Физика (часть 2, введение в основы электромагнетизма). Конспект лекций

ГЛАВА 6.  ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.  6.1.  Закон  Фарадея.  r  r  Закон электромагнитной индукции Фарадея вскрыл глубокую связь между  E и  B ­полями.  Фарадей обнаружил, что индукционный ток можно вызвать в контуре двумя способами (рис.  84):  1)  путем перемещения контура (или его частей) в магнитном поле неподвижной  катушки;  2)  путем изменения магнитного поля (либо, изменяя ток в катушке, либо перемещая  катушку) при неподвижном контуре.  Общим для того и другого способа является изменение магнитного потока Ф через  поверхность "натянутую" на контур. 

а) I способ 

б) II способо  Рис. 84

6.2.  Природа элект ромаг нит ной индукции.  Закон Фарадея гласит, что какова бы ни была причина изменения магнитного потока Ф, в  контуре возникает ЭДС индукции:  dF e  = .  (123)  dt  Рассмотрим плоский проводящий контур в однородном магнитном поле. В этом случае  выражение для магнитного потока Ф записывается наиболее просто: F  = B × S cos a ,  r  где a – угол между  B и нормалью к плоскости контура.  Подставив формулу для Ф в закон Фарадея, получим: d ( BS cos a )  ¶B  ¶S  ¶a e  = =× S × cos a - B × cos a + BS sin a (124)  dt  ¶t  ¶t  ¶t  6.2.1. 

Второе и третье слагаемые отличны от 0, если со временем меняется площадь, ограниченная  контуром, либо меняется ориентация контура в магнитном поле. И в том и другом случае в  магнитном поле происходит перемещение частей контура. На заряды, находящиеся в этих  движущихся частях контура, действует сила Лоренца, она то и приводит к перемещению  зарядов по контуру, то есть к возникновению индукционного тока. Рассмотренные 

слагаемые (и причина их появления) соответствует первому способу формирования  индукционного тока.  6.2.2. 

Первое слагаемое в (124) описывает возникновение индукционного тока в неподвижном  контуре. В этом случае магнитная сила (сила Лоренца) не может привести в движение  r  заряды, ведь  V = 0 .  Остается (вслед за Фарадеем) предположить, что индукционный ток обусловлен  электрическим полем, возникающим в контуре при изменении магнитного поля. Причем  возникновение электрического поля не связано с наличием проводящего контура – контур,  благодаря индукционному току, лишь позволяет обнаружить наличие этого электрического  поля. Циркуляция электрического поля по контуру, численно равная работе по переносу  единичного заряда по этому контуру, и есть ЭДС индукции, то есть:  r  r ¶F (125)  ò Ed l  = - ¶t  .  ¶ F dF  Здесь  (в отличие от  ) подчеркивает, что контур и натянутая на него поверхность  ¶t dt  неподвижны, а изменение потока Ф связано только с явной зависимостью индукции поля от  времени. 6.2.3. 

Уравнение (125), описывающее закон электромагнитной индукции, можно записать  r  r несколько иначе, если вспомнить, что F  = ò Bd S . Действительно, r ¶ F ¶ r  r ¶B  r = ò B d S  = ò d S ,  ¶t ¶t  ¶rt  r  r ¶B  r то есть ò Ed l  = - ò ¶t  d S .  (126)  Последнее уравнение с помощью теоремы Стокса может быть записано в дифференциальной  форме: r r  r r r ¶B  r ò Ed l  = ò rot E d S  = -ò ¶t  d S  r æ r  ¶B ö r ÷d S  = 0 ,  или  ò çç rotE + ¶t  ÷ø è что в силу произвольности поверхности, натянутой на контур, дает  r r  ¶B  rot E = .  (127)  ¶t  Уравнение (127) – закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме, выражает  локальную связь между электрическим и магнитным полями, а именно, скорость изменения  r  r  r B в данной точке определяет  rot E (или  Ñ ´ E ) в этой же точке.  Примечание: 

r  r Так как  ò Ed l  ¹ 0 , то возникающее в контуре электрическое поле не является  потенциальным. Его называют вихревым. Значит, электрическое поле бывает двух типов –  потенциальным (в электростатике) и вихревым (при наличии меняющегося со временм  магнитного поля).  6.2.4. 

