ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îá...
118 downloads
193 Views
246KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
Ã. Ì. Áåçäóäíûé, Â. À. Çíàìåíñêèé, Í. Â. Êîâàëåíêî, Â. Å. Êîâàëü÷óê, À. È. Ëóöåíêî, Â. Â. Ðûíäèíà
ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÅ
×àñòü 2
Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ è êðèòåðèè ñîãëàñèÿ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2007 ãîä
Äàííîå ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé ÞÔÓ, èçó÷àþùèõ ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó. Öåëü ïîñîáèÿ ïîìî÷ü ñòóäåíòàì â ïðèîáðåòåíèè íàâûêîâ ïî ðåøåíèþ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè íà îñíîâå íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì ýòîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè. Ïðèîáðåòåííûå íàâûêè ïîìîãóò áóäóùåìó ñïåöèàëèñòó ñâîáîäíî âåñòè íåîáõîäèìûå ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû, à òàêæå ñîçíàòåëüíî è ãðàìîòíî èñïîëüçîâàòü è ñîñòàâëÿòü âû÷èñëèòåëüíûå êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû.
Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ôàêóëüòåòà ¾Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà è êîìïüþòåðíûå íàóêè¿ ÞÔÓ. Ïðîòîêîë 3 îò 9 íîÿáðÿ 2007 ã.
Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê çàâ. êàô. ÒÔ è ÔÀ, äîêòîð ô.-ì. íàóê, Êîíäàêîâ Â.Ï.
Ââåäåíèå
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà çàíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèåì è ïðîâåðêîé ïîäõîäÿùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ëèáî ïîëíîñòüþ íåèçâåñòåí, ëèáî ÷àñòè÷íî èçâåñòåí. Òèïè÷íûìè çàäà÷àìè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: îöåíêà íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî÷å÷íàÿ è èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ñîñòîèò èç ðÿäà ðàçäåëîâ, òàêèõ êàê òåîðèÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, òåîðèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîâåðêè ãèïîòåç, äèñïåðñèîííûé àíàëèç, êîððåëÿöèîííûé àíàëèç, ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç, ôàêòîðíûé àíàëèç, ïëàíèðîâàíèå ýêñïåðèìåíòà è äð. Âî âòîðîé ÷àñòè ìåòîäè÷åñêèõ óêàçàíèé ðàññìîòðåíû ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà, Ïèðñîíà, ω 2 .
10 Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèå îöåíêè θ∗ = t(x1 , x2 , ..., xn ) ïàðàìåòðà θ, ìû ïîëó÷àåì ÷èñëî, âåëè÷èíà êîòîðîãî çàâèñèò îò ýëåìåíòîâ x1 , x2 , ..., xn , ïîïàâøèõ â âûáîðêó. Çíà÷åíèå îöåíêè θ∗ äàåò íàì ïðèáëèçèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î âåëè÷èíå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ è, äàæå åñëè θ∗ áóäåò ðàâíî θ, ìû ýòîãî íå óçíàåì, òàê êàê ìû íå çíàåì äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ. Âîçíèêàåò âîïðîñ:"Íåëüçÿ ëè ïîñòðîèòü èíòåðâàë Jγ = (α, β), ïðî êîòîðûé ìîæíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ γ ýòîò èíòåðâàë (α, β) íàêðûâàåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ?" Òðåáîâàíèå ê èíòåðâàëó Jγ = (α, β) ìîæíî êðàòêî çàïèñàòü òàê:
P (α < θ < β) ≥ γ. Èíòåðâàë Jγ íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì, à γ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ. Äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü γ çàäàåòñÿ ýêïåðèìåíòàòîðîì. Åå çíà÷åíèÿ îáû÷íî âûáèðàþòñÿ áëèçêèìè ê åäèíèöå: 0,9; 0,95; 0,99.... Ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà α è β ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòèêàìè è èõ çíà÷åíèÿ çàâèñÿò îò ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â âûáîðêó (x1 , x2 , ..., xn ). Çíà÷èò, äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ïàðàìåòðà θ ïðè çàäàííîì γ íàäî çíàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ ñòàòèñòèê.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îïðåäåëåíèå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè îñíîâûâàåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íà êîòîðîé èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà √ íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè m = M ξ è σ = Dξ . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèê çà÷àñòóþ ïîä÷èíÿþòñÿ òðåì çàêîíàì ðàñïðåäåëåíèÿ: çàêîíó Ïèðñîíà ("õè êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå"), çàêîíó Ñòüþäåíòà ("t ðàñïðåäåëåíèå") è çàêîíó Ôèøåðà Ñíåäåêîðà ("F ðàñïðåäåëåíèå"). Îïðåäåëåíèå ýòèõ çàêîíîâ è âèä èõ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äàþòñÿ â òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè êóðñà. Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçóåìûõ ñòàòèñòèê ïðèìåíÿþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé ýòèõ çàêîíîâ. Ïðèìåðû: n
x¯ − m √ 1X 1) Ñòàòèñòèêà u = · n, ãäå x¯ = xi - ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíàσ n i=1 4
÷åíèé ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0; 1). Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ýòîé ñòàòèñòèêè ïîëüçóþòñÿ òàáëèöàìè çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà
1 P {0 ≤ u < uγ } = √ 2π
Zuγ e−z
2
/2
dz = Φ(uγ ) = γ.
0 n 2 x¯ − m √ 1 X 2 2) Ñòàòèñòèêà tn−1 = n, ãäå S = ( xi − x¯ - íåñìåùåííàÿ S n − 1 i=1 îöåíêà äèñïåðñèè, ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ñòüþäåíòà ñ ïàðàìåòðîì n − 1, r n−2 , ãäå r - îöåíêà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, ïîä÷èà ñòàòèñòèêà tn−2 = r 1 − r2 íÿåòñÿ ýòîìó æå ðàñïðåäåëåíèþ, íî ñ ïàðàìåòðîì n − 2. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûáîðêà âçÿòà èç íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Èìåþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Îäíîñòîðîííèå, òî åñòü âåðîÿòíîñòè P (tn < tγ ) = γ è äâóñòîðîííèå, òî åñòü âåðîÿòíîñòè P (|tn | < tγ ) = γ .  íåêîòîðûõ ïîñîáèÿõ ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû ïðîòèâîïîëîæíûõ âåðîÿòíîñòåé: P (tn > tα ) = α è P (|tn | > tα ) = α. ßñíî, ÷òî åñëè α + γ = 1, òî
P (|tn | < tγ ) = 1 − P (|tn | > tα ). S2 3) Ñòàòèñòèêà 2 (n − 1) = χ2n−1 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïèðñîíà ("õè σ êâàäðàò") ñ ïàðàìåòðîì (n − 1) â ñëó÷àå íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Èìåþòñÿ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P χ2 > χ2α ) = α. ×àùå âñåãî â ïîñîáèÿõ ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ n ≤ 30. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé n√ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N (n, 2n). Òàê êàê ïðè áîëün χ2 − n χ2α − n o 2 2 √ > √ ðàâíîâåðîÿòíû, øèõ çíà÷åíèÿõ n ñîáûòèÿ {χn > χα } è 2n 2n òî çíà÷åíèå χ2α îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ χ2α − n √ = uα , 2n ãäå uα = Φ
−1
1
−α . 2 4 Èç äâóõ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí ñ îäèíàêîâûìè äèñïåðñèÿìè âçÿòû âûáîðêè îáúåìà n1 + 1 è n2 + 1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïî ýòèì âûáîðêàì îáðàçîâàíû íåñìåùåííûå îöåíêè äèñïåðñèé S12 è S22 . ÑòàòèñòèS2 êà 12 = fn1 ,n2 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ôèøåðà Ñíåäåêîðà ñ ïàðàìåòðàìè S2 5
