Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
А.Б. Соболев, А.Ф...
10 downloads
249 Views
5MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко
МАТЕМАТИКА Часть 2 Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов всех форм обучения специальностей направления 6533500 – Строительство
Научный редактор доц., канд. физ.–мат. наук С.И. Тарлинский
Екатеринбург 2005
ББК УДК С54
22.1я73 51(075.8)
Рецензенты: кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. кафедрой физики УГЛУ, д–р физ.-мат. наук, проф. М.П. Кащенко); д–р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН. С 54
А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: учебное пособие / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 195 с. ISBN 5–321–00769–1
Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов, изучающих данную дисциплину в объеме 540–800 часов в течение 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специальностей. Вторая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый во втором семестре: исследование функций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом. Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие решение типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов. ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73
ISBN 5–321–00769–1
© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2005
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс лекций предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров. Во второй части излагаются следующие разделы: исследование функций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции приведен список ключевых понятий. В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутствуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл. В тексте приняты следующие условные обозначения: О
-
определение
Т
-
теорема
С
-
следствие
!
-
замечание
4
СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ 2 Лекции 1–2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ…………………………………………...…. 10 1.1.
1.2.
2.1.
2.2. 2.3.
Исследование функций без привлечения производных 1.1.1. Точки разрыва 1.1.2. Асимптоты графика функции 1.1.3. Вертикальные асимптоты 1.1.4. Горизонтальные асимптоты 1.1.5. Наклонные асимптоты Исследование функций с помощью первой производной 1.2.1. Монотонность функции 1.2.2. Локальный экстремум функции 1.2.3. Необходимые условия экстремума 1.2.4. Достаточные условия экстремума 1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной 2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Общая схема исследования функции и построения графика Примеры исследования функций
Лекции 3–4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ……………………………………………. 33 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
3.5.
Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Действия над комплексными числами 3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень 3.4.3. Комплексное сопряжение 3.4.4. Извлечение корня Комплекснозначная функция действительного аргумента
5 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
Многочлены в комплексной области. Корни многочлена Основная теорема алгебры Примеры решения задач Разложение правильных рациональных дробей Примеры решения задач
Лекции 5–6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ………………………………………… 53 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
6.1. 6.2.
Основные определения Свойства неопределенного интеграла Таблица основных интегралов Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование 5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле 5.4.3. Интегрирование по частям 5.4.4. Возвратное интегрирование Интегрирование рациональных дробей 6.1.1. Интегрирование простейших дробей 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида ∫ sin m xcosn xdx . 6.2.2. Интегралы вида ∫ cosα x cosβ xdx ;
6.3.
∫ cosα x sinβ xdx ; ∫ sinα x sinβ xdx .
Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности 6.3.2. Дробно–линейные иррациональности 6.3.3. Квадратичные иррациональности – тригонометрические подстановки 6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов 6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей 6.3.6. Подстановки Эйлера
Лекции 7–8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ……………………………………………. 80 7.1. Определенный интеграл и его свойства. Основные определения
6 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 8.1.
8.2.
8.3.
Геометрический смысл определенного интеграла Теоремы существования Свойства определенного интеграла Формула Ньютона–Лейбница Замена переменной в определенном интеграле 7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций Интегрирование по частям Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах 8.1.2. Параметрическое задание линий 8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме 8.1.4. Полярные координаты на плоскости 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми 8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат 8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах 8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме 8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме 8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах 8.2.6. Площадь поверхности вращения Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения
Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ………………………………………. 104 9.1.
Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона–Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость
7 9.2.
Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач
Лекции 10–11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ………………………………… 115 10.1. Основные понятия 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУ–I) 10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка 10.2.5. Уравнение Бернулли 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах 10.2.7. Таблица 1. Решения ДУ первого порядка 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка 11.1. ДУ высших порядков 11.2. ДУ второго порядка (ДУ–II) 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ y′′ = f ( x) 11.3.2. ДУ вида y′′ = f ( x, y′) 11.3.3. ДУ y′′ = f ( y, y′ ) 11.4. Таблица 2. Решения ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка 11.5. ДУ n–го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида y ( n ) = f ( x) ) ( )=0 11.5.3. ДУ вида F ( x, y ( ) ,..., y ( ) ) = 0 . d G ( x, y, y ',..., y ( ) ( x ) ) = 0 . 11.5.4. ДУ вида dx
11.5.2. ДУ вида F y, y ', y ",..., y ( k
n
n
n −1
8 Лекции 12–13 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………….. 134 12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства 12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка 12.4. ОЛДУ n–го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Таблица 4. ОЛДУ n–го порядка 12.6. НЛДУ второго порядка 13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных 13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f ( x) 13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.3.2. Метод вариации произвольной постоянной 13.3.3. Принцип суперпозиции 13.4. НЛДУ высших порядков 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных 13.4.2. Метод неопределенных коэффициентов 13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n–го порядка 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной
Лекция 14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………………… 154 14.1. 14.2. 14.3. 14.4.
Основные понятия Метод исключения неизвестных Линейные системы ДУ Однородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами 14.5. Неоднородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
9 Лекции 15–16 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………... 167 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9.
16.1. 16.2. 16.3. 16.4.
Основные понятия Предел функции двух переменных Непрерывность функции двух переменных Частное и полное приращения функции двух переменных Частные производные первого порядка функции двух переменных Полный дифференциал функции Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Тейлора 15.10. Производная сложной функции. Полная производная 15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала 15.12. Производная от функции, заданной неявно Локальные экстремумы функции двух переменных Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа Наибольшее и наименьшее значения функции в области Геометрические приложения функций двух переменных 16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента 16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой 16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение 16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
БИБЛИОГРАФИЯ…………………………………………………………... 194
Лекции 1 - 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Графическое описание поведения функции очень полезно, так как наглядность графика делает его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции. Графики функций, получающиеся из графиков основных элементарных функций с помощью геометрических преобразований, очевидны. Графики сложных функций не могут быть построены без использования дифференциального исчисления. В данных лекциях приводится общая схема исследования функций и ее теоретическое обоснование. Последовательное применение этой схемы позволяет построить график любой сколь угодно сложной функции, возникающей в технических приложениях.
1.1. Исследование функций без привлечения производных 1.1.1. Точки разрыва 1.1.2. Асимптоты графика функции 1.1.3. Вертикальные асимптоты 1.1.4. Горизонтальные асимптоты 1.1.5. Наклонные асимптоты 1.2. Исследование функций с помощью первой производной 1.2.1. Монотонность функции 1.2.2. Локальный экстремум функции 1.2.3. Необходимые условия экстремума 1.2.4. Достаточные условия экстремума 1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции 2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной 2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой 2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 2.3. Примеры исследования функций
1.1. Исследование функций без привлечения производных Построение графика функции y = f ( x ) применяется, как правило, для возможно более точной характеристики хода изменения функции, точность расположения отдельных точек графика обычно представляет меньший интерес.
11
Исследование функций и построение графиков
1.1.1. Точки разрыва О
Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если функция lim f ( x) = определена в точке x0 и существуют пределы x → x0 − 0
= lim f ( x) = lim f ( x), и при этом lim f ( x) = f ( x0 ). x → x0 + 0
x → x0
x → x0
Точка x0 , в которой функция y = f ( x ) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции. lim f ( x) = О Если односторонние пределы существуют, причем x → x −0 0
= lim f ( x) и функция y = f ( x ) не определена в точке x0 или нарушено x → x0 + 0
условие lim f ( x) = f ( x0 ) , то точка x0 называется точкой устранимого x → x0
разрыва. Пример:
sinx в точке x0 = 0 . x В точке x0 = 0 функция не определена, т.е. x0 = 0 - точка разрыва. sinx В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел lim = 1, x →0 x sinx sinx следовательно, lim = lim = 1 и x0 = 0 является точкой устраниx →+0 x x →−0 x мого разрыва. Чтобы функция стала непрерывной в точке x0 = 0 , доопределим ее, поИсследовать поведение функции f ( x ) =
ложив f ( 0 ) = lim f ( x ) = 1 (так называемое доопределение по непрерывx →0
⎧ sinx , x ≠ 0, ⎪ ности). Новая, доопределенная функция f ( x ) = ⎨ x будет не⎪⎩1, x = 0 прерывна на новой области определения – всей числовой оси. О
Если односторонние пределы существуют, причем lim f ( x) ≠ lim f ( x), то точка х0 называется точкой разрыва 1-го роx → x0 −0
x → x0 + 0
да. Пример: Исследовать поведение функции y =
x
в точке x0 = 0 . x В точке x0 = 0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю, т.е. x0 = 0 - точка разрыва.
12
Лекции 1 - 2
⎧ x, если x ≥ 0; По определению модуля x = ⎨ ⎩− x, если x < 0. x −x Левый предел: lim = = lim = lim ( −1) = −1 . x →−0 x →− 0 x x x →−0 x x Правый предел: lim = = lim = lim 1 = 1 . x →+0 x →+ 0 x x x →+0 Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следовательно, точка x0 = 0 является точкой разрыва 1-го рода.
О
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода. Пример: Определить точки разрыва функции f ( x ) = e
1 x
и исследовать характер
разрыва. Решение: Функция разрывна в точке x0 = 0 . Вычислим левый предел, учитывая, 1 1 = −∞ , lim e x = 0 . x →−0 x x →−0
что lim e x = 0 . Так как lim x →−∞
1 = +∞ , x →+0 x
Вычислим правый предел, учитывая, что lim e x = ∞ . Так как lim x →+∞
1 x
lim e = ∞ . Правый предел бесконечен, точка x0 = 0 является точкой
x →−0
разрыва 2-го рода.
1.1.2. Асимптоты графика функции О
Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.
1.1.3. Вертикальные асимптоты О
Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если хотя бы одно из предельных значений lim f ( x ) или
lim f ( x ) равно + ∞ или −∞ .
x → x0 + 0
x → x0 −0
Исследование функций и построение графиков
13
1 имеет верx тикальную асимптоту x = 0 , поскольку 1 1 lim = −∞ , lim = + ∞ . x →0 − 0 x x →0 + 0 x Для разыскания вертикальных асимптот кривой y = f ( x ) 1) находим на оси Ox точки разрыва функции f ( x ) ; 2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции f ( x ) (слева или справа) равен + ∞ или −∞ . Пусть это будут точки x1 , x2 ,..., xm , тогда прямые x = x1 , x = x2 ,…, x = xm будут вертикальными асимптотами графика функции y = f ( x) . 1 Например, для кривой y = 2 верx −1 тикальными асимптотами будут прямые x = −1 и x = 1 . Вертикальная прямая x = x0 может оказаться асимптотой графика функции y = f ( x ) и в том случае, когда точка x0 является концом интервала, в котором определена функция f ( x ) . Это будет тогда, когда x0 - левый конец интервала lim f ( x ) = + ∞ или - ∞ , либо когда x0 - правый конец интервала Так, график функции y =
x → x0 + 0
lim f ( x ) = + ∞ или - ∞ . Например, функция y = ln x определена в интер-
x → x0 −0
вале 0 < x < +∞ , и для нее lim ln x = −∞ , так что прямая x = 0 (ось Oy ) являx →0 + 0
ется вертикальной асимптотой графика функции y = ln x .
1.1.4. Горизонтальные асимптоты Прямая y = b называется правой горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim f ( x ) = b . x →+∞
Прямая y = b называется левой горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim f ( x ) = b . x →−∞
Функция f ( x ) в этом случае представима в виде f ( x ) = b + α ( x ) , где
lim α ( x ) = 0 .
x →±∞
14
Лекции 1 - 2
Возможны следующие ситуации: 1) не существует ни левой, ни правой горизонтальной асимптоты ( f ( x ) = x 2 );
2) существует левая горизонтальная асимптота и не существует правой ( f ( x ) = e x , lim f ( x ) = 0 , y = 0 - леx→−∞
вая горизонтальная асимптота);
3) существует правая горизонтальная асимптота и не существует левой ( f ( x ) = e − x , lim f ( x ) = 0 , y = 0 x→+∞
правая горизонтальная асимптота); 4) обе горизонтальные асимптоты существуют, но не
π
π
совпадают ( f ( x ) = arctgx , lim f ( x ) = − , y = − - леx→−∞ 2 2
π
π
вая горизонтальная асимптота; lim f ( x ) = , y = x→+∞ 2 2 правая горизонтальная асимптота); 5) обе горизонтальные асимптоты существуют и сов1 падают ( f ( x ) = , lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 , y = 0 - уравx→+∞ x x→−∞ нение обеих горизонтальных асимптот).
1.1.5. Наклонные асимптоты Прямая y = kx + b называется правой наклонной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim ( f ( x ) − kx − b ) = 0 . x →+∞
В этом случае функция f ( x ) представима в виде f ( x ) = kx + b + α ( x ) ,
где lim α ( x ) = 0. x →+∞
Существование асимптоты y = kx + b у кривой y = f ( x ) при x → + ∞ оз-
начает, что при x → + ∞ функция y = f ( x ) ведет себя «почти как линейная
15
Исследование функций и построение графиков
функция», т.е. отличается от линейной функции y = kx + b на бесконечно малую функцию при x → + ∞ . Т
Для того чтобы график функции y = f ( x ) имел при x → + ∞ наклонную асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела: f ( x) 1) lim = k ; 2) lim ⎡⎣ f ( x ) − kx ⎤⎦ = b . x →+∞ x →+∞ x Доказательство: Необходимость. Пусть график функции y = f ( x ) при x → + ∞ имеет асимптоту y = kx + b , т.е. для f ( x ) справедливо f ( x ) = kx + b + α ( x ) , α ( x ) → 0 при x → + ∞ .
⎡ b α ( x)⎤ = lim ⎢ k + + ⎥ =k, x →+∞ x →+∞ x x x ⎣ ⎦ lim ⎡⎣ f ( x ) − kx ⎤⎦ = lim ⎡⎣b + α ( x ) ⎤⎦ = b.
Тогда lim
f ( x)
x →+∞
x →+∞
Достаточность. Пусть существуют оба предела k и b . Существование предела для b позволяет утверждать, что разность f ( x ) − kx − b является бесконечно малой функцией при x → + ∞ . Обозначив эту разность через α ( x ) , получим f ( x ) = kx + b + α ( x ) , где α ( x ) → 0 при x → + ∞ . Это означает, что график функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b . Аналогично исследуется случай x → −∞ . Пример: Найти асимптоты графика функции y = x + arctgx . x + arctg x x + arctg x lim = k+ = lim = k− = 1 , x →+∞ x →−∞ x x
b+ = lim ( arctg x ) = x →+∞
π
2
b− = lim ( arctg x ) = −
,
π
, график имеет две 2 несовпадающие наклонные асимптоты: леx →−∞
вую y = x −
π
2
и правую y = x +
π
2
.
16
Лекции 1 - 2
Пример: Построить график функции y =
x2 + 2x − 3 x2 + x − 2
без использования производной. Решение: Преобразуем выражение: x2 + 2x − 3 x + 3 x 2 + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) = = , , x 2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x2 + x − 2 x + 2 x + 3 1+ ( x + 2 ) 1 ( x ≠ 1 ), = = +1, x+2 x+2 x+2 1 т.е. y = + 1 , ( x ≠ 1 ). График этой функx+2 1 ции получается смещением графика y = на две единицы влево, на одx ну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой x = 1 .
1.2. Исследование функций с помощью первой производной. 1.2.1. Монотонность функции О
Пусть функция f ( x ) определена на отрезке [ a, b ] . Если для любых
x1 , x2 ∈ [ a, b ] из условия x1 < x2 следует неравенство: 1) f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , то функция f ( x ) неубывающая на [ a, b ] ; 2)
f ( x1 ) < f ( x2 ) , то функция f ( x )
возрастающая на [ a, b ] ; 3)
f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) , то функция f ( x )
невозрастающая на [ a, b ] ; 4)
f ( x1 ) > f ( x2 ) , то функция f ( x )
убывающая на [ a, b ] . Функции всех этих типов носят общее название монотонных; возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Т
Пусть функция f ( x ) : 1) непрерывна на отрезке [ a, b ] ; 2) имеет производную f ' ( x ) по крайней мере на интервале ( a, b ) .
Для того чтобы функция f ( x ) на отрезке [ a, b ] была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно выполнение условия f ' ( x ) ≥ 0
17
Исследование функций и построение графиков
( f ' ( x ) ≤ 0 ) для всех точек x из интервала ( a, b ) . Доказательство: Необходимость. Пусть функция f ( x ) является неубывающей на отрезке
[ a, b ] .
( a, b ) производная в интервале ( a, b ) . Так как по усло-
Докажем, что на интервале
f ' ( x ) ≥ 0 . Возьмем точки x и x + ∆x
вию f ( x ) неубывающая, то при любом ∆x (положительном или отрицательном) знак ∆x и f ( x + ∆x ) − f ( x ) один и тот же, и поэтому f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≥ 0. ∆x
Учитывая, что по условию в каждой точке x интервала ( a, b ) существует производная f ' ( x ) , из последнего равенства получим f ' ( x ) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≥0. ∆x
Итак, в любой точке интервала ( a, b ) имеем f ' ( x ) ≥ 0 .
Достаточность. Пусть f ' ( x ) ≥ 0 на интервале ( a, b ) . Докажем, что функция f ( x ) - неубывающая на отрезке [ a, b ] . Действительно, пусть x1 < x2 - любые две точки отрезка [ a, b ] .
По теореме Лагранжа f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' (ξ )( x2 − x1 ) , где x1 < ξ < x2 . Так
как f ' ( x ) ≥ 0 в каждой точке x интервала ( a, b ) , то и f ' (ξ ) ≥ 0 . Кроме того x2 > x1 . Поэтому f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) . Итак, из неравенства x1 < x2 следует
неравенство f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , а это и означает, что на отрезке [ a, b ] функция f ( x ) неубывающая.
Таким образом, интервалы знакопостоянства производной f ' ( x ) явля-
ются интервалами монотонности функции f ( x ) . Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции): если f ' ( x ) > 0 на интервале ( a, b ) , то f ( x ) на отрезке [ a, b ] возрастает. Однако если f ( x ) возрастает на [ a, b ] , то отсюда не следует, что
f ' ( x ) > 0 всюду на интервале ( a, b ) . Пример:
Функция f ( x ) = x 3 возрастает на отрезке [ −1,1] , однако ее производная
f ' ( x ) = 3 x 2 обращается в нуль в точке x = 0 .
Рассмотрим возрастание или убывание функции в точке.
18 О
Лекции 1 - 2
Функция f ( x ) называется возрастающей в точке x = x0 , если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , в которой для всех x < x0 имеем f ( x ) < f ( x0 ) , а для всех x > x0 верно f ( x ) > f ( x0 ) .
Функция f ( x ) называется убывающей в точке x = x0 , если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , в которой для всех x < x0 имеем f ( x ) > f ( x0 ) , а для всех x > x0 верно f ( x ) < f ( x0 ) .
Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке. Т
Пусть функция f ( x ) в точке x = x0 имеет производную f ' ( x ) . Если
f ' ( x0 ) > 0 , то функция f ( x ) в точке x0 возрастает; если f ' ( x0 ) < 0 , то
f ( x ) в точке x0 убывает. Доказательство: Пусть f ' ( x0 ) > 0 . Это означает, что
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) > 0. ∆x →0 ∆x Но тогда существует такое δ > 0 , что для всех ∆x , удовлетворяющих условию 0 < ∆x < δ , верно неравенство lim
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) >0. ∆x
Отсюда следует, что при 0 < ∆x < δ величины f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) и ∆x
имеют один и тот же знак: если ∆x 0, т.е.
f ( x0 + ∆x ) > f ( x0 ) . Согласно определению, это и означает, что функция f ( x ) в точке x0 возрастает.
Аналогично можно доказать, что если f ' ( x0 ) < 0 , то функция f ( x ) в точке x0 убывает.
19
Исследование функций и построение графиков
!
Теорема дает достаточные, но не необходимые условия возрастания и убывания функции в точке. Так, функция, график которой приведен на рисунке, возрастает в точке x = 0 , но в этой точке производная функции не существует. Функция f ( x ) = x3 возрастает в точке
x = 0 , но ее производная f ' ( x ) в точке x = 0 обращается в нуль.
1.2.2. Локальный экстремум функции О
Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 , включая и саму точку x0 . Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f ( x ) , если существует такое δ > 0 , что
для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 + δ ) верно неравенство: ∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0 ( ∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ≥ 0 ). О
Значение функции f ( x ) в точке максимума называется локальным максимумом, а значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум называются локальными экстремумами. Эти определения означают, что f ( x0 ) - ло-
кальный максимум функции f ( x ) , если суще-
ствует такой интервал ( x0 − δ , x0 + δ ) , в котором
f ( x0 ) является наибольшим значением функ-
ции f ( x ) , и f ( x0 ) - локальный минимум функции
f ( x) ,
( x0 − δ , x0 + δ ) ,
если
существует
интервал
в котором f ( x0 ) является наименьшим значением функции на этом интервале. Термин локальный (местный) обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» бу-
20
Лекции 1 - 2
дем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума. О
Точка x0 называется точкой строгого максимума (минимума) функции f ( x ) , если существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих
условию 0 < x − x0 < δ , верно строгое неравенство f ( x ) − f ( x0 ) < 0 (со-
ответственно f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ). В приведенном определении не предполагается непрерывности функции f ( x ) в точке x0 . Пример: ⎧ x 2 , x ≠ 0, y=⎨ ⎩1, x = 0, В точке 0 - максимум, хотя в ней нет непрерывности функции.
