力学系 (紀伊國屋数学叢書 21)

紀伊國屋数学叢書 21

編集委員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永 田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

丹羽 敏雄

力 学 系 紀伊 國屋書店

目

次

O  力学系の理論の歴史的概観 

1

Ⅰ   力学系の局所理論 

25

 1 基本定理  1.1 非特異点のまわりの標準形   1.2 特異点のまわりでの線形化,線形方程式 

26 28

  2 形式的理論とPoincareの 補題  2.1 形式的巾級数による線形化   2.2 実の標準形    2.3 Poincareの補題 

32 34 36

 3 Siegelの定理  3.1 Siegelの定理   3.2 定理の証明 

42 45

 4 例  4.1 解析的な変換では線形化できない例   4.2 微分可能な変換では線形化できない例   4.3 同相変換による線形化 

49 53 57

 5 μ-双曲形不動点と,そのμ-安定多様体とμ-不安定多様体  5.1 微分方程式とその線形化   5.2 μ-双 曲形行列とμ-不 安定多様体   5.3 μ-双 曲形不動点とそのμ-不 安定多様体 

59 63 66

 6 定理5.1の 証明  6.1 縮小写像定理 

68

 6.2 ジェット空間   6.3 定理の証明,その1   6.4 定理の証明,その2   6.5 定理の証明,その3 

70 72 75 77

 7 特異点のまわ りの標準形 と線形化  7.1 固有値の実部がすべて同符号の場合の標準形   7.2 一般の場合の標準形   7.3 平衡点の安定性 

80 84 86

 8 Hopfの 分岐  8.1 特異点の余次元   8.2 Hopfの分岐 

88 91

Ⅱ Hamilton力 学系 

97

  1 変分原理  1.1 ポテンシャル系   1.2 Euler-Lagrangeの 方程式   1.3 変分原理,その1   1.4 多様体上のLagrange系   1.5 Legendre変換   1.6 変分原理,その2   1.7 測地線 

98 99 100 101 103 105 109

 2 正準形式  2.1 Poincare-Cartanの 定理   2.2 正準変換   2.3 Liouvilleの 定理   2.4 Poincareの 再帰定理  

112 115 116 119

 3 正準変換と母関係  3.1 シンプレクティック線形空間 

122

 3.2 正準変換の母関係   3.3 Hamilton-Jacobiの 方程式 

125 128

 4 対称性と第1積 分  4.1 Poisson括弧   4.2 モーメント 関数   4.3 可積分系 

131 133 136

 5 力学系の基本問題とKolmogorov-Arnold-Moserの 理論  5.1 積分不可能性に関するPoincareの 定理   5.2 補題   5.3 Arnoldの定理   5.4 定理の証明 

140 144 148 154

 6 制限3体 問題  6.1 制限3体問題とLagrangeの平衡点   6.2 Lagrangeの正3角形解   6.3 標準形への移行,Birkhoffの 定理   6.4 Lagrangeの正3角形解の安定性 

158 160 161 166

 6.5 定理6.2の証明 

168

 7 不安定帯  7.1 共鳴トーラスと平均化法   7.2 セパラトリックスの分離と不安定帯  文 献  あとがき 

172 174 178 181

0  力学 系 の理 論 の歴 史 的概 観

  力学 系 の理 論 は複 雑 多 岐 に わ た っ て い て,そ れ ら の全 てに わ た っ て は概 観 す る こ とさ え不 可 能 で あ る.こ こで は,天 体 力学 と統 計 力学 か ら発 生 した,主

と し て有 限 自 由度 の力 学 系 の数 学 的 理 論 を 歴 史 的 な形

で 概 観 す る こ とを 試 み る.現 代 的 に は,常 微 分 方 程 式 の安 定 性 の問 題 や 分 岐 理 論,エ

ル ゴー ド理 論,力

学 系 の定 性 的 理論 な ど が そ れ に 当

る.歴 史 的 に は,こ れ ら の分 野 は 異 な った 起 源 を 持 つ 場 合 も あ るが, い ず れ も 内的 に は 密 接 に 関 連 して い る.こ の概 観 の 目的 は,こ

の 内的

な 連 関 性 を 具 体 的 な 形 で 示 す こ と と,で きれ ば 個 々の 問 題 を 全 体 の中 に 位 置 づ け る こ とに あ る.

  力 学 系 の理 論 を"歴 史 的 に"振

り返 ってみ よ う.も ち ろ ん我 々の 目的 は 力学

系 の理 論 を 歴 史 の 名を 借 りて概 観 す る ことに あ る の であ っ て,歴 史 的 事 実 を 正 確 に 述 べ よ うとす る も の で は な い.

  1.  力 学 系 の理 論 の発 端 を ど こに 置 くか は難 し い.が,Newtonの

力学 に 置

け ば た い して 見 当 違 い では な い だ ろ う.も し近 代 的 な 理 論 の発 端 とい うこ と な らばPoincareの

仕事 の い くつ か に お くべ き で あ ろ う.こ こで,力 学 系 の理 論

とい って い るの は,雑 に い って,状 態(相)が 主 と し て有 限 個 の パ ラ メー タ で記 述 で き る系 の時 間 的 な 変 化 ・発 展 を 問題 とす る も の であ る.い

うま で もな く我

我 は数 学 的 な側 面 を 問題 に して い るの で あ って,物 理 的 な 側 面 に 関 して は ほ と ん ど問題 に して い な い.   力学 系 の理 論 は,天 体 の運 動 を 問題 とす る天体 力学 と して 始 め て 世 に 現 わ れ た.Newtonに

よ る運 動 の法 則 と万 有 引 力 の 法則 とに よ って 天 体 力学 は そ の基

礎 を与 え られ た.Keplerの れ ば,体

理 論 は もち ろ ん重 要 で あ るが,我

々の立 場 か らす

系 性 や 微 分 方 程 式 を 理 論 の中 心 に す え た 点 な どか ら見 てNewtonを

理 論 の創 始 者 とみ るべ き で あ ろ う.現 代 的 な 目か ら見 れ ば,周 天 円 を 重 ね る こ とに よ り惑 星 の運 動 を よ り正 確 に記 述 し よ う と した,天 動 説 も興 味 深 い.と い うの も,そ の理 論 が あ くま で運 動 を記 述 し よ う とす る点,と て の近 似 はFourier解 Moserの

くに 周 天 円 を 重 ね

析 を思 わ せ る所 が あ り,現 代 のKolmogorov-Arnold-

理 論(第 Ⅱ部5章 参 照)と も無 緑 では ない.

  さて,天 体 力 学 に お け る2体 問題 は す で にNewtonに

よ って完 全 に解 決 され

た.こ こで興 味 を 引 く点 は,こ の問 題 に お い て は 運 動 学 的 記 述(Keplerの

法 則)

が 先 に あ って,そ れ が 微 分 方 程 式(力 学 系)に よ って後 か ら説 明が 与 え られ た こ と であ る.3体

以 上 のい わ ゆ る多 体 問 題 に あ って は,そ

の後 数 多 くの数 学 者 が

そ の解 決 を 試 み た が,肯 定 的 な 結 果 に 関 して は 最 近 に な っ てや っ と部 分 的 に得

られ た に す ぎな い.し か し なが ら多 体 問題 が 解析 学 を 中 心 に 数 学 全 般 に 与 え 続 け た刺 激 は深 く大 き い もの が あ る.現 代 に お い て もい まだ に 影 響 を 与 え続 け て い る.天 体 力学 は また,物 理 ひ い て は 科 学 全 体 の指 導 原 理 の役 割 を 果 した.逆 に い え ば,予 測 の問 題 が 科 学 理 論 の中 心 に 置 か れ るな ど現 代 の科 学 に必 ず し も 良い とば か りは い え ない 性 格 また は 目標 を 与 え る こ とに な った と もい え よ うか (こ れ は 蛇 足).   手 短 か に 天体 力学 を 中 心 とす る力学 の発 展 の 後 を 追 って み よ う.   Newton以

後 の発 展 を み る と2つ の大 き な側 面 が あ る こ とに 気 づ く.そ れ ら

は もち ろん密 接 に 絡 ま って い て 実 際 的 に は 分 け る こ とが む ず か しい が,1つ 力学 の形 式 に 関 す る理 論 で あ り,1つ

は

は摂 動論 な どを 中 心 と した 個 々 の方 程 式

の実 際 的 な 解 法 であ る.   Euler, Lagrangeな

どはNewton力

学 に変 分 法 が 適 用 で き る こ と を見 出

し,座 標 系 に 関 して 不 変 な 形 式 であ るLagrange形

式 を作 りあ げ た.変 分 法 は

そ の後 他 の 多 くの分 野 で主 導 的 な 原理 の1つ と な った.Lagrang形

式 は また 数

学 的 に 見 る と多様 体 の概 念 の 萠芽 が 見 られ る こ とに お い て も重 要 な 意 味 を も っ て い る.力 学 の 形 式 に 関 す る理論 は,幾 何 光 学 と の類 似 に 導 か れHamiltonに よっ て発 見 され たHamilton形

式 また は 正 準 形 式 に よ って一 応 の完 成 を 見 た.

この理 論 は 後 に,Poincare-Cartanに

よ る微 分 形 式 の発 見 と相 ま って,シ ン プ

レ クテ ィ ッ ク多 様 体 上 の力 学 系 の理 論 と し て現 代 的 な形 で完 成 され て い る(第 Ⅱ部2章 参 照).こ の理 論 に よれ ば,力 学 系 の積 分 可能 性 は,少

くと も知 られ て

い る例 で は ほ とん どの場 合 が系 の対 称 性 に そ の 根拠 を も って い る こ とが 分 る. も っ と も,い ま のべ た こ とがす べ て の 場合 に 正 しい とい うこ とが 厳 密 に 示 され て い るわ け で は な い.厳 密 に分 って い る こ とは,十 分 に 多 くの対 称 性 が あ れ ば そ れ は 系 の 積 分 可 能性 を導 くとい うこ とだ け であ る(第 Ⅱ部4章 参 照).こ に 関 連 して,い

わ ゆ るか くれ た 対 称 性 を 見 出 した最 近 のK-dV方

の点

程式 の理 論

は 興 味 深 い.

  理 論 の発 展 を形 式 的 側 面 か ら離 れ て み る と,3体

問 題 に 代 表 され る個 々 の重

要 な 力学 系 を 解 くこ と,い い か え ると,積 分 可 能 な系 を 発 見 す る こ とに 力が 注 が れ て い る のが み え る.し か し なが ら,多 大 の努 力 に もか か わ らず,少 数 の例

外 ― 線形 系,自 由度1の 系,2体 問題,外 力 な しの 剛体 の運 動,な どを 除 い て, "解 く"こ とは 不 可能 で あ るか 少 くと も非 常 に 困難 で あ った .た とえば,3体 問 題 に対 し ては,解 析 的 な積 分 を見 つ け る こと に よ り解 く とい う意 味 で は,解 く こ とが 不 可能 で あ る とい うこ とがPoincareに

よ って 見 出 され るに お よん で

古 典 的 な意 味 で の問 題 の解 法 は 死命 を制 せ られ て し ま った(第 Ⅱ部5.1参

照).

