Сборник задач по газовой динамике. Часть 2. Двумерные течения: Учебное пособие

Казанский государственный университет

Сборник задач по газовой динамике

Учебное пособие Часть 2. Двумерные течения

Казань 2006

Печатается по решению кафедры аэрогидромеханики Казанского государственного университета (протокол № 1 от 29.08.06.)

Составители: доцент каф. аэрогидромеханики Казанского университета Е.И.Филатов, ст. Г.Н.Чукурумова. Рецензент: д.ф.-м.н., проф. В.В.Клоков

Сборник задач по газовой динамике. Часть 2. Двумерные течения: учебное пособие. Сост. Е.И.Филатов, Г.Н. Чукурумова. Казань: Казанский государственный университет. 2006. – 48 с.

Учебное пособие предназначено для использования студентами специальности «механика» при изучении курса «Газовая динамика»

©Казанский государственный университет. 2006 г.

2

ДВУМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА При обтекании равномерным сверхзвуковым потоком газа тупого внешнего угла (рис.1) происходит расширение газа, понижение в нем давления, температуры, плотности увеличение скорости. Область, в которой газ расширяется, заключенная между линиями Маха ОА, соответствующей числу M 1 и ОВ, соответствующей числу M 2 , называется простой центрированной волной расширения. Параметры газа в волне расширения постоянны вдоль каждого луча ОС.

рис.1

рис.2

В отличие от волн сжатия конечной интенсивности – скачков уплотнения, волны расширения являются областями непрерывного изэнтропического изменения параметров газа. Волны расширения имеют место и при истечении газа из сопла в среду, где давление ниже, чем в струе на срезе сопла. Расчет простых волн расширения входит как элемент в решение многих задач на построение линий тока и отыскание распределения давления по обтекаемым поверхностям. Если поток газа до расширения имеет звуковую скорость V = a , то угол поворота потока в волне θ ∗ (см. рис.2) связан с числом Маха потока (после поворота) соотношением: M 2 −1 V k +1 ∗ где λm = m = . (1) θ = λm arctg − arctg M 2 − 1 , λm akp k −1

Угол δ ∗ , который при этом определяет область, занятую волной расширения, можно найти из формулы: 3

δ ∗ = λm arctg

M 2 −1

λm

.

(2)

Если поток газа до расширения имеет скорость сверхзвуковую ( M 1 > 1), то при решении задач удобно считать, что эта скорость приобретена газом во ∗ время некоторого фиктивного поворота на угол θ1 , до которого скорость газа была звуковой. Угол θ1 вычисляется по формуле (1) при M = M 1 . Угол θ , на который повернется поток, с увеличением числа Маха от M = M 1 до M = M 2 может быть найден как разность фиктивных углов пово∗

рота, соответствующих числам M 1 и M 2 : θ = θ ∗ ( M 2 ) − θ ∗ ( M 1 ) . Таким образом, каждому числу M соответствует угол θ ∗ , характеризующий «израсходованную часть способности газа к расширению». Аналогично, угол δ , занятый волной расширения, можно найти как раз∗ ∗ ∗ ∗ ность δ = δ 2 − δ 1 , где δ1 и δ 2 вычисляются по формуле (2) при M = M 1 и M 2 - соответственно. Значения θ ∗ (M ) и δ ∗ (M ) для воздуха при k = 1,4 даны в табл. 4 Полагая в формуле (1) М = ∞ , получим угол (θ max )M =1 , на который спосоH

бен повернуться в волне расширения поток газа, имеющий до поворота начальное число Маха М Н = 1: (θ max ) M

Для воздуха: (θ max ) M

Н

=1

= (λm − 1)

π

, 2 = 130,4 o . Максимальный угол поворота в волне Н

=1

(3)

расширения потока с начальным числом М П = М 1 ≠ 1 получим по формуле: (θ max ) M

Н

= М1

= (θ max ) M

Н

=1

− θ ∗ (М 1 ) .

Между углами θ ∗ , δ ∗ и μ имеется соотношение: θ ∗ = δ ∗ + μ − 90 o .

Рис.3

Для отыскания линии тока в области волны расширения можно использовать формулу (см. табл. 4): 4

r ⎡ k −1 ∗ ⎤ = ⎢cos δ ⎥ rкр ⎣ k +1 ⎦

−

k +1 k −1

,

(4)

где rкр =АО, r =ВО (см. рис. 3). Соотношение между давлениями на двух каких-либо лучах в волне расширения получим, зная числа M на этих лучах: k

k − 1 2 ⎞ k −1 ⎛ 1+ M1 ⎟ ⎜ π (M 2 ) p2 2 ⎜ ⎟ = . = π (M 1 ) p1 ⎜ 1 + k − 1 M 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 Заменяя криволинейную стенку многоугольником, можно приближенно рассчитать ее обтекание по приведенным выше формулам. Если же известно уравнение кривой, образующей стенку, то задача может быть решена точно, так как скорость и давление в любой точке поверхности будет определяться углом касательной к поверхности в данной точке по отношению к направлению скорости потока в начале волны расширения.

