ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ r В основе учения об электромагнитных явлениях лежат понятия электрического E и ...
9 downloads
156 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ r В основе учения об электромагнитных явлениях лежат понятия электрического E и r магнитного B векторных полей. Поэтому усвоение основ электромагнетизма наиболее просто происходит в рамках математического аппарата векторной алгебры и векторного анализа, основные понятия и теоремы которого приведены в приложении. 1.1. Пот ок вект ора 1.1.1. Элементарны й поток
r Элементарным потоком dФ вектора A через элемент поверхности dS называют скалярное r r r произведение Ad S , где dS – вектор нормали к элементарной площадке dS, по модулю равный ее площади (рис. 1): r r (1) dФ = A d S = AdS × cosa Скалярное произведение (1) можно трактовать двояко (рис 1б r и в): 1) как произведение нормальной составляющей вектора A к площадке dS на площадь dS: dФ = ( A cos a ) dS = A n dS 2) как произведение модуля вектора A на площадь проекции площадки dS на плоскость, r перпендикулярную вектору A : dФ = A (dS cos a ) = AdS ^ 1.1.2. Поток вектора
Рис. 1а)
б)
в)
r Потоком вектора A через конкретную поверхность S называют сумму (интеграл) элементарных потоков dФ через элементарные площадки, на которые разбивают поверхность S (рис. 2а): r r Ф = ò dФ = ò A d S = ò A n dS = ò AdS ^ (2) ( S )
( S )
( S )
( S )
Поверхность S может быть замкнутой, ограничивающей объем V S (рис. 2б). В последнем r случае Ф называют потоком A через замкнутую поверхность и обозначают:
Рис. 2а)
Ф = ò dФ = ( S )
r r A ò d S =
( S )
б)
(3)
ò A dS = ò AdS n
( S )
^
( S )
1.2. Линейны й инт ег рал r Линейным интегралом по кривой L от вектора A называют криволинейный интеграл r r A ò d l = ò A cos adl , (4) ( L )
( L )
r где dl – вектор элемента дуги кривой L, по которой производится интегрирование, по модулю равный длине элементарного отрезка dl, направленный в выбранной положительным направлением обхода кривой L (рис. 3). r Если L – замкнутая кривая, то интеграл (4) называют циркуляцией вектора A по замкнутой кривой L и обозначают:
а)
б)
в)
Рис. 3
r A ò dl = ò A t dl
( L )
(5)
( L )
r Здесь, At – проекция вектора A на касательную к L в данной точке ( At = A cos a ).
r Физический смысл линейного интеграла (4) или циркуляции (5) особенно прост, если A –
r r r r поле сил. Тогда Ad l – элементарная работа силы A на перемещении dl , а интегралы (4), (5) r – работа силы A на конечном пути (незамкнутом или замкнутом). 1.3. Вект орны й дифференциальны й операт ор (НАБЛА) Оператор – определенная математическая операция, выполнив которую, мы получаем вместо ¶ данной функции новую функцию. Например, применив оператор к функции ¶x sin (2 x - 3 y - z ) , получим 2 cos (2 x - 3 y - z ) . Векторный дифференциальный оператор (оператор Гамильтона, или оператор "НАБЛА") определен формулой: ¶ r ¶ r ¶ r Ñ º i + j + k , (6) ¶x ¶y ¶z r r r где i , j , k – орты осей выбранной системы координат. 1.3.1. Градиент
Примененный к скалярной функции j оператор "НАБЛА" превращает ее в вектор gradj, направление которого показывает в трехмерном пространстве направление наискорейшего роста j(x,y,z): ¶j r ¶j r ¶j r Ñ j º grad j = i+ j + k . (7) ¶x ¶y ¶z Модуль градиента характеризует "крутизну" j(x,y,z) в направлении наискорейшего роста. dy В трехмерном пространстве gradj играет роль, аналогичную роли производной для dx функции y(x) одной переменной: dy – знак показывает направление изменения переменной x, соответствующее dx росту y(x); – модуль