Таким образом, "сторонними" силами, вызывающими ток индукции в контуре, могут  являться две разные по своей природе силы:

r rr –  сила Лоренца – F Л =  q V B  , работа которой по перемещению единичного заряда  r r r по контуру ò VB d l  есть вклад в ЭДС индукции от второго и третьего слагаемого 

[ ] 

[ ]

в (124);  –  сила со стороны вихревого электрического поля, работа которой по перемещению  r  r единичного заряда по контуру ò E вихр d l  есть вклад в ЭДС индукции от первого  слагаемого в (124).  Следовательно, r rст ор r rr r r ò E  d l  º e индукции  = ò V B d l  + ò E вихр d l  ,  (128) 

[ ]

или (для напряженности поля "сторонних" сил) r rr r E ст ор  =  V B  + E вихр  (129) 

[ ] 

6.3.  Самоиндукция.  Изменение магнитного потока через контур может быть вызвано не только изменением  внешнего магнитного поля или перемещением контура во внешнем поле. Если в некотором  контуре течет переменный ток, то этот ток создает переменное магнитное поле, которое,  пересекая поверхность, натянутую на контур, формирует переменный магнитный поток, то  есть ведет к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. Это явление называют  самоиндукцией.  6.3.1. Индуктивность. 

r  Из закона Био­Савара­Лапласа следует, что созданное током I магнитное поле  B r  r пропорционально этому току. Но это значит, что и магнитный поток F  = ò Bd S  также  пропорционален току:  F  = LI ,  (130)  где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура.  Если вблизи контура нет ферромагнетиков, а сам контур является жестким (не меняющим  формы), то индуктивность не зависит от I, а определяется только размерами и формой  контура. Единицей измерения индуктивности в СИ является генри (Гн):  Вебер  Вб  1Гн = 1  º 1  .  Ампер  А  6.3.2. Потокосцепление (полны й магнитны й поток). 

Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из одного витка, а (как, например, в  катушке) из N витков, то каждый из витков пересекается полем, и в каждом из них  индуцируется ЭДС, которые, складываясь, дают результирующую ЭДС, индуцируемую в  контуре eрез. Суммарный магнитный поток через ее витки и называется потокосцеплением N N d F i  dY Y = å F i  . При этом, e рез  = = -å = å e i  ,  dt  i =1  i = 1  dt  где ei  – ЭДС индукции в i­м витке.  В частности, если магнитные потоки через каждый из витков равны друг другу  F i  = F 1 , где  Ф1  – поток через один виток, то  Y  = N F 1 , и  d F e рез  = - N  1 . dt 

6.3.3. Индуктивность длинного соленоида. 

Соотношение (130) используется для расчета индуктивности с заданной конфигурацией. В  качестве примера рассмотрим длинный прямой соленоид (если соленоид длинный, то можно  r  пренебречь краевыми эффектами, из­за которых потоки  B через крайние витки отличаются  r  от потоков  B через витки в средней части соленоида) (см. рис. 85).  Магнитный поток через один виток:  F 1  = B × S .  Потокосцепление:  Y = NF 1  = NBS .  Так как поле внутри длинного соленоида  N  B =  m 0 I ,  l 

L – длина соленоида  N – число витков  S – площадь поперечного  сечения  Рис. 85 

то 

Y  = m 0 N

N  S × I  .  l 

Y , то есть  I  N 2  N 2  L =  m 0 S  = m 0  2  lS  = m 0 n 2  × V ,  (131)  l  l  вит ки  N  где  n =  – плотность намотки ( [ n] =  )  l  мет р  V = lS  – объем соленоида. 

