kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 2
kazanx | 2006 ...
8 downloads
188 Views
475KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 2
kazanx | 2006
pE^ATAETSQ PO REENI@ U^ENOGO SOWETA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
nAU^NYJ REDAKTOR D F M N PROFESSOR i i sAHAEW :
.
.-
.
.,
.
.
tRONIN s n .
.
wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. zADA^I I TEOREMY.~ASTX 2 : u^EBNOE POSOBIE. / s.n. tRONIN.| kAZANX: kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, 2007. | 97 S. dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MLADIH KURSOW. oNO MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ RABOTY NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH PO KURSU ALGEBRY KAK DOPOLNENIE K UVE IME@]EJSQ LITERATURE, A TAKVE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY. mATERIAL POSOBIQ W CELOM OHWATYWAET WSE RAZDELY TEORII GRUPP, SODERVA]IESQ W DEJSTWU@]EJ NA DANNYJ MOMENT PROGRAMME KURSA ALGEBRY.
sodervanie
wWEDENIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5. dEJSTWIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6. pREDSTAWLENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 7. gRUPPY WRA]ENIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 8. kWATERNIONY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 9. kWATERNIONY I WRA]ENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 literatura : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
wWEDENIE
dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW, IZU^A@]IH KURS ALGEBRY. w \TOT KURS WHODQT W KA^ESTWE SOSTAWNOJ ^ASTI NEKOTORYE NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII GRUPP. oSNOWAM TEORII GRUPP I POSWQ]QETSQ DANNOE POSOBIE. oPIEM WKRATCE SODERVANIE WTOROJ ^ASTI. oTMETIM, ^TO NUMERACIQ RAZDELOW QWLQETSQ OB]EJ DLQ OBEIH ^ASTEJ, TAK ^TO WTORAQ ^ASTX NA^INAETSQ S PQTOGO RAZDELA. zADA^I I TEOREMY PQTOGO RAZDELA SWQZANY S DEJSTWIEM GRUPP NA MNOVESTWAH. |TO FUNDAMENTALXNAQ KONSTRUKCIQ, RABOTA@]AQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, A NE W ODNOJ TOLXKO ALGEBRE. tEHNIKA DEJSTWIJ ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE MNOGIH WAVNYH TEOREM. w DANNYJ PARAGRAF WKL@^ENY ZADA^I, OSNOWANNYE NA TEOREMAH sILOWA, PROQSNQ@]IMI SSTROENIE KONE^NYH GRUPP. w ESTOM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ LINEJNYE DEJSTWIQ I SAMYE PROSTEJIE PONQTIQ TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP. tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO MY SOZNATELXNO OGRANI^ILISX IMENNO PROSTEJIMI PONQTI3
QMI, SU]ESTWENNO POWLIQLO NA TEMATIKU ZADA^ \TOGO RAZDELA. sEDXMOJ RAZDEL SODERVIT NEKOTORYE TEOREMY I ZADA^I O GRUPPAH WRA]ENIJ W DWUMERNOM I TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWAH, I SOWSEM NEMNOGO | O KONE^NYH PODGRUPPAH GRUPP WRA]ENIJ. w KONE^NOM S^ETE RE^X IDET OB MATEMATI^ESKIH OSNOWAH PONQTIQ SIMMETRII. wOSXMOJ RAZDEL POSWQ]EN KWATERNIONAM | ^ETYREHMERNOMU OBOB]ENI@ POLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL. nA PERWYJ WZGLQD, \TA TEMA NE OTNOSITSQ PRQMO K TEORII GRUPP. nO, WO-PERWYH, ONA INTERSNA SAMA PO SEBE, I STUDENTU-MATEMATIKU BUDET POLEZEN TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYJ PRIWEDEN W DANNOM RAZDELE. wO-WTORYH, KWATERNIONY SU]ESTWENNEJIM OBRAZOM ISPOLXZU@TSQ PRI DOKAZATELXSTWE OSNOWNYH TEOREM SLEDU@]EGO, DEWQTOGO RAZDELA, GDE WYQSNQETSQ STROENIE SPECIALXNOJ UNITARNOJ GRUPPY SU (2) I SPECIALXNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPY SO(3) | GRUPPY WRA]ENIJ W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. w OTLI^IE OT NEKOTORYH DRUGIH U^EBNIKOW (NAPRIMER, 3]), GDE \TI VE REZULXTATY DOKAZYWA@TSQ S ISPOLXZOWANIEM SSYLOK NA OB]IE TEOREMY LINEJNOJ ALGEBRY, MY PRIWODIM PRQMOE DOKAZATELXSTWO, GDE SSYLKI NA LINEJNU@ ALGEBRU SWEDENY K MINIMUMU, A IZWESTNYJ FAKT O PREDSTAWLENII KAVDOGO POWOROTA W WIDE SUPERPOZIJII TREH POSLEDOWATELXNYH WRA]ENIJ WOKRUG OSEJ OX , OZ I OX (\UGLY |JLERA") WYWODITSQ KAK SLEDSTWIE. dANNOE POSOBIE OHWATYWAET WESX MATERIAL TEORII GRUPP, WKL@^ENNYJ W NYNE DEJSTWU@]U@ UNIWERSITETSKU@ PROGRAMMU. oNO, RAZUMEETSQ, NE MOVET ZAMENITX PODROBNYH U^EBNIKOW, I NE QWLQETSQ ALXTERNATIWOJ ZADA^NIKU 4], NE GOWORQ UVE O SPECIALIZIROWANNOM ZADA^NIKE 5]. aWTOR NADEETSQ TOLXKO, ^TO EGO KNIGA HOTQ BY W NEKOTORYH OTNOENIQH MOVET SLUVITX IM DOPOLNENIEM.
4
5.
dEJSTWIQ
nAPOMNIM (SM. RAZDEL 3), ^TO LEWYM DEJSTWIEM GRUPPY G NA MNOVESTWE X NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE G X ;! X
(g x) 7! gx
TAKOE, ^TO 1) (g1g2)x = g1(g2x) DLQ WSEH g1 g2 2 G , x 2 X 2) 1x = x DLQ L@BOGO x 2 X . zDESX 1 2 G | EDINICA GRUPPY G . pRAWOE DEJSTWIE OPREDELQETSQ ANALOGI^NO. pUSTX X | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, I SX | GRUPPA, SOSTOQ]AQ IZ WSEH BIEKCIJ : X ! X . |TA GRUPPA BYLA OPREDELENA W RAZDELE 2. oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.1.
SX X ;! X
POLAGAQ ( x) 7! x = (x) . dOKAZATX, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ DEJSTWIEM. w SLEDU@]IH ZADA^AH OBOB]A@TSQ DWA PRIMERA DEJSTWIJ, IZU^AWIHSQ W RAZDELE 3 | DEJSTWIQ SDWIGAMI I DEJSTWIQ SOPRQVENIQMI. pUSTX G | GRUPPA, X | MNOVESTWO WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW G . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.2.
G X ;! X
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODMNOVESTWA A G PODMNOVESTWO gA G , SOSTOQ]EE IZ WSEH ga 2 G , GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X . 5
w \TOJ SITUACII PRINQTO GOWORITX, ^TO G DEJSTWUET LEWYMI SDWIGAMI NA MNOVESTWE SWOIH PODMNOVESTW.
pODOBNYM VE OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Xn , SOSTOQ]IH IZ PODMNOVESTW X , W KOTORYH ROWNO n \LEMENTOW ( n = 1 2 : : : jGj ). dAJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO I W SAMOM DELE DEJSTWIE GRUPPY G . 5.3.
pUSTX, KAK I WYE, G | GRUPPA, X PODMNOVESTW G . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.4.
| MNOVESTWO WSEH NEPUSTYH
G X ;! X
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODMNOVESTWA A G PODMNOVESTWO g A G , SOSTOQ]EE IZ WSEH g a = gag;1 2 G , GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X .
dLQ \TOGO DEJSTWIQ PRINQTO TAKOE NAZWANIE: GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE SWOIH PODMNOVESTW. aNALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Xn , SOSTOQ]IH IZ PODMNOVESTW X , W KOTORYH ROWNO n \LEMENTOW ( n = 1 2 : : : jGj ). sFORMULIRUJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO I W SAMOM DELE DEJSTWIE GRUPPY G . 5.5.
