紀伊國屋 数学叢書 2
編 集委 員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉沢
尚 明 (京都大学教授...
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紀伊國屋 数学叢書 2
編 集委 員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉沢
尚 明 (京都大学教授)
内田
伏一
変 換 群 と コ ボ ル デ ィズ ム 論 紀伊國屋書店
は
じ
め
に
本書 は 群 作用 を もつ 多 様 体 につ い て コボル デ ィズ ム論 の 立 場 か ら研 究 す る基 本 的方 法 を解 説 した もの で あ る. Thomに
よ り基 本 理 論 が完 成 され た微 分 可 能 多 様 体 の コボル デ ィズ ム論 は,
種 々の構 造群 を もつ 多 様 体 のコ ボ ル デ ィズ ム論 へ発 展 す る と と もに,コ
ボル デ
ィズ ム とい う概 念が 広 く分 類 問題 に応 用 され 多 く の 成 功 を 収 め た.ConnerFloydに 来,こ
よ って群 作 用 を もつ 多様 体 の研 究 に コボル デ ィズ ム論 が応 用 され て 以
の方面 の研 究 が と くに盛 ん であ る よ うに 思わ れ る.
本 書 で は,Conner-Floydの
著 書1)以 後 の 成 果 を 中心 に,コ
ボル デ ィズ ム論
的 手 法 の解 説 を試 み た い と思 う.以 下,本 書 の 内容 を 簡 単 に紹 介 しよ う.コ ン パ ク ト群 の不 変 積 分 と表 現,お
よび リー マ ン多 様 体 の 指数 写 像 に つ い て の 知 識
が 必 要 に な るが,こ れ 等 につ いて 必 要 最小 限 の 結 果 を第0章 に ま とめ て述 べ た. 第1章 の前 半 は 群 作用 を もつ 位 相 空 間 お よび 軌 道 空 間 の 基 本的 性 質 に つ い て 述 べ た もの で あ り,後 半 は リイ群Gの 的 概 念 の解 説 で あ る.コ 多 様 体 に対 す るG不
可微 分 作 用 を もつ 多様 体 に つ い て 基礎
ボル デ ィズ ム論的 考察 に お い て 重要 なG不
変 な 管状 近 傍 の存 在 お よび境 界 のG不
変な部分
変 なえ りの 存 在 を
中心 に 述 べ て あ る. 第2章 は,ボ ル デ ィズ ム群Ω*(X)お
よびThom準
同 型写 像
μ:Ω*(X)→H*(X;Z) の基 本 的 性 質 お よび ボル デ ィズ ム特 性 数 に つ い て述 べ てあ る.ホ H*(X;Z)が
ね じれ をも た な い有 限CW複
体Xに
モ ロ ジ ー群
対 して,Ω*加 群 と して の
同型
の 成 り 立 つ こ と が,ス 1) Conner-Floyd:
ペ ク ト ル 系 列 を 使 わ ずに Differentiable
Periodic
証 明 さ れ て い る.ボ
Maps,
Springer-Verlag
ル デ ィズ ム (1964)
群 に 関す る,よ
り詳 しい結 果 に つ い て はConner-Floydの
第3章 では,本 書 の主 要 な研 究 対 象 で あ るG同
著 書 を参 照 せ よ.
境 群 の 定 義 が述 べ られ,基
本 的 性 質 が 証 明 され る.最 終 節 に おい て,具 体 的 応 用 例 と して,準 自由S1作 用 の場 合 に つ い て詳 し く解 説 した.第4章
で は,引 き続 き準 自由S1作
い て考 察 し,不 動 点 集 合 の次 元 の 評 価 に関 す るOssaの
用につ
結 果 を紹 介 す る.こ こ
で は,環 準 同 型写 像
が重 要 な 役 割 を果 たす.そ の過 程 で,可 微 分 複 素 ベ ク トル束 ξに 付 属 した射 影 フ ァイバ ー束CP(ξ)の
特 性 類 に つ い て の知 識 が 必 要 とな るの で,こ れ につ い
て も解 説 を 加 え た. この第4章
まで は,主
と してConner-Floydの
が,次 の 第5章 以 降 に お い て は,tom
Dieckに
手 法 の拡 張 に よる もの であ る よる コホモロ ジー 論 と しての コ
ボル デ ィズ ム論 的 手 法 の解 説 を試 み る. 第5章 で は,ま ず 同変Thomス Dieckの
論 文 に お い ては,普
て,同 変Thomス
ペ ク トラ ムの構 成 が 詳 し く述 べ られ る.tom 遍 主 フ ァ イバ ー束 に 関す るMilnor構
ペ ク トラ ムの 存 在 が保 証 され る と して い るだ け な の で,読
者 の便 宜 を 考 え,Grassmann多 Thomス
様 体上 のGベ
ク トル 束 を用 い て具 体 的に 同変
ペ ク トラム を構 成 した.さ らに コホ モ ロジ ー論 と して の 同変 コボル デ
ィズ ム論 の 基 本 的 性 質 を証 明 し,と Thom同
成 に よっ
くにGベ
型 写 像 につ い て解 説 した.第6章
所 化 と束 化変 換 につ い て のtom
Dieckの
ク トル 束 に 対 す るThom類
と
は 同変 コボル デ ィズ ム論 に お け る局 仕 事 の解 説 であ る.第5章,第6章
は他 の章 か ら殆 ん ど独 立 に,こ の 二 章 だけ を読 む こ とが で き る. 第7章 で は,弱
複 素G多
様 体 の基 本 的性 質が 証 明 され る.弱 複 素 多 様 体 の
概 念 につ い て は,Conner-Floydに
よ って詳 し く解 説 され て い るが,安
ク トル束 を用 い て定 義 され て い るの で,G作 るに は 役 に立た な い.弱
複 素G多
定法ベ
用 を もつ多 様 体 に つ い て 考 察 す
様 体 の 概 念 に つ い ての 十分 な解 説 は 文 献 に
は 見 当 らな いの で,こ れ につ いて,か な り詳 しい解 説 を試 み た つ も りで あ る.
この章 の最 終 節 で は,tom
Dieckに
よ る不 動 点 図 式 の 可換 性 が 証 明 され る.
第8章 で は,同 変 コボル デ ィズ ム論 の手 法 に よ る成 果 の一 つ と して,弱 複 素 Zq多
様 体 の 不動 点 集 合 の 次 元 の評 価 に 関 す るtom
Dieckの
結 果 を 紹 介 した.
以 上,本 書 の 内 容 を簡 単 に 紹 介 した が,群 作 用 を もつ 多様 体 に つ い て の コボ ル デ ィズ ム論 的 研 究 は,ま だ 他 に も沢 山 あ る.本 書 で は,不 動 点 集 合 の次 元 を 評 価 す る問題 に 焦 点 を絞 って解 説 した. 与 えられ た ベ ク トル束 の特 性 類 を 計 算す る ことが 随所 で必 要 に な るの で,特 性 類 の 基 本 的性 質 に 関す る解 説 を付 録 と してつ け加 えた. 最 後 に,本 書 の 出版 を おす す め 下 さ った 戸 田 宏教 授 に お 礼 申 し上 げ る と と も に,紀 伊 國 屋書 店 出版 部 の諸 氏 な らび に 校 正 に協 力 いた だ い た阪 大 の 小 宮 克 弘 君 に 感謝 の 意 を表 す る.
1973年12月 著
者
目
次
は じめ に
0 準
備
0.1 コ ン パ ク ト群
1
0.2 測
6
Ⅰ G多
地 線
様 体
1.1 G空
間
9
1.2 軌 道 空 間 1.3 可 微 分G多
15 様 体
21
Ⅱ ボ ル デ ィ ズ ム 群 2.1 ボ ル デ ィ ズ ム 群 とThom準 2.2 ボ ル デ ィ ズ ム 特 性 数
Ⅲ
G同
3.2 自 由G作
用
ク トル 束 の 同 境 群
3.4 準 自 由S1作
Ⅳ
34 41
境 群
3.1 G多 様 体 の 同 境 群
3.3 Gベ
同 型 写 像
47 52 60
用
64
同 型 写 像
76
不 動 点 集 合
4.1 Smith準
4.2 環 準同 型 写 像J
80
4.3 CP(ξ)の 特 性 類
86
4.4 不 動 点 集 合 の 次 元
89
Ⅴ 同 変 コ ボ ル デ ィ ズ ム 論 5.1 同 変Thomス
ペ ク トラ ム
98
5.2 同 変 コ ボ ル ディ ズ ム 論
108
5.3 Thom類
とThom同
119
5.4 Thom準
同 型 写 像 μ*
Ⅵ
型 写 像
125
局 所 化 と束 化 変 換
6.1 Thom空
間 の 不 動 点 集 合
127
6.2 局 所 化
132
6.3 束 化 変 換
140
Ⅶ
弱 複 素G多
様体
7.1 弱 複 素 構 造
147
7.2 Pontrjagin-Thom構
成
7.3 不 動 点 図 式
Ⅷ
弱 複 素Zq多
8.1 Pn(C)の
155 162
様 体
部 分 多 様 体 とEuler類
171
8.2 弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィ ズ ム 環U*
175
8.3 不 動 点 集 合
181
付
189
録 ベ ク トル 束 の 特 性 類
参 考 文 献
205
索
209
引
0 準
備
0.1 コ ン パ ク ト群 0.1.1 位 相 空 間 と して コ ン パ クト ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る 位 相 群 を コ ン パ ク ト群 と い う.コ fに
対 し て,あ
ン パ ク ト群G上
の 不 変 積 分 とは,G上
の 任 意 の実 連 続 函 数
る実 数
を 定 め る対 応 で,次 の条 件(ⅰ)-(ⅵ)を (ⅰ) 任 意 の二 つ の実 連 続 函 数f1,f2に
(ⅱ) 任 意 の実 連 続函 数fと
対 して
任 意 の実 数cに
(ⅲ) 負 の値 を とらな い実 連 続 函 数fに
(ⅳ) す べ て の 元g∈Gに
み た す もので あ る.
対 して
対 して
対 して 恒 等的 にf(g)=1な
(ⅴ) 任 意 の実連 続 函 数fと
任 意 の元h∈Gに
(ⅵ) 任 意 の実 連 続 函 数fに
対 して
対 して
らば
不 変 積 分 に 関 し て,次 の定 理 が 良 く知 られ て い る. 定 理0.1 任 意 の コン パ ク ト群 に は不 変 積 分 が存 在 し,し か もそれ は 一意 的 に 定 まる.◇ 以 後,こ の節 で は 不変 積 分 を 使 って示 され る若 干 の 良 く知 られ た結 果 を 準 備 す る. 系0.2
コン パ ク ト群G上
の実 連 続 函数fが
負 の値 を と らず,か つ 恒 等 的
に は 零 で なけ れ ば
が 成 り立 つ.◇ 定 理0.3 Aを 数fに
位 相 空 間,Gを
コン パ ク ト群 とす る.G×A上
の実 連 続 函
対 して
に よ っ て 定 義 さ れ るA上
の 実 函 数Fは
証 明 正 数 ε お よ びAの 連 続 性に よ っ て,aの
点aを
近 傍Uが
連 続 で あ る.
与 え た と き,Gの
存 在 し て,任
コ ン パ ク ト性 とfの
意 の 点b∈Uに
対 して
│f(g,b)-f(g,a)│
が 定 ま る.こ
れ をf:M→Xの
定 理2.12 〓n(X)の
元 と し て[M,f]=0で
ィ ズ ムStiefel-Whitney数 証 明 [M,f]=0で →Xが
ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数
と い う.
あ れ ば,f:M→Xの
ボル デ
は す べ て 零 に な る. あ れ ば,コ
ン パ ク トn+1多
存 在 し て,(∂B,F│∂B)=(M,f)が
に よ っ てi*σ(M)2=0で
様 体Bと
成 り立 つ.包
連 続 写 像F:B 含 写 像i:M→B
あ る か ら,
(終) Mを
境 界 を も た な い 向 き づ け ら れ た コ ン パ ク トn多
を 連 続 写 像 とす る.す
様 体 と し,f:M→X
べ て の 分 割k+4(k1+…+ks)=nと,す
ジ ー 類y∈Hk(X;Z)に
対 し て,整
べ て の コホ モ ロ
数
が 定 ま る.こ 定 理2.13
れ をf:M→Xの Ωn(X)の
元 と し て[M,f]=0で
デ ィ ズ ムPontrjagin数 証 明 定 理2.12と 次 に 定 理2.13の
す る.こ
の と き,Xの
と い う.
あ れ ば,f:M→Xの
と ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数
ボル
は す べ て 零 に な る.
全 く同 様 に 証 明 で き る.(終) 逆 が 成 り立 つ た め の 一 つ の 十 分 条 件 を 与 え よ う.
定 理2.14(Conner-Floyd) じれ を もた ず,Thom準
ボ ル デ ィズ ムPontrjagin数
Xを
有 限CW複
体 とす る.H*(X;Z)が
同 型 写 像 μ:Ω*(X)→H*(X;Z)が 向 き づ け られ た 特 異n多
様 体f:M→Xに
ね
全射 で あ る と 対 し て,
[M,f]=0で
あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,f:M→Xの
trjagin数
と,ボ
ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数
証 明 定 理2.13に
よ っ て,ボ
Stiefel-Whitney数
は,す
由 加 群Hn(X;Z)の で 表 わ す.す
ボ ル デ ィ ズ ムPon が す べ て零 に な る ことで あ る.
ル デ ィ ズ ムPontrjagin数
と,ボ
ル デ ィズ ム
べ て 同 境 類 の 不 変 量 で あ る こ と が 分 か っ て い る .自
基 を{cn
,i}と
し,Hn(X;Z)に
お け る 双 対 基 を{c*n,i}
な わ ち =δij
が成
り立 つ.μ:Ω*(X)→H*(X;Z)が
Ωn(X)の
元[Mni
.fi]を
全 射 で あ る か ら,各cn
,iに 対 し て,
選 ん で, μ[Mni,fi]=cn,i
と で き る.こ 自由
の と き 定 理2.8に
Ω*加
群 で あ る.従
よ っ て,Ω*(X)は{[Mni,fi]}n
,iを
基 とす る
って
(1) と一 意 に 表 わ す こ とが で き る.さ 数 と,ボ 分割
てf:M→Xの
ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数
ω=(k1,…,ks)に
ボ ル デ ィズ ムPontrjagin
が す べ て 零 に な る も の と 仮 定 し よ う.
対 し て, pω(M)=pk1(M)…pks(M)
と置 く.さ す る.こ
て,
と仮 定 し,
を み た す 最 大 のmをm0と
の とき
が 成 り 立 つ.す
な わ ち,Vn-m0i0の
す べ て のPontrjagin数
し て,Vn-m0i0の
す べ て のStiefel-Whitney数
も 零 に な る.従
が 零 に な る.同 っ て,定
様 に
理2.11
に よ っ て[Vn-m0i0]=0が f:M→Xの
成 り立 つ.こ
れ はm0の
ボ ル デ ィ ズ ムPontrjagin数
が す べ て 零 に な れ ば,[M,f]=0が 定 理2.14の
Xを
有 限CW複
2.2.2 定 理2.14,定
証 明
示 そ う.そ
体 と し,nを
すべて
の条 件 だ け か ら
の た め 次 の 補 題 を 準 備 す る. 正 整 数 とす る.H*(Xn-1;Z)が
同 型 写 像 μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が
全射で
換 図式
∂*)-1(0)=∂-1*(0)が
成 り 立 つ.
自 由 加 群Hk(Xn-1;Z)の
る 双 対 基 を{c*k,j}で ら,各ck,jに
様 体f:M→
同型 写 像 μ が 全 射 で あ
は こ の 条 件 は 不 要 で あ る こ と(他
有 限CW複
ね じれ を も た ず,Thom準
に お い て,(μ°
特 異n多
お い て,Thom準
μ の 全 射 な る こ と が 分 か る こ と)を
あ る とす れ ば,可
の と き,Xの
が 零 に な る こ と で あ る.◇
理2.15に
る こ と を 仮 定 し て い る が,実
Xを
同 型 写 像
あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,f:M→Xの
の ボ ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数
補 題2.16
の 定 理 が 証 明 で き る.
体 と し,Thom準
対 して,[M,f]=0で
像
成 り立 つ.(終)
が 全 射 で あ る とす る.こ Xに
に,写
と ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数
証 明 と全 く同 様 に し て,次
定 理2.15
仮 定 に 矛 盾 す る.故
基 を{ck,j}と
し,Hk(Xn-1;Z)に
表 わ す.μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が
対 し て,Ωk(Xn-1)の
元[Mkj,fj]を
お け 全 射 で あ るか
選 ん で
μ[Mkj,fj]=ck,j と で き る.こ す る 自由
の と き 定 理2.8に
Ω*加
群 で あ る.従
よ っ て,Ω*(Xn-1)は{[Mkj,fj]}k,jを っ て,x∈(μ°
と表 わ す こ と が で き る が,μ(∂*(x))=0で =0と
な る .さ
て,
とす れ ば,k00に
対 し て,n+kが
偶 数 の とき
し,ξnを
ξnの 共
が 成 り立 ち,n+kが
奇 数 の と き, s(CP(ξn×Ck))=0
が 成 り立 つ. 証 明 x=p*c1(ξn),t=c1(ξn×Ck)と CP(ξn×Ck)の
置 け ば,定
接 ベ ク ト ル 束 の 全Pontrjagin類
理4.15を
使
っ て,
は
(1+x2)n+1・(1+t2)k・(1+(x+t)2) と な る.定
理4・17に
よ っ て, tk+i=(-1)itkxi,
xn+1=0
が 成 り立 ち, =(-1)k
で あ る か ら,求 系4.19
め る 結 果 を 得 る.(終)
非 負 整 数kに
対 して
(kが 偶 数 の とき) (kが 奇 数 の とき) が 成 り立 つ. 証 明 k=0の 定 理4.18に
と き 明 らか.k>0の
と きPk(C)=CP(ξ0×Ck)で
あ る か ら,
よ っ て 結 果 が 成 り立 つ.(終)
注 意 Mi(i=1,2)を
境 界 を もた な いni次
多 様 体 と す る.ni>0,(i=1,2)で
元 の 向 き づ け られ た コ ン パ ク ト
あ れ ばs(M1×M2)=0が
成 り立 つ.
4.4 不 動 点 集 合 の 次 元 4.4.1 対 応M→s(M)に
よ っ て,加
群 として の準 同型 写 像
s:Ω*→Z が 誘 導 され る.係
数 環 を 有 理 数 体Qに
拡 張 す る こ とに よ っ て,Q加
の 準 同型 写 像
に 拡 張 さ れ る.Q上
の 多 元 環 と し て, [P2n(C)],n=1,2,3,…
は
群 と して
を 生 成 元 系 とす るQ上 の 元xに composableな
の 多 項 式 環 で あ る こ と が 知 られ て い る.こ
対 して,s(x)=0で
元 で あ る こ と が 分 か る.準
に 巾 級 数 環 上 のQ加
あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はxがde 同 型 写 像
を,さ
群 と して の準 同 型写 像
に 自然 に 拡 張す る. 一 方,4.2で
考察 した環 準 同型 写 像
に つ い て も,Q多
元環 と して の準 同型 写 像
に 自然に 拡 張 して お く. 補 題4.20
す べ て の
に 対 して
が 成 り立 つ. 証 明 補 題4.13,定
理4.18,系4.19を
使 えば
が 成 り立 つ.(終) 定 理4.21(Ossa)
と置 く.こ
の と き,す
べ て の 正 整 数nに
対 し て,n次
の 行列
は 正 則 で あ る. 証 明 補 題4.20に
よ っ て,行
の と き,
列(aj,k)の
各成 分 に 対 して
ら
が 成 り立 っ て い る.
と 置 け ば,行
列(aj,k)が
正 則 で あ る こ と と,行
同 値 で あ り,さ
らに
が 成 り立 つ.い
ま,不 定 元yに
に よ つ て 定 義 す る.こ
がQ上
のn+1次
の と き,行
列(bj,k)が
つ い て の 多項 式 を
列(bj
,k)が 正 則 で あ る こ と と
元 ベ ク トル 空 間Q[y]/(yn+1)に
と と は 同 値 で あ る.さ
正則 で あ る こ と は
お い て一 次 独 立で あ る こ
て
Bk=(1-y)2k-(1-y)-1,
(mod yn+1)
が 成 り立 つ の で,
が 一 次 独 立 で あ る こ とを 示す に は,n+1個
がQ[[y]]/(yn+1)に
の元
お い て 一 次 独 立 で あ る こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.こ
れを次
の 補 題 に お い て 示 そ う.(終) 補 題4.22 n+1個
aをa+3>0な
(1-y)-1, は,yn+1を
る 整 数 とす る.巾
級 数 環Q[[y]]にお
の元 (1-y)a+2i,
(i=1,2,…,n)
法 と し て 一 次 独 立 で あ る.
証 明 n=1の
と き,有
理数
α・(1-y)-1+β
α,β が 存 在 し て ・(1-y)a+2=0(mod
y2)
い て,
が 成 り立 つ と 仮 定 す れ ば,係
数 を 比 較 し て α=β=0が
(1-y)-1と(1-y)a+2,(α+3>0)はy2を 整 数k>1に
な わ ち
法 と し て 一 次 独 立 で あ る.次
対 し て,n0で
αj+1・(a+2j+3)=0,
(j=1,…,k-1)
あ るか ら α1=α2=…=αk=0
が 成 り立 つ.こ
れ を も と の 式 に 代 入 し て α0=0を
得 る.従
っ て,n=kの
とき
に も結 果 が 成 り立 つ.(終) 4.4.2
い ま,P2n(C)上
の0次
元 ベ ク トル 束 を η2nと す る.環
が
[P2n(C)],n=1,2,3,… を 生 成 元 系 とす るQ上
の 多 項 式 環 で あ るか ら,定
多元環
は, [ξk],(k=0,1,2,…),[η2n],(n=1,2,3,…)
を 生 成 元系 とす るQ上
の多 項 式環 に な る.
