シリーズ 数学の世界 2 情報の数理

２ シ リ ー ズ ・・

数学の世界 野ロ 廣 蹄

情報の数理 山本

慎  著

朝倉書店

ま え が き

  大 学 で情 報 処 理 の リテ ラ シ ー 教 育 を 十 数 年 担 当 して い ます が,前

の 年 に行 っ

た こ とを そ の ま ま次 の 年 も同 じ よ う に行 う こ とは まず あ り ませ ん.す べ て の 準 備 を し直 さな け れ ば な ら ない とい った ら,少 しが 必 要 に な ります.去 テ ー マ や,逆

しオ ー バ ー で す が,か

な りの 手 直

年 は 扱 っ た け れ ど今 年 は や る ほ どの こ と は な い とい う

に,今 年 か ら は こ うい う こ と もや っ て お か な け れ ば と い うテ ー マ

が で て くる こ とが あ ります,去 年使 っ た ア プ リ ケー シ ョ ンソ フ トのバ ー ジ ョンが 上 が っ て,使 用 方 法 が 大 き く変 わ る とい う こ とや,去 年 まで は 一 般 的 で よ く使 わ れ てい た ア プ リ ケ ー シ ョン ソ フ トが 今 年 は よ りす ぐれ た 機 能 を もつ ほ か の も の に置 き換 わ っ て い る こ と も あ り ます.そ

して,3,4年

コ ン ピュ ー タそ の もの が リプ レー ス され て,使 と もあ ります.コ

に 一 度 は,授 業 で使 う

い勝 手 が全 く変 わ っ て し ま う こ

ン ピュ ー タが リプ レー ス され な くて も,OSが

バ ー ジ ョン ア ッ

プ した り,全 くほ か の もの に 変 わ っ て しま った り,ウ ィ ン ドウ ズ マ ネ ー ジ ャ ー と よば れ る基 本 的 な ソ フ トウ ェ ア が 変 わ る こ と もあ ります.   コ ン ピュ ー タが リ プ レー ス され れ ば,CPUの リー が 桁 違 い に増 えて,い

処 理 能 力 が 向 上 し た り,メ モ

ま まで は で きな か っ た よ うな こ と も で きる よ うに な

り ます.し か し,コ ン ピ ュ ー タが 一 度 に処 理 で き る情 報 量 が 増 え た り,補 助 記 憶 装 置 の 容 量 が 大 き くな っ た り,そ れ に伴 っ て,ア

プ リケ ー シ ョ ン ソ フ トも よ

り便 利 な 性 能 を備 えた もの に な っ た り して も,基 本 的 に は 変 わ らな い も の もあ り ます.   こ の本 で は,コ

ン ピ ュ ー タ の 中 で,整 数 や実 数 が どの よ う に表 さ れ て い る か

とい う よ うな,一 度 に 扱 え る桁 数 な ど は増 え て も,本 質 的 な と こ ろ に 変 化 の な い こ とが ら を説 明 す る こ とを1つ

の 目的 と して い ます.

  ま た,ハ ー ドウ ェ ア の 進 歩 だ け で は な く,処 理 をす る 手 順,い

わゆ るアル ゴ

リズ ム を くふ うす る こ とで 処 理 を 高 速 化 で き ます が,そ

の よ う な こ とを 勉 強 す

る上 で,前 提 と され る知 識 を 説 明 す る こ と を も う1つ の 目的 と して い ます.   こ の シ リー ズ の 趣 旨 にあ わせ て,な

るべ く前 提 知 識 を 仮 定 せ ず に読 み 始 め ら

れ る よ う に,ま た,解 答 の ない 練 習 問題 な ど も さけ て,例

や 例 題 は で きる だ け

て い ね い に説 明す る よ う に しま した.そ の よ うな わ け で,少

し難 しい こ と を前

提 とす る こ とが らの 証 明 は省 い て あ ります.   車 を運 転 す るの に,エ

ン ジ ン につ い て の 深 い 知 識 が 必 要 で ない よ うに,ほ

と

ん ど毎 日ふ れ て い る コ ン ピ ュー タ もそ の 内 部 で どの よ うな処 理 が さ れ て い る か な ど とい う こ とは 知 ら な くて も よ い の で す が,ち た い とか,詳

ょっ とそ ん な こ と も知 っ て み

し く知 りた い け れ どい きな り難 しい本 を読 む の は ど う も,と い う

方 に は役 に 立 つ と思 い ます.   最 後 に,全

く筆 の 進 ま ない 筆 者 を暖 か く見守 りつ つ,出 版 まで 導 い て くだ さ っ

た朝 倉 書 店 編 集 部 の方 々 に 心 か らの 感 謝 の 意 を表 した い と思 い ます. 2002年9月 山 本

慎

目

次

１ .  ア ル ゴ リ ズ ム

 １

  1.1  ア ル ゴ リ ズ ム

 １

  1.2  プ ロ グ ラ ム

 ３

  1.3  ア ル ゴ リ ズ ム の 記 述

 ５

  1.4  ア ル ゴ リ ズ ム と計 算 量

 ８

  1.5  大 き いＯ

記法

  11２

. 整 数 に つ い て   2.1  10進

数,２

  13 進 数,そ

して β 進 数

 13

 

2.1.1 

整 数 の２ 進 表 現

  13

 

2.1.2 

β進 数

 14

 

2.1.3 2進

数 へ の変 換

  2.2  累 乗 の 計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム:2進   2.3 

  15 表 現 を利 用 して

コ ン ピ ュ ー タの 内 部 で の 整 数 の 表 現

  18   21

  2.3.1 

整 数 の表 現

  21

  2.3.2 

整 数 の加 減 算

  25

  2.4  桁 数 の 多 い 整 数 の 演 算  

2.4.1 

多倍長整 数の掛 け算

 

2.4.2 

多 倍 長 整 数 の 割 り算

 27  

34

  36

  2.5  ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

  38

 

2.5.1 

最大公約 数の計算

 

 

2.5.2 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と フ イ ボ ナッ チ 数

38

 46

  2.6  素 数 に つ い て の ア ル ゴ リ ズ ム

  48

  2.6.1 

素

数

 

  2.6.2 

エ ラ トス テ ネ ス の 節(ふ

  2.6.3 

フェ ル マ ー の 小 定 理

  51

  2.6.4 

フェ ル マ ー 数 と カ ー マ イ ケ ル 数

  52

  2.6.5 

フェ ル マ ー の 素 数 判 定 テ ス ト

る)い

3.  実 数 に つ い て   3.1  実 数 の2進

48

 

 

53

  表現

49

58

  58

 

3.1.1 

実 数 の2進

表現

  58

 

3.1.2 

実 数 の2進

表現へ の変換

  59

  3.2  浮 動 小 数 点 数   3.2.1 

浮動小数点数

  3.2.2 

丸

め

 

3.2.3 

浮動小数点数 の加減算

 

3.2.4 

い ろ い ろ な誤 差

 61   61  

68   71

  74

  3.2.5 

浮 動 小 数 点 数 と誤 差

 75

 

3.2.6 

四則演算の誤差 限界

 77

 

3.2.7 

２ 次 方 程 式 の 解 の 公 式 と誤 差

  78

 

3.2.8 

累 和 を計 算 す る と きの 誤 差

 804

.  方 程 式 の 数 値 解 法

  81

  4.1  解 析 学 の 初 歩 の 復 習

  81

 

4.1.1 

コ ー シー 列 と完 備 な 区 間

  81

 

4.12 

テ イ ラ ー展 開

  82

  4.2  多 項 式 の 計 算

 85

 

4.2.1 

素 朴 な 方法

  85

 

4.2.2 

ホーナーの方法

  87

 

4.2.3 

ホ ー ナ ー の 方 法 に よ る微 分 係 数 の計 算

  4.3 

ニ ュ ー トン法

 89  91

  4.3.1 

方 程 式 の 直 接 解 法 と間接 解 法

 91

 

4.3.2 

ニ ュ ー ト ン 法 の 定 義 と例

 92

 

4.3.3 

ニ ュ ー ト ン法 と グ ラ フ

 

4.3.4 

ニ ュ ー トン 法 と テ イ ラ ー 展 開

 

4.3.5 

ニ ュ ー トン法 以 外 の 反復 法

  98

 

4.3.6 

縮 小 写 像 と不 動 点定 理

  98

 

4.3.7 

ニ ュ ー トン法 の 収 束

 

  97

  101

  4.4  連 立 １次 方 程 式 の 数 値 解 法

  102

  4.4.1 

連 立 １次 方 程 式 と行 列

  4.4.2 

ク ラ メ ルの 公 式 と計 算 量

  4.4.3 

行 列 が 正 則 で あ るた め の 十 分 条件

  4.4.4 

ガウスの消去法

  4.4.5 

LU分

  102  103   105   106

解

  4.5  連 立 １次 方 程 式 の 解 法:反

97

  113 復 法

  4.5.1 

反復 法

  4.5.2 

連 立 １次 方 程 式 の 反 復 解 法 の 収 束 定 理

  114   114   118

５. ソ ー トと サ ー チ の ア ル ゴ リ ズ ム

 122

  5.1  ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム

 122

 

 122

5.1.1 

ソー ト

  5.1.2 

単 純 選 択 ソー ト

 

122

 5.1.3 

単 純 挿 入 ソー ト

  126

 5.1.4 

バ ブル ソー ト

  130

 

5.1.5 

シェル ソー ト

  132

 

5.1.6 

クイ ックソー ト

 135

 5.2  サ ー チ の ア ル ゴ リ ズ ム

  137

 

5.2.1 

逐次探索 法

  137

 

5.2.2 

バ イ ナ リー サ ーチ

  138

  5.3  文 字 列 照 合 の ア ル ゴ リ ズ ム

  141

 

  141

5.3.1 

素朴 な方法

 

5.3.2 

ボ イ ヤ ー 一ム ー ア の ア ル ゴ リ ズ ム

参 考 文 献  

索

引

 145

153

  155

１  ア ル ゴ リ ズ ム

  １か ら100ま

で の 整 数 の 和 を 求 め る の に,大

数 学 者 ガ ウ ス は,こ

ど もの こ ろ

に,1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×100÷2 と し て,5050と

い う 答 を 出 し た と い う 話 は,よ

2+…+n=n(n+1)/2と

く 知 ら れ て い る.つ

い う 公 式 を 導 い た わ け で,あ

し ま う.で

は,ｎ

が た と え ば3872685の

る の と,順

番 に1+2+…+3872685と

タ で す る の と で は,ど

と き に,こ

ま り,1+

っ と い う間 に計 算 で きて の公 式 を用 い て暗 算 で 求 め

い う3872684回

の 足 し算 を コ ン ピ ュ ー

ち ら が 速 く 計 算 で き る だ ろ う か.

  ま た,1+2+3を

求 め る に は,こ

の ま ま,２ 回 の 足 し算 を す る の と,3×4÷2

と １回 の 足 し算,１

回 の 掛 け 算,１

回 の 割 り算 を す る の と で は,ど

ち らが 簡 単

で あ ろ う か.   こ の 本 で は,問

題 を 解 く 手 順,い

わ ゆ る ア ル ゴ リズ ム に つ い て 述 べ る こ と が

１つ の テ ー マ で あ る.1+2+…+nを

求 め る の に,１

１つ の ア ル ゴ リ ズ ム で あ り,n(n+1)/2と

つ １つ 足 し て い く の も

い う 式 か ら 求 め る と い う の も １つ の ア ル

ゴ リ ズ ム で あ る.   ま ず,ど

の よ う な 手 順 を ア ル ゴ リ ズ ム と よ ぶ の か,ア

に 記 述 す る の か,ア

ル ゴ リズ ム を どの よ う

ル ゴ リズ ム の 性 能 は ど の よ う に 評 価 す る の か,と

いった こ

と を 簡 単 に 述 べ る こ と か ら始 め よ う ．

 

  ア ル ゴ リ ズ ム(algorithm)と

1.1 

ア ル ゴ リ ズ ム

は,与

え ら れ た 問 題 を 解 く手 順 で あ る.た

とえ

ば,異

な る ３つ の 実 数   ５,  ８,  ２

を 小 さ い 順 に 並 べ る と い う 問 題 を 考 え る ． こ れ は あ ま り に 簡 単 な 例 な の で,一 目 見 れ ば,   ２,  ５,  ８ と 答 え が 得 ら れ,ど

の よ う に した か を 説 明 す る の が 難 し い ほ ど で あ ろ う.で

具 体 的 に 異 な る ３つ の 実 数 が 与 え ら れ て い る わ け で は な く,一

は,

般 に

 x1,x2,x3 が 与 え ら れ て い る と き,小

さ い 順 に 並 べ る に は ど う す る か を,ど

し て も,誰

き る よ う に 説 明 す る と し た ら ど う し た ら よ い だ ろ う.

が や っ て も,で

ん な実 数 に対

次 の よ う に 説 明 す る の も １つ の 方 法 で あ る ．

  (a1)

３ つ の 数x1,x2,x3の

中 で,最

  (a2)

minと

  (a3)

残 り をmaxと

  (a4)

こ の よ う に す れ ば,min,mid,maxが

小 の も の をminと

し た も の 以 外 の ２つ の 数 の 小 さ い 方 をmidと

つ の 数 の 中 で,最

小 さ い 順 に 並 べ た も の で あ る.

ず,"３

番 問 題 な の に,ど

の よ う に探 す か は 示 さ れ て い な い.そ

  (b1) x1とx2を

比 較 し,改

  (b2) x1とx3を

比 較 し て,改

め て,小

  (b3) x2とx3を

比 較 して,改

め て,小

め て,小

こ の と き のx1,x2,x3が

と す れ ば,か

す る.

す る．

こ の 手 順 で は,ま

  (b4)

す る．

な り具 体 的 に な る.た

に つ い て こ れ を 実 行 し て み る と,

小 の も の"を 探 す と あ る が,そ

さ い 方 をx1,大

こ で,も

れが 一

う 少 し詳 し く,

き い 方 をx2と

す る.

さ い 方 をx1,大

き い 方 をx3と

す る.

さ い 方 をx2,大

き い 方 をx3と

す る.

小 さ い 順 に 並 ん で い る.

と え ば,最

初 の,x1=5,x2=8,x3=2

  (b1) x1=5とx2=8を

比 較 し,小

と す る.こ

の と き は,最

  (b2) x1=5とx3=2を x3と

さ い 方 の ５ をx1,大

比 較 し て,小

す る.つ

ま り,こ

き い 方 の ８ をx2

初 の 状 態 と何 も 変 わ っ て い な い . さ い 方 の ２ をx1,大

き い方 の ５を

の 結 果,x1=2,x2=8,x3=5と

な り,x1

が ３ つ の 数 の 最 小 の も の と な る.   (b3) x2=8とx3=5を x3と   (b4)

比 較 して,小

す る.結

果 は,x1=2,x2=5,x3=8と

し た が っ て,x1,x2,x3が

  こ の 本 で は,最 (b1)∼(b4)を

さ い 方 の ５ をx2,大 な る.

小 さ い 順 に 並 ん で い る こ と に な る.

初 に 書 い た 手 順(a1)∼(a4)よ

ア ル ゴ リ ズ ム と よ び た い.つ

り,こ

ま り,あ

  ●何 か 入 力,す

な わ ち,ア

  ●各 操 作 は,た

だ 一 通 り に 行 わ れ る よ う に,厳

  ●や ろ う と 思 え ば,人

きい 方 の ８ を

の ２番 目 に書 い た 手 順

る 問 題 を 解 く手 順 で,特

ル ゴ リズ ム を 開 始 す る 前 に 与 え られ る 量,が

に,

あ っ て,

密 に 定 義 さ れ て い て,

が 紙 と鉛 筆 で そ の 操 作 を す る こ と が で き,

  ●有 限 回 の 操 作 で,   ●出 力,す

な わ ち 何 ら か の 答 を 得 る,

と い う 条 件 を 満 た す もの を ア ル ゴ リズ ム と い う こ と に し よ う .こ の 手 順(b1)∼(b4)は

  1.2 

プ

  こ の 本 で 扱 う ア ル ゴ リ ズ ム は,原 で あ る が,実 い る.そ

の 意 味 で,上

ア ル ゴ リズ ム と い う こ とが で き る.

際 に は,コ

の と き,1.1節

ロ

グ

ラ

ム

理 的 に は紙 と鉛 筆 で行 う こ とが で き る も の

ン ピ ュ ー タ を使 っ て 処 理 を す る と い う こ と を 意 識 し て に 書 い た ま ま を コ ン ピ ュ ー タ に 入 力 し た ら ,そ

れ をコ

ン ピ ュ ー タ が 実 行 して く れ る と い う ほ ど ま で に は ,現

在 の コ ンピュータはな っ

て い な い.ア

語"を

ル ゴ リ ズ ム を 記 述 す る た め の 特 別 な"言

ム を 書 き 表 し,そ

れ を コ ン ピ ュ ー タ へ 入 力 し,コ

に 書 き 換 え て,実

行 し,答

を得 る,と

用 い て ア ル ゴ リズ

ン ピュ ー タが 実 行 で き る もの

い う手 順 を 踏 む 必 要 が あ る.そ

の ような

"言 語"を

プ ロ グ ラ ミン グ言 語 とい い

語 の 文 法 と い う.あ

,書

き方 の ル ー ル を そ の プ ログ ラ ミン グ 言

る プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で ア ル ゴ リズ ム を 書 き表 し た も の が,

そ の ア ル ゴ リ ズ ム の プ ロ グ ラ ム で あ る.多

くの プ ロ グ ラ ム ミ ン グ 言 語 の プ ロ グ

ラ ム は 人 が 理 解 で き る よ う な 形 式 で 書 か れ て い る.   プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 に は い ろ い ろ な 種 類 が あ る が,た た ア ル ゴ リ ズ ム(手 順(b1)∼(b4))を と,そ

れ ぞ れ 次 の よ う に な る.

