Расширения абелевых 2-групп с помощью L2(q) с неприводимым действием

Алгебра и логика, 39, ЛГ 3 (2000), 280-319

УДК 512.542

Р А С Ш И Р Е Н И Я А Б Е Л Е В Ы Х 2-ГРУПП С П О М О Щ Ь Ю L2(q) С Н Е П Р И В О Д И М Ы М ДЕЙСТВИЕМ*) В. П. БУРИЧЕНКО Введение Одним из вопросов, часто встречающихся в теории конечных групп, является классификация расширений

для данной конечной простой группы G и абелевой группы А, на которой G действует неприводимо. Довольно много работ посвящено случаю, ко­ гда G является простой группой лиевского типа характеристики р, а А — р- группой. В отличие от этого случай, когда А — это г-группа c r / р , сла­ бо исследован (исключая ситуацию, когда G действует на А тривиально и мы можем применить результаты о мультипликаторе Шура). В настоящей работе мы вычисляем группы когомологий Н2

(G,A),

когда G = L2(q), q нечетно, и А является 2-группой. Фактически вычисле­ ние H2(G, А) сводится к вычислению групп Я 2 ((7, V), где V — неприводи­ мый kG-модулъ для алгебраически замкнутого поля к характеристики 2. Т Е О Р Е М А 1. Пусть G = L2(q), q ^ 5 нечетно, к — алгебраически замкнутое поле характеристики 2, и пусть V является

нетривиальным

неприводимым kG-модулем. Тогда *) Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований, грант Ф97М-072.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Расширения абелевых 2-групп

281

i) если q = 1 (mod 4), то H2(G, V) = 0; ii) если q = —1 (mod 4), mo существует в точности два модуля V = V+, VL таких, что H2(G,V)

ф 0. ЛГролсе того, dimff 2 (G,V+)

=

= dimH 2 (G,VL) = l. Модули V± — это модули, которые получаются редукцией по мо­ дулю 2 из (q — 1)/2-мерных неприводимых комплексных группы

представлений

SL2(q).

(Здесь "нетривиальный44 означает модуль, ненулевой и отличный от одномерного с тривиальным действием). Т Е О Р Е М А 2. Пусть G, q определены как выше, и пусть А обозна­ чает элементарную абелеву 2-группу, на которой G действует неприводимо и нетривиально. Тогда \) если q=l

(mod4), то H2(G,A)

= 0;

ii) если g = 3(mod8), то существует в точности одна А такая, что Я 2 ( С , А) ф 0. В этом случае H2(G, А) £ Z | ; iii) если q = - 1 (mod 8), то существуют в точности две А (= А\, А2) такие, что H2{G, А) ф 0. При этом H2(G, Аг), H2{G, А2) = Z2, моду­ ли Ai изоморфны Qi/I, где Q\} C2 — расширенные квадратично-вычетные бинарные коды длины q+ 1, а I С Qi — (единственный)

нетривиальный

подмодуль в Qi. В [1] содержится вопрос N 12.49, поставленный В.Д.Мазуровым: Построить все нерасщепляемые расширения элементарных V посредством Н = PSL2(q),

2-групп

для которых Н действует на V неприво-

димо. Будем называть группу Я , имеющую элементарную абелеву нор­ мальную 2-подгруппу А такую, что Н = Н/А

= L2(q),

причем это

расширение нерасщепимо, Я действует на А неприводимо и А ф

Z2,

44

UP-группой (HP — сокращение от "нетривиальное расширение ). Из те­ оремы 2 следует Т Е О Р Е М А 3. i) Если q = I (mod 4), то HP-группы не существу­ ют;

282

В. Я. Вуриченко ii) если q = — 1 (mod 4), то существует одна и только одна, с точ­

ностью до изоморфизма, HP-группа. Что касается расширений, для которых А = Z2, то такие расшире­ ния, как известно, представляют собой в точности группы SL/2(q)Мы также приводим явную конструкцию HP-групп, основанную на кодовых лупах, изучавшихся Р. Л. Грайсом в [2—4]. В § 1 мы даем разнообразные предварительные сведения; в § 2 полу­ чаем верхнюю оценку для размерности группы # 2 ( G , V); в § 3, напротив, строим HP-группы (и тем самым получаем некоторую нижнюю оценку); в §4, сопоставляя результаты, полученные в §2 и §3, получаем точные сведения о H2(G, V) и доказываем основные теоремы. § 1. Предварительные сведения 1.1. Когомологий групп. Приведем некоторые элементарные све­ дения о расширениях и когомологиях групп. Основы теории когомологий групп могут быть найдены в [5] или [б]. Пусть G — группа, V — G-модуль. Расширением называется корот­ кая точная последовательность групп 1—>V

-UG-£>G—+1,

которая совместима со структурой G-модуля на V} т. е. такая, что xvx~x

=

= p(x)(v) для всех v 6 К, х 6 G. (Здесь и всюду ниже через g(v) обозна­ чается образ v €V под действием g € G.) Два расширения Е:

1 —>V—>G—>G—Я,

Е':

1 —• V —• б —> G —+ 1

называются эквивалентными, если существует изоморфизм (р : G —» G такой, что диаграмма Е

:

1 —+ F

—>

1 Л —+ (t) —> 1

(1)

полностью определяется элементом м = ? ; здесь t — какой-либо прообраз элемента t в А. Так как и = ? и £ коммутируют, то w должно быть £-инвариантно. Наоборот, еслиад£ А является ^-инвариантным, то А = Л и = (и е V; ? | «* = i(v)

Vv e V;

? = «>

будет расширением У, т.е. последовательность (1) точна. Таким образом, в нашем случае X = {и G V | t(u) = v} — группа допустимых наборов. Далее, Аи расщепляется тогда и только тогда, когда для некоторого v 6 V элемент ?= vt является инволюцией. Поскольку Г2 = и£г;£ = v-tvt~x • 42 = v + t(t;) + м, А и расщепимо тогда и только тогда, когда v + t(v)+u = О для некоторого v, т. е. когда ^ € Y = {t>-K(t>) | v € V}. Теперь предложение 1.1 влечет # 2 « f ) , V) = Х / У . Будем говорить, что расширение Аи представляется вектором и. (В п. 2.3 применяем аналогичную технику к исследованию расширений диэдральной группы.) Если С-модуль М является kG-модулем, где к — некоторое по­ ле, то Hn(G,M)

также имеет структуру /^-пространства. Именно, если

£ 6 # " ( ( ? , М) представляется коциклом z = z ( # i , . . .,#„), то х£, х £ к, представляется коциклом xz. Можно показать, что если £ соответствует допустимому набору D = (сц,.. ., О, V — неко­ торый kG-модуль, т = [G : Я] < оо u (m,p) = 1. Тогда отображение ограничения Hn(GyV)

—У Hn{H,V)

иньективно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [5, предл. 3.10.4]. D Л Е М М А 1.4 (см. [8]). Пусть G конечна, к — замкнутое поле ха­ рактеристики р > 0, и V — неприводимый kG-модуль, не лежащий в главном р-блоке. Тогда Я П (С, V) = 0 для всех п. 1.2. Главный 2-блок £2(4) • Пусть V — пространство неприводимо­ го представления I^tf) над алгебраически замкнутым полем характери­ стики 2. Согласно лемме [1.4], ffn(L2(