n1 è n2 . Èìåþòñÿ òàáëèöû âåðîÿòíîñòåé P (fn1 ,n2 > fα ) = α. Òàê êàê fα çàâèñèò îò òðåõ âõîäíûõ äàííûõ: îáúåìîâ âûáîðîê n1 + 1 è n2 + 1 è âåðîÿòíîñòè α, òî òàáëèöû F ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ äëÿ êàæäîãî α îòäåëüíî (îáû÷íî äëÿ α = 0, 005 è α = 0, 001). S12 Ïðè ñîñòàâëåíèè ñòàòèñòèêè 2 â êà÷åñòâå ïåðâîé áåðóò òó, ó êîòîðîé îöåíêà S2 S12 äèñïåðñèè îêàçàëàñü áîëüøå. Òî åñòü ñòàòèñòèêà 2 âñåãäà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ S2 áîëüøå 1. 11
Äîâåðèòåëüíûé
èíòåðâàë
äëÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ
íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (θ = M ξ ) íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , åñëè äèñïåðñèÿ Dξ = σ 2 - èçâåñòíà. Çàäà÷à 1
n
1X Îöåíêà x ¯ = xi åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî n i=1 ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí xi (ýëåìåíòîâ âûáîðêè). Ñëåäîâàòåëüíî, σ2 ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå x ¯ ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî ñ M x¯ = M ξ è D¯ x= . n Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà âîçüìåì ñòàòèñòèêó: x¯ − M ξ √ u= n. (1) σ Îïðåäåëèì âåëè÷èíó uγ òàêóþ, ÷òî P (|u| < uγ ) = γ. Òàê êàê M u = 0, Du = 1, òî
P (|u| < uγ ) = 2Φ(uγ ), γ , ãäå 2 Zx 1 2 e−z /2 dz − ôóíêöèÿ Ëàïëàñà. Φ(x) = √ 2π
ñëåäîâàòåëüíî, uγ = Φ−1
0
Ïî òàáëèöàì çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà ïî âûáðàííîìó γ íàéäåì çíà÷åíèå uγ . Òîãäà ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ñ íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
x¯ − M ξ √ n < uγ . σ 6
Ðåøèì ýòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî M ξ :
uγ · σ uγ · σ x¯ − √ < M ξ < x¯ + √ . n n uγ · σ uγ · σ Îáîçíà÷àÿ x ¯ − √ = α è x¯ + √ = β , ïîëó÷àåì n n
(2)
P (α < M ξ < β) = γ. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîñòðîåí. Äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà Jγ ðàâíà
β−α=
2uγ · σ √ . n
Îòñþäà âèäíî: 1) Ïðè óâåëè÷åíèè íàäåæíîñòè èíòåðâàëüíîé îöåíêè, òî åñòü ïðè óâåëè÷åíèè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ , äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà âîçðàñòàåò, à çíà÷èò, óìåíüøàåòñÿ òî÷íîñòü èíòåðâàëüíîé îöåíêè. 2) Ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè n äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà óìåíüøàåòñÿ, òî åñòü óâåëè÷èâàåòñÿ òî÷íîñòü èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ýêñïåðèìåíòàòîð, èñõîäÿ èç âîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ âûáîðêè îáúåìà n, ïîäáèðàåò âåëè÷èíó γ òàêóþ, ÷òîáû ïîëó÷åííûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) èìåë ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü. Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ïðèçíàêà ïîëó÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 200, ïðèâåäåííàÿ â òàáëèöå. Ïðèìåð 1.11
Òàáëèöà 1. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 1.11 Ïðîìåæóòîê [1;5) [5;9) [9;13) [13;17) [17;21) [21;25) [25;29) [29;33) [33;37) [37;41]
[ai , ai+1 ) ×èñëî
íà-
2
6
14
29
50
44
33
17
4
1
áëþäåíèé â ïðîìåæóòêå
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ , åñëè èçâåñòíà äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Dξ = σ 2 = 43, à äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü γ = 0, 99. Ñðåäíåå σ = 43 ≈ 6, 56, à x¯ = 20, 98. Ðåøåíèå.
√
êâàäðàòè÷åñêîå ñòàòèñòè÷åñêàÿ
îòêëîíåíèå èññëåäóåìîãî ïðèçíàêà îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
7
Èç òàáëèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà äëÿ γ = 0, 99 íàõîäèì
uγ = Φ
−1
γ 2
= 2, 575.
Òîãäà, ñîãëàñíî (2), ïîëó÷àåì
2, 575 · 6, 56 √ ≈ 19, 78, 200 2, 575 · 6, 56 √ ≈ 22, 174. β = 20, 98 + 200 Çíà÷èò, çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ = M ξ , ñîãëàñóþùèåñÿ ñ äàííûìè âûáîðêè, óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó α = 20, 98 −
19, 78 < M ξ < 22, 17, Jγ = (19, 78; 22, 17). Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà. Òàê êàê äèñïåðñèÿ ξ íåèçâåñòíà, òî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (1) íåëüçÿ.  (1) çàìåíÿåì Dξ = σ 2 íåñìåùåííîé îöåíêîé Çàäà÷à 2
n
2 1 X S = xi − x¯ , n − 1 i=1 2
íàéäåííîé ïî äàííîé âûáîðêå, òîãäà ñòàòèñòèêà
x¯ − M ξ √ n = tn−1 S ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Äàëåå ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ àíàëîãè÷íà îïèñàííîé â çàäà÷å 1. Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ïî âûáðàííîìó γ îïðåäåëÿåì âåëè÷èíó tγ òàêóþ, ÷òî P (|tn−1 | < tγ ) = γ. Òîãäà ñ íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
x¯ − M ξ √ n < tγ . S Ðåøèì ýòî íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî M ξ tγ · S tγ · S x¯ − √ < M ξ < x¯ + √ . n n 8
(3)
tγ · S tγ · S = α è x¯ + √ = β, ïîëó÷èì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë n n Jγ = (α, β) äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â äàííîì ñëó÷àå. Îáîçíà÷àÿ x ¯− √
Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ïðèçíàêà ïîëó÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 60 Ïðèìåð 2.11
Òàáëèöà 2. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 2.11
[ai , ai+1 ) mi
[0;5) [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) [30;35) [35;40] 2 3 9 16 18 8 3 1
Îöåíèòü ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 95 íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðè ïîìîùè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Ñíà÷àëà ïî äàííîé âûáîðêå âû÷èñëÿåì ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ: Ðåøåíèå.
x¯ ≈ 19, 65; S 2 ≈ 51, 16; S ≈ 7, 15. Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ âûáðàííîãî γ n − 1 = 60 − 1 = 59 íàõîäèì tγ = 2, 0. Äàëåå âû÷èñëÿåì ãðàíèöû èíòåðâàëà (3).
= 0, 95 è
2, 0 · 7, 15 2, 0 · 7, 15 √ ≈ 17, 80; β = 19, 65 + √ ≈ 21, 50. 60 60 Ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 95 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íàêðûâàåòñÿ èíòåðâàëîì α = 19, 65 −
Jγ = (17, 80; 21, 50).  ïðèìåðàõ 1.10 è 2.10 ïðè îïðåäåëåíèèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñóùåñòâåííûì áûëî ïðåäïîëîæåíèå î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè èññëåäóåìîãî ïðèçíàêà. Åñëè èññëåäóåìûé ïðèçíàê íå ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, òî ïðè íåäîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè èñïîëüçîâàíèå ñòàòèñòèê
u= äàì. 12
x¯ − M ξ √ x¯ − M ξ √ n è tn−1 = n ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì âûâîσ S Îöåíèâàíèå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ
íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ
Ñòàòèñòèêà x ¯ ÿâëÿåòñÿ òî÷å÷íîé îöåíêîé äëÿ M ξ , à àáñîëþòíîé ïîãðåø íîñòüþ ÿâëÿåòñÿ x ¯ − M ξ . Íàäî íàéòè ìèíèìàëüíîå n, ïðè êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøå, ÷åì γ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâîñõîäèò çàäàííîãî 9
÷èñëà ε > 0, òî åñòü
P x¯ − M ξ < ε ≥ γ.
