¬¥à®¬ ¬®£®£à ®¬ 㣫¥. 3. 襩 § ¤ 祩 ï¥âáï ¢ëïá¨âì, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ªà¨¢¨§ ¬¨ ᢮¨å ¢¥àè¨ ¨ ª ª¨¥ § ç¥¨ï ¬®® § à ¥¥ ¯à¨¯¨á âì í⨬ ªà¨¢¨§ ¬ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬®£®£à ¨ª § ¢¥¤®¬® áãé¥á⢮¢ «. ਢ¨§ ¢¥àè¨ë ¥áâì 2𠬨ãá á㬬 ¯«®áª¨å 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ¥©, ¨ ® à ¢ â ª¥ ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨ë (§ 5 £« ¢ë I). Ǒ®í⮬ã ã ¯®¤®¡ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ªà¨¢¨§ë ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ à ¢ë. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¨ ®¡à â®, ¨§ à ¢¥á⢠ªà¨¢¨§ ¢ë⥪ ¥â ¯®¤®¡¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å; íâ® ¥áâì ç áâë© á«ãç © á«¥¤ãî饩 ⥮६ë: 1
2
k
1
k
1
2
3
4
2
3
4
1 1
1 1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
P′
¥®à¥¬ 2.
Ǒãáâì ¢¥àè¨ë § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢
«¥ â ®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ â®çª¨
O,
P
¨
«¥ 饩 ¢ãâà¨
. IX:
§ 1.
379
íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢. ®£¤ «¨¡® í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ¯®¤®¡ë (á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï
O ),
«¨¡® ª ¤®¬ ¨§ ¨å ¥áâì â ª ï ¢¥àè¨ , çâ® ¬®£®£à ë©
㣮« ¯à¨ í⮩ ¢¥à訥 ¬®¥â ¡ëâì ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á ¯®¬¥é¥ ¢ãâਠ¬®£®£à ®£® 㣫 ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥®© ¢¥à訥 ¤à㣮£® ¬®£®-
(Ǒਠí⮬ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ¬®£®£à ë© ã£®« V ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ㣫 V , ¥á«¨ ¢¥àè¨ë ¨å ᮢ¯ ¤ îâ, ¨ V ᮤ¥à¨â V , ® ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨¬. ®£®£à ë© ã£®« à áᬠâਢ ¥âáï, ª ª ¢á¥£¤ , á ¥®¯à¥¤¥«¥® ¯à®¤®«¥ë¬¨ £à ﬨ.) ®® ᪠§ âì ¨ ¨ ç¥: ¥á«¨ ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ¬®£®£à ë¥
£à ¨ª .
1
2
2
1
ã£«ë ¯à¨ á®®â¢¥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤¨ ¢ãâਠ¤à㣮£®, â® ¬®£®£à ¨ª¨ ¯®¤®¡ë.
¢¨¤ã ¯à®á⮩ ¢§ ¨¬®á¢ï§¨ ¬¥¤ã ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬ ¨ ¥£® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ íâã ⥮६㠬®® ä®à¬ã«¨à®¢ âì, £®¢®àï ® ¢®§¬®®á⨠¯®¬¥áâ¨âì áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ®¤®© ¢¥àè¨ë ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¨§®¡à ¥¨¨ ¤à㣮©. (¢¥«¨ç¥¨î 㣫 ®â¢¥ç ¥â, ®ç¥¢¨¤®, 㬥ì襨¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï.) ª ª ª á㬬 ¯«®áª¨å 㣫®¢ ®¡ê¥¬«î饣® ¬®£®£à ®£® 㣫 V ¡®«ìè¥, 祬 ã ®¡ê¥¬«¥¬®£® V , ªà¨¢¨§ ᮮ⢥âá⢥® ¬¥ìè¥, â® ¨§ à ¢¥á⢠ªà¨¢¨§ ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ áà §ã á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¨å ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 2 ® ¥¯®¬¥é ¥¬®á⨠¬®£®£à ëå 㣫®¢ ®¤®£® ¢ ¤à㣮© ¢ë¯®«¥®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®¤®¡¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ á à ¢ë¬¨ ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ï¢«ï¥âáï «¨èì ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ⥮६ë 2. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2 ç१¢ëç ©® ¯à®áâ® ¨ ¡ë«® 㥠¯à®¢¥¤¥® ¢ § 5 £« ¢ë II. ¯®¬¨¬ ¥£®. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ᮤ¥à â â®çªã O ¢ãâਠ¨ ¨¬¥îâ ¢¥àè¨ë ®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å ei, ¨á室ïé¨å ¨§ O. Ǒਠ¯®¤®¡®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ í⨠ãá«®¢¨ï ¥ àãè îâáï ¨ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¥£® ¥ ¬¥ïîâáï ( «¨èì ¯¥à¥¤¢¨£ îâáï ¯ à ««¥«ì®), ¨ ¯®â®¬ã ¬ë ¬®¥¬ ¯®¤¢¥à£ âì ¬®£®£à ¨ª P ′ «î¡®¬ã â ª®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨î. ®¬¥¬ ¥£® ª â®çª¥ O á⮫쪮, çâ®¡ë ® ®ª § «áï 楫¨ª®¬ ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª P , ¯®â®¬ ¡ã¤¥¬ ¥£® ¥¯à¥à뢮 ¯®¤®¡® 㢥«¨ç¨¢ âì ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ ¥ ᮢ¯ ¤¥â ¢¯¥à¢ë¥ á ᮢᥠ¢¥àè¨ë ®â¢¥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª ¯à¨ í⮬ ®áâ îâáï ¢á¥ ¥ ¢ ⥫¥á®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P , â® ¨ á ¬ P ′ ®áâ ¥âáï ¢ P , ¯®áª®«ìªã P ′ ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠᢮¨å ¢¥àè¨.
᫨ ¯à¨ í⮬ ¬®£®£à ¨ª P ′ ᮢ¯ ¤¥â á P , â®, § ç¨â, ¤® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ® ¡ë« ¯®¤®¡¥ P , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¢®© ¢®§¬®®áâ¨, 㪠§ ®© ¢ ⥮६¥. Ǒ®í⮬㠤®¯ãá⨬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ′ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á P , ® «¨èì ª®¥-£¤¥ ª á ¥âáï ¥£®, ¢ ®á⠫쮬 «¥¨â ¢ãâਠP .
᫨ ¬®£®£à ¨ª P ′ § ª«îç¥ ¢ P , ¢¥àè¨ A′ P ′ ᮢ¯ « á ¢¥à訮© A P , â® ¬®£®£à ë© ã£®« V ′ ¯à¨ ¢¥à訥 A′ ¬®£®£à ¨ª P ′ 2
1
380
. .
®ª §ë¢ ¥âáï § ª«îç¥ë¬ ¢ ¬®£®£à ®¬ 㣫¥ V ¯à¨ ¢¥à訥 A ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ¯à¨ í⮬ 㣫ë V ¨ V ′ ¥ ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¬ë 㥠諨 ã ¬®£®£à ¨ª P ′ 㣮«, ¯®¬¥é ¥¬ë© ¢ãâਠᮮ⢥âáâ¢ãî饣® 㣫 ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ¥ 㣫ë V ¨ V ′ ᮢ¯ ¤ îâ, ⮠ᮢ¯ ¤ îâ ¨å à¥¡à ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮢ¯ ¤ îâ â ª¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′, á«ã 騥 ª®æ ¬¨ íâ¨å ॡ¥à, ¯®â®¬ã çâ® ¯® ãá«®¢¨î í⨠¢¥àè¨ë «¥ â ¥é¥ ®¤¨å ¨ â¥å ¥ «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ â®çª¨ O. «ï íâ¨å ¢¥àè¨ ¬ë ¬®¥¬ ¯®¢â®à¨âì â® ¥ à áá㤥¨¥ ¨ â. ¤.′ ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ ¤®©¤¥¬ ¤® ¥ª®â®à®© ¯ àë ᮢ¯ ¢è¨å ¢¥àè¨ E , E , ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ¥ ᮢ¯ ¤ îâ: ¨ ç¥ ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ®ª § «¨áì ¡ë ᮢ¯ ¢è¨¬¨, ¢®¯à¥ª¨ ᤥ« ®¬ã ¯à¥¤¯®«®¥¨î. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ¥ ¯®¤®¡ë, ¬ë ©¤¥¬ ã ¨å â ªãî ¯ àã ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨, çâ® ¬®£®£à ë© ã£®« ¯à¨ ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P ′ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ¬®£®£à ®£® 㣫 ¯à¨ ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P . ¥®à¥¬ ¤®ª § . § ⥮६ë 2, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® f (V ) ¥áâì ¬®®â® ï äãªæ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 , ¥á«¨ ¤«ï à ¢ëå ¨ ¯ à ««¥«ìëå 㣫®¢′ V ¨ V ′ f (V ) = f (V ′ ), ′ ª®£¤ 㣮« V ᮤ¥à¨âáï ¢ãâਠV , â® f (V ) < f (V ). ¥®à¥¬ 3.
᫨ ã ¤¢ãå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å
¤«ï ª ¤®© ¯ àë ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ ª ª¨¥-«¨¡® ¬®®â®ë¥ äãªæ¨¨ ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ¨å à ¢ë, â® ¬®£®£à ¨ª¨ ¯®¤®¡ë.
¥©á⢨⥫ì®, ¨§ ãá«®¢¨ï ¬®®â®®á⨠᫥¤ã¥â, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤¨ ¢ ¤à㣮¬, ¯®â®¬ã ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¬®£®£à ¨ª¨ ¤®«ë ¡ëâì ¯®¤®¡ë¬¨. ¤¥áì ¤«ï ª ¤®© ¯ àë ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ ¬®® ¡à âì á¢®î ¬®®â®ãî äãªæ¨î. ஬¥ áã¬¬ë ¯«®áª¨å 㣫®¢ (¨«¨ ªà¨¢¨§ë), ¯à¨¬¥à®¬ ¬®®â®®© äãªæ¨¨ ¬®¥â á«ã¨âì ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¢ë१ ¥¬®£® ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬ ¥¤¨¨ç®© áä¥à¥ á æ¥â஬ ¢ ¢¥à訥 㣫 . 4. ®¯à®á ® ¤®¯ãá⨬ëå § 票ïå ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å à¥è ¥âáï á«¥¤ãî饩 ⥮६®©: ¥®à¥¬ 4. Ǒãáâì ¨§ â®çª¨ O ¨á室ïâ «ãç¨ e1 , . . . , en , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢
®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. Ǒãáâì
σi1 i2 ...im
| ªà¨¢¨§ ¬®£®£à ®£® 㣫 , ï¢-
«ïî饣®áï £à ¨æ¥© ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 ei1 , ei2 , . . .
, e im .
᫨ ¨¬¥¥âáï § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ «ãç å
ei ,
â® ªà¨¢¨§ë
ωi
¥£® ¢¥àè¨ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ¥à ¢¥áâ¢ã
X
ωi > σi1 i2 ...im ,
(8)
. IX:
§ 1.
381
£¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ «ãç ¬, ¥ ¯®¯ ¢è¨¬ ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩
e i1 , . . . , e im ,
ei1 , . . . , eim , ¨ â ª ¤«ï ¢á¥å ¢®§¬®ëå ᮢ®ªã¯®á⥩ «ã祩
¢ë¡à ëå ¨§ ¤ ëå 1) .
¡à â®, ¥á«¨ ¤ ë ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á«
¥à ¢¥á⢠¬
ωi ,
㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¢á¥¬
(1) ¨ â ª¨¥, çâ® ¨å á㬬 à ¢ 4π, â® áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ªã-
âë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® «¥ â ¤ ëå «ãç å ¨ ¢¥àè¨ ª ¤®¬ «ãç¥
ei
¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ã
ωi .
ª ª ª ãá«®¢¨ï, çâ® ¢á¥ ωi ¯®«®¨â¥«ìë ¨ ¢ á㬬¥ ¤ îâ 4π, ®ç¥¢¨¤®, ¥®¡å®¤¨¬ë, ⮠⥮६ ã⢥ठ¥â, çâ® í⨠¤¢ ãá«®¢¨ï ¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ ¥à ¢¥á⢠¬¨ (8) ¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ωi. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¥à ¢¥á⢠(8) ¡ë« ¤®ª § ¢ § 5 £« ¢ë II; ¯®¬¨¬ íâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¨¬¥¥¬ ¬®£®£à ¨ª P á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ei. ¥à¥¬ «ãç¨ ek1 , . . . , ek , ¨¤ã騥 ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¨ áâந¬ ¨å ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã V . â® ¡ã¤¥â ⥫¥áë© ã£®« á ¢¥à訮© ¢ â®çª¥ O. Ǒãáâì «ãç¨ ej1 , . . . , ej , ᮮ⢥âá⢥® ¨ ¢¥àè¨ë Aj1 , . . . , Aj ®ª §ë¢ îâáï ¢¥ V . Ǒ«®áª®áâì, ®¯®à ï ª V , ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ®â â®çª¨ O ® áâ ®¢¨âáï ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ®¯®à®© ª ¬®£®£à ¨ªã P ¢ ª ª®©-â® ¥£® ¢¥à訥, ¥ ¯®¯ ¢è¥© ¢ V . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢áïª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ª V ¨¬¥¥â ¯ à ««¥«ìãî ¥© ®¯®àãî ¯«®áª®áâì ª P ¢ ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ Aj1 , . . . , Aj . ஬¥ ⮣®, ¢ íâ¨å ¢¥àè¨ å ¨¬¥îâáï ¨ ¤à㣨¥ ®¯®àë¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à¨¬¥à ¯«®áª®á⨠£à ¥©, ¯¥à¥á¥ª î騥 V . â® ®§ ç ¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ᮢ®ªã¯®á⨠¢¥àè¨ Aj1 , . . . , Aj ¡®«ìè¥ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï 㣫 V , â. ¥. ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮ (8). 5. ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ¢á¥å ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ωi áãé¥áâ¢ã¥â. «ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ (§ 2 £« ¢ë II). áᬮâਬ ¢á¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å e , . . . , en . Ǒãáâì ri ®§ ç ¥â à ááâ®ï¨¥ ¢¥àè¨ë i-¬ «ãç¥ ®â ç « O. ª ¢ëï᥮ ¢ ª®æ¥ ¯ 2, ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ xi = 1/ri ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨§®¡à ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ⥫¥áë¬ ã£«®¬ á ¢¥à訮© ¢ â®çª¥ (0, . . . , 0). « ááã ¯®¤®¡ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ®â¢¥ç ¥â «ãç, ¨¤ã騩 ¢ãâਠí⮣® 㣫 ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ë. Ǒ®í⮬㠬®¥á⢮ ¢á¥å ª« áᮢ ¯®¤®¡ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬®® ¨§®¡à §¨âì ⮩ ç áâìî ¥¤¨¨ç®© áä¥àë á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (0, . . . , 0), ª ªãî ¢ë१ ¥â 㪠§ ë© â¥«¥áë© ã£®«. â (n − 1)-¬¥à ï m
p
p
p
p
1
o
1) ãá«®¢¨¥¬, çâ® «ãç¨ ei1 , . . . , ei ¨¤ãâ ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¯®â®¬ã çâ® ¨ ç¥ ¥à ¢¥á⢮ (8) âਢ¨ «ì® ¨«¨ ¡¥áá¬ëá«¥® (¥á«¨ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠íâ¨å «ã祩 ¥áâì ¢á¥ ¯à®áâà á⢮). m
382
. .
áä¥à¨ç¥áª ï ®¡« áâì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®®¡à §¨¥ P ª« áᮢ ¯®¤®¡ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. Ǒãáâì K | ¬®£®®¡à §¨¥ ᮢ®ªã¯®á⥩ K ¯® n ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« (ω , . . . , ωn ) á á㬬®©, à ¢®© 4π, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¥à ¢¥á⢠¬ (8). n¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ ω , . . . , ωn «¨¥©ë¥ ¥à ¢¥á⢠(8) ¢¬¥áâ¥ á ¥à ¢¥á⢠¬¨ ωi > 0 ®£à ¨ç¨¢ îâ ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¥á⢮; ¯¥à¥n P á¥ç¥¨¥ í⮣® ¬®¥áâ¢ á ¯«®áª®áâìî ωi = 4π ¨ ¤ ¥â ¬®£®®¡à §¨¥ K . i â® ¬®£®®¡à §¨¥, á«¥¤®¢ ⥫ì®, (n − 1)-¬¥à® ¨ á¢ï§®. ¤ë© ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨¬¥¥â ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬, ®¯à¥¤¥«ïî騬 ¬®£®®¡à §¨¥ K . Ǒ®¤®¡ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ ªà¨¢¨§ë. ᨫã í⮣® ¬®£®®¡à §¨¥ P ®¤®§ ç® ®â®¡à ¥âáï ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ K . â® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, â ª ª ª ¯® ¤®ª § ®¬ã ¢ ¯ 3 ¬®£®£à ¨ª¨ á à ¢ë¬¨ ªà¨¢¨§ ¬¨ ¯®¤®¡ë. â® ®â®¡à ¥¨¥ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ â ª¥ ¨ ¥¯à¥à뢮. ª ª ª ¬®£®®¡à §¨¥ K á¢ï§® ¨ ¨¬¥¥â âã ¥ à §¬¥à®áâì, çâ® P , â® ®áâ ¥âáï ¥é¥ ¯à®¢¥à¨âì ⮫쪮 ¢ë¯®«¥¨¥ ¯®á«¥¤¥£® ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. Ǒãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì K , K , . . . á室¨âáï ª â®çª¥ K , ¯à¨ç¥¬ Ki = = ϕ(Pi), â. ¥. â®çª¨ Ki ¨§ K áãâì ®¡à §ë â®ç¥ª Pi ¨§ P . ã® ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â á室ïé ïáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pi , ¯à¥¤¥« ª®â®à®© P ®â®¡à ¥âáï ¢ K : Pi → P , ϕ(P ) = K . ª ª ª ¬®£®®¡à §¨¥ P ¥áâì ®¡« áâì (n − 1)-¬¥à®© áä¥à¥, â® ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠Pi § ¢¥¤®¬® ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ¤ ª® ¯à¥¤¥«ì ï â®çª P â ª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠Pi ¬®£« ¡ë «¥ âì ¥ ¢ á ¬®© ®¡« á⨠P , ¥¥ £à ¨æ¥. Ǒ®ª ¥¬, çâ® í⮣® ¥ ¬®¥â ¡ëâì. ¤ ï â®çª ¨§ P ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¬®£®£à ¨ª, ã ª®â®à®£® à ááâ®ï¨ï ¢¥àè¨ ®â ç « ¯®¤ç¨¥ë ãá«®¢¨î X X 1 x = = 1. 1
1
=1
o
1
2
j
j
0
2
i
j
ri2
Ǒ®í⮬ã â®çª £à ¨æ¥ P â ª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ⥬ ¥ ãá«®¢¨¥¬, ® á ¥ª®â®à묨 ýª®®à¤¨ â ¬¨þ xi = 1/ri, ¡ëâì ¬®¥â, à ¢ë¬¨ ã«î. ª®© ¬®£®£à ¨ª P ®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®¥çë¬, ¨ ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠â¥å «ã祩 ei, ª®â®àë¬ ®â¢¥ç îâ à ááâ®ï¨ï ri = ∞ (xi = 1/ri = 0), ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì r , . . . , rm ª®¥çë, rm , . . . , rn áâ६ïâáï ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ®£®£à ¨ª P ¯à¨ ¢á¥å ª®¥çëå ri ¥áâì, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠¢¥àè¨, «¥ é¨å «ãç å e , . . . , em, 0
1
+1
1
. IX:
§ 1.
383
¨ ¬®£®£à ¨ª R, ïî饣®áï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬®¥á⢠, ®¡à §®¢ ®£® â®çª®© O ¨ ¢¥àè¨ ¬¨, «¥ 騬¨ «ãç å em , . . . , en . ®£¤ í⨠¯®á«¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë 㤠«ïîâáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¬®£®£à ¨ª R á室¨âáï ª ¬®£®£à ®¬ã 㣫ã V | ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 em , . . . , en . Ǒ®í⮬㠬®£®£à ¨ª P á室¨âáï ª ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ᮢ®ªã¯®á⨠¢¥àè¨, «¥ é¨å «ãç å e , . . . , em , ¨ 㣫 V . «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ®â 㣮« V ¨ ¡ã¤¥â ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®£à ¨ª P . ਢ¨§ ¬®£®£à ¨ª P à ¢ ªà¨¢¨§¥ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V , â. ¥. á㬬 ªà¨¢¨§ ¥£® ¢¥àè¨ A , . . . , Am à ¢ ªà¨¢¨§¥ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 em , . . . , en . è¨å ®¡®§ 票ïå íâ® § ¯¨è¥âáï à ¢¥á⢮¬ m X ωi = σm ,... ,n . (9) +1
+1
1
0
0
1
+1
+1
i=1
¤ ª® ª®£¤ ¬®£®£à ¨ª¨ Pi á室ïâáï, ªà¨¢¨§ë ¨å ¢¥àè¨ á室ïâáï ª ªà¨¢¨§ ¬ ¢¥àè¨ ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ® ãá«®¢¨î ¥ ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi á室ïâáï ª ᮢ®ªã¯®á⨠ç¨á¥« ω, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¬®£®®¡à §¨î K , â. ¥. ¤«ï ¯à¥¤¥«ìëå § 票© ç¨á¥« ω ¢ë¯®«ïîâáï ¢á¥ ¥à ¢¥á⢠(8). «¥¤®¢ ⥫ì®, à ¢¥á⢮ (9) ¥¢®§¬®®, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¬®£®£à ¨ª P ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¡¥áª®¥çë¬. â ª, ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ Pi á室¨âáï ª ª®¥ç®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P á ¯à¥¤¥«ì묨 § 票ﬨ ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®£à ¨ªã P ®â¢¥ç ¥â ª ª à § ¯à¥¤¥«ì ï ᮢ®ªã¯®áâì K ç¨á¥« ω; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ϕ (P ) = K . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¥ ¯®á«¥¤¥¬ã ãá«®¢¨î «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. à § ¢á¥ ¥¥ ãá«®¢¨ï 㤮¢«¥â¢®à¥ë, â® ¢¥à¥ ¨ ¥¥ १ã«ìâ â: ¬®£®®¡à §¨¥ P ®â®¡à ¥âáï ¢á¥ ¬®£®®¡à §¨¥ K , â. ¥. ª ¤®© ¤®¯ãá⨬®© ¯® ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë ᮢ®ªã¯®á⨠§ 票© ç¨á¥« ω ®â¢¥ç ¥â ª« áá ¯®¤®¡ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 § 票ﬨ ªà¨¢¨§ ¤®ª § ®. 6. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© ¬®£ãâ ¡ëâì ãáâ ®¢«¥ë à §ë¥ â¥®à¥¬ë, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ 2{4. Ǒਢ¥¤¥¬ ¤¢¥ á ¬ë¥ ¯à®áâë¥ ¨§ ¨å. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠T ¤ ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¢ãâਠª®â®à®£® ®â¬¥ç¥ë â®çª¨ A , . . . , Am . Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ § ¬ªãâ ï «®¬ ï L, ¯à®¥ªâ¨àãîé ïáï £à ¨æã ¬®£®ã£®«ì¨ª Q. áᬠâਢ ¥¬ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ®¡« ¤ î騥 á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨: 1) ®¨ ®£à ¨ç¥ë «®¬ ®© L; 2) ¨¬¥îâ ¢¥àè¨ë, ¯à®¥ªâ¨àãî騥áï ¢ â®çª¨ Ai , ¨ ¥ ¨¬¥îâ ¨ª ª¨å ¤àã£¨å ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨; 3) ®¨ ®¡à é¥ë ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ ®¤ã áâ®à®ã (᪠¥¬, ª ¯«®áª®á⨠T ¨«¨ ®â ¥¥). 0
j
0
j
0
0
0
0
1
0
384
. .
â ª¨å ¬®£®£à ¨ª å ¬®® ã⢥ठâì: ¤¢ãå â ª¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ (¥á«¨ ®¨ ¥ ᮢ¯ ¤ îâ) ¢á¥-
¥®à¥¬ 5.
£¤ ¥áâì ¯ à ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨, ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå
¬®£ãâ ¡ëâì ¯®¬¥é¥ë ®¤¨ ¢ãâਠ¤à㣮£® ¯ã⥬ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á .
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì P ¨ P | ¤¢ â ª¨å ¬®£®£à ¨ª , ¯à¨ç¥¬ P ¨¬¥¥â â®çª¨, «¥ 騥 ý¨¥þ â®ç¥ª P á ⮩ ¥ ¯à®¥ªæ¨¥© ¯«®áª®áâì T (ª®â®àãî ¬ë ¬ë᫨¬ £®à¨§®â «ì®©). ®£¤ , ý¯®¤¨¬ ïþ ¬®£®£à ¨ª P , ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥£® ¢ â ª®¥ ¯®«®¥¨¥, çâ® ® ¡ã¤¥â ¥é¥ £¤¥-«¨¡® ª á âìáï P , ® ¢ ®á⠫쮬 ¡ã¤¥â «¥ âì ý¢ëè¥þ P . Ǒਠ⠪®¬ ¯®«®¥¨¨ ®ç¥¢¨¤®, çâ® P ¥áâì ¢¥àè¨ , 㣮« ¯à¨ ª®â®à®© «¥¨â ¢ãâਠ㣫 ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ⥮६ ¤®ª § . ¥®à¥¬ 6. «ï ¢áïª¨å ¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« ω , . . . , ωm , á㬬 ª®â®àëå ¬¥ìè¥ 2π , áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© â ª®© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
£à ¨ª 㪠§ ®£® ¢ëè¥ â¨¯ , ã ª®â®à®£® ç¨á« ¨¬¥®
ωi
ωi
áãâì ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨:
¥áâì ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ë, ¯à®¥ªâ¨àãî饩áï ¢ â®çªã
Ai .
¤¨á⢥®áâì 㪠§ ®£® ¬®£®£à ¨ª á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 5. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯®«ãç ¥âáï áà §ã ®á®¢¥ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. ¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ m-¬¥à®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ K , â®çª ¬¨ ª®â®à®£® ¡ã¤ãâ ᮢ®ªã¯®á⨠¯®«®¨â¥«ìëå ç¨á¥« ω , . . . , ωm , á ãá«®¢¨¥¬, çâ® á㬬 ¨å ¬¥ìè¥ 2π. Ǒãáâì, ¤ «¥¥, P | ¬®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ à áᬠâਢ ¥¬®£® ⨯ ; ®® â ª¥ m-¬¥à® (¨, ª ª «¥£ª® ¤®ª § âì, ¥ ¯ãáâ®). ë ¨¬¥¥¬ ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ K , ¨ «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. १ã«ìâ ⥠⥮६ 6 ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®ª § ®©. (¥â «ì®¥ ®áãé¥á⢫¥¨¥ ¬¥ç¥®£® à áá㤥¨ï ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î.) ⥮६ å 5, 6 à¥çì ¨¤¥â ® ¬®£®£à ¨ª å, ¢¥àè¨ë ª®â®àëå «¥ â ¯ à ««¥«ìëå «ãç å, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çª¨ A , . . . , Am ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ¯«®áª®á⨠T ; â ª¨¥ «ãç¨ ý¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥þ. ®¢¥à襮 «®£¨ç® ¬®® à áᬠâਢ âì ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ¤ ®© â®çª¨ O. ®£¤ â®ç® â ª ¥ ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å á £à ¨æ¥©, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ 5, 6. ¤¥áì ¢®§¬®ë à §ë¥ á«ãç ¨: «ãç¨ ¬®£ãâ ¨¤â¨ ¢ãâàì ®¤®£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠¨«¨ ¥â; ¬®® à áᬠâਢ âì ¬®£®£à ¨ª¨, ®£à ¨ç¥ë¥ ®¤®© «®¬ ®© ¨«¨ ¥áª®«ìª¨¬¨. ( «®¬ ë¥ ã® «®¨âì ãá«®¢¨¥, çâ®¡ë ¢®®¡é¥ ®¨ ¬®£«¨ ®£à ¨ç¨¢ âì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å.) Ǒà®á⥩訬 ¡ã¤¥â á«ãç ©, ª®£¤ ¢á¥ «ãç¨ ¨¤ãâ ¢ãâਠ¢ë¯ãª«®£® ⥫¥á®£® 㣫 , ¯®¢¥àå®á⨠ª®â®à®£® «¥¨â ¤ ï «®¬ ï L, ¯à¨ç¥¬ ã® à áᬠâਢ âì ®â¤¥«ì® ¬®£®£à ¨ª¨, ®¡à é¥ë¥ ¢ë¯ãª«®áâìî ª ¢¥à訥 㣫 ¨ ®â ¥¥. ®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠¢®§¬®ëå §¤¥áì ⥮६ ¬®£ãâ á«ã¨âì ¢ ª ç¥á⢥ å®à®è¥© § ¤ ç¨. «ì¥©è¥© ⥬®© ¬®¥â á«ã¨âì ®¡®¡é¥¨¥ â®â á«ãç ©, ª®£¤ 1
1
. IX:
§ 1.
385
«ãç¨ ¥ ¨á室ïâ ¨§ ®¤®© â®çª¨, ® ý¯à®å®¤ïâ ᪢®§ìþ ¤ ãî «®¬ ãî L. 7. ¥®à¥¬¥ 2 ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ⥮६ã, ®â®áïéãîáï ª ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬ ¬®£®£à ¨ª . ®§ì¬¥¬ ¢ãâਠ§ ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª P â®çªã O ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ¥¥ «ãç¨ Li ç¥à¥§ ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ¢¥àè¨ë ¯¥à¥¬¥é âì ¢¤®«ì «ã祩 Li , â® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï. Ǒਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ᬥ饨ïå ¨ ®¤A3 ¨§ ¢¥àè¨ ¥ ¯®¯ ¤¥â ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®A4 «®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠¤àã£¨å ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®áâ ¥âáï ¢¥à訮© ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®£® A2 A1 ¬®£®£à ¨ª P . ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¯ à ¬¥âà t ¢¥àè¨ë ¤¢¨ãâáï ¯® «ãO ç ¬ Li á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. ®£¤ , ª ª ®ç¥¢¨¤®, £à ¨ ¨ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤ãâ ¢à é âìáï â ª¥ á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. Ǒਠ¤¢¨¥¨¨ ¢¥àè¨ áâ஥¨¥ ¬®£®¨á. 145 £à ¨ª ¬®¥â, ª®¥ç®, ¬¥ïâìáï. ª ¡ã¤¥â, ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¢ë¤¢¨£ âì ®â æ¥âà O ªã¡ à¨á. 145 ¥£® ¢¥àè¨ë A ¨ A , ®áâ ¢«ïï ¢¥àè¨ë A ¨ A ¥¯®¤¢¨ë¬¨, ¨«¨ ®¡®à®â, ¯à¨ç¥¬ ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå £à ì A A A A ¡ã¤¥â «®¬ âìáï, ® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¯® ¤¨ £® «¨ A A , ¢® ¢â®à®¬ | ¯® ¤¨ £® «¨ A A . ® ¯à¨ ¬ «ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå 㥠¨¬¥î騥áï à¥¡à ¥ ¬®£ãâ ¨á祧ãâì, ¬®£ãâ ⮫쪮 ¯®ï¢¨âìáï ®¢ë¥, ¡ë¢è¨¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¤¨ £® «ï¬¨ £à ¥©. Ǒਠà áᬮâ२¨ ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª ¬ë ¡ã¤¥¬ â ª¨¥ ¤¨ £® «¨ áç¨â âì ý®¢ë¬¨þ à¥¡à ¬¨ íâ¨å 㣫®¢ ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â áâ®ïé¨å ¨«¨ ýáâ àëåþ ॡ¥à; ý®¢ë¥þ à¥¡à «¥ â ýáâ àëåþ £à ïå. ¯®à浪¥ ®¡®¡é¥¨ï ¬®® ¤®¯ãáâ¨âì ¤¥ä®à¬ 樨 á àã襨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠¬®£®£à ¨ª , ¢ë§¢ ë¬ â¥¬, çâ® £à ¨ ¯¥à¥« ¬ë¢ îâáï ¯® ¤¨ £® «ï¬ ¥ â ª, ª ª ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ¢ë¯ãª«®áâ¨. ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¢¥àè¨ A ¨ A ªã¡ à¨á. 145 àãã ¬®® ¤®¯ãáâ¨âì ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨¥ £à ¨ ¯® ¤¨ £® «¨ A , çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ¥¢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®£à ¨ªã. ª¥ ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢®®¡é¥ £®¢®à¨âì, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¤¢¨¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨. ®£®£à ë¥ ã£«ë ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¨ ¯®¤®¡®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï; ¯®á«¥¤¥¥ â ª¥ ¥ ¬¥ï¥â ¨ ä®à¬ã, ¨ à §¬¥àë ¬®£®£à ®£® 㣫 . ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬®£®£à ë© ã£®« V 㬥ìè ¥âáï, ¥á«¨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨, ®áâ ¢«ïî饩 ¥£® ¢¥àè¨ã ¬¥áâ¥, ¨ ®¤® ¥£® ॡ஠¥ ¤¢¨¥âáï àãã á ¯®«®¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî ¨ å®âï 0
0
0
1
3
2
1
1
2
4
3
3
4
2
1
4
2
2
4
0
386
. .
¡ë ®¤® áâ®ï饥 ॡ஠¢à é ¥âáï, § å®¤ï ¢ãâàì 㣫 V ᮠ᪮à®áâìî, ®â«¨ç®© ®â ã«ï. £®« ¡ã¤¥â áç¨â âìáï 㢥«¨ç¨¢ î騬áï, ¥á«¨ á ¨§¬¥¥¨¥¬ ᪮à®á⥩ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ ® ®ª §ë¢ ¥âáï 㬥ìè î騬áï . 0
2)
¥®à¥¬ 7.
Ǒãáâì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥â-
áï ¢á«¥¤á⢨¥ ¤¢¨¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨ ¯® ¤ ë¬ «ãç ¬, ¨á室ï騬 ¨§ ¥£® ¢ãâ॥© â®çª¨ á æ¥â஬
O,
O.
®£¤ «¨¡® ¥£® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥áâì ¯®¤®¡¨¥
â. ¥. ç «ìë¥ áª®à®á⨠¤¢¨¥¨ï ¢¥àè¨ ¯à®¯®à樮 «ì-
ë ¨å à ááâ®ï¨ï¬ ®â â®çª¨
O,
«¨¡® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥àè¨ , ¬®£®£à ë©
㣮« ¯à¨ ª®â®à®© ã¡ë¢ ¥â, ¨ ¢¥àè¨ , ¯à¨ ª®â®à®© ¬®£®£à ë© ã£®« ¢®§-
(¯®¬ï ãá«®¢¨¥ ® ⮬, ç⮠㣫ë à áᬠâਢ îâáï á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¨«¨ ¯®¤®¡¨ï, â ª çâ® ¯à¨ áà ¢¥¨¨ ¨å ¢¥àè¨ë ¢á¥£¤ ¬®® áç¨â âì ᮢ¬¥é¥ë¬¨). ®ª § ⥫ìá⢮ áâ®«ì ¥ ¯à®áâ®, ª ª ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2. §®¢¥¬ ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî ¢¥àè¨ë Ai ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï à ááâ®ï¨ï OAi, ®â¥á¥ãî ¥¤¨¨æã ¤«¨ë, â. ¥. ¢¥«¨ç¨ã vi = r_i /ri, £¤¥ ri = OAi. Ǒ®¤®¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï à ¢¥á⢮¬ ¢á¥å vi. ®¯ãá⨬, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥ ᢮¤¨âáï ª ¯®¤®¡¨î, â ª çâ® ¥ ¢á¥ vi à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©. ®§ì¬¥¬ ¢¥àè¨ã á ¨¡®«ì訬 § 票¥¬ ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®áâ¨; ¯ãáâì íâ® ¡ã¤¥â ¢¥àè¨ A . Ǒਡ ¢¨¬ ª® ¢á¥¬ ®â®á¨â¥«ìë¬ áª®à®áâï¬ ¢¥«¨ç¨ã −v , â.¥. ®â®á¨â¥«ìãî ᪮à®áâì ¢¥àè¨ë A á ®¡à âë¬ § ª®¬. ⨬ ¬ë ¤®¡ ¢«ï¥¬ ª à áᬠâਢ ¥¬®© ç «ì®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¥¥ ¯®¤®¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¨ ¯®â®¬ã ¥ ¬¥ï¥¬, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª . ® â ª ª ª v ¡ë« ¨¡®«ì襩 ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî, ⮠⥯¥àì ã ¢á¥å ¢¥àè¨ ®â®á¨â¥«ìë¥ áª®à®á⨠¥ ¯®«®¨â¥«ìë, ã A ᪮à®áâì à ¢ ã«î, â. ¥. A á⮨⠬¥áâ¥, ¯à®ç¨¥ ¢¥àè¨ë «¨¡® â ª¥ áâ®ïâ ¬¥áâ¥, «¨¡® ¤¢¨ãâáï ¢ãâàì ¬®£®£à ¨ª . Ǒਠí⮬ ¥ ¢á¥ ®¨ áâ®ïâ ¬¥áâ¥, â ª ª ª ¨ ç¥ ¨å ®â®á¨â¥«ìë¥ áª®à®á⨠vi ¤® ¯à¨¡ ¢«¥¨ï ᪮à®á⨠−v ¡ë«¨ ¡ë à ¢ë, ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¥¨î.
᫨ å®âï ¡ë ®¤ ¢¥àè¨ Ai , ᮥ¤¨¥ ï á A ॡ஬, ¤¢¨¥âáï ′ ¢ãâàì (â.¥. ¥á«¨ vi = vi − v < 0), â® íâ® ¨ ¡ã¤¥â ®§ ç âì, çâ® ¬®£®£à ë© ã£®« ¯à¨ ¢¥à訥 A 㬥ìè ¥âáï.
᫨ ¥ ¢á¥ ¢¥àè¨ë, ᮥ¤¨¥ë¥ á A à¥¡à ¬¨, ¥¯®¤¢¨ë, â® ¡¥à¥¬ ¢¬¥áâ® A «î¡ãî ¨§ ¨å ¨ â. ¤. ª ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬ë ¤®©¤¥¬ ¤® ¢¥àè¨ë á 㬥ìè î騬áï ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬, ¯®â®¬ã çâ® ¥ ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¥¯®¤¢¨ë. à áâ ¥â
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2) à 饨î
áâ®ï饣® ॡà àãã ¨§ 㣫 V ¬®¥â ¥ ®â¢¥ç âì ¯à®â¨¢®¯®«®®¥ ¢à 饨¥ ¢ãâàì: â ª¨¬ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â ¢à 饨¥ ¢ «î¡®© ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ॡà®. Ǒ®í⮬㠯ਠà áᬮâ२¨ áâ®ïé¨å ॡ¥à ¥«ì§ï « £ âì ãá«®¢¨¥ ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï àãã.
. IX:
§ 1.
387
®¢¥à襮 «®£¨ç®, ¢ëç¨â ï ¨§ ¢á¥å ®â®á¨â¥«ìëå ᪮à®á⥩ ¨¬¥ìèãî ¨§ ¨å, ¤®ª ¥¬, çâ® ¥áâì ¢¥àè¨ á 㢥«¨ç¨¢ î騬áï ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬, ¨ ⥮६ ¤®ª § . § ⥮६ë 5 ¬®® ¢ë¢¥á⨠⥮६㠮 ¥á⪮áâ¨, «®£¨çãî ⥮६¥ 3 ® ¯®¤®¡¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢. ¯®¬¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨ x, § ¢¨áïé ï ®â t, §ë¢ ¥âáï áâ 樮 ன, ¥á«¨ dx = 0. ®£®£à ¨ª §ë¢ ¥âáï dt ¥á⪨¬ ¯à¨ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå, ¥á«¨ ¢t íâ¨å ãá«®¢¨ïå ® ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¤¥ä®à¬ 権 ¯®¬¨¬® âਢ¨ «ìëå, ¯à¨ç¥¬ ¨¬¥îâáï ¢ ¢¨¤ã ⮫쪮 ç «ìë¥ áª®à®á⨠¤¥ä®à¬ 樨. ¤ ®¬ á«ãç ¥ âਢ¨ «ì®© ¤¥ä®à¬ 樥© ¡ã¤¥â ¯®¤®¡¨¥, â.¥. ¤¥ä®à¬ æ¨ï, ¯à¨ ª®â®à®© ç «ìë¥ áª®à®á⨠¢¥àè¨ ¯à®¯®à樮 «ìë ¨å à ááâ®ï¨ï¬ ®â â®çª¨ O. ¢¥¤¥¬ ¥é¥ ¯®ï⨥ áãé¥á⢥® ¬®®â®®© (¢®§à áâ î饩) äãªæ¨¨ ¬®£®£à ®£® 㣫 , ¯®¨¬ ï ¯®¤ í⨬ ¢¥«¨ç¨ã f , § ¢¨áïéãî ®â ¬®£®£à ®£® 㣫 , â ª çâ® ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ 㣫 ® à áâ¥â á ¯®«®¨â¥«ì®© ᪮à®áâìî, â. ¥. df /dt > 0. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯®ïâ¨ï¬¨, ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ á¢ï§¨ á ⥮६®© 7, ¥¬¥¤«¥® ¨§¢«¥ª ¥¬ á«¥¤ãîéãî ⥮६㠮 ¥á⪮áâ¨: =0
¥®à¥¬ 8.
¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨© ¢ ®¯à¥¤¥-
«¥®¬ ¢ëè¥ á¬ëá«¥, ¥á«¨ ¥£® ¢¥àè¨ë ®áâ îâáï ¤ ëå «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ¥£® ¢ãâ॥© â®çª¨, ¨ ¤«ï ª ¤®£® ¥£® ¬®£®£à ®£® 㣫 ª ª ï-¨¡ã¤ì áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï áâ 樮 à .
Ǒ®«ì§ãïáì ¢§ ¨¬®áâìî ¬¥¤ã ¬®£®£à ë¬ ã£«®¬ ¨ ¥£® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬, ⥮६ë 5 ¨ 6 ¬®® ¯¥à¥áª § âì ¢ â¥à¬¨ å áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. áᬮâਬ ¤«ï í⮣® ¤¥ä®à¬ æ¨î áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï «î¡®© ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª , ¢ë§¢ ãî ¤¥ä®à¬ 樥© á ¬®£® ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ ¥£® ¢¥àè¨ ¯® ¤ ë¬ «ãç ¬ Li , ¨á室ï騬 ¨§ â®çª¨ O.
᫨ ¢¥àè¨ë ¤¢¨ãâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ, â® ¨ à¥¡à ¢à é îâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. â ª ª ª áâ®à®ë áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª SA , ïî饣®áï áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¢¥àè¨ë Ai , «¥ â ¢ ¯«®áª®áâïå, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ª á室ï騬áï ¢ Ai à¥¡à ¬, â® ¨ ®¨ ¤¢¨ãâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. âண® £®¢®àï, à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ® ¢à 饨¨ ¡®«ìè¨å ªà㣮¢, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¬®£®ã£®«ì¨ª SA ; ª ¤ë© â ª®© ªà㣠¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ॡàã, ¯®¤å®¤ï饬㠪 ¢¥à訥 Ai , ¨ ¢à é ¥âáï ¢¬¥áâ¥ á ¢à 饨¥¬ í⮣® ॡà .
᫨ ॡ஠¤¢¨¥âáï ¢ãâàì ¬®£®£à ®£® 㣫 V ¯à¨ ¢¥à訥 A, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¢ë¤¢¨£ ¥âáï ®â í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª . Ǒ®í⮬ã 㬥ì襨î 㣫 V ¢ á¬ëá«¥, ¯à¨ï⮬ ¢ ⥮६¥ 5, ®â¢¥ç ¥â 㢥«¨ç¥¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª S ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¥£® áâ®à®ë ¢ë¤¢¨£ îâáï àãã á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ ¢á«¥¤á⢨¥ ¢à é¥¨ï ¥áãé¨å ¨å ¡®«ìè¨å ªà㣮¢. i
i
388
. .
¯à¥¤¥«¨¢ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ¯®ïâ¨ï ý㬥ì襨ïþ ¨ ý㢥«¨ç¥¨ïþ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª , â ª¥ ¯®ï⨥ ¥£® áãé¥á⢥® ¬®®â®®© äãªæ¨¨, ¬®® ¯¥à¥áª § âì ⥮६ë 5 ¨ 6 ¢ â¥à¬¨ å áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. ãé¥á⢥® ¬®®â® ï ¢®§à áâ îé ï äãªæ¨ï ¬®£®£à ®£® 㣫 ¡ã¤¥â áãé¥á⢥® ¬®®â®®© ã¡ë¢ î饩 ¤«ï ¥£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï, ¨ ®¡à â®. 8. ¯ 6 § 5 £« ¢ë II ¡ë« ¢ëïᥠ¢®§¬®®áâì ¯®«ïண® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ⥮६ ® ¬®£®£à ¨ª å á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¢ â¥®à¥¬ë ® ¬®£®£à ¨ª å á £à ﬨ, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª ¤ ë¬ «ãç ¬. ¬ ¡ë«¨ áä®à¬ã«¨à®¢ ë ⥮६ë, ¯®«ïàë¥ â¥®à¥¬ ¬ 2 ¨ 4. ¥®à¥¬ë 5 ¨ 6 ¤®¯ã᪠îâ â ª®¥ ¥ ¯®«ï஥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥. ᥠ¢ë¢®¤ë í⮣® ¯ à £à ä ᮢ¥à襮 ¤®á«®¢® ¯¥à¥®áïâáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© n > 2 á ⥬ «¨èì ®â«¨ç¨¥¬, çâ® ¢ ⥮६¥ 1 ã® à áᬠâਢ âì à §«®¥¨ï ¢¥ªâ®à ek ¯® n ¤à㣨¬, ¢ ⥮६¥ 4 ¢¬¥áâ® 4π ã® ¢§ïâì ¯«®é ¤ì ¥¤¨¨ç®© áä¥àë ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ஬¥ ⮣®, à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ® ªà¨¢¨§¥, ª ª ® (n − 1)-¬¥à®© ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. o
§ 2. ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨
1. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, à ᯮ«®¥ë¥ ¤ ¥ª®â®à®© ¤ ®© ¯«®áª®áâìî T â ª, çâ® 1) ª ¤ ï ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª ¯«®áª®á⨠T , «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª, «¨¡® ᮤ¥à¨â ¢ ¥¬ 楫ãî ¯®«ã¯àï¬ãî; 2) ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª ¯à®¥ªâ¨àãîâáï ¢ ¤ ë¥ â®çª¨ A , A , . . . , An ¯«®áª®á⨠T . ⨠ãá«®¢¨ï ¯à¥¤¯®« £ îâáï, ¤ «¥¥, ¢ë¯®«¥ë¬¨ ¡¥§ ®á®¡ëå ®£®¢®à®ª. ª ª ª ¯à¨ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥, «®¥®¥ ¥£® à ᯮ«®¥¨¥, ¥ àãè ¥âáï, ⮠⥬ ¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â ¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«. ë £®¢®à¨¬, çâ® ® ý®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï ¯«®áª®áâì T þ. ë ¥ ¨áª«îç ¥¬ ¨§ à áᬮâà¥¨ï ¬®£®£à ¨ª¨, ã ª®â®àëå ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᢮¤¨âáï ª ¯®«ã¯àאַ©; íâ ¯®«ã¯àï¬ ï ⮣¤ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª ¯«®áª®á⨠T . á¢ï§¨ á í⨬, £®¢®àï ® ¬®£®£à ®¬ 㣫¥ V , á«ã 饬 ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¬®£®£à ¨ª , ¬ë ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì, çâ® V ¬®¥â ¡ëâì ¯«®áª¨¬ 㣫®¬ ¨«¨ ¯®«ã¯àאַ©. «¥¥, ª ¡¥áª®¥çë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ ¬ë ¯à¨ç¨á«ï¥¬ â ª¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ᢮¤¨âáï ª ¯«®áª®¬ã 㣫ã, â®çª¨ A , . . . , An «¥ â 0
1
3)
0
3) ¥à¬¨ íâ®â | ¢ ¨§¢¥á⮩ ¬¥à¥ ãá«®¢ë©, â ª ª ª 㣮« ¬®¥â ¨¬¥âì £à ¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ª ¯«®áª®á⨠T .
. IX:
§ 2.
389
®¤®© ¯àאַ©, â® ¬®£®£à ¨ª P ¥¨§¡¥® ᢮¤¨âáï ª ¬®£®ã£®«ì¨ªã. â ¢®§¬®®áâì ¥¨§¬¥® ¡ã¤¥â ¨¬¥âìáï ¢ ¢¨¤ã ¡¥§ ®á®¡ëå ¯®¬¨ ¨©. Ǒãáâì â®çª¨ A , . . . , An ¯«®áª®á⨠T § ¤ ë ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ ¨ ¯ãáâì ¤ ¬®£®£à ë© ã£®« V , ®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãî騩áï ¯«®áª®áâì T . ®ª ¥¬, çâ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© 0
¬®£®£à ¨ª á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¤ ë¥ â®çª¨
V
¨ ¢¥àè¨ ¬¨, ¯à®¥ªâ¨àãî騬¨áï ¢
Ai .
®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã â®ç¥ª Ai . «ï ®¤®© â®çª¨ A ã⢥थ¨¥ ®ç¥¢¨¤®, â ª ª ª á ¬ ¤ ë© ã£®« V á ¢¥à訮© ¢ â®çª¥ A ¨ ¡ã¤¥â ¨áª®¬ë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ã⢥थ¨¥ ¢¥à® ¤«ï n â®ç¥ª, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï n + 1 â®çª¨ A , A , . . . , An . ®¯ãá⨬ á ç « , çâ® ¨ ®¤ ¨§ â®ç¥ª A , . . . , An ¥ «¥¨â ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ®áâ «ìëå â®ç¥ª. ®£¤ , ¯®¬¥á⨢ ¢¥àè¨ã 㣫 V ¢ â®çªã A , ¯®áâந¬ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã 㣫 V ¨ â®A0 祪 A , . . . , An . Ǒ® ⥮६¥ 5 § 4 £« ¢ë I íâ® A An An-1 1 ¡ã¤¥â ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¯à¥¤¥«ìë¬ T 㣫®¬ V ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å A , . . . , An , â. ¥. ª ª à § ¨áª®¬ë© ¬®£®£à ¨ª. B′ áâ ¥âáï ¯®í⮬㠤®¯ãáâ¨âì, çâ® á।¨ B â®ç¥ª A , . . . , An å®âï ¡ë ®¤ , ᪠¥¬ An , ᮤ¥à¨âáï ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ®áâ «ìëå n â®ç¥ª A , . . . , An− . ®£« á® ¯à¥¤¯®«®P L ¥¨î, çâ® ã⢥थ¨¥ ¢¥à® ¤«ï n â®ç¥ª, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£®£à ¨ª P á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨, ¯à®¥ªâ¨àãî騬¨áï ¢ â®çª¨ A , . . . , An− . ª ª ª â®çª An ¨á. 146 «¥¨â ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ íâ¨å â®ç¥ª, â® ¯àï¬ ï L, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã An ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ¯«®áª®á⨠T , ¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥á¥ª ¥â ¬®£®£à ¨ª P , ¢å®¤ï ¢ ¥£® ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ B (à¨á. 146).
᫨ ®â१ª¥ An B ¢§ïâì â®çªã B ′, ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ªãî ª B, ¨ ¯®áâநâì ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ¬®£®£à ¨ª P ¨ â®çª¨ B ′ , â® ¯®«ã稬 ®¢ë© ¬®£®£à ¨ª P ′. ¨¬¥¥â ¢¥àè¨ã B ′ , ¯à®¥ªâ¨àãîéãîáï ¢ â®çªã An . ¬¥á⥠á ⥬, ¥á«¨ ᬥ饨¥ ®â B ª B ′ ¤®áâ â®ç® ¬ «®, â® ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P ®áâ ãâáï â ª¥ ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P ′. १ã«ìâ ⥠¬®£®£à ¨ª P ′ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¨ ¢¥àè¨ë, ¯à®¥ªâ¨àãî騥áï ¢ â®çª¨ A , . . . , An . ª¨¬ ®¡à §®¬, è¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª § ®. ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì £à ¨æ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᢮¨å ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , â. ¥. ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨å § ¤ ¨¥¬, ¯à¨ç¥¬ § à ¥¥ ¯à¥¤¯¨á ë© ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ¬®® à ᯮ«®¨âì ¢¥à訮© ¢ «î¡®© ¯à¥¤¯¨á ®© ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª . 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
390
. .
᫨ § ¤ ë ¯à®¥ªæ¨¨ A , . . . , An ¢¥àè¨ ¯«®áª®áâì T , â® á ¬¨ ¢¥àè¨ë ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨å à ááâ®ï¨ï¬¨ h , . . . , hn ®â ¯«®áª®á⨠T , áç¨â ï í⨠à ááâ®ï¨ï ¯®«®¨â¥«ì묨 ¢ âã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠T , ªã¤ ®¡à é¥ ¡¥áª®¥ç ï ç áâì ¬®£®£à ¨ª , ¨ ®âà¨æ ⥫ì묨 | ¢ ¤àã£ãî áâ®à®ã. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ § ¤ ëå ¯à®¥ªæ¨ïå ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥ V ¬®£®£à ¨ª ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ n + 1 ç¨á¥« h , . . . , hn. ¨á« í⨠¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì묨, ¯®â®¬ã çâ® ¤ ï â®çª Bk ¬®¥â ¡ëâì ¢¥à訮© ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ 㣫 V ¨ ¢á¥å â®ç¥ª Bi á ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ Ai ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ®áâ «ìëå â®ç¥ª Bi ¨ 㣫 V á ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¥£® ¢¥àè¨ «¥¨â ¢ «î¡®© ¨§ íâ¨å â®ç¥ª. â®, ®ç¥¢¨¤®, ª« ¤ë¢ ¥â ¢ëá®âë hi â®ç¥ª Bi ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ãá«®¢¨ï ¢ ¢¨¤¥ ¥ª®â®àëå ¥à ¢¥áâ¢. 뢮¤ íâ¨å ¥à ¢¥á⢠¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᮢ¥à襮 í«¥¬¥â àãî § ¤ çã.
¥ à¥è¥¨¥ ¥ ¡ã¤¥â ã® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, ¨ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¥£® ç¨â ⥫î. 2. «®£¨ç® ⥮६¥ 2 § 1 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® 0
0
0
¥®à¥¬ 1.
᫨ ¤¢ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥îâ ®¤¨
¨ ⥠¥ ¯à¥¤¥«ìë¥ ã£«ë
V
¨ ¯à®¥ªæ¨¨
A0 , . . . , An
¢¥àè¨ ¯«®áª®áâì
T,
â® «¨¡® í⨠¬®£®£à ¨ª¨ ᮢ¬¥é îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª
T,
«¨¡® «î¡®¬ ¨§ ¨å ¥áâì ¢¥àè¨ ,
¬®£®£à ë© ã£®« ¯à¨ ª®â®à®© ¬®® ¯ã⥬ â ª®£® ¯¥à¥®á ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¬®£®£à ®£® 㣫 ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥®© ¢¥à訥 ¤à㣮£® ¬®£®£à ¨ª .
묨 á«®¢ ¬¨, ¤¢ ¬®£®£à ¨ª á ®¡é¨¬¨ ¤ 묨 V ¨ A , . . . , An à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë, ¥á«¨ ⮫쪮 ¨§¢¥áâ®, çâ® ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å ¥¯®¬¥é ¥¬ë ®¤¨ ¢ãâਠ¤à㣮£®. ¤¥áì, ª ª ¨ ¢ § 1, ¬ë áç¨â ¥¬ 㣮« W 室ï騬áï ¢ãâਠW ′, ¥á«¨ W ᮤ¥à¨âáï ¢ (⥫¥á®¬) 㣫¥ W ′ , ® ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨¬. ®ª § ⥫ìá⢮ áâ®«ì ¥ ¯à®áâ®, ª ª ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2 § 1. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¤ ë¥ V ¨ A , . . . , An . ¥àè¨ë ¨å ¯à¥¤¥«ìëå 㣫®¢ ¬®® áç¨â âì à ᯮ«®¥ë¬¨ ¢ ª ª¨å-«¨¡® ¨å ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å. ®£¤ ¯à¨ ¯¥à¥®á¥ ¬®£®′ £à ¨ª P ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®á⨠T , ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â â ª®© ¥ ¯¥à¥®á,′ ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥àè¨ ¥ ¬¥ïîâáï, ¨ ¬ë ¬®¥¬ ¯®¤¢¥à£ âì ¬®£®£à ¨ª P «î¡®¬ã â ª®¬ã ¯¥à¥®áã. ¬¥á⨬ ¬®£®£à ¨ª P ′ â ª, çâ®¡ë ¢á¥ ¥£® ¢¥àè¨ë ®ª § «¨áì ¤ ᮮ⢥âá⢥묨 ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P (â.¥. ¢á¥ h′i > hi).
£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ®ª ¥âáï ⮣¤ ᮤ¥à 騬áï ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ 㣫¥ ¬®£®′ £à ¨ª P ¨ á ¬ P ®ª ¥âáï ᮤ¥à 騬áï ¢ P , ª ª íâ® ïá® ¨§ ⮣®, çâ® ¡¥áª®¥çë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠᢮¨å ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . 0
0
. IX:
§ 2.
391
᫨ ⥯¥àì ¤¢¨£ âì ¬®£®£à ¨ª P ′ ª ¯«®áª®á⨠T , â® ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥â ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨, ᪠¥¬ B ′ , ¢¯¥à¢ë¥ ᮢ¯ ¤¥â á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訮© B ¬®£®£à ¨ª P . Ǒਠí⮬ ¬®£®£à ¨ª P ′ ¥é¥ ¥ ¢ë©¤¥â ¨§ P , â ª ª ª ¢á¥ ¥£® ¢¥àè¨ë ¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ®áâ îâáï ¢ P (¢¥à¥¥, ¢ ⥫¥, ®£à ¨ç¥®¬ P ). â® ïá® ¨§ ⮣®, ç⮠⥫¥áë© ¬®£®£à ¨ª ¥áâì ¢ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ᮢ®ªã¯®á⨠¥£® ¢¥àè¨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . Ǒ®í⮬㠬®£®£à ë© ã£®« W ′ ¯à¨ ¢¥à訥 B ′ ¬®£®£à ¨ª P ′ ®ª ¥âáï § ª«îç¥ë¬ ¢ 㣫¥ W ¯à¨ ¢¥à訥 B ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ í⨠㣫ë W ′ ¨ W ¥ ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¬ë ª ª à § ¯®«ãç ¥¬, ç⮠㣮« W ′ ¯ã⥬ ¯¥à¥®á ¯®¬¥é¥ ¢ãâਠ㣫 W , â. ¥. ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢â®à ï ¢®§¬®®áâì, 㪠§ ï ¢ ⥮६¥.
᫨ ¥ 㣫ë W ¨ W ′ ᮢ¯ ¤ îâ, ⮠ᮢ¯ ¤ îâ ¨å à¥¡à ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮢ¯ ¤ îâ â ª¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′, á«ã 騥 ª®æ ¬¨ íâ¨å ॡ¥à, ¯®â®¬ã çâ® ¯® ãá«®¢¨î í⨠¢¥àè¨ë «¥ â ®¡é¨å ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà å ª ¯«®áª®á⨠T . «ï ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ íâ¨å ¢¥àè¨ å ¬ë ¬®¥¬ ¯®¢â®à¨âì â® ¥ à áá㤥¨¥ ¨ â. ¤., ¯®ª ¥ ¤®©¤¥¬ ¤® ¯ àë ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨, ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª®â®àëå ¥ ᮢ¯ ¤ îâ. ®£¤ 㣮« U ′ ¯à¨ â ª®© ¢¥à訥 ¬®£®£à ¨ª¥ P ′ ¡ã¤¥â ᮤ¥à âìáï ¢ãâਠᮮ⢥âá⢥®£® 㣫 U .
᫨ ¥ ¬ë ¥ ©¤¥¬ ¯ àë ¥á®¢¯ ¤ îé¨å 㣫®¢, â®, § ç¨â, ¢á¥ ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ, â. ¥. ¬®£®£à ¨ª P ′ ᮢ¯ ¤ ¥â á P . «¥¤®¢ ⥫ì®, ® ᮢ¬¥á⨫áï á P ¯ã⥬ ¯¥à¥®á , ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯¥à¢ ï ¢®§¬®®áâì, ¯à¥¤ãᬮâà¥ ï ¢ ⥮६¥. § ⥮६ë 1 «®£¨ç® ⥮६¥ 3 § 1 ®ç¥¢¨¤® ¢ë⥪ ¥â ¥®à¥¬ 2.
᫨ ã ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ®¡-
騬¨ ¯à¥¤¥«ì묨 㣫 ¬¨ ¨ ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¢¥àè¨ ¯«®áª®áâì
T
¤«ï ª -
¤®© ¯ àë ¬®£®£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ᮮ⢥âá⢥ëå ¢¥àè¨ å à ¢ë § ç¥¨ï ª ª®©-«¨¡® ¬®®â®®© äãªæ¨¨, â® ¬®£®£à ¨ª¨ ᮢ¬¥é îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬.
ç áâ®áâ¨, íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ¨¬¥îâ à ¢ë¥ ªà¨¢¨§ë. 3. ¥®à¥¬¥ 4 § 1 ¢ á«ãç ¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥®à¥¬ 3.
Ǒãáâì ¯«®áª®áâ¨
£®£à ë© ã£®«
V,
T
§ ¤ ë â®çª¨
A0 , . . . , An
¨ § ¤ ¬®-
®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãî騩áï ¯«®áª®áâì
T.
«ï â®-
£® ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨, ¯à®¥ªâ¨àãî騬¨áï ¢ â®çª¨ ¬¨ ¢¥àè¨
ω 0 , . . . , ωn ,
A0 , . . . , An ,
á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬
V ¨ ªà¨¢¨§ ωi 㤮¢«¥â¢®-
¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ç¨á«
à﫨 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
1) 0 < ωi < 2π (i = 0, 1, . . . , n); 2) á㬬 ¢á¥å ωi à ¢ ªà¨¢¨§¥ 㣫 V . ®£« ᮠ⥮६¥ 2, â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥¤¨áâ¢¥ë© á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®á ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®á⨠T .
