Компьютерный практикум по общей физике. Часть 2. Механические колебания и волны. Термодинамика и молекулярная физика: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ЧАСТЬ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

УДК 537 (075) :004.3 Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 2. Механические колебания и волны. Термодинамика и молекулярная физика: Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – 80 с.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA). Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Ф.И. Карманов к.ф.-м.н., доцент В.В. Бурмистров Темплан 2004, 21

© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2004 г. © А.В. Тихоненко, 2004 г. Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 22.11.2004 Печать ризограф. Бумага KYMLUX Заказ № Тираж 120 экз.

Формат бум. 60х84/16 Печ. л. 5.0 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1 2

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА __________________________ 5 ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ______________ 5 ТЕМА 1. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ_______________________ 5 Задание 1.1. Уравнение гармонических колебаний________________________5 Задание 1.2. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях__________5 Задание 1.3. Учет начальных условий колебаний ________________________10 Задание 1.4. Решение уравнения свободных незатухающих колебаний ______10

ТЕМА 2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ _________________ 11 Задание 2.1. Механическая энергия осциллятора ________________________11 Задание 2.2. Энергия и вычисление периода колебаний __________________12 Задание 2.3. Фазовый портрет осциллятора_____________________________12 Задание 2.4. Фазовый портрет колебательной системы ___________________14

ТЕМА 3. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ________________________ 15 Задание 3.1. Уравнение затухающих колебаний _________________________15 Задание 3.2. Энергия затухающих колебаний ___________________________15 Задание 3.3. Фазовый портрет маятника с затуханием ____________________19 Задание 3.4. Решение уравнения свободных затухающих колебаний________19

ТЕМА 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ _________________________________ 20 Задание 4.1. Общее решение уравнения вынужденных колебаний __________20 Задание 4.2. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики ______21 Задание 4.3. Амплитуда дисперсии и амплитуда поглощения______________21 Задание 4.4. Резонансные частоты и резонансные кривые_________________23 Задание 4.5. Решение уравнения вынужденных колебаний ________________23 Задание 4.6. Колебания с кусочно-постоянными внешними силами ________24

ТЕМА 5. НАЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ____________________________________ 25 Задание 5.1. Биения ________________________________________________25 Задание 5.2. Сложение колебаний одного направления ___________________25 Задание 5.3. Сложение перпендикулярных колебаний ____________________30

ТЕМА 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ _____________________________________ 31 Задание 6.1. Решение волнового уравнения. Профили волн _______________31 Задание 6.2. Сложение бегущих плоских волн __________________________31 Задание 6.3. Стоячие волны__________________________________________32

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ _____ 33 ТЕМА 7. ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ _______________________________ 33 Задание 7.1. Процессы в идеальном газе _______________________________33 Задание 7.2. Работа и энтропия идеального газа _________________________33

ТЕМА 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ___________________________ 36 Задание 8.1. Нормальное распределение _______________________________36 Задание 8.2. Распределение Максвелла по скоростям ____________________36 Задание 8.3. Распределение Максвелла по кинетическим энергиям _________37

3

ТЕМА 9. ГАЗ ВАН ДЕР ВААЛЬСА_______________________________________ 39 Задание 9.1. Уравнение Ван дер Ваальса _______________________________39 Задание 9.2. Изотермы и адиабаты ____________________________________40 Задание 9.3. Работа, энтропия и теплоемкость газа Ван дер Ваальса ________40

ТЕМА 10. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА _______________________ 42 Задание 10.1. Переход жидкость- твердое тело __________________________42 Задание 10.2. Переход жидкость-пар __________________________________42 Задание 10.3. Переход жидкость-пар в реальной атмосфере _______________43

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _____________ 44 ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ _____________ 44 Пример к заданиям 1.1 и 1.2 _________________________________________44 Пример к заданиям 1.1, 3.1 и 4.1 ______________________________________45 Пример к заданию 2.1_______________________________________________47 Пример к заданию 2.3_______________________________________________49 Пример к заданиям 1.4 и 3.4 (Maple) __________________________________51 Пример к заданиям 1.4 и 3.4 (Mathematica) _____________________________52 Пример к заданиям 3.2 и 3.3 _________________________________________52 Пример к заданию 4.3 (Maple)________________________________________55 Пример к заданию 4.4 (Mathematica) __________________________________56 Пример к заданию 4.5 (Maple)________________________________________57 Пример к заданию 4.6 (Maple)________________________________________58 Пример к заданию 5.1 (Mathematica) __________________________________61 Пример к заданию 5.2_______________________________________________63 Пример к заданию 5.3_______________________________________________64 Пример к заданию 5.3 (Mathematica) __________________________________67 Пример к заданию 6.3_______________________________________________69