Рис.4

Общим методом численного решения задач газовой динамики, в тех случаях, когда в рассматриваемой области поток газа сверхзвуковой, является метод характеристик. Характеристикой в плоскости течения ( x, y ) , называется кривая, касательная в каждой точке которой совпадает по направлению с одной из линий Маха (составляет угол Маха с вектором скорости для данной дочки). Через каждую точку плоскости течения проходят две характеристики, принадлежа-

5

щие к разным семействам (рис.4). Назовем их характеристиками ( x, y ) . В общем случае форма характеристик ( x, y ) определяется видом течения. В плоскости (u, υ ) можно определить кривые, называемые характеристиками в плоскости годографа, отражающие изменение скорости при перемещении вдоль характеристик ( x, y ) . Назовем их характеристиками (u , υ ) . Форма характеристик в плоскости годографа одна и та же для всех плоских изэнтропических течений. Аналитически безразмерный годограф скорости в изэнтропическом течении может быть представлен формулой ⎛ λ2 − 1 λ2 − 1 ⎞⎟ ⎜ (5) θ = ±⎜ λm arctg − arctgλm + C1, 2 , 2 2 λm − λ2 λm − λ2 ⎟⎠ ⎝ где значение постоянной C1, 2 выделяет определенную характеристику

(u,υ ) из двух семейств, различаемых по знаку перед скобкой в формуле (5).

Геометрически формула (5) изображается двумя семействами эпициклоид, заключенных в кольце 1 ≤ λ ≤ λm .

Рис.5

Сетки характеристик ( x, y ) и (u , υ ) взаимны в том смысле, что в любых соответственных точках обеих плоскостей касательная τ 1c к характеристике (x, y ) первого семейства перпендикулярна касательной τ 2l к характеристике (u,υ ) второго семейства и наоборот (рис.5). −

−

Если в формуле (5) ввести новые постоянные 2 n1 = −C1 , 2 n 2 = C2 , то уравнения эпициклоид запишутся в виде 6

−

−

θ = −ζ (λ ) + 2 n1 ; θ = ζ (λ ) − 2 n 2 . Откуда следует: −

−

−

−

θ = n1 − n 2 ; ζ (λ ) = n 1 + n 2 .

(7)

−

Таким образом, если значения постоянных n1, 2 принять за номера эпициклоид, то на радиусах θ = const пересекаются пары эпициклоид, разность номеров которых постоянна, а на окружностях λ = const ( ζ (λ ) = const ) – эпициклоиды, сумма номеров которых постоянна. −

−

Практически используется система номеров n1 , n2 , связанных с n1 , n 2 равенствами: 180 − − 180 − − (8) n1 − n2 = (n1 − n 2 ) − 200, n1 + n2 = 1000 − (n1 + n 2 ) ,

π

π

что дает, учитывая (7), (9) n1 − n2 = θ − 200, n1 + n2 = S (λ ) , 180 где θ взято в градусах и S (λ ) = 1000 − ζ (λ ) - характеристический ин-

π

декс (см. табл.4). Принцип применения метода характеристик к определению поля скоростей двумерного сверхзвукового течения иллюстрируется далее на одной из «типовых» задач теории характеристик.

Рис.6

Пусть в близких точках А и В (рис.6), не лежащих на одной характеристике, заданы безразмерные скорости по величине и по направлению: 7

