19. Ф ормула Тейлора Главной формулой дифференциального исчисления является формула Тейлора. Эта формула позволяет упр...
8 downloads
205 Views
392KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
19. Ф ормула Тейлора Главной формулой дифференциального исчисления является формула Тейлора. Эта формула позволяет упростить изучение поведение функции в окрестности данной точки. Формула Тейлора реализует идею, заключающуюся в следующем: для данной функции f(x) в точке x0 подобрать такой многочлен P n ( D x ) , где Dx = ( x - x0 ) , чтобы разность f ( x ) - P n ( D x ) была (при фиксированном x0) "достаточно мала". Точнее говоря, многочлен P n ( D x ) подбирается так, чтобы выполнялось соотношение n
f ( x ) - P n ( Dx ) = o ( Dx )
или n
f ( x ) = P n ( Dx ) + o ( Dx ) .
(1.19.1)
Если такой многочлен найден, то (с "малой" погрешностью) в окрестности точки x0 можно вместо f(x) исследовать многочлен P n ( D x ) , который является существенно более простым математическим объектом исследования. Частным случаем формулы (1.19.1) при n=1 является формула Dy = f ( x ) - f ( x 0 ) = f ¢( x 0 ) Dx + o ( D x) , рассмотренная ранее (формула (1.10.1)), с помощью которой введено понятие дифференциала dy = f ¢( x 0 ) D x . Решение задачи о нахождении многочлен P n ( D x ) , удовлетворяющего условию (1.19.1), дается следующей теоремой. Теорема (формула Тейлора). Для всякой функции f(x), определенной в некот орой окрест ност и т очки x0 и имеющей в эт ой т очке производные f ¢ ( x 0 ), f ¢¢ ( x 0 ), K , f ( n ) ( x 0 ) , а в некот орой окрест ност и эт ой т очки производную f ( n+1 ) ( x ) , справедлива формула f ( x ) = f ( x 0 ) +
f ¢( x 0 ) f ¢¢( x 0 ) f ( n ) ( x 0 ) ( Dx ) 2 +K + ( Dx ) n + r n ( x ) , (1.19.2) Dx + 1 ! 2 ! n !
где (
)
f n +1 ( c ) ( D x ) n + 1 , r n ( x ) = ( n + 1) ! с некот орая т очка, принадлеж ащая инт ервалу (x0, x).
(1.19.3)
Доказат ельст во. Обозначим через r n ( x ) разность k
( x - x )
n
( k )
0
r n ( x ) = f ( x ) - å f ( x 0 )
k !
k = 0
.
(1.19.4)
Полагая r n ( x ) =
( x - x )
n + 1
0
q ( x ) ,
( n + 1 ) !
рассмотрим функцию
( x - t ) k ( x - t ) n +1 F ( t ) = f ( x ) - å f ( t ) q ( x ) . ( n + 1 ) ! k ! k = 0 n
( k )
Очевидно, что F(t) дифференцируема на [x0, x] и F(x)=F(x0)=0. Тогда к функции F(t) применима теорема Ролля. Предварительно найдем F ¢ ( t ) : n
F ¢( t ) = - å f
( k +1 )
( x - t ) k
( t )
k = 0 n
(x - t )k +
= - å f ( k +1 ) ( t ) k = 0
k !
k !
n
å
( - k )( x - t ) k -1 ( x - t ) n
n
( k )
- å f ( t )
+
k !
k = 0
n !
q ( x ) =
(x - t )k -1 + (x - t )n q ( x ) = - f ( n +1 ) ( t ) (x - t )n + (x - t ) n q ( x ) . (k - 1 )! n ! n ! n !
f (k ) ( t )
k = 0
В силу теоремы Ролля существует точка c Î ( x 0 , x) такая, что F ¢( c ) = 0 , т.е.
( x - c ) n ( x - c ) n
- f (n + 1 ) ( c )
n !
+
n !
q ( x ) = 0 ,
откуда q ( x ) = f ( n +1 ) ( c ) ,
f (n +1 ) ( c ) n +1 f ( n +1 ) ( c ) ( D x ) n + 1 . r n ( x ) = x - x 0 ) = ( ( n + 1 ) ! ( n + 1) !
(1.19.5)
Теперь формула (1.19.4) может быть записана следующим образом:
( x - x )
n
0
f ( x ) = å f ( k ) ( x 0 )
k !
k = 0
+ r n ( x ) ,
где r n(x) определяется формулой (1.19.5), что соответствует формулам (1.19.2), (1.19.3)n Замечание 1. Слагаемое r n(x) в формуле (1.19.2) называется ост ат очным членом в формуле Тейлора. Формула (1.19.3) дает запись остаточного члена в форме Лагранж а. Остаточный член r n(x) можно записать также в форме Коши: r n ( x ) =
(
f (n +1 ) x 0 + q ( x - x 0 )
( n + 1 ) !