×ÀÑÒÜ 2. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ _____ 70 Пример к заданию 7.1_______________________________________________70 Пример к заданию 8.2_______________________________________________70 Пример к заданию 8.3_______________________________________________73 Пример к заданию 9.1_______________________________________________74 Пример к заданию 9.2_______________________________________________76 Пример к заданию 9.3_______________________________________________78 Пример к заданию 10.2______________________________________________79

4

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ТЕМА 1. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé I:

x ( t ) = A ⋅ cos (ω 0 ⋅ t + ϕ 0 ) ,

ãäå A – àìïëèòóäà êîëåáàíèé, ω0 – ÷àñòîòà êîëåáàíèé, ϕ0 – íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé II:

x ( t ) = A1 ⋅ cos (ω 0 ⋅ t ) + A2 ⋅ sin (ω 0 ⋅ t )

ЗАДАНИЕ 1.1. УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1.1.1. Выразить величины в решении I и решении II: а) A1 и A2 через A и ϕ0; б) A и ϕ через A1 и A2. 1.1.2. Построить двумерные x(t) графики для различных значений параметров: а) амплитуда A; б) циклическая частота ω0; в) начальная фаза ϕ0. 1.1.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.1). ЗАДАНИЕ 1.2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1.2.1. Получить выражения для скорости и ускорения:

v _ x (t ) =

dx ( t ) dv _ x ( t ) d 2 x ( t ) , w _ x (t ) = = dt dt 2 dt

1.2.2. Построить (в одних осях) двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t). 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

5

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 1.1.а

Рис. 1.1.б

Рис. 1.1.в

Рис. 1.1.г 6

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 1.1.д

Рис. 1.1.е

Рис. 1.1.ж

Рис. 1.1.з 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

7

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 1.2.а

Рис. 1.2.б

Рис. 1.2.в

Рис. 1.2.г 8

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 1.3.а

Рис. 1.3.б

Рис. 1.3.в

Рис. 1.3.г 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

9

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

1.2.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостью v_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.2). 1.2.4. Смоделировать колебания, заданные зависимостью w_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 1.3). ЗАДАНИЕ 1.3. УЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ КОЛЕБАНИЙ 1.3.1. Исходя из начальных условий x0 = x(0), v0 = v_x(0), получить выражения величин: а) A и ϕ0; б) величины A1 и A2. 1.3.2. Построить двумерные x(t) графики для различных значений параметров: а) начальная координата x0; б) начальная скорость v0. 1.3.3. Смоделировать колебания, заданные зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t): подобрать начальную координату и начальную скорость колебаний (рис. 1.1- 1.3). ЗАДАНИЕ 1.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

1.4.1. Решить аналитически уравнение свободных незатухающих колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . dt 2

1.4.2. Решить аналитически уравнение свободных незатухающих колебаний с учетом начальных условий:

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

10

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ЗАДАНИЕ 2.1. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

⎛ dx ( t ) ⎞ 1 E _ kin ( t ) = ⋅ m ⋅ ⎜ ⎟ . 2 dt ⎝ ⎠ 2

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

E _ pot ( t ) =

1 2 ⋅ k ⋅ x (t ) . 2

Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà

E ( t ) = E _ kin ( t ) + E _ pot ( t ) , ãäå

x ( t ) = A ⋅ cos (ω 0 ⋅ t + ϕ 0 ) - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé;

ω0 =

k m

- öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.1.1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t). 2.1.2. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений параметров: а) амплитуда; б) циклическая частота. 2.1.3. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t) (рис. 1.1- 1.3).

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

11

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 2.2. ЭНЕРГИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Ïåðèîä äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â îêðåñòíîñòè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû x2

T=

m dx ⋅∫ , 2 x1 E − E _ pot ( x )

ãäå x1 è x2 – òî÷êè ïîâîðîòà. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.2.1. Подобрать параметры a и b для случая возникновения колебаний в системах с потенциальной энергией: 2 а) E _ pot ( x ) = a ⋅ x ; б) E _ pot ( x ) = a ⋅ x + b ⋅ x ; 2

в) E _ pot ( x ) = a ⋅ x ; г) E _ pot ( x ) =

a b + x2 x

и построить графики Е_pot(x). 2.2.2. Определить точки поворота для полной механической энергии E. 2.2.3. Вычислить период колебаний для маятника. 2.2.4. Построить график T(E). ЗАДАНИЕ 2.3. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ

Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà â ïåðåìåííûõ ñêîðîñòüêîîðäèíàòà

E ( x, v _ x ) =

1 1 ⋅ m ⋅ v _ x2 + ⋅ k ⋅ x2 . 2 2

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.3.1. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как зависимость v_x(t) от x(t), задав параметры колебаний. 2.3.2. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как линии уровня для полной энергии Е(v_x, x). 2.3.3. Построить фазовый портрет гармонического осциллятора как зависимость v_x(t) от x(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t), v_x(t) и w_x(t) (рис. 1.1- 1.3).

