Математические основы теоретической физики: Учебное пособие. Ч.2

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедра теоретической и ядерной физики

В.В. Серов

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов специализации 010401 «Теоретическая физика»

Математические основы теоретической физики (Часть 2)

Саратов 2006 год

1

Содержание 1.

2.

3.

4.

Введение. Возможность различных математических формулировок одного и того же физического закона. Формулировки закона всемирного тяготения: Ньютонова, полевая, с помощью принципа минимума. Основные принципы современной теоретической физики: принцип локальности, принцип минимума, принцип симметрии, принцип относительности. Принцип локальности. Описание физических систем с помощью дифференциальных уравнений как воплощение принципа локальности. Задача Коши. Граничная задача. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: неоднородное уравнение первого порядка с независящей от функции правой частью, уравнение с разделяющимися переменными, линейное уравнение 1-го порядка, линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами, линейное неоднородное уравнение n-го порядка с квазиполиномом в правой части. Принцип минимума. Принцип Ферма в оптике. Понятие действия. Принцип наименьшего действия Гамильтона. Вариации. Уравнение Лагранжа. Функция Лагранжа механической системы. Функция Лагранжа электромагнитного поля. Происхождение принципа минимума из квантовой механики. Амплитуды перехода. Интегралы по траекториям. Принцип симметрии и принцип относительности. Основы теории групп преобразований. Однопараметрические группы. Группа переносов. Касательное векторное поле. Уравнение Ли. Оператор группы. Группа поворотов. Группа Лоренца. Принцип относительности. Релятивистские действие и функция Лагранжа свободной частицы. Группа Галилея. Общая формула для интеграла движения. Связь законов сохранения со свойствами пространствавремени.

2

Введение Современная теоретическая физика базируется на небольшом наборе основных принципов: принципы симметрии и относительности, принцип, согласно которому все должно подчиняться законам квантовой механики, а также вытекающие из теории относительности соображения о локальном характере физических законов. Математика позволяет доказать, что в физике, исходя из разных точек зрения, можно прийти к одним и тем же выводам. Если имеются аксиомы, то вместо них можно воспользоваться некоторыми теоремами; физические же законы построены таким образом, что их различные, хотя и эквивалентные формулировки качественно отличаются. Для примера сформулируем закон тяготения тремя разными способами. Все они совершенно эквивалентны, но выглядят очень несхоже. Первая формулировка - это когда силы между телами описываются уравнением Ньютона

r r mm0 r F = −G 2 r r Каждое тело, "узнав", что на него действует сила, ускоряется, т. е. изменяет свое движение на определенную величину за секунду. Эта формулировка говорит, что сила зависит от чего-то находящегося на конечном расстоянии. Она обладает так называемым свойством нелокальности. Сила, действующая на предмет, зависит от того, насколько удален от него другой предмет. Но откуда может узнать предмет, что происходит вдалеке? Ну что ж, имеется другой способ сформулировать закон. Он основан на понятии поля. В каждой точке пространства имеется число (именно число, а не механизм), и, когда вы переходите с места на место, это число меняется. Если в какой-то точке пространства поместить предмет, то на него будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число (дадим ему обычное название - потенциал; сила действует в направлении быстрейшего изменения потенциала). Далее, сила пропорциональна тому, насколько быстро изменяется потенциал при перемещении из одной точки в другую. Это только одна часть формулировки, и ее недостаточно, потому что еще не определено, как именно изменяется потенциал. Можно было бы сказать, что потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию от каждого тела, но тогда мы снова вернулись бы к понятию о действии на расстоянии. Можно сформулировать закон по-другому, сказав: нам не надо знать, что происходит за пределами маленького шарика. Если необходимо знать, чему равен потенциал в центре, достаточно выяснить, каков потенциал по соседству с интересующей нас точкой и какова масса шарика. Правило таково. Потенциал в центре равен среднему потенциалу на поверхности шарика минус постоянная G, которая была в предыдущем уравнении, поделенная на удвоенный радиус шарика (обозначим его через а) и умноженная на массу шарика, если шарик достаточно мал:

3

r ϕ (r ) = ϕ

S

G mV − 2a

Очевидно, что этот закон отличается от предыдущего, ибо он говорит нам, что происходит в некоторой точке, если известно, что происходит рядом с ней. Ньютонова же формулировка позволяет сказать, что происходит в данный момент времени, если мы знаем, что происходит в предыдущий момент. Во времени она переводит нас плавно от момента к моменту, но в пространстве заставляет скакать из одного места в другое. Вторая формулировка локальна и во времени, и в пространстве, потому что она говорит о соседних точках. Но в математическом смысле обе формулировки эквивалентны. Существует еще и третья формулировка, основанная на качественно иных понятиях, и которая в философском смысле прямо противоположна предыдущей. Тут нам не нужно переходить от момента к моменту, от точки к точке; мы опишем все сразу, целиком. Пусть у нас имеется несколько частиц и вы желаете знать, как одна из них перемещается из одного места в другое. Вообразим все возможные пути перехода из одного места в другое за данный отрезок времени

Скажем, частица должна перейти из точки Х в точку Y за час и мы желаем знать, по какому пути она может двигаться. Мы воображаем всевозможные кривые и для каждой кривой подсчитываете определенную величину (она равна среднему значению разности между кинетической и потенциальной энергией.) Если мы подсчитаем эту величину для одного пути, а затем для другого, то для разных путей получите разные числа. Но один из путей дает наименьшее возможное число - именно этим путем и воспользуется на самом деле частица. Теперь мы описываем действительное движение, эллипс, высказывая нечто о кривой в целом. Нам не нужно думать о причинности, о том, что частица чувствует притяжение и движется в согласии с ним. Вместо этого мы говорим, что она разом рассматривает все кривые, все возможные пути и решает, какой выбрать. (Выбирает тот, для которого наша величина - минимальная.) Вот пример, сколько способов существует для описания природы. Какой же из них правильный? Если они математически неравнозначны, то нам остается лишь выяснить на эксперименте, как именно поступает Природа. Например, Эйнштейн понял, что электрические сигналы не могут распространяться быстрее света. Эйнштейн догадался, что это общее свойство природы, и в том числе гравитации. Если сигналы не могут распространяться быстрее света, то формулировка, подразумевающая мгновенные взаимодействия, очень плоха. Поэтому в обобщенной теории гравитации, созданной Эйнштейном, метод Ньютона безнадежно слаб и чудовищно сложен, тогда как метод полей и принцип минимума точны и просты. Какой из двух предпочесть - наука до сих пор не решила. 4

На самом деле оказывается, что в квантовой механике ни один из них не точен в том виде, в каком мы их тут сформулировали, а сам факт существования принципа минимума является следствием того, что в микромире частицы подчиняются квантовой механике. Сейчас наилучшим законом представляется комбинация принципа минимума и локальных законов. Современная наука предполагает, что законы физики должны иметь локальный характер и в то же время сочетаться с принципом минимума, но наверняка мы этого не знаем. Известный математик Герман Вейль предложил определение симметрии, согласно которому симметричным называется такой предмет, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего вы начали. Именно в этом смысле говорят о симметрии законов физики. При этом мы имеем в виду, что физические законы или способы их представления можно изменять так, что это не отражается на их следствиях. Простейшим примером симметрии такого рода может служить симметрия относительно пространственного переноса. Если построить любую установку и при ее помощи поставить какой-нибудь опыт, а затем взять и построить точно такую же установку для точно такого же эксперимента с точно таким же объектом, но в другом месте, не здесь, а там, т. е. просто перенести наш опыт в другую точку пространства, то окажется, что во время обоих опытов происходит в точности одно и то же. Говоря о симметрии относительно пространственных переносов, необходимо учитывать все, что играет в эксперименте существенную роль, и переносить все это вместе с установкой. Интереснейшее свойство природы как раз и заключается в том, что всегда удается перенести достаточно материала, чтобы установка вела себя, как и раньше. Другое свойство симметрии связано с тем, что для физических законов не существенны и сдвиги во времени. Запустим планету вокруг Солнца в определенном направлении. И предположим, что мы могли бы запустить ее же снова на 2 часа или на 2 года позже, запустить снова с самого начала точно таким же образом при точно таком же исходном расположении планет и Солнца, как и при первом запуске. Тогда все будет происходить точно так же, как и в первом случае, поскольку вновь закон всемирного тяготения говорит о скорости и нигде не пользуется понятием абсолютного времени, в определенный момент которого необходимо начать измерения. Приведем еще несколько примеров законов симметрии. Один из них связан с фиксированными пространственными поворотами. Если проводить какой-либо опыт с установкой, построенной в каком-нибудь определенном месте, а затем взять другую точно такую же установку и повернуть ее так, чтобы все ее оси имели другую ориентацию, то установка будет работать точно таким же образом, как и раньше. Конечно, при этом нам снова нужно повернуть и все остальное, существенное для эксперимента. Если речь идет о дедовских часах и вы положите их на бок, маятник просто уткнется в стенку футляра и часы остановятся. Но если вместе с часами повернуть и Землю (которая и так все время поворачивается), часы будут идти по-прежнему. Еще один очень интересный пример закона симметрии связан с равномерным движением по прямой. Считается, что законы физики не меняются при равномерном движении по прямой. Это утверждение получило наименование принципа относительности. Теперь может показаться, что все законы физики симметричны относительно любых изменений. Но можно привести много примеров, что это не так. Первый из них изменение масштаба. Тот факт, что законы физики не остаются неизменными при 5