Из (130) следует, что  L = 

6.4.  Переходны е процессы  в цепях с индукт ивност ью .  В пп. 4.5.1 и 4.5.2 нашего пособия (просмотрите их еще раз) были рассмотрены два случая  переходных процессов в цепях с конденсатором. Сейчас, после усвоения понятия  индуктивности и ЭДС самоиндукции, применим уже известные законы постоянного тока для  описания квазистационарных токов в цепях, содержащих индуктивность.  6.4.1. Отклю чение источника ЭДС от индуктивности. 

Отключение источника ЭДС в данной задаче мы будем понимать как  его внезапное закорачивание (см. рис. 86) в силу каких либо причин.  На схеме рис. 86 закорачивание производится ключом Кл в момент  t  = 0 , при этом источник ЭДС отключается от "R­L цепочки".  После замыкания ключа контур 1–2–3–Кл–4 становится замкнутым и  к нему можно применить один из законов постоянного тока – второе  правило Кирхгофа:  IR =  +e L  (132)  где eL – ЭДС самоиндукции, наводимая в L (единственная ЭДС,  действующая в цепи),  dI  e L = - L  .  dt 

Рис. 86

После переноса всех слагаемых в левую часть (132) и деления на L получим  dI  R  +  I  = 0 .  dt  L  Это (см. п 4.5.1) – однородное дифференциальное уравнение первой степени. Его решение:  I ( t ) =  Ae lt  ,  R где  l  = - – корень характеристического уравнения.  L  Константа А находится, как обычно, из начального условия – непосредственно перед  e замыканием источника (Кл разомкнут) ток в цепи  I 0  =  .  R  Rt -  L 

I 0  = Ae  то есть 

=

A = 

e

,  R 

e R 

R ×0 -  L 

(так как  e 

= 1 ). 

Имеем,  I ( t ) =

R  - t L 

e 

e  (134)  R  Графически решение (134) представлено на рис. 87. 

Рис. 87

6.4.2. Подклю чение источника ЭДС к индуктивности. 

Схема выглядит так же, как на рис. 86, но теперь при t = 0 ключ размыкается и в цепи 1–2–3– e–4 последовательно с R и L оказывается включенный источник ЭДС: dI  IR =  - L  + e dt  Сейчас в цепи (замкнутом контуре) действуют две ЭДС – ЭДС самоиндукции и батарея e.  После обычных преобразований, получаем неоднородное линейное дифференциальное  уравнение первого порядка (см. (96))  dI R  e +  I  = (135)  dt  L  L  Общее решение однородного уравнения как уже известно (см. п.4.5.2), а частное решение  неоднородного уравнения легко угадывается:  I част н.  =  неодн . 

e

.  R 

Действительно, подставляя  I част н.  =  неодн .  R -  t

I ( t ) = Ae  L  +

e

e R 

в (135) обращает (135) в тождество. Итак, 

.  R  Для определения А используем начальное условие – до подключения источника ЭДС к "R–L" 

цепочке ток равнялся нулю ( I 0 = 0 ):  e e I 0  = 0 = A + , т.е.  A = - ,  R  R  R  -  t ö e  æ и I (t ) = çç1 - e  L  ÷÷ (136)  R è ø Графическое изображение (136) дано на рис. 88. 