λ A , θ A ; λB , θ B . Из табл. 4 определяются индексы S A = S (λ A ) и S B = S (λB ) . Применяя равенства (9) к точке А, получим: S +θA S −θ − 100; n2 A = A A + 100 . n1 A = A 2 2 Аналогично находятся номера эпициклоид, соответствующих точке В. (Номера n2 A , n2 A , n1B , n2 B могут быть найдены и графически по диаграмме эпициклоид). Из табл.4 найдем углы Маха в точках А и В: μ A и μ B . Пользуясь близостью точек А и В, заменим входящие из них характеристики ( x, y ) линиями Маха и найдем точку С пересечения линии Маха первого семейства, выходящей из точки В, с линией Маха второго семейства, выходящей из точки А. Перемещениям в плоскости ( x, y ) вдоль характеристик АВ и ВС соответствуют перемещения в плоскости годографа вдоль эпициклоид с номерами n1 B и n2 A . Поэтому равенства (9) применительно к точке С дают: S c = n1B + n2 A ; θ c = n1B − n2 A + 200 , и, определив из табл.4 λC по SC , находим скорость в точке С и ее направление: λC , θ C . Графически λC , θ C могут быть найдены по диаграмме эпициклоид определением точки пересечения эпициклоид с номерами n1 B и n2 A . Ошибка, возникающая в вычислении за счет замены характеристик линиями Маха тем меньше, чем ближе точки А и В. Особенности применения метода характеристик вблизи контуров обтекаемых тел и вблизи свободных поверхностей струй выясняются в задачах этого параграфа. В задачах, где происходит расширение потока в пучке бесконечно слабых волн, удобно приближенно заменять непрерывное расширение расширением в дискретных «линейных» волнах конечной интенсивности. Интенсивность каждой такой «линейной» волны определяется углом поворота на ней потока. Чтобы замена непрерывной волны «линейной» волной давала меньшую ошибку, угол Маха «линейной» волны следует определять по числу Маха, среднему для областей, разделенных волной, и откладывать осредненный таким образом угол Маха от среднего для этих областей направления течения. Для волны сжатия, в которой отклонение потока невелико, годограф скорости отличается от эпициклоиды лишь малыми третьего порядка. Поэтому слабые волны сжатия можно считать «почти изэнтропическими» и употреблять метод характеристик не только к расчету течений расширения, но и течений, содержащих как волны расширения, так и слабые ударные волны одновременно. 8

Для решения задач на взаимодействие волн с поверхностями необходимо учитывать, что: а) если давление вдоль свободной поверхности постоянно, волна сжатия отражается от нее волной расширения, а волна расширения– волной сжатия; б) отражаясь от плоской стенки, волны сжатия и волны расширения, не взаимодействующие с другими волнами, не меняют своего типа; в) при наличии оси симметрии в течении, она может быть принята в расчете за твердую стенку. Задачи 1 – 24

1. На какой угол должен повернуться поток воздуха, обтекая тупой внешний угол, для того, чтобы скорость течения возросла от V1 = akp до V2 = 1,5akp ?

2. Найти угол δ ∗ , который займет волна расширения, если при обтекании внешнего тупого угла движение воздуха ускоряется от М 1 = 1 до М 2 = 2,24 . Найти угол отклонения потока в волне. 3. Найти угол поворота воздуха и угол, занятый волной расширения, если при повороте в волне число Маха возрастает от М 1 = 2 до М 2 = 2,5 . Найти положение линии начала отсчетов углов. Указание: воспользоваться таблицами газодинамических функций.

4. По условию задачи 3 найти соотношение между радиусами-векторами точек одной линии тока в начале и в конце волны расширения. 5. Найти максимальный угол θ max поворота сверхзвукового потока воздуха в волне расширения, если до расширения число Маха М 1 = 5 . 6. При истечении в пустоту поток воздуха повернулся в волне расширения на угол 90,5 o . Найти число Маха потока до поворота. 7. Вдоль АВ (рис.7) течет поток воздуха со скоростью V1 = 500 м при сек

температуре T1 = 300 K и давление p 1 = 1 ата . Найти область, занятую волной расширения, скорость, давление и температуру в потоке после поворота его на внешний угол θ = 15 o . o

9

Рис.7

Рис.8

8. Воздух течет вдоль плоской стенки при числе Маха М 1 = 1,2 . На какой угол необходимо отклонить поток в волне расширения, чтобы понизить давление в нем в два раза. 9. Поток воздуха течет вдоль АО (рис. 8) с критической скоростью Vкр = 310

м . сек

В точке О течение отклоняется на угол θ = 30 o . Найти время

прохождения частицей воздуха волны расширения, если расстояние ОС 1 частицы от угловой точки ОС 2 =1,5 ОС 1 . 10. Воздух истекает из плоского сопла между плоскими стенками, имея на срезе число Маха М 1 = 2 и давление р1 = ата . Во внешней среде давление рa = 1ата . Найти угол отклонения внешней границы струи от оси сопла за срезом, область волны расширения и число Маха за волной расширения. 11. Спроектировать плоское сверхзвуковое сопло на число Маха М = 1,51 с центральным телом и чисто внешним расширением в центрированной волне. 12. Поршень приведен внезапно в движение по трубе справа налево со скоростью u П = −100