изменении масштаба, впервые был обнаружен Галилеем. Если увеличить собаку в десять раз с сохранением масштабов, то её масса возрастёт в 1000 раз, а прочность костей только в 100, так что такая гигантская собака просто расплющится под собственным весом. А если вдобавок увеличить Землю в 10 раз, станет еще хуже. Симметрии в физических законах очень важны, поскольку из их наличия прямо следует, что некоторые величины, называемые интегралами движения, при движении не изменяются. В частности, из симметрии относительно трансляций по времени следует закон сохранения энергии, относительно пространственного переноса – закон сохранения импульса, а относительно поворота – закон сохранения момента импульса. В целом, курс построен следующим образом. Он состоит из трех глав, посвященных, соответственно, принципу локальности, принципу минимума, и принципам симметрии и относительности. При этом мы не преследуем цели получить глубокое понимание физических предпосылок и следствий данных принципов, а сосредоточиваемся на математических дисциплинах, связанных с ними. В целях компактности и получения практической пользы от данного курса, мы не будем приводить доказательства теорем и т.п., в отличие математических курсов, и сосредоточимся на рецептах решения простых задач. В главе о принципе локальности мы рассматриваем дифференциальные уравнения, поскольку именно с помощью них чаще всего записываются физические законы, имеющие локальный характер. В главе о принципе минимума мы рассматриваем понятие действия, выводим уравнения Лагранжа и функцию Лагранжа для механической системы, а также даем чисто описательное понятие о том, как принцип наименьшего действия вытекает из квантовой механики. В заключительной главе, посвященной симметриям, мы даем основы теории групп, в рамках которой интуитивное понятие симметрии приобретает строгий математический смысл, и с помощью введенных понятий разбираемся в релятивистском и нерелятивистском принципах относительности, а также выводим общую формулу для интегралов движения, из которой в частном случаях следуют известные законы сохранения.

Принцип локальности В главе о принципе локальности мы рассматриваем дифференциальные уравнения, поскольку именно с помощью них чаще всего записываются физические законы, имеющие локальный характер.

Задача Коши Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид

x& = f (t , x(t )) Это отвечает физической ситуации, когда значение физической величины x в данный момент времени t определяется её значением в предыдущий момент t-dt. Решением дифференциального уравнения называется функция x(t). У этого уравнения бесконечное множество решений, все их можно задать обычным (недифференциальным) уравнением

6

F (t , x ) = C содержащим произвольную константу С. Для того чтобы выделить конкретное решение из общего, нужно определить эту константу из дополнительного уравнения, называемого начальным условием

x(0) = x0 т.е. x0 – начальное значение величины x. Это выражение можно подставить в общее решение и найти значение С , соответствующее данному x0

C = F (0, x0 ) а потом ему приравнять общее решение. Т.е. конкретное решение подчиняется выражению

F (t , x ) = F (0, x0 ) из которого можно выразить x(t). Задача решения системы из дифференциального уравнения и начального условия называется задачей Коши.

Граничная задача Дифференциальные уравнения, содержащие производные более высокого порядка, требуют большего количества дополнительных условий для однозначного определения решения. Общее решения уравнения второго порядка

&& x = F (t , x(t ), x& (t )) к которым относится множество физических уравнений, включая уравнение Ньютона в механик, уравнение Пуассона в электродинамике, и уравнение Шредингера в квантовой механике, содержит две произвольных константы. Соответственно, нужно два условия. В механике, можно задать начальное значение координаты и производной координаты, т.е. скорости

x(0) = x0 x& (0) = v0 - это опять будет задача Коши. Но можно задать два значения координаты в разные моменты времени – в начале и конце движения

7

x(t1 ) = x1 x(t2 ) = x2 т.е. предполагается, что t ∈ [t1...t2 ] . Такие условия называются граничными, а задача решения системы из дифференциального уравнения и граничных условий называется граничной задачей.