し か し,そ れ ら の研 究 の 中 か ら生 まれ て き た幾 何学 的 な い しは 大 域 的 方 法,あ るい は 測度 論 的 方 法 は 力 学 系 の 理論 に 新 た な 生命 を 吹 き こむ こ と とな った.   解 くとい う こ とが 単 に解 析 的 な 解 の 存 在 を 意 味 す るの で あ れ ば,3体 問題は 一 般 的 な 条 件 の もの で ,す な わ ち 少 くと も全 角 運 動 量 が0で な い とい う条 件 の も とで肯 定 的 にSundmannに

よ って 解 か れ て い る こ とを 注 意 して お く.全 角

運 動 量 が0の 場 合3体 衝 突 が 起 りえ るが,こ の 場 合 は 衝 突 後 へ も解 を 解 析 的 に 延 長 して い くこ とが で きな い,す な わ ち,解 は3体 衝 突 す る時 点 で 真 性 特 異 点 を もつ とい う こ とがSiegel

(Siegel-Moser

[1])に

よ って 示 され てい る こと も

注 意 して お く.   さて,天 体 力 学 の 主 要 な 対 象 で あ る現 実 の 太 陽 系 で は,太 陽 の質 量 が 他 の惑 星 の 質 量 を 大 き く上 まわ っ てお り,個 々 の惑 星 の運 動 は,少

く とも第0次 近 似

と して は 太 陽 と の2体 問 題 とし て とら え る こ とが で き,他 の惑 星か ら の引 力に よ る影 響 は 小 さ な摂 動 と して と ら え る こ とが で き る.こ うし て,実 際 の 系 を積 分 可 能 な 系 の摂 動 と し て とら え る摂 動 論 が生 まれた.こ

の方 法 は実 際 的 な意 味

で 運 動 を 解 くのに 極 め て有 効 な 方 法 で あ るば か りでは な く,理 論 的 に も多 くの 興 味 あ る問 題 を 提 供 す る もの で あ った.   摂 動 論 に お け る根 本 的 な 困難 は いわ ゆ る小 さ な分 母 に よ りお こ る問題 で あ っ て,こ れ は共 鳴現 象 か ら生 じ る困難 で あ る.し た が って,単 に理 論 上 の技 術 的 困 難 では な く現 象 の本 質 に根 ざ した 困難 で あ る.こ の 困 難 はPoincareに て 明確 に 認 識 され た が,後 にSiegel, Kolmogorovに り越 え られ,本

来 の 天 体 力 学 に あ って は,Arnold,

分 的 に解 決 され た(第 Ⅱ部5,6章

参 照).し

多 くの困 難 を 残 し てい る(第 Ⅱ部7章

よっ

よ って 始 め て部 分 的 に乗 Moserに

よ って 始 め て部

か し,不 安 定 帯 の問 題 な ど まだ まだ

参照).

  古 典 的 な摂 動 論 が 見 出 した 重 要 な結 論 の1つ は 次 の よ うな も の で あ る.簡 単 の た め,す べ て の惑 星 は 同一 の 平 面 上 を動 い て い る もの とす る.摂 動 を考 慮 に

入 れ な い 第0次 近 似 では 各 惑 星 は 楕 円軌 道 を 描 くの で あ った.こ

の楕 円(Kep

ler楕 円)は 半 長 軸 の長 さaと 近 日点(太 陽 に 一 番 近 づ く点)の 位 置 を定 め る経 度 (長 軸 の一 定 方 向 か ら の角 度)gと 離 心 率eに もな く第0次

よ って特 徴 づ け られ る.い

うまで

近 似 に お い て は,各 惑 星 の楕 円 軌 道 の 軌 道 要 素 と呼 ば れ る これ ら

の パ ラ メー タ(ak,ek,gk)は 定 数 で あ る.摂 動 を 考 慮 に 入 れ る と パ ラ メー タ(ak, ek,gk)は そ れ ぞ れ ゆ っ く りと変 動 す る の で あ る が,こ の変 動 の 中 に2つ の 異 な った種 類 の 変 動 が あ る こ とが 見 出 され た.1つ

は 変 数ek,gkに

く りで は あ るが 有 界 で な い 永 年 摂 動 と呼 ば れ る変 動 で あ る.他

見 られ る,ゆ っ 方,akの

変動

は 一定 値 の まわ りを ゆ っ く りと小 さ く振 動 す るだ け で あ る.し か し,摂 動 論 が 惑 星 の 運 動 に 対 し て述 べ る結 論 は あ くま で長 期 間 では あ るが 有 限 の 期 間 に わ た って の 妥 当 性 しか もた な い.小

さな 分 母 に よ っ て お こ る困 難 のた め,無 限 の

期 間 に わ た って の結 論 を 導 くこ とが で きな い の で あ る.こ の 困 難 は,1954年 Kolmogorov

[1]が 提 出 した ア イデ アを も とに,Arnold,

て の りこえ られ,い

Moserに

よ って 始 め

まの べ た 近 似 が あ る条 件 を み た す 大 部 分 の 初 期 条 件 に 対 し

て正 しい こ とが 明 らか に され た.

  2.  3体 問 題 を 中 心 とす る研 究 の中 か ら,幾 何 学 的 な い しは 大 域 的 方 法,あ るい は 測 度 論 的 方 法 が 生 まれ て きた ことは す でに のべ た.こ れ らの 方 法 は い ず れ も個 々 の初 期 値 に 対 す る解 の性 質 を 研 究 す るだ け で な く,す べ て の初 期 値 に 対 す る解 の 振 舞 い,い い か え る と流 れ と して の力 学 系 を 研 究 し よ うとす る も の で あ る.そ こで は 力 学 系 の 取 り うる可 能 な 状 態(相)全 体,す な わ ち 相 空 間 の概 念 が 基 本 的 な 役 割 りを 果 して お り,力 学 系 の 時 間 的 な 発 展(変 動)は 系 の微 分 方 程 式 か ら生 じ る相 空 間 上 の ベ ク トル場 あ るい は そ れ か ら生 成 され る相 空 間 の 微 分 同 相 か らな る1-パ ラ メー タ群 で あ る流 れ と し て 定 式 化 され る.こ

の 立場 に

よ る とた とえ ば,保 存 力 か ら な る力 学 系 か ら導 か れ る流 れ は 相 空 間 上 の 自然 な 測 度 を 保 つ とい うい ち じ るし い性 質 を も つ こ と が 見 出 され る が,こ のLiou villeの 定 理 か ら,エ ネ ル ギ ー 曲 面 が コ ン パ ク トの場 合 そ の上 の ほ と ん どす べ て の運 動 が概 周 期 的 で あ る,す なわ ち 出発 点 の近 くに何 度 も戻 って くる とい う ま こ とに 驚 くべ き結 論(Poincareの

再 帰 定 理,第

Ⅱ部2.4参

照)が 簡 単 に導 か

れ る.個 々 の解 を 見 てい くだ け で は お そ ら く見 出す こ とが 不 可 能 な こ の 結 論

は,新

しい 方 法 の もつ長 所 を 余す 所 な く示 し て い る.と は い え,こ のか が や か

しい 出発 は後 の い わ ゆ る,abstract

nonsenseに

お ち い りが ち な傾 向 を も生 み

出す こ と とな った,と 付 け加 えて お くべ きか もしれ な い.と に もか くに も この 再 帰 定 理 は今 日の エ ル ゴー ド理 論 の1ペ ー ジ をか ざ る もの であ るが,こ な どを含 むPoincareの

測度 論 的 研 究 はMaxwell-Boltzmannら

の定 理

に よ るエ ル ゴ

ー ド仮 説 を 中 心 とす る統 計 力学 の数 学 的 研 究 と共 に力 学 系 の理 論 の一 分 野 であ るエ ル ゴー ド理 論 の 出発 点 とな った.   統 計 力学 は い うま で もな く巨 視 的 な 物 質 の 性 質 を 微 視 的 な 原 子 レベ ル か ら説 明 し よ うとす る も の であ るが,こ の こ とか ら も必 然 的 に 極 め て 複 雑 な 運 動 を 示 す 極 め て 大 きい 自由度 を もつ 系 を研 究対 象 とす る.こ の こ とが確 率論 的 な 視 点 の導 入 を 余 儀 な くす る.さ て,エ ル ゴー ド理 論 の 名 の 由 来 とな った エ ル ゴ ー ド 仮 説 で あ るが,こ れ は 物理 量 の時 間 平 均 が空 間 平均 に 等 しい こ と を 主 張 す る. す な わ ち,数 学 的 に は 相 空 間 上 に 定 義 され た 関 数 の 解 曲 線 に そ っ て の平 均(時 間 平 均)と 相 空 間 上 で の平 均(空 間平 均)と が 等 しい こ とを 主 張 す る仮 説 であ る. この仮 説 を 正 当 化 す る努 力 が エ ル ゴー ド理 論 を進 め る 原動 力 の1つ で あ った.   エ ル ゴー ド仮 説や 後 のGibbsの

集 団 の概 念 な ど 初 期 の統 計 力 学 が 現 代 の力

学 系 の理 論 に与 えた 影 響 は 大 き い.1つ

はす でに のべ た よ うに,エ

ル ゴー ド仮

説 が成 立 す る よ うな極 め て複 雑 な解 の振 舞 い を 示 す 系 が 研 究 の対 象 と し て浮 か び上 った こと,同 時 に 確 率 論 的 手 法 や 問 題 意 識 が 登場 した こ とで あ る.今 だ充 分 に問 題 とは され てい ない が,Gibbsの

日ま

集 団 や 後 の 統 計 力学 のKhinchin

の理 論 に 見 る よ うに,力 学 系 の 研 究 は 流 れ の 研 究 で あ る とい うよ り,測 度 を 中 心 と した 相 空 間 の一 種 の幾 何学 であ る とい う立場 も,自 由度 の 大 きい 系 に対 し て は と くに 重要 で あ ろ う.後 で のべ る記 号 力学 系 は あ る意 味 で この立 場 で あ る と も考 えられ る.   い ま まで のべ て きた測 度 論 的 方 法 とな らん で も う一 つ の新 しい大 域 的 方 法 は や は りPoincareに

よ る力 学 系 の研 究 の 中か ら生 まれ た 位 相 的 方 法 で あ る.こ

れ は と くに 不動 点 や 周期 解 な ど の特 別 な 解 の性 質 や 分 布 を 問題 とす る もの で, や は り方 程 式 を"解 か な い で"系 の性 質 のあ る部 分 を 研 究 す る も ので あ る.3 体 問題 の研 究 の 中 で と くに,ホ モ ク リニ ック点 に 代 表 され る よ うな 複 雑 な 現 象 の発 見 や 不 動 点 定 理(Poincare最

後 の定 理)と 共 に こ の 位 相 的 な 方 法 は ,

Andronov-Portrjagin

[1]の 構 造 安 定 性 の 発 見 を 経 て,SmaleのAxiom-A

系 の 研 究 な どの"公 理 的"な 方 法 へ とつ な が って い っ た.Poincareの

位相的

な 方 法 の もつ 重 要 性 は 数 学 全 体 で見 れ ば もち ろ ん 力学 系 の理 論 だけ に あ るの で は な い.そ れ は 位 相 幾 何 学 の誕 生 をつ げ る もの で あ った し,位 相 幾 何 学 が数 学 全 体 に及 ぼ した 影 響 は測 り しれ な い.