м . сек

В невозмущенном воздухе, заполняющем трубу,

давление р1 = 1ата =1, температура Т 1 = 289 o К . Рассмотреть состояние воздуха (скорость, давление) справа от поршня, через 0,02сек после начала движения. 13. При какой скорости движения поршня в трубе позади него образуется вакуум, если температура невозмущенного воздуха Т 1 = 400 o К ? 14. Разрушение мембраны, перегораживающей трубу в сечении x = 0 , создает слабый разрыв давления в воздухе. В левом отсеке трубы давление p1 = 1,00ата ; в правом отсеке р2 = 1,02ата Температура воздуха в обоих от10

секах одинакова: 289 o К . В линейной постановке рассмотреть распад разрыва, движение волны, скорость воздуха. 15. В характеристическом треугольнике АВС, образованном отрезком АВ и характеристиками АС и ВС (рис.9) указать область определения и область влияния для начальных данных, заданных на отрезке А 1 В 1 , считая характеристики прямолинейными.

Рис.9

Рис.10

16. На рис. 10 изображены схемы трех элементарных типовых задач теории характеристик: а) в близких точках А и В заданы скорости потока воздуха: λ A = 1, 7 ; θ A = 5 o ; λB = 1,66 ; θ B = 0 . Найти скорость в точке С, где пересекаются характеристики, проходящие через точки А и В. б) скорость потока воздуха задана в точке А вблизи стенки: λ A = 1, 6 ; θ A = 10 o . Найти скорость потока в точке В пересечения стенки с характеристикой, проходящей через точку А. в) скорость потока воздуха задана в точке А вблизи свободной границы струи: λ A = 1,8 ; θ A = 0. На свободной границе струи скорость задана по модулю λB = 1,9 . Определить направление свободной поверхности струи в точке пересечения ее с характеристикой, проходящей через точку А. 17. Воздух течет по плоскому каналу, изображенному на рис.11. В сечении ВС давление р1 = 1,28ата , безразмерная скорость λ 1 = 1,3 . Во внешней среде (вдоль АВ) давление pa = 1,0ата . Верхняя стенка расширяет течение в точке С на угол θ C = 2 o . С помощью характеристических чисел рассмотреть поля скоростей и давлений за отрезком ВС. Определить характер отражения волн ВД и СF. 11

Рис.11

Рис.12

18. Рассчитать линию тока течения воздуха, обтекающего стенку (рис.12) составленную из прямолинейных отрезков АВ и СД и дуги окружности ВС. Вдоль АВ число Маха потока M 1 = 1,5 . Расстояние h1 считать заданным; ω = 15o . Указание: воспользоваться характеристическими числами (табл.4). Дугу окружности заменить ломаной из трех прямолинейных отрезков. Решение провести построением в угловых точках как точных волн расширения, так и линейных волн. 19. Проанализировать с помощью характеристических чисел (табл.4) или с помощью диаграммы эпициклоид течение воздуха в плоском канале, форма которого указана на рис. 13 (отражение волны расширения от стенки). Считать волны расширения линейными. Ширина канала в сечении АВ равна единице. Продолжить нижнюю стенку так, чтобы погасить волну расширения. Число Маха на входе в канал M 1 = 1,77 .

Рис.13

20. Проанализировать с помощью характеристик нерасчетное истечение воздуха из плоского сопла при пониженном противодавлении, линеаризуя волны сжатия и расширения в пределах одного цикла струи l . Число Маха на p выходе M 1 = 1,7 . Перепад давлений 1 = 1,31 (отражение волны расширения pa от свободной поверхности). Примечание. Изменением энтропии в скачках пренебречь и расчет течения вести по характеристической диаграмме. 12

21. Проанализировать с помощью характеристик нерасчетное истечение воздуха из плоского сопла при повышенном противодавлении, линеаризируя волны сжатия и расширения в пределах одного цикла струи l (отражение волны сжатия от свободной поверхности). Число Маха на выходе M 1 = 1,77 . Перепад давлений

p1 = 0,77 . pa

22. Определить с помощью характеристик границы волны расширения и ее отражение от стенки, поле чисел Маха и форму линий тока при течении воздуха по каналу, форма которого показана на рис. 26. Число Маха на входе в канал M 1 = 1,5 . Указание: представить волну расширения в виде трех дискретных волн равной интенсивности.