pUSTX G | PODGRUPPA GRUPPY X , Sub(X ) PODGRUPP X . oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.6.
| MNOVESTWO WSEH
G Sub(X ) ;! Sub(X )
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE IZ \LEMENTA g 2 G I PODGRUPPY A X PODMNOVESTWO g A = gAg;1 G , SOSTOQ]EE IZ WSEH g a = gag;1 2 G , 6
GDE a 2 A . dOKAZATX, ^TO gAg;1 | PODGRUPPA GRUPPY X , TAK ^TO OTOBRAVENIE G Sub(X ) ;! Sub(X ) OPREDELENO KORREKTNO. dOKAZATX, ^TO \TO OTOBRAVENIE | LEWOE DEJSTWIE G NA Sub(X ). dLQ \TOGO DEJSTWIQ PRINQTO TAKOE NAZWANIE: GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE PODGRUPP GRUPPY X .
pODOBNYM VE OBRAZOM MOVNO OPREDELITX DEJSTWIE G NA MNOVESTWAH Sub(X )n , SOSTOQ]IH IZ PODGRUPP X , ^EJ PORQDOK RAWEN n ( n = 1 2 : : : jX j ). iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADA^U, DAJTE TO^NOE OPREDELENIE, OBOSNUJTE EGO KORREKTNOSTX, I DOKAVITE, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY G . 5.7.
pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G (DOPUSTIM SLU^AJ K = H ). oPREDELIM OTOBRAVENIE 5.8.
(K H ) G ;! G DEJSTWU@]EE PO PRAWILU:((x y) g) 7! (x y)g = xgy; . zDESX x 2 K , y 2 H , g 2 G . dOKAZATX, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY K H NA MNOVESTWE G. 1
oRBITY \TOGO DEJSTWIQ NAZYWA@TSQ DWOJNYMI SMEVNYMI KLASSAMI GRUPPY G PO K I H , I IME@T WID KgH = f xgy j x 2 K y 2 H g (OPREDELENIE ORBITY SM. NIVE ILI W RAZDELE 2). dWOJNYE SMEVNYE KLASSY IROKO ISPOLXZU@TSQ W KNIGE 7]. dLQ LEWYH DEJSTWIJ, POSTROENNYH W PREDYDU]IH ZADA^AH, SU]ESTWU@T I PRAWYE ANALOGI (OPREDELITE IH W QWNOM WIDE!). pUSTX ZADANO LEWOE DEJSTWIE G NA X , I x 2 X . nAPOMNIM, ^TO ORBITOJ \TOGO DEJSTWIQ NAZYWAETSQ MNOVESTWO Gx WSEH \LEMENTOW WIDA 7
gx , GDE g PROBEGAET WS@ GRUPPU G . bUDEM S^ITATX IZWESTNYM, ^TO 1) x 2 Gx 2) ESLI y 2 Gx , TO Gy = Gx 3) ESLI Gx I Gy | DWE ORBITY, TO LIBO Gx = Gy , LIBO Gx I Gy NE PERESEKA@TSQ 4) MNOVESTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ
ORBIT. dEJSTWIE NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI U NEGO WSEGO ODNA ORBITA. mNOVESTWO X WMESTE S DEJSTWIEM GRUPPY G BUDEM NAZYWATX G MNOVESTWOM (LEWYM ILI PRAWYM). gOMOMORFIZM IZ G -MNOVESTWA X W G -MNOVESTWO Y | \TO OTOBRAVENIE f : X ;! Y , TAKOE, ^TO f (gx) = gf (x) DLQ WSEH g 2 G I x 2 X .
pUSTX Y | NEKOTOROE G -MNOVESTWO, X | NEKOTORAQ EGO ORBITA. o^EWIDNO, ^TO OGRANI^ENIE NA X DEJSTWIQ G NA Y QWLQETSQ DEJSTWIEM G NA X , A WKL@^ENIE X Y , RASSMATRIWAEMOE KAK OTOBRAVENIE, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM G -MNOVESTW.
pRIMER
5.1.
iZOMORFIZM G -MNOVESTW | \TO GOMOMORFIZM, QWLQ@]IHSQ BIEKCIEJ, PRI^EM OBRATNAQ BIEKCIQ TAKVE DOLVNA BYTX GOMOMORFIZMOM G MNOVESTW. pUSTX Xi | SEMEJSTWO G -MNOVESTW, i 2 I . oPREDELIM KOPROIZWEDENIE \TOGO SEMEJSTWA (OBOZNA^ENIE: i`2I Xi ) KAK DIZ_@NKTNOE OB_EDINENIE MNOVESTW Xi (PODMNOVESTWA Xi WNUTRI \TOGO OB_EDINENIQ POPARNO NE PERESEKA@TSQ). dEJSTWIE G NA X = i`2I Xi OPREDELQETSQ TAK: ESLI g 2 G , A x 2 X , TO SU]ESTWUET ODNOZNA^NO OPREDELENNYJ INDEKS i 2 I TAKOJ, ^TO x 2 Xi . w G -MNOVESTWE Xi OPREDELENO PROIZWEDENIE gx 2 Xi . |TOT \LEMENT PO OPREDELENI@ I BUDET REZULXTATOM DEJSTWIQ g NA x WO WSEM MNOVESTWE X . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO WYPOLNENY OBA SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ DEJSTWIQ GRUPPY NA MNOVESTWE. 8
dOKAZATX, ^TO L@BOE G -MNOVESTWO QWLQETSQ KOPROIZWEDENIEM SWOIH ORBIT. 5.9.
pROIZWEDENIE SEMEJSTWA G -MNOVESTW X1 : : : Xn | \TO OBY^NOE PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW X1 : : : Xn , A DEJSTWIE G NA X = X1 : : : Xn OPREDELQETSQ FORMULOJ: g(x1 : : : xn) = (gx1 : : : gxn). w SLU^AE PROIZWOLXNOGO (BESKONE^NOGO) SEMEJSTWA MNOVESTW OPREDELENIE, PO SUTI, TO^NO TAKOE VE. lEGKO PROWERQETSQ, ^TO SWOJSTWA DEJSTWIQ WYPOLNENY. pUSTX DANO G -MNOVESTWO X I PUSTX x 2 X . oPREDELIM STABILIZATOR St(x) \LEMENTA x KAK MNOVESTWO TEH g 2 G , DLQ KOTORYH gx = x . 5.10.
5.11.
dOKAZATX, ^TO St(x)
| PODGRUPPA GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO St(gx) = gSt(x)g; . w ^ASTNOSTI, OTS@DA SLEDU1
ET, ^TO GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA SOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE SWOIH PODGRUPP WIDA St(x) , GDE x PROBEGAET FIKSIROWANNOE G -MNOVESTWO. (oDNAKO WZAIMNO-ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU x I St(x) MOVET NE BYTX. pOPROBUJTE NAJTI PRIMER!)
| G -MNOVESTWA, x 2 X , : : : , xn 2 Xn I PUSTX St(x ) , : : : , St(xn) | IH STABILIZATORY. dOKAZATX, TO STABILIZATOR \LEMENTA (x : : : xn) 2 X : : : Xn RAWEN St(x ) \ : : : \ St(xn ). pUSTX GRUPPA G DEJSTWUETSOPRQVENIQMI NA MNOVESTWE Sub(G) SWOIH PODGRUPP. pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ PODGRUPPY H 2 Sub(G) 5.12.
pUSTX X1 , : : : , Xn
1
1
1
1
1
1
5.13.
9
1) H St(H ) 2) H QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ W St(H ) 3) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI St(H ) = G . zAMETIM, ^TO PODGRUPPA St(H ) = fg 2 GjgHg;1 = H g IZ PREDYDU]EJ ZADA^I NAZYWAETSQ NORMALIZATOROM PODGRUPPY H , I OBOZNA^AETSQ ^EREZ NG(H ). sLEDU@]IJ PRIMER DEJSTWIQ QWLQETSQ O^ENX WAVNYM DLQ OB]EJ TEORII. pUSTX G | GRUPPA, I H | EE PODGRUPPA. oBOZNA^IM ^EREZ G=H MNOVESTWO RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , T.E. MNOVESTW WIDA xH (\TO NE OBQZATELXNO FAKTORGRUPPA!). oPREDELIM OTOBRAVENIE G G=H ;! G=H POLAGAQ (g xH ) 7! gxH . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ DEJSTWIEM. o^EWIDNO TAKVE, ^TO \TO DEJSTWIE TRANZITIWNO: L@BOJ \LEMENT xH MNOVESTWA G=H ESTX PROIZWEDENIE x 2 G I H 2 G=H .
pRIMER
tEOREMA
5.2.
pUSTX GRUPPA G DEJSTWUET NA MNOVESTWE X , x 2 X , I H = St(x) . tOGDA SU]ESTWUET IZOMORFIZM MEVDU G -MNOVESTWOM Gx (ORBITOJ x ) I G -MNOVESTWOM G=H , POSTROENNNOM W PRIMERE 5.2. |TO OTOBRAVENIE f : Gx ! G=H SOPOSTAWLQET \LEMENTU gx SMEVNYJ KLASS gH . 5.1.