理4.7に
よ っ て,Q上
の
J[η2n]=[P2n(C)]t4n, s°J[η2n]=(2n+1)t4n が 成 り立 つ こ とに 注 意 す れ ば,定 定 理4.23(Ossa)
理4.21に
多 項 式 環
式 環
よ っ て 次 の 定 理 が 成 り立 つ. の 生成 元 系
お よ び,多
の 生 成 元 系
項
を 選 ん で,
次 の 条 件 を み た す よ うに で き る. (ⅰ) (ⅱ) JQ(x)=1,
(ⅲ)
weight
JQ(x(i)j)=zi+3jt4(i+3j),
(mod
t4(i+3j+1)),
x=0,
weight
と 置 く と き,
は,Q上
の ベ ク トル 空 間 と し てx,x(i)jに
つ い て
の多項 式 全 体 の
作 る ベ ク トル 空 間 に 一 致 す る. 証 明 υ1,…,υnを 間 と し てυ1,…,υnに
の 元 とす る.Q上
の ベ ク トル 空
よ っ て 生 成 され る 部 分 空 間 を Q{υi,…,υn}
で 表 わ し,Q上
の 多 元 環 と し てυ1,…,υnに
よ っ て 生 成 され る部 分 多 元 環 を
Q(υ1,…,υn) で 表 わ す こ とに し よ う.定 理4.21と て の
η2nの 定 義 か ら,帰
納 法 に よ っ て,す
に 対 して
(aj)
を 選 び, (bj)
s°JQ(y(i)j)=t4(i+3j),
を み た す よ う に で き る.x=[ξ0]と 条 件(aj),(bj)か
(mod
t4(i+3j+1))
置 け ば,x∈F0,JQ(x)=1が
ら 帰 納 法 に よ っ て,す
べ て の
成 り 立 つ. に 対 して
べ
(cj)
を 選 び,
(mod t4(i+3j+1))
(dj)
を み た す よ うに で き る こ と を 示 そ う.こ
の と き,条
件(aj),(bj),(cj),(dj)
に よ っ て 定 理 が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.(b0)に
よ って
s°JQ(y(1)0)=t4+… が 成 り立 つ の で,
と 表 わ さ れ る.そ
こ で,x(1)0=y(1)0と
置 く.次
に
s°JQ(y(2)0)=t8+…, s°JQ(y(3)0)=t12+…
が 成 り立 つ の で,
と 表 わ さ れ る.そ
こ で,x(2)0=y(2)0,x(3)0=y(3)0-α(x(1)0)2と
と表 わ さ れ る こ とが 分 か る.従
っ て,(c0),(d0)が
置 く.こ
成 り立 つ.い
き(cj),(dj)が
成 り立 つ も の と 仮 定 し て,(cn),(dn)が
し よ う.(bn)に
よ って s°JQ(y(1)n)=t4(3n+1)+…
が 成 り立 つ の で,
を 選 ん で,
の とき
まj=, に よ っ て 定 義 す る.こ 定 理5.22
の とき
f:X→Yが
要 十 分 条 件 は,基
f=
基 点 を 保 つGコ
点 を 保 つG写
フ ァ イバ ー写 像 で あ るた め の 必
像q:Z(1Y)→Z(f)で,q°f=1と
な るも
の が 存 在 す る こ と で あ る. 証 明 基 点 を 保 つG写 在 し た とす る.基 gt:X→Vに
像q:Z(1Y)→Z(f)で,q°f=1と
点 を 保 つG写
な る もの が存
像h:Y→Vと,基
対 し て,g0=h°fが
点 を 保 つGホ
モ トピ ー
成 り立 つ と き,k:Z(f)→Vを k<x,t>=g1-t(x) k=h(y)
に よ っ て 定 義 す る.基
点 を 保 つGホ
モ ト ピ ーht:Y→Vを
ht(y)=(k°q) に よ っ て 定 義 す れ ば,h0=h,
が 成 り立 つ.逆
の証 明は
省 略 す る.(終) 注 意 定 理5.22に で あ れ ば,fは 命 題5.23
よ っ て,f:X→Yが
基 点 を 保 つGコ
フ ァ イ バ ー写 像
必 然 的 に 単 射 と な る. f:X→Yを
基 点 を 保 つGコ
フ ァ イ バ ー 写 像,Wを
つG空
間 と す る.(ⅰ)Wが
X,Yが
コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,写
基点を も
コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か,(ⅱ) 像
f∧1:X∧W→Y∧W は 基 点 を 保 つGコ
フ ァ イ バ ー 写 像 で あ る.
証 明 自然 なG写
像i:Z(f∧1)→Z(f)∧Wが,条
(ⅱ)が
成 り立 つ と き 同 相 写 像 と な る.基
→Yに
対 し て,定
考 える.図
理5.22に
件(ⅰ)ま
点 を 保 つGコ
よ っ て 存 在 す るG写
た は
フ ァ イ バ ー 写 像f:X 像q:Z(1Y)→Z(f)を
式
に お い て,(3)は
が 成 り立 つ.故
可 換 で あ る.(4)を
に 定 理5.22に
可 換 に す るG写
よ っ てf∧1は
像 をq′
基 点 を 保 つGコ
とす れ ば,
フ ァ イバ ー
写 像 で あ る こ と が 分 か る.(終) 5.2.3 5.1節 わ ち,Gを
で 構 成 し た ユニ タ リ同 変Thomス
コ ン パ ク ト リ イ 群 と し,Thom空
ペ ク ト ラ ム を 考 え る.す
間Mn(G)お
な
よび 基 点 を 保 つG
写像
(k∈KA)の
組 に つ い て 考 え る.
基 点 を も つG空
間 と基 点 を 保 つG写
わ す.X,Y∈T0(G),k∈KAに
像 の 作 る カ テ ゴ リ ーをT0(G)で
表
対 して
と定 義す る.基 点 を もつ 集 合 と基 点 を保 つ 写 像 の カテ ゴ リーを Σ0で 表 わ す と き,
は,第
一 成 分 に つ い て 反 変,第
二 成 分 に つ い て 共 変 な フ ァ ン ク タ ー で あ る.
l∈KA,[f]∈u2nG(X;Y)に
の 表 わ すGホ
対 し て,合
成写像
モ トピ ー 類 をe(l)[f]∈u2nG(k+l)(X;Y)で
表 わ す.こ
の と
き,
は,二
つ の フ ァ ン ク タ ー の 間 の 自 然 変 換 で あ り,補 題5.13に
よ って次 の 図 式
は 可 換 に な る.
さてGの
表 現 空 間V(k)が
自明 成 分 を含 む とき(す な わ ち不 動 点 集 合V(k)G
が 一 次 元 以上 の部 分 空 間で あ る と き),そ の 自明成 分 を 用 い て,u2nG(k)(X;Y) に アー ベ ル群 の構 造 が 定 ま り,
は 準 同 型 写像 に な る.そ こで
と定 義 す れ ば,U2nG(X;Y)は カ テ ゴ リー をAで
ー ベ ル 群 と準 同 型 写 像 の
表わす とき
は 第 一 成 分 に 関 し て 反 変,第 X,X′,Y,Y′
ア ー ベ ル 群 で あ る.ア
二 成 分 に 関 し て 共 変 な フ ァ ン ク タ ー と な る.
を 基 点 を もつG空
を,[f]∈u2rG(k)(X;Y),[f′]∈u2sG(k′)(X′;Y′)に
間 とす る.k,k′
∈KAに
対 して ク ロス積
対 し て,合
成 写 像
のGホ
モ ト ピ ー 類[f]×[f′]を
補 題5.10,(5.11),補
従 っ て,帰
題5.13に
対 応 させ る こ と に よ っ て 定 義 す る.補 よ っ て,次
題5.8,
の 図 式 は 可 換 に な る.
納 的 極 限 を 考 え る こ とに よ っ て,ク
ロス積
が 定 義 で き る. 5.2.4
次 に,X,Y∈T0(G),k,l∈KAに
を,[f]∈u2nG(k)(X;Y)に
のGホ
対 し て,合
対 し て,自
成 写像
モ ト ピ ー 類 を 対 応 さ せ る こ と に よ っ て 定 義 す る.同
を,[f]∈u2nG(k)(X;V(l)c∧Y)に
然変 換
対 し て,合
成写像
様 に,自
然 変換
のGホ
モ トピ ー 類 を 対 応 さ せ る こ とに よ っ て 定 義 す る.先
と 同 様 に,σ*(l),σ*(l)は
の ク ロス積 の 場 合
帰 納 的 系 と 可 換 で あ る こ とが 分 か り,従
っ て 自然
変換
が 定 義 で き る.帰
納 的 極 限U2nG(X;Y)の
定 義 を 見 れ ば,次
の 命 題 の 成 り立
つ こ とが 分 か る. 命 題5.24
X,Yを
基 点 を も つG空
間 とす る.任
意 のl∈KAに
対 し て,
自然変 換
は,共 Vを
に 同 型 写 像 で あ る.◇ 有 限 次 元 複 素Gベ
在 し て,VはV(l)と
ク トル 空 間 とす る.こ
の と きl∈KAが
同 型 に な る.i:V→V(l)を
た だ一 つ 存
同 型 写 像 と し て,合
成
写像
を 考 え る.σ*(V),σ*(V)は,補
題5.3に
よ っ て,同
の 選 び 方 に 依 ら な い こ とが 分 か る.σ*(V),σ*(V)をVに
型 写 像i:V→V(l) 関 す る懸 垂 同型 写
像 とい う. C1に
自 明 なG作
用 を 与 え て お け ば,S(SX)=(C1)c∧Xと
み な す こ とが
で き る.そ
こで,
と 定 義 し,
を恒 等 写像 とす る.次 に,同 型 写 像
を,合
成
に よ って定 義す る.こ の 同型 写 像
を 懸垂 同型 写 像 とい う,基 点 を 保 つG写
像f:X→X′
に対 して,σ*の 定 義
に よ って,次 の 図 式 は 可換 で あ る.
(5.25)
Y∈T0(G)を
固 定 し て お く.基
命 題5.17,系5.19に
よ っ て,次
点 を 保 つG写
像f:X→X′
に 対 し て,
の 列 は 完 全 列 で あ る.
そ こで,
を,合
成
に よ っ て 定 義 す れ ば,可
換 図 式(5.25)に
よ っ て,次
の 完 全 列 を 得 る.
(5.26)
さ て,包 よ う.こ
含 写 像i:A→Xが
基 点 を 保 つGコ
の と き 系5.21に
よ っ て,射
ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る.そ
を,合
フ ァイバ ー 写像 で あ る と し
影p′:C(i)→X/Aは
基 点 を 保 つG
こ で 自然 変 換
成
に よ っ て 定 義 す れ ば,p:X→X/Aを っ て,次
射 影 と す る と き,完
全 列(5.26)に
よ
の 完 全 列 を 得 る.
(5.27)
5.2.5
Y∈T0(G)を
固 定 し た と き,こ
れ ま で の 考 察 に よ っ て,UnG(-;Y)
は 一 つ の 同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 を 作 る こ と が 分 か った.こ ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム 論 と い い,と UnG(-)と
書 き,ユ
くにY=S0(0次
係 数 を もつ
元 球 面)の
と き,
ニ タ リ 同 変 コ ボ ル デ ィ ズ ム 論 と い う.
ク ロ ス積 の 存 在 に よ っ て, な る.す
れ をYに
な わ ちU*G(-)は
は,U*G(S0)上
の 多元 環 に
乗 法 的 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に な る.
注 意 同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 の 公 理 論 的 取 り扱 い に つ い て は, T. tom
Dieck:
Lokalisierung aquivarianter Math.
Kohomologie
Theorien,
Zeit. 121(1971),253-262.
を 参 照 せ よ. G空
間Xと
と書 く.X+は*を
一 点 か ら 成 るG空 基 点 とす るG空
間{*}と
の 位 相 和X∪{*}を
間 と み て,T0(G)に
属 す る.そ
単 にX+ こで
U nG(X)=UnG(X+) と表 わ す こ とに す る.さ
らに,包
含 写 像i:A→XがGコ
フ ァ イバ ー写 像
で あ る と き, UnG(X,A)=UnG(X/A) と表 わ す こ とに す る.こ
の と き 完 全 列(5.27)に
よ っ て,次
の 完 全 列 を 得 る.
(5 27′)
注 意 Gが
単 位 群,す
U*(X;Y)と
書 く.
注 意 U*G(X;Y)に
な わ ちG={e}の
お い て,Yを
場 合 には,U*G(X;Y)を
固 定 す る こ と に よ っ て,ユ
ボ ル デ ィ ズ ム 論 を 定 義 し た の で あ る が,Xを
単に
ニ タ リ同 変 コ
固 定 す る こ とに よ っ て,同
変 ホモ
ロ ジ ー 論 を 定 義 す る こ とが で き る.
5.3 Thom類
とThom同
型 写像
5.3.1 乗 法 的 コ ホ モ ロ ジ ー 論 で あ る ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム 論U*G(-) に つ い て,さ Vを
ら に 考 察 を 進 め よ う.
有 限 次 元 複 素Gベ
在 し て,V(k)がVと →V(k)cを
ク トル 空 間 と す る.こ
の と きk∈KAが
同 型 に な る.i:V→V(k)を
同 型 写 像iか
一 意に存
同 型 写 像 と し,i0:Vc
ら誘 導 さ れ る基 点 を 保 つG同
相 写 像 と す る.
i(k):V(k)c→M‖k‖(G) を 基 点 を 保 つG写 像 とす る.合 そ う.こ
成i(k)°i0に
の と き,懸
は,t(V)と
像 で,同
変Thomス
ペ ク ト ラ ム を 定 義 す る際 に 現 わ れ る 写
よ っ て 表 わ さ れ るU2│V│G(Vc)の
元 をt(V)で
表 わ
垂 同型 写 像
の ク ロ ス積 に よ っ て 与 え られ る こ と が 分 か る.す
な わ ち,
(5.28)
が 成 り立 つ. ξ=(π:E→X)を
コ ン パ ク トG空
間X上
のn次
元 複 素Gベ
ク トル 束
とす る.こ
の と き 定 理5.16に
よ っ て,Gベ
ク トル 束 写 像
u:E→En(G) のGホ
モ ト ピ ー 類 が た だ 一 つ 定 ま る.Gベ
に つ い て の 基 点 を 保 つG写
ク トル 束 写 像uは,Thom空
間
像 M(u):M(ξ)→Mn(G)
のGホ
モ ト ピ ー 類 を 定 め,従
をGベ
ク トル 束 ξ の ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム論 に お
う.s:X+→M(ξ)を
をGベ
っ てU2nG(M(ξ))の
零 切 断 か ら 誘 導 され るG写
ク トル 束 ξ のEuler類
Thom類
元t(ξ)を
定 め る.t(ξ)
け るThom類
とい
像 とす る と き
と い う.
に つ い て 次 の 基 本 的 性 質 が 成 り立 つ.
定 理5.29 (a) 自然 性.h:η るThom空
→ ξ をGベ
ク トル 束 写 像 と し,hか
間 の 間 の 基 点 を 保 つG写
ら 自然に 誘導 され
像 をM(h):M(η)→M(ξ)と
す る と
き, t(η)=M(h)*t(ξ) が 成 り立 つ. (b) 乗 法 性.自
然 な 同一 視
の下 で
が 成 り立 つ. (c)
正 規 性.有
み た と き,そ
限 次 元Gベ
のThom類
ク トル 空 間Vを
一 点 上 のGベ
ク トル 束 と
は t(V)∈U2│V│G(Vc)
で あ る. 証 明 性 質(c)は,t(V)の u:E(ξ)→En(G)をGベ もGベ M(u°h)は
定 義 お よ びThom類
の 定 義 か ら従 う.次
ク トル 束 写 像 と す れ ば,u°h:E(η)→En(G)
ク トル 束 写 像 で あ り,M(u°h)=M(u)°M(h)が そ れ ぞ れt(ξ),t(η)を
表 わす ので
成 り立 っ.M(u),
に
t(η)=M(h)*t(ξ) が 成 り立 つ.最
後 に,u:E(ξ)→En(G),u′:E(ξ′)→En′(G)をGベ
トル 束 写 像 と し て,次
写 像M(an.n′)の
の 図 式 を 考 え る.
定 義 に よ り,M(u×u′)とM(an.n′)°(M(u)∧M(u′))と
は 基 点 を 保 つG写 を 表 わ し,後
ク
像 と し て ホ モ トー プ で あ る こ とが 分 か る.前
者 はt(ξ)×t(ξ′)を表
わ す.従
者 はt(ξ× ξ′)
って
が 成 り立 つ.(終) 5.3.2 ξ,η を コ ン パ ク トG空
間X上
の 複 素 ベ ク トル 束,
d:X→X×X を 対角線 写 像 と す る. が成り
立 つ の で,基
が 自 然 に 定 ま り,
が 成 り立 つ.x∈U*G(M(η))に
て,
像
対 し
を 対 応 させ る 準 同 型 写像 を
で 表 わ し,複 η を0次
点を保 つG写
素Gベ
元Gベ
ク トル 束
ξ に 対 す るThom準同
ク トル 束 と す れ ば,M(η)=X+が
型 写 像 と い う.と 成 り立 ち,Thom準
くに 同型
写像
を 得 る. 複 素Gベ
ク トル 束 に 対 す るThom準
同 型 写 像 に つ い て,次
の基 本 的 性 質
が 成 り立 つ. 定 理5.30 (a) 自 然 性.ξ,η η′を コ ン パ ク トG空
を コ ン パ ク トG空 間X′
上 の 複 素Gベ
間X上
の 複 素Gベ
ク ト ル 束,ξ′,
ク トル 束 とす る.Gベ
ク トル 束
写像 f:ξ
→ ξ′, g:η
が 底 空間 の 間 の同 じ写 像f=g:X→X′
→ η′
を 誘導 す る とき,次 の 図 式 は 可 換 で
あ る.
(b) 乗 法 性.ξ,ξ′,η を コ ン パ ク トG空 す る.こ
間X上
の 複 素Gベ
ク トル 束 と
の とき
が 成 り立 つ.す なわ ち,次 の 図式 は 可 換 で あ る.
(c) 正 規 性.Xを
コ ン パ ク トG空
間 と し,ξ=(p2:V×X→X)を
間,Vを
自 明 なGベ
有 限 次 元 複 素Gベ ク トル 束 とす れ ば
が成 り立 つ. 証 明 Thom類
性 質(b)は
の 自然 性 と次 の図 式 の 可換 性 に よ り(a)が
次 の 図 式 の可 換 性 よ り従 う.
従 う.
クト ル 空
最 後 に,(5.28)お
よ びThom類
の 正 規 性 に よ っ て(c)が
定 理5.31
ξ,η を コ ン パ ク トG空
き,Thom準
同型 写 像
間X上
成 り立 つ.(終)
の 複 素Gベ
ク トル 束 と す る と
は 同 型 写 像 で あ る. 証 明 Xが Gベ 5.14に
コ ン パ ク トG空
ク トル 空 間VとG同 よ っ て,G同
間 で あ るか ら,定 変Gauss写
変Gauss写
理5.15に
よ っ て,有
像h:E(ξ)→Vが
像hに
対 応 す るGベ
限次元
存 在 す る.命 題 ク トル 束 写 像 を
φ:E(ξ)→En(V) と し,φが
誘 導 す る 底 空 間 の 間 のG写
と置 け ば,En(V)⊥
はBn(V)上
が 成 り立 つ.En(V)⊥
か らG写
像を
の 複 素Gベ
φ:X→Bn(V)とす
る.い
ま
ク トル 束 の 全 空 間 と な り,同 型
像 φ に よ って誘導 され るX上
の複 素Gベ
ク トル束 を ξ′とす れ ば,同 型
が 成 り立 つ.従
って,定
同 型 写 像 で あ る.故 5.3.3 Xを
球体 束 をそ れ ぞ れ
なわ ち
よ っ て,ψ(ξ′)°ψ(ξ),ψ(ξ)°ψ(ξ′)は 共 に
に ψ(ξ)は 同 型 写 像 で あ る.(終)
コ ン パ ク トG空
トル 束 とす る.ξ
と す る.す
理5.30に
にG不
間,ξ=(π:E→X)をX上
変 な エ ル ミ ー ト内 積 を 与え,ξ
の 複 素Gベ に 付 属 す る 球 面 束,
ク
と 置 き,π0=π│S(ξ),π′=π│D(ξ)と 間EのG不 G写
す る.こ
の と き,S(ξ),D(ξ)はG空
変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る. 像h:D(ξ)→M(ξ)を
に よって 定義 す れ ば,hは
基点 を保 つG同
を 誘 導す る.以 後,こ のG同
と み な す.包 (5.27)に
s:X→D(ξ)を
相 写 像 に よ って
含 写 像i:S(ξ)→D(ξ)はGコ
よ っ て,次
相 写像
フ ァ イ バー 写 像 で あ る か ら
の 完 全 列 を 得 る.
零 切 断 とす れ ば,sお
よ びπ′ は 共 にGホ
モ トピー 同 値 写
像 で あ り,
は互 い に他 の 逆 写像 で あ る.合 成
を 考 え る と,x∈U*G(X)に
対 して
が 成 り立 つ.こ
複 素Gベ
て,次
こにe(ξ)は
の 列 は 完 全 列 と な る.
ク トル 束 ξ のEuler類
で あ る.従
っ
(5.32)
た だ し,π0*=ψ(ξ)-1° 完 全 列 を,n次
δ で あ り,ξ
元 複 素Gベ
同 型 写 像 μ*
5.4.1
に お い て,ボ
換 の 一 つ で あ るThom準
元 複 素Gベ
ク トル 束 とす る.こ
ク トル 束 ξ に 対 す るGysin完
5.4 Thom準 第2章
をn次
全 列 と い う.
ル デ ィズ ム 群 か ら特 異 ホ モロ ジ ー 群 へ の 自 然 変
同型 写像
μ に つ い て 考 察 し た.こ
の 節 に お い て は,
ユ ニ タリ コ ボ ル デ ィズ ム 群 か ら特 異 コ ホ モ ロ ジ ー 群 へ の 自 然 変 換 の て,Thom準
の
一つ と し
同型 写 像 μ*:U*(-)→H*(-;Z)
を 定 義 し,そ
の 基 本 的 性 質 を 述 べ よ う.
特 異 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に お い て,n次
元 普 遍 複 素 ベ ク トル 束 のThom類
を
tn∈H2n(MU(n);Z) で 表 わ す.た
だ し,MU(n)=Mn({e})で
元z∈U*(X)が,連
あ る.
続写像 f:Sk∧X→MU(n)
に よ っ て 代 表 さ れ て い る と し て,次
の 図 式 を 考 え よ う.
こ こに σ*は 懸 垂 同 型 写 像 とす る.こ
の とき元
(σ*)-kf*(tn)∈H*(X;Z) は,z∈U*(X)に
よ っ て 一 意 に 定 ま る こ と が 分 か る.そ
こ で,対
応
z=[f]→(σ*)-kf*(tn) に よ っ て,写 像 μ*:U*(X)→H*(X;Z) を 定 義 す る.こ
の と きU*(X)に
お け る和,積
の 定 義 に よ っ て,μ*は
環準同
型 写 像 で あ る こ と が 分 か る が,μ*は 命 題5.33 Thom準
さ ら に 次 の 性 質 を もつ.
同 型 写 像 μ*:U*(-)→H*(-;Z)は,
(a)
環 準 同 型 写 像 で あ る.
