Дискретная математика. Часть 2

47 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . _____________________________________________________...

Author: Булгаков И. Н. | Федотенко Г. Ф.

8 downloads 371 Views 605KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

47 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й Ф е де р а ции

В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т

Булга ко ва И.Н., Ф е до те нко Г.Ф .

ДИС КР ЕТНА Я М АТЕМ АТИКА ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОР ИИ ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ Ч а сть 2

У чебное пособие д л я сту д е нто в п о сп ециал ьно сти П рик л ад ная мате матик а и инфо рматик а (010200) П рик л ад ная инфо рматик а в юрисп ру д е нции (351400) М ате матиче ск о е о бе сп е че ние и ад министриро в ание инфо рмацио нныхсисте м (351500)


В о р о не ж 2004


У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом ф а ку льт ет а П М М В Г У 16 д ека бря2003 год а , протокол № 3. Бу лга кова И .Н., Ф ед от ен ко Г .Ф . Д искрет н а ям а т ем а т ика . Элем ен т ы т еории. За д а чи и у пра ж н ен ия: У чеб. пособие. — В орон еж : И з-во ВГ У , 2004. — 62 с. Рецен зен т : д . ф .-м . н ., проф ессорка ф ед рыф у н кцион а льн ого а н а лиза и опера т орн ых у ра вн ен ий м а т ем а т ического ф а ку льт ет а ВГ У Сильчен ко Ю .Т.

Д а н н а я ра бот а сод ерж ит кра т кое излож ен ие ку рса лекций по д исциплин е « Д искрет н а ям а т ем а т ика » , чит а ем ом у н а ф а ку льт ет е П М М . П особие сод ерж ит прим еры, д ем он ст риру ю щ ие использова н ие излож ен н ой т еории д ля реш ен ия кон крет н ых за д а ч. За д а чи и прим еры специа льн о под обра н ы по ка ж д ом у ра зд елу ку рса , чт о способст ву ет у своен ию изла га ем ого м а т ериа ла . Д ля за креплен ия м а т ериа ла в кон це па ра гра ф ов привед ен ы за д а чи д ля са м ост оят ельн ого реш ен ия, кот орые могу т быт ь т а кж е использова н ы д ляпровед ен ияпра кт ических за н ят ий. У чебн ое пособие под гот овлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ических м ет од ов исслед ова н ия опера ций ф а ку льт ет а П М М В орон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 1 ку рса д /о и в/о, обу ча ю щ ихся по специа льн ост и « П рикла д н а я м а т ем а т ика и ин ф орма т ика » , а т а к ж е бу д ет полезн а всем , изу ча ю щ им д искрет н у ю м а т ем а т ику .


С ОДЕР Ж АНИЕ 4.

А лге б р а выска зыва ний

4.1 В ыска зыва н ия. О пера ции н а д в ыска зыва н иям и. Ф орм у лы а лгебры выска зыва н ий. Та блицы ист ин н ост и 4.2 Ра вн осильн ые ф орм у лы. О сн ов н ые ра вн осильн ост и а лгебрыв ыска зыва н ий 4.3 Реш ен ие логических за д а ч с пом ощ ью а лгебры выска зыва н ий 5. Алге б р а Буля 5.1 Бу левы ф у н кции. Ра вен ст во ф у н кций и ра вн осильн ост ь ф орм у л. П рин цип д войст вен н ост и 5.2 Д изъ ю н кт ивн ые и кон ъ ю н кт ивн ые н орм а льн ые ф ормы 5.3 К ла ссиф ика цияД НФ . М ин им иза циябу лев ых ф у н кций 5.4 Соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы 5.5 П рилож ен ие а лгебры логики Бу ля к релейн о-кон т а кт н ым схем а м 6. П о лино м Ж е га лкина . Лине йные и не лине йные ф ункции 7. Опе р а ция за м ыка ния. Осно вные за м кнутые кла ссы 8. П о лно та систе м б уле вых ф ункций 9. П р е дика ты. Опе р а ции на д пр е дика та м и 10. П р им е не ние ло гики пр е дика то в в м а те м а тике 11. М а ш ина Тью р инга Л ит ера т у ра Сод ерж а н ие

3 10 12

17 22 26 30 36 42 47 51 56 66 71 77 78


Сост а вит ели: Ред а кт ор:

Бу лга кова И рин а Никола евн а Ф ед от ен ко Г а лин а Ф ед оровн а Тихом ирова О .А .


4. АЛГЕБР А В ЫС КАЗЫВ А НИЙ 4.1 В ыска зыва ния. Опе р а ции на д выска зыва ниям и. Ф о р м улы а лге б р ы выска зыва ний. Та б лицы истинно сти П од выска зыва н ием пон им а ю т лю бое повест вова т ельн ое пред лож ен ие, о кот ором м ож н о ска за т ь, ист ин н о он о или лож н о. В осклица т ельн ое или вопросит ельн ое пред лож ен ия н е являю т ся выска зыва н иям и. Бу д ем обозн а ча т ь выска зыва н ия ла т ин ским и бу ква м и: A, B ,C ,K , a , b , c ,K x , y , z ,K . Л огическое зн а чен ие в ыска зыва н ия « истина» (« л о ж ь» ) обозн а чим циф рой « 1» (циф рой « 0» ). На прим ер, пред лож ен ия: 1. « М осква — ст олица России» — ист ин н ое выска зыва н ие. 2. « Ч исло 3 больш е 6» — лож н ое выска зыва н ие. П ред лож ен ия: 1. « К от орый ча с?» 2. « Д ока ж ит е т еорем у Ф ерм а » . 3. « Д а зд ра вст ву ет м ирн а Зем ле!» н е яв ляю т сявыска зыва н иям и. 1. О пера ция диз ъюнкция (логическое слож ен ие) ∨ — чит а ет ся « или» . П еревод ит сяс ла т ын и ка к « ра зъед ин яю » . Диз ъюнкцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ∨ B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько т огд а , когд а ист ин н о либо A , либо B , и лож н о, когд а оба выска зыва н ия A и B лож н ы. 2. О пера ция конъюнкция (логическое у м н ож ен ие) & ( ∧ ) чит а ет ся: « и» . П еревод ит сяс ла т ын и ка к « связыва ю » . Конъюнкцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет сявыска зыва н ие A & B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько, когд а ист ин н ы од н оврем ен н о A и B , и лож н о, когд а хот ябы од н о из н их лож н о. 3. О пера ция им плика ция (след ова н ия) A → B . Ч ит а ет ся « если A , т о B » (« из A след у ет B » ). И м плика цией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A → B , кот орое лож н о, когд а A ист ин н о и B лож н о, и ист ин н о во всех ост а льн ых слу ча ях. 4. О пера ция эквива ленция A ↔ B ( A ~ B ). Ч ит а ет ся: « A т огд а и т олько т огд а , когд а B » . Эквива ленцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ю т выска зыва н ие A ↔ B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько т огд а , когд а A и B од н оврем ен н о ист ин н ы или од н оврем ен н о лож н ы, и лож н о во всех ост а льн ых слу ча ях.


Та блица ист ин н ост и д ляэ т их опера ций т а кова :


A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A∨ B 0 1 1 1

A&B 0 0 0 1

A→ B 1 1 0 1

A↔ B 1 0 0 1

5. О пера ция от рица ние A (или  A ). Ч ит а ет ся: « н е A » . О т рица нием выска зыва н ия A н а зыва ет сявыска зыва н ие A , кот орое ист ин н о, если A лож н о, и лож н о, если A ист ин н о. Та блица ист ин н ост и д ля A имеет вид :

A

A

0

1

1

0

Ра ссм от рим ещ е т ри логические опера ции, опред еляем ые через осн овн ые логические опера ции. 6. Ш т рих Ш еф фера A  B (чит а ет ся « A н есовм ест н о с B » ): A B = = A & B. Ш т рихом Ш еффера д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A  B , кот орое лож н о только т огд а , когд а оба выска зыва н ия ист ин н ы, и ист ин н о в ост а льн ых слу ча ях. 7. Ст релка Пирса (ш т рих Лука севича ) A ↓ B (чит а ет ся « н и A , н и B » ): A ↓ B = A∨ B . Ст релкой Пирса д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ↓ B , кот орое ист ин н о т олько т огд а , когд а оба выска зыва н иялож н ы, и лож н о в ост а льн ых слу ча ях. 8. Слож ение «по м одулю два »: A ⊕ B = A ↔ B . Слож ением «по м одулю два » д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ⊕ B , кот орое лож н о т огд а и т олько тогд а , когд а A и B од н оврем ен н о лож н ы или од н оврем ен н о ист ин н ы, и ист ин н о в ост а льн ых слу ча ях. A⊕ B A B A B A↓ B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0


О т м ет им , чт о все опера ции, кром е им плика ции, сим м ет ричн ы. И з э т их прост ых (э лем ен т а рн ых) выска зыва н ий ст роят ся сост а в н ые (слож н ые) выска зыва н ия. Ф орм улой а лгебры логики вы ска з ы ва ний н а зыва ет ся всякое сост а вн ое выска зыва н ие, кот орое полу ча ет сяком бин ирова н ием кон ечн ого числа у ка за н н ых выш е осн овн ых опера ций ( ∨ , &,→ , ↔ ,  ). Д ля лю бых ф орму л м ож н о пост роит ь т а блицу ист инност и. Та блицей ист инност и форм улы н а зыва ет ся свод н а я т а блица всех зн а чен ий вход ящ их в н ее выска зыва н ий и соот вет ст ву ю щ их зн а чен ий са м ой ф орм у лы. Та блица сод ерж ит 2 n ст рок, гд е n — число прост ых выска зыва н ий. Ф орм у ла U н а зыва ет ся т ож дест венно ист инной, или т а вт ологией (за писыва ет ся U ≡ 1 ), если д ля всех н а боров зн а чен ий вход ящ их в н ее перем ен н ых (выска зыва н ий) он а прин им а ет зн а чен ие 1 (« ист ин н о» ). Ф орм у ла U н а зыва ет ся т ож дест венно лож ной, или прот иворечием (за писыва ет ся U ≡ 0 ), если д ля всех н а боров зн а чен ий вход ящ их в н ее перем ен н ых (выска зыва н ий) он а прин им а ет зн а чен ие 0 (« лож ь» ). За м ет им , чт о от рица н ие лю бой т а вт ологии ест ь прот иворечие: U ≡ 1 ≡ 0 . В се ост а льн ые ф орм у лы н а зыва ю т сявы полним ы м и.

(

)

Прим ер 1 . След у ю щ ие выска зыва н ия за писа т ь ф орм у ла м и. Сост а вит ь д лян их т а блицы ист ин н ост и. a) Е сли Д ж он у м ен , а Д ж им глу п, т о Д ж он полу ча ет приз. b) Д ж он полу ча ет приз в т ом и т олько т ом слу ча е, если Д ж он у мен или если Д ж им глу п. c) Е сли Д ж им глу п, и Д ж он у н е у д а ет ся полу чит ь приз, т о Д ж он н е у м ен . Реш ение. О бозн а чим прост ые выска зыва н иябу ква м и: A — Д ж он у м ен ; B — Д ж им глу п; C — Д ж он полу ча ет приз. Тогд а сост а вн ые выска зыва н ияза пиш ем в вид е ф орм у л: a) ( A & B ) → C ; b) C ↔ ( A ∨ B ) ; c) (B & C ) → A .


Сост а вим соот вет ст ву ю щ ие им т а блицы ист ин н ост и: a)

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A&B 0 0 0 0 0 0 1 1

(A&B )→C 1 1 1 1 1 1 0 1

b)

A

B

C

A∨ B

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1

С ↔( A ∨ B ) 1 0 0 1 0 1 0 1

A

B

C

C

B &C

A

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 0 0 0 0

c)

( B &C )→ A 1 1 1 1 1 1 0 1

За м ет им , чт о зд есь n = 3 прост ых выска зыва н ий. П оэ т ом у т а блицы ист ин н ост и сод ерж а т 2 n = 8 ст рок. П ривед ем т а блицу перевод а н екот орых (н а иболее ча ст о вст реча ю щ ихся) в ыра ж ен ий ест ест вен н ого языка н а сим волический язык а лгебры логики выска зыва н ий.


Ф орм а вы ска з ы ва ния ест ест венного я з ы ка Не A ; н еверн о, чт о A ; A н е им еет м ест а A и B; A вм ест е с B ; A , н есм от рян а B ; ка к A , т а к и B ; н е т олько A , н о и B ; A , в т о врем яка к B A, но не B ; не B,а A A или B ; A или B или оба A либо B ; н е A , ра зве чт о н е B ; A , ра зве чт о B ; либо н е A , либо н е B ; либо A , либо B ; A или B , н о н е оба либо A , либо B и C ; A , ра зве чт о B и C либо A и B , либо C и D B н еобход имо д ля A ; если A , т о B ; A , зн а чит B ; B , если A ; д ля B д ост а т очн о A ; A т олько, если B ; A влечет B ; A д ост а т очн о д ляB ; д ля A н еобход им о B ; A т олько при у словии, все A ест ь B ; чт о B ; из A след у ет B ; B т огд а , когд а A A э квива лен т н о B ; A т огд а и т олько т огд а , когд а B ; A , если и т олько если B ; A н еобход им о и д ост а т очн о д ляB

Соот вет ст ву ю щ а я ф орм у ла языка а лгебры логики

A AB или A & B AB или A & B A∨ B AB ∨ A B

AB C ∨ A BC AB C D ∨ A B CD

A→ B

A↔ B

ЗАДАЧ И И У П Р АЖ НЕНИЯ 1. П еревед ит е н а язык а лгебры логики след у ю щ ие выска зыва н ия: a) Если свет ит солн це, т о д ля т ого, чт обы н е было д ож д яи д ост а т очн о, чт обыд у л вет ер. b) Неверн о, чт о если д у ет вет ер, т о солн це свет ит т олько т огд а , когд а н ет д ож д я.


Ч т обы погод а была солн ечн ой, д ост а т очн о, чт обы н е было н и вет ра , н и д ож д я. d) Если вет ра н ет , т о д ляд ож д ян еобход им а па сму рн а япогод а . e) Если погод а па см у рн а я и д у ет вет ер, т о д ож д я н ет . Но д ож д ь ид ет . Зн а чит , н ет вет ра . f) Неверн о, чт о если погод а па см у рн а я, т о д ож д ь ид ет т огд а и т олько т огд а , когд а н ет вет ра . g) Если д ля солн ечн ой погод ы н еобход им о от су т ст вие д ож д я, т о д ля т ого, чт обы пош ел д ож д ь, д ост а т очн о, чт обы погод а была па см у рн ой и безвет рен н ой. У ка з а ние: д ля перевод а н а язык а лгебры логики н еобход им о ка ж д ый ра з пред ва рит ельн о выд елит ь э лем ен т а рн ые в ыска зыва н ия. На прим ер: « свет ит солн це» мож н о обозн а чит ь бу квой С, « д у ет вет ер» — бу квой В , « ид ет д ож д ь» –бу квой Д , « погод а па см у рн а я» — бу квой П . c)

2. У ст а н овит е, ист ин н о или лож н о выска зыва н ие: a) 2 ∈ {x | 2 x 3 − 3 x 2 + 1 = 0 , x ∈ R}; b) c) d) e) f) g) h) i)

 x3 −1  -3∈  x | 2 < −2 , x ∈ R  ;  x +2   2n + 1  3∈  |n ∈ N  ;  3n − 2  {1}∈ N ; {1}∈ P ( N ) , гд е P ( N ) — м н ож ест во всех под м н ож ест в м н ож ест ва N ; {1, − 1, 2} ⊂ {x | x 3 + x 2 − x − 1 = 0 , x ∈ Z }; {x | x 3 + x 2 − x − 1 = 0 , x ∈ Z } ⊂ {1, − 1, 2}; {∅} ⊂ {∅}; {∅} ⊂ {∅ ,{∅}} .

3. П у ст ь p и q обозн а ча ю т выска зыва н ия: p — « Я у чу сь в ш коле» , q — « Я лю блю м а т ем а т ику » . П рочт ит е след у ю щ ие выска зыва н ия: e) p & q ; a) p ; b) p ;

f) p & q ;

c) p & q ;

g) p & q ;

d) p & q .


4. П у ст ь x , x ′ , y , y ′ озн а ча ю т соот вет ст вен н о « 7 — прост ое число» , « 7 — сост а вн ое число» , « 8 — прост ое число» , « 8 — сост а вн ое число» : a) ка кие из пред лож ен ий x & y , x & y′ , x ′ & y , x & y′ ист ин н ы и ка кие лож н ы?; b) т о ж е с за м ен ойкон ъ ю н кций н а д изъю н кцию ; c) т о ж е д ляпред лож ен ий x , y , x ′ , y ′ . 5. П роверит ь, н е сост а вляя т а блиц ист ин н ост и, являю т ся ли след у ю щ ие ф орм у лы т ож д ест вен н о ист ин н ым и: a) p → p ;

b) p ∨ p ;

c) p ∧ p ; e) p → p ;

d) p ↔ p ;

g)

h) p & ( p ↔ p ) ; j) p ↔ p & ( p → p & p ) ;

i) k)

( p ∨ p) → p ; ( p → p) ∨ p ; p ∨ ( p ↔ p );

m) p ↔ p ;

f) p ↔ p ;

l) p → p ; n) ( p ∨ p ) → ( p ∧ p ) .

6. Сост а вит ь т а блицы ист ин н ост и д ляф орм у л: a) x ∨ y ; b) ( x ∨ y ) → ( x ∧ y ∨ x → y ) ; c) ( x ∧ y ) ∨ z ; d) x ∧ y → ( y ∨ x → z ) ; e) g) i) k)

( x → y ) → ( x ∨ y ∧ z ); ( x → (z ∨ y )) ⊕ x ; xyz | ( x ∨ y ) → z ; (( xyz ) ∨ x ∨ y ) ↓ ( z | y )

f) h)

(( x → z ) ↔ y ) ↓ x ; (z |( y ) → z ) → ( x & y ) ; ((x ↓ y ) ↓ z ) ↔ ( x ⊕ y ) ;

j) l) x1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n → y1 ∧ y2 ∧ ... ∧ yn .

7. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их ф орму л являю т ся т ож д ест вен н о ист ин н ым и, т ож д ест вен н о лож н ыми: b) ( x → y ) → ( y → x ) ; a) x ∨ y → x & y ; c) e) g) i)

( x → y) ∨ ( y → x) ; xy ↔ ( x | y ) ; ( x ⊕ y) ↔ ( x ↔ y); ( x → y ) → (( z → y ) → (( x ∨ y ) → z ))

d) x → ( x ∨ y ) ; f) ( x → y ) ↔ ( x ∨ y ) ; h) x ∨ y ↔ ( x ↓ y ) ; j) ( x → y ) ⊕ ( x → z ) .

8. a) И звест н о, чт о им плика ция x → y ист ин н а , а э квива лен т н ост ь x ↔ y лож н а . Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен ии им плика ции y → x ?


b) И звест н о, чт о э квива лен т н ост ь x ↔ y ист ин н а . Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях x ↔ y и x ↔ y ? c) И звест н о, чт о x им еет зн а чен ие 1. Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях им плика ции x ∧ y → z ; x → ( y ∨ z ) ? d) И звест н о, чт о x → y им еет зн а чен ие 1. Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях z → ( x → y ) ; x → y → y ; ( x → y ) → z ?

9. На йд ит е логические зн а чен ия x и y , при кот орых выполн яю т ся ра вен ст ва : a) (1 → x ) → y = 0 ; b) x ∨ y = x .

4.2 Р а вно сильные ф о р м улы.

Осно вные р а вно сильно сти а лге б р ы выска зыва ний Д ве ф орм у лы а лгебры логики U 1 и U 2 н а зыва ю т ся ра вносиль ны м и, если он и прин им а ю т од ин а ковые логические зн а чен ия (0 или 1) при од ин а ковых н а бора х зн а чен ий вход ящ их в н их выска зыва н ий (пиш у т U 1 ≡ U 2 ). На прим ер, ф орму лы U 1 = A → B , U 2 = A ∨ B — ра вн осильн ые ф орм у лы: A → B ≡ A ∨ B , т .к. U 1 и U 2 либо од н оврем ен н о 0, либо од н оврем ен н о 1 при лю бом н а боре зн а чен ий выска зыва н ий, вход ящ их в э т и ф орм у лы. A

B

A→B

A

A∨B

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 0

1 1 0 1

И м еет м ест о Теорем а : U 1 ≡ U 2 т огд а и т олько т огд а , когд а ( U 1 ↔ U 2 ) ≡ 1 (до ка за ть!). Ра вн осильн ост ь ф орм у л м ож н о д ока зыва т ь либо с пом ощ ь ю т а блиц ист инност и, либо м ет одом ра вносиль ны х (э квива лен т н ых) преобра з ова ний, использу я осн овн ые ра вн осильн ост и а лгебры логики выска зыва н ий. О сн овн ые ра вн осильн ост и т а кж е прим ен яю т ся д ля упрощ ения форм ул, д ляпривед ен ияф орм у л к за д а н н ом у вид у .


Осно вные р а вно сильно сти а лге б р ы выска зыва ний 1. A ≡ A — за кон д войн ого от рица н ия; 2. A ∨ A ≡ 1 — за кон исклю чен ият рет ьего; 3. A & A ≡ 0 — за кон прот иворечия; 4.

5.

A ∨ A ≡ A  — за кон ид ем пот ен т н ост и; A & A ≡ A A ∨ 0 ≡ A; A ∨ 1 ≡ 1; A & 0 ≡ 0; A & 1 ≡ A ;

6.

A&( B ∨ A ) ≡ A∨ ( B & A ) ≡

7.

A ∨ ( B ∨ C ) ≡ ( A∨ B )∨ C   — за кон а ссоциа т ивн ост и; A & ( B &C ) ≡ ( A & B ) & C

A  — за кон поглощ ен ия; A

8. A & ( B ∨ C ) ≡ ( A & B ) ∨ ( A & C ) — первый д ист рибу т ив н ый за кон ; 9. A ∨ ( B & C ) ≡ ( A ∨ B ) & ( A ∨ C ) — вт оройд ист рибу т ивн ый за кон ; 10.

A ∨ B ≡ A & B   — за кон ы д е М орга н а ; A & B ≡ A ∨ B 

11. A → B ≡ A ∨ B ; 12. A ↔ B ≡ ( A → B ) & ( B → A ) ≡ ( A ∨ B ) & ( B ∨ A ); 13. A ↔ B ≡ ( A & B ) ∨ ( A & B ); 14. A ⊕ B ≡ A ↔ B ; 15. A ↓ B ≡ A ∨ B ; 16. A │ B = A & B .

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. П роверит ь, спра вед ливы ли след у ю щ ие соот н ош ен ия: a) x & ( y → z ) = ( x & y ) → ( x & z ) ;

b) x ⊕ ( y ∨ z ) = ( x ⊕ y ) ∨ ( x ⊕ z ) ;


c) x ∨ ( y ↔ z ) = ( x ∨ y ) ↔ ( x ∨ z ) ;

d) x → ( y ↔ z ) = ( x → y ) ↔ ( x → z ) ;

e) x & ( y ⊕ z ) = ( x & y ) ⊕ ( x & z ) ;

f) x & ( y ↔ z ) = ( x & y ) ↔ ( x & z ) ;

g) x → ( y ⊕ z ) = ( x → y ) ⊕ ( x → z ) ;

h) x ⊕ ( y → z ) = ( x ⊕ y ) → ( x ⊕ z ) .