10
dOKAZATELXSTWO dOKAVEM SNA^ALA KORREKTNOSTX OPREDELENIQ f . sUTX .
DELA W TOM, ^TO NEQSNO, PO^EMU IZ g1x = g2x SLEDUET, ^TO g1H = g2H . eSLI BY \TO BYLO NE TAK, TO POLU^ALOSX BY, ^TO ZNA^ENIE f ZAWISIT NE OT \LEMENTA ORBITY Gx , A OT SPOSOBA EGO ZAPISI W WIDE gx . pOLOVENIE SPASAET TO, ^TO H = St(x) . iBO ESLI g1x = g2x , TO g1;1g2x = x , A \TO ZNA^IT, ^TO g1;1g2 2 St(x) = H , ^TO RAWNOSILXNO RAWENSTWU g1H = g2H . ~TOBY POKAZATX BIEKTIWNOSTX f , POSTROIM OBRATNOE OTOBRAVENIE r : G=H ! Gx , KOTOROE BUDET SOPOSTAWLQTX KLASSU gH \LEMENT gx . kORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ OBOSNOWYWAETSQ PRIMERNO TAK VE, KAK I KORREKTNOSTX OPREDELENIQ f . a IMENNO, ESLI g1H = g2H , TO g1;1g2 2 H = St(x) , ^TO OZNA^AET RAWENSTWO g1;1g2x = x , ILI g1x = g2x . wZAIMNAQ OBRATNOSTX f I r O^EWIDNA IZ OPREDELENIJ. pOKAVEM, ^TO f ESTX GOMOMORFIZM G -MNOVESTW. w SAMOM DELE, PUSTX x0 2 Gx . eSLI x0 = g0x , TO f (x0 ) = g0H I, KAK TOLXKO ^TO BYLO USTANOWLENO, \TO ZNA^ENIE NE ZAWISIT OT WYBORA g0 . wOZXMEM L@BOJ \LEMENT g 2 G . tOGDA gx0 = gg0x , I f (gx0 ) = gg0H = g(g0H ) = gf (x0 ) , ^TO I TREBOWALOSX. tO^NO TAK VE POKAZYWAETSQ, ^TO ESLI H 0 2 G=H , TO r(gH 0) = gr(H 0). 2 bIEKCI@ MEVDU Gx I G=St(x) MOVNO TAKVE PREDSTAWLQTX SEBE W FORME, KOTORAQ OPISYWETSQ SLEDU@]EJ ZADA^EJ. pUSTX y 2 Gx . pOKAZATX, ^TO SMEVNYJ KLASS PO St(x) , KOTORYJ SOOTWETSTWUET \LEMENTU y , ESTX MNOVESTWO f g 2 G j gx = y g . 5.14.
u TEOREMY 5.1 ESTX NESKOLXKO PROSTYH, NO WAVNYH SLEDSTWIJ.
sLEDSTWIE
5.1.
pUSTX G
|
KONE^NAQ GRUPPA, DEJSTWU@]AQ NA MNO11
VESTWE X . tOGDA MO]NOSTTX L@BOJ ORBITY Gx RAWNA INDEKSU jG : St(x)j STABILIZATORA St(x) \LEMENTA x . w ^ASTNOSTI, MO]NOSTX KAVDOJ ORBITY DELIT PORQDOK GRUPPY jGj .
dOKAZATELXSTWO w SAMOM DELE, ESLI H = St(x) , TO jGj = jG : H j .
jH j , NO PO TEOREME 5.1 jG : H j = jG=H j = jGxj . 2
pUSTX jGj = pk , I p | PROSTOE ^ISLO. tOGDA CENTR GRUPPY G SOSTOIT BOLEE ^EM IZ ODNOGO \LEMENTA.
sLEDSTWIE
5.2.
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM DEJSTWIE G NA G SOPRQVENIQMI, I .
PUSTX X1 : : : Xm | ORBITY \TOGO DEJSTWIQ. tOGDA G = X1 : : : Xm , I TAK KAK ORBITY NE PERESEKA@TSQ, TO jGj = pk = jX1j + + jXmj . iZ PREDYDU]EGO SLEDSTWIQ WYTEKAET, ^TO WSE jXij QWLQ@TSQ DELITELQMI jGj = pk , TO ESTX \TO KAKIE-TO STEPENI PROSTOGO ^ISLA p . oDNAKO PO KRAJNEJ MERE U ODNOJ ORBITY MO]NOSTX RAWNA EDINICE. |TA ORBITA | MNOVESTWO f1g . eSLI BY MO]NOSTI WSEH OSTALXNYH ORBIT BYLI BOLXE EDINICY, TO POLU^ILOSX BY PROTIWORE^IE: LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA jGj = jX1j + + jXmj DELITSQ NA p , A PRAWAQ NET. sLEDOWATELXNO, KOLI^ESTWO ORBIT, MO]NOSTX KOTORYH RAWNA EDINICE, BUDET BOLXE EDINICY. nO OB_EDINENIE WSEH TAKIH ORBIT I QWLQETSQ CENTROM GRUPPY G . 2 pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = p2 . dOKAZATX, ^TO LIBO G QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ, LIBO G
= Up Up . w ^ASTNOSTI, G KOMMUTATIWNA. uKAZANIE. pUSTX G NE QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. wO-PERWYH, NADO POMNITX, ^TO L@BAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n IZOMORFNA Un , TAK ^TO FAKTI^ESKI NADO ISKATX W G DWE CIKLI^ESKIE PODGRUPPY K I H , jK j = p jH j = p , UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM RAZLOVENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE. wO-WTORYH, MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ SLEDSTWIEM 5.2, W KOTOROM 5.15.
12
UTWERVDAETSQ, ^TO CENTR GRUPPY PORQDKA p2 OTLI^EN OT EDINICY. wYBEREM W CENTRE \LEMENT x PORQDKA p (PO^EMU \TO MOVNO SDELATX?), I RASSMOTRIM K = hxi = f1 x : : : xp;1 . tAK KAK jGj = p2 , TO NAJDETSQ y 62 K , PORQDOK KOTOROGO RAWEN p (PO^EMU?). pOLOVIM H = hyi . tOGDA G = KH , K \ H = f1g (PO^EMU \TO TAK?), I DLQ L@BYH a 2 K , b 2 H BUDEM IMETX ab = ba (OBOSNUJTE I \TOT FAKT). rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE X , G X ! X , (g x) 7! gx . pUSTX g 2 G . oBOZNA^IM ^EREZ Fix(g) MNOVESTWO TEH x 2 X , DLQ KOTORYH gx = x .
tEOREMA Im
|
5.2.
(bERNSAJD) pUSTX GRUPPA G I MNOVESTWO X KONE^NY
KOLI^ESTWO ORBIT DEJSTWIQ G NA X . tOGDA m = jG1 j
X g2G
,
jFix(g)j:
dOKAZATELXSTWO pUSTX X : : : Xm | RAZLI^NYE ORBITY DEJSTWIQ .