1.2.3. Необходимые условия экстремума Т
Функция f ( x ) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная f ' ( x ) либо равна нулю, либо не существует. Доказательство: Пусть в точке x0 функция f ( x ) имеет производную и f ' ( x0 ) ≠ 0 . Пусть для определенности f ' ( x0 ) > 0 . Тогда функция
f ( x ) в точке x0 будет возрастающей. Поэтому найдется такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) верно неравенство f ( x ) < f ( x0 ) , а для всех x из ин-
( x0 , x0 + δ ) f ( x ) > f ( x0 ) .
тервала
верно неравенство
Из этого следует, что не существует окрестности точки x0 , в которой величина f ( x0 ) была бы наибольшим или наименьшим значением функ-
ции f ( x ) , и поэтому точка x0 не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции f ( x ) . Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при f ' ( x0 ) < 0 .
Исследование функций и построение графиков
21
Итак, если в точке x0 существует производная f ' ( x0 ) ≠ 0 , то в точке x0 не может быть ни максимума, ни минимума функции f ( x ) .
Следовательно, экстремум функции f ( x ) может быть только в такой точке, в которой производная f ' ( x ) либо равна нулю, либо не существует, что показано на рисунке. Функция y = f ( x ) имеет экстремумы в точках x1 , x2 , x3 , x4 ; при этом в точках
x1 и x4 производная f ' ( x ) не существует, а в точках x2 и x3 она равна нулю. О
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции f ( x ) , называются критическими точками этой функции. Они определяются как корни уравнения f ' ( x ) = 0 и как точки, где f ' ( x ) не существует (в частности, где f ' ( x ) - бесконечно большая функция).
Корни уравнения f ' ( x ) = 0 называют стационарными точками функции f ( x ) : скорость изменения f ( x ) в такой точке равна нулю.
Утверждение, обратное к теореме, неверно: не в каждой своей критической точке функция f ( x ) обязательно имеет максимум или минимум. Например, для функции f ( x ) = x 3 f ' ( 0 ) = 0 , поэтому точка x = 0 явля-
ется критической для данной функции. Но функция f ( x ) = x3 в точке x = 0
экстремума не имеет: f ( 0 ) = 0 , для x < 0 f ( x ) < 0 , для x > 0 f ( x ) > 0 , так что в точке x = 0 данная функция возрастает. Для функции ⎧ ⎫ ⎛1⎞ ⎪ x sin ⎜ ⎟ , x ≠ 0, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎝x⎠ ⎬ в точке x = 0 производная не существует, однако ⎪0, x = 0 ⎪ ⎩ ⎭ экстремум отсутствует.
1.2.4. Достаточные условия экстремума Т
Пусть x = x0 – критическая точка для функции f ( x ) и функция f ( x ) непрерывна в точке x0 . Пусть существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 )
производная f ' ( x ) > 0 , а для всех x из интервала ( x0 , x0 + δ ) f ' ( x ) < 0 , то есть при переходе x через точку x0 производная f ' ( x ) меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке x0 функция f ( x ) имеет максимум.
22
Лекции 1 - 2
Доказательство: Так как по условию
f ' ( x ) > 0 в интервале
( x0 − δ , x0 ) , то на отрезке [ x0 − δ , x0 ] функция f ( x ) возрастает; так как f ' ( x ) < 0 в интервале ( x0 , x0 + δ ) , то на отрезке [ x0 , x0 + δ ] функция f ( x ) убывает. Следовательно, f ( x0 ) есть наибольшее значение функции f ( x ) в окрестности ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , а это означает, что f ( x0 ) есть локальный максимум функции f ( x ) . Т
Пусть x = x0 – критическая точка для функции f ( x ) и функция f ( x ) непрерывна в точке x0 . Пусть существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) производная f ' ( x ) < 0 , а для всех x из интервала
( x0 , x0 + δ )
имеем
f ' ( x ) > 0 , то есть при переходе x через точку x0 производная f ' ( x ) ме-
няет знак с минуса на плюс. Тогда в точке x0 функция f ( x ) имеет минимум.
1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции Чтобы найти точки максимума и минимума функции f ( x ) , надо: 1). Найти производную f ' ( x ) , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение f ' ( x ) = 0 .
2). Найти точки, в которых производная f ' ( x ) не существует. Эти точки и корни уравнения f ' ( x ) = 0 будут критическими точками для функции
f ( x) .
3). Исследовать знак производной f ' ( x ) слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе x через критическую точку x0 производная f ' ( x ) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция
f ( x ) имеет максимум; если знак f ' ( x ) меняется с минуса на плюс, то в
точке x0 функция f ( x ) имеет минимум. Если при переходе x через критическую точку x0 знак f ' ( x ) не меняется, в точке x0 функция f ( x ) не имеет ни максимума, ни минимума.
23
Исследование функций и построение графиков
f ′ ( x0 − ∆x )
f ′ ( x0 )
f ′ ( x0 + ∆x )
>0
0, ± ∞ , ∃
>0
>0
0, ± ∞ , ∃
f ' ( x0 ) = 0 , а для всех x из интервала
( x0 , x0 + δ )
верно f ' ( x ) < f ' ( x0 ) = 0 . Таким образом, при переходе x через критическую точку x0 производная f ' ( x ) меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, функция
f ( x ) в точке x0 имеет максимум. Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке x0 вторая производная f '' ( x0 ) > 0 , то функция f ( x ) в точке x0 имеет минимум. f ′ ( x0 ) 0 0 0
f ′′ ( x0 )
Экстремум
0
max min
0
24
Лекции 1 - 2
2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Пусть кривая задана уравнением y = f ( x )
и пусть функция f ( x ) в точке x0 имеет конечную производную f ' ( x0 ) , то есть в точке
M 0 ( x0 , f ( x0 ) ) существует касательная к дан-
ной кривой, не параллельная оси Oy . О
О
Если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , что все точки данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположены выше касательной к кривой в точке M 0 , то говорят, что выпуклость данной кривой в точке M 0 направлена вниз. Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки x0 находятся ниже касательной к этой кривой в точке M 0 , то говорят, что выпуклость данной кривой в данной точке направлена вверх. Будем говорить, что график функции y = f ( x ) , дифференцируемой на интервале ( a, b ) , имеет на этом интервале выпуклость, направленную
вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала ( a, b ) лежит не выше ( не ниже) любой своей касательной. О графике, выпуклом вверх, часто говорят как о просто выпуклом, график, выпуклый вниз, называется вогнутым. Т
Если во всех точках интервала ( a;b ) функция f ( x ) имеет отрицатель-
ную вторую производную ( ∀x ∈ ( a; b ) f '' ( x ) < 0 ), то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если ∀x ∈ ( a; b ) f '' ( x ) > 0 - график выпуклый вниз. О
Точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) называется точкой
перегиба кривой y = f ( x ) , если: 1) в точке x0 существует касательная; 2) существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , что для x < x0 из
25
Исследование функций и построение графиков
этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при x > x0 - в противоположную. Т
Точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) может быть точкой перегиба кривой y = f ( x ) , только если f '' ( x0 ) = 0 (или f '' ( x0 ) не существует). Это условие не является достаточным. Так, например, для функции f ( x ) = x 4 имеем f '' ( x ) = 12 x 2 и f '' ( 0 ) = 0 , но точка O ( 0,0 ) не является
точкой перегиба кривой y = x 4 : в этой точке выпуклость кривой направлена вниз. Т
Пусть функция f ( x ) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0 , непрерывную в точке x0 . Если f '' ( x0 ) = 0 и при переходе x через точку
x0
вторая производная
f '' ( x ) меняет
знак, то точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) есть точка перегиба кривой y = f ( x ) .
Обобщение. Пусть кривая y = f ( x ) имеет в точке М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) касательную, параллельную оси Oy . Пусть функция f ( x ) в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , имеет непрерывную вторую производную. Если f '' ( x ) в точке x0 равна нулю или не существует и при переходе x через точку x0 производная f '' ( x ) меняет свой знак, то точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) - точка перегиба кривой y = f ( x ) .
f ′′ ( x0 − ∆x ) >0 >0 0 , а при − 3 < x < −1 y ′ < 0 . Интервалы возрастания есть (−∞;−1) и (−1; ∞) ; интервал убывания (−3;−1) . В области определения функции производная существует всюду и обращается в нуль при x = −3 и x = 0 . При x < −3 y ′ > 0 , а при x > −3 y ′ < 0 . Следовательно, точка x = −3 является точкой максимума. ( −3 )3 27 = − = −3,375. Находим значение функции при x = −3 : y( −3 ) = 8 8 При переходе через другую критическую точку x = 0 производная знак не меняет, т.е. x = 0 не является точкой экстремума. 3x 5). Находим вторую производную y ′′ = . Видим, что y′′ < 0 при ( x + 1 )4 x < −1 , интервал ( −∞; −1 ) является областью выпуклости. y′′ < 0 , также при −1 < x < 0 - это тоже область выпуклости; y′′ > 0 при x > 0 - это область вогнутости. В области определения функции y ′′ существует всюду; y ′′ = 0 при x = 0 . Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то x = 0 есть абсцисса точки перегиба. Находим y (0) = 0. Знак производной определяется знаком дроби
х
( −∞; −3)
у
y′ y′′
+ –
−
∩ График y = имеет вид:
−3
27 8 0 –
max 3
x 2 ⋅ ( x + 1) 2
−1
( − 1; 0 )
0
( 0;∞ )
∃
0
– –
∃ ∃
+ -
0 0
+ +
∩
перегиб
∪
( −3; −1)
∩
29
Исследование функций и построение графиков
Пример: Исследовать функцию y =
x3 и построить её график. x2 − 1
Решение: 1). Функция определена всюду, кроме точек x = ±1 . Точки пересечения графика с координатными осями:
x3 =0 ⇒ x =0; x2 − 1
y = 0 - точка пересечения с осями. 2). Функция нечетная, f ( − x ) = − f ( x ) , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при x ≥ 0 . 3). Точка x = 1 является точкой разрыва 2-го рода, график функции имеет вертикальную асимптоту x = 1 , lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = +∞ . x →1− 0
x →1+ 0
Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: k = lim
x →+∞
f ( x) ⎛ x3 ⎞ x2 x = lim 2 = 1 ; b = lim ⎜ 2 − x ⎟ = lim 2 = 0 , т.е. y = x явx →+∞ x →+∞ x →+∞ x x −1 x −1 ⎝ x −1 ⎠
ляется правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя). 4). Находим производную: y ′ =
x 2 ( x 2 − 3)
( x2 − 1)
2
. Знак производной определя-
ется знаком x 2 − 3 . При x > 3 y ′ > 0 , а при 0 < x < 1 и 1 < x < 3 y ′ < 0 . Интервал возрастания -
(
)
(
)
3;∞ ; интервалы убывания - ( 0;1) и 1; 3 .
В области определения функции производная обращается в нуль при x=0 и x= 3. При x < 3 y ′ < 0 , а при x > 3 y ′ > 0 . Следовательно, точка x = 3 является точкой минимума.
( 3) =
3
Находим значение функции при x = 3 : y
( 3)
2
=
3 3 . 2
При переходе через критическую точку x = 0 производная знак не меняет, т.е. x = 0 не является точкой экстремума. 5). Находим вторую производную y ′′ = 0 < x < 1 , на интервале
( 0;1)
2 x ( x 2 + 3)
( x2 − 1)
3
. Видим, что y′′ < 0 при
график функции выпуклый вверх. При
x > 3 y′′ > 0 - график функции выпуклый вниз. В области определения функции y ′′ существует всюду; y ′′ = 0 при x = 0 .
30
Лекции 1 - 2
Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то x = 0 есть абсцисса точки перегиба. Находим y (0) = 0.
(
1
∃
0
–
∃
–
0
–
0
–
∃
+
+
+
перегиб
∩
∪
min
∪
0
у
0
y′ y′′
График y =
(1; 3 )
( 0;1)
х
3 −
3 3 2
3;∞
)
x3 имеет вид: x2 − 1
Пример: Исследовать функцию y = 3 2 x 2 − x 3 и построить её график. Решение: 1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения y = 0 и
3
2 x 2 − x 3 = 0 ; получаем, что ось
Oy пересекается в точке с y = 0 , а ось Ox - в точках x = 0 и x = 2 . 2). Функция общего вида. 3). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. 3 f ( x) 2x 2 − x3 2 k = lim = lim = lim 3 − 1 = −1 , x →∞ x → ∞ x → ∞ x x x
b = lim( 3 2 x 2 − x 3 + x ) = lim x( 1 + 3 x →∞
x →∞
2 −1 ) = x
31
Исследование функций и построение графиков
1 ⎛ −2 ⎞ ⎜ 2⎟ 2 2 ⎝x ⎠ 3 3 1+ −1 3 −1 0 2 ⎛ ⎞ x x = lim = ⎜ ⎟ = lim = . x →∞ 1 1 3 ⎝ 0 ⎠ x →∞ − 2 x x При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для
⎛0⎞ раскрытия неопределённости типа ⎜ ⎟ . ⎝0⎠ 2 Итак, у графика есть наклонная асимптота; еe уравнение y = − x + . 3 4). Находим производную: y ′ = ляется знаком выражения
0< x
0 и при x > y′ < 0 . 3 3
Получаем, что в области x < 0 функция убывает, при 0 < x < тает и при x >
4 - возрас3
4 - убывает. 3
Находим критические точки. y ′ = 0 при x =
4 , y ′ не существует при 3
x = 0, x = 2 . При переходе через x = 0 знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При x = 0 производная не существует, значит, минимум острый.
y (0) = 0. При переходе через вторую критическую точку x = няет знак с (+) на (-) , т.е. при x =
4 производная ме3
4 ⎛4⎞ 2 - максимум: y ⎜ ⎟ = 3 4 . 3 ⎝3⎠ 3
При переходе через x = 2 знак производной не меняется, значит экстремума нет. 5). Находим вторую производную: y ′′ = −
8 3
9 x 4 (2 − x)
5
. 3
32
Лекции 1 - 2
Видим, что y ′′ < 0 при x < 0 ; в этой области график выпуклый; y ′′ < 0 при 0 < x < 2 , т.е. интервал (0;2) также является областью выпуклости.
При x > 2 y ′′ > 0 , следовательно, при x > 2 график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при x = 0 и при x = 2 .
При переходе через первую точку знак y ′′ не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами
x = 2,
y( 2 ) = 0 . График y = 3 2 x 2 − x 3 имеет вид:
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: точки разрыва, асимптоты графика, экстремумы функции, точки перегиба. Студент должен уметь: применять общую схему исследования функции, строить графики сложных функций.
Лекции 3 - 4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ Комплексные числа – расширение множества действительных чисел, широко применяющееся в естественных и прикладных дисциплинах. Использование комплексных чисел позволяет наиболее естественным образом описать многие процессы, в частности, колебательные. Изучение функций комплексного переменного привело к углублению и расширению знаний о функциях действительных переменных и породило множество мощных вычислительных методов.
3.1. Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа 3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа 3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 3.4. Действия над комплексными числами 3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень 3.4.3. Комплексное сопряжение 3.4.4. Извлечение корня 3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента 4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена 4.2. Основная теорема алгебры 4.3. Примеры решения задач 4.4. Разложение правильных рациональных дробей 4.5. Примеры решения задач
3.1. Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа О
Комплексным числом называют упорядоченную пару действительных чисел z = ( x, y ) со следующими свойствами:
1) два комплексных числа z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) равны тогда и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2 ; 2) сумма двух комплексных чисел z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) определяется следующим образом: z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .
34
Лекции 3 - 4
3) произведение двух комплексных чисел z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) определяется следующим образом:
z1 ⋅ z2 = ( x1 , y1 ) ⋅ ( x2 , y2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) . !
Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел, все они являются парами вида ( x ,0 ) . В дальнейшем будем обозначать
( x, 0 ) = x .
О
Пары вида ( 0, y ) называются чисто мнимыми числами.
О
Пара i = ( 0,1) носит специальное название - мнимая единица. Согласно свойству 3) i ⋅ i = ( −1,0 ) = −1 .
С
Каждое комплексное число z = ( x , y ) можно записать в виде суммы действительного числа x = ( x ,0 ) и чисто мнимого числа iy = ( 0, y ) :
z = ( x , y ) = ( x ,0 ) + ( 0, y ) = x + iy . Действительное число x = Re z называется действительной частью комплексного числа z , действительное число y = Im z называется мнимой частью z . О Комплексное число z = 0 , если x = Re z = 0 и y = Im z = 0 . О
О
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.
3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа Так как z = (x, y) определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа точкой М некоторой плоскости с координатами (x, y). Такую плоскость называют комплексной, ось абсцисс - действительной осью, ось ординат – мнимой осью. При этом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством всех комплексных uuuu чисел r z = (x, y) и множеством точек М(x, y) или множеством радиус-векторов OM .
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
35
uuuur Введем на плоскости XOY полярные координаты (r, ϕ). Длина вектора OM называется модулем комплексного числа z и обозначается z или r : uuuur z = r = OM = x 2 + y 2 .
uuuur Угол ϕ между радиус-вектором OM и положительным направлением оси OX называют аргументом комплексного числа z: ϕ = Arg ( z ) . Угол ϕ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2π k . Удобно работать с приведенным аргументом ϕ = arg ( z ) , 0 ≤ ϕ < 2π (либо −π ≤ ϕ < π ). Для числа z = 0 + i0 аргумент не определён. При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом: y ⎧ ⎪arctg x , если x > 0, ⎪ y ⎪ ϕ = ⎨arctg + π , если x < 0, y > 0, (для 0 ≤ ϕ < 2π ). x ⎪ y ⎪ − π , если x < 0, y < 0. arctg ⎪⎩ x Практически, для определения ϕ = arg( z ) решают систему уравнений y x cosϕ = , sin ϕ = и изображают z вектором, чтобы определить, в каком r r квадранте лежит точка. Так как x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , то комплексное число z = x + iy можно записать в следующем виде: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , которое называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Используя формулу, полученную Эйлером: eiϕ = cos ϕ + isinϕ (которая будет доказана позже, при изучении теории рядов), можно получить еще одну, показательную, форму комплексного числа: z = r eiϕ . Комбинируя
eiϕ = cosϕ + isinϕ
и
e − iϕ = cos ( −ϕ ) + isin ( −ϕ ) = cosϕ − isinϕ ,
eiϕ + e − iϕ eiϕ − e − iϕ можно получить выражения cosϕ = , sinϕ = . 2i 2
36
Лекции 3 - 4
Пример: Записать число z = 2 − i 2 в различных формах. Дать геометрическую интерпретацию. Решение: Алгебраическая форма: z = 2 − i 2 ; r = z = 2+2 = 2; тригонометрическая форма:
2 7π 2 7π , − = cos = sin , 2 4 2 4 7π , откуда ϕ = arg( z ) = 4 ⎛ 2 2⎞ 7π 7π ⎞ ⎛ z = 2 ⎜⎜ −i + i sin ⎟⎟ = 2 ⎜ cos ⎟; 2 ⎠ 4 4 ⎠ ⎝ ⎝ 2 показательная форма: z =
7π 2e 4
π ϕ=−
4
r =2
.
3.4. Действия над комплексными числами Операции в арифметической форме производятся в соответствии с условием i ⋅ i = ( −1,0 ) = −1 и с обычными правилами алгебры. Обозначим
z1 = ( x1 , y1 ) = x1 + iy1 , z2 = ( x2 , y2 ) = x2 + iy2 .
3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание Сравнение чисел в алгебраической форме: z1 = z2 , если x1 = x2 и y1 = y2 . Если числа заданы в тригонометрической или показательной форме: z1 = r1 (cos ϕ1 + i sinϕ1 ) ,
z2 = r2 (cos ϕ2 + i sinϕ2 ) или z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , ⎧r = r , то z1 = z2 , если ⎨ 1 2 ⎩ϕ1 = ϕ 2 + 2π k ; k ∈ Z . Сложение в алгебраической форме: z1 + z2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) . Вычитание определяется как действие, обратное сложению: пусть z = z1 − z2 , тогда z1 = z + z2 , z1 = x1 + iy1 = x + x2 + i ( y + y2 ) ,
37
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
откуда
z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) .
С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.