392
. .
¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤ . ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢â®à®£® â ª¥ áâ ®¢¨âáï ®ç¥¢¨¤®©, ¥á«¨ ¢á¯®¬¨âì, çâ®, ª ª 㪠§ ® ¥é¥ ¢ ¯ 3 § 5 £« ¢ë I, áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ᮢ¯ ¤ ¥â á® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . Ǒ®í⮬㠢 ⥮६¥ ¢¬¥áâ® § ¤ ¨ï 㣫 V ¬®® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã § ¤ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ª®â®àë© ¤®«¥ á«ã¨âì áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ¨áª®¬®£® ¬®£®£à ¨ª . ¥¯¥àì ®áâ ¥âáï ¤®ª § âì ¤®áâ â®ç®áâì ãá«®¢¨© ⥮६ë, â.¥. ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨. «ï í⮣® ¬ë ®¯ïâì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï «¥¬¬®© ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. Ǒãáâì â®çª¨ A , . . . , An ¨ 㣮« V § ¤ ë. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ P , ã ª®â®àëå ®¤ ¢¥àè¨ § ªà¥¯«¥ ¢ â®çª¥ A , ¯à®ç¨¥ ¢¥àè¨ë ¯à®¥ªâ¨àãîâáï ¢ ®áâ «ìë¥ â®çª¨ Ai , ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¥áâì V . Ǒ® ¤®ª § ®¬ã ¢ ¯ 1 â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¯®â®¬ã ¨å ¬®£®®¡à §¨¥ P ¥ ¯ãáâ®. ¤ë© â ª®© ¬®£®£à ¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ n ¢ëá®â h , . . . , hn ¥£® ¢¥àè¨, ¯à®¥ªâ¨àãîé¨åáï ¢ â®çª¨ A , . . . , An .
᫨ ¤ ë¥ ç¨á« h , . . . , hn á«ã â ¢ëá®â ¬¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P , â® ¨ «î¡ë¥ ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨¥ ª ¨¬ ç¨á« h , . . . , hn á«ã â ¢ëá®â ¬¨ ¢¥àè¨ ¥ª®â®à®£® ¬®£®£à ¨ª P . ¥©á⢨⥫ì®, ãá«®¢¨¥, « £ ¥¬®¥ ¢ëá®âë ¢¥àè¨, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¨ª ª ï ¢¥àè¨ ¥ ¤®« ¯®¯ ¤ âì ¢ ¢ë¯ãª«ãî ®¡®«®çªã ᮢ®ªã¯®á⨠¤àã£¨å ¢¥àè¨ ¨ 㣫 V ; ¥á«¨ íâ® ¢¥à® ¯à¨ ª ª¨å-«¨¡® ¢ëá®â å h , . . . , hn, â® â® ¥ ¢¥à® ¨ ¯à¨ «î¡ëå ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨å ª ¨¬ § 票ïå ¢ëá®â. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¤ ï â®çª P ¢ ¬®¥á⢥ P ¨¬¥¥â ªã¡¨ç¥áªãî n-¬¥àãî ®ªà¥áâ®áâì, â ª çâ® P ¥áâì ®âªàë⮥ ¬®¥á⢮ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ á ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ ¥¬ ª®®à¤¨ â ¬¨ h , . . . , hn . áᬮâਬ ⥯¥àì (n+1)-¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ á ª®®à¤¨ â ¬¨ ω , . . . , ωn . Ǒãáâì | ªà¨¢¨§ ¤ ®£® 㣫 V . ®£¤ ãá«®¢¨¥ 2 â¥®à¥¬ë ¤ ¥â o
0
0
o
1
0 1
1
0
0
1
0 1
0
0
1
0
+ ω + . . . + ω n = , (1) â. ¥. ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢ 襬 ¯à®áâà á⢥ ¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì. á«®¢¨¥ 1 â¥®à¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ ¢ãâ८áâì ªã¡ ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥¥ á ¯«®áª®áâìî (1) ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡« áâì § 票© ωi, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ®¡®¨¬ ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë. â® ¡ã¤¥â ¬®£®®¡à §¨¥ K ¤®¯ãá⨬ëå ᮢ®ªã¯®á⥩ ç¨á¥« ωi. ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© n-¬¥à®¥ á¢ï§®¥ ¬®£®®¡à §¨¥. ª ª ª ª ¤®¬ã ¬®£®£à ¨ªã P ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï P ®â¢¥ç ¥â ᮢ®ªã¯®áâì § 票© ªà¨¢¨§ ¥£® ¢¥àè¨, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨ï¬ ⥮६ë, â® ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¥áâ¥á⢥®¥ ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¬®£®®¡à §¨ï P ¢ ¬®£®®¡à §¨¥ K . â® ®â®¡à ¥¨¥, ®ç¥¢¨¤®, ¥¯à¥à뢮. ª ª ª ã ¬®£®£à ¨ª®¢ P ®¤ ¢¥àè¨ § ªà¥¯«¥ , â® ¯® ⥮६¥ 3 ¬®£®£à ¨ª¨ á à ¢ë¬¨ ω0
1
. IX:
§ 2.
393
ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ îâ. â® ®§ ç ¥â, çâ® ®â®¡à ¥¨¥ ϕ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®. ª®¥æ, ¬®£®®¡à §¨¥ K á¢ï§® ¨ ¨¬¥¥â âã ¥ à §¬¥à®áâì, çâ® ¨ P . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¯¥à¢ë¥ âਠãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ¢ë¯®«¥ë, ¨ ®áâ ¥âáï «¨èì ¯®ª § âì, çâ® ç¥â¢¥à⮥ ãá«®¢¨¥ í⮩ «¥¬¬ë â ª¥ ¢ë¯®«¥®. Ǒãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª Kj ¨§ ¬®£®®¡à §¨ï K , ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ᮢ®ªã¯®á⨠ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pj , á室¨âáï ª â®çª¥ K ¨§ K : Kj = ϕ(Pj ) → K = (ω , ω , . . . , ωn ) ∈ K. (2) ª ª ª â®çª K = (ω , . . . , ωn ) ¯à¨ ¤«¥¨â K , â®, ᮣ« á® ¯¥à¢®¬ã ãá«®¢¨î ⥮६ë, ¢á¥ ¥¥ ª®®à¤¨ âë ωi > 0, â. ¥. ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pj á室ïâáï ª ¯®«®¨â¥«ìë¬ § 票ï¬. Ǒ®í⮬㠩¤¥âáï â ª®¥ ε > 0, çâ® ¤«ï ¢á¥å ªà¨¢¨§ ¨å ¢¥àè¨ ¡ã¤¥â ωij > ε (i = 0, . . . , n; j = 1, 2, . . . ). (3) Ǒ¥à¥¥á¥¬ ª ¤ë© ¬®£®£à ¨ª Pj ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®á⨠T â ª, ç⮡ë T áâ « ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®áâìî. ª ª ª ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª®¢ Pj ¯à®¥ªâ¨àãîâáï ¢ ¤ ë¥ â®çª¨ Ai , â® ¨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pj ¬®® ¢ë¡à âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¢á¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ª®â®à®© 㯨à îâáï ¢ ¯«®áª®áâì T ¢ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¨§ â®ç¥ª Ai , ᪠¥¬ ¢ â®çª¥ An . â®¡ë ¥ ãá«®ïâì ®¡®§ 票©, ¬®£®£à ¨ª¨ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì â ª¥ Pj . Ǒãáâì ¢¥àè¨ Bik ¬®£®£à ¨ª Pm «¥¨â ¢ëá®â¥ hki ¤ ¯«®áª®áâìî T ¨ ¯ãáâì à ááâ®ï¨¥ ¥¥ ¯à®¥ªæ¨¨ Ai ¯«®áª®áâì T ®â â®çª¨ An à ¢® ri . ®çª An ï¥âáï ¢¥à訮© ¬®£®£à ¨ª Pm , ¨ ¯®â®¬ã ¨ª ª ï ®¯®à ï ¯«®áª®áâì ª Pm ¢ ¢¥à訥 Bik ¥ ¬®¥â ¯¥à¥á¥ª âì «ãç, ¨¤ã騩 ¨§ An ¢ ¬®£®£à ¨ª Pm ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ¯«®áª®á⨠T . âáî¤ ®á®¢ ¨¨ ®ç¥¢¨¤ëå í«¥¬¥â àëå á®®¡à ¥¨© ¬ë § ª«îç ¥¬, çâ® θ | 㣮«, ®¡à §ã¥¬ë© í⨬ «ã箬 á ®¯®à®© ¯«®áª®áâìî ¢ ¢¥à訥 ¥á«¨ k Bi , â® tg θ 6 hrki . (4) 0
1
0
k
k
k
k
Ǒãáâì θ â ª®¢®, çâ® 0
i
tg θ = hrki . 0
i
(5)
®£¤ ¨§ ¥à ¢¥á⢠(4) ¢ë⥪ ¥â, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¢¥àè¨ë Bik «¥¨â ¢ ¯®«®á¥ è¨à¨®© θ ®ª®«® íª¢ â®à ¥¤¨¨ç®© áä¥àë, ¥á«¨ § ¯®«îá ¯à¨ïâì áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¯«®áª®á⨠T . Ǒ«®é ¤ì â ª®© 0
394
. .
¯®«®áë à ¢ 2π sin θ . ¬¥á⥠á ⥬ ¢á«¥¤á⢨¥ ¥à ¢¥á⢠(3) íâ ¯«®é ¤ì ¡®«ìè¥ ε. «¥¤®¢ ⥫ì®, 0
2π sin θ
0
>ε
¨ tg θ
0
>
(6)
ε
2π .
®á®¢ ¨¨ à ¢¥á⢠(5) ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 2πri . hk < i
ε
â® ®§ ç ¥â, çâ® à ááâ®ï¨ï ¢á¥å ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pm ®â ¯«®áª®á⨠T ®£à ¨ç¥ë. Ǒ®í⮬㠨§ ¬®£®£à ¨ª®¢ Pm ¬®® ¢ë¡à âì á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì . Ǒ।¥«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥âì ¯à¥¤¥«ìë¥ ¯«®é ¤¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¨§®¡à ¥¨© ¢¥àè¨ ω , . . . , ωn . ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¥á«¨ Km = ϕ(Pm) → K , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pm â ª ï, çâ® Pm → P ¨ K = ϕ(P ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ë¯®«¥ë¬¨, ¨, ¯à¨¬¥ïï ¥¥, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨. 4. Ǒ®«ãç¥ë© १ã«ìâ â ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¥é¥ â ª: k
k
4)
0
j
j
Ǒãáâì ¯«®áª®áâ¨
¯® ç¨á«ã
ωi
T
A0 , . . . , An ¨ ª ¤®© ¨§ ¨å ®â¥á¥® n P < ωi < π , ωi 6 π . ®£¤ áãé¥áâ¢ã-
§ ¤ ë â®çª¨
á ãá«®¢¨ï¬¨
1) 0
2 2)
i=0
2
¥â ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãî騩áï ¯«®áª®áâì
T,
á ¢¥àè¨ ¬¨, «¥ 騬¨ ¤ â®çª ¬¨
Ai
¨ ¨¬¥î騬¨ á®®â-
Ǒਠí⮬ ¥é¥ ¬®® ¯à®¨§¢®«ì® § ¤ âì ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« â ª®£® ¬®£®£à ¨ª , «¨èì ¡ë ¥£® ªà¨¢¨§ à ¢ï« áì á㬬¥ ç¨á¥« ωi. ª ª ª P ωi 6 2π, â® â ª®© 㣮« § ¢¥¤®¬® ©¤¥âáï. í⮩ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ®á®¡¥® ïá®, çâ® ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¥ ¯®¤ç¨ïîâáï ¨ª ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, ªà®¬¥ âਢ¨ «ìëå. (á«®¢¨¥ ωi < 2πP®ç¥¢¨¤®, ® ¯à¨ n > 1 ®® «¨è¥¥, â ª ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ ãá«®¢¨© ωi > 0 ¨ ωi 6 2π.) í⮬ ¤ ï ⥮६ ®â«¨ç ¥âáï ®â ⥮६ë 4 § 1 ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢: â ¬ ¨¬¥¥âáï ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ (8), ª®â®à®¥ ¥«ì§ï áç¨â âì áâ®«ì ¥ âਢ¨ «ìë¬. ® á¢ï§ ®, ®¤ ª®, á à ᯮ«®¥¨¥¬ «ã祩 ei. í⮩ á¢ï§¨ ¥áâ¥á⢥® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á: ª ª®¢ë ãá«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë¥ ç¨á« ω , . . . , ωn ¬®£«¨ ¡ëâì ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢á¥å ¢¥àè¨ å®âì ª ª®£®-¨¡ã¤ì § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ? ¢¥âá⢥® ªà¨¢¨§ë
ωi .
1
4) ®£®£à ¨ª¨ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬ë, ª®¥ç®, ¯¥à¥®á¨¬ ®¡à â® â ª, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨§ ¢¥àè¨ ¢ â®çª¥ A0 . Ǒਠí⮬ á室¨¬®áâì, ®ç¥¢¨¤®, ¥ àãè ¥âáï.
. IX:
§ 2.
395
¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ïîâáï ãá«®¢¨ï: 1) 0 < ωi < 2π ¨ 2) P ωi = 4π. ®áâ i â®çë «¨ í⨠ãá«®¢¨ï ? (§ ãá«®¢¨© 1 ¨ 2 á«¥¤ã¥â, çâ® ¤®«® ¡ëâì n > 3.
᫨ n = 3, â® ¯®«®¨â¥«ìë© ®â¢¥â ¤ ¥âáï ¯®áâ஥¨¥¬ âà¥ã£®«ì¨ª á 㣫 ¬¨, à ¢ë¬¨ π −ωi/2; íâ® ¨ ¡ã¤¥â ¬®£®£à ¨ª, å®âï ¨ ¢ëத î騩áï, á ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨, à ¢ë¬¨ ωi.) 5. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯®ïâ¨ï¬¨, ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ ¯ 6 § 1, ¢ ç áâ®á⨠¯®ï⨥¬ ®¡ 㬥ì襨¨ ¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ¬®£®£à ®£® 㣫 , ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६ã, ®â®áïéãîáï ª ⥮६¥ 1 â ª ¥, ª ª ⥮६ 5 § 1 ®â®á¨âáï ª ⥮६¥ 2 § 1. n
=1
5)
o
¥®à¥¬ 4.
᫨ ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¥¨§¬¥ë¬
¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬, ®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãî騬áï ¯«®áª®áâì
T , ¤¥ä®à¬¨-
àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¤¢¨¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨ ¢¤®«ì ¯àï¬ëå, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ª í⮩ ¯«®áª®áâ¨, â® å®âï ¡ë ®¤¨ ¥£® ¬®£®£à ë© ã£®« 㬥ìè ¥âáï ¨ å®âï ¡ë ®¤¨ | 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï.
âáî¤ , ¤ «¥¥, ¬®® ¨§¢«¥çì ⥮६㠮 ¥á⪮áâ¨, ᮢ¥à襮 á室ãî á ⥮६®© 6 § 1. ª®¥æ, ⥮६ã 4, â ª ¥ ª ª íâã ⥮६㠮 ¥á⪮áâ¨, ¬®® ¯¥à¥áª § âì ¢ â¥à¬¨ å áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¢¥àè¨. ᥠíâ®, â ª ¥ ª ª ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 4, ¢¯®«¥ «®£¨ç® ⮬ã, çâ® ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥® ¢ ¯ 6 § 1. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¥ áâ ¥¬ í⮬ ®áâ ¢«¨¢ âìáï. 6. ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ãªâ å à¥çì è« ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå ¯ à ««¥«ìëå «ãç å. ⮠ᮮ⢥âá⢮¢ «® ª ª ¡ë ⮬ã, çâ® ®¡é¥¥ ç «® ¢á¥å «ã祩 室¨âáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ®®, ®¤ ª®, à áᬠâਢ âì ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å, ¨á室ïé¨å ¨§ ¤ ®© â®çª¨ O, ª®â®à ï ¤®« 室¨âìáï ¢ãâਠ¬®£®£à ¨ª . í⮬ á«ãç ¥ ¥áâ¥á⢥® à ᯮ« £ âì ¢¥àè¨ã ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¢ â®çª¥ O. ®£¤ ¢áâ îâ ¢®¯à®áë, ᮢ¥à襮 «®£¨çë¥ â¥¬, ª ª¨¥ ¡ë«¨ à¥è¥ë ¢ § 1 ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 1) Ǒਠª ª¨å ãá«®¢¨ïå à ᯮ«®¥¨ï «ã祩 e , . . . , en ¨ 㣫 V áãé¥áâ¢ãîâ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ íâ¨å «ãç å ¨ á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V ? 2) ª®¢ë ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ®¡« á⨠¢®§¬®ëå § 票© à ááâ®ï¨© ri ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ®â ç « O (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® «ãç¨ ei ¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V § ¤ ë)? 3) ª®¢ë ãá«®¢¨ï, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤ ë¥ ç¨á« ω , . . . , ωn ¬®£«¨ á«ã¨âì ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å? o
1
1
5) Ǒ®«®¨â¥«ìë© ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á ¯®«ã稫 ..¨«ì¡¥à¡¥à£ [112, 113℄. ¬. â ª¥ [345℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
396
. .
®, çâ® «ãç¨ ei, ªà¨¢¨§ë ωi ¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®£®£à ¨ª á â®ç®áâìî ¤® ¯®¤®¡®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á æ¥â஬ O, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ì® â ª ¥, ª ª «®£¨çë© à¥§ã«ìâ â ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ®¥ç®, ¨ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ®¡é¨¥ ⥮६ë, ᮢ¥à襮 «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ 2 ¨ 3 § 1. Ǒ®áâ ¢«¥ë¥ ¢®¯à®áë ¤®¯ã᪠îâ ¯®«®¥ à¥è¥¨¥ ⥬¨ ¥ ¬¥â®¤ ¬¨, ª ª¨¥ ¬ë ¯à¨¬¥ï«¨ ¢ § 1. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î á ¬®¬ã áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¤®ª § âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ⥮६ë. 7. ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¥é¥ ¢ § 1 £« ¢ë I, à áᬮâ२¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¯® áãé¥áâ¢ã, à ¢®á¨«ì® à áᬮâà¥¨î ¥®¯à¥¤¥«¥® ¯à®¤®« ¥¬®£® ª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨¥¬ â ª®© ¯à®¤®« ¥¬®á⨠¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¯¥à¥á¥ç¥¨© ªà ©¨å £à ¥© ï¥âáï ¢ë¯ãª«®áâì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï. ¬¥á⥠á ⥬ § ¤ ¨¥ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 íª¢¨¢ «¥â® § ¤ ¨î áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®£®£à ¨ª . á¢ï§¨ á í⨬¨ § ¬¥ç ¨ï¬¨ ¢¨¤®, çâ® è¨ â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å ¬®® ¯¥à¥áª § âì ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© . 8. ¬¥â¨¬ ¢ § ª«î票¥, ç⮠१ã«ìâ âë í⮣® ¯ à £à ä ¢¬¥áâ¥ á ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠¬¨ ¯¥à¥®áïâáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨© n > 2; «¨èì ¢ ⥮६¥ 3 ¢¬¥áâ® 2π ã® ¢§ïâì ¯«®é ¤ì ¯®«ãáä¥àë ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¯à®áâà á⢥. 6)
§ 3. ¡®¡é¥¨ï
1. ª 㥠¡ë«® 㪠§ ®, १ã«ìâ âë § 1 ¨ 2 ®¡®¡é îâáï ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¤®á«®¢®, ¨ í⮬ ¥â ¤®¡®á⨠®áâ ¢«¨¢ âìáï. ¨ ¯¥à¥®áïâáï á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨§¬¥¥¨ï¬¨ ¨ ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£®. ¢¨¤ã ®âáãâáâ¢¨ï ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ ¯®¤®¡¨ï ¨ ¯ à ««¥«ì®£® ¯¥à¥®á â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ãá«®¢¨ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ä®à¬ã«¨àãîâáï â ¬ ¨ ç¥. ਢ¨§ ¢¥àè¨ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª ¥: ® à ¢ 2𠬨ãá á㬬 ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¯à¨ ¢¥à訥, íâ® à ¢®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¢¥«¨ç¨¥ ⥫¥á®£® 㣫 , § ¯®«ï¥¬®£® ®à¬ «ï¬¨ ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬, ¯à®¢¥¤¥ë¬ ¢ ¢¥à訥. Ǒਢ¥¤¥¬ १ã«ìâ â ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢: Ǒãáâì ¨§ â®çª¨ O ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨á室ïâ «ãç¨ l1 , . . . , lm , ¥ ¯à ¢«¥ë¥ ¢ ®¤® ¯®«ã¯à®áâà á⢮. «ï ⮣® ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¨ á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ω1 , . . . , ωm , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ç¨á« ωi 㤮¢«¥â¢®à﫨 ãá«®¢¨ï¬: 1) 0 < ωi < 2π (i = 1, . . . , m); 2) ¯à¨ «î¡®© ᮢ®ªã¯®á⨠«ã祩 li1 , . . . , lik , ¨¤ãé¨å ¢ãâàì ®¤®£® ¯®P «ã¯à®áâà á⢠, ¤®«® ¡ëâì ωi > σi1 ,... ,ik , £¤¥ σi1 ,... ,ik | ªà¨¢¨§ ¢¥àè¨ë P ¬®£®£à ®£® 㣫 , ïî饣®áï ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© «ã祩 li1 , . . . , lik , á㬬 ωi à á¯à®áâà ï¥âáï ¯® ¢á¥¬ ®áâ «ìë¬ «ãç ¬; 3) á㬬 ¢á¥å ωi ¡®«ìè¥ 4π . Ǒਠí⮬ â ª®© ¬®£®£à ¨ª ¥¤¨á⢥ë©.
à ¢¨¢ ï íâã ⥮६ã á ⥮६ ¬¨ 3 ¨ 4 § 1, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå, ¬®£®£à ¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å ¨ á ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ¥¤¨áâ¢¥ë© ã¥ 6) «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© á¬. à ¡®âë [111℄, [167, á. 52℄, [275, 285℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. IX:
§ 3.
397
¡¥§ ¤®¡ ¢«¥¨© ® ¯®¤®¡¨¨. ®-¢â®àëå, ãá«®¢¨ï 1 ¨ 2 áä®à¬ã«¨à®¢ ®© â¥®à¥¬ë ¯®¢â®àïîâ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 4 § 1 (á ⥬ ®â«¨ç¨¥¬, ç⮠⥯¥àì ã® ¤®¡ ¢«ïâì ¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥, çâ® ωi < 2π, ª®â®à®¥ ¢ ⥮६¥ 4 § 1 ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ á«¥¤®¢ «® ¨§ ¤à㣨å), ® ãá«®¢¨¥ 3 ®â«¨ç® ®â ãá«®¢¨ï, çâ® á㬬 ªà¨¢¨§ë ¢¥àè¨ à ¢ 4π, ª ª íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥; ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ® ¬®¥â ¡ëâì «î¡®©, ¡®«ì襩 4π. à㣨¥ ⥮६ë, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ § 1, 2, ¬ë ¥ ä®à¬ã«¨à㥬. å ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯à¨æ¨¯¨ «ìëå âà㤮á⥩; ¢ ç áâ®áâ¨, ¢á¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï «¥£ª® ¯à®¢®¤ïâáï á ¯®¬®éìî «¥¬¬ë ®¡ ®â®¡à ¥¨¨. 2. ¥¯¥àì ®¡à ⨬áï ª ®¡®¡é¥¨ï¬ «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠. Ǒãáâì H | ¢ë¯ãª«®¥ ⥫®, O | â®çª ¢ãâਠ¥£® ¨ r(e) | à ááâ®ï¨¥ ®â O ¤® £à ¨æë ⥫ H ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à e. â¥á¥¬ «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã x ç¨á«® ( )=
D x
r
|x| , x |x|
(1)
â.¥. ®â®è¥¨¥ ¤«¨ë ¢¥ªâ®à x ª à ááâ®ï¨î ®â O ¤® £à ¨æë ⥫ H ¢ ¯à ¢«¥¨¨ í⮣® ¢¥ªâ®à x. (Ǒਠx = 0 ¯à ¢«¥¨¥ ¥ ®¯à¥¤¥«¥®, ¨ ¯®« £ ¥¬ D(0) = 0.) ¯à¥¤¥«¥ãî â ª¨¬ ®¡à §®¬ äãªæ¨î ¢¥ªâ®à x ¢¢¥« . ¨ª®¢áª¨© ¨ §¢ « ¥¥ ⥫ H . à ¢¨â¥«ì® ¯à®áâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ : «ï ⮣® çâ®¡ë ¤ ï äãªæ¨ï D(x) ¢¥ªâ®à x ¡ë« ¤¨áâ 樮®© äãªæ¨¥© ª ª®£®-«¨¡® ¢ë¯ãª«®£® ⥫ , ¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1) D(λx) = λD(x) ¯à¨ «î¡®¬ λ > 0; 2) D(x + y) 6 D(x) + D(y) ¯à¨ «î¡ëå x ¨ y; 3) D(x) > 0, ¥á«¨ ⮫쪮 x =6 0. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨© 1 ¨ 3 ®ç¥¢¨¤ ¨§ á ¬®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¨áâ 樮®© äãªæ¨¨; ãá«®¢¨¥ 2 «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¢ë¯ãª«®á⨠⥫ H . ᨫ㠯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï äãªæ¨ï D(x) ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¥ § 票ﬨ ¤«ï ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ e. ®£¤ , ¯®áª®«ìªã |e| = 1, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (1) á«¥¤ã¥â, çâ® 1 , D (e) = r(e) ¤¨-
áâ 樮®© äãªæ¨¥©
â.¥. D(e) ¥áâì ®¡à â ï ¢¥«¨ç¨ à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ O ¤® £à ¨æë ⥫ H ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à e. § ãá«®¢¨© 1 ¨ 2 «¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¥á«¨ e = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 á® ¢á¥¬¨ αi > 0, â® D (e) < α1 D (e1 ) + α2 D (e2 ) + α3 D (e3 ) ¨«¨ 1 < α1 + α2 + α3 . r(e) r(e1 ) r(e2 ) r(e3 ) â® ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¥à ¢¥á⢮ (2) ⥮६ë 1 § 1. ®¢¥à襮 ïá®, ç⮠⥮६ 1 § 1 ¥áâì ç áâë© á«ãç © ¯à¨¢¥¤¥®© ⮫쪮 çâ® â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£®. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¥â ¤®¡®á⨠à áᬠâਢ âì äãªæ¨î D(x): ¤®áâ â®ç® ¢§ïâì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¥¥ § 票© | ®¡à âë¥ ¢¥«¨ç¨ë à ááâ®ï¨© ¢¥àè¨ ®â ç « O.
398
. .
¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤¨áâ 樮 ï äãªæ¨ï ¬®£®£à ¨ª | ªãá®ç®-«¨¥© ï. ¬¥® ® «¨¥© ¢ ª ¤®¬ ⥫¥á®¬ 㣫¥, ¯à®¥ªâ¨àãî饬 £à ì ¬®£®£à ¨ª ¨§ â®çª¨ O. ¥¬ á ¬ë¬ ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¥ § 票ﬨ ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ei , ¯à ¢«¥ëå ¢ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª . 3. ®à¬ «ì ï «®£¨ï ¬¥¤ã ¤¨áâ 樮®© ¨ ®¯®à®© äãªæ¨ï¬¨ ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¬¥¤ã ⥮६®© 1 § 1 ¨ ⥮६®© 1 § 5 £« ¢ë VII ¨¬¥¥â ¨â¥à¥á®¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®á®¢ ¨¥. áᬮâਬ ¯®«ïà®áâì ®â®á¨â¥«ì® ¥¤¨¨ç®© áä¥àë, â.¥. ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, áâ ¢ï饥 ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ â®çª¥ á ¢¥ªâ®à®¬ re, £¤¥ e | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¨ r > 0, ¯«®áª®áâì á ®à¬ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ex = 1/r. ¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ â ª®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ 7) ª ¤®¬ã ¢ë¯ãª«®¬ã ⥫ã H áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢ë¯ãª«®¥ ⥫® H ′ ¯® á«¥¤ãîé¥¬ã ¯à ¢¨«ã: ª ¤®© ¢ãâ॥© â®çª¥ ⥫ H ®â¢¥ç ¥â ¯«®áª®áâì, ¥ ¯¥à¥á¥ª îé ï ⥫ H ′ , £à ¨çë¬ â®çª ¬ ⥫ H ®â¢¥ç îâ ®¯®àë¥ ¯«®áª®á⨠⥫ H ′ . (¥«® H ′ ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå í⨬¨ ¯«®áª®áâﬨ.) ª ª ª ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ®¡à ⮥ ¯®«ïà®áâ¨, ¥áâì ® á ¬ , â® íâ á¢ï§ì ¬¥¤ã ⥫ ¬¨ H ¨ H ′ | ¢§ ¨¬ ï. Ǒãáâì ç «® «¥¨â ¢ãâਠ⥫ H ; ⮣¤ ®® ¡ã¤¥â â ª¥ ¢ãâਠH ′ . § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®«ïà®á⨠¨ ¢§ ¨¬®á¢ï§¨ ¬¥¤ã ⥫ ¬¨ H ¨ H ′ «¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¤¨áâ 樮 ï äãªæ¨ï ®¤®£® ¨§ ¨å ®ª §ë¢ ¥âáï ®¯®à®© äãªæ¨¥© ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®.
᫨ H | ¬®£®£à ¨ª, â® H ′ | ⮥ ¬®£®£à ¨ª, ¯à¨ç¥¬ £à ï¬ ®¤®£® ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¢¥àè¨ë ¤à㣮£®, ¨ ®¡à â®. 4. Ǒãáâì F | § ¬ªãâ ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, O | â®çª ¢ãâਠ¥¥ ¨ E | ¥¤¨¨ç ï áä¥à á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ O. Ǒãáâì M | ¬®¥á⢮ â®ç¥ª áä¥à¥ E ¨ ω(M ) | ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ⮣® ¬®¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠F , æ¥âà «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï ª®â®à®£® ¨§ â®çª¨ O áä¥àã E ¥áâì ¤ ®¥ ¬®¥á⢮ M . ãªæ¨î ¬®¥á⢠ω(M ) ¬ë §®¢¥¬ E F. â äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥ ¤«ï ¢á类£® ¡®à¥«¥¢áª®£® ¬®¥á⢠M áä¥à¥ E . Ǒ®«ì§ãïáì í⨬ ¯®ï⨥¬, ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६ã, ®¡®¡é îéãî ⥮६ã 4 § 1 «î¡ë¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨: «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï ω (M ) (¡®à¥«¥¢áª®£®) ¬®¥á⢠M áä¥à¥ E ¡ë« ¯¥à¥¥á¥®© áä¥àã E ªà¨¢¨§®© ¥ª®â®à®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ᮤ¥à 饩 ¢ãâਠæ¥âà O áä¥àë E , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë 1) ω (M ) ¡ë« ¥®âà¨æ ⥫쮩 ¨ ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢®©; 2) ω (E ) = 4π 8) ; 3) ¤«ï ¢á类£® áä¥à¨ç¥áª¨ ¢ë¯ãª«®£® ¬®¥á⢠M ¯¥à¥¥á¥®© áä¥àã
¢ë¯®«ï«®áì ¥à ¢¥á⢮
(
)
ªà¨¢¨§®© ¯®¢¥àå®áâ¨
( )
ω E M > σ M ∗ ,
£¤¥ σ(M ∗ ) | ¯«®é ¤ì ¬®¥á⢠M ∗ ý¤¢®©á⢥®£® M þ, â. ¥. ®¡à §ã¥¬®£® ª®æ ¬¨ ®à¬ «¥© ª ®¯®àë¬ ¯«®áª®áâï¬ ª®ãá á ¢¥à訮© O, ¢ë१ î饣® áä¥à¥ E ¬®¥á⢮ M .
᫨ äãªæ¨ï ω á®á⮨⠨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ýâ®ç¥çëå £à㧮ªþ ω1 , . . . , ωm ¢ â®çª å (â.¥. ω(M ) = 0, ¥á«¨ M ¥ ᮤ¥à¨â ¨ ®¤®© ¨§ Ai , ¨ ω(Ai ) = ωi ), â® ¤ ï ⥮६ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ⥮६ã 4 § 1. ®ª § ⥫ìá⢮ áä®à¬ã«¨à®¢ ®© â¥®à¥¬ë ¯à®¢®¤¨âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ ( ¬. [10℄). ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠£« á¨â: A1 , . . . , Am
7) à. ¯o 4 § 5 £«. I. 8) n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ω(E ) à ¢® ¯«®é ¤¨ ¢á¥© ¥¤¨¨ç®© áä¥àë.
. IX:
§ 3.
399
᫨ ¤¢¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠F ¨ F ′ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ªà¨¢¨§ã, ¯¥à¥¥á¥ãî ®¤ã ¨ âã ¥ áä¥àã E , â® í⨠¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¥¢®¤ïâáï ®¤ ¢ ¤àã£ãî ¯®¤®¡ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¢ æ¥âॠáä¥àë E (á¬. [13℄ 9) ).
¥®à¥¬ ¬ 2 ¨ 3 § 1 â ª¥ ®â¢¥ç îâ ®¡é¨¥ ¨ áâ®«ì ¥ ¯à®áâ® ¤®ª §ë¢ ¥¬ë¥ â¥®à¥¬ë ®¡ ®¡é¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®áâïå. ª, ⥮६¥ 2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮢ¥à襮 âਢ¨ «ì®¥ ã⢥थ¨¥: ¥á«¨ ¤¢¥ § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠F1 ¨ F2 ¨¬¥îâ ®¡éãî
¢ãâà¥îî â®çªã O, â® «¨¡® ®¨ ¯®¤®¡ë á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï O, «¨¡® ¯ã⥬ ¯®¤®¡®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á æ¥â஬ O ¯®¢¥àå®áâì F1 ¬®® ᤥ« âì ª á î饩áï ¢ ª ª®©-â® â®çª¥, ® ¢á¥ ¥ ®å¢ âë¢ î饩 ¯®¢¥àå®áâì F2 , ¨«¨ ®¡®à®â. ⫨稥 ®â ⥮६ë 2
§ 1 ® ¬®£®£à ¨ª å á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ à¥çì ¨¤¥â ⮫쪮 ® ¢¥àè¨ å, ¨ ¯®â®¬ã ⥮६ ® ¨å ¥áª®«ìª® ¬¥¥¥ âਢ¨ «ì . Ǒ¥à¥å®¤ï ª áä¥à¨ç¥áª®¬ã ¨§®¡à ¥¨î, ⥮६¥ 2 § 1 ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì 㥠¥ áâ®«ì ¥¯®á।á⢥® ®ç¥¢¨¤®¥, ® ¢á¥ ¥ ®ç¥ì «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥थ¨¥:
Ǒãáâì F1 ¨ F2 | § ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ á ®¡é¥© ¢ãâ॥© â®çª®© O. ª¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠«¨¡® ¯®¤®¡ë á æ¥â஬ ¯®¤®¡¨ï O, «¨¡® ¨å ¨¬¥îâáï ¬®¥á⢠M1 ¨ M2 á ®¡é¨¬ ¯à®¥ªâ¨àãî騬 ¨å ¨§ â®çª¨ O ª®ãᮬ ¨ â ª¨¥, çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®¥á⢠M1 ¥áâì ⮫쪮 ç áâì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ¬®¥á⢠M2 .
âáî¤ á«¥¤ã¥â ⥮६ ® ¯®¤®¡¨¨ ¯®¢¥àå®á⥩ F1 ¨ F2 , ã ª®â®àëå áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¨§®¡à ¥¨ï¬ ¬®¥á⢠M1 ¨ M2 á ®¡é¨¬ ¯à®¥ªâ¨àãî騬 ª®ãᮬ ®â¢¥ç îâ à ¢ë¥ § ç¥¨ï ª ª®©-«¨¡® ¬®®â®®© äãªæ¨¨ ¬®¥á⢠áä¥à¥. ç áâ®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ ⥮६㠮 ¯®¤®¡¨¨ ¯®¢¥àå®á⥩ á ®¤¨ ª®¢®© ªà¨¢¨§®©, ý¯¥à¥¥á¥®© áä¥àã E á æ¥â஬ ¢ Oþ. ¬®¥© § ¬¥âª¥ [13℄, £¤¥ ãáâ ®¢«¥ íâ ⥮६ ® ¯®¤®¡¨¨, ¯® áãé¥áâ¢ã ¤®ª § , å®âï ¨ ¥ áä®à¬ã«¨à®¢ , ¨¬¥® ®¡é ï ⥮६ . 5. Ǒãáâì F | ¡¥áª®¥ç ï ¯®« ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì ¨ e | ¯à ¢«¥¨¥ ª ª®£®«¨¡® «ãç , ᮤ¥à 饣®áï ¢ãâਠF . Ǒãáâì T | ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª e, ¨ M | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¡®à¥«¥¢áª®¥ ¬®¥á⢮ ¯«®áª®á⨠T . ¡®§ 稬 ω (M ) ¯«®é ¤ì áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§®¡à ¥¨ï ⮣® ¬®¥á⢠¯®¢¥àå®á⨠F , ª®â®à®¥ ¯à®¥ªâ¨àã¥âáï (¢¤®«ì e) ¬®¥á⢮ M . ®¥â á«ãç¨âìáï, çâ® ¯à®¥ªæ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠F ¥ ¯®ªàë¢ ¥â ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨. ®£¤ ¥ ¢á类¥ M ¬®¥â á«ã¨âì ¯à®¥ªæ¨¥© ª ª®©-«¨¡® ç á⨠¯®¢¥àå®á⨠F ; ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ M ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯à®¥ªæ¨¥© F , áç¨â ¥¬ ω(M ) = 0.
᫨ ¥ M ¯®ªàë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© F ⮫쪮 ®âç áâ¨, â® ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ⮣® ¬®¥á⢠F , ¯à®¥ªæ¨ï ª®â®à®£® ¢á¥-â ª¨ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ M . ª¨¬ ¯ã⥬ ®ª §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¥®© äãªæ¨ï ¬®¥á⢠ω(M ) ¯«®áª®á⨠T ; ¬ë §®¢¥¬ ¥¥ F T Ǒ®«ì§ãïáì í⨬ ¯®ï⨥¬, áä®à¬ã«¨à㥬 ®¡®¡é¥¨¥ ⥮६ë 4 § 2 «î¡ë¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨: «ï ⮣® çâ®¡ë ¤ ï äãªæ¨ï ω (M ) (¡®à¥«¥¢áª®£®) ¬®¥á⢠¯«®áª®á⨠T ¡ë« ¯¥à¥¥á¥®© T ªà¨¢¨§®© ¥ª®â®à®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ª®ãᮬ K , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë 1) ω (M ) ¡ë« ¥®âà¨æ ⥫쮩 ¨ ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢®©; 2) ¤«ï M , á®áâ®ï饣® ¨§ ®¤®© â®çª¨, ω (M ) < 2π ; 3) § 票¥ äãªæ¨¨ ω ¤«ï ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨ à ¢ï«®áì ªà¨¢¨§¥ ª®ãá K . ¤¥áì ª®ãá K ¬®¥â ¢ëத âìáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¯«®áª¨© 㣮« ¨«¨ ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ® ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ª ¯«®áª®á⨠T , «¨¡® ¢®¢á¥ ¥£® ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â, «¨¡® ᮤ¥à¨â ¢ ¥¬ 楫ãî ¯®«ã¯àï¬ãî. ªà¨¢¨§®© ¯®¢¥àå®áâ¨
, ¯¥à¥¥á¥®© ¯«®áª®áâì
.
9) [119℄ .
. £ ®¬ ¯®«ãç¥ë ®æ¥ª¨ ¨§¬¥¥¨ï ä®à¬ë ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ªà¨¢¨§ë, á¯à®¥ªâ¨à®¢ ®© áä¥àã. § íâ¨å ®æ¥®ª, ª®¥ç®, ⮥ á«¥¤ã¥â 㪠§ ï ⥮६ . | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
400
. .
â ⥮६ ®á®¡¥® ¨â¥à¥á , â ª ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ªà¨¢¨§ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠ª ª äãªæ¨ï ¬®¥á⢠¥ ¯®¤ç¨ï¥âáï ¨ª ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, ªà®¬¥ ®ç¥¢¨¤ëå (å®âï ¨ ¥ ᮢᥬ ¯à®áâ® ¤®ª §ë¢ ¥¬ëå á® ¢á¥© áâண®áâìî). ¥®à¥¬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠£« á¨â:
᫨ ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¯®«ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠á à ¢ë¬¨ ¨ ¯ à ««¥«ì묨 ¯à¥¤¥«ì묨 ª®ãá ¬¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ªà¨¢¨§ã, ¯¥à¥¥á¥ãî ¯«®áª®áâì T , â® í⨠¯®¢¥àå®á⨠ᮢ¬¥é îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª T (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ω (T ) > 0; ¥á«¨ ω (T ) = 0, â® ¯®¢¥àå®áâì ¬®¥â ¡ëâì «î¡ë¬ ¡¥áª®¥çë¬ æ¨«¨¤à®¬ ¨ ¥¥ ¯à¥¤¥«ìë© ª®ãá ᢮¤¨âáï ª ¤¢ã£à ®¬ã 㣫ã). â® ¥áâì á«¥¤á⢨¥ ®¡é¥© ⥮६ë: ¥á«¨ ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¯®¢¥àå®á⨠á à ¢ë¬¨ ¯à¥¤¥«ì묨 ª®ãá ¬¨ ®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãîâáï ¯«®áª®áâì T , â® «¨¡® ®¨ ᮢ¬¥é îâáï ¯¥à¥®á®¬ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஬ ª ¯«®áª®á⨠T , «¨¡® ¨å ¨¬¥îâáï â ª¨¥ ¬®¥á⢠M1 ¨ M2 á ®¡é¥© ¯à®¥ªæ¨¥© T , çâ® áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¬®¥á⢠M1 ¥áâì «¨èì ç áâì â ª®¢®£® ¤«ï M2 .
᫨ ¯®¢¥àå®áâì F ॣã«ïà ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥
ãà ¢¥¨¥¬ z = f (x, y), â® ¥¥ ªà¨¢¨§ , ¯¥à¥¥á¥ ï ¯«®áª®áâì (x, y), ¡ã¤¥â ( )=
Z
=
ZZ
2 zxx zyy − zxy
(1 + zx2 + zy2 )3/2 dx dy, ª ª íâ® áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ¨§¢¥á⮣® ¢ëà ¥¨ï ¤«ï £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§ë K ¨ í«¥¬¥â ¯«®é ¤¨ dF . Ǒ®í⮬㠢 ॣã«ï஬ á«ãç ¥ è¨ â¥®à¥¬ë à ¢®á¨«ìë ⥮६ ¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠(á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬®£®) à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï 2 = (1 + zx2 + zy2 )3/2 g (x, y) ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨, £¤¥ g (x, y) | ¤ ï äãªæ¨ï zxx zyy − zxy (g = dxdωdy ). Ǒà ¢¤ , ¨§ á ¬¨å è¨å ⥮६ ¥ á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï z = f (x, y) ¡ã¤¥â ¤ ¥ ¤¢ ¤ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©; ¯®í⮬ã à §à¥è¨¬®áâì ãà ¢¥¨ï ã® ¯®¨¬ âì ¢ ®¡®¡é¥®¬ á¬ëá«¥. ¤ ª® ¥á«¨ äãªæ¨ï g(x, y) ¤®áâ â®ç®¥ ç¨á«® à § ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 , â® äãªæ¨ï z = f (x, y) ¡ã¤¥â ¤¢ ¤ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©, â.¥. ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥. ¡®¡é¥¨¥ ⥮६ë 6 § 1 £« á¨â: ¯ãáâì ¢ ¢ë¯ãª«®© ®¡« á⨠G ¯«®áª®á⨠T § ¤ ¢¯®«¥ ¤¤¨â¨¢ ï, ¥®âà¨æ ⥫ì ï äãªæ¨ï ¬®¥á⢠ω (M ) â ª ï, çâ® ω (G) < 2π . Ǒãáâì L | § ¬ªãâ ï ªà¨¢ ï ¢ ¯à®áâà á⢥, ¯à®¥ªâ¨àãîé ïáï £à ¨æã ®¡« á⨠G. ãé¥áâ¢ã¥â ®£à ¨ç¥ ï ªà¨¢®© L ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, ã ª®â®à®© ω (M ) ¥áâì ¥¥ ªà¨¢¨§ , ¯¥à¥¥á¥ ï ¯«®áª®áâì T . ª¨å ¯®¢¥àå®á⥩ ⮫쪮 ¤¢¥: ®¨ ®¡à é¥ë ¢ë¯ãª«®áâìî ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ áâ®à®ë. «ï ॣã«ïண® á«ãç ï ¢ ¯¥à¥¢®¤¥ ï§ëª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© íâ® ®§ ç ¥â à §à¥è¨¬®áâì ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¤«ï 㪠§ ®£® ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï ¢ «î¡®© ¢ë¯ãª«®© ®¡« áâ¨, ¯à¨ «î¡ëå ¥¯à¥àë¢ëå § ¤ ¨ïå £à ¨æ¥. 6 10) . «ì¥©è¨¥ ®¡®¡é¥¨ï â¥á® á¢ï§ ë á ⥮ਥ© í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ⨯ ® { ¬¯¥à . ⨠ãà ¢¥¨ï ¢ëáâ㯠îâ, ¢®-¯¥à¢ëå, ª ª ®¡ê¥ªâ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ á।á⢠¬¨ ¨, ¢®-¢â®àëå, ª ª á।á⢮ à¥è¥¨ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å § ¤ ç. áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à â ª®£® ãà ¢¥¨ï 2 ) = ϕ(x, y), R(zx , zy )(zxx zyy − zxy (2) £¤¥ R ¨ ϕ | § ¤ ë¥ ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ äãªæ¨¨. Ǒãáâì z(x, y) | à¥è¥¨¥ (2), ®® § ¤ ¥â ¢ë¯ãª«ãî ¯®¢¥àå®áâì : z(x, y). ⥣à¨àãï à ¢¥á⢮ (2) ¯® ¬®¥áâ¢ã e ¨§ 10) Ǒãªâë 6 ¨ 7 ¤®¡ ¢«¥ë . . «£ ««¥à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥ç ¨©. ω M
KdF
M
. IX:
§ 3.
401
2 ¥áâì 类¡¨ ®â®¡à ¥¨ï ψ ¯«®áª®á⨠(x, y) ¯«®áª®á⨠(x, y) ¨ § ¬¥ç ï, çâ® zxx zyy − zxy ¢ ¯«®áª®áâì (p, q) ¯® ¯à ¢¨«ã p = zx , q = zy (íâ® ψ §ë¢ îâ (¨®£¤ £®¢®àïâ ) ®â®¡à ¥¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠), ¯®«ãç ¥¬ ®¯®àë¬
®à¬ «ìë¬
ZZ
()
ψ e
( )
R p, q dp dq
=
ZZ
( )
ϕ x, y dx dy.
(3)
e
â®ïéãî ¢ (3) á«¥¢ äãªæ¨î ¬®¥á⢠e §ë¢ îâ . (ǑਠR(p, q) = (1 + p2 + q2 )−3/2 íâ® | £ ãáᮢ ªà¨¢¨§ ¯®¢¥àå®á⨠.) ®£¤ (2) ¬®® âà ªâ®¢ âì ª ª § ¤ çã (3) 室¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¯® ¥¥ ãá«®¢®© ªà¨¢¨§¥, ¯¥à¥¥á¥®© ¡®à¥«¥¢áª¨¥ ¬®¥á⢠¯«®áª®á⨠¨«¨ áä¥àë. ª ï § ¤ ç ¤®¯ã᪠¥â ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨, ¨§«®¥ë¬¨ ¢ í⮩ £« ¢¥. ® ¥áâì á ç « à¥è ¥âáï ¥¥ «®£ ¢ ª« áᥠ¬®£®£à ëå ¯®¢¥àå®á⥩, § ⥬ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤. Ǒ।¥«ì ï ¯®¢¥àå®áâì á«ã¨â ®¡®¡é¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï (2). ⨬ ¯ã⥬ ¢¯¥à¢ë¥ ..«¥ªá ¤à®¢ [29℄ ¨áá«¥¤®¢ « ¬®£®¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ ® | ¬¯¥à det kzij k = ϕ(xi , z, zi ), ¥£® ã票ª . . ª¥«ì¬ [58℄ ®¤®¢à¥¬¥® à áᬠâਢ « ®¡®¡é¥ãî § ¤ çã ¨à¨å«¥ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (2). ®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ॣã«ïண® à¥è¥¨ï ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à ᢮¤¨âáï ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã £« ¤ª®á⨠®¡®¡é¥®£® à¥è¥¨ï. Ǒ®«ãç¥ë â ª¥ ãá«®¢¨ï 㤮¢«¥â¢®à¥¨ï £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ ¨ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨© ªà ¥¢ëå § ¤ ç, á¬. [171℄. § ®¡è¨à®© «¨â¥à âãàë ¯® í⨬ ¢®¯à®á ¬ ¢ë¤¥«¨¬ à ¡®âë [44, 59, 61, 173℄, ᮤ¥à 騥 á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨§«®¥¨¥. ⬥⨬ ¥é¥ ®¡§®à [282℄. ®£®¬¥àë¬ «®£ ¬ ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à ¯®á¢ïé¥ë à ¡®âë [174, 175, 241℄. ®¯à®á ¬ ãá⮩稢®á⨠®¡®¡é¥ëå ¨ ॣã«ïàëå à¥è¥¨© ¯®á¢ïé¥ë à ¡®âë [60, 85, 87, 119, 240℄. ¡à ⮥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ⥮६ à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ § ¤ ç ¬ â ª¥ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§®¢ «®áì. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¢ E 3 (¨«¨ H 3 , ¨«¨ ਬ ®¢®¬ M 3 ) § ¤ ® ¤®áâ â®ç® £« ¤ª®¥ ᪠«ï஥ ¯®«¥ K > 0. ãé¥áâ¢ã¥â «¨ § ¬ªãâ ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì S, ¢ ª ¤®© â®çª¥ ª®â®à®© ¢¥èïï ªà¨¢¨§ ᮢ¯ ¤ ¥â á® § 票¥¬ K ¢ í⮩ â®çª¥? â § ¤ ç ¨áá«¥¤®¢ ¢ [74, 121, 216℄. Ǒ®«¥ K § ¤ ¢ «®áì ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ϕ, θ, ρ ¤«ï E 3 ¨ H 3 ¨ ¢ ¯®«ïà®-£¥®¤¥§¨ç¥áª¨å ¤«ï M 3 ; ¯®¢¥àå®áâì S ¨áª « áì ª ª äãªæ¨ï ρ = ρ(ϕ, θ) ¨§ ãà ¢¥¨ï ® | ¬¯¥à ρ11 ρ22 − ρ212 = (1 + 1 ρ)2 det kgij k · K (ϕ, θ, ρ), £¤¥ ρij | ¢â®àë¥ ª®¢ ਠâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥, 1 | ¯¥à¢ë© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¯ à ¬¥âà ¥«ìâà ¬¨. ¥è¥¨¥ ᢮¤¨«®áì ª ¯®«ãç¥¨î ¯à¨®àëå ®æ¥®ª ¢ C 2 ¨ ¯®á«¥¤ãî饬㠯ਬ¥¥¨î ¯à¨æ¨¯ ¥à¥ | 㤥à . 㪠§ ëå à ¡®â å ©¤¥ë ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¨ ¤®ª § ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®áâ¨. ¡®¡é¥¨î १ã«ìâ ⮢ [74℄ ¬®£®¬¥àë© á«ãç © ¯®á¢ïé¥ë áâ âì¨ [271, 327℄. 7. ¤ ç ¬ ® ¢®ááâ ®¢«¥¨¨ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠(¢ ç áâ®áâ¨, ¬®£®£à ¨ª ) ¯® ¢¥è¥© ªà¨¢¨§¥, ¯¥à¥¥á¥®© ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¥¬ ¤àã£ãî ¯®¢¥àå®áâì (áä¥àã, ®à¨áä¥àã, ¯«®áª®áâì ¨ â.¯.) ¨ à §«¨çë¬ ®¡®¡é¥¨ï¬ í⮩ § ¤ ç¨ ¯®á¢ï饮 ¬®£® à ¡®â, ¯à¨¬¥à [57, 62, 76, 78, 79, 81, 114, 131, 132, 151, 211℄. ãá«®¢®© ªà¨¢¨§®© ¯®¢¥àå®-
áâ¨
« ¢ X ¥á⪮áâì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 ன à §¢¥à⪮©
Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¥ª®â®à®£® ¯ à ¬¥âà t, ª®â®àë© ã¤®¡® ¯®¨¬ âì ª ª ¢à¥¬ï; ç «ì®¬ã ¯®«®¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â t = 0. Ǒ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 à¥¡à ¨ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¬®£ãâ «®¬ âìáï, â ª çâ® ¢®§¨ª îâ ®¢ë¥ ¢¥àè¨ë ¨ ®¢ë¥ ॡà . í⮩ £« ¢¥ á ¡ã¤ãâ ¨â¥à¥á®¢ âì ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â. ¥. ¨ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ᪮à®á⨠¢ ¬®¬¥â t = 0. «ìè¥, £®¢®àï ® ¤¥ä®à¬ 樨, ¬ë ®¡ëç® ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ¨¬¥® ¡¥áª®¥ç® ¬ «ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î; ®âáãâá⢨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®£®¢®àª¨ ¥ ¯®¢¥¤¥â ª ¥¤®à §ã¬¥¨ï¬. ª®à®á⨠¢á¥£¤ ®â®áïâáï ª ç «ì®¬ã ¬®¬¥âã t = 0.
᫨ ¤«ï ª ª®©-«¨¡® ¢¥«¨ç¨ë x ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® t ¯à¨ t = 0 à ¢ ã«î: dx = 0, dt t â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨ x áâ 樮 à . ¨£ãà §ë¢ ¥âáï ¥á⪮©, ¥á«¨ (¯à¨ ¤ ëå ãá«®¢¨ïå) ¥¥ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥®¡å®¤¨¬® ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î, â. ¥. ᪮à®á⨠¢ ç «ìë© ¬®¬¥â â ª¨¥, ª ª ã ⢥म£® ⥫ .
é¥ ¢ § 6 £« ¢ë II ¡ë« ¢ëïᥠ®¡é ï «®£¨ï ⥮६ ® ¥á⪮á⨠á ⥮६ ¬¨ ¥¤¨á⢥®áâ¨; ⥮६ë, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ãáâ ®¢«¥ë ¢ í⮩ £« ¢¥, «®£¨çë ⥮६ ¬ ¥¤¨á⢥®áâ¨, ¤®ª § ë¬ ¢ £« ¢¥ III, ¨ ¬¥â®¤ ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠¡ã¤¥â ¯® áãé¥áâ¢ã â®â ¥. ¤ ª® §¤¥áì ¥áâì áãé¥á⢥®¥ à §«¨ç¨¥: ¢ ⥮६ å ® ¥á⪮á⨠à¥çì ¨¤¥â ¥ ®¡ ¨á⨮© ¤¥ä®à¬ 樨, ⮫쪮 ® ¥¥ £« ¢®© ç á⨠¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t. í⨬ á¢ï§ ë ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, ¥ ¨¬¥î騥 ¬¥áâ ¤«ï ª®¥çëå ¤¥ä®à¬ 権 ¨ ᮮ⢥âá⢥® ⥮६ ® ¥¤¨á⢥®á⨠¨«¨ ® à ¢¥á⢥. ( ç áâ®áâ¨, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â १ã«ìâ ⮢ £« ¢ë III ¤®ª §ë¢ ¥¬ë¥ §¤¥áì â¥®à¥¬ë ¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ëத îé¨åáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¥ ¬®£®ã£®«ì=0
. X:
§ 1.
403
¨ª¨, ª ª ¡ë«® 㥠¯®ª § ® ¢ § 6 £« ¢ë II. Ǒ®í⮬ã â ª¨¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¬ë ¢®¢á¥ ¨áª«îç ¥¬ ¨§ à áᬮâ२ï.) § 1. ¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ®£® 㣫
Ǒãáâì V | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« . ë ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì, çâ® ¥ª®â®àë¥ £à ¨ 㣫 V ¬®£ãâ «¥ âì ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, ®¡à §®¢ë¢ ï ⥬ á ¬ë© ®¤ã ý¨áâ¨ãîþ £à ì. ¥¡à , à §¤¥«ïî騥 â ª¨¥ £à ¨, ¡ã¤ãâ ý¥ áâ®ï騬¨þ; ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ¨å à ¢ë π. «ìè¥, £®¢®àï ¯à®áâ® ® ॡà å, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã ª ª áâ®ï騥, ¨«¨ ¨áâ¨ë¥, ॡà , â ª ¨ ¥ áâ®ï騥. ë ¡ã¤¥¬ â ª¥ ¤®¯ã᪠âì, ç⮠㣮« V ᢮¤¨âáï ª ¤¢ã£à ®¬ã 㣫ã, ® ¥ ª ¯«®áª®áâ¨. ®£¤ ¢á¥ ¥£® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë à ¢ë π, ªà®¬¥ ¤¢ãå, ¬¥ìè¨å π; ॡà íâ¨å 㣫®¢ ®¡à §ãîâ ®¤ã ¯àï¬ãî. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¤¥ä®à¬ æ¨î 㣫 V , ¢ë§¢ ãî ¢à 饨¥¬ ¥£® ॡ¥à ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë. ¬¥áâ¥ á ¢à 饨¥¬ ॡ¥à ¢à é îâáï ¨ ¤¥ä®à¬¨àãîâáï £à ¨ 㣫 V ; ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ®¢ëå ॡ¥à ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï, ® ý¥ áâ®ï騥þ à¥¡à ¬®£ãâ áâ ®¢¨âìáï ý áâ®ï騬¨þ. ¥ ¨áª«îç ¥âáï, çâ® ¢ १ã«ìâ ⥠¤¥ä®à¬ 樨 㣮« V ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ¢ë¯ãª«ë¬. Ǒਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ª®¥çëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå íâ® ¢®§¬®® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¨¬¥îâáï ¥ áâ®ï騥 à¥¡à ¨ ¨áâ¨ë¥ £à ¨ ¯¥à¥« ¬ë¢ îâáï ¯® í⨬ à¥¡à ¬ ¢ãâàì. ®£¤ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ íâ¨å ॡà å ¢®§à áâ îâ ¨ áâ ®¢ïâáï ¡®«ìè¥ π. ¤ ç á®á⮨⠢ à áᬮâ२¨ § ª®¢ ç «ìëå ᪮à®á⥩ ¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¤¥ä®à¬¨à㥬®£® 㣫 V ¯à¨ ⮬ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢á¥ ¯«®áª¨¥ ¥£® 㣫ë áâ 樮 àë. ¤ ç «®£¨ç ⮩, ª®â®à ï ¡ë« ¨áá«¥¤®¢ ¢ § 1 £« ¢ë III ¤«ï ª®¥çëå ¤¥ä®à¬ 権 ¡¥§ àãè¥¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠¨ ¥¥ ¬®® à¥è âì «®£¨çë¬ ¬¥â®¤®¬, à áᬠâਢ ï, ®¤ ª®, ¥ ¯à¨à 饨ï 㣫®¢, ⮫쪮 ¨å £« ¢ë¥ ç áâ¨, ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® t ¯à¨ t = 0 . ¤ ª® ¬ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¤à㣨¬ ¯à¨¥¬®¬, ª®â®àë© ¥ ⮫쪮 ᪮॥ ¯à¨¢¥¤¥â ª 楫¨, ® ¨¬¥¥â â ª¥ ¥ª®â®àë© á ¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á . 2. ª ª ª ¤¢¨¥¨¥ 㣫 V ª ª 楫®£® ¬®® ¨áª«îç¨âì, â® ¬®® áç¨â âì, çâ® «î¡®¥ ª ª®¥-â® ¥£® ॡ஠p ¨ ®¤ ¨§ ¯«®áª®á⥩ £à ¥©, á室ïé¨åáï ¢ p , ¥¯®¤¢¨ë. ®£¤ ¯«®áª®áâì ¤à㣮© £à ¨ á ॡ஬ p ¡ã¤¥â ¢à é âìáï ¢®ªà㣠í⮣® ॡà . ¥á«¨ ¯«®áª¨© 㣮« í⮩ £à ¨ áâ 樮 à¥, â® (¢ ç «ìë© ¬®¬¥â) ¢áï íâ £à ì ¢à é ¥âáï ¢®ªà㣠ॡà p 1.
1)
2)
3)
1
1
1
1
1) ëத¥¨¥ 㣫 V ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ¯«®áª¨© 㣮« ¥ ¤®¯ã᪠¥âáï. 2) «ìè¥ ¡ã¤¥â ¢¨¤®, çâ® ¤ ¥ ¯à¨ á®åà ¥¨¨ ¢ë¯ãª«®á⨠¢ á«ãç ¥
¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¢®§¬®® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ § ª®¢, ¥¢®§¬®®¥ ¯à¨ ª®¥ç®© ¤¥ä®à¬ 樨. â® «¨è¨© à § ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®, á«¥¤ãï «®£¨¨ á ¢ë¢®¤ ¬¨ £« ¢ë III, ã® ¢á¥ ¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à®¨§¢®¤ë¬¨, ¥ ª®¥ç묨 ¯à¨à 饨ﬨ. 3) â®â ¯à¨¥¬ ¥ ®¢, å®âï ¬¥ ¥ ¨§¢¥áâ®, ®â ª®£® ® ¨á室¨â.
404
. .