1
G NA X . w ^ASTNOSTI, jX j = jX1j + + jXmj . rASSMOTRIM MNOVESTWO Y
= f (g x) j g 2 G x 2 X gx = x g
I PREDSTAWIM EGO W WIDE NEKOTORYH OB_EDINENIJ NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTW DWUMQ RAZNYMI SPOSOBAMI. s ODNOJ STORONY,
= i x2X f(g x)jgx = xg (1) o^EWIDNO, ^TO ESLI x 6= y , TO f(g x)jgx = xg \ f(g y)jgy = yg = . zAMETIM E]E, ^TO ESLI ZAFIKSIROWATX x , TO SU]ESTWUET O^EWIDNOE WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWOM f(g x)jgx = xg I St(x) = fgjgx = xg . kROME TOGO, ESLI x y PRINADLEVAT ODNOJ I TOJ VE ORBITE Xi , TO IZ STABILIZATORY SOPRQVENY, I POTOMU IH PORQDKI Y
m =1
i
13
(MO]NOSTI) ODINAKOWY. nAPOMNIM, ^TO ESLI x 2 Xi , TO (PO TEOREME lAGRANVA I PO TEOREME 5.1) jGj = jXij jSt(x)j . pO\TOMU PORQDKI STABILIZATOROW WSEH \LEMENTOW, PRINADLEVA]IH K ODNOJ I TOJ VE ORBITE, RAWNY jGj=jXij . wY^ISLQQ MO]NOSTI MNOVESTW, STOQ]IH W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (1), POLU^IM RAWENSTWO: m m m m jY j = X X jjXGjj = X jjXGjj ( X 1) = X jjXGjj jXij = X jGj = mjGj (2) i i x2X i i x2X i i i s DRUGOJ STORONY, PREDSTAWIM Y TAKIM OBRAZOM: Y = f(g x)jgx = xg (3) g2G o^EWIDNO, ^TO PRI FIKSIROWANNOM g 2 G SU]ESTWUETWZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWOM f(g x)jgx = xg I MNOVESTWOM Fix(g) = fxjgx = xg . eSLI g 6= g FIKSIROWANY, TO MNOVESTWA f(g x)jg x = xg I f(g x)jg x = xg NE PERESEKA@TSQ. tAKIM OBRAZOM, WY^ISLQQ MO]NOSTI MNOVESTW W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (3), POLU^IM SLEDU@]EE: jY j = X jf(g x)jgx = xgj = X jFix(g)j (4) g2G g2G sRAWNIWAQ (2) I (4), PRIHODIM K RAWENSTWU: X mjGj = jFix(g)j g2G IZ KOTOROGO I SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY. 2 =1
=1
i
1
2
=1
i
2
=1
1
1
2
sLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ TAKVE QWLQETSQ O^ENX WAVNOJ. pUSTX DANO DEJSTWIE G NA X . oBOZNA^IM ^EREZ ' OTOBRAVENIE G X ! X . tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWA DEJSTWIQ ZAPISYWA@TSQ W WIDE:
1) '(g g x) = '(g '(g x)) 2) '(1 x) = x . 1 2
1
2
14
zAFIKSIRUEM g 2 G , I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE T'(g) : x 7! '(g x). |TO OTOBRAVENIE BIEKTIWNO: OBRATNYM K NEMU QWLQETSQ OTOBRAVENIE T'(g;1) : x 7! '(g;1 x) . tAKIM OBRAZOM, T'(g) 2 SX DLQ WSEH g 2 G , I SOOTWETSTWIE T' : g 7! T'(g) ZADAET OTOBRAVENIE T' : G ;! SX . nAPOMNIM, ^TO GRUPPA SX OPREDELENA W RAZDELE 1. oBRATNO, PUSTX DAN GOMOMORFIZM GRUPP T : G ;! SX . sOPOSTAWIM EMU OTOBRAVENIE 'T : G X ! X , POLAGAQ 'T (g x) = T (g)(x) . |TO NADO PONIMATX TAK. |LEMENTU g 2 G SOPOSTAWLQETSQ \LEMENT T (g) 2 SX , KOTORYJ SAM QWLQETSQ OTOBRAVENIEM IZ X W X . eGO ZNA^ENIE NA ARGUMENTE x 2 X I OBOZNA^AETSQ ^EREZ T (g)(x) .
tEOREMA
oTOBRAVENIE T' , POSTROENNOE WYE PO DEJSTWI@ ' , QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. oTOBRAVENIE 'T , POSTROENNOE PO GOMOMORFIZMU T , QWLQETSQ DEJSTWIEM G NA X . iMEET MESTO WZAIMNOODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU DEJSTWIQMI G NA X , I GOMOMORFIZMAMI IZ G W SX , KOTOROE OPREDELQETSQ TAK: ' 7! T' , T 7! 'T .
5.16.
5.3.
pROWEDITE PODROBNOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY.
pUSTX ' : G X ! X | NEKOTOROE DEJSTWIE, I T' : G ! SX | SOOTWETSTWU@]IJ EMU GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO 5.17.
Ker(T') = x2\X St(x):
pUSTX G | GRUPPA, KOTORAQ DEJSTWUET NA SEBE SAMOJ SOPRQVENIQMI, I T : G ;! SG | GOMOMORFIZM, SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@. dOKAZATX, ^TO Ker(T ) = C (G) (NAPOMNIM, ^TO C (G) | CENTR GRUPPY G ). 5.18.
15
pUSTX X | GRUPPA, G | PODGRUPPA GRUPPY X , I ZADANO DEJSTWIE G NA X LEWYMI SDWIGAMI. rASSMOTRIM SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@ GOMOMORFIZM T : G ;! SX . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE T IN_EKTIWNO. 5.19.
sDELAEM E]E NESKOLXKO ZAME^ANIJ O GRUPPAH WIDA SX . sUTX DELA W TOM, ^TO ESLI ESTX BIEKCIQ MEVDU MNOVESTWAMI X I Y , TO ESTX I IZOMORFIZM MEVDU GRUPPAMI SX I SY . eGO FORMALXNOE POSTROENIE TAKOWO. pUSTX : X ;! Y | BIEKCIQ. tOGDA OTOBRAVENIE e : SX ;! SY ZADAETSQ PRAWILOM: e () = e = ;1 . oBRATNOE OTOBRAVENIE OPREDELQETSQ TAK: 7! ;1 .
pROWERITX, ^TO POSTROENNYE WYE OTOBRAVENIQ WZAIMNO OBRATNY, I e | GOMOMORFIZM GRUPP, A SLEDOWATELXNO | IZOMORFIZM. 5.20.
nA PRAKTIKE WSE WYGLQDIT O^ENX PROSTO. rASSMOTRIM, NAPRIMER, WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWAMI f1 2 : : : ng I X = fx1 x2 : : : xng , GDE i 7! xi . |LEMENTY GRUPPY SX MOVNO, KAK I \OBY^NYE" PODSTANOWKI, IZOBRAVATX W TABLI^NOJ FORME. zAPISX BIEKCII : X ! X W WIDE 0 @ x1
1
= x xx2 :: :: :: xxn A i i in OZNA^AET, ^TO (x1) = xi , (x2) = xi , : : : , (xn) = xin . i TOGDA IZOMORFIZM MEVDU Sn I SX ZADAETSQ SOOTWETSTWIEM: 0 1 0 1 1 2 : : : n x x : : : x 1 2 n @ A 7! @ A: i1 i2 : : : in xi xi : : : xin 1
2
1
2
1
2
wSLEDSTWIE \TOGO BUDEM W DALXNEJEM NAZYWATX GRUPPAMI PODSTANOWOK L@BYE GRUPPY WIDA SX DLQ KONE^NYH X . wSE METODY I REZULXTATY 16
RAZDELA 1 SPRAWEDLIWY I DLQ \TIH GRUPP. w ^ASTNOSTI, MOVNO OPREDELITX CIKLY, A \LEMENTY IZ SX MOVNO RASKLADYWATX W PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW. eSLI, KAK I WYE, PERENUMEROWATX \LEMENTY X , TO SUPERPOZICIQ IZOMORFIZMA Sn
= SX I GOMOMORFIZMA sgn : Sn ! f 1g NE ZAWISIT OT WYBORA BIEKCII MEVDU X I MNOVESTWOM f1 2 : : : ng . w SAMOM DELE, IZ REZULXTATA ZADA^I 5.20 SLEDUET, ^TO ESLI ESTX DWA IZOMORFIZMA MEVDU SX I Sn , POSTROENNYE IZ DWUH RAZNYH BIEKCIJ MEVDU X I f1 2 : : : ng , TO SU]ESTWUET PODSTANOWKA ! 2 Sn , TAKAQ, ^TO OBRAZY 1 I 2 ODNOGO I TOGO VE SWQZANY SOOTNOENIEM 2 = !1!;1 . nO W \TOM SLU^AE sgn(2) = sgn(1) . 5.21.
dOKAVITE POSLEDNIE UTWERVDENIQ.
iTAK, GOMOMORFIZM sgn (ZNAK PODSTANOWKI) KORREKTNO OPREDELEN DLQ PROIZWOLXNOGO SX , A \TO ZNA^IT, ^TO W \TOM OB]EM SLU^AE SU]ESTWU@T I ZNAKOPEREMENNYE GRUPPY, KOTORYE MOVNO OBOZNA^ITX ^EREZ AX . pRI \TOM AX
= An (DOKAVITE \TO!). sLEDSTWIEM ZADA^I 5.19 QWLQETSQ IZWESTNAQ TEOREMA k\LI:
tEOREMA
5.4.