Íî
x¯ − M ξ √ ε√ ε√ P x¯ − M ξ < ε = P n = 2Φ n ≥ γ. n< σ σ σ −1 γ Áåðÿ uγ = Φ , ïîëó÷èì 2 ε√ n ≥ 2Φ(uγ ) 2Φ σ ε√ èëè n ≥ uγ . σ √ σuγ , Îòêóäà n ≥ ε σ 2 u2γ n≥ 2 . (1) ε Âñå ýòè ðàññóæäåíèÿ âåðíû, åñëè âûáîðêà áåðåòñÿ èç íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé. Åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íåèçâåñòåí èëè íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, òî ïî x¯ − M ξ √ n íîðìàëüíî ðàñòåîðìå Ëåâè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåëè÷èíà σ ïðåäåëåíà ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1. Ðàññóæäàÿ êàê è âûøå, ïîëó÷àåì, ÷òî (2) 11 ÿâëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ M ξ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñ íàäåæíîñòüþ ïðèáëèæåííî ðàâíîé γ . Íàéòè ìèíèìàëüíûé îáúåì âûáîðêè n, ïðè êîòîðîì ñ íàäåæíîñòüþ 0, 95 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî òî÷íîñòü îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ ïî âûáîðî÷íîìó ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó x¯ ðàâíà ε = 0, 2, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ = 2, 0. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûáîðêà âçÿòà èç íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû.
Ïðèìåð 1.12
Ðåøåíèå.
Ïîëàãàÿ γ = 0, 95, èç 2Φ(uγ ) = 0, 95, ïîëó÷èì
uγ = 1, 96; ε = 0, 2; σ = 2, 0. Ïî ôîðìóëå (1)
22 · 1, 962 = 384, 15. n≥ 0, 2)2 Çíà÷èò, îáúåì âûáîðêè äîëæåí áûòü íå ìåíåå 385.
10
13 Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Åñëè èçâåñòíî, èëè åñòü îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè
1 e−x/µ , x ≥ 0 p(x) = µ 0, x < 0,
òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ M ξ = µ èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà
2n¯ x , Mξ ïîä÷èíÿþùàÿñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïèðñîíà ñ 2n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà, íàäî íàéòè âåëè÷èíû χ21 è χ22 , ÷òîáû ñ íàäåæíîñòüþ γ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî P χ21 ≤ χ22n ≤ χ22 = γ. (1) χ22n =
Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî
P
2n¯ x χ22
2n¯ x ≤ M ξ ≤ 2 = γ. χ1
(2)
Òî åñòü ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò
α=
2n¯ x 2n¯ x è β = . χ22 χ21
Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà íåñèììåòðè÷íî, òî óðàâíåíèå (1) îòíîñèòåëüíî χ21 è χ22 îäíîçíà÷íî íå ðåøàåòñÿ. Ïîýòîìó äåëàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå:
1−γ P 0 ≤ χ22n ≤ χ21 = P χ22 ≤ χ22n < ∞ = . 2 Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà âåëè÷èíó χ21 íàõîäèì èç óñëîâèÿ 1+γ , P χ22n ≥ χ21 = 2
à âåëè÷èíó χ22 èç óñëîâèÿ
1−γ P χ22n ≥ χ22 = . 2
11
Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èìåþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 15. Îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Ïðèìåð 1.13
15
1 X x¯ = xi = 4, 25. 15 i=1 Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðàâàë Jγ = (α; β) äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0, 99. Ðåøåíèå.
Òàê êàê
1+γ 1−γ = 0, 995 è = 0, 005, 2 2 òî ïðè 2n = 30 ñòåïåíÿõ ñâîáîäû èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà ("õè êâàäðàò") íàõîäèì χ21 = 13, 79 è χ22 = 53, 67. Ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò ðàâíû:
30 · 4, 25 30 · 4, 25 = 2, 376; β = = 9, 246. 53, 67 13, 79 Çíà÷èò, ñ íàäåæíîñòüþ 0, 99 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (2, 38; 9, 25). α=
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè (n > 15) ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ M ξ ïðèáëèæåííî ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
α= √ ãäå uγ = Φ−1
γ
4n¯ x 4n − 1 + uγ
2 è β = √
4n¯ x 4n − 1 − uγ
2 ,
(3)
. 2 Ïðèìåð 2.13 Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èìåþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà n = 30. Îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ 30 1 X x¯ = xi = 4, 25. 30 i=1 Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0, 99. Òàê êàê n = 30, òî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (3), íàéäÿ ïî òàáëèöàì ôóíêöèè Ëàïëàñà Ðåøåíèå.
uγ = Φ−1
0, 99 = 2, 575, 2 12
ïîëó÷èì
α= √
4 · 30 · 4, 25
4 · 30 · 4, 25 2 ≈ 2, 805; β = √ 2 ≈ 7, 343. 4 · 30 − 1 + 2, 575 4 · 30 − 1 − 2, 575
Çíà÷èò, ñ óâåðåííîñòüþ γ = 0, 99 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (2, 805; 7, 343). 14
Äîâåðèòåëüíûå
èíòåðâàëû
äëÿ
äèñïåðñèè
è
ñðåäíåãî
êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ
Ïðè îïðåäåëåíèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ äèñïåðñèè è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
(n − 1)S 2 , êîòîðàÿ ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó ðàñïðåíû ξ èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà σ2 äåëåíèÿ χ2 ("õè êâàäðàò") ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïî çàäàííîé ñòåïåíè óâåðåííîñòè γ îïðåäåëÿåì âåëè÷èíû α è β òàêèå, ÷òî P (α < σ < β) = γ. (n − 1)S 2 Òàê êàê = χ2n−1 , òî 2 σ (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 2 ≤σ ≤ = γ, P χ22 χ21 ãäå χ21 è χ22 îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ
P χ21 ≤ χ2n−1 ≤ χ22 = γ.
Ââèäó íåñèììåòðè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 âåëè÷èíû χ21 è χ22 îïðåäåëÿþò ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 èç óñëîâèÿ:
1−γ 1−γ P χ22 ≤ χ2n−1 = è P (0 ≤ χ2n−1 ≤ χ21 = , 2 2 1+γ òî åñòü P χ2n−1 ≥ χ21 = . 2 Çíà÷èò, (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 α= è β = . (1) χ22 χ21  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðè îïðåäåëåíèè ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ äèñïåðñèè îãðàíè÷èâàþòñÿ óñëîâèåì: P 0 < σ 2 < β = γ, 13
òî åñòü ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóåò òîëüêî âåðõíÿÿ ãðàíèöà β . Òîãäà ýòà ãðàíèöà èíòåðâàëà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
P χ21 ≤ χ2n−1 < ∞ = γ, òî åñòü P χ2n−1 ≥ χ21 = γ.  ýòîì ñëó÷àå äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä:
(n − 1)S 2 0 30. Ïðè ïðîâåäåíèè 35 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü m = 14 ðàç. Òî åñòü, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ðàâíà m p∗ = = 0, 4. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ âåðîÿòíîñòè p Ïðèìåð 1.15
n
ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A, ñîîòâåòñòâóþùèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95. Ðåøåíèå.
Ïî òàáëèöàì çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà îïðåäåëÿåì âåëè÷èíó
uγ = Φ
−1
γ 2
= 1, 96.
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ n = 35; p∗ = 0, 4 è uγ = 1, 96 â ôîðìóëû (1) íàõîäèì
α = 0, 256; β = 0, 564, Jγ = (0, 256; 0, 564). u2γ u2γ 2 Åñëè n âåëèêî (ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòåí), òî âåëè÷èíû , ïðåíåáðån n æèìî ìàëû, ïîýòîìó èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîëîæèâ èõ ðàâíûìè íóëþ. Òîãäà ôîðìóëû (1) ïðèìóò âèä: r p∗ (1 − p∗ ) ∗ α = p − uγ , n r (2) ∗ ∗ p (1 − p ) β = p ∗ + uγ . n Ïðè ïðîâåäåíèè n = 350 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü m = 140 ðàç. Òî åñòü, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ, m êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ðàâíà p∗ = = 0, 4. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé Ïðèìåð 2.15
n
èíòåðâàë Jγ = (α, β) äëÿ âåðîÿòíîñòè p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95. Ðåøåíèå.
