Избранные лекции по физике. Часть 2. Электричество и магнетизм: Методические указания для студентов УлГТУ

Р.А. БРАЖЕ В.М. ПРОКОФЬЕВ

ИЗБРАННЫЕ

ПО

ЛЕКЦИИ

ФИЗИКЕ

4.2. Электричество и магнетизм

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р.А. Браже

В.М. Прокофьев

ИЗБРАННЫЕ

ПО

ЛЕКЦИИ

ФИЗИКЕ

Часть 2. Электричество и магнетизм Методические указания для студентов УлГТУ

Ульяновск

1999

УДК

530.1(075)

ББК

22.3я73 Б 87

Браже Р.А., Прокофьев В.М. Избранные

лекции

по

физике.

Часть

2.

Электричество

и

магнетизм.

Методические указания для студентов УлГТУ. — Ульяновск: УлГТУ, 1999. — 48с.

Представлены

оригинальные

лекции

по

разделу

«Электричество

и

магнетизм» общего курса физики ведущих преподавателей кафедры физики УлГТУ.

Пособие

предназначено

для

студентов

1—2

курса

технических

направлений обучения и может быть использовано при самостоятельном и ускоренном изучении дисциплины.

Рецензент д-р физ.-мат. наук профессор Э.Т. Шипатов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

БРАЖЕ Рудольф Александрович ПРОКОФЬЕВ Вячеслав Михайлович Избранные лекции по физике Методические указания для студентов УлГТУ Редактор Н.А. Евдокимова Подписано в печать 28. 09. i)9. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 2,79. Уч.- изд. л. 1,74. Тираж 200 экз. Заказ &&• Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ: 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

СОДЕРЖАНИЕ

5. Уравнения электромагнитного поля (Браже Р.А.) 6. Релятивистский характер магнитного поля ( Браже Р.А.)

4 15

7. Некоторые прикладные задачи электро- и магнитостатики (Прокофьев В.М.) 21 8. Законы стационарных токов (Прокофьев В.М.)

33

Приложение 1. Математическое описание физических полей (Браже Р.А.)

43

Использованная литература

48

Уравнения электромагнитного поля

§ 1. Характеристики электрического и магнитного полей

Основной силовой характеристикой электрического поля является напряженность электрического поля — физическая величина, равная силе, с которой это поле действует на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля:

(5.1)

E-J-

Единица измерения напряженности электрического поля в СИ, в соответствии с (5.1),

Гг-1 iTT/ъл Н - С - М Дж /С ВТ 1 £=1Н/Кл=1 =1 — =1 =1 В/м. Кл-с-м А-м А-м

Для учета диэлектрических свойств среды часто используют дополнительную силовую характеристику — индукцию электрического поля

, под ко-

торой понимают величину

(5.2)

Иногда, по историческим причинам, величину D

4

называют электрическим смещением.

Здесь SQ = 8,85-10 ~12 ф/м — электрическая постоянная или диэлектрическая проницаемость вакуума, а е — относительная диэлектрическая проницаемость сре-

ды. Единица измерения индукции электрического поля в СИ, согласно (5.2),

м -м

Наряду с силовыми характеристиками для консервативных электрических полей, в которых работа по перемещению электрического заряда не зависит от формы траектории, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, вводится энергетическая характеристика поля — потенциал. Потенциалом электрического поля в данной точке пространства называется физическая величина, численно равная работе по перемещению единичного положительного заряда из некоторой отправной точки, в которой его потенциальная энергия полагается равной нулю, в данную точку поля:

За точку нулевой потенциальной энергии перемещаемого заряда в физике обычно принимают бесконечно удаленную точку, а в электротехнике — поверхность заземленного проводника. Единица измерения потенциала, согласно (5.3),

=

Кл

Кл-с

Основной силовой характеристикой магнитного поля принято считать индукцию магнитного поля — физическую величину, равную отношению макси-

мального вращательного момента, действующего в однородном магнитном поле на контур с током, помещенный в это поле, к магнитному моменту контура:

3_

max

(5.4)

т Под магнитным моментом контура с током понимают произведение силы тока в этом контуре на его площадь: Рт -IS. Из школьного курса физики известно, что на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера.

В

Поэтому рамка с

током

повернуться

плоскостью

своей

стремится пер-

пендикулярно полю (рис. 5.1). Соответствующий вращательный момент M = 2[rF], а магнитный момент контура Рис. 5.1. На рамку с током в магнитном поле действует вращательный момент,

Рт = 21 г I.