プ ロ グ ラ ム:Ｃ

言 語 に よ る例

 

＼include＜stdio>

 

int

main(void)

 

{

 

float

 

if(x1＞x2)

 

{

 

x1,x2,x3,

t=x1;x1=x2;x2=t;

 

}   if  (x1＞x3)

 

{

 

t=x1;x1=x3;x3=t;

 

}

 

if(x2＞x3)

 

{

 

t=x2;x2=x3;x3=t;

   

} }

ｔ;

Ｃ 言 語 とPascalと

と え ば,1.1節

にあ げ

い う言 語 で書 き表 す

プ ロ グ ラ ム

：Pascal言

 

program

 

var 

 

procedure 

 

語 に よ る例

sortalgorithm(input,output) x1,x2,x3,ｔ:real

sort＼verb+_+3;

begin

 

if(x1＞x2)then

 

begin 

 

if

 

t=x1;x1=x2;x2=t

(x1＞x3)  begin 

 

end;

then t  =x1;x1=x3;x3=t 

end;

if  (x2＞x3)

 

begin 

 

t  =x2;x2 

=x3;x3 

=  t  end;

end begin

 

read(x1,x2,x3);  

 

sort_3; write(x1,x2,x3);

 

writln end

  ど ち ら も,細

か い と こ ろ は わ か ら な い と し て も,大

ま か に は 何 を して い る か

を 読 み と る こ と は で き る だ ろ う.

  1.3 

ア ル ゴ リズ ムの 記 述

  ア ル ゴ リ ズ ム を ふ つ う の こ と ば で 書 く と,く と が あ る ． か と い つ て,特

有 の 言 い 回 し な ど に 束 縛 さ れ て し ま う し,ア に 気 を使 う こ と に な る ． そ こ で,本 す る.細

か い 説 明 は,必

ル ゴ リ ズ ム(b1)∼(b4)を

ど く な っ た り,不

正確 になる こ

定 の プ ロ グ ラ ミ ン グ 言 語 で 記 述 す る と ,そ

書 で は,独

要 な と き に,そ

の言語特

ル ゴ リズ ム の 本 質 的 で な い と こ ろ 自の 書 き方 を あ え て す る こ と に

の つ ど す る こ と に す る が,1.1節

例 に書 い て み よ う.

の ア

ア ル ゴ リ ズ ム1.1:３

つ の異 な る実 数 の 並 べ替 え

入 力:異

な る ３ つ の 実 数x1,x2,x3

出 力:小

さ い 順 に 並 べ 替 え たx1,x2,x3

ス ア ツ フ:   (１) も し,x1＞x2な  

ら ば,次

を行 う

t←x1

 x1←x2  x1←t  

{こ れ に よ り,x1＞x2の

  (２) も し,x1＞x3な  

ら ば,次

と き,x1とx2の

値 が 入 れ 替 わ る}

を行 う

t←x1

 x1←x3  x1←t  

{こ れ に よ り,x1＞x3の

  (３) も し,x2＞x3な  

ら ば,次

と き,x1とx3の

値 が 入 れ 替 わ る}

を行 う

t←x2

 x2←x3  x3←t {こ れ に よ り,x2＞x3の   (４) x1,x2,x3を

と き,x2とx3の

出力

  こ こ で 使 わ れ て い る,ｔ,x1,x2,x3は に は,入

 

変 数 と よ ば れ る.最

初 にx1,x2,x3

力 と し て 何 か 具 体 的 な 数 が 与 え ら れ て い る と 考 え て も よ い.

t←x1

と い う の は"変

数ｔ

入 文 と い う.一

般 に,

 

値 が 入 れ 替 わ る}

も しＡ

に 変 数x1の

な ら ば,Ｂ

値 を代 入 す る"と

い う 操 作 を 表 す.こ

れ を代

と い う の は,条

件Ａ

が 成 り 立 て ば Ｂ を 行 い,成

ス テ ッ プ へ 進 む こ と を 表 す.ス

テ ッ プ(１)で

り立 た な け れ ば何 もせ ず 次 の

は,Ａ

が

 x1＞x2 で あ り,Ｂ

が,

  t←x1  x1←x2  x1←t で あ る.こ

 

れ を 条 件 文 と い う.そ

{こ れ に よ り,x1＞x2の

と い の は,ア

の あ との

と き,x1とx2の

値 が 入 れ 替 わ る}

ル ゴ リズ ム の 手 順 と は 直 接 関 係 な い 注 意 書 き で ,注 釈 文(comment)

と よ ば れ る.本

書 で は,注

釈 文 は{と}で

囲 っ て 表 す こ と に す る .条

成 り立 つ と き行 う こ と は ど こ か ら ど こ ま で か,次 か を わ か り や く す る た め に,条

 

い う.し

も し,x1＞x2な

 

の ス テ ッ プが どこ か ら始 ま る

件 文 の 条 件 が 成 り立 っ た と き に 行 う部 分 の 各 行

の 先 頭 を 数 文 字 下 げ て 書 き 始 め る こ と に す る.こ (indentation)と

件文 が

の よ うに す る こ と を字 下 げ

た が っ て,

ら ば,次

を行 う

t←x1  x1←x2

 x1←t と い う の は,x1＞x2が の 値 とx2の

成 り立 つ と き,そ

値 を 入 れ 替 え る.x1＞x2が

の あ と の ３ つ の 代 入 文 を 実 行 し てx1 成 り立 た た な け れ ば ,何

し た が っ て,こ

の ス テ ッ プ が 済 ん だ と き に は,最

び 直 さ れ る.こ

こ で,

 

も し,x1＞x2な  x1←x2

ら ば,次

を行 う

初 のx1,x2が

も し な い.

小 さい 順 に並

 x2←x1 と し て し ま っ て は,x1に 意 して ほ し い.同

 

も,も

との 物

が 代 入 され て しま う こ とに 注

じ よ う に し て,

も し,x1＞x3な

 

もx2に

ら ば,次

を行 う

t←x1

 x1←x3  x1←t と い う ス テ ッ プ が 済 ん だ と き は,x1に

は,最

い も の が 蓄 え ら れ て い る こ と に な る.さ

 

も し,x2＞x3な

ら ば,次

初 のx1,x2,x3の

中で一番小 さ

ら に,

を行 う

 t←x2  x2←x3  x3←t に よ り,最

初 のx1,x2,x3の

も の がx3に

中 で ２ 番 目 に 小 さ い も の がx2に,一

番 大 きい

入 っ て い る こ と に な る.

  こ の ほ か の ア ル ゴ リ ズ ム の 書 き 方 は,新

し く出 て きた と き に そ の つ ど説 明 す

る こ と に す る.

 

1.4 

 xnを

求 め る こ と を 考 え る.た

x×x×x×xだ

か ら,こ

ア ル ゴ リズ ム と計 算 量

と え ば,n=7と

れ を 本 書 で の ア ル ゴ リ ズ ム の 書 き 方 で 表 す と,次

よ う に な る.

ア ル ゴ リ ズ ム1.2:x7の 入 力:実 出 力:x7

数ｘ

し よ う. x7=x×x×x×

計 算(素 朴 な 方 法)

の

ス テ ツ プ:   (１) x2←x×x   (２) x3←x2×x   (３) x4←x3×x   (４) x5←x4×x   (５) x6←x5×x   (６) x7←x6×x   (７) x7を

出力

  こ こ で,少

し考 え て,

 x7=(x2×x)2×x

と な る こ と を 利 用 す る と,次

ア ル ゴ リ ズ ム1.3:x7の

の よ う に す る こ と も で き る.

計 算(少

し く ふ う を し て)

入 力:実数ｘ 出 力:x7 ス テ ツ プ:  (１) x2←x×x  (２) x3←x2×x  (３) x4←x3×x3  (４) x5←x4×x  (５) x5を

出力

  ア ル ゴ リ ズ ム1.2と れ ぞ れ,６

ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

回 と ４ 回 で あ る.掛

紙 と 鉛 筆 で 行 う と き,電 そ れ ぞ れ 異 な る.紙

掛 け 算 の 回 数 を比 較 して み る と,そ

け 算 を す る の に か か る 時 間 は,暗

卓 を 使 う と き,コ

算 で 行 う と き,

ン ピ ュ ー タ を 使 う と き,な

と 鉛 筆 で 行 う に し て も 人 に よ り異 な る し,コ

どによ り

ン ピュ ー タ も

ど の よ う な 性 能 の も の を 使 う か で 異 な る.し

か し,掛

ア ル ゴ リ ズ ム1.2よ

ほ うが 掛 け算 の 回 数 が 少 な くて 済

む の で,計

り も ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

算 の 手 間 が 少 な い.こ

け 算 の 回 数 を比 較 す れ ば,

の 意 味 で ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

ほ うが 優 れ て い

る と い っ て よ い で あ ろ う.   ア ル ゴ リ ズ ム の 中 で 行 わ れ る 主 要 な 操 作 を １回 行 う こ と を １単 位 と し て,そ の ア ル ゴ リズ ム の 中 で そ の 操 作 が 行 わ れ る 回 数 をそ の ア ル ゴ リ ズ ム の 時 間 計 算 量(time

complexity)と

ム1.2の

時 間 計 算 量 は ６,ア

  ア ル ゴ リ ズ ム1.2で れ て い て,ア て い る.こ

い う.つ

ま り,掛

け 算 １ 回 を １単 位 と し て ア ル ゴ リ ズ

ル ゴ リ ズ ム1.3の

時 間 計 算 量 は ４ と な る.

は,ｘ,x2,x3,x4,x5,x6,x7の

ル ゴ リ ズ ム1.3で の よ う に,あ

７個 の 変 数 が 使 わ

は,ｘ,x2,x3,x4,x5の

５個 の 変 数 が 使 わ れ

る ア ル ゴ リ ズ ム の 中 で 必 要 と さ れ る 変 数 の 個 数 を,そ

の ア ル ゴ リ ズ ム の 領 域 計 算 量(space 

complexity)と

領 域 計 算 量 は ７,ア ル ゴ リ ズ ム1.3の

領 域 計 算 量 は ６ で あ る.ア

は,次

の よ う に,領

ル ゴ リ ズ ム1.2の ル ゴ リ ズ ム1.3

域 計 算 量 を ２ と す る こ と が で き る.

ア ル ゴ リ ズ ム1.4:x7の 入 力:実

い う.ア

計 算(さ

ら に く ふ う を し て)

数ｘ

出 力:y=x7 ス テ ツ プ:   (１) y←x×x   (２) y←y×x   (３) y←y×y   (４) y←y×x   (５) yを

出力

  ス テ ッ プ(２)の

 y←y×x と い う の は,右

辺 で のｙ

は 直 前 の ス テ ッ プ(１)で

のx2が

蓄 え ら れ て い て,そ

れ にｘ

を掛 け た も の を あ ら た め てｙ

して,ｙ

に はx3が

代 入 さ れ る.つ

に,x2,x3,x6,x7と

と す る,と

ま り,各

ス テ ッ プ で の 左 辺 のｙ

1.5 

大 き いＯ

量 が ど の よ う に 変 化 す る か を 考 え る.入

つ う入 力 の サ イ ズ に 応 じ て,計

力 の サ イ ズ と は,入

き さ の 順 に 並 べ 替 え る ア ル ゴ リ ズ ム1.1な で あ っ た り,xnを

計 算 す る ア ル ゴ リ ズ ム1.2の

あ っ た りで あ る.た

と え ば,1+2+…+nを

回 の 足 し算 を す る 必 要 が あ り,n(n+1)/2と り 算１ 回 と,ｎ

の よ う に 計 算 量 は,ｎ

が,ｎ

の 関 数f(n)と

問 題 に な る.ま

た,ｎ

た,

の 大 き さそ の もの で

し て 求 め る に は 足 し算１ 回,掛

数 関 数３ と い う よ う に,入

算 量 を 比 較 す る と き は,そ

よ う な 項 が で て く る の か,定

の 多 項 式 に な る な ら,何

け 算１

つ で も３ 回 の 演 算 で で き る． こ

か,定

し て 表 さ れ る.計

の 多 項 式 な の か,2nの

で あ っ た り,ま

こ の ま ま,１ つ１ つ 足 す と,n-1

の 大 き さ に 関 係 な く,い の１ 次 関 数n-1と

力 され る もの の 個 数

と き に はｎ

力 さ れ る 数ｎ

算

力 さ れ た もの を大

ど の よ う に,入

を 因 数 分 解 す る と か で あ れ ば,入

の サ イ ズｎ

の 値 は,順

記 法

  ア ル ゴ リ ズ ム の 性 能 を 評 価 す る と き は,ふ

回,割

果 と

な る.

 

自 然 数ｎ

い う操 作 を し て お り,結

力

の関数

数 な の か,な

どが

次 式 に な るの か が 大 き な関 心 に

な る.  ０ 以 上 の 整 数ｎ n0が

の 関 数f(n)がO(g(n))で

存 在 し て,n0以

上 のｎ

あ る と は,正

の 定 数ｃ

と 自然 数

に 対 し て,

 f(n)〓cg(n) が 成 り立 つ こ と と 定 義 す る.こ

れ を 大 き いＯ

  た と え ば,f(n)=an2+bn+cはO(n2)で が,O(n2)で

notation)と

い う.

あ る.f(n)はO(n3)で

あ る と い っ た ほ うが 精 密 で あ る.f(n)が２

明 記 し た い が,ｎ で あ る,な

記 法(big O

もある

次 式 で,n2の

係 数ａ

を

の 係 数 や 定 数 項 は あ ま り重 要 で な い と き,f(n)はan2+O(n)

ど と い う こ と も あ る.

  あ る ア ル ゴ リ ズ ム の 計 算 量 はO(log2n)で い う の で あ る が,ｎ

あ る と か,O(n3/2)で

の 増 え 方 に 従 っ てlog2n,n2,2nな

あ る,な

どと

どが お よ そ どの よ う に

増 え る か を表 に す る と次 の よ う に な る. 表1.1  ｎ の 増 分 に対 す る 各値

 ２  整

数

に

つ

い

て

  コ ン ピ ュ ー タ の 中 で は 数 は ２進 数 で 表 さ れ て い る と い う こ と を 聞 い た こ と が あ る 読 者 も多 い こ と だ ろ う.こ 有 無,ス

れ は,簡

イッ チ の オ ン オ フ な ど,２

成 り立 っ て い て,そ

ン ピ ュ ー タ は,電

圧 の

つ の 状 態 に よ り情 報 が 表 現 さ れ る 部 品 か ら

れ ら の ２ つ の 状 態 を そ れ ぞ れ１,０

,０ の 組 み 合 わ せ に よ り,コ こ の 章 で は,整

単 に い う と,コ

と い う 値 に 対 応 さ せ て,１

ン ピ ュ ー タ の 状 態 を 表 現 す る か ら で あ る.そ

数 の ２ 進 表 現 か ら 始 め る.そ

し て,最

こ で,

大 公 約 数 や 素 数 に関 す る

基 本 的 な ア ル ゴ リ ズ ム を 紹 介 し よ う.

 

2.1 

  2.1.1 

10進

数,２

進 数,そ

して β 進 数

整 数 の ２進 表 現

  数 は,普 通10進

数 で 表 され て い る.整

数 を10進

数 と し て 表 す と き は,1=100,

10=101,100=102,1000=103,10000=104,…

が そ れ ぞ れ い くつ ず つ あ

る の か を,０ か ら ９ ま で の 数 字 を 用 い て 右 か ら順 に 並 べ る.た  

5×103+0×102+6×101+7×100

で あ り,100が い る.こ

７個,101が６

の と き,普

通 は,"１

が ５"と い う の だ が,こ 103の

と え ば,5067は

個,102が０

個,103が

の 位 が ７,10の

こ で は,"100の

５個 あ る こ と を 表 し て

位 が ６,100の

位 が７,101の

位 が０,1000の

位 が ６,102の

位

位 が０,

位 が ５"と い う こ と に す る.

  10進 数 と 同 じ よ う に 考 え て,０

と １ を 用 い て,20,21,22,…

つ あ る か を 右 か ら 順 に 並 べ る.た

と え ば,101011は

がそれ ぞれい く

 

1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20

を 表 し て い る こ と に な る.こ "20の

位 が １ ,21の

の よ う な 数101011を

位 が １,22の

位 が ０,23の

１"と い う こ と に す る.２ 進 数101011を10進

 

101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20

 

=1×32+0×16+1×8+0×4+1×2+1×1

 

=43 

２ 進 数 と い う.こ

位 が １,24の

の と き,

位 が ０,25の

数 で 表 せ ば43で

位 が

あ る ． な ぜ な ら,

(2.1)

だ か ら で あ る.   １ つ の 数 を10進

数 や ２進 数 で 表 す と き,10進

数 を そ の 数 の10進

数 を ２ 進 表 現 と い う こ と に す る ． 特 に 断 ら な い と き は,数 れ て い る と す る.ま は,(43)10,(101011)2の

た,10進

は10進

表現

２進

表現 で表 さ

表 現 か ２進 表 現 か を は っ き り示 す 必 要 が あ る と き よ う に,そ

の 数 に 添 え 字 を つ け て 表 す.ま

こ を 書 か な く て も 混 乱 し な い と き は,4310,1010112の

た,か

っ

よ う に 簡 略 に 表 す ．10

進 数 の 添 え 字 は 省 略 す る こ と も多 い ．

  2.1.2 

β 進 数

  整 数 の ２ 進 表 現 の 一 般 の 形 は,

 

±1×2u+du-1×2u‐1+…+d1×21+d0×20

で あ る.た

 

だ し,

du-1,…,dl,d0は

そ れ ぞ れ ０ また は １

で あ る.こ の と き,こ の 数 の ２進 表 現 の,"2uの の 位 はd0で

あ る"と

い い,こ

位 は １,2u-1の

の 数 の ２ 進 表 現 は(dudu

位 はdu-1,…

-1…d2d1)2で

い う.   全 く 同 じ よ う に β を ２以 上 の 整 数 と す る と,整

 

±du×

βu+du-1×

βu-1+…+dl×

数 の β 進 表 現 と は,

β1＋d0×

β0

，20 あ ると

の こ と で あ る.た

 duは１  

だ し,

以 上 β-1以 du-1,…,d1,d0は

で あ る.こ

下 の 整 数, そ れ ぞ れ０ 以 上 β-1以

の 数 の β 進 表 現 の,"βuの

位 はdl,β0の

位 はd0で

あ る"と

下の整数

位 はdu,βu-1の

い い,β

位 はdu-1,…,β1の

進 表 現 は(dudu-1…d2d1)β

で あ

る と い う．   β を 基 数(radix)ま

た は 底(base)と

い う.β

進 表 現 され て い る数 を β 進 数

と い う.