Рис. 88

ГЛАВА 7.  ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.  Как мы уже знаем (см. п. 4.5.1) при разряде конденсатора ток, протекающий через  t  U 0  - RC  сопротивление, не спадает равномерно:  I ( t ) =  e  . За время разряда на сопротивлении  R  выделится джоулево тепло. Это наводит на мысль, что с заряженным конденсатором связана  некоторая энергия. Это – энергия электрического поля.  Другой процесс – процесс уменьшения тока при отключении ЭДС от индуктивности (см. п.  e  - Rt  6.4.1) по закону  I ( t ) = e  L  , приводящий тоже к выделению джоулева тепла на  R  сопротивлении R, в свою очередь наводит на мысль об энергии, связанной с протекающим  по катушке током, – об энергии магнитного поля.  Попытаемся понять откуда берутся эти энергии и, как они связаны с параметрами  электрического и магнитного полей.  7.1.  Энерг ия элект рическог о поля.  Рассмотрим процесс заряда конденсатора, описываемый уравнением (см. (95):  e  = RI + U C  ,  (137)  q  dq  где  U C =  ,  I =  .  C  dt  Домножим обе части уравнения (137) на Idt:  dq  e Idt  =  I 2 Rdt + U C dt  dt  или  e Idt  =  I 2 Rdt + U C dq  (138)  Так как  Idt = dq , то  eIdt = edq . Но, если вспомнить, что ЭДС численно равна работе  сторонних сил по переносу единичного заряда по цепи, то  eIdt = edq  есть не что иное, как  работа источника по переносу заряда dq по цепи.  Правая часть (138) говорит о том, что часть этой работы тратится на джоулево тепло  (слагаемое  I 2 R × dt ), выделяемое в цепи за время dt. Но есть еще одно слагаемое, связанное с  конденсатором ( U C dq ). Так как  U C dq  есть работа, которую нужно совершить, чтобы  перенести заряд dq против сил электрического поля с одной обкладки на другую, то  слагаемое  U C dq  – это та часть работы, совершенной источником, которая тратится на  процесс заряда конденсатора (конденсатор заряжается за счет источника ЭДС).  q  Проинтегрируем последнее слагаемое с учетом того, что  U C =  , а конечное  C  (установившееся) значение на конденсаторе U C  кон  = e (при этом  q кон = eC ):  2  C e 2  CU C кон  ò0 U C dq = C ò0 U C dU C  = 2  = 2 

eC   

e

Так как для плоского конденсатора*) :  e  eS  C =  0 и  U C кон  =  E × d  , d 

*) 

Плоский конденсатор взят нами для простоты выкладок, но полученный результат является общим.

где  S – площадь пластины конденсатора;  d – расстояние между пластинами;  Е – напряженность электрического поля заряженного конденсатора;  CU C 2 кон  e 0 eE 2  e 0 eE 2  то  =  d × S = × V C  .  2  2  2  Здесь V C  – объем, занимаемый электрическим полем.  Итак, источник ЭДС в процессе заряда конденсатора совершает работу, при этом в  конденсаторе запасается энергия (энергия электрического поля), распределенная с  r  e eE 2  постоянной плотностью (в силу однородности поля  E плоского конденсатора)  w E =  0  2  по объему, занимаемому полем (мы, как всегда, пренебрегаем краевыми эффектами). Если  r r учесть, что  D = e 0eE , то для плотности энергии электрического поля получим формулу:  rr E D  w E = (139).  2  7.2.  Энерг ия маг нит ног о поля.  Рассмотрим процесс установления тока в катушке при подключении к ней источника ЭДС.  Этот процесс описывается уравнением (см. (135)):  e =  RI - e L  (140)  dI  где  e L = - L  – ЭДС самоиндукции катушки с индуктивностью L.  dt  Домножим уравнение (140) на Idt:  dI  e Idt =  I 2 Rdt + LI  dt  dt  2 или  e Idt =  I  Rdt + LIdI .  Слагаемое в левой части – работа источника ЭДС по переносу заряда dq ( dq =  Idt ) за время  dt. Первое слагаемое в правой части – джоулево тепло, выделившееся в цепи за время dt.  Дополнительная работа, совершаемая источником, выражена слагаемым LidI – это работа  источника по увеличению ток I, протекающего по катушке на величину dI. Проинтегрируем  последнее слагаемое с учетом того, что конечное (утсановившееся) значение тока в катушке  e I кон =  :  R  e R  2  LI кон  L e 2  (141)  LIdI  = = ò  2  2 R  0 Для длинной (пренебрегаем краевыми эффектами) катушки*)  B  I кон =  ,  m 0 mn  где  n – погонная (на 1 метр длины) плотность намотки, и  L =  m 0 mn 2 V  (V – объем катушки).  То есть,  2  LI кон m 0 mB 2 n 2 V  B 2  = = × V . 2  2 m 0 2 m 2 n 2  2 m 0 m

*) 

Мы выбрали длинный прямой соленоид для упрощения выкладок, но полученные резальтаты 

являются общими, если только соленоид не заполнен ферромагнетиком. В последнем случае L являлась бы  функцией тока.