3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень Умножение в алгебраической форме: z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix2 y1 + ix1 y2 + i 2 y1 y2 =
= ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) . В тригонометрической форме: z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos ϕ1 + i sinϕ1 ) ⋅ (cos ϕ2 + i sinϕ2 ) = = r1r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 - sinϕ1sinϕ2 + i( sinϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1sinϕ2 ) = = r1r2 (cos( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) , т.е. z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) . В показательной форме: i ϕ +ϕ z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 ⋅ eiϕ1 ⋅ eiϕ2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e ( 1 2 ) , т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Деление определяется как действие, обратное умножению: z (x ,y ) z = 1 = 1 1 = ( x, y ) , z2 ( x2 , y2 ) откуда z1 = z ⋅ z2 . Запишем соответствующую формулу для алгебраической формы комплексного числа: z1 = z ⋅ z2 = ( x1 , y1 ) = ( xx2 − yy2 , xy2 + x2 y ) , откуда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: ⎧ xx2 − yy2 = x1 ⎨ ⎩ xy2 + x2 y = y1 Решаем, используя формулы Крамера:
x1 ∆ = x 22 + y22 ≠ 0; x =
-y 2
x2
x1
y1 x 2 y y1 ; y = 22 , 2 2 x 2 + y2 x 2 + y22
z1 x1 x2 + y1 y2 x y −x y = + i 2 21 12 2 . 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
38
Лекции 3 - 4
В тригонометрической форме:
z1 r1 = [cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 )] , z2 r2 в показательной форме:
z1 r1 i( ϕ1 −ϕ2 ) = е , z2 r2 т.е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя. Возведение в целую степень выводится на основе обобщения операции умножения: z = r(cos ϕ + i sinϕ ) , z 2 = z × z = r 2 (cos 2ϕ + i sin2ϕ ) ;
zn = 1 z4 × z24 ... ×3z = r 2 (cos2ϕ + i sin2ϕ ) 1 z4 × z24 ... ×3z = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ; n-2
n
z = r (cos nϕ + i sin nϕ ) ; n
n
z = reiϕ , z n = r n einϕ . Сравним последние две формулы: еinϕ = cos nϕ + i sin nϕ , с другой стороны: еinϕ = (еiϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n ⇒ (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ . нее соотношение называется формулой Муавра.
Послед-
Пример: Найти z 11 , если z = 1 − i . Решение:
z = 2 ; arg z = − Тогда z = 2 ⋅ e
−i
π
4
( z расположено в IV квадранте).
π 4
.
⎛ 11π ⎛ 11π ⎞ ⎞ = 2 ⎜ cos + i sin ⎜ − ⎟⎟ = 4 ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ 11 11 ⎛ 3π 3π ⎞ 2 2⎞ ⎛ 5 2 2 = 2 2 ⎜ cos − i sin = −i ⎜⎜ − ⎟⎟ = −2 (1 + i ). ⎟ 4 4 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 z = ( 2) ⋅ e 11
11
11 −i π 4
11 2
3.4.3. Комплексное сопряжение О Комплексным числом, сопряженным к z = x + iy , называется комплексное число z , отличающееся от z только знаком мнимой части: z = x − iy . Свойства операции сопряжения: 1°. 2°.
z = z; z = z тогда и только тогда, когда z - действительное число;
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
3°.
z1 ± z2 = z1 ± z2 ,
4°.
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ,
39
⎛ z ⎞ (z ) 5°. ⎜ 1 ⎟ = 1 , ⎝ z2 ⎠ ( z2 ) 6°. z ⋅ z = x 2 + y 2 . Докажем некоторые соотношения. В алгебраической форме: z = x + iy, z = x - iy . Вычислим: а) z + z = ( x + iy ) + ( x − iy ) = 2 x , следовательно, z + z = 2 x ; z − z = 2iy ; б) zz = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 , следовательно: z ⋅ z = x 2 + y 2 . Тогда z1 z1 ⋅ z2 ( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 − x1 y2 ) = = = z 2 z2 ⋅ z2 x22 + y22 =
x1 x2 + y1 y2 x y −x y + i 2 21 12 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2
В тригонометрической форме:
z = z (cosϕ + i sin ϕ ) ;
z
z = z (cos ϕ − i sin ϕ ) = z (cos(−ϕ ) + i sin( −ϕ )) . В показательной форме:
z = z eiϕ , z = z e − iϕ .
z
Геометрически - комплексное сопряжение есть операция симметричного отражения вектора, соответствующего числу z относительно действительной оси. Вывод: пользуясь алгебраической формой комплексного числа, можно производить операции сложения, умножения, вычитания по обычным правилам умножения многочленов. При делении комплексных чисел эффективно использовать прием умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Свойства операций сложения и умножения: 1°. z1 + z2 = z2 + z1 , 2°. ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) , 3° z1 z2 = z2 z1 , 4°. ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) , 5°.
( z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3 .
40
Лекции 3 - 4
Пример: Найти z и arg z для числа: z = 1 + i . Решение:
y x
z = 1 + i , z = 1 + 1 = 2 , α = arctg = arctg1 =
π 4
z =1+i
1 . α
1
0
3.4.4. Извлечение корня Определяется как действие обратное возведению в степень. Число b называется корнем n-ой степени из числа z и обозначается b = n z , если bn = z . Пусть z = reiϕ , а b = ρ eiθ и r , ϕ известны. Найдем ρ , θ . Два комплексных числа равны bn = z , если равны их модули ρ n = r ⇒ ρ = n r и аргументы отличаются на 2kπ . nθ = ϕ + 2kπ ⇒ θ = окончательно
n
iϕ
re = r e n
ϕ 2π i ( +k ) n n
ϕ + 2kπ n
,
n
iϕ
re = r e n
i
ϕ + 2кπ n
или
.
Различных (неодинаковых) значений корней будет ровно n, и они будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, …, n-1. i
ϕ
b0 = r e n , k = 0 , n
b1 = r e n
ϕ 2π ) i( + n n
b2 = n r e
ϕ
, k = 1,
2π i ( +2 ) n n
bn −1 = r e n
, k = 2,
ϕ 2π i ( + ( n −1) ) n n
Если же, например, k = n , то
bn = r e n
i(
ϕ 2π n n
+
=
n
n
)
= i
n
r e
i(
ϕ n
, k = n −1.
+ 2π )
i
ϕ
= re n ⋅ ei 2π = n
ϕ
re n ⋅ 1 = b0 → bn = b0 ,
аналогично bn+1 = b1 и т.д. Вывод: корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений. ! Числа b0 ,b1 ,...,bn−1 имеют одинаковый модуль, и так как аргументы отличаются, следовательно, значения корня будут изображаться точками на окружности.
41
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
Пример: Вычислить и изобразить на комплексной плоскости Решение: Запишем число i в показательной форме: i
4
i
π
w=i=e2; i
4
π
⎛π ⎞ i ⎜ + 2π k ⎟ ⎝2 ⎠
4
z= w= e = e Возможно четыре 4
k = 0,1, 2, 3 : z3 = e
π
π
i ( +3 ) 8 2
2
i ⎛π ⎞ ⎜ + 2π k ⎟ 4⎝ 2 ⎠
=e различных
i
π
z0 = e , (k = 0) , 8
⎛π πk ⎞ i⎜ + ⎟ ⎝8 2 ⎠
=e . значений корня,
z1 = e
π π
i( + ) 8 2
, (k = 1) ,
соответствующих z2 = e
, (k = 3) . z1 получен из корня z0 поворотом на
совой стрелки, z2 из z0 поворотом на π и т.д.
π
i ( +π ) 8
, (k = 2) ,
р против ча2
Пример: Вычислить 6 1 + i 3 ; изобразить схематично значения корня на комплексной плоскости. Решение: i
π
w = 1 + i 3 = 2e 3 ;
π
1 6
z = 6 2=2 ; θ = 3
+ 2π k 6
; k = 0,1, 2,3, 4,5 .
Начальный аргумент при k = 0 равен θ =
π 18
.
Значения корня: i
π
i
7π
z1 = 6 2 e 18 , z2 = 6 2 e 18 , z3 = 6 2 e z4 = 6 2 e
19π i 18
, z5 = 6 2 e
25π i 18
i
13π 18
, z6 = 6 2 e
,
31π i 18
.
Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом 6 2 .
Пример: Решить уравнение z 2 + z + 1 = 0 . Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая −1+ i 3 −1− i 3 , z2 = −1 = i , получим: z1 = . 2 2 Рассмотренное уравнение имело вещественные коэффициенты.
42
Лекции 3 - 4
Пример: Решить уравнение z 2 + (−3 + i 2) z + 5 − i = 0 . По формуле корней квадратного уравнения −( −3 + 2i ) + ( 2i − 3 )2 − 4( 5 − i ) 3 − 2i + −15 − 8i = . 2 2 Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим − 15 − 8i = x + iy. Возводим обе части в квадрат и находим − 15 − 8i = x 2 − y 2 + 2ixy , откуда x 2 − y 2 = −15 ; 2 xy = −8 . Эта система имеет решения: x1 = 1, y1 = −4, x 2 = −1, y 2 = 4; поэтому z=
z1 =
3 − 2i + (1 − 4i ) 3 − 2i + (−1 + 4i ) = 2 − 3i, z 2 = = 1 + i. 2 2
3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента Если каждому действительному t ставится в соответствие комплексное z, то z = z (t ) называют комплекснозначной функцией действительного аргумента. z = eiϕ - комплекснозначная функция действительного аргумента ϕ . В алгебраической форме: z (t ) = x(t ) + i y (t ) . Так как z (t ) соответствует вектору с координатами х(t ) и y (t ) , то задание функции z (t ) эквивалентно заданию вектор - функции скалярного аргумента. Теория комплекснозначных функций скалярного аргумента совпадает с теорией векторных функций скалярного аргумента. z' (t ) = x′(t ) + iy′(t ) - формула дифференцирования комплекснозначной функции. О
4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена О
Многочленом называется функция вида:
Pn ( z ) = a0 z n + ... + an−2 z 2 + an−1 z + an ; a0 ≠ 0 , где n – степень многочлена (n – натуральное), а коэффициенты a0 ,..., an могут быть как действительными, так и комплексными, z – комплексная переменная. При a0 = 1 многочлен называется приведённым. О Рациональной дробью называется отношение двух многочленов
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
43
Pm ( z ) b0 z m + b1 z m−1 + ... + bm−1 z + bm = . Pn ( z ) a0 z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + an При m < n дробь называется правильной, при m ≥ n дробь называется неправильной. Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби; вид многочлена находится при делении «уголком» или по схеме Горнера. Свойство деления можно записать следующим образом:
R (z) Pm ( z ) . = Ql ( z ) + p Pn ( z ) Pn ( z ) Здесь Ql ( z ) , R p ( z ) - многочлены степени l и p соответственно;
Ql ( z ) - частное (целая часть дроби); l ≤ m , l + n = m , R p ( z ) - остаток ( p < n ). Пример: 2 z 3 + 3z 2 + 6 z − 3 3z − 4 = 2z +1+ 2 . 2 z + z +1 z + z +1
!
О
Pm ( z ) = Q1 ( z ) ; Pm ( z ) = Pn ( z ) ⋅ Ql ( z ) . В этом случае гоPn ( z ) ворят о делении нацело. Если R p ( z ) = 0 ⇒
Корнем многочлена Pn ( z ) называют число z0 , удовлетворяющее уравнению Pn ( z ) = 0 или в развёрнутом виде.
a0 z n + ... + an−2 z 2 + an−1 z + an = 0; a0 ≠ 0 . Данное уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени. Т
Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении Pm ( z ) на (z-a), равен Pm ( a ) Доказательство: По условию Pn ( z ) = P1 ( z ) = z − a . По основному свойству:
Q1 ( z ) = Qm −1 ( z ) , R p ( z ) = R0 ( z ) = R0 . Тогда Pm ( z ) = Qm−1( z ) ⋅ ( z − a ) + R0 .
Положим z = a , тогда получим равенство Pm (a ) = R0 , что и требовалось доказать. С Для того чтобы многочлен Pn ( z ) делился на выражение ( z − a ) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число z = a было корнем этого многочлена. Таким образом, если z = z0 - корень Pn ( z ) , то Pn ( z ) = ( z − z0 ) ⋅ Qn−1( z ) . Другие корни Pn ( z ) следует искать из уравнения: Qn −1 ( z ) = 0 и т.д.
44
Лекции 3 - 4
Пример:
z =1 Проверить, что является корнем многочлена 3 2 P3 ( z ) = z + z + 3 z − 5 и найти другие корни многочлена. Решение: Так как P3 (1) = 1 + 1 + 3 − 5 = 0 , то z = 1 является корнем многочлена P3 ( z ) и многочлен P3 ( z ) делится на z − 1 без остатка. −
z 3 + z 2 + 3z − 5 | z − 1 z3 − z2 −
z 2 + 2z + 5
2 z 2 + 3z
⇒ P3 ( z ) = ( z − 1)( z 2 + 2 z + 5).
2z − 2z 2
−
5z − 5 5z − 5 0
Для отыскания других корней многочлена решим уравнение z 2 + 2z + 5 = 0 : z = −1 ± 1 − 5 = −1 ± 2i. Итак, многочлен 3 2 P3 ( z ) = z + z + 3 z − 5 имеет один действительный корень z1 = 1 и два комплексно-сопряженных корня z 2 = −1 + 2i , z 3 = −1 − 2i.
О
Если Pn ( z ) = ( z − z0 ) k ⋅ Qn − k ( z ) , где Qn-k ( z0 ) ≠ 0, то z0 называют корнем кратности к многочлена P n ( z ) . Пример:
P 3 ( z ) = z 3 + 3z 2 + 3z + 1 = ( z + 1)( z + 1)( z + 1) = ( z + 1)3 ; z 0 = −1 - корень кратности 3.
4.2. Основная теорема алгебры Т С
Любой многочлен Pn ( z ) при n ≥ 1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный). 1). Каждый многочлен Pn ( z ) имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. 2). Всякий многочлен n-й степени с учетом теоремы Безу разлагается на n линейных множителей вида z − zk и множитель, равный коэффициенту при z n : Pn ( z ) = a0 ⋅ ( z − z1 ) ⋅ ( z − z2 )...( z − zn ) . Для случая кратных (повторяющихся) корней формула группируется следующим образом: Pn ( z ) = an ⋅ ( z − z1 )k1 ⋅ ( z − z2 )k2 ...( z − zm )km
45
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
здесь zi – корни кратности ki , i = 1,2,K ,m , k1 + k2 + ...+ km = n Рассмотрим случай многочленов с действительными коэффициентами. Т Если многочлен Pn ( z ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z0 = α + i β кратности к, то он имеет и комплексносопряженный корень z0 = α − i β той же кратности. Вывод: комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами. Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейТ ные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим линейные множители вида z − zl , где zl - действительное число, и объединим множители вида ( z − zl ) ⋅ ( z − zl ) , где zl - комплексное число. Тогда ( z − zl ) ⋅ ( z − zl ) = z 2 − z( zl + zl ) + zl ⋅ zl . Но zl + zl = (α + i β ) + (α − i β ) = 2α , zl ⋅ zl = ( α + iβ ) ⋅ ( α − iβ ) = α 2 + β 2 являются действительными числами, обозначим их p и q соответственно. Тогда ( z − zl ) ⋅ ( z − zl ) = z 2 + pz + q где p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, многочлен Pn (z ) с действительными коэффициентами имеет следующее разложение: s
s
s
k
k
Pn ( z ) = a0 ( z − z1 ) 1 ( z − z2 ) 2 K ( z − zi ) i ( z 2 + p1 z + q1 ) 1 K ( z 2 + p j z + q j ) j , где s1 + s2 + K + si + 2k1 + K + 2k j = n . Данное выражение представляет собой произведение множителей двух типов: 1). Линейные множители ( z − zi )si , где zi - действительный корень кратности si . 2). Квадратичные множители ( z 2 + pz + q ) с действительными коэффициенkj
тами p, q и отрицательным дискриминантом D = p 2 − 4q < 0 . Данные множисоответствуют паре комплексно+ pz + q ) = ⎡⎣( z − z j ) ⋅ ( z − z j ) ⎤⎦ сопряженных корней z j , z j кратности k j . тели
(z
2
kj
kj
46
Лекции 3 - 4
Пример: Разложить на множители P ( x) = х 3 + 1 .
P ( х ) = х 3 + 1 = ( х + 1)( х − х + 1) , x1 = −1 -действительный корень, у квад2
ратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней:
1 ± 1-4 1 ± −3 1 ± 3 ⋅ −1 1 ± i 3 = = = , 2 2 2 2 ⎛ 1+ i 3 ⎞⎛ 1− i 3 ⎞ P ( x ) = ( x + 1) ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟. 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ x2,3 =
4.3. Примеры решения задач
Пример: Разложить на множители многочлен P4 ( z ) = z 4 + 1 . Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни: iπ
z = −1 + 0i = e ; −1 + 0i = e 4
4
i
i( π + 2 kπ ) 4
π
Корни многочлена: z1 = e ; z 2 = e 4
i
3π 4
; где k = 0;1;2;3.
; z3 = e
i
5π 4
; z4 = e
i
7π 4
.
Пары z1 , z 4 ; z 2 , z 3 - сопряженные: z 4 + 1 = ( z − z1 )( z − z 4 )( z − z 2 )( z − z 3 ); объединим сомножители попарно:
z 4 + 1 = ( z 2 − z ( z1 + z4 ) + z1 z4 )( z 2 − z ( z2 + z3 ) + z 2 z3 ) , z1 + z4 = cos
π 4
+ i sin
π 4
+ cos
7π 7π + i sin = 4 4
=
2 2 2 2 +i + −i = 2, 2 2 2 2
z1 ⋅ z4 = 1 . Аналогично, z2 + z3 = − 2, z2 ⋅ z3 = 1 .
Тогда Pn ( z ) = z 4 + 1 = ( z 2 + 2 z + 1 )( z 2 − 2 z + 1 ).
47
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
Пример: Дать геометрическое описание множества всех плоскости, удовлетворяющих условиям:
точек
комплексной
⎧1 ≤ z ≤ 5, ⎨ ⎩ Im z ≤ 0. Решение: Запишем z в алгебраической форме z = x + yi , тогда из условия :
⎧⎪1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 5 ⎧12 ≤ x 2 + y 2 ≤ 52 ⇒⎨ . ⎨ y≤0 y≤0 ⎪⎩ ⎩
y
−5
−1 0 1
5
x
Искомое множество: нижняя половина кольца с внутренним радиусом R1 = 1 и внешним R2 = 5 .
Пример: Представить в тригонометрической и показательной формах числа 2 2 + z1 = i; z2 = 5 − 12i; z3 = −i. 2 2 Решение: z1 = x1 + iy1 = z1 eiϕ1 ; π 1 1 π π i + = 1 ; z1 = e 4 = cos + i sin ; 4 4 2 2 z2 = 25 + 144 = 169 = 13 ;
ϕ1 = arctg
y π = , x 4
z1 =
⎛ 12 ⎞ ⎟; ⎝ 5⎠
ϕ2 = arctg ⎜ −
⎛ 12 ⎞ i arctg ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠
z2 = 13e
z3 = 1 + 0 = 1 ;
ϕ2 − угол, лежащий в IV четверти.
⎛ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎞ = 13 ⎜ cos arctg ⎜ − ⎟ + i sin arctg ⎜ − ⎟ ⎟ ; ⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠⎠ ⎝ π π π π −i ϕ3 = − ; z3 = e 2 = cos − i sin .
2
2
2
Пример: Выполнить действие:
i i i2 + 2 + + . i i 9 + 2i 8 + i 7 + 11 i 2 + 2
Решение: Поскольку i 2 = −1; i 4 = 1,... i 9 = i, i 8 = +1, i 7 = −i.
i i i2 + 2 i i −1 + 2 + 2 + = + + = 9 8 7 i + 2i + i + 11 i + 2 i i + 2 − i + 11 −1 + 2 i =
i i +i −i = . 13 13
48
Лекции 3 - 4
Пример: Вычислить Решение: 4
z=
z ⋅e
4
2 + 2i .
4
i
ϕ + 2π k 4
; где k = 0; 1; 2; 3 .
z = 2 + 2 = 2; ϕ = arctg i
π
i
2 π = ; 2 4
9π
z1 = 4 2e 16 ; z2 = 4 2e 16 ; z3 = 4 2e
i
ϕ - угол, лежащий в I четверти. 17π 16
; z4 = 4 2 e
i
25π 16
.
Пример: Разложить многочлен x 4 + 6 x3 + 25 x 2 + 68 x на множители с действительными коэффициентами. Решение: Очевидно, что x1 = 0 . Подбором среди делителей свободного члена находим x 2 = −4 , с помощью деления “уголком” получаем:
x 4 + 6 x 3 + 25 x 2 + 68 x = x 2 + 2 x + 17; D = 4 − 4 ⋅ 17 < 0 . x( x + 4 ) Тогда разложение имеет вид : x 4 + 6 x 3 + 25 x 2 + 68 x = x( x + 4 )( x 2 + 2 x + 17 ) .
Пример: Решить биквадратное уравнение z 4 + 4 z 2 + 3 = 0 . Решение: z4 + 4z2 + 3 = z2 + 1 z2 + 3 = 0 .