2. И спользу я осн овн ые ра вн осильн ост и, д ока за т ь ра вн осильн ост ь ф орму л U и B, когд а : a) U = x z ∨ xy ∨ xz ; B = z → xy ; b) U = ( x → y ) → ( xy ⊕ ( x ↔ y )) ; B = xy ∨ yx ; c) U = x → ( xy → (( x → y ) → y )z ) ; B = y → ( x → z ) ; B = ( x → y) ∨ z ; d) U = ( x | y → z ) ∨ ( x → z ) ; e) U = ((z ∨ y ) ↓ x ) ↔ xz ; f) U = (( x ∨ y ) ↔ z ) | xyz ;

B = xyz ⊕ yz ⊕ 1 ; B = xyz ⊕ 1 .

3. В ыра зит ь все осн овн ые опера ции: a) через д изъ ю н кцию , кон ъ ю н кцию и от рица н ие; b) через кон ъю н кцию и от рица н ие; c) через д изъю н кцию и от рица н ие; d) через им плика цию и от рица н ие. 4.

a) В ыра зит ь от рица н ие им плика ции через осн овн ые опера ции т а к, чт обыот рица н ияст ояли т олько н а д прост ыми выска зыва н иями. b) В ыра зит ь опера цию д изъю н кциячерез им плика цию .

5. Д ока за т ь, чт о опера ция от рица н ия н е мож ет быт ь выра ж ен а через осн ов н ые опера ции (бин а рн ые) н а д выска зыва н иям и. 6. М а льчик реш ил в воскресен ье за кон чит ь чт ен ие кн иги, сход ит ь в м у зей или в кин о, а если бу д ет хорош а я погод а — пойт и н а реку выку па т ься. В ка ком слу ча е м ож н о ска за т ь, чт о реш ен ие м а льчика н е выполн ен о? В от вет е от рица н ияд олж н ы сод ерж а т ьсялиш ь в прост ых выска зыва н иях.

4.3 Р е ш е ние ло гиче ских за да ч с по м о щ ью а лге б р ы выска зыва ний У словие логической за д а чи за писыва ем в вид е ф орм у лы а лгебры выска зыва н ий, ввод я соот вет ст ву ю щ ие обозн а чен ия д ля прост ых выска зыва н ий, сф орм у лирова н н ых в за д а че. Д а лее с пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий у прощ а ем ф орм у лу (сост а вн ое выска зыва н ие). В резу льт а т е полу ча ем более прост у ю словесн у ю ф орм у лировку у прощ ен н ой ф орм у лы, н а


осн ова н ии кот орой д а ем от вет н а вопрос за д а чи. Прим ер 1. На вопрос: « К т о из т рех ст у д ен т ов гот овился к э кза м ен у ?» полу чен верн ый от вет — « Е сли гот овилсяИ ва н ов, т о гот овилсяи Сид оров, н о н еверн о, чт о если гот овился П ет ров, т о гот овился и Сид оров» . К т о гот овилсяк э кза м ен у ? Реш ение. О бозн а чим прост ые выска зыва н ия « гот овился к э кза м ен у И ва н ов» (П ет ров, Сид оров) соот вет ст вен н о бу ква м и A (B, C). Тогд а у словие за д а чи м ож н о за писа т ь в в ид е ф орм у лы: ( A → C )& ( B → C ), т .к. сост а вн ые выска зыва н ия ( A → C ) и ( B → C ) (« Е сли гот ов ился И ва н ов, т о гот овился и Сид оров» и « Неверн о, чт о если гот овился П ет ров, т о гот овился и Сид оров» ) выполн яю т ся од н оврем ен н о и поэ т ом у он и д олж н ы быт ь соед ин ен ы логической связкой & (« и» ). В ыполн яя ра вн осильн ые преобра зова н ия, полу чим ( A → C )( B → C ) = ( A ∨ C )( B ∨ C ) = ( A ∨ C )( B & C ) = A B C ∨ BC C = A BC . Теперь чит а ем ф орм у лу : « Не гот овился И ва н ов и н е гот овился Сид оров и гот овилсяП ет ров к э кза м ен у » . О т вет : К э кза м ен у гот овился П ет ров. Прим ер 2. « В ерн у вш ись д ом ой, М егрэ позвон ил н а н а береж н у ю О рф евр. Г оворит М егрэ . Е ст ь н овост и? Д а , ш еф . П ост у пили сообщ ен ия от ин спект оров. Торра н с у ст а н овил, чт о если Ф ра н су а был пьян , т о либо Эт ьен у бийца , либо Ф ра н су а лж ет . Ж у сье счит а ет , чт о или Эт ьен у бийца или Ф ра н су а н е был пьян и у бийст во произош ло после полу н очи. И н спект ор Л ю ка просил перед а т ь В а м , чт о если у бийст во произош ло после полу н очи, т о либо Эт ьен у бийца , либо Ф ра н су а лж ет . За т ем позвон ила … . - В се. Спа сибо. Эт ого д ост а т очн о. – К ом исса рполож ил т ру бку . О н зн а л, чт о т резвый Ф ра н су а н икогд а н е лж ет . Теперь он зн а л все» . К а кой в ывод сд ела л М егрэ ? -

Реш ение. В вед ем след у ю щ ие э лем ен т а рн ые выска зыва н ия: A ≡ {Ф ра нсуа бы л пь я н } , B ≡ {Эт ь ен убийца }, C ≡ {Ф ра нсуа лж ет }, D ≡ {У бийст во произ ош ло после полуночи}. И н спект ора ком исса ра М ергэ у ст а н овили, чт о: A → ( B ∨ C ) ≡ 1,


B ∨ ( A ∧ D ) ≡ 1, D → ( B ∨ C ) ≡ 1. Ра ссм от рим кон ъ ю н кцию э т их т рех слож н ых выска зыва н ий и у прост им ее: ( A → (B ∨ C )) ∧ (B ∨ (A ∧ D )) ∧ ( D → ( B ∨ C )) ≡ 1. И спользу яф орм у лу u → v = u ∨ v , освобод им сяот им плика ции: (A ∨ B ∨ C ) ∧ (B ∨ (A ∧ D )) ∧ (D ∨ B ∨ C ) ≡ 1. П рим ен им вт орой д ист рибу т ивн ый за кон к первом у и т рет ьем у м н ож ит елям (B ∨ C ∨ A D )(B ∨ A D ) ≡ 1. Ра скрыва я скобки по первом у д ист рибу т ивн ом у за кон у д ва ж д ы и прим ен яяза кон поглощ ен ия u ∨ uv = u , полу чим B ∨ A DC ∨ A DD ≡ 1. Та к ка к A DD = 0 , т о окон ча т ельн о им еем : B ∨ A DC ≡ 1. Та ким обра зом, из пока за н ий ин спект оров след ова ло лиш ь, чт о или Эт ьен у бийца , или од н оврем ен н о им ели м ест о т ри обст оят ельст ва : Ф ра н су а н е был пьян , у бийст во произош ло после полу н очи, Ф ра н су а лга л. Но ком исса ру М ергэ было извест н о, чт о т резвый Ф ра н су а н е лж ет , т .е. чт о A∧C =1 или A ∧ C = 0, и, след ова т ельн о, резу льт а т , выт ека ю щ ий из пока за н ий ин спект оров, B ∨ ( A ∧ D ∧ C ) = 1, при э т ом у словии д а ет B ∨ 0 = 1, т .е. B = 1. О т вет : У бийст во соверш ил Эт ьен . ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. В ш коле, переш ед ш ей н а са м ообслу ж ива н ие, чет ырем ст а рш екла ссн ика м : А н д рееву , К ост ин у , Са вельеву и Д а выд ову пору чили у бра т ь 7-ой, 8-ой, 9-ый и 10-ый кла ссы. П ри проверке ока за лось, чт о 10-й кла сс у бра н плохо. Не у ш ед ш ие д ом ой у чен ики сообщ или о след у ю щ ем : 1) А н д реев: « Я у бира л 9-ый кла сс, а Са вельев — 7-ой» . 2) К ост ин : « Я у бира л 9-ый кла сс, а А н д реев — 8-ой» . 3) Са вельев : « Я у бира л 8-ой кла сс, а К ост ин — 10-ый» . Д а выд ов у ж е у ш ел д ом ой. В д а льн ейш ем выясн илось, чт о ка ж д ый у чен ик в од н ом из д ву х выска зыва н ий говорил пра вд у , а во вт ором лож ь. К а койкла сс у бира л ка ж д ый у чен ик?


2. П ят ь ш кольн иков из пят и ра зличн ых город ов Брян ской обла ст и прибыли д ляу ча ст ия в обла ст н ой олим пиа д е по ма т ем а т ике. На вопрос: « О т ку д а В ы?» ка ж д ыйд а л от вет : 1) И ва н ов: « Я приеха л из К лин цов, а Д м ит риев — из Новозыбкова » . 2) Сид оров: « Я приеха л из К лин цов, а П ет ров –из Тру бчевска » . 3) П ет ров: « Я приеха л из К лин цов , а Д м ит риев — из Д ят ькова » . 4) Д м ит риев: « Я приеха л из Новозыбкова , а Е ф им ов — из Ж у ковки» . 5) Е ф им ов: « Я приеха л из Ж у ковки, а И ва н ов ж ивет в Д ят ькове» . О т ку д а приеха л ка ж д ый из ш кольн иков, если од н о из у т верж д ен ий верн о, а д ру гое лож н о? 3. Сем ья, сост оящ а я из от ца A, ма т ери B и т рех д очерей C, D, E, ку пила т елевизор. У словились, чт о в первый вечербу д у т см от рет ь перед а чи в т а ком поряд ке: 1) К огд а от ец A см от рит перед а чу , т о м а т ь B д ела ет т о ж е. 2) Д очери D и E, обе или од н а из н их, см от рят перед а чу . 3) И з д ву х член ов сем ьи — м а т ь B и д очь C – см от рят перед а чу од н а и т олько од н а . 4) Д очери C и D или обе см от рят , или обе н е см от рят . 5) Е сли д очь E см от рит перед а чу , т о от ец A и д очь D д ела ю т т о ж е. К т о из член ов сем ьи в э т от вечерсм от рел перед а чу ? 4. На вопрос « К т о из т рех ст у д ен т ов изу ча л м а т ем а т ическу ю логику ?» полу чен верн ый от вет — « Е сли изу ча л первый, т о изу ча л и т рет ий, н о н еверн о, чт о если изу ча л вт орой, т о изу ча л и т рет ий» . К т о изу ча л м а т ем а т ическу ю логику ? 5. О пред елит ь, кт о из чет ырех ст у д ен т ов сд а л э кза м ен , если извест н о: 1) Е сли первый сд а л, т о и вт орой сд а л. 2) Е сли вт орой сд а л, т о т рет ий сд а л или перв ый н е сд а л. 3) Е сли чет верт ый н е сд а л, т о первый сд а л, а т рет ий н е сд а л. 4) Е сли чет верт ый сд а л, т о и первый сд а л. 6. И звест н о след у ю щ ее: если П ет ян е вид ел К олю н а у лице, т о К оля либо ход ил в кин о, либо П ет я ска за л пра вд у ; если К оля н е ход ил в кин о, т о П ет я н е вид ел К олю н а у лице, и К оляска за л пра вд у . Е сли К оля ска за л пра вд у , т о либо он ход ил в кин о, либо П ет ясолга л. В ыясн ит е, ход ил ли К оляв кин о.


7. Ч ет ыре ст у д ен т ки, им ен а кот орых н а чин а ю т ся бу ква ми A, E, C, P, посещ а ю т ин ст ит у т по очеред и и вед у т общ ий кон спект лекций. Необход им о сост а вит ь гра ф ик посещ ен ия н а ближ а йш у ю н ед елю , у чит ыва я, чт о: 1) П он ед ельн ик — д ен ь са мост оят ельн ой ра бот ы н а ку рсе, и в ин ст ит у т н е ход ит н икт о, а в су ббот у н еобход им о быт ь всем . 2) C и P н е м огу т пойт и н а за н ят ия во вт орн ик в связи с больш ой за гру ж ен н ост ью в пон ед ельн ик. 3) Если C пойд ет в сред у или P — в чет верг, т о Е согла сит ся побыва т ь н а за н ят иях в пят н ицу . 4) Если A н е пойд ет в В У З в чет верг, т о E позволит себе сход ит ь т у д а в сред у . 5) Если A и P бу д у т в ин ст ит у т е в сред у , т о C см ож ет пойт и в пят н ицу . 6) Если P в пят н ицу вм ест о ин ст ит у т а пойд ет н а сва д ьбу под ру ги, т о A прид ет ся сход ит ь в ин ст ит у т во вт орн ик, а C — в чет верг. 8. Ч ет ыре д ру га — А н т он ов (А ), В ехов (В ), Сомов (С), Д еев (Д) реш или провест и ка н ику лы в чет ырех ра зличн ых город а х — М оскве, О д ессе, К иеве и Та ш кен т е. О пред елит е, в ка кой город д олж ен поеха т ь ка ж д ый из н их, если им ею т сяслед у ю щ ие огра н ичен ия: 1) Е сли А н е ед ет в М оскву , т о С н е ед ет в О д ессу . 2) Е сли В н е ед ет н и в М оскву , н и в Та ш кен т , т о А ед ет в М оскву . 3) Е сли С н е ед ет в Та ш кен т , т о В ед ет в К иев. 4) Е сли Д н е ед ет в М оскву , т о В н е ед ет в М оскву . 5) Е сли Д н е ед ет в О д ессу , т о В н е ед ет в М оскву . 9. О д н а ж д ы след ова т елю приш лось од н оврем ен н о д опра ш ива т ь т рех свид ет елей: К лод а , Ж а ка и Д ика . И х пока за н ияпрот иворечили д ру гд ру гу и ка ж д ый из н их обвин ял кого-н ибу д ь во лж и. 1) К лод у т верж д а л, чт о Ж а к лж ет . 2) Ж а к обвин ял во лж и Д ика . 3) Д ик у гова рива л след ова т елян е верит ь н и К лод у , н и Ж а ку . 4) Но след ова т ель быст ро вывел их н а чист у ю вод у , н е за д а в им н и од н ого вопроса . К т о из свид ет елей говорил пра вд у ? 5. А ЛГЕБР А БУ ЛЯ 5.1 Буле вы ф ункции. Р а ве нство ф ункций и р а вно сильно сть ф о р м ул. П р инцип дво йстве нно сти


П ерем ен н а я x , прин им а ю щ а я д ва зн а чен ия, 0 или 1, н а зыва ет ся булевой перем енной. П у ст ь E = {0, 1} . Тогд а E n = 1 E ×44 E2 × ... E — м н ож ест во у поряд очен н ых 4×4 3 n

ра з

д воичн ых н а боров д лин ы n :

E n = { (α 1 , α 2 ,...,α n ) α i ∈ E , i = 1, 2 , 3, ... , n}.

Г оворят , чт о за д а н а булева функция n перем ен н ых f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , если за д а н за кон , по кот ором у ка ж д ому д воичн ом у н а бору n n (α 1 , α 2 ,...,α n ) ∈ E ст а вит ся в соот вет ст вие 0 или 1: f : E → E . Та ким обра зом , обла ст ь опред елен ия бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) ест ь D(F ) = E n , м н ож ест во зн а чен ий — R( f ) = E , гд е м ощ -

н ост ь D( f ) = 2 n , R( f ) = 2. Бу лева ф у н кциям ож ет быт ь за д а н а при пом ощ и: 1. описа н ия; 2. т а блицы ист ин н ост и; 3. ф орм у лы а лгебры в ыска зыва н ий; 4. м н ож ест ва ист ин н ост и E f = { f (α 1 , α 2 , ... , α n ) f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) = 1}; 5. н а бора зн а чен ий; 6. ф у н кцион а льн ой схем ы. Ра ссм от рим прим ер, н а кот ором проиллю ст риру ем у ка за н н ые способыза д а н иябу левых ф у н кций. Прим ер. П у ст ь бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 , x 3 ) прин има ет зн а чен ий 1 н а н а бора х (α 1 , α 2 ,α 3 ) , в кот орых больш ин ст во н у лей, а н а ост а льн ых н а бора х ее зн а чен ие ра вн о 0. О писа н н а я ф у н кция м ож ет быт ь за д а н а с пом ощ ью т а блицы ист ин н ост и (рис. 1): В слу ча е n перем ен н ых бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) за д а ет ся т а блицей, сод ерж а щ ей 2 n ст рок, т .к. E n = E

n

= 2 n . В д а льн ейш ем всегд а

бу д ем ра спола га т ь н а боры в т а блице ист ин н ост и т а к, ка к пока за н о н а рис.2.


x1

x2

x3

f ( x1 , x 2 , x 3 )

x1

x2

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 … 1 1 1

0 0 0 0 … 1 1 1

… … … … … … … … …

x n−1

0 0 1 1 … 0 1 1

Рис. 1

xn

0 1 0 1 … 1 0 1 Рис. 2

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) f ( 0 ,0 ,...,0 ,0 ) f ( 0 ,0 ,...,0 ,1 ) f ( 0 ,0 ,...,1,0 ) f ( 0 ,0 ,...,1,1 )

… f ( 1,1,...,0 ,1 ) f ( 1,1,...,1,0 ) f ( 1,1,...,1,1 )

П ри ф иксирова н н ом поряд ке ра сполож ен ия н а боров ( α 1 ,α 2 ,...,α n ) в т а блице ист ин н ост и всяка я бу лева ф у н кция од н озн а чн о за д а ет ся н а бором своих зн а чен ий. В н а ш ем прим ере э т от н а борим еет вид f = ( 111 01 0 0 0 ). За м ет им , чт о м н ож ест во ист ин н ост и E f , за д а ю щ ее ф у н кцию f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , пред ст а вляет собой n -м ест ное от нош ение ϕ н а м н ож ест ве E . О н о за д а ет бу леву ф у н кцию по пра вилу : 1, åñ ëè (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) ∈ ϕ f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) =  0 , åñ ëè (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) ∉ ϕ . И н а оборот , бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) од н озн а чн о опред еляет м н ож ест во ист ин н ост и E f = { f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) = 1}. В слу ча е описа н н ого выш е прим ера E f = {(0 0 0) , (0 0 1), (0 1 0 ), (1 0 0)}. И м еет м ест о Теорем а . В сяка я бу лева ф у н кция пред ст а вим а в вид е ф орму лы а лгебры логики через опера ции ∨ , & и , и э т о пред ст а влен ие т а ково:

f ( x1 , ..., x n ) =

∨ ) (x

( σ 1 ,...,σ m

σ1 1

& x 2σ & ... & x mσ & f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ m , x m +1 , ..., x n )) 2

m

, гд е (σ 1 ,σ 2 ,...,σ m ) — ра зличн ые д воичн ые н а боры зн а чен ий перем ен н ых x1 , ..., x n , 1 ≤ m ≤ n , x iσ = x i , если σ i = 1, i

x iσ = x i , если σ i = 0 , i = 1, ..., m . i

П ривед ен н а я выш е в прим ере ф у н кция f ( x1 , x 2 , x 3 ) пред ст а вим а ф орм у лой:


f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x 10 x 20 x 30 f (0 0 0 ) ∨ x10 x 20 x 31 f (0 01) ∨ x10 x 12 x 30 f (01 0 ) ∨ x10 x 12 x 13 f (0 11) ∨ ∨ x11 x 20 x 30 f (10 0 ) ∨ x11 x 20 x 13 f (1 01) ∨ x11 x 12 x 30 f (11 0 ) ∨ x11 x 12 x 31 f (111) = = x 1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 .

Та кое пред ст а влен ие н а зыва ет сян орм а льн ой ф орм ой, речь о кот орой пойд ет в след у ю щ их д ву х па ра гра ф а х. В сяка яф орм у ла а лгебры логики ест ь бу лева ф у н кция. Тож д ест вен н о ист ин н а я и т ож д ест вен н о лож н а я ф орм у лы ест ь пост оян н ые ф у н кции. И х м н ож ест ва зн а чен ий соот вет ст вен н о сост оят т олько из ед ин иц или т олько из н у лей. Бу левы ф у н кции вид а

f4 = x & y, f7 = x  y, f8 = x ↓ y, f2 = x , f5 = x → y , f3 = x ∨ y , f6 = x ↔ y , f9 = x ⊕ y н а зыва ю т сяэлем ент а рны м и. Бу левы ф у н кции от n перем ен н ых н а зыва ю т ся ра вны м и, если он и прин им а ю т од ин а ковые зн а чен ия н а соот вет ст в у ю щ их од ин а ков ых н а бора х перем ен н ых, в н их вход ящ их. Ра вн ые ф у н кции реа лизу ю т ся ра вносиль ны м и форм ула м и. На прим ер, f ( x1 , x 2 ) = x1 → x 2 = x1 ∨ x 2 = x1 x 2 ⊕ x1 ⊕ 1. Ра вн осильн ост ь ф орм у л д ока зыва ет ся: 1. С пом ощ ью т а блиц ист ин н ост и; 2. М ет од ом э квива лен т н ых (ра вн осильн ых) преобра зова н ий. Су щ ест ву ет ещ е од ин способд ока за т ельст ва ра вн осильн ост и ф орf1 = x ,

м у л, осн ова н н ый н а прим ен ен ии т а к н а зыва ем ого принципа двойст венност и. Бу лева ф у н кция f ∗ ( x1 ,K , x n ) н а зыва ет сядвойст венной к ф у н кции f ( x1 ,K , x n ) , если f ∗ ( x1 ,K , x n ) = f ( x1 ,K , x n ) . Та к, ф у н кция

f ∗ ( x, y ) = x & y , д войст вен н а к f ( x , y ) = x ∨ y : f ∗ (x , y) = x ∨ y = x & y = x & y .


Принцип двойст венност и. П у ст ь f ( x1 ,K , x m ) , g1 ( x1 ,K , x n ) , … , g m ( x1 ,K , x n ) — бу левы ф у н кции и пу ст ь Φ ( x1 ,K , x n ) = f ( g1 ( x1 ,K , x n ), K , g m ( x1 ,K , x n )) — су перпозиция ф у н кций f , g1 , K , g m . Тогд а д войст вен н а я ф у н кция от су перпозиции ф у н кций ра вн а су перпозиции д войст вен н ых ф у н кций: Φ ∗ ( x1 ,K , x n ) = f ∗ g1∗ ( x1 ,K , x n ), K , g m∗ ( x1 ,K , x n ) .

(

)

И з опред елен ия д войст вен н ой ф у н кции след у ет , чт о две булевы функции ра вны т огда и т оль ко т огда , когда ра вны двойст венны е им функции. И спользу я э т от ф а кт , а т а кж е прин цип д войст вен н ост и, из у ж е извест н ых ра вн осильн ост ей легко полу чит ь н овые. Прим ер. П у ст ь f = x ∨ x y , g = x ∨ y . Д ока за т ь, чт о f = g . Дока з а т ель ст во. П ост роим f ∗ и g ∗ :

f ∗ = f ( x , y ) = x ∨ x y = x ∨ x y = x & xy = x & ( x ∨ y ) = x & ( x ∨ y ) = x & y ;

g ∗ = g( x , y ) = x ∨ y = x & y = x & y .