Итак, источник ЭДС, подключенный к индуктивности, в процессе установления тока  совершает работу, при этом в катушке индуктивности запасается энергия (энергия  r  магнитного поля), распределенная с постоянной плотностью (в силу однородности поля  B в  B 2  длинном прямом соленоиде) w B =  по объему, занимаемому полем (мы пренебрегли  2 m 0 m r v краевыми эффектами). Если учесть, что в однородных изотропных магнетиках  B =  m 0 mH  , то  для плотности энергии магнитного поля получим формулу:  rr B H  w B = (142)  2  r  r  Заметим, что формулы (139) и (142) верны и в случае неоднородного поля, когда  E и  B не  r  r  постоянны в объеме, занимаемом полями  E и  B . В этом случае (139) и (142) дают  плотности энергии электрического и магнитного полей в точке, и для расчета энергии полей  во всем пространстве нужно интегрировать (а не просто умножить на V): e  eE  B 2  W E  =  ò 0 dV , W B =  ò dV  (143)  2  2 m 0 m Более убедительно существование энергии электрического и магнитного полей дает о себе  знать при рассмотрении вопросов распространения, отражения и поглощения  электромагнитных волн, плотность энергии которых:  rr r r e 0 eE 2  B 2  E D  B H  .  (144) w E , H  = + = + 2  2 m 0 m 2  2 

ГЛАВА 8.  УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.  В этой главе мы соберем основные законы электромагнетизма и запишем их в виде системы  уравнений, достаточной для описания всех наблюдаемых явлений в области  электромагнетизма, – системы уравнений Максвелла.  8.1.  Закон полног о т ока.  Завершение построения теории электромагнитного поля Максвеллом стало возможным  только после того, как им (Максвеллом) была выдвинута и математически оформлена идея о  симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. До Максвелла была  известна лишь открытая Фарадеем возможность создания электрического поля переменным  во времени магнитным полем – закон электромагнитной индукции:  r r  r ¶B  rot E º Ñ ´ E  = .  ¶t  Максвелл предположил, что и, наоборот, переменное электрическое поле должно создавать  магнитное поле.  К этой мысли можно прийти, анализируя процесс протекания тока по участку цепи,  содержащему конденсатор, при разряде последнего (см. рис. 89).  r В соответствии с теоремой о циркуляции вектора  H r  r r r (145)  òr Hd Г  = ò j d S .  Здесь,  j – плотность тока, текущего по проводникам (плотность тока проводимости);  SГ  – поверхность, натянутая на контур Г.  По форме поверхности SГ  в доказательстве теоремы нет никаких оговорок (требований) – SГ  – это любая поверхность (например, S1  или S2  на рис. 89). Но ток I пересекает поверхность S1  и не пересекает поверхность S2. Но тогда получается, что при выборе в качестве SГ  r  поверхности S1, циркуляция  H по Г не равна нулю,  r  r а при выборе S2  ò Hd Г  = 0 .  В формуле (145) надо что­то изменить (добавить),  r  чтобы выбор SГ  не влиял на циркуляцию  H .  Рассмотрим замкнутую поверхность  S1  + S 2 . Через  S1  в объем, ограниченный этой поверхностью  втекает ток проводимости. Процесс изменения  заряда внутри замкнутой поверхности описывается  уравнением непрерывности:  r  r ¶q  Рис. 89 ò j d S  = - ¶t  (146)  С другой стороны, поверхность S2  пронизана силовыми линиями электрического поля  r  конденсатора. Запишем теорему Гаусса для вектора электрического смещения  D :  r  r D ò d S  = q  (147)  Считая замкнутую поверхность не зависящей (не меняющей формы) от времени, найдем  производную по времени от (147):  r  ¶D r ¶q  ò ¶t  d S  = ¶t  (148)  Складывая (146) и (148), получим: 