(
)(
)
z1,2 = − 1 = 0 ± i ; z 3,4 = − 3 = 0 ± i 3 .
Пример: Разложить многочлен на квадратные множители при условии, что задан один из корней. x 4 + 8 x3 + 21x 2 + 8 x + 20; x1 = −4 + 2i . Решение: Так как для многочлена с действительными коэффициентами корни появляются только сопряженными парами, то x 2 = −4 − 2i . Соответствующий квадратный трехчлен имеет вид: ( x − x1 ) (x − x2 ) = (x + 4 − 2i)(x + 4 + 2i) = ((x + 4)2 − 4i 2 ) =
= x 2 + 8 x + 20. 2 Делением начального многочлена на (x + 8 x + 20) получаем:
x 4 + 8 x 3 + 21x 2 + 8 x + 20 = (x 2 + 8 x + 20)(x 2 + 1) .
49
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
Пример: Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z − i = 1.
y
Решение:
1
z − 1 = x + iy − i = x + i ( y − 1) = x + ( y − 1) = 1 , 2
2
0
x
⇒ x 2 + ( y − 1) 2 = 1 . Следовательно, искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты (0;1) .
4.4. Разложение правильных рациональных дробей Т
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырех типов: A A Bx + C Bx + C , p2 − 4q < 0 . ; ; 2 ; 2 k k x - a ( x - a ) x + px + q ( x + px + q ) При этом каждому действительному корню а кратности m в разложении знаменателя Pn (x) соответствует сумма A1 A2 Am + + ...+ . 2 x - a ( x - a) ( x - a) m Каждой комплексно сопряженной паре корней zi , zi кратности m соответствует сумма M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nm + 2 2 + ...+ 2 m . 2 2 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q ) m Коэффициенты Ai ,M i ,N i находятся методом неопределённых коэффициентов при одинаковых степенях x в числителях после приведения к общему знаменателю правой части разложения. Пример: Разложить правильную дробь
(x
x
2
− 1) ( x − 2 )
на сумму простейших дро-
бей. Преобразуем знаменатель, пользуясь формулой разности квадратов: ( x2 − 1) ( x − 2 ) = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 ) ;
A A A1 , ( x + 1) ⇒ 2 , ( x − 2 ) ⇒ 3 ; x −1 x +1 x−2 A3 x A1 A2 = + + . ( x 2 − 1) ( x − 2 ) x − 1 x + 1 x − 2
( x − 1) ⇒
50
Лекции 3 - 4
x = A1 ( x + 1) ( x − 2) + A2 ( x − 1)( x − 2) + A3 ( x − 1)( x + 1) . Первый способ нахождения коэффициентов. Равенство справедливо для любого x , в том числе и для x = − 1: − 1 = A2 (−2)(−3) x = 2: 2 = A3 ⋅ (1) ⋅ 3 x = 1: 1 = A1 ⋅ 2 ⋅ (−1) 1 1 2 ⇒ A1 = − , A2 = − , A3 = 2 6 3 Второй способ нахождения коэффициентов. Многочлены равны, когда равны коэффициенты перед одинаковыми степенями x. x 2 : A1 + A2 + A3 = 0; x1 : − A1 − 3 A2 = 1; x 0 : −2 A1 + 2 A2 − A3 = 0 ⇒ 1 1 2 ⇒ A1 = − , A2 = − , A3 = . 2 6 3 1 1 2 x . Ответ: 2 =− − + ( x − 1) ( x − 2 ) 2( x − 1) 6( x + 1) 3( x − 2)
Пример: x2 − 1 на сумму простейших дробей. x( x 2 + 1) 2
Разложить правильную дробь
Порядок многочлена x ( x 2 + 1) в знаменателе равен 5. 2
x⇒
(x
2
A ; x
+ 1) ⇒ 2
B1 x + D1 B2 x + D2 + ; ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) 2
x2 −1 A B x + D1 B2 x + D2 ; = + 12 + 2 2 x( x + 1) x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2 x 2 − 1 = A( x 2 + 1 )2 + ( B1 x + D1 ) x( x 2 + 1 ) + ( B2 x + D2 ) x ; x = 0 : A = −1 ; x 4 : A + B1 = 0 ; x3 :D1 = 0 ;
x 2 : 2 A + B1 + B2 = 1 ; x : D1 + D2 = 0; ⇒ A = −1, B1 = 1, D1 = 0, D2 = 0, B2 = 2 . x2 −1
x ( x 2 + 1)
2
1 x 2x =− + 2 + . x x + 1 ( x 2 + 1)2
51
Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
Пример: Разложить рациональную дробь на сумму простейших, предварительно выделив целую часть:
x3 − x + 8 . x3 − 2 x 2 + x + 4
Решение: Разделив «уголком», получим: Разложим
на
x3 − x + 8 2x2 − 2 x + 4 . =1+ 3 x3 − 2 x 2 + x + 4 x − 2x2 + x + 4
множители
знаменатель:
x1 = −1;
x − 2x + x + 4 = x 2 − 3x + 4; x +1 x 3 − 2 x 2 + x + 4 = ( x + 1)( x 2 − 3x + 4). 3
2
2 x2 − 2 x + 4 A Bx + C = + 2 = Ax 2 − 3 Ax + 4 A + Bx 2 + Bx + Cx + C . 2 ( x + 1)( x − 3x + 4) x + 1 x − 3x + 4 A = 1; ⎫ ⎪ x : −3 A + B + C = −2 ⎬ ⇒ B = 1; x 0 : 4 A + C = 4 ⎪⎭ C = 0. x 3 − x + 16 1 x . =1+ + 2 Искомый результат: 3 2 x − 2x + x + 4 x + 1 x − 3x + 4 x2 :
A+ B = 2
1
4.5. Примеры решения задач Пример: Разложить на сумму простейших дробей дробь
10 . x +x 3
Решение: Знаменатель P3 ( x) = x 3 + x , корни x1 = 0; x 2 ,3 = 0 ± i .
P3 ( x) = x( x 2 + 1).
10 A Bx + C Ax 2 + A + Bx 2 + Cx = + 2 = . x3 + x x x +1 x( x 2 + 1 ) Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях x : 10 = Ax 2 + A + Bx 2 + Cx; x 2 : A + B = 0⎫ A = 10; ⎪ x1 : C = 0 ⎬ ⇒ B = −10; . x 0 : A = 10 ⎭⎪ C = 0, 10 10 10 x тогда искомое разложение имеет вид: 3 . = − x + x x x2 +1
52
Лекции 3 - 4
Пример: Разложить неправильную дробь на сумму многочлена и простейших дробей. 9 − 9x x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 9 = x+ . 3 2 ( x + 3)( x 2 + 3) x + 3x + 3x + 9 9 − 9x A Bx + C = + 2 . 2 ( x + 3)( x + 3) x + 3 x + 3
9 − 9 x = Ax 2 + 3 A + Bx 2 + Cx + 3Bx + 3C. x2 : A + B = 0 ⎫ A = 3; ⎪ 1 x : C + 3B = −9 ⎬ ⇒ B = −3; x 0 : 3 A + 3C = 9 ⎪⎭ C = 0, x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 9 3 3x . = x+ − 2 3 2 x+3 x +3 x + 3x + 3x + 9
Пример: Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей 3x 2 . ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 3x 2 A B Cx + D = + = 2 2 2 + ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 ( x − 1) x2 + x + 1 Ax 3 − A + Bx 2 + Bx + B + Cx 3 − 2 x 2 + Cx + Dx 2 − 2 Dx + D = . ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х: A = 1; x3 A + C = 0 ⎫ ⎪ 2 B = 1; x A − 2C + D = 3 ⎪ . ⇒ ⎬ x1 B + C − 2 D = 0 ⎪ C = −1; D = 0. x 0 − A + B + D = 0 ⎭⎪ Искомое разложение имеет вид: 3x 2 1 1 x = + . 2 2 2 − 2 ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1 В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: комплексные числа и формы их записи, действия над комплексными числами, многочлены в комплексной области. Студент должен уметь: преобразовывать комплексные числа из одной формы в другую, сравнивать, складывать, вычитать, умножать, делить комплексные числа, возводить в целую степень, извлекать корни целых степеней в удобной для каждого действия форме; разлагать рациональные дроби на сумму простейших дробей.
Лекции 5 - 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В простейшей форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке, в тесной связи с возникшим тогда же дифференциальным исчислением. В данных лекциях рассматривается первая часть задачи – вычисление первообразной как операция, обратная дифференцированию.
5.1. Основные определения 5.2. Свойства неопределенного интеграла 5.3. Таблица основных интегралов 5.4. Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование 5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле 5.4.3. Интегрирование по частям 5.4.4. Возвратное интегрирование 6.1. Интегрирование рациональных дробей 6.1.1. Интегрирование простейших дробей 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби 6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида ∫ sin m xcosn xdx . 6.2.2. Интегралы вида ∫ cosα x cosβ xdx ;
∫ cosα x sinβ xdx ; ∫ sinα x sinβ xdx .
6.3. Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности 6.3.2. Дробно-линейные иррациональности 6.3.3. Квадратичные иррациональности тригонометрические подстановки 6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов 6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей 6.3.6. Подстановки Эйлера
54
Лекции 5 - 6
5.1. Основные определения О
Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на интервале ( a, b ) , если F ( x ) дифференцируема на ( a, b ) и F ′ ( x ) = f ( x) . Пример:
F ( x ) = x 2 f ( x ) =2x, (-∞,∞) , F ( x ) = sin x f (x)=cos(x), (-∞,∞) , F ( x) = x
Т
f (x)= =
1 2 x
, (0, ∞)
Если F1 ( x ) и F2 ( x ) – две первообразные для функции f ( x ) на интер-
( a, b ) , то они могут отличаться F1 ( x ) = F2 ( x ) + C , где C – постоянная.
вале
т.е. Доказательство: Положим Φ ( x ) = F1 ( x ) − F2 ( x ) . Φ ′ ( x ) = F1′( x ) − F2′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 ,
лишь
на
следовательно,
постоянную,
по
теореме
Лагранжа Φ ( x ) = C .
( F ( x ) + C )′ = F ′ ( x ) + C′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) . C
Если F ( x ) – одна из первообразных для функции f ( x ) , то любая ее
первообразная имеет вид: Φ ( x ) = F ( x ) + C , где C – постоянная. О
Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на интервале
( a, b )
называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и
обозначается символом
∫ f ( x ) dx , где
∫ – знак интеграла, f ( x ) – по-
дынтегральная функция, f ( x ) dx – подынтегральное выражение. Т
Теорема об интегрируемости непрерывных и монотонных функций Если f ( x ) - непрерывна или кусочно-монотонна на [ a,b ] , то она интегрируема на [ a,b ] .
55
Неопределенный интеграл
5.2. Свойства неопределенного интеграла Из определения следует, что неопределенный интеграл обладает следующими свойствами: 1) dF ( x ) = f ( x ) dx ;
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C ; ∫ ⎡⎣Cf ( x )⎤⎦ dx = C ∫ f ( x ) dx , где C – постоянная; ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ; 1 Если ∫ f (x)dx = F (x) + C , то ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) a
2) 3) 4) 5)
+C.
(Доказательство свойства 5 проведем позднее).
5.3. Таблица основных интегралов
∫ 0dx = С , ∫ dx α ∫ x dx =
= x+C
xα +1 + C (∀α ≠ -1) α +1
dx ∫ x dx = ∫ x = ln x + C
dx
∫
a2 − x2 dx
∫
x −a 2
-1
ax ∫ a dx = ln a + C , a > 0, a ≠ 1
dx
∫
x +a 2
x
∫ e dx = e x
x
+C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + C dx ∫ cos2 x = tg x + C dx ∫ sin 2 x = − ctg x + C dx x+a 1 = ln 2 ∫ a − x 2a x − a + C 2
2
∫a
2
2
= arcsin
x + C, x < a a
= ln x + x 2 − a 2 + C
(
)
= ln x + x 2 + a 2 + C
dx 1 x = arctg + C ( a ≠ 0 ) 2 a a +x
∫ shx dx = chx + C
∫ chx dx = shx + C dx
∫ ch x = thx + C 2
dx ∫ sh2 x = −cthx + C
56 !
Лекции 5 - 6
Производная любой элементарной функции сама является элементарной функцией. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, они называются неберущимися. Пример: 2
−x ∫ e dx – неберущийся интеграл.
5.4. Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием. Пример:
1) 2 x ⋅ 32 x ⋅ 53 x dx = 2 ⋅ 32 ⋅ 53 x dx = 2250 x dx = ( 2250 ) + C . ) ∫ ∫( ∫( ) x
2)
∫(
)
x5 + x7 + 8 x dx =
ln 2250
6
8
3/ 2
x x 8x x 6 x8 16 x 3/ 2 + + +C = + + + C. 6 8 3/ 2 6 8 3
5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле Т
Пусть функция x = ϕ ( t ) определена и дифференцируема на некотором
множестве {t} и пусть { x} – множество всех значений этой функции.
Пусть для функции f ( x ) существует на множестве { x} первообразная функция F ( x ) , т.е.
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . Тогда всюду на множестве {t}
для функции f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ′ ( t ) существует первообразная функция, равная F (ϕ ( t ) ) , т.е. ∫ f ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt =F (ϕ ( t ) ) + C . Доказательство: Пусть F ′ ( x ) = f ( x ) ,
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . По правилу дифференцирова-
dF ( x ) dx d = f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) , значит, F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ = dt dx dt ∫ f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt = F (ϕ ( t ) ) + C , что и требовалось доказать.
ния сложной функции
57
Неопределенный интеграл
Пример: Пусть
∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C . ⎧
t
1
⎫
1
∫ f ( ax ) dx = ⎨⎩t = ax, x = a , dx = a dt ⎬⎭ = a ∫ f ( t ) dt = 1 1 F ( t ) + C = F ( ax ) + C , a a ⎧t = x + b, ⎫ ⎪ ⎪ ∫ f ( x + b ) dx = ⎨ x = t − b, ⎬ =∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( x + b ) + C , ⎪ dx = dt ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪t = ax + b, ⎪ ⎪ ⎪ t b ⎪ dt 1 1 ⎪ ∫ f ( ax + b ) dx = ⎨ x = a − a ,⎬ = ∫ f ( t ) a = a F ( t ) + C = a F ( ax + b ) + C . ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ dx = a dt ⎪⎭
=
Пример: 1 1). ∫ sin ( 8x − 2 ) dx = − cos ( 8x − 2 ) + C ; 8 ⎧ t = x − 1,⎫ 2) ⎪ ⎪ 2 2 ∫ x x − 1dx = ⎨ x = t + 1, ⎬ = ∫ ( t + 1) ⋅ t ⋅ 2t dt = ⎪ dx = 2t dt ⎪ ⎩ ⎭
2 5 2 3 2 2 5 3 t + t +C = ( x − 1) + ( x − 1) + C . 5 3 5 3 ⎧ x = 2t , ⎫ ⎪⎪ 1 dx dx dt x x ⎪⎪ 3) ∫ = ∫ = ⎨t = , ⎬ = ∫ = tg t + C = tg + C . 2 x ⎪ 1 + cos x 2 2 cos t 2 ⎪ cos2 2 ⎪⎩ dx = 2dt ⎪⎭
= 2 ∫ ( t 4 + t 2 ) dt =
!
Частным случаем замены является преобразование подынтегральной функции, связанное с подведением под знак дифференциала части подынтегральной функции. В этом случае замена носит характер переобозначения. Пример: 1 d ( x 2 + 1) xdx 1) ∫ 2 = 2 = {t = x 2 + 1} = x + 1 ∫ x2 + 1 1 dt 1 1 = ∫ = ln t + C = ln (1 + x 2 ) + C . 2 t 2 2 dx 1 2) ∫ = ∫ (5 x − 2)−1 / 2 dx = ∫ (5 x − 2)−1 / 2 d (5 x − 2) = 5 5x − 2
58
Лекции 5 - 6
1 −1 / 2 1 t1 / 2 2 5x − 2 + C . = {t = 5 x − 2} = ∫ t dt = +C = 5 5 1/ 2 5 3)
=
∫
1
sin x cos xdx = ∫ sin xd sin x = {t = sin x} = ∫ t 2 dt =
2 23 t +C = 3
3 2 ( sin x ) 2 + C . 3
Дополнительные примеры: Пример: ⎧u = cos x
sin x
⎫
∫ tg x dx = ∫ cos x dx = ⎨⎩du = − sin x dx ⎬⎭ = − ∫
du = −ln u + C = −ln cosx + C . u
Пример: ⎧t = 1 − x, x = 1 − t,⎫ 2 8 ⎪ ⎪ ∫ ( 2 x + 3 ) (1 − x ) dx = ⎨ dx = −dt, ⎬ = − ∫ ( 5 − 2t ) t dt = ⎪ 2 x + 3 = −2 t + 5 ⎪ ⎩ ⎭ 25 20 4 = −∫ ( 25t 8 − 20t 9 + 4t 10 ) dt = − t 9 + t 10 − t 11 = 9 10 11 25 4 9 10 11 = − (1 − x ) + 2 (1 − x ) − (1 − x ) + C . 9 11 2
8
Пример:
π ⎫ ⎧ dx 1 dx ⎪t = x + , ⎪ 4 ⎬= ∫ sin x + cos x = 2 ∫ ⎛ π ⎞ = ⎨ sin ⎜ x + ⎟ ⎩⎪ dt = dx ⎭⎪ 4⎠ ⎝ 1 1 t ⎛x π⎞ ln tg + C = ln tg ⎜ + ⎟ + C . = 2 2 2 ⎝2 8⎠ Пример:
∫
1 − sin x x
1 sin x =∫ dx − ∫ dx . x x 1 424 3 1 424 3 1)
2)
1/ 2
x 1 dx = ∫ x −1 / 2 dx = +C ; 1/ 2 x ⎧ x = t, ⎫ sin x ⎪ ⎪ 2) ∫ dx = ⎨ dx ⎬ = ∫ sin t ⋅ 2dt = 2cos t + C = 2 cos x ⎪ dt = ⎪ 2 x⎭ ⎩
1)
∫
∫
1 − sin x dx = 2 x + 2 cos x + C . x
x +C.
59
Неопределенный интеграл
Пример:
∫
e x + e2x
⎧⎪ t = e x , ( 1 + e x )e x dx = ⎨ dx = ∫
⎫⎪ ⎬= ⎪⎩dt = e x dx ⎪⎭
1− ex 1− ex 1+ t 2 ⎞ ⎛ =∫ dt = − ∫ ⎜1 + ⎟ dt = −{t + 2 ln t − 1 }+ C = = −e x − 2 ln e x − 1 + C . 1− t − 1 t ⎝ ⎠ Пример: ⎧ ⎪ t = ln ( tg x ) , ⎪ ln ( tg x ) 1 1 1 ⋅ dx ⎪ ∫ sin 2 x dx = ⎨dt = tg x ⋅ cos2 x dx = sin x cos x ⎪ ⎪ 2dx 1 dx = ⇒ = dt ⎪ sin 2 x sin 2 x 2 ⎩ 2 1 t 1 t dt = + C = ln 2 tg x + C . ∫ 2 4 4
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ =⎬ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Пример:
∫
⎧ t = sin x, ⎫ dt = =⎨ ⎬=∫ e sin x − 1 ⎩dt = cos x dx ⎭ et − 1
cos x dx
⎧домножим и разделим числитель⎫ e t dt = =⎨ 2 ⎬ t ∫ t t = ⎩ и знаменатель на e и на 2 ⎭ 2e e − 1
⎫ ⎧ ⎪ ⎪ t ⎪⎪ u = e − 1 ⇒ ⎪⎪ et du 1 t 2 dt = 2 ∫ = 2arctg u + C = = ⎨ ⇒ e = u + 1, ⎬ = 2 ∫ ⋅ t 2 t t e u + 1 ⎪ ⎪ e 2 − 1 e dt ⎪ ⎪du = ⎪⎩ 2 e t − 1 ⎪⎭ = 2arctg e sin x − 1 + C .
Пример:
t = ln (arccos x ) ⎧ ⎪ ⎛ 1 1 =⎨ ∫ dt = ⋅⎜− 2 ⎪ 1 − x arccos x arccos x ⎜ 1 − x 2 ⎝ ⎩ 2 t 1 = − ∫ t dt = − + C = − ln 2 ( arccos x ) + C . 2 2 ln (arccos x )dx
⎫ ⎞ ⎪= ⎟dx ⎬ ⎟ ⎪ ⎠ ⎭
60
Лекции 5 - 6
5.4.3. Интегрирование по частям ′ d ( u ⋅ v ) = ( u ⋅ v ) dx = ( u ' v + v ' u ) dx = u ' vdx + v ' udx = vdu + udv ;
d ( uv ) = udv + vdu ; udv = d ( uv ) − vdu ; ∫ udv = ∫ d ( uv ) − ∫ vdu ;
∫ udv = uv − ∫ vdu
- формула интегрирования по частям.
Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл проще исходного. 1. В интегралах вида ∫ Pk ( x )e x dx ; ∫ Pk ( x)sin x dx ; ∫ Pk ( x)cos x dx за u обозначается многочлен порядка k Pk ( x) ; Пример: ⎧ u = x dv = sin xdx ⎫ ⎬ v = − cos x ⎭
∫ x sin xdx = ⎨⎩du = dx
= -x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C .
Формулу интегрирования по частям можно применять повторно.
!
Пример: ⎧ u = x2 dv = cos x dx ⎫ 2 x cos x dx = ⎨ ⎬= ∫ du = 2 xdx v = sin x ⎩ ⎭ = x 2 sin x − 2 ∫ x sin x dx = ⎧ u = x dv = sin x dx ⎫ 2 =⎨ ⎬ = x sin x − 2 − x cos x − ∫ ( − cos x ) dx = ⎩ du = dx v = − cos x ⎭
(
)
= x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C . Пример: ⎧ u = x dv = dx ⋅ 2 x ⎫ ⎪ ⎪ x ⋅ 2x 2x x ⋅ 2x 2x x x x 2 dx ⋅ = = −∫ − +C . dx = ⎨ 2 ⎬ ∫ 2 ln2 ln2 ln2 du dx v = = ln2 ( ) ⎪ ⎪ ln2 ⎭ ⎩
Пример: ⎧ u=x
∫ x sh x dx = ⎨⎩du = dx 2. В интегралах вида
dv = sh x dx ⎫ ⎬ = x ch x − ∫ ch x dx = x ch x − sh x + C . v = ch x ⎭
∫ P ( x) ln x dx , ∫ P ( x)arcsin x dx , ∫ P ( x)arccos x dx , k
∫ P ( x )arctg x dx , ∫ P ( x )arcctg x dx k
k
тригонометрическая функция.
k
k
за u обозначается логарифм или обратная
61
Неопределенный интеграл
Пример:
⎧u = arctg x, dv = dx ⎫ ⎪ ⎪ ∫ arctg x dx = ⎨ du = dx , v = x ⎬ = ⎪⎩ ⎪⎭ 1 + x2 xdx 1 x arctg x − ∫ = x arctg x − ln (1 + x 2 ) + C 2 1+ x 2 Пример:
dv = sin x dx ⎫ ⎧ u = ln (tg x ) ⎪ ⎪ = ∫ sin x ln(tg x )dx = ⎨du = 1 ⋅ dx v = − cos x ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ tg x cos x 1 dx dx = − cos x ln(tg x ) − ∫ (− cos x ) ⋅ = − cos x ln(tg x ) + ∫ = 2 tg x cos x sin x
= −cos x ln ( tg x) + ln tg
x +C. 2
5.4.4. Возвратное интегрирование Так называемое возвратное интегрирование применяется при вычисax ax лении интегралов вида: ∫ e cos bx dx , ∫ e sin bx dx , ∫ cos ( ln x ) dx ,
∫ sin ( ln x ) dx и подобных. Пример:
∫e
ax
sin bx dx .
Обозначим I = ∫ e ax sin bx dx . Тогда ⎧ u = e ax dv = sin bx dx ⎫ ⎪ ⎪ ∫ e sin bx dx = ⎨du = ae ax dx v = − cos bx ⎬ = ⎪⎩ b ⎪⎭ 1 a 1 a = − e ax cos bx + ∫ eax cos bx dx = − eax cos bx + I1 . b b b b Полученный интеграл I1 возьмем по частям: ax
⎧ u = e ax dv = cos bx dx ⎫ 1 ax ⎪ ⎪ ax I1 = ∫ e cos bx dx = ⎨ sin bx ⎬ = − e cos bx + ax b v= ⎪du = ae dx ⎪ b ⎩ ⎭ a ⎧ sin bx a ax 1 a ⎧ sin bx a ⎫ ⎫ + ⎨e ax − ∫ e sin bx dx ⎬ = − e ax cos bx + ⎨e ax − I ⎬. b⎩ b b b b⎩ b b ⎭ ⎭
a ax a2 1 e sin bx − I . Выразим отсюда искомый То есть I = − e ax cos bx + b b2 b2 интеграл I : ∫ e ax sin bx dx =
e ax (a sin bx − b cos bx ) a2 + b2
+C.
62
Лекции 5 - 6
6.1. Интегрирование рациональных дробей О
Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов
Pm ( x ) b0 x m + b1 x m−1 + ... + bm−1 x + bm = . Rn ( x ) a0 x n + a1 x n −1 + ... + an−1 x + an 6.1.1. Интегрирование простейших дробей О
Правильные дроби четырех типов: A ; 1) x−a A 2) , где k – целое положительное число, k > 1 , k ( x − a) Ax + B ; 3) 2 x + px + q Ax + B 4) , где x 2 + px + q – квадратный трехчлен k ( x 2 + px + q ) с отрицательным дискриминантом
простейшими дробями.
p2 − q < 0 , называют 4
Методы интегрирования простейших дробей d ( x − a) Adx dx 1. ∫ = A∫ = A∫ = A ln x − a + C ; x−a x−a x−a Adx ∫ x − a =A ln x − a + C . − n +1 x − a) ( A 1 Adx −n ⋅ +C; 2. ∫ = A∫ ( x − a ) d ( x − a ) = A +C = n −n + 1 (1 − n ) ( x − a )n−1 ( x − a)
Adx
∫ ( x − a) 3.
n
=
A 1 ⋅ +C. 1 − n ( x − a )n−1
Ax + B dx разобьем его на два интеграла, + px + q первый из которых I a в числителе содержит дифференциал знаменателя, а второй I b не содержит x в числителе.
Для вычисления интеграла
∫x
2
Обозначим u = x 2 + px + q ⇒ du = ( 2 x + p ) dx .
63
Неопределенный интеграл
∫x
2
A 2x + p B − Ap / 2 Ax + B dx + ∫ 2 dx ; dx = ∫ 2 2 x + px + q + px + q x + px + q 144 42444 3 1442443 Ia
Ib
A A ln u + C = ln x 2 + px + q + C , 2 2 Ap ⎞ dx ⎛ Ib = ⎜ B − . ⎟∫ 2 2 ⎠ 2 ⎝ p2 ⎞ ⎛ p⎞ ⎛ x + px + ⎜ ⎟ + ⎜ q − 4 ⎟⎠ ⎝2⎠ ⎝ Ia =
p2 >0. Здесь мы выделили полный квадрат в знаменателе и учли, что q − 4 ⎧ t = x + p / 2, ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ Сделаем замену переменной ⎨ dt = dx , ⎬, ⎪ ⎪ 2 ⎩⎪a = q − p / 4 .⎭⎪ тогда Ap ⎞ dt B − Ap / 2 x + p/2 ⎛ = +C. arctg Ib = ⎜ B − ⎟∫ 2 2 ⎠ t + a2 ⎝ q − p2 / 4 q − p2 / 4 4.
Рассмотрим интеграл
∫
Ax + B
( x 2 + px + q )
k
dx .
Аналогично тому, как это было сделано для интеграла 3, заменим
u = x 2 + px + q ⇒ du = ( 2 x + p ) dx . Разобьем интеграл на два интеграла:
∫
(x
Ax + B
2
+ px + q )
k
dx =
( B − Ap / 2 ) dx . A 2x + p dx + ∫ x 2 + px + q k 2 ∫ ( x 2 + px + q )k ( 42444 )3 144424443 144 Ia
Ib
A du A u − k +1 A 1 Ia = ∫ k = ⋅ +C =− ⋅ +C. 2 u 2 (1 − k ) 2 ( k − 1) ( x 2 + px + q )k −1
64
Лекции 5 - 6
⎧⎪ t = x + p / 2, ⎫⎪ Ap ⎞ dx ⎛ = Ib = ⎜ B − ⎨ ⎬= ⎟ 2 ⎠ ∫ ( x 2 + px + q )k ⎪⎩ a = q − p 2 / 4 ⎭⎪ ⎝ Ap ⎞ dt Ap ⎞ dt ⎛ ⎛ =⎜B− =⎜B− I k , где I k = ∫ . ⎟∫ 2 ⎟ k 2 2 k 2 ⎠ (t + a2 ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ (t + a ) Вычислим
Ik = ∫
(t
dt
2
+ a2 )
k
1 ⎧ ⎫ = u dv = dt 2 2 k ⎪⎪ ⎪⎪ (t + a ) t (t 2 + a 2 ) − a 2 =⎨ + 2k ∫ 2 dt = ⎬= 2 2 k 2 k +1 2 k tdt + + ( t a ) ( t a ) ⎪ du = v=t ⎪ ⎪⎩ (t 2 + a 2 ) k +1 ⎭⎪
=
t dt dt . + 2k ∫ 2 − 2ka 2 ∫ 2 2 k 2 k (t + a ) (t + a ) (t + a 2 ) k +1 2
Имеем
Ik =
t + 2kI k − 2ka 2 I k+1 ; 2 k (t + a )
I k +1 =
2
t 2ka (t + a ) 2
2
2 k
+
2k − 1 Ik . 2ka 2
Получена рекуррентная (возвратная) формула, выражающая значение интеграла от k + 1 - й степени через значение интеграла от k - й степени. Зная dt 1 t I1 = ∫ 2 = arctg + C , по формуле можно найти I 2 , затем, используя I 2 , 2 t +a a a найти I 3 и т.д. Пример: x −1
∫ x 2 + x + 1 dx . Правильная дробь типа 3). ⎧⎪ t = x 2 + x + 1 ⎫⎪ 1 x −1 2x +1 − 1 − 1/ 2 dx = ∫ x 2 + x + 1 ⎨⎪dt = (2 x + 1)dx⎬⎪ = 2 ∫ x 2 + x + 1 dx + ∫ x 2 + x + 1 dx = ⎭ ⎩ 1 dt 3 dx . = ∫ − ∫ 2 2 23 t 1 24 x 2+4 x4 +31 1 4 Ia
Ib
1 1 I a = ln t + C = ln x 2 + x + 1 + C , 2 2
65
Неопределенный интеграл
⎧v = x + 1 / 2,⎫ 3 dx 3 dv = = ⎨ ⎬=− ∫ ∫ 2 2 v2 + 3 / 2 2 2 ( x + 1 / 2) + 3 / 4 ⎩ dv = dx ⎭ ( x + 1/ 2 ) ⋅ 2 + C . 3 2 =− ⋅ arctg 2 3 3 2x +1 1 Ответ: ln x 2 + x + 1 − 3arctg +C . 2 3 Ib = −
(
6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби
)
Pm ( x )
∫ P ( x) dx n
P ( x) 1. Если дробь m неправильная ( m ≥ n ), то путем деления числителя на Pn ( x ) знаменатель получают многочлен и правильную рациональную дробь: R ( x) Pm ( x ) , где Ql ( x ) , R p ( x ) - многочлены степени l и p соот= Ql ( x ) + p Pn ( x ) Pn ( x ) ветственно; Ql ( x ) - частное (целая часть дроби); l ≤ m, l + n = m , R p ( x ) - остаток ( p < n ). 2. Находят корни знаменателя правильной рациональной дроби и разлагают знаменатель на квадратичные и (либо) линейные множители с вещественными коэффициентами. 3. Записывают разложение полученной правильной дроби на простейшие. 4. Интегрируют каждую простейшую дробь. Вывод: интеграл от рациональной дроби выражается через элементарные функции: рациональные дроби, arctg (x ) и ln ( x ) . Пример: Вычислить ∫
(x
xdx
2
− 1) ( x − 2 )
Решение: Разлагаем правильную дробь
(x
x
2
− 1) ( x − 2 )
=
(x
x
2
− 1) ( x − 2 )
на сумму простейших:
A B C ; + + ( x-1) ( x + 1) ( x − 2 )
x = A( x + 1)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 1) ; 1 x = 1:1 = −2 A, A = − ; 2 1 x = −1: −1 = B (−2)(−3), B = − ; 6 2 x = 2 : 2 = C (1)(3), C = . 3
66
Лекции 5 - 6
x 1 1 2 . =− − + ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 1) 6( x + 1) 3( x − 2) По свойству линейности: x 1 dx 1 dx 2 dx ∫ ( x 2 − 1)( x − 2) dx = − 2 ∫ x − 1 − 6 ∫ x + 1 + 3 ∫ x − 2 = 1 1 2 = − ln x − 1 − ln x + 1 + ln x − 2 + C . 2 6 3 2
Пример: Вычислить
x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 ∫ x x 2 + 1 2 dx . ( )
x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x ( x 2 + 1)
2
- неправильная дробь.
Выделим целую часть: x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x2 − 1 = x + . x( x 2 + 1) 2 x( x 2 + 1) 2 Разложим правильную дробь на сумму простейших x 2 -1 A B x + D1 B2 x + D2 = + 12 + . 2 2 x (x + 1) x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2
x 2 -1 = A(x 2 + 1) 2 + x (x 2 + 1) ⋅ ( B1 x + D1 ) + x ( B2 x + D2 ) ; x = 0 : −1 = A; x 4 : Ax 4 + B1 x 4 = 0, A + B1 = 0, B1 = 1; x3 : D1 = 0; x 2 : 2 A + B1 + B2 = 1, B2 = 2; x : D1 + D2 = 0, D2 = 0; x 2 -1 1 x 2x =− + 2 + 2 ; 2 2 x (x + 1) x ( x + 1) (x + 1) 2
∫
x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x ( x 2 + 1)
= ∫ xdx − ∫
2
dx =
dx x x +∫ 2 dx + 2 ∫ dx = 2 x ( x + 1) ( x2 + 1)
2 d ( x 2 + 1) 1 d ( x + 1) x2 = − ln x + ∫ + = 2 2 ( x 2 + 1) ∫ ( x 2 + 1)2
=
x2 1 1 − ln x + ln ( x 2 + 1) − 2 +C. 2 2 ( x + 1)
67
Неопределенный интеграл
6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида ∫ sin m xcos n xdx .
1. Пусть n и m - четные, неотрицательные числа. m = 2k , n = 2l , k , l ∈ Ν . В подынтегральной функции степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу: 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x ; sin 2 x = ; cos 2 x = 2 2 1 sin x cos x = sin 2 x . 2 Пример: 2
1 1 1 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ 4 2 ∫ cos xdx = ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx = 4 ∫ dx + 2 ∫ cos 2 xdx + 4 ∫ cos 2 xdx = x 1 1 x 1 x 1 = + sin 2 x + ∫ (1 + cos 4 x ) dx = + sin 2 x + + sin 4 x + C . 4 4 8 4 4 8 32
Пример:
∫ sin
2
x cos 4 xdx = ∫ (sin x cos x) 2 cos 2 xdx =
sin 2 2 x (1 + cos 2 x) 1 1 dx = ∫ sin 2 2 xdx + ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx = 4 2 8 42 8 4442444 1 4 43 4 1 3 I2 I1 1 1 − cos 4 x x sin 4 x I1 = ∫ dx = − +C. 8 2 16 64 1 1 I 2 = ∫ sin 2 2 xd (sin 2 x) = sin 3 2 x + C . 16 48 x sin 4 x 1 = − + sin 3 2 x + C . 16 64 48 =∫
Пусть хотя бы одно из чисел n и m - нечетное положительное. От нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала d, а оставшаяся подынтегральная функция выражается через функцию, стоящую под знаком дифференциала по формуле sin2 x + cos 2 x = 1 .
2.
68
Лекции 5 - 6
Пример:
∫ sin x cos xdx = ∫ sin x cos x cos xdx = = ∫ sin x cos xd sin x = ∫ sin x (1 − sin x ) d sin x = 1 1 1 = ∫ (sin x − 2sin x + sin x)d sin x = sin x − sin x + sin 4 3 8 (1 − cos x ) d cos x = 1 ⋅ 1 sin x sin x ⋅ sin xdx ∫ cos x dx = ∫ cos x = − ∫ 4 cos cos x 3
5
3
4
4
3
3
3
3
5
7
2
4
6
8
x+C;
2
2
5
2
5
5
4
x
−
1 +C . 2 cos 2 x
3. Пусть n и m - таковы, что m + n = −2k , где k ∈ Ν , то есть сумма m + n является четным отрицательным целым. Используется подстановка tgx = t , с 1 использованием формулы: 1 + tg 2 x = . cos 2 x sin 3 xdx ⎧3 − 5 = −2 ⎫ sin 3 x dx tg 4 x 3 ∫ cos5 x = ⎨⎩ tgx = t ⎬⎭ = ∫ cos3 x cos2 x = ∫ tg x ⋅ d ( tg x ) = 4 + C
6.2.2. Интегралы вида ∫ cos α x cos β xdx ; ∫ cos α x sin β xdx ; ∫ sin α x sin β xdx .
Для вычисления следует перейти к сумме функций и сумме интегралов:
cosα x cos β x =
1 ⎡cos (α − β ) x + cos (α + β ) x ⎤⎦ , 2⎣
cos α x sin β x =
1 ⎡ sin (α − β ) x + sin (α + β ) x ⎤⎦ , 2⎣
1 sin α x sin β x = [cos (α − β ) x − cos (α + β ) x ] . 2
6.2.3. Универсальная тригонометрическая подстановка Интегралы вида ∫ R(sin x , cos x )dx , где R ( sin x ,cos x ) = R ( u ,v ) – рацио-
нальная функция двух переменных, u = sin x ,v = cos x , вычисляются с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки x x сводит указанный интеграл к интегралу от t = tg . Подстановка t = tg 2 2 дробно-рациональной функции от одной переменной t .
69
Неопределенный интеграл
Рассмотрим:
x x x x x 2 sin cos 2 sin cos 2tg 2 2 = 2 2 = 2 = 2t ; sin x = x x x⎛ x⎞ 1 + t2 2 x cos 2 + sin 2 cos 2 ⎜ 1 + tg 2 ⎟ 1 + tg 2 2 2 2⎝ 2⎠ x x cos 2 x ⎛1 − tg 2 x ⎞ − sin 2 2 ⎜ ⎟ 2⎝ 2 ⎠ 1− t 2 2 cos x = ; = = 2 1 + t 2 x 2 x 2 x⎛ 2 x⎞ cos + sin cos ⎜1 + tg ⎟ 2 2 2⎝ 2⎠ cos 2
x = 2arctg t , dx =
2dt . 1+ t2
Формулы универсальной тригонометрической подстановки имеют вид:
2 dt 2t 1 − t2 2t ; tgx = ; dx = ; sin x = ; cos x = 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 1 − t2
⎛ 2t 1 − t 2 ⎞ 2dt ∫ R (sin x,cos x ) dx = ∫ R ⎜⎝ 1 + t 2 ; 1 + t 2 ⎟⎠ 1 + t 2 . Пример: dx
⎧
x
∫ sin x = ⎨⎩t = tg 2 , =∫
2dt (1 + t 2 )
(1 + t ) 2t 2
=∫
dx =
2dt 2t ⎫ , sin x = ⎬= 2 1+ t 1+ t2 ⎭
dt x = ln tg + C. t 2
Пример: x ⎧ ⎫ ⎪t = tg 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪cos x = 1 − t ⎪ ⎪⎪ dx 1 + t 2 ⎪⎪ = ⎬ ∫ 4 cos x + 3 sin x + 5 = ⎨ ⎪sin x = 2t ⎪ ⎪ 1+ t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dx = 2dt ⎪ ⎪⎩ 1 + t 2 ⎪⎭
70
Лекции 5 - 6
2dt 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ = = 2 2 1− t 2t 1+ t 4 − 4t 2 + 6t + 5 + 5t 2 ∫ t 2 + 6t + 9 +3 +5 4 1+ t2 1+ t2 1+ t2 dt 2 2 = 2∫ =− +C = − + C. 2 x t+3 (t + 3) tg + 3 2
!
Если подынтегральная функция R ( sin x , cos x ) является четной функциx ей sin x , cos x , то более эффективной, чем подстановка t = tg , является 2 подстановка t = tg x .
Пример:
∫a
2
1 dx dx =∫ = 2 2 2 2 2 2 2 sin x + b cos x cos x ( a tg x + b ) a 2
= {t = tgx} =
1 a2
∫
∫
dtgx = b2 2 tg x + 2 a
dt 1 at = arctg + C = 2 b ab b t2 + 2 a
1 a ⋅ tgx arctg +C ab b Вообще говоря, перечисленные методы не исчерпывают всех способов вычисления интегралов от тригонометрических функций.