Êàê è â ïðèìåðå 1.15
uγ = Φ
−1
γ 2
= 1, 96.
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ n = 350; p∗ = 0, 4 è uγ = 1, 96 â ôîðìóëû (2) íàõîäèì
α = 0, 349; β = 0, 451, Jγ = (0, 349; 0, 451). Ñðàâíèì ðåçóëüòàòû ðåøåíèé ïðèìåðîâ ïî ôîðìóëàì (1) è (2). 17
 ïðèìåðå 1.15 äëèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ðàâíà β − α = 0, 308, à â ïðèìåðå 2 β −α = 0, 102. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî p∗ = 0, 4 â îáîèõ ïðèìåðàõ åñòü ñåðåäèíà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, òî ñ óâåðåííîñòüþ 0, 95 ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî â ïðèìåðå 1.15 íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ îòëè÷àåòñÿ îò 0, 4 íå áîëåå ÷åì íà 0, 15, à â ïðèìåðå 2.15 íå áîëåå ÷åì íà 0, 05. Èç ðåøåíèé ýòèõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî åñëè ýêñïåðèìåíòàòîð èìååò âîçìîæíîñòü íàçíà÷àòü ÷èñëî ïðîâîäèìûõ èñïûòàíèé n ïðè îïðåäåëåíèè îöåíêè p∗ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè p, òî îí ìîæåò ïî âûáðàííîé ñòåïåíè óâåðåííîñòè γ è äëèíå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà β − α = 2ε îïðåäåëèòü íåîáõîäèìîå ÷èñëî èñïûòàíèé n äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà
p∗ − ε < p < p∗ + ε èëè |p∗ − p| < ε. Èç èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Ìóàâðà Ëàïëàñà ïðè áîëüøèõ n
rn P (|p − p| < ε) ≈ 2Φ ε ≥ γ = 2Φ(uγ ), pq ∗
îòñþäà
r
n ≥ uγ . pq Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî n ïîëó÷èì ε
n≥
p(1 − p) 2 · uγ , ε2
òàê êàê
1 p(1 − p) ≤ , 4 òî íàøå íåðàâåíñòâî çàâåäîìî áóäåò âûïîëíåíî, åñëè u2γ n ≥ 2. 4ε
(3)
Âû÷èñëèâ ãðàíèöû äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ n = 35 ïî ôîðìóëàì (2) è äëÿ n = 350 ïî ôîðìóëàì (1), ïîëó÷èì, ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû ïðèìåðîâ 1.15 è 2.15, äëÿ îäíîé è òîé æå äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 95 ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû. Ôîðìóëû (10) (11)
(α, β) β−α (α, β) β−α
n = 35 n = 350 (0, 256; 0, 564) (0, 350; 0, 452) 0, 308 0, 102 (0, 238; 0, 562) (0, 349; 0, 451) 0, 324 0, 102 18
Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ âèäíî, ÷òî ïðè ìàëîì îáúåìå âûáîðêè n ïðåäïî÷òèòåëüíåé ïðèìåíåíèå ôîðìóë (1), à ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè ïðèìåíåíèå ôîðìóë (2) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ãðàíèöû èíòåðâàëà ïðè ìåíüøåì îáúåìå âû÷èñëåíèé. 16
Ïîñòðîåíèå
äîâåðèòåëüíîãî
èíòåðâàëà
äëÿ
êîýôôèöèåíòà
ëèíåéíîé êîððåëÿöèè
cov(ξ, η) √ ìåæäó êîìïîíåíòàìè Dξ − Dη äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ñèëå ñòàòèñòè÷åñêîé ñâÿçè ìåæäó íèìè. Åñëè íà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ξ, η) ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, òî ðåãðåññèÿ âñåãäà ëèíåéíàÿ. Äëÿ êîýôôèöèåíòà ëèíåéíîé êîððåëÿöèè ρ èñïîëüçóåòñÿ îöåíêà: a11 − x¯ · y¯ , (1) r= S1 · S2 ãäå n n n X 1X 1X 2 2 2 a11 = x i y i ; S1 = (xi − x¯) ; S2 = (yi − y¯)2 . n i=1 n i=1 i=1 Êîýôôèöèåíò ëèíåéíîé êîððåëÿöèè ρ = √
Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ èñïîëüçóþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
1 1+r ln , (2) 2 1−r êîòîðàÿ äàæå ïðè íåáîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè n ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ áëèçêîìó ê íîðìàëüíîìó, z=
Mz ≈
1 1+ρ 1 ln è Dz = . 2 1−ρ n−3
Òàê êàê
z − M z P √ < uγ ≈ 2Φ(uγ ) = γ, Dz òî äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû z ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ M z áóäóò √ √ zα = z − uγ Dz è zβ = z + uγ Dz. Òàê êàê èç (2) ñëåäóåò, ÷òî
ez − e−z r = th z = z , e + e−z 19
òî ãðàíèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ áóäóò
α = th zα è β = th zβ . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí z =
(3)
1 1+r ln è r = th z èìåþòñÿ òàáëèöû. 2 1−r
 ñëó÷àå áîëüøèõ n (n > 50) è ìàëûõ çíà÷åíèé r (r < 0, 5) ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ρ ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
α = r − uγ σr è β = r + uγ σr , 1 − r2 ãäå uγ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2Φ(uγ ) = γ , à σr = √ . n 17
Êðèòåðèè
ïðîâåðêè
ãèïîòåçû
î
âèäå
çàêîíà
ðàñïðåäåëåíèÿ
èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ïðè ïåðâè÷íîé îáðàáîòêå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ñòðîèòñÿ âàðèàöèîííûé ðÿä ÷àñòîò è åãî ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ãèñòîãðàììà. Ïî âèäó ãèñòîãðàììû âûäâèãàåòñÿ ãèïîòåçà î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ãèïîòåçà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: H0 : ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ïðèìåíÿþòñÿ êðèòåðèè, ó÷èòûâàþùèå îòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) îò ïðåäïîëàãàåìîé òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). 17à Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà
 êà÷åñòâå ìåðû îòêëîíåíèÿ F ∗ (x) îò F (x) áåðåòñÿ âåëè÷èíà
D[F ∗ ; F ] =
sup
|F ∗ (x) − F (x)|.
−∞<x 0 K(x) = k=−∞ 0, x < 0.
Èñïîëüçóþòñÿ èëè òàáëèöû âåðîÿòíîñòåé α = 1 − K(λα ) èëè òàáëèöû êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé λα = K −1 (1 − α) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà. Çàäàâàÿ óðîâåíü çíà÷èìîñòè α > 0, ïî òàáëèöàì íàõîäèì λα . Åñëè √ nD[F ∗ ; F ] > λα ãèïîòåçó îòâåðãàåì, êàê íå ñîãëàñóþùóþñÿ ñ äàííûìè ýêñïåðèìåíòà ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α. √ Åñëè nD[F ∗ ; F ] < λα ãèïîòåçó ïðèíèìàåì, êàê íå ïðîòèâîðå÷àùóþ äàííûì ýêñïåðèìåíòà ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α. Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà ïðèìåíÿåòñÿ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè. Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èçâëå÷åíà áåñïîâòîðíàÿ âûáîðêà îáúåìà n = 100, ïðèâåäåííàÿ â òàáëèöå. Ïðèìåð 1.17à
Òàáëèöà 3. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 1.17à
N èíòåðâàëû (xi , xi+1 ) mi 1 [0; 4) 1 2 [4; 8) 1 3 [8; 12) 4 4 [12; 16) 9 5 [16; 20) 16 6 [20; 24) 18
N èíòåðâàëû (xi , xi+1 ) 7 [24; 28) [28; 32) 9 [32; 36) 10 [36; 40) 11 [40; 44) 12 [44; 48]
mi 20 14 10 4 2 1
Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì m = 24, 0 è ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 8, 0 ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 05. ßñíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ ñêà÷êîâ ôóíêöèè F ∗ (x). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êàìè ñêà÷êîâ F ∗ (x) ÿâëÿþòñÿ x ˜j ñåðåäèíû èíòåðâàëîâ èíòåðâàëüíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà (j = 1, 2, ..., 12). Òîãäà Ðåøåíèå.