В ид им, чт о f ∗ = g ∗ . След ова т ельн о, f = g , т .е. x ∨ xy = x ∨ y . Д ока зыва ет ся т еорем а , чт о число всех булевы х функций от n пеn рем енны х ра вно 2 2 . Д ейст в ит ельн о, лю ба я бу лева ф у н кция от n перем ен н ых од н озн а чн о за д а ет сястолбцом своих зн а чен ий, д лин а кот орого ра вн а 2 n ст рок, а число ра зличн ых ст олбцов ра вн о числу всех ра зм ещ ен ий с повт орен иям и из 0 и n

n

1 д лин ы 2 n , т .е. A22 = 2 2 , чт о и д ока зыва ет т еорем у . Прим еча ние. За д а н ие бу левой ф у н кции в вид е ф у н кцион а льн ой схем ы бу д ет ра ссм от рен о д а лее. ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Ра ссм от рет ь ра зличн ые способы за д а н ия бу левой ф у н кции от т рех перем ен н ых, кот ора я: a) прин им а ет зн а чен ие 1 в т ом и т олько в т ом слу ча е, когд а ровн о д ве перем ен н ые ра вн ы н у лю ; b) прин им а ет т а кое ж е зн а чен ие, ка к больш ин ст во (или м ен ьш ест во) перем ен н ых. 2. На йт и м н ож ест во ист ин н ост и E f ф орм у лой:

д ля бу левой ф у н кции f , за д а н н ой


1) f = xy ⊕ y ⊕ 1;

2) f = ( x ⊕ y ) ↓ x ; 3) f = ( x | y ) | x; 4)

(( x ↓ y ) ↓ z ) ↔ ( x ⊕ y );

5) f = xy → ( x | y ).

8)

7) x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

f 1 0 1 1

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f 1 0 1 0 0 1 1 0

3. П ред ст а вит ь след у ю щ ие ф у н кции в вид е ф орм у л, если: 1) f = (01); 2) f = (0011); 3) f = (0000); 4) f = (00110101); 5) E f = {(00), (11)}; 6) E f = {(011); (010); (100); (111)};

4. На йт и число бу левых ф у н кций от т рех перем ен н ых, кот орые н а за д а н н ых д ву х н а бора х: a) прин им а ю т зн а чен ие 1; b) прин им а ю т лю бые за д а н н ые зн а чен ия. 5. Д воичн ые н а боры вид а (d 1 ,..., d n ) и (d 1 ,...,d n ) н а зыва ю т ся прот ивополож н ым и. На йт и число бу левых ф у н кций от n перем ен н ых, кот орые н а прот ивополож н ых н а бора х перем ен н ых прин им а ю т : a) прот ивополож н ые зн а чен ия; b) од ин а ковые зн а чен ия. 6. П ост роит ь д войст вен н у ю ф у н кцию д ляф у н кции f , если: 1) f = ( x ∨ y )( x ∨ z )( y ∨ z ); 2) f = (01011100);


3) f = (( x → y ) → x ).

7. П ост роит ь д войст вен н ые ф у н кции д ля всех э лем ен т а рн ых бу левых ф у н кций.

8. Д ока за т ь или опровергн у т ь ра вен ст во д ву х ф у н кций, использу я прин цип д войст вен н ост и: 1) f = x → ( y ⊕ z ), ϕ = ( x → y ) ⊕ ( x → y ); 2) f = x → ( y → z ); ϕ = ( x → y ) → ( x → y ); 3) f = x ( y ↔ z ); ϕ = xy ↔ xz; 4) f = x ( y ⊕ z ); ϕ = xy ⊕ xz; 5) f = x ⊕ ( y ∨ z ); ϕ = ( x ⊕ y ) ∨ ( x ⊕ z ). 9. Д ока за т ь, чт о f ( x , y ) ≡ 1 ,если: 1) f = ( x → y ) ∨ ( y → x );

(

)

2) f = ( x ⊕ y ) ↔ x ↔ y ;

3) f = xy ↔ ( x | y );

4) f = x ∨ y ↔ ( x ↓ y ). .

5.2 Дизъ ю нктивные и ко нъ ю нк тивные но р м а льные ф о р м ы П у ст ь x - бу лева перем ен н а я. В вед ем обозн а чен ие: x σ = x ⋅ σ ∨ x ⋅ σ , гд е па ра м ет р σ ∈ {0 ,1}. О че x , если σ = 1 вид н о, чт о x σ =  , т .е. x 1 = x , x 0 = x .  x , если σ = 0 Л егко вид ет ь, чт о x σ = 1 т огд а и т олько т огд а , когд а x = σ . П у ст ь x1 , x 2 , ... , x n - бу левы перем ен н ые. О пределение. Ф орм у лы а лгебры логики в ид а : x iσ11 & x σi2 2 & ... & x iσnn и x σi1 1 ∨ x σi 22 ∨ ... ∨ x σi nn ,

гд е i k ∈ {1, 2 , ..., n}, σ k ∈ {0,1}, н а зыва ю т ся соот вет ст вен н о элем ент а рной конъюнкцией (э.к.) и элем ент а рной диз ъюнкцией (э.д.) н а м н ож ест ве бу левых перем ен н ых {x1 , x 2 , ... , x n } .


Ч исло логических м н ож ит елей в э.к. и логических сла га ем ых в э.д., н а зыва ет ся ра н гом э.к. и э.д. соот вет ст вен н о. Счит а ет ся, чт о кон ст а н т а 1 — э.к. н у левого ра н га , кон ст а н т а 0 — э.д. н у левого ра н га Сим вол & в э.к. м ож н о опу ска т ь д лякра т кост и На прим ер, K 1 = x1 x 2 x 3 x 4 — э.к. 4-го ра н га ; D1 = x1 ∨ x 2 ∨ x 3 — э.д. 3-го ра н га . О пределение. Диз ъюнкт ивной норм а ль ной форм ой (ДН Ф ) н а зыва ет ся произвольн а я д изъ ю н кцияра зличн ых э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций, т .е. ф орм у ла вид а D = K 1 ∨ K 2 ∨ ... ∨ K S , гд е K i , i = 1, s — э.к. Ч исло S н а зыва ет ся длиной ДН Ф . В слу ча е S = 0 Д НФ н а зыва ет ся пу ст ой и пола га ет сяра вн ой н у лю . О пределение. Конъюнкт ивной норм а ль ной форм ой (КН Ф ) н а зыва ет ся произвольн а я кон ъ ю н кция ра зличн ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций, т .е. ф орм у ла вид а K = D1 & D2 & ... & DS , гд е S — д лин а К НФ , Di , i = 1, s — э.д. И м ею т м ест о след у ю щ ие т еорем ы: Теорем а 1. Д ля ка ж д ой бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , от личн ой от тож д ест вен н ого н у ля, су щ ест ву ет д изъю н кт ивн а я н орм а льн а я ф орм а D т а ка я, чт о f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = D . Теорем а 2. Д ля ка ж д ой бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , от личн ой от т ож д ест вен н ой ед ин ицы, су щ ест ву ет кон ъ ю н кт ивн а ян орм а льн а яф орма K т а ка я, чт о f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = K . П ред ст а влен ие бу левой ф у н кции в вид е Д НФ и К НФ , вообщ е говоря, н еод н озн а чн о. На прим ер, д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = x ∨ z ( x → y ) бу д у т ра вн осильн ые м еж д у собой след у ю щ ие К НФ : K 1 = x z ( x ∨ y ),

(

)

K 2 = x z ( x ∨ y )( y ∨ z ),

K 3 = x z ( x ∨ y )( y ∨ z )( x ∨ z ). Ра ссм от рим д ва способа пост роен ияД НФ и К НФ . Способ 1. (М е то д эк в ив ал е нтных п ре о бразо в аний ). П у ст ь бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 , ... , x n ) за д а н а ф орм у лой. А лгорит м пост роен ия Д НФ и К НФ сост оит в след у ю щ ем :


Ш а г 1.Ф орм у лу преобра зова т ь т а к, чт обы в н ей были т олько опера ции ∨ , & и ; Ш а г 2. Д обит ься с пом ощ ью за кон ов д е М орга н а , чт обы зн а к от рица н ияст оял лиш ь н а д от д ельн ыми перем ен н ым и; Ш а г 3. Ра скрыт ь скобки по 1-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у A(B ∨ C ) = AB ∨ AC при пост роен ии Д НФ и по 2-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у A ∨ BC = ( A ∨ B )( A ∨ C ) при пост роен ии К НФ . Способ 2. (С исп о л ьзо в ание м табл ицы истинно сти). Ш а г1. П у ст ь ф у н кция f ( x1 , x 2 , ... , x n ) за д а н а т а блицей или н а бором своих зн а чен ий. В оспользова т ься ра злож ен ием ф у н кции по перем ен н ым x1 , x 2 , ... , x n : f ( x1 , x 2 , ... , x n ) =

при пост роен ии Д НФ и f ( x1 , x 2 , ..., x n ) =

∨

(x

( σ 1 ,σ 2 ,...,σ n )

&

( σ 1 ,σ 2 ,...,σ n

(x )

σ1 1

σ1 1

& x 2σ 2 & ... & x σn n & f (σ 1 ,...,σ n ))

∨ x σ2 ∨ ... ∨ x σn ∨ f (σ 1 ,..., σ n )) 2

n

(∗) (∗∗)

при пост роен ии К НФ . Ш а г2. П олу чен н ые ф орм у лы по возм ож н ост и у прост ит ь с пом ощ ью осн овн ых ра вн осильн ост ей а лгебры логики выска зыва н ий. a → b = a ∨ b; a & a = 0 , a ∨ a = 1;

a ↔ b = (a → b )(b → a ) = (a ∨ b )(b ∨ a ) = a b ∨ ab ;

(

)

(

)

a ⊕ b = a ↔ b = a & b ∨ (a & b ) = (a ∨ b ) a ∨ b ; a ⊕ b = a b ∨ ab ;

a ∨ 1 = 1;

a ↓ b = a ∨ b = a b ; ab = ab = a ∨ b ; и т .д.

П р им е р 1. М е то д о м эк в ив ал е нтныхп ре о бразо в аний д л я фу нк ции f ( x , y , z ) = ( x ⊕ y ) → yz

пост роит ь Д НФ и К НФ . Реш ение. П рим ен яя осн ов н ые ра в н осильн ост и и 1-ый д ист рибу т ивн ый за кон , ст роим Д НФ : f ( x , y , z ) = ( x ⊕ y ) → yz = ( x ↔ y ) ∨ yz = ( x → y )( y → x ) ∨ yz = = ( x ∨ y )( y ∨ x ) ∨ yz = x y ∨ xx ∨ yy ∨ xy ∨ yz = = xy ∨ x y ∨ yz .


П рим ен яя 2-ой д ист рибу т ивн ый за кон в полу чен н ой Д НФ , пост роим К НФ д ляд а н н ой ф у н кции. f ( x, y, z ) = ( xy ∨ x y ) ∨ yz = ( xy ∨ x )( xy ∨ y ) ∨ yz = = ( x ∨ x )( y ∨ x )( x ∨ y )( y ∨ y ) ∨ yz =

= ( y ∨ x )( x ∨ y ) ∨ yz = ( y ∨ x ∨ yz )( x ∨ y ∨ yz ) =

= ( y ∨ x )( x ∨ z ∨ y )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ y ). У чит ыва я, чт о x ∨ y ∨ y = x ∨ 1 = 1 , полу чим д ру гу ю К НФ , ра вн осильн у ю пост роен н ой: f ( x, y , z ) = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ) . Прим ер2. П ост роит ь Д НФ и К НФ д ляф у н кции f = (11 0 10 0 11) . Реш ение. Ст роим т а блицу ист ин н ост и д ля ф у н кции, за висящ ей от т рех перем ен н ых, т .к. д лин а ее д воичн ого н а бора ра вн а 8 = 2 3 (n = 3). П о ф орм у ле (∗) с у чет ом , чт о K& 1 = K , K& 0 = 0 ,им еем f ( x, y , z ) = x 0 y 0 z 0 & 1 ∨ x 0 y 0 z 1 & 1 ∨ x 0 y 1 z 0 & 0 ∨

∨ x 0 y 1z 1 & 1 ∨ x 1 y 0 z 0 & 0 ∨ x 1 y 0 z1 & 0 ∨ x 1 y 1z 0 & 1 ∨ ∨ x1 y 1 z 1 & 1 = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ xy z ∨ x y z − ÄÍÔ

1

.

У чит ыва я, чт о a b ∨ a c = a (b ∨ c ) , м ож н о полу чит ь д ру гие Д НФ д ля д а н н ой ф у н кции: f = ( x y z ∨ x y z ) ∨ x yz ∨ ( x y z ∨ x y z ) = = x y ( z ∨ z ) ∨ x y z ∨ xy (z ∨ z ) = = x y ∨ x y z ∨ x y − ДН Ф 2 . f = ( x y∨ x y z ) ∨ x y = = x ( y ∨ y z ) ∨ xy =

= x ( y ∨ y )( y ∨ z ) ∨ x y

= x(y ∨ z)∨ x y x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f 1 1 0 1 0 0 1 1

= x y ∨ x z ∨ x y − ÄÍÔ

3

.

Ра зла га яд а н н у ю ф у н кцию f по ф орм у ле (**) с у чет ом, чт о D ∨ 1 = 1, D ∨ 0 = D , им еем f ( x, y,z ) = x 0 ∨ y 0 ∨ z0 ∨ 1 x 0 ∨ y 0 ∨ z1 ∨ 1 x 0 ∨ y 1 ∨ z 0 ∨

( ∧ (x

(

)( ∨ 1) = ( x

)(

)(

)(

)(

∧ x0 ∨ y1 ∨ z1 ∨1 x1 ∨ y0 ∨ z0 ∨ 0 x1 ∨ y0 ∨ z1 ∨ 0 x1 ∨ y 1

∨ y1 ∨ z1

1

∨ y 0 ∨ z 1 )( x 0 ∨ y 1 ∨ z 1 )( x 0 ∨ y 1 ∨ z 0

= ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ) − КН Ф 1 .


У чит ыва я, чт о (a ∨ b )(a ∨ b ) = a ∨ b b = a ∨ 0 = a , полу чим д ру гу ю К НФ , ра вн осильн у ю К НФ 1 : f = ( x ∨ y ∨ z )(( x ∨ y ) ∨ z z ) = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ) − КН Ф 2 . Неод н озн а чн ост ь н орм а льн ых ф орм очевид н а .

Та ким обра зом, прим ен яя ра зличн ые ра вн осильн ые преобра зова н ия, м ы м ож ем прийт и к ра зличн ым н орм а льн ым ф орм а м , реа лизу ю щ их одну и т у ж е функцию . В связи с э т им возн ика ет возм ож н ост ь выбора более пред почт ит ельн ойреа лиза ции.

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. П о д а н н ом у н а бору (α 1 ,...,α n ) зн а чен ий перем ен н ых x1 ,..., x n пост роит ь э лем ен т а рн у ю кон ъ ю н кцию , ист ин н у ю т олько д ля э т ого н а бора зн а чен ий перем ен н ых. 2. П о д а н н ом у н а бору (α 1 ,....α n ) зн а чен ий перем ен н ых x1 ,..., x n пост роит ь э лем ен т а рн у ю д изъ ю н кцию , лож н у ю т олько д ля э т ого н а бора зн а чен ий перем ен н ых. 3. Спом ощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий привест и к Д НФ ф орм у лы: 1) ( x ∨ yz )( x ∨ z ); 2) (( x1 ∨ x 2 x 3 x 4 )( x 2 ∨ x 4 ) → x1 x 3 x 4 ) ∨ ( x1 ∨ x 4 );

(

)

3) x ↓ z ~ ( y → z ) ∨ xy; 4) ( x 1 x 2 → x 3 x 4 ) | ( x1 → x 3 ); 5) ( x ∨ ( x ~ y )) → x ∨ y.

4. Спом ощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий привест и к К НФ ф орму лы: 1) x → yz; 2) (( x1 x 2 ⊕ x 3 ) → x 4 ) → x; 3) (( x1 | x 2 ) → x 3 ) ~ x1 x 4 ; 4) (( xyz ~ ( y ∨ z )) y ) ↓ x ;

5)  ( x ~ yz ) → ( x ⊕ ( y → z )). 5. П у ст ь X 1 ,..., X m , U1 ,..., U n - произвольн ые ф орм у лы а лгебры логики. Д ока за т ь след у ю щ ие э кв ива лен т н ост и:


1) X 1 X 2 ... X m ∨ U 1U 2 ...U n = ∧ ( X i ∨ U j ); i =1,...,m j =1,...,n

2) ( X 1 ∨ X 2 ∨ ... ∨ X m )(U 1 ∨ U 2 ∨ ... ∨ U n ) = ∨ X i U j ; i −1,...,m j =1,...,n

6. С пом ощ ью вт орого д ист рибу т ивн ого за кон а преобра зова т ь Д НФ К НФ :

в

1) xy ∨ yz ∨ xz ; 2) xyz ∨ xyz ∨ xyz; 3) x1 x 2 ∨ x 2 x 3 ∨ x 4 x 3 ∨ x 2 .

5.3 Кла ссиф ика ция ДНФ . М иним иза ция б уле вых ф ункций П роблем а м ин им иза ции бу левых ф у н кций сост оит в т ом , чт обы пост роит ь Д НФ , у кот орой число вхож д ен ий м ин им а льн о по сра вн ен ию со всем и д ру гим и Д НФ , реа лизу ю щ им и бу леву ф у н кцию . О пределение 1. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся кра т ча йш ей, если он а имеет н а им ен ьш у ю д лин у сред и всех э кв ива лен т н ых ей Д НФ . О пределение 2. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся м иним а ль ной, если он а им еет н а им ен ьш ее число вхож д ен ий – бу кв x iσ сред и всех э квива лен т н ых Д НФ . i

О бозн а чим через ρ D =

∑ ρ (K ) S

i =1

i

— сум м у ра нгов э.к., вход ящ их в

Д НФ . Ч исло ρ D н а зыва ет ся слож н ост ью Д НФ . Тогд а Д НФ , у кот орой су м м а ра н гов ρ D м ин им а льн а сред и всех ее Д НФ , являет сям ин им а льн ой. Способпост роен иям ин им а льн ой Д НФ д а ет след у ю щ а ят еорем а . Теорем а . С пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий, прим ен яяф орм у лы: 1. П оглощ ен ия K 1 ∨ K 1 K 2 = K 1 ; 1. Склеива н ия XK ∨ X K = K ; 2. Неполн ого склеива н ия XK ∨ X K = XK ∨ XK ∨ K ; 3. О бобщ ен н ого склеива н ия XK 1 ∨ XK 2 = XK 1 ∨ XK 2 ∨ K 1 K 2 , из лю бой Д НФ ф у н кции f мож н о пост роит ь Д НФ , кот ора я а ) либо совпа д а ет с м ин им а льн ой или кра т ча йш ей, б) либо м ин има льн а я(кра т ча йш а я) полу ча ет сяиз н ее у д а лен ием од н ой или н ескольких э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций.


Прим ер 1. Д ля ф у н кции f = (111 011 0 0) пост роит ь н есколько Д НФ . У ка за т ь кра т ча йш у ю и м ин им а льн у ю сред и н их. Реш ение. П ред ва рит ельн о пост роив т а блицу ист ин н ост и д ля f и прим ен яяпреобра зова н ия, полу чим след у ю щ ие Д НФ : D1 = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z; ρ D = 15; 1

D2 = x y ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z; D3 = x y ∨ x y z ∨ x y ; D4 = x y ∨ x z ∨ x y ; D5 = y ∨ x z ;

ρ D = 11; 2

ρ D = 7; 3

ρ D = 6; 4

ρ D = 3. 5

К ра т ча йш ей Д НФ являет ся D5 . У н ее число логических сла га ем ых, т .е. д лин а S = 2 — н а им ен ьш ее. М ин им а льн ой ДН Ф я вля ет ся D5 , т .к. ρ D = min ρ D = 3 . 1≤ i ≤5

i

О пределение 3. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся т упиковой, если от бра сыва н ие лю бого ее сла га ем ого или бу квы привод ит к н еэ квива лен т н ой Д НФ . Ту пикова я Д НФ ф у н кции f опред еляет ся н еод н озн а чн о. Сред и т у пиковых Д НФ ф у н кции f всегд а сод ерж ит сяи м ин им а льн а я. П ривед ем а лгорит м пост роения м иним а ль ной ДН Ф д ля ф у н кции f ( x1 , x 2 , ..., x n ) . Ш а г 1. П ост роит ь всевозм ож н ые э.к. из перем ен н ых 1, x1 , x 2 ,..., x n , x1 ,..., x n , x1 x 2 , ..., x i x j , ..., x1 x 2 ...x n . ; Ш а г2. И з пост роен н ых э.к. пост роит ь всевозм ож н ые Д НФ ; Ш а г3. У поряд очит ь м н ож ест во всех полу чен н ых Д НФ н а 2-ом ш а ге в н а пра влен ии возра ст а н иявеличин ρ D ; i

Ш а г 4. Сра вн ит ь т а блицы ист ин н ост и д ля ф у н кции f и д ля Д НФ , д вига ясь по у поряд очен н ом у м н ож ест ву , полу чен н ом у н а 3-ем ш а ге. П ерва я Д НФ , у кот орой т а блица ист ин н ост и бу д ет т а кой, ка к у ф у н кции f , являет сям ин им а льн ой. О пределение 4. И м плика нт ом ф у н кции f н а зыва ет ся э лем ен т а рн а я кон ъ ю н кция K = x iσ & x iσ & ... & x i , σ k ∈ {0,1} , ik ∈ {1, 2 , ..., n} д ля 1

1

σρ

2

ρ

2

всех k = 1, ρ т а ка я, чт о K ∨ f = f . И м плика н т K ф у н кции f н а зыва ет ся прост ым им плика н т ом , если после от бра сыва н ия лю бой бу квы x σi из K полу ча ет ся э лемен т а рн а я кон ъю н кция, н е являю щ а ясяу ж е им плика н т ом ф у н кции f . k

k


О пределение 5. Сокра щ енной ДН Ф ф у н кции f н а зыва ет ся д изъю н кциявсех прост ых им плика н т ов ф у н кции f . Сокра щ ен н а яД НФ опред еляет сяод н озн а чн о д ляф у н кции f . М е то д по стр о е ния со кр а щ е нно й ДНФ ф ункции f Ш а г1. П ост роит ь Д НФ д ляф у н кции f . Ш а г2. П роизвод ит ь опера цию обобщ ен н ого склеива н ия XK 1 ∨ X K 2 = XK 1 ∨ XK 2 ∨ K 1 K 2 д о т ех пор, пока э т о возм ож н о. Ш а г3. П роизвод ит ь опера цию поглощ ен ия K1 ∨ K 1 K 2 = K 1 . В резу льт а т е приход им к сокра щ ен н ой Д НФ , у чит ыва я, чт о K 1 K 1 = 0 и K1 ∨ K1 = K1 . Прим ер2. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ляф у н кции f = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z ) . Реш ение. Ра скрыва я скобки по 1-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у , полу ча ем Д НФ ; за т ем прим ен яем опера цию поглощ ен ия: f = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z ) = xx ∨ x y ∨ xy ∨ yy ∨ xz ∨ yz = = xy ∨ ( xy ∨ y ) ∨ xz ∨ yz = ( x y ∨ y ) ∨ yz ∨ xz =

= ( y ∨ yz ) ∨ xz = y ∨ xz – сокра щ ен н а яД НФ .

