Статистическая радиофизика и теория информации (Часть 2): Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И Е РСИ Т Е Т

С татистич е ская р ад иоф изика ите ор ия инф ор м ации (Ч асть 2) Пособиеп о сп ециальности 010801

В оронеж 2004

2

У тверждено научно-методическ им советом ф изическ ого ф ак ультета 15.09.2004 г., п роток ол № 7.

Составители: Т риф оновА .П., Д удк ин В .П., М арш ак овВ .К ., Прибы тк овЮ .Н .

Пособие п одготовлено на к аф едре радиоф изик и ф изическ ого ф ак ультета В оронежск ого государственного университета. Рек омендуется для студентов4,5 к урсовсп ециальности 010801.

3 СО Д Е РЖ А Н И Е

1. Л абораторная работа № 4 «В оздей ствие сигнала и ш ума на линей ны е системы » ___________________________________________________4 2. Л абораторная работа № 5 «Э к сп ериментальное исследование к орреляционного п риемник а» ________________________________16 3. Л итература_________________________________________________34 4. Приложение________________________________________________35

4

Л абораторная работа № 4 В О ЗД Е Й СТ В И Е СИ ГН А Л А И Ш У М А Н А Л И Н Е Й Н Ы Е СИ СТ Е М Ы Ц е л ь р аб оты : А нализ изменения величины отнош ения сигнал/ш ум п ри п рохождении аддитивной смеси п олезного сигнала и ш ума через линей ны е системы . О сновны е соотноше ния иопр ед е л е ния В сяк оеустрой ство (систему) для п реобразования сигнала можно оп исатьс п омощью диф ф еренциальны х уравнений , связы ваю щих сигналы на входе и на вы ходе этой системы . Соответственно, п о этим уравнениям п роизводится к лассиф ик ация систем. О бы чно ф изическ ие системы оп исы ваю тся следую щими тремя основны ми тип ами диф ф еренциальны х уравнений : 1) линей ны еуравнения сп остоянны ми к оэф ф ициентами; 2) линей ны еуравнения сп еременны ми к оэф ф ициентами; 3) нелиней ны еуравнения. Соответственно, различаю тсистемы : 1) линей ны есп остоянны ми п араметрами; 2) линей ны есп еременны ми п араметрами; 3) нелиней ны е. К роме оп ределения линей ной системы с п омощью вида уравнения, оп исы ваю щего систему, можно датьследую щиеадек ватны еоп ределения: a) линей ной является та система, к к оторой п рименим п ринцип суп ерп озиции; b) линей ной является система, п роцесс на вы ходе к оторой можно п редставитьввиде y (t ) =

+∞

∫ x(τ )h(t ,τ )dτ .

−∞

(1)

Здесь x(t ) - входное воздей ствие, а h(t ,τ ) - имп ульсная п ереходная ф унк ция, п олностью харак теризую щая систему. И мп ульсная п ереходная ф унк ция п редставляет собой ф унк цию Грина соответствую щего диф ф еренциального уравнения, оп исы ваю щего рассматриваемую систему. И наче h(t ,τ ) можно оп ределить к ак вы ходной сигнал системы в момент времени t , если в момент времени τ на вход системы дей ствовал имп ульс в видедельта ф унк ции. Д ля линей ны х систем сп остоянны ми п араметрами h(t ,τ ) = h(t − τ ) (2) и, следовательно, для оп исания системы достаточно задать h(t ) к ак ф унк цию одного аргумента. При этом для ф изическ и реализуемы х систем h(t ) = 0 п ри t < 0 . (3) Полагая, что входной сигнал начинает дей ствовать в момент времени t = 0 ,т.е. x(t ) = 0 п ри t ≤ 0 , согласно (1)-(3) для сигнала на вы ходе линей ной системы п олучаем вы ражения

5 t

t

y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ ) dτ = ∫ x(t − τ )h(τ ) dτ . 0

(4)

0

Л иней ную систему с п остоянны ми п араметрами можно так же охарак теризоватьееп ередаточной ф унк цией (к оэф ф ициентом п ередачи) H ( jω ) =

+∞

∫ h(t ) ⋅ e

− jω t

dt .

(5)

−∞

О чевидно, что 1 h(t ) = 2π

+∞

∫ H ( jω ) ⋅ e

jω t

dω

(6)

−∞

О бозначим X ( jω ) =

+∞

∫ x(t ) ⋅ e

− jω t

dt

(7)

−∞

- сп ек тр входного сигнала, тогда вы ходной сигнал (4) можно п редставить в виде +∞ 1 y (t ) = X ( jω ) H ( jω ) ⋅ e jωt dω . (8) ∫ 2π −∞ Пусть входной сигнал x(t ) п редставляет собой аддитивную смесь нек оторой детерминированной ф унк ции s(t ) и реализации случай ного п роцесса n(t ) , т.е. x(t ) = s(t ) + n(t ) . (9) Д етерминированную ф унк цию s(t ) будем интерп ретироватьк ак «п олезны й сигнал», а n(t ) - к ак ш ум, то есть к ак нек оторое меш аю щее воздей ствие. Положим, что n(t ) - реализация стационарного гауссовск ого п роцесса ξ ( t ) с математическ им ожиданием mξ и ф унк цией к орреляции Kξ (τ ) , так что ξ (t ) − mξ  ⋅ ξ (t + τ ) − mξ  = Kξ (τ ) . (10) Здесь угловы е ск обк и обозначаю т статистическ ое усреднение (усреднение п о ансамблю реализаций ). Рассмотрим п рохождение суммы п олезного сигнала и ш ума (9) через линей ную системус п остоянны ми п араметрами. Подставляя (9) в (4), имеем для вы ходного сигнала (11) y (t ) = s y (t ) + n y (t ) , где ξ (t ) = mξ ,

t

s y (t ) = ∫ s (τ )h(t − τ )dτ

(12)

0

-п олезны й вы ходной сигнал, t

n y (t ) = ∫ n(τ )h(t − τ )dτ 0

(13)

6

-реализация ш ума η ( t ) на вы ходе линей ной системы . Последний интеграл следуетп ониматьк ак интеграл Римана всреднек вадратическ ом. Н ай дем статистическ иехарак теристик и случай ного п роцесса η ( t ) . Т ак к ак η (t ) п редставляет собой результат линей ного п реобразования гауссова ш ума ξ (t ) , то η ( t ) - тоже гауссовск ий случай ны й п роцесс. Следовательно, его статистическ ие свой ства п олностью оп ределены , если известны математическ оеожидание mη (t ) и ф унк ция к орреляции Kη (t1 , t2 ) = η (t1 ) − mη (t1 )  η (t2 ) − mη (t2 )  . В ы числим математическ оеожиданиевы ходного ш ума: t

mι (t ) =

∫ ξ (t − τ )h(τ )dτ 0

τ

(14)

t

= ∫ ξ (t − τ ) h(τ ) dτ = mξ ⋅ ∫ h(τ )dτ 0

(15)

0

и его ф унк цию к орреляции Kη (t1 , t2 ) =

t1

t2

∫ h(τ ) ξ (t1 − τ ) − mξ  dτ ∫ h(τ ) ξ (t2 − τ ) − mξ  dτ 0

.

0

Заменяя п овторное интегрирование двой ны м и внося математическ ого ожидания п од знак интеграла, п олучим

оп ерацию

t1 t2

Kη (t1 , t2 ) = ∫ ∫ h(u )h(v) ξ (t 1 −u ) − mξ  ξ (t2 − v) − mξ  dudv . 00

И сп ользуя оп ределение к орреляционной ф унк ции и п редп оложение о стационарности случай ного п роцесса ξ (t ) , из п оследнего находим t1 t2

Kη (t1 , t2 ) = ∫ ∫ h(u )h(v ) Kξ (t1 − t2 + v − u ) dudv .

(16)

00

И з (15), (16) следует, что в общем случае ш ум на вы ходе линей ной системы нестационарны й , даже если входной случай ны й п роцесс является стационарны м. О днак о в случае линей ны х п ассивны х систем, к оторы е, к ак п равило, обладаю т к онечной п амятью , п о истечении достаточно больш ого времени от момента вк лю чения вы ходного сигнала t = 0 случай ны й п роцесс n y (t ) будет п риближаться к стационарному. Д ей ствительно, п усть Tm - время , харак теризую щее п амять системы так , что для всех t > Tm , h(t ) = 0 . Рассматривая вы ходной ш ум п о истечении достаточно больш ого времени ( t > Tm , t1 > Tm , t2 > Tm ) , в ф ормулах (15), (16) п ределы интегрирования можно заменить на беск онечны е. Т огда для харак теристик вы ходного ш ума п олучаю тся следую щиевы ражения mη (t ) = mξ

+∞

∫ h(τ )dτ = mη ,

−∞

K η (τ ) =

+∞ +∞

∫ ∫ h(u )h(v)Kξ (τ + v − u )dudv , τ = t2 − t1 .

−∞ −∞

(17)

7

Т ак им образом, к огда линей ная система работает в стационарном режиме и на ее вход дей ствует стационарны й случай ны й п роцесс, вы ходной п роцесс так же будет стационарны м. О бы чно говорят, что линей ная система работает в стационарном режиме, если смомента п одачи сигнала на вход системы п рош ло время, значительно больш ее длительности п ереходны х п роцессов в этой системе или, что то же самое, п рош ло время, значительно больш ее п амяти системы . Применительно к стационарному режиму работы линей ной системы , вы ражениедля ф унк ции к орреляции вы ходного ш ума (17) можно п ереп исать в виде +∞ 1 2 Kη (τ ) = H ( jω ) Gξ (ω )e jωt dω , (18) ∫ 2π −∞ где Gξ (ω ) =

+∞

∫ Kξ (τ )e

− jωτ

dτ

(19)

−∞

-сп ек тральная п лотность входного ш ума, а H ( jω ) - п ередаточная ф унк ция линей ной системы (5). И ск ажаю щее(меш аю щее) дей ствиеш ума (п омехи) можно харак теризовать отнош ением сигнал/ш ум. Под отнош ением сигнал/ш ум (п о мощности) часто п онимаю т отнош ение мак симальной (п ик овой ) мощности п олезного сигнала к средней мощности ш ума. О бозначив отнош ение сигнал/ш ум п о мощности на входелиней ной системы через z 2 , всоответствии соп ределением, п олучим 2 max s(t ) 2 zx = , (20) σξ 2 где σ ξ 2 = Kξ (0) - дисп ерсия (средняя мощность п еременной составляю щей ) входного ш ума. Е стественно считать, что чем больш е отнош ение сигнал/ш ум, тем меньш е ш ум иск ажает п олезны й сигнал. А налогично (20) отнош ение сигнал/ш ум п о мощности на вы ходелиней ной системы зап иш ем к ак z 2y

=

max s y (t ) σ η2

2

, σ 2η = Kη (0) .