ª ª ⢥म¥ ⥫®. ¥ ¨áª«îç ï ⥯¥àì ¢à 饨ï ॡà p ¨ à ¥¥ § ªà¥¯«¥®© £à ¨, ¬®® ᪠§ âì, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¤¢ã£à ®£® 㣫 á®á⮨⠢ ®â®á¨â¥«ì®¬ ¢à 饨¨ ¯«®áª®á⥩ £à ¥© ¢®ªà㣠¨å ®¡é¥£® ॡà . â®â ¢ë¢®¤ ¢¥à¥, ª®¥ç®, ¤«ï «î¡®© ¯ àë £à ¥© á ®¡é¨¬ ॡ஬. à 饨¥ ⢥म£® ⥫ § ¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨, ¯à ¢«¥ë¬ ¯® ®á¨ ¢à 饨ï â ª, çâ® ¢¬¥áâ¥ á ¯à ¢«¥¨¥¬ á ¬®£® ¢à é¥¨ï ® ®¡à §ã¥â ¯à ¢ë© ¢¨â. «®¥¨¥ ¢à 饨© ¢®ªà㣠¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®á¥© ᢮¤¨âáï, ª ª ¨§¢¥áâ®, ª ¢¥ªâ®à®¬ã á«®¥¨î ¨å 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩ . 롥६ 㣫¥ V ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¨ ᮮ⢥âá⢥® á ¨¬ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®à冷ª á«¥¤®¢ ¨ï ॡ¥à ¨ £à ¥©. ª ¤®¬ ॡॠpi ¢®§ì¬¥¬ ¢¥ªâ®à ωi 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¢à 饨ï á«¥¤ãî饩 § ¨¬ £à ¨ ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥¤ë¤ã饩. ¥ªâ®à ωi áç¨â ¥âáï «¥ 騬 ॡॠ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¯®íâ®¬ã ¯à ¢«¥ «¨¡® ª ¢¥à訥 㣫 V , «¨¡® ®â ¥¥. «¨ ¢¥ªâ®à ωi ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¡á®«îâ ï ¢¥«¨ç¨ ç «ì®© V′ ϕi ᪮à®á⨠ϕ_ i ¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ®£® 㣫 ϕi ¯à¨ pi′ Pi′ ॡॠpi. ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à ωi ®¯à¥¤¥«ï¥â § ª í⮩ ᪮à®áâ¨, ¯®â®¬ã çâ® á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¯à ¢«¥¨ï ωi ¬¥ï¥âáï ¯à ¢«¥¨¥ ¢à 饨ï. â á¢ï§ì ¯à ¢«¥¨ï ¢¥ªâ®à ωi á® § ª®¬ ᪮à®á⨠ϕ_ i | ®¤ ¨ â ¥ ¤«ï ¢á¥å ॡ¥à, â. ¥. ¥á«¨ ®¤®¬ ॡॠ¯à ¢«¥¨î ¨á. 147 ωi ®â ¢¥àè¨ë ®â¢¥ç ¥â ϕ_ i (¨«¨ ®¡®à®â), â® ¨ ¢á¥å ॡà å ¡ã¤¥â â ª ¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¯¥à¥á¥ç¥¬ 㣮« V ¥¤¨¨ç®© áä¥à®© S á æ¥â஬ ¢ ¥£® ¢¥à訥; áä¥à¥ S ¬ë ¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ á ¢¥àè¨ ¬¨ p′i ¨ áâ®à® ¬¨ Pi′, ®â¢¥ç î騬¨ à¥¡à ¬ ª £à ï¬ ã£« V (à¨á. 147). £«ë ϕi í⮣® ¬®£®ã£®«ì¨ª à ¢ë ¤¢ã£à ë¬ ã£« ¬ 㣫 V . ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ , § ¤ ®¥ 㣫¥ V , ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡å®¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®à¨¥â æ¨î áä¥àë S . 1
4)
5)
4) Ǒãáâì O | § ªà¥¯«¥ ï â®çª ⢥म£® ⥫ , ª®â®àãî ¯à¨¬¥¬ § ç «® ª®®à¤¨ â.
®£¤ , ¥á«¨ ω | ¢¥ªâ®à 㣫®¢®© ᪮à®á⨠¨ x | ¢¥ªâ®à ¨§ O ¢ «î¡ãî â®çªã X ⢥म£® ⥫ , ⮠᪮à®áâì í⮩ â®çª¨ ¡ã¤¥â v = ω × x. Ǒਠ᫮¥¨¨ ¤¢ãå ¢à 饨© á 㣫®¢ë¬¨ ᪮à®áâﬨ ω1 , ω2 ¢®ªà㣠®á¥©, ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¢ â®çª¥ O, ¯®«ã稬 v = v1 + v2 = = ω1 × x + ω2 × x = (ω1 + ω2 ) × x, â.¥. 㣫®¢ ï ᪮à®áâì á㬬 ண® ¢à é¥¨ï ¥áâì ω = ω1 + ω2 . 5) ਥâ æ¨ï, ª ª ¢á¥£¤ , § ¤ ¥âáï ®¡å®¤®¬ ¬ «®£® ª®âãà . ®§ì¬¥¬ ¬ «ë© ªà㣠C á æ¥â஬ £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ . ¡à §ã¥¬ ª®âãà C ′ , á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ¤ã£¨ ªà㣠C , «¥ 饩 ¢ V ′ , ¨ ®â१ª £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ . ਥâ æ¨ï í⮣® ª®âãà , ⥬ á ¬ë¬ ¨ ª®âãà ªà㣠C , § ¤ ¥âáï ¯à ¢«¥¨¥¬ ®¡å®¤ £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ . (
᫨ ¤¢¨£ âì ªà㣠C ¢¤®«ì £à ¨æë ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ , â® ¨§ á®®¡à ¥¨© ¥¯à¥à뢮á⨠®ç¥¢¨¤®, çâ® ¤ ®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®à¨¥â 樨 ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à â®çª¨ £à ¨æ¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ , á«ã 饩 æ¥â஬ ªà㣠C .)
. X:
§ 1.
405
®¯ãá⨬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨, çâ® í⠮ਥâ æ¨ï ¢¬¥áâ¥ á ¯à ¢«¥¨¥¬ ®â æ¥âà áä¥àë ®¡à §ã¥â ¯à ¢ë© ¢¨â. ( ª ª ª ॡà 㣫 V ¨¤ãâ ¨§ æ¥âà áä¥àë S , â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ ¢¨âë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ®¡å®¤®¬ V ¨ ¥£® à¥¡à ¬¨, | ¯à ¢ë¥.) Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, ¢¥ªâ®à ωi ¯à ¢«¥ ®â ¢¥àè¨ë 㣫 V . Ǒ® á ¬®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢¥ªâ®à ωi íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à ¢«¥¨¥ ॡà pi á ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢à é¥¨ï £à ¨ Pi ®â®á¨â¥«ì® Pi− ®¡à §ãîâ ¯à ¢ë© ¢¨â. Ǒ®í⮬ã áâ®à® Pi′ ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ ¤®« ¢à é âìáï ®â®á¨â¥«ì® Pi−′ ¢ ¯à ¢«¥¨¨, 㪠§ ®¬ ®à¨¥â 樥© áä¥àë S , â. ¥. ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª V ′ . ª®à®áâì ϕ_ i ¨§¬¥¥¨ï 㣫 ϕi ¡ã¤¥â, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®âà¨æ ⥫쮩. â® § ª«î票¥ ¢¥à® ¤«ï ¢á¥å ॡ¥à, ¨ ⥬ á ¬ë¬ á¢ï§ì ¬¥¤ã ¯à ¢«¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à ωi ¨ § ª®¬ ᪮à®á⨠ϕ_ i | ®¤ ¨ â ¥ ¤«ï ¨å ¢á¥å. (
᫨ ¨§¬¥¨âì ®¡å®¤ 㣫 V , â® íâ á¢ï§ì áâ ¥â ⮫쪮 ®¡à ⮩: ¢¥ªâ®à ¬ ωi, ¨¤ã騬 ®â ¢¥àè¨ë, ¡ã¤ã⠮⢥ç âì ϕ_ i > 0.) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®¯à®á ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ § ª®¢ ᪮à®á⥩ ϕ_ i ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à ¢«¥¨© ¢¥ªâ®à®¢ ωi. «ï à¥è¥¨ï ¯®á«¥¤¥£® ¢®¯à®á ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¥¨¥: 1
1
㬬 ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢
ωi
à ¢ ã«î.
¥©á⢨⥫ì®, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, á«®¥¨¥ ¢à 饨© ᢮¤¨âáï ª á«®¥¨î ¢¥ªâ®à®¢ 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩. Ǒ®í⮬ã á㬬 ωi + ωi ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢à 饨¥ (i + 2)-© £à ¨ ®â®á¨â¥«ì® i-©. ª« ¤ë¢ ï ¢á¥ áª®à®á⨠ωi ®â ¯¥à¢®© ¤® ¯®á«¥¤¥©, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¯®«ãç¥ ï á㬬 ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢à 饨¥ ¯¥à¢®© £à ¨ ®â®á¨â¥«ì® ¥¥ á ¬®©, â. ¥. ®âáãâá⢨¥ ¢à 饨ï. Ǒ®í⮬ã á㬬 ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ωi à ¢ ã«î. 3 . ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã, ᮤ¥à éãî ãë© ¬ १ã«ìâ â ® à á¯à¥¤¥«¥¨¨ § ª®¢ ᪮à®á⥩ ¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ëå 㣫®¢. +1
6)
¥¬¬ 1.
Ǒãáâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«
V,
¬®¥â ¡ëâì ᢮¤ï-
騩áï ª ¤¢ã£à ®¬ã, ® ¥ ª ¯«®áª®áâ¨, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¢á¥ ¥£® ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë. ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®¬ã ¥£® ॡàã § ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ®£® 㣫 á í⨬ ॡ஬; ॡà áâ 樮 àëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ®£¤ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï íâ¨å § ª®¢ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ç¥âëॠ¢®§¬®®áâ¨:
1) ¨ ®¤® ॡ஠¥ ®â¬¥ç¥®; 2) ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å; 3) ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ® ⮣¤ ¢á¥ ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà
¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© ¨á⨮© £à ¨ ¨ ªà ©¨¥ ¨§ íâ¨å ॡ¥à ¨¬¥îâ ®¤¨ § ª;
4) ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢ ®â¬¥ç¥ëå ॡà ;
⮣¤ ®¨ ®¡à §ãîâ ¢¬¥áâ¥
®¤ã ¯àï¬ãî ¨ ¥ ⮫쪮 ®â¬¥ç¥ë ®¤¨¬ § ª®¬, ® ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï
6) á¢ï§¨ á í⨬ ¯ãªâ®¬ á¬.
§ ¬¥âªã [83℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
406
. .
¨å ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ à ¢ë. â®â á«ãç © ¢®§¬®¥, ®ç¥¢¨¤®, ⮫쪮 㣫¥
V,
᢮¤ï饬áï ª ¤¢ã£à ®¬ã, â ª ª ª ⮫쪮 ¯à¨ í⮬ ãá«®¢¨¨ ¤¢
à¥¡à ¬®£ãâ ®¡à §®¢ë¢ âì ¢¬¥á⥠®¤ã ¯àï¬ãî, ¨¬¥® ॡ஠⮣® ¤¢ã-
(®, ç⮠᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ íâ¨å ¤¢ãå ॡà å à ¢ë, ¯à¨ ¢á¥å ¯à®ç¨å ॡà å 㣫ë áâ 樮 àë, ¯®áª®«ìªã à¥¡à ¥ ®â¬¥ç¥ë, ®§ ç ¥â, ç⮠㣮« V , ¤¥ä®à¬¨àãïáì, ®áâ ¥âáï ¤¢ã£à ë¬, ¥á«¨ ¯à¥¥¡à¥£ âì ¢¥«¨ç¨ ¬¨ ¢ëè¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .) Ǒ®«ì§ãïáì ¢ë¢®¤ ¬¨ ¯ 2, íâã «¥¬¬ã ¬®® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì ï§ëª¥ ¢¥ªâ®à®¢ ωi : £à ®£® 㣫 , ª ª®â®à®¬ã ᢮¤¨âáï 㣮«
V.
o
7)
¥¬¬ 1 .
Ǒãáâì ॡà å ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫
V,
¡ëâì
¬®¥â, ᢮¤ï饣®áï ª ¤¢ã£à ®¬ã, ® ¥ ª ¯«®áª®áâ¨, § ¤ ë ¢¥ªâ®àë
ωi
â ª, çâ® á㬬 ¨å ¢á¥å à ¢ ã«î. ®£¤ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à ¢«¥¨© íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ª ¢¥à訥 㣫
V
¨«¨ ®â ¥¥ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 á«¥¤ãî騥
¢®§¬®®áâ¨:
1) ¢á¥ ¢¥ªâ®àë à ¢ë ã«î; 2) ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨© | ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å; 3) ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë ¯à ¢«¥¨©, ¨ ⮣¤ ¢á¥ ¥ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë ωi «¥ â ®¤®© ¨á⨮© £à ¨ ¨ ªà ©¨¥ ¨§ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ®¤¨ ª®¢® ¯à ¢«¥ë (â. ¥. «¨¡® ®¡ ª ¢¥à訥, «¨¡® ®¡ ®â ¥¥); 4) ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢ ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à . ® ⮣¤ ¨§ à ¢¥á⢠¨å á㬬ë ã«î ®ç¥¢¨¤®, çâ® ®¨ «¥ â ®¤®© ¯àאַ©, à ¢ë ¯® ¢¥«¨ç¨¥ ¨ ¯à ¢«¥ë «¨¡® ®¡ ®â ¢¥àè¨ë, «¨¡® ®¡ ª ¢¥à訥. (â®â á«ãç © ¢®§¬®¥ «¨èì, ¥á«¨ 㣮« V | ¤¢ã£à ë©). ᨫ㠢뢮¤®¢ ¯ 2 «¥¬¬ 1a ᮤ¥à¨â «¥¬¬ã 1, ¯®â®¬ã ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì «¥¬¬ã 1 . ¥ªâ®àë, à ¢ë¥ ã«î, ¥ ¨¬¥îâ ¯à ¢«¥¨ï ¨ ¨å ¬®® ¥ ¯à¨¨¬ âì ¢® ¢¨¬ ¨¥; ᮮ⢥âá⢥® ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¥áâì å®âï ¡ë ®¤¨ o
8)
7) ᥠá«ãç ¨ 1{4 ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®áãé¥á⢫ïîâáï: ¯¥à¢ë© | ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¤¥ä®à¬ 樨; ç¥â¢¥àâë© | ¯à¨ «î¡®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¤¢ã£à ®£® 㣫 ¡¥§ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï ¥£® (¨áâ¨ëå) £à ¥©; ¢â®à®© «¥£ç¥ ¢á¥£® ¢¨¤¥âì ¯à¨¬¥à¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ç¥âëà¥å£à ®£® 㣫 : §¤¥áì ¤¢ ॡà , ¯à¨ ª®â®àëå ã£«ë ¢®§à áâ îâ, à §¤¥«ïîâáï à¥¡à ¬¨, ¯à¨ ª®â®àëå 㣫ë ã¡ë¢ îâ. à¥â¨© á«ãç © ¯®«ã稬 ç¥âëà¥å£à ®¬ 㣫¥, ¢ëத¨¢è¥¬áï ¢ âà¥å£à ë©: ã£«ë ¯à¨ à¥¡à å p, q, r ¬¥ìè¥ π, ç¥â¢¥à⮥ ॡ஠s «¥¨â ¨á⨮© £à ¨ (q, r) ¨ 㣮« ¯à¨ ¥¬ à ¢¥ π.
᫨ ॡ஠s ¤¢¨£ âì ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª ᮤ¥à 饩 ¥£® £à ¨, â® ¢á¥ ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë ¨ áâ 樮 ॠ⠪¥ 㣮« ¯à¨ ॡॠp, ® ã£«ë ¯à¨ q, r, s ¥ áâ 樮 àë, ¨ ¥á«¨ 㣮« ¯à¨ s ã¡ë¢ ¥â, â® ã£«ë ¯à¨ p ¨ r ¢®§à áâ îâ. 8) ¡¥ «¥¬¬ë íª¢¨¢ «¥âë. ®, çâ® «¥¬¬ 1 ᮤ¥à¨âáï ¢ «¥¬¬¥ 1a, 㥠¯®ª § ® ¢ ¯o 2. ¬¥á⥠á ⥬ ¥á«¨ ॡà å 㣫 V § ¤ âì ¢¥ªâ®àë ωi , ¢ á㬬¥ à ¢ë¥ ã«î, â®, ¯à¨ï¢ ¨å § ¢¥ªâ®àë 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩, ®¯à¥¤¥«¨¬ ⥬ á ¬ë¬ ¤¥ä®à¬ æ¨î 㣫 V , ¯à¨ ª®â®à®©, ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¢á¥ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¡ã¤ãâ áâ 樮 àë.
. X:
§ 1.
407
¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à; í⨬ ¯¥à¢ ï ¢®§¬®®áâì ¨áª«îç ¥âáï. ¨á«® ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨© ¯à¨ § ¬ªã⮬ ®¡å®¤¥ § ¢¥¤®¬® ç¥â®. Ǒ®í⮬㠯à¨å®¤¨âáï à §«¨ç âì âਠá«ãç ï: ) ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ¯à ¢«¥ë ®¤¨ ª®¢®, â. ¥. «¨¡® ¢á¥ ª ¢¥à訥, «¨¡® ¢á¥ ®â ¥¥; ¡) ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë ¯à ¢«¥¨©; ¢) ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨© | ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë ®áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ ç¥â¢¥àâãî ¢®§¬®®áâì, 㪠§ ãî ¢ «¥¬¬¥, ¢ á«ãç ¥ ¡ | âà¥âìî. 4. áᬮâਬ á«ãç © : ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ¯à ¢«¥ë ®â ¢¥àè¨ë (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤®áâ â®ç® ¨§¬¥¨âì ¨å § ª¨). ª ª ª 㣮« V | ¢ë¯ãª«ë©, â® ® «¥¨â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®á⨠P «î¡®© ᢮¥© £à ¨, ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ωi ¯à ¢«¥ë ¢ ®¤® § ¬ªã⮥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ®£à ¨ç¥®¥ ¯«®áª®áâìî P ¨ ᮤ¥à 饥 㣮« V .
᫨ ¡ë ¢¥ªâ®àë ¥ «¥ «¨ ¢á¥ ¢ ¯«®áª®á⨠P , â® ¨å á㬬 ¥ ¬®£« ¡ë à ¢ïâìáï ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ωi ¤®«ë «¥ âì ¢ ¯«®áª®á⨠P ¨ ⥬ á ¬ë¬ à¥¡à å, ¯à¨ ¤«¥ é¨å ®¤®© ¨á⨮© £à ¨ 㣫 V . ª ª ª ¨áâ¨ ï £à ì ¢ë¯ãª« , â® ® «¥¨â ¢ ®¤®© ¯®«ã¯«®áª®á⨠P ′. Ǒãáâì L | ¯àï¬ ï, ®£à ¨ç¨¢ îé ï íâã ¯®«ã¯«®áª®áâì ¯«®áª®á⨠P . ′ ¥ªâ®àë ωi ¯à ¢«¥ë ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâì P ¨ ¥á«¨ ¡ë ®¨ ¥ «¥ «¨ ¯àאַ© L, â® ¨å á㬬 ¥ ¬®£« ¡ë à ¢ïâìáï ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ¬®£ãâ «¥ âì ⮫쪮 ¯àאַ© L. ® ⮣¤ , ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ¢®®¡é¥ ¨¬¥îâáï, â® ¨å ⮫쪮 ¤¢ ¨ ®¨ à ¢ë ¨ ¯à ¢«¥ë ®¡ «¨¡® ª ¢¥à訥, «¨¡® ®â ¥¥. ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨© ®áãé¥á⢫ï¥âáï ⮫쪮 ç¥â¢¥àâ ï ¢®§¬®®áâì, 㪠§ ï ¢ «¥¬¬¥. 5. áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © ¡, ª®£¤ ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë ¯à ¢«¥¨©. ã® ¤®ª § âì, ç⮠⮣¤ ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ωi «¥ â ®¤®© ¨á⨮© £à ¨ ¨ ªà ©¨¥ ¨§ ¨å ¯à ¢«¥ë ®¤¨ ª®¢®. ª ª ª ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë ¯à ¢«¥¨©, â® ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ®¤¨ ª®¢ëå ¯à ¢«¥¨©; ¤«¥ 騬 ®¡à §®¬ 㬥àãï ¢¥ªâ®àë, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¢¥ªâ®àë ω , . . . , ωm ¯à ¢«¥ë ª ¢¥à訥, ¢¥ªâ®àë ωm , . . . , ωn | ®â ¥¥. Ǒ஢¥¤¥¬ £à ïå 㣫 V ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ë ¯®«ã¯àï¬ë¥ p, q â ª, çâ®¡ë ®¨ à §¤¥«ï«¨ í⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢¥ªâ®à®¢ (à¨á. 148). Ǒ«®áª®áâì (pq), ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ í⨠¯®«ã¯àï¬ë¥, «¨¡® ¡ã¤¥â ¯«®áª®áâìî ®¤®© ¨§ £à ¥© 㣫 V , «¨¡® à §®¡ì¥â ¥£® ¤¢ 㣫 V ¨ V . ª ª ª ¯®«ã¯àï¬ë¥ p, q à §¤¥«ïîâ ®¤ã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ®â ¤à㣮©, â® ¢¥ªâ®àë ®¤®© ¨§ ¨å «¥ â ¢ ®¤®¬ § ¬ªã⮬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, ®£à ¨ç¥®¬ ¯«®áª®áâìî (pq), ¢¥ªâ®àë ¤à㣮© | ¢ ¤à㣮¬. 1
+1
1
2
408
. .
ª®¥ ¯®«®¥¨¥ ¬ë ¨¬¥¥¬, áç¨â ï, çâ® ª ¤ë© ¢¥ªâ®à «¥¨â ᢮¥¬ ॡà¥. ® ¥á«¨ ¢á¥ í⨠¢¥ªâ®àë ®â«®¨âì ¨§ ¢¥àè¨ë 㣫 V , â® ¢¥ªâ®àë, ¯à ¢«¥ë¥ ®â ¥¥, ®ª ãâáï ¨¤ã騬¨ ¢ â® ¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ªã¤ ¨¤ãâ ¢¥ªâ®àë, ¯à ¢«¥ë¥ ª ¢¥à訥. ª ª ª á㬬 ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ à ¢ ã«î, â®, ®ç¥¢¨¤®, ¨ ®¤¨ ¨§ ¨å ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à ¢«¥ ¢®¢ãâàì ωn ω m+1
ωn q
O
ω1 ω1
ωm
ωm+1
ωm
p
L
¨á. 148
¨á. 149
í⮣® ¯®«ã¯à®áâà á⢠. ᥠ®¨ «¥ â, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ¯«®áª®á⨠(pq). ® ⮣¤ íâ ¯«®áª®áâì ¥áâì ¯«®áª®áâì ®¤®© ¨§ £à ¥© 㣫 V , â ª ª ª ® ᮤ¥à¨â ¥£® ॡà á ¢¥ªâ®à ¬¨ ωi. â ª, ¤®ª § ®, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ωi «¥ â ¢ ¯«®áª®á⨠®¤®© £à ¨. ®¯ãá⨬ ⥯¥àì, ¢®¯à¥ª¨ ¢â®à®© ç á⨠¤®ª §ë¢ ¥¬®£® ã⢥थ¨ï, çâ® ªà ©¨¥ ¢¥ªâ®àë, ª®â®àë¥ ¬ë ⥯¥àì (¢ ®¢®© 㬥à 樨) ®¡®§ 稬 ω ¨ ωn , ¯à ¢«¥ë ¯®-à §®¬ã: ¢¥ªâ®à ω | ª ¢¥à訥, ωn | ®â ¥¥. ®£¤ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ωn ª ω ¥áâì ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨ï, â ª ª ª ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® â ª¨å ¯¥à¥¬¥ ¢á¥£® ¤¢¥, â® ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ω , . . . , ωn ¥áâì ⮫쪮 ®¤ ¯¥à¥¬¥ ¯à ¢«¥¨ï, ¯à®¨á室ïé ï, ᪠¥¬, ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ¢¥ªâ®à ωm ª ¢¥ªâ®àã ωm . Ǒãáâì P | ¯«®áª®áâì, ᮤ¥à é ï ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ω , . . . , ωn . Ǒãáâì L | ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ï ¢ ¯«®áª®á⨠P ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã O 㣫 V ¨ ®â¤¥«ïîé ï ॡà , ¥áã騥 ¢¥ªâ®àë ω , . . ., ωm, ®â ॡ¥à, ¥áãé¨å ¢¥ªâ®àë ωm , . . ., ωn . ®£¤ ¢¥ªâ®àë «¥ â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ॡà å, â® ®¨ ¯à ¢«¥ë ᮮ⢥âá⢥® ª ¢¥à訥 ¨ ®â ¥¥.
᫨ ¥ ¨å ®â«®¨âì ¨§ ¢¥àè¨ë, â® ®¨ ¢á¥ ¡ã¤ãâ ¯à ¢«¥ë ¨§ ¢¥àè¨ë ¢ ®¤ã ¯®«ã¯«®áª®áâì, ®£à ¨ç¥ãî ¯àאַî L (à¨á. 149). ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¨å á㬬 , ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬®¥â à ¢ïâìáï ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® ªà ©¨¥ ¢¥ªâ®àë ¯à ¢«¥ë ¯®-à §®¬ã, ¥¢®§¬®®: ®¨ ¤®«ë ¡ëâì ¯à ¢«¥ë ®¤¨ ª®¢®. 1
1
1
1
+1
1
1
+1
. X:
§ 2.
409
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á«ãç ¥ ¡ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮫쪮 âà¥âìï ¢®§¬®®áâì, 㪠§ ï ¢ «¥¬¬¥, ¨ «¥¬¬ ¯®«®áâìî ¤®ª § . 6.
᫨ ¬®£®£à ë© ã£®« V ᢮¤¨âáï ª ¯«®áª®áâ¨, ⮠ᮢ¥à襮 ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ωi ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à ¢«¥ë ª ¢¥à訥 (¨«¨ ®â ¥¥), å®âï ¨å á㬬 à ¢ ã«î. ®®â¢¥âá⢥® ¢á¥ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¬®£ãâ ¡ëâì áâ 樮 à묨, ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¥áâ 樮 à묨 ¨ ¨¬¥® ¬®£ã⠢ᥠ¬¥ïâìáï ¢ ®¤ã áâ®à®ã, â ª ç⮠㣮« V ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï ¢ë¯ãª«ë¬. í⮬ ¬®® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®á।á⢥®. «ï í⮣® § ªà¥¯¨¬ ॡà å 㣫 V â®çª¨ Ai à ááâ®ï¨¨ a ®â ¢¥àè¨ë O ¨ ¡ã¤¥¬ ¯®¤¨¬ âì ¢¥àè¨ã ¤ ¯«®áª®áâìî, ª ª®â®à®© ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ᢮¤¨«áï 㣮« V . ®çª¨ ¥ Ai ®áâ ¢¨¬ ¥¯®¤¢¨ë¬¨. ®£¤ , ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, ¤«¨ë ®â१ª®¢ OAi , ¢¬¥áâ¥ á ¨¬¨ ¯«®áª¨¥ 㣫ë âà¥ã£®«ì¨ª®¢ OAi Ai ¡ã¤ãâ áâ 樮 àë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ à¥¡à å OAi ¡ã¤ãâ ã¡ë¢ âì ᮠ᪮à®áâﬨ, ¥ à ¢ë¬¨ ã«î. +1
§ 2. ᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨
Ǒãáâì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¥ª®â®àë¥ ¥£® £à ¨ ¬®£ãâ ¯¥à¥« ¬ë¢ âìáï ¯® ¤¨ £® «ï¬. ⨠¤¨ £® «¨ ¡ã¤ãâ ý®¢ë¬¨þ à¥¡à ¬¨ ¬®£®£à ¨ª . 襩 楫ìî ï¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ í⮬ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª áâ 樮 àë, â® ¨ ¤¢ã£à ë¥ ¥£® 㣫ë â ª¥ áâ 樮 àë. ç áâ®áâ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áâ 樮 àë ã£«ë ¯à¨ ý®¢ëåþ ॡà å, â. ¥. ç «ì ï ᪮à®áâì ¢®§¨ª®¢¥¨ï íâ¨å ॡ¥à à ¢ ã«î. â ⥮६ «®£¨ç ¤®ª § ®© ¢ § 2 £« ¢ë III ⥮६¥ ® à ¢¥á⢥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ à ¢¥á⢠¯«®áª¨å 㣫®¢. ¤ ª® §¤¥áì ¬ë ¥ ¬®¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© ®è¨, ¯®â®¬ã çâ®, ª ª ¯®ª § ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¬®¥â ¡ëâì ¨ ¥ ç¥âëà¥, ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª . ( ¬ 㪠§ ¥é¥ ¢®§¬®®áâì, çâ® ¢®ªà㣠¥ª®â®à®© ¢¥àè¨ë A ¯¥à¥¬¥ § ª ¥â, ® ⮣¤ ⮫쪮 ¤¢ à¥¡à ®â¬¥ç¥ë ¨ ®¡ ®¤¨¬ § ª®¬. â®â á«ãç © ¬®® ¨áª«îç¨âì ¢®¢á¥: ¤®áâ â®ç® ¨áª«îç¨âì ¢á¥ ¥®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , ®¡ ®â¬¥ç¥ëå à¥¡à ¯à¨ïâì § ®¤®, ⮣¤ ¢¥àè¨ A ¯à®áâ® ¨á祧¥â.) ¤ ª® ¢ «¥¬¬¥, ¤®ª § ®© ¢ § 1, 㪠§ ë ®á®¡ë¥ á¢®©á⢠à ᯮ«®¥¨ï § ª®¢, ¥á«¨ ¨å ¯¥à¥¬¥ | ⮫쪮 ¤¢¥. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á ᮡ«î¤¥¨¥¬ íâ¨å ᢮©á⢠१ã«ìâ â «¥¬¬ë ®è¨ ®áâ ¥âáï ¢á¥-â ª¨ ¢¥àë¬: â ª ï à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¥¢®§¬® . ª ª ª íâ®â १ã«ìâ ⠡㤥⠨ᯮ«ì§®¢ ¢ à §ëå á«ãç ïå: ¢ § 3{5 í⮩ £« ¢ë ¨ ¢ £« ¢¥ XI, â® ¬ë áä®à¬ã«¨à㥬 ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® §¤¥áì ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¢ ª ç¥á⢥ ýãᨫ¥®© «¥¬¬ë ®è¨þ. ¬¥áâ® à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ ॡà å ¬®£®£à ¨ª ¬®®, ª®¥ç®, £®¢®à¨âì ® à ááâ ®¢ª¥ § ª®¢ ®â१ª å | ýॡà åþ ¥ª®â®à®© á¥â¨ ¯®¢¥àå®áâ¨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, ¯®¤ç¨¨¢ íâã á¥âì ¥ª®â®àë¬ ¥®¡å®¤¨1.
410
. .
¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬. â ¡®«¥¥ ¡áâà ªâ ï â®çª §à¥¨ï ¯®«¥§ ¢ ¯à¨«®¥¨ïå «¥¬¬ë. 2. ᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨. Ǒãáâì ¯®¢¥àå®áâ¨, £®¬¥®¬®à䮩 áä¥à¥, ¤ á¥âì «¨¨© | ýॡ¥àþ, ¥ ¨¬¥îé¨å ¯®¯ à® ®¡é¨å â®ç¥ª, ªà®¬¥ ª®æ®¢ | ý¢¥àè¨þ á¥â¨, ¯à¨ç¥¬ íâ á¥âì ®¡« ¤ ¥â â६ï ᢮©á⢠¬¨: ) ¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ¥ ᮥ¤¨¥ë ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨; ¡) ª ¤ ï ¨§ ®¡« á⥩ | ý£à ¥©þ, ª®â®àë¥ á¥âì à §¡¨¢ ¥â ¯®¢¥àå®áâì, ®£à ¨ç¥ ®¤®© § ¬ªã⮩ 楯ìî ॡ¥à ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª; ¢) ॡà®, ᮥ¤¨ïî饥 ¤¢¥ ¢¥àè¨ë £à ¨, ¯à¨ ¤«¥¨â í⮩ £à ¨. Ǒãáâì ¥ª®â®àëå £à ïå ¯à®¢¥¤¥ë ¥é¥ ý®¢ë¥ ॡà þ, ïî騥áï ¨å ¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¤¨ £® «ï¬¨, ¨ ¯à¨â®¬ â ª, çâ® ãá«®¢¨ï ¨ ¢ ¥ àãè îâáï. â¨ à¥¡à ¤¥«ïâ ýáâ àë¥þ £à ¨ ý®¢ë¥þ £à ¨ . Ǒãáâì ¥ª®â®àë¬ à¥¡à ¬, ª ª ýáâ àë¬þ, â ª ¨ ý®¢ë¬þ, ᮯ®áâ ¢«¥ë § ª¨ ¯«îá ¨«¨ ¬¨ãá, ¯à¨ç¥¬ ¥ª®â®àë¥ à¥¡à ¬®£ãâ ®áâ âìáï ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ¥àè¨ã, ª ª®â®à®© ¯®¤å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤® ®â¬¥ç¥®¥ ॡà®, §®¢¥¬ ®â¬¥ç¥®©; ç¨á«® ¨å ®¡®§ 稬 E . §®¢¥¬ ¢¥àè¨ã ®á®¡®©, ¥á«¨ à ááâ ®¢ª § ª®¢ á室ïé¨åáï ¢ ¥© ॡà å ®â¢¥ç ¥â á«ãç î 3 «¥¬¬ë 1 § 1. ® ¥áâì ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¢®ªà㣠⠪®© ¢¥àè¨ë à ¢® ¤¢ã¬ ¨ ¢á¥ ¯®¤å®¤ï騥 ª ¥© à¥¡à ¥ ®â¬¥ç¥ë, ªà®¬¥ ॡ¥à, ¯à¨ ¤«¥ é¨å ®¤®© ýáâ னþ £à ¨, ¯à¨ç¥¬ ¤¢ ªà ©¨å∗ ¨§ íâ¨å ॡ¥à ®â¬¥ç¥ë ®¤¨¬ § ª®¬. ¨á«® ®á®¡ëå ¢¥àè¨ ®¡®§ 稬 E . ᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨ á®á⮨⠢ ã⢥थ¨¨, çâ® ®¡é ï á㬬 N ¯¥9)
६¥ § ª®¢ ¯à¨ ®¡å®¤ å ¢®ªà㣠¢á¥å ¢¥àè¨ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ¥à ¢¥áâ¢ã
4
2
8
N 6 E − E∗ − .
(1)
âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥ ¬®¥â ¡ëâì â ª®© à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢, ¯à¨ ª®â®¯¥à¥¬¥ § ª . ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ â ª®© à ááâ ®¢ª¥ ¡ë«® ¡ë N > 4(E − E ∗ ) + 2E ∗ , ¯®áª®«ìªã ¢®ªà㣠E ∗ ®á®¡ëå ¢¥àè¨ ¨¬¥¥âáï ¯® ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª . íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥à ¢¥áâ¢ã (1). ®«¥¥ ⮣®, ¢ ¥à ¢¥á⢥ (1) ¥áâì ¥é¥ ý§ ¯ áþ: −8. Ǒ®í⮬㠬®® ¤®¯ãáâ¨âì ®¤ã ¢¥àè¨ã ¢®¢á¥ ¡¥§ ¯¥à¥¬¥ § ª ¨«¨ âਠ¢¥àè¨ë á ¤¢ã¬ï (¯à®¨§¢®«ì묨) ¯¥à¥¬¥ ¬¨ § ª : ¢á¥ à ¢® ¢á«¥¤á⢨¥ í⮣® ý§ ¯ á þ â ª ï à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¡ã¤¥â ¥¢®§¬®®©. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ãᨫ¥®© «¥¬¬ë ®è¨ ¡ã¤¥â «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ¯à®á⮩ «¥¬¬ë ®è¨ § 1 £« ¢ë II. ன ¢®ªà㣠ª ¤®© ¥®á®¡®© ®â¬¥ç¥®© ¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å
9) ⨠ãá«®¢¨ï, ª®¥ç®, ¢ë¯®«ïîâáï ¤«ï á¥â¨ ॡ¥à ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¤¨ £® «¥© ¥£® £à ¥©. «®¢® ý«¨¨ïþ ®§ ç ¥â £®¬¥®¬®àäë© ®¡à § ¯àאַ«¨¥©®£® ®â१ª .
. X:
§ 2.
411
3. áᬮâਬ á¥âì, ®¡à §®¢ ãî ®¤¨¬¨ ®â¬¥ç¥ë¬¨ à¥¡à ¬¨; ¥®â¬¥ç¥ë¥ à¥¡à ¬ë ¢®¢á¥ ¨áª«î稬 ¨§ à áᬮâ२ï. à §¡¨¢ ¥â à áᬠâਢ ¥¬ãî ¯®¢¥àå®áâì ®¡« áâ¨. § ãá«®¢¨ï «¥¬¬ë á«¥¤ã¥â, çâ® ®¡« á⥩, ®£à ¨ç¥ëå ⮫쪮 ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨, ¥â.
᫨ ¯®¤áç¨âë¢ âì ®¡é¥¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤ å ¢®ªà㣠®¡« á⥩, â® ¯®«ã稬 â® ¥ á ¬®¥ ç¨á«® N , ¯®â®¬ã çâ® ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® à¥¡à ª á®á¥¤¥¬ã ¯à®¨á室¨â ®¤®¢à¥¬¥® ª ª ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë, â ª ¨ ¢®ªà㣠®¡« áâ¨. Ǒਠí⮬ ॡà®, ¯à¨ ¤«¥ 饥 ®¡« áâ¨, ® ¥ ®â¤¥«ïî饥 ¥¥ ®â ¤àã£¨å ®¡« á⥩, ¯à®å®¤¨âáï ¤¢ ¤ë (á¬. à¨á. 61, á. 86). á¢ï§¨ á í⨬ â ª®¥ ॡ஠áç¨â ¥âáï § ¤¢¥ áâ®à®ë ®¡« áâ¨. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ Fn ®§ ç ¥â ç¨á«® ®¡« á⥩ á n áâ®à® ¬¨, K | ®¡é¥¥ ç¨á«® ॡ¥à, â®
2K =
X
(2)
nFn .
n
᫨ E , K , F | ç¨á« ¢¥àè¨, ॡ¥à ¨ ®¡« á⥩, â® ¯® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ©«¥à + F > 2. (3) âáî¤ , 㬮 ï 4 ¨ ¯®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (2), ¯®«ãç ¥¬
a
G
H*
A b
E−K
4E − 8 >
X n
2(n − 2)Fn.
(4)
¨á. 150
Ǒ®í⮬㠥᫨ ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ®¡é¥¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥à ¢¥áâ¢ã X N6 2(n − 2)Fn − 2E ∗ , (5) n
⮠⥬ ¡®«¥¥ ¡ã¤¥â ¢¥à® ¥à ¢¥á⢮ (1). â㠮楪ã (5) ¤«ï ®¡é¥£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ § ª ¬ë ¯®«ã稬 ¯®¤áç¥â®¬ ¯¥à¥¬¥ § ª ¢®ªà㣠®¡« á⥩. 4. Ǒãáâì G | ®¤ ¨§ ®¡« á⥩ ¢ á¥â¨ ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¥¥ ¢¥àè¨ A ¥áâì ®á®¡ ï ¢¥àè¨ ¢ ®¡« á⨠G, ¥á«¨ 1) ¢¥àè¨ A | ®á®¡ ï ¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¤ ®£® ¢ «¥¬¬¥; 2) áâ®à®ë ®¡« á⨠G, á室ï騥áï ¢ A, áãâì ª ª à § ¤¢ ªà ©¨å à¥¡à ¢ àï¤ã ¯®¤å®¤ïé¨å ª A ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à, ª®â®àë¥ «¥ â ®¤®© ýáâ ன £à ¨þ; ᮣ« á® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®á®¡®© ¢¥àè¨ë, í⨠ªà ©¨¥ à¥¡à ®â¬¥ç¥ë ®¤¨¬ § ª®¬. § ᢮©á⢠®á®¡ëå ¢¥àè¨ á¥â¨, 㪠§ ëå ¢ «¥¬¬¥, «¥£ª® ¢ë⥪ îâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¢¥àè¨, ®á®¡ëå ¢ «î¡®© ®¡« á⨠G:
412
. .
1) áïª ï ®á®¡ ï ¢¥àè¨ á¥â¨ ®ª §ë¢ ¥âáï ®á®¡®© ¢ ®¤®© ¨ ⮫쪮 ®¤®© ®¡« áâ¨. 2) ®á®¡®© ¢¥à訥 ®¡« á⨠G ¥â ¯¥à¥¬¥ë § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠®¡« á⨠G. 3)
᫨ ¢¥àè¨ A ®¡« á⨠G | ®á®¡ ï ¢ G, â® á室ï騥áï ¢ ¥© áâ®à®ë a, b ®¡« á⨠G áãâì à¥¡à ¨«¨ ¤¨ £® «¨ ®¤®© áâ ன £à ¨ H . ® ¢á类¬ H ¥ª®â®àãî ç áâì H ∗ , ª®â®àãî ¬ë â ª¥ §®¢¥¬ á«ãç ¥ ®¨ ¢ë१ îâ ¨§ ý£à ìîþ. H ∗ ᮢ¯ ¤ ¥â á H ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ®¡ 㪠§ ëå ॡà áãâì (áâ àë¥) à¥¡à £à ¨ H (à¨á. 150); £à ì H ∗ ¯®ªàëâ £®à¨§®â «ì®©∗ èâà¨å®¢ª®©, ®¡« áâì G | ¢¥à⨪ «ì®©, £à ì H | ª«®®©. à ì H ¥áâì ç áâì áâ ன £à ¨ H , ®áâ «ì ï ç áâì £à ¨ H ¯®¯ « ¢ G. ¡« áâì G ¨ £à ì H ∗∗ «¥ â ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ॡ¥à a, b, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¢¡«¨§¨ ¨å . H ¥áâì ª ª à § â ç áâì £à ¨ H , ª®â®à®© «¥ â ¯®¤å®¤ï騥 ª A ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , ®âªã¤ ïá®, çâ® H ®â¤¥«¥ ®â G ªà ©¨¬¨ ¨§ G A B íâ¨å ॡ¥à. H′ 4)
᫨ ¤¢¥ á®á¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë A H ¨ B ®¡« á⨠G | ®á®¡ë¥ ¢ G, â® D C ¢á¥ âਠáâ®à®ë AB , AC , BD ®¡« á⨠G ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© £à ¨ ¨á. 151 (à¨á. 151). ¥©á⢨⥫ì®, ª ª ⮫쪮 çâ® ®â¬¥ç¥®, áâ®à®ë AB , AC ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© £à ¨ H , ®â¤¥«¥®© ®â G, ¨ â®ç® â ª ¥ áâ®à®ë AB ¨ BD ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© £à ¨ H ′ , ®â¤¥«¥®© ®â G. ®′ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â AB ¬®¥â «¥ âì ⮫쪮 ®¤ £à ì, ¯®â®¬ã H ¨ H ᮢ¯ ¤ îâ. 5. Ǒ®á«¥ íâ¨å § ¬¥ç ¨© ®¡à ⨬áï ª ®æ¥ª¥ ç¨á« ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠«î¡®© ®¡« á⨠G. Ǒãáâì eG | ç¨á«® ¢á¥å ¢¥àè¨ ®¡« á⨠G, e∗G | ç¨á«® ¥¥ ®á®¡ëå ¢¥àè¨, nG | ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠G. Ǒ®ª ¥¬, çâ® nG 6 2(eG − e∗G − 2). (6) ª ª ª ¢ ®á®¡ëå ¢¥àè¨ å ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª , â® 10)
nG 6 eG − e∗G ,
ªà®¬¥ ⮣®, nG § ¢¥¤®¬® ç¥â® ¨ ¯®í⮬ã eG − e∗G nG 6 2 2 ,
(7)
10) à ¥¥ ¢®¢á¥ ¥ ïá®, çâ® £à ì H ∗ ¥ ¬®¥â ¢å®¤¨âì ¢ ®¡« áâì G; å®âï H ∗ à §à¥§ ý®¢ë¬¨ à¥¡à ¬¨þ, ® ¥ª®â®àë¥ ¥¥ ªã᪨ ¬®£«¨ ¡ë ¢å®¤¨âì ¢ G. ¤ ª® ¢¡«¨§¨ 㪠§ ëå ॡ¥à ⮣® ¡ëâì ¥ ¬®¥â, ¢ 祬 ¨ á®á⮨â è¥ ã⢥थ¨¥.
. X:
§ 2.
413
£¤¥ ¯àï¬ë¥ ᪮¡ª¨ ®¡®§ ç îâ, ª ª ¯à¨ïâ®, 楫ãî ç áâì § ª«î祮£® ¢ ¨å ç¨á« .
᫨ x > 3, â®, ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, 2 6 x − 2. Ǒ®í⮬㠯ਠeG − e∗G > 3 ¨§ (7) á«¥¤ã¥â ãë© ¬ १ã«ìâ â: hxi
nG 6
2(eG − e∗G − 2).
(8)
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® eG −e∗G < 3, â.¥. çâ® ã ®¡« á⨠G ¥áâì ¬ ªá¨¬ã¬ ¤¢¥ ¥®á®¡ë¥ ¢¥àè¨ë. Ǒ® ¤®ª § ®¬ã ¢ëè¥ ®¡« á⥩ ⮫쪮 á ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨ ¬¨ ¡ëâì ¥ ¬®¥â, ¯®â®¬ã eG > 3 ¨ ¯à¨ eG − e∗G < 3 ¡ã¤¥â e∗G > 1, â. ¥. ®¡« áâì G ¢¥à®¥ ¨¬¥¥â ®á®¡ë¥ ¢¥àè¨ë. ¨á«® ¥ ¥®á®¡ëå ¢¥àè¨ eG − e∗G 6 2. ®ª ¥¬, çâ® ¥®á®¡ëå ¢¥àè¨ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¬¥ìè¥ ¤¢ãå, ¥á«¨ ¨å ¤¢¥, â® ®¨ ¥á®á¥¤¨¥. ®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢®¥ ¨ ¯ãáâì ¨¤ã騥 ¯®¤àï¤ ¢¥àè¨ë A , . . . , Ae− ®¡« á⨠G | ®á®¡ë¥, ¤¢¥ ®á⠢訥áï á®á¥¤¨¥ ¢¥àè¨ë Ae− , Ae | ¬®¥â ¡ëâì, ¨ ¥®á®¡ë¥. ®£¤ ¨§ ®â¬¥ç¥®£® ¢ëè¥ ¯®á«¥¤¥£® ᢮©á⢠®á®¡ëå ¢¥àè¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á¥ áâ®à®ë Ae A , A A , . . . , Ae− Ae− ¯à¨ ¤«¥ â ®¤®© £à ¨ H ∗ . â ª®¬ á«ãç ¥ áâ®à® Ae− Ae â ª¥ ¯à¨ ¤«¥¨â H ∗ , ¯®â®¬ã çâ® ¯® ãá«®¢¨î ¢ «¥¬¬ë ॡ஠¨á室®© á¥â¨, ᮥ¤¨ïî饥 ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ®¤®© £à ¨, ¯à¨ ¤«¥¨â ¥©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ áâ®à® Ae− Ae ¥áâì ýáâ ஥ ॡà®þ, â® ® ¥áâì ॡ஠£à ¨ H ∗ , ¥á«¨ ¥ ® ¥áâì ý®¢®¥ ॡà®þ, â® ® ï¥âáï ¤¨ £® «ìî £à ¨ H ∗ . ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ áâ®à® ∗ Ae− Ae ®â¤¥«ï¥â ®â £à ¨ H ¥ª®â®àãî ¥¥ ç áâì. ª ¨«¨ ¨ ç¥, ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢á¥ áâ®à®ë ®¡« á⨠G ®£à ¨ç¨¢ îâ ®¡« áâì H ∗∗ , £®¬¥®¬®àäãî ªàã£ã. Ǒ® ®á®¢®¬ã ᢮©áâ¢ã ®á®¡ëå ¢¥àè¨ ¨§ ¢á¥å ¢¥àè¨ A , . . . , Ae− ¤®«ë ¨á室¨âì ॡà , «¥ 騥 ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ Ai Ai . â¨ à¥¡à ¤®«ë ¡ëâì, ®ç¥¢¨¤®, ¤¨ £® «ï¬¨ £à ¨ H ∗ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®¡« á⨠H ∗∗ . Ǒ® ãá«®¢¨î ®¨ ¥ ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥ª âìáï. ® A , . . . , Ae− áãâì ¢á¥ ¢¥àè¨ë ®¡« á⨠H ∗∗ , ªà®¬¥ ¤¢ãå á®á¥¤¨å Ae− , Ae , ¨ â ª ª ª H ∗∗ £®¬¥®¬®àä ªàã£ã, â® ¨§ ª ¤®© ¢¥àè¨ë A , . . . , Ae− ¥«ì§ï ¯à®¢¥á⨠å®âï ¡ë ¯® ®¤®© ¤¨ £® «¨ â ª, ç⮡ë í⨠¤¨ £® «¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª «¨áì . ( ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ e = 3 ¨ ¥áâì ⮫쪮 ®¤ ®á®¡ ï ¢¥àè¨ A , â® ¤¨ £® «¥© ¥â ¢®¢á¥.) «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¨ ¨¬¥¥âáï ¤¢¥ ¥®á®¡ë¥ ¢¥àè¨ë, â® ®¨ ¥á®á¥¤¨¥. 1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
+1
1
2
1
1
2
11)
1
11) âண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯®«ãç ¥âáï ¥¬¥¤«¥® ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥àè¨.
414
. .
® ¥á«¨ ¢á¥ ¢¥àè¨ë, ªà®¬¥ ¤¢ãå ¥á®á¥¤¨å, | ®á®¡ë¥, â® ¢á¥ áâ®à®ë ®¡« á⨠G ¯®¤å®¤ïâ ª ®á®¡ë¬ ¢¥àè¨ ¬ ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥å ¨å áâ®ïâ ®¤¨ ª®¢ë¥ § ª¨, â. ¥. ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ nG = 0. ¬¥á⥠á ⥬ ¢ í⮬ á«ãç ¥ à §®áâì ç¨á« ¢á¥å ¢¥àè¨ ¨ ®á®¡ëå ¢¥àè¨ eG − e∗G = 2. Ǒ®í⮬ã nG = 2(eG − e∗G − 2), â. ¥. ®æ¥ª (6) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® â ª¥ ¢ á«ãç ¥ eG − e∗G < 3. 6. «®¨¢ ç¨á« ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ nG ¤«ï ¢á¥å ®¡« á⥩ G, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ N ¨ ¢ ᨫ㠮楪¨ (6) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì X X X N= 2(eG − 2) − 2 e∗G. (9) nG 6
᫨ Fn ¥áâì ç¨á«® ®¡« á⥩ G á n ¢¥àè¨ ¬¨, â.¥. á n áâ®à® ¬¨, â® X X 2(eG − 2) = 2(n − 2)Fn. (10) n
«¥¥, ª ¤ ï ®á®¡ ï ¢¥àè¨ á¥â¨ ï¥âáï ¢¥à訮©, ®á®¡®© ¢ ®¤®© ¨ ⮫쪮 ®¤®© ®¡« áâ¨. Ǒ®í⮬ã á㬬 ç¨á¥« ®á®¡ëå ¢¥àè¨ ¯® ¢á¥¬ ®¡« áâï¬ à ¢ ç¨á«ã ¢á¥å ®á®¡ëå ¢¥àè¨ á¥â¨, â.¥. X e∗G = E ∗ . (11) Ǒ®í⮬㠮楪ã (9) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì â ª: X N6 2(n − 2)Fn − 2E ∗ . n
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥à ¢¥á⢮ (5) ¤®ª § ®, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ¤®ª § ¨ ¢áï ãᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨. § 3. â 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¥£® ¯«®áª¨å 㣫®¢
1. Ǒãáâì P | ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª; ® ¬®¥â ¡ëâì § ¬ªãâë¬, ¡¥áª®¥çë¬ ¨«¨ ¬®¥â ¨¬¥âì £à ¨æã. §®¡ì¥¬ ¥£® £à ¨ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ç á⨠®â१ª ¬¨ (¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ë¬¨ ¢ á«ãç ¥ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©), ¥ ¢áâà¥ç î騬¨áï ¢ãâਠ£à ¥©. ®æë íâ¨å ®â१ª®¢ ¬®£ãâ, á«¥¤®¢ ⥫ì®, «¥ âì ⮫쪮 ॡà å ¨«¨ ¢ ¢¥àè¨ å ¬®£®£à ¨ª . 12)
12) ¥§ í⮣® ãá«®¢¨ï ¨§ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ ¥ ¬®¥â ¢ë⥪ âì áâ 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ª ª íâ® ïá® ¨§ § ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ®£® ¢ ª®æ¥ § 1.
᫨, ¯à¨¬¥à, à §¡¨âì £à ì ªã¡ , ¯à®¢¥¤ï ¢ ¥© ¤¢¥ ¤¨ £® «¨, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¥ ¡ã¤ãâ áâ 樮 à묨. (â® ª á ¥âáï à §¡¨¥¨© áâ àëå £à ¥©, ¯à¨ ª®â®àëå ¯®ï¢«ïîâáï ®¢ë¥ ¢¥àè¨ë, á¬. १ã«ìâ â .®¥««¨, 㯮¬ïãâë© ¢ ¯®¤áâà®ç®¬ ¯à¨¬¥ç ¨¨ 32) á. 129, 130. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .)
. X:
§ 3.
415
¤ãî ç áâì £à ¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì £à ìî, ®â१ª¨ ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ë¥, à §¡¨¢ î騥 £à ¨, | à¥¡à ¬¨, ª®æë íâ¨å ®â१ª®¢ ¨«¨ ¯®«ã¯àï¬ëå | ¢¥àè¨ ¬¨.
( ) ª¨¬ ®¡à §®¬, ã ¬®£®£à ¨ª ¯®ï¢«ïîâáï ý¥ áâ®ï騥þ ॡà , «¥ 騥 ¢ãâਠ¥£® ¨áâ¨ëå £à ¥©, ¨ ý¥ áâ®ï騥þ ¢¥àè¨ë, «¥ 騥 ¢ãâਠ¥£® ¨áâ¨ëå ॡ¥à. áî¤ã ¤ «ìè¥ ¢ í⮬ ¨ ¢ á«¥¤ãîé¨å ¯ à £à ä å £à ¨, à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ¡ã¤ãâ ¯®¨¬ âìáï ¢ 㪠§ ®¬ ®¡®¡é¥®¬ á¬ëá«¥. 㤥¬ à áᬠâਢ âì ¥¯à¥àë¢ãî ¤¥ä®à¬ æ¨î ¬®£®£à ¨ª P á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¥ª®â®à®£® ¯ à ¬¥âà t, ¯à¨ç¥¬ ç «ì®¬ã ¯®«®¥¨î ®â¢¥ç ¥â t = 0. ¥ä®à¬ æ¨î ¬ë ¯®¤ç¨ï¥¬ á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) ª ¤ ï ¢¥àè¨ , ¢ª«îç ï ¨ ý¥ áâ®ï騥þ, ¤¢¨¥âáï á ®¯à¥¤¥«¥®© (¬®¥â ¡ëâì, ¯¥à¥¬¥®©) ᪮à®áâìî, â. ¥. ¥¥ ª®®à¤¨ âë áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ®â t; 2) ¨ ®¢ëå ¢¥àè¨, ¨ ®¢ëå ॡ¥à ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï. § íâ¨å ãá«®¢¨© á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¨áâ¨ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¥ «®¬ îâáï ¨ ç¥, ª ª ¯® § à ¥¥ ¢¢¥¤¥ë¬ ¥ áâ®ï騬 à¥¡à ¬, ¨ çâ® ¨å ç áâ¨, ¯à¨ïâë¥ § £à ¨, ¢à é îâáï ¢®ªà㣠¨å ®¡é¨å ॡ¥à á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ, ¯à¨ç¥¬ á ¬ë¥ à¥¡à â ª¥ ¢à é îâáï ¨ ¬¥ïîâ á¢®î ¤«¨ã. 祢¨¤® â ª¥, çâ® ¢á¥ í«¥¬¥âë ¬®£®£à ¨ª , ¢ ç áâ®á⨠¯«®áª¨¥ ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë, ¬¥ïîâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ, â. ¥. áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ®â t. ®¢á¥ ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¤®«¥ ®áâ ¢ âìáï ¢ë¯ãª«ë¬. «ìè¥ à¥çì ¨¤¥â ¨¬¥® ® â ª¨å ¤¥ä®à¬ æ¨ïå. á ¨â¥à¥áãîâ ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ á«¥¤ã¥â áâ 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢. ¥è¥¨¥ í⮣® ¢®¯à®á ¯®«ãç¨âáï ¨§ ᮥ¤¨¥¨ï «¥¬¬ë 1 § 1 á ãᨫ¥®© «¥¬¬®© ®è¨, ¤®ª § ®© ¢ § 2. «¥¬¬¥ 1 § 1 ¢®§¬®¥ á«ãç © 4, ª®£¤ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¥â ¯¥à¥¬¥ § ª®¢, ® ¥áâì ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà . ¤ ª®, ª ª â ¬ 㪠§ ®, íâ®â á«ãç © ¬®¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® «¨èì ¢ ¢¥à訥 㣫 , ᢮¤ï饣®áï ª ¤¢ã£à ®¬ã, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ®â 㣮« â ª ¨ ®áâ ¥âáï ¤¢ã£à ë¬ (á â®ç®áâìî ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ª®¥ç®). âáî¤ ïá®, çâ® â ª¨¥ ¢¥àè¨ë ¬®® ¨áª«îç¨âì ¢®¢á¥: ¢á¥ ¥ áâ®ï騥 ॡà , ¯®¤å®¤ï騥 ª ¨¬, ¥ ®â¬¥ç¥ë ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨áª«îç¥ë, ®¡ áâ®ïé¨å ॡà , ¯®¤å®¤ï騥 ª ®¤®© â ª®© ¢¥à訥, ®¡à §ãîâ ®¤® ॡà®. â ª, á«ãç © 4 «¥¬¬ë 1 § 1 ¨áª«îç ¥âáï, ¨ ®áâ îâáï, ¥ áç¨â ï ®âáãâáâ¢¨ï ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à, ⮫쪮 á«ãç ¨ 1{3, ª®â®àë¥ ª ª à § ¢å®¤ïâ ¢ ãᨫ¥ãî «¥¬¬ã ®è¨. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ⥮६ ¬ ® áâ 樮 à®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. 2. ¥®à¥¬ 1.
᫨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à -
¨ª ¢á¥ ã£«ë ¥£® £à ïå áâ 樮 àë, â® ¢á¥ ¥£® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë â ª¥ áâ 樮 àë.
416
. .
®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª § ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ®£® 㣫 ¯à¨ í⮬ ॡà¥; ॡà á® áâ 樮 à묨 ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨ ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ª ª ª ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë, â® à ᯮ«®¥¨¥ § ª®¢ ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢¥àè¨ë ¤®«® 㤮¢«¥â¢®àïâì «¥¬¬¥ 1 § 1. ¤ ª® ¯® ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨, ¤®ª § ®© ¢ § 2, à ᯮ«®¥¨¥ § ª®¢ á â ª¨¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¥¢®§¬®®, ¥á«¨ å®âï ¡ë ®¤® ॡ஠®â¬¥ç¥® § ª®¬. Ǒ®íâ®¬ã ¢á¥ à¥¡à ¤®«ë ¡ëâì ¥®â¬¥ç¥ë¬¨, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì . 13)
3. ¥®à¥¬ 2.
Ǒãáâì
P
| ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨-
ç¥ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¨ ®¡« ¤ î騩 ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¨ª ª ï ¥£® ¢ãâà¥ïï, â. ¥. ¥ «¥ é ï £à ¨æ¥, ¢¥àè¨ ¥ ᮥ¤¨¥ á £à ¨æ¥© ¡®«¥¥ 祬 ®¤¨¬ ॡ஬.
᫨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¢á¥ ¥£® ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¯à¨ ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ å áâ 樮 àë, â® ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë â ª¥ áâ 樮 àë.
⮤¥á⢨¢ ¬ëá«¥® ¢á¥ â®çª¨ £à ¨æë ¬®£®£à ¨ª P ¢ ®¤ã â®çªã O, ¬ë ¯à¥¢à ⨬ ¥£® ¢ ¯®¢¥àå®áâì P , £®¬¥®¬®àäãî áä¥à¥. ¡ã¤¥â à §¡¨â £à ¨ á¥âìî P ′ ¢ãâ२å ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª P á ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¢ P ′ ¢á¥ ॡà , ¯®¤å®¤¨¢è¨¥ ª £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª P , á室ïâáï ¢ ®¤®© â®çª¥ O. Ǒਠí⮬ ¯® ãá«®¢¨î, «®¥®¬ã ¬®£®£à ¨ª P , ¨ª ª ï ¢¥àè¨ ¥ ¡ã¤¥â ᮥ¤¨¥ á ¢¥à訮© O ¤¢ã¬ï à¥¡à ¬¨. Ǒ®í⮬ã á¥âì ¯®¢¥àå®á⨠P 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬, ¯®áâ ¢«¥ë¬ ¢ ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨. ®¯ãá⨬, çâ® ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¯à¨ ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ å áâ 樮 àë, ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¥ áâ 樮 àë. ®£¤ , à ááâ ¢¨¢ ¥£® ॡà å § ª¨ ᮣ« á® ¨§¬¥¥¨î ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ¯®«ã稬 ¢®ªà㣠¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨ à á¯à¥¤¥«¥¨ï § ª®¢, ¯à¥¤ãᬮâà¥ë¥ «¥¬¬®© 1 § 1.