dy характеризует "крутизну" (скорость роста) функции y(x). dx
Физический смысл gradj особенно прозрачен, если j º U ( x , y , z ) – потенциальная энергия частицы в силовом поле. В этом случае взятый с обратным знаком gradU представляет собой вектор силы F: r æ ¶U ö r æ ¶U ö r æ ¶U ö r ÷÷ j + ç F = -grad U = ç ÷i + çç ÷ k . (8) è ¶x ø è ¶y ø è ¶z ø r Если требуется найти приращение функции dj(x,y,z) при смещении на dr из точки (x,y,z) в r точку (x+dx,y+dy,z+dz) нужно скалярно умножить gradj на dr . Действительно, r ¶j r r æ ¶j r ¶j r ¶j rö r ¶j ¶j (9) grad j × dr = çç i + j + k ÷÷ dx i + dy j + dz k = dx + dy + dz = d j( x , y , z ) ¶y ¶z ø ¶x ¶y ¶z è ¶x
(
)
1.3.2. Дивергенция
r r Математическая операция div A , применяемая к векторному полю A( x , y , z ) , определяется формулой: r ¶A ¶A y ¶A z r r æ ¶ r ¶ r ¶ rö r r – скаляр !!! (10) div A º Ñ × A = çç i + j + k ÷÷ A x i + A y j + A z k = x + + ¶z ø ¶x ¶y ¶z è ¶x ¶y
(
)
r r r r Дивергенция A ( div A º ÑA ) определяет плотность источников векторного поля A . В r r частности, если A = E – напряженность электрического поля, то r 1 div E = r ( x , y , z ) – уравнение Пуассона,
e 0
где r(x,y,z) – плотность электрического заряда. r Пример: найти дивергенцию радиуса вектора r . r r æ ¶ r ¶ r ¶ rö r r r ¶x ¶y ¶z divr º Ñ × r = çç i + j + k ÷÷ x i + y j + z k = + + = 3 ¶z ø ¶x ¶y ¶z è ¶x ¶y
(
)
1.3.3. Ротор
r r Операция rot A, применяемая к векторному полю A( x , y , z ) , определяется формулой: r r æ ¶A ¶A y ö r æ ¶A x ¶A z ö r æ ¶A y ¶A x ö r ÷÷i + ç ÷÷k . (11) rot A = Ñ ´ A = çç z ÷ j + çç è ¶y ¶z ø è ¶z ¶x ø è ¶x ¶y ø Очень удобно представление этой операции в виде определителя: r r r r r r i j k i j k r ¶ ¶ ¶ Ñ ´ A = Ñ x Ñ y Ñ z = (12) ¶x ¶y ¶z A x A y A z A x A y A z r r Наиболее просто выявить физический смысл rot A можно в случае, если A – поле скоростей какихлибо частиц (см. рис. 4): r – то, что rotV = 0 для равномерного поступательного движения, очевидно, так как Ñ – дифференциальный оператор; r – равенство нулю rot V в случае "деформационного" движения легко увидеть при r записи операции rot V в виде определителя: r r r i j k ræ ¶y ö r ¶ ræ ¶ ¶ ¶y ö r rotV = = i ç 0 - l ÷ + j (0 - 0 ) + k ç l - 0 ÷ = 0 ; ¶x ¶y ¶z è ¶z ø è ¶x ø 0 ly 0 – в случае вращательного движения r r r i j k r ræ ¶ ¶ ¶ ¶x ö rotV = = i ç 0 - w ÷ + ¶x ¶y ¶z è ¶z ø - w y wx 0
r ræ ¶y ö ræ ¶x ¶y ö j ç - w - 0 ÷ + k çç w + w ÷÷ = 2 wk . ¶z ø ¶y ø è è ¶x
Таким образом, при движении частиц (течение жидкости или газа) отличный от нуля r ротор линейных скоростей ( rot V ) указывает на наличие вращения (завихренности) и равен удвоенному значению угловой скорости соответствующей частицы. r V = const
r r V = ly j
r r r V = -w × y i + w × x j
r rotV = 0
r rotV = 0
r r rotV = 2w k
Пост упат ельное равномерное движение
" Деформационное движение"
Вращ ат ельное движение
4а)
4б)
4с)
Рис. 4
1.4. Инт ег ральны е т еоремы 1.4.1. теорема Остроградского
r r Поток вектора A через замкнутую поверхность S равен объемному интегралу от div A по объему, заключенному внутри S. r r r ò Ad S = ò div A dV (13) ( S )
( V S )