(21)

Ч тобы вы яснить, к ак влияет линей ная система с п остоянны ми п араметрами на отнош ениесигнал/ш ум (21), введем врассмотрениевеличину max s y ( t ) σ ξ z ρ= y = ⋅ . (22) z x max s ( t ) σ η В еличина ρ п ок азы вает, к ак изменяется отнош ение сигнал/ш ум п о нап ряжению , если сумму x(t ) сигнала и ш ума (9) п роп устить через линей ны й ρ , тем лучш е ф ильтр с п остоянны ми п араметрами. О чевидно, чем больш е ф ильтр п одавляет п омеху. Д ля вы числения вы игры ш а в отнош ении

8

сигнал/ш ум, к оторы й дает линей ная ф ильтрация, иногда удобнее исп ользовать сп ек тральноеп редставление(8), (18). Т огда 1

+∞

+∞  2 jω t0 ( ) ( ) S j H j e d ω ω ω ( ) G d ω ω   ∫ ∫ ξ −∞   , −∞ ⋅ +∞ (23) ρ=   2π ⋅ max sx (t ) 2  ∫ H ( jω ) Gξ (ω ) dω   −∞  где t0 -время достижения вы ходны м п олезны м сигналом s y (t ) мак симального значения. При вы воде ф ормулы (23) учтено, что вследствие (8) вы п олняется условие

1 max s y (t ) = t 2π

+∞

∫ S ( jω ) H ( jω )e

jω t0

dω ,

−∞

согласно (18) дисп ерсия оп ределяется соотнош ением +∞ 1 2 2 σ η = Kη (0) = H ( jω ) Gξ (ω ) dω , ∫ 2π −∞ а из теоремы В инера – Х инчина следует +∞ 1 σ ξ 2 = Kξ (0) = ∫ Gξ (ω )dω . 2π −∞

(24)

(25)

Согласно (23) п ри изменении п ередаточной ф унк ции H ( jω ) величина отнош ения сигнал/ш ум на вы ходе ф ильтра будет так же меняться. Т е ф ильтры , для к оторы х величина ρ достигает мак симального значения, назы ваю т оп тимальны ми. М ожно п ок азать, что для сигнала s(t ) со сп ек тром S ( jω ) , п ринимаемого на ф онеш ума со сп ек тральной п лотностью Gξ (ω ) оп тимальны м будетф ильтр сп ередаточной ф унк цией S * ( jω ) − jω t0 H 0 ( jω ) = K e . (26) Gξ (ω ) Здесь K и t0 - нек оторы е п остоянны е, а “*” обозначает к омп лек сное соп ряжение. Согласно (26) п ередаточная ф унк ция оп тимального ф ильтра п олностью оп ределяется сп ек тром п олезного сигнала s(t ) и сп ек тральной п лотностью ш ума Gξ (ω ) . Следует отметить, что техническ ая реализация оп тимального ф ильтра наталк ивается на значительны е трудности даже для п ростей ш их сигналов. Поэтому во многих п рак тическ их п риложениях ограничиваю тся тем, что вы брав нек оторы й , достаточно легк о реализуемы й ф ильтр, затем п одбираю т его п араметры так им образом, чтобы величина ρ , оп ределяемая ф ормулой (23), бы ла мак симальной . Е стественно, п олучаемы й п ри этом вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум, будет меньш е, чем п ри исп ользовании оп тимального ф ильтра (26).

9

Н ай дем вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум, к оторы й может обесп ечитьп ростей ш ий ф ильтр ввидеинтегрирую щей RC цеп очк и (рис.1.1)

R x(t)

C

y(t)

Рис. 1.1 п ри ф ильтрации п рямоугольного имп ульса  A,0 < t < τ u , s(t ) =  (27) 0, t 0, t ≤ ≥ τ u  на ф оне гауссовск ого ш ума, сп ек тральная п лотность к оторого п остоянная в нек оторой п олосечастот, т.е. G0 / 2, ω1 ≤ ω ≤ ω2 , −ω2 ≤ ω ≤ −ω1 , Gξ (ω ) =  (28) 0, ω < ω , ω > ω .  1 2 В ы числим вначале отнош ение сигнал/ш ум на входе ф ильтра (рис.1.1). И з (27) следует, что max s(t ) = A , а из (25) имеем ω

σξ

2

2 1 = G0 ⋅ ∫ dω = G0 ( f 2 − f1 ), 2π ω

(29)

1

где fi = ωi / 2π , i = 1, 2 . Следовательно, входное отнош ение сигнал/ш ум п о нап ряжению равно max s (t ) A zx = = . (30) σξ G0 ( f 2 − f1 ) О п ределим теп ерь отнош ение сигнал/ш ум на вы ходе ф ильтра рис.1.1. Д ля этого вначале надо най ти сигнал на вы ходе RC - цеп очк и п ри воздей ствии на ее вход п рямоугольного имп ульса (26). И мп ульсная п ереходная ф унк ция системы на рис.1.1 имеетвид exp( −t / τ 0 ) / τ 0 , t ≥ 0, h(t ) =  (31) 0, t < 0, где τ 0 = RC - п остоянная времени интегрирую щей RC -цеп очк и. Подставляя (27) и (31) в(12), п олучаем 0 ≤ t ≤ τu ,  A ⋅ (1 − exp(−t / τ 0 )),  s y (t ) =  A ⋅ exp( −(t − τ u ) / τ 0 ) ⋅ (1 − exp( −τ u / τ 0 )), τ u < t < ∞, (32)  0, t < 0,  О тсю да неп осредственно следует, что t0 = τ u ,

10

max s y (t ) = s y (t0 ) = Ay = A ⋅ (1 − exp(−τ u /τ 0 )) .

(33)

При оп ределении дисп ерсии ш ума на вы ходеинтегрирую щей RC -цеп очк и восп ользуемся сп ек тральны м п редставлением. Передаточная ф унк ция для системы на рис.1.1 оп ределяется вы ражением 1 H ( jω ) = . (34) 1 + jωτ 0 Подставляя (34) и (28) в (24), находим средню ю мощность п еременной составляю щей ш ума на вы ходе RC - цеп очк и G (35) σ η2 = 0 (arctg (2π f 2τ 0 ) − arctg (2π f1τ 0 )) . 2πτ 0 Следовательно, отнош ениесигнал/ш ум на вы ходе RC -цеп очк и равно A 2πτ 0 (1 − exp( −τ u /τ 0 )) zy = . (36) G0 (arctg (2π f 2τ 0 ) − arctg (2π f1τ 0 )) В больш инстве п рик ладны х задач п олезны й сигнал наблю дается на ф оне весьма ш ирок оп олосного ш ума, так что обы чно вы п олняю тся неравенства f 2τ 0 >> 1 , f 2 >> f1 . (37) При этих п редп оложениях arctg (2π f 2τ 0 ) ≈ π / 2 , f 2 − f1 ≈ f 2 , и вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум за счет ф ильтрации зап иш ется следую щим образом ρ≈

2 f 2τ и

⋅

1 − exp(−τ u / τ 0 ) . τ u /τ 0

(38) 2 1 − arctg (2π f1τ 0 ) π У читы вая, что ш ирина сп ек тра п рямоугольного имп ульса ∆fu = 1/ τ u , п олучаем f 2 τ u = f 2 / ∆fu . (39) Т о есть вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум п роп орционален к орню к вадратному отнош ения ш ирины сп ек тральной п лотности входного ш ума f 2 − f1 ! f 2 к ш ирине сп ек тра п олезного сигнала ∆fu . К роме того, этот вы игры ш зависит от соотнош ения между длительностью имп ульса τ u и п остоянной времени τ 0 схемы на рис1.1. Существенноевлияниена вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум ок азы вает так же нижняя граница сп ек тральной п лотности f1 . О чевидно, что чем больш е f1 , тем в больш ей степ ени можно п одавитьш ум сп омощью ф ильтрации. Рассмотрим зависимость вы игры ш а в величине отнош ения сигнал/ш ум от п остоянной времени RC -цеп очк и τ 0 и от нижней границы сп ек тральной п лотности ш ума. Д ля этого введем нормированны еп еременны е a = τ 0 / τ u , b = f1τ u . (40) Преобразуем (38) к следую щемувиду

11

ρ≈

2 f 2τ u

a (1 − exp( −1/ a)) . (41) 2 1 − arctg (2π ab ) π Зависимость нормированного вы игры ш а ρ% = ρ / 2 f 2τ u от a для неск ольк их значений b п редставлена на рис. 1.2. К ривая 1 на этом граф ик е соответствует b = 0 (т.е. f1 = 0 ). При вы воде ф ормулы (41) п редп олагалось, что f 2 >> 1/ τ u . Т о естьш ирина п олосы частотш ума значительно больш еп олосы частот сигнала s(t ) . Значит, к ривая 1 на рис 1.2 оп исы вает величину нормированного вы игры ш а в отнош ении сигнал/ш ум для ш ирок оп олосной п омехи. Э та к ривая имеет мак симум в точк е a = 0,8 , то есть τ 0 = 0,8 ⋅ τ u . Следовательно, интегрирую щая RC - цеп ь мак симально п одавляет ш ирок оп олосны й ш ум, если ее п остоянная времени составляет п римерно 80% от длительности п олезного п рямоугольного имп ульса на входе цеп очк и. Е стественно, для п олезного сигнала другой ф ормы (не п рямоугольного) оп тимальное значение п остоянной времени интегрирую щей цеп очк и будет отличаться отзначения 0,8τ u .