例2.1 

10進

 

数59の３

進 表 現 を 求 め て み よ う.

5910=2×27+3+2

 

=2×33+0×32+1×31+2×30

で あ る か ら,5910の３

進 表 現 は20123で

  2.1.3 

あ る.

２進 数 へ の 変 換

 ２ 進 表 現 され て い る 整 数 を10進

表 現 に す る こ と は,式(2.1)で1010112=4310

で あ る こ と を 示 した と き の よ う に,直  ２ 進 表 現 を８ 進 表 現 に し て か ら,そ

接 計 算 す れ ば よ い. れ を10進

表 現 に す る と い う こ と が よ く行

わ れ る.  ２ 進 表 現 か ら８ 進 表 現 を 得 る の は 簡 単 で あ る.た 進 数 を,右

か ら３ 桁 ず つ 区 切 っ て,8=23だ

と え ば,1010112と

か ら,

  101011=(1×25+0×24+1×23)+(0×22+1×21+1×20)  

=(1×22+0×21+1×20)×23+(0×22+1×21+1×20)

 

=5×81+3×80

と 表 せ ば,53が1010112の８

 

進 表 現 と い う こ と に な る.つ

1010112=538

ま り,

い う２

で あ る.   整 数 の ２ 進 表 現 か ら16進 じ よ う に 考 え て,２

表 現 へ 変 換 す る に は,16=24だ

か ら,上

進 表 現 の 右 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て み れ ば よ い.た

と同

と え ば,

10101111102は

 

10101111102=1

0111

 

1110

=1×28

 

+(0×27+1×26+1×25+1×24)  

 

+(1×23+1×22+1×21+0×20)

=1×162

 

+(0×23+1×22+1×21+1×20)×161

 

+(1×23+1×22+1×21+0×20)×160

 

=1×162+7×161+14×160

で あ る ． こ こ で,10101111002の16進 162の

係 数14,161の

係 数 ７,

係 数 １ を 右 か ら 並 べ れ ば よ い の だ か ら,

 

1714

と な る こ と に な る が,160の しい.そ に,そ

表 現 は,160の

こ で,16進

位 の14は10進

数 で あ っ て,こ

こで 使 うに は お か

表 現 で は,1010,1110,1210,1310,1410,1510を

れ ぞ れ,Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ

を 用 い る.し

表すの

た が っ て,1410はE16だ

か ら,  

10101111102=17El6

の よ う に 表 す.   た と え ば,ABCD16は,10進  

表現で は

10×163+11×162+12×161+13×160=43981

であ る．   次 に10進

表 現 を ２進 表 現 に 変 換 す る 仕 方 を 考 え よ う.あ

る 整 数 ｎ の ２進 表

現 が,(dudu-1・

・dld0)2で

あ る と す る と,

 n=du×2u+du-1×2au-1+...+d1×21+d0×20

で あ る か ら,ｎ

を ２ で 割 る と,商

 

で,そ

が

du×2u-1+du-1×2au-2+...+d1×20 

の と き の 余 り と して,d0を

り がd1で

あ る.商

(2.2)

得 る.さ

を ２ で 割 る こ と を,商

に 各 位 の 数 字d0,d1,…,du-1で,商

ら に,こ

の 商(2．2)を

２で 割 っ た 余

が １に な る ま で 続 け れ ば,余

りが 順

が １ に な っ た と き そ の １が 最 上 位 の 数du

で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.1:10進 入 力:10進 出 力:ｎ

表 現 を ２進 表 現 へ

数 ｎ の ２進 表 現dudu-1…d1

ステ ツ フ:   (１) i←0   (２) q←n   (３) q≠1の

間,次

 

d2←(ｑ

 

q←(ｑ

を行 う を ２ で 割 っ た 余 り)

を ２ で 割 っ た 商)

 i←i+1   (４) u←i   (５) du←1   (６) dudu-1…d1を

  実 際 に は,次

例2.2 

10進

出力

の よ う に して,10進

数41の

２進 表 現 は

表 現 を ２ 進 表 現 に 変 え る こ と が 多 い.

 

２)41

 

２)20余

り  １  … 

20の

係数

 

２)10余

り  ０  …   21の

係 数

 

２)５

  余 り  ０  …   22の

係 数

 

２)２

  余 り  １  …   23の

係 数

  １  余 り  ０  …   24の

係 数

  ↑  

25の

と な る こ と か ら,1010012で

  2.2 

係 数

あ る.

累 乗 の 計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム:２

  第 １章 で,x7を

進 表 現 を利 用 し て

計 算 す る と き,

 x7=(x2×x)2×x で あ る こ と を 用 い て 計 算 す る ア ル ゴ リ ズ ム を 紹 介 し た.実 ２進 表 現 と 密 接 に 関 係 し て い る.一

般 に,ｘ

す る と き,xnを

を 順 々 に 掛 け てx2,x3,…xnを

計 算 す る の に,ｘ

ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に 書 け る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.2:累 入 力:実

数ｘ,２

乗 の 計 算(素 朴 な 方 法)

以 上 の 整 数ｎ

出 力:y=xn ス テ ッ プ:   (１) y←x   (２) i←2   (３) i〓nで

あ る 間 次 を行 う

 y←y×x  i←i+1

を 実 数 と し,ｎ

は,こ

れ は 指 数 ７の

を ２以 上 の 整 数 と 求 める ア

 xn'=

  (４) ｙを 出 力

こ の ア ル ゴ リ ズ ム で は,掛   ２以 上 の 整 数ｎ

け 算 はn-1回

行 わ れ る.

が2k〓n＜2k+1の

 

と き,ｎ

の ２進 表 現 は

n=(1dk-1dk-2…dld0)2

と 表 さ れ る.こ

こ で,k〓1で

あ り,di(0〓i〓k-1)は

０ ま た は １で あ る .

ｎ'を

 

n'=(1dk-1dk-2…d1)2

と す る と,n=n'×2+d0な

の で,実

数ｘ

に 対 し て,

(xn' )2  (x n')2×x 

 xn =xn'×2+d0=xn'×2×xd0=

(d0=0の (d 0=1の

と き) と き)

で あ る ． 同 じ よ う に ｎ"を

  n"=(1dk-1dk-2…d2)2

と す る と,n'=n"×2+dlな

の で,

で あ る ． こ の こ と か ら,次

(xn")2 

(d

(xn")2×x 

(d1=1の

l=0の

と き) と き)

の よ う な ア ル ゴ リ ズ ム でxnが

か る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.3:累 入 力:実

数ｘ,２

出 力:b0=xn ス テ ツ プ:   (１) bk←x   (２) i←k-1

乗 の 計 算(指

以 上 の 整 数ｎ

数 の ２ 進 表 現 を 使 っ て)

の ２ 進 表 現(1dk-1dk-2…dld0)2

計 算 で きる こ とが わ

  (３) i〓0で  

あ る 間,次

di=0の

 

を行 う

とき

bi←bi+12

 

d2=1の

 

とき

bi←bi+12×x

 i←i-1   (４) b0を

 ｎ

出力

の ２ 進 表 現 が(1dk-1dk-2…dld0)2と

い う こ と は,2k〓n＜2k+1で

あ り,

 

k=［log2n］

と い う こ と で あ る.こ ズ ム で,掛

 

こ で,［ｘ ］ はｘ

け 算 は,di=0な

の アル ゴ リ

らば

bi←bi+12

に お い て,bi+12=bi+1×bi+1と

 

以 下 の 最 大 の 整 数 を 表 す.上

し て,１

回,di=1な

ら ば

bi←bi+12×x

に お い て,２ で,ア

回 行 う.ま

た,ｉ

はk-1,k-2,…,１,０

ル ゴ リ ズ ム 全 体 で は,n=(11…1)2の

多 く,そ

の 回 数 は,2k=2［log2n］

と2.3に

つ い て 次 の こ と が 成 り 立 つ.

性 質2.1 

ア ル ゴ リ ズ ム2.2で

のｋ と き,掛

回 で あ る.し

は,n-1回

お い て 実 行 さ れ る 掛 け 算 の 回 数 は2log2n以

通 りの 値 を と る の

け 算 をす る回 数 が 最 も

た が っ て,ア

掛 け 算 を 行 う.ア 下 で あ る. 

ル ゴ リ ズ ム2．2

ル ゴ リ ズ ム2.3に □

  2.3 

  2.3.1 

コ ン ピュ ー タの 内部 での 整 数 の表 現

整 数 の表 現

  計 算 機 の 内 部 で は,数 る."計

は 有 限 桁 の ２ 進 数 か16進

算 機 の 内 部 で は"と

い う の は,"プ

ロ グ ラ ム な ど を 実 行 し た と き に,そ

の プ ロ グ ラ ム の 中 で 与 え ら れ て い る 数 値 や,キ ら デ ー タ と し て10進 は"と

数 で 表 され る の が 普 通 で あ

ー ボ ー ドか ら ま た は フ ァ イ ル か

数 で 与 え られ る 数 値 が 計 算 機 に よ っ て処 理 さ れ る と きに

い う 意 味 で あ る.整

数 が 計 算 機 の 内 部 で ど の よ う に 表 さ れ る か,最

も一

般 的 な パ ソ コ ン や ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン で 使 わ れ て い る ２進 数 の 場 合 を 考 え よ う.   ２進 数 １桁 を １ ビ ッ ト(bit)と

い う.bitはbinary 

digitを

略 し た も の で,２

進 数 の １桁 と 同 じ情 報 量 を も つ 情 報 の 単 位 と し て も使 わ れ る.   計 算 機 の 内 部 で は,定 り,記

め ら れ た 長 さ の ビ ッ トの 列 を １単 位 と し て,計

憶 装 置 に 読 み 書 き す る.こ

と い う.１ 語 の 長 さ は,コ

算 した

の 定 め ら れ た 長 さ の ビ ッ ト列 を １ 語(word)

ン ピ ュ ー タ に よ る が,32ビ

ッ トま た は64ビ

ッ トの

も の が 多 い.   コ ン ピ ュ ー タ の 内 部 で 整 数 が ど の よ う に 表 さ れ る か を 考 え よ う ．32ビ 64ビ

ッ トで 例 を示 す と 煩 雑 に な る の で,こ

列 で 例 示 す る こ と が 多 い.た ば,表2.1の

よ う に24=16個

と え ば,１

ッ トや

の 本 で は ４ ビ ッ ト程 度 の 短 い ビ ッ ト

語 を ４ ビ ッ ト とす る と,単

純 に考 え れ

の 整 数 を 表 す こ と が で き る.表2.1で,ビ

ッ ト

パ タ ー ン と い う の は 各 語 の ビ ッ ト列 を 具 体 的 に 書 き 出 し た も の で あ る.   表2.1で

は,負

な い が,負

の 整 数 も扱 う と き は くふ う が 必 要 に な る ．

の 整 数 が な い.０

  す ぐ に 思 い つ くの は,最 正,１

以 上 の 整 数 だ け を扱 うの な ら こ れ で か まわ

初 の １ ビ ッ ト を符 号 の た め に 使 っ て,そ

な ら 負 と す る と い う 方 法 で あ る.た

+１ を1001は-１ が,整

を 表 す,と

す る の で あ る.こ

ッ トパ タ ー ン が0001は

の 方 法 は原 理 的 に は 簡 単 で あ る

数 を 表 す と き に は ほ と ん ど使 わ れ な い.

  普 通 は ２ の 補 数 と い う も の を 使 う.た う に,ビ 710を

と え ば,ビ

れが ０な ら

ッ トパ タ ー ン が0000か

表 す と し て,ビ

ら0111ま

ッ トパ タ ー ン1000か

と え ば,４ で は,そ ら1111ま

ビ ッ トの と き,表2.2の

よ

の ま ま,そ

ら

で は,そ

れ ぞ れ010か

れ を ２進 表 現 と

表2.1 

4ビ

ッ トの 整 数(符 号 を考 え な い)

み た と き に 正 の 整 数 ｎ を 表 し て い る と き,負 つ ま り,ビ

ッ トパ タ ー ン1000を

の 整 数n-24を

２進 表 現10002と

タ ー ン1000は23-24=-8を

表 す,と

タ ー ン1001は,10012=23+1だ

み れ ば23だ

す る の で あ る.同

  一 般 に,整

き,n-2kを

ツ トパ

ビ ッ トの ２ 進 数 で 表 す と き,最

上 位 ビ ッ トが １の も の は,そ

表 す と す る.こ

  し た が っ て,0111な

じ よ う に ビ ッ トパ

ようになる．

数 を １語 の 長 さ がｋ

現(2'scomplement)と

ッ トパ

か ら24-1-24=-1

つ ま り最 も左 側 の ビ ッ トが ０ で あ る も の は,そ そ の ま ま 表 し,最

か ら,ビ

か ら(23+1)-24=-7を,…,ビ

タ ー ン1111は11112=23+22+21+20=24-1だ を 表 す と して,表2.2の

表 す も の と す る.

上 位 ビ ッ ト,

れ を ２進 表 現 と み て,表

す数 を

れ を ２ 進 表 現 した らｎ で あ る と

の よ う に し て 負 の 整 数 を 表 す 表 し方 を ２ の 補 数 表

い う. ど と書 か れ て い る と き は ビ ッ トパ タ ー ン と ２進 表 現 と 同

じ も の と み る こ と が で き る が,1011な

ど と書 か れ て い る場 合 は そ う考 え る わ け

に い か な い の で,２ 進 表 現 と 区 別 す る た め に,こ う こ と ば を 使 い,２ 進 表 現 に は 原 則 と し て,添

の 本 で は,ビ

ッ トパ タ ー ン と い

え 字 の ２ を 書 く よ う に し て い る.

  ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は 次 の よ う に す れ ば よ い.

表2.2 

性 質2.2 １ -nを

語 の 長 さ がｋ

表 すｋ

ビ ッ トの と き,2k-1以

下 の 正 の 整 数ｎ

ビ ヅ トの ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は

を 反 転 さ せ,そ   こ こ で,ビ

４ ビ ッ トの 整 数(負 の 数 は ２ の補 数)

に 対 し て,

,ｎ

の ２進 表 現 の 各 ビ ッ ト

な ら ば ｌ に,１

な ら ば ０ に 置 き換 え る

れ に １ を 加 え れ ば よ い. ッ トを 反 転 さ せ る と は,０

こ と で あ る.

証 明   2k-1以 2kと

下 の 正 の 整 数ｎ

な る ｍ のｋ

て,ｎ

と ｍ

に 対 し て,-nの

２ の 補 数 表 現 と は,-n=m-

ビ ッ ト ２ 進 表 現 で あ る こ と か ら,m=2k-nで

っ

を 加 え る と,

 n+m=2k 

(2.3)

で あ る.一 る と,ｋ

あ る.よ

方,ｎ

のｋ

ビ ッ ト ２進 表 現 と,そ

ビ ツ トす べ て が １ と な る か ら,そ

  に 等 し い.つ る よ う にｎ

の各 ビ ッ トを反 転 した もの を加 え

の 数 は,

2k-1+2k-2+…+22+21十20=2k-1  ま り,-nの のｋ

２ の 補 数 表 現 は,式(2．3)と

(2.4) 式(2.4)を

比 べ る とわ か

ビ ッ ト ２ 進 表 現 の 各 ビ ッ ト を 反 転 し た も の よ り １大 きい.し

た が っ て,-nの

２の 補 数 表 現 を 求 め る に は,ｎ

のｋ

ビ ッ ト２進 表 現 の 各 ビ ッ

ト を 反 転 し た も の に １ を 足 せ ば よ い. 

例2.3 

□

た と え ば,１ 語 の 長 さ が ４ ビ ッ トの と き,整

で あ る.各

ビ ッ ト を 反 転 さ せ る と,1001と

表 現 は10012に00012を

  こ こ で,ビ

加 え,1010と

数 ６の ２進 表 現 は,01102

な る ． し た が っ て,-6の

２の補 数

な る.

ッ トを 反 転 して １ を 加 え る と い う操 作 を よ く 見 て み る と,２

の補

数 表 現 を 求 め る に は 次 の よ う に し て も よ い こ と が わ か る.

性 質2.3 

１ 語 の 長 さ が ｋ ビ ッ トの と き,2k-1以

-nを 表 すｋ ビ ッ ト(20の

ビ ッ トの ２ の 補 数 表 現 を 求 め る に は,ｎ 位)か

ら,順

の ま ま に し て お い て,そ

例2.4 

下 の 正 の 整 数ｎ

に 対 し て,

の ２進 表 現 を最 も右 の

に 左 の ビ ッ ト を 見 て い き,最

初 に現 れ る １ まで は そ

れ よ り上 位 の 各 ビ ッ トを 反 転 さ せ れ ば よ い. 

た と え ば,610は01102だ

か ら,一

の ビ ッ トの １ は そ の ま ま に して お い て,右 番 目 の ビ ッ トの ０ を １ に 置 き換 え て,得

□

番 右 の ビ ッ トの ０ と 右 か ら ２番 目 か ら ３ 番 目 の ビ ッ トの １ を ０ に,４

ら れ る1010が-6の

２の補 数 表 現 と

な る の で あ る.

  現 在 の パ ソ コ ン や ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン で 多 く 使 わ れ て い る １語 の 長 さ が32 ビ ッ トの 場 合 に,１   32ビ

語 で 表 す こ と の で き る 整 数 の 範 囲 を 求 め て お こ う.