  3.  PoincareがLiapunovら

と共 に な した も う1つ の大 き な仕 事 は系 の不

動 点 や 周 期 解 の まわ りの詳 し い解 析 で あ る.そ の 中 の1つ に,系 の不 動 点 の ま わ りに お け る線形 化 の 問題 が あ る(第 Ι部2章 参 照).固 す 場 合,系

有値 が あ る条件 を満 た

は そ の 線 形 化 と同値 で あ る こ と,つ ま り適 当 な座 標 変換 に よ り系 は

線 形 化 で き る こ とを彼 は示 し た.除 外 され た場 合 は い わ ゆ る小 さな 分 母 に よ る 困 難 が あ って,こ の 困 難 は 天 体 力学 に お け る主 要 な 困 難 の1つ で あ った こ とは す で に述 べ た.Siegelは1941年

始 め て この 困難 を 乗 りこ えた.彼 の 方 法 は 数

論 的 な 精 密 な 議 論 に 基 づ くもの で あ って 極 め て複 雑 で あ っ た.す で に の べ た Kolmogorovが

与 え た,今

日Newton法

と呼 ば れ る方 法 は,単 純 な幾 何 学 的

性 格 を もつ もの で そ の後 多 くの応 用 が な され て い る(第 Ι部3章,第

Ⅱ部5章

参 照).   Hamilton系

の範 囲 で い うな らば,不 動 点 の まわ りに お け る(正 準座 標 の み を

ゆ るす 範 囲 で の)線 形 化 は 一 般 に 不 可 能 で あ っ て,こ れ に 関 し ては 後 のBirk hoffの 仕 事 が あ る.彼 は形 式的 巾級 数 の範 囲 に お い て標 準形 を与 え た.こ れ は と くに 制 限3体 問 題 に お け るLagrangeの

正3角

形解 の安 定 性 の 問題 な どに応

用 され た(第 Ⅱ部6章 参 照).   こ うした 研 究 を受 け つ ぐ大 き な流 れ の1つ は,今

日の 力学 系 の 分 岐 理論 で あ

ろ う.共 鳴 状 態 に あ るな どの特 異 な状 態 に あ る力学 系 を い わば 縮 退 した場 合 と と ら え よ うとす る もの で あ る.代 数 方程 式 の 重根 を 単 根 が ま さに 重 な りあ った 極 限 の場 合 と考 え るの と同様 で あ る.こ の見 方は 必 然 的 に 外 部 パ ラ メー タに 依 存 す る系 の族 の研 究 に 向 か わ せ る.系 の 性 質,た

とえ ば 不 動 点 の まわ りで の 様

子 な どが外 部 パ ラ メー タの変 動 に と もな って どの よ うに 変 化 す るか を 調 べ よ う とい うの で あ る.あ るい は こ うい って も よい か も しれ な い.す な わ ち 特 異 な 状 態 に あ る系 を い くつ か の 外 部 パ ラ メー タを もつ 族 に 埋 め 込 み,始 め の特 異 な 系

か らい か な る性 質 を も った 系 が 分岐 して く るか を見 る こ とに よ り,そ の特 異 性 を いわ ば切 り開 こ う とい うの で あ る.特 異 性 の度 合 は そ の際 す べ て の変 化 をみ るに充 分 な パ ラ メー タ の個 数 に よ って計 る こ とが で き る.こ れ は特 異 点 の余 次 元 といわ れ る(第 Ι部8.1参

照).た

とえば 実 係 数 代 数 方 程 式 の場 合,2重

根を

もつ 方 程 式 は1つ の パ ラ メー タを もつ 方 程 式 の族 に埋 め 込 む こ とで一 般 的 な根 の状 態 の変 化,す

なわ ち重 根 か ら2実 単 根 へ,あ

るい は共 役 複 素 根 の 対 へ とい

う変 化 を と らえ る こ とが で き る.   パ ラ メー タ の変 動 に と もな う系 の 性 質 の 変 化 の研 究 に際 し て重 要 な役 割 を果 す 観 点 は,そ の 変 化 の"典 型 性"ま た は"一 般 性"で あ る.す な わ ち,変 化 そ の もの の安 定 性 であ って,そ を 果 す.こ

の研 究 に はThomの

の観 点 は,測 度 論 に お い て 測度0の

横断性定理が基本的な役割 集 合 を 無 視 す る こ とに よ り,非

常 に 多 くの単 純 化 が 可 能 に な る の と似 てい る.さ

てThomの

定 理 が のべ る所

の もの を 単 純 な 場 合 に 示 す と次 の よ うに な る.た とえ ば3次 元 空 間 で,2次

元

曲面 と 曲線 が 交 わ る場 合 は"一 般 的 に"横 断 的 に 交 叉 す る,す な わ ち 曲面 へ の 接 面 と 曲線 へ の 接 線 が 交 点 に お い て角 度 を も って 交 わ る.こ こ で"一 般 的 に" とい うの は,曲 面 と曲 線 が な す(関 数)空 間 の 中 で(適 当 な位 相 の も とで)横 断 的 に 交 わ る場 合 が 開 か つ 稠 密 な(ま た は そ れ と類 似 の)集 合 を な し てい る ことを い う.し た が って,曲 面 と曲 線 が 横 断 的 に 交 叉 して い な い 場 合 に は,曲 面 と曲 線 を 任 意 に 小 さ く変 動 させ る こ とに よ り横 断 的 に 交 叉 させ る こ とが で き,ま た 横 断 的 に 交 叉 して い る場 合 に は 曲 面 や 曲 線 を 小 さ く変 動 させ て もや は り横 断 的 に 交 叉 した ま まで あ る.   外 部 パ ラ メー タに依 存 す る系 の 族 は特 異 点 の 研 究 に 現 わ れ るだ け で は な い. 平衡 状態 の統 計 力学 に お い て は 温度 や 圧 力 を外 部 パ ラ メー タ とす る族 の 研 究 は 中 心 的 な 課題 の1つ で あ る.こ の 場 合,特 異 点 は相 転 移 を 示 す 状 態 に 対 応 す る.流 体 力学 に お い て は流 体 の性 質 がReynolds数

の変 化 に と もな って きわ だ

った変 化 を示 す こと は よ く知 られ て い る.層 流 か ら 周期 的 に変 化 す る流 れ へ, そ して 乱 流 へ の 変 化 は い まだ に そ の メ カニ ズ ムが充 分 に 解 明 され て お らず,今 後 の 研 究 が またれ て い る.実 際,典 型 的 な 分 岐 現 象 であ るHopfの 部8.2参

照)やRuelle-Takens

分 岐(第 Ι

[1]の 分 岐 は 乱 流 現象 の研 究 の 中か ら生 まれ た

もの で あ る.そ の他,生 態 系 の 力学 系 モ デ ルや 化 学 反 応 の モ デ ル な どパ ラ メー

タに 依 存 す る系 お よび そ の 分 岐 現 象 の 研 究 は 今 後 の発 展 が 期 待 され る魅 力 的 な 分 野 で あ る とい え よ う.   こ こで 安 定 性 の 問 題 に ふ れ て お こ う.系 の平 衡 点(不 動 点)や 周 期 解 が安 定 で あ る とは,平 衡 点 あ るい は 周 期 解 に 近 い 初 期 条 件 を もつ 解 が 永 久 に 平 衡 点 あ る い は 周 期 解 の 近 くに 止 ま って い る こ とを 意 味 す る.ど の よ うな と き に平 衡 点 や 周 期 解 が 安 定 で あ るの か を 問 題 とす るの が こ こで い う安 定 性 の問 題 であ る.   安 定 性 の 問題 は 天体 力学 の み な らず工 学 上 の 問題 な ど幅 広 く現 わ れ る重 要 な 問題 で あ り,理 論 的 に み て も極 め て 興味 深 い 問題 で あ うて,平 衡 点 の まわ りの 標 準形 を 求 め る問題 な どは 安定 性 の 問題 を軸 に 発 展 して きた と もい え る.と

く

に 天 体 力学 に 現 われ る問題 は 通常 極 め て 困難 な 問題 で あ って そ の 解 決 に は ほ ど 遠 い 状 態 に あ る(第 Ⅱ部7章 参 照).   線 形 系 に 対 して は 平衡 点 が安 定 か ど うかを 判 定 す るの は(少 くと も原 理 上 は) 容 易 で あ る.す なわ ち,系 の行 列 の 固有 値 の実 部 の符 号 を み れ ば それ です む こ と であ る.し か も こ の判 定 は,よ

く知 られ て い る よ うに(Routh-Hurwitzの

条

件)行 列 の成 分 に対 す る代 数的 操 作(四 則 演 算 と正 負 の判 定)だ け で 行 い う る. 線 形 系 に 対 す る安 定 性 の 問題 は この意 味 で代 数 的 に決 定 可 能 で あ る.そ れ では 非 線 形系 に 対 し て は ど うか.い わ ゆ るLiapunov関 安 定 か ど うか を見 る とい う方 法 もあ るが,こ な どの発 散 系(dissipative

system)に

数 を 構 成 す る こと に よ り,

の方 法 は 基 本 的 に は ま さつ が あ る

対 し て のみ 有 効 であ って,原 理 的 に や は

り線 形 化 な ど平 衡 点 の まわ りで の標 準形 を 求 め る方 法 な ど平衡 点 の まわ りの 詳 しい 解 析 が 要 求 され る.こ の意 味 で,非 線 形 系 の安 定 性 の 問題 が 代 数 的 に は 決 定 不 可 能 であ る ことを 示 したArnold

[1]の 仕 事 は 興 味 深 い.原 点 を平 衡 点 と

す る よ うな 解 析 的 な 微 分 方 程 式 の あ る次 数Mま で 係 数{an}n<M全 Kを 次 の よ うに分 割 す る.{an}n<M∈Sで って も安 定 で あ る と き と し,{an}n<M∈Uで す る.残

りの{an}n<M∈N=K-(S∪U)はM次

あ る と は,M次

体 が作 る空 間

以上 の係 数 が 何 で あ

あ る とは 逆 に不 安 定 で あ る と き と 以 上 の 係 数 が 何 であ るか に よ っ

て 安定 に で も不 安定 に で もな り える場 合 であ る.Arnoldが

示 した のは,Mが

あ る程 度 大 き くな る と,集 合Nが 半 代 数 的 集 合(semi-algebraic 超 越的 な集 合 で あ る とい う こ とで あ る.す なわ ち{an}n<Mに

set)で は な く

四 則 演 算 と正 負 の

判定 だ け の操 作 では 系 が安 定 か不 安 定 か を 判 定 で き な い の で あ る.Arnoldの

証 明 を み る と分 るが,こ

の こ と は球 面S2上

の力 学 系 の 分 岐 現 象,い わ ゆ る極

限 周 期 解 の 発 生 の 問題 と深 くか かわ って い る.   非 線 形 系 に対 して は 安定 性 の 問題 は い わ ば 超 越 的 な 性 格 を もつ も の であ る こ とが 分 った が,代 数 的操 作 だ け で な く,も う少 し広 くあ る種 の規 則 的 な無 限 回 の 操作 を もゆ るす 範 囲 で の アル ゴ リズ ムが存 在 す るか ど うか は 不 明 で あ る.い ず れ に せ よ,明 示 的 な い しは 構 成 的 な 方 法 や 理 論 に 関 し て い え ば 力学 系 の理 論 は まだ まだ 多 くの 未 開 拓 な分 野 を も っ てい る と い え よ う.

 4.  さ て本 書 では ふ れ る こ とが で き なか った 力 学 系 の理 論 の大 き な分 野 で あ る エ ル ゴー ド理 論 とAxiom-A系

の研 究 を 中心 とし て きた いわ ゆ る 力学 系 の

定 性 的 理 論 に簡 単 にふ れ て お こ う.   す でに のべ た よ うに,エ

ル ゴー ド理 論 はBoltzmannら

学 的 基 礎 づ け の問 題 と,再 帰 定 理 に 代 表 され るPoincareの 相 空 間 と,そ の上 の系 の時 間 発 展 を 表 わ す1-パ 流 れ(flow)と,流

に よる統 計 力学 の数 研 究 に源 を も つ.