Рис.14

Рис.15

23. Проанализировать с помощью характеристик отражение от свободной поверхности струи волны расширения, вызванной отклонением стенки АВ на угол θ = 10 o (рис.15). Число Маха струи до расширения M 1 = 1,5 . Давление в струе на срезе сопла – атмосферное. Указание: представить волну расширения в виде двух дискретных волн равной интенсивности. 24. Провести методом характеристик расчет сверхзвуковой части плоского сопла на M = 1,5 , заменяя стенку после критического сечения ломаной из трех отрезков. Каждый отрезок осуществляет поворот потока на 2 o . Указание: 1. Длину первых двух отрезков взять 0,4а (а – ширина половины критического сечения). Длина третьего отрезка определяется точкой падения на него первой волны от противоположной стенки. 3. Звуковая линия – прямая.

13

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ Плоская поверхность разрыва параметров в газовом потоке, нормаль которой не совпадает по направлению со скоростью невозмущенного потока, называется косым скачком уплотнения. Косые скачки уплотнения возникают при обтекании клиньев, при нерасчетном истечении плоских сопел. Скорость потока при переходе через косой скачок меняется по величине и по направлению. В дальнейшем обозначаются: β - угол наклона фронта скачка к скорости невозмущенного потока, θ - угол отклонения потока на скачке (рис.16).

Рис.16

Разрывы параметров на косом скачке являются функциями не только числа Маха М 1 до скачка, но и одного из углов β или θ . Основные теоремы механики для элемента газа на косом скачке представлены в виде следующих уравнений ( Vn - нормальная, Vt касательная к направлению скачка – составляющие скорости): уравнение сохранения массы: ρ1Vn1 = ρ 2Vn 2 , (10) уравнение изменения количества движения в проекции на направление скачка: (11) ρ1Vn1 (Vt1 − Vt 2 ) = 0 , откуда следует неизменность проекции скорости до и после скачка на направление скачка; уравнение изменения количества движения в проекции на нормаль к скачку: ρ1Vn21 − ρ 2Vn22 = p2 − p1 ; (12) уравнение энергии: 14

Vn21 Vn22 Vt 2 + i1 = + i2 = i0 − . (13) 2 2 2 Из (10) - (13) следует основное соотношение косого скачка: k −1 2 (14) Vn1Vn 2 = akp2 − Vt . k +1 В ряде соотношений на косом скачке основным параметром служит величина М 1 sin β :

2 ⎛ 1 ρ1 Vn 2 k − 1 ⎞ tg ( β − θ ) ⎜⎜ 2 2 + ⎟= , = = 2 ⎟⎠ ρ 2 Vn1 k + 1 ⎝ M 1 sin β tgβ

(15)

p2 k −1 2k , = M 12 sin 2 β − p1 k + 1 k +1

(16)

T2 2 ⎛ 1 k − 1 ⎞⎛ 2k k − 1⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜ = + M 12 sin 2 β − ⎟, 2 2 ⎠⎝ k + 1 T1 k + 1 ⎝ M 1 sin β k + 1⎠

(17) −1

k 1 ⎧ k −1 ⎫ k −1 ⎡ 2 ⎛ 1 k −1⎞ k − 1 ⎞⎤ ⎪ ⎪⎛ 2k ⎜⎜ 2 2 + ⎟⎟⎥ ⎬ . (18) M 12 sin 2 β − σ = ⎨⎜ ⎟ ⎢ + + + 1 k 1 1 sin β 2 k k M ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭ 1 косой скачок исчезает, вырожИз (15) - (18) следует, что при sin β → M1 даясь в линию Маха. При sin β → 1 (17) - (20) переходят в соотношения для прямого скачка. Связь угла наклона скачка с углом отклонения потока устанавливается формулой: ⎛ k +1 ⎞ 1 + M 12 ⎜ − sin 2 β ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⋅ tgβ . (19) ctgθ = 2 2 M 1 sin β − 1 Зависимость между параметрами потока воздуха на косом скачке для нескольких чисел M 1 дана в табл. 11. Для каждого числа Маха M 1 существует предельный угол поворота потока в косом скачке, присоединенном к носику клина. Если угол раствора клина, обтекаемого потоком газа, превышает предельный угол θ max ( M 1 ) , то скачок становится отсоединенным и криволинейным. При заданной скорости потока и изменении угла поворота потока на скачке конец вектора скорости после скачка описывает в плоскости переменных (u, υ ) кривую (годограф), называемую ударной полярой. С помощью ударной поляры графически решается ряд задач. Уравнение ударной поляры:

15

2 k + 1 ⎛ u 2 akp ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎜⎝ V1 V12 ⎟⎠ 2 2 υ 2 = (V1 − u 2 ) . 2 k + 1 ⎛ u 2 akp ⎞ ⎜ − ⎟ 1− 2 ⎜⎝ V1 V12 ⎟⎠

(20)

Удобнее пользоваться безразмерной формой ударной поляры, которую υ u и λυ = : получим из (20), введя величины λ u = akp akp