ッ トの 整 数 で,負

の 整 数 は ２ の 補 数 で 表 さ れ て い る と き は,

か ら  か ら 

を 表 す こ と が で き る.

まで の ０以 上 の 整 数 と, まで の 負 の 整 数

例 題2.1  64ビ ッ トの 整 数 で,負 の整 数 は ２の 補 数 で 表 さ れ て い る と き,表 す こ との で きる 整 数 の 範 囲 を求 め よ. 解 答   32ビ ッ トの整 数 と 同 じ よ うに 考 えて, か ら 

ま で の ０以 上 の 整 数 と,

か ら 

ま で の 負 の整 数

を 表 す こ とが で きる. 

  2.3.2 

□

整 数の加減 算

  前 項 で み た よ う に,コ

ン ピュ ー タで は,扱

え る整 数 には 範 囲 が あ る の で,足

し算 を す る と きな ど注 意 しな い と,意 外 な こ とが 起 こ る こ とが あ る.負 の 整 数 は ２の 補 数 で 表 す と き,足

し算 や 引 き算 は ど う な る か を,１ 語 の長 さが ４ ビ ッ

トの と き を例 に と りなが ら,考 え て み よ う.

  0001+0101=0110の

よ う に,０ 以 上

の 整 数 の 足 し算 で 和 が0111以

下 になる も

の は 問 題 な く正 し い 値 を得 る.

  0101+0011=1000だ

か ら,２

表 現 で は1000は-810に

なっ て し ま うた

め,正

の補 数

し い 結 果 を 得 る こ と が で き な い.

  (-4)10+610=1100+0110=10010 と な る が,１

語 の 長 さ は ４ な の で,右

４桁 し か 考 え ら れ な い.し ら ５桁 目 の,つ れ て,0010=2と

か ら

た が っ て,右

か

ま り一 番 左 の １は 無 視 さ 正 し く計 算 で き る.

  引 き算 は 符 号 を変 え て 足 す こ と と 同 じ だ か ら710-310=710+(-3)10= 0111+1101=10100と

な る が,右

４桁 しか 考 え ら れ な い の で,つ の １は 無 視 さ れ て,0100=42と

か ら

ま り一 番左 な り,結

果 は 正 し く な る.

  (-3)10-410=(-3)10+(-4)10= 1101+1100=11001と

な る が,一

の １は 無 視 さ れ て,1001=-7と

番左 正 し く

計 算 で き る.

  (-7)10-(3)10=(-7)10+(-3)10= 1001+1101=10110で

あ る が,最

上位

の ビ ッ トは 無 視 さ れ て,0110=(6)10と な っ て 正 し く計 算 で き な い.

 こ の よ うな 整 数 の 表 し方 と足 し算 の 関 係 は,次 の よ うな 図 にす る とわ か りや

図2.1 

整 数 の ２ の 補 数 表 現 と足 し算 の 関 係(４ ビ ッ トの例)

す い.図2.1で,+1す

る と右 回 り に １つ ず つ,-1す

る と 左 回 り に １つ ず つ ず

れ て い く．

 

  ａ.

2．4 

桁 数 の 多 い整 数 の 演 算

桁 数 の 多 い整 数 の 演 算 に くふ うが 必 要 な こ と

  前 項 で 述 べ た よ う に,１ 語 の 長 さ は32ビ で 表 す と す る と,表 あ る.こ

れ は,そ

りは 小 さ い ． た と え ば,20=1か

に 対 し て,2n=2n-1×2と て 計 算 す る と,230は と 正 し く な くな る.こ

の 数 は ２の補 数

す こ と の で き る 最 大 の 整 数 は,231-1=2147483647で

れ ほ ど 大 き な 数 で は な く,12!=479001600よ

13!=6227020800よ

と な り,こ

ッ トで あ る と き,負

り は 大 き い が, ら始 め て,n=1,2,…

して ２の 累 乗 を 求 め る単 純 な プ ロ グ ラム をつ くっ 正 し く1073741824と れ は,230は

計 算 さ れ る が231は-2147283648

２進 表 現 で

れ に ２ を 掛 け る と 各 ビ ッ トが 左 へ １つ ず つ シ フ ト し て,

と な る.こ れ は,最 上 位 ビ ッ トが １な の で ２の補 数 表 示 で は231-232=-2-31 を表 して い る わ け で あ る.   そ こ で,桁 数 が 多 い 数 の 計 算 を す る には,何 ない.コ

らか の くふ う を しな け れ ば な ら

ン ピ ュ ー タで の 実 数 の扱 い は次 章 で 説 明 す る が,コ

ンピュータでは整

数 しか扱 え ない わ け で は な く,実 数 も扱 え る し,実 数 は 整 数 よ りは 非 常 に多 く の 桁 数 の計 算 もで き るの で 整 数 の範 囲 とい う狭 苦 しい とこ ろ で は な く,実 数 の 範 囲 で計 算 す る の も もち ろ ん １つ の 方 法 で あ る.そ れ で も,や は り扱 え る数 の 範 囲 に は 限 界 が あ る.こ

こで は,桁 数 の多 い 整 数 の 演 算 につ い て基 本 的 な方 法

を説 明 し よ う.こ の 基 本 的 な 方 法 は,別 に 難 しい こ と を行 うわ け で は な く,ふ つ う １桁 ず つ 行 う計 算 を何 桁 か ず つ ま とめ て行 う だ け で あ る.   こ こで桁 数 が 多 い とい うの は,２ 語 以 上 使 わ な け れ ば表 現 で きな い数 の こ とで

あ る ． そ の よ う な 数 を 多 倍 長 数(multiprecision て,１ 語 で 表 現 さ れ て い る 数 を 単 精 度(sigle タ で 多 倍 長 数 を 扱 う に は,配 な け れ ば な ら な い が,そ

number)と

precision)の

い う.こ

れ に対 し

数 と い う． コ ン ピ ュ ー

列 と よ ば れ る も の を 使 う な ど し て 表 現 を くふ う し

れ は プ ロ グ ラ ミ ン グ の 本 な ど に 譲 る こ と に す る.多

倍

長 数 の 演 算 を 多 倍 長 演 算 と い う.  ｂ.  多 倍 長 整 数 の 足 し 算   ま ず 足 し算 か ら始 め よ う.た  

と し て,A+Bを

と え ば,

A=68719476736 

(=236)

  B=17179869184 

(=234)

求 め る こ と を 考 え る.Ａ

もＢ

も 長 さ32ビ

ッ トの１ 語 で 表

す こ と は で き な い.   こ こ で は,い   A+Bを

わ ゆ る 筆 算 の 拡 張 に よ る 方 法 を考 え よ う．

手 で 足 し算 す る と き は,１

足 し算 の 結 果 の１ の 位 を０ と し,10の て12な

の で10の

で９,繰

位 は２,100の

の 位 の６ と４ を 足 し,そ

位 の３ と８ と 繰 り上 が りの１

位 は６ と９ を 足 して５,…

１の 位 か ら１ 桁 ず つ 繰 り 上 が り を 考 え な が ら 足 し て い く.こ

が,10進５

で 掛 け 算 を す る と き に,16ビ

下 で,10進４

桁 の 数 を２ つ 掛 け た と き は32ビ

  手 順 は 次 の よ う に な る. を１ の 位 か ら４ 桁 ず つ 区 切 っ て,

 

A3←6736

 

A2←1947   Al←687

 

と す る.

とい う よ うに

れ をそ の ま ま実 現

ッ ト の２ 進 数 の 最 大 数

桁 の 数 を２ つ 掛 け て も32ビ

で あ る.

 １) Ａ

と を足 し

う 少 し ま と め て,４ 桁 ず つ で 同 じ よ う な こ と を す る.４ 桁

に し た 理 由 の１ つ は,後 216-1=65535以

の で,

位 は７ と１ と 繰 り上 が りの１ を 足 す と９ な の

り 上 が り は な い の で1000の

し て も よ い の だ が,も

れ が10な

ッ トで 表 さ れ る

ッ トで は 表 せ な い こ と が あ る か ら

 ２) Ｂ

を１ の 位 か ら４ 桁 ず つ 区 切 っ て,

 

B3←9184

 

B2←7986

 

B1←171

 

と す る.

 ３)

c←0と

し て お く.

 ４) C3←(A3+B3+cの

下 位４ 桁)

 

A3+B3+c〓9999な

 

A3+B3+c〓10000な

 

と す る.

ら ばc←0 ら ばc←1

  こ の と き は,A3+B3+c=15920な

の で,C3=5920,c=1で

 ５)

C2←(A2+B2+cの

下 位４ 桁)

 

A2+B2+c〓9999な

ら ばc←0

 

A2+B2+c〓10000な

 

と す る.

 

こ の と き は,A2+B2+C=9934な

 ６)

C1←(Al+B1+cの

下 位４ 桁)

 

Al+B1+c〓9999な

ら ばc←0

 

A1+B1+c〓10000な

 

と す る.

 

こ の と き は,A1+B1+c=858な

 ７)

C0←cと

 

こ の と き は,c=0で

ら ばc←1

あ る．

ら ばc←1

の で,C1=858,c=0で

あ る.

あ る.

と き は,C1,C2,C3を,C0=1の に,左

85899345920と

と き は,C0,C1,C2,

か ら並 べ て 得 ら れ る 数 が,A+Bで

 こ の と き は,c=0な

  最 後 は,本

の で,C2=9934,c=0で

す る.

 ８) C0=0の C3を,順

あ る.

あ る.

の で,A+B=C1×108+C2×104+C3= な る.

当 は,cl×108+C2×104+C3は１

れ が 扱 え る よ う に くふ う が 必 要 に な る が,本

語 で は 表 せ な い の で,そ 書 で は,そ

の 具 体 的 な 方 法 に はふ

れ な い こ と に す る.   要 す る に,次

の よ う に し て い る の で あ る.

 一 般 に は次 の よ う に す る こ とに な る ．

ア ル ゴ リ ズ ム2.4:多 入 力:10進

倍 長 整 数 の 足 し算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数Ａ,Ｂ

出 力:A+B ス ア ツ フ:   (１) 正 の 整 数Ａ,Ｂ  

k=1,2,3な

   

の 桁 数 の 多 い ほ う の 桁 数 を4n+kと

す る

らば

N←n+1 k=0な

 

らば N←n

  (２) Ａ を １の 位 か ら ４桁 ず つ 区 切 っ て,順 つ き た ら そ れ 以 降 のAi,Ai-1,…Alは   (３) Ｂ を １の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順 つ き た ら そ れ 以 降 のBj,Bj-1,…,B1は   (４) c←0   (５) i←N

に,AN,AN-1,…

と し,桁

数 が

と し,桁

数 が

０ と す る. に,BN,BN-1,… ０ と す る.

  (６) i〓1で

あ る 間,次

 Ci←(Ai+Bi+cの  

下 位 ４桁)

Ai+B2+c〓9999な

   

を行 う

らば

c←0 Ai+Bi+c〓10000な

 

らば

c←1

  (７) C0←c   (８) C0=0な

らば

 A+B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CNを C0=1な  

出力

らば

A+B=C0×10000N+Cl×10000N-1+C2×10000N-2+...+CN を出力

例2.5 

Ａ,Ｂ

を

 

A=9999876543210987

 

B=123465439102

と す る.

  Ａ は16=4×4桁,Ｂ   Ai,Bi,ｃ,Ciを

は12桁

だ か ら,N←4と

表 に す る と次 の よ う に な る.た

A0の 値 を 表 し,ｃ の 行,１

の 列 はi=1の

した が っ て,  

A+B=10000000008650089 表2.3

す る. と え ば,Ａ

と き のcの

の 行,０

値 を表 す.

の列が

を 得 る.   ｃ.  多 倍 長 整 数 の 引 き 算   足 し算 と 同 じ よ う に 考 え て,多 の よ う に す る こ と が で き る.簡

ア ル ゴ リ ズ ム2.5:多 入 力:10進

倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ 単 の た め にA〓Bと

の 引 き 算A-Bも

次

す る.

倍 長 整 数 の 引 き算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数Ａ,Ｂ.た

だ しA〓Bと

す る

出 力:A-B ス テ ッ プ:   (１) A〓Bな  

の で,Ａ

k=1,2,3な

の 桁 数 を4n+kと

す る.

らば

  N←n+1  

k=0な

 

らば

N←nと

す る.

  (２) Ａ を １の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順  (３) Ｂ を １の 位 か ら ４桁 ず つ 区 切 っ て,順  

つ き た ら そ れ 以 降 の 、Bj,Bj-1,…,B1は

  (４) b←0   (５) i←N   (６) Ai〓Biな

らば

 Ci←Ai-Bi-b  

b←0

 

Ai＜Biな

らば

 Ci←10000+Ai-Bi-b  

b←1

  (７) i〓2な

らば

 i←i-1  

ス テ ッ プ(６)を

 i=1な   (８) C1≠0な

行 う

らば 次 へ 進 む らば

に,AN，AN-1,…Alと に,BN,BN-1,… ０ と す る.

す る. と し,桁

数が

A-B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CNを

出 力

C1=…=Ce=0(1〓l＜N)な A

ら ば

-B=Ce+1×10000N‐(e+1)+…+CNを

C1=…=CN=0な  A

ら ば

-B=0を

列2.6 Ａ, Ｂ

出 力

出力

を

 

A=1234567890123

 

B=987664321012

と す る.  ●Ａ

は13=4×3+1桁

だ か ら,N←3+1=4と

す る.

 ●A4←123,A3←6789,A2←2345,Al←1と  ●

す る.

B4←1012,B3←6432,B2←9876,B1←0と   ●b←0と

す る.

す る.

 ●i ←N,つ

ま り こ の 例 で は,i←4と

  ●A4=123,B4=1012で

す る.

あ り,A4＜B4だ

10000+123-1012-0を

計 算

か ら,1000+A4-B4-b=

し,そ

の 結 果911をCiに

代 入 し,b=1

と す る. つ ま り,C4←9111,b←1と  ●i

=4〓2な

す る.

の で ,i←i-1=3と

す る.

  ●A3=6789,B3=6432で

あ り,A3〓B3だ

6789-6432-1を

計 算 し,そ

つ ま り,C3←356   ●i=3〓2な

,b←0と

の 結 果911をCiに

10000+2345-876-0を

つ ま り,C2←2469,b←1と

す る.

す る. あ り,A2＜B2だ 計 算 し,そ

と す る.  

代 入 し,b=0と

す る.

の で,i←i-1=2と

  ●A2=2345,B4=9876で

か ら,A3-B3-b=

す る.

か ら,1000+A2-B2-b= の 結 果2469をCiに

代 入 し,b=1

 ●i

=20〓2な

の で,i←i-1=1と

  ●A1=1,B1=0で

す る.

あ り,Al〓B1だ

計 算 し,そ

の 結 果 ０ をCiに

代 入 し,b=0と

つ ま り,Ｃ1←0,b←0と  ●i

=1な

進 み ,Ｃ1=0(つ

ま り,l=1)な

の で

A-B=C2×100002+C3×10000+C4

   

す る.

す る .

の で ス テ ッ プ(８)へ

 

か ら,Al-B1-b=1-0-1を

=246903569111 を 出 力 す る.

  2.4.1 

多 倍 長 整 数 の 掛 け算

  多 倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ 行 う こ と に し よ う.こ

の 掛 け 算 も 足 し算 と 同 じ よ う に,４

こ で は,簡

て 高 々 ４桁 の 場 合 を 考 え よ う.Ｂ

単 の た め に,Ａ

ア ル ゴ リ ズ ム2.6:多

数 と し

は 単 精 度 の 整 数 で あ る.

倍 長 整 数 の 掛 け算

入 力:10進

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数A＞0,

 

表 現 で 与 え ら れ た 高 々 ４桁 の 整 数B＞0

10進

桁ず つ区切 って

が 多 倍 長, Ｂ は10進

出 力:A×B ス テ ッ プ: (１) 正 の 整 数Ａ  

k=1,2,3な

 

N←n+1

   

k=0な

の 桁 数 を4n+kと

す る.

らば

らば

N←n

  (２) Ａ を １ の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順   (３) c←0  (４) i←N   (５) Ci←(Ai×B+cの  

Ai×Bi+c〓9999な

下 位 ４桁) らば

に,AN,AN-1,…,Alと

す る.

   

c←0 A2+Bi+c〓10000な

 

らば

c←(Ai×Bi+c-Ci)/10000

 (６) i〓2な

らば

 i←i-1  

ス テ ッ プ(５)を

 i=1な

行 う.

らば

 

C0←c

 

次 の ス テ ッ プ(７)へ

 (７) C0=0な  

進 む

らば

 

A×B=cl×10000N-1+Ｃ2×10000N‐2+…+CNを C0≠1な

 

出力

らば

A×B=C0×10000N+C1×10000N-1+…+CNを

  Ｂ も多 倍 長 整 数 の と き は,Ｂ

出力

も ４桁 ず つ 区 切 っ て,上

の 区 切 っ た １つ １つ に つ い て 行 い,そ

と同 じよ うな計 算 をそ

れ ら を位 取 り に 注 意 し て,桁

数の多 い整

数 の 足 し算 を 行 う こ と に な る.

例2.7 Ａ,Ｂ

を

 

A=1234567890123456

 

B=9876

と す る.   ●Ａ は16=4×4桁

だ か ら,N←4と

す る.

 ●A4←3456,A3←9012,A2←5678,Al←1234と

 ●

 ●c←0と

す る.

  ●i←4と

す る.

A4×B+c=3456×9876+0を 桁1456を

Ｃ4に 代 入 し,c←3413と

す る.

計 算 し,そ す る.

の 結 果34131456の

下位 ４

  ●i=4〓2な

の で,i←i-1=3と

す る.

  ●A3×B+c=9012×9876+3413を ４桁5925を

計 算 し,そ

Ｃ3に 代 入 し,c←8900と

  ●i=3〓2な

計 算 し,そ

代 入 し,c←5608と

代 入 し,c←1219と

  ●C0=1219≠0な

 

計 算 し,そ

の で,C0←c=1219と

の 結 果12192592の

下位

す る.