(b)
自然 変 換 で あ る(す
な わ ち,連
続 写 像 か ら 誘導 さ れ た 準 同 型 写 像 と 可
換 で あ る). (c)
懸 垂 準 同 型 写 像 と 可 換 で あ る.
(d) t(ξ)∈U*(M(ξ))を ム 論 に お け るThom類 る ξのThom類
複 素 ベ ク トル 束
とす る と き,μ*(t(ξ))は,特
定 理5.34
異 コホ モ ロジ ー論 に お け
Xを
証 明 と 全 く 同 様 に し て,次
有 限CW複
体 と し,H*(X;Z)が
る.θ:H*(X;Z)→U*(X)を はU*加
を 誘 導 す る.こ
次数0の
の 定 理が 成 り立 つ. ね じれ を も た な い とす
準 同 型 写 像 と す る.も
し μ*°θ=id
群 と して の同 型 写像
こ に
注 意 定 理5.34の
と す る.◇ 証 明 に は,
つ こ と を 使 用 し て い る.こ び
ニ タ リコ ボ ル デ ィ ズ
で あ る.◇
定 理2.8(Conner-Floyd)の
で あ れ ば,θ
ξ の,ユ
の 事 実 はMU(n)が2n-1連
Uk(pt)=0(k>0)が
成 り立
結 で あ るこ と,お
が 成 り立 つ こ とに よ っ て 証 明 で き る.
よ
Ⅵ 局所化 と束 化変換
6.1 Thom空 6.1.1
間 の 不動 点集 合
こ の 節 を 通 し て コ ン パ ク ト リ イ群Gを
お い て 導 入 し た よ うに,有
限 次 元 複 素Gベ I(G)={Vα,α
で,次
の 三 条 件 を み た す も の,す
一 つ 固 定 し て お く.5.1節
に
ク トル 空 間 の 集 合 ∈A}
な わ ち 既 約Gベ
ク トル 空 間 の 完 全 系 を 考 え
る. (ⅰ) 各Vα
は 既 約 で あ る.
(ⅱ) Vα とVβ
が 複 素Gベ
ク トル 空 間 と し て同 型 に な る の は α=β
の と
き に 限 る. (ⅲ) 任 意 の(有
限 次 元)既
約 複 素Gベ
ク トル 空 間 は,あ
るVα
と同 型 に
な る. と くにVα0=C1上
のG作
用 は 自明 で あ る も の と し, A1=A-{α0}
と置 く.非
負 整 数 値 函 数k:A→Zで
も の の 全 体 をKAで k∈KAに
表 わ す.KA1も
対 し て,有
有 限 個 のAの
元 を除 い て零 値 で あ る
同 様 に 定 義 す る.
限 次 元 複 素Gベ
ク トル 空 間V(k)を5.1節
に おけ る
よ うに
に よ っ て 定 義 す る.さ 間(G不
らにBn(V(k))に
変 と は 限 らな い)全
は 可 微 分G多
よ っ てV(k)のn次
体 の 作 るGrassmann多
様 体 と な っ て い る.
元複 素部 分 空
様 体 を 表 わ す.Bn(V(k))
k∈KAに
対 して,非 負 整 数‖k‖ を
に よ っ て 定 義 す る.この は,閉
と きG多
様 体Bn(V(k))の
不 動 点 集 合Bn(V(k))G
集合
のm∈KA,‖m‖=nな て,Thom空
る も のに つ い て の 位 相 和 で あ る こ とが 分 か る.従
間Mn(V(k))のG作
で あ る.補 題5.3の
用 につ い て の 不 動 点 集 合Mn(V(k))Gは
証 明を 吟 味 すれ ば,自 然 な 同相 写 像
が 存 在 す る こ とが 分 か る.こ こにCk(α)は
自明なG作
用 を もつ もの とす る.
従 って基 点 を保 つ 自然 な 同 相 写像
が 存 在 す る. 単 位 群{e}に Bn({e})と
対 し て,MU(n)=Mn({e}),EU(n)=En({e}),BU(n)=
書 く と き,同
相 写 像fkに
よ っ て,基
点 を 保つ 自 然 な 同 相 写 像
が 誘 導 され る. 6.1.2
Gベ
ク トル 束 写 像 ap .q:Ep(G)×Eq(G)→Ep+q(G)
お よ びThom空
間 の 間 の 基 点 を 保 つG写 M(ap
を,と
も に5.1節
像
.q):Mp(G)∧Mq(G)→Mp+q(G)
で 定 義 した 写 像 と し, ap.q:Bp(G)×Bq(G)→Bp+q(G)
を,Gベ
っ
ク トル 束 写 像ap.qか
ら誘 導 され た 底 空 間 の間 のG写像
とす る.
この とき,先 に 定 義 した同 相 写像Fに
つ い て,次 の図 式 が 可換 に な る こ と
が 分か る.
(6.1)
こ こ に.
で あ り,写 像M(a)∧aは
成 分 ご と に,合 成
に よっ て定 義 され る写 像 を 意味 す る. 次 に,包 含 写 像 i1:Bn(Ck)→Bn+1(Ck+1)
を,
に よ っ て 定 義 す れ ば,次
の図 式 は 可 換 に な る.
(6.2)
こ こ に,am.n(k,l)は,am.nを BU(m+n)を 従 っ て,い BUで
定 義 す る際 に 現 わ れ る 写像
定 義 す る際 に 現 わ れ る 包 含 写 像 で あ る(5.1節 まBn(Ck)の,i1,i*に
表 わ せ ば,可
よ る,n,kに
換 図 式(5.5),(6.2)に
で あ り,i*は を 参 照 せ よ) .
つ い て の帰 納 的 極 限 を
よ って連 続 写 像
a:BU×BU→BU が 誘 導 され る.aは さ て,m∈KA1に とみ な し得 るが,
ベ ク トル 束 のWhitney和 対 し て,
に よ っ て 誘 導 さ れ る 写 像 で あ る. は 自 然 に
の 部分 空 間 と して の 和集 合
の 部分空間
を 考 え よ う.こ の と き連 続 写 像
の 制限 と して,連 続 写 像a:B×B→Bが 同 相 写像Fと
6.1.3 Xを
基 点 を も っ た コ ン パ ク トG空
間 と し,XGを
に よ っ て,U*(S0)上
を 考 え よ う.た
だ し,degυα=2・│Vα│と
す る.こ
の とき
の 次 数 つ き多 元 環 に な る.一 方U*G(X)もU*(S0)上
き多 元環 であ るが,U*(S0)上
よる
の 次 数 つ き 多 元 環 に な る.
の 次 数 つ き 多項 式環
の次 数 つ き 多元 環 の間 の 次数0の
を定 義 しよ う. 連 続 写 像
分 へ の 射 影 と す る.ホ
モ トピー 類
に 対 して,不 動 点 集 合 の上 に制 限 した 写像 の ホモ トピー類 を
とす る.こ
そ の不 動 点 集 合
ロ ス 積 とa:B×B→Bに
整 数 環Z上
をm(∈KA)成
に 定 義 した
同 様 な 可 換 図 式 が 成 り立 つ.
の と きU*(XG;B+)は,ク
Pontrjagin積
はU*(S0)上
た,先
包含 写 像 の 合成 に よ って,連 続写 像
が 誘 導 さ れ(6.1)と
とす る.こ
誘導 され る.ま
の と き,m∈KA,‖m‖=n+‖k‖
に対 して
の次数つ 準 同型 写 像
は,U2m(α0)-2k(α0)(XG;B+)の に よ っ て,高
元 を 表 わ す.Xの
々 有 限 個 のm∈KAを
コ ン パ ク ト 性 とF′
除 い て,[π(m)°F′
°fG]=0が
の定 義
成 り立 つ.
従 っ て,
は, よ って,対
の 次 数2nの
元 を 表 わ す.対
φ(k)[f]に
応
を 定 義 す る.F′
に 対 し て(6.1)と
同 様 の 可 換 図 式 が 成 り立 つ こ と か ら,対
φ(k)は,[V(k)c∧X,Mn+‖k‖(G)]G0のk∈KAに で あ る.す
応[f]→
な わ ち,図
応
つ い て の帰納 的 系 と 可 換
式
が 可 換 で あ る.故 に,対 応 φ(k)に よ って準 同 型 写像
が 誘 導 され る.奇 数 次数 に つ い ては,Xの
代 りに 懸 垂SXを
考 え る ことに よ
って,同 様 に φ が定 義 で き る.以 上 で,次 数 つ き加 群 と して の次 数0の
準同
型写像
が 定 義 で き た わ け で あ るが,積
の 定 義 を 見 れ ば,φ
がU*(S0)上
の多 元 環 と し
て の 準 同 型 写 像 で あ る こ とが 分 か る. k∈KA1に はU*G(S0)上
対 し て,V(k)のEuler類e(V(k))∈U*G(S0)を の 多 元 環 で あ り,
と み る こ とが で き る.こ
の と き,任
考 え る.U*G(X) はA(G)上
意 のx∈U*G(X)に
の多元環
対 して
(6.3)
が 成 り立 つ.(6.3)は で き る.
φ の 定 義,と
く に 写 像F′
の性 質 に よ って簡 単 に証 明
6.2 局 6.2.1
所
化
次 数 つ き 環U*G(S0)の
部 分 集 合S=SGを
SG={e(V(k))│k∈KA1} に よ っ て 定 義 す る.e(V(k+l))=e(V(k))・e(V(l))が 積 に 関 し て 閉 じ た 集 合 で あ り,さ 基 点 を も っ たG空 環 で あ る が,SGに
間Xに
らに1∈SGが
成 り立 つ.
対 し て,U*G(X)はU*G(S0)上
よ る 局 所 化 をS-1U*G(X)で
つ き 環S-1U*G(S0)上
成 り立 つ の で,SGは
の 次数 つ き多 元
表 わ せ ば,S-1U*G(X)は
の 次 数 つ き 多 元 環 と な る.SGに
次数
よ る局 所 化S-1U*G(X)
の 定 義 を 述 べ て お こ う. 直 積 集 合U*G(X)×SGに
次 の 関 係 を 入 れ る. (x,e(V(k)))∼(x′,e(V(k′)))
で あ る と は,あ
る 元l∈KA1が
存 在 し て,
e(V(k+l))・x′=e(V(k′+l))・x が 成 り立 つ こ と で あ る とす る.こ 同 値 類 をe(V(k))-1・xで ば,通
の 関 係 は 同 値 関 係 で あ る.(x,e(V(k)))の
表 わ す.同
常 の 方 法 に よ っ て,和
値 類 全 体 の 集 合 をS-1U*G(X)で
表わせ
と積 が 定 義 さ れ,
に よ っ て 次 数 を 定 義 す る と き,S-1U*G(X)はS-1U*G(S0)上
の次 数 つ き多 元環
と な る こ とが 分 か る. 局 所 化 は 完 全 列 を 保 つ フ ァ ン ク タ ー で あ る か ら,S-1U*G(-)はT0(G)上 の 同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 で あ る. x∈U*G(X)に
対 し て,(x,1)∈U*G(X)×SGが
る こ と に よ っ て,U*G(S0)上
表 わ す 同値 類 を 対 応 さ せ
の 多 元 環 と して の 準 同 型 写 像
が 定 義 で き る. 注 意 局 所 化 の 一般 N.
Bourbaki:
論 に つ い て は
Algebre
commutative,
chap.
1,2,
Hermann,
1961
を 参 照 せ よ. 6.2.2
基 点 を も った コ ン パ ク トG空
間Xに
対 して,6.1節
で 定 義 した準
同 型 写像
を 考 え よ う.写 像
を
に よ っ て 定 義 す れ ば,(6.3)に
よ っ て,Φ ′は 局 所 化S-1U*G(X)を
の 同 値 関 係 と 矛 盾 し な い こ と が 分 か り,従
定 義 す る際
って 多 元環 と して の準 同型 写像
を 誘 導 す る. 定 理6.4(T. X上
のG作
tom
Dieck)
基 点 を も っ た コ ン パ ク トG空
間Xに
対 し て,
用 が 自明 で あ れ ば
は 同 型 写 像 で あ る. 証 明 Φ の 逆 写 像 Ψ を 構 成 し よ う.z∈Ut(X;B+)を t=2nと
仮 定 し よ う.こ
の と きzは,あ
f:S2γ
る連 続 写像
∧X→MU(n+r)∧B+
の ホ モ ト ピ ー 類 に よ っ て 代 表 さ れ る.Xが
コ ン パ ク トで あ る か ら,空
定 義 を 振 り返 っ て み る と き,m(α0)=n+rを fの
任 意 に 与 え る.
み た す 元m∈KAが
間Bの
存 在 し て,
像が MU(n+r)∧BU+(m)
に 含 まれ る.一 M‖m‖(G)Gの
方MU(n+r)∧BU+(m)は,自 部 分 空 間 と み る こ とが でき る.従 f:S2γ
は,基
点 を 保 つG写
∧X→MU(n+r)∧BU+(m)
像 f′:S2γ ∧X→M‖m‖(G)
然 な 同 相 写 像f(k)を っ て,連
続 写像
通 し て,
を 定 め る.G写
像f′
は,m∈KAの
選 び 方,お
B+)だ
よ び 連 続 写 像fの
け に 依 っ て 定 ま る こ とが 分 か る.そ
と置 く.t=2n-1の 同様 に
は,[f′]∈U2‖m‖-2rG(X)を
と き に は,Xの
Ψ が 定 義 で き る.こ
が
表 わ す.こ
のとき
選 び 方 に 依 ら ず,z∈U2n(X; こで
代 りに 懸 垂SXを
の よ うに し て,準
考 え る こ とに よ っ て,
同型 写像
の形 の 元 に対 して定 義 され た わけ で あ るが,次 に
(6.5)
を み た す よ うに,Ψ
を
さ て,準
φ の 定 義 を 振 り返 っ て み れ ば,連
同 型 写像
上 に 拡 張 す る.
f:S2γ に 対 す るG写
続 写像
∧X→MU(n+r)∧BU+(m)
像 f′:S2γ ∧X→M‖m‖(G)
に 対 し て,
が 成 り立 ち,従
って
が 成 り立 つ.故
に(6.3),(6.5)に
逆に
ΨΦ=idを
よ って ΦΨ=idが
示 す に は,(6.3),(6.5)に
Ψ φ=λ を 示 せ ば 良 い.x∈U*G(X)が,G写
成 り立 つ.
よ っ て,Ψ 像
f:V(k)c∧X→Mn(G),k∈KA に よ っ て 代 表 さ れ て い る も の と し よ う.こ
の と き φ(x)は,
Φλ=λ す な わ ち
に 等 し い.こ
お よび,図
こ で,次
の可 換 図 式
式
を 考 え よ う.た
だ し,i(m),p(m)は
自然 な 包 含 写 像 と射 影 を 表 わ す.Ψ
義 に よ って,
が 成 り立 ち,従
って
が 成 り立 つ.い
ま
と 置 く.こ
の と き,
が 成 り 立 つ.さ
て,合
で あ り,Ψ(φ(x))=e(V1)-1・[f°(i∧1)] 成
の表 わすU*G(X)の
元 と,合 成
の表 わすU*G(X)の
元 とは 同 じであ るが,後 者 は,合 成
の定
と,基
点 を 保 っ てGホ
が 成 り立 つ.す 6.2.3
モ トー プ で あ っ て,e(V1)・[f]を
表 わ し て い る.従
って
な わ ち Ψφ=λ が 証 明 され た.(終)
YをG空
間 とす る.Yの
に 対 し て,k∈KA1お
よびG写
任 意 のG不
変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間B
像
u:B→V(k)-{0} が 存 在 す る と き,YはSGに
命 題6.6
YをG空
吸 収 され る と い う.
間 とす る.Yが
ハ ウス ドル フ空 間 で あれ ば,YがSG
に 吸収 され るた め の 必 要十 分 条 件 は,Yの
各 点 の 軌 道 がSGに
吸収 され る こ と
で あ る. 証 明 定 義 か ら 必 要 条 件 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.い がSGに
吸 収 さ れ る と 仮 定 し よ う.BをYのG不
と す る.仮
定 に よ り,Bの
各 点xに
まYの
各点の軌道
変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間
対 し て,kx∈KA1とG写
像
ux:G(x)→V(kx)-{0} が 存 在 す る.定
理1.9(Tietze-Gleason)に
よ っ て,uxの拡張
で あ るG写
像
υx:B→V(kx),x∈B が 存 在 す る.こ
の とき Ux=υ-1x(V(kx)-{0})
はBに
お け るxの
の 点x1,…,xnを
開 近 傍 で あ る.Bが 選 んで
(1) とで き る.そ
コ ン パ ク トで あ る か ら,有
B=Ux1∪ こ で,G写
を,u(x)=(υx1(x),…,υxn(x))に
… ∪Uxn
像
よ っ て 定 義 す る.こ k=kx1+…+kxn∈KA1
の と き
限 個 のB
で あ り,(1)に
よ って u(B)⊂V(k)-{0}
が 成 り立 つ.(終) 命 題6.7 はSGに
XをG空
間 とす る.Xが
証 明 命 題6.6に
よ っ てX-XGの
証 明 す れ ば 良 い.点x∈Xの 空 間 と し てG/Gxと つ.従
ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,X-XG
吸 収 され る. 各 点 の 軌 道 がSGに
等 方 部 分 群 をGxと
同 相 で あ る.さ
ら に
っ て,X-XGの
各 点 の 軌 道 がSGに
任 意 の 閉 部 分群H
に 対 し て,G空
を 示 せ ば 十 分 で あ る.系1.20に
吸 収 され る こ と を
す れ ば,軌
道G(x)はG
で あ れ ば
が 成 り立
吸 収 さ れ る こ とを 示 す に は,Gの 間G/HがSGに
よ っ て,有
吸 収 され る こ と
限 次 元Gベ
ク ト ル 空 間Vと
G-embedding h:G/H→V が 存 在 す る.Vは
複 素Gベ
と 非 負 整 数nが
一 意 に 存 在 し て,同
が 成 り立 つ.た し,G写
ク トル 空 間 で あ る と し て 良 い.こ
だ しCn上
のG作
の と き,k∈KA
1
型
用 は 自 明 とす る.p:V→V(k)を
射影 と
像 u:G/H→V(k)
をu=p°hに
よ っ て 定 義 す る.あ
と仮 定 す れ ば,h(x)はVの 点xはG空 Hと
間G/Hの
共 役 で あ り,
で あ る.従
るx∈G/Hに
対 し てu(x)=0が
不 動 点 で あ る.hが 不 動 点 と な る.し
単 射G写
か る にG/Hの
で あ る か ら,G/Hは
成 り立 つ
像 で あ る か ら,
各 点 の 等方 部 分 群 は
不 動 点 を も た な い .こ
れ は 矛盾
って u(G/H)⊂V(k)-{0},k∈KA1
が 成 り立 つ.(終) 定 理6.8
Xを
基 点x0を
ル フ空 間 で,XG={x0}で
も ったG空 あれ ば
間 とす る.Xが
コ ン パ ク トハ ウ ス ド
S-1U*G(X)=0 が 成 り立 つ. 証 明 任 意 の 元z∈U*G(X)に
対 し て,l∈KA1が
存 在 して,
e(V(l))・z=0 が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.元zを
表 わ すG写
と す る.V(k)×(X-x0)はV(k)c∧XのG不 V(k)×(X-x0)に
像を
変 な 開 部 分 空 間 で あ る が,
一 点 を つ け 加 え て コ ン パ ク ト化 したG空
間 がV(k)c∧X
で あ る こ とに 注 意 し よ う. p2:V(k)×(X-x0)→X-x0 を 射 影 と す る.一
方,Bn(G)を
零 切 断 に よ ってMn(G)のG不
変 な閉 部 分
空 間 と見 れ ば, K=p2(f-1(Bn(G))) は,X-x0に
含 まれ るG不
(2)
変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る.こ
す べ て の
お よ び υ∈V(k)cに
の とき
対 して,
が 成 り立 つ. さ て,XG={x0}な はSGに
る仮 定 か ら,命
吸 収 され る.す
題6.7に
よ っ て,コ
な わ ち,l∈KA1とG写
ン パ ク トG空
間K
像
u:K→V(l)-{0} が 存 在 す る.定
理1.9(Tietze-Gleason)に
よ っ て,uの
拡 張 で あ るG写
像
u1:X→V(l) が 存 在 す る.そ
こで,基
点 を 保 つG写
像
f′,f″:V(k)c∧X→V(l)c∧Mn(G) を f′(υ∧x)=u1(x)∧f(υ f″(υ ∧x)=0∧f(υ に よ っ て 定 義 す る.u1(X)がV(l)の を 保 つG写
像 と し て,Gホ
モ トー プ
∧x), ∧x)
コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る か ら,基
点
(3) が 成 り立 つ.さ
て,u1(K)⊂V(l)-{0}が
成 り立 つ こ と,お
っ て,f′(V(k)c∧X)はV(l)c∧Mn(G)の
よ び(2)に
部 分 空 間0×Bn(G)と
な い.基
点 を も つG空
間 と し て,V(l)c∧Mn(G)-0×Bn(G)は
か ら,基
点 を 保 つG写
像 と し て,Gホ
よ
交 わ ら 可縮 で あ る
モ トー プ
(4) が 成 り立 つ.他
方,f″
とG写
像
εl.n:V(l)c∧Mn(G)→Mn+‖l‖(G) との合 成 写 像 を 考 え る と (5)
[εl,n°f″]=e(V(l))・[f]
が 成 り立 つ.結
局(3),(4),(5)お
よびz=[f]な
る こ とに よ って
e(V(l))・z=0,l∈KA1 が 成 り立 つ.(終) 定 理6.9
Xを
基 点 を も っ たG空
で あ る とす る.AをXのG不
間 で あ り,コ
ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間
変 な 閉 部 分集 合 で あ って,XG⊂Aを
もの とす る.包 含 写像i:A→Xが
基 点 を 保 つGコ
み たす
フ ァイ バ ー写 像 で あ れ
ば,同 型
が成 り立 つ. 証 明 包 含 写像i:A→Xが
基 点 を 保 つGコ
フ ァイバ ー写 像 で あ るか ら,
次 の列 は 完 全 列 で あ る. (6) 仮 定 に よ っ て,基 あ っ て,X/Aの
点 を も っ たG空
間X/Aは
不 動 点 は 基 点 だ け で あ る.従
コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で っ て,定
理6.8に
よ って
S-1U*G(X/A)=0 が 成 り立 ち,完
全 列(6)に
よ っ て,S-1i*は
同 型 写 像 に な る.(終)
6.3 束 化 変 換 6.3.1 6.1節
この 節 を 通 し て コ ン パ ク ト リイ 群Gを
固 定 し て お く.5.1節
お よび
の 記 号 を そ の ま ま使 用 す る.
