Наибольшее и наимень шее значения функции Функция z=f(x; y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D, дост...
9 downloads
191 Views
376KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Наибольшее и наимень шее значения функции Функция z=f(x; y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в точке на границе области. Пример 23. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = x 2 + y 2 - xy + x + y в области D = { ( x ; y ); x £ 0 ; y £ 0 ; x + y ³ - 3 } . Решение. Указанная область показана на рис. (2.12.1) Находим стационарные точки ì z x ¢ = 2 x - y + 1 = 0 . í î z ¢y = 2 y - x + 1 = 0
Отсюда получаем x=1, y=1. Точка M(1; 1) входит в область D. Находим значение Рис. 2.12.1
функции в точке M: f(M)=1+1111=1. Исследуем функцию на границах области. 1. При x=0 имеем z=y 2 +y, где 3£y£0. 1 1 æ 1 ö 1 1 z ¢y = 2 y + 1 = 0 ; y 0 = - ; zç - ÷ = - = - ; è 2 ø 4 2 4 2 z(3)=93=6, z(0)=0. Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (0; 3); 1 ö 1 æ z наим = - в точке ç 0 ; - ÷ . è 2 ø 4 2. При y=0 имеем z=x 2 +x, где 3£y£0. 1 z x ¢ = 2 x + 1 = 0 ; x 0 = - ; 2
1 æ 1 ö zç - ÷ = - ; z(3)=93=6, z(0)=0. è 2 ø 4 Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (3; 0); 1 æ 1 ö z наим = - в точке ç - ; 0 ÷ . è 2 ø 4 2
3. При x+y=3 имеем y=x3 и z = x 2 + ( - x - 3 ) 2 - x ( - x - 3 ) + x + ( - x - 3 ) = x 2 + x 2 + 6 x + 9 + x 2 + 3 x + x - x - 3 = = 3 x 2 + 9 x + 6 , где 3£x£0. 3 3 æ 3 ö 27 27 z x ¢ = 6 x + 9 = 0 ; x 0 = - ; zç - ÷ = + 6 = - , è 2 ø 4 2 4 2 z(3)=2727+6=6, z(0)=6. Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (3; 0) и в точке (0; 3); 3 ö 3 æ 3 z наим = - в точке ç - ; - ÷ . è 2 2 ø 4 Сравнивая полученные значения, получаем, что zнаиб=6 в точках (3; 0) и (0; 3); zнаим=1 в стационарной точке (1; 1). Заметим, что исследование стационарной точки на максимум или минимум при нахождении наибольшего и наименьшего значений оказывается ненужным. 14. Условны й экстремум. Метод Лагранжа Определение. Говорят , чт о в т очке M0(x0; y0), удовлет воряющей уравнению связи F( x , y ) = 0 ,
(2.14.1)
функция f(x, y) имеет условный максимум (минимум), если неравенст во f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ( > )
(2.14.2)
выполняет ся в некот орой окрест ност и т очки M0 для всех ее т очек, удовлет воряющих уравнению связи, кроме самой т очки M0. Точка M0(x0; y0) при эт ом называет ся т очкой условного максимума (минимума). Точки условного максимума или минимума называют ся т очками условного экст ремума. Пример 24. Найти условный максимум и условный минимум функции z=x 2 +y 2 при условии, что имеется уравнение связи x 2 y 2 + - 1 = 0 , (a>b). a 2 b 2
3
Решение. Уравнение связи есть уравнение эллипса x 2 y 2 + = 1 . a 2 b 2 Величина (x 2 +y 2 ) есть квадрат расстояния точки M(x, y) от начала координат O(0, 0). Очевидно, что среди всех точек эллипса точки M1(a; 0) и M2(a; 0) наиболее удалены от начала координат, а точки M3(0; b) и M4(0; b) наименее удалены от начала координат. Поэтому условный максимум M равен a 2 и достигается в точках M1(a; 0) и M2(a; 0), а условный минимум m равен b 2 и достигается в точках M3(0; b) и M4(0; b). На рис. 2.13.1 значения функции z=x 2 +y 2 при условии, что