  ●Al×B+c=1234×9876+5608を

  ●i=1な

下位

す る.

の で,i←i-1=1と

４ 桁2592をC1に

の 結 果56084828の

す る.

  ●A2×B+c=5678×9876+8900を

  ●i=i〓2な

下位

す る.

の で,i←i-1=2と

４桁4828をC2に

の 結 果89005925の

す る. し て,ス

テ ッ プ(７)へ

進 む.

の で,

C0×100004+…+03×10000+C4=12192592482859251456 をA×Bと

  2.4.2 

して 出 力 す る.

多 倍 長 整 数 の 割 り算

  多 倍 長 の 正 の 整 数Ａ,Ｂ

の 割 り算A÷Bは,や

は り,４ 桁 ず つ 区 切 っ て,多

倍 長 整 数 ど う し の 掛 け 算 や 引 き 算 を 組 み 合 わ せ て 行 え ば よ い わ け だ が,話 単 に す る た め に,Ａ

が 多 倍 長 整 数 で, Ｂ は10進

を簡

数 で 高 々４桁 の場 合 だ け を考

え る こ と に す る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.7:多 入 力:10進  10進

倍 長 整 数 の割 り算

表 現 で 与 え ら れ た 多 倍 長 整 数A＞0, 表 現 で 与 え ら れ た 高 々 ４ 桁 の 整 数B＞0

出 力:A÷Bの

商 と余 り

ス テ ッ プ:   (１) 正 の 整 数Ａ  

k=1,2,3の

の 桁 数 を4n+kと

す る.

と きN=n+1,k=0の

  (２) Ａ を １ の 位 か ら ４ 桁 ず つ 区 切 っ て,順  (３) c←0

と きN=nと に,AN,AN-1,…,A1と

す る. す る.

 (４) i←1  (５) Ai÷Bを

計 算 し,そ

の 商 をCiと

し,余

り を ｃ と す る.

 (６) i←i+1  (７) (c×10000+Ai)÷Bを  (８) i〓N-1な  

の 商 をCi,余

り を ｃ と す る.

らば

ス テ ッ プ(６)へ

 i=Nな

計 算 し,そ

戻 る

らば

 

次 の ス テ ッ プ(９)へ

 (９) C1≠0な  

進 む

らば

A÷B=C1×10000N-1+C2×10000N-2+…+CN余

り ｃ を

出力  C1=0な  

らば

A÷B=C2×10000N-2+C3×10000N-3+…+CN余

り ｃ を

出力

例2.8 

A=123456789012345をB=34で

  ●Ａ

は15桁

割 る と 次 の よ う に な る.

な の で,4n+k=4×3+3で

あ り,N←n+1=3+1=4

と す る.   ●Ａ

を

１の 位 か ら ４桁 ず つ

A 2←4567,Al←123と  ●c←0と  ●i ←1と

  ●i←i+1と

り21だ

か ら,C1←3,c←21と

す る.

す る. り27だ

か ら,C2←6310,

り33だ

か ら,C3←8202,

す る. す る.

 ●(c×10000+A3)÷B=278901÷34=8202余 c←33と

す る.

す る.

 ●(c×10000+A2)÷B=214567÷34=6310余 c←27と

に,A4←2345,A3←8901,

し て お く.

  ●Ai÷B=123÷34=3余   ●i←i+1と

切 っ て,順

す る.

 ●(c×10000+A4)÷B=332345÷34=9774余 c←29と

り29だ

か ら,C4←9774,

す る.

  ●C1×100003+C2×100002+C3×10000+Ｃ4がA÷Bの

商 で あ り,ｃ

が 余 り で あ る か ら,

   

123456789012345÷43=3631082029774余

り29

を 出 力 す る.

 

  2.5.1 

2.5 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

最 大公約数 の計算

  ２ つ の 自 然 数 の 最 大 公 約 数 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム と して,ユ 助 法,ま

ー ク リ ッ ドの 互

た は ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リズ ム と よ ば れ る も の が あ る.こ

れ は,次

の 性 質 を 利 用 す る.

性 質2.4 

ｍ,ｎ

1〓r＜nと

をm＞nな

す る と,ｍ

証 明   自然 数

ｍ,ｎ

る 自 然 数 と し,m=qn+r,ｑ,ｒ とｎ

の 最 大 公 約 数 と,ｎ

,nと

す る.よ

っ て,r=m-qn=dm'-qdn'=d(m'-qn')と

す る と, m=dm',n=dn'を

数 で も あ る.つ

と ｒ の 最 大 公 約 数 は 等 し い.

の 正 の 公 約 数 全 体 の 集 合 をDm，nで

d∈Dm

ま り,d∈Dn,rで

あ る.し

は 自 然 数,

表 す こ と に す る.

満 た す 自 然 数m',n'が

存 在

な り,ｄ

は ｒの約

た が っ て,

  Dm,n⊂Dn,r 

(2.5)

  ま た,d'∈Dn,rな ら ば,r=m-qn=d'm",n=d'n"を n"が 存 在 す る .よ っ て,m=(m-qn)+qn=d'm"+qd'n"=d'(m"+qn") と な り,ｄ'は

ｍ の 約 数 で あ る.つ

ま り,d'∈Dm

  Dn,r⊂Dm,n  ゆ え に,式(2.5)と

式(2.6)か

ら,

,nで

満 た す 自 然 数 ｍ",

あ る.し

た が っ て, (2.6)

  Dm,n=D,n,r が 成 り立 つ.し

た が っ て,Dm

,nの 最 大 要 素 で あ る ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 と,Dｎ,r

の 最 大 要 素 で あ る ｎ,ｒ の 最 大 公 約 数 は 同 じ も の に な る. 

  自然 数 ｍ

□

とｎ の 最 大 公 約 数 を 求 め る ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と は 次 の

よ う な も の で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.8:ユ 入 力:自

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

然 数 ｍ,ｎ

出 力:ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 ｄ と ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓

ス テ ッ プ:   (１) r0←m  

r1←n

  (２) i←1   (３) ri≠0で

あ る 間,次

 

qi←ri-1÷riの

 

ri+1←ri-1÷riの

を行 う 商 余 り

  {ri-1=qiri+ri+1で

あ る}

 i←i+1   (４) ri=0の  

とき

d←ri-1 〓←i-1

  (５) ｄ と〓 を 出 力

  "性 質2.4"に は,ｍ riがｍ

よ り,各ｉ(i=1,2,…,〓)に

とｎ の 最 大 公 約 数 に 等 し い.し とｎ

の 最 大 公 約 数 で あ る.そ

 

qi←ri-1÷riの

 

ri+1←ri-1÷riの

商 余 り

つ い て,ri-1とriの た が っ て, ri-1がriで の と き のｉ に 対 して,ス

最大公 約数 割 り切 れ る と き, テ ッ プ(３)の

に よ り,ri+1=0と

な り,こ

の代 入 文 の直 後 に

 i←i+1 を 実 行 す る の で,そ し て,そ

の あ と の ス テ ッ プ(４)で

の と き のi-1をlと

し て,ユ

は,ri-1が

最 大 公 約 数 に な る.そ

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ と い

う こ と に し よ う.

例2.9 

1024と40の

最 大 公 約 数 を こ の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る

と 次 の よ う な 手順 に な る.  ●m=1024,n=40な  

r0←1024

 

r1←40

の で,

  ●i←1  ●ri=r1=40≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r0÷r1=1024÷40=25余

 

qi=q1←25

 

ri+1=r2←24

り24な

の で,

 i←i+1{=2}  ●ri=r2=24≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r1÷r2=40÷24=1余

 

qi=q2←1

 

ri+1=r3←16

り16な

の で,

 i←i+1{=3}   ●ri=r3=16≠0な  

の で 次 を行 う．

ri-1÷ri=r2÷r3=24÷16=1余

 

qi=q3←1

 

ri+1=r4←8

り ８ な の で,

 i←i+1{=4}  ●ｒi=r4=8≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r3÷r4=16÷8=2余

り ０ な の で,

 qi=q4←2   ri+1=r5←0  i←i+1 

{=5}

 ●ri=r5=0な  

の で

d←ri-1=r4=8

 l←i-1=4   ●d=8とl=4を

例 題2.2 

出 力.

m=49とn=64の

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で

求 め よ. 解 答  ●m=49,n=64な  

r0←49

 

r1←64

の で,

  ●i←1   ●ri=ｒ1=64≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r0÷r1=49÷64=0余

 

qi=q1←0

 

ri+1=ｒ2←49

り49な

の で,

り15な

の で,

 i←i+1{=2}  ●ri=r2=49≠0な  

ri-1÷

の で 次 を 行 う.

ｒi=r1÷r2=64÷49=1余

 

qi=q2←1

 

ri+1=r3←15

 i←i+1{=3}  ●ri=r3=15≠0な  

ri-1÷ri=r2÷r3=49÷15=3余  qi=q3←3  

ri+1=r4←4

 i←i+1{=4}

の で 次 を行 う. り ４ な の で,

●ri=r4=4≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r3÷r4=15÷4=3余

 

qi=q4←3

 

ri+1=r5←3

り ３ な の で,

 i←i+1{=5}  ●ri=r5=3≠0な  

の で 次 を 行 う.

ri-1÷ri=r4÷r5=4÷3=1余

り １ な の で,

  qi=q5←1  

ri+1=r6←1

 i←i+1{=6}  ●ri=r6=1≠0な  

の で 次 を行 う ．

ri-1÷ri=r6÷r7=3÷1=3余

 

qi=q6←3

 

ri+1=r7←0

り ０ な の で,

 i←i+1{=7}   ●ri=r7=0な  

ので

d←ri-1=ｒ6=1

 l←i-1=6  ●d=1とl=6を  

出 力.

{49と64の

最 大 公 約 数 は １,す な わ ち,49と64は

互 い に 素}

  ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て 次 の こ と を 示 す こ と が で き る.

性 質2.5 

自然 数 ｍ

とｎ

の 最 大 公 約 数 が ｄ の と き,

  mx+ny=d と な る 整 数ｘ

  こ のｘ,ｙ   "性 質2.5"を

とｙ が 存 在 す る.

を ベ ズ ー(Bezout)係 示 す た め に,次

数 と い う こ と が あ る. の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を拡 張 し た も の

を 考 え よ う．

ア ル ゴ リ ズ ム2.9:拡 入 力:自

張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム

然 数 ｍ,ｎ

出 力:ｍ,ｎ

の 最 大 公 約 数 ｄ,mx+ny=dと

な るｘ,y,お

よび ユ ー ク リ ッ

ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さl ス ア ツ フ:   (１) r0←m   r1←n

 

S0←1

 

t0←0

 

s1←0

 

t1←1

  (２) i←1   (３) ri≠0で

あ る 間,次

 qi←(ri-1÷riの  

を 繰 り返 す. 商)

ri+1←(ri-1÷riの

余 り)

 si+1←si-1-qisi  

ti+1←ti-1-qiti

 i←i-1+1   (４)

ri=0の

と き

 l←i-1  

d←ri-1{=re}

 x←si-1{=se}     (５)

y←ti-1{=te} ｄ,ｘ,y,lを

性 質2.5の し て,

出 力.

証 明   ア ル ゴ リ ズ ム2.9に

お い て,各ｉ(i=1,2,…,l+1)に

対

 

が 成 り 立 つ こ と は,次 の と き,そ

sim+tin=ri 

(2.7)

の よ う に 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て 示 す こ と が で き る.i=0,1

れ ぞ れ,

 

s0m+t0n=1×r0+0×r1=r0

 

s1m+t1n=0×r0+1×r1=r1

が 成 り 立 つ.2〓i〓l+1の

と き,0〓j＜iな

る ｊ に 対 し て,sjm+tjn=rj

が 成 り 立 つ と 仮 定 す る と,

 

sim+tin-(si-2-qi-1si-1)m+(ti-2-qi-iti-1)n  

=Si-2m+ti-2n-qi-1(Si-1m+ti-1n)

 

=ri-2-qi-1ri-1

  =ri

と な り,式(2.7)を  i=lの

得 る.

と き,rl=d,x=sl,y=tlだ

か ら,

 xm+yn=slｍ+tln=rl=d で あ り,"性

例 題2.3 

質2.5"が

証 明 さ れ た. 

m=1260,n=299と

を 満 た すｘ,ｙ

し て,ｍ,ｎ

□

の 最 大 公 約 数 と,xm+yn=d

を 拡 張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て 求 め よ.

解 答   拡 張 さ れ た ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の よ う に な る.   １) r0←1260  

r1←299

 

s0←1

 

t0←0  s1←0

 

t1←1

 ２) i←1  ３) ri=r1=299≠0な  

qi=q1←4

 

ri+1=r2←64

 

si+1=s2←1

 

ti+1=t2←-4

 i←i+1

の で,次 {r0÷r1=1260÷299の

余

{=si-1-qisi=s0-q1s1=1-4×0} {=ti-1-qiti=t0-q1t1=0-4×1} {=2}

 

qi=q2←4

 

ri+1=r3←43

の で,次

商}

{r1÷r2=299÷64の

余 り}

{=si-1-qisi=sl-q2sa=0-4×1}

ti+1=t3←17  i←i+1

を行 う

{r1÷r2=299÷64の

 si+1=s3←-4

{=ti-1-qiti=t1-q2t2=1-4×(-4)} {=3}

  ５) ri=r3=43≠0な

の で,次

 qi=q3←1  

商}

{r0÷r1=1260÷299の

 ４) ri=r2=64≠0な

 

を行 う

を行 う

{r2÷r3=64÷43の

商}

ri+1=r4←21{r2÷r3=64÷43の  si+1=s4←5

{=Si-1-qisi=s2-q3s3=1-1×(-4)}

 ti+1=t4←-21  i←i+1

{=ti-1-qiti=t2-q3t3=-4-1×17)} {=4}

 ６) ri=r4=21≠0な  qi=q4←2

の で,次

商} 

{r3÷r4=43÷21の

 Si+1=s5←-14

{=5} の で,次

を行 う

{r4÷r5=21÷1の

 ri+1=r6←0

{r4÷r5=21÷

 ti+1=t5←-1260

余 り}

{=ti-1-qiti=t3-q4t4=17-2×(-21))}

 qi=q5←21

 si+1=s6←299

,

{=si-1-qisi=s3-q4s4=-4-2×5}

 ti+1=t5←59

 ７) ri=r5=1≠0な

を行 う

{r3÷r4=43÷21の

 ri+1=r5←1

 i←i+1

余 り}

商} １ の 余 り}

{=si-1-qisi=s4-q5S5=5-21×(-14)} {=ti-1-qiti=t4-q5t5=-21-21×59)}

り}

 i←i+1{=6}   ８) ri=r6=0な  l←5

の で,次

を行 う

 

{=i-1=6-1} d←1{=ri-1=r5}

 x←-14

{=Si-1=s5}

 y←59

{=ti-1=t5}

  ９) ｄ,ｘ,ｙ

を 出力

した が っ て,1260と299の

最 大 公 約 数 は １,す な わ ち,1260と299と

は互い

に 素 で あ り,   (-14)×1260+59×299=1 とな る．

  2.5.2 

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム と フ イ ボ ナ ツ チ 数

  フ イ ボ ナ ツ チ 数(Fibonachi

number)と

 

F0=0,F1=1

と し,２ 以 上 の 自 然 数iに

 

は,

対 して,

Fi=Fi-1+Fi-2

に よ っ て 与 え ら れ る 数 の こ と で あ る.つ

ま り,F0=0,F1=1,F2=1,

F3=2,F4=3,F5=5,Ｆ6=8,F7=13,F8=21,F9=34,F10=55, …

であ る.

  自 然 数 Ｎ〓2が

与 え られ た と き,Ｎ

以 下 の ２ つ の 異 な る 自 然 数 ｍ,ｎ

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き,ユ リ ズ ム の 長 さlが

一 番 大 き く な る の は,余

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ

りが ０ と な ら な い 割 り算 に お い て 商

が い つ も １ と な る と き で あ ろ う と 考 え ら れ る.も の と き,99と98の

の最

ち ろ ん,た

と え ば,N=100

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き,

 

99=1×98+1

 

98=98×1

と な る の だ か ら,商

が １ で あ れ ば い つ も ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓

が 大 き い と い う わ け で な い.   Ｎ 以 下 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で 最 大 の も の をFkと 約 数 を 求 め る と き,ユ

す る とFkとFk-1の

最大公

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 が 一 番 大 き く な る こ

と を 示 す こ と が で き る.FkとFk

-1の

最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ

ズ ム で 求 め る と 次 の よ う に な る.

 i=1の

とき

 Fk=1×Fk-1+Fk-2

 i=2の

とき

 Fk-1=1×Fk-2＋Fk-3

 i

=k-2の

と き

  F3=1×F2+F1

 i

=k-1の

と き

  F2=2×F1

  =1×2+1

  =2×1 

よ っ て,FkとFk-1の

性 質2.6 

(2.8)

最 大 公 約 数 は １で あ る.

２ 以 上 の 自 然 数 Ｎ に 対 して,Ｎ

以 下 の 自 然 数 ｍ,ｎ(m＞n)の

最

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る の に,ユ

ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ

リズ ム の 長 さ は,Ｎ

す る と,FkとFk-1

以 下 の 最 大 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 をFkと

の 最 大 公 約 数 を 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ド の ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さk-1に

等

しい.

