Высшая математика (часть 2). Конспект лекций

II. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ДВУХ  ПЕРЕМЕННЫХ  1. Основны е понятия  Анализ функций двух переменных во многом схож с анализом функции одной  переменной. Поэтому полезно сравнивать результаты данного раздела с  соответствующими результатами, касающимися функций одной переменной. Однако,  наличие двух аргументов обуславливает и некоторые отличия этого анализа.  Определение.  Если каж дой паре значений двух не зависящих друг от  друга переменных величин x  и y из некот орого множ ест ва D на плоскост и XOYпо некот орому правилу f  соот вет ст вует  одно значение z из множ ест ва Z на прямой, т о говорят , чт о z ­  функция двух переменных (x; y), определенная на множ ест ве D. Данный факт  записывают  т ак:  z =  f ( x ; y) ,  где  ( x ; y ) Î D или  z =  f ( M ) ,  где  M  ΠD или  f M ( x ; y ) Î D ¾¾® z Î Z  . 

При этом множество D называется област ью определения функции  z =  f ( x ; y) ,  Z ­ област ью значений этой функции.  Если при записи  z =  f ( x ; y)  не указывается область определения D, то при этом  имеется в виду естественная область определения, т.е. множество пар значений (x; y), при  которых данное выражение имеет смысл.  Пример 1. Найти область определения функции z = ln ( y 2  -  x 2 ) .  Решение. Очевидно, что D =

{( x ;  y ):  y  - x  > 0 } = {( x ;  y ):  y  > x  } = {( x ;  y ):  2 

2 

2 

2 

} 

y  >  x . 

Область D изображена на рис. 2.1.1 с помощью штриховки.  Пунктирная линия указывает на то, что соответствующие  прямые не входят в область D.  Геометрическим образом функции  z =  f ( x ; y)  является  некоторая поверхность в пространстве OXYZ. 

Рис. 2.1.1

Пример 2. Каков геометрический образ функции  z = x 2  -  y 2 ?  Решение. Этой функции соответствует  гиперболический параболоид  (см. рис. 2.1.2).  Пример 3. Функции z=Ax+By+C соответствует  некоторая плоскость.  Рис. 2.1.2 

Пример 4. Дана функция ì1 , если  x и  y ­ рациональн  ые числа,  z = í î0 , если x и y ­ не являются  рациональн  ыми  числами.  Для данной функции весьма затруднительно построить соответствующую поверхность.  Определение. 

d ­ окрест ност ью т очки M0(x0; y0) на плоскост и XOYназывает ся совокупност ь  всех т очек M(x; y), леж ащих внут ри круга радиуса d с цент ром в т очке  M0(x0; y0). Таким образом, по определению E d =

{( x ;  y ): 

ì M 0 M  < d = í( x ;  y ):  î

}

2 

2 

( x - x  ) + ( y - y )  0 

0 

ü < d ý ,  þ 

где  M 0  M  ­ длина вект ора  M 0  M . d ­ окрест ност ь т очки M0  показана на  рис. 2.1.3  Определение.  Если т очка M(x; y) входит  в множ ест во D вмест е с  некот орой ее окрест ност ью, т о т очка M(x; y)  называет ся внут ренней т очкой множ ест во D.  Множ ест во D, сост оящее т олько из внут ренних  т очек, называет ся от  крыт ым.  Множества на рис. 2.1.1 и рис. 2.1.3 ­ открытые.  Определение. 

Рис. 2.1.3

Если в любой окрест ност и т очки M0(x0; y0) содерж ат ся т очки множ ест ва D,  от личные от  M0  т о т очка M0(x0; y0) называет ся предельной т очкой множ ест ва  D ( или т очкой сгущения).  Заметим, что сама предельная точка M0  может и не принадлежать множеству D. 

Определение.  Множ ест во D, содерж ащее все свои предельные т очки, называет ся замкнут ым.  Определение.  Множ ест во D называет ся ограниченным, если оно содерж ит ся в некот орой

d ­ окрест ност и т очки O(0; 0).  2. Предел функции двух переменны х  Определение.  Пуст ь функция z= f(x; y) определена в некот орой окрест ност и т очки M0(x0; y0),  кроме, мож ет  быт ь, самой т очки M0(x0; y0). Число А называет ся пределом  функции z=f(x; y) при ст ремлении т очки M(x; y) к т очке M0(x0; y0), если для любого  числа e> 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех т очек M(x; y) в d ­ окрест ност и  т очки M0(x0; y0), кроме самой т очки M0(x0; y0), выполняет ся условие  f ( M ) - A 0 найдет ся т акое число d> 0, чт о для всех (x; y), удовлет воряющих  условию 0 
0 можно найти

d = 2 e > 0  такое, что, как только выполняется условие  x - 0 0, чт о для всех x, y, для кот орых |x|> N,  |y|> N,  функция z= f(x; y) определена и имеет  мест о неравенст во  f ( x ;  y ) - A  < e .