1 hX 1 i F (xj ) = mi + mj . n i=1 2 j−1
∗
21
Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè 24 è 8 (ξ ∼ N (24; 8)), òî
x − m 1 j , F (xj ) = + Φ 2 σ
1 ãäå Φ(x) = √ 2π
Zx 2
e−x
/2
dz ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.
0
Âñå äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ è ðåçóëüòàòû ñâåäåì â òàáëèöó: Òàáëèöà 4. Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà ê âûáîðêå èç òàáëèöû 3
x˜j − m σ 2 0, 005 −2, 75 6 0, 015 −2, 25 10 0, 40 −1, 75 14 0, 105 −1, 25 18 0, 230 −0, 75 22 0, 400 −0, 25 26 0, 590 0, 25 30 0, 760 0, 75 34 0, 880 1, 25 38 0, 950 1, 75 42 0, 980 2, 25 46 0, 995 2, 75 òàáëèöû ñëåäóåò, ÷òî
N x˜j F ∗ (˜ xj ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Èç ïîñëåäíåé
F (˜ xj )
|F ∗ (˜ xj ) − F (˜ xj )|
0, 0030 0, 0122 0, 0401 0, 1056 0, 2266 0, 4013 0, 5987 0, 7734 0, 8944 0, 9599 0, 9878 0, 9970
0, 0020 0, 0028 0, 0001 0, 0006 0, 0034 0, 0013 0, 0087 0, 0134 0, 0144 0, 0099 0, 0078 0, 0020
sup |F ∗ (x) − F (x)| = 0, 0144. Çíà÷èò,
√ λ = n sup |F ∗ (x) − F (x)| = 0, 144. Ïî òàáëèöàì êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé λ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà ïðè α = 0, 05 íàõîäèì λα = 1, 358. Òàê êàê ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå λ = 0, 144 ìåíüøå êðèòè÷åñêîãî λα = 1, 358, òî ãèïîòåçó î òîì, ÷òî èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïîä÷èíÿåòñÿ m = 24 è σ = 8 ïðèíèìàåì. 17á Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà
Ðàçîáüåì îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íà ïðîìåæóòêè [aj , aj+1 ), j = 1, 2, ...k . 22
mj åñòü âåðîÿòn íîñòü òîãî, ÷òî ýìïèðè÷åñêàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∗ ïðèìåò çíà÷åíèå â ýòîì ïðîìåæóòêå: mj P ξ ∗ ∈ [aj , aj+1 ) = . n Åñëè èññëåäóåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ïðèìåò çíà÷åíèå â ýòîì èíòåðâàëå ðàâíà ïðèðàùåíèþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ýòîì èíòåðâàëå: Z P (ξ ∈ [aj , aj+1 )) = dF (x) = F (aj+1 ) − F (aj ) = pj . Äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòêà [aj , aj+1 ) îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà
[aj ,aj+1 )
Ïðåäïîëàãàåìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò èìåòü l - ìåðíûé ÷èñëîâîé ïàðàìåòð (θ1 , θ2 , ..., θl ). Åñëè F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîíà Ïóàññîíà, òî ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ λ è l = 1. Åñëè F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà, òî ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ m è σ (èëè σ 2 ) è l = 2. Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé pj = F (aj+1 ) − F (aj ) íåèçâåñòíûå ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû çàìåíÿþòñÿ èõ òî÷å÷íûìè îöåíêàìè (θ1∗ , θ2∗ , ..., θl∗ ). Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà ôàêòè÷åñêè îöåíèâàåò ñóììàðíóþ âåëè÷èíó îòmj êëîíåíèé îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò îò âåðîÿòíîñòåé pj (j = 1, 2, ..., k). Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàòèñòèêà
z=
n
k X (mj − npj )2
npj
j=1
.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåéìàíà Ïèðñîíà, åñëè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé pj èñïîëüçîâàëèñü îöåíêè θ∗ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ θ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, òî ñòàòèñòèêà z ïðè n → ∞ èìååò χ2 ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì k −l−1, òî åñòü äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìîâ âûáîðêè ìîæíî ñ÷èòàòü k X (mj − npj )2 j=1
npj
= χ2k−l−1 .
Çàìå÷àíèå.
1) Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé p1 è pk íàäî áðàòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè
23
ðàñïðåäåëåíèÿ íà èíòåðâàëàõ (−∞, a2 ) è [ak−1 , +∞), òî åñòü
Z∞
Za2 dF (x) = F (a2 ) − 0; pk =
p1 = −∞
dF (x) = 1 − F (ak ). ak
2) Äëÿ óëó÷øåíèÿ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ z ê ïðåäåëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ðåêîìåíäóåòñÿ ðàçáèâàòü íà èíòåðâàëû òàê, ÷òîáû n · pj ≥ 10, 1 ≤ j ≤ k , åñëè äëÿ êàêîãî - òî èíòåðâàëà ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ýòîò èíòåðâàë îáúåäèíÿþò ñ ñîñåäíèì èíòåðâàëîì, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè pj ñêëàäûâàþòñÿ. Äëÿ âûáîðêè, ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïðèìåíÿÿ êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ïðèìåð 1.17á
Ðåøåíèå.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà
1 F (x) = √ σ 2π
Zx
(z − m)2 2σ 2 dz e −
−∞
èìååò äâà ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðà: M ξ = m è Dξ = σ 2 . Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé pj íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ çàìåíèì èõ íåñìåùåííûìè òî÷å÷íûìè îöåíêàìè. 12
2420 1X mj x˜j = = 24, 2, x¯ = n j=1 100 12
1 X n 2 65200 100 S = mj x˜2j − x¯ = − · 24, 22 = 67, 03, n − 1 j=1 n−1 99 99 √ S = S 2 = 8, 19. 2
Âû÷èñëèì òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè pj ïî ôîðìóëå:
a
a − x¯ − x¯ j pj = P (aj < ξ < aj+1 ) = Φ −Φ . S S Ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 1, èíòåðâàë [0; 4) çàìåíèì èíòåðâàëîì (−∞, 4), à ïîñëåäíèé èíòåðâàë [44; 48] èíòåðâàëîì [44, +∞). 4 − 24, 2 p1 = P (ξ < 4) = Φ − Φ(−∞) = 8, 19 24
j+1
= 0, 5 − Φ(2, 47) = 0, 5 − 0, 4932 = 0, 0068 ; 8 − 24, 2 4 − 24, 2 p2 = P (4 < ξ < 8) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(2, 47) − Φ(1, 98) = 0, 4932 − 0, 4762 = 0, 0170 ; 12 − 24, 2 8 − 24, 2 p3 = P (8 < ξ < 12) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(1, 98) − Φ(1, 49) = 0, 4762 − 0, 4319 = 0, 0443 ; 12 − 24, 2 16 − 24, 2 −Φ = p4 = P (12 < ξ < 16) = Φ 8, 19 8, 19 = Φ(1, 49) − Φ(1) = 0, 4319 − 0, 3413 = 0, 0906 ; 20 − 24, 2 16 − 24, 2 p5 = P (16 < ξ < 20) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(1) − Φ(0, 51) = 0, 3413 − 0, 1950 = 0, 1463 ; 24 − 24, 2 20 − 24, 2 p6 = P (20 < ξ < 24) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(0, 51) − Φ(0, 02) = 0, 1950 − 0, 0080 = 0, 1870 ; 24 − 24, 2 28 − 24, 2 −Φ = p7 = P (24 < ξ < 28) = Φ 8, 19 8, 19 = Φ(0, 46) − Φ(0, 02) = 0, 1772 + 0, 0080 = 0, 1852 ; 32 − 24, 2 28 − 24, 2 p8 = P (28 < ξ < 32) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(0, 95) − Φ(0, 46) = 0, 3289 − 0, 1772 = 0, 1517 ; 36 − 24, 2 32 − 24, 2 p9 = P (32 < ξ < 36) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(1, 44) − Φ(0, 95) = 0, 4251 − 0, 3289 = 0, 0962 ; 40 − 24, 2 36 − 24, 2 p10 = P (36 < ξ < 40) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(1, 93) − Φ(1, 44) = 0, 4732 − 0, 4251 = 0, 0481 ; 44 − 24, 2 40 − 24, 2 p11 = P (40 < ξ < 44) = Φ −Φ = 8, 19 8, 19 = Φ(2, 42) − Φ(1, 93) = 0, 4922 − 0, 4732 = 0, 0190 ;
25
p12 = P (44 < ξ < ∞) = Φ(∞) − Φ
44 − 24, 2 8, 19
=
= 0, 5 − 0, 4922 = 0, 0078 . Äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè âû÷èñëåíèé
12 X
pj äîëæíà áûòü ðàâíà 1.