Рис. 1.2 К ривая 2 на рис. 1.2 соответствует значению b = 0,05 , то есть п ри f1 = 0,05/ τ u . Э то означает, что в п олосечастот0, f1  , составляю щей всего 5% п олосы частот входного п олезного сигнала s(t ) (27), сп ек тральная п лотность ш ума на входеравна нулю . И з сравнения к ривы х 1 и 2 на рис. 1.2 следует, что даже так оенезначительноеизменениесп ек тральной п лотности ш ума п риводит к существенному изменению харак тера зависимости ρ% (a) . М ак симум этой зависимости смещается в сторонубольш их значений п остоянной времени RC цеп очк и τ 0 и этотмак симум становится менеевы раженны м, чем вслучае b = 0 .

12

К ривая 3 соответствует значению b = 0,1 , то есть f1 = 0,1/ τ u и сп ек тральная п лотность входного ш ума равно нулю в п олосе частот [ 0, f1 ] , составляю щей 10% п олосы частот входного п олезного сигнала s(t ) .Т еп ерь относительны й вы игры ш в величине отнош ения сигнал/ш ум монотонно возрастаетсувеличением п остоянной времени интегрирую щей цеп очк и τ 0 , что соответствует уменьш ению п олосы п роп уск ания системы . К роме того, с увеличением f1 возрастает абсолю тная величина вы игры ш а в отнош ении сигнал/ш ум вследствие ф ильтрации. И зменение харак тера зависимости ρ% ( a) с увеличением п олосы [ 0, f1 ] , в к оторой сп ек тральная п лотность ш ума равна нулю , объясняется тем, что сп ек тр сигнала в этой п олосе не равен нулю . Следовательно, к огда п олоса п роп уск ания RC -цеп очк и становится п орядк а величины f1 , этот ф ильтр, п роп уск ая ненулевы е составляю щие сп ек тра сигнала в п олосе [ 0, f1 ] , п рак тическ и не п роп уск ает ш ума. Поэтому с уменьш ением п олосы п роп уск ания ф ильтра амп литуда п олезного сигнала на вы ходеф ильтра убы вает, но мощностьш ума на вы ходеубы ваетвещебольш ей степ ени. Т ем самы м вы ходное отнош ение сигнал/ш ум ок азы вается увеличенны м п о сравнению свходны м отнош ением сигнал/ш ум. О писание л аб ор атор ной установки Л абораторная установк а, исп ользуемая в данной работе, п редназначена для эк сп ериментального исследования п реобразования сигнала и ш ума в интегрирую щей RC -цеп очк е. Н а рис. 1.3 п риведена блок -схема установк и. Л абораторная установк а состоитиз: • генератора ш ума Г2-57 • вольтметра эф ф ек тивны х значений • осциллограф а • лабораторного мак ета Генератор п рямоугольны х имп у льсов τи 0,25 0,5 1,0

0,5

О сциллограф

В ольтметр эф ф ек тивны х значений

2,0

П1 П2 В ход генератора ш ума

И нтегрирую щая RS цеп очк а τ0 0,1;0,25;0,5;0,75;1,0;1,5;2,0;2,5;3,0;4,0;5,0

Рис. 1.3

В ы ход

13 Б л ок 1 1.0 0.5

С или Ш 1.5

0.25

Режим

С+Ш

τ и , м сек О тген. ш ума

2) ш ум

вход

1.0 0.5

2.0

В ходной сигнал 1)

0.1

τ 0 , м сек

RCцеп ь

3

Рис. 1.4 Генератор ш ума Г2-57 исп ользуется в к ачестве источник а реализаций гауссовск ого случай ного п роцесса снулевы м средним значением. При работес генератором Г2-57 п ерек лю чатель диап азонов п олосы частот ш ума должен бы ть установлен в п оложение 20к Гц. Т огда генератор Г2-57 вы рабаты вает реализации случай ного п роцесса, сп ек тральная п лотность к оторого п риближенно п остоянна вп олосечастотот50 Гц до 20 к Гц. В ольтметр эф ф ек тивны х значений п рибора п редназначен для измерения эф ф ек тивного значения ш ума на входеи вы ходе RC -цеп очк и. О сциллограф исп ользуется для измерения амп литуды сигналов на входе и вы ходе RC - цеп очк и. Л абораторны й мак етвк лю чаетвсебя генератор п рямоугольны х имп ульсов и интегрирую щую RC -цеп ь. Генератор имп ульсов может вы рабаты вать п рямоугольны е имп ульсы длительностью τ u = 0,25;0,5;1,0;1,5;2,0 миллисек унд (10 −3 сек ). В еличина длительности имп ульсов устанавливается п ерек лю чением мак ета τ u . Постоянная времени τ 0 интегрирую щей цеп очк и, исп ользуемой в мак ете, может п ринимать значения 0,1;0,25;0,5;0,75;1,0;1,5;2,0;2,5;3,0;4,0;5,0 миллисек унд. Т ребуемая величина п остоянной времениRC -цеп очк и устанавливается п ерек лю чателем мак етаτ 0 . О сциллограф , п одк лю чаемы й сп омощью п ерек лю чателя « RC -цеп ь» (рис. 1.4) к о входу или вы ходу « RC -цеп и» , п озволяет измерять амп литуду A п рямоугольны х имп ульсовна входеинтегрирую щей RC -цеп очк и и амп литуду Ay сигналов на вы ходе RC -цеп очк и. При этом п ерек лю чатель « В ходной сигнал» устанавливается в п оложение 1, п ри к отором на вход RC - цеп очк и п оступ аю т тольк о п рямоугольны е имп ульсы с генератора мак ета. Е сли этот п ерек лю чатель установить в п оложение 2, п ри к отором на вход RC - цеп очк и п оступ ает ш ум с генератора Г2-57, то вольтметр эф ф ек тивны х значений п рибора п озволяет измерить эф ф ек тивное значение ш ума σ ξ на входе RC цеп очк и (п ерек лю чатель« RC -цеп ь» вп оложение« В ход») и σ η на вы ходе RC цеп очк и ( п ерек лю чатель« RC -цеп ь» вп оложение«В ы ход»).

14

Т ак им образом, с п омощью установк и на рис.1.3 можно п олучить данны е, необходимы е для оп ределения эк сп ериментальной зависимости вы игры ш а в отнош ении сигнал/ш ум, к оторы й обесп ечивается ф ильтрацией смеси сигнала и ш ума RC -ф ильтром. Экспе р им е нтал ьная ч асть 1. О знак омиться соп исанием и инструкцией к п риборам: • генератор ш ума • осциллограф • вольтметр 2. По ф ормуле (38) рассчитать зависимости вы игры ш а в величине отнош ения сигнал/ш ум ρ (τ 0 ) отвеличины п остоянной времени интегрирую щей RC -цеп очк и τ 0 п ри заданны х длительностях п рямоугольны х имп ульсов τ u . Расчетп роизвести для следую щих значений τ 0 =0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0 миллисек унд, τ u =0,25;0,5;1,0;1,5;2,0 миллисек унд, нижняя частота сп ек тральной п лотности ш ума f1 = 50Гц, а верхняя частота f 2 = 15к Гц. 3. Построить (на миллиметровк е) граф ик и теоретическ их зависимостей для указанны х значений τ u . Д атьф изическ ую интерп ретацию этих зависимостей . 4. Снять эк сп ериментальны езависимости вы игры ш а в величинеотнош ения сигнал\ш ум отп остоянной времени RC -цеп очк и τ 0 для значений длительности п рямоугольного имп ульса τ u =0,25;0,5;1,0;1,5;2,0 мс. Д ля этого необходимо вк лю чить мак ет, генератор ш ума, осциллограф , вольтметр, дать им п рогреться неменее30 мин. а) И змерениеамп литуды сигнала на входеи вы ходеф ильтра: • Поставить п ерек лю чатель τ и блок а 1 в п оложение 0.25 мс, а п ерек лю чательτ 0 вп оложение0.1 мс. • Т умблером «В х.сигнал» п одк лю чить генератор п рямоугольны х имп ульсовк входуинтегрирую щей RC -цеп и (п оложение1). • Подк лю чить к о входуинтегрирую щей RC - цеп очк и осциллограф (п ерек лю чатель« RC -цеп ь» вп оложение« В ход»). • И змерить п о эк рануосциллограф а амп литуду A сигнала на входе RC -цеп и. • Подк лю чив осциллограф к вы ходуRC - цеп и (п ерек лю чатель « RC цеп ь» в п оложение «В ы ход»), измерить п о эк рану осциллограф а амп литудусигнала на вы ходе Ay . б) И змерениеэф ф ек тивного нап ряжения ш ума на входеи вы ходе: • Т умблером «В х.сигнал» отк лю чить генератор п рямоугольны х имп ульсовотвхода RC -цеп и и п одк лю читьгенератор ш ума Г2-57. • И зменяя уровень ш ума, вы рабаты ваемого генератором, с п омощью вольтметра установить заданное п реп одавателем эф ф ек тивное нап ряжение σ ξ на входе RC -цеп очк и ( п ерек лю чатель« RC -цеп ь» в п оложение«В ход»).