) (1 - q )
n + 1
( x - x )
n
0
, где 0 < q < 1 .
Часто используется запись остаточного члена в форме Пеано:
(
r n ( x ) = o ( x - x 0 )
n
) = o ((D x ) ) . n
(1.19.6)
Для справедливости формулы Тейлора (1.19.2) с остаточным членом r n(x) в форме Пеано (1.19.6) достаточно наличия в точке x0 производных f ( k ) ( x 0 ) вплоть до порядка k=n+1 включительно. Замечание 2. При x0=0 формула Тейлора имеет вид ( Dx = x - x 0 = x ): f ¢ ( 0 ) f ¢¢ ( 0 ) 2 f ( n ) ( 0 ) n f ( x ) = f ( 0 ) + x + x +K + x + r n ( x ) , 1 ! 2 ! n !
(1.19.7)
где: f ( n +1 ) ( c ) n + 1 x ( 0 < c < x ) в форме Лагранжа. (n + 1 ) !
r n ( x ) = (
r n ( x ) =
(1.19.8)
)
f n +1 ( qx ) ( 1 - q ) n x n + 1 ( 0 < q < 1 ) в форме Коши. ( n + 1 ) ! r n ( x ) = o ( x n ) в форме Пеано.
(1.19.9) (1.19.10)
Формула (1.19.7) называется формулой Маклорена. Примеры . Для данных функций записать формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано. 1. f ( x ) = e x . Решение. Очевидно, что f ( k ) ( x ) = ( e x )
( k )
= e x ; f ( k ) ( 0 ) = 1 (k=1, 2,¼, n,¼).
По формуле (1.19.7) получаем x x 2 x n e = 1 + + +K + + o ( x n ) . 1 ! 2 ! n ! x
(1.19.11)
2. f ( x ) = sin x . Решение. Очевидно, что f ( x ) = sin x , f ¢( x ) = cos x , f ¢¢( x ) = - sin x , f ¢¢¢( x ) = - cos x , f (4 ) ( x ) = sin x , f (5 ) ( x ) = cos x , f (6 ) ( x ) = - sin x , f (7 ) ( x ) = - cos x , -------------------------------------
(1.19.12)
f (4 k ) ( x ) = sin x , f (4 k + 1 ) ( x ) = cos x , f ( 4 k +2 ) ( x ) = - sin x , f ( 4 k +3 ) ( x ) = - cos x .
Очевидно, что f ( k + 4 ) ( x ) = f ( k ) . Из формулы (1.19.12) получаем, что f ( 0 ) = 0 , f ¢( 0 ) = 0 , f ¢¢( 0 ) = 0 , f ¢¢¢( 0 ) = 0 , f (4 ) ( 0 ) = 0 , f (5 ) ( 0 ) = 1 , f (6 ) ( 0 ) = 0 , f (7 ) ( 0 ) = -1 , ------------------------------------f (4 k ) ( 0 ) = 0 , f ( 4 k + 1 ) ( 0 ) = 1 , f ( 4 k + 2 ) ( 0 ) = 0 , f ( 4 k +3 ) ( x ) = -1 .
Поэтому из формулы (1.19.7) получаем sin x = x -
2 k +1 x 3 x 5 x 7 k x + + K + (- 1 ) + o (x 2 k +1 ) . (2 k + 1 )! 3 ! 5 ! 7 !
(1.19.13)
3. f ( x ) = ln(1 + x ) . Решение. f ( x ) = ln(1 + x ) , f ¢ ( x ) =
1 - 1 - 2 = (1 + x ) , f ¢¢ ( x ) = ( - 1 )(1 + x ) , 1 + x
f ¢¢¢ ( x ) = ( - 1 )( - 2 )(1 + x ) ,¼, f ( n ) ( x ) = ( - 1 ) - 3
n -1
( n - 1 ) !(1 + x ) - n .
Тогда f ( 0 ) = 0 , f ¢( 0 ) = 1, f ¢¢ ( 0 ) = ( - 1 ) , f ¢¢¢( 0 ) = 2 ! , f ( 4 ) ( 0 ) = - 3 ! ,¼, f ( n ) ( 0 ) = ( - 1 )
n - 1
( n - 1 ) ! .