ラ メー タ変 換 群,す

な わ ち,

れ に 関 し て不 変 な 相 空 間 上 の(有 限)測 度 を エ ル ゴー ド理 論

は そ の理 論 の 枠組 と して い る.Birkhoffの

個 別 エ ル ゴー ド定 理,す

なわち相

空 間 上 の任 意 の可 積 分 関 数 の,不 変 測度 に 関 して ほ とん どす べ て の初 期 点 に 対 す る,時 間 平 均 の存 在 を 保 証 す る定 理 は数 学 と し て のエ ル ゴー ド理 論 の第1歩 で あ った.時 間 平 均 の 存 在 が 保 証 され て い る の はす べ て の初 期点 に 対 し て で は な く,不 変測 度 に 関 し て ほ と ん どす べ て,つ ま り測 度0の 集 合 に属 す る点 を 除 い て で あ る こ とに 注 意す る.こ の 種 の 形 の 主張 こそ あ る意 味 で エ ル ゴー ド理 論 の性 格 を特 徴 づ け て い る の で あ る.   個 別 エ ル ゴー ド定 理 は本 来 の エ ル ゴー ド仮 説 に 対 して は,こ の仮 説 が 成 立 す る た め の 条 件 を単 に 流 れ の 測度 論 的 不 可 分 性,す な わ ち,流 れ で 不 変 な 集 合 は 空 集 合 また は 相空 間全 体 とい う自明 な もの を 除 い て は 存 在 しな い とい う性 質 に 置 き換 え るだ け の もの で あ って 何 ら意 味 の あ る結 果 で は な い と い う考 え も(と くに 物 理 学 者 の 間 に)あ った.し か しな が ら,後 で のべ るSinaiに よ るエ ル ゴ ー ド仮 説 そ の もの の"証 明"に 際 して 個別 エ ル ゴー ド定 理 は基 本 的 な役 割 を果 した の であ る.   エル ゴー ド理 論 の初 期 の発 展 で見 の が せ な い の は何 とい って もE.

Hopfに

よる 負 曲率 平 面 上 の測 地 流 の研 究 であ る.こ こ で始 め て数 学 的 モ デ ル では あ る が 意 味 のあ る力 学 系 に 対 し てエ ル ゴー ド仮 説 が 成 立 す る こと,つ ま りエ ル ゴー ド性 が 示 され た.こ

の系 は 後 のAnosovに

よ るAnosov系

の定 式 化 に モ デ ル

を与 えた もの であ り,そ の後 の エ ル ゴー ド理 論 ば か りか 力 学 系 の理 論 全 体 に 対 し て果 した 役 割 は 極 め て大 きい も のが あ る.   こ こで先 に進 む 前 にWeylに

よ るい くつ か の 力 学 系 の研 究 に も ふ れ て お こ

う.彼 が対 象 とした 力 学 系は,天 体 力 学 の摂 動 論 か ら生 まれ た 問題 で あ る平 均 運 動(Arnold-Avez[1]の

付 録13参 照)の 存 在 に 関 連す る系 で あ る.こ の力 学

系 は 比 較 的 単 純 な 構 造 を もつ が,数 論 との 関 連 性 な どエ ル ゴ ー ド理 論 と他 の数 学 の分 野 との交 流 の契 機 を 与 え る こ とに もな った.   Hopfの

測地 流 に戻 ろ う.こ の 系 は 自 由度 有 限 の 決 定 系 で あ って,何

率 論 的 な仮 定 が 導 入 され て い ない に もか か わ らず,ラ それ も最 も ラ ンダ ム性 の 高 いBernoulli性

らの確

ン ダ ム な 振 舞 い を 示 す,

を もつ とい う驚 くべ き性 質 を 持 つ こ

とが後 に 明 らか に され た.こ れ は初 期値 のわ ず か な ず れ が 系 の 時 間 発 展 と と も に指 数 関 数 的 に増 大 して い くとい う,系 の初 期 値 に 対 す る敏 感 さ,い い か え る と初 期値 の有 効数 値 が 時間 の経 過 に比 例 し て そ の有 効 桁 数 を 失 な っ てい くとい う性 質 に よ って い る.さ らに驚 くべ き こ とは,系 が示 す この 解 の 不安 定性 そ の もの は 安定 で あ る こ と,す な わ ち,系 の摂 動 に際 して も この性 質 が 失 な わ れ な い とい う構 造安 定性 を もつ こ とで あ る.   方 法 論 的 に は 系 の 流 れ に対 して不 変 な拡 大 お よび縮 小す る葉 層構 造 の構 成 と い う,Hadamardに

始 ま る手段 を提 供 した こ とが大 きい.一 般 的 に い え ば,双

曲 的構 造 とい う,系 に 確 率論 的 な 性 格 を もた ら し か つ 数 学 的 な解 析 が可 能 な, 少 くと も今 まで の と ころ,ほ

とん ど唯 一 の構 造 の発 見 で あ る.こ れ らに 関 し て

は 後 に も う少 し詳 し くふ れ るで あ ろ う.   も う少 し抽象 的 な理 論 に移 ろ う.von

NeumannはKoopmannと

共 にエル

ゴ ー ド理 論 に 関 数 解 析 的 手 法 を 導 入 した.流 れ は,相 空 間 上 の不 変 測 度 に 関 し て2乗 可 積 分 関 数 全 体 が なすHilbert空

間上 に ユ ニ タ リ変 換 の1-パ ラ メ ー タ

群 を 自然 に 導 くが,そ の スペ ク トル が 離 散 的 であ る ク ラ ス の系 に対 し て,分 類 問題 を 標 準 形 の 構 成 と共 に,少

くと も抽 象 的 な 測 度 論 的 カ テ ゴ リーに おい ては

完 全 に解 決 した.上 に の べ た 負 曲 率 平 面 上 の 測 地 流 は σ-ルベ ー グ ・スペ ク ト

ル を もつ が,結

果 的 に は こ の ク ラ ス に 対 す る分 類 問 題 を 提 起 し た 事 が 大 き な 意

味 を も つ こ と に な っ た.   第2の

発 展 は 戦 後 のKolmogorovの

ゴ ー ド理 論 に,互

と い う ク ラ ス を 導 入 し た.こ 密 接 な 関 連 を も つ.系 で き よ う.観

仕 事 か ら 始 ま る.Kolmogorovは

エル

い に 密 接 に 関 連 す る エ ン ト ロ ピ ー の 概 念 とKolmogorov系 れ ら は い ず れ も 力 学 系 の 時 間 発 展(運 動)の 観 測 と

の 観 測 を 数 学 的 に 定 式 化 す れ ば 次 の よ うに の べ る こ と も

測 に は 必 ず 誤 差 が と も な う も の で あ る か ら,観

値 の う ち い ず れ か を 選 ぶ も の で あ る と い え る.す

な わ ち,系

測 とは 有 限 個 の数 の相 空 間 を有 限 個

の領 域 に分 割 し て系 の状 態 を 表 わ す 相 点 が 分 割 され た ど の領 域 に属 す るかを 定 め る こ と で あ る.観 る.さ

て,力

測 の精 度 を増 す こ とは 分割 を こ ま か く す る こ とに対 応 す

学 系 の エ ン トロ ピ ー はShanonの

の 類 似 と し て 導 入 さ れ た も の で あ る が,そ た め,時

間 は 離 散 的 に と っ て お く.1つ

{A1,…As}を

定 め て お く.n回

れ は 次 の よ うに 定 義 さ れ る.簡 の 観 測 方 法,つ

得 ら れ る.系

確 率P(Ai1,…Ain)=μ({x;x∈Ai1,φx∈Ai2,…,φn-1x∈Ain})(φ

れ る観 測 列(Ai1,…,Ain)の

全 体 の"大

て,n回

き さ"あ

の観 測

に は不 変確 率 測度 μが 与 え られ

の 測 度 μ を 使 う こ と に よ り観 測 列(Ai1,Ai2,…Ain)が

発 展 を 表 わ す 相 空 間 上 の 変 換)が 定 ま る.さ

単 の

ま り相 空 間 の 分 割A=

の 時 間 に わ た っ て 観 測 を 続 け る と,n個

値 か ら な る 列(Ai1,Ai2,…Ain)が て い る か ら,こ

通 信 理 論 に お け る エ ン トロ ピ ー

得 られ る は 系 の時 間

に わ た る観 測 に よ って得 ら

る い は"多

力 学 系 の 複 雑 さ を 表 わ す も の と 考 え る こ と が で き る が,こ

様 さ"は

あ る意 味 で

の 大 き さ を 測 る量 と

し て,

が 都 合 が よ い こ と が 分 る.た

と え ば,1回1回

立 で あ る と す る な ら ば,H(n,A)=nH(1,A)で

得 ら れ る観 測 値 が 完 全 に 他 と独 あ る.一

の 増 加 と共 に 漸 近 的 に 比 例 し て 増 大 す る,  比 例 定 数h(A)を

観 測Aか

ら,あ

関 す る エ ン トロ ピ ー と 呼 ぶ.観

般 に,H(n,A)は

こ と が 分 る.こ

る い は 分 割Aか

なわ ち

極 限 値 を も つ こ と が 分 る が,こ

極 限 値 を 系 の 不 変 測 度 μ に 関 す る エ ン ト ロ ピ ー と呼 ぶ の で あ る.単 の エ ン トロ ピ ー と は1回1回

の

ら定 ま る 系 の 不 変 測 度 μ に

測 の 精 度 を 限 りな く増 加 さ せ る と き,す

分 割 を 限 りな く こ ま か く し た と き,h(A)は

と,系

時 間n

の

純 にい う

の 観 測 が ど れ だ け の 情 報 を も た ら す か,あ

るい は,過 去 の観 測 値 が す べ て分 っ てい る と きに,現 在 の観 測 が もた らす 情 報 量 を 表 わ す もの で あ る とい え る.逆 に い うと,現 在 の系 の状 態 を 記 述 し てい る 数 値 の有 効 桁 数 は 系 の時 間 発 展 と と もに 比 例 して 失 な わ れ て い く の が あ るが, そ の 度 合 い を 表 わ す 量 が エ ン トロ ピ ーな の で あ る.し た が って エ ン トロ ピ ーが 大 き け れ ば 大 きい ほ ど,系 の状 態 の 予 測 を 行 う こ とが 困 難 に な って くるの で あ る.   さ て,任

意 の 値 の エ ン トロ ピ ー を も つ 系 を 構 成 で き る が,と

エ ン トロ ピ ー に 対 し て)Bernoulli系 き る.Bernoulli系

とい う の は,1回1回

独 立 で あ る よ うな,(ち

ない

の観 測 で 得 られ る観 測 値 が お 互 い に

ょ う ど サ イ コ ロを 投 げ 続 け て 出 て く る 面 を 観 測 す る よ う

な)系 の こ と で あ る.そ

こ で 次 の よ うな 重 要 な 問 題 が 提 起 さ れ る.す

同 じ エ ン ト ロ ピ ー を も つ2つ

の エ ル ゴ ー ド的 な 力 学 系 は,少 型 で あ る か と い う問 題 で あ る.こ

1970年D.