обусловленный парой сил Ампера

Следовательно,

— /7 3 _ max

(5.5)

II

Выражение (5.5) приводит к другому определению индукции магнитного поля, как физической величины, равной отношению силы, с которой поле действует на перпендикулярный ему проводник с током, к длине этого проводника и силы тока в нем. И по (5.4), и по (5.5)

В]= 1-3-= 1 Т л J А-м

(тесла). V

}

С учетом магнитных свойств среды часто пользуются другой силовой характеристикой — напряженностью магнитного поля, определяемой как

(5.6)

где

//о= 4л-10

«12,56-10

Гн/м — магнитная постоянная или магнитная про-

ницаемость вакуума, а //— относительная магнитная проницаемость среды.

. Н =1

Гтт1 L

J

Тл

.Тл-м-А . Тл-м-А , . . =1 =1 —= 1 А / м . Гн/м Вб Тл-м2

§ 2. Первое уравнение Максвелла

Рассмотрим некоторый замкнутый проводящий контур L (рис. 5.2), пронизываемый изменяющимся во времени магнитным полем. Согласно закону электромагнитной индукции, открытому М. Фарадеем в 1831 г., в контуре индуцируется э д с , пропорциональная скорости изменения магнитного потока: £"/=-АФ/А?. тывает

Знак "минус" здесь учи-

правило

Ленца:

возникающая

э д с всегда приводит к появлению индукционного тока, направленного таким образом,

чтобы

препятствовало

его

магнитное

изменению

поле

внешнего

Рис

5

-2 Появление индукционного тока в контуре, пронизываемом изменяющимся во времени магнитным полем

магнитного поля. Так как магнитный поток является, в общем случае, функцией не только времени, но и координат, то правильнее будет записать этот закон в виде

«~£. По определению э д с в контуре равна работе сторонних сил по перемещению единичного точечного заряда, т.е.

Л

1

kf

Ь

L

dl 6

"'

Вместо напряженности поля сторонних сил Е^ = А^ /Q в последнее выражение можно подставить сумму

где Ёэя — напряженность электростатического поля, так как в поле неподвижных зарядов работа по перемещению некоторого пробного заряда по замкнутому контуру равна нулю:

L

эл

Напомнив Вам эту школьную истину, мы теперь можем переписать (5.7) в виде

£f=-jEdl.

(5.8)

L

С другой стороны,

s

= J\\—}dS, I - T - I " 5V^7

/ (5.9) ^

где S — произвольная поверхность, стягиваемая контуром L. Тогда (5.7) эквивалентно следующей записи:

= — dS. i v dt)

(5.10)

Выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл первым догадался, что наличие проводящего контура для появления электрического поля в окрестности изменяющегося во времени магнитного поля вовсе необязательно. Он лишь позволяет обнаружить это поле по возникающему в нем индукционному току. Характерной особенностью этого поля является то, что оно не связано с какими - либо зарядами, его силовые линии замкнуты. Поэтому такое поле называют вихревым электрическим полем. Согласно (5.10) и понятиям (П1.1), (П1.3), введенным в приложении 1, циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля по некоторому контуру L равна взятому со знаком

"минус " потоку вектора скорости

изменения индукции магнитного поля через произвольную поверхность S , стягиваемую данным контуром.

§ 3. Второе уравнение Максвелла

В соответствии с (5.10) вихревое электрическое поле создается изменяющимся во времени магнитным полем.

Но тогда,

наоборот,

магнитное

поле

(всегда вихревое) должно создаваться изменяющимся во времени электрическим полем:

(5.11) «

где S' — некоторая поверхность, стягиваемая произвольным контуром L (рис. 5.3). Если вместо поверхности S рассмотреть некоторую поверхность S, пересекаемую током плотности j = 1 / S, где / — сила переменного тока, протекающего через конденсатор, то на его обкладках должно выполняться равенство

и а

а

д(о =

a\s

a\d.

Здесь ток смещения.

Y=J^>c

Здесь d и Sc — соответственно расстояние между обкладками конденсатора емкости С и их площадь. Если вид поверхности ( S или S ) не оговорен заранее, то, в общем случае, следует вместо (5.11) записать

I

I- Ток проводимости

такое выражение:

Линии Н Рис. 5.3. Токи проводимости и смещения и создаваемые ими магнитные поля

/э а

Из него следует, что изменяющееся во времени электрическое поле, току проводимости — току,

(5.12)

7+—

подобно

связанному с движением зарядов в проводящей

среде, создает в окружающем пространстве магнитное поле. По этой причине его называют током смещения, имея в виду, что плотность этого тока равна скорости изменения индукции ( смещения ) электрического поля:

J см

(5.13)

Согласно (5.12), циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру L равна потоку вектора плотности полного тока,

ю

скла-

дывающегося из тока проводимости и тока смещения, через произвольную поверхность S, стягиваемую контуром L. Поэтому (5.12) называют законом полного тока.