j=1
0, 0068 + 0, 0170 + 0, 0443 + 0, 0906 + 0, 1463 + 0, 187 + 0, 1852+ +0, 1517 + 0, 0962 + 0, 0481 + 0, 0190 + 0, 0078 = 1. Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ ñâåäåì â òàáëèöó. Òàáëèöà 5. Êðèòåðèé Ïèðñîíà ê âûáîðêå èç òàáëèöû 3 j
[xj , xj+1 ) mj pj
npj
Èíòåðâ.
m∗j p∗j
np∗j
|m∗j − np∗j |
(m∗j − np∗j )2 np∗j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(−∞, 4) [4, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24) [24, 28) [28, 32) [32, 36) [36, 40) [40, 44) [44, +∞)
0, 68 1, 7 4, 43 9, 06 14, 63 18, 7 18, 52 15, 17 9, 62 4, 81 1, 9 0, 78
[−∞, 16) [16, 20) [20, 24) [24, 28) [28, 32) [32, +∞)
15 16 18 20 14 17
15, 87 14, 63 18, 70 18, 52 15, 17 17, 11
0, 87 1, 37 0, 7 1, 48 0, 17 0, 11
0, 0477 0, 1283 0, 0262 0, 1183 0, 0902 0, 0007
1 1 4 9 16 18 20 14 10 4 2 1
0, 0068 0, 0170 0, 0443 0, 0906 0, 1463 0, 1870 0, 1852 0, 1517 0, 0962 0, 481 0, 0190 0, 0078
0, 1587 0, 1463 0, 1870 0, 1852 0, 1517 0, 1711
Ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 2, îáúåäèíèì ïåðâûå ÷åòûðå èíòåðâàëà, äëÿ êîòîðûõ npi < 10 (1 ≤ i ≤ 4), ïîëó÷èì
np∗1 = 0, 68 + 1, 7 + 4, 43 + 9, 06 = 15, 87 > 10. Äëÿ ïîñëåäíèõ ÷åòûðåõ èíòåðâàëîâ òàêæå npi < 10 (9 ≤ i ≤ 12). Èõ òàêæå îáúåäèíÿåì è íàõîäèì
np∗6 = 9, 62 + 4, 81 + 1, 9 + 0, 78 = 17, 11 > 10. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè øåñòü èíòåðâàëîâ. Äëÿ îáúåäèíåííûõ èíòåðâàëîâ ñîîòâåòñòâóþùèå pj è mj ñêëàäûâàþòñÿ. Ñóììèðóÿ ïîñëåäíèé ñòîëáåö òàáëèöû, ïîëó÷èì z = χ2íàáë. = 0, 4114. Äëÿ äàííîãî ïðèìåðà ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû åñòü k − l − 1 = 6 − 2 − 1 = 3, ãäå k = 6 îêîí÷àòåëüíîå ÷èñëî ðàçáèåíèÿ èíòåðâàëîâ, l = 2 ÷èñëî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ (M ξ è Dξ ). 26
2 Ïî òàáëèöàì ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàõîäèì χ2α , äëÿ 2 χ - 2ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî P χα ≤ χ3 = 0, 05, χ2α = 7, 815. Íàáëþäåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè z = 0, 4114 < χ2α . Çíà÷èò, ãèïîòåçó î íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèíèìàåì ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 05, êàê íå ïðîòèâîðå÷àùóþ äàííûì ýêñïåðèìåíòà.
Ïðîâåäåíî n = 1502 íàáëþäåíèé òåëåôîííûõ ñîåäèíåíèé àáîíåíòîâ â íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè â ÷àñû "ïèê".  òå÷åíèå êîíòðîëèðóåìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè mj ðàç çàôèêñèðîâàíî ïî xj îòêàçîâ ñîåäèíåíèé èç-çà ïåðåãðóæåííîñòè ëèíèé ñâÿçè. Äàííûå íàáëþäåíèé ïðèâåäåíû â òàáëèöå
Ïðèìåð 2.17á
Òàáëèöà 6. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 2.17á
xj 0 1 2 3 4 5 6 mj 322 511 370 200 75 20 4 Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà, ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 025 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ÷èñëî îòêàçîâ ñîåäèíåíèé, ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà.
λk e−λ ,k = 0, 1, 2, ...) èìååò åäèíñòâåííûé Ðåøåíèå. Çàêîí Ïóàññîíà (P (ξ = k) = k! ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ λ = M ξ . Åãî ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé ÿâëÿåòñÿ k
1X x¯ = mj xj . n j=1  äàííîì ïðèìåðå ýòà îöåíêà ðàâíà x ¯ = 1, 515. Ïî âûøåóêàçàííîé ôîðìóëå âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòè pj è npj , 0 ≤ j ≤ 6.
p0 = P {ξ = 0} =
λ0 e−λ e−1,515 = = 0, 2198 0! 1
np0 = 330, 1396
1, 515 · 0, 2198 λ1 e−λ p1 = P {ξ = 1} = = = 0, 3330 1! 1
np1 = 500, 1660
λ2 e−λ = 0, 2522 p2 = P {ξ = 2} = 2!
np2 = 378, 8044
λ3 e−λ = 0, 1274 3!
np3 = 191, 3548
p3 = P {ξ = 3} =
λ4 e−λ p4 = P {ξ = 4} = = 0, 0482 4!
np4 = 72, 3964
27
λ5 e−λ p5 = P {ξ = 5} = = 0, 0146 5!
np5 = 21, 9292 5 X
p6 = P {ξ ≥ 6} = 1 − P {ξ ≤ 5} = 1 −
pj = 0, 0048 np6 = 7, 2096 j=0
Òàê êàê np6 = 7, 2096 < 10, òî ïîñëåäíåé áóäåì ñ÷èòàòü îáúåäèíåííóþ ãðóïïó òî÷åê {ξ ≥ 5}, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðóþ
p∗5 = P {ξ ≥ 5} = p5 + p6 = 0, 0146 + 0, 0048 = 0, 0194; np∗5 = 29, 1388 > 10. Ïðè ýòîì
p∗j = pj , 0 ≤ j ≤ 4, m∗j = mj , 0 ≤ j ≤ 4, m∗5 = m5 + m6 = 20 + 4 = 24. Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ çàíåñåì â òàáëèöó. Òàáëèöà 7. Êðèòåðèé Ïèðñîíà ê âûáîðêå èç òàáëèöû 6
xj
m∗j
0 322 1 511 2 370 3 200 4 75 5 24 Σ 1502
p∗j
np∗j
0, 2198 0, 3330 0, 2522 0, 1274 0, 0482 0, 0194 1, 0
330, 1396 500, 1660 378, 8044 191, 3548 72, 3964 29, 1388
χ
2 íàáë.