よ っ て 解 決 さ れ た .す

[1]に

て は 答 え は 肯 定 的 で あ る こ と,よ

の 問 題 は 後 に,

な わ ち,Bernoulli系

り広 い ク ラ ス の,た

エ ル ゴ ー ド的 な エ ン ト ロ ピ ー 正 の 力 学 系 の ほ と ん ど が

に対 し

と え ばKolmogorov系

に お い て は 否 定 的 で あ る こ と が 示 さ れ た の で あ る.し

範 囲 の 自然 な 力 学 系 に お い て は,Bernoulli系

な わ ち,

く と もBernoulli

系 の ク ラ ス に お い て は,同 Ornstein

く に(0で

とい う特別 な ク ラ ス の系 に よ って実 現 で

か し そ の 後 の 研 究 で は, ,少

く と も知 ら れ て い る

で あ る こ とが 示 さ れ た.こ

のい

く分 逆 説 的 な 結 果 は 力 学 系 に 対 す る測 度 論 的 な 同 型 が 余 り に 弱 い 同 型 概 念 で は な い の か と い う問 題 を 引 き お こ す こ と に も な っ た.い

い か え る と,測

テ ゴ リ ー は 不 充 分 で は な か ろ うか と い う こ と で あ る.た 関 数 の 減 少 の 度 合 い は 非 常 に 重 要 な 量 で あ る が,こ

と え ば,系

度論的 カ の時 間 相 関

の 量 は 不 変 量 で は な い.つ

ま り,測 度 論 的 に 同 型 で あ っ て も(自 然 な ク ラ ス の 関 数 に 対 す る)時 間 相 関 関 数 の 減 少 の 度 合 い が 異 な る 場 合 が あ る の で あ る.   さ て,Kolmogorov系

に 移 ろ う.こ

過 程 を 抽 象 し て 得 ら れ た 系 で あ る が,次 算 個 の 領 域 へ の 分 割Aで   (ⅰ) φ(A)はAよ は 分 割Aの

の 系 は完 全 非 決定 系 とい わ れ る定 常確 率 の よ う に 定 義 され る.す

な わ ち,非

可

次 の 性 質 を 満 た す も の が 存 在 す る と き で あ る.

り こ ま か い 分 割 で あ る.す

な わ ち,分

割

φ(A)の 任 意 の 元

あ る 元 に 含 まれ る.

  (ⅱ) す べ て の φn(A)(n∈Z)よ

り こ ま か い 分 割 は1点1点

へ の 分 割 に 限 る.

  (ⅲ)  す べ て の φn(A)よ り粗 い分 割 は,相

空 間全 体 を た だ1つ の元 と す る 分

割,す な わ ち 自明 な 分 割 に 限 る. この 系 は,任 意 の 観 測Aに

対 して そ の エ ン トロ ピ ーh(A)が

正 で あ る よ うな 系

と して も特 徴 づ け る こ とが で き る.こ の ク ラス は 今 ま で の と ころ重 要 な ほ とん どの例 を 含 ん で い る.た とえ ば,後 で の べ るAnosov系

や,あ るい は統 計 力学

に対 して は最 も 自然 と思わ れ る無 限 粒 子 系 の い くつ か はKolmogorov系 る こ とが 示 され て い る(Niwa   Kolmogorov系

であ

[2]参 照).

は エ ル ゴ ー ド的 で あ るが,さ

らに混 合 的 で もあ る.こ こで系

が 混合 的 で あ る とは,相 空 間Mの 任 意 の可 測 部 分 集 合,A⊂M,B⊂Mに  

対 して

が成 り立 つ ときを い う.混 合 性 の概 念 はGibbs

に よ って 与 え られ た が,そ れ は いわ ゆ る巨 視 的 な系 の平 衡 状 態 へ の近 接 と関 係 し て い る.Gibbsに

よ る と,巨 視 的 な 系 の 状 態 は相 空 間M上 の確 率測 度 で与 え

られ る.と くに平 衡 に あ る状 態 は 系 の流 れ φtに 関 し て不 変 な測 度 μ で与 え ら れ る.系 が 混合 的 で あ る とは 次 の よ うに い いか え る こ とが で き る.す なわ ち, μに 絶 対 連 続 な測 度dν=ρ(x)dμ

で与 え られ る任 意 の巨 視 的 な 状 態 がt→ ∞ の

とき平 衡 状 態 μ に近 づ く(正確 に い うと弱 収 束 す る).   ここ で,無 限 粒 子 系 のエ ル ゴー ド問題 に 少 しふ れ てお こ う.も と も と あ る 力 学 系 に統 計 力学 が適 用 され るの は,そ の 系 の 自 由度 が 極 め て大 き い( 

)た

め で あ った.系 が エ ル ゴ ー ド性 な どに 代 表 され る複 雑 な振 舞 い を 示 す のは,系 の 力学(dynamics)が

複 雑 なた め で あ るば か り で は な く,系 を構 成 す る"粒

子"の 空 間 的 な配 置 の複 雑 さに も よ っ てい る.こ れ は 次 の よ うに も言 うこ とが で き る.つ ま り,自 由度 の大 きい 力学 系 は ほ とん ど独 立 な 多 数 の部 分 系 の和 か ら な ると い う構 造 を もつ が,こ の 構造 が考 慮 に 入 れ られ な けれ ば な ら ない とい う こ とで あ る.実 際,エ

ル ゴー ド性 が 示 され て い る無 限 粒 子 系 は い ず れ もい わ

ば粒 子 の空 間 的 配 置 の複 雑 さが 時 間 方 向へ の発 展 の 複 雑 さを ひ きお こす とい う 仕組 み を も って い る(Niwa

[2]参 照).

  5.  古 典 的 な系 に戻 ろ う.す でに のべ た よ うに,Anosov 系 の定 式 化,お

よ びAnosov-Sinai

[1]ら に よ るAnosov系

[1]に よ るAnosov の エ ル ゴ ー ド論

的 研 究 は次 の発 展 段 階 を もた ら した.と い うの も,こ の 研 究 がSmaleら

によ

るAxiom-A系

を 中 心 と す る 力 学 系 の 定 性 的 理 論 と エ ル ゴ ー ド理 論 と の 橋 渡

し の 役 割 を 果 し て い る こ と,そ

れ に よ って 相 互 の問 題 意 識 や 方 法 な ど の交 流 が

見 ら れ る よ うに な っ た か ら で あ る.後 にIsingモ

で ふ れ る よ うにAnosov系

の研 究 は さ ら

デ ル の研 究 を 中心 と した 数 学 的 に 厳 密 な平 衡 状 態 の統 計 力学 の理 論

と の 交 流 を も 開 く こ と と な っ た.   こ こ で 念 の た め に,離 お こ う.Mを

散 的 な 時 間 の 場 合 に 限 っ てAnosov系

コ ン パ ク ト連 結 な 多 様 体,φ

変 な 部 分 集 合 Λ⊂Mが ン ドルTΛMが

を そ の 上 の 微 分 同 相 と す る.φ-不

φ に 関 し で 双 曲 的 で あ る と は,Λ

連 続 な 部 分 バ ン ドルEsとEuの

 

とEuxはxに

で あ っ て,TxMを

の定 義 を 与 え て

上に 制 限 され た 接 バ

直 和 に 分 か れ て い る.す お け る接 空 間TxMの

張 っ て い て( 

)か つ,xに

なわ ち

部分空 間 関 して 連 続 的

に 依 存 し て い る. さ ら に,Es,EuはTφ-不

変,す

な わ ちTφ(Esx)=Esφx,Tφ(Eux)=Euφxで

EsはTφ

に 関 し て 縮 小 し て い てEuは

拡 大 し て い る,す

な わ ち,あ

0,λ>1が

あ っ て, 

に対 し て

‖Dφ-n(υ)‖

に 対 し て ‖Dφn(υ)‖0が

っ て い る とす る.こ 道{xn}は

こ でdは

あ っ て,∀nに

ま り,Anosov系

対 し てd(xn+1,φ(xn))0が

ま り,恒

に 重 要 な 基 本 的 性 質 は,そ

確 に い えば,

の もつ この 性 質 は

対 し てd(φnx,φny)0に

戻 ろ う.

分 に 複 雑 で,つ

と し てSmaleに

ま り豊 か な 構 造 を も ち,か

つ 我 々 の解 析 が 及

よ り 取 り 出 さ れ た ク ラ ス は,す

を 含 む も の でAxiom-Aを

でに の べ た

み た す ク ラ ス と呼 ば れ る.こ

は Ω(φ)が φ に 関 し て 双 曲 構 造 を もち,か

の ク ラス

つ φ の 周 期 点 全 体 が Ω(φ)の 中 で 稠

密 で あ る も の と し て 定 式 化 され る.   個 々 の 具 体 的 な 意 味 の あ る 力 学 系,た な く,こ

と え ば3体

問 題,か

ら 出発 す るの で は

の よ うに 公 理 論 的 に 議 論 を 組 み 立 て て い く場 合 に 注 意 し な け れ ば な ら

な い こ とが あ る.そ

れ は,い

ま 公 理 的 に 設 定 され た ク ラ ス が あ る 程 度 解 析 可 能

で か つ 興 味 あ る 構 造 を も っ て い る こ と で あ り,"典 も っ て い る,あ

型 性"ま

る い は 少 く と も そ れ に 近 い こ と で あ る.た

た は 力 学 系 の あ る 性 質 がgenericで

あ る と い う の は,そ

た は"一

般 性"を

とえ ば あ る ク ラ ス ま

の ク ラ ス また は そ の性

質 を もつ 力 学 系 が 力 学 系 全 体 の な す 空 間 の 中 で(そ の 空 間 の 適 当 な 位 相 も と で) 開 か つ 稠 密 な 集 合 を な す(ま た は,可 す)場 合 を い う.genericで ま た は 一 般 性 で あ る が,単 を な す だ け で も,無

算個の開かつ稠密な集 合 の 共通部分をな

あ る と い うの は,あ

る意 味 で も っ と も強 い 典 型 性

に 考 え てい る ク ラスが す べ て の 力学 系 の 中 で開 集 合

視 で き な い と い う意 味 で は そ の ク ラ ス は"典

型 的"で

あ る

と い っ て さ しつ か え な い で あ ろ う.   構 造 安 定 性 の 概 念 は これ と関 連 す る.一 は,Mか

らNへ

の 同 相 写 像hが

般 に,2つ

の 力 学 系(M,φ)と(N,ψ)

あ っ て,h° φ=ψ °hが な りた つ と き,互

値 で あ る と い わ れ る が,(M,φ)が

構 造 安 定 で あ る と い う の は,φ

摂 動 し た 系 が す べ て φ に 同 値 で あ る と き を い う.構

いに同

を十分小 さ く

造 安 定 な 系 は,定

義 か ら,

す べ て の 力 学 系 の 中 で 開 集 合 を な し て い る.   Axiom-Aを

み た す 力 学 系 は,genericで

あ る.Axiom-Aを shoe)が

は な い が,十

み た す 簡 単 で 重 要 な 例 にSmaleの

あ る[1].こ

よ っ て 指 適 さ れ た よ う に,系

の で,第1積

馬 蹄 型 力 学 系(Horse

れ は 天 体 力 学 に お い て 始 め てPoincareに

れ た ホ モ ク リ ニ ッ ク点 の 存 在 と関 連 し て い る.ホ Poincareに

分 に 典 型 的 な もの で

よ って見出 さ

モ ク リニ ッ ク点 の 存 在 は,

の解 の振 舞 いを 極 め て複 雑 にす る も

分 が 存 在 し な い こ と の 幾 何 学 的 な 根 拠 を 与 え て い る(第 Ⅱ部7章

参 照).   さ て,Axiom-Aを た よ うに,非

み た す 力 学 系 の 基 本 的 な 性 質 はAnosov系

彷 徨 集 合 Ω(φ)の 各 点 を 通 っ て,安

在 す る こ と で あ る.こ て い る.こ

て,xを

れ ら の多 様 体 が縮 小 お よび 拡 大 す る葉 層 構 造 の 葉 を 与 え

の 構 造 を も と に し て,Anosov系

Axiom-A系

に 対 し て も 成 りた つ.た

叉 す る)の も と で 構 造 安 定 で あ る.同

での べ て きた こ と と類 似 の性 質 が と えば,あ

通 る 安 定 多 様 体Ws(x)とyを

る 条 件(∀x,y∈

様 に,Markov分

さ れ て い る.と

く にSmaleの

馬 蹄 型 力 学 系 に 対 し て は,こ

[1]に のMarkov型

たが

よ って 示 ず ら

ず ら し が と れ る.