Основные свойства пределов определяются следующими равенствами: lim [af ( x ;  y ) ] = a ×  lim  f ( x ;  y)  (a ­ постоянная величина);

x ® x 0  y ® y 0 

x ® x 0  y ® y 0

lim [ f ( x ;  y ) + g ( x ;  y ) ] = lim  f ( x ;  y ) +  lim  g ( x ;  y) 

x ® x 0  y ® y 0 

x ® x 0  y ® y 0 

x ® x 0  y ® y 0

lim [ f ( x ;  y ) × g ( x ;  y ) ] = lim  f ( x ;  y ) ×  lim  g ( x ;  y) ; 

x ® x 0  y ® y 0 

x ® x 0  y ® y 0 

x ® x 0  y ® y 0 

lim  f ( x ;  y )  x  f ( x ;  y )  x y ® ® y  lim  =  ( lim  g ( x ;  y)  ¹  0 ).  x ® x  g ( x ;  y )  x ® x  lim  g  (  x  ;  y )  y ® y  y ® y  0 

0 

0  0 

0 

x ® x 0  y ® y 0 

0 

Пределы в левых частях этих формул существуют, если существуют пределы от f и g.  3. Повторны е пределы  Очевидно, что определение предела функции двух переменных аналогично соответствующему  определению для функции одной переменной. Однако, в случае двух переменных возникает особенность,  связанная с тем, что кроме рассмотрения предельного перехода при одновременном стремлении аргументов  x и y к их предельным значениям (как было рассмотрено выше) возможны предельные переходы по каждому  аргументу в отдельности в том или ином порядке (сначала по x, потом ­ по y, или наоборот).  Пример 7. Дана функция  f ( x ;  y ) =

x - y + x 2  + y 2  при x>0 и y>0.  x +  y 

Решение. Рассмотрим повторный предел  lim  lim  f ( x ;  y )  = lim ( y - 1 )  = - 1 . 

y ® + 0  x ® +0 

y ® + 0 

Рассмотрим теперь повторный предел с обратным порядком предельных переходов  lim  lim  f ( x ;  y )  = lim ( x + 1 )  = 1 . 

x ®+ 0  y ® +0 

x ®+ 0 

Очевидно, что повторные пределы не равны.  Пример показывает, что следует быть осторожным при перестановке двух предельных переходов по  разным аргументам. Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом, рассмотренным  ранее, и повторными пределами, и дает возможность обосновать перестановку переходов.  Теорема.  Пуст ь област ь определения D функции z= f(x; y) т акова, чт о x (независимо от  y) мож ет  принимат ь любое значение в некот ором множ ест ве X, для кот орого т очка a служ ит  т очкой  сгущения, но ему не принадлеж ит , и аналогично y (независимо от  x) изменяет ся в множ ест ве Yс  не принадлеж ащей ему т очкой сгущения b. Пуст ь выполняют ся условия: 

1.  Сущест вует  двойной предел  lim  f ( x ;  y )  =  A .  x ® a  y ® b 

2.  При любом yÎYсущест вует  прост ой предел по x  lim  f ( x ;  y )  = j ( y) .  x ® a 

Тогда сущест вует  повт орный предел  lim j ( y )  = lim lim  f ( x ;  y) , y ® b 

y ® b  x ® a 

и он равен двойному пределу A:  lim lim  f ( x ;  y )  = lim  f ( x ;  y )  =  A .  y ® b  x ® a 

x ® a  y ® b 

Пуст ь наряду с условиями 1, 2 выполняет ся условие 3: 

3.  При любом xÎX сущест вует  прост ой предел по y  lim  f ( x ;  y )  = y ( x) .  y ® b 

Тогда сущест вует  и вт орой повт орный предел  lim y ( x )  = lim lim  f ( x ;  y)  x ® a 

x ® a  y ® b 

и он равен т ому ж е числу A. Оба повт орных предела равны меж ду собой (и равны A):  lim lim  f ( x ;  y )  = lim lim  f ( x ;  y )  =  A .  y ® b  x ® a 

x ® a  y ® b 

С доказательством теоремы можно ознакомится в [2. п. 168]. 

4. Непреры вность  функции  Определение 1.  Функция z= f(x; y) непрерывна в т очке M0(x0; y0), если она определена в эт ой т очке  и в некот орой ее окрест ност и, и при эт ом имеет  мест о равенст во  lim  f ( x ;  y )  =  f ( x 0 ;  y0 ) , 

(2.4.1) 

lim  f ( M )  =  f ( M 0 ) . 

(2.4.2) 

x ® x 0  y ® y 0 

или, в другой записи,  M ® M 0 

В прот ивном случае функция ­ т ерпит  разрыв в т очке M0.  Соотношения (2.4.1), (2.4.2) можно сформулировать так: предел функции в точке  M0  равен значению функции в предельной точке M0.  Обозначим через  M 0  M  длину вектора  M 0  M . Определение 1 на "языке e­d"  можно сформулировать так:  Определение 2.  Функция z= f(x, y) непрерывна в т очке M0, если она определена в эт ой т очке и в  некот орой окрест ност и и для любого числа e>0 найдет ся т акое число r> 0, чт о  для всех т очек M из област и определения функции т аких чт о  M 0 M  0,  чт о будет  выполнят ся неравенст во  f ( x ;  y ) - f ( x 0 ;  y 0 )