=
|m∗j
8, 1396 10, 8340 8, 8044 8, 6452 2, 6036 5, 1388
6 X m∗j − np∗j j=1
np∗j
−
np∗j |
(m∗j − np∗j )2 np∗j 0, 2007 0, 2347 0, 2046 0, 3906 0, 0936 0, 9062 2, 0304
= 2, 0304.
Îïðåäåëèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Òàê êàê îêîí÷àòåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ øåñòü ãðóïï (èíòåðâàëîâ), à çàêîí Ïóàññîíà èìååò îäèí ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, òî ïîëó÷àåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî k − 1 − 1 = 6 − 2 = 4. Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 (P (χ2n > χ2α ) = α) ñ ÷åòûðüìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû äëÿ α = 0, 025 íàõîäèì χ2α = 11, 14. Òàê êàê χ2íàáë. = 2, 0304 îêàçàëîñü ìåíüøå êðèòå÷åñêîãî çíà÷åíèÿ χ2α , òî ãèïîòåçó î ðàñïðåäåëåíèè ïî çàêîíó Ïóàññîíà èññëåäóåìîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðèíèìàåì ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 025. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âñõîæåñòè ñåìÿí ïîäñîëíå÷íèêà áûëî âçÿòî 130 ÿùèêîâ ñ ãðóíòîì è âûñåÿíî ïî 10 ñåìÿí ïîäñîëíå÷íèêà â êàæäîì ÿùèêå. Ïðèìåð 3.17ñ
28
Ïóñòü mj - ÷èñëî ÿùèêîâ, â êîòîðûõ íå âçîøëî xj ñåìÿí. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà ïðèâåäåíû â òàáëèöå. Òàáëèöà 8. Âûáîðêà ê ïðèìåðó 3.17ñ
xj 0 1 2 3 4 5 mj 12 9 27 38 32 12 N = 130. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ÷èñëî ñåìÿí ïîäñîëíå÷íèêà â îäíîì ÿùèêå, êîòîðûå íå âçîøëè. Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 01, ïðèìåíèâ êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î áèíîìèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ξ . Ðåøåíèå.
Ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè k P (ξ = k) = C10 · pk q 10−k , ãäå k = 0, 1, 2, ..., 10.
Òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü p òîãî, ÷òî íàóäà÷ó âçÿòîå ñåìÿ ïîäñîëíå÷íèêà íå ïðîðàñòåò (íå âçîéäåò), íåèçâåñòíî. Ýòà âåðîÿòíîñòü p ÿâëÿåòñÿ òåîðåòè÷åñêèì ïàðàìåòðîì áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  ôîðìóëå Áåðíóëëè çàìåíèì åå m òî÷å÷íîé îöåíêîé p∗ = îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé. Çäåñü n = 10 · 130 = 1300
n
îáùåå ÷èñëî ïîñåÿííûõ ñåìÿí, à m =
5 X
mj · xj = 365 îáùåå ÷èñëî ñåìÿí,
j=0
êîòîðûå íå âçîøëè.
m 365 = ≈ 0, 281; q ∗ = 1 − p∗ = 0, 719. n 1300 Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòè P {ξ = k}. 0 P {ξ = 0} = P0 = C10 (p∗ )0 · (q ∗ )10 ≈ 0, 0369 nP0 = 4, 797 p∗ =
1 P {ξ = 1} = P1 = C10 (p∗ )1 · (q ∗ )9 ≈ 0, 1443
nP1 = 18, 759
2 P {ξ = 2} = P2 = C10 (p∗ )2 · (q ∗ )8 ≈ 0, 2538
nP2 = 32, 994
3 P {ξ = 3} = P3 = C10 (p∗ )3 · (q ∗ )7 ≈ 0, 2645
nP3 = 34, 385
4 P {ξ = 4} = P4 = C10 (p∗ )4 · (q ∗ )6 ≈ 0, 1809
nP4 = 23, 517
P {ξ ≥ 5} = P5 = 1 − P (ξ < 5) = 0, 1196
nP5 = 15, 548
29
Òàê êàê
nP0 = 4, 797 < 10, òî ïåðâîé áóäåì ñ÷èòàòü îáúåäèíåííóþ ãðóïïó òî÷åê {ξ ≤ 1}, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè è ÷àñòîòû ñêëàäûâàþòñÿ, òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Ðåçóëüòàòû âñåõ âû÷èñëåíèé çàïèñûâàåì â òàáëèöó, ó÷èòûâàÿ îáúåäèíåíèå ãðóïï. Òàáëèöà 9. Êðèòåðèé Ïèðñîíà ê âûáîðêå èç òàáëèöû 8
xj
mj
1 21 2 27 3 38 4 32 5 12 Σ 130
Pj
N Pj
0, 1812 0, 2538 0, 2645 0, 1809 0, 1196 1, 0
23, 556 32, 994 34, 385 23, 517 15, 548 −
χ
2 íàáë.
=
(mj − N Pj )2 |mj − N Pj | N Pj 2, 556 0, 277 5, 994 1, 089 3, 615 0, 380 8, 483 3, 060 3, 548 0, 810 − 5, 616
5 X mj − N Pj j=1
N Pj
= 5, 616.
Îïðåäåëèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Òàê êàê îêîí÷àòåëüíî âçÿòî ïÿòü ãðóïï (èíòåðâàëîâ) ðàçáèåíèÿ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , à áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò îäèí ÷èñëîâîé ïàðàìåòð p, êîòîðûé áûë çàìåm íåí åãî òî÷å÷íîé îöåíêîé p∗ = , òî ïîëàãàåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî
n k − 1 − 1 = 5 − 2 = 3. Ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 äëÿ α = 0, 01 ïðè n = 3 íàõîäèì χ2α = 11, 34. Òàê êàê χ2 = 5, 616 îêàçàëîñü ìåíüøå χ2α = 11, 34, òî äåëàåì âûâîä, ÷òî íàøà ãèïîòåçà î áèíîìèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè ýêñïåðèìåíòà ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 01. íàáë.