§ 4. Третье уравнение Максвелла

Рассмотрим положительный точечный заряд Q, создающий в

некоторой

точке пространства электрическое поле напряженности Ё (рис. 5.4). Для поля точечного заряда, как известно,

е, 2

Окружим

этот

заряд

произвольной

замкнутой поверхностью S, проходящей через

рассматриваемую

вектора

Ё

точку.

Поток

через поверхность S ( см.

П1.3)

§EdS = S

Q

Q

S

Рис. 5.4. К выводу теоремы ГауссаИспользуя (5.2), можем записать

Остроградского

(5.14)

Если внутри поверхности S находятся несколько зарядов или имеется некоторое непрерывное распределение заряда, то в правой части (5.14), в силу принципа суперпозиции (наложения) электрических полей,

следует указать

полный заряд:

и

(5.15) s

v

где р - объемная плотность заряда. Таким образом, поток вектора индукции электрического поля произвольную замкнутую поверхность S равен заряду,

через

охватываемому этой

поверхностью. Выражение (5.15) называется теоремой Гаусса - Остроградского. Ее связь с математической теоремой Остроградского - Гаусса будет показана ниже.

§ 5. Четвертое уравнение Максвелла

Теорема Гаусса - Остроградского (5.15) показывает, что электростатическое поле создается электрическими зарядами. Так как магнитное поле, согласно (5.12), создается движущими электрическими зарядами — токами проводимости и изменяющимися во времени электрическими полями — токами смещения, то отдельных магнитных зарядов нет. Поэтому поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю:

(5.16)

§ 6. Полная система уравнений Максвелла

Сведем теперь выражения (5.10), (5.12), (5.15) и (5.16) в единую систему уравнений, называемых по традиции уравнениями Максвелла:

12

(5.17.1)

(5.17.2) L

5V

(5.17.3) V

(5.17.4)

Применяя для первых двух уравнений теорему Стокса (П1.9), а для двух последних — теорему Остроградского - Гаусса (П1.7), легко перейти от уравнений Максвелла, записанных в интегральной форме (5.17), к дифференциальной форме этих уравнений: •*ТТ"> = -—,

(5.18.1)

(5.18.2)

(5.18.3)

div£ = 0.

(5.18.4)

Часто используется также операторная форма записи уравнений Максвелла с использованием соотношений (Ш. 12), (П1.13):

13

(5.19.1)

(5.19.2)

(5.19.3)

VD = p,

(5.19.4)

Независимо от формы записи, уравнения Максвелла имеют физический смысл, указанный при их выводе. Систему уравнений Максвелла обычно дополняют уравнениями связи:

(5.20)

(5.21)

(5.22)

J= R

где /? =

=p S±

сопротивление провода. Выражение / = U/R представляет S±

собой обычную, интегральную форму записи закона Ома для однородного участка цепи.

6.

Релятивистский характер магнитного поля

§ 1. Магнитное поле движущегося заряда

Рассмотрим движение положительного точечного заряда Q вдоль длинного проводника с током / в двух инерциальных системах отсчета (рис. 6.1): лабораторной системе S, в которой проводник покоится, а заряд движется со скоростью v, и в системе отсчета S 7, связанной с движущимся зарядом. Не теряя общности в рассуждениях, допустим, что скорость движения заряда Q по величине и направлению совпадает со скоростью движения электронов в проводнике.

В системе S имеем: р+ = —р_ или р+ + р_ = О — проводник не заряжен, так как объемная плотность положительных зарядов ионов кристаллической решетки равна по величине объемной плотности отрицательного заряда всех электронов в проводнике. v+ = 0 — ионы кристаллической решетки покоятся, v. = v — электроны неподвижны относительно заряда Q. 15

В лабораторной системе S

В системе S', связанной с зарядом Q

I

I

Ток электронов

Ток ионов

Q

V

©

Рис. 6.1. В системе отсчета, связанной с зарядом Q, проводник с током оказывается заряженным и испытывает кулоновское отталкивание от заряда, что воспринимается в лабораторной системе отсчета как действие магнитного поля движущегося заряда

В системе S

имеем:

v+ = - v — ионы кристаллической решетки движутся и создают ток, в то время как электроны неподвижны и тока не создают:

р+ = YP+, Р- = p. IY = ~Р+ 17? Y -\^~

-1/2 fr] , 0 = v/с

— вследствие реляти-

вистского сокращения масштабов проводника, плотность положительного заряда в системе S/ возросла, а отрицательного — уменьшилась, так как в этой системе расстояние между электронами самое большое (собственное расстояние). Тогда суммарная плотность заряда

