Задачи гидроупругости: Методические указания к курсу ''Гидроупругость''. Раздел 2

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ Методические указания к курсу «Гидроупругость» Раздел 2

для студентов дневного отделения механико-математического факультета

Ростов-на-Дону 2006

Методические указания разработаны профессором кафедры теории упругости и пластичности МГУ В.М.Александровым и доцентом кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ Б.И.Сметаниным.

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидроаэромханики РГУ, протокол № 10 от 3 июня 2006 г.

2

В первой части методических указаний «Задачи гидроупругости» [1] рассмотрена плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости, а также осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидкостью. Данные методические указания содержат исследования двух задач: плоской задачи о вынужденных колебаниях тонкой упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости и осесимметричной задачи о собственных колебаниях упругой круглой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости. Все указанные задачи рассмотрены в линейной постановке. При построении решений этих задач применен метод интегральных преобразований. При интегрировании дифференциального уравнения изгибных колебаний пластинки использован разработанный авторами метод ортогональных многочленов. Плоская задача о вынужденных колебаниях упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости

Пусть тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины

2a находится в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Невозмущенная скорость потока равна U . Будем считать заданными перемещение и угол поворота элемента срединной плоскости пластинки для точек ее передней кромки, при

x = − a , в виде f ( − a, t ) = ay 0 e −iω t , где функция f ( x, t )

∂f ( − a, t ) = y1e −iω t , ∂x

(1)

( x ≤ a ) определяет прогиб срединной плоскости пластинки,

t - время, ω - круговая частота колебаний, i - мнимая единица; y 0 , y1 − const . В

линейной теории изгиба пластинок считается, что f with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> M:=6: > beta:=60: > with(orthopoly): > H:=(n)->sqrt(2*(2*n+3))/(2*n+2)/(2*n+4): > Q:=(n,r)->(1-r^2)^2*H(n)*P(n,2,0,2*r^2-1): > b:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*Q(n,r),r=0..1): > delta:=(m,n)->if(m=n) then 1 else 0 end: > f1:=(n,xi)->int(x*Q(n,x)/sqrt(xi^2-x^2),x=0..xi): > f2:=(n,r)->int(f1(n,xi)/sqrt(xi^2-r^2),xi=r..1): > k:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*f2(n,r),r=0..1): > F:=(m,n)->delta(m,n)-omega^2*b(m-1,n-1)-beta*omega^2*k(m-1,n-1): > A:=matrix(M,M,F): > fsolve(det(A),omega,omega=0..60); 1.521797731 , 9.086601383 , 25.34898509 , 52.30721455

20

Упражнение 1 Вывести формулы (8) и (52) из интеграла Лагранжа-Коши [3] ∂ϕ u 2 p + + = χ (t ) ∂t 2 ρ

(u

2

)

= ux2 + uy2 ,

(80)

использовав представленные компоненты вектора скорости (5) и условие (7). В (80) χ (t ) - функция, подлежащая определению. Упражнение 2 Вывести формулу (9), исходя из граничного условия при y=0 d [ y − f ( x, t ) ] = 0 dt и используя соотношения (5) и (7). Упражнение 3 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (22) и (23), используя обобщенное интегральное преобразование Фурье. Упражнение 4 Показать, что если контур интегрирования L в интеграле (32) будет обходить полюс ξ = −c снизу, в полуплоскости Imξ < 0 , то условие (20) выполняться не будет. Упражнение 5 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (61) и (62), используя интегральное преобразование Ханкеля. Упражнение 6 Используя свойства многочленов Якоби Pn( 2,0) ( x) , доказать соотношение (74).

21

Литература 1 Александров В.М., Сметанин Б.И. Задачи гидроупругости. Методические указания для студентов механико-математического факультета.- Ростов-наДону: УПЛ РГУ, 2003. - 18 с. 2 Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Физматгиз, 1963. – 636 с. 3 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973. - 848 с. 4 Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 280 с. 5 Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с. 6 Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. – М.: Наука, 1993. – 224 с. 7 Беляев В.В., Грунтфест Р.А. Волновой движитель как пропульсивная система. Известия СКНЦ ВШ, сер. естественных наук, 1974, № 4, с. 18-23. 8 Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. – 660 с. 9 Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле.-М.: Наука, 1967. - 444 с.

22