᫨ í⨠§ ª¨ ¯¥à¥¥á⨠ॡà á¥â¨ P ′, ⮠⮫쪮 ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë O à á¯à¥¤¥«¥¨¥ § ª®¢ ®ª ¥âáï ¥ ¯®¤ç¨¥ë¬ ¨ª ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬. ® ãᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨ ã⢥ठ¥â, çâ® ¤ ¥ ¯à¨ «¨ç¨¨ ®¤®© â ª®© ¨áª«îç¨â¥«ì®© ¢¥àè¨ë à ááâ ®¢ª § ª®¢ á ãá«®¢¨ï¬¨ «¥¬¬ë 1 § 1 ¥¢®§¬® . Ǒ®í⮬㠤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¥ ¬®£ãâ ¥ ¡ëâì áâ 樮 à묨. 13) ®â«¨ç¨¥ ®â ⥮६ë 1 § 2 £«. III ® à ¢¥á⢥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¯«®áª¨å 㣫®¢, ¤ ï ⥮६ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, ¢ëத îé¨åáï ¢ ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¥¢¥à ¤ ¥ ¯à¨ ⮬ ãá«®¢¨¨, çâ®, ¤¥ä®à¬¨àãïáì, ¬®£®£à ¨ª ®áâ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ (¨áª«îç ï âਢ¨ «ìë© á«ãç © ¤¢ ¤ë ¯®ªàë⮣® âà¥ã£®«ì¨ª ). ®§ì¬¥¬, ¯à¨¬¥à, ¤¢ ¤ë ¯®ªàëâë© ª¢ ¤à â ABCD á® áâ®à®®©, à ¢®© a, ¨ ¢ë¤¢¨¥¬ ¢¥àè¨ã D ¨§ ¥£® ¯«®áª®á⨠¢ëá®âã√h = vt, £¤¥ v | ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ¢¥àè¨ë D. Ǒ®«ã稬 â¥âà í¤à á ॡ஬ CD = a2 + h2 ≈ a + 12 ha2 = a + 12 va2 t2 . âáî¤ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ¯«®áª¨å 㣫®¢ ¡ã¤¥â ¯®à浪 t2 , â.¥. ¢á¥ ®¨ áâ 樮 àë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨§¬¥¥¨¥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¯®à浪 t.
. X:
¥®à¥¬ 3.
§ 3.
417
᫨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥, ¨§ ª ¤®©
¢¥àè¨ë ª®â®à®£® ¨á室¨â ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ॡà , ¢á¥ ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë, â® ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë áâ 樮 àë.
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠㮠⮫쪮 ®â१ âì ®â ¬®£®£à ¨ª ª®¥çãî ç áâì â ª, çâ®¡ë ª ¥¥ £à ¨æ¥ ¯®¤å®¤¨«¨ ⮫쪮 ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à . ®£¤ ®áâ ¥âáï á®á« âìáï ⥮६ã 2. ª ª ª ¡¥áª®¥ç®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ á ªà¨¢¨§®© 2π ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ¯ à ««¥«ìë ¨ ¯®â®¬ã § ¢¥¤®¬® ¥ ¬®£ãâ ¨á室¨âì ¨§ ¢¥àè¨ ¡®«¥¥ 祬 ¯® ®¤®¬ã, â® ¢ ⥮६¥ 3 § ª«îç ¥âáï ¥®à¥¬ 4.
᫨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¯®«®© ªà¨¢¨§®© 2π ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë, â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ⮥ áâ 樮 àë. 4. «ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª , ¥ 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ãá«®¢¨î ⥮६ë 3, ¨§ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ áâ 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ á«¥¤ã¥â. Ǒਬ¥à ⮬㠤 ¥â ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ®£® 㣫 . ¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®¡« ¤ î騩 ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨, ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«, ¥ ¢ëத î騩áï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî. ¥¡à í⮣® 㣫 ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª , ¯®â®¬ã ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¬®£®£à ¨ª ®¨ ¢à é îâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ, ¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ᮮ⢥âá⢥® ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï. ¥®à¥¬ 5.
᫨ ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¯à¥¤¥«ìë© ã£®«
ª®â®à®£® ¥ ¢ëத ¥âáï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¢á¥ 㣫ë
¥£® £à ïå ¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« áâ 樮 àë 14) , â® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª â ª¥ áâ 樮 àë.
Ǒãáâì P | ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ V , ¥ ᢮¤ï騬áï ª ¯®«ã¯àאַ©. ®§ì¬¥¬ «î¡®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P ¨ ¯ãáâì p , . . . , pn | ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , ¯ à ««¥«ìë¥ ¤ ®¬ã, ¢ª«îç ï ¥£® á ¬®£®, ¨ ¯à¨ ¤«¥ 騥 ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® á¬¥ë¬ ¡¥áª®¥çë¬ £à ï¬ (á¬. à¨á. 84 á. 170). ᥠí⨠ॡà p , . . . , pn ®¡ê¥¤¨¨¬ ¢ ®¤¨ ª« áá. ª, ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à à ᯠ¤ ¥âáï ª« ááë. ç áâ®áâ¨, ª« áá ¬®¥â ᮤ¥à âì ⮫쪮 ®¤® ॡà®, ¥á«¨ ã £à ¥©, ᬥëå ¯® í⮬ã ॡàã, ¥â ॡ¥à, ¥¬ã ¯ à ««¥«ìëå. 1
1
14) ¥¡à ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¯ à ««¥«ìë ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ ¥£® áâ 樮 à®áâ¨ à ¢®á¨«ì® áâ 樮 à®á⨠¯à ¢«¥¨© ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯«®áª¨¬¨ 㣫 ¬¨ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª : ®¨ à ¢ë 㣫 ¬ ¬¥¤ã ¨å ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨. Ǒ®í⮬㠤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì «¨èì áâ 樮 à®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . â® | ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¯à¨ ª« áá å ¯ à ««¥«ìëå ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¢ á¬ëá«¥ § 4 £«. III.
418
. .
®¯®«¨¬ ¬®£®£à ¨ª P ¥á®¡á⢥묨 ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ à¥¡à ¬¨ ¯® á«¥¤ãîé¥¬ã ¯à ¢¨«ã: 1) ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ®¤®£® ª« áá á室ïâáï ¢ ®¤®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訥, ॡà à §ëå ª« áᮢ | ¢ à §ëå ¢¥àè¨ å; 2) ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ¥áâ¥á⢥® ®¡à §ãîâ 横«¨ç¥áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ¤ë¥ ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥àè¨ë ᮥ¤¨ï¥¬ ®¤¨¬ ¥á®¡áâ¢¥ë¬ à¥¡à®¬. ®¯®«¥ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®£®£à ¨ª P ¬ë ®¡®§ 稬 P ; ® ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä¥ ¯à®á⮬㠬®£®ã£®«ì¨ªã: ý£à ¨æ þ ¥£® á« £ ¥âáï ¨§ ¥á®¡á⢥ëå ॡ¥à. ¤ ï £à ì ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ®£à ¨ç¥ § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª. ¬¥® £à ¨æë ¡¥áª®¥çëå £à ¥© á ¯ à ««¥«ì묨 à¥¡à ¬¨ § ¬ëª îâáï ¢ ¥á®¡á⢥ëå ¢¥àè¨ å, £à ¨æë ¡¥áª®¥çëå £à ¥© á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ § ¬ëª îâáï ¥á®¡á⢥묨 à¥¡à ¬¨. ¤ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë A, B ¬®£®£à ¨ª P ¬®£ãâ ¡ëâì ᮥ¤¨¥ë ⮫쪮 ®¤¨¬ ॡ஬ ¨ í⮠ॡ஠¯à¨ ¤«¥¨â £à ¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ A, B . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ®¡¥ ¢¥àè¨ë A, B | ®¤®¢à¥¬¥® ᮡáâ¢¥ë¥ ¨«¨ ¥á®¡á⢥ë¥, â® íâ® ã⢥थ¨¥ ®ç¥¢¨¤®. Ǒãáâì ⥯¥àì ¢¥àè¨ A | ᮡá⢥ ï, B | ¥á®¡á⢥ ï. ®£¤ ᮥ¤¨ïî饥 ¨å ॡ஠AB | ¡¥áª®¥ç®¥. ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訥 B ¬®£ãâ á室¨âìáï ¥é¥ â®«ìª® ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , ¯ à ««¥«ìë¥ AB , ® ®¨ ¥ ¬®£ãâ ᮥ¤¨ïâì ¥¥ á ⮩ ¥ ᮡá⢥®© ¢¥à訮© A. Ǒ®í⮬ã ॡ஠AB | ¥¤¨á⢥®¥, ᮥ¤¨ïî饥 ¢¥àè¨ë A, B , ¨ ®® ¯à¨ ¤«¥¨â ¤¢ã¬ á¬¥ë¬ ¯® ¥¬ã £à ï¬. ¨ª ª¨¥ ¤à㣨¥ £à ¨ ¥ ¬®£ãâ ᮤ¥à âì ®¡¥ ¢¥àè¨ë A, B , ¯®â®¬ã çâ® ¤à㣨¥ £à ¨ á ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訮© B ¯® ãá«®¢¨î ¨¬¥îâ ॡà , ¯ à ««¥«ìë¥ AB , ¨ á¬¥ë ¯® í⨬ à¥¡à ¬, ⮣¤ ®¨, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¬®£ãâ ¨¬¥âì A ᢮¥© ¢¥à訮©. ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′ ¬®£®£à ¨ª P ¨ ®â®¤¥á⢨¬ ã ®¡®¨å íâ¨å ¬®£®£à ¨ª®¢ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ à¥¡à ¨ ¢¥à′ è¨ë. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¡áâà ªâë© ¬®£®£à ¨ª P + P , ª®â®àë© ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä¥ áä¥à¥ ¨ ¡ã¤¥â ®¡« ¤ âì ⥬¨ ¥ ᢮©á⢠¬¨ áâ஥¨ï, ª ª¨¥ ⮫쪮 çâ® ãáâ ®¢«¥ë ¤«ï ¬®£®£à ¨ª P : ) ª ¤ ï £à ì P + P ′ ®£à ¨ç¥ ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®© ¡¥§ ªà âëå â®ç¥ª; ¡) ¥á«¨ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë ®¤®© £à ¨ ᮥ¤¨¥ë ॡ஬, â® ¯®á«¥¤¥¥ ¯à¨ ¤«¥¨â í⮩ £à ¨. â® ª ª à § ⥠ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¯®¤ç¨¥ë á¥â¨ ॡ¥à, à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¢ ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨. Ǒ®í⮬ã íâ «¥¬¬ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ª ¬®£®£à ¨ªã P + P ′.
᫨ ¨áå®¤ë© ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï, â® ®â¬¥â¨¬ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª P + P ′ § ª ¬¨ ¯® á«¥¤ãîé¥¬ã ¯à ¢¨«ã. ¤®¬ã ᮡá⢥®¬ã
. X:
§ 3.
419
ॡàã P ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ § ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤¢ã£à ®£® 㣫 ¢ P ¯à¨ í⮬ ॡà¥. ®®â¢¥âáâ¢ãî饬ã ॡàã P ′ ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ¯à®â¨¢®¯®«®ë© § ª. ¥¡à áâ 樮 àëå ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, â ª¥ ¢á¥ ¥á®¡áâ¢¥ë¥ à¥¡à ®áâ ¢«ï¥¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë ã® ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V áâ 樮 àë, â® ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¡ëâì ¥ ¬®¥â. á«¥¤á⢨¥ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ à ᯮ«®¥¨¥ § ª®¢ ¢®ªà㣠ª ¤®© ᮡá⢥®© ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P + P ′ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨, ′ 㪠§ 묨 ¢ «¥¬¬¥ 1 § 1 (⮫쪮 P § ª¨ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥, çâ® ¥ ¬®¥â ¨£à âì ஫¨ ¤«ï ¯à¨¬¥¨¬®á⨠ãᨫ¥®© «¥¬¬ë ®è¨, ª ª ïá® ¨§ ¥¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨). Ǒ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¢®ªà㣠ª ¤®© ¥á®¡á⢥®© ¢¥àè¨ë «¨¡® ¢á¥ à¥¡à ¥ ®â¬¥ç¥ë, «¨¡® ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . Ǒãáâì ¢ ¥á®¡á⢥®© ¢¥à訥 A á室ïâáï ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à p , . . . , pn ¬®£®£à ¨ª P ¨ ᮮ⢥âá⢥®à¥¡à p′ , . . ., p′n ¬®£®£à ¨ª P ′. ¥á®¡áâ¢¥ë¥ à¥¡à ¯® ãá«®¢¨î ¥ ®â¬¥ç¥ë ¨ ¯®â®¬ã ¨å ¬®® ¥ à áᬠâਢ âì. ᥠॡà pi ¯ à ««¥«ìë ¨ ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨ ¬®£®£à ¨ª P ª ¢¥à訥 ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V ¤ îâ ®¤® ॡ஠p 㣫¥ V . ¥áª®¥çë¥ £à ¨, ¯®¤å®¤ï騥 ª ªà ©¨¬ à¥¡à ¬ p ¨ pn , ¤ îâ £à ¨ 㣫 V , á室ï騥áï ¢ ॡॠp. Ǒ®í⮬㠥᫨ α | ¤¢ã£à ë© ã£®« ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V ¯à¨ ॡॠp, α , . . . , αn | ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª P ¯à¨ ॡà å p , . . . , pn , â® α = α + . . . + αn .
᫨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« áâ 樮 à¥, â® dαdt t = 0 ¨ ¯®â®¬ã 1
1
1
1
1
1
=0
dα1 dt
t=0
+ ... +
dαn dt
t=0
= 0.
«¥¤®¢ ⥫ì®, «¨¡® ¢á¥ 㣫ë αi áâ 樮 àë, «¨¡® ç «ìë¥ áª®à®á⨠¨å ¨§¬¥¥¨ï ¬¥ïîâ § ª. ª ª ª ॡà å p′ , . . . , p′n áâ ¢ïâáï ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ § ª¨, â® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¢á¥ à¥¡à ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A ¥ ®â¬¥ç¥ë, ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¯®«ãç ¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª (¬¨¨¬ã¬ ¯® ®¤®© ¯¥à¥¬¥¥ ¢ ª ¤®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠p , . . . , pn ¨ p′ , . . . , p′n ¨ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¤®© ¨§ ¨å ª ¤à㣮©). â ª, ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¥á«¨ ¡ë ¡ë«¨′ ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® à ááâ ®¢ª § ª®¢ ॡà å ¬®£®£à ¨ª P + P ¡ë« ¡ë ¨¬¥® â ª®©, ¥¢®§¬®®áâì ª®â®à®© ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ãᨫ¥®© «¥¬¬®© ®è¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¡ëâì ¥ ¬®¥â, ¨ ⥮६ ¤®ª § . 1
1
1
420 5. ¥®à¥¬ 6.
. .
᫨ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P,
®£à ¨ç¥ë© ®¤®©
§ ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¢á¥ ã£«ë ¥£® £à ïå, â ª¥ ã£«ë ¬¥¤ã ª ¤®© ¯ ன £à ¨çëå ॡ¥à, á室ïé¨åáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥, áâ 樮 àë, â® ¨ ¢á¥ ¥£® ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë áâ 樮 àë.
®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª P § ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¤¢ã£à ®£® 㣫 . ¥¡à á® áâ 樮 à묨 㣫 ¬¨, â ª¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. ®£¤ à ᯮ«®¥¨¥ § ª®¢ ¢®ªà㣠ª ¤®© ¢ãâ॥© ¢¥àè¨ë ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë 1 § 1. Ǒãáâì A | £à ¨ç ï ¢¥àè¨ ¨ p, q | á室ï騥áï ¢ ¥© £à ¨çë¥ à¥¡à . âï㢠¨å ¯«®áª¨© 㣮« (p q), ¯®«ã稬 ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®« á ¢¥à訮© A, ã ª®â®à®£® ¢á¥ ¯«®áª¨¥ 㣫ë áâ 樮 àë. Ǒ®í⮬㠫¨¡® ¢á¥ ॡà , á室ï騥áï ¢ A, ¥ ®â¬¥ç¥ë, «¨¡® ¢®ªà㣠A ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¢ª«îç ï § ª¨, ª®â®àë¥ ã® â¥¯¥àì ᮯ®áâ ¢¨âì à¥¡à ¬ p, q.
᫨ ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å, â® á室ïé¨åáï ¢ A ¢ãâ२å ॡà å ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ ¯¥à¥¬¥ § ª .
᫨ ¥ ¯¥à¥¬¥ § ª ⮫쪮 ¤¢¥, â® à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¤®« ¡ëâì â ª®©, ª ª 㪠§ ® ¢ âà¥â쥬 á«ãç ¥ «¥¬¬ë 1 § 1: ¢á¥ ®â¬¥ç¥ë¥ à¥¡à «¥ â ®¤®© ¨á⨮© £à ¨ ¨ ªà ©¨¥ ¨§ ¨å ®â¬¥ç¥ë ®¤¨¬ § ª®¬. ⨠ªà ©¨¥ à¥¡à ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥¡à ¬¨ p, q, â ª ª ª 㣫¥ (p q) ¥â ¢®®¡é¥ ¨ª ª¨å ॡ¥à. Ǒ®í⮬㠮¯ïâì-â ª¨ ¢ãâ२å ॡà å ¬®£®£à ¨ª P , á室ïé¨åáï ¢ ¢¥à訥 A, ¥áâì ¯¥à¥¬¥ § ª . ¥¯¥àì ¡¥à¥¬ ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′ ¬®£®£à ¨ª P , à ááâ ¢«ï¥¬ ¥£® ॡà å ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ § ª¨ ¨ ®â®¤¥á⢫塞 ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à P ¨ P ′. ®£¤ , à áá㤠ï â ª ¥, ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 5, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® «¨ç¨¥ ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¯à¨¢®¤¨â ª â ª®© à ááâ ′ ®¢ª¥ § ª®¢ ¡áâà ªâ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P + P , ª®â®à ï ¯® ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨ ¥¢®§¬® . Ǒ®í⮬㠮⬥ç¥ëå ॡ¥à ¥â, ¨ ⥮६ ¤®ª § . Ǒ®«ì§ãïáì ý§ ¯ ᮬþ, ¨¬¥î騬áï ¢ ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨, ¢ ⥮६¥ 6 ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì áâ 樮 à®áâì 㣫®¢ ¬¥¤ã ¢á¥¬¨ ¯ à ¬¨ ᬥëå £à ¨çëå ॡ¥à, ªà®¬¥ âà¥å. «¥¥, ⥮६ 6 ¤®á«®¢® ¢¬¥áâ¥ á ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¯¥à¥®á¨âáï ý«®ª «ì® ¢ë¯ãª«ë¥þ ¬®£®£à ¨ª¨, â.¥. â ª¨¥, ã ª®â®àëå ¢á¥ ¬®£®£à ë¥ ã£«ë ª ª ¯à¨ ¢ãâ२å, â ª ¨ ¯à¨ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å | ¢ë¯ãª«ë¥ (⮣¤ , â¢ ï 㣮« ¯ àã £à ¨çëå ॡ¥à, á室ïé¨åáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥, ¯®«ã稬 § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ë© ã£®«). 6. ®¯à®á ® ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨ïå, ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé¨å áâ 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª , ®£à ¨ç¥®£® ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨, ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬. ਢ¨ «ìë¬ ¡ë«® ¡ë ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¯«®áª¨¥ ã£«ë ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¥ ¬®£®£à ¨ª ¡ë«¨ áâ 樮 àë, | ⮣¤ ¢á¥
. X:
§ 4.
421
ᢥ«®áì ¡ë ª ⥮६¥ ® § ¬ªã⮬ ¬®£®£à ¨ª¥. ª®¥ ãá«®¢¨¥ « £ ¥âáï, ®¤ ª®, ¢áî £à ¨æã ¬®£®£à ¨ª áà §ã, ¬¥¤ã ⥬ ª ª ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 6 ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¤«ï ª ¤®© £à ¨ç®© ¢¥àè¨ë ¢ ®â¤¥«ì®áâ¨. ®¯à®á á⮨⠮ â ª¨å «®ª «ìëå ãá«®¢¨ïå, ¥ ®¡ ãá«®¢¨ïå ý¢ 楫®¬þ. § 4. ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ à ¢®¢¥á¨¥ áâ¥à¥¢ëå á¨á⥬
1. í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë à áᬮâਬ á«¥¤áâ¢¨ï ¯®«ãç¥ëå ¢ § 1 ¨ 3 १ã«ìâ ⮢ á â®çª¨ §à¥¨ï ¬¥å ¨ª¨. ¥®à¥¬ 1.
¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¥á⪨¬¨ £à ﬨ |
. ¥á⪮áâì £à ¥© ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ¢á类© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª ¤«¨ë ¨å ॡ¥à ¨ 㣫ë áâ 樮 àë. ® ¯® ⥮६¥ 1 § 3 ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¯«®áª¨å 㣫®¢ áâ 樮 àë â ª¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ¤®« ᢮¤¨âìáï ª ¤¢¨¥¨î. â®â ¢ë¢®¤ ®á®¢ ®ç¥¢¨¤®© ®¡é¥© «¥¬¬¥: ¥á⪨© 15)
᫨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ª ª®£® ¡ë â® ¨ ¡ë«® ¬®£®£à ¨ª ¢á¥ ¥£® ॡà ,
â ª¥ ¯«®áª¨¥ ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë áâ 樮 àë, â® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï
. ®¢¥à襮 â ª ¥ ¨§ ¤à㣨å ⥮६ § 3 ¢ë⥪ îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ¥áâì ¤¢¨¥¨¥ 16)
15) à㣨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮩ â¥®à¥¬ë ¨ á¢ï§ì á® áâ¥à¥¢ë¬¨ á¨á⥬ ¬¨ á¬.
[213, 268, 270, 365, 366℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 16) «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢®§ì¬¥¬ ª ªãî-«¨¡® £à ì Q1 ¬®£®£à ¨ª P0 ¨ § ªà¥¯¨¬ ¥¥ ¢¥àè¨ã A, ¯à ¢«¥¨¥ ®¤®© ¨§ áâ®à® AB £à ¨ Q1 , ¨á室ï饩 ¨§ A, ¨ ¯à ¢«¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨ á ¬®© £à ¨ Q1 . ⨬ á ¬ë¬ ¬ë § à ¥¥ ¨áª«î稬 ⮫쪮 ¤¢¨¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª P0 ª ª ⢥म£® ⥫ . ª ª ª ⥯¥àì ¢¥àè¨ A ¨ ¯à ¢«¥¨¥ áâ®à®ë AB ¥¯®¤¢¨ë, ¯® ¤®ª § ®¬ã ¤«¨ áâ®à®ë AB áâ 樮 à , â® ¢¥àè¨ B ¥¯®¤¢¨ . Ǒ®¤ í⨬ ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬, çâ® ¥¥ ç «ì ï ᪮à®áâì à ¢ ã«î. «¥¥, 㣮« ¬¥¤ã áâ®à®®© AB ¨ á«¥¤ãî饩 áâ®à®®© BC áâ 樮 à¥, ¢áï ¯«®áª®áâì £à ¨ Q1 ¥¯®¤¢¨ , ¯®íâ®¬ã ¯à ¢«¥¨¥ áâ®à®ë BC â ª¥ ¥¯®¤¢¨®. ⮣¤ ¨§ áâ 樮 à®á⨠¤«¨ë BC á«¥¤ã¥â ¥¯®¤¢¨®áâì ¢¥àè¨ë C . Ǒத®« ï íâ® à áá㤥¨¥, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢á¥ ¢¥àè¨ë £à ¨ Q1 ¥¯®¤¢¨ë. £®« ¬¥¤ã £à ìî Q1 ¨ £à ìî Q2 , ᬥ®© á Q1 ¯® áâ®à®¥ AB , áâ 樮 à¥, ¯®í⮬㠯«®áª®áâì £à ¨ Q2 ¥¯®¤¢¨ ; ªà®¬¥ ⮣®, ¥¯®¤¢¨ë ¥¥ ¢¥àè¨ë AB . Ǒਬ¥ïï ª £à ¨ Q2 ¯à¥¤ë¤ã饥 à áá㤥¨¥, ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢á¥ ¥¥ ¢¥àè¨ë ¥¯®¤¢¨ë. ¯¥à¥å®¤ï ª á«¥¤ãî騬 á¬¥ë¬ £à ï¬ ¨ â.¤., ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª P0 ®ª §ë¢ îâáï ¥¯®¤¢¨ë¬¨. â ª, ¨áª«î稢 ⮫쪮 ¤¢¨¥¨¥ ¬®£®£à ¨ª ª ª 楫®£®, ¬ë ᤥ« ¥¬ ¢á¥ ¥£® ¢¥àè¨ë ¥¯®¤¢¨ë¬¨. ¥¬ á ¬ë¬ ¡¥§ ¨áª«î祮£® ¤¢¨¥¨ï ®¨ ¬®£«¨ ¤¢¨£ âìáï ⮫쪮 â ª, ª ª ¥á«¨ ¡ë ¬®£®£à ¨ª ¡ë« ⢥à¤ë¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.
422
. .
2. ¥¤ã ª¨¥¬ ⨪®© ¨ áâ ⨪®© ⢥म£® ⥫ áãé¥áâ¢ã¥â, ª ª ¨§¢¥áâ®, ¯®« ï ä®à¬ «ì ï «®£¨ï.
᫨ ¢¥ªâ®à ¬ 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩ ᮯ®áâ ¢¨âì ᨫë, ᪮à®áâï¬ | ¬®¬¥âë ¯ à, â® á«®¥¨î ¤¢¨¥¨© ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì á«®¥¨¥ ᨫ. ç áâ®áâ¨, ãá«®¢¨ï¬ ¢§ ¨¬®© ª®¬¯¥á 樨 ¤¢¨¥¨© ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ãá«®¢¨ï à ¢®¢¥á¨ï. (¥©á⢨⥫ì®, á¨á⥬ Pᨫ piP¨ ¯ à mj íª¢¨¢ «¥â ᨫ¥ p = P pi ¨ ¯ ॠm = mj + (pi × ri ), £¤¥ ri | ¢¥ªâ®à ®â â®çª¨ ¯à¨«®¥¨ï ᨫë p ¤® â®çª¨ ¯à¨«®¥¨ï ᨫë pi. â®ç® â ª ¥ ¤¢¨¥¨ï á 㣫®¢ë¬¨ ᪮à®áâﬨ ωiP¨ «¨¥©ë¬¨ ᪮à®áâﬨ vj ¤ îâP¤¢¨¥¨¥ á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ω = ωi ¨ «¨¥©®© ᪮à®áâìî v = vj + P(ωi × ri), £¤¥ ri | ¢¥ªâ®à ®â â®çª¨ ®á¨ ¢à 饨ï ω ¤® â®çª¨ ®á¨ ¢à 饨ï ωi.) â «®£¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥áª §ë¢ âì ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ã⢥थ¨ï ï§ëª áâ ⨪¨, ¨ ®¡à â®. Ǒ®í⮬㠨 è¨ ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ â¥®à¥¬ë ® áâ 樮 à®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¨«¨ ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á ⢥à¤ë¬¨ £à ﬨ ¤®«ë ¤®¯ã᪠âì ýᨫ®¢ãîþ ¨â¥à¯à¥â æ¨î. Ǒਢ¥¤¥¬ ®¤ã â ªãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î; ¢ ¥© à¥çì ¨¤¥â ¥ ® ¬®£®£à ¨ª¥, á®áâ ¢«¥®¬ ¨§ ⢥à¤ëå £à ¥©, ® á¨á⥬¥ áâ¥à¥©, ®¡à §ãîé¨å ᮢ®ªã¯®áâì ॡ¥à ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒਠí⮬, ᮣ« á® ¯à¨ï⮬㠬¨ ãá«®¢¨î, á।¨ ॡ¥à ¤®¯ã᪠îâáï â ª¥ ¥ áâ®ï騥, ¯à®å®¤ï騥 ¢ãâਠ¨áâ¨ëå £à ¥© ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ¨å £à ¨æ. â¥à¨ ¬ëá«ïâáï áªà¥¯«¥ë¬¨ ¢ ª®æ å è à¨à å. ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® â ª ï á¨á⥬ 室¨âáï ¯®¤ ¯à泌ﬨ ¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ, ¥á«¨ ¢¤®«ì ª ¤®£® áâ¥àï ¤¥©áâ¢ãîâ à áâ¢ î騥 ¨«¨ ᨬ î騥 ᨫë, ¯à¨ç¥¬ íâ¨ á¨«ë ¢ ¢¥àè¨ å ãà ¢®¢¥è¨¢ îâáï. Ǒਬ¥à á¨á⥬ë áâ¥à¥© ¯®¤ ¯à泌ﬨ ¡ë« 㥠¯à¨¢¥¤¥ ¢ ¯ 3 § 6 £« ¢ë II, à¨á. 71. Ǒ®ª ¥¬, ç⮠⥮६ 1 íª¢¨¢ «¥â á«¥¤ãî饩: o
¥®à¥¬ 2.
¨á⥬ áâ¥à¥©, ®¡à §ãîé¨å ᮢ®ªã¯®áâì ॡ¥à § ¬ªã-
⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¥ ¬®¥â 室¨âìáï ¯®¤ ¯à泌ﬨ ¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ.
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2 ¢á¯®¬¨¬, çâ® ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ⥮६ë 1 § 3 ® áâ 樮 à®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬ë ¨á室¨«¨ ¨§ ¨§®¡à ¥¨ï ®â®á¨â¥«ìëå ¢à 饨© á®á¥¤¨å £à ¥© ¢¥ªâ®à ¬¨ 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩, ¯à ¢«¥ë¬¨ ¢¤®«ì ॡ¥à. Ǒਠí⮬ á㬬ë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¢®ªà㣠®¤®© ¢¥àè¨ë à ¢ï«¨áì ã«î. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1 § 3 ª ª à § ¨ ᢮¤¨«®áì ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⮣®, ç⮠ॡà å § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª â ª¨¥ ¢¥ªâ®àë à ᯮ«®¨âì ¥¢®§¬®® (¥á«¨ ¥ ¢á¥ ®¨ à ¢ë ã«î). ⮨⠫¨èì ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì í⨠¢¥ªâ®àë ª ª ¯à泌ï, ¨ ¬ë ¯®«ã稬 ⥮६ã 2. ¨¤® â ª¥, çâ® ¨ ®¡à â®, ⥮६ 1 § 3 á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 2. 3. ®® ¢ë᪠§ âì á«¥¤ãî饥 ®¡é¥¥ ã⢥थ¨¥:
. X:
¥®à¥¬ 3. £à ¨ª, a
R
§ 4.
Ǒãáâì
P
423
| ¯à®¨§¢®«ìë© ®¤®á¢ï§ë© 17) ª®¥çë© ¬®£®-
| á¨á⥬ ¥£® ॡ¥à, ¨áª«îç ï £à ¨çë¥. ⢥थ¨¥ ®
¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª
P
¯à¨ ãá«®¢¨¨ ¥á⪮á⨠¥£® £à ¥© à ¢®á¨«ì-
® ã⢥थ¨î, çâ® á¨á⥬
R
¥ ¬®¥â 室¨âìáï ¯®¤ ¯à泌ﬨ
¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ, ¥á«¨ ¤ ¥ ᢮¡®¤ë¥ ª®æë ॡ¥à, â. ¥. ª®æë ॡ¥à, ¯®¤å®¤ïé¨å ª £à ¨æ¥ ¬®£®£à ¨ª
P,
§ ªà¥¯«¥ë â ª, çâ®
(«ï § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª ®£®¢®àª ® ॡà å ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ª®æ ¬¨ ®â¯ ¤ ¥â.) Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¨§ ¥¢®§¬®®á⨠¯à泌© ¢ á¨á⥬¥ ॡ¥à á«¥¤ã¥â ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª . Ǒãáâì P | ¬®£®£à ¨ª, á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ⢥à¤ëå £à ¥©, áªà¥¯«¥ëå è à¨à å ¢¤®«ì ॡ¥à. Ǒãáâì ωi | 㣫®¢ë¥ ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï £à ¥©. ®£¤ ãá«®¢¨¥, çâ® £à ¨ áªà¥¯«¥ë ¢¤®«ì ॡ¥à, ®§ ç ¥â, çâ® ®â®á¨â¥«ì®¥ ¢à 饨¥ á®á¥¤¨å £à ¥© Qj , Qk ¯à®¨á室¨â ¢®ªà㣠¨å ®¡é¥£® ॡà , â. ¥. çâ® à §®áâì ¨å 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩ ωj − ωk ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ॡà . ¤ ¤¨¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ®à¨¥â æ¨î, 㪠§ ¢ ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ¬ «®£® ª®âãà . ®£¤ ¥á«¨ ¤¢¥ £à ¨ Qj , Qk ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ ॡ஠AB ¨ ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A £à ì Qi á«¥¤ã¥â § Qk , â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë B £à ì Qj ¯à¥¤è¥áâ¢ã¥â Qk . Ǒ®í⮬㠥᫨ ãá«®¢¨âìáï à áᬠâਢ âì ®â®á¨â¥«ì®¥ ¢à 饨¥ á«¥¤ãî饩 £à ¨ ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥¤ë¤ã饩, â® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠A ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ॡॠAB ¢¥ªâ®à ωj − ωk , ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠B | ¢¥ªâ®à ωk − ωj .
áâ¥á⢥® ¯à¨ í⮬ áç¨â âì ¯¥à¢ë© ¢¥ªâ®à ¯à¨«®¥ë¬ ¢ ¢¥à訥 A, ¢â®à®© | ¢ ¢¥à訥 B .
᫨ ⥯¥àì í⨠¢¥ªâ®àë ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ᨫë, â® ®ª ¥âáï, ç⮠ॡ஠AB 室¨âáï ¯®¤ à áâ¢ î騬 ¨«¨ ᨬ î騬 ¯à泌¥¬. Ǒਠ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¯® £à ï¬ Q , Q , . . . ¬ë ¢¥à¥¬áï ª ¨á室®© £à ¨ Q , ¯®â®¬ã á㬬 ¢á¥å à §®á⥩ ω − ω , ω − ω , . . . à ¢ ã«î. ® ¥áâì ¯àï¥¨ï ¢¤®«ì ॡ¥à ¢ ¢¥àè¨ å ãà ¢®¢¥è¨¢ îâáï. â® ¢¥à® ¤«ï ¢ãâà¥¨å ¢¥àè¨, ¢ £à ¨çëå ¢¥àè¨ å ¯à泌ï ãà ¢®¢¥è¨¢ îâáï ¯® ãá«®¢¨î ॠªæ¨¥© ®¯®àë. ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ⮬ã, çâ® á¨á⥬ ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®¤ ¯à泌ﬨ ¡¥§ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢¥è¨å ᨫ.
᫨ íâ® ¥¢®§¬®®, â® ¢á¥ à §®á⨠ωj − ωk ®¡à é îâáï ¢ ã«ì, â. ¥. 㣫®¢ë¥ ᪮à®á⨠¢á¥å £à ¥© à ¢ë ¨ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë áâ 樮 àë. ¯à泌¥ ¢ ¨å ª®¬¯¥á¨à®¢ ® ॠªæ¨¥© ®¯®àë.
1
1
2
2
1
3
2
17) ® ¥áâì â ª®©, ª®â®à®¬ ª ¤ë© ª®âãà ®£à ¨ç¨¢ ¥â ª ªãî-«¨¡® ç áâì ¬®£®£à ¨ª , ïïáì ¯®«®© ¥¥ £à ¨æ¥©. ⨬ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ îâ ⮫쪮 ¬®£®£à ¨ª¨, £®¬¥®¬®àäë¥ áä¥à¥ ¨«¨ ªàã£ã. § ¤®ª § ⥫ìá⢠¡ã¤¥â ¢¨¤®, çâ® ®¤®á¢ï§®áâì ¨¬¥¥â áãé¥á⢥®¥ § 票¥, ¨ ¯à¨¬¥à å «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¡¥§ ¥¥ ¨§ ¥á⪮á⨠¥¢®§¬®®áâì ¯à泌© ¬®¥â ¨ ¥ á«¥¤®¢ âì. «¨ï¨¥ á¢ï§®á⨠(£à㯯 ¥ââ¨) ¯®¢¥àå®á⨠¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¬¥¤ã à §ë¬¨ ᯥªâ ¬¨ ¯®ïâ¨ï ® ¥¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ ¨ ᮮ⢥âá⢥® ¥á⪮á⨠§ ¬¥ç¥® ..
䨬®¢ë¬ [104, á. 113{114℄.
424
. .
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§ ¥¢®§¬®®á⨠¯à泌© ¢ á¨á⥬¥ ॡ¥à á«¥¤ã¥â ¥á⪮áâì. ®ª ¥¬ ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì á¨á⥬ ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª P 室¨âáï ¯®¤ ¯à泌ﬨ, ãà ¢®¢¥è¨¢ î騬¨áï ¢ ¢¥àè¨ å. ®£¤ ¢ ª®æ å ª ¤®£® à¥¡à ¤¥©áâ¢ãîâ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¥ ¢¥ªâ®àë. ¤ ¤¨¬ P ®à¨¥â æ¨î, ¨ ¯ãáâì ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë A £à ì Qj á«¥¤ã¥â § Qk ; ¢¥ªâ®à ¯àï¥¨ï ¢¤®«ì ®¡é¥£® ॡà AB íâ¨å £à ¥©, ¯à¨«®¥ë© ¢ ¢¥à訥 A, ®¡®§ 稬 ajk . ¢¥à訥 B ¡ã¤¥â ¯à¨«®¥ ¢¥ªâ®à akj = −ajk . Ǒ¥à¥ã¬¥à㥬 ¢á¥ £à ¨ ¨ ¯à¨¯¨è¥¬ £à ¨ Q ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ω .
᫨ £à ì Qi ᬥ á Q ¯® ॡàã, â® ¯à¨¯¨áë¢ ¥¬ ¥© ¢¥ªâ®à ωi = ω + +a i ¨ â ª, ¯¥à¥å®¤ï ®â ª ¤®© £à ¨ Qj ª ᬥ®© Qk , ¡ã¤¥¬ ¯à¨¯¨áë¢ âì í⮩ ¯®á«¥¤¥© ¢¥ªâ®à ωk = ωj + akj . Ǒ®ª ¥¬, çâ® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª ¤®© £à ¨ ¡ã¤¥â ®¤®§ ç® ¯à¨¯¨á ¥ª®â®àë© ¢¥ªâ®à ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¯ãâ¨, ¯® ª®â®à®¬ã ¬ë 諨 ª ¥© ®â £à ¨ Q . â® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¯® § ¬ªã⮬㠯ã⨠¬ë ª ¤ë© à § ¯®«ãç ¥¬ â® ¥ § 票¥ ¢¥ªâ®à ω ¤«ï ¨á室®© £à ¨. ® ¤«ï ®¡å®¤ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë íâ® ®ç¥¢¨¤®, ¯®â®¬ã çâ® á㬬 ¢¥ªâ®à®¢ aik ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë à ¢ ã«î. ¢á直© § ¬ªãâë© ®¡å®¤ ®¤®á¢ï§®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¬®® à §«®¨âì ¢ á㬬㠮¡å®¤®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨. (¬¥® §¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¤®á¢ï§®áâì.) ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¤®© £à ¨ ®¤®§ ç® ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à ω. â¥à¯à¥â¨àãï ¥£® ª ª 㣫®¢ãî ᪮à®áâì, ¯®«ã稬, çâ® £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¢à é îâáï ¢®ªà㣠¨å ®¡é¨å ॡ¥à. ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª ¥á⪨©, â® íâ® ¥¢®§¬®®, ⥬ á ¬ë¬ ¨ ¯àï¥¨ï ¢ á¨á⥬¥ ¥£® ॡ¥à ¥¢®§¬®ë. ®ª § ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ⥮६ 3 ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥áª § âì ¢ â¥à¬¨ å áâ¥à¥¢ëå á¨á⥬ ¢á¥ â¥®à¥¬ë § 3, ä®à¬ã«¨àãï ¯à¨ í⮬ ¯®¤å®¤ï騬 ®¡à §®¬ ¨¬¥î騥áï ¢ ¨å ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ãá«®¢¨ï, ª ª, ¯à¨¬¥à, ãá«®¢¨¥ ⥮६ë 5 § 3 ® áâ 樮 à®á⨠¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . Ǒਠí⮬ ¡¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¥áâ¥á⢥® § ¬¥ïîâáï ª®¥ç묨. ®çë¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ⥮६ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î. 1
1
1
1
1
1
§ 5. ¤¥ä®à¬ æ¨ïå à §¢¥à⮪
1. ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, £à ¨, à¥¡à ¨ ¢¥àè¨ë ª®â®àëå ¯®¨¬ îâáï ¢ ®¡®¡é¥®¬ á¬ëá«¥ ᮣ« á® ãá«®¢¨î, ¢¢¥¤¥®¬ã ¢ ç «¥ § 3. ¤¨ ¨ â®â ¥ ¬®£®£à ¨ª ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à §ëå à §¢¥à⮪. ë ®£à ¨ç¨¬áï ⮫쪮 â ª¨¬¨ à §¢¥à⪠¬¨, ¢¥àè¨ë ª®â®àëå ᮢ¯ ¤ îâ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¬®£®£à ¨ª : ª ¤ ï ¢¥àè¨ à §¢¥à⪨ ¥áâì ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª , ¨ ®¡à â®. â® ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ï® ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã ª ª ¢ í⮬, â ª ¨ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä å.
. X:
§ 5.
425
᫨ P ¥áâì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, â® ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨, ª®â®àë¥, á室ïáì ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯® ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬, ®¡à §ãîâ â ª¨¬ ®¡à §®¬ â®, çâ® ¬ë §ë¢ ¥¬ ý¢®à®ª®©þ ¬®£®£à ¨ª P .
᫨ ¡¥áª®¥çë¥ £à ¨ ¢áâà¥ç îâáï â ª¥ ¯® ª®¥çë¬ à¥¡à ¬, â® ¯à®¨§¢®¤¨¬ à §à¥§ë â ª¥ ¯® í⨬ à¥¡à ¬. ®¢®àï ® ¢®à®ª¥, ¬ë ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® íâ¨ à §à¥§ë¢ ¨ï 㥠¯à®¨§¢¥¤¥ë § à ¥¥, â ª çâ® ¢á¥ ª®¥çë¥ áâ®à®ë ¢®à®ª¨ ¥ ᪫¥¥ë. ®à®ªã, à §à¥§ ãî ¯® «î¡®¬ã ¡¥áª®¥ç®¬ã ॡàã, ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì. §à¥§ë¢ ¨¥ ¢®à®ª¨ ¯® ¡¥áª®¥ç®¬ã ॡàã ᮤ¥à¨â ¯à®¨§¢®«, ¤«ï ¨áª«îç¥¨ï ª®â®à®£® ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á ¬ã ¥à §à¥§ ãî ¢®à®ªã. ¢ãâ॥© â®çª¨ §à¥¨ï ¢®à®ª ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ ¤«¨ ¥¥ £à ¨çëå áâ®à®-ॡ¥à ¨ 㣫®¢ ¬¥¤ã ᬥ묨 áâ®à® ¬¨. «®£¨çë¥ á®®¡à ¥¨ï ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¤«ï «î¡®© à §¢¥à⪨ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . Ǒ®í⮬ã à §¢¥àâªã â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¬ë ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì á®áâ®ï饩 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¨ ¥é¥ ¨§ ý¢®à®ª¨þ. ç áâëå á«ãç ïå ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®¥â ¥ ¡ëâì ¢®¢á¥, ª ª íâ® ¡ã¤¥â, ¯à¨¬¥à, ¤«ï à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ®£® 㣫 . ®à®ª ¢ ®¡é¥¬ á¬ëá«¥ ¥áâì à §¢¥à⪠¨§ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ª®â®àë¥ ¢ 横«¨ç¥áª®¬ ¯®à浪¥ ᪫¥¨¢ îâáï ¯® ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬. ª ª ª ¢ ¢®à®ª¥ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à 㥠áç¨â îâáï ᪫¥¥ë¬¨, â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬¨ à §¢¥àâª å ¬®£®£à ¨ª®¢ ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¥â. Ǒ®¤ ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪮© ª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ à §¢¥àâªã, ®¡à §®¢ ãî ¥£® £à ﬨ, ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª | à §¢¥àâªã, ®¡à §®¢ ãî ¥£® ª®¥ç묨 £à ﬨ ¨ ¢®à®ª®© ¡¥áª®¥çëå £à ¥©. ë £®¢®à¨¬, çâ® § ¤ ® áâ஥¨¥ à §¢¥à⪨, ¥á«¨ à §¢¥à⪠§ ¤ ⮫쪮 ª ª ¡áâà ªâë© ª®¬¯«¥ªá 㪠§ ¨¥¬ ý§ ª® ᪫¥¨¢ ¨ïþ, â.¥. 㪠§ ¨¥¬ ®â®¤¥á⢫¥¨© áâ®à® ¨ ¢¥àè¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. Ǒਠ§ ¤ ®¬ áâ஥¨¨ à §¢¥à⪠¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 㪠§ ¨¥¬ ¤«¨ áâ®à® ¨ 㣫®¢ ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ (¢ª«îç ï ¢®à®ªã).
᫨ à §¢¥à⪠á®á⮨⠨§ ®¤¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢, â® § ¤ ¨¥ 㣫®¢ ¡ã¤¥â «¨è¨¬. «ï ¢á类£® áâ஥¨ï à §¢¥à⪨ «¥£ª® 㪠§ âì ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ý®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàëþ, ¢ë¡à ë¥ á।¨ ¤«¨ áâ®à® ¨ 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ¤ ª® â ª®© ¢ë¡®à ¥ ¡ã¤¥â ¨£à âì ¤«ï á ¨ª ª®© ஫¨, ¯®â®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à®áâ® £®¢®à¨âì ®¡ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥âà å, â. ¥. ® ¤«¨ å áâ®à®-ॡ¥à ¨ ®¡ 㣫 å. ®åà ïï áâ஥¨¥ à §¢¥à⪨ ¥¨§¬¥ë¬, ¬®® ¥¯à¥à뢮, ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¢ ¥ª®â®àëå ¯à¥¤¥« å, ¨§¬¥ïâì ¥¥ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë. ® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¯à¨ 㪠§ ¨¨ áâ஥¨ï à §¢¥à⪨ ¢á¥ ¥¥ í«¥¬¥âë: £à ¨, ¨å áâ®à®ë ¨ ¢¥àè¨ë ¨¤¨¢¨¤ã «¨§¨à®¢ ë, ¯à¨¬¥à ¯¥à¥ã¬¥à®-
426
. .
¢ ë. Ǒ®í⮬ã à¥çì ¨¤¥â ® ¥¯à¥à뢮¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¯ à ¬¥â஢, á¢ï§ ëå ¨¬¥® á ¤ 묨 í«¥¬¥â ¬¨, ¯à¨¬¥à 㣫 ¯à¨ ¤ ®© ¢¥à訥 ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª . (â® § ¬¥ç ¨¥ ¢ ® ¯®â®¬ã, çâ® à §¢¥à⪠¬®¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¤®¯ã᪠âì ®â®¡à ¥¨¥ á ¬ ᥡï, á®åà ïî饥 ý§ ª® ᪫¥¨¢ ¨ïþ; ¯à¨¬¥à®¬ ¬®¥â á«ã¨âì ¥áâ¥á⢥ ï à §¢¥à⪠«î¡®£® ¯à ¢¨«ì®£® ¬®£®£à ¨ª .) ë £®¢®à¨¬, çâ® à §¢¥à⪠áâ 樮 à , ¥á«¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë áâ 樮 àë, â.¥. ¥á«¨ ®¨ ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¥ª®â®à®£® ¯ à ¬¥âà t ¨ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¨å ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® t à ¢ë ã«î. 2. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî à §¢¥àâªã R ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P . Ǒãáâì ॡ஠L í⮩ à §¢¥à⪨ ᮥ¤¨ï¥â ¢¥àè¨ë A ¨ B , ¯à®å®¤ï ¯® ª ª¨¬â® £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P . §¢¥à¥¬ ¯«®áª®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢á¥ í⨠£à ¨, ¨¤ï ®â ¢¥àè¨ë A ª B ; ®¨ ¯®ªà®îâ ¥ª®â®àë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, ¢ ª®â®à®¬ ॡ஠L ®ª ¥âáï ¤¨ £® «ìî, ᮥ¤¨ïî饩 ¢¥àè¨ë A ¨ B (á¬. à¨á. 92 á. 200). ¥ ¨áª«î祮, ª®¥ç®, ç⮠ॡ஠L ¯à®å®¤¨â ¯® ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¥ £à ï¬ ¥®¤®ªà â®, ¨ ⮣¤ í⨠£à ¨ ¯®ï¢«ïîâáï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Q ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¨á«® à §. ¥¡à® L ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¤®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª , ¯®â®¬ã ª ¤ãî £à ì «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® à § (¨áª«îç ï á«ãç © ᮢ¯ ¤¥¨ï ॡà L á ॡ஬ ¬®£®£à ¨ª ). â® «¥£ª® ¤®ª § âì ¥¯®á।á⢥® . ¤ ª® ¬ë ¬®¥¬ á®á« âìáï â®, çâ® íâ® ã⢥थ¨¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¡®«¥¥ ᨫ쮬 १ã«ìâ â¥, ¯®«ã祮¬ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë 3 § 2 £« ¢ë IV. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢áïª ï à §¢¥à⪠¬®£®£à ¨ª ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¥áâ¥á⢥®© ¯ã⥬ ª®¥ç®£® ç¨á« à §à¥§ë¢ ¨© ¨ ᪫¥¨¢ ¨©. Ǒ®í⮬㠨 «î¡ë¥ ¤¢¥ à §¢¥à⪨ ®¤®£® ¬®£®£à ¨ª ¯®«ãç îâáï ®¤ ¨§ ¤à㣮© «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. ⢫¥ª ïáì ®â ¬®£®£à ¨ª , ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¤¢¥ à §¢¥à⪨ R ¨ S , ¯®«ãç î騥áï ¤à㣠¨§ ¤à㣠¯ã⥬ ª®¥ç®£® ç¨á« à §à¥§ë¢ ¨© ¨ ᪫¥¨¢ ¨© ¯® ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª ¬, ¯à¨ç¥¬ â ª, çâ® ¢ १ã«ìâ ⥠¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ®¢ëå ¢¥àè¨ ¨ ¢¥àè¨ë ¥ ¨á祧 îâ; ª®à®âª® £®¢®àï, à §¢¥à⪨ ¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢¥àè¨ë. ¤®¥ à¥¡à® à §¢¥à⪨ S á®áâ ¢«ï¥âáï ¨§ ®â१ª®¢ £à ïå à §¢¥à⪨ R â ª, çâ® ¯à¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮬 ᪫¥¨¢ ¨¨ íâ¨å £à ¥© ¯«®áª®á⨠®® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯àאַ«¨¥©ë© ®â१®ª. ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® § ¤ ® à ᯮ«®¥¨¥ ॡà L à §¢¥à⪨ S ¢ à §¢¥à⪥ R, ¥á«¨ 㪠§ ® 1) ª ª¨¥ ¢¥àè¨ë à §¢¥à⪨ R ®® ᮥ¤¨ï¥â; 2) ¯® ª ª¨¬ ¥¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ ®® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®å®¤¨â ¨ 3) ª ª¨¥ ¨å áâ®à®ë ®® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮯¥à¥á¥ª ¥â.
᫨ § ¤ ® à ᯮ«®¥¨¥ ¢á¥å 18)
18) ç¥ L ¬®® ¡ë«® ¡ë 㪠§ âì â®çªã C , ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ®â ª®â®à®© ®® ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ª®¥-⮠ॡ஠L′ ¬®£®£à ¨ª . ® â ª ª ª ¢¡«¨§¨ C ॡ஠L ᢮¤¨âáï ª ¯àאַ«¨¥©®¬ã ®â१ªã, â® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ®® ᮢ¯ ¤ ¥â á L′ .
. X:
§ 5.
427
ॡ¥à à §¢¥à⪨ S ¢ R, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® § ¤ ® à ᯮ«®¥¨¥ à §¢¥àâS ¢ R. 祢¨¤®, § ¤ ¨¥ à ᯮ«®¥¨ï à §¢¥à⪨ S ¢ R ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â § ª® à §à¥§ë¢ ¨ï ¨ ᪫¥¨¢ ¨ï, ¯à¥¢à é î騩 à §¢¥àâªã R ¢ S , ¨ ⥬ á ¬ë¬ ®¯à¥¤¥«ï¥â áâ஥¨¥ à §¢¥à⪨ S . ª¨
¥¬¬ 1.
Ǒãáâì ¤¢¥ à §¢¥à⪨
R0
¨
S0
¯®«ãç îâáï ¤à㣠¨§ ¤àã£ à §à¥-
§ë¢ ¨ï¬¨ ¨ ᪫¥¨¢ ¨ï¬¨ ¨ ú¨¬¥îâ ®¡é¨¥ ¢¥àè¨ëû. áâ ¢«ïï áâ஥¨¥ à §¢¥à⪨
R0
¥¨§¬¥ë¬, ¡ã¤¥¬ ¬¥ïâì ¥¥ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë, ¯®-
«ãç ï ®¢ë¥ à §¢¥à⪨
R.
®£¤ , ¥á«¨ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ ¤®áâ â®ç®
R áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ ï à §¢¥àâR â ª ¥, ª ª S0 à ᯮ«®¥ ®â®á¨â¥«ì® R0 . ¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë à §¢¥à⪨ S áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¯ à ¬¥â஢ à §¢¥à⪨ R. L0 S0 R0 R ¬ «ë, ¤«ï ª ¤®© à §¢¥à⪨ ª
S,
à ᯮ«®¥ ï ®â®á¨â¥«ì®
áᬮâਬ ª ª®¥-«¨¡® à¥¡à® à §¢¥à⪨ .
᫨ ®® ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¤¨¬ ¨§ ॡ¥à à §¢¥à⪨ , ⮠ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ¥¬ã ¢ à §¢¥à⪥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ॡà®. Ǒãáâì ॡ஠L ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ¨ á ®¤¨¬ ॡ஬ à §¢¥à⪨ R . ®£¤ à §¢¥à¥¬ ¯«®áª®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢á¥ ⥠¬®£®ã£®«ì¨ª¨ à §¢¥à⪨ R , ¯® ª®â®àë¬ ®® ¯à®å®¤¨â. ®à®ªã ¬®® à §¢¥àãâì ¯«®áª®áâì, ⮫쪮 à §à¥§ ¢ ¥¥. Ǒ®í⮬ã, ¥á«¨ ॡ஠L ¯¥à¥á¥ª ¥â ¢®à®ªã, â® ¬ë ¤®«ë ¥¥ à §à¥§ âì. â® à §à¥§ë¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨¬ ¯® ¯®«ã¯àאַ©, ¨¤ã饩 ¨§ ¤ ®© ¢¥àè¨ë ¨ ®¡à §ãî饩 ¤ ë© ã£®« á ®¤®© ¨§ ¤ ëå ª®¥çëå áâ®à® ¢®à®ª¨, ¯®¤å®¤ïé¨å ª í⮩ ¢¥à訥. ®£¤ á ¨§¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥â஢ à §à¥§ ï ¢®à®ª ¬¥ï¥âáï ®¤®§ ç®. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¬®£®ã£®«ì¨ª Q , ¢ ª®â®à®¬ L ¡ã¤¥â ¤¨ £® «ìî. Ǒਠ¬ «®¬ ¨§¬¥¥¨¨ ¯ à ¬¥â஢ à §¢¥à⪨ R ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¬¥ï¥âáï ¬ «®. Ǒ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ εL > 0, çâ® ¥á«¨ ⮫쪮 ¢á¥ ¯ à ¬¥âàë ¨§¬¥¨«¨áì ¬¥ìè¥ ç¥¬ εL, â® ¢ ¨§¬¥¥®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ ¢á¥ ¥ ¯à®å®¤¨â ¤¨ £® «ì L, ᮥ¤¨ïîé ï ⥠¥ ¢¥àè¨ë ¨ ¯¥à¥á¥ª îé ï ⥠¥ áâ®à®ë á®áâ ¢«ïîé¨å ¥£® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ R. âã ¤¨ £® «ì L ¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ॡàã L ; ® à ᯮ«®¥ ¢ à §¢¥à⪥ R â ª ¥, ª ª L à ᯮ«®¥ ¢ à §¢¥à⪥ R . ¨ª ª®£® ¤à㣮£® ®â१ª ⮣® ¥ à ᯮ«®¥¨ï, ®ç¥¢¨¤®, ¥â. ¥àï ⥯¥àì ε > 0 ¬¥ìè¥ ¢á¥å εL ¤«ï ¢á¥å ॡ¥à L à §¢¥à⪨ S , ã¡¥¤ ¥¬áï, çâ® ¥á«¨ ¯ à ¬¥âàë à §¢¥à⪨ R ¨§¬¥¨«¨áì ¬¥ìè¥ ç¥¬ ε, â® ª ¤®¬ã ॡàã à §¢¥à⪨ S ¬®® ᮯ®áâ ¢¨âì ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë© ®â१®ª, â ª ¥ à ᯮ«®¥ë© ¢ ¨§¬¥¥®© à §¢¥à⪥ R. Ǒਨ¬ ï ¢á¥ í⨠®â१ª¨ § ॡà à §¢¥à⪨ S , ¯®«ã稬, çâ® S à ᯮ«®¥ ¢ R â ª ¥, ª ª S à ᯮ«®¥ ¢ R . ª ª ª ॡ஠L à §¢¥à⪨ S ¥áâì «¨¡® à¥¡à® à §¢¥à⪨ R, «¨¡® ¤¨ £® «ì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, â® ¥£® ¤«¨ , â ª¥ 㣫ë, ®¡à §ã¥¬ë¥ ¨¬ á® áâ®à® ¬¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¤«¨ áâ®0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
428
. .
à® ¨ 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ R. (®, çâ® ¤«¨ ¤¨ £® «¨ ¨ ®¡à §ã¥¬ë¥ ¥î 㣫ë áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¤«¨ áâ®à® ¨ 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª , | ¤®áâ â®ç® ®ç¥¢¨¤®.) £®« ¢® ¢á类¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ à §¢¥à⪨ S á« £ ¥âáï ¨§ 㣫®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ à §¢¥à⪨ R ¨ ¨å ç á⥩, ¢ë१ ¥¬ëå à¥¡à ¬¨, á室ï騬¨áï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訥. Ǒ®í⮬㠨 㣫ë à §¢¥à⪨ S áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ áâ®à® ¨ 㣫®¢ ¢ à §¢¥à⪥ R. ¥¬ á ¬ë¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë ¤®ª § ®. 3. ¥¬¬ 2.
Ǒãáâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P0
¤¥ä®à¬¨àã¥âáï, ¡ëâì
¬®¥â, á àã襨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠⠪, çâ® ¥¬ ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ¨ ®¢ëå ¢¥àè¨, ¨ ®¢ëå ॡ¥à, ¨ ⥬ á ¬ë¬ áâ஥¨¥ ¥£® ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨
R0
á®åà ï¥âáï. Ǒãáâì
P0
¡ë« ¤ ¤àã£ ï ¥£® à §¢¥àâª
S0 .
®£¤ ,
¥á«¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¤®áâ â®ç® ¬ « , ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥
P
S , â ª ¥ à ᯮ«®¥ ï ®âS0 à ᯮ«®¥ ®â®á¨â¥«ì® ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª ï ª à §¢¥à⪥ S0 .
áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ ï à §¢¥à⪠®á¨â¥«ì® ¥£® ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨ R, ª ª
R0 .
â à §¢¥àâª
S
| ¥¤¨á⢥ ï,
â «¥¬¬ 㥠ᮤ¥à¨âáï ¢ «¥¬¬¥ 1. Ǒ®á«¥¤¥¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë ®ç¥¢¨¤® ¨§ ⮣®, ç⮠ॡà à §¢¥à⪨ S ¯® á ¬®¬ã ¨å ¯®áâ஥¨î, ¤ ®¬ã ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë 1, áãâì ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ®â१ª¨, ¡«¨§ª¨¥ ª à¥¡à ¬ ¨á室®© à §¢¥à⪨ S . Ǒãáâì ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï, ¬®¥â ¡ëâì, á àã襨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠⠪, çâ® ®¢ëå ¢¥àè¨ ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï, ® ¬®£ãâ ¯®ï¢«ïâìáï ®¢ë¥ ॡà . â® ®§ ç ¥â, çâ® ª®¥çë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ¬®£ãâ ¯¥à¥« ¬ë¢ âìáï ¯® ¤¨ £® «ï¬, ¡¥áª®¥çë¥ â ª¥ ¯® ª ª¨¬-â® ¯®«ã¯àï¬ë¬, ¨¤ã騬 ¨§ ¢¥àè¨. ¯à¨¬¥à, ¬®® ᬥáâ¨âì ¢á¥ ¢¥àè¨ë § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª P â ª, çâ®¡ë £à ¨æ ¨å ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¡ë« ¬®£®£à ¨ª®¬, ¡«¨§ª¨¬ ª P . Ǒਠí⮬ ¢¥àè¨ë, «¥ ¢è¨¥ ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, ¬®£ãâ ¯¥à¥áâ âì «¥ âì ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨, ¨ ⮣¤ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £à ì á«®¬ ¥âáï. ¨á«® ¢á¥å ¢®§¬®ëå ¤¨ £® «¥© ª®¥ç®, ¯®â®¬ã ç¨á«® à §«¨çëå áâ஥¨© ª®¥ç®© ç á⨠¤¥ä®à¬¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ª®¥ç®. Ǒ¥à¥« ¬ë¢ ¨¥ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¯® ®¢ë¬ ¡¥áª®¥çë¬ à¥¡à ¬ ¥ ¢«¨ï¥â áâ஥¨¥ ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨, ¯®â®¬ã çâ® ¢ ¥© ãç áâ¢ã¥â ¢áï ᮢ®ªã¯®áâì íâ¨å £à ¥©, ᪫¥¥ ï ¢ ¢®à®ªã.