定 理3.6に
よ っ て,普
遍 主G束
は,可
微 分 主G束
π(m):EG(m)→BG(m) の 列
の 帰 納 的 極 限 と し て 構 成 で き る.さ
で あ る よ うに で き る.こ
の 節 に お い て,こ
ら に 各BG(m)は
コン パ ク ト
の よ うな コ ン パ ク ト主G束
π(m):EG(m)→BG(m) の 列
と,G束
写像 i(m):EG(m)→EG(m+1)
の 列
を 固 定 し て お き,そ
の 帰 納 的 極 限 で あ る普 遍 主G束
を
π:EG→BG で 表 わ す. さ て,ξ=(p:E→X)を
コ ン パ ク トG空
間X上
の 複 素Gベ
ク トル 束
とす る と き p×1:E×EG→X×EG, p×1:E×EG(m)→X×EG(m) は,自
由G作
に よ って,複
を 得 る.さ
用 を も っ た 複 素Gベ 素 ベ ク トル 束
ら に,ベ
を 考 え る と き,複
は,コ
ク トル 束 で あ り,軌
ク トル 束 写 像
素 ベ ク トル 束
ン パ ク ト空 間 上 の 複 素 ベ ク トル 束
道空間を考えること
の列
の帰 納 的 極 限 で あ る こ とが 分 か る.こ の ベ ク トル束 を
と表 わ す こ と に す る. コ ンパ ク トG空
間Xに
対 し て,連
続写 像
は,環 準 同型 写像
を誘 導 す る.
に つ い て の 射影 的 極 限 を
で 表 わ そ う. この 節 の 目的 は,コ
を 定 義 し,そ
ン パ ク トG空
間Xに
対 し て,準
同型 写像
の 基 本 的 性 質 を 調 べ る こ と で あ る.
い ま,z∈U*G(X)が,G写
像
に よ っ て 代 表 され て い る と し よ う.さ
て,複
素Gベ
ク トル 束
p:En(V(l))→Bn(V(l)) に 対 し て,複
は,底
素 ベ ク トル 束
空 間 が コ ン パ ク トで あ るか ら,定
が ホ モ ト ピー を 除 い て 一 意 に 定 ま る.従 っ て,基
点 を保 つ 連 続 写像
理5.16に
っ て,Thom空
よ っ て,ベ
ク トル 束 写 像
間を考え る こ とに よ
が ホ モ ト ピ ー を 除 い て 一 意 に 定 ま る.こ
の と き,合
成写像
の ホ モ ト ピ ー 類 は,元
を 定 め る が,l∈KAの 次 に,複
素Gベ
選 び 方 に 依 ら な い 元 で あ る こ と が 分 か る. ク トル 束p:V(k)×X→Xに
を 考 え れ ば,底 空 間 が コ ン パ ク トで あ り,こ
対 し て,複
素 ベ ク トル 束
の 複 素 ベ ク トル 束 のThom空
間は
(V(k)c∧X+∧EG(m)+)/G で あ る こ とが 分 か る.従
っ て,定
理5.31に
よ っ て,Thom同
型写 像
が 存 在す る.そ こで
と置 く.右
辺 がz∈U*G(X)を
う.k′ ∈KAに
対 し て,G写
も ま たz∈U*G(X)を
を 定 義 す る.こ
表 わ すG写
像 の選 び方 に依 らな い ことを示 そ
像
表 わ す が,こ のf′ に 対 し て,
の と き,Thom同
と同様 に
型 写像
の 定 義に よ っ て
が 成 り立 つ.従
っ て,Thom同
型 写 像 の 乗 法 性(定
理5.30(b))に
よ って
が 成 り立 つ.す
な わ ち,
は,z∈U*G(X)に
よっ
て 一 意 に 定 ま る こ と が 分 か った. 最 後 に,Thom同
型 写 像 の 自 然 性 に よ っ て,準
同 型 写像
の 下 で,
が 成 り立 つ.従
っ て,列{α(m)(z)}は
を定 め る.以 上 で,次 数0の
が 定 義 さ れ た が,α 6.3.2 Xを
を 束 化 変 換 と い う.
コ ン パ ク トG空
複 素 ベ ク トル 束
とす る.Thom類
準 同 型写 像
間,ξ
のEuler類
をX上
の 複 素Gベ
ク トル 束 とす る.
を
の 自然 性 に よ って
が 成 り立 つ の で,列
は
を 定 め る. 束 化 変 換 に つ い て,次 定 理6.10
(T. tom
の 基 本 的 性 質 が 成 り立 つ. Dieck)
(a) 自 然 性.h:X→Yを,コ き,次
の 図 式 は 可 換 で あ る.
ン パ ク トG空
間 の 間 のG写
像 とす る と
(b) 乗 法 性.X,Yを
コ ン パ ク トG空
間 とす る.
を対 角 線 写像 とす る と き,次 の図 式 は 可換 で あ る.
(c) 正 規 性.ξ を コ ンパ ク トG空
間X上
の複 素Gベク
トル束 とす る と
き,
が 成 り立 つ. 証 明 (a)は (b)は
束 化 変 換 の 定 義 と,Thom同
ク ロ ス 積 の 定 義 と,Thom同
最 後 に(c)に M(ξ)を
型 写 像 の 乗 法 性 等 に よ っ て 証 明 で き る.
つ い て,φ:E(ξ)→En(G)をGベ
零 切 断 か ら誘 導 さ れ るG写
型 写 像 の 自然 性 か ら導 か れ る.
グ トル 束 写 像,s:X+→
像 とす る と き,合
の ホ モ ト ピー 類 がEuler類e(ξ)∈U*G(X)を
成G写
表 わ す.こ
像
の と き,α(e(ξ))は
合成写像
の ホ モ ト ピー 類 に よ っ て 代 表 さ れ る が,こ
の 合 成 写 像 は
のEuler類
を表 わ して い る.(終) 系6.11
束 化変 換
次 数 つ き環U*(BG)の
は環 準 同 型写 像 で あ る.◇ 部 分 集 合SGを
に よ っ て 定 義 す る.定 コ ン パ ク トG空
が,SGに
理6.10に
間Xに
対 し て,SGに
よ るU*G(X)の
の と き,定
コ ン パ ク トG空
理6.10に
間Xに
6.3.3 次 章 以 降 に お い て,U*(BG)の
BS1は
の局 所 化
定 義 と 同 様 に し て 定 義 さ れ る.
の 多 元環 とし ての 準 同型 写 像
も 同 様 に 定 義 で き る.こ
で,G=S1の
成 り立 つ .こ の と き,
よ る
局 所 化S-1U*G(X)の
さ ら に,U*=U*(pt.)上
命 題6.12
ょ っ て,SG=α(SG)が
場 合 に つ い てU*(BG)を 複 素 射 影 空 間
が 成 り立 つ.Pk(C)上
よ っ て,次
対 し て,次
の 命 題 が 成 り立 つ.
の 図 式 は 可 換 で あ る.
構 造 を 知 る こ と が 重 要 に な る.こ
こ
計 算 し て お こ う. の 帰 納 的 極 限 と 考 え られ る.従
の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 を ξkと し,そ
のEuler類
って
を
e(ξk)∈U2(Pk(C)) とす る.5.4節
に お い て 考 察 したThom準
同型 写 像
μ*:U*(Pk(C))→H*(Pk(C);Z) に よ って,μ*(e(ξk))は,特
異 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に お け る ξkのEuler類
で あ り,
環 同型 写 像
が,rk(T)=μ*(e(ξk))に 加 群 と して の 同型 写 像
よ っ て 与 え ら れ る.故
に 定 理5.34に
よ っ て,U*
が,
に よ っ て 与 え られ る.
定 理6.13
U*多
元環 として の 同型 写 像
が,Rk(T)=e(ξk)に
よ っ て 与 え られ る.従
っ て,U*多
元環 と して の同 型
が 成 り立 つ. 証 明 対 応RkがU*加
群 と し て の 同 型 写 像 で あ る か ら,多
元 環 として の
同 型 写 像 で あ る こ とを 示 す に は e(ξk)k+1=0 が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば 良 い.こ う.k=0の
れ をkに
と き は 明 らか で あ る.い
う.Pn(C)の
ま,e(ξn-1)n=0が
成 り立 つ と 仮 定 し よ
閉 部 分 空 間A,Bを
に よ っ て 定 義 す れ ば,A∪B=Pn(C)で
さ ら に,Aは
つ い て の帰 納 法 に よ って 証 明 し よ
可 縮 で あ り,BはPn-1(C)と
が 成 り立 つ.従
っ て,あ
あ り,次 の 列 は 完 全 列 で あ る.
ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.故
る 元a∈U*(Pn(C),A),b∈U*(Pn(C),B)に
に
対
し て,
が 成 り立 つ.故
に
が 成 り立 つ.従
っ て,Rnは
ら導 か れ る.(終)
環 同 型 写 像 と な る.後
半 は,Euler類
の 自然 性 か
Ⅶ 弱複素G多
様体
7.1 弱 複 素 構 造 7.1.1
こ の 節 を 通 して コ ン パ ク ト リ イ群Gを
E→X)を
実Gベ
ク トル 束 とす る.Gベ
一 つ 固 定 し て お く.ξ=(π:
ク トル 束 写 像
J:E→E は,図
式
を 可 換 に し,J2=-idを こ の と き-Jも ξ のG不
上 のG不
み た す と き,ξ
ξ のG不
変 な 複 素 構 造 で あ る と い う.
変 な 複 素 構 造 で あ る.
変 な 複 素 構 造J0,J1がGホ
モ トー プ で あ る とは,Gベ
ク トル 束
変な複素構造Jが 存在 して J0=J│E×0,
が 成 り立 つ こ とで あ る.た の と き,Jt=J│E×tと り,Gベ
のG不
だ し,区
J1=J│E×1 間[0,1]上
す れ ば,
のG作
用 は 自 明 とす る.こ
は ξ のG不
ク トル 束 写 像 と し て,J0とJ1の
間 のGホ
変 な 複 素構 造 であ
モ ト ピ ー を 与 え て い る.
こ の 逆 も成 り立 つ. G空
間Xを
固 定 し た と き,Gベ
ク トル 空 間Vに
ク トル 束Vを V=(p1:X×V→X) に よ っ て 定 義 す る.
対 し て,X上
のGベ
こ の 節 に お い て,Rkは わ す.R2上
常 に 自 明 なG作
の 標 準 的 なG不
用 を も っ たGベ
ク トル 空 間 を 表
変 複 素 構 造I0を
I0(x;a,b)=(x;-b,a),x∈X,(a,b)∈R2 に よ っ て 定 義 す る. ξi=(πi:Ei→X),(i=0,1)をX上 G不
のGベ
変 な 複 素 構 造 とす る.こ
の と き,
ク トル 束 と し,Jiを 上 のG不
ξi上 の
変 な 複 素 構 造
を
に よ っ て 定 義 す る. ξ=(π:E→X)をGベ は,あ
ク トル 束 とず る.ξ
る 非 負 整 数kに
J0,J1を のG不
対 す る
ξ 上 のG不
上 のG不
上 のG不
変 な 複 素 構 造 の こ と で あ る.
変 な 弱 複 素 構 造 とす る.す
変 な 複 素 構 造 と す る.非
変 な弱 複 素 構造 と
な わ ち,Jiを
負 整 数ni(i=0,1)が
上
存 在 し て,
2n0+k0=2n1+k1=m が 成 り立 ち,
がGホ
上 のG不
変 な 複 素 構 造 と し て,
モ トー プ で あ る と き,弱
複 素 構 造J0とJ1と
は 同 値 で あ る と い う.
ただ し
で あ り,I0は Mを
可 微 分G多
れ たG作 にG不
先 に定 義 したR2上
様 体 とす る.Mの
用 に よ って可 微 分Gベ 変 な 弱複 素 構 造Jが
(M,(J))ま
の 標準 的 な 複 素構 造 で あ る.
た は 単 にMを
接 ベ ク トル束 τ(M)は
ク トル 束 に な るが,Gベ
与 え られ た と き,MとJの 弱 複素G多
この章 の研 究対 象 は,こ の 弱複 素G多
自然に 誘 導 さ
ク トル束 τ(M)上 同値 類(J)の
対
様 体 とい う. 様体 で あ る.ま ず,い
くつか の 命 題
を 準 備 し よ う. 命 題7.1 XをG空
間 と し,ξ,η をX上
のGベ
ク トル束 とす る.Jを
η
上 のG不 る.従
変 な 複 素 構 造 とす る.ht:ξ っ て,ベ
い る.こ
→ η をG同
ク トル 束 写 像 と し て,htは
の と きJt=h-1tJhtは,ξ
型 写 像 の ホ モ トピ ー と す
底 空 間X上
上 のG不
の 恒 等写 像 を誘 導 して
変 な 複 素 構 造 の ホ モ トピ ー で あ
る.◇ ξ=(π:E→X)をGベ とす る.す
ク トル 束 と し,Pを
な わ ち,P:E→EはG同
す も の と す る.こ
の と き,ξ
のG不
ξ 上 のG同
変 な 射 影作 用 素
変 な 束 準 同 型 写 像 で,P2=Pを
みた
変 な 部 分 ベ ク トル 束 ξ0,ξ1を,そ
の全
空間が E(ξ0)=PE,
E(ξ1)=(1-P)E
で 与 え られ る もの と し て 定 義 す る,こ
の と き,自
然 な 同型
が 成 り立 つ. 命 題7.2
ξ=(π:E→X)をGベ
複 素 構 造 とす る.Pを
ク トル 束 と し,Jを
ξ 上 のG同
PJP=JP, が 成 り立 つ も の と す る.こ
変 な射 影 作 用
ξ 上 のG不
変な
素と し,
(す な わ ち,JE(ξ0)⊂E(ξ0)) の と き,
(a)
(1-P)JはE(ξ1)=(1-P)E上
(b)
Jt=J-tPJ(1-P)は
(c)
Jと
のG不 ξ 上 のG不
変 な 複 素 構 造 で あ る.
変 な 複 素 構 造 の ホ モ トピ ー で あ る. とは,ξ
上 のG不
変 な複 素構 造 と
し て ホ モ トー プ で あ る. 証 明 (a)に
つ い て,
が 成 り立 つ の で,(1-P)JはE(ξ1)上 (a)と
同 様 に,PJP=JPお
の 複 素 構 造 で あ る.(b)に
よ び(1-P)P=0が (Jt)2=-id
が 示 さ れ る.こ
の と き,
つ い て も,
成 り立 つ こ と を 用 い て,
が 成 り立 つ の で,(c)が 7.1.2 XをG空
成 り立 つ.(終) 間 とす る.ξ,η
をX上
のGベ
ク トル 束,
h:ξ → η をGベ
ク トル 束 と し て の 同 型 写 像 とす る.Jを
とす る.す
な わ ち,Jは
上 のG不
η 上 のG不
変 な 弱複 素 構 造
変 な 複 素 構 造 で あ る.こ
の と き,
同型
に よって,ξ 上 のG不
変 な 弱複 素 構 造
この弱 複 素構 造 をh*Jで
が 誘 導 され るが,
表 わ そ う.す なわ ち
で あ る. Mを
可 微 分G多
様 体 と し,Jを
素 構 造 とす る.MにG不
接 ベ ク トル 束 τ(M)上
のG不
変 な弱複
変 な リーマ ン計量 を与 え る こ とに よ って,Gベ
ク
トル束 と して の同 型 写像
が 定 ま る.た
だ し,R1の
正 の 向 きの 単 位 ベ ク トル は τ(M)│∂Mに
向 きの単 位 法 ベ ク トル に写 され る もの とす る.従 って,h*JはGベ τ(∂M)上 のG不
変 な 弱複 素 構 造 を 定 義す る.M上
量 の選 び方 に 依 らず,弱 複 素構 造h*Jの よ って保 証 され る.さ
らに,h*Jの
のG不
お け る内 ク トル束
変 な リー マ ン計
同値 類 が 定 ま る こ とが,命 題7.1に
同値 類 はJの
同値 類 に よって 一 意 に定 ま
る こ と も容 易 に 証 明 で き る. 従 って,弱 値 類が,上
複 素G多
様体(M,(J))に
の方 法 に よ って 与 え られ るが,こ
対 して,∂M上
弱複 素 構 造(J)か
の 弱複 素 構造 の 同値 類 を,Mの
ら自然 に 誘導 され た 弱 複 素構 造 と呼 び,今
に して,∂Mを
弱複 素G多
様体 とみ る こ とにす る.
(M,(J))を
弱 複 素G多
様 体 とす る.先 に 定 義 したR2上
構 造I0に
の 弱複 素構 造 の 同
対 して,M上
のG不
変 な 弱複 素 構 造
後 常 に この よ う
の標 準 的 な複 素
の 同 値 類 は,(J)の
代 表 元Jの
選 び 方 に依 らず に定 まる こ とが分 か る.今 後
と表 わ す. (M,(J)),(M′,(J′))を f:M→M′
と,fか
弱 複素G多
様 体 とす る.G同
ら 誘 導 され たGベ
変 な微 分 同相 写 像
ク トル 束 写 像
df:τ(M)→
τ(M′)
を 考え る. (J)=((df)*J′) が 成 り立 つ と き,fは (M′,(J′))の
弱 複 素 構 造 を 保 つ と い う.弱
間 に 弱 複 素 構 造 を 保 つG同
(M,(J))と(M′,(J′))と
え た と き,(〓,〓)自
様 体 と し てG同
よ び,そ
由 な 弱 複 素G多
様 体(M,(J)),
変 な 微 分 同 相 写 像 が 存 在 す る と き,
は 弱 複 素G多
注 意 コ ン パ ク ト リイ 群G,お
複 素G多
型 で あ る と い う.
の 閉 部 分 群 の 許 容 族 様 体 のG同
を与
境群
Un(G;〓,〓) が,Ωn(G;〓,〓)の
定 義 と全 く同 様 に し て 定 義 で き る.そ
と 同 様 な 完 全 列 も成 り立 つ が,証
し て,定
明 は 全 く 同 様 に で き る の で,す
理3.2
べ て 省略 す
る. 注 意 (X,A)をG空
間 と,そ
のG不
ン パ ク ト弱 複 素G多
様 体(M,(J))と,G写
変 部 分 空 間 の 対 と す る.n次
元 コ
像
f:(M,∂M)→(X,A) の 組(M,(J),f)を
考え る.こ
の と き,ボ
と全 く 同 様 に し て,弱
複 素G多
様 体 のGボ
ル デ ィ ズ ム 群 Ωn(X,A)の
定義
ル デ ィズ ム 群
UGn(X,A) が 定 義 で き て,同
変 ホ モ ロ ジ ー 論 が 構 成 で き る こ とが 分 か る.単
の 場 合 に は,UGn(X,A)を (M,(J))を
弱複 素G多
単 にUn(X,A)で 様 体 と す る.Mの
位 群G={e}
表 わ す. 不 動 点 集 合MGの
一 つ の連 結
成 分 をFと
す る.Mにお
う.MにG不
け るFの
法 ベ ク トル 束ν(F)に
ついて 考察 しよ
変 な リー マ ン 計 量 を 与え る こ とに よ っ て,Gベ
ク トル 束 と し
て の同 型
を 得 る.Jを
上 のG不
に よ って, る.さ て,全
変 な 複 素構 造 とす れ ば,同 型
上 のG不 空 間
は
上 のG作
に一 致 し,J′
ル束
はG不
誘 導 され
用 に 関す る不 動 点 集 合
変 であ るの で,G不
変部分ベ ク ト
は,複 素 構 造J′ に つ い て も閉 じて い る.す な わ ち
が 成 り立 つ.従 と,
っ て,命
題7.2に
上 のG不
複 素 構 造J1の
よ っ て,ν(F)上
変 な 複 素 構 造J1と
J′ と は ホ モ トー プ で あ る.こ
の と き,J0の
同 値 類 は,(J)の
今 後,弱
複 素G多
変 な 複 素 構 造J0
が 自然 に 定 ま り,
選 び 方,お
よ びMのG不
と の弱 変な
意 に 定 ま る こ とが 分 か る.
様 体 に 対 し て,そ
方 法 に よ っ て 弱 複 素 多 様 体 と 考 え,そ て 複 素Gベ
のG不
ホ モ ト ピ ー 類 お よ び τ(F)上
代 表 元Jの
リー マ ン 計 量 の 選 び 方 に 依 らず,一
の 不 動 点 集 合 の 連 結 成 分 は,常 の 法 ベ ク トル 束 も,常
に上 の
に 上 の方 法 に よっ
ク トル 束 と 考 え る こ と に し よ う.
7.1.3 (M,(JM)),(N,(JN))を dim
弱 複 素G多 M≡dim
と 仮 定 す る.f:M→NをG同 ν(f)上
変 な 複 素構 造J′=h*Jが
のG不
N
様 体 と す る.い (mod
変 なembeddingと
変 な 複 素 構 造Jが,適
ま
2) す る と き,法 ベ ク トル 束
正 な 複 素 構 造 で あ る と は,Gベ
クト
ル束 と しての 同型
に よ っ て 誘 導 さ れ た 複 素 構 造 定 理7
上 のG不
変 な 弱 複 素 構 造h*JNが,弱
と 同 値 で あ る こ と と 定 義 す る.
.3 (M,(JM)),(N,(JN))を
弱 複 素G多
様 体 と し,Mはコ
ンパ ク
トで あ る とす る.f:M→NをG同 ベ ク トル 束ν(f)の ル 空 間Vと,複
変 なembeddingと
す る.J0,J1を
適 正 な 複 素 構 造 で あ る とす れ ば,有 素Gベ
限 次 元複 素Gベ
法 ク ト
ク トル 束 と し て の 同 型
が 存在 す る. 証 明 仮 定 に よ り,(JM)の 複 素Gベ
代 表 元JMお
よび(JN)の
代 表 元JNを
選 ん で,
ク トル束 と して の 同型
が 成 り立 つ よ う に で き る.Mが 有 限 次 元 複 素Gベ
が 存 在 す る.こ
コ ン パ ク トで あ るか ら,定
ク トル 空 間Vお
の と き,複
素Gベ
よ びG同
理5.15に
変Gauss写
よ っ て,
像
ク トル 束 と し て の 同 型
が 成 り立 つ.(終) こ こ で 弱 複 素G多
様 体 の 直 積 の 弱 複 素構 造 に つ い て 考 察 し て お こ う.