16

7

и проводник в системе S / оказывается заряженным положительно. Напряженность электрического поля неподвижного точечного электрического заряда Q на расстоянии г

/

= г (в том месте, где находится заряженный

элемент тока длиной dl ) равна

Следовательно, на указанный элемент тока действует сила

Площадь сечения проводника

S=-=-

+

где е

e+nv

p+v

— заряд ионов, an — их концентрация в проводнике. Тогда

г

2

-

о

l

4л£

Q

v

9 2 ' г~ с

Возвращаясь в систему S, замечаем, что по принципу относительности движения

здесь также должно наблюдаться отталкивания элемента тока, рас-

положенного напротив (?, но с большей силой

17

Дело в том, что продольные размеры заряда Q в системе S испытали сокращение, и плотность заряда на стороне, обращенной к проводнику^ возросла в у раз. Таким образом,

г2

с2

Воспользовавшись определением (5.5) индукции магнитного поля, получаем

dF _

B=

Idl0

Так

как

с = (f 0 // 0 )

электродинамическая

I 4л£0

v с2

Q

1

г2

постоянная

(скорость

света

в

вакууме)

, а скорость движения заряда Q в большинстве практических случа-

ев существенно меньше с (/?«!), то для индукции магнитного поля движущегося точечного заряда получаем следующее выражение:

или в векторной форме:

(6.2)

В соответствии с (6.2), силовые линии магнитного поля (линии индукции) должны быть направлены так, как показано на рис. 6.2. Иными словами, направление вектора В удовлетворяет правилу буравчика: если правовинтовой буравчик ввинчивать в направлении движения положительного заряда, то направ-

18

ление вращения рукоятки укажет направление индукции магнитного поля, создаваемого этим зарядом. Подведем теперь некоторые итоги. Взаимодействие движущихся зарядов (токов) было открыто экспериментально в начале XIX в., задолго до соз-

V

дания специальной теории относительности. В частности, было обнаружено, что

магнитная

стрелка,

помещенная

вблизи проводника с током, отклоняет-

Рис. 6.2. Картина силовых линий магнитного поля движущегося заряда

ся. Поэтому такое взаимодействие получило название магнитного взаимодействия. Стали говорить, что вокруг движущихся зарядов (токов) существует особое возмущенное состояние пространства — магнитное поле. Теперь мы видим, что, в действительности, природа этого поля чисто релятивистская: оно обусловлено все теми же электрическими зарядами, но возникает в системах отсчета, относительно которых эти заряды движутся. Конечно, магнитное поле каждого отдельно взятого заряда при нерелятивистских скоростях движения чрезвычайно слабое. Но из-за большой их концентрации в проводниках оно может быть в совокупности весьма сильным, что легко видеть на практике.

§ 2. Закон Био - Савара - Лапласа

Найдем индукцию магнитного поля, создаваемого в некоторой точке Р, удаленной на расстояние г от элемента тока / dl (рис. 6.3). Оно создается всеми зарядами из объема dV = S dl, которые движутся со скоростью v « с. Используя (6.2), получаем

19

л

4тг

где л

концентрация зарядов, входящая в выражение для плотности тока: j ' = Q nv. Следовательно,

Так как

dl 11 j , а yS = /, где/

— сила

тока, то искомая индукция магнитного поля

dir

(6.3)

Рис. 6.3. К выводу закона

4л

Био - Савара - Лапласа Впервые

пропорциональность

индукции

магнитного поля силе тока в проводнике и его ослабление обратно пропорционально квадрату расстояния до проводника экспериментально показали в 1820г. французские физики Ж.Б. Био и Ф. Савар. Позже П.С. Лаплас придал этому факту вид физического закона. Здесь мы поступили иначе: совершенно не опираясь на эксперимент, вывели этот закон из полученной в предыдущем параграфе также чисто теоретически, из общих физических соображений, формулы для магнитного поля движущегося заряда. Это еще раз доказывает, что законы магнетизма тесно связаны с законами электричества, и правильнее говорить о едином электромагнитном взаимодействии.

20

7.

Некоторые прикладные задачи электро- и магнитостатики

§ 1. Введение

В стационарной ситуации система уравнений Максвелла (см. лекцию 5) распадается на две независимые системы уравнений: электростатики

§Edl = 0, L

или

TotE = 0,

— ОЛ С" ОС JLj J7

и магнитостатики

AivB = О,

или

го1Я

= J,

В совокупности с законами Кулона и Био - Савара - Лапласа, определяющими характеристики полей модельных источников (точечного заряда Q и элемента линейного тока)

,. / ег

И .Г!

\St-JLJ 4тг

Mr ^ г

?