  力 学 系 の 重 要 な 不 変 量 の1つ

に 位 相 的 エ ン ト ロ ピ ー が あ る.こ

測 度 論 的 エ ン トロ ピ ー と 同 様 に,あ

の 間 に ε の 精 度 で 互 い に 分 離 さ れ る.つ

ま り, 

の と き(n,ε)-分 離 さ れ て い る と い お う.s(n,ε)を

異 な る と 認 め ら れ る 点 の 最 大 個 数 とす る.一 数 オ ー ダ ー で 増 大 す る が,そ

位時間

が あ っ て,d(φkx, こ の よ うな 観 測 で 相

般 に,s(n,ε)はnの

の と き の 指 数 をh(φ,ε)と

れ は,Kol

る 意 味 で 力 学 系(M,φ)

の 複 雑 さ あ る い は 軌 道 の 多 さ を 測 る も の で あ る.点x,y∈Mは,n単

φky)>ε

横断的に交

割 も存 在 す る,し

ず ら し に よ る 表 現 も 可 能 で あ る こ と がBowen

mogorov-Sinaiの

Ω(φ)に 対 し

通 る 不 安 定 多 様 体Wu(y)が

っ てMarkov型

し と し て はBernoulliの

ですでにのべ

定 お よび不 安 定 な多 様体 が 存

し て,

関 数 と し て指

ε→0と

し た と き,つ

ま り観 測 の 精 度 を 限 り な く よ く し た と き のh(φ,ε)の

h(φ)を 力 学 系(M,φ)の

位 相 的 エ ン ト ロ ピ ー と い う.力

変 測 度 μ を 考 え,μ に 関 す る(M,φ)の

  さ て,一

任 意 の不

測 度 論 的 エ ン ト ロ ピ ー をhμ(φ)と す れ ば 

で あ る こ と が 知 ら れ て い る.Axiom-A系 ピ ーh(φ)は

学 系(M,φ)の

極限

に 対 し て は,エ

ン トロ

周 期 点 の 個 数 と も 密 接 に 関 係 し て い る こ と も 知 ら れ て い る. 般 の 力 学 系(M,φ)を

な わ ち,φ-不

変 なM上

ル ゴ ー ド的 な 性 質,た

エ ル ゴ ー ド理 論 的 な 観 点 か ら み て み よ う.す

の 確 率 測 度 μ の 存 在 お よ び そ の 性 質,そ と え ばM上

の 存 在 な ど を 問 題 に す る.こ の は や は りAxiom-A系

の 関 数fに

れ に対 す るエ

対 す る(前 む き の)時 間 平 均

う し た 問 題 に 対 し て か な りの こ と が 知 ら れ て い る

で あ る.以

下 の 議 論 は ほ と ん ど そ の ま まAxiom-A

系 に 対 し て も 適 用 で き る の で あ る が,簡

単 の た め(推 移 的 な)Anosov-系

に限

っ て お こ う.   φ-不 変 な 確 率 測 度 は 数 多 く存 在 す る.不 あ る.こ

度 も そ の1つ

で

う し た 自 明 な 不 変 測 度 で は な く意 味 の あ る 重 要 な 不 変 測 度 は 次 の よ う

な 変 分 原 理 か ら 導 か れ る こ と をRuelle, (M,φ)は

動 点 上 のDirac測

Sinaiら

は 発 見 し た.す

で に,力

記 号 力 学 系 に よ っ て 表 現 さ れ る こ と を み て き た が,記

A1,…,Asを

状 態 とす る1次

元 格 子 系 とみ な す こ と が で き る.も

間 発 展 φ を 表 わ すSz,S={A1,…,As}の ら し と み な さ れ る.し

た が っ て,σ-不

状 態 を 表 わ し て い る(Ruelle

ず ら し σ は,こ

学系

号 力 学 系 は, との力 学 の時

の 場 合 単 に 空 間 のず

変 な 測 度 は 空 間 的 に 一 様 な巨 視 的 な平 衡

[1]参 照).平

衡 状 態 の 統 計 力 学 は,と

く にIsing

モ デ ル の 研 究 を 中 心 に 厳 密 な 数 学 的 理 論 が 最 近 発 展 し た が,そ

の 中 で,Gibbs

測 度 や 変 分 原 理 な ど が 重 要 な 役 割 を 果 し て き た.Sinai

よ っ て これ ら の

[2]に

概 念 が 一 般 の 力 学 系 に 対 し て も拡 張 され た.   UをM上

の(Holder連

続 な)関 数 と す る.μ

を φ-不 変 な 測 度 と し て,"圧

力"

を 考 え る.こ

こ で,hμ(φ)は

ロ ピ ー で あ る.さ

て,"ポ

不 変 測 度 μ に 関 す るKolmogorov-Sinaiの テ ン シ ャ ル"Uを

固 定 し て,圧

力Pμ(U)を

エ ン ト 最 大 に

す る測 度 μUを 考 え よ う.も

ち ろ ん,一

般 の 力 学 系(M,φ)に

が 保 証 さ れ て い る わ け で は な い が,(推 在 す る こ とか 知 ら れ て い る.た エ ン ト ロ ピ ーh

移 的 な)Anosov系

と え ば,U≡0に

に 対 して は 唯 一 つ 存

対 し て は,こ

μ(φ)を最 大 に す る 測 度 で あ る が,こ

ン ト ロ ピ ーh(φ)に

対 して は そ の存 在

等 し い こ と が 知 ら れ て い る.さ

の μ0は 測 度 論 的

の と きhμ0(φ)は 位 相 的 エ ら に,こ

の 測 度 μ0は 次 の よ

うな 興 味 あ る 幾 何 学 的 な 性 質 も も っ て い る.Pern(φ)を(M,φ)の の 周 期 点 全 体 と す る.こ に よ る 測 度 が0で

が 成 りた つ.い で あ る.ま

たUと

の と き,任

意 の 領 域D⊂M(正

あ る,μ0(∂D)=0,よ

い か え る と,周 し て,φ

と き の φ の 微 分dφ

周 期 がn以

下

確 に は 境 界 ∂Dの μ0

うな 領 域)に 対 し て

期 点 は 測 度 μ0に 関 し て 一 様 に 分 布 し て い る の

の"拡

大 係 数"(つ

のJacobian)の

ま り拡 大 す る 葉 方 向 に 制 限 し た

対 数 に 負 号 を つ け た も の とす る.

U=-log(Jacobian

of

dφ￨Eux)

この とき得 られ る μU≡μ+は 次 の よ うな意 味 を もつ 不 変 測 度 であ る. a.e.x

す なわ ち,関 数 の 前 向 き の 時 間 平均 は μ+に 関 す る空 間 平 均 に等 しい.同 φ のか わ りに φ-1を 考 え る と,同

様 の不 変 測 度 μ-が 得 られ るが,こ

様に

の μ-に

関す る空 間平 均 は後 向 き の時 間 平均 に等 しい,す なわ ち, a.e.x

こ こ で,等

式 は い ず れ も,M上

のLebesgue測

りた つ の で あ る.系(M,φ)が

始 め か ら,Lebesgue測

も っ て い る と す れ ば,μ+=μ-=ν 異 な る こ と が 分 っ て い る.し

度 に 関 し て ほ と ん ど至 る所 で な

が な り た つ.一

た が っ て,"一

方,"一

度 と 同 値 な 不 変 測 度 νを 般 的 に"μ+と

般 的 に"Anosov系

μ-は 相

はLebesgue

測 度 に 同 値 な 不 変 測 度 を も た な い と い う重 要 な 結 論 が 導 か れ る.   こ れ ま で,Anosov系 の 系 はgenericで よ,双

を 中 心 に も っ ぱ らAxiom-A系

は な い と は い え"典

型 性"を

曲 型 構 造 が そ の 基 礎 に な っ て い る.最

よ っ て,双

曲 型 構 造 と い わ ゆ るLiapunov特

を 扱 っ て き た.こ

も つ も の で あ っ た.い 後 に 最 近,Pesin

[1],

れ ら

ずれにせ Ruelleに

性 指 数 との 関 連 が 明 らか に され た

こ と を つ け 加 え て お こ う.Liapunov特

性 指 数 χ+(x,υ)(x∈M,υ

∈TxM)は

次 の よ うに 定 義 さ れ る.

こ こ で,dφNは

φNの 微 分,‖ ・‖は 接 バ ン ドルTM上

Λ={x∈M;あ

る ベ ク トル υ∈TxMが

で 定 義 さ れ る 集 合 Λ を 考 え よ う.φ も つ も の と す る.Λ

はLebesgue測

は φ 不 変 で あ る が,ν(Λ)>0と

の 適 当 な ノ ル ム で あ る.

あ っ て,χ+(x,υ)0が

存 在 し て,∀x0∈Vに

少 く と も￨t￨0が て, 

よ る.

あ っ て,任

意 のk∈Nnに

対し

が な りた つ.

  証 明 は,￨k￨≠0の

と き,(k/￨k￨,α)∈[α1,α2…,αn]で

αn]が

コ ン パ ク トで あ る こ と に 注 意 す れ ば,δ

αn]の

距 離 と し て お け ば 十 分 で あ る.

 問2.1. 

α は 非 共 鳴,す

こ の と き,δ>0が

な わ ち,Γ(α)=φ

あ る こ と と,[α1,…,

と し て は た と え ば0と[α1,…,

を み た し,か

あ っ て,∀(j;k)∈{1,2,…,n}×Nn, 

つ

α∈ П

と す る.

に 対 し て,

が な りた つ.   (解)  補 題2.1か

￨k￨が

ら,δ1>0が

十 分 大 き い と き,す

あ っ て,∀(j;k)に

な わ ち, 

対 し て,

を み た せ ば,

 と お く と,Γ(α)=φ δ2>0で

あ る.δ=min{δ1,δ2}と

  問2.2. 

α ∈Zの

 (解)  α∈Zで

で あ る こ とか ら,

お け ば よ い.

であ る こ と を 示 せ.

と き, 

あ る か ら,

が あ っ て,(α,r)=α1r1+…+αnrn=0  こ のrに

対 し て,Minkowskiの

が な り た つ.こ

定 理 か ら,

こ で, 

はRnに る 通 常 のEuclidノ k(2),…,k(m),…

ル ム.い

おけ

い か え る と,k(1),

∈Nn-{o}と

 

図2.2

が存 在 し て

従 っ て,

よ っ て,

を 得 る.

  問2.1か

ら,α

が 非 共 鳴 か つ,Poincare領

域 に 属 す る 場 合 は,小

さな 分 母

に よ る 困 難 は 存 在 し な い こ と が 分 る.

  定 理2.2 

(Poincareの

  f(x)はf(o)=oを

補 題)

み た し,か

あ っ て 有 界 で あ る と す る.f(x)の

つ,Cnに

おけ る 原点 の近 傍 に お い て 解 析 的 で

線 形 部 分 をAxと

す る.

(15) 行 列Aの

固 有値 を

α1,α2,…,αnと

し,Aは

対 角 形 で あ る と す る.

α=(α1,α2,…,αn)は

非 共 鳴 か つPoincare領

域 に 属 す る とす る.

α∈ П,Γ(α)=φ   こ の と き,原

点 の あ る 近 傍 に お い て 定 義 さ れ た,あ x=y+u(y) 

が あ っ て,こ

  (16)

の 変 換 に よ り,方

(u(y)はyに

る解 析 的 な 変 換

関 し て2次

以 上) 

(17)

程式 x=f(x) 

(18)

y=Ay 

(19)

は線形方程式

に 変 換 さ れ る.

  証 明:証 f(x)は

明 は 優 級 数 の 方 法 に よ る.