О пределение 6. Д НФ ф у н кции f ( x1 , x 2 ,..., x n ) н а зыва ет ся соверш енной, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э.к. ра нга n , т .е. ф орм у ла вид а : f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = ∨ ( x1σ & x σ2 & ... & x σn ) , 1

2

n

f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n )=1

гд е д изъю н кт ивн а ясу м м а берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , н а кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1. Я сн о, чт о ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) от личн а от т ож д ест вен н ого н у ля. В след у ю щ ем па ра гра ф е под робн о ра ссм а т рива ю т ся соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы и их н а хож д ен ие, им ею щ ие ва ж н ое зн а чен ие в прилож ен иях. ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Д ля ф у н кции f = (0 0101111) пост роит ь н есколько Д НФ . У ка за т ь кра т ча йш у ю , м ин им а льн у ю . Сред и э.к. опред елит ь, ка кие являю т ся


a) им плика н т а м и, b) прост ыми им плика н т а м и ( с обосн ова н ием ). П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ . 2. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля след у ю щ их ф у н кций. К а кова ее д лин а ? 1) f = (a ∨ b ∨ c )(a ∨ b ∨ c )(b ∨ c ) ; 2) f = xy ∨ xz ∨ yz ; 3) f = (111110 0 0 ) ; 4) f = (110 0 0101) . 3. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля f = x ⊕ y ⊕ z . О пред елит ь ее д лин у . 4. В ыясн ит ь, являю т ся ли т у пиковым и, кра т ча йш им и или м ин им а льн ым и Д НФ след у ю щ ие ф у н кции: 1) f = ab ∨ b ; f = a b p ∨ abc ∨ c p ; 2) f = xy ∨ xz . 5. И з за д а н н ого м н ож ест ва э.к. K выд елит ь: a) им плика н т ы, b) прост ые им плика н т ы ф у н кции f = (01111111) гд е 1) K = {xy , yx , x , xyz} , 2) K = { y , xy , xz , xy , yz , yz }. 6. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля ф у н кции f , за д а н н ой м н ож ест вом ист ин н ост и: E f = {(0 0 0 ),(10 0 ),(101), (110 ), (111)}. 7. В коробке леж а т ш а ры: больш ие и м а лен ькие, кра сн ые и зелен ые, т ем н ые и свет лые. И з коробки н а д о д ост а т ь ш а р, у д овлет воряю щ ий след у ю щ им у словиям : 1) Если ш а рсвет лый, т о он м ож ет быт ь м а лен ьким т олько т огд а , когд а он кра сн ый. 2) Ш а рм ож ет быт ь больш им и свет лым , если он зелен ый. 3) Если ш а рбольш ой, т о д лят ого, чт обыон был зелен ый, д ост а т очн о, чт обыон был т ем н ым . Свест и э т и т ребова н ияк д ву м прост ейш им у словиям. 8. На пра зд н ик было реш ен о пригла сит ь гост ей. В связи с э т им были выска за н ы след у ю щ ие сообра ж ен ия: если м ы пригла сим А н д рея, т о В оло-


д ю пригла ш а т ь н е н а д о. Но Сереж у м ож н о пригла сит ь т олько т огд а , когд а бу д ет пригла ш ен В олод я. А если м ы пригла сим А н д рея с Волод ей, т о Сереж у пригла сит ь н ельзя. На след у ю щ ий д ен ь было реш ен о, чт о н у ж н о сд ела т ь прот ивополож н ое, т .е. в ка чест ве ин ст ру кции по пригла ш ен ию гост ей взят ь от рица н ие кон ъ ю н кции всего т ого, чт о было ска за н о н а ка н у н е. У прост ит ь н ову ю ин ст ру кцию и свест и ее к прост ейш им у словиям . 9. П о слу ча ю н овоселья сем ья реш ила ку пит ь н овый ш ка ф . В се хот ели, чт обы ш ка ф был либо д у бовый, либо березовый; либо ж елт ый, либо коричн евый; либо свет лый, либо т ем н ый. О т цу д а ли целый ряд реком ен д а ций. 1) М а т ь ска за ла : « Ты м ож еш ь ку пит ь свет лый ш ка ф , если т олько он бу д ет березовым ж елт ого цвет а » . 2) Ба бу ш ка ска за ла : « Е сли ш ка ф бу д ет березовым , т о свет лый т он д олж ен быт ь д ост а т очн ым призн а ком ж елт ой окра ски» . 3) Д ет и ска за ли: « Е сли ш ка ф бу д ет коричн евым , т о д лят ого, чт обыон был т ем н ым , н еобход им о, чт обы он был сд ела н из д у ба » . О т ец сообра зил, чт о э т и реком ен д а ции свод ят сяк д ву м прост ейш им у слов иям . Но он ку пил ш ка ф , кот орый у д овлет ворял т олько од н ом у из э т их у словий. О н пост у пил т а к пот ом у , чт о хот ел, чт обы ш ка ф был свет лым и березовым или т ем н ым , н о ж елт ым . И э т о у слов ие д ейст вит ельн о ока за лось выполн ен н ым . К а кой ш ка ф был ку плен ? У ка з а ние: реш ен ие за д а ч 7-9 свод ит сяк поиску м ин им а льн ой К НФ .

5.4 С о ве р ш е нные но р м а льн ые ф о р м ы П у ст ь f ( x 1 , ..., x n ) — произвольн а ябу лева ф у н кция, за висящ а яот n перем ен н ых. О пределение. Д НФ ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет ся соверш ен н ой, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э лем ен т а рн ых кон ъю н кций ра н га n , т .е. ф орм у л вид а f ( x1 , ..., x n ) = ∨ ( x1σ & x σ2 & ... & x nσ ), (1) 1

f (σ 1 , ,...,σ n ) =1

2

n

гд е д изъю н кт ивн а я су м ма берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д ля кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1 . Я сн о, чт о э т а ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) от личн а от т ож д ест вен н ого н у ля. О пределение. К НФ ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет ся соверш ен н ой, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций ра н га n , т .е. ф орм у л вид а


f ( x1 , ..., x n ) =

∧

f (σ 1 , ,..., σ n ) = 0

(x

σ1 1

∨ x σ2 ∨ ... ∨ x nσ ) , n

2

(2)

гд е кон ъ ю н кт ивн ое произвед ен ие берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д лякот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 0 .Я сн о, чт о f ( x 1 ,..., x n ) ≠ 1 Ф орм у лы, ст оящ ие в пра вых ча ст ях ра вен ст в (1) и (2), соот вет ст вен н о н а зыва ю т ся соверш енной норм а ль ной диз ъюнкт ивной и конъюнкт ивной форм а м и (СД НФ и СК НФ ). В от личие от обычн ых ф орм ка ж д ое сла га ем ое СД НФ или ка ж д ый сом н ож ит ель СК НФ сод ерж ит все перем ен н ые x1 ,..., x n в н екот орых « ст епен ях» . Ра ссм от рим д ва способа их пост роен ия. Первы м способом соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы д ля произвольн ой бу левой ф у н кции м ож н о ст роит ь, исход я из пред ст а влен ий (1)— (2). Д ля э т ого д ост а т очн о пост роит ь т а блицу ист инност и ф у н кции. Д ля пост роен ия СД НФ н у ж н о выд елит ь т е н а боры (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , н а кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1 . К а ж д ом у т а ком у н а бору ст а вит ся в соот вет ст вие э лем ен т а рн а я кон ъ ю н кция x1σ & x 2σ & ... & x nσ . Сост а влен н а я из э т их кон ъю н кций д изъ ю н кт ивн а ясу м м а и ест ь иском а яСД НФ . Д ляпост роен ия СК НФ н у ж н о выбра т ь н а боры (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д лякот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 0 . К а ж д ом у т а ком у н а бору ст а вит ся в соот вет ст 1

n

2

вие э лем ен т а рн а я д изъю н кция x1σ ∨ x 2σ ∨ ... ∨ x σn . О бъед ин яя т а кие д изъю н кции в кон ъ ю н кт ив н ое произвед ен ие, полу чим СК НФ . 1

2

n

Прим ер 1. П у ст ь ф у н кция ϕ ( x , y , z ) прин има ет зн а чен ие 1 т огд а и т олько т огд а , когд а больш ин ст во перем ен н ых ра вн о н у лю . П ост роим СД НФ и СК НФ э т ойф у н кции. Реш ение. Ра ссм от рим т а блицу ист ин н ост и за д а н н ой ф у н кции (т а блица 1): Ф у н кция ϕ ( x , y , z ) прин им а ет зн а чен ие 1 н а н а бора х (000), (001), (010), (100). Эт им н а бора м соот вет ст ву ю т э лем ен т а рн ые кон ъ ю н кции x 0 y 0 z 0 , x 0 y 0 z 1 , x 0 y1 z 0 , x 1 y 0 z 0 , кот орые с у чет ом (1) перепиш ем в вид е: x y z , x y z, x y z , x y z . но О кон ча т ельн о им еем СД НФ ф у н кy z ϕ ( x , y , z ) x ции ϕ ( x , y , z ) : м ер н а бора Dc = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z . 1 0 0 0 1 Д ля пост роен ия СК НФ за м е2 0 0 1 1 т им , чт о ра ссм а т рива ем а я ф у н кция 3 0 1 0 1 прин им а ет зн а чен ие 0 н а н а бора х 4 0 1 1 0 (011), (101), (110) и (111). 5 1 0 0 1 6 1 0 1 0 7 1 1 0 0 8 1 Та блица 1 0 11


П ост роим соот вет ст ву ю щ ие э т им н а бора м э лем ен т а рн ые д изъ ю н кции: x0 ∨ y1 ∨ z1 , x1 ∨ y0 ∨ z1 , x1 ∨ y1 ∨ z0 , x1 ∨ y1 ∨ z1 , перепиш ем в ст а н д а рт н ой ф орм е: x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z. К он ъ ю н кт ивн ое произвед ен ие э т их д изъ ю н кций и ест ь СК НФ за д а н н ойф у н кции: K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ). З а м еча ние. О чен ь ча ст о бу лева ф у н кция за д а ет ся н а бором своих зн а чен ий f (α 1 ,...,α n ) , гд е (α 1 ,...,α n ) ∈ E n , E = {0,1} . П ри э т ом вид н а бора зн а чен ий ф у н кции су щ ест вен н о за висит от т ого, ка к у поряд очен ы н а боры (α 1 ,...,α n ) н а м н ож ест ве E n . На бору (α 1 ,...,α n ) пост а вим в соот вет ст вие н ом ер k = 1 + α 1 ⋅ 2 n −1 + α 2 ⋅ 2 n− 2 + ... + α n −1 ⋅ 2 + α n (3) В н а боре зн а чен ий ф у н кции н а k -м мест е за пиш ем величин у f (α 1 ,...,α n ) . Та к, ф у н кция, ра ссм а т рива ем а я в пред ыд у щ ем прим ере, м ож ет быт ь за писа н а в вид е ϕ ( x , y , z ) = (111 010 0 0) . Прим ер2. П у ст ь f ( x , y , z ) = (011 010 01) . На йт и СД НФ и СК НФ . Реш ение. Ф у н кция f прин им а ет зн а чен ие 1 н а н а бора х с н ом ера м и 2, 3, 5, 8. В осст а н овим по ф орм у ле (3) э т и н а боры: (001), (010), (100), (111). О бъед ин им соот вет ст ву ю щ ие э т им н а бора м э лемен т а рн ые кон ъ ю н кции в СД НФ : Dc = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z . Зн а чен ие 0 ф у н кция f прин им а ет н а н а бора х с н ом ера м и 1, 4, 6, 7. В ыпиш ем э т и н а боры: (000), (011), (110), (101). К он ъ ю н кция соот вет ст ву ю щ их э т им н а бора м э лем ен т а рн ых д изъю н кций являет ся СК НФ за д а н н ойф у н кции: K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ). Ра ссм от рен н ые прим еры являю т сяиллю ст ра цией к первом у способу пост роен ия СК НФ и СД НФ , осн ова н н ом у н а пред ст а влен иях (1) и (2). П рим ен яет ся он , ка к пра вило, д ля ф у н кций, за д а н н ых т а блицей ист ин н ост и или н а бором зн а чен ий. Е сли ж е ф у н кцияза д а н а а н а лит ически, т .е. при пом ощ и ф орм у лы, т о д ля н ее н у ж н о сн а ча ла пост роит ь т а блицу ист ин н ост и, а за т ем прим ен ят ь описа н н ый м ет од . В т орой способ пост роен ияСД НФ и СК НФ сост оит в э кв ива лен т н ом преобра зова н ии ф орм у лы, реа лизу ю щ ей ф у н кцию , к вид у (1) или (2). К а к у ж е от м еча лось, соверш ен н ые д изъ ю н кт ивн а я или кон ъю н кт ивн а я н орм а льн ые ф орм ы ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) от лича ю т ся от обычн ых т ем , чт о ка ж д ое сла га ем ое СД НФ и ка ж д ый сом н ож ит ель СК НФ сод ерж ит все пе-


рем ен н ые x1 , ..., x n в н екот орых « ст епен ях» . Эт о свойст во д а ет возмож н ост ь сф орм у лирова т ь след у ю щ ие пра в ила . 1. Д ля полу чен ияСД НФ реа лизу ем ой ф орм у лой ф у н кции f ( x1 , ..., x n ) ≠ 0 н у ж н о пост роит ь Д НФ э т ой ф у н кции (см . п.5.2). За т ем , если ка ка ян ибу д ь кон ъ ю н кция Д НФ н е сод ерж ит перем ен н ой x l , за м ен ит ь ее па рой кон ъю н кций K j K j x l ∨ K j xl .

(4)

За м ен у производ ит ь д о т ех пор, пока ка ж д ое сла га ем ое Д НФ н е бу д ет сод ерж а т ь всех перемен н ых x1 , ..., x n (их от рица н ий или их са м их). 2. Д ля полу чен ия СК НФ реа лизу ем ой ф орму лой ф у н кции f ( x1 , ..., x n ) ≠ 1 н у ж н о пост роит ь К НФ э т ой ф у н кции. За т ем , если ка ка я-н ибу д ь д изъю н кция D j К НФ н е сод ерж ит перем ен н ой x l , за м ен ит ь ее па рой д изъю н кций (D j ∨ x l )(D j ∨ x l ) . (5) За м ен ы (4) и (5) являю т ся э кв ива лен т н ым и, т а к ка к в силу первого д ист рибу т ивн ого за кон а K j x l ∨ K j xl = K j ( x l ∨ xl ) = K j ⋅ 1 = K j , а в силу вт орого д ист рибу т ивн ого за кон а (D j ∨ xl )( D j ∨ xl ) = D j ∨ x l xl = D j ∨ 0 = D j . Прим ер 3. Д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = x ∨ z ~ xy пост роит ь СД НФ и СК НФ . Реш ение. Сн а ча ла ст роим н орм а льн ые ф орм ы: D = xy ∨ xz ∨ yz , K = ( x ∨ z )( x ∨ y ). В первом сла га ем ом Д НФ н ед ост а ет перем ен н ой z , во вт ором — перем ен н ой y , в т рет ьем — x . В соот вет ст вии с (4) за пиш ем : D = xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz . У бра в лиш н ие сла га ем ые, н а ход им СД НФ : Dc = xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz . В первом сом н ож ит еле К НФ н е д ост а ет перем ен н ой y , во вт ором — z ; поэ том у в соот вет ст вии с (5) им еем СК НФ : K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ).

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ


1. П ост роит ь соверш ен н ые Д НФ и К НФ д ля след у ю щ их ф у н кций (д ля ф у н кций, за д а н н ых ф орм у ла м и, пред ва рит ельн о пост роит ь т а блицы ист ин н ост и): 1) ( x ⊕ y ) → yz; 2) f = (01101100); 3) (( x → y ) ~ z ) | xyz; 4) f = (0100110000110010); 5) ( x → y )( x ⊕ y )( x ~ y )( y | x ). 2. П реобра зова т ь за д а н н ые Д НФ в соверш ен н ые: 1) xy ∨ yz ∨ x y; 2) x1 ∨ x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 4 ; 3) x ∨ x yz ∨ xy; 4) xy ∨ xyz ∨ y ∨ xy ; 5) x1 x 2 ∨ x 2 x 3 ∨ x 3 x1 ; 3. П реобра зова т ь за д а н н ые К НФ в соверш ен н ые: 1) ( x ∨ y )(z ∨ y )z; 2) (u ∨ v )(u ∨ v ∨ w )(u ∨ v ); 4) ( x ∨ y )( x ∨ z ) y; 3) ( x 1 ∨ x 2 )( x 2 ∨ x 3 )( x 3 ∨ x 4 ); 5) ( x 1 ∨ x 2 )( x 1 ∨ x 3 ∨ x 4 ); 4. П ост роит ь СД НФ и СК НФ с помощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий: 1) (( x → y ) ∨ z ) ~ ( x ∨ ( y → z )); 2) ( x 1 ∨ x 2 ) → ( x 3 ∨ x 4 ); 3) (( x ⊕ z ) → y ) ∨ (( x | y ) ∨ y ); 4) ( y ~ z )( z ~ x )( x ∨ y ); 5) ( x 1 | x 2 ) → ( x 3 | x 4 ); 5. П ост роит ь ф орм у лу ф у н кции т рех перем ен н ых, кот ора яприн им а ет зн а чен ие 1 в т ом и т олько в т ом слу ча е, когд а ровн о д ве перемен н ые ра вн ы н у лю . 6. П ост роит ь ф орм у лу ф у н кции т рех перем ен н ых, кот ора я прин им а ет т а кое ж е зн а чен ие, ка к больш ин ст во (или м ен ьш ин ст во) перем ен н ых. 7. Д ока за т ь, чт о ф у н кция от n перемен н ых f ( x1 ... x n ) ≡ 0 т огд а и т олько т огд а , когд а ее СК НФ сод ерж ит 2 n попа рн о н еэ квива лен т н ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций. 8. П о СК НФ ф орм у лы U пост роит ь


1) СД НФ д войст вен н ой ф орм у лы U*; 2) СК НФ ф орм у лы U ; 3) СД НФ ф орм у лы U ; 9. П о СД НФ ф орм у лы U и СД НФ ф орм у лы V пост роит ь 1) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U ∨ V ; 2) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U ∧ V ; 3) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U → V . 10.На йт и д лин у соверш ен н ой Д НФ ф у н кции f ( x1 ,..., x n ) : 1) f ( x 1 ,..., x n ) = x 1 ⊕ x 2 ⊕ ... ⊕ x n ; 2) f ( x1 ,..., x n ) = ( x 1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n )( x1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n ); 3) f ( x 1 ,..., x n ) = ( x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 )( x1 ∨ x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x 4 ⊕ x 5 ⊕ ... ⊕ x n . 11.Сот ру д н ики кон ст ру кт орского бю ро обсу ж д а ли вопрос о пред ст оящ ей ком а н д ировке в М оскву . Были выска за н ы след у ю щ ие су ж д ен ия: 1) Если поед у т И ва н ов и П ет ров, т о н а д о посыла т ь и Сид орова . 2) Сид оров поед ет т олько при у словии, чт о поед ет И ва н ов. Зн а чит , П ет рова посыла т ь н ельзя. 3) На д о посла т ь или И ва н ова или П ет рова . Д ирект орска за л, что м ож н о выполн ит ь т олько од н о из э т их пред лож ен ий. К ого хот ели посла т ь в кома н д ировку сот ру д н ики и кого реш ил посла т ь д ирект ор. 12.В ка ф е приш ли т ри посет ит еля. О н и у зн а ли, чт о н а обед м ож н о за ка за т ь: ха рчо либо борщ , плов либо а зу , сок либо ком пот . О бсу ж д а я м ен ю , ка ж д ый из посет ит елей выска за л свое м н ен ие: 1) Я хочу за ка за т ь сок, если м ы возьм ем а зу либо борщ . 2) Ч т обы я согла сился взят ь борщ и плов, д ост а т очн о за ка за т ь сок. А н а ком пот я согла ш у сь т олько при у словии, чт о бу д ет за ка за н о а зу или ха рчо. 3) Если м ы за ка ж ем сок, т о н а д о взят ь ха рчо и плов, н о яхочу за ка за т ь борщ . Зн а чит , н а д о взят ь а зу и сок. О ф ициа н т н ичего н е пон ял и попросил посет ит елей излож ит ь свои т ребова н ияв более ясн ой ф орм е. П осет ит ели под у м а ли и свели свои т ребова н ияк т рем прост ейш им у словиям . Тогд а оф ициа н т ска за л, чт о из э т их т рех прост ейш их у словий он м ож ет выполн ит ь т олько од н о. К ром е т ого,


T1

P

Q

T2

он ска за л, чт о обед ы ком плексн ые и поэ т ом у н а д о бра т ь либо а зу , либо борщ и плов. Ч т о за ка за ли посет ит ели и чт о им пред лож ил оф ициа н т ?

У ка з а ние: Реш ен ие за д а ч 11— 12 связа н о с привед ен ием ф орм у лы к вид у СД НФ . 5.5 П р ило ж е ние а лге б р ы ло гики к р е ле йно -ко нта ктн ым схе м а м Бу д ем ин т ерпрет ирова т ь ф у н кции а лгебры логики ка к э лект рические цепи, сод ерж а щ ие д в у хпозицион н ые переклю ча т ели. Ра ссм а т рива ем ые зд есь э лект рические цепи являю т ся ча ст н ым слу ча ем т а к н а зыва ем ых релейн о-кон т а кт н ых схем (РК С) (ин огд а их н а зыва ю т переклю ча т ельн ым и схем а м и). П рост ейш а я схем а , сод ерж а щ а я од ин переклю ча т ель P , им еет од ин вход T1 и од ин выход T 2 : И ст ин н ом у выска зыва н ию P , гла сящ ем у : « П ереклю ча т ель P за м кн у т » пост а вим в соот вет ст вие переклю ча т ель P . В э т ом слу ча е схем а пропу ска ет т ок. В ыска зыва н ию P соот вет ст ву ет : « П ереклю ча т ель P ра зом кн у т » и схем а н е провод ит т ок. « 1» (ист ин а ) ин т ерпрет иру ет ся ка к сост оян ие переклю ча т еля « т ок проход ит » , « 0» (лож ь) — « т ок н е проход ит » . Конъюнкции д ву х выска зыва н ий P & Q соот вет ст ву ет схем а с послед ова т ельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов: T1 T2 P д ова т ельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов:

Диз ъюнкции д ву х выска зыва н ий P ∨ Q соот вет ст ву ет схем а с па ра ллельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов:


Та к ка к лю ба я ф у н кция а лгебры логики пред ст а вим а в вид е Д НФ (или К НФ ), т о д ля лю бой бу левой ф у н кции м ож н о сост а вит ь соот вет ст ву ю щ у ю схем у , а ка ж д ой схем е соот вет ст ву ет н екот ора я ф орм у ла а лгебры логики, за д а ю щ а ян еку ю бу леву ф у н кцию .