r Для доказательства рассмотрим подробнее подынтегральное выражение div AdV : r æ ¶A ¶A y ¶A z ö æ ¶A ö ¶A æ ¶A ö ÷÷ dx dy dz = ç x dx ÷dydz + çç y dy ÷÷dxdz + æç z dz ö÷ dxdy div A dV = çç x + + 14 2 43 è ¶z ø è ¶x ø è1 ¶4x 4 4 2¶y 4 4 ¶4z 3 ø è ¶y ø dV r div A
Но
¶ Ay ¶ Ax ¶ A dx = dA x , dy = dA y , z dz = dA z . То есть, ¶x ¶y ¶z r div AdV = dA x × dS x + dA y × dS y + dA z × dS z , где
ìdS x = dydz ï ídS y = dxdz ï îdS z = dxdy
– площади граней элементарного куба dxdydz, перпендикулярных соответственно осям x, y и z (см. рис. 5а)
Но dAx dS x = ( A x + dA x ) dS x - A x dS x – суммарный результирующий поток dФх через dSx, взятую при x + dx, и dSx, взятую при x. Элементарный поток через замкнутую поверхность элементарного куба равен dФ = dФ x + dФ y + dФ z , где dФ x = dA x dS x , dФ y = dA y dS y , dФ z = dA z dS z .
При интегрировании по всему объему V s, ограниченному поверхностью S, элементарные потоки смежных граней примыкающих друг к другу элементарных объемов будут r сокаращаться изза различия в знаках (если вектор A выходит наруж у через какуюто грань r элементарного куба, то через смежную грань примыкающего элементарного куба вектор A будет входить внутрь). Нескомпенсированными останутся потоки через внешние по r отношению к объему V s грани, а это и есть поток вектора A через замкнутую поверхность S. Если линии векторного поля представляют собой замкнутые кривые (отсутствуют источники поля – точки, из которых выходят (начинаются) линии поля или в которые входят (оканчиваются) линии поля, то r s ò Ad S = 0 .
проекция на плоскост ь XY Рис 5а)
б)
Если же внутри объема V s, ограниченного поверхностью S, есть источники, из которых выходят линии поля, то r r A ò d S > 0 . И, наконец, если внутри объема V s, есть источники ("стоки"), в которых линии поля оканчиваются, то r r A ò d S < 0 . Сказанное иллюстрируется рисунком 6а, б, в.
r r A ò d S = 0
r r A ò d S > 0
r r A ò d S < 0
а)
б)
в)
Рис. 6
1.4.2. Теорема Стокса (без доказательства)
r r Циркуляция вектора A по замкнутому контуру L равна потоку rot A через поверхность SL, натянутую на контур L (рис. 7): r r r r A d l = rot A ò ò d S . (14) ( L )
( S L )
Рис 7
1.5. Линейны е (плоские) и т елесны е уг лы 1.5.1. Линейны й угол
Угол, опирающийся на дугу какойлибо кривой, – это обычный угол между двумя лучами, проходящими через крайние точки дуги, измеряемый в радианах. Центральный угол j, опирающийся на дугу окружности, связан с радиусом окружности R и длинной дуги l простым соотношением: l = R j (15) Из (15) видно, что если угол опирается на дугу l = R , то он равен 1 радиану (рис. 8)
S = R j Рис. 8а)
1 рад =
180 o » 57 , 3 o p б)
1.5.2. Телесны й угол
Телесный угол (обозначается обычно через W) опирается на поверхность S, его образующие формируют подобие конической поверхности, опирающейся на замкнутую кривую, ограничивающую поверхность S. Измеряется в стерадианах (страд). Центральный телесный угол W, опирающийся на часть поверхности сферы радиуса R, связан простым соотношением с площадью S той части поверхности сферы, на которую он опирается (рис. 9): S = R 2 × W . (16) Из (16) видно, что если угол W опирается на площадку (часть поверхности сферы) площадью S = R 2 , то он равен 1 страд. Угол, под которым видна половина внутренней поверхности сферы из точки О (рис. 9в) равен 2p страд.