x 2 y 2 + - 1 = 0 определяется a 2 b 2
пересечением параболоида вращения z=x 2 +y 2 с Рис. 2.14.1
x 2 y 2 эллиптическим цилиндром 2 + 2 = 1 . Очевидно, a b
что точки M1(a; 0), M2(a; 0) есть точки условного максимума, а точки M3(0; b) и M4(0; b) точки условного минимума. Заметим, что, если рассматривать все точки M(x; y) на плоскости, то функция z=x 2 +y 2 имеет минимум (безусловный) равный нулю в точке O(0; 0), а максимума не имеет. В приведенном выше примере условные экстремумы были найдены непосредственно по определению условного экстремума. Такая ситуация бывает весьма редко. Как правило точки условного экстремума ищутся аналитически с помощью необходимых условий экстремума и достаточных условий. Теорема (необходимы е условия условного экстремума). Пуст ь M0(x0; y0) т очка условного экст ремума функции f(x; y) при наличии уравнения связи (2.14.1), причем функции f(x; y) и Ф(x; y) имеют непрерывные част ные производные в т очке M0(x0; y0) и в некот орой ее окрест ност и и F ¢y ( x , y ) ¹ 0 в т очке M0(x0; y0). Тогда координат ы (x0; y0) т очки M0 являют ся
4
част ью решения (x0, y0, l0) сист емы уравнений ì f x ¢( x , y ) + lF ¢x ( x , y ) = 0 ï í f y ¢ ( x , y ) + lF ¢y ( x , y ) = 0 ï îF ( x , y ) = 0
(2.14.3)
Доказат ельст во. По теореме о неявной функции уравнение связи Ф(x; y)=0 определяет неявным образом в некоторой окрестности точки x0 дифференцируемую функцию y=j(x). Подставляя эту функцию в f(x, y), получаем функцию одной переменной x: g ( x ) = f ( x , j ( x ) ) .
Очевидно, что, если M0(x0; y0) точка экстремума функции f(x, y), то x0 точка экстремума функции g(x). По теореме о производной сложной функции полная производная функции f(x, y), где y=j(x), существует и равна g ¢( x ) = f x ¢( x , y ) + f y ¢ ( x , y ) j ¢ ( x ) .
В соответствии с теоремой Ферма точка x0 удовлетворяет условию g ¢( x ) = f x ¢( x , y ) + f y ¢( x , y ) j ¢ ( x ) = 0 .
(2.14.4)
Продифференцируем по x обе части уравнения связи (2.14.1), имея в виду, что y=j(x): F ¢x ( x , y ) + F ¢y ( x , y ) j ¢( x ) = 0 .
(2.14.5)
Умножим обе части этого уравнения на неопределенный множитель l и затем сложим с уравнением (2.14.4):
( f ¢( x , y ) + f ¢( x , y ) j ¢ ( x ) ) + l (F ¢ ( x , y ) + F ¢ ( x , y ) j ¢( x )) = 0 . x
y
x
x
y
Отсюда получаем
( f x ¢( x , y ) + lF ¢x ( x , y ) ) + ( f y ¢( x , y ) + lF ¢y ( x , y ) )j ¢ ( x ) = 0 .
(2.14.6)
f y ¢( x , y ) + lF ¢y ( x , y ) = 0
(2.14.7)
Выберем l так, чтобы
(это можно сделать, так как F ¢y ( x , y ) ¹ 0 ). Но тогда и первое слагаемое в формуле (2.14.6) равно нулю f x ¢( x , y ) + lF ¢x ( x , y ) = 0 .
(2.14.8)
Объединяя формулы (2.14.8), (2.14.7) и (2.14.1), получаем требуемый результат (формулы (2.14.3))n
Замечание 1. Необходимые условия (2.14.3) можно сформулировать по другому. Образуем функцию L ( x , y , l ) = f ( x , y ) + lF ( x , y ) .