証 明   Ｎ 以 下 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で 最 大 の も の をFkと

す る.FkとFk-1の

最

大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リズ ム で 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 は,上

の 式(2.8)で

示 した よ う にk-1で

あ る.m＞nと

し,

ｍ とｎ の 最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と き の ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さ〓 がk-1な

ら ば,m〓Fkで

あ る.実

の 最 大 公 約 数 を ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム で 求 め る と,m=r0,n=r1と して,

際,ｍ

とｎ

 i

=1の

と き

 r0=q1r1+r2

 i

=2の

と き

 r1=q2r2+r3

 i=k-2の

と き   rk-3=qk−2rk-2+rk-1

 i=k-1の

と き   rk-2=qk-1rk-1

と な る が,式(2.8)と

最 後 の 式 か ら 比 べ て い っ て,

 

rk-1〓1=F1, qk-1〓2

だ か ら,   rk-2=qk-1rk-1〓F2 ま たqk-2〓1で

あ る か ら,

 

rk-3〓qk-2rk-2+rk-1〓F2+F1=F3

同 じ よ う に して,い

つ もrk-j〓Fj(j=1,2,…,k)と

な る こ と が い え る.し

た が っ て,  

m=r0〓Fk

で あ る.   も し,Ｎ さ が,ｋ

以 下 の 自 然 数 ｍ,ｎ(m＞n)で

以 上 に な る も の が あ っ た ら,上

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 の こ と か ら,

 Fk+1〓m〓N と な り,Fkが

Ｎ 以 下 の 最 大 の フ イ ボ ナ ツ チ 数 で あ る こ と に 反 す る ． よ っ て,

ユ ー ク リ ッ ドの ア ル ゴ リ ズ ム の 長 さが ｋ 以 上 に な る ｍ は Ｎ 以 下 で は あ り え な い. 

□

 

  2.6.1 

2．6 

素 数

  ２以 上 の 自 然 数 が,１ 数(prime

素 数 に つ い て の ア ル ゴ リズ ム

number)と

と 自 分 自 身 以 外 の 正 の 約 数 を も た な い と き,こ い う.素

れ を素

数 で な い ２ 以 上 の 自 然 数 を 合 成 数(composite

number)と

い う.

  2.6.2 

エ ラ トス テ ネ ス の 飾(ふ

  あ る 自 然 数Ｎ

る)い

が 与 え ら れ た と き,１ 以 上 Ｎ 以 下 の 素 数 を す べ て 見 つ け る ア

ル ゴ リ ズ ム と し て エ ラ トス テ ネ ス の 節 い(sieve は,次

の よ う な 手 順 で,１

か ら Ｎ

ま で の 整 数ｉ

of Eratosthenes)が

数 で な け れ ばPi=0を

対 応 さ せ る も の で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.10:エ

ラ トス テ ネ ス の 節 い

に,ｉ が 素 数 な らPi=1,素

入 力 ：３以 上 の 自 然 数 Ｎ 出 力:１

以 上 Ｎ 以 下 の 整 数ｉ に,

 Pi=

0

(ｉが １また は合 成 数 の と き)

1

(ｉが 素 数 の と き)

と な るP1,…,PN ス テ ッ プ:   (１) P1←0 

{１ は 素 数 で は な い の でP1=0と

し て お く}

  (２) i←2   (３) i〓Nの  

間,次

を 繰 り返 す

Pi←1

 i←i＋1  

{i〓2に

対 し てPiの

初 期 値 を す べ て １ と し て お く}

  (４) i←2   (５) i〓〓√N」  

の 間,次

も しP2=1な

 

間,次 Pi*j←0   j←j+1

 i←i＋1

らば

j←2

 i×j〓Nの  

を 繰 り返 す

を 繰 り返 す

あ る.こ

れ

  (６)  P1,…PNを

例2.10 

出力

N=20と

し て,上

の エ ラ トス テ ネ ス の 節 い の ア ル ゴ リ ズ ム を 実 行 し

て み よ う.   ●P1=0と

す る.

  ●P2←1,…,P20←1   ●ｉ←2   ●ｉ=2の  

と きP2=1だ

j=2か

 

ら10ま

か ら次 を行 う で 次 を行 う

Pi*j←0

 i←i+1=3  

こ れ に よ り,２ よ り大 き く20以 14,16,18,20に

 

P2は

１

  ●i=3の  

 

ま り,４,６,８,10,12, なる

ま まで あ る と きP3=1だ

j=2か  

 

下 の ２ の 倍 数,つ

対 し て,P4=0,P6=0,…,P20=0と

か ら次 を行 う

ら ６ まで 次 を行 う

Pi*j←0 i←i+1=4 こ れ に よ り,３ よ り大 き く20以

 

に 対 し て,P6=0,P9=0,…,P18=0と

 

P3は

下 の ３ の 倍 数,つ

ま り,６,９,12,15,18

なる

１の ま まで あ る

 ●i=4の

と きP4=0だ

か ら,何

も行 わ な い

  ●i=5の

と きi＞〓√N」=〓√20」=4.47…

進 む   ●P1,…,P20を  こ れ に よ り,次

出力 の 表 を 得 る. 表2.4 

20以 下 の 正 の 整 数 の 素

だ か ら,ス

テ ッ プ(６)へ

 

し た が っ て,20以

下 の 素 数 はPi=1と

 

な るｉ,す

なわ ち

２,３,５,７,11,13,17,19

と い う 結 果 を 得 る.

  2.6.3 

フ ェル マ ー の小 定 理

  ２ つ の 整 数ａ,ｂ

が 整 数ｐ

割 り切 れ る こ と で あ る.そ

を 法 と し て 合 同 で あ る と い う の は,a-bがｐ

で

の と き,

 

a≡b

mod

p 

(2.9)

と 表 す.

例2.11p=3と

す る.５

と ２ は5-2=3で

あ り,こ

れ は ３ で 割 り切 れ る

か ら   で あ る.１

5≡2  と-8は1-(-8)=9で

  で あ る.３

あ り,こ 1≡-8 

と ０ は3-0=3で

  で あ る.１

mod3

と ２ は1-2=-1で

 

れ は ３ で 割 り切 れ る か ら

mod  3

あ り,こ

れ は ３ で 割 り切 れ る か ら

3≡0 

mod

あ り,こ

1〓2 

3

れ は ３ で 割 り切 れ な い か ら

mod  3

で あ る.

  以 後,整

数 全 体 の 集 合 をZ,自

然 数 全 体 の 集 合 をNで

表 す こ と に す る.

  次 の 性 質 は 定 義 か ら 自 然 に 導 く こ と が で き る.

性 質2.7 ａ,b,c∈Z,n∈N,n〓2と

す る と き,次

が 成 り立 つ.

  １)a≡a 

mod n

  ２)a≡b

mod

n

ならば

  ３)a≡b

mod

n

かつ

b≡a

mod

b≡c

n

mod n

 ４)a≡b

mod n

な ら ば a+c≡b+c

  ５)a≡b

mod n

な ら ば ac≡bc

な ら ば a≡

ｃ

mod n

mod n mod n 

  次 の 定 理 は フ エ ル マ ー の 小 定 理 と よ ば れ て い る 有 名 な 定 理 で あ る.

定 理2.1 

p∈Nを

素 数 と し,a∈Zと

す る と,

 ap≡a

mod

が 成 り立 つ.さ

ら に,も

し,ａ

 

がpの

p

倍 数 で な い な ら ば,

ap−1≡1

mod

p

が 成 り立 つ.

  証 明 は そ れ ほ ど難 し く な い が,こ  n∈Nに

対 して,集

合{1,2,…,n-1}をXnで

ｎと互 い に 素 な も の の 集 合 をXxnで

 

ψ(6)=2,…

  2.6.4 

関 数 と い う.た

要 素 の 個 数 を 対 応 さ せ る 関 数 を ψ(n)で と え ば,ψ(2)=1,ψ(3)=2,ψ 

で あ る.p∈Nが

F3

表 し,オ

イ ラー

(4)=2,ψ(5)=4,

素 数 な ら ψ(p)=p-1で

あ る.

フエルマー数 とカーマ イケル数 い う数 を フ ェ ル マ ー 数 と い い,こ

こで

表 す.F0=220+1=3,F1=221+1=5,F2=222+1=17,

=228+1=257,F4=224+1=65537で

で あ る.フ

要 素 の 中 で,

な わ ち,

は 互 い に 素}⊂Xn

  ０ 以 上 の 整 数 ｎ に 対 し て,22n+1と はFnで

表 し,Xnの

表 す こ と に す る.す

Xxn={a∈Xn｜aとｎ

で あ る.n∈NにXxnの (Euler)の

こ で は 省 略 す る こ と に す る.

エ ル マ ー は,Fn=22n+1は

あ り,こ

れ らは ど れ も素 数

み な 素 数 だ ろ う と予 想 し た.し

か し,

F5

=225+1=4294967297=641×6700417で

あ り,こ

の 予 想 は 正 し くな

か っ た.

  フ ェ ル マ ー の 小 定 理 は,ｐ ap-1≡1 

mod  pで

て,an-1≡1  つ ま り,合

が 素 数 な ら ば,任

あ る と い っ て い る が,逆

mod nな

に,任

ら ば ｎ は 素 数 だ ろ う か.実

成 数 ｎ で 任 意 のa∈Xxnに

が 存 在 す る.こ

意 のa

∈Xxp 意 のa

は,こ

対 し て,an-1≡1 

の よ う な 合 成 数 を カ ー マ イ ケ ル(Carmichel)数

に 対 し て, ∈ Xxpに

対 し

れ は 成 り立 た な い. mod  nと

な る数

と い う． カ ー マ

イ ケ ル 数 は 次 の よ う に し て 特 徴 づ け ら れ る.

性 質2.8 

正 の 整 数 ｎ が カ ー マ イ ケ ル 数 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,ｎ

意 の 素 因 数ｐ   (１)nはp2で

の任

に 対 し て, 割 り切 れ な い,

  (２)n-1はp-1で

割 り切 れ る,

が 成 り立 つ こ と で あ る. 

□

  カ ー マ イ ケ ル 数 を小 さ い も の か ら い くつ か を あ げ る と,   561=3×11×17  

1105=5×13×17

 

1729=7×13×19

 

2465=5×17×29

 

2821=7×13×31

 

6601=7×23×41

 

8911=7×19×67

で あ り,無

限 に 多 くの カ ー マ イ ケ ル 数 が 存 在 す る こ と も 最 近 証 明 さ れ て い る.

  2.6.5 

フ ェル マ ー の 素 数 判 定 テ ス ト

  与 え られ た正 の整数

ｎ が 素 数 で あ る か ど う か を 判 定 す る に は,ｎ

２,３,４,…,［√n］ で 割 っ て,ど

を順 に

れ か で 割 り切 れ る と き,ｎ は 素 数 で は な く,そ

うで

ない とき素 数 で あ る,と す る素 朴 な方法 があ る.こ の 方 法で は,２,３,４,…,［√n］ 司 の す べ て で 割 っ て み て は じめ て 素 数 か 素 数 で な い か が わ か る こ と もあ る の で, 最 悪 の 場 合,［√n］ 回 の割 り算 を実 行 す る必 要 が あ る.こ こ で は,も

う少 し簡

単 に 素 数 で あ る か ど う か を 判 定 す る 方 法 を考 え る こ とに しよ う.   次 の ア ル ゴ リズ ム は フェ ル マ ー テ ス トと よば れ る素 数 判 定 の ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.11:フェ 入 力:３

ルマー テス ト

以 上 の 整 数Ｎ

出 力:"合

成 数"ま

た は"素

数 か も し れ な い"

ス テ ッ プ:  (１)ａ を{2,3,…,N-2}か  (２)b←(aN-1をNで  (３)も

ら全 くラ ン ダム に 選 ぶ 割 っ た 余 り)

しb≠1な

らば

"合 成 数"を

出力

そ うで な け れ ば "素 数 か も しれ な い"を

  こ の ア ル ゴ リ ズ ム で,ま Ｎ

ず,Ｎ

と 互 い に 素 で な い の で,"合

ａと Ｎ が 互 い に 素 と す る.も す る と,フェ

と 互 い に 素 で な いａ が 選 ば れ た と き は, ｂ も 成 数"を

し,こ

出 力 し,正

し い 答 を 得 る こ と が で き る.

の ア ル ゴ リ ズ ム が"合

ル マ ー の 小 定 理 に よ り,そ

マ イ ケ ル 数 の と き,こ が っ て,カ

出力

成 数"を

れ は 正 し い 答 で あ る.Ｎ

の ア ル ゴ リズ ム は,"素

数 か も し れ な い"を

出 力 した と

が 素 数 か カー 出 力 し,し

た

ー マ イ ケ ル 数 の と き は 正 しい 答 で な い こ と に な る.

  次 の こ と が 証 明 で き る.

性 質2.9 

フ ェ ル マ ー テ ス ト(ア ル ゴ リ ズ ム2.11)は,Ｎ

ル 数 の と き,"素

数 か も しれ な い"を

出 力 す る.フェ

が素 数か カーマ イケ ル マ ー テ ス ト(ア ル ゴ リ ズ

ム2.11)は,Ｎ

が カ ー マ イ ケ ル 数 で な い 合 成 数 の と き,少

で,"合

出 力 す る.

成 数"を

証 明 の概 略   前半 は上 で 説 明 した とお りで あ る.Ｎ

な く と も1/2の

確 率

が カ ーマ イケ ル数 で ない 合 成

数 とす る.ａ と Ｎ が 互 い に 素 で な け れ ばｂ と Ｎ も互 い に素 で な いの で,"合 成 数"を

出 力 す る,XxNの

数 は,{ψ(N)/2以

要 素 の 中 で,ａN-1≡1 

(mod  N)と

下 で あ る こ と が 証 明 で き る.し

の 中 か ら,"合

成 数"を

返 す よ う なａ

な る 要 素ａ の 個

た が っ て,a∈{2,…,N-2}

を 選 ぶ 確 率 が1/2以

上 で あ る こ とが 証 明

で き る. 

□

  実 は,次

の よ う に す る と,カ

ー マ イ ケ ル 数 の と き も,合

成 数 で あ る こ とが 判

定 で き る.

ア ル ゴ リ ズ ム2.12:フ 入 力:３

ェ ル マ ー テ ス トの 改 良 版

以上 の整数 Ｎ

出 力:"合

成 数",ま

た は"素

数 か も しれ な い",ま

たは Ｎ の約数

ス テ ッ プ:   (１)ａ

を{2,3,…,Ｎ-2}か

ら全 く ラ ン ダ ム に 選 ぶ

  (２)g←gcd(a,N)   (３)も

しg＞1な

  gを

出力

  (４)N-1=2km,   

k,m∈N, 

b0←(amを

  (５)も

らば

しb0=1な

k〓1,  mは

Ｎ で 割 っ た 余 り) らば

 " 素 数 か も し れ な い"を

出力

 (６)i←1  (７)i〓kの

間,次

  bi←(b2i-1を

を行 う Ｎ で 割 った 余 り）

 i←i+1  (８)も

しbk=1な

らば

奇 数,と

表 す と き,

  j←min{i｜0〓i＜k,bi+1=1}  

そ うで な け れ ば

 

"合 成 数"を

出力

 (９)g←gcd(bj+1,N)  (10)も

しg=1ま

た はg=Nな

らば

 "素 数 か も し れ な い"を

出力

 そ う で な け れ ば  

ｇ を出 力

 こ の ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て,次

性 質2.10 

が 成 り立 つ.

ア ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

力 す る.ア

ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

な く と も1/2の

確 率 で,"合

カ ー マ イ ケ ル 数 の と き,少

が 素 数 の と き,"素

数 か も しれ な い"を

出

が カ ー マ イ ケ ル 数 で な い 合 成 数 の と き,少

成 数"を

出 力 す る.ア

な く と も1/2の

ル ゴ リ ズ ム2.12は,Ｎ

確 率 で,Ｎ

が

の 約 数 を 出 力 す る.

 こ の ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て は,参 考 文 献[１]な ど を参 照 され た い.

例2.12 

N=561と

し て,ア

ル ゴ リ ズ ム2.12を

実 行 し て み よ う.561は

マ イ ケ ル 数 で あ り素 数 で は な い.   ● ス テ ッ プ(１)で,ａ

と し て ７ が 選 ば れ た とす る.

  ● ス テ ッ プ(２)でgに

はgcd(7,561)=1が

  ● ス テ ッ プ(３)の

条 件 は 成 り立 た な い か ら,ス

  ●N-1=561-1=560=24×35だ   b0←(735を561で   ●b0≠1だ

か ら,ス

  ●i←1   ●ス テ ッ プ(７)で  

b1←298

代 入 さ れ る. テ ッ プ(４)へ

か ら,k=4,m=35で

進む あ る,

割 っ た 余 り)=241 テ ッ プ(５)の

条 件 は 成 り立 た な い の で,次

へ 進 む

カー

  b2←166  

b3←67

 

b4←1

  ●ス テ ッ プ(８)でbk=1な  

j←3

  と して,次

へ 進む

 ● ス テ ッ プ(９)で  

ので,

,

g←gcd(67+1,561)=17

  とす る   ●g=17≠1か

  こ れ は,正

つg=17≠N=561な

の で ,g=17を

出力

し く 判 定 さ れ る 場 合 で あ る.

  正 し く判 定 さ れ な い 場 合 も あ る.  ● ス テ ッ プ(１)で,ａ

と し て103が

 ■ ス テ ッ プ(２)でgに  ●ス テ ッ プ(３)の

はgcd(103

選 ば れ た とす る . ,561)=1が

  ●N-1=561-1=560=24×35だ  b0←(10335を561で  ●b0=1が   561に

対 し て,2〓a〓559な

テ ッ プ(４)へ

か ら ,k=4,m=35で

進 む あ る.

割 っ た 余 り)=1

成 り立 つ の で,"素

は,a=103,256,460,511の

代 入 され る.

条 件 は 成 り立 た な い か ら ,ス

数 か も しれ な い"を るａ

で,"素

と き で あ る.

出力

数 か も しれ な い"を

出力 す る の

３ 実 数 に つ い て

  第 ２章 で は,整 数 が コ ン ピ ュ ー タ で は どの よ う に表 され る か とい う こ と を説 明 した.実 数 も整 数 の と き と同 じ よ う に,２ 進 数 で 表 され る の だ が,で

きる だ

け正 確 に表 す た め に,整 数 の場 合 と は異 な る表 現 を用 い る.こ の 章 で は,実 数 が どの よ う に表 さ れ,ど

の よ う な特 徴 が あ る の か,ま

た,コ

ン ピュ ー タ を用 い

て計 算 す る と き に どの よ う な こ とに 注 意 しな け れ ば な らな い の か を説 明 し よ う.