λ υ 2 = (λ 1 − λ u 2 ) 2

λ u2 −

2

1

λ1

. (21) ⎞ ⎛ 2 1 λ − ⎜λ − ⎟ k + 1 1 ⎜⎝ u 2 λ 1 ⎟⎠ Уравнение (21) в координатах (λ u , λ υ ) изображается декартовым листом (рис. 17). Через точку С проходит асимптота к поляре: 2 1 1 ОА = ; ОВ = λ 1 ; ОС = λ1+ = λ ua , λ1 λ1 k +1 где λ ua - координата асимптоты к годографу; ОК = λ 2 - скорость после скачка, вызванного поворотом потока на угол θ .

Рис.17 16

Касательная к поляре, проведенная из точки О, определяет угол поворота потока θ max , при превышении которого происходит отсоединение скачка от носика обтекаемого клина. Из трех точек поляры К, К 1 , К 2 , соответствующих некоторому углу поворота потока на косом скачке, физический смысл для присоединенных скачков имеет только точка К. Задачи 25 - 44

м , истекающей из баллона, сек где температура T0 = 288o K , возник плоский скачок уплотнения, фронт которого наклонен под углом β = 50 o к направлению скорости воздуха до скачка. Найти V2 - величину скорости потока после скачка и θ - угол отклонения потока в скачке. м и M 1 = 2 , обтекает 26. Поток воздуха, имеющий скорость V1 = 530 сек внутренний тупой угол, поворачиваясь при этом на 20 o . Определить V2 - скорость потока после скачка. 27. Скорость невозмущенного потока воздуха, обтекающего клин с полум . Угол наклона косого скачка β = 53o углом раствора 20 o , равна V1 = 800 сек измерен по фотографии. Геометрическим построением найти V2 - скорость потока за скачком. 28. Клин с углом полураствора θ = 10,5o летит на уровне земли со скором . Определить направление и величину абсолютной скорости стью 680 сек спутного движения воздуха за головной ударной волной. 25. В струе воздуха со скоростью V1 = 700

Указание: задачу решить, используя таблицы газодинамических функций и графическое построение. 29. Полуугол раствора клина θ = 22 o . Теневой фотоснимок показывает, что угол наклона косого скачка на носике клина к скорости невозмущенного потока β = 64 o . Найти соотношение плотностей воздуха ка. 17

ρ1 до и после скачρ2

30. Воздух течет по плоскому каналу, форма и размеры которого указаны на рис.18. До поворота потока около точки А, коэффициент скорости потока

λ1 = 1,75 , давление p1 = 1ата , критическая скорость звука aкp = 400

м . сек

Най-

ти поля скоростей, давлений и температур. Начертить расположение скачков уплотнения, построить линий тока.

Рис.18

Рис.19

31. Для течения воздуха с числом М 1 = 2,30 в плоском канале, форма которого дана на рис.19, определить максимальный угол θ поворота нижней стенки, при котором еще возможно правильное отражение косого скачка от верхней стенки. 32. Проанализировать с помощью ударной поляры взаимодействие двух симметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 20, если коэффициент скорости в области Ι λ 1 = 1,85 и скачки возникают под действием

перепада давлений

p2 = 1,9 . (Задача об истечении из сопла с перерасширениp1

ем). Указание: плоскость симметрии течения при расчете можно считать твердой стенкой.

33. Воздух течет по каналу, форма которого показана на рис. 21. В сечении АВ число Маха М 1 = 2,3 ; давление p1 = pa равно атмосферному. За точкой А стенка отклоняется на угол θ1 = 20 o . Рассчитать течение. Продолжить стенку АС таким образом, чтобы после волны расширения получить параллельный поток. 34. Дать качественную картину истечения воздуха из плоского сопла, при числе Маха М 1 = 2,5 и давлении р1 = 0,3ата , в среду, где давление рa = 1 ата . Течение безотрывно.

18

Рис.20

Рис.21

35. Сравнить расчет обтекания контура ABCD (рис. 22) воздухом: а) с учетом неизэнтропичности процесса в скачках уплотнения; б) по характеристическим числам. Вдоль АВ число Маха М 1 = 2,25 ; θ1 = 6,8 o ;θ 2 = 4,7 o .