Угол под которым видна вся внутренняя поверхность сферы равен 4p страд.
Рис 9а)
б)
в)
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА 2.1. Элект рическое поле 2.1.1. Электрический заряд
В природе существуют два т ипа элект рических зарядов – полож ит ельные (такой заряд имеют протоны – составные "кирпичики" атомного ядра и положительные ионы – катионы) и от рицат ельные (это заряд электронов, образующих электронную оболочку атомов, и отрицательных ионов – анионов). *) Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Электрический заряд протона, нейтрона и электрона является основным, первичным параметром частицы, определяющим ее электромагнитное взаимодействие с другими частицами (вспомните о массе m – основном параметре частицы, определяющим ее гравитационное взаимодействие с другими частицами). 2.1.2. Элементарны й заряд
Заряд протонов и электронов является самым маленьким по величине из зарядов, встречающихся в природе: заряд протона q p = 1, 6 × 10 -19 Кл заряд электрона q e = -1, 6 × 10 -19 Кл. Заряд e = 1, 6 × 10 -19 Кл называют элемент арным зарядом. Все остальные заряды кратны элементарному: Q = Ne , если Q > 0 , или Q = - Ne , если Q 0 , то преобладает процесс выхода электрического заряда из системы, если r r ò j d S < 0 , то преобладает процесс прохода заряда через границу системы внутрь системы. В первом случае заряд q системы уменьшается ( -
dq dq > 0 , т.е. 0 ). Так как по определению ток через поверхность S равен потоку dt r dq вектора j через эту поверхность, то можно сказать, что в случае > 0 преобладает dt dq электрический ток внутрь системы, а при 0 , dt 0 q 2 < 0
– радиусвектор точки P относительно заряда qi.
q 3 < 0 Рис. 13
r rip
Замечание. Для наглядности электростатическое поле изображают геометрически с помощью линий напряженности (силовых линий). Эти линии проводят так, чтобы r касательная к ним в любой точке совпадала с вектором E по направлению, а число линий, r пересекающих единичную площадку, перпендикулярную E , было бы пропорционально v | E | º E . Поля точечных положительного и точечного зарядов, а также поле электрического диполя (совокупности двух равных по величине, но противоположенных по знаку зарядов, разнесенных в пространстве) изображены на рисунке 14.
Рис. 14
2.2. Маг нит ное поле 2.2.1. Сила Лоренца
r Введение в теорию электромагнетизма электрического поля E недостаточно для описания (объяснения) всех электромагнитных явлений. Для описания центростремительных сил (сил, перпендикулярных скорости), действующих на движущийся заряд, оказалось необходимым ввести еще одно векторное поле – магнит ное поле, характеризуемое вектором магнитной r индукции B (в системе СИ [ B ] = Тесла º Тл ). В частности, упомянутая выше r центростремительная сила (сила Лоренца) описывается с помощью поля B следующей формулой: r rr F Л = q V B (26) r Здесь, q – заряд, на который действует сила F Л ; r Vr – скорость движения заряда; B – индукция магнитного поля в месте нахождения в данный момент заряда q. r r r Так как F Л определена векторным произведением VB , то она всегда перпендикулярна как r r V , так и B .
[ ]
[ ]
2.2.2. Отсутствие в Природе магнитны х зарядов
Многочисленные попытки обнаружить магнитные заряды – частицы, из которых выходили r бы или в которые входили бы силовые линии магнитного поля – линии индукции B , не увенчались успехом. В природе магнитные заряды не существуют, силовые линии магнитного поля нигде ни начинаются, ни кончаются. Они всегда представляют собой замкнутые кривые. Математически факт отсутствия магнитных зарядов выражается r теоремой Остроградского для поля B : r r B ò d S = 0 (27) ( S )
Действительно, так как магнитных зарядов нет, то они никогда не окажутся внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью.