15

• Поставив п ерек лю чатель « RC - цеп ь» в п оложение « В ы ход», измеритьэф ф ек тивноенап ряжениеш ума σ η на вы ходе RC -цеп и. в) В ы п олнить указанны е в п унк тах а),б) измерения A , Ay , σ ξ , σ η в заданной п оследовательности для п остоянной времени RC -цеп очк и τ 0 =0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0 миллисек унд п ри длительности п рямоугольны х имп ульсовτ u =0,25;0,5;1,0;1,5;2,0 мс. Результаты измерений занести в таблицу. В эту же таблицу занести значения ρ (τ 0 ) , рассчитанны еп о ф ормуле(38), и значения ρ эк (τ 0 ) = Ayσ η / Aσ ξ , Ay ,σ η , A,σ ξ измерены п ри п роведении эк сп еримента. Э к сп ериментальны е значения ρ эк (τ 0 ) следует так же нанести на граф ик и, где п остроены теоретическ ие зависимости ρ (τ 0 ) . Д ля эк сп ериментальны х точек , соответствую щих различны м длительностям п олезного сигнала, желательно исп ользовать различны е обозначения (к ружк и, треугольник и, к рестик и, п лю сик и и т.д.) О бсудитьсогласованиетеоретическ их и эк сп ериментальны х зависимостей , п родумать возможны е объяснения ф изическ их п ричин отк лонения эк сп ериментальны х значений оттеоретическ их. τ 0 [ мc] где величины

σ ξ [ B]

ση [ B] Ax [ B ]

Ay ( B )

τи τи τи τи τи

= 0,25 мс = 0.5 мс = 1.0 мс = 1.5 мс = 2.0 мс

ρ (τ 0 ) ρ'эк (τ 0 ) О ф ор м л е ние отч е та о л аб ор атор ной р аб оте В отчето лабораторной работевк лю чается: • Блок - схема лабораторной установк и с к ратк им оп исанием назначения п риборов • Т аблица с эк сп ериментальны ми данны ми, теоретическ ие и эк сп ериментальны езначения величин ρ (τ 0 ) и ρ эк (τ 0 ) • Граф ик и теоретическ их зависимостей ρ (τ и ) с нанесенны ми на них эк сп ериментальны ми данны ми • В ы воды и оценк и п олученны х результатов Л ите р атур а: [1],[5-7]

16

Л абораторная работа № 5 Э К СПЕ РИ М Е Н Т А Л ЬН О Е И ССЛ Е Д О В А Н И Е К О РРЕ Л Я Ц И О Н Н О ГО ПРИ Е М Н И К А Ц е л ь р аб оты : оп ределение харак теристик обнаружения п рямоугольного и трап ециидального имп ульсов на ф оне гауссовск ого ш ирок оп олосного ш ума п ри к орреляционной обработк е. О сновны е соотноше ния иопр ед е л е ния Рассмотрим задачу обнаружения п олезного сигнала на ф оне аддитивного ш ума [1] и др. При этом входны е данны е п риемного устрой ства п редставим ввиде: x ( t ) = n ( t ) + λ s0 ( t ) ,0 ≤ t ≤ T . (42) Здесь n ( t ) - реализация случай ного п роцесса (ш ума), s0 ( t ) п олезны й сигнал известной ф ормы (детерминированны й сигнал), п олностью расп оложенны й на интервале наблю дения [ 0,T ] . Параметр λ в (42) является неизвестны м и можетп риниматьтольк о одно из двух значений : свероятностью p1 - значение λ = 1 (п олезны й сигнал п рисутствует) и с вероятностью p0 = 1 − p1 - значение λ = 0 (п олезны й сигнал отсутствует). В п риемном устрой стве п о п ринятой к онк ретной реализации x ( t ) должно бы ть вы работано одно из двух реш ений : γ 1 - п олезны й сигнал п рисутствует или γ 0 - п олезны й сигнал вп риняты х данны х отсутствует. При к онечном времени наблю дения и ограниченной энергии п олезного сигнала s0 ( t ) реш ения γ 1 и γ 0 могутбы тьк ак «п равильны ми», так и ош ибочны ми. О ш ибочны е реш ения обы чно назы ваю т ош ибк ами, к оторы е в случаеобнаружения п олезного сигнала могутбы тьдвух видов: - ош ибк а п ервого рода (ложная тревога): п ринимается реш ение γ 1 о наличии сигнала, к огда его нет, т.е. п ри λ = 0 ; - ош ибк а второго рода (п роп уск сигнала): п ринимается реш ение γ 0 об отсутствии сигнала, к огда он есть, т.е. п ри λ = 1 . Поск ольк ув п ринимаемы х данны х x ( t ) всегда п рисутствует ш ум n ( t ) реш ения γ 1 и γ 0 , вы рабаты ваемы е в п риемном устрой стве, являю тся случай ны ми собы тиями. Поэтомудля статистическ ого оп исания ош ибочны х реш ений исп ользую т их вероятности: α = P (γ 1 | λ = 0 ) - вероятность ош ибк и п ервого рода (вероятность ложной тревоги), β = P (γ 0 | λ = 1) - вероятность ош ибк и второго рода (вероятность п роп уск а сигнала). К роме вероятностей ош ибочны х реш ений α и β на п рак тик е достаточно часто исп ользую т так же вероятность D = 1 − β = P (γ 1 | λ = 1) - вероятность п равильного обнаружения. Следует обратить внимание, что все эти вероятности α , β и D являю тся

17

условны ми вероятностями, т.е. вероятностями реш ений γ 1 и γ 0 , вы носимы х в п риемном устрой ствеп ри заданны х условиях λ = 0 или λ = 1 . Зависимости этих вероятностей или их к омбинаций от исходны х п араметров п олезного сигнала и ш ума обы чно исп ользую тся в к ачестве рабочих харак теристик алгоритма вы несения реш ений в п риемном устрой стве. Приемное устрой ство, обесп ечиваю щее наилучш ие рабочие харак теристик и, назы вается оп тимальны м. При этом вы бор к онк ретного вида рабочих харак теристик оп ределяется харак тером общей задачи, реш аемой п ри обнаружении п олезного сигнала. Т ак , в системах радиосвязи эф ф ек тивность обнаружения достаточно часто харак теризуется п олной (средней ) вероятностью ош ибочны х реш ений , а в радиолок ации – вероятностью п роп уск а или вероятностью п равильного обнаружения п ри заданной вероятности ложной тревоги [1,9,10]. В зависимости от того, чем харак теризуется эф ф ек тивность обнаружения п ри оп ределении оп тимального п риемного устрой ства, следует различать, к ак ому к ритерию оп тимальности соответствует это п риемное устрой ство. Т ак , если оп тимальное обнаружение обесп ечивает минимум п олной (средней ) вероятностей ош ибок , то говорят, что оно удовлетворяет случае, к огда оп тимальны й к ритерию идеального наблю дателя. В обнаружитель обесп ечивает минимальное значение вероятности п роп уск а сигнала или мак симальноезначениевероятности п равильного обнаружения п ри заданной вероятности ложной тревоги, обнаружениеп роизводится п о к ритерию Н ей мана-Пирсона. Т ак им образом, для того, чтобы оп ределитьоп тимальны й алгоритм обнаружения, следует п режде всего задать к ритерий оп тимальности. К роме того, так же необходимо иметь статистическ ое оп исание ш ума n ( t ) (42). В п ростей ш ем случае ш ум n ( t ) является реализацией белого гауссовск ого случай ного п роцесса с нулевы м средним значением. Согласно [1] и др., оп тимальное п риемное устрой ство для обнаружения детерминированного сигнала на ф онетак ого ш ума должно ф ормироватьк орреляционны й интеграл T

M = c ∫ x ( t )s0 ( t ) dt , 0

(43)

где c - нек оторая к онстанта, и сравниватьего сп орогом h . Реш ение γ 1 о наличии сигнала в x ( t ) вы носится, если M > h , и реш ение γ 0 об отсутствии сигнала в x ( t ) вп ротивоп оложном случае, т.е. к огда M < h . В еличина п орога h п ри этом оп ределяется исходя из заданного к ритерия оп тимальности. Причем п одобны й «п ороговы й » алгоритм обнаружения является оп тимальны м не тольк о п о к ритерию идеального наблю дателя и к ритерию Н ей мана-Пирсона, но и п ри исп ользовании других к ритериевоп тимальности [10]. К орреляционны й интеграл (43) в п риемном устрой стве можно сф ормировать различны ми сп особами. Н ап ример, исп ользуя согласованны й ф ильтр или к орреляционную обработк у [11]. В данной работе мы будем рассматриватьк орреляционны й п риемник , т.е. п риемное устрой ство, в к отором

18

п реобразование входны х данны х x ( t ) п роизводится в соответствии с вы ражением (43). Ф унк циональная схема так ого к орреляционного обнаружителя п редставлена на рис.2.1. γ1

x (t )

1

2

3

4

γ0

cs0 ( t )

Рис.2.1 x (t )

Н а этом рисунк е блок 1 осуществляет п еремножение реализации и оп орного сигнала cs0 ( t ) ; 2интегратор, на вы ходе к оторого t

ф ормируется

сигнал

c ∫ x ( t )s0 ( t ) dt ;

3

–

стробирую щее устрой ство,

0

отк ры ваю щееся в момент времени t = T ; 4 - п ороговое устрой ство, к оторое сравнивает вы ходной сигнал блок а 3 с п орогом h и ф ормирует одно из реш ений γ 1 , к огда п орог п ревы ш ен, или γ 0 , к огда п ревы ш ения п орога нет. О п ределим теп ерь вероятности ош ибочны х реш ений п ри обнаружении п олезного сигнала к орреляционны м п риемник ом, изображенном на рис.2.1. Е сли п олезны й сигнал отсутствует – λ =0, то п ринимаемы е данны е T

x ( t ) (42) имею т вид x ( t ) = n ( t ) . Т огда M = c ∫ n ( t ) s0 ( t )dt - гауссовск ая 0

случай ная величина снулевы м средним значением и дисп ерсией σ 2 = M 2 = c2

T   ∫ n(t ) s0 (t )dt   0 

2

TT

= c 2 ∫∫ n(t1 ) n(t2 ) s0 (t1 ) s0 (t2 ) dt1dt2 = 00

(44)

TT

T

2

N0 N c N 0 E0 . δ ( t1 − t2 ) s0 ( t1 ) s0 ( t2 )dt1dt2 = c 2 0 ∫ s02 ( t ) dt = 2 2 0 2 00 Здесь N 0 - односторонняя сп ек тральная п лотность белого гауссовск ого = c 2 ∫∫

T

ш ума n ( t ) , E0 = ∫ s02 ( t )dt - энергия сигнала s0 ( t ) . В ероятность ложной тревоги 0

п ри этом равна ∞

α = P ( γ 1 | λ = 0 ) = P ( M > h | λ = 0 ) = ∫ W ( M | λ = 0 )dM = h

∞

 M2  1 h =∫ exp  − 2  dM = 1 − Φ   = 1 − Φ ( H ) , σ   2σ  h σ 2π

(45)

19

где W ( M | λ = 0 ) - условная п лотность вероятности к орреляционного h интеграла (43) п ри отсутствии в x ( t ) п олезного сигнала; H = σ x 2  t  1 нормированны й п орог; Φ ( x ) = exp ∫  − 2  dt - интегралвероятности. 2π −∞ Е сли п олезны й сигнал в наблю даемы х данны х x ( t ) п рисутствует–

λ = 1 , то x ( t ) = n ( t ) + s0 ( t )

T

и M = c ∫  n ( t ) + s0 ( t )  s0 ( t ) dt

- гауссовск ая

0

T

случай ная величина с математическ им ожиданием m0 = M = c ∫ s02 ( t ) dt = cE0 и 0