=
Пример: ⎧ sin x = t ⎫ dx cos x cos x dx = = dx = ⎨ ⎬= ∫ cos x ∫ cos 2 x ∫ 1 − sin 2 x ⎩ dt = cos xdx ⎭ 1 1 dt 1 dt dt 1 1 + t + (1 − t ) ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 + t )(1 − t ) dt = 2 ∫ 1 − t + 2 ∫ 1 + t = − 2 ln t − 1 +
1 1 1+ t 1 1 + sin x + ln 1 + t + C = ln + C = ln +C = 2 2 t −1 2 sin x − 1 2
x x⎞ ⎛ ⎜ sin + cos ⎟ 1 2 2⎠ ⎛x π⎞ = ln ⎝ + C = ln tg⎜ + ⎟ + C. 2 2 ⎛ ⎝2 4⎠ x x⎞ ⎜ sin − cos ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⇒∫
dx ⎛x π⎞ = ln tg⎜ + ⎟ + C. cos x ⎝2 4⎠
Неопределенный интеграл
71
6.3. Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности Рассмотрим интегралы вида mk m1 m2 ⎧⎪ ⎫ nk ⎪ n1 n2 + + + R x , ( ax b ) , ( ax b ) ,..., ( ax b ) ⎬ dx , ∫ ⎨⎪ ⎩ ⎭⎪ mi ni
где (ax + b) - линейные иррациональности - корни порядка ni, а R (x, y,z,...) дробно-рациональная функция своих аргументов. m1 m2 m Пусть s – общий знаменатель дробей , , ..., k , тогда подстановка n1 n2 nk
t s = ax + b сводит указанный интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции одного аргумента. Пример:
∫
⎧1 3 ⎫ t4 +1 4 dx = ⎨ , , S = 4, t = 2 x − 1 ; x = ; dx = 2t 3 dt ⎬ = 3 4 2 (2 x -1) + 1 ⎩2 4 ⎭
(2 x -1)
t 2 2t 3dt t 2 (t 3 + 1 − 1) t 2 dt 2 = 2 dt = 2 t dt 2 ∫ t3 + 1 ∫ ∫ t3 + 1 = t3 + 1 3 3 2 3 2 dt 3 2 3 2 2 2 3 4 4 = t − ∫ 3 = t - ln t + 1 + c = = (2 x -1) − ln (2 x -1) + 1 + c . 3 3 t +1 3 3 3 3
=∫
6.3.2. Дробно-линейные иррациональности mk m1 ⎛ ⎞ n1 nk + + ax b ax b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ dx , где R ( x, y ,...) – Интегралы вида ∫ R x ,⎜ , ... ,⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ дробно-рациональная функция, вычисляются при помощи подстановки ax + b S m m = t , где S – общий знаменатель дробей 1 ,..., k . cx + d n1 nk
72
Лекции 5 - 6
Пример: 1+ x dx = 1-x
1
∫ (1+ x )
2
⎧1 + x 2 ⎫ 2 2 2 2 2 2 ⎪⎪ 1-x = t , 1 + x = t − xt , x + xt = t − 1, x (1 + t ) = t − 1, ⎪⎪ =⎨ ⎬= 2 2 t 1 t 1 2 2 4 t − + − − ⎪ x= , x= , dx = dt ⎪ = 1+ ⎪⎩ ⎪⎭ 1+ t2 1+ t2 1+ t2 (1 + t 2 ) 2 2 1 4tdt 4t dt =∫ ⋅t⋅ =∫ 2 = 2 2 2 2 (1 + t ) (t + 1 + t 2 − 1) 2 ⎛ t −1 ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ ⎝ t +1⎠ 4t 2 dt dt 1 1-x = ∫ 2 2 = ∫ 2 = − +c = − +c. (2t ) t t 1+ x
6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические подстановки
Интегралы вида
∫ R ( x,
)
ax 2 + bx + c dx , где
ax 2 + bx + c - квадратичная
иррациональность, а R( u ,v ) - дробно-рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и заменой b приводятся к интегралу одного из следующих трех типов: u = x+ 2a 1) R u , l 2 − u 2 du ;
∫
2) 3)
(
∫ R ( u, ∫ R ( u,
)
) ) du ,
l 2 + u 2 du ; u2 − l2
к которым применяют тригонометрические подстановки соответственно: 1) u = l sin t или u = l th t , 2) u = l tg t или u = l sh t , l 3) u = или u = l ch t , cos t после чего подынтегральная функция сводится к тригонометрической. Пример:
∫
5 + 2 x - x 2 dx = ∫ 5 − ( x 2 − 2 x )dx =
⎧ x -1 = u ⎫ 2 =⎨ ⎬ = ∫ 6 - u du = ⎩ dx = du ⎭
∫
5 - ( x -1) 2 + 1 dx = ∫ 6 - ( x -1) 2 dx =
73
Неопределенный интеграл
u ⎫ ⎧ = ⎨u = 6 sin t , du = 6 cos t dt ; t = arcsin ⎬= 6⎭ ⎩
6 (1 + cos 2t )dt = 2∫ 3 x -1 3 x -1 = 3t + sin 2t + c = 3 arcsin + sin 2 arcsin +c = 2 6 2 6 x -1 3 = 3arcsin + sin 2α + c = {sin 2α = 2 sin α cos α } = 6 2 = ∫ 6 - 6 sin 2 t
= 3arcsin
6 cos t dt = 6∫ cos2 t dt =
x -1 3 x -1 ( x -1) 2 + 2 1− +c. 6 6 2 6
Частные случаи квадратичных иррациональностей dx 1. Интегралы вида ∫ выделением полного квадрата в знамеax 2 + bx + c нателе сводятся к табличным. Пример: dx
∫ =∫
2.
x2 + 2x + 5 d ( x + 1)
=∫
( x + 1) + 2 2
Для интегралов вида
dx x2 + 2x + 1 + 4
=
= ln x + 1 + x 2 + 2 x + 5 + c
2
∫
Ax + B
dx в числителе выделяется произ-
ax + bx + c водная квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и интеграл сводится либо к табличному, либо к рассмотренному ранее. 2
Пример:
∫
5x - 3
dx = 2 x2 + 8x + 1 5 (4 x + 8) -13 4 =∫ dx = 2 x2 + 8x + 1 5 d (2 x 2 + 8 x + 1) = ∫ − 4 2 x2 + 8x + 1
dx 5 (4 x + 8)dx -13∫ = ∫ 2 2 4 2 x + 8x + 1 2 x + 8x + 1 13 dx = ∫ 2 1 2 x + 4x + + 4 − 4 2 5 13 d ( x + 2) = 2 2 x2 + 8x + 1 − = ∫ 4 2 7 2 ( x + 2) − 2 =
5 13 1 2 2 x2 + 8x + 1 − ln x + 2 + x 2 + 4 x + + c . 4 2 2
74
Лекции 5 - 6
Пример:
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ x = atg t , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dx dt ∫ 2 2 3 / 2 = ⎨ dx = a cos 2 t , ⎬ = ∫ ⎪ ⎪ x +a 2 ⎪ ⎪ 2 a 2 ⎪x + a = ⎪ cos 2 t ⎭ ⎩ 1 1 = 2 ∫ cos t dt = 2 sint + C = a a 1 tg t x = 2 +C = +C . a 1 + tg 2t a2 a2 + x2
(
!
)
Интегралы вида
∫ ( x − a)
a
cos 2 t
⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ cos 2 t ⎟ ⎝ ⎠
dx k
dt
ax 2 + bx + c
2
3
=
, где
k ≤ 2 , подстановкой
1 1 x − a = ; dx = − 2 dt приводятся к предыдущему случаю. t t Пример:
∫x
1 -1 1⎫ ⎧ = ⎨ x = ; dx = 2 dt; t = ⎬ = t t x⎭ x +1 ⎩
dx 2
1 dt 2 dt dt t = ∫ = −∫ 2 = −∫ = − ln t + 1 + t 2 + c = 2 t 1 1 1+ t 1+ t2 +1 2 2 t t t -
− ln
1 1 + 1+ 2 + c . x x
6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов
Выражение вида x m ( a + bx n ) dx , где m ,n , p - рациональные дроби, p
a ,b − const , называется дифференциальным биномом.
Т
Интеграл от дифференциального бинома приводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях подстановками Чебышева. В остальных случаях интеграл не вычисляется через элементарные функции. Случай 1: p - целое число. Используется подстановка x = t s , где s – НОК знаменателей дробей m и n (НОК - наименьшее общее кратное).
75
Неопределенный интеграл
m+1 - целое число. n Используется подстановка a + bx n = t s , где s – знаменатель дроби p . m+1 Случай 3: + p - целое число. n Используется подстановка ax − n + b = t s , где s – знаменатель дроби p . Случай 2:
Пример: dx
∫x
=∫x
−1
1 2 −2
(1 + x )
dx ,
1 m = −1, n = 2, p = − . 2
x +1 m+1 = 0 - целое - случай 2, используется замена n ⎧ 2tdt ⎫ 2 2 2 2 2 ⎨1 + x = t , x = t − 1, x = t − 1, dx = ⎬. 2 t2 −1 ⎭ ⎩ 1 t +1 t ⋅ dt dt dt ∫ t 2 − 1 t 2 − 1 ⋅ t = ∫ t 2 − 1 = −∫ 1 − t 2 = − 2 ln t − 1 + c = 2
= ln
t −1 + c = ln t +1
x2 + 1 −1 x2 + 1 + 1
+ c.
6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей Pn ( x ) В общем случае интегралы вида ∫ можно вычислить, ис2 ax + bx + c пользуя следующую формулу: Pn ( x ) dx 2 dx Q x ax bx c = + + + λ ( ) n − 1 ∫ ax2 + bx + c ∫ ax2 + bx + c , где Qn−1 ( x ) - многочлен степени n-1 с коэффициентами, подлежащими опре-
делению. Число λ и неопределенные коэффициенты многочлена Qn−1 ( x ) находятся дифференцированием вышеприведенной формулы. Пример:
∫
x2 x2 + x + 1
dx = ( Ax + B) x 2 + x + 1 + λ ∫
dx x2 + x + 1
.
Дифференцируем по х
x2
= A x2 + x + 1 +
( Ax + B ) ( 2 x + 1)
x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 Находим неопределенные коэффициенты.
+λ
1 x2 + x + 1
.
76
Лекции 5 - 6
1⎞ ⎛ x 2 = A ( x 2 + x + 1) + ( Ax + B) ⎜ x + ⎟ + λ . 2⎠ ⎝ A B x 2 : 2 A = 1; x : A + B + = 0; x 0 : A + + λ = 0, 2 2 1 3A 3 1 . A= , B=− =− , λ=− 8 2 2 4
∫
x2dx
3⎞ 1 dx ⎛1 = ⎜ x − ⎟ x2 + x + 1 − ∫ = 4⎠ 8 x2 + x + 1 x2 + x + 1 ⎝ 2
3⎞ 2 1 1 ⎛1 2 ⎜ x − ⎟ x + x + 1 − ln x + + x + x + 1 + C . 2 4 8 2 ⎝ ⎠
!
Интегралы виды
∫ ( x − a)
dx k
ax 2 + bx + c
, где k – любое, подстановкой
1 1 x − a = , dx = − 2 dt приводятся к предыдущему случаю. t t Пример:
∫ ( x − 1)
1 1 ⎫ ⎧ = ⎨ x − 1 = ; dx = − 2 dt ⎬ = t t ⎭ x + 3x + 1 ⎩
dx 3
2
t 3dt
= −∫
2
t
2
⎛1+ t ⎞ ⎛1+ t ⎞ ⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ +1 ⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠
=−∫
t 2 dt 5t 2 + 5t + 1
=
3⎞ A dt ⎛ t . = − ⎜ − ⎟ 5t 2 + 5t + 1 + ∫ 10 ⎝ 10 20 ⎠ 5t 2 + 5t + 1
6.3.6. Подстановки Эйлера
В общем случае интегралы вида
∫ R (x ,
ax 2 + bx + c )dx можно вычис-
лить, используя подстановки Эйлера. Указанные подстановки классифицируются по виду коэффициентов a, b, c. Предполагается, что квадратный трехчлен не имеет равных действительных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.
77
Неопределенный интеграл
Первая подстановка Эйлера: a > 0
Используется замена ax 2 + bx + c = t ± a x . Выберем для определенности знак +. Возведем в квадрат и выразим
t2 − c x= . Поскольку x - рациональная функция от t, то dx и t + ax есть b − 2t a также рациональные функции от t. Пример:
dx
∫
x +1 2
x=
; x 2 + 1 = x + t; x 2 + 1 = x 2 + 2 xt + t 2 ,
1 − t2 1 t 1 + t2 ⎛ 1 1⎞ = − ; dx = ⎜ − 2 − ⎟ dt = − 2 dt , 2t 2t 2 2⎠ 2t ⎝ 2t
x2 + 1 =
1− t2 1 − t 2 + 2t 2 1 + t 2 +t = = . 2t 2t 2t
1+ t2 dt 2 1 dt 2 t −∫ = − ∫ = − ln t + c = ln +c. 2 2 1+ t t x +1 − x 2t Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби под знаком логарифма, умножив числитель и знаменатель на выражение
1
гда: ln
x +1 − x 2
= ln
(
x2 + 1 + x
)
2
x +1 − x 2
= ln 2
(
x 2 + 1 + x , то-
)
x2 + 1 + x .
Вторая подстановка Эйлера: c>0
Используется замена сти знак «+».
ax 2 + bx + c = xt ± c . Выберем для определенно-
Пример:
∫
dx 1+ x
2
; 1 + x 2 = xt + 1 , 1 + x 2 = x 2t 2 + 2 xt + 1; x 2 = x 2t 2 + 2 xt ; x = xt 2 + 2t ,
2 (1 − t 2 ) + 2t ⋅ 2t 2 (1 + t 2 ) 2t 2 − 2t 2 + 4 t 2 x= dt = dt = dt , ; dx = 2 2 2 2 2 2 1− t 2 − t − t − t 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 + x2 =
∫
dx 1 + x2
t ⋅ 2t 2t 2 + 1 − t 2 1 + t 2 + 1 = = , 1− t2 1− t2 1− t2
=∫
2 (1 + t 2 ) dt
(1 − t 2 ) 2
(1 + t ) (1 − t 2 ) 2
= 2∫
dt t +1 = ln = 2 1− t t −1
78
Лекции 5 - 6
x2 + 1 − 1 +1 x = ln x2 + 1 − 1 −1 x
= ln
x2 + 1 − 1 + x x2 + 1 − 1 − x
.
Третья подстановка Эйлера В этом случае квадратный трехчлен имеет действительные корни α и β .
Используется замена
ax 2 + bx + c = ( x − α ) t .
Пример:
∫
dx x −1 2
; x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) ,
( x − 1)( x + 1) = ( x − 1) t2 =
x +1 ;t = x −1
x 2 − 1 = ( x − 1) t ,
t , ( x + 1) = ( x − 1) t 2 ,
2 2
x +1 ; x + 1 = xt 2 − t 2 , x −1
2t ( t 2 − 1) − 2 ( t 2 + 1) t2 +1 4t x= 2 dt = − dt , ; dx = 2 2 2 2 t −1 t − t − 1 1 ( ) ( ) ⎛ t 2 +1 ⎞ 2t x2 −1 = ( x − 1) t = ⎜ 2 − 1⎟ t = 2 , ⎝ t −1 ⎠ t −1 −4t dt 2 2 t − 1) ( dx dt dt ∫ x2 −1 = ∫ 2t = −2∫ t2 −1 = 2∫ 1 − t2 = (t2 −1) 2 t +1 = ln = ln 2 t −1
x +1 +1 x −1 = ln x +1 −1 x −1
x +1 + x −1 x +1 − x −1
(
=
)
2 x + x2 − 1 x − 1 + 2 x2 − 1 + x + 1 = ln = ln = ln x + x 2 − 1 + c . x +1− x +1 2
!
На самом деле во всех возможных случаях достаточны первая и третья подстановки. Действительно, если квадратный трехчлен имеет действительные корни, то применима третья подстановка. Если действительных корней
нет,
т.е.
дискриминант
b 2 − 4 ac < 0 ,
то
трехчлен
Неопределенный интеграл
79
1 ( ax + b )2 − ( b 2 − 4 ac )) при всех значениях x имеет знак a. ( 4a Случай a0.
ax 2 + bx + c =
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: таблицу основных интегралов; основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям). Студент должен уметь: вычислять интегралы от основных типов функций (рациональные дроби, выражения, содержащие тригонометрические функции, иррациональные выражения).
Лекции 7 - 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Развитая в прошлой лекции техника вычисления первообразных находит конкретные геометрические и механические приложения в виде определенного интеграла, вычисление которого через основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона – Лейбница) сводится к вычислению первообразных.
7.1. Определенный интеграл и его свойства/ Основные определения 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла 7.3. Теоремы существования 7.4. Свойства определенного интеграла 7.5. Формула Ньютона-Лейбница 7.6. Замена переменной в определенном интеграле 7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций 7.7. Интегрирование по частям 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах 8.1.2. Параметрическое задание линий 8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме 8.1.4. Полярные координаты на плоскости 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми 8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат 8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат 8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах 8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме 8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме 8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах 8.2.6. Площадь поверхности вращения 8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения
81
Определенный интеграл
7.1. Определенный интеграл и его свойства. Основные определения О
Пусть на [ a , b ] задана непрерывная
f ( x) .
функция
[ a , b]
y
Разобьем
+
на n частей точками деления: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . x 0ξ1 x1 ... Обозначим: x1 = x1 − x0 , Рис. 1.1 x2 = x2 − x1 ,… xi = xi − xi −1 …. В каждом из отрезков [ xi −1 , xi ] возьмем по точке ξi ∈ [ xi −1 , xi ] .
+
x
x n −1x n
–
n
Составим сумму: Sn = f (ξ1 ) x1 + f (ξ 2 ) x2 + ... + f (ξ n ) xn = ∑ f (ξi ) xi . i =1
Геометрически Sn есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания ∆хi и высоты f (ξi). Sn называют интегральной суммой для f ( x ) на [ a , b ] .
S n зависит от способа разбиения [ a , b ] на отрезки [ xi −1 , xi ] и от выбора точек ξi внутри [ xi −1 , xi ] . Каждому разбиению соответствует своя S n . Таким образом, получается последовательность {S n } . Обозначим max xi - наибольшую из длин отрезков разбиения и устремим max xi → 0 . О
Если при любых разбиениях [ a , b ] таких, что max xi → 0 , и при любом n
выборе точек ξi Sn = ∑ f (ξi ) xi стремится к одному пределу S, то этот i =1
предел называется определенным интегралом от f ( x ) на [ a , b ] и обоb
значается
∫ f ( x ) dx . Таким образом, по определению a
b
∫ f ( x ) dx = a
n
lim
max xi →0
∑ f (ξ ) i =1
i
xi ;
а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом. О
Если ∃
b
∫ f ( x ) dx , то f ( x ) называется интегрируемой на [ a , b] . a
82
Лекции 7 - 8
7.2. Геометрический смысл определенного интеграла b
Геометрически определённый интеграл
∫ f ( x ) dx представляет собой алa
гебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус.
7.3. Теоремы существования Т
Если f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , то она интегрируема на [ a , b ] .
Т
Если f ( x ) кусочно-непрерывна на [ a , b ] (имеется конечное число точек
Т
разрыва первого рода), то она интегрируема на [ a , b ] .
Если f ( x ) монотонна на [ a , b ] , то она интегрируема на [ a , b ] . b
!
В определении
∫ f ( x ) dx
пределы удовлетворяют ограничению a < b .
a
b
Снимем это ограничение. Если a < b , то
∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . a
a
также
∫ f ( x ) dx = 0 . a
Пример: b
Вычислить ∫ kxdx как предел интегральных сумм. a
Решение: b−a xi = = x; n x0 = a; x1 = x0 + x; x2 = x1 + x = x0 + 2 x. Пусть ξi = xi −1 (левые концы каждого отрезка) ξ1 = x0 ; ξ 2 = x1 и так далее. n
n
i =1
i =1
Sn = ∑ f (ξi ) xi = ∑ kxi −1 ⋅
=
b − a k (b − a ) n = xi −1 = ∑ n n i =1
k (b − a ) ⎛ (b − a ) ⎞ = ∑ ⎜ a + ( i − 1) ⎟ n n ⎠ i ⎝
a
b
Пусть
83
Определенный интеграл
k (b − a ) ⎡ ⎤ k (b − a ) ⎡ (b − a ) ( b − a ) n ( n − 1) ⎤ ( i − 1)⎥ = ∑ ⎢∑ a + ⎢ na + ⎥= n n n n 2 ⎦ i ⎣ i ⎦ ⎣ 2 2 k ( b − a ) {an + bn − ( b − a ) n} . = 2n n b k k Пусть n → ∞ ( x → 0 ) , lim Sn = ( b 2 − a 2 ) , ∫ kxdx = ( b 2 − a 2 ) n →∞ 2 2 a =
7.4. Свойства определенного интеграла 1.
Независимость величины интеграла от обозначения переменной интегрирования:
2.
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
Линейность определенного интеграла. Если f1 и f 2 интегрируемы на [ a ,b] и А, В – произвольные числа, то b
∫ [ Af
1
a
b
b
a
a
+ Bf 2 ] dx = A∫ f1dx + B ∫ f 2 dx .