Рис.22

Рис.23

36. Воздух истекает из сопла с косым срезом ( ϕ = 45 o ) при числе Маха M 1 = 2 . Рассчитать струю в областях 1, 2, 3, 4 (см. рис.23), если давление на срезе сопла p1 = 0,775 pa . Течение плоское. 37. Определить коэффициент восстановления давления торможения в потоке воздуха на косом скачке при M 1 = 3 и θ = 14,7 o . 38. 1. Изучить поведение коэффициента восстановления давления торможения в зависимости от угла наклона скачка ( β = 30 o , 50 o , 70 o , 90 o ) при числах M 1 = 2 и M 2 = 4 . 2. Какой выигрыш в восстановлении давления торможения дает замена прямого скачка косым, за которым будет звуковая скорость при указанных числах M до скачка? 19

39. Найти полуугол раствора клина, обеспечивающий при λ 1 = 2 наилучший коэффициент восстановления давления торможения на входе в двухскачковый плоский диффузор (рис. 24) (косой скачок и прямой). Сравнить с коэффициентом восстановления давления торможения диффузора, имеющего простой вход (прямой скачок уплотнения при входе).

Рис.24

Рис.25

Указание: решить задачу с помощью ударной поляры, составляя таблицу:

40. Рассчитать течение в трехскачковом плоском диффузоре (рис 25) при условиях: λ 1 = 2,0 ; θ1 = 10 o ; а) θ 2 = 10 o , б) θ 2 = 20 o . В случаях а) и б) найти

λ 2 , λ 3 , λ 4 и σ . Сравнить с простым входом. 41. Рассчитать оптимальный трехскачковый диффузор (два косых скачка и один прямой) (см. рис. 25); считать M 1 = 3,2 . 42. Проанализировать с помощью ударных поляр взаимодействие двух несимметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 26, если λ 1 = 1,75 ; β a = 36,5 o ; β b = 41 o .

20

Рис.26 Указание: при решении воспользоваться тем, что 1) θ a + θ b = θ c + θ d . 2) p4 = p5 .

43. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 27). Угол θ1 = 33 o , угол

θ 2 = 23,5 o . Вдоль отрезка АО поток имеет число Маха M 1 = 3 . Найти форму скачка уплотнения ОО 1 в результате интерференции его с волной расширения в точке В. Завихренность потока за скачком и отраженную волну не учитывать.

Рис.27

Рис.28

44. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 28) у которой θ1 = 15 o ,

θ 2 = 35 o . Вдоль АО число Маха M 1 = 2,5 . Найти форму скачка уплотнения (отходящего от точки В) в результате взаимодействия с волной расширения, возникающей точке О.

21

КРЫЛЬЯ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА КРЫЛО В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ В линейной постановке задачу об обтекании тонкого профиля сжимаемым газом можно решить с помощью одной из следующих теорем. Ι . Пусть тонкий профиль y = y (x) обтекается сжимаемым газом при числе M = M ∞ в невозмущенном потоке и при угле атаки α . Тогда распределение давления и коэффициент подъемной силы такого профиля будут те же самые, что у утолщенного профиля y1 = y1 ( x) : y , (1) y1 = 1 − M ∞2 обтекаемого несжимаемой жидкостью при угле атаки:

α1 =

α

1 − M ∞2

.

(2)

ΙΙ .

Пусть два одинаковых тонких профиля обтекаются при одном и том же угле атаки. Первый обтекается сжимаемым газом при M = M ∞ в невозмущенном потоке, а второй – несжимаемой жидкостью. Тогда коэффициент давления p и коэффициент подъемной силы CY первого профиля выражаются через коэффициент давления p1 и коэффициент подъемной силы второго профиля CY 1 по формулам: p1 CY 1 , (3) . (4) p= C = Y 1 − M ∞2 1 − M ∞2

p − p∞ 2 p − p∞ - коэффициент давления, p - давление = ⋅ 2 p∞ ⎛ ρ ∞V∞ ⎞ kM ∞2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ в данной точке профиля, p∞ - давление в невозмущенном потоке. Предполагается, что распределение давления по профилю и коэффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости могут быть найдены теоретически или с помощью опыта в аэродинамической трубе малых скоростей. Здесь p =

Задачи 45 – 49

x 45. Воздух обтекает синусоидальную стенку. Ее уравнение y = ε sin 2π , l где ε = 0,05 м , l = 1м . Вдали от стенки М ∞ = 0,6 . По линейной теории найти 22

расстояния от оси x , на которых возмущения скорости не превышают а) 1%, б) 0,1% от V∞ . Сравнить с затуханием возмущений в несжимаемой жидкости. 46. По линейной теории найти профиль y1 = y1 ( x) и угол атаки α 1 , под которым его надо подвергнуть продувке в аэродинамической трубе малых скоростей, чтобы узнать коэффициент подъемной силы симметричного профиля, заданного ниже таблицей, с учетом сжимаемости воздуха при М ∞ = 0,7 x и угле атаки α = 7,1o . В верхней строке даны значения x = в процентах , в b − − y нижней строке соответствующие значения yB = yH = , где b– длина хорды проb филя. 0,0 2,5 5,0 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 0,00 1,52 2,19 3,0 3,56 3,92 4,26 4,22 3,83 3,44 2,80 2,03 1,12

100 1,00

−

47. Коэффициент давления p1 без учета сжимаемости воздуха для верхней поверхности профиля ЦАГИ Д2-8% при угле атаки α 1 = 3,5o дан в таблице в зависимости от расстояния по хорде (в процентах):

Номер точки x , в% −

p1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

5

10

15

20

40

60

80

95

+0,1

-055

-0,72

-0,74

-0,68

-0,40

-0,18

-0,02

+0,08

−

По линейной теории найти коэффициент давления p с учетом сжимаемости для того же профиля, при том же угле атаки, если в набегающем потоке −

−

M ∞ = 0,56 . Сравнить эпюры p1 и p . 48. Для профиля (рис. 1), геометрические параметры которого и распределение давления при α = 15o заданы ниже таблицей, найти коэффициент подъемной силы C y с учетом сжимаемости по линейной теории, если

M ∞ = 0,5 . 23

Верхняя поверхность А 1 2 3

Точки

Нижняя поверхность 5 6 7 8

4

9

−

x −

y −

p1

0,00 0,06 1,00

0,07 0,14 -1,11

0,29 0,20 -1,19

0,46 0,18 -0,58

0,72 0,16 -0,20

0,20 0,00 0,11

0,39 0,00 0,13

0,51 0,00 0,18

0,82 0,00 0,09

1,00 0,00 -0,10

Рис.1

49. Модель прямоугольного крыла размахом l1 =1,0 м и с хордой b1 =0,2 м при продувке в аэродинамической трубе со скоростью V1 =30

м сек

дала подъ-

емную силу 77,3 н. Условия в потоке были нормальные атмосферные. Рассчитать подъемную силу крыла в натуре в полете при нормальных атмосферных условиях на уровне земли со скоростью V =239

м , сек

если линейные размеры

натуры в шесть раз больше соответствующих размеров модели. Углы атаки и углы нулевой подъемной силы равны соответственно 5 o и –5,2 o и одинаковы для натуры и модели. КРЫЛО В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ В пределах линеаризованной теории, пригодной для тонких профилей при малых углах атаки, коэффициент подъемной силы крыла Y , Cy = ρ ∞V∞2 S⋅ 2 где Y - подъемная сила, S - площадь крыла, является функцией числа Маха набегающего потока и угла атаки α . Он не зависит от формы профиля 24

4α . M ∞2 − 1

Cy =

(5)

Коэффициент волнового сопротивления профиля Х волн , C x волн = ρ ∞V∞2 S⋅ 2 где X волн - сопротивление, обусловленное наличием ударных волн в потоке, обтекающем профиль. В сверхзвуковом потоке C x вычисляется по формуле: 2 (2α 2 + LB + LH ). (6) C х волн = 2 М∞ −1 Здесь 1

−

1

−

LB = ∫ ε B2 d x1 ; LH = ∫ ε H2 d x1 0

0

- интегралы формы, отражающие влияние на волновое сопротивление − x геометрии профиля; x1 = 1 ( b - хорда профиля; ε B и ε H см. рис. 2). b

Рис.2

Cy 2α в данном = 2 C x волн 2α + LB + LH случае не зависит от числа Маха набегающего потока. Здесь не учтено сопротивление трения. Коэффициент момента относительно передней кромки профиля Аэродинамическое качество профиля K =

25

M0 ( M 0 − момент) p∞V∞2 Sb 2 определяется соотношением: 1 2 ⎡ Cm = α + ∫ (ε H − ε B )x1dx1 ⎤⎥ . 2 ⎢ ⎦ 0 M∞ −1 ⎣ Cm =

(7)

Для симметричных профилей ( ε H = ε B ): Cy 2α Cm = = . M ∞2 − 1 2

Центр давления – точку на хорде, через которую проходит линия действия равнодействующей сил давления, можно найти из соотношения: С (8) xЦ . Д = m ⋅ b . Cy x1 Ц . Д

= С Ц . Д называется коэффициентом центра давления. По b линеаризованной теории центр давления лежит на середине хорды для всех симметричных профилей. При определении Cm линеаризованная теория дает большую ошибку, чем при определении C y и C x волн . Отношение

Линеаризованная теория профиля не применима при числах Маха, близких к единице (М ∞