᫨ ¬®£®£à ¨ª¥ P § à ¥¥ ¯à®¢¥á⨠¤¨ £® «¨, ¯® ª®â®àë¬ ¯à¨ ¤ ®© ¤¥ä®à¬ 樨 «®¬ îâáï ¥£® £à ¨, ¨ ¯à¨ïâì ¨å § ॡà , â® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¥áâ¥á⢥ãî à §¢¥àâªã ⮣® ¥ áâ஥¨ï, çâ® ¬®£®£à ¨ª P á í⨬¨ ®¢ë¬¨ à¥¡à ¬¨. Ǒ®í⮬ã, ᮣ« á® «¥¬¬¥ 2, ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «®© ¤¥ä®à¬ 樨 ª ¤®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P ¬®® ¯®áâநâì à §¢¥àâªã S , ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § à ¥¥ § ¤ ®© à §¢¥à⪥ S ¬®£®£à ¨ª P . 0
0
0
0
0
0
0
. X:
§ 6.
Ǒ
429
â®â १ã«ìâ â ¬®® ¢ëà §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥¬¬ 3.
᫨ ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P0
¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¤®áâ â®ç®
¬ «® ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¢¥àè¨, â® ¢á类¬ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥
P
¬®® ¯®áâநâì ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ãî à §¢¥àâªã
ª ¤ ®© à §¢¥à⪥
S0
¬®£®£à ¨ª
S , ¡«¨§ªãî
P0 .
ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï á ¨§¬¥¥¨¥¬ ¥ª®â®à®© ¯¥à¥¬¥®© t, â® ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë à §¢¥à⪨ S áãâì ®¤®§ çë¥ äãªæ¨¨ ®â t. 0
§ 6. ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 ன à §¢¥à⪮©
1. ¥®à¥¬ 1.
¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 ன
à §¢¥à⪮© | ¥á⪨©.
Ǒ®¤à®¡¥¥: ¯ãáâì § ¬ªã⮬ ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ P § ¤ ª ª 﫨¡® à §¢¥à⪠S , ¢¥àè¨ë ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ îâ á ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨. Ǒãáâì íâ®â ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï á ¥¯à¥àë¢ë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ¥ª®â®à®© ¯¥à¥¬¥®© t ¡¥§ ¯®ï¢«¥¨ï ®¢ëå ¢¥àè¨. ( P ¤®¯ã᪠îâáï ¥ áâ®ï騥 ¢¥àè¨ë ¢ãâਠॡ¥à.) ®£¤ , ᮣ« á® «¥¬¬¥ 3 ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä , ª ¤®¬ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ Pt (¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ¯à¨ t, ¡«¨§ª¨å ª ç «ì®¬ã § 票î t = 0) ®¤®§ ç® áâநâáï à §¢¥à⪠St, ¡«¨§ª ï ª S , ¨ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë í⮩ à §¢¥à⪨ áãâì ®¤®§ çë¥ äãªæ¨¨ ®â t. Ǒãáâì ¢á¥ ®¨ áâ 樮 àë, â. ¥. ¯à¨ t = 0 ¨å ¯à®¨§¢®¤ë¥ à ¢ë ã«î. ®£¤ ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î, â. ¥. ç «ìë¥ áª®à®á⨠¤¢¨¥¨ï ¥£® ¢¥àè¨ ( § ç¨â, ¨ ᪮à®á⨠¢à 饨ï ॡ¥à ¨ £à ¥©) â ª®¢ë, ª ª ¥á«¨ ¡ë ¬®£®£à ¨ª P ¡ë« ⢥à¤ë¬ ⥫®¬. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒਠ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª P ¥£® £à ¨ ¬®£ãâ «®¬ âìáï ¯® ¤¨ £® «ï¬, çâ® ¢¥¤¥â ª ¨§¬¥¥¨î áâ஥¨ï ¥£® ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨. Ǒਠí⮬ ¢®§¬®®, çâ® ¤ ¥ ¯à¨ t, ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨å ª ã«î, ®¤¨ ¨ ⥠¥ £à ¨ ¡ã¤ãâ «®¬ âìáï ¯® à §ë¬ ¤¨ £® «ï¬. â ª®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ ®¤¨ ¨§ ¢¨¤®¢ â ª®£® ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥© ¨ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¨¬ âì ¢® ¢¨¬ ¨¥ ⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 § 票ï t.
᫨ ¬ë ¯à¨ í⮬ ¤®ª ¥¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¥á⪨©, â. ¥. ¥£® ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î, ⮠⥬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ ¡ã¤¥â ¤®ª § , ¯®áª®«ìªã íâ®â ¢ë¢®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ª «î¡®¬ã ¢¨¤ã ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥©. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à®¬¥ã⮪ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà t à §¡¨¢ ¥âáï ¥ª®â®àë¥ ¬®¥á⢠T , T , . . . , Tm , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª ¤®¥ ᢮¥¬ã ¢¨¤ã ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï £à ¥©. £à ¨ç¨¢ ïáì ®¤¨¬ k-¬ ¢¨¤®¬ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï, ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï § 票ﬨ t ¨§ ¬®¥á⢠Tk .
᫨ x(t) | ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ë ¬®£®£à ¨ª Pt, â® ¬®® ¢ëç¨á«ïâì ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ãî x_ (0), ®£à ¨ç¨¢ ïáì í⨬¨ § 票ﬨ t («¨èì ¡ë ⮫쪮 á।¨ ¨å ¡ë«¨ ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª¨¥ ª ã«î).
᫨ ¬ë ¤®ª ¥¬, çâ® ¯à¨ § ªà¥¯«¥ëå âà¥å 0
0
0
0
0
0
0
1
2
430
. .
¢¥àè¨ å ¢ëç¨á«¥ ï ¯à®¨§¢®¤ ï à ¢ ã«î ¯à¨ «î¡®¬ k, â® ¡ã¤¥â à ¢ ã«î ¯à®¨§¢®¤ ï, ¢ëç¨á«¥ ï ¯à¨ ®¡ë箬 ãá«®¢¨¨, çâ® t ¯à®¡¥£ ¥â «î¡ë¥ § 票ï. ® ¥áâì ®ª ¥âáï, çâ® ¯à¨ § ªà¥¯«¥¨¨ âà¥å ¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª ¥¯®¤¢¨¥, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¥£® ¥á⪮áâì ¡ã¤¥â ¤®ª § . â ª, áç¨â ¥¬, çâ® ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª Pt ¨¬¥¥â ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥®¥ áâ஥¨¥. ®§¨ªè¨¥ ¥¬ ®¢ë¥ ॡà ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤¨ £® «ï¬ £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬ã, ¯à¨ï¢ í⨠¤¨ £® «¨ § ॡà á ¬®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¯®«ã稬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¨ Pt ¨ P ¨¬¥îâ ¥áâ¥áâ¢¥ë¥ à §¢¥à⪨ Rt ¨ R ®¤®£® áâ஥¨ï. Ǒ® ãá«®¢¨î ¤ ï à §¢¥à⪠S ¬®£®£à ¨ª P áâ 樮 à , â. ¥. ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥â஢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯¥à¥¬¥®© à §¢¥à⪨ St ¬®£®£à ¨ª Pt à ¢ë ã«î ¯à¨ t = 0. ®£« á® «¥¬¬¥ 1 § 5, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯ à ¬¥âàë à §¢¥à⪨ Rt áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¯ à ¬¥â஢ à §¢¥à⪨ St, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤ ®© à §¢¥à⪥ S ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬㠥áâ¥á⢥ ï à §¢¥à⪠¬®£®£à ¨ª P â ª¥ áâ 樮 à . ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ¢á¥ ã£«ë ¨ ¤«¨ë áâ®à® £à ïå ¬®£®£à ¨ª áâ 樮 àë, â ª ª ª £à ¨ ¥£® ¨ áãâì £à ¨ ¥£® ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨. ®£« ᮠ⥮६¥ 1 § 3, ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠㣫®¢ £à ïå ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë â ª¥ áâ 樮 àë. ®âáî¤ ¢á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë, 㪠§ ®© ¢ ç «¥ § 4, á«¥¤ã¥â ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª . 0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. ¥®à¥¬ 2.
¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥
à¥¡à ª®â®à®£® ¯ à ««¥«ìë, | ¥á⪨©, ¥á«¨ ª ª ï-«¨¡® ¤ ï ¥£® à §¢¥à⪠áâ 樮 à .
¥â «ì®¥ ᮤ¥à ¨¥ í⮩ ⥮६ë à áªàë¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ì® â ª ¥, ª ª ¡ë«® à áªàë⮠ᮤ¥à ¨¥ ⥮६ë 1. ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¬ë á®åà ¨¬ ®¡®§ 票ï ⥮६ë 1: P | ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª, S | ¤ ï ¥£® à §¢¥à⪠, Pt ¨ St | ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª ¨ ¥£® ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à §¢¥à⪠.
᫨ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P «®¬ îâáï, â® ®¯ïâì ¢ë¡¨à ¥¬ ⮫쪮 ®¤¨ ¢¨¤ ¨å ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï ¨ ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ § 票ﬨ t. Ǒਨ¬ ï ¤¨ £® «¨, ¯® ª®â®àë¬ «®¬ îâáï £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P , § ॡà í⮣® ¬®£®£à ¨ª , ¯®«ã稬, çâ® ¥áâ¥áâ¢¥ë¥ à §¢¥à⪨ Rt ¬®£®£à ¨ª®¢ Pt ¨¬¥îâ â® ¥ áâ஥¨¥, çâ® ¨ ¥áâ¥á⢥ ï à §¢¥à⪠R ¬®£®£à ¨ª P . ª ª ª à §¢¥à⪠S áâ 樮 à , ¯ à ¬¥âàë à §¢¥à⪨ R áãâì ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¯ à ¬¥â஢ à §¢¥à⪨ S , â® à §¢¥à⪠R áâ 樮 à . ® ¥áâì ¤«¨ë ॡ¥à ¨ ã£«ë ª®¥çëå £à ¥© ¬®£®£à ¨ª P áâ 樮 àë, â ª¥ áâ 樮 àë ¤«¨ë ॡ¥à ¨ ã£«ë ¢®à®ª¨. ¤ ª® ã£«ë ¢®à®ª¨ ¯à¨ ¥¥ ¢¥àè¨ å, ïîé¨åáï ª®æ ¬¨ ¡¥áª®¥çëå ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª , ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á㬬ë 㣫®¢ ¡¥áª®¥çëå £à ¥©, ¥ á ¬ë¥ í⨠㣫ë. Ǒ®í⮬㠤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠áâ 0
0
0
0
0
0
0
. X:
§ 6.
Ǒ
431
樮 à®á⨠¢á¥å 㣫®¢ ¡¥áª®¥çëå £à ïå âॡãîâáï ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ á®®¡à ¥¨ï. Ǒãáâì A | ®¤ ¨§ ¢¥àè¨ ¢®à®ª¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¨ ¨§ í⮩ ¢¥àè¨ë ¨á室¨â ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠L . Ǒãáâì α , β | ã£«ë ¡¥áª®¥çëå £à ïå ¯à¨ ¢¥à訥 A . At , Lt, αt , βt ¯ãáâì ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®£® ¬®£®£à A0 ¨ª Pt. §à¥§ ¢ ¢®à®ªã ¬®£®£à ¨ª Pt A0 ¯® ॡàã Lt ¨ à §¢¥à㢠¥¥ ¯«®áª®áâì, ¯®α0 «ã稬 ¡¥áª®¥çë© ¬®£®ã£®«ì¨ª Vt. Ǒਠβ0 t = 0 íâ® ¡ã¤¥â à §¢¥àãâ ï ¢®à®ª V ¬®£®£à ¨ª P (à¨á. 152). ¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª V ¯ à ««¥«ìë, ã Vt ®¨ ¬®£ãâ ¨ ¥ ¡ëâì ¯ à ««¥«ì묨. ë ¤®«ë ¤®ª § âì, çâ® (dα/dt)t ≡ α_ (0) = 0. ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ® α_ (0) 6= 0 ¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠α(0) > 0. Vt′ 㤥¬ à áᬠâਢ âì ¤¥ä®à¬ æ¨î ¬®£®V0 㣮«ì¨ª V ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ Vt . ᪫îç ï ¤¢¨¥¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª ª ª 楫®£®, ¬®® ¨á. 152 áç¨â âì ¥¯®¤¢¨ë¬¨ ¢¥àè¨ã A ¨ ¯à ¢«¥¨¥ ¨á室ï饣® ¨§ ¥¥ ª®¥ç®£® ॡà . ¥ä®à¬ æ¨î à §«®¨¬ ¤¢¥ ç áâ¨: ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨î ¢ëá襣® ¯®à浪 . ¥ä®à¬ æ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á®á⮨⠢ ¨§¬¥¥¨¨ í«¥¬¥â®¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯®áâ®ï묨 ᪮à®áâﬨ, à ¢ë¬¨ ç «ìë¬ áª®à®áâï¬ ¤ ®© ¤¥ä®à¬ 樨. ¥ä®à¬ æ¨ï ¢ëá襣® ¯®à浪 ¤®¯®«ï¥â ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¤® ¨á⨮© . áᬮâਬ á ç « ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ᥠ¤«¨ë áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª Vt ¨ ¢á¥ ¥£® 㣫ë, ªà®¬¥ α(t) ¨ β (t), ïîâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ¢®à®ª¨. Ǒ®í⮬㠢ᥠ®¨ áâ 樮 àë ¨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¥ ¬¥ïîâáï ¢®¢á¥. ª ª ª ª ⮬㠥 ¢¥àè¨ A ¨ ¨á室ïé ï ¨§ ¥¥ ª®¥ç ï áâ®à® ¥¯®¤¢¨ë, â® ¢®®¡é¥ ¢á¥ ¢¥àè¨ë ¬®£®ã£®«ì¨ª V ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®áâ îâáï ¬¥áâ¥. ®«ìª® ¥£® ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ¢à é îâáï â ª, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ã£«ë ¬¥ïîâáï á ç «ì묨 ᪮à®áâﬨ α_ (0) ¨ β_ (0). ª ª ª ¢ ᨫã áâ 樮 à®á⨠α_ (0) = −β_ (0), â® ¯à¨ í⮬ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ®áâ îâáï ¯ à ««¥«ì묨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯à¥¢à é ¥â ¬®£®ã£®«ì¨ª V ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª Vt′ ⥬¨ ¥ ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨ (á¬. à¨á. 152). 0
0
0
0
0
0
0
0
0
=0
0
0
19)
0
0
0
19)
᫨ x(t) | ¢¥«¨ç¨ , á¢ï§ ï á ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬ Vt , â® ¯®« £ ¥¬ x(t) = x(0)+ +x_ (0)t + ε(t). ¤¥áì x_ (0)t ¤ ¥â ¤¥ä®à¬ æ¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , a ε(t) | ¤¥ä®à¬ æ¨î ¢ëá襣® ¯®à浪 .
432
. .
᫨ ®â१ âì ®â Vt′ 㣮«, ¯à¨¡ ¢¨¢è¨©áï ª 㣫ã α , ¨ ¯à¨«®¨âì ¥£® á ¤à㣮© áâ®à®ë, â® ¯®«ã稬 ¨áå®¤ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª V . «¥¤®¢ ⥫ì®, Vt′ ¥áâì à §¢¥à⪠¢®à®ª¨ ¬®£®£à ¨ª P , ⮫쪮 à §à¥§ ï ¥ ¯® ॡàã L , ′¯® «¨¨¨ L′ ′t, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¡¥áª®¥çë¬ áâ®à® ¬ ¬®£®′ 㣮«ì¨ª Vt . ¨¨ï Lt ¯¥à¥á¥ª ¥â L ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ Bt, ¨ â ª ª ª L ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॡàã ¬®£®£à ¨ª P , â® ¥¥ ®â१®ª A Bt′ ª®à®ç¥ ®â१ª A Bt′ «¨¨¨ L′t . (¡¥ ¢¥àè¨ë A ¬®£®ã£®«ì¨ª V ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ®¤ã ¢¥àè¨ã ¢®à®ª¨, ¨ ¯®â®¬ã ¬ë ¨å ¥ à §«¨ç ¥¬ ¢ í⮬ à áá㤥¨¨.) ®¡ ¢¨¬ ⥯¥àì ª ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®áâ îéãîáï ¤¥ä®à¬ æ¨î ¢ëá襣® ¯®à浪 . ®£¤ ¬®£®ã£®«ì¨ª Vt′ ¯à¥¢à â¨âáï ¢ Vt, ¥£® ¡¥áª®¥ç ï áâ®à® L′t | ¢ ¡¥áª®¥çãî áâ®à®ã Lt ¬®£®ã£®«ì¨ª Vt.
᫨ t ¤®áâ â®ç® ¬ «®, â® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¢ëá襣® ¯®à浪 ¢ë§®¢¥â áâ®«ì ¬ «ë© ¯®¢®à®â «¨¨¨ L′t, çâ® ® ¯®-¯à¥¥¬ã ¡ã¤¥â ¯¥à¥á¥ª âì L ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ Bt , ¯à¨ç¥¬ ®â१®ª A Bt «¨¨¨ L ®¯ïâì-â ª¨ ¡ã¤¥â ª®à®ç¥ ®â१ª A Bt «¨¨¨ Lt . ¤ ª® «¨¨ï Lt ¯® ãá«®¢¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॡàã ¬®£®£à ¨ª Pt, ¯®â®¬ã ¨ª ª¨¥ ¤¢¥ ¥¥ â®çª¨ ¥«ì§ï ᮥ¤¨¨âì ¡®«¥¥ ª®à®âª¨¬ ®â१ª®¬, 祬 ®â१®ª á ¬®© «¨¨¨ Lt . Ǒ®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® α_ (0) ¥ ¬®¥â ¡ëâì ®â«¨ç® ®â ã«ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ®, çâ® ª ¤ë© 㣮« ¡¥áª®¥ç®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤¥â áâ 樮 àë¬. â 樮 à®áâì 㣫®¢ ª®¥çëå £à ïå ¡ë« ãáâ ®¢«¥ ¢ ç «¥. Ǒ®í⮬ã, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ⥮६®© 4 § 3, ¯à¨å®¤¨¬ ª § ª«î票î, çâ® ¢á¥ ¤¢ã£à ë¥ ã£«ë ¬®£®£à ¨ª â ª¥ áâ 樮 àë. ¥¯¥àì, ª®£¤ ¨§¢¥áâ áâ 樮 à®áâì ¤«¨ áâ®à® ¨ 㣫®¢ £à ¥©, â ª¥ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢, ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ì® ⥬ ¥ ¯à®áâë¬ à áá㤥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¡ë«® ¯à¨¬¥¥® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1. 3. ¥¯¥àì ®¡à ⨬áï ª ¡¥áª®¥çë¬ ¬®£®£à ¨ª ¬ á ¥¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨. ¤ë© â ª®© ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« V , ¥ ¢ëத î騩áï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî. ¤®¬ã ॡàã L 㣫 V ®â¢¥ç ¥â å®âï ¡ë ®¤® ¡¥áª®¥ç®¥ ॡ஠¬®£®£à ¨ª P , ¯à¥¢à é î饥áï ¢ L, ª®£¤ P ¡¥áª®¥ç® ¯®¤®¡® ᨬ ¥âáï ¢ 㣮« V . «ï ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª P ¥¤®áâ â®ç® ¤¢ãå ãá«®¢¨© áâ 樮 à®áâ¨: ¥£® à §¢¥à⪨ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 . ®£®£à ¨ª P ¬®® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âì â ª, çâ® ¥£® à §¢¥à⪠¨ ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¥ ¬¥ïîâáï ¢®¢á¥, ® ॡà®, ®â¢¥ç î饥 ¤ ®¬ã ॡàã L ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , ¯®¢®à 稢 ¥âáï, â. ¥. 㣮«, ®¡à §ã¥¬ë© í⨬ ॡ஬ á ¯®¤å®¤ï騬 ª ¥¬ã ª®¥çë¬ à¥¡à®¬, ¬¥ï¥âáï. ®§¬®®áâì â ª®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¡ë« ¤®ª § ¢ § 5 £« ¢ë IV ¤«ï «î¡®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ â ¬ ¥ ¡ë« ¯à¨¢¥¤¥ ®ç¥ì ¯à®á⮩ ¥¥ ¯à¨¬¥à. á¢ï§¨ á í⨬ ã® ¥é¥ âà¥âì¥ ãá«®¢¨¥ áâ 樮 à®áâ¨.
£® ä®à¬ã«¨à®¢ª ¨ ¤®áâ â®ç®áâì ¢á¥å âà¥å ãá«®¢¨© ᮤ¥à âáï ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥: 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
. X:
¥®à¥¬ 3.
§ 6.
Ǒ
Ǒãáâì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª
P
433
á ¯à¥¤¥«ì-
ë¬ ã£«®¬, ¥ ¢ëத î騬áï ¢ ¯®«ã¯àï¬ãî, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® ¢ë-
1) ¥ª®â®à®© ¥£® à §¢¥à⪨ S , 2) ¥£® 3) ¥ª®â®à®£® ¥£® ॡà L, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¤ ®-
¯®«¥ë âਠãá«®¢¨ï áâ 樮 à®áâ¨: ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¬ã ॡàã 㣫
V
V.
¨
Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©, â. ¥. ¥£®
¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î.
3 ®§ ç ¥â áâ 樮 à®áâì 㣫 , ®¡à §ã¥¬®£® ॡ஬ L á ®¤¨¬ ¨§ ¯®¤å®¤ïé¨å ª ¥£® ¢¥à訥 ª®¥çëå ॡ¥à ¢®à®ª¨ ¤ ®© à §¢¥à⪨ S . ¥áª®¥ç®¥ ॡ஠L § ¢¥¤®¬® «¥¨â í⮩ ¢®à®ª¥ ¨, £àã¡® £®¢®àï, ¤¥«® ¨¤¥â ® ¥£® ¥¯®¤¢¨®á⨠¥©. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯à®å®¤¨â ¯® ⮬㠥 ¯« ã, çâ® ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2. Ǒ।¥ ¢á¥£®, â ª ¥ ª ª ¢ ⥮६¥ 2, ¨§ áâ 樮 à®á⨠¥ª®â®à®© ¤ ®© à §¢¥à⪨ á«¥¤ã¥â áâ 樮 à®áâì ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨ ¬®£®£à ¨ª P . (Ǒਠí⮬ ®¯ïâì-â ª¨ ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ®¤¨¬ ¢¨¤®¬ ¯¥à¥« ¬ë¢ ¨ï ª®¥çëå £à ¥© ¯® ¤¨ £® «ï¬ ¨ ¯à¨¨¬ ¥¬ í⨠¤¨ £® «¨ § à¥¡à ¬®£®£à ¨ª .) «¥¥, ¬ë ᮢ § ¬¥ç ¥¬, çâ® ã£«ë ¢®à®ª¨ ¬®£®£à ¨ª ®¡à §ãîâáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥áª®«ìª¨¬¨ 㣫 ¬¨ ¥£® ¡¥áª®¥çëå £à ïå. Ǒ®í⮬㠮¯ïâì ¢á⠥⠧ ¤ ç | ¤®ª § âì áâ 樮 à®áâì íâ¨å 㣫®¢. Ǒ® ãá«®¢¨î 3 ⥮६ë 㣮«, ®¡à §ã¥¬ë© ॡ஬ L á ¥ª®â®àë¬ ª®¥çë¬ à¥¡à®¬ ¢®à®ª¨ à §¢¥à⪨ S , áâ 樮 à¥. § áâ 樮 à®áâ¨ à §¢¥à⪨ S ¨ ¥áâ¥á⢥®© à §¢¥à⪨ «¥£ª® § ª«îç¨âì, çâ® ã£«ë ¬¥¤ã ¨å à¥¡à ¬¨ áâ 樮 àë. Ǒ®í⮬ã 㣫ë, ®¡à §ã¥¬ë¥ ॡ஬ L á ª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨ ¬®£®£à ¨ª P , ¯®¤å®¤ï騬¨ ª ª®æã í⮣® ॡà , áâ 樮 àë. ¥çì ¨¤¥â, ª®¥ç®, ®¡ 㣫 å, ¨§¬¥à¥ëå ¬®£®£à ¨ª¥ P ; ®¨ ¬®£ãâ á« £ âìáï ¨§ 㣫®¢ ¥áª®«ìª¨å £à ¥©. Ǒãáâì L , . . . , Ln | ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , á室ï騥áï ¢ ª®æ¥ A ॡà L; ®¤® ¨§ ¨å, ᪠¥¬ Lk , ¥áâì L. ஬¥ ⮣®, ª A ¯®¤å®¤ïâ ¥é¥ ¤¢ ª®¥çëå ॡà L , Ln ¢®à®ª¨ ¬®£®£à ¨ª . á¥ à¥¡à ¯¥à¥ã¬¥à®¢ ë ¢ ¯®à浪¥ ¨å à ᯮ«®¥¨ï; ç¥à¥§ αi ¬ë ®¡®§ 稬 㣮« ¬¥¤ã i-¬ ¨ (i + 1)-¬ ॡ஬ (à¨á. 153). £«ë ¬¥¤ã ॡ஬ Lk = L ¨ à¥¡à ¬¨ L ¨ Ln à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® α + . . . + αk− ¨ αk + . . . + αn . ª ª ª ®¨ áâ 樮 àë, â® á«®¢¨¥ 20)
1
0
+1
0
0
+1
1
_ + . . . + α_ k = α_ k + . . . + α_ n = 0.
α0
+1
(1)
¥áª®¥çë¥ à¥¡à Li ¯ à ««¥«ìë à¥¡à ¬ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V , ¢ ª®â®àë¥ ®¨ ¯¥à¥å®¤ï⠯ਠ¡¥áª®¥ç®¬ ¯®¤®¡®¬ á ⨨. Ǒ®í⮬ã ã£«ë ¬¥¤ã 20) ®«ì L ¬®¥â ¢ë¯®«ïâì «î¡®© «ãç ¬®£®£à ¨ª¥ P , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤ ®© ®¡à §ãî饩 ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V .
434
. .
¨¬¨ à ¢ë 㣫 ¬ ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V . ⨠¥ ¯®á«¥¤¨¥ ¯® ãá«®¢¨î ⥮६ë áâ 樮 àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, α_ = α_ = . . . = α_ n− = 0. (2) § (1) ¨ (2) á«¥¤ã¥â, çâ® â ª¥ α_ = α_ n = 0. (3) ⨬ ¤®ª § ®, çâ® ¢á¥ ã£«ë ¡¥áª®¥çëå £à ïå ¯à¨ ¢¥à訥 A áâ 樮 àë. Ǒãáâì ⥯¥àì Q | ¡¥áª®¥ç ï £à ì, ᮤ¥à é ï 㣮« α (à¨á. 154). Ǒãáâì β , β , . . . , βm | ¤à㣨¥ ¥¥ 㣫ë, ¯à¨ç¥¬ βm ¥áâì 㣮« ¯à¨ ¥¥ ¡¥áª®1
2
1
0
0
1
2
L0 α0
β1 α1
Ln+1 A
B
αn
βm
α1
Q
L1
A
L1
M Ln L=Lk ¨á. 153
¨á. 154
¥ç®¬ ॡà¥; ¡¥áª®¥ç ï £à ì Q ¨¬¥¥â ¤¢ ¡¥áª®¥çëå ॡà : ®¤® L á ª®æ®¬ A, ¤à㣮¥ M á ª®æ®¬ B . ᥠ㣫ë βi , ªà®¬¥ βm, ïîâáï ¢¬¥á⥠á ⥬ 㣫 ¬¨ ¢®à®ª¨. Ǒ®í⮬ã β_ = β_ = . . . = β_ m− = 0. (4) £®« ¬¥¤ã à¥¡à ¬¨ L ¨ m, ª ª «¥£ª® ¯®¤áç¨â âì, à ¢¥ α + β + . . . + βm − mπ. ® íâ®â 㣮« à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ à¥¡à ¬¨ ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 V , ¨ â ª ª ª íâ®â ¯®á«¥¤¨© áâ 樮 à¥, â® α_ + β_ + . . . + β_ m = 0. (5) 1
1
2
1
1
0
1
0
1
. X:
§ 6.
435
Ǒ
Ǒ®«ì§ãïáì ⥯¥àì à ¢¥á⢠¬¨ (3){(5), ¯®«ãç ¥¬, çâ® β_ m = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ ã£«ë £à ¨ Q áâ 樮 àë ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, áâ 樮 ॠ㣮« ¬¥¤ã ¡¥áª®¥çë¬ ¥¥ ॡ஬ M ¨ á¬¥ë¬ á ¨¬ ª®¥çë¬ à¥¡à®¬. Ǒ®í⮬㠤«ï ¢á¥å 㣫®¢, á室ïé¨åáï ¢ ⮩ ¥ ¢¥à訥 B , ¬®® ¯®¢â®à¨âì à áá㤥¨¥, ª®â®à®¥ ¡ë«® ¯à®¢¥¤¥® ¢ëè¥ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª 㣫 ¬, á室ï騬áï ¢ ¢¥à訥 A. ®£¤ ®ª ¥âáï, çâ® ¢á¥ ã£«ë ¯à¨ ¢¥à訥 B áâ 樮 àë. Ǒத®« ï íâ®â ¢ë¢®¤, ¯®«ã稬, çâ® ¢á¥ ã£«ë ¡¥áª®¥çëå £à ïå áâ 樮 àë. ¥¯¥àì ¤®ª § ®, çâ® ã£«ë ¢á¥å ª ª ª®¥çëå, â ª ¨ ¡¥áª®¥çëå £à ïå áâ 樮 àë, ¯® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ¯à¥¤¥«ìë© ã£®« ¬®£®£à ¨ª ⮥ áâ 樮 à¥. âáî¤ ®á®¢ ¨¨ ⥮६ë 5 § 3 á«¥¤ã¥â áâ 樮 à®áâì ¢á¥å ¤¢ã£à ëå 㣫®¢. Ǒ®á«¥ í⮣® ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ìë¬ ¯®¢â®à¥¨¥¬ à áá㤥¨ï, ¯à®¢¥¤¥®£® ¢ § ª«î票¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1. 4. ¥®à¥¬ 4.
Ǒãáâì
P
| ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨-
ç¥ë© ®¤®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©.
᫨ áâ 樮 àë ¥ª®â®à ï ¥£® à §-
( ) à ¬¨, â® ¬®£®£à ¨ª P | ¥á⪨©. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¤®á«®¢®¥ ¯®¢â®à¥¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 á ⮩ ¥¤¨á⢥®© à §¨æ¥©, çâ® ã® á®á« âìáï ⥮६ã 6 § 3 ® áâ 樮 à®á⨠¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥©. ( ª ¥, ª ª ¢ ⥮६¥ 6 § 3, §¤¥áì à¥çì ¬®¥â ¨¤â¨ ® «®ª «ì® ¢ë¯ãª«®¬ ¬®£®£à ¨ª¥ ¨ áâ 樮 à®áâì 㣫®¢ ¬¥¤ã ᬥ묨 £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨ ¤®áâ â®ç® âॡ®¢ âì ¤«ï ¢á¥å ¨å ¯ à, ªà®¬¥ âà¥å. â ª ¥, ª ª ¢ § 3, ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬ ¢®¯à®á ®¡ ãá«®¢¨ïå ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª , ®£à ¨ç¥®£® ¥áª®«ìª¨¬¨ «®¬ 묨.) ⬥⨬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠¥é¥ ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë: ¢¥à⪠¨ ¢á¥ ¯à®áâà áâ¢¥ë¥ ã£«ë ¬¥¤ã ᬥ묨 £à ¨ç묨 ॡ-
¥®à¥¬ 5.
᫨ ã è ¯ª¨ áâ 樮 à ¥ª®â®à ï à §¢¥à⪠¨ £à ¨çë¥
¢¥àè¨ë ¬®£ãâ ¤¢¨£ âìáï ⮫쪮 ¢ ¯«®áª®á⨠ªà ï è ¯ª¨, â® è ¯ª | ¥á⪠ï: ® ¤®¯ã᪠¥â ⮣¤ «¨èì ¤¢¨¥¨ï ¢¤®«ì ¯«®áª®á⨠ªà ï.
®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® ᪫¥¨¢ ¨¨ ¤¢ãå ᨬ¬¥âà¨çëå è ¯®ª ¢ ®¤¨ § ¬ªãâë© ¬®£®£à ¨ª. ¥®à¥¬ 6.
Ǒãáâì
P
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¯ à «-
«¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 à¥¡à ¬¨, ®£à ¨ç¥ë© ®¤®© ¡¥áª®¥ç®© «®¬ -
(
)
®©.
᫨ áâ 樮 àë ¥ª®â®à ï ¥£® à §¢¥à⪠¨ ¢á¥ ¯à®áâà áâ¢¥ë¥ ã£«ë ¬¥¤ã ᬥ묨 £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨, â® ¬®£®£à ¨ª ª¨©.
P
| ¥áâ-
436 ¥®à¥¬ 7.
. .
Ǒãáâì
P
| ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ¨¬¥î騩
¥¯ à ««¥«ìë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à , ®£à ¨ç¥ë© ®¤®© ¡¥áª®¥ç®© «®¬ -
1) ¥ª®â®à®© 2) ¥£® ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 , 3) ¯à®áâà á⢥ëå 㣫®¢ ¬¥¤ã
®©. Ǒãáâì ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï áâ 樮 à®áâ¨: ¥£® à §¢¥à⪨,
ᬥ묨 £à ¨ç묨 à¥¡à ¬¨. ®£¤ ¬®£®£à ¨ª
P
| ¥á⪨©.
§ 7. ¡®¡é¥¨ï
1. ë ®£à ¨ç¨¢ «¨áì ¤® á¨å ¯®à à áᬮâ२¥¬ â ª¨å ¤¥ä®à¬ 権 ¬®£®£à ¨ª®¢, ¯à¨ ª®â®àëå ®¨ ®áâ îâáï ¬®£®£à ¨ª ¬¨. ¤ ª® ¬®® ¢®®¡à §¨âì ᥡ¥ ¬®£®£à ¨ª, ᤥ« ë© ¨§ £¨¡ª®£®, ® ¥à áâ館®£® ¬ â¥à¨ « , ¯à¨¬¥à ¨§ ¡ã¬ £¨. ®£¤ ¥áâ¥á⢥® à áᬠâਢ âì â ª¨¥ ¥£® ¨§£¨¡ ¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå £à ¨ ¨ à¥¡à ¥ ¯à®áâ® ¯¥à¥« ¬ë¢ îâáï, ® ¨áªà¨¢«ïîâáï ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬. ® ¢á«¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨ï ý¥à áâ館®á⨠¬ â¥à¨ « þ ¤«¨ë ¢á¥å ªà¨¢ëå £à ïå ¤®«ë ¯à¨ í⮬ ®áâ ¢ âìáï ¥¨§¬¥ë¬¨. ª®¥ ¨§£¨¡ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á á®åà ¥¨¥¬ ¢ë¯ãª«®á⨠¥¢®§¬®®, ª ª ¡ë«® 㪠§ ® ¥é¥ ¢ § 6 £« ¢ë III. ¤¥áì á ¨â¥à¥áã¥â ¥ ¨§£¨¡ ¨¥, ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¥ ¨§£¨¡ ¨¥, â.¥. ¬ë ¥ âॡ㥬 ¥¨§¬¥®á⨠¤«¨ ªà¨¢ëå £à ïå, ® «¨èì ¨å áâ 樮 à®áâ¨. ¥áª®¥ç® ¬ « ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 㪠§ ¨¥¬ ᪮à®á⨠v ¤¢¨¥¨ï ª ¤®© â®çª¨ ¬®£®£à ¨ª . á«®¢¨¥ áâ 樮 à®á⨠¤«¨ ¯à¨¢®¤¨â ª «¨¥©®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ¯®«ï ᪮à®á⨠v. Ǒãáâì dx | ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¢¥ªâ®à , ª®¥æ ª®â®à®£® § ç¥à稢 ¥â ªà¨¢ãî ¯®¢¥àå®áâ¨, a dv | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤¨ää¥à¥æ¨ « ᪮à®áâ¨. Ǒ® áâ 樮 à®á⨠¤«¨
( )2 = 0.
∂ dx ∂t
® ∂t∂ (dx2 ) = 2dx ∂t∂ dx = 2dx d ∂x = 2dxdv, â ª çâ® ∂t dxdv = 0, (1) â.¥. ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¢¥ªâ®à ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠤¨ää¥à¥æ¨ «ã ᪮à®áâ¨. â® ¨ ¥áâì ¨§¢¥á⮥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®£® ¨§£¨¡ ¨ï. £«ï¤ë© á¬ëá« ¥£® ïá¥: ®â१®ª dx ¨¬¥¥â áâ 樮 àãî ¤«¨ã «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ®â®á¨â¥«ì ï ᪮à®áâì ¥£® ª®æ®¢ ¥¬ã ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , â.¥. ª®£¤ ®¤¨ ª®¥æ «¨èì ¢à é ¥âáï ¢®ªà㣠¤à㣮£®.
᫨ ¤®¯ã᪠âì ¨áªà¨¢«¥¨ï £à ¥©, â® ¨ª ª®© ¬®£®£à ¨ª ¥ ¡ã¤¥â ¥á⪨¬, ¯®â®¬ã çâ® ¨ª ª ï ¯«®áª ï ®¡« áâì, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¨ª ª ï £à ì ¥ ï¥âáï ¥á⪮©, ¤ ¥ ¥á«¨ § ªà¥¯«¥ë ¥¥ ªà ï. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¢§ïâì ᪮à®áâì v ¢ ª ¤®© â®çª¥ ¯«®áª®© ®¡« á⨠G, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன ª ¯«®áª®á⨠í⮩ ®¡« áâ¨, â® ãà ¢¥¨¥ (1) ¡ã¤¥â § ¢¥¤®¬® ¢ë¯®«¥®. ¢¬¥á⥠á ⥬ ¬®® ®¡¥á¯¥ç¨âì, ç⮡ë ᪮à®áâì v ¨á祧 « £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ â ª®© ®¡é¥© ¯®áâ ®¢ª¥ ¢®¯à®á ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª à¥è ¥âáï ¢á¥£¤ ®âà¨æ â¥«ì® ¯® âਢ¨ «ì®© ¯à¨ç¨¥. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¥ª®â®àë¥ ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥§ã«ìâ âë. ª, ¬®® ¤®ª § âì:
᫨ § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ã ¨§£¨¡ ¨î, â. ¥. ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï á ¨áªà¨¢«¥¨¥¬ £à ¥©, ® â ª, çâ® ¤«¨ë ªà¨¢ëå ¨å
. X:
§ 7.
437
áâ 樮 àë, ⮠ᮢ®ªã¯®áâì ¥£® ¢¥àè¨ ¤¢¨¥âáï ¯à¨ í⮬ ª ª ⢥म¥ 楫®¥, â. ¥. ᪮à®á⨠¨å ¤¢¨¥¨ï ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â â ª®¢ë, ª ª ¥á«¨ ¡ë ®¨ ¢á¥ ¯à¨ ¤«¥ «¨ ®¤®¬ã ⢥म¬ã ⥫ã. (®åà ¥¨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¥ âॡã¥âáï.)
Ǒãáâì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª P ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ã ¨§£¨¡ ¨î. 㤥¬ à áᬠâਢ âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî í⮬㠤¥ä®à¬ æ¨î £à ¨æë ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠¥£® ¢¥àè¨. ç «ìë© ¬®¬¥â ® ¨ ¥áâì ¬®£®£à ¨ª P . Ǒ®í⮬㠥¥ ¨§¬¥¥¨¥ â ª¥ ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¥ª®â®àãî, ª®¥ç® 㥠¤àã£ãî, ¤¥ä®à¬ æ¨î ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª . § ãà ¢¥¨ï (1) «¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯àאַ«¨¥©®£® ®â१ª ¤«¨ áâ 樮 à , â® ¨ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¥£® ª®æ ¬¨ áâ 樮 à®. Ǒ®í⮬㠢 ãá«®¢¨ïå áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ⮫쪮 ç⮠⥮६ë à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ª ¤®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª ®ª §ë¢ îâáï áâ 樮 à묨. âáî¤ «¥£ª® § ª«îç¨âì, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï £à ¨æë ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ᮢ®ªã¯®á⨠¢¥àè¨ ¬®£®£à ¨ª P â ª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥£® ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¥ ¨§£¨¡ ¨¥. ⮣¤ ¯® ⥮६¥ 1 § 6 íâ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î, ¨ è ⥮६ ¤®ª § . «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë ¬®®, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë᪠§ âì ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥©, ¯à¨¢«¥ª ï, ª®¥ç®, ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¨ ᮮ⢥âá⢥® ãá«®¢¨ï £à ¨æ¥. ®çë¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å ⥮६ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¥à¥è¥ãî ¥é¥ § ¤ çã 21) . 2. ¡®¡é¥¨¥ १ã«ìâ ⮢ í⮩ £« ¢ë ¬®£®£à ¨ª¨ ¢ ¥¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å: ®¡ 祢᪮£® ¨ áä¥à¨ç¥áª®¬, ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¤®á«®¢® â ¬, £¤¥ à¥çì ¨¤¥â ® ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å, § ¬ªãâëå ¨«¨ á £à ¨æ¥©. ¤¥áì ¨ç¥£® ¥ ã® ¬¥ïâì ¨ ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª å, ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å. á«ãç ¥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢®¯à®á ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬ ¨§-§ ⮣®, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¥ ¨áá«¥¤®¢ § ¬¥ ¯®ïâ¨ï ¯à¥¤¥«ì®£® 㣫 ¬®£®£à ¨ª .
¤¢ «¨ íâ § ¤ ç ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢, £®¬¥®¬®àäëå ¯«®áª®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¡®«ì訥 âà㤮áâ¨. ®¡é¥¬ ¥ á«ãç ¥ ¢®¯à®á ®áâ ¥âáï ᮢ¥à襮 ®âªàëâë¬ 22) . 3. ¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩ 㥠¤ ¢® á«ã ⠯।¬¥â®¬ ¬®£®ç¨á«¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© ¢ ¯« ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®© £¥®¬¥âਨ. ¥áª®¥ç® ¬ «ë¬ ¨§£¨¡ ¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠§ë¢ ¥âáï ¥¥ ¤¥ä®à¬ æ¨ï, ¯à¨ ª®â®à®© ¤«¨ë ¢á¥å ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⨠áâ 樮 àë.
᫨ ¯®¢¥àå®áâì ¥ ¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¯®¬¨¬® ¤¢¨¥¨©, â® ® §ë¢ ¥âáï ¥á⪮©. âç¥â ®¡ ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ªà¨¢ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¬®® ©â¨ ¢ à拉 áâ ⥩ [17, 104, 126℄ ¢ ýᯥå å ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ãªþ 23) . ë 㯮¬ï¥¬ ⮫쪮 ¤¢ १ã«ìâ â , ª á îé¨åáï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¨ «®£¨çëå 訬 ⥮६ ¬ ® ¬®£®£à ¨ª å. 1) ¬ªãâ ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, ¥ ᮤ¥à é ï ¯«®áª¨å ªã᪮¢, | ¥á⪠ï. â ⥮६ ãáâ ®¢«¥ ¢¯¥à¢ë¥ ¨¡¬ ®¬ ¢ ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ 㧪¨å ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå. ¤®ª § ¯®ª «¨èì ¤«ï âà¨¤ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¨ ⮫쪮 ¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ¢à é¥¨ï ¡¥§ ª ª¨å ¡ë â® ¨ ¡ë«® ¯à¥¤¯®«®¥¨© ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠21) . 2) ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì, ®£à ¨ç¥ ï ®¤®© § ¬ªã⮩ ªà¨¢®© ¨ ®¤®§ ç® ¯à®¥ªâ¨àãîé ïáï ¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì T , ®ª §ë¢ ¥âáï ¥á⪮©, ¥á«¨ âॡ®¢ âì, ç⮡ë ᪮à®á⨠â®ç¥ª ¥¥ £à ¨æë ¡ë«¨ ¯ à ««¥«ìë ¯«®áª®á⨠T . â ⥮६ â ª¥ ¤®ª § 21) ¥¯¥àì
íâ® ¤®ª § ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ . .Ǒ®£®à¥«®¢ë¬ [173, £«. 4℄. | Ǒਬ. 22) áâ¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë á¬. ¢ [51, 52, 89℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . 23) ¬. â ª¥ ®¡§®àë [189, 208℄ ¨ 㯮¬ïãâë¥ ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ¨§ ¨å à ¡®âë [214, 259, 268, 292℄. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à .
. . «£ ««¥à .
438
. .
«¨èì ¤«ï âà¨¤ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 襩 ⥮६¥ 5 § 6. ® â ¬ à¥çì ¨¤¥â ⮫쪮 ® è ¯ª¥. Ǒ®í⮬ã á⮨⠧ ¤ ç : ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ «®£¨çãî ®¡éãî ⥮६ã. ®ª § ⥫ìá⢮ íâ¨å ⥮६ ¨ ¯®«ë© ®âç¥â ® ¤àã£¨å ¨§¢¥áâëå ª 1948£. १ã«ìâ â å ç¨â â¥«ì ©¤¥â ¢ æ¨â¨à®¢ ®© ª¨£¥ . .
䨬®¢ [104℄. 4. «ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¡®«¥¥ 祬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢®¯à®á ® ¥á⪮á⨠®ª §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ìë¬ ¯® ⮩ ¥ á ¬®© ¯à¨ç¨¥, ¯® ª ª®© ®ª §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ìë¬ ¢®¯à®á ® ¥¤¨á⢥®á⨠¬®£®¬¥à®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©. ¥ ®¤¨ âà¥å¬¥àë© ¬®£®£à ë© ã£®« ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥á⪨¬, ¯®â®¬ã çâ® ¥£® á¥ç¥¨¥ áä¥à®© á æ¥â஬ ¢ ¥£® ¢¥à訥 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª âà¥å¬¥à®© áä¥à¥ ¨«¨, ¥á«¨ 㣮¤®, ¢ âà¥å¬¥à®¬ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥. ª 㪠§ ® ¢ ¯o 2, â ª®© ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©, ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥á⪨¬ ¨ ¬®£®£à ë© ã£®«, á¥ç¥¨¥¬ ª®â®à®£® ® ï¥âáï.
« ¢ XI á«®¢¨ï ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥©
í⮩ £« ¢¥ à áᬠâਢ îâáï â ª¨¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª , ¯à¨ ª®â®àëå ¯à ¢«¥¨ï £à ¥© (â.¥. ¢¥è¨¥ ®à¬ «¨) ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨. ª ¥ ª ª ¢ £« ¢¥ X, á ¨â¥à¥áãîâ ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, ᪮à®á⨠¢ ç «ìë© ¬®¬¥â. ¤ ç á®á⮨⠢ 室¥¨¨ ãá«®¢¨©, ¯à¨ ª®â®àëå ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©. ª ª ª ¯à ¢«¥¨ï £à ¥© ¥¨§¬¥ë, â® ¢à 饨¥ ¨áª«î祮, ¨ ¯®â®¬ã ¥á⪮áâì á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã. á«®¢¨ï ¥á⪮á⨠¤ îâáï ⥮६ ¬¨ § 2. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å ⥮६ ã® á ç « à áᬮâà¥âì ¤¥ä®à¬ 樨 £à ¥©, ¢ë§¢ ë¥ ¯ à ««¥«ì묨 ᬥ饨ﬨ ¨å ¯«®áª®á⥩. ¤ ï £à ì § ¬ªã⮣® ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ®£à ¨ç¥ ¯àï¬ë¬¨, ¯®«ãç î騬¨áï ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ¥¥ ¯«®áª®áâ¨ á ¯«®áª®áâﬨ ¤àã£¨å £à ¥©. Ǒ®í⮬ã à¥çì ¤®« ¨¤â¨ ® ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¢ë§¢ ëå ¯ à ««¥«ì묨 ᬥ饨ﬨ ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥£® ¯àï¬ëå.
᫨ ¤¢¥ £à ¨ ª á îâáï ⮫쪮 ¢ ¢¥à訥, ⮠᪮«ì 㣮¤® ¬ «®¥ ᬥ饨¥ ¯«®áª®á⨠®¤®© ¨§ ¨å ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ⮬ã, çâ® ®¨ ¡ã¤ãâ ª á âìáï ¯® ॡàã. á¢ï§¨ á í⨬ ã® ãç¨âë¢ âì ¢®§¬®®áâì ¯®ï¢«¥¨ï â ª¨å ®¢ëå ॡ¥à. § 1. ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢
1. Ǒãáâì ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª P ¢ë१ ¥âáï ¨§ ¯«®áª®á⨠¥ª®â®à묨 ¯àï¬ë¬¨, ª®â®àë¥ ¢á¥ ª á îâáï ¥£® «¨¡® ¯® áâ®à® ¬, «¨¡® ¢ ¢¥àè¨ å. ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¬®£®ã£®«ì¨ª¥ â ª¥ ¨¬¥îâáï áâ®à®ë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯à ¢«¥¨©, ® ¨å ¤«¨ à ¢ ã«î. ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¯àאַ© ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®¯®àë¬ ç¨á«®¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª . ( ç «® ¡¥à¥âáï, ª®¥ç®, ¢ ¯«®áª®á⨠¬®£®ã£®«ì¨ª ;
440
. .
à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ¯àאַ©, ª ª ¢á¥£¤ , áç¨â ¥âáï ®âà¨æ ⥫ìë¬, ¥á«¨ ¢¥èïï ®à¬ «ì, ®â«®¥ ï ¨§ ç « , ¯à ¢«¥ ®â ¯àאַ©.) ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¬®£®ã£®«ì¨ª¨, ¯®«ãç î騥áï ¨§ ¤ ®£® P ¯ã⥬ ¤¥ä®à¬ 権, ¢ë§¢ ëå ¯ à ««¥«ì묨 ᬥ饨ﬨ ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥£® ¯àï¬ëå, ® ⮫쪮 â ª, çâ® ¨ª ª ï ¨§ íâ¨å ¯àï¬ëå ¥ ¯¥à¥á⠥⠪ á âìáï ¬®£®ã£®«ì¨ª . Ǒ®á«¥¤ïï ®£®¢®àª ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ëå ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¤«ï â¥å ¯àï¬ëå, ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ª á «¨áì ¬®£®ã£®«ì¨ª ⮫쪮 ¢ ¢¥àè¨ å. Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨¨ ¥ ⮫쪮 ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨, ® ¨ ®¡à â®, à ááâ®ï¨ï ¤® ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¯àï¬ëå ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬, ¯®áª®«ìªã ¯à ¢«¥¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå § ¤ ë. á¢ï§¨ á í⨬ «î¡ãî äãªæ¨î ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª äãªæ¨î ¥£® ®¯®àëå ç¨á¥« f (h , . . . , hn ). ª ª ª ¤®¯ã᪠îâáï áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë, â® ¯à¨ à áᬮâ२¨ «î¡®£® ª®¥ç®£® ç¨á« ª®¥çëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ ¬®® áç¨â âì, çâ® ¨å áâ®à®ë ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë, ¨ ⮣¤ äãªæ¨ï f (h , . . . , hn ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï ¨å ¢á¥å, â ª¥ ¤«ï â¥å, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¨§ ¨å ¯à¨ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨ïå ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¯àï¬ëå. ãªæ¨î ¬®£®ã£®«ì¨ª f (Q) = f (h , . . . , hn ) ¬ë §®¢¥¬ áãé¥á⢥® ¬®®â®®©, ¥á«¨ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) f (Q) ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯ à ««¥«ìëå ¯¥à¥®á å ¬®£®ã£®«ì¨ª ; 2) ª ¤ ï ç áâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï ∂f /∂hi áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¯à¥àë¢ ¢¯«®âì ¤® ¨á祧®¢¥¨ï i-© áâ®à®ë ; 3) ¥á«¨ i-ï áâ®à® ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢ãî ¤«¨ã, â® ∂f /∂hi > 0; ⮣¤ , ¯® ¥¯à¥à뢮áâ¨, ¯à¨ ¨á祧®¢¥¨¨ i-© áâ®à®ë ∂f /∂hi > 0. § ¯®á«¥¤¥£® ãá«®¢¨ï ïá®, çâ® ¥á«¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ᮤ¥à¨âáï ¢ãâਠQ , â® f (Q ) < f (Q ), ¯®â®¬ã çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢á¥ hi 6 hi ¨ å®âï ¡ë ®¤® hk < hk . ᨫã ãá«®¢¨ï 1 f (Q ) < f (Q ) ¤ ¥ ⮣¤ , ª®£¤ Q ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠQ ¯ã⥬ ¯¥à¥®á . Ǒਬ¥à ¬¨ áãé¥á⢥® ¬®®â®ëå äãªæ¨© ¬®£ãâ á«ã¨âì ¯«®é ¤ì ¨ ¯¥à¨¬¥âà.
᫨ f | ¯«®é ¤ì, â® ∂f /∂hi = li, £¤¥ li | ¤«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ®à®ë, ¯®â®¬ã çâ® ¯à¨ ᬥ饨¨ í⮩ áâ®à®ë à ááâ®ï¨¥ hi 1)
1
1
1
2)
1
2
1 (1)
2
(2)
1
1
(1)
(2)
2
2
1) Ǒ®í⮬㠮¯®àë¥ ç¨á« ¬®£ã⠯ਨ¬ âì ¥ «î¡ë¥ § 票ï, ⮫쪮 ¯à¨ ¤«¥ -
騥 § ¬ªã⮩ ®¡« áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© í⨬ ãá«®¢¨¥¬. ¥à ¢¥á⢠, ®¯à¥¤¥«ïî騥 íâã ®¡« áâì, ¤ ë ¢ § 5 £«. VII. ¤ ª® §¤¥áì ¢¨¤ í⮩ ®¡« á⨠¥ ¨¬¥¥â § 票ï. ஬¥ ⮣®, 㪠§ ë¥ ¥à ¢¥á⢠ᮤ¥à âáï ¢ «¥¬¬¥ 1 í⮣® ¯ à £à ä . 2)
᫨ ¯à¨ hi = h0 i-ï áâ®à® ¨á祧 ¥â, â® ¯®¤ ∂f ¯®¨¬ ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãi ∂h h =h0 îé ï ®¤®áâ®à®ïï ¯à®¨§¢®¤ ï. ¥¯à¥à뢮áâì ¢¯«®âì ¤® ¨á祧®¢¥¨ï i-© áâ®à®ë 0 ®§ ç ¥â ¯à¨ í⮬, çâ® ¥á«¨ h i áâ६¨âáï ª hi â ª, çâ® ¯à¨ ¢á¥å hi i-ï áâ®à® ¥ ∂f ∂f ¢ëத ¥âáï, â® ∂h −→ ∂h h =h0 . i
i
i
i
i
i
i
. XI:
§ 1.
441
ª ¯«®é ¤¨ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¯à¨¡ ¢«ï¥âáï, á â®ç®áâìî ¤® ¬ «ëå ¢ëá襣® ¯®à浪 , ¯«®é ¤ì ¯àאַ㣮«ì¨ª á ¢ëá®â®© hi ¨ ®á®¢ ¨¥¬ li. ¤¥áì ª ª à § ∂f /∂hi = 0, ¥á«¨ i-ï áâ®à® ¨á祧 ¥â.
᫨ f | ¯¥à¨¬¥âà, â® ∂f /∂hi = onst > 0, çâ® ¢ë⥪ ¥â, ¬¥¤ã ¯à®ç¨¬, ¨§ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬ë: ¥¬¬ 1. «¨ áâ®à®ë ¬®£®ã£®«ì¨ª ¥áâì «¨¥© ï äãªæ¨ï ¥£® ®¯®àëå ç¨á¥« hi . ¬¥® ¥á«¨ ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì ¢á¥ áâ®à®ë ¯® ¯®à浪㠨 ç¥à¥§ ϕi ®¡®§ ç¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¯ à ««¥«ï¬¨ ª (i − 1)-© ¨ i-© áâ®à®¥, â® hi− − hi os ϕi hi − hi os ϕi li = + . (1) sin ϕi sin ϕi «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡à ⨬áï ª à¨á. 155, £¤¥ ¨§®¡à ¥ë âਠ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ áâ®à®ë ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ¨§ ç « O ¯àï¬ë¥, ¥áã騥 í⨠áâ®à®ë, ¤«¨ë íâ¨å ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஢ Ai B C áãâì ®¯®àë¥ ç¨á« . ¯ãá⨢ ¨§ Ai ¯¥à¯¥Ai-1 ¤¨ªã«ïà OAi− , ¯®«ã稬 hi hi-1 ϕ ϕi+1 hi+1 OAi− = hi− = Ai B sin ϕi + hi os ϕi . i âáî¤ O hi− − hi os ϕi Ai B = ¨á. 155 sin ϕi . «®£¨ç ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï AiC . â ª ª ª li = BAi + Ai C , â® ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï li ¢ëà ¥¨¥ (1). (
᫨ 㣮« ϕi ¨«¨ ϕi â㯮©, â® à¨á㮪 ¬¥ï¥âáï, ® ¢ë¢®¤ á®åà ï¥âáï.) 3)
1
+1
+1
+1
1
1
1
1
+1
2. ¥¬¬ 2.
Ǒãáâì ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
¤¥ä®à¬¨àã-
¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥£® ¯àï¬ëå á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë à®áâﬨ.
(¡ëâì ¬®¥â, ¯¥à¥¬¥ë¬¨) ᪮à®áâﬨ. ®£¤ (ª ª á«¥1) ¤«¨ë ¥£® áâ®à® â ª¥ ¬¥ïîâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮-
®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®© áâ®à®¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
§ ª ç «ì®©
᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¥¥ ¤«¨ë. â®à®ë á® áâ 樮 ன ¤«¨®© ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨.
᫨ ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¥ª®â®à ï áâண® ¬®®â® ï äãªæ¨ï
f
¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
áâ 樮 à , â® ¤«ï à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢
áâ®à® å ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨¬¥îâáï ⮫쪮 âਠ¢®§¬®®áâ¨:
1) ¨ ®¤ áâ®à® ¥ ®â¬¥ç¥ , ¨ ⮣¤ ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï 2) áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª ;
ª ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ã ¯¥à¥®áã;
3) Ǒ®à冷ª áâ®à® ã«¥¢®© ¤«¨ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®à浪㠮ଠ«¥© ª ¥áã騬 ¨å ¯àï¬ë¬.
442
. .
3) ¯¥à¥¬¥ § ª | ⮫쪮 ¤¢¥. A,
á室ï騥áï ¢ ®¤®© ¢¥à訥
®£¤ ¤¢¥ áâ®à®ë ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë,
®â¬¥ç¥ë ¬¨ãá ¬¨, ¥ª®â®àë¥ áâ®à®ë
ã«¥¢®© ¤«¨ë, «¥ 騥 ¢ ¢¥à訥
A,
®â¬¥ç¥ë ¯«îá ¬¨.
Ǒ®á«¥¤¨© á«ãç © ®§ ç ¥â, çâ® ¥ª®â®àë¥ ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¯àï¬ë¥, ã¯¨à ¢è¨¥áï ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
¢ ¢¥à訥
A,
¢¤¢¨£ îâáï ¢ãâàì ¥£®,
â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë 㤫¨ïîâáï. ¤à㣮© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª
Q
¨ª ª®©
¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¥ ¯à®¨á室¨â,
¥á«¨ ¥ áç¨â âì, çâ® ® ¥é¥ ¬®¥â ¯ à ««¥«ì® ¯¥à¥¬¥é âìáï ª ª 楫®¥.
᫨ ¯à¨ í⮬
hi
| ®¯®à®¥ ç¨á«®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢¤¢¨£ ¥¬®© ¢ãâàì
= 0, â. ¥. ¯à¨ ∂f /∂hi > 0 â «¥¬¬ «®£¨ç «¥¬¬¥ 3 § 1 £« ¢ë VI, ¨ ¬ë ¤®ª ¥¬ ¥¥ ᢥ¤¥¨¥¬ ª ⮩ «¥¬¬¥ .
᫨ ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã ¬®£®ã£®«ì¨ª , â® ¤«¨ë áâ®à® áâ 樮 àë, ¨ ¨¬¥¥¬ ¯¥à¢ë© á«ãç ©. ®¯ãá⨬, çâ® ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¥ ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã, ¨ ¯ãáâì h_ i | ç «ìë¥ áª®à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ®¯®àëå ç¨á¥« ¯à¨ í⮩ ¤¥ä®à¬ 樨. ᪫î稬 á ç « 㤫¨¥¨¥ â¥å áâ®à® ã«¥¢®© ¤«¨ë, ¤«ï ª®â®àëå ∂f /∂hi = 0 (â.¥. ¯àï¬ë¥, ¥áã騥 í⨠áâ®à®ë, ¡ã¤¥¬ ¯¥à¥¤¢¨£ âì ¢¬¥áâ¥ á ¢¥àè¨ ¬¨, ç¥à¥§ ª®â®àë¥ ®¨ ¯à®å®¤ïâ. â®, ®ç¥¢¨¤®, ¥ àãè¨â áâ 樮 à®á⨠äãªæ¨¨ f , â ª ª ª ∂f /∂hk = 0). ®§ì¬¥¬ ¤®áâ â®ç® ¬ «®¥ § 票¥ t ¨ ¯®áâந¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q á ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ hi + h_ it. ®£¤ , ᮣ« á® «¥¬¬¥ 1, ¨§¬¥¥¨ï ¤«¨ áâ®à® ¡ã¤ãâ l_i t, £¤¥ l_i | ç «ì ï ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï ¤«¨ë i-© áâ®à®ë. ®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q′ ¬®£ãâ ¡ëâì à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë; ⮣¤ à áᬠâਢ ¥¬ ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã. ®¯ãá⨬, çâ® íâ® ¥ â ª ¨ ®¤¨ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q, Q′ ¬®® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ãâਠ¤à㣮£® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬; ᪠¥¬, Q ¯®¬¥é ¥âáï ¢ Q′ . ®£¤ , ¤®¡ ¢«ïï ª ¤¥ä®à¬ 樨 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯¥à¥®á, ¯®«ã稬, çâ® ¢á¥ h_ i > 0 ¨ å®âï ¡ë ®¤® h_ k > 0. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥, â ª ª ª ⥯¥àì ¢á¥ ∂f /∂hi > 0, ¯®«ãç ¥¬ áâ®à®¥ ã«¥¢®© ¤«¨ë, â® ¥®¡å®¤¨¬®
∂f /∂hi
âà¥â¨© á«ãç © ¥¢®§¬®¥. 4)
_ = X ∂f h_ i > 0,
f
∂hi
4) ®, ®¤ ª®, ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¢ «¥¬¬¥ 3 § 1 £«. VI ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¤¢ã¬ï à §ë¬¨
¬®£®ã£®«ì¨ª ¬¨, ¨«¨, çâ® â® ¥ á ¬®¥, á ª®¥ç®© ¤¥ä®à¬ 樥© ¤ ®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª §¤¥áì à¥çì ¨¤¥â ® ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â.¥. ® ç «ìëå ᪮à®áâïå. ⨬ ¢ë§¢ , ¢®-¯¥à¢ëå, ¥®¡å®¤¨¬®áâì à áᬠâਢ âì áãé¥á⢥® ¬®®â®ãî, ¥ ¯à®áâ® ¬®®â®ãî äãªæ¨î ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¨ á í⨬ ¥ á¢ï§ ® ¯®ï¢«¥¨¥ âà¥â쥣® á«ãç ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï § ª®¢, ª®â®àë© ¢ ãá«®¢¨ïå «¥¬¬ë 3 § 1 £«. VI  ¥¢®§¬®¥.