21

а также принципом суперпозиции полей получается мощный аппарат для решения большого числа прикладных задач электро- и магнитостатики. Выделим из них наиболее значимые: 1. Нахождение граничных условий при переходе полей из одной среды в другую. 2. Нахождение характеристик полей по известному распределению в пространстве зарядов и токов. 3. Решение вопроса о силах, действующих в стационарных полях, и о характере движения в них зарядов и токов. 4. Определение

емкости

проводника,

конденсаторов

и

индуктивности

проводника. 5. Изучение энергетики стационарных полей. В лекции на конкретных ситуациях показывается решение отдельных из этих задач.

§ 2. Поведение характеристик полей на границе раздела сред

Данная задача решается применением теорем о потоке и о циркуляции векторов Е и D, В и Н в интегральной форме. Результат решения задачи зависит от того, для какой границы раздела она решается. В качестве примера рассмотрим границу раздела диэлектриков с проницаемостями sl и £2. п

Возьмем очень тонкий цилиндр на границе раздела сред. Согласно теореме Гаусса,

Если на границе раздела нет сторонних сво-

22

бодных зарядов, то X#CTOD = 0. Тогда D, AS + D, AS = О (потоком через бо" 2 1 ковую поверхность цилиндра, ввиду малости h, можно пренебречь). Перейдя

к

единой

нормали

к

границе

раздела

Я

(при

этом

А „ = А , a Dln =-Dl ), получим D7n-Dln т.е. нормальная составляющая 2 ~ 1 " вектора

D

при

переходе

не

претерпевает

изменения.

Так

как

Еп =——, то £2^2п -£\Е\„, т.е. нормальные составляющие вектора Ё претер-

певают скачок. Возьмем

>

теперь

на

границе

раздела

2

очень тонкий вытянутый вдоль границы кон-

1

тур и воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Ё:

=U

ИЛИ

L

Ь1Т1 + &2т 1=0. 1 2

Перейдем к единому орту т границы раздела. Тогда Е1т -Е2т, т.е. тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля не претерпевают изменения. Так как

DT =£80ЕТ , то s2Dlr =elD2T. Полученные соот-

ношения позволяют утверждать, что в общем случае линии полей векторов Ё и D на границе раздела преломляются так, что

tg«i

l

Легко убедиться и в том, что при ег > ev DI > DI, a E2 < Е\. Кроме того, линии на границе претерпевают разрыв, что свидетельствует о возникновении на границе раздела связанных зарядов.

23

Аналогично решается задача о границе раздела магнетиков. Так, если на границе не текут токи проводимости, то выполняются условия в

в

т = т

иН

Н

В

1т = 2т> KOju2H2n = v\H\n и//1#2г = {*2 1т- Если// 2 >// 1 ? то

В2 > В1, но Н2 Ri, заполненный однородным диэлектриком с проницаемостью £ . Поле внутри этого конденсатора в точках, удаленных от торцов цилиндра, обладает осевой симметрией, повторяющей симметрию распределения заряда, и его можно определить по теореме Гаусса:

о

= \DndS + \DndS + !DndS = q. Oj 1^2 »^з

Два последних интеграла по торцевым поверхностям равны нулю, так как для этих поверхностей Dn = Q. Поэтому D • 2лт1 = q,

откуда

В свою очередь

dr

и тогда

29

R

2 fir n fJ — = ^ — r\ 7 In д Г

В результате емкость цилиндрического конденсатора

1п (R2/ R^'

С помощью данного выражения определяется, в частности, погонная емкость

коаксиальных кабелей С = - - - , необходимая при расчетах волнового In ( # 2 / ^ ) сопротивления кабеля. Индуктивность проводящего контура можно определить из соображений, что потокосцепление контура с собственным магнитным полем пропорционально силе тока в контуре: Ф = LI, где L и есть индуктивность контура. Убедиться в справедливости данного утверждения не составит особого труда. Действительно, Ф = §BdS, т.е. Ф ~ В. С другой стороны, по теореме о циркуляции

S §Bdf = //о///, т.е. В ~ /. Или, в конечном итоге, Ф ~ /. Таким образом, задача о L нахождении индуктивности проводника также сводится к задаче о поле этого проводника. Найдем в качестве примера индуктивность тороида. Ранее показано, что поле в нем В = ju0juln. Тогда потокосцепление с собственным полем 4f = 0l-N = BS^N = /JQJU InSLnl - //о// In2V.

Поэтому

индуктивность

тороида

vp L = — = ju0ju n2V, где V - внутренний объем тороида. Мы уже отмечали, что поля тороида и бесконечно длинного соленоида эквивалентны. Следовательно, выражение L = juQjun2V определяет индуктивность и этого соленоида.