Простейшие типы дифференциальных уравнений Неоднородное уравнение с первой производной без зависимости от искомой функции в правой части

x& = f (t ) его решение t

x(t ) = x(t0 ) + ∫ f (τ )dτ t0

Уравнение с разделяющимися переменными

x& = f1 (t ) f 2 ( x) или, что то же самое

g ( x ) x& = f (t ) его решение x

t

x0

t0

∫ g (ξ )dξ − ∫ f (τ )dτ = 0

Пример: Формула Циолковского Закон сохранения импульса для прямолинейно движущейся ракеты

8

d (mv ) = −(v0 − v)dm Решение:

v(m) = v0 ln(m / m0 )

Линейное уравнение

x& = a (t ) x + g (t ) Однородное линейное уравнение

x& = a (t ) x Его решение

t  x(t ) = C exp  ∫ a(τ )dτ  t  0  Решение неоднородного уравнения (метод вариации постоянной)

t  x(t ) = C (t ) exp  ∫ a(τ )dτ  t  0  где

ξ  C (t ) = ∫ g (ξ ) exp  ∫ a(τ )dτ dξ + x0 t  t0 0  t

Пример: Впрыск радиоактивного вещества в некий обьём

dm = −α m + g (t ) dt Решение: если

g (t ) = g 0 = const

9

m(t ) =

g0

α

(1 − e −α t )

Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коеффицентами

z ( n ) + a1 z ( n −1) + ... + an z = 0 Решение: поставим этому уравнению в соответствие многочлен

D (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ... + an называемый характеристическим. Пусть у него есть m корней λi кратности ki . Тогда общее решение уравнения n

z (t ) = ∑ c j z j (t ), j =1

z j (t ) = t l eλi t ; l = 0,K , ki − 1; i = 1,K , m Пример: Маятник с трением

&& x + γ x& + ω0 2 x = 0 x –отклонение конца маятника по горизонтали, ω0 = g / l -частота маятника в отсутствии трения.

Линейное неоднородное уравнение n-го порядка с постоянными коеффицентами

z ( n ) + a1 z ( n −1) + ... + an z = F (t ) Его решение n

z (t ) = zc (t ) + ∑ c j z j (t ) j =1

где zc (t ) -частное решение неоднородного уравнения.

10

Если

F (t ) = g (t )e µt где g (t ) - многочлен степени r, то частное решение

 f (t )e µt , если µ не равно ни одному из λi zc (t ) =  k µt t i f (t )e , если µ равно корню λi кратности ki где f (t ) - некий многочлен той же степени r. Процедура его получения заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях t.

Если в правой части стоит сумма квазимногочленов, то частное решение равно сумме решений для каждого из квазимногочленов. Пример 1: Падение тела в воздухе

&& y = − g − γ y& с граничными условиями

y (0) = y0 ; y (T ) = 0 . Найти решение и начальную скорость.

Пример 2: Движение маятника с трением под действием периодической внешней силы

&& x + γ x& + ω0 2 x = f sin Ωt Принцип минимума В главе о принципе минимума мы рассматриваем понятие действия, выводим уравнения Лагранжа и функцию Лагранжа для механической системы, и демонстрируем, что принцип наименьшего действия вытекает из квантовой механики.

Принцип наименьшего действия В оптике существует принцип Ферма: свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Время прохождения произвольного пути s 2

r n( r )ds τ =∫ c 1

11

На расстоянии, равном длине волны в среде λ ′ = λ / n происходит отставание на фазу 2π , следовательно для фазы можно записать 2

δ=

2π

λ

r n ( r ∫ )ds

1 Принцип Ферма можно переформулировать как принцип минимума фазы. Аналогичным образом в механике в качестве фазы можно ввести величину 2

r r r S0 = ∫ p (r )ds

1 r называемую укороченным действием, где ds - вектор элемента пути, направленный вдоль r перемещения, p - импульс. Частица всегда движется по траектории, для которой укороченное действие минимально. Но укороченного действия явно недостаточно для того, чтобы полностью описать механическую систему, во первых потому, что это понятие неприменимо к незамкнутым системам, на которые действует зависящее от времени внешнее воздействие, а во вторых, из принципа наименьшего укороченного действия можно найти траекторию, т.е. зависимость координат друг от друга, но невозможно определить закон движения, т.е. зависимость координат от времени. Поэтому вводится величина t2

r r S = ∫ L(r , v , t )dt t1

называемая действием. Коэффициент

L называется функцией Лагранжа.

Реальная траектория из всех возможных траекторий перехода из 1 в 2 выделяется тем, что для нее действие минимально – это называется принцип Гамильтона.