(M,(JM)),(N,(JN))を
弱 複 素G多
様 体 とす る.Gベ
τ(M×N)=τ(M)×
ク トル 束 と し て
τ(N)
で あ るか ら.自 然 な 同型
が 存 在 す る.JM,JNを
そ れ ぞ れ
上 のG不
変な複素
構 造 とす る と き,h*(JM×JN)は
上 のG不
で あ り,そ
よ って一 意 に 定 ま る こ と
が 分 か る.い
の 同 値 類(h*(JM×JN))は(JM),(JN)に
変 な 複 素 構造
ま m=dim
と す る と き,M×N上
M,
n=dim
の 弱 複 素 構 造 と して,同
N 値類
(-1)mn(h*(JM×JN)) を 選 ぶ こ と に す る.今
後,弱
複 素G多
様 体 の 直 積 に は,常
に 上 の方 法 に よ っ
て 弱 複 素 構 造 を 定 め る も の とす る. 定 理7.4
(M,(JM)),(N,(JN))を
弱 複 素G多
トで あ る と す る.f:M→NをG同
変 なembeddingと
dim M≡dim で あ る とす れ ば,有
様 体 と し,Mは
N
限 次 元 複 素Gベ
(mod
コンパ ク
し,
2)
ク トル 空 間Wが
存 在 し て,G同
変な
embedding f′:M→W×N を,f′(x)=(0,f(x))に
よ っ て 定 義 す る と き,法
ベ ク トル 束ν(f′)が
適正
な 複 素 構 造 を も つ よ う に で き る. 証 明 JMを のG不
変 な 複 素 構 造,JNを
変 な 複 素 構 造 で あ る と仮 定 で き る.い
と 定 義 す る.Mが 素Gベ
上 のG不
コ ン パ ク トで あ る か ら,定
ク トル 空 間Wと,M上
の 複 素Gベ
ま,複
素Gベ
理5.15に
上 ク トル 束 ξ,η を
よ っ て,有
限 次元 複
ク トル 束 ξ′,お よび 複 素Gベ
ク トル 束 と し て の 同 型
が 存 在 す る.こ
の と き,Gベ
ク トル 束 と して の 同 型
が 成 り立 つ.こ の 同型 を 通 して,複 素Gベ るG不
ク トル束
変 な複 素 構 造 をν(f′)に 与 え る.次 に,こ
であ る ことを 示 そ う.同 型
か ら誘 導 され
の複 素 構 造 が 適 正 な もの
が 成 り立 ち,W×Nの ら,上
弱 複 素 構 造 が
に 与 え たν(f′)の
複 素 構 造 は 適 正 な も の で あ る こ と が 分 か る.(終)
7.2 Pontrjagin-Thom構 7.2.1 Xを
成
弱 複 素G多
様 体 と す る.こ
ボ ル デ ィ ズ ム群UG*(X)と,第5章 ィ ズ ム群U*G(X)と 補 題7.5 す る.こ
に よ っ て 定 義 され て い る こ と か
の 節 で は,弱
複 素G多
様 体 のG
に お い て 定 義 し た ユ ニ タ リ同 変コ ボ ル デ
の 関 係 を 調 べ よ う.
M,Nを
の と き,可
コ ン パ ク トG多 微 分G写
様 体 と し,f0:M→NをG写
像f1:M→Nと,Gホ
像 と
モ ト ピ ーft:M→N
が 存 在 す る. 証 明 定 理1.25に embedding
よ っ て,有
h:N→Wが
存 在 す る.EをWに
開 管 状 近 傍 と し,π:E→Nを さ ら にWにG不 がEに
可 微 分G写
変 な 正 値 内 積 を 定 め,正
含 ま れ る よ うに し て お く.さ
写像h1:M→Wを と 任 意 の うに で き る.新
ク トル 空 間WとG同
変な
お け るh(N)のG不
変な
像 で,π°h=idな
る も の と す る.
数 ε を 選 ん で,h(N)のε
て,G作
用 を 無 視 し て,h°f0と
結 ぶ ホ モ ト ピ ーht:M→Wを
構 成 し て,Mの
に 対 し て,ht(x)がh(f0(x))の
近傍 可微分 各 点x
ε近 傍 に 属 す る よ
しい ホ モ ト ピ ーh*tを
に よ っ て 定 め れ ば,h*tはG同 0.4に
限 次 元Gベ
よ っ て 可 微 分 写像 で あ る.さ
変 で あ り,h*0=h°f0を らに,Mの
各 点xと
み た し,h*1は 任 意 のtに
定理 対 し て,
h*t(x)∈E が 成 り立 つ.こ さ て,Xをn次
の と き,ft(x)=π(h*t(x))が 元 コ ン パ ク ト弱 複 素G多
求 め る ホモ ト ピ ー で あ る.(終) 様 体 と し,境
界 を もた な い もの
と す る.Gボ
ル デ ィ ズ ム群UGn-k(X)の
体MとG写
像f:M→Xの
元 α が,コ
対(M,f)に
う.こ
の と き,補
題7.5に
い.定
理1.25に
よ っ て,有
ン パ ク ト弱 複 素G多
様
よ っ て 表 わ され て い る と し よ
よ っ て,fは
可 微 分G写
限 次 元 複 素Gベ
像 で あ ると仮 定 して 良
ク トル 空 間VとG同
変 な
embedding h:M→V が 存 在 す る.ま
ずk=2tの
場 合 に つ い て 考 え よ う.こ
の とき
f′:M→V×X を,f′(x)=(h(x),f(x))に で あ る.こ
よ って 定 義 す れ ば,f′
の と き,定
存 在 し て,G同
理7.4に
よ っ て,有
もG同
限 次 元 複 素Gベ
変 なembedding ク トル 空 間Wが
変 なembedding f″:M→W×V×X
を,f″(x)=(0,h(x),f(x))に
よ っ て 定 義 す る と き,法
が 適 正 な 複 素 構 造 を もつ よ うに で き る.そ
ベ ク トル 束 ν(f″)
こ で,
u:E(ν(f″))→Et+│V│+│W│(G) を,普遍複
素Gベクト
ル 束 へ の 複 素Gベクトル束
とす る.一 方,複 素 法 ベ ク トル 束ν(f″)にG不 ν(f″)に
変 な エ ル ミー ト計 量 を 与 え,
付 属 す る 球 体 束 の 全 空 間D(ν(f″))をW×V×XのG不
分 空 間 と み な そ う.こ
と 同 一 視 で き る.さ 空 間 は(W×V)c∧X+で
が,int D(ν(f″))上
は,同
と し て の ベクト ル 束 写 像
変 な部
の と き,
て,W×V×Xに
一 点 を つ け 加 え て コ ン パ ク ト化 したG
あ る か ら,上
の 同 一 視 に よ っ て,射
で 同 相 写 像 で あ る よ うに 定 義 で き る.こ
変 コ ボ ル デ ィ ズ ム群U2tG(X)の
元D(α)を
に 依 っ て 定 ま る 元 で あ る こ と が 分 か る.証
影
の と き,合
成
表 わ す.D(α)は,α
明 は 読 者 に 委 ね る.次
にk=2t-1
のみ
の と き,G同
変 なembedding
f′:M→V×R×X を,f′(x)=(h(x),0,f(x))に トル 空 間Wに
よ っ て 定 義 し,適
対 し て,G同
当 な 有 限 次 元 複 素Gベ
ク
変 なembedding
f″:M→W×V×R×X を,f″(x)=(0,h(x),0,f(x))に
よ っ て 定 義 す る と き,法 ベ ク トル 束ν(f″)
が 適 正 な 複 素 構 造 を も つ よ うに で き る.従 あ るG写
っ て,k=2tの
場 合 と 同 様 に し て,
像
(W×V×R)c∧X+→Mt+│V│+│W│(G) が 定 ま り,U2t-1G(X)の
元D(α)を
コ ン パ ク ト弱 複 素G多 す べ て の 整 数kに
様 体Xに
対 し て,対
表 わ す.結
局,境
界 を も た な い,n次
対 し て,Pontrjagin-Thom構
元
成 に よ っ て,
応
D:UGn-k(X)→UkG(X) が 定 ま る.Dは
準 同 型 写 像 で あ る こ とが 分 か る.
ク ロ ス 積 と 準 同 型 写像Dの 定 理7.6
X,Yを
間 に 次 の 関 係 が 成 り立 つ.証
明 は 読 者 に 委 ね る.
境 界 を も た な い コ ン パ ク ト弱 複 素G多
様 体 とす れ ば,
次 の 図 式 は 可 換 で あ る.
7.2.2 G多
様 体 に 対 し て は,一
準 同 型 写 像Dは,同
型 写 像 と は 限 ら な い こ と を 注 意 し て お こ う.こ
と くに 単 位 群G={e}の 定 理7.7(Thom-Atiyah双 多 様 体 とす る.こ
般 に 横 断 正 則 性 定 理 が 成 り立 た な い の で, の 節 で は,
場 合 に つ い て 考 察 す る. 対 定 理) Xを
の と き,Pontrjagin-Thom構
境 界 を も た な い コ ン パ ク ト弱 複 素 成 に よ る準 同 型 写 像
D:U*(X)→U*(X) は 同 型 写像 で あ る. 証 明 Dの
逆 写 像T:U*(X)→U*(X)を
構 成 し よ う.β
∈U*(X)が,
連続写像 h:Sk∧X+→MU(t) に よ っ て 表わ され て い る とす る.Sk∧X+はRk×Xに ン パ ク ト化 した 空 間 で あ る.横
一 点 をつ け加 えて コ
断 正 則 性 定 理 に よ っ て,hと
ホ モ トー プ な 写 像
h1:Sk∧X+→MU(t) で, h1│h-1(MU(t)-{∞}) がBU(t)上
で 横 断 正則 な 可 微 分 写 像 で あ る も の が 存 在 す る.こ
の と き,
M=h-11(BU(t)) は,Rk×Xの
境 界 を も た な い コ ン パ ク ト部 分 多 様 体 で あ り,包
含写 像
i:M→Rk×X の 法 ベ ク トル 束
ν(i)は,写
像 h1│M:M→BU(t)
か ら 誘 導 され る 複 素 構 造 を も つ.こ て,法
ベ ク トル 束ν(i)の
の 弱 複 素 多 様 体Mと,合
の対(M,f)が
の と き,多
成
元 をT(β)と
依 って定 ま る ことが 分 か る.T=D-1で
で き る.Pn(C)に
β のみ に
あ る こ との証 明は 読 者 に委 ね る.(終)
対 す るThom-Atiyah双
数
す れ ば,T(β)は
通 常 の複 素構 造 に よ って 弱複 素 多 様 体 とみ る こ とが
に つ い て 考 察 し よ う.U*(Pn(C))の る.整
弱複 素 構 造 を 与 え
複 素 構 造 が 適 正 な 複 素 構 造 で あ る よ うに で き る.こ
表 わ すU*(X)の
複 素 射影 空 間Pn(C)は
様 体Mに
対 同型 写 像
構 造 は 定 理6.13に
よ っ て 決 定 され て い
に 対 し て,embedding i:Pk(C)→Pn(C)
を,対
応(u0:…:uk)→(u0:…:uk:0:…:0)に
(Pk(C),i)はU2k(Pn(C))の 立 つ.
元 を 表 わ す.こ
よ っ て 定 義 す れ ば, れ に つ い て,次
の定 理 が 成 り
定 理7.8
Thom-Atiyah双
対 同 型写 像
に よ っ て,
が 成 り立 つ.こ
こに,ξnはPn(C)上
の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 を 表 わ す.
証 明 embedding i:Pk(C)→Pn(C)の
と 同 型 で あ り,Thom空
が 成 り立 つ.こ
で あ る.従
間について
こに
っ て,D[Pk(C),i]は,合
に よ っ て 代 表 さ れ る こ と が 分 か る.さ を,対
複 素 法 ベ ク トル 束 は
成
て,embedding j:Pn(C)→P2n-k(C)
応 (z0:…:zn)→(0:…:0:z0:…:zn)
に よ っ て 定 義 す れ ば,次
そ し て,合
成M(u2)°
の 可 換 図 式 を 得 る.
π2°jは
のEuler類
を 表 わ し て い る.従
っ て,
が 成 り立 つ.(終) 7.2.3 再 び 一 般 の コ ン パ ク ト リ イ群Gに G空
間Xに
つ い て 考 察 す る.
対 して,Pontrjagin-Thom構
成 を 用 い て,準
同型 写 像
i:UGn(X)→U-nG(S0;X+) を 定 義 し よ う.α G写
∈UGn(X)が,コ
像f:M→Xの
ン パ ク トn次
対(M,f)に
→Vが る.こ
限 次 元 複 素Gベ
存 在 し て,法
場 合 に つ い て は 証 明 を 読 者 に 委 ね る).
ク トル 空 間VとG同
ベ ク トル 束
ν(h)が
れ に つ い て,Pontrjagin-Thom構
を 得 る.こ
の と き,合
は,5.3節
変 なembedding
h:M
適正 な複 素構 造 を も つ よ うに で き
成 に よ っ て,G写
像
成
が 表 わ すU-nG(S0;X+)の ま る こ と が 分 か る.た
様 体Mと
よ っ て 表 わ さ れ て い る と す る.n=2tの
場 合に つ い て 考 え よ う(n=2t-1の こ の と き,有
元 弱 複 素G多
元 をi(α)と だ し,G写
に お い て,Thom同
す れ ば,i(α)は
α の み に よ って定
像
型 写 像 を 定 義 す る際 に 現 わ れ た 対 角 線 写像 の 特
別 の 場 合 に 当 る も の で あ る. こ の 準 同 型 写 像iは,二 が 一 点 か ら成 るG空 を 弱 複 素G多
つ の 同 変 ホ モ ロ ジ ー 論 の 間 の 自然 変 換 で あ るが,X
間 で あ っ て も,同
型 写 像 と は 限 ら な い.実
様 体 と み る と き,i=Dが
定 理7.9(Conner-Floyd)単
際,X={pt}
成 り立 つ.
位 群G={e}に
対 し て,自
然変換
i:Un(X)→U-n(S0;X+) は,任
意 のCW複
証 明 X={pt}に
体Xに
対 し て 常 に 同 型 写 像 で あ る.
対 し て,i=Dが
成 り立 つ こ と,お
よ び 定 理7.7に
よっ
て,X={pt}に
対 して,iは
任 意 の有 限CW複
同 型写 像 で あ る.従 って,通 常 の 方法 に よ って,
体 に対 し て,iは
同 型 写 像 に な る.任 意 のCW複
限 部 分 複 体 の 帰納 的 極 限 と考 え る ことに よ って,す
べ て のCW複
体を有 体について
iが 同型 写 像 に な る.(終) こ こで,次 の 図式 に つ い て 考え よ う.
(7.10)
た だ し,UG*=UG*(pt),α 写 像,ε
はG作
定 理7.11
は 束 化 変 換,i*は
包 含 写 像 か ら 誘導 さ れ た 準 同 型
用 を 忘 れ る こ とに よ っ て 定 義 さ れ る 準同 型 写 像 で あ る. 任 意 の コン パ クト
イ 群Gに
対 し て,図
式(7.10)は
可換 で あ
る. 証 明 Mをn次
元 コ ン パ ク ト弱 複 素G多
合 を 考 え よ う.有 限 次 元 複 素Gベ M→Vを
様 体 とす る.ま
ク トル 空 間VとG同
選 ん で,法 ベ ク トル 束ν(h)が
変 なembedding
場 h:
適 正 な 複 素 構 造 を もつ よ うに で き る.
こ の と き,Pontrjagin-Thom構
成 に よ っ て,G写
が 与 え られ るが,こ
がD[M]を
のG写像
ず,n=2tの
像
表 わ して い る.束 化 変換 の定 義 に
戻 って,次 の 可換 図式 を 考 え よ う.
こ こに,BG(m),α(m)等
は6.3節
わ れ た も の で あ り,ψVはThom同 i*1,i*2は,Vを
ベ ク トル 束
に お い て,束
化変 換
型 写 像,σ2│V│は
α を 定 義 す る際 に 現
懸 垂 同 型 写 像,さ
らに,
の 一 つ の フ ァ イ バ ー とみ る こ と に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像 と す る.こ αV( m)D[M]は,写
の と き,
像
に よ っ て 表 わ さ れ る.た
だ し,
は 複 素 ベ ク トル束 写 像 で あ る.こ こで,次 の可換 図 式 を考 え る.
こ こ に,ベ
は,Gベ
ク トル 束 写 像
ク トル束ν(h)のG作
が 表 わ すU*の
用 を 無 視 して得 られ た もの で あ る.合 成
元 は,Dε[M]で
が 成 り立 つ.n=2t-1の
あ る.従
って
と き の 証 明 は 読 者 に 委 ね る.(終)
7.3 不 動 点 図 式 7.3.1 Mを
コ ン パ ク ト弱 複 素G多 dim
で あ る と仮 定 して お く.定 ク トル 空 間VとG同
様 体 とす る.
M≡0
理1.25と
(mod 定 理7.4に
変 なembedding M⊂Vが
νM.Vが 適 正 な 複 素 構 造 を も つ よ うに で き る.一 (の 各 連 結 成 分)は7.1節 多 様 体 と な り,embedding
2) よ って,有
存 在 し て,法 方Mの
に お い て 考 察 し た よ うに,標 F⊂Mの
限 次 元 複 素Gベ ベ ク トル 束
不 動 点 集 合F=MG 準 的 な 方 法 で,弱
法 ベ ク トル 束νF,Mは
複 素Gベ
複素 ク トル
束 と な る.さ
と,G不
て
変 な 部 分 空 間 の 直 和 に 分 解 す る と き,embedding
embedding
F⊂V0が
F⊂V0に
誘 導 さ れ る.定
M⊂Vに
理7.4をG={e}の場
よ っ て,
合 に つ い て,
適 用 す る こ と に よ っ て,有 限 次 元 複 素 ベ ク トル 空 間U0が
存 在 し て,
合成
の法 ベ ク トル束 なG作
が 適正 な複 素 構 造 を もつ よ うにで き る.U0を
用 を もつ複 素Gベ
ク トル 空 間 とみ る と き,G同
自明
変 なembedding
の 法 ベ ク トル 束
は,νM,Vお 実Gベ
よびU0の
複 素 構 造 か ら定 ま る適正 な複 素 構 造 を もつ.
ク トル束 と して の 同型
に お い て,Gベ
ク トル 束
は 一方 に お い てνF ,Mお
よび
の 複 素構 造 か ら定 まる適 正 な 複 素 構造 を もち,他 方 に お い て
の 複 素構 造 か ら定 ま る適 正 な 複 素 構造 を もつ.故 限 次 元Gベ
ク トル空 間Uが
に,定
存 在 して,複 素Gベ
が 成 り立 つ.こ
こで,
と し て,G同
を 考 え る と,複
素Gベ
が 成 り立 つ.こ
の 結 果 を ま とめ て お こ う.
ク トル 束 と し て の 同 型
理7.3に
お よび
よ って,有
ク トル 束 と しての 同 型
変 なembedding
補 題7.12 Mを
コ ン パ ク ト弱 複 素G多 dim M≡0
と仮 定 す れ ば,有 M⊂Wが
限 次 元 複 素Gベ
存 在 し て,法
(mod
2)
ク トル 空 間Wと,G同
ベ ク トル 束νM.Wお
の 法 ベ ク トル 束νF,WGが
様 体 と す る.
よ び,embedding
と も に 適 正 な 複 素 構 造 を も ち,さ
変 なembedding F=MG⊂WG らに 複 素Gベ
ク
トル 束 と し て の 同 型
が 成 り立 つ よ うに で き る.◇ 補 題7.12に Gベ
お い て,自
明 なG作
ク トル 束 が 現 わ れ た が,こ
コ ン パ ク ト リ イ群Gに
用 を も った コ ン パ ク トG空
間上 の複 素
れ に つ い て 次 の 補 題 を 準 備 し て お こ う.
対 し て,複
素 既 約Gベ
I(G)={Vα│α
ク トル 空 間 の 完 全 系
∈A}
を 考 え る. 補 題7.131) の 複 素Gベ
Xを
自 明 なG作
用 を も った コ ン パ ク トG空
ク トル 束 とす れ ば,複
素Gベ
間,EをX上
ク トル 束 と し て の 同 型
が 成 り立 つ.◇ さ て,補
題7.12に
に お い て,νF.WGは
おけ る同型
自 明 なG作
W/WGと
は 自 明 なG作
よ っ て,同
型
用 を もつGベ
ク ト ル 束 で あ り,νF,Mと
用 を も つ 直 和 成 分 を も た な い.従
っ て 補 題7.13に
(7.14) が 成 り 立 つ. 7.3.2 1) M.F.
コ ン パ ク ト リ イ 群Gを Atiyah:
K-theory,
固 定 し,I(G)={Vα│α∈A}を Proposition
1.6.2を
参 照 せ よ.
複 素既 約
Gベ
ク トル 空 間 の 完 全 系 と す る.α0∈Aに
も つ も の と し,A1=A-{α0}と A1)上
対 して,Vα0は
す る.KAお
の 非 負 整 数 値 函 数 で,有
を 表 わ す.m∈KA1,n∈KAに
よ びKA1に
限 個 のAの
自 明 なG作
用 を
よ っ て,A(ま
たは
元 を除 いて零 値 で あ る もの の全 体
対 して
と置 く. Mを
コ ンパ ク ト弱 複 素G多
様 体 とし,そ
の不 動 点 集 合F=MGを
連結成
分 の和
に 分 解 す る.こ F⊂Mの
の と き,各Fλ(λ
法 ベ ク トル 束νF,Mは
に よ っ て,複
素Gベ
∈Λ)は
弱 複 素 多 様 体 で あ り,embedding
複 素Gベ
ク トル 束 に な っ て い る.補
ク トル 束 と し て の 同 型
が 成 り立つ.F=MGで
あ る か ら,νF,Mは
自 明 なG作
用 を もつ直 和成 分 を
も た な い の で, Nλ,α0=0, が 成 り立 つ.い
ま,λ ∈Λ mλ(α)=dim
に よ っ て 定 義 す る.m∈KA1に
(λ∈Λ)
に 対 し て,mλ∈KA1を Nλ ,α (複 素 ベ ク トル 束 と し ての 次 元) 対 して
と置 け ば,同 型
が 成 り立 ち,さ
題7.13
らに dim M=dim F(m)+2‖m‖,
(m∈KA1)
が 成 り立 つ.
を射 影 とす る とき,連 続 写 像
を,写
像
が,複
素 ベ ク トル 束Nm,αの
分 類 写像 で あ る よ うに 定 義 す る.こ
の と き,対
応
に よ って,準 同型 写 像
が 誘 導 され る. 7.3.3 整 数環Z上
お よび,
の次 数 つ き多項 式環
の部分空間
を 考 え よ う.準 同型 写 像
を,各m∈KA1に対
し て 定 義 し よ う.