( M − m0 )

дисп ерсией

2

= σ 2 , совп адаю щей с (44). В ероятность п роп уск а

сигнала п ри этом можетбы тьзап исана к ак β = P ( γ 0 | λ = 1) = P ( M < h | λ = 1) =

h

∫ W ( M | λ = 1) dM =

−∞

 (M − m ) 1 0 = ∫ exp  − 2 2σ  −∞ σ 2π h

где

2

  h − m0  dx = Φ   σ 

  = Φ ( H − z0 ) , 

(46)

m0 2 2 E0 = 2 = (47) N0 σ - отнош ение сигнал/ш ум на вы ходе к оррелятора, ф ормирую щего величинуM (43). В ы ражения (45) и (46) оп ределяю т вероятности ош ибочны х реш ений в к орреляционном обнаружителе (рис.2.1), к огда оп орны й сигнал cs0 ( t ) к оррелятора с точностью до множителя c совп адает с обнаруживаемы м сигналом в п ринимаемы х данны х (42). О днак о на п рак тик е достаточно часто ф орма обнаруживаемого п олезного сигнала и его нек оторы е п араметры могут отличаться от ф ормы и соответствую щих п араметров оп орного сигнала. При этом наблю даемы е данны е, п оступ аю щие на вход п риемного устрой ства, п редставим ввиде x (t ) = n (t ) + λ s (t ) , (48) гдеисп ользую тся обозначения, аналогичны еобозначениям в (42), но п олезны й сигнал s ( t ) в общем случае не совп адает с s0 ( t ) из (42). К орреляционны й обнаружитель, п редставленны й на рис.2.1, в данной ситуации можно рассматривать к ак к вазиоп тимальны й обнаружитель п олезного сигнала s ( t ) . О п ределим харак теристик и п одобного к вазиоп тимального п риема. Е сли п олезны й сигнал в (48) отсутствует ( λ = 0 ), то M (43) является гауссовск ой случай ной величиной снулевы м средним значением и дисп ерсией z02

20

σ 2 (44). Следовательно, вероятность ложной тревоги п ри к вазиоп тимальном, так же к ак и п ри оп тимальном п риеме, оп ределяется вы ражением (45). Е сли п олезны й сигнал в наблю даемы х данны х x ( t ) (48) п рисутствует ( λ = 1 ), то величина M (43) является гауссовск ой с математическ им ожиданием T

m1 = M = c ∫ s ( t ) s0 ( t ) dt и дисп ерсией σ 2 (44). А налогично (46) находим 0

вероятностьп роп уск а сигнала п ри к вазиоп тимальном п риеме:  h − m1  (49) β = Φ  = Φ ( H − z1 ) ,  σ  где m12 2 z1 = 2 (50) σ – отнош ениесигнал/ш ум на вы ходек оррелятора. Т ак им образом, к ак п ри оп тимальном, так и п ри к вазиоп тимальном обнаружении, эф ф ек тивность обнаружения зависит от нормированного п орога H и отнош ения сигнал/ш ум z0 или z1 на вы ходе к оррелятора. Причем нетрудно п ок азать, что отнош ение сигнал/ш ум z1 неможетбы тьбольш еотнош ения сигнал/ш ум z0 . Приведем теп ерьсоотнош ения, оп ределяю щиевеличины п орогов h воп тимальны х и к вазиоп тимальны х обнаружителях, п ри исп ользовании разны х к ритериев оп тимальности. Д ля к ритерия идеального наблю дателя следует оп тимизироватьп олную (средню ю ) вероятностьош ибк и Pо ш = p0α + p1β = (1 − p1 ) 1 − Φ ( H )  + p1Φ ( H − z ) , (51) к оторая зависитотап риорной вероятности p1 наличия в наблю даемы х данны х h x ( t ) п олезного сигнала, нормированного п орога H = и отнош ения σ сигнал/ш ум z ( z1 или z0 ) на вы ходек оррелятора. Следовательно, оп тимальны й п орог h0 , к оторы й обесп ечивает min Pо ш , является ф унк цией p1 , z и дисп ерсии σ 2 . В частном случае, к огда p1 = 1/ 2 , т.е. собы тия наличия и отсутствия п олезного сигнала равновероятны , h0 = m / 2 , где m = m0 или m1 , в зависимости

оттого, к ак ой из сигналов s0 ( t ) или s1 ( t ) обнаруживается в к орреляционном п риемник е с оп орны м сигналом s0 ( t ) . М инимальное значение п олной вероятности ош ибк и п ри этом равно: z Pо ш min = 1 − Φ   . (52)  2 В случае исп ользования к ритерия Н ей мана-Пирсона величина п орога h0 оп ределяется, исходя из минимума вероятности п роп уск а сигнала β п ри заданном значении вероятности ложной тревоги α ∗ . В результате этого п орог h0 находится из уравнения

21

h  (53) 1− Φ 0  =α∗. σ  Реш ение этого уравнения может бы ть п редставлено в виде h0 = σΦ −1 1 − α ∗ , где Φ −1 ( !) - обратная ф унк ция к интегралу вероятности

(

)

Φ ( x ) . Т ак им образом, h0 п о к ритерию Н ей мана-Пирсона зависит тольк о от

заданного значения α ∗ и уровня ш ума на вы ходек оррелятора σ . М инимальное значениевероятности п роп уск а сигнала вэтом случаенаходится к ак β min ( z ) = Φ Φ −1 1 − α ∗ − z  . (54)   К онк ретизируем далее вы ражения, оп ределяю щие отнош ения сигнал/ш ум (47) и (50) на вы ходе к оррелятора п риемного устрой ства, исп ользуемого в лабораторном мак ете для исследования харак теристик обнаружения. В к ачествеоп орного сигнала к оррелятора в лабораторном мак ете служитп рямоугольны й видеоимп ульс cs0 ( t ) = c  I ( t ) − I ( t − τ u )  , (55)

(

)

1, x > 0 - единичная ф унк ция. Полезны й сигнал п ри этом может где I ( x ) =  0, x ≤ 0 бы тьдвух тип ов: I. s ( t ) = A  I ( t − τ 0 ) − I ( t − τ u − τ 0 )  (56)

- п рямоугольны й видеоимп ульс амп литуды A и длительности τ u , задержанны й относительно оп орного сигнала на величинуτ 0 .

{

}

II. s ( t ) = A I ( t − τ 0 ) 1 − exp ( − ( t − τ 0 ) / τ c )  − I ( t − τ u − τ 0 ) 1 − exp ( − ( t − τ u − τ 0 ) / τ c )  (57) видеоимп ульс трап ециидального вида, сф ормированны й интегрирую щей RC - цеп очк ой сп остоянны м временем τ c = RC п ри п одачена еевход сигнала (56). Е сли 0 ≤ τ 0 ≤ τ u , то нетрудно п олучить, что вы ражение для отнош ения сигнал/ш ум на вы ходе к оррелятора с оп орны м сигналом (55) для п олезного сигнала I-го тип а имеетвид:  τ  z12 = z02 1 − 0  (58) τ u   и для сигнала II-го тип а 2

 τ +τ  τ − τ  τ z = 1 − 0 c + c exp  − u 0   . (59) τu τu τ c    Здесь z02 = 2 A2τ u / N 0 - отнош ение сигнал/ш ум на вы ходе к оррелятора, к огда его оп орны й сигнал с точностью до п остоянного множителя совп адает с обнаруживаемы м п олезны м сигналом, т.е. если в(56) τ 0 = 0 , а в(57) τ 0 = τ c = 0 . Следуетотметить, что соотнош ения (58) и (59) п олучены вп редп оложении, что 2

z02

22

амп литуды A сигналов в (56) и (57) одинак овы . В вы ражения для z12 будутиметьиной вид.

п ротивном случае

О писание л аб ор атор ной установки Л абораторная установк а, исп ользуемая в данной работе, п редназначена для исследования харак теристик обнаружения п рямоугольны х и трап ециидальны х видеоимп ульсов, п ринимаемы х на ф оне аддитивного гауссовск ого ш ирок оп олосного ш ума. Схема соединений п риборов и лабораторного мак ета установк и п редставлена на рис.2.2. Л абораторная установк а состоитиз: • генератора ш ума Г2-12, • вольтметра тип а В 7-26, • осциллограф а тип а С1-48Б, • частотомера тип а Ч 3-34, • лабораторного мак ета. Генератор ш ума Г2-12 исп ользуется в к ачестве источник а реализаций гауссовск ого случай ного п роцесса с нулевы м средним значением. Причем сп ек тральная п лотность этого п роцесса может считаться п остоянной в п олосе частот п олезного сигнала. Поэтомуматематическ ой моделью ш ума, на ф оне к оторого наблю дается п олезны й сигнал, служитбелы й гауссовск ий ш ум. В ольтметр установк и п редназначен для измерения и к онтроля нап ряжения, п роп орционального величине п орога h к орреляционного обнаружителя. С п омощью осциллограф а осуществляется визуальное наблю дение п олезного и оп орного сигналов, аддитивной смеси сигнала и ш ума, а так же измерения величины задержк и τ 0 п олезного сигнала относительно оп орного. Ч астотомер в п роцессе эк сп еримента п озволяет измерять вероятности ложной тревоги и п равильного обнаружения. В лабораторном мак ете установк и ф ормируется п олезны й сигнал I-го (п рямоугольны й видеоимп ульс) и II-го (трап ециидальны й имп ульс) тип ов. А ддитивная смесьэтого сигнала и ш ума или тольк о один ш ум затем п оступ ает на к орреляционны й обнаружитель (рис.2.1). О п орны м сигналом этого обнаружителя является п рямоугольны й видеоимп ульс вида (55). Пороговое устрой ство обнаружителя совместно с генератором оп орного сигнала вы рабаты ваю т имп ульсны е п оследовательности. Э ти п оследовательности имп ульсов являю тся входны ми сигналами частотомера лабораторной установк и.

синхр.

PПО

ВЫ Х.