(2.14.9)
Функция L(x, y, l) называется функцией Лагранж а, а множитель l множителем Лагранжа. Очевидно, что необходимые условия экстремума функции L(x, y, l), определяемые системой уравнений ì L x ¢ ( x , y , l ) = 0 ï í L y ¢ ( x , y , l ) = 0 , ï î L l¢ ( x , y , l ) = 0
(2.14.10)
5
приводят к системе уравнений (2.14.3). Поэтому нахождение условного экстремума функции f(x, y) при наличии уравнения связи (2.14.1) сводится к нахождению обычного (безусловного) экстремума функции L(x, y, l), определяемой формулой (2.14.9). Замечание 2. Условия (2.14.3) (или (2.14.10)) являются необходимыми, но не достаточными. Для определения типа условного экстремума можно воспользоваться следующим правилом: если d 2 L ( x 0 , y 0 , l0 ) 0 , т о M0(x0, y0) т очка условного минимума.
(2.14.11)
если d 2 L ( x 0 , y 0 , l0 ) мож ет быт ь как полож ит ельной, т ак и от рицат ельной величиной при различных dx и dy, т о M0(x0, y0) не являет ся т очкой условного экст ремума. Здесь дифференциал второго порядка d 2 L ( x 0 , y 0 , l0 ) , определяемый формулой d 2 L ( x , y , l ) = L xx ¢¢ dx 2 + 2 L xy ¢¢ dxdy + L yy ¢¢ dy 2 ,
(2.14.12)
вычисляется в стационарной точке P 0(x0, y0, l0) функции L(x, y, l), т.е. в точке координаты которой удовлетворяют системе уравнений (2.14.10). При этом дифференциалы dx и dy в формуле (2.14.12) зависимы и их связь (что следует из уравнения связи (2.14.1)) определяются формулой F ¢x ( x 0 , y 0 ) dx + F ¢y ( x 0 , y 0 ) dy = 0 , ( dx 2 + dy 2 ¹ 0) . С доказательством изложенного правила можно ознакомится в [3. п.п. 211213]. В некоторых случаях тип условного экстремума можно установить, исходя из существа рассматриваемой прикладной задачи. Замечание 3. Подытоживая сказанное, можно сказать следующее: для нахождения условного экстремума функции f(x, y) при наличии уравнения связи (2.14.1), нужно: – образовать функцию Лагранжа L(x, y, l); – найти ее стационарные точки (xi, yi, li) путем решения системы уравнений (2.14.10); – определить тип экстремума в каждой точке, исходя из физических соображений или по правилу (2.14.11); – подсчитать значения функции f(x, y) в точках (xi, yi). Пример 25. Найти аналитически точки условного экстремума в примере 24. Решение. 6
1. Составляем функцию Лагранжа: æ x 2 y 2 ö L ( x , y , l ) = x 2 + y 2 + l ç 2 + 2 - 1 ÷ . b è a ø
2. Составляем уравнения (2.14.10): ì lö æ ï L x ¢ ( x , y , l ) = 2 x çè 1 + a 2 ÷ø = 0 ï ï lö æ í L y ¢ ( x , y , l ) = 2 y çè 1 + 2 ÷ø = 0 b ï 2 ï x y 2 ï L l¢ ( x , y , l ) = 2 + 2 - 1 = 0 a b î a) Пусть x¹0. Тогда ì lö æ 2 ï L x ¢ = 2 x çè 1 + a 2 ÷ø = 0 Þ l = - a ï ï lö æ í L y ¢ = 2 y çè 1 + 2 ÷ø = 0 Þ y = 0 b ï 2 ï x y 2 ï L l¢ = 2 + 2 - 1 = 0 Þ x = ± a a b î Cтационарные точки (±a; 0; a 2 ). b) Пусть y¹0. Тогда ì lö æ 2 ï L x ¢ = 2 x çè 1 + a 2 ÷ø = 0 Þ l = -b ï ï lö æ í L y ¢ = 2 y çè 1 + 2 ÷ø = 0 Þ x = 0 b ï 2 ï x y 2 ï L l¢ = 2 + 2 - 1 = 0 Þ y = ±b a b î Стационарные точки (0; ±b; b 2 ). 3. Находим производные второго порядка