 

x=(x1,x2,…,xn)∈Cn)に

っ て,(f(x)￨<Mを   変 換(17)に

お い て解 析 的 で あ

満 た し て い る と す る. よ っ て 方 程 式(18)が

方 程 式(19)に

変 換 され た と し よ う.こ

の と

き,

で あ り,ま

た,

x=Ax+f(x)=A(y+u)+f(y+u) =Ay+Au+f(y+u) で あ る か ら,u(y)は

次 の 方 程 式 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.

(20)   逆 に,こ

の 方 程 式 の 解 をu(y)と

よ っ て,方

程 式(18)は

  方 程 式(20)を

す る と き,(17)に

線 形 方 程 式(19)に

解 こ う.u(y)のK次

よ って 定 義 され る変 換 に

変 換 さ れ る こ と は 明 ら か で あ る.

の 部 分 をuK(y)と

u(y)=u2(y)+u3(y)+…+uK(y)+…

方 程 式(20)の 両 辺 のK次 の部 分 を比 較 す る.

す る.

(20)2 (20)3

(20)K  はf(y+u)のK次

こ こ で,

の

部 分 で あ る.

とお くと き,PKの

係数dkj(￨k￨=K)は

 

と 

の正整数係数 の多項式 である.   uK(y)のj成

分 をuKj(y),す

で あ る.方

な わ ち,uK(y)=(uK1(y),…,uKn(y))と

程 式(20)Kのj成

お く. 

分 を 比 較 し よ う.

(20)Kj 一 方

,

で あ る か ら,方

程 式(20)Kjは

と な る.

  仮 定 の(15)か

ら, 

で あ る か ら, ukj=dkj/{(k,α)-αj} 

こ う し て,係 f(y)の

(21)

数dkjに 関 し て 先 程 述 べ た 注 意 か ら,す

べ て の 係 数ukjは 帰 納 的 に

係 数fkjか ら 一 意 的 に 定 ま る こ とが 分 る.

  こ う し て 定 め ら れ たu(y)が   仮 定 か らf(x)は

 

収 束 す る こ と を 示 そ う. で 解 析 的 で あ っ て,￨f(x)￨<Mを

適 当 に 変 数 変 換 を 行 な え ば,つ に よ り,R=1,M=1と 定 理 か ら,f(x)の

ま り,xjをRxjに,tをt/Mに

し て お い て よ い.従 係 数fkjは

  α∈ П か つ Γ(α)=φ

 

っ て,よ

み た し て い る. 変換す る こと

く知 ら れ たCauchyの

を 満 た す.

で あ っ た か ら,問2.1に

よ り,δ>0が

存 在 し て,

∀(j,k)∈{1,2,…,n}×Nn, 

に 対 して

 

(22)

が 成 りた つ こ と に 注 意 し よ う.

と し, F(y)=(F1(y),F2(y),…,Fn(y)),Fj(y)=F(y)(j=1,2,…,n) と お く と,F(y)は

明 ら か に,f(y)の

優 級 数 で あ る.

  方 程 式 δU(y)=F(y+U(y))  に よ っ て 定 ま る,U(y)=(U2(y),…,Un(y))を

(23) 考 え よ う.U(y)はu(y)の

優 級

数 で あ る こ と 示 そ う.   こ れ ま で と 同 様 に,U(y)のK次

の 部 分 をUK(y),等

δU2(y)=F2(y+U(y))の2次

々 と 記 そ う.(23)か

ら

の 部 分=F2(y)

で あ る.

と お け ば, Ukj=Dkj/δ が成

り た つ.と

く に,￨k￨=2の

  (24)

と き は,Dkj=Fkjで

あ り,さ

ら に,

ukj=dkj/{(k,α)-αj}=fkj/{(k,α)-αj}

で あ ったか ら,f2(y)0に

対 し て,￨y￨0が

(2)

￨(k,α)￨>γ￨k￨-n 

が 成 りた つ.こ

こ で,ほ

のLebesgue測

度mに

  証 明   R>0を

と ん ど す べ て の と は,CnをR2nと

同 一 視 す る と き,R2n

関 し て ほ と ん ど す べ て で あ る こ と を 意 味 す る.

任 意 に1つ

固 定 す る.こ

の と き,γ>0に

対 して

に 対 して と お く.こ

の と き,γ

存 在

対 して不 等式

に 無 関 係 な 定 数C=C(R)>0が

あ っ て,

従 っ て, 

に お い て,ほ

不 等 式(2)が 成 りた つ.Rは

  次 の 定 理 はSiegelに が 乗 り越 え ら れ た.こ そ れ はKolmogorovに

と ん どす べ て の α に 対 し て,γ>0が

任 意 で あ った か ら,補

よ る が,こ

Ⅱ部5章

  定 理3.1 

(Siegel)

題 は 証 明 さ れ た.

の 定 理 に よ り始 め て 小 さ な 分 母 に よ る 困 難

こ で 与 え ら れ る 証 明 は,J. よ っ て 提 出 さ れ た,い

法 で あ る.第

存 在 して

Moserに

よ る も の で あ る が,

わ ゆ るNewton法

と呼 ば れ る方

も 参 照 せ よ.

 方程式 x=Ax+f(x)  に お い て,右 と し,行

Aの

辺 のf(x)=Ax+f(x)は,xの

列Aは

固 有 値

簡 単 の た め,対

α=(α1,α2,…,αn)に

(1) 原点 の近 傍 に おい て解 析 的 で あ る

角 化 さ れ て い る と す る.

対 し て,γ>0が

あ っ て,∀k∈Zn,￨k￨≠0に

対 し て,

(2)

￨(k,α)￨>γ￨k￨-n 

が 満 た さ れ て い る と す る.   こ の と き,原

点 の 近 傍 で 定 義 され た 解 析 的 な変 換 x=u(y)=y+u(y) 

が あ っ て,方

程 式(1)は

(u(y)はyに

関 し て2次

以 上) 

(3)

こ の 変 換 に よ り線 形 方 程 式 y=Ay 

(4)

に 変 換 さ れ る.

 証 明 に は 次 の補 題 が 本 質 的 で あ る.

  補 題3.2    f(x)は

行 列Aは  

定 理 に お け る も の とす る.

で 解 析 的 で あ っ て,￨f(x)￨0が

交 線lはcを

あ る.た

面

十分小

パ ラ メ ー タ と し て,x1=

形 を し た 滑 ら か な 曲 線 に な る.こ

続 的 微 分 可 能 な 関 数 で あ っ て,a2(0)=0で

は そ れ ぞ れ,x1-

こ で,a2(c)はcの

だ し パ ラ メ ー タcの

連 値 は十

分 に 小 さ い とす る.(a1,a2(c),c)を u(S)の

流 れ{φt}に関

初 期 値 と す る,(10)の

解 曲 線 族 を 考 え よ う.

す る 不 変 性 か ら,こ れ ら の 解 曲 線 は す べ て 曲 面u(S)に

含

ま れ て い る(図4.2):

図4.2 x1(t)=a1eαt, 

x2(t)=(a2(c)+εa1ct)e(α-γ)t, 

こ れ ら の 曲 線 族 と 平 面x3=a3>0と

x3(t)=c・e-γt

の 交 線l′ を 求 め よ う. x3(t)=c・e-γt=a3

よ っ て,c>0と

す れ ば, 

従 っ て,パ

す る 交 線l′ 上 の 点 を(a(c),b(c),a3)と

で あ る.a=a(c),b=b(c)か 表 わ そ う. 

を 得 る.a=0の

対応

す れ ば,

ら パ ラ メ ー タcを

消 去 し て,bをaの

で あ る か ら,

と きb=0,す

ラ メ ー タcに

な わ ち,b(0)=0で

を 求 め よ う.

あ る. 

関 数 と して

また,

で あ る か ら,結

と な る.こ

局,

れ は,曲

面u(S)の

原 点 を 除 くx3-軸

向 を 向 い て い る こ と を 示 し て い る.原 れ は 矛 盾 で あ る.こ

う し て,方

上 の 点 に お け る 法 線 がx1-軸

点 に お け る 法 線 はx2-軸

程 式(10)は

分

で あ った か ら こ

連 続 的微 分 可能 な 変 換 に よ って は 線

形 化 で き な い こ と が 分 った.

 4.3  同 相 変 換 に よ る線 形 化   方 程 式(10)は 連 続 的微 分 可 能 な変 換 に よ って は 線 形 化 で きな い が,連 続 は 変 換,す

なわ ち,同 相 変 換 に よ って線 形 化 す る こ とが で き る.い

う まで もな く,

微 分 方 程 式(10)を 同 相変 換 に よ って直 接 に 変 換 す る こ とは 不 可 能 で あ る.そ

こ

で 次 の概 念 を 定 義 し よ う.

  定 義4.1 

方 程 式(10)と(11)は

次 の よ う な 同 相 変 換x=u(y)が

位 相 的 に 同 値 で あ る と い う.す {φt}と{ψt}が

変 換uに

な わ ち,方

程 式(10)と(11)か

存 在 す る とき ら 導 か れ る 流 れ,

関 し て 可 換 で あ る: u°ψt=φt°u 

変 換x=u(y)が

微 分 可 能 な と き は,(10)が

場 合,(12)が

成 りた つ こ と は す で に 見 た.こ

こ の 変 換uに

(12)

よ り(11)に 変 換 さ れ る

の 意 味 で い ま定 義 し た 同 値 概 念 は い ま ま で の も の の 拡 張 に な っ て い る.   Sx,(S′x)をx3=1(x3=-1)で す る.x3(t)=x3(0)e-γtで 不 変 なx1x2-平

定 まる 平 面 と あ った か ら,{φt}-

面 上 の 点 を 除 い て,任

aを 通 る解 曲 線 φtaは

必 ずSxま

意 の点

た はS′xと

唯 一 つ の 点 で 交 わ る.Sy(S′y)をy3=1(y3=

図4.3

-1)で

定 ま る 平 面 とす れ ば

る.変

換x=u(y)を

,こ

う し た 事 情 は,方

平 面Sx及

びS′x上

す な わ ち,(y1,y2,,±1)=u(y1,y2,±1)(複 式(12)を ±1)を

用 い て,y1y2-平

号 同 順)と

す る.こ

と し て 定 め

る.

の 変 換 を,関

係

あ る.こ

ら,x=(x1,x2,x3)と x1=a1eαt, 

の 点(a1,a2,

後 の 位 置 をy=(y1,y2,y3)=ψt(a1,a2,±1)と

ば,y1=a1eαt,y2=a2e(α-γ)t,y3=±e-γtで

で 与 え ら れ る.従

関 し て も同 様 で あ

面 を 除 く 全 空 間 上 に 拡 張 す る.Sy(S′y)上

初 期 値 と す る 解 のt秒

は 関 係 式(12)か

程 式(11)に

に お い て は恒 等 変 換

のyに

す れ

対 応 す る.x=u(y)

し て, x2=(a2±

εa1t)e(α-γ)t,  x3=±e-γt

っ て,

(13)

を 得 る.こ ば,y3=0に

の 変 換 はy3≠0に

お い て 定 義 さ れ た の で あ る が,0log0=0と

対 し て も 定 義 さ れ,し

換 も 連 続 で あ る か ら,こ

か もR3上

の 変 換x=u(y)は

で 連 続 で あ る.明

同 相 で あ る.R3全

が 成 りた っ て い る こ と は 容 易 に 確 か め られ る.こ

置け

ら か に,逆

変

体 で 関 係 式(12)

の 変 換uはy3=0す

な わ ち,

y1y2-平 面 に お い て 微 分 可 能 性 が 破 れ て い る こ と に 注 意 し て お く.   こ う し て,方

程 式(10)を

線 形 化 す る 同 相 変 換 が 存 在 す る こ と が 分 っ た が,こ

の よ うな線 形 化 を 与 え る 同相 変 換 は もち ろ ん唯 一 つ で は な い こ と も注 意 して お こ う.