ン パ ク ト弱 複 素 多 様 体Xと,X上
の 複 素 ベ ク トル 束 の 組
(Em,α)α∈A1, dim か ら成 る 対(X,(Em,α)α∈A1)に な る 各α
∈A1に
Em,α=m(α)
よ っ て 表 わ さ れ る.こ
対 し て,Em,α
の 複 素 ベ ク トル 束E′α と,ベ
の元xは,コ
に 対 す るGauss写
ク トル 束 と して の 同 型
の と き,
像 の 存 在 に よ っ て,X上
と
が 存 在 す る.m(α)=0の
と きE′α=0と
す れ ば,対
(X,(E′α)α∈A1) はUt(B)の
元yを
定 め る.yはxの
み に よ っ て 定 ま る こ と が 分 か る.こ
の と き,
と 定 義 す る.こ
の ω(m),(m∈KA1,)に
よ っ て,準
同型 写 像
が 誘 導 さ れ る. 6.1節
に お い て,準
同型 写像
を 定 義 し た の で あ る が,一
方 で 定 理7.9に
よ っ て,自
然変 換
i:Un(B)→U-n(S0;B+) は 同 型 写 像 で あ る こ と が 分 か っ て い る.従
っ て,準
同 型 写像
が次 の図 式 を 可換 に す る よ うに定 義 でき る.
以 上 の 準 備 の 下 に,次 定 理7.15(T.
tom
の 定 理 が 成 り立 つ. Dieck)
コ ン パ ク トリ イ群Gに
対 し て,次
の 図式は
可 換 で あ る.
証 明 Mを
コ ン パ ク ト弱 複 素G多
様 体 とす る.dim
合 に つ い て, φ1D[M]=ω*ν*[M]
M≡0(mod
2)の
場
を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.補 間WとG同
変 なembedding
embedding も ち,複
題7.12に M⊂Wが
F=MG⊂WGの 素Gベ
よ っ て,有
限 次 元 複 素Gベ
存 在 し て,法
法 ベ ク トル束νF,WGが
ク トル 空
ベ ク トル 束νM,Wと,
と もに 適正 な複 素 構 造 を
ク トル 束 と し て の 同 型
(1) が 成 り立 つ よ うに で き る.νM,Wに
対 す るGベ
u:E(νM,W)→En(G),
ク トル 束 写像 を
2n=2│W│-dim
M
とす る と き,Pontrjagin-Thom構
成 に よ っ て,G写
を 得 る.こ
表 わ し て い る.このG写
のG写
像 はD[M]を
上 に 制 限 し て み よ う.そ で 考 え よ う.7.3.2節
の た め,ま
ずGベ
像
像 を不 動 点集 合 の
ク トル 束 写 像uをνM,W│Fの
にお け る よ うに
と 分 割 し て お く と き,補
題7.13に
よ っ て,複
素Gベ
ク トル 束 と し て の 同 型
(2)
が 成 り立 つ.こ
の と き, u0:Em
,α0→EU(s), s=dim
を 複 素 ベ ク トル 束 写 像 と し,写
を,F(m)上 て,(7.14)に
像
の 複 素 ベ ク トル 束 の 組(Em,α)α よ って,複
Em,α0
∈A1に 対 す る 分 類 写 像 と す る.さ
素 ベ ク トル 束 と し て の 同 型
が 成 り立 つ ので,写 像
は,embedding
上
F⊂WGの
法 ベ ク トル束νF,WGに
対 し て,Pontrjagin-Thom
構 成 に よ って得 られ る写 像
と 同 一 視 で き る.こ
の と き,合
成
を 考 え る.φ の 定 義 を振 りか え って み る と
の 成 り立つこ
と が 分 か る.こ
は,embedding F(m)⊂WGに る 写 像 で あ る か ら,同
こ に
とす る.一
対 し てPontrjagin-Thom構
方,合
成
成 に よ って 得 られ
型
を 考 え る こ とに よ って, (3)
が 成 り立 つ.写 像
は,F(m)上
の 複 素 ベ ク トル 束 の 組(Em,α)α∈A1に
ら,[F(m),h(m)]は,対(F(m),(Em
,α)α∈A1)によ っ て表 わ さ れ て い る と 考 え て
良 い.こ
こに,Em,α
F⊂Mの
複 素 法 ベ ク トル 束νF ,Mに
と 置 く と き,同 (4)
型(1)に
対 す る 分 類 写 像 で あ った か
は(2)に
よ っ て 与 え ら れ て い る.一
方,embedding
対 して
よ っ て,各m∈KA1,α∈A1に
対 し て,同
型
が 成 り立 つ.さ
て,ν*[M]は
に よ っ て表 わ され,ω*の
定 義 を 振 りかえ っ て み れ ば,(4)に
(5)
が 成 り立 つ.(3),(5)に
よ っ て,等
式
φ1D[M]=ω*ν*[M]
が 成 り立 つ.(終)
よ って
Ⅷ
8.1 Pn(C)の
弱複素Zq多 様体
部分 多様 体 とEuler類
8.1.1 複 素 射 影空 間Pn(C)上 意 の正 の 整 数qに
の 標 準 的 な 複 素直 線 束 を ξnで 表 わす.任
対 して,Pn(C)の
に よ って 定 義 す る.と
くに,対
複 素 部分 多 様 体Mn-1(q)を
応
(z0:…:zn-1)→(z0:…:zn-1:-(z0+…+zn-1)) に よ っ て,複
素構 造 を保 つ微 分 同相 写 像 f:Pn-1(C)→Mn-1(1)
を 得 る.包
含 写 像Mn-1(q)⊂Pn(C)をhqで
⊂Pn(C)をiで
表 わ し,包
表 わ そ う.複 素 法 ベ ク トル 束 に つ い て,
が 成 り立 っ て い る の で, (8.1)
が 成 り立 つ. ξnのq個
の テ ン ソル積 を
で表 わ す.可
微分写像
fq:Pn(C)→Pn(C) を,対
応 (z0:…:zn)→(zq0:…:zqn)
に よ っ て 定 義 す れ ば,複
素 ベ ク トル 束 と し て の 同 型
(8.2)
が成 り立 つ.fqはMn-1(1)上
横 断正 則 で あ って, fq1(Mn-1(1))=Mn-1(q)
含 写 像Pn-1(C)
が 成 り立 つ.従
っ て,(8.1),(8.2)に
素 法 ベ ク トル 束
ν(hq)に
よ っ て,hq:Mn-1(q)⊂Pn(C)の
複
対 し て,
(8.3)
が 成 り立 つ. さ て,対(Mn-1(q),hq)はU2n-2(Pn(C))の
元 を 表 わ す が,こ
れ に つ い て,
次 の 補 題 が 成 り立 つ. 補 題8.4
Thom-Atiyah双
対 同型 写 像
の下 で,等 式
が 成 り立 つ. 証 明 ま ず,U*(Pn(C))の
元 と して [Mn-1(1),h1]=[Pn-1(C),i]
が 成 り立 つ こ と,お
よ び 定 理7.8に
よっ て
e(ξn)=D[Pn-1(C),i] が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.こ
こ で,Pontrjagin-Thom構
可 換 図 式 を 考 え よ う.
こ の と き, [M(u1)°
で あ る.従
π1]=D[Mn-1(1),h1]=e(ξn)
っ て,
が 成 り立 つ.(終) 8.1.2 帰 納 的 極 限
上 の標 準 的 な 複素 直 線 束 を ξ∞ で表 わす.
成 に よる次 の
と 置 く と き,定
理6.13に
よ っ て,U*上
の 多元 環 とし て の同 型
(8.5)
が 成 り立 ち,こ
の 同 型 に よ る 同 一 視 の 下 で,T=e(ξ
こ こで,P∞(C)×P∞(C)上
と置 くと き,U*上
が 成 り立 つ.こ
∞)が 成 り立 つ.
の 復 素 直 線 束
を 考 え よ う.
の 多 元環 と して の同 型
こ に,
と す る.こ
の と き,
(8.6)
と表 わ され る. 連 続 写 像
を,t(x,y)=(y,x),i1(x)=(x,*),i2(x)=(*,x)に
が 成 り立 つ の で,(8.6)の
よ っ て 定 義 す れ ば,
巾 級 数 に つ い て,
(8.7)
が 成 り立 つ. 注 意 (8.6)の で き る が,こ
巾 級 数 に よ っ て,コ
の形 式 群 が 定 義
れ に つ い て は 触 れ な い こ とに す る.
い ま,ζ1,ζ2を
コ ン パ ク ト空 間X上
自 然 性 と,(8.6),(8.7)に
が,U2(X)に
ボ ル デ ィ ズ ム環U*上
よ っ て,等
の 複 素 直 線 束 と す る と き,Euler類 式
お い て 成 り立 つ こ とが 分 か る.と
くに,
の
(8.8)
と表 わ す こ と が で き て, (8.9)
a(q)0=q
が 成 り立 つ. 巾 級 数Eq(T)∈U*[[T]]を (8.10)
に よ って定 義 す る.す な わ ち (8.11)
が 成 り立 つ.さ
ら に,巾
級 数E(a,b)∈U*[[T]]を E(a,b)=Ea(T・Eb(T))
に よ っ て 定 義 し よ う.こ
のとき
(8.12)
が 成 り立 つ.と
くに,
が 成 り立 つ の で (8.13)
が 成 り立 つ.E(a,b)の
定 義 に よ っ て,
E(a,b)=a+(Tに
つ い て 一 次 以 上 の 項)
と表 わ され る こ と を 注 意 し て お こ う. 8.1.3 ふ た た び,(8.8)に
の 係 数aqi∈U-2iに 境 界 を も た な い,2i次 (8.14) が 成 り立 つ.こ
お い て 定 義 した 巾 級 数
つ い て 考 え よ う.Thom-Atiyahの 元 コ ン パ ク ト弱 複 素 多 様 体Li(q)が a(q)i=D[Li(q)],
の 多 様 体Li(q)と,先
双 対 定 理 に よ って, 存 在 し て,
[L0(q)]=q に 定 義 し た 多 様 体Mi(q)の
関係につ
い て 調 べ よ う. 定 理8.15
す べ て の 正 の 整 数n,qに
対 し て,ボ ル デ ィ ズ ム 群U2nに
お い て,
が 成 り立 つ. 証 明 U*(P∞(C))に
お け る 等 式(8.8),
を 考 え よ う.包 含 写 像i:Pn+1(C)→P∞(C)が
誘 導 す る準 同型 写 像
i*:U*(P∞(C))→U*(Pn+1(C)) に よ っ て,
が 成 り 立 つ の で,e(ξn+1)n+2=0と
合 せ て
(1)
が 成 り立 つ.Thom-Atiyahの
と,定
理7.6,補
題8.4,お
双 対 同型 写 像
よ び(8.14)に
よ っ て,U*(Pn+1(C))に
お い て,
(2)
が 成 り立 つ.従
っ て,U*=U*(pt)に
おいて
が 成 り立 つ.(終)
8.2 弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィズ ム環U* 8.2.1
こ れ ま で の 議 論 は,す
べ て,ボ
知 ら な く と も 良 か っ た の で あ る が,今 に な っ て く る.こ (M,(J))を と き,
ル デ ィズ ム 環U*の
具 体 的 な構 造 を
後 の 議 論 に お い て は,U*の
構 造 が 問題
れ に つ い て 知 られ て い る 結 果 を 述 べ て お こ う.
弱 複 素 多 様 体 と す る.Jを は,こ
の 複 素 構造Jに っ て,Rkに
上 の 複 素 構 造 とす る よ っ て 向 き づ け られ た ベ ク トル 束
に な る(3.4節
参 照).従
標 準 的 な 向 き を 与 え て お け ば,接
ル 束 τ(M)が
向 きづ け ら れ た ベ ク トル 束 に な る.こ
ベ ク ト
の 接 ベ ク トル 束 の 向 き は,
弱 複 素構 造Jの
同値 類(J)の
多 様 体(M,(J))は
み に依 って 定 まる ことが分 か る.故 に,弱 複 素
常 に 向 きづ け られ た多 様 体 に な って い る.と
境 界 を もたな い コ ンパ ク トn次
元 弱複 素 多 様 体 で あれ ば,Mの
くに,Mが 向 きに よ って,
ホ モ ロジ ー群 の基 本類 σ(M)∈Hn(M;Z)
が定 ま る. 一 方
も,弱
,複
素 ベ ク トル 束
複 素 構 造Jの
の 全Chern類
同 値 類 の み に 依 っ て 定 ま る の で,こ
れを単に
c(M)=1+c1(M)+c2(M)+… で 表 わ す こ と に す る.非
負 整 数 の 組 ω=(i1,…,ir)に
対 し て,整
数
cω(M)=〈ci1(M)…cir(M),σ(M)〉 を 弱 複 素 多 様 体MのChern数 ィ ズ ム 不 変 量 で あ る(定 さ て,多
と い う.各 理2.12参
ω に 対 し て,cω(M)は
ボル デ
照).
項 式 環Z[x1,…,xk]に
お い て,
a1=x1+…+xk,…,ak=x1…xk を 基 本 対 称 式 とす る.多 項 式 xk1+…+xkk は,x1,…,xkに し て 表 わ さ れ る.す
つ い て 対 称 で あ るか ら,基 な わ ち,a1,…,akに
本 対 称 式a1,…,akの
多項 式 と
つ い て の 整 数 係 数 多 項 式skが
一意
に定 ま り sk(a1,…,ak)=xk1+…+xkk と表 わ す こ とが で き る.さ
て,(M,(J))を
元 弱 複 素 多 様 体 と す る とき,整
境 界 を も た な い コ ン パ ク トn次
数s(M)を
(mod 2)
に よ っ て 定 義 す る. 定 理8.16(Milnor)
弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィズ ム環U*に
つ い て,次
数
つ き環 と しての 同型
が 成 り立 つ.さ
ら に,コ
ン パ ク ト2n次
元 弱 複 素 多 様 体Mの
表 わす ボル デ ィ
ズ ム 類 が 生 成 元 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は, (ⅰ) s(M)=±1,(ど
ん な 素 数pに
(ⅱ) s(M)=±p,(あ
る素 数pに
対 し て もn≠ps-1の
と き)
対 し てn=ps-1,s>0の
と き)
が 成 り立 つ こ と で あ る.◇ 注 意 この定 理 の証 明に つ い て は
R. Stong:
Notes
on
Cobordism
Theory,
p.128
を 参 照 せ よ. 8.2.2 Xを
境 界 を も た な い,向
し,ζ
の 複 索 直 線 束 と す る.f:X→Pm(C)をPm-1(C)上
をX上
き づ け ら れ た コンパ ク トn次
則 な 可 微 分 写 像 と し,Y=f-1(Pm-1(C))と 次 元 閉 部 分 多 様 体 で あ る.さ fに
す る.Yは
ら に ζ がPm(C)上
よ る 誘 導 束 と 同 値 で あ る 場 合,YをXに
元 多様 体 と で横断正
向 き づ け ら れ たn-2
の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 ξmの お け る ζ のdualと
い う.
次 の 結 果 が 成 り立 つ. 補 題8.17
YをXに
お け る ζ のdualと
す る と き,任
意 の元
x∈H*(X;Z) に 対 し て, 〈i*(x),σ(Y)〉=〈x・c1(ζ),σ(X)〉 が 成 り立 つ.こ
こ に,c1(ζ)は
証 明 embedding 成 り立 つ の で,次
i:Y→Xの
復 素 直 線 束 ζ のChern類
を 表 わ す.
法 ベ ク トル 束 を ν と す る と き,
の 二 つ の 可 換 図 式 に よ っ て 証 明 で き る.
が
(1)
(2)
こ こ に,ψ ν,ψζ はThom同
型 写 像 で あ り,写 像
s:(X,X-intD(ν))→(D(ζ),S(ζ)) は,ζ
がX-Y上
自 明 束 で あ る こ と に よ っ て 定 義 で き る一 つ の 切 断 で あ る. (終)
さ て,Pm(C)×Pn(C)の
に よ っ て 定 義 す る.こ のdualで
複 素 部 分 多 様 体Hm.nを
の と き,Hm.nはPm(C)×Pn(C)に
お け る
あ る.
補 題8.18 (a)
(b) が 成 り立 つ. 証 明 (a)は 算 で き る.計 定 理8.19
直 接 に 計 算 で き る.(b)は
補 題8.17を
使 うこ とに よ って計
算 は 読 者 に 委 ね る.(終) 弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィ ズ ム環U*は,ボ
に よって生 成 され る. 証 明 任 意 の素 数pに
対 して,U*/p・U*が
ル デ ィズ ム類
に よ って 生 成 され る こ とを 証 明す れ ば 十 分 で あ るが,こ の 事実 は, の と き,
(mod
p2)
の と き, (mod
p)の
と き,
(mod
が 成 り立 つ こ と,お 8.2.3
(mod
p),a>1の
よび 定 理8.16に
こ こ で,8.1節
(mod
p2)
p)
と き,
(mod
p)
よ っ て 保 証 さ れ る.(終)
に お い て 定 義 し た 弱 複 素 多 様 体Mn(q),Ln(q)に
い て 考 察 し よ う.Mn(q)⊂Pn+1(C)は
のdualで
を 適 用 す る こ と に よ っ て,Mm(q)の
す べ て のChern数
あ る か ら,補 ≡0(mod
つ 題8.17
q),か
つ
s(Mn(q))=q(n+2-qn) な る こ とが 分 か る.定
理8.15に
の す べ て のChern数
≡0(mod
(8.20)
よ っ て,nに q)か
つ い て の 帰 納 法 に よ っ て,Ln(q)
つ
s(Ln(q))=q(1-qn)
な る こ とが 分 か る. 補 題8.21
pを
任 意 の 素 数 と す る.こ
(a)
の と き,
(b)
の と き,
の と き,
が 成 り立 つ. 証 明 定 理8.16,(8.20),お
よ びLn(p)の
な る こ と に よ っ て 証 明 で き る.証 補 題8.22 pを
非 負 整 数 とす る.先
が 成 り立 つ.
で あ る か ら,補
と き,
題8.21に
p)
に 定 義 した 巾級 数
つ い て,
E(p,pn)≡(D[Lp-1(p)])pnTpn(p-1)+(高
証 明 n=0の
≡0(mod
明 は 読 者 に 委 ね る.(終)
任 意 の 素 数,nを
E(p,pn)∈U*[[T]]に
す べ て のChern数
よ っ て,
次 の 項),(mod
p)
E(p,1)≡D[Lp-1(p)]Tp-1+高
が 成 り立 つ.す
な わ ち,n=0の
で 結 果 が 正 し い と す る.こ
次 の 項(mod
p)
と き は 結 果 が 正 し い.い
の と き,(8.13)に
まn=k-1の
とき ま
よ って
高 次 の 項(mod 高 次 の 項(mod
p)
p)
が 成 り立 つ.故 に
高 次 の 項(mod 高 次 の 項(mod が 成 り立 つ.す 補 題8.23
な わ ち,n=kの pを
p)
p)
と き に も 結 果 が 正 し い.(終)
任 意 の 素 数 と す る.
お よ び
(mod
p)に
対 し
て
が 成 り 立 つ. 証 明 (8.12),(8.13)に
が 成 り立 つ.Tに
よ っ て,
つ い て の 巾 級 数E(p,pj)の
巾 級 数E(p,pj)はU*[[T]]の (mod
p)で
が 成 り立 つ.従
常 数 項 は 素 数pで
素 元 で あ る.一
方,E(s,pi)の
あ る か ら,
っ て,
に 対 して
(1)
な る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.補 が,す
題8.21,補
題8.22に
高 次 の 項(mod べ て の
に 対 し て 成 り立 つ の で(1)が
よ っ て,
p) 証 明 で き る.(終)
あ る か ら, 常数項は
8.3 不 動 点 集 合 8.3.1 正 の 整 数qを
ここに,
一 つ 固 定 し て お く.次
の 可 換 図 式 を 考 え よ う.
は,複 素 直 線 束
に 付 属 した 球 面 束 を表 わ
す.
で あ っ た が,い
ま
と置 く こ とが で き る.
Gysin完
i*nが
全 列 を 考 え る こ と に よ っ て,次
の 可 換 図 式 を 得 る.
全 射 で あ るか ら image
が 成 り 立 つ.一
π*n⊂image
j*n
方,
高 次 の項 が 成 り立 つ の で, image が 成 り立 つ.結
j*n
局,
(8.24) が 成 り 立 つ.故
π*n⊃image
image に,
π*n=image
j*n
に対 して,次 の 同 型,お
よび 可換 図式 が 成 り立 つ.
(8.25)
8.3.2 局 所 化 準 同 型 写 像(6.3.2節
参 照)
λ:U*(BZq)→S-1U*(BZq) に つ い て 考 察 し よ う. 補 題8.26
pを
素 数,rを
正 の 整 数 と し,q=prと
す る.こ
の と き,
に 対 し て,
(a)
(λ°π*)-1(0)=E(p,pr-1)・U*[[T]]
が 成 り立 つ. (b)
に 対 し て, i*(λ-1(0))=p・U*
が 成 り立 つ. 証 明 U*(BZq)の
部 分 集 合Sを,
と 定 義 す る と き,S-1U*(BZq)はU*(BZq)をSに あ る.ま
よ って局 所 化 した もの で
ず,
が 成 り立 ち,従
って
(1)
が 成 り立 つ.逆
(λ°π*)-1(0)⊃E(p,pr-1)・U*[[T]]
に,
に 対 し て, λπ*(x)=0
が 成 り立 つ と仮 定 す れ ば,整
が 存 在 して,
数列
が 成 り立 つ.故
に,(8.25)に
よ っ て,y∈U*[[T]]が
存 在 して
(2) が 成 り立 つ.こ
で あ る.さ
こに
て,E(p,pr-1)はU*[[T]]の
0<m<prに
素 元 で あ り,補
題8.23に
よ っ て,
対 して
が 成 り立 つ.故
に,(2)に
よ って x∈E(p,pr-1)・U*[[T]]
が 成 り立 ち,従
って
(3)
(λ°π*)-1(0)⊂E(p,pr-1)・U*[[T]]
が 成 り 立 つ.(1),(3)に
よって (λ°π*)-1(0)=E(p,pr-1)・U*[[T]]
が 成 り立 つ.次
に
π*,i*が
全 射 で あ るか ら
が 成 り立 つ.(終) 8.3.3 pを
素 数,rを
正 の 整 数 と し,q=prと
す る.こ
の と き,弱 複 素Zq
多 様 体 の 不 動 点 集 合 の 次 元 に つ い て 考 え よ う. G=Zqに
対 し て,既
約 複 素Gベ
V0=(C1,ρ0), のq個
で あ る.た
だ し,Gの
ク トル 空 間 の 完 全 系 は
V1=(C1,ρ1),…,Vq-1=(C1,ρq-1) 生 成 元 をgと
す る と き,
が 成 り立 つ もの と す る. 補 題8.27
と す る.こ
の と き,複
素 多 様 体Hm,n
上 に,複 素 構造 を保 ち,不 動 点 集 合 の 次元
で あ る よ うな,Zq作
用が存在
す る. 証 明 整数
を
を 満 足す る よ うに 定 め る.整 数列
を, a0+a1+…+aq-1=m+1, b0+b1+…+bq-1=n+1
を 満 足す る よ うに 定 め る.こ の とき
が 成 り立 つ.こ
こ で,複
に よ っ て 定 義 す る.た さ ら に,VをVの
は,複
素Zqベ
だ し,aiViはViのai回 共 役Zqベ
素 構 造 を 保 つZq作
あ る.こ
のZq多
で あ る.ま
ク トル 空 間V,Wを
ク トル 空 間 とす る.こ
用 を 許 し,Hm.nは,こ
様 体Hm.nの
ず,m=aqか
直 和 を 表 わ す も の とす る.