PODSTANOWOK.
l@BAQ KONE^NAQ GRUPPA IZOMORFNA PODGRUPPE GRUPPY
bOLEE KONKRETNO, ESLI G = fg1 g2 : : : gng I g 2 G , TO fg1 g2 : : : gng = fgg1 gg2 : : : ggng , I IMEET MESTO IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM IZ G W Sn
= SG , KOTORYJ SOPOSTAWLQET \LEMENTU g 2 G PODSTANOWKU 1
0 @
g1 g2 : : : gn A: gg1 gg2 : : : ggn
oBRAZ \TOGO GOMOMORFIZMA | PODGRUPPA GRUPPY PODSTANOWOK, IZOMORFNAQ G . bUDEM DLQ UDOBSTWA NAZYWATX \TOT GOMOMORFIZM GOMOMORFIZ17
MOM k\LI DLQ GRUPPY G . w LITERATURE MOVNO WSTRETITX BOLEE GROMOZDKOE NAZWANIE: LEWOE REGULQRNOE (PODSTANOWO^NOE) PREDSTAWLENIE GRUPPY G .
uTO^NITX WID GOMOMORFIZMA k\LI SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX g 2 G , I k | PORQDOK g . pUSTX x1 : : : xm | POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO PODGRUPPE hxi = f1 g g2 : : : gk;1g . zDESX jGj = n = km . dOKAZATX, ^TO PODSTANOWKA 5.22.
0 @
1
g1 g2 : : : gn A gg1 gg2 : : : ggn
RAZLAGAETSQ W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW SLEDU@]IM OBRAZOM:
(x gx g x : : : gk; x ) : : : (xm gxm g xm : : : gk; xm): 1
1
2
1
1
2
1
1
rASSMOTRETX SUPERPOZICI@ GOMOMORFIZMOW k\LI G ! SG I SG ! SSG . pOKAZATX, ^TO OBRAZ G W SSG PRINADLEVIT K ZNAKOPEREMENNOJ GRUPPE ASG . uKAZANIE. oBRAZ \LEMENTA g 2 G W GRUPPE SG TAK VE, KAK I g , IMEET PORQDOK k . ~EMU RAWEN INDEKS W SG PODGRUPPY, POROVDENNOJ \TIM \LEMENTOM? w PROIZWEDENIE SKOLXKI CIKLOW RASKLADYWAETSQ W SSG OBRAZ g I KAKOWY DLINY \TIH CIKLOW? zNAQ WSE \TO, MOVNO WY^ISLITX ZNAK \TOGO OBRAZA KAK PODSTANOWKI IZ SSG . 5.23.
tAKIM OBRAZOM, L@BAQ KONE^NAQ GRUPPA G IZOMORFNA PODGRUPPE NEKOTOROJ GRUPPY ^ETNYH PODSTANOWOK. rASSMOTRIM TEPERX DEJSTWIE G G=H ! G=H , (g xH ) 7! gxH , I IZU^IM SOOTWETSTWU@]IJ EMU GOMOMORFIZM T : G ;! SG=H . pRI H = f1g \TO W TO^NOSTI GOMOMORFIZM k\LI. wWIDU \TOGO BUDEM NAZYWATX T GOMOMORFIZMOM k\LI GRUPPY G PO PODGRUPPE H . 18
pOKAZATX, ^TO ESLI fx1 : : : xmg | NEKOTORAQ POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , TO GOMOMORFIZM k\LI T OTOBRAVAET \LEMENT g 2 G W PODSTANOWKU 5.24.
T (g ) =
0 @
1
x1H x2H : : : xmH A: gx1H gx2H : : : gxm H
sOHRANIM USLOWIQ I OBOZNA^ENIQ PREDYDU]EJ ZADA^I. dOKAZATX, ^TO Ker(T ) H , I RAWENSTWO Ker(T ) = H IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA H | NORMALXNAQ PODGRUPPA. dOKAZATELXSTWO MOVNO NA^ATX S PROWERKI TOGO, ^TO Ker(T ) = g\2G gHg;1: wYWESTI OTS@DA, ^TO ESLI H | NORMALXNAQ PODGRUPPA, TO OBRAZ T (PODGRUPPA SG=H ) IZOMORFEN FAKTORGRUPPE G=H . 5.26. pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G . rASSMOTRIM DEJSTWIE K H NA G , OPREDELENNOE PO PRAWILU (x y)g = xgy;1 . pUSTX T : K H ! SG | SOOTWETSTWU@]IJ \TOMU DEJSTWI@ GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO Ker(T )
= K \H . 5.25.
w SLEDU@]EJ SERII ZADA^ IZU^AETSQ GRUPPA G PORQDKA jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . zAFIKSIRUEM CELOE ^ISLO k , 1 k r , I PUSTX X ESTX MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW G , SOSTOQ]IH ROWNO IZ pk \LEMENTOW. dOKAZATX, ^TO MO]NOSTX X ESTX CELOE ^ISLO, KOTOROE DELITSQ NA pr;k , I NE DELITSQ NA pr;k+1 . uKAZANIE. uSTANOWITX SNA^ALA FORMULU pkY ;1 pr l ; j k p r ; k : jX j = C r = p l 5.27.
pl
j =1
19
j
rASSMOTRIM DEJSTWIE LEWYMI SDWIGAMI G NA X , OPREDELQEMOE FORMULOJ (g A) 7! gA = f ga j a 2 A g (PROWERXTE KORREKTNOSTX OPREDELENIQ I SWOJSTWA DEJSTWIQ). dOKAZATX, ^TO U \TOGO DEJSTWIQ SU]ESTWUET ORBITA, MO]NOSTX KOTOROJ NE DELITSQ NA pr;k+1 . uKAZANIE: PREDPOLOVITX PROTIWNOE, I ISPOLXZOWATX REZULXTAT PREDYDU]EJ ZADA^I. 5.28.
pUSTX Y = fA1 : : : Asg | ORBITA, SU]ESTWOWANIE KOTOROJ USTANAWLIWAETSQ W PREDYDU]EJ ZADA^E (T.E. s NE DELITSQ NA pr;k+1 ). iZ OB]IH SWOJSTW ORBIT SLEDUET, ^TO Y = GA1 . pOLOVIM H = St(A1), t = jH j . tOGDA jGj = pr l = st (PO^EMU?). pO OPREDELENI@ H KAK STABILIZATORA A1 DLQ KAVDOGO a 2 A1 IMEET MESTO WKL@^ENIE Ha A1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO t = jH j pk (PO^EMU?). dALEE, SOPOSTAWXTE DWA OBSTOQTELXSTWA: s NE DELITSQ NA pr;k+1 I pr l = st . ~TO MOVNO SKAZATX TEPERX O WELI^INE t = jH j ? 5.29.
iZ \TIH TREH ZADA^ WYWODITSQ SLEDU@]AQ TEOREMA pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . tOGDA DLQ KAVDOGO k , 1 k r W GRUPPE G SU]ESTWUET PODGRUPPA PORQDKA pk .
tEOREMA
5.5.
|TU TEOREMU NAZYWA@T E]E \PERWOJ TEOREMOJ sILOWA" (SM. 10], S. 14.). wPRO^EM, ^A]E POD \PERWOJ TEOREMOJ sILOWA" PONIMA@T SLEDU@]EE UTWERVDENIE:
pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = pr l , GDE p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . tOGDA DLQ KAVDOGO k , 1 k r W GRUPPE G SU]ESTWUET PODGRUPPA PORQDKA pk . kAVDAQ PODGRUPPA H
tEOREMA
5.6.