r æ r  ¶D ö r ò ççè j + ¶t  ÷÷ød S  = 0 .  Но это не что иное, как уравнение непрерывности для квазист ационарного тока с  r r  r ¶D  плотностью  j полн = j  + .  ¶t  Максвелл назвал этот ток полным т оком: r r r  æ r ¶D ö r ÷ d S  (149)  I полн =  ò j полн d S  = ò çç j  + ¶t  ÷ø è r  Здесь,  j полн  – плотность полного тока;  r ¶ D r = j см  – плотность тока смещения;  ¶ t  r  j – плотность тока проводимости.  Согласно уравнению непрерывности 

линии полного тока являются  непрерывными: в тех местах, где линии  тока проводимости прерываются, их  замыкают линии тока смещения (см.  рис. 90).  Проблема с выбором поверхности SГ  в  Рис. 90 теореме о циркуляции была снята  Максвеллом, который в правую часть  закона  вместо плотности тока проводимости ввел плотность полного тока: r r  r æ r ¶D ö r ò Hd Г  =  ò ççè j + ¶t  ÷÷ød S .  (150)  В связи с важностью введения понятия полного тока в теорию электромагнетизма последнее  уравнение, как правило, называют не теоремой о циркуляции, а законом полного т ока.  8.2.  Сист ема уравнений Максвелла.  Введение тока смещения Максвеллом завершило создание классической теории  электромагнетизма, которая не только объяснила все (разрозненные) явления электричества  и магнетизма, но и предсказывала целый ряд новых явлений (например, существование  электромагнитных волн), которые вскоре были открыты экспериментально.  Теория электромагнетизма Максвелла в настоящее время представляется четырьмя так  называемыми фундаментальными уравнениями:  r  r r  1) ò Dd S  =  ò rdV  (теорема Гаусса для  D )  r  Поток вектора  D через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных  зарядов, находящихся в объеме, ограниченном данной поверхностью.  Физический смысл данного уравнения заключается в том, что источником потенциального  электрического поля является электрический заряд. Именно из заряда выходит (или входят в  него) силовые линии электрического поля.  r r  r ¶B  r 2) ò Ed l  = - ò d S  (закон электромагнитной индукции)  ¶t  r  Циркуляция вектора  E по замкнутому контуру, равна потоку взятой с отрицательным 

r  знаком производной индукции магнитного поля  B по времени через произвольную  поверхность, натянутую на контур.  r  При этом под  E понимается как вихревое (индукционное) электрическое поле, так и  потенциальное (электростатическое). Для последнего  r  r E пот d l  = 0 ò  r  r 3)  ò Bd S  = 0 Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность всегда  равен нулю.  Физически это уравнение описывает тот факт, что в Природе отсутствуют магнитные заряды  r  (нет точек, в которые входили бы (или выходили) силовые линии поля  B ).  r r  r æ r ¶D ö ÷dS  (закон полного тока)  4) ò Hd Г  =  ò çç j  + ¶t  ÷ø è r  Циркуляция вектора  H по замкнутому контуру равна полному току, протекающему через  произвольную поверхность, натянутую на данный контур.  Смысл  уравнения в том, что источником вихревого магнитного поля (а другим оно в силу  r  r B ò  d S  = 0 быть не может) являются не только токи проводимости, но и переменное  электрическое поле (токи смещения).  Рассмотренные четыре уравнения не составляют еще полной системы уравнений  электромагнитного поля. Их нужно дополнить уравнениями, характеризующими свойства  среды, – так называемыми мат ериальными уравнениями:  r  r  r r 5)  D = e 0 eE  – связь  D и  E через диэлектрическую проницаемость среды e.  r  r  r r 6)  B =  m 0 mH  – связь  B и  H через магнитную проницаемость среды m.  r r r 7) j = s  E + E ст  – обобщенный закон Ома, выражающий плотность тока проводимости  r  через удельную электропроводность среды (s) и напряженности  E – электрического поля и  r  E ст  – поля сторонних сил, обусловленных механическими, химическими или тепловыми  процессами.  Запишем компактно систему уравнений Максвелла и обведем ее рамочкой (!). r r r r D d  S  = r   dV  B  ò ò r ò d S  = 0  r r r r r æ r ¶D ö r ¶B  (151)  ò E d l  = -ò ¶t  dS  ò H d Г  = ò ççè j + ¶t  ÷÷ød S  r r r r r r r D = e 0 eE  B = m 0 mH  j  = s E + E ст  Это – так называемая интегральная форма записи системы уравнений Максвелла. 