᫨ f (Q) | ¯«®é ¤ì, â® (f − 1)2 áâ 樮 à ¯à¨ «î¡®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯«®é ¤ìî, à ¢®© ¥¤¨¨æ¥. ¥¤ã ⥬ (f − 1)2 | ¬®®â® ï äãªæ¨ï ¬®£®ã£®«ì¨ª .
. XI:
§ 1.
443
çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â áâ 樮 à®á⨠äãªæ¨¨ f . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ®¤¨ ¨§ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q, Q′ ¥ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ãâਠ¤à㣮£®. ®£¤ , ᮣ« á® «¥¬¬¥ 3 § 1 £« ¢ë VI, à §®á⨠¤«¨ ¨å ¯ à ««¥«ìëå áâ®à® ¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à §. ª ª ª íâ¨ à §®á⨠¯à®¯®à樮 «ìë ç «ìë¬ áª®à®áâï¬ l_i, â® ¨ í⨠᪮à®á⨠¬¥ïîâ § ª ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å à §. ¥¯¥àì ®áâ ¥âáï ¢¢¥á⨠㤫¨¥¨¥ â¥å áâ®à® ã«¥¢®© ¤«¨ë, ¤«ï ª®â®àëå ∂f /∂hi = 0. ® ¥áâì ¯®á«¥ à áᬮâ८© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢¤¢¨¥¬ ¯àï¬ë¥, ¥áã騥 í⨠áâ®à®ë, ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª à ááâ®ï¨ï h_ it. â® ¢ë§®¢¥â ¯®ï¢«¥¨¥ ®¢ëå áâ®ïé¨å áâ®à®. Ǒਠí⮬ ã® à §«¨ç âì ¤¢ ¯®«ã稢è¨åáï ⮫쪮 çâ® á«ãç ï: 1) ¡¥§ í⮩ ¤®¡ ¢®ç®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q′ ¡ë«¨ à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë; 2) ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ᪮à®á⥩ l_i ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å.
᫨ ¬ë ¢¤¢¨£ ¥¬ ¢ãâàì áâ®à®ã li, «¥ éãî ¢ ¢¥à訥 A ¬¥¤ã áâ®à® ¬¨ lj , lk ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë, â® í⨠áâ®à®ë 㪮à 稢 îâáï, â. ¥. ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¨å ¤«¨ 㬥ìè îâáï. Ǒ®í⮬㠥᫨ ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ íâ® ¯à®¨á室¨â ¥ ¬¥¥¥ 祬 ¢ ¤¢ãå à §ëå ¢¥àè¨ å, â® ¯®«ãç ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ 祬 ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª .
᫨ ¥ íâ® ¯à®¨á室¨â ⮫쪮 ¢ ®¤®© ¢¥à訥, â® ¯®«ãç ¥¬ âà¥âìî ¢®§¬®®áâì ¤«ï à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢, 㪠§ ãî ¢ «¥¬¬¥. Ǒãáâì ⥯¥àì ¤® ¢¤¢¨¥¨ï ¢ãâàì áâ®à® ã«¥¢®© ¤«¨ë ¨¬¥«® ¬¥áâ® ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª . Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¯à¨ ¢¤¢¨¥¨¨ ¢ãâàì íâ¨å áâ®à® ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¬®¥â 㬥ìè¨âìáï. Ǒãáâì ®¤ ¨«¨ ¥áª®«ìª® ®¢ëå áâ®ïé¨å áâ®à® ¢®§¨ª îâ ¢ ¢¥à訥 A, £¤¥ á室ïâáï áâ®à®ë AB , AC . «ï áâ®à® AB , AC ¤® ¢¢¥¤¥¨ï íâ¨å ®¢ëå áâ®à® ¢®§¬®ë à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢, 㪠§ ë¥ ¢ â ¡«¨æ¥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB 0 − 0 − + 0 + − + AC 0 0 − − 0 + − + + ª ª ª áâ®à®ë AB , AC ¨£à îâ ®¤¨ ª®¢ãî ஫ì, â® à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ 2 ¨ 3, 5 ¨ 6, 7 ¨ 8 íª¢¨¢ «¥âë, ¯®â®¬ã ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì â ¡«¨æã I II III IV V VI AB 0 − − + + + AC 0 0 − 0 − + Ǒਠ¢¤¢¨¥¨¨ ¯àï¬ëå, ¥áãé¨å áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë, ¢ãâàì ¬®£®ã£®«ì¨ª áâ®à®ë AB ¨ AC 㪮à 稢 îâáï, â. ¥. ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¨å
444
. .
¤«¨ 㬥ìè îâáï. ¬¥á⥠á ⥬ áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë § ¢¥¤®¬® 㤫¨ïîâáï. Ǒ®í⮬㠥᫨ ®¡¥ áâ®à®ë AB , AC ¥ 㤫¨ï«¨áì (á«ãç ¨ I, II, III), â® ®¨ ¡ã¤ãâ 㪮à 稢 âìáï; ⥬ á ¬ë¬ ¨¬ ®â®áïâáï ¬¨ãáë, ®¢ë¬ áâ®à® ¬ | ¯«îáë. â® ®§ ç ¥â ¯®ï¢«¥¨¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª .
᫨ ⮫쪮 ®¤ ¨§ áâ®à® 㤫¨ï« áì (á«ãç ¨ IV, V), â® ¯®á«¥ ¢¢¥¤¥¨ï ®¢ëå áâ®à® ® , ¡ëâì ¬®¥â, ¡ã¤¥â 㪮à 稢 âìáï. â® ¬®£«® ¡ë ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®â¥àï¬ ¯¥à¥¬¥ § ª . ⨠¯®â¥à¨ ª®¬¯¥á¨àãîâáï, ®¤ ª®, ⥬, çâ® ®¢ëå áâ®à® å ¬¥¤ã AB ¨ AC áâ®ïâ ¯«îáë, á 祬 á¢ï§ ® ¯®ï¢«¥¨¥ ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ § ª . ®§¬®ë¥ á«ãç ¨ ¤ ë ¢ â ¡«¨æ¥. ® ¢¢¥¤¥¨ï + AB + ®¢ëå AC 0 − áâ®à® AB + 0 − + 0 − Ǒ®á«¥ ¥£® ®¢ë¥ áâ®à®ë + + + + + + AC
−
−
−
−
−
−
§ í⮩ â ¡«¨æë ïá®, çâ® ¯®â¥àì ¯¥à¥¬¥ § ª ¥ ¯à®¨á室¨â. ª®¥æ, ¥á«¨ ®¡¥ áâ®à®ë AB , AC 㤫¨ï«¨áì, â® ¨å áâ®ï«¨ ¯«îáë ¨ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â AB ª AC ¥ ¡ë«® ¯¥à¥¬¥ë § ª . ¢¢®¤¨¬ëå ®¢ëå áâ®ïé¨å áâ®à® å áâ®ïâ â ª¥ ¯«îáë, ¯®â®¬ã ¯¥à¥¬¥ë § ª ®â ¯«îá ª ¬¨ãáã (¢ ®¡¥ áâ®à®ë ®â ¢¥àè¨ë A) ¥ ¬®£ãâ ¨á祧ãâì. ®£ãâ «¨èì ¯®ï¢¨âìáï ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, à ááâ ®¢ª ¡ë« â ª®©, ª ª à¨á. 156. A â ª, ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¢¢¥¤¥¨¥ ®¢ëå áâ®à® + + ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®â¥àï¬ ¯¥à¥¬¥ § ª , ¨ «¥¬¬ B C ¯®«®áâìî ¤®ª § . + + 3. ¥¯¥àì à áᬮâਬ ¤¥ä®à¬ 樨 ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ®áâ ¢«ïî騥 ¯àï¬ë¥, ¥áã騥 ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë íâ¨å ¬®_ + _ £®ã£®«ì¨ª®¢, ¥¯®¤¢¨ë¬¨. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¡¥áª®¥ç ï áâ®à® 㪮à 稢 ¥âáï, ¥á«¨ ¥¥ + + ª®¥æ á¬¥é ¥âáï ¢ãâàì í⮩ áâ®à®ë á ç «ì®© ᪮à®áâìî, ®â«¨ç®© ®â ã«ï, ¨ 㤫¨ï¥âáï, ¨á. 156 ¥á«¨ ¥¥ ª®¥æ ¤¢¨¥âáï ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®ãî áâ®à®ã. ¥¬¬ 3.
Ǒãáâì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï
¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ¯àï¬ëå, ¥áãé¨å ⮫쪮 ¥£® ª®¥çë¥ áâ®à®ë, ¢ª«îç ï áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë.
®¯®áâ ¢¨¬ ª ¤®© áâ®à®¥
§ ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¥¥ ¤«¨ë, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¯à¨ï⮥ ãá«®¢¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¡¥áª®¥çëå áâ®à®. â®à®ë ¥¨§¬¥®© ¤«¨ë ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨.
. XI:
§ 2.
445
Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨¨ ¨¬¥îâáï ⮫쪮 âਠ¢®§¬®®á⨠¤«ï à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢:
1) ¨ ®¤ áâ®à® ¥ ®â¬¥ç¥ ; ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¥¯®¤¢¨¥; 2) áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª ; 3) ®¡¥ ¡¥áª®¥çë¥ áâ®à®ë ®â¬¥ç¥ë ®¤¨¬ § ª®¬ ¨ ¢á¥ ª®¥çë¥ áâ®à®-
ë ¥ ®â¬¥ç¥ë. â®â á«ãç © ¢®§¬®¥ «¨èì ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª á ¯ à ««¥«ì묨 ¡¥áª®¥ç묨 áâ®à® ¬¨. ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¬®£®ã£®«ì¨ª ¤¢¨¥âáï ¢¤®«ì ᢮¨å ¡¥áª®¥çëå áâ®à® ª ª ⢥म¥ 楫®¥.
â «¥¬¬ «®£¨ç «¥¬¬¥ 4 § 1 £« ¢ë VI ¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ᢥ¤¥¨¥¬ ª í⮩ «¥¬¬¥ ¯®¤®¡® ⮬ã, ª ª ⮫쪮 çâ® ¡ë« ¤®ª § «¥¬¬ 2.′ ¬¥® ¥á«¨ Q | ¨áå®¤ë© ¬®£®ã£®«ì¨ª, â® áâந¬ ¬®£®ã£®«ì¨ª Q á ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ hi + h_ it, £¤¥ hi | ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®ã£®«ì¨ª Q, a h_ i | ç «ìë¥ áª®à®á⨠¨å ¨§¬¥¥¨ï. ®£¤ ¢á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë 1 à §®á⨠¤«¨ áâ®à® ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q′ ¨ Q ¡ã¤ãâ l_i t, £¤¥ l_i | ç «ìë¥ áª®à®á⨠¨§¬¥¥¨ï íâ¨å ¤«¨. (Ǒ® ¯à¨ï⮬ã ãá«®¢¨î ¤«ï ¡¥áª®¥ç®© ᪮à®á⨠l_i ¥áâì ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ¥¥ ª®æ .) Ǒ®í⮬ã, ¯à¨¬¥ïï ª ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ Q ¨ Q′ «¥¬¬ã 4 § 1 £« ¢ë VI, ¯®«ãç ¥¬ ãë© à¥§ã«ìâ â. § 2. ¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª®¢
1. ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, § ¬ªãâë© ¨«¨ ¡¥áª®¥çë©, ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯«®áª®áâﬨ ᢮¨å £à ¥©.
᫨ í⨠¯«®áª®á⨠¤¢¨£ âì, â® ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢥® ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï. ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¯ à ««¥«ì®¬ ¯¥à¥®á¥ íâ¨å ¯«®áª®á⥩ á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ. ® ¥áâì ®à¬ «¨ ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨ ¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ áâ 樮 à묨, ®¯®àë¥ ç¨á« ïîâáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨 äãªæ¨ï¬¨ ¢à¥¬¥¨ t. ë £®¢®à¨¬, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ¯«®áª®á⥩ £à ¥©. à ì ¬®£®£à ¨ª ®£à ¨ç¥ ¯àï¬ë¬¨, ïî騬¨áï «¨¨ï¬¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¥¥ ¯«®áª®áâ¨ á ¯«®áª®áâﬨ ¤àã£¨å £à ¥©. ⨠¯àï¬ë¥ ¡ã¤ãâ â ª¥ ¯ à ««¥«ì® ¯¥à¥¬¥é âìáï, ¯®í⮬㠤¥ä®à¬ 樨 £à ¥© ¡ã¤ãâ ª ª à § â ª¨¥, ª ª¨¥ à áᬮâà¥ë ¢ § 1. £à ïå ¬®£ãâ ¯®ï¢«ïâìáï ®¢ë¥ ॡà . Ǒ®«®¥¨¥ ¯àï¬ëå, ®£à ¨ç¨¢ îé¨å £à ì, ¯«®áª®á⨠T í⮩ £à ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ § ¤ ëå ¯à ¢«¥¨ïå ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ ®â®á¨â¥«ì® ç « , ¢§ï⮣® ¢ ¯«®áª®á⨠T . ¬®¥ ¥áâ¥á⢥®¥ ¢§ïâì § íâ® ç «® O′ ¯à®¥ªæ¨î ç « O, ¢ë¡à ®£® ¢ ¯à®áâà á⢥, ¯«®áª®áâì T . ª ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ®¯®àë¥ ç¨á« £à ¨ ®ª §ë¢ îâáï «¨¥©ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ®¯®àëå ç¨á¥« ¬®£®£à ¨ª . ®ª § ⥫ìá⢮ ®ç¥¢¨¤® ¨§ à¨á. 157, £¤¥ ¨§®¡à ¥ë ¯«®áª®á⨠ᬥëå i-© ¨ k-© £à ¥© ¢ ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¤®«ì ¨å ®¡é¥£® ॡà . ¤¥áì θik | 㣮«
446
. .
¬¥¤ã ®à¬ «ï¬¨ ª í⨬ £à ï¬; hi, hk | ®¯®àë¥ ç¨á« £à ¥©; Oi, Ok | ç « ¢ íâ¨å £à ïå; OiA = hik , Ok A = hki áãâì ®¯®àë¥ ç¨á« ®¡é¥£® ॡà , ¯¥à¢®¥ i-©, ¢â®à®¥ k-© £à ¨. Ǒ஥ªâ¨àãï Ok OOi, ¯®«ã稬 OOi = A = h i = hki sin θik + hk os θik , ®âªã¤ hki hik Ok hi − hk os θik Oi hki = (1) sin θik . hk ª¨¬ ®¡à §®¬, hki ¥áâì «¨¥© ï äãªæ¨ï hi θik ®â hi ¨ hk . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ª®£¤ ®¯®àë¥ ç¨á« h O i ¬¥ïîâáï á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ᪮à®áâﬨ, â® hki â ª¥ ¨¬¥îâ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï. ⮣¤ ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 1 § 1 â® ¨á. 157 ¥ ¢¥à® ¤«ï ¤«¨ ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª . ⨠§ ¬¥ç ¨ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¢®§¬®®áâì ¯à¨¬¥¥¨ï «¥¬¬ 2 ¨ 3 § 1. ª ª ª ¤«¨ë ॡ¥à ¨ ®¯®àë¥ ç¨á« £à ¥© ®ª §ë¢ îâáï «¨¥©ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ®¯®àëå ç¨á¥« ¬®£®£à ¨ª , â® ¯à¨ ¤¢¨¥¨¨ £à ¥© á ¯®áâ®ï묨 ᪮à®áâﬨ ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤«¨ ॡ¥à ¨ ®¯®àëå ç¨á¥« £à ¥© â ª¥ ¯®áâ®ïë. ® ¢ ¢®¯à®á å ¥á⪮á⨠¬®® ®£à ¨ç¨âìáï à ¢®¬¥àë¬ ¤¢¨¥¨¥¬ £à ¥©, ⮣¤ ¨§¬¥¥¨ï ॡ¥à ¨ ®¯®àëå ç¨á¥« £à ¥© ¡ã¤ãâ â ª¥ à ¢®¬¥à묨 ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, áâ 樮 à®áâì ¨å ¡ã¤¥â ®§ ç âì ¯à®áâ® ¥¨§¬¥®áâì. Ǒ®í⮬㠢 ¤ «ì¥©è¥¬ ¬®® ᮢ¥à襮 ¥ ®¯ á âìáï á¬¥è¥¨ï ¯®ï⨩ áâ 樮 à®á⨠¨ ¥¨§¬¥®á⨠¢ ®â®è¥¨¨ ª à¥¡à ¬ ¨ ®¯®àë¬ ç¨á« ¬. 2. ¥®à¥¬ 1.
᫨ ¤«ï ª ¤®© £à ¨ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®-
£à ¨ª áâ 樮 àë ¥¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¨ ¥ª®â®à ï áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï, â® ¬®£®£à ¨ª | ¥á⪨©.
묨 á«®¢ ¬¨, ¯ãáâì § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥©.
᫨ ¯à¨ í⮬ ¤«ï ª ¤®© £à ¨ ®ª §ë¢ ¥âáï áâ 樮 ன ª ª ï-¨¡ã¤ì áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, á¢®ï ®á®¡ ï ¤«ï ª ¤®© £à ¨, â® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã, â.¥. ç «ìë¥ áª®à®á⨠¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© â ª®¢ë, ª ª ¥á«¨ ¡ë ®¨ ®¡à §®¢ë¢ «¨ ®¤® ⢥म¥ ⥫® . ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® ᮥ¤¨¥¨¨ «¥¬¬ë 2 § 1 á ãᨫ¥®© «¥¬¬®© ®è¨ (§ 2 £« ¢ë X). 5)
5)
᫨ ¥ âॡ®¢ âì áãé¥á⢥®© ¬®®â®®á⨠áâ 樮 àëå äãªæ¨©, ⮠⥮६ ®â¯ ¤ ¥â. Ǒਬ¥à: äãªæ¨ï f = (F (Q) − 1)2 , £¤¥ F (Q) | ¯«®é ¤ì. â äãªæ¨ï áâ 樮 à ¯à¨ «î¡ëå ᬥ饨ïå £à ¥© ¥¤¨¨ç®£® ªã¡ .
. XI:
§ 2.
447
¤¢¨¥¬ ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ¬ «ë¥ à ááâ®ï¨ï, ¯à®¯®à樮 «ìë¥ ¨å ç «ìë¬ áª®à®áâï¬. Ǒ®«ã稬 ®¢ë© ¬®£®£à ¨ª P ′, ª®â®à®¬ ¨ª ª®¥ ॡà®, ¨¬¥¢è¥¥áï P , ¥ ¨á祧«®, ®, ¬®¥â ¡ëâì, ¯®ï¢¨«¨áì ®¢ë¥ ॡà . Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¨¬¥«¨ áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë, ª®â®àë¥ ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬®© ¤¥ä®à¬ 樨 㤫¨ïîâáï. â¥á¥¬ ª ¤®¬ã ॡàã ¬®£®£à ¨ª P ′ § ª ç «ì®© ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¥£® ¤«¨ë ¨«¨, â®ç¥¥, ¤«¨ë ⮣® à¥¡à ¨á室®£® ¬®£®£à ¨ª P , ¨§ ª®â®à®£® ¯®«ã稫®áì ¤ ®¥ ॡ஠ã P ′. Ǒ®¬¨¬ ¯à¨ í⮬, çâ® ¥ª®â®àë¥ à¥¡à ã P ′ ¬®£«¨ ¯®ï¢¨âìáï ¨§ ã«¥¢ëå ॡ¥à P . ¥¡à , ¤«¨ë ª®â®àëå áâ 樮 àë, ®áâ ¢¨¬ ¥®â¬¥ç¥ë¬¨. á«¥¤á⢨¥ ⮣®, çâ® ¤«ï ª ¤®© £à ¨ áâ 樮 à ¥ª®â®à ï áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï, à ááâ ®¢ª § ª®¢ ¢®ªà㣠ª ¤®© £à ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¥¬¬¥ 2 § 1. ® ¥áâì ª ¤®© £à ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®¤® ¨§ âà¥å: 1) ¨ ®¤® ॡ஠£à ¨ ¥ ®â¬¥ç¥®; 2) ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠£à ¨ ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª ; 3) ¯¥à¥¬¥ § ª | ¤¢¥, ® ⮣¤ ®â¬¥ç¥ë ¯«îá ¬¨ ॡà , ¢®§¨ª î騥 ¢ ®¤®¬ ¬¥á⥠¨§ ॡ¥à ã«¥¢®© ¤«¨ë, á¬¥ë¥ á ¨¬¨ ®¡ëçë¥ à¥¡à ®â¬¥ç¥ë ¬¨ãá ¬¨. ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨ (§ 2 £« ¢ë X) «®£¨çë¥ ãá«®¢¨ï « £ îâáï à ááâ ®¢ªã § ª®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨, ® ¥ £à ¥©. Ǒ®í⮬ã, ¢ë¡à ¢ ¢ãâਠª ¤®© £à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ¯® â®çª¥, ᮥ¤¨¨¬ â®çª¨ ¢ ᬥëå £à ïå «¨¨ï¬¨, ¯¥à¥á¥ª î騬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ॡà . १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 P á¥âì R, ¤¢®©á⢥ãî á¥âª¥ ¥£® £à ¥©: £à ¨ P ®â¢¥ç ¥â ¢¥àè¨ á¥âª¨ R, ॡàã | ॡà®, ¢¥à訥 | £à ì (á¬. à¨á. 128 á. 285). «®£¨ç® ¬®£®£à ¨ª¥ P ¯®áâந¬ ¤¢®©á⢥ãî á¥âì R′ ¨ ®â¥á¥¬ ª ¤®¬ã ¥¥ ॡàã § ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ॡà P ′. ®£¤ ¯¥à¢ë¬ ¤¢ã¬ 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ ¢®§¬®®áâï¬ ¤«ï à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ ¢®ªà㣠£à ¨ P ′ ®â¢¥ç îâ ¢ á¥â¨ R′ ¤¢¥ ¢®§¬®®á⨠à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë: 1) ¨ ®¤® ॡà®, ¯®¤å®¤ï饥 ª ¢¥à訥, ¥ ®â¬¥ç¥®; 2) ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë ¨¬¥¥âáï ¥ ¬¥¥¥ ç¥âëà¥å ¯¥à¥¬¥ § ª . ëïᨬ, çâ® ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ®á⠢襬ãáï á«ãç î ⮫쪮 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ § ª . á¢ï§ á ⥬, çâ® ¬®£®£à ¨ª¥ P ¬®£«¨ ¡ëâì ýॡà ã«¥¢®© ¤«¨ëþ, ª®â®àë¥ P ′ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ áâ®ï騥 ॡà . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¥ª®â®à®© ¢¥à訥 A ¬®£®£à ¨ª P á室ïâáï ç¥âëॠ¨«¨ ¡®«¥¥ £à ¥©, ª®â®àë¥ ¯®á«¥ á¬¥é¥¨ï ¨å ¯«®áª®á⥩ ¯¥à¥áâ îâ á室¨âìáï ¢ ®¤®© ¢¥à訥 (à¨á. 158). ¥àè¨ A ª ª ¡ë à á饯«ï¥âáï, ¨ ¬¥¤ã á室¨¢è¨¬¨áï ¢ ¥© £à ﬨ ¯®ï¢«ïîâáï ®¢ë¥ ॡà . «ï ¤¢®©á⢥ëå á¥â¥© R ¨ R′ íâ® ®§ ç ¥â á«¥¤ãî饥. á¥â¨ R ¥áâì £à ì GA, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢¥à訥 A, ¢¥àè¨ë í⮩ £à ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã-
448
. .
îâ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , á室ï騬áï ¢ A. á饯«¥¨î ¢¥àè¨ë A ®â¢¥ç ¥â à §¡¨¥¨¥ £à ¨ GA ç á⨠®¢ë¬¨ à¥¡à ¬¨. ⨠®¢ë¥ ॡà ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®¢ë¬ à¥¡à ¬ ¬®£®£à ¨ª P ′. ¨ ᮥ¤¨ïîâ ⥠¢¥àè¨ë £à ¨ GA, ª®â®àë¥ ®â¢¥ç îâ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P , ®ª § ¢è¨¬áï ¯®á«¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ᬥ묨 ¯® ®¢ë¬ à¥¡à ¬. ᥠíâ® ®§ ç ¥â, çâ® £à ì GA à §¡¨¢ ¥âáï ç á⨠¤¨ £® «ï¬¨. ® ¥áâì ¯¥à¥å®¤ ®â á¥â¨ R ª R′ A″ á®á⮨⠢ ¯à®¢¥¤¥¨¨ ¤¨ A A′ £® «¥© ¥ª®â®àëå ¥¥ £à ïå. ¥¬ á ¬ë¬ á¥âì R′ 㤮¢«¥â¢®àï¥â âॡ®¢ ¨ï¬, « £ ¥¬ë¬ ãᨫ¥®© «¥¬¬®© ®è¨. Ǒãáâì ¢®ªà㣠£à ¨ H ′ ¬®£®£à ¨ª P ′ ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª (âà¥â¨© á«ãç ©). ®£¤ ¨á. 158 £à ¨ H ¬®£®£à ¨ª P ¥áâì ¢¥àè¨ A, ýà á饯«¥¨¥þ ª®â®à®© ª ª à § ¤ ¥â ®¢ë¥ ॡà P ′. ⬥ç¥ë¥ à¥¡à £à ¨ H ′ ¢á¥ á室¨«¨áì ¢ ¢¥à訥 A P , ® ⮫쪮 ¤¢ ªà ©¨å ¡ë«¨ áâ®ï騬¨ à¥¡à ¬¨. âáî¤ ¢¨¤®, çâ® âà¥âìï ¢®§¬®®áâì à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ ¢®ªà㣠£à ¨ ¬®£®£à ¨ª P ′ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¤¢®©á⢥®© á¥â¨ R′ ¢ á«¥¤ãî饥: 3) ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë (ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ H ′ ) ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë § ª , ® ⮣¤ ¯«îá ¬¨ ®â¬¥ç¥ë ®¢ë¥ ॡà , «¥ 騥 ®¤®© ýáâ னþ £à ¨ (ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à訥 A), á¬¥ë¥ á ¨¬¨ ýáâ àë¥þ à¥¡à ®â¬¥ç¥ë ¬¨ãá ¬¨ (à¨á. 159 ¤ ¥â ®¡¥ ª àâ¨ë à ááâ ®¢ª¨ § ª®¢ P ′ ¨ R′ ). â® ¨ ¥áâì âà¥âìï ¢®§¬®®áâì ¢ ⮬ ¢¨¤¥, ª ª ® 䨣ãà¨àã¥â ¢ ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¨¬¥îâáï ®â¬¥ç¥ë¥ ॡà , â® ¯®«ãç ¥¬ à ááâ ®¢ªã § ª®¢, ¥¢®§¬®ãî ¢ ᨫã í⮩ «¥¬¬ë. ç¨â ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¥â, â. ¥. ¤«¨ë ¢á¥å ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª P áâ 樮 àë. âáî¤ ã¥ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª P ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã, ¨ ⥮६ ¤®ª § . 3. Ǒ®«ãç¥ë© १ã«ìâ â ¬®® ¥áª®«ìª® ®¡®¡é¨âì, ¤®¯ãáª ï ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª , á¢ï§ ë¥ á ¯®ï¢«¥¨¥¬ ®¢ëå £à ¥©. ¬¥® ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¤ ë© ¬®£®£à ¨ª P ®£à ¨ç¥ ¥ ⮫쪮 ¯«®áª®áâﬨ ¥£® £à ¥©, ® ¥é¥ ¥ª®â®à묨 ¯«®áª®áâﬨ, ¯à®å®¤ï騬¨ ç¥à¥§ ¥£® ॡ-
. XI:
§ 2.
449
à . ®£¤ ¯ à ««¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ¬®£ã⠯ਢ®¤¨âì ª ¯®ï¢«¥¨î P ®¢ëå £à ¥©. â® ¬®® ¨§®¡à §¨âì â ª, çâ® ¥ª®â®àë¥ £à ¨ P ¢ëத îâáï ¢ ॡà , ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯à¥¢à é îâáï ¢ áâ®ï騥 £à ¨. ª ï ¢ëத îé ïáï £à ì ý®£à ¨ç¥ þ ¤¢ã¬ï ᮢ¯ ¤ î騬¨ ¯àï¬ë¬¨ (¨¤ã騬¨ ¢¤®«ì ॡà ) ¨ ¥é¥ ¤à㣨¬¨ ¯àï¬ë¬¨, ¯à®å®¤ï騬¨ ç¥à¥§ ª®æë ॡà (à¨á. 160). 6)
+
A′
A″
A″ A′ −
−
−
H′
+ −
H′
P′
R′ ¨á. 159
¨á. 160
á¢ï§¨ á í⨬ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ®¢®© £à ¨ ¬¥áâ¥ à¥¡à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¢ëத¨¢è¥£®áï ¢ ®â१®ª ¬®£®ã£®«ì¨ª , ¢ë§¢ ï ¤¢¨¥¨¥¬ ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¥£® ¯àï¬ëå. â ª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¤¢¥ áâ®à®ë à ¢ë, ¯à®ç¨¥ ¨¬¥îâ ã«¥¢ãî ¤«¨ã. Ǒãáâì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª AB . Ǒãáâì ç¥à¥§ A ¯à®å®¤¨â ¥áª®«ìª® ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¯àï¬ëå.
᫨ ®¤ ¨§ ¨å ®â®¤¢¨£ ¥âáï ý àããþ (®¯®à®¥ ç¨á«® ¢®§à áâ ¥â), â® ® ¯¥à¥á⠥⠪ á âìáï ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ®£à ¨ç¨¢ î饩 ¯àאַ©.
¥ ®â®¤¢¨£ ¨¥ ¥ ¢¥¤¥â ª ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®ã£®«ì¨ª ¨ ¯®â®¬ã ¬®® á ãᯥ宬 áç¨â âì ¥¥ ¥¯®¤¢¨®©. Ǒ®í⮬ã â ª¨¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¯àï¬ëå áç¨â îâáï ¨áª«îç¥ë¬¨. ¥¬¬ .
Ǒãáâì ¬®£®ã£®«ì¨ª, ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢ëத î騩áï ¢
®â१®ª, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ®£à ¨ç¨¢ îé¨å ¯àï¬ëå.
᫨ ¯à¨ í⮬ ¥ª®â®à ï áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï ¥£® áâ 樮 à , â® «¨¡® ® ®áâ ¥âáï ®â१ª®¬, «¨¡® ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¤«¨ áâ®à® ¬¥ïîâ § ª ç¥âëà¥ à § ¯à¨ ®¡å®¤¥ ¢®ªà㣠¬®£®ã£®«ì¨ª .
6) ¡®¡é¥¨¥,
¤®¯ã᪠î饥 ¢ëத¥¨¥ £à ¥© ¢ ¢¥àè¨ë, ¥ ¨â¥à¥á®: ®® âਢ¨ «ì®, â ª ª ª ¯à¨ ¯à¥¢à 饨¨ â®çª¨ ¢ ¬®£®ã£®«ì¨ª ¢á¥ ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®® áç¨â âì 㢥«¨ç¨¢ î騬¨áï ¨ ¯®â®¬ã «¨¡® df > 0, «¨¡® f ¯¥à¥á⠥⠡ëâì áãé¥á⢥® ¬®®â®®© ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢, ¢ëத îé¨åáï ¢ â®çªã, ª ª íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯«®é ¤¨.
450
. .
Ǒãáâì ¬®£®ã£®«ì¨ª Q ¢ëத ¥âáï ¢ ®â१®ª ¨ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï â ª, çâ® áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï f (Q) áâ 樮 à . ®¯ãá⨬, çâ® ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ® áâ ®¢¨âáï áâ®ï騬 ¬®£®ã£®«ì¨ª®¬. â® ®§ ç ¥â, ç⮠⥠¤¢¥ ®£à ¨ç¨¢ î騥 ¥£® ¯àï¬ë¥ L , L , ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ᮢ¯ ¤ «¨, à á室ïâáï (à¨á. 161). Li Ǒਠí⮬ ®¡®¨å ª®æ å ®â१ª Q, ®ç¥¢¨¤®, ¤®«ë ¨¬¥âìáï 㤫¨ïî騥áï áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë. Q O Ǒ®í⮬ã, ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ¡ë«® ç¥âëL1 =L2 ॠ¯¥à¥¬¥ë § ª , ã®, çâ®¡ë ®¡¥ áâ®à®ë ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë 㪮à 稢 «¨áì (áâ®à®ë ã«¥¢®© ¤«¨ë, ª®¥ç®, ¥ ¬®£ãâ 㪮à 稢 âìáï!). Li ®¯ãá⨬, ®¤ ª®, çâ® ®¤ ¨§ íâ¨å áâ®à®, l , ¥ 㪮à 稢 ¥âáï, «¨¡® L2 áâ 樮 à , «¨¡® 㤫¨ï¥âáï. Ǒ®¬¥Q á⨬ ç «® O ¢ ®¤®¬ ¨§ ¥¥ ª®æ®¢. L1 l1 O ç «ìë© ¬®¬¥â ® ®£à ¨ç¨¢ ¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¯àאַ© L á ¯àï¬ë¬¨, ¥áã騬¨ ã«¥¢ë¥ áâ®à®ë. ¨á. 161 â ª ª ª ® ¥ 㪮à 稢 ¥âáï, â® í⨠¯àï¬ë¥ ¥ ¬®£ã⠯ਡ«¨ âìáï ª â®çª¥ O. «¥¤®¢ ⥫ì®, ᪮à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¨å ®¯®àëå ç¨á¥« ¥ ®âà¨æ ⥫ìë: h_ i > 0. ¬¥á⥠á ⥬ ¯àï¬ ï L ®â®¤¢¨£ ¥âáï ®â L ¨ ¯®â®¬ã ᪮à®áâì ¨§¬¥¥¨ï ¥¥ ®¯®à®£® ç¨á« ¯®«®¨â¥«ì : h_ > 0. ª®¥æ, ¯àï¬ ï L ®áâ ¥âáï ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ç «® ¨ ¯®â®¬ã h_ = 0. â ª, ¢á¥ h_ i > 0 ¨ h_ > 0. ® ¯® ãá«®¢¨î áãé¥á⢥®© ¬®®â®®á⨠df /dhi > 0 ¨ ¤«ï áâ®à® ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë df /dhi > 0, â. ¥. df /dh > 0. Ǒ®í⮬ã X df df = h_ i > 0. dt dhi ¥¤ã ⥬ ¯® ãá«®¢¨î äãªæ¨ï f áâ 樮 à , â. ¥. df /dt = 0. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â ¥¢¥à®áâì ¤®¯ãé¥¨ï ® ⮬, çâ® ®¤ ¨§ áâ®à® ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë ¥ 㪮à 稢 ¥âáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡¥ áâ®à®ë ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë 㪮à 稢 îâáï; ¬ë ¨¬¥¥¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ஢® ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¨ «¥¬¬ ¤®ª § . Ǒãáâì ⥯¥àì ¬®£®£à ¨ª P ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥©, ¯à¨ç¥¬ ¥ª®â®àë¥ £à ¨ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢ëத îâáï′ ¢ ॡà . ®£¤ , à ááâ ¢«ïï ॡà å ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª P § ª¨ ᪮à®á⥩ ¨§¬¥¥¨ï ¨å ¤«¨, ¯à¨¤¥¬ ª ⥬ ¥ ¢ë¢®¤ ¬, ª ª¨¥ ¡ë«¨ ᤥ« ë ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1. ®ªà㣠£à ¨, 1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
. XI:
§ 2.
451
¢®§¨ªè¥© ¨§ ॡà , ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥ë § ª , ¨ ¯®â®¬ã â ª¨¥ £à ¨ ¢®¢á¥ ¥ ¬®£ãâ ¯®ï¢«ïâìáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ⥮६¥ 1 ¬®® ¤®¯ã᪠âì á।¨ ¯«®áª®á⥩, £à ¥© ¬®£®£à ¨ª â ª¨¥, ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¯à®å®¤ïâ ¢¤®«ì ॡ¥à, â. ¥. ¤®¯ã᪠îâáï £à ¨, ¢ëத î騥áï ¢ ॡà .
â® «®£¨ç® ⮬ã, çâ® ¢ ⥮६ å £« ¢ë VI ® à ¢¥á⢥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ â ª¥ ¤®¯ã᪠îâáï £à ¨, ¢ëத î騥áï ¢ ॡà . ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬®® 㪠§ âì ⥮६㠮 ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 à묨 ¯¥à¨¬¥âà ¬¨ £à ¥©. ®£¤ á।¨ £à ¥© ¬®® ¤®¯ã᪠âì ¢ëத î騥áï ¢ ॡà . Ǒ¥à¨¬¥âà â ª®© ý£à ¨þ à ¢¥ 㤢®¥®© ¤«¨¥ ॡà . á«ãç ¥ áâ 樮 à®á⨠¯«®é ¤¨ ®¡®¡é¥¨¥ âਢ¨ «ì®, ¯®â®¬ã çâ® ¢ëத¨¢è ïáï £à ì ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¯«®é ¤ì ¨ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ áâ 樮 à®á⨠¯«®é ¤¨ â ª ¨ ¤®« ®áâ ¢ âìáï ॡ஬, â.¥. ®¡®¡é¥¨¥ §¤¥áì ®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥áᮤ¥à ⥫ìë¬. 4. ¥®à¥¬ 2.
Ǒãáâì ¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥ä®à¬¨àã-
¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¯«®áª®á⥩ ¥£® ª®¥çëå £à ¥©; ¯«®áª®á⨠¥ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¥¯®¤¢¨ë.
®£¤ , ¥á«¨ ¤«ï ª ¤®©
ª®¥ç®© £à ¨ ª ª ï-«¨¡® áãé¥á⢥® ¬®®â® ï äãªæ¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï
( ) Ǒਠí⮬ á।¨ £à ¥© ¤®¯ã᪠îâáï â ª¨¥, ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢ëத îâáï ¢ ॡà . â ⥮६ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⥮६¥ 2 § 4 £« ¢ë VI ® à ¢¥á⢥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢; ® ®â®á¨âáï ª ¥© â ª ¥, ª ª ¤®ª § ï ⮫쪮 ç⮠⥮६ 1 ®â®á¨âáï ª ⥮६¥ 2 § 3 £« ¢ë VI ® § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª å. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2 ®á®¢ ® â¥å ¥ á®®¡à ¥¨ïå. ¬¥é ï ¯«®áª®á⨠£à ¥© ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ¬ «ë¥ à ááâ®ï¨ï, ¯à®¯®à樮 «ìë¥ ¨å ç «ìë¬ áª®à®áâï¬, ¯®«ã稬 ¬®£®£à ¨ª P ′ . ¥£® ॡà å à ááâ ¢«ï¥¬ § ª¨ ᪮à®á⥩ ¨§¬¥¥¨ï ¨å ¤«¨. ®£¤ ¤«ï ª®¥çëå £à ¥© ¯®«ãç ¥¬ ⥠¥ âਠ¢®§¬®®áâ¨, ª ª¨¥ ¡ë«¨ ¢ ⥮६¥ 1, ¡¥áª®¥çëå £à ïå | ¢®§¬®®áâ¨, 㪠§ ë¥ ¢ «¥¬¬¥ 3 § 1. Ǒ®á«¥ í⮣® ¡¥à¥¬ ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′′ ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª á ¯à®â¨¢®¯®«®® à ááâ ¢«¥ë¬¨ § ª ¬¨ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¡áâà ªâë© ¬®£®£à ¨ª P ′ + P ′′, ¯à¨ç¥¬ ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ ¡¥áª®¥çë¥ à¥¡à ã P ′ ¨ P ′′ ®â®¤¥á⢫塞, ®¡ê¥¤¨ïï ª ¤ãî ¯ àã ᮮ⢥âá⢥ëå ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¢ ®¤ã. «¥¥, ¯¥à¥å®¤¨¬ ®â P ′ + P ′′ ª ¤¢®©á⢥®© á¥â¨ R′ , ¤«ï ª®â®à®© ¯®¢â®àïîâáï ⥠¥ ¢ë¢®¤ë, ª ª¨¥ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1. áâ 樮 ன, â® ¬®£®£à ¨ª ¥¯®¤¢¨¥ â®ç¥¥, ¯«®áª®á⨠¢á¥å ¥£® £à -
¥© áâ 樮 àë .
452
. .
®£¤ , ¯à¨¬¥ïï ãᨫ¥ãî «¥¬¬ã ®è¨ ª á¥â¨ R′, ¯®«ãç ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2. ¥â «ì®¥ ®áãé¥á⢫¥¨¥ ¬¥ç¥®£® ¯« ᢥ«®áì ¡ë ª ¯à®á⮬㠯¥à¥áª §ã ⮣®, ç⮠㥠ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å ⥮६ë 1 ¨ ⥮६ë 2 § 4 £« ¢ë VI. 5. ¥®à¥¬ 2 ¬®¥â ¡ëâì ãᨫ¥ ¨ à á¯à®áâà ¥ n-¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª í⮠ᤥ« ® ¢ § 5 £« ¢ë VI ¤«ï «®£¨ç®© â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢. ª¨¬ ¯ã⥬ ¯®«ãç ¥âáï ¥®à¥¬ 3.
Ǒãáâì
n-¬¥àë©
¡¥áª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª ¤¥-
ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¯«®áª®á⥩ ¥£® ª®¥çëå £à ¥©; ¯«®áª®á⨠¥ ¡¥áª®¥çëå £à ¥© ¥¯®¤¢¨ë. Ǒãáâì ¤«ï ª ¤®©
1) ¯«®áª®áâì í⮩ 2) ¤«ï í⮩ £à ¨ áâ 樮 à ¥ª®â®à ï áãé¥á⢥®
ª®¥ç®© £à ¨ ¢ë¯®«¥® å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ¤¢ãå ãá«®¢¨©: £à ¨ áâ 樮 à ;
¬®®â® ï äãªæ¨ï 7) . Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬®£®£à ¨ª ¥¯®¤¢¨¥, â. ¥. ¯«®áª®á⨠¢á¥å ¥£® £à ¥© áâ 樮 àë.
âã ⥮६㠬®® ¯¥à¥áª § âì ¤«ï ª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© â ª ¥, ª ª í⮠ᤥ« ® ¤«ï «®£¨ç®© â¥®à¥¬ë ® à ¢¥á⢥ ¢ § 5 £« ¢ë VI. ®ª § ⥫ìá⢮ ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã â¥®à¥¬ë § 5 £« ¢ë VI. Ǒãáâì h(n, t) | ®¯®à ï äãªæ¨ï ¤¥ä®à¬¨àãî饣®áï ¬®£®£à ¨ª (â.¥. à ááâ®ï¨¥ ¥£® ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨ á ®à¬ «ìî n ®â ç « ª®®à¤¨ â ª ª äãªæ¨ï n ¨ ¯ à ¬¥âà t, á ¨§¬¥¥¨¥¬ ª®â®à®£® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¤¥ä®à¬ æ¨ï).
᫨ ç «ì ï ᪮à®áâì ¥¥ ¨§¬¥¥¨ï ∂h ¢¥§¤¥ à ¢ ∂t t ã«î, â® ¬®£®£à ¨ª ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¥¯®¤¢¨¥. Ǒ®í⮬㠤®¯ãá⨬, çâ® ¥áâì ®¡« áâì ¢¥ªâ®à®¢ n, £¤¥ ∂h > 0. ®£¤ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ í⮩ ∂t t ®¡« á⨠äãªæ¨î 1 ϕ(n) = ∂h =0
=0
∂t t=0
¨ à áᬮâਬ ¯®¢¥àå®áâì R, ®¡à §®¢ ãî ª®æ ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ ϕ(n)n. â® «®£¨ç® ¯®áâ஥¨î, ¨§«®¥®¬ã ¢ § 5 £« ¢ë VI, á ⥬ «¨èì à §«¨ç¨¥¬, çâ® ¬¥áâ¥ à §®á⨠®¯®àëå äãªæ¨© ¯®ï¢«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ ï ∂h/∂t. «ì¥©è¨© 室 ¤®ª § ⥫ìá⢠⠪¥ «®£¨ç¥ ¢ë¢®¤ ¬ § 5 £« ¢ë VI, ¨ ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¥£® §¤¥áì ¯à¨¢®¤¨âì. 6. ®£®£à ¨ª á £à ¨æ¥© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ ®¤¨¬¨ ¯«®áª®áâﬨ £à ¥©, ® ¥é¥ ¯àï¬ë¬¨, ᮤ¥à 騬¨ ¥£® £à ¨çë¥ à¥¡à . ⨠¯àï¬ë¥ «¥ â ¢ ¯«®áª®áâïå ªà ©¨å £à ¥©. ë ¡ã¤¥¬ ¤®¯ã᪠âì ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª , ¯à¨ ª®â®àëå í⨠¯àï¬ë¥ ¯®¤¢¥à£ îâáï ¯ à ««¥«ìë¬ á¬¥é¥¨ï¬ 7) ¥çì ¨¤¥â ® áãé¥á⢥® ¬®®â®®© äãªæ¨¨ (n − 1)-¬¥à®£® ¬®£®£à ¨ª , ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¤«ï ¬®£®ã£®«ì¨ª .
. XI:
§ 3.
453
¢ ¯«®áª®áâïå ªà ©¨å £à ¥© (ª®â®àë¥ ¯à¨ í⮬ á ¬¨ ¬®£ãâ ¯ à ««¥«ì® ¯¥à¥¬¥é âìáï). ¥®à¥¬ 4.
Ǒãáâì ª®¥çë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª, ®£à ¨ç¥ë© ®¤-
®© § ¬ªã⮩ «®¬ ®©, ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¯«®áª®á⥩ ¥£® £à ¥© ¨ ¯àï¬ëå, ¥áãé¨å ¥£® £à ¨çë¥ à¥¡à . Ǒãáâì ¯à¨ í⮬
1) ¤«ï ª ¤®© £à ¨ ®ª §ë¢ ¥âáï áâ 樮 ன ¥ª®â®à ï áãé¥á⢥2) ª ¤®© ªà ©¥© £à ¨ ç «ìë¥ áª®à®áâ¨
® ¬®®â® ï äãªæ¨ï;
¨§¬¥¥¨ï ¤«¨ £à ¨çëå ॡ¥à ¨¬¥îâ ®¤¨ § ª (¤«ï ª ¤®© £à ¨ | ᢮©), ¤®¯ã᪠ï â ª¥ § 票¥ ã«ì.
Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå ç «ì ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¬®£®£à ¨ª ᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã.
â ⥮६ «®£¨ç ⥮६¥ 2 § 5 £« ¢ë VI. ®ª § ⥫ìá⢮ ¥¥, ¯®¤®¡® ¤®ª § ⥫ìá⢠¬ ⥮६ 1 ¨ 2, ®á®¢ ® ãᨫ¥®© «¥¬¬¥ ®è¨ ¨ «¥¬¬¥ 1 § 1. ë ®¯ïâì áâந¬ ¤¥ä®à¬¨à®¢ ë© ¬®£®£à ¨ª P ′ ¨ à ááâ ¢«ï¥¬ ¥£® ॡà å § ª¨. Ǒ®â®¬, ¢§ï¢ ¥£® ¢â®à®© íª§¥¬¯«ïà P ′′ á ¯à®â¨¢®¯®«®® à ááâ ¢«¥ë¬¨ § ª ¬¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¡áâà ªâë© ¬®£®£à ¨ª P ′ + P ′′ , ®â®¤¥á⢫ïï ¨ ¯®â®¬ ¨áª«îç ï ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨çë¥ à¥¡à ¬®£®£à ¨ª®¢ P ′ ¨ P ′′ . Ǒ®á«¥ í⮣® áâந¬ ¤¢®©á⢥ãî á¥âì ¨, ¯à¨¬¥ïï ª ¥© ⥠¥ à áá㤥¨ï, çâ® ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1, ¯®«ãç ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 襩 ⥮६ë. § 3. ¢ï§ì ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¤àã£ á ¤à㣮¬ ¨ á ⥮ਥ© ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢
1. ⥮६¥ 1 § 2 § ª«îç ¥âáï, ¢ ç áâ®áâ¨, ¥®à¥¬ 1. ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 à묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© | ¥á⪨©.
ë ¤®ª ¥¬, çâ® ®âáî¤ ¬®® ¢ë¢¥á⨠ª ª ç¨áâ® ä®à¬ «ì®¥ á«¥¤á⢨¥ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¥¨¥: ¥®à¥¬ 2.
¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á ¥á⪨¬¨ £à ﬨ |
¥á⪨©.
â ⥮६ ¡ë« ¤®ª § ¢ § 4 £« ¢ë X, ¯à¨ç¥¬ â ¬ £à ¨ ¯®¨¬ «¨áì ¢ ®¡®¡é¥®¬ á¬ëá«¥. ¤¥áì ¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ®¡ëçë¥ £à ¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, १ã«ìâ ⠡㤥â á« ¡¥¥, 祬 ¯®«ãç¥ë© ¢ § 4 £« ¢ë X. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ä®à¬ «ì ï á¢ï§ì ⥮६ë 2 á ⥮६®© 1, ª®â®à®© ¯®áâ஥ ¢ë¢®¤, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥¬ «ë© ¨â¥à¥á. § ¥¥ à áᬮâà¥¨ï ¥áâ¥á⢥® ¬¥â¨âáï á¢ï§ì ®¡¥¨å ⥮६ á ⥮ਥ© ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ (§ 2 ¨ 3 £« ¢ë VII), ¨ ¯à¨¬¥¥¨¥ í⮩ ¯®á«¥¤¥© ¤ áâ ®¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1, ¢¬¥áâ¥ á ¥© ¨ ⥮६ë 2 . 8)
8) ⨠á¢ï§¨ ¨¬¥îâ ¡®«ì讥 § 票¥ ¢ ¢ë¢®¤¥ ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¤«ï £« ¤ª¨å ¯®¢¥àå®á⥩. «ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ®¨ ¡ë«¨ ¢¯¥à¢ë¥ ¯®¤¬¥ç¥ë . ¥©«¥¬ ¢ [363℄.
454
. .
â ª, ®¡à ⨬áï ª ä®à¬ «ì®¬ã ᢥ¤¥¨î ⥮६ë 2 ª ⥮६¥ 1. Ǒãáâì ¬®£®£à ¨ª á ¥á⪨¬¨ £à ﬨ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï. ®£¤ ª ¤ ï £à ì Qm ¢à é ¥âáï ª ª ⢥म¥ ⥫® ¨ ¥¥ ¢à 饨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠ωi. ª ª ª ®â®á¨â¥«ì®¥ ¢à 饨¥ ¤¢ãå ᬥëå £à ¥© Qi, Qj ¯à®¨á室¨â ¢®ªà㣠¨å ®¡é¥£® ॡà , â® à §®áâì ωi − ωj ¯à ¢«¥ ¯® í⮬ã ॡàã. â® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® à §®áâì ωi − ωj ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ª (¢¥è¨¬) ®à¬ «ï¬ ni , nj ®¡¥¨å £à ¥©, â.¥. (ωi − ωj ) ni = 0, (ωi − ωj ) nj = 0, ¨«¨ ωi ni = ωj ni , ωi nj = ωj nj . (1) Ǒ®«®¨¬ ωi ni = pi (2) ¨ à áᬮâਬ ¤¥ä®à¬ æ¨î ⮣® ¥ ¬®£®£à ¨ª , á®áâ®ïéãî ¢ ¯ à ««¥«ì®¬ ¤¢¨¥¨¨ £à ¥© á ¯®áâ®ï묨 ᪮à®áâﬨ pi ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¨å ®à¬ «¥©. ®£¤ ¢ ¬®¬¥â t ®¯®àë¥ ç¨á« ¬®£®£à ¨ª ¡ã¤ãâ hti = hi + t pi . (3) ë ¤®ª ¥¬, çâ® ¢ ᨫã á®®â®è¥¨© (1) ¯à¨ ¤¥ä®à¬ 樨, ®¯à¥¤¥«¥®© ãà ¢¥¨ï¬¨ (3), ¯«®é ¤¨ £à ¥© áâ 樮 àë. ⨬ ⥮६ 2 ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á ¥á⪨¬¨ £à ﬨ ¨ ¡ã¤¥â ᢥ¤¥ ª ⥮६¥ 1 ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¯à ¢«¥¨© ¨ ¯«®é ¤¥© £à ¥©. ¥©á⢨⥫ì®, áâ 樮 à®áâì ¯à ¢«¥¨© ¨ ¯«®é ¤¥© £à ¥© ¢ ᨫã ⥮६ë 1 ®§ ç ¥â, çâ® ¬®£®£à ¨ª ¨á¯ëâë¢ ¥â «¨èì ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á á ª ª®©-⮠᪮à®áâìî a. ® ⮣¤ pi áãâì á®áâ ¢«ïî騥 í⮣® ¯¥à¥®á , ®à¬ «ìë¥ ª £à ï¬, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, pi = ni a. Ǒਡ ¢¨¬ ª à áᬠâਢ ¥¬®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ¨ª ¢à 饨¥ ¥£® ª ª 楫®£® á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî −a. ®£¤ ᪮à®á⨠¢à é¥¨ï ¥£® £à ¥© ¡ã¤ãâ ωi′ = ωi − a ¨ p′i = ωi′ ni = 0 ¤«ï ¢á¥å i. ® ¯® (1) ωi′ nj = ωj′ nj = ωi′ ni = 0, £¤¥ nj | ®à¬ «ì ª «î¡®© £à ¨, ¨¬¥î饩 á Qi ®¡é¥¥ ॡà®. ª ª ª á।¨ â ª¨å ®à¬ «¥© § ¢¥¤®¬® ©¤ãâáï ¤¢¥, ¥ «¥ 騥 ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠á ni, â® ¨§ ¯¨á ëå à ¢¥á⢠᫥¤ã¥â, çâ® ωi′ = 0. 2.
. XI:
§ 3.
455
ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¢ ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¥¨î, § ç¨â, ¨ ¨á室 ï ᢮¤¨« áì ª ¤¢¨¥¨î, â.¥. ¬ë ¯®«ã稫¨ ⥮६ã 2. 3. ®ª ¥¬, çâ® ¨§ á®®â®è¥¨© (1) á«¥¤ã¥â áâ 樮 à®áâì ¯«®é ¤¥© £à ¥©. «ï í⮣® à áᬮâਬ ¤ ãî £à ì Qi. ¥¥ ¯«®áª®á⨠¢ ª ç¥á⢥ ç « ª®®à¤¨ â ¡¥à¥¬ ¯à®¥ªæ¨î ç « ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥. ®£¤ , ¥á«¨ hij | ®¯®àë¥ ç¨á« ॡ¥à £à ¨ Qi ®â®á¨â¥«ì® í⮣® ç « , â® ¯® ä®à¬ã«¥ (1) § 2 hj − hi os θij hj − hi (ni nj ) hij = = (4) , sin θij |ni × nj | £¤¥ hj ¨ nj | ®¯®à®¥ ç¨á«® ¨ ®à¬ «ì £à ¨ Qj , ᬥ®© á Qi ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ॡàã. «ï ¤¥ä®à¬¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (3) ¯®«ã稬 htij = hij + t pij , (5) £¤¥ pj − pi (ni nj ) . pij = (6) |n × n | i
j
Ǒਠᬥ饨¨ áâ®à®ë l ¬®£®ã£®«ì¨ª ¬ «®¥ à ááâ®ï¨¥ δ ª ¬®£®ã£®«ì¨ªã ¯à¨¡ ¢«ï¥âáï âà ¯¥æ¨ï á ®á®¢ ¨¥¬ l ¨ ¢ëá®â®© δ. Ǒ®í⮬㠯ந§¢®¤ ï ¯«®é ¤¨ Fi £à ¨ Qi ¯® ®¯®à®¬ã ç¨á«ã hij ¥áâì ¤«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ®à®ë: ∂Fi = lij . (7) ∂hij Ǒ®í⮬㠢 ᨫã (5)
dFi dt
t=0
=
X ∂Fi dhij ∂hij dt t=0 j
=
X
pij lij .
(8)
j
¥¯¥àì ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¯®ª § âì, çâ® áâ®ïé ï §¤¥áì á¯à ¢ á㬬 ¢á«¥¤á⢨¥ à ¢¥á⢠(1) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. «ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã (1) ¨ (2) pi = ωi ni , pj = ωi nj . (9) Ǒ®í⮬㠨§ (6) á«¥¤ã¥â nj − ni (ni nj ) pij = (10) ωi = nij ωi , |ni × nj |
456
. .
£¤¥ ¢¥ªâ®à
− ni (ni nj ) = nj |n (11) i × nj | ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¢¥èïï ¥¤¨¨ç ï ®à¬ «ì ª áâ®à®¥ lij £à ¨ Qi, ¢ 祬 «¥£ª® ¥¯®á।á⢥® ã¡¥¤¨âìáï. Ǒ®í⮬㠨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥ § ¬ªãâ®á⨠X (12) nij lij = 0. nij
j
âáî¤ , 㬮 ï ωi, ¨ ¯®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (10), ¯®«ã稬 X pij lij = 0,
(13)
j
®âªã¤ ¢ ᨫã á®®â®è¥¨ï (8)
dFi dt
t=0
= 0,
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. 4. ¥¯¥àì ¤®ª ¥¬ ⥮६ã 1 ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 à묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥©, ®á®¢ë¢ ïáì ç « å ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢. Ǒãáâì ç «ìë¥ áª®à®á⨠¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï £à ¥© ¤ ®£® ¬®£®£à ¨ª P ¡ã¤ãâ pi , â.¥. dhdt t = pi. ç «ìë¥ áª®à®á⨠¨§¬¥¥¨ï dh ®¯®àëå ç¨á¥« ॡ¥à £à ¥© ¯ãáâì ¡ã¤ãâ pij , â. ¥. dt t = pij . «ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯«®é ¤¨ £à ¨ ¨¬¥¥¬ ä®à¬ã«ã (8) i
=0
ij
=0
dFi dt
t=0
=
X
pij lij .
j
Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ áâ 樮 à®á⨠¯«®é ¤¥© ¤ ¥â X pij lij = 0.
(14)
j
áᬮâਬ ¬®£®£à ¨ª P ′ á ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ h′i = hi + t pi (15) á® áâ®«ì ¬ «ë¬ t, çâ® P ′ ¨ª ª¨¥ ¤¢¥ £à ¨, ¥ á¬¥ë¥ P , ¥ áâ ®¢ïâáï ᬥ묨. §«¨ç¨¥ ¢ áâ஥¨¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′ ¬®¥â ¡ëâì
. XI:
§ 3.