30

§ 6. Энергия и силы в стационарном электрическом поле

Вопрос об энергии электростатического поля можно рассмотреть на примере однородного поля плоского конденсатора

=

2

_

2 =

2\d

2d

При этом предполагалось, что диэлектрик в конденсаторе изотропный, поэтому W П — s sb Z .Т ШW = Т7 В и 1 or да V . Величина w = — = - называется плотностью n 0 2 V 2

ED энергии поля. Если поле неоднородно, то W - j w dV = J - dV. При этом нужно v v 2

знать зависимость Е и D от координат. Интересно отметить, что выражение для ED плотности энергии w = - сохраняется и в случае нестационарных электриче-

ских полей. Вернемся в качестве примера к задаче № 1 из § 4 данной лекции и поставим следующие вопросы: а) чему равна энергия поля шара; б) чему равно отношение энергии W\, локализованной в самом шаре, к энергии Wi за его пределами?

ВД f l р2 2 1 2 Wl = J — - — -dV = \ — - — г 4яг dr = v 2 о 9 S^SQ 5 ш

a

F2

2

9

R

31

Wi 1 £^ Таким образом, —- = - — и не зависит от радиуса шара, а W2 5

9е

зависит, и в сильной степени, от радиуса шара. Наиболее общим методом определения сил в электрическом поле является энергетический, основанный на том, что ЗА = -dWnpn q = const. Так как

.В качестве примера рассмотрим состояние диэлек-

трика в плоском конденсаторе. Как известно, пластины конденсатора притягиваются друг к другу, сжимая тем самым диэлектрик. Возникающая при этом сила

х

\dx)q

2

дх

2

(мы рассматривали случай конденсатора, отключенного от источника, когда a- — - const и, следовательно, Е = - = const ). S ££Q Поверхностная плотность сил, или давление на диэлектрик,

F Р=

ED

S

т.е. равно объемной плотности энергии поля внутри диэлектрика. Деформация диэлектрика за счет этого давления называется электрострикцией. Так как выражение для плотности энергии поля сохраняется и в случае нестационарных полей, то электрострикция может быть и переменной

32

Этот факт используется для создания громкоговорителей на основе электретов, в которых электрострикция сильно выражена. Таковы, например, громкоговорители в говорящих часах.

Существует эффект, обратный электрострикции

(возникновения в диэлектрике поля при деформации). На этом эффекте работают электретные микрофоны.

8.

Законы стационарных токов

§ 1. Характеристики электрического тока. Уравнение непрерывности . Условие стационарности

Как известно, электрический ток представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника). При отсутствии электрического поля заряды в проводящей среде совершают хаотическое тепловое движение, и через любую поверхность 51 в обоих направлениях вдоль нормали к ней в среднем проходит одинаковое количество носителей одного знака, т.е. ток через S равен нулю. При наложении на среду электрического поля Ё на хаотическое движение зарядов накладывается их упорядоченное движение с некоторой скоростью и, называемой скоростью дрейфа. Следовательно, электрический ток — это упорядоченный перенос электрического заряда . Исходной характеристикой этого переноса является плотность тока j: = q пи, где q — заряд носителя, п — его концентрация, и — скорость дрейфа. Если пе-

33

ренос заряда осуществляется положительными и отрицательными носителями, то

j:=j+ + 7 _ =q+n+U+ +q_n_u_.

Величина, равная потоку вектора плотности

тока j через некоторую площадь S, называется силой тока

1 = 1 jdS s

(rzQdS = ndS).

Энергетическими характеристиками электрических токов являются разность

2_ потенциалов ср2 - ^ = J Edl 1

(работа кулоновских сил по переносу единицы за-

2 ряда из одной точки поля в другую), э д с

= J ECTOpdl

(работа сторонних, неку-

1

2

1-

-

\

-

лоновских сил по переносу единицы заряда) и напряжение U = \(Е + Яотор I dl

1 (полная работа всех сил по переносу единицы заряда). Представим себе произвольную замкнутую поверхность S в проводящей среде, где течет ток плотностью 7- Возьмем в качестве нормали к S внешнюю нормаль п. Тогда $jdS

s имеет смысл заряда, выходящего из объема V, ограниченного S, в единицу времени. В силу закона сохранения заряда

где Q = \pdV — заряд в объеме V. v Таким образом,

Используя теорему Остроградского - Гаусса, получаем

А'

-

9

Р

div / =——. J dt

34

Данное уравнение называется уравнением непрерывности для вектора плотности тока. В условиях стационарности р = const, и тогда из уравнения непрерывности получается условие стационарности тока: divj = 0. Оно означает, что поле вектора j не имеет точечных источников, а его линии замкнуты сами на себя.