17c Êðèòåðèé
ω2
Ïóñòü èçó÷àåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíà, òî åñòü èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëèðóåì ãèïîòåçó, ñîñòîÿùóþ â òîì, ÷òî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ξ . F (x) ïîëíîñòüþ èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, îíà íå ìîæåò çàâèñåòü îò íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ. 30
Î÷åâèäíî, F 0 (x) ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû
ξ. Èç ξ âçÿòà âûáîðêà îáúåìà n. Ïî ýòîé âûáîðêå îáðàçóåì âàðèàöèîííûé ðÿä x1 < x2 < ... < xn . Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà âñå íåðàâåíñòâà â âàðèàöèîííîì ðÿäó ñòðîãèå, òàê êàê âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò äâà îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿ, ðàâíà íóëþ. Ïóñòü F ∗ (x) ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáðàçóåì ñòàòèñòèêó
Z+∞ ∗ 2 ω2 = F (x) − F (x) dF (x) = −∞
1 Xh 2i − 1 i2 1 + F (xi ) − . 12n2 n i=1 2n n
ω 2 ÿâëÿåòñÿ ìåðîé áëèçîñòè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê ãèïîòåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, èñïîëüçóþùåé âñå èíäèâèäóàëüíûå çíà÷åíèÿ âûáîðêè. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî nω 2 ïðè n → ∞ ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óæå ïðè n > 40 ðàñïðåäåëåíèå nω 2 ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäåëüíîãî. Äëÿ ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëåíà òàáëèöà. Òàáëèöà 10 Òàáëèöà êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé q = P (nω 2 > zq ) Óðîâíè
0, 5
0, 4
0, 3
0, 2
0, 1
0, 05
0, 03
0, 02
0, 01
0, 001
çíà÷èìîñòè
q = P (nω 2 > zq ) Êðèòè÷åñêèå òî÷êè
0, 1184 0, 1467 0, 1843 0, 2412 0, 3473 0, 4614 0, 5489 0, 6198 0, 7435 1, 1679
zq
Çàäàâàÿ óðîâåíü çíà÷èìîñòè q èëè êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ 1 − q , ïî òàáëèöàì íàõîäèì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå zq . Åñëè ïðè n > 40 nω 2 > zq , òî ãèïîòåçó îòâåðãàåì êàê íå ñîãëàñóþùóþñÿ ñ äàííûìè ýêñïåðèìåíòà, åñëè nω 2 < zq , òî ãèïîòåçó ïðèíèìàåì. Ýòî ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû íîñèò íàçâàíèå êðèòåðèÿ ñîãëàñèÿ ω 2 . Êðèòåðèé ω 2 âûãîäíî îòëè÷àåòñÿ îò êðèòåðèÿ Ïèðñîíà òåì, ÷òî îí èñïîëüçóåò âñå èíäèâèäóàëüíûå çíà÷åíèÿ âûáîðêè, à, çíà÷èò, íå ïðîèñõîäèò ïîòåðè èíôîðìàöèè, ñîäåðæàùåéñÿ â âûáîðêå, òàê êàê ïðè èñïîëüçîâàíèè êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ìû âûíóæäåíû ïðîâîäèòü èíòåðâàëüíîå ãðóïïèðîâàíèå äàííûõ, ÷òî âëå÷åò ïîòåðþ íåêîòîðîé äîëè èíôîðìàöèè î âûáîðêå. Êðîìå òîãî, nω 2 áûñòðåå ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, ÷åì ñòàòèñòèêà Ïèðñîíà. Ìèíóñîì ýòîãî êðèòåðèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î âèäå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíûõ âåëè÷èí, à òàêæå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùèõ îò íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ. 31
17ä Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ñîâïàäåíèè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ãåíåðàëüíûå ñîâîêóïíîñòè, êîòîðûå îáëàäàþò îäíîèìåííûì êà÷åñòâåííûì ïðèçíàêîì. Âûäâèãàåòñÿ ãèïîòåçà H0 : ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 , îïðåäåëÿþùèå êà÷åñòâåííûé ïðèçíàê íà ýòèõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòÿõ, èìåþò îäèíàêîâûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîðîòêî, H0 : F1 è F2 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ξ1 è ξ2 îäèíàêîâûå. 1) Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 íåïðåðûâíîãî òèïà, òî äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 ïðèìåíÿåòñÿ êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà Ñìèðíîâà, àíàëîãè÷íûé êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà, ïðèìåíÿâøåãîñÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Åñëè n1 è n2 îáúåìû âûáîðîê èç ðàññìàòðèâàåìûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, F1∗ (x) è F2∗ (x) ñîîòâåòñòâóþùèå ýìïèðè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííûå ïî âûáîðêàì, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà:
r
n1 · n2 max F1∗ (x) − F2∗ (x) n1 + n2 ïðè n1 → ∞ è n2 → ∞ èìååò ïðåäåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ðàñïðåäåëåíèå Êîëìîãîðîâà, òî åñòü lim P (zn1 ,n2 < x) = K(x). n →∞, zn1 ,n2 =
1
n2 →∞
Ïðîöåäóðà ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 çäåñü òàêàÿ æå êàê è ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ξ ñ ïðèìåíåíèåì êðèòåðèÿ ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà. 2) È äëÿ íåïðåðûâíûõ è äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ãèïîòåçó H0 ìîæíî ïðîâåðèòü, ïðèìåíÿÿ êðèòåðèé χ2 . Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ýòîãî êðèòåðèÿ èíòåðâàëû âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ, ïîñòðîåííûõ ïî äâóì âûáîðêàì, äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûå ãðàíèöû. Åñëè m0j ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðâîé âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë [aj ; aj+1 ), à m00j ÷èñëî ýëåìåíòîâ âòîðîé âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë ñ òàêèìè æå ãðàíèöàìè (1 ≤ j ≤ k), òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà k X
n1 n2 j=1
m0 m00j 2 1 j − m0j + m00j n1 n2
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðîê n1 , n2 ïðèáëèæåííî èìååò ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ k − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. 32
Ïðîöåäóðà ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 çäåñü òàêàÿ æå êàê è ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû î âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì êðèòåðèÿ ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿ àìåðèêàíñêèõ ïèñàòåëåé XIX âåêà: "Âñàäíèê áåç ãîëîâû"Ìàéí Ðèäà è "Çâåðîáîé"Ôåíèìîðà Êóïåðà. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 êîëè÷åñòâà ñëîâ â ïðåäëîæåíèè â ýòèõ ïðîèçâåäåíèÿõ. Ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû äèñêðåòíîãî òèïà. Ôîðìóëèðóåòñÿ ãèïîòåçà H0 : ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 èìåþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåð 1.17ä
Äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû, ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0, 005, èç êàæäîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñäåëàíû âûáîðêè îáúåìàìè ïî 100 ïðåäëîæåíèé, è â êàæäîì ïðåäëîæåíèè ïîäñ÷èòàíî êîëè÷åñòâî ñëîâ. Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â âèäå âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ:
Ðåøåíèå.
Òàáëèöà 11 Âûáîðêè èç ïðîèçâåäåíèé "Âñàäíèê áåç ãîëîâû"è "Çâåðîáîé"
N Êîëè÷åñòâî ñëîâ â ïðåäëîæåíèè 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
îò 1 äî 3 îò 4 äî 6 îò 7 äî 9 îò 10 äî 12 îò 13 äî 15 îò 16 äî 18 îò 19 äî 21 îò 22 äî 24 îò 25 äî 27 îò 28 äî 30 ñâûøå 30
Êîëè÷åñòâà ïðåäëîæåíèé
m0j 8 15 25 21 9 4 3 7 2 5 1
m00j 7 8 13 13 16 6 19 7 4 1 6
Òàê êàê îáúåìû âûáîðîê îäèíàêîâû
n1 = n2 = 100, à ÷èñëî èíòåðâàëîâ èíòåðâàëüíûõ âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ ðàâíî 11, òî íàáëþäåííîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ χ2 ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
χ
2 íàáë.
=
11 X (m0j − m00j )2 j=1
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåíû â òàáëèöå. 33
m0j + m00j
.
Òàáëèöà 11 Ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ χ2íàáë.
|m0j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−
m00j |
(m0j
1 7 12 8 7 2 16 0 2 4 5
−
m00j )2
m0j
1 49 144 64 49 4 256 0 4 16 25 χ2
íàáë.
+ 15 23 38 34 25 10 22 14 6 6 7
m00j
(m0j − m00j )2 m0j + m00j 0, 0667 2, 1304 3, 7895 1, 8824 1, 9600 0, 4000 11, 6364 0 0, 6667 2, 6667 3, 5714
= 28, 7702.
Ïî òàáëèöàì âåðîÿòíîñòåé χ2 ðàñïðåäåëåíèÿ P (χ2n ≥ χ2α ) = α äëÿ α = 0, 05 ïðè n = k − 1 = 10 ñòåïåíÿõ ñâîáîäû íàõîäèì, ÷òî
χ2α = 18, 31. Òàê êàê χíàáë. > χ2α , òî ãèïîòåçó î òîì, ÷òî äëèíû ïðåäëîæåíèé â ïðîèçâåäåíèÿõ Ìàéí Ðèäà è Ôåíèìîðà Êóïåðà ïîä÷èíÿþòñÿ îäèíàêîâîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, îòêëîíÿåì. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ñìèðíîâ Í.Â., Äóíèí - Áàðêîâñêèé È.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1969. [2] Ãàðàëüä Êðàìåð. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè. Ìîñêâà: Ìèð, 1975.
34