20
PORQDKA pk PRI k < r SODERVITSQ PO KRAJNEJ MERE W ODNOJ PODGRUPPE K PORQDKA pk+1 , PRI^EM K MOVNO WYBRATX TAK, ^TOBY H BYLA NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY K .
pUSTX p | PROSTOE ^ISLO. gRUPPA NAZYWAETSQ p -GRUPPOJ, ESLI PORQDOK KAVDOGO EE \LEMENTA RAWEN NEKOTOROJ STEPENI ^ISLA p . iZ PERWOJ TEOREMY sILOWA SLEDUET, ^TO PORQDOK L@BOJ KONE^NOJ p -GRUPPY ESTX STEPENX ^ISLA p . pUSTX jGj = pr l , I l NE DELITSQ NA p . pODGRUPPY GRUPPY G , IME@]IE PORQDOK pr , KOTORYE SU]ESTWU@T PO PERWOJ TEOREME sILOWA, NAZYWA@TSQ SILOWSKIMI p -PODGRUPPAMI GRUPPY G .
tEOREMA
5.7.
(wTORAQ TEOREMA sILOWA). w KONE^NOJ GRUPPE G L@BYE
DWE SILOWSKIE p -PODGRUPPY SOPRQVENY.
nAPOMNIM, ^TO \TO OZNA^AET SLEDU@]EE. eSLI H1 I H2 | SILOWSKIE p -GRUPPY, TO SU]ESTWUET g 2 G TAKOJ, ^TO H2 = gHg;1 .
(tRETXQ TEOREMA sILOWA). w KONE^NOJ GRUPPE G KOLI ^ESTWO SILOWSKIH p PODGRUPP RAWNO 1+ pj DLQ NEKOTOROGO j PRI^EM tEOREMA
-
5.8.
-
\TO ^ISLO DELIT PORQDOK GRUPPY G .
,
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . dOPUSTIM, ^TO H1 | p1 -PODGRUPPA, I H2 | p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO H1 \ H2 = f1g . 5.30.
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . dOPUSTIM, ^TO H1 | SILOWSKAQ p1 -PODGRUPPA, I H2 | SILOWSKAQ p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . pREDPOLOVIM E]E, ^TO jGj = pr1ps2 . dOKAZATX, ^TO H1H2 = G . 5.31.
21
pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj , I p1 6= p2 . pUSTX H1 | SILOWSKAQ p1 -PODGRUPPA, I H2 |SILOWSKAQ p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . pREDPOLOVIM, KAK I WYE, ^TO jGj = pr1ps2 , I DOPUSTIM, ^TO GRUPPA G KOMMUTATIWNA. . dOKAZATX, ^TO G
= H1 H2 . 5.32.
pUSTX G | KONE^NAQ KOMMUTATIWNAQ GRUPPA. dOKAZATX, ^TO GRUPPA G IZOMORFNA PRQMOMU PROIZWEDENI@ SWOIH SILOWSKIH p -PODGRUPP PO WSEM PROSTYM p , DELQ]IM PORQDOK G . 5.33.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p | PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . dOKAZATX, ^TO U \TOGO DEJSTWIQ SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA ODNO\LEMENTNAQ ORBITA. 5.34.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p | PROSTOE ^ISLO. dOKAZATX, ^TO ESLI U \TOGO DEJSTWIQ NET ODNO\LEMENTNYH ORBIT, TO m DELITSQ NA p . 5.35.
pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jGj = pnl , p | PROSTOE ^ISLO I l NE DELITSQ NA p . dOPUSTIM, ^TO STABILIZATORY WSEH \LEMENTOW X IME@T PORQDKI WIDA pk . dOKAZATX, ^TO jX j DELITSQ NA l . 5.36.
pUSTX K , H | PODGRUPPY KONE^NOJ GRUPPY G , jK j = pr , jG : H j = m , p | PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . rASSMOTRIM DEJSTWIE K LEWYMI SDWIGAMI NA MNOVESTWE G=H = fx1H : : : xmH g : x(xi H ) = xxi H . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET ORBITA IZ ODNOGO \LEMENTA. wYWESTI OTS@DA, ^TO GRUPPA K IZOMORFNA NEKOTOROJ PODGRUPPE H . 5.37.
uKAZANIE. pUSTX xiH | ODNO\LEMENTNAQ ORBITA DEJSTWIQ K NA G=H . pOKAVITE, ^TO DLQ KAVDOGO x 2 K IMEET MESTO WKL@^ENIE x;i 1xxi 2 H . 22
iSHODQ IZ \TOGO, MOVNO OPREDELITX OTOBRAVENIE : K ! H SLEDU@]IM OBRAZOM: (x) = x;i 1 xxi . oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO | IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP.
6.
pREDSTAWLENIQ
~ASTO WSTRE^A@TSQ SLU^AI, KOGDA GRUPPA G DEJSTWUET NE NA PROIZWOLXNOM MNOVESTWE, A NA LINEJNOM PROSTRANSTWE V NAD POLEM F . tO^NOE OPREDELENIE TAKOWO. dANO OTOBRAVENIE G V ;! V SOPOSTAWLQ@]EE PARE (g v), GDE g 2 G , v 2 V , \LEMENT gv 2 V . |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ LINEJNYM DEJSTWIEM G NA V , ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE TRI SWOJSTWA:
1) (g g )v = g (g v) 2) 1v = v 3) g(v + v ) = (gv ) + (gv ) , GDE v v 1 2
1
2
2 V , 1 2 2 F . zDESX ISPOLXZUETSQ PRAWOSTORONNQQ FORMA ZAPISI UMNOVENIQ NA SKALQRY (\LEMENTY POLQ) W LINEJNOM PROSTRANSTWE. |TA FORMA QWLQETSQ SAMOJ ESTESTWENNOJ, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ WEKTORY-STOLBCY (WEKTORYSTROKI, NAPROTIW, ESTESTWENNO UMNOVATX NA SKALQRY SLEWA). wPRO^EM, WO MNOGIH SLU^AQH (NAPRIMER, KOGDA NE WOZNIKAET NEOBHODIMOSTI RASSMATRIWATX MATRICY LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ), FORMA ZAPISI UMNOVENIQ WEKTOROW NA \LEMENTY POLQ NE IGRAET OSOBOJ ROLI, I MOVNO ISPOLXZOWATX LEWOSTORONNEE UMNOVENIE. tEM BOLEE, ^TO ZAPISX WIDA 3v WYGLQDIT GORAZDO PRIWY^NEE, ^EM v3 . pROSTRANSTWO V WMESTE S ZADANNYM LINEJNYM DEJSTWIEM G NAZYWAETSQ E]E (LEWYM) G -MODULEM. qSNO, ^TO L@BOJ G -MODULX QWLQETSQ 1 1
2 2
1
1
2
23
2
1
2
I G -MNOVESTWOM, TAK ^TO K G -MODULQM W PRINCIPE PRIMENIMY WSE OPISANNYE WYE KONSTRUKCII I REZULXTATY. oDNAKO, KAK PRAWILO, W TEORII G -MODULEJ POQWLQETSQ MNOGO SWOJSTWENNYH TOLXKO EJ OSOBENNOSTEJ. nAPRIMER, ESLI V1 I V2 | DWA G -MODULQ, TO GOMOMORFIZMOM G -MODULEJ NAZYWAETSQ LINEJNOE OTOBRAVENIE h : V1 ;! V2 , QWLQ@]EESQ TAKVE GOMOMORFIZMOM G -MNOVESTW. rOLX KOPROIZWEDENIJ IGRA@T PRQMYE SUMMY LINEJNYH PROSTRANSTW, A PONQTIE ORBITY OTHODIT NA WTOROJ PLAN. wMESTO NEGO ISPOLXZUETSQ PONQTIE PROSTOGO G -MODULQ, T.E. G -MODULQ, U KOTOROGO OTSUTSTWU@T NETRIWIALXNYE PODMODULI. w RQDE WAVNYH SLU^AEW UDAETSQ DOKAZATX ANALOGI UTWERVDENIQ O TOM, ^TO G -MNOVESTWO QWLQETSQ OB_EDINENIEM NEPERESEKA@]IHSQ ORBIT. nAPRIMER, ESLI POLE F QWLQETSQ POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL C , GRUPPA G KONE^NA, I G -MODULX V KAK LINEJNOE PROSTRANSTWO IMEET KONE^NU@ RAZMERNOSTX, TO ON QWLQETSQ (TO^NEE, IZOMORFEN) PRQMOJ SUMME PROSTYH G -MODULEJ. |TO DOKAZYWAETSQ W TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP (SM., NAPRIMER, 17], A TAKVE GLAWY O PREDSTAWLENIQH W KNIGAH
3], 7], 10], 11]). wYQSNIM, KAK DLQ LINEJNYH DEJSTWIJ WYGLQDIT ANALOG WZAIMNOODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU DEJSTWIQMI I GOMOMORFIZMAMI. tU ROLX, KOTORU@ W \TOM SOOTWETSTWII IGRALI GRUPPY SX , W DANNOM SLU^AE BUDUT IGRATX DRUGIE GRUPPY, KOTORYE OPISYWA@TQ NIVE. pUSTX V | LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM F . oBOZNA^IM ^EREZ GL(V ) MNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ V W V . oPREDELIM NA \TOM MNOVESTWE STRUKTURU GRUPPY. pUSTX ' 2 GL(V ). tOGDA IH SUPERPOZICIQ ' SNOWA QWLQETSQ BIEKTIWNYM LINEJNYM OTOBRAVENIEM IZ V W V . tAKIM OBRAZOM, OPREDELENA BINARNAQ OPERACIQ (UMNOVENIE): GL(V ) GL(V ) ;! GL(V ) (' ) 7! ' : 24
sUPERPOZICIQ FUNKCIJ QWLQETSQ, KAK IZWESTNO, ASSOCIATIWNOJ OPERACIEJ. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1V : V ! V QWLQETSQ LINEJNYM, I IGRAET ROLX EDINICY DLQ \TOJ OPERACII. nAKONEC, ESLI ' | LINEJNAQ BIEKCIQ, TO OBRATNOE OTOBRAVENIE ';1 TAKVE BUDET I BIEKTIWNYM, I LINEJNYM. sLEDOWATELXNO, WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ GRUPPY DLQ GL(V ) WYPOLNENY. o^EWIDNO TAKVE, ^TO GL(V ) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY SV . 6.1.