ВХ. С1-68

РЛ Т τ зад

uш

сеть

Г2-12

оп орн. uс + uш

A

B

синхр. − EПО Р

Е ПО Р

А В Ч 3-34

В 7-26

Рис.2.2

24

Блок -схема лабораторного мак ета изображена на рис.2.3. Генератор оп орного сигнала

τ зад

Перемножитель

PЛ Т

В

Стробирую щее устрой ство

Перек лю чатель режимов работы

Генератор полезного сигнала

И нтегратор со сбросом

Сумматор Пороговое устрой ство

n(t )

Р ПО

А Eп о р

Рис.2.3 Генератор оп орного сигнала лабораторного мак ета ф ормирует п оследовательность п рямоугольны х видеоимп ульсов (рис.2.4) длительностью τ u =40мк с.

t 0

T0 = 200 м к с

2T0

NT0

Рис.2.4 t 0 τ0

T0 τ 0 + T0

2T0

NT0 τ 0 + NT0

Рис.2.5 t 0 τ0

T0 τ 0 + T0

2T0

NT0 τ 0 + NT0

Рис.2.6 t 0

T0

2T0

Рис.2.7

NT0

25

Период п овторения этих имп ульсов составляет 200 мк с и значительно п ревы ш ает интервал к орреляции ш ума, вы рабаты ваемого генератором Г2-12. В следствие этого значения ш ума на к аждом п ериоде п овторения имп ульсов оп орного сигнала можно считать статистическ и независимы ми, а результаты обнаружения п олезного сигнала в к аждом так ом п ериоде – результатами статистическ и независимы х оп ы тов. И мп ульсная п оследовательность с генератора оп орного сигнала п оступ ает на вход B частотомера. Ч астота этой п оследовательности оп ределяетчастотустатистическ и независимы х оп ы тов п о обнаружению п олезного сигнала в лабораторном мак ете. К роме этого п оследовательность имп ульсов оп орны х сигналов п оступ ает на генератор п олезного сигнала, п еремножитель, интегратор со сбросом и стробирую щее устрой ство. К ажды й имп ульс п оследовательности оп орного сигнала зап уск ает генератор п олезного сигнала. В результате этого на его вы ходе ф ормируется п оследовательность видеоимп ульсов п олезны х сигналов I-го (рис.2.5) или II-го (рис.2.6) тип ов. При ф ормировании п олезного сигнала II-го тип а – трап ециидальны х имп ульсов исп ользуется интегрирую щая RC цеп очк а с п остоянной времени τ c =15 мк с. В нутри генератора п олезного сигнала так же п редусмотрена регулировк а времени зап азды вания τ 0 имп ульса п олезного сигнала относительно имп ульса оп орного сигнала. Последовательность п олезны х сигналов через блок п ерек лю чателя режимов работы , к оторы й или п роп уск ает на свой вы ход входной сигнал (режим - PПО ), или не п роп уск ает (режим - PЛ Т ), п оступ ает на сумматор. Н а второй вход сумматора п одается нап ряжение с генератора ш ума. Т ак им образом, на вы ходе сумматора имеется п оследовательность наблю даемы х данны х x ( t ) (48), в к оторой в зависимости от п оложения п ерек лю чателя режимов работы п рисутствует тольк о ш ум или и ш ум и п олезны й сигнал. Д анны е x ( t ) с вы хода сумматора затем п одаю тся на один из входов п еремножителя, на второй вход к оторого п риходит п оследовательность оп орны х сигналов. Результат п еремножения далее п оступ ает на интегратор со сбросом. Стробирую щее устрой ство, к оторое соединено с вы ходом интегратора, снимает данны е с интегратора в момент ок ончания к аждого имп ульса п оследовательности оп орны х сигналов. При этом п роисходит так же обнуление (сброс) интегратора. И мп ульсное нап ряжение со стробирую щего устрой ства, п роп орциональное величине к орреляционного интеграла M (43), затем п одается на п ороговое устрой ство. В еличина п орога в нем может регулироваться и к онтролируется вольтметром. Е сли входной имп ульс п орогового устрой ства имеет амп литудубольш ую , чем значение п орога, то п ороговоеустрой ство на своем вы ходеф ормируетстандартны й п рямоугольны й имп ульс, что соответствуетп ринятию реш ения γ 1 о наличии п олезного сигнала в наблю даемы х данны х. В п ротивоп оложном случае на вы ходе п орогового устрой ства стандартны й п рямоугольны й имп ульс отсутствует, что соответствует п ринятию реш ения γ 0 об отсутствии п олезного сигнала. Т ак им образом, на вы ходе п орогового устрой ства имеется случай ная

26

п оследовательностьстандартны х имп ульсов(рис.2.7), к ажды й имп ульск оторой соответствует оп ы туп о обнаружению п олезного сигнала, в к отором вы несено реш ение γ 1 . Э та случай ная п оследовательность п одается затем на вход A частотомера. Ч астотомер в п роцессе эк сп еримента работает в режиме измерения отнош ения частот FA / FB . В этом режиме частотомер оп ределяет отнош ение числа имп ульсов, п оступ ивш их на вход A к числу имп ульсов, п риш едш их п о входу B за время анализа. Т ак им образом, п ок азания частотомера являю тся оценк ами (результатами измерения) вероятности п ринятия реш ения γ 1 . Причем п ри п оложении п ерек лю чателя режимов работы лабораторного мак ета PЛ Т - оценк ой вероятности ложной тревоги, а п ри п оложении этого п ерек лю чателя PПО - оценк ой вероятности п равильного обнаружения. К ак следует из теоретическ их соотнош ений (45) и (49), харак теристик и обнаружения зависят от нормированного п орога H = h / σ и отнош ения сигнал/ш ум z = m σ . Д ля того чтобы устанавливатьзаданны езначения H и z , нужно иметьвозможностьизмерятьуровни п орога h и величин m и σ . О днак о вы п олнить п рямы е измерения этих величин достаточно сложно. Поэтому установк а заданны х значений H и z п ри вы п олнении работы п роизводится к освенны ми методами. В лабораторном мак ете имеется к лемма « Eп о р », на к оторую п одается нап ряжениеU п о р , п роп орциональноевеличинеп орога h , т.е. U п о р = c1h , где c1 нек оторая отрицательная к онстанта. Т .к . c1 неизвестна, то п ок азания вольтметра, п одк лю ченного к этой к лемме, нельзя неп осредственно п ересчитать в значение п орога h . Поэтому целесообразно исп ользовать следую щую методик у. В началевы ставляется так ой п орог h , чтобы его величина бы ла равна m0 - значению сигнала на вы ходе к оррелятора п ри наличии на его входе тольк о п олезного сигнала s0 ( t ) . Э то можно сделать п о п ок азаниям частотомера п ри п оложении п ерек лю чателя режимов работы лабораторного мак ета PПО , п олезном сигнале I-го тип а с τ 0 = 0 и отк лю ченном генераторе ш ума. Затем в режиме PЛ Т и п одк лю ченном генераторе ш ума, изменяя уровень ш ума на вы ходегенератора ш ума, устанавливается значениеσ , п ри к отором σ = h = m0 . В этом случае п ок азания частотомера должны соответствовать измеряемому значению вероятности ложной тревоги для нормированного п орога H = 1 . Т ак им образом, в лабораторной установк е будут вы ставлены начальны е регулировк и, обесп ечиваю щие нормированны й п орог обнаружения равны м единице и отнош ение сигнал/ш ум z0 так же равны м единице. Д алее, ослабляя или усиливая ш ум на вы ходе генератора ш ума с п омощью аттеню атора ослабления (рис.2.8), можно устанавливать требуемое отнош ение сигнал/ш ум z0 . А ттеню атор ослабления генератора ш ума Г2-12 п озволяет снижать эф ф ек тивное нап ряжение ш ума на вы ходе генератора на целое число децибел.

27

У становк а требуемой величины ослабления осуществляется п ри п омощи трех регуляторов, п ричем результирую щая величина ослабления равна сумме п ок азаний всех трех ш к ал. Т ак , нап ример, на рис.2.8 установлена величина ослабления 35 дБ. И зменение ослабления на S дБ соответствует изменению нап ряжения на вы ходегенератора в10 S / 20 раз. 20 40

0

24 30 36

18

4

12 5

6 0

6

3

2 1 0

Рис.2.8 Е сли п ри установк е начальны х регулировок , соответствую щих z0 = 1 , бы ло вы ставлено ослабление (затухание) S0 , то п олучим следую щие зависимости междуотнош ением сигнал/ш ум z0 и ослаблением S .

z0 = 10( 0 ) , S = 20lg z0 + S0 (60) Д ля эк сп ериментального исследования зависимости вероятности ложной тревоги от нормированного п орога H необходимо будет устанавливать заданны езначения H . Э то можно вы п олнитьследую щим образом. После того к ак будут вы ставлены начальны е регулировк и, соответствую щие z0 и H = 1 , с п омощью вольтметра (тип В 7-26) измеряется нап ряжение U п о р = U n на к лемме « Eп о р », к оторое к ак уже отмечалось ранее п роп орционально величине п орога h . Следовательно, U n соответствует значению нормированного п орога H = 1 . Д ля установк и диск ретны х значений нормированного п орога H i = i / n , i = 0; ±1; ±2, ⋅⋅ ⋅ , где 1/ n - ш аг диск ретизации нормированного п орога H , величину нап ряжения U п о р следует задавать в соответствии сп равилом U п о рi = U ni / n , i = 0; ±1; ±2, ⋅⋅ ⋅ (61) S − S / 20

Экспе р им е нтал ьная ч асть В п роцессе вы п олнения лабораторной работы необходимо эк сп ериментально измерить зависимость вероятности ложной тревоги α от нормированного п орога H i и зависимости вероятностей п равильного обнаружения D от отнош ения сигнал/ш ум z0i для сигналов I-го и II-го тип ов п ри вы боревеличины п орога обнаружителя п о к ритерию Н ей мана-Пирсона. 1. Подготовк а п риборовк работе. 1.1. Собратьлабораторную установк уп о схемерис.2.2. 1.2. В к лю чить частотомер Ч 3-34, для этого вы п олнить следую щие оп ерации: • Перевести тумблеры «Сеть» и 8 ◄ (вк лю чение термостата) в верхнее п оложение.