3.1 

  3.1.1 

実 数 の ２進 表 現

実 数 の ２進 表 現

  実 数 の ２ 進 表 現 か ら 始 め よ う.   た と え ば13.625と

 

数 は,

1×101+3×100+6×10-1+2×10-2+5×10-3

の こ と で あ る.同

 

い う10進

じ よ う に 考 え て,２

進 数(1101.101)2は

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

を 表 し て い る,   直 接 計 算 す れ ば,

 

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

 

=8+4+0+1+0.5+0+0.125

 

=13.625

で あ る か ら,(1101.101)2は10進

数 で は13.625で

あ る こ とが わ か る.

  実 数 の ２進 表 現 の一 般 の 形 は

 au×2u+au-1×2u-1+...+a1×21+a0×20  

+b1×2-1+b22β-2+...+bl×2-l

で あ る.た

だ し,i=u,u-1,…,1,0,j=1,2,…ｌ

ま た は １ で,au≠0と

す る.こ

に 対 して,ai,bjは

の 表 現 で,絶

０

対 値 が １ よ り小 さ い ２進 数 は,

 ±b1×2-1+b2×2-2+…+bl×2-l と表 さ れ る が,こ

の と き は,必

0.25=1/4=2-2=0.012で

ず し も,b1≠0と

と え ば,

あ る.

  3.1.2 

実 数 の ２進 表 現 へ の 変 換

  ま ず,１

よ り小 さ い 正 の10進

小 さ い 正 の 数xの

な る 必 要 は な い.た

数 を ２ 進 数 に 変 換 す る こ と を 考 え よ う.１

２進 表 現 が,(0.b1b2…bl)２

よ り

で あ る と す る と,

 x=b1×2-1+b2×2-2+…+bl×2-l で あ る.こ

れ に ２ を 掛 け る と,

  と な り,b1は

2x=b1+b2×2-1+…+bl×2-l+1 ０ か １ で,

 

b2×2-1+...+bl+1×2-l+1＜1

だ か ら, 0  …2x＜1   b1=  1 

…2x＞1

で あ る.   2x〓1の

と き は2x-1を

じ よ う に して,b2を

２倍 し,2x＜1の

求 め る こ と が で き る.こ

と き は2xを

２ 倍 す れ ば,同

の 操 作 を 繰 り返 し,２ 倍 した 結 果

が ち ょ う ど １ に な る ま で 繰 り返 せ ば,ｘ   た だ し,こ

の ２進 表 現 を 求 め る こ と が で き る.

の 操 作 が 必 ず 有 限 回 で 終 わ る と は 限 ら な い.そ

の と き は,そ

が ２進 数 と して 無 限 小 数 に な っ て い る こ と を 意 味 す る.

例3.1 

た と え ば,10進

だ か ら,0.625に2を

表 現 で0.625の

２進 表 現 を 求 め て み よ う.0〓0.625＜1

掛 け る こ と か ら始 め る.

 

0.625×2=1.25＞1…b1=1

 

(1.25-1)×2=0.5＜1…b2=0

 

0.5×2=1=1…b3=1

し た が っ て,  

0.62510=0.1012

で あ る.

例 題3.1 

10進

数0.09375の

２ 進 表 現 を 求 め よ.

解 答   上 の 例 と 同 じ よ う に して,

 

0.09375×2=0.1875＜1…b1=0

 

0.1875×2=0.375＜1…b2=0

 

0.375×2=0.75＜1…b3=0

 

0.75×2=1.5＞1…b4=1

 

(1.5-1)×2=1=1…b5=1

と な る こ と か ら,  

例 題3.2 

0.0937510=0.00011

10進

数0.1の

２進 表 現 を 求 め よ,

解 答   上 と 同 じ よ う に し て,0.1の

２ 進 表 現 を 求 め る と,

の数

  0.1×2=0.2＜1…b1=0   0.2×2=0.4＜1…b2=0   0.4×2=0.8＜1…b3=0   0.8×2=1.6＞1…b4=1  

(1.6-1)×2=1.2＞1…b5=1

 

(1.2-1)×2=0.4＜1…b6=0  

と な り,こ

の 最 後 の 行 か ら は,0.2×2の

り返 す こ と に な る.し

行 か ら,(1.6-1)×2の

た が っ て,0.110の

  0.0 0011

(b2の と こ ろ と 同 じ に な る) 行 まで を繰

0011

２進 表 現 は

0011

と い う 無 限 小 数 に な る.

  １以 上 の 実 数 の ２ 進 表 現 は,そ

の 数 の 整 数 部 分 と小 数 部 分 の ２進 表 現 を 別 々

に 求 め て,そ

れ ら を 足 せ ば よ い.

例3.2 

数43.625は,整

10進

部 の0.625の

数 部 分 の43の

２ 進 表 現 が0.101だ

 

２進 表 現 が101011で

あ り,仮

数

か ら,

43.62510=101011.1012

で あ る.

 

  3.2.1 

3.2 

浮 動 小 数 点 数

浮 動小 数 点 数

  計 算 機 で の 数 の 表 し 方 は,第 表 し 方 と,そ

れ と は 別 に,実

す る 浮 動 小 数 点 数(floating

１章 で 述 べ た 整 数 を 扱 う い わ ゆ る 整 数 型 と い う

数 型 と い う 表 し 方 が あ る.実 point

  実 数 の β 進 表 現 の 一 般 の 形 は,

number)で

表 さ れ る.

数 型 は こ れ か ら説 明

 

±cu×

βu+cu-1×βu-1+...+c1×  

+d1×

β1+c0×

β-1+d2×

β0

β-2+…+dl×

β-l

で あ る.   β 進ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 と は,

 ±(d1×

β-1+d2×β-2+…+dt-1×

=±(0

.d1d2…dt-ldt)β

下 の 整 数 で,ｐ

  ま た,あ

る 整 数Ｌ,Ｕ

囲 を 制 限 す る.± は 小 数 部 分,ｐ

だ し,各i=1,…,ｔ

以 上

は 整 数 で あ る. を 決 め て,L〓p〓Uと

を 符 号,0.dld2…dt-idtの

し てｐ

く の 場 合,２

の 取 り得 る 値 の 範

部 分 を 仮 数 部(mantissa)ま

た

い う.

進 浮 動 小 数 点 数 が 使 わ れ て い る.単

(single precision)と

よ ば れ る２ 進 浮 動 小 数 点 数 は,１

と き,そ

の 最 初 の１

ビ ッ トを 符 号 を 表 す た め に,次

め に,残

りの23ビ

と,次

βp

に つ い て,diは０

を 指 数 ま た は 指 数 部(exponent)と

  計 算 機 で は,多

β-t)×

× βp

と い う表 し方 の こ と で あ る.た β-1以

β-(t-1)+dt×

精度実数型

語 の 長 さ が32ビ

ッ トの

の８ ビ ッ ト を 指 数 を 表 す た

ッ ト を 仮 数 部 を 表 す た め に 使 う.ビ

ッ トパ タ ー ン を 図 示 す る

の よ う に な る.

  浮 動 小 数 点 数 で は,整

数 と異 な り,符

号-絶 対 値 表 示 が 使 わ れ て い る.符

ビ ッ トパ タ ー ンの 符 号 に 格 納 さ れ て い る 数 が０ の と き+を,１ す.(-1)0=+1,(-1)-1=-1が

号 は

の と き-を

仮 数 部 に 掛 か る と考 え れ ば よ い.２

表

の補数

表 示 と は 異 な り,０ は２ つ の 表 現  

00…00…0

 

10…00…0

を も つ.ビ 256個

ッ トパ タ ー ン の 指 数 部 は８ ビ ッ トで,０

の 数 を 表 現 す る こ とが で き る が,指

数 に127を

か ら28-1=255ま

での

加 え た も の を ビ ッ トパ タ ー

ン の 指 数 部 に 格 納 す る こ と で 負 の 指 数 も処 理 で き る よ う に し,

  と な る.こ

L=-127,U=128 の よ う に指 数 部 に一 定 の 数 を加 え て ０以 上 の 整 数 で 表 現 す る こ と を

ゲ タ ば き 表 現 ま た は バ イ ア ス 表 現(biased 定 の 数 を バ イ ア ス(bias)と

い う.指

exponet)と

い う.指

数 部 に 加 え る一

数 と ビ ッ トパ タ ー ンの 指 数 部 に 格 納 さ れ る

数 の 対 応 は 次 の よ う に な る. 表3.1 

指 数 と指 数 部 の 対 応

  ビ ッ トパ タ ー ン の 仮 数 部 に は,dld2…d23が

格 納 さ れ る.

  ａ.  正 規 化   仮 数 部 が ０で な い と き,最 ビ ッ トを 有 効 に 使 え て,精

上 位 ビ ッ トが ０ で な い ほ う が,仮 度 が 高 め ら れ る.た

と え ば,0.1は

限 小 数 に な り,そ

れ を 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 と し て 書 く と,

 

+0.0

で あ る が,最

0011

上 位 ビ ッ ト,す

0011

0011

な わ ち,2-1の

0011

0011

数 部 の すべ て の ２進 表 現 で は 無

00×20

位 が ０ で な い よ う に 表 す と,

とな り,少 しで は あ るが,(*)の

部 分 だ け0.1に

よ り近 い値 とな る.

  浮 動小 数 点 数 に対 して,指 数 部 を調 整 して,仮 数 部 の最 上 位 ビ ッ トが ０で な い よ う にす る こ と を正 規 化(normalization)す を正 規 表 現,正

る と い う.正 規 化 して 表 す こ と

規 化 され た 数 を正 規 化 数 とい う.

  ２進 浮 動 小 数 点 数 の場 合,最 上 位 ビ ッ トが ０で な い と う こ とは,１ に な る と い う こ とで あ る.   正 規 化 さ れ た ２進 浮 動 小 数 点 数 の 仮 数 部 をfと

す る と,

  1/ 2〓f＜1 で あ る.   正 規 化 さ れ な い で 表 さ れ て い る 数 を デ ノ ー マ ル(denormal)ま

たは非正規化

数 と い う.

  b. 

2進 浮 動 小 数 点 数 の 正 規 化

  ２ 進 浮 動 小 数 点 数 を 正 規 化 す れ ば,そ  

の 仮 数 部 をfと

す る とい つ も

0.1d2d3...dt

と い う よ う に 小 数 第 １位 は １ に な る の だ か ら,仮

数 部 がｔ 桁 の と き,い

っその

こ と仮 数 部 は  

1.d2d3…dtdt+1

と表 さ れ て い る と 考 え れ ば,も ば,0.7は

う １桁 有 効 桁 数 を 増 や す こ と が で き る.た

２進 表 現 で は(0.1011001100110…)2と

とえ

い う 無 限 小 数 で あ り,単

精 度 浮 動 小 数 点 数 で は,   で あ る が,こ

 

+0.10110011001100110011001×20 れ は,

+1.01100110011001100110011×2-1

と有 効 数 字 を １桁 増 や し て 少 し だ け よ り真 の 値 に 近 く表 す こ と が で き る.０ 正 規 化 さ れ て い な い 数 は 別 と し て,正

規 化 さ れ て い る 場 合 は,こ

や

の よ う に表

現 さ れ て い る と す る こ と を,け 1.d2d3…dt+1の

ち 表 現(economized 

最 初 の １ は,本

form)と

い う こ と が あ る.

来 の 仮 数 部 の ビ ッ トよ り さ ら に 最 上 位 に 見 え な

い ビ ッ トが も う １ ビ ッ トあ る と考 え て い る わ け で,こ

れ を イ ン プ リ シ ッ トMSB

(implicit most  significant  digit)と

略 記 す る.こ

と 次 の よ う に な る.IMSBの

い い, IMSBと

れ を図 示 す る

１ ビ ッ トは 常 に １で あ る.

以 後,２ 進 浮 動 小 数 点 数 が 正 規 化 され て い る とい う と き は,IMSBを

含 めて上

の よ う に表 され て い る こ と とす る.

  ｃ. 指 数 部 に 関 す る注 意   ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 が,IMSBも

考 え て,

と な っ て い る と き は,   (-1)s×2e-127×1.f を 表 し て い る こ と に な り,指 ら255ま

で,２

進 表 現 で00000000か

実 際 に は,255(=111111112)の aNumber:非

数 部 に 格 納 さ れ て い る 数 ｅ は,10進 ら11111111ま

ル を 表 す の に 用 い る.   こ れ を 整 理 す る と 次 の よ う に な る.  ●1〓e〓254の

と き,

 

 

(-1)s×2e-127×1.f

を 表 す.  ●e=255か

つ,f=0の

で の 値 を と れ る わ け だ が,

と き は,Inf(Infinity:無

数)を 表 す の に 用 い,0(=000000002)の

と き,Infを

表 す.

表 現 で ０か

限 大)とNaN(Not と き は,０

とデ ノ ー マ

 ●e=255か

つ,f≠0の

 ●e=0か

つ,f≠0の

表す.

と き,

   

と き,NaNを

(-1)s×2-126×0.f を 表 す.   ●e=0か

つ,f=〓0の

と き,０

を表 す 。

  ０ で の 割 り算 な ど を 行 っ た と き な ど に は,そ と な る の は,∞-∞

の 結 果 はInfと

表 示 さ れ る.NaN

や0/0と い う 計 算 を し た と き な ど で あ る .

  ｄ.  オ ー バ ー フ ロ ー   正 規 化 さ れ て い る ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数xで max normαl￨x￨と

と な る.〓

は お よ そ 等 し い と い う 意 味 で あ る.演

大 き く な る こ と を オ ー バー フ ロー(overflow)と と き,絶

絶対値 最大 の数の絶対値 を

表 す こ と に す る と,

算 の 結 果 ,絶 対 値 が こ れ よ り い う.ま

対 値 最 小 の 数 の 絶 対 値 をmin nortnal ￨x￨で

た,正

規 化 され て い る

表 す と,

とな る.  正 規 化 しな け れ ば も っ と絶 対 値 の小 さ な数 を表 す こ とが で き る .

 ｅ.  ア ン ダ ー フ ロ ー   演 算 の 結 果,絶

対 値 が 表 現 で き る 絶 対 値 最 小 の 数 よ り小 さ く な る こ と を ア ン

ダ ー フ ロ ー(underflow)と 値 最 小 の 数 と な る が,デ

い う.デ

ノ ー マ ル を 考 え な け れ ば,±2-126が

ノ ー マ ル を 考 え れ ば,絶

絶対

対 値 が もっ と小 さ い 数 を表 現

で き る.   ２進 単 精 度 浮 動 小 数 点 数 をxと 対 値 をmin  denormal￨x￨と

し,デ

ノ ー マ ル も含 め て絶 対 値 最 小 の 数 の 絶

す る と

と な る.

  f.  倍 精 度 浮 動 小 数 点 数   単 精 度 よ り精 度 を高 め る ため に倍 精 度 浮 動 小 数 点 数 が あ る.倍 精 度 浮 動 小 数 点 数 は,１ 語 の 長 さが32ビ を 表 す.IMSBを

と 表 さ れ る.IMSBは

の と き,1〓e〓2046の

 

ッ トの と き,２ 語 を使 っ て,64ビ

含 め た表 現 で は,

常 に １で あ る.単

精 度 と 同 じ よ う に,

整 数 で

(-1)s×2e-1023×1.f

ッ トで １つ の実 数

と正 規 化 さ れ て い る と し,e=2047の と き ０ ま た は デ ノ ー マ ル,す

 

と き,Infま

た はNaNを

表 す.e=0の

な わ ち,

(-1)s×2-1022×0.f

を 表 し て い る こ と に す る.

例 題3.3 

倍 精 度 浮 動 小 数 点 数xに

対 して,max

normal￨x￨,min 

denormal￨x￨

を 求 め な さ い. 解 答   単 精 度 の と き と 全 く 同 じ よ う に 考 え て,

と な る.

  3.2.2 

丸

め

 β 進ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 は,ｔ 桁 で 実 数 を 表 現 す る た め に,t+1桁 り捨 て た り,四

捨 五 入 を す る.こ

の よ う に す る こ と を,t+1桁

目 を,切 目 を丸 め る と

かｔ 桁 に 丸 め る と い う.   丸 め る 方 法 は,め

っ た に 使 わ な い 方 法 も含 め て 次 の よ う な も の が あ る.

 ●切 り 上 げ る  

絶 対 値 の 大 き い 方 に 丸 め る.

 

10.2→11,10.7→11,-10.7→-11  ●切 り捨 て る

   

０ に 近 い 方 に 丸 め る. 10.2→10,10.7→10,-10.7→-10  ●大 き い 方 へ 丸 め る 。

 

10.2→11,-10.2→-10,-10.7→-10  ●小 さ い 方 へ 丸 め る.

 

10.2→10,-10.2→-11,-10.7→-11  ●ふ つ う の 四 捨 五 入

 

最 も 近 い 数 に 丸 め る.

 

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は 絶 対 値 の 大 き い 方 へ 丸 め る.

 

10.2→10,10.5→11,10.7→11,-11.5→-12  ●小 さ い 方 へ の 四 捨 五 入  最 も 近 い 数 に 丸 め る.

   

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は 絶 対 値 の 小 さ い 方 へ 丸 め る. 10.5→10,-11.5→-11  ●偶 数 へ の 四 捨 五 入

 

最 も 近 い 数 に 丸 め る.

 

最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は,丸

め た あ と の,末

位 の 数 字 が 偶 数へ な る

め た あ と の,末

位 の 数 字 が 奇 数へ な る

よ う に 丸 め る.  

10.5→10,11.5→12  ●奇 数 へ の 四 捨 五 入  最 も 近 い 数 に 丸 め る.  最 も 近 い 数 が ２ つ あ る と き は,丸  よ う に 丸 め る.