rASSMOTRIM OTOBRAVENIE
GL(V ) V ;! V
KOTOROE SOPOSTAWLQET PARE (' v) \LEMENT '(v) . dOKAZATX, ^TO \TO | LINEJNOE DEJSTWIE GL(V ) NA V . pUSTX ZADANO NEKOTOROE LINEJNOE DEJSTWIE G NA V . oBOZNA^IM EGO ^EREZ : G V ! V . tAKIM OBRAZOM, DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ:
1) (g g v) = (g (g v)) 2) (1 v) = v 3) (g v + v ) = (g v ) + (g v ) . rASSUVDAQ TAK VE, KAK I DLQ NELINEJNYH DEJSTWIJ, MOVNO POSTROITX GOMOMORFIZM GRUPP T : G ;! SV , SOPOSTAWLQ@]IJ \LEMENTU g 2 G BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE T(g) : V ;! V , KOTOROE DEJSTWUET PO PRAWILU T(g)(v) = (g v) . nO IZ USLOWIQ 3) SRAZU SLEDUET, ^TO T(g)(v + v ) = T(g)(v ) + T(g)(v ) . tAKIM OBRAZOM, T(g) 2 GL(V ) , A \TO OZNA^A^AET, ^TO IMEET MESTO GOMOMORFIZM T : G ;! GL(V ) . oBRATNO, PUSTX DANO GOMOMORFIZM T : G ;! GL(V ) . rASSMATRIWAQ EGO SNA^ALA KAK GOMOMORFIZM W SV (WWIDU TOGO, ^TO GL(V ) | PODGRUP1 2
1
1 1
2
2 2
1
1
2
2
1 1
2 2
1
1
2
2
25
PA W SV ), STROIM DEJSTWIE T : G V ! V GRUPPY G NA MNOVESTWE V PO PRAWILU: T (g v) = T (g)(v) . sWOJSTWO LINEJNOSTI OTOBRAVENIQ T (g) (T.E. SWOJSTWO T (g)(v11 + v2 2) = T (g)(v1 )1 + T (g)(v2 )2 ) PREWRA]AETSQ W USLOWIE LINEJNOSTI DEJSTWIQ: T (g v11 + v22) = T (g v1)1 +
T (g v2)2 .
w KONE^NOM S^ETE IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
sU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LINEJNYMI DEJSTWIQMI G NA V , I GOMOMORFIZMAMI GRUPP G ;! GL(V ) . |TO SOOTWETSTWIE ZADAETSQ OPISANNYMI WYE KONSTRUKCIQMI: 7! T , T 7! T . 6.1.
nAPOMNIM, ^TO ESLI W PROSTRANSTWE V ZADAN BAZIS (NAPRIMER, e1 : : : en ), TO SU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LINEJNYMI OTOBRAVENIQMI ' : V ! V I KWADRATNYMI n n -MATRICAMI NAD POLEM F . pOSTROENIE \TOGO SOOTWETSTWIQ NA^INAETSQ S SOOTNOENIQ '(ej ) =
n X
i=1
ei aij
GDE aij 2 F . lINEJNOMU OTOBRAVENI@ ' STAWITSQ W SOOTWETSTWIE MATRICA M' S KOMPONENTAMI aij . pRI \TOM SUPERPOZICII LINEJNYH OTOBRAVENIJ ' SOOTWETSTWUET UMNOVENIE MATRIC: M' = M'M . zAMETIM, ^TO ZDESX PRAWOSTORONNEE UMNOVENIE WEKTOROW NA \LEMENTY POLQ WESXMA OBLEG^AET DOKAZATELXSTWO. tOVDESTWENNOMU LINEJNOMU OTOBRAVENI@ SOOTWETSTWUET EDINI^NAQ MATRICA. iZ WSEGO \TOGO SLEDUET, ^TO SOOTWETSTWIE ' 7! M' QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU GRUPPOJ GL(V ) I GRUPPOJ GLn(F ) WSEH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . gOMOMORFIZMY WIDA T : G ! GL(V ) ILI T : G ! GLn(F ) NAZYWA@TSQ LINEJNYMI PREDSTAWLENIQMI GRUPPY G NAD POLEM F (TO^NEE, n -MERNYMI PREDSTAWLENIQMI, n = dim(V )). 26
6.2.
kAKOWO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE LINEJNOMU DEJSTWI@ GL(V ) V ;! V (' v) 7! '(v) ?
pO L@BOMU MNOVESTWU X MOVNO POSTROITX LINEJNOE PROSTRANSTWO S BAZISOM X . eGO \LEMENTAMI QWLQ@TSQ (FORMALXNYE) LINEJNYE KOMBINACII xP2X xx , GDE x 2 F I PO^TI WSE x = 0. eSLI NA X ZADANO DEJSTWIE GRUPPY G , TO NA VX ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDELQETSQ LINEJNOE DEJSTWIE G : g(
X
x2X
6.3.
xx) =
X
x2X
(gx)x
pROWERITX, ^TO FORMULA (*) ZADAET LINEJNOE DEJSTWIE.
()
pREDPOLOVIM, ^TO GRUPPA G DEJSTWUET NA KONE^NOM MNOVESTWE X jX j = n . dOKAZATX, ^TO LINEJNOE PREDSTAWLENIE GRUPPY G , SOOTWETSTWU@]EE DEJSTWI@ (*), MOVNO PREDSTAWITX KAK SUPERPOZICI@ DWUH GOMOMORFIZMOW: 6.4.
T : G ;! Sn I M : Sn ;! GLn(F )
GDE T | GOMOMORFIZM, SOOTWETSTWU@]IJ DEJSTWI@ G NA X , A M SOPOSTAWLQET PODSTANOWKE MATRICU M () , OPREDELENNU@ W KONCE RAZDELA 2 (TAM VE POKAZANO, ^TO 7! M () | IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP).
pUSTX V1 I V2 | DWA G - MODULQ. rASSMOTRIM PRQMU@ SUMMU V1 V2 PROSTRANSTW V1 I V2 . |LEMENTY V1 V2 BUDEM ZAPISYWATX W WIDE (v1 v2), GDE v1 2 V1 , v2 2 V2 . nAPOMNIM, ^TO OPERACII SLOVENIQ, WY^ITANIQ I UMNOVENIQ NA \LEMENTY POLQ OPREDELQ@TSQ W V1 V2 POKOMPONENTNO. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE 6.5.