2.2.3. Магнитное поле движущегося заряда.
Как показал опыт, источником магнитного поля является электрический ток – движущиеся r направленно электрические заряды. Магнитное поле B , создаваемое точечным движущимся зарядом, определяется формулой (рис. 15): rr r m 0 V r B = q 3 , (28) 4 p r m 0 где – коэффициент пропорциональности; 4 p Тл × м m 0 = 4 p × 10 -7 – магнитная постоянная; А r V – скорость движения заряда q; r r r – радиусвектор, проведенный от заряда q в точку, где определяется поле B .
[ ]
2.2.4. Закон БиоСавараЛапласа.
r r Bi , i = 1, 2, 3, 4 – векторы B в четырех точках: r r r B1 ^ плоскости XY, содержащей V и r1 ; B2 = B 3 , т.к. a 2 = a 3 =
p
и r3 = r 2 2 B2 > B 1 , т.к. a 2 > a 1 и r1 > r 2 Рис. 15
r В технике связи редко встречается случай, когда необходимо рассчитать B , созданное одиночным точечным зарядом. Гораздо чаще мы имеем дело с магнитным полем, создаваемым электрическим током, текущим по тонким проводам, когда направление протекания тока совпадает с касательной к проводу. Для расчета такого поля нужно разбить r r ток на так называемые элементы тока Idl (здесь I – ток, dl – элемент провода, направленный по касательной к проводу в направлении перемещения положительного заряда). Считая образующий ток I заряд dq, содержащийся в элементе dl, точечным, мы можем применить формулу (28): rr r m 0 V r dB = dq 3 . (29) 4 p r r r Здесь dB – поле, образованное элементом тока Idl ; r V – скорость направленного движения носителей заряда в элементе dl; r r r – радиусвектор точки, в которой определяется поле dB . r r Но dq = q × n × Sdl , а V || d l (см. рис. 16). Тогда,
[ ]
nSdl – число носителей заряда в элементе Idl n – концентрация носителей qnSdl = dq – заряд, переносящий ток в элементе dl r Sdl – объем элемента провода dl Рис. 16
rr rr rr rr r m 0 V r m 0 d l r m 0 d l r m 0 d l r dB = qnSdl 3 = (30) (qnV ) × S 3 = j × S 3 = I 3 4 p 4 p 4 p 4 p r r r r Формула (30) носит название закона БиоСавараЛапласа. Она позволяет рассчитать поле r dB , созданное элементом тока в точке, положение которой относительно Idl задано радиус r вектором r : rr r m 0 d l r dB = I 3 4 p r
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2.2.5. Принцип суперпозиции для магнитного поля.
Если магнитное поле создается совокупностью движущихся точечных зарядов, то для определения результирующего поля необходимо, как показывает опыт, векторно сложить вклады в общее поле каждого из зарядов: rr r N r m 0 V i r i (31) B = å B i = å q i 3 4 p r i i = 1 Если заряд предполагается распределенным непрерывно (как в предыдущем пункте), то rr r r m 0 d l r B = ò d B = ò I 3 (32) 4 p r æ по всему ö ç току ÷ è ø r Последняя формула позволяет рассчитать поле B , созданное током I, протекающим по тонкому проводу, если известна форма провода.
[ ]
[ ]
2.3. Закон элект ромаг нит ной индукции Открытый Фарадеем закон электромагнитной индукции заключается в том, что в замкнутом r проводящем контуре при изменении потока вектора B через поверхность, охватываемую этим контуром, в последнем возникает электрический ток (индукционный ток): 1 d F B i инд = (33) R dt Здесь, R – сопротивление проводящего контура; r r r F B = ò Bd S – поток вектора B через поверхность S, охватываемую контуром; ( S )
d F B – скорость изменения потока ФВ. dt Направление индукционного тока определяется так называемым правилом Ленца: Индукционный т ок всегда направлен т ак, чт обы прот иводейст воват ь причине,
его вызывающей.
Другими словами, индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток (рис. 17).
Рис. 17 а)
б)