P T1

T2

Q Две схем ы счит а ю т ся эквива лент ны м и, если через од н у их н их проход ит т ок т огд а и т олько т огд а , когд а он проход ит через д ру гу ю . И з д ву х эквива лент ны х схем бо л е е п ро сто й счит а ет ся т а , кот ора я сод ерж ит м ен ьш ее число кон т а кт ов. Прим ер1. Сост а вит РК Сд ляслед у ю щ ейф у н кции: f ( x , y , z ) = ( x → y ) → ( x ( y ∨ z )). Реш ение. С пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий н а йд ем н орм а льн у ю ф орм у (Д НФ или К НФ ): f ( x , y, z ) = ( x → y ) → x ( y → z ) = ( x ∨ y ) ∨ ( x y ∨ x z ) = x y ∨ x y ∨ x z (Д НФ ). И т а к, им еем РК С: X

Y

X

Y

Z

X

Прим ер2. П ост роит ь РК Сд ляф у н кции f ( x , y , z ) , если f ( 1,1,1 ) = f ( 1,1,0 ) = f ( 0 ,1,1 ) = f ( 0 ,0 ,1 ) = 1 , а ост а льн ые зн а чен ияф у н кции ра вн ы н у лю . Реш ение. Сост а вим СД НФ д ляд а н н ойф у н кции и за т ем у прост им : f ( x , y , z ) = xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz = xy( z ∨ z ) ∨ xz ( y ∨ y ) = xy ∨ xz Тогд а им еем след у ю щ у ю РК С: X

Y

X

Z


Прим ер3. У прост ит ь РК С: Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Реш ение. Сост а вим по д а н н ой РК С ф орм у лу , за д а ю щ у ю ф у н кцию провод им ост и, и за т ем у прост им ее: yz ∨ x y z ∨ x y z = yz ∨ ( x y z ∨ x y z ) = = yz ∨ yz ( x ∨ x ) = yz ∨ yz = ( y ∨ y )z = z . Тогд а у прощ ен н а ясхем а вид а : Z

ЗАДАЧИ И УП Р АЖ Н ЕН ИЯ 1. П ост роит ь схем ы, реа лизу ю щ ие след у ю щ ие ф у н кции: 1) x→ y 2) x ↔ y 4) x ↓ y 5) x ⊕ y 2. Реа лизова т ь схем а м и след у ю щ ие ф орм у лы: xy ∨ z 1) 6) 7) 2) xy ∨ zu 8) 3) xy ∨ yz ∨ xz x( x ∨ y ) 9) 4) 10) ( x ⊕ y )⊕ x 5) 3. У прост ит ь след у ю щ ие РК С:

э лем ен т а рн ые бу левы 3) x │ y

( x │ y )│ z (x → y)→ z

( x ↓ y )↓ z (x ↔ y )↔ z (x∨ z)→ ( y│ x)


1)

2)

О т вет : p ∨ q .

О т вет : z ( x ∨ y ) ∨ xy.

3)

4)

О т вет : p ∨ q .

О т вет : b ∨ c .

5)

О т вет : x & y.


6)

О т вет : p. 7)

О т вет : x ∨ z. 8)

О т вет : a ∨ b( xy ∨ cx ).


4. Сост а вит ь н есколько РК Сд ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) ( x → y ) & ( y → z ) 2) (( x → y ) & ( y → z ) → ( x → z ) 3) ( y ∨ z ) ← xy 4) xy ↔ yz 5) ( x → y ) & ( y → x ) ∨ ( x ∨ y ) 6) ( x ∨ z ) & ( x → y ) 7) x ∨ ( x ∨ y ) & ( y ∨ z ) ∨ y ∨ z 5. И з кон т а кт ов p , q , r сост а вит ь схем у т а к, чт обы он а за м кн у ла сь т огд а и т олько т огд а , когд а за м кн у т ы ка кие-н ибу д ь д ва из т рех кон т а кт ов p, q, r . 6. Требу ет ся, чт обы в больш ом за ле м ож н о было вклю ча т ь или выклю ча т ь свет при помощ и лю бого из чет ырех переклю ча т елей, ра сст а влен н ых н а чет ырех ст ен а х. У ка з а ние: э т о м ож н о осу щ ест вит ь пу т ем кон ст ру ирова н ия схем ы, в кот орой свет вклю ча ет ся, когд а за мкн у т о чет н ое число выклю ча т елей, и выклю ча ет сясвет , когд а ра зом кн у т о н ечет н ое число выклю ча т елей. 7. Д ля гру ппы из т рех человек пост роит ь э лект рическу ю схем у д ля регист ра ции т а йн ого голосова н ияпрост ым больш ин ст вом голосов. Требу ет ся т а к пост роит ь схем у , чт обы ка ж д ый человек, голосу ю щ ий « за » , н а ж им а л кн опку , и н е н а ж им а л, если он голосу ет « прот ив» , и чт обы в слу ча е, если бу д ет больш ин ст во человек голосова т ь « за » , — за гора ла сь ла м почка .

6. П ОЛИНОМ Ж ЕГА ЛКИНА. ЛИНЕЙ НЫЕ И НЕЛИНЕЙ НЫЕ Ф У НКЦИИ Элем ен т а рн а я кон ъ ю н кция н а зыва ет ся м онот онной, если он а н е сод ерж ит от рица т ельн ых перем ен н ых. Полином ом Ж ега лкина или полином ом по м одулю 2 н а зыва ет ся ф орм у ла : P ( x1 , ..., x n ) = K 1 ⊕ K 2 ⊕ K 3 ⊕ ... ⊕ K l , гд е K i (i = 1, ..., l ) — попа рн о ра зличн ые м он от он н ые э лем ен т а рн ые кон ъю н кции, сост а влен н ые из перемен н ых x1 , ..., x n .


На ибольш ий из ра н гов э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций, вход ящ их в полин ом , н а зыва ет ся ст епень ю э т ого полин ом а . Ч исло l н а зыва ет ся д лин ой полин ом а . П ри l = 0 пола га ем P ( x1 , ..., x n ) = 0 . И м еет м ест о след у ю щ ее у т верж д ен ие. Для ка ж дой булевой функции сущ ест вует , и при эт ом единст венно, предст а вление в виде полином а Ж ега лкина , кот оры й м ож ет бы т ь з а писа н следую щ им обра з ом : P ( x1 , ..., x n ) = ∑ a i ...i x i ... x i . {i1 ,...,i s }∈{1 ,...,n } 1

s

1

s

Ч исло возм ож н ых м он от он н ых кон ъ ю н кций xi ...x i ра вн о количест 1

s

ву под м н ож ест в {i1 ,..., i s } м н ож ест ва {1,2 ,..., n} , т .е. 2 .К оэ ф ф ициен т ы a i ...i n

1

s

прин им а ю т зн а чен ие либо 0, либо 1. О т м ет им д ва способа пост роен ияполин ом а Ж ега лкин а . 1. М ет од неопределенны х коэф фициент ов. П рим ен яет ся в осн овн ом т огд а , когд а бу лева ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) за д а н а т а блицей ист ин н ост и или н а бором своих зн а чен ий. П ри пост роен ии полин ом а Ж ега лкин а м ет од ом н еопред елен н ых коэ ф ф ициен т ов: В о-первы х, выписыва ем общ ий вид полин ом а Ж ега лкин а д ля ф у н кцийот n перем ен н ых; В о-вт оры х, исход я из т ого, чт о f ( x1 , ..., x n ) и иском ый полин ом P ( x1 , ..., x n ) н а од ин а ковых н а бора х вход ящ их в н их перем ен н ых прин им а ю т од ин а ковые зн а чен ия, сост а вляем сист ем у 2 n у ра вн ен ий с 2 n н еизвест н ым и a i ...i . 1

s

В -т рет ь их, реш а ем сист ем у , н а йд ен н у ю н а пред ыд у щ ем ш а ге, н а ход им коэ ф ф ициен т ы a i ...i и выписыва ем иском ый полин ом . 1

s

Прим ер 1. П ост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = (01110 011). Реш ение. За пиш ем общ ий вид полин ом а Ж ега лкин а д ля ф у н кции, за висящ ей от 3-х перем ен н ых: P ( x , y , z ) = a 0 ⊕ a1 x ⊕ a 2 y ⊕ a 3 z ⊕ a12 xy ⊕ a13 xz ⊕ a 23 zy ⊕ a123 xyz . Сост а вим сист ем у у ра вн ен ий:


a 0 = 0 ;  a 0 ⊕ a1 = 0 ; a 0 ⊕ a 2 = 1;  a 0 ⊕ a 3 = 1;  a 0 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 23 = 1; a 0 ⊕ a1 ⊕ a 3 ⊕ a13 = 0 ;  a 0 ⊕ a1 ⊕ a 2 ⊕ a12 = 1; a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a = 1.  0 1 2 3 12 13 23 123 У чит ыва ясвойст ва опера ции « слож ен ие по м од у лю 2» : 1 ⊕ 1 = 0 ; 0 ⊕ 1 = 1; 0 ⊕ 0 = 0 ; 1 ⊕ 0 = 1, н а ход им коэ ф ф ициен т ы полин ома Ж ега лкин а a 2 = a 3 = a 23 = a13 = a123 = 1 a 0 = a1 = a12 = 0 , и выписыва ем полин ом т рет ьейст епен и: P ( x , y , z ) == y ⊕ z ⊕ yz ⊕ xz ⊕ xyz . 2. М ет одэквива лент ны х преобра з ова ний. Эт от м ет од прим ен яет ся в т ом слу ча е, когд а ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) за д а н а в вид е ф орм у лы а лгебры логики. Су т ь м ет од а сост оит в том , чт обы, исход я из свойст в логических опера ций, пост роит ь э квива лен т н у ю за д а н н ой ф орм у лу , сод ерж а щ у ю т олько сим волы опера ций логического у м н ож ен ия и слож ен ия по м од у лю 2. П ри э т ом след ова т ь схем е: а ) пост роит ь д .н .ф . д ляза д а н н ой ф орм у лы; б) в полу чен н ой д .н .ф . выра зит ь д изъю н кцию через кон ъю н кцию и от рица н ие: u ∨ v ∨ w = (u v w ); (1) в) в полу чен н ой в пу н кт е б) ф орму ле освобод ит ьсяот от рица н ия, использу яэ квива лен т н ост ь: (2)  u = u ⊕ 1; г) ра скрыт ь скобки в полу чен н ом выра ж ен ии, пользу ясь свойст вом д ист рибу т ивн ост и опера ции ⊕ от н осит ельн о логического у м н ож ен ия u (v ⊕ w ) = uv ⊕ uw ; (3) д ) привест и под обн ые член ы по пра вилу : u ⊕ u = 0. (4)


Прим ер 2. П у ст ь f ( x , y , z ) = ( x → y )( y → z ) . П ост роит ь полин ом Ж ега лкин а , использу ям ет од э квива лен т н ых преобра зова н ий. Реш ение. П ост роим д .н .ф . ( x → y )( y → z ) = ( x ∨ y )( y ∨ z ) = x y ∨ x z ∨ yz . О свобод им сяот зн а ка д изъю н кции ∨ : (1)

(

)

x y ∨ x z ∨ yz =  x y ∧ x z ∧ yz . П рим ен им ф орм у лу (2):  x y ∧ x z ∧ yz = (( x ⊕ 1)( y ⊕ 1) ⊕ 1)(( x ⊕ 1)z ⊕ 1)( yz ⊕ 1) ⊕ 1. П ользу ясь (3), ра скроем скобки в послед н ем выра ж ен ии и привед ем под обн ые, полу чим : ( xy ⊕ x ⊕ y )( xz ⊕ z ⊕ 1)( yz ⊕ 1) ⊕ 1 = yz ⊕ xy ⊕ y ⊕ x ⊕ 1. О писа н н ый в пу н кт а х а ) — д ) способпостроен ия полин ом а Ж ега лкин а прим ен им д лялю бой ф орм у лы. О д н а ко в больш ин ст ве слу ча ев су щ ест ву ет более кра т кие пу т и преобра зова н ияф орм у лы в полин ом Ж ега лкин а . В пред ыд у щ ем прим ере м ож н о пост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ля ка ж д ого сомн ож ит еля x → y и y → z , их произвед ен ие и д а ет полин ом Ж ега лкин а д ля f ( x , y , z ) . Д ейст вит ельн о,

(

от ку д а след у ет поэ т ом у

)

u → v = u ∨ v = uv = u(v ⊕ 1) ⊕ 1 = uv ⊕ u ⊕ 1 ,

( x → y )( y → z ) = ( xy ⊕ x ⊕ 1)( yz ⊕ y ⊕ 1) ,

( x → y )( y → z ) = xy ⊕ yz ⊕ y ⊕ x ⊕ 1.

Д ля ф орм у л, сод ерж а щ их сим волы ~ и | при пост роен ии полин ом а Ж ега лкин а , полезн о использова т ь э квива лен т н ост и: u ~ v = u ⊕ v = u ⊕ v ⊕1 , (5) u v = uv = uv ⊕ 1 . (6) Прим ер3. П ост роим полин ом Ж ега лкин а д ляф у н кции f ( x , y , z ) = (( xy ~ z ) ( x ∨ y )). Реш ение. (5 , 6 )

 (( xy ~ z ) ( x ∨ y )) = ( xy ⊕ z ⊕ 1)( xy ⊕ x ⊕ 1) = xyz ⊕ xz ⊕ x ⊕ z ⊕ 1 . Бу лева ф у н кция, кот орой соот вет ст ву ет полин ом Ж ега лкин а первой ст епен и, н а зыва ет сялинейной. Ф у н кции, за д а ва ем ые ф орм у ла м и x ~ y , x ⊕ y, x , x, x ⊕ y⊕ z, являю т ся лин ейн ым и. М н ож ест во всех лин ейн ых бу левых ф у н кций обозн а ча ет ся через L , м н ож ест во лин ейн ых ф у н кций, за висящ их от n перем ен н ых, — через L(n ) . Д ля ка ж д ой ф у н кции f ∈ L(n ) им еет м ест о пред ст а влен ие


ст а влен ие

f ( x 1 , ..., x n ) = c 0 ⊕ c 1 x 1 ⊕ ... ⊕ c n x n , (7) гд е коэ ф ф ициен т ы ci прин им а ю т зн а чен ия либо 0, либо 1. И з пред ст а влен ия (7) след у ет , чт о число всех лин ейн ых ф у н кций от n перем ен н ых ра вн о 2 n+1 . Д ру гим и слова м и, м ощ н ост ь м н ож ест ва L(n ) ра вн а 2 n+1 . Е сли ф у н кция f ∉ L , т о он а н а зыва ет ся нелинейной. Ст епен ь полин ом а Ж ега лкин а н елин ейн ой ф у н кции н е м ен ьш е 2. Элем ен т а рн ые ф у н кции xy , x ∨ y , x → y , x y являю т сян елин ейн ым и. Спра вед ливо у т верж д ен ие (лем м а о нелинейной функции): Е сли f ( x1 , ..., x n ) н елин ейн а я ф у н кция, т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых 0, 1, x , y , x , y , м ож н о полу чит ь либо xy , либо xy .

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. На йт и число м он от он н ых э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций ра н га r , сост а влен н ых из перем ен н ых x1 , ..., x n . 2. На йт и число полин ом ов Ж ега лкин а ст епен и r н а д мн ож ест вом перем ен н ых x1 , ..., x n . 3. М ет од ом н еопред елен н ых коэ ф ф ициен т ов пост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) 2) 3)

4) ( x ~ y ) ∨ (x ↓ y ) ; 5) xyz → ( x ∨ y ) ; 6) ( x y ) → ( y ⊕ z ).

f = (10 01) ; f = (011010 0 0) ; f = (01110 010 ) ;

4. П ост роит ь полин ом ы Ж ега лкин а д ляэ лем ен т а рн ых бу лев ых ф у н кций. 5. П ри пом ощ и э квива лен т н ых преобра зова н ий пост роит ь полин омы Ж ега лкин а д ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) D = xy ∨ yz ∨ x z ; 4) D = x z ∨ xyz ; 5) D = x1 x 2 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x 3 ; 2) D = x1 x 2 ∨ x 2 x 4 ∨ x 3 ; 3) D = xyz ∨ x ∨ z 6) D = xyz ∨ x . ~ ~ ~ 6. На боры α~ = (α~ , ...,α~ ) и β = β , ..., β н а зыва ю т ся сосед н ими, если 1

n

(

1

n

)

он и от лича ю т сят олько од н ой коорд ин а т ой. Д ока за т ь, чт о если ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) н а д ву х сосед н их н а бора х прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия, т о он а лин ейн а я. Верн о ли обра т н ое у т верж д ен ие?


7. В ыясн ит ь, являет сяли лин ейн ой ф у н кция f : 1) f = x1 x 2 ( x1 ⊕ x 2 ) ; 2) f = ( x ~ y )( y → z ) ~ z ;

3) f = (01 0110 01) ; 4) f = (011010 011010 01 01) .

7. ОП ЕР А ЦИЯ ЗА М ЫКАНИЯ. ОС НОВ НЫЕ ЗАМ КНУ ТЫЕ КЛАС С Ы О бозн а чим м н ож ест во всех бу левых ф у н кций через Б. П у ст ь f ( x1 ,..., x n ) , g1 ( x1 ,..., x m ) , … , g n ( x1 ,..., x m ) - произвольн ые бу левы ф у н кции. Суперпоз ицией э т их ф у н кций н а зыва ет сяф у н кция ϕ ( x1 ,..., x m ) = f ( g1 ( x1 ,..., x m ),..., g n ( x1 ,..., x m )) . Прим ер 1. П у ст ь f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 ~ x 2 ) ⊕ x 3 , g1 ( x , y ) = xy , g 2 ( x , y ) = x , g 3 ( x , y ) = x y , т огд а их су перпозиция ϕ ( x , y ) реа лизу ет ся

ф орм у лой ( xy ~ x ) ⊕ ( x y ) .

П у ст ь М - н екот орое м н ож ест во бу левых ф у н кций: М ⊆ Б . З а м ы ка нием [ М ] мн ож ест ва М н а зыва ет ся совоку пн ост ь всех т ех бу левых ф у н кций, кот орые являю т ся су перпозициям и ф у н кций из м н ож ест ва М . О пера ция полу чен ия м н ож ест ва [ М ] из М н а зыва ет ся опера цией з а м ы ка ния . М н ож ест во М н а зыва ет ся функциона ль но з а м кнут ы м кла ссом (короче, з а м кнут ы м кла ссом ), если [ М ] = М . Та ким обра зом , за м кн у т ый кла сс вм ест е с лю бым и его ф у н кциям и сод ерж ит и все их су перпозиции. Тра д ицион н о выд еляю т пят ь за м кн у т ых кла ссов бу левых ф у н кций: 1.

К л асс L л ине й ныхфу нк ций .

2.

К л асс T0 бу л е в ыхфу нк ций , со храняющ ихк о нстанту 0: T0 = { f ∈ Б | f (0, ...,0 ) = 0}.


Ф у н кции x & y, x ∨ y, x ⊕ y, x являю т ся ф у н кциям и из T0 , т огд а ка к x | y, x ↓ y, x → y, x ~ y, x н е прин а д леж а т T0 . 3.

К л асс T1 бу л е в ыхфу нк ций , со храняющ ихк о нстанту 1: T1 = { f ∈ Б | f (1, ...,1) = 1}.

К а к легко проверит ь, x ∨ y , x & y , x → y , x ~ y , x, 1 – ф у н кции из

T1 , в т о врем яка к x | y, x ↓ y, x ⊕ y, x , 0 н е прин а д леж а т T1 . 4. К л асс S само д в о й ств е нных фу нк ций . Ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет сяса м одвойст венной, если он а совпа д а ет со своей д войст вен н ой: S = { f ∈ Б | f ( x 1 , ..., x n ) = f ∗ ( x1 , ..., x n )}.

О чевид н о, чт о са м од войст вен н ым и ф у н кциям и бу д у т x, x ; ф у н кции x ∨ y, xy, x → y, x | y н е яв ляю т сяса м од войст вен н ым и. Прим ер2. П ока ж ем , чт о ф у н кция ϕ ( x , y, z ) = xy ∨ xz ∨ yz являет ся са м од войст вен н ой. Д ейст вит ельн о, ϕ ∗ ( x, y , z ) = ( x ∨ y )( x ∨ z )( y ∨ z ) = xyz ∨ xy ∨ xz ∨ yz = = xy (1 ∨ z ) ∨ xz ∨ zy = xy ∨ xz ∨ zy.

Д ляса м од войст вен н ойф у н кции им еет м ест о т ож д ест во f ( x1 , ..., x n ) = f ( x1 , ..., x n ) , т а к чт о н а н а бора х (α 1 , ...,α n ) и (α 1 , ...,α n ) , кот орые м ы бу д ем н а зыва т ь прот ивополож н ым и, са м од войст вен н а я ф у н кция прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия. Прим ер3. Ф у н кция f 1 ( x , y , z ) = (01101110 ) н е являет сяса м од войст вен н ой, т а к ка к н а прот ивополож н ых н а бора х (000) и (111) он а прин им а ет од н о и т о ж е зн а чен ие 0. Ф у н кция f 2 ( x , y, z ) = (10110010 ) являет ся са м од войст вен н ой, т а к ка к н а ка ж д ой па ре прот ивополож н ых н а боров он а прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия. Спра вед ливо след у ю щ ее у т верж д ен ие, н а зыва ем ое обычн о лем м ой о неса м одвойст венной функции: Е сли ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) н еса мод войст вен н а я, т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых x и x , м ож н о полу чит ь кон ст а н т у . 5. К л асс M мо но то нныхфу нк ций .


~ Г оворят , чт о н а бор α~ = (α 1 , ...,α n ) пред ш ест ву ет н а бору β = ( β 1 , ..., β n ) и ~ пиш у т α~ p β , если α i ≤ β i , i = 1,..., n . Ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) ∈ Б н а зыва ет ~ ~ сям онот онной, если f (α~ ) ≤ f β при α~ p β . Ф у н кции x, 0, 1, x ∨ y, xy являю т ся м он от он н ым и, т огд а ка к

( )

x , x ↓ y , x | y, x → y , x ⊕ y , x ~ y н е прин а д леж а т кла ссу M . Спра вед ливо у т верж д ен ие (лем м а о нем онот онной функции): Е сли f ∉ M , т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых 0, 1, x , м ож н о полу чит ь ф у н кцию x .


ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. О босн ова т ь след у ю щ ие свойст ва за м ыка н ия: 1) [ [M ] ] = [M ] ; 2) если M 1 ⊆ M 2 , т о [ M 1 ] ⊆ [M 2 ] ; 3) [ M 1 ∪ M 2 ] ⊇ [ M 1 ] ∪ [M 2 ] ; 4) [∅ ] = ∅ . 2. В сегд а ли н а м н ож ест ве Б бу левых ф у н кций: a) пересечен ие за м кн у т ых кла ссов яв ляет сяза м кн у т ым кла ссом ; b) ра зн ост ь за м кн у т ых кла ссов ест ь за м кн у т ый кла сс; c) д ополн ен ие за м кн у т ого кла сса н е являет ся за м кн у т ым кла ссом ? 3. П ока за т ь, чт о су перпозиция лин ейн ых ф у н кций являет ся лин ейн ой ф у н кцией, т .е. чт о кла сс L за м кн у т , и м ощ н ост ь L(n ) = 2 n+1 , гд е n число перем ен н ых. 4. П ока за т ь, чт о кла ссы T0 и T1 ф у н кций, сохра н яю щ их кон ст а н т у , за м кн у т ы. 5. П ока за т ь, чт о су перпозиция са м од войст вен н ых ф у н кций являет ся са м од войст вен н ой, т .е. [ S ] = S . 6. Д ока за т ь за м кн у т ост ь кла сса м он от он н ых ф у н кций. 7. П ока за т ь, чт о м ощ н ост и м н ож ест в T0 (n ) и T1 (n ) ф у н кций от n перем ен н ых, сохра н яю щ их кон ст а н т ы, совпа д а ю т : T0 (n ) = T1 (n) = 2 2 −1. n

8. П ока за т ь, чт о м ощ н ост ь м н ож ест ва S (n ) са мод войст вен н ых ф у н кций от n перем ен н ых вычисляет сяпо ф орм у ле: S (n ) = 2 2 . n

9. Са м од войст вен н а ли ф у н кция f ? 1) 2) 3) 4) 5)

f f f f f

= (( x → y ) → xz ) → yz ; = ( x ∨ y ∨ z )t ∨ x yz ; = ( x ∨ y )( y ∨ z )(z ∨ x ) ; = (01011110 ) ; = (0001001001100111 ) .

10.И з н еса м од войст вен н ой ф у н кции f с пом ощ ью под ст а н овки н а м ест а перем ен н ых ф у н кций x и x полу чит ь кон ст а н т у :


1) f = (00111001) ; 2) f = ( x ∨ y ∨ z )t ∨ xyz ; 3) f = ( x ↓ y ) → ( x ⊕ z ); 4) f = xy ∨ xz ∨ yt ∨ z t .

11.В ыясн ит ь, ка ким из м н ож ест в T0 U T1 , T1 \ T0 прин а д леж а т перечислен н ые н иж е ф у н кции: 1) (( x ∨ y ) → ( x | yz )) ↓ (( y ~ z ) → x ); 2) ( xy → z ) | (( x → z ) ↓ ( z ⊕ xy )). 12.Скольким и способа м и м ож н о ра сст а вит ь скобки в выра ж ен ии x1 → x 2 → x 1 → x 2 → x1 , чт обы полу чила сь ф орм у ла , реа лизу ю щ а я ф у н кцию из T0. 13.П од счит а т ь число ф у н кций, за висящ их от перем ен н ых ка ж д ом из след у ю щ их м н ож ест в : 1) T1 I T0 ; 4) L \ (T0 I T1 ); 7) 2) T0 I L; 5) T1 I S ; 8) 3) T1 U L; 6) L I S I T1 ; 9)

x1 , x 2 ,..., x n , в S I T0 I T1 ; T0 U T1 ; ( S \ T0 ) I T1 ;

14.На йт и ф у н кцию f ( x ,..., x ), если: 1) f ( x1 ..., x n ) ∈ T1 \ T0 ; 2) f ( x1 ,..., x n ) ∈ L \ (T1 I S ); 3) f ( x 1 ,..., x n ) ∈ S \ T0 ; 15.К а кие из перечислен н ых н иж е ф у н кций являю т сям он от он н ым и: 1) x → ( x → y ); 2) x → ( y → x ); 3) xy( x ⊕ y ); 4) xy ⊕ yz ⊕ zx ⊕ x; 5) f = (00110111); 6) f = (011001111); 7) f = (0001010101010111); 8) f = (0000000010111111)


16.Сколько су щ ест ву ет т а ких м он от он н ых ф у н кций f ( x , y , z ) , что f (0,1,1) = f (1,0,1) = 1, f (0,0,1) = 0 ? Сколько т а ких ф у н кций прин а д леж ит м н ож ест ву M \ S ? 17.П ока за т ь, чт о если f ∈ M , т о f * ∈ M . 18.П ока за т ь, чт о за м кн у т ые кла ссы T0 , T1 , S , M , L попа рн о ра зличн ы. 8. П ОЛНОТА С ИС ТЕМ БУ ЛЕВ ЫХ Ф У НКЦИЙ Д ля всякой бу левой ф у н кции су щ ест ву ет пред ст а влен ие в вид е д изъю н кт ивн ой или кон ъ ю н кт ивн ой н орм а льн ых ф орм . О т сю д а след у ет , чт о всяка я ф у н кция f ∈ Б м ож ет быт ь выра ж ен а в вид е ф орм у лы через э лем ен т а рн ые ф у н кции: от рица н ие x , д изъ ю н кцию x ∨ y и кон ъю н кцию x ∧ y . В связи с э т им возн ика ет вопрос: су щ ест ву ю т ли д ру гие сист ем ы бу левых ф у н кций, кот орые обла д а ю т т а ким ж е свойст вом ? О т вет ом н а э т от вопрос являю т сяпривод им ые н иж е пон ят ияи т еорем ы. Сист ем а бу левых ф у н кций F = { f 1 , f 2 , ..., f S , ...} н а зыва ет ся полной, если лю ба я бу лева ф у н кция м ож ет быт ь за писа н а в вид е ф орм у лы через ф у н кции э т ой сист ем ы, д ру гим и слова м и, являет ся су перпозицией ф у н кций из сист ем ы F . И з э т ого опред елен ия след у ет , чт о сист ем а F полн а , если [F ] = F . Ра ссм от рим примеры полн ых сист ем : 1. Сист ем а F = { x , x ∧ y, x ∨ y} пред ст а вляет собой полн у ю сист ем у . 2. Сист ем а F = {x ⊕ y , x & y , 0, 1} т а кж е полн а , т а к ка к лю ба ябу лева ф у н кцияпред ст а вим а в вид е полин ом а Ж ега лкин а ; 3. М н ож ест во Б всех бу лев ых ф у н кций т а кж е обра зу ет полн у ю сист ем у , т а к ка к [Б ] = Б . Я сн о, чт о н е всяка я сист ема являет ся полн ой. На прим ер, сист ем а {x → y, x & y} н е являет сяполн ой. След у ю щ а ят еорем а позволяет свод ит ь вопрос о полн от е од н их сист ем к вопросу о полн от е д ру гих сист ем . Теорем а (о полнот е двух сист ем ): П у ст ь д а н ы д ве сист ем ыф у н кций F = { f 1 , f 2 ,...} и G = {g1 , g 2 ,...} , от н осит ельн о кот орых извест н о, чт о перва я сист ем а полн а в Б и ка ж д а я ее ф у н кция являет ся су перпозицией ф у н кций вт орой сист ем ы. Тогд а вт ора я сист ем а т а кж е являет сяполн ой.


П ользу ясь э т ой т еорем ой, мож н о д ока за т ь полн от у ещ е ряд а ф у н кцион а льн ых сист ем и т ем са м ым ра сш ирит ь список прим еров полн ых сист ем . 4. Сист ем ы G1 = {x , x ∨ y} и G 2 = {x , x ∧ y} являю т ся полн ым и. И з ра вен ст в x∨ y = x ∧ y и x∧ y= x∨ y след у ет , чт о в ка чест ве сист ем ы F м ож н о использова т ь м н ож ест во ф у н кций в прим ере 1. 5. Сист ем а G = {x | y} полн а , т а к ка к x = x | x; x ∧ y = ( x | y ) | ( x | y ) и в ка чест ве F м ож н о взят ь сист ем у ф у н кций {x , x ∧ y } из примера 4. На м н ож ест ве Б бу левых ф у н кций спра вед лив след у ю щ ий крикла ссы ф у н кции f1 f2 f3 …

T0

T1

S

M

L

т ерий полнот ы . Теорем а Пост а : Сист ем а F = { f 1 , f 2 ,...} полна т огда и т оль ко т огда , когда она целиком не содерж ит ся ни в одном из з а м кнут ы х кла ссов T0 , T1 , S , M , L. Прим енение крит ерия полнот ы Ч т обы исслед ова т ь полн от у сист ем ы ф у н кций F = { f 1 , f 2 ,...}, у д обн о пост роит ь след у ю щ у ю т а блицу , в кот орой ст олько строк, сколько ф у н кций в д а н н ой сист ем е F . В ка ж д у ю клет ку э т ой т а блицы, ст оящ ей н а пересечен ии ст олбца , соот вет ст ву ю щ его од н ом у из кла ссов, и ст роки, соот вет ст ву ю щ ей ф у н кции f i , за н осит сязн а к « +» , если f i прин а д леж ит э т ом у кла ссу , и зн а к « -» в прот ивн ом слу ча е.


В силу крит ерия П ост а д ля полн от ы сист ем ы F= { f 1 , f 2 ,...} н еобход им о и д ост а т очн о, чт обы хот я бы в од н ой клет ке ка ж д ого ст олбца ст оял зн а к « -» . Сист ем а (м н ож ест во) бу левых ф у н кций н а зыва ет ся ба з исом , если он а полн а и лю ба я ее под сист ем а н е являет ся полн ой н а м н ож ест ве бу левых ф у н кций. 1 y 0 1

y

1 0

2 1 1 1

f1 0 1

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

3 z 0 1 0 1 0 1 0 1

xy 0 0 0 0 0 0 1 1

f2 1 1 1 1 1 1 0 1

x

y

x∨ y

f3

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

Д ля выд елен ияба з иса из полн ой сист ем ы ф у н кций F = { f 1 , f 2 , f 3 ,...} н у ж н о у поряд очит ь по числу ф у н кций м н ож ест во под сист ем сист ем ы F: { f 1 }, { f 2 }, ...,{ f 1 , f 2 }, { f1 , f 3 }, ... . и, н а чин а яс первой, исслед ова т ь их н а полн от у . Перва я из полны х в э т ой послед ова т ельн ост и подсист ем бу д ет ба з исом . Прим ер. И сслед ова т ь полн от у сист ем ы ф у н кций F = {y ⊕ 1; x ↓ y; xy → z} и, если он а полн а , выд елит ь из н ее ба зис. Реш ение. П у ст ь f 1 = y ⊕ 1 , f 2 = xy → z , f 3 = x ↓ y . Сост а вим т а блицы ист ин н ост и д ляза д а н н ых ф у н кций: И сслед у ем ф у н кцию f 2 = xy → z н а прин а д леж н ост ь кла сса м T0 , T1 , S , M , L .: f 2 ∉ T0 , т .к. f 2 (0,0 ) = 1; f 2 ∈ T1 , т .к. f 2 (1,1) = 1; f 2 ∉ S 1 , т .к. н а прот ивополож н ых н а бора х (000) и (111) ф у н кция прин им а ет од ин а ковое зн а чен ие, ра вн ое 1. f 2 ∉ M 1 , т .к. ест ь пред ш ест ву ю щ ие н а боры, н а прим ер (000) ≤ (110), н а кот орых f 2 (0,0,0 ) = 1 , f 2 (1,1,0 = 0 ) ,гд е н ера вен ст во 1 ≤ 0 лож н ое,

f 2 ∉ L1 ,т .к. f 2 = xy → z = xy ∨ z = xy ∨ z = xy & z = xy ( z ⊕ 1) = xyz ⊕ xy ⊕ 1. А н а логичн о исслед у ем ф у н кции f 1 и f 3 н а прин а д леж н ост ь кла сса м T0 , T1 , S 1 , M 1 , L1 . За полн им т а блицу


В ка ж д ом ст олбце т а блицы ст оит зн а к « -» . П оэ т ом у , согла сн о крит ерию П ост а , сист ем а ф у н кций полн а я. Ба зисом являет сяф у н кция f 3 , т .к. под сист ем а { f 3 } - полн а в Б. З а м еча ние 1. Д ля исслед ова н ия полн от ы вовсе н е обяза т ельн о за полн ят ь все клет ки т а блицы. Е сли полу чили, чт о од н а из ф у н кций н е прин а д леж ит ка кому – либо из кла ссов, т о прин а д леж н ост ь ост а льн ых ф у н кций э т ом у кла ссу м ож н о н е исслед ова т ь. З а м еча ние 2. П ри исслед ова н ии полн от ы сист ем ы полезн о использова т ь след у ю щ ее у т верж д ен ие: если н екот ора я сист ем а ф у н кций F сод ерж ит в себе ка к ча ст ь полн у ю сист ем у ф у н кций F1 , F1 ⊂ F , т о сист ема F полн а . На прим ер, ра ссмот рен н а я выш е в примере сист ем а F являет сяполн ой, т .к. сод ерж ит в себе полн у ю под сист ем у {x ↓ y } . З а м еча ние 3. Е сли в од н ом из ст олбцов т а блицы полу чен ы все « +» , т .е. все ф у н кции f i сист ем ы F прин а д леж а т ка ком у -т о кла ссу , т о сист ем а ф у н кций н е являет сяполн ой.

ЗАДАЧ И И У П Р АЖ НЕНИЯ 1. В ыра зит ь с пом ощ ью су перпозиций: 1) « & » и « → » через « ∨ » и « ┐ » ; 2) « &» и « ∨ » через → и « ┐ » ; 3) « ∨ » и « ∧ » через « / » ; 4) « ┐ » через « → » и « 0» ; 5) « ┐ » через « ⊕ » и « 1» ; 6) « ∨ » через « →» ; кла ссы ф у н кции f1 = y ⊕ 1 f 2 = xy → z f3 = x ↓ y

T0

T1

S

M

L

+ — —

+ + —

+ — —

+ — —

+ — —

2. Д ока за т ь, чт о н ельзявыра зит ь с пом ощ ью су перпозиций: 1) « ┐ » через « &» , « ∨ » , « → » и « ~» ; 2) « → » через « &» , и « ∨ » .


3. Д ока за т ь полн от у след у ю щ их сист ем ф у н кций, использу я т еорем у о полн от е 2 –х сист ем : 1) G = {x → y , x };

{

}

2) G = x ↓ y ; 3) G = {x → y ,0}; 4) G = {x ⊕ y; x ∨ y,1}; 5) G = {x → y , x ~ y , x }; 6) G = {1; x , x ⊕ y}. 4. Д ока за т ь н еполн от у сист ем ф у н кций: 1) φ = {x}; 2) φ = {x & y , x ∨ y, x → y}. 5. И спользу я крит ерий полн от ы, выясн ит ь, являю т ся ли полн ым и след у ю щ ие сист ем ыф у н кций. В полн ых сист ем а х выд елит ь ба зис: 1) F = {x → y , x → ( y ~ z )} ; 2) F = {x | ( y → z ), (( x ⊕ z ) → xy ) ↓ z }; 3) F = { x ∨ y ∨ z → ( x ⊕ y ), x y → z}; 4) F = {(01101001), (10001001), (0001)}; 5) F = {x ⊕ yz , x | x , x 1 x 2 ∨ x 1 x 2 }; 6) F = {(10 ), (1010110111110011)}; 7) F = ( S \ M ) U ( L \ (T0 U T1 )); 8) F = ( M \ (T0 U T1 )) U ( L \ S ); 9) F = ( M \ (T0 I T1 )) U ( L \ S ); 10) F = {( x → z ) ∨ y , ( x | y → x ) ~ z , xy}; 11) F = { x → ( x ⊕ y ), z x y, x ∨ z };

6. П олн а ли сист ем а F = { f1 ( x1 ,..., x 2 ), f 2 ( x1 ..., x 2 )}; если: 1) f 1 ∈ S \ M , f 2 ∉ L U S , f 1 → f 2 = 1; 2) f 1 ∈ T0 U L, f 2 ∉ S , f 1 → f 2 ≡ 1; 3) f 1 ∈ T0 I T1 , f 2 ∈ M \ T1 , f 1 → f 2 ≡ 1.

9. П Р ЕДИКА ТЫ. ОП ЕР АЦИИ НАД П Р ЕДИКА ТАМ И П он ят ие пред ика т а обобщ а ет пон ят ие выска зыва н ия.


П ред лож ен ие или у т верж д ен ие, сод ерж а щ ее од н о или н есколько перем ен н ых, при под ст а н овке в мест о кот орых кон крет н ых зн а чен ий из н екот орых м н ож ест в м ы полу ча ем выска зыва н ие (ист ин н ое или лож н ое), н а зыва ет ся предика т ом . К оличест во перем ен н ых, от кот орых за висит пред ика т , н а зыва ет сям ест ност ь ю или а рност ь ю . П у ст ь M 1 , M 2 ,K , M n — м н ож ест ва э лем ен т ов произвольн ой природ ы. О пределение 1: n -м ест н ым пред ика т ом н а зыва ет ся ф у н кция P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) , за висящ а яот n перем ен н ых, опред елен н а я н а м н ож ест ве M = M 1 × M 2 × K × M n и прин им а ю щ а я н а э т ом м н ож ест ве зн а чен ие 1(ист ин а ) или 0 (лож ь). На прим ер, P ( x ) = [н а т у ра льн ое число x кра т н о 5] — од н ом ест н ый пред ика т : P (4 ) = 0 , P (15) = 1, P (11) = 0 , P (20 ) = 1. Q( x , y ) = [город x н а ход ит ся н а т еррит ории госу д а рст ва y] — д ву хмест н ый пред ика т : Q ( М осква , Россия ) = 1, Q( Па риж , В енгрия ) = 0 , Q ( Па риж , Ф ра нция ) = 1. Са м о выска зыва н ие счит а ет сян у ль-м ест н ым пред ика т ом . П еремен н ые x1 , x 2 ,K , x n , от кот орых за висит пред ика т , н а зыва ю т ся предм ет ны м и перем енны м и. К он крет н ые зн а чен ияпред м ет н ых перем ен н ых н а зыва ю т сяпред мет н ым и кон ст а н т а м и. М н ож ест во M , н а кот ором за д а н пред ика т , н а зыва ет ся обла ст ь ю определения предика т а . М нож ест во E p ⊂ M , н а кот ором пред ика т прин им а ет т олько ист ин н ые зн а чен ия, н а зыва ет ся м нож ест вом ист инност и пред ика т а P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) : E p = {(a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M P (a1 , a 2 ,K , a n ) = 1}. Ра злича ю т чет ыре т ипа пред ика т ов: 1. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся т ож дест венно ист инны м н а м н ож ест ве M = M 1 × M 2 × K × M n , если E p = M , т .е. если н а лю бом

н а боре (a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M пред ика т прин им а ет зн а чен ие 1 (ист ин а ). 2. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся т ож дест венно лож ны м н а м н ож ест ве M , если E p = ∅ , т .е. если н а лю бом н а боре зн а чен ий перем ен н ых пред ика т прин им а ет зн а чен ие 0 (лож ь). 3. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся вы полним ы м , если его м н ож ест во ист ин н ост и E p н е пу ст о: E p ≠ ∅ . 4. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет сяопроверж им ы м , если его м н ож ест во ист ин н ост и E p н е совпа д а ет с его обла ст ью опред елен ия, т .е. су щ ест ву ю т т а кие н а боры (a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M , н а кот орых пред ика т прин има ет зн а чен ие 0.


На пример, P ( x , y ) = [ x + y ≥ 0 , x , y ∈ R ] — т ож д ест вен н о ист ин н ый пред ика т ;

Q ( x 1 , x 2 x 3 ) = [x 12 + x 22 + x 32 < 0 , x i ∈ R , i = 1, 2 , 3] — т ож д ест вен н о лож н ый пред ика т , т .к. E Q = ∅ . — выполн им ый пред ика т , т .к. F ( x ) = [ x + 3 = 1, x ∈ N ] E F = {− 2} ≠ ∅ . Φ( x , y ) = [ x 2 + y 2 > 0 , ( x , y ) ∈ R × R ] — опроверж им ый пред ика т , т .к. E Φ = R × R \ {(0 ,0 )}; E Φ ≠ M . Г оворят , что пред ика т Q( x ) являет ся след ст вием пред ика т а P ( x ) ( P ( x) ⇒ Q( x )) , если E P яв ляет сяпод м н ож ест вом E Q : E P ⊂ E Q . О пределение 2: Д ва пред ика т а P ( x ) и Q ( x ) , опред елен н ые н а од н ом и т ом ж е м н ож ест ве, од н ой и т ой ж е м ест н ост и, н а зыва ю т ся ра вносиль ны м и ( P ( x ) ⇔ Q( x )) , если их м н ож ест ва ист ин н ост и совпа д а ю т : E P = E Q . На пример, P ( x , y ) = [x 2 + y 2 = 1, x , y ∈ Z ] и ра вн осильн ые д ву хм ест н ые E P = E Q = {(0 ,1), (1,0), (− 1,0), (0 ,−1)} .

Q ( x , y ) = [ x + y = 1, x , y ∈ Z ] — пред ика т ы, т .к.

A( x , y ) = [ x 2 + y 2 ≤ 1, x , y ∈ R ] являет ся след ст вием П ред ика т пред ика т а B ( x , y ) = [ x + y ≤ 1, x , y ∈ R ] , т .к. E B ⊂ E A (см . рис.) Y 1

-1

1

-1

X


И з опред елен ий след у ет , чт о ка ж д ый т ож д ест вен н о ист ин н ый пред ика т являет ся выполн им ым , н о н е являет ся опроверж им ым , т огд а ка к ка ж д ый т ож д ест вен н о лож н ый пред ика т являет ся опроверж им ым , н о н е являет ся выполн им ым . В ыполн им ый пред ика т н е обяза т ельн о являет ся т ож д ест вен н о ист ин н ым . О проверж им ый пред ика т н е обяза т ельн о являет сят ож д ест вен н о лож н ым . За м ет им , чт о от н ош ен ие ра вн осильн ост и д ву х пред ика т ов являет ся от н ош ен ием э квива лен т н ост и. П ереход от пред ика т а P ( x ) к ра в н осильн ом у ем у пред ика т у Q( x ) н а зыва ет ся ра вносиль ны м преобра з ова нием первого. У ра в н ен ия и сист ем ы у ра вн ен ий, н ера вен ст ва и сист ем ы н ера вен ст в, прочие м а т ем а т ические объект ы пред ст а вляю т собой пред ика т ы. П ри их реш ен ии м ы прод елыва ем ра вн осильн ые преобра зова н ия н а д н им и, целью кот орых являет ся поиск м н ож ест ва ист ин н ост и д а н н ого исход н ого пред ика т а . И м еет м ест о у т верж д ен ие: Д ва пред ика т а , им ею щ ие од н у обла ст ь опред елен ия, ра вн осильн ы т огд а и т олько т огд а , когд а од ин из н их являет сяслед ст вием д ру гого: P ⇔ Q т огд а и т олько т огд а , когд а P ⇒ Q и Q ⇒ P . Та к ка к пред ика т ы могу т прин им а т ь д ва зн а чен ия1 или 0, т о к н им прим ен им ы все логические опера ции а лгебры выска зыва н ий. В резу льт а т е полу ча ем н овые пред ика т ы. На пример, конъюнкцией д ву х пред ика т ов P ( x ) и Q( x ) н а зыва ет ся н овый пред ика т P ( x ) & Q ( x ) , кот орый прин им а ет зн а чен ие 1 при т ех и т олько т ех кон крет н ых зн а чен иях x ∈ M , при кот орых ка ж д ый из пред ика т ов P ( x ) и Q( x ) прин им а ет зн а чен ие 1, и прин им а ет зн а чен ие 0 во всех ост а льн ых слу ча ях. ( P & Q )(a1 , a 2 ,K , a n ) = P (a1 , a 2 ,K , a n ) & Q(a1 , a 2 ,K , a n ) . О чевид н о, E P &Q = E P I E Q . А н а логичн о опред еляю т ся опера ции ∨ (д изъю н кция), → (им плика ция), ↔ (э квива лен ция),  (от рица н ие) и т .д . Л егко вид ет ь, чт о 1. E P ∨ Q = E P U E Q ; ~ 2. E P = E P = M \ E P ; ~ 3. E P → Q = E P U E Q ;


( )

) (

) ( )

)

~ ~ ~ ~ 4. E P ↔Q = (E P →Q ) I (E q → P ) = E P U E Q I E Q U E P = E P I E Q U ~ ~ ~ ~ U E Q I E Q U U E P I E P U (E Q I E P ) = E P I E Q U ( E P I E Q ) , ~ ~ т .к. E Q I E Q = ∅ и E P I E P = ∅ .