Доказательство: Для интеграла в левой части n
Sn = ∑ ⎡⎣ Af1 (ξi ) + Bf 2 (ξi )⎤⎦ xi = i =1
n
n
= ∑ Af1 (ξi ) xi + ∑ Bf 2 (ξi ) xi = i =1
i =1
n
n
= A∑ f1 (ξi ) xi + B ∑ f 2 (ξi ) xi . i =1
i =1
n
По
условию
∑ f (ξ ) i =1
1
i
b
xi → ∫ f1 ( x ) dx , a
n
∑ f (ξ )
b
Таким образом, ∃ lim
max xi → 0
b
вой части
∫ [ Af a
3.
1
2
i =1
i
b
xi → ∫ f 2 ( x ) dx . a
b
правой части A∫ f1dx + B ∫ f 2 dx ⇒ ∃ lim a
b
b
a
a
a
max xi → 0
ле-
+ Bf 2 ] dx = A∫ f1dx + B ∫ f 2 dx , что и требовалось доказать.
Аддитивность (разбиение промежутка интегрирования на части). Для любых трех чисел a , b , c справедливо равенство: b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx при условии, что все три интеграла существуют.
84
Лекции 7 - 8
Доказательство: Пусть a < c < b . Составим
b
b
∑
c
∑
c
∫
соответствует
a
a
b
b
∑
;
где c - точка деления [ a , b ] .
∫
для
a
соответствует
c
a
∫
рейдем к пределу при max xi → 0 :
∫
Если a < b < c , то
a
b
∑ a
c
b
c
,
b
c
a
b
=∫ +∫ ;
b
∫ a
c
b
=∑ +∑ a
c
⇒ пе-
c
b
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . a c
c
c
a
b
c
a
b
a
c
=∫ −∫ =∫ +∫ .
Теоремы об оценке определенного интеграла Т
Сохранение интегралом знака функции. Пусть 1) f ( x ) интегрируема на [ a , b ] ; 2) f ( x ) ≥ 0 для любых x ∈ [ a ,b ] , тогда
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a
Доказательство: n
Sn = ∑ f (ξi ) xi ≥ 0 ⇒ lim Sn ≥ 0 , то есть n →∞
i =1
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 , что и требовалось a
доказать. Т
Интегрирование неравенств. Пусть 1) f ( x ) , g ( x ) интегрируемы на [ a , b ] ; 2) f ( x ) ≥ g ( x ) для любых
x ∈ [ a ,b ] , тогда:
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .
Доказательство: b
f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 ⇒ ∫ ⎡⎣ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ dx ≥ 0 . a
b
b
b
b
a
a
a
a
∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ≥ 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx Т
f ( x ) интегрируема на [ a , b ] ; 2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции f ( x ) , тогда
Теорема об оценке. Пусть 1) b
m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) . a
85
Определенный интеграл
Доказательство: Из условия теоремы m ≤ f ( x ) ≤ M . Интегрируем неравенство 1: b
b
b
∫ mdx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ Mdx . a
a
a
b
b
a
a
Из линейности ∫ mdx = m ∫ dx = m ( b − a ) . Т
Теорема о среднем. Если f ( x ) непрерывна на [ a ,b ] , то ∃c ∈ [ a ,b ] такая, b
что
∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ( c ) . a
Доказательство: b
Из
теоремы
об
1 m≤ f ( x ) dx ≤ M , ( b − a ) ∫a
оценке
то
есть
b
1 f ( x ) dx = µ , где m ≤ µ ≤ M . ( b − a ) ∫a
Так как f ( x ) непрерывна, то она принимает все промежуточные значе-
ния между m и M. Следовательно, при некотором значении с ( c ∈ [ a ,b ])
f ( c ) = µ , то есть
b
∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ( c ) . a
b
!
1 f ( x ) dx называется средним значением функции Число f ( c ) = ( b - a ) ∫a f ( x ) на отрезке [ a , b ] .
Пример: 1
Оценить интеграл ∫ 0
dx 1+ x4
.
Решение: Имеем 1 ≤ 1 + х4 ≤ 2 при 0 ≤ х ≤ 1, 1 2
≤
1 1+ x 4 1
т.е. m =
2
≤ 1,
, М = 1, b − а = 1.
Следовательно,
1 2
1
≤ ∫ 0
dx
1+ x 4
≤ 1.
86
Лекции 7 - 8
Пример: 1
Определить знак интеграла
∫ x e dx , не вычисляя его. 3 x
−1
Решение: 1
0
1
−1
−1
0
Разобьём интеграл на два ∫ x 3 exdx = ∫ x 3 exdx + ∫ x 3 exdx = ={поменяем в первом интеграле пределы}= −1
1
0
0
= − ∫ x 3 ехdx + ∫ x 3 ехdx = ={заменим в первом интеграле х → (−х), тогда:}= 1
1
1
1
0
0
0
0
= − ∫ (− x )3 е−х d(−x) + ∫ x 3 ехdx = − ∫ x 3 e−xdx + ∫ x 3 ехdx = 1
= ∫ x 3 (ex − e−x) dx, на отрезке х∈[0, 1], х3 ≥ 0, ех − е−х ≥ 0, 0
1
следовательно, ∫ x 3 (ex − e−x) dx ≥ 0, т.е. знак интеграла - плюс. 0
Производная интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу) Рассмотрим некоторый промежуток [ a , b ] , f ( x ) - функция, интегрируе-
мая на [ a , b ] , d – фиксированная точка из [ a ,b ] , х – любая точка из [ a , b ] . Из
интегрируемости f ( x ) на [ a , b ] следует интегрируемость f ( x ) на [ d , x ] . Есx
ли верхний предел меняется, то меняется и значение интеграла
∫ f ( t ) dt , т.е. d
x
можно сказать, что на [ a , b ] задана функция F ( x ) : F ( x ) = ∫ f ( t ) dt . d
О
Т
Функция F ( x ) называется интегралом с переменным верхним пределом. ⎧x ⎫′ Если f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , то F ′ ( x ) = ⎨ ∫ f ( t ) dt ⎬ = f ( x ) - произ⎩d ⎭ водная от интеграла по переменному верхнему пределу равна результату подстановки значения верхнего предела в подынтегральную функцию f ( x ) . Доказательство: F ( x + x) − F ( x) По определению производной F ′ ( x ) = lim x →0 x
87
Определенный интеграл
F ( x + x) − F ( x) =
x+ x
x
∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt d
d
x
x+ x
x
x+ x
d
x
d
x
= ∫ f ( t ) dt +
= {из свойства аддитивности}=
∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = f ( µ )
F ( x + x) − F ( x)
= lim f ( µ ) , так как x →0 x lim f ( µ ) = lim f ( µ ) = f ( x ) ⇒ F ′ ( x ) = f ( x ) . lim
x→0
µ→x
при
x → 0,
то
µ→x
x →0
Т
x, x < µ < x + x,
Теорема Коши. Всякая непрерывная на [ a , b ] функция f ( x ) имеет в x
этой области первообразную F ( x ) = ∫ f ( t ) dt или, так как первообразная a
x
определяется с точностью до константы, F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + C , C − const . a
!
(Обобщение теоремы Барроу). Если функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) дифферен-
цируемы в точке х ∈ [ a , b ] и f ( t ) непрерывна при ϕ ( a ) ≤ t ≤ ψ ( b ) , то
⎛ψ ( x) ⎞′ ⎜ ∫ f ( t ) dt ⎟ = f (ψ ( x ) )ψ ′ ( x ) − f (ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) . ⎜ ϕ ( x) ⎟ ⎝ ⎠x Пример: x2
2
I(х) = ∫ e −t dt, найти I′(х). 0
Решение: Учтём ϕ(х) = 0, т.е. ϕ′(х) = 0, ψ(х) = х2. 2 2 4 I′(х) = e − (x ) (х2)′ = 2х e − x .
7.5. Формула Ньютона-Лейбница Т
Пусть f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , тогда b
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x )
b a
.
a
Доказательство: По теореме Коши из условия непрерывности f ( x ) следует существоваx
ние F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + C . a
88
Лекции 7 - 8 a
Положим, x = a ⇒ F ( a ) = ∫ f ( t ) dt + C , то есть C = F ( a ) . Положим, a
b
x = b ⇒ F ( b ) = ∫ f ( t ) dt + F ( a ) ⇒ a
b
b
a
a
∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) , что и
требовалось. Таким образом, для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f ( x ) нужно: 1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первообразную F ( x ) для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла); 2) вычислить F ( b ) − F ( a ) . Пример: b
b
1) ∫ kxdx = k ∫ xdx = k a
a
π
2) ∫ sin xdx = − cos x
π 0
x2 2
b a
=
k 2 b − a2 ) . ( 2
= − cos π + cos 0 = 2 .
0
Пример: e2
dx
Вычислить ∫ . x ln x e Решение: e2
∫ e
dx = x ln x
e2
∫ e
d (ln x ) = ln ln x ln x
e2 e
= ln(ln e2) − ln(ln e) = ln 2 ≈ 0,69.
Пример: π
4
Вычислить ∫ π
6
dx cos 2 x
.
Решение: π
4
∫
π
6
π π π 3 dx = tgx π 4 = tg − tg = 1 − . 2 4 6 3 cos x 6
7.6. Замена переменной в определенном интеграле Т
Пусть 1) f ( x ) непрерывна на [ a , b ] ; 2) x = g ( t ) - непрерывно диффе-
ренцируема на [α , β ] ( [ a, b ] - область значений g ( t ) при изменении
89
Определенный интеграл
t ∈ [α , β ] ); 3) a = g (α ) , b = g ( β ) , тогда
β
b
∫ f ( x ) dx = α∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) dt
- форму-
a
ла замены переменной под знаком определенного интеграла. Доказательство: b
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . Здесь F ( x ) = F ( g ( t ) ) . F ′ = F ′ ⋅ x ′ = F ′ ( g (t )) ⋅ g ′ (t ) ; F ′( g (t )) = F ′( x ) = f ( x ) = f ( g (t )) .
Левая часть
a
t
x
t
Таким образом, Ft ' = f ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t ) , следовательно, F ( g ( t ) ) является первообразной для функции f ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t ) на [α , β ] . β
Правая часть
∫α f ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t )dt = F ( g ( β ) ) − F ( g (α ) ) , то есть
β
∫α f ( g ( t ) ) ⋅ g '( t )dt = F ( b ) − F ( a ) . Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать. Пример: r
∫ 0
π /2
=
0=r sin α , α = 0 ⎫ ⎪ π⎬= r =r sin β , β = ⎪ 2⎭ π /2 2 π /2 r r 2 − r 2 sin 2 tr cos tdt = ∫ r 2 cos 2 tdt = (1 + cos 2t ) dt = 2 ∫0 0
⎧ x = r sin t , ⎪ r − x dx = ⎨ ⎪⎩dx = r cos tdt , 2
∫ 0
2
r2 ⎛ 1 ⎞ = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2⎝ 2 ⎠
π 2 0
=
π r2 4
.
Пример: 2
⎧ 1 dt 1 1 = ∫1 x x 2 + 1 ⎨⎩ x = t , dx=- t 2 ,1= α ,α = 1, 2 = β ,
1⎫ 2⎭
dx
1 2
= −∫ 1
1
tdt t2
1+ t t2
2
=∫ 1 2
dt 1+ t
2
(
=ln t+ t 2 + 1
)
1 1 2
(
β= ⎬ =
)
= ln 1+ 2 -ln
1+ 5 . 2
90
Лекции 7 - 8
7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций на [ − a ,a ] 1) f ( x ) - четная ( f ( − x ) = f ( x ) ) . a
0
a
−a
−a
0
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . ⎧ x = −t , dx = − dt ⎫ ⎪ ⎪ f ( x ) dx = ⎨ − a = −α , a = α ⎬ = ⎪ 0 = −β , β = 0 ⎪ ⎩ ⎭
0
∫
−a
0
a
a
= − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx , 0
a
2)
0
a
a
−a
0
∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx . f ( x ) - нечетная функция ( f ( − x ) = − f ( x ) ) .
a
0
a
−a
−a
0
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . 0
∫
−a
⎧ x = −t , dx = − dt ⎫ ⎪ ⎪ f ( x ) dx = ⎨ − a = −α , a = α ⎬ = ⎪ 0 = −β , β = 0 ⎪ ⎩ ⎭ 0
0
a
a
a
a
0
0
= − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx , a
∫ f ( x ) dx = 0 .
−a
7.7. Интегрирование по частям Т
Пусть u ( x ) и v ( x ) имеют на [ a , b ] непрерывные производные, тогда b
∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = ⎡⎣u ( x ) v ( x )⎤⎦ a
b
b a
− ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx . a
b
b
Или: так как v ' ( x ) dx = dv , u ' ( x ) dx = du , то ∫ udv = uv − ∫ vdu . b a
a
a
91
Определенный интеграл
Доказательство: b
b
b
b
a
a
a
a
( uv ) ' = uv '+ vu ' , ∫ [uv '+ vu '] dx = ∫ ( uv ) ' dx , ∫ uv ' dx + ∫ vu ' dx = uv ba , b
∫ udv = uv
b
b a
a
− ∫ vdu , что и требовалось доказать. a
Пример: ⎧ u = arcctg x, dv = dx ⎫ ⎪ ⎪ ∫0 arcctg x dx = ⎨du = − dx , v = x ⎬ = ⎪⎩ ⎪⎭ 1 + x2 π 1 1 = x arcctg x 10 + ln ( x 2 + 1) 10 = + ln2. 2 4 2 1
Пример: 1
Вычислить ∫ xe − x dx . 0
1
∫ xe
−x
dx
= { u = x, dv = e-xdx, du = dx, v = -e-x} =
0
1
1
= − xe − x + ∫ e − x dx = -е-1 − e − x 0 0
1 0
=
e−2 . e
8.1. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах
b
1) f ( x ) ≥ 0 , S = ∫ f ( x ) dx . a
b
2) f ( x ) ≤ 0 , S = − ∫ f ( x ) dx . a
92
Лекции 7 - 8
b
3) f1 ( x ) ≥ f 2 ( x ) , S = ∫ ⎡⎣ f1 ( x ) − f 2 ( x )⎤⎦ dx . a
d
1)* f ( y ) ≥ 0 , S = ∫ f ( y ) dy . c
2)* и 3)* аналогичны 2) и 3).
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абсцисс . Решение: y = x2 . 2
x3 Используем формулу 3.1 S = ∫ x dx = 3 −1
2
2
= 3. −1
Пример: Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у = 2х − х2. Решение: y = −x . Преобразуем уравнение параболы у = 2х − х2 = − (х2 − 2х + 1) + 1, (у − 1) = = − (х − 1) 2. Находим абсциссы точек пересечения (А и В), имеем: ⎧ y = 2 x − x 2 , x1 = 0, ⎨ ⎩ y = − x, x2 = 3. 3
S = ∫ ⎡⎣( 2 x − x 2 ) − ( − x ) ⎤⎦ dx = 0
3
9 ⎛3 2 1 3⎞ ⎜ x − x ⎟ = . 3 ⎠0 2 ⎝2
3
∫ ( 3x-x ) dx = 2
0
93
Определенный интеграл
Пример: Вычислить площадь эллипса y = ±b 1 −
x2 y 2 + = 1. a 2 b2
x2 , a2
a
S эл = 4 ∫ b 1 − 0
x2 π⎫ ⎧ dx = ⎨ x = a sin t , α = 0, β = ⎬ = 2 a 2⎭ ⎩
π 2
= 4ab ∫ cos tdt = [ 2abt + ab sin 2t ] 2
π 2 0
= π ab , Sэл =πab.
0
8.1.2. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости координат x и y от некоторого параметра t: x = x(t ), y = y(t ) . При изменении параметра t текущая точка M(x, y) описывает некоторую кривую на плоскости. Исключением параметра уравнение линии приводится к уравнению в декартовых координатах и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрическими уравнениями. 8.1.3. Вычисление площадей фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:
⎧⎪ x = x ( t ) , α ≤ t ≤ β , a = x (α ) , b = x ( β ) . ⎨ y = y t , ( ) ⎪⎩ b
b
β
a
a
α
S = ∫ f ( x ) dx = ∫ ydx = {x = x ( t ) , dx =x ′ ( t ) dt} = ∫ y ( t ) x ' ( t ) dt ; β
S = ∫ y ( t ) x ' ( t ) dt . α
Пример: Вычислить площадь эллипса. Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид: ⎧ x = a cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . ⎨ ⎩ y = b sin t
94
Лекции 7 - 8
Решение: π 2
S = 4S = 4 ∫ ab sin 2 tdt = 0
π 2
⎛ sin 2t ⎞ = 2ab ∫ (1 − cos 2t ) dt = 2ab ⎜ t − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 0
π 2 0
= π ab.
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды х = а (t − sin t); у = а (1 − cos t) и отрезком оси абсцисс. Решение: Точкам О и А соответствуют значения параметра tО = 0 и tА = 2π, поэтому искомая площадь равна 2π
2π
0
0
S=
2a y
πa
2 ∫ a (1 − cost ) ⎡⎣a (1 − cost )⎤⎦ dt = ∫ a (1 − cos t ) dt = 2
2π
2π
1 + cos 2t ⎞ 1 ⎛ ⎞ 2 ⎛3 2 = ∫ a ⎜1 − 2 cos t + ⎟ dt = а ⎜ t − 2sin t + sin 2t ⎟ = 3πa . 4 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠0 0 2
8.1.4. Полярные координаты на плоскости Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ . Координаты точки М в полярных координатах заuuuur даются длиной радиус-вектора OM = ρ этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ ∞ .
8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось Оx с полярной осью ρ . Найдём связь координат точки M(x,y) и M( ρ ,ϕ). Она выражается следующей системой уравнений: 2 2 ⎧ x = ρ cos ϕ , ρ = x + y , ⎨ y tgϕ = . ⎩ y = ρ sin ϕ , x
x 2πa
95
Определенный интеграл
8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат Уравнение вида ρ = ρ (ϕ ) , задающее ρ как функцию ϕ , определяет на плоскости некоторую кривую. Пример:
!
Архимедова спираль: ρ =аϕ, 0 < ϕ < ∞ , Решение:
ϕ
0
ρ
0
π
2 a⋅
π 2
π
2π
a ⋅π
2aπ
ρ ≥ 0. 5π 2 5aπ 2
Кривая представляет собой путь, описываемый точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О, с поv стоянной скоростью ω : a = .
ω
Пример:
Окружность со смещенным центром: ρ = a cos ϕ . Решение: π π 3π 7π ϕ π 0 4 2 2 4 2 2 cos ϕ 0 -1 0 1 2 2 2 2 ρ a 0 0 0 a a 2 2
2π 1 a
Координата ρ принимает только положительные значения. Поскольку cos ϕ =
ρ a
значит, угол ОМА - прямой.
Вывод: уравнение ρ = a cos ϕ задает окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Преобразуем: ρ = a cos ϕ , ρ ⋅ ρ = a ⋅ ρ cos ϕ ;
ρ 2 = a ρ cos ϕ ; 678 x2 + y2
x 2 + y 2 = ax ; x 2 + y 2 − ax + a 2 − a 2 = 0 . 2
a⎞ ⎛ ⎛a⎞ 2 ⎜x− ⎟ + y =⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝2⎠
2
- каноническое уравне-
ние окружности с центром в точке (
a a ,0) радиусом . 2 2
96
Лекции 7 - 8
8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат Пусть ρ = ρ (ϕ ) - непрерывная функция. Определим площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой ρ = ρ (ϕ ) и лучами ϕ = α , ϕ = β . Разобьем указанный сектор лучами на сектора величины
→
ϕ i . Пусть ρi = ρi - величина радиус-вектора
для произвольного ϕi ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] .
Лемма: Площадь кругового сектора равна Sα = Доказательство следует из пропорции: Sкруга = π r 2 → 2π ;
r2 α. 2
Sα → α ;
απ r 2 α r 2 = . Sα = 2π 2 Тогда площадь кругового сектора Si равна n 1 1 2 Si = ρi ϕ i ; сумма Q = ∑ ρ i2 ϕ i - площадь ступен2 i =1 2 чатого сектора, спрямляющего криволинейный сектор. При n → ∞ Q → S , Q - интегральная сумма, тоβ
1 гда S = ∫ ρ 2 dϕ - площадь криволинейного сектора. 2α Пример:
Вычислить площадь круга ρ = 2a cos ϕ . В силу симметрии достаточно вычислить 1/2 искомой площади. π /2 π /2 π /2 2 1 + cos 2ϕ 2 S = ∫ ρ 2 dϕ = ∫ ( 2a ) cos 2 ϕ dϕ = ∫ 4a 2 dϕ = 2 0 2 0 0
⎡π / 2 dϕ π / 2 cos 2ϕ ⎤ 1 ⎡ϕ = 4a 2 ⎢ ∫ + ∫ dϕ ⎥ = 4a 2 ⎢ π0 / 2 + sin 2ϕ 2 4 ⎣2 0 ⎣0 2 ⎦ π 1 1 ⎡π ⎤ = 4a 2 ⎢ − 0 + sin π − sin 0 ⎥ = 4a 2 = π a 2 . 4 4 4 ⎣4 ⎦
π /2 0
⎤ ⎥⎦ =
97
Определенный интеграл
Пример: Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли ρ2 = а2 сos2ϕ . Решение: y В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади: π
1 1 S= 2 4
π
4
a
2a x
a 2 ⎛ sin 2ϕ ⎞ 4 a2 a cos 2ϕdϕ = , ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2 ⎠0 4 0
∫
2
откуда S = а2.