l ö l ö æ æ L xx ¢¢ = 2 ç 1 + 2 ÷ ; L xy ¢¢ = 0 ; L yy ¢¢ = 2 ç 1 + 2 ÷ . è a ø è b ø 4. Находим дифференциал второго порядка
lö lö æ æ d 2 L ( x , y , l ) = 2 ç 1 + 2 ÷ dx 2 + 2 ç 1 + 2 ÷ dy 2 . è a ø è b ø Для стационарных точек (±a; 0; a 2 ): æ a 2 ö 2 d L ( ± a , 0 , - a ) = 2 ç 1 - 2 ÷ dy b. b ø è 2
2
7
Поэтому точки (±a; 0) точки условного максимума. Условный максимум M равен: M = a 2 . Для стационарных точек (0; ±b; b 2 ): æ b 2 ö 2 d L ( 0 , ± b , - b ) = 2 ç 1 - 2 ÷ dx > 0 , т.к. a>b. a ø è 2
2
Поэтому точки (0; ±b) точки условного минимума. Условный минимум m равен: m = b 2 . Пример 26. [7] Фирма решила ежемесячно ассигновать 100 тысяч долларов на производство некоторой продукции. Средняя зарплата 2000 долларов, стоимость единицы сырья 1000 долларов. Определить, какое число рабочих N и какое количество сырья C необходимо приобрести фирме для получения наибольшего объема продукции Q, если известно, что объем продукции Q прямо пропорционален N и C с коэффициентом пропорциональности 5. Решение. Задача об условном экстремуме формулируется следующим образом: найти максимум функции Q=5NC при условии 2000N+1000C=100000.
(2.14.13)
Функция Лагранжа имеет вид L=5NC+l(2N+C100) (при составлении функции Лагранжа в уравнении связи был опущен общий множитель 1000). Составляем уравнения, для нахождения стационарных точек: ì L N ì5 C + 2 l = 0 ¢ = 5 C + 2 l = 0 ï ï Û í5 N + l = 0 . í L C ¢ = 5 N + l = 0 ï L ¢ = 2 N + C - 100 = 0 ï 2 N + C = 100 î î l Решая эту систему уравнений, получаем N=25, C=50, l=125. Находим вторые производные L NN ¢¢ = 0 , L NC ¢¢ = 5 , L CC ¢¢ = 0 . Находим второй дифференциал d 2 L = L NN ¢¢ dN 2 + 2 L NC ¢¢ dNdC + L CC ¢¢ dC 2 = 10dN × dC .
(2.14.14)
Из уравнения связи 2N+C100=0 следует, что 2dN=dC или dC=2dN. 8
Подставляя это выражение в формулу (2.14.14), получаем d 2 L = -20 dN 2 2. Например, определение dокрестности точки M 0 ( x 1 ( 0 ) , x 2 (0 ) , K , x n ( 0 ) ) дается следующим образом: Определение.
dокрест ност ью т очки M0 в nмерном прост ранст ве R n называет ся совокупност ь всех т очек M, леж ащих внут ри nмерного шара радиуса d с цент ром в т очке M0, т .е. по определению
{
}
E d = ( x 1 , x 2 , K , x n ): M 0 M < d =
{
= ( x 1 , x 2 , K , x n ):
}
( x 1 - x 1 ( 0 ) ) 2 + ( x 2 - x 2 ( 0 ) ) 2 +K + ( x n - x n ( 0 ) ) 2 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех т очек M в dокрест ност и т очки M0, кроме самой т очки M0, выполняет ся условие f ( M ) - A