Из принципа наименьшего действия следуют уравнения Лагранжа. Выведем их для одномерного случая. Из принципа наименьшего действия следует, что для реальной траектории

δS = 0

Здесь δ обозначает вариацию(не путать с фазой!!!), это похоже на дифференциал, но с дополнительными ограничениями на изменение(вариацию) переменных, и подразумевается, что мы слегка меняем траекторию 12

t2

t

2 ∂L( x, v, t ) ∂L( x, v, t ) δS = ∫ δ xdt + ∫ δ vdt ∂x ∂v t1 t1

при этом не меняя положения точек начала и конца движения. Пользуясь интегрированием по частям для второго интеграла и тем, что на концах вариация скорости равна нулю t2

t

t

2 2 ∂L( x, v, t ) d ∂L( x, v, t )  ∂L( x, v, t ) d ∂L( x, v, t )  δS = ∫ δ xdt − ∫ δ xdt = ∫  −  δ xdt x dt v x dt v ∂ ∂ ∂ ∂  t1 t1 t1

или, поскольку

δ x произвольное, хотя и маленькое

d ∂L ∂L − =0 dt ∂v ∂x

Выведем функцию Лагранжа для движения свободной частицы. Однородность пространства и времени означает что ф-я Л. Не должна явным образом зависеть от координат и времени, а изотропность пространства – что может зависеть только от квадрата скорости. Принцип относительности Галилея утверждает, что во всех инерциальных системах отсчета вид уравнений движения должен быть одинаков. Далее опять будем рассматривать одномерное движение. Рассмотрим систему отсчета, движущуюся относительно исходной с малой скоростью ε . Преобразование Галилея для скорости

v′ = v + ε

Если подставить в ф-ю Л. получим

L′ = L(v′2 ) = L(v 2 + 2vε + ε 2 )

L (v 2 ) +

∂L 2vε 2 ∂v

Уравнение Лагранжа не меняет формы если к ф-и Л. добавить полную производную по времени от произвольной ф-ии => второе слагаемое должно быть полной производной, v = x& - полная производная, =>

∂L m = = const ∂v 2 2

и

mv 2 L (v, t ) = =T 2 Более обще, функция Лагранжа зависит от набора переменных, описывающих состояние системы, т.н. обобщенных координат и скоростей

L = L( q1 ,K , qs , q&1 ,K , q& s , t ) = T ( q1 ,K , qs , q&1 ,K , q& s ) − U ( q1 ,K , qs , t ) а уравнения Лагранжа имеют вид

d ∂L ∂L = dt ∂q&i ∂qi

13

Принцип наименьшего действия применим не только к механическим системам с конечным числом степеней свободы, но и бесконечномерным системам. Любое поле задается своими значениями в каждой точке пространства. Каждое из этих значений является степенью свободы поля, их бесконечно много, следовательно, поле можно представить как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Максвелл, когда выводил свои уравнения для электромагнитного поля, мысленно заполнил все пространство бесконечно малыми шестерёнками, и применил принцип наименьшего действия. Для примера приведём функцию Лагранжа для электромагнитного поля

1 1 rr 2 2 (Ε − Η )dV + ∫ ( Aj )dV − ∫ ϕρ dV L= ∫ 8π c r r где напряженность электрического поля E и напряженность магнитного поля H r r r r 1 ∂A E=− − grad ϕ ; H = rot A c ∂t r

связаны с потенциалами электромагнитного поля: скалярным ϕ и векторным A . Дифференциальный оператор rot - ротор, степень «закрученности» векторного поля. Оператор grad - градиент, направление наиболее быстрого роста скалярного потенциала. Пример 1: Найти функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для математического маятника.

Происхождение принципа наименьшего действия из квантовой механики Физический смысл принципа наименьшего действия можно понять из оптикомеханической аналогии. Свет – электромагнитная волна, которая должна заполнять всё пространство. Дойдя до любой точки пространства, в соответствии с принципом Гюйгенса, волна порождает вторичную сферическую волну, исходящую из данной точки. Но из за интерференции все эти волны гасят друг друга во всем пространстве, за исключением узкого канала с шириной порядка половины длины волны, соединяющем точки испускания и регистрации, называемого лучом. Вся энергия волны идет по этому каналу. Каждая парциальная волна описывается фазой, и луч соответствует пути, на котором накрутка фазы на пути от источника до точки регистрации минимальна(принцип Ферма). В соответствии с квантовой механикой, нерелятивистская частица описывается уравнением Шредингера

r ∂ψ (r , t ) h2 2 r r r ih =− ∇ ψ (r , t ) + U (r , t )ψ (r , t ) ∂t 2m

где ψ - комплексная функция, квадрат модуля которой равен плотности вероятности найти частицу в данной точке пространства, h - постоянная Планка, i = −1 - мнимая

14

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ r + 2 + 2 , U (r , t ) - потенциальная энергия. 2 ∂x ∂z ∂z Это уравнение имеет волновые решения.