457
®¡ãá«®¢«¥® ⮫쪮 ⥬, çâ® ¥ª®â®àë¥ £à ¨ ¨§ á室¨¢è¨åáï P ¢ ®¤®© ¢¥à訥 ¬®£ãâ P ′ à §®©â¨áì, ⮣¤ ª ª ¤à㣨¥ áâ ãâ ᬥ묨 㥠¥ ¢ ¢¥à訥, ¯® ॡàã. â ª®¬ á«ãç ¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® ¨ P â ª®¥ ॡ஠¥áâì, ® ¨¬¥¥â ¤«¨ã ã«ì. ′ Ǒãáâì Qi ¨ Qi | ᮮ⢥âáâ¢¥ë¥ £à ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P ¨ P ′. ¬¥è ï ¯«®é ¤ì íâ¨å £à ¥©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¯®¤®¡® á¬¥è ®¬ã ®¡ê¥¬ã (á¬. «¥¬¬ã 4 § 2 £« ¢ë VIII), ¡ã¤¥â 1 X h′ lij , F (Qi Q′i ) = (16) 2 ij j
¨«¨ ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (5) 1 Xh l + 1 tXp l . F (Qi Q′i ) = ij ij 2 ij ij 2 j
j
âáî¤ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï (14) 1 X h l = F (Q Q ), F (Qi Q′i ) = i i 2 ij ij
(17)
j
£¤¥ F (QiQi) = Pj hij lij ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯«®é ¤ì £à ¨ Qi . ¯¨è¥¬ ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£® ¤«ï ᬥè ëå ¯«®é ¤¥© F (Qi Q′i ) > F (Qi Qi )F (Q′i Q′i ), (18) ¯à¨ç¥¬ § ª à ¢¥á⢠á⮨⠧¤¥áì ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Qi ¨ Q′i £®¬®â¥â¨çë. á«¥¤á⢨¥ (17) ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® F (Qi Q′i ) > F (Q′i Q′i ), (19) 1 2
9)
2
9) â® ¥à ¢¥á⢮ ¥áâì, ª®¥ç®, ç áâë© ¢¨¤ ®¡é¥£® ¥à ¢¥á⢠, ¢ë¢¥¤¥®£® ¢ § 3 £«. VIII ¤«ï n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠. ¤ ª® ¤«ï2 ¯«®é ¤¥© ®® ¢ë¢®¤¨âáï ᮢᥬ ¯à®F (QQ ) ′ áâ®. 饬 ¬¨¨¬ã¬ ®â®è¥¨ï = F (QQ )F (Q Q ) ¯à¨ ¤ ®¬ Q ¨ ¯¥à¥¬¥®¬ Q . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ®â ¬¨¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï. ¡®§ ç ï ®¯®àë¥ ç¨á« ¨ ¤«¨ë áâ®à® ∂ ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ Q ¨ Q′ ç¥à¥§ hj , h′j ¨ lj , lj′ , ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¯à¨ ¬¨¨¬ã¬¥ ∂h = 0, ¢ (QQ ) = 1 lj . ª®¥æ, â ª ª ª F (Q′ Q′ ) ¥áâì ¯«®é ¤ì ¬®£®ã£®«ì¨ª , ⮠ᨫã (16) ∂F∂h 2 ∂F (Q Q ) ∂ = lj . ëç¨á«ïï ®á®¢ ¨¨ íâ¨å á®®â®è¥¨© ¯à®¨§¢®¤ë¥ ∂h ¨ ¯à¨à ¢∂h ¨¢ ï ¨å ã«î, ¯à¨¤¥¬ ª ⮬ã, çâ® ¯à¨ ¬¨¨¬ã¬¥ lj = λlj′ , £¤¥ λ = FF((QQQQ )) . ® ¥á«¨ ¤«¨ë áâ®à® ¯à®¯®à樮 «ìë, â® ¬®£®ã£®«ì¨ª¨ Q ¨ Q′ ¯®¤®¡ë, â.¥. ¬¨¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¤«ï ¯®¤®¡ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢. ⮣¤ = 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, > 1 ¨ = 1 ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Q ¨ Q′ ¯®¤®¡ë. â® ¨ ¥áâì ¥à ¢¥á⢮ (18) á ¤®¯®«¥¨¥¬ ®¡ ãá«®¢¨¨ à ¢¥á⢠. ′
′
′
′ j
′
′ j
′
′
′ j
′ j
′
′
′
458
. .
£¤¥ § ª à ¢¥á⢠¬®¥â ¡ëâì «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ® á⮨⠢ (18), â. ¥. ⮣¤ , ª®£¤ £à ¨ Qi ¨ Q′i £®¬®â¥â¨çë. ® â ª ª ª ⮣¤ (19) ᢮¤¨âáï ª à ¢¥áâ¢ã ¨å ¯«®é ¤¥©, ⮠⥬ á ¬ë¬ (19) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ à ¢¥á⢮ «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® £à ¨′ Qi ¨ Q′i à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ìë. ¬® ï (17) hi ¨ á㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ £à ï¬, ¯®«ã稬 X X (20) h′i F (Qi Q′i ) = h′i F (Qi Qi ). i
i
㬮 ï (19) hi ¨ á㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ £à ï¬, ¯®«ã稬 X X hi F (Qi Q′i ) > hi F (Q′i Q′i ). i
(21)
i
® ¢á«¥¤á⢨¥ ⥮६ë 4 § 3 £« ¢ë VIII (ä®à¬ã« (26)) X X X X h′i Fi (Qi Q′i ) = hi F (Q′i Q′i ); hi F (Qi Q′i ) = h′i F (Qi Qi ). (22) 10)
i
i
i
i
Ǒ®í⮬㠨§ (20) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ (21) á⮨⠧ ª à ¢¥á⢠. â® ¢®§¬®® «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢® ¢á¥å ¥à ¢¥á⢠å (19) á⮨⠧ ª à ¢¥á⢠. ⮣¤ ¢á¥ £à ¨ Qi ¨ Q′i ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë, â. ¥. á ¬¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ′ ′à ¢ë ¨ ¯ à ««¥«ì® à ᯮ«®¥ë. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®£®£à ¨ª P íâ® ®§ ç ¥â, ç⮠᪮à®á⨠pi ¤¢¨¥¨ï £à ¥© â ª®¢ë, ª ª ¥á«¨ ¡ë ¬®£®£à ¨ª P ¡ë« ⢥à¤ë¬, â.¥. ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¯«®é ¤¥© £à ¥© ® | ¥á⪨©. 5. ᥠ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¢ë¢®¤ë ¯¥à¥®áïâáï ¥¯à¥à뢮 ¨§®£ãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨.
᫨ ¯®¢¥àå®áâì ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ã ¨§£¨¡ ¨î, â® ª ¤ë© ¥¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë© ªã᮪ ¤¢¨¥âáï ª ª ⢥म¥ ⥫®, â ª çâ® ¥¬ã ¬®® ¯à¨¯¨á âì ®¯à¥¤¥«¥ë© ¢¥ªâ®à 㣫®¢®© ᪮à®á⨠ω. 10) ¤¥áì ¥â ¤®¡®á⨠ááë« âìáï ⥮६ã 4 § 3 £«. VIII, â ª ª ª ¬®® ¯®«ãç¨âì â®â ¥ १ã«ìâ â ¥¯®á।á⢥®. Ǒ®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (16) (á ¯¥à¥áâ ®¢ª®© Qi ¨ Q′i ), ¨¬¥¥¬ X X 1 X hij l′ = X h′i X hj − hi os θij l′ . h′i Fi (Qi Q′i ) = h′i · ij 2 j 2 j sin θij ij i i i ¤¥áì ª ¤®¥ ॡ஠lij′ ¢áâà¥ç ¥âáï ¤¢ ¤ë: ®¤¨ à § ã £à ¨ Qi , ¤à㣮© à § ã £à ¨ Qj . Ǒ®í⮬ã â ¥ á㬬 ¬®¥â ¡ëâì ¯¥à¥¯¨á â ª: ′ ′ X X h′ hj lij X X h′ hi os θij X X h′j hi lij ′ i i − lij = 2 sin θij 2 sin θij 2 sin θij − X X h′ hi os θij X 1 X h′j − h′i os θij l′ = X hiF (Q′ Q′ ). i ′ lij = hi − i i 2 sin θij 2 j sin θij ij i i
. XI:
§ 4.
459
ª ¯®¢¥àå®á⨠x(u, v) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ý¯®«¥ ¢à 饨©þ ω(u, v). ª ª ª ¤¢ á®á¥¤¨å ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ªã᪠¯®¢¥àå®áâ¨, ¯®¤®¡® ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¬ £à ï¬, ª ª ¡ë ¢à é îâáï ¢®ªà㣠®¡é¥£® ॡà , â® dω «¥¨â ¢ ª á ⥫쮩 ¯«®áª®áâ¨. â® § ç¨â, çâ® ¯®¢¥àå®áâì, ®¯¨á ï ª®æ®¬ ¢¥ªâ®à ω(u, v), â ª §ë¢ ¥¬ ï ý¤¨ £à ¬¬ ¢à 饨©þ, ¢ ª ¤®© â®çª¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®áâì, ¨«¨ ¥¥ ª á ⥫ì ï ¯«®áª®áâì ¯ à ««¥«ì ª á ⥫쮩 ¯«®áª®á⨠¤ ®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ¥¯¥àì à áᬮâਬ äãªæ¨î p(n) = n ω, £¤¥ n | ®à¬ «ì ª ¯®¢¥àå®á⨠x, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ω. â® p(n) ¥áâì à ááâ®ï¨¥ ®â ç « ¤® ª á ⥫쮩 ¯«®áª®á⨠¤¨ £à ¬¬ë ¢à 饨© á ®à¬ «ìî n. ª ®ª §ë¢ ¥âáï, äãªæ¨ï p(n) ¯®¤ç¨ï¥âáï ãà ¢¥¨î, à ¢®á¨«ì®¬ã á«¥¤ãî饬ã ãá«®¢¨î: ¥á«¨ ®¯®àãî äãªæ¨î h(n) ¬¥ïâì ᮠ᪮à®áâìî p(n), â® £ ãáᮢ ªà¨¢¨§ ¢ ª ¤®© â®çª¥ áâ 樮 à . ®, çâ® ¯à¨ í⮬ ãá«®¢¨¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠᢮¤¨âáï ª ¯¥à¥®áã, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯®á।á⢮¬ â¥å ¥ ä®à¬ã« ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢, ⮫쪮 ¯¥à¥¯¨á ëå ¤«ï ॣã«ïàëå ¯®¢¥àå®á⥩, ¥ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ . 6. §«®¥ë© ¢ëè¥ ¢ë¢®¤ â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 à묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© ¤®á«®¢® à á¯à®áâà ï¥âáï ¢ ¯à®áâà á⢮ «î¡®© à §¬¥à®á⨠n. ¤ ª® ¯à¨ n > 3 ã® ¯®«ì§®¢ âìáï ¥ ⥬ ¥à ¢¥á⢮¬ ¨ª®¢áª®£®, ª®â®à®¥ ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥® ¢ § 3 £« ¢ë VIII, ¤à㣨¬: V (P P . . . P ) > V (P P P . . . P )V (P . . . P ). â® ¥à ¢¥á⢮q¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ¥à ¢¥á⢠àã . ®£« á® ¥à ¢¥áâ¢ã àã , f (t) = V (1 − t)P + t P ¥áâì ¢ë¯ãª« ï äãªæ¨ï ®â t. Ǒ®í⮬ã f ′′ (0) 6 0. ëç¨á«ïï f ′′ (0), ¬ë ¨ ¯®«ã稬 ¤ ®¥ ª¢ ¤à â¨ç®¥ ¥à ¢¥á⢮ ¨ª®¢áª®£®. «¥¥ ¬®® ¥é¥ ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¬®£®£à ¨ª¨ P ¨ P ¨¬¥îâ ¯ à ««¥«ìë¥ £à ¨ ®¤®£® áâ஥¨ï, â® § ª à ¢¥á⢠á⮨⠧¤¥áì ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ P ¨ P £®¬®â¥â¨çë. 11)
1
0
0
n
2
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
§ 4. ¡®¡é¥¨ï
1. ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¤«ï § ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®© à §¬¥à®á⨠¥¢®§¬®® ¯®«ãç¨âì ⥮६ã, áâ®«ì ¥ ®¡éãî, ª ª ⥮६ 1 § 2. â® ¢¨¤® ¨§ ¯à¨¬¥à , ¤®ª §ë¢ î饣® ¥¢®§¬®®áâì â ª®£® ¥ ®¡®¡é¥¨ï ⥮६ë 1 § 3 £« ¢ë VI (á¬. ¯o 2 § 3 £« ¢ë VI). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯à¨ n > 3 «®£¨ç ï ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¡ã¤¥â ¢¥à «¨èì ¤«ï ª ª¨å-â® á¯¥æ¨ «ìëå äãªæ¨© £à ¥©, áâ 樮 à®áâì ª®â®àëå ¢ëáâ ¢«ï¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ãá«®¢¨ï ¥á⪮áâ¨. ª, ¯à¨¬¥à, ¬®® ¤®ª § âì, çâ® § ¬ªãâë© ¢ë¯ãª«ë© ¬®£®£à ¨ª á® 11) ¬. [7, á. 242℄, [244, 363℄. à㣠ï ä®à¬ ⮣® ¥ ¢ë¢®¤ ¤ ¢ [245, § 93℄.
460
. .
áâ 樮 à묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ¨ ¯«®é ¤ï¬¨ (â.¥. (n − 1)-¬¥à묨 ¡ã¤¥â ¥á⪨¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®£® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©.
®¡ê¥¬ ¬¨) £à ¥© ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¨ ¢¯®«¥ «®£¨ç® ¤ ®¬ã ¢ ¯o 4 § 5 ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã í⮩ â¥®à¥¬ë ¤«ï á«ãç ï âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠12) . ® 㥠¢®¯à®á ® ¥á⪮á⨠n-¬¥à®£® § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ ãá«®¢¨¨ áâ 樮 à®á⨠(n − 2)-¬¥àëå ¯«®é ¤¥© ¯®¢¥àå®á⥩ ¥£® (n − 1)-¬¥àëå £à ¥© | ᮮ⢥âá⢥® ¯¥à¨¬¥âà ¬ ¯à¨ n = 3 | ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬ 13) . «¥¥, ¨ª ª¨¥ «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¨«¨ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¥ ¨§¢¥áâë, å®âï ¢®¯à®á ® â ª¨å ⥮६ å ¬®¥â ¡ëâì ¥ «¨è¥ á¬ëá« , ¯®¤®¡® ¢®¯à®á ¬ ® à ¢¥á⢥, ¯®áâ ¢«¥ë¬ ¢ ¯o 4 § 6 £« ¢ë VI 14) . 2. «ï ॣã«ïàëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¬®® ã⢥ठâì â¥®à¥¬ë ® ¥á⪮áâ¨, «®£¨çë¥ â¥®à¥¬ ¬ 1{3 § 2. Ǒãáâì f (x, y; n) | äãªæ¨ï ¥¤¨¨ç®£® ¢¥ªâ®à n ¨ ç¨á«¥ëå ¯¥à¥¬¥ëå x, y, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ ®¡« á⨠x > y ¨ áãé¥á⢥® ¬®®â® ï, â.¥. â ª ï, çâ® ∂f /∂x ¨ ∂f /∂y áãé¥áâ¢ãîâ, ¥¯à¥àë¢ë ¨ ¯®«®¨â¥«ìë. á«®¢¨¥, « £ ¥¬®¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå®áâ¨, ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ¢ áâ 樮 à®á⨠¢ ª ¤®© ¥¥ â®çª¥ äãªæ¨¨ f (R1 , R2 ; n), £¤¥ R1 , R2 | £« ¢ë¥ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë, n | ®à¬ «ì ¢ í⮩ â®çª¥. ¬ ï ¯®¢¥àå®áâì à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ®£¨¡ îé ï ᢮¨å ª á ⥫ìëå ¯«®áª®á⥩, ¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯à®¨á室¨â ¢á«¥¤á⢨¥ ¨å ¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¥¨ï. ® ¥áâì ¤¥ä®à¬¨à㥬 ï ¯®¢¥àå®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ®£¨¡ îé ï ᥬ¥©á⢠¯«®áª®á⥩ n x = h(n; t), £¤¥ t | ¯ à ¬¥âà, ®â ª®â®à®£® § ¢¨á¨â ¤¥ä®à¬ æ¨ï; v(n) = ∂h(∂tn; 0) ¥áâì ç «ì ï ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ª á ⥫ìëå ¯«®áª®á⥩. ä®à¬ã«¨à㥬 १ã«ìâ âë. 1)
᫨ ¯à¨ ®¯¨á ®£® ⨯ ¤¥ä®à¬ 樨 § ¬ªã⮩ ¯®¢¥àå®á⨠F ®ª §ë¢ ¥âáï ¢áî¤ã áâ 樮 ன ª ª ï-«¨¡® äãªæ¨ï f (R1 , R2 ; n), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ä®à¬ã«¨à®¢ ë¬ ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï¬, â® ¯®¢¥àå®áâì F | ¥á⪠ï. â ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ ªãá®ç®© «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨© f, h, v. ¯à®ç¥¬, â ª¨¥ âॡ®¢ ¨ï ॣã«ïà®á⨠¥¤¢ «¨ ¢ë§¢ ë áãé¥á⢮¬ ¤¥« ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì áãé¥á⢥® ®á« ¡«¥ë, ¥á«¨ ¯®¢¥àå®áâì F ¨¬¥¥â ¢áî¤ã ¯®«®¨â¥«ìãî ªà¨¢¨§ã. ®12) å®¤ë¬ ¯ã⥬ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¡®«¥¥ ®¡éãî ⥮६ã, ¡¥àï ¢¬¥áâ® ¯«®é ¤¥© £à ¥© ᬥè ë¥ ¯«®é ¤¨ Fi (P, . . . , P, P1 , . . . , Pm ) £à ¥© ¤¥ä®à¬¨à㥬®£® ¬®£®£à ¨ª P ¨ ¬®£®£à ¨ª®¢ P1 , . . . , Pm , ¥¬ã â.¥. ¨¬¥îé¨å â ª®¥ ¥ áâ஥¨¥ ¨ £à ¨, ᮮ⢥âá⢥® ¯ à ««¥«ìë¥ £à ï¬ ¬®£®£à ¨ª P (ª ª, ¯à¨¬¥à, ªã¡ ¨ ¯àאַ㣮«ìë¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ë; ¯à¨ m = 0 í⮠᢮¤¨âáï ª á«ãç î áâ 樮 à®á⨠¯«®é ¤¥©). ®ª § ⥫ìá⢮ ®á®¢ ® ®¡é¨å ᢮©á⢠å ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¨ ®¡é¥¬ ¥à ¢¥á⢥ ¬¥¤ã ¨¬¨, ª®â®àë¥ ¬®® ©â¨ ¢ ¬®¥© à ¡®â¥, æ¨â¨à®¢ ®© ¢ ª®æ¥ £«. VIII. ¤ ª®, ¢¢¨¤ã ®£à ¨ç¥¨ï ý «®£¨ç묨þ ¬®£®£à ¨ª ¬¨ P , P1 , . . . , Pm , १ã«ìâ â ¥ ª ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¨â¥à¥áë¬. 13) «ï ᨬ¯«¨æ¨ «ìëå n-¬¥àëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¯®«®¨â¥«ìë© ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á ¯®«ãç¥ ¢ 1999 £. ¢ [243℄. | Ǒਬ. ।. 14) ¤¥áì ¥áâì áãé¥áâ¢¥ë¥ à §«¨ç¨ï ¬¥¤ã í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬ (¨¬ ) ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ (®¡ 祢᪮£®). «ï ¯¥à¢®£® ¢®¯à®áë ¯à®é¥. ¬. [173, £«. VI § 5℄, £¤¥ 㪠§ ¢ ï á¢ï§ì ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¢ í««¨¯â¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬. | Ǒਬ. . . «£ ««¥à . «®£¨çëå,
. XI:
§ 4.
461
®¡é¥ ¥ ¯®¢¥àå®áâì ¬®¥â ¨ ¥ ¡ëâì ¢ë¯ãª«®©, «¨èì ¡ë äãªæ¨ï h(n; t) ¡ë« ®¯à¥¤¥«¥ ¤«ï ¢á¥å n ¨ ¡ë« ªãá®ç®- «¨â¨ç¥áª®©. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë ᮤ¥à¨âáï ¯® áãé¥áâ¢ã ¢ ¬®¥© à ¡®â¥ [8℄. á« ¡«¥¨¥ âॡ®¢ ¨© ॣã«ïà®á⨠¬®® ¨§¢«¥çì ¨§ à ¡®âë .. Ǒ®£®à¥«®¢ [164℄. 2) Ǒãáâì ª®¥ç ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì F á £à ¨æ¥© ¨¬¥¥â áä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ S , ᮤ¥à 饥áï ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë. Ǒãáâì ® ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï ¢á«¥¤á⢨¥ ¯ à ««¥«ìëå ᬥ饨© ¥¥ ª á ⥫ìëå ¯«®áª®á⥩, ¯à¨ç¥¬ ) ª á ⥫ìë¥ ¯«®áª®á⨠£à ¨æ¥ áâ 樮 àë; ¡) ¢® ¢á¥å â®çª å áâ 樮 à ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï f (R1 , R2 ; n), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï¬. ®£¤ ¯®¢¥àå®áâì ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¥¯®¤¢¨ , â. ¥. ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ª á ⥫ìëå ¯«®áª®á⥩ v (n) = 0.
â ⥮६ ¢¥à ¢ ¯à®áâà á⢥ «î¡®© à §¬¥à®á⨠¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, ¯®¤®¡® ⥮६¥ 3 §2, ¯ã⥬à áᬮâà¥¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¡à §®¢ ®© ª®æ ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ v(1n) n, £¤¥ ∂h(n; t) v (n) = | ç «ì ï ᪮à®áâì ¤¢¨¥¨ï ®¯®à®© ¯«®áª®áâ¨. (
᫨ áä¥à¨∂t t=0 ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ ¥ «¥¨â ¢ãâਠ¯®«ãáä¥àë, ® ¢á¥ ¥ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¯®«ãáä¥à¥, ⮠⥮६ , ¢¥à®ïâ®, â ª¥ ¢¥à . ¨ëå á«ãç ïå ® , ¢¥à®¥, ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï.) ¡¥ ⥮६ë 1, 2 ᢮¤ïâáï ª ⥮६ ¬ ® «¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 . ¥©á⢨⥫ì®, à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë R1 , R2 ¤¥ä®à¬¨à㥬®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ëà îâáï ¨§¢¥áâë¬ á¯®á®¡®¬ ç¥à¥§ ý®¯®àãî äãªæ¨îþ h(n; t) ¨ ¥¥ ¯¥à¢ë¥ ¨ ¢â®àë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® á®áâ ¢«ïî騬 ®à¬ «¨ n ( ¬., ¯à¨¬¥à, [245, § 94℄) ¨«¨, çâ® â® ¥, ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ξ, η áä¥à¥. Ǒ®í⮬ã f (R1 , R2 ; n) = (hξξ , hξη , hηη , . . . , h; n). á«®¢¨¥ ¥ áâ 樮 à®á⨠¡ã¤¥â ∂ = 0. (1) ∂t
®
= ∂
∂ ∂t
∂hξξ
∂hξξ ∂t
=0
t
+ ∂h∂
ξη
∂hξη ∂t
+ . . . + ∂∂h ∂h , ∂t
= v. Ǒ®í⮬ã ãá«®¢¨¥ (1) ᢮¤¨âáï ª «¨¥©®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ v(n) = v(ξ, η). á«¥¤á⢨¥ ãá«®¢¨© ∂h ∂t
0
∂f > , ∂R1
=0
t
∂f > ∂R2
0
íâ® ãà ¢¥¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ . Ǒ®í⮬ã, ¢ ç áâ®áâ¨, ⥮६ 2 ®§ ç ¥â ¥¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï â ª®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ § ¤ ëå ãá«®¢¨ïå £à ¨æ¥ ®¡« á⨠S. 3. ¡®¡é¥¨¥ ⥮६ë 1 ¤«ï § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¥ ¨§¢¥áâ®. Ǒà¨å®¤¨âáï ®£à ¨ç¨¢ âìáï á¯¥æ¨ «ì묨 äãªæ¨ï¬¨ £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë. ª, ¢ n-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ : ¬ªãâ ï ¢ë¯ãª« ï ¯®¢¥àå®áâì | ¥á⪠ï, ¥á«¨ áâ 樮 à ª ª ï-«¨¡® í«¥¬¥â à ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥¥ £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë (¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢á¥å n − 1
462
. .
à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë, á㬬 ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¯® n − 2 ¨ â.¤.). Ǒ®¢¥àå®áâì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¨ à ¤¨ãáë ªà¨¢¨§ë ¨£¤¥ ¥ ®¡à é î騬¨áï ¢ ã«ì. [⨠ãá«®¢¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ®á« ¡«¥ë, ® § ¢¥¤®¬® ¨§¢¥áâ®, çâ® ®¡®¡é¨âì íâã ⥮६㠯ந§¢®«ìë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠(⮣¤ äãªæ¨¨ ªà¨¢¨§ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª äãªæ¨¨ ¬®¥á⢠áä¥à¥) ¥¢®§¬®®.℄ ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¨£¤¥ ¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ ®, ® ¥£® «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, ®¯¨à ïáì ¥ª®â®àë¥ ®¡é¨¥ १ã«ìâ âë ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ [4{7℄. ¥¬ ¥ ¯ã⥬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç ï ⥮६ ® ¥á⪮á⨠§ ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ ãá«®¢¨¨ áâ 樮 à®á⨠ýá¬¥è ®© äãªæ¨¨ ªà¨¢¨§ëþ ¥¥ á ¬®© ¨ ¤àã£¨å § ¤ ëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯®ïâ¨ï ¨ ä ªâë ¨¬¥îâáï ¢ ⮩ ¥ à ¡®â¥.
¨â¥à âãà
1. ¤ ¬ à . «¥¬¥â à ï £¥®¬¥âà¨ï, ç áâì II. â¥à¥®¬¥âà¨ï. .: 篥¤£¨§, 1958. 2. «¥ªá ¤à®¢ . . ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨ïå ¥à¥£ã«ïàëå ¯®¢¥àå®á⥩ // â. á¡. 1936. . 1, ü 3. . 307{321. (£«. ¯¥à.: On in nitesimal bendings of nonregular surfa es // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 1{18.) 3. «¥ªá ¤à®¢ . . «¥¬¥â ஥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¨ª®¢áª®£® ¨ ¥ª®â®àëå ¤à㣨å ⥮६ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å // §¢. . ¥à. ¬ â. 1937. ü 4. . 597{606. (£«. ¯¥à.: An elementary proof of the Minkowski and some other theorems on onvex polyhedra // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 19{30.) 4. «¥ªá ¤à®¢ . . ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¢ë¯ãª«ëå ⥫. I. áè¨à¥¨¥ ¥ª®â®àëå ¯®ï⨩ ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ // â. á¡. 1937. . 2, ü 5. . 947{972. (£«. ¯¥à.: To the theory of mixed volumes of onvex bodies. Part I: Extension of
ertain on epts of the theory of onvex bodies // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 31{60.) 5. «¥ªá ¤à®¢ . . ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¢ë¯ãª«ëå ⥫. II. ®¢ë¥ ¥à ¢¥á⢠¬¥¤ã ᬥè 묨 ®¡ê¥¬ ¬¨ ¨ ¨å ¯à¨«®¥¨ï // â. á¡. 1937. . 2, ü 6. . 1205{1235. (£«. ¯¥à.: To the theory of mixed volumes of onvex bodies. Part II: New inequalities for mixed volumes and their appli ations // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 61{98.) 6. «¥ªá ¤à®¢ . . ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¢ë¯ãª«ëå ⥫. III. á¯à®áâà ¥¨¥ ¤¢ãå ⥮६ ¨ª®¢áª®£® ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å ¯à®¨§¢®«ì® ¢ë¯ãª«ë¥ ⥫ // â. á¡. 1938. . 3, ü 1. . 27{44. (£«. ¯¥à.: To the theory of mixed volumes of onvex bodies. Part III: Extension of two Minkowski theorems on
onvex polyhedra to all onvex bodies // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 99{118.) 7. «¥ªá ¤à®¢ . . ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¢ë¯ãª«ëå ⥫. IV. ¬¥è ë¥ ¤¨áªà¨¬¨ âë ¨ ᬥè ë¥ ®¡ê¥¬ë // â. á¡. 1939. . 3, ü 2. . 227{249. (£«. ¯¥à.: To the theory of mixed volumes of onvex bodies. Part IV: Mixed dis riminants and mixed volumes // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 119{144.)
464
. .
8. «¥ªá ¤à®¢ . . ¤ ®¡é ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ®ª«. . 1938. . 19, ü 4. . 233{236. (£«. ¯¥à.: A general uniqueness theorem for losed surfa es // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 145{148.) 9. «¥ªá ¤à®¢ . . ¯®¢¥àå®á⮩ äãªæ¨¨ ¢ë¯ãª«®£® ⥫ ( ¬¥ç ¨¥ ª à ¡®â¥ ý ⥮ਨ ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ ¢ë¯ãª«ëå ⥫þ) // â. á¡. 1939. . 6, ü 1. . 167{ 173. (£«. ¯¥à.: On the area fun tion of a onvex body // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 155{162.) 10. «¥ªá ¤à®¢ . . Ǒਬ¥¥¨¥ â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« á⨠ª ¤®ª § ⥫ìá⢠¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï // §¢. . ¥à. ¬ â. 1939. ü 3. . 243{255. 11. «¥ªá ¤à®¢ . . ⥮६ å ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ®ª«. . 1939. . 22, ü 3. . 99{102. (£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for losed surfa es // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 149{154.) 12. «¥ªá ¤à®¢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª ¨ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á § ¤ ®© ¬¥âਪ®© // â. á¡. 1942. . 11, ü 1{2. . 15{61. 13. «¥ªá ¤à®¢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ¨â¥£à «ì®© ªà¨¢¨§®© // ®ª«. . 1942. . 35, ü 5. . 143{147. 14. «¥ªá ¤à®¢ . . Ǒ®«ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // §¢. . ¥à. ¬ â. 1945. . 9, ü 2. . 113{120. 15. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®¬¥âà¨ï ¨ ⮯®«®£¨ï ¢ ®¢¥â᪮¬ ®î§¥ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1947. . 2, ü 5. . 9{92. 16. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥â®¤ ᪫¥¨¢ ¨ï ¢ ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩ // ®ª«. . 1947. . 57, ü 9. . 863{865. 17. «¥ªá ¤à®¢ . . à ¡®â å ®{®áᥠ// á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1947. . 2, ü 3. . 107{141. 18. «¥ªá ¤à®¢ . . ãâà¥ïï £¥®¬¥âà¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. .; .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1948. (¥¬. ¯¥à.: Alexandrow A. D. Die innere Geometrie der konvexen Fla hen. Berlin: Akademie-Verlag, 1955. £«. ¯¥à.: Alexandrov A. D. Sele ted Works. Part 2: Intrinsi Geometry of Convex Surfa es. Bo a et .: CRC Press, 2005.) 19. «¥ªá ¤à®¢ . . ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨. .; .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1950. (¥¬. ¯¥à.: Aleksandrov A. D. Konvexe Polyeder. Berlin: Akademie-Verlag, 1958. £«. ¯¥à.: Alexandrov A. D. Convex polyhedra. Berlin: Springer, 2005.) 20. «¥ªá ¤à®¢ . . § ¯®«¥¨¨ ¯à®áâà á⢠¬®£®£à ¨ª ¬¨ // ¥áâ. . 1954. ü 2. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, 䨧¨ª¨ ¨ 娬¨¨. ë¯. 1. . 33{43. (£«. ¯¥à.: On tiling a spa e with polyhedra // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 175{186.) 21. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ãà ¢¥¨ïå ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 // ¥áâ. . 1954. ü 8. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, 䨧¨ª¨ ¨ 娬¨¨. ë¯. 3. . 3{17. 22. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. I // ¥áâ. . 1956. ü 19. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 4. . 5{17. (£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for surfa es in the large. I // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1962. Vol. 21. P. 341{354.) 23. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. II // ¥áâ. . 1957. ü 7. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 2. . 15{44.
465
(£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for surfa es in the large. II // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1962. Vol. 21. P. 354{388.) 24. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. III // ¥áâ. . 1958. ü 7. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 2. . 14{ 26. (£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for surfa es in the large.III // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1962. Vol. 21. P. 389{403.) 25. «¥ªá ¤à®¢ . ., ®«ª®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. IV // ¥áâ. . 1958. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 27{34. (£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for surfa es in the large. IV // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1962. Vol. 21. P. 403{411.) 26. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. V // ¥áâ. . 1958. ü 19. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 4. . 5{8. (£«. ¯¥à.: Uniqueness theorems for surfa es in the large. V // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1962. Vol. 21. P. 412{416.) 27. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. VI // ¥áâ. . 1959. ü 1. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 1. . 5{13. 28. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ ý¢ 楫®¬þ. VII // ¥áâ. . 1960. ü 7. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 2. . 5{13. 29. «¥ªá ¤à®¢ . . ¤ ç ¨à¨å«¥ ¤«ï ãà ¢¥¨ï detkzij k = ϕ(z1 , . . . , zn , z, x1 , . . . , xn ). I // ¥áâ. . 1958. ü 1. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 1. . 5{24. (£«. ¯¥à.: The Diri hlet problem for the equation det kzij k = ϕ(z1 , . . . , zn , z, x1 , . . . , xn ). Part I // A. D. Alexandrov. Sele ted Works. Part 1. Amsterdam: Gordon & Brea h, 1996. P. 251{272.) 30. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . I // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1958. ü 5. . 126{157. 31. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . II // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1959. ü 3. . 3{12. 32. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . III // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1959. ü 5. . 16{32. 33. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . IV // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1960. ü 3. . 3{15. 34. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . V // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1960. ü 5. . 16{26. 35. «¥ªá ¤à®¢ . . áá«¥¤®¢ ¨ï ® ¯à¨æ¨¯¥ ¬ ªá¨¬ã¬ . VI // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1961. ü 1. . 3{20. 36. «¥ªá ¤à®¢ . . Ǒà¨æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ // ®ª«. . 1967. . 173, ü 2. . 247{250. (£«. ¯¥à.: The maximum prin iple // Soviet Math. Dokl. 1967. Vol. 8. P. 352{355.) 37. «¥ªá ¤à®¢ . . á«®¢¨ï ¥¤¨á⢥®á⨠¨ ®æ¥ª¨ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨à¨å«¥ // ¥áâ. . 1963. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 5{ 29. (£«. ¯¥à.: Uniqueness onditions and estimates for the solution of the Diri hlet problem // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1968. Vol. 68. P. 89{119.) 38. «¥ªá ¤à®¢ . . ®à¨à®¢ ¨¥ à¥è¥¨© «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 // ¥áâ. . 1966. ü 1. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 1.
466
. .
. 5{25. (£«. ¯¥à.: Majorization of solutions of se ond-order linear equations // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1968. Vol. 68. P. 120{143.) 39. «¥ªá ¤à®¢ . . ¬ ®à â å à¥è¥¨© ¨ ãá«®¢¨ïå ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© // ¥áâ. . 1966. ü 7. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 2. . 5{20. (£«. ¯¥à.: Majorants of solutions and uniqueness
onditions for ellipti equations // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1968. Vol. 68. P. 144{161.) 40. «¥ªá ¤à®¢ . . ¥¢®§¬®®áâì ®¡é¨å ®æ¥®ª à¥è¥¨© ¨ ãá«®¢¨© ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ®à¬ ¬¨, ¡®«¥¥ á« ¡ë¬¨, 祬 ¢ Ln // ¥áâ. . 1966. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 5{10. (£«. ¯¥à.: The impossibility of general estimates for solutions and of uniqueness onditions for linear equations with norms weaker than in Ln // Amer. Math. So . Transl. Ser. 2. 1968. Vol. 68. P. 162{168.) 41. «¥ªá ¤à®¢ . ., « ¤¨¬¨à®¢ . . ¡ ¨§£¨¡ ¨¨ ¬®£®£à ¨ª á ⢥à¤ë¬¨ £à ﬨ // ¥áâ. . 1962. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 138{141. 42. «¥ªá ¤à®¢ . ., «£ ««¥à . . ¢ã¬¥àë¥ ¬®£®®¡à §¨ï ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§ë: (á®¢ë ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ ¯®¢¥àå®á⥩). .; .: , 1962. (à. â. ¨-â ¨¬. . . ⥪«®¢ ; . 63). (£«. ¯¥à.: Alexandrov A. D., Zalgaller V. A. Intrinsi geometry of surfa es. Providen e: Amer. Math. So ., 1967.) 43. «¥ªá ¤à®¢ . ., ¥æ¢¥â ¥¢ . . ¥®¬¥âà¨ï: («ï ¯¥¤ £®£¨ç¥áª¨å ¨áâ¨âã⮢ ¨ ¯¥¤ £®£¨ç¥áª¨å á¯¥æ¨ «ì®á⥩ 㨢¥àá¨â¥â®¢). .: 㪠, 1990. 44. «¥ªá ¤à®¢ . ., Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¥®à¨ï ¯®¢¥àå®á⥩ ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå // à. 4-£® á¥á®î§. ¬ â. áꥧ¤ , ¥¨£à ¤, 1961 £. .: , 1963. . 1: Ǒ«¥ à. ¤®ª«. . 3{16. 45. «¥ªá ¤à®¢ . ., ¥ìª¨
. Ǒ. ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ¥áâ. . 1955. ü 8. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, 䨧¨ª¨ ¨ 娬¨¨. ë¯. 3. . 3{13. 46. «¥ªá ¤à®¢ . ., ¥ìª¨
. Ǒ. ®¯®«¥¨¥ ª áâ âì¥ ý ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩þ // ¥áâ. . 1956. ü 1. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 1. . 104{106. 47. «¥ªá ¤à®¢ . ., â५ì殢 . . 楪¨ ¤«¨ë ªà¨¢®© ¯®¢¥àå®á⨠// ®ª«. . 1953. . 93, ü 2. . 221{224. 48. «¥ªá ¤à®¢ . . ¬¥ç ¨ï ª £¨¯®â¥§¥ ¡¨â®¢ ® áâ 樮 à®á⨠®¡ê¥¬ ¯à¨ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®¬ ¨§£¨¡ ¨¨ // ¨¡. ¬ â. ãà. 1989. . 30, ü 5. . 16{24. 49. «¥ªá ¤à®¢ . . ®¢ë© ¯à¨¬¥à ¨§£¨¡ ¥¬®£® ¬®£®£à ¨ª // ¨¡. ¬ â. ãà. 1995. . 36, ü 6. . 1215{1224. 50. «¥ªá ¤à®¢ . . §£¨¡ ¥¬ë¥ ¬®£®£à ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠// ®¢à¥¬¥®¥ ¥áâ¥á⢮§ ¨¥: 横«®¯¥¤¨ï. 10 â. | . 3. ⥬ ⨪ . ¥å ¨ª . .: «¨â ; 㪠, 1999. . 66{69. 51. «¥ªá¥¥¢ .
. ¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ®¯à. £«®¡ «ì®© £¥®¬¥âਨ. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1979. . 3{7. 52. «¥ªá¥¥¢ .
. ¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¥¯. ¢ . 1981. ü 5048-81. 55á.
467
53. «¥ªá¥¥¢áª¨© . ., ¨¡¥à£ . ., ®«®¤®¢¨ª®¢ . . ¥®¬¥âà¨ï ¯à®áâà á⢠¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å¨ª¨. ®¢à. ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨. 㤠¬. ¯à ¢«¥¨ï. . 29. .: , 1988. . 5{146. 54. ¤à¥¥¢
. . ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // â. á¡. 1970. . 81. . 445{478. 55. ¤à¥¥¢
. . ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å ª®¥ç®£® ®¡ê¥¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // â. á¡. 1970. . 83. . 256{260. 56. ¤à¥©ç¨
. ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å á § ¤ 묨 ¤¢ã£à 묨 㣫 ¬¨ (®«£ àáª.) // ®¤¨è. ®ä¨©áª. 㨢., ª. ¬ â. ¨ ¬¥å. 1977. ü 68. . 1{6. 57. àâ몡 ¥¢ . ®ááâ ®¢«¥¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯® ¢¥è¥© ªà¨¢¨§¥ ¢ £ «¨«¥¥¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // â. á¡. 1982. . 119, ü 2. . 204{224. 58. ª¥«ì¬ . . ⥮ਨ ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à // ¥áâ. . 1958. ü 1. . 25{38. 59. ª¥«ì¬ . . ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¤ ®© äãªæ¨¥© ¥¥ £« ¢ëå ªà¨¢¨§ // ®ª«. . 1958. . 123, ü 2. . 215{218. 60. ª¥«ì¬ . . ¡ ãá⮩稢®á⨠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ® | ¬¯¥à í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1960. . 15, ü 1. . 163{170. 61. ª¥«ì¬ . . ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. .: 㪠, 1965. 62. ª¥«ì¬ . ., £®¬¥¤®¢ . . ¢®¯à®áã ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ãá«®¢ë¬¨ ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© // ¥®¬¥âà¨ï, ¢ë¯. 3. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1975. . 3{14. 63. ª¥«ì¬ . ., Ǒ® à冷¢ . . ¬ªãâë¥ ¯®¢¥àå®áâ¨ á § ¤ ®© á㬬®© ãá«®¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë // ¥®¬¥âà¨ï ¨ ⮯®«®£¨ï, ¢ë¯. 2. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1974. . 22{33. 64. ¥à¥á⮢᪨© . ., ¨ª®« ¥¢ . . ®£®¬¥àë¥ ®¡®¡é¥ë¥ ਬ ®¢ë ¯à®áâà á⢠// ®¢à. ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨. 㤠¬. ¯à ¢«¥¨ï. . 70. .: , 1992. . 190{277. 65. ¥à¥ . ¥®¬¥âà¨ï. . 1. .: ¨à, 1984. 66. ¥àè⥩ . . áá«¥¤®¢ ¨¥ ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© á ç áâ묨 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ // ®®¡é¥¨ï à쪮¢. ¬ â. ®¡é¥á⢠. 1907. . 11, ü 1{2. . 1{96. 67. ãà £® . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥ª®¬¯ ªâ®© ¯®¢¥àå®á⨠¯®«®© ¬¥âਪ¨ á ¤ ®© ªà¨¢¨§®© // ªà. £¥®¬. á¡. 1982. . 25. . 8{11. 68. ãà £® . . ¥®¬¥âà¨ï ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å // ®¢à. ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨. 㤠¬. ¯à ¢«¥¨ï. . 48. .: , 1989. . 5{97. 69. ãà £® . ., ஬®¢ ., Ǒ¥à¥«ì¬ . . Ǒà®áâà á⢠. . «¥ªá ¤à®¢ ®£à ¨ç¥®© ᨧ㠪ਢ¨§ë // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1992. . 47, ü 2. . 3{51. 70. ãà £® . ., «£ ««¥à . . ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¥à ¢¥á⢠. .: 㪠, 1980. (£«. ¯¥à.: Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Geometri inequalities. Berlin: Springer-Verlag, 1988.) 71. ãà £® . ., «£ ««¥à . . §®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ªãá®ç®-«¨¥©ë¥ ¯®£àã¥¨ï ¤¢ã¬¥àëå ¬®£®®¡à §¨© á ¬®£®£à ®© ¬¥âਪ®© ¢ R3 // «£¥¡à ¨ «¨§. 1995. . 7, ü 3. . 76{95.
468
. .
72. ã謥«¥¢ . ., ¡¨â®¢ . . ®ä¨£ãà æ¨®ë¥ ¯à®áâà á⢠®ªâ í¤à®¢ ਪ à // ªà. £¥®¬. á¡. 1990. ë¯. 33. . 36{41. 73. ¥ª®¢ . . ¡ ®¤®¬ ª« áᥠ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // ¥áâ. . 1954. ü 2. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, 䨧¨ª¨, 娬¨¨. ë¯. 1. . 11{31. 74. ¥à¥é £¨ . . ®ááâ ®¢«¥¨¥ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯® ¤ ®© äãªæ¨¨ £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§ë // ®¯à. £«®¡ «ì. £¥®¬¥âਨ. .: Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ , 1979. . 7{12. 75. ¥à¥à . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ¨ ¥á⪮áâì ¡¥áª®¥çëå ¯®«ëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¥áâ. . 1960. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 90{93. 76. ¥à¥à . . ¢¥è¥© ªà¨¢¨§¥ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1960. ü 1. . 58{68. 77. ¥à¥à . . ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®áâïå ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // §¢. ¢ã§®¢. ⥬ ⨪ . 1960. ü 6. . 50{61. 78. ¥à¥à . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¡¥áª®¥ç®© ¯®«®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ¢¥è¥© ªà¨¢¨§®© ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¨¡. ¬ â. ãà. 1961. . 2, ü 1. . 20{35. 79. ¥à¥à . . ®ááâ ®¢«¥¨¥ ¯®«®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¯® ¥¥ ¢¥è¥© ªà¨¢¨§¥ // ç¥. § ¯. Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ . 1961. . 218. . 58{68. 80. ¥à¥à . . ®ááâ ®¢«¥¨¥ ¯®«®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯® ®¯®à®© äãªæ¨¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¥áâ. . 1962. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 145{148. 81. ¥à¥à . ., ¨á¨ª®¢ . . ®ááâ ®¢«¥¨¥ £®¬¥®¬®à䮩 ý¡ãâ뫪¥ «¥© þ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯® ¨â¥£à «ì®© ¢¥è¥© ªà¨¢¨§¥ ¢ ਬ ®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯®áâ®ï®© ªà¨¢¨§ë // «®¡ «ì. ¨ ਬ ®¢ £¥®¬¥âà¨ï. .: Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ , 1983. . 3{5. 82. « ¤¨¬¨à®¢ . ., ®«ª®¢ . . §£¨¡ ¨¥ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯à®áâà á⢠®¡ 祢᪮£® // ¯. ãç. ᥬ¨ ஢ . 1974. . 45. . 56{62. 83. ®«ª®¢ . . ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ®£® 㣫 // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1956. . 11, ü 5. . 209{210. 84. ®«ª®¢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©: ¨á. . . . ª ¤. 䨧.-¬ â. ãª. ., 1955. 47 á. (¥¨£à. £®á. ã-â.) 85. ®«ª®¢ . . 楪 ¨§¬¥¥¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ f (z1 , . . . , zn ) det kzij k = = h(x1 , . . . , xn ) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨§¬¥¥¨ï ¯à ¢®© ç á⨠// ¥áâ. . 1960. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 3. . 5{14. 86. ®«ª®¢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© // ¥áâ. . 1960. ü 19. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 4. . 75{86. 87. ®«ª®¢ . . á⮩稢®áâì à¥è¥¨ï ¯à®¡«¥¬ë ¨ª®¢áª®£® // ¥áâ. . 1963. ü 13. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 1. . 33{43. 88. ®«ª®¢ . . 楪 ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨§¬¥¥¨ï ¥¥ ¢ãâ॥© ¬¥âਪ¨ // ªà. £¥®¬. á¡. 1967. . 5{6. . 44{69. 89. ®«ª®¢ . ., ¥å⨥¢ . . §£¨¡ ¨ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¥áâ. . 1968. ü 19. ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâà®®¬¨¨. ë¯. 4. . 30{43.
469
90. ®«ª®¢ . ., «¨ª¥à . . ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ à¨áâ®ää¥«ï ¤«ï ¥§ ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ // â. § ¬¥âª¨. 1970. . 8, ü 2. . 251{257. 91. ®«ª®¢ . ., Ǒ®¤£®à®¢
. . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© // ç¥. § ¯. 誥â. ¯¥¤. ¨-â . 1971. . 85. . 3{54. 92. ©¤ «®¢¨ç . ., «ìå ¬®¢ ., ®ª®«®¢ . . ¬ªãâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // áá«¥¤. ¯® £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ ¨ ¬ â. «¨§ã. à. -â ¬ ⥬ ⨪¨ . ®¢®á¨¡¨àáª: 㪠, 1987. . 154{159. 93. î¡®¢ . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ¡¥áª®¥çëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ // ãç. âà. 誥â. ã-â . 1963. ë¯. 228. . 11{16. 94. ®«ã§¨ . . ¬¥â®¤¥ ¥¯à¥à뢮á⨠¢ ⥮ਨ ª®ä®à¬ëå ®â®¡à ¥¨© // â. á¡. 1938. . 4, ü 1. . 3{8. 95. ¥«¨ç . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // â. á¡. 1954. . 35, ü 3. . 569{573. 96. ¥«®¥ . . Ǒ¥â¥à¡ãà£áª ï 誮« ⥮ਨ ç¨á¥«. .; .: §¤-¢® , 1947. 97. ¥«®¥ . ., Ǒ ¤ã஢ . ., «¥ªá ¤à®¢ . . ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®á®¢ë áâàãªâãண® «¨§ ªà¨áâ ««®¢. .; .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1934. 98. ¨áª â . . â®ç¥¨ï ¨§®¯¥à¨¬¥âà¨ç¥áª®£® ¥à ¢¥á⢠¨ ⥮६ë ãá⮩稢®á⨠¢ ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ⥫ // à. -â ¬ ⥬ ⨪¨ . ®¢®á¨¡¨àáª, 1989. . 14. . 98{132. 99. ¬¨âਥ¢ . . ¡®¡é¥ ï § ¤ ç à¨áâ®ää¥«ï ¤«ï § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ç¥. § ¯. Ǒ ¨¬.¥àæ¥ . 1970. . 395. . 185{202. 100. ¬¨âਥ¢ . . ¡®¡é¥ ï § ¤ ç à¨áâ®ää¥«ï ¤«ï ¥§ ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ç¥. § ¯. Ǒ ¨¬.¥àæ¥ . 1970. . 395. . 203{213. 101. ®«¡¨«¨ . Ǒ., â 쪮 . ., ⮣ਠ. . ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâì ª¢ ¤à¨«ìï áä¥àë // ®ª«. . 1997. . 354, ü 4. . 443{445. 102. ®«¡¨«¨ . Ǒ., â 쪮 . ., ⮣ਠ. . ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâì ª¢ ¤à¨«ìï â®à // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1999. . 54, ü 4. . 167{168. 103.
䨬®¢ . . ëáè ï £¥®¬¥âà¨ï. 6-¥ ¨§¤. .: 㪠, 1978. (£«. ¯¥à.: N. V. E mov. Higher geometry. Mos ow: Mir, 1980.) 104.
䨬®¢ . . ç¥áâ¢¥ë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯®¢¥àå®á⥩ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1948. . 3, ü 2. . 47{158. (£«. ¯¥à.: Qualitative problems of the theory of deformation of surfa es // Trans. Amer. Math. So . 1951. Vol. 37. P. 274{423.) 105.
䨬®¢ . . ¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤«®¥¨ï ® ¥á⪮á⨠¨ ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠// á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1952. . 7, ü 5. . 215{224. 106. ¨â®¬¨à᪨© . . Vers har mg eines Satzes von Woronoi // ãà. ¥¨£à. ¬ â. ®-¢ . 1929. . 131{151. 107. «£ ««¥à . . ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¬®£®ã£®«ì¨ª áä¥à¥ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1956. . 11, ü 5. . 177{178. 108. «£ ««¥à . . ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ॣã«ïà묨 £à ﬨ // ¯. ãç. ᥬ¨ ஢ . 1967. . 2. . 1{221. (£«. ¯¥à.: Zalgaller V. A. Convex polyhedra with regular fa es // Sem. Steklov Math. Inst., Leningrad. Vol. 2. New York: Consult. Bureau, 1969. P. 1{95.) 109. «£ ««¥à . . ¥¯à¥à뢮 ¨§£¨¡ ¥¬ë© ¬®£®£à ¨ª // ¢ â. 1978. ü 9. . 13{ 19.
470
. .
110. «£ ««¥à . . ¥ª®â®àë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¤«¨®£® 樫¨¤à // ¯. ãç. ᥬ¨ ஢ Ǒ. 1997. . 246. . 66{83. 111. ¨«ì¡¥à¡¥à£ . . áãé¥á⢮¢ ¨¨ ª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ ®© £à ¨æ¥© ¨ § ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ // §¢. §. ¥à. ¬ â. ¨ ¬¥å. 1962. . 10. . 30{40. 112. ¨«ì¡¥à¡¥à£ . . áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯à®¨§¢®«ì묨 § ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1962. . 17, ü 4. . 119{126. 113. ¨«ì¡¥à¡¥à£ . . áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á § ¤ 묨 ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ ¢ n-¬¥àëå ¯à®áâà á⢠å
¢ª«¨¤ ¨ ®¡ 祢᪮£® // ¥áâ. ¥¨£à. ã-â . 1963. ü 1. . 48{52. 114. ¨«ì¡¥à¡¥à£ . . áãé¥á⢮¢ ¨¨ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠á ⮯®«®£¨ç¥áª¨ ¯¥à¥¥á¥®© áä¥àã ¨â¥£à «ì®© ªà¨¢¨§®© // à. ¥ªâ®à ¬ â. ¨ ¬¥å. §. 1963. ü 2. . 73{77. 115. ¢ ®¢ - à â®¯à ª«¨¥¢ ., ¡¨â®¢ . . §£¨¡ ¨¥ ¯®¢¥àå®á⥩. I // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å¨ª¨. Ǒ஡«¥¬ë £¥®¬¥âਨ. .: . 1991. . 23. . 131{184. 116. ¢ ®¢ - à â®¯à ª«¨¥¢ ., ¡¨â®¢ . . §£¨¡ ¨¥ ¯®¢¥àå®á⥩. II // ⮣¨ 㪨 ¨ â¥å¨ª¨. ®¢à. ¬ ⥬ ⨪ ¨ ¥¥ ¯à¨«®¥¨ï. ¥¬ â¨ç. ®¡§®àë. .: , 1995. . 108{167. 117. ¢ ®¢ { à â®¯à ª«¨¥¢ ., મ¢ Ǒ.
., ¡¨â®¢ . . §£¨¡ ¨¥ ¯®¢¥àå®á⥩. III // ã¤. ¯à¨ª«. ¬ â. 2006. . 12, ü 1. . 3{56. 118. «ìå ¬®¢ ., ®ª®«®¢ . . ¥ «¨§ã¥¬®áâì ç¥ç¥¢¨æ¥®¡à §ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ ¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // ¥áâ. , á¥à 1. 1990. ü 2. . 3{6. 119. £ .
. 楪 ¤¥ä®à¬ 樨 § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¥¥ ªà¨¢¨§ë // ¯. ãç. ᥬ¨ ஢ . 1967. . 45. . 83{110. 120. ¯«ã®¢¨ç . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ¨â¥£à «ì®© ªà¨¢¨§®© ¢ í««¨¯â¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ à §à¥è¨¬®áâì ãà ¢¥¨© ® | ¬¯¥à // ®ª«. . 1981. . 257, ü 5. . 1052{1055. 121. ¨è㪮¢ . .
é¥ à § ®¡ ®æ¥ª å ®à¬ «ìëå ªà¨¢¨§ ¤«ï ¯®¢¥àå®á⥩ á ¤ ®© ¢¥è¥© ªà¨¢¨§®© ¢ ਬ ®¢®¬ ¬®£®®¡à §¨¨ // «®¡ «ì. ¨ ਬ ®¢ £¥®¬¥âà¨ï. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1983. . 112{127. ¬. â ª¥ á¥à¨î ¤¥¯®¨à®¢ ëå ¢ à ¡®â: ü 2605{82, 11 á.; ü 2606{82, 13 á.; ü 6284{B87, 10 á.; ü 6285{B87, 6 á. 122. «¨¬¥â®¢ . . áâ஥¨¨ ¬®¥á⢠à¥è¥¨© ®á®¢ëå ãà ¢¥¨© ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩ // ªà. £¥®¬. á¡. 1982. . 25. . 69{82. 123. «¨¬¥â®¢ . . ¡ ®¤®¬ ᯮᮡ¥ ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨© ªà ¥¢ëå § ¤ ç ⥮ਨ ¨§£¨¡ ¨© ¯®¢¥àå®á⥩ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë // ªà. £¥®¬. á¡. 1986. . 29. . 56{82. 124. ®ª ॢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⨠¢ E n+1 á § ¤ ®© k-© í«¥¬¥â ன ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¥¥ ãá«®¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë // ¥®¬¥âà¨ï, ¢ë¯. 5. .: Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ , 1976. . 60{68. 125. ®ª ॢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⨠¢ E n+1 á § ¤ ®© k-© í«¥¬¥â ன ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¥¥ ãá«®¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë // ªà. £¥®¬. á¡. 1988. . 31. . 62{72.
471
126. ®-®áᥠ. . §£¨¡ ¥¬®áâì ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ 楫®¬ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1936. ë¯. 1. . 33{76. 127. ®-®áᥠ. . ¥¥á⪨¥ § ¬ªãâë¥ ¯®¢¥àå®á⨠// ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®© £¥®¬¥âਨ ¢ 楫®¬. .: ¨§¬ ⣨§, 1959. . 87{114. 128. à¨ç¥¢¥à . ., ®¬¥ª® . . «®ª «ì®© -ॠ«¨§ 樨 ¬¥âਪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1986. . 41, ü 6. . 173{174. 129. ¥©¡¨ . . ¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ªà ¥¬ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1950. . 5, ü 5. . 149{150. 130. îáâ¥à¨ª . . ë¯ãª«ë¥ 䨣ãàë ¨ ¬®£®£à ¨ª¨. .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1956. (£«. ¯¥à.: L. A. Lyusternik. Convex gures and polyhedra. New York: Dover Publi ations, 1963.) 131. £®¬¥¤®¢ . . ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á § ¤ 묨 ãá«®¢ë¬¨ ªà¨¢¨§ ¬¨ ¢¥àè¨ // ¥®¬¥âà¨ï ¨ ⮯®«®£¨ï. ë¯. 2. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1974. . 128{ 138. 132. £®¬¥¤®¢ . . ë¯ãª«ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© // ¥®¬¥âà¨ï ¨ ⮯®«®£¨ï. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1976. ë¯. 5. . 79{86. 133. ªá¨¬®¢ . . Ǒ®¤¢¥áª¨: ®¡ê¥¬ë, ¯®£àã ¥¬®áâì ¨ ¥á⪮áâì // â. § ¬¥âª¨. 1994. . 56, ü 6. . 56{63. 134. ªá¨¬®¢ . . ¥¨§£¨¡ ¥¬ë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ¬ «ë¬ ç¨á«®¬ ¢¥àè¨ // 㤠¬¥â «ì ï ¨ ¯à¨ª« ¤ ï ¬ ⥬ ⨪ . 2006. . 12, ü 1. . 143{165. 135. ªá¨¬®¢ . ., ¡¨â®¢ . . ¯®ï⨨ ª®¬¡¨ â®à®© p-¯ à ¬¥âà¨ç®á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ // ¨¡. ¬ â. ãà. 2002. . 43, ü 4. . 823{839. 136. ¥¤ï¨ª . . ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ç¥âëà¥å¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠// ¥áâ. à쪮¢. ã-â . 1965. . 3. . 75{81. 137. ¥¤ï¨ª . . æ¥âà «ì®© ᨬ¬¥âਨ § ¬ªã⮩ áâண® ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠// ªà. £¥®¬. á¡. 1976. . 2. . 52{58. 138. ¥¤ï¨ª . . ¤ ®¡é ï ⥮६ ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï «¨â¨ç¥áª¨å § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⥩ n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠// ªà. £¥®¬. á¡. 1970. . 5{6. . 115{117. 139. ¥¤ï¨ª . . ¤® ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠..«¥ªá ¤à®¢ ¤«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á«ãç © n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠// ªà. £¥®¬. á¡. 1970. . 8. . 91{94. 140. ¥¤ï¨ª . . ®¤¥«ì ¬®£®£à ¨ª ®¥«¨ // ¢ â. 1979. ü 7. . 39. 141. ¥¤ï¨ª . . ᢮¤¨¬®á⨠®¡é¥© § ¤ ç¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ª ãà ¢¥¨î . ¨à ¤ // ªà. £¥®¬. á¡. 1986. . 29. . 103{ 112. 142. ¥¤ï¨ª . . ¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ॣã«ïàëå § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ªà. £¥®¬. á¡. 1991. . 34. . 69{80. 143. ¨«ª . . «®£ ä®à¬ã«ë «ï誥 ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // ªà. £¥®¬. á¡. 1965. . 1. . 62{64. 144. ¨«ª . . ¡ ®¤®© ⥮६¥ ãà | ¬¨¤â // ªà. £¥®¬. á¡. 1970. . 8. . 95{102. 145. ¨«ª . . ®¤®© £¨¯®â¥§¥ ⮪¥à // ªà. £¥®¬. á¡. 1970. . 9. . 85{86.
472
. .
146. ¨«ª . . ¥¯à¥àë¢ëå ¨§£¨¡ ¨ïå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ªà. £¥®¬. á¡. 1973. . 13. . 129{141. 147. ¨«ª . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ®¡é¨å § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ªà. £¥®¬. á¡. 1980. . 23. . 99{107. 148. ¨«ª . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ®¡é¨å § ¬ªãâëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ áä¥à¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ // ªà. £¥®¬. á¡. 1986. . 29. . 113{118. 149. ¨«ª . . â® â ª®¥ £¥®¬¥âà¨ï ý¢ 楫®¬þ. .: ¨¥, 1986. ¥à. ⥬. ¨ ª¨¡¥à. ü 12. 150. ¨«ª . . ¥¥á⪨¥ §¢¥§¤ç âë¥ ¡¨¯¨à ¬¨¤ë ..«¥ªá ¤à®¢ ¨ ..« ¤¨¬¨à®¢®© // àã¤ë ¯® «¨§ã ¨ £¥®¬¥âਨ. ®¢®á¨¡¨àáª: -â ¬ â-ª¨ ¨¬. ..®¡®«¥¢ , 2000. . 414{430. (£«. ¯¥à.: A. D. Milka. Nonrigid star-like bipyramids of A.D.Alexandrov and S. M.Vladimirova // Sib. Adv. Math. 2002. Vol. 12, no. 2. P. 56{72.) 151. ¨á¨ª®¢ . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¥®¤®á¢ï§®© ¢ë¯ãª«®© £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© ªà¨¢¨§®© // ®¯à®áë ¤¨ä. £¥®¬¥âਨ ¢ 楫®¬. .: Ǒ ¨¬.¥àæ¥ , 1983. . 86{91. 152. ¨å «ñ¢ . . ¥ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¯®¤¢¥á®ª // ¥áâ. , á¥à. 1. 2001. . 56, ü 3. . 15{21. 153. ¨å «ñ¢ . . §®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¢«®¥¨ï ®ªâ í¤à®¢ ਪ à 1-£® ¨ 2-£® ⨯®¢ á § ¤ ë¬ ®¡ê¥¬®¬ // ã¤. ¯à¨ª«. ¬ â. 2002. . 8, ü 3. . 755{768. 154. ¨ª®« ¥¢ . ., ¥ä¥«ì . . « ¤ª®áâì ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ ®á®¢¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ᢮©á⢠ª®ä®à¬ëå ®â®¡à ¥¨© // ¨¡. ¬ â. ãà. 1985. . 26, ü 6. . 77{89. 155. «¨ª¥à . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯®«ëå ®¡®¡é¥ëå ®£¨¡ îé¨å á § ¤ ®© á㬬®© £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë // ç¥. § ¯. Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ . 1970. . 395. . 231{255. 156. «®¢ï¨è¨ª®¢ . Ǒ. ¡ ¨§£¨¡ ¨¨ ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // â. á¡. 1946. . 18, ü 3. . 429{440. 157. «®¢ï¨è¨ª®¢ . Ǒ. ¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ®è¨ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å // â. á¡. 1946. . 18, ü 3. . 441{446. 158. Ǒ ¢«®¢ . . ¡ê¥¬ ¯®¤¢¥áª¨ ª ª äãªæ¨ï ¤«¨ ¥¥ ॡ¥à // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1995. . 50, ü 4. . 165{166. 159. Ǒ ª . . ®à®âª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥á⪮á⨠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // ¨¡. ¬ â. ãà. 2006. . 47, ü 4. . 859{864. 160. Ǒ ¨ . . ¬¥è ë¥ ®¡ê¥¬ë ¬®£®£à ëå äãªæ¨© // «£¥¡à ¨ «¨§. 1996. . 6, ü 6. . 1209{1217. 161. Ǒ ¨ . . ¨àâã «ìë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ ¨ ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¢®¯à®áë £¥®¬¥âਨ // «£¥¡à ¨ «¨§. 2002. . 14, ü 5. . 152{170. 162. Ǒ¥à«®¢ . . á®®â®è¥¨¨ ¬¥¤ã ¥á⪮áâìî n-£® ¯®à浪 ¨ «¨â¨ç¥áª®© ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâìî // ªà. £¥®¬. á¡. 1991. . 34. . 98{104. 163. Ǒ¥à«®¢ . . á¢ï§¨ ¬¥¤ã ¥á⪮áâìî ¯®à浪 k > 3 ¨ «¨â¨ç¥áª®© ¥¨§£¨¡ ¥¬®áâìî ¯®¢¥àå®á⥩ ª« áá C 1 // â. 䨧¨ª , «¨§ ¨ £¥®¬. 1995. . 2, ü 3/4. . 456{461. 164. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¤ ®¡é ï ⥮६ ¤«ï ¡¥áª®¥çëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // ®ª«. . 1948. . 62, ü 2. . 167{169.