(

)

(

(


Я сн о, чт о при выполн ен ии логических опера ций н а д пред ика т а м и к н им прим ен им ы осн овн ые ра в н осильн ост и а лгебры логики выска зыва н ий. Прим ер1. П у ст ь д а н ы од н ом ест н ые пред ика т ы: P ( x ) =[ x — чет н ое число] и Q( x ) =[число x кра т н о 3], опред елен н ые н а м н ож ест ве н а т у ра льн ых чисел N . На йт и м н ож ест во ист ин н ост и пред ика т ов: 1. P ( x ) & Q ( x ) ; 2. P ( x ) ∨ Q( x ) ; 3. P ( x ) ; 4. P ( x ) → Q ( x ) . Реш ение: И м еем E P = {2 , 4 , 6 , K , 2n , K}; E Q = {3 , 6 , 9 , K , 3n , K}. Тогд а 1. E P &Q = {6 , 12 , 18 , K , 6n ,K} ; 2. E P ∨ Q = {2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , K , 2n , 3n ,K} ; 3. E P = {1, 3, 5 , K , 2 n − 1,K} ; 4. E P → Q = {1, 3, 5 , K , 2 n − 1,K} U {3 , 6 , 9 , K ,3n ,K}. И м ею т м ест о след у ю щ ие т еорем ы: 1. ( P & Q ) ≡ 1 ⇔ P ≡ 1 и Q ≡ 1; 2. ( P ∨ Q ) ≡ 0 ⇔ P ≡ 0 и Q ≡ 0 ; 3. ( P → Q ) ≡ 0 ⇔ P ≡ 1 и Q ≡ 0 ; 4. P ≡ 1 ⇔ P ≡ 0 ; 5. ( P → Q ) ≡ 1 ⇔ ( P ⇒ Q ) . Счит а ет ся, чт о опера ция  связыва ет сильн ее, чем &, а опера ция & связыва ет сильн ее, чем ∨ . О пера ция ∨ сильн ее, чем → ; опера ция → сильн ее, чем ↔ . В вед ен ие скобок н а ру ш а ет прин ят ый поряд ок выполн ен ияопера ций. Ниж е привед ен ы н екот орые ра вн осильн ост и: 1. ( P → Q ) ⇔ ( P ∨ Q ) ; 2. ( P ↔ Q ) ⇔ ( P → Q) & (Q → P ) ; 3.

( P & Q ) ⇔ ( P ∨ Q ).

К ром е перечислен н ых выш е опера ций введ ен ы ещ е д ве опера ции связыва н ия ква н т оров, прису щ и т олько пред ика т а м : ква н т ор общ н ост и ∀ и ква н т ор су щ ест вова н ия ∃ . Эт и д ве опера ции н е им ею т а н а логов сред и опера цийн а д выска зыва н иям и.


П у ст ь P ( x ) — одном ест ны й предика т , опред елен н ый н а м н ож ест ве M . О пределение 3: Ква нт ором общ ност и предика т а P ( x ) н а зыва ет ся вы ска з ы ва ние ∀x P ( x ) (чит а ет ся: д ля всякого x P ( x ) ист ин н о), кот орое ист ин н о, когд а пред ика т P ( x ) т ож д ест вен н о ист ин н ый, и лож н о в прот ивн ом слу ча е, т .е. 1, если P ( x ) ≡ 1; ∀x P ( x ) =  0 , если P ( x ) − опроврж им ы й предика т . П ерем ен н у ю x в пред ика т е P ( x ) н а зыва ю т свободной, т . к. ей м ож н о прид а ва т ь ра зличн ые кон крет н ые зн а чен ия из м н ож ест ва M . В выска зыва н ии ∀x P ( x ) перем ен н у ю x н а зыва ю т свя з а нной ква н т ором общ н ост и ∀ . О пределение 4: Ква нт ором сущ ест вова ния предика т а P ( x ) н а зыва ет сявы ска з ы ва ние ∃x P ( x ) (чит а ет ся: су щ ест ву ет x , при кот ором P ( x ) ист ин н о), кот орое ист ин н о, если су щ ест в у ет хот ябы од ин э лем ен т x ∈ M , д лякот орого P ( x ) ист ин н о, и лож н о в прот ивн ом слу ча е, т .е. 1, если P ( x ) − вы полним ы й предика т ; ∃x P ( x ) =  0 , если P ( x ) ≡ 0. В в ыска зыва н ии ∃x P ( x ) перем ен н а я x связа н а ква н т ором су щ ест вова н ия ∃ . За м ет им , чт о сим волы ∀ и ∃ происход ят от первых бу кв а н глийских слов « All» (все) и « Exist» (су щ ест вова т ь). П риме р 2. П усть P ( x ) = [ x ≥ 3] , о пр е де ле нный на

м но ж е стве на тур а льных чисе л ние ∀x P( x ) ло ж но , выска зыва ние

. То гда выска зыва ∃x P ( x ) истинно . N

1   Прим ер 3. Д а н ы пред ика т ы P ( x ) =  x 2 + x + > 0 , x ∈ R  и 2   2 Q ( x ) = [ x − 5 x + 6 = 0 , x ∈ R ] , опред елен н ые н а м н ож ест ве д ейст вит ельн ых чисел. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их выска зыва н ий ист ин н ы, а ка кие лож н ы: 1. ∀x P ( x ) 3. ∀x Q( x ) 2. ∃x P ( x ) 4. ∃x Q( x ) 2

1  1 1 Реш ение. Т.к. ква д ра т н ый т рехчлен x + x+ =x +  + >0 2  2 4 при всех x ∈ R , т о выска зыва н ия ∀x P ( x ) и ∃x P ( x ) ист ин н ы. Т.к. у ра вн ен ие x 2 − 5 x + 6 = 0 им еет д ва д ейст вит ельн ых корн я x1 = 2 и x 2 = 3 , т о пред ика т Q( x ) прин им а ет зн а чен ие 1 т олько при x = 2 2


и при x = 3 , а зн а чен ие 0 в ост а льн ых слу ча ях. П оэ т ом у в ыска зыва н ие ∀x Q( x ) лож н о, выска зыва н ие ∃ x Q ( x ) ист ин н о.

Е сли од н ом ест н ый пред ика т P ( x ) за д а н н а кон ечн ом м н ож ест ве M = {a 1 , a 2 ,K , a n }, т о н ет ру д н о вид ет ь, чт о 1. ∀x P ( x ) = P (a 1 ) & P (a 2 ) & K & P (a n ) ; 2. ∃x P ( x ) = P (a1 ) ∨ P (a 2 ) ∨ K ∨ P (a n ) , т .е. ква н т орн ые опера ции обобщ а ю т опера ции & и ∨ н а слу ча й бескон ечн ых м н ож ест в. Счит а ет ся, чт о ква н т оры « связыва ю т » сильн ее, чем опера ции логики выска зыва н ий. И м ею т мест о форм улы свя з и ква нт оров: ∀x P ( x ) = ∃ x P ( x ) и ∃ x P ( x ) = ∀x P ( x ) , кот орые ш ироко использу ю т ся при ра вн осильн ых преобра зова н иях в логике пред ика т ов. Д ока ж ем первое ра вен ст во: пу ст ь ∀x P ( x ) = 0 ⇔ ∀x P ( x ) = 1 ⇔ P ( x ) ≡ 1 ⇔ P ( x ) ≡ 0 ⇔ ∃x P ( x ) = 0 . В т орое ра вен ст во д ока зыва ет сяа н а логичн о. К ва н т орн ые опера ции прим ен яю т сяи к м н огомест н ым пред ика т а м . На прим ер, прим ен яя ква н т оробщ н ост и по перем ен н ой x к д ву хм ест н ом у пред ика т у P ( x , y ) = [ x + y > 0 , x , y ∈ R ] полу ча ем од н омест н ый пред ика т , за висящ ий от перем ен н ой y : ∀x P ( x , y ) = Φ( y );

Φ(1) = ∀x P ( x,1) = ∀x [ x + 1 > 0] = 1 (ист ина ),

Φ(− 1) = ∀x P ( x, −1) = ∀x [ x − 1 > 0] = 0 ( лож ь ). К пред ика т у Φ ( y ) мож н о прим ен ит ь ква н т орн ые опера ции по перем ен н ой y . В резу льт а т е полу чим выска зыва н ие: ∀y Φ( y ) = ∀y(∀x P ( x , y )) или ∃y Φ( y ) = ∃y(∀x P ( x , y )) . За м ет им , чт о перест а н овка лю бых ква н т оров м ест а м и, вообщ е говоря, измен яет логическое зн а чен ие выска зыва н ия. Прим ер 4. П ока за т ь, чт о выска зыва н ия ∀x ∃y P ( x , y ) и ∃y ∀x P ( x , y ) им ею т ра зличн ые логические зн а чен ия, гд е д ву хм ест н ый пред ика т P ( x , y ) = [ x < y ] опред елен н а м н ож ест ве M = N × N . Реш ен ие: В ыска зыва н ие ∀x ∃y P ( x , y ) озн а ча ет у т верж д ен ие, чт о д лялю бого н а т у ра льн ого числа x н а йд ет сян а т у ра льн ое число y , больш ее числа x . Эт о выска зыва н ие ист ин н о. В ыска зыва н ие ∃y ∀x P ( x , y ) озн а ча -


ет , чт о су щ ест ву ет н а т у ра льн ое число y , кот орое больш е лю бого н а т у ра льн ого числа x . Эт о выска зыва н ие, очевид н о, лож н о.


ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Сред и след у ю щ их пред лож ен ий выд елит е пред ика т ы, д ля ка ж д ого из пред ика т ов у ка ж ит е од н у из возм ож н ых обла ст ей опред елен ияи в соот вет ст вии с н ей м н ож ест во ист ин н ост и: 1) Л у н а ест ь спу т н ик В ен еры; 2) П ла н ет ы x и y прин а д леж а т Солн ечн ой сист ем е; 3) 5 + 5 70 − 6 10 > 150 ; 4) x 2 + 3 x + 2 = 0 ; 5) x 4 − 3 x + 8 ; 6) Л ю бое прост ое число p н е им еет д елит елей, от личн ых от себя и 1; 7) На т у ра льн о число n н е м ен ьш е 1; 8) Треу гольн ик ABC ра вен т реу гольн ику A1 B1 C 1 ; 9) x 2 + 2 x + 1 > 0 ;

1 ; cos 2 x 11) ln x < sin x .

10) 1 + tg 2 x =

2. Д а н ы пред ика т ы P ( x ) : « x 2 − 4 = 0 » и Q( x ) : « 3 x − 2 < 17 » . На йт и м н ож ест ва ист ин н ост и э т их пред ика т ов, если их обла ст ь опред елен ияест ь: 1) R ; 2) N . 3. Бу д у т ли след у ю щ ие пред ика т ы ра вн осильн ы или од ин из н их являет ся след ст вием д ру гого? (П ред м ет н ые перем ен н ые в пред ика т а х прин а д леж а т R) 1) x ⋅ y = 15 и xy = 15 ; 2) lg ab = 1 и lg a + lg b = 1 ; 1 3) sin 2 x + cos 2 x = 1 и tg 2 x + 1 = ; cos 2 x 4) 2 log2 x = y и y = x ; 5) x 2 ≤ 0 и 2 = cos x ; 6) x + y = z и ( x + y )( x − y ) = − zy ; 7) x 3 + y 3 = 0 и x 2 − y 2 = 0 . x


4. На йт и м н ож ест ва ист ин н ост и пред ика т ов: x 2 + 3x + 2 2) x 2 − 1 = −3; 1) 2 ; x + 4x + 3 x 2 − 5x + 6  x 2 − 13 x + 40 ≥ 0 4) 2 < 0. 3)  2 ; x − 2 x − 3 x x 2 + − 30 < 0  5. На м н ож ест ве M = {1, 2 , 3,K , 20} за д а н ы пред ика т ы: A( x ) : « x н е д елит сян а 5» ; B ( x ) : « x — чет н ое число» ; C ( x ) : « x — число прост ое» ; D( x ) : « x кра т н о 3» . На йд ит е м н ож ест во ист ин н ост и след у ю щ их пред ика т ов: 1) A( x ) & B( x ); 2) C ( x ) & B( x ); 3) C ( x ) & D( x ); 4) B ( x ) & D( x ); 5) B ( x ) & D ( x ); 6) A( x ) & D ( x ); 8) A( x ) & B( x ) & D( x ); 7) B ( x ) & D ( x ); 9) A( x ) ∨ B( x ); 10) B ( x ) ∨ C ( x ); 11) C ( x ) ∨ D( x ); 12) B ( x ) ∨ D( x ); 13) B ( x ) ∨ D( x ); 14) B ( x ) ∨ D ( x ); 15) A( x ) ∨ B( x ) ∨ D( x ); 16) C ( x ) → A( x ); 18) A( x ) → B ( x ); 17) D( x ) → C ( x ); 19) ( A( x ) & C ( x )) → D ( x ); 20) ( A( x ) & D( x )) → C ( x ). 6. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их в ыска зыва н ий ист ин н ы, а ка кие лож н ы, при у словии, чт о обла ст ь опред елен ияпред ика т ов совпа д а ет с R . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

∃ x ( x + 5 = x + 3); 1   ∃ x  x 2 − x + = 0 ; 2   2 ∀ x ( x + x + 1 > 0); ∀ x ( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ); ∃ x (( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0) & ( x 2 − 2 x + 1 > 0)); ∃ x (( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ) & ( x 2 − 6 x + 8 ≤ 0)); ∀ x (( x 2 − 6 x + 8 ≥ 0) ∨ ( x 2 − 6 x + 8 < 0 )); ∃ x (( x ∈ {2 , 5}) → ( x 2 − 6 x + 8 = 0 ));


9) ∀ x (( x ∈ {3 , 5}) → ( x 2 − 6 x + 8 < 0 )). 7. За писа т ь пред ика т ы, полу чен н ые в резу льт а т е логических опера ций н а д

EQ

EP

EQ

Рис.1

EQ

EP

ER

EP Рис.7

EQ

Рис.2

EQ

Рис.4

EQ

EP

Рис.3

EP

EQ

Рис.5

EQ

EP

ER

EP

Рис.6

EQ

ER

EP

EP

Рис.8

Рис.9

пред ика т а м и P ( x ) , Q( x ) и R( x ) , м н ож ест ва ист ин н ост и кот орых ( E ) за ш т рихова н ы н а след у ю щ их рису н ка х: 8. П ривед ит е прим еры т а ких зн а чен ий a , д ля кот орых д а н н ое выска зыва н ие: а ) ист ин н о; б) лож н о (обла ст ь опред елен ия пред ика т ов совпа д а ет с R ). 1) ∃ x < 0 ( x 2 + ax + a = 0 ); 2) ∀ x ∈ [0 ,1]( x 2 + x + a < 0 ); 3) ∀ x > 7 ( x 2 + ax + 1 > 0 ); 4) ∃ x ∈ [a , a + 1] ( x 2 − x − 2 < 0 ).


9. И зобра зит е н а д иа гра м м а х Эйлера -Вен н а м н ож ест ва ист ин н ост и д ля след у ю щ их пред ика т ов : 1) P ( x ) & Q ( x ); 2) P ( x ) ↔ Q ( x ); 3) ( P ( x ) → Q ( x )) ∨ R ( x ) & Q ( x ); 4) P ( x ) → (Q( x ) ∨ Q ( x )); 5) P ( x ) & Q ( x ) → R ( x ).

10.И зобра зит е н а коорд ин а т н ой плоскост и м н ож ест ва ист ин н ост и пред ика т ов: 1) ( x > 2 ) & ( x < y ); 2) ( x ≤ y ) ∨ ( x ≤ 1); 3) ( x ≥ 3) → ( y < 5); 4) (( x > 2 ) & ( y ≥ 1)) & (( x < −1) ∨ ( y < −2 )); 5) (( x > 2) ∨ ( y > 1)) & (( x < −1) ∨ ( y < −2)). 10. П Р ИМ ЕНЕНИЕ ЛОГИКИ П Р ЕДИКАТОВ В М А ТЕМ АТИКЕ 1. П рим ен ен ие языка пред ика т ов д ля за писи м а т ем а т ических пред лож ен ий, опред елен ий, т еорем . У д обн о и ком па кт н о с пом ощ ью сим волов языка пред ика т ов перед а ва т ь см ысл выска зыва н ий. Прим ер 1. За писа т ь н а языке пред ика т ов опред елен ие пред ела числовой послед ова т ельн ост и: lim x n = a . n→ ∞

Реш ение. За пись « число a ест ь пред ел {x n } » : ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N [n ≥ n0 ⇒ x n − a < ε ] озн а ча ет , чт о д ля лю бого числа ε > 0 н а йд ет ся (су щ ест ву ет ) т а кой н ом ер n 0 , н а чин а я с кот орого, т .е. д ля всех n ≥ n 0 , выполн яет ся н ера вен ст во xn − a < ε .

2. П ост роен ие прот ивополож н ого у т верж д ен ия A д ля н екот орого м а т ем а т ического у т верж д ен ия A, использу я ра вн осильн ые преобра зова н ия. Прим ер 2. И м еет м ест о у т верж д ен ие A о н епрерыв н ост и ф у н кции f ( x ) в т очке x 0 : ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x [ x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x 0 ) < ε ] . Д а т ь прот ивополож н ое у т верж д ен ие A . Реш ение.


lim f ( x ) ≠ f ( x 0 ) ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x [ x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x 0 ) < ε ] ≡ x→ x0

≡ ∃ ε > 0 ∀δ > 0 ∃x [ x − x 0 < δ & f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ ε ]. П ост роен ие от рица н ий н еобход им о при д ока за т ельст ве от прот ивн ого: P→Q≡Q → P. 3. М н огие т еорем ы ф орм у лиру ю т ся в в ид е у словн ого пред лож ен ия: « Е сли лю бой э лемен т x ∈ M обла д а ет свойст вом P ( x ) , т о он обла д а ет свойст вом Q( x ) » , т .е. (*) ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] . О чевид н о, чт о если т еорем а (*) н еверн а , т о бу д ет ист ин н ым у т верж д ен ие ∀x ∈ M [P ( x ) → Q ( x )] ≡ ∃ x ∈ M P ( x ) & Q ( x ) . П оэ т ом у д ля д ока за т ельст ва н еспра вед ливост и т еорем ы (*) н у ж н о у ка за т ь хот ябы од ин э лем ен т из м н ож ест ва M , при кот ором у слов ие P ( x ) ист ин н о, а зн а чен ие Q ( x ) лож н о. Д ру гим и слова м и, н у ж н о привест и кон т рприм ер.

[

]

4. П рям а я, обра т н а я и прот ивополож н а я т еорем ы. Необход им ые и д ост а т очн ые у словия.

О п ре д ел ение. Те о р е м ы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [Q ( x ) → P ( x )] (**) н а зыва ю т сявз а им но обра т ны м и, т . к. у словие P ( x ) од н ой т еоремы являет ся за клю чен ием вт орой, а у словие Q( x ) вт орой т еорем ы являет ся за клю чен ием первой. П ри э т ом од н а из н их н а зыва ет ся пря м ой т еорем ой, д ру га я— обра т ной.

О п ре д ел ение. Те о р е м ы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [P ( x ) → Q ( x )] н а зыва ю т ся вза им н о прот ивополож н ыми. В н их у словие P ( x ) и за клю чен ие Q( x ) од н ой являю т ся от рица н ием соот вет ст ву ю щ его у словия P ( x ) и за клю чен ия Q ( x ) д ру гой. За м ет им , чт о т еоремы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [Q ( x ) → P ( x )] всегд а ра вн осильн ы. На э т ом осн овыва ет ся м ет од д ока за т ельст ва от прот ивн ого.

И звест н о, чт о если E p ⊂ E Q , т о пред ика т Q( x ) ест ь следст вие пре-

д ика т а P ( x ) : P ( x ) ⇒ Q( x ) . О т сю д а след у ет , чт о пред ика т P ( x ) → Q( x ) являет ся ист инны м д ля ∀x ∈ M . П ри э т ом пред ика т P ( x ) н а зыва ю т дос-


т а т очны м условием д ля Q ( x ) , а пред ика т Q ( x ) — необходим ы м условием д ляпред ика т а P ( x ) . Е сли E p = E Q , т о P ( x ) ⇔ Q( x ) , т .е. э т и пред ика т ы ра вн осильн ы. В э т ом слу ча е вза им н о обра т н ые т еорем ы (**) ист ин н ы при ∀x ∈ M . У словие P ( x ) являет ся н еобход им ым и д ост а т очн ым д ля Q( x ) . А н а логичн о, у слов ие Q( x ) являет сян еобход им ым и д ост а т очн ым д ля P ( x ) . Прим ер 3. За писа т ь н а языке пред ика т ов ф орм у лировку т еорем ы о н еобход им ом призн а ке сход имост и числового ряд а

∞

∑a n =1

n

; lim a n = 0. n →∞

Реш ение. П у ст ь P ( x ) — свойст во x быт ь сход ящ имся ряд ом , гд е M = {x} — м н ож ест во всех числовых ряд ов; Q( x ) — общ ий член a n → 0 при n → ∞ . Тогд а ф орм у ла ∀x ( P ( x ) → Q( x )) ест ь за пись ф орм у лировки д а н н ой т еорем ы.


ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. За пиш ит е н а языке логики пред ика т ов опред елен ия: 1) Линейно упоря доченного м нож ест ва (у поряд очен н ое м н ож ест во н а зыва ет ся лин ейн ым , если д ля лю бых э лем ен т ов э т ого м н ож ест ва x и y либо x = y , либо x < y , либо x > y ); 2) О гра ниченной функции (ф у н кция f ( x ) н а зыва ет ся огра н ичен н ой н а м н ож ест ве M , если су щ ест ву ет т а кое н еот рица т ельн ое число L , чт о д лявсех x ∈ M спра вед ливо н ера вен ст во f ( x ) ≤ L ); 3) Ч ет ной функции (ф у н кция f н а зыва ет ся чет н ой, если обла ст ь ее опред елен ия сим м ет ричн а от н осит ельн о н а ча ла коорд ин а т и д ля ка ж д ого x из обла ст и опред елен ия спра вед ливо ра вен ст во f (− x ) = f ( x ) ); 4) Периодической функции (ф у н кция f н а зыва ет ся период ической, если су щ ест ву ет т а кое число T ≠ 0 , чт о при лю бом x из обла ст и опред елен ия f э лем ен т ы x − T и x + T т а кж е прин а д леж а т э т ой обла ст и, и при э т ом выполн ен о ра вен ст во f ( x ± T ) = f ( x ) ); 5) В оз ра ст а ющ ей функции на м нож ест ве M (ф у н кция f н а зыва ет ся возра ст а ю щ ей н а м н ож ест ве M , если д ля лю бых чисел x 1 и x 2 , прин а д леж а щ их м н ож ест ву M , из н ера вен ст ва x1 < x 2 след у ет н ера вен ст во f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ). 2. П ользу ясь полу чен н ым и в пред ыд у щ ем у пра ж н ен ии ф орм у ла м и, от вет ьт е н а след у ю щ ие вопросы. Ч т о зн а чит : 1) У поряд очен н ое м н ож ест во н е являет сялин ейн ым ? 2) Ф у н кциян е являет сяогра н ичен н ой? 3) Ф у н кциян е являет сячет н ой? 4) Ф у н кциян е являет сяпериод ической? 5) Ф у н кциян е являет ся возра ст а ю щ ей н а м н ож ест ве M ? 3. Д ока за т ь н еспра вед ливост ь у т верж д ен ий: 1) « Е сли ф у н кция н епрерывн а в т очке x 0 , т о он а и д иф ф ерен циру ем а в э т ой т очке» ; 2) « Е сли пред ел n -го член а числового ряд а ра вен н у лю , т о ряд сход ит ся» ;


3) « Е сли в чет ыреху гольн ике д иа гон а ли ра вн ы, т о чет ыреху гольн ик являет сяпрям оу гольн иком » ; 4) « Е сли ф у н кция ин т егриру ем а н а

[a , b] , т о он а

5) « Е сли ф у н кция ин т егриру ем а н а

[a , b] , т о

н ем » ; н ем » ;

н епрерывн а н а

он а мон от он н а н а

6) « Е сли числова я послед ова т ельн ост ь имеет пред ел, т о он а мон от он н а » ; 7) « Е сли числова я послед ова т ельн ост ь огра н ичен а , т о он а им еет пред ел» ; 8) « Е сли ф орм у ла логики пред ика т ов выполн им а , т о он а общ езн а чим а » ; 9) « Е сли д иф ф ерен циру ем а я ф у н кция y = f ( x ) им еет в т очке x 0 перву ю производ н у ю , ра в н у ю н у лю ( y ′( x 0 ) = 0 ) , т о точка x 0 — т очка э кст рему м а ф у н кции» ; 10) « Е сли д иф ф ерен циру ем а я ф у н кция y = f ( x ) им еет в т очке x 0 вт ору ю производ н у ю , ра вн у ю н у лю ( y ′′( x 0 ) = 0) , т о т очка x 0 — т очка перегиба гра ф ика ф у н кции» ; 4. Д ля ка ж д ого из след у ю щ их у словий выясн ит е, являет ся ли он о н еобход им ым или яв ляет ся ли он о д ост а точн ым д ля т ого, чтобы выполн ялось н ера вен ст во x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 : a) x = 0 ;

b) x ≥ − 3 ;

c) x > −2 ;

d) x ≥ −1 и x ≤ 3 ;

e) x ≥ −1 и x < 10 ;

f) − 2 ≤ x ≤ 10 .

5. В след у ю щ их пред лож ен иях вм ест о м н огот очия пост а вьт е слова «необходим о, но недост а т очно» или «дост а т очно, но не необходим о» или ж е «не необходим о и недост а т очно», а гд е возм ож н о «необходим о и дост а т очно» т а к, чтобы полу чилось ист ин н ое у т верж д ен ие: 1) Д лят ого чт обы чет ыреху гольн ик был прям оу гольн ым … , чт обыд лин ы его д иа гон а лей были ра вн ы. 2) Д лят ого чт обы x 2 − 5 x + 6 = 0 … , чт обы x = 3 . 3) Д ля т ого чт обы су м ма чет н ого числа н а т у ра льн ых чисел была чет н ым числом , … , чт обыка ж д ое сла га ем ое было чет н ым . 4) Д ля т ого чт обы ф у н кция f ( x ) была ин т егриру ем а н а от резке [a , b ] , … , чт обы f ( x ) была огра н ичен а .


5) Д ля т ого чт обы ф у н кция f ( x ) была ин т егриру ем а н а от резке [a , b] , … , чт обы f ( x) была н епрерывн а н а [a , b] .

6) Д ля т ого чт обы окру ж н ост ь м ож н о было вписа т ь в чет ыреху гольн ик, … , чт обы су м м ы д лин его прот ивополож н ых ст орон были ра вн ы. 7) Д ля т ого чт обы мн ож ест во A было счет н ым , … , чт обы его э лем ен т ы м ож н о было за писа т ь в в ид е н у м ерова н н ой послед ова т ельн ост и. 8) Д ля т ого чт обы числова я послед ова т ельн ост ь им ела пред ел, … , чт обы он а была огра н ичен н ой. 9) Д ля т ого чт обы числова я послед ова т ельн ост и им ела пред ел, … , чт обы он а была м он от он н ой и огра н ичен н ой. 6. Сф орм у лиру йт е: 1) Необход им ый и д ост а т очн ый призн а к па ра ллелогра м м а . 2) Необход им ый, н о н ед ост а т очн ый призн а к па ра ллелогра м м а . 3) Д ост а т очн ый, н о н еобход им ый призн а к па ра ллелогра м м а . 4) Необход им ое, н о н ед ост а т очн ое у словие т ого, чт обы у ра вн ен ие sin x = a им ело реш ен ие. 5) Д ост а т очн ое, н о н е н еобход им ое у словие д лят ого, чтобы у ра вн ен ие sin x = a им ело реш ен ие. 6) Д ост а т очн ое, н о н е н еобход им ое у словие д лят ого, чтобы у ра вн ен ие x 2 + px + q = 0 имело вещ ест вен н ые корн и. 7. П а па ска за л д ет ям : « Е сли м ыс м а м ой поед ем лет ом в д ом от д ыха , т о вы все поед ет е в д ет ский ла герь» . В ш коле д ет ей спросили, ку д а он и поед у т лет ом . П ет я от вет ил: « Е сли м ы поед ем в ла герь, т о род ит ели поед у т в д ом от д ыха » . Г а ля ска за ла : « Е сли па па с м а м ой н е поед у т в д ом от д ыха , т о м ы н е поед ем в ла герь» . « Нет , н е т а к, — вм еш а лся К оля.— Е сли м ы н е поед ем в ла герь, т о кт о-т о из род ит елей н е поед ет в д ом от д ыха » . Ч ей от вет ра вн осилен т ом у , чт о ска за ли род ит ели?

11. М А Ш И НА ТЬЮ РИ НГ А М а ш ина Ть юринга — эт о м а т ем а т ическа я м одель идеа лиз ирова нной цифровой вы числит ель ной м а ш ины . И д ея т а кой м а ш ин ы, пред -


лож ен н а я а н глийским м а т ем а т иком А .Тью рин гом в т рид ца т ых год а х XX века , связа н а с его попыт кой д а т ь т очн ое м а т ем а т ическое опред елен ие пон ят ияа лгорит м а . М а ш ин а Тью рин га (М Т) сост оит из чет ырех ча ст ей: лен т ы, счит ыва ю щ ей головки, у ст ройст ва у пра влен ияи вн у т рен н ей па м ят и. 1. Лент а (вн еш н яя па м ят ь М Т) — бескон ечн а я в обе ст орон ы полоска , ра збит а я н а ячейки (ра в н ые клет ки). В ка ж д у ю ячейку в д искрет н ый м ом ен т врем ен и м ож ет быт ь за писа н т олько од ин сим вол (бу ква ) из внеш него а лфа вит а A = {Λ , a1 , a 2 ,K , a n −1 }, n ≥ 2 . П у ст а я ячейка обозн а ча ет ся сим волом Λ . В э т ом а лф а вит е A в в ид е слова (кон ечн ого у поряд очен н ого н а бора сим волов) код иру ет ся т а ин ф орм а ция, кот ора я под а ет сяв М Т. М а ш ин а перера ба т ыва ет ин ф орм а цию , под а н н у ю в в ид е слова , в н овое слово. 2. Счит ы ва ю щ а я головка (н екий счит ыва ю щ ий э лем ен т ) перем ещ а ет ся вд оль лен т ы т а к, чт о в ка ж д ый мом ен т врем ен и он а обозрева ет ровн о од н у ячейку лен т ы. Г оловка м ож ет счит ы ва т ь сод ерж им ое ячейки и з а писы ва т ь в н ее н ов ый сим вол из а лф а вит а A . В од н ом т а кт е ра бот ы он а м ож ет сд вига т ься т олько н а од н у ячейку в пра во ( П ), влево ( Л ) или ост а ва т ься н а м ест е ( Н ). О бозн а чим м н ож ест во перем ещ ен ий (сд вига ) головки D = {П , Л , Н } . 3. Па м я т ь м а ш ин ы пред ст а вляет собой н екот орое кон ечн ое м н ож ест во вн у т рен н их сост оян ий Q = {q0 , q1 , q 2 , K , q m −1 }, m ≥ 1. Бу д ем счит а т ь, чт о м ощ н ост ь Q ≥ 2 . Д ва сост оян ия м а ш ин ы им ею т особое н а зн а чен ие: q1 — н а ча льн ое вн у т рен н ее сост оян ие, q0 — за клю чит ельн ое вн у т рен н ее сост оян ие (ст оп-сост оян ие). М а ш ин а ра бот а ет во врем ен и, кот орое счит а ет сяд искрет н ым и его м ом ен т ыза н у м ерова н ы: 1, 2, 3, … . В ка ж д ый м ом ен т врем ен и М Т ха ра кт еризу ет ся полож ен ием головки и вн у т рен н им сост оян ием . На прим ер, под ячейкой, н а д кот орой н а ход ит сяголовка , у ка зыва ет сявн у т рен н ее сост оян ие м а ш ин ы.

↓ Λ

a2

a1

Λ

a2

a3

Λ

q1 4. У ст ройст во упра вления (У У ) в ка ж д ый м ом ен т врем ен и t в за висим ост и от вн у т рен н его сост оян ия м а ш ин ы и счит ыва ю щ его в э т от момен т сим вола н а лен т е, н а д кот орым н а ход ит ся головка , выполн яет след у ю щ ие д ейст вия: a) « счит ыва ет » сим вол a i — за м ен яет н а н овый сим вол a j (м ож ет быт ь

a j = a i );


b) перем ещ а ет головку в од н ом из н а пра влен ий: П , Л , Н ; c) изм ен яет им ею щ ееся в момен т t вн у т рен н ее сост оян ие ql н а н овое сост оян ие q s , в кот ором бу д ет м а ш ин а в послед у ю щ ий м омен т врем ен и t + 1 (м ож ет быт ь q l = q s ). Та кие д ейст вияУ У н а зыва ет сяком а ндой, кот ора яза писыва ет сят а к: ql ai → a j D qs , (*) гд е a i , a j ∈ A , q l , q s ∈ Q ,

D = {П , Л , Н }, l ≠ 0 .

В левой ча ст и ком а н д ы(*) н икогд а н е вст реча ет ся q0 . Та к ка к м н ож ест ва A и Q кон ечн ы, т о ком а н д вид а (*), в кот орых левые ча ст и попа рн о ра зличн ы, кон ечн ое число. Совокупност ь всех ком а нд н а зыва ет ся програ м м ой М Т. М а ксим а льн ое число кома н д в програ м м е ра вн о (n +1) ⋅ m , гд е n = A , m = Q . Счит а ет ся, чт о за клю чит ельн ое сост оян ие q0 м ож ет ст оят ь т олько в пра вой ча ст и ком а н д ы, н а ча льн ое сост оян ие q1 — т олько в левой ча ст и ком а н д ы. Е сли левые ча ст и д ву х ком а н д совпа д а ю т , т о с н еобход им ост ью совпа д а ю т и пра вые ча ст и ком а н д . Выполн ен ие од н ой ком а н д ы н а зыва ю т ш а гом . Я сн о, чт о ра бот а М Т полн ост ью опред еляет сяее програ м м ой. За д а н н ое слово н а лен т е с н а ча льн ым сост оян ием q1 и полож ен ие головки н а д перв ым сим волом н а зыва ет ся на ча ль ной конфигура цией. Г оворят , чт о М Т прим еним а к слову на ча ль ной конфигура ции, если при ра бот е н а д э т им словом через кон ечн ое число ш а гов выполн яет ся ком а н д а , сод ерж а щ а я в пра вой ча ст и за клю чит ельн ое сост оян ие q 0 , и ра бот а н а д э т им словом прекра щ а ет ся. То, чт о полу чилось при э т ом н а лен т е, вм ест е с сост оян ием q 0 и полож ен ием голов ки н а зыва ю т з а ключит ель ной конфигура цией. В прот ивн ом слу ча е говорят , чт о М Т н е прим ен им а к слову н а ча льн ой кон ф игу ра ции. Прим ер 1. П ост роит ь м а ш ин у Тью рин га , кот ора я в а лф а вит е A = {a ,b , Λ} слово " abb" преобра зу ет в слово " bba" . Реш ение. Сост а вим програ м м у М Т: q1 a → Λ П q2

q 2 b → b П q2 q 2 Λ → a Н q0

В р е зульта те р а б о ты М Т на д сло во м дую щ ие ш а ги:

Λ

↓ a

b

b

Λ

" abb"

— 1-й ш а г

б удутсле -


(н а ча льн а якон ф игу ра ция)

q1

Λ

Λ

Λ

Λ

↓ b q2

b

Λ

— 2-й ш а г

b

↓ b q2

Λ

— 3-й ш а г

b

↓ Λ q2

— 4-й ш а г

b

↓ a q0

b

b

— 5-й ш а г (за клю чит ельн а я кон ф игу ра ция)

Ра бот а М Т за кон чен а . Ра бот у М Т м ож н о описа т ь след у ю щ им обра зом : он а за пом ин а ет 1-ю бу кву исход н ого слова (или при э т ом ст ира ет его); головка д виж ет ся впра во д о первой пу ст ой клет ки, в кот ору ю и за писыва ет ся перва я бу ква исход н ого слова . З а м еча ние. Ч а ст о програ м м у М Т за писыва ю т в д ру гой, более ком па кт н ой ф орм е в вид е т а блицы. На прим ер, програ м м а прим ера 1 м ож ет выгляд ет ь след у ю щ им обра зом : a b Λ q1 Λ П q2 q2 b П q2 a Н q0 Прим ер 2. П ост роит ь ма ш ин у Тью рин га , вычисляю щ у ю числову ю ф у н кцию S ( x ) = x + 1, x ∈ N . Реш ение. П у ст ь вн еш н им а лф а вит ом д а н н ой М Т являет ся м н ож ест во A = {Λ , 1} . Ч исло x ∈ N н а лен т е м а ш ин ы за писыва т ь в вид е н а бора из x ед ин иц:


Λ

↓ 1 q1

1

…

1

1

1

Λ

П рогра м м а М Т выгляд ит след у ю щ им обра зом : q1 1 → 1 П q1 , q1 Λ → 1 Н q0 , согла сн о кот орой д лялю бой н а ча льн ой кон ф игу ра ции, когд а счит ыва ю щ а я головка обозрева ет од н у из ед ин иц, в ка ж д ый м ом ен т э т а ед ин ица ост а ет ся н а м ест е, и головка сд вига ет ся впра во н а од н у ячейку . Эт от процесс прод олж а ет сяд о т ех пор, пока головка н е выйд ет н а пу ст у ю ячейку . Тогд а в пу ст у ю ячейку за писыва ет ся ед ин ица , головка ост а ет ся н а м ест е. М а ш ин а перейд ет в сост оян ие q0 . М ож н о пока за т ь, чт о все а риф мет ические ф у н кции н а т у ра льн ого а ргу м ен т а в ычислим ы по Тью рин гу . На прим ер, ра бот а М Т в а лф а вит е {Λ , 1} при вычислен ии числовой ф у н кции f ( x , y ) = x + y м ож н о описа т ь след у ю щ ей програ м м ой

Λ 1

q1

q2

q3

q4

1 П q2 1 П q1

Λ Л q3 1 П q2

Λ Л q4

Λ Л q0

гд е лю бое н а т у ра льн ое число m код иру ет сян а бором из m + 1 ед ин иц; э т от н а бор обозн а ча ет ся через 1m +1 . Та к , 0 ~ 1, 1 ~ 11, 2 ~ 111 = 13 , 3 ~ 1111 = 14 и т .д . Ч ислова я ф у н кция f ( x1 , x 2 , ..., x n ) н а зыва ет ся вычислим ой по Тью рин гу , если су щ ест ву ет М Т т а ка я, чт о д ля лю бых m1 , m 2 , ..., m n если при x1 = m1 , x 2 = m2 , ..., x n = mn им еем f (m1 , m 2 , ..., mn ) = m , э т а м а ш ин а прим ен им а к слову 1m1 +1 & 1m2 +1 & ... & 1m1 +1 (**) и в за клю чит ельн ой кон ф игу ра ции н а н екот ором у ча ст ке лен т ы бу д ет за писа н о слово 1m +1 , а ост а льн ые ячейки ока ж у т ся пу ст ым и. Е сли зн а чен ие ф у н кции f (m1 , m 2 , ..., m n ) н е опред елен о, э т а М Т н е прим ен им а к слову (**).


ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. В ыясн ит ь, прим ен им а ли М Т, за д а ва ем а япрогра м м ой в а лф а вит е {0, 1} 0 1 q1 0 П q2 1 П q1 q2 0 П q3 1 Л q1 q3 0 Н q0 1 Л q2 к слову P : 1) 2)

P = 13 0 2 12 ; P = 13 0 13 ;

3) P = 10 [01] 1. Е сли прим ен им а , т о н а йт и резу льт а т прим ен ен ияМ Т к слову P . О т вет : В слу ча ях 1), 3) — М Т прим ен им а , 2) — М Т н е прим ен им а . 2

2. П о за д а н н ой М Т и н а ча льн ой кон ф игу ра ции K 1 н а йт и за клю чит ельн у ю кон ф игу ра цию . MT1 MT2 0 1 0 1 q1 0 Н q0 1 П q2 q1 0 Н q0 0 П q2 q2 1 Л q0 0 П q3 q2 0 П q1 1 Л q2 2 3 q3 1 Л q1 0 П q1 1) K 1 = 1 q1 1 0 1 ; 1) K 1 = 1q1 15 ; 2) K 1 = 1q1 14 . 2) K 1 = q1 13 01 ; 3) K 1 = 10 q1 14 . О т вет : 1) 12 0 2 1 q 0 0 1 ; 2) [10] 0 q 0 12 . 2

3. П ост роит ь М Т, кот ора я прим ен има ко всем слова м в а лф а вит е {Λ , a , b} и д ела ет след у ю щ ее: лю бое слово x1 x 2 K x n , гд е x i = a или x i = b ,

(i = 1, n ), преобра зу ет в слово

x 2 x 3 K x n x1 . У ка з а ние: В н а ча льн ойкон ф игу ра ции

Λ

↓ x1 q1

x2

…

…

xn

Λ


за м ен ит ь сим вол x1 н а Λ и, д вига ясь впра во д о первой пу ст ой ячейки, вписа т ь в н ее сим вол x1 . Та к ка к в а лф а вит е всего д ва сим вола a и b , т о введ ит е д ва сост оян ия: q 2 вписыва ет сим вол a , если x i = a ; q 3 вписыва ет сим вол b , если x i = b . 4. П ост роит ь М Т, вычисляю щ у ю нуль -функцию O( x ) = 0 в а лф а в ит е {Λ ,1} . У ка з а ние: В зят ь мн ож ест во Q = {q 0 , q1 }, под ст а вит ь вм ест о всех ед ин иц сим вол Λ , а когд а вст рет ит сясим вол Λ , т о пост а в ит ь сим вол 1. 5. Реа лизова т ь н а М Т а лгорит м вычислен ия ф у н кции f (n ) = n + 2 , гд е n∈ N . У ка з а ние: В зят ь м н ож ест во сост оян ий Q = {q 0 , q1 , q 2 } . Ч исло n н а лен т е М Т за писыва ет ся в д есят ичн ой сист ем е счислен ия. Сост оян ие q1 за мен яет послед н ю ю циф ру числа n , если э т а циф ра м ен ьш е 8, циф рой, н а д ве ед ин ицы больш ей, и переход ит в ст оп-сост оян ие. Е сли послед н яя циф ра числа n ра вн а 8, т о ее за м ен ит ь н а 0 и перейт и в лево в сост оян ие q 2 . Сост оян ие q 2 д оба вляет к след у ю щ ем у ра зряд у 1. Е сли ж е послед н яя циф ра числа n ра вн а 9, т о ее за мен ит ь н а 1 и перейт и влево в сост оян ие q 2 . 6. В ычисляет ли М Т в а лф а вит е {1, Λ} 1) с програ м м ой q1 q2 q3 1 Л q2 Λ П q0 Λ Н q0 Λ 1 1 Н q3 Λ Л q3 1, если x = 0 , ф у н кцию sign x =  0 , если x ≠ 0. 2) с програ м м ой q1 q2 q3 q4 Λ Л q2 Λ П q0 Λ П q4 Λ П q4 Λ 1 1 Л q3 Λ Л q3 1 Н q0 0 , если x = 0 , ф у н кцию sign x =  1, если x ≠ 0. 7. П ост роит ь М Т, кот ора явычисляет ф у н кцию : 1) f ( x , y ) = x ⋅ y ; 2) f ( x ) = x 2 ; 3) ф у н кцию в ыбора а ргу м ен т а J 2(3 ) ( x1 , x 2 , x 3 ) = x 2 .

Дискретная математика. Часть 2

2

2)

2

2

2)

2

2)

2

2

2

2

2)

2

2)

2)

2

2)

2

2

(2)

2

2

2

2)

2)

2

Vampirhölle (2 of 2)

2 - Герой - 2

Wolfsgesang (2 of 2)

Mordgelüste (2 of 2)

Дискретная математика. Часть 2

2

2)

2

2

2)

2

2)

2

2

2

2

2)

2

2)

2)

2

2)

2

2

(2)

2

2

2

2)

2)

2

Vampirhölle (2 of 2)

2 - Герой - 2

Wolfsgesang (2 of 2)

Mordgelüste (2 of 2)

Recommend Documents