единица, ∇ 2 - оператор Лапласа, ∇ 2ψ =

Опять рассмотрим движение из точки 1 в точку 2. В отличии от классической механики, где имеется единственная траектория, по которой частица переходит из 1 в 2, в квантовой r возможно движение по любой траектории, соединяющей 1 и 2. Каждой траектории [r (t )] (под квадратными скобками подразумевается упорядоченное множество значений) можно r сопоставить комплексную амплитуду вероятности ϕ ([r (t )]) , которая связана с классическим действием на этой траектории t

2 r r r S ([r (t )]) = ∫ L(r (t ), r& (t ), t )dt

t1

следующим образом:

r

r

ϕ ([r (t )]) = a exp{iS ([r (t )]) / h}

r Таким образом величина S ([r (t )]) / h является фазой, аналогичной оптической фазе. Вероятность перехода из точки 1 в точку 2 есть квадрат модуля суммы амплитуд вероятности для различных траекторий

P(1, 2) =

∑

r ϕ ([r (t )])

2

По всем траекториям

Заметим, что в отличие, например, от броуновского движения, где частица также может попасть из одной точки в другую по множеству траекторий, здесь суммируются именно амплитуды вероятности, а не сами вероятности, так что альтернативы интерферируют, а не суммируются. Может показаться, что раз все члены в сумме имеют одинаковую вероятность r | ϕ ([r (t )]) |2 =| a |2 и отличаются только фазой, все траектории равноценны, что, очевидно, находится в противоречии с тем, что для тяжелых частиц движение должно быть r r r классическим. Рассмотрим две близкие траектории r (t ) и r (t ) + δ r (t ) . Поскольку постоянная Планка h очень маленькая, небольшое изменение траектории приводит к большому изменению фазы. Экспонента от мнимого аргумента есть сумма косинуса и синуса exp(iδ ) = cos δ + i sin δ , процедура суммирования близких траекторий приводит к взятию среднего от cos и sin , которые равны нулю. Таким образом, на самом деле вклад в сумму должны вносить только набор близких траектории, фазой не отличающихся

r

r

r

r

δ S ([r (t )]) = S ([r (t ) + δ r (t )]) − S ([r (t )]) = 0

т.е. лежащих вблизи траектории, для которой действие минимально, т.е. классической траектории. Т.е., принцип наименьшего действия вытекает из квантовой механики.

Принцип симметрии В данной главе, посвященной симметриям, мы даем основы теории групп, в рамках которой интуитивное понятие симметрии приобретает строгий математический смысл, и с помощью введенных понятий разбираемся в релятивистском и нерелятивистском 15

принципах относительности, а также выводим общую формулу для интегралов движения, из которой в частном случаях следуют известные законы сохранения.

Теория групп Рассмотрим преобразование

T:

z ' = f ( z) z = ( z1 , z 2 ,..., z N ) евклидова пространства 1 2 N R N переводится в новое положение z ' = ( z ' , z ' ,..., z ' ) в том же пространстве.

при помощи которого элемент

Будем предполагать, что преобразование обратимо и обозначим обратное преобразование,

z , обозначим T −1 . Последовательное выполнение прямого и обратного преобразования в любом порядке дает тождественное преобразование I , переводящее из

z'

в

переводящее любую точку в саму себя. Начнем с однопараметрических преобразований

z ' = f ( z, a)

a - непрерывный параметр. Каждому значению параметра соответвует конкретное преобразование. Будем предполагать, что a = 0 соответвует тождественное преобразование T0 = I и T0 ≠ I для всех остальных значений a . Обозначим значение где

параметра, соответвующее обратному преобразованию, как

−1 a −1 , т.е. Ta = Ta−1 .

Чтобы преобразования образовывали группу, необходимо, чтобы

TaTb = Tc т.е. два последовательных преобразования равносильны одному преобразования с параметром

c = ϕ ( a, b) .