12

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 2.1.а

Рис. 2.1.б

Рис. 2.1.в

Рис. 2.1.г 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

13

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 2.4. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â ïåðåìåííûõ ñêîðîñòü-êîîðäèíàòà ВВЕДЕНИЕ

1 E ( x, v _ x ) = ⋅ m ⋅ v _ x 2 + E _ pot ( x ) 2 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.4.1. Построить фазовый портрет маятника как линии уровня для колебательных систем с потенциальной энергией:

a b + ; x2 x б) E _ pot (ϕ ) = m ⋅ g ⋅ l ⋅ (1 − cos (ϕ ) ) .

а)

E _ pot ( x ) =

2.4.1. Смоделировать колебания, заданные зависимостью v_x(t): подобрать амплитуду, частоту и начальную фазу колебаний (рис. 2.1).

14

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 3. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАНИЕ 3.1. УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ ⋅ + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt dt Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:

x ( t ) = A ⋅ e −γ ⋅t ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) ; x1 ( t ) = + a ⋅ e −γ ⋅t , x 2 ( t ) = − a ⋅ e −γ ⋅t . ×àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé

ω = ω 02 − γ 2 , ω 0 > γ

.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

3.1.1. Получить решение уравнения затухающих колебаний с помощью подстановки:

x = A ⋅ ei⋅α ⋅t . 3.1.2. Построить двумерные графики x(t), x1(t), x2(t) для различных значений коэффициентов затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.1.3. Получить выражения для скорости и ускорения: v_x(t), w_x(t). 3.1.4. Построить в одних осях двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t). 3.1.5. Смоделировать колебания, заданные зависимостью x(t): подобрать амплитуду, частоту, начальную фазу колебаний и коэффициент затухания (рис. 3.1). ЗАДАНИЕ 3.2. ЭНЕРГИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

3.2.1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е (t). 3.2.2. Построить в одних осях двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений коэффициента затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.2.3. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для смоделированных колебаний, заданных зависимостями x(t) (рис. 3.1).

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

15

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 3.1.а

Рис. 3.1.б

Рис. 3.1.в

Рис. 3.1.г 16

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Рис. 3.1.д

Рис. 3.1.е

Рис. 3.1.ж

Рис. 3.1.з 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

17

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

18

Рис. 3.1.а

Рис. 3.1.б

Рис. 3.1.в

Рис. 3.1.г

Рис. 3.1.д

Рис. 3.1.е 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 3.3. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ МАЯТНИКА С ЗАТУХАНИЕМ 3.3.1. Построить фазовый портрет маятника с затуханием как зависимость v_x(t) от x(t) для различных значений коэффициента затухания γ. Сравнить со случаем незатухающих колебаний (γ = 0). 3.3.2. Построить фазовый портрет маятника с затуханием с анимацией: а) по коэффициенту затухания γ; б) по времени t. 3.3.3. Смоделировать колебания, заданные фазовым портретом: подобрать амплитуду, частоту, начальную фазу колебаний и коэффициент затухания (рис. 3.2). ЗАДАНИЕ 3.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

1.4.1. Решить аналитически уравнение свободных затухающих колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ + ω 02 ⋅ x ( t ) = 0 . 2 dt dt

1.4.2. Решить аналитически уравнение свободных затухающих колебаний с учетом начальных условий:

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

19

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАНИЕ 4.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2 ⋅ γ ⋅ + ω 02 ⋅ x ( t ) = f 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) , 2 dt dt ãäå ω0 – ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà, γ - êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, f0 è ω - àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåé âûíóæäàþùåé ñèëû. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé:

X ( t ) = x _ dm ( t ) + x _ tr ( t ) , ãäå

x _ dm ( t ) = a ⋅ e −γ ⋅t ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) - çàòóõàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðåøåíèÿ,

x _ tr ( t ) = A0 ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + Φ ( Ω ) )

- óñòàíîâèâøàÿñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðåøåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.1.1. Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

x ( t ) = Ac ⋅ ei⋅α ⋅t .