§ 2. Закон Ома в локальной форме. Правила Кирхгофа

Из школьного курса физики известен закон Ома в интегральной форме:

справедливый для достаточного широкого класса проводящих сред, пусть даже и в ограниченном интервале параметров существования сред. Возьмем однородный проводник длиной / , проводимостью ст = 1 / р, сечением S, имеющий сопротивление

~ а ~S'

Наложим на него условие квазилинейности, состоящее в том, что поперечными размерами

проводника

можно

пренебречь

по

сравнению

с

продольными

2 г~ (V51 «О. Это условие позволит считать, что интеграл U = \(Е + Естор) dl

не

зависит от выбора точек 1 и 2 на двух сечениях проводника. Тогда закон IR = U можно переписать в виде

35

Так как J | Я

dl ,то dl = ndl, и тогда

Это и есть закон Ома в локальной форме. Его преимущество перед законом Ома в интегральной форме состоит в том, что он приложим для любой точки проводящей среды и связывает характеристику тока j с характеристиками электрического поля Ё и поля сторонних сил Ёстор в данной точке. В области проводника, где Ё стор = О, 7 = &Ё,

т.е. плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля. Уравнения для стационарного тока теперь можно представить в виде системы div 7 = 0

( условие стационарности ),

7 = ег(Я + Естор)

(закон Ома),

div £Ё = р

( теорема Гаусса для электрического поля ),

rot Е = О

( теорема о циркуляции Ё ).

Уравнению E = -grad(p

или

rot Ё = О

соответствует

Е = -V 2, то получим

2

2 -. £Й (PI - Ф2) + IE cropdl = J О'я) — i \ a

или, после введения сопротивления,

(2 )к = О, получим второе правило Кирхгофа: к

Сумма напряжений в любом контуре цепи равна сумме э д с

в этом контуре

(при этом следует помнить об алгебраическом характере UK £}.

§ 3. Простейшая модель омического сопротивления

В самом общем случае электрический ток в среде создается свободными носителями

заряда

обоих

знаков.

Тогда

плотность

тока

7 = 7+ + 7_ = q+n+u+ + q_n_u_. При выполнимости закона Ома j - <JE очевидно, что и± = К±Е, где коэффициенты пропорциональности К± называются подвижностями соответствующих носителей заряда. В условиях стационарности й± = const, что при наличии сил со стороны электрического поля F± = q+E возможно в предположении наличия механизма, аналогичного внутреннему трению Др = —аи. Истоки этого механизма следует искать в процессе столкновения носителей заряда с узлами решетки в кристаллах или с нейтральными молекулами в газах и в электролитах. Из условия стационарности (и+ = const) вытекает, что для каждого из носителей

FTP + qE = О

или

а Ё = qE,

откуда К ± =q+ / « + , т.е. подвижность каждого из носителей обратно пропорциональна коэффициенту силы трения для него. Таким образом, задача описания электропроводности среды сводится к нахождению из микроскопических

38

соображений коэффициентов трения для носителей заряда. В качестве примера рассмотрим электронную модель металлического проводника, предложенную Друде. В этой модели ионы в узлах решетки полагаются неподвижными, т.е. для них а+ = оо, а значит,^ = 0. Электроны, составляющие электронный газ, уподобляемый идеальному газу, ускоряются полем Ё , но при каждом столкновении с ионом решетки полностью теряют свою энергию, а, следовательно, и скорость дрейфа. Если средняя длина пробега электрона < Я >, то среднее время пробега < г>= - , где v0 = — — - средняя скорость теплового движеv0 V лт

ния электрона. (В силу малого значения скорости дрейфа v = v0 + и « v0). Тогда средняя скорость дрейфа на длине пробега

2

2

2т

а плотность электронного тока

2

пе < т > j = еп < и >= - Е = сгЕ. 2 m

Отсюда

2

а-

пе

1

пе

1

пе

2m

Напомним, что в модели Друде полагалось и « v0 или eEl « kET. Поэтому модель не состоятельна в области низких температур и при сильных электрических полях. Однако и при обычных условиях модель дает иную зависимость а (Т) для металлов, чем это следует из опыта (сг ~ 1 / Т).

39

§ 4. Перенос энергии в электрической цепи и ее превращение

Из школьного курса физики можно составить себе представление о том, что в электрической цепи энергия переносится по проводникам потоком электронов и при наличии в цепи только омических сопротивлений она превращаетf\ ся в тепловую в соответствии с законом Джоуля - Ленца Q — / R A t.