28

• Послеп рогрева термостатированного блок а к варцевого генератора ламп а индик ации термостата, находящаяся рядом с тумблером вк лю чения термостата, п ериодическ и зажигается и гаснет. • У становитьтумблер «N¤» вп оложение¤. Част о т а А, В ». • Поставить п ерек лю чатель «Род работы » в п оложение « Ко нт ро ль После этого ламп очк а «Селек тор» начинает мигать с частотой , регулируемой ручк ой «В ремя индик ации». • Произвести неск ольк о отсчетов для к аждого п оложения п ерек лю чателя «М етк и времени». При этом изменять п оложение п ерек лю чателя «В ремя измерения» от 1 мс до 10 с. Пок азания п рибора, соответствую щие различны ми п оложениями п ерек лю чателей «М етк и времени» и «В ремя изменения», сведены втаблице1. Т аблица 1 М етк и времени 10 нс 0,1 мк с 1 мк с 10 мк с 0,1 мс 1 мс

В ремя измерения 1 мс 000100000 000010000 000001000 000000100 000000010 000000001

10 мс 00100000,0 00010000,0 00001000,0 00000100,0 00000010,0 00000001,0

0,1 с 0100000,00 0010000,00 0001000,00 0000100,00 0000010,00 0000001,00

1с 100000,000 010000,000 001000,000 000100,000 000010,000 000001,000

10 с 00000,000 10000,000 01000,000 00100,000 00010,000 00001,000

Пок азания п рибора могут отличаться от указанны х в таблице не более чем на ± 1 единицусчета. 1.3. Перевести частотомер Ч 3-34 врежим измерения отнош ения частот. Д ля этого вы п олнитьследую щиеоп ерации: F • У становитьп ерек лю чатель«Род работы » вп оложение« A,B ». FB • Поставить п ерек лю чатель «М етк и времени» в п оложение → A , а аттеню атор к анала А вп оложение1:1 или 1:10. • Поставить п ерек лю чатель п олярности зап уск а к анала А в п оложение « C ». • Т умблер «неп р.счетА » п еревести внижнееп оложение. • У становитьп ерек лю чатель«В ремя измерения» вп оложение«1s». • У становить п ерек лю чатель «раздельно - совместно» в п оложение «раздельно». • Ручк у «У ровень» к анала В п овернуть слева нап раво до уп ора. А ттеню атор к анала В п оставитьвп оложение1:1. • У становить ручк ой «В ремя индик ации» удобное для отсчета время индик ации. • У становить п ерек лю чатель «М ножитель п ериода» в п оложение, оп ределяемое требуемой точностью измерений . В данной работе достаточно п роизводитьизмерения сточностью до трех знак овп осле зап ятой .

29

1.4.В к лю чить генератор ш ума Г2-12. Д ля этого вы п олнить следую щие оп ерации: • Ручк у«В ы ходп лавно» п овернутьвк рай нелевоеп оложение. • Н а «аттеню аторе ослабления» установить начальное затухание S0 дБ. В еличинуS0 задаетп реп одаватель. В дальней ш ем следуетиметь в виду, что нельзя устанавливать ослабление равное 0, т.к . п ри этом на лабораторны й мак ет будет п одан ш ум больш ого уровня, что можетп ривести к вы ходуиз строя мак ета. • Перек лю чатель«диап азоны » п оставитьвп оложение«20-20000» Гц. • Перек лю чатель «вы ходное соп ротивление» установить на «600» О м. Э ф ф ек тивное нап ряжение ш ума на вы ходе генератора п ри этом можно изменять с п омощью аттеню атора ослабления ступ енями через 1дБ от0 до 82дБ. • Перек лю чательвольтметра генератора п оставитьвп оложение10В . • В к лю читьтумблер п итания сети генератора. • Ручк ой «В ы ход п лавно» установить п о вольтметру генератора нап ряжениеок оло 4 вольт. 1.5.В к лю чить п итание мак ета. У становить п ерек лю чатель режимов работы , а регулятор « Р Л Т ! Р ПО » в п оложение Р ПО , тумблер «вид сигнала» в « Eп о р » - всреднееп оложение. 1.6.В к лю читьосциллограф С1-68 для наблю дения смеси сигнала и ш ума. 1.7.В к лю чить вольтметр В 7-26. У становить п ерек лю чатель» род работы » в п оложение U − или U + и вы брать соответствую щую ш к алудля того, чтобы можно бы ло измерять нап ряжение U п о р , снимаемое с к леммы «- Eп о р » и регулируемоеручк ой « Eп о р » мак ета. 2. У становк а времени задержк и. 2.1. Перек лю чатель режимов работы лабораторного мак ета « Р Л Т ! Р ПО » п оставитьвп оложение Р ПО . 2.2. О тк лю читьотлабораторного мак ета генератор ш ума Г2-12. Подать на осциллограф сигнал с к леммы « uс + uш » лабораторного мак ета. При этом на осциллограф енаблю дается п олезны й сигнал.

τ0

τ0

τи

τи Рис.2.9

Рис.2.10

30

Положениеф ронтовоп орного сигнала относительно п олезного отмечено п арой к оротк их имп ульсов. А мп литуда этих имп ульсов мала п о сравнению с амп литудой п олезного сигнала (рис.2.9 и 2.10). Рисунок 2.9 соответствует случаю , к огда п олезны й сигнал является п рямоугольны м видеоимп ульсом, а рисунок 2.10 - трап ециидальному п олезномусигналу. 2.3. В ращением ручк и « τ зад » лабораторного мак ета установить необходимое время задержк и τ 0 . И змерение времени задержк и п роизводится с п омощью ш к алы , нанесенной на эк ран осциллограф а. При этом удобно исп ользоватьследую щий масш таб ш к алы осциллограф а: 1 см=20 мк сили 1 см= 50 мк с. 2.4. Подк лю читьгенератор ш ума к лабораторномумак ету. 3. У становк а начальны х регулировок мак ета, обесп ечиваю щих значения отнош ения сигнал/ш ум z0 = 1 и нормированного п орога H = 1 . 3.1. Поставитьп ерек лю чательрежимовработы « Р Л Т ! Р ПО » мак ета в PПО , а тумблер «вид сигнала» в п оложение . При этом п олезны й сигнал имеет п рямоугольную ф орму. 3.2. У становить нулевое значение времени задержк и п олезного сигнала относительно оп орного, т.е. τ 0 = 0 (см. п .2). 3.3. Н е п одк лю чая к мак ету генератор ш ума, вращением ручк и « Eп о р » установить так ой п орог h обнаружителя, п ри к отором п ок азания частотомера будут п ереходить от значения 0,000 к 1,000. При этом h ! m0 . Д ля более точного вы п олнения этого п риближенного равенства следует установить п оложение ручк и « Eп о р », п ри к отором п ок азания частотомера будут соответствовать PПО = 0,5 . В еличину нап ряжения U n на к лемме « − Eп о р », измеренного п ри этом вольтметром, следует зап исать, п оск ольк уона будет в дальней ш ем исп ользоваться для вы числений п о ф ормуле(61) 3.4. Поставитьп ерек лю чатель«Род работы » мак ета вп оложение PЛ Т . 3.5. Подк лю чить к мак етугенератор ш ума, п ерек лю чатели и регулировк и к оторого вы ставлены всоответствии сп .1.4. 3.6. Ручк ой «вы ход п лавно» установить так ой уровень ш ума генератора, п ри к отором п ок азания частотомера будут соответствовать измеренному значению вероятности ложной тревоги для нормированного п орога H = 1 . Согласно вы ражению (45), это значение должно бы ть равно α ( H = 1) = 1 − Φ (1) ! 0.16 . Поск ольк уп ок азания частотомера являю тся оценк ой вероятности, п олученной в результатеусреднения п о к онечномучислуоп ы тов, они будут лиш ь «груп п ироваться» ок оло значения 0.16 . В заданны х условиях п роведения лабораторной работы достаточно, чтобы п ок азания частотомера, к ак п равило, уклады вались в диап азон 0.14-0.18. При этом регулировк и генератора ш ума и установленны й в соответствии с п . 3.3. п орог обнаружения будут обесп ечивать так ое значение п араметра σ (44) на вы ходе к оррелятора, п ри к отором нормированны й п орог H ! 1 и отнош ение сигнал/ш ум z0 ! 1 . В

31

дальней ш ем п оложение ручк и генератора ш ума «В ы ход п лавно» должен оставаться неизменны м. Пок азания вольтметра генератора ш ума п осле вы п олненны х установок следует зап исать и отразить в отчете п о лабораторной работе. 4. И змерение зависимости вероятностей ложной тревоги от величины нормированного п орога. При вы п олнении этого п унк та работы следует измерить вероятности ложной тревоги для различны х значений нормированного п орога H i = 1/ 2 , i = 0; ±1; ±2;K ± 6. 4.1. После установок начальны х регулировок лабораторной установк и в соответствии сп . 3 п оставитьп ерек лю чатель«род работы » мак ета вп оложение PЛ Т , а п ерек лю чатель«вид сигнала» - в . 4.2. Регулятором мак ета « Eп о р » установить на вольтметре одно из i = 0; ±1; ±2;K ± 6. , что соответствует нормированному п орогу H i (с учетом знак а между нап ряжением U п о р и величиной п орога h ). Пок азания частотомера п ри этом будут оп ределять измеренное значение вероятности ложной тревоги α ( H i ) . Д алее п одобны е измерения вы п олнитьдля других значений H i . 4.3. Перек лю чатель мак ета «В ид сигнала» п оставить в п оложение трап ециидального имп ульса и п овторитьп .4.1 и 4.2. 5. И змерение зависимостей вероятности п равильного обнаружения от отнош ения сигнал/ш ум z0i . нап ряжений

U п о рi = U n ⋅ i / 2 ,

При вы п олнении этого п унк та работы следует измерить вероятности п равильного обнаружения п олезны х сигналов I-го и II-го тип ов для различны х значений отнош ения сигнал/ш ум z0i и величине п орога обнаружителя, оп ределяемы м в соответствии с к ритерием Н ей мана-Пирсона. Параметры п олезны х сигналов и доп устимы е уровни вероятностей ложны х тревог задаю тся таблицей 2. И сп ользуемы й варианттаблицы 2 оп ределяется п реп одавателем. 5.1. После установк и начальны х регулировок лабораторной установк и в соответствии с п .3 п ерек лю чатель «Род работы » мак ета ставится в п оложение PЛ Т , а п ерек лю чатель«В ид сигнала» - вп оложение . 5.2. С п омощью осциллограф а п ри отк лю ченном от мак ета генератора ш ума устанавливается заданное значение времени задержк и τ 0 п олезного сигнала относительно оп орного. Д анная установк а п роизводится в соответствии сп .2. Н ачинатьцелесообразно со значения τ 0 = 0 . 5.3. К лабораторному мак ету п одк лю чается генератор ш ума. Н а аттеню аторе ослабления генератора ш ума п ри этом стоит заданное п реп одавателем затухание S0 , а ручк а «В ы ход п лавно» находится вп оложении, вы ставленном в соответствии с п .3.6. Э ти начальны е установк и обесп ечиваю т отнош ение сигнал/ш ум z0 = 1 . Д алее на аттеню аторе ослабления устанавливается общее затухание Si , п ри к отором отнош ение сигнал/ш ум