По определению, группа удовлетворяет следующим свойствам 1) Существование единицы ( T0

=I

) −1

2) Существование обратного элемента ( Ta

= Ta−1 )

3) Ассоциативность умножения в группе ( Tc (TbTa )

= (TcTb )Ta

Пример 1: а)Преобразование растяжения

z ' = (1 + a ) z

Обратный элемент соответствует

a −1 = −

a 1+ a ,

а

c = a + b + ab 16

б) Перенос вдоль вещественной прямой x ' = x + a в) Проверить, является ли группой преобразования на плоскости

x ' = x + a;

y ' = y + a2

Пусть групповое свойство имеет вид

TaTb = Ta +b т.е.

f ( f ( z , a ), b) = f ( z , a + b)

Обозначим такую группу буквой G . Разложим f ( z , a ) в ряд Тейлора и обозначив

ξ ( z) =

∂f ( z , a ) ∂a a =0

касательное векторное поле группы

G , перепишем преобразование в виде

z ' = z + ξ ( z )a + O(a 2 ) Если функция удовлетворяет групповому свойству f ( f ( z , a ), b) = f ( z , a + b) и имеет разложение Тейлора, тогда она является решением дифференциального уравнения с начальным условием

df = ξ ( f ); da

f

a =0

=z

т.н уравнение Ли. Пример 2: Записать и решить уравнение Ли для

x' = x + a ξ ( x) = x

а) Переноса вдоль вещественной прямой б) Группы с векторным полем

Заметим, что всегда в локальной однопараметрической группе можно привести закон умножения к простому суммированию параметров, если сделать замену −1

 ∂ϕ (a, b)  a' = ∫  da ∂b b =0  0  a

Такой новый параметр называется каноническим. Инвариантом группы называется функция, для которой

F ( f ( z , a)) = F ( z )

17

Критерий инвариантности: N

∑ ξi ( z ) i =1

∂F ( z ) =0 i ∂z

Если ввести инфинитезимальный оператор группы N

X = ∑ ξi ( z ) i =1

∂ ∂z i

критерий инвариантности примет вид

XF = 0 Пример 3: найти с помощью решения уравнения Ли для групп с операторами

∂ ∂ −x ∂x ∂y (группа вращения на плоскости) ∂ ∂ +x б) X = y ∂x ∂y (группа Лоренца) ∂ (группа Галилея) в) X = y ∂x 2 2 2 2 проверить для этих групп инварианты а) J = x + y , б) J = y − x и в) J = y . а)

X=y

Принцип относительности Как известно из опыта, во всех инерциальных системах отсчета одинаков квадрат интервала между событиями

s 2 = (ct ) 2 − x 2 (рассматриваем одномерное движение) Таким образом, преобразования при переходе должны быть такими, чтобы он был инвариантом соответствующей группы. Поэтому если x, t -координата и время в неподвижной системе координат

K , то их связь с координатой и временем x ', t ' в

подвижной системе K ' должна даваться преобразованием Лоренца

x = x 'chψ + ct 'shψ

ct = x 'shψ + ct 'chψ

где ψ - угол поворота в псевдоевклидовом пространстве x, ct (предполагается, что в

t = 0 начала координат систем совпадали). Если рассмотреть движение начала координат K ' , то x = ct 'shψ ; ct = ct 'chψ

момент

или после деления одного на другое 18

x = thψ ct

,

а поскольку скорость движения начала координат по определению

thψ =

V c

Поскольку thψ =

shψ 2 2 , а ch ψ − sh ψ = 1 , находим chψ

V /c

shψ =

V = x/t

1 − V 2 / c2

; chψ =

1 1 − V 2 / c2

и окончательно

Vx ' x '+ Vt ' c2 x= ; t= 1 − V 2 / c2 1 − V 2 / c2 t '+

Попытаемся найти релятивистское действие свободной частицы. Последовательность точек в пространстве x, ct будем называть мировой линией. Принцип относительности Галилея: законы физики во всех инерциальных системах отсчета одинаковы. Следовательно, действие должно быть инвариантом группы Лоренца. Единственной инвариантной величиной, которую можно сопоставить свободной частице, является интервал s . Действие – интеграл вдоль мировой линии, следовательно оно должно иметь вид b

S = α ∫ ds a

С другой стороны, действие по определению – интеграл по времени tb

S = ∫ Ldt ta

Из определения интервала

ds v2 = c 1− 2 dt c dx - скорость частицы. Следовательно где v = dt v2 L = αc 1− 2 c Раскладывая в ряд Тейлора и сравнивая с нерелятивским дейсвием

mv 2 L= 2 получаем

α = −mc . Окончательно 19

L = −mc

2

v2 1− 2 c

а b

S = −mc ∫ ds a

Интегралы движения Пусть действие инвариантно относительно группы с оператором s

X = ξ0 (q1 ,..., qs )