4.1.2. Построить двумерные графики X(t) для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ, в) частоты вынуждающей силы Ω. 4.1.3. Построить фазовый портрет колебаний как зависимость VX(t) от X(t) с анимацией: а) по коэффициенту затухания γ; б) по времени t. 4.1.4. Смоделировать вынужденные колебания, заданные зависимостью X(t): подобрать амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний (рис. 4.1). 4.1.4. Построить фазовый портрет вынужденных колебаний как зависимость v_x(t) от x(t) для смоделированных колебаний (рис. 4.1). 20

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.2. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ И ФАЗО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

x ( t ) = A ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + Φ ( Ω ) ) ,

A (Ω) =

f0

(ω

2 0

− Ω2 ) + 4 ⋅ Ω2 ⋅ γ 2 2

⎛ 2⋅Ω ⋅γ 2 2 ⎝ Ω − ω0

, Φ ( Ω ) = atan ⎜

⎞ ⎟. ⎠

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.2.1. Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

x = A ⋅ ei⋅β ⋅t Получить выражения для амплитуды и фазы вынужденных колебаний. 4.2.2. Построить двумерные графики A(Ω) для различных значений коэффициента затухания γ. 4.2.3. Построить двумерные графики φ(Ω) для различных значений коэффициента затухания γ. ЗАДАНИЕ 4.3. АМПЛИТУДА ДИСПЕРСИИ И АМПЛИТУДА ПОГЛОЩЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

x ( t ) = A ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t + ϕ ( Ω ) )

= A _ D ( Ω ) ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) + A _ R ( Ω ) ⋅ sin ( Ω ⋅ t )

,

ãäå A_D(Ω) - àìïëèòóäà äèñïåðñèè, A_R(Ω) - àìïëèòóäà ïîãëîùåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

4.3.1. Получить выражения для амплитуды дисперсии A_D(Ω) и амплитуды поглощения A_R (Ω). 4.3.2. Построить двумерные графики A_D(Ω) и A_R (Ω) для различных значений коэффициента затухания γ.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

21

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Рис. 4.1.а

Рис. 4.1.б

Рис. 4.1.в

Рис. 4.1.г

Рис. 4.1.д 22

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.4. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ И РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ 4.4.1. Вычислить резонансную частоту смещения Ω_R. 4.4.2. Построить двумерные графики амплитуды A(Ω) вынужденных колебаний для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ. 4.4.3. Вычислить амплитуду скорости V(Ω) и амплитуду ускорения W(Ω) вынужденных колебаний. 4.4.4. Вычислить резонансную частоту: а) скорости Ω_V; б) ускорения Ω_W. 4.4.5. Построить двумерные графики A(Ω), V(Ω), W(Ω) для различных значений: а) собственной частоты ω0; б) коэффициента затухания γ. ЗАДАНИЕ 4.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 4.5.1. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний в общем виде:

d 2 x (t ) dx ( t ) + 2⋅γ + ω 02 ⋅ x ( t ) = f ( t ) , 2 dt dt

где f(t) равна:

а) f ( t ) = f 0 ⋅ cos ( ω 0 ⋅ t ) ; б) f ( t ) = f 0 ⋅ cos

(

ω 02 − 2 ⋅ γ 2 ⋅ t

(

) (резонанс);

в) f ( t ) = f 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t ) Ω ≠ ω 0, Ω ≠

ω 02 − 2 ⋅ γ 2

),

г) f ( t ) = f 1 ⋅ cos ( Ω1 ⋅ t ) + f 2 ⋅ cos ( Ω 2 ⋅ t ) , д) f ( t ) = f 0 ⋅ cos

(

)

ω 02 − 2 ⋅ γ 2 ⋅ t + F 0 ⋅ cos ( Ω ⋅ t )

4.5.2. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний с учетом начальных условий (п. 4.5.1):

x0 = x ( 0 ) , v0 = v ( 0 ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

23

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАНИЕ 4.6. КОЛЕБАНИЯ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ВНЕШНИМИ СИЛАМИ

4.6.1. Решить аналитически уравнение вынужденных колебаний для кусочно-постоянных внешних сил:

⎧⎪0, ( t < t1) ; ⎪⎩ f 0, ( t > t1)

а) f ( t ) = ⎨

⎧⎪ f 0, ( t < t1) ⎪⎩0, ( t > t1)

б) f ( t ) = ⎨

⎧ f 1, ( t < t1) ⎪ в) f ( t ) = ⎨0, ( t1 < t < t 2 ) ; ⎪ ⎩ f 2, ( t > t 2 ) ⎧0, ( t < t1) ⎪ г) f ( t ) = ⎨ f 1, ( t1 < t < t 2 ) . ⎪ ⎩ f 2, ( t > t 2 ) 4.6.2. Построить графики внешних сил и вынужденных колебаний для различных начальных условий.