G
(V
1
V2) ;! V1 V2 27
ZADAWAEMOE PO PRAWILU (g (v1 v2)) 7! g(v1 v2) = (gv1 gv2). dOKAVITE, ^TO \TO | LINEJNOE DEJSTWIE G NA V1 V2 . oPREDELENNYJ TAKIM SPOSOBOM G -MODULX V1 V2 NAZYWAETSQ PRQMOJ SUMMOJ G -MODULEJ V1 I V2 . wYBEREM W V1 BAZIS e1 : : : en , A W V2 | BAZIS en+1 : : : en+m . tOGDA MOVNO S^ITATX, ^TO PREDSTAWLENIQ, SOOTWETSTWU@]IE G -MODULQM V1 I V2 | \TO GOMOMORFIZMY T1 : G ! GLn(F ) I T2 : G ! GLm (F ) . kAK IZWESTNO IZ LINEJNOJ ALGEBRY, MNOVESTWO e1 : : : en en+1 : : : en+m BUDET BAZISOM PRQMOJ SUMMY V1 V2 ( ZDESX MY UVE S^ITAEM V1 I V2 PODPOSTRANSTWAMI V1 V2 I OTOVDESTWLQEM ei S (ei 0) PRI 1 i n , I ej S (0 ej ) PRI n + 1 j n + m ). dOKAVITE, ^TO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE G -MODUL@ V1 V2 , T.E. W DANNOM SLU^AE GOMOMORFIZM T : G ;! GLn+m(F ) IMEET PRI DANNOM WYBORE BAZISA SLEDU@]IJ WID: 0 BB @
0 0 T (g) pUSTX V | NEKOTORYJ G -MODULX ( n = dim(V ) < 1 ), I V | G PODMODULX MODULQ V . |TO OZNA^AET, ^TO DLQ KAVDOGO g 2 G I L@BOGO v 2 V \LEMENT gv SNOWA PRINADLEVIT V , TO ESTX OGRANI^ENIE DEJSTWIQ G S V NA V BUDET LINEJNYM DEJSTWIEM G NA V . wYBEREM KAKOJ-NIBUDX BAZIS e : : : ek W V , I DOPOLNIM EGO \LEMENTAMI ek : : : en DO BAZISA V . rASSMOTRIM PREDSTAWLENIE T , SOOTWETSTWU@]EE G -MODUL@ V . |TO GOMOMORFIZM G GLn(F ) . dOKAVITE, ^TO MATRICY T (g) W WYBRANNOM BAZISE IME@T SLEDU@]IJ BLO^NO-TREUGOLXNYJ WID: 0 1 T (g) B (g) CC T (g) = BB@ 0 T (g) A GDE T (g) | BLOKI RAZMEROM k k , T (g) | BLOKI RAZMEROM (n ; k) (n ; k) . dOKAVITE, ^TO OTOBRAVENIE g 7! T (g) QWLQETSQ LINEJNYM PREDSTAWLENIEM, SOOTWETSTWU@]IM G -MODUL@ V , A OTOBRAVENIE T (g) =
T1(g)
1 CC A:
2
6.6.
1
-
1
1
1
1
1
1
+1
1
2
1
2
1
1
28
g 7! T2(g) QWLQETSQ LINEJNYM PREDSTAWLENIEM, SOOTWETSTWU@]IM LINEJNOMU DEJSTWI@ G NA V2 = V=V1 , KOTOROE STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: UMNOVENIE g 2 G NA SMEVNYJ KLASS v + V1 OPREDELQETSQ PO PRAWILU g(v + V1) = gv + V1 . nEOBHODIMO PREDWARITELXNO DOKAZATX KORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ (TO, ^TO gv + V1 NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ SMEVNOGO KLASSA v ) I PROWERITX WSE SWOJSTWA LINEJNOGO
DEJSTWIQ. pOSTROENNYJ TAK G -MODULX V=V1 NAZYWAETSQ FAKTORMODULEM MODULQ V PO PODMODUL@ V1 .
s POMO]X@ MATRIC PODSTANOWOK ZADA@TSQ IN_EKTIWNYE GOMOMORFIZMY IZ Sn W GLn(F ) . oKAZYWAETSQ, ^TO MOVNO OPREDELITX IN_EKTIWNYE GOMOMORFIZMY Sn I W GLn;1(F ) . pREVDE WSEGO, ZAMETIM, ^TO GOMOMORFIZM M : Sn ! GLn(F ) | \TO PREDSTAWLENIE, SOOTWETSTWU@]EE DEJSTWI@ Sn NA n -MERNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE V S BAZISOM e1 : : : en , KOTOROE OPEREDELQETSQ PO PRAWILU: ei = e(i) (PROWERXTE \TO!). tEPERX MOVNO ISPOLXZOWATX TEHNIKU PREDYDU]EJ ZADA^I. nA^NEM SO SLU^AQ n = 3.
pUSTX n = 3, I F { ODNO IZ POLEJ Q R C . rASSMOTRIM W V = he1 e2 e3i PODPROSTRANSTWO V1 S BAZISOM v1 = e1 ; e2 , v2 = e1 ; e3 . dOKAZATX, ^TO \TO PODPROSTRANSTWO SOSTOIT IZ WSEH TEH LINEJNYH KOMBINACIJ e11 + e22 + e33 , W KOTORYH 1 + 2 + 3 = 0. dOKAZATX DALEE, ^TO V1 QWLQETSQ S3 -PODMODULEM W V . pOSTROITX W QWNOM WIDE SOOTWETSTWU@]EE EMU PREDSTAWLENIE (GOMOMORFIZM IZ S3 W GL2(F ) ) I USTANOWITX EGO IN_EKTIWNOSTX. 6.7.
pUSTX F { ODNO IZ POLEJ Q R C . rASSMOTRIM n -MERNOE PROSTRANSTWO V S BAZISOM e1 e2 : : : en KAK Sn - MODULX, LINEJNOE DEJSTWIE NA KOTOROM ZADAETSQ PO PRAWILU (e11 + e22 + + enn) = 6.8.
29
e(1)1 + e(2)2 + + e(n)n . pUSTX V1
| PODPROSTRANSTWO V , SOSTOQ]EE IZ WSEH TEH LINEJNYH KOMBINACIJ e + e + + enn , DLQ KOTORYH + + + n = 0 . dOKAZATX, ^TO \TO Sn -PODMODULX, I ^TO BAZISOM V QWLQETSQ MNOVESTWO v = e ; e , v = e ; e , : : : , vn; = e ; en . nE STROQ W QWNOM WIDE SOOTWETSTWU@]EE EMU PREDSTAWLENIE (GOMOMORFIZM T : Sn ! GLn; (F ) ), DOKAZATX EGO IN_EKTIWNOSTX. uKAZANIE. dOSTATO^NO WY^ISLITX QDRO T , KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH TEH 2 Sn , DLQ KOTORYH T () RAWEN EDINI^NOJ MATRICE. tO ESTX DOLVNY WYPOLNQTXSQ RAWENSTWA T ()(v ) = v , T ()(v ) = v , : : : , T ()(vn; ) = vn; . dLQ KAKIH PODSTANOWOK WYPOLNENY WSE \TI RAWENSTWA? 1 1
1
2
1
1
1
2 2
1
2
2
1
3
1
1
1
1
1
2
2
1
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P a x x . gRUPPA S DEJSTWUET LINEJNO NA \TOM x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j 4 4 ij i j PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj ) = x(i) x(j) (OBOSNUJTE \TO). dOKAZATX, ^TO PODPROSTRANSTWO W = hx1x2 ;x3 x4 x1x3 ;x2 x4 x1x4 ;x2 x3i QWLQETSQ S4 -PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM? 6.9.
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P a x x . gRUPPA S DEJSTWUET LINEJNO NA \TOM x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j 4 4 ij i j PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj ) = x(i) x(j) (OBOSNUJTE \TO). rASSMOTRIM PODPROSTRANSTWO W = hw1 w2i , GDE w1 = x1x2 + x3x4 ; x2x3 ; x1x4 , w2 = x1x3 + x2x4 ; x1x4 ; x2x3 . dOKAZATX, ^TO W QWLQETSQ S4 PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM? 6.10.
pUSTX V ESTX PROSTRANSTWO WSEH MNOGO^LENOW OT PEREMENNYH P aijkxi xj xk . gRUPPA S4 DEJSTWUET LINEJNO NA x1 x2 x3 x4 WIDA 1i<j