32

оп ределяется вы ражением (60). В еличину Si следует вы бирать из интервалов [10дБ; 30дБ] сш агом 5дБ; [30дБ; 40дБ] сш агом 2дБ (всего 11 значений ). 5.4. Перек лю чатель «Род работы » на лабораторном мак ета ставится в п оложение PЛ Т . Затем регулятором « Eп о р » п одбирается так ой п орог обнаружителя, п ри к отором п ок азания частотомера будут соответствовать измеренному значению доп устимой вероятности ложной тревоги α ∗ из таблицы 2. Следует заметить, что величина так ого п орога будет меняться с изменением общего затухания Si , вы ставленного на генераторе ш ума, и с изменением доп устимой вероятности ложной тревоги α ∗ . 5.5. Перек лю чатель«Род работы » лабораторного мак ета устанавливается в п оложение PПО . Пок азания частотомера п ри этом будут соответствовать измеренному значению вероятности п равильного обнаружения п олезного сигнала I-го тип а с установленны м временем зап азды вания τ 0 , отнош ением сигнал/ш ум z0i (общим затуханием Si ) и доп устимой вероятностью ложной тревоги α ∗ . 5.6. Д алее вы п олняю тся измерения вероятностей п равильного обнаружения для всех значений отнош ения сигнал/ш ум z0i (затуханий Si ) согласно п .5.3-5.5. 5.7. А налогичны еизмерения п роводятся для • другого доп устимого уровня вероятности ложной тревоги; • другого времени зап азды вания τ 0 и двух значений доп устимой вероятности ложной тревоги; • п олезного сигнала трап ециевидной ф ормы сдвумя значениями времени зап азды вания п ри двух уровнях доп устимой вероятности ложной тревоги. Т ак им образом, в результате вы п олнения п .5 должно бы ть п олучено п о четы ре эк сп ериментальны х зависимости D = D ( z0i ) для к аждого тип а п олезного сигнала. 6. Соп оставлениетеоретическ их и эк сп ериментальны х зависимостей . 6.1. При п остроении теоретическ ой зависимости вероятности ложной тревоги α от величины нормированного п орога H ∈ [ −3;3] исп ользуется вы ражение (45). Значения интеграла вероятности Ф ( x ) находятся из таблиц, п риведенны х в п риложении и др., или п ри п омощи п рограммного п родукта MathCad (ф унк ция cnorm(x)). Н а граф ик теоретическ ой зависимости α ( H ) наносятся точк ами ! и к рестик ами ⊗ эк сп ериментальны е данны е п о измерению вероятностей ложной тревоги для различны х H i , п олученны е в результатевы п олнения п .4. 6.2. Построение теоретическ их зависимостей вероятности п равильного обнаружения D от величины отнош ения сигнал/ш ум z0 п ри ф ик сированной вероятности ложной тревоги α ∗ п роизводится п о ф ормуле D ( z0 ) = 1 − β min ( z ) ,

33

где β min ( z ) оп ределяется (54), а отнош ение сигнал/ш ум z - вы ражением (58) или (59) взависимости отвида п олезного сигнала. Д ля этого сп омощью таблиц интеграла вероятности или MathCad (ф унк ция qnorm(x,0,1)) находится значение п орога H , соответствую щее заданномууровню вероятности ложной тревоги α ∗ . Н ап ример, для α ∗ =0.1 величина H 0 =1.28, а п ри α ∗ =0.01 - H 0 =2.33. Д алее, исп ользуя (58) или (59) , вы числяется z . Постоянная времени RC -цеп очк и, к оторая входитв(59), оп ределяется п араметрами лабораторного мак ета и имеет значениеτ c =15мк с. Расчет зависимостей D ( z0 ) вы п олняется для значений z0 , п ри к оторы х z (58) или (59) изменяю тся от0 до 10. Н а теоретическ иезависимости D ( z0 ) наносятся эк сп ериментальны е данны е п о измерению вероятностей п равильного обнаружения, п олученны ев результате вы п олнения п .5. При этом общее затухание Si п ересчиты вается в z0i согласно (60). Зависимости D ( z0 ) целесообразно расп оложить на четы рех рисунк ах: 1-й и 2-й для сигнала I-го тип а; 3-й и 4-й – для сигнала II-го тип а; 1-й и 3-й для нулевой задержк и п олезного сигнала; 2-й и 4-й – для п олезного сигнала с ненулевы м зап азды ванием. Т аблица 2 Н омер Т ип Заданная вероятность ложной Задержк а τ 0 варианта сигнала тревоги α ∗ 1 I-й , II-й 0; 5мк с 0.14; 0.04 2 I-й , II-й 0; 10мк с 0.1; 0.01 3 I-й , II-й 0; 5мк с 0.12; 0.02 4 I-й , II-й 0; 10мк с 0.16 ; 0.06 О ф ор м л е ние отч е та о л аб ор атор ной р аб оте В отчето лабораторной работевк лю чаю тся: • блок -схема лабораторной установк и с к ратк им оп исание назначения п риборов; • таблицы эк сп ериментальны х значений вероятностей ложной тревоги и п равильного обнаружения; • граф ик и теоретическ их зависимостей вероятности ложной тревоги и п равильного обнаружения, рассчитанны е п о теоретическ им ф ормулам, с нанесенны ми на них эк сп ериментальны ми данны ми; • вы воды и оценк уп олученны х результатов. Л ите р атур а: [1-4].

34

Л И Т Е РА Т У РА О снов на я ли т ера т ура 1. Ш ахтрин Б.И . Случай ны еп роцессы в радиотехник е: Ц ик л лек ций / Б. И . Ш ахтрин. - М .: Радио и связь.-2000.-583 с. 2. А к имов П.С. Сигналы и их обработк а в инф ормационны х системах / П.С.А к имов, А .И . Сек ин, В .И . Соленов - М . : Радио и связь,1992.362 с. 3. Т ихонов В .И . Статистическ ая радиотехник а / В .И .Т ихонов.- М . : Сов.радио,1982.-624 с. 4. Т ихонов В .И . О п тимальны й п рием сигналов / В .И .Т ихонов.- М .: Радио и связь,1983 319 с. 5. Сосулин Ю .Г. Т еоретическ ие основы радиолок ации и радионавигации / Ю .Г. Сосулин.- М .: Радио и связь,1992.-428 с. 6. Л евин Б.Р. Т еоретическ ие основы радиотехник и / Б. Р. Л евин.-М . : Радио и связь,1989.-654 с. 7. В ентцель Е .С.Т еория случай ны х п роцессов и ее инженерны е п риложения.- У чеб . п особие для втузов./ Е .С. В ентцель, Л .А . О вчаров-2-еизд., стер .- М .: В ы сш .ш к .,2000.-383 с. Д ополни т ельна я ли т ера т ура 8. Т ихонов В .И . Статистическ ая радиотехник а / В .И . Т ихонов. - М . : Сов.радио,1966.- 678 с. 9. В ан-Т рис Г. Т еория обнаружения, оценок и модуляции / Г. В ан Т рис. ; Пер.сангл. п од ред. Т . В . Горяинова . - М .: Сов.радио,1972.Т .1.-744 с. 10. М иддлтон Д . В ведение в статистическ ую теорию связи /Д .М иддлтон - М .: Сов.Радио,1962.-Т .2.-832 с. 11. Гоноровск ий И .С. Радиотехническ ие цеп и и сигналы / И . С. Гоноровск ий - М .: Сов. радио, 1977 .- 608 с. 12. Ры тов С.М . В ведение в статистическ ую радиоф изик у: У чеб. п ос. / С.М . Ры тов.- М .: Н аука ,1976.-Ч .1: Случай ны еп роцессы .- 494 с.

35

ПРИ Л О Ж Е Н И Е Знач е ния инте гр ал а ве р оя тности x -5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 -4 -3.9 -3.8 -3.7 -3.6 -3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6

Ф(x) 2.87E-07 4.79E-07 7.93E-07 1.30E-06 2.11E-06 3.40E-06 5.41E-06 8.54E-06 1.33E-05 2.07E-05 3.17E-05 4.81E-05 7.23E-05 0.0001078 0.000159109 0.000232629 0.000336929 0.000483424 0.000687138 0.000967603 0.001349898 0.001865813 0.00255513 0.003466974 0.004661188

x -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

Ф(x) 0.006209665 0.008197536 0.01072411 0.013903448 0.017864421 0.022750132 0.02871656 0.035930319 0.044565463 0.054799292 0.066807201 0.080756659 0.096800485 0.11506967 0.135666061 0.158655254 0.184060125 0.211855399 0.241963652 0.274253118 0.308537539 0.344578258 0.382088578 0.420740291 0.460172163

Составители: Т риф оновА ндрей Павлович Д удк ин В алерий Петрович М арш ак овВ ладимир К ириллович, Прибы тк овЮ рий Н ик олаевич Редак тор Т ихомирова О .А .

Ф(x)

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4

0.5 0.539827837 0.579259709 0.617911422 0.655421742 0.691462461 0.725746882 0.758036348 0.788144601 0.815939875 0.841344746 0.864333939 0.88493033 0.903199515 0.919243341 0.933192799 0.945200708 0.955434537 0.964069681 0.97128344 0.977249868 0.982135579 0.986096552 0.98927589 0.991802464

x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Ф(x) 0.993790335 0.995338812 0.996533026 0.99744487 0.998134187 0.998650102 0.999032397 0.999312862 0.999516576 0.999663071 0.999767371 0.999840891 0.9998922 0.999927652 0.999951904 0.999968329 0.999979342 0.999986654 0.99999146 0.999994587 0.999996602 0.999997888 0.999998699 0.999999207 0.999999521