5  μ-双曲 形不 動 点 と,そ の μ-安定 多 様 体 と μ-不安 定 多 様体

 5.1  微 分方 程 式 とそ の線 形 化  原 点 を 特 異 点 とす る微 分 方 程式 x=f(x)=Ax+f(x)  を 考 え よ う.こ

x∈Rn 

を満たす連続的微分可 能 な

こ でf(x)はf(o)=o, 

関 数 とす る.我 々は 方 程 式(1)の 局 所 的 な 性 質,す る性 質 を問 題 にす るが,方 程 式(1)はRn全 や す い.ま

(1)

な わ ち,原

点 の近 傍 に おけ

体 で 定 義 さ れ て い る方 が 取 り扱 い

た,方 程 式(1)か ら導 か れ る流れ{φt}が

時 間tに 関 して 大 域 的 に

定 義 され て い る,す な わ ち,す べ て の実 数tに 対 し て定 義 され てい る方 が 何 か と便 利 で あ る.そ

こで,f(x)は

十 分 小 さな 定 数 η>0に

対 し て,条 件

(2) を 満 た す と仮 定 す る.こ

の 仮定 は,方

程 式(1)の 局 所 的 な性 質を 問 題 とす る限

り,一 般 性 を そ こなわ な い.

 実際, 

を

な る 滑 ら か な 関 数 と し(図5.1),方

程式 (1)′

を 考 え る と,こ の 方 程 式 は 原 点 の 近 傍   に お い て,も f(x)に

と の 方 程 式(1)と

対 す る 仮 定 か ら,

論 に お い て は 条 件(2)は

  補 題5.1(比

図5.1

一 致 す る.さ

ら にRを

十 分 小 さ く 取 れ ば,

 に 対 し ては 条 件 が 満 た され る.以 下 の議 満 た さ れ て い る と し よ う.

較 定 理)  f1(x),f2(x)をRの

区 間 Ⅰで 定 義 さ れ た 関 数 と し,Ⅰ 上

でf1(x)Tに

対 して も

と お く.T0に

が 成 りた つ.こ の 定 理(1章

あ る こ と に 注 意 す れ ば,補

の こ と は 同 時 に,方

の 基 本 定 理)か ら,解

し て い る.t0に

対 し て も 同 様 で あ る(tを-tに

題5.1か

対 して 存 在 す る こ と を 示 か え れ ば よ い).

  条 件(2)の

も と で,方

れ る 流 れ{φt}が

程 式(1)を 考 え る.補

す べ て のtに

題5.2よ

対 し て 定 義 さ れ る.方

り,方

程 式(1)か

ら導 か

程 式 を 線 形 化 した 方 程 式

x=Ax  を 同 時 に 考 え よ う.(6)か

(6)

ら 導 か れ る 流 れ を{Tt}と

す る,

Tt=eAt    方 程 式(1)の 解x(t)=φtx0に

(7)

そ った 変 分 方 程 式

(8) を 考 え る. 

で あ る か ら,補

題5.2に

よ り次 の 補 題 が 成 りた つ.

  補 題5.3 

変 分 方 程 式(8)の 解 を δx(t)と す れ ば,δx(t)は

不 等式

(9) を 満 た す.こ

こ で,

  こ こ で 次 の 定 義 を 置 こ う.   定 義5.1  (schitz連

φ:Rn→RnをRnの

写 像 とす る.L(φ)μ}

sp2(A)={λ

∈sp(A);Reλ2の

x∈Rn, 

点 で(ⅱ)のタ イ プ の 特 異 点 を も つ と す る.簡 単 の た め にn=2

場 合 は 本 質 的 にn=2の

場 合 に 帰 着 で き る.実

パ ラ メ ー タ に 連 続 的 に 依 存 す る か ら,  値 の 実 部 の 符 号 は μ=0の ら μ=0の

と き,実

(6)

μ∈R 

部 が0で

有値は

の と き も μ が 小 さ い 限 り他 の 固 有

と き と 同 じ ま ま で あ る.従 あ る1対

際,固

っ て,7章

の 固 有 値 に 対 応 す る2次

の 定 理7.1か 元の空間に制限

し て 考 え る こ と が で き る.   Jk(U)に

お け る 部 分 多 様 体[fμ]は

と 横 断 的 に 交 わ る(と 仮 定 す る)か ら,交 す な わ ち,fμ(x)の

μ に 滑 ら か に 依 存 し,か 点 

つ,[f0]は

〓

は μ に 滑 ら か に 依 存 す る.

特 異 点 は μ に 滑 ら か に 依 存 す る.従

っ て,μ

に滑 らか に依

存 す る 座 標 変 換 を 適 当 に ほ ど こ せ ば 常 に,fμ(x)の す る こ とが で き る.こ

う し て,fμ(o)=oで

特 異点 は 原 点 で あ る と仮 定

あ る か ら,

fμ(x)=A(μ)x+f2μ(x)+…

 (7)

と し,

(8) とす る.A(μ)は

実 行 列 で あ る か ら,α1(μ)≡ α2(μ)で あ る.こ

の 場 合(2.2か

Γ(α(0))={(1;1+l,l),(2;l,1+l);l∈N)  で あ る.従

っ て2章

が あ っ て,方

の 形 式 的 理 論 か ら,変

程 式(6)は

ら) (9)

換:η

→x,x=(x1,x2)∈R2⇔

η1=η2,

次 の よ う に 変 換 さ れ る.

(10) す な わ ち,

(11) η1=y1+iy2,η2=y1-iy2と y1+iy2(y1,y2∈R)と

お く と,変 す る と,結

局,方

換:y→(η)→xは

実 変 換 で あ る.z=

程 式(1)は

(12) の形 に形 式 的 巾 級 数 の範 囲 で 変換 され る.も し変 換 を途 中 で止 め る と,任 意 の d>0に

対 して,実 多項 式 に よ る変 換:y→xが

あ って,方 程 式(1)は

(13) の 形 に 変 換 され る.こ

こ でO2d+3はzに

0に 対 し て,一

般 に  

で あ る か ら,こ

の 場 合,Γ(α(μ))=φ

=0と

 

と仮 定 で き る. 

す る こ と が で き る.し

般 に 不 連 続 に な る.従 の と き も 係 数c1は

関 し て2d+3次

っ て,μ

の と き は,一

で あ っ て,個

か し な が ら,そ

以 上 の 項 で あ る.μ= 般 に, 

々 の μ に 対 し て は,c1=c1(μ)

の 場 合,座

標 変 換 は μに 関 して 一

に 関 し て 連 続(微 分 可 能)な 変 換 を 考 え る 場 合,

一般 に  

と し な け れ ば な ら な い.

  さ て, α(μ)=ε(μ)+iω(μ), 

と お く と き,一

般 に 

ε(μ),ω(μ)∈R, 

ε(0)=0

と仮 定 す る こ とが で き る.そ

こで,パ

ラ メー タ

μ を ε と取 り か え る こ と に よ り, α(μ)=μ+iω(μ)  と お く こ と が で き る.ω(0)≠0で

あ る.(13)に

(14)

お い て,d=1と

す る と,c1=cと

お い て, z=z(μ+iω+c￨z￨2)+O5, 

c≠0 

(15)

と な る.   (15)に お い て,残

余 項O5を

無 視 した 方 程 式 z=z(μ+iω+c￨z￨2) 

(16)

を 考 え よ う. z=r(cosφ+isinφ)

とお くと

よ っ て, r=r(μ+a(μ)r2) 

こ こ でRec(μ)=a(μ)で く,a(0)>0の

あ る.a(0)≠0と

一 般 に 仮 定 で き る.a(0)0の

と き, 

で定 ま る円 は安 定 な 極 限 周 期 解 で あ る こ

図8.3

とが 分 る.す な わ ち,周 期 解 で あ って,そ の まわ りの軌 道 はす べ て,t→ ∞ の ときに そ の周 期 解 に 限 りな く近 づ く,こ の意 味 で安 定 で あ る.こ の 円 の半 径 は  

の オ ー ダ ーで あ る.原 点 は 不安 定 な平 衡 点 に な って い る.μ0の

場 合 に 同 様 の 考 察 を お こ な え.

  い ま の べ た タ イ プ の,パ 変 様 をHopfの か ら,周

ラ メ ー タ μ の 変 化 に と も な う相 空 間 の 軌 道 の 様 子 の

分 岐 と 呼 ん で い る.こ

の 分 岐 現 象 は,流

体 力 学 に お け る,層

的 的 に 変 化 す る 流 れ へ の 変 化 を 記 述 す る モ デ ル と考 え ら れ て い る.詳

し くは,Arnold   さ て,無

[3],

Marsden-Mc

視 し た 残 余 項O5を

に 述 べ れ ば,変   μ0の

余 項O5を

ら 出 発 す る方 程 式(15)の

方 程 式(16)の 0),(r′>0)と

な どで 行 った 議 論 か ら も 明 ら か

れ ら を 見 る た め に,次

の よ うに し て 定 ま

像 を み よ う.

  y1-軸 の 正 の 部 分 を 考 え よ う.こ P=(r,0)か

に示す

場 合 の 不 安 定 な 平 衡 点 で あ る 原 点 に 関 し て も 同 様 で あ る.

そ れ で は 極 限 周 期 解 は ど う な る か.こ るPoincare写

で に5章

論 を先

れ を 見 よ う.

考 慮 に 入 れ て も や は り原 点 が 安 定 な 平 衡 点 で あ りつ づ け る こ と は,次

れ をYと

す る,Y={(r,0);r>0}.Y上

解 軌 道 を 考 え よ う.残

解 軌 道 は 原 点 を 一 周 し て 再 びYに す る.残

余 項O5を

考 慮 し て も,つ

が や は り平 衡 点 で あ る こ と に 注 意 し て,解 様 にY上

流

の点

余 項O5を

戻 っ て く る.そ ま り方 程 式(15)の

無 視 した

の 点 をP′=(r′, 解 軌 道 も原点

の パ ラ メー タ に関 す る連 続 性 か ら 同

に 戻 っ て く る こ と は 明 ら か で あ る.た

だ しrは

十 分 に小 さい も の とし

て い る.い

い か え る と,μ

が 十 分 小 さ い と き,極

りYに 戻 っ て く る こ と に な る.こ 写 像 と 呼 ぶ.こ   O5を

の 点Pを

限 周 期 解 の ま わ りで は,や

点P′ に 対 応 させ る 写 像 をPoincare

れ を πμで 表 わ そ う,π μ(P)=P′.

無 視 し た 場 合 の πμを ま ず 求 め よ う. r′=π μ(r)=r+gμ(r) 

と お く.こ

れ を, 

小 さ い か ら,(18)よ あ る.従

(19)

の 範 囲 で 考 察 す る.と

の ま わ りが 重 要 で あ る.μ

0で

り,φ

くに,極

が 十 分 小 さ い 場 合,こ

は 一 定 符 号 で あ る.た

っ て, 

限 周 期 解,  の 範 囲 で はrも

と え ば ω(0)>0と

あ る こ と が 分 る.rがr0に

く 調 べ よ う.a(μ)≡-1と

十 分 近 い 場 合 を も う少 し 詳 し

し て お い て も 定 性 的 な 様 子 は 変 わ ら な い(変

tを 適 当 に 取 りか え れ ば よ い)か ら,そ

う

し て お く.   さ て,(17),(18)か

ら,

よ っ て,

(20) 図8.4

に 注 意 す れ ば,右 辺 は  ∼0の

従 っ て,左

よ っ て,

に 等 し い.

と き,

辺は

こうして, 

す れ ば φ>

に お い て はgμ(r)>0,r>r0(μ)に

お い て はgμ(r)