のZq作
用 に 関 して 不 変 で
不 動 点 集 合Hm.nZqは,
つn=bqの
と き に つ い て 考 え る.こ
と な り,
が 成 り立 つ.i≠jの
の とき
a0=…=aq-2=a,
aq-1=a+1,
b0=…=bq-2=b,
bq-1=b+1
と き,
dim(P(aiVi)×P(bjVj))=2((ai-1)+(bj-1))
の と き,
で あ り,ま
た
が 成 り立 つ の で,
が 成 り立 つ.つ き,
ぎ に,m>aqま
た はn>bqの
と な り,す べ て のi,jに
と き に つ い て 考 え よ う.こ
のと
対 し て,
が 成 り立 つ の で,
が 成 り立 つ.(終) 8.3.4 pを
素 数,rを
正 の 整 数 と し,q=prと
す る.G=Zqに
対 して,次
の 写 像 を 考 え る.
こ こ に,ε
はG作
集 合 の 次 元 元 の,上
用 を 無 視 す る こ と に よ っ て 定 義 さ れ る写 像 で あ る.不 で あ る よ うな,弱
複 素G多
の 写 像 に よ る 像 の 全 体 は,U*/p・U*の
に よ っ て 生 成 さ れ るU*/p・U*の
部分 環 を
F(Zq,k)⊂U*/p・U* で 表 わ そ う.他
方,U*の
部分 群
に よ っ て 生 成 さ れ るU*/p・U*の
部分 環 を
動点
様 体 に よ っ て 表 わ さ れ るUG*の 部 分 群 を 作 る が,こ
の部 分 群
U(r)⊂U*/p・U* で 表 わ そ う.こ
の と き,次
定 理8.28(T.
tom
の 定 理 が 成 り立 つ.
Dieck)
pを
素 数,rを
正 の 整 数 と し,q=prと
す る.
こ の と き, (a)
す べ て の
に 対 し て,U*/p・U*の
部分 環 と して
F(Zq,k)=U((k+1)q-1) が 成 り立 つ. (b)
Mを
U*/p・U*に
コ ン パ ク ト弱 複 素Zq多 お い てindecomposableで
様 体 とす る.ε[M]の
表 わ す 元 が,
あ る とす れ ば,
が 成 り立 つ. 証 明 (a)に
つ い て,定
理8.19,補
題8.27に
よ っ て,
U((k+1)q-1)⊂F(Zq,k) が 成 り立 つ.逆
向 き の 包 含 関 係 を 示 す た め に,次
こ こ に,G=Zqで
で あ る.ま
らに
た,
た 写 像 は,す よ って,こ
あ り,さ
で あ る.こ
べ て 環 準 同 型 写 像 で あ り,定 の 図 式 は 可 換 に な る.さ
ら に,定
に 対 し て,
の と き,上
理6.4,命 理7.11に
ε=D-1°i*° α°D が 成 り立 つ.
の 図 式 を 考 え よ う.
の図 式 に 現わ れ
題6.12,定 よ っ て,
理7.15に
に よ って生 成 され る,整 数環Z上
とす る.こ
の部 分 多 元 環 を
の と き,環Fkは(k+1)q-1個
環 と 同 型 で あ る こ とが 分 か る.さ
の 不 定 元 を も っ たZ上 て,定
理8.19,補
題8.27に
の多 項 式
よ っ て,
j=1,2,…,(k+1)q-1 に 対 し て,コ
ン パ ク ト 弱 複 素Zq多
様 体Mjを
選 ん で,次
の条 件 を み たす よ
うに で き る. (ⅰ) dim Mj=2j, (ⅱ) φ1D[Mj]∈Fk, (ⅲ) ε[Mj]は 一 方 ,補
多 項 式 環U*の
題8.26(b)に
生 成 元 で あ る.
よ っ て,次
の図 式 を 可 換 に す る環 準 同型 写像
β が定
ま る.
い ま,
の 部 分 環Dkを, Dk=Fk∩
φ1U*G
に よ っ て 定 義 す れ ば, α(Dk)⊂image が 成 り立 つ こ とを 注 意 し て お こ う.さ
λ
て,コ
ン パ ク ト弱 複 素Zq多
様 体Mが
存 在 し て, (1)
ε[M]∈F(Zq,k)-U((k+1)q-1)
が 成 り立 つ も の と 仮 定 し よ う.こ
の と き,
φ1D[M]∈Dk が 成 り立 つ.さ
て,Fkが(k+1)q-1個
と 同 型 で あ る か ら,そ
の 部 分 環Dkは,Z上
の 不 定 元 を も ったZ上
の 多項 式 環
の 超 越 次 数 が 高 々(k+1)q-1
で あ る.し
か る に,Dkに
は 既 に 代 数 的 に 独 立 な(k+1)q-1個
の元
φ1D[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) が 存 在 す る の で,(k+1)q個
の元
φ1D[M];φ1D[Mj],(j=1,2,…(k+1)q-1) は,代
数 的 に 独 立 で は な い.従
は,U*/p・U*に
お い て,代
て,
っ て,(k+1)q個
の元
数 的 に 独 立 で は な い.す
な わ ち,U*/p・U*に
お い
ε[M];ε[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) の 表 わ す(k+1)q個
の 元 は,代
対 す る仮 定(1)に
数 的 に 独 立 で は な い.一
よ っ て,U*/p・U*に
方,Zq多
様 体Mに
お い て,
ε[M];ε[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) の 表 お す(k+1)q個
の 元 は,代
数 的 に 独 立 に な っ て い る.こ
れは矛盾であ る
か ら, F(Zq,k)⊂U((k+1)q-1) が 成 り立 つ.以
上 で(a)の
証 明 が 終 った.次
に,Mを
コ ン パ ク ト弱 複 素Zq
多様体で
が 成 り立 つ も の とす る.ε[M]の posableで
あ れ ば,(a)の
が 成 り立 つ.従
が 成 り立 つ.(終)
って
表 わ す 元 がU*/p・U*に
結 果 に よ っ て,
お い て,indecom
付
A-1.1
録 ベ ク トル束 の 特性 類
フ ァ イ バ ー 束 に 対 す るLeray-Hirschの
Poincare-Lefschetzの 中 岡 稔:位
定 理 お よび 多様 体 に 対す る
双 対 定 理 に つ い て 述 べ て お こ う.例 相 幾 何 学(ホ
モ ロ ジ ー 論),共
えば
立 講座
に 詳 し い 証 明 が 載 っ て い る. 位 相 空 間E,B,Fお
よび 連 続 写 像p:E→Bに
つ と き,(E,p,B,F)を
対 し て 次 の 条 件 が 成 り立
フ ァ イ バ ー 束 と い う.Bの
開 被 覆{Uα,α
∈ Λ}お
よび 同相 写 像 φα:Uα ×F→p-1(Uα) の 族(α
∈ Λ)が 存 在 し て, pφ α(b,y)=b,(b∈Uα,y∈F)
が 成 り立 つ.こ い い,{Uα,φ
の と き,E,p,B,Fを
全 空 間,射
影,底
空 間,フ
ァ イバ ー と
α,α ∈ Λ}を 局 所 座 標 系 と い う.
さ らに(E,E0),(F,F0)を 続 写 像 と す る と き,次
位 相 空 間 対,Bを
位 相 空 間,p:E→Bを
連
の 条 件 が 成 り立 て ば, ((E,E0),p,B,(F,F0))
を フ ァ イ バ ー 束 対 と い う.Bの
の 族(α
開 被 覆{Uα,α
∈ Λ}お
よび 同 相写 像
∈ Λ)が 存 在 し て, pφ α(b,y)=b,(b∈Uα,y∈F)
が 成 り 立 つ.各
点b∈Bに
対 し て,Eb=p-1(b),E0b=p-1(b)∩E0と jb:(Eb,E0b)→(E,E0)
を 包 含 写 像 と す る.
お き,
定 理A-1(Leray-Hirsch) し,ホ
((E,E0),p,B,(F,F0))を
モ ロ ジ ー群H*(F,F0)は
と 仮 定 す る.さ
ら に 次 数0の
フ ァイバ ー束対 と
次 数 つ き加 群 と して有 限 生 成 かつ 自由で あ る 準 同型 写 像
θ:H*(F,F0)→H*(E,E0) で,各
点b∈Bに
対 し て, j*b° θ:H*(F,F0)→H*(Eb,E0b)
は 同 型 写 像 で あ る よ う な もの が 存 在 す る と 仮 定 す る.こ
の と き,次
数 つ き加 群
の 同型
が
に よ っ て 誘 導 され る.◇ 定 理A-2
Xを
コ ン パ ク トで,向
きづ け られ たn次
元 多 様 体 と し,
σ(X)∈Hn(X,∂X) を 基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 と す る.こ
の と き,同
型
(ⅰ) (ⅱ) が 成 り立 つ.◇ こ の 定 理 をLefschetzの careの
双 対 定 理 と い い,と
くに ∂X=φ
の 場 合 をPoin
双 対 定 理 と い う.
定 理A-3
射 影 空 間 の コ ホ モ ロ ジ ー 環 に つ い て,次
の(ⅰ),(ⅱ)が
立 つ.
(ⅰ) こ こに α の 次 数 は1. (ⅱ) こ こ に β の 次 数 は2.
証 明 (ⅰ)の 証 明 も同 様 で あ るか ら,(ⅱ)の
み を証 明 し よ う.Pk(C)の
成 り
基 本 ホモ ロジ ー類 をωkで 表 わ す.包 含 写 像
に関 して,同 型
が 成 り立 って い る.コ
ホ モロ ジ ー 類
β∈H2(Pn(C);Z)を〈
よ っ て 定 義 す る と き,k=1,2,…,nに
対 して
βk=β∪ はH2k(Pn(C);Z)の
…∪ β (k個)
生 成 元 で あ る こ とが 次 の よ うに し て 示 さ れ る か ら,(ⅱ)
の 前 半 が 成 り立 つ.k=1に
対 し て は β の 定 義 に よ り明 らか で あ る.い
に 対 し て 成 り立 つ と 仮 定 し よ う
で あ るが,仮
っ て,〈βk,ik*ωk〉=±1が
の 生 成 元 で あ る.よ
っ て,帰
まk-1
この と き
定 に よ り,i*kβk-1∩ωkはH2(Pk(C);Z)の
が 成 り立 つ.従
β,i1*ω1〉=1に
生 成 元 で あ るか ら
成 り立 ち,βkはH2k(Pn(C);Z)
納 法 に よ り求 め る 結 果 が 示 され た.包
し て,
含 写像 に関
で あ る か ら,後
半 は前 半
よ り直 ち に 得 られ る.(終) 注 意 Pn(C)の A-1.2
自 然 な 向 き の 定 義 に よ っ て,〈βn,ωn〉=1が
フ ァ イ バ ー 束(E,p,B,F)に
に 対 し てp-1(b)にC上 座 標 系{Uα,φα,α∈Λ}に
お い てF=Cnで
後,Rま
る局 所
関 して
用 い る こ と に よ っ て,同 た はCをKで
あ り,各 点b∈B
の ベ ク トル 空 間 の 構 造 が 与 え られ て い て,あ
が 成 り立 つ と き,ξ=(E,p,B)をn次 にRを
成 り立 つ.
元 複 素 ベ ク トル 束 と い う.Cの 様 にn次
代 り
元 実 ベ ク トル 束 が 定 義 で き る.以
表 わ す こ と に す る.
ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B′)をn次
元 ベ ク トル 束 とす る.f:E→E′,
f:B→B′
成 り立つ も の と す る.各 点b∈B
を 連 続 写 像 と し,p′°f=f°pが
に 対 し て,fがp-1(b)か で あ る と き,fを あ り,fが
らp′-1(f(b))へ
ξ か ら ξ′へ の ベ ク トル 束 写 像と い う.と
恒 等 写 像 で あ る と き,fを
型 写 像 が 存 在 す る と き,ξ
束 同 型 写 像という.ξ
くにB=B′
元 ベク トル 束 と し,g:B′ 元 ベ ク トル 束g*ξ=(E′,p′,B′)を
→Bを
で
か ら ξ′へ の 束 同
は ξ′に 同 型 で あ る と い い,
ξ=(E,p,B)をn次 この と き,n次
の ベ ク トル 空 間 と しての同 型 写 像
で 表 わ す. 連 続 写 像 と す る.
次 の よ う に 定 義 し,gに
よ
る 誘 導 ベ ク トル 束 と い う.
で,p′-1(b′)に
お け る ベ ク トル 空 間 の 構 造 は
に よ っ て 与 え られ る.さ fはg*ξ m次
ら に,f:E′
→Eをf(b′,e)=eで
か ら ξ へ の ベ ク トル 束 写 像 で あ り,p°f=g°p′ 元 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)と,n次
に 対 し,p×p′:E×E′
→B×B′
定 義 す る と き, が 成り 立 つ.
元 ベ ク トル 束 ξ′=(E′,p′,B′)
を 考 え,各
点(b,b′)∈B×B′
に 対 し て,
(p×p′)-1(b,b′)=p-1(b)×p′-1(b′) の ベ ク トル 空 間 の 構 造 はp-1(b)とp′-1(b′)の
は 自 然 にm+n次
元 ベ ク トル 束 に な る.ξ× ξ′を ξ と ξ′の 直 積 と い う.
ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B)は 束,n次
同 一 の 底 空 間B上
元 ベ ク トル 束 と す る.こ
の と き,B上
を 次 の よ うに 定 義 し,ξ
で,各
点b∈Bに
直 和 で あ る と す る と き,
のm次
のm+n次
元 ベ ク トル 元 ベ ク トル 束
と ξ′のWhitney和
対 し て, p″-1(b)=p-1(b)×p′-1(b)
の ベ ク トル 空間 の 構 造 は,p-1(b)とp′-1(b)の を 対 角 線 写 像 と す る と き,同
型
直 和 とす る.d:B→B×B
と い う.
が 成 り立 つ. m次
元 ベ ク トル 束
に 対 し て,mn次 し,ξ
ξ=(E,p,B)と,n次
元 ベ ク トル 束 ξ′=(E′,p′,B′)
元 ベ ク トル 束
を 次 の よ うに 定 義
と ξ′の 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.各
点(b,b′)∈B×B′
に 対 し て,ベ
ク トル 空 間 の テ ン ソ ル 積 を 考 え て
と す る.次
にE″
の 位 相 を 定 義 し よ う.{Uα,φα,α∈Λ},{Vβ,ψ
を ξ,ξ′の 局 所 座 標 系 と す る.
β,β ∈Λ′}
と み な し て,写
像
を
に よ っ て 定 義 す れ ば,φα.β は 全 単 射 で あ る こ とが 分 か る.す β∈Λ′ に 対 し て,p″-1(Uα
×Vβ)がE″
あ る とす る こ と に よ っ て,E″ ξ,ξ′は同 一の 底 空 間B上 と す る.d:B→B×Bを
B)を
α ∈Λ,
の 開 集 合 で あ り,φα.βが 同 相 写 像 で
の 位 相 が 定 ま る. のm次
元 ベ ク トル 束,n次
元 ベ ク トル 束 で あ る
対 角 線 写 像 と す る と き,誘 導 ベ ク トル 束
を ξ と ξ′の テ ン ソ ル 積 と い い, n次
べての
元 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)に 次 の よ うに 定 義 し,ξ
で 表 わ す. 対 し て,n次
元 ベ ク トル 束 ξ*=(E*,p*,
の 双 対 ベ ク トル 束 と い う.各
点b∈Bに
対 し て,
ベ ク トル 空 間 と して p*-1(b)=HomK(p-1(b),K) と す る.E*の
位 相 に つ い て は,外
部 テ ン ソル 積 の 場 合 と 同 様 に 自 然 に 定 義 す
る. ξ=(E,p,B)をn次 p-1(b)はn次
元 複 素 ベ ク トル 束 とす る.各 元 複 素 ベ ク トル 空 間 で あ るか ら,R⊂Cに
実 ベ ク トル 空 間 と考 え ら れ る.従 っ て,ξ を2n次
点b∈Bに
対 し て,
よ っ て,2n次
元
元 実 ベ ク トル 束 と み な す こ と
が で き る.こ
れ を ξ の 実 化 とい い,ξRで
n次 元 実 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)に
表 わ す. 対 し て,Whitney和
を 考 え る. E′={(e1,e2)∈E×E│p(e1)=p(e2)} で あ る か ら,J:E′
→E′
をJ(e1,e2)=(-e2,e1)に
の 複 素 構 造 で あ る.す
な わ ち,
が,こ
れ を ξ の 複 素 化 と い い,ξCで
よ っ て 定 義 す れ ば,Jは はn次
元 複 素 ベ ク トル 束 に な る
表 わ す.
実 ベ ク トル 束 ξの 底 空 間 が パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,同
型
(A-4)
が 成 り立 ち,複 で あ れ ば,同
素 ベ ク トル 束 ξ の 底 空 間が パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間
型
(A-5)
が 成 り立 つ. A-2.1
複 素 ベ ク トル 束 に 対 す るChern類
ル フ 底 空 間B上
のn次
元
の 公 理 系 を み た す も の で あ る.
自 然 性.ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B′)をn次
ル 束 と し,f:E→E′ fか
ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ド
元 複 素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,H*(B;Z)の
を 定 め る対 応 で あ っ て,次 (公 理1)
と は,パ
元複素ベ ク ト
を ξ か ら ξ′へ の ベ ク トル 束 写像 とす る.こ
ら定 ま る底 空 間 の 連 続 写 像f:B→B′
の と き,
に対 して
ci(ξ)=f*ci(ξ′) が 成 り立 つ. (公 理2) と す る と き,
が 成 り立 つ.
Whitney積
公 式.ξ,ξ′
を 同 一 の 底 空 間B上
の 複 素 ベ ク トル 束
(公 理3)
正 規 性.P1(C)上
の標 準 的 な 直 線束
ξ1(3.4.3節,例1)に
対
して 〈c1(ξ1),ω1〉=1 が 成 り立 つ.こ
こ にω1はP1(C)の
基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 を 表 わ す.
注 意 Pn(C)上
の 標 準 的 な 直 線 束 を
P1(C)→Pn(C)に
関 し て,
とす る.包
が 成 り立 つ の で,公
理1と
含 写 像jn: 公 理3に
よっ
て 〈c1(ξn),jn*ω1〉=1 が 成 り立 ち, る か ら,公
が 一 意 に 定 ま る.ξ∞ は 普 遍 複 素 直 線 束 で あ
理1と
公 理3に
Chern類c1(ξ)が
よ っ て,す
べ て の 複 素 直 線 束 ξに 対 し て,1次
の
一意 に 定 ま る こ とが 分 か る.
ξ=(E,p,B)をn次
元 複 素 ベ ク トル 束 と す る.ξ
バ ー 束 を π:CP(ξ)→Bと
に付 属 した 射影 フ ァ イ
し,ξ=(E(ξ),q,CP(ξ))を
束 と す る(3.4.3節,例2).こ
の と き,定
標 準 的 な複 素直 線
理A-1に
よ っ て,
π*:H*(B;Z)→H*(CP(ξ);Z) は 単 射 で あ り,H*(CP(ξ);Z)は,1,c1(ξ),…,c1(ξ)n-1を H*(B;Z)加
群 で あ る こ と が 分 か る.従
っ て,等
基 とす る 自由 式
(A-6)
を み た す 元xi(ξ)∈H2i(B;Z)が さ らにCP(ξ)上
一意に 定 ま る.た
のn-1次
元 複 素ベ ク トル 束
だ しx0(ξ)=1と
η が 存 在 し て,同
す る.
型
(A-7)
が 成 り立 つ.と 補 題A-8
く に,n=1の
と き
ξ=(E,p,B)をn次
で あ る こ と を 注 意 し て お く. 元 複 素 ベ ク トル 束 と し,Bは
ク トハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る とす る.こ トハ ウ ス ドル フ空 間B1と
連 続 写 像g:B1→Bが
(ⅰ) g*:H*(B;Z)→H*(B1;Z)は (ⅱ) 誘 導 束g*ξ
はn個
パ ラ コンパ
の と き 次 の 条 件 を み た す パ ラ コ ンパ ク 存 在 す る. 単 射 で あ る.
の 複 素 直 線 束 のWhitney和
に 同 型 で あ る.
証 明 定 理A-1と 補 題A-9
同 型(A-7)に
よ る.証
ξ,η を 同 一 の 底 空 間B上
複 素 ベ ク トル 束 とす る.等
式(A-6)に
明 は 読 者 に 委 ね る.(終)
のm次
元 複 素 ベ ク トル 束,n次
元
よ っ て 定 ま る コホ モ ロ ジ ー 類 に つ い て,
等式
が 成 り立 つ. 証明
の開 集 合U(ξ),U(η)を
に よって 定 義す れ ば (1)
が 成 り立 つ.次 の 可換 図式 を 考 え よ う.
こ こにi1,i2は
包 含 写 像,π,π1,π2は
射 影 で あ り,k1,k2は
る ホ モ ト ピー 同 値 写 像 で あ る.
標 準 的 な直 線 束 の 定 義に よ って,同 型 (2)
が 成 り立 つ.