Отсюда по формуле (1.19.7) получаем n x 2 x 3 x 4 n + 1 x + +K + ( - 1 ) × + o ( x n ) . 2 3 4 n
( + x ) = x ln 1
(1.19.14)
a
4. f ( x ) = (1 + x ) . a
Решение. f ( x ) = (1 + x ) , f ¢ ( x ) = a (1 + x ) f ¢¢¢ ( x ) = a (a - 1 )(a - 2 )(1 + x )
a - 1
, f ¢¢ ( x ) = a (a - 1 ) × (1 + x )
a - 3
a - 2
,
a - n
,¼, f ( n ) ( n ) = a (a - 1 )K (a - n + 1 )(1 + x )
.
Отсюда f ( 0 ) = 1 . f ¢ ( 0) = a , f ¢¢ ( 0 ) = a (a - 1) , f ¢¢¢ ( 0 ) = a (a - 1 )(a - 2) ,¼, f ( n ) ( 0 ) = a (a - 1 )K (a - n + 1) .
Поэтому, используя формулу (1.19.7), получаем
(1 + x )a
= 1 + ax +
a (a - 1 ) 2 !
x 2 + K +
a (a - 1 )K (a - n + 1 ) n !
( )
x n + o x n , (1.19.15)
20. Вы числение пределов с помощью формулы Тейлора x - sin x Пример 24. Найти lim . x ® 0 x 2 x e - 1 - x - 2 æ 0 ö Решение. Это неопределенность вида ç ÷ . Разложим sin x и e x по формулам è 0ø (1.19.11) и (1.19.13) при n=3: x 3 sin x = x + o ( x 3 ) , 3! x 2 x 3 e = 1 + x + + + o ( x 3 ) . 2 ! 3 ! x
Подставляя эти выражения получаем x 3 x 3 x 3 3 3 ( ) ( ) + o x + o x x - sin x 6 lim = lim 6 3 = lim 6 3 = 1 . 2 = lim 2 3 2 x ® 0 x ® 0 x ® 0 x x ® 0 x x x x x e x - 1 - x 1 + x + + - 1 - x + o ( x 3 ) + o ( x 3 ) 2 2 6 2 6 6 x - x +
1 x
Пример 25. Найти L = lim ( e + x ) . 2 x
x ® 0
Решение. Это неопределенность вида 1¥ . 1 x
1
(
)
lim ln e 2 x + x x
L = lim ( e + x ) = e 2 x
x ® 0
x ® 0
é 1 ù lim ê ln e 2 x + x ú û
x ® 0 ë x
= e
(
)
é 1 ù lim ê ln 1 + e 2 x + x -1 ú û
x ® 0 ë x
= e
( (
) )
.
В соответствии с формулой (1.19.14) (при замене x на ( e 2 x + x - 1) ) имеем: é 1 ù lim ê e 2 x + x -1 + o e 2 x + x-1 ú û
(
L = e x ® 0 ë x
) )
(
, так как ( e 2 x + x - 1 ) ® 0 при x ® 0 . Используя разложение
(1.19.11), получаем é 1 ù lim ê (1 + 2 x + x -1 + o ( x ) ) ú û
L = e x ® 0 ë x
é 1 ù lim ê ( 3 x + o ( x ) ) ú û
= e x ® 0 ë x
lim [ 3 + o ( x ) ]
= e x ® 0
= e 3 .
21. Исследование функций с помощью производны х Определение. Функция f(x) называет ся возраст ающей (убывающей) на [a, b], если для любых т очек x1, x2Î[a, b] т аких, чт о x1< x2, выполняет ся неравенст во f ( x 1 ) ). Теорема 1. Функция, непрерывная на от резке [a, b] и имеющая полож ит ельную (неот рицат ельную) производную на инт ервале (a, b), возраст ает (не убывает ) на от резке [a, b]. Доказат ельст во. Пусть a £ x 1 < x 2 £ b . На отрезке [x1, x2] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому на интервале (x1, x2) найдется точка c, для которой f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = f ¢ ( c )( x 2 - x 1 ) , ( x 1 < c 0 на (a, b), то f ¢ ( c ) > 0 и поэтому
f ( x 2 ) - f ( x 1 ) > 0 ,
(1.21.1)
если же f ¢ ( x ) ³ 0 на (a, b), то f ¢ ( c ) ³ 0 и поэтому f ( x 2 ) - f ( x 1 ) ³ 0 .