8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах
L : y = f ( x ) . Разобьем [ a, b ] на части a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . На кривой обозначим точки A, M 1 ,..., M n−1 , B . Соединим их хордами. Получим ломаную, состоящую из n хорд. 2
⎛ y ⎞ xi2 + yi2 = 1 + ⎜ i ⎟ ⋅ xi - длина i - хорды, ⎝ xi ⎠
li = n
ln = ∑ li - длина ломаной. По теореме Лагранжа i =1
( f ( b ) − f ( a ) = f '( c )( b − a ) )
n 2 yi = f ' (ξ i ) , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] , ln = ∑ 1 + ⎡⎣ f ' (ξ i ) ⎤⎦ xi . xi i =1
имеем:
b
Пусть max xi → 0 , ln → l , следовательно, l = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx . 2
a
8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме ⎧⎪ x = x ( t ) α ≤t ≤ β L:⎨ ⎪⎩ y = y ( t ) b
( a = x (α ) ; b = x ( β ) ) ; b
l = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx = ∫ 1 + [ y x '] dx = {x = x ( t ) , dx = x ' dt} = 2
a
β
=∫ α
2
a
β ⎧ 2 2 dy yt ' ⎫ = ⎬ = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt , 1 + [ y x '] x ' ( t ) dt = ⎨ y x ' = dx xt ' ⎭ α ⎩ 2
98
Лекции 7 - 8 β
l = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt . 2
2
α
β
Если кривая задана в полярных координатах, то l = ∫ ρ 2 + ρ ′2 dϕ . α
8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме
⎧ x = x (t ) β ⎪ 2 2 2 L : ⎨ y = y ( t ) α ≤ t ≤ β , l = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ z ' ( t ) ⎤⎦ dt . α ⎪ ⎩ z = z (t ) Пример:
1 L : y = ln (1 − x 2 ) ; a = 0, b = ; l − ? 2 1 2
l = ∫ 1+ 0
4x2
(1 − x ) 2
1 2
x2 + 1 ⎡ 1+ x ⎤ dx = ⎢ − x + ln 2 1− x x − 1 ⎥⎦ ⎣ 0
dx = ∫ 2
1 2 0
= ln 3 −
Пример: ⎧ ⎪ x = a cos t ⎪ ⎨ y = a sin t - винтовая линия. lвитка =? ⎪ c ⎪z = t 2π ⎩ 2π
l=
∫ 0
2
2
c c a + dt = 2π a 2 + . 4π 4π 2
8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой x
l ( x ) = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx ; l ' ( x ) = 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ ; 2
2
α
dl = 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx . 2
В параметрической форме: dl = ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt . 2
2
1 2.
99
Определенный интеграл
8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах Пусть уравнение кривой в полярных координатах ρ = ρ (ϕ ) . Можно рас-
⎧ x = ρ cos ϕ сматривать уравнения ⎨ как параметрические уравнения линии L, ⎩ y = ρ sin ϕ β
β
имеющей длину l = ∫ x ' + y ' dt , l = ∫ ⎡⎣ x ' (ϕ )⎤⎦ + ⎡⎣ y ' (ϕ )⎤⎦ dϕ . 2 t
2
2 t
2
α
α
x 'ϕ = ρ 'cos ϕ − ρ sin ϕ , y 'ϕ = ρ 'sin ϕ + ρ cos ϕ .
x 'ϕ + y 'ϕ = ( ρ 'cos ϕ − ρ sin ϕ ) + ( ρ 'sin ϕ + ρ cos ϕ ) = ρ '2 + ρ 2 , 2
β
l=∫ α
2
2
β
( x ' ) + ( y ' ) dϕ = ∫ 2
ϕ
Пример:
2
2
ρ '2 + ρ 2 dϕ .
ϕ
α
Вычислить длину окружности ρ = 2a cos ϕ . π /2
L=2∫
( −2a sin ϕ )
2
+ 4a cos ϕ dϕ = 4a 2
π /2
2
0
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ dϕ =
0
π /2
= 4a
∫
∫ dϕ = 4a ⋅ ϕ 0
π /2 0
= 4a
π 2
= 2π a.
8.2.6. Площадь поверхности вращения Вычислим Qx – площадь поверхности, образованной вращением кривой y = f ( x ) вокруг оси Ох). Разделим отрезок [ a , b ] точками деления xi . Точке xi соответствует точка на кривой M i . Соединим точки на кривой хордами ( li ) . При вращении каждая хорда описывает усеченный конус. Площадь его поверхности: y + yi Qi = 2π i −1 li ; 2 2 y + yi Qi = 2π i −1 1 + ⎡⎣ f ' (ξ i ) ⎤⎦ xi ; 2 n
Qn = ∑ Qi ; i =1
max xi → 0 ; Qn → Qx . b
Qn → 2π ∫ f ( x ) 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx a
2
100
Лекции 7 - 8 b
Qx = 2π ∫ f ( x ) 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx - площадь поверхности, образованной враще2
a
нием кривой, заданной функцией у = f ( x ) , а ≤ х ≤ b . Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t1 ≤ t ≤ t2 , то Qх = 2π
t2
∫ y ( t ) ⎡⎣ x′ ( t )⎤⎦ + ⎡⎣ y′ ( t )⎤⎦ dt . 2
2
t1
Если дуга задана в полярных координатах ρ β
= ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β,
то Qх = 2π ∫ ρ (ϕ ) sin ϕ ρ 2 + ⎡⎣ ρ ′ (ϕ ) ⎤⎦ dϕ . 2
α
Пример:
Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох. Решение: у = (а 1+
2/3
2/3 3/2
−х )
a2 3 − x2 3 x2 3
=
(
a 3 2 , у′ = (а2/3 − х2/3)½( − х−1/3) = − 3 2 a1 3 x
13
a
∫ (a
23
−x
23
)
32
0
a
= 4π a
∫ (a
23
−x
23
)
− x2 3 )
12
x1 3
,
.
Следовательно Qх = 2⋅2π 13
23
32
x
−1 3
dx = − 4πа
0
1/3
a1 3 dx = x1 3
(
3 a2 3 − x2 3 2 52
)
52
a
= 0
12 πа2. 5
Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = а (t − sin t), у = а (1− cos t) вокруг оси Ох. Решение: Дифференцируем х′ = а (1 − cos t), у′ = а (sin t),
( x′ ) + ( y ′ ) 2
2
=
t 2
a 2 (1 − cos t ) + a 2 sin 2 t = а 2(1 − cos t ) = 2а sin . 2
2π
2π
t ⎛ Qх = 2π ∫ a (1 − cos t ) 2a sin dt = 8πа2 ∫ ⎜1 − cos 2 2 0 0 ⎝ 2π
t⎤ ⎡ cos3 ⎥ t⎞ 64 2 ⎢⎛ 2 2 = − 16πа ⎢⎜ cos ⎟ − ⎥ = 3 πа . 2⎠ 3 ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦0
t⎞ t ⎟ sin dt = 2⎠ 2
101
Определенный интеграл
Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 2а (1+ cosϕ) вокруг полярной оси. Решение: Имеем ρ′ = −2а sin ϕ,
( ( ρ ′)
2
)
2
π
Qх =2π ∫ 2a (1 + cos ϕ ) sin ϕ ⋅ 4a ⋅ cos 0
π
= 64 πа2 ∫ cos 4 0
ϕ 2
4a 2 (1 + cos ϕ ) + 4a 2 sin 2 ϕ = 4а сos .
+ ρ2 =
ϕ 2
sin
ϕ 2
dϕ =
ϕ 2
dϕ =
128 2 πa . 5
8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох. Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, то есть является функцией х: S = S ( x) . Пусть S ( x ) непрерывна на [ a , b ] . Разобьем [ a , b ] точками деления a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b ; через точки xi проведем сечения, перпендикулярные оси Ох. Площади соответствующих поперечных сечений - S ( xi ) . n
Составим сумму: Vn = ∑ S (ξ i ) xi , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] , S (ξ i ) xi - объем цилиндi =1
ра с площадью основания S (ξ i ) и высотой xi . Пусть max xi → 0 , тогда Vn → V (объем тела). С другой стороны, b
Vn → ∫ S ( x ) dx ( Vn - интегральная сумма для непрерывной функции S ( x ) ). a
b
Таким образом, V = ∫ S ( x ) dx . a
Пример: Найти объём тела, основание которого - круг радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высотой h. Решение:
102
Лекции 7 - 8
Выберем систему координат, начало которой совпадает с центром круга. Тогда сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть равнобедренный треугольник с основанием 2у = 2 a 2 − x 2 и высотой h; 1 имеем S(х) = ⋅ 2 a 2 − x 2 h = h a 2 − x 2 , 2 a
a
V = h ∫ a 2 − x 2 dx = 2h ∫ a 2 − x 2 dx = −a
0
a
⎛x 2 a x⎞ π a2h 2 a − x + arcsin ⎟ = . = 2h ⎜ a⎠0 2 2 ⎝2 2
8.3.2. Вычисление объемов тел вращения Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f ( x ) , а ≤ х ≤ b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по формуле: b
Vx = ∫ S ( x ) dx = {S ( x ) = π f a
b
2
( x )} = π ∫ f 2 ( x ) dx . a
Если криволинейная трапеция, ограниченная d
кривой x = f ( y ) , c ≤ y ≤ d, вращается вокруг оси Оу, то Vy = π ∫ f 2 ( y ) dy . c
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой ρ = ρ (ϕ ) и лучами β
2 ϕ = α и ϕ = β , вращается вокруг полярной оси, то V = π ∫ ρ 3 sin ϕ dϕ . 3 α !
Величина Vу может быть также вычислена интегрированием по х: Vу = b
2π ∫ x f ( x ) dx , a
Пример: Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у2 = (х − 1)3 и прямой х = 2 Решение: 2 2 1 3 2 Vх = π ∫ y dx = π ∫ ( x − 1) dx = π . 4 1 1
103
Определенный интеграл
Пример: Найти объем тела эллипсоида x2 y 2 z 2 + + = 1. a 2 b2 c2 Решение:
z
y
x
a
a
V = 2 ∫ S ( x ) dx = 0
⎧ для фиксированного x имеем эллипс ⎫ ⎪ 2 ⎪ 2 2 2 2 ⎪ y + z = 1 − x или y + z = 1, ⎪ 2 2 ⎪ b2 c2 ⎪ a2 b1 c1 ⎪⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎬= x2 x2 ⎪где b1 = b 1 − 2 , c1 = c 1 − 2 , ⎪ a a ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎛ x ⎞ ⎪ S ( x ) = π b1c1 = π bc ⎜1 − 2 ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝ a ⎠ a ⎛ x2 = 2π bc ∫ ⎜ 1 − 2 a 0⎝
4 Vэл = π abc , 3
⎞ ⎡ x3 ⎤ 2 π = − dx bc x ⎟ ⎢ 3a 2 ⎦⎥ ⎠ ⎣
a 0
4 = π abc , 3
4 ⎛ 3⎞ ⎜ Vсф = π R ⎟ . 3 ⎝ ⎠
Пример: Найти объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение: R y= x H H R2 π R 2 x3 H 1 2 πR H Vx = π ∫ 2 x 2 dx = 2 ⋅ 0 = H H 3 3 0
1 Vкон = π R 2 H . 3
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: формулу Ньютона-Лейбница; особенности применения основных методов интегрирования при вычислении определенных интегралов; геометрические приложения определенного интеграла.
Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что отрезок [a,b] – конечный, а функция f(x) ограничена на этом отрезке. При нарушении хотя бы одного из этих условий вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы. 9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость 9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач
9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку) 9.1.1. Основные определения О Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, ∞ ). Тогда она непрерывна на любом промежутке [ a, b ] , где b>a, и существует интеграл b
∫ f ( x)dx . Несобственным интегралом первого рода называется предел a
b
lim ∫ f ( x)dx и обозначается b→∞
a
∞
∫ f ( x)dx . Таким образом, a
∞
b
∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx . b →∞
a
a
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. О
Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка b
( −∞ ,b]: ∫ f ( x )dx = lim −∞
a →−∞
b
∫ f ( x )dx , a
если этот предел существует и коне-
105
Несобственные интегралы
чен. Для функции f ( x ) , непрерывной на промежутке ( −∞ , + ∞ ), несобствен+∞
ный интеграл
∫
f ( x)dx определяется равенством:
−∞ +∞
∫
+∞
c
f ( x )dx =
−∞
∫
f ( x )dx +
−∞
∫
f ( x )dx ,
c
где с – любое число. Несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части. 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке [a, ∞ ). Восb
пользуемся формулой Ньютона-Лейбница для интеграла
∫ f ( x )dx . a
Тогда ∞
b
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx = lim[F(b) − F(a)] = lim F(b) − F(a) . b→+∞
a
b→+∞
a
b→+∞
Если обозначить lim F (b) через F(+ ∞ ), то можно записать: b →+∞
∞
∫ f ( x )dx = F( +∞ ) − F( a ) = F( x )|
+∞ a
.
a
Аналогично b
∫
−∞
+∞
f ( x )dx = F( x )| , ∫ f ( x )dx = F( x )|+∞ −∞ , где F(- ∞ ) = lim F( x ) . b −∞
x →−∞
−∞
Пример: +∞
Исследовать сходимость интеграла
dx
∫x
p
a
Решение: b
∞
b ⎛ 1 ⎞ dx При p ≠ 1 ∫ p = lim ∫ x − p dx = lim ⎜ x − p +1 ⎟ = b →+∞ − p + 1 b →+∞ x ⎝ ⎠a a a 1 1 −p+1 = lim b−p+1 − a . −p+1 b→∞ −p+1
Пусть р > 1, тогда − p + 1 < 0 и lim b − p +1 = 0, b →+∞
+∞
dx
∫x a
p
=−
1 −p+1 a , значит, −p+1
при р > 1 интеграл сходится. Пусть р < 1, тогда − p + 1 > 0 и lim b − p +1 = ∞, т.е. интеграл b →+∞
расходится.
+∞
dx
∫x a
p
при р < 1
106
Лекция 9 ∞
При p = 1 :
dx
∫x
p
a
= lim ( lnx ) a = lim ( lnb − lna ) = ∞ . Интеграл расходится. b
b →∞
b →∞
Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: +∞ +∞ 0 +∞ +∞ dx dx dx ; 3) ∫ cosxdx ; 4) ∫ e x dx ; 5) ∫ . 1) ∫ 2 ; 2) ∫ 2 x x 1 + x 0 1 −∞ 1 −∞ Решение: Воспользуемся обобщенной формулой Ньютона-Лейбница: +∞ dx 1 1) ∫ 2 = − |1∞ = −( 0 − 1 ) = 1 (интеграл сходится). x x 1 +∞
2)
∫
dx = lnx |1∞ = lim lnx = ∞ (интеграл расходится). x →∞ x
1 +∞
∫ cosxdx = sinx |
3)
+∞ 0
= lim sinx . Этот предел не существует, поэтому x →+∞
0 +∞
∫ cosxdx - расходится. 0
0
4)
∫ e dx = e x
−∞ +∞
5)
dx
∫ 1+ x
2
| = e0 − lim e x = 1 − 0 = 1 (интеграл сходится).
x 0 −∞
x →−∞
+∞ = arctgx |−∞ =
−∞
π 2
−( −
π 2
) = π (интеграл сходится).
Выясним геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода. Пусть f ( x ) ≥ 0 на промежутке [a,+ ∞ ). b
Тогда
∫ f ( x )dx
численно равен площади фи-
a
гуры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ox, сверху – линией y = f ( x ) , слева и справа – прямыми x = a и x = b. При возрастании b прямая x = b, ограничивающая эту фигуру, b
двигается вправо, а интеграл
∫ f ( x )dx
стре-
a
∞
мится к интегралу
∫ f ( x )dx . Поэтому величиa
∞
ну интеграла
∫ f ( x )dx
естественно принять за
a
площадь бесконечной фигуры, ограниченной
107
Несобственные интегралы
снизу осью Ох, сверху графиком функции y = f ( x ) , слева – прямой x = a. b
Аналогично
∫
f ( x )dx для случая f(x) ≥ 0 численно равен площади бесконеч-
−∞
ной фигуры, ограниченной снизу осью Oх, сверху кривой y = f ( x ) , справа прямой x=b. Пример: Вычислить площади бесконечных фигур, ограниченных осью Ох, линией y = f(x), прямой x = a, если 1 а) f ( x ) = 2 , a = 1, x ≥ 1 ; x 1 б) f ( x ) = , a=1, x ≥ 1 ; x в) f ( x ) = e x , a=0, x ≤ 0 ; г) f ( x ) =
1 , x ∈ (−∞, +∞) . 1 + x2
Решение: Построим фигуры, ограниченные данными линиями
А
Б Воспользуемся результатами примера 1. +∞ +∞ dx dx =∞; а) S = ∫ 2 = 1 ; б) S = ∫ x x 1 1 Фигура, изображенная на рис.б), имеет бесконечную площадь. в) S =
0
+∞
−∞
−∞
x ∫ e dx = 1 ; г) S =
dx
∫ 1+ x
2
=π .
В
Г
108
Лекция 9
9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами Признаки сравнения +∞
1.
Пусть при а ≤ х < +∞, 0 ≤ f(х) ≤ g(х). Если
∫ g ( x)dx сходится, то сходитa
+∞
∫
ся и
f ( x)dx , причем
a
+∞
∞
+∞
a
a
a
∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x ) dx . Если расходится ∫ f ( x ) dx ,
+∞
то расходится и
∫ g ( x ) dx . a
2.
Если при а ≤ х < +∞, f(х) > 0, g(х) > 0 и существует конечный предел +∞ +∞ f ( x) lim ≠ 0 , то интегралы ∫ f ( x ) dx , ∫ g ( x ) dx сходятся или расходятx →+∞ g ( x ) a a ся одновременно.
9.1.4. Абсолютная и условная сходимость +∞
О
Если сходится
∞
∫ f ( x ) dx ,
то сходится и ∫ f ( x ) dx . В этом случае
a
a
∞
∫ f ( x )dx называется абсолютно сходящимся. a
∞
О
Если
+∞
∫ f ( x ) dx сходится, а ∫ f ( x ) dx a
∞
расходится, то
a
∫ f ( x )dx
называет-
a
ся условно сходящимся. Из первого признака сравнения можно получить следующее утверждение. Т
Если при х → + ∞ функция f(х) > 0 является бесконечно малой порядка +∞ 1 α по сравнению , то интеграл ∫ f ( x ) dx сходится при α > 1 и расхоx a дится при α ≤ 1.
Признак сходимости Абеля Пусть f(х) >0 и g(х) определены и ограничены при а ≤ х < +∞, причем ∞
1)
∫ f ( x ) dx сходится; a
2) g(х) монотонна и ограничена, g( x ) ≤ k = const .
109
Несобственные интегралы ∞
∫ f ( x ) g ( x ) dx .
Тогда сходится и интеграл
a
Пример: +∞
Вычислить
∫e
−3 x
dx .
0
Решение: +∞
b
b
1 1 ⎛ 1 ⎞ Имеем ∫ e dx = lim ∫ e dx = lim ⎜ − e −3 x ⎟ = lim (1 − e−3b ) = . b →+∞ b →+∞ 3 ⎝ 3 ⎠ 0 3 b→+∞ 0 0 Несобственный интеграл сходится. −3 x
−3 x
Пример: −1
Вычислить
dx . x2 −∞
∫
Решение: −1
−1
−1
dx dx ⎛ 1⎞ ⎡ 1⎤ = lim ⎢ − ⎥ = lim ⎜ 1 + ⎟ = 1, т.е. предел существу2 ∫−∞ x 2 = alim ∫ a →−∞ a →−∞ →−∞ x ⎝ a⎠ ⎣ x⎦ a a ет. Следовательно, искомый несобственный интеграл сходится. Пример: +∞
Исследовать на сходимость интеграл
dx
∫ x ln
2
2
x
.
Решение: ∞
b
b
dx dx 1 ⎛ 1 ⎞ = lim ⎜ − = , ⎟ 2 ∫2 x ln 2 x = lim ∫ b →∞ x ln x b→∞ ⎝ ln x ⎠ 2 ln 2 2 т.е. несобственный интеграл сходится.
Пример: +∞
Исследовать на сходимость интеграл
∫ 1
( x + 1)dx . x3
Решение:
( x + 1) ≥
∞
∞
1 dx dx 1 = , ∫ = ∫ 1 расходится (здесь р = < 1). Имеем: 3 3 2 x a x ax 2 x x Следовательно, по признаку сравнения расходится и исходный интеграл.
x
110
Лекция 9
9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) О
Пусть функция f ( x ) непрерывна на интервале [a,b) и неограниченна вблизи b. Тогда функция непрерывна на любом отрезке [a,b1], где а ≤ b1