(

) 

(

) 

8.3.  Дифференциальная форма уравнений Максвелла  Уравнения Максвелла могут быть записаны в локальной (дифференциальной) форме.  Для перехода нужно применить теорему Остроградского (см. математическое приложение) к  уравнениям r  r r  r ò Dd S  = ò rdV ,  ò Bd S  = 0 ;  получим: r  r  div D =  r ;  divB = 0 ,  r  r  или ÑD = r ;  ÑB = 0 ;  и теорему Стокса к уравнениям

r r r  r r  r æ r ¶D ö ¶B  r ò Ed l  = - ò ¶t  d S  и ò Hd Г  =  ò ççè j + ¶t  ÷÷ø ,  r r r  r  æ r ¶D ö ¶B  ÷ .  или  Ñ ´ E = , Ñ ´ H = çç j  + ÷ ¶t  ¶ t  è ø Дополняются полученные уравнения теми же материальными уравнениями. Итак,  дифференциальная форма записи системы уравнений Максвелла: r r Ñ D = r  ÑB = 0  r r r r æ r ¶D ö ¶B  ÷ Ñ ´ E  = Ñ ´ H  = çç j  + (152)  ¶t  ¶t  ÷ø è r r r r r r r D  = e 0 eE  B = m 0 mH  j  = s E + E ст 

(

) 

Замечание (о симметрии системы  уравнений Максвелла): 

Симметрия между электрическим и магнитными полями не является полной. Это связано с  отсутствием в Природе магнитных зарядов. Однако, если рассмотреть однородную,  немагнитную ( m  = 1 ) без зарядов (т.е. и непроводящую) среду, для которой  r  = 0 ,  j  = 0 , то  r  r  уравнения Максвелла становятся симметричными в отношении полей  E и  B :  r  r ÑD = 0  r ÑB = 0  r r r ¶D  ¶B  Ñ ´ E  = Ñ ´ H  = ¶t  ¶t  Различие в знаках правых частей нижних уравнений связано с тем, что вихревое  r  r  ¶B электрическое поле  E образует левовинтовую систему с вектором  , а вихревое  ¶t  r  r  ¶D магнитное поле  H – правовинтовую систему с вектором  (см. рис. 91).  ¶t 

" левы й в инт " 

" прав ы й в инт "  Рис. 91

ГЛАВА 9.  r r ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЕЙ  E И  B ПРИ ПЕРЕХОДЕ  ОТ ОДНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА К ДРУГОЙ.  Исторически теория электромагнетизма оказалась первой релятивистски инвариантной  теорией. То, что в ней еще до Эйнштейна должны были быть учтены релятивистские  эффекты прямо следует из того факта, что возмущения в электромагнитных полях  распространяются со скоростью света (последний факт был установлен Максвеллом при  анализе его уравнений).  В этой главе мы без вывода рассмотрим законы преобразований (аналогичных лоренцевым  r  r  преобразованиям координат и времени) полей  E и  B при изменении ИСО.  r 9.1.  Закон преобразования поля  E .  r  То, что поле  E , действующее на электрический заряд, меняется при переходе от одной ИСО  к другой почти очевидно. Действительно, рассмотрим две ИСО:  r  –  в одной из них S (неподвижной) заряд q движется со скоростью V ( V