473
165. Ǒ®£®à¥«®¢ . . á¯à®áâà ¥¨¥ ®¡é¥© â¥®à¥¬ë ¥¤¨á⢥®á⨠. . «¥ªá ¤à®¢ á«ãç © ¥ «¨â¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå®á⥩ // ®ª«. . 1948. . 62, ü 3. . 297{299. 166. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // à. â. ¨-â ¨¬. ⥪«®¢ . 1949. . 29. . 1{100. 167. Ǒ®£®à¥«®¢ . . §£¨¡ ¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. .; .: , 1950. 168. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ®¡é¨å ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. ¨¥¢: §¤-¢® , 1952. 169. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¡ ãá⮩稢®á⨠¨§®«¨à®¢ ëå ॡà¨áâëå â®ç¥ª ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠// á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1953. . 8, ü 3. . 131{134. 170. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ®¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1956. . 11, ü 5. . 207{208. 171. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¡ ãà ¢¥¨ïå ® | ¬¯¥à í««¨¯â¨ç¥áª®£® ⨯ . à쪮¢: §¤-¢® , 1960. 172. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¤ ®¡é ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // ®ª«. . 1967. . 173, ü 3. . 526{528. 173. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¥èïï £¥®¬¥âà¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩. .: 㪠, 1969. (£«. ¯¥à.: A. V. Pogorelov. Extrinsi geometry of onvex surfa es. Providen e: AMS, 1973.) 174. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ®£®¬¥à ï ¯à®¡«¥¬ ¨ª®¢áª®£®. .: 㪠, 1975. (£«. ¯¥à.: A. V. Pogorelov. The Minkowski multidimensional problem. New York: John Wiley & Sons, 1978.) 175. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ®£®¬¥à®¥ ãà ¢¥¨¥ ® | ¬¯¥à det kzij k = ϕ(z1 , . . . , zn , z, x1 , . . . , xn ). .: 㪠, 1988. 176. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ¥è¥¨¥ ®¤®© ¯à®¡«¥¬ë . . «¥ªá ¤à®¢ // ®ª«. . 1998. . 360, ü 3. . 317{319. 177. Ǒ®£®à¥«®¢ . . ⥮६ å ¥¤¨á⢥®á⨠¤«ï § ¬ªãâëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // ®ª«. . 1999. . 366, ü 5. . 602{604. 178. Ǒ®§ïª . . ¥¥á⪨¥ § ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ // ¥áâ. . ¥à. ¬ â., ¬¥å. 1960. . 3. . 14{19. 179. Ǒã嫨ª®¢ . ., ®¢ ᪨© . . ®¥ç®- ¤¤¨â¨¢ë¥ ¬¥àë ¢¨àâã «ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // «£¥¡à ¨ «¨§. 1992. . 2, ü 2. . 161{185. 180. ¥è¥âïª . . §®â¥à¬¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë ¢ ¬®£®®¡à §¨ïå ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§ë. I // ¨¡. ¬ â. ãà. 1960. . 1, ü 1. . 88{116. 181. ¥è¥âïª . . §®â¥à¬¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë ¢ ¬®£®®¡à §¨ïå ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§ë. II // ¨¡. ¬ â. ãà. 1960. . 1, ü 2. . 248{276. 182. ¥è¥âïª . . ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¢ë¯ãª«®¬ã ¬®£®£à ¨ªã ¨ ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ «¨¥©ëå ¥à ¢¥á⢠// ®ª«. . 1960. . 130, ü 5. . 981{983. 183. ¥è¥âïª . . ¥¥áâª¨å ¯®¢¥àå®áâïå ¢à 饨ï // ¨¡. ¬ â. ãà. 1962. . 3, ü 4. . 591{604. 184. ¥è¥âïª . . ¢ã¬¥àë¥ ¬®£®®¡à §¨ï ®£à ¨ç¥®© ªà¨¢¨§ë // ®¢à. ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨. 㤠¬. ¯à ¢«¥¨ï. . 70. .: , 1989. . 7{189. 185. ®§¥á® . . ਬ ®¢ëå ¯à®áâà áâ¢ å ª« áá I. . I // §¢. . ¥à. ¬ â. 1940. . 4, ü 2. . 181{192.
474
. .
186. ®§¥á® . . ਬ ®¢ëå ¯à®áâà áâ¢ å ª« áá I. . II // §¢. . ¥à. ¬ â. 1941. . 5, ü 4{5. . 325{352. 187. ®§¥á® . . ਬ ®¢ëå ¯à®áâà áâ¢ å ª« áá I. . III // §¢. . ¥à. ¬ â. 1943. . 7, ü 6. . 253{284. 188. ¡¨â®¢ . . ¥£ã«ïà®áâì ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ॣã«ïன ¢ ª« áá å ñ«ì¤¥à ¬¥âਪ®© // ¨¡. ¬ â. ãà. 1976. . 17, ü 4. . 907{915. 189. ¡¨â®¢ . . ¯¨á ¨¥ ¨§£¨¡ ¨© ¢ëத îé¨åáï ¯®¤¢¥á®ª // â. § ¬¥âª¨. 1983. . 33, ü 6. . 901{904. 190. ¡¨â®¢ . . «£®à¨â¬¨ç¥áª ï ¯à®¢¥àª ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¯®¤¢¥á®ª // ªà. £¥®¬. á¡. 1987. . 30. . 109{112. 191. ¡¨â®¢ . . ®ª «ì ï ⥮à¨ï ¨§£¨¡ ¨ï ¯®¢¥àå®á⥩ // ®¢à. ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨. 㤠¬. ¯à ¢«¥¨ï. . 48. .: , 1989. . 196{270. 192. ¡¨â®¢ . . ®¢ë¥ ª« ááë ¥¨§£¨¡ ¥¬ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // á¥á®î§. ª®ä. ¯® £¥®¬. ¨ «¨§ã. ¥§. ®¢®á¨¡¨àáª: -â ¬ â-ª¨ , 1989. . 72. 193. ¡¨â®¢ . . á¢ï§ïå ¬¥¤ã ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¬¨ ¨§£¨¡ ¨ï¬¨ à §ëå ¯®à浪®¢ // ªà. £¥®¬. á¡. 1992. . 35. . 118{124. 194. ¡¨â®¢ . . «£®à¨â¬ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®£à ¨ª // ¥áâ. , á¥à 1. 1994. . 49, ü 2. . 56{61. 195. ¡¨â®¢ . . ¯à®¡«¥¬¥ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡ê¥¬ ¨§£¨¡ ¥¬®£® ¬®£®£à ¨ª // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1995. . 50, ü 2. . 223{224. 196. ¡¨â®¢ . . ¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª ª ª äãªæ¨ï ¥£® ¬¥âਪ¨ // ã¤. ¯à¨ª«. ¬ â. 1996. . 2, ü 4. . 1235{1246. 197. ¡¨â®¢ . . ®ª § ⥫ìá⢮ £¨¯®â¥§ë ýªã§¥çëå ¬¥å®¢þ ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ ¬ «®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® த // ®ª«. . 1998. . 358, ü 6. . 743{746. 198. ¡¨â®¢ . . ¡®¡é¥ ï ä®à¬ã« ¥à® | àâ «ìï ¨ ¥ª®â®àë¥ ¥¥ á«¥¤á⢨ï // â. á¡. 1998. . 189, ü 10. . 105{134. 199. ¡¨â®¢ . . ¡ê¥¬ë ¬®£®£à ¨ª®¢. ¨¡«¨®â¥ª ý ⥬ â¨ç¥áª®¥ ¯à®á¢¥é¥¨¥þ. .: , 2002. 200. ¡¨â®¢ . . «£®à¨â¬¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¯à®¡«¥¬ë ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®© ॠ«¨§ 樨 ¤¢ã¬¥àëå ¬®£®£à ëå ¬¥âਪ // §¢. . ¥à. ¬ ⥬ ⨪¨. 2002. . 66, ü 2. . 159{172. 201. ¡¨â®¢ . . ®ªà㣠¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë ¥ ¤à | ®è¨ ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å // ¨¡. ¬ â. ãà. 2004. . 45, ü 4. . 892{919. 202. ¡¨â®¢ . ., ¥ä¥«ì . . á¢ï§¨ ¬¥¤ã ¯®à浪 ¬¨ £« ¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¨ ¥¥ ¬¥âਪ¨ // ¨¡. ¬ â. ãà. 1976. . 17, ü 4. . 916{925. 203. ª ï . . ãé¥á⢮¢ ¨¥ £¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨ á ¤ ®© á㬬®© £« ¢ëå à ¤¨ãᮢ ªà¨¢¨§ë ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® // ¥®¬¥âà¨ï. ë¯. 6. .: Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ , 1977. . 94{101. 204. ¯®¨ª®¢ . . ªà ¥¢ëå § ¤ ç å ¤«ï «¨¥©ëå í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© áä¥à¥, á¢ï§ ëå á § ¤ 祩 à¨áâ®ä䥫ï // ç¥. § ¯. Ǒ ¨¬. ¥àæ¥ . 1972. ë¯. 541. . 166{172. 205. ¥ìª¨
. Ǒ. ¤®§ ç ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1956. . 11, ü 5. . 211{213. 206. ¥ìª¨
. Ǒ. ¡ ãá⮩稢®á⨠è¨à¨ë ®¡é¥© § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨§¬¥¥¨ï ¨â¥£à «ì®© á।¥© ªà¨¢¨§ë // ªà. £¥®¬. á¡. 1966. ë¯. 3. . 93{94.
475
207. ¥ìª¨
. Ǒ. n-¬¥àë© «®£ ⥮६ë .Ǒ.«®¢ï¨è¨ª®¢ // ªà. £¥®¬. á¡. 1968. ë¯. 5{6. . 147{149. 208. ¥ìª¨
. Ǒ. §£¨¡ ¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // Ǒ஡«¥¬ë £¥®¬¥âਨ. . 10. .: , 1978. . 193{222. 209. ®ª®«®¢ . . ¤¢ã¬¥àëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®áâïå á ¤¥ä¨¨â®© ¬¥âਪ®© ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // àã¤ë £¥®¬. ᥬ¨ à . . 6. .: , 1974. . 277{293. 210. ®ª®«®¢ . . Ǒ®¢¥àå®á⨠¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ // Ǒ஡«¥¬ë £¥®¬¥âਨ. . 11. .: , 1980. . 177{201. 211. áª à ¥¢ . ¥¯®¤¢¨ëå â®çª å ¤«ï ®¤®£® ®¯¥à â®à ¢ ª®æ¥ ¯à®áâà á⢠C (G) // â. «¨§ ¨ «£¥¡à . 誥â, 1986. . 69{71. 212. à®æ¥ª® . . ¥¥áâª¨å «¨â¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå®áâïå ¢à 饨ï // ¨¡. ¬ â. ãà. 1980. . 21, ü 5. . 100{108. 213. àã誨 . . ¥â®¤ âà¥å梥⮣® à áªà 訢 ¨ï £à 䮢 // ¨¡. ¬ â. ãà. 1987. . 28, ü 2. . 186{200. 214. ᬠ®¢ . . ¥áª®¥ç® ¬ «ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¯®¢¥àå®á⥩ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë á â®çª®© 㯫®é¥¨ï // Bana h enter publi . 1984. Vol. 12. P. 241{272. 215. ñ¤®à®¢
. . ç « ãç¥¨ï ® 䨣ãà å. .: §¤-¢® , 1953. 216. ¨«¨¬®®¢ . Ǒ. ®ááâ ®¢«¥¨¥ § ¬ªã⮩ ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¯à®áâà á⢥ ®¡ 祢᪮£® ¯® £ ãáᮢ®© ªà¨¢¨§¥ ª ª äãªæ¨¨ â®çª¨ ¯à®áâà á⢠// ¥¯. ¢ . 1981. ü 1038{81. 16 á. 217. ¨å⥣®«ìæ . . ãàá ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨ ¨â¥£à «ì®£® ¨áç¨á«¥¨ï. 7-¥ ¨§¤. . 1. .: 㪠, 1970. 218. ®¬¥ª® . . ¥ª®â®àë¥ à¥§ã«ìâ âë ⥮ਨ ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¨§£¨¡ ¨© ¯®¢¥àå®á⥩ // â. á¡. 1967. . 72, ü 3. . 388{411. 219. ®¬¥ª® . . ¥á⪮á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ®â®à®ç¥ë¬ ªà ¥¬ // â. § ¬¥âª¨. 1979. . 26, ü 1. . 123{128. 220. ®¬¥ª® . . ¥¯à¥àë¢ë¥ ¨§£¨¡ ¨ï ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ // â. á¡. 1979. . 110, ü 4. . 493{504. 221. ®¬¥ª® . . -ॠ«¨§ æ¨ïå ¬¥âਪ ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë // â. á¡. 1982. . 117, ü 4. . 523{533. 222. ¥ä¥«ì . . ¯®«¥ ॣã«ïàë¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯®£àã¥¨ï ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ // ¨¡. ¬ â. ãà. 1970. . 11, ü 2. . 442{460. 223. ¥ä¥«ì . . £« ¤ª®á⨠à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨ª®¢áª®£® // ¨¡. ¬ â. ãà. 1977. . 18, ü 2. . 472{475. 224. ®à . . ¡ ¨§£¨¡ ¨¨ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© // â. á¡. 1958. . 45, ü 4. . 471{488. 225. ®à . . Ǒਬ¥à ¥¨§£¨¡ ¥¬®© ¢ë¯ãª«®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯à¥¤¥«ì®© ¤«ï ¥© ¨§®¬¥âà¨çëå // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1960. . 15, ü 4. . 193{198. 226. ®à . . Ǒਬ¥à ¤¨áª®â¨ã㬠¥âਢ¨ «ì® ¨§®¬¥âà¨çëå ¬¥¤ã ᮡ®© ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1960. . 15, ü 5. . 157{160. 227. ®à . . ¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¬®£®á¢ï§ëå ¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1960. . 15, ü 5. . 199{202. 228. ®à . . ¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á à §à¥§®¬ // ªà. ¬ â. ãà. 1964. . 16, ü 4. . 513{520.
476
. .
229. ®à . . ¡ ¨§£¨¡ ¥¬®á⨠¢ë¯ãª«ëå ¯®¢¥àå®á⥩ á ªà ¥¬ // ªà. £¥®¬. á¡. 1968. ë¯. 5{6. . 177{196. 230. ©§¥å àâ . Ǒ. ¨¬ ®¢ £¥®¬¥âà¨ï. .: , 1948. 231. Alexander R. Lips hitzian mappings and total mean urvature of polyhedral surfa es. I // Trans. Am. Math. So . 1985. Vol. 288. P. 661{678. 232. Alexandrov A. D. Additive set-fun tions in abstra t spa es // â. á¡. 1943. . 13, ü 2{3. . 169{234. 233. Alexandrov A. D. A hara teristi property of spheres // Ann. Math. Pura ed Appl. 4 Ser. 1962. Vol. 58. P. 303{315. 234. Alexandrov V. An example of a exible polyhedron with non onstant volume in the spheri al spa e // Beitr. Algebra Geom. 1997. Vol. 38, no. 1. P. 11{18. 235. Alexandrov V. SuÆ ient onditions for the extendibility of an n-th order ex of polyhedra // Beitr. Algebra Geom. 1998. Vol. 39, no. 2. P. 367{378. 236. Alexandrov V. Impli it fun tion theorem for systems of polynomial equations with vanishing Ja obian and its appli ation to exible polyhedra and frameworks // Monatsh. Math. 2001. Vol. 132, no. 4. P. 269{288. 237. Alexandrov V. Flexible polyhedra in Minkowski 3-spa e // Manus ripta Math. 2003. Vol. 111, no. 3. P. 341{356. 238. Almgren F. J., Rivin I. The mean urvature integral is invariant under bending // The Epstein Birthday S hrift. Warwi k: University of Warwi k, 1998. P. 1{21. 239. Amur K. On a hara terization of the 2-sphere // Amer. Math. Mon. 1971. Vol. 78, no. 4. P. 382{383. 240. Bakel'man I. Ya. R-Curvatures and stability of solutions of the Diri hlet problem for ellipti equations // J. Di . Equations. 1982. Vol. 43, no. 1. P. 106{133. 241. Bakel'man I. Ya. Generalized ellipti solutions of the Diri hlet problem for n-dimensional Monge{Ampere equations. I // Pro . Symp. Pure Math. Vol. 45. Providen e: AMS, 1986. P. 73{102. 242. Barnette D. W. On Stenitz's theorem on erning onvex 3-polytopes and some properties of planar graphs // Le t. Notes Math. 1969. Vol. 110. P. 27{40. 243. Bauer C. In nitesimal rigidity of onvex polytopes // Dis rete Comput. Geom. 1999. Vol. 22, no. 2. P. 177{192. 244. Blas hke W. Ein Beweis fur die Unverbiegbarkeit ges hlossener konvexer Fla hen // Na hr. Konig. Gesells h. Wiss. zu Gottingen; Math.-phys. Klasse. 1912. H. 5. S. 607{610. 245. Blas hke W. Vorlesungen uber Di erentialgeometrie und geometris he Grundlagen Einsteins Relativitatstheorie. I. Elemenare Di erentialgeometrie. 3 Au . Berlin: Springer, 1930. (ãá. ¯¥à.: «ï誥 . ¨ää¥à¥æ¨ «ì ï £¥®¬¥âà¨ï ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®á®¢ë ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì®á⨠©è⥩ . .: , 1935.) 246. Blas hke W., Herglotz G. Verwirkli hung einer ges hlossenen Fla he mit vorges hriebenen Bogenelement im Euklidis hen Raum // Sitz. Beri hte Bayer Akad. Wiss. 1937. H. 2. S. 229{230. 247. Blee ker D. D. Volume in reasing isometri deformations of onvex polyhedra // J. Di . Geom. 1996. Vol. 43, no. 3. P. 505{526.
477
248. Bobenko A. I., Izmestiev I. Alexandrov's theorem, weighted Delaunay triangulations, and mixed volumes // http://arxiv.org/math.DG/0609447 249. Bolker E., Roth B. When is a bitartite graph a rigid framework? // Pa i J. Math. 1980. Vol. 90. P. 27{44. 250. Bonnesen T., Fen hel W. Theorie der konvexen Korper. Berlin: Springer, 1934. (ãá. ¯¥à.: ®¥§¥ ., ¥å¥«ì . ¥®à¨ï ¢ë¯ãª«ëå ⥫. .: §¨á, 2002.) 251. Bri ard R. Memoire sur la theorie de l'o taedre arti ule // J. Math. Pures Appl. 1897. T. 3. P. 113{148. 252. Brunn H. U ber Ovale und Ei a hen. Inaug. Diss., Mun hen, 1887. 253. Busemann H., Feller W. Krummugseiges haften konvexer Fla hen // A ta Math. 1935. Bd 66. S. 1{47. 254. Cau hy A. Sur les polygones et polyedres. Se ond Memoir // J. E ole Polyte h. 1813. T. 9. P. 87{99; Oeuvres. T. 1. Paris, 1905. P. 26{38. 255. Cheng S. Y., Yau S. T. On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem // Comm. Pure Appl. Math. 1976. Vol. 29, no. 5. P. 495{516. 256. Christo el E. B. U ber die Bestimmung der Gestalt einer krummen Ober a he dur h lokale Messungen auf derselben // J. Reine Angew. Math. 1985. H. 64. S. 193{209. 257. Connelly R. An atta k on rigidity. I, II // Bull. Amer. Math. So . 1975. Vol. 81, no. 3. P. 566{569. (Ǒ®«®¥ ¨§«®¥¨¥: Prepr. Cornell Univ. 1974; àãá. ¯¥à.: ®¥««¨ . ¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ¨ ¥à¥è¥ë¥ ¢®¯à®áë ¢ ⥮ਨ ¨§£¨¡ ¨© // ®«¬®£®à®¢ . ., ®¢¨ª®¢ . Ǒ. (।.) áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® ¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. .: ¨à, 1980. . 164{209.) 258. Connelly R. An immersed polyhedral surfa e whi h exes // Indiana University Math. J. 1976. Vol. 25, no. 10. P. 965{972. 259. Connelly R. A ounterexample to the rigidity onje ture for polyhedra // Publ. Math. IHES. 1977. Vol. 47. P. 333{337. 260. Connelly R. A exible sphere // Math Intelligen e. 1978. Vol. 1, no. 3. P. 130{131. 261. Connelly R. The rigidity of polyhedral surfa es // Math. Mag. 1979. Vol. 52, no. 5. P. 275{283. 262. Connelly R. Conje tures and open questions in rigidity // Pro . Int. Congr. Math., Helsinki, 1978. Vol. 1. 1980. P. 407{414. (ãá. ¯¥à. ®¤®¨¬¥®£® ¯à¥¯à.: ®¥««¨ . ¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ¨ ¥à¥è¥ë¥ ¢®¯à®áë ¢ ⥮ਨ ¨§£¨¡ ¨© // ®«¬®£®à®¢ . ., ®¢¨ª®¢ . Ǒ. (।.) áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® ¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. .: ¨à, 1980. . 228{238.) 263. Connelly R. The rigidity of ertain abled frameworks and the se ond order rigidity of arbitrarily triangulated onvex surfa es // Adv. Math. 1980. Vol. 37, no 3. P. 272{299. 264. Connelly R. Rigidity // Gruber P. M. (ed.) et al. Handbook of onvex geometry. Vol. A. Amsterdam: North-Holland, 1993. P. 223{271. 265. Connelly R. Stru tures in hyperboli spa e // Prekopa A. (ed.) et al. Non-Eu lidean geometries. Janos Bolyai memorial volume. Intern. Conf. on Hyperboli Geometry, Budapest, Hungary, July 2002. New York: Springer, 2006. P. 189{196. 266. Connelly R., Sabitov I., Walz A. The bellows onje ture // Beitr. Algebra Geom. 1997. Vol. 38, no. 1. P. 1{10.
478
. .
267. Connelly R., Servatius H. Higher-order rigidity | what is the proper de nition? // Dis r. Comput. Geom. 1994. Vol. 11, no. 2. P. 193{200. 268. Connelly R., Whiteley W. Se ond-order rigidity and prestress stability for tensegrity frameworks // SIAM J. Dis rete Math. 1996. Vol. 9, no. 3. P. 453{491. 269. Danzer L., Grunbaum B., Klee V. Helly's theorem and its relatives // Convexity. Pro . Symp. Pure Math. Providen e: AMS, 1963. Vol. 7. P. 101{180. 270. Dehn M. U ber die Starrheit konvexer Polyeder // Math. Ann. 1916. Bd 77. S. 466{473. (ãá. ¯¥à.: ¥ . ¥á⪮á⨠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1936. ë¯. 2. . 72{79.) 271. Delanoe Ph. Plongements Sn → Rn+1 a ourbure de Gauss positive pres rite // Ann. S i. E . Norm. Super., IV. Ser. 1985. T. 18. P. 635{649. 272. E mov N. V. Fla henverbiegung im Grossen, mit einem Na htrag von E.Rembs und K.P.Grotemeyer. Berlin: Akad.-Verlag, 1957. 273. Eglo W. Eine Bemerkung zu Cau hy's Satz uber die Starrheit konvexer Viel a he // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1956. H. 20, no. 3{4. S. 253{256. 274. Egory hev G. P. The solution of van der Waerden's problem for permanents // Adv. Math. 1981. No. 3. P. 299{305. 275. El-Etriby A. M. Some existen e theorems of onvex polyhedra // J. Natur. S i. and Math. 1983. Vol. 23, no. 1. P. 43{48. 276. Federi o P. J. The number of polyhedra // Philips Res. Reports. 1975. Vol. 30. P. 220{ 231. 277. Fen hel W. Inegalites quadratiques entre les volumes mixtes des orps onvexes // C. R. A ad. S i. Paris. 1936. T. 203. P. 647{650. 278. Fen hel W. A ongruen e theorem for onvex polyhedra // Math. Tidsskr. A. 1949. P. 35{43. 279. Fogelsanger A. The generi rigidity of minimal y les // Prepr. Cornell Univ. 1987. 60 p. 280. Gardner R. J. The Brunn{Minkowski inequality // Bull. Am. Math. So . 2002. Vol. 39, no. 3. P. 355{405. 281. Gario P. Il teorema di Cau hy sulla rigidita dei poliedri onvessi // Ar himede. 1981. Vol. 33, no 1{2. P. 53{69. 282. Gilbarg D., Trudinger N. S. Ellipti partial di erential equations of se ond order. Berlin: Springer, 1983. 283. Glu k H. Almost all simply onne ted losed surfa es are rigid // Le t. Notes Math. 1975. Vol. 438. P. 225{239. (ãá. ¯¥à.: «îª . Ǒ®ç⨠¢á¥ ®¤®á¢ï§ë¥ § ¬ªãâë¥ ¯®¢¥àå®á⨠¥á⪨¥ // ®«¬®£®à®¢ . ., ®¢¨ª®¢ . Ǒ. (।.) áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® ¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. .: ¨à, 1980. . 148{163.) 284. Glu k H. Manifolds with preassigned urvature // Bull. Am. Math. So . 1976. Vol. 81, no. 2. P. 313{329. 285. Clu k H., Krigelman K., Singer D. The onverse to the Gauss{Bonnet theorem in P L // J. Di . Geom. 1974. Vol. 9, no. 4. P. 606{616. 286. Graver J., Servatius B., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Providen e: AMS, 1993. 287. Groemer H. Stability properties of geometri inequalities // Am. Math. Mon. 1990. Vol. 97, no. 5. P. 382{394.
479
288. Gromov M. Convex sets and Kahler manifolds // Tri erri F. (ed.) Advan es in di erential geometry and topology. Singapore: World S ienti , 1990. P. 1{38. 289. Grunbaum B. Convex polytopes. 2nd ed. New York: Springer, 2003. 290. Hartman P. On the maximum prin iples of A.D.Alexandrov in the uniqueness theory for hypersurfa es // Ar h. Rat. Me h. and Anal. 1980. Vol. 74, no. 4. P. 319{333. 291. Hartman P., Wintner A. On the third fundamental form of a surfa e // Am. J. Math. 1953. Vol. 75. P. 298{334. 292. Hellwig G. U ber die Verbiegbarkeit von Fla henstuken mit positiver Gauss her Krummung // Ar h. Math. 1955. Bd 6, no. 3. S. 243{249. 293. Helly E. U ber Mengen konvexer Korper mit gemeins haftli hen Punkten // Jahres ber. Deuts h. Math. Verein. 1923. H. 32. S. 175{176. 294. Herglotz G. U ber die Starrheit der Ei a hen // Abh. Math. Semin. Hansis hen Univ. 1943. Bd 15. S. 127{129. 295. Hodgson C. D., Rivin I., Smith W. D. A hara terization of onvex hyperboli polyhedra and of onvex polyhedra ins ribed in the sphere // Bull. Am. Math. So . 1992. Vol. 27, no. 2. P. 246{251. 296. Hodgson C. D., Rivin I. A hara terization of ompa t onvex polyhedra in hyperboli 3-spa e // Invent. Math. 1993. Vol. 111, no. 1. P. 77{111. 297. Hsiang W.-Y. Generalized rotation hypersurfa es of onstant mean urvature in the Eu lidean spa es I // J. Di . Geom. 1982. Vol. 17. P. 337{356. 298. Hsiang W.-Y., Teng Z.-H., Yu W.-C. New examples of onstant mean urvature immersions of (2k − 1)-sphere into Eu lidean 2k-spa e // Ann. Math. 1983. Vol. 117, no. 3. P. 609{625. 299. Jessen B. Orthogonal i osahedra // Nord. Mat. Tidskr. 1967. Vol. 15, no. 2{3. P. 90{ 96. 300. Kahn P. J. Counting types of rigid frameworks // Invent. Math. 1979. Vol. 55, no. 3. P. 297{308. 301. Kar her H. Remarks on polyhedra with given diedral angles // Comm. Pure Appl. Math. 1968. Vol. 21, no. 2. P. 169{174. 302. Kazdan J. L., Warner F. W. Curvature fun tions for open 2-manifolds // Ann. Math. 1974. Vol. 99, no. 2. P. 203{219. 303. Kazdan J. L., Warner F. W. Existen e and onformal deformation of metri with pres ribed Gaussian and s alar urvatures // Ann. Math. 1975. Vol. 101, no. 3. P. 317{ 331. 304. Kazdan J. L., Warner F. W. Pres ribing urvatures // Pro . Symp. Pure Math. 1975. Vol. 27, pt. 2. P. 309{319. 305. Kuiper N. Spheres polyedriques exibles dans E 3 , d'apres Robert Connelly // Le t. Notes. Math. 1979. Vol. 700. P. 147{168. (ãá. ¯¥à.: ñ©¯¥à . . §£¨¡ ¥¬ë¥ ¯®«¨í¤à «ìë¥ áä¥àë ¢ E 3 , ¯® ®¡¥àâã ®¥««¨ // ®«¬®£®à®¢ . ., ®¢¨ª®¢ . Ǒ. (।.) áá«¥¤®¢ ¨ï ¯® ¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®¢¥àå®á⥩. .: ¨à, 1980. . 210{ 227.) 306. Labourie F. Metriques pres rites sur le bord des varietes hyperboliques de dimension 3 // J. Di . Geom. 1992. Vol. 35, no. 3. P. 609{626.
480
. .
307. Ladopoulos P. Sur la mobilite des polyedres // Atti A
ad. Pontaniana. 1999. T. 48. P. 345{354. 308. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal stru tures // J. Engin. Math. 1970. Vol. 4. P. 331{340. 309. Lei htweiss K. Konvexe Mengen. Berlin: VEB Deuts h. Verl. Wiss., 1980. (ãá. ¯¥à.: . ¨å⢥©á. ë¯ãª«ë¥ ¬®¥á⢠. .: 㪠, 1985.) 310. Lewy H. A priori limitations for solutions of Monge{Ampere equations // Trans. Amer. Math. So . 1935. Vol. 37, no. 3. P. 417{434. 311. Liebmann H. U ber die Verbiegung der ges hlossenen Fla hen positiver Krummung // Math. Ann. 1900. H. 53. S. 81{112. 312. Lindelof L. Proprietes generales des polyedres qui, sous une etendue super ielle donnee, renferment le plus grand volume // Clebs h Ann. 1870. Bd 2. S. 150{159. 313. Maehara H. Ve tor elds and quadrati surfa es // Ryukyu Math. J. 1998. Vol. 11. P. 53{63. 314. Maehara H., Chinen K. An in nitesimally rigid unit-bar-framework in the plane whi h
ontains no triangle // Ryukyu Math. J. 1995. Vol. 8. P. 37{41. 315. Maehara H., Norihide T. A spatial unit-bar-framework whi h is rigid and triangle-free // Graphs Comb. 1996. Vol. 12, no. 4. P. 341{344. 316. Martinez-Maure Y. Geometri inequalities for plane hedgehogs // Demonstr. Math. 1999. Vol. 32, no. 1. P. 177{183. 317. Martinez-Maure Y. De nouvelles inegalites geometriques pour les herissons // Ar h. Math. 1999. Vol. 72, no. 6. P. 444{453. 318. Martinez-Maure Y. Contre-exemple a une ara terisation onje turee de la sphere // C. R. A ad. S i. Paris. Ser. I Math. 2001. T. 332, no. 1. P. 41{44. 319. Milka A. D. Linear bending of star-like pyramids // C. R. A ad. S i., Paris. Ser. II, Fas . B Me . 2003. T. 331, no. 12. P. 805{810. 320. Minagawa T. Remarks on the in nitesimal rigidity of losed onvex surfa es // Kodai Math. Sem. Reports. 1956. Vol. 8, no. 1. P. 41{48. 321. Minkowski H. Allgemeine Lehrsatze uber konvexe Polyeder // Na hr. Ges. Wiss. Gottingen. 1897. S. 198{219; Ges. Abh. Bd 2, Teubner, Leipzig{Berlin, 1911. S. 103{ 121. (ãá. ¯¥à.: ¨ª®¢áª¨© . ¡é¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª å // á¯¥å¨ ¬ â. ãª. 1936. ë¯. 2. . 55{71.) 322. Minkowski H. Theorie der konvexen Korper. Ges. Abh. Bd 2, Teubner, Leipzig{Berlin, 1911. 323. Minkowski H. Volumen und Ober a he. Ges. Abh. Bd 2, Teubner, Leipzig{Berlin, 1911. 324. Miranda C. Su un problema di geometria di erenziale in grande per gli ovaloidi // Ann. Math. Pura Appl. 1970. Vol. 87. P. 237{269. 325. Miranda C. Aggiunte ed Errata Corrige alla memoria 'Su un problema di geometria di erenziale in grande per gli ovaloidi' // Ann. Math. Pura Appl. 1971. Vol. 88. P. 349{355. 326. Nirenberg L. The Weyl and Minkowski problems in di erential geometry in the large // Comm. Pure Appl. Math. 1953. Vol. 6. P. 337{394.
481
327. Oliker V. I. Hypersurfa es in Rn+1 with pres ribed Gaussian urvature // Comm. Partial Di . Equations. 1984. Vol. 9, no. 8. P. 807{838. 328. Panina G. Rigidity and exibility of virtual polytopes // Cent. Eur. J. Math. 2003. Vol. 1, no. 2. P. 157{168, ele troni only. 329. Panina G. New ounterexamples to A. D. Alexandrov's hypothesis // Adv. Geom. 2005. Vol. 5, no. 2. P. 301{317. 330. Peterson K. The stress spa es of bipartite frameworks // Pa i J. Math. 2001. Vol. 197, no. 1. P. 173{182. 331. Rembs
. Zur Verbiegung von Fla hen im Grosen // Math. Z. 1952. Bd 56. S. 271{279. 332. Rivin I. A hara terization of ideal polyhedra in hyperboli 3-spa e // Ann. Math. 1996. Vol. 143, no. 1. P. 51{70. 333. Rodrigues L., Rosenberg H. Rigidity of ertain polyhedra in R3 // Comment. Math. Helv. 2000. Vol. 75, no. 3. P. 478{503. 334. Rousset M. Sur la rigidite de polyedres hyperboliques en dimension 3: as de volume ni, as hyperideal, as fu hsien // Bull. So . Math. Fr. 2004. T. 132, no. 2. P. 233{261. 335. Sabitov I. Kh. The volume as a metri invariant of polyhedra // Dis rete Comput. Geom. 1998. Vol. 20, no. 4. P. 405{425. 336. Sabitov I. Kh. On some re ent results in the metri theory of polyhedra // Rend. Cir . Mat. Palermo, II. Ser. 2000. Vol. 65. P. 167{177. 337. Sabitov I. Kh. Some appli ations of a formula for the volume of a polyhedron // Sib. Adv. Math. 2003. Vol. 13, no. 4. P. 102{118. 338. Sauer R. In nitesimale Verbiegungen zueinander projektiver Fla hen // Math. Ann. 1935. Bd 111. S. 71{82. 339. S hlenker J.-M. Convex polyhedra in Lorentzian spa e-forms // Asian J. Math. 2001. Vol. 5, no. 2. P. 327{364. 340. S hlenker J.-M. La onje ture des souets (d'apres I. Sabitov) // Bourbaki seminar. Vol. 2002/2003. Exp. 909{923. Paris: So . Math. Fran e, 2004. Asterisque 294. P. 77{95. 341. S hlenker J.-M. A rigidity riterion for non- onvex polyhedra // Dis rete Comput. Geom. 2005. Vol. 33, no. 2. P. 207{221. 342. S hlenker J.-M., Souam R. Higher S hla i formulas and appli ations // Compos. Math. 2003. Vol. 135, no. 1. P. 1{24. 343. S hneider R. Convex bodies: the Brunn{Minkowski theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. 344. S hoenberg I. J., Zaremba S. K. On Cau hy's lemma on erning onvex polygons // Canad. J. Math. 1967. Vol. 19, no. 5. P. 1062{1071. 345. Singer D. Preassing urvature of polyhedra homeomorphi to two-sphere // J. Di . Geom. 1974. Vol. 9, no. 4. P. 633{638. 346. Souam R. Bending invariants for hypersurfa es // Seminaire de theorie spe trale et geom©trie. Annee 1998{1999. St. Martin D'Heres: Universite de Grenoble I, Institut Fourier, Semin. Theor. Spe trale Geom., Chambery{Grenoble. 1999. T. 17. P. 105{ 109.
482
. .
347. Souam R. The S hla i formula for polyhedra and pie ewise smooth hypersurfa es // Di . Geom. Appl. 2004. Vol. 20, no. 1. P. 31{45. 348. Sta hel H. Higher order exibility of o tahedra // Period. Math. Hung. 1999. Vol. 39, no. 1{3. P. 225{240. 349. Sta hel H. Flexible ross-polytopes in the Eu lidean 4-spa e // J. Geom. Graph. 2000. Vol. 4, no. 2. P. 159{167. 350. Sta hel H. In nitesimal exibility of higher order for a planar parallel manipulator // Karane G. (ed.) et al. Topi s in algebra, analysis and geometry. Pro . Gyula Strommer National Memorial Conf., Balatonfured, Hungary, May 1999. Budapest: BPR Kiadã, 2000. P. 343{353. 351. Sta hel H. Flexible o tahedra in the hyperboli spa e // Prekopa A. et al., (eds.) NonEu lidean geometries. Janos Bolyai memorial volume. Intern. Conf. Hyperboli Geometry, Budapest, Hungary, July 2002. New York: Springer, 2006. P. 209{225. 352. Steinitz E. Polyeder und Raumenteilungen // Enzykl. Math. Wiss. III, Bd 12. Leipzig, 1922. S. 1{139. 353. Steinitz E. Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter Eins hluss der Elemente der Topologie. Berlin: Springer, 1934. 354. Stoker J. J. Geometri al problems on erning polyhedra in the large // Comm. Pure Appl. Math. 1968. Vol. 21, no. 2. P. 119{168. 355. Suarez-Peiro E. A S hla i di erential formula for simpli es in semi-riemannian hyperquadri s, Gauss{Bonnet formulas for simpli es in the de Sitter sphere and the dual volume of a hyperboli simplex // Pa i J. Math. 2000. Vol. 194, no. 1. P. 229{255. 356. Tay T.-S., White N., Whiteley W. Skeletal rigidity of simpli ial omplexes. I // Eur. J. Comb. 1995. Vol. 16, no. 4. P. 381{403. 357. Tay T.-S., White N., Whiteley W. Skeletal rigidity of simpli ial omplexes. II // Eur. J. Comb. 1995. Vol. 16, no. 5. P. 503{523. 358. Velimirovi L. S. On the se ond order in nitesimal bendings of a lass of toroids // Mat. Vesn. 1997. Vol. 49, no. 1. P. 51{58. 359. Velimirovi L. S. On variation of the volume under in nitesimal bending of a losed rotational surfa e // Novi Sad J. Math. 1999. Vol. 29, no. 3. P. 377{386. 360. Velimirovi L. S. Change of geometri magnitudes under in nitesimal bending // Fa ta Univ., Ser. Me h. Autom. Control Robot. 2001. Vol. 3, no. 11. P. 135{148. 361. Wegner B. On the proje tive invarian e of shaky stru tures in Eu lidean spa e // A ta Me h. 1984. Vol. 53. P. 163{171. 362. Weil H. U ber die Bestimmung einer ges hlossenen konvexen Fla he dur h ihr Linienelement // Vierteiljahrss hr. der Naturfors henden Gesells haft in Zuri h. 1916. S. 40{72. 363. Weil H. U ber die Starrheit der Ei a hen und konvexen Polyeder // Sitz. Beri hte Preuss. Akad. Wiss. 1917. 1 Halbjahr. XVI. S. 250{266. 364. Whiteley W. In nitesimal motions of a bipartite framework // Pa i J. Math. 1984. Vol. 110, no. 1. P. 233{255. 365. Whiteley W. In nitesimally rigid polyhedra. I: Stati s of frameworks // Trans. Amer. Math. So . 1984. Vol. 285, no. 2. P. 431{465. 366. Whiteley W. In nitesimally rigid polyhedra. II: Modi ed spheri al frameworks // Trans. Amer. Math. So . 1988. Vol. 306, no. 1. P. 115{139.
483
367. Whiteley W. The proje tive geometry of rigid frameworks // L. Batten, C. Baker (eds.) Finite Geometries. New York: Mar el Dekker, 1985. P. 353{370. 368. Whiteley W. Rigidity and polarity. I: Stati s of sheet stru tures // Geom. Dedi ata. 1987. Vol. 22. P. 329{362. 369. Whiteley W. Rigidity and polarity. II: Weaving lines and tensegrity frameworks // Geom. Dedi ata. 1989. Vol. 30, no. 3. P. 255{279. 370. Wunderli h W. Wa keldodekaeder // Ber. Math. Statist. Sek. For hungszent. Graz. 1980. No. 140{150 (Ber. 149). S. 1{8. 371. Wunderli h W. Neue Wa kelikosaeder // Anz. O sterr. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl. 1980. H. 117, no. 1{9. S. 28{33. 372. Wunderli h W. Wa kelige Doppelpyramiden // Anz. O sterr. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl. 1980. H. 117, no. 1{9. S. 82{87. 373. Wunderli h W. Wa kelikosaeder // Geom. dedi . 1981. H. 11, no. 2. S. 137{146. 374. Wunderli h W. Kipp-Ikosaeder // Elem. Math. 1981. H. 36, no. 3. S. 153{158; 1982. H. 37, no. 3. S. 84{89. 375. Wunderli h W. Fast bewegli he Oktaeder mit zwei Symmetrieebenen // Rad. Jugosl. Akad. znan. i umjetn. Mat. znan. 1987. No. 6. S. 129{135. 376. Wunderli h W. Shaky polyhedra of higher onne tion // Publ. Math. 1990. Vol. 37, no. 3/4. P. 355{361. 377. Ziegler G. Le tures on polytopes. Berlin: Springer, 1995.
Ǒ।¬¥âë© ãª § ⥫ì
¥«¨ç¨ áâ 樮 à ï 124
¥àè¨ ¨á⨠ï 55 | ¬®£®£à ¨ª 7 | ®á®¡ ï 410 ý¥àè¨ þ ®¢ « 276 ®à®ª ¬®£®£à ¨ª 425 ¥®¬¥âà¨ï ¢ãâà¥ïï 52 ®¬¥®¬®à䨧¬ 57, 143 à ¨æ ¬®¥á⢠141 à ì ¬®£®£à ¨ª 7 |, ¯®¬¥é¥ ï ¢ãâਠ¤à㣮© £à ¨ 283, 287 ýà ìþ ¢ë¯ãª«®£® ¬®¥á⢠280 à ¨ ¯ à ««¥«ìë¥ 283, 287 ¥ä®à¬ æ¨ï ¯®¤ª«¥¨¢ ¨ï 247 ¥ä®à¬ 樨 ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¥, ¯¥à¢®£® ¯®à浪 402 §£¨¡ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª 243 §®¡à ¥¨¥ áä¥à¨ç¥áª®¥ 39 ¤¨ª âà¨áë ¥¢¬¥é ¥¬ë¥ 300 ®¬¡¨ æ¨ï ¬®¥áâ¢, «¨¥© ï 276 ®¬¯«¥ªá 193 ®¬¯®¥â ¬®¥á⢠á¢ï§ ï 92, 142 à â®áâì ¯®ªàëâ¨ï 145 à âç ©è ï 52 | à §¢¥à⪥ 71 ਢ¨§ ¢¥àè¨ë 42 ਢ¨§ ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯¥à¥¥á¥ ï ¯«®áª®áâì 399
ਢ¨§ ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯¥à¥¥á¥ ï áä¥àã 398 | | ãá«®¢ ï 401 | â®çª¨ à §¢¥à⪥ 55 | ç á⨠¬®£®£à ¨ª 43 ¥¬¬ ®¡ ®â¤¥«¨¬®á⨠11 | ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ 92 | ®è¨ 85 | |, ãᨫ¥ ï 410 ãç ¢ à §¢¥à⪥ 215 | ¬®£®£à ¨ª¥ 215 ¥âਪ ¢ãâà¥ïï 43 | | ¬®£®£à ¨ª 100 | ¬®£®£à ï 101 | ¬®£®£à ï ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë 56 | ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë 101 ®£®£à ¨ª 7 | ¡¥áª®¥çë© 11 | ¢ë¯ãª«ë© 8 | | ⥫¥áë© 9 | ¥á⪨© 124 | § ¬ªãâë© 10 | ¯®«ë© 10 | ᪫¥¥ë© ¨§ à §¢¥à⪨ 53 | ⥫¥áë© 7 | K -âਠ£ã«¨à®¢ ë© 199 ®£®£à ¨ª¨ «®£¨çë¥ 460 | ¯®«ïàë¥ 46 ®£®®¡à §¨¥ K -âਠ£ã«¨à®¢ ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ 199 ®£®®¡à §¨¥ n-¬¥à®¥ 92
Ǒ
®£®ã£®«ì¨ª 7 | £¥®¤¥§¨ç¥áª¨© 75 ®¥á⢮ £®¬¥®¬®à䮥 ¤ ®¬ã 143 | § ¬ªã⮥ 141 | | ¢ M 141 | ®âªàë⮥ 141 | | ¢ M 141 | á¢ï§®¥ 92 ®à¬ «ì ¢¥èïï 17 ¡« áâì ®à®®£® 356 | ¨à¨å«¥ 356 ¡®«®çª ¢ë¯ãª« ï § ¬ªãâ ï 22 ¡à § ¬®¥á⢠143 ¡à §ãîé ï «ãç , ¯à¥¤¥«ì ï 176 ¡ê¥¬ ¬®£®£à ¨ª®¢, ᬥè ë© 358, 365 ªà¥áâ®áâì â®çª¨ 141 | K -âਠ£ã«¨à®¢ ®£® ¬®£®£à ¨ª 202 â®¡à ¥¨¥ 143 | ¢§ ¨¬® ¥¯à¥à뢮¥ 143 | | ®¤®§ 箥 143 | ¥¯à¥à뢮¥ 143 | ®à¬ «ì®¥ ¯®¢¥àå®á⨠401 | ®¯®à®¥ ¯®¢¥àå®á⨠401 Ǒ à ««¥«®£® 348 Ǒ à ««¥«®í¤à 346 Ǒ«®áª®áâì ®¯®à ï 16 Ǒà®®¡à § ¬®¥á⢠143 Ǒà®áâà á⢮ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ 140 Ǒ®¤ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®ã£®«ì¨ª 245 | âਢ¨ «ì®¥ 245 Ǒ®¤¯à®áâà á⢮ ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠141 Ǒ®ªàë⨥ ¬®¥á⢠, § ¬ªã⮥ 145 Ǒ®«ã¯à®áâà á⢮ ®âªàë⮥ 16 Ǒ®«ãá㬬 ¬®¥á⢠277 Ǒਧ¬ §® «ì ï 351 Ǒ஡«¥¬ ¥©«ï 264 | à¨áâ®ä䥫ï 345 | ¨ª®¢áª®£®, £« ¤ª ï 345 §¢¥à⪠50 | ¯®«®¨â¥«ì®© ªà¨¢¨§ë 56, 189 | ॠ«¨§ã¥¬ ï 190 §¢¥à⪨ ¨§®¬¥âà¨çë¥ 51
485
§¢®à 稢 ¨¥ «®¬ ®© 229 ááâ®ï¨¥ ¢ à §¢¥à⪥ 51 ¥¡à® §®ë 350 | ¬®£®£à ¨ª 7 ¢®©á⢮ 䨣ãàë ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ 57 ¥âì 61 | ®â¬¥ç¥ëå ॡ¥à ¬®£®£à ¨ª 85 ª®à®áâì ¢¥àè¨ë, ®â®á¨â¥«ì ï 386 | ¨§¬¥¥¨ï ¢¥«¨ç¨ë 124 ®®â¢¥âá⢨¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ 51 ýâ®à® þ ¢ë¯ãª«®© 䨣ãàë 280 ¥®à¥¬ ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« á⨠91 | ® ç¥âëà¥å ¢¥àè¨ å ®¢ « 276 | ¥««¨ 340 ®çª ¢ãâà¥ïï 141 | £à ¨ç ï 141 £®« ¢®ªà㣠¢¥àè¨ë, ¯®«ë© 55 | ¯®«ë©, ¢®ªà㣠¢ãâ॥© ¢¥àè¨ë 42 | ¯à¥¤¥«ìë© 27 ¨£ãà ¥á⪠ï 402 ¨£ãàë £®¬¥®¬®àäë¥ 57 ãªæ¨ï ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , áãé¥á⢥® ¬®®â® ï 127, 440 | ¤¨áâ 樮 ï 397 | ¬®£®£à ¨ª , ¯®¢¥àå®áâ ï 136 | ®¯®à ï 341 | áä¥à¨ç¥áª®£® ¬®£®ã£®«ì¨ª , áãé¥á⢥® ¬®®â® ï 129 áâì ¬®£®£à ¨ª , ¡¥áª®¥ç ï 287, 318 ¨á«® ®¯®à®¥ 18 | | ¬®£®£à ¨ª 356 | | ¬®£®ã£®«ì¨ª 439 ¯®çª 227 | ¡¥áª®¥ç ï 228 ¨à¨ ¬®£®£à ¨ª 308 K -âਠ£ã«ïæ¨ï 199 ε-¯®ªàë⨥ 145
£« ¢«¥¨¥
â ।ª®««¥£¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǒ।¨á«®¢¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « ¢ I. á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ¨ ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. ¤ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª ¯«®áª®áâﬨ £à ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ¤ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¬®£®£à ¨ª ¥£® ¢¥àè¨ ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ¤ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª ¢¥àè¨ ¬¨ ¨ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ . . § 5. ä¥à¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à ¥¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. §¢¥à⪠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ à §¢¥à⮪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë ¨§ ¢ãâ॥© £¥®¬¥âਨ à §¢¥à⮪ . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
« ¢ II. ¥â®¤ ¨ १ã«ìâ âë
............................................
1. ¥¬¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ¥¬¬ ®¡ ®â®¡à ¥¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ¤ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª à §¢¥à⪮© (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ III, IV ¨ V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ®£®£à ¨ª¨ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥© (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ VI, VII ¨ VIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. ®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å (¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ë IX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. ¥®à¥¬ë ¥á⪮á⨠(¡§®à १ã«ìâ ⮢ £« ¢ X ¨ XI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Ǒ¥à¥å®¤ ®â ¬®£®£à ¨ª®¢ ª ªà¨¢ë¬ ¯®¢¥àå®áâï¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ⮯®«®£¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. ¥®à¥¬ ®¡ ¨¢ ਠâ®á⨠®¡« á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § §
« ¢ III.
¤¨á⢥®áâì ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© . . . . §
1. ¥áª®«ìª® «¥¬¬ ® ¬®£®£à ëå 㣫 å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii 1 7 7 16 21 26 39 49 57 71 81 85 85 91 97 105 116 123 135 139 145 151 151
487
2. ¢¥á⢮ ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¯à¨ à ¢¥á⢥ ¯«®áª¨å 㣫®¢ . . . . . . . . . . . . . . 3.
¤¨á⢥®áâì ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ á ªà¨¢¨§®©, ¬¥ì襩 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. ®£®£à ¨ª¨, ¨¬¥î騥 £à ¨æã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § §
« ¢ IV. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮©
....
160 165 170 179 183 189 189 198
1. ®£®®¡à §¨¥ à §¢¥à⮪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. ®£®®¡à §¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ãé¥á⢮¢ ¨¥ § ¬ªã⮣® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 § 4. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 § 5. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ ®© à §¢¥à⪮© ¨ ¤ ë¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ ã£«®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 « ¢ V. ª«¥¨¢ ¨¥ ¨ ¨§£¨¡ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© . . . . . 225 § 1. ª«¥¨¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª®¢ á £à ¨æ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 § 2. §£¨¡ ¨¥ ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 § 3. ¡®¡é¥¨ï ª £« ¢ ¬ IV ¨ V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 §
« ¢ VI. á«®¢¨ï à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267 267 276 283 286
1. ¥¬¬ë ® ¢ë¯ãª«ëå ¬®£®ã£®«ì¨ª å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. á«®¢¨¥ à ¢¥á⢠§ ¬ªãâëå ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. á«®¢¨ï à ¢¥á⢠¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨ ®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ® ¡¥áª®¥çëå ¬®£®£à ¨ª å. ¬®£®£à ¨ª å á £à ¨æ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 § 6. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 §
« ¢ VII. ¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¬®£®£à ¨ª®¢ á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© . . . . . . . . . . § 2. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© ¯® ¨ª®¢áª®¬ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯«®é ¤ï¬¨ £à ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ¡é ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®£®£à ¨ª . . . . . . . § 5. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ®¯®à묨 ç¨á« ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
306 306 313 318 324 329 341
488
. .
« ¢ VIII. ¢ï§ì ãá«®¢¨ï à ¢¥á⢠¬®£®£à ¨ª®¢ á ¯ à ««¥«ì묨 £à ﬨ á ¤à㣨¬¨ § ¤ ç ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Ǒ à ««¥«®í¤àë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ®£®£à ¨ª ¨¬¥ì襩 ¯«®é ¤¨ ¯à¨ § ¤ ®¬ ®¡ê¥¬¥ . . . . . . . . . . . . . § 3. ¬¥è ë¥ ®¡ê¥¬ë ¨ ¥à ¢¥á⢮ àã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § §
« ¢ IX. ®£®£à ¨ª¨ á ¢¥àè¨ ¬¨ ¤ ëå «ãç å
..........
1. ¬ªãâë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. ¥áª®¥çë¥ ¬®£®£à ¨ª¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
« ¢ X. ¥á⪮áâì ¢ë¯ãª«®£® ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 ன à §¢¥à⪮© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ¥ä®à¬ 樨 ¬®£®£à ®£® 㣫 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. ᨫ¥ ï «¥¬¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. â 樮 à®áâì ¤¢ã£à ëå 㣫®¢ ¬®£®£à ¨ª ¯à¨ áâ 樮 à®á⨠¥£® ¯«®áª¨å 㣫®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª®¢ ¨ à ¢®¢¥á¨¥ áâ¥à¥¢ëå á¨á⥬ . . . . . . . . . . . § 5. ¤¥ä®à¬ æ¨ïå à §¢¥à⮪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. ¥á⪮áâì ¬®£®£à ¨ª á® áâ 樮 ன à §¢¥à⪮© . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
« ¢ XI. á«®¢¨ï ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª á ¤ 묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ £à ¥© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ¬®£®ã£®«ì¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. ¥®à¥¬ë ® ¥á⪮á⨠¬®£®£à ¨ª®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. ¢ï§ì ⥮६ ® ¥á⪮á⨠¤àã£ á ¤à㣮¬ ¨ á ⥮ਥ© ᬥè ëå ®¡ê¥¬®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. ¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
¨â¥à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǒ।¬¥âë© ãª § ⥫ì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346 346 356 363 376 376 388 396 402 403 409 414 421 424 429 436 439 439 445 453 459 463 484
Contents
Editors' prefa e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prefa e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C h a p t e r I. Basi on epts and simplest properties of onvex polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. De nition of a onvex polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Determining a polyhedron from the planes of its fa es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Determining a losed polyhedron from its verti es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Determining an unbounded polyhedron from its verti es and the limit angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. The spheri al image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Topologi al properties of polyhedra and developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Some theorems of the intrinsi geometry of developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
C h a p t e r II. Methods and results
..........................................
1. The Cau hy lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. The mapping lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Determining a polyhedron from a development (Survey of hapters III, IV, and V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Polyhedra with pres ribed fa e dire tions (Survey of hapters VI, VII, and VIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Polyhedra with verti es on pres ribed rays (Survey of hapter IX) . . . . . . . . . § 6. In nitesimal rigidity theorems (Survey of hapters X and XI) . . . . . . . . . . . . . . § 7. Passage from polyhedra to urved surfa es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Basi topologi al notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. The domain invarian e theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
C h a p t e r III. Uniqueness of polyhedra with pres ribed development §
.
1. Several lemmas on polyhedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii 1 7 7 16 21 26 39 49 57 71 81 85 85 91 97 105 116 123 135 139 145 151 151
490
A. D. ALEXANDROV
2. Equality of dihedral angles in polyhedra with equal planar angles . . . . . . . . . . 3. Uniqueness of polyhedra with pres ribed development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Unbounded polyhedra of urvature less than 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Polyhedra with Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § §
C h a p t e r IV. Existen e of polyhedra with pres ribed development
...
160 165 170 179 183 189 189 198
1. The manifold of developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. The manifold of polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Existen e of losed onvex polyhedra with pres ribed development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 § 4. Existen e of unbounded onvex polyhedra with pres ribed development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 § 5. Existen e of unbounded polyhedra given the development and the limit angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 C h a p t e r V. Gluing and exing polyhedra with boundary . . . . . . . . . . . . . 225 § 1. Gluing polyhedra with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 § 2. Flexes of onvex polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 § 3. Generalizations of hapters IV and V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 §
C h a p t e r VI. Conditions for ongruen e of polyhedra with parallel fa es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267 267 276 283 286
1. Lemmas on onvex polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. On linear ombination of polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Congruen e onditions for losed polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Congruen e onditions for unbounded polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Another proof and generalization of the theorem on unbounded polyhedra. Polyhedra with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 § 6. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 §
C h a p t e r VII. Existen e theorems for polyhedra with pres ribed fa e dire tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Existen e of polyhedra with pres ribed fa e areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Minkowski's proof of the existen e of polyhedra with pres ribed fa e areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Existen e of unbounded polyhedra with pres ribed fa e areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. The general existen e theorem for unbounded polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Existen e of onvex polyhedra with pres ribed support numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
306 306 313 318 324 329 341
491
CONTENTS
C h a p t e r VIII. Relationship between the ongruen e ondition for polyhedra with parallel fa es and other problems . . . . . . . . . . . . .
1. Parallelohedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. A polyhedron of least area with xed volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Mixed volumes and the Brunn inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § §
C h a p t e r IX. Polyhedra with verti es on pres ribed rays
..............
1. Closed polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Unbounded polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
C h a p t e r X. In nitesimal rigidity of onvex polyhedra with stationary development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Deformation of polyhedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. The strong Cau hy lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Stationary dihedral angles for stationary planar angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. In nitesimal rigidity of polyhedra and equilibrium of hinge me hanisms . . . . § 5. On the deformation of developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Rigidity of polyhedra with stationary development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
C h a p t e r XI. In nitesimal rigidity onditions for polyhedra with pres ribed fa e dire tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. On deformations of polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. In nitesimal rigidity theorems for polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Relationship of in nitesimal rigidity theorems with One another and with the theory of mixed volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §
Referen es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subje t index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346 346 356 363 376 376 388 396 402 403 409 414 421 424 429 436 439 439 445 453 459 463 484
ã箥 ¨§¤ ¨¥ «¥ªá ¤à®¢ «¥ªá ¤à ¨«®¢¨ç Ǒ
¥à¨ï ý§¡à ë¥ âàã¤ëþ ®¬ 2
¥¤ ªâ®à 㤮¨ª 㤮¥áâ¢¥ë© à¥¤ ªâ®à ¥å¨ç¥áª¨¥ । ªâ®àë ®à४â®àë ®¬¯ìîâ¥àë© ¡®à §¤. «¨æ. ü020297 ®â 23.06.1997. ¤ ® ¢ ¡®à 20.12.2006. Ǒ®¤¯¨á ® ¢ ¯¥ç âì 29.11.2007. 㬠£ . ®à¬ â 70 × 100 1/16 . äá¥â ï ¯¥ç âì. á«. ¯¥ç. «. 40,0+ 0,1 ¢ª«. ¬¥«. ¡ã¬. ç.-¨§¤. «. 35,1. ¨à 700 íª§. ª § ü 594. ¨¡¨à᪠﨧¤ ⥫ì᪠ïä¨à¬ ý 㪠þ.630099,®¢®á¨¡¨àáª,ã«.®¢¥â᪠ï,18. Ǒ ý 㪠þ . 630077, ®¢®á¨¡¨àáª, ã«. ⠨᫠¢áª®£®, 25. . . ᯥ᪠ï
. . ®à¡ã®¢
. Ǒ. ®«®ª¨â¨
. . ® ®¢ , . . áâà®ã¬®¢
. . ªã襢 , . .
£®à®¢, . . ®®¥ª®, . . «ë襢 . . ¥«ï¥¢
CONTENTS
abv
493
494
A. D. ALEXANDROV