24

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 5. НАЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЗАДАНИЕ 5.1. БИЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Áèåíèÿ

x12 ( t ) = x1 ( t ) + x 2 ( t ) ,

ãäå

x1 ( t ) = A ⋅ cos (ω1 ⋅ t + ϕ1) , x 2 ( t ) = A ⋅ cos (ω 2 ⋅ t + ϕ 2 ) ,

ω1 = ω −

Δω Δω , ω2 = ω + 2 2

( Δω > V _ liq , где V _ vap =

R ⋅T p

- молярный объем пара. 10.2.3. Построить графики зависимости давления насыщенного пара от температуры для разных начальных значений давления и температуры жидкости T0, p0. ЗАДАНИЕ 10.3. ПЕРЕХОД ЖИДКОСТЬ-ПАР В РЕАЛЬНОЙ АТМОСФЕРЕ ВВЕДЕНИЕ

Ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû â ðåàëüíîé àòìîñôåðå

dT град = a, a ≈ 2 ⋅ 10−5 , dh м ãäå h – âûñîòà òî÷êè íàáëþäåíèÿ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

10.3.1. Получить формулу зависимости температуры от высоты в реальной атмосфере. 10.3.2. Получить барометрическую формулу в реальной атмосфере: зависимость давления от высоты с учетом градиента температуры. 10.3.3. Проинтегрировать уравнение Клапейрона-Клаузиуса и получить зависимости температуры кипения от высоты. 10.3.4. Построить график зависимости температуры кипения от высоты.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

43

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ×ÀÑÒÜ 1. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1 И 1.2 1. Получить выражения для скорости и ускорения. 2. Построить двумерные графики смещения x(t) для различных значений начальной фазы. 3. Построить (в одних осях) двумерные графики: смещение x(t), скорость v_x(t) и ускорение w_x(t) для заданного значения начальной фазы. Аналитические вычисления Смещение Скорость

Ускорение

Численные значения параметров

Исследуемые функции

44

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики Графики смещения x(t) для различных значений начальной фазы.

Графики смещения x(t), скорости v_x(t) и ускорения w_x(t) для заданного значения начальной фазы.

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1, 3.1 И 4.1 Получить решение уравнения вынужденных колебаний для установившегося режима с помощью подстановки:

Уравнение вынужденных колебаний

Подстановка и комплексное представление для силы

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

45

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Решение уравнения

Условие на параметр α

Определение комплексной амплитуды

Действительная и мнимая части комплексной амплитуды

46

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний для установившегося режима

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 2.1 1. Получить выражение для Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t). 2. Построить (в одних осях) двумерные графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для различных значений циклической частоты. Аналитические вычисления Смещение Скорость

Кинетическая энергия

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

47

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Потенциальная энергия

Механическая энергия

Численные значения параметров

Исследуемые функции

48

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики Графики x(t), Е_pot(t), Е_kin(t), Е(t) для двух значений циклической частоты.

ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 2.3 1. Построить график потенциальная энергии колебательной системы:

2. Построить фазовый портрет колебательной системы. Численные значения параметров Аналитические зависимости Потенциальная энергия

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

49

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Полная энергия

Функции построения графиков

Графики Потенциальная энергия

Фазовый портрет (линии уровня)

50

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 2. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

Фазовый портрет (поверхность)

Фазовый портрет (поверхность и линии уровня)

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.4 И 3.4 (MAPLE) 1. Аналитическое решение уравнения свободных затухающих колебаний в общем виде. Eqn1:=diff(x(t),t,t)+2*gamma*diff(x(t),t)+omega0^2* x(t)=0; assume(gamma Eqn2:= diff(x(t),t,t)+omega0^2*x(t)=0; x_01(t):=dsolve(Eqn2); x_01_IC(t):= dsolve({Eqn2,x(0)=x0,D(x)(0)=v0},x(t)); 2

⎞ ⎛d Eqn2 := ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ + ω0 2 x( t ) = 0 ⎜ dt ⎝ ⎠ x_01 ( t ) := x( t ) = _C1 sin( ω0 t ) + _C2 cos ( ω0 t )

x_01_IC ( t ) := x( t ) =

v0 sin( ω0 t ) + x0 cos( ω0 t ) ω0

ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.4 И 3.4 (MATHEMATICA) 1. Аналитическое решение уравнения свободных затухающих колебаний в общем виде.

DSolve@x ''@tD + 2 γ x '@tD + ω02 x@tD x, tD 99x → Function A8t