(1.21.2)
Поскольку неравенства (1.21.1), (1.21.2) имеют место для любых x1, x2, где a £ x 1 < x 2 £ b , то в первом случае функция f(x) возрастает, во втором не убывает на [a, b]n Замечание. Аналогично доказывается случай, когда f ¢ ( x ) 0 на ( a , b ) Þ f ( x ) возрастает на [ a , b ] f ¢ ( x ) < 0 на ( a , b ) Þ f ( x ) убывает на [ a , b ] f ¢( x ) ³ 0 на ( a , b ) Þ f ( x ) не убывает [ a , b ] f ¢( x ) £ 0 на ( a , b ) Þ f ( x ) не возрастает [ a , b ]. 22. Необходимое условие экстремума Определение экстремума было дано в п. 17. По теореме Ферма, если в точке экстремума x0 существует производная f ¢ ( x 0 ) , то f ¢ ( x 0 ) = 0 . В точке экстремума производная может и не существовать (см. пример 2.). Поэтому необходимое условие экст ремума можно сформулировать следующем образом: если x0 точка экстремума функции f(x), то либо f ¢ ( x 0 ) = 0 , либо производная в этой точке не существует.
Очевидно, что это условие необходимое, но не достаточное. Например, для функции f ( x ) = x 3 производная f ¢ ( x ) = 3 x 2 равна нулю при x=0, однако x0=0 не является точкой экстремума (см. рис. 1.1.1). Ясно также, что если в точке x0 не существует производная, то x0 не обязательно будет точкой экстремума. Определение. Точка x0 из област и определения функции f(x), в кот орой производная равна нулю: f ¢ ( x 0 ) = 0 , называет ся ст ационарной для f(x). Определение.
Точка x0 из област и определения функции f(x), в кот орой производная равна нулю, или не сущест вует , называет ся крит ической для данной функции. Очевидно, что множество стационарных точек для функции f входит в множество критических точек для этой функции. Очевидно, также, что точки экстремума следует искать среди критических точек. После того, как критические точки найдены, следует с помощью дост ат очных условий выявить точки экстремума и определить тип каждой точки (максимум или минимум). 23. Достаточны е условия экстремума Теорема 1. (1е достаточное условие экстремума).
[
]
Пуст ь функция f(x) непрерывна на от резке x 0 - d , x 0 + d и имеет производную f ¢ ( x ) от дельно на инт ервалах ( x 0 - d ; x 0 ) и ( x 0 , x 0 + d ) . При эт ом f ¢ ( x ) > 0 (< 0 ) на (x 0 - d , x 0 ) f ¢( x ) < 0 (> 0 ) на (x 0 , x 0 + d ). Тогда x0 ест ь т очка максимума (минимума) функции f. Заметим, что в самой точке x0 производная f ¢ ( x 0 ) может и не существовать, но требуется, чтобы функция f была непрерывна в этой точке. Доказат ельст во. Из непрерывности f на отрезке [ x 0 - d ; x 0 ] и теоремы 1. в 21. следует, что функция f возрастает (убывает) на этом отрезке и, следовательно,
[
]
(1.23.1)
[
]
(1.23.2)
f ( x 0 ) - f ( x ) > 0 (< 0 ) для x Î x 0 - d , x0 . Аналогично f ( x ) - f ( x 0 ) < 0 (> 0 ) для x Î x 0 , x0 + d . Из формул (1.23.1), (1.23.2) следует, что
[
]
f ( x ) f ( x 0 ) ) для x Î x 0 - d , x0 + d и x ¹ x 0 , т.е. x0 точка максимума (минимума)n С помощью данной теоремы можно сформулировать следующее. Правило. Пусть x0 точка непрерывности f(x). Если при переходе через точку x0 (при возрастании x) производная f ¢ ( x ) меняет знак с + на , то x0 точка максимума. Если при таком переходе производная меняет знак с на +, то x0 точка минимума. Если при этом f ¢ ( x ) не меняет знака, то x0 не является точкой экстремума. y ¢
+
+
y max
min
Теорема 2. (2е достаточное условие экстремума). Пуст ь x0 ст ационарная т очка функции f (т .е. f ¢ ( x 0 ) = 0 ) и f имеет вт орую непрерывную производную f ¢¢ ( x ) в окрест ност и x0. Тогда, если f ¢¢ ( x 0 ) 0 , т о x0 т очка минимума. Доказат ельст во. Разложим f по формуле Тейлора по степеням (x x0) при n=1. Так как f ¢ ( x 0 ) = 0 , то формула Тейлора для f в окрестности x0 имеет вид: 2
f ( x ) = f ( x 0 ) +
( x - x ) 0
2
f ¢¢ ( c ) , где c Î( x 0 , x) или c Î( x , x0 )
(1.23.3)
В этой формуле может быть x>x0 или x< x0. Пусть f ¢¢ ( x 0 ) 0 такое, что f ¢¢ ( x ) f ( x 0 )
если f ¢¢ ( x 0 ) 0 для x, принадлежащих достаточно малой окрестности точки x0, а потому и r 1 ( x ) > 0 для всех x из этой окрестности, кроме x=x0. Значит график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке x0 выпуклость вниз. Аналогично доказывается, что, если f ¢¢ ( x 0 ) 0 f ¢¢ ( x 0 ) x0 (x< x0). Прямая Y= kx+ b являет ся наклонной асимпт от ой непрерывной кривой y=f(x) при x®+ ¥ (x ® ¥), если f ( x ) - Y = f ( x ) - ( kx + b ) = a ( x ) , где a(x)®0 при x®+ ¥ (x ® ¥), (см. рис. 1.26.2).