∂ ∂ + ∑ ξi (q1 ,..., qs ) ∂t i =1 ∂qi

Для действительного движения, уже подчиняющегося уравнению Лагранжа, действие можно рассматривать как функцию от наборов координат и времени начальной и конечной точек tb a a b b 1 s 1 s a 1 s b ta Таким образом, подразумевается, что действие не меняется при одновременном выполнении группового преобразования над обоими наборами переменных. Следовательно, критерий инвариантности дает

S = ∫ L(q ,..., q , t )dt =S (q ,..., q , t ; q ,..., q , t )

X aS + XbS = 0 где индексы при операторе, соответственно, обозначают, что дифференцирование ведется либо по координатам-времени начальной, либо по координатам-времени конечной точки. ∂S Приведем это выражение к физически понятному виду. Для начала преобразуем a и ∂qi ∂S , входящие в выражение. Для этого рассмотрим вариацию действия при слабом ∂qib изменении траектории t2  t2 ∂L  ∂L δ S = ∑ ∫ δ qi dt + ∫ δ q&i dt  ∂q&i i =1   t1  t1 ∂qi s

В отличии от случая, когда мы выводили уравнение Лагранжа, мы уже не считаем, что изменённая траектория имеет те же начальные и конечные точки, что и исходная, поэтому при интегрировании по частям второго слагаемого в квадратных скобках получается b

t

s 2  ∂L d ∂L  ∂L − δS = ∑ δ qi + ∑ ∫   δ qi dt & & q q dt q ∂ ∂ ∂ i =1 i =1 t1  i i i  a s

Поскольку сейчас мы рассматриваем истинное движение, подынтегральное выражение, представляющее из себя левую часть уравнения Лагранжа, должно равняться нулю. Тогда 20

s ∂L ∂L δS = ∑ δ qi − ∑ δ qi & & ∂ q ∂ q i =1 i =1 i i b s

a

и по определению частной производной

∂S ∂L ; = ∂qib ∂q&i b

∂S ∂L = − ∂qia ∂q&i

По определению pi =

∂S = pi (tb ); b ∂qi

a

∂L - обобщенный импульс, следовательно ∂q&i

∂S = − pi (ta ) a ∂qi

∂S ∂S и . Для полных производных по ∂ta ∂tb времени по формуле производной от сложной функции можно записать

Теперь разберемся с производными по времени s dS ∂S ∂S = + ∑ a q&ia ; dta ∂ta i =1 ∂qi

s dS ∂S ∂S = + ∑ b q&ib dtb ∂tb i =1 ∂qi

С другой стороны по определению действия

dS = L ( q1b ,..., qsb , tb ); dtb

dS = − L ( q1a ,..., qsa , ta ) dta

Выражая из этих двух наборов выражений частные производные и учитывая уже полученные формулы для частных производных по координатам, получаем

∂S  s  =  ∑ pi q&i − L  ; ∂ta  i =1 a

dS  s  = −  ∑ pi q&i − L  dtb  i =1 b

Величину в квадратных скобках s

E = ∑ pi q&i − L i =1

назовем энергией. Таким образом, критерий инвариантности приводит к соотношению s

s

i =1

i =1

−ξ0 (q1 ,..., qs , tb ) E (tb ) + ∑ ξi (q1 ,..., qs , tb ) pi (tb ) = −ξ 0 (q1 ,..., qs , ta ) E (ta ) + ∑ ξi (q1 ,..., qs , ta ) pi (ta ) из чего следует, что величина s

I = ∑ ξ i (q1 ,..., qs , t ) pi − ξ 0 ( q1 ,..., qs , t ) E i =1

от времени не зависит

dI =0 dt Такие величины называются интегралами движения.

21

Пример 4: 1) Показать, что из инвариантности функции Лагранжа относительно сдвига по времени следует закон сохранения энергии, относительно пространственного переноса – закон сохранения импульса, а относительно поворота – закон сохранения момента импульса. 2) Найти формулы для релятивистского импульса и энергии свободной частицы.

Литература 1. Фейнман P. Характер физических законов. - М.: Наука, 1987. 2. Карташов А. П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнение и основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1979. – 288 с. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1. Механика. – М.: Наука, 1988. – 215 с. 4. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир, 1968. 5. Ибрагимов Н. Х. Азбука группового анализа. – М.: Знание, 1989. – 48 с. 6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. – М.: Наука, 1988. – 512 с.

22