に よ っ て定 義 す る.こ
の 元y1,y2を
のとき
次 式 で定 義 され
(3)
が 成 り立 ち,さ
ら に(2)に
が 成 り立 つ.k1,k2が
よ っ て,
ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ るか ら i*1(y1)=0, i*2(y2)=0
が 成 り立 つ.コ
ホ モ ロ ジー完 全 列
を 考 え る こ とに よ っ て, j*1(x1)=y1, j*2(x2)=y2 を み た す 元x1,x2が
が 成 り立 つ.従
存 在 す る.こ
の と き(1)に
っ て,(3)と(A-6)に
よ っ て,等
よ っ て,
式
が 成 り立 つ.(終) 定 理A-10
Chern類
証 明 等 式(A-6)に
は 一 意 に 存 在 す る. よ っ て 定 ま るコ ホ モ ロ ジ ー 類 x(ξ)=1+x1(ξ)+x2(ξ)+…
は 公 理1,公 x(ξ)は
理3を
満 足 し,補
ξ のChern類
で あ る.一
の 一 意 性 に よ っ て,Chern類 A-2.2 お こ う. 定 理A-11
テ ン ソル 積,双
題A-9に 方,補
よ っ て 公 理2も 題A-8と
満 足 す る.従
っ て,
直 線束 に 対 す るChern類
の 一 意 性 が 証 明 で き る.(終) 対 ベ ク トル 束 に 対 す るChern類
につ い て考 察 して
(ⅰ) ξ,η を 同一 の底 空 間 上 の複 素 直 線 束 とす れ ば,
が 成 り立 つ. (ⅱ) 複 素 ベ ク トル 束 ζ に 対 し て,ζ*を
双 対 ベ ク トル 束 と す る と き
ci(ζ*)=(-1)ici(ζ)
が 成 り立 つ. 証 明 (ⅰ)は8.1.2節
の 等 式(8.6),(8.7)の
で き る の で 省 略 す る.と
証 明 と全 く同 様 に し て 証 明
くに 複 素 直 線 束 ξ の 双 対 直 線 束 ξ*に 対 し て, c1(ξ*)=-c1(ξ)
が 成 り立 つ.次
に(ⅱ)を
証 明 し よ う.ζ=(E,p,B)をn次
束 とす れ ば,補
題A-8に
よ っ て,連
複 素 直 線 束 ζ(1),…,ζ(n)が
続 写 像g:B1→Bと,B1上
存 在 し て,
g*:H*(B;Z)→H*(B1;Z) は 単 射 で あ り,同 型
が 成 り立 つ.こ
の と き,同
型
が 成 り立 つ の で,
が 成 り立 つ.g*は
単 射 で あ るか ら,等 式 ci(ζ*)=(-1)ici(ζ)
が 成 り立 つ.(終)
元 複 素ベ ク トル のn個
の
補 題A-12
ζ=(E,p,B)を
次 元 実 ベ ク トル 束 と し,ζCを
パ ラ コン パ ク トハ ウ ス ドル フ空 間B上
のn
複 素 化 とす れ ば 2c2i+1(ζC)=0
が 成 り立 つ. 証 明 (A-4)に
よ っ て,
が 成 り立 つ の で,定
理A-11に
よって
が 成 り立 つ.(終) ζ=(E,p,B)を ル 束 と し,ζCを
パ ラ コン パ ク トハ ウ ス ドル フ空 間B上 複 素 化 とす る.コ
のn次
元実ベ ク ト
ホ モ ロジ ー類
を,実
ベ ク トル 束 ζ のi次Pontrjagin類
を,ζ
の 全Pontrjagin類
と い い,
と い う.
定 理A-13 (ⅰ) ζ,ζ′ を 同 一 の 底 空間 を も つm次
元 実 ベ ク トル 束,n次
元実ベ ク ト
ル 束 と す れ ば,
が 成 り立 つ. (ⅱ) ξ,ξ′ を 同 一 の 底 空 間 を も つm次 ク トル 束 とす れ ば,
が 成 り立 つ. 証 明 (ⅰ)に
つ い て.
元 複 素 ベ ク トル 束,n次
元複素ベ
が 成 り立 つ の で,補
が 成 り立 つ.(ⅱ)に
題A-12に
よ って
つ い て.複
が 成 り立 つ の で,定
素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,(A-5)に
理A-11(ⅱ)を
よ っ て,
用いて c2i+1((ξR)C)=0
が 示 さ れ る.従
っ て,(ⅰ)の
計 算 と 同様に し て
が 成 り立 つ.(終) A-2.3
概 複 素 多 様 体MのChern類ci(M)∈H2i(M;Z)と
接 ベ ク トル 束τMのChern類
は,複
素
の こ と で あ り,可 微 分 多 様 体 のPontrjagin類
pi(M)∈H4i(M;Z)とは,接
ベ ク トル 束
τMのPontrjagin類
の こ とで あ
る. 定 理A-14
複 素 射 影 空 間Pn(C)に
つ い て,
(ⅰ)
c(Pn(C))=(1+β)n+1,
(ⅱ)
p(Pn(C))=(1+β2)n+1
が 成 り立 つ.こ 証 明 (ⅰ)を の 全 空 間 は,位
か ら,同
こ に β=c1(ξn)で
証 明 す れ ば 十 分 で あ る.Pn(C)の
値 関 係(u,υ)∼(λu,λυ),λ 方,標
∈C,│λ│=1に
準 的 直 線 束 ξnのn+1個
よ って 定 義 され る商 空 間 のWhitney和
の全空間
相空間
か ら,同
値 関 係(u,υ)∼(λu,λυ),λ
間 と 同 一 視 で き るE,E′ 同型
複 素 接 ベ ク トル 束τPn(C)
相空間
と 同 一 視 で き る.一 は,位
あ る.
∈C,│λ│=1に
を 比 較 す る こ とに よ っ て,複
よ っ て 定 義 さ れる 商 空 素 ベ ク トル束 と して の
n+1個 が 成 り立 つ.こ
こ にC1はPn(C)上
の 自 明 直 線 束 を 表 わ す.故
にWhitney
積 公 式 に よ って c(Pn(C))=(1+c1(ξn))n+1
が 成 り立 つ.(終) A-3.1 て,実
複 素 射 影 空 間Pn(C)上
射 影 空 間Pn(R)上
の標 準 的 複 素直 線 束
ξnの 定 義 と 同 様 に し
の 標 準 的 実 直 線 束 ξRnが 次 の よ う に 定 義 さ れ る .ξRn
の 全 空 間E(ξRn)は,Sn×Rか
ら,同
値関係
(u,υ)∼(-u,-υ),u∈Sn,υ
∈R
に よ っ て 定 義 さ れ る 商 空 間 で あ り,(u,υ)の
同 値 類 を[u,υ]で
射 影p:E(ξRn→Pn(R)は,p([u,υ])=[u]で
与 え ら れ,ベ
表 わ す と き, ク トル 束 の 構 造
は t1[u,υ1]+t2[u,υ2]=[u,t1υ1+t2υ2],t1,t2∈R に よ っ て 定 義 さ れ る も の で あ る. 実 ベ ク トル 束 に 対 す るStiefel-Whitney類 ル フ底 空 間B上
のn次
を 定 め る 対 応 で あ っ て,次 (公 理1′) 束 と し,f:E→E′
と は,パ
ラ コ ンパ ク トハ ウス ド
元 実 ベ ク トル 束 ζ に 対 し て,H*(B;Z2)の
元
の 公 理 系 を み た す も の で あ る.
自然 性.ζ=(E,p,B),ζ′=(E′,p′,B′)をn次
元 実 ベ ク トル
を ζ か ら ζ′へ の ベ ク トル 束 写 像 とす る.こ
か ら定 ま る 底 空 間 の 連 続 写 像f:B→B′
の と き,f
に対 して
wi(ζ)=f*wi(ζ′) が 成 り立 つ. (公 理2′) Whitney積 す る と き,
公 式.ζ,ζ′ を 同 一 の 底 空 間B上
の 実 ベ ク トル 束 と
が 成 り立 つ. (公 理3′) 正規 性.P1(R)上
の 標準 的 な直 線束 ξR1に対 して,
が 成 り立 つ. 定 理A-15
Stiefel-Whitney類
証 明 Chern類
は 一 意 に 存 在 す る.
の 存 在 と一 意 性 の 証 明 と 全 く 同 様 に で き る.(終)
可 微 分 多 様 体MのStiefel-Whitney類wi(M)∈Hi(M;Z2)と ク トル 束 τMのStiefel-Whitney類 定 理A-16
は,接
ベ
の こ と で あ る.
実 射 影 空 間Pn(R)に
対 し て,
が成 り立 つ. 証 明 定 理A-14の 補題A-17
証 明 と全 く同様 に で きる.(終)
Pn(C)上
が 成 り立 つ
の標 準 的 な複 素 直線 束 ξnと 実 化 ξnRに 対 して,
こ こに,ρ2*:H*(-;Z)→H*(-;Z2)は,係
全 射 ρ2:Z→Z2に
数環 の
よ っ て 誘 導 さ れ る 準 同 型 写 像 を 表 わ す.
証 明 Pn(C),P2n+1(R)は,と 影 π:P2n+1(R)→Pn(C)に
も にS2n+1の 対 し て,同
等 化 空 間 で あ るが,自
然な射
型
が成 り立 つ.故 に
す な わ ち,
が 成 り立 つ.
は 生 成 元 で あ る か ら,ρ2*c1(ξn)=w2(ξnR)が 定 理A-18 ξ と,そ
で あ り,ρ2*c1(ξn) 成 り立 つ.(終)
パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 上 のn次
元 複 素 ベ ク トル 束
の 実 化 ξRに 対 し て
が 成 り立 つ. 証 明 補 題A-8,補
題A-17,お
よ びWhitney積
公 式 か ら容 易 に 導 か れ る.
証 明 は 読 者 に 委 ね る.(終)
A-3.2
可 微 分 多 様 体 のStiefel-Whitney類
説 明 し よ う.こ
の た め,Steenrodの
に 関 す るWuの
公式 につ い て
平方作用素
Sqi:Hq(X;Z2)→Hq+i(X;Z2) の 性 質 を 述 べ て お こ う.詳 N.
Steenrod-D.
し い 解 説 に つ い て は,
Epstein:
Cohomology 50,
Operations,
Ann.
Math.
Studies
Princeton(1962)
を 参 照 せ よ.平
方 作 用 素 は 次 の 性 質 を も つ.
(ⅰ)
Sqiは
準 同 型 写 像 で あ る.
(ⅱ)
Sqiは
連 続 写 像 に 関 し て 自 然 で あ る.
(ⅲ)
Sq0=恒
(ⅳ)
α ∈Hq(X;Z2)に対
(ⅴ)
α ∈Hq(X;Z2)で,i>qの
(ⅵ)
α ∈H*(X;Z2),β
等 写 像. し て,Sqq(α)=α2. と き,Sqi(α)=0. ∈H*(Y;Z2)に
対 し て,H*(X×Y;Z2)に
お
い て,
Mを
コ ン パ ク トn次
元 可 微 分 多 様 体 で,∂M=φ
で あ る とす る.Poincare
の 双 対 定 理 に よ っ て,
を み た す 元 υj∈Hj(M;Z2)が一意に 定 理A-19(Wu)
Mを
存 在 す る.υjをMのWu類
コ ン パ ク トn次
る と す る.MのStiefel-Whitney類
が 成 り 立 つ.こ
元 可 微 分 多 様 体 で,∂M=φ
に つ い て,
こ に,υjはMのWu類
で あ る.◇
証 明 に つ い て は, J. Milnor: を 参 照 せ よ.
Lectures
on
Characteristic
Classes(1957)
と い う. で あ
以上,特 性 類に つ い て の簡 単 な解 説 を試 み た が,さ 記 のMilnorの
らに詳 し く知 るに は,上
講 義 録 また は,
中岡 稔:位 相 幾 何学(ホ を読 む ことを おす す め す る.
モ ロジー 論),共
立 講座
参
考
文
献
本 書 の 執 筆 に あ た っ て 参 考 に し た 書 物 お よ び 関 連 論 文 の 主 な も の を 挙 げ て お こ う. [1]
M.F.Atiyah:Bordism and
cobordism,Proc.Cambridge
Phil.Soc.57(1961),
200-208. [2] [3]
M.F.Atiyah:K-Theory,Benjamin(1967). M.F.Atiyah-F.Hirzebruch:Spin-manifolds and logy
and
Related
Topics,Memoires
group dedies
a Georges
actions,"Essays on Topo
de Rham"Springer-Verlag(1970),
18-28. [4]
J.M.Boardman:On
[5]
A.Borel-F.Hirzebruch:Characteristic
manifolds
with
involution,Bull.AMS,73(1967),136-138. classes and
homogeneous spaces Ⅰ,Ⅱ,Amer.J.
Math.80(1958),458-538;81(1959),315-382. [6]
R.Bott:Lectures
[7]
N.Bourbaki:Algebre Commutative,Chap.1,2,Hermann(1961).
on
K(X),Benjamin(1969).
[8]
G.E.Bredon:Introduction
[9]
T.Brocker-T.tom
to Compact Transformation
Groups,Academic
Dieck:Kobordismentheorie,Lecture
Notes
Press(1972).
in Math.178,Sprin
ger-Verlag(1970). [10]
S.S.Chern-F.Hirzebruch-J.P.Serre:On
the index
of a fibred
manifold,Proc.
AMS,8(1957),587-596. [11]
C.Chevalley:Theory
[12]
P.E.Conner:The
of Lie Groups,Princeton bordism
class of
University
a bundle
Press(1946).
space,Michigan
Math.J.14(1967),
289-303. [13]
P.E.Conner:Seminar
on Periodic Maps,Lecture
Notes
in
Math.46,Springer-
Verlag(1967). [14]
P.E.Conner-E.E.Floyd:Periodic
maps which preserve
a
complex
structure,Bull.
AMS,70(1964),574-579. [15]
P.E.Conner-E.E.Floyd:Differentiable
[16]
P.E.Conner-E.E.Floyd:Torsion
[17]
P.E.Conner-E.E.Floyd:Maps
[18]
P.E.Conner-E.E.Floyd:The Relation of Cobordism to K-Theories,Lecture in
[19]
Periodic in of odd
Maps,Springer-Verlag(1964).
SU-bordism,Mem.AMS,60(1966). period,Ann.Math.84(1966),132-156.
Math.28,Springer-Verlag(1966).
A.Hattori-H.Taniguchi:Smooth (1972),701-731.
S1-action
and
bordism,J.Math.Soc.Japan,24
Notes
[20]
F.Hirzebruch:Topological
[21]
D.Husemoller:Fibre
[22]
K.Kawakubo-F. Raymond:The
Methods
in Algebraic
Geometry,
Springer-Verlag(1966).
Bundles, McGraw-Hill(1966). index
tric interpretations of the σ(∞,(S1,
of manifolds with
M))invariant
of Atiyah
toral actions and
Singer,
and
Invent.
geome Math.
15(1972),53-66. [23]
K.Kawakubo-F.Uchida:On
the index of a semi-free S1-action,
J.Math.Soc.Japan,
23(1971),351-355. [24]
松 島 与 三:多
[25]
J.Milnor:Lectures
様 体 入 門,裳
[26]
J.Milnor:On the cobordism ring Ω*and
on
華 房(1965).
Characteristic
Classes,Princeton a complex
University(1957). analog,Part
1,Amer.J.Math.
82{1960),505-521. [27]
J.Milnor:Asurvey
[28]
J.Milnor:Morse
of cobordism
[29]
D.Montgomery-L.Zippin:Topological
[30]
G.D.Mostow:Equivariant
theory,L'Enseignement
Theory,Ann,Math.Studies
Math.8(1962),16-23.
51,Princeton(1963). Transformation
embeddings
in euclidean
Groups,Wiley(1955).
space,Ann.Math.65(1957),
432-446. [31]
中 岡 稔:位
[32]
E.Ossa:CobOrdismentheorie von fixpunktfreien und semifreien S1-Mannigfaltigkeiten,
相 幾 何 学(ホ
モ ロ ジ ー 論),共
立 講 座(1970).
学 位 論 文(1969). [33]
E.Ossa:Fixpunktfreie
[34]
H.Ozeki-F.Uchida:Principal
S1-Aktionen,Math.Ann.186(1970),45-52. circle actions
on a product of spheres Osaka J.Math.
9(1972),379-390. [35]
R.S.Palais:The classification of G-spaces,Mem.AMS,36(1960).
[36]
L.Pontrjagin:Topological
[37]
E.H.Spanier:Algebraic
[38]
N.E.Steenrod:The
[39]
N.E.Steenrod-D.Epstein:Cohomology
Groups,Princeton
University
Press(1946).
Topology,McGraw-Hill(1966), Topology
ofFibre
Bundles,Princeton
University
Press(1951).
Operations,Ann.Math.Studies
ceton(1962). [40]
R.E.Stong:Notes on Cobordism Theory,Princeton
Math.Notes(1968).
[41]
R.E.Stong:Bordism and involutions,Ann.Math.90(1969),47-74.
[42]
R.Thom:Quelques proprietes globales des varietes differentiables,Comment.Math. Helv.28(1954),17-86.
[43]
T.tom
Dieck:Bordism
of G-manifolds
and
integrality
theorems,Topology,9(1970);
345-358. [44]
T.tom
Dieck:Lokalisierung aquivarianter Kohomologie-Theorien,Math.Zeit.121
50,Prin
(1971),253-262. [45]
T.tom
Dieck:Periodische Abbildungen
unitarer
Mannigfaltigkeiten,Math.Zeit.
126(1972),275-295. [46]
F.Uchida:Cobordism
groups
of semi-free
S1-and
S3-actions,Osaka
J.Math.7(1970),
345-351. [47]
F.Uchida:Periodic
maps
and
circle actions,J.Math.Soc.Japan,24(1972),255-
267. [48]
C.T.C.Wall:Determination
of the cobordism
コ ボ ル デ ィ ズ ム 論 に 関 す る 詳 し い 文 献 表 が[40]に
ring,Ann.Math.72(1960),292-311.
あ る.変
換 群 に 関 し て は[8]に
詳
Edition,Lecture
in
し い 文 献 表 が あ る.
参 考 文 献 の 追 加
[49]
P.E.Conner:Differentiable
Periodic
Maps,Second
Notes
Math.738,Springer-Verlag(1979). [50]
J.W.Milnor-J.D.Stasheff:Characterisric 76,Princeton
[51]
川 久 保 勝 夫:変
文 献[49]は[15]の ま た[51]は
Classes,Annals
of
Math.Studies
Univ.Press(1974). 換 群 論,岩
波 書 店(1987).
改 訂 版 で あ る.[50]は
講 義 録[25]を
変 換 群 論 に 関 す る 本 格 的 入 門 書 で あ る.
単 行 本 に し た も の で あ る.
索
ア
行
イ ソ トロ ピー表 現 Wu類
27
61
132
許容族
47
効果的
カ
行
開 管状 近 傍
28
像
指数
106
用
―G多
様体
―Gベ
ク トル束
―
を 保 つGホ
―
を もつG空
24 29
像
109
モ トピー 間
109
108
15
基 本 ホモ ロ ジー類 既約Gベ
空間
―
写像
―
多様体
―
同型
―
同境
―
同境 群
―
同変
―同
空間
34
ク トル の空 間 の完 全 系 100
吸収 され る
136
1
行
74
―作用
21
11
―
12
9
― コ フ ァ イ バ ー写像
21
ス ライ ス定 理 108 を 保 つG写
116,117
G
―G作
基点 ―
98
114
サ
―
―
様体
コ ン パーク ト群
可微分
軌道
局所化
ク ロス積
58,120
Gauss写
64
懸 垂 同 型 写像
え り 32 Euler類
球面束
Grassmann多
203
(H,〓)型
引
9 12 21 48 ,61,151 48 ,62 49 ,62,151 12
変Gauss写
―
不変
―
ベ ク トル 空 間
―
ベ ク トル 束
実化 自明
194 12
111
像
106
4 ,11,26 4 24
―
成 分 を 含む
弱 複素 構 造
114
dual 同型
148
同境
弱 複素G多 様体 148 ― のG同 境群 151 ― 自由
のGボ
ル デ ィズ ム群
〓 ― (〓,〓)― 準 ―
47 12
12
Stiefel-Whitney ―
数
41
―
類
201
同型 写 像
ス ラ イス ― 切断
148
11 対定理
―Gysin完
全列
―
空間
―
準 同 型写像
17
59 ,125 37 ,121,125
スペ ク トラ ム
―
類
106
120
ハ
行
17
143 7
束 同型 写像
12
フ ァイ バ ー
69
20,189
―
束 20 ,189
―
束対
―
に 沿 った複 素 接 ベ ク トル 束
189
86
192
タ
対 角線 作用
ハ ウス ドル フ計 量 標 準 的 な複 素 直 線束
61
束 化変 換
行
13
Chern
複素 化
194
復素 構 造
66
G不
変な ―
G不
変な弱 ―
適正な ―
147 148
152
―
数
176
複素 射 影 フ ァ イバ ー束
―
類
194
不動点
直積
157
99,101
―
78
29
局所 ―
測地 線
等方部分群
17
定理
全有向
同値(弱 複 素溝 造 の) 151
―Atiyah双
47
Smith準
35,192 35
Thom
12
推移 的
177
―
80,192
適 正 な複 素構 造 テ ン ソル積 外部 ―
152
193 193
普遍 ― ―
71,86
11 集合
11
主G束
55
複 素Gベ
ク トル束
101
不 変積 分
―Pontrjagin数
1
平 方作 用 素
マ
可 微 分―
191
接―
6
双 対―
複 素―
向 きづ け られ た ―G多 様体
193
―G同境
191
―
写像
―
のG同
ヤ
192
境群
―
積公式
―
和
62
―
類
35
行
誘 導 され た ― 弱 複 素 構造 ―
194 ,201
192 対定理
向き
150
34
ユ ニ タ リ同 変 ―
190
コボ ル デ ィズ ム論
―Thomス
Pontrjagin 数
52
特 異 多様 体
192
Whitney
―
群
47
27
―
Poincare双
行
24
実―
誘 導―
42 ,58
203
ベ ク トル 束
法―
118
ペ ク トラム
41 199
ラ
行
ボ ル デ ィズ ム ―群
35 ,151
―Stiefel-Whitney数
リーマ ン計量
42,58
Leray-Hirschの
6,26 定理
190
106
著 内
田
者 伏
一
1938年仙台市に生まれ る.1963年東北 大 学大学院修士 課程 を修 了後,東 北大学理 学部助手 ・教育学 部講師,大 阪大学理学 部講師 ・助教授を経 て,現 在 は山形大学 理学部教授. 専攻一位相幾何学.
変 換 群 と コボ ル デ ィズ ム 論 1974年7月15日 1990年1月31日
第1刷
発行
第2刷
発行
発行所
株式 会社
紀伊 國屋 書店
東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話 03(354)0131(代表) 振 替口 座 東 京9-125575
出版 部
C Fuichi Printed
Uchida 1974 in Japan
定 価 は外 装 に表 示 して あ り ます
東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5の38の1 電話 03(439)0125(代 表) 郵 便 番号156
印
刷 加 藤文 明 社
製
本 三
水
舎
紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て
数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな 受 動 的 な勉 強 だ け で は,は なは だ 不 十 分 で あ る. み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろ い ろ な 数 学書 が 出版 され てい る.し
か
し,数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 っ て どの よ うな 段 階 の 勉 強 で あ って も,常 に新 しい 考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ と が 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が 要 望 され てい る. 本 叢 書 は この よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の 専 門 課程 の学 生 ま た は大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 での 話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か ら あ る程 度 の 深 さ まで 勉 学 す るた め の伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ のた めに 我 々は 各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分配 慮 し,現 代 数 学 の発 展 に と って 重 要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ てい な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に執 筆 をお 願 い し てい る. 学 生 諸 君 お よび 数 学同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よっ て数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本 的 な 考 え 方 を理 解 し,ま た 基 礎的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の最 先端 へ 向か お うとす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.