Рис. 1.26.1
Рис. 1.26.2
Теорема. Для т ого чт обы график функции y=f(x) имел при x®+ ¥ (x ® ¥) наклонную асимпт от у, необходимо и дост ат очно, чт обы сущест вовали конечные пределы lim
x ®+¥ ( x ®-¥ )
f ( x ) = k , x
lim [ f ( x ) - kx ] = b .
x ®+¥ ( x ®-¥ )
(1.26.1)
Доказат ельст во. Необходимость. Пусть функция y=f(x) имеет при x®+¥ наклонную асимптоту, Y=kx+b. Тогда f ( x ) = kx + b + a ( x ) , где a ( x ) ¾x®+¥ ¾¾ ® 0 . Отсюда
lim
x ®+¥
f ( x ) é b a ( x ) ù = lim ê k + + =k x ®+¥ ë x x x úû
lim [ f ( x ) - kx ] = lim [b + a ( x )] = b .
x ®+¥
x ®+¥
Достаточность. Пусть теперь пределы (1.26.1) существуют. Тогда из второго равенства по определению предела имеем f ( x ) - kx - b = a ( x ) , где a ( x) ® 0 при x®+¥, т.е. f ( x ) = kx + b + a ( x ) . Значит прямая Y=kx+b наклонная асимптота при x®+¥. При x®¥ рассуждения аналогичныn 27. Построение графика функции Построение графика проиллюстрируем на следующем примере. Пример 29. Провести полное исследование и построить график функции y = f ( x ) =
x 2 . 1 + x
1. Находим область определения функции. Очевидно, что x¹1 и тогда D = ( - ¥; - 1 ) U ( - 1; + ¥ ) .
2. Выявляем характерные особенности функции (четность нечетность, периодичность, точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства)
( - x ) 2 x 2 f ( - x ) = = ¹ f ( x ) Þ f ( x ) не является четной; 1 + ( - x ) 1 - x f ( - x ) =
x 2 x 2 ¹ - f ( x ) = Þ f ( x ) не является нечетной. 1 - x 1 + x 2
Таким образом, f(x) функция общего вида. Если x=0, то y=0; если y=0, то x 2 =0 Þ x=0. Таким образом, график проходит через точку O(0, 0). Функция y=f(x) не является периодической хотя бы потому, что точка O(0, 0) не повторяется периодически. Очевидно, что y>0 Û 1+x>0 Û x0; если xÎ(1, +¥), то y 0 Û
ì x ( x + 2 ) > 0 , > 0 Û í (1 + x ) 2 î x ¹ 1 . x 2 + 2 x
Точка x=2 точка максимума; f(2)=4; точка x=0 точка минимума; f(0)=0. 5. Находим интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки перегиба. ¢ ( 2 x + 2 )(1 + x ) 2 - ( x 2 + 2 x )2 1 ( + x ) æ x 2 + 2 x ö f ¢¢ ( x ) = ( f ¢ ( x ) ) = ç = 2 ÷ = 4 (1 + x ) è (1 + x ) ø ¢
(1 + x )[( 2 x + 2 )(1 + x ) - 2 ( x 2 + 2 x )] 2 x + 2 x 2 + 2 + 2 x - 2 x 2 - 4 x 2 = = = ¹ 0 . 4 3 (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) 3 Устанавливаем знаки f ¢¢ ( x ) : f ¢¢ ( x ) > 0 Û
2 3 > 0 Û (1 + x ) > 0 Û 1 + x > 0 Û x > - 1 . 3 (1 + x )
Аналогично f ¢¢ ( x ) < 0 Û< - 1.
По результатам исследования строим график (рис. 1.27.1)
Рис. 1.27.1