Прежде всего перейдем к локальной форме этого закона. Используем уже известные соотношения для стационарного тока в однородном проводнике I = jS = crES

и

R = l/oS. Тогда

O = cr2E2S2 —-M =

Откуда удельная тепловая мощность

Руд

Это и есть выражение закона Джоуля - Ленца в локальной форме: тепловая мощность тока в данной точке пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Для решения

вопроса

о

характере

электрической

энергии

в

цепи

переноса

следует

обра-

титься к выражению вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитного поля 5 = |£1Я|. Из рисунка

видно,

плотность

потока

что

вектор

Пойнтинга,

электромагнитной

направлен внутрь проводника.

Это

т.е.

энергии, означает,

I

что энергию в проводник на любом его участке приносит бегущее вдоль проводника электромагнитное поле. В области действия сторонних сил Ё имеет противоположное направление, а Н направление не меняет. Потому здесь век-

40

тор Пойнтинга направлен не вовнутрь, а наружу. Это означает , что источником электромагнитной энергии является поле сторонних сил. Через боковую поверхность

проводника

Sl - 2тш1

за . At

переносится

энергия

поля

W = S 2тш1 At = ЕН 2тш1 At. Учтем, что для прямолинейного проводника на его поверхности Н = 11 (2тю). Тогда

Q = W = Я— 2ш1 At = EjS0 /А/ = о-Е2 VAt. 2тш или для удельной мощности

О

Руя = £» f 6 b lt г о -

или иначе

R R+r

При выделении Р™* R = r, поэтому ц = 0,5. Обратим также внимание на то, что

одну

/! < /кз / 2

и ту же (Rl > г)

мощность и

можно

Р2

при /2 > /кз

получить

при

двух

токах

(Я2 < г)- Режиму с /j (R{ > г) соответству-

ет больший КПД. Поэтому этот режим (R > г) является наиболее оптимальным режимом эксплуатации источника тока.

42

Приложение 1

Математическое описание физических полей

Под физическим полем понимается возмущенное состояние пространства, окружающего любой источник силового взаимодействия: гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного ядерных. Соответственно говорят о наличии гравитационного или электромагнитного поля, поля слабых или сильных ядерных сил. В более широком смысле в физике часто говорят о поле температур, поле скоростей и других величин, понимая под этим пространственное распределение соответствующей величины в данный момент времени. Различают скалярные поля (например, поле температур) и векторные поля (например, поле скоростей). Если характеристики поля не зависят от времени, его называют статическим полем. Для описания физических полей применяются вводимые ниже математические понятия, имеющие весьма наглядный геометрический смысл.

1°. Циркуляция векторной функции

Циркуляцией

векторной

функции L

F по замкнутому контуру L называется скалярная величина Г, численно равная криволинейному интегралу от касательной составляющей этой функции по данному контуру (рис.П 1.1):

Рис. П1.1.

(П1.1)

43

Важнейшим свойством циркуляции является ее аддитивность: циркуляция произвольной векторной функции по любому контуру равна сумме циркуляции этой функции по всем малым контурам, на которые можно разбить исходный контур, т.е. N

(П1.2)

Действительно, разбив линией АВ исходный контур на два контура L\ и L2, видим, что L

=

\FdL В

L

Так как А

В

\Fdl = -\Fd~l, Рис. П1.2.

в

А

то для случая N=2 свойство доказано. Для произвольного N оно обобщается методом математической индукции.

2°. Поток векторной функции

—. F

Потоком векторной индукции

F

через

по-

верхность S называется скалярная величина численно равная поверхностному интегралу от нормальной составляющей этой функции по данной поверхности (рис. П 1.3):

(П1.3) Рис. П1.3.

Потоку присуще свойство аддитивности только в том случае, если поверхность замкнутая: поток произвольной вектор-

44

ной функции через любую замкнутую поверхность равен сумме потоков этой функции через все малые замкнутые поверхности, на которые можно разбить исходную поверхность, т.е. N

dS = Z n i=l

§FdS.

(П.1.4)

Действительно, разбив поверхностью D

исходную

поверхность

S

на

две

замкнутые поверхности S\ и 52, видим, что

§FdS + $FdS = §FdS 5, S2 S

D

D

Так как dS2 Т i- d$l , то

\FdSl=-\FdS2, D D

Рис. П1.4.

и для N=2 свойство доказано. На произвольное N его можно обобщить, применяя метод математической индукции.

3°. Градиент скалярной функции

Градиентом ^>(jc,>>,z)

скалярной

называется

правление

которого

вектор в

'г- 9 (х,у)

функции grad#>,

данной

на-

точке

(x,y,z) совпадает с направлением наискорейшего роста функции, а модуль равен наклону поверхности, отображающей эту функцию, в указанном направлении (рис. П1.5).

Рис. П1.5.

45

На рис.П 1.5 сказанное в определении проиллюстрировано для случая функции двух переменных ср(х,у}, причем |grad#? = tga. Для функции трех переменных