 

10.5→11,11.5→11

  こ れ 以 外 に も あ る が,科

学 技 術 計 算 な ど で は,偶

数 へ の 四捨 五 入 が 標 準 的 で

あ る.

例3.3 

2進 数 の 次 の よ う な 計 算 を 考 え よ う.た

だ し,２ 進 表 現 で あ る こ と を 表

す 添 え 字 の ２ は 省 略 す る.

  答 は1.0と

1.0+0.01-0.01+0.01-0.01 な る は ず で あ る.こ

れ を,左

か ら 順 に 足 し算 を し,そ

の 四 捨 五 入 を す る と,

 

(((1.0+0.01)-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.11-0.01)+0.01)-0.01  =((1.1-0.01)+0,01)-0.01

 

=(1.11+0.01)-0.01

 

=(1.1+0.01)-0.01

 

=10.0-0.01  

=10-0.01

 

=10.0

 

=10

偶 数 へ の 四 捨 五 入 で 計 算 す る と,

 

(((1.0+0.01)-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.0-0.01)+0.01)-0.01

 

=((1.0-0.01)+0.01)-0.01

   

 

=(1.0+0.01)-0.01

 

=(1.0+0.01)-0.01 =1.0-0.01 =1.0-0.01

の つ どふ つ う

 

=〓

 

=1.0

とな る.

  3.2.3 

浮 動小数点 数の加減算

  浮 動 小 数 点 数 の 加 減 算 が どの よ う に行 わ れ る か を 説 明 し よ う.簡 単 の た め, 丸 め は ふ つ う の 四 捨 五 入 で 行 う もの とす る.仮 数 部 がｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 の 加 減 算 を行 う と き,2t桁

を使 っ て行 われ る とす る.２ つ の 正 規 化 され た β 進ｔ 桁

の浮 動 小 数 点 数 を

 a=(u1×

β-1+u2×

β-2+...+ut-1×

β-(t-1)+u×

β-t)×

 

β-1+v2×

β-2+...+vt-1×

β-(t-1)+v×

β-t)×βq

b=(v1×

とす る と き,±a±bは 下 で,復

次 の よ う に計 算 さ れ る.た

す る.以

号 は 同 順 で あ る.

  1) 指 数 部 に つ い て,p-q＞tの  ±a±b=±

とき

α とす る

  2) p−q〓tの

と き,次

を行 う

 

a) bを,指

 

b)  仮 数 部 の 加 減 算 を 実 行 す る

数 がpと

な る よ う に,仮

 

c) 仮 数 部 が1/β

 

d)  仮 数 部 が１ 以 上 の と き は,仮 増 や し て,f)を

 

だ し,0〓b〓aと

βp

e) 仮 数 部 が1/β

数 部 を 右 へp-q桁

以 上１ 未 満 の と き は,f)を

シ フ トす る

行 う

数 部 を 右 へ１ 桁 シ フ ト し て,指

数 を１

行 う よ り小 さ い 場 合 は,仮

ま で 仮 数 部 を 左 ヘ シ フ ト し,シ

数 部 の 第１ 桁 が０ で な く な る

フ トした 桁 数 分 だ け指 数 を減 ら し

,f)を 行 う    

f) t+1桁 g)

目を 丸 め る

丸 め た こ と に よ り,仮

 ａ) の よ う に,指

数 部 が１ 以 上 に な る と き は,d)へ

戻 る

数 部 が 等 し く な る よ う に 桁 を ず ら す こ と を 桁 揃 え と い う.

例3.4 

β=10,t=4,つ

た め に,ふ

ま り,10進

４桁 の 浮 動 小 数 点 数 で 考 え る.簡

つ う の 四 捨 五 入 で 丸 め る こ と に す る.

  １)0.9876×102+0.1234×10-3は

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

 

0.9876×102と0.1234×10-3の

 

0.9876×102+0.1234×10-3=0.9876×102と は,次

単の

の よ う にt+1桁

指 数 部 の 差 は2-(-3)＞tだ

か ら

な る． な ぜ そ う な る か

目 を 丸 め る と き に0.1234×10-3は

す べ て切 り

捨 て ら れ る こ と に な る か ら で あ る.

 ２)0.9876×102+0.5432×10-2は  

0.9876×102と0,5432×10-2の ら,桁

 ３)0.9876×102+0.1234×10-1は

 

指 数 部 の 差 は2-(-2)=4〓tだ

揃 え を し,0.00005432×102と

五 入 す る と い う 手 順 に な る.つ

 

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

0.9876×102と0.1234×10-1の

し,足

し算 を 実 行 し,結

か 果 を四 捨

ま り,

次 の よ う に 計 算 さ れ る. 指 数 部 の 差 は2-(-1)=3〓tだ

か ら,0.1234×10-1を0.0001234×102と 結 果 を 四 捨 五 入 す る と い う 手 順 に な る.つ

桁 揃 え し,足 ま り,

し算 を 実 行 し,

 ４)0.9876×102+0.2345×101は

 ５)0.9753×10-1+0.2468×10-2は

  ６)0.1234×10-3-0.8642×10-4は

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

次 の よ うに計 算 され る .

次 の よ う に 計 算 さ れ る.

  3.2.4 

い ろ い ろ な誤 差

  た と え ば,10進

数0.1を

２ 進 数 で 表 す と 無 限 小 数 に な り,計

桁 の ２進 数 に す る た め に あ る 桁 で 丸 め ら れ る た め,そ 0.110を

表 す こ と に は な ら な い.こ

き,e=x-xAをxAの る.ま

誤 差(error)と

た,eR=〓

をxAの

の丸 め られ た 数 は 正 確 に

の よ う な と き,0.110を

に 丸 め た 数 を そ の 真 数 の 近 似 値 と い う.真

数 をx,そ

真 数,そ

れ を有 限桁

の 近 似 値 をxAと

い う.xA-xを

相 対 誤 差(relative

算 機で は有 限

す る と

誤 差 とい う こ と もあ error)と

い う.相

対誤差 を

〓と す る こ と も あ る.  ￨e￨〓Eと ERを

な る と き,Ｅ

相 対 誤 差eRの

限界

を誤差

ｅ の 限 界 と い い,￨eR￨〓ERと

  あ る 桁 を 丸 め る こ と に よ り 生 じ る 誤 差 を 丸 め 誤 差(round   計 算 機 で 関 数ｆ

のｘ

則 演 算 で 近 似 し て,そ

に お け る 値 を 計 算 す る と き は,そ の 近 似 式fAのxの

そ の 計 算 結 果fA(xA)が

な る と き,

と い う.

近 似 値xAに

丸 め ら れ(fA(xA))Aが

error)と

の 関 数 を有 限 回 の 四 お け る 値 が 計 算 さ れ,

得 ら れ る.こ

の と き,誤

 f (x)-(fA(xA))A  

=(f(x)-f(xA))+(f(xA)-fA(xA))+(fA(xA)-(fA(xA))A)

と 書 く こ と が で き る.こ   ●f(x)-f(xA)を   ●f(xA)-fA(xA)を   ●fA(xA)-(fA(xA))Aを と い う.

の 式 の 右 辺 に つ い て,

代入 誤差 打 ち 切 り 誤 差,離

散 化 誤 差,公

生 成 誤 差 ま た は発 生 誤 差

い う.

式 誤差

差 は,

  3.2.5 

浮 動 小 数 点 数 と誤 差

  一 般 に,ｔ 桁 の β 進 浮 動 小 数 点 数 が 数 直 線 上 に ど の よ う に 分 布 し て い る か を 考 え よ う.計

算 機 で よ く使 わ れ る よ う に １ 語 の 長 さ を32ビ

雑 に な る の で,次

ッ ト と す る と,煩

の よ う な 簡 単 な 例 で 考 え て み よ う.

 ● １語 は ６ ビ ッ ト  ● 符 号 が １ ビ ッ ト  ●指 数 部 が ３ ビ ッ トで バ イ ア ス は310=112  ●仮 数 部 が ２ ビ ッ ト  ●IMSBが

１ビ ッ ト

正 規 化 さ れ て い る と き は,

 1.00×2p 

で あ る.ビ て,次

(p=-2,-1,0,1,2,3)

ッ トパ タ ー ン を 表 に す る と 符 号 の １ ビ ッ トをs=0ま

の よ う に な る.

表3.2 

ビ ッ トパ ター ン

これ ら を数 直 線 上 に 表 す と次 の 図 の よ うに な る.

た は １と し

こ の 図 か ら,一

様 に,つ

な い こ と が わ か る.指

ま り,い

た る と こ ろ 等 間 隔 に,分

数 部 をpと

 

す る と,間

布 して い る わ け で は

隔は

0.01×2p=2-2×2p

で あ る が,左

辺 の 最 初 の 項 の2-2の

数 が ３桁 で,そ

れ か ら1を

の で,も

数 部 がIMSBも

し,仮

 

指 数-2は,仮

引 い て,そ

れ に−(マ

含 め てt桁

数 部 のIMSBも

含 め た桁

イ ナ ス)を つ け た こ と に な る

な ら,間

隔 は

2-(t-1)×2p=21-t×2p

で あ る.   した が っ て,ふ は,分

つ う の 四 捨 五 入 で は,1.f×2pに

布 し て い る 間 隔 の1/2で,こ

丸 め られ る数 の誤 差 の 限 界

の 例 で は,

  2-3×2p

で あ り,仮

数 部 がIMSBも

含 め てｔ 桁 な ら

 

で あ る.相

2-t×2p

対 誤 差 が 最 大 に な る の は,1.00×2pへ

対 誤 差 の 限 界 は,こ

の 例 で は,

で あ り,仮 数 部 がIMSBも

で あ る.つ

ま り,相

含 め てｔ 桁 な ら

対 誤 差 の 限 界 は 指 数 部 に 関 係 な く,仮

の よ う な 丸 め 方 を す る か だ け に 依 存 す る.こ (machine

epsilon)と

丸 め ら れ る と き な の で,相

い う.

  マ シ ン イ プ シ ロ ン に つ い て 次 が 成 り 立 つ.

数 部 の 桁 数ｔ

と ど

の 誤 差 の限 界 をマ シ ンイ プ シ ロ ン

性 質3.1 

ふ つ う の 四 捨 五 入 で 丸 め る と き,マ

め て(1+ε)Aと

す る と き,(1+ε)A＞1を

シ ン イ プ シ ロ ン は,1＋

ε を丸

満 た す 最 小 の 正 の 数 ε で あ る. □

  こ の 例 の デ ノ ー マ ル の 場 合 を 考 え て お こ う.指

数 部 が000の

と き は,デ

ノー

マ ル で,  ●0 000

0 00は+0を

 ●0 000

0 01は0.01×2-2を

表 す.

 ●0 000

0 10は0.10×2-2を

表 す.

 ●0 000

0 11は0.11×2-2を

表 す.

指 数 部 が111の

表 す.

と き は,Infま

た はNaNを

  ●0 111

00はInfを

 ●0 000

01はNaNを

表 す.

 ●0 000

10はNaNを

表す.

 ●0 000

11はNaNを

表 す.

  3.2.6 

表 す が,

表 す.

四則演算 の誤差限界

  浮 動 小 数 点 数ａ,ｂ

の 加 減 算a±bを

と 表 す と,￨(a±b)-(a±b)A￨の

計 算 し た と き に 得 ら れ る 値 を(a±b)A

限 界 は,ε

を マ シ ン イ プ シ ロ ン と す る と き,

次 で 与 え ら れ る.

 ￨(a±b)-(a±b)A￨〓max{￨a￨,￨b￨,￨a±b￨}×

ε

な ぜ な ら,ｔ 桁 の 浮 動 小 数 点 数 と し てａ,  ｂ が 表 さ れ て い る と す る と,も ￨a￨＞￨b￨ でａ,ｂ

の 指 数 の 差 がｔ よ り大 き け れ ば,指

加 減 算 の 手 順 か ら,a±bの あ り,し

た が っ て,そ

以 下 な ら ば,a±bを

数 の 小 さ い ほ う の 数 ｂ は,

計 算 結 果 に 反 映 さ れ な い.こ

の と き の 誤 差 は,ε￨a￨以 計 算 し,こ

の と き,￨b￨＜

下 で あ る.ａ,ｂ

ε￨a￨で

の 指 数 の 差 がｔ

れ をｔ 桁 に 丸 め る と き に 誤 差 が 発 生 す る が,そ

れ は,ε￨a±b￨以

下 で あ る.

  乗 除 算 で は,誤

差 は 結 果 を 丸 め る と き に 発 生 す る の で,誤

 ￨(a×b)-(aA×bA)￨〓￨a×b￨×

し,

ε

差 の限界 は

 ￨(a÷b)-(aA÷bA)￨〓￨a÷b￨×

ε

で 与 え ら れ る.

  3.2.7 

２次 方 程 式 の 解 の 公 式 と誤 差

 ２次 方 程 式  

axe+bx+c=0

の 解 は,解

の 公 式 を 使 っ て,

で 求 め る こ と が で き る.実 て,た

数 が10進

７桁 の 浮 動 小 数 点 数 で 表 さ れ て い る と し

と え ば,   1.234567x2-876.5432x+0.3578642

と い う ２ 次 方 程 式 の ２ つ の 解 を 解 の 公 式 で 求 め て み よ う.

b2-4ac=(-1×0.8765432×103)2

 

-(0.4000000×101)×(0.1234567×101)×(0.3578642×100)

 

=0.7683280×106-0.1767229×101

 

=0.7683280×106-0.000001767229×106

 

=0.7683262×106

だ か ら,

 √ b2-4ac=√0.7683262×106  

で あ り,

=0.8765422×103

=0

とな る.こ

.7100001×103

こ で,x2を

求 め る と き に,分 子 の 計 算

 -b-√b2-4ac

で,0.0000010×103と

い う よ う に,有

の よ う に な る こ と を 桁 落 ち と い う.こ 対 で,絶

効 数 字 が２ 桁 に 減 っ て し ま っ て い る.こ れ は,-bと-√b2-4acが,符

対 値 が ほ ぼ 等 し い こ と に よ っ て い る.こ

め に,x2を,解

と係 数 の 関 係 を 使 っ て,ま

の こ とが 起 こ る の を避 け る た

た は 解 の 公 式 で 分 子 を 有 理 化 し て,

と 変 形 す る と,

x2＝  

=(0.3578642×100)/(0.1234567×101)/(0.7100001×103)

 

=0.4082678×10-3

と な り,こ

れ は 真 の 解 に７ 桁 と も 一 致 す る.

  一 般 に,２

次方程式

 

ax2+bx+c=0

の 解 を コ ン ピ ュ ー タ な ど で 求 め る と き は,１

  ●b＞0の

ときは

号が 反

つ の 解x1を

 ●b＜0の

と して,も

と きは

う １ つ の 解x2は,解

と係 数 の 関 係 を 使 っ て,

と す る.

  3.2.8 

累 和 を計 算 す る と きの 誤 差

  0に0.01を10000回

加 え れ ば,100に

丸 め 誤 差 な ど が 累 積 し て,必 ロ グ ラ ム を 作 成 し,実 れ は,主

に,0.01が

な る は ず で あ る が,コ

ず し も そ う は な ら な い.次

の ア ル ゴ リズ ム3.1で

際 に 計 算 し て み る と ,結 果 は,100,0030な ２進 数 と し て は 無 限 小 数 で あ り,そ

き の 誤 差 が 積 も り積 も っ て,無

ン ピ ュー タで は プ

ど と な る.こ

れ を有 限 桁 に丸 め る と

視 で き な い 誤 差 と し て 現 れ る と考 え ら れ る.傍

証 と な る か ど う か わ か ら な い が,た

と え ば,0.01に

近 い2進

数 と して有 限小 数

の0.0117187510=0.000000112や0.00976562510=0.0000001012を10000 回 加 え れ ば,同

じ コ ン ピ ュ ー タ で,そ

れ ぞ れ,117.18750,97.656250と

な い 結 果 が 得 ら れ る.

ア ル ゴ リ ズ ム3.1:累

和 の 計 算(誤

入 力:x=0.01 出 力:xを10000個

足 した和

ス テ ッ プ:   (１)i←1   (２)sum←0   (３)i〓1000の  

間,次

sum←sum+0.01

 i←i+1   (４)sumを

出力

を行 う

差 を 生 じ や す い)

誤差 の

4  方程式 の数値解法

 方程式  f(x)=0 を解 く こ と を考 え る.   た と え ば,  ax2+bx+c=0 とい う ２次 の 代 数 方 程 式 が 与 え られ れ ば,解 の 公 式

で 解 くこ とが で き る.３ 次 方 程 式,４ 次 方程 式 も公 式 で解 くこ とが で きる が ,５ 次 以 上 の代 数 方程 式 は,一 般 的 な公 式 は な い こ とは よ く知 ら れ て い る .こ の 章 で は,代 数 方 程 式 に限 らず,方 程 式 を コ ン ピュ ー タ を使 って 解 くア ル ゴ リズ ム で よ く知 られ て い る も の を説 明 す る.

 

  4.1.1 

4.1  解 析 学 の 初 歩 の 復 習

コー シ ー列 と完 備 な区 間

  こ こで,こ

の 章 で 必 要 とな る 解 析 学 の 初 歩 的 な事 柄 を復 習 し よ う.

  実 数 全 体 の 集合 をRで

表 す.

  実 数 の 数 列{xj}が コー シ ー(Cauchy)列 で あ る と は,任 意 の ε＞0に て,整 数n(ε)が 存 在 し,n,n'＞n(ε)な らば,  ￨xn−xn'￨＜

ε

対し

と な る こ と で あ る.   Ｒ の 部 分 集 合Aが

完 備(complete)で

ま れ る 任 意 の コ ー シ ー 列 がAの

あ る と は,全

て の 要 素 がAに

要 素 に 収 束 す る こ と で あ る.区

含

間R=

(-∞,∞),